Números Complexos: Introdução e Aplicações

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EXTENSIVO 2021 
Número Complexos 
16 DE JANEIRO DE 2021 
ESA - 2022 
Prof. Ismael Santos 
 
ESTRATÉGIA MILITARES – Prof. Ismael Santos 
 
AULA 03 – NÚMEROS COMPLEXOS – ESA 2022 
 
 
 
2 
Sumário 
1 - Palavras Iniciais 3 
2 – Números Complexos 3 
2.1 - Introdução 3 
2.2 - Número Complexo 7 
2.3 – Definição do Conjunto dos Números Complexos 8 
3 – Forma Algébrica 10 
3.1 – Unidade Imaginária 12 
3.2 – Conjugado de um Número Complexo 12 
3.3 – Divisão de Números Complexos 14 
3.4 – Potências de 𝒊 16 
3.5 – Plano de Argand-Gauss 18 
3.6 – Módulo de um Número Complexo 20 
3.7 – Argumento de um Número Complexo 25 
3.8 – Forma Trigonométrica 32 
3.9 – Leis de Moivre 35 
3.10 – Equações Binômias e Trinômias 37 
4 – Lista de Questões - Nível 1 39 
4.1 – Gabarito 58 
5 – Lista de Questões Comentadas - Nível 1 59 
6 - Lista de Questões - Nível 2 110 
6.1 - Gabarito 113 
7 - Lista de Questões Comentadas - Nível 2 113 
10 - Considerações Finais 119 
11 - Versões das Aulas 119 
 
 
 
 
 
 
 
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3 
1 - Palavras Iniciais 
O primeiro dos assuntos é: a origem dos Complexos, bem como sua forma de representação. Por 
mais que este tema não caia todo ano, é um tópico basilar para outras questões trabalhadas em sua prova. 
Diante disso, vamos passar por todos os pontos necessários para que faça uma excelente prova! 
Preparado, futuro “SARGENTO”?! Sigamos em frente! 
Vamos à nossa aula! 
 
“O segredo do sucesso é a constância no objetivo” 
2 – Números Complexos 
 
2.1 - Introdução 
Podemos dizer que o Conjunto Numérico dos Complexos surgiu na necessidade vista pelos 
matemáticos em ampliar o campo numérico por eles trabalhado. Um dos principais significados foi dar 
sentido às raízes quadradas de números negativos. 
Os questionamentos à época foram feitos da seguinte forma: 
 
(𝑄𝑢𝑎𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜? )2 = −16 
(𝑄𝑢𝑎𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜? )2 =
−1
81
 
 
Perceba que você pode ficar a vida toda escolhendo algum número real que satisfaça as equações 
acima, que nunca irá encontrar. Por outro lado, se recorremos aos números complexos, as equações 
acima não só terão raízes, como também farão todo sentido! 
Fale comigo! 
 
@profismael_santos Ismael Santos @IsmaelSantos 
 
 
 
 
 
 
 
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4 
Lembra das equações quadráticas (as equações do 2 º grau)? Pois bem! Algumas delas, por 
possuírem um discriminante negativo (∆), acabam possuindo raízes complexas. Veja a seguir: 
 
Imagine a equação do 2º grau abaixo: 
 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
 
Utilizando as técnicas de fatoração, chegamos a seguinte equação: 
(𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
=
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎2
 
 
Sabendo que o denominador 4𝑎2 terá sempre sinal positivo, imagine agora que o discriminante 
seja negativo, ou seja, ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐conjunto verdade: 
a) 2 i,2 i− + . 
b) 2 2i,2 2i− + . 
c) 1 i,1 i− + . 
d) 4 i,4 i− + . 
 
Comentário: 
Aplicando a fórmula de Báskara para achar o Delta na equação x2 -4x + 5 = 0, temos: 
Δ = 42 − 4𝑥1𝑥5 = 16 − 20 = −4 
Sabemos que √−1 = i. Então, podemos dizer: 
√−4 = √(−1)𝑥(4) = √4√−1 = 2𝑖 
Assim, da fórmula de Báskara: 
𝑥 = 
−𝑏 ± √𝛥 
2𝑎
 = 
4 ± √−4
2𝑥1
 = 
4 ±2i
2
 = 2 ± i 
Temos, assim, duas raízes complexas: 2+i e 2-i. O conjunto solução é, portanto: 
x = {2-i, 2+i} 
Gabarito: A 
 (EEAR-2004) 
A soma dos possíveis números complexos 1z e 2z , tais que 2z 5 12i= + , é: 
a) 6. 
 
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b) 0. 
c) 4i. 
d) 3 2i+ 
 
Comentário: 
Temos que 𝑧2 = 5 + 12𝑖. Se z é um número complexo, ele pode ser escrito da forma 𝑧 = 𝑎 +
𝑏𝑖, em que 𝑎 e 𝑏 são números reais. Substituindo: 
𝑧2 = 5 + 12𝑖 → (𝑎 + 𝑏𝑖)2 = 5 + 12𝑖 → 𝑎2 + 2𝑎𝑏𝑖 + 𝑏2𝑖2 → 
𝑎2 − 𝑏2 + 2𝑎𝑏𝑖 = 5 + 12𝑖 
Como 𝑎 e 𝑏 são reais, podemos igualar a parte real da esquerda da equação acima à parte real 
da direita, e a parte imaginária da esquerda à parte imaginária da direita. Caímos, assim, no 
sistema: 
{
2𝑎𝑏𝑖 = 12𝑖
𝑎2 − 𝑏2 = 5
→ { 𝑏 =
6
𝑎
𝑎2 − 𝑏2 = 5
 
Substituindo a primeira equação na segunda: 
𝑎2 − 
36
𝑎2
= 5 
Multiplicando tudo por 𝑎2: 
𝑎4 − 5𝑎2 − 36 = 0 
Caímos, assim, em uma equação do segundo grau do tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, em que 𝑥 = 𝑎2. 
Aplicando Báskara: 
Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 52 − 4𝑥1𝑥36 = 169 
Continuando a fórmula: 
𝑥 = 
−𝑏 ± √𝛥 
2𝑎
= 
5 ± √169
2
=
5 ± 13
2
→ 𝑥 = 9 𝑜𝑢 𝑥 = −4 
Como 𝑥 = 𝑎2 e 𝑎 é real, temos que 𝑎2 = −4 não é uma solução válida, pois implicaria em 𝑎 
pertencente ao corpo dos complexos. Então, temos: 
𝑎2 = 9 → 𝑎 = 3 𝑜𝑢 𝑎 = −3 
Substituindo os valores acima na equação obtida 𝑏 = 
6
𝑎
: 
 
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86 
𝑏 = 
6
3
 𝑜𝑢 𝑏 = 
6
−3
→ 𝑏 = 2 𝑜𝑢 𝑏 = −2 
Assim, temos as soluções: 
{
𝑎 = 3 𝑒 𝑏 = 2
𝑎 = −3 𝑒 𝑏 = −2
 
Se z é do tipo 𝑎 + 𝑏𝑖, temos: 
{
𝑧1 = 3 + 2𝑖
𝑧2 = −3 − 2𝑖
 
Por fim, a soma dos possíveis números complexos z1 e z2 é: 
𝑧1 + 𝑧2 = 3 + 2𝑖 + (−3 − 2𝑖) = 0 
Gabarito: B 
 (EEAR-2005) 
Sendo i a unidade imaginária, a potência ( ) ( )
32 2
1 i 1 i − − +
 
 é igual a: 
a) 64. 
b) −64. 
c) 64i. 
d) −64i. 
 
Comentário: 
Seja 𝑎 = (1 − 𝑖) 𝑒 𝑏 = (1 + 𝑖). Procura-se o valor de [(1 − 𝑖)2 − (1 + 𝑖)2]3, ou seja, de 
[𝑎2 − 𝑏2]3. 
Contudo, 𝑎2 − 𝑏2 é uma diferença de quadrados que pode ser fatorada para: 
𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) 
Caindo em: 
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = (1 − 𝑖 + 1 + 𝑖)(1 − 𝑖 − 1 − 𝑖) = (2)(−2𝑖) = −4𝑖 
Assim, o valor pedido é: 
[(1 − 𝑖)2 − (1 + 𝑖)2]3 = [−4𝑖]3 = −64(−𝑖) = 64𝑖 
Gabarito: C 
 (EEAR-2005) 
 
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87 
Sendo i a unidade imaginária, simplificando-se a expressão 
cos x isen x
cos x isen x
+
−
 obtém-se: 
a) ( )i cos 2x sen2x− . 
b) ( )i cos 2x sen2x+ . 
c) cos 2x isen2x− . 
d) cos 2x isen2x+ . 
 
Comentário: 
Primeiramente, devemos saber das propriedades da função seno e cosseno. 
Por ser uma função par, vale a seguinte propriedade do cosseno: 
cos(𝑥) = cos(−𝑥) 
Por ser uma função ímpar, vale a seguinte propriedade do seno: 
𝑠𝑒𝑛(−𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
Com as propriedades acima em mente, a fração dada pode ser transformada em: 
𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑖𝑠𝑒𝑛𝑥
= 
𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝑥
cos(−𝑥) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(−𝑥)
 
Sabemos, também, que a expressão 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝑥 pode ser abreviada para 𝑐𝑖𝑠(𝑥). Assim, a 
fração dada fica: 
𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝑥
cos(−𝑥) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(−𝑥)
= 
𝑐𝑖𝑠𝑥
𝑐𝑖𝑠(−𝑥)
 
Sabemos, ainda, da propriedade trigonométrica dos números complexos. Na divisão de dois 
números complexos na forma 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝑥, mantemos o 𝑐𝑖𝑠 e subtraímos os argumentos: 
𝑐𝑖𝑠𝑥
𝑐𝑖𝑠(−𝑥)
= 𝑐𝑖𝑠(𝑥 − (−𝑥)) = 𝑐𝑖𝑠(2𝑥) = 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑖𝑠𝑒𝑛2𝑥 
Gabarito: D 
 (EEAR-2005) 
Se 
5 5
z 2 cos i sen
4 4
  
= =  
 
, então 7z é igual ao produto de 8 2 por: 
a) cos isen
4 4
 
= 
 
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88 
b) 
5 5
cos isen
4 4
 
= 
c) 
7 7
cos isen
4 4
 
= 
d) 
3 3
cos isen
4 4
 
= 
 
Comentário: 
Temos 𝑧 = √2 (cos (
5𝜋
4
) + 𝑖𝑠𝑒𝑛 (
5𝜋
4
)) = √2𝑐𝑖𝑠(
5𝜋
4
) 
Da fórmula de Moivre, temos: 
𝑧7 = (√2)
7
(𝑐𝑖𝑠 (
5𝜋
4
))
7
= 8√2𝑐𝑖𝑠 (7𝑥
5𝜋
4
) = 8√2𝑐𝑖𝑠 (
35𝜋
4
) = 8√2𝑐𝑖𝑠(
3𝜋
4
+ 8𝜋) 
O argumento de 𝑧7 é igual a 
3𝜋
4
 somado de um múltiplo inteiro de 2𝜋. Assim, temos: 
𝑧7 = 8√2𝑐𝑖𝑠 (
3𝜋
4
) = 8√2 [𝒄𝒐𝒔 (
𝟑𝝅
𝟒
) + 𝒊𝒔𝒆𝒏 (
𝟑𝝅
𝟒
)] 
Gabarito: D 
 (EEAR-2005) QUESTÃO 31 
 
Seja M o afixo de um número complexo z. A forma polar de z é: 
a) 
4 4
2 cos isen
3 3
  
+ 
 
 
b) 
4 4
cos isen
3 3
 
+ 
c) 
7 7
2 cos isen
6 6
  
+ 
 
 
d) 
7 7
cos isen
6 6
 
+ 
 
 
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Comentário: 
Perceba a imagem: 
 
O afixo do número complexo z será dado por 𝑧 = |z|cis(x + 1800), em que: 
|z|2 = (√3)
2
+ 12 = 4 → |z| = 2 
Achemos, agora, o ângulo x: 
tan(𝑥) = 
1
√3
= 
√3
3
→ 𝑥 = 30𝑜 
Por fim, achamos z: 
𝑧 = |z|cis(x + 1800) = 2𝑐𝑖𝑠(30𝑜 + 180𝑜) = 2𝑐𝑖𝑠(210𝑜) = 2𝑐𝑖𝑠(
7𝜋
6
) 
𝑧 = 2(𝑐𝑜𝑠 (
7𝜋
6
) + 𝑖𝑠𝑒𝑛 (
7𝜋
6
)) 
Gabarito: C 
 (EEAR-2005) 
Sendo i a unidade imaginária, simplificando-se a expressão 
( ) ( )
( ) ( )
71 30
29 70
3 i 3 i
i 3 3 i
+  −
−  − −
, obtém-se: 
a) −10. 
b) −8. 
c) 8. 
d) 10. 
 
 
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Comentário: 
Temos a expressão: 
(3 + 𝑖)71(3 − 𝑖)30
(𝑖 − 3)29(−3− 𝑖)70
= 
(3 + 𝑖)71(3 − 𝑖)30
(−1)29(3 − 𝑖)29(−1)70(3 + 𝑖)70
 
O -1 foi posto em evidência nos parênteses do denominador. Cortando, assim, os termos 
repetidos no numerador e denominador, temos: 
(3 + 𝑖)1(3 − 𝑖)1
(−1)29
= 
(32 − 𝑖2)
−1
= 
10
−1
= −10 
Gabarito: A 
 (EEAR-2006) 
Seja Q a imagem geométrica de um número complexo. O argumento desse número é: 
 
a) 
1
arcsen
3
 
b) 
2 2
arcsen
3
 
c) 
1
arccos
3
 
d) 
2 2
arccos
3
 
−  
 
 
 
Comentário: 
Perceba a imagem: 
 
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91 
 
O argumento da imagem geométrica em Q é igual a 90o somado de x. Temos que x é o ângulo do 
triângulo retângulo formado pelos catetos 1 e 2√2, com hipotenusa 3. 
 
Temos: 
{
 
 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 
2√2
3
𝑠𝑒𝑛𝑥 = 
1
3
 
Disso, temos que o argumento em Q é y, tal que: 
𝑠𝑒𝑛𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(90𝑜 + 𝑥) = 𝑠𝑒𝑛90𝑜𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠90𝑜 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 
2√2
3
 
𝑠𝑒𝑛𝑦 =
2√2
3
→ 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(
2√2
3
) 
Gabarito: B 
 (EEAR-2006) 
Sendo m ni i− = emi n 1 3i− = + , os números complexos m e n são tais, que sua soma é igual a: 
a) 
1 3
i
2 2
− = 
b) 
1 3
i
2 2
− + 
c) 
1 3
i
2 2
− 
d) 
1 3
i
2 2
+ 
 
 
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Comentário: 
Temos o sistema: 
{
𝑚 − 𝑛𝑖 = 𝑖
𝑚𝑖 − 𝑛 = 1 + 3𝑖
 
Multiplicando a equação de cima por -i: 
{
−𝑚𝑖 − 𝑛 = 1
𝑚𝑖 − 𝑛 = 1 + 3𝑖
 
Somando as 2 equações, caímos em: 
−2𝑛 = 2 + 3𝑖 → 𝑛 = −1 − 
3
2
𝑖 
Substituindo o valor de n na segunda equação: 
𝑚𝑖 − 𝑛 = 1 + 3𝑖 → 𝑚𝑖 = 1 + 3𝑖 + 𝑛 = 1 + 3𝑖 − 1 −
3
2
𝑖 → 𝑚 =
3
2
 
Com 𝑛 = −1 −
3
2
𝑖 𝑒 𝑚 = 
3
2
 , achamos a soma m+n: 
𝑚+ 𝑛 = −1 −
3
2
𝑖 + 
3
2
→ 𝑚 + 𝑛 =
1
2
−
3
2
𝑖 
Gabarito: C 
 (EEAR-2006) 
O produto z z' , sendo 
5 5
z2 cos isen
4 4
  
= = 
 
 e 
3 3
z' a cos isen
4 4
  
= = 
 
, pode ser expresso por: 
a) ( )2a cos 0 isen 0+ 
b) 2a cos isen
2 2
  
+ 
 
 
c) a cos isen
2 2
  
+ 
 
 
d) ( )a cos 2 isen2+  
 
Comentário: 
Temos: 
𝑧 = 2(cos (
5𝜋
4
) + 𝑖𝑠𝑒𝑛 (
5𝜋
4
)) = 2𝑐𝑖𝑠 (
5𝜋
4
) 
 
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93 
𝑧′ = 𝑎(cos (
3𝜋
4
) + 𝑖𝑠𝑒𝑛 (
3𝜋
4
)) = 𝑎 𝑐𝑖𝑠 (
3𝜋
4
) 
Da fórmula de Moivre, ao multiplicar-se dois 𝑐𝑖𝑠 – número completo na fórmula trigonométrica 
– , o resultado é um 𝑐𝑖𝑠 com o argumento igual a soma dos argumentos anteriores. Assim: 
𝑧. 𝑧′ = 2𝑐𝑖𝑠 (
5𝜋
4
) . 𝑎 𝑐𝑖𝑠 (
3𝜋
4
) = 2𝑎. 𝑐𝑖𝑠 (
5𝜋
4
+ 
3𝜋
4
) = 2𝑎. 𝑐𝑖𝑠(2𝜋) = 2𝑎. 𝑐𝑖𝑠(0), pois 0 rad é o 
equivalente a 2𝜋 rad (uma volta completa). Por fim: 
𝑧. 𝑧′ = 2𝑎. 𝑐𝑖𝑠(0) 
Gabarito: A 
 (EEAR-2007) 
O quadrante em que se representa, no plano de Argand-Gauss, o número complexo 3z 1 i= + é o: 
a) 1º. 
b) 2º. 
c) 3º. 
d) 4º. 
 
Comentário: 
Temos: 
𝑧 = 1 + 𝑖3 = 1 − 𝑖 , pois 𝑖3 = 𝑖2. 𝑖 = −1. 𝑖 = −𝑖 
Assim, 𝑧 = 1 − 𝑖, um número complexo com a parte real (1) maior do que zero e a parte 
imaginária (-i) acompanhada de -1, um número menor do que zero. Como o eixo horizontal 
representa a parte real e o eixo vertical representa a parte imaginária, temos o complexo 𝑧 
pertencente ao 4o quadrante: 
 
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94 
 
Gabarito: D 
 (EEAR-2007) 
A forma algébrica do número complexo 
3 3 2i
z
3 i i 2
+
= +
− −
 é: 
a) 0,1 3i− . 
b) 0,1 1,1i− . 
c) 1,7 11i+ . 
d) 1 1,7i− . 
 
Comentário: 
Temos a expressão: 
𝑧 = 
3
3 − 𝑖
+ 
3 + 2𝑖
𝑖 − 2
 
Multipliquemos pelo conjugado do denominador em cima e em baixo nas duas frações: 
𝑧 = 
3(3 + 𝑖)
(3 − 𝑖)(3 + 𝑖)
+ 
(3 + 2𝑖)(−𝑖 − 2)
(𝑖 − 2)(−𝑖 − 2)
= 
9 + 3𝑖
32 − 𝑖2
+ 
(−3𝑖 − 6 + 2 − 4𝑖)
((−2)2 − (−𝑖)2)
→ 
Continuando: 
𝑧 = 
9 + 3𝑖
10
+ 
(−4 − 7𝑖)
5
= 
9 + 3𝑖
10
+ 
(−8 − 14𝑖)
10
→ 
Por fim: 
 
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95 
𝑧 = 
9 + 3𝑖 − 8 − 14𝑖
10
→ 𝑧 =
1 − 11𝑖
10
→ 𝑧 = 0,1 − 1,1𝑖 
Gabarito: B 
 (EEAR-2008) 
Dado x , para que o número ( )z 2 xi 2( i) x= − + seja real, o valor de x pode ser: 
a) 4. 
b) 0. 
c) −1. 
d) −2. 
 
Comentário: 
Queremos x real para que o número 𝑧 = (2 − 𝑥𝑖)(𝑥 + 2𝑖) seja também real. Multiplicando: 
𝑧 = (2 − 𝑥𝑖)(𝑥 + 2𝑖) = 2𝑥 + 4𝑖 − 𝑥2𝑖 + 2𝑥 = 4𝑥 + 𝑖(4 − 𝑥2) 
Para que z seja real, basta que a parte imaginária de 𝑧 = 4𝑥 + 𝑖(4 − 𝑥2) seja zero. Então: 
𝑖(4 − 𝑥2) = 0 → 4 − 𝑥2 = 0 → 𝑥2 = 4 → 𝑥 = 2 𝑜𝑢 𝑥 = −2 
Gabarito: D 
 (EEAR-2008) 
O módulo do complexo z 3 4i=− + é: 
a) 3. 
b) 4. 
c) 5. 
d) 6. 
 
Comentário: 
Temos 𝑧 = −3 + 4𝑖. Para achar-se o módulo de um número complexo do tipo 𝑥 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 
fazemos |x| = √𝑎2 + 𝑏2. No caso da questão, 𝑎 = −3 𝑒 𝑏 = 4. Assim: 
|z| = √(−3)2 + 42 = √25 = 5 
Gabarito: C 
 
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96 
 (EEAR-2008) 
Calculando 2053i obtém-se: 
a) 1. 
b) i. 
c) −i. 
d) −1. 
 
Comentário: 
O método para se encontrar qualquer potência de 𝑖 é simples: 𝑖𝑥 é equivalente a 𝑖𝑦, em que 𝑦 é 
o resto da divisão de x por 4. Pede-se: 
𝑖2053 
2053 dividido por 4 resulta em 513 com resto 1, pois 2053 = 4𝑥513 + 1. Nesse caso, 𝑦 = 1. 
Então: 
𝑖2053 = 𝑖1 = 𝑖 
Gabarito: B 
 (EEAR-2009) 
Sejam dois números complexos 1z e 2z . Se 1z tem imagem ( )P 4, 1− e 2z 1 3i=− + , então 1 2z z− é igual 
a: 
a) 3 4i+ . 
b) 1 5i− . 
c) 5 4i− . 
d) 2 2i+ . 
 
Comentário: 
Se 𝑧1 tem imagem P(4,-1), então 𝑧1 = 4 − 𝑖, enquanto 𝑧2 = −1 + 3𝑖. Então: 
𝑧1 − 𝑧2 = 4 − 𝑖 − (−1 + 3𝑖) = 4 − 𝑖 + 1 − 3𝑖 → 
𝑧1 − 𝑧2 = 5 − 4𝑖 
Gabarito: C 
 
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97 
 (EEAR-2009) 
Se a forma algébrica de um número complexo é 1 i− + , então sua forma trigonométrica tem 
argumento igual a: 
a) 
5
6

 
b) 
3
4

 
c) 
6

 
d) 
4

 
 
Comentário: 
Para encontrar o argumento de 𝑧 = −1 + 𝑖, basta multiplicar e dividir pelo módulo: 
|z| = √(−1)2 + 12 = √2 
Assim: 
𝑧 = √2 (
−1
√2
+ 
1
√2
𝑖) → 
𝑧 = √2(−
√2
2
+ 𝑖
√2
2
) 
Mas: 
{
 
 
 
 
cos (
3π
4
) = −
√2
2
𝑠𝑒𝑛 (
3π
4
) =
√2
2
 
 
Então: 
𝑧 = √2(cos (
3π
4
) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 (
3π
4
)) 
E, assim, arg(𝑧) = 
3π
4
 
Gabarito: B 
 (EEAR-2009) 
Na figura, o ponto P representa um número complexo, cujo conjugado é: 
 
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98 
 
a) 3 4i− + . 
b) 4 3i− + . 
c) 4 3i− . 
d) 3 4i− . 
 
Comentário: 
 Na figura, temos representado o número complexo 𝑧 = −4 − 3𝑖, pois o eixo horizontal 
representa a parte real e o eixo vertical representa a parte imaginária no plano de Argand-Gauss. 
Para acharmos o conjugado de 𝑧, trocamos o sinal da parte imaginária de 𝑧 no caso em que o 
denominador (neste caso igual a 1) é real: 
𝑧̅ = −4 + 3𝑖 
Gabarito: B 
 (EEAR-2010) 
O inverso do número complexo z 2i=− é z'= : 
a) 
i
2
 
b) 
1
2
 
c) –2 
d) 2i 
 
Comentário: 
Invertendo 𝑧 = −2𝑖: 
𝑧′ = 
1
𝑧
= 
1
−2𝑖
 
Multiplicando por 𝑖 em cima e embaixo: 
 
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99 
𝑧′ = 
𝑖
−2𝑖2
= 
𝑖
−2(−1)
= 
𝑖
2
 
Gabarito: A 
 (EEAR-2010) 
Seja o número complexo z 1 i= + . Se z' é o conjugado de z, então o produto z z' é igual a: 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3 . 
d) 2 3 . 
 
Comentário: 
Seja 𝑧 = 1 + 𝑖. Então 𝑧′ = 1 − 𝑖. Achando o módulo: 
|z| = √12 + 12 = √2 
|z′| = √12 + (−1)2 = √2 
Por fim: 
|z||z′| = √2. √2 = 2 
Gabarito: B 
 (EEAR-2010) 
O valor de 
11 21 38i i i− − é: 
a) 1 2i− . 
b) 2 i− . 
c) −2. 
d) 1. 
 
Comentário: 
Para encontrar uma potência de 𝑖 do tipo 𝑖𝑥, basta encontrar 𝑖𝑦, em que y é o resto da divisão 
de x por 4. 𝑖𝑥 é equivalente a 𝑖𝑦. Assim, queremos: 
𝑖11 − 𝑖21 − 𝑖38 
 
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100 
11 = 4𝑥2 + 3 → o resto é 3 → 𝑖11 = 𝑖3 = 𝑖2𝑖 = −𝑖 
21 = 4𝑥5 + 1 → o resto é 1→ 𝑖21 = 𝑖1 = 𝑖 
38 = 4𝑥9 + 2 → o resto é 2→ 𝑖38 = 𝑖2 = −1 
Por fim, temos a expressão: 
𝑖11 − 𝑖21 − 𝑖38 = 𝑖3 − 𝑖1 − 𝑖2 = −𝑖 − 𝑖 + 1 = 1 − 2𝑖 
Gabarito: A 
 (EEAR-2010) 
Multiplicando-se o número complexo 2 3i− pelo seu conjugado, obtém-se: 
a) 0. 
b) −1. 
c) 11. 
d) 13. 
 
Comentário: 
Se 𝑧 = 2 − 3𝑖, seu conjugado 𝑧 = 2 + 3𝑖. Assim: 
𝑧. 𝑧̅ = (2 − 3𝑖)(2 + 3𝑖) = 22 − (3𝑖)2 = 4 − 9𝑖2 = 13 
Gabarito: D 
 (EEAR-2011) 
Seja z' o conjugado do número complexo z 1 3i= − . O valor de 2z z'+ é: 
a) 3 3i− . 
b) 1 3i− . 
c) 3 i+ . 
d) 1 i+ . 
 
Comentário: 
Se 𝑧 = 1 − 3𝑖, seu conjugado 𝑧′ = 1 + 3𝑖. Procura-se a expressão 2𝑧 + 𝑧′: 
2𝑧 + 𝑧′ = 2(1 − 3𝑖) + (1 + 3𝑖) = 2 − 6𝑖 + 1 + 3𝑖 
 
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101 
2𝑧 + 𝑧′ = 3 − 3𝑖 
Gabarito: A 
 (EEAR-2011) 
O número complexo ( ) ( )z a 4 b 5 i= − + − será um número imaginário puro se: 
a) a 4= eb 5= . 
b) a 4= eb 5 . 
c) a 4 eb 5= . 
d) a 4 eb 5 . 
 
Comentário: 
Para que o complexo 𝑧 = (𝑎 − 4) + (𝑏 − 5)𝑖 seja um imaginário puro, devemos ter sua parte 
real nula e sua parte imaginária não nula. Assim, caímos em: 
{
𝑏 − 5 ≠ 0
𝑎 − 4 = 0
→ {
𝑏 ≠ 5
𝑎 = 4
 
Gabarito: B 
 (EEAR-2012) 
O módulo do número complexo z 1 3i=− + é: 
a) 1 
b) 2 
c) 5 
d) 10 
 
Comentário: 
O módulo de um número complexo do tipo 𝑥 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑎 𝑒 𝑏 reais,é: 
|x| = √𝑎2 + 𝑏2 
Para 𝑧 = −1 + 3𝑖, temos: 
|z| = √(−1)2 + 32 = √10 
Gabarito: D 
 
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102 
 (EEAR-2013) 
Sejam 1 e 2 , respectivamente, os módulos dos números complexos 1z 1 2i= + e 2z 4 2i= − . Assim, 
1 2 + é igual a: 
a) 5 
b) 5 
c) 2 5 
d) 3 5 
 
Comentário: 
Se 𝑧1 = 1 + 2𝑖 e 𝑧2 = 4 − 2𝑖, e 𝑝1𝑒 𝑝2 são, respectivamente, os módulos de 𝑧1𝑒 𝑧2, então: 
𝑝1 = |z1| = √12 + 22 = √5 
𝑝2 = |z2| = √4
2 + 22 = √20 = √42𝑥5 = 2√5 
Por fim: 
𝑝1 + 𝑝2 = √5 + 2√5 = 3√5 
Gabarito: D 
 (EEAR-2013) 
Se z 3 2i= + é um número complexo, então 2z é igual a: 
a) 5 12i+ . 
b) 9 12i+ . 
c) 13 4i+ . 
d) 9 4i+ . 
 
Comentário: 
Se 𝑧 = 3 + 2𝑖, então: 
𝑧2 = (3 + 2𝑖)2 = 32 + 2𝑥3𝑥2𝑖 + (2𝑖)2 = 9 + 12𝑖 + 4𝑖2 = 9 + 12𝑖 − 4 
𝑧2 = 5 + 12𝑖 
Gabarito: A 
 
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103 
 (EEAR-2013) 
Seja z' o conjugado de um número complexo z. Sabendo que z a bi= + e que2z z' 9 2i+ = + , o valor de 
a b+ é: 
a) 5 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
 
Comentário: 
Se 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑎 𝑒 𝑏 reais, então seu conjugado 𝑧′ = 𝑎 − 𝑏𝑖. Usando o dado: 
2𝑧 + 𝑧′ = 9 + 2𝑖 → 2(𝑎 + 𝑏𝑖) + 𝑎 − 𝑏𝑖 = 9 + 2𝑖 → 
2𝑎 + 2𝑏𝑖 + 𝑎 − 𝑏𝑖 = 9 + 2𝑖 → 3𝑎 + 𝑏𝑖 = 9 + 2𝑖 
Igualando parte real à parte real e parte imaginária à parte imaginária, caímos em: 
{
3𝑎 = 9
𝑏𝑖 = 2𝑖
→ {
𝑎 = 3
𝑏 = 2
 
Pede-se 𝑎 + 𝑏 = 3 + 2 = 5 
Gabarito: A 
 (EEAR-2014) 
Se i é a unidade imaginária, pode-se afirmar que 7i é igual a: 
a) i. 
b) 2i . 
c) 3i . 
d) 4i . 
 
Comentário: 
O método para se encontrar qualquer potência de 𝑖 é simples: 𝑖𝑥 é equivalente a 𝑖𝑦, em que 𝑦 é 
o resto da divisão de x por 4. Pede-se: 
𝑖7 
7 dividido por 4 é igual a 1 com resto 3, pois 7 = 4𝑥1 + 3. Neste caso, x vale 7 e y vale 3. Por fim: 
 
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104 
𝑖7 = 𝑖3 
Gabarito: C 
 (EEAR-2015) 
Sejam z um número complexo e z' o conjugado de z. Se 1z z z'= + e 2z z z'= − , pode-se garantir que: 
a) 1z é um número real e 2z é um imaginário puro. 
b) 1z é um imaginário puro e 2z é um número real. 
c) 1z e 2z são imaginários puros. 
d) 1z e 2z são números reais. 
 
Comentário: 
Seja 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑒 𝑧′ = 𝑎 − 𝑏𝑖, 𝑎 𝑒 𝑏 reais. Então: 
{
𝑧1 = 𝑧 + 𝑧′
𝑧2 = 𝑧 − 𝑧′
→ {
𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑎 − 𝑏𝑖
𝑧2 = 𝑎 + 𝑏𝑖 − 𝑎 + 𝑏𝑖
→ {
𝑧1 = 2𝑎
𝑧2 = 2𝑏𝑖
 
Como 𝑎 𝑒 𝑏 são reais, temos que 𝑧1 é um número real e 𝑧2um imaginário puro. 
Gabarito: A 
 (EEAR-2015) 
Seja ( )z 3 cos 20 i sen20=  +   um número complexo na forma trigonométrica. Assim, 2z é igual a: 
a) ( )3 cos 20 i sen20 +   
b) ( )3 cos 40 i sen40 +   
c) ( )2 3 cos 20 i sen20 +   
d) ( )2 3 cos 40 i sen 40  +   
 
Comentário: 
Seja 𝑧 = √3(𝑐𝑜𝑠200 + 𝑖𝑠𝑒𝑛20𝑜), ou seja, 𝑧 = √3𝑐𝑖𝑠(20𝑜) – nomenclatura utilizada para a 
forma trigonométrica de um número complexo. 
Utilizando a fórmula de Moivre, sabemos que um número complexo z do tipo 𝑧 = 𝑝. 𝑐𝑖𝑠(∅), 
quando elevado a uma potência 𝑛 qualquer, obedece: 
𝑧𝑛 = 𝑝𝑛. 𝑐𝑖𝑠(𝑛. ∅) 
Assim, busca-se 𝑧2: 
 
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105 
𝑧2 = (√3)
2
𝑐𝑖𝑠(2.20𝑜) 
𝑧2 = 3𝑐𝑖𝑠(40𝑜) 
𝑧2 = 3(𝑐𝑜𝑠40𝑜 + 𝑖𝑠𝑒𝑛40𝑜) 
Gabarito: B 
 (EEAR-2016) 
Sejam 1Z e 2Z dois números complexos. Sabe-se que o produto de 1Z e 2Z é 10 10i− + . Se 1Z 1 2i= + , 
então o valor de 2Z é igual a: 
a) 5 6i+ 
b) 2 6i+ 
c) 2 15i+ 
d) 6 6i− + 
 
Comentário: 
Temos 𝑍1 = 1 + 2𝑖 e 𝑍1. 𝑍2 = −10 + 10𝑖. Então: 
𝑍1. 𝑍2 = −10 + 10𝑖 → (1 + 2𝑖)𝑍2 = −10 + 10𝑖 → 𝑍2 =
−10 + 10𝑖
1 + 2𝑖
 
Agora, multipliquemos pelo conjugado de 1 + 2𝑖 em cima e embaixo da fração, para que a parte 
imaginária no denominador fique real: 
𝑍2 =
(−10 + 10𝑖)(1 − 2𝑖)
(1 + 2𝑖)(1 − 2𝑖)
= 
−10 + 20𝑖 + 10𝑖 + 20
(12 − (2𝑖)2)
 
𝑍2 = 
10 + 30𝑖
1 − 4𝑖2
 
𝑍2 = 
10 + 30𝑖
5
= 2 + 6𝑖 
Gabarito: B 
 (EEAR-2016) 
Sabe-se que os números complexos ( ) ( )1Z 2m 3 m 3n 5 i  += + + e ( ) ( )2
2Z 2m 12 4 n 1 i= + +   + são iguais. 
Então, os valores de m e n são, respectivamente: 
a) 3 e 1 
b) 2 e 1 
 
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106 
c) 2 e −1 
d) 3 e −1 
 
Comentário: 
 Se 𝑍1 = [2𝑚(3 +𝑚) + 𝑖(3𝑛 + 5)] 𝑒 𝑍2 = (2𝑚
2 + 12) + 4(𝑛 + 1)𝑖 são iguais, então basta 
igualar a parte real à parte real e a parte imaginária à parte imaginária: 
𝑍1 = 𝑍2 → {
2𝑚(3 +𝑚) = 2𝑚2 + 12
3𝑛 + 5 = 4(𝑛 + 1)
→ {6𝑚 + 2𝑚
2 = 2𝑚2 + 12
3𝑛 + 5 = 4𝑛 + 4
→ {
6𝑚 = 12
𝑛 = 1
 
Assim, 𝑚 = 2 𝑒 𝑛 = 1 
Gabarito: B 
 (EEAR-2017) 
Considere ( ) ( )2
1z 2 x x 1 i= + + − e ( ) ( )2
2z m 1 m 9 i= − + − . Se 1z é um número imaginário puro e 2z é um 
número real, é correto afirmar que x m+ pode ser igual a: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
Comentário: 
Se 𝑧1 = (2 + 𝑥) + (𝑥
2 − 1)𝑖 é um número imaginário puro, então sua parte real – a que não 
acompanha 𝑖 – é zero: 2 + 𝑥 = 0 
Se 𝑧2 = (𝑚 − 1) + (𝑚
2 − 9)𝑖 é um número real, então sua parte imaginário – a que acompanha 
𝑖 – é zero: 𝑚2 − 9 = 0 
Então: 
{
2 + 𝑥 = 0
𝑚2 − 9 = 0
→ {
𝑥 = −2
𝑚2 = 9
→ {
𝑥 = −2
𝑚 = 3 𝑜𝑢 𝑚 = −3
 
Assim, 𝑥 +𝑚 pode ser igual a: 
𝑥 +𝑚 = −2 + 3 = 1 
Ou 
𝑥 + 𝑚 = −2 − 3 = −5 
 
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107 
Como só há a opção “1”, temos a resposta marcada. 
Gabarito: A 
 (EEAR-2017) 
Se i é a unidade imaginária, então 3 22i 3i 3i 2+ + + é um número complexo que pode ser representado 
no plano de Argand- Gauss no _____________ quadrante. 
a) primeiro 
b) segundo 
c) terceiro 
d) quarto 
 
Comentário: 
 Busca-se o valor de 2𝑖3 + 3𝑖2 + 3𝑖 + 2. Então: 
2𝑖3 + 3𝑖2 + 3𝑖 + 2 = 2𝑖2𝑖 + 3𝑥(−1) + 3𝑖 + 2 = −2𝑖 − 3 + 3𝑖 + 2 
2𝑖3 + 3𝑖2 + 3𝑖 + 2 = −1 + 𝑖 
Basta saber em que quadrante se encontra o número complexo 𝑧 = −1 + 𝑖. Perceba a imagem: 
 
A parte real é representada pelo eixo horizontal e a parte imaginária pelo eixo vertical no plano 
de Argand-Gauss. Assim, temos a expressão dada localizada no segundo quadrante. 
Gabarito: B 
 (EEAR-2018) 
Sejam os números complexos𝒛𝟏 = 𝟏 − 𝒊, 𝒛𝟐 = 𝟑 + 𝟓𝒊 e 𝒛𝟑 = 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐. O módulo de 𝒛𝟑 é igual a: 
 
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108 
a) 4 2 
b) 4 2 
c) 2 3 
d) 4 3 
 
Comentário: 
Temos 𝑧1 = 1 − 𝑖 𝑒 𝑧2 = 3 + 5𝑖. Se 𝑧3 = 𝑧1 + 𝑧2, então 𝑧3 = 1 − 𝑖 + 3 + 5𝑖 
𝑧3 = 4 + 4𝑖 
Basta, agora, calcularmos o módulo de 𝑧3: 
|z3| = √42 + 42 = √32 = √42𝑥2 = 4√2 
Gabarito: B 
 (EEAR-2018) 
Dado o número complexo𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊, se 𝒛 + 𝒛 = 𝟏𝟎 e 𝒛 − 𝒛 = −𝟏𝟔𝒊, então 𝒂 + 𝒃 é: 
a) −6 
b) −3 
c) 2 
d) 8 
 
Comentário: 
Se 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑎 𝑒 𝑏 reais, então 𝑧̅, o conjugado de 𝑧, é tal que 𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖. Utilizando os dados, 
temos: 
{
𝑧 + 𝑧̅ = 10
𝑧 − 𝑧̅ = −16𝑖
 
Somando as 2 equações, caímos em: 
𝑧 + 𝑧̅ + 𝑧 − 𝑧̅ = 10 − 16𝑖 → 2𝑧 = 10 − 16𝑖 → 𝑧 = 5 − 8𝑖 
Se 𝑧 = 5 − 8𝑖 e 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑎 𝑒 𝑏 reais, então podemos igualar a parte real à parte real e a parte 
imaginária à parte imaginária: 
{
𝑎 = 5
𝑏 = −8
 
 
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109 
Assim, 𝑎 + 𝑏 = 5 − 8 = −3 
Gabarito: B 
 (EEAR-2019) 
A parte real das raízes complexas da equação 2x 4x 13 0− + = , é igual a: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
Comentário: 
Tem-se a equação 𝑥2 − 4𝑥 + 13 = 0. Aplicando a fórmula de Báskara, achemos o delta: 
Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 42 − 4𝑥1𝑥13 = 16 − 52 = −36 
Continuando aBáskara: 
𝑥 = 
−𝑏 ± √𝛥 
2𝑎
= 
4 ± √−36
2𝑥1
= 
4 ± 6√−1
2
= 
4 ± 6𝑖
2
→ 
𝑥 = 2 + 𝑖 𝑜𝑢 𝑥 = 2 − 𝑖 
Assim, a parte real das raízes complexas da equação é igual a 2. 
Gabarito: B 
 (EEAR-2019) 
Se i é a unidade imaginária dos números complexos, o valor de 15 17i i+ é: 
a) −i 
b) −1 
c) 0 
d) 1 
 
Comentário: 
O método para se encontrar qualquer potência de 𝑖 é simples: 𝑖𝑥 é equivalente a 𝑖𝑦, em que 𝑦 é 
o resto da divisão de x por 4. Pede-se: 
 
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110 
𝑖15 + 𝑖17 
15 dividido por 4 é igual a 3 e deixa resto 3, pois 15 = 4𝑥3 + 3 
17 dividido por 4 é igual a 4 e deixa resto 1, pois 17 = 4𝑥4 + 1 
Assim, temos a equivalência: 
𝑖15 = 𝑖3 
𝑖17 = 𝑖1 
Por fim: 
𝑖15 + 𝑖17 = 𝑖3 + 𝑖1 = 𝑖2𝑖 + 𝑖 = −𝑖 + 𝑖 = 0 
Gabarito: C 
 
6 - Lista de Questões - Nível 2 
 (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx/2013) 
De todos os números complexos z que satisfazem a condição |𝒛 − (𝟐 − 𝟐𝒊)| = 𝟏, existe um 
número complexo 𝒛𝟏 que fica mais próximo da origem. A parte real desse número complexo 𝒛𝟏 é 
igual a: 
a) 
(𝟒−√𝟐)
𝟐
 
b) 
(𝟒+√𝟐)
𝟐
 
c) 
(𝟒−√𝟐)
𝟒
 
d) 
(𝟒+√𝟐)
𝟒
 
e) 
√𝟐
𝟐
 
 
 (Estratégia Militares – 2020 – EsPECEx/2014) 
A representação geométrica, no Plano de Argand-Gauss, do conjunto de pontos que satisfazem a 
condição |𝒛 + 𝟐 − 𝟑𝒊| = |𝒛 − 𝟏 + 𝟒𝒊|, com 𝒛 = 𝒙 + 𝒚𝒊, sendo 𝒙 e 𝒚 números reais, é reta de 
equação: 
a) 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟕 = 𝟎 
b) 𝟑𝒙 − 𝟕𝒚 − 𝟐 = 𝟎 
 
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111 
c) 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟑 = 𝟎 
d) 𝟒𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟑 = 𝟎 
e) 𝟐𝒙 − 𝒚 = 𝟎 
 
 (Estratégia Militares – 2020 – EsPECEx/2015) 
Se (𝟏 + 𝒊) (𝐜𝐨𝐬
𝝅
𝟏𝟐
+ 𝒊𝒔𝒆𝒏
𝝅
𝟏𝟐
) = 𝒙 + 𝒊𝒚, em que i é a unidade imaginária e x e y são números reais, 
o valor de √𝟑𝒙 + 𝒚 é: 
a) √𝟔 
b) √𝟑 
c) 
√𝟐
𝟐
 
d) 𝟑√𝟔 
e) 
√𝟑
𝟐
 
 
 (Estratégia Militares – 2020 – EsPECEx/2016) 
Sejam 𝒛 e 𝒗 números complexos onde |𝒛| = 𝟏 e 𝒗 tem coordenadas no plano de Argand-Gauss 
(
√𝟐
𝟐
 ,
√𝟐
𝟐
 ) .Sobre o número complexo 𝒛 · 𝒗 (resultante da multiplicação dos complexos 𝒛 e 𝒗), 
podemos afirmar que: 
a) sempre é um número real 
b) sempre tem módulo igual a 2. 
c) sempre é um número imaginário puro 
d) pertence à circunferência 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏 
e) sempre tem argumento igual a 
𝝅
𝟒
 
 
 (Estratégia Militares – 2020 – EsPECEx/2017) 
 
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112 
Na figura abaixo, está representado o plano de Argand-Gauss com os afixos de 12 números 
complexos, identificados de A a L. Sabe-se que esses afixos dividem a circunferência em 12 partes 
 (𝟏, 𝟎). iguais e que 𝑨 =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O polígono regular cujos vértices são os afixos de √𝑬
𝟒
 é: 
a) BEHK 
b) CFIL 
c) ADCGJ 
d) BDHJ 
e) CEIK 
 
 (Estratégia Militares – 2020 – EsPECEx/2017) 
Seja a igualdade 
𝒂
𝟑
−
𝒊𝒃
𝟓
= (𝐜𝐨𝐬
𝝅
𝟔
+ 𝒊𝒔𝒆𝒏
𝝅
𝟔
)
𝟒
 , onde i é a unidade imaginária. Se 𝒂 e 𝒃 são números 
reais, então o quociente 
𝒂
𝒃
 é igual a: 
a) 
√𝟑
𝟓
 
b) 
𝟑√𝟑
𝟓
 
c) −
𝟑√𝟑
𝟓
 
d) −
√𝟑
𝟓
 
 
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113 
e) 
𝟏𝟓√𝟑
𝟒
 
 
 
6.1 - Gabarito 
 
65. A 
66. B 
67. A 
68. D 
69. A 
70. A 
 
7 - Lista de Questões Comentadas - Nível 2 
 (Estratégia Militares – 2020 – EsPCEx/2013) 
De todos os números complexos z que satisfazem a condição |𝒛 − (𝟐 − 𝟐𝒊)| = 𝟏, existe um 
número complexo 𝒛𝟏 que fica mais próximo da origem. A parte real desse número complexo 𝒛𝟏 é 
igual a: 
a) 
(𝟒−√𝟐)
𝟐
 
b) 
(𝟒+√𝟐)
𝟐
 
c) 
(𝟒−√𝟐)
𝟒
 
d) 
(𝟒+√𝟐)
𝟒
 
e) 
√𝟐
𝟐
 
 
Comentário: 
Observe que: 
𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 
 
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114 
𝑧 − (2 − 2𝑖) = (𝑥 − 2) + (𝑦 + 2)𝑖 
Assim, o módulo é: 
(𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 2)2 = 1 
Isso é uma circunferência de centro no ponto (2,−2) e raio 𝑅 = 1 
Assim, a parte real do ponto mais próximo da origem (𝑧1): 
2[𝑅𝑒(𝑧1)]
2 = (2√2 − 1)
2
→ 𝑅𝑒(𝑧1) =
(4 − √2)
2
 
Gabarito: A 
 (Estratégia Militares – 2020 – EsPECEx/2014) 
A representação geométrica, no Plano de Argand-Gauss, do conjunto de pontos que satisfazem a 
condição |𝒛 + 𝟐 − 𝟑𝒊| = |𝒛 − 𝟏 + 𝟒𝒊|, com 𝒛 = 𝒙 + 𝒚𝒊, sendo 𝒙 e 𝒚 números reais, é reta de 
equação: 
a) 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟕 = 𝟎 
b) 𝟑𝒙 − 𝟕𝒚 − 𝟐 = 𝟎 
c) 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟑 = 𝟎 
d) 𝟒𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟑 = 𝟎 
e) 𝟐𝒙 − 𝒚 = 𝟎 
 
Comentário: 
Do enunciado, temos: 
𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 
Substituindo na igualdade e módulos, temos: 
|(𝑥 + 2) + (𝑦 − 3)𝑖| = |(𝑥 − 1) + (𝑦 + 4)𝑖| 
Assim: 
(𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 3)2 = (𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 4)4 
3. (2𝑥 + 1) = 7. (2𝑦 + 1) → 6𝑥 + 3 = 14𝑦 + 7 
→ 3𝑥 − 7𝑦 − 2 = 0 
Gabarito: B 
 
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115 
 (Estratégia Militares – 2020 – EsPECEx/2015) 
Se (𝟏 + 𝒊) (𝐜𝐨𝐬
𝝅
𝟏𝟐
+ 𝒊𝒔𝒆𝒏
𝝅
𝟏𝟐
) = 𝒙 + 𝒊𝒚, em que i é a unidade imaginária e x e y são números reais, 
o valor de √𝟑𝒙 + 𝒚 é: 
a) √𝟔 
b) √𝟑 
c) 
√𝟐
𝟐
 
d_ 𝟑√𝟔 
e) 
√𝟑
𝟐
 
 
Comentário: 
Primeiramente observe que: 
1 + 𝑖 = √2. 𝑐𝑖𝑠
𝜋
4
 
Assim, do enunciado, temos: 
√2. 𝑐𝑖𝑠
𝜋
4
. 𝑐𝑖𝑠
𝜋
12
 
Lembre que multiplicar números complexos na forma trigonométrica é equivalente a somar os 
argumentos: 
√2. 𝑐𝑖𝑠 (
𝜋
4
+
𝜋
12
) = √2 𝑐𝑖𝑠
𝜋
3
 
Logo: 
√2 𝑐𝑖𝑠
𝜋
3
=
√2
2
+
𝑖√6
2
= 𝑥 + 𝑖𝑦 → 𝑥 =
√2
2
 𝑒 𝑦 =
√6
2
 
Por fim: 
√3𝑥 + 𝑦 =
√6
2
+
√6
2
= √6 
Gabarito: A 
 (Estratégia Militares – 2020 – EsPECEx/2016) 
 
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116 
Sejam 𝒛 e 𝒗 números complexos onde |𝒛| = 𝟏 e 𝒗 tem coordenadas no plano de Argand-Gauss 
(
√𝟐
𝟐
 ,
√𝟐
𝟐
 ) .Sobre o número complexo 𝒛 · 𝒗 (resultante da multiplicação dos complexos 𝒛 e 𝒗), 
podemos afirmar que: 
a) sempre é um número real 
b) sempre tem módulo igual a 2. 
c) sempre é um número imaginário puro 
d) pertence à circunferência 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏 
e) sempre tem argumento igual a 
𝝅
𝟒
 
 
Comentário: 
Inicialmente chamemos 𝑧 de: 
𝑧 = |𝑧|𝑐𝑖𝑠𝜃 
Do enunciado, temos: 
|𝑧| = 1 → 𝑧 = 𝑐𝑖𝑠𝜃 
Analogamente, perceba que: 
𝑣 = 𝑐𝑖𝑠
𝜋
4
 
Portanto o produto é: 
𝑧𝑣 = 𝑐𝑖𝑠 (𝜃 +
𝜋
4
) 
Assim, o complexo 𝑧𝑣 sempre pertencerá ao círculo trigonométrico, que também é a 
circunferência: 
𝑥2 + 𝑦2 = 1 
Gabarito: D 
 (Estratégia Militares – 2020 – EsPECEx/2017) 
 
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117 
Na figura abaixo, está representado o plano de Argand-Gauss com os afixos de 12 números 
complexos, identificados de A a L. Sabe-se que esses afixos dividem a circunferência em 12 partes 
 (𝟏, 𝟎). iguais e que 𝑨 =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O polígono regular cujos vértices são os afixos de √𝑬
𝟒
 é: 
a) BEHK 
b) CFIL 
c) ADCGJ 
d) BDHJ 
e) CEIK 
 
Comentário: 
Como os pontos dividem a circunferência em 12 partes iguais e 𝐴 = (1,0), temos: 
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 = 𝑐𝑖𝑠 (
𝑘𝜋
6
) 𝑐𝑜𝑚 𝑘 = {0,1,2,3,4,5} 
Assim, da figura podemos retirar que: 
𝐸 = 𝑐𝑖𝑠 (
4𝜋
6
) = 𝑐𝑖𝑠
2𝜋
3
 
→ √𝐸
4
= 𝑐𝑖𝑠
2𝜋
3
.
1
4
→ √𝐸
4
= 𝑐𝑖𝑠 (
𝜋
6
+
𝑘𝜋
2
) 𝑐𝑜𝑚 𝑘 = {0,1,2,3} 
 
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118 
Logo, os afixos são: 
𝑐𝑖𝑠 (
𝜋
6
) , 𝑐𝑖𝑠 (
4𝜋
6
) , 𝑐𝑖𝑠 (
7𝜋
6
) , 𝑐𝑖𝑠 (
10𝜋
6
) 
Da figura podemos ver que tais afixos são os pontos: 
𝐵, 𝐸,𝐻, 𝐾 
Gabarito: A 
 (EstratégiaMilitares – 2020 – EsPECEx/2017) 
Seja a igualdade 
𝒂
𝟑
−
𝒊𝒃
𝟓
= (𝐜𝐨𝐬
𝝅
𝟔
+ 𝒊𝒔𝒆𝒏
𝝅
𝟔
)
𝟒
 , onde i é a unidade imaginária. Se 𝒂 e 𝒃 são números 
reais, então o quociente 
𝒂
𝒃
 é igual a: 
a) 
√𝟑
𝟓
 
b) 
𝟑√𝟑
𝟓
 
c) −
𝟑√𝟑
𝟓
 
d) −
√𝟑
𝟓
 
e) 
𝟏𝟓√𝟑
𝟒
 
 
Comentário: 
Perceba que: 
(𝑐𝑖𝑠
𝜋
6
)
4
= 𝑐𝑖𝑠 4.
𝜋
6
= 𝑐𝑖𝑠 
2𝜋
3
= −
1
2
+ 𝑖
√3
2
=
𝑎
3
−
𝑖𝑏
5
→
𝑎
3
= −
1
2
→ 𝑎 = −
3
2
 
→ −
𝑏
5
=
√3
2
→ 𝑏 = −
5√3
2
 
Portanto: 
𝑎
𝑏
= −
3
2
−
5√3
2
→
√3
5
 
Gabarito: A 
 
 
 
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119 
10 - Considerações Finais 
 
 É isso, meu querido! Finalizamos a nossa. Espero que tenham gostado! 
Restando qualquer dúvida, estou à disposição no fórum de dúvidas. Pode usar sem moderação!! 
Mantenham a pegada, a sua aprovação está mais perto que imagina! 
Qualquer crítica, sugestão ou elogio, só entrar em contato pelas redes sociais abaixo: 
 
 
Vamos que vamos! Fé na missão! 
 
 
11 - Versões das Aulas 
 
 
Caro aluno! Para garantir que o curso esteja atualizado, sempre que alguma mudança no conteúdo 
for necessária, uma nova versão da aula será disponibilizada. 
 
Fale comigo! 
 
@profismael_santos Ismael Santos @IsmaelSantos𝒄 − 𝒃. 𝒅) + (𝒂. 𝒅 + 𝒃. 𝒄)𝒊 
 
2.3 – Definição do Conjunto dos Números Complexos 
Podemos definir o Conjunto dos Números Complexos (ℂ) como o conjunto de todos os pares 
ordenados da forma (𝑥; 𝑦) , tal que 𝑥 ∈ ℝ e 𝑦 ∈ ℝ. Ou seja: 
 
ℂ = {𝒛 = (𝒙; 𝒚) 𝒙⁄ ∈ ℝ 𝒆 𝒚 ∈ ℝ} 
Ressalto também, algumas propriedades existentes neste conjunto: 
 
➢ 𝑪𝒐𝒎𝒖𝒕𝒂𝒕𝒊𝒗𝒂 𝒅𝒂 𝑨𝒅𝒊çã𝒐: a ordem das parcelas não altera a soma, ainda que a operação adição 
seja formada por quaisquer números complexos. Veja: 
𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 = 𝒛𝟐 + 𝒛𝟏 ; ∀𝒛𝟏 ∈ ℂ 𝒆 ∀𝒛𝟐 ∈ ℂ 
 
➢ 𝑨𝒔𝒔𝒐𝒄𝒊𝒂𝒕𝒊𝒗𝒂 𝒅𝒂 𝑨𝒅𝒊çã𝒐: é possível associar quaisquer dois ou mais números complexos, a partir 
da operação adição, sem que haja alteração no resultado. Veja: 
𝒛𝟏 + (𝒛𝟐 + 𝒛𝟑) = (𝒛𝟏 + 𝒛𝟐) + 𝒛𝟑 ; ∀𝒛𝟏 ∈ ℂ , ∀𝒛𝟐 ∈ ℂ 𝒆 ∀𝒛𝟑 ∈ ℂ 
 
➢ 𝑬𝒙𝒊𝒔𝒕ê𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒐 𝑬𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝑵𝒆𝒖𝒕𝒓𝒐 𝒅𝒂 𝑨𝒅𝒊çã𝒐: existe um número complexo 𝑘 , tal que não 
altera o resultado quando adicionado a outro número complexo. 
∃𝒌 ∈ ℂ 𝒌⁄ + 𝒛𝟏 = 𝒛𝟏 , ∀𝒛𝟏 ∈ ℂ 
 
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9 
➢ 𝑬𝒙𝒊𝒔𝒕ê𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒐 𝑬𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝑺𝒊𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒐: existe um número complexo 𝑧′, tal que, ao adicionar um 
outro complexo 𝑧 , resulta no elemento zero. Cuidado para não confundir elemento simétrico de 
um complexo com conjugado de um complexo. Esses conceitos, veremos mais a frente, são 
totalmente diferentes. 
∃ 𝒛′ ∈ ℂ 𝒛′⁄ + 𝒛𝟏 = (𝟎; 𝟎) , ∀𝒛𝟏 ∈ ℂ 
 
➢ 𝑪𝒐𝒎𝒖𝒕𝒂𝒕𝒊𝒗𝒂 𝒅𝒂 𝑴𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂çã𝒐: a ordens dos fatores (números complexos quaisquer) não 
alteram o produto. 
𝒛𝟏. 𝒛𝟐 = 𝒛𝟐. 𝒛𝟏 ; ∀𝒛𝟏 ∈ ℂ 𝒆 ∀𝒛𝟐 ∈ ℂ 
 
➢ 𝑨𝒔𝒔𝒐𝒄𝒊𝒂𝒕𝒊𝒗𝒂 𝒅𝒂 𝑴𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂çã𝒐: é possível associar quaisquer dois ou mais números 
complexos, a partir da operação multiplicação, sem que haja alteração no resultado. Veja: 
𝒛𝟏. (𝒛𝟐. 𝒛𝟑) = (𝒛𝟏. 𝒛𝟐). 𝒛𝟑 ; ∀𝒛𝟏 ∈ ℂ , ∀𝒛𝟐 ∈ ℂ 𝒆 ∀𝒛𝟑 ∈ ℂ 
 
➢ 𝑬𝒙𝒊𝒔𝒕ê𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒐 𝑬𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝑵𝒆𝒖𝒕𝒓𝒐 𝒅𝒂 𝑴𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂çã𝒐: existe um número complexo 𝑘 , tal que 
não altera o resultado quando multiplicado a outro número complexo. 
∃𝒌 ∈ ℂ 𝒌⁄ . 𝒛𝟏 = 𝒛𝟏 , ∀𝒛𝟏 ∈ ℂ 
 
➢ 𝑬𝒙𝒊𝒔𝒕ê𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒐 𝑬𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝑰𝒏𝒗𝒆𝒓𝒔𝒐: existe um número complexo 𝑧−1, tal que, ao multiplicar 
um outro complexo 𝑧 , resulta na unidade. Cuidado para não confundir elemento inverso de um 
complexo com conjugado de um complexo. Esses conceitos, veremos mais a frente, são 
totalmente diferentes. 
∃ 𝒛−𝟏 ∈ ℂ 𝒛−𝟏⁄ . 𝒛𝟏 = (𝟏; 𝟎) , ∀𝒛𝟏 ∈ ℂ 
 
➢ 𝑫𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒕𝒊𝒗𝒂: similar à propriedade da distributiva estudada lá atrás. A principal diferença é que, 
neste ponto, os números trabalhados são complexos. 
𝒛𝟏. (𝒛𝟐 + 𝒛𝟑) = 𝒛𝟏. 𝒛𝟐 + 𝒛𝟏. 𝒛𝟑 ; ∀𝒛𝟏 ∈ ℂ , ∀𝒛𝟐 ∈ ℂ 𝒆 ∀𝒛𝟑 ∈ ℂ 
 
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10 
3 – Forma Algébrica 
Antes mesmo de passar os detalhes da forma algébrica de um número complexo, vou me 
preocupar em explicar o motivo pelo qual todo número real é complexo (cuidado que a recíproca não é 
verdadeira), em outras palavras, todo número real pode ser escrito na forma de um número complexo. 
Vamos nessa?! “Simbora!” 
Já sabemos que todo número complexo pode ser escrito da forma (𝑥; 𝑦). Podemos ainda pegar 
subconjuntos dos números complexos que possuam como elementos os complexos da forma 
(𝑎; 0) 𝑒 (𝑐; 0) , ou seja, pares ordenados com o segundo elemento igual a zero. A partir disso, 
conseguiremos efetuar as operações adição e multiplicação, com base no estudo de tópicos anteriores. 
Veja como fica: 
(𝑎; 0) + (𝑐; 0) = (𝑎 + 𝑐; 0 + 0) = (𝑎 + 𝑐; 0) 
(𝑎; 0). (𝑐; 0) = (𝑎. 𝑐 − 0.0; 𝑎. 0 + 0. 𝑐) = (𝑎. 𝑐; 0) 
 
Observe que os primeiros componentes (𝑥) de cada resultado são encontrados a partir de 
operações básicas entre os reais. Desta forma, concluímos que esses elementos possuem o mesmo 
comportamento de um número real. Assim: 
(𝒙; 𝟎) = 𝒙 , ∀𝒙 ∈ ℝ 
 
Logo, podemos escrever qualquer número real na forma de um par ordenado, cuja parte 
imaginária seja nula, veja: 
(0; 0) = 0 
(−1; 0) = −1 
(−√4
3
; 0) = −√4
3
 
 
Agora vamos aprender como é a forma de representação algébrica de um número complexo. 
 
(𝒂, 𝒃) ∈ ℂ ⟹ 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 
 
 
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11 
Em outras palavras, se o par ordenado (𝑎, 𝑏) representa um número complexo, então este número 
pode ser escrito da forma 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 , em que 𝑎 é a parte real - 𝑅𝑒(𝑧) - do complexo 𝑧 e 𝑏𝑖 , a parte 
imaginária - 𝐼𝑚(𝑧) - de coeficiente real. 
Destaco ainda que, se o número complexo for um número classificado como imaginário puro, sua 
parte real deverá ser nula. Por outro lado, se o número complexo for considerado real puro, daí a parte 
imaginária deverá ser nula. Veja: 
 
(Exercício de Fixação) 
(EEAR-2001) Sejam 𝑚 ∈ ℝ. Para que o produto (2 + 𝑚𝑖). (3 + 𝑖) seja um número imaginário puro, o valor 
de 𝑚 deve ser: 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
 
Comentário: 
Efetuando a multiplicação: 
(2 + 𝑚𝑖). (3 + 𝑖) = 6 + 2𝑖 + 3𝑚𝑖 + 𝑚𝑖2 
= 6 + 2𝑖 + 3𝑚𝑖 − 𝑚 
= (6 −𝑚) + (2 + 3𝑚)𝑖 
 
Para que seja imaginário puro, bastará que 6 −𝑚 seja nulo, isto é, 𝑚 = 6. 
Gabarito: B 
 
(Exercício de Fixação) 
Acerca do número (2 + 3𝑖)(7 − 4𝑖) − 26, podemos afirmar que se trata de um: 
a) número imaginário puro 
b) número real puro 
c) número complexo de módulo √13 
d) número complexo de módulo nulo 
 
Comentário: 
 
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12 
Efetuando o cálculo: 
(2 + 3𝑖)(7 − 4𝑖) − 26 = 14 − 8𝑖 + 21𝑖 − 12. 𝑖2 − 26 
= 14 + 13𝑖 + 12 − 26 
= 13𝑖 
 
Logo, como a parte real é nula, trata-se de um número imaginário puro. 
Gabarito: A 
 
3.1 – Unidade Imaginária 
Por definição, temos como unidade real o número complexo (1; 0). Por outro lado, temos como 
unidade imaginária o número complexo (0; 1). O símbolo dado a esta parte imaginária é o 𝑖. Assim: 𝑖 =
(0; 1). 
Neste momento, quero fazer uma pergunta: lembra como operar números complexos a partir da 
operação multiplicação? Blz. Agora você vai ver algum sentido naquela forma de representação. Veja: 
 
𝑖2 = −1 ⟹ 𝑖. 𝑖 
⟹ (0; 1). (0; 1) = (0.0 − 1.1 ; 0.1 + 1.0) 
⟹ (−1; 0) = 𝑖2 ; 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒 𝐹𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑛𝑒𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝐼𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛á𝑟𝑖𝑎 
 
Logo: 
𝒊𝟐 = (−𝟏;𝟎) = −𝟏 
3.2 – Conjugado de um Número Complexo 
 Dado um número complexo 𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖 (𝑎 𝑒 𝑏 ∈ ℝ), chama-se conjugado de 𝑍, representado 
por �̅�, o número da forma �̅� = 𝑎 − 𝑏𝑖 
 Assim: 
𝒁 = 𝒂 + 𝒃𝒊 ⟹ �̅� = 𝒂 − 𝒃𝒊 
 
 
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13 
Algumas conclusões imediatas: 
• Para conjugar um polinômio, basta trocar o sinal da parte imaginária, se houver. 
• Se 𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖, com 𝑏 ≠ 0, temos que 𝑍 + �̅� = 2𝑎. 
• Se 𝑍 = �̅�, então a arte imaginária é nula. 
• Se 𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖, com 𝑏 ≠ 0, então 𝑍 − �̅� = 2𝑏𝑖. 
• Não confunda conjugado de um número complexo com simétrico de um número 
complexo. 
 
Vamos aprender agora algumas propriedades 
✓ O conjugado da soma é igual à soma dos conjugados. 
𝒁𝟏 + 𝒁𝟐̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝒁𝟏̅̅̅̅ + 𝒁𝟐̅̅̅̅ 
 
✓ O conjugado do produto é igual ao produto dos conjugados. 
𝒁𝟏. 𝒁𝟐̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝒁𝟏̅̅̅̅ . 𝒁𝟐̅̅̅̅ 
 
✓ O produto de um número complexo com seu conjugado sempre pertencerá ao conjunto 
dos números reais. 
𝒁. �̅� ∈ ℝ 
 
✓ O conjugado do conjugado de um número complexo será sempre igual a ele mesmo. 
(�̿�) = 𝒁 
 
✓ A parte real de um complexo pode ser encontrada a partir da média aritmética entre o 
número complexo e seu conjugado. 
 
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14 
𝑹𝒆(𝒛) =
𝒛 + �̅�
𝟐
 
 
✓ A parte imaginária de um complexo pode ser encontrada a partir da média aritmética entre 
o número complexo e o oposto de seu conjugado. 
𝑰𝒎(𝒛) =
𝒛 + (−�̅�)
𝟐
 
 
3.3 – Divisão de Números Complexos 
 Este tópico se assemelha muito à racionalização. Lá estudamos que o número irracional não pode 
ficar no denominador. Aqui, em complexo, não é diferente: o número complexo 𝑍 não pode figurar no 
denominador, havendo assim, a necessidade de fazer uma espécie de “racionalização”. 
 Essa “racionalização” tem a finalidade de transformar o denominador complexo em um número 
real. Aprendemos no tópico anterior que 𝑍. �̅� ∈ ℝ, logo, faz-se necessário a multiplicação da fração de 
complexos pelo conjugado do denominador. Veja: 
𝒁𝟏
𝒁𝟐
⟹
𝒁𝟏
𝒁𝟐
.
𝒁𝟐̅̅̅̅
𝒁𝟐̅̅̅̅
 , 𝒂𝒔𝒔𝒊𝒎: 
𝒂𝟏+𝒃𝟏𝒊
𝒂𝟐+𝒃𝟐𝒊
 .
𝒂𝟐−𝒃𝟐𝒊
𝒂𝟐−𝒃𝟐𝒊
 = 
𝑎1𝑎2+𝑏1𝑏2
𝑎2+𝑏2
 + 
𝑎2𝑏1−𝑎1𝑏2𝑖
𝑎2+𝑏2
 
o 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑅𝑒𝑎𝑙, 𝑐𝑜𝑚 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑎𝑙: 𝑑𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑚 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒. 
o 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝐼𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛á𝑟𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑑𝑒𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑎𝑙: 𝑑𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑚 𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜. 
 
Exemplo: 
Calcule o valor simplificado de: 
𝑍 =
5 − 10𝑖
3 + 4𝑖
 
 
Comentário: 
Já sabemos que é necessário multiplicar 𝑍 pelo conjugado de seu denominador em ambos os termos, 
então: 
5 − 10𝑖
3 + 4𝑖
.
(3 − 4𝑖)
(3 − 4𝑖)
⟹ 
 
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15 
⟹
(5.3 − 10.4)
32 + 42
+
[(−10). 3 + 5 − (−4)]𝑖
32 + 42
 
⟹
−25 − 50𝑖
25
= −1 − 2𝑖 
 
 
(Exercício de Fixação) 
A parte real do complexo 𝑧 =
2+3𝑖
1−5𝑖
 é o número real: 
a) 
1
2
 
b) −
1
2
 
c) 2 
d) −2 
 
Comentário: 
Efetuaremos a fração complexa e multiplicaremos pelo conjugado do seu denominador. 
 
𝑧 =
2 + 3𝑖
1 − 5𝑖
 
=
(2 + 3𝑖)(1 + 5𝑖)
(1 − 5𝑖)(1 + 5𝑖)
 
=
2 + 10𝑖 + 3𝑖 + 15𝑖2
12 + 52
 
=
2 + 10𝑖 + 3𝑖 − 15
1 + 25
 
=
−13 + 13𝑖
26
 
=
−13
26
+
13
26
𝑖 
= −
1
2
+
1
2
𝑖 
 
Logo, Re(𝑧) = −
1
2
 
Gabarito: B 
 
 
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16 
3.4 – Potências de 𝒊 
 Ponto importante desta matéria, pois é a base para o todo. Observe as seguintes potências: 
𝒊𝒐 1 
𝒊𝟏 𝒊 
𝒊𝟐 −𝟏 
𝒊𝟑 (𝒊)𝟐.𝒊 = −𝒊 
𝒊𝟒 (𝒊)𝟐. (𝒊)𝟐 = 𝟏. 𝟏 = 𝟏 
𝒊𝟓 (𝒊)𝟒. 𝒊 = 𝒊 
𝒊𝟔 (𝒊)𝟒. 𝒊𝟐 = −𝟏 
𝒊𝟕 (𝒊)𝟒. 𝒊𝟑 = −𝒊 
𝒊𝟖 (𝒊)𝟒. (𝒊)𝟒 = 𝟏. 𝟏 = 𝟏 
 
 Já é possível notar que, a cada sequência de 4 potências, temos um resultado que é periódico. 
Podemos, então, generalizar da seguinte forma: 
 
𝒊𝟒𝒌 𝒊𝟎 = 𝟏 Se o expoente deixar resto zero na 
divisão por 4. 
𝒊𝟒𝒌+𝟏 𝒊𝟏 = 𝒊 Se o expoente deixar resto 1 na divisão 
por 4. 
𝒊𝟒𝒌+𝟐 𝒊−𝟐 = −𝟏 Se o expoente deixar resto dois na 
divisão por 4. 
𝒊𝟒𝒌+𝟑 𝒊−𝟑 = −𝒊 Se o expoente deixar resto três na 
divisão por 4. 
 
 
 
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17 
(Exercícios de Fixação) 
(ESA – 2014) O Número complexo 𝑖102, onde 𝑖 representa a unidade imaginária, 
a) é positivo 
b) é imaginário puro 
c) é real 
d) está na forma trigonométrica 
e) está na forma algébrica 
 
Comentário: 
Basta dividirmos o expoente por 4 e substituirmos o expoente pelo resto da divisão. 
 
 
Então: 
𝑖102 = 𝑖2 
= −1 
 
Logo, trata-se de um número real. 
Gabarito: C 
 
Calcule o valor do módulo do complexo: 
𝑧 =
(4 + 4𝑖)100
2250
 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
 
Comentário: 
Primeiro, observe o que podemos fazer com o numerador da expressão dada, colocando o 4 em evidência: 
(4 + 4𝑖)100 = [4. (1 + 𝑖)]100 
= 4100. (1 + 𝑖)100 
 
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18 
= (22)100. (1 + 𝑖)2.50 
= 2200. (1 + 𝑖)2.50 
= 2200. [(1 + 𝑖)2]50 
= 2200.(2𝑖)50 
= 2200.250. 𝑖50 
= 2250. 𝑖50 
 
Veja que 50 dividido por 4 deixa resto 2, logo, pela regra dos restos, temos: 
(4 + 4𝑖)100 = 2250. 𝑖2 
= 2250. (−1) 
𝑧 =
(4 + 4𝑖)100
2250
 
𝑧 =
2250. (−1)
2250
 
= −1 
Assim: 
|𝑧| = |−1| = 1 
Gabarito: B 
 
3.5 – Plano de Argand-Gauss 
 Já sabemos que todo número complexo pode ser representado na forma de um par ordenado da 
forma (𝑎; 𝑏), com 𝑎 e 𝑏 ∈ ℝ. 
 Por ser um par ordenado, podemos também representar no plano. Este plano é chamado de Plano 
de Argand-Gauss. Por analogia, o eixo das abcissas é denominado eixo real, onde marcamos a posição da 
parte real do número complexo. Por outro lado, o eixo das ordenadas é denominada eixo imaginário, 
onde marcamos a parte imaginária do número complexo. Assim: 
 
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19 
 
 Uma outra novidade deste tópico é o nome que damos ao ponto pertencente ao plano complexo: 
AFIXO. Assim, podemos dizer que a origem do plano complexo é o afixo correspondente ao complexo 𝑍 =
0. Podemos também deduzir que os eixos (real e imaginário) divide o plano complexo em quatro 
quadrantes. Veja: 
 
Conclusões a partir dos quadrantes delimitados pelos eixos do plano complexo: 
o 1° quadrante: 𝒁 = 𝒂 + 𝒃𝒊 ⟹ 𝒂 > 𝟎 𝒆 𝒃 > 𝟎 
o 2° quadrante: 𝒁 = 𝒂 + 𝒃𝒊 ⟹ 𝒂 𝟎 
o 3° quadrante: 𝒁 = 𝒂 + 𝒃𝒊 ⟹ 𝒂 𝟎 𝒆 𝒃 0 ⟹ 𝑍 pertencerá ao semieixo imaginário positivo. 
𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ⟹ 𝑎 = 0 e 𝑏 0 e 𝑏 = 0 ⟹ 𝑍 pertencerá ao semieixo real positivo. 
𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ⟹ 𝑎 0 ⟺ 𝑍 ≠ 0 
 
 Vamos apresentar agora algumas propriedades do módulo de um número complexo. 
• |𝒁| = |�̅�| 
• 𝒁. �̅� = |𝒁|𝟐 
• |𝒁𝟏. 𝒁𝟐| = |𝒁𝟏|. |𝒁𝟐| 
• |𝒁𝟏. 𝒁𝟐…𝒁𝒏| = |𝒁𝟏|. |𝒁𝟐|… |𝒁𝒏| 
• |𝒁𝒏| = |𝒛|𝒏 
• |𝒁𝟏| − |𝒁𝟐| ≤ |𝒁𝟏 + 𝒁𝟐| ≤ |𝒁𝟏| + |𝒁𝟐| 
 
Podemos colocar 𝑎 𝑒 𝑏 em função de 𝜃 𝑒 𝜌. Usando um pouco dos conceitos trigonométricos, 
podemos afirmar que: 
 
(𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎) 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑎
𝜌
⇒ 𝑎 = 𝜌. 𝑐𝑜𝑠𝜃 
(𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎) 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑏
𝜌
⇒ 𝑏 = 𝜌. 𝑠𝑒𝑛𝜃 
 
Essa forma utilizando o seno e cosseno é de suma importância para o bom entendimento da forma 
Trigonométrica ou Polar de um número complexo. 
Vamos praticar com alguns exercícios de fixação! 
 
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22 
(Exercícios de Fixação) 
Considere os seguintes números complexos: 𝑧1 = 3 + 4𝑖, 𝑧2 = 5 − 12𝑖 𝑒 𝑧3 = −8 + 15𝑖. Podemos 
afirmar que:a) |𝑧1| |𝑧2| > |𝑧3| 
c) |𝑧1| |𝑧3| 
d) |𝑧1| > |𝑧2| 𝑒 |𝑧2| 𝟎 ; 𝜽 = 𝟗𝟎° 𝒐𝒖 𝜽 =
𝝅
𝟐
, 𝒗𝒆𝒋𝒂: 
 
 
 
 
 
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27 
o 𝒛 = 𝟎 + 𝒃𝒊, 𝒄𝒐𝒎 𝒃 > 𝟎 ; 𝜽 = 𝟏𝟖𝟎° 𝒐𝒖 𝜽 = 𝝅 , 𝒗𝒆𝒋𝒂: 
 
 
 
 
o 𝒛 = 𝟎 + 𝒃𝒊, 𝒄𝒐𝒎 𝒃Com isso, temos: 
𝑍 = |𝑍|. [𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃] ⟹ 𝑍 = 2. (𝑐𝑜𝑠
𝜋
6
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
𝜋
6
) 
Graficamente, temos: 
 
 
 
 
 
Passemos agora a algumas propriedades da forma Polar de um número complexo. 
 
 
• Se 𝑍1 = 𝑝1(𝑐𝑜𝑠𝜃1 + 𝑠𝑒𝑛𝜃1) e 𝑍2 = 𝑝2(𝑐𝑜𝑠𝜃2 + 𝑠𝑒𝑛𝜃2), então: 
𝑍1. 𝑍2 = 𝑝1. 𝑝2. [cos(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝜃1 + 𝜃2)] 
 
• Se 𝑍1 = 𝑝1(𝑐𝑜𝑠𝜃1 + 𝑠𝑒𝑛𝜃1) e 𝑍2 = 𝑝2(𝑐𝑜𝑠𝜃2 + 𝑠𝑒𝑛𝜃2) , então: 
 
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34 
𝑍1
𝑍2
=
𝑝1
𝑝2
. [cos(𝜃1 − 𝜃2) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝜃1 − 𝜃2)] 
 
• Se 𝑍 = 𝑝(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃) , então: 
1
𝑍
=
1
𝑝
. [cos(−𝜃) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(−𝜃)] 
 
 
 
Podemos inferir que: 
𝑎𝑟𝑔 (
1
𝑍
) = −arg (𝑍) 
Porém, como um argumento não pode ser negativo, temos que, se 𝑥 = 𝑎𝑟𝑔 (
1
𝑍
), então: 
arg(𝑍) = 2𝜋 − 𝑥 
 
• Se 𝑍 = 𝑝(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃), então: 
 �̅� = 𝑝. [cos(−𝜃) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(−𝜃)] 
 
• Se arg(𝑍1) = 𝜃1 e arg(𝑍2) = 𝜃2, então: 
|𝑍1 + 𝑍2|
2 = |𝑍1|
2 + |𝑍2|
2 + 2. |𝑍1|. |𝑍2|. cos (𝜃1 − 𝜃2) 
 
 
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35 
3.9 – Leis de Moivre 
 Agora o caldo começa a engrossar! Não tenhamos medo. Será mais fácil que passar manteiga em 
beiço de bode, rsrsrs. Vamos nessa! 
 
➢ 1ª Lei de Moivre: Potenciação de um número complexo. 
A primeira lei diz que: seja 𝑍 = 𝑝. (𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃) e 𝑛 é um número inteiro positivo, então: 
 
𝑍𝑛 = 𝑝𝑛. [cos(𝑛. 𝜃) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑛. 𝜃)] 
 
 
Podemos concluir que: 
arg(𝑍𝑛) = 𝑛. arg (𝑍) 
 
Exemplo: 
Utilizando a Lei de Moivre, calcule o valor de (−1 + 𝑖)26. 
 
Comentário: 
|𝑍| = √(−1)2 + (1)2⟹ |𝑍| = √2 
 
Assim: 
{
 
 
 
 𝑐𝑜𝑠𝜃 = −
1
√2
⟹ 𝑐𝑜𝑠𝜃 = −
√2
2
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
1
√2
⟹ 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
√2
2
 ⟹ 𝜃 =
3𝜋
4
 
 
 
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36 
Com isso: 
𝑍 = √2. (𝑐𝑜𝑠
3𝜋
4
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
3𝜋
4
) 
 
Do enunciado, aplicando a 1ª Lei, temos: 
𝑍26 = (√2)26. [cos (26.
3𝜋
4
) + 𝑖𝑠𝑒𝑛 (26.
3𝜋
4
)] 
(−1 + 𝑖)26 = 213 [𝑐𝑜𝑠 (
39𝜋
2
) + 𝑖𝑠𝑒𝑛 (
39𝜋
2
)] 
Da trigonometria, temos que: 
39𝜋
2
= 9. (2𝜋) +
3𝜋
2
 
 
Logo, a 1ª determinação positiva de 
39𝜋
2
 é 
3𝜋
2
 . 
Finalmente, com base na trigonometria, os termos destacados valem respectivamente: 
cos (
3𝜋
2
) ⟹ 0 
𝑠𝑒𝑛 (
3𝜋
2
) ⟹ −1 
 
 Assim: 
(−1 + 𝑖)26 = 213 [cos (
3𝜋
2
)
⏟ 
+ 𝑖. 𝑠𝑒𝑛 (
3𝜋
2
)
⏟ 
] = −213𝑖 
 
 
➢ 2ª Lei de Moivre: Radiciação de um número complexo. 
A segunda lei diz que: seja 𝑍 = 𝑝. (𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃) e 𝑛 um número natural maior que 2, então há 
𝑛 raízes enésimas de 𝑍 que são da forma: 
 
𝑍𝑘 = √𝑝
𝑛 [𝑐𝑜𝑠 (
𝜃
𝑛
+ 𝑘.
2𝜋
𝑛
) + 𝑖𝑠𝑒𝑛 (
𝜃
𝑛
+ 𝑘.
2𝜋
𝑛
)] , 𝑐𝑜𝑚 √𝑝
𝑛 ∈ ℝ+ 𝑒 𝑘 ∈ ℤ 
 
 
 
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37 
 
Aqui vai uma dica bastante útil, quando falamos de raízes de ordem 𝒏 na unidade, ou seja, 𝒁𝒏 = 𝟏 
Podemos dizer que 
𝒁𝒏 − 𝟏
𝒁 − 𝟏
= 𝒁𝒏−𝟏 + 𝒁𝒏−𝟐 + 𝒁𝒏−𝟑 +⋯𝒁𝟐 + 𝒁𝟏 + 𝟏 
Assim, veja: 
Se 𝑍7 = 1; 𝑍 ≠ 1, então 𝑍6 + 𝑍5 + 𝑍4 + 𝑍3 + 𝑍2 + 𝑍 + 1 é? 
 
Comentário: 
Usando a definição acima, podemos dizer que: 
𝑍𝑍−1
𝑍−1
= 𝑍6 + 𝑍5 + 𝑍4 + 𝑍3 + 𝑍2 + 𝑍 + 1 , mas 𝑍𝑍 = 1, logo: 
1 − 1
𝑍 − 1
= 𝑍6 + 𝑍5 + 𝑍4 + 𝑍3 + 𝑍2 + 𝑍 + 1 = 0 
 
3.10 – Equações Binômias e Trinômias 
Chama-se equação binômia toda equação redutível à forma: 
𝑎𝑥𝑛 + 𝑏 = 0 ; 𝑎 e 𝑏 ∈ ℂ ; 𝑎 ≠ 0 e 𝑛 ∈ ℕ 
 
Para solucionar equações dessa forma, temos que isolar o 𝑥, assim: 
𝑎𝑥𝑛 + 𝑏 = 0 
𝑎𝑥𝑛 = −𝑏 
𝑥𝑛 = −
𝑏
𝑎
 
 
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38 
𝑥 = √−
𝑏
𝑎
𝑛
 
 
Logo, a equação 𝑎𝑥𝑛 + 𝑏 = 0 admite 𝑛 raízes da forma √−
𝑏
𝑎
𝑛
 . 
 
 Por sua vez, a equação trinômia é toda equação redutível à forma: 
𝑎𝑥2𝑛 + 𝑏𝑥𝑛 + 𝑐 = 0 ; 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℂ ; 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0 e 𝑛 ∈ ℕ 
 
Para sua solução, usamos a técnica da troca de variável 𝑦 = 𝑥𝑛, assim: 
 
𝑎𝑦2 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0. 
 
Fique tranquilo que esta parte não é tão evidente em prova, porém, é importante que saiba como 
se resolver. Para isso trarei questões sobre este tema no decorrer das nossas aulas. 
 
Agora, meu querido, vou passar um pulo do gato que, se aparecer em prova, você vai levantar a 
mão para o céu. Veja a famosa Fórmula de Euler, que trata da representação exponencial de um número 
complexo. 
 
 
Um número complexo pode ser escrito sob a forma exponencial, para isso, vamos usar a fórmula de Euller: 
𝒁 = 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽 ⟹ 𝒆𝒊𝜽 
 
 
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39 
Assim, se 𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖 (𝑎 e 𝑏 ∈ ℝ), temos: 
 
𝒆𝒂+𝒃𝒊 = 𝒆𝒂. 𝒆𝒃𝒊 ⟹ 𝒆𝒂. (𝒄𝒐𝒔𝒃 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝒃) 
 
Chegou a hora da prática incansável!!!! 
Vamos que vamos! 
 
4 – Lista de Questões - Nível 1 
 
Resolvendo a equação − + =2x 4x 5 0 encontramos as seguintes raízes: 
a) 2 i+ e2 i− . 
b) 2 e −2. 
c) 2 i− + e 2 i− − . 
d) Não há raízes. 
 
 (EEAR-2001) 
Seja m R . Para que o produto ( ) ( )2 mi 3 i+  + seja um número imaginário puro, o valor de m deve 
ser: 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
 
 
Considere os seguintes números complexos: 1z 3 4i= + , 2z 5 12i= − e 3z 8 15i=− + . Podemos afirmar 
que: 
a) 1 2 3z z z  
b) 1 2 3z z z  
 
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40 
c) 1 2 2 3z z e z z  
d) 1 2 2 3z z e z z  
 
 
Considere os complexos 1z 3 24i= + , 2z 7 26i= + e 3z 1 10i= + . Podemos afirmar que 1 2 3z z z+ − vale: 
a) 41 
b) 46 
c) 49 
d) 51 
 
 
Acerca do número ( )( )2 3i 7 4i 26+ − − , podemos afirmar que se trata de um: 
a) número imaginário puro 
b) número real puro 
c) número complexo de módulo 13 
d) número complexo de módulo nulo 
 
 (ESSA-2014) 
O número complexo 102i , onde i representa a unidade imaginária, 
a) é positivo. 
b) é imaginário puro. 
c) é real. 
d) está na forma trigonométrica. 
e) está na forma algébrica. 
 
 
Calcule o valor do módulo do complexo 
( )
100
250
4 4i
z
2
+
= . 
a) 0 
 
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41 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
 
 
A parte real do complexo 
2 3i
z
1 5i
+
=
−
 é o número real: 
a) 
1
2
 
b) 
1
2
− 
c) 2 
d) 2− 
 
 
Os números complexos que correspondem aos pontos A e B do gráfico são, respectivamente, 
 
a) ( ) ( )1 3i ; 3 2i+ − − 
b) ( ) ( )3 i ; 2 3i+ − − 
c) ( ) ( )3 2i ; 1 3i− − + 
d) ( ) ( )2 3i ; 3 i− − + 
 
 (EEAR-2019) 
Sejam 1Z 3 3i= + , Q e R as respectivas representações, no plano de Argand-Gauss, dos números 
complexos 2Z e 3Z . 
 
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42 
 
Assim, é correto afirmar que 1Z é igual a: 
a) 2 3Z Z− 
b) 2 3Z Z+ 
c) 2 3Z Z− + 
d) 2 3Z Z− − 
 
 
Calcule o argumento do complexo 3 i− . 
a) 
5
6

 
b) 
7
6

 
c) 
9
6

 
d) 
11
6

 
 
 (ESSA-2013) 
Com relação aos números complexos 1z 2 i= + e 2z 1 i= − , onde i é a unidade imaginária, é correto 
afirmar: 
a) 1 2z z 3 i = − + 
b) 1z 2= 
c) 2z 5= 
 
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43 
d) 1 2z z 10 = 
e) 1 2z z 3+ = 
 
 (EEAR-2002) 
O valor de m, para que o módulo do número complexo ( )( )Z m 2i 1 i= + + seja igual a 4, é: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) zero 
 
 (EEAR-2001) 
Seja o número complexo 
3
1 i 0
z 1 1 i
i 1 i
= −
−
. A forma trigonométricade z é: 
a) 
7 7
2 cos isen
4 4
  
+ 
 
 
b) 2 cos isen
4 4
  
+ 
 
 
c) 2 cos isen
3 3
  
+ 
 
 
d) 
7 7
2 cos isen
4 4
  
+ 
 
 
 
 (EEAR-2002) 
Um quadrado ABCD está inscrito num círculo com centro na origem do plano de Gauss. O vértice A 
é imagem do complexo 3 4i+ . Os afixos dos outros três vértices são os complexos: 
a) 3 4i; 3 4i;3 4i− + − − − . 
b) 4 3i; 3 4i;4 3i− + − − − . 
c) 4 3i; 3 4i;3 4i− + − − − . 
d) 3 4i; 3 4i;4 3i− + − − − . 
 
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44 
 
 (ESSA-2018) 
Considere o número complexo z 2 2i= + . Dessa forma, 100z : 
a) é um número real negativo. 
b) tem argumento
4

. 
c) é um número real positivo. 
d) tem módulo igual a 1. 
e) é um número imaginário puro. 
 
 (ESSA-2009) 
O valor da expressão 
2
3
x 1
x 1
−
−
 quando x i= é: 
a) 
i 1
2
+
 
b) 1 i− 
c) ( )1 i− − 
d) 
( )1 i
2
− −
 
e) 
1 i
2
−
 
 
 (ADAPTADA ESSA-2011) 
Seja uma função o f : → definida por ( )f x 2 cos 2x i se 2( )n x= +  . Calcule o valor de f
6
 
 
 
. 
a) 3 i+ 
b) 1 i 3+ 
c) 3 i− 
d) 
3 i
2 2
+ 
e) 
3 i
2 2
− 
 
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45 
 
 (ESSA-2015) 
A parte real do número complexo 
( )
2
1
2i
 é: 
a) 
1
4
− 
b) 2− 
c) 0 
d) 
1
4
 
e) 2 
 
 (EEAR-2000) 
Sejam A, 1Z e 2Z as representações gráficas dos complexos 0 0i+ , 2 3i+ e 5 i− − , respectivamente. A 
menor determinação positiva do ângulo 1 2Z AZ é: 
a) 135° 
b) 150° 
c) 210° 
d) 225° 
 
 (EEAR-2002) 
Seja z um número complexo, cujo módulo é 2 e cujo argumento é
3

. A forma algébrica do conjugado 
de z é: 
a) 1 3i− 
b) 3 – i 
c) 3 i+ 
d) 1 3i+ 
 
 (EEAR-2002) 
 
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46 
Sejam x e y os números reais que satisfazem a igualdade ( )( ) (i x 2i 1 yi x y i)− + − = + − , onde i é a unidade 
imaginária. O módulo do número complexo ( )
2
z x yi= + é igual a: 
a) 5 
b) 5 
c) 2 5 
d) 2 
 
 (EEAR-2003) 
Sendo i a unidade imaginária, a potência de ( ) ( )
32 2
1 i 1 i − − +
 
 é igual a: 
a) 64 
b) −64 
c) 64i 
d) −64i 
 
 (EEAR-2003) 
Sendo i a unidade imaginária, o resultado de 
( )( )3 2i 6 4i
1 3i
+ −
− +
 é: 
a) 1 3i− − 
b) 13 39i− − 
c) 
13 39i
5 5
− − 
d) 
13 39i
5 5
+ 
 
 (EEAR-2003) 
Sendo 
1 i
i
+
 um número complexo, seu conjugado vale: 
a) 
1 i
i
−
 
b) 
1 i
i
− +
− 
 
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47 
c) 1 i+ 
d) 
i
1 i+
 
 
 (EEAR-2004) 
A equação 2x 4x 5 0− + = , no campo complexo, tem como conjunto verdade: 
a) 2 i,2 i− + . 
b) 2 2i,2 2i− + . 
c) 1 i,1 i− + . 
d) 4 i,4 i− + . 
 
 (EEAR-2004) 
A soma dos possíveis números complexos 1z e 2z , tais que 2z 5 12i= + , é: 
a) 6. 
b) 0. 
c) 4i. 
d) 3 2i+ 
 
 (EEAR-2005) 
Sendo i a unidade imaginária, a potência ( ) ( )
32 2
1 i 1 i − − +
 
 é igual a: 
a) 64. 
b) −64. 
c) 64i. 
d) −64i. 
 
 (EEAR-2005) 
Sendo i a unidade imaginária, simplificando-se a expressão 
cos x isen x
cos x isen x
+
−
 obtém-se: 
 
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48 
a) ( )i cos 2x sen2x− . 
b) ( )i cos 2x sen2x+ . 
c) cos 2x isen2x− . 
d) cos 2x isen2x+ . 
 
 (EEAR-2005) 
Se 
5 5
z 2 cos i sen
4 4
  
= =  
 
, então 7z é igual ao produto de 8 2 por: 
a) cos isen
4 4
 
= 
b) 
5 5
cos isen
4 4
 
= 
c) 
7 7
cos isen
4 4
 
= 
d) 
3 3
cos isen
4 4
 
= 
 
 (EEAR-2005) 
 
Seja M o afixo de um número complexo z. A forma polar de z é: 
a) 
4 4
2 cos isen
3 3
  
+ 
 
 
b) 
4 4
cos isen
3 3
 
+ 
c) 
7 7
2 cos isen
6 6
  
+ 
 
 
d) 
7 7
cos isen
6 6
 
+ 
 
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49 
 
 (EEAR-2005) 
Sendo i a unidade imaginária, simplificando-se a expressão 
( ) ( )
( ) ( )
71 30
29 70
3 i 3 i
i 3 3 i
+  −
−  − −
, obtém-se: 
a) −10. 
b) −8. 
c) 8. 
d) 10. 
 
 (EEAR-2006) 
Seja Q a imagem geométrica de um número complexo. O argumento desse número é: 
 
a) 
1
arcsen
3
 
b) 
2 2
arcsen
3
 
c) 
1
arccos
3
 
d) 
2 2
arccos
3
 
−  
 
 
 
 (EEAR-2006) 
Sendo m ni i− = emi n 1 3i− = + , os números complexos m e n são tais, que sua soma é igual a: 
a) 
1 3
i
2 2
− = 
 
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50 
b) 
1 3
i
2 2
− + 
c) 
1 3
i
2 2
− 
d) 
1 3
i
2 2
+ 
 
 (EEAR-2006) 
O produto z z' , sendo 
5 5
z 2 cos isen
4 4
  
= = 
 
 e 
3 3
z' a cos isen
4 4
  
= = 
 
, pode ser expresso por: 
a) ( )2a cos 0 isen 0+ 
b) 2a cos isen
2 2
  
+ 
 
 
c) a cos isen
2 2
  
+ 
 
 
d) ( )a cos 2 isen2+  
 
 (EEAR-2007) 
O quadrante em que se representa, no plano de Argand-Gauss, o número complexo 3z 1 i= + é o: 
a) 1º. 
b) 2º. 
c) 3º. 
d) 4º. 
 
 (EEAR-2007) 
A forma algébrica do número complexo 
3 3 2i
z
3 i i 2
+
= +
− −
 é: 
a) 0,1 3i− . 
b) 0,1 1,1i− . 
c) 1,7 11i+ . 
d) 1 1,7i− . 
 
 
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51 
 (EEAR-2008) 
Dado x , para que o número ( )z 2 xi 2( i) x= − + seja real, o valor de x pode ser: 
a) 4. 
b) 0. 
c) −1. 
d) −2. 
 
 (EEAR-2008) 
O módulo do complexo z 3 4i=− + é: 
a) 3. 
b) 4. 
c) 5. 
d) 6. 
 
 (EEAR-2008) 
Calculando 2053i obtém-se: 
a) 1. 
b) i. 
c) −i. 
d) −1. 
 
 (EEAR-2009) 
Sejam dois números complexos 1z e 2z . Se 1z tem imagem ( )P 4, 1− e 2z 1 3i=− + , então 1 2z z− é igual 
a: 
a) 3 4i+ . 
b) 1 5i− . 
c) 5 4i− . 
d) 2 2i+ . 
 
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52 
 
 (EEAR-2009) 
Se a forma algébrica de um número complexo é 1 i− + , então sua forma trigonométrica tem 
argumento igual a: 
a) 
5
6

 
b) 
3
4

 
c) 
6

 
d) 
4

 
 
 (EEAR-2009) 
Na figura, o ponto P representa um número complexo, cujo conjugado é: 
 
a) 3 4i− + . 
b) 4 3i− + . 
c) 4 3i− . 
d) 3 4i− . 
 
 (EEAR-2010) 
O inverso do número complexo z 2i=− é z'= : 
a) 
i
2
 
b) 
1
2
 
c) –2 
 
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53 
d) 2i 
 
 (EEAR-2010) 
Seja o número complexo z 1 i= + . Se z' é o conjugado de z, então o produto z z' é igual a: 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3 . 
d) 2 3 . 
 
 (EEAR-2010) 
O valor de 
11 21 38i i i− − é: 
a) 1 2i− . 
b) 2 i− . 
c) −2. 
d) 1. 
 
 (EEAR-2010) 
Multiplicando-se o número complexo 2 3i− pelo seu conjugado, obtém-se: 
a) 0. 
b) −1. 
c) 11. 
d) 13. 
 
 (EEAR-2011) 
Seja z' o conjugado do número complexo z 1 3i= − . O valor de 2z z'+ é: 
a) 3 3i− . 
b) 1 3i− . 
c) 3 i+ . 
 
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54 
d) 1 i+ . 
 
 (EEAR-2011) 
O número complexo ( ) ( )z a 4 b 5 i= − + − será um número imaginário puro se: 
a) a 4= eb 5= . 
b) a 4= eb 5 . 
c) a 4 eb 5= . 
d) a 4 eb 5 . 
 
 (EEAR-2012) 
O módulo do número complexo z 1 3i=− + é: 
a) 1 
b) 2 
c) 5 
d) 10 
 
 (EEAR-2013) 
Sejam 1 e 2 , respectivamente, os módulos dos números complexos 1z 1 2i= + e 2z 4 2i= − . Assim, 
1 2 + é igual a: 
a) 5 
b) 5 
c) 2 5 
d) 3 5 
 
 (EEAR-2013) 
Se z 3 2i= + é um número complexo, então 2z é igual a: 
a) 5 12i+ . 
b) 9 12i+ . 
 
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55 
c) 13 4i+ . 
d) 9 4i+ . 
 
 (EEAR-2013) 
Seja z' o conjugado de um número complexo z. Sabendo que z a bi= + e que2z z' 9 2i+ = + , o valor de 
a b+ é: 
a) 5 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
 
 (EEAR-2014) 
Se i é a unidade imaginária, pode-se afirmar que 7i é igual a: 
a) i. 
b) 2i . 
c) 3i . 
d) 4i . 
 
 (EEAR-2015) 
Sejam z um número complexo e z' o conjugado de z. Se 1z z z'= + e 2z z z'= − , pode-se garantir que: 
a) 1z é um número real e 2z é um imaginário puro. 
b) 1z é um imaginário puro e 2z é um número real. 
c) 1z e 2z são imaginários puros. 
d) 1z e 2z são números reais. 
 
 (EEAR-2015) 
Seja ( )z 3 cos 20 i sen20=  +   um número complexo na forma trigonométrica. Assim, 2z é igual a: 
a) ( )3 cos 20 i sen20 +   
 
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56 
b) ( )3 cos 40 i sen40 +   
c) ( )2 3 cos 20 i sen20 +   
d) ( )2 3 cos 40 i sen 40  +   
 
 (EEAR-2016) 
Sejam 1Z e 2Z dois números complexos. Sabe-se que o produto de 1Z e 2Z é 10 10i− + . Se 1Z 1 2i= + , 
então o valor de 2Z é igual a: 
a) 5 6i+ 
b) 2 6i+ 
c) 2 15i+ 
d) 6 6i− + 
 
 (EEAR-2016) 
Sabe-se que os números complexos ( ) ( )1Z 2m 3 m 3n 5 i  += + + e ( ) ( )2
2Z 2m 12 4 n 1 i= + +   + são iguais. 
Então, os valores de m e n são, respectivamente: 
a) 3 e 1 
b) 2 e 1 
c) 2 e −1 
d) 3 e −1 
 
 (EEAR-2017) 
Considere ( ) ( )2
1z 2 x x 1 i= + + − e ( ) ( )2
2z m 1 m 9 i= − + − . Se 1z é um número imaginário puro e 2z é um 
número real, é correto afirmar que x m+ pode ser igual a: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
 
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57 
 (EEAR-2017) 
Se i é a unidade imaginária, então 3 22i 3i 3i 2+ + + é um número complexo que pode ser representado 
no plano de Argand- Gauss no _____________ quadrante. 
a) primeiro 
b) segundo 
c) terceiro 
d) quarto 
 
 (EEAR-2018) 
Sejam os números complexos 1z 1 i= − , 2z 3 5i= + e 3 1 2z z z= + . O módulo de 3z é igual a: 
a) 4 2 
b) 4 2 
c) 2 3 
d) 4 3 
 
 (EEAR-2018) 
Dado o número complexo z a bi= + , se z z 10+ = ez z 16i− =− , então a b+ é: 
a) −6 
b) −3 
c) 2 
d) 8 
 
 (EEAR-2019) 
A parte real das raízes complexas da equação 2x 4x 13 0− + = , é igual a: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
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58 
 
 (EEAR-2019) 
Se i é a unidade imaginária dos números complexos, o valor de 15 17i i+ é: 
a) −i 
b) −1 
c) 0 
d) 1 
 
 
 
4.1 – Gabarito 
1. A 
2. B 
3. A 
4. A 
5. A 
6. C 
7. B 
8. B 
9. A 
10. A 
11. D 
12. D 
13. B 
14. A 
15. B 
16. A 
17. B 
18. B 
19. A 
20. A 
21. D 
22. B 
23. C 
24. C 
25. C 
26. A 
27. B 
28. C 
29. D 
30. D 
31. C 
32. A 
33. B 
34. C 
35. A 
36. D 
37. B 
38. D 
39. C 
40. B 
41. C 
42. B 
43. B 
44. A 
45. B 
 
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59 
46. A 
47. D 
48. A 
49. B 
50. D 
51. D 
52. A 
53. A 
54. C 
55. A 
56. B 
57. B 
58. B 
59. A 
60. B 
61. B 
62. B 
63. B 
64. C 
5 – Lista de Questões Comentadas - Nível 1 
 
Resolvendo a equação − + =2x 4x 5 0 encontramos as seguintes raízes: 
a) 2 i+ e2 i− . 
b) 2 e −2. 
c) 2 i− + e 2 i− − . 
d) Não há raízes. 
 
Comentário: 
Aplicando a fórmula de Bháskara, calculemos o ∆ dessa equação: 
△= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
= (−4)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 5 
= 16 − 20 
= −4 
Veja que, em geral, diríamos que essa equação não tem solução. Mas não é bem isso, é que ela 
não tem solução real! Mas ela tem sim solução complexa. Veja: 
𝑥 =
−𝑏 ± √△
2𝑎
 
=
−(−4) ± √−4
2 ⋅ 1
 
=
4 ± √4
2
 
 
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60 
Agora veja que, pelas propriedades de radiciação: 
√−4 = √4 ⋅ (−1) 
= √4 ⋅ √−1 
Mas veja que, como vimos há pouco, 𝑖 = √−1, logo: 
= 2𝑖 
Então, podemos concluir que: 
𝑥 =
4 ± √−4
2
 
=
4 ± 2𝑖
2
 
= 2 ± 𝑖 
Logo, há duas raízes: 𝑥 = 2 + 𝑖 e𝑥 = 2 − 𝑖. 
Gabarito: A 
 (EEAR-2001) 
Seja m R . Para que o produto ( ) ( )2 mi 3 i+  + seja um número imaginário puro, o valor de m deve 
ser: 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
 
Comentário: 
Efetuando a multiplicação: 
(2 + 𝑚𝑖) ⋅ (3 + 𝑖) = 6 + 2𝑖 + 3𝑚𝑖 + 𝑚𝑖2 
= 6 + 2𝑖 + 3𝑚𝑖 −𝑚 
= (6 −𝑚) + (2 + 3𝑚)𝑖 
Para que seja imaginário puro, bastará que 6 −𝑚 seja nulo, isto é,𝑚 = 6. 
Gabarito: B 
 
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61 
 
Considere os seguintes números complexos: 1z 3 4i= + , 2z 5 12i= − e 3z 8 15i=− + . Podemos afirmar 
que: 
a) 1 2 3z z z  
b) 1 2 3z z z  
c) 1 2 2 3z z e z z  
d) 1 2 2 3z z e z z  
 
Comentário: 
Basta aplicarmos diretamente a fórmula apresentada para o cálculo do módulo. Calculando 1z : 
|𝑧1| = √32 + 42 
= √9 + 16 
= √25 
= 5 
Calculando 2z : 
|𝑧2| = √52 + (−12)2 
= √25 + 144 
= √169 
= 13 
Por fim, calculando 3z : 
|𝑧3| = √(−8)2 + 152 
= √64 + 255 
= √289 
= 17 
Visto que5AULA 03 – NÚMEROS COMPLEXOS – ESA 2022 
 
 
 
65 
=
−13 − 13𝑖
26
 
=
−13
26
+
13
26
𝑖 
=
1
2
+
1
2
𝑖 
Logo, ( )
1
Re z
2
= − . 
Gabarito: B 
 
Os números complexos que correspondem aos pontos A e B do gráfico são, respectivamente, 
 
a) ( ) ( )1 3i ; 3 2i+ − − 
b) ( ) ( )3 i ; 2 3i+ − − 
c) ( ) ( )3 2i ; 1 3i− − + 
d) ( ) ( )2 3i ; 3 i− − + 
 
Comentário: 
Veja que o complexo representado por A tem parte real 1 e parte imaginária 3; logo, trata-se do 
complexo 1 3i+ (perceba que isso já resolve a questão por eliminação). 
O complexo B possui parte real −3 e parte imaginária −2; logo, trata-se do complexo 3 2i− − . 
 
Gabarito: A 
 (EEAR-2019) 
Sejam 1Z 3 3i= + , Q e R as respectivas representações, no plano de Argand-Gauss, dos números 
complexos 2Z e 3Z . 
 
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66 
 
Assim, é correto afirmar que 1Z é igual a: 
a) 2 3Z Z− 
b) 2 3Z Z+ 
c) 2 3Z Z− + 
d) 2 3Z Z− − 
 
Comentário: 
Sem mistérios, vamos achar 2Z . O problema diz que 2Z é representado por Q. O afixo Q tem parte 
real 1 e parte imaginária −2; logo 2Z 1 2i= − . O afixo R tem parte real −2 e parte imaginária −5; 
logo, 3Z 2 5i=− − . Veja também que, lembrando que 1Z 3 3i= + : 
𝑍2 − 𝑍3 = (1 − 2𝑖) − (−2 − 5𝑖) 
= 1 − 2𝑖 + 2 + 5𝑖 
= 3 + 3𝑖 
= 𝑍1 
Logo, 1 2 3Z Z Z= − . 
Gabarito: A 
 
Calcule o argumento do complexo 3 i− . 
a) 
5
6

 
b) 
7
6

 
c) 
9
6

 
 
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67 
d) 
11
6

 
 
Comentário: 
Primeiro, marquemos esse complexo no plano de Argand-Gauss: 
 
Veja que no triângulo retângulo formado embaixo, podemos usar de trigonometria para 
calcularmos o ângulo : 
𝑡𝑔 𝛼 =
√3
1
 
𝑡𝑔 𝛼 = √3 
𝛼 = 60° 
Daí, portanto, o argumento desse complexo é: 
90° + 90° + 90° + 60° = 330°. 
Porém, devemos passar esse argumento para radianos (lembrando que, para isso, basta 
multiplica por 
𝜋
180°
, basta efetuar essa multiplicação): 
330° ⋅
𝜋
180°
=
330° ⋅ 𝜋
180°
 
=
33𝜋
18
 
=
11𝜋
6
 
Não se preocupe quanto ao entendimento que possa vir a estar defasado no momento. 
Reveremos todo esse conteúdo na forma de exercícios. Agora, estudaremos a famosa e um 
 
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68 
pouco mais complicada segunda forma dos números complexos: a forma trigonométrica. Vamos 
lá, então! 
 
Propriedades algébricas do módulo. 
Seguem as principais propriedades algébricas: 
• 1 2 1 2z z z z =  ; 
• 1 1
2 2
Z Z
Z Z
= 
• z z= 
• ( )Re z z e ( )Im z z ; 
• z 0 . 
Vejamos uma aplicação direta dessas propriedades: 
Gabarito: D 
 (ESSA-2013) 
Com relação aos números complexos 1z 2 i= + e 2z 1 i= − , onde i é a unidade imaginária, é correto 
afirmar: 
a) 1 2z z 3 i = − + 
b) 1z 2= 
c) 2z 5= 
d) 1 2z z 10 = 
e) 1 2z z 3+ = 
 
Comentário: 
Comentemos alternativa por alternativa: 
a) Façamos os cálculos: 
𝑧1 ⋅ 𝑧2 = (2 + 𝑖) ⋅ (1 − 𝑖) 
= 2 ⋅ 1 − 2 ⋅ 𝑖 + 𝑖 ⋅ 1 − 𝑖 ⋅ 𝑖 
= 2 − 2𝑖 + 𝑖 + 1 
 
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69 
= 3 − 𝑖 
Vemos que não foi o que a alternativa disse que daria o cálculo, portanto, não se trata dessa 
alternativa. 
b) Lembrando da definição de módulo: 
|𝑧1| = √22 + 12 
= √4 + 1 
= √5 
Alternativa falsa. 
(c) Novamente, utilizando a definição de módulo: 
|𝑧1| = √12 + (−1)2 
= √1 + 1 
= √2 
Alternativa falsa. 
d) Utilizando-nos das duas alternativas anteriores das propriedades que estudamos sobre 
módulos: 
|𝑧1 ⋅ 𝑧2| = |𝑧1| ⋅ |𝑧2| 
= √5 ⋅ √2 
= √10 
Alternativa verdadeira. 
e) Façamos os cálculos: 
|𝑧1 + 𝑧2| = |2 + 𝑖 + 1 − 𝑖| 
= |3| 
= 3 
Alternativa falsa. 
Gabarito: D 
 (EEAR-2002) 
O valor de m, para que o módulo do número complexo ( )( )Z m 2i 1 i= + + seja igual a 4, é: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
 
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70 
d) zero 
 
Comentário: 
Façamos os cálculos utilizando as propriedades de módulos: 
|𝑍| = |(𝑚 + 2𝑖)(1 + 𝑖)| = 4 
|(𝑚 + 2𝑖)| ⋅ |(1 + 𝑖)| = 4 
√𝑚2 + 4 ⋅ √12 + 12 = 4 
√(𝑚2 + 4) ⋅ 2 = 4 
(𝑚2 + 4) ⋅ 2 = 16 
𝑚2 + 4 = 8 
𝑚2 = 4 
𝑚 = ±2 
Gabarito: B 
 (EEAR-2001) 
Seja o número complexo 
3
1 i 0
z 1 1 i
i 1 i
= −
−
. A forma trigonométrica de z é: 
a) 
7 7
2 cos isen
4 4
  
+ 
 
 
b) 2 cos isen
4 4
  
+ 
 
 
c) 2 cos isen
3 3
  
+ 
 
 
d) 
7 7
2 cos isen
4 4
  
+ 
 
 
 
Comentário: 
 
= −𝑖 + 𝑖5 + 0 − 0 − 𝑖 − 𝑖2 
 
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71 
= −𝑖 + 𝑖 − 𝑖 − (−1) 
= 1 − 𝑖. 
Calculando o módulo: 
|𝑧| = √12 + (−1)2 
|𝑧| = √1 + 1 
|𝑧| = √2 
Agora, achando o argumento. Desenhando esse complexo no plano de Argand-Gauss: 
 
O argumento desse complexo é, portanto: 
𝜑 = 90° + 90° + 90° + 45° 
= 315° 
Passando esse ângulo para sua forma em radianos: 
315° ⋅
𝜋
180°
=
315°𝜋
180°
=
7𝜋
4
. 
Esse número complexo, na forma trigonométrica será, então: 
𝑧 = √2 (𝑐𝑜𝑠
7𝜋
4
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
7𝜋
4
). 
Gabarito: A 
 (EEAR-2002) 
Um quadrado ABCD está inscrito num círculo com centro na origem do plano de Gauss. O vértice A 
é imagem do complexo 3 4i+ . Os afixos dos outros três vértices são os complexos: 
a) 3 4i; 3 4i;3 4i− + − − − . 
b) 4 3i; 3 4i;4 3i− + − − − . 
 
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72 
c) 4 3i; 3 4i;3 4i− + − − − . 
d) 3 4i; 3 4i;4 3i− + − − − . 
 
Comentário: 
Observe a figura proposta: 
 
Como já dito, quando multiplicamos um complexo qualquer pelo fator cos isen+  , nós 
rotacionamos esse complexo no plano num ângulo anti-horário . Veja que cada vértice dista do 
anterior num ângulo de 90°, então, cada vértice pode ser alcançada multiplicando seu vértice 
anterior por: 
𝑐𝑜𝑠90° + 𝑖𝑠𝑒𝑛 90° = 0 + 𝑖 ⋅ 1 = 𝑖 
Isso significa que, rotacionar um complexo em 90° anti-horários no plano é o mesmo que 
multiplicar por i. 
Então, para alcançarmos o vértice B, basta multiplicarmos o complexo do vértice A da seguinte 
forma: 
( )
2
B A i
3 4i i
3i 4i
3i 4
4 3i
= 
= + 
= +
= −
= − +
 
Chegando ao vértice C: 
𝐶 = 𝐵 ⋅ 𝑖 
= (−4 + 3𝑖) ⋅ 𝑖 
= −4𝑖 + 3𝑖2 
= −4𝑖 − 3 
 
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73 
= −3 − 4𝑖 
E finalmente, para chegarmos ao vértice D: 
𝐷 = 𝐶 ⋅ 𝑖 
= (−3 − 4𝑖) ⋅ 𝑖 
= −3𝑖 − 4𝑖2 
= −3𝑖 + 4 
= 4 − 3𝑖. 
Gabarito: B 
 (ESSA-2018) 
Considere o número complexo z 2 2i= + . Dessa forma, 100z : 
a) é um número real negativo. 
b) tem argumento
4

. 
c) é um número real positivo. 
d) tem módulo igual a 1. 
e) é um número imaginário puro. 
 
Comentário: 
Há duas formas de resolvermos esse exercício. Façamos das duas formas. A primeira é passarmos 
z para a forma trigonométrica e utilizarmos a primeira Lei de De Moivre. Como acabamos de vê-
la, comecemos fazendo por ela. Vejamos: 
 
O módulo desse complexo é: 2 2z 2 2 2 2= + = . O argumento desse complexo é 45=  . Logo, na 
forma trigonométrica, esse complexo se torna: 
𝑧 = 2√2 ⋅ (𝑐𝑜𝑠 45° + 𝑖 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 45°) 
Daí, pela primeira lei de De Moivre: 
 
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74 
= 2√2 ⋅ (𝑐𝑜𝑠 45° + 𝑖 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 45°) 
𝑧100 = (2√2)
100
⋅ (𝑐𝑜𝑠 4500° + 𝑖 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 4500°) 
Para calcularmos seno e cosseno de ângulos maiores que 360°, basta dividimo-los por 360° e 
considerarmos apenas o resto: 
4500 360
900 12
180
 
Daí então: 
𝑧100 = (2√2)
100
⋅ (𝑐𝑜𝑠 4500° + 𝑖 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 4500°) 
= (2√2)
100
⋅ (𝑐𝑜𝑠 180° + 𝑖 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 180°) 
=(2√2)
100
⋅ (−1 + 𝑖 ⋅ 0) 
= (2√2)
100
⋅ (−1) 
Não precisamos nem continuar a conta, porque a parte imaginária i sumiu, o que faz desse 
número um número real. O −1 que multiplica a expressão faz desse número um número real 
negativo, que caracteriza o dito na alternativa A. Um outro modo de fazermos esse exercício é 
utilizarmos o seguinte truque algébrico (que só funciona para potências pares de 1 i+ ): 
𝑧 = 2 + 2𝑖 
𝑧 = 2(1 + 𝑖) 
𝑧100 = [2(1 + 𝑖)]100 
= 2100 ⋅ (1 + 𝑖)100 
= 2100 ⋅ (1 + 𝑖)2⋅50 
= 2100 ⋅ [(1 + 𝑖)2]50 
= 2100 ⋅ (1 + 2𝑖 + 𝑖2)50 
= 2100 ⋅ (1 + 2𝑖 − 1)50 
= 2100 ⋅ (2𝑖)50 
= 2100 ⋅ 250 ⋅ 𝑖50 
Veja que: 
50 4
10 12
2
 
Logo: 
𝑧100 = 2100 ⋅ 250 ⋅ 𝑖2 
= 2100 ⋅ 250 ⋅ (−1) 
Trata-se de um número real negativo, como encontrado antes. 
 
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75 
Gabarito: A 
 (ESSA-2009) 
O valor da expressão 
2
3
x 1
x 1
−
−
 quando x i= é: 
a) 
i 1
2
+
 
b) 1 i− 
c) ( )1 i− − 
d) 
( )1 i
2
− −
 
e) 
1 i
2
−
 
 
Comentário: 
Basta fazermos as contas, jovem: 
𝑥2 − 1
𝑥3 − 1
=
𝑖2 − 1
𝑖3 − 1
 
Como 2i 1=− e 3i i=− , temos: 
=
−1 − 1
−𝑖 − 1
 
=
−2
−𝑖 − 1
 
=
2
1 + 𝑖
 
Multiplicando a expressão em cima e embaixo por 1 i− conseguimos racionalizar a expressão: 
=
2 ⋅ (1 − 𝑖)
(1 + 𝑖) ⋅ (1 − 𝑖)
 
=
2 ⋅ (1 − 𝑖)
12 − 𝑖2
 
=
2 ⋅ (1 − 𝑖)
1 − (−1)
 
=
2 ⋅ (1 − 𝑖)
1 + 1
 
 
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76 
=
2 ⋅ (2 − 𝑖)
2
 
= 1 − 𝑖 
Gabarito: B 
 (ADAPTADA ESSA-2011) 
Seja uma função o f : → definida por ( )f x 2 cos 2x i se 2( )n x= +  . Calcule o valor de f
6
 
 
 
. 
a) 3 i+ 
b) 1 i 3+ 
c) 3 i− 
d) 
3 i
2 2
+ 
e) 
3 i
2 2
− 
 
Comentário: 
Substitua o valor de x pelo que a questão pede e faça as contas: 
𝑓(𝑥) = 2(𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 𝑖 ⋅ 𝑠𝑒𝑛2𝑥) 
𝑓 (
𝜋
6
) = 2 [𝑐𝑜𝑠 (2 ⋅
𝜋
6
) + 𝑖 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 (2 ⋅
𝜋
6
)] 
= 2 [𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
3
) + 𝑖 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
3
)] 
Aqui devemos nos lembrar de que  radianos equivale a um arco de 180°, portanto 
3

 equivale 
a um arco de 
180°
3
= 60°, daí: 
𝑓 (
𝜋
6
) = 2(𝑐𝑜𝑠   60° + 𝑖 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 60°) 
= 2(
1
2
+ 𝑖 ⋅
√3
2
) 
= 2 ⋅
1
2
+ 2 ⋅ 𝑖 ⋅
√3
2
 
= 1 + 𝑖 ⋅ √3 
 
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77 
Gabarito: B 
 (ESSA-2015) 
A parte real do número complexo 
( )
2
1
2i
 é: 
a) 
1
4
− 
b) 2− 
c) 0 
d) 
1
4
 
e) 2 
 
Comentário: 
Fazendo as contas: 
1
(2𝑖)2
=
1
4 ⋅ 𝑖2
 
=
1
4 ⋅ (−1)
 
= −
1
4
 
Daí, a parte real de 
1
4
− é o próprio 
1
4
− . 
Gabarito: A 
 (EEAR-2000) 
Sejam A, 1Z e 2Z as representações gráficas dos complexos 0 0i+ , 2 3i+ e 5 i− − , respectivamente. A 
menor determinação positiva do ângulo 1 2Z AZ é: 
a) 135° 
b) 150° 
c) 210° 
d) 225° 
 
 
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78 
Comentário: 
Há duas formas de fazermos esse exercício, e ambas utilizam conteúdos de geometria analítica. 
Para não haver desespero pela falta de entendimento, aconselhamos o estudante a pular esse 
específico exercício caso ainda não tenha estudado tal conteúdo. 
Façamos primeiro utilizando a lei dos cossenos. Depois utilizaremos a teoria de vetores, ambos 
assuntos de geometria analítica. Marquemos os três complexos nos planos e evidenciemos os 
seus afixos: 
 
Veja que formamos um triângulo. Um de seus lados mede exatamente o módulo de 1Z , que é: 
|𝑍1| = √22 + 32 
= √4 + 9 
= √13 
Outro lado desse triângulo mede 2Z : 
|𝑍2| = √(−5)2 + (−1)2 
= √25 + 1 
= √26 
O terceiro e último lado medirá a distância entre os pontos (2, 3) e (−5, −1), que pode ser 
calculada pela seguinte fórmula (da matéria de geometria analítica): 
𝑑 = √(−5 − 2)2 + (−1 − 3)2 
= √(−7)2 + (−4)2 
= √49 + 16 
= √65 
 
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79 
Nosso triângulo fica assim: 
 
Aplicando a lei dos cossenos: 
(√65)
2
= (√26)
2
+ (√13)
2
− 2 ⋅ √13 ⋅ √26 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝛼 
65 = 26 + 13 − 2 ⋅ √13 ⋅ 26 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 
65 = 39 − 2 ⋅ √13 ⋅ 13 ⋅ 2 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 
65 − 39 = −2 ⋅ 13√2 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 
26 = −26√2 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 
1 = −√2 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 
𝑐𝑜𝑠 𝛼 = −
1
√2
 
𝑐𝑜𝑠 𝛼 = −
√2
2
 
𝛼 = 135° 
Uma outra forma de fazermos é utilizarmos a teoria de vetores. O ângulo  formado entre dois 
vetores u e v pode ser calculado por: 
𝑐𝑜𝑠   𝛼 =
�⃗� ⋅ 𝑣 
𝑢 ⋅ 𝑣
 
Os vetores são �⃗� = (2,3) e 𝑣 = (−5,−1), logo: 
𝑐𝑜𝑠   𝛼 =
(2,3) ⋅ (−5, −1)
|(2,3)| ⋅ |−5, −1|
 
=
2 ⋅ (−5) + 3 ⋅ (−1)
√13 ⋅ √26
 
=
−10 − 3
√13 ⋅ 26
 
 
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80 
=
−13
√13 ⋅ 13 ⋅ 2
 
=
−13
13√2
 
= −
1
√2
 
= −
√2
2
 
Assim, 𝛼 = 135°, como concluído antes. 
Gabarito: A 
 (EEAR-2002) 
Seja z um número complexo, cujo módulo é 2 e cujo argumento é
3

. A forma algébrica do conjugado 
de z é: 
a) 1 3i− 
b) 3 – i 
c) 3 i+ 
d) 1 3i+ 
 
Comentário: 
É só montarmos e efetuarmos a conta: 
𝑧 = 2 ⋅ (𝑐𝑜𝑠
𝜋
3
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
𝜋
3
) 
= 2 ⋅ (𝑐𝑜𝑠   60° + 𝑖𝑠𝑒𝑛 60°) 
= 2 ⋅ (
1
2
+ 𝑖
√3
2
) 
= 2 ⋅
1
2
+ 2 ⋅ 𝑖
√3
2
 
= 1 + √3𝑖. 
Gabarito: D 
 
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81 
 (EEAR-2002) 
Sejam x e y os números reais que satisfazem a igualdade ( )( ) (i x 2i 1 yi x y i)− + − = + − , onde i é a unidade 
imaginária. O módulo do número complexo ( )
2
z x yi= + é igual a: 
a) 5 
b) 5 
c) 2 5 
d) 2 
 
Comentário: 
Vamos desenvolver a equação dada: 
𝑖(𝑥 − 2𝑖) + (1 − 𝑦𝑖) = (𝑥 + 𝑦) − 𝑖 
𝑥𝑖 − 2𝑖2 + 1 − 𝑦𝑖 = 𝑥 + 𝑦 − 𝑖 
𝑥𝑖 + 2 + 1 − 𝑦𝑖 − 𝑥 − 𝑦 + 𝑖 = 0 
(3 − 𝑥 − 𝑦) + (𝑥 − 𝑦 + 1)𝑖 = 0. 
Logo, temos que 3 − 𝑥 − 𝑦 = 0 e 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0, isto é: 
{
𝑥 + 𝑦 = 3
𝑥 − 𝑦 = −1
 
Somando as duas equações, temos: 
2𝑥 = 2 
𝑥 = 1 
Substituindo na primeira equação: 
𝑥 + 𝑦 = 3 
1 + 𝑦 = 3 
𝑦 = 2 
Desejamos calcular o módulo de 𝑧 = (𝑥 + 𝑦𝑖)2, isto é, o módulo de 𝑧 = (1 + 2𝑖)2. Veja 
que|1 + 2𝑖| = −12 + 22 = √5. Logo: 
|𝑧| = |(1 + 2𝑖)2| 
|𝑧| = |1 + 2𝑖|2 
|𝑧| = (√5)
2
 
|𝑧| = 5 
 
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82 
Gabarito: B 
 (EEAR-2003) 
Sendo i a unidade imaginária, a potência de ( ) ( )
32 2
1 i 1 i − − +
 
 é igual a: 
a) 64 
b) −64 
c) 64i 
d) −64i 
 
Comentário: 
Basta efetuarmos as contas: 
[(1 − 𝑖)2 − (1 + 𝑖)2]3 = [1 − 2𝑖 + 𝑖2 − (1 + 2𝑖 + 𝑖2)]3 
= (1 − 2𝑖 + 𝑖2 − 1 − 2𝑖 − 𝑖2)3 
= (4𝑖)3 
= (−4)3 ⋅ 𝑖3 
= −64 ⋅ (−𝑖) 
= 64𝑖 
Gabarito: C 
 (EEAR-2003) 
Sendo i a unidade imaginária, o resultado de 
( )( )3 2i 6 4i
1 3i
+ −
− +
 é: 
a) 1 3i− − 
b) 13 39i− − 
c) 
13 39i
5 5
− − 
d) 
13 39i
5 5
+ 
 
Comentário: 
Comecemos a fazer os cálculos: 
 
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83 
(3 + 2𝑖)(6 − 4𝑖)
−1 + 3𝑖
=
18 − 12𝑖 + 12𝑖 − 8𝑖2
−1 + 3𝑖
 
=
18 + 8
−1 + 3𝑖
 
=
26
−1 + 3𝑖
 
=
26 ⋅ (−1 − 3𝑖)
(−1 + 3𝑖) ⋅ (−1 − 3𝑖)
 
=
−26 − 78𝑖 
(−1)2 + (−3)2
 
=
−26 − 78𝑖
1 + 9
 
=
−26 − 78𝑖
10
 
=
−13 − 39𝑖
5
 
= −
13
5
−
39𝑖
5
 
Gabarito: C 
 (EEAR-2003) 
Sendo 
1 i
i
+
 um número complexo, seu conjugado vale: 
a) 
1 i
i
−
 
b) 
1 i
i
− +
− 
c) 1 i+ 
d) 
i
1 i+
 
 
Comentário: 
Façamos os cálculos, racionalizando a expressão dada: 
1 + 𝑖
𝑖
=
(1 + 𝑖) ⋅ 𝑖
𝑖 ⋅ 𝑖
 
 
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84 
=
𝑖 + 𝑖2
𝑖2
 
=
𝑖 − 1
−1
 
= 1 − 𝑖 
O conjugado de 1 i− é1 i+ . 
Gabarito: C 
 (EEAR-2004) 
A equação 2x 4x 5 0− + = , no campo complexo, tem como