NUMEROS COMPLEXOS

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COLÉGIO CASCAVELENSE
 APRESENTA
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NÚMEROS COMPLEXOS
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 Um pouco de história
O conjunto dos nºs Complexos surgiu por 
 
 uma necessidade, pois o conjunto dos nºs 
 
 reais não é suficiente para efetuarmos a 
 
 radiciação de raízes quadradas, quartas, 
 
 sextas, etc. de números negativos.
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A Unidade Imaginária e Forma 
 Algébrica
Unid. Imaginária: definimos e indicamos por : 
 i² = i . i = - 1  i = √-1.
 
 Número Complexo: z = a + bi, (forma algébrica); {a, b}   e i é a unidade imaginária.
 OBS: a = Re(z) (parte real) e
 b = Im(z) (parte imaginária) de z.
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Número Complexo Real:
Se z = a + bi, {a, b} 
  , é real  b = 0. 
Ex:a) 5 = 5 + 0i; 
 b) -3 = -3 + 0i.
Número Complexo imaginário Puro:
Se z = a + bi, {a, b} 
  , é imaginário puro  a = 0 e b  0.
Ex: a) 2i = 0 + 2i; 
 b) - 5i = 0 – 5i.
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Igualdade entre nºs Complexos:
 
 Se a + bi = c + di 
  a = c e b = d
 
 ou seja: partes reais iguais e, partes imaginárias iguais.
Nºs complexos conjugados:
Definição - Chama-se conjugado de um complexo z = a + bi ao complexo 
 z = a – bi.
Calcular conjugado de 
a) z = 3 + 2i b) w = 6 – 3i
 c) t = 8i d) r = 7
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Complexos em Forma de Par Ordenado:
 
 z = a + bi = (a; b)
 NOMENCLATURA
 Em z = a + bi = (a;b) temos {a   e 
 b  } 
a) a → parte real de z; indica-se a = Re (z).
b) bi → parte imaginária de z.
c) b → coeficiente da parte imaginária; indica-se b = Im(z) 
d) i = (0, 1) = √-1 → é a unidade imaginária.
e) se b = 0 então
 z = a + bi = a; z é real.
f) se a = 0 então 
 z = a + bi = bi; 
 z é imaginário puro.
g) z = a – bi = (a, -b) é o conjugado de z.
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OPERAÇÕES NA FORMA ALGÉBRICA
Efetuamos as operações como binômios e usando i² = -1.
i) ADIÇÃO:(a + bi) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i
 Ex:Calcule: (2 + 3i) + (3+ 4i) = . . .
Propriedades da Adição: Se z, w, v são nº s Complexos, temos:
a) z + w = w + z (Propriedade Comutativa)
b) (z + w) + v = z + (w + v) (Associativa)
c) 0 + z = z + 0 = 0 (0 = 0 + 0i (Elem. Neutro)
d) Se z = a + bi, o oposto de z,é dado por: 
 –z = -a – bi tal que: z + (-z) = 0
 
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ii) SUBTRAÇÃO
(a + bi) – (c + d i) = (a – c) + (b – b) i
Ex:Calcule: (5 + 3i) – (3 + 4i) =
Ex: z = 2x + y i, w = x – 3y i e v = 4 + 8i, calcule x e y tal que: z – w = v.
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 iii) MULTIPLICAÇÃO:
 z . w = (a + bi) (c + d i) = 
 = ac + ad i + bci + bd.i² 
 = (ac – bd) + (ad + bc) i
Ex: Calcular: (2 + 3i) (3 + 4i) = 
Ex: Determinar x   e y   para que se tenha: (x + y i) (2 + 3i) = 1 + 8i.
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Propriedades da Multiplicação
 Se z, w, v são nºs Complexos, temos:
a) z . w = w . z (Propriedade Comutativa)
b) (z . w) . v = z . (w . v) (associativa)
c) z.1 = 1. z = z (1 = 1 + 0i é o neutro)
d) z (w + v) = z.w + z.v (distributiva)
e) Se z  0, z possui um inverso representado por 
 z-1 = 1/ z tal que: z . (1 / z) = 1.
OBS: Se z = a + bi, z  0 seu inverso é dado por: 
 z -1 = a __ _ b__ . i
 a ² + b ² a ² + b²
Ex: Calcule o inverso de z = 1 + 2i 
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iv) DIVISÃO
 z / w = a + bi = (a + bi) (c – d i)
 c + d i (c + d i) (c – d i) 
Ex: Obtenha o quociente de (3 + 5i) / (1 + 2i). 
Ex: Determine a   de modo que o número:
 i) z = 1 + 2i seja real.
 2 + ai
 ii) z = 2 – ai seja imaginário puro.
 1 + 2ai 
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POTENCIAÇÃO
algumas potencias de i :
 i 0 = i ; i ¹ = i; i ² = -1; i ³ = -i ; 
 
 complete i 4 =. . . ; i 5 = . . .; i6 = . . .; i 7 = . . 
Propriedade: Se n   e r é o resto da divisão de n por 4 então: i n = i r 
OBS: Para as potências de (a + bi)n, podemos utilizar o binômio de Newton, ou seja:
(a + bi)² = a ² + 2 a (bi) + (bi)²
(a + bi)³ = a ³ + 3 a ² (bi) + 3 a(bi)² + (bi)³.
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FORMA TRIGONOMÉTRICA
Representação Geométrica do Complexo
Os complexos são representados num plano x0y, denominado plano complexo ou de Argand – Gauss.
Construímos dois eixos: 
 eixo 0x = Eixo real;0y = Eixo imaginário os pontos P(a, b) do plano = afixos de z.
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Módulo
Dado o complexo z = a + bi, definimos o módulo de z, por:
NOTA: Geometricamente o módulo de z é a distância entre a origem (0, 0) e o afixo de z, P(a, b). representa -se o módulo de z, por: ∣z∣ = r =  (rô).
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  = Chamamos de argumento de z
É a medida em radianos do ângulo (sentido anti-horário) formado por 0x (eixo x) até coincidir com OP (módulo de z).
OBS: 0 ≤  < 2 ; cos  = a / ∣z∣
 sen  = b / ∣z∣
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PLANO DE GAUSS
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Propriedades dos módulos
a) ∣z∣ =∣z∣ = ∣-z∣ b) ∣z n ∣ = ∣z ∣n
c) ∣z.w∣ = ∣z∣.∣w∣ d) ∣ z / w ∣ = ∣z∣/∣w∣
e) ∣z + w∣ ≤ ∣z∣+∣w∣ f) z.z = ∣ z ∣².
Ex: Dados z = 1 – i e w = 2 + 2i, calcule:
 a) ∣z.w ∣ =
 b) ∣z / w ∣ =
 c) ∣z ³∣ =
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Ex: Dados z = 1 – i e w = 2 + 2i, calcule:
 ∣z.w ∣ =
 ∣z / w ∣ =
 ∣z ³∣ =
Ex: Represente geometricamente e calcule o argumento dos complexos:
 a) z1 = 1 b) z2 = 3i c) z3= √3 + i
 
 d) z4 = 1 + i e) z5 = - 1 f) z6 = -√3/2+1/2 i
 
 g) z7 = -1 – i h) Z8 = - i I) Z9 = ½ - 3/2 i
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ARCOS FUNDAMENTAIS NO CICLO TRIGONOMÉTRICO N0 INTERVALO DE 
[ 0, 2 ]
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EXERCÍCIOS DE SALA
E.S:01(Mack) Dados os números z1 = 2 – i e 
 z 2 = x + i, calcule x real positivo tal que 
 ∣z1 . z2∣² = 10
E.S :02- (Objetivo - SP) Sejam z1 e z2 as raízes da equação ∣z∣² + z – 2 z = 3 + 3i. Calcule o valor de ∣z1∣ +∣z2∣ 
E.S :03- O módulo do nº complexo z = 1 + 2xi é 7. Calcule o valor de x.
E.S :04- (FUVEST) Se z é um número complexo tal que z . z = 24, calcular o módulo de z.
Resp: ( ) 2√6; ( ) 1; 
( ) ∓2√3; ( ) √2 + √5
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FORMA TRIGONOMÉTRICA (OU POLAR)
 Dado o complexo 
 z = a + bi  0, temos que:
cos  = a / ∣z∣ 
 a = ∣ z ∣ cos 
sen  = b / ∣z∣  
 b = ∣ z ∣ sen  
Substituindo em 
 z = a + bi, temos:
z = ∣z∣cos  +∣z∣sen  .i 
 = ∣z∣(cos  + i sen ). 
Esta é denominada a formatrigonométrica de z sendo ∣z∣= o módulo e  o argumento.
 
z = a + bi =
 = .cos  + i. .sen  
 =(cos  + i.sen ).
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EXERCÍCIOS DE SALA
E.S:01: Escreva na forma trigonométrica os complexos:
 
 a) z1 = 5i b) z2 = 1 – i 
 c) z3 = 1 + √3.i d) z5 = -5.
 e) z4 = -3i
 
Resp: ( ) 5(cos  + i.sen ); 
 ( ) 2(cos/3 +i.sen/3);
 ( ) √2(cos7/4+isen7/4
 ( ) 3(cos3/2 +isen3/2) 
 ( )5(cos/2 +i sen/2)
E.S-02: Coloque na forma algébrica:
 a) z1 = 10(cos /3 + i.sen /3)
 b) z2 = 5(cos 7/6 + i.sen 7/6)
 c) z3 = cos 4/3 + i.sen 4/3
 d) z4 = 7(cos  + i.sen )
Resp: ( ) -7 ( ) -1/2 - i√3/2 
 ( ) 5 + 5√3.i
 ( ) -5√3/2 – 5i/2
 
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O
OPERAÇÕES NA FORMA TRIGONOMÉTRICA
1. Produto na forma trigonométrica (ou polar). 
 
Sendo z1 =  1 (cos 1 + i.sen1) e 
 
 z2 =  2 (cos 2 + i.sen  2 ) temos:
 
 
 z 1. z 2 =  1  2 [(cos 1 + 2 ) + (sen1 +2).i ]
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OPERAÇÕES NA FORMA TRIGONOMÉTRICA
Notemos que o complexo obtido é tal que:
Seu módulo é igual ao produto dos módulos de z1 e z2
Seu argumento é igual a soma dos argumentos de z1 e z 2.
OBS: para o produto de n números complexos, ou seja: z1. z2. . . . z n =  1.  2 . . .  n[cos ( 1 +  2 + ... +  n) + i.sen ( 1 + 2 + . . .  n )
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2. Quociente na forma Trigonométrica
Z = 1 . [cos (  1 –  2) + sen( 1 –  2).i]
 w 2
 Notemos: a) Seu módulo é igual ao quociente entre os módulos de z1 e z2
b) Seu argumento é igual à diferença dos argumentos de z1 e z2.
NOTA: É fácil fazer a demonstração das duas fórmulas acima. Procure usar:
sen (a ± b)=sena . cosb ± senb. cosa
cos (a + b)=cosa.cosb – sena.senb 
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3. POTÊNCIA DE EXPOENTE INTEIRO POSITIVO (1ª. Fórmula de Moivre)
Na fórmula da multiplicação (Produto), se tivermos z = z1 = z2 = . . . = zn com 
 z = ∣z∣.[cos  + i sen ), obteremos:
 
 z n = ∣ z ∣n [cos (n .) + i. sen (n .)]
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EXERCÍCIOS DE SALA
E.S-01: Sejam os complexos:
 z1 = 2(cos 2/3 + i. sem 2/3);
 z2 = 4(cos /6 + i. sen /6) e 
 z3 = cos /2 + i. sen /2), determine:
 a) z1. z2 b) z2 . z3 c) z1 / z3 d)z1 / z2
E.S-02: Calcule: a) (1 + i)10 b) (√3 + i)6
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E.S-03: Mostre que (√2 + i√2)8 é um número real de valor: 
E.S-04: Dê a forma trigonométrica do complexo z = (1 + i) / i.
Resp: ( ) √2 (cos 7/4 + i.sen 7/4) 
( ) 256 ( ) -64 ( ) 32i 
( ) 8 (cos 5/6 + i .sen5/6 ) 
( ) 4 (cos 2/3+ i .sen2/3 ) 
( ) ½ (cos /2 + i .sen/2 )
( ) 2 (cos /6 + i.sen/6 ) 
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4. RADICIAÇÃO DE UM Nº. COMPLEXO
 (2ª. Fórmula de Moivre)
 Considerando z =  (cos  + i.sen) é a forma trigonométrica do nº. complexo z e n é um inteiro positivo , então as raízes n-ésimas do complexo z são dadas por:
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Notas
 i) K assume os n valores inteiros 0, 1,2, . . .,n – 1. Logo existem n raízes n-ésimas distintas de z.
ii ) Todas as raízes n-ésimas de z têm o mesmo módulo: 
  1 / n .
iii ) Os argumentos das raízes w o, w1, w2,. . . wn-1 que são:
iv ) As imagens (afixos) das raízes w o, w1, w2,. . w n-1 de z são n números complexos que pertencem a uma mesma circunferência de centro C(0,0) e raio =  1 / n e divide a circunferência em n partes iguais formando um polígono de n lados
/n, /n + 2/n; /n + 4/n;. . . ; /n + 2(n - 1)/n, respectivamente, estão em PA de 1º termo /n e razão 2/n..
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NÚMEROS COMPLEXOS
Conteúdo
Prof. Edmundo Reis Bessa (Edi)
Produção e Diagramação
Prof. Edmundo Reis Bessa (Edi)
Revisão Final
Prof. Edmundo Reis Bessa (Edi)
Realização
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F I M
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