Probabelidade e estatistica Paul meyer part2

Prévia do material em texto

• ' .. 
· ' :::. 
:;:. · . 
1-
,/.' 
Íl: 
' \ 
I": 
l l · 
L 
IPROBABIUDADE CONDiCIONADA E INDEPENDÊNCIA I 47 
I 
(b) P(A I .8) = P(A í1 B)/P(B) I= [P(A)/P(p)l ~ P(A), já que 
O~ P(B) ~ 1. i 
(c) P(A IB) = P(A í1 B)/P(B) \= P(B)/P(B) = 1 ~ P(A). 
. (d) Neste caso nada poderem4s afirmar spbre a grandeza rela-
tiva de P(A IB) e P(A). 1 . · · · 
I 
Observe-se que em dois dos casos acima, P(A) ~ 1 P(A I B); em~ 
um caso, P(A) ;:::: P(A !B); e no qu~rto caso: não podemos fazer qual-
quer comparação~ I . 
· · Até aqui, empregamos o conceito de probabilidade condicionada 
. a fim de avaliar a p~obabilidade de [ocorrência conjunt~ de dois even-
;tos. Poderemos aphcar esse conce1to em outra manem• rle calcular 
• a: ·.probabilidade de um evento suhples A. Necessitaremos ·da se-
·•. g\J'in:te 'definição: f 
I . 
Definição. Dizemos que os e~entos B 11 B 2, ••• , Bk representam 
:uma partição do espaço amostral S, f uando 
(a) B ; íl Bi . = 0, para todo i ~ j. 
. I . 
/c 
(b) U B; =S. 
(c9 P(B;) > O para todo i. 
Explicando: Quando o experimento E é realizado um, e somente I I .· . 
um, dos {'V~ntos Bi ocorre. I·, · · · 
(P?r exemplo: na jogada de um dado, 
B1 ~ 111,_21; B2 = •{3, 4, 5) e B3 = {6} 
representariam uma partição do espaço 
amo~trhl, enquanto C 1 = I i, 2, 3, 4) ~ 
c2 = 't j4, 5, 6) não o representariam.) 
Fig.·3.3 
Consideremos A um evento qual-
quer referente aS, e B 1, B2, .. .', B~c uma 
partição de S. O Diagrama de Venn 
na Fi~. 3.3 ilusira isso para k = 8. 
· Portan~o, . poderem~s escrever 
. I 
A = A íl B1 U A n B2 U ... U A íl Bk. 
. . I . 
. . I . 
Natura.lmcntc, alguns dos conjunto~ A n Bi poderãó ser vazios, mas 
. , I . . 
isso não invalidá essa decomposição de A. O ponto importante é 
que todos os ~ven.tos A n B11 •• • ,)A í1 B~r, são dois a ,dois mutua-
mente excludentes. Por isso, poderemos aplicar a propriedade da 
. ' 
I 
;•. : 
'! 
· I 
I 
I 
I 
I 
48 I IPROBABIUDADIE . , __ ,: 
adição de eventos mutuamente éxcludentes"[Eq." '(t3)k !e-es~rever 
P(A) = P(A n B1) + P(A (1 B2) + ~ -.. -+;rDí. :n ~k). 
·. ·· :l · · · ;t ... _:: _ _..._!::-· /-.~!- ~ - r,.:f ':. ·' • .. _ 
Contudo, c'ada termo P(A () B;) pode ser expresso na forma P(iq B;): 
·P(B;) c, daí, obteremos o que se denomi;1a o teoremà -'d3: J;;·obaliili-
dade total: · ' 
P(A) = P(AIB1)P(B1,) + P(AjB2)P(B2)+ ... +P(AIBk)~(nS (3.4) -
Este resultado representa ~ma relação extré;n~~e,ite .útil, - porque 
freqüentemeqte, quando P(A) é pedida, p~dc_ ser difícii ,calculá-la 
diretamcnte. No entanto, com a informação adicional de qÚe B; 
tenha ocorrido, seremos capa~es de calcula~ P(A.IB;) ~. e~ - seguida, 
empregar a fórmula acima. · -· -
Exemplo 3.4. Consideremos (pela última vez) o lote de 20 peças 
defeituosas c 80 não-defeituosas, do qual extrairemos duas peças, 
sem 1·eposição. Novamente definindo-se A e B como iguais lJ. 
_A = I a primeira peça extraída é defeituosa J, 
B = I a _segunda peça extraída é defeituosa}, 
poderemos, agora, calcular P(B), assim: 
P(B) = P(BIA)P(A) + P(BjA)P(A} 
Empregando alguns dos "cálculos realizados no Ex:. 3.3, ~ncontramo~ 
q ue 
19 1 20 4 l P(B) = -·-+- ·- = - -99 ' 5 99 5 5 
Este resultado pode ser um tanto surpreendente, especialmente 
se o leitor se recordar de que no início da Seç. 3.1 encontramo!:! que 
_!(I!) = 1/5, quando extraímos- as peças com reposição. 
Exemplo 3.5. Uma determinada peça é manufaturada por três _ 
fábricas, digamos _1, 2 e 3. Sabe-se que 1 produz· o dobro de peças 
que 2, e 2 e 3 produziram o mesmo número de peças (durante um 
período de produção especificado). Sabe-se também que 2 por cento 
- das peças produzidas por l e por 2 são defeituosas, enquanto 4 por · 
. . 4 ' 
cento daquelas produzidas por 3 são defeituosas. Todas as peças . 
produzidas são colocadas em um dep6sito, e dep,ois . uma peça é- ex-
traída ao acaso. Qual é a probabilidade de que ess; peça seja de-
"ÍE)ituosa? 
.. , - ·;;<Vamos introduZir os seguintes , eventos: A = I a peça é defei-
tuº~~ }-, ~~ = , I a peça provém de 1}, B2 = I a peça provém de 2}, 
- B.:~ :;::""')~~pe~a provém de 3 J. 
::.:; 
PROBABiUDADIE CONDICIONADA IE iNDEPENDÊNCIA I 49 
Pede-se P(A), e empregando-se o resultado acima, poderemos 
escrever: 
P(A) = P(A JB1)P(B1 ~ + P(A JB2)P(B,) + P(A IB3)P(B3). 
Ora,-P(B1)=1/2, enquantó P(B 2)=P(B3)= 1/4. Também, P(AIB1) = 
= P(A I B2) = 0,02, enquanto P(A I B3) = 0,04. Levando-se esses vm~ 
lores à expressão acima, encontraremol;l P(A) = 1!},025. 
Comentário: A seguinte analogia com o teorema da probabilidade total é 
· observada em Quí~ica:· Sup~nha-se que ternos k frascos contendo diferentes 
soluções de um mesmo sal totalizando, digamos, um litro. Seja P(Bi) o volume 
do i-ésirno frasco e seja P(A IBi) a concentração da solução no i-ésirno frasco. 
Se reunirmos todas as soluções em um só frasco e seP(A) denotar a concentração· 
da sq~tição resultante, teremos: 
P(A) = P(A JB1)P(BI)+ ·=·+PIA IBJ,)P(B~~:). 
Poderemos empregar o Ex. 3.5 para sugerir outro importante 
resultado. Suponha-se que uma peça seja retirada do depósito e se 
verifique ser ela d~feituosà~ Qual é a probabilidade de que tenha sido 
produzida na fábriCa 1? 
Empregando a notação já introduzida, pede-se P(BdA). Pode-
remos calc~lar esta probabilidade como uma conseqüência da seguinte 
exposição: ·Seja B 1, B2, .. . , Bk uma partição .do espaço amostral S 
e seja A um evento associado a S. Aplicando-se a definição de pro-
babilidade . condicionada, poderemos escrever 
P(BdA) = ~(A JB,)P(B;) 
:L j = 1 P(A I B;)P(B;) 1: =: 1, 2,. o., k. ~3.5) 
Este resultado é conhecido como Teorema de Bayes. É também 
denominado fórmula da probabilidade das ;,causas" (ou dos "antece-
dentes"). Desde que os B.; constituam uma partição do êspaço amos-
. trai um, e somente um, dos eventos B; ocorrerá. (Isto ' é, um dos 
eventos B; deverá ocorrer e somente um poderá ocorrer.) Portanto, 
a expressão acima nos dá a probabilidade de um particular B; (isto·· 
é, uma "causa"), dado que o evento A tenha ocorrido~ A .fim de 
aplicar esse teorema, deveremos conhecer os valores das P(B;). Muito 
freqüentemente, esses valores são desconhecidos, e isso limita a apli-
cabilidade do teorema. ,Tem havido considerável controvérsia 
sobre o Teorema de Bayes; ele é perfeitamente. correto matemati- . 
camcnte; somente a escolha imprópria dos P(B;) pode tornar o . resul-
tado discutível. 
~':'·. -, .. 
50 I PRQBABIUDAD!: 
Voltando ao problema proposto a~ima, , ~ agqra, apltca114o a Eq. 
(3.5), obtemos: 
P(B IA) = (0,02)(1/2) . .. . _; - 'o .4··· 0· 
1 
. . (0,02)(1 /2) + (0,02)(1/4)+JQ;p4)(JL~) ·.:~ ,.' ~. ~ ' 
Comentário: De novo, podemos encontrar para :ó· Tê:or~inâ ~e . Baye~, uma 
analogia da Química. Em k frascos, temos soluções docmesino saCporém de 
concentrações diferentes. Admita-se que o ·volume totaL das ·soluções seja um 
litro. Denotando por P(Bi) o volume da s~lU:çio do i~êsiino frasco, e a concentra-
ção do sal nesse· i-ésimo frasco por P(A lEi), verificaremos que a Eq. (3.5) forneee 
a proporção da quantidade total do sal que é encontrada; no·i-ésimo frasco. 
O seguinte exemplo do Teorema de Bayes nos ·dará uma oportuni-
dade para introduzir a idéia do diagrama de árvore, um esquema bas-
tante útil para analisar determinados problemas. 
Suponha-se que um grande número de caixas de bombons sejam 
compostas de dois tipos, A e B. O tipo A · contém 70 por cento de · 
bombons doces e 30 por cento de bombons .amargos, enquanto no ti-
po B ·essas percentagens de sabor são inversas. Além disso, suponha-se 
que 60 por cento de todas as caixas de bombons sejam do tipo A, en-
quanto as restantes sejam do tipo B. 
Você agora se defronta com ó. seguinte problema de decisão: uma 
caixa do tipo desconhecido lhe é oferecida. Você terá. per:inissão paratirar uma amostra de bombom (uma situação reconhecidamente irrea-
lística, mas que nos permitirá introduzir idéias importantes, sem ficar 
muito complicado), e com esta informação você deve .decidir se adivi-
nha que a caixa que lhe foi oferecida é do tipq A ou se do tipo B. O 
seguinte "diagrama de árvore" (assim denominado por causa dos vários 
passos ou ramos que aparecem) nos ajudará a analisar o problema. (Sa 
e sa correspondem, respectivamente, a escouier um bombom de ·saJ:>or 
doce ou um bombom de sabor amargo.) 
I"IROBAB!UDADIE CONDiCIONADA E INDEPENDÊNCiA I 51 
i 
I 
Façamos alguns cálculos: I 
I 
P(A) = 0,6;P(B) = 0,4;P(Sa IJi) = 0,7; . 
P(Sa I:A) = 0,3;P(Sa IB) = 0,3;1P(Sa IB) = 0,7 . . 
Desejamos realmente saber: I 
. I 
P(A ISa), P(AIS0 ), IP(BISa) e, P(BlSa). · 
I . I 
. Suponha-se que realmente ret~remos um bombom de sabor doce. 
Qual decisão seríamos mais tentados a tomar?· Vamos comparar 
I 
P(A lSa) ~ P(BiSa). 
Empregando a fórmula de Bayes, teremos , 
. I . 
· · _ P(Sa IA)P(A) 
P(A IS a)- P($a iA)P€A) + P(Sa IB)P(B) 
I 
(0,7)(0,6) 7 
(0,7)(0,6) +(0,3)(0,4) =9. i . . 
. I 
Cálculo semelhante dará. . j . 
P(BISai) = 2/9 . . 
Dessa maneira, baseados na evidência que tivemos (isto é, a tirada 
de urh bombom de sabor doce) é ~i vezes mais provável que nós este-
jamos _diante de uma caixa do tipojA, em vez de uma do tipo B. Con-
seqüentemente, podéríamos presurhlvelmente decidir que uma caixa do 
tipo A foi apresentada. (Naturalmbnte, nós poderíamos estar errados. 
A sugestão desta análise é que esta~errios escolhendo aquela alternativa 
que pareça ·a mais provável, com base na evidência liffiitada que ti-
vermos.) . I 
Em termos do diagrama da ánrore, o que era realme~te necessário 
(e foi ·feito) era uma análise parai o pas~~do. I Assim, dado. o que f?i 
observado Sa, neste caso iqual a probabilidade de que o tlpo A seJa 
o envolvido? I . , , 
. I . . . . . 
Uma situação mais interessante surge, se nos for permitido tirar 
dois bombons antes de decidir sci se trata do tipo A ou do tipo_ B. 
Neste casó, o diagrama de árvore aparece ássim: ' · ' · ·. -. I . . . 
I 
i' 
' 
J 
'i 
t: I, 
; 
li 
I 
[.' 
52 I PROBABHUDADE 
A 
B 
· No problema 3.26, você será chamado a decidir de qual dos dois ti-
pos, A ou B, você tirou ·a amostra, na dependência de · qual seja Óbser-
vado dentre três resultados experimentais possíveis . 
. 3.3. Eventos Independentes 
Ja·consideramos eventos A e B que não podem ocorrer conjun-
tamente, ü1to é, A (I B = 0. Tais eventos são denominados mutua-
mente excludentes, ou eventos incomi>atíveis. Observamos anterior-· 
mente que se A e B forem mutuamente excludentes, então P(A IB) =: O, 
porque a ocorrência dada de B impede a ocorrência de A. No outro 
extremo, temos a situação já estudada, na qual B :,) A e, conse-
qÜentemente, P(B I A) = L 
. Em cada uma· das sitúações mencionadas, saber que B já ocorreu 
nos da · algumà "nforinação bastante definida referente à probabili-
dade . de ocorrência de A. Existem, porém, muitas situações nas 
quàis saber que algum evento B ocorreu não tem qualquer interesse 
quanto à ocorrênciaou não ocorrência de A. 
Exemplo. 3.6. Suponhamos que um dado equilibrado seja jogado 
duas vezes. Definamos os eventos A e B, da seguinte forma: 
A = {o primeiro dado mostra um número par}, 
.~ B =<= I o segundo dàdo mostra um 5 ou nm 6}. 
· ~ inttrltivamente compreensível que os evento~ A e B são intei-
ramente não . relacionados. Saber que B ocorreu não . fornece qual-
qUer illformação sobre a ocorrência de A. De fato, o seguinte cál-
culo mostra isso. Tomando como nosso espaço amostral os 36 resul-
.. . 
. . IPIROBAIBU.DDlADIE COI\!DiC~OI\!AIDIA ~ H\IDEIPIENIJIÊNCiA I 53-
tados igualmente prováveis, considerados no Ex. 3.1, encontraremos 
que P(A) = 18/36 = 1/2, P(B) = 12/36 = 1/3, enquanto P(A () B) = 
= 6/36= 1/6~ Conseqüentemente, P(A IB) = P(A () B) f P(B) = 
= (1/6)/Ü/3) = 1/2. 
Deste modo encontramos, como seria de se esperar, que a proba- ~ . 
bilidade absoluta (ou não condicionada) é igual à probabilidade coli-
dicionada P(A I B). Semelhantemente, . 
P(lUI A) (t) 1 . 
P(BjA) = P(A) - = (f) = 3 = P(B). 
Daí, pod~rlamos ser tentados a dizer que A e B serão indepen-
dentes se, e somente se, P(A IB) = P(A) e P(BIA) = P(B). l\fuito 
embora isso~pudesse ser essencialmente apropriado, existe outra forma 
de colocar a questão que contorna a dificuldade encontrada aqui, a 
saber, que tanto P(A) como P(B) devem ser não-nulos para que as 
igualdades . acima tenham significado. 
Consideremos P(A () B), supondo que· as probabilidades condi-
cionadas sejam iguais às correspondentes probabilidades absolutas. 
Teremos: 
P(A () B)= P(AjB)P(B) = :P(A)P(B), 
P(A () B) = ['(B I A)P(A) = P(B)P(A). 
. . 
Desse modo, desde quienem P(A) nem P(B) sejam iguais a zero, veri-
ficamos que as probabilidades absolutas serão iguais às probabili.-
da.des condicionadas se, e somente se, .,e(A () 1J) = P(A) P(B). Em 
. : :r-- . 
c~mseqüência, formulamos a segú.inte definição, a qual sell.'á tàmbém 
válida quer P(A) óu P(B) seja nulo: · . . 
I . . . . . 
Definição: A e B ser.ão eventos independentes se, ·e somente. se, 
P(A () B) ~ P(A)P(B). (3.6) 
Comenlário:· EsW. definiçil.o é, essencialmente, equivalente àqQ.ei& I!Ugerida 
!!.Cima, a Sa.ber, que A e B são independentes quando P(B!A) = P(B) e. P(A IB) = 
= P(A). . Esta. última for!IU!I ·é ligeiramente mais intuitiva, porque diz precisa-
mente o que se t).nha. tentado dizer antes: que A e B ileril.o indePendentes se o co-
nhecimento da. ocorrência de A de nenhum modo infltienciar. a probabilidS.de da . 
ocorrência. de B. 
Peio exame do seguinte exemplo, vê-se que a definição formal acima adotadm. 
apresenta também uma oerta1atra.çio intuitiva. 
Exemplo 3t7 .. Consideremos novamente ' o Ex. 3.2. Inicial~ 
mente examillaremos apenas a tabela abaixo, em que sii.Q forneddÇ>s 
. 54 I PROBABiLIDADE 
somente os valores marginais. Isto ·· é; existem 60 ináqúiiias · elétri-
cas e 40 manuais, e delas 70 são novas enquanto ao.;sãd usadas. 
E M 
Nu I I· 7o 30 
~--------~--~ 
60 íoo 
Existem muitas maneiras de preencher as· .casas da tabela; con-
cordantes com os totais marginais dados. · A seguir apresentaremob 
algumas dessas possibilidades. 
E llf E M E llf 
N 16: 10 I 70 N 130 40 I 70 N I:: 281 70 u 30 30 u 30 .o 30 . u 12 30 
60 40 100 60 40 100 60 40 100 
(a) (b) (c) 
Consideremos a Tab. (.a). Aqui todas as máquirias elétrica8 
são novas e todas as ·máquinas usadas são manuais. Desse modo, 
existe uma conexão óbvia (não necessariâmente causal) entre a ca-
racterística de . ser elétrica e a de ser nova. Semelhántemente, na 
Tab. (b), todas as máquinas manuais são novas e todas as· máquina9 
usadas são elétricas. Também, uma conexão definida existe entre 
essas características. No entanto, quando chegamos à Tab. (c), a 
situaçãO fica bem diferente: aqui, nenhuma relação evidente existe. 
Por exemplo, 60 . por cento de todas as máquinas são el~tricas, e 
exatame~te 60 por cento das máquinas usadas são . eÍétricas. Se-
nielhantemen; e, 70 por cento de todas as máquinas são novas, · 
enquanto exatamente 70 por cento das · máquinas man1,1ais são novas 
etc; Portanto; nenh)lma indicação está evidente .de que a carac-
terística de "ser nova" e de "ser elétrica" tenham qualquer cone-
xão uma com a outra. Naturalmente, esta tabela foi construída 
justamente de modo a apresentar essa propriedade. Como foram 
obtidos os valores. das casas da· tabela? ·Apenas com o . emprego da . 
Eq~ (3.6); isto é, porque P(E) = 60/100 e P(N) = 70/100, deveremos 
ter, para independêp.cia, P(E () N) = P(E) P(N) :/42/100. Daí, a 
. riasa' na tàbela que indique o número de m:áquina~ elétricas novas 
deverá conter o número 42. As outras casas seriam obtidas de ma-
Jlei~aanáloga. 
mai?ria das aplicações, teremos que adotar a hzpôtese de ín,- . 
.,,...,ii;;>~ a-. de' dois eventos A e B, e depois empregar essa suposição 
. .. .P(A () B) como igual a P(A) P(B). Geralmente, 
PROBABILIDADE CQNDICIONADA E INDEPENDÊNCIA I 55 
i 
condições físicas sob as quais q experiment~ seja realizado tornarão 
possível decidir se tal suposição será justificada ou ao menos apro-
ximadamente justificada. I 
I 
Exemplo 3.8. Consideremés um lote grande de .peças, digamos 
10.000. Admitamos que 10 pof cento dessas p~ças sejam defeituosas 
e 90 por cento perfeitas. Duas peças são extraídas. Qual é a pro-
babilidade de que ambas. sejarJ perfeitas? 
. I 
Definamos os eventos A e B,, assim: 
I . 
A = I a primeira peça -é perfeita}, I . 
B = I a segunçla peça é perfeita}. ''<:t. 
Se adill.itirmos que a primeira Jeça seja reposta, antes que a segunda 
seja escolhida, então o~ eventoJ A e B podem ser consideràdos inde-
pendentes e, portanto, P(A. h B) = (0,9) (0,9) = 0,81. Na prá-
tica, contudo, ·a ~egunda peça éj escolhida sem a reposição da prim~ira 
peça; neste caso, .1 
P(A n B) = P(E I A)P(A) = 1 ~999 (O 9) 
. ! . 9999 ' 
I 
que é aproximadamente igual a 0,81. Assim, muito embora A e B 
não sejam independentes no sebdo caso, a hipótese de independên-
cia (que siinplifi~a considerav~lmente os · ~ cálculos) . acarreta apenas 
um erro desprezível. (Recorde~se o objetivo de um .mod.elo matemá-
tico, tal como foi apresentado i na Seç. 1.1.) Se existissem somente 
poucas peças no lote; cligÍlmos j30, a hipótese de independência teria 
acarretado um erro grande. . Por isso, torna-se importante · verificar 
cui~adosamente as condiçõ~s s?b as quais o e~:rimen~q é realizad?, 
a f1m de estabelecer a validade de uma -supos1çao de mdependênCia 
. entre os vários eventos. i · . · .. · 
E,xemplo 3.9. Admitamos) que ,um mecanismo, seja constituído 
por dois componentes montados em série, como indicado na Fig." 3.4. 
I . 
Cada componente tem uma probabilidade p de não 'funcionar. Qual 
será a probabilidade de ·que o: mecanismo funcione ? . 
i 
-~ 
. .,Fig, 3.4 
I 
1!; evidente que o mecanis~o funcionará s'e, e somente se, ambos 
às componentes estiverem funcionando. Por isso, 1 
· Prob (o mecanismo funcione) [= Prob (C1 funcione e C2 funcio11e). 
._., .. -.'; .. 
I 
I 
I 
I 
. I I · I 
. 'j 
. • ' I 
·. " .. L 
56./ PROBABIUDADE :·.,! 
A informação fornecida não nos permite continuiJ.r · sem, que, se saiba 
(ou se suponha) que os dois mecanismos trabalhem mdeperidénteJnimte 
um do outro. Isto pode, ou não, ser uma sup~siÇão:' r~àlista, depen-
dendo. de como as duas partes sejam engatadas. . Se admitirmos que . 
ru3 duas partes trabalhem independe~terh~~te, 9l:ite~e~~~ .·· pár,a a 
· · probabilidade pedida o valor (1- p)2, · . · · · · · 
· Será importante para nós, estendermos a noção dejndependên-
cia para mais de dois eventos. Consideremos, iriicialm~nte, três 
eventos associados a um experimento, digam~s A, B e C. · Se A 
e B, A e C, B e C forem independentes doiS a dois (no sentido acima), 
então não se concluirá, em geral, que não exista dependência entre 
os três eventos. O exemplo seguinte (um tanto artificial) ilustra 
esse ponto. 
Exemplo 3.10. Suponha-se que joguemos dois dados. Definam-
se os eventos A, B e C da seguinte forma: 
A = {o primeiro dado mostra um número par}, 
B = I o segundo dado mostra um número ímpar ), 
c = I ambos os dados mostram números ímpares ou ambos 
mostram números pares} . 
Temos P(A) = P(B) = P(C) = 1/2. Além disso, P(A () B) = 
= P(A rt C) = P(B rt C) = 1/4. Portanto, os três eventos são 
todos independentes dois a dois. Contudo, P(A n B n C) = 
= O ;é P(A) P(B) P(C). 
Este exemplo sugere a seguinte definição. 
Definição . . Diremos que os três eventos A, B e C são mu.tUOr 
mente independentes ~e, e somente se, todas ru3 condições seguintes fo-
rem válidas: 
P(A n B) = P(A)P(B), 
P(B rt C) = P(B)P(C), 
P(A rt C)= P(A)P(C), (3.7) 
P(A rt B rt C) = P(A)P(B)P(C). 
Finalmente, generalizaremos esta noção para n eventos, na se~te 
definição: 
Definição. Os n eventos Ah A2 , •• • , An serão mutu9:,mente inde-
pendentes se, e somente se, tivermos para k = 2, 3, . .. , n: 
P(A;1 rt A;2 rt · · · rt A;k) = P(A;1)P(A;2) • • • P(A;t)· (3.8) 
(Existem . ao todo 2n - :n· - 1 condições aí arroladas; veja o 
Probl. 3.18.) 
PROBABILIDADE COI\IDiC~ONADA E iNDEPENDÊNCUA / 57 
Comentário: Na maioria das aplicações, não precisaremos verificar todas 
essas condições, porque nós geralmente admitimos a independência (baseada na-
quilo que conhecermos do experimento). Depois, empregaremos essa suposição 
para calcular, digamos P(A,, (I A;, (I · · · (I A;k) como P(À;,)P(A;,) · · · P(A;k). 
Exemplo 3.11. A probabilidade de fechamento de cada relé do 
circuito apresentado na Fig. a:s é dada por p. Se todos os relés fun-
cionarem independentemente, qual será a probabilidade de que haja 
corrente entre os terminais L e R?. 
f--l~· 1 2 _ R 
3 4 
f--j 
Fig. 3.5 
Represente-se por A; o evento {o relé i está fechado J, i = 1, 2, 3, 4. 
Represente-se por E o evento {a corrente passa de L para R). Em 
consequenCia, E = (A1 (J A2) U (A3 (J A4). (Observe-se . que 
AI n A2 e A3 n A4 não são mutuamente excludentes.) Portanto, 
P(E) = P(A1 (J A2) + P(A3 (J A,) - P(A1 () A2. n A3 ri A,) 
= p2 + p2- p4 = 2p2- p'. o 
(' . 
. Ex~:mplo 3.12. Suponhamos novamente que, para o circuito da 
Fig. 3.6, a probabilidade de que cada relé esteja fechado é p, e que 
todos os relés fúncionem independentemente. Qual será a proba-
bilidade de que exista corrente entre os terminais L e R? 
Empregando a mesma notação do Ex. 3.11, teremos que 
P(E) ~ P(A1 (J A2) + P(A6) + P(A3 n A4)- P(A1 (J A2 (J As) 
- P(Al (J A2 ri AJ ri A4) - P(A6 (J A3 () A4). 
+ P(At (J A2 Íl As n A4 () A6) 
== p2 + p + p2 - p3- p'- p3 + p5 = p + 2p2- 2p3- p' + p~. 
Vamos encerrar este capitulo com a indicação de uma bastante 
comum, mas errônea, resolução de um problema. 
I ~ . I ~ '. 
1
! , 
11 
d : 
i .. 
58 I PROBABiLIDADE 
Exemplo 3,13 .. Admita-se que dentre seis:pârafusosf 'dois ·sejam 
menores do que um comprimento ei!pecificado)< ·Se':'d9is'::doi(parafU:7 
sós forem escolhidos ~ '.• acaso, qual 's~rá a 'Pióoàb\úa:i<Ié: ~e . que os 
dois parafusos mais curtos sejam extraídos? . Seja Ai o êveiíto {o i-ési~ 
mo parafuSo escolhido é curto J, i = 1, 2. 
Portanto, desejamos calcular P(Al nA%), . A sohição 'correta é 
obtida, naturalmente, escrevendo 
A solução comum, mas incorreta, é obtida escrevendo-se 
Naturalmente, o importante é que, muito embora a respost.a esteja 
numericamente correta, a identificação de 1/5 com P(A 2) é incorreta~ 
1/5 representa P(A2IA 1). Para calcular P(A 2) corretamente, escre-
veremos 
3.4. Considerações Esquemáticas; Probabilidade 
Condicionada e Independência 
A abordagem esquemática seguinte poderá se.r útil para compreen-
der a probabilidade condicionada. Stiponhamos que A e B Sejam dois 
eventos associados a um espaço amostral ·para o q]Jal as várias probabi-
lidades estão indicadf s no Diagrama de Venn, dado :ila Fig. 3 .7. 
0,2 
!Fig. 3.7 
Tem-se P(A n B) = 0,1; P(A) = 0,1 + 0,3 = 0,4 eP(B) =;= 0,1 + 0,4 = 
. . 
= 0,5. 
' 
PROBABILIDADE CONDICIONADA E INDEPENDÊNCIA I 59 
I 
I 
. Em seguida, representaremos asl várias probabilidades pelas áre(ls 
dos retângulos, como na Fig. 3.8. Exti cada caso, as regiões somhreadas 
indicam o evento B: no retângulo cti esquerda, estamos representando 
A í1 B e, no da direita, A' í1 B. I ' · 
0,2 · B' 
0,4 
B 
Agora, admitamos que se deseje balcular P (B I A). Por isso, neces-
sitamos somente considerar A, isto él A' pode ser ignorado no cálculo. 
Observamos que a prop.orção de B A é 1/4. (Poderemo~ também ve-.' 
rificar isso pela aplicaçãb da Eq. (3. :P(B I A) = P(A í1,B) ! P(A) = 
= 0,1ÍÔ,4 = 1/4.) Portanto, P(B' I ) = 3/4, e nosso diagrama repre-. 
. . , I . . , , . 
sentando essa probabilidade . seria dado pela Ffg. 3.9. . 
1,0 
B' 0,75 
B 
. i 
fig. ~.9 
o 
A' 
j / 
Observe-se, também, que se A fqr dado como tendo ocorrido, toda 
a probabilidade (isto é, I) deverá se~ associada ao evento A, enquanto 
nenhuma probabilidade (isto é, O) e:stará associada a A'. Além disso, 
observe-se que, no retângulo d~ esqu~rda, representando AI somente os 
v;uores individullis mudaram na Fig. 3.8 para a Fig. 3.9 (cuja soma é 1, , 
em lugar de 0,4). Contudo, as propor~ões dentro do retângulo permane-
ceram as mesmas (isto é, 3 :1). · ' 
,i 
I 
\ 
60 I PROBABIUDADIE 
V amos também ilustrar a noção de independência; empregap.do a 
abordagem esquemática introduzida· anterionilente. Supàiiljaljlcis ~;qüe 
A .. e B sejam como indicado na Fig. 3.1 O. Nesse caso; as 'prÇi (e:·,:~qe,s 
nos dois retângulos, represéntando A e A', são as mesmas: 3:1 fiõ,dois 
casos. Por isso, teremos P(B) = 0,1 + 0,15 ~ 0,25 e P(B n 'A}~ 
= 0,1/0,4 = 0,25. . . 
o 
B 1 0,3 
B 
A 
!Fig. 3.10 
0,45 
A' 
~ ~ 
B' o r ~?'~ j 
B 
Finalmente, observe-se que, simplesmente olhando a FÍg . .3.8, 
poderemos também calcular as outras probabilidades condicionadas; 
: P (A I B) = l/5 (desde que 1/5 da área total retangular representando 
\festeja ocupada por A'); P (~' I B) = 4/5 . . 
\.problemas 
~ . 
3.1 ;'\ A urna r' contém x· bolas brancas e y bolas ve~:melhas. A ur.n.a. ·2. con.-
tém z bol~{>ranca.s e v bolas vermelhas. Uma bola é escolhida ao acaso da 'ur.na ~ 
e posta na ur"na 2. A seguir, uma. bola é escolhida ao aca,so da urna 2. Qual será 
a probabilidade de que esta bola seja branca? 
3.2. Duas válvulas defeituosas se misturam com duas válvulas pedeita.s. As. 
válvulas são epsaiarlBs, UillA a uma, até.que amb&S as defeitu~as sejam encontradas. · 
(a). Ql.lal ~á a -prbbabilidade de que a últirrui. vs.!~l:i. defeiru0S& seia encon-
trada.no segundo ensaiO?- . ' 
(b) Qual será a prpbabilidade de que a última válvula defeituosa seja encon-
trada no terceiro. e"D.Sai@ ? · · 
(c) .. Qual 9erá a probabilid8.de de !lUe a úl.ltãma vá.!vuia defeitu~sa sejae~coa-
tr.ad.a n.o qu.o.rto ensaio? ' . . . 
.. . ·. ·'.(d) Some os 11úmeros obtidos em (a), (b) e (c) aciina. O tesultado é surJ?re-
eO:dente? 
.·-· - - --· _ __:_ ____________ ~ . 
!~ . I 
. J 
, j 
:I 
.. \ 
_) 
PROBABULIOADE CONDICIONADA E INDEPIENDÊNCDA I 61 
3.3. Um_a caixa contém 4 válvulas defeituosas e 6 perleitl).S. Duas vil.lvul,as 
são extr11ída8 juntas: Uffil!. delas é em;aiada e -se verüic~~< ser perfeita. · .QW1l a 
· idarde de que a outra válvula também seja perfeita? 
No' problema anterior, as válvulas são verificadas e;xtrai.ndo-se uma 
v v a ao acaso,, énsaiandoca e repetindo-se o procedimento até q_ue todaS as 4 
vá.lvulas defeituosas s_ejam encontradas. Qual .será a probabilidade de que a 
quarta vá.lvula defeituosa.,seja encontrada: 
(a) No quinto ensaio,? 
(b) No décimo ensaio? 
3.5. Suponha que A e B sejarn-eventos independentes l).Ssociados a um ex-
> ;..perimento. Se a probabilidade de A ou ·s ocorrerem fm: igual a 0,6, eJ;Jquanto a. 
• probabilidade da ocorrência de A fOJ; igual a. 0,4, determine a probabilidade da 
ocorrência de B. 
3.6. Vinte peças, 12 das quais são defeituosas e 8 perfeitas, são inspecio-
nadas uma a pó~ .a outra. Se essas peças forem extraídas ao. acaso, qual será a. 
probabilidade de que: 
(a) As duas primeiras peças sejam defeituosas? 
(b) As duas primeiras peças sejam perfeitas? • 
(c) Das .duas primeiras peças inspecionadas, uma seja. perfeita e a outra 
defeituosa? 
r . 
3.7. Suponha que temos duas urnas. 1 e 2, _cada uma· corri duas gavetas. 
A urna 1 contérn uma moeda de ouro. em uma gaxeta e uma moeda de prata na 
outra gaveta; enquanto a urna 2 contém uma moed.a de ouro em cada gaveta .. 
Uma urna é escolhida ao acaso; · a seguir uma _de .=s ·gavetas é aberta ao ~caso .. 
Verifica-se que a moeda encontrada nessa gaveta ,é de ouro. Qu11l a probabili-
dade de que a moeda provenha da urna . 2? . 
3.8. Um saco contém três' moedas, uma das quais foi cunhada cm;n 'duas 
caras, enquanto as duas outras moedas são normais e não viciadas. Uma mpeda 
é tirada ao acaso do saco e jogada quatro vezes, em seqüência. Se sàir cara toda 
vez, qual se~.á a probabilidade de que essa seja a moeda de duas caras? . · 
3.9. Em uma fábrica .de parafusos, as máquinas A, B e C produzem 25, 35 
lll 40 por cento do total produzido, respectivamente. Da produção de cada. máqUi-
na, 5, . 4 e 2 por cento, respectivamente, silo parafusos defeituosos. Es.colhe-se ao 
. acaso um parafuso e se verifica. Sf1t defeituoso. Qual será a probabilidade de que 
o parafuso venha da máquina-A? Da B? Da C? 
- .1. . ( ' 
·3.10. Sejam A e B dois eve,ntos associados a- úrll experimento. Su:p.onha 
que P(A) = 0,4, enquanto P(~ u,.~,~ =;~0,7, . Seja ,P(B)·_:= t :· .. ..____ 
[
(a) Para que valor de '?• A e .B -serão ~utuai,Dente · excludentes? 
(b) Para que valor de p, A e B serão mdependentes? 
3.11. Três componentes C1, C2 e C3, de um mecanismo são postos em série 
(em li9!;Ja_reta). Suponha que esses C?JHPOÍ1~ntes sejam dispostos em ordem alea-
tória. Seja R o evento ( C2 est4 à direhil>d;~ . C1l. e seja S o evento ( C3 está à di-
~- reita de Cd .. Os eventos R e-S são indep~ndentes? Por ,.qilê? 
~ 3.12. Um dado é l ançado e, independentemente, uma carta é extrafda de 
um bara.lho completo (52 cartas). Qual será a probabilidade de que: 
III' li 
!j 
' . 
! • · 
i! 
!! 
!I 
~ 1 ,, 
q: 
'I 
~i l 
!! 
" i' 
li ,, 
:• 
!1 
:I 
' I 
1: li 
11. 
ii 
:j 
li 
_.) 
,J 
I! 
! 
I 
! 
l 
I 
i 
I 
i 
,. 
!.;. 
r 
I 
I 
I 
62 I PROBABiLIDADE 
···. _ 
(a) O dado mostre um número par . e a , c~t~ta ~~ja A~ ,Uffi-, ·Jil~ip~;\Y,em:Ellbo? 
;,: 3~ ~~o n:::: :::::e:::s::t:í:~â~::11sà:t:.~jgii~fj~t~f\l;:~oo: 
exemplo, 1011, 1100 etc.) Esses núrn~rós têrri i!1J:p,~r~~~WP.ll~~i! ~~ .~~t4[i~~o 
de computadores eletrônicos. Suponha que um iilíxn~ró'';})iriário.'<sei~~:!?izrtil(lO' de 
n dígitos. Suponha que a probabilidade de úrli -dígito ilrtotrêtdi'ii:li'â:r~cet 'seja P 
e que os erros em diferentes dígitos sejam independentes i.im\ .'âo~ · Ói.itros. ''Qual 
será a probabilidade de formar-,se um nú171:ero incorr.eto? . · . . : . ·. :' .. 
3.14. Um dado é atirado n vezes. Qual é a probabilidad~ de que "6" apa-
. reça ao ID.eno~ uma. vez em n jogadas! ··,.· ·· 
3.15. Cada uma de duas pessoas j~ga três rnoe~as eq~liÚbr;das. · Qual é 
a probabilidade de que elas obtenham o mesmo número de carS:.S ?. . " . .. 
3.16. Jogam-se dois dados. Desde que as faces mostrem números dife-
rentes, qual é a probabilidade de que urna face seja 4? 
3.17. Sabe-se que na fabricação de um certo 11rtigo, defeitos. de um ' tipo 
.ocorrem com JJiobabilidade 0,1 e defeitos de outro Úp(; com probabilida'de · Õ,Ó5. 
Qual'l' será a probabilidade de que: i . 
(a) Um a.rtig~ ~o tenha .a~b<)s os tii>os de defeitos? 
(b) Um ãrtigo 'aéja defeituos'o? - · · -- .' . -
(c) u~ artigo' ~e"nha ~~nas· ,irn.c~q--~a'rJefcl~o: sabido que"é defeituoso? _,_ ______ __ 
3:18. Ve.rifique que o núm.ero de condições impostas· pela Eq, (3.8) é dado 
por 2n- n- 1. 
3.19. Demonstre que, se A e B forem eventos independentes, também o serão, 
A e Ii, A e B, A e Ii. . . . . 
3,20. Na Fig. 3.ll(a) e (b), suponha que a probabilidade ~e que cada relé 
esteja fechado seja p, e que cada relé seja aberto ou fechado independentemente 
um do outro. Em cad~ CMo, determine a probabilidade de· que a corrente pas.se 
de L para R. · · · 
(a) (b) 
fig. 3.11 
3.21. DuM ·máquinas A e B,· sendo operadas independentemente, podem ter 
alguns desarranjos cada dia. A Tab. 3.2 dá a distribuição deprobabilidades dos 
desarranjos· para cada máquina. Calcule M segUinte!) probabilidades: 
(a) A e B tenham o mesmo número de desarranjos. , 
(b). O nli.rooro total de dsstln':IDjos seja menor que 4; me~~.or que 5 .. 
..· 
1-
. , 
, , 
i 
·f 
! • 
·f:'ROBABIUDADE CONDICIONADA IE iNDEPENDENCIA I 63 
. I 
I 
(c) A tenhà mais desarranjos que B. f· 
(d) B tenha duas vezes mais desarranjos que · A . . 
(e) B tenha 4\!iesarranjos, quando se li saiba. que B ,iá tenha tido 2 desar-
ranjos. 
U) o número mínimo de desarranjos ~as - duas máquinas . seja 3; seja menor 
do que 3. 
(g) O JILúmero má.ximo de desarranjos das máquinaS seja 3; seja maior que 3. 
Número de 
desa.rranjós 
A 
B 
o 
0,1 
0,3 
1 
0,2 
0,1 
2 
I 
Tab. 3.2 
I 
0,3 I 
0,1 
4 5 6 
0,09 0,07· 0,04· 
0,1 0,15 0,15t 
3.22. Verifique pelas Eqs. (3.2) que, se~do A flxo, P(~ IA) satisfaz aos váriO!! 
post~os da probabilidade. I . . 
3.23.. Se cada eleinento de um determinante d~ segunda. ordem for zero 
ou um, qusJ será a probabilidade de que o jvaior do detenrunante seja positivo? 
. (Admita que· os elementos do dete_rminante j sejam escolhidos independentemente, 
a cad_a valor se atri,buindo a probabilidade ~/2.) . 
3.24. Verifique que o teorema da multiplicação P(A n B) = P(A I B)P(B), 
estabelecido para dois eventos, pode ser estkndido para três eventos, da seguinte 
maneira:. . I , . . 
"- _, P(A (JB n C)= P(AIB n C)P(BIC)P(C). 
\ ... . ) 
. · . 3.2~ Uma montagem eletr.ônica é fonilada de dois subsistemas A e B. De 
\iiro~meQ.tos de ensaio anteri9re8, as· seg1uintes probabilidades . ser admitem co-
nhecidaS~ j · 
P(A falhe) = 0,20, P(A e B falhem) i= 0,15, P(B falhe 8o::inho) := 0,15. 
• . /" I. ·' ·' 
Cllllcule as seguintes probâbilidades: I . . 
(a) P(4. falhe I B teiilia falhado). (b) I P(A falhe sozinho). 
. .. , . . . ·, , . I . .. 
3.26. Conclua à análise do exemplo djldo na Seção 3 .2, pela decisão de qual 
dos dois tipos de caixa de bombons, A ou B, foi apresentada, ba~eando-5e na 
evidêncià·dos dois bombons que foram tiradÓs na amostra.· 
" I , 
· 3.27. Sempre que um experimento é! realizado, a ocorrência de um parti-
cu1ar evento A é igual a 0,2. O experimento é repetido independentemente, até 
que A ocorra. Calcule a proba~ilidade de qu~ seja necessário levar a cabo o experi-
mento até a quarta vez. : · · 
3.28. Suponha que .um equipamento 1 possua N v.ílvulas, todas necessárias 
para seu funcionamento. A fim de localizar uma válvula com mau funcionamento, 
faz-se a substituição de cada válvula: sucessi~amente, por U)Ila '?Ílvula nova. Calcule 
a probabilidade de que seja necessário trocar N válvulas, se a probabilidade (cons-
tante) de uma válvula estar desarranjada por lp. · I . ! 
3.29. Demonstre:SeP (A I B) >P (A), então,P (B I A) >P (B) . 
. I 
I 
I 
64 I IPROBABHUDADE 
3.30. Uma válvula a vácuo pode provir de três fabricantes, com probabili-
dades p, = 0,25, P2 =. 0,50 e p 3 = 0,25. As probabilidades de que, ·durante 
determinado período de tempo, a válvula funcione bem são, respectivamente, 
0,1; 0,2 e 0,4 para cada um dos fabricantes. Calcule a probabilidade de que uma 
válvula escolhida ao acaso funcione bem durante o período de· tempo especifiiido. 
. . . : 
3.31. Um sistema elétrico é composto de dois comutadores do tipo A, um 
do tipo B, e quatro do tipo C, ligados como indica a Fig. 3.12. Calcule a probabi-
lidade de que uma pane no circuito não possa ser eliminada co~ a chave K, se 
os comutadores A, B e C estiverem abertos (isto é, desligados) com probabilidades 
0,3; 0,4 e 0,2, respectivamente, e se eles operarem independentemente. 
Fig. 3.12 
3.32. A probabilidade de que um sistema fique sobrecarregado é 0,4 duran-
te cada etapa de um experimento. Calcule a probabilidade de que o sistema 
deixe de funcionar em -três tentativas independentes do experimento, se as proba-
bilidades de falhas em 1, 2 ou 3 tentativas forem iguais, respectivamente, a 0,2; 
0,5 e 0,8. 
··.~ 
3.33. Quatro sinais de rádio são emitidos sucessivàmente._Se a recepção de 
cada uni for 'independente'·d~ recepção de outí:o, e se .essas probabilidades forem 
0,1; 'b,2;0.,3 e o,4;respectivamente, .calcule a probabilidadé de que k sinais 
venham a ser recebidos pàia: k;,; 0', 1; 2, 3, 4. ' 
3.34. A seguinte (de algum modo simplória) previsão de tempo é empregada 
por um amador. :0 tempo, diariamente, é classificado como "seco" ou "úmido", e 
supõe-se que a probabilidade de que qualquer dia dado seja igual ao dia anterior 
seja uma constante p (0 < p < 1). Com base em registras passados, admite-se que 
1? de janeiro tenha probabilidade {3 de ser dia "seco". Fazendo f3n = probabilida-
de (de que o 1 n-ésimo dia do ano seja "seco"), pede-se obter uma expressão para 
13n em termos de {3 e de.p. Calcule também limn..., "" f3n. e interprete o seu resulta-
do [Sugestão: Exprima f3n em termos de 13n _ 1-J · 
3.35 .. Três jornais A, B e C são publicados em uma cidade e uma recente 
pesquisa entre-_9'S leitores indica o segufute: 2Q por cento ~êem ;i; 2Q., PO! CeJ:lt<2_ 
-lêem B; 14 por cento lê~m ,C; 8 por ce!ltO lêem A e\8._;_5,. pot.cento lêem A ·-e Ç; 
.2 porceflt? lêem A, f1 e. Ç; ~ 4p_:por .cento lêe~B,~ ~f]ara um adulto .esco!hiêlo' 
ao acaso; calcule a probabilidade de que: (a) ele não leia qualquer dos jornais; 
\ 
' i 
1 
I 
I 
·I 
I 
I 
.J, 
I'ROBAIBDUDADE CONDICIONADA E iNDEPENDÊNCIA I 65 
(b) ele leia exatamente um dos jornais; (c) ele leia ao menos A e B, se se souber· 
que ele lê ao. menos um dos jornais publicados. 
3.36. Uma moeda equilibrada é jogada 2n vezes. (a) Obtenha a probabi-
lidade de que ocorrerá um igual número de caras e coroas; ( b) Mostre que a 
probabilidade calculada em (q_) __ ,,uma função decrescente de n. 
3.37. Cada uma das n umas: Urna 1, Urna 2, ... , Urna n, contém a bolas 
brancas e fi bolas pretas. Uma bola é retirada da Urna 1 e posta na Urna 2; em se-
guida, uma bola é retirada da Urna 2 e posta na Urna 3, e assim por diante. Final-
mente, uma bola é retirada da Urna n. Se a primeira bola transferida for branca, 
qual será a probabilidade de que a última bola escolhida seja branca? Que acon-
tece, se n _, co? [Sugestão: Façapn = Prob (a n-ésima bola transferida seja branca) 
e exprima Pn em termos de Pn _ 1·l 
3.38. A Urna 1 contém a boias brancas e fi bolas pretas, enquanto a Urna.2 
contém fi bolas brancas e a pretas. Uma bola é extraída (de ·uma das umas) e é 
em seguida reposta naquela uma. Se a bola extraída for branca, escolha a próxima 
bola da Urna 1; se a bola extraída for preta, escolha a próxima bola da Uma 2. 
Continue a operar dessa maneira. Dado que a primeira bola escolhida venha da 
Urna 1, calcule Prob (n-ésima bola escolhida seja· branca) e também o limite 
dessa probabilidade, quando n _,. oo. 
3.39. Uma máquina impressora pode imprimir n letras, digamos a 1, ci 2·, ••• , 
"'n- Ela é acionada por impulsos elétricos, cada letra sendo produzida por um 
impulso diferente. Suponha que exista uma probabilidade constante p de imprimir 
a letra correta e também suponha independência. Um dos n impulsos, escolhido . 
ao acaso, foi alimentado na máquiria duas vezes e, em ambas, a letra a 1 foi im-
pressa. Calcule a probabilidade de que o impulso escolhido tenha. sido para impri-
mira1 . 
1l 
I I 
i 
! 
I 
1 
I· 
i 
! ; 
' 
Variáveis Aleãtórias Unidimensionais · 
Capítulo 4 
4.1. Noção Geral de Variável Aleatória 
Ao descrever o espaço amostral de üm experimento, ·não especi-
ficamos que um resultado individual necessariamente seja um nú:.. 
mero. De fato, apresentamos alguns exemplos nos quais os resul-
tados do experimento· não eram uma quantidade numérica. Por 
exemplo, ao ·descrever uma peça manufaturada, podemos empregar 
apenas as categorias "defeituosa" e "não defeituosa". Também, 
ao observara temperatura durante o periodo de 24 horas, podemos 
simplesmente registrar a cwva traçada pelo termógrafo. .Contudo, 
em muitas situações experimentais, estaremos interessados na men-
suração de alguma-coisa e no seu registro como l.iin número. Mesmo 
nos casos menci.onados acima, poderemos atribuir um número a cada 
resultado (não numérico) do experimento. Por exemplo, podererp.os 
atribuir o valor um às peças perfeitas e o valor zero · às defeituosas. 
Poderemos registrar a temperatura máxima do ·dia, ou a temperatuTa 
mínima, ou a média das temperaturas máxima e mínima. 
Os exemplos acima são bastante típicos, de uma classe muito 
geral de problemas: em muitas situações experimentais, desejamos 
atribuir um nú-mero real x a todo elemento 8 do espaço amostral B. 
Isto é, x = X(8) é o valor di) uma função X do espaço amostral no 
espaço dos números reais. Com isto em mente, formulamos a seguinte 
definição. 
Definição. Sejam S um experimento e S um espaço amostral 
associado ao experimento. Uma junção X, que associe a cada ele-
mento 8 E 8 um número real, X(8), é denominada vari.ável aleat6ria. 
Comentários: (a) A terminologia acima é um tanto infeliz, mas é tão uni-
versalmente aceita·, que não nos afastaremos dela. Tornamos tão claro quanto 
. possível que X é uma funçao, e contudo, a denominamos uma variável (aleatória)! 
VARIÁVEIS AlEATÓRIAS UNI DIMENSIONAIS I 67 
(b) E evidente que nem toda funçãt imaginável pod~ ser considerada uma 
variável aleatória. Um requisito (embora_ hão seja o mais geral) é que, para todo · 
número real x, o evento [X(s) = x] e,p-~a t.odo intervalo/, o evento [X(s)E/] 
têm probabilidades bem definidas, con~stentes com os axiomas básicos. Na 
maioria das aplicações, essa dificuldade não surge e nós não voltaremos a ·nos 
referir a ela. I 
I . (c) Em a.lgunias situações, o resultado \1: do espaço amostral já eonstitui ,a 
.caracterlatics num~ca . que desejamos li reíiistrar. \ Simplesmente tomaremoa 
X(s) = s, a função 1dentJ.dade. _ 
(d) Na maior parte de nOSBI!. sub5eqii:ente exposição sobre vo.riáveis alea-
tórias, não necessitaremos indicar a natur~za funcional de X. · Geralmente, esta-
remos interessados 'tios valores po~veis d~ X, mais do que de onde el~ se origi-
nam. Por exemplo, suponha-se que atiremos duas moedas e considéremos o es~ 
paço associado a este experimento. · Isto! é, 
S = {HH, HTi TH, TTI. - · 
. I 
Definamos a variável aleatória da seguintfi maneira: X é o número de caras (H) 
obtidas nas duas moedas. Daí, X(HH) = 12, _ X(IIT) = X(TH) = 1 e X(TT) =O. 
S = espaço amostral de ·& llx = valores possívei~ de X ! . 
i 
I 
-Fig. 4
1
.1 
I 
(e) 11: muito importante . compreende~ uma. exigência fundamental de uma 
função (unívoca) : A cada sES coi:respohderá exatamente um valor X(s). Isto 
I. . I 
está apresentado esquematicamente na Fig. 4.1. Diferentes valore
1
s de s podem 
levar ao mesmo valor de X. Por exempJolr na ilustração acima, verificamos que 
X(HT) = X(TH) = 1. . , -I - . 
·o espaço Rx, conjunto de tod~ os valores possíveis de X, é 
algumas vezes denominado contradc'minio. De certo modo, podere-
mos considerar Rx como um outro ~aço amostral. O espaço amos-
tral (original) S corresponde ao reshltado (possiv~l:m:!mte não-l'lumé-
rico) do experimento, enquanto Rx lé o espaço amostral·, IJSSOCiado à 
variável aleatória X, . representand4 a característica numérica que 
nos poderá interessar. Se for X(s), = s, tererrl.os S ::= Rx. 
. Muito embora estejamos prevezUdos do perigo didático inerente 
a dar muitas explicações para umÁ mesma coisa, 'vamos salientar 
que püderemos pensar em u:ma.. variá.t el aleatótia :X, de du~ maneiras: 
(a) Realizamos o ·experimento 1E que dá um regultado sES; 
a seg;,.ir cal~ulamos o número X(s). ! 
68 / PROBABIUDADE 
(b) Realizamos 8, obtemos o resultado ~.e (imediatamente) 
calculamos X(s). Neste caso, o número X(s) é~;>ensado éo~o ovr6-
prio resultado do experimento e Rx se toma o . espli,ÇO amost~al do 
experimento. ·. . ·· - -' 
A diferença entre as interpretações (a) e (b) é percebida com · 
dific1,1ldade; é relativamente secundária, mas me1;ecedora de, atl~nção. 
Em (a), o experimento essencialmente. termina com a obs~rvação de s. · · 
A avaliação de X(s) é considerada alguma coisa qile é feita poste- .· 
'riormente, e que não é influenciada pela aleatoriedade de 8. Em · 
(b), o experimento não é considerado concluídO ·até que o ni1mero 
X (s) tenha sido realmente calculado, desse modo se originando o e.S-
paço amostral Rx. l\iuito embora a primeir~ interpretação, (a), seja 
aquela ·geralmente pretendida, a segunda interpreta'ção, (b), pode-
rá ser muito útil e o leitor deverá lembrar-se dela. 
Aquilo que estamos dizendo, e isso ficará cada vez inais claro nas 
seções posteriores, é que no estudo das variáveis. _ aleatórias estaremos 
mais interessados nos valores que X toma do qlle em sua forma funcio-
nal. Conseqüentemente, em muitos casos, ignoramos completamente 
o espaço amostral subjacente no qual X pode ser definido. 
Exemplo 4.1. Suponha-se que uma lâmpada tenha sido posta 
em um soquete. O experiment,o será. considerado terminado quando a 
lâmpada se queimar. Qual será um possível resultado, s? Uma das 
maneiras de descrever s seria apenas registrar o di'a e a ho_ra em que ' 
a lâmpada se queimou, por exemplo: 19 de maio, 16 h e 32 min. Em 
conseqüência, o - espaço am~stral poderia ser rep~e~entado por 
S = { (d, t) I d = dia, t = momento do dia). Presu~iyelmente, a 
variável alpat6ria que interessa é X, a duração até queimar. Ob~er­
ve-se que, uma vez que s = (d, t) tenha sido observado, o cálculo · 
de X(s) não inçlui qualquer aleatoriedade. Quando s é especificado, 
X (s) fica completamente determinado. 
As du~. interpretações explicadas acima -podem ser aplicadas 
a este exemplo, como se segue. Em -(a), consideramos o experimento 
terminado Cdm a observação S = (d, t), O dia e a hora. 0 cálculo 
de X(s) é realizado -depois, abrangendo um& operação aritmética 
simples. Em (b),_ consideramos que o experimento somente estará 
terminado depois que X(s) tenha sido calculado · e um,... número; por 
exemplo, X(s) = 107 horas seja então considerado o resultado do 
exi>erimento. 
Pode-se salientar . que análise semelhante se aplicaria a qual-
quer outra variável que interessMSe, por exemplo, Y(s), a tempe-
ratura da sala no momento em que a lâmpada se tenh& queimado. 
VARiÁVIEUS ALEATó,~ IAS UNiDRMENSiONAiS I 69 
( ' 
Exemplo 4.2. Três moedas são atiradas sobre a mesa. Tão 
·iogo as moedas repousem, !!), !fase / 1aleat6ria" do experimento tenni-
_lllOU. Um resultado simplea 8 poderia consistir ~a descrição deta: 
lhada de como e onde as moedas pousaram. · Presumivelmente, 
estaremos oomente intereesados em certas características numéricas. 
· •ciadas a este experimente. Por exemplo, poden2.mos avaliu: 
X(s) número de caras que apareceram, 
Y(s) distância máxima entre duas moedas quaisquer, 
Z(s) distância mínima das moedas a um bordo qualquer da 
mesa. 
Se for a variável X que interesse, poderemos, como se explicou no 
exemplo anterior, Íncluir a avaliação de X(s) na descrição de nosso 
experimento ·e, depois, simplesmente afirmar que o espaço amostral 
associado· ao experimento é {0, 1, 2, 3), correspondendo aos valores 
de X. Conquanto muito freqüentemente venhamos. a adotar esta 
interpretação, é importante compreender que a contagem do número 
de caras é feita depois que os aspectos aleat6rios do experimento te-
nham terminado. · 
Comentário: Referindo-nos a variáveis aleatórias, empregamos quase sem 
exceção ~etras maiúsculas, como X, Y, Z etc. Contudo, quando falamos do valor 
que essas variáveis. aleatórias tomam, usaremos, em geral, letras minúsculas, como 
x, y, z etc. Esta é uma distinção muito importante a ser feita e o estudante pode 
bem parar para considerá-la. Por ·exemplo, quandonós falamos em escolher uma 
pessoa ao acaso, de alguma população designada, e medimos sua altura (em centí-
metros, por exemplo), poderemos nos referir aos resultados possíveis como uma 
variável aleatória X. Poderemos então formular várias questões sobre X, como 
indagar se P (X;;, 60). No entanto, uma vez que tenhamos escolhido uma pessoa 
e medido sua altura, obteremos um valor específico de X, digamos x. Por isso, não 
teria sentido indagar se P (x;;, 60), uma vez que x é ou não é ;;, 60 . Esta distinção 
entre uma variável aleatória e seu valor é importante e nós voltaremos a fazer 
referência a ela. 
Quando estivermos interessados nos eventos associados a um 
espaço amostral S, verificaremos a necessidade de examin~r os eventos 
relativamente à variável aleatória X, isto é, subespaços do contra-
domínio Rx. Bastante freqüentemente, certos . eventos associados 
a S são "relacionados" (em um sentido a ser explicado) a eventos 
associados com Rx, na seguinte forma: 
I 
Definição. Sejam um experimento 8 e seu espaço amostral S. 
Seja X uma variável aleat6ria definida em Se seja Rx seu contrado-
mínio. Seja Bum evento definido em relação a Rx, isto é, B C Rx. 
70 I PROBABILIDADE 
Então, A será definido assim: 
A= {8 E SjX(s) E B) . (4.1) 
Explicando: A será constituído por todos os resultados em S, 
para os quais X(s) E B (veia Fig. 4.2). NesÍe c~o, direnios que 
A e B são event08 ~qu.ivalenle8. 
Fig. 4.2 
Coment6,rios: (a) Dizendo a mesma coisll, com :inenos rigor: A Ei B serão equi-
valentes sempre que ocorram juntos. Isto é, quando A ocorre, B ocorre; é inver-
samente. Porque se A tiver ocorrido, então um resultado 8 :terá ocorrido, para o 
qual X(li) E B ~~ portanto, B ocorreu. Reciprocamente, se B ocorreu, um valor 
X(s) terA sido observa<;lo, para .o qual 8 EA e, portanto, A, ocorreu. . . . 
{b) É impÓrtante ·compreender que, -'em ·l1~ssa defuriçA~ ·de ·evcmtoS equiva-
lentes, A ·e B sãCI associados .a espaços amostrais diferentes. . . 
Exemplo 4.3. Considere-se a jogada ·de duas moedas. Dai, 
S = •I HH, HT, TH, TT}. Seja X ·o número de carp.s ob'tidC>-. Por-
·tanto, Rx = {O, 1, 2}. Seja B = {1}. Já que X'(IIT) = X('I'Il) =··.11 
se, e somente se, X(s) = 1; temos que A= IIIT, THj é·equiva:lenteaB. 
Agora, daremos a seguinte importante definição. 
Definição. Seja B 1im evento no ·contra:dO'l'IlÍnio Rx. Nesse 
caso, definimos P(B) da seguinte maneira 
P(B) = P(A), onde A= Is E SJX(s) EB}. (4;2) 
Explicando: Definimos P(B) igtl.al à pro·babilida:de do evento 
A C S, ;o q\~al é equivalente a B, no sentido ·da Eq. (4.1). 
Ccnnentár (qs : (a) Estamos ·admitindo que probabilidaacs possam ser asso-
ciadas a. eventos ·em S. Portanto, a. definição acima. torna possível atribuir .pro-
babilidades a ev-entos associados a Rx em termos·de probabilidades·definidas sobreS. 
(b) É realmente possível demonstrar ·que P(B) deve ser definida tal como . e 
fizemos. Contudo, isto envolveria algumas dificuldades teóricas que desejamos 
evitar e, por isso, procedemos ·como acima. 
(c) Desde que na formulação ·da Eq. (4.2) .os eventos A e B se referem a. 
espaços amostrais diferentes, deveríamos realmente empregar notaÇão diferente 
·qJ:ando. nos ·referíssemos a probabilidades definidas sobre S ·e àquelas ·aefinidaa 
.s9bie Rx, digamos alguma. coisa tal como P(A) e Px(B). No entanto, .não .fare-
VARIÁVEiS ALEATÓRIAS UNDIOIMENSIONABS I 71 
I 
mos isso, mas continuaremos simplesmeJep•escrever .P(A.) e P(B). ·o contexto 
em que tais expressões apar"'çam tornará lcÍara a interpretação. · 
(d) As probabilidades associadas a eventos ~o .espaço amostrai (original) S 
são, de 'certo modo, determinadas por "{orças .fora de nosso controle", ou como 
às vezes se diz :•pela. Natureza". A comppsição de uma fonte radio~iiva •que erniW. 
partfculas, a dmpos1ção de um grande numero de pessoas ·que façam éhamaàa!l 
telefónicas durante certa hora, e a agit~ção térmica que aê ·origem a 'Um fluxo 
·ou as condições atmosféricas que dêein ofigem a urna tempe5tade, ilustram esse as-
pecto. Quando introduzimos. uma variável aleatólia X e seu··contradomfnio Rx 
estl!,rnos induzindo probabilidades nos ev~ntos associados a ·'Rx, as quais serão es-
tritamente determinadas se as probabiliclades associadas a ·e~entos em S forem 
especificadas. I ' 
Exemplo 4.4. Se as moedas I consideradas 'llQ Ex . . 4:3 -forem 
"equilibradas", teremos P(HT) = P(TH) = 1/4. Poft;a'Il'OO, P(HI', 
TH) = 1/4 + 1/4 = 1/2. (Os cálculos acima são m:ria. lt!onsequência 
direta de nossa suposição fundaxrlental referente à :propriedade ·de 
equilíbrio ou simetria das moedas. ii Visto que ·o evento ·I X = 1}' é 
equivalente ao evento {HT, TH}, empregando a Eq. (4.1); teremos. 
que P(X = 1) == P(HT, .TH) = l/2J [Na realida:de não 'e:lciste escolha I . 
para o valor de P(X = 1) .. coeren~e com a Eq .. (4.2), uma ·vez que 
P(HT~ ·Til) tenha sido determinada. 1l': neste sentido que probabi-
. !idades associadas a eventos de Rxj são induzida.'l.l 1 
Comentário: Agora qúe jil. -esta:belecebos a existência de ·uma funl,li!.o ·de pro-
babilidade indozida. sobre o contradomiJio de X- Eqs. (4.1 ·e 4.2)- achamos 
. . I , . . . 
conveniente . l!Jlprimir a natureza. 'funcional de X. Por isso, escreverein!ls ·(como 
fizemos no ·e~plo ·acima) P(X = 1) = 142. O que se quer dizer é que, um certo 
evento no ·espsço amostral S, a saber ·(HT, THI = (s}!X(s) = 11 •ocbrre com pro-
babilidade 1/2. Da.! atribuirmos ·essa m~sma probabilidade, ao ·evento (X = 11 
no contradom!U:ió. · Continuaremos a escr~ver expressões sernelha.n~s a P(X = 1), 
. I . 
P(X ~ 5) etc. t muitc imporlánle para o I,eitor compreender o que essas expressões 
reslm:ente representam. I . 
I I 
Uma v.ez que as probabilidad~s associadas aos vááos resultadoe 
(ou eventos) :no contradomin:io R~ tenham sido determinadas (mais 
precisamente, induzida.S), ignor.arbmos freqüentemente o espaço 
amostral original S, que deu orige~ a 'essas probabilidades. Assim, 
bo exemplo anterior, ·• simplesmepte estaremos inter~ssados em 
Rx =' {O, 1, 2} e as probabilidaqes assCJciad'as (1/4, 1/'i, 1/4). O 
fato, de que ·essas probabilidades s~jam determinadas por uma função 
. de probabilidade definida ~obre o! espaço amostral original s, não 
nos interessa, quando estamos ap:enas interessados em estudar os 
valores da v~riável aleatória X. I 
Ao apresentar, em minúcias, lrmito~ dos 1importantes con:tieitos 
·referentes a variáveis aleatórias, J julgamos conveniente distinguir 
72 I I'ROBAB!UDADE 
dois casos importantes: as variáveis aleatórias discretas e as variá-
veis aleatórias contínuas. 
'De}z"-nição. Seja X uma variável aleatória. Se o número de va-
l ores possíveis de X (isto é, Rx, o. contrado:riúnio) for finito ou infi-
nito numerável, denolninaremos X de variável aleat6rja discreta. Isto 
é, os valores possíveis· de X, podem ser postos em lista como x11 
· x2, . ... , Xn. No caso finito, a lista acaba, e no caso infinito ntiínerá-
vel, a lista continua indefinidamente. 
Exemplo 4.5. Uma fonte radioativa está eMitindo partículas a. 
A. emissão dessa.s partículas é observada em um dispositivo contador, 
durante um período de tempo especificado. A variável aleatória 
seguinte é a que intere3sa: 
X = número de partículas observada{~. 
Quais são os valores possíveis de X? Admitiremos que esses valores 
são todos os inteiros não negativos, isto é, R.Tt: = (O, 1, 2 . .. , ·n, . .. }. 
Uma obje~ão com que j ~ nos defrontamos uma vez pode, novamente, 
ser levantada neste ponto. Pode-se argumentar que durante um es- , 
pecificado intervalo (finito) de tempo, é impossível observai· mais. :. 
do que, digamos N partículas, onde N pode ser um inteiro positivo 
muito grand~. Conseqüentemente, os valores possíveis para X real-
mente seriam: O, 1, 2, . .. , N. Contudo, torna-:se matematicamente 
·mais simples considerar a descriÇãO idealizadafeita .acima. De fa-
to, sempre que adniitirmos que os valores possíveis de unta variá-
vel aleatória X sejam infinito numerável, estaremos realmente consi-
derando uma: representação idealizada de X. 
À yista de nossas explicações anteriores da descrição prob~bi­
lística de eventos com um ,número finito ou infinito numerável de 
elementos, a descrição prol?abilística d~; uma variável aleatória dis-
creta não apresentà.rá quakruer dificuldade. Procederemos da se-
guinte maneira: 
Definição. Seja X uma, variável aleatória discreta. "Portando, Rz, 
o contradomínio de X, será formado no máximo por Um número in-
finito numerável de valores x1, x2,. • • A calla poss[vel resultado x' 
associaremos um número p(xi) = P (X = x;), denominado probabi-
lidade de . x;. ·Os . números p(x;), .i = 1, 2, . . . devem satisfazer às 
.. 
VAR!ÃVIEOS ALIEAlJ"Ó~QAS UI\IIDiilfiiEI\ISOONA!S I 73 
seguintes condições: 
(a) p(x;) ~ O para todo i, 
"' (b) L p(x;) = 1. (4.3) 
oi=l 
A função p, definida acima, é denominadajun;ão de probabilidade 
(ou função de probabilidade no ponto) dá.'V!i.riável aleatória X. A 
coleção de pares [.r;, p(.ri)], i= 1, 2, ... , é. algumas vezes denominada 
distribuição de probabilidade de X. 
Comentários: (a) A escolha. particular dos números p(x;) é presum!Velmente-
determinn.da a partir. do. função de probabilidade associada. aos eventos no espaço 
Fig. 4.3 
amostral S, no qual X. seja definida. Isto é, p(x;) = P[s IX(s) = :r;]. [Veja as 
Eqs. (4.1 e 4.2).] Contudo, já que es tamos interessados apenas nos valores de X, 
isto é, Rx, e as probabilidades IISSociadas a. . estes valores, estaremoS novamente 
suprimir,c:lo _a. natnre~a fun.cional de X. · . . (Veja a Fig. 4.3.) Muito embora, tia. maio-
ria dos casos, os números sejam de fato determinados a partir da distribuição 
de probabilidiules em algum espaço amostral subjacente s, qualquer conjunto de 
números p(:í:i), que satisfaçam às Eqs. (4.3), pode servir comi:> descrição proba.bi-
llstica apropriada de uma variável aleatória discreta. 
(b) Se X tomà.r apenas um número finito de : valores, digamos XlJ ••. ,xN, 
então p(x;) = O para i > N, e1 portanto, a série infinita na Eq. (4.3) se transforma 
em uma soma finita. 
(c) Podemos salientar, novamente, uma análogia com a Mecânica, ao con-
siderarmos a massa total de uma. unidade distribuída sobre a reta real, com a massa 
total concentrada nos pontos x11 X2, . . . Os ·números p(x;) representam a quan-
tidade de massa localizada. no ponto x;. 
(d) A interpretação geométrica (Fig. 4.4) de uma. distribuição de probabi-
lidade é freqüeritemente útil. 
p(x) 
111 I ii J ~x 
Fig. 4.oll 
74 I PROBABIUDADIE 
Seja Bum evento associado i variável aleatória X; isto é, B C Rx 
(Fig. 4.5). Suponha-se, especificamente, que B = I x,;1, x;w .. }. Daf, 
P(B) = ..f'[s!X(s) E B] (porque esses eventos são equivalentes) 
:::, P[s!X(s) = x;i'j = 1, 2, ... ] = f:p(r;1). 
. . i=l .... 
(4. 4) 
Explicando: A probabilidade de um evento B é igual à iíoma das 
probabilidades dos resultados individuais aSsociados com . B. 
Comentários: (a) Suponhamos qué a variável aleatpria disereta X possa 
tomar somente um número finito de vàlores, X 1 , ... : ; Xfif. Se os resultados forem 
igualmente prováveis, então teremos obviamente p(x,) == ... = p(xN) = 1/N. 
(b) Se X tomar um número infinito numerável de vàlores, então é impossível 
ter todos os valores igualmente prováveis; porque · não poderemos satisfazer à 
condição . :E oo p (xi) = 1, se tivermos p (xi) = c para todo i. 
z= 1 , 
(c) Em todo intervalo finito, existirá no máxi:Íno um número finito de 
valores possíveis de X. Se algum desses intervalos não contiver qualquer desses 
valores possíveis, nós atribuiremos a ele probabilidade zero. Assim, se Rx = 
= [x,, x2 , ••• , Xnl e se nenhum xiE [a, b],entãoP [a"" X"" b] =O. 
ExemjJlo 4.6. Suponhamos que urna vái~Ià' eletrônica . seja 
posta em um saquete e ensaiada. Admitiunos que a ·p:robabilidàde 
de que o teste seja positivo seja 3/4; daí, á p~ob~bilid~e _dé que s~2 
ja negativo é igual a 1/4. Admitamos também que estej~os ensai:. 
ando uma partida grande dessas válvulas. Os ensaios : ~ontinuam 
até que a primeira vál~la positiva apareça. Definàmqs a variá-
vel aleatória, assim: X é o n,úmero de testes · neÚss.ârios para con- . 
cluil' o experimento. O espaço amostral associado ·a este experi-
mento é: 
s ==: I+, - +, - - +, - +, ... }. 
Para determinarmos a dist~il:>uição. de probabilidáde de X, racioCl-
p.aremos da seguinte forma: os valores possíveisde X são 1, 2, . .. n, •..• 
(estamos, obviamente, tratando com um espaço amostral idealizado). 
E será X = n se, e somente se, as pri:!neiras (n - l), válvulas forem 
negatjvas e a. '(.1.-ésima válvula for positiva. Se aceitarmos que a 
condição ·de 1Uill1 váLvula não influencie a condição de 'outra, pode-
remos escrever 
( 1 )n-l.( 3) p(n) == P(X = n) = 4 4 , n = 1, 2, .. •; 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIDIMENSIONABS 1 75. 
I I - -
Para verificarmos que esses valores de p(n) satisfazem à Eq. (4.3) 
observaremos que \ ' · 
.. 3 ( \ 1 1: ) L p(n) = - 1 + - + - + · · · 
n=l 4 1 4 16 . 
3 i 1 
=--~ -- = 
4 1\-_!_ 
. I. 4 
1. , 
-I 
' I 
Comenl.árw: Estamos empregand6 aqui o resultado de que a. série gpomélrica 
1 +r+ r+ ... çonv~rge para _1.'(1 t- ~) sempre q~e· \r I < 1. ~ste é lUD re-
sultado que será menciOnado mu1las vezes. Suponha-se que ,deseJemos calcular · 
P(A), onde A 6 defini.d.o como: 10 exphimento termina. depois 'de um nú!l;leco paJ: 
de repetições.! Empregando n. Eq. (414); teremos~ 
.. I 
P(A) = L p(2ni = .2_ + 2_1 + · · · 
71=1 i 16 256 
3 I 1 ' 3 I 1 
= --:16 (1 +: ~ + .. ·) = 16 --~- = 5 . 
i 1 - 16 
I 
4.3. A Distribuição Bi.nomial\ 
Nos prmamos capítulos, estJdaremos pormenorizadamente algu-
mas variáveis discretas importantk Agora estudaremos apenas uma 
delas e, em seguida, a empregar~mos para ilustrar alguns conceitos 
importantes. \ . 
! 
Exemplo 4.7. Suponha que ~eças saiam ,~e uma l~nha de produ-
ção e sejam classificadas como defe~tuosas (D) ou como não-defeituosa~ 
(N), isto é, perfeitas. Admita que três dessas peças, da produção de um 
dia, sejam escolliidas ao acaso e Classificadas de acordo com esse es-
quema. O espaço amostral para es~se experimento, S, pode ser assim, 
apresentado: i 
. I I . •I 
S = {DDD, DDN,DND,NDD,NND,NDN,DNN,NNNJ. 
. I I . . 
(Outra maneira de descrever s ,é como s = s 1 X Sz X s3' o produ-
to cartesiano de St, S2 e S3, onde c~daSi = {D,N}.) 
Suponhamos que seja 0,2 a probabilidade de uma peça sér, defeituosa 
e 0,8 a de ser não-defeituosa. A4rnitamos q~e essas probabilidades 
' 
76 i PROBABUUDADIE 
sejam as mesmas para cada peça, ao menos enquanto durar o nosso 
estudo. Firialmente, admita-se que a classificação . de qualquer peça 
em particular, seja independente da classificação de qualquer outra 
peça . . Empregando essas suposições, segue-se q~e as probabilidades 
associadas aos vários resultados do espaço ariwstral S, como se explicou 
acima, são: 
(0,2)3 ' (0,8)(0,2)2 ' (0,8)(0,2)2 ' (0,8)(0,2)2 ' (0,2)(0,8)2 ; (0,2)(0,8)2 ; 
(0,2)(0,8)2 , (0,8)3 . 
Geralmente, nosso interesse não está. dirigido para os resultados .indivi-
duais de S. Ao contrário, desejamos tão-somente cànhécer qiuzntas 
peças defeituosas seriam encontradas . (não interessà:ndo . a ordem em 
que tenh'am ocorrido). Isto é~ desejamos estudar a variáv~l aleirtóriaX, 
a qual atribui a cada resultado s e S o número de peças defeituosas 
encontradas em s. Conseqüentemente, o conjunto dos valores possí-
veis de X é {0, 1, 2, 3}. 
Poderemos obter a distribuição de probabilidade de X, p(xi) = 
= P(X = xi), .da seguinte maneira: 
X = O se, e somente se, ocorrer NNN; 
X = 1 se, e somente se, ocorrer DNN, NDN, ou·NND; 
X= 2 se, e somente se, ocorrer DDN, DND, ouf!DD; 
X = 3 se, e somente se,ocorrer DDD. 
(Note-se que {NNN} é equivalente a {X= O} etc.) Ent'ão, 
p(O) = P(X =O)= (0,8)3 p(l) = P(X = 1) = -~ (0,2)(0,8)2 , 
p(2) = P(X = 2) = 3(0,2)2 (0,8), p(3) =P(X = 3) = (0,2)3 • 
Observe que a soma dessas probabilidades é igual a 1, porque .a soma 
pode ser escrita como igual a (0,8 + 0,2)3 • 
Comentdrio: A explicação dada ilustra como as probabilidades em um con-
tradomínio Rx (neste caso {0, 1, 2, 3}) são induzidas pelas probabilidades defmi-
das sobre o espaço amostral S. Porque a hipGtese de que os oito Í esultados de 
S = {DDD, DDN, DND,NDD,NND,NDN, DNN, iiNN} 
tenham as probabilidades daçlas no Ex. 4.7, determinou o valor de p(x) para 
todo x e Rx. 
VARIÁVEiS AlEATÓROAS UI\!DD!MIENSOONAHS I 77 
Vamos agora generalizar as noções introduzidas no ex. anterior. 
Definição: Consideremos um experimento E e seja A algum 
'"evento associado a E. Admita-se que P(A) = p e conseqüentemente 
P(A) = 1 - p. Considerem-se n repetições de E. Daí, o espaço 
amostral será formado por todis as seqüências passiveis I a1, á2, . . . , an I, 
onde cada a; é ou A ou A, dependendo de que tenha ocorrido A ou A 
na i-ésima repetição de E. (Existem 2n dessas seqüências.) Além 
disso, suponha-se que P(A) = p permaneça a mesma para todas as 
repetições. A variável aleatOria X será assim definida: X = número 
de vezes que o· e-vento A tenha ocorrido. Denominaremos X de va- · 
riável aleatória binomial, com parâmetros n e p. Seus valores possí-
veis são evidentemente O, 1, 2, ... , n. (De maneira equivalente, dire-
mos que X tem uma. distribuição bmoinial.) 
As repetições individuais de E serão denominadas Provas de 
Bernouilli. 
Teorema 4.1. Seja X uma variável binomial, baseada em n 
repetições. Então, 
P(X = k) = ( ~) p1'(1- Pt-lc, k =O, 1, ... , n. (4.5) 
Demonstração: Considere-se um particular elemento do espaço 
amostral de S satisfazendo à condição X = k. Um resultado como 
esse poderia surgir, por exemplo, se nas primeiras k repetições de E 
ocorresse A , enquanto nas últimas n- k r~petições ocorresse A, · 
isto é, 
AAA· · · AÃAA· ··A. 
k n-· k 
Como todas as repetições são independentes, a probabilidade desta 
seqüência particular seria plc(l - p)n-k, mas exatamente essa mesma 
probabilidade seria associada a qualquer outro resultado para o 
qual X = k. O número total de tais resultados é igual a {~), por-
que deveremos escolher exatamente k posições (dentre n) para o 
evento A. Ora, isso dá o resultado acima, porque esses (~) resul-
tados são todos mutuamente excludentes. 
78 I PROBABILIDADE · ........ · 
Comentários: (a) Para verificaJ' nO!lflO resultado, . ~bªervemos que empre-
gando o teorem,a binomial temos . . . · . > · 
I:~~o P(X = k) = Lk=O m pk(l ~ p)n~~ =; [p + (1 '- p)]n = "1" = 1, 
como era de se esperar. · Como as probabilidÍld~ '(k) pk(f:...:. p)ii-k São obtid&S . 
pelo desenvolvimento da expressão binomial[p + (i C:: p)];.;/eí'a+ecelle a deri'omi~ 
nação de distribuição binomial. . ' · . 
(b) Sempre que realizarmos repetiÇões indep.eridentes_' de uni:experiinento 
e estivermos interessados somente em uma dicotOmia- defeituoso ou nãc:i-def.eic 
tuoso (perfeito).; dureza acima ou abaixo de certO padrão;, nível .,de ruído em um 
sistema de comwúcações acima ou abaixo de ~~ limiar , pr~estab~lecido ~ esta-
remos virtualmente tratando com um espaço amostrai nÕ qual podemos definir 
uma. variável aleatória binomial. ·Enquanto as con:diçÕes da experimentação 
permaneçam suficientemente · estáveis, · .de· modo que a probabilidade de . algum 
atributo, digamos A, permaneça constante, poderemos empregar o modelo aciina. 
(c) Se n for pequeno, os termos individuais da distribuição binomial serão 
r~:lativamente fáceis de calcular. Contudo, se n for relativamente grande, os 
cálculos se tornam bastante incómodos. Felizmente, foram preparadas tábuas. de 
probabilidades bin01piais; existem várias dessas tábuas. (Veja o . Apêndice.) 
Exemplo 4.8. Sup@ha-se que uma válvula eletrônica, instalada 
em determinado circuito, tenha probabilidade 0,2 de funcionar mais 
do que 500 horas. Se ensaiarmos 20 válvulas, qual será a probabili-
dade de que· delas, exatamente k, funcionem mais que 500 horas, 
k = o, 1, 2, ... ' 20? 
P(x) 
I I 'I L-~0-+1~2~3~4~5~~6-!7~8~9~1~0~1~1~1~2~13~14~15~16~1=7~1~8-x 
Fig. 4.6 
Se X for o número de válvulas que funcionem mais de 500 ho-
ras, admitiremos que X tenha uma distribuição binomial. Então, 
P(X = k) = CZ2) (0,2)!<(0,8)=0-k. Os valores podem ser lidos na Tab. 4.L 
~ ~ . . 
Se marcarmos os valores dessa distribuição, obteremos o gráfico 
apresentado na Fig. 4.6. A configuração que observamos aqui é 
bastante· geral. As probabilidades binomiais crescem monótonica-
. mente, até que atingem um valor máximo e, depois, decrescem mo-
notonicamente. (Veja o Probl. 4.8.) 
P(X = O) = 0,012 
P(X = 1) = 0,058 
P(X = 2) = 0,137 
P(X = 3) = 0,205 
(As probabilidades 
- I - . 
VARBAVIEISA!l.EATORIAS UI\IDDIMIENSiOI\IAIS I 79 
I 
Tab. /4.1 
I 
I 
P(X = 4) = 0,218 P(X ;, 8) = 0,022 
. I . 
P(X = 5) = 0,175 P(X '= 9) = 0,007 
I P(X = 6) = 0,~09 P(X == 10) = 0,002 
P(X = 7) = o,pss P(X = k) = o+ para k ~ 11 
restantes são meilores do que 0,001.) 
I 
I 
Exemplo 4.9. Ao operar det~rrninada máquina, existe alguma 
probab-ilidade de que o operador qa máquina cometa um erro. Po~ 
de-se admitir, razoavelmente, que ;o operador aprenda, no sen~,ido dç 
que . decresça a probabilidade de cpmeter um erro, se ele usar repeti-
damente a máquina. Suponha que q operador faça n tentativas e que as 
n repetições sejam estatisticamente ipdependentes. Suponhamos, especi-
ficamente, que P (um erro ser cometido na i-ésima repetiçã<;>) = 1/(i + 1), 
i = 1, 2, . .. , n. Admitamos que /se pretendam 4 tentativas (isto é, 
n = 4) e defmamos a variável aleatória X como o número de operações 
da máquina, executadas sem erro. NJ1 ote-se que X não tem distribuição 
binomial, porque a probabilidade de "sucesso" não é constante. 
Para calcular a probabilidade jde que X = 3, por exemplo, pro-
cede-se do seguinte modo: X = 3 se, e somente' se, houver exatamente 
uma tentativa mal sucedida. -Isto ~ode ocorrer na prin~eira, segunda,-
terceira ou· quarta tentativas. Portanto, I . . . 
1 2 3 4 ~ 1 3 4 1 2 1 4 ~x=m=----+~---+----+ 
. 2 3 4 5 ~ 3 4 5 2 3 4 5 
1 2 3 1 5 
+z-345= iz· 
I 
I . 
Exemplo 4.10. Considere-se ruma situação semelhante à.quel11, 
· apresentada no .Ex. 4.9. Agora, !admitiremos que exista uma pro-
babilidade constante p 1 de não cmpeter um erro na máquina, dura~te 
cada 'uma das n 1 tentativas, e urra probabilidade constante p~ ~ P1 
de não cometer um erro em cada uma das n2 .repetições:subseqüentes . 
. Seja X o número de operações be~ sucedidas da máquina durante as 
n = n 1 + n2 tentativas independe? tes: Vamos procurar a expressão 
geral de P(X = k). Pelo mesmo rp.otivo dado no exemplo precedente, 
X não tem distribuição binomial. i Para obter P(X = ik), procede-se 
qa seguinte maneira: ' I · 
Sejam Y1 o número de operações corretas 'durante as primeiras 
n 1 tentativas, · e Y2 o número dei· operações corretas· durante as n2 
tentativas s~bseqüentes. Portantp, Y 1 e Y2 são variáveis aleatórias 
independentes e X = _ Y1 + Y2• 1 Assim, X = k se, e somente se, 
I 
80 i PROBABILIDADE . 
Y1 =r e Yz = .k- r, para qualquer inteiro r ql).e satisfaça às condi-
ções O ::::; r S n1 e O ::::; k - r ::::; n 2• 
As restrições aciina, sobre r, são eqUivalentes 'a ·o ::::; r .:5 n1 e 
k - n2 ::::; r ::::; k. Combinando-as, põdérêmb~ es~re'v~rmáx. (O, 'k ~ 
- nz) ::::; r S mín. (k; ni)., Portanto, teniinci~ 
Com nossa convenção usual de que (b) = O sempre qu~ b > a ou 
b < O, poderemos escrever a probabilidade acima como 
. P(X= k) = T~ (~1) p~(l- PI)nl-'r(k ~r) p;-r(l-' P2)"2-k+r 
(4.6) 
Por exemplo, se P1 = 0,2, P2 = 0,1, n1 = n2 = 10 e k = 2, a proba-
bilidade acimafica, depois de um cálculo direto: 
Comentário: Sup.onha-ose que p1 = P2· Neste . caso, ii; Eq. (4.6) se reduz a 
· (k) p~ (1 - pi)n-k, porque agora a .variável aleatória X tem. uma dist~ibuição 
binomiaL Para verificar que é a.Ssim, note-se que poderemos escrever, (desde 
que n1 + 112 = n): 
P(X = k) =· p~(l- p1)n-k ~ (~1) (k~ ,.) 
Para verificar que a SQ~~ acima é igual a (~), bast& comparar os coeficien~ 
das potências de xl,; .ehi ambos os membros da idéntidade (l +. x)n 1 (1 + x)"2 ~ 
= (1. + x)nl+n2. 
··4.4. Variáveis Aleatórias Conttífl'lluas 
Suponha-se que o · contradonúnio de X seja formado por um 
número finito muito grande de val~res, digamos todos OS . valores X 
no intervàio O ::::; x s i, da forma: O; 0,01;. 0,02; ... ; 0,98; 0,99; 
1,00: A cada um · desses valores .está associado um número não-ne-
gativo p(x.) ;, P(X =:= Xi), i.= 1,· 2,·: .. , cuja soma é igual a 1. Esta 
operação está represen~ada geometricamente na !"ig. 4. 7. . -
VA.RO Á VEUS A. LEA.TÕR8A.S UN8Dii\liENSDONA.iS I 81 
J á. salientamos anteriormente que poderia ser matematicamente 
ma.iB fácil idealizar a apresentação probabilística de X, pela 
P!ll) 
kJmw I iliiillli., 
O I 
suposição de que X pudesse tomar 
t<Jdos os valores possíveis, O ~ x ~ 1. 
Se fizermos isso, que acontecerá às 
probabilidades no ponto p(x;)? Co-
mo os· valores possíveis de X não 
são numeráveis, não podemos real-
mente falar do i-ésimo valor de X, 
e, por isso, p(x;) se torna sem sentido. O que faremos é substituir a 
função p definida somente para x1, x2, • •• por uma função f definida 
(neste conte:do) para todos os valores de x, O ~ x ~ 1. As proprie-
dades da Eq. (4.3) serão substituídas por j(x) ~O e fo 1 f(x)dx = 1. 
Vamos proceder formalmente como se segue. 
Definição: Diz-se que X é uma variável aleatória contínua, se existir 
uma função t, denominada função densidade de probabilidade (fdp) de 
X que satisfaça às seguintes condições: 
(a) f(x) ?>O para todo x, · 
(b) I+ ~ f(x ){lx = 1, (4.7) 
- 00 . . 
(c) p~a quaisquer a, b, com - oo < a < b < + oo, teremos 
P(a<X<b)=Jg f(x)dx. (4.8) 
Comentários: (a) Estaremos essencialmente dizendo que X é uma variável 
aleatória contínua, se X puder tomar todos os valores em algum intervalo (c, d), 
onde c e d podem ser-~ e+~, respectivamente. A existência estipulada de uma 
fdp constitui um artifício matemático, que possui considerável apelo intuitivo e 
torna nossos cálculos mais simples. Em relação a isso, também devemos salientar 
que, quando supomos que X seja uma variável aleatória contúma, estamos tratan-
do com uma descrição idealizada de X. 
(b) P(c <X< d) representa a área sob a curva no gráfico da Fig. 4 .8, da 
fdp f. entre x = c ex = d. 
J(x) 
X=C 
='+-----..,:.: 
ir=d 
82 I PROBABILIDADE 
. (c) Constitui uma conseqüência da descrição probabilfstica de .. X, acima, 
que, par& qualquer valor especificado de X, di~~s ~; · téciíiri~·P(X = Zo) ' = O, 
porque P(X = xa) = Jz;o j(x) dx = O. Este rooult~o pode, ~~ecer ~clto con-
trário à. nossa intuição. Contudo, . devemos compreender que se permitirmos 
que X tome rodos os valores em algum Intervalo, então a pr.obe.bili<lade zero. não é 
equivalente à impossibilidade. Por issO, no caso contínuo, P(A) = O não implica 
· ser A = 0, o conjunto vazio. (Veja. o Teor. 1.1.) Explicandc) ias:> •ménos rigo-
rosamente, . considel"EHle a escolha de um ponto . ao aéaso, : nó .se~ento de reta 
{xj O .:S x.:S 2l. Muito embora. possamos ~ta.r desejosos em concordar (para 
objetivos matemáticos) que cada.. ponto imagiml.vel no segmento posSa. ser resultado 
de nosso experimento, ficaríamos completamente surpreendidos qu~nto ii. isso, 
sa de. fato escolhéssemos precisamente o ponto médio do segmento ou · qualquer 
outro ponto especificado. Quando expressamos isto '.em ling'uagetn . matemática 
rigorosa., dizemos que o evento tem "probabilidade líerÕ". Tend~ em vista. essas 
obaerve,ções, 88 seguintes probabilidades serl!.o todas iguaiiJ, se X for uma va.riá~el 
aleatória contínua: · · 
P(c5. X 5. d), P(c 5. X< d), P(c <X 5. d), e P(c <X< d). 
(d) Apesar de não verificarmos aqui os detBlhes, pode-se mostrar que easa 
atribuição de probabilidades a eventos em Rx · sa.tisfa.Z aos ·axiomas básicOs. da 
probabilidade [Eq. (1.3)1, onde poderemos toiiU!.l" {zl - "' < x < + ·"'I como · 
nosso espaço amo&ti:al. 
(e) Se uma função r satisfizer às condiÇões j'; (z) ~ O para todo x, e 
f_+.,"" r (:z;) dx = K, onde K é um número real positivo (não necessiuiamente igilal 
a 1), então r não satisfaz a todas as condiÇões para ser uma fdp. No entanto, 
poderemos fácilmente definir uma nove. função, digamos J, em termos de r. ll&,lim: 
j(z) = JO(z) 
K para todo x. 
Em conseqüência, f se.tisfad, a todas as condiÇões de uma fdp. 
(f) Se X tomar valorea somente em algum intervalo rmito [a, b], poderemos 
aimplesmente pôrj(x) = O para todo z EE [a, bl. Em conseqüência, · a. fdp ficam 
definida para todoo os valores ree.is dez, e poderemos. exigir quef_f;.,"" j(x) dx=r. 
Sempre que a fdp for especificada somente para determinados valores de z, deve-
ramos supor que seja zero em todos os demais. 
(g) J(x) não representa. 111 probabilidade de coisa alguma! Anteriorm!)nte 
j& salientamos que, por exemplo, P(X = 2) = O e, conseqüentemente, f(2} cer-
ta.mente nl!.O representa easa. probabilidade. Somente quando a função for in-
tegrada entre dois limites, ela produzirá uma. probabilidade. Poderemos, con-
tudo, dar uma interpretação dej(x)t:.x, da: seguinte maneira: Bo teorema do valor 
médio, em Cálculo, tem-se que 
, 
i z+L'>z P(x 2 X 2 x + tu) = j(s) ds = l:.xj(~), 
.i 
.:f 
. ,.; , 
~ -~ l 
·.! 
· VARIÁVEIS k lEATÕRBAS UNIDIMENSIONAIS l 83 
Se D.x for pequeno, f(x) D.x será aprd,ximadamente igual a P(x ~ X~ x + D.x)·. 
(Sef for contínua à direita, esta aproxitnação se tornará mais exata quando D.x->0.) 
(h) Devemos novamente salientat que a distribuição de probabilidade (neste 
caso a fdp) é induzida em Rx pela probabilidade s~bjacente associada com eventos 
I . 
em S. Por isso, quando escrevemos P(c < X < d), queremos significar como sem-
pre P[c < X(s) < d], que por sua vez! é igual a P[s 1 c < X(s) < d], já que esses 
eventos são equivalentes. A definição anterior, Eq. (4.8), estipula essencialmente 
a existência de uma fdp f definida sobre Rx tal que 
. P[,j« X[•) ~ ~ - 1' J[•) d>. 
I 
Novamente suprimiremos a natureza funcional de X e, por isso, trataremos so-
mente com Rx e a fdp f. . I . . 
(i) No caso contínuo, também !poderemos considerar a seguinte analogia 
com a Mect1nica: Suponha-se que tembs uma massa ·total de uma unidade contt-
nuamente distribuída sobre o intervalo a~ x ~ b •. 'Nesse caso, f(x) represe~ ta 
a densidade de massa no ponto x e J:d f(x) dx representa a massa total contida 
no intervalo c ~ x ~ d. I · 
I 
Exemplo 4.11. A e~istêncial de uma fdp foi admitida na exposição 
de uma variável aleatória cont~ua. Vamos considerar um . exemplo 
simples, no qual poderemos facilmente determinar a f~p, fazendo uma 
suposição apropriada sobre o corp.portamento probabilístico da variável 
aleatória. Suponhamos que -~m ~onto_ s~ja e~~ollúdo n~ interv~o (O,l). 
Representemos por X a vanavel hleatona cuJpvalor seJa a absc1ssax do 
ponto escolhido. I 
Supor: Se I for qualquer intervalo em (0,1), então Prob [X E I] · 
I 
será diretamente proporcional ao cumprimento de I, digamos L (I). 
Isto é, Prob [X E I]= kL(I), oJde k é a constante de 'proporcionalida-
de. (É fácil verificar, tomando-se I = (0,1) e observando-se .que 
. I 
L :[(0,1)] = 1 e Prob [X E (0,1)] = 1, que k = 1.) . , 
Obviamente, X toma todos , os valores em (O,l).' Qual é sua fdp? 
Assim, podemos encontrar uma fynção f tal que 
I 
P(a<X < b) = f b f(x')dx? 
j a 
Note que, se a<b<Ooui1<a<b,P(a<X<b)=Oe,poris-
so,f(x) = O. Se O< a<; b < 1,,P(a<X < b) =b- a e, conseqüente-
mente,[(x) = 1. Portanto, encontramos . 
I 
{
1,0<x<
1 
1 , 
f(x)= . , . · 
O, para qfrusquer outros valores. 
84 I PROBABBUOAD_E 
Exem,plo 4.12. Sup~nhamos que a variável a.Ieatótia X ·seja 
contínua. (Veja a Fig. 4.9.) Seja ·a fdp j dada pO~· 
. j(x) 2x, 0< x < 1;' 
o, para quaisquer outros valores . . 
Evidentemente, .j(x) ~O e. f_+,"" j(x)dx = fo~'!-xdx ::_ i. · Para calcu-
lar P(X.;;;; 1/2), deve-se apenas calcular a integral fo 112 (2x)_ dx = 1/4. 
f(x) J(x) 
"'---L---~----------+--Qx X= 1500 
Fig. 4.9 Fig. 4.10 
O conceito de probabilidade condicionada, explicado no Cap. 3, 
pode ser significativamente aplicado a variáveis aleatórias: Assim, 
no exemplo acima, podemos calcular P( X :::; i I-} :::; X :::; } )· · 
Aplicando-{le diretamente a definição de probabilidade condicionada, 
teremos 
p ( X < _!_I _!_ ~ X < _3_) = p ( t :::; X :::; +) 
- 2 3 - - 3 . p (l. < X < _3_) 
3 - - 3 
f~)~ 2x dx 5(36 5 
fi)~ 2x d:c 1/3 = n ' 
Exemplo 4.13. Seja X a duração da vida (em horas) de um 
certo tipo de lâmpada. Admitindo que X seja uma variável aleató-
ria contínua, suponha-se que a fdp j de X seja dada por 
j(x) = a/x 3, 1.500 :::; x :::; 2.500, 
= O, para _quaisquer outros valores. 
(Isto é, está se ~tribuindo probabilidade zero aos eventos {X < 1.500} 
e {X > 2.500} .) Para calcular a constante a,. recorre-'§e à condição 
. f_"', j(x) dx = 1, que neste caso se torna fr_~ggo (a/x 3)dx = 1. Dai 
se obtém a = 7.031.250. O gráfico de j est~ apresentado na Fig. 4.10. 
Em capítulo posterior estudaremos, pormenorizadamente, mui-
tas variáveis aleatórias importantes, tanto discretas como contínuas. 
'\ 
! 
.j 
• _.·!' 
;-:;· 
VARIÁVIEIS ALEATÓRIAS UNDDDMIENSIONAHS I 85 
Sabemos, de nosso emprego de modelos determinísticos, que certas 
funções gozam de papel _ mais importante que outras. . Por exemplo, 
as funções linear, quadrática, exponencial e trigonométrica têm 
papel vital na .explicação de modelos determinísticos. Ao desenvol-
ver modelos não-determinísticos (isto é, probabilísticos) verificare-
mos que certas'Ovariáveis aleatórias são de notável importância. 
4.5, Função de Distribuição Acumulaw'la 
Vamos introduzir outro importante conceito. geral, neste capítulo. 
Definição. Seja X uma variável aleatória, discreta ou continua. 
Def~ne-se a função F como .a junção lk distribuição. acumulada da· 
variável - aTeatóJ;iá X (abreviadamente indicada fd) como F(x) ,;, 
= P(X ~ x). 
Teorema 4.2. (a) .Se X for uma variável aleatória discreta 
F(x) = L p(xi), (4.9) 
j 
onde o somatório é estendido a todos os índices j que satisfaçam à 
condiÇão Xi ~ x. 
(b) Se X for uma variável aleatória contínua com fdp j, 
F(x) = J: f(s)ds. (4.10) 
Demonstração. Ambos os resultádos decorrem imediatamente da 
definição. 
Exemplo 4.14. ~<G.P'bnhamos que a variáyel aleat~~a X tome 
os três valores O, 1 e'2; com probabilidades 1/3, 1/6 e 1/2;)respectiva-
mente. Então, · ·.. . 1 
F(x) = o se x <O, 
1 
se O$ x < 1, =-3" 
.1 
se 1 ~ x < 2, 2 
= 1 se x ;::: 2. 
(Obse~e-se que é muito intportante indicar a inclusão ou a exclusão 
dos limites, na descrição dos diversos intervalos:) O gráfico de F 
está apresentado na Fig. 4.11 . 
! 
. ! 
í ; 
' 
. . , 
l 
' 
I 
d !' 
j 
I 
I 
1! 
r 
~ 
li j 
I 
I 
1 
I jt 
I! 
1j 
·i! 
.
:· __ -. ','-
'1 
li 
: I 
!.·-. 11-j I 
:.1 
'I! li 
lj 
(;!('l'Jiil 
86 I PROBABILIDADE 
Ftx) 
ik--_ , 
I 2 
I • x· · .. . 
3. 
IFiPJ. 4.11 
Exemplo 4.15. Suponhamos que X seja uma variável c~mthma 
com ·ídp 
j(x) 2x, O < x < l, 
O, para quaisquer outros valores. 
Portanto, a fdp de Fé dada por 
F(x) = O se, x::::; O, 
[o" 2s ds = x2 • 
se O< x::::; 1, 
lsex>l. 
O gráfico está apresentado na Fig. 4;12. 
F_(x) 
fig. 4.12 
. i 
Os gráficos· apresentados nas Figs. 4.11 e 4.12 para as fd são, 
em cada caso, bastante típicos, no seguinte sentido~ 
(a) Se X for uma variável aleatória discreta, com um número finito 
de valores possíveis, o gráfico da fd será constituído por segmentos de 
reta horizontais (nesse caso, a fd se denomina função ém degraus). A 
função Fé contínua, exceto nos valores possíveis de X: x 1 , ••• ,xn, ... 
No valor xi o gráfico apresenta um "salto" de magnitude p(xi) = 
=P(X=xi). . . 
(b) Se X for uma variável aleatória continua, F será uma funÇão 
continua para todo x. · 
i . 
· > 
I 
,. 
•\: 
i 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Ui\IIDIMENSIONA8S I 87 I . 
(c) A fd Fé definida. para. todok os valores de x, o que é um motivo 
importante para considerá-Ia. I _ , 
Existem duas ou_tras importantes propriedades da fd, que re-
"·· sumirem~s ~oc'"teore~aseguiiite: , ... 
? .. I 
Teorema 4.3. (a) A função P é não-decrescente
1
• Isto é, se 
x1 ~ x2, teremos F(xi) ~ F(x2). ! -~- -(b) lilllz-+- mF(x) = O e lim.:~ .. F(x) = 1. [Freqüentemente, escre-
vemos isto como F(- oo) = O e F("") = 1.1 
! 
Demonstração: (a) De(inamol:! os eventos A e B, assim: .A = 
I X ~ xil, B = 'I X ~ i2l - · P~rtanto, como xi ~ i2, teremos 
A C B e, ,pelo Teor. r.5, P(A) ~ ~ P(B), que é o resultado d~sej~o. 
(b) .N.o caso continuo, teremo~ : · _ 
F(- "".) = Jlt-.. -~~~']{8)'âir-[ ,~: 
F("") . =;: 1J 1-"' f(s) _ds = 1, ' 
' z-+CD - GD ,. 
No . caso discreto, o raciochuo é an~ogo. . 
A função de _distribuição ( ac~mulada) é importante por · muitas 
razões. Isto é particularmente verdadeiro quando tratarmos com uma 
variável aleatória contúma, porque nesse caso não poderemos estudar' 
o comportamento probabilístico d~ X através do cálculo de P(X = x). 
Aquela probabilidade é sempre igultl a zero no caso contínuo. Contudo, 
poderemos indagar de P(X ~ x) ·e\ como demonstra ó teorema seguin-
te, obter a fdp de X . J 
I 
Teore:ma 4.4. (a) Seja F a i fd de urna variável aleatória con-
tínua, com fdp j . Então, I d 
f(x) = iax F(x), 
! 
para todo x no qual F seja derivável. . 
I . (b) Seja X uma variável aleatória dis<:reta, com .. valores possí-
veis xi, x2, . .. , e suponha-se qu.e jesses valores tenham, sido indexados 
de mooo que XI < X2 < ., .. SeJa! F a fd de X. EntãO, 
. I 
p(xi) = P(X = xJ)! F(xi)- F(xh). (4.12) 
I f_ . Demonstração: (a) F(x)=P(X ! ~ x) = -"'= j(s) ds. Por isso, apli-
' . 
cando-se o teorema fundamental !do Cálculo, :obteremos F'(x). = j(x) . 
. I " • 
88 I 'f"ROBABDU DA DIE 
E 
(b) Como admitimos Xr < x 2 < ... ; teremós' .; · 
F(x;-) = P(X = Xj U X= x;--1 \j ;'; ·Ü'X = x;) .· 
= p(j) + p(j - i) +. -:·:·+·' pcir ·· 
. . . . ·• . . ' ' '; ·.• :' ·: ;·~) ,, . ;' ·~ 
F(Xi-cl) = P(X = Xj-1 u X =. ~f-;2 u ... u X = XI) 
= p(j- 1) + p(j....,. 2) + :. :+.p(l); -
Portanto, 
Comentário: Vamos rtisumidamente recon~i~~rar apart~ Ú)dÓTeor~ma 4.4. 
Recordemos a definição de derivada de uma funÇão F: ·· · .. · ·· · 
F(x)= lim F(x+h)-F(x) 
h-+ o h 
= lim 
h-" o+ 
P(X < x +h)- P(X.;; x) 
h 
= lim - 1- [P(x<X<x+h)]. 
h-'> o+ h 
Portanto, se h for pequeno _ll-positivo, 
/ 
F' (x/~ f(x)'- P(x <X< x +h) 
h 
Assim,f(x) é aproximadamente igual à "quantidade de. probabilidade no intervalo 
(x, x + h) pelo comprimento h". Daí o nome função densidade de probabilidade, 
~r---~. 
Exemplo 4.16. Suponha-se que uma variável aleatória contí-
nua tenha a fd F dada por 
F(x) O, x ~ 0, 
1- e-, x >O. 
Kesse caso, F'(x) = e- para x > O, e, por isso, a fdp será dada por 
j(i) = e-z, X;::: 0, 
= O, para quaisquer outros valores. 
Camenlário: É oportuno dizer uma palavra. fi11al sobre a terminologia. Esta 
terminologia, muito embora ainda não uniforme, tornou-se bastante· p-adroni-
zada. Quando falamos da distribm'çllo de probabilidade de uma variável alea-
tória X, nos referimos à s_ua fdp se ·x fõr contínua, ou à sua fun~ão de probabili-
dade no ponto, p, definida para x11 x~, ...se X fõr discreta. Quando falamos 
da função de distribuição acumulada, ou algum~ vezes apenas junçao de distri-
buição (ou função de repartição),queremos sempre nos referir aF, ondeF(x) = 
=P(X<x). 
. i 
\ 
VAR~ÃVIEOS Al!EATÓRIAS Ui\! iDiMIENSIONA~S I 89 
4.6. IDJistribuições Mistas 
Restringimos nossa explanação tão-somente a vanaveis alea-
tórias que sejam discretas ou contínuas. Tais variáveis são certa-
mente as mais importantes nas aplicações. Contudo, há situações 
em que poderemos encontrar um tipo misto: a variável aleatória X 
pode tomar alguns valores diferentes, digamos xh . .. x., com proba-
bilidade n.ã.o-p.ula, e também tomar todoo os valores em algum in-
tervalo, digamos a :::; x :::; b. A distribuição de probabilidade de 
tal variável aleatória seria obtida pela combinação das idéias já exa-
minadas na descrição de variáveis aleatórias discretas e de contí-
~ nu.as, ·como se verá a seguir. A cada valor x, associa-se um número 
p(x;) tal que p(x;) ~ O p.ara todo i, e tal que L~=l p(x;) = p < l. 
Em seguida, defme-se uma função j, satisfazendo a j(x) ~ O, 
fab .j(x) dx = 1 - p. Para todo a, b, com - oo <a < b < + 00, P(a <; 
·<;X<; b) = fab f(x) dx + L p(xi). Desta maneira, aten-
{i:a<xi<b} 
deremos à condição P(S) = P(- oo < X < oo) = 1. 
Uma variável aleatória de tipo misto p~d~ria surgir da maneira 
explicada a seguir. Supónha-se que estejamos ensaiando algum 
equipamento e façamos igual . a X o tempo de funcionamento. Em 
muitos problemas, ·descreveremos X como uma variável aleatória 
contínua, com valores possíveis x ;:::=: O. No entanto, podem surgir 
situações nas quais exista uma probabilidade não-nula de que a peça 
não funcione de modo algum, isto é, falhe no momento X= O. Nesse 
caso, desejaríamos modificar nosso modelo e atribuir uma probabili-
dade p > O ao resultado X = O. Conseqüentemente, teríamos 
P(X = O) = p e P(X > O) = I - p. Deste modo, p descreveria 
a distribuição de X no ponto O, enquanto & fdp j descreveria a distri-
buição para valores de X > O. (Veja a Fig. 4.13.) 
j{JI) 
1 
l'(X=O)=p 
. I 
Fi!l). 4.14 
4.7. Variáveis Aleat6riaJs \\Jniformem®nte Distribuídas 
( " 
Nos Caps. 8 e 9, estudaremos minuciosamente muitas variáveis 
aleatórias discretas e contínuas importantes, Já introduzimos a 
. li 
ii 
'-i 
:: ... I 
f 
H · 
~ 
' 
' i. 
Iii 
! 
l 
:r 
90 I PROBABILiDADE _,. , ·' 
importante variável aleatória binoiniaL V~os ; âg6rii exaíninar, 
resumidamente; uma importante variável a.Ie'atória cohtinua . 
. . ·' '·.:.:,: , .... ~ . . : ~- .. ' ·. ' : ; -~ . 
Definição. Suponha-se que X seja uma varl~v~iáleat6ria con-
tínua, que tome todos os valores no intel'Valô [ii;' b], 'lio 'qual a e b 
sejam ambos finito/~.fdJLde .X-f~por) · 
. /(x) = b ~- a ' a ~- x~}~ (4.13) 
. [ • / " / 
. ·\ = O, para ,g,uru:squer Qutros yalores, .diremo.s 
'~-----·------------· 
que X é uniformemente distribuída sobre o intervalo [ci, :91. (Veja a 
Fig. 4.14.) 
Cvmentários: (a) .Uma· variável aleatória · uniformemente distribuída. tem 
uma fdp que é constante sobre o intervalo de definição. A fim de satisfazer à 
condição f_+, m j(x) dx = 1, essa constante deve ser igual ao inverso do compri-
mento do intervalo. 
(b) Uma variável aleatória uniformemente distribuída representa o análogo 
contínuo dos resultados igualmente pro~áveis, no seguinte sentido. · Para qual-
quer subintervalo [c, d], onde a:::_ c < d :::_ b, P(c :::_ X:::_ d) é a ~msma para todos 
os subintervalos que tenham o mesmo comprimento. Isto é, 
f. d d- c P(c :::_ X:::_ d) = j(x) dx = --. - .-· c .b ... ·a 
. ·, 
e, por isso, depende unicamente do comprimento do intervalo . e nã'o da posição 
desse intervalo. ·· 
(c) Agora podemos tornar mais precisa a noção intuitiva de e3colher ao aca..o· 
um p<mto P, em um i~tervalo [a, ·b]. Por isto simplesmente quetémos dizer que a 
coordenada x do ponto escolhido, digamos X, é uniformemente distribuída sobre 
~a, b]. 
I 
Exemplo 4.17. tJrh ponto é escolhido ao aca.so no segmento de 
reta [O, 2]. Qual será a probabilidade de que o ponto escolhido 
esteja entre 1 e 3/2? 
Fazendo-se X representar a coordenada do ponto escolhido, nós 
temos que a fdp de X é dada por j(x) = 1/2,. O < x < 2 e, portanto, 
P(1 ~ X ~ 3/2) = 1/4. 
F(x) 
x=a x=b 1 
Fig. 4.15 
! 
' 
(' 
·, 
· I 
. ; 
VARIÃVEIS i i..EATÓRIAS UNiDIMENSIONAIS I 91 
I . . 
Exemplo 4.18. A dureza ~ de uma peça de aço (avaliada na 
escala Rockwell) pode-se supor ~er. uma variável aleatória contínua 
uniformemente distribuída sobre o intervalo [50, 70}, da escala B. 
Conseqüentémente, I 
1 .1 
f(h) = 2o 1 510 < h < 701 
= O, para/ quaisquer putros v~ores. 
Exemplo 4.19. Vamos obte~ a expressão da fd de umà variável 
I 
aleatória uniformemente distribuída. 
I 
F(x) = P(X .~ r) = /_" ... j(s)~ . 
=0 se x <a, 
x-a I 
=---sea<x<b b- a I - 1 
= 1 ~e x;::: b. 
O gráfico está apresentado na Fík. 4.15. 
I 
4.8 ~m• Oboomção i 
Repetidamente temos salien~ado que em algum estágio de nosso 
desenvolvimento de. um modelo probabilístico, algumas .prpbabilidades 
devem ser atribuídas a resultados, com base ou em evidência experi-
mental (como as freqüências relat~vas, por exemplo) 'ou, em alguma outra 
consideração, como a experiênci~ passada com o fenômep.o que esteja 
em estudo. A seguinte questão pode ocorrer :ao estudante: Por que nós 
não podemos obter todas as proijabilidades em que estejamos iriteressa-
dos por tais meios não-dedutivÇ>s? A resposta e que muitos eventos 
cujas probabilidades desejamos I conhecer são tão complicados que 
nosso conhecimento intuitivo é ipsuficiente. Por exemplo, suponhamos 
que 1000 peças estejam sairido diariamente de uma linha de produção, 
algumas das quais defeituosas. ~esejiunos saber a probabilidade de ter 
50 ou menos peças defeituosas! em certb dia. Mesmo que estejamos 
familiarizados com o comportamento geral do processo de produção, 
poderá ser difícil para nós assodiarmos uma medida quantitativa com 
I . 
o evento: 50 ou menos peças são defeituosas. No entanto, poderemos 
ser capazes de fazer a afirmação /de que qualquer peça individual tenha 
probabilidade de 0,10 de ser def;eituosa. (Assim; a experiência passada 
nOs dá a informação de que cerd,a de 1 O por cento das peças são defei-
1 
92 I PROBABILIDADE 
tuosas.) Além disso, poderemos estar inclinados a adirütir _qu:e, indivi-
dualmente, as peças sejam defeituosas ou perfeitas iridepen<;leriteme:rite 
uma da outra. Agora, poderemos proceder deduÜvame~-i:e , ·e obter a 
probabilidade do evento em estudo. Assim, se X=. número de peças 
defeituosas, 
. 50 (1000) . P(X.;;;, 50)~ ~ (O,lO)k (0,90)1000- k 
k= o . k .. 
O que se quer destacar aqui é que os vários métodos que nós dedu-
zimos para calcular probabilidades (e outros que serão estudados 
subseqüentemente) são de enorme importância, porque com eles pode-
remos avaliar probabilidades associadas a eventos bastante complicados, 
as quais seriam difíceis de obter por meios intuitivos ou empíricos. 
-i1J &~ q~ 1liilA determinada. moeda apresenta. cara. três vezes mais · 
freqüeiitemente que OOI'oa. .E= moeda é jo~da três vêzés. Seia X o. número 
de' caras _qíle~p~. -Es~beleç~~> . a dis~buiçl!.ci de probabilidade de X e ta.m-
··"' ~- ..... -· ~ ·--.) . 
-bém ~Jtfâ.. t-Fa.ça. um esboço do. grá.fioo de-IUilbllS.rl ~-F7 ~ . ( r ~ / ~ • ' . 
. 9 De um lote ~ue contém ~-)je-l)ãâ, ~ quais 5 são deíejtuosas, são esco-
lhi IIS 4 ao &easo. &lJa. X o número de defe1tuosas encontra.daa. Estabeleça _a 
distribuição de probabilidade de X, quando: 
(a) AD peças forem escolhidas com r.eposiçl!.o. 
(b) As-peças forem escolhidas sem reposição. 
/; . l9 Suponh~ que ~ variável a.lea.t6ris. X tenha. os valores pol!!líveis 1, 2, 3, -~ .. , 
e P(X = J1 = 1/2', i= 1, 2, ... 
(a) Ca.lcule P(X ser par).(b) Calcule P(X ;:::: 5). 
(c) Calcule P(X ser divisível por 3) • 
. x 4.13, Considere UIM variável aleatória. X com resultados possíveis: -0, 1, 2, ... 
Suponha que P(X = J1 = (1 - a)ai, i = O, 1, 2, ..• 
(a) _Para que valores de a o modelo acima tem sentido? 
(b) Verifique qu~ esse. eJCpressão represente uma legíti.xru!. dietribuição de 
probabilidade. · 
(c) Mostre que, para · quaisquer dom inteiros positivos· a e 8, 
J 
P(X .> s + t IX > s) = P(X ;:::: t). 
VARIÁVEiS ALEATÓRIAS UNIDIMENSIONAIS ./ 93 
/4~ Suporihà que ·a máqUina 1 ·produza (por dia) o dobro das peças que sã~uzidas ·pela máquina 2. . No entanto, 4% das peças fabricad:i.s pela má-
qUina: 1 tendem a ser defeituosas, enquanto somente cerca de 2% de defeituosas-
produz a máquina 2: Admita que a produção diária das duas máquinas seja mis-
turada. Uma amostra aleatória de 10 peças é extraída da produção total. Qual 
será a probabilidade · de que essa amostra· contenha 2 peças defeituosas? 
4. . Foguetes são lançados até que o primeiro lançamento bem sucedido 
a ocorrido. Se isso não ocorrer até 5 tent~tivas, o expernr;ento é ~lispenso 
e o eqUipamento inspecionado. Admita que exista uma probabilidade constante· 
de 0,8- de haver um lànçamento bem sucedido e que . os sucessivos lançamentos. 
sejam independentes. Suponha que· o custo do primeiro lançamento seja K dó-
lares, enquanto os lan~;amentos subseqüentes custam K/3 dólares. Sempre que 
ocorre um. lançamento !\em sucedido, uma certa quantidade de informação é obti-
da; a qual pode ser expressa como um ganho financeiro de C dólares. Sendo T 
o . custo líqUido· desse experimento, estabeleça a disti:i.buição de probabilidade de T • . 
@ Calcule P(X = 5), onde X é a variável ale~tória definida no Ex. 4.10. 
suponha que n1 = 10, n2 = 15, PI = 0,3 e P2 = 0,2. · 
)("4.8 . . (Propriedades das Probabilidades Binomiais.) Na explanação do Ex. 4.8, 
um padrão geral para as _probabilidades binomiais (';,)p7c(1- p)n-:-lc foi sugerido. 
Vamos denotar essas 'probabilidades por Pn(k). 
(a) Mostre que, para O~ k <n~ temos 
Pn(k + 1)/pn(k) = [(n - k)/(lc + 1)] [p/(1 - p)]. 
(b) Empregando (a), mostre que 
(i) Pn(k + 1) > Pn(k) se k < np - (1 - p), 
(ü) Pn(k + 1) = Pn(k) se k = np - (1 - p), 
(iü) Pn(k + 1) < p~(k) se k > np - (l- p). 
(c) Mostre que se np - (1 - p) fói: um inteiro, Pn(k) toma seu valor máxinto 
para dois valores de k, a saber, ko = np - (1 - p) e ko' = np - (1 - p) + 1. 
(d) Mostre que se np - Ú - p) não fórum inteiro, então Pn(k) toma seu 
valor máximo quando k for iguàl ao men<:>r inteiro maior que ko. 
(e) · Mostfé que se np - (1 - p) < O, Pn(O) > Pn(1) > ... > Pn(n), enquanto 
se np - (1 - p) = O, Pn(O) = Pn(1) > Pn(2) > ... > Pn(n) . 
. 4. . A variável aleatória contínua X tem para fdp: · j(x) = x/2, O~ x ~ 2. 
São feitas du~ det~rminações independentes de X. Qual será a prÓbabilidade 
de que ambas essas determinações sejam maiores do que 1 ? Se três determinaçÕes 
independentes "forem feitas, qual a probabilidade de que exatanierite duas dela~ 
sejam maiores do que 1? 
4 • . 0. Seja X a duração da vida de uma válvula eletrônica. e admita--se que X 
possa ser representada por uma variável aleatória contínua, com fdp j(x) = be-00:, 
x ~ O. Seja Pi = P(j ~X < j + 1). Verifique que Pi é da forma (1 - a)ai 
e determin~ a. · ' 
--,_...., . 
4;11. A variável aleatória con~ínua X tem fdp j(x) = 3x2; .-1 ~ x ~O 
se b for um número que satisfaça a -1 < b < O, cs:lcule P(X-> b IX < b/2). 
! 
l 
1 I 
I 
I l ' 
I 
I·. 
94 I PROBABILIDADE 
6 ··. Suponha que j e g sejam fdp no mesmo intervalo a .:'S. x .:'S. b. . 
~a) Verifique que j + g não é uma fdp nesse interyalo. · .·· . • . 
(b) Verifique que, para todo núm~ro {3, O< {3 < 1, {3j(x)+(1 ~ {3)g(x} 
é uma fdp nesse intervalo. ' · 
r.r::J . . .·, . . ' . . . 
,ij·~J~ Su~onha que o gráfico na Fig. 4.16represente afdp de_hni.a variável 
aleatória x; . 
(a) Qual será a relação entre a e b? 
· (b) Se a > O e b > O, que se pode dizer do maior valor que b pode tomar?' 
(Veja a Fig. 4.16.) . 
Fig. 4.16 
( 4~ A percentagem de álcool (100 X) em certo composto pode ser 
derada ú'ma variável aleatóri~,_Jmde X, 1f < X < 1, tem a seguinte'fdp: 
j(x) = 20x3(1 - x),_ O < x < 1. 
(a) E>tabeleça a expressão da fd F e esboce seu ~áfico. 
(b) Calcul~ P(X ~ 2/S). 
consi-
(c) . Supollha qu_!l o preço de venda desse composto dependa do conteúdo 
·de álcool. Especificamente, se 1/3 < X < 2/3, o composto se vende por C1 dó-
lares/galão; caso contrário, ·ele se vende por C2 dólaresjgalão. Se . o custo for c; 
dólares/galão, calcule a distribuição de probabilidade do lucro líquido por galão. 
r:Q 4.15. Seja X uma variável aleatória contín]ia, com fdp dada por 
J f(x) ax, 
a, 
O.:'S.x.:'S.l, 
1.:'S.x .:'S. 2,. 
-ax + 3a, 2.:'S. x .:'S.3, 
O, para quaisquer outros valores. 
(a) Determi.ne a cot;l,l:Jtll.nte a. (b) Determine a fd F e esboce. o seu gráfico. 
(c) Se X 1, X2 e X a forem til\8 observações independentes de X, qual será a proba~ 
bilidade de, exatameilte, um desses três ·números ser maior do que 1,5? 
~ O diâmetro X de um cabo elétric~ supõe-se ser uma ·~ariável aleatória 
contmuJ X, com fdp f(x) = 6x(l - x), O ~ x ::::_ 1. " · 
(a) Verifíque que essa expressão é uma fdp e ·esboce o seu gráfico. 
(b) Obtenha uma expressão para a fd de X -e esboce o seu gráfico. 
(c) Determine um número b tal _que P(X < b) = 2P(X > b). 
(d) Calcule P(X .:'S.l/211/3 < k< 2/,3). 
I 
I 
.I 
VARDÃVEDS A~EATÕRIAS UNIDIMENSIONAIS I 95 
I 
4.17. Cada uma das seguintes funç~es representa a. fd de mna. va.riá.vel alea.-
tória continua. Em cada caso, F(x) = O pa.ra x < a. e F(r) = 1 pa.ra x > b, onde 
[a, b] é o interva.lo indicado. Em ca.da. c+o, <'"b~l·e o gráfico da. função F, deter~ 
mine a fdp f e faça o seu gráfico. També,m verifique que f é ·uma fdp. 
(a} F(x) = x/5, O .S x .S 5.. (b)i F(x) = (2/Jr) sen-1 ( y';), o _s x _s .1. 
I 1 (c) F(x)=eJ.z,- "'<x.SO. (d) F(x)=x3/2+ 2 ,-l.Sx.S1. I 
4.18. Seja .\ 1!. duração da vida j(medid& em horas) de um, <lispositivo 
eletrõnico. Suponha. que X seja. X va~iá.vel aleatória contínua com fdp j(x) = 
= kjx" 1 2.000 _s X _s 10.000. 
(a) Para n = 2, determine k. (b) !Pa.ra. n = 3, determine k. (c} Pa.ra. n 
I • 
em geral, determine k. (d) Qua.l a. probapilida.de de que o dispositivo falhe antes'' 
que 5.000 horas se tenham pa.ssad() 7 (e) Esboce a fd F(t) para 11 letra (c) e deter-
mine sua forma 8lgébrict\. l 
I 
4.19. Seja X uma. va.riá.vel alea.tótia com distribuição hinomia.l, basea.da 
em 10 repetições de um experimento. Sei p = 0,3, calcule as seguintes probabili-
da.des, empregando a tábua da distribuiçro binomial do Ap~ndicte: 
(a} P(X .S 8); (b) P(X = 7); (c) P(X > 6). 
I 
4.20. Suponha que X seja uniforlnemente distribulda sol;lre l-a, + a], 
onde a > O. Quando posslvel, determin~ a de modo que as seguintes relações 
sejam satisfeitas: 
(a) P(X > 1) = ..!_ • 
3 
I 1 (b) P(X J I) = "2 . 
i 
(c) P(X' < ..!. ) = 0,7. 
. 2 
1 (d) P(X < -zl = 0,3. (e) P<IXI < 1) = P(iXI > 1). 
I 
4.21. Suponha que X tenha distribuição uniforme sobre (O, a], a > O. Res-
d 
I , 
ponda. às perguntas o Probl. 4.20. J 
4.22. Um ponto é ·escolhido ao acaso, sobre uma. reta. de comprimento L. 
Qual é a. probabilidade de que o quocien~e do segroen~ mais curto p&ra o mais 
longo seja menor do que 1/4? 1 
4.23. Uma fábrica. produz 10 recipi~ntes de vidro por dia.. Deve-se supor 
que exista uma probabilida.de constante~ = 0,1 de produzir um recipiente defei- ·· 
tuoso. Antes que esses recipientes seja~ estocados, eles são inspecionados .e os 
defeituosos são separados. Admita que exista uma probabilidade con>tante r = 0,1 
I 
de que um recipiente defeituoso seja mal classificado. Faça. X igual a.o número 
de recipientes classificados como defeitU:~sos ao fim de um dia ··de produção.I (Admita. que todos os recipientes fabricados em um dia sejam inspeciona.dos na-
quele dia..) j . 
(a) Calcule P(X = 3) e P(X > 3). !' (b) Obtenha a expressão de P(X = k). 
I ' 
4.24. Suponha que 5 por cento de todas as peça.s que 'saiam de uma linha 
de fabricação sejam defeituosas. $e 10 dessas peças fo,rem escolhida.s e ill:lpecio-
nada.s, qual será a proba.bilida.de de que j no máximo 2 defeituosas sejam encon-
.trada.s? 1 
96 I PROBABILIDADE 
4.25. Suponha que a duração da vida (em horas) de uma certa válvula seja 
uma variável aleatória contínua X com fdp f(x) = 100fx2, para x > 100, ·e zero 
para quaisquer outros valores de x. 
(a) .Qual ~erá a probabilidade de que uma válvuia dure menos de 200 horas, 
se soubermos que ela ainda está funcionando após 150 horas de serviço? 
(b) Se tr~ dessas válvulas forem instaladas em um conjunto, qual será a 
probabilidade de que exatamente uma delas tenha de ser substituída após 150 
horas de serviço? 
(c) Qual será -o número máximo de válvulas que poderá ser colocado em um 
conjunto, de modo que exista uma probabilidade de 0,5 de que após 150 horas 
de serviço to~as elas ainda estejam funcionando? 
4.26. Um experimento consiste em n tentativas independentes. Deve-se 
admitir que por catÍsa da "aprendizagem~', a probabilidade de :...obter um resul-
tado favorável cresça com o número de tentativas realizadas. Especlficamente, 
sliponha que P (sucesso na i-ésima repetição) = (i + 1)/(i + 2), i = 1, 2, . . . , n. 
(a} · Qual será. a probabilidade de ter ao menos 3 resultados favoráveis, em 
8 repetições? 
'(b) Qual será a probabilidade de que o primeiro resultado favorável ocorra 
na oitava repetição? 
4.27. Com referência ao Ex. 4.10: 
(a} Calcule P(X = 2), se n = 4. 
(b) Para n arbitrário, verifique que P(X = n- 1) = P (exatamente uma 
tentativa mal sucedida) é igual a [1/(n + 1)] L?= 1 (1/i). 
4;28. Se a variá.vel aleatória K fór uniformemente distribuída sobre (O, 5), · 
qual será. a probabilidade de que as raízes da equação 4x2 + ·4xK + K + 2 = O' 
sejam reais? · 
4.29. Suponha que a variável aleatória X tenha valores possíveis, 1, 2, 3, ... 
e que 
P(X =r)= k(1- (3}r- 1, O < (3 < 1. 
(a) Determine a constante k. 
(b) Ache a moda desta distribuição (isto é, o valor de r que tome P(X =r) 
a maior de todas). 
4.30. Uma variável aleatória X pode tomar quatro valores, com probabili-
dades (1 + 3x)/4, (1 - x)/4, (1 + 2x)/4 e · (1 - 4x)/4. Para que valores de x é 
esta uma distribuição de probabilidade?