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Universidade Federal do Tocantins
Bacharelado em Ciência da Computação
Terceira Prova de Física Teórica e Experimental I - 21/03/2019
1. Uma bandeja de 0,30 kg escorrega em uma superfície horizontal sem atrito presa a uma das extremidades
de uma mola horizontal (k = 500 N/m) cuja outra extremidade é mantida fixa. A bandeja possui energia
cinética de 10 J ao passar pela posição de equilíbrio (ponto em que a força elástica da mola é zero). (a) A
que taxa a mola está realizando trabalho sobre a bandeja quando esta passa pela posição de equilíbrio? (b)
A que taxa a mola está realizando trabalho sobre a bandeja quando a mola está comprimida de 0,10 m e a
bandeja está se afastando da posição de equilíbrio?
(a) Quando a bandeja passa pela posição de equilíbrio a força exercida pela mola é nula (F = −kx). A
potência, taxa em que a mola realiza trabalho sobre a bandeja é P = Fv. Como F = 0, segue que P = 0.
(b) Quando a mola está comprimida de 0,1 m a força exercida pela mola sobre a bandeja é F = −kx =
−500 · 0,1 = −50 N. O trabalho realizado pela mola é W = − 12kx2 = −250 · (0,1)2 = −2,5 J, negativo porque
a bandeja está se afastando da posição de equilíbrio. O teorema do trabalho energia cinética afirma que o
trabalho realizado pela força elástica é igual à variação da energia cinética da bandeja:
W = ∆K = Kf −Ki = 12mvf 2 −Ki
vf
2 =
2(W +Ki)
m
vf =
√
2(W +Ki)
m
=
√
2(10 − 2,5)
0,3
= 7,1m/s
A taxa com que a mola realiza trabalho então é P = Fv = −50 · 7,1 = −354 W.
2. Na Fig. 1, um bloco desliza em uma pista sem atrito até chegar a um trecho de comprimento L = 0,75 m,
que começa a uma altura h = 2,0 m em uma rampa de ângulo θ = 30°. Nesse trecho, o coeficiente de atrito
cinético é 0,40. O bloco passa pelo ponto A com uma velocidade de 8,0 m/s. Se o bloco pode chegar ao ponto
B (onde o atrito acaba), qual é sua velocidade neste ponto? Se não pode, qual é a maior altura que ele atinge
acima de A?
Figura 1: Problema 2
A energia mecânica total inicial é aquela que o bloco tem no ponto A: EA = KA + UA onde UA é a energia
potencial gravitacional no ponto A. A energia mecânica total no ponto B é, pela conservação da energia e
considerando que o sistema está isolado, igual à energia no ponto A menos o que foi perdido com o atrito
EB = EA −Eint. No ponto B a energia mecânica é: EB = KB + UB . Considerando o nível de referência na
base da rampa (ponto A), vemos que UA = 0 e UB = mg(h+Lsenθ). A energia dissipada na forma de calor,
supondo que foi percorrido todo o trecho de comprimento L e alcançado o ponto B é Eint = fcL. A força de
atrito pode ser calculada:
fc = µcN = µcmg cos θ
Então
EB = EA − Eint onde
EB = KB + UB =
1
2mvB
2 +mg(h+ Lsenθ)
Eint = µcmg cos θL
EA = KA + UA − Eint = 12mvA2 − µcmg cos θL
Se vB
2 < 0 podemos concluir que o bloco não alcança o ponto B, se for maior, então podemos calcular a
velocidade nesse ponto:
1
2mvB
2 +mg(h+ Lsenθ) = 12mvA
2 − µcmg cos θL
Simplificando a massa m e isolando vB
2
temos
vB
2 = vA
2 − 2µcg cos θL− 2g(h+ Lsenθ)
vB
2 = 8,02 − 2 · 0,4 · 9,81 · 0,75 · cos 30°− 2 · 9,81(2,0 + 0,75 · sen30°) = 12,4
Como o resultado é positivo, podemos concluir que o bloco ultrapassou o ponto B e tinha velocidade neste
ponto vB = 3,52 m/s.
3. Na Fig. 2, um bloco inicialmente em repouso explode em dois pedaços, E e D, que deslizam em um piso em
um trecho sem atrito e depois entram em regiões com atrito, onde acabam parando. O pedaço E, com massa
de 2,0 kg, encontra um coeficiente de atrito cinético µE = 0,40 e chega ao repouso depois de percorrer uma
distância dE = 0,15 m. O pedaço D encontra um coeficiente de atrito cinético µD = 0,50 e chega ao repouso
depois de percorrer uma distância dD = 0,25 m. Qual era a massa do bloco?
Figura 2: Problema 3
Considerando inicialmente apenas o lado esquerdo. A energia mecânica inicial, após a explosão e antes de
entrar na região com atrito, é apenas cinética Ei = Ki =
1
2mEvE
2
. Após entrar na região com atrito e
parar a energia mecânica será Ef = 0. Mas como o sistema é isolado, a conservação da energia garante que
Ef = Ei − Eint. A energia dissipada pelo atrito é Eint = µENEdE = µEmEgdE . Portanto:
1
2mEvE
2 = µEmEgdE
vE =
√
2µEmEgdE
mE
vE =
√
2 · 0,40 · 9,81 · 0,15 = 1,08m/s
O sentido de vE é para a esquerda.
Para o lado direito a situação é semelhante:
1
2mDvD
2 = µDmDgdD
vD =
√
2µDmDgdD
mD
vD =
√
2 · 0,50 · 9,81 · 0,25 = 1,57m/s
O sentido de vD é para a direita.
Como o momento linear se conserva, antes e depois da explosão, podemos afirmar que pi = pf . Mas como o
bloco estava em repouso, pi = 0. Portanto pf = pE + pD = 0.
0 = pE + pD = mDvD +mEvE
mDvD = −mEvE
mD =
−mEvE
vD
=
−2,0 · (−1,08)
1,57
= 1,4 kg
A massa total do bloco é m = mE +mD = 2,0 + 1,4 = 3,4 kg.
4. Suponha que uma mola não obedece à lei de Hooke. A força (em newtons) que a mola exerce quando está
alongada de um comprimento x (em metros) tem módulo de 52,8x + 38,4x2 e o sentido oposto ao da força
responsável pelo alongamento. (a) Calcule o trabalho necessário para alongar a mola de x = 0,500 m para
x = 1,00 m. (b) Com uma extremidade da mola fixa, uma partícula de massa 2,17 kg é presa à outra
extremidade quando a mola está alongada de x = 1,00 m. Se a partícula é liberada a partir do repouso, qual
é a velocidade da partícula no instante em que o alongamento da mola é x = 0,500 m?
(a) Em uma dimensão, o trabalho realizado pela força externa é:
Wa =
∫ xf
xi
Fdx =
∫ 1,00
0,500
(52,8x+ 38,4x2)dx
Wa =
(
52,8x2
2
+
38,4x3
3
)1,00
0,500
= 31 J
(b) O trabalho realizado pela mola é:
Ws = −
∫ xf
xi
Fdx = −
∫ 0,500
1,00
(52,8x+ 38,4x2)dx =
∫ 1,00
0,500
(52,8x+ 38,4x2)dx = Wa = 31 J
O teorema do trabalho-energia cinética afirma que o trabalho realizado pela mola para a partícula ir do ponto
inicial ao final é igual a variação da energia cinética da partícula. Então:
w = ∆K = Kf −Ki = Kf = 12mvf 2
vf =
√
2Wa
m
=
√
2 · 31
2,17
= 5,34m/s
5. Na Fig. 3, o bloco 2 (com massa de 1,0 kg) está em repouso em uma superfície sem atrito e em contato com
uma das extremidades de uma mola relaxada de constante elástica 200 N/m. A outra extremidade da mola
está presa em uma parede. O bloco 1 (com massa de 2,0 kg), que se move a uma velocidade v1 = 4,0 m/s,
colide com o bloco 2, e os dois blocos permanecem juntos. Qual é a compressão da mola no instante em que
os blocos param momentaneamente?
Figura 3: Problema 5
A energia mecânica � como não existe atrito, a superfície é plana, a mola é suposta ideal e o sistema é isolado
� é a soma das energias cinética e potencial elástica. A lei da conservação da energia garante que a energia
mecânica inicial é igual a energia mecânica final: ∆E = 0. Pela lei da conservação do momento linear, o
momento antes da colisão entre os blocos é pi = m1v1, uma vez que o bloco 2 está em repouso. O momento
final, após a colisão inelástica entre os blocos é pf = (m1 +m2)v. A velocidade v então pode ser calculada:
pi = pf
m1v1 = (m1 +m2)v
v =
m1
m1 +m2
v1 =
2,0
2,0 + 1,0
4,0 = 2,67m/s
A energia mecânica inicial é a soma das energias cinética do bloco 1 + 2 e potencial elástica da mola. Como o
bloco 2 está em repouso e a mola está relaxada, a energia mecânica inicial é devida apenas a energia cinética
do bloco 1+2:
Ei = K + Us = K =
1
2 (m1 +m2)v
2 =
3,0 · 2,672
2
= 10,7 J
A energia mecânica final é apenas devida à energia potencial elástica na mola, uma vez que os blocos estão
momentaneamente em repouso:
Ef = K + Us = Us =
1
2kx
2 =
200x2
2
= 100x2
Pela conservação da energia:
Ef = Ei
100x2 = 10,7
x =
√
10,7
100
x = 0,33m