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Professor: Carlos Francisco Pecapedra Souza
Contato: Sala H301-1 COECI-GP
e-mail: pecapedra@utfpr.edu.br
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Objetivos da aula
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1. Carregamento axial
• 1.1 Deformação elástica.
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1.1 Deformação elástica
Combinando as equações de tensão axial e deformação específica, obtidas para uma
barra carregada por tração simples, com a lei de Hooke, temos:
𝜎 =
P
A
𝜎 = 𝐸. 𝜀
𝜀 =
𝛿
𝐿
𝜎 = 𝐸.
𝛿
𝐿
𝐸.
𝛿
𝐿
=
P
A
𝛿 =
P. L
E. A
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1.1 Deformação elástica
FLEXIBILIDADE
A flexibilidade da barra é definida como a deformação decorrente de uma carga unitária.
Flexibilidade =
L
E. A
RIGIDEZ
De modo análogo, a rijeza da barra é definida como a força necessária para produzir uma
deformação unitária.
Rigeza =
E. 𝐴
L
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1.1 Deformação elástica
Nos casos em que temos: uma barra constituída de materiais diferentes, seções diferentes
ou carregamentos axiais diferentes atuando ao longo da barra, o procedimento para
determinação da deformação total da barra consiste no somatório das regiões com iguais
propriedades.
! " #
#$ %
#$&
=
( #)*#
+#), #
𝛿𝑖 =෍
𝑖=1
𝑖=𝑛
Pi. Li
Ei. Ai
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1.1 Deformação elástica
Algumas vezes, a força axial e a área da seção transversal A variam continuamente ao
longo do eixo de uma barra.
Sob essas condições, para obter a variação no comprimento da barra, devemos
determinar a variação no comprimento de um elemento diferencial da barra e então
integrar sobre o comprimento da barra.
𝛿𝑖 = න
𝑥
P(x). 𝑑𝑥
E(x). A(x)
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1.1 Deformação elástica
Exemplo 6.1 - Uma barra de aço ABC de diâmetro 36
mm e uma barra de latão CD de mesmo diâmetro são
unidas no ponto C e formam uma barra ABCD de 7,5
m. Para o carregamento mostrado na figura e
desprezando o peso da barra, determine o
deslocamento (a) do ponto C e (b) do ponto D.
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1.1 Deformação elástica
Exemplo 6.2 - Na figura, uma viga é suportada em suas extremidades por dois tirantes de
diâmetros f1 = 12 mm e f2 = 7,5 mm, ambos de aço A-36. Em relação à rigidez axial das
peças, a viga pode ser tratada como uma chapa rígida. Considerando o escoamento dos
tirantes como estado limite último, pede-se determinar a máxima intensidade do
carregamento distribuído q que pode ser aplicado sobre a viga, bem como a extensão L do
mesmo, de modo que a viga permaneça na posição horizontal após a atuação do referido
carregamento.
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1.1 Deformação elástica
Exemplo 6.3 - Na estrutura da figura, para qual a viga pode ser considerada como uma
chapa rígida e os tirantes possuem a mesma rigidez axial, pede-se:
a) Determinar as reações de apoio;
b) Determinar os esforços axiais nos tirantes.
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1.1 Deformação elástica
Exemplo 6.3 - Na estrutura da figura, para qual a viga pode ser considerada como uma
chapa rígida e os tirantes possuem a mesma rigidez axial, pede-se:
a) Determinar as reações de apoio;
b) Determinar os esforços axiais nos tirantes.
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1.1 Deformação elástica
Aumentando a temperatura da barra de um valor DT, a barra se alonga de um valor dT,
proporcional à variação de temperatura e ao comprimento da barra, L.
𝛿𝑇 = 𝛼. Δ𝑇. 𝐿
! " = $ %&" %'
(" = $ %&"
𝜀𝑇 = 𝛼. Δ𝑇
a é uma característica do material, denominada coeficiente de dilatação térmica.
DEFORMAÇÕES DEVIDO À VARIAÇÃO DE TEMPERATURA
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1.1 Deformação elástica
Exemplo 6.4 - Determine a posição final do ponteiro com respeito a escala devido a um
aumento de temperatura de 60oC. Os coeficientes de dilatação térmica dos elementos (1)
é de 6,6.10-6/oC e do elemento (2) é de 12,5.10-6/oC.
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1.1 Deformação elástica
Há muitos problemas nos quais as forças internas não podem ser determinadas apenas por
meio das equações de equilíbrio.
Para este exemplo temos uma equação de equilíbrio, mas duas
incógnitas a determinar!
Portanto, torna-se necessário utilizar outras relações, envolvendo
deformações, que podem ser obtidas considerando as
condições geométricas do problema;
Tais problemas são ditos estaticamente indeterminados.
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1.1 Deformação elástica
Para resolução deste tipo de problemas se faz uso da técnica da superposição dos efeitos a
qual consiste em determinar inicialmente as deformações devido as forças reais e pela
reações separadamente, em seguida, adicionadas ou superpostas.
! " = ! $ + ! & = '
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1.1 Deformação elástica
Quando a barra se encontra livre para se deformar ao ser aplicada a variação de
temperatura, não existem tensões relacionadas com a deformação εT.
Entretanto, caso a barra seja colocada entre dois anteparos rígidos e sua temperatura seja
elevada em DT graus, haverá uma tendência de aumento do comprimento da barra, a ser
combatida pelas reações nos apoios:
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1.1 Deformação elástica
Fazendo uso do princípio da superposição dos efeitos, temos:
A barra inicialmente sofre um alongamento igual a dT, devido
à variação de temperatura.
Mas logo após uma carga de intensidade P é aplicada no
sentido de anular o alongamento.
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1.1 Deformação elástica
Portanto temos que a deformação total, que é igual à deformação provocada pela
temperatura somada à deformação produzida pela aplicação da carga P, deve ser nula.
𝛿𝑜 = 𝛿𝑇 + 𝛿𝑃 = 0
Exemplo 6.5 - Determine as reações de apoio da barra
de aço mostrada na figura quando submetida aos
carregamentos apresentados e a uma temperatura de
-45 oC, sabendo que ambos os apoios rígidos estão
ajustados quando a temperatura estiver a +20 oC. Use
os valores E = 200 GPa e a = 12 × 10–6/oC para o aço.