Operações com Números Reais e Intervalos Numéricos

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FUNDAMENTOS DE 
MATEMÁTICA 
Luciana Maria Margoti 
Araujo
Operações com números 
reais e intervalos numéricos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 „ Reconhecer o conjunto dos números reais.
 „ Identificar as propriedades e operações com números reais.
 „ Associar os três tipos de intervalos numéricos.
Introdução
Neste capítulo, você aprenderá sobre o conjunto dos números reais 
e verificará que ele é uma reunião de vários subconjuntos numéricos. 
Dessa maneira, é possível utilizar as notações da teoria de conjuntos 
para relacionar o conjunto dos números reais com os demais conjuntos.
Dentro dos números reais, podemos estabelecer relações de igual-
dade ou desigualdade entre seus elementos, facilitando o entendimento 
da representação no eixo real. Os conjuntos numéricos podem ser re-
presentados em notação de conjuntos utilizando chaves e colchetes, ou 
sobre a reta ordenada, em que os números ficam dispostos em ordem 
crescente.
Conjunto dos números reais
O conjunto dos números reais (R) é formado por todos os números racionais 
e irracionais. Por sua vez, os conjuntos dos números racionais e irracionais 
abrangem outros conjuntos que podem ser verificados a seguir. 
O conjunto dos números naturais é aquele formado pelos números 0, 1, 2, ...
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Na sequência, observe o conjunto dos números inteiros, representado por 
Z, formado por números inteiros, positivos e negativos.
ℤ = {..., –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
O conjunto dos números racionais (ℚ) é composto por números que tam-
bém podem assumir valores positivos e negativos. Porém, nesse conjunto, as 
frações numéricas são incorporadas. Esses números podem estar representados 
na forma de fração ou decimal. No conjunto dos números racionais, estão 
também presentes as dízimas periódicas simples e compostas, sendo esses 
originados de uma fração possível de ser reescrita na forma a/b, em que a e 
b são números inteiros, e b ≠ 0.
ℚ = {..., –2, ..., –1,25, ..., –1, ... –0,33, ... 0, ...1, ... , ..., 2, ...}15
13
Por fim, vem o conjunto dos números irracionais (𝕀), que são os decimais 
que não podem ser representados em forma de uma fração. Por exemplo, o 
número π, √p , sendo p um número positivo, sem raiz quadrada exata, etc.
� = {..., –√2, ..., √2, ... �, ...}
Podemos dizer que todos esses conjuntos descritos são subconjuntos do 
conjunto dos números reais. A relação desses subconjuntos, entre si, está 
demonstrada na Figura 1. Todos eles estão contidos em R:
ℝ = 𝕀 ∪ ℚ
Figura 1. Representação dos conjuntos dos números racionais e irracionais.
�
ℤ
ℕ
ℚ
Operações com números reais e intervalos numéricos2
Para o conjunto dos números reais, também são válidas todas as notações 
da teoria de conjuntos. Você pode verificar, de acordo com a Figura 1, que o 
conjunto Q está contido no conjunto R, ou simplesmente:
ℚ ⊂ ℝ
ou, ainda, que o conjunto dos números irracionais, I, unido ao conjunto 
dos números racionais, Q, resulta no conjunto dos números reais:
𝕀 ∪ ℚ = ℝ
Essas mesmas relações da teoria de conjuntos podem ser utilizadas com 
os elementos que compõem o conjunto dos números reais, R.
Considerando as opções a seguir, quais são verdadeiras?
a) ℕ ⊂ 𝕀
b) ℝ ∪ ℚ= ℝ
c) (–7) ∉ ℝ
d) ℝ ∩ 𝕀 = 𝕀
As alternativas (b) e (d) estão corretas. Em (b), a união entre o conjunto dos números 
reais com o conjunto dos números racionais é o próprio conjunto dos números reais. 
Já em (d), a interseção, ou o que há de comum, entre o conjunto dos números reais 
e o conjunto dos números irracionais é o próprio conjunto dos números irracionais.
Do exercício anterior, reescreva as relações que você julgou como falsas de forma 
a torná-las verdadeiras.
Transformando as opções (a) e (c) em afirmações verdadeiras:
„„ ℕ ⊂ ℚ
„„ (–7) ∈ ℝ
Propriedades e operações com números reais
a) Propriedades dos números reais
3Operações com números reais e intervalos numéricos
 Ao realizar operações matemáticas com os números reais, as proprieda-
des básicas utilizadas com qualquer outro conjunto numérico também 
se aplicam. Na sequência, você relembrará e exercitará um pouco cada 
uma dessas propriedades e verá alguns exemplos.
 Não existe divisão de um número real por zero:
a
0 = ∄, ∀ a ∈ ℝ
–4
0 = ∄
 Zero dividido por qualquer número real será sempre zero:
0
a = 0, ∀ a ∈ ℝ
0
7 = 0 ; = 0
0
–10
 Qualquer número real, diferente de zero e elevado a zero, valerá 1:
a0 = 1, ∀ a ∈ ℝ
50 = 1 ; (–9)0 = 1
 Existe raiz de índice par somente para os números reais positivos:
√b, ∀ b ∈ ℝ+n
n sendo um número par:
√16 = 2 ; √–16 = ∄ em ℝ
√–81 = ∄ em ℝ
4
2
4
Operações com números reais e intervalos numéricos4
 Qualquer número real, positivo ou negativo, elevado a um expoente 
par, sempre resultará em um número real positivo:
(a)n > 0, ∀ a ∈ ℝ, sendo n um número par”
(5)4 = 625 ; (–9)2 = 81
 No conjunto dos números reais, uma multiplicação de potências de 
mesma base apresentará como resultado na conservação da base, com 
a soma dos expoentes:
am × an = am+n
(–3)5 × (–3)3 = (–3)5+3 = (–3)8 = 6.561
 No conjunto dos números reais, uma divisão de potências de mesma base 
apresentará como resultado na conservação da base, com a subtração 
dos expoentes:
27 ÷ 24 = 27–4 = 23 = 8
 Sempre que um número real estiver representado com uma potência 
de potência, conserve a base e multiplique os expoentes:
(am)n = am×n
[(–17)3]3 = (–17)3×3 = (–17)9 = –118.587.876.497
 Potência de sinal negativo inverte o número que está sob a potência, 
caso mude o sinal:
( )ab( )
–m b
a
m
= , A a, b ≠ 0
= = (–3)2 = 9
–3
9( ) ( )
–2 29
–3
5Operações com números reais e intervalos numéricos
 É possível transformar uma operação de radiciação em uma de poten-
ciação, da seguinte maneira:
√an = an/m
√(–6)2 = (–6)2/4 ≈ 2,4495
m
4
Existe raiz de índice ímpar, cujo radicando é um número real negativo:
√–7.776 = –65
b) Operações com números reais
 Para realizar as operações matemáticas, inclusive no uso das proprieda-
des que você acabou de verificar, algumas regras devem ser seguidas. 
Acompanhe, a seguir, como operar em relação aos sinais (positivo e 
negativo) dos números reais.
 Nas operações de adição e subtração, quando os sinais que acompa-
nham os números que estão sob a operação forem iguais, o resultado 
permanecerá com o mesmo sinal:
+4 +7 = +11
–9 –2 = –11
 Nas operações de adição e subtração, quando os sinais que acompanham 
os números que estão sob a operação forem diferentes, o resultado 
apresentará o mesmo sinal do número com maior módulo:
+7 –2 = +5
–11 + 4 = –7
–2,35 + 8 = +5,65
Operações com números reais e intervalos numéricos6
 Nas operações de multiplicação e divisão, quando os sinais que acom-
panham os números que estão sob a operação forem iguais, o resultado 
apresentará sinal positivo (+):
(–7) × (–3,7) = +25,9
(+6,3) × (+9) = +56,7
(–50) ÷ (–2,5) = 20
(+50) ÷ (+5) = +10
 Nas operações de multiplicação e divisão, quando os sinais que acompa-
nham os números que estão sob a operação forem diferentes, o resultado 
apresentará sinal negativo (–):
(–7) × (+3,7) = –25,9
(–6,3) × (+9) = –56,7
(+50) ÷ (–2,5) = –20
(+50) ÷ (–5) = –10
Em operações com números reais (R), a prioridade continua sendo da expressão que 
está entre parênteses; após, a que está entre colchetes; por fim, aquela expressão que 
se encontra dentro das chaves. Segue, também, a ordem prioritária de operações, que 
é primeiro a multiplicação e divisão e, depois, a adição e subtração.
7Operações com números reais e intervalos numéricos
Tipos de intervalos numéricos
Assim como em qualquer outro conjunto, os números reais(R) podem ser 
representados sobre uma reta orientada. Esta reta tem como origem o ponto 0 
(zero) e orientação para a direita, indicando o sentido crescente da sequência 
numérica, conforme mostrado na Figura 2.
Figura 2. Reta numérica, com a representação da origem e orientação.
0
Sobre essa reta, a representação numérica será realizada unidade à unidade, 
pelo conjunto dos inteiros (Z), a fim de facilitar a representação numérica. A 
partir do ponto de origem, para o lado direito, serão colocados os números 
positivos e, para o esquerdo, os negativos, como mostrado na Figura 3.
Figura 3. Eixo real.
Fonte: Adami, Dornelles Filho e Lorandil (2015, p. 3).
–5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5
Ainda sobre essa reta, caso seja necessário, é possível representar os demais 
números racionais e irracionais, complementando o conjunto dos números 
reais (R), conforme a Figura 4.
Figura 4. Eixo real.
Fonte: Safier (2012, p. 3).
l
–5 –pi –1,5 0 2/3 √5 3
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
Operações com números reais e intervalos numéricos8
Sendo necessário referir-se aos números reais positivos, excluindo-se o 
zero, a notação R+* deverá ser utilizada. De maneira análoga, os números 
reais negativos, excluindo-se o zero, podem ser representados pela notação 
R-*. Definimos, assim, os conjuntos:
R+* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
R–* = {..., –5, –4, –3, –2, –1}
Desse modo, para qualquer a pertencente a R+*, dizemos que a é maior que zero:
a > 0, ∀ a ∈ ℝ+*
Também de forma semelhante:
a < 0, ∀ a ∈ ℝ–*
A partir daí, você já consegue definir o conjunto dos números reais maiores 
que zero (positivos) sobre a reta real. 
Figura 5. Números reais positivos.
Fonte: Adaptada de Adami, Dornelles Filho e Lorandil (2015, p. 3).
–5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5
Na Figura 5, um círculo aberto sobre o zero indica que o mesmo não está 
dentro do intervalo numérico representado. O mesmo pode ser observado 
na Figura 6, a seguir, com a representação dos números reais negativos, ou 
menores que zero.
Figura 6. Números reais negativos.
Fonte: Adaptada de Adami, Dornelles Filho e Lorandil (2015, p. 3).
–5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5
9Operações com números reais e intervalos numéricos
O intervalo da Figura 5 pode ser, ainda, representado como:
]0, ∞[
em que o colchete aberto, ou os parênteses, indica que o número que vem 
após não pertence ao intervalo. Já o intervalo da Figura 6, em que o número 
que precede o colchete não pertencerá ao intervalo, pode ser expresso por:
]–∞, 0[
ou:
(–∞, 0)
Sempre que for necessário representar conjuntos numéricos em uma reta, 
caso o primeiro número da sequência a ser representada pertença ao conjunto 
desejado, o círculo deverá ser preenchido, o que também deverá ocorrer com 
o último número da sequência a ser representada. Como exemplo, verifique 
que, na Figura 7, está representado o intervalo entre o número 2, inclusive, 
até o número 4, que também pertencerá ao conjunto da expressão:
[2 ,4]
ou:
{x ∈ ℝ│2 ≤ x ≤ 4}
Figura 7. Intervalo [2,4] representado no eixo real.
Fonte: Adaptada de Adami, Dornelles Filho e Lorandil (2015, p. 3).
–5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5
Verifique, agora, este outro intervalo:
]–3, 2]
Operações com números reais e intervalos numéricos10
O colchete aberto em –3 indica que esse número não pertence ao intervalo 
que iremos representaremos. Por outro lado, o número 2 ainda está dentro 
desse conjunto. Assim, queremos representar na reta real o conjunto de todos 
os x, maiores que –3 e menores ou iguais a 2 (Figura 8), ou pela expressão:
{x ∈ ℝ│–3 < x ≤ 2}
Figura 8. Intervalo ]-3,2] representado no eixo real.
Fonte: Adaptada de Adami, Dornelles Filho e Lorandil (2015, p. 3).
–5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5
Quando nenhum dos dois extremos do intervalo que queremos representar 
pertencer ao conjunto, os dois colchetes ficarão abertos, e, consequentemente, 
na reta, os círculos sobre os números também. Veja o exemplo a seguir:
]–1, +3[
Temos um intervalo entre -1 e +3, em que esses dois números não pertencem 
ao intervalo:
{x ∈ ℝ│–1 < x < +3}
ou na reta representada na Figura 9, a seguir.
Figura 9. Intervalo ]-1,+3[ representado no eixo real.
Fonte: Adaptada de Adami, Dornelles Filho e Lorandil (2015, p. 3).
–5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5
11Operações com números reais e intervalos numéricos
Sejam três números, a, b e c. Estando a à direita de b na reta real, temos 
a garantia que a é maior que b; e estando c à esquerda de b, temos a garantia 
que c é menor que b, o que pode ser representado pelas expressões a seguir, 
respectivamente:
a > b;
c < b
Ainda sobre os números a, b e c, podemos escrever as relações entre eles 
em uma única expressão:
c < b < a
em que você lerá que b é menor que a e maior que c.
Assim, você também pode verificar que c é menor que a:
c < a
Com exemplo numérico, seguindo a mesma ordem apresentada nas relações 
acima, sejam os números –7, –3 e 2:
2 > –3
–7 < –3
– 7< –3 < 2
e ainda:
–7 < 2
Além dos operadores "maior que" (>) e "menor que" (<), podemos utilizar o operador 
diferente (≠). Por exemplo, os números 3 e 7 são diferentes, ou 3≠7.
Operações com números reais e intervalos numéricos12
ADAMI, A. M.; DORNELLES FILHO, A. A.; LORANDIL, M. M. Pré-cálculo. Porto Alegre: 
Bookman, 2015.
SAFIER, F. Pré-cálculo. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012. (Coleção Schaum).
Leituras recomendadas
CHAMBERS, P. Ensinando matemática para adolescente. Porto Alegre: Penso, 2015.
SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I.; MILANI, E. Cadernos de mathema – ensino fundamental: jogos 
de matemática de 6º ao 9º ano. Porto Alegre: Artmed, 2006. v. 2.
SMOLE, K. S.; MUNIZ, C. A. A matemática em sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2013.
13Operações com números reais e intervalos numéricos
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