Estat Exerc Total

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QUESTÃO 1 
 
Medidas de localização: 
ƒ Média: em média estes alunos esperam obter uma nota de 13,378 valores em Estatística; 
ƒ Média aparada a 5%: verifica-se que, relativamente a 90% das observações centrais, em 
média os alunos esperam obter uma classificação de 13,284 valores a Estatística. Ou seja, 
retirando 5% das notas mais elevadas e 5% das notas mais baixas, os alunos esperam obter 
em média uma classificação de 13, 284 valores; 
ƒ Mediana: metade dos alunos inquiridos espera obter no máximo 13 valores a Estatística. 
 
Medidas de dispersão: 
ƒ Desvio padrão: o desvio das classificações face à média é, em termos médios, de 2,023 
valores ou o desvio médio das classificações face à média é de 2,023 valores; 
ƒ Variância: traduz o quadrado dos desvios médios face à média das classificações e é de 
4,094 valores2; 
ƒ Intervalo Variação: a diferença entre a classificação mais alta e a classificação mais baixa é 
de 10 valores; 
ƒ Intervalo Interquartis: a amplitude (ou dispersão) registada entre as classificações no grupo 
central de respostas (75%
 
– 25% = 50%) é de 2,3 valores: 
 
 
�
� ��
�
Exercícios de Estatística Descritiva 
�
�
1- Observou-se o número de máquinas fotográficas vendidas por semana numa loja durante o 
ano passado. Obtiveram-se os seguintes resultados: 
�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� ��
�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� ��
�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� ��
�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� ��
�
a) Que variável estatística está em causa? Como a classifica? Que valores assume? 
b) Construa uma tabela de frequências. 
c) Represente a distribuição de frequências através de um diagrama diferencial e de 
um diagrama integral. 
d) Caracterize a distribuição de frequências quanto à simetria e quanto à dispersão. 
e) Que stock semanal de máquinas sugeria de modo a garantir que a frequência de 
ruptura do stock é inferior a 0,10? 
2- O número de filhos por casal em determinada área populacional segue uma 
distribuição simétrica. Os registos mostram que a referida variável assume valores 
entre 0 e 4. Neste intervalo não se verificam frequências nulas. Sabe-se ainda que 
10% dos casais não têm filhos e que 20% têm 3 filhos. 
Calcule uma medida de dispersão adequada para caracterizar a dispersão da referida 
variável. 
3- Uma companhia marítima está a efectuar uma análise de fundo sobre a sua actividade. Para o 
efeito estudou diversas variáveis. Uma das variáveis em estudo foi a que se refere aos salários 
dos seus empregados. Feito o levantamento dos valores desta variável obtiveram-se os 
seguintes resultados: 
)DL[D�VDODULDO�
�����X�P���
3URSRUomR�GH�HPSUHJDGRV�
GD�IDL[D�VDODULDO�
���� �����
���� �����
���� �����
����� �����
a) Trace os respectivos histogramas e polígono de frequências. 
 
�
� ���
b) Como classificaria esta distribuição quanto à simetria? 
4- Os dados da tabela apresentada reportam-se à duração em segundos das chamadas telefónicas 
no serviço móvel terrestre. 
���'XUDomR��VHJXQGRV�� 1ž�FKDPDGDV�
����� ����
������ ����
������ ����
������ ����
������� ����
�������� ���
≥����� ���
a) Que variável estatística está em causa? Como a classifica? Que valores assume? 
b) Construa uma tabela de frequências. Trace o histograma e o polígono de 
frequências. 
c) Com que frequência se encontram chamadas com duração inferior a 100 
segundos? 
d) 95% das chamadas duram menos de k segundos. Qual é o valor de k? 
5- Realizou-se, em certa região, um inquérito às explorações agrícolas que conduziu aos 
seguintes resultados: 
�������6XS���KD��
1ž�WUDFW��
���� ���� ���� ����� !���
�� �� �� �� �� ��
�� �� �� �� �� ��
�� �� �� �� �� ���
��RX�PDLV� �� �� �� �� ���
�
a) Represente graficamente a distribuição de frequências da superfície agrícola 
utilizando um polígono de frequências. 
b) A partir dos principais indicadores de localização, que conclusões se podem tirar 
relativamente à simetria da distribuição do nº de tractores utilizados nas explorações 
agrícolas. 
 
�
� ��
 
6- Observe os seguintes quadros referentes às idades dos leitores dos principais jornais: 
Cases 
Valid Missing Total 
 Sexo N Percent N Percent N Percent 
feminino 28 82,4% 6 17,6% 34 100,0%Idade 
masculino 60 90,9% 6 9,1% 66 100,0%
Descriptives 
 Sexo Statistic Std. Error 
Mean 33,29 1,376
Lower Bound 30,46 95% Confidence Interval 
for Mean 
Upper Bound 36,11 
5% Trimmed Mean 33,11 
Median 32,00 
Variance 53,026 
Std. Deviation 7,282 
Minimum 20 
Maximum 50 
Range 30 
Interquartile Range 11 
Skewness 
,543 ,441
feminino 
Kurtosis 
-,201 ,858
Mean 33,57 ,805
Lower Bound 31,95 95% Confidence Interval 
for Mean 
Upper Bound 35,18 
5% Trimmed Mean 33,41 
Median 33,00 
Variance 38,928 
Std. Deviation 6,239 
Minimum 24 
Maximum 48 
Range 24 
Interquartile Range 11 
Skewness 
,318 ,309
Idade 
masculino 
Kurtosis 
-,738 ,608
 
Que conclusões se pode tirar? 
 
Licenciatura�de�Economia______________________________________________________________________________________1
II – Probabilidades - Exercícios 
1. Em determinada região, a percentagem de pessoas que lêem as revistas A, B e C são 
A 9,8 
B 22,9 
C 12,1 
A e B 5,1 
A e C 3,7 
B e C 6,0 
A e B e C 2,4 
 Qual a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso nessa região seja leitor de: 
a) somente de A e C 
b) pelo menos uma revista 
c) somente de C 
d) de nenhuma 
2. Sendo A, B e C acontecimentos tais que: : ‰‰ CBA , ‡ ˆBA , ‡ ˆBC , 30,)A(P ,
70,)B(P , 50,)C(P . Determine )( CAP ˆ .
3. Um artista mostra a uma pessoa 12 cores e pede-lhe para escolher 4. Qual a probabilidade de a cor azul 
ser uma das favoritas? 
4. Numa entrevista, um economista afirmou que considerava a “melhoria” da situação económica tão 
provável como a sua estagnação. No entanto, encarava a melhoria como duas vezes mais provável que a 
quebra da actividade económica. Qual a probabilidade associada a cada resultado deste espaço? 
5. Sejam os acontecimentos 1A , 2A e 3A com probabilidades de ocorrência diferente de zero. Sabe-se 
que:
x 1201 ,)A(P , 102 ,)A(P e 05032 ,)AA(P ˆ ;
x 1A é mutuamente exclusivo quer com 2A quer com 3A ;
x dois dos acontecimentos referidos são independentes. 
Calcule )( 321 AAAP ‰‰ .
6. Sejam os acontecimentos 1A , 2A e B , com 4/1)|( 1 BAP e 3/2)|( 2 BAP . Comente as 
seguintes afirmações: 
a) “ 1A e 2A são acontecimentos mutuamente exclusivos.”; 
b) “ 1A e B são acontecimentos mutuamente exclusivos.” 
Licenciatura�de�Economia______________________________________________________________________________________2
7. Certo retalhista é abastecido em queijos por 2 fornecedores A e B. O fornecedor A fornece o triplo de B; 
da experiência passada sabe-se que 10% dos queijos de A e 15% dos de B apresentavam peso 
significativamente inferior ao estabelecido. Tendo adquirido um queijo nesse retalhista e verificado em 
casa que pesava bastante menos do que o indicado, qual a probabilidade de ele ter sido fornecido por A? 
8. As famílias da cidade A escolhem uma das três alternativas para fazer férias: praia, campo ou ficar em 
casa. Durante a última década, verificou-se que escolhiam aquelas alternativas respectivamente 50%, 
30% e 20% das famílias da referida cidade. A probabilidade de descansar durante as férias está ligada à 
alternativa escolhida: 0.4, 0.6 e 0.5 conforme se tenha ido para a praia, para o campo ou ficado em casa. 
a) Qual a probabilidade de uma família da cidade A descansar durante as férias; 
b) Sabendo que determinada família descansou durante as férias, qual a alternativa mais provável 
de ter sido escolhida por esta família? 
9. O mercado de serviços telemóvel de determinado país está dividido entre duasempresas CELUM e 
CELDOIS, com quotas respectivamente de 60% e 40%. O organismo regulador encomendou um estudo 
de opinião do mercado do qual concluiu que: 70% dos utilizadores do serviço telemóvel estão 
satisfeitos; dos clientes de CELUM, 80% estão satisfeitos. 
a) Qual a percentagem de clientes de CELDOIS que estão satisfeitos? 
b) Qual a divisão do mercado dentro dos clientes satisfeitos? 
c) Qual a probabilidade de encontrar um cliente que tenha contrato com CELUM e se sinta 
insatisfeito? 
1
Graça Trindade 
2012/2013 
Exercícios de Variáveis Aleatórias 
1. Considere a seguinte função de probabilidade 
°¯
°®
­ 
xdevaloresoutros
xxxf
,0
3,2,1,14/)(
2
.
a) Mostre que esta função de probabilidade satisfaz as propriedades de qualquer função de 
probabilidade e represente-a graficamente; 
b) Deduza a função de distribuição e represente-a graficamente. 
c) Calcule > @2|1 d XXP .
2. A v.a. X, discreta, apresenta a função de distribuição a seguir tabelada: 
X 1 2 3 4 
F(x) 0.1 0.4 0.9 1 
a) Calcule > @2dXP e > @1!XP .
b) Deduza f(x). 
3. A procura diária de determinado jornal da tarde numa tabacaria é uma v.a. discreta com função: 
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
f(x) 0.05 0.06 0.06 0.08 0.125 0.25 0.125 0.05 0.06 0.06 0.08 
Sabendo que: 
1) a tabacaria recebe diariamente 6 jornais; 
2) os jornais chegam à tabacaria às 17 horas e esta encerra às 19:30. 
a) Qual a probabilidade de em determinado dia a tabacaria ter uma procura superior a 8 jornais; 
b) Calcule > @72 �d XP ;
c) Sabendo que a tabacaria recebe por dia 6 jornais, qual é a probabilidade de em determinado dia a 
procura ser totalmente satisfeita; 
d) Em determinado dia às 19:00 a tabacaria tinha vendido 4 jornais. Qual a probabilidade de nesse dia 
haver jornais não vendidos? 
2
Graça Trindade 
2012/2013 
4. Considere a v.a. X, contínua, com f.d.p. dada por: 
°¯
°®
­ �� 
xdevaloresoutros
xxxf
,0
20,2/)( .
a) Mostre que se trata efectivamente de uma f.d.p. e faça a sua representação gráfica; 
b) Deduza a função de distribuição F(x);
c) Calcule > @1dXP , > @50250 ,X,P d� e > @51,XP ! ;
5. A percentagem do ingrediente A no produto composto Z deve ser por norma 50%. Na realidade, essa 
percentagem varia de produto para produto, podendo a sua distribuição de probabilidade ser aproximada 
pela seguinte f.d.p. (percentagem é 100X): 
 
°¯
°®
­ dd� 
xdevaloresoutros
xxxxf
,0
10,)1(6)( .
a) Represente graficamente a função densidade de probabilidade; 
b) Deduza a função de probabilidade do lucro por produto, sabendo que este é de 50 u.m. se a 
percentagem do ingrediente A se situar entre 40% e 60%, de 20 u.m. se a referida percentagem se 
situar entre 20% e 40% ou entre 60% e 80% e é de 5 u.m. se a percentagem for inferior a 20% ou 
superior a 80%. 
6. O número diário de produtos vendidos por um vendedor ao domicílio é aleatório, apresentando a 
seguinte função massa de probabilidade: 
X 0 1 2 3 4 5 6 7 
f(x) 0.1 0.15 0.2 0.2 0.2 0.1 0.025 0.025 
a) Se o preço de venda do produto for de 1800 u.m. e se o referido vendedor auferir uma comissão de 
20% sobre as vendas que efectuar, quanto espera ele ganhar por dia? 
b) E se além da comissão também receber um prémio de 1000 u.m. nos dias em que vender mais de 5 
artigos?
7. Considere a seguinte f.d.p: 
� �
°°¯
°°®
­
 
 �
 
valoresoutros0
21
210
21
2
,
,,
, y
xyx
yxf
a) Verifique que se trata de uma f.d.p; 
b)Deduza as funções de probabilidade marginais para cada uma das variáveis; 
c) Deduza a função de distribuição conjunta e as funções de distribuição marginais; 
3
Graça Trindade 
2012/2013 
d) Calcule: 
> @ > @ > @ > @ > @21212;12;1 d YXPYPXPYXPYXP /
e) Verifique se as variáveis são independentes; 
f) Calcule > @1 YXE / .
8. Considere o par aleatório (X,Y) com função de probabilidade conjunta dada pelo seguinte quadro: 
Y
X 1 2 3 4 
2 k 0.24 0.18 0.06 
4 0.08 0.16 0.12 0.04 
g)Qual o valor de k? 
h)Deduza a função massa de probabilidade de Y; 
i) Verifique se as variáveis são independentes; 
j) Calcule > @YXE � .
9. Seja X uma v.a. com média 50 e variância 10 e Y outra v.a.. Sabendo que 140),35( � XYXCOV ,
calcule ),( YXCOV .
10. Sejam 1X e 2X duas vs.as. tais que: > @ 41 XE , > @ 41 XVAR , > @ 1002 XE , > @ 1002 XVAR e 
> @ 10, 21 XXCOV . Seja ainda a v.a. T definida como 214 XXT � . Calcule > @TE e > @TVAR .
 
Licenciatura de Economia__________________________________________________1 
 
 
 
 
 
Exercícios de amostragem 
 
 
1. Seja (X1, X2,X3) uma amostra aleatória de uma população Bernoulli. 
a) Que amostras podem ser extraídas da população? 
b) Qual a amostra mais provável de ocorrer no caso de 1.0=p ? 
 
2. Para uma população Poisson de parâmetro λ : 
a) Determine a função de probabilidade conjunta de uma amostra de dimensão n. 
b) Qual a probabilidade de extrair a amostra (1,0,5,3) com 2=λ ? 
 
3. O conteúdo (em litros) de garrafas de óleo alimentar segue uma distribuição normal. Admita que os 
respectivos parâmetros são 99.0=μ litros e 02.0=σ litros. 
a) Qual a probabilidade do conteúdo médio numa amostra de 16 garrafas seleccionadas ao acaso para 
inspecção ser superior a 1 litro? 
b) E de uma amostra de 100 garrafas, o conteúdo médio ser inferior a 9.85 decilitros? 
c) Encontre um intervalo tal que a probabilidade de 100X nele estar contido seja de 0.95, i.e., 
encontrar a e b tais que: 95.0)( 100 =≤≤ bXaP . 
 
4. Seja a v.a. )15(~ tT . 
a) Calcule a por forma a que 05.0)( 2 => aTP ; 
b) Calcule b por forma a que 99.0)( 2 => bTP . 
 
5. Considere as v.a. independentes: )2,0(~ NX , 2 )10(~ χY e 2 )5(~ χW . 
a) Calcule )25( >+WYP ; 
b) Calcule )5.1/( ≤YXP ; 
c) Calcule )3.0( WYP ×> . 
 
6. Considere a população {1, 2, 3, 3}. Deduza a distribuição da média amostral para amostras de dimensão 
2 (com reposição). 
 
 
Licenciatura de Economia__________________________________________________2 
 
7. Seja X uma população com distribuição Bernoulli com parâmetro 2.0=p . Sejam ainda as estatísticas: 
¦ −
=
=
1
11
n
i i
XT e ¦ −
=
−
=
1
12 1
6 n
i i
X
n
T 
a) Determine a distribuição amostral de 1T e 2T para amostras de dimensão 6=n e 37=n ; 
b) Para 6=n , calcule )2( 1 <TP e 2( 2 <TP ). 
 
8. A temperatura que se faz sentir num dado país é uma variável aleatória normal de média 1ºC. 
Desconhece-se a variância. Com base na amostra (X1, X2, X3, X4). Calcule ( )[ ].02.51 224 σ≥−XP 
 
9. Considere uma população de Bernoulli da qual se retira uma amostra aleatória de dimensão 5. 
Admitindo que 6.0=p , 
a) Calcule a probabilidade de se obter a seguinte amostra )1;0;1;0;1( . 
b) Obtenha a distribuição amostral da proporção de sucessos nessa amostra. 
 
 
Licenciatura de Economia__________________________________________________1
Exercícios de distribuições teóricas 
1. Se for estimada em 0.3 a probabilidade de uma pessoa contactada realizar uma compra, calcule a 
probabilidade de um vendedor que visita num dia 16 pessoas: 
a) realizar 5 vendas; 
b) realizar entre 4 e 8 vendas (inclusive); 
c) realizar quanto muito 2 vendas; 
d) realizar no máximo 10 vendas; 
e) realizar pelo menos 12 vendas; 
f) realizar no mínimo 3 vendas. 
Nas 16 pessoas visitadas pelo vendedor: 
g) 25% realizarem compras; 
h) seja de 0.5 a proporção das que realizam compras; 
i) continuando o vendedor a visitar diariamente 16 pessoas, qual o número médio diário de vendas? 
2. Numa via de acesso a Lisboa, se a probabilidade de um painel ser visto por um automobilista for de 0.6, 
quantos painéis, no mínimo, deverão ser colocados nessa via para ser superior a 0.9 a probabilidadede 
certo automobilista ver pelo menos 1 dos painéis. 
3. O número de chamadas que chega num período de 5 minutos à central telefónica de um empresa é uma 
v.a. com distribuição de Poisson de parâmetro 10 O . Calcule a probabilidade de num período de 5 
minutos:
a) chegarem exactamente 8 chamadas; 
b) chegarem menos de 5 chamadas; 
c) chegarem no mínimo 3 chamadas. 
4. Suponha que o número de drops de chocolate contidos numa embalagem de 250 gramas de certa marca 
tem distribuição de Poisson. Exigindo-se que a probabilidade de uma embalagem desse tipo conter pelo 
menos 2 drops seja superior a 0.8, calcule o menor valor possível que a média da distribuição pode 
tomar. Supondo que as condições de empacotamento não variam, a probabilidade de numa embalagem 
de 500 gramas existirem exactamente 8 drops. 
5. A procura média diária de isqueiros electrónicos na tabacaria Feliz é 2. Pressupondo que está perante 
um processo de Poisson, calcule as seguintes probabilidades: 
a) num determinado dia serem procurados no máximo 5 isqueiros; 
Licenciatura de Economia__________________________________________________2
b) num certo dia serem procurados 3 isqueiros, sabendo que no dia anterior tinha havido uma procura 
(e venda) de 2 isqueiros; 
c) se o stock de isqueiros nessa tabacaria no início de cada semana for de 19, qual a probabilidade de 
em certa semana (6 dias) eles serem todos vendidos; 
d) durante um ano não haver nenhuma semana com ruptura de stock. 
6. Considere o lançamento de uma moeda. Em 6 lançamentos, calcule: 
a) a probabilidade de saírem 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6 coroas; 
b) a probabilidade de saírem no máximo 4 coroas; 
c) o número esperado de coroas (nos 6 lançamentos); 
d) represente a função de probabilidade da v.a. em questão. 
7. Uma agência de publicidade afirma que 40% das donas de casa que recebem a visita de um vendedor de 
enciclopédias acaba por encomendar uma. De 12 donas de casa que recebem a visita do vendedor, qual 
a probabilidade de: 
a) no máximo 3 encomendarem a enciclopédia? 
b) no mínimo 5; 
c) se o vendedor numa semana conseguir abordar 100 donas de casa, quantas enciclopédias espera ele 
vender?
8. A procura diária para certo tipo de artigo na loja A segue uma distribuição de Poisson. Sabendo que a 
procura média diária é de 3 produtos e que o stock diário é mantido em 6 unidades, calcule: 
a) a probabilidade de num dia serem procurados pelo menos 2 produtos; 
b) a probabilidade de se registar uma ruptura de stocks; 
c) o número esperado de clientes que fica por satisfazer; 
d) o novo stock diário a assegurar de maneira a que a probabilidade de ruptura seja no máximo de 
0.004; 
e) em média quantos produtos são vendidos por dia, na hipótese: 
a. de uma loja poder satisfazer todo e qualquer pedido; 
b. estar limitada ao stock diário de 6 unidades; 
f) qual a probabilidade de numa semana (6 dias) se terem verificado no máximo 3 dias com vendas 
inferiores a dois produtos; 
g) durante um ano, qual o número esperado de dias com procura superior a 3 produtos. 
Licenciatura de Economia__________________________________________________3
9. A v.a. X segue distribuição normal de parâmetros 20 P e 3 V . Determine as seguintes 
probabilidades: 
a) > @23dXP , > @40dXP
b) > @14dXP
c) > @21!XP
d) > @17!XP
e) > @255.21 �� XP
f) > @8.182.16 �� XP
g) > @3.2917 �� XP
10. O tempo requerido para executar certa tarefa é uma v.a. com distribuição normal de 72 P minutos e 
12 V minutos. Calcule a probabilidade da tarefa: 
a) levar mais de 93 minutos; 
b) não levar mais de 65 minutos; 
c) levar entre 63 e 78 minutos. 
Determinar os valores de a e b, tais que: 
d) > @ 2525.0 ! aXP ;
e) > @ 0054.0 � bXP .
11. Suponha que as saídas de armazém do produto A apresentam comportamento normal com média 
semanal 2 toneladas e desvio-padrão 0.42 toneladas. Que quantidade se deve manter em armazém se 
não se desejar correr um risco superior a 5% de não satisfazer os pedidos de fornecimento semanal? 
12. Na empresa M, o montante diário de vendas de dois dos seus vendedores ao domicílio é aleatório e 
segue distribuição normal de parâmetros P 100 u.m. e V 10 u.m. para o vendedor A e de P 70
u.m. e V 3 u.m. para o vendedor B. Qual a probabilidade de: 
a) num ano (245 dias úteis), o vendedor A realizar vendas em montante superior a 25000 u.m.? 
b) num dia os vendedores A e B realizarem em conjunto vendas inferiores a 150 u.m.? 
c) num dia o vendedor B vender mais do que A? 
13. Suponha que dispõe de dois processos para chegar a determinado local: 
x usando o transporte A, em relação ao qual o tempo de deslocação é uma v.a. com distribuição 
normal com média 0.62 horas e desvio-padrão 0.08 horas; 
Licenciatura de Economia__________________________________________________4
x usando o meio de transporte B, numa parte do percurso, e mudando depois para o meio de 
transporte C, para completar o percurso. Os tempos de deslocação são também v.a. normais com os 
seguintes parâmetros: 
 Média Variância (minutos) 
B 25 80 
C 10 20 
x suponha que não há tempo de espera na mudança de transporte. 
a) Qual o processo a escolher, se se considerar importante não demorar mais de 40 minutos? 
b) E se não se quiser demorar mais de 35 minutos? 
14. Um certo barco pode transportar dois tipos de contentores: o tipo A, mais pequeno, e o tipo B, maior. 
Depois de cheios, estes dois tipos de contentores têm peso que podemos considerar normalmente 
distribuído. Um contentor do primeiro tipo pesa em média 15 toneladas, com um desvio-padrão de 3 
toneladas, enquanto que para um contentor do segundo tipo esses valores são 20 e 4 toneladas, 
respectivamente. Por razões técnicas, aconselha-se a que o total da carga não exceda as 1750 toneladas. 
a) Suponha que foram carregados nesse barco 60 contentores do tipo A e 40 do tipo B. Qual a 
probabilidade da carga exceder o limite aconselhado? 
b) Tendo que carregar 40 contentores do tipo B, quantos contentores do tipo A devem ser 
carregados, se não se pretender correr o risco superior a 5% de ultrapassar o limite de carga 
aconselhado?
15. Considere que 0,275 é a probabilidade de um visitante de certo evento em Lisboa não ser Português. 
a) Qual a probabilidade de encontrar mais de 17 Portugueses num evento com 20 visitantes? 
b) Calcule a mesma probabilidade se ao evento assistem 21 visitantes. 
 
EXERCÍCIO 1: 
Um fabricante de tira-nódoas garante que determinado produto tira nódoas em 80% dos 
casos. Para verificar tal garantia, uma associação de defesa de consumidores decidiu 
recolher uma amostra de 10 elementos, aceitando essa garantia se o nº de casos em que 
o produto foi eficaz for de pelo menos 7. 
Qual a probabilidade de a garantia do fabricante ser rejeitada, supondo que a eficácia é 
de 80%? 
 
 
EXERCÍCIO 2: 
O número de acidentes rodoviários, em 8 registos, devido às más condições da rede 
rodoviária nacional segue distribuição binomial com probabilidade de sucesso igual a 
0,7. Calcule: 
a) [ ]5=XP 
b) [ ]63 ≤≤ XP 
 
 
 
 
QUESTÃO 1 
O nº de petroleiros que chegam diariamente a determinada refinaria é uma v. a. com distribuição de 
Poisson, de parâmetro 2=λ . 
As actuais instalações do porto permitem atender 3 petroleiros por dia. Se acontecer que mais de 3 
navios pretendam entrar no porto, os excedentes a 3 deverão seguir para outro destino. 
a) Em certo dia qual a probabilidade de se ter de mandar petroleiros para outros portos? 
b) Qual o nº esperado de petroleiros a chegarem por dia? 
c) Qual o nº mais provável de petroleiros a chegarem por dia? 
d) Qual o nº esperado de petroleiros que voltarão a outros portos? 
 
 
QUESTÃO 2 
Numa determinada zona industrial trabalham 10 000 operários. O seu salário segue distribuição 
norma.Admita que metade deles ganhe menos de 200 u. m. e que 4% ultrapassam 217,5 u. m. 
e) Qual o melhor salário no grupo dos 2 000 pior pagos? 
f) Qual o menor salário no grupo dos 10% melhor pagos? 
g) Qual a probabilidade de em 10 operários seleccionados ao acaso encontrar 6 que ganham 
mais de 202,5 u. m.? 
 
 
QUESTÃO 3 
O nº de ovos fornecidos semanalmente por um aviário a um distribuidor é uma v. a. 
aproximadamente normal de parâmetros 1500 e 200, respectivamente. O nº de ovos procurados por 
cada cliente numa semana é também uma v. a. com distribuição de Poisson de parâmetro 12. 
Sabendo que 120 compradores se abastecem no referido distribuidor, calcule a probabilidade de em 
certa semana a procura exceder a oferta de ovos. 
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Exercícios de Estimação 
 
 
 
 
1. Sejam os seguintes estimadores para a média da população definidos com base numa amostra de 
dimensão n: 
¦
=
=
n
i i
X
n 1
1
1
ˆθ 
2
ˆ 1
2
nXX +
=θ 
 Verifique os estimadores quanto ao enviesamento e eficiência (relativa) na estimação da média da 
população. Considere ainda que μ=)(XE e 2)( σ=XVar . 
 
2. Para uma população Bernoulli, considere o estimador ¦
=
=
n
i
iX
n
p
1
1
ˆ
 obtido a partir de uma amostra de 
dimensão n. Verifique o seu enviesamento e consistência em média quadrática na estimação da 
proporção populacional. 
 
3. Seja a estatística 
n
XX
T
n
i ni¦ −= +
=
2
1
1
2
 definida com base numa amostra aleatória de dimensão n 
retirada de uma população normal. 
a) Verifique se 1T é um estimador não enviesado para μ ; 
b) Será consistente? 
c) Considerando agora o estimador para μ : 
n
X
T
n
i i¦ −=
=
2
1
1 . Será consistente? 
4. Em certa região do país vivem aproximadamente 2 000 000 eleitores. Numa sondagem, 840 dos 2 000 
eleitores inquiridos declararam ir votar no candidato presidencial A. 
 
a) Construa um IC para a percentagem de eleitores não favoráveis ao candidato A e interprete o resultado 
obtido. 
b) Quantos eleitores deverão ser inquiridos de modo a que, com 95% de confiança, se pretender uma 
variação máxima de 1% na estimação da proporção de eleitores que pretendem votar no candidato A? 
Assuma que o valor da média amostral continua a ser o mesmo. 
d) Qual deverá ser o nível de confiança a utilizar para que a amplitude do intervalo da proporção de 
eleitores favoráveis ao candidato A seja de 0,04? 
e) Use o resultado obtido na alínea a) para indicar um IC a 95% para o número de eleitores que não 
votarão no candidato A. 
 
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5. O tempo de reparação, em minutos, de certo tipo de máquinas segue distribuição normal de parâmetros 
σμ e . Com a finalidade de estimar aqueles parâmetros, foi recolhida uma amostra de dimensão 
20=n , que forneceu os seguintes resultados: 
 2591002200
20
1
220
1
=¦=¦
== i
i
i
i XX 
 Suponha que se obteve o seguinte intervalo de confiança para o verdadeiro tempo médio de reparação 
daquele tipo de máquinas: ] [ ] [6,121;4,98=∗μλIC 
a) Indique uma estimativa para o desvio-padrão do tempo de reparação daquele tipo de 
máquinas. Justifique. 
b) Qual o nível de confiança que foi utilizado na construção deste intervalo? 
c) Se pretendesse reduzir a amplitude do intervalo de confiança da alínea anterior para metade 
como procederia? 
 
6. Um grupo de docentes de Análise de Dados do ISCTE pretendeu saber, em 2008, se os alunos da noite 
têm melhores notas a esta disciplina que os alunos diurnos. Se os alunos da noite constituírem o grupo 2 
e os alunos de dia o grupo 1, pretende-se saber se a diferença entre as médias das notas dos alunos 
nestes dois grupos é positiva. Para isso, tratou os dados em SPSS e obteve o seguinte output: 
44 8,59 3,878 ,585
70 9,01 3,779 ,452
Horário Horário
2 Nocturno
1 Diurno
p7 Que nota obteve
em Estatística I?
N Mean Std. Deviation
Std. Error
Mean
 
Independent Samples Test
,356 ,552 -,575 112 ,566 -,422 ,734 -2,347 1,502Equal variancesassumed
p7 Que nota obteve
em Estatística I?
F Sig.
Levene's Test for
Equality of Variances
t df Sig. (2-tailed)
Mean
Difference
Std. Error
Difference Lower Upper
99% Confidence
Interval of the
Difference
t-test for Equality of Means
 
 O que pode concluir? 
 
7. Na realização de um estudo sobre os alunos da área de Ciências de Gestão, recolheu-se uma amostra 
de 25 estudantes. Uma das características em análise foi a idade dos alunos a frequentar os cursos. Os 
resultados descritivos obtidos encontram-se resumidos na Tabela 1. 
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Tabela 1
21,40 a
b
c
21,23
21,00
5,667
2,380
18
28
10
3
1,193 ,464
1,233 ,902
Mean
Lower Bound
Upper Bound
95% Confidence Interval
for Mean
5% Trimmed Mean
Median
Variance
Std. Deviation
Minimum
Maximum
Range
Interquartile Range
Skewness
Kurtosis
Idade
Statistic Std. Error
 
 
- Complete a Tabela 1, determinando os valores a, b e c, em falta. Interprete o significado do intervalo 
estimado.