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Valdir Barbosa da Silva Júnior
Welington Mrad Joaquim 
Luiz Fernando Resende dos Santos Anjo
Luiz Pessoa Vicente Neto
Robson Humberto Rosa
Física
Catalogação elaborada pelo Setor de Referência da Biblioteca Central UNIUBE
F539 Física / Valdir Barbosa da Silva Júnior ... [et al.]. – Uberaba: 
 Universidade de Uberaba, 2017.
 241 p. : il.
 Programa de Educação a Distância – Universidade de Uberaba.
 ISBN 978-85-7777-592-7
 1. Física. 2. Mecânica. 3. Eletrostática. 4. Termodinâmica. I. 
 Silva Júnior, Valdir Barbosa da. II. Universidade de Uberaba. 
 Programa de Educação a Distância. 
 
 CDD 530
© 2017 by Universidade de Uberaba
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação 
poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo
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Produção de Materiais Didáticos-Uniube
Projeto da capa
Agência Experimental Portfólio
Edição
Universidade de Uberaba
Av. Nenê Sabino, 1801 – Bairro Universitário
Valdir Barbosa da Silva Júnior
Especialista em ensino de Física e em docência do ensino superior pela 
Universidade do Oeste Paulista. Licenciado em Ciências Físicas. Docente 
no Ensino Médio, desde 1995, em escola da rede privada. Docente 
nos cursos de graduação em Engenharia e Tecnologia em Produção 
Sucroalcooleira, da Universidade de Uberaba (Uniube).
Welington Mrad Joaquim
Graduado e licenciado em Física pela Fundação Educacional de 
Barretos. Especialista em Ensino de Física pela Universidade Federal 
de Uberlândia (UFU). Professor do curso de Gestão em Agronegócios 
da Universidade de Uberaba (Uniube). Professor no Ensino Médio em 
colégios de Uberaba e no curso de Engenharia Civil do Centro de Ensino 
Superior de Uberaba (Cesube).
Luiz Fernando Resende dos Santos Anjo
Doutorado em Engenharia Civil pela Universidade Estadual de Campinas 
(Unicamp); mestrado em Engenharia Civil pela mesma instituição; 
graduado em Engenharia Civil pela Universidade de Uberaba (Uberaba). 
Professor-adjunto no curso de Engenharia Civil na Universidade Federal 
do Triângulo Mineiro (UFTM).
Luiz Pessoa Vicente Neto
Graduado em Engenharia Elétrica, com ênfase em Telecomunicações, 
Técnico em Eletrônica, Técnico em Telecomunicações, professor 
dos cursos de Engenharia e Gestor do curso de Egenharia Elétrica, 
modalidades presencial e a distância da Universidade de Uberaba.
Sobre os autores
Robson Humberto Rosa
Graduado em Física pela Universidade Federal de Uberlândia (UFU). 
Professor de Física no ensino superior da Faculdade Talentos Humanos, 
nos cursos de Engenharia.
Sumário
Apresentação .............................................................................................................. IX
Capítulo 1 Introdução ao estudo da mecânica ...................................... 1
1.1 A física e suas divisões ............................................................................................ 3
1.2 Grandeza física e principais unidades de medida .................................................. 4
1.2.1 Notação científica ........................................................................................... 8
1.3 Cinemática ............................................................................................................ 10
1.3.1 Movimento e repouso ................................................................................... 10
1.3.2 Partícula (Ponto material) ............................................................................ 11
1.3.3 Posição e deslocamento .............................................................................. 11
1.3.4 Velocidade média e velocidade escalar media ........................................... 12
1.3.5 Velocidade instantânea ................................................................................ 13
1.4 Aceleração instantânea e aceleração média ......................................................... 15
1.4.1 Classificação dos movimentos..................................................................... 16
1.4.2 Movimento com aceleração constante ........................................................ 19
1.5 Movimento na vertical ............................................................................................ 22
1.6 Introdução ao estudo dos vetores ......................................................................... 24
1.6.1 As grandezas físicas .................................................................................... 24
1.6.2 Componentes de vetor ................................................................................. 25
1.6.3 Vetor velocidade e vetor aceleração ............................................................ 26
1.7 Lançamento horizontal .......................................................................................... 29
1.8 Lançamento oblíquo ............................................................................................. 30
1.9 Movimento circular uniforme (MCU) ...................................................................... 32
Capítulo 2 Princípios da dinâmica e estática dos pontos materiais ...43
2.1 Força e energia ..................................................................................................... 44
2.2 Introdução ao estudo da dinâmica ....................................................................... 45
2.2.1 Força resultante ........................................................................................... 48
2.2.2 Equilíbrio ....................................................................................................... 48
2.3 As leis de Newton .................................................................................................. 48
2.3.1 Primeira lei de Newton ................................................................................. 48
2.3.2 Segunda lei de Newton ............................................................................... 50
2.3.3 Terceira lei de Newton .................................................................................. 51
2.4 Força peso {P} ...................................................................................................... 53
2.5 Força normal ( )N

 ................................................................................................ 55
( )N

2.6 Força de tração ( )T

 ............................................................................................. 56
2.7 Força elástica ( )eF ............................................................................................... 56
2.8 Força de atrito ( atF ). ............................................................................................. 58
2.9 Estática dos pontos materiais ................................................................................ 62
2.10 Forças no plano ................................................................................................... 63
2.10.1 Lei do paralelogramo ................................................................................. 64
2.10.2 Componentes cartesianas de uma força ................................................... 68
2.11 Equilíbrio de um ponto material ...........................................................................71
2.11.1 Forças no espaço ....................................................................................... 74
2.12 Equilíbrio de um ponto material no espaço ......................................................... 80
Capítulo 3 Trabalho e energia .............................................................85
3.1 Trabalho de uma força ........................................................................................... 87
3.2 Movimento em uma dimensão com força variável ................................................ 88
3.3 Trabalho da força elástica ...................................................................................... 90
3.4 Potência ................................................................................................................. 91
3.5 A energia no cotidiano............................................................................................ 93
3.5.1 Energia solar ................................................................................................ 95
3.5.2 Energia nuclear ............................................................................................ 97
3.5.3 Energia eólica ............................................................................................... 99
3.5.4 Energia mecânica ........................................................................................ 99
3.6 Princípio da conservação da energia .................................................................. 100
3.7 Energia cinética ................................................................................................... 101
3.8 Teorema da energia cinética ................................................................................ 104
3.9 Energia potencial ................................................................................................. 108
3.9.1 Energia potencial gravitacional .................................................................. 109
3.9.2 Energia potencial elástica .......................................................................... 110
Capítulo 4 Eletrostática: força elétrica, campo elétrico e potencial 
 elétrico. ............................................................................. 119
4.1 Carga elétrica ........................................................................................................121
4.1.1 Quantização da carga elétrica ................................................................... 124
4.1.2 Conservação da carga elétrica .................................................................. 125
4.1.3 Eletrização por indução .............................................................................. 125
4.1.4 Condutores e isolantes .............................................................................. 127
4.2 Lei de Coulomb .................................................................................................... 128
4.2.1 Força de um sistema de cargas................................................................. 130
4.3 Campo elétrico ..................................................................................................... 132
4.3.1 Campo elétrico de uma carga puntiforme.................................................. 132
4.3.2 Linhas de campo elétrico ........................................................................... 133
4.3.3 Campo elétrico entre duas cargas puntiformes de sinais diferentes ........ 134
4.3.4 Campo elétrico entre duas cargas puntiformes de sinais iguais. .............. 135
( )N

( )N

4.3.5 Campo elétrico uniforme ............................................................................ 135
4.3.6 O campo elétrico em distribuições contínuas de carga ............................. 136
4.4 Potencial elétrico (V) ............................................................................................ 137
4.4.1 Potencial elétrico devido a um sistema de cargas puntiformes ................ 138
4.4.2 Superfícies equipotenciais ......................................................................... 140
Capítulo 5 Termologia: calorimetria, propriedades da matéria e 
 leis da termodinâmica ......................................................143
5.1 Considerações iniciais ......................................................................................... 145
5.2 Temperatura ......................................................................................................... 146
5.2.1 Termômetro ............................................................................................... 147
5.2.2 Equação termométrica .............................................................................. 148
5.3 Calor ..................................................................................................................... 150
5.3.1 Calor sensível ............................................................................................. 151
5.3.2 Capacidade térmica ................................................................................... 152
5.3.3 Calor específico.......................................................................................... 153
5.3.4 Equação fundamental da calorimetria ...................................................... 156
5.3.5 Equivalente em água ................................................................................. 158
5.3.6 Calor latente ............................................................................................... 158
5.3.7 Curvas de aquecimento e de resfriamento ................................................ 159
5.3.8 Princípio geral das trocas de calor ............................................................. 161
5.4 Os estados físicos da matéria ............................................................................. 164
5.4.1 Condensado de Bose-Einstein .................................................................. 164
5.4.2 Diagrama de fases ..................................................................................... 166
5.4.3 Transição sólido-líquido ............................................................................. 166
5.4.4 Efeito Tyndall (regelo) ................................................................................ 167
5.4.5 Pressão de vapor ....................................................................................... 168
5.4.6 Transição sólido-vapor ............................................................................... 169
5.5 Transmissão de calor ........................................................................................... 169
5.5.1 Condução ................................................................................................... 170
5.5.2 Convecção ................................................................................................. 171
5.5.3 Irradiação.................................................................................................... 171
5.5.4 Emissividade .............................................................................................. 172
5.6 Estudo dos gases ................................................................................................ 174
5.6.1 Equação de Clapeyron .............................................................................. 174
5.6.2 Leis das transformações dos gases .......................................................... 176
5.6.3 Teoria cinética dos gases ........................................................................... 178
5.6.4 Diagrama P x V .......................................................................................... 180
5.6.5 Energia interna ........................................................................................... 180
5.7 Leis da termodinâmica .........................................................................................181
5.7.1 Algumas transformações especiais da primeira lei da termodinâmica .... 182
5.8 Segunda lei da termodinâmica ............................................................................ 185
5.8.1 Máquinas térmicas e rendimento .............................................................. 186
5.8.2 Máquinas frigoríficas ou bombas de calor ................................................. 187
5.8.3 Eficiência ................................................................................................... 188
5.8.4 Ciclo de Carnot .......................................................................................... 188
5.9 Entropia ............................................................................................................... 191
5.10 Conclusão .......................................................................................................... 192
Capítulo 6 Fenômenos ópticos e suas aplicações ............................195
6.1 Óptica geométrica ................................................................................................ 196
6.1.1 Luz .............................................................................................................. 197
6.1.2 Raio de Luz ................................................................................................ 197
6.1.3 Fontes luminosas ....................................................................................... 198
6.1.4 Reflexão e cor ............................................................................................ 199
6.1.5 Os princípios da propagação da luz .......................................................... 200
6.1.6 Sombra e penumbra .................................................................................. 201
6.1.7 Eclipses do Sol e da Lua............................................................................ 201
6.1.8 Câmara escura de orifício ......................................................................... 203
6.1.9 O fenômeno da reflexão ........................................................................... 204
6.1.10 Fenômeno da refração ............................................................................. 217
6.1.11 Instrumentos ópticos ................................................................................ 231
6.1.12 Óptica da visão......................................................................................... 232
6.1.13 Anomalias da visão .................................................................................. 233
6.2 Conclusão ............................................................................................................ 235
Caro (a) estudante.
Neste livro-texto de Física, serão abordados 6 capítulos, em que serão 
trabalhados conhecimentos introdutórios ao estudo de mecânica; 
princípios da dinâmica e estática; trabalho e energia; eletrostática; 
termologia e fenômenos ópticos e suas aplicações. O primeiro 
capítulo compõe-se de uma abordagem à cinemática, buscando-se 
o entendimento dos movimentos relacionados ao ponto material. Em 
seguida, no Capítulo 2 será tratado o estudo do movimento dos corpos 
e as causas que os relacionam. 
Oo capítulo 3 trata da energia, que é um dos conceitos essenciais da 
física e pode ser encontrada em todas suas disciplinas, assim como em 
outras, particularmente na química.
No quarto capítulo, serão abordados os seguintes tópicos: força elétrica, 
campo elétrico e potencial elétrico. Neste, você irá aprender sobre origens 
da eletricidade e sobre a carga elétrica, que é o elemento responsável 
pela existência da eletricidade.
No capítulo 5, abordaremos termologia: calorimetria, propriedades da 
matéria e leis da termodinâmica. Por fim iremos trabalhar, no capítulo 6, 
com os fenômenos ópticos e suas aplicações. Esse estudo é fundamental 
para o entendimento dos comportamentos de estruturas físicas, como as 
intensidades luminosas.
Sabemos que o grau de complexidade deste estudo é grande e vai 
exigir de você muito estudo. Buscamos com toda a dedicação fazer 
construções que auxiliem este caminho, portanto estude-os com muito 
empenho para atingir objetivos necessários.
Ressaltamos a honra em tê-lo como interlocutor, para a construção de 
conhecimentos necessários à sua futura atuação profissional.
Apresentação
Valdir Barbosa da Silva Júnior
Welington Mrad Joaquim 
Introdução
Capítulo
1
Desejamos que você inicie, com entusiasmo, mais um ciclo de 
sua formação acadêmica e profi ssional e aprenda, nesse trajeto, 
a gerenciar o seu tempo, dispondo-se a estar cada vez mais 
preparado para o aprendizado que deverá ser constante.
Esse é um tempo para desenvolver novas habilidades, visando 
sua formação profi ssional. Pensando nisso, foi que elaboramos 
este capítulo, a fi m de lhe possibilitar um ganho no que se refere 
à construção do conhecimento da Física.
A Física, dentro das ciências exatas, é a que mais faz parte da vida 
do homem. Ela está presente quando andamos, falamos, pegamos 
algum objeto. A gravidade, por sua vez, está presente na Terra e 
há inúmeras formas de representá-la.
Durante o estudo da física, percebemos uma forte presença 
da matemática, mas não há limitação em termos de números 
e equações, pois a física engloba todo o universo, desde uma 
partícula que compõe um átomo até a imensidão do universo.
Neste primeiro capítulo, iremos abordar, dentro da mecânica, a 
cinemática, que se refere ao movimento dos corpos. Você terá a 
oportunidade de revisar vários conceitos da física, principalmente 
aqueles relacionados à cinemática. Eles serão importantes para 
o entendimento de outros conteúdos da física que você estudará 
ao longo do seu curso.
Introdução ao estudo 
da mecânica
2 UNIUBE
No decorrer do capitulo, estão propostas algumas atividades para 
que possa praticar os conceitos trabalhados. Recomendamos 
a você que faça as atividades antes de conferir o referencial 
de respostas. É preciso que você desenvolva seus métodos de 
raciocinar a partir da resolução que oferecemos para os exercícios.
É com o objetivo de descobrir novidades e vencer desafios que 
iremos iniciar o estudo da física. Não temos a intenção de esgotar 
o assunto apresentado aqui, mas, sim procurar motivá-lo para a 
construção de conhecimentos.
Bons estudos!
Ao término dos estudos propostos neste capítulo, esperamos que 
você esteja apto (a) a:
• utilizar as unidades de medidas das grandezas físicas, de 
acordo com o Sistema Internacional de Unidades;
• identificar os algarismos mais significativos nos seus cálculos;
• conhecer e identificar os princípios fundamentais da 
mecânica;
• conceituar e calcular deslocamento, velocidade média 
instantânea e aceleração média e instantânea;
• descrever o movimento retilíneo em termos de velocidade 
média e instantânea;
• solucionar problemas relacionados ao movimento retilíneo 
com aceleração constante, incluindo questões de queda livre.
Objetivos
1.1 A física e suas divisões 
1.2 Grandeza física e principais unidades de medida
1.2.1 Notação científica
Esquema
 UNIUBE 3
1.3 Cinemática
1.3.1 Movimento e repouso
1.3.2 Partícula (ponto material)
1.3.3 Posição e deslocamento
1.3.4 Velocidade média e velocidade escalar média
1.3.5 Velocidade instantânea
1.4 Aceleração instantânea e aceleração média
1.4.1 Classificação dos movimentos
1.4.2 Movimento com aceleração constante
1.5 Movimento na vertical
1.6 Introdução ao estudo dos vetores
1.6.1 As grandezas físicas
1.6.2 Componentes de vetor
1.6.3 Vetor de velocidade e vetor de aceleração
1.7 Lançamento horizontal
1.8 Lançamento oblíquo
1.9 Movimento Circular Uniforme (MCU)
A física e suas divisões1.1
A física estudada no nível superior não possui uma área de atuação 
específica pois se pretende formar profissionaisversáteis o suficiente para 
resolverem problemas atuais por meio de uma abordagem interdisciplinar.
Mas o que é física?
Física: é a ciência que estuda as leis naturais (do grego: 
physikê), a fim de favorecer o homem em seu trabalho relativo 
às leis que reagem os fenômenos da natureza.
As leis ou os princípios físicos, frequentemente, são expressos por 
relações matemáticas entre grandezas físicas presentes em um 
determinado fenômeno.
4 UNIUBE
Ao abordarmos o estudo da física, precisamos antes, compreender suas 
divisões:
• Mecânica: estuda os movimentos e está subdividida em 
cinemática, dinâmica, estática, gravitação e hidrostática.
• Termologia: estuda os fenômenos térmicos e está subdividida 
em termometria, calorimetria, termodinâmica, estudo dos gases e 
estudo das dilatações térmicas.
• Óptica: estuda os fenômenos luminosos, sendo subdividida em 
óptica geométrica e óptica física.
• Ondulatória: estuda os fenômenos envolvendo as ondas.
• Eletricidade: estuda os fenômenos elétricos, sendo dividida em 
eletrostática, eletrodinâmica e eletromagnetismo
• Física moderna: estuda um conjunto de teorias, principiando a 
mecânica quântica e a teoria da relatividade, bem como todas as 
teorias posteriores.
Grandeza física e principais unidades de medida1.2
Na física, uma grandeza ou quantidade é o conceito que descreve 
qualitativa e quantitativamente as relações entre as propriedades 
observadas no estuda da natureza (no seu sentido mais amplo), daí sua 
importância nesta parte inicial do nosso estudo.
Uma grandeza descreve qualitativamente um conceito porque para cada 
noção diferente pode haver (pelo menos em princípio) uma grandeza 
diferente e vice-versa.
Podemos classificar as grandezas da seguinte forma:
- Grandezas escalares: são completamente definidas quando são 
especificados o seu módulo e sua unidade de medida, por exemplo: 
tempo, temperatura, área e volume.
- Grandezas vetoriais: são aquelas que, para serem caracterizadas, 
necessitam de um número e uma unidade (valor algebraico), direção e 
sentido.
 UNIUBE 5
- Grandezas fundamentais: são as grandezas ditas primitivas, de que não 
dependem de outras para serem definidas. Exemplos: massa, tempo, 
comprimento.
- Grandezas derivadas: são definidas por relação entre as grandezas 
fundamentais. Exemplos: velocidade, força, potência.
Grandeza física: algo suscetível de ser comparado e medido.
Como exemplo, temos: tempo, comprimento, massa etc.
IMPORTANTE!
De acordo com o SI (Sistema Internacional), há sete unidades 
fundamentais, cada qual correspondendo a uma grandeza (Quadro 1):
Quadro 1: Unidades fundamentais do Sistema Internacional (SI)
A variedade das unidades de determinada grandeza se deve às unidades de 
base. Com as relações especificas, temos, a partir das unidades de base, 
as unidades derivadas.
SAIBA MAIS
Por exemplo: a unidade de medida da velocidade é m/s, sendo esta 
uma unidade derivada do comprimento (m) por tempo (s). Veja a 
representação:
Nome Símbolo Grandeza
Metro m Comprimento
Quilograma Kg Massa
Segundo s Tempo
Ampere A
Intensidade de corrente 
elétrica
Kelvin K Temperatura
Mol mol Quantidade de matéria
Candela cd Intensidade luminosa
 
6 UNIUBE
/s m m s
t s
υ ∆= = =
∆
A seguir, abordaremos algumas unidades bastante utilizadas no nosso 
dia a dia.
- Algumas unidades de comprimento
1 m = 100 cm = 1000 mm
1 Km = 1000 m = 0,6214 mi (milhas)
1 cm = 0,3937 pol
1 mi = 5280 pés = 1,609 Km
- Algumas unidades de tempo
1 min = 60s
1h = 3600s
1 dia = 24h = 86400s
1 ano = 365,24 dias = 3,156x 710 s
- Algumas unidade de massa
1 Kg = 1000g = 10³g
1 ton (tonelada) = 1000 Kg = 10³kg
1 Libra – 453,59237g
- As principais unidades de velocidade
1m/s = 3,281 pés/s
1pé/s = 0,3048 m/s
1mi/min= 60mi/h
1km/h= 0,6214mi/h
Sendo que no Sistema Internacional (SI), temos: m/s
A unidade usual é km/h, portanto vale lembrar a observação, a seguir:
1
 
1000 1
3600 3,6
km m m
h s s
= =
/s m m s
t s
υ ∆= = =
∆
 UNIUBE 7
Deste modo, chegamos à seguinte conclusão:
1 – Transformações de unidades:
a) 3,45 min em segundos.
Resolução:
Separando a parte inteira da decimal, 3,45 min = 3 min + 0,45 min, temos 
que: 
0,45 min x 60 = 27s
Transformando 3 min em segundos:
3 minutos x 60 = 180s 
3,45 min = 27 +180 = 207s
b) 250g em kg.
Resolução:
1kg → 1000g
x → 250g
250 0, 25
1000
x x kg= ∴ =
EXEMPLIFICANDO!
8 UNIUBE
c) Quantas horas, minutos e segundos há em 17,52h?
Resolução:
Separando-se a parte inteira decimal, temos:
17,52h = 17h + 0,52h;
Transformando 0,52h em minutos:
0,52x60 min = 31,2 min;
Separando-se a parte inteira da parte decimal
31,2 min = 31 + 0,2 min
Transformando 0,2 min em segundos:
0,2 x 60s = 12s;
17h 31 min = 17,52 h
1.2.1 Notação científica
É todo número escrito na forma g = a. 10n em que n é um número inteiro.
Trabalhar com números muito grandes ou muito pequenos nem sempre 
é tarefa das mais fáceis. A primeira tentativa conhecida de representar 
números demasiadamente extensos foi do matemático e filósofo grego 
Arquimedes, que foi descrito em sua obra O contador de areia, em que 
desenvolveu um método de representação numérica para estimar quantos 
grãos de areia existiam no universo.
PARADA PARA REFLEXÃO
Observe algumas exemplificações:
São dados dois números 
- Um muito grande (300.000.000.000.000.000) = 3x 1710
- Um muito pequeno (0,000.000.000.000.015) = 1,5x 1410−
 UNIUBE 9
A condição para colocarmos um número em notação científica é : 
1 | |a≤ < 10
Logo, 
(300.000.000.000.000.000) = 3x 1710
(0,000.000.000.000.015) = 1,5x 1410−
Podemos concluir que a notação científica é muito útil na repre-
sentação de números pequenos ou muito grandes.
2- Escreva os números seguintes em notação científica:
a) 876.000.000
b) 0,000.051
Agora, acompanhe nossa resolução.
a) Para escrever em notação científica, a virgula é colocada entre os 
algarismos 8 e 7, resultando 8 casas decimais:
876.000.000 = 8,76x10n → 8,76x108 
b) A virgula grafada entre 5 e 1, deslocando se, então, 5 casas para a direita:
0,000.051 = 5,1x10n → 5,1x10-5
Agora, realize a atividade, a seguir, tendo como base os exemplos anteriores:
EXEMPLIFICANDO!
1. Escreva em notação científica os seguintes números: 
a) 876.000 b) 0,000.51 c) 122,5.108 d) 0,000.000.4.10-8
2. Quantas horas, minutos e segundos há em 21,86h?
AGORA É A SUA VEZ
10 UNIUBE
Cinemática 1.3
Você sabe o que é cinemática ?
1.3.1 Movimento e repouso
O estado de movimento de um corpo define-se como aquele em que o corpo 
altera a sua posição, relativamente a um referencial, ao longo do tempo.
Um corpo está em repouso quando a sua posição, relativamente a um 
referencial, permanece inalterado ao longo do tempo.
O estado de movimento ou de repouso depende do referencial que 
é usado, sendo por isso um estudo relativo. Um corpo pode estar 
em repouso, relativamente a um referencial e, ao mesmo tempo, em 
movimento, relativamente a outro referencial.
Um dos exemplos mais comuns é utilizarmos diferentes referenciais em 
um ônibus em movimento, com vários passageiros em seu interior.
Se utilizarmos como referencial do movimento o condutor do ônibus, 
responda:
1º caso
Todos os passageiros que vão sentado no interior do ônibus estão em 
repouso ou movimento, relativamente a ele?
2º caso
Se utilizarmos como referencial uma pessoa parada na calçada, todos os 
passageiros estão em repouso ou em movimento relativamente a essa 
pessoa?
Cinemática é o ramo da física que procura descrever os movimentos. 
Neste sentido, são enfocados o estudo da posição, do deslocamento, do 
espaço percorrido, da velocidade e da aceleração dos corpos.
Passemos, então, aoestudo desse ramo da física.
 UNIUBE 11
Observe que o referencial é importantíssimo para respondermos a essas 
questões.
1º caso 
Todos os passageiros estão em repouso
2º caso
Todos os passageiros estão em movimento
1.3.2 Partícula (ponto material)
Uma partícula é tratada como um ponto, um objeto sem dimensões, de 
tal maneira que rotações e vibrações não estarão envolvidas em seu 
movimento.
Imagine só! Uma formiga é, certamente, um ponto material?
Bom, apesar do seu tamanho (bem pequeno), teremos lugares e corpos 
os quais farão com que a formiga não seja considerada um ponto material. 
Então, vale ressaltar que depende do lugar e dos objetos que estão ao redor.
PARADA PARA REFLEXÃO
Em resumo, vamos tratar como pontos materiais (ou partículas) os 
corpos que tenham apenas movimentos de translação, sendo o caso 
mais simples a situação em que estes apresentam movimento retilíneo.
1.3.3 Posição e deslocamento
A localização de uma partícula é fundamental para a análise do seu 
movimento.
O seu movimento é completamente conhecido se a sua posição no 
espaço é conhecida em todos os instantes.
Vamos considerar que esse movimento é composto de uma trajetória 
retilínea que tem como posição inicial o ponto P, com coordenada 0X , 
no instante 0t e posição final com coordenada x, no instante t.
12 UNIUBE
O deslocamento x∆ é uma medida da diferença entre as posições: final 
x e inicial 0x
Veja o esquema, a seguir, que ilustra bem o que definimos aqui:
Temos que:
0x x x∆ = −
Desse modo, podemos dizer que:
- posição é o valor algébrico que um corpo pode adquirir ao longo de 
uma trajetória;
- as mudanças de posição de um móvel, sobre uma trajetória, podem ser 
expressas numericamente pelo deslocamento escalar.
1.3.4 Velocidade média e velocidade escalar media 
A velocidade média é uma grandeza física associada à “rapidez” de uma 
partícula.
IMPORTANTE!
A velocidade de uma partícula, no geral, é a razão segundo a qual a 
sua posição varia com o tempo. Podemos analisar um movimento de 
diversas maneiras dependendo da sofisticação dos nossos instrumentos 
de medida.
A velocidade escalar média é definida como a razão entre a distância 
percorrida (comprimento do “caminho descrito pelo móvel em seu 
movimento”) e o tempo gasto no percurso:
 UNIUBE 13
distV
t
=
∆
Se uma viagem entre duas cidades A e B distantes 120 km uma da outra 
durou 1,5h, nós dizemos que o percurso foi vencido com uma velocidade 
escalar média de 80km/h. Na vida cotidiana, essa informação é suficiente 
para descrever uma viagem.
Já a velocidade média, por sua vez, é definida como a razão entre o 
deslocamento e o tempo necessário para esse evento:
0
0
x xVm
t t
−
=
−
Considerações importantes:
- a velocidade escalar é sempre positiva; é o módulo da velocidade sem 
qualquer indicação de direção e sentido;
- a velocidade média representa o que aconteceu entre o inicio e o fim 
de uma viagem;
- quando o valor da velocidade média for positivo, o movimento é 
classificado como progressivo e o móvel caminha a favor da trajetória;
- quando o valor da velocidade média for negativo, o movimento é 
classificado como retrógrado e o móvel caminha contra a trajetória.
1.3.5 Velocidade instantânea
Na Figura 1 a seguir, podemos observar que à medida que o intervalo de 
tempo t∆ diminui, o ponto 2P se aproxima do ponto 1P . Quando 0t∆ → , 
o ponto P2 tende ao ponto 1P , a reta que os une passa a coincidir com a 
própria tangente (à curva no ponto 1P ), ou seja, a reta tanv ga= . Assim, 
a velocidade instantânea em um dado ponto no gráfico espaço versus 
tempo é a tangente à curva neste ponto específico.
14 UNIUBE
Figura 1: Velocidade instantânea.
A velocidade instantânea V nos dá informações sobre o que está 
acontecendo em um dado momento. Ela é definida como:
lim
0t
x dxV
t dt∆ →
∆
= =
∆
Conforme vimos, a velocidade média representa o que aconteceu entre o 
início e o fim de uma viagem. Já a velocidade instantânea, em um dado 
momento, representa o que aconteceu naquele momento. Relacionando 
as velocidades instantâneas de cada um dos momentos, temos uma 
informação completa de como variou a velocidade ao longo de toda a viagem.
No movimento retilíneo e uniforme, a partícula se move com velocidade 
constante. A sua característica é que a velocidade, em qualquer instante, 
é igual à velocidade média. Portanto, a equação que define este tipo de 
movimento é:
.x V t=
No movimento uniforme, o móvel percorre, para intervalos de tempos 
iguais, espaços também iguais. Quando este movimento for, também, 
retilíneo podemos verificar que não existirá aceleração. Uma vez retilíneo, 
não existirá aceleração de forma alguma.
 UNIUBE 15
3- Normalmente, você gasta 10 min, de carro, para percorrer 5 mi até a 
faculdade em uma pista retilínea. Você sai de casa 15 min antes de as aulas 
começarem. Em um determinado dia, um semáforo quebrado causa-lhe 
um atraso, diminuindo o fluxo do tráfego para 20 mph nas primeiras 2 mi do 
trajeto. Nessas condições, você se atrasaria para as aulas?
Vamos resolver juntos!
2 3t mi miT t t∆ = ∆ + ∆
Utilizando .x Vm t∆ = ∆ , temos:
2
2 0,1 6min
20 /mi med
x mit h
V mi h
∆
∆ = = = =
3
3
mi
med usual
x mit
V V
∆
∆ = =
5 0,5 / min
10min
total
usual
usual
x miV mi
x
∆
= = =
∆
Para 3minT∆ , vem que: 3min
3 6min
0,5 / min
miT
mi
∆ = =
0 2 3 12mint mi mit t t∆ = ∆ + ∆ =
Conclusão: com o atraso, o percurso requer 12 min, e não apenas 10 min usuais. 
Uma vez que você, preventivamente, reservou 15 min para o trajeto, não chegará 
atrasado para as aulas.
EXEMPLIFICANDO!
Aceleração instantânea e aceleração média1.4
A aceleração descreve uma taxa de variação da velocidade com o tempo. 
A aceleração é uma grandeza vetorial. No movimento retilíneo, seu 
único componente diferente de zero está sobre o eixo ao longo do qual 
o movimento ocorre. Em um movimento retilíneo, pode referir-se tanto 
ao aumento quanto à redução da velocidade.
Assim, a aceleração é a derivada em relação ao tempo dv
dt
. Uma vez que a 
velocidade é a derivada da posição x em relação a t. A aceleração é a 
segunda derivada de x relativamente a t, isto é,
16 UNIUBE
( ( / ) ²
²
dv d dx dt d xa d
dt dt dt
= = =
1.4.1 Classificação dos movimentos
• Forma da trajetória →A trajetória pode ser retilínea ou curvilínea.
• Sentido do movimento → De acordo com esse critério, o 
movimento pode ser progressivo ou retrógrado (Quadro 2 a seguir).
Quadro 2: Sentido do movimento
Sentido do movimento Sinal da velocidade Tipo de movimento
A favor da trajetória v > 0 Mov. Progressivo
Contra a trajetória v < 0 Mov. Retrógrado
 
Variação de rapidez (módulo da velocidade).
→ |v| crescente - movimento acelerado - velocidade e aceleração têm o 
mesmo sentido (mesmo sinal).
→ |v| decrescente - movimento retardado - velocidade e aceleração têm 
sentidos contrários (sinais diferentes).
→ |v| constante - movimento uniforme - aceleração escalar sempre nula.
Os critérios descritos são independentes. Assim, podem ser feitas 
quaisquer combinações das possibilidades de um critério com as 
possibilidades de outro.
4 - Suponha que a velocidade Vx de um carro em qualquer instante t seja 
dada pela equação: Vx = 60 m/s + (0,50 m/s
3) x t2
a) Calcule a variação da velocidade média do carro do intervalo de tempo entre 
t1= 1,0s e t2= 3,0s.
b) Calcule a aceleração média do carro nesse intervalo de tempo.
c) Calcule a aceleração instantânea do carro para t1 = 1,0s, considerando
∆ t = 0,1 s.
d) ∆ t = 0,01 s, ∆ t = 0,001s.
EXEMPLIFICANDO!
 UNIUBE 17
Resolução:
a) Para determinarmos essa letra, inicialmente achamos a velocidade em 
cada instante substituindo cada valor de t na equação.Para t1= 1,0s:
V1x =60m/s + (0,5m/s
3)(1,0s)2=60,5m/s
Para t2 =3,0 s,
V2x = 60m/s +(0,5m/s
3)(3,0s)2= 64,5m/s
A variação da velocidade ∆VX é dada por:
2 1x x xV V V∆ = − =64,5m/s-60,5m / s = 4,0m/s
b) A aceleração média, durante esse intervalo de tempo, é:
22 1
2 1
4,0 2,0 /
2,0
x x
m
V Va m s
t t
−
= = =
−
c) Quando 0,1t s∆ = , 2 1,1t s= e nós encontramos
2 60 (0,5)(1,1)² 60,605 / ²xV m s= + =
2 1 60,605 60,50 0,105 /x x xV V V m s∆ = − = − =
0,105 1,05 / ²
0,1
x
m
Va m s
t
∆
= = =
∆
quando 20,01 , t =1,01st s∆ = e nós encontramos:
2 60 (0,5)(1,01)² 60,51005 /xV m s= + =
2 1 60,51005 60,50 0,01005 /x x xV V V m s∆ = − = − =
0,01005 0,1005 / ²
0,1
x
m
Va m s
t
∆
= = =
∆
quando 20,001 , t =1,001st s∆ = e nós encontramos:
2 60 (0,5)(1,001)² 60,5010005 /xV m s= + =
2 1 60,5010005 60,50 0,0010005 /x x xV V V m s∆ = − = − =
0,105 0,010005 / ²
0,1
x
m
Va m s
t
∆
= = =
∆
18 UNIUBE
Para analisar a variação da velocidade durante certo intervalo de tempo t, 
nós definimos a aceleração média deste intervalo como:
2 1
2 1
m
V V Va
t t t
− ∆
= =
− ∆
Quando queremos saber o valor da aceleração em cada instante do intervalo 
considerado, deveremos calcular a aceleração instantânea:
lim
t
V dya
t dx∆ →∞
∆
= =
∆
As unidades mais utilizadas de aceleração são:
No SI Outras
m/s Km/h2, km/s2 etc.
5 - No instante t = 10 s, a velocidade escalar de um móvel é v = 5 m/s e, no instante 
t = 16 s, a velocidade escalar é v = 23 m/s. Qual é a aceleração escalar 
média no intervalo dado?
Resolvendo juntos!
2 1
2 1
23 5 18 3 / ²
16 10 6m m
V V Va a m s
t t t
− ∆ −
= = = = ∴ =
− ∆ −
3. Ao meio-dia (t =12h), um móvel parte do repouso e, às 15 horas, atinge 
a velocidade 20 m/s. Qual é a aceleração escalar média do móvel, em km/
h2, no intervalo referido?
4. A distância entre dois automóveis em um dado instante é de 450 km. 
Admita que eles se deslocam ao longo de uma mesma estrada, um ao 
encontro do outro, com movimentos uniformes de velocidades escalares de 
valores absolutos 60 km/h e 90 km/h. Determine ao fim de quanto tempo 
irá ocorrer o encontro e a distância que cada um percorre até esse instante.
AGORA É A SUA VEZ
 UNIUBE 19
1.4.2 Movimento com aceleração constante
O movimento com aceleração constante é aquele no qual a aceleração 
se mantém constante durante todo o percurso em trajetória retilínea.
• Equação horária da posição:
0 0 ²2
ax x V t t− = +
• Equação horária da velocidade:
0 .V V a t= +
Observação: podemos demonstrar uma outra equação chamada de equação 
de Torricelli, a única expressão independente do tempo.
2
0² 2. .V V a x= + ∆
1.4.2.1 Uma outra visão
.dva dv a dt
dt
= ⇒ =
Fazendo a integral indefinida (ou antiderivada de ambos os membros, 
teremos:
.dv a dt=∫ ∫ que é reduzida a:
.v a dt c= +∫ em que c é uma constante de derivação.
v a dt c at c= + = +∫
Para calcularmos C, fazemos t = 0, o instante para o qual 0v v= :
0 ( )(0)v a c c= + =
Como 0v c= , temos
0 0v at v v v at= + ∴ = +
20 UNIUBE
Para obter a equação horária, faz-se:
.dx v dt=
Fazendo a integral definida de ambos os membros, temos . 'x v dt c= +∫ em 
que c’ é outra constante de integração. Como v é constante, não pode 
ser colocado fora do sinal de integral.
0( ) 'x v at dt c= + +∫
Como 0v é constante, podemos escrever 0 'x v dt a t dt c= + +∫ ∫ 
integrando vem:
0
1 ² '
2
x v t at c= + +
6 - Um carro a 90 km/h é freado uniformemente com a aceleração escalar 
de 2,5 m/s2 (em módulo) até parar. Determine a distância percorrida do 
automóvel, desde o início da frenagem até parar.
Dados:
Velocidade inicial = 90 km/h; passando para m/s; 
90 25 /
3,6
m s= 
Velocidade final = 0 (repouso).
Aceleração = -2,5 m/s2 (a aceleração é negativa, pois no movimento retardado a 
velocidade e a aceleração têm sinais contrários).
Resolução:
2
0² 2. . (0)² (25)² 2.( 2,5).
0 625 5.
5. 625
125
V V a x x
x
x
x m
= + ∆ → = + − ∆
= − ∆
∆ =
∆ =
EXEMPLIFICANDO!
 UNIUBE 21
7 - Uma partícula em movimento retilíneo uniformemente variado tem a seguinte 
equação para a sua posição, 8 27 ³x t t= − + com x em metros e t em 
segundos.
a) Calcule a função velocidade v (t).
b) Calcule a função aceleração a(t) da partícula.
c) Existe algum instante para o qual v = 0?
Resolvendo juntos:
a) Para obtermos a função velocidade v(t), diferenciamos a função posição 
x em relação ao tempo.
dxV
dt
=
Portanto, derivando a equação da posição, teremos a seguinte equação 
para a velocidade:
27 3 ²V t= − +
b) Para obtermos a função aceleração a(t), diferenciamos a função 
velocidade obtida anteriormente v em relação ao tempo.
dva
dt
=
Portanto, derivando a equação da velocidade, teremos a seguinte equação 
para a aceleração: a = 6t, com a em metros por segundo ao quadrado.
c) Fazendo v(t)=0, resulta:
0 27 3 ² 3t t s= − + ∴ = ±
Assim, a velocidade é nula, tanto 3 segundos antes, como 3 segundos após 
a leitura zero do cronômetro.
22 UNIUBE
Caso você arremesse um objeto para cima ou para baixo e consiga, de 
alguma maneira, eliminar os efeitos do ar sobre o seu voo, esse objeto 
ficaria com aceleração constante chamada de aceleração de queda livre, 
ou aceleração da gravidade, representada por “g” (intensidade).
Observações:
• essa aceleração independe das características do objeto, tais 
como massa e forma, proposto por Galileu, que afirma que todos 
os corpos em um dado local caem com a mesma aceleração;
• o valor de g varia ligeiramente com a latitude e com a elevação. Ao 
nível do mar, o valor é 9,8 m/s2, que é o que você deverá usar nos 
problemas deste capítulo;
• as equações do movimento uniformemente variado também se 
aplicam à queda livre, quando o movimento ocorre na vertical tanto 
para cima quanto para baixo;
• entretanto, preste atenção que, para a queda livre, as direções do 
movimento ocorrem na vertical (eixo y), em vez do eixo x.
x corresponde a y
a corresponde a g
As três equações para o movimento de queda livre são a função horária 
da posição na queda livre, a função horária da velocidade na queda livre 
e a equação de Torricelli, na queda livre:
0
1 . ²
2
y V t g t∆ = +
; 0 .V V g t= + ; 
2
0² 2. .V V a y= + ∆
Movimento na vertical1.5
• Usa-se sinal positivo na aceleração, quando o módulo da velocidade 
está aumentando, e sinal negativo quando o módulo da velocidade 
está diminuindo.
• Quando um corpo parte do repouso significa que a velocidade inicial 
vale zero.
SAIBA MAIS
 UNIUBE 23
• Quando um corpo é lançado para cima, no ponto mais alto da 
trajetória, a intensidade da sua velocidade vale zero, (momento da 
inversão de sentido do movimento).
8 - Uma bolinha de tênis é lançada para cima com uma velocidade de 10 m/s. Des- 
prezando a resistência do ar e considerando o valor da intensidade da 
aceleração da gravidade igual a 9,8 m/s2, calcule:
a) o instante em que a bolinha atinge a altura máxima.
b) a altura máxima atingida pela bolinha.
Dados:
velocidade inicial = 10 m/s
aceleração da gravidade = 9,8m/s2
na altura máxima, temos que v=0
Cálculo do instante em que o objeto atinge a altura máxima. 
0 .V V g t= −
0 10 9,8.t= −
1,02t s=
b)
2
0² 2 .V V g y= − ∆
0² 10² 2.9,8. y= − ∆
5,10y m∆ =
EXEMPLIFICANDO!
5. Uma bola é lançada em linha reta para cima. Qual é a velocidade da bola 
no topo de sua trajetória? Qual é sua aceleração nesse ponto? A aceleração 
é constante e vale 9,8 m/s2.
AGORA É A SUA VEZ
24 UNIUBE
6. Uma pedra é lançada para cima com uma velocidade de 50 m/s, 
desprezando a resistência do ar e considerando o valor da intensidade da 
aceleração da gravidadeigual a 9,8 m/s2, calcule:
a) o instante em que a pedra atinge a altura máxima.
b) a altura máxima atingida pela pedra.
Introdução ao estudo dos vetores1.6
Os vetores são usados para tratamento de conjuntos de dados que 
possuem as mesmas características. Uma das vantagens de se usar 
vetores é que o conjunto recebe um nome comum e os elementos deste 
conjunto são referenciados por meio de índices.
Pelo nome vetor, estaremos referenciando estruturas que podem ter mais 
de uma dimensão, por exemplo, matrizes de duas dimensões.
1.6.1 As grandezas físicas
Grandeza escalar: fica perfeitamente caracterizada pelo valor numérico 
e pela unidade de medida. Exemplos: volume, tempo, massa etc.
Grandeza vetorial: necessita, para ser perfeitamente caracterizada, das 
ideias de direção e sentido, de valor numérico e de unidade de medida. 
Exemplo: deslocamento, velocidade, aceleração, força etc.
O conjunto formado pelo valor numérico e pela unidade de medida é 
denominado intensidade ou módulo.
Vetor: ente matemático abstrato, determinado por um conjunto de segmentos 
orientados, caracterizando a sua direção, o seu sentido e a sua intensidade.
IMPORTANTE!
 UNIUBE 25
Um vetor é representado graficamente por um segmento de reta 
orientado (geralmente indicado por uma letra que lembra a grandeza 
vetorial em questão).
1.6.2 Componentes de vetor
As componentes escalares (ax, ay) de qualquer vetor bidimensional ao 
longo dos eixos de um sistema de coordenadas (x, y) são encontradas 
traçando-se linhas perpendiculares da origem e da extremidade do vetor 
até o eixo correspondente (Figura 2).
Componente horizontal do vetor:
cos .cosx x
a a a
a
θ θ= ⇒ =
Componente vertical do vetor:
.y y
a
sen a a sen
a
θ θ= = =
O sinal algébrico de uma componente indica seu sentido ao longo do eixo 
associado. Dadas suas componentes, podemos encontrar o módulo e a 
orientação de a

, com:
2 2
x ya a a= +
Figura 2: Componentes escalares.
26 UNIUBE
1.6.3 Vetor velocidade e vetor aceleração
Ao estudarmos a cinemática dos movimentos retilíneos, vamos trabalhar 
com a velocidade e a aceleração apenas de forma numérica, isto é, 
levando-se em consideração apenas a sua intensidade. Como já foi dito 
anteriormente, o sinal da velocidade indica o sentido do movimento. 
Vamos ver agora, separadamente, cada um deles.
1.6.3.1 Vetor velocidade
O vetor velocidade possui intensidade igual ao módulo da velocidade do 
objeto em um determinado instante. Esse valor pode ser determinado de 
diferentes formas, dependendo do movimento em questão. A sua direção 
e o seu sentido, porém, são sempre determinados da mesma forma.
Imagine uma pedra presa a um barbante colocada em rotação. Se o 
barbante arrebenta em um certo ponto P, ver-se-á que a pedra segue a 
trajetória retilínea mostrada na Figura 3, ou seja, sempre tangente a cada 
ponto da trajetória.
módulo = igual ao módulo do vetor 
direção = tangente a cada ponto 
sentido = do movimento
Figura 3: Representação da direção do vetor velocidade.
Desta forma, se um patinador descreve determinada trajetória (Figura 
4), o seu vetor velocidade nos pontos A, B e C, será:
 UNIUBE 27
Figura 4: Representação do vetor velocidade em vários pontos.
1.6.3.2 Vetor aceleração
É o vetor que indica uma variação do vetor velocidade, o qual, no entanto, 
como toda grandeza vetorial, possui módulo, direção e sentido. Para 
variar tais características, o vetor aceleração é decomposto em dois 
outros vetores perpendiculares entre si, cada um representando um tipo 
específico de variação da velocidade.
• Vetor aceleração tangencial ( )ta : indica variação do módulo do 
vetor velocidade. •
• Vetor aceleração centrípeta ( )ca : indica variação da direção e 
sentido do vetor velocidade.
a) Vetor aceleração tangencial t(a )
Indica uma variação do módulo ou intensidade do vetor velocidade.
A sua direção, como o nome indica, é tangente à trajetória, do mesmo modo 
que o vetor velocidade.
O sentido do vetor aceleração tangencial pode ser:
• o mesmo do vetor velocidade, se o movimento for acelerado 
(Figura 5).
28 UNIUBE
Figura 5: Representação da direção e do sentido do vetor aceleração 
tangencial no movimento acelerado.
• contrário ao do vetor velocidade, se o movimento for retardado 
(Figura 6).
Figura 6: Representação da direção e do sentido do vetor 
aceleração tangencial em um movimento retardado.
Como o vetor aceleração tangencial mostra uma variação no módulo do 
vetor velocidade, ele será nulo quando o movimento for uniforme, uma 
vez que, neste movimento, o módulo do vetor velocidade é constante.
b) Vetor aceleração centrípeta c(a )
Indica apenas uma variação da direção do vetor velocidade. A sua direção é 
perpendicular à direção do vetor velocidade e o sentido, como o nome indica, 
é em direção ao centro da curva da trajetória (Figura 7).
 UNIUBE 29
Figura 7: Representação da direção do vetor 
aceleração centrípeta.
Como o vetor aceleração centrípeta indica uma mudança na direção do 
vetor velocidade, ele será nulo quando o movimento for retilíneo, uma 
vez que, neste movimento, a direção do vetor velocidade é constante.
2 = c
Va
R
Lançamento horizontal1.7
Quando um corpo é lançado horizontalmente, ele descreve em relação 
ao solo uma trajetória parabólica. É o caso de lançamento de um objeto a 
partir de uma mesa horizontal e até mesmo o lançamento de uma bomba 
por um avião em movimento horizontal.
O movimento é complexo, mas pode ser decomposto em dois outros 
movimentos mais simples e que já foram estudados anteriormente:
• o movimento retilíneo uniforme (na direção horizontal);
• a queda livre (na vertical).
Pode-se imaginar dois movimentos simultâneos: um no eixo x 
(horizontal) e outro no eixo y (vertical). Ao se tratar os movimentos 
independentemente, podemos aplicar as equações de cada um deles, 
com apenas uma variável em comum: o tempo.
30 UNIUBE
O tempo decorrido para que o corpo alcance o solo na vertical é o mesmo 
com que ele descreve o movimento na horizontal, isto é, o movimento 
horizontal não influi no tempo de queda do corpo. Tanto é verdade que 
dois corpos, um sendo lançado horizontalmente e outro, abandonado 
em queda livre, da mesma altura e ao mesmo tempo, ambos atingem o 
solo no mesmo instante.
No movimento horizontal, podemos usar a equação do MRU:
.X V t=
No movimento vertical, podemos usar as equações da queda livre de 
forma reduzida, estudadas anteriormente:
².
2
ty g∆ = ; .V g t= ; ² 2. .V g y= ∆
9 - Uma esfera rola com velocidade escalar constante de 10 m/s sobre uma 
mesa horizontal. Ao abandonar a mesa, ela fica sujeita à ação exclusiva 
da aceleração da gravidade (g = 9,8 m/s2), atingindo o solo em um ponto 
situado a 5 m do pé da mesa.
Determine:
a) o tempo de queda,
b) a altura da mesa em relação ao solo.
Solução:
a) Ao abandonar a mesa, a esfera apresenta, na direção horizontal, 
movimento com velocidade constante de 10 m/s. Assim:
. 5 9,8. 0,51X v t t t s= ∴ = ∴ ±
b)Simultaneamente ao movimento horizontal, a esfera cai de uma altura 
y em queda livre:
. ² 9,8(0,51)² 1,27
2 2
g ty y y m= ∴ = ∴ =
EXEMPLIFICANDO!
 UNIUBE 31
O lançamento oblíquo acontece quando, a partir do solo, um corpo é 
lançado com uma velocidade inicial (V0), formando um ângulo (θ ) com 
a horizontal (neste caso, representado pelo eixo x).
É o caso do lançamento de uma bala de canhão (Figura 8) ou da bola em 
um “tiro de meta” cobrado por um jogador de futebol ou em um arremesso 
de basquete. 
Lançamento oblíquo 1.8
Assim como o lançamento horizontal, este movimento também pode ser 
decomposto em dois outros movimentos mais simples, e que já foram 
estudados:
• o movimento retilíneo uniforme (na direção horizontal);
• o lançamentovertical.
Um detalhe, no entanto, deve ser observado antes de se usar as 
equações destes movimentos. Como a velocidade inicial é inclinada em 
relação à horizontal, só se pode utilizar nas equações do movimento 
horizontal a componente horizontal da velocidade.
Na vertical, o raciocínio é o mesmo. Então, para se utilizar as velocidades ini- 
ciais na horizontal e na vertical, deve-se efetuar o seu cálculo, com base nos 
conhecimentos de vetores:
0 0 cosxV V θ=
0 0yV V senθ=
Figura 8: Lançamento oblíquo.
32 UNIUBE
Com este cálculo efetuado, podemos utilizar as equações dos movimentos 
mencionados:
• no eixo x, movimento horizontal - movimento retilíneo uniforme:
.X V t=
• no eixo y, movimento vertical - lançamento vertical:
0 .yVy V g t= +
0 0
1. . . ²
2y
y y V t g t− = +
0² ² 2. .yVy V g y= + ∆
Observações:
• para se determinar a distância alcançada pelo objeto (ou 
Alcance=A), deve-se utilizar a equação do MRU, com um tempo 
igual a 2t, pois 2.t é o tempo de voo do objeto; 
• no ponto de altura máxima, apenas a componente vertical da 
velocidade é nula;
• no ponto de altura máxima, a componente horizontal da velocidade 
tem módulo constante durante todo o movimento;
• o alcance máximo é atingido quando o ângulo de lançamento é 45°.
2
0 . 2V senA
g
θ
=
7. Um corpo é atirado obliquamente em um lugar onde a resistência do ar 
pode ser desprezada, com velocidade inicial de 100 m/s, numa direção que 
forma com a horizontal um ângulo θ , tal que 0,8senθ = e cos 0,6θ = . 
Adotando-se a aceleração da gravidade igual a 9,8 m/s2, determine:
a) a intensidade das componentes horizontal e vertical da velocidade no 
instante de lançamento;
AGORA É A SUA VEZ
 UNIUBE 33
Movimento circular uniforme (MCU)1.9
Diz-se que um movimento é circular quando a sua trajetória é uma 
circunferência ou um arco de circunferência.
Exemplos: vitrola, ponteiros de um relógio, hélice de um motor. Esse 
movimento é chamado de uniforme por causa da sua velocidade angular, 
que é sempre constante (Figura 9).
Neste caso, a velocidade vetorial apresenta módulo constante, mas varia 
em direção e sentido.
O Movimento Circular Uniforme é periódico, isto é, repete-se em intervalos 
de tempos iguais. Este intervalo de tempo, é denominado período (T), e 
no caso do MCU, é o tempo gasto para o corpo em movimento completar 
uma volta, ou seja, retornar ao ponto de origem. Como exemplo, temos: 
rotação da Terra (1 ano), ponteiros das horas de um relógio (12 h), entre 
outros. A unidade de período no SI é o segundo (s).
b) o instante em que o corpo atinge o ponto mais alto da trajetória;
c) a altura máxima atingida pelo corpo.
Figura 9: Representação de um MCU.
34 UNIUBE
Todo movimento periódico acontece em determinado número de vezes em 
um dado intervalo de tempo. Temos a frequência. º( )nf
t
=
∆
IMPORTANTE!
• A frequência tem como unidade no SI: (Hz) hertz. Podemos 
observar que (Hz) hertz é o mesmo que (R.P.S.) rotações por 
segundo, e se multiplicarmos por 60, iremos encontrar (R.P.M.) 
rotações por minuto. •
• A relação entre frequência e período é facilmente demonstrada por:
Uma vez que se trata de um movimento circular, são percorridos ângulos ao 
longo do tempo. A relação entre o ângulo percorrido e o tempo recebe o nome 
de velocidade angular, conforme equação:
t
θω ∆=
∆
Neste movimento, a velocidade angular é constante, uma vez que se 
trata de um movimento uniforme, isto é, são percorridos ângulos iguais 
em tempos iguais. A unidade de velocidade angular no SI é o radiano/
segundo (rad/s), mas também pode ser utilizado o grau/segundo (°/s).
Uma relação importante entre velocidade angular e distância pode ser 
facilmente deduzida:
• além de terem percorrido um ângulo, no decorrer do tempo, 
também é percorrida uma determinada distância. A relação entre 
distância percorrida e tempo já foi estudada nos movimentos 
retilíneos. Aqui, ela vai receber o nome de velocidade linear ou 
tangencial (v), para ser distinta da velocidade angular.
A relação é:
.V Rω=
 UNIUBE 35
10 - Uma partícula descreve uma trajetória circular com velocidade escalar 
constante em intensidade. O raio do círculo é 15 cm e a partícula completa 
uma volta a cada 10 s. Calcule:
a) o período e a frequência,
b) a velocidade angular,
c) a velocidade escalar,
d) a intensidade da aceleração centrípeta.
Vamos resolver juntos?
a) O período é T = 10s; tempo de uma volta.
1 0,1f f Hz
T
= ∴ =
b) A velocidade é dada por: 2 0,2 /f rad sω π ω π= ∴ =
c) A velocidade linear é: . 3 /V R V cm sω π= ∴ =
d) A aceleração centrípeta tem intensidade: ² 0,6 / ²c
Va cm s
R
= =
EXEMPLIFICANDO!
Resumo
Devemos sempre nos lembrar de algumas definições: 
a) Referencial
Qualquer corpo (ponto) tomado como referência, em relação ao qual 
verificaremos o movimento de outros corpos. 
Para uma volta completa, temos:
2
T
πω = ; 2 fω π=
2 RV
T
π
= ; 2V Rfπ=
36 UNIUBE
b) Tipos de movimento
1 - Movimento unidimensional: com apenas uma coordenada 
conseguimos localizar o objeto. Exemplo: um carro em uma rodovia. 
2 - Movimento bidimensional: neste caso, necessitamos de duas 
coordenadas para obter a posição do objeto (móvel). Exemplo: a 
localização de uma pessoa em qualquer posição na superfície da Terra. 
3 - Movimento tridimensional: é necessário o conhecimento de três 
coordenadas para localizar o objeto. Exemplo: um satélite em órbita da Terra. 
c) Repouso 
Um objeto está em repouso quando a sua posição não varia, no tempo, 
em relação a um referencial adotado.
d) Movimento 
Um objeto (móvel) está em movimento quando a sua posição varia, no 
tempo, em relação ao referencial adotado. 
e) Trajetória 
É a linha imaginária formada pelas sucessivas posições ocupadas pelo 
móvel. Exemplo: uma estrada sendo percorrida por um carro. 
f) Ponto material 
Um objeto é considerado um ponto material quando suas dimensões são 
consideradas desprezíveis em relação às outras grandezas envolvidas. 
Exemplo: o tamanho da Terra em relação à distância da Terra ao Sol. 
Em relação ao deslocamento, é importante lembrar: 
• o fato de o deslocamento ser positivo não significa que o movimento 
tenha sido sempre a favor da trajetória; 
• o deslocamento não é, genericamente, a distância percorrida. Isso 
só acontecerá quando o movimento for sempre no mesmo sentido 
e a favor da orientação da trajetória; 
• quando o deslocamento for nulo, isso não significa que 
necessariamente o corpo tenha ficado em repouso. O corpo pode 
ter se movido e retornado à posição inicial. 
 UNIUBE 37
Um móvel em Movimento Uniforme (MU) apresenta deslocamentos iguais 
em intervalos de tempo iguais. 
No estudo dos movimentos variados, tem particular importância o Movimento 
Variado Uniformemente (MUV). Nesse tipo de movimento, também 
conhecido como Movimento Uniformemente Variado, a velocidade varia de 
uma maneira regular. 
IMPORTANTE!
h) Movimento Uniformemente Variado (MUV) 
No Movimento Uniformemente Variado (MUV) têm-se, em intervalos de 
tempos iguais, variações de velocidades iguais. 
No vácuo, todos os corpos, soltos simultaneamente de uma mesma 
altura, chegam ao solo ao mesmo tempo e com a mesma velocidade. 
Isso acontece sempre, quaisquer que sejam suas massas, formatos ou 
material de que sejam feitos. 
Em queda livre, a aceleração é constante e igual para todos os corpos. 
Próximo à superfície de nosso planeta, a Terra, a aceleração de queda 
livre possui uma intensidade de, aproximadamente, 9,8 m/s2, valor que 
normalmente é arredondado para 10 m/s2.
O símbolo g representa a aceleração de queda livre em sua plenitude, 
ou seja, em módulo, direção e sentido. Por outro lado, o símbolo g se 
refere simplesmente à intensidade (módulo) da aceleração de quedalivre (Figura 10).
g) Movimento uniforme
A velocidade escalar é uma constante não-nula. No movimento uniforme, 
é indiferente falar em velocidade escalar média ou velocidade escalar 
instantânea, pois a velocidade escalar é constante. 
38 UNIUBE
Figura 10: Movimento Uniformemente Variado (MUV) . 
A área compreendida pelo gráfico em um dado intervalo de tempo nos 
fornece o módulo do deslocamento escalar nesse intervalo. Além disso, 
como o movimento é sempre progressivo, o deslocamento escalar é 
positivo e coincide com a distância efetivamente percorrida. 
Em intervalos de tempo iguais e consecutivos, um móvel em queda 
livre percorre distâncias cada vez maiores, na proporção dos números 
ímpares consecutivos (1d, 3d, 5d, 7d,...) 
i) Lançamento vertical 
1. Para baixo 
A diferença entre a queda livre a partir do repouso e o lançamento vertical 
para baixo reside nas condições iniciais: a velocidade inicial não é nula 
(Figura 11). 
 UNIUBE 39
2. Para cima 
Vejamos, agora, o movimento de um corpo lançado verticalmente para cima 
com uma velocidade inicial v0, no vácuo. À medida que o corpo sobe, sua 
velocidade diminui uniformemente até tornar-se nula, quando então tem 
início a descida. Assim, temos: na subida o movimento é uniformemente 
retardado (Figura 12), pois a velocidade e a aceleração têm sinais diferentes; 
na descida, o movimento é uniformemente acelerado (velocidade e 
aceleração de mesmo sinal). 
Figura 12: Lançamento vertical para cima.
0 0x = 
0 0
. ²
2
g tx x v t= + +
0 0V > 0 .v v g t= +
a g= 
2
0² 2 .v v g x= + ∆
Figura 11: Lançamento vertical para baixo.
40 UNIUBE
j) Lançamento horizontal 
Movimento horizontal (direção Ox) - Se o corpo estivesse se deslocando 
com a velocidade inicial que lhe foi impressa, mas sem a ação da 
gravidade, o movimento seria horizontal retilíneo e uniforme. Nesse 
movimento, em intervalos de tempo iguais, o corpo tem deslocamentos 
iguais (

 ) . O valor de 

 depende da velocidade inicial que foi impressa 
ao corpo e do intervalo de tempo uniforme que consideramos;
Movimento vertical (direção Oy) - Nessa direção, o móvel está em 
queda livre, a partir do repouso. Em intervalos de tempo iguais, medidos 
a partir do instante em que ele começa a cair, os deslocamentos são 
proporcionais aos números ímpares: 1 d, 3d, 5d, 7d,... O valor de d 
depende de campo gravitacional do local e do intervalo de tempo 
uniforme. 
k) Lançamento oblíquo
• O estudo desse movimento é feito por meio da decomposição 
em duas direções: horizontal e vertical (Figura 13). Movimento 
horizontal (direção Ox) = Nessa direção, o movimento é retilíneo 
e uniforme, pois o campo gravitacional é vertical, não influindo na 
componente vertical do movimento. Movimento vertical (direção 
Figura 13: Lançamento oblíquo.
 UNIUBE 41
Oy) = Nessa direção, o movimento é variado uniformemente. 
A componente vertical da velocidade diminui uniformemente até 
se tornar nula, o que acontece no ponto de altura máxima e, em 
seguida, aumenta uniformemente até a bola atingir o solo. 
Luiz Fernando Resende dos Santos Anjo
Valdir Barbosa da Silva Júnior
Welington Mrad Joaquim 
Introdução
Capítulo
2
Nesta etapa do estudo da física, serão abordados os conceitos 
da dinâmica e as leis de Newton, assim como o equilíbrio dos 
pontos materiais. Este capítulo é composto de texto introdutório 
para situar o assunto que será estudado, além dos objetivos 
específi cos que defi nem as metas a serem atingidas ao fi nal dos 
seus estudos. Ao ler o conteúdo proposto, faça um resumo das 
principais difi culdades encontradas. A dedicação aos estudos 
individuais é de suma importância para o seu desenvolvimento.
Bons estudos! 
Princípios da dinâmica 
e estática dos 
pontos materiais 
Ao término dos estudos propostos neste capítulo, esperamos que 
você esteja apto(a) a: 
• determinar a relação entre força, massa e aceleração; 
• caracterizar uma força como uma grandeza física vetorial; 
• determinar a força resultante de duas ou mais forças que 
atuam sobre um corpo;
• identifi car os tipos de força, peso, força de atrito, força normal 
e suas aplicações; 
Objetivos
44 UNIUBE
Esquema
Força e energia 2.1
Vivemos em um universo em movimento. As galáxias, as estrelas, os 
planetas e os satélites se movem, o mesmo acontece com uma turbina 
em uma usina, as hélices de um ventilador etc. Essas e outras diversas 
situações são analisadas e compreendidas pelo estudo das forças. 
• compreender as principais operações com vetores; 
• entender o equilíbrio de corpos no plano e no espaço. 
2.1 Força e energia 
2.2 Introdução ao estudo da dinâmica 
2.2.1 Força resultante 
2.2.2 Equilíbrio 
2.3 As leis de Newton 
2.3.1 Primeira lei de Newton 
2.3.2 Segunda lei de Newton 
2.3.3 Terceira lei de Newton 
2.4 Força peso (P) 
2.5 Força normal (N) 
2.6 Força de tração (T ) 
2.7 Força elástica (Fe) 
2.8 Força de atrito (Fat) 
2.9 Estática dos pontos materiais 
2.10 Forças no plano 
2.10.1 Lei do paralelogramo 
2.10.2 Componentes cartesianas de uma força 
2.11 Equilíbrio de um ponto material 
2.11.1 Forças no espaço 
2.12 Equilíbrio de um ponto material no espaço
→
→
→
→
 UNIUBE 45
Falando em forças, não podemos deixar de mencionar a energia, pois 
esta desempenha um papel essencial em todos os setores da vida e é 
uma das grandezas mais importantes da física. 
O sol, a água, o vento, o petróleo e o carvão são fontes que suprem 
boa parte do consumo atual de energia no mundo, mas, à medida que 
a população do planeta cresce e os itens de conforto à disposição 
do homem se multiplicam, aumenta também a demanda por energia, 
exigindo novas alternativas e técnicas de obtenção. 
Introdução ao estudo da dinâmica 2.2
Em nosso dia a dia, encontramos objetos que se movem e outros que 
permanecem em repouso. À primeira vista, parece que um corpo está em 
repouso quando não existem forças atuando nele, e inicia o movimento 
quando uma força começa a atuar sobre ele (Figura 1). 
Figura 1: Força exercida no bloco.
Fonte: Acervo EAD-Uniube.
No desenvolvimento deste roteiro, vamos analisar o quanto essas 
aparências se aproximam ou se afastam da realidade. Para tanto, 
buscaremos nos conceitos da dinâmica, as opções para compreendê-las:
Umas das grandezas mais importantes no estudo da dinâmica é a força.
Como exemplo, podemos mostrar algumas situações em que as forças 
aparecem:
46 UNIUBE
1ª situação
Objetos em queda.
Por que os objetos caem? 
Se você respondeu pela atração da Terra, acertou!
Os objetos caem porque são atraídos pela Terra. Há uma força que 
puxa cada objeto para baixo e que também é responsável por manter a 
atmosfera sobre a Terra, e por deixar a Lua e os satélites artificiais em 
órbita. Essa força é denominada força gravitacional.
Portanto, a força gravitacional representa uma interação existente entre 
a Terra e os objetos que estão sobre ela (Figura 2). 
2ª situação
Objetos apoiados.
Figura 2: Livros sobre a mesa. 
Fonte: Acervo EAD-Uniube. 
Agora, analise... 
O livro cai? Por quê? 
Para que os objetos não caiam é necessário que exista uma superfície 
para que fiquem apoiados; neste caso, chamada de superfície de contato. 
Da mesma forma, a mesa sustenta o livro, para que ele não caia.
 UNIUBE 47
Vejam que há duas forças opostas: a força da gravidade, que puxa o livro 
para baixo, e uma força para cima, de sustentação, que a mesa exerce 
sobre o livro. Neste caso, temos a força normal. 
Podemos concluir que as formas pelas quais os objetos interagem uns 
com os outros são muito variadas.Newton conseguiu elaborar leis que permitem lidar com toda essa 
variedade, descrevendo essas interações como forças que agem entre 
os objetos. Cada interação representa uma força diferente, que depende 
das diversas condições em que os objetos se interagem. Mas todas 
obedecem aos mesmos princípios elaborados por Newton, e que ficaram 
conhecidos como leis de Newton. Para saber um pouco mais sobre Isaac 
Newton, veja o Saiba mais, a seguir. 
Sir Isaac Newton (Woolsthorpe, 4 de janeiro de 1643- Londres, 31 de março 
de 1727) foi um cientista inglês, mais reconhecido como físico e matemático, 
embora tenha sido também astrônomo, alquimista, filósofo natural e teólogo. 
Sua obra, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, é considerada 
uma das mais influentes em História da Ciência. Publicada em 1687, essa 
obra descreve a lei da gravitação universal e as três leis de Newton, que 
fundamentaram a mecânica clássica.
Fonte: Wikipédia (2010). 
SAIBA MAIS
Achamos oportuno, antes de abordamos as leis de Newton, conhecermos 
alguns conceitos relacionados à grandeza física força: 
As unidades de medida de força são: (veja no Quadro 1):
Quadro 1: Unidades de força:
SI CGS MKS 
N(Newton) Dyn(dina) Kgf(quilograma-força) 
Em muitas situações, precisamos converter uma unidade em ou-
tra. Neste caso, temos as seguintes relações:
1 Kgf = 9,8 N 1 N = 105 dyn
 
48 UNIUBE
2.2.1 Força resultante
É uma força única que produz o mesmo efeito causado por um sistema 
de forças agindo em uma partícula, ou seja, é o somatório de todas as 
forças que agem em um corpo e fica caracterizada pela soma vetorial 
das forças.
1 2 3 4....RF F F F F= + + +
    
2.2.2 Equilíbrio
Quando uma partícula mantém sua velocidade vetorial constante no 
decorrer do tempo, em relação a um referencial adotado, diz-se que ela 
está em equilíbrio em relação a esse referencial. Há, então, dois tipos 
diferentes de equilíbrio a serem analisados:
a) equilíbrio estático: partícula em repouso (velocidade vetorial é zero);
b) equilíbrio dinâmico: partícula em movimento retilíneo uniforme 
(velocidade vetorial é constante).
O nosso conceito mais intuitivo de força surge quando empurramos ou 
puxamos um objeto. Ao empurrar um carrinho, ao puxar uma gaveta, 
ao chutar uma bola, ao dar uma cortada em um jogo de vôlei, estamos 
aplicando forças. A força tem intensidade, direção e sentido, ou seja, ela 
é uma grandeza física vetorial.
Portanto, as leis de Newton são as leis que descrevem o comportamento 
de corpos em movimento.
2.3.1 Primeira lei de Newton
A maioria dos filósofos, antes da época de Galileu, pensava que fosse 
necessária alguma influência ou força para manter um corpo em 
movimento. Supunham que um corpo em repouso estivesse em seu 
As leis de Newton2.3
 UNIUBE 49
estado natural. Acreditavam, ainda, que para um corpo mover-se em 
linha reta com velocidade constante fosse necessário algum agente 
externo empurrando-o continuamente, caso contrário ele iria parar.
Essas ideias eram falsas. 
Como provou-se o contrário? 
Foi difícil provar que os princípios que norteavam o mundo científico 
da época eram falsos, dada a necessidade de livrar o corpo de certas 
influências, como o atrito.
Voltando ao pensamento de Newton, presente em nossa epígrafe, 
verificamos que outros estudiosos contribuíram para que ele 
desenvolvesse sua teoria gravitacional.
Galileu, estudando o movimento de corpos em superfícies cada vez 
mais planas e lisas, afirmou ser necessária uma força para modificar 
a velocidade de um corpo, mas nenhuma força é exigida para manter 
essa velocidade constante.
O trecho do poema de Antônio Gedeão, poeta português, explicita a 
contribuição de Galileu ao Renascimento científico:
[...] eu queria agradecer-te, Galileu, a inteligência 
das coisas que me deste. Eu, e quantos milhões de 
homens como eu a quem tu esclareceste, ia jurar que 
disparate, Galileu! e jurava a pés juntos e apostava a 
cabeça sem a menor hesitação que os corpos caem 
tanto mais depressa quanto mais pesados são. [...]. 
(GEDEÃO, 1979)
Newton, por sua vez, fez o seguinte enunciado:
Um corpo tende a permanecer em repouso ou em 
movimento retilíneo e uniforme, quando a resultante das 
forças que atuam sobre si for nula.
Vejamos com detalhes...
Sejam 1F

 e 2F

 as forças que atuam em um corpo. A resultante das 
forças, denominada rF

, será a soma vetorial dessas forças:
50 UNIUBE
21r
F F F= +
  
Como temos 
21
0rF F F+ + =
  
, esse conjunto de forças está em equilíbrio.
Figura 3: Duas forças em sentidos opostos. 
Fonte: Acervo EAD-Uniube. 
Tomando por base o exposto, a que conclusão podemos 
chegar? 
Procure refletir sobre isso e faça anotações!
Agora, compare sua resposta! 
Quando a resultante for nula, o corpo permanecerá em repouso ou se 
deslocará com movimento retilíneo e uniforme. 
2.3.2 Segunda lei de Newton 
Na primeira lei de Newton, verificamos que a força resultante é zero. Porém, 
podemos ter situações em que a força resultante é diferente de zero. 
Como proceder neste caso? 
Figura 4: Representação da segunda lei de Newton. 
Fonte: Acervo EAD-Uniube. 
 UNIUBE 51
Para essa situação, Newton fez o seguinte enunciado:
A resultante das forças que atuam sobre um corpo é igual ao produto da 
sua massa pela aceleração com a qual ele irá se movimentar.
.rF m a=


2.3.3 Terceira lei de Newton
Em seus estudos, Newton verificou que uma força é apenas um aspecto 
da interação mútua entre dois corpos. Verifica-se, experimentalmente, 
que quando um corpo exerce uma força sobre outro, o segundo sempre 
exerce uma força no primeiro.
Figura 5: Forças de ação e reação.
Fonte: Acervo EAD-Uniube. 
Assim, A B B AF F→ →=
Desse modo, enunciou: 
Quando um corpo exerce uma força em um segundo corpo, este último 
reagirá sobre o primeiro com uma força de mesma intensidade e sentido 
contrário. 
IMPORTANTE!
As forças de ação e reação possuem as seguintes características: 
• possuem a mesma natureza, ou seja, são ambas de contato ou de 
campo; 
• são forças trocadas entre dois corpos; 
• não se equilibram e não se anulam, pois estão aplicadas em corpos 
diferentes. 
52 UNIUBE
Vamos exercitar um pouco os conceitos vistos até agora, lembrando 
que não temos a condição de contemplar todas as situações nas quais 
são utilizados os conceitos abordados. É muito importante que você 
faça outros exercícios, busque em outras fontes, veja e reveja conceitos 
já desenvolvidos até esse momento do curso. Em cada exercício, 
um pensamento, uma maneira de resolver. Tente fazer as atividades 
propostas, antes de consultar as respostas. Não é nossa intenção lhe dar 
tudo pronto; nosso objetivo é ajudá-lo a construir o seu conhecimento. 
1 - Temos uma situação na qual uma força é aplicada durante 2 s sobre 
um ponto material de 50 kg, em movimento retilíneo uniformemente 
variado, alterando a sua velocidade de 5 m/s para 8 m/s. Sabendo-se que a 
velocidade e a força possuem a mesma direção e sentido, podemos, a partir 
dos conceitos estudados, determine as intensidades
a) da aceleração escalar,
b) da força aplicada,
c) do deslocamento no referido intervalo de tempo.
Vamos resolver juntos?
1“ passo na resolução de um problema. O levantamento dos dados:
t = 2.s
m = 50kg’, 0v = 5m/s; v = 8m /s
a) Para o cálculo da aceleração escalar, vamos utilizar a seguinte equação:
0 .v v a t= +
8 5 .2a= +
 
1,5 / ²a m s=
b) Como somente existe uma força, ela é a resultante:
. 50.1,5 ; 75r rF m a F N= = =
c) Cálculo do deslocamento é realizado utilizando-se a equação de Torricelli:
2
0² 2. . 8² 5² 2.1,5. 13v v a x x x m= + ∆ → = + ∆ → ∆ =
EXEMPLIFICANDO!
 UNIUBE 53
Vimos que todos os corpos nas proximidades da superfícieda Terra ou de 
qualquer outro corpo celeste ficam sujeitos à ação de uma força de campo 
gravitacional denominada força peso ou, simplesmente, peso (P). Tal força 
atua sempre no sentido de aproximar os corpos em relação à superfície. 
Força peso ( )P

2.4
Figura 6: Ação da força peso na Terra. 
Fonte: Acervo EAD-Uniube. 
O peso de um corpo na Terra:
• aumenta do Equador para os polos por dois motivos, sendo 
o primeiro: o achatamento nos polos (a Terra não é uma esfera 
perfeita); e o segundo: por causa também da ação da força 
centrífuga da rotação da Terra que “empurra” os corpos para fora, 
reduzindo o seu peso (força que causa o achatamento polar dentre 
outros efeitos naturais);
• diminui quando a altitude do lugar aumenta. 
Vejamos como calcular a intensidade da força peso... 
• 
1. Submete-se um corpo de massa 5000 kg à ação de uma força constante 
que, a partir do repouso, imprime-lhe a velocidade de 72 km/h ao fim de 
40 s. Com base nessas informações, determine:
a) a intensidade da força,
b) a distância percorrida nos 40 s.
AGORA É A SUA VEZ
54 UNIUBE
Lembrando que peso e massa são grandezas físicas diferentes. Sendo m a 
massa do corpo e g a aceleração gravitacional, o peso é determinado pela 
seguinte equação.
IMPORTANTE!
.P m g=


A intensidade do peso varia de acordo com o valor da aceleração gravita-
cional, mas a massa do corpo mantém-se constante, independentemente 
do local onde está. Neste sentido, temos.
peso ⇒ variável
massa ⇒ constante
PARADA PARA REFLEXÃO
2 - Uma bola de boliche de massa 2,0 kg, em um local de g = 10 m/s2, é puxada, 
verticalmente, para cima por uma força constante F, de intensidade igual a 30 N. 
Calcule:
a) o peso da bola de boliche,
b) a aceleração resultante.
Vamos resolver juntos?
Retirando os dados do problema:
m = 2,0 kg
g = 10 m/s2
F = 30 N
a) Calculando o peso da bola de boliche pela seguinte relação:
. 2.10 20P m g P P N= → = ∴ =


EXEMPLIFICANDO!
 UNIUBE 55
b) Como F > P, a força e a aceleração resultantes terão direção vertical e sentido 
para cima; então:
. 30 20 2. 5 / ²F P m a a a m s− = → − = ∴ =
João tem massa corporal igual a 60 kg. Calcule o peso de João em duas localida- 
des diferentes:
a) Em Belém, onde a aceleração da gravidade é 9,83 m/s2.
b) Em Santos, onde a aceleração da gravidade vale 9,80 m/s2.
AGORA É A SUA VEZ
Força normal ( )N

2.5
Vamos voltar ao exemplo do livro sobre a mesa. Sempre que uma superfície 
comprime outra, há uma componente de força perpendicular a elas 
denominada força normal ( )N

.
Figura 7: Representação da força peso e normal. 
Fonte: Acervo EAD-Uniube. 
As forças normais aparecem quando um corpo toca o outro. Vejamos os 
seguintes exemplos: 
• um chute em uma bola; 
• uma pedra atingindo uma vidraça etc. 
56 UNIUBE
Atenção: as forças normais de contato também aparecem em situações 
em que sua presença não é tão visível. Quando algum objeto ou pessoa se 
apoia sobre uma superfície, ela força esta superfície para baixo. Por outro 
lado, a superfície sustenta a pessoa aplicando em seus pés uma força para 
cima. Essa é a força normal. 
IMPORTANTE!
Força de tração ( )T

2.6
Para entendermos essa força, vamos analisar a seguinte situação. 
Figura 8: Ação da força de tração. 
Fonte: Acervo EAD-Uniube.
Note que existe uma força trocada entre um corpo e o fio. Temos aí a 
chamada força de tração, e sua ação é sempre no sentido de o fio puxar 
o corpo (o fio esticado nunca empurra o corpo).
Força elástica ( )eF

2.7
Essa força também está presente em muitas situações de nosso 
cotidiano. Veja um exemplo corriqueiro: quando uma pessoa veste uma 
bermuda, ou uma calça de elástico, provoca uma deformação ao esticá-
la. Ao retirar a bermuda ou a calça, o elástico tende a voltar ao seu 
estado normal. 
 UNIUBE 57
Por que isso acontece?
Esse é um questionamento comum e muito simples de ser respondido.
Dizemos, neste caso, que existe uma força elástica atuando sobre a 
calça, fazendo-a voltar ao seu estado inicial. Veja como é a atuação 
dessa força. Uma força que surge em molas e elásticos, quando estes 
sofrem certa deformação, atua de sentido oposto à sua deformação.
Figura 9: Representação bloco-mola. 
Fonte: Acervo EAD-Uniube
Podemos, agora, enunciar a lei de Hooke. 
Em regime de deformação elástica, a intensidade da força 
elástica é proporcional à deformação x produzida.
.eF K X= ∆
Em que K = constante elástica, que é uma característica de cada corpo.
 
As unidades de medida da força elástica são:
Quadro 2: Unidades da constante elástica
SI CGS Outras
N/m Dyn/cm N/cm;Kgf/m etc.
 
58 UNIUBE
Força de atrito ( atF )2.8
Veja a Figura 10 a seguir.
Figura 10: Força de atrito.
Fonte: Acervo EAD-Uniube.
Sempre que a superfície de um corpo escorrega sobre outro, cada corpo 
exerce sobre o outro uma força paralela às superfícies. Essa força é 
inerente ao contato entre as superfícies e a chamamos de força de atrito.
• Características importantes:
I - a força de atrito sobre cada corpo tem sentido oposto ao seu 
movimento em relação ao outro corpo;
II- as forças de atrito que atuam entre superfícies em repouso relativo 
são chamadas de forças de atrito estático, em contraposição às 
forças de atrito cinético que acontecem entre superfícies que têm 
movimento relativo;
III- existe atrito entre superfícies em repouso quando acontece uma 
tendência ao movimento.
Imagine um tijolo parado em uma ladeira (plano inclinado). Nesta situação, 
há uma tendência ao movimento, mas a força de atrito entre as superfícies 
em contato mantém o tijolo em repouso.
EXEMPLIFICANDO!
 UNIUBE 59
Temos a força de atrito estático e a força de atrito cinético.
Vejamos como diferenciá-las...
A força de atrito estático máxima entre duas superfícies será igual à 
força mínima necessária para iniciar o movimento relativo. Iniciado o 
movimento, as forças de atrito que atuam entre as superfícies usualmente 
decrescem, passando a atuar a força de atrito cinético, de modo que uma 
força menor será suficiente para manter o movimento.
Em síntese:
Força de atrito estático => o corpo permanece parado.
Força de atrito cinético => o corpo está em movimento.
Algumas conclusões a respeito do atrito
Algumas leis empíricas para o atrito estático máximo entre superfícies:
1. Sempre que a superfície de um corpo escorrega sobre outro, cada 
corpo exerce sobre o outro uma força paralela às superfícies. Essa 
força é inerente ao contato entre as superfícies e a chamamos de 
força de atrito. A força de atrito sobre cada corpo tem sentido oposto 
ao seu movimento em relação ao outro corpo.
2. A força de atrito estático máxima entre duas superfícies será igual à 
força mínima necessária para iniciar o movimento relativo.
3. Iniciado o movimento, as forças de atrito que atuam entre as 
superfícies usualmente decrescem, pois entra em ação a força de 
atrito cinético, de modo que uma força menor será suficiente para 
manter o movimento.
4. A força de atrito independe da área de contato entre o corpo e a 
superfície que o suporta. Quanto maior a área de contato, menor a 
pressão que o corpo exerce sobre a superfície. Esse fato significa 
que a força necessária para arrastar um tijolo metálico sobre uma 
mesa metálica é a mesma, não importando qual a face do tijolo 
esteja em contato com a mesa. Podemos entender esse resultado, 
60 UNIUBE
considerando que a área microscópica de contato será a mesma em 
ambas as situações.
5. A força de atrito é proporcional à força normal que a superfície exerce 
sobre o corpo considerado. A normal é proporcional à quantidade de 
microssoldas que existirão entre as superfícies.
Cálculo da força de atrito.
.atF Nµ=
Em que:
N = força normal.
µ = coeficiente de atrito.
O coeficiente de atrito é uma grandeza adimensional, não possuindo 
unidade de medida; seu valor depende do estado de polimento das 
superfícies em contato. Para exemplificar: uma pessoa, ao caminhar na 
areia, percebe uma força de atrito maior do que ao caminhar em um piso 
de cerâmica, pois os coeficientes de atrito são diferentes.
A força de atrito é uma força tangencial à trajetória e tem sempre o sentido 
oposto ao do movimento ou à tendência de movimento.
SAIBA MAIS
3 - Um bloco de 20 kg é arrastado por uma força F horizontal e constante, cuja 
intensidade é de 160 N. Sabe-se que a velocidade é mantida constante. Dado 
g = 10 m/s2, calcule o coeficiente de atrito entre o bloco e a superfície de apoio, 
também horizontal.
Vamos resolver juntos?
EXEMPLIFICANDO!
 UNIUBE 61
Para que a velocidade seja constante, já sabemos que a força resultante 
deve ser nula. Neste caso, temos.
0rF =

160F N=
0at atF F F F− = ⇒ = sendo 20.10 200N P N= = =
.atF Nµ=
 
 temos que:
160 .200 0,8µ µ= ∴ =
Figura 11: Bloco que é arrastado por uma força F horizontal e constante.
3. Arrasta-se um corpo de massa igual a 1500 kg sobre um plano horizontal 
rugoso, em movimento uniforme, mediante uma força horizontal de 
intensidade 750 N. Qual é o coeficiente de atrito dinâmico entre o corpo e o 
plano? Para resolver, considere g = 10 m/s2.
4. Um carro de massa 800 kg, movendo se a 20m/s, freia bruscamente e 
para em 5,0s.
AGORA É A SUA VEZ
62 UNIUBE
a) Qual é o módulo da aceleração do carro durante a frenagem?
b) Calcule o módulo da força de atrito que atua no carro durante a frenagem, 
supondo-a constante.
5. Uma força horizontal de 50 N atua sobre um bloco A, de massa igual a 
10kg, em um plano horizontal. A aceleração resultante do bloco é 2,5 m/s2. 
Considerando g = 10 m/s2, calcule:
a) a força normal,
b) a força de atrito,
c) o coeficiente de atrito cinético.
Estática dos pontos materiais2.9
A análise do comportamento de corpos em repouso ou em movimento, 
sob a ação de forças, é feita por meio da mecânica e é aplicada em várias 
áreas das engenharias e em outras áreas das ciências exatas.
Os corpos são divididos em sólidos, líquidos e gases.
IMPORTANTE!
Os sólidos podem ser considerados rígidos ou deformáveis, dependendo 
da sua aplicação. São estudados nas disciplinas de mecânica geral e 
resistência dos materiais. 
Os líquidos e gases são estudados na mecânica dos fluidos, e podem 
ser considerados como compressíveis e incompressíveis.
Desde a época antes de Cristo, já havia aplicações de mecânica como, 
por exemplo, os canais de irrigação entre os rios Tigre e Eufrates, 
na Mesopotâmia. Arquimedes (285-213 a.C.) estudou a flutuação de 
corpos submersos, enunciando alguns princípios da hidrostática. Já mais 
 UNIUBE 63
recentemente, Newton (1642-1727) apresentou uma formulação mais 
satisfatória por meio de seus princípios, e suas equações tornaram-se a 
base para o estudo da mecânica e suas aplicações dia a dia.
Atualmente, por causa da complexidade de alguns fenômenos 
relacionados ao comportamento dos sólidos, análises teóricas e 
experimentais ainda são realizadas em conjunto. Mesmo com o 
advento do computador digital, que facilitou a resolução numérica de 
várias equações, a utilização de laboratórios para a obtenção de alguns 
parâmetros ainda é necessária. 
Na modelagem do comportamento de um sólido sujeito à ação de forças, 
um conjunto de grandezas consideradas fundamentais corresponde à 
massa, ao comprimento e ao tempo, formando um sistema de base MLT. 
O padrão de medida dessas grandezas corresponde, respectivamente, 
ao quilograma, ao metro e ao segundo, formando o sistema MKS. 
Existem outros sistemas, em que as grandezas de base podem 
corresponder à força, ao comprimento e ao tempo, formando a base FLT, 
e suas unidades seriam, respectivamente, o quilograma-força, o metro 
e o segundo, formando o sistema MK*S. Neste roteiro, vamos trabalhar 
com o sistema de base MLT. 
Abordaremos, na sequência, alguns conceitos e fundamentos básicos 
para o melhor entendimento da teoria referente à mecânica dos sólidos. 
Faremos, inicialmente, uma abordagem sobre as forças no plano e no 
espaço e, em seguida, sobre a análise da estática dos pontos materiais 
(as dimensões dos sólidos não afetam a solução dos problemas) no 
plano e no espaço. 
Forças no plano2.10
A força é uma grandeza vetorial, pois ela possui módulo, direção e 
sentido, como ilustrado na Figura 12, a seguir.
64 UNIUBE
Figura 12: Força: módulo, direção e sentido.
O módulo da força corresponde à sua intensidade e vale 20 N. A sua direção é 
a inclinação de 40° e o sentido é representado pela seta.
Quando se tem duas ou mais forças aplicadas no mesmo ponto, existem 
técnicas para substituí-las por apenas uma força (resultante) que cause 
o mesmo efeito das demais. No item seguinte, apresentamos a lei do 
paralelogramo e as componentes cartesianas de uma força.
2.10.1 Lei do paralelogramo
Considere duas forças: 1F

 e 2F

 atuando no ponto A, como ilustrado na 
Figura 13.
Figura 13: Força resultante pela lei do paralelogramo.
Observe que a força resultante R

 é a soma das duas forças 1F

 e . Para 
o cálculo do módulo, da direção e do sentido da resultante, utilizam-se 
relações trigonométricas, como mostra o exemplo, a seguir. Leia-o com 
atenção.
 UNIUBE 65
Determine o módulo, a direção e o sentido da força resultante aplicada 
no ponto A, da Figura 14, a seguir:
Aplicando-se a regra do paralelogramo:
Figura 15: Aplicação da regra do paralelogramo.
Vamos analisar o triângulo seguinte e encontrar a resultante por meio de 
relações trigonométricas:
Figura 14: Forças aplicadas no ponto A.
66 UNIUBE
Figura 16: Encontrando a resultante por meio de relações trigonométricas.
Observe que: 180º 20º 160ºα α= + ⇒ =
Para o cálculo do módulo da força resultante, vamos usar a lei dos 
cossenos.
2 2 2
2 1 2 12. . .cos( )RF F F F F α= + −
² 30² 50² 2.30.50.cos(160º ) 78,86R R N= + − ⇒ =
Para o cálculo da direção da resultante, vamos usar a lei dos senos.
Figura 17: Cálculo da direção da resultante.
 UNIUBE 67
78,86 50 12,52º
(160º ) ( )sen sen
β
β
= ⇒ =
Logo, a direção da resultante com a horizontal vale: 12,52º 30º 42,52º+ =
Realize a atividade a seguir tendo como base o exemplo apresentado 
anteriormente.
6. Determine o módulo, a direção e o sentido da força resultante aplicada no 
ponto A, utilizando a lei do paralelogramo.
AGORA É A SUA VEZ
 Figura 19: Forças aplicadas no ponto A.
 Figura 18: Direção da resultante.
2 200F N=

68 UNIUBE
2.10.2 Componentes cartesianas de uma força
Normalmente, para se encontrar a resultante das forças em um ponto, o 
método de decomposição dessas forças em duas componentes é mais 
desejável do que aplicar a lei do paralelogramo.
Uma determinada força pode ser decomposta em duas componentes em 
um plano cartesiano, como mostra a Figura 20.
Figura 20: Componentes da força nos eixos x e y.
Os valores das componentes xF

 e yF

 valem, respectivamente:
.cosxF F θ= (1)
.yF F senθ= (2)
Observe que θ é o ângulo formado entre a força resultante e um 
dos eixos coordenados. As componentes da força F

 também podem 
ser acompanhadas pelos vetores unitários i

e j

que correspondem, 
respectivamente, aos eixos x e y, como mostram as equações a seguir:
x xF F i=
 

 (3)
y yF F j=


(4)
Finalmente, a força F

 pode ser representada pela equação:
x yF F i F j= +

 
 (5)
 UNIUBE 69
O módulo da força resultante pode ser calculado, aplicando o Teorema 
de Pitágoras:
2 2
x yF F F= + (6)
Aproveitando oexemplo da Figura 20, vamos novamente encontrar o 
módulo, a direção e o sentido da força resultante, utilizando a técnica de 
decomposição de forças (Figura 21).
Figura 21: Forças aplicadas no ponto A.
Primeiramente, vamos encontrar as componentes nos eixos x e y da força 
1F

 
e, em seguida, para a força 2F

Força 1F

: note que o ângulo formado entre essa força e o eixo é de 50°. 
Assim:
.cos 50.cos(50º ) 32,14x x xF F F F Nθ= ⇒ = ⇒ =
. 50. (50º ) 38,30y y yF F sen F sen F Nθ= ⇒ = ⇒ =
Podendo, ainda, escrever:
1 32,14 38,30F i j= +

 
Realizando o mesmo procedimento para a força 2F

:
.cos 30.cos(30º ) 25,98x x xF F F F Nθ= ⇒ = ⇒ =
. 30. (30º ) 15,00y y yF F sen F sen F Nθ= ⇒ = ⇒ =
1 50F N=

70 UNIUBE
Então, temos da mesma forma:
2 25,89 15,00F i j= +

 
A resultante das forças nos eixos x e y valem, respectivamente:
32,14 25,98 58,21xR N= + = e 38,30 15,00 53,30yR N= + =
Podendo, da mesma forma, escrever:
58,12 53,30R i j= +

 
O módulo da força resultante vale:
2 2² 58,12² 53,30² 78,86x yR R R R N= + ⇒ = + =
A direção da força resultante vale:
53,30 0,9171 42,52º
58,12
x
y
Rtg tg
R
θ θ θ= = = = ⇒ =
7. Determine o módulo, a direção e o sentido da força resultante aplicada 
no ponto A, utilizando a técnica de decomposição de forças.
AGORA É A SUA VEZ
Figura 22: Forças aplicadas no ponto A.
 UNIUBE 71
Equilíbrio de um ponto material2.11
Vimos, anteriormente, como encontrar a resultante de duas ou mais 
forças aplicadas em um ponto. Agora, vamos estudar casos em que a 
resultante das forças é nula, podendo afirmar que o corpo sujeito à ação 
dessas forças está em equilíbrio.
Por exemplo:
Um automóvel parado em uma estrada encontra-se em equilíbrio estático 
e um automóvel em movimento, com velocidade vetorial constante em 
uma pista horizontal, encontra-se em equilíbrio dinâmico. Em qualquer 
um deles, as forças estão equilibradas, o que significa dizer que a força 
resultante é nula. 
Iniciaremos com as situações nas quais os corpos podem ser 
representados,por um único ponto. Esse ponto é o centro de massa 
do corpo e nele podemos imaginar que esteja concentrada toda a sua 
massa. Nessas condições, esse ponto recebe o nome de ponto material.
Um corpo é considerado como um ponto material quando suas 
dimensões (tamanho e forma) não afetam significativamente a solução 
dos problemas envolvidos. Sendo assim, todas as forças que estão 
atuando sobre esse corpo podem ser consideradas como atuando em 
apenas um ponto.
Para a solução de problemas que envolvem esse assunto, utilizam-se 
as equações definidas anteriormente, e deve-se respeitar a seguinte 
condição:
0R F= =∑
 
 (7)
Podendo, ainda, escrever a equação anterior em termos de suas 
componentes:
( ) 0 ( ) ( ) 0 0x y x yF i F j F i F j i j+ = ⇒ + = +∑ ∑ ∑

     
 (8)
Finalmente:
72 UNIUBE
0xF =∑ (9)
0yF =∑ (10)
Compreendidas as equações apresentadas anteriormente, vamos fazer o 
exemplo seguinte?
4- Determine a força de tração nos cabos AC e BC da Figura 23, a seguir, 
considerando que o objeto de 50kg está em equilíbrio. Adote aceleração 
igual a 9,8m/s²
EXEMPLIFICANDO!
Figura 23: Forças aplicadas no ponto C.
 UNIUBE 73
Fazendo o diagrama de corpo livre, temos:
No qual:
W é a força peso e vale: 50.9,8 490P W mg N= = = =
Aplicando as equações (9) e (10), temos:
0 .cos(30º ) .cos(40º ) 0xF BC AC= ⇒ − =∑
0 . (40º ) . (30º ) 0yF AC sen BC sen W= ⇒ + − =∑
Resolvendo o sistema, temos:
451,59AC N= e 399,45BC N=
Uma vez entendido o exemplo anterior, resolva a atividade a seguir.
8. Determine o módulo, a direção e o sentido da força resultante aplicada no 
ponto A, utilizando a técnica de decomposição de forças.
AGORA É A SUA VEZ
Figura 24: Diagrama de corpo livre.
74 UNIUBE
Figura 25: Forças aplicadas no ponto C.
2.11.1 Forças no espaço
Vimos, nas seções anteriores, a representação de vetores no plano. 
Neste item, estudaremos os vetores no espaço como ilustrado na Figura 
26, a seguir.
Figura 26: Vetor força no espaço
O vetor F

 forma os ângulos xθ , yθ e zθ , respectivamente, com os 
eixos x, y, e z. Projetando esse vetor nos eixos coordenados, encontra-se 
xF

, yF

 e zF

 pelas equações:
.cos( )x xF F θ= (11)
.cos( )y yF F θ= (12)
.cos( )z zF F θ= (13)
 UNIUBE 75
A representação das componentes do vetor é ilustrada na Figura 27, a 
seguir.
Figura 27: Componentes do vetor força no espaço.
O vetor F

 pode ser projetado no plano xz encontrando o vetor hF

 como 
ilustrado na Figura 28, a seguir:
Figura 28: Componente do vetor força no plano xz.
O vetor hF

 é obtido pela equação:
. ( )h yF F sen θ=

 (14)
76 UNIUBE
As componentes xF

, yF

 e zF

 também podem ser calculadas pelas 
equações:
.cos( )x hF F ϕ=

 (15)
.cos( )y h yF F θ= (16)
. ( )z hF F sen ϕ=

 (17)
Substituindo a equação (14) nas equações (15) e (17), encontram-se:
. ( ).cos( )x yF F sen θ ϕ= (18)
. ( ). ( )z yF F sen senθ ϕ= (19)
5-Uma força de 400 N forma ângulos de 30°, 40° e 70°, respectivamente, 
com os eixos x, y e z. Calcule xF

, yF

, zF

e hF

Para solucionar esse problema, precisamos aplicar as seguintes equações:
.cos( ) 400.cos(30º ) 346,41
xx x x
F F F F Nθ= ⇒ = ⇒ =
.cos( ) 400.cos(40º ) 306,42
yy y y
F F F F Nθ= ⇒ = ⇒ =
.cos( ) 400.cos(70º ) 136,81
zz z z
F F F F Nθ= ⇒ = ⇒ =
.cos( ) 400. (40º ) 257,12
hh y h
F F F sen F Nθ= ⇒ = ⇒ =
EXEMPLIFICANDO!
9. A componente de uma força de 300 N no plano xz vale 260 N e seu ângulo 
formado com o eixo x é de 30°, como mostra a Figura 29. Calcule xF

, yF

e zF

AGORA É A SUA VEZ
 UNIUBE 77
Figura 29: Componente do vetor força no plano xz
Dando continuidade às equações já demonstradas, podemos escrever 
ainda:
2 2² y hF F F= + (20)
2 2 2
h x zF F F= + (21)
Substituindo a equação (21) na equação (20):
2 2 2² x y zF F F F= + + (22)
Podemos escrever:
x y zF F i F j F k= + +


 
 (23)
Substituindo as equações (11), (12) e (13) na equação (23):
.cos( ) .cos( ) .cos( )x y zF F i F j F kθ θ θ= + +


 
 (24)
Colocando o vetor F

 em evidência:
.[cos( ) cos( ) cos( ) ]x y zF F i j kθ θ θ= + +


 
 (25)
78 UNIUBE
Fazendo:
cos( ) cos( ) cos( )x y zi j kλ θ θ θ= + +

 
 (26)
Temos:
.F F λ=

 (27)
Em que λ

 é um vetor unitário e seu módulo vale:
| | cos( ) cos( ) cos( )x y zλ θ θ θ= + + (28)
Podemos escrever:
cos( ) cos( ) cos( ) 1x y zθ θ θ+ + = (29)
Em muitas aplicações, a direção de uma força F

 pode ser definida 
pelas coordenadas de dois pontos no espaço por certa distância entre 
eles. Essa distância entre dois pontos também pode ser representada 
por seus componentes xd , yd , zd , e o vetor unitário λ

 que pode ainda 
ser escrito na forma:
1 ( )x y zd i d j d kd
λ = + +

 
 (30)
em que
2 2 2² x y zd d d d= + + (31)
Para facilitar o entendimento do que foi exposto, vamos apresentar o 
seguinte exemplo:
6 - Uma estrutura vertical é sustentada por um cabo, como está ilustrado 
na Figura 30. Sabendo-se que a força de tração nesse cabo é de 3000 N, 
determine as componentes xF

, yF

e zF

dessa força.
EXEMPLIFICANDO!
 UNIUBE 79
Figura 30: Estrutura vertical sustentada por um cabo.
Primeiramente, devemos definir as origens dos eixos cartesianos para 
encontrarmos as distâncias xd , yd e zd . Escolhendo o ponto onde toca 
o solo, temos:
Figura 31: Escolhendo o ponto onde o cabo toca o solo.
Sendo assim, temos:dx = -40m; dy = 100m e dz = 15m. O valor 
correspondente de d vale:
2 2 2² ² ( 40)² 100² 15² 108,74x y zd d d d d d m= + + ⇒ = − + + ⇒ =
Calculando o valor de :
1 1( ) . .( 40 100 15 ) 0,368 0,920 0,138
108,74zx
d i d k i j k i j k
d
λ λ λ= + ⇒ − + + = = − + +
    
    
Calculando o valor de F

:
. 3000.( 0,368 0,920 0,138 ) 1103,52 2758,52 413,82F F F i j k F i j kλ= ⇒ = − + + ⇒ = − + +
   
   
80 UNIUBE
Logo temos:
1103,52xF N= −
2758,80yF N=
413,82zF N=
Uma vez entendido o exemplo apresentado, resolva a atividade, a seguir.
A estrutura vertical da Figura 32 é sustentada por um cabo. Sabendo-se que 
a força de tração nesse cabo é de 5000N determine as componentes Fx, Fy, 
Fz dessa força, e os ângulos xθ , yθ e zθ .
AGORA É A SUA VEZ
Figura 32: Estrutura vertical sustentada por um cabo.
Equilíbrio de um ponto material no espaço2.12
O mesmo procedimento realizado para casos em que a resultante das 
forças é nula no plano pode ser aplicado para forças no espaço, como 
mostra as equações a seguir.
0F =∑

 (32)
 UNIUBE 81
Podendo, ainda, escrever a equação anterior em termos de suas 
componentes:
( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 0x y z x y zF i F j F k F i F j F k i j k+ + = ⇒ + + = + +∑ ∑ ∑ ∑
  
     
 (33)
Finalmente:
0xF =∑ (34)
0yF =∑ (35)
0zF =∑ (36)
Resumo
Neste capítulo, vimos definições que relacionam o estudo da mecânica 
com o estudo da dinâmica, aplicando as leis de Newton e as condições 
de equilíbrio de um corpo.
a)Das leis de Newton:
• Princípio da inércia (1a lei de Newton)
Todo corpo tende a permanecer em seu estado de repouso ou de 
movimento, ou seja, na ausência de forças externas, um objeto 
em repouso permanece em repouso, e um objeto em movimento 
permanece em movimento.
Podemos ainda dizer o que a 1a lei de Newton define para força: 
agente físico capaz de produzir aceleração. Isto é, capaz de alterar 
o estado de repouso ou de movimento dos corpos.
• Princípio fundamental da dinâmica (2a lei de Newton)
A força resultante que age em um ponto material é igual ao produto 
da massa desse corpo pela sua aceleração. Também estudada por 
Galileu pode ser escrita matematicamente da seguinte forma:
.rF m a=


82 UNIUBE
Em que:
rF = força aplicada,
 
m = massa do corpo,
 
a = aceleração do corpo.
• Princípio da ação e reação (3a Lei de Newton)
Se um objeto exerce uma força sobre outro objeto, este outro exerce 
uma força de mesma intensidade, de mesma direção e em sentido 
oposto.
Newton propôs que toda força de ação estava associada a uma 
força de reação, assim, numa interação entre dois corpos teremos 
um par de forças. É importante lembrar que as forças de ação e 
reação estão aplicadas em corpos distintos e, portanto, nunca se 
equilibram. As leis de movimento de Newton explicam o movimento 
de carros, aviões ou quaisquer outros objetos no espaço.
AB BAF F= −
b) Plano Inclinado
Figura 33: Representação de forças.
Fonte: Acervo EAD-Uniube.
 UNIUBE 83
.tP P senθ=
.cosnP P θ=
c) Força de atrito
Figura 34: Representação da fat.
Fonte: Acervo EAD-Uniube.
Existem dois tipos de força de atrito: força de atrito estático e força 
de atrito cinético ou dinâmico. Tanto um quanto o outro estão sempre 
contrários à tendência de movimento ou à movimentação dos corpos.
• Força elástica
Força restauradora, ou força elástica da mola: constatamos que ela existe 
porque, se pararmos a deformação, isto é, se deixarmos de exercer sobre 
a mola a força deformadora, a mola volta ao seu estado inicial, e normal, 
retomando as suas dimensões iniciais. Isso nos permite concluir que 
existe a atuação de uma força no sentido de restabelecer as dimensões 
iniciais da mola, e que se chama força elástica da mola:
.eF K X+ ∆
d)Equilíbrio dos corpos rígidos
As forças exteriores que atuam em um corpo rígido podem ser reduzidas, 
em qualquer ponto O, a um sistema equivalente força-binário. Quando 
a força e o binário são ambos nulos, as forças externas constituem um 
sistema equivalente a zero e diz-se que o corpo rígido está em equilíbrio.
.atF Nµ=
84 UNIUBE
As condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um corpo 
rígido são: 0F =∑ e 0pM =∑ , - o que faz com que não tenha 
movimento de translação nem movimento de rotação, por isso, não tem 
graus de liberdade.
Referências
EDEÃO, Antonio. Poema para Galileu. Revista Brasileira de Ensino de 
Física,v.1,1,p.61-03,jan.1979.Disponivel em:http://www.sbfisica.org,br/
rbef/indice.php?vol=1&num=1. Acesso em: 25 de jan. 2010.
WIKIPÉDIA. Desenvolvido pela Wikimedia Foundation. Isaac Newton. Disponivel em:
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton>. Acesso em: 25 jan. 2010
Robson Humberto Rosa
Valdir Barbosa da Silva Júnior
Introdução
Capítulo
3
Estamos dando continuidade ao nosso estudo de física com uma 
prévia do que é trabalho e energia. Esperamos iniciar este estudo 
contando com seu interesse, sua dedicação e sua disponibilidade 
para enfrentar novos desafi os. Como você já sabe, é muito 
importante que tenha bom domínio do material e do conteúdo 
estudado anteriomnente, pois a física se constitui em uma rede 
em que alguns fi os sustentam outros, e todos se entrelaçam. 
Por isso, toda vez que você encontrar difi culdade em algum
ponto, volte, reveja, reforce! Só assim nossa rede terá 
sustentabilidade. Neste momento, vamos ampliar e fortalecer 
nossos conhecimentos.
 Trabalho e energia
Ao término dos estudos propostos neste capítulo, espera-se que 
você esteja apto(a) a:
• determinar o trabalho de uma força constante e de uma 
força variavel;
• explicar o signifi cado físico de potência de uma máquina;
• reconhecer a energia como algo indispensável ao 
funcionamento da vida social e que essa dependência vem 
crescendo progressivamente ao longo da história humana;
Objetivos
86 UNIUBE
3.1 Trabalho de uma força
3.2 Movimento em uma dimensão com força variável
3.3 Trabalho da força elástica
3.4 Potência
3.5 A energia no cotidiano
3.5.1 Energia solar
3.5.2 Energia nuclear
3.5.3 Energia eólica
3.5.4 Energia mecânica
3.6 Princípio da conservação da energia
3.7 Energia cinética
3.8 Teorema da energia cinética
3.8.1 Trabalho de uma força constante
3.9 Energia potencial
3.9.1 Energia potencial gravitacional
3.9.2 Energia potencial elástica
Esquema
• aplicar o conceito de energia e suas propriedades para 
compreender situações envolvendo energia associada ao 
movimento de um corpo;
• explicar a energia potencial gravitacional como uma forma 
de energia associada à configuração do sistema Terra-corpo 
e que ela corre por causa da atração gravitacional entre as 
massas do sistema;
• aplicar o conceito de energia e suas propriedades para 
compreender situações envolvendo molas ou outros corpos 
elásticos;
• relacionar diferentes formas de energia.
 UNIUBE 87
Trabalho de uma força3.1
Podemos definir trabalho como a capacidade de produzir energia. Se 
uma força executou um trabalho W sobre um corpo, ele aumentou a 
energia desse corpo de W.
Embora seja uma definição simples, algumas vezes ela parece não estar 
de acordo com o nosso entendimento cotidiano de trabalho. No dia a dia, 
consideramos trabalho tudo aquilo que nos provoca cansaço; já, na física, 
se usa um conceito mais específico.
Para entendermos o conceito de trabalho do ponto de vista dos estudos 
da física, vamos nos valer de algumas situações. Vamos a elas.
Movimento em uma dimensão com força constante (Figura 1):
Figura 1: Bloco sendo arrastado.
Fonte: Acervo EAD-Uniube.
O trabalho realizado por uma força constante é definido como o produto 
do deslocamento sofrido pelo corpo, vezes a componente da força na 
direção desse deslocamento..xW F x= ∆
Mas a componente horizontal pode ser escrita como:
.cosxF F θ=
88 UNIUBE
Assim, a equação para calcularmos o trabalho fica da seguinte forma:
. .cosW F x θ= ∆
Em que:
θ = é o ângulo que a força faz com a direção do deslocamento.
x∆ = é o deslocamento do corpo.
Se você carrega uma pilha de livros ao longo de um caminho 
horizontal, a força que você exerce sobre os livros é perpendicular ao 
deslocamento, de modo que nenhum trabalho é realizado sobre os 
livros por essa força. Esse resultado é contraditório com as nossas 
definições cotidianas sobre força, trabalho e cansaço!
PARADA PARA REFLEXÃO
• Força F

 = perpendicular ao deslocamento (cos 90° = 0), logo W = 0
• Força F

 = mesma direção e mesmo sentido do deslocamento (cos 
0o = 1)
Dizemos que o trabalho realizado é motor, pois: 0º 90ºθ≤ ≤ , logo 
.W F x= ∆
• Força F

 mesma direção, mas de sentido oposto ao deslocamento 
(cos 180° =-1), dizemos que o trabalho é resistente, pois 
90º 180ºθ< ≤ , logo .W F x= − ∆
Movimento em uma dimensão com força variável3.2
Para calcular o trabalho de uma força variável, vamos analisar o gráfico 
a seguir, que expressa a força em função do deslocamento.
 UNIUBE 89
Figura 2: Gráfico força X deslocamento.
Fonte: Acervo EAD-Uniube.
Quando uma força variável está atuando sobre um corpo que atua na 
direção do deslocamento, o trabalho executado por essa força é igual à 
área abaixo dessa curva.
w= Area; é a área da figura dada.
Mas como calcular essa área se a curva tem uma forma 
genérica, em princípio?
Neste caso, vamos nos aprofundar um pouco, recorrendo ao cálculo 
integral.
( )f
i
x
xW F x dx= ∫
Figura 3: Força X deslocamento e o cálculo integral.
Fonte: Acervo EAD-Uniube.
90 UNIUBE
Trabalho da força elástica3.3
Vamos analisar o movimento de um sistema composto por um bloco de 
massa m que está sobre uma superfície horizontal sem atrito, e tem preso 
a si uma mola. A outra extremidade da mola está fixa.
Figura 4: Bloco-mola.
Fonte: Acervo EAD-Uniube.
1. Quando a mola está em um estado relaxado, ela não está distendida 
ou comprimida. Nessa situação, ela não exerce força alguma no 
bloco.
2. Quando o bloco se desloca da posição relaxada ou de equilíbrio, a 
mola exerce sobre ele uma força restauradora, para que ele retorne 
à posição de equilíbrio original.
3. Quando o deslocamento é na parte positiva do eixo x, a força 
restauradora aponta para o sentido negativo desse eixo, e quando o 
deslocamento se dá na parte negativa do eixo x, a força restauradora 
aponta para o sentido positivo desse eixo.
4. Quando o deslocamento do bloco é muito pequeno em comparação 
à dimensão da mola, podemos considerar o que é chamado de 
pequenas oscilações, e, neste caso, podemos dizer que a força 
restauradora é proporcional ao deslocamento do bloco em relação 
à sua posição de equilíbrio. Essa aproximação, como vimos 
anteriormente, é também conhecida como lei de Hooke, e pode ser 
expressa do seguinte modo:
O trabalho realizado pela mola, para levar o corpo de uma posição inicial até 
uma posição final, será:
 UNIUBE 91
0 0
x x
x x
W k xdx k xdx= − ∆ ⇒ − ∆∫ ∫
0
2
0
1 1( )( ²) ( )( ² )
2 2
x
xW k x k x x= − ⇒ − −
2
0
1 1 ²
2 2
W kx kx= −
A unidade de trabalho no sistema internacional (SI) é o joule, que podemos 
representar por (J).
SAIBA MAIS
Potência3.4
Considere duas pessoas que realizam o mesmo trabalho. Se uma delas 
realiza o trabalho em um tempo menor do que a outra, ela tem que fazer 
um esforço maior. Dizemos, assim, que ela desenvolveu uma potência 
maior em relação à outra. Outros exemplos:
• um carro tem maior potência quando ele consegue atingir maior 
velocidade em um menor intervalo de tempo;
• um aparelho de som é mais potente do que outro quando ele 
consegue converter mais energia elétrica em energia sonora em 
um intervalo de tempo menor.
Assim, uma máquina é caracterizada pelo trabalho que ela pode realizar 
em um determinado tempo. A eficiência de uma máquina é medida por 
meio da relação do trabalho que ela realiza pelo tempo gasto para realizá-
lo, definindo a potência.
92 UNIUBE
Potência é o tempo gasto para se realizar um determinado trabalho. 
Matematicamente, a relação entre trabalho e tempo fica da seguinte 
forma:
ot
WP
t
=
∆
A unidade da potência no SI é o watt (W).
Um cavalo pode erguer uma carga de 75 kgf, ou seja, 75. 9,8 N, o que corresponde 
a 735 N a um metro de altura, em um segundo.
P= 735 N.1m/1s= 735 W
Cavalo-vapor (cv) seria a potência de 735 W.
P= 735 N.1m/1s= 735 W
IMPORTANTE!
1 - Uma força de intensidade 20 N é aplicada a uma caixa, deslocando-a 3 m na 
direção e no sentido da força; o deslocamento ocorre em 4 s. Determine:
a) O trabalho realizado pela força de 20 N.
b) A potência média desenvolvida.
Para a resolução de um problema físico, devemos:
1. Inicialmente entender o problema.
2. Em seguida, verificar qual é a pergunta a ser respondida.
3. Depois, retirar os dados fornecidos no problema.
EXEMPLIFICANDO!
 UNIUBE 93
4. Aplicar a equação apropriada para a resolução do problema.
Vamos resolver juntos?
Como dados do problema, temos: F = 20 N; x∆ = 3m; t∆ = 4s
a) Como a força aplicada está na mesma direção e no mesmo sentido do 
deslocamento, o trabalho pode ser calculado pela seguinte equação, sendo 
o ângulo de zero grau:
. .cosW F x θ= ∆
20.30.1 60w W J= ∴ =
b) Para determinar a potência, temos:
60 15
4at
wP w
t
= = =
∆
A energia no cotidiano3.5
Neste capítulo, estudaremos a energia, que é um assunto muito 
interessante e que está diretamente relacionado com o nosso cotidiano.
Falar sobre energia é algo intrigante, pois a todo o momento, estamos 
lidando com ela de diversas maneiras e formas. Você certamente já deve 
ter ouvido algumas das seguintes frases:
“Hoje estou sem energia!”
“Menino, você precisa comer para ter energia!”
“Vai faltar energia elétrica no país!”
“A energia nuclear é perigosa!”
94 UNIUBE
Podemos dizer que a energia move o mundo, sob vários aspectos. 
Agora, definir energia não é algo tão simples, que pudéssemos 
descrevê-la de uma maneira sucinta.
IMPORTANTE!
Todos nós temos a ideia intuitiva do que vem a ser energia, mas o que é 
mais interessante é conhecer quais são essas formas e tipos de energia 
que existem na natureza e como elas se interagem. Diversos fenômenos 
que ocorrem na natureza estão ligados a alguma forma de energia.
Para conhecermos melhor algumas formas de energia, precisamos, antes 
de qualquer coisa, saber que na natureza tudo o que existe depende de 
uma forma direta ou indireta de algum tipo de energia. Podemos citar 
como exemplo o Sol, uma fonte quase inesgotável de energia.
A todo o momento, o Sol está irradiando a energia que chega até nós 
por meio dos raios solares; seres vivos aproveitam-se dessa abundante 
forma de energia, seja qual for a maneira de utilizá-la.
A esse respeito, vale a pena tomar conhecimento do que escreveu o 
norte-americano Richard P. Feynman (1918-1988), um dos físicos mais 
brilhantes do século XX, ganhador do Prêmio Nobel, em 1965:
É importante observar que hoje nós não sabemos o 
que é energia. O que sabemos é que existe uma lei 
governando todos os fenômenos naturais conhecidos 
até hoje. Não existe nenhuma exceção conhecida 
a essa lei, que é conhecida pelo nome de Lei da 
Conservação da Energia. Ela estabelece que há uma 
certa quantidade, que nós chamamos energia, cujo 
valor não se altera, nas várias mudanças que ocorrem 
na natureza. Ela não é a descrição de um mecanismo 
ou qualquer coisa concreta. É uma lei abstrata porque 
é um princípio matemático. Ela exprime o fato de 
que, quando calculamos um certo número (o valor da 
energia) no início de um processoe no fim do processo, 
os resultados são iguais. (FEYNMAN; LEIGHTON; 
SANDS, 1963)
Diante de todas essas informações, percebemos que a energia é 
imprescindível para a vida de qualquer ser vivo do planeta. Agora, vamos 
conhecer algumas formas de energia.
 UNIUBE 95
3.5.1 Energia solar
Uma fonte de energia renovável e inesgotável, o Sol. O aproveitamento 
desta energia tanto como fonte de calor como de luz, é uma das 
alternativas energéticas mais promissoras para enfrentarmos os desafios 
do novo milênio, pois possui a vantagem de não produzir danos ao meio 
ambiente. Um esquema de energia solar está representado na Figura 5, 
a seguir.
Figura 5: Sistema de energia solar.
Fonte: Adaptado de Wolfgang Palz, 1981.
A energia solar é extremamente vantajosa, com características positivas 
para o sistema ambiental, pois o Sol, trabalhando como um imenso 
reator à fusão, irradia na Terra todos os dias um potencial energético 
extremamente elevado e incomparável a qualquer outro sistema de 
energia, sendo a fonte básica e indispensável para praticamente todas 
as fontes energéticas utilizadas pelo homem.
O Sol irradia anualmente o equivalente a 10.000 vezes a energia 
consumida pela população mundial neste mesmo período. Medimos esta 
potência em quilowatt. O Sol produz continuamente 390 sextilhões (390x 
1021) de quilowatts de potência. Como o Sol emite energia em todas as 
direções, um pouco desta energia é desprendida, mas, mesmo assim, 
a Terra recebe mais de 1 500 quatrilhões, (1,5x1018) de quilowatts-hora 
de potência por ano.
96 UNIUBE
Você sabe o que é a energia solar fototérmica?
E a energia solar fotovoltaica?
A energia solar fototérmica é a quantidade de energia que um 
determinado corpo é capaz de absorver, sob a forma de calor, a partir 
da radiação solar incidente no mesmo. Os coletores solares são 
equipamentos que têm como objetivo específico utilizar a energia 
solar fototérmica, pois capta e armazena essa energia.
Os coletores solares são aquecedores de fluídos (líquidos ou 
gasosos) e são classificados em coletores concentradores e 
coletores planos em função da existência ou não de dispositivos 
de concentração da radiação solar. O fluído aquecido é mantido 
em reservatórios termicamente isolados até o seu uso final (água 
aquecida para banho, ar quente para secagem de grãos, gases para 
acionamento de turbinas etc.).
Os coletores solares planos são largamente utilizados para 
aquecimento de água em residências, hospitais, hotéis etc. por causa 
do conforto proporcionado e da redução do consumo de energia 
elétrica. A energia solar fotovoltaica é a energia da conversão direta 
da luz em eletricidade (efeito fotovoltaico).
O efeito fotovoltaico é o aparecimento de uma diferença de potencial 
nos extremos de uma estrutura de material semicondutor, produzida 
pela absorção da luz. A célula fotovoltaica é a unidade fundamental 
do processo de conversão.
Atualmente, o custo das células solares é um grande desafio para 
a indústria e o principal empecilho para a difusão dos sistemas 
fotovoltaicos em larga escala. A tecnologia fotovoltaica está se 
tornando cada vez mais competitiva, tanto porque seus custos estão 
decrescendo como porque a avaliação dos custos das outras formas 
de geração está se tornando mais real, levando em conta fatores 
que eram anteriormente ignorados, como a questão dos impactos 
ambientais.
 UNIUBE 97
3.5.2 Energia nuclear
Energia térmica transformada em energia elétrica é produzida nas 
usinas nucleares por meio de processos físico-químicos. Podemos 
definir ainda como sendo a energia liberada quando ocorre a fissão 
dos átomos, energia de um sistema derivada de forças coesivas que 
contêm prótons e nêutrons juntos como o núcleo atômico. A energia 
que mantém os prótons e nêutrons juntos no núcleo é a energia 
nuclear.
A reação nuclear è a modificação da composição do núcleo atômico 
de um elemento, podendo transformar-se em outro ou outros 
elementos. Esse processo ocorre espontaneamente em alguns 
elementos; em outros, deve-se provocar a reação mediante técnicas 
de bombardeamento de nêutrons ou outras. O esquema da Figura 
6, a seguir, apresenta, de maneira simplificada, o funcionamento de 
uma usina nuclear.
Figura 6: Simplificação de uma usina nuclear.
Fonte: Adaptado de <http://commons.wikimedia.Org/wiki/File:Nuclear_plant_boiler.gif>.
A fissão nuclear ocorre quando um nêutron atinge o núcleo de um 
átomo de urânio-235, dividindo-o com emissão de 2 a 3 nêutrons, 
parte da energia que ligava os prótons e os nêutrons é liberada em 
forma de calor.
98 UNIUBE
Existem duas formas de aproveitar a energia nuclear para convertê-la 
em calor: a fissão nuclear, em que o núcleo atômico se subdivide em 
duas ou mais partículas, e a fusão nuclear, na qual ao menos dois 
núcleos atômicos se unem para produzir um novo núcleo.
A energia nuclear provém da fissão nuclear do urânio, do plutônio 
ou do tório ou da fusão nuclear do hidrogênio. É energia liberada 
dos núcleos atômicos, quando estes são levados por processos 
artificiais, a condições instáveis. Todos os materiais são formados por 
um número limitado de átomos que, por sua vez, são caracterizados 
pela carga elétrica de seu núcleo.
A maior parte da massa do átomo está concentrada em seu núcleo, 
que é muito pequeno (10-12 cm a 10-13 cm). Prótons e nêutrons têm 
massa aproximadamente igual, da ordem de 1,67 x 10-24 gramas, e 
são caracterizados por parâmetros específicos (números quânticos) 
definidos pela mecânica quântica, teoria que lida com os fenômenos 
na escala atômica e molecular.
Uma inacreditável quantidade de energia é liberada, na forma de calor 
e radiação gama, quando um único átomo se divide. Os dois átomos 
que resultam da fissão posteriormente liberam radiação beta e radiação 
gama de si mesmos. A energia liberada por uma única fissão resulta 
do fato de que os produtos da fissão e os nêutrons, juntos, pesam 
menos que o átomo original de U-235. A diferença no peso é convertida 
diretamente em energia na taxa regulada pela equação E = mc2.
As usinas nucleares fornecem cerca de 16% da eletricidade do 
mundo (dados de agosto de 2008). Alguns países dependem mais 
da energia nuclear para obter eletricidade que outros. Na França, 
por exemplo, cerca de 75% da eletricidade é gerada a partir da 
energia nuclear. Nos Estados Unidos, a energia nuclear fornece 
23% da eletricidade total, mas alguns Estados obtêm mais energia 
de usinas nucleares que outros. No Brasil, menos de 3% da 
energia gerada tem origem das usinas nucleares de Angra dos Reis. 
Há mais de 400 usinas de energia nuclear ao redor do mundo, sendo 
mais de 100 nos Estados Unidos. A energia elétrica produzida a partir 
de energia nuclear não é radioativa e é igual à energia produzida em 
hidroelétricas, podendo ser utilizada para os mesmos fins.
 UNIUBE 99
3.5.3 Energia eólica
Energia eólica é aquela gerada pelo vento. Desde a Antiguidade, 
esse tipo de energia é utilizado pelo homem, principalmente nas 
embarcações e nos moinhos. Atualmente, a energia eólica, embora 
pouco utilizada, é considerada uma importante fonte de energia por 
se tratar de uma fonte limpa (não gera poluição e não agride o meio 
ambiente), e ter custo de produção baixo em relação a outras fontes 
alternativas de energia.
Para a captação dessa fonte de energia, o vento gira uma hélice 
gigante conectada a um gerador que produz eletricidade. Quando 
vários mecanismos como esse - conhecido como turbina de vento 
- são ligados a uma central de transmissão de energia, temos uma 
central eólica.
A quantidade de energia produzida por uma turbina varia de acordo 
com o tamanho das suas hélices e, claro, do regime de ventos na 
região em que está instalada. E não pense que o ideal é contar 
simplesmente com ventos fortes. Além da velocidade dos ventos,é 
importante que eles sejam regulares, não sofram turbulências e nem 
estejam sujeitos a fenômenos climáticos como tufões.
Grandes turbinas (aerogeradores), em formato de cata-vento, são 
colocadas em locais abertos e com boa quantidade de vento. Através 
de um gerador, o movimento destas turbinas gera energia elétrica.
3.5.4 Energia mecânica
Chamamos de energia mecânica a todas as formas de energia 
relacionadas com o movimento de corpos ou com a capacidade de 
colocá-los em movimento ou deformá-los.
3.5.4.1 Energia cinética
Energia cinética é a energia que está relacionada à movimentação 
dos corpos, ou seja, é a energia que um corpo possui em virtude 
de ele estar em movimento. Ao fazer algumas observações sobre 
100 UNIUBE
os movimentos dos corpos, podemos concluir que a energia 
cinética de um corpo será cada vez maior quanto maior for a sua 
velocidade. Do mesmo modo, poderemos concluir que quanto 
maior for a massa de um corpo maior será a sua energia cinética. 
Para mostrar isso, tomemos como exemplo uma motocicleta e 
um caminhão. Somente pelas dimensões é possível notar que o 
caminhão possui mais massa em relação à moto, e que ele também 
desenvolve velocidades maiores que a de uma moto.
3.5.4.2 Energia potencial
Entretanto, não é obrigatório um corpo estar em movimento para 
possuir energia. Em função de sua posição, um corpo também pode 
possuir energia, a qual denominamos energia potencial.
3.5.4.3 Outras energias
Há várias outras, como a energia química, que está relacionada 
às reações químicas, à energia elétrica, em que é vital para 
o funcionamento dos equipamentos elétricos. Já imaginou se 
ficássemos sem ela? Sem sombra de dúvida, viveríamos um grande 
colapso. Temos também a energia térmica, que se manifesta sob a 
forma de calor etc.
Princípio da conservação da energia3.6
Como vimos, existem várias formas de energia; o que os cientistas 
perceberam é que a quantidade de energia de um dado sistema é 
uma grandeza invariável. Ou seja, a energia não pode ser criada nem 
tampouco destruída; pode apenas se converter de determinada forma 
em outra. 
Numa queima de fogos de artifícios, podemos observar a conversão 
da energia química dos componentes do artefato em energia cinética e 
energia luminosa.
Um arqueiro, ao retesar seu arco (Figura 7), despende certa quantidade 
de energia, da qual parte dela fica armazenada sob a forma de energia 
 UNIUBE 101
potencial elástica do arco. Quando a corda é liberada, essa energia 
potencial será convertida em energia cinética da flecha.
Figura 7: Arqueiros.
Fonte: Acervo EAD-Uniube.
Existem na natureza várias outras formas de transformação de energia. 
Cremos que com os exemplos mencionados anteriormente, você 
pode entender o princípio da conservação da energia, que é de suma 
importância no estudo e avanço da ciência de uma maneira geral.
A energia nunca é criada ou destruída, apenas transformada; o total 
da energia existente antes de uma transformação é sempre igual ao 
total de energia obtido após essa transformação.
SAIBA MAIS
Energia cinética3.7
Como vimos na introdução desse roteiro, quando um corpo movimenta-
se, ele possui certa forma de energia, denominada energia cinética. Se 
um corpo de massa [m] se movimenta com uma certa velocidade [v] em 
um dado momento, sua energia cinética, que representamos por Ec, é 
dada pela seguinte fórmula:
. ²mv
102 UNIUBE
Para reafirmarmos, os elementos da equação da energia cinética de um 
dado objeto em movimento são:
[ cE ] - que é a própria energia cinética;
[m] - a massa do objeto que, no sistema internacional, é dada em Kg;
[v] - a velocidade do objeto que, no sistema internacional, é dada em m/s.
A unidade de energia no sistema internacional (SI) é a mesma de trabalho, 
isto é, o joule, que podemos representar por(J). Mais adiante, entenderemos 
porque a unidade de energia é a mesma do trabalho.
IMPORTANTE!
Vamos resolver dois problemas bem simples, para que você possa 
entender como aplicar a equação da energia cinética, bem como 
encontrar o valor dessa energia de um dado objeto em movimento.
2 - Calcule a energia cinética de um corpo de massa 8 kg no instante em que sua 
velocidade é de 20 m/s.
Vamos resolver juntos?
1. O problema refere-se a uma corpo em movimento, então conforme 
estudamos anteriormente, este corpo possui uma energia cinética.
2. A pergunta do problema é qual o valor dessa energia cinética, quando a 
velocidade é 20m/s
3. Os dados fornecidos no problema são: 
A massa do corpo é m = 8kg
E a velocidade v = 20m/s
EXEMPLIFICANDO!
 UNIUBE 103
A equação da energia cinética é: 
. ²
2c
m vE =
4.Substituindo, então, os dados, temos:
. ² 8 .(20 / )² 8.400 ² / ² 3200 ² / ²
2 2 2 2c
m v kg m s kgm s kgm sE = = = =
1600 ² / ² 1600cE kgm s J= =
3 - Calcule a energia cinética de um corpo de massa 5 kg no instante em que sua 
velocidade é de 10 m/s.
Vamos resolver juntos?
1. O problema refere-se a um corpo em movimento, então, conforme 
estudamos anteriormente, este corpo possui uma energia cinética.
2. A pergunta do problema é qual o valor dessa energia cinética, quando a 
velocidade deste corpo é de 10 m/s
3. Os dados fornecidos no problema são:
A massa do corpo é m = 5 kg
E a velocidade v = 10m/s
A equação da energia cinética é: 
²
2c
mvE =
Substituindo, então, os dados, temos:
5 (10 / )² 5.100 ² / ² 500 ² / ²
2 2 2c
kg m s kgm s kgm sE = = =
EXEMPLIFICANDO!
104 UNIUBE
250 ² / ² 250cE kgm s J= =
Finalmente, encontramos a energia cinética do corpo quando a sua 
velocidade é 10 m/s : 250J.
1. Se um dado corpo está em movimento, ele possui uma certa forma de 
energia. Pede-se:
a) Como é chamada essa forma de energia?
b) Qual é a equação apropriada para encontrar essa energia?
c) Qual a unidade de energia do Sistema Internacional?
2. Calcule a energia cinética de um corpo de massa 4 kg no instante em que sua 
velocidade é de 15 m/s.
AGORA É A SUA VEZ
Agora, após você ter estudado a primeira forma de energia, que é a 
energia relacionada ao movimento de um corpo, denominada energia 
cinética, estudaremos mais um novo conceito da física. Trata-se do 
trabalho que está relacionado diretamente com as formas de energia.
Teorema da energia cinética3.8
Para compreendermos o teorema da energia cinética, precisamos, 
inicialmente conhecer o conceito de trabalho de uma força constante. 
Então, vamos lá!
3.8.1 Trabalho de uma força constante 
A atuação de uma força sobre um determinado objeto pode provocar 
movimento, ou seja, um certo deslocamento. Por convenção, o 
general e cientista francês Jean Victor Poncelet (1788-1867), em 1826, 
 UNIUBE 105
convencionou que o produto F.Ax seria chamado de trabalho de uma 
força, o qual é representado pela letra grega “τ ” Em física também é 
representado por w (que vem do inglês, work).
Logo,temos:
.w F x= ∆
Antes de Poncelet, o fato de a força provocar deslocamento já era discutido 
nos meios científicos. Vários termos surgiram para denominar este 
fenômeno, tais como: “efeito mecânico”, “efeito motor”, “força vital latente”, 
entre outros. Porém, não havia uma definição clara nem um formalismo 
matemático para que esta grandeza fosse quantificada.
SAIBA MAIS
Mas foi graças às pesquisas de Poncelet que a concepção de “trabalho” 
ganhou maior amadurecimento, sendo logo em seguida utilizada por 
Coriolis para a dedução da verdadeira equação da energia cinética:
. ²
2c
m vE =
Uma força pode provocar um deslocamento em corpo, ou seja, ela pode 
provocar um deslocamento de um corpo de um local ao outro. Neste 
sentido, ela pode, também, variar a velocidade desse corpo. É o que 
veremos, a seguir.
Para não complicarmos desnecessariamente nosso estudo, vamos 
admitir que apenas uma força atueem um objeto, sendo sua direção 
paralela à do deslocamento. Então, temos:
.rF m a= (1)
 
.r rw F x= ∆ (2)
Pela equação de Torricelli:
106 UNIUBE
2
2 0
0
( ² )² 2. . .
2
V VV V a x a x −= + ∆ ⇒ ∆ =
 (3)
Substituindo a equação (1) na equação (2):
 
. .w m a x= ∆ (4)
Finalmente, vamos associar a equação (3) com a equação (4):
2 2
0 0( ² ) .. ²
2 2 2 c
V V m vm vw m w E−= = − ∴ = ∆
A relação cw E= ∆ c é conhecida como Teorema da Energia Cinética. Então, 
podemos dizer que, pelo trabalho da resultante das forças, um objeto ganha 
ou perde energia cinética. Ou seja, o trabalho realizado por uma força 
constante provoca uma variação na energia cinética do corpo.
IMPORTANTE!
Agora, você pode compreender por que a unidade de trabalho e da 
energia é a mesma: joule.
Lembre-se de que...
Sobre os conceitos de trabalho e o teorema da energia cinética, temos:
• a atuação de uma força sobre um determinado objeto pode 
provocar movimento, ou seja, certo deslocamento;
• pelo trabalho da resultante das forças, nem sempre um objeto 
ganha energia cinética;
• pelo trabalho da resultante das forças, um objeto pode ganhar ou 
perder energia cinética;
• se um homem, ao empurrar uma caixa, verifica um aumento na 
energia cinética da caixa, significa dizer que ele transferiu uma 
certa quantidade de energia para ela (a caixa);
 UNIUBE 107
• como existe uma equivalência entre energia e trabalho, a unidade 
de medida para estas duas grandezas físicas é a mesma no 
Sistema Internacional de Unidades.
4 - Sobre um pequeno bloco de madeira de massa 4 kg, atua uma força F, 
horizontal e paralela à superfície, conforme a ilustração a seguir. Determine 
o trabalho realizado, ou seja, a quantidade de energia transferida pela força, 
em um deslocamento de 10 m. Considere a superfície completamente lisa, 
desprezando o atrito, conforme ilustrado na Figura 8, a seguir. 
EXEMPLIFICANDO!
Vamos resolver juntos?
Dados:
. 20.10 200w F x w J= ∆ → = = 
m = 4 kg
x∆ = 10 m
F= 20 N
Encontramos que o trabalho realizado pela força F de 20 N é de 200 J, ou 
seja, o corpo sofre uma variação em sua energia cinética de 200J.
5 - Um objeto de massa 3kg, inicialmente em repouso, percorre uma 
distância igual a 8 m e uma superfície horizontal sem atrito, sob a ação de 
uma força constante, também horizontal, igual a 4N. Qual é a variação da 
energia cinética do objeto?
Vamos resolver juntos?
Dados: . cF x E∆ = ∆
m = 3 kg
Figura 8: Força que atua sobre o bloco em superfície lisa.
108 UNIUBE
x∆ = 8 m
F = 4N 4.8 32cE J∆ = =
Encontramos que a variação da energia cinética do objeto foi de 32 J.
3. Sobre um pequeno bloco de madeira de massa 6 kg, atua uma força F, 
horizontal e paralela à superfície, conforme a ilustração a seguir. Determine 
o trabalho realizado, ou seja, a quantidade de energia transferida pela força, 
em um deslocamento de 5 m. Considere a superfície completamente lisa, 
desprezando o atrito.
4. Um objeto de massa 2 kg, inicialmente em repouso, percorre uma 
distância igual a 4 m em uma superfície horizontal sem atrito, sob a ação de 
uma força constante, também horizontal, igual a 5N. Qual é a variação da 
energia cinética do objeto?
AGORA É A SUA VEZ
Após termos estudado o conceito de trabalho e o teorema da energia 
cinética, estudaremos, agora, mais uma das formas de energia que um 
corpo pode ter, que é a energia potencial.
Energia potencial3.9
A energia potencial é a energia que um corpo possui por causa de sua 
posição. Temos várias formas de energias potenciais. Vejamos com 
detalhes.
 UNIUBE 109
3.9.1 Energia potencial gravitacional
Consideremos um corpo de peso P a certa altura do solo. Se tal 
corpo for abandonado a partir do repouso, ele cairá, e sua velocidade 
gradativamente aumentará. Então, à medida que o corpo cai, sua energia 
cinética aumenta.
Mas de onde está vindo tal energia? Que força terá transferido 
essa energia ao corpo?
Podemos verificar que desprezando a resistência do ar, a única força que 
age no corpo é o seu peso P. Logo, a energia cinética que o corpo possui 
em determinado instante foi-lhe transferida pelo peso P, ou seja, a força 
peso do corpo que realizou o trabalho.
Vamos, então, calcular o trabalho realizado pela força peso.
Já sabemos que o trabalho realizado por uma força pode ser calculado por:
.w F x= ∆
Consideremos o corpo de peso P = m.g, inicialmente no ponto A e, mais tarde, 
no ponto B, depois de cair de uma altura h, conforme a Figura 9, a seguir.
Figura 9: Esquema de pesos.
Fonte: Acervo EAD-Uniube.
110 UNIUBE
Observe que a componente do peso P na direção do deslocamento é o 
próprio peso P. Assim, o trabalho da força peso será:
. . .w F x w m g h= ∆ → =
( ) . .pt gravE m g h=
Logo, podemos verificar que a energia potencial gravitacional que o 
corpo possui pode ser encontrado através da massa [ m ] do corpo, da 
aceleração da gravidade [ g ] e da altura [ h ] em relação a um referencial.
Apesar de termos calculado o trabalho da força peso em uma trajetória 
retilínea vertical, pode-se demonstrar que tal trabalho não depende da 
forma da trajetória. Isso nos permite classificar a força peso como força 
conservativa, ou seja, uma força cujo cálculo de seu trabalho não depende da 
trajetória de seu ponto de aplicação, mas apenas das posições inicial e final.
IMPORTANTE!
3.9.2 Energia potencial elástica
Outra forma de energia potencial que um corpo pode ter é a energia 
potencial elástica, que ocorre quando a força que está interagindo no 
sistema é uma força elástica, geralmente em um sistema massa-mola.
Imagine uma mola totalmente comprimida e encostada - não presa - em um 
corpo apoiado numa superfície sem atrito, conforme a Figura 10, a seguir.
Figura 10: Esquema com mola.
Fonte: Acervo EAD-Uniube.
 UNIUBE 111
Quando a trava de segurança é liberada, a força elástica exercida pela 
mola realiza um trabalho sobre o bloco até que a mola chegue à sua 
posição de equilíbrio e, então, o objeto passa a descrever um movimento 
uniforme. Este trabalho provoca variação na energia cinética do bloco. 
Se o bloco ganhou energia, é porque ele a recebeu de alguém, e, no 
caso, foi da mola.
Para encontramos a energia potencial elástica, basta calcularmos o 
trabalho realizado pela força elástica, que pode ser encontrada através 
da área do gráfico da Figura 11, a seguir.
Figura 11: Cálculo da energia potencial elástica. 
Fonte: Acervo EAD-Uniube.
(área do .
2
F xw =
 
triângulo)
Sendo a força elástica, determinada pela lei de Hooke, como: .F k x=
Substituindo, teremos, então, que:
. . ² ²
2 2 2
k x x kx kxw w= = → =
Veja que, para encontrarmos a energia potencial elástica de um sistema 
massa-mola, basta conhecermos a constante elástica da mola [ k ] e a 
deformação da mola [ x ].
112 UNIUBE
6 - Suponha que um tijolo de massa 1 kg esteja a uma altura de 20 m; 
admitindo que a gravidade g neste local seja de g = 10 m/s2. Determine a 
energia potencial gravitacional que este tijolo possui.
Vamos resolver juntos?
Dados:
m = 1 kg 
Temos que: ( ) . .pt gravE m g h=
h = 20m
g = 10m/s² ( ) 1.20.10 200pt gravE J= =
Então, podemos verificar que a energia potencial gravitacional armazenada 
no sistema é de 200J.
7 - Uma mola de constante elástica igual a 300 N/m sofre uma deformação 
de 0,2 m mediante a aplicação de uma força F.
Determine:
a) A intensidade da força F.
b) A energia potencial elástica armazenada no sistema.
Vamos resolver juntos?
a) Resolução:
Dados:
K = 300 N/m 
Temos que:
X = 0,2 m
F = ?
F = k.x
EXEMPLIFICANDO!
 UNIUBE 113
300 .0,2 60NF m N
m
= =
Então, encontramos que a força necessária para provocar uma deformação 
de 0,2m é 60N.
b) Resolução:
Dados:
K = 300 N/m
Temos que:
X = 0,2 m
2
2
kxF =
300.(0,2)² 300.0,04 6
2 2
F J= = =
Logo, a energia potencial elástica armazenada no sistema é de 6 J.
Resumo
Consideremos a situação prática na qual uma pessoa puxa uma caixa 
ao longo de um piso horizontal; estamos tendo uma representação de 
trabalho cuja força será constante e que, por definição, teríamos:
. .cosW F r θ= ∆
A unidade da grandeza trabalho corresponde à unidade de força 
multiplicada pela unidade de deslocamento. No SI, a unidade de trabalho 
é joule (J):
joule = newton • metro
1J corresponde ao trabalho realizado por uma força constante de módulo 
1 N, paralela a um deslocamento de 1 m.
114 UNIUBE
Calcular o trabalho pela área significa que o gráfico deve ser da força em 
função do deslocamento.
Suponhamos que um corpo esteja sob a ação de uma força cuja 
projeção (Fx) seja constante em determinado deslocamento. O gráfico 
da intensidade dessa projeção em função do deslocamento é:
Figura 12: Gráfico da intensidade dessa projeção 
em função do deslocamento.
Fonte: Acervo EAD-Uniube.
A área assinalada na figura anterior representa, numericamente, o 
trabalho realizado pela força no deslocamento:
nw = Área
• Energia
Dizemos que um sistema de corpos (eventualmente, esse sistema pode 
ter um único corpo) tem energia quando as forças que ele aplica têm 
condições de realizar trabalho. Assim, medir a energia de um sistema 
corresponde a medir o trabalho que pode ser realizado. Outra decorrência 
imediata é que, assim como o trabalho de uma força, a energia também 
é uma grandeza escalar. Considerando as várias formas possíveis de 
energia (térmica, elétrica etc.), verifica-se que, para um sistema de corpos 
em que não há troca de energia com corpos alheios a esse sistema, a 
energia é conservada. Esse é o princípio da conservação da energia!
 UNIUBE 115
Lembrando o Teorema da Energia Cinética:
A energia não se cria, a energia não se perde, apenas se transforma.
IMPORTANTE!
A energia associada a um corpo, ou sistema de corpos, em movimento é 
chamada energia cinética (Ec). A energia cinética de um corpo depende 
da massa e da velocidade do corpo, sendo calculada por:
( ) ( )r c final c inicial cw E E E= − = ∆
Vamos supor que um corpo, inicialmente em movimento com velocidade 
escalar 0V , receba a ação de um conjunto de forças cuja resultante é F

 
e, após um deslocamento x∆ , apresente velocidade V. O teorema da 
energia cinética nos diz que:
O trabalho realizado pela resultante das forças aplicadas no corpo 
corresponde a uma variação de energia cinética (acréscimo ou decréscimo).
IMPORTANTE!
• Potência de uma máquina
Por definição, se uma máquina transforma a quantidade de energia E∆ 
em um intervalo de tempo t∆ , sua potência média (Pm) nesse intervalo é:
No SI, a unidade de potência é watt (W): watt = joule por segundo.
Admite-se também, para a potência, uma antiga unidade britânica 
consagrada pelo uso, que é o hp. Essa unidade compara desempenho 
de uma máquina com o de um cavalo. A própria sigla é a abreviação 
britânica de cavalos de potência: hp = horsepower. A relação entre essa 
unidade e a unidade do SI é: 1 hp = 746 W.
116 UNIUBE
Uma outra unidade, comparando máquina e cavalo, foi estabelecida 
pelos franceses, cv (cheval vapeur): 1 cv = 735 W.
• Trabalho da força peso
O trabalho da força peso não depende do deslocamento e da inclinação (a); de- 
pende apenas do desnível (d) entre os dois pontos.
• Forças conservativas
As forças cujo trabalho não depende da trajetória são chamadas de 
forças conservativas. Dizemos, então, que a força peso é uma força 
conservativa. Como exemplo da força não conservativa, podemos citar 
a força de atrito: quando um corpo é deslocado entre dois pontos de uma 
superfície horizontal em que haja atrito, o trabalho realizado pela força de 
atrito depende da trajetória efetuada pelo corpo entre os dois.
• Energia potencial (EP)
A energia potencial associada a uma força conservativa corresponde 
numericamente ao trabalho que essa força tem condições de 
realizar. Uma vez que o trabalho é sempre referido a um determinado 
deslocamento, a energia potencial corresponde numericamente ao 
trabalho w.
• Energia potencial elástica
A força elástica também é uma força conservativa. Para a força elástica, 
temos:
.F k x= −


Direção do eixo da mola
Sentido contrário ao da deformação.
 
Intensidade .F k x=
2
2Pel
kxE =
 UNIUBE 117
• Energia potencial gravitacional
Quando um corpo de massa m se encontra a uma altura h, medida em 
relação a um plano de referência arbitrário, a força peso tem condições 
de realizar trabalho.
O trabalho da força peso no deslocamento da posição mostrada na 
Figura 9 até a posição de referência é:
.W P h=
O desnível entre a posição inicial e a posição final é a própria altura h. 
A expressão anterior corresponde à energia potencial gravitacional do 
corpo na posição indicada em relação ao solo (referencial). Sendo:
.pE m g= , temos:
. .pE m g h=
Referências
FEYNMAN, Richard; LEIGHTON, R.; SANDS, M. The feynman lectures on physics. 
v. 1, Califórnia Institute of Technology: Addison-Wesley Publishing Company, 1963.
PALZ, Wolfgang. Energia solar e fontes alternativas. São Paulo: Hemus, 1981.
Luiz Pessoa Vicente Neto
Introdução
Capítulo
4
Falemos, inicialmente, sobre a origem da eletrostática.
As primeiras experiências com eletrostática 
ou com fenômenos elétricos são praticadas 
desde os antigos gregos, que perceberam 
que o âmbar, ao ser atritado a outro 
material isolante (pele de animal, por 
exemplo) adquiria a capacidade de atrair 
pequenos objetos, como pedaços de palha 
ou fi apos de tecido.
Como a palavra grega correspondente a âmbar é eléctron, 
os corpos que tinham comportamento semelhante ao âmbar 
passaram a ser chamados de “eletrizados”. Daí surgiu a palavra 
“eletricidade”.
Hoje em dia, somos totalmente dependentes da eletricidade. Ela 
está presente em quase todos os itens que nos trazem conforto e 
em muitos fenômenos que presenciamos.
Neste capítulo, iniciaremos o estudo da eletricidade com a 
eletrostática, ou seja, com o estudo das cargas elétricas em 
repouso.
Eletrostática: força 
elétrica, campo elétrico 
e potencial elétrico.
Âmbar 
Pedra amarelada 
originada da 
fossilização de 
resinas de árvores.
120 UNIUBE
Ao final deste capítulo, é esperado que você se torne capaz de:
• identificar alguns fenômenos físicos relacionados à 
eletrostática;
• realizar experimentos para provar alguns conceitos e leis 
eletrostáticas;
• representar, matematicamente, os fenômenos elétricos;
• interpretar, sistematizar e resolver exercícios relacionados à 
força elétrica, campo elétrico e potencial elétrico.
Objetivos
4.1 Carga elétrica
4.1.1 Quantização da carga elétrica
4.1.2 Conservação da carga elétrica
4.1.3 Eletrização por indução 
4.1.4 Condutores e isolantes
4.2 Lei de Coulomb 
4.2.1 Força de um sistema de cargas
4.3 Campo elétrico
4.3.1 Campo elétrico de uma carga puntiforme
4.3.2 Linhas de campo elétrico
4.3.3 Campo elétrico entre duas cargas puntiformes de sinais 
 diferentes
4.3.4 Campo elétrico entre duas cargas puntiformes de sinais 
 iguais
4.3.5 Campo elétrico uniforme
4.3.6 O campo elétrico em distribuições contínuas de carga
4.4 Potencial elétrico (V)
4.4.1 Potencial elétrico devido a um sistema de cargas 
 puntiformes 
4.4.2 Superfícies equipotenciais
Esquema
 UNIUBE 121
Carga elétrica4.1
O termo “carga elétrica” foi utilizado, pela primeira vez, por Benjamin 
Franklin, em 1748, emsua experiência com os bastões isolantes. Por 
suas contribuições nesta área, ele é considerado o pai da eletricidade.
A experiência de Benjamin Franklin foi feita da seguinte forma:
• Franklin pegou dois bastões de mesmo material resinado ou 
plástico, igualmente construídos;
• colocou um deles suspenso em um suporte, de forma que ele 
pudesse girar;
• aproximou deste bastão suspenso o outro e percebeu que nada 
acontecia, pois teoricamente os dois estavam neutros, ou seja, 
possuíam a mesma quantidade de cargas;
• então, atritou os dois bastões com pelica (pele de animal). Ao 
aproximar os dois bastões, novamente ele percebeu que o bastão 
suspenso era repelido.
Franklin repetiu a mesma experiência utilizando dois bastões iguais de 
vidro, porém, atritados com seda, e observou o mesmo resultado. Por 
último, manteve o bastão de vidro atritado com seda suspenso, aproximou 
deste o bastão de resina atritado com pele de animal e visualizou que o 
bastão de vidro suspenso era atraído (Figura 1).
Com isso, Benjamin Franklin percebeu que a fricção ou atrito nos 
bastões fez com que eles ficassem carregados eletricamente e, a partir 
disso, criou um modelo para explicar os efeitos da eletricidade em um 
corpo. Basicamente, ele dizia que todo corpo possuía uma quantidade 
normal de eletricidade que podia ser transferida de um para o outro, 
através da esfregação, sendo que um corpo fica com uma grande 
quantidade de cargas e o outro com uma grande falta, sempre em 
quantidades iguais.
122 UNIUBE
Figura 1: Experiência de Benjamin Franklin.
Franklin identifi cou as cargas resultantes pelos sinais de mais (positivo) 
e de menos (negativo), classifi cando como positiva a carga adquirida 
pelo bastão de vidro quando atritado pela seda. A seda fi cou, então, com 
carga negativa em mesma quantidade. Por sua vez, o plástico atritado 
com pele de animal fi cou com carga negativa e a pele de animal fi cou 
com carga positiva sempre na mesma proporção.
Baseado nisso, Franklin comprovou que dois corpos com carga de mesmo 
sinal se repelem e os com carga de sinais opostos se atraem.
IMPORTANTE!
Hoje em dia, sabe-se que quando o plástico é friccionado com a pele de 
animal, os elétrons da pele são transferidos para o plástico, fi cando este 
com excesso de elétrons – com carga elétrica negativa – e a pele de 
animal fi ca com falta de elétrons – com carga elétrica positiva.
Da mesma forma acontece com o atrito entre o vidro e a seda. O vidro 
doa elétrons para a seda e fi ca sem, com carga elétrica positiva, enquanto 
a seda que recebe elétrons fi ca com carga elétrica negativa, respeitando 
o modelo de Franklin, que é utilizado até hoje.
 UNIUBE 123
Quando dois materiais isolantes são atritados, um doará elétrons para 
o outro; o que define qual material doará e qual material receberá é 
uma tabela chamada tabela triboelétrica (do grego tribos, que significa 
“fricção”).
Quanto mais baixo o material está na tabela, maior é a chance de ele 
receber elétrons. Portanto, se dois materiais da tabela forem atritados, um 
mais acima e um mais abaixo, o material que se encontra mais acima irá 
transferir elétrons para o material do Quadro 1 que está mais abaixo.
IMPORTANTE!
(mais positivo)
Pele humana seca
Couro
Pele de coelho
Vidro
Cabelo humano
Fibra sintética (nylon)
Lã
Chumbo
Pele de gato
Seda
Alumínio
Papel
Algodão
Aço
Madeira
Âmbar
Borracha dura
Níquel, Cobre
Latão, Prata
Ouro, Platina
Poliéster
Isopor
Filme de PVC (“magipack”)
Quadro 1: Tabela triboelétrica
124 UNIUBE
Poliuretano
Polietileno (fita adesiva)
Vinil (PVC)
Silicone
Teflon
(mais negativo)
 
Se o couro for atritado com o isopor, o primeiro irá doar elétrons para o 
segundo, pois o couro está na posição superior da tabela, contrário ao isopor.
EXEMPLIFICANDO!
4.1.1 Quantização da carga elétrica
Tudo o que conhecemos é chamado de matéria, que é composta por 
átomos. Os átomos são eletricamente neutros, pois cada um possui um 
núcleo, e nele ficam localizados os nêutrons e os prótons Os nêutrons, 
como o próprio nome já diz, têm carga elétrica neutra, enquanto os 
prótons possuem carga elétrica positiva.
O número atômico (z) de um elemento é definido pelo número de prótons 
deste elemento. Ao redor do núcleo encontram-se os elétrons, em 
quantidade idêntica à dos prótons. Os elétrons possuem carga elétrica 
negativa, de forma a manter o átomo com carga elétrica resultante nula. 
Apesar de possuir uma massa aproximadamente duas mil vezes menor 
que a do próton, a carga do elétron tem o mesmo valor da carga do 
próton. Esta carga elétrica presente nos prótons e nos elétrons é uma 
característica intrínseca da partícula.
Dizemos que a carga elétrica é uma grandeza quantizada, pois ela ocorre 
na forma de um múltiplo inteiro da unidade fundamental da carga elétrica, 
ou seja, qualquer quantidade de carga elétrica presente em um elemento 
pode ser calculada matematicamente por:
Q = ± N.е
 UNIUBE 125
em que:
Q = quantidade de carga elétrica presente em um material;
N = número de partículas (prótons ou elétrons), presente no material;
е = 1,6.10-19, valor da carga elétrica (próton ou elétron).
4.1.2 Conservação da carga elétrica
Ao se atritar dois corpos, um deles ficará com uma quantidade excessiva 
de elétrons, com carga resultante negativa; o outro corpo ficará com falta 
de elétrons e carga resultante positiva. Porém, a carga resultante entre os 
dois corpos permanece constante, ou seja, a quantidade de elétrons que 
está em excesso no corpo é a mesma que está em falta no outro corpo. 
Qualquer quantidade de carga produzida ou destruída será retirada ou 
reposta nesse processo, fazendo com que a carga resultante no universo 
permaneça inalterada, respeitando, assim, a lei da conservação da carga 
elétrica, que é uma lei fundamental da natureza.
No Sistema Internacional de medidas, a unidade de carga elétrica é o 
Coulomb (C). O Coulomb é a quantidade de carga que passa por um 
condutor em um segundo, quando este está sendo percorrido por uma 
corrente de um ampere. A unidade fundamental de corrente elétrica “е”, 
como visto anteriormente, está relacionada ao Coulomb por:
е = 1,6.10-19 C
4.1.3 Eletrização por indução
A lei da conservação da carga pode ser visualizada por meio de simples 
experimentos, utilizando a eletrização por indução. Para entendermos a 
eletrização por indução, basta imaginarmos duas esferas idênticas. Uma 
com carga positiva +Q e a outra neutra (descarregada eletricamente). 
Este valor representa a carga de um elétron.
126 UNIUBE
Quando aproximarmos uma esfera da outra, a carga resultante em cada 
esfera será de +1/2Q, pois se elas são idênticas, a carga irá se dividir 
entre elas igualmente.
Se, enquanto essas duas esferas estiverem em contato, um bastão 
carregado negativamente for aproximado delas e ficar com carga 
resultante de +4Q, isto quer dizer que cada esfera ficará com carga 
resultante de -2Q.
Existe um instrumento utilizado para visualizar a transferência de carga 
por indução. Esse instrumento chamado de eletroscópio, é constituído de 
uma esfera de metal condutor, fixada em uma haste também condutora. 
Na parte inferior da haste existem duas pequenas folhas, em geral de 
papel-alumínio, igualmente presas na haste.
Quando encostamos um bastão carregado negativamente na esfera, 
parte dos elétrons será transferida para ela e, consequentemente, 
chegará às duas folhas de papel-alumínio, através da haste. Como as 
duas folhas terão a mesma quantidade de carga de mesmo sinal, elas 
irão se repelir, afastando-se uma da outra. O mesmo acontecerá quando 
um bastão carregado positivamente entrar em contato com a esfera. 
Porém, desta vez, o bastão vai atrair os elétrons da esfera metálica 
deixando as folhas com carga resultante positiva(Figuras 2 e 3).
Figura 2: Bastão carregado.
Fonte: Acervo EAD-Uniube.
 UNIUBE 127
Figura 3: Eletroscópio carregado e neutro.
Fonte: Acervo EAD-Uniube.
Duas esferas idênticas estão separadas uma da outra. A esfera 1 tem carga 
+Q e a esfera 2 tem carga -2Q. Pergunta-se:
a) se as duas esferas forem colocadas em contato, qual será a sua carga 
resultante em cada esfera?
b) se uma terceira esfera idêntica com carga -2Q for colocada em contato 
com as outras duas, qual será a carga resultante em cada esfera?
Resolução:
a) As duas terão carga resultante de -1/2Q, devido ao fato de que, como as duas 
esferas são idênticas, elas devem distribuir igualmente a carga total entre elas.
b) As três terão carga resultante de –Q, porque como a terceira também é 
idêntica às outras duas, elas devem distribuir igualmente a carga total entre elas.
EXEMPLIFICANDO!
4.1.4 Condutores e isolantes
O que caracteriza o material bom condutor é o fato de os elétrons de 
valência estarem fracamente ligados ao núcleo do átomo, podendo ser 
128 UNIUBE
facilmente deslocados dele (por exemplo, o cobre possui um elétron na 
última camada). Ora, consideremos, por exemplo, uma barra de cobre 
que possui um número extremamente elevado de átomos de cobre e 
apliquemos uma diferença de potencial entre os extremos desta barra. 
Os elétrons da camada de valência de todos os átomos facilmente se 
deslocarão sob a ação de uma energia bem pequena, originando-se uma 
corrente elétrica no material.
Outros materiais que possuem uma constituição semelhante à do cobre, 
com um único elétron na camada de valência, são o ouro e a prata, dois 
outros excelentes condutores de eletricidade.
Obviamente, os materiais isolantes devem corresponder aos materiais 
que apresentam os elétrons de valência rigidamente ligados ao núcleo 
de seus átomos. Entre os próprios elementos simples, existem vários 
que apresentam os elétrons de valência rigidamente ligados ao núcleo 
dos átomos. Entretanto, verifica-se que se consegue uma resistividade 
muito maior com substâncias compostas, como é o caso da borracha, 
mica, teflon, baquelite etc.
É mais ou menos intuitivo que os átomos se combinam, formando estruturas 
complexas: os elétrons ficam mais fortemente ligados a essas estruturas.
IMPORTANTE!
Lei de Coulomb4.2
As primeiras medidas quantitativas da intensidade da força elétrica foram 
feitas por Charles Coulomb, em 1780. Ele provou experimentalmente 
a intensidade de força de ação mútua entre duas cargas elétricas 
puntiformes.
Suponha duas cargas Q1 e Q2 isoladas de qualquer outra distribuição de 
cargas e campos. Segundo a Lei de Coulomb, a força que cada carga 
sofre é diretamente proporcional ao produto das cargas e inversamente 
proporcional ao quadrado da distância que as separa . Assim, podemos 
escrever, por exemplo, que a força sobre a carga Q2 exercida pela carga 
Q1 será:
 UNIUBE 129
Do mesmo modo, a força sobre Q1 exercida por Q2 será:
Em que r12 = r21 é a distância que separa as cargas.
Se as cargas tiverem sinais opostos, a força será atrativa, e se os sinais 
forem iguais, a força será repulsiva. Lembrando que as cargas estarão 
sempre em módulo, isto quer dizer que o vetor força elétrica será sempre 
positivo. A constante de proporcionalidade, ou constante de Coulomb (K), 
foi defi nida empiricamente e depende do meio onde estão inseridas as 
cargas, e seu valor depende do sistema de unidades. Assim, se o meio 
é vácuo e o sistema de unidade é o St, teremos que so é a constante 
de 1/ 4. .K oπ ε= .
Permissividade do vácuo e tem valor 12 2 28,85.10 / .o C N mε −= . Assim, o 
valor de K = 9.109N.M2/C2.
Como sabemos, a força tem natureza vetorial e deve ser assim expressa. 
Além disso, devemos buscar uma expressão de caráter vetorial que 
descreva também os fenômenos de atração ou repulsão entre as cargas.
Calcule a força elétrica entre duas Cargas Q1=6µC na posição x1 = origem, 
e Q2 = 13µC na posição x2 = 5cm.
Resolução:
F12 = 9.109 . 6.10-6.13.10-6/(0,05)²
F12 = 280,8 N
EXEMPLIFICANDO!
130 UNIUBE
4.2.1 Força de um sistema de cargas
Em um sistema de cargas, cada carga exerce uma força sobre todas 
as outras. A força resultante sobre qualquer carga é o vetor soma das 
forças exercidas individualmente sobre aquela carga por todas as outras 
que estão presentes no sistema. E, como o vetor força elétrica é sempre 
positivo, é necessário analisar a direção das forças, para se descobrir o 
sinal da força calculada (Figura 4).
Figura 4: Análise das forças.
Dado o sistema de cargas a seguir, e sabendo que Q1 = 6ȠC, Q2 = -7ȠC e 
Q3 = -15ȠC, encontre a força resultante na carga Q1.
EXEMPLIFICANDO!
Q3
Q2
Q1
 UNIUBE 131
Resolução:
Primeiro, precisaremos calcular a força F12 e a força F13 e, depois somá-las 
vetorialmente.
• Calculando as distâncias:
D1 ² = 4,0² + 7,0² = 8,06cm, então d1 = 0,0806M
d2 ² = 4,0² + 10,0² = 10,77cm, então d2 = 0,1077M
F12 = 9.109 . 6.10-9 . 7.10-9/(0,0806)² = F12 = 5,82.10-5 N.
F13 = 9.109 . 6.10-9 . 15.10-9/(0,1077)² = F13 = 6,98.10-5 N.
Como estes dois vetores estão nos dois eixos e a força resultante é 
um somatório dos dois vetores, deve-se somar estes vetores. E, para 
somá-los, é necessário decompô-los em suas componentes Fx e Fy, para 
posteriormente serem somados.
• Achando os ângulos:
θ 1 = tan-1 7/4 = 60,26°
θ 2 = tan-1 10/4 = 68,20°
• Decompondo:
F12x = 5,82.10-5 . cos(60,26) = 2,89.10-5 N
F12y = 5,82.10-5 . sen(60,26) = 5,05.10-5 N
Como a força entre Q1 e Q2 é de atração, o 
vetor F12 estará no primeiro quadrante, então as 
componentes F12x e F12y serão positivas.
F13x = 6,98.10-5 . cos(68,20) = 2,89.10-5 N
F13y = 6,98.10-5 . sen(68,20) = -6,48.10-5 N 
Como a força entre Q1 e Q3 é de atração, o vetor F13 estará no quarto 
quadrante, então, a componente F12x é positiva e F12y é negativa.
• Somando as componentes:
Fx = 2,89.10-5 + 2,89.10-5 = 5,48.10-5N.
Fy = 5,05.10-5 + (-6,48.10-5) = -1,43.10-5 N
132 UNIUBE
Campo elétrico4.3
Existe uma região de infl uência de uma carga Q, onde qualquer carga de 
prova nela colocada estará sob ação de uma força de origem elétrica. A 
essa região, chamamos de campo elétrico.
Então, sempre que uma carga elétrica estiver num campo elétrico 
fi cará sujeita a uma força elétrica, e haverá cargas elétricas positivas 
e negativas. Se a carga for positiva, a força que age sobre ela tem o 
sentido do campo elétrico. Se for negativa, dá-se o inverso. O campo 
elétrico é originado em cargas positivas e termina em cargas negativas. 
O seu sentido pode ser representado por linhas imaginárias, chamadas 
de linhas de campo elétrico ou linhas de força.
O campo elétrico produzido pela carga elétrica +Q atrai a carga de prova 
–q gerando uma força elétrica de atração entre elas. Nessa situação, o 
valor do campo elétrico é calculado como: E = F/q [N/C].
Figura 5: Campo elétrico.
• Encontrando a força resultante na carga Q1:
Frq1² = (5,48.10-5)² + (-1,43.10-5)²
Frq1 = 5,66.10-5 N
 UNIUBE 133
4.3.1 Campo elétrico de uma carga puntiforme
O campo elétrico pode ser representado, em cada ponto do espaço, por 
um vetor, usualmente simbolizado por E

 e que se denomina vetor campo 
elétrico, sendo: E = k |Q|/r², e sua unidade é o Newton por Coulomb 
(N/C). O vetor campo elétrico será sempre positivo, pois a carga Q estará 
sempre em módulo.
Na Figura 6, podemos visualizar o campo elétrico por meio das linhas de 
campo. Note que o campo elétrico é sempre orientado da carga positiva 
para a negativa.
Figura 6: Sentido do campo elétrico.
4.3.2 Linhas de campo elétrico
Faraday imaginou que as cargas elétricas e os ímas deviam criar, na sua 
vizinhança, uma espécie de “fantasma” invisível, inodoro e imperceptível 
ao seu tato. Os puxões e empurrões sobre objetos, outras cargaselétricas 
e outros ímas seriam da responsabilidade desse “fantasma”. Para isso, 
o “fantasma” deveria ocupar todo o espaço: só assim ele poderia estar 
sempre em contato com outras cargas.
Para visualizar o “fantasma elétrico”, imergiu as cargas elétricas em óleo 
e jogou fubá sobre elas. Ele chamou as linhas observadas de linhas de 
força elétrica ou linhas de campo elétrico. Para ele, essas linhas tinham 
as propriedades de elásticos reais.
Com base nessas linhas de campo elétrico é que podemos visualizar o 
campo elétrico entre duas cargas.
Nas cargas puntiformes, o campo elétrico é representado por linhas, 
sendo que nas cargas positivas essas linhas estarão sempre saindo, e 
nas cargas negativas as linhas estarão sempre entrando (Figura 7).
134 UNIUBE
Figura 7: Cargas positiva e negativa.
4.3.3 Campo elétrico entre duas cargas puntiformes de sinais 
diferentes
Linhas de campo elétrico para duas cargas puntiformes iguais, de mesmo 
módulo, porém de sinais diferentes. Note que as cargas se atraem e a 
direção do campo é orientada da carga positiva para a carga negativa 
(Figura 8).
Figura 8: Campo elétrico entre duas cargas puntiformes de sinais diferentes.
 UNIUBE 135
4.3.4 Campo elétrico entre duas cargas puntiformes de sinais iguais.
Linhas de campo elétrico para duas cargas puntiformes iguais, de mesmo 
módulos, e sinais iguais. Note que as cargas se repelem, portanto as 
linhas de campo também se repelem (Figura 9).
Figura 9: Campo elétrico entre duas cargas puntiformes de sinais iguais.
4.3.5 Campo elétrico uniforme
Quando se colocam duas placas paralelas iguais, porém com cargas de 
sinais diferentes, o campo entre elas é uniforme, ou seja, em qualquer 
ponto da placa o vetor E é constante e perpendicular à placa. O vetor E 
é sempre orientado da carga positiva para a negativa (Figura 10).
Figura 10: Campo elétrico uniforme.
136 UNIUBE
4.3.6 O campo elétrico em distribuições contínuas de carga
Até agora, trabalhamos com a carga elétrica quantizada, ou seja, com 
uma carga puntiforme. Porém, existem situações em que essas cargas se 
encontram muito perto umas das outras, como uma distribuição contínua 
de cargas.
Nesses casos, não trabalhamos com cargas puntiformes, e sim com 
uma densidade de cargas. Essas densidades podem ser lineares, 
volumétricas, superfi ciais, ou seja, de acordo com o tipo de situação em 
que se encontram essas cargas.
Não iremos trabalhar com as distribuições contínuas de carga, porém, 
vale apenas ressaltar que tais situações podem acontecer.
Determine o valor do campo elétrico no ponto P, em x = 8,0 cm, para uma 
carga Q de 3µC localizada em x = 2,0 cm.
EXEMPLIFICANDO!
Resolução:
E = 9.109 . 3.10-6 / (0,06)²
E = 7,5.106 N/C
Como a carga é positiva, o vetor campo elétrico estará saindo da carga em 
direção ao ponto P, portanto, o campo elétrico será positivo.
 UNIUBE 137
Potencial elétrico (V)4.4
O potencial elétrico é uma grandeza muito utilizada e muito conhecida 
por todos nós. Também conhecido como voltagem ou tensão, ele 
é responsável pelo funcionamento de todos os eletrodomésticos e 
equipamentos eletrônicos que possuímos em casa.
Este potencial é, na verdade, uma diferença de potencial (DDP) entre 
dois pontos.
Por exemplo, devemos imaginar dois pontos: A e B. B com potencial 
nulo e A com um potencial qualquer. Sabendo que entre A e B existe um 
campo elétrico, coloquemos no ponto B uma carga de prova. O potencial 
sobre esta carga será o trabalho necessário, ou a energia necessária 
para esta carga se locomover do ponto B em direção ao ponto A.
Quando se coloca a carga negativa “q” entre os dois pontos A e B, sujeitos 
a um potencial elétrico, esta carga vai sair do ponto de menor potencial 
(B) em direção ao ponto de maior potencial (A). Este trabalho gasto pela 
carga q do ponto A ao ponto B é chamado de potencial elétrico (Figura 11).
Em outras palavras, a diferença de potencial elétrico (DDP) entre dois 
pontos ocasiona o deslocamento espontâneo de cargas ao nível do 
campo elétrico, onde atuam forças que realizam trabalho. Um aparelho 
elétrico ou eletrônico só funciona quando se cria uma diferença de 
potencial entre os pontos em que esteja ligado para que as cargas 
possam se deslocar de um ponto para o outro.
Figura 11: Potencial elétrico.
138 UNIUBE
Quando se diz que uma bateria de carro é de doze volts, isto quer dizer que 
o potencial de um dos terminais da bateria é doze vezes maior que o outro.
SAIBA MAIS
A unidade do potencial elétrico é o volts (V), e o trabalho realizado para 
deslocar uma carga será:
/ [ ]VA VB WAB q V− =
Em que:
VA = Potencial no ponto A (V);
VB = Potencial no ponto B (V);
WAB = Trabalho efetuado pela carga para se locomover de ponto A para 
o ponto B (J);
Q = valor da carga elétrica (C).
4.4.1 Potencial elétrico devido a um sistema de cargas puntiformes
O potencial elétrico gerado por uma carga puntiforme em um ponto pode 
ser calculado pela seguinte expressão:
Em que:
K = Constante eletrostática (9.109 N.M²/C²);
Q = Carga elétrica (C);
D = Distância da carga ao ponto onde se deseja calcular o potencial (M).
Esse potencial pode ser positivo ou negativo, dependendo do sinal da 
carga, ou seja, se a carga for positiva, o potencial será positivo, se a 
carga for negativa, o potencial deve ser negativo.
O potencial elétrico é uma grandeza escalar, ou seja, para se somar 
os potenciais elétricos de um sistema basta que se somem todos os 
potenciais algebricamente.
 UNIUBE 139
Sabendo-se que há duas cargas puntiformes Q1=-9ȠC posicionadas no 
ponto x = 8,0 cm, e Q2 = 12ȠC posicionada no ponto y = 6,0 cm, encontre 
o potencial elétrico resultante no ponto P em x = 2,0 cm.
Resolução:
• Primeiro, após encontrar as distâncias e convertê-las para metros, 
vamos calcular os potenciais V1 e V2:
d1 = 8,0 – 2,0 = 6,0cm, então d1 = 0,06M
d2² = 6,0² + 2,0² = 6,32cm, então d2 = 0,0632M
V1 = 9.109 . -9.10-9/0,06 V1 = -1350 V
V2 = 9.109 . 12.10-9/0,0632 V2 = 1708,86 V
• Agora, para encontrarmos o potencial resultante, basta somá-los 
algebricamente:
Vt = -1350 + 1708,86 = Vt = 358,86 V.
Portanto, o potencial elétrico resultante no ponto P é de 358,86 volts.
EXEMPLIFICANDO!
140 UNIUBE
4.4.2 Superfícies equipotenciais
Superfícies equipotenciais são superfícies que possuem o mesmo 
potencial elétrico, ou seja, a variação de V nesta região é nula.
Estas linhas perpendiculares (em cinza) às linhas de campo elétrico 
mostradas, a seguir, são as superfícies equipotenciais. Considerando 
um campo elétrico uniforme, qualquer ponto de uma linha reta terá o 
mesmo valor de V (Figura 12)
Figura 12: Superfícies equipotenciais.
Resumo
Neste quarto capítulo do nosso livro de Física, conhecemos a eletrostática 
(que é o estudo das cargas elétricas em repouso).
Aprendemos como e por que o termo carga elétrica foi criado, assim 
como a experiência feita para tal processo. Conseguimos perceber como 
a carga elétrica é importante para a explicação de inúmeros fenômenos 
eletrostáticos.
Compreendemos a diferença entre os materiais isolantes e condutores. 
Calculamos a força de interação entre duas ou mais cargas elétricas, 
 UNIUBE 141
e aprendemos que o sinal dessas cargas deve ser sempre levado 
consideração ao analisarmos a direção resultante de uma força.
Conhecemos também o campo elétrico, que é uma região de influência 
de uma carga elétrica, sendo fundamental para a existência de outra 
grandeza importante chamada de potencial elétrico.
No próximo capítulo trabalharemos com a eletrodinâmica (que é o estudo 
das cargas elétricas em movimento), portanto um bom aprendizado deste 
primeiro capítulo é de fundamental importância para melhor compreensão 
do próximo.
Bons estudos!
Referências
HALLIDAY, D.; RESNICK, R. Fundamentosda física: eletromagnetismo. 
Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Cientifícos S.A., 1995. v. 3.
KELLER, F.J.; GETTYS, W.E.; SKOVE, M.J. Física. São Paulo: Makron Books, 
1999. v. 2.
TIPLER, P.A.; MOSCA, G. Física: eletricidade e magnetismo, ótica. 5. ed. 
Rio de Janeiro: LTC, 2006. v. 2.
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física III: eletromagnetismo. Sears & 
Zemansky. 12. ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2009.
Valdir Barbosa da Silva Júnior
Introdução
Capítulo
5
A termologia é o setor da física que trata da energia térmica – uma 
forma de energia causada pelo movimento dos átomos ou das 
moléculas de um corpo.
A medida da temperatura é de suma importância, e sua aplicação 
vai desde a culinária até as indústrias. Na culinária, é preciso saber 
a temperatura do forno, de congelamento e de conservação de 
alimentos em freezer, enquanto nas indústrias há temperaturas 
ideias para produzir determinados materiais ou para manter o bom 
funcionamento de máquinas, incluindo os de microcomputadores.
Este capítulo foi elaborado com o objetivo de fazer uma introdução 
ao estudo sobre calor e temperatura. Nele, abordamos os 
seguintes tópicos: temperatura, calor, estado físico da matéria, 
transmissão de calor, estudos dos gases e leis da termodinâmica.
Termologia: calorimetria, 
propriedades da matéria 
e leis da termodinâmica
Ao fi nal deste capítulo de estudos é esperado que você seja 
capaz de:
• conceituar temperatura, calor e energia térmica;
• relacionar escalas termométricas;
• diferenciar calor sensível de calor latente;
• resolver problemas relativos ao princípio das trocas de calor 
e à transferência de calor através de condutores;
Objetivos
5.1 Considerações Iniciais
5.2 Temperatura
5.2.1 Termômetro
5.2.2 Equação termométrica
5.3. Calor
5.3.1 Calor sensível
5.3.2 Capacidade térmica
5.3.3 Calor específico
5.3.4 Equação fundamental da calorimetria
5.3.5 Equivalente em água
5.3.6 Calor latente
5.3.7 Curvas de aquecimento e de resfriamento
5.3.8 Princípio geral das trocas de calor
5.4 Os estados físicos da matéria
5.4.1 Condensado de Bose-Einstein
5.4.2 Diagrama de fases
5.4.3 Transição sólido-líquido
5.4.4 Efeito Tyndall (regelo)
5.4.5 Pressão de vapor
5.4.6 Transição sólido vapor
5.5 Transmissão de Calor
5.5.1 Condução
5.5.2 Convecção
5.5.3 Irradiação
5.6 Estudo dos gases
5.6.1 Equação de Clapeyron
5.6.2 Leis das transformações dos gases
Esquema
• identificar relação entre trabalho e calor;
• explicar o funcionamento das máquinas térmicas: motor de 
explosão e refrigerador.
 UNIUBE 145
5.6.3 Teoria cinética dos gases
5.6.4 Diagrama P x V
5.6.5 Energia interna
5.7 Leis da termodinâmica
5.7.1 Algumas transformações especiais da primeira lei da
 termodinâmica
5.7.2 Segunda lei da termodinâmica
5.8 Segunda lei da termodinâmica
5.8.1 Máquinas térmicas e rendimento
5.8.2 Máquinas frigoríficas ou bomba de calor
5.8.3 Eficiência
5.8.4 Ciclo de Carnot 
5.9 Entropia
5.10 Conclusão
Considerações Iniciais5.1
A termologia (derivado de termo = temperatura e logia = estudo) é 
um ramo de estudos da física que compreende a relação entre calor 
e temperatura. Possui como divisões a termometria, a calorimetria, a 
dilatação, as trocas de calor e os princípios termodinâmicos que possuem 
inúmeras aplicações.
Vejamos alguns exemplos de situações que servem de ponto de partida 
para o estudo da termodinâmica.
• O que acontece quando colocamos uma garrafa cheia de água no 
congelador? É comum realizarmos esse procedimento e termos 
uma surpresa! Vemos que há um aumento do volume da água 
quando esta passa do estado líquido para o sólido (embora essa 
dilatação não seja comum, por tratar-se de um comportamento 
anômalo, utilizamos este exemplo por ser de fácil observação).
• Uma prática utilizada para evitar descarrilamento dos trens é 
deixar espaços que permitam a dilatação dos trilhos, pois é sabido 
146 UNIUBE
que, com o aumento da temperatura, estes, que são feitos de ferro, 
sofrem dilatações o que causa aumento em seu comprimento.
• Sabemos que um corpo está em estado febril (37,0 CC) ou com febre 
(acima de 37,0 °C) pelo uso de uma escala graduada de temperatura, 
comumente denominada termômetro. É comum a utilização da 
escala Celsius na América do Sul. Já em outras localidades, 
como na América do Norte, a escala Fahrenheit é mais utilizada.
• É muito comum o uso da expressão "botijão de gás", referenciando 
ao gás utilizado na cozinha (butano). Porém, a substância existente 
no botijão não está no estado de gás, e sim no de vapor. Seria 
mais correto, então, referenciarmos a ele como botijão de vapor? A 
resposta é não!
• Veja bem, temos o gás butano (CH4) que está no estado de vapor. 
Assim, podemos perceber que, com a diminuição do volume do 
gás, diminui também sua temperatura, pois temos um equilíbrio 
entre líquido e vapor.
Temperatura5.2
Sabemos que a matéria é constituída por moléculas, que, por sua 
vez, são dotadas de um movimento de vibração, ou seja, energia 
cinética de vibração. Alguns fatos, como materiais que se dilatam 
quando aquecidos e se contraem ao serem resfriados, assim como 
materiais sólidos que se derretem ao serem devidamente aquecidos, 
caracterizam a temperatura, que é uma palavra latina e significa 
proporção, mistura, tempero.
Podemos dizer que temperatura é uma grandeza macroscópica, 
relacionada com a grandeza microscópica do valor médio da energia 
cinética de translação das moléculas.
Falar em temperatura de um corpo significa falar sobre o nível de 
vibração de suas moléculas. Observe, por exemplo, o movimento 
das partículas na Figura 1 a seguir:
 UNIUBE 147
5.2.1 Termômetro 
Sendo a temperatura a medida do grau de agitação das partículas que 
constitui em um corpo, usamos um dispositivo que nos dá o valor de 
forma indireta desta temperatura, que recebe o nome de termômetro. 
Este está representado na Figura 2 a seguir.
Esse termômetro é constituído por um tubo fechado, dotado de um 
pequeno reservatório (bulbo) em uma das extremidades, parcialmente 
preenchido por um líquido que, em geral, é o mercúrio.
Na Figura 3, a seguir temos representadas as escalas termométricas.
Figura 3: Escalas termométricas.
Figura 1: Movimento das partículas.
Figura 2: As partes de um termômetro.
148 UNIUBE
• 1º ponto fixo: corresponde à temperatura de fusão do gelo; 
chamado ponto do gelo.
• 2º ponto fixo: corresponde à temperatura de ebulição da água; 
chamado ponto de vapor
5.2.2 Equação termométrica 
Nesse tipo de termômetro, a grandeza termométrica é a altura da coluna 
de mercúrio no interior do tubo e, a cada valor de altura h da coluna de 
mercúrio, associamos uma correspondente temperatura 0.
A correspondência entre h e 0 constitui a função termométrica. Vejamos:
t = a . G + b
Em que:
• a e b são constantes a serem determinadas, sendo que a ≠ 0;
• G é a grandeza termométrica (comprimento da coluna de mercúrio 
em termômetro);
• t é a temperatura.
A relação entre escalas representada na Figura 4, a seguir, refere-se às 
três termométricas: Celsius, Kelvin, Fahrenheit.
Figura 4: Escalas termométricas: Celsius, Kelvin, Fahrenheit.
32 273
5 9 5
F Kq q− −= =
 UNIUBE 149
Escala Absoluta Kelvin
Não podemos definir qual é a temperatura mais alta que existe. Por 
exemplo, as estrelas podem atingir trilhões de graus, mas podemos 
demonstrar que existe um limite inferior de temperatura, isto é, um estado 
térmico mais frio que qualquer outro. Este é chamado de zero absoluto.
O zero absoluto de temperatura tem desafiado todas as tentativas 
experimentais de alcançá-lo. Descoberto pelo físico irlandês William 
Thomson (1824-1907), que recebeu o título de Lorde Kelvin, é a menor 
temperatura existente.
Atividade 1
Responda às seguintesquestões:
A. Um termômetro mal construído indica 99ºC no 2º ponto fixo e 1ºC no 1º 
ponto fixo. Se um valor de 40ºC estiver marcado nesta escala, qual será a 
indicação na escala correta?
B. O sêmen (bovino) para inseminação artificial é conservado em nitrogênio 
líquido que, à pressão normal, tem temperatura de 78º K. Calcule essa 
temperatura em:
a. graus Celsius (°C);
b. graus Fahrenheit (ºF).
C. Em uma aula de física laboratorial, um grupo de alunos com o objetivo de 
recalibrar um velho termômetro com a escala totalmente apagada, coloca-o 
em equilíbrio térmico, primeiro, com gelo fundente e, depois, com água em 
ebulição sob pressão atmosférica normal. Em cada caso, eles anotam a 
altura atingida pela coluna de mercúrio: 10,0 cm e 30,0 cm, respectivamente, 
medida sempre a partir do centro do bulbo. A seguir, eles esperam que o 
termômetro entre em equilíbrio térmico com o laboratório e verificam que, 
nesta situação, a altura da coluna de mercúrio é de 18,0 cm.
Qual é a temperatura do laboratório na escala Celsius desse termômetro? 
(Veja a Figura 5.)
AGORA É A SUA VEZ
150 UNIUBE
Figura 5: Gráfico correspondente à temperatura indicada no termômetro.
Calor5.3
Energia térmica é a energia de vibração das moléculas que constitui 
um corpo. Essa energia térmica em trânsito, ou seja, a energia que se 
transfere de um corpo para outro quando entre eles existe diferença de 
temperatura, caracteriza o calor. Observe isso na Figura 6 a seguir.
Durante este processo, ocorre uma transferência de energia térmica dos 
corpos de maior temperatura para os corpos de menor temperatura.
Para determinarmos o calor trocado entre os corpos, vamos trabalhar 
com a grandeza quantidade de calor (Q).
A quantidade de calor, por ser uma forma de energia, é medida no 
sistema internacional pelo (J) joule. Temos como unidade usual a caloria.
Figura 6: Variação de temperatura (fluxo de calor).
 UNIUBE 151
1 cal = 4,186 J
Caloria é a quantidade de calor necessário para elevar a temperatura de 
um grama de água em 1 °C, ou seja, de 14,5 °C para 15,5 °C, isto sobre 
pressão de 1 atm.
British Thermal Unit (BTU) é a unidade térmica inglesa. Essa unidade de 
medida de calor é muito usada na engenharia. 1 BTU = 1,055 J = 252 cal.
Na prática da engenharia, 1 BTU é aproximadamente igual a 0,293 W x h 
(watt x hora).
CURIOSIDADE
5.3.1 Calor sensível
Se colocarmos no fogo uma panela com água, sua temperatura se eleva. 
A variação da temperatura é causada pelo calor fornecido à água pelo 
fogo; isso é calor sensível.
Assim, calor sensível é a quantidade de calor necessária para elevar ou 
diminuir a temperatura do corpo sem que ocorra mudança no estado de 
agregação da substância, ou seja, o corpo recebe ou cede calor, sua 
temperatura varia, mas seu estado de agregação permanece o mesmo.
Quando falamos em variação de temperatura, podemos nos referir 
tanto ao aumento como à diminuição da temperatura de um corpo. 
Essa maneira de expressar traduz uma das leis da calorimetria, a que 
chamamos de Princípio da transformação inversa.
Princípio da transformação inversa
Se um sistema absorve uma quantidade de calor Q para passar da 
temperatura t para a temperatura t1 (t < t1), o sistema cede a mesma 
quantidade de calor ao passar da temperatura t1 para a temperatura t.
SINTETIZANDO...
152 UNIUBE
5.3.2 Capacidade térmica
Se aquecermos um corpo por meio de uma fonte de potência constante, 
isto é, uma fonte que fornece sempre a mesma quantidade de calor por 
unidade de tempo (50 cal/s, por exemplo), verificamos que a variação 
de temperatura θ experimentada pelo corpo depende do tempo de 
aquecimento e, portanto, da quantidade de calor Q recebida.
Vamos analisar a Tabela 1 a seguir
Tabela 1: Valores para capacidade térmica
 
Admitindo-se que o corpo não sofreu mudança de estado físico, 
observamos que a variação de temperatura sofrida pelo corpo é 
proporcional à quantidade de calor recebida.
A capacidade térmica de um corpo (C) é dada pela razão entre a quantidade 
de calor fornecida do corpo e a correspondente variação de temperatura.
PARADA PARA REFLEXÃO
Então: 
Qc
θ
∆
=
∆
Essa relação permite ressaltar que Q é a quantidade de calor recebida 
pelo corpo em caloria; ∆ é a variação de temperatura sofrida pelo corpo 
em ° C; C é a capacidade térmica do corpo em cal/ °C.
 UNIUBE 153
Observando a definição, o corpo deve receber 100 cal para que sua 
temperatura se eleve de 1 °C.
5.3.3 Calor específico
Serve para demonstrar que a massa e um corpo interferem no 
aquecimento do mesmo.
Vamos observar a Tabela 2 a seguir.
Tabela 2: Valores para calor específico
Para corpos constituídos de uma mesma substância, a capacidade térmica 
é diretamente proporcional à massa do corpo.
REGISTRANDO
O calor específico de uma substância é a quantidade de calor necessária 
para fazer a temperatura de 1 g da substância variar de 1 °C:
Cc
m
=
Alguns valores de calores específicos estão representados na Tabela 3 
a seguir.
Tabela 3: Calor específico
Substância Calor específico cal/°C
Água 1,000
 
154 UNIUBE
Gelo 0,550
Vapor d’água 0,500
Alumínio 0,217
Cobre 0,094
Álcool 0,580
Éter 0,56
Ferro 0,113
Chumbo 0,031
Mercúrio 0,033
Prata 0,056
Em relação ao calor específico, observamos que:
• o calor específico da água líquida é bastante elevado em comparação 
com o de outras substâncias; na verdade, é um dos maiores da 
natureza;
• o calor específico é uma característica da natureza da substância, ou 
seja, cada substância tem seu próprio calor específico;
• os metais são substâncias de baixo calor específico. Por isso, quando 
cedem ou recebem pequenas quantidades de calor, eles sofrem 
grandes variações de temperatura;
• o calor específico de uma determinada substância varia muito de 
acordo com o estado físico no qual ela se encontra.
Atividade 2
Responda a estas questões:
A. Dois corpos, A e B de massas diferentes, possuem a mesma capacidade 
térmica.
AGORA É A SUA VEZ
 
 UNIUBE 155
a) Se esses dois corpos receberem a mesma quantidade de calor, qual deles 
sofrerá a maior variação de temperatura?
b) As substâncias constituintes desses corpos podem ter o mesmo calor 
específico?
B. Uma fonte de calor possui uma potência térmica constante de 50 cal/ºC. 
Essa fonte é usada para aquecer um corpo de capacidade térmica de 20 
cal/ºC durante 30 s. Supondo que o corpo não sofra mudança de fase, 
determine a variação de temperatura do corpo.
C. Um recipiente de capacidade térmica desprezível contém 10 I de água a 
25 ºC. Para aquecer a água até 30°C, uma pessoa utiliza um aquecedor de 
120W de potência. Considere 1 cal = 4 J, c água = 1 cal/g ºC e d água = 1 kg/ l
a) Qual foi a quantidade de calor absorvida pela água?
b) Se toda a energia liberada pelo aquecedor foi absorvida pela água, 
durante quanto tempo o aquecedor permaneceu em funcionamento?
Metabolismo
Já há mais de 100 anos vem sendo pesquisada a relação entre a taxa 
metabólica — T.M. — e o tamanho dos animais.
A taxa metabólica indica a quantidade de energia necessária para que um 
organismo vivo exerça suas funções, podendo ser estimada medindo-se a 
quantidade de oxigênio consumida nos processos oxidantes para obtenção 
de energia (calor).
CURIOSIDADE
No gráfico da Figura 7, apresentada a seguir, temos uma escala de 
potência em relação à massa dos animais. Os dados encontrados foram 
colocados em um gráfico log-log (logaritmo da massa m do animal em 
função do logaritmo da taxa metabólica).
156 UNIUBE
Figura 7: Crescimento da taxa metabólica.
Fonte: Adaptado de The theory, (2010).
O coeficiente angular encontrado é de aproximadamente 0,75. Este 
resultado foi encontrado por vários pesquisadores que determinaramque o coeficiente angular era o mesmo para organismos unicelulares, 
pecilotérmicos e homeotérmicos.
Pela fórmula, expressa-se da seguinte maneira:
log T.M. = log K: + 0,75 . log m
em que k é uma constante.
Na forma não-logarítmica, teríamos:
T.M. = k • m0,75
5.3.4 Equação fundamental da calorimetria 
Na Figura 8, a seguir, temos a representação de um corpo recebendo 
calor e variando sua temperatura do estado inicial.
Ta
xa
 m
et
ab
ól
ic
a 
(w
at
ts
)
 UNIUBE 157
Figura 8: Corpo recebendo calor.
Após ter definido as grandezas capacidade térmica de um corpo (C) e o 
calor específico de uma substância (c):
QC
θ
=
∆
 (I) e C = m . c (II),
 
igualam-se as expressões (I) e (II), tem-se:
 . . .Q mc Q mc θ
θ
= ⇒ = ∆
∆
onde:
• Q = calor trocado pelo corpo em cal;
• m = massa do corpo em g;
• c = calor específico da substância que constitui o corpo em cal/g °C;
• θ∆ = é a variação de temperatura sofrida pelo corpo em °C.
Considerando que não ocorra mudança de estado, a grandeza pode 
ser negativa ou positiva, pois é dada pela diferença entre a temperatura 
final f a temperatura inicial θ 0. Portanto, temos que o sinal de 
determina o sinal de Q.
• Quando o corpo recebe calor, sua temperatura aumenta ( 0fθ θ> )
θ∆ > 0 => Q > 0 (calor recebido)
• Quando o corpo perde calor, sua temperatura diminui ( 0fθ θ< )
θ∆ < 0 => Q < 0 (calor perdido)
158 UNIUBE
5.3.5 Equivalente em água
Ao receber uma certa quantidade de calor Q, um corpo de massa mc e 
calor específico c sofrerá uma variação θ∆ em sua temperatura. Se 
fornecermos a mesma quantidade de calor Q a uma massa de água ma 
e sua temperatura apresentar a mesma variação θ∆ , ocorrida com o 
corpo de massa mc, dizemos que a massa de água ma é o equivalente 
em água desse corpo.
Assim, temos:
Q (água) = Q (corpo)
ma 
. ca 
. θ∆ = mc . cc . θ∆
Como ca = 1 cal/g°C e aθ∆ = cθ∆ , temos:
ma = mc 
. cc
Denomina-se equivalente em água para uma determinada massa de 
substância à quantidade de água que possui a mesma capacidade térmica 
que tal massa de substância.
EXPLICANDO MELHOR
5.3.6 Calor latente
Em todo o estudo que fizemos até agora, consideramos sempre o calor 
produzindo variação de temperatura nos corpos, e lhe demos o nome 
de calor sensível.
No entanto, nem sempre o calor fornecido a um corpo produz a variação 
de sua temperatura. Por exemplo: durante a fusão do gelo e a ebulição 
da água (Figura 9), sob pressão normal, a temperatura permanece 
constante em 0 ºC e em 100 °C.
 UNIUBE 159
Figura 9: Mudanças de estado da água.
Q = m . L
Q = quantidade de calor
m = massa
L = calor latente de uma mudança de estado de uma substância pura
O calor latente mede numericamente a quantidade de calor trocada 
por uma unidade de massa da substância durante aquela mudança de 
estado enquanto sua temperatura permanece constante.
• Calor latente de fusão do gelo (a 0 ºC); Lf = 80 cal/g;
• Calor latente de solidificação da água (a 0 °C); Ls = - 80 cal/g;
• Calor latente de vaporização da água (a 10 ºC); Lv = 540 cal/g;
• Calor latente de condensação do vapor (a 100 °C); Lc = - 540 cal/g.
5.3.7 Curvas de aquecimento e de resfriamento
Observando a Figura 10, a seguir, podemos verificar a variação de 
temperatura de um corpo mostrando as trocas de calor sensível e latente.
160 UNIUBE
Figura 10: Variação de temperatura x quantidade de calor.
Em relação ao calor, observe, com atenção, o gráfico da Figura 11, 
que permite verificar a diferença entre calor sensível e calor latente. 
O calor sensível recebe calor, variando sua temperatura, mas mantém 
seu estado de agregação. O calor latente recebe calor, mantém sua 
temperatura constante, mas muda seu estado de agregação.
Figura 11: Gráfico relacionando calor latente e calor sensível.
 UNIUBE 161
5.3.8 Princípio geral das trocas de calor
Com a finalidade de determinarmos o calor específico, ou a capacidade 
térmica de determinadas substâncias, devemos realizar experiências 
envolvendo os corpos ou as substâncias. Para isso, utilizamos um 
dispositivo denominado calorímetro. Observe-o na Figura 12 a seguir.
Como podemos observar na figura apresentada anteriormente, calorímetro 
é uma caixa de paredes adiabáticas que não troca calor com meio externo.
Um tipo de calorímetro bastante utilizado é o calorímetro de mistura ou 
calorímetro de água, basicamente constituído por um recipiente que 
contém determinada quantidade de água, isolada termicamente do meio 
externo, e por um termômetro, para medir as temperaturas finais e iniciais 
dos corpos ou das substâncias.
Um calorímetro ideal seria aquele que não participasse das trocas 
de calor que ocorrem em seu interior, ou seja, um calorímetro com 
capacidade térmica nula.
O calorímetro dito ideal, contudo, não existe. Na prática, um bom 
calorímetro deve ter uma capacidade térmica desprezível em comparação 
com as capacidades térmicas dos corpos em seu interior.
SAIBA MAIS
Figura 12: Experiência com o uso do calorímetro.
162 UNIUBE
Considerando um calorímetro ideal que contém água quente, 
misturando um pouco de água fria, temos que a água quente esfria e 
a água fria esquenta. Esse e muitos outros fenômenos são explicados 
pelo Princípio das trocas de calor (Princípio da conservação de 
energia).
Princípio da conservação de energia
Se dois sistemas termicamente isolados trocam calor entre si, a quantidade 
de calor cedida por um é igual à quantidade de calor recebida pelo outro.
Dois sistemas são termicamente isolados quando as trocas de calor ocorrem 
apenas entre eles, ou seja, não ocorrem trocas de calor entre esses sistemas 
e o meio externo, como no caso de uma garrafa térmica.
REGISTRANDO
Na Figura 13, a seguir, temos a representação deste fenômeno.
Figura 13: Princípio da igualdade das trocas de calor.
Portanto, temos: 
QA + QB = 0
E para vários corpos em equilíbrio térmico, temos:
Q1 + Q2 + Q3 +...........+ Q n = 0
 UNIUBE 163
Um recipiente contém 18 l de água a 24 ºC. Coloca-se, no recipiente, certa 
quantidade de água a 72 ºC e obtém-se uma temperatura de equilíbrio de 
36 ºC. Despreze a capacidade térmica do recipiente e as perdas para o 
ambiente. Nessas condições, qual foi a quantidade de água colocada no 
recipiente? dágua = 1 kg/l
Resposta
Neste exercício, podemos observar que está ocorrendo troca de calor entre 
duas substâncias; assim, vamos usar o Princípio das trocas de calor:
sendo dàsua = 1 kg/l
Q1 + Q2 = 0
18(36 - 24) + m2(36 - 72) = 0
18.12 = m2 
. 36
m2 = 6 kg = 6 l
EXEMPLIFICANDO!
Atividade 3
Resolva as seguintes questões:
A) Em um recipiente de capacidade térmica desprezível são colocados 
200 g de água a 50 ºC e 50 g de gelo a 0 ºC. Admitindo que não haja troca 
de calor com o ambiente, determine a temperatura final de equilíbrio C água 
= 1 cal/g °C e L f (gelo) = 80 cal/g
B) Em um recipiente de capacidade térmica desprezível, são colocados 200 g de 
água a 20 ºC e 800 g de gelo a 0 °C. Supondo que a troca seja feita somente 
entre a água e o gelo, determine: C água = 1 cal/g °C e L f (gelo) = 80 cal/g:
i. a temperatura de equilíbrio;
ii. a massa final de água líquida no recipiente.
AGORA É A SUA VEZ
164 UNIUBE
Os estados físicos da matéria5.4
A matéria se apresenta basicamente em três estados de agregação: 
sólido, líquido e gasoso.
Os estados de agregação da matéria são caracterizados pela forma como 
as partículas de um corpo se distribuem no espaço e, também, pelas 
forças de atração recíproca entre estas partículas. Os referidos estados 
apresentam as seguintes características:
• sólido: as partículas apresentam-se em um padrão bem organizado, 
com um alto grau de coesão, ocupando posições bem definidase 
apresentando forma e volume próprios:
• líquido: as partículas apresentam-se em um padrão mais livre do 
que nos sólidos, assim não têm forma própria, assumindo a forma 
do recipiente, embora tenham volume próprio.
• gasoso: as partículas apresentam-se livres e sem força de coesão 
alguma, não apresentando nem forma nem volume próprio.
É comum ouvirmos sobre um quarto estado da matéria: o plasma. Vamos 
compreendê-lo?
O estado físico da matéria está relacionado à temperatura e à pressão em 
que está submetido: se tivermos uma substância já no estado gasoso e esta 
continuar recebendo energia, sua temperatura aumentará até o ponto em 
que mudará novamente de estado físico, assumindo a forma de plasma.
O plasma é um sistema neutro que ocorre no interior do Sol e das demais 
estrelas: um “monte” de elétrons livres e íons.
REGISTRANDO
5.4.1 Condensado de Bose-Einstein
Na Figura 14 temos as passagens de estado de agregação a que as 
substâncias se submetem.
 UNIUBE 165
Figura 14: Diagrama de mudança de fases.
a) Fusão: é a passagem de uma substância da fase sólida para a fase 
líquida.
b) Solidificação: é a passagem da fase líquida para a fase sólida.
c) Vaporização: é a passagem da fase líquida para a fase gasosa.
d) Condensação ou Liquefação: é a passagem da fase gasosa para fase 
líquida.
e) Sublimação: e a passagem direta da fase sólida para fase gasosa ou 
da fase gasosa para a fase sólida.
• Os processos endotérmicos são aqueles que ocorrem com absorção de 
calor, sendo eles a fusão, a vaporização e a sublimação.
• Os processos exotérmicos são aqueles que ocorrem com liberação de 
calor, sendo eles a solidificação, a condensação (ou liquefação) e a 
sublimação.
IMPORTANTE!
↑ ↑ ↑
↑
↑ ↑ ↑
166 UNIUBE
5.4.2 Diagrama de fases
Denomina-se diagrama de fases o gráfico da pressão em função da 
temperatura de uma determinada substância. Observe a Figura 15 a 
seguir.
Figura 15: Gráficos de pressão em função da temperatura.
Vamos analisar esses diagramas:
• podemos identificar as regiões e as curvas que limitam essas 
regiões;
• no diagrama da esquerda temos as substâncias que se contraem, 
como água, prata, ferro antimônio e bismuto;
• no diagrama da direita temos as substâncias que se dilatam, elas 
são a maioria;
• o ponto T representa o ponto triplo, que é o ponto de coexistência 
entre as três fases. O ponto triplo da água, por exemplo, é 273,16ºK 
(0,01 °C), sob pressão de 6,03 x 10 -3 atm.
5.4.3 Transição sólido-líquido
Nesse tipo de transição sólido-líquido, um aumento de temperatura irá 
ocasionar um aumento na temperatura de vaporização. Observe a Figura 
16 a seguir.
 UNIUBE 167
Figura 16: Diagrama das três fases
Essa substância, inicialmente na fase sólida, poderá passar à fase líquida 
das seguintes maneiras:
a) diminuindo-se a pressão (PÁ —► PB) e mantendo-se a temperatura 
constante (t A);
b) aumentando-se a temperatura (tA —► tC) e mantendo-se a pressão (PA );
c) aumentando-se a temperatura (tA —► tD) e diminuindo-se a pressão 
(PÁ —► PD)
5.4.4 Efeito Tyndall (regelo)
Caracteriza-se por ser a fusão sob pressão seguida de solidificação. Sob 
pressão, a temperatura de solidificação tende a cair, assim um material 
sólido pode, sob determinada pressão, se tornar líquido e, ao deixar de 
existir a pressão, tornar-se sólido.
A Figura 17, a seguir, representa um bloco de gelo sob a ação de um fio 
pressionando uma de suas faces. Nesse ponto de pressão, a temperatura 
de 0°C do bloco não é mais suficiente para manter o estado sólido, assim 
ocorre a fusão do gelo em água e o fio penetra alguns milímetros dentro 
do bloco; ao fazer isso, a pressão acima do fio cai e então a água que 
168 UNIUBE
está a 0 °C volta a se solidificar. Continuando com a pressão, é possível 
atravessar todo o bloco de gelo e, ao final, ele ainda estará “inteiro”.
Com o aumento de pressão, diminui a temperatura de fusão do gelo; 
diminuindo a pressão, a temperatura se restabelece.
5.4.5 Pressão de vapor
Gás é a substância que, na fase gasosa, encontra-se em temperatura 
superior à sua temperatura crítica e que não pode ser liquefeita por 
compressão isotérmica.
Vapor é a substância que, na fase gasosa, encontra-se em temperatura 
abaixo de sua temperatura crítica e que pode ser liquefeita por 
compressão isotérmica.
O ponto crítico é aquele em que uma substância não consegue se 
liquefazer por maior que seja a pressão exercida sobre ela, sendo isso 
possível somente com um aumento de pressão se ela estiver a uma 
temperatura inferior à sua temperatura crítica. Acima desta temperatura, 
só é possível encontrar a substância no estado gasoso. Observe, na 
Figura 18, que a pressão de vapor aumenta com a temperatura.
Figura 17: Fenômeno do regelo.
 UNIUBE 169
Figura 18: Relação entre pressão e temperatura do vapor.
5.4.6 Transição sólido-vapor
Nessa mudança de fase, um acréscimo de pressão dificulta a passagem 
das partículas da substancia sólida para o estado gasoso.
À pressão ambiente, temos poucas substâncias que sofrem sublimação, 
podendo citar o dióxido de carbono (gelo-seco), o iodo, a cânfora e a 
naftalina que, ao absorverem calor do ambiente, passam diretamente 
do estado sólido para o estado gasoso. Observe o gráfico da Figura 19 
a seguir.
Figura 19: Diagrama da sublimação
Transmissão de calor5.5
A transmissão de calor entre pontos de um sistema, ou entre sistemas, pode 
ocorrer por três processos distintos: condução, convecção e irradiação.
170 UNIUBE
5.5.1 Condução
É o processo de transmissão de calor através do qual a energia passa 
de molécula para molécula sem que elas sejam deslocadas.
5.5.1.1 Fluxo de calor
Se considerarmos uma superfície S através da qual é transmitida uma 
quantidade de calor ∆Q em um intervalo de tempo ∆t, define-se o fluxo 
de calor como sendo o quociente entre ∆Q e ∆t.
Temos: 
 
O fluxo de calor pode ser medido em cal/s, cal/min, kcal/h etc. Já no 
sistema internacional, temos joule/segundos (J/s), que é watt (W).
5.5.1.2 Lei de Fourier da condução térmica
É a lei que rege a condução térmica em um regime estacionário. O regime 
estacionário é estabelecido quando as extremidades do meio em que 
ocorre a condução térmica são mantidas em temperaturas constantes 
apesar da transmissão de energia. Veja a figura 20 a seguir.
Figura 20: Condução térmica
 UNIUBE 171
De acordo com a Lei de Fourier, o fluxo de calor através da barra 
é diretamente proporcional à área da secção transversal S da barra e 
à diferença de temperatura 2 1) entre as suas extremidades, e 
inversamente proporcionais ao comprimento L da barra.
 → Coeficiente de condutibilidade térmica
Este coeficiente é elevado para os bons condutores de calor e baixo para 
os maus condutores de calor.
5.5.2 Convecção
É o processo de transmissão de calor, nos líquidos ou nos gases, por 
efeito das camadas aquecidas que se chamam correntes de convecção.
O fluxo de calor transmitido por convecção entre uma superfície sólida e 
um fluido pode ser avaliado quantitativamente pela expressão:
. .h Aφ θ= ∆
Nessa expressão, temos que é a área da superfície sólida; é 
a diferença de temperatura entre a superfície e o fluido; e h é um 
coeficiente denominado coeficiente de transmissão convectiva de 
calor ou, simplesmente, coeficiente de película, medido no SI (Sistem 
Internacional de Unidades) em J/s . m2 . °C
5.5.3 Irradiação
É o processo de transmissão de energia entre e dois corpos que não 
precisa de um meio material para se propagar.
A irradiação é a emissão de ondas de infravermelho por um corpo. 
Essa emissão é tanto maior quanto mais alta é a temperatura do corpo 
emissor. Veja, esquematicamente na Figura21, a seguir, os fenômenos 
da refletividade (r), da absorvidade (a) e da transmissividade (t):
172 UNIUBE
Figura 21: Esquema da irradiação.
Refletividade Absorvidade Transmissividade
r
i
r φ
φ
=
 
a
i
a φ
φ
=
 
t
i
t φ
φ
=
Para um mesmo corpo, devemos ter:
r+a+t=1
Refletividade (r) Absorvidade (a) Transmissividade (t)
Corpo atérmico a + r= 1 a + r= 1 0
Corpo negro ideal 0 1 0
Espelho ideal 1 0 0
Concluímos que as superfícies escuras absorvem mais calor radiante do 
que as superfícies claras, e que as superfícies espelhadas refletem mais 
calor radiante do que as superfícies foscas.
5.5.4 Emissividade
Poder emissivo de um corpo é a relação entre a potência total emitida e 
a área da superfície emitida:
iφ rφ
tφ
aφ
 UNIUBE 173
E = emitida
O poder emissivo de um corpo negro é diretamente proporcional à quarta 
potência de sua temperatura absoluta.
E corpo negro = 
Para um corpo qualquer:
 corpo negro
EE
E
= => 
Como o poder emissivo do corpo negro é o maior, para uma dada 
temperatura conclui-se que:
 1corpo negroE =
Exemplo 2
Um recipiente tem paredes com espessura 1,0 cm, área total efetiva de 
3000 cm2 e é constituído por um material de condutividade térmica 2 x 
10 -5 cal/s.cm. ºC. O recipiente contém oxigênio líquido na temperatura de 
ebulição(-188 ºC) e está em contato com o ar atmosférico a 12 ºC. Sabendo 
que o calor latente de vaporização do oxigênio é 60 cal/g, determine a 
velocidade de vaporização do mesmo.
Resposta
De acordo com o enunciado, a cada 60 cal recebidas pelo oxigênio, vaporiza-
se 1 g. Então, com o fornecimento de 12 cal, teremos a vaporização de 
apenas 0,2 g. Assim, a velocidade de vaporização é de 0,2 g/s.
( 2 1). sk
L
θ θφ −=
5 3000[12 ( 188)]2.10 .
1
φ − − −=
12 /cal sφ =
EXEMPLIFICANDO!
174 UNIUBE
Atividade 4
Resolva as seguintes questões: 
A) Sobre um corpo atérmico, incide energia radiante de 50 kW, da qual 
ele absorve 20 kW. Determine, para esse corpo, a absorvidade, a 
transmissividade e a refletividade.
B) O corpo negro é aquele que absorve toda a radiação incidente sobre ele. 
Um corpo está sendo irradiado a uma temperatura de T ºK Passando a 
irradiar à temperatura de 2 T ºK, de quantas vezes a potência irradiada 
aumenta?
AGORA É A SUA VEZ
Estudo dos gases5.6
O gás ideal ou gás perfeito é um modelo que deve satisfazer às seguintes 
hipóteses:
• as moléculas do gás ideal não exercem ações mútuas umas sobre 
as outras, exceto durante colisões;
• os choques entre as moléculas e com as paredes do recipiente são 
perfeitamente elásticos;
• o movimento é caótico e desorganizado;
• um gás real comporta-se, aproximadamente, como um gás ideal 
quando submetido a altas temperaturas e a baixas pressões.
5.6.1 Equação de Clapeyron
Um gás encontra-se no estado normal, ou nas condições normais de 
temperatura e pressão (CNTP), ou, ainda na temperatura e pressão 
normais (TPN) quando essas variáveis assumem os seguintes valores:
 UNIUBE 175
A equação de Clapeyron estabelece que a relação é diretamente 
proporcional à quantidade de gás. Então: 
Observamos que: (n) representa o número de mols do gás e (R) 
representa a constante do gás que não depende da sua natureza.
n = Relação de massa e mol
Equação geral dos gases perfeitos:
 = 
Representando graficamente, conforme a Figura 22, temos:
Figura 22: Estados inicial e final de um gás.
.0,082 8,314 1,986
. . .
atm l J calR
mol k mol k mol k
= = =
Estado inicial Estado final
273 º (0 º )
1 76 
T K C
CNTP
p atm cmHg
=
 = =
176 UNIUBE
A Figura 22 permite-nos concluir que, se considerarmos um gás que se 
encontra encerrado em um cilindro provido de êmbolo, em um estado 
inicial caracterizado pelas variáveis de estado p1, V1 e T1 podemos 
provocar, nesse gás, uma transformação, de maneira que suas variáveis 
de estado passem a valores p2, V2 e T2, caracterizando este como seu 
estado final.
5.6.2 Leis das transformações dos gases
a) Lei de Boyle-Mariotte:
À temperatura constante, a pressão de um gás é inversamente 
proporcional ao seu volume, ou seja:
p.V = constante
Com aumento da temperatura, o produto p.V torna-se mais alto e as 
isotermas se afastam da origem dos eixos (Figura 23).
Figura 23: Transformação isotérmica.
b) Lei de Gay-Lussac:
À pressão constante, o volume e a temperatura absoluta de um gás são 
diretamente proporcionais, ou seja, constantes.
=> 
T2 >T1
 UNIUBE 177
Figura 24: Transformação isobárica.
c) Lei de Charles:
Com volume constante, a pressão de uma determinada massa de gás é 
diretamente proporcional à sua temperatura absoluta, ou seja, constante. 
Observe a Figura 25.
Veja que na Figura 24, a seguir, temos a representação da transformação 
à pressão constante.
na escala Kelvin
178 UNIUBE
Figura 25: Transformação isométrica.
5.6.3 Teoria cinética dos gases
É o relacionamento das variáveis termodinâmicas — volume, pressão e 
temperatura.
A energia cinética média das moléculas de um gás depende de sua 
temperatura absoluta, e não da natureza especifica do gás.
A energia cinética das moléculas de um gás é dada por:
k representa a constante de Boltzmann.
Para determinarmos a velocidade média das moléculas de um gás, 
dependemos de sua temperatura e da natureza do gás.
(molécula grama) M =>corresponde ao produto , ou seja, ao 
produto da massa de uma molécula do gás e o número de Avogadro. 
(NA = 6,023 • 1-23 moléculas / mol).
na escala Celsius
T(ºC)
 UNIUBE 179
Verificamos na Figura 26 um trabalho de transformação gasosa. Nele, 
está ocorrendo uma variação no volume da substância por meio de um 
trabalho que poderá ser realizado pelo gás ou sobre ou gás.
Figura 26: Trabalho de um gás
Considerando um gás em alta pressão se expandindo em um processo 
quase estático, o módulo da força exercida pelo gás sobre o pistão é 
PA, em que A é a área do pistão e P é a pressão do gás. Como o pistão 
se desloca de uma pequena distância dx, o trabalho realizado pelo gás 
sobre o pistão é dado por:
dWsis = Fx dx = PAdx = pdV
em que dV=Adx representa a variação de volume do gás.
O trabalho realizado sobre o gás durante uma compressão ou expansão 
de um volume V1 a um volume Vf é
vf
viz viW PdV= − ∫
• ∆V> 0 => W > 0: o gás realiza trabalho sobre o meio;
• ∆v< o => W < 0: o meio realiza trabalho sobre o gás;
• ∆V = 0=>W = 0:o sistema não troca trabalho.
180 UNIUBE
5.6.4 Diagrama P x V
Este diagrama representa o trabalho de um gás numa transformação 
gasosa (Figura 27).
W = A
Figura 27: Pressão x volume.
Para o trabalho feito por um gás, durante uma compressão isotérmica, 
temos:
fVf i
isotérmico Vi
i f
V VdVW nRT nRTln nRTln
V V V
= − ∫ = − =
5.6.5 Energia interna
Corresponde à soma de várias parcelas de energia, tais como energia 
cinética média das moléculas, energia potencial, energia cinemática de 
rotação das moléculas e das partículas etc.
Nos processos termodinâmicos, a variação da energia interna , 
tem importancia primordial. Nos casos dos gases ideais, a variação da 
energia interna está sempre relacionada com a variação da temperatura 
, pois quando a temperatura varia, ocorre variação da energia cinética 
média das moléculas do gás.
Da energia cinética média, temos:
3 . .
2cm A
RE T
N
=
 UNIUBE 181
Para uma situação inicial de N partículas:
Da mesma forma para uma situação final:
Como a variação de energia interna do gás corresponde à variação da 
energia cinética molecular, temos:
=> 
2 1 2 1
3 3 3. . . . . . . . .( )
2 2 2
U n RT n RT U n R T T∆ = − ⇒ ∆ = −
Temos, portanto:Essa conclusão a respeito da variação da energia interna do gás constitui 
a Lei de Joule para os gases perfeitos.
Leis da termodinâmica5.7
1ª Lei da termodinâmica – conservação da energia 
A energia não pode ser criada nem destruída, mas somente transformada 
de uma espécie em outra. O primeiro princípio da termodinâmica 
estabelece uma equivalência entre o trabalho e o calor trocados entre 
um sistema e seu meio exterior.
Pela Figura 28, a seguir, percebe-se que, quando um corpo recebe calor, 
ele sofre alteração na temperatura por causa de sua energia interna, 
realizando, assim, trabalho.
182 UNIUBE
Figura 28:1ª lei da termodinâmica
A variação da energia interna de um sistema é igual à diferença entre o calor 
e o trabalho trocados pelo sistema com o meio exterior.
5.7.1 Algumas transformações especiais da primeira lei da 
termodinâmica 
Trabalho realizado sobre um gás
Q Q T
U Q T
= ∆ +
∆ = −
Balanço Energético:
SINTETIZANDO...
→
→
→
→
→
→
→
→
→ →
→
→
→
→
→
 UNIUBE 183
a) volume constante
=
b) isobárico
= 
c) isotérmico
1.
2
Vf Vf i
isotérmico Vi Vi
f
VdVW PdV nRT nRT ln
V V
= − ∫ = − ∫ =
d) adiabático
Este é um processo que não permite a troca de energia com o meio 
externo, por causa da rapidez com que ocorre.
Onde: 
e) processo cíclicos
Em um diagrama PxV, uma transformação cíclica é representada por uma 
curva fechada. A área interna do ciclo é numericamente igual ao trabalho 
total trocado com o meio exterior (Figura 29).
Quando o ciclo é percorrido no sentido horário, o sistema recebe calor e 
realiza trabalho; e no sentido anti-horário o sistema cede calor e recebe 
trabalho (Figura30).
Figura 29: Diagrama P x V.
184 UNIUBE
Figura 30: Diagrama P x V com ciclo horário e anti-horário.
Exemplo 3
Em um determinado recipiente contendo 1000 g de água líquida à temperatura 
de 100°C, devemos converter essa massa de água em vapor d’água 
a 100 °C fervendo-a à pressão atmosférica padrão (1 atm). O volume dessa 
água varia de um valor inicial de 1x10-13 m3 como líquido para 1,671 m3 como 
vapor d’água. Nessas condições, pergunta-se:
a) Qual é o trabalho realizado pelo sistema durante este processo?
b) Qual é a energia transferida sob a forma de calor durante o processo?
c) Qual é a variação da energia do sistema durante o processo?
Resposta
Este exercício contém três perguntas que podemos facilmente resolver 
aplicando a definição de trabalho, calor latente e, por fim, a primeira lei da 
termodinâmica.
a) . ( )Vf VfVi Vi f iW p dV p dV V V= ∫ = ∫ = −
 5 3 5(1,01.10 )(1,671 1.10 ) 169.10 169J kJ−− = =
b) 
 ( = 
c) = 2090 
EXEMPLIFICANDO!
 UNIUBE 185
Atividade 5
Uma babá precisa preparar o banho do recém-nascido, mas não tem 
termômetro. Por recomendações da mãe, que levou a criança ao pediatra, 
ela sabe que a temperatura ideal para o banho é de 38 °C. Eles moram à 
beira-mar e ela acabou de ouvir, pelo rádio, que a temperatura ambiente é de 
32ºC. Mas como a babá foi uma ótima aluna de Física, ela resolve misturar 
água fervente com água à temperatura ambiente para obter a temperatura 
desejada.
Nessas condições,
a) enuncie o princípio físico em que se baseia o seu procedimento;
b) suponha que ela disponha de uma banheira com 10 litros de água à 
temperatura ambiente. Calcule qual é, aproximadamente, o volume de água 
fervente que ela deve misturar à água da banheira para obter a temperatura 
ideal. Admita desprezível o valor absorvido pela banheira e que a água 
não transborde.
AGORA É A SUA VEZ
Segunda lei da termodinâmica5.8
Vamos imaginar a seguinte situação: 
Rendimento 100% é possível?
Não! Imagine que temos um limite inferior de temperatura (-273 °C), o 
que não ocorre para o extremo superior. Uma máquina operando em 
ciclos, como um motor de uma geladeira, pode chegar a um rendimento 
máximo, mas que não será 100.
Veja o motivo:
Para o rendimento ser máximo a temperatura da fonte fria deve ser 0 ºK, 
mas esse valor é inatingível na realidade.
186 UNIUBE
A equação utilizada para o rendimento é 
Em que: 
 = fonte fria e
 = fonte quente
É impossível construir uma máquina térmica que, operando em ciclo, 
transforme em trabalho todo o calor recebido de uma fonte.
5.8.1 Máquinas térmicas e rendimento 
É todo o dispositivo que converte calor em trabalho útil utilizando um fluido 
que realiza ciclos de sentido entre duas temperaturas que permanecem 
constantes (Figura 31).
Figura 31: Representação de uma máquina térmica.
A temperatura T1 corresponde à temperatura da fonte quente e a 
temperatura T2 corresponde à temperatura fria.
Nas equações a seguir, temos o trabalho (T) e o rendimento (h) realizado 
por uma máquina térmica.
Observe, na Figura 32, a seguir, o motor de automóvel, que retira calor 
da fonte quente e libera parte para fonte fria.
 UNIUBE 187
Figura 32: Motor de automóvel.
5.8.2 Máquinas frigoríficas ou bombas de calor
O trabalho realizado é no sentido anti-horário, retirando calor Q2 
de uma fonte fria e cedendo calor q, a uma fonte quente. Esta 
passagem não é espontânea, visto que se realiza a custa de um 
trabalho externo.
Nas figuras 33 e 34 temos a representação esquemática de uma máquina 
frigorífica, na qual retiram energia na forma de calor de uma fonte fria e 
a transferem para uma fonte quente.
Figura 33: Representação de uma máquina frigorífica.
188 UNIUBE
Figura 34: Representação de um refrigerador
5.8.3 Eficiência 
A eficiência de uma máquina frigorifica é a relação entre a quantidade 
de calor retirada da fonte fria e o trabalho externo necessário para essa 
transferência.
5.8.4 Ciclo de Carnot 
Observe as figuras 35 e 36, a seguir, em que são representadas as fases 
do ciclo de calor e o diagrama de Carnot.
 UNIUBE 189
Figura 35: Representação das fases do ciclo de calor
• A => B: expansão isotérmica => o sistema transforma o calor recebido 
da fonte quente em trabalho.
• B => C: expansão adiabática => o sistema, ao realizar trabalho, sofre 
um abaixamento de temperatura T1 para T2.
• C => D: compressão isotérmica => o trabalho realizado sobre o sistema 
é convertido em calor, que é transmitido à fonte fria.
• D => A: compressão adiabática => o trabalho realizado sobre o sistema 
produz um aumento de temperatura de T2 para T1
Figura 36: Diagrama de Carnot.
190 UNIUBE
Na transformação isotérmica AB, temos:
2
1 1
1
. . . VQ n RT ln
V
 
 
 
Na transformação CD, temos:
3
2 2
4
. . . VQ n RT ln
V
 
=  
 
Dividindo membro a membro obtemos:
 (I)
2
1
11
2 3
2
4
. . .
 (I)
. . .
Vn RT ln
VQ
Q Vn RT ln
V
 
 
 
 
 
 
Nas transformações adiabaticas BC e DA temos:
3
3 2 2 4 4 1 1. . e . .
y y y yP V p V P V p V= =
Dividindo membro a membro:
 (II)3 3 2 2
4 4 1 1
. . (II)
. .
y y
y y
p V p V
p V p V
=
 
Nas transformações isotérmicas AB e CD temos:
 (III)
31 2 4
2 1 3 4
(III)pV p Ve
V p V p
= =
Substituindo (III) em (II), temos 4 3 1 2
3 4 2 1
. .
. .
y y
y y
V V V V
V V V V
= então:
( 1) ( 1)
3 32 2
( 1) ( 1)
4 1 4 1
 (IV)
y y
y y
V VV V
V V V V
− −
− −= ⇒ = (IV)
Substituindo (IV) em (I) vamos obter:
2
1
11 1 1
2 2 22
2
1
.
.
VT In
VQ Q T
Q Q TVT In
V
 
 
 = ⇒ =
 
 
 
 UNIUBE 191
Entropia 5.9
A energia utilizável diminui na medida em que o Universo evolui.
Isso nos mostra que a energia de agitação molecular é considerada uma 
forma de energia pouco nobre, pois é desordenada ou desorganizada. 
Já outras formas de energia, tais comomecânica, química, elétrica etc. 
são consideradas ordenadas ou organizadas.
Assim, a evolução do Universo leva a um aumento na desordem, ou seja, 
os processos naturais tendem a aumentar a desordem no Universo.
Clausius percebeu que o valor absoluto da entropia não é importante 
somente em sua variação.
Esta variação é dada por:
QdS
T
= , em que:
Q é a quantidade de calor em um processo reversível, à temperatura 
absoluta T.
Alguns físicos acreditam que o fato de a entropia do Universo aumentar 
continuamente, em decorrência do segundo princípio da termodinâmica, 
o Universo caminha para uma espécie de morte pelo calor. Seria um 
estado de entropia máxima ou de desordem máxima em que toda energia 
existente não seria utilizável, pois estaria sob a forma de energia de 
agitação molecular desordenada. Esse estágio final do Universo seria 
atingido em um futuro muito distante e baseia-se na superposição de 
um Universo finito, fisicamente isolado e regido pelas mesmas leis da 
termodinâmica observadas na Terra.
2
max max
1
temperatura absoluta da fonte fria1 1
temperatura absoluta da fonte quente
Tn n
T
= − = −
O rendimento do ciclo de Carnot não depende do fluido de trabalho 
utilizado e é uma função exclusiva das temperaturas das fontes quente 
e fria.
192 UNIUBE
Conclusão5.10
Neste capítulo você viu a parte da física que estuda o calor, ou seja, 
estuda as manifestações dos tipos de energia que, de qualquer forma, 
produzem variação de temperatura, aquecimento ou resfriamento, ou 
mesmo a mudança de estado físico da matéria, quando ela recebe 
ou perde calor. Na termologia, você estudou de que forma esse calor 
pode ser trocado entre os corpos, bem como as características de cada 
processo de troca de calor.
Conforme o que foi abordado no presente capítulo, temos:
• Calorimetria:
denomina-se caloria (cal) a quantidade de calor necessária para 
aumentar a temperatura de um grama de água de 14,5° a 15,5 °C 
sob pressão normal.
• Calor sensível e calor latente:
a quantidade de calor recebida ou cedida por um corpo, ao sofrer 
uma variação de temperatura sem que haja mudança de fase, é 
denominada calor sensível.
Se o corpo sofrer apenas uma mudança de fase sem ocorrer 
variação de temperatura (permanecer constante) o calor é chamado 
latente.
• Mudanças de fase
• Fusão: é a passagem de uma substância da fase sólida para a 
fase líquida.
• Solidificação: é a passagem da fase líquida para a fase sólida.
• Vaporização: é a passagem da fase líquida para a fase gasosa.
• Condensação / liquefação: é a passagem da fase gasosa para 
fase líquida. 
• Sublimação: e a passagem direta da fase sólida para fase gasosa 
ou da fase gasosa para a fase sólida.
Resumo
 UNIUBE 193
• Calor latente
• Calor latente de fusão do gelo (a 0 °C); Lf = 80 cal/g;
• Calor latente de solidificação da água (a 0 °C); Ls = - 80 cal/g;
• Calor latente de vaporização da água (a 100 °C); Lv = 540 cal/g;
• Calor latente de condensação do vapor (a 100 °C); Lc = - 540 cal/g.
Supondo o processo inverso, isto é, a retirada de calor do vapor ocorrerá, 
respectivamente, a condensação e a solidificação, e o seu gráfico será 
chamado curva de resfriamento.
Gás: é a substância que, na fase gasosa, se encontra em temperatura 
superior à sua temperatura crítica e que não pode ser liquefeita por 
compressão isotérmica.
Vapor: é a substância que, na fase gasosa, encontra-se em temperatura 
abaixo de sua temperatura crítica e que pode ser liquefeita por 
compressão isotérmica.
Calor: energia em trânsito de um corpo para outro em virtude da licença 
de temperatura existem entre eles.
Trabalho: energia em trânsito entre dois corpos por causa da ação de 
uma força.
0 0V T∆ > ⇒ > : o gás realiza trabalho sobre o meio.
0 0V T∆ < ⇒ < : o meio realiza trabalho sobre o gás.
0 0V T∆ = ⇒ = : o sistema não troca trabalho.
• Primeiro princípio da termodinâmica
A energia não pode ser criada nem destruída, mas somente 
transformada de uma espécie em outra. O primeiro princípio da 
termodinâmica estabelece uma equivalência entre o trabalho e o 
calor trocados entre um sistema e seu meio exterior.
Transformação cíclica: é representada por uma curva fechada. A área 
interna do ciclo é numericamente igual ao trabalho total trocando 
194 UNIUBE
com o meio exterior. Quando o ciclo é percorrido no sentido horário, 
o sistema recebe calor e realiza trabalho; e no sentido anti-horário o 
sistema cede calor e recebe trabalho.
• Segundo princípio da termodinâmica
É impossível construir uma máquina térmica que, operando em ciclo, 
transforme em trabalho todo o calor recebido de uma fonte.
Referências
HALLIDAY, D.; RESNICK, Robert; WALKER, Jear. Física, v. 2: gravitação, ondas e 
termodinâmica. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006.
THE THEORY of Everything... Everything Alive! Physics Central/APS. Disponível em: 
<http://www.physicscentral.org/explore/action/alive-1.cfm>. Acesso em: 15 mar. 2010.
TRIPLER, P.A.; MOSCA, G. Física, v. 1: mecânica, oscilações e ondas, 
termodinâmica. Rio de Janeiro: LTC, 2006.
YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. Física, v. 2: termodinâmica e ondas. 10. 
ed. São Paulo: Pearson Education, 2008.
Valdir Barbosa da Silva Júnior
Introdução
Capítulo
6
Grande parte das informações que temos sobre o mundo que 
nos rodeia chega até nós pelo sentido da visão. Estudar a luz, 
seu comportamento e sua natureza sempre foi um desafi o à 
inteligência do homem em todos os tempos.
Muitos sábios, desde a Antiguidade, como Platão, Aristóteles, e 
mais recentemente Maxwell, Newton e outros, dedicaram-se ao 
estudo da luz. Formularam hipóteses relativas à sua natureza e 
estabeleceram as leis que regem os fenômenos luminosos que 
aqui vamos estudar.
O estudo da luz é realizado pela óptica, que é dividida, 
didaticamente, em:
a. óptica geométrica – analisa a trajetória da propagação 
luminosa;
b. óptica física – focaliza a natureza da luz, ou seja, a estrutura 
corpuscular da luz.
Fenômenos ópticos 
e suas aplicações
Ao fi nal dos seus estudos, você estará apto a:
• identifi car as fontes de luz e seus aspectos;
• analisar a cor com que é vista uma paisagem quando 
observada simultaneamente através de dois fi ltros diferentes;
Objetivos
196 UNIUBE
6.1 Óptica geométrica
6.1.1 Luz
6.1.2 Raio de luz
6.1.3 Fontes luminosas
6.1.4 Reflexão e cor
6.1.5 Os princípios da propagação da luz
6.1.6 Sombra e penumbra
6.1.7 Eclipses do Sol e da Lua
6.1.8 Câmara escura de orifício 
6.1.9 O fenômeno da reflexão
6.1.10 Fenômeno da refração
6.1.11 Instrumentos ópticos
6.1.12 Óptica da visão
6.1.13 Anomalias da visão
6.2 Conclusão
Esquema
• aplicar os princípios de propagação da luz;
• identificar os tipos de espelhos e as imagens por eles 
formadas;
• determinar o campo visual através de um espelho plano;
• resolver problemas de aplicação da lei de Snell-Descartes;
• visualizar quando está ocorrendo reflexão total;
• fazer esquemas dos principais instrumentos ópticos;
• resolver problemas relativos ao conteúdo.
Óptica geométrica6.1
Realizaremos, agora, o estudo da geometria da propagação da luz sem 
nos preocuparmos com sua natureza.
 UNIUBE 197
6.1.1 Luz
É uma forma de energia radiante que sensibiliza os nossos órgãos 
visuais. Ela se propaga nos meios materiais e também no vácuo. 
6.1.2 Raio de Luz
É a indicação geométrica da luz, indicando a direção e o sentido de sua 
propagação.
6.1.2.1 Feixes de luz
a) feixe de luz cilíndrico (Figura 1)
Figura 1: Raios paralelos
b) feixe de luz cônico divergente (Figura 2)
Figura 2: Raios divergentes
c) feixe de luz cônico convergente (Figura 3)
198 UNIUBE
Figura 3: Raios convergentes.
6.1.3 Fontes luminosas
Todo corpo do qual emana luz constitui uma fonte de luz. Nãoimporta 
se a luz provém do próprio corpo ou de um terceiro. Levando em conta o 
fato de terem ou não luz própria, os corpos classificam-se em luminosos 
e iluminados. Vejamos as características de cada um.
• Corpos luminosos (fontes primárias de luz) – O sol, uma lâmpada 
acesa, a chama de uma vela são exemplos de corpos luminosos, 
isto é, que emitem luz própria.
• Corpos iluminados (fontes secundárias de luz) – A Lua é uma 
fonte de luz. Mas sua luz provém de um terceiro corpo, o Sol. Assim 
sendo, a Lua é um corpo iluminado, ou seja, não tem luz própria. É 
vista apenas através da luz emitida por uma fonte primária de luz. 
A maioria dos objetos que vemos na Terra são corpos iluminados. 
Imagine-se em um quarto escuro. Você não vê nenhum objeto. 
Porém, basta acender uma lâmpada para que todos os objetos se 
tornem fonte de luz e visíveis.
Podemos ainda analisar as fontes de luz em relação às suas dimensões 
e em relação à distância que se encontram do observador. Uma lâmpada 
acesa, a 20 cm de um observador, é uma fonte extensa, ao passo que a 
mesma lâmpada, a 200 m, se torna uma fonte pontual (ou puntiforme), 
isto é, reduzida às dimensões de um ponto.
Para nós, o Sol é uma fonte extensa, enquanto que uma outra estrela, 
embora de grandes dimensões, é uma fonte pontual, por sua grande 
distância em relação à Terra.
 UNIUBE 199
Se alguém lhe perguntasse se uma lâmpada é um corpo 
luminoso ou uma fonte secundária de luz, o que você 
responderia?
Certamente você diria: “A lâmpada é um corpo iluminado se por ela não 
estiver passando corrente elétrica, isso é, se estiver apagada. Contudo, 
se a lâmpada estiver acesa, passa a ser um corpo luminoso.” Este fato 
nos mostra que as condições de aquecimento podem transformar um 
simples corpo iluminado em corpo luminoso. Estas fontes, que emitem 
maior aquecimento, são chamadas de fontes incandescentes. 
Nem todas as fontes primárias são incandescentes. Algumas fontes 
emitem luz originada por energia radiante, independente do calor. São 
exemplos dessas fontes as lâmpadas de luz fluorescente e os corpos 
fosforescentes.
6.1.4 Reflexão e cor
Um quadro de parede pode ser visto quando iluminado por uma fonte 
primária de luz. A luz parte da fonte, incide sobre o quadro e volta a 
se propagar no mesmo meio, atingindo o olho do observador. A este 
fenômeno chamamos reflexão da luz.
Olhe ao seu redor. A maioria dos corpos é vista por causa da reflexão da 
luz. Há, contudo, uma observação importante a fazer: se a luz do Sol, que 
é branca, ilumina todos os corpos da mesma forma, por que alguns deles 
são vistos verdes, outros amarelos, outros vermelhos, outros azuis etc.?
Por ora, vamos explicar este fato da seguinte maneira: a luz do Sol, como 
a de uma vela, é composta de muitas cores, sendo, por isso, chamada 
de luz policromática.
Um feixe de luz policromática, do Sol, por exemplo, incide em um corpo 
vermelho. O corpo absorve todas as cores e reflete o vermelho para 
o olho do observador. O mesmo acontece para um corpo azul, verde, 
amarelo, etc. Cada um deles reflete predominantemente a luz de uma 
cor. Esta luz de uma cor só é chamada de luz monocromática.
200 UNIUBE
Estes dados nos levam a concluir que:
A cor apresentada por um corpo depende da cor da luz que ele reflete. Se 
um corpo refletir todas as cores que nele incidirem, diremos que é branco. Se 
o corpo absorver todas as cores que nele incidirem e não refletir nenhuma, 
diremos que é negro.
RELEMBRANDO
6.1.5 Os princípios da propagação da luz
Os fenômenos da óptica geométrica são analisados em face de alguns 
princípios fundamentais, facilmente observáveis, que enunciamos a 
seguir:
6.1.5.1 1º princípio: Propagação retilínea da luz
Em meios transparentes homogêneos, a luz se propaga em linha reta.
6.1.5.2 2º princípio: Independência dos raios luminosos
Quando dois ou mais raios de luz, vindos de fontes diferentes, se cruzam, 
seguem suas trajetórias de forma independente, como se os outros não 
existissem.
6.1.5.3 3º princípio: Reversibilidade dos raios luminosos
A trajetória seguida por um raio luminoso é independente do sentido de 
sua propagação.
Trocando a posição da fonte e do observador, o trajeto do raio é 
exatamente o mesmo.
 UNIUBE 201
Grande é o número de aplicações e de fenômenos relacionados a esses 
princípios. Vamos analisar alguns deles, ligados diretamente ao princípio da 
propagação retilínea da luz.
IMPORTANTE!
6.1.6 Sombra e penumbra
Em óptica, a palavra sombra significa região não iluminada. Ela pode ser 
produzida pela interposição de um objeto opaco entre uma fonte de luz e 
um anteparo, sendo uma conseqüência da propagação retilínea da luz. 
Já a penumbra significa região pouco iluminada.
Só ocorre formação da penumbra se a fonte de luz for extensa, pois 
assim teremos a formação de sombra e de penumbra. Veja a Figura 4 
a seguir.
Figura 4: Formação de sombra e penumbra
6.1.7 Eclipses do Sol e da Lua
A palavra eclipse significa ocultação, seja total ou parcial, de um astro 
pela interposição de outro, entre o astro e o observador, ou entre um 
astro luminoso e outro iluminado.
202 UNIUBE
O principio da propagação retilínea da luz explica também o fenômeno 
dos eclipses do Sol e da Lua.
6.1.7.1 Eclipse da Lua
A Terra é um corpo opaco. Na face iluminada da Terra pela luz do Sol é 
dia. Na outra face, é noite. Como a Terra bloqueia uma parte dos raios 
luminosos, forma-se no espaço uma região em forma de cone, totalmente 
escura: é o cone de sombra (veja a figura 5, a seguir).
Figura 5: Eclipse lunar.
Comparando-se a distância entre o Sol e a Terra, o Sol é uma fonte 
extensa, permitindo também a formação de uma região, ao redor do 
cone de sombra, não totalmente escura nem totalmente iluminada: é a 
penumbra.
Quando passa pelo cone de sombra da Terra, a Lua desaparece 
totalmente, ocorrendo o eclipse. Quando uma parte dela passa pelo cone 
de sombra da Terra, ocorre o eclipse parcial da Lua.
6.1.7.2 Eclipse do Sol
Os cones de sombra e de penumbra da Lua ocorrem da mesma forma 
que os cones de sombra e de penumbra da Terra.
O eclipse do Sol ocorre quando a Lua se coloca entre a Terra e o Sol. Se 
o observador na Terra estiver no cone de sombra da Lua, verá um eclipse 
total do Sol. Se estiver no cone de penumbra, verá um eclipse parcial do 
Sol. Observe a Figura 6, a seguir, para entender esse fenômeno.
 UNIUBE 203
Figura 6: Eclipse solar.
6.1.8 Câmara escura de orifício 
É um dispositivo utilizado na comprovação do princípio de propagação 
retilínea da luz Observa a Figura 7, a seguir.
Figura 7: Câmara escura.
Por semelhança de triângulos, podemos mostrar que:
A câmara escura de orifício ilustra o princípio básico de funcionamento de 
uma máquina fotográfica.
PARADA OBRIGATÓRIA
204 UNIUBE
Exemplo 1
Vamos imaginar uma situação em que o Sol subitamente “morresse”, 
ou seja, sua luz deixasse de ser emitida. 24 horas após este evento, 
um eventual sobrevivente, olhando para o céu sem nuvens, veria:
a) a Lua e as estrelas;
b) somente a Lua;
c) somente as estrelas;
d) uma completa escuridão;
e) somente os planetas do sistema solar.
Resposta
Neste exercício, estamos abordando as forma de fontes de luz, 
assim como a propagação da luz. Portanto, a única resposta certa 
é a alternativa C, pois somente as estrelas, entre as apresentadas, 
possuem luz própria.
EXEMPLIFICANDO!
6.1.9 O fenômeno da reflexão 
Quando você observa uma nuvem no céu, assiste a um filme projetado 
numa tela ou vê sua imagem em um espelho, está diante do fenômeno 
de reflexão da luz. Em todos eles, a luz, vinda de uma fonte, atinge um 
corpo, desviando sua trajetória e continuando a se propagar no mesmo 
meio em que vinha.
O comportamento da luz refletida, no entanto, depende das característicasda superfície refletora. Sob esse aspecto, dividimos a reflexão da luz em 
reflexão difusa e reflexão especular. Analisemos com mais detalhes cada 
uma delas.
 UNIUBE 205
A – reflexão difusa
Quando vamos ao cinema assistir a um filme, podemos nos sentar na 
frente, atrás, em cadeiras laterais ou centrais, pois em qualquer desses 
lugares é possível ver a tela.
Isso acontece porque a luz emitida pelo projetor atinge a tela e é refletida 
para todas as direções, podendo ser vista por todos os espectadores. 
A reflexão produzida pela tela recebe o nome de reflexão difusa, pois 
se efetua em todas as direções. Também são difusas as reflexões 
produzidas por paredes pintadas, pela página de um livro, pelas nuvens 
do céu, enfim, por todos os corpos que não apresentam uma superfície 
polida como um espelho.
Na Figura 8 está colocado um exemplo de reflexão difusa: os raios 
incidentes formam um feixe paralelo e os raios refletidos se espalham 
em todas as direções. Uma característica importante desta reflexão é o 
fato de o objeto refletor ser perfeitamente visível, independentemente da 
posição do observador.
Figura 8: Reflexão difusa.
B – Reflexão especular
Se você quiser observar sua imagem, não se colocará diante de uma 
parede bem pintada, mas diante de um espelho, porque este permite 
a formação de imagens, enquanto a parede, não. Superfícies como o 
espelho e metais polidos produzem uma reflexão regular ou especular, 
permitindo a formação de imagens.
206 UNIUBE
Na Figura 9, vê-se o esquema de uma reflexão especular: os raios 
incidentes paralelos, vindos da fonte, incidem na superfície que separa 
os dois meios (ar e metal polido) e voltam a se propagar no ar, paralelos. 
Nesse tipo de reflexão, a imagem é vista pelo observador quando ele 
está colocado numa posição definida, e não em qualquer posição, como 
é o caso da reflexão difusa.
Figura 9: Reflexão regular.
A reflexão, tanto a especular como a difusa, é regida por leis facilmente 
observáveis (veja isso graficamente na Figura 10), que enunciamos, a 
seguir.
Figura 10: Nomenclatura da reflexão.
1ª lei: O raio incidente, o raio refletido e a reta normal à superfície no 
ponto de incidência estão no mesmo plano.
2ª lei: O ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão.
Observações:
• As leis de reflexão luminosa são válidas tanto para superfícies lisas 
como para as rugosas.
 UNIUBE 207
• Numa superfície rugosa, por causa da irregularidade da superfície, 
a reta normal, ponto por ponto, tem direção diferente. Assim 
sendo, a luz é refletida em todas as direções. A reflexão difusa 
é responsável pela nossa visão dos objetos iluminados. Numa 
superfície lisa, plana ou não, existe regularidade na direção da luz 
refletida. As superfícies lisas não são convenientes para difundir a 
luz, mas, sim, para direcioná-la.
Exemplo 2
Um raio de luz r incide sucessivamente em dois espelho planos E1 e E2 que 
formam entre si um ângulo de 60°, conforme representado no esquema da 
Figura 11, a seguir. Neste esquema, determine o ângulo 
EXEMPLIFICANDO!
Resposta
Como o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão, podemos utilizar 
este recurso para simplificar a geometria aplicada, assim teremos:
Figura 11: Reflexão em dois espelhos.
208 UNIUBE
6.1.9.1 Espelhos planos
É o único sistema perfeitamente estigmático, ou seja, de imagens nítidas. 
Nos itens anteriores, por diversas vezes citamos a palavra espelho, 
referindo-nos a alguma superfície polida que produza reflexão especular, 
permitindo a formação de imagens. Uma superfície dessas, contudo, 
pode ser plana como nossos espelhos caseiros, ou curva como uma 
calota de automóvel ou uma taça de prata. Analisemos, inicialmente, 
algumas das características dos espelhos planos. Observe a Figura 12.
Figura 12: Formação de imagens.
A – Imagem produzida por um espelho plano
Observe a Figura 1, a seguir
Figura 13: Espelho plano.
 UNIUBE 209
A construção da imagem em um espelho plano
• Observe a Figura 12 novamente: primeiro, obtemos o ponto O’, 
simétrico ao ponto O em relação ao plano do espelho. Pontos 
simétricos em relação a um plano são aqueles que estão numa 
mesma perpendicular a esse plano e, além disso, são equidistantes 
desse mesmo plano;
• Em seguida, traçamos o raio incidente OI. O raio refletido é traçado 
como se ele se originasse no ponto O’ e passasse pelo espelho no 
ponto I. Os triângulos OIM e O’IM são congruentes. Logo 
Um objeto e sua respectiva imagem possuem as mesmas dimensões , 
independentemente da distância do objeto ao espelho.
PARADA OBRIGATÓRIA
Campo visual de um espelho plano
É a região de vista por um observador ao olhar para objetos através de 
um espelho plano.
Voltando à Figura 12: para determinarmos o campo visual, inicialmente 
determinamos o ponto O’, imagem do observador O (O e O’ são simétricos 
em relação ao espelho); a partir de O’ traçamos dois segmentos de reta 
que passam pelos extremos do espelho e que determinam o campo 
visual do espelho para essa posição do observador.
Imagem em dois espelhos planos
Com a associação de espelhos planos, obtemos várias imagens de um 
mesmo objeto.
O número n de imagens formadas na associação de dois espelhos planos 
depende do ângulo , em graus, entres eles, e é dado por:
210 UNIUBE
• Se a relação for um número par, ela será válida para um objeto 
colocado em qualquer ponto entre os dois espelhos.
• Se a relação for um número ímpar, será válida somente para 
um objeto colocado no plano bissetor do ângulo 
Um espelho plano sempre produz, de um objeto real, uma imagem virtual 
e simétrica ao objeto.
Exemplo 3
Em um jogo de bilhar um dos jogadores, encontra-se numa situação de 
sinuca em que deseja marcar o ponto C sobre a tabela da mesa de forma 
que a bola 1 descreva a trajetória mostrada na Figura 14, a seguir.
EXEMPLIFICANDO!
Figura 14: Reflexão regular.
a) Determine a razão x/y. Justifique a sua resposta.
b) Determine a que distância do ponto A se encontra o ponto C.
Resposta
a) A trajetória da bola de sinuca pode-se aplicar a lei da reflexão, em 
que o ângulo de incidência é sempre igual ao ângulo de reflexão; logo, seus 
ângulos complementares, x e y, também serão iguais entre si.
 UNIUBE 211
b) 
mas como queremos somente a distância entre como 
6.1.9.2 Espelhos esféricos
Os espelhos mais utilizados são os de superfície plana. Mas os espelhos 
esféricos também encontram larga aplicação. Podemos citar como 
exemplo os espelhos usados por dentistas, para observar os dentes 
com detalhes, os espelhos retrovisores dos automóveis, que aumentam 
o campo visual, mas diminuem o tamanho das imagens etc.
Classificação dos espelhos esféricos
Os espelhos esféricos classificam-se em côncavos e convexos.
Os espelhos côncavos possuem a face interna como refletora, já os 
espelhos convexos possuem a face externa como refletora.
Como exemplo, podemos citar a colher de sopa. O lado com que 
pegamos o alimento seria a parte côncava e o outro lado é a parte 
convexa.
Nomenclatura
Observe a Figura 15, a seguir.
Figura 15: Espelho esférico.
212 UNIUBE
Temos, nessa figura:
C: centro de curvatura do espelho;
R: raio de curvatura do espelho;
V: vértice do espelho;
CV: eixo principal do espelho;
F: foco principal do espelho: f
Construção de imagens
1. Raio de luz que incide paralelamente ao eixo principal do espelho.
2. Raio de luz que incide numa direção que passa pelo foco principal do 
espelho.
3. Raio de luz que incide numa direção que passa pelo centro de 
curvatura do espelho.
4. Raio de luz que incide sobre o vértice do espelho
Para classificar uma imagem diante de um espelho esférico, devemos ter:
• Orientação: invertida ou direita
• Natureza: real ou virtual
• Tamanho:menor, igual ou maior que o objeto.
Para os espelhos côncavos temos:
a) Objeto antes do centro de curvatura C (Figura 16):
Característica: invertida, real e menor que o objeto.
 UNIUBE 213
Figura 16: Objeto antes do centro de curvatura.
b) Objeto sobre o centro de curvatura C (Figura 17):
Característica: invertida, real e do mesmo tamanho do objeto.
Figura 17: Objeto sobre o centro de curvatura.
c) Objeto entre o centro de curvatura C e o foco principal do espelho F 
(Figura 18):
Característica: invertida, real maior que o objeto.
214 UNIUBE
Figura 18: Objeto entre o centro e o foco.
d) Objeto sobre o foco principal do espelho F (Figura 19)
Característica: imprópria
Figura 19: Objeto sobre o foco.
e) Objeto entre foco principal do espelho F e o vértice do espelho V 
(Figura 20):
Característica: a imagem formada é direita, virtual e maior que o objeto.
 UNIUBE 215
Figura 20: Objeto entre o foco e o vértice.
Para o espelho convexo, temos apenas um caso (Figura 21), cujas 
características são: direita, virtual e menor que o objeto.
Figura 21: Espelho convexo.
Estudo analítico
A equação dos pontos conjugados relaciona as variáveis p, p’, e f:
Onde:
p = abscissa do objeto
p’ = abscissa da imagem
f = distância focal
216 UNIUBE
Assim, podemos descrever duas equações.
Equações dos pontos conjugados
Equação do aumento linear transversal 
Na utilização das duas expressões apresentadas, devemos utilizar a 
convenção de sinais referencial de Gauss. Assim, temos:
p > 0: objeto real;
p < 0: objeto virtual;
p’ > 0: imagem real;
p’ < 0: imagem virtual; 
f > 0: espelho côncavo;
f < 0: espelho convexo.
Exemplo 4
A imagem de um objeto forma-se a 40 cm de um espelho côncavo com 
distância focal de 30 cm. A imagem formada situa-se sobre o eixo principal 
do espelho, é real, invertida e tem 3 cm de altura. Observe a Figura 22, a 
seguir, e:
a) Determine a posição do objeto.
EXEMPLIFICANDO!
 UNIUBE 217
b) Construa o esquema referente à questão representando o objeto, a imagem, 
o espelho e os raios utilizados, além de indicar as distâncias envolvidas.
Resposta
a) 
b)
Figura 22: Estudo analítico
6.1.10 Fenômeno da refração
A luz propaga-se em determinados meios materiais e também no 
vácuo, e em cada meio ela se propaga com velocidade diferente. A esse 
fenômeno chamamos de refração luminosa. Observe esse fenômeno na 
Figura 23 a seguir.
Figura 23: Fenômeno da refração.
218 UNIUBE
6.1.10.1 Índice de refração absoluto de um meio
A preocupação em determinar o valor da velocidade da luz entre os 
elementos foi uma constante desde o início do estudo da óptica. Galileu 
sustentava a idéia de que a luz não era instantânea: levava certo tempo, 
embora infinitamente pequeno, para ir de um ponto a outro. Alegava, 
contudo, ser a velocidade tão grande que seus métodos não eram 
adequados para efetuar esta medida.
Mais tarde, comprovou-se que Galileu tinha razão. Cientistas como 
Roemer, Fizeau, Michelson e outros, que se dedicaram à pesquisa do 
valor da velocidade da luz, conseguiram determiná-lo com precisão. Para 
o vácuo, este valor é de 299.792 km/s. É necessário ressaltar que este 
valor é determinado para o vácuo. Se o meio de propagação da luz for a 
água, o vidro, o óleo ou outro qualquer, ela não terá a mesma velocidade.
Pesquisas realizadas neste campo permitiram constatar que a velocidade 
da luz varia ao mudar o meio de propagação. Este fenômeno é chamado 
de refração da luz.
Refração da luz é o fenômeno pelo qual a luz varia sua velocidade 
quando passa de um meio de propagação para outro de densidade 
diferente.
A velocidade da luz em cada meio está associada ao índice de refração 
absoluto do meio, cuja definição apresentamos a seguir.
Índice de refração absoluto de um meio é a razão entre a velocidade da 
luz no vácuo e a velocidade da luz no meio.
Chamando de n, o índice de refração absoluto do meio, de c a velocidade 
da luz no vácuo, e de v a velocidade da luz no meio, poderemos 
determinar o índice de refração absoluto pela expressão:
Observação: Para facilitar os cálculos, consideramos que a velocidade 
da luz no vácuo é igual a 300.000 km/s.
 UNIUBE 219
A respeito do índice de refração absoluto, podemos fazer as seguintes 
considerações:
• a luz tem sua maior velocidade quando se propaga no vácuo. Em 
qualquer outro meio sua velocidade será menor. Pela expressão 
, sendo o denominador menor que o numerador, podemos 
concluir que o índice de refração de um meio qualquer é um 
número sem unidade, cujo valor é sempre maior que 1;
• quanto maior a capacidade de uma substância transparente de 
diminuir a velocidade da luz que vem do vácuo, maior seu índice 
de refração absoluto;
Na Tabela 1, a seguir, apresentamos os índices de refração de algumas 
substâncias quando o raio é de luz monocromática amarela do sódio a 
uma temperatura de 20ºC
Tabela 1: Índices de refração de algumas substâncias.
Substância n
Água pura 1,33
Sal de cozinha 1,54
Diamante 2,42
Álcool etílico 1,36
Glicerina 1,47
Vidro crown 1,52
Gelo 1,31
Parafina 1,43
• O índice de refração absoluto do ar é de aproximadamente 1,0002. 
Para maior facilidade, usaremos o valor 1 como índice de refração 
absoluto do ar.
• O índice de refração absoluto de uma substância é também 
chamado de refringência. Seu valor está associado à frequência 
da luz refratada. Assim, uma mesma substância pode ter vários 
índices de refração dependendo da luz refratada.
220 UNIUBE
Exemplo 5
Sendo a velocidade da luz na água ¾ da velocidade da luz no vácuo, seu 
índice de refração absoluto é:
Resposta
EXEMPLIFICANDO!
6.1.10.2 A lei de Snell-Descartes
Analisamos até aqui a relação entre índice de refração de um meio e 
a velocidade da luz no meio. Estudaremos agora outro fenômeno que 
normalmente acompanha a refração: a mudança de direção de um raio 
luminoso, ao passar de um meio para outro.
A seguir, na Figura 24, observamos um feixe de luz monocromática 
atingindo a superfície que separa o ar (meio 1) da água (meio 2). No ar, 
a luz se move com uma velocidade v1 e, na água, com uma velocidade v2.
Figura 24: Refração e reflexão.
 UNIUBE 221
Este esquema nos permite fazer algumas considerações:
• Uma parte do feixe de luz se reflete e a outra se refrata.
• O par de meios transparentes (ar-vidro) é separado por uma 
superfície S, chamada dioptro.
• A reta perpendicular à superfície S é chamada reta normal (N).
• O ângulo formado entre o raio incidente (ri) e a normal (N) é 
chamado ângulo de incidência (i): o ângulo formado entre o raio 
refratado (rr) e a normal (N) é chamado ângulo de refração (r).
Agora perguntamos: existe alguma relação entre o ângulo de 
incidência e o de refração?
Esta pergunta foi respondida, primeiramente, por Snell e, depois, 
por Descartes. Eles estabelecera, experimental e separadamente, a 
seguinte lei:
O produto do seno do ângulo de incidência, pelo valor do índice de 
refração do meio em que se propaga o raio incidente, é igual ao produto 
de seno do ângulo de refração, pelo índice de refração do meio em que 
se propaga o raio refratado.
Exemplo 6
Um raio de luz se propaga no ar e atinge um meio x. Para um ângulo de 
incidência de 30°, o ângulo de refração correspondente é de 60°. Qual é o 
índice de refração do meio x?
30 . 60 . ar xseni n sen n° = °
EXEMPLIFICANDO!
222 UNIUBE
6.1.10.3 Aplicação da lei de Snell-Descartes
A lei de Snell-Descartes tem um grande número de aplicações. Vamos 
estudar algumas.
A – Ângulo limite e reflexão total
Consideramos dois meios, 1 e 2, sendo > . Pela análise que fizemos 
da lei de Snell-Descartes, podemos afirmar que o ângulo de incidência 
é menor que o ângulo de refração e, em conseqüência,o raio refratado 
se afasta da normal. Observe a Figura 24, a seguir.
Figura 25: Reflexão total.
Podemos perceber na figura anterior que, à medida que o ângulo de 
incidência cresce, o ângulo de refração também cresce, mas numa 
proporção maior. O esquema mostra que RR2 está razante formando 
um ângulo de 90°. Temos, então, o ângulo limite. O raio RR3 está nos 
mostrando a reflexão total.
Ângulo limite de refração é o ângulo de incidência que corresponde a um 
ângulo de refração de 90°.
Reflexão total só ocorre quando o ângulo de incidência for maior que o 
ângulo limite e o raio de luz passar de um meio mais refringente para um 
meio menos refringente.
 UNIUBE 223
Exemplo 7
A Figura 26, a seguir, ilustra, esquematicamente, o comportamento de um 
raio de luz que atinge um dispositivo de sinalização instalado numa estrada, 
semelhante ao conhecido “olho-de-gato”.
EXEMPLIFICANDO!
Figura 26: Reflexão total.
De acordo com a Figura 26, responda:
a) Que fenômenos ópticos ocorrem nos pontos I e II?
b) Que relação de desigualdade deve satisfazer o índice de refração do 
plástico para que o dispositivo opere adequadamente, conforme indicado 
na figura?
Resposta
a) I – reflexão, II – refração.
224 UNIUBE
b) mas, como
queremos a relação de desigualdade, 
6.1.10.4 Dioptro plano
Denomina-se dioptro todo sistema óptico constituído por dois meios 
transparentes, homogêneos e distintos, ou seja, é a superfície de 
separação entre os meios.
Podemos observar que o exemplo mais comum é o par de meios entre 
ar e água. Observe a Figura 27 a seguir.
Figura 27: Dioptro plano.
• Nesta equação, ( ) índice de refração representa o sentido do raio 
de luz.
• Se o observador estiver fora da água e olhar para dentro da piscina, 
perceberá que o fundo da piscina parecerá mais próximo.
• Se o observador estiver dentro da água e olhar objetos fora da 
água, perceberá que eles irão parecer mais afastados.
 UNIUBE 225
• Isso ocorre por causa dos índices de refração do ar e da água 
serem diferentes, ou seja, o índice de refração da água é maior do 
que o índice de refração do ar.
6.1.10.5 Prisma óptico
É uma lamina de faces não paralelas. O ângulo formado pelas faces não 
paralelas é o ângulo de refringência ou ângulo de abertura.
Estudamos aqui o comportamento de um raio de luz ao atravessar um 
prisma através da sua secção principal. Veja a Figura 28, a seguir.
Figura 28: Prisma óptico.
Na medida em que varia o ângulo de incidência (i), o desvio angular (a) 
também varia. Experimentalmente, observamos um valor para o ângulo 
de incidência (i) ao qual corresponde um desvio angular mínimo (r). Isso 
acontece para i = r e, portanto, r = r’.
IMPORTANTE!
226 UNIUBE
Quando um raio de luz policromático (várias cores) atinge obliquamente 
a superfície de separação de dois meios, cada uma das radiações 
componentes terá um diferente ângulo de refração, acarretando a 
separação das cores. Esse fenômeno é acentuado nos prismas e recebe 
o nome de dispersão luminosa.
6.1.10.6 Lentes convergentes e divergentes
Trata-se de uma associação entre os dois dioptros no qual uma das faces 
é necessariamente esférica e a outra pode ser esférica ou plana.
Classificação das lentes
a) Lentes convexas
Lentes que apresentam a parte central mais espessa que os extremos. 
São também chamadas de lentes de bordas finas. Observe a Figura 29 
a seguir.
Figura 29: Lentes de bordas finas.
b) Lentes côncavas 
Lentes que apresentam os extremos mais espessos que a parte central. 
Chamadas também de lentes de bordas espessas. Veja a Figura 30, a 
seguir.
 UNIUBE 227
Figura 30: Lentes de bordas espessas.
Os raios que atingem uma lente podem ser desviados, convergindo 
para o eixo principal ou divergindo dele. As lentes que convergem os 
raios luminosos são chamadas lentes convergentes; as que divergem, 
são chamadas lentes divergentes. Os fatores que determinam esse 
comportamento óptico das lentes são dois: a sua forma e o índice de 
refração absoluto do meio onde as lentes se encontram.
Assim, quando o índice de refração da lente for maior que o índice de 
refração do meio onde ela se encontra, podemos generalizar dizendo:
• Lentes de bordas finas são convergentes;
• Lentes de bordas grossas ou espessas são divergentes.
Em caso contrário, isto é, quando o índice de refração da lente for menor 
que o índice de refração do meio onde ela se encontra, teremos:
• Lentes de bordas finas: divergentes;
• Lentes de bordas grossas: convergentes.
A esta altura você poderia perguntar: por que uma lente tem o poder de 
convergir e outra de divergir se ambas são feitas do mesmo material?
Para explicar esse fato, vamos recorrer aos prismas. Imagine dois 
prismas idênticos, colocados de tal forma que a base de um se junte 
à base do outro. Os raios de luz tendem a se juntar, pois a luz que 
atravessa um prisma desvia-se sempre, aproximando-se da base do 
mesmo.
228 UNIUBE
Imagine, agora, que você pudesse colocar muitos troncos de prisma uns 
sobre os outros, com ângulos cada vez maiores, e polir suas faces. Você 
teria obtido uma lente esférica, que converge os raios luminosos para um 
determinado ponto.
A- Foco imagem
Em uma lente convergente, os raios paralelos ao eixo principal se 
refratam e passam por um ponto ao qual chamamos foco imagem 
da lente (F1). A distância entre o centro óptico (C0) e o foco chama-se 
distância focal (f).
Em uma lente divergente, os raios paralelos ao eixo principal se refratam, 
de forma que seus prolongamentos passem pelo foco. A distância entre 
o foco e o centro óptico da lente também se chama distância focal (f).
Como você já deve ter percebido, o foco imagem de uma lente 
convergente é real e o de uma lente divergente é virtual.
B – Foco objeto
Tanto nas lentes convergentes como nas lentes divergentes há, sobre o 
eixo principal, um ponto simétrico ao foco imagem em relação ao centro 
óptico da lente. Esse ponto é chamado de foco objeto da lente. Os raios 
que passam pelo foco objeto e atingem a lente emergem paralelos ao 
eixo principal. Veja a Figura 31.
Figura 31: Raios notáveis.
 UNIUBE 229
Podemos resumir o que acabamos de estudar sobre focos nas seguintes 
afirmações:
a) Toda lente tem dois pontos sobre o eixo principal, igualmente 
distanciados do centro da lente, chamados focos da lente.
b) Nas lentes convergentes, os focos são reais; nas divergentes, são 
virtuais.
c) A distância entre o foco e o centro óptico da lente é chamada distância 
focal.
d) Pelo principio da reversibilidade dos raios luminosos, podemos afirmar 
que qualquer dos focos pode ser considerado foco imagem ou foco 
objeto, dependendo apenas da face de entrada de luz na lente.
6.1.10.7 Equação de Gauss para lentes esféricas
No item anterior, determinamos, geometricamente, as características 
das imagens obtidas através de lentes esféricas. Agora, vamos fazer 
um estudo analítico dessas imagens por meio das equações de Gauss. 
Essas equações são as mesmas que estudamos para os espelhos 
esféricos, com as mesmas condições de Gauss – raios de pequena 
abertura e próximo ao eixo principal –, os mesmos significados e as 
mesmas convenções. As equações são as seguintes:
Equação dos pontos conjugados
Equação do aumento linear transversal
230 UNIUBE
Vejamos agora as convenções:
a) lentes convergentes têm distâncias focais positivas e lentes divergentes 
têm distâncias focais negativas;
b) a distância objeto e a distância imagem são sempre valores positivos, 
quando reais, e negativos, quando virtuais;
c) a aplicação ( ) é negativa quando objeto e imagem são da 
mesma natureza (ambos reais ou ambos virtuais) e positiva, quando 
imagem e objeto são de natureza contrária (um real e outro virtual).
6.1.10.8 Convergência deuma lente
A convergência (C) de uma lente é definida como o inverso da distância 
focal (f), em metros, e apresenta o mesmo sinal de distância focal:
Quando dizemos que as lentes de determinados óculos são “fortes” 
ou “fracas”, estamos nos referindo, mesmo sem sabermos disso, ao 
maior ou menor poder que as lentes têm de convergir ou divergir raios 
luminosos. Em óptica, esse poder é dado pela convergência ou vergência 
de uma lente, que assim se define:
A convergência de uma lente é dada pelo inverso de sua distância focal.
Quando a distância focal da lente é dada em metros, a convergência é 
dada em dioptrias (di). Dessa forma, podemos dar a seguinte definição:
Uma dioptria é a convergência de uma lente de distância focal igual a 
um metro.
A dioptria de uma lente é aquilo que, incorretamente, constumamos 
chamar de “grau” da lente.
 UNIUBE 231
2.1.10.9 Equação dos fabricantes de lentes
Em muitos instrumentos, como nos microscópios, por exemplo, utilizam-
se associações de lentes para eliminar o fenômeno das aberrações 
cromáticas das lentes esféricas.
Para obter a convergência de um sistema de lentes, basta somar as 
convergências de todas as lentes que compõem o sistema.
Assim, se associamos duas lentes, por justaposição, uma biconvexa de 
6 di e outra convexo-côncava de -4di, o sistema terá uma convergência 
de 2 di, pois:
6.1.11 Instrumentos ópticos
São classificados em função da imagem final produzida.
• Instrumentos de observação imagem final é virtual. Exemplo: 
lupa, luneta e microscópio.
• Instrumentos de projeção imagem final é real. Exemplo: câmera 
fotográfica e projetores de slides.
• Microscópio composto (Figura 32).
232 UNIUBE
Figura 32: Microscópio
Lente objetiva: (mm) a imagem é 
real, invertida e ampliada. 
Lente ocular: (cm) a imagem é 
virtual, invertida e ampliada ( em 
relação ao objeto O).
• Luneta Astronômica (Figura 33)
Figura 33: Luneta Astronômica
Objetiva(m): imagem 
real , situada no foco 
imagem da objetiva
Ocular (cm): a imagem 
 comporta-se como 
objeto para a ocular 
(lupa), imagem final ,
 virtual e invertida.
6.1.12 Óptica da visão
Em relação aos padrões tecnológicos atuais, o olho humano é um 
instrumento óptico altamente sofisticado. Seu sistema de funcionamento 
pode ser comparado ao de uma câmera fotográfica, em que o cristalino é 
a lente, a pupila é o diafragma e a retina faz a função do filme fotográfico 
em cores.
 UNIUBE 233
Em um olho normal, o ponto mais distante de visão nítida é denominado 
ponto remoto. A diferença entre a máxima e a mínima convergência do 
olho humano é conhecida como amplitude de acomodação visual e vale, 
para um olho normal, quatro dioptrias (4 di).
Ponto remoto (PR) e Ponto próximo (PP)
PR ponto mais afastado que o olho vê com nitidez (máxima distância 
focal) PP ponto mais próximo que o olho vê com nitidez (distância focal 
mínima). Para um objeto ser visto nitidamente, ele deve situar-se entre 
os PP e PR (zona de acomodação).
6.1.13 Anomalias da visão
Observe a Figura 34 a seguir.
Figura 34: Olho reduzido. 
a) Miopia
Para compensar a miopia, usa-se uma lente corretora divergente, cuja 
função é conjugar, para um objeto no infinito, uma imagem no ponto 
remoto do olho míope.
234 UNIUBE
Observações
As chamadas lentes corretoras não corrigem a ametropia, mas, 
sim, produzem as imagens em um intervalo em que o usuário tenha 
acomodação visual.
A distância focal (f) da lente corretora da miopia é, em módulo, igual à 
distância máxima de visão nítida (ponto remoto), sendo, porém, negativa, 
já que a lente é divergente:
b) Hipermetropia
A compensação da hipermetropia é feita com uma lente convergente, que 
conjuga, para um objeto a 25 cm do olho, uma imagem no ponto mais 
próximo de visão nítida do olho hipermétrope.
c) Presbiopia ou vista cansada
Com o envelhecimento, o cristalino perde a capacidade de acomodação, 
de modo que suas faces não adquirem a curvatura necessária que 
permita a visão de objetos próximos. Isso significa que o ponto próximo 
se afasta do olho e, portanto, a pessoa presbíope não enxerga bem de 
perto. Da mesma forma que na hipermetropia, a correção é feita com o 
uso de óculos cuja as lentes são esféricas convergentes.
d) Astigmatismo
O astigmatismo consiste numa imperfeição do olho, particularmente 
da córnea, cujo raio de curvatura varia conforme a seção considerada. 
Por isso, a luz sofre refrações diferentes, nas diferentes seções. 
Consequentemente, para um astigmata, a imagem que se forma na 
retina não é nítida, isto é, apresenta deformações. A correção é feita 
com uso de óculos cujas lentes são cilíndricas e podem ser convergentes 
ou divergentes.
 UNIUBE 235
Neste capítulo, você viu a parte da Física que estuda os fenômenos 
ópticos, ou seja, estuda as várias fontes de luz, a análise da cor, os 
princípios de propagação da luz e os tipos de espelhos.
Na óptica, você estudou de que forma essa luz pode ser propagada 
entre os meios, bem como as características de cada processo e suas 
aplicações.
Conclusão6.2
Resumo
Levando em conta os tópicos abordados neste capítulo, entre os 
principais conceitos tratados, temos:
• Luz
Uma forma de energia radiante que sensibiliza os nossos órgãos 
visuais. Ela se propaga nos meios materiais e também no vácuo. 
Quando a luz atinge a fronteira entre dois meios ópticos, podem 
ocorrer, basicamente, três fenômenos luminosos: reflexão, refração 
e absorção.
• Princípios da óptica geométrica
a) Princípio da propagação retilínea – nos meios homogêneos e 
transparentes, a luz se propaga em linha reta.
b) Princípio da independência dos raios luminosos – quando vários 
feixes luminosos, emitidos por fontes diferentes, propagam-se 
simultaneamente, cada um deles comporta-se como se os outros não 
existissem. Significa dizer que os feixes podem se cruzar sem que um 
altere a propagação do outro.
c) Princípio da reversibilidade dos raios luminosos – a trajetória de 
uma raio de luz não se modifica quando se inverte o sentido de sua 
propagação.
236 UNIUBE
• Reflexão luminosa
A reflexão luminosa de um raio de luz é descrita por duas leis:
• O raio incidente (PI), o raio refletido (IR) e a norma (N), no ponto 
de incidência, estão no mesmo plano.
• A medida do ângulo de incidência i é igual à medida do ângulo 
de reflexão.
• Refração luminosa
A luz propaga-se em determinados meios materiais e também no 
vácuo, e em cada meio a luz propaga-se com uma velocidade diferente. 
A esse fenômeno chamamos de refração luminosa.
A refração luminoas obedece a duas leis:
a) O raio incidente (I), o raio refratado (R) e a normal à superfície de 
separação no ponto de incidência, são coplanares.
b) para cada par de meios 1 e 2 e para cada cor de luz, temos (lei de 
Snell-Descartes):
• Sempre que necessário verificar os conceitos de primas, dioptros 
e reflexão total;
• O comportamento óptico de uma lente depende do meio em 
que ela se encontra e de que material ela é feita, podendo ser 
convergente ou divergente, uma lente de bordas finas e também 
uma lente de bordas espessas;
• Em relação às anomalias, devemos ter em mente: miopia, 
hipermetropia e presbiopia; os tipos de lente para a correção e 
onde se formam as imagens.
 UNIUBE 237
Referências
YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. Física, v. 4: ótica e física moderna. 
12. ed. São Paulo: Pearson Education, 2009.
Anotações
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