Permeabilidade do Solo: Conceitos e Cálculos

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Mecânica dos solos 
 
PERMEABILIDADE DO SOLO 
 
 
Faculdade Estácio de Sá 
 
Vila velha/ES 
Permeabilidade do Solo 
 Introdução: 
 Os solos são permeáveis devido à existência de espaços vazios interconectados. 
 A água se desloca através dos espaços vazios, de ponto de alta energia para ponto de 
baixa energia. 
 O fluxo ocorre do ponto de maior carga total (alta energia) para o de menor carga total 
(menor energia). 
 O estudo de permeabilidade é importante para estimar o fluxo de água em situações de 
construções subterrâneas e realizar a análise de estabilidade de barragens e estruturas de 
contenção. 
 Um dos principais parâmetros físicos de um solo que controla a taxa de percolação é a 
condutividade hidráulica. 
 
Recordando da aula de Hidráulica e Fenômeno de transporte: Equação de Bernoulli: 
𝑕 =
𝑢
γ𝑤
+
𝑣2
2𝑔
+ 𝑍 
h = carga total 
u = pressão 
v = velocidade 
g = aceleração da gravidade 
Γw = peso específico da água 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑢
γ𝑤
= carga piezométrica 
𝑣2
2𝑔
= carga cinética 
Z = carga altimétrica 
Permeabilidade do Solo 
 Introdução: 
 No fluxo de água através de um solo poroso, o termo que contém a carga cinética pode ser 
desprezado, pois a velocidade de percolação é pequena. Logo a equação pode ser 
reduzida a: 
𝑕 =
𝑢
γ𝑤
+ 𝑍 
 
 Segue no desenho abaixo a relação entre cargas piezométrica, altimétrica e total para 
determinado fluxo de água. 
 
 
 
 
 
 
Δ𝑕 = 𝑕𝐴 − 𝑕𝐵 
Δh = Perda de carga 
durante o fluxo 
Permeabilidade do Solo 
 Introdução: 
 A perda de carga pode ser expressa em uma forma adimensional: 
 
 
 
 
 
 
 Segundo o gráfico mostrado abaixo, o gradiente aumenta gradualmente a medida que a 
velocidade aumenta, até as Zonas I e II, podendo assim afirmar uma relação linear entra 
os dois parâmetros. 
 
Δ𝑕 = 𝑕𝐴 − 𝑕𝐵 𝑖 =
Δ𝑕
𝐿
 
i = gradiente hidráulico 
L = distância entre os pontos A e B, ou seja, o comprimento do fluxo no qual ocorreu a 
perda de carga. 
Devido a essa linearidade, podemos dizer 
que existem um proporcionalidade entre 
gradiente hidráulico e velocidade. 
𝑣 ~ 𝑖 
Permeabilidade do Solo 
 Lei de Darcy: 
 Darcy (1856) publicou um equação simples para velocidade de descarga da água em 
solos saturados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑣 = k × 𝑖 
v = velocidade de descarga, que é quantidade de água fluindo em uma unidade de 
tempo de um unidade de área de seção transversal bruta do solo em ângulos retos em 
relação à direção do fluxo. 
K = condutividade hidráulica (também conhecida como coeficiente de permeabilidade) 
𝑞 =
Δ𝑉𝑤
Δ𝑡
= 𝑣𝑎𝑧ã𝑜 
𝑞 = 𝑣 × 𝐴 
𝑞 = 𝑘 × 𝑖 × 𝐴 
𝑘 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑒𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 
Permeabilidade do Solo 
 Lei de Darcy: 
 Velocidade de descarga e velocidade real da água: 
 
 
 
 
 
 
 
𝑣 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 
𝑣𝑓 =
𝑣
𝑛
 
𝑣𝑓 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙 da água 
𝑛 = 𝑝𝑜𝑟𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 
Permeabilidade do Solo 
 Coeficiente de Permeabilidade do solo: 
 Como calcular: Ensaio de laboratório: 
Permeâmetro de Carga constante. (h = constante) 
 
 
 
 
 
 
 𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑎 𝐷𝑎𝑟𝑐𝑦: 𝑞 = 𝑘 × 𝑖 × 𝐴 
𝑞 = Δ𝑉𝑤/Δ𝑡 
𝑞 = 𝑘 ×
𝑕
𝐿
× 𝐴 
𝑘 =
𝑞 × 𝐿
𝑕 × 𝐴
 
𝑘 =
Δ𝑉𝑤 × 𝐿
Δ𝑡 × 𝑕 × 𝐴
 
O abastecimento de água na entrada 
é ajustado de tal forma que a carga 
“h” fique constante. 
Permeabilidade do Solo 
 Coeficiente de Permeabilidade do solo: 
 Como calcular: Ensaio de laboratório: 
Permeâmetro de Carga Variável (h = variável) – solos com permeabilidade muito baixa 
 
 
 
 
 
 
 
𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑎 𝐷𝑎𝑟𝑐𝑦: 𝑞 = 𝑘 × 𝑖 × 𝐴 
𝑞 = 𝑘 ×
𝑕
𝐿
× 𝐴 
𝑑𝑕
𝑑𝑡
= −
𝑘 × 𝑕 × 𝐴
𝑎 × 𝐿
 
Vazão no instante “t” qualquer: 
A vazão que passa pela bureta é a 
mesma que passa pelo solo. 
𝑞 = 𝑘 ×
𝑕
𝐿
× 𝐴 = −𝑎
𝑑𝑕
𝑑𝑡
 
O sinal será negativo pois está perdendo carga. 
 
𝑑𝑕
𝑕
ℎ𝑓
ℎ𝑖
= −
𝑘 × 𝐴
𝑎 × 𝐿
𝑑𝑡
𝑡2
𝑡1
 
𝑘 = 2,303
𝑎 × 𝐿
𝐴 × 𝑡
× 𝑙𝑜𝑔
𝑕𝑖
𝑕𝑓
 
Permeabilidade do Solo 
 Fluxo Unidimensional: 
Fluxo ascendente 
Tensões no solo quando ocorre percolação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Permeabilidade do Solo 
 Fluxo Unidimensional: 
Fluxo descendente: 
Tensões no solo quando ocorre percolação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Permeabilidade do Solo 
 Fluxo Unidimensional: 
Conclusões: 
No fluxo ascendente, o atrito viscoso da água com os sólidos promove uma redução da tensão 
efetiva. 
 
No fluxo descendente ocorre um aumento da tensão efetiva, em virtude do atrito viscoso no 
contato da água com os sólidos, arrastando as partículas para os poros do solo. 
 
 Dando atenção especial ao fluxo ascendente, pois é nele que ocorre a diminuição da 
tensão efetiva. 
Supondo que a carga hidráulica aumente progressivamente, a tensão efetiva ao longo de toda 
a espessura irá diminuindo até o instante em que se torne nula. Nesta situação, as forças 
transmitidas de grão para grão são nulas. 
Como a resistência das areias é proporcional à tensão efetiva, quando esta se anula, a areia 
perde completamente a sua resistência. 
σ′ = 𝐿 × γ𝑠𝑢𝑏 − 𝑖 × γ𝑤 = 0 
𝑖𝑐𝑟𝑖𝑡 =
γ𝑠𝑢𝑏
γ𝑤
 
Gradiente Crítico: icrit. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Permeabilidade do Solo 
 Fluxo Unidimensional: 
Quando a tensão efetiva iguala-se a zero, as forças transmitidas entre grãos se anulam, 
resultando no fenômeno chamado Areia Movediça. 
Teoricamente, poderia ocorrer o fenômeno Areia Movediça em areias grossas e pedregulhos, 
mas as vazões correspondentes ao gradiente crítico seriam tão elevadas que não é fácil 
encontrar uma situação que provocasse este estado. A areia movediça é uma situação típica de 
areias finas. 
 
Areia movediças, na natureza, são rara ocorrência, mas o homem é capaz de criar esta 
situação nas suas obras: 
1. Considere um Barragem construída sobre uma camada de areia fina sobreposta a um 
sedimento de areia grossa. A água do reservatório se infiltra pelas fundações , percorrendo 
preferencialmente pela areia grossa, e emergirá a jusante através da areia fina. Neste 
momento ascendente, o gradiente pode atingir o valor crítico. A areia perderá resistência e a 
barragem tombará. (Pinto-2006) 
2. É uma escavação em areia, previamente escorada com estacas pranchas, em que o nível 
d’água é rebaixado para que se possa trabalhar a seco. A perda de resistência fará 
mergulhar as pessoas e os equipamentos que estiverem trabalhando fundo e, 
eventualmente, provocará a ruptura do escoamento por falta de sustentação lateral. (Pinto-
2006). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Permeabilidade do Solo 
 
 
 
 
 
FLUXO BIDIMENSIONAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Permeabilidade do Solo 
Introdução: 
 Quando o fluxo de água ocorre sempre na mesma direção, como no caso dos permeâmetros 
estudados anteriormente, diz-se que é fluxo unidimensional. 
 Quando as partículas de água seguem caminhos curvos, mas contidos em planos paralelos, 
o fluxo é bidimensional. É o caso da percolação pelas fundações em uma barragem. 
 O estudo do fluxo bidimensional é muito facilitado pela representação gráfica dos caminhos 
percorridos pela água e da correspondente dissipação de carga, conhecida como rede de 
fluxo. 
 
Para podermos entender melhor, iniciaremos o estudo com o permeâmetro de fluxo 
unidimensional.Permeabilidade do Solo 
Fluxo Unidimensional 
Dados do problema: 
Corpo de prova: 
Altura: 12 cm 
Largura: 8 cm 
Espessura: 1 cm 
 
 Verificação quanto ao fluxo de água: 
a) Na face inferior, a carga altimétrica é nula, a carga 
Piezométrica é de 20 cm e a carga total é de 20cm; 
b) Na face superior, a carga altimétrica é de 12 cm, 
a carga piezométrica é de 2cm e a carga total é de 14cm; 
c) A diferença de carga, de 6cm, dissipa-se ao longo de 
12 cm. O gradiente hidráulico, portanto, é de 0,5; 
d) A vazão, dada pela lei de Darcy, q = k . i . A, é igual a 
0,2 cm3/s, sendo k=0,05 cm/s. 
Permeabilidade do Solo 
 Pensemos sob o prisma da redes de fluxo. Qualquer gota 
que penetra na face inferior da areia se dirige à face 
superior segundo um linha reta. A esta linha é chamada de 
Linha de Fluxo. Entre linhas de fluxo formam Canais de 
Fluxo e que no caso de larguras iguais possuirão a mesma 
Vazão. 
 Consideremos as cargas. Em qualquer ponto da 
superfície inferior, as cargas totais são iguais. Pode-se 
dizer que a linha que a representa é uma linha Equipotencial. 
Da mesma forma, a linha superior é uma linha equipotencial. 
A diferença de carga dissipa-se ao longo da linha de percolação. 
Por exemplo, em todos os pontos a 2 cm da face inferior, já 
ocorreu uma dissipação de 1cm de carga. 
No caso de permeâmetro com fluxo vertical, qualquer linha 
horizontal é considerada linha equipotencial. 
É conveniente que a rede de fluxo deve formar quadrados. 
Permeabilidade do Solo 
Cálculo da vazão na rede de fluxo: 
1. Perda de Carga entre equipotenciais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Gradiente hidráulico: 
 
 
 
3. Vazão: 
 
 
 
Δ𝑕 =
𝑕
𝑁𝐷
 
ND = número de faixas de 
perda de potencial 
𝑖 =
Δ𝑕
𝑙
=
𝑕
𝑁𝐷 × 𝑙
 No exemplo: 𝑖 =
6
2 × 6
= 0,5 
𝑄 = 𝑘 . 𝑖 . 𝐴 = 𝑘 . 
𝑕
𝑁𝐷 × 𝑙
 . 𝑏 = 𝑘 .
𝑕
𝑁𝐷
 
𝑄 = 𝑘 .
𝑕
𝑁𝐷
= 𝑘 . 𝑕 .
𝑁𝐹
𝑁𝐷
 𝑄 = 0,05 . 6 .
4
6
= 0,2𝑐𝑚3/𝑠 No exemplo: 
Permeabilidade do Solo 
Fluxo Bidimensional 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• A areia está contida pelas telas AB e CD, que são ortogonais ás paredes do permeâmetro. 
• Distância AB e CD são iguais a 10cm, o arco AC mede 12 cm e o arco BD mede 24 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Permeabilidade do Solo 
Fluxo Bidimensional 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o traçado da rede de fluxo, consideremos o seguinte: 
Linhas de fluxo: 
• Arco AC, o gradiente é igual a 6/12 = 0,5; 
• Arco BD, o gradiente é igual a 6/24 = 0,25; 
• A medida que os arcos aumentam de comprimento, o gradiente diminui. 
• Como o coeficiente de permeabilidade é constante, a velocidade será diferente. No arco AC 
velocidade maior do que no arco BD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Permeabilidade do Solo 
Fluxo Bidimensional 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o traçado da rede de fluxo, consideremos o seguinte: 
Linhas de fluxo: 
• Como a vazão é constante e para compensar as velocidades diferentes, as áreas serão 
diferentes. 
• Linhas de fluxos serão mais próximas quanto mais perto do arco AC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Permeabilidade do Solo 
Fluxo Bidimensional 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o traçado da rede de fluxo, consideremos o seguinte: 
Equipotenciais: 
• A diferença de carga que provoca a percolação é de 6cm. Essa carga se dissipa ao longo de 
cada linha de fluxo. 
• Optando por traçar linhas de fluxos que definam faixas de perdas de potencial iguais a 0,5cm, 
existirão 12 faixas (6/0,5 = 12). As equipotenciais distam-se 1,0cm entre si. 
• Na superfície externa do permeâmetro o afastamento entre equipotenciais será de 2,0cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Permeabilidade do Solo 
Fluxo Bidimensional: Meio homogêneo e isotrópico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: 𝑣𝑠𝑥 . 𝑑𝑦 . 𝑑𝑧 +
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑥
𝑑𝑥. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧 + 𝑣𝑠𝑦𝑑𝑥. 𝑑𝑧 +
𝜕𝑣𝑦
𝑦
𝑑𝑦. 𝑑𝑥. 𝑑𝑧 = 𝑣𝑒𝑥 . 𝑑𝑦. 𝑑𝑧 + 𝑣𝑒𝑦 . 𝑑𝑥. 𝑑𝑧 
 
 
 
 
 
 
𝑉𝑜𝑙. 𝑑𝑒 á𝑔𝑢𝑎 𝑠𝑎𝑖
Δ𝑡
=
𝑉𝑜𝑙. 𝑑𝑒 á𝑔𝑢𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎
Δ𝑡
 
𝑄𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 = 𝑄𝑠𝑎í𝑑𝑎 
𝑄𝑠𝑎𝑖 = 𝑣𝑠𝑥 . 𝑑𝑦. 𝑑𝑧 + 𝑣𝑠𝑦 . 𝑑𝑥. 𝑑𝑧 
𝑄𝑠𝑎𝑖 = 𝑣𝑠𝑥 +
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑥
𝑑𝑥 . 𝑑𝑦 . 𝑑𝑧 + 𝑣𝑠𝑦 +
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑦
𝑑𝑦 . 𝑑𝑥. 𝑑𝑧 
𝑄𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 = 𝑣𝑒𝑥 . 𝑑𝑦. 𝑑𝑧 + 𝑣𝑒𝑦 . 𝑑𝑥. 𝑑𝑧 
Permeabilidade do Solo 
Fluxo Bidimensional: Meio homogêneo e isotrópico 
 
 
 
 
 
 
Lembrando da equação de Darcy: 
 
 
Substituindo valores e considerando um solo isotrópico (kx = ky = kz) 
 
Temos a equação de Laplace: 
 
 
 
Equação que rege as redes de fluxos (solo homogêneo e isotrópico) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑥
𝑑𝑥. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧 +
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑦
𝑑𝑥. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧 = 0 
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑦
𝑑𝑥. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧 = 0 
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑦
= 0 
𝑣𝑥 = −𝑘𝑥
𝜕𝑕
𝜕𝑥
 𝑣𝑦 = −𝑘𝑦
𝜕𝑕
𝜕𝑦
 
𝜕2𝑕
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑕
𝜕𝑦2
= 0 
Permeabilidade do Solo 
Fluxo Bidimensional: Meio homogêneo e isotrópico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabendo que K do solo de fundação é de 5.10-5 m/s 
Carga de elevação dos pontos D, E e F são respectivamente 8m, 6m, 10m. 
Referencial adotado no fundo. 
Calcule a poro pressão nos pontos D, E e F. 
Calcule a vazão que ocorre no solo de fundação.