CIRCUITOS I - Cap. 12 e 13

Prévia do material em texto

CIRCUITOS ELÉTRICOS ICIRCUITOS ELÉTRICOS I
Prof. Esp. José Genilson de Azevedo
1. Conceitos iniciais de eletrodinâmica
2. Circuitos resistivos
3. Utilização de instrumentos de medidas
4. Aplicações avançadas das leis de circuitos
5. Teorema da superposição
6. Transferências de potência e eficiência energética
7. Verificação do teorema de Thevenin7. Verificação do teorema de Thevenin
8. Dispositivos armazenadores de energia
9. Circuitos de 1ª ordem
10. Circuitos de 1ª ordem
11. Circuitos RC e RL
12. Circuitos de 2ª ordem
13. Circuitos de 2ª ordem
14. Introduções a circuitos de corrente alternada
15. Análises em regime transitório e permanente
16. Transferência Máxima de Energia
 Para um circuito LC:
12.1. Resposta Natural de um circuito LC não forçado
12. Circuitos de 2ª ordem
Aplicando a LKC:
Derivando:
Utilizando :
Derivando:
Definindo o parâmetro :
Resposta natural:
Frequência de ressonância ou frequência natural é
a frequência (ou conjunto de frequências) particular de
um corpo em vibração livre, determinada pelo tamanho,
forma e composição desse. Um método de identificá-la
consiste em impactar o objeto de análise e, com isso,
excitar sua frequência de ressonância.
 Para um circuito RLC paralelo:
12.2. Resposta Natural de um circuito RLC não forçado
12. Circuitos de 2ª ordem
Aplicando a LKC e derivando:
Através do operador s:
Sabendo-se que:
Raízes da eq. característica:
Resposta natural:
 Para um circuito RLC paralelo:
12.2. Resposta Natural de um circuito RLC não forçado
12. Circuitos de 2ª ordem
Para encontrar as constantes desconhecidas:
 Para um circuito RLC paralelo:
12.2. Resposta Natural de um circuito RLC não forçado
12. Circuitos de 2ª ordem
Tipos das raízes da equação 
característica:
Circuito superamortecido
Circuito criticamente amortecido
Circuito subamortecido
• Circuito superamortecido:
o Exemplo 34: Determine a resposta natural de v(t) para t > 0 no circuito
RLC abaixo, sendo R = 2/3 Ω, L = 1 H, C = 1/2 F, v(0) = 10 V e i(0) = 2 A.
12.2. Resposta Natural de um circuito RLC não forçado
12. Circuitos de 2ª ordem
• Circuito superamortecido:
o Exemplo 34: Determine a resposta natural de v(t) para t > 0 no circuito
RLC abaixo, sendo R = 2/3 Ω, L = 1 H, C = 1/2 F, v(0) = 10 V e i(0) = 2 A.
 Solução:
12.2. Resposta Natural de um circuito RLC não forçado
12. Circuitos de 2ª ordem
 Solução:
Equação característica:
Determinação das constantes:
Resposta Natural:
• Circuito superamortecido:
 Exercício 37: Determine a resposta natural de vn(t) para t > 0 no
circuito RLC abaixo, sendo R = 6 Ω, L = 7 H, C = 1/42 F, v(0) = 0 V e i(0) =
10 A.
12.2. Resposta Natural de um circuito RLC não forçado
12. Circuitos de 2ª ordem
• Circuito criticamente amortecido:
12.2. Resposta Natural de um circuito RLC não forçado
12. Circuitos de 2ª ordem
s1 = s2
Como as duas raízes são iguais, temos apenas uma
constante a ser determinada e duas condições iniciais
para satisfazer, o que torna claro que esta equação não
completa da resposta natural de um circuito
criticamente amortecido. Como precisamos de uma
solução que contenha duas condições arbitrárias,
vamos tentar uma solução do tipo:
• Circuito criticamente amortecido:
o Exemplo 35: Determine a resposta natural de v(t) para t > 0 no
circuito RLC abaixo, sendo R = 1 Ω, L = 1 H, C = 1/4 F, v(0) = 5 V
e i(0) = 6 A.
12.2. Resposta Natural de um circuito RLC não forçado
12. Circuitos de 2ª ordem
• Circuito criticamente amortecido:
 Exemplo 35: Determine a resposta natural de v(t) para t > 0 no
circuito RLC abaixo, sendo R = 1 Ω, L = 1 H, C = 1/4 F, v(0) = 5 V
e i(0) = 6 A.
12.2. Resposta Natural de um circuito RLC não forçado
12. Circuitos de 2ª ordem
Derivando v em t = 0:
 Solução:
s1 = s2 = -2
Para v(0) = 5 V:
Derivando vn em t = 0:
• Circuito criticamente amortecido:
 Exemplo 35: Determine a resposta natural de v(t) para t > 0 no
circuito RLC abaixo, sendo R = 1 Ω, L = 1 H, C = 1/4 F, v(0) = 5 V
e i(0) = 6 A.
12.2. Resposta Natural de um circuito RLC não forçado
12. Circuitos de 2ª ordem
 Solução:
• Circuito criticamente amortecido:
 Exercício 38: Determine a resposta natural de vn(t) para t > 0 no
circuito RLC abaixo, sendo R = 10 Ω, L = 0,4 H, C = 1 mF, v(0) = 8 V e i(0)
= 0 A.
12.2. Resposta Natural de um circuito RLC não forçado
12. Circuitos de 2ª ordem
• Circuito subamortecido:
12.2. Resposta Natural de um circuito RLC não forçado
12. Circuitos de 2ª ordem
• Circuito subamortecido:
12.2. Resposta Natural de um circuito RLC não forçado
12. Circuitos de 2ª ordem
 As raízes complexas levam a uma resposta do tipo oscilatória.
 O fator ά, que é o coeficiente de amortecimento, determina a rapidez
com que as oscilações são amortecidas.
12.2. Resposta Natural de um circuito RLC não forçado
12. Circuitos de 2ª ordem
• Circuito subamortecido:
o Exemplo 36: Determine a resposta natural de v(t) para t > 0 no
circuito RLC abaixo, sendo R = 25/3 Ω, L = 0,1 H, C = 1 mF, v(0) =
10 V e i(0) = -0,6 A.
12.2. Resposta Natural de um circuito RLC não forçado
12. Circuitos de 2ª ordem
• Circuito subamortecido:
o Exemplo 36: Determine a resposta natural de v(t) para t > 0 no
circuito RLC abaixo, sendo R = 25/3 Ω, L = 0,1 H, C = 1 mF, v(0) =
10 V e i(0) = -0,6 A.
12.2. Resposta Natural de um circuito RLC não forçado
12. Circuitos de 2ª ordem
 Solução:
• Circuito subamortecido:
o Exemplo 36: Determine a resposta natural de v(t) para t > 0 no
circuito RLC abaixo, sendo R = 25/3 Ω, L = 0,1 H, C = 1 mF, v(0) =
10 V e i(0) = -0,6 A.
12.2. Resposta Natural de um circuito RLC não forçado
12. Circuitos de 2ª ordem
 Solução:
• Circuito subamortecido:
o Exemplo 36: Determine a resposta natural de v(t) para t > 0 no
circuito RLC abaixo, sendo R = 25/3 Ω, L = 0,1 H, C = 1 mF, v(0) =
10 V e i(0) = -0,6 A.
12.2. Resposta Natural de um circuito RLC não forçado
12. Circuitos de 2ª ordem
 Solução:
Cálculo do período 
das oscilações 
amortecidas
• Circuito criticamente amortecido:
 Exercício 39: Determine a resposta natural de vn(t) para t > 0 no
circuito RLC abaixo, sendo R = 62,5 Ω, L = 10 mH, C = 1 µF, v(0) = 10 V
e i(0) = 80 mA.
12.2. Resposta Natural de um circuito RLC não forçado
12. Circuitos de 2ª ordem
 A equação diferencial do circuito de segunda ordem é da seguinte
forma:
 A resposta forçada x deve satisfazer a equação acima. Assim,
12.3. Resposta Forçada de um circuito RLC
12. Circuitos de 2ª ordem
 A resposta forçada xf deve satisfazer a equação acima. Assim,
substituindo x por xf, devemos obter:
 Respostas forçadas
12.3. Resposta Forçada de um circuito RLC
12. Circuitos de 2ª ordem
 Exemplo 37: Determine a resposta forçada if da corrente no indutor do
circuito abaixo, para , supondo que R = 6 Ω, L = 7 H, C = 1/42
F.
12.3. Resposta Forçada de um circuito RLC
12. Circuitos de 2ª ordem
 Exemplo 37: Determine a resposta forçada if da corrente no indutor do
circuito abaixo, para , supondo que R = 6 Ω, L = 7 H, C = 1/42
F.
 Solução:
12.3. Resposta Forçada de um circuito RLC
12. Circuitos de 2ª ordem

 Encontrando a resposta forçada:
(:LC)
 Exemplo 38: Determine a resposta forçada if da corrente no indutor do
circuito abaixo, para is = I0, supondo que R = 6 Ω, L = 7 H, C = 1/42 F.
12.3. Resposta Forçada de um circuito RLC
12. Circuitos de 2ª ordem
 Solução:
Encontrando a resposta forçada:
 Exercício 40: Um circuito elétrico é descrito, para t > 0, pela seguinte
equação
em que . Determine a resposta forçada if, para t > 0.
12.3. Resposta Forçada de um circuito RLC
12. Circuitos de 2ª ordem
 A resposta completade um circuito é a soma da resposta natural e da
resposta forçada.
x = xn + xf
 Exemplo 39: Para o circuito RLC série abaixo, determine a resposta 
12.4. Resposta Completa de um circuito RLC
12. Circuitos de 2ª ordem
 Exemplo 39: Para o circuito RLC série abaixo, determine a resposta 
completa da tensão v no capacitor.
 Exemplo 39: Para o circuito RLC série abaixo, determine a resposta
completa da tensão v no capacitor, considerando R = 5 Ω, L = 1 H, C =
1/16 F.
 Solução:
12.4. Resposta Completa de um circuito RLC
12. Circuitos de 2ª ordem
. Determinando a resposta
natural:
. Equação diferencial do circuito:
 Exemplo 39: Para o circuito RLC série abaixo, determine a resposta
completa da tensão v no capacitor, considerando R = 5 Ω, L = 1 H, C =
1/6 F.
 Solução:
. Determinando a resposta completa:
12.4. Resposta Completa de um circuito RLC
12. Circuitos de 2ª ordem
. Determinando a resposta completa:
. Determinando a resposta forçada:
 Exercício 40: Determine a corrente i(t) no indutor do circuito abaixo,
para is = 5u(t) A. Suponha que i(0) = 0 e vc(0) = 0.
12.3. Resposta Forçada de um circuito RLC
12. Circuitos de 2ª ordem
 Exercício 41: Determine i(t) para t > 0 no circuito abaixo.
12.3. Resposta Forçada de um circuito RLC
12. Circuitos de 2ª ordem
REFERÊNCIASREFERÊNCIAS
NILSSON, James William; RIEDEL, Susan A. Circuitos elétricos. 8. ed. São
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009. Disponível em:
<http://aulaaberta.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788576051596>
BURIAN JUNIOR, Yaro; LYRA, Ana Cristina C. Circuitos elétricos. São Paulo:BURIAN JUNIOR, Yaro; LYRA, Ana Cristina C. Circuitos elétricos. São Paulo:
Prentice-Hall, 2006. Disponível em:
<http://aulaaberta.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788576050728>
MARIOTTO, Paulo Antônio. Análise de Circuitos Elétricos. São Paulo:
Prentice-Hall, 2003. Disponível em:
<http://unifacs.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788587918062/pages
/_1>
DORF, R. C.; SVOBODA, J. A. Introdução Aos Circuitos Elétricos. 8. ed. Rio
de Janeiro: Editora LTC, 2012.
REFERÊNCIASREFERÊNCIAS
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de Circuitos Elétricos.
5. ed. São Paulo: Editora Bookman, 2013.
MELLO, L. F. P. Projetos de fontes chaveadas: teoria e prática. Érica, São
Paulo, 2011.Paulo, 2011.
COSTA, V. M. Circuitos Elétricos Lineares. Rio de Janeiro: Interciência, 2013.
IRWIN, J. D. Análise de Circuitos em Engenharia. 1. ed. São Paulo: Makron
Books, 2000.
BOYLESTAD, R. L. Dispositivos Eletrônicos e Teoria de Circuitos. 11. ed.
São Paulo: Pearson, 2013.
JOHNSON, D. E.; HILBURN, J. L.; JOHNSON, J. R. Fundamentos de Análise
de Circuitos Elétricos. 4. ed.Rio de Janeiro: Editora: LTC, 2000.
MUITO OBRIGADO!MUITO OBRIGADO!