Empuxos de Terra na Engenharia Civil

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EMPUXOS DE TERRA
CURSO: ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: FUNDAÇÕES - CONTENÇÕES E OBRAS 
DE TERRA
Prof. Salomão Silva Neto
Empuxos de Terra
◼ Entende-se por empuxo de terra a ação horizontal produzida por um
maciço de solo sobre as obras com ele em contato.
◼ A determinação do valor do empuxo de terra é fundamental para a análise
e o projeto de muros de arrimo, cortinas de estacas-prancha, construção de
subsolos, encontro de pontes, etc.
◼ O cálculo dos empuxos constitui uma das maiores e mais antigas
preocupações da engenharia civil;
◼ Data de 1776 a primeira contribuição efetiva ao tema, em muito anterior
ao nascimento da Mecânica dos Solos como ciência autônoma.
◼ Trata-se de um problema de grande interesse prático, de ocorrência
frequente e de determinação complexa
Introdução
Empuxos de Terra
◼ O valor do empuxo de terra, assim como a distribuição de tensões ao longo
do elemento de contenção, depende da interação solo-elemento estrutural
durante todas as fases da obra.
◼ O empuxo atuando sobre o elemento estrutural provoca deslocamentos
horizontais que, por sua vez, alteram o valor e a distribuição do empuxo,
ao longo das fases construtivas da obra.
◼ Visto que em se tratando de Solos são raras as situações em que é possível
a determinação das forças e tensões com base apenas nas condições de
equilíbrio; (sendo os problemas, em geral, estaticamente indeterminados) é
imperativo que se considere as condições de compatibilidade entre os
deslocamentos , ou seja, a variação das tensões com as deformações (curva
σ x ε).
Introdução
Empuxos de Terra
◼ Já vimos em aula anterior (aula 3) o cálculo da tensão horizontal do solo
no repouso em um terreno plano.
◼ O empuxo no repouso é definido por estas tensões horizontais, calculadas
para condição de repouso.
◼ Neste caso para a condição de semi espaço infinito horizontal, o empuxo é
produto do coeficiente de empuxo lateral no repouso (ko) e da tensão
efetiva vertical, acrescido da parcela da poro-pressão.
➔ onde:
’h = tensão principal horizontal efetiva;
’v = tensão principal vertical efetiva.
ko = coeficiente de empuxo no repouso
m = poro pressão
Empuxos no Repouso
Empuxos de Terra
◼ O valor de ko depende de vários parâmetros geotécnicos do solo, dentre os
quais pode-se citar: ângulo de atrito, índice de vazios, razão de pré-
adensamento, etc.
◼ A determinação do coeficiente de empuxo no repouso pode ser feita a
partir ensaios de laboratório e ensaios de campo, teoria da elasticidade ou
correlações empíricas .
◼ A determinação experimental de ko torna-se difícil principalmente por
dois fatores: alteração do estado inicial de tensões e amolgamento,
provocados pela introdução do sistema de medidas.
◼ Estes dois fatores também influenciam o comportamento de amostras
utilizadas em ensaios de laboratório.
◼ Algumas correlações empíricas foram propostas, conforme alistamos:
Empuxos no Repouso
Empuxos de Terra
◼ Correlações empíricas:
Areias e argilas normalmente adensadas (Kaki, 1944):
Argilas normalmente adensadas (Brooker e Irealnd, 1965):
Argilas pré adensadas (Mayne e Kulhawy, 1982):
Quaisquer solos (Ferreira, 1982)
Onde: OCR = razão de pré-adensamento
’= ângulo de atrito efetivo
e= índice de vazios
Empuxos no Repouso
Empuxos de Terra
◼ Na mecânica dos solos aplicamos alguns conceitos da mecânica dos
sólidos (resistência dos materiais) relativos aos materiais em geral.
◼ Um destes princípios diz respeito à proporcionalidade entre a tensão
vertical e a correspondente tensão horizontal, em função da elasticidade do
material:
✓ O material recebe o esforço, absorve-o e se deforma segundo seus parâmetros de
elasticidade.
◼ Dentro deste princípio, qualquer valor de tensão horizontal será sempre
calculado em função da tensão vertical que, considera apenas a ação do
peso próprio do solo, correspondente, no sentido vertical, à tensão efetiva.
Empuxos ativo e passivo
sendo K o chamado coeficiente de empuxo de terra. 
Empuxos de Terra
◼ Denomina-se empuxo ativo a tensão limite entre o solo e um anteparo,
decorrente de tendência de afastamento do anteparo em relação ao solo,
no sentido de expandir / “aliviar” o solo horizontalmente. O solo
“empurra” a estrutura, que reage, tendendo a afastar-se do maciço.
Empuxos ativo e passivo
Empuxos de Terra
◼ Denomina-se empuxo passivo a tensão limite entre o solo e um anteparo,
decorrente de tendência de aproximação do anteparo em relação ao solo,
no sentido de comprimir / “empurrar” o solo horizontalmente. Neste caso é
a estrutura que é empurrada contra o solo.
Empuxos ativo e passivo
Empuxos de Terra
Empuxos ativo e passivo
Empuxos de Terra
Empuxos ativo e passivo
Empuxos de Terra
◼ Empuxo em Repouso (nenhum deslocamento do muro e nenhuma mudança nas
tensões horizontais).
◼ Empuxo Ativo (afastamento do muro e decréscimo das tensões horizontais).
◼ Empuxo Passivo (aproximação do muro e aumento das tensões horizontais).
Empuxos de Terra
◼ A relação será sempre entre tensões efetivas!
Coeficientes de empuxo de terra
A rigor deveria ser K’ (em vez de K),
para explicitar o “efetivo”. Mas,
costuma-se utilizar a indicação sem o
apóstrofo.
Empuxos de Terra
◼ m é a pressão neutra ou poro pressão.
Coeficientes de empuxo de água
Empuxos de Terra
Exemplos de empuxos ativos
Empuxos de Terra
Exemplos de empuxos passivos
Empuxos de Terra
Exemplos de empuxos ativos e passivos atuando juntos
Empuxos de Terra
◼ Em resumo, o método de Rankine (1857) considera o solo em estado de
equilíbrio plástico e baseia-se nas seguintes hipóteses iniciais:
✓ Solo isotrópico;
✓ Solo homogêneo;
✓ Superfície do terreno plana;
✓ A ruptura ocorre em todos os pontos do maciço simultaneamente;
✓ A ruptura ocorre sob o estado plano de deformação;
✓ O empuxo total é calculado a partir da integral da distribuição de tensões
horizontais;
✓ Não é considerado o atrito entre o solo e a parede de contenção.
✓ Solo “não coesivo”➔ c=0 (situação simplificada)
Empuxo Total – Teoria de Rankine
Empuxos de Terra
◼ Duas análises serão feitas:
a) Sem nenhuma sobrecarga sobre o solo.
Empuxo ativo
Empuxo Total – Teoria de Rankine
Empuxos de Terra
Empuxo ativo
◼ Como a cunha acompanha o movimento do deslocamento do muro, afastando–a no
sentido horizontal, temos que v (maior) = 1.
◼ Resistência ao cisalhamento desenvolvida ao longo do plano de ruptura reduz a
ação de movimento, diminuindo o esforço sobre o parâmetro vertical ao valor
mínimo, portanto h (menor) = 3 .
◼ Tomando-se a equação analítica da ruptura de Terzaghi
onde N = tg²(45+ /2) = número de fluência
teremos para coesão nula (c = 0) : 1 = 3.N ➔ 3 = 1 / N
Empuxo Total – Teoria de Rankine
Empuxos de Terra
Empuxo ativo
Logo se fizermos 3 = 1 . Ka ➔ Ka = 1 / N ➔
Como v (maior) = 1 e h (menor) = 3 ➔ para empuxo ativo.
Empuxo Total – Teoria de Rankine
Empuxos de Terra
Empuxo ativo
◼ No caso mais simples, considerando um solo homogêneo, seco, com c = 0, o valor
do empuxo ativo total Ea é igual a área do triângulo ABD e pode ser obtido pela
expressão:
➔
atuando a h/3 da base da contenção.
Empuxo Total – Teoria de Rankine
Empuxos de Terra
◼ Duas análises serão feitas:
a) Sem nenhuma sobrecarga sobre o solo
Empuxo passivo
Empuxo Total – Teoria de Rankine
Empuxos de Terra
Empuxo passivo
◼ Como a cunha acompanha o movimento do muro, vencendo o seu peso e a
resistência interna ao cisalhamento, afastando-a no sentido vertical para cima.
Assim temos que v (menor) = 3.
◼ Resistência ao cisalhamento desenvolvida ao longo doplano de ruptura soma-se ao
peso da cunha agindo sobre o parâmetro vertical, a maior possível . Sendo assim
h (maior) = 1 .
◼ Tomando-se a equação analítica da ruptura de Terzaghi
onde N = tg²(45+ /2) = número de fluência
teremos para coesão nula (c = 0) : 1 = 3.N se chamarmos Kp = N
Empuxo Total – Teoria de Rankine
Empuxos de Terra
Empuxo passivo
◼ Na condição passiva h = 1 e v = 3 então:
h = v . Kp e para empuxo passivo.
◼ Admitindo-se agora, que a parede se desloque contra o terrapleno. Para que se
produza o deslizamento, o empuxo deverá ser maior do que o peso do terrapleno.
◼ Assim, a tensão principal maior será horizontal. Neste caso, valor do empuxo
passivo Ep é igual a área do triângulo ABD e pode ser obtido pela expressão:
➔
atuando a h/3 da base da contenção.
Empuxo Total – Teoria de Rankine
Empuxos de Terra
◼ Em função das expressões obtidas, temos:
Empuxo Total – Teoria de Rankine
Valores de Ka e Kp para diferentes ângulos
de atrito do solos ()
Empuxos de Terra
Empuxo Total – Teoria de Rankine
Empuxos de Terra
◼ Duas análises serão feitas:
b) Com sobrecarga sobre o solo
No caso de se considerar a ocorrência de uma
sobrecarga uniformemente distribuída no terrapleno,
com intensidade “q” (Figura ao lado), pode-se
transformar esta sobrecarga em uma altura equivalente
de solo da camada (h0).
A altura equivalente do solo será:
Empuxo Total – Teoria de Rankine
◼ Altura de terra equivalente à ação variável
◼ Altura total
◼ Pressões
✓ no topo:
0 = Ka . g. h0 = Ka. g. q / g = Ka . q
✓ na base:
1 = 0 + Ka . g. h = Ka. g. (h + h0) = Ka. g. H
Empuxos de Terra
Empuxo Total – Teoria de Rankine
◼ Empuxo total
Ea = 0,5. Ka. g. h. (h+h0)
◼ Ponto de aplicação do empuxo
Empuxos de Terra
Empuxo Total – Teoria de Rankine
Empuxos de Terra
Empuxo ativo
◼ Quando o solo é coesivo ocorrem
tensões de tração, no estado ativo, até
uma profundidade z0, com formação de
trincas, visto o solo não resistir à tração.
◼ Existe uma profundidade crítica (zcrit)
onde o empuxo ativo se anulará, visto
que ele será compensado pela zona
tracionada. Após esta profundidade o
talude ficará instável, sujeito a
escorregamento.
◼ Esta profundidade crítica é dada pela
expressão:
Teoria de Rankine adaptada para solos coesivos
Empuxos de Terra
Empuxo ativo
◼ Teoricamente, na profundidade da altura crítica não há desenvolvimento de
empuxo. Logo, essa é a altura em que se pode fazer um corte sem necessidade de
estrutura de contenção ou escoramento, como ilustrado nas Figuras abaixo:
Teoria de Rankine adaptada para solos coesivos
(a) Aspecto de fendas de tração que evoluíram para escorregamento de terra –
instabilização do talude; (b) Altura de escavação de vala sem necessidade de escoramento
Empuxos de Terra
Empuxo ativo
◼ O empuxo ativo total e dado por:
Teoria de Rankine adaptada para solos coesivos
Empuxos de Terra
Empuxo passivo
◼ O empuxo passivo total e dado por:
Teoria de Rankine adaptada para solos coesivos
Empuxos de Terra
Sobrecarga na crista
◼ Se houver sobrecarga na crista, deve-se adicionar o valor desta sobrecarga para o
cálculo da tensão horizontal ativa.
Teoria de Rankine adaptada para solos coesivos
Empuxos de Terra
Mais de uma camada de solo
◼ Calculam-se a as tensões desenvolvidas em cada camada individualmente.
◼ No cálculo das tensões na camada 2 considera-se a camada 1 como uma sobrecarga
sobre a camada 2, como no cálculo de tensões verticais, que, agora, será
multiplicado pelo K da camada
em questão (2), uma vez que o
comportamento na camada (2) vai
ser diferente que na camada
superior (1).
◼ Assim, a camada (1) atuará como
sobrecarga : q1 = g1 . H1 resultando
em:
Teoria de Rankine adaptada para solos coesivos
Empuxos de Terra
◼ Considere um maciço não coesivo com uma superfície inclinada de um ângulo 
em relação à horizontal.
◼ Considerando um elemento a uma determinada profundidade (z), com os lados
verticais e topo e base inclinados de  assume-se que a tensão vertical e os
empuxos ativo e passivo atuam também a uma inclinação .
Teoria de Rankine adaptada para terraplenos inclinados
Empuxos de Terra
◼ Os valores dos empuxos ativos e passivos e dos coeficientes Ka e Kp para estas
condições são dados pelas seguintes expressões:
Teoria de Rankine adaptada para terraplenos inclinados
Empuxos de Terra
Teoria de Rankine adaptada para terraplenos inclinados
Empuxos de Terra
Teoria de Rankine -Exemplo
1. Calcular, pelo método de Rankine, o
valor do empuxo ativo sobre o muro:
Empuxos de Terra
Teoria de Rankine -Exemplo
 = 0º ;  = 30º ; H =6,0 m ; g = 16 kN/m³
Ka = cos 0º. cos 0º - cos²0º - cos² 30º➔
cos 0º + cos²0º - cos² 30º
Ka = 1 - 0,5 = 1/3 (0,333...)
1 + 0,5
= 0,5. (1/3). 16. 6² = 96 kN/m
Aplicado a 2,0 m da base.
Empuxos de Terra
Teoria de Rankine –Exemplo 2
2. Para o terreno indicado na
figura abaixo, trace o
diagrama das tensões ativas
sobre o painel vertical AB .
SOLUÇÃO
Diagrama das tensões
As tensões ativas no solo (1)
são calculadas usando:
Empuxos de Terra
Teoria de Rankine –Exemplo 2
SOLUÇÃO (cont.)
As tensões ativas no solo (1)
são calculadas usando:
As tensões ao longo do painel
vertical AB estão calculadas na
tabela a seguir:
Empuxos de Terra
Teoria de Rankine –Exemplo 2
SOLUÇÃO (cont.)
Observe que:
- o solo (1) é considerado como uma sobrecarga de (18 X 3,0) kN/m² sobre o solo (2),
adicionando-se a sobrecarga de 60 kN/m²;
- o solo (2) sendo uma argila, há uma parcela a subtrair:
Empuxos de Terra
Teoria de Rankine –Exemplo 2
SOLUÇÃO (cont.)
O diagrama das tensões está representado
na figura ao lado:
Empuxos de Terra
◼ Em resumo, o método de Coulomb (1776) baseia-se na teoria do
equilíbrio limite e possui as seguintes hipóteses iniciais:
✓ Solo isotrópico;
✓ Solo homogêneo;
✓ A ruptura ocorre em todos os pontos do maciço simultaneamente;
✓ A ruptura ocorre sob o estado plano de deformação;
✓ As forças de atrito são distribuídas uniformemente ao longo do plano de
ruptura;
✓ É considerado o atrito entre o solo e a parede de contenção.
✓ Considerou o terrapleno inclinado;
✓ Solo “não coesivo”➔ c=0
Empuxo Total – Teoria de Coulomb
Empuxos de Terra
Empuxo ativo – Teoria de Coulomb
Empuxos de Terra
Empuxo passivo– Teoria de Coulomb
Empuxos de Terra
◼ Partindo das condições de equilíbrio das três forças P, R, Ea (Ep), deduzem-
se analiticamente as equações gerais, para os empuxos ativo (Ea) e passivo
(Ep).
◼ Os valores para as resultantes de empuxo e os coeficientes de empuxo
segundo a teoria de Coulomb para solos não coesivos são:
Empuxo Total – Teoria de Coulomb
Empuxos de Terra
◼ Na aplicação da teoria de Coulomb aos solos coesivos, além das forças P (peso da
cunha) e R (reação de resistência do solo – parcela de atrito) devemos considerar
ainda as forças de coesão, S, parcela ao longo da superfície de ruptura e de adesão,
T, entre o terrapleno e a parede .
◼ O problema consiste, pois, em procurar o máximo valor da força Ea (neste caso)
que, com as demais, feche o polígono das forças (Figura abaixo), as quais são
conhecidas em grandeza e direção: P, S e T, e apenas em direção: R e Ea.
Empuxo Total – Teoria de Coulomb
Empuxos de Terra
◼ Neste caso faz-se necessário o cálculo da resultante diretamente pelo desenho do
polígono de forças. Não há um coeficiente de empuxo K que corresponda à
situação em análise, simplificando a sua determinação, como pode haver nos casos
anteriores.
◼ Para a situação de empuxo passivo o procedimentodeve ser o mesmo,
considerando a posição da resultante Ep como já ilustrado.
◼ Para situações de sobrecarga no terreno, elas são tomadas como uma parcela
constante que se soma ao valor do empuxo. Nas construções gráficas de Coulomb,
pode-se somar a resultante devida à sobrecarga ao peso (P) da cunha, com vistas a
obter o efeito acumulado do empuxo devido ao solo e à sobrecarga.
◼ Na análise algébrica da sobrecarga, já vimos que as tensões horizontais devidas a
esta sobrecarrega na superfície do terreno, resultam, em qualquer ponto do meio,
um valor constante igual a K.q. (O valor de K será Ka, Kp ou K0 conforme sejam os
deslocamentos da estrutura.) –vide figura a seguir:
Empuxo Total – Teoria de Coulomb
Empuxos de Terra
Empuxo Total – Teoria de Coulomb