Diagrama de espaço e tempo

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AULA 4
ENGENHARIA DE 
TRANSPORTES
DIAGRAMA 
ESPAÇO-TEMPO:
Comportamento de uma 
corrente de tráfego
Considerações iniciais
Em quase todos os sistemas de transporte o movimento de um veículo é afetado
pela presença de outros veículos que compartilham a mesma via e o desempenho
de cada veículo é limitado pela corrente de tráfego, podendo ficar aquém do
ótimo.
Conforme aumenta o volume de tráfego de uma via, a velocidade média dos
veículos que a utilizam se reduz, ou seja, a qualidade do serviço de transporte
oferecido, conhecido como nível de serviço da via se reduz.
Capacidade de uma via
É definida como o maior volume de tráfego que ela pode suportar sem que o
nível de serviço fique abaixo de um padrão pré-determinado.
A capacidade e o nível de serviço de uma via estão diretamente relacionados com
a forma de controle dos fluxos de tráfego.
Uma das ferramentas mais úteis para a análise de fluxo de veículos é o diagrama
espaço-tempo
diagrama espaço-tempo
Nada mais é do que um gráfico XY onde a posição de cada veículo, ao 
longo de uma via, é plotada
O eixo das abscissas representa o tempo e o das ordenadas, a 
distância, ou seja, a localização na via
Podem ser representadas as trajetórias de vários veículos ao 
mesmo tempo
Um diagrama espaço-tempo para 
uma seqüência de trens
Headway e espaçamento
Parâmetros de grande importância para a caracterização dos fluxos de veículos
Headway (h)
Intervalo de tempo que decorre entre a passagem de 2 veículos sucessivos por uma
seção de controle
Referência é a passagem do pára-choques dianteiro
Espaçamento
Distância entre veículos sucessivos, medida de um ponto de referência comum nos
veículos
No diagrama espaço-tempo o headway é a distância horizontal que separa a trajetória dos 
veículos, e o espaçamento é a
distância vertical
Comportamento de uma corrente de 
tráfego
Transporte rodoviário
Controle menos centralizado dos fluxos de veículos, dentre todas as modalidades de
transporte
Motorista decide
Š Velocidade
Š Rota
Š Posição no espaço
Š Etc.
Outros modos de transporte
CCO onde se controla o fluxo de veículos
Comportamento de uma corrente de 
tráfego em rodovias
O estudo do fluxo de veículos rodoviários é complexo
Não apresenta controles tão rígidos
Grande quantidade de carros e caminhões
Engenharia de Tráfego (Especialidade da Engenharia de Transportes)
O comportamento pode ser estudado de duas maneiras
Microscópica
Representam o comportamento individual de veículos dentro do fluxo
Modelos probabilísticos e teoria das filas
Macroscópica
Comportamento das correntes de tráfego, como um todo, ignorando o que 
acontece com cada veículo individualmente
Fluxo de uma corrente de tráfego em 
rodovias
Fluxo de tráfego contínuo
„ Não existem interrupções periódicas
Auto-estradas e vias com acesso controlado
Onde não existem semáforos, sinais de parada obrigatória ou preferencial
Interseções em nível
Fluxo de tráfego interrompido
„ Presença de dispositivos para interrupções periódicas do fluxo (ex.: semáforos)
„ Fluxo depende não só da interação entre os veículos, mas também do intervalo entre as 
interrupções
Estudo macroscópico de uma 
corrente de tráfego
Três parâmetros macroscópicos que caracterizam o fluxo
„ O volume de tráfego
„ Definido como o número de veículos passando por uma seção de controle durante um 
intervalo de tempo
„ A velocidade média de uma corrente de tráfego
„ Velocidade média no tempo
„ Velocidade média no espaço
„ A densidade ou concentração de uma corrente de tráfego
„ Definida como o número de veículos que ocupam um trecho de via num determinado 
instante
Volume de tráfego (q)
n
Obtido através de contagem
Š Automática ou manual
Š Por faixa de tráfego ou todas
Š Um único sentido ou dois
∆t
Tempo de realização da contagem
As contagens devem ser realizadas sempre 
em intervalos de tempo suficientemente 
longos para evitar distorções
Exemplo 1
Numa contagem com duração de 4 minutos verificou-
se a passagem de 4 veículos pela seção de controle, 
sendo que os 3 primeiros veículos foram contados na 
primeira metade do intervalo. 
Qual o valor de q para o tempo total e para a metade 
inicial do tempo de contagem (veic/h)?
Para o tempo total de contagem
∆t = 4 minutos
n = 4 veículos
Para a metade inicial da contagem
∆t = 2 minutos
n= 3 veiculos
𝑞 =
𝑛
∆𝑡
=
4
4
= 1 𝑣𝑒𝑖𝑐/min = 60 veic/h
𝑞 =
𝑛
∆𝑡
=
3
2
= 1,5 𝑣𝑒𝑖𝑐/min = 90 veic/h
Volume de tráfego
Distribuição temporal do fluxo de veículos é interessante também
„ Tempo entre a passagem de veículos sucessivos pela seção de controle -headway
Intervalo de tempo:
Substituindo esta equação na de volume, temos:
◦ Válida se a contagem iniciar com a passagem do primeiro veículo e terminar com a passagem do último
◦ Composta por um grande número por um grande número de carros
𝑞 =
𝑛
∆𝑡
𝑞 =
𝑛
σ𝑖=1
𝑛 ℎ𝑖
∆𝑡 =෍
𝑖=1
𝑛
ℎ𝑖
Volume de tráfego
Headway médio
Portanto, o volume de tráfego pode ser expresso como:
O volume é inversamente proporcional ao headway médio
തℎ =
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
ℎ𝑖
𝑞 =
𝑛
𝑛. തℎ
→ 𝑞 =
1
തℎ
Velocidade média de uma corrente 
de tráfego
Velocidade média no tempo (ūt)
Média aritmética das velocidades de veículos individuais, medidas em um certo ponto da
via
Onde ui é a velocidade do i-ésimo veículo (km/h)
ത𝑢𝑡=
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
𝑢𝑖
Velocidade média de uma corrente 
de tráfego
Velocidade média no espaço (ū)
Baseada no tempo necessário para um veículo viajar uma certa distância
Onde: n = número de veículos;
d = comprimento do trecho [km];
ti = tempo gasto por cada veículo para
percorrer a distância d [h].
Mais útil para os estudos de tráfego
ത𝑢 = 𝑛.
𝑑
σ𝑖=1
𝑛 𝑡𝑖
Exemplo 2
Considere o diagrama espaço-tempo ao
lado. A tabela fornece o tempo gasto
por cada veiculo para percorrer o
trecho de 1,5 km e a velocidade
instantânea em d3.
Determine a velocidade média no
tempo e no espaço
Veículo
Tempo
(min)
Velocidade
(km/h)
3 2,6 34,62
4 2,5 36,00
5 2,4 37,50
6 2,2 40,91
Determine a velocidade média:
◦ no tempo 
◦ no espaço
ത𝑢𝑡=
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
𝑢𝑖
ത𝑢 = 𝑛.
𝑑
σ𝑖=1
𝑛 𝑡𝑖
Solução
Determine a velocidade média:
◦ no tempo 
◦ no espaço
Temos que transformar o tempo em hora!!!
ത𝑢𝑡=
1
𝑛
σ𝑖=1
𝑛 𝑢𝑖 → ത𝑢𝑡 =
(34,62+36+37,5+40,91)
4
= 37,26 km/h
ത𝑢 = 𝑛.
𝑑
σ𝑖=1
𝑛 𝑡𝑖
→ ത𝑢 = 4.
1,5
(2,6+2,5+2,4+2,2)
60
= 37,11km/h
Concentração de uma corrente de 
tráfego
Definida como o número de veículos que ocupam um trecho de via num determinado 
instante
Pode ser determinada a partir de diagramas espaço-tempo
Onde:
n = número de veículos;
L = comprimento do trecho [km];
Onde: 
ti = tempo gasto por cada veículo para percorrer 
o trecho [h];
∆t = duração do intervalo de tempo
𝑘 =
𝑛
𝐿
𝑘 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑡𝑖
𝐿. ∆𝑡
Exemplo 3
Considerando o diagrama-espaço-tempo do exemplo 2, determine a densidade do fluxo 
de tráfego no trecho em questão.
𝑘 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑡𝑖
𝐿. ∆𝑡
→
2,6 + 2,5 + 2,4 + 2,2
1,5.4,4
= 1,44 𝑣𝑒𝑖𝑐/𝑘𝑚
Relação fundamental dos fluxos de 
tráfego contínuos
Veículos trafegando por auto-estradas ou vias expressas com poucas interrupções
são usualmente tratadas com fluxos contínuos de tráfego.
Descrição do comportamento de um fluxo contínuo de veículos dada pela relação 
básica entre volume (q), velocidade (ū – média no espaço) e densidade (k)
Modelo geral usado para o desenvolvimento de modelos específicos para o estudo de 
fluxos de veículos
𝑞 = ത𝑢. 𝑘
O modelo velocidadeversus
densidade
Forma mais simples para explicar as relações entre 
as características de um fluxo contínuo de veículo.
Imaginando uma via onde só existe um único 
veículo
◦ Densidade (k) é muito baixa: k → 0
◦ Velocidade definida pelo usuário, possivelmente a 
máxima permitida
◦ Velocidade de fluxo livre (uf)
◦ Velocidade de operação não é afetada pela presença de outros veículos
Aumentando o número de veículos na via
◦ Densidade (k) aumenta
◦ Velocidade de operação (u) diminui
◦ A presença de outros veículos interfere na operação, na medida são necessárias manobras 
e maior cautela por parte dos motoristas
Aumentando o número de veículo na via até o
congestionamento
◦ Tráfego parado
◦ Velocidade de operação tende a zero: u = 0
◦ Densidade (k) determinada pelo comprimento dos veículos e a
distância entre eles
◦ Densidade de congestionamento (kj)
Modelo de Greenshields para velocidade 
vs. Concentração – modelo linear
Onde:
u = velocidade média no espaço (km/h);
u f = velocidade de fluxo livre (km/h);
kj = densidade de congestionamento (veic/km).
O modelo volume versus
concentração
Se uma função linear representa adequadamente a relação entre velocidade e 
concentração (u = f(k))
É possível obter um modelo que relaciona volume e densidade de tráfego (q = f(k))
𝑞 = 𝑢. 𝑘 𝑢 = 𝑢𝑓. 1 −
𝑘
𝑘𝑗
𝑞 = 𝑢𝑓. 1 −
𝑘
𝑘𝑗
. 𝑘 → 𝑞 = 𝑢𝑓. 𝑘 −
𝑘2
𝑘𝑗
O modelo 
volume versus concentração
Onde:
q = volume de tráfego (veic/h)
uf = velocidade de fluxo livre (km/h)
k = concentração (veic/km)
kj = densidade de congestionamento (veic/km)
𝑞 = 𝑢𝑓. 𝑘 −
𝑘2
𝑘𝑗
O modelo 
volume versus concentração
Pontos notáveis
„ Ponto de fluxo máximo (qm)
Š Maior volume de tráfego suportado pela via
Š Capacidade da via
„ Associado a qm existe uma concentração (km) 
e uma velocidade média no espaço (um)
𝑞𝑚 = 𝑢𝑚. 𝑘𝑚
𝑘𝑚 =
𝑘𝑗
2
𝑢𝑚 =
𝑢𝑓
2
O modelo 
volume versus concentração
A concentração numa via operando capacidade máxima é a metade da densidade de 
congestionamento
A velocidade média dos veículos numa via operando à capacidade máxima é a metade 
da velocidade de fluxo livre
O fluxo máximo, ou capacidade
𝑘𝑚 =
𝑘𝑗
2
𝑢𝑚 =
𝑢𝑓
2
𝑞𝑚 = 𝑢𝑚. 𝑘𝑚 =
𝑢𝑓.𝑘𝑗
4
O modelo 
volume versus velocidade
Modelo explica a variação da velocidade com o volume de uma corrente de veículos
𝑞 = 𝑢. 𝑘 𝑘 = 𝑘𝑗. 1 −
𝑢
𝑢𝑓
𝑞 = 𝑢. 𝑘𝑗. 1 −
𝑢
𝑢𝑓
→ 𝑞 = 𝑘𝑗. 𝑢 −
𝑢2
𝑢𝑓
O modelo 
volume versus velocidade
𝑞 = 𝑘𝑗. 𝑢 −
𝑢2
𝑢𝑓
Relações entre velocidade, volume e 
concentração
Exemplo 4
Supondo-se que um trecho de rodovia tem uma velocidade de fluxo livre de 100 km/h, 
densidade de congestionamento de 200 veic/km e que a relação velocidade e densidade 
seja linear, pede-se:
a) capacidade da via 
b) densidade e velocidade correspondente a este volume
𝑞𝑚 =
𝑢𝑓. 𝑘𝑗
4
𝑞 = 𝑢. 𝑘𝑘𝑚 =
𝑘𝑗
2
𝑢𝑚 =
𝑢𝑓
2
a) capacidade da via 
O fluxo máximo (ou capacidade da via) – qm
– pode ser determinado a partir da velocidade de fluxo livre e da densidade de
congestionamento
b) densidade e velocidade 
correspondente a este volume
Como a densidade correspondente ao fluxo máximo é a metade da densidade de 
congestionamento
A velocidade média no espaço correspondente ao volume de tráfego máximo é a 
metade da velocidade de fluxo livre
A capacidade da via também pode ser determinada por
Exercício 1
Observações conduzidas numa faixa de rolamento de uma rodovia produziram os dados
sobre a velocidade média no espaço e a densidade da corrente de tráfego apresentados na
tabela. Baseado nestas informações, determine:
„ Qual a densidade de congestionamento;
„ Qual a velocidade de fluxo livre;
„ Qual o volume máximo que pode trafegar pela via;
„ Desenhe as curvas velocidade vs densidade, volume vs densidade e velocidade vs
volume, indicando os valores observados e os calculados nos itens anteriores (assuma
que a relação fundamental é válida)
Velocidade (km/h) 97 68 34
Concentração (veic/km) 43 94 149
Solução – exercício 1
Com as informações fornecidas, é possível verificar a existência de uma relação entre a 
velocidade e a concentração, e se esta é linear, conforme proposto pelo Modelo 
Greenshields.
Velocidade (km/h) 97 68 34
Concentração (veic/km) 43 94 149
Como a relação é linear, é válido o modelo de Greenshields, portanto, o 
coeficiente linear da reta de regressão indica a velocidade de fluxo livre e
coeficiente angular indica a relação entre esta velocidade e a densidade de 
congestionamento. Assim:
Regressão linear é facilmente feito no excel, ou de forma manual, o que você preferir.
https://www.youtube.com/watch?v=x42skwrbiek - link de como fazer a regressão linear manualmente
Conhecidos os valores da velocidade de fluxo livre e a densidade de 
congestionamento, é possível determinar o volume máximo que pode trafegar pela via 
e a velocidade e densidade associada a este
Exercício 2
Observações conduzidas numa faixa de rolamento de uma rodovia produziram os dados
sobre a velocidade média no espaço e a densidade da corrente de tráfego apresentados na
tabela. Baseado nestas informações, determine:
„ Qual a densidade de congestionamento;
„ Qual a velocidade de fluxo livre;
„ Qual o volume máximo que pode trafegar pela via;
„ Desenhe as curvas velocidade vs densidade, volume vs densidade e velocidade vs
volume, indicando os valores observados e os calculados nos itens anteriores (assuma
que a relação fundamental é válida)
Velocidade (km/h) 65 47 28
Concentração (veic/km) 50 100 150
Modelos microscópicos de tráfego
Estudo do fluxo de veículos a partir da determinação do número de veículos que
passam por um trecho durante um intervalo de tempo
Formalizadas as relações básicas entre volume, velocidade média e densidade de
uma corrente de tráfego (q=u·k), pode-se passar ao estudo dos fluxos de veículos
através de modelos capazes de determinar os intervalos entre chegadas sucessivas
de veículos
Estes modelos representam o comportamento individual de cada veículo, e por
esta razão são chamados modelos microscópicos
Modelo determinístico – é o modelo 
mais simples
„ Baseado na suposição de que os intervalos entre passagens sucessivas de veículos pela seção de
controle são constantes
„ Exemplo: se o volume de tráfego for 360 veic/h, o número de veículos que passam por uma seção
de controle num intervalo de 5 minutos é 30 e o headway entre dois veículos sucessivos quaisquer
é 10 segundos
„ Grande utilidade, mas uma rápida observação de um trecho qualquer mostra que a hipótese de
chegadas uniformemente espaçadas é apenas uma aproximação do fenômeno real
A observação mostra que os headways não são constantes e variam de forma
aleatória
Um modelo estocástico de chegadas, que trata os headways como uma variável
aleatória, representa mais fielmente o processo de passagem de veículos por um
ponto de observação
Se a variável aleatória puder ser ajustada a uma função densidade de
probabilidade, o problema passa a ser determinar qual a distribuição estatística é
a mais adequada para representar os headways observados
A distribuição de Poisson é muito usada para representar chegadas de 
veículos numa corrente de tráfego, e é expressa:
Onde:
P(n) – probabilidade de n veículos chegarem durante um intervalo de duração t;
t – intervalo de observações [seg]; e
λ – volume médio observado no intervalo de tempo observado, também chamado de taxa de chegadas 
[veic/seg]
𝑃 𝑛 =
(λ. 𝑡)𝑛. 𝑒−λ.𝑡
n!
! é a operação FATORIAL, e 0!=1 “e” é a constante de Euler
Exemplo
Considere umtrecho de uma auto-estrada onde observa-se um 
fluxo médio de 360 veic/h. 
Supondo-se que as chegadas de veículos sejam distribuídas de 
acordo com uma distribuição de Poisson, pode-se estimar a 
probabilidade de se ter 0, 1, 2, 3, 4, 5 ou mais veículos 
passando por um posto de polícia rodoviária num intervalo de 
20 segundos.
Solução
Neste caso, a taxa de chegadas é λ = 360/3600 = 0,1 veic/seg. 
Usando-se a equação do modelo de Poisson, tem-se que as probabilidades de 
ocorrem 0, 1, 2, 3 e 4 chegadas num intervalo de t=20 segundos são:
𝑃 𝑛 =
(0,1.20)𝑛. 𝑒−0,1.20
n!
Solução
0, 1, 2, 3 e 4 chegadas
𝑃 0 =
(0,1.20)0. 𝑒−0,1.20
0!
= 0,135
𝑃 1 =
(0,1.20)1. 𝑒−0,1.20
1!
= 0,271
𝑃 2 =
(0,1.20)2. 𝑒−0,1.20
2!
= 0,271 𝑃 3 =
(0,1.20)3. 𝑒−0,1.20
3!
= 0,180
𝑃 4 =
(0,1.20)4. 𝑒−0,1.20
4!
= 0,090
Solução
Para 5 ou mais chegadas
𝑃 𝑛 ≥ 5 = 1 − [𝑃 0 + 𝑃 1 + 𝑃 2 + 𝑃 3 + 𝑃 4 ]
𝑃 𝑛 ≥ 5 = 1 − 0,135 + 0,271 + 0,271 + 0,180 + 0,09 = 0,053
Modelos microscópicos de tráfego
Observações empíricas mostram que a hipótese de chegadas regidas por uma
distribuição de Poisson é realística para uma ampla gama de condições de tráfego
não congestionadas
À medida em que os volumes aumentam ou semáforos causem distúrbios cíclicos
na corrente de tráfego, outras distribuições passam a ser mais apropriadas para
descrever o processo de chegadas
Análise dos fluxos de veículos através 
da teoria das filas
Formação de filas em interseções e em pontos de 
estrangulamento nas vias
„ Fenômeno facilmente observável na circulação viária
Um dos problemas mais constantes enfrentados na Engenharia 
de Transportes
„ Responsável por uma parcela considerável do tempo total de viagem
„ Um dos fatores mais preponderantes na redução do nível de serviço das vias
Filas não são exclusividade dos sistemas de transporte
„ Bancos, linhas de fabricação e montagem, sistemas de computadores, hospitais, centrais 
telefônicas, etc.
Teoria das filas
Os sistemas de filas têm sido estudados exaustivamente com o objetivo de mitigar os
problemas inerentes a eles
Desenvolvimento da Teoria das filas
◦ Estudado em nível de pós-graduação
Teoria das filas pode ser usada para analisar o comportamento dos fluxos de veículos
nos pontos de estrangulamento, permitindo avaliar a eficiência dos dispositivos e
alterações projetados