Sebenta MA1_2016_2017 (1)

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Mecânica Aplicada I
Teoria e Prática
Licenciatura em Engenharia Mecânica
Hernâni Lopes
Instituto Politécnico de Bragança Mecânica Aplicada I
Hernâni Lopes
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Beer P. Ferdinand, Johnston Jr. Russel; ‘’Mecânica Vectorial para Engenheiros - Estática”; - 8 edição; McGraw-Hill; 
Meriam J.L., Kraige L.G.; “Engineering Mechanics - Statics”, John Wiley & Sons, Inc.
Bibliografia
Referências
Hernâni Lopes “Mecânica Aplicada I” -Power Point , 2010
Beer P. Ferdinand, Johnston Jr. Russel; ‘’Mecânica Vectorial para Engenheiros - Estática”; - 8 edição; McGraw-Hill.
Meriam J.L., Kraige L.G.; “Engineering Mechanics - Statics”, John Wiley & Sons, Inc.
Russell C. Hibbeler ”Engineering Mechanics Statics “-12th Edition, Prentice Hall
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Mecânica pode ser definida como a ciência que descreve o comportamento dos corpos nas condições de repouso ou movimento de corpos quando submetidos a acção de forças exteriores. Este é dividido em três partes: a mecânica dos corpos rígidos, mecânica de corpos deformáveis​​, e mecânica dos fluidos. 
No estudo da estática e dinâmica, os corpos são assumidos para ser perfeitamente rígido. Porém os corpos não são absolutamente rígidos e deformam-se sob acção de cargas. 
Mas as deformações são geralmente pequenas e não afectam as condições de equilíbrio estático ou de movimento do corpo. No entanto, para mecânica dos materiais as deformações são importantes no estudo da resistência mecânica da estrutura. A terceira divisão da mecânica é a mecânica de fluidos, a qual se subdivide em estudo de fluidos incompressíveis e de fluidos compressíveis.
1-Introdução
Mecânica
Aplicada
Estática
Estudo dos corpos em repouso
Corpos rígidos
Cinemática
Estudo dos corpos em movimentos, independentemente das forças
Dinâmica
Estudo dos corpos em movimentos, funçãodasforças aplicadas
Mecânica
dos materiais
Resistência Mecânica
Corpos deformáveis
Mecânica dos fluídos
Incompressíveis
líquidos
compressíveis
gases
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As grandezas são geralmente expressa como o produto de um número por uma unidade. A unidade é simplesmente um exemplo particular da quantidade do produto que é utilizado como uma referência, e o número é a razão entre o valor da quantidade para a unidade. Existem dois principais sistemas de unidades, Sistema Internacional de Unidades (SI) e Sistema Americano de Unidades (US), sendo o mais utilizado e aqui adoptado o sistema SI. O Sistema Internacional de Unidades está dividido em grandezas fundamentais e grandezas derivadas. As grandezas fundamentais são sete: comprimento (m-metro), massa (kg-kilograma), tempo (s-segundo), corrente eléctrica (A-ampere), temperatura termodinâmica (K-Kelvin), quantidade de uma substância (mol-mole) e intensidade luminosa (cd-candela). A partir destas unidades fundamentais são derivadas as restantes unidades, as quais são designadas de unidades secundárias. 
1.1-Sistema de Unidades
Ref: http://www.bipm.org/en/si/
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Grandezas derivadas
Ref: http://www.bipm.org/en/si/
Grandezas derivadas com unidades que incorporam nomes e símbolos especiais
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Para a dignação de múltiplos e submúltiplos decimais do sistema de unidades, são usados prefixos: 
Ref: http://www.bipm.org/en/si/
Exemplo: 2.3 cm3 = 2.3 (cm)3 = 2.3 (10–2 m)3 = 2.3 × 10–6 m3
	1 cm–1 = 1 (cm)–1 = 1 (10–2 m)–1 = 102 m–1 = 100 m−1
		1 V/cm = (1 V)/(10–2 m) = 102 V/m = 100 V/m
		5000 μs−1 = 5000 (μs)−1 = 5000 (10−6 s)−1 = 5 × 109 s−1
1.2-Múltiplos e Submúltiplos
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Há muitos casos em que é necessário converter em SI unidades de um resultado numérico obtido em unidades US ou vice-versa.
Ref: http://www.bipm.org/en/si/
Exemplo: Determinar o factor de conversão de valores em lb · ft / s para valores em kg · m / s
	1 lb = 4.535 924 10-1 kg
	1 ft = 3.048 10-1 m 
	1 lb · ft/s 	= 0.453 592 4 kg × 0.3048 m/s
	= 0.138 255 0 kg · m/s
	
1.3-Conversão entre sistema de unidades
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Neste estudo é assumido que o corpo será tratado como uma partícula de massa concentrada. Esta suposição é tomada sempre que o tamanho e forma dos corpos não têm qualquer implicação sobre a solução do problema. Isto permite resolver de forma mais eficiente muitos de problemas de engenharia.
2- Estática de Partículas
2.1- Grandezas escalares e vectoriais
Na definição das grandezas escalares é suficiente indicar a quantidade ou valor e a respectiva unidade. Pelo contrário, nas grandeza vectoriais, como é o caso da força, para ficar completamente definida é necessário indicar o seu ponto de aplicação, sua magnitude, sua direcção e sentido. Refira-se que as forças que actuam sobre uma partícula têm o mesmo ponto de aplicação. A magnitude de uma força é definida pelo valor e respectiva unidade. A direcção de uma força é definida pela linha de acção e o sentido da força. A linha de acção é uma linha recta infinita ao longo da qual força actua, sendo caracterizada pelo ângulo que forma com um eixo fixo. Por fim, o sentido da força deve ser indicado por uma seta.
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A magnitude e a direcção da força resultante R de sistema de duas forças de P e Q a actuar sobre a partícula A podem ser determinadas graficamente ou por via analítica. No primeiro caso, a adição dos vectores é realizada recorrendo à regra do paralelogramo ou a regra do triangulo. A regra do paralelogramo consiste na construção de um paralelogramo com a orientação dos dois vectores (a). Como alternativa, na regra do triângulo a soma dos dois vectores é realizada transladando um vector P ao longo do vector Q fazendo coincidir a origem de P com a extremidade de Q, unindo a origem de Q com a extremidade de P obtém-se o vector resultante R (b). A subtracção de vectores é definida pela adição do respectivo vector negativo (c).
2.2- Operação com vectores
 
 
a
b
c
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2.3- Componentes rectangulares de um vector no plano
 
 
Com base na trigonometria podemos estabelecer a relação entre o vector força e as suas componentes rectangulares.
 
 
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Quando três ou mais forças complanares estão a actuar sobre uma partícula, as componentes rectangulares da sua resultante R pode ser obtido através da adição algébrica das componentes rectangulares das forças aplicadas.
2.4- Acção de várias forças sobre uma partícula
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A magnitude e direcção do vector resultante R pode ser determinado através: 
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Lei dos co-senos
Considere um triângulo ABC qualquer de lados a, b e c:
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Lei dos senos
A lei dos senos estabelece a relação entre a medida de um lado e o seno do ângulo oposto a esse lado. Para um triângulo ABC de lados a, b, c, podemos escrever.
A lei dos senos determina que a razão entre a medida de um lado e o seno do ângulo oposto é constante em um mesmo triângulo
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Exemplo: Determine o ângulo que o elemento A faz com a vertical e a magnitude da força resultante, sabendo que esta só tem componente na horizontalmente e é dirigida para a direita. 
 
Pela regra do triângulo
90º-40º=50º
90º-q
f
R
FB=6 kN
FA=8 kN
 
 
Magnitude da força resultante R
 
 
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Exemplo: Determine a força resultante do sistema de força representado.
 
 
 
 
1º Decomposição das forças nas suas componentes rectangulares
2º determinação do vector resultante R pela soma algébrica das componentes da força
3º determinação da magnitude e direcção da força resultante
 
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Uma partícula está em equilíbrio quando a resultante de todas as forças que estão a actuar é igual a zero. 
2.5- Equilíbrio de uma partícula
No entanto a análise do equilíbrio de estruturas reais requer a construção do diagrama de corpo livre (DCL), reduzindo o problema ao equilíbrio de uma partícula. Isto significativa e desenhar um diagrama da partícula representando todas as forças que sobre ela actuam. 
 
 
 
Diagrama de Corpo livre (DCL)
 
 
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Exemplo: Dois cabos são ligados no ponto C e são carregados conforme mostra a figura. Determine a tensão no cabo CA e cabo CB.
Solução: 1º Representação do diagrama de corpo livre no ponto de equilíbrio da partícula. Representação de todas as forças a actuar sobre a partícula, indicando a sua magnitude e direcção das forças. 
2º Aplicação da condição de equilíbrio estático.
Diagrama de corpo livre (DCL)
 
 
75º
C
FCB
 
 
FCA
75º
 
 
 
 
 
 
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Exemplo: Numa operação de descarga de um navio, um automóvel de 17,50 kN é suportado por cabo. Uma corda é amarrada ao cabo em A e puxada a fim de que o automóvel seja centralizado na posição desejada. O angulo entre o cabo e a vertical é de 2º, enquanto o angulo entre as corda e a horizontal é de 30º. Qual a tração nessa corda?
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2.6- Componentes rectangulares de um vector no espaço
 
 
 
A magnitude da força F pode ser determinada conhecidas as suas componentes
 
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ou ainda
 
 
 
F = F l
 
cos2qx + cos2qy + cos2qz = 1
com,
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F = F l
 
Em muitas aplicações envolvendo cabos, a direcção de uma força F pode ser definida pelas coordenadas dos dois pontos, M e N, situadas sobre a sua linha de acção. 
 
2.7- Força definida pela sua magnitude e dois pontos de sua linha de acção
 
 
em que d é a distância do ponto M ao ponto N. 
 
 
 
e
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2.8- Equilíbrio Estático
Estas equações representam as condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de uma partícula no espaço. Eles podem ser usados ​​para resolver problemas relacionados com o equilíbrio de uma partícula que não envolve mais do que três incógnitas. Para resolver esses problemas, primeiro deve desenhar um diagrama de corpo livre, representando a ação de todas as forças. Por outro lado, para problemas de equilíbrio no plano as equações que garantem as condições de equilíbrio são as seguinte, as quais permitem resolver problemas até duas incógnitas. 
 
 
 
 
Equações de equilíbrio para problemas no plano. 
Equações de equilíbrio para problemas no plano. 
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Exemplo: Um recipiente de peso P = 1165 N é suspenso por três cabos conforme mostra a figura. Determinar a tensão instalada em cada cabo.
 
1º Desenhe o diagrama dade corpo livre da partícula.
Neste deve ser representados e todas as forças a actuar sobre a partícula.
Diagrama de corpo livre (DCL)
2º Decompor cada forças nas suas componentes rectangulares. 
 
 
 
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3º Aplicação da condição de equilíbrio estático.
 
 
TAD = 516 N ; TAB = 500 N; TAC = 459 N
A resolução de um sistema de três equações escalares permite determinar as três incógnitas:
 
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Exercício 1: Um cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de uma parafuso em A. A tração no cabo é de 2500 N. Determinar:
As componentes Fx, Fy, Fz, da força que atua sobre o parafuso;
Os ângulos qx, qy, qz, que definem a força
Exercício 2: Uma placa de betão é temporariamente sustentada pelos cabos da figura. Conhecendo as trações de 4200 N no cabo AB e 6000 N no cabo AC, determine o módulo e a direção das forças aplicadas pelos cabos AB e AC na estaca A.
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Exercício 3: A tensão no cabo DBE é 385 N.
Determine as componentes da força exercida pelo cabo em D;
Determine as componentes da força exercida pelo cabo em E;
Determine as componentes da força exercida pelo cabo em B;
Exercício 4: Um cilindro de 200 kg é pendurado por meio de dois cabos, AB e AC, amarrados no topo de uma parede vertical. Uma força H, horizontal e perpedicular à parede mantém o peso na posição ilustrada. Determine a intensidade de H e a tração em cada cabo.
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Exercício 5: Um recipiente pende de um cabo único, que passa através de um anel, sem atrito, e é atado aos pontos fixos B e C. Duas forças, H=Hi e Q=Qk, são aplicadas ao anel, a fim de que o recipiente permaneça na posição ilustrada. Sabendo que o peso do recipiente é P=376 N, determine os módulos H e Q. 
Sugestão: a tração é a mesma nas partes AB e AC do cabo
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Na mecânica aplicada a maioria dos corpos são como elementos rígidos, isto é, não se deformam. No entanto, as estruturas reais não são absolutamente rígidas e deformam-se sob as cargas exteriores. Contudo, essas deformações são geralmente muito pequenas e não são relevantes para a análise do equilíbrio ou do movimento da estrutura. 
As forças que actuam sobre os corpos rígidos podem ser divididas em dois grupos: forças externas e forças internas. As forças externas representam a acção de outros elementos sobre o corpo rígido em análise. Estes são responsáveis pelo comportamento do corpo rígido, permitindo que esteja em movimento ou garantindo que permaneça em repouso. As forças internas são as forças que garantem a união das partículas que formam o corpo rígido. Se o corpo rígido é estruturalmente composto de várias elementos, as forças internas são as responsáveis pela estabilidade destas ligações.
3- Corpos rígidos: sistema equivalente de forças
3.1- Princípio de transmissibilidade e definição de forças equivalentes
O princípio da transmissibilidade define que as condições necessárias para o equilíbrio ou de movimento de um corpo rígido permanecem inalterada se uma força F que atua num determinado ponto do corpo rígido é substituído por uma força F a mesma grandeza e mesma direção, mas actuando em diferentes ponto, desde que as duas forças tenham a mesma linha de acção.
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No entanto, o princípio da transmissibilidade e o conceito de equivalente
de forças apresentam algumas limitações. Considere-se o sistema de duas forças
com a mesma magnitude, a mesma direcção, e na mesma linha de acção, mas actuando em pontos diferentes e com sentidos opostos. De acordo com o princípio de transmissibilidade, o sistema equivalente é um sistema no qual não é aplicada qualquer força. 
F’
F’
Contudo, as forças internas e as deformações produzidas pelos dois sistemas são
claramente diferente. No caso do corpo não serem absolutamente rígidos, as forças aplicadas irão provocaro aumento do seu comprimento. Embora o princípio da transmissibilidade poder ser usado livremente para determinar as condições de movimento ou de equilíbrio de corpos rígidos e das forças externas, este deve ser usado com cuidado na determinação internas e de forças e deformações.
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3.1- Produto vectorial
O produto vectorial entre dois vectores P e Q é definido como a vector V perpendicular ao plano formado pelo vector P e Q: 
 
 
 
O sentido do vector V é obtido a partir da regra da mão direita. Com a mão direita fechada, em que os dedos indicam o sentido de rotação do vector P para o vector Q, o dedo polegar indica o sentido do vector V. O produto vectorial não goza da propriedade comutativa, isto é: 
 
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3.2- Produto vectorial definido com base nas componentes rectangulares
Considere-se os vectores P e Q definidos em termos das suas componentes rectangulares: 
 
 
 
O vector resultante V do produto vectorial entre o vector P e o vector Q do determinante da matriz:
3.2- Momento de uma força em relação a um ponto
Considere-se uma força F a actuar sobre um corpo rígido no ponto de aplicação A. A posição do ponto A é definido pelo vector posição r que une o ponto de referência fixo O ao ponto A. Os vectores r e F definem um plano. O momento produzido por esta força em relação ao ponto O é um vector perpendicular ao plano definido pelo produto vectorial entre o vector posição de r e F:
 
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em que d representa a distância perpendicular a partir de O até à linha de acção do vector força F
3.3- Teorema de Varignon
 
 
A propriedade distributiva de produtos de vectoriais pode ser usado para determinar o momento da resultante de várias forças concorrentes num ponto. Considere várias forças aplicados no mesmo ponto A. O momento resultante no ponto O de várias forças simultâneas a actuar no ponto A é igual à soma dos momentos das várias forças.
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Em geral, a determinação do momento de uma força no espaço será bastante simplificadas se o vector força F e o vector posição r forem decompostos nas suas componentes rectangulares. 
3.4- Componentes rectangulares do momento de uma força
Para problemas que envolvem apenas duas dimensões, em que a força F e o vector posição pertencem ao mesmo plano Oxy. O vector momento MB é perpendicular ao plano xy ,isto é coincidente com o eixo z, sendo a sua magnitude e sentido definidos por: 
 
 
 
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Exemplo: Determine o momento que a força de 400N exerce sobre o ponto O
 
 
 
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Exercício 1: Uma força vertical de 500 kN é aplicada na extremidade de uma manivela fixada a um eixo em O. Determinar:
a) momento da força de 500 N em relação a O;
b) a intensidade da força horizontal aplicada em A que produz o mesmo momento 
em relação a O;
c) a menor força aplicada em A que produz o mesmo momento em relação a O; 
d) a distância a que uma força vertical de 1200 N deverá estar do eixo para gerar
o mesmo momento em relação a O; 
e) alguma das forças obtidas nos itens b, c e d é equivalente à força original.
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Exercício 2: Uma força vertical de 800 kN é aplicada como ilustrado. Determinar o momento da força em relação ao ponto B
Exercício 3: Uma força de 150 atua na extremidade de um alavanca de 0,90 m. Determinar o momento da força em relação ao ponto O.
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Exercício 4: Uma força de 150 N é aplicada à alavanca de controlo AB, como ilustrado. O comprimento da alavanca é igual a 0,20 m e a = 30º. Determine o momento da força em relação a B decompondo a força;
em componentes horizontal e vertical;
em componente ao longo de AB e em outra perpendicular a AB.
Exercício 5: Uma placa retangular é sustentada por suportes em A e em B e por um fio CD. Sabendo que a tração no cabo é de 200 N, determine o momento da força exercida pelo fio na placa, em relação ao ponto A
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Exercício 6: O fio AE está esticado do canto A ao canto E de uma chapa dobrada. Sabendo que a tração no fio é de 435 N, determine o momento em relação a O da força exercida pelo fio:
no canto A
no canto E
o momento da força aplicada no ponto A da chapa, em relação a cada eixo coordenado
o momento da força aplicada no ponto A da chapa em relação ao eixo OE
Determinar a distancia do ponto O ao fio AE
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3.4- Produto escalar entre dois vectores
O produto escalar entre dois vectores expresso em termos das suas componentes rectangulares. 
 
O produto escalar goza da propriedade comutativa
 
 
 
 
Aplicações: determinação do ângulo entre dois vectores e a projecção de um vector num eixo 
 
 
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3.5- Produto misto- momento numa direcção definida
 
 
O Produto misto pode ser determinado de forma expedita através do cálculo do seguinte determinante:
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Exemplo: Sabendo que a tensão no cabo AC é de 1260 N determine: a) o ângulo entre o cabo AC e a barra AB; b) a projecção em AB da força AC
O cálculo do ângulo formado entre dois vectores. Primeiro, determina-se as componentes rectangulares dos dois vectores. O cosseno do ângulo é obtido dividindo o produto escalar dos dois vectores pelo produto das suas magnitudes. 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo: Três cabos são utilizados para sustentar um recipiente, como ilustrado na figura. 
Determine o angulo formado entre os cabos AB e AD.
Determine o angulo formado entre os cabos AC e AD.
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3.6- Momento Binário
 
O momento binário é constante e independente do ponto de cálculo. A sua magnitude pode ser determinada através:
em que d é a distância na perpendicular entre as linhas de acção dos vectores força F. 
 
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Exemplo: A estrutura ACD é articulada em A e em D e é suportado por um cabo que passa por um anel em B, o qual está ligado a ganchos em G e H. Sabendo que a tensão no cabo é de 450 N, determine o momento sobre o AD diagonal da força exercida sobre a estrutura pela porção do cabo BH.
 
 
 
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Considere uma força F a actuar sobre um corpo rígido no ponto A, sendo definido pela
pelo vector posição r. Por alguma razão, preferia que a acção desta força fosse realizada no ponto O. Para obter um sistema equivalente (produza o mesmo efeito) é necessário que para além da força considerar um momento binário produzido pela força a actuar em A em relação ao ponto O. 
3.7- Redução de uma força a uma força e um momento binário
Exemplo: Duas forças paralelas de 60 N são aplicadas a uma alavanca, conforme mostra a figura. Determine o momento binário equivalente. 
M
 
 
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Exercício 1: Umaforça de 1156 N é aplicada ao perfil de aço da figura. Substitua a força por um sistema força-binário equivalente aplicado ao centro C da secção.
Exercício 2: O telhado de uma construção está submetido, por causa do vento, a um carregamento como ilustrado. Determine:
O sistema força-binário equivalente em D.
A resultante do carregamento e sua linha de ação.
Exercício 3: Uma laje maciça retangular suporta a carga de quatro pilares, como ilustrado. Determine o módulo, a direção e o ponto de aplicação da resultante das quatro cargas.
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Diz-se que um corpo rígido está em equilíbrio na condição das forças externas que actuam sobre esse corpo serem representado por um sistema equivalente em que as forças e os momentos são nulos.
4- Equilíbrio de corpos rígidos
Se decompusermos cada força e cada momento em suas componentes rectangulares. As condições necessárias e suficientes para garantir o equilíbrio de um corpo rígido são expressos por seis equações escalares: 
 
 
 
Estas equações podem ser utilizadas para determinar até 6 incógnitas de um problema, as forças que actuam sobre um corpo rígido ou as reacções nos seus apoios. Para escrever as equações de equilíbrio para um corpo rígido é essencial identificar primeiro todas as forças que actuam sobre o corpo e depois para desenhar o diagrama de corpo livre.
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4.1- Diagrama de corpo livre
Para a resolução de um problema que envolve o equilíbrio de um corpo rígido, é fundamental considerar todas as forças que actuam sobre o corpo. Assim, no primeiro passo deve proceder-se à construção do diagrama de corpo livre, representando o corpo em análise e as forças que actuam sobre ele. 
Todas as forças externas devem ser indicadas no diagrama de corpo livre.
Essas forças representam as acções exercidas sobre o corpo livre no espaço, 
pelo chão e pelos elementos que retirados do diagrama. O peso do corpo livre deve também ser incluída como forças externas.
F1
F2
F3
R1
R2
R3
P1
P2
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4.1- Reações nos suportes e nas conexões de estruturas bidimensionais
As reacções exercidas sobre a estrutura bidimensional podem ser divididas em três grupos correspondentes aos três tipos de suportes ou conexões:
Reacções equivalentes a uma força com linha de acção conhecida. Suportes e conexões causando reacções deste tipo incluem rolos, balancins, superfícies sem atrito, conexões curtas e cabos, colares nas hastes sem atrito, e pinos sem atrito em ranhuras. cada um de estes apoios e ligações podem impedir o movimento de uma única direcção. (1 incógnita)
Reacções equivalentes a uma força de direcção e magnitude desconhecidas. Suportes e conexões causando reacções deste tipo incluem pinos sem atrito em buracos embutidos, dobradiças e 
superfícies rugosas. Eles impedem a translação do corpo em todos as direcções. (2 incógnitas)
Reacções equivalentes a uma força e a um binário. Estas reacções são causados ​​por apoio fixos, os quais se opõem a qualquer movimento do corpo livre e, portanto, restringem-no completamente. (3 incógnitas).
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CONDIÇÕES DE APOIO 
Pormenor de apoio simples
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CONDIÇÕES DE APOIO 
Exemplos de apoios duplo
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CONDIÇÕES DE APOIO 
Pormenor do apoio encastrado
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4.2- Equilíbrio de corpos rígidos a duas dimensões
As condições estabelecidas para o equilíbrio de um corpo rígido no espaço tornam-se consideravelmente mais simples para o caso de uma estrutura bidimensional. No caso do equilíbrio de estruturas bidimensionais, cada uma das reacções exercidas sobre a estrutura pode envolver um, dois, ou três incógnitas, dependendo do tipo de apoio. Escolhendo os eixos x e y para estar no mesmo plano da estrutura, temos:
SFx = 0 SMA = 0 SMB = 0 
SFx = 0 SFy = 0 SMA = 0 
Embora as três equações de equilíbrio não possam ser aumentadas por adição de equações, qualquer uma destas pode ser substituído por outro equação. Por conseguinte, de um sistema alternativo de equações de equilíbrio.
onde o ponto B é escolhido de tal maneira que a linha AB não é paralelo ao eixo y, ou
SMA = 0 SMB = 0 SMC = 0 
onde os pontos A, B, e C não se podem situar sobre uma linha recta
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4.3- Equilíbrio tridimensional de corpos rígidos
A condição de equilíbrio tridimensional de corpos rígidos envolve de seis equações escalares, três forças e três momentos. 
Estas equações permitem determinar até seis incógnitas, que de modo geral, representam reacções nos apoios ou ligações. Na maior parte dos problemas das equações escalares serão mais facilmente obtidas se expressarmos as condições de equilíbrio do corpo rígido na forma vectorial.
 
 
 
Através da escolha adequada do ponto para cálculo dos momentos é possível eliminar até 3 incógnitas da equação. 
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Exercício proposto: A estrutura tridimensional ABEF representada na figura é apoiada por rolamentos em C e D. Sabendo que segmento AB tem de comprimento 250 [mm] e que o suporte de rolamento D não produz qualquer reacção axial, determine: 
A tensão no cabo AH;
As reacções nos rolamentos;
Exercício proposto: A estrutura tridimensional representada na figura tem um cursor A que permite deslizar e rodar ao longo do eixo Y. Este tipo de apoio em A não permite a translação e rotação nos eixos X e Z. Para a condição de carregamento, determine a tensão em cada cabo e a reacção no apoio em A.
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Exercício proposto: Um peso 120N é suspenso por um cabo que está enrolada em torno de um tambor homogéneo de peso 50N. O veio ligado ao tambor é suportado pelos rolamentos A e B, sendo que o rolamento B não suporta cargas axiais. O tambor é mantido em equilíbrio pelo vertical pela força P actuando sobre o punho da manivela. Considerando que o veio e a manivela têm massa desprezável e que as dimensão estão em cm, determine o valor da carga P e as reacções em A e B.
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4.4- Classificação dos problemas
Uma vez que qualquer conjunto de equações de equilíbrio pode ser resolvido por apenas três incógnitas, as reacções nos apoios de uma estrutura bidimensional rígida não pode ser completamente determinada, se envolvem mais do que três incógnitas, eles são referidos como sendo estaticamente indeterminado.
Por outro lado, se as reacções envolvem menos do que três incógnitas, o equilíbrio não serão mantidas sob condições de carga geral, a estrutura é dito para ser parcialmente restringido. O facto de que as reacções envolvem exactamente três incógnitas há garantia de que as equações de equilíbrio pode ser resolvida para todos os três incógnitas.
Se os suportes são dispostos de modo a que as reacções são quer em paralelo, as reacções são estaticamente indeterminado, e a estrutura é dito ser indevidamente restringido.
Estaticamente indeterminado
Parcialmente restringido
Equilíbrio estático
Indevidamente restringido
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4.4- Reacções nos apoios e ligações para estruturas tridimensional
As reacções sobre uma estrutura tridimensional varia desde única força de direcção conhecido exercida por uma superfíciede atrito até um sistema de força-binário criado por suporte fixo. Por conseguinte, em problemas que envolvem o equilíbrio de uma estrutura tridimensional, podem existir entre um e seis incógnitas associadas com a reacção em cada suporte ou de ligação.
Uma maneira simples de determinar o tipo de reacção correspondente a um suporte ou uma ligação e dado o número de incógnitas envolvido é descobrir qual dos seis movimentos fundamentais (translação nas direcções x, y, z, e de rotação sobre os eixos x, y, z) , identificando quais os movimentos que são impedidos.
Suportes de esferas, superfícies sem atrito e os cabos são exemplo de restrição de translação num direcção resultando numa única força, cuja linha de acção é conhecida.
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ANÁLISE DA ESTATIA DE UMA ESTRUTURA
Estrutura isostáticas – a determinação das forças de ligação exteriores ou interiores de uma estrutura, pode ser obtida através das equações da estática. 
Estruturas hiperstáticas – a determinação das forças de ligação só pode ser feita através do conhecimento das leis de comportamento mecânico do material de que constitui a estrutura
Por aqui se vê a importância da análise previa da estatia de uma estrutura
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ANÁLISE DA ESTATIA DE UMA ESTRUTURA 
Estatia exterior
A análise da estatia exterior de uma estrutura faz-se considerando-a como um corpo rígido e averiguando se as ligações ao exterior são em numero estritamente necessário (exteriormente isostática), insuficiente (exteriormente hipoestática) ou superabundante (exteriormente hiperestática). 
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O corpo rígido tem três graus de liberdade no plano (translações segundo X e Y e rotação). Para o imobilizar completamente são necessárias reacções (forças de ligação ao exterior).
O número de reacções necessárias é precisamente igual ao número das equações de equilíbrio.
Neste caso as reacções são estaticamente determinadas.
A estrutura diz-se exteriormente isostática.
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A estrutura apresentada é suportada por 2 apoios duplos a que correspondem 4 reacções. Uma vez que só dispomos de três equações de equilíbrio, trata-se de um sistema de 3 equações com 4 incógnitas, logo, indeterminado.
Neste caso as reacções são estaticamente indeterminadas.
A estrutura diz-se exteriormente hiperstática.
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A estrutura apresentada é suportada por 2 apoios simples a que correspondem 2 reacções. Como existem menos incógnitas que equações de equilíbrio, uma dessas equações poderá não ser satisfeita. A treliça pode mover-se livremente na direcção horizontal.
Neste caso a treliça tem ligações insuficientes.
A estrutura diz-se exteriormente hipoestática ou um mecanismo.
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As estrutura apresentadas são suportadas por um número suficiente de ligações (3 e 4). Embora o número de incógnitas seja igual ou superior ao número de equações, as treliças podem mover-se.
Neste caso as treliças têm ligações mal distribuídas.
As estruturas dizem-se ineficazmente vinculada.
ANÁLISE DA ESTATIA DE UMA ESTRUTURA 
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Analise os corpos rígidos planos indicados, quanto às suas ligações ao exterior e indique a respetiva estatia. Verifique se o equilíbrio é possível ou não para os sistemas de cargas indicados.
ANÁLISE DA ESTATIA DE UMA ESTRUTURA 
P (Vertical)
P 
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ANÁLISE DA ESTATIA DE UMA ESTRUTURA 
Analise a estatia exterior, interior e global das estruturas planas seguintes
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5- Análise de Estruturas
A análise do equilíbrio de estruturas constituídas por várias elementos de ligação exigem a determinação não só das forças externas que actuam sobre a estrutura, mas também das forças de ligação as várias partes da estrutura. Por se tratarem de forças entre os elementos de ligação da estrutura são designadas de forças internas.
Estes tipo de estruturas estão dividias em três grandes categorias, a saber:
As treliças são estruturas estáticas projectadas para suportar cargas nos nós. Estas são compostas exclusivamente de barras esbeltas ligadas na sua extremidade por nós. Estes elementos só têm a capacidade de suportar cargas axiais de tracção ou compressão.
As estruturas em geral são elementos estáticos concebidas para suportar cargas. No entanto, este possui elementos capazes de suportar várias forças e momentos concentrados ou distribuídos. 
As máquinas são concebidas para transmitir forças e alterar a direcção e a magnitude da força, possui elementos móveis.
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5.1- Treliças
As treliças é um dos principais tipos de estruturas em engenharia. Esta constitui uma solução prática e económica para muitas situações de construção em engenharia, especialmente no projecto de pontes e edifícios. Uma treliça é formada por barras ligadas entre si nas extremidades, formando nós. Em geral, as barras são elementos esbeltos que só têm a capacidade de suportar cargas axiais. Com efeito, as cargas têm de ser aplicadas nos nós da estrutura. As estruturas em treliça são concebidas para serem rígidas, isto é, não irá deformar-se consideravelmente ou colapsar sob uma pequena carga. 
A treliça mais simples que pode ser construída é formada por três barras ligadas na sua extremidade, formando um triângulo. Estruturas mais complexas são obtidas através da replicação da treliça simples. Uma nova treliça é criada a partir adição de duas barras. Para treliças bidimensional existe uma relação entre o número de barras m e o número de nós n que garante a estabilidade da treliça:
 
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5.2- Análise das Treliças
As forças nas barras de uma treliça, forças internas, podem ser determinados recorrendo a dois métodos : método dos nós e método das secções. Estes são métodos algébricos que permitem a determinação das forças em treliças de pequena dimensão. Para treliças de maior complexidade existem métodos mais eficientes: Graphic methods e HENNEBERG´S method. Porém, estes são serão aqui abordados. 
Resumidamente, a determinação das forças internas de uma treliça pode ser esquematizado em 4 fases. Na primeira fase é desenhado o diagrama de corpo livre. A seguir são determinadas as reacções nos apoios. Na fase 3 é seleccionado o método algébrico: método dos nós ou método das secções. Por fim, são determinados a força a actuar em cada barra e identificado o seu estado (tração ou compressão). 
A condição necessário, mas não suficiente, para verificar se a estrutura é estaticamente determinada, estável e completamente restringida é definida pela equação: 
 
em m é o número de barras, n número de nós e r o número de incógnitas ou reacções nos apoios
Fase1
Diagrama de corpo livre
Fase 2
Determinação das reacções
Fase 3
Selecção e aplicação do método algébrico
Fase 4
Determinação do estado final da barra.
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5.3- Método dos nós
Uma vez que a treliça está em equilíbrio, cada nó tem de estar em equilíbrio. O facto do nó estar em equilíbrio pode ser expresso em termos da construção do diagrama de corpo livre e da escrita das equações deequilíbrio. Para treliças bidimensionais as equações que estabelecem o equilíbrio são duas, o que permite determinar até duas incógnitas. No caso de treliças tridimensionais, as equações de equilíbrio passam a ser três, uma por cada eixo, permitindo resolver até 3 incógnitas. 
 
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1. Construção do diagrama de corpo livre e determinação das reacções nos apoios.
Exercício: Usando o método dos nós, determine a força em barra e o seu estado;
S Fy = 0: Ay - (4)(12.5 kN) = 0 Ay = 50 kN
S Fx = 0: Ax - E = 0 Ax= 60 kN
S MA = 0: E(2.5 m) - (12.5 kN)(2 m) - (12.5 kN)(4 m)- (12.5 kN)(6 m) = 0 
			 E = 60 kN
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3. Em seguida, identifique o nó que apresente duas barras cuja a força é desconhecida. 
Joint D
S Fy = 0: FGD - 12.5 kN = 0 
2.5
6.5
FGD = 32.5 kN (C)
6
6.5
S Fx = 0: FGD - FCD = 0
FCD = 30 kN (T)
2. Identifique o nó com apenas dois membros e desenhe o diagrama de corpo livre do nó. Use este diagrama de corpo livre de determinar as forças nas duas barras. Admitindo que todos as barras estão à tracção, se a resposta obtida a partir SFX = 0 e SFY =0 é positiva, o elemento está à tracção. Uma força negativa significa que a barra está à compressão.
Joint G
S F = 0: FCG = 0
S F = 0: FFG - 32.5 kN = 0 
FFG = 32.5 kN (C)
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Joint C
S Fy = 0: - 12.5 kN - FCF sin b = 0  - 12.5 kN - FCF sin 39.81o = 0
Fx = 0: 30 kN - FCF cos b - FBC = 0 
 30 kN - (-19.53) cos 39.81o - FBC = 0
FBC = 45.0 kN (T)
FCF = 19.53 kN (C)
Joint F
S Fx = 0: - FEF - (32.5 kN) - FCF cos b = 0
6
6.5
6
6.5
FEF = -32.5 kN - ( ) (19.53) cos 39.81o
6.5
6
FEF = 48.8 kN (C)
S Fy = 0: FBF - FEF - (32.5 kN) - (19.53) sin b = 0 
2.5
6.5
2.5
6.5
FBF - (-48.8 kN) - 12.5 kN - 12.5 kN = 0 
2.5
6.5
FBF = 6.25 kN (T)
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S Fy = 0: -12.5 kN -6.25 kN - FBE sin 51.34o = 0
FBE = 24.0 kN (C )
S Fx = 0: 45.0 kN - FAB + (24.0 kN) cos 51.34o = 0
FAB = 60.0 kN (T)
Joint B
Joint E
S Fy = 0: FAE - (24 kN) sin 51.34o - (48.75 kN) = 0 
2.5
6.5
FAE = 37.5 kN ( T )
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5.4- Método das secções
O método dos nós é mais eficaz quando se pretende determinar as forças em todas as barras de uma treliça. No entanto, se pretender determinar em apenas numa barra ou em poucas barras, o método de secções, é mais eficiente
A aplicação do método das secções é realizado nos 4 passos: 
Desenhar o diagrama de corpo livre da treliça completa e usar esse diagrama para determinar as reacções nos apoios.
Faça passar uma secção por três barras da treliça, as quais se pretende determinar a força. De seguida a ter retirado as barras, obtém-se duas partes da treliça.
Seleccione uma das partes da treliça e construa o diagrama de corpo livre. Este diagrama deve incluir as forças externas aplicadas, bem como, as forças exercidas sobre ele por parte das barras que foram removidas.
Em seguida, escreva as três equações de equilíbrio e determine a força e estado das três barras removidas.
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1. Construção do diagrama de corpo livre e determinação das reacções nos apoios.
Exercício: O telhado em treliça é carregado, conforme mostra a figura. A partir do método das secções, determine a força nas barras FH, FI, e GI.
S Fx = 0: Ax = 0
Ay = L = (18kN) = 9 kN
1
2
2. Faça passar uma secção por três barras da treliça, as quais pretende determinar a força. 
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3. Seleccione uma das partes da treliça e construa o diagrama de corpo livre. Este diagrama deve incluir as forças externas aplicadas, bem como, as forças exercidas sobre ele por parte das barras que foram removidas.
4. Em seguida, escreva as três equações de equilíbrio e determine a força e estado das três barras removidas.
S MI = 0 
FFH = -10.0 kN (C)
S ML = 0
FFI sin 66.04o(6 m) = 27 kN-m 
FFI = 4.92 kN ( T )
S MF = 0 
-FGI (6.75 m) - (3 kN)(3 m) - (3 kN)(6 m)- (1.5 kN)(9 m) + (9 N)(9 m) = 0 
FGI (6.75 m) = +40.5 kN-m 
FGI = 6.00 kN ( T )
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Exercícios propostos: Considere as estruturas reticuladas representada na figura. Determine as reações nos apoios e a força instalada em cada barra, indicando o seu estado. 
Exercício proposto: Considere a estrutura reticulada representada na figura. Determine a força instalada no elemento EF, indicando o seu estado
b)
a)
Exercício proposto: Considere a estrutura reticulada representada na figura. Determine a força instalada e o despectivo estado nos elementos DF, DE e CE.
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5.5- Estruturas e máquinas 
Nas estruturas existe pelo menos um dos elementos que suporta múltiplas forças, isto é, um elemento que suporta três ou mais forças. Estas forças não são em geral dirigida ao longo dos elementos, a sua direcção é desconhecida. Por isso, nos pontos de ligação deve ser representada por duas componentes.
Metodologia para a resolução de problemas que envolvem elementos estruturais com três ou mais forças:
Construa o diagrama de corpo livre de toda estrutura. Use este diagrama para determinar o número máximo de reacções nos apoios.
Desmembre a estrutura e construa o diagrama de corpo livre de cada parte.
Considere primeiro, os elementos estruturais com duas forças, aplicadas com sentido oposto a cada elemento. Se este elemento for uma barra, as forças deverão ter a direcção da barra. Caso não seja possível definir a direcção desta força, deverá ser assumido o estado de tração da barra. 
4. Em seguida, considere os elementos com três ou mais forças. Para cada um destes elementos deverá ser representado todas as forças, incluindo forças aplicadas, reacções e forças de ligação internas. Na ligação entre diferentes elementos deverá ser utilizado as componentes horizontal e vertical, para representar as forças internas em cada ponto de ligação. 
5. As forças internas deverão ser determinadas, assim como, todas as reacções.
O diagrama de corpo livre de cada elemento estrutural permite escrever três equações de 
equilíbrio. Fx=0, Fy=0, M= 0
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Estruturas e máquinas 
No entanto há estruturas que estrarão em colapso se
separada do seu suporte; tais estruturas não podem ser consideradas como rígidas. Considere-se, por exemplo, a estrutura representada na figura é formada por dois membros de AC e BC que suportam as cargas P e Q nos seus pontos médios. Estes por sua vez, estão apoiados nos pontos A e B e ligados entre si em C. Se for removido um suporte a estrutura não é capaz de manter a forma, devendo por consequência ser analisada como duas partes distintas rígidas AC e BC.
Como o problema possui como incógnitas 4 reações e de forma a determinar as forças de ligação devem ser construídos os diagramas de corpo livre de toda a estrutura e de um dos membros ou, em alternativa das duas partes AC e BC. Como resultado do desmembrar da estrutura vão aparecer mais 2 incógnitas, perfazendo um total de 6 incógnitas. Todavia, estas podem ser determinadas através da resolução das 6 equações construídas através dos dois diagramas de corpo livre, 3 por cada diagrama. 
Uma vez que os membros são possuem várias forças não alinhadas com os pontos de apoio,as reações nos apoios A e B e as forças de ligação em C deverão ser representadas por duas componentes. De acordo com a terceiro lei de Newton, as componentes da força exercida pelo elemento BC em no elemento AC e os componentes da força exercida pela parte AC na BC deverá ser representado por vetores com a mesma magnitude, mesma direção mas sentidos opostos.
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1. Construção do diagrama de corpo livre de toda e de parte da estrutura.
Exercício: Determine as componentes rectangulares das reacções nos apoios A e B sabendo que a carga de 267 [N] é aplicado conforme está representado na figura;
267
RAx
RAy
RBx
RBy
RBx
RBy
RCx
RCy
RAx=RBx=0; RAy=-213 [N], RBy=480,6 [N].
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1. Desmembrar a estrutura e construir o DCL de cada elemento.
Exercício: Um tubo de 50 mm de diâmetro está fixo por chave Stillson. Os elementos da chave AB e DE da chave são rigidamente ligados uns aos outros através do elemento CF e por via de um pino em D. Admitindo que não há escorregamento entre o tubo e a chave, determine as componentes das forças exercidas sobre o tubo em A e em C
 Ax= 4.5 Ay
Dy= Ay 
Dx= Ax= 4.5 Dy (1) 
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1. Primeiro, considere os elementos com duas forças. Aplicar forças iguais e opostas a cada um de dois elementos
Dy= Ay 
Dx= Ax= 4.5 Dy (1) 
S MC = 0: Dx(20 mm) - Dy(40 mm) - (500 N)(440 mm) = 0
4.5Dy(20) - Dy(40) - 220 x103= 0
Dy = 4400 N = 4.4 kN
Dx= 4.5 Dy = 19.8 kN 
S Fx = 0: Cx - 19.8 kN = 0 Cx = 19.8 kN 
S Fy = 0: Cy - 4.4 kN -0.5 kN = 0 Cy = 4.9 kN
Substituindo na equação 1, obtém-se:
Ax = Dx = 19.8 kN Ay = Dy = 4.4 kN
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4.4 kN
19.8 kN
19.8 kN
4.9 kN
As forças provocadas pela chave no tubo são as representadas. Estas forças são iguais mas com o sentido opostas à reacção provocada pelo tubo sobre a chave.
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Exercícios propostos: Sabendo que a polia tem um raio de 50 mm, determine as
componentes das reações em B e E.
Exercício proposto: Para a estrutura representada, constituída por três elementos estruturais de massa desprezável, determine as componentes das reações em A e D.
Exercício proposto: A estrutura representada é constituída por três elementos estruturais de massa desprezável, ligados por pinos. Determine as reações em A e todas as forças que agem no elemento DEF.
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6- Forças distribuídas- centroide e centro de gravidade
O movimento de um ponto do corpo é caracterizado partindo do conhecimento do movimento do seu centro de massa ( centro de gravidade). O centro de massa de um corpo é o ponto de equilíbrio de momentos estático das forças gravitacionais e onde se admite estar concentrado toda massa do corpo. Com efeito, o movimento do centro de massa pode ser estudado como se fosse um ponto material de massa igual ao do corpo.
6.1 – Centro de massa
O Peso de um corpo resulta da acção de forças gravitacionais paralelas e constantes que atuam sobre cada uma das partículas que constituem o corpo. No entanto, estas podem ser substituídas por uma força equivalente a actuar no centro de gravidade ou centro de massa.
x
y
z
o
P
dm
G
s
O vector de posição do centro de massa é definido pelo integral estendido a todo o domínio s do corpo
As coordenadas do centro de massa G,
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O vector posição do centro de massa,
Centro de massa de um sistema de partículas
As coordenadas do centro de gravidade do conjunto de partículas,
 
 
 
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Massas específicas
Distribuição volúmica de massa
Distribuição superficial de massa
Dm
Dv
P
Dm
Ds
Massa volúmica média
Massa superficial média
Massa específica volúmica
Massa específica superficial
r tem unidades [ML-3], no sistema internacional de unidades é kg/m3
s tem unidades [ML-2], no sistema internacional de unidades é kg/m2
Distribuição linear de massa
Dl
Dm
Massa linear média
Massa específica linear
b tem unidades [ML-1], no sistema internacional de unidades é kg/m
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Para o caso do corpo com massa específica constante, o corpo diz-se homogéneo. A posição do centro de massa só depende da geometria do corpo e é coincidente com o centro geométrico, o qual se designa por centroide. Assim, as coordenadas do centro de massa de um corpo escreve-se:
volumes
Superfícies
Linhas
6.1 – Distribuição homogénea de massa- centroide
x
y
dV
c
V
x
y
yG
xG
c
A
o
dA
x
y
x
y
c
o
dL
x
y
yG
xG
L
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A linha que divide uma superfície em duas partes iguais, em que uma parte é o espelho da outra, é designado de eixo de simetria. Isto é, um qualquer ponto P pertencente a uma das partes tem o correspondente ponto P’ situado na perpendicular ao eixo de simetria. 
Eixo de simetria em superfícies
A posição do centróide de uma superfície localiza-se sempre sobre o eixo de simetria. Quando a superfície possui dois eixos de simetria, a posição do centróide C encontra-se na intersecção dos dois eixos. 
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Exercício: Determine o centro de massa do elemento representado na figura. Considere que o corpo é homogéneo
As coordenadas x e y do centro de massa será,
Como o corpo é homogéneo
Ou ainda, as coordenadas do centro de massa através da posição do centróide da superfície,
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Superfícies compostas
O centro geométrico em superfícies de forma complexa é obtido dividindo a sua superfície em geometria mais simples, sobre as quais conhece-se o centro o centro geométrico.
Tabela: As coordenadas x e y do centroide de formas mais comuns
 
 
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Determine:
a) O centro geométrico da área representada.
b) O centro de massa da área representada, sabendo que o peso específico dos materiais é γ1=γ2=20 kN/m3 e γ3=γ4=15 kN/m3.
Determine o centro geométrico das áreas planas representadas.
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O centro de gravidade em superfícies com geometria complexa é obtido dividindo a sua superfície em geometria mais simples, sobre as quais se conhece o centro de geométrico.
6.2 – Centroide de superfícies compostas
Exemplo: A determinação da posição do centroide da seguinte superfície é realizada através da sua decomposição em geometrias simples
A posição do centroide da superfície,
Os momentos estáticos da superfície,
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6.3 – Teoremas de Pappus-Guldinus
Teorema I- A área de uma superfície de revolução é igual ao produto do comprimento da curva geratriz pelo caminho percorrido pelo centroide da curva durante o movimento de rotação que gera a superfície.
O caminho percorrido pelo centroide,
A área da superfície,
Teorema II- O volume de um corpo de revolução é igual ao produto da área da superfície geratriz pelo caminho percorrido pelo centroide da superfície durante o movimento de rotação que gera a corpo.
Assim, o volumetotal gerado por rotação superfície A em torno do eixo x será:
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Centróide de um quarto de círculo
O volume de uma esfera é o dobro do produto da área de um quarto de círculo pelo caminho percorrido pelo seu centroide.
yG
xG
x
y
r
Considerando a rotação do quarto de círculo em torno do eixo x e y obtém-se:
Centroide de um arco de circunferência
Para os eixos x e y obtém-se, respectivamente:
A superfície da esfera é o dobro do produto do comprimento do arco pelo caminho percorrido pelo centroide do arco de circunferência.
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Volumes compostos
O centro geométrico em corpos de geometria complexa é obtido através da divisão da geometria em formas simples. 
 
 
 
Na tabela seguinte estão indicadas as características de algumas dessas formas.
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98
O centro de gravidade nos corpos de geometria complexa é obtido através da divisão da geometria em formas simples
6.3 – Centroide de corpos compostos
Os momentos estáticos
As coordenadas do vector posição do centroide será então,
0.15m
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Localize o baricentro da peça de aço da figura. Os dois furos têm 25mm de diâmetro.
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100
Nos casos anteriores, de corpos homogéneos, as forças distribuídas são proporcionais às áreas e volumes elementares. Com efeito, a sua resultante R podia ser obtida somando as áreas ou volumes. Quanto às forças distribuídas DF, cuja intensidade da força por unidade superfície DF/DA varia linearmente com a distância ao eixo x, a intensidade da força resultante R é definida pelo momento estático e a sua localização é dado pelo momento de segunda ordem ou do momento de inércia IX. 
7 – Momentos de segunda ordem ou momentos de inércia
momento de segunda ordem ou momento de inércia da secção em relação a um eixo. Neste caso, o momento de inércia em relação ao eixo x é representado por Ix e escreve-se:
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101
7 – Momentos de segunda ordem ou momentos de inércia
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102
7.1 – Cálculo do momento de inércia de uma superfícies por integração
O momento de segunda ordem ou momento de uma superfície formada pelo plano xoy é decomposto no momento de inércia IX da superfície da área A em relação ao eixo x, e no momento de inércia IY da superfície da área A em relação ao eixo y, e escreve-se:
Exemplo: O momento de inércia de um semicírculo em relação a cada um dos eixos de coordenadas 
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7.2 – Momento Polar de Inércia
O momento polar de inércia está relacionado com problemas de torção de barras e rotação de lajes. O momento polar de inércia Jo de uma qualquer superfície em relação ao polo O, definir-se na forma de um integral e escreve-se:
sendo r a distância da superfície elementar dA ao polo O. 
O momento polar de inércia da secção transversal em vigas representa a capacidade da viga resistir torção. Isto é, quanto maior é momento polar de inércia maior é a sua resistência à torção.
O momento polar de inércia de uma dada superfície pode, igualmente, ser calculada a partir dos momentos de inércia Ix e Iy, que são, respectivamente, o momento de inércia em relação ao eixo x e momento de inércia em relação ao eixo y. Com efeito, a partir da relação matemática r2=x2+y2 o momento polar de inércia em relação ao polo O escreve-se agora:
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7.3– Raio de Giração
O raio de giração de uma superfície A, define-se como a distância a que se colocaria uma faixa estreita e paralela de superfície A para que, relativamente a um eixo paralelo, produza um momento de inércia equivalente, 
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7.4– Teorema dos eixos paralelos ou teorema de Steiner 
O teorema de eixos paralelos ou teorema de Steiner enuncia que o momento de inércia de uma superfície em relação a um eixo AA’ é igual ao momento de inércia da superfície em relação ao eixo baricêntrico BB’ paralelo a AA’ mais o produto da área A pelo quadrado da distância d entre os dois eixos.
A partir da relação entre distâncias y=h+z, o momento de inércia da superfície em relação ao eixo AA’, IAA’, pode escrever-se: 
O primeiro integral representa a área total da superfície. O segundo, representa momento estático em relação ao eixo baricentro BB’, por definição tem de ser nulo. Por último, o momento de inércia da superfície em relação ao eixo baricentro BB’. Com efeito, o momento de inércia da superfície A em relação ao eixo AA’ rescreve-se: 
Jacob Steiner (1796-1863)
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7.5– Teorema dos eixos paralelos ou teorema de Steiner 
A partir da análise da expressão anterior, verifica-se que a relação do momento de inércia de uma superfície entre dois eixos paralelos é dado pelo segundo termo da expressão, em que h é a distância entre os dois eixos e A é a área da superfície. 
A partir desta definição pode igualmente definir-se a relação entre o raio de giração de dois eixos paralelos. Considerando a expressão I=i2A, a relação entre dois raios de giração pode agora escrever-se:
Aplicando o mesmo teorema ao estudo do momento de inércia polar Jo de uma superfície relativamente ao ponto O, com JC o momento de inércia polar da mesma superfície em relação ao seu centroide C. A relação entre os momentos polares de inércia pode escrever-se:
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O momento de inércia de um rectângulo em relação aos eixos do baricentro, 
Aplicação do Teorema dos eixos paralelos
O momento de inércia de um rectângulo em relação aos eixos Ox1y1, 
O momento de inércia de superfícies compostas
Na tabela seguinte representa-se o momento de inércia de algumas das superfícies mais comuns; 
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7.6– O momento de inércia de superfícies compostas
Exemplo: Determinação do momento de inércia da superfície composta em relação ao eixo x y
x3
y3
Elemento 3
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7.7– O momento de inércia de superfícies compostas
O momento de inércia de cada elemento em relação ao eixo global X e Y é determinado por aplicação do teorema de Steiner.
O momento de inércia da superfície composta é obtida através da soma algébrica dos momentos de inércia de cada elemento,
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7.8– Produto de Inércia de superfícies
O produto de inércia de uma superfície A relativamente ao eixos de coordenadas XOY, obtém-se multiplicando as coordenadas x e y pela superfície elementar dA integrando ao longo do seu domínio. Ao contrário do momento de inércia Ix e Iy, o produto de inércia pode tomar valores positivos ou negativos. Este representa a distribuição de superfície relativamente ao sistema de eixos 
Para o caso dos eixos x e y coincidirem com os eixos de simetria da superfície, o produto de inércia é nulo. Isto é, o produto de inércia devido à uma superfície elementar dA é anulado pelo produto de inércia da superfície elementar simétrica dA’. 
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7.9– Teorema dos eixos paralelos- Produto de inércia
Considere-se o caso de um sistemas de eixos xocyo paralelos a x1Oy1 e coincidentes com o baricentro da superfície. Neste caso, o produto de inércia de uma superfície elementar dA relativamente ao sistema de eixos x1Oy1 é definido pela seguinte relação algébrica, x=h+l e Y=z+y. Por substituição destas relações na expressão do produto de inércia obtém-se:
O primeiro integral representa o produto de inércia da superfície relativamente aos eixos do baricentro PX1Y1. O segundo e terceiro integrais representam o momento estático relativamente aos eixos baricentros, que são nulos. Por fim, o último integral corresponde à área total da superfície. Deste modo o produto de inércia da superfície relativamente ao eixo x1Oy1 toma a forma:
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Perfil HE 180B
Determine para cada figura a matriz de inércia das secções representadas relativamente ao sistema 
de eixos assinalado (todas as dimensões em milímetros). 
 
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7.10– Eixos principais de inércia e momentos principais de inércia
Considere-se a superfície representada na figura, cujos momentos e produtos de inércia relativamente ao eixo Oxy são designados, respectivamente, por Ix , Iy e Pxy. 
Os momentos de inércia e o produto de inércia definidos relativamente a um eixo Ox’y’ que sofreu uma rotação de q segundo z relativamente ao eixo Oxy. Recorrendo às relações geométricas, podemos definir os momentos de inércia e o produto de inércia relativamente ao novo sistema de eixo, o qual toma a forma:
Estas expressões correspondem as equações paramétricas duma circunferência centrada Iméd. e de raio R, que relaciona os momentos de inércia com os produtos de inércia relativamente a um fixo que passa no ponto O. Este é designado de Círculo de Mohr para momentos e produtos de inércia.
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7.11– Círculo de Mohr para momentos e produtos de inércia
O círculo de Mohr para momentos e produtos de inércia é um método gráfico que permite relacionar o momento de inércia com o produto de inércia para um sistema de eixos que roda no ponto fixo O. Para a representação do círculo de Mohr é necessário ter o conhecimento prévio do momento de inércia, Ix e Iy, e produto de inércia Pxy relativamente a um sistema de eixos xoy. Estes são representados num diagrama cujo eixo horizontal e eixo vertical representa, respectivamente, o momento de inércia e ao produto de inércia. O ponto 1, assinalado na figura, é determinado a partir das coordenadas definidas pelo momento de inércia Ix e o produto de inércia Pxy. O ponto 2 é definido pelo momento de inércia Iy e pelo produto de inércia –Pxy. Quando o produto de inércia é positivo, o ponto 1 localiza-se a cima do eixo horizontal e o ponto 2 a baixo do eixo horizontal, Quando o produto de inércia é negativo, o ponto 1 localiza-se a baixo e o ponto 2 a cima do eixo horizontal. 
As abcissas a e b representam, respectivamente, os momentos principais de inércia, Imax e Imin. O ângulo qm é a rotação angular necessária aplicar aos eixos xoy da peça, de forma a obter as correspondes direcções principais de inércia. Na representação do círculo de Mohr o ângulo em relação aos eixos principais de inércia apresenta o dobro do valor e é definido a partir da seguinte relação trigonométrica:
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Construção do círculo de Mohr
Exercício: Determine as direcções e os momentos principais de inércia da secção representada na figura, dado que: 
Ix=7,24 x 106 mm4; Iy=2.61 x 106 mm4 ; Pxy=-2.54 x 106 mm4
Os momentos principais de inércia podem ser obtidos recorrendo à relação geométrica que define o círculo de Mohr,
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7.12– Momento de inércia de massas
Considere-se um corpo de massa total M em rotação em torno de um eixo imaginário AA’. O corpo pode ser considerado como formado por um conjunto de pequenas partículas de massa Dm situadas à distância r do eixo de rotação. O produto da massa de cada partícula pela quadrado da distância ao eixo é designado de momento de inércia da massa Dm. 
O momento de inércia do corpo resulta do somatório de todos os momentos de inércia de massa Dm. No limite, considerando uma massa infinitesimal dm, o momento de inércia do corpo escreve-se:
7.13– Teorema dos eixos paralelos de massas
Os momento de inércia Ix,Iy e Iz em relação a um sistema de eixos Oxyz definido por:
Os momentos de inércia relativamente a um outro sistema de eixos baricêntricos paralelos Gx’y’z’ pode ser obtido definindo a posição de um elemento infinitesimal de massa dm relativamente ao sistema de eixos Oxyz recorrendo ao sistema de eixos Gx’y’z’, em que:
Por substituição das expressões anteriores nas equações do momento de inércia e após a sua resolução, obtém-se uma expressão que relaciona os momentos de inércia de um corpo entre dois sistemas de eixos paralelos Oxyz e Gx’y’z’,
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Momentos de inércia de corpos compostos 
Tabela: Os momentos de inércia de formas mais comuns
O momento de inércia de um corpo de geometria complexa pode ser determinado por decomposição da sua geometria em formas ou corpos cujo momento de inércia é conhecido e em que o momento de inércia global do corpo é a soma dos momentos de inércia dos vários corpos.
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7.14– Momento de inércia de sólidos compostos
O momento de inércia em relação a um eixo pode ser determinado decompondo o corpo de geometria algo complexa em geometrias mais simples. Recorrendo ao teorema de eixos paralelos, o momento global de inércia define-se como a soma dos momentos de inércia representados no sistema de eixo XYZ. 
Exercício: Determine o momento de inércia em relação ao eixo z do sólido representado na figura. 
Resolução: No caso deste corpo homogéneo, e a título de exemplo é apresenta a seguir o cálculo do momento de inércia em relação ao eixo Z.
Considere-se o corpo constituído por três elementos de geometria mais simples a seguir definidos. 
=
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7.14– Momento de inércia de sólidos compostos
Momento de inércia do corpo 1 segundo o eixo z
Momento global segundo o eixo z
Momento de inércia do corpo 2 segundo o eixo z
Momento de inércia do corpo 3 segundo o eixo z
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7.15– Matriz de Inércia
No caso mais geral, a inércia de um sólido relativamente a um sistema de eixos Oxyz é definida por uma matriz de momentos e produtos de inércia definida a seguir:
Esta é conhecida por matriz de inércia ou tensor de inércia. Uma alteração na orientação dos eixos relativamente ao corpo produz uma variação nos valores da matriz de inércia. Deste modo, existe uma orientação dos eixos para o qual os produtos de inércia são nulos. Para esta orientação, os eixos são designados de eixos principais de inércia e a matriz de inércia apresenta só possui elementos na diagonal diferente de zero.
7.16– Mudança de referencial- rotação do sistema de eixos
Uma qualquer quantidade vectorial v definida num sistema de eixos S0, pode ser rescrito num outro sistema de eixos S1 que rodou em relação ao primeiro. A mudança é feita através de uma matriz de transformação T01. Para o caso do sistema de eixos S1 ter sofrido uma rotação a em torno do eixo z, a matriz de transformação T01 toma a forma: 
z1
y1
x1
zoy0
x0
p
o
a
a
O mesma metodologia pode ser aplicada à determinação das matrizes de inércia para uma nova orientação. Porém, a nova matriz inércia é calculada através da expressão seguinte :
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8- Atrito
O atrito surge na superfície de contacto entre dois corpos com movimento relativo. Na realidade não existe contacto sem atrito. Quando duas superfícies estão em contacto e sempre que existe uma tendência para mover uma superfície em relação à outras, surgem forças tangencial, designadas por forças de atrito. Por outro lado, estas forças de atrito são limitadas em magnitude e, por isso, não impedem movimento se as forças aplicadas forem suficientemente elevadas. Existem dois tipos de atrito: atrito seco, por vezes denominado de Atrito de Coulomb e atrito viscoso. O atrito viscoso desenvolve entre camadas de fluido movendo-se a velocidades diferentes. Atrito do fluido é de grande importância em problemas envolvendo o fluxo de fluidos através tubos e orifícios ou que envolvam corpos imersos em fluidos. 
Este estudo é limitado à análise do atrito seco, isto é, para os problemas envolvendo corpos rígidos que estão em contacto ao longo superfícies não lubrificadas. 
Considere um bloco de peso W é colocado sobre uma superfície plana horizontal. As forças que actuam sobre o bloco são o seu peso e o W reacção de superfície. Uma vez que o peso não tem qualquer componente horizontal, a reacção da superfície também não tem qualquer componente horizontal, sendo esta perpendicular à superfície e representado por N
8.1– Leis do atrito seco
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8.1– Leis do atrito seco
Considere agora que uma força horizontal P é aplicada ao bloco. Se a força P for pequena, o bloco não se move, devido à presença de uma força de força de atrito F no contacto entre as duas superfícies. Na verdade esta é resultante de um grande número de forças que actuam sobre toda a superfície de contacto entre o bloco e o plano. A natureza destas forças não é exactamente conhecida, mas é geralmente assumido que essas forças são devidas à rugosidade das superfícies. 
Se a força P for aumentada, a força de atrito F também aumenta,
continuando a opor-se P, até que a sua magnitude atinja um certo valor máximo Fm- força estática. Se P continuar a força de não consegue equilibrar esta força e o bloco começa a deslizar, sendo a força de atrito cinética FC inferior à força de atrito estática Fm. 
A força de atrito estático é definida como proporcional à reacção normal da superfície N. 
 
 
 
 
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Rugosidade de superfícies
Coeficiente de atrito estático entre diferentes materiais
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124
 
8.2– Ângulo de atrito
 
 
 
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Diagrama de corpo livre da escada
Solução do problema passa pela redução ao absurdo, admitindo o escorregamento num dos apoios e a sua verificação 
O problema apresenta 5 incógnitas e 6 equações
Diagrama de corpo livre de sub-cojuntos da escada
O problema apresenta 7 incógnitas e 6 equações
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Diagrama de corpo livre (parte esquerda)
Diagrama de corpo livre (parte direita)
 
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Diagrama de corpo livre (parte esquerda)
Diagrama de corpo livre (parte direita)
 
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128
 
1º Construa o DCL do corpo A e represente todas as forças externas a actuar e as forças de atrito entre as superfícies, considerando que está eminente o movimento ascendente do bloco e que a acção do corpo C sobre o A é na horizontal para a direita.
DCL A
DCL C
8.3– Cunhas
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A
B
C
D
Q
O efeito do coeficiente de atrito
Nestas figuras apresenta-se um estudo do efeito do ângulo da cunha e do coeficiente de atrito na força mínima Q necessária para a eminência de movimento ascendente do bloco A em função do ângulo da cunha e do coeficiente de atrito estático. Verifica-se que em ambos os causos que à um aumento exponencial da força Q, sendo este mais acentuado para o ângulo da cunha. 
O efeito do ângulo
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
0
10
20
30
40
50
60
70
Teta(deg)
Q - force (N)
m=0.3
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129
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8.4– Parafusos de rosca quadrada
DCL (movimento eminente sentido ascendente)
DCL (movimento eminente sentido descendente)
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8.5– Atrito em correias
 
 
ou
 
DCL
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Para determinar o binário máximo, traça-se o diagrama de corpo livre da roldana A, sendo que MA é o binário resistente.
 
 
203mm
T1 = 1581 N
T2 = 2669 N
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Exercícios propostos: O sistema de transmissão representado na figura é constituído por duas correias que passam sobre as polias A e C. A polia A tem um raio de 2,5 cm, e a polia em C tem um raio de 5 cm. Sabendo que o sistema roda a uma velocidade constante, determine a tensão T e as reações nos rolamentos em B e D. Considere que o rolamento em D não suporta qualquer força axial e despreze os pesos das polias e do eixo. 
100N
200N
250N
Exercícios propostos: Considere o mecanismo em equilíbrio representado na Figura. Sabendo que cada roldana tem um raio de 250 mm, determine as reações em D e E.
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Exercícios propostos: A figura representa uma secção reta de uma viga. Tendo em consideração a geometria representada, determine:
Os momentos de inércia e os produtos de inércia relativamente ao centro geométrico, ponto C.
Os momentos principais de inércia e a sua orientação. Represente o círculo de Mohr assinalando os pontos de referência
B
H
x
y
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Folha1
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	N	HE	A	h	b	Ixg	Iyg	UPN esq.	A	ys	Ixg	Iyg	UPN dir.	A	h	ys	Ixg	Iyg
	1	HE100A	21.24	9.6	10	133.8	349.2	UPN100	13.5	1.55	206	29.3	UPN100	13.5	10	1.55	29.3	206
	2	HE100B	26.04	10	10	167.3	449.5	UPN100	13.5	1.55	206	29.3	UPN100	13.5	10	1.55	29.3	206
	3	HE120A	25.34	11.4	12	230.9	606.2	UPN120	17	1.6	364	43.2	UPN140	20.4	14	1.75	62.7	605
	4	HE120B	34.01	12	12	317.5	864.4	UPN120	17	1.6	364	43.2	UPN140	20.4	14	1.75	62.7	605
	5	HE140A	31.42	13.3	14	389.3	1033	UPN140	20.4	1.75	605	62.7	UPN180	28	18	1.92	114	1350
	6	HE140B	42.96	14	14	549.7	1509	UPN140	20.4	1.75	605	62.7	UPN180	28	18	1.92	114	1350
	7	HE160A	38.77	15.2	16	615.6	1673	UPN160	24	1.84	925	85.3	UPN220	37.4	22	2.14	197	2690
	8	HE160B	54.25	16	16	889.2	2492	UPN160	24	1.84	925	85.3	UPN220	37.4	22	2.14	197	2690
	9	HE180A	45.25	17.1	18	924.6	2510	UPN180	28	1.92	1350	114	UPN260	48.3	26	2.36	317	4820
	0	HE180B	65.25	18	18	1363	3831	UPN180	28	1.92	1350	114	UPN260	48.3	26	2.36	317	4820
	
	N	HE	Ix	Iy	UPN esq.	Ix	Iy	UPN dir.	Ixcima	Iycima	Ixbaixo	Iybaixo	IX Total	Iytotal
	1		665	5,002		544	6,068		608	544	190	544	2,007	12,157
	2		818	6,309		544	6,299		608	544	190	544	2,160	13,694
	3		1,143	10,440		976	12,436		1,288	1,605	431	1,605	3,838	26,086
	4		1,542	14,468		976	12,993		1,288	1,605	431	1,605	4,237	30,671
	5		1,929	20,124		1,60522,346		2,342	3,618	837	3,618	6,712	49,706
	6		2,655	28,359		1,605	23,300		2,342	3,618	837	3,618	7,438	58,895
	7		3,097	35,642		2,461	36,664		4,042	7,215	1,481	7,215	11,082	86,737
	8		4,361	51,317		2,461	38,179		4,042	7,215	1,481	7,215	12,346	103,927
	9		4,590	56,525		3,618	56,864		6,550	12,983	2,447	12,983	17,204	139,355
	0		6,648	83,762		3,618	59,156		6,550	12,983	2,447	12,983	19,263	168,884
Folha2
	Perfil HE	Área
(cm2)	h
(mm)	b
(mm)		Iq
(cm4)	Ir
(cm4)
	HE100B	26.04	100	100	167.3	818	449.5
	HE120B	34.01	120	120	317.5	1542	864.4
	HE140B	42.96	140	140	549.7	2655	1509
	HE160B	54.25	160	160	889.2	4361	2492
	HE180B	65.25	180	180	1363	6648	3831
Folha3