Probabelidade e estatistica Paul meyer part1

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SUMÁRIO 
Caprtuio 11 . Introdução à 1Probabilic1~de 
1.1 Modelos Matemáticos 1 
1.2 Introdução aos Conjuntos 4 
1.3 Exemplos de Experimentos Não-Determinísticos· 8 
1.4 O ~spaço Amostral 11 
1.5 Eventos 13 
1.6 Freqüência Relativa 15 
1.7 Noções Fundamentais de Probabilidade 17 
1.8 Duas Observações 21 
Cápftulo~ .;Espaços Amostrais Finitos 
\ ... 
2.1 . Espaço Amostral Finito 26 
2.2 Resultados Igualmente Verqssímeis 27 
2.3 Métodos de Enumeração 29 
-Ca~rtulo\\~ Probabilidade Condfcionada e Independência 
3.1 Probabilidade .Condicionada 42 
3.2 Teorema de Bayes 49 
3.3 Eventos Independentes 52 
Capftuio~ Variãveis Aleatórias Unidimensionais 
4.1 Noção Geral de Variável Aleatória 66 
4.2 Variáveis Aleatórias Discretas 72 
4.3 A Distribuição Binomial 75 
4.4 Variáveis Aleatórias Contínuas 80 
4.5 Função de Distribuição Acumulada 85 
4.6 Distribuições Mistas 89 
4.7 Variáveis Aleatórias Uniformemente Distribuídas 89 
4.8 Uma Observação 91 
Caprtuil>~ funções de Variáveis Ale~tórias 
5.1 Um Exemplo 97 
5.2 Everitos Equivalentes 97 ., 
5.3 ·Variáveis .Aleatórias Discretas 100 i 
5.4 Variáveis Aieatórias Contínuas 101 ! 
. I 
; 
·1 
r-t~;;~~-~;:·:-':'· -:"·.. ' _ XVI I SUMÁRIO ~ Caprtulo 6. 
~ 6.1 
r ~:~ lj 604 
i' 6.5 
r~ 
i' 
I 6.6 
I f Capítulo 1. 
l' 
r 
t 
I 
701 
702 
703 
. 704 
705 
7.6 
707 
708 
709 
7010 
7011 
Capftulo 8. 
801 
802 
8.3 
8.4 
805 
8o6 
807 
808 
Capftulo 9. 
901 
902 
903 
9.4 
905 
'. 906 
907 
9.8 
Variáveis Aleatórias de Duas 0111 Mais 
Dimensões 
Variáv~is Aleatórias Bidimensionais 
Distribuições de Probabilidade Marginal e Condicionáda 
Variáveis Aleatórias Independentes · · ' ·. 
Funções de Variável Aleatória 
Distribuição do Produto e do Quociente de Variáveis 
Aleatórias Independentes · 
Variáveis Aleatórias n-Dimensionais o l. 
Caracterização Adlicio1111al das . · 
Variáveis Aleatórias 
O Valor Esperado de Uma Variável AleatóriiJ. 
Expectância de uma Função de uma Variável Aleatória 
Variáveis Aleatórias Bidimensionais 
Prupriedades do Valor Esperado 
A Variância de uma Variável Aleat6ria 
Propriedades da Variância de uma Variável Aleatória 
Expressões Aproximadas da Expectância e da Variância 
A Desigualdade 'de Tchebycheff 
O Coeficiente de Correlação 
Valor Esperado Condicionado 
Regressão da Média 
Variáveis Aleatórias Discretas: A de Poisson 
e Outras 
A Distribuição de .Poisson 
A Distribuição de Poisson como Aproximação da 
Distribuição Binomial 
O Processo de Poisson·. 
A Distribuição Geométrica 
A Distribuição de Pascal 
Relação entre as Distribuições Binomial e de Pascal 
A Distribuição Hipergeométrica 
A Distribuição Multinomial 
Algumas Variáveis Aleatórias Continuas 
!mpoll'ital!'ites 
Introdução 
A Distribuição Normal ~ 
Propriedades da Distribuição Normal 
Tabulação da Distribuição Nonrtal 
A Distribuição Exponencial 
Propriedades da Distribuição Exponencial 
A Distribuição Gama o 
Propriedades da Distribuição Gama 
110 
116 
121 
124 
128 
131 ' 
137 
144 
149 
150 
ú6 
159 
162 
165 
167 
172 
175 
187 
194 
. 200 . 
203 
205 
206 
208 
214 
214 
215 
219 
223 
223 
227 
228 
' ·. 
SUfViÃRIO I XVII I 
I 
9.9 
9.10 
9.11 
9.12 
Caprtulo 10. 
A Distribuição de" Qu~-quadrado 
Comparações entre D1iversas Distribuições A Distribuição Normp Bidimensional 
Distribuições Truncadas 
I 
I 
A f11..mção Geratrõzi de Momentos 
! 
10 .1 Introdução 1 
10.2 A Função Geratriz de Momentos 
10.3 Exemplos de Funções Geratrizes de Momentos 
10.4 Propriedades da FunÇão Geratriz de Momentos 
~0.5 Propriedades Reprod~tivas 
10.6 Seqüências de Variáveis Aleatórias 
10.7 Observação ·Final ' 
Cap ótu !o 11. 
11.1 
11.2 
11.3 
11.4 
11.5 
11.6 
Aplicações à Teori~ da Confiabi!idade 
I 
Conceitos Fundamenfis . 
A Lei de Falhas Normal 
A Lei de Falhas Expdnencial 
A Lei de Falhas Exponencial e a Distribuição 
de Poisson J 
A Lei de Falhas de Weibull 
Confiabilidade de Sistemas 
I 
Capftulo 12. ,Somas de Variáveis Aleatórias 
~u,-J~~-G<--0 ...... ,, 
lv(l/12.1 InJ.odução . I 
f:Y J? ' 12_2 A Lei dos Grandes N~meros · 
., - () 12.3 Aproximação Normal da Distribuição Binomial 
"ÇJ 'y• 12.4 O Teorema do Limit~ Central 
ÔJ~· 12.5 Outras Distribuições Aproximadas pela Distribuição 
~ \f d Normal: a de Poisson ~ a de Pascal e a Gama l\ fv '\ C 12.6 A Distribuição da So~a de um Número ,'JJ c\ Finito de Variáveis Aleatórias Capftulo ~ A'mostras e Dist~rib~ ições Amostrais 
13.1 
13 .2 
13.3 
13.4 
13.5 
Cap_í~-~~~ f. 
14.1 
14.2 
14.3 
14.4 
14.5 
Introdução 
Amostras Aleatórias 
Estatísticas 
Algumas Estatísticas 'mportantes 
A Transformação Integral 
· !Estimação de Parâmetros 
I 
Introdução 
Critérios para Estima~ivas 
Alguns Exemplos 
Estimativas de Máxima Verossimilhança 
O Método dos Mínimbs Quadrados 
I 
230 
233 
234 
236 
e 
247 
250 
255 
259 
260 
263 
267 
268 
271 
273 
274 
284 
286 
288 
292 
297 
299 
308 
310 
312 
313 
321 
329 
330 
334 
339 
349 
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XVIII I SUMÁRIO 
14.6 O Coeficiente de Correlação 
14 .7 Intervalos de Confiança 
1,4.8 A Distribuição de t de Student 
14.9 Mais Sobre Intervalos de Confiança 
Capftulo 1!5. Testes de IHiõpóteses 
354 
355 
357 
360 
15 .1. Introdução 370 
15.2 Formulação Geral: Distribuição Non~al com V~riância 
Conhecida 376 
15.3 Exemplos Adicionais 381 
15.4 Testes de Aderência 385 
APÊNDICE 397 
RESPOSTAS A PROBLEMAS SELECIONA!)OS 412 
INDICAÇÕES BIBLIOGRÁFICAS 420 
fNDICE ALFABÉTICO 422 
.i 
1 
·i 
Introdução Probabilidade 
Capítulo 1 
1 J" Modeios Matemáticos 
Neste capítulo examinaremos o tipo de fenômeno que estuda-
remos por todo este livro. Além disso, formularemos um modelo 
matemático que nos ajudará a investigar, de maneira bastante pre-
cisa, esse fenômeno. 
De início, é muito importante distinguir o próprio fenômeno 
e o modelo matemático para esse fenômeno. Naturalmente, não 
exercemos influência sobre aquilo que observamos. No entanto, 
ao escolher um modelo, podemos lançar mão de nosso julgamento 
crítico. Isto foi espec\almente bem expresso pelo Prof. J. Neyman, 
que escreveu:* 
"Todas as vezes que empregarmos Matemática a fim de estudar alguns 
fenômenos de observação, deveremos essencialmente começar por construir 
um modelo matemático (determinístico ou probabilístico) para esses fenô-
menos. Inevitavelmente, o modelo deve simplificar as coisas e certos por-
menores devem ser desprezados. O bom resultado do modelo depende de 
que os pormenores desprezados sejam ou não realmente sem import&ncia na 
elucidação do fenômeno estudado. A resolução do problema matemático pode 
estar correta e, não obstante, estar em grande discotdância com os dados ob-
servados, simplesmente porque as hipóteses básicas feitas não sejam confirma-
das. Geralmente é bastante difícil afirmar com certeza se um modelo mate-
mático especüicado é ou não adequado, antes que alguns dados de observação 
sejam obtidos. A fim de verüicar a validade de um modelo, deveremos dedu-
zir um certo número de conseqüências de nosso .modelo e, a seguir, comparar 
esses resultados previ:Jtos com observações." 
Deveremos nos lembrar das idéias aCima enquanto estivermos 
estudando alguns fenômenos de observação e modelos apropriados 
" University oj Calijornia Publications in Statistics, Vol. I, Uriiversity of 
California Press, 1954. 
::! I PROBABILIDADE 
pax:a sua explicação. Vamos examinar, inicialmente, o que se pode 
adequadamente denominar modelo detenninistico.Por essa expres-
são pretendemos nos referir a um modelo que estipule que as con-
dições sob as quais um experimento seja executado determinem o 
resultado do experimento. Por exemplo, se introduzirmos uma 
bateria em um circuito simples, o modelo matemático que, presumi-
velmente, descreveria o fluxo de corrente elétrica observável seria 
I = E/R, isto é, a J~i de Ohm. O modelo prognostica o valor de I 
tão logo os valore:; de E e R sejam fornecidos. Dizendo de outra 
mail-eira, se o experimento mencionado for repetido um certo número 
de vezes, toda vez utilizando-se o mesmo circuito (isto ~" conservan-
do-se fixados E e R), poderemos presumivelmente esperar observar 
o mesmo valor para I. Quaisquer desvios que pudessem ocorrer 
seriam tão pequenos que, para a maioria _das finalidades, a descrição 
acima (isto é, o modelo) seria suficiente. O importante é que a ba-
teria, fio, e amperômetro particulares utilizados para gerai: e obser-
var a corrente elétrica, e a nossa capacidade de empregar o instru-
mento de medição, determinam o resultado em cada repetição. (Exis-
tem detenninados fatores que bem poderão ser diferentes de repeti-
ção para repetição, que, no entanto, não influenciarão de modo dig-
no de nota o resultado. Por exemplo, a temperatura e a umidade 
no laboratório, ou a estatura da pessoa que lê o. amperômetro, po-
de-se razoàvelmente admitir, não terão influência no resultado.) 
Na natureza, existem muitos exemplos de "experimentos", para 
os quais modelos determinísticos são apropriados. Por exemplo, 
as leis da gravitação explicam bastante precisamente o que ~contece 
a um corpo que cai sob determinadas condições. As leis de Kepler 
nos dão o comportamento dos planetas. Em cada situação, o. mo-
delo específica que as condições, sob as quais determinado fenômeno 
acontece, determinam o valor de algumas variáveiS observáveis: 
a grandeza da velocidade, a área varrida durante determinado pe-
riodo de tempo etc. Esses números aparecem em muitas' das fõr:-
mulas com as quais estamos familiarizados. Por exemplo, sa-
bemos que, sob determinadas condições, a distância percorrida 
(verticalmente, acima do solo) por um objeto é dada por s = -16t2 + 
+ v0t, onde vo é a velocidade inicial e t o tempo gasto na queda. O 
ponto, no qual desejamos fixar nossa atenção, não é a forma parti-
cular da equação acima (que é quadrática), mas antes o fato de que 
existe uma .relação definida entre t e s, a qual determina univo-
camente a quantidade no primeiro membro da equação, se aquelas 
no segundo membro forem fornecidas. 
i 
i 
i 
I 
! 
! 
i 
IN f RODUÇÃO À PROBABILIDADE I 3 
- Para um grande número de I situações, ~ modelo matemático 
determinístico apresentado acima! é suficiente. Contudo, existem 
também muitos fenômenos que ~equerem um modelo matemático 
diferente para sua investigação. São os que denominaremos modelos 
não-deterministicos ou probabüístico~. (Outra expressão muito corou-
mente empregada é modelo estocástico.) Mais adiante neste capitulo, 
estudaremos muito minuciosamente~ como tais modelos probabilísticos 
podem se~ apresentados. Por oraJ examinaremos alguns exemplos. 
SuponhaJilOS que se tenha uml fragmento de material radioativo 
que emita partículas alfa. Com o I auxílio de um dispositivo de con-
tagem, poderemos . registrar o número dessas partfculas emitidas 
durante um intervalo de tempo especificado. É evidente que não 
poderemos. a,ntecipar precisamente lo nÚiílero de partículas emitidas, 
runda que se conheçam de modo exato a forma,! a dimensão, a compo-
' . I 
sição química e a massa do objeto 1 em estudo. Por isso, parece não 
existir modelo determinístico razoáf el que forneça o número de par-
tículas emitidas, por . exemplo n, como uma função de várias carac-
terísticas pertinentes ao material ~onte. Deveremos considerar, · em 
seu lugar, um modelo probabilístico. 
Como outro exemplo, considere-se a seguinte situação meteo-
rológica. Deseja-se deterniinar qual · a precipitação de chuva que 
cairá · coino resultado de uma tempestade particular, que ocorra · em 
determinada localidade. Dispõe-s~ de instrumentos para registrar 
a precipitação. Observações metrorológicas podem nos fornecer 
considerável informação relativa à t~mpestade que se avizinhe: pressão 
barométrica em vários pontos, variações de pressão, velocidade do 
vento, origem e dir,eção da tormerlta, e várias leituras referentes a 
altitudes elevadas.. Contudo, quão !valiosas essas informações possam 
ser para o prognóstico da naturez~ geral da precipitação (digamos, 
fraca, média ou forte), simplesme:b.te não tomam possível dizer-se 
quanta chuva irá cair. Novament~ estaremos nos ocupando de um ,. 
I 
·fenômeno que não se presta a um . tratamento determinístico. Um 
modelo prob~billstico explica a sitdação mais rigorosamente. · 
Em princípio, poderemos ser ! capazes de dizer quanta chuva 
caiu se uma teoria tiver sido desen~olvida (o que não foi). Por isso, 
empregaremos um modelo probabilÍstico. No exemplo que trata de 
I 
desintegração radioativa, deveremos empregar um modelo probabi-
lístico invariavelmente em princípiol ' 
Arriscando-n.os a adiantarmos! demais na ap~esentação de um 
conceito que será definido. poster~ormelite, vamos apenas afirmar 
.que, em um modelo determinístico, 1 admite-se que o resultado efeti:Vo · 
i . 
4 I PROBABIUDADE 
(numérico ou de outra espécie) seja determinado , pl:)l~ çq~dições 
sob as quais o experimento ou o procedimento seja executlj,~O, .. Em 
um modelo não-determinístico, no entanto, as . co~diçqes c!a "e:xpl:lri-
rnentação determinam somente o comportamento prob~hÚí~tico 
(mais especificamente, a lei probabilística) do resuÍtad() : ()b~l:lFYáyeJ. 
Em outras palavras, em um modelo determinístico 'émpiegâmos 
"considerações físicas" para prever o resultado, enquantb em ·um 
modelo probabilístico ernpregfllllOS a mesma espécie de considerações 
para especificar uma distribuição de probabilidade. 
1.2. ~ ntrodução aos Conjuntos 
A fim de expor os conceitos básicos do modelo probabilístico 
que desejamos desenvolver, será conveniente conhecer algurn~s idéiM 
e conceitos da teoria matemática dos conjuntos. Este é um assunto 
dos mais extensos e muito se tem escrito sobre ele. Contudo, neces-
sitaremos apenas de algumas noções fundamentais. 
Um conjunto é urna coleção de objetos. Usualmente, conjuntos 
são representados por letras maiúsculas A, B etc. Existem três 
maneiras de descrever que objetos est~o contidos no ~·anjunto A: 
(a) Poderemos fazer uma lista dos elementos de A. Por exem-
plo, A = { 1, 2, 3, 11 descreve o conjunto formado pelos inteiros 
positivos 1, 2, 3, 4. 
(b) Poderemos descrever o conjunto A por meio de palavras. 
Por exemplo, poderemos dizer que A é formado de todos os números 
reais entre O e 1, inclusive. 
(c) Para descrever o conjunto acima poderemos simplesmente 
escrever A = { x J O :<:::; x :<:::; 1 }; isto é, A é ó conjunto de todos os x, 
onde x é um número real entre O e 1, inclusive. 
Os objetos que individualmente formam a cole~ão ou conjunto 
A são denominados membros ou elementos de A. Quando "à" for 
um elemento de A, escreveremos a E A, e quando "a" não for um 
elemento de A, escreveremos a Et A. 
Existem dois conjuntos especiais que, freqüentemente, nos in-
teressarão. Em muitos problemas nos dedicaremos a estudar um 
conjunto definido de objetos, e não outros. Por exemplo, poderemos 
interessar por todos os números. reais;· por todas as peças que 
uma linha de produção durante um período de 24 horas etc. 
o conjunto fundamental como o conjunto de todos os 
·. ' 
INTRODUÇÃO À PROBABILIDAD!= I 5 
objetos que estejam sendo estudados. Este conjunto é, geralmente 
representado pela letra U. 
O QUtro conjunto que deve ser destacado pode surgir da seguinte 
nrui.neira: Suponha-se que o conjtm~ A seja descrito como o con- I; 
juntode todos os números reais x, que satisfaçam ~ equação I'' 
x2 + 1 ==O. Naturalmente, sabemos que não existem tais números; i' 
isto é, o conjunt~ A não contém qualquer elemento. Esta situação 
ocorre tão freqüentemente que se justifica a introdução de um nome 
especial para esse conjunto. Por isso, definiremos o conjunto vazio 
ou. nulo como o conjunto que não contenha qualquer ele~ento. · Ge-
ralmente se representa. esse conjunto por 0. ~ 
Pode acontecer que, quando dois conjuntos A e B sejam consi-
·derados, ser elemento de A implique ser elemento de B. Nesse caso, p;, 
diremos que A é um subconjunto .de B,.e escreveremos A C B. In-
terpretação semelhante será dada para B C A. Diremos que · dois 
conjuntos constituem o mesmo conjunto, A = B, se, ·e somente se,-
A C B e B C A. Desse modo, dois conjuntos serão iguais se, e so-
mente se, eles contiverem os mesmos elementos. 
As duas seguintes propriedades do conjunto vazio e do conjunto 
funda.mental são imediatas: 
(a) Para todo conjunto A, temos que 0 C A. 
(b) Desde que se tenha definido o conjunto fundamental, então, 
para todo conjunto A, considerado na composição de U, teremos 
AC U. 
Exemplo 1.1. Suponha-se que U = todos os números reais, 
A = I x I x 2 + 2x ~ 3 = O}, B = I x I (x ~ 2) (x2 + 2x ~ 3) = O} 
e c = r X I X = ~ 3, 1, 2}. Então, A c B e B = c. 
A seguir, estudaremos a importante idéia de combinar conjun-· 
tos dados, a fim de formarmos. um novo conjunto. Há duas opera-_ 
ç.ões fundai):lentais, e essas operações se assemelham, em· certos as-
pectos, à.s operações de adição e multiplicação de números. Sejam 
dois conjuntos A e B .. 
Definiremos C como a união de A e B (algumas vezes denomi-
nada a soma de A e B), da seguinte maneira: 
C = lx Jx E ,A ou x E B (ou ambos) ). 
Escreveremos· a união de A e B, assim: C= A U B. Desse modo, 
C será formado de todos os elementos que estejam em A, ou em B, 
ou em ambos. 
6 I PÀOBABILIDADE 
Definiremos D . como a interseção · d~ A e B (al~iiigs y~~es •. P,~no· 
minada o produto de A e B), da seguinte maneira: .: . , - ·. . . , ·. 
D = {xjx E A ex E B}. ·. · · 
. . . ·.. . . . . ~· ·::· ... J:;:.~~-: . L,j·,.~:~~·, ... :..' .... 
Escreveremos a jnterseção de A e 13, assi:q1: J) =c 4 0 i-:8.: :Rqi:t~ri~ó, 
D será formado de todos .os elementos queestão ,~~Ae e,mB. ;; .. · 
· Fiilaimente, ín troduziremos · a noção •· de complem;entc?:·d~ q~ : con...: 
junto 4., na forma seguinte: . O conhmto· denotado,J>or; i}:) ;cpnstf ... 
. tuido por todos os elementos que nào esteJam e!llA (mas que ~átej~m 
no conjunto fundamental U) é denominado ,éoinpletÍlen~o de A;· .. Is'to · 
é, A= {xjx EE A}. . . · .. 
Um recurso gráfico, conhecido como Diaura~a d(i fenn, - pód~rá 
ser vantajosamente empregado quando estivermos combW:and,<;> qon-
jun,tos, na maneira indicada acima. Em cada diagrama na}?ig .. J), 
a região sombreadarenresenta o conjunto sob exame . . · 
CD 
AnB 
IFig. 1.1 
:/~~~~' 
Exemplo 1.2.. Suponha-se que U = { 1, 2, 3, 4, 5; 6, 7, 8/9, io}, 
A = { 1, . 2, 3, 4}, B = { 3, 4, 5, 6} . Então, encontraremos · que 
A= {5,.6,7,8,9,10}, AUB= {1,2,3,4,5,6} e A ()B= {3;4}~ 
Observe-se que, ao descrever um .conjunto (tal como A U B), cada 
. elemento é relacionado apenas uma vez. 
As operações de união e interseção, definidas acima para doiS 
conjuntos, podem ser estendidas, intuitivamente, para qualquer 
número finito de conjuntos. Assim, defhüremos .A U "B U C como 
A U (B U C) 0'\1 (A U B) U C, o que é equivalente, como se poderá 
verificar facilmente .. De modo ànálogo, definiremos A () B n C 
como . sendo A (l (B () C) ou (A () B) () C, o que também se pode 
ver'fficar serem · equi~alent~s. É evidente que poderemo~ continuar 
essas composiçõe!; · de ·conjuntos para qualquer número finito de con-
juntos dados. 
i .J:.!'' 
i - . . 
INTRODUÇAO A PROBABILIDADE I 7 
I 
~ . . 
Afirmamos que alguns conjqntos são equivalente!'!, por exemplo, 
A n (B ()C) e (A () B) () c.i Conclui-se que existe Ul)l certo 
número de tai& conjuntos equivalentes, alguns ·dos quais estão rela-
cionados abaixo. Se nos lembrÚmos de que dois conjuntos são o 
mesmo conjunto sempre que ele:s contenham os mesmos elementos, 
será fácil mostrar que as afirmaÇões feitas são verdadeiras. O leitor 
poderá se convencer disso, com a :ajuda dos Diagramas ide Vemi'. 
1 (a) A U B = B U A, I (b} A() B = B ()IA, (1.1) 
(c) A U (B U C)=(A U B) U C) (d) A() (B ()C)= (A() B) ()C. 
I 
• ! . 
~~~~üp{;)-s.,~li)t·e:c(li}wii~~f~fiU$Uff®1;;:~~-r~Y!v:~~r@.:i:f.í~~~~Ç;t~tf&~?·:,;; , 
Há- outras identidades de coAjuntos encerrando união, interseção 
e complementação. As mais irhportantes delas estão enumeradas 
I 
a ooguir. A validade de cada uma delas poderá ser verificada com 
. d d D' d V .I 1 ' s aJU a e um . 1agrama e enn. 
(e) A U (B ()~C)= (A U lJ) h-(A U C), V 
U) A() (B.U C)= (ªJnB) k«~. C), 
(g) .A () 0 = 0, 
(h) 4.U 0 ~A; 
('J) (A() B) =A ÜB, Ã ~ 0 :: (A u-131 
Observe-se que (g) e (h) mo·stram 
(1.2) 
I (i) (A u B) = A () B, 
(k) A= A. 
I , 
Uma o~tra"màneira de form~ conjuntos, quando forem dados dois 
(ou mais) conjuntos, será necessá~a a seguir. 
i 
I . . 
Definição. Sejam dois conjuntos A e B. Denominaremos produto 
cartesiano de A e B, denotando-o por A X B, o conjunto { (a, b ), a E A, 
b E B l, isto é, o conjunto de . tod:os os pares ordenados n..os quais o pri-
meifo elemento é tirado de A e o ~gundo, de B. 
\ 
Exemplo 1.3. Suponha-se queA = {1, 2, 3};B = {1, 2, 3, 4}. 
Então, A X B = { (1, 1), (1, 2), .. l , (1, 4), (2, 1) . .'., (2, 4), (3, 1), ... , 
(3, 4)}. I 
i 
Observação. Em geral, A X si=F B X A. 
8 I PROBABILIDADE 
A noção acima pode ser estendida da seguinte :maneira: Se.A1 , ••• , 
A n forem conjuntos, então, A 1 X A 2 X ... X An = {(a! ; a2 , ·;· •• an ), 
ai E Ai], ou seja, o conjunto de todas as ênuplas ordenadas ~ ·: · 
Um caso especial importante surge quando cons.ideram<;)S!O produto 
cartesiano--~~ um conjunto por ele próprio, isto é,AiXA,:o114 •X).l )Ç-A. 
···~?f.~my1~§:cit1~~E;~~~~~JJL.,q;g.~,g~~twõs!é}~t~~!~ll~~~~~J}~.$";".,~, 
onde R é d~coríjunto de todos os números reais, e do espaço eudideano 
tridimensional, representado por R X R X R. · 
O número de elementos de um conjunto terá .grandeiiD,portância 
para nós. Se existir um número finito de elementos no conjunto A, 
digamos ar, a2,_ ... , an, diremos que A éJinito: Q~~tie.liÍJifli.Pmer0 
--~~~J~;~j~~i~:;~- . :§~~~~~;=~~·é!f!;Sk!:f!~?!:;' 
ou·"injinito numerável. (Pode-se :m:ostrar, por exemplo, ·que\ () c-on-
junto de todos os números racionais é numeráveL) :.Finalmente, 
deveremos considerar o caso de um conjuntoinfinito:não~númerável; 
este tipo de conjunto possui um número infinito de elementos qUe não 
podem. ser enumerados. Pode-se mostrar, por exemplo, __ que para 
quaisquer dois números reais b > ~~ o conjunto · A = J x I a :::; .x :::; b} 
contém um número não-numerável de elementos, J ~ que pÇ>dererjws 
associar um ponto da reta dos números reais a cada m)mero .real, o 
que dissemos acima afirma que qualquer interv'~lo (não deg~nerado) 
contém mais do que um número contável de pontos. 
Os conceitos apresentados acima, muito embora representem 
apenas um rápido exame da teoria dos corijuritds, são sufic'iehtes 
·para nossos objetivos: expor, com razoável rigor e pr~ci.são, ·~ idéias 
fundamentais da teoria da probabilidade. 
1.3. Exemplos de Experimentos Não-DeterminísÜcos 
Estamos agora em condições de examinar o q1,1e enténdemos por 
um experimento '-'aleatório" ou "não-determinístico". '· {~ais ,'preci-
samente, daremos exemplos de fenômenos, para os · qmtis .: rriôdelos 
não-determinísticos são apropriados. Esta é uma distinção .·que o 
leitor deverá guardar. Portanto, nos referiremos freS!üêntemen'te 
a experimentos não-determinísticos ou aleatórios, quando de fato 
estaremos falando de um modelo não-detefminísticopara um experi-
mento.) Kão nos esforçaremos em dar uma definição preCisa _desté 
~onceito. E.m vez disso, citaremos um grande ~úmer~ de exemplos. 
que ilustrarão o que temos em mente. 
6NTRODUÇÃO À PROBABIUDADE I 9 
E 1: Jogue um dado e observe o número mostrado na face de 
cima. 
E,: Jogue· uma moeda quatro vezes e observe o número de caras 
obtido. 
E 3: Jogue uma moeda quatro vezes e observe a seqüência obtida 
de caras-e coroas. 
E 4: Em uma linha de produção, fabrique peças em série e conte 
o número de peças defeituosas produzidas em um período 
de 24 horas. 
Eó: Uma asa de avião é fixada por um grande número de rebi-
tes. Conte o número de rebites defeituosos. 
Es: Uma lâmpada é fabricada. Em seguida é ensaiada quanto 
à duração da vida, pela colocação em um soquete e ano-
tação do tempo decorrido (em horas) até queimar. 
E1: Um lote de 10 peças contém 3 defeituosas. As peças são 
retiradas uma a uma (sem reposição da peça retirada) até 
que a última ·peça defeituosa seja encontrada. O núme-
ro total de peças retiradas do lote é contado. 
E'il: Peças são fabricadas até que 10 peças perfeitas sejam pro-
duzidas. O número total de peças fabricadas é contado. 
Es: Um míssil é lançado. Em um momento especificado t, 
suas três velocidades coq~.ponentes, v .. , v11 e v. são observadas. 
E 1o: Um míssil récem-lançado é observado nos instantes tb 
t2, ••• , t,. Em cada um desses instantes, a altura do míssil 
acima do solo é re~strada. 
E 11: A resistência à tração de uma barra metálica é medida. 
Eu: De uma urna, que só contém bolas pretas, tira-se uma bola 
e verüica-se sua cor. 
E 13 : Um termógrafo registra a temperatura continuamente, 
num período de 24 horas. Em determinada locálidade e em 
uma data especificada, esse termógrafo é lido. 
Eu: Na situação descrita em E18, x e y, 118 temperâturas núnima 
e máxima, no período de 24 horas considerado, são regis-
tra,das. 
O que os experimentos acima têm em comum? 
(a) Cada experimento poderá ser 
sob condições essencialmente inalteradas. 
10 I PROBABILIDADE 
(c) Quando o experimento for executado re~t~(l.amente, os 
resultados :individuais parecerão ocorrer de u:ffia , J~rma .aCidental. 
Contudo,· quando o experimento for repetÚlo º:tri ·g:~~~I[~3~~m:~-to . de 
vezes, uma configuração definida ou regulátidade ' surgirá. : É esta 
regularidade que toma possível construir um íri6cie'13' inatêltáÍico 
preciso, com o qual se analisará o expetimentCi. l\lhili brde, teremos 
muito que dizer sobre a natureza e a irnpqrtândade~ia}ágwaridade. 
Por- ora, o leitor necessita apenas pensar nas repetidas ~ogadas de 
uma moeda equilibrada. Muito embora caras e cordas- apareçam 
sucessivamente, em uma maneira quase arbttrária, é f~to . empírico 
bem conhecido que , depois de uni grande número d~. jogadas, a pro-
porção de caras e a de coroas serão aproximadamente Ígu'aiS. . 
Deve-se salientar que todos os experimentos . . descritos acima 
satisfazem a essas características gerais. (Evidentemente, a última 
característica mencionada somente pode ser · verificada . pela experi-
mentação; deixaremos para a intuição do leitor '. acreditar que · se o 
experimento fosse repetido um grande número de . vezes, a regulari-
dade referida seria evidente. Por exemplo, se um · g~~nde nÚmero 
de lâmpadas, de um mesmo fabricante, fosse ensaiado, . presumivel-
mente o número de lâmpadas que se queimaria após iOO horas poderia 
ser previsto com precisão considerável.) Note-sé que o experimento 
E 12 apresenta o traço peculiar de que somente umres11ltado. é possível. 
Em geral, tais experimentos não nos :interessarão, porque, realinente, 
o fato de não sabermos qual particular resultado virá Íl ocorrer, quando 
um experimento for realizado , é que torna um experimento intere'S8ante 
para nós. 
Comentário: Ao descrever os diversos experimentos, nós especificamos não 
somente o procedimento que tem que ser realizado, mas também aquilo que 
estaremos interessados em observar (veja, por exemplo, a diferença imtre E z e E 3 , 
citados anteriormente). Este .é um ponto rrmito importante, ao qual novamente 
nos referiremos mais tarde, quando explicarmos variáveis aleatórias. Por ora, 
vamos apenas comentar que, em conseqüência de um procedimento experimental 
isolado ou a ocorrência de um fenômeno único, muitos valores numéricos diferen-
tes poderiam ser calculados. Por exemplo, se uma pessoa for escolliida de um 
grupo grande de pessoas (e a escoTha real seria o procedimento e:X:perimental 
previamente mencionado), poderíamos estar interessados na altura daquela pessoa, 
. no seu peso, na sua renda anual, no número de fillios dela etc. Naturalmente, na 
·maioria dos ca~s. nós saberemos, antes de iniciar nossa experimentação, quais 
serão as características numéricas em que iremos estar interessados. · 
, 
11\!TRODUCÃO À PROBABiLIDADE I 11 
1A.~· 
Definição. -Para cada êxf>eDmêhto ·e do tipo que estamos con-
siderando, definiremos o úpâ:Ço amCist;az como <i cÓnjurito de tó:Jõs 'os 
resultados possíveis de e. Geraltnente representaremos esse conjunto 
por S. (Neste contexto, S repre,senta o conjwlto fundamental, expli-
cado anteriormente.) r· I . ' 
Vamos considerar cada um dos experimentos acima e descrever 
um espaço amostral para cada um deles. O espaço amostral S; se 
referirá ao experimento E;. 
S6: 
S1: 
Ss: 
S9: 
S10: 
Su: 
s12: 
Su: 
11, 2, 3, 4, 5, 6}. I 
lo, 1, 2, 3, 4}. 
{todas as seqüências p6ssíveis da forma a11 a2, aa, a4 }, onde I 
cada a; = H ou T, conforme apareça ca~a ou coroa na 
i-ésima jogada. ~ : , 
{0, 1, 2, ... , N}, onde
1 
N é o número máximo q:ue pode ser 
produzido em '24 hora.S . 
. I 
{0, 1, 2,-... , .M}, ond~ M é o número de ·rebites empre-
gado. 
ltlt ~ 0}. 
. I 13, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }. 
I 110, 11, 12, ... },. i ' 
I v.,, Vy, Vz I v.,, Vy, v, números reais}.·. 
{hh· .. , hn jh;;:::: O, i =11, 2, .. . , n}. 
ITIT~O}. i' 
I bola preta}. 
Este espaço amostral éj o mais complexo de todos os co!lsi-
derados aqui. Podemos admitir, com realismo, que a tem-
. , I . . . . . 
peratura em determin!1-da localidade nunca possa ocorrer 
acima ou abaixo de ce*os valores 11! e m. Afora esta .rei-
trição, poderemos aceitar a possibilidade de que qualquer I . . 
gráfico apareça com /determinadas restrições. Presumi-
velmente, o gráfico não terá saltos (isto é, el~Ç representará 
uma função contínua).! Além ~isso, o gráfi~o terá certas 
características de ,regu\arização, que podem ser resumidllS 
matematicamente di~eddo-se que o gráfico representa uma 
, I . . 
função derivável. Deste modo, poderemos finalmente 
afirmar que o espaço a~ostral será: 
IJIJ uma função perivável, que satisfaça a m . .::::; . 
.::::; j(t) .::::; M, para ltodo t} .. 
I~ 
12 I PROBABH.HDADIE 
{(x, y)lm:::;; x:::;; y:::;; M}. Isto é, §aéfo11J1acio p0rtodos 
os pontos dentro e sobre um. triâJ1gulo: no:;~Ia,po . x; ybicli-
mensional. · · · .. . · · · ... · ... ,, .-.c-;•. ; ·,-, .> 
(Neste livro não cuidaremos de espaços amostrais di :•cdfnpl~xi'dade . 
encontrada em 81a- Ko entanto, tais espaços ariÍ6slrais'''p8dem ' súi:~ 
gir, mas exigem para seu estudo mais ~Íatemática âvànÇ~dâ>do qúe 
estamos admitindo aqui.) 
. e~~;.!~ii:f7~~]~~9r~~x;:~;;:mE:::;s;g;~@.8?::;;~. 
· estamos '' · .. ·· .. ·.··: . : d@ii::•"'"" Por isso, 
de ;,~;.·;'~~~~~;~ amostral associado a um experimerito, e P:ão de 
"o" espaço' amostraL A esse respeito, note-se a dif~re~ça· entre 
82 e 8a. 
Saliente~se, 'tambein~ 'qu~ o r~sul t-~do de ' urri '. ê},~·~~Q}~rho não é 
necessariamente, um número. Por exemplo, em E i, cada resultado 
é uma seqüência de caras (H) e coroas (T). Em É9 e E.1o cada re-
sultado e formado por um vetor, enquanto em E; 3 , e~d~ resultado 
constitui uma função . 
lativamente aos exemplos acima, observamos que 8], 82;. 8a, 84, 8s, .• 
81 e 812 são finitos,8s é infinito numerável, e 8s, 89, 810r 8u, 813 e 
814 são infinitos não-numeráveis. 
:~~=::~~~;:;!~·:::,~~~~~t· 
:rimento ·Ê6 e seu e~paço amostral associado 81. É eVidente que, 
quando estivermos realmente registrando o tempo . tot~l t, •durante o 
qual uma lâmpada funcione, seremos "Vitimas" da precis[b de nosso 
instrumento de medir. Suponha-se que temos um instruínerrto que 
seja capaz de registrar o tempo com duas casas decir11ais, por exem.: 
. pio, 16,43 horas. Com esta restrição imposta, nosso esjlàço amos-
t ral se tomará infinito numerdvel: { 0,00, 0,01, 0,02; •: : : }. Além 
disso, é bastante próximo da realidade admitir quenenhíun8,Jâinpada 
possa durar 'mais do que H horas, onde H pode ser uín fiúinero muito 
grande. ConseqÜentemente, parece que se f()i:inos ·completamente 
realistas na descrição deste espaço amostral, estaremos realmente 
tratando com um espaço amostral finito: { 0,00, 0,01, 0,02, .. . , H}. 
O número total . de resultados seria (H/0,01) + 1, que poderá ser 
um número muito grande; mesmo que H seja moderadamente grande, 
.r j 
\ 
iNTRODUÇÃO À PROBABiii..IDADE I 13 
por exemplo se H = 100. Torna-se bem mail:l simples e, matemati-
camente, conveniente, admitir que todos os valores de t ~ O sejam .re-
sultados possíveis e, portanto, tratar o espaço amostral Ss tal como 
foi originalmente definido . 
. Diante desses comentários, alguns dos espaços amostrais des-
critos são idealizados. Em todas as situações subseqüentes, oespaço 
amostral ·considerado será aquele que for matematicamente mais 
conveniente. Na maioria dos problemas, pouca dúvida ~.urge quanto 
à escolha adeQuada ·d9 :êsPáçO·· amosti-al. :; ·.-..· .. :. : 
··.. . · . -: .. ,.., 
: .... ·,.:: · .. 
1._5. 
· .:;. : :~:- ·.- ... 
Eventos 
Outra noção fundamental é o conceito de evento. <R-~~~­
(relativo a um particular espaço amostral S, associado a" Upl expe-
rimento e ) < e<:smrp:):es~~At!P.~ti'tfi:C0nlj;un;,t~cl:~§lresu1t~dbsi-'#~~~t;~~-~·· . Na 
tenninologia. dos conjuntos, um evento é·;;~ ;~bconju~to d~· Ü;·<es­
paço amostral S. Considerando nossa exposição anterior, isto sig~ 
nifica que o próprio S constitui um-evento, bem como o é o conjunto 
vazio 0. Qualquer resultado individual pode também ser to~ado 
como um evento . 
. Al~s exe~plos d~ ey~nt()S s~- ~ados ~ - ~~~ir. N.?,yªqí~~te, . 
nos referimos aos . experimentos 'relacionados aCima: A; sé teféÍ{rií. 
ao evento asso~iad~ ao . éxpedrh~~tÓ EZ · -· ' · -_ ;· . \ '"· · 
Al: ul!l número par OCQrre, .isto é, Al = {2, 4, 6}. 
A2: {2} ;isto é, duas caras ocorrem. 
A3 : {HHHH, HHHT; HHTH, HTHH.; THHH); isto é, mais 
caras do que coroas ocorréfam.' - . . . 
A4: {O}; isto é, todas as peças são perfeitas. 
{' 
A6: {3, 4, ..• , M}; isto é, mais do que dois rebites eram defei-
tuosos. 
·As: { t I t < 3}; isto é, a lâmpada queima em menos de. 3 horas. 
Au: { (x, y) I y = x + 20}; isto é, a temper~tura máxima é 20° 
maior do que a mínima. " 
Quando o espaçó amostral S for finito ou infinito numerável, 
todo subconjunto poderá ser considerado um evento. [Constitui um 
I • 
exercício fácil de provar, e o faremos resumidamente, que se S cdn-
tiver n elementos, existirão exatamente 2n subconjuntos (eventos).] 
Contudo, se S for infinito não'-numerável, surgirá uma dificuldade 
teórica. Verifica-se que nem todo subconjunto imaginável poderá 
14 I PROBABDLIDAIDE 
._ ,.:;.;e~~:;:~:~;!~~~;~;;~!;d~~:!;::::;=:=~:~=:~~·~~ 
.. d.I:J.§t:a;~~J.Cp:lil.~'Wál:ç'ão. Felizmente, . tais subconjuntos>'iiã~:::adffiis~tveis 
-~·ã;;'~-~~rgem nas aplicações e, por isso, nãO ·'cU:idii.reÍxios:r dê)es . aqui. 
Na exposição subseqüente, será admitido : tacit~fn~ri't~ ~'que $empre 
que nos referirmos a um evento, ele .será da espécié :.4u'ê' j~ ~éljriitimos 
considerar. · · · , ~ · · · 
Agora, poderemos empregar as várias téGnicas .·de combirtar con-
juntos (isto é, eventos) ~ obter novos ·. conhintô~·~· {istó ê, ·eventos), 
os quais já apresentamos anteriormente. · · 
. (a) Se A e B forem eventos, A U B será o evento que ocorrerá 
se, e somente se, A ou B (ou ambos) ocorrêreri\: 
(b) Se A e B forem eventos, A nB será .o .evel).to que ocorrerá 
se, e somente se, A e B ocorrerem. 
(c) Se A for um evento, A será o evento que ocorrehí se, e so-
mente se, não ocorrer A. 
(d) Se A~> . : . , An for qUalquer coléção Íinita deeve~tos, então, 
U~-1 A; será o evento que ocorrerá se, e somente·se, ao menos um· 
dos eventos A; ocorrer. ···, 
(e) · Se A 1, ... , An for qualquer coleção finita de eventos, então 
n~-1 A; será o evento que ocorrerá se, e somente s~, todos os eventos 
A; ocorrerem. 
. . . 
U) Se A~> ... , An, . .. · for qualquer coleção infini~a (numerável) 
de eventos, então, Ui-- 1 A; será o evento que ocorre~~ se, e somente 
se, ao menos um dos eventos A; ocorrer. 
(g) Se A 11 •• • , An, ... for qualquer coleção infinita (numerável) 
' • (Q .. . .:.. . • - .•. :.. . - · : . 
de eventos, então, ();=1 A; será o evento que ocon.'erá se1 e soinente 
se, todos os eventos A; ocorrerem. 
(h) Suponha.se que S represente o espaço amo~f:.L~L~sociado a 
~;~~~~~;:;::~~:i~:i::~~~f!~~:;:::::::~;:~;:· 
·~~~::;!=~~::· 
(i) o exemplo contido em (h) pode, obviamente, ser generalizado. 
Considerem~se n repetições de um experimento & cujo espaço amostràl 
sejaS: 
S X S X . .'.X S = {(s 1 , s2 , ••• , sn), si ES, i= 1, •.. , n} 
:'lr., 
INf RODUÇÃO À PROBABILfDADE I 15 
I 
representa o conjunto de todos o~ possíveis resultados, quando & for 
executado n vezes. De certo modd, S X S X ..• X S é ele próprio um 
. espaço amostral, a saber, o espaçb amostral associado a n repetições 
. I . . 
de 8,. I 
Definição. Dois eventos, A le B, são den~~~Ê_g~,~"t:.@?.tr!mie 
-ez~ludentes, se eles não puderem 'ocorrer juntos. E~ri;mremos isso 
escrevendo.,~~t~"'B~rt~~J!lf'''isto é, a 1 interseção de A e B é o conjunto 
vaziO. I 
Exemplo 1.4. Um dispositivb eletrônico é ensaiado e o tempo 
- I . ! 
total de servjço t é registrado. Admitiremos, que o espaço amostral 
seja { t it 2:: O). Sejam A, B e cl
1 
três eventos definidos da seguinte 
maneira: 
A = ·{tjt < 100}; B = {t J.50 '~ t ~ 200i; C.= (tit > 150}. 
Conseqüentemente, 1 
A U B = (tlt ~ 200}; A jn B = {t J50 ~ t < 100}; 
BUC=(tJt2::50}; BnC={tJ150<t~200}; AnC=O; 
A u c = {tI t < 100 ou t > 150 J; ~ = {tI t ;::: 100 J; c = (tI t ~ 150 J. 
I 
Uma das características fundamentais do conceito de "experi-
mento", como foi apresentado n~ seção anterior, é que nÓs 11~0 sa-
bemos qual resultado particular Ócorrerá quando o experimento· for 
. . I 
realizado. Por ~;mtras palavras, Sf A for um 'evento associado a um 
experimento, então, não poderembs afirmar com certeza que A irá 
ocorrer ou não. Por isso, torna-s,e muito importante tentar associar 
um número ao· evento A, o qual medirá de alguma maneira quão 
verossírnil é que o evento A venll.a a ocorrer; Essa tarefa nos leva 
à teoria da prob.abilidade. I 
i 1.~~efliii&lê~~~a;tiva-), 
A fim de · motivar a 
o seguinte procedimento: 
I 
Definição. ]A =· nA/n é denominada freqüência relativa do evento 
A nas n repetições de 8. A f;eqü~ncia relativa f A ap.rese~ta as seguin-
tes propriedades, de fácil verificaÇão: 
. (1) o ~ f A ~ 1. . . I 
(2) j A = 1 se, e somente se, h. OCOrrer em todas aS n repetições . . 
I 
.,, : 
16 I IP'ROISAIS8UDAiiJIE 
(3) !A. :=O se, e somente se, A nunca ocorrer nas;nrepetiçpes. 
(4) Se A e B forem eventos mutuamerité' ex2ludé#tes;e ~sef~ u B 
· for a freqüênci!l relativa associada ao ~vento~ ~y ,s, :~B.tio-;]~ •li. fi ·= . 
= fA + fB. . ... . ···:. ,,_ ,; _ ,_ .. ·. . . 
(5) fA, .com base em n repétiçõe"s dó ex.periment() 'e' :66nsideiada 
como uma função de n; "converge" em ceitó "senfído ''prohábilísti_ço 
paraP (A), quando n -7 oo . · .· · · · ' ' ' • · · 
Conientárw: A Propriedade (5) está evidentementeexpressada um tanto 
vagamente, nesta seção. Somente mais tarde (Seç.l2.2), estaremos aptos a tornar 
esta idéia mais precisa. Por enquanto, podemos a~enas afirmar q_{iê ;a-Propriedade 
(5) envolve a nÕção nitidamente intuitiva de que a freq üêricia ·relativa, ba5eada em 
um número crescente de observações, tende a se "estabilizar" próximo. de algum •; 
valor definido . Este não é o mesmo conceito usual de convergência encontrado 
em alguma parte da Matemática. De fato, tal co.inó af'rrmamos aqui, esta riãó é, 
de modo algum, uma conclusão matemática, mas apenas um fato e~pírico. 
A maioria de nós está intuitivamente a par deste fenômeno de 
estabilização, muito embora nunca o tenhamos verificado. Fazê-lo exige 
considerável porção de tempo e de paciência, porque inclui um grande 
número de repetições de um experimento. Contudo, algumas vezes, 
poderemos ser ingênuos observadores deste fenômenô, como ilustra o 
seguinte exemplo: 
Exemplo 1.5. Admitamos que estejamos postados na calçada e 
fixemos nossa atenção em dois blocos de meio-fio adjacentes. Suponha-se · 
que comece a chover de tal maneira que sejamos realmente capazes de 
distinguir pingos isolados de chuvà e registrar se esses pingos caem num . 
meio-fio ou noutro. Ficamos a observar os pingos e a anotar seu ponto 
de impacto. Denotando o i-ésimo pingo por Xi, onde Xi = 1 se o pingo 
cair no primeiro meio-fio, e igual a O se . cair no outro, poderemos 
observar uma seqüência como, por exemp1o, 1, 1, O, 1, O; 0,0, 1, O, O, 1. 
É evidente que não seremos capazes de prever onde um particular pingo 
irá cair. (Nosso experimento consta de alguma espécie de situação me-
teorológica que causa a queda dos pingos de chuva.) Se calcularmos a 
freqüência relativa do evento A ·= { ci pingo cai no meio-fio 1}, então, 
a seqüência de resultados acima dará origem às Seguintes freqüências 
relativas (baseadas na observação de 1, 2, 3, ... pingos): 1, 1; 2/3, 3/4, 
3/5, 3/6, 3/7, 4/8, 4/9, 4/ 10, 5/11, ... Esses números e .. videnciam um 
elevado grau de variação, especialmente no início. É intuitivamente 
evidente que, se o experimento acima continuasse indefmidamente, essas 
freqüências relativas iriam se estabilizar próximas do valor 1/2. Canse-
. _qüentemente, teríamos toda razão em acreditar que, depois de algum 
tempo decorrido, os dois meios-fios estariam igualmente molhados. 
~ ' 
.·, 
·i 
Oi\!TRODUÇÃO À IP'IROBABIUDADE I H 
Esta propriedade de estabilidade da. freqüência relaJ;j.va é, por 
enquanto, uma noção inteiramente intuitiva, porém mais tarde es-
taremos aptos a torná-la matematicamente precisa. -~êl:lêí:ã 
~§ÍI!i"1fproprieda<!?.:ê';_g,ile'{-Se"~experimentó:ri'er--execntad&"uitr::gr.ande o· 
, n~~l!o~1le-ve~~S'Fa-frequên:'êÍa-tei!tti~"ª:idaii".éeórtên,Ç!ií.~c.:-álgum.;evento 
. .q..i4iii~~'hde~a""'i''~:ar.'º-~-.::ovez,"'mêíiõ,ili:;:rn.edi~que,.O""-nYmero~d,~:,re~·- . : ... 
·t~~~r?allli!.~-P~~d"ã:- Esta caracterfstica é também conhecida como 
regularidade estatística. 
N 6s fomos um tanto vagos em nossa definição de experimento. 
Quando um procedimento ou mecanismo constituirá, em nossa acep-
ção, um experimento capaz de ser estudado matematicani:ente por 
meio de um modelo não-determinístico ? Já afirmamos, anteriormente, 
que um experimento deve ser capaz de ser realizado repetid;unente, 
sob condiçQes essencialmente inalteradas. Agora, podemos acres-
centar outra. condição. Quando o experimento for repetidamente 
realizado, ele deverá apresentar a regularidade estatistica mencio-
nada acima. Mais adiante, estudaremos um teorema (denominado 
Lei dos Grandes Nú:meros) que mostrará que a regularidade .estatís-
tica é, de fato, uma conseqüência da primeira .condição: reprodutibi-
lidade. 
.. .. ·~ .. .. 
1.7. ·· ~~~~lr:nif~nià~i~~~cfl!~Ni~í1ffi;dade 
Voltemos agora ao problema proposto acima: atri~uir um número 
a cada evento A, o qual avaliará quão verossírnil será a ocorrência 
de A quando' ·o experimento for realizado. Uma possivel maneira 
de tratar a questão seria a seguinte:--repetir o experimento um grande 
número de vezes, calcular a freqüência relativa fA e utilizar esse nú-
mero. Quando record;nnos as propriedades de j A, torna-se evidente 
que este número fornece uma informação muito precisa de quão ve-
rossímil é a ocorrência de A. Além disso, sabemos que à medida que o 
experimento se repetir mais e mais vezes, a freqüência relativa f A se 
estabilizará próxima de algum número, suponhamos · p. ,···Há, con-
tudo, duas sérias objeções a esta maneira de tratar a questão: (a) Não 
está esclarecido ·quão grande deva ser n, antes que se cenheça o n~­
mero: 1.000 .? 2.000? 10.000? (b) Uma vez que o experimento tenha 
sitio c~mpletaÍnente · descrito e o evento A especificado, o número 
· que estamos. procurando não deverá depender .do experimentador 
ou da particular veia de sortE) que ele possua. (Por exemplo, é pos-
sível que uma moeda perfeitamente equilibrada, , .quando jogada 
10 vezes, venha a apresentar 9 caras e 1 coroa. A freqüência rela-
tiva do evento A = {ocorrer cara} seria, nesse caso, igual a 9/10 • . 
18 I PROBABILIOADE 
!\o entanto, é evidente que nas próximas 10 jogadas o padrão de 
caras e coroas possa se inverter.) O que desejamos é um meio de 
obter tal número, sem recorrer à experimentação. Naturalmente, 
para. que o número que convencionarmos tenha significado, qualquer 
experimentação subseqüente deverá produzir uma freqüência rela-
tiva que seja "próxima" do valor convencionado, particularmente 
se o número de repetições, no qual a freqüência relativa calculada 
se tenha. baseado, for muito grande. Nós procederemos, formalmente, 
da seguinte maneira: 
Definição. Seja e um experimento. Seja S um espaço amostral 
associado a e. A cada evento A associaremos um número real re-
presentado por P(A) e denominado probabilidade de A, que satisfaça 
à.s seguintes propriedades: 
(1) O ~ P(A) ~ 1. 
(2) P(S) = 1. (1.3) 
(3) Se A e B Corem eventos mutuamente excludentes, P(AUB)= 
= P(A) + P(B). 
(4) Se A 11 At,. .. , An,. . . forem, dois a dois, eventos mutua-
mente excludentes, então, 
Observe-se que da Propriedade 3, decorre imectiatamente que, 
para qualquer n finito, 
A Propriedade 4 não se seguirá; no entanto, quando considerarmos o 
espaço amostral idealizado, esta propriedade será imposta e, por isso, 
foi incluida aqui. 
A escolha das propriedades da probabilidade acima relacionadas 
é, obviamente, sugerida pelas correspondentes cara.ctcnsticas da 
frcqüência relativa. A propriedade, antes mencionada como regu-
laridade estatística, será mais adiante vinculada a esta definição de 
probabilidade. Por enquanto, nós apenas afirmamos que se pode 
mostrar que os números P(A) e f A são "próximos" um do outro (em 
determinado sentido), se }A for baseado em um grande número de 
repetições. ~ este fato que nos dá a justificativa da utilização de 
P(A) para avaliarmos quão verossímil é a ocorrência de A. 
Por enquanto não sabemos como calcular P(A). Nós apenas 
arrolamos algumas propriedades gerais que P(A) possui. O leitor 
INTRODUÇÃO À PROBABILIOAOE I 19 
terá que ser um pouco mais paciente (atê o próximo capitulo), antes 
quE' aprenda como avaliar P(A). Antes de voltarmos a esta questão, 
vamos enunciar e demonstrar várias conseqüências relacionadas a 
P(A), que decorrem das condições acima e que não dependem da ma-
neira pela qual nós realmente calculamos P(A). 
Teorema 1.1. Se 0 for o conjunto vazio, então P(0) =O. 
Demonstração: Para qualquer evento A, podemos escrever 
A = A U 0. Uma vez que A e 0 são mutuamente excludentes, 
decorre da Propriedade 3, que P(A) = P(A U 0) = P(A) + P(0). 
Daqui, a conclusão do teorema é imediata. 
Comentário: Mais tarde, teremos oeasiAo de ver q11e a reciproca do teorelllA 
acima nAo é verdadeira. lst.o é, se P(A) • O, nlo poderemos, em geral, concluir 
que A - 1!, porque existem situações nasquais atribuú:nos probabilidade zero a 
um evento que pode ocorrer. 
Teorema 1.2. Se à for o evento complementar de A, então 
P(A) = 1 - P(Ã). (1.4) 
Demonstração: Podemos escrever S = A U Ã e, empregando 
~ Propriedades 2 e 3, obteremos 1 = P(A) + P(Ã). 
Ccmwmtório: Este é um resultado puticulannente útil, porque ele significa 
que sempre que desejarmos avaliar P(A), poderemos cs.lculu P(Ã) e, depois, 
obtermos o resultado desejado por subtração. Veremos mais tarde que, em mui-
Ws problemas, é muito mais fácil calculu P(ii) do que P(A). 
Teorema 1.3. Se A e B forem dois eventos quaisquer, então 
P(A U B) = P(A) + P(B)- P(A () B). (1.5) 
Demonstração: A idéia desta. demonstração é decompor A U B 
e B em dois eventos mutuamente excludentes e, em seguida, aplicar 
a Propriedade 3. (Veja o Diagrama de Venn na Fig. 1.2.) 
Desse modo escreveremos 
A U B = A U (B () A), 
B = (A () B) U (B () A). 
Conseqüentemente, 
PfA U B) = P(A) + P(B () Ã), 
P(B) = P(A (J B) + P(B () A). 
.~ · ' r i.;•' i .r~ ,. { ,, .. 
.... 
' I 
r 
I 
I 
i 
.! I. 
' l 
: ~ . 
20 I PROBABOUDADE 
Subtraindo a segunda igualdade da primeira, . obtém~se .. 
P(A U B) - P(B) = P(A) ----: P(A íi B) 
e daí chega-se ao resultado. 
Fig. 1.2 
Comentário: Este teorema representa uma extensão imediata da Proprie-_ 
.dade. 3, porque se A n B = 0, obteremos do enunciado acima .a. Propriedade 3. 
Teorema 1.4. Se A, B e C forem três eventos· quaisquer, então 
P(A U B U C)=P(A) + P(B)+P(C)-P(A íi B)-P(A (')C)-
- P(B íi C) + P(A íi B n t:). . (1.6) 
Demonstração: A demonstração consiste em. escrever A U B U C 
na forma (A U B) U C e aplicar o resultado do teorema anterior. 
Deixa-se ao leitor completar a demonstração. 
Comentário: Uma extensão óbvia do teorema é sugerida. Sejam A ii ... ,· Ak, 
quaisquer k eventos. Então, 
k k 
P(Ar u A2 u ... u Ak) = L P(A;) - L P(A; nA;) + 
1=1' i<j=2 
k 
+ ·E P{AinA;nAr) + ... +(-I)1HP(ArnA2n .. . nAk). 
i<j<r=a 
(1.7) 
Este resultado pode ser facilmente estabelecido porr indução matemática~ 
Teorema 1.5. Se A CB, então P(A):::;; P(B). 
Demonstração: Podemos decompor B em dois eventos mutua-
mente excludentes, na seguinte forma: B = A U (B nA). Conse-
i:. 
:; 
1: 
INTRODUÇÃO À PROBABiliDADE I 21 
qüentemente, P(B) = P(A.) + P(B nA) ;:::: P(A), porque P(B (I Ã) ;:::: 
;;:: O, pela Propriedade 1. . 
Comentário: Este resultado é, certamente, de conhecimento intuitivo, poill 
ele afirma que se B deve ocorrer sempre que A ocorra, conseqüentemente, · B é mu.Íll 
pl'ovável do que A. 
1.8. .Aig11.1mas Observações 
(a) Cabe aqui uma palavra de advertência. Da exposição an-
terior poderia ser (incorretamente) inferido que quando escolhermos 
mp modelo probabilístico para a descrição de algum fenômeno de 
observação, estaremos abandonando todas as relações determinís-
ticas. Nada poderia estar ~ais distante da verdade. Nós ainda 
utilizãm~; o fato de que, por exemplo, a Lei de Ohm I = E/R vale 
em determinadas circunstâncias. A diferença seria uma diferença 
de interpretação. Em vez de afirmar que a relação .acima determina 
I para E e R dados, admitiremos que E ou R (ou ambos) possam 
variar de alguma maneira aleatória imprevisível e que,· em conse-
qüência, I variará ta'Inbém de alguma forma aleatória. Para E 
e 'R dados, I será ainda determinado pela relação acima. O impor-
tante é que, quando se adotar um modelo probabilístico para a des-
crição de um circuito, considera-se a possibilidade de que E e R pos-
sam variar de alguma maneira imprevisível, a qual somente pode 
ser descrita probabilisticamente. . Portanto, desde que tenha sen-
. tido considerar somente a probabilidade de que E e R tomem certos 
valores, torna-se significativo . falar somente · da probabilidade de 
que I venha a tomar certos valores. 
-- ~- ·7~~::~=~~iflj[~l~!:~;;~~!f;~~~!~~· 
depenaercnrcomplicação de nossa técnica de mensuração e da exatidão 
associada a. ela. Por exemplo, se medidas exatas foremJlfo difíceis de 
obter que leituras repetidas da mesma quantidade condÚzam a resulta-
dos variados, um modelo probabilístico será sem dúvida mais adequado 
para descrever a situação. 
(c) Indicaremo~ resumidamente que, sob certas circunstâncias, 
teremos condições de fazer hipóteses adicionais sobre o comportamento 
probabilístico de nossos resultados experimentais, as quais nos conduzi-
rão a um método de avaliação das probabilidades básicas. A escollia 
dessas hipóteses adicionais pode ser baseada em 'considerações físicas do 
experimento (por exemplo, propriedades de simetria), evidência empí-
.,. ; 
- -
·. ~' ~:" . . 
22 I PROBABILIDADE 
rica ou, em alguns casos, apenas julgamento :<pesspãl,>bàseado em 
experiência anterior de uma situação similar! A IreqJ.iêl1ciâ relativa fA 
pode desempenhar um importante papel em nossa 'deliberação sobre a 
atribuição numérica de P(A). Contudo,~ imponànte''·'coriÍ~ieender que 
qualquer suposição que façamos sobre P(A) deve '''s~r 'fajY:qú'~ " ~êjam 
satisfeitos os axiomas básicos desde (1) até (4)daDefuiiç'ãô·{1.3): · · · 
(d) No curso do desenvolvimento da5 idéias bâsicãs datêoria 'da 
probabilidade, faremos algumas referências a det~rriúnadas. analogias 
mecânicas. A primeira delas pode ser apropriada a.qili. Etii M~tânica, 
atribuímos a cada corpo B sua massa, digamos m(.B)~ ''Effi .§~guút"a'~ fa-
remos diversos cálculos e obteremos várias condüsÕÚ sobre o compor-
tamento de B e suas relações com outros coipos, iÍxirita(P,as -qliais 
envolvem sua massa m (B). O fato de que · nós podere·fu.os' ter que 
recorrer a alguma aproximação para obter reâlméntt m(B) pâra uin . 
corpo especificado não diminui a utilidade do coritéitó ' de hiassa~ 
Semelhantemente, estipularemos para cada evento A assocüid.() aoespaÇo 
amostral de um experimento um número P(A ), denominado 'probabili-
dade de A, e satisfazendo nossos axiomas básicos. Ao calci.ílar reallliente 
P (A) para um evento específico, nós teremos que fazer hipÓteses 
adicionais ou que obter uma aproximação base ada em evidência. empírica. 
(e") . 1!; muíto importante compreender que nós tenhamos pos-
tulado a existência do número P(A), e que tenhamos postulado de-
terminadas propriedades que esse número possui. A validade das 
várias conseqüências {teoremàs), decorrentes desses postulados, 'de 
modo algum depende da maneira pela qual iremos obter um valor 
numérico para P(A). 1!; essencial que este ponto fique claro. Por 
exemplo, admitimos que P(A U B) = P(A) + P(B). A fim de em-
pregar esta relação para a avaliação concreta de P(A U B), deveiemo~ 
conhecer os valores de ·P(A) e de· P(B). Explicaremos, i-esuffiida-
mente, que sob certas circunstâncias, nós poderemos fazer suposiçõês 
adicionais que conduzam a um método de avaliação dessas probabi-
lidades. Se essas (ou outras) suposições não forem fundamentadas, 
poderemos ter de recorrer à experi~entação a fim de alcançar o valor 
de P(A) a partir de dados reais. A freqüência relativa fA desempe~ 
nhará nisso um importante papel e será, de fato, utilizada para apro-
ximar P(A). 
Contudo, é importante saber que j A ,o P(A) ní'ío slto o. rncHllll\ 
coisn.; que nó11 ~~ponaH ni.iliznrom01-1 j A Jl l~l'l~ t\proJ<iouu• /'(A) ., qt11, 
li!llllpl'l q111 11011 rt •ft'IÍI'Illll ll 1L /'(ti), 1'1\I ,HIIIIIIIHI 111111 111r11 11tlo IIII Vn loll' 
\lllll l,llltlclo t 1 1101 11 1fl1nllll11111111111" J~ 1'11111 /'( ,1) , clt 111'1111 1'11111 
-~---- ------- -- --- -
INT;RODUÇÃO À PROBABILIDADE I 23 
[ 
preender que estaremos tão-somenie substituindo um valor postulado 
por urna aproximação obtida exp~rirnentalrnente. Quão boa ou má 
essa aproximação possa ser, de. ~odo algum influencia a estrutura 
lógica de nosso modelo. Muito ~mbora o fenômeno que o modelo 
tente representar tenha sido levadÓ em conta na construção do mode-
lo, nós nos teremos distanciado dobróprio fenôrnen~ (ao menos tempo-
:rariarnente), quando entrarmos no i-eino do modelo. 
I 
Problemas I I 
I 
I 
1.1. Suponha que o conjuntO funqamental seja ÍQI'Ill8do pelos- inteiros. po-
mtivos de 1 a. 10. Sejam A= (2, 3, 4) 1, B = (3, 4, 51, e C= (5, 6, 7). Enu-
mere os elementos dos seguintes conjuntós: -
·- . - .. I 
I 
(a) A n B. (b) A U B. (c) A n ~· (d) A n (B n C). (e) A n (B U C)· 
1.2. _ Suponha. que o conjunto ~undamental U seja dado por U = 
(x!O s; x ~ 2). Sejam os conjunto8 A e B definidos da forma. seguinte: 
A= (xll/2 < x~ 1) e B = {xll/4~ x < 3/2). Descreva os seguintes con-
juntos: I 
r 
(a) A U B. (b) A U B. (c) A n IJ, Cd> :A n B. 
I 
1.3. Quais das seguintes relações si\.o verdadeiras? 
I -(a) (A U B) n (A U C) = A U (~ n C). (b) (A U B) = (A n B) U B. 
(c) A C\ B = A U B. (d) (A Li B) n c-= A n B n C. 
(e) (A n B) n (B n C) = e. I 
i 
1.4. Suponha que o conjunto fund~ental seja. formado por todos os pontos 
(x, y) de coordenadas ambas inteiras, e que estejam dentro ou sobre a fronteira 
do quadrado limitado pelas retas x = O, jy = O, x = 6 'e y = 6. Eriuroere .os ele-
mento,s dos seguintes conjuntoo: ! 
I 
(a) A= ((x,y)jx2 + y2 ~ 6). (~) B = ((x,y)Jy~ x~l. _ 
(c) C = {(x, y)jx ~ y2}. (d) B q1 C. (e) (B U A) n Ç· 
! 
1.5. Empregue diagramas de Vem\. para estabelecer as seguintes relly;õoa: 
(a) A C B e B C C implica quk A C C. " (b) A C B implica q\10 
A - A n B. (c) A c B I implica que- ·:B c A. (d) A c B ilnpliCII 
quo A u c c IJ u c. (lll A n B I.; 0 e c c A implicam quo B () c - 0. 
1 ,0, I'OI)I 'IIli\ HIU\111 rlr t 1\IHII lill (ll\ dr (HIIf)IIÇ O tlflO 11\1\r()!l,l\iUI 1(1 foi(tullm (/J) 
'"' 11 o r(tl(ll 1,11111111 (N), ~~~ I)IIIJifl \ ll 1Uijll111l01UIIlrl/1 I! 1111" < llllldl~Jtll l'IIV, Hl.l'l\r),., I , 
l1rl•t l11 III 11 1 lj\11 tlllr I prl~ll' l tlr1l11 1.111111111 1'111111!111111 '/ll~ ~~~],.lu (u(ll l•tt<llf ti I •(1111 
l(llllilo 111 V''~ lt ulttuu llhlu 111~(1111 ' 1111111hlk llltlllo 1(111• '"'"III ""' I" 11111 111 l1111111 r 
I h riU VI' IIII I IIM~II Ulljllll(l 111(1111' I I '""' ""'" ' '' 
2<l I PROBABILIDADE 
. · · -::-. frj). (a) Uma caixa coi:n N lâmpad!IS contém: r lâmpa<;llj.S ~- (r < ;:?'!) , com fila-: 
mento partido. Essas lâmpadas são verificadas \l!Íia a urnii, at.é .9ue .l,l!P-11 1~1!!­
pada défeituosa seja encontrada. Descreva um espaÇ0, ~kÇ;if~i :par~ : este e~ 
rimento.. .,.... · ' ·· · · ·· '· · ... , .. ,_·_ .. ·"·· ·/· ·-'' · '· . 
/' ' . • . . . _. , --~ _. <·: ... , __ :,~~ ... ,~ -._.' . (b) Suponha que as lâmpadas ·acima sejam verlficaâili uiriâ' à. •·uma; até que 
todas as defeituosas tenham sido encontradà.s. Déscreva: fe~p~Çi;: ~m6St~al para 
este experimento . -~~ '.~ · '. :. 
. 1.8. Considere ' quatro objetos, á'f-õl:t;ticiiiif;td'!J' . Suponha que a . or~m em que 
tais objetos sejam :listados represente o resultado de um experilp.ento. Sejam 
os eventos A e B definidos assim: A. = -fâ"êSf~lll!.~priméha:.-'-Posi~o); . B ~ 
lb"·el!t:t''ria":se-gnndB."-posição l . · 
(a) Enumere todos os elementos do ·'es~~m0st1>~J;h-
(b) Enumere todos os elemtmtos dos ey~entos<4 n B e A U iJ: 
1.9. Um lote contém pe~as pesando 5, 10, 15, .. . , 5Q gr11mas. : Admitamós 
que ao menos1 duas pe~as de cada peso sejam_ ensontradas no, !<;>te~ Duas ~as 
sãoretí;adas dà~ I0;te .. Sejam X o peso da pri~eita peça escolhid,a;}l .Y o pe'so q~ 
segunda. Portanto, o par de números (X, Y) rep_resentá : um .. resultl),do _simples 
do experii:ne\lto. Empregando o plano XY, marque o espaç.o amostral~ os segtün-
tes eventos: · 
(a) [X= Y). (b) !Y> XI. 
(c) A ·segunda pe~a é duas vezes mais pesada que a primeira. 
(d) A primeira peÇa pesa menos 10 ~ama$ que a segtmda -p~a. 
(e) O peso médio de duâs p~ças é meno~ do ~ue 30 gramas.·· 
Q;;) burante-:m ;~~rodo de 2~--horas, ein algum moment:O X, uma chave 
é posta na posição "ligada". Depois, em algum momento futuro Y (ainda du-
rante o mesmo período .de 24 horas), a chave é virada para a posi~ão "desligada". 
Suponha que X e Y sejam medidas em horas, no eixo dos tempos, com o início do 
período na origem da escala. O resultado do experimento é constituído pelo par 
de números (X, Y). 
(a) Descreva o espaço amostral. 
(b) Descreva e marque no plano XY os seguintes eventos; 
(i) O circuito está ligado por uma. _hora ou ~enos. 
I 
(Ü) O circuito está ligado no tempo z, onde zé algum instante no período 
dado de 24 horas. . 
(iii) O circuito é ligado antes do tempo lt e desligado depois do tempd 12 
(onde também 11 < t2 são dois instantes durante o período de 24 
-hora.S· especificado). 
(iv) O circuito permanece ligado duas vezes mais tempo do· que desligado. 
/f:11'1 Sejam A, É e C três eventos associados a um experimento. Exprima 
em ~~ões de conjuntos, as _segtüntes afirmações verbais: 
Ao menos um dos eventos ocorre. 
Exatamente um dos eventos ocorre. 
INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE I 25 
(r) Exatamente dois dos eventos ocorrem. 
(d) Não pais de dois dos eventos ocorrem simultaneamente. 
1.12. Demonstre o Teor 1.4. 
l ' 
1.13. (a) Verifique que para dois eventos quaisquer, Ar e A2, temos que 
P(Ar U A2) S P(Ar) + P(A2) .. 
(b) Verifique que para quaisquer n eventos Ar, . . . , An, temos que 
P(Ar U . .. U An) S P(Ar) + ... + P(An). 
(Swestdo: Empregue a indução matemática. O resultado enunciado em (b) 
é denominado desigualdade de Boole.] 
. ~.14. O Teor. 1.3 trata da probabilidade de que ao menos um de dois eventos 
A ou"B ·o~rra. O seguinte enunciado se refere à probabilidade de que exalmMnte 
um deis eventos A ou B ocorra. Verifique que 
P[(A () B) U (B () A)] ·= P(A) + P(B) - 2P(A () B) . 
. @ J ~;n certo tipo de motor _ elé~ri~ falha se ocorrer uma das seguindteass 
srtuàçoes: emperramento dos :r,nancars, querma dos enrolamentos, desgaste 
escovas. Süponha que o emperr~tnén);o seja· dua.s vezes ma i~ pr.ováyel do que 1\ 
queima, esta ·sendo quàtro -..:e~es mais pro~ável 'do 'que ' o 'fles~alite, dàs es~ovas: . ' 
Q;at,será. ·a;' ProBabilidàde de 'que-a--fàlba · seja~flevida' a _c.ada um~· dessas\ circun
1
s-
tânçill.ll? . ,, ,. 
~-,.. / • ·'.<! 
")~':1"6.) Suponha que_ A .e B sejam eventos tais que P(.Á) = x, P(B) = y, e P(~~) = i. · Exprima cada uma das seguintes probabilidades em termos 
de x, y e z. 
(~) P(Ã U B). (b) P(Ã () B). (c) P(A U B). (d) P(A n Ii). 
1.17. Suponha que A, B e C sejam eventos tais que P(A) = P(B) = P(C) = 
= 1/4, P(A n· B) = P(C () B) = o e P(A () C) = 1/8. Calcule a probabilidade 
de. que ao menos um. dos eventos A, B ou C ocorra . 
.r;?:~·· . 
'-r.1-8. Uma instalação é constituída de duas caldeiras e umamáquina.Admita 
que o evento A seja qqe a _!TI~quina esteja em boas condições de funcionamento, 
enquanto. ,os ~veritos Bk (k := 1, :n são os eventos-de que a k-ésima caldeira esteja 
em boas condições. O evento C é que a instalação possa funcionar. Se--a instalação 
puder funcionar sempre que a máquina e pelo menos urria.das caldt;jras funcionar, 
expresse os eventos C e C, em termos de A e dos Bk. ' 
.~"'"',;~_...;., )~ 
('.....t.ts~· Um mecanismo tem dois tipos de unidades: I e · II_. Suponha que .se 
disponha de duas unidades do tipo I e três unidades do tipo I( Defina os eventos 
Ak, k= 1, 2eBj,j= 1, 2, 3 daseguintemaneiía:Ak:ak-ésimaunidade do tipo I 
está funcionando adequadamente; Bj= aj-ésima unidade do tipo II está funcionan-
do adequadamente. Finalmente,· admita que C represente o evento: o mecanismo 
funciona. Admita que o mecan1smo .funcione se ao menos uma unidade do tipo I 
e ao menos duas unidades do tipo II funcionarem; expressé o evento C em termos 
dosAk e dosBj. 
I 
, · 1 
·.;' . . ' 
... , '~ 
Espaços Amostrais Finitos 
Capí.tulo 2 
2.1. Espaço Amostral Finito 
Neste capítulo nos ocuparemos unicamente de experimentos 
para os quais o espaço amostral S seja formado de um número finito 
de elementos. Isto S 
A fim de caracterizarP(A) para este modelo, deveremos ini..: 
'cialmente considerar o evento formado por um resultado simples, 
algumas vezes denominado evento simples ou elementar, A ~ {a;}. 
Procederemos da seguinte maneira: 
A cada evento simples {a;} associaremos um número p;, deno-
minado probabilidade de {a;} 1 que satisfaça às seguintes condições': 
(a) p;;,:::o, i= 1,2, ... ,k, 
(b) P1 + P2 + ... + Pk = 1. 
[Porque {a;) é um evento, essas condições devem ser coerentes com 
aquelas postuladas para as probabilidades dos eventos em geral, 
como foi feito nas Eq. (1.3). É fácil verificar que isso se dá.] 
Em segu_ida, suponha-se ,que um evento A seja constituído por 
r resultados, 1 :::; r:::; k, a saber · · 
onde j;, j~,;· ., ;};representam mn qualquer'<'.Q§~;fq,~tfêsj de 1 até k. 
Conseqüentemente, conclui-se da Eq. (1.3), Propriedade 4, que 
i 1 I I ESPAÇOS AMOSTRAiS fiNiTOS 1 27 
• "?>~~.'õ'.':..~~~~~-- --~- - • • - ! • I ~~~!~t~~~'f"!'·a atnbmçao dr probabilidades Pi a cada evento 
elementar {ad, sujtjto às condições (a) e (b) citadas anteriormente, 
determina ~,.:~~~~nte P(A) para lcada evento A C S, onde P(A) é 
dado pelãE~f~'t} 
1 
. , . 
Para avaliarmos os p; individuais, algllina hipqtese referente 
aos resultados individuais de_ve seJ feita. . · 
Exemplo 2.11.. Suponha-se que somente • tres resultados sejam 
possiveis em um experimento, a saber, ah .<li e a3• Aléni .disso, su-
ponha-se _que. a1 seja duas vezes Fis provável de o.correr que a2, o 
qual por sua vez é duas vezes mai~ provável de ocorrer que a3• 
Portanto, P1 = 2p2 e P2 = 2p3. Já que P1 + P:l + P3 = I, te-
remos 4pa + 2pa + pg = 1, o qul finalmente dá 
1 I 2 4 
Pa = 7• P2l 7 e P1 = T· 
Comentdrio: Ns exposição que se .. $egue, empregaremos a expressão "igual-i . 
mente verossúneis" para signüicar "igu~lmeote prová'\éis". 
A hipótese mais co~um~nte I feita para ;espaços amostrais fini-
tos é a de que todos os . sejam igualmente verossímeis. 
• \ I • 
Esta · hipótese nãO pode ser, · tomada como segura; ela deve 
ser cuidadosamente justificada. ;Existem muitos experimentos para 
os quais tal hipótese é assegurad11, mas existem também muitas si-
. tuações experimentais nas quais i seria · absolutamente errôneo acei-
tar-se essa suposição. Por exeJ?~lo, seria b~~;Sta.nte irreal supor que 
seja igualmente verossímil não ocorrerem chamadas telefônicas em 
um centro entre 1 e 2 horas da ~adrugada e entre 17 e 18 horas da 
tarde. I 
"'~~==~~· l-~·rução P1 + ... + p~c =:= 1 torna-se kp• = 1· para todo, i. t Disto de-
, formado de r resultados, teremos 
1t muito importante ··C· om.onleii.der que a expressão de P(A) acima 
é apenas uma cons~qüên~i~ qa de,, que todos, os resultados 
o"::\ 
28 I PROBABILIDADE 
sejam igualmente verossimeis, e ela é aplicável somente . quandO essa 
suposição for atendida. Ela certamente não serve como .· uma · defi-
nição geral de probabilidade. ·-
Exemplo 2.2. Um dado é lançado e . todos os r~sriliados se su-
põem igualmente verossimeis. O evento A ·-~c~r~er'á. se, e. somente 
se, um número maior do que 4 aparecer, isto é, A =:: { 5, ' 6}: Con-
seqüentemente, P(A) = 1/6 + 1/6 . == 2/6. 
r-:>\ ~ 
v Exemplo 2.3. Uma moeda equilibrada é · at_irada .. çluas vezes. 
f_ W Seja A. o evento: {aparece uma cara). Na avaliação _de P(A), a 
~ ~ análise do . . problema poderia ser a seguinte: O espaço amostral é 
-~ 3 S ={O, 1, 2} onde cada resultado representa o número _ de ~aras 
~ que ocorre. Portanto, seria encontrada P(A) ;, 1/3! Esta análise 
~ é obviamente incorreta, porque no espaço amostral.cónsiderado aci~a; ' 
=r todos os resultados não são igualmente verossímeis. A fim de aplicar 
· !f os . métodos expostos, deveremos considerar. em s .eú lugar o espaÇo t amostral '= IHH, HT, TH, TT}, onde H ·i:épresenta cara, e ·T 
-. oroa. Neste espaço amostral todos os resultados são _ igualJ!lente 
verossimeis e, . por isso, obteremos como soluçãó cbrreta de · nosso 
problema: P(A) = 2/4 = 1/2. Poderíamos empregar corretamente o· 
· espaço S da seguinte maneira: Os resultados O e 2 ··são igualmente 
verossímeis, enquanto o resultado 1 é du~s vezes mais provável que 
qualquer um · dos outros. Portanto, P(A) =: 1/2, o que concorda 
com a resposta anterior. 
Este exemplo ilustra dois aspectos. Primeiro, deveremos estar 
bastante I SegUrOS de que tod~S OS resultados pOSSam SUpOr-Se igual.:_ 
mente verossíme\s, .antes de empregar o procedimento 'acima. Se-
gundo, poderemos freqüentemente, por uma escolha apropriada do 
espaço· amostral, reduzir o problema a outro, em que todos os resul-
tados seja,;_ igualmente verossímeis. Se~pre 'qne possível, isto deve 
. ser feito r porque g~ralmente· , torna o cálculo . máis si.rhples. Este 
aspectQ.será-de novo mencionado em exemplos subseqüentes. 
Muito freqüentemente, a maneira pela qual o experimento -é 
executado determina se os result!tdos possíveis são igualmente ve-
rossímeis ou iíão. Por exémplo, suponha-se que retiremos um para-
fuso de uma caixa /que ·coiitenh~ tr~s parafusos de tamanhos dife~n­
tes. Se simplesmente escolhermos o parafuso este:rrdendo a mão 
dentro da caixa e apanhando aquele que tocarmos primeiro, é óbvio 
que o parafuso maior terá maior probabilidade de ser escolhido que 
os outros dois. No entanto, etiquetando cuidadosamente cada para.:. 
fuso com um número, escrevendo o número em um ·cartão, é esco-
~ . 
IESI?AÇOS AMOSTIRA~S .fiNDTOS I 29 
lhendo um cartão, tentaremos garantir que cada parafuso tenha de 
fato a mesma probabilidade de ser escolhido. Assim, poderemos 
nos meter em enorme trabalho a fim de assegurarmos que a suposição 
matemática de resultados igualmente verossímeis seja de fato apro-
priada. 
' 
Nos exemplos já vistos e em muitos que se seguirão, trataremos 
d:a escolha ao aeliso de um ou mais objetos de uma dada coleção de 
~:.~;~::::::;~~,::=:!::!~~:~~~~::foe';:/:ion'hamQ~. 
(a) Escolher ao acaso.um obJeto, dentre N objetos, significa qiUle 
cada objeto tem ã mesrn.a: Pl)Obabilidade de ser esc,o!hido, isto é, 
· · -b ~ ). r · . ~ "· ,.~~·), 
Pro (escolher a;= lN, t = 1, 2, ... ,N. o l'!.'J.,<;~':?Gi':J/"i,::fc, . .-1, 
~..11"1 í((j de·:;, ~ ' ""r/Z 
(b) Escolher ao acaso dois obJetos, dentre N objetos, significa 
que cada par de objetos (deixada a'ordem à partertem a mesma pro-
babilidade de ser escolhido que qualquer outro par. Por exemplo, 
se devemos escolher ao acaso dois objetos dentre (ai; a2, as, a4), obter 
a1 e a2 é então tão .provávêl quanto obter a2 e as etc. '·Esta for~ula­
·r;ão'"levanta-imediatamente a questão de quantos pares diferentes 
existem. Admita-se que existam K desses pares. Então, a proba-
bilid~-;!,~~~R~/K. Logo,, Vft~~:m;,ç§~i~2:S~l~~iS~?). 
/,..........(~) Escolher ao acaso n objetos (n ::; N) dentre N objetos signi-
/ fica que cada ~nupla, a saber a;,, a;,, . .. , a;n é tão provável de ser 
/ escolhida quarito qualquer outra ~nupla. 
,. 
/ 
i Comentário: Já sugerimos acima que se deve tomarextremo cuidado durante 
., o procedimento experimental, para assegurarmos ,que a suposição matemática q~ ~ / , ..... . 
) . • • I 1 .:-~ t• =-+ ~ .• 4 .tl .P~-<J ~"'Y) \ "escolher. ao acaso" seJa atendtda.. .t ,, r1• .1 ; ... r , i li ·, ,<'= "'\ C ÇJ L-.· jlt,1 '-·· '"" \ .. . 1 . -~''{_ t:· " ~ ~e.. ' ·~ r. t.,.,.,. . ..,.. - or:';;....-r- .., . \~.--·'if'> €;--~/t.NiVJ;Dt. ?ki de . v , . 
2.3. Métodos de Enumeração 
Deveremos fazer uma digressão, a esta. altura, para aprendero 
mos como enumerar. Considere-se novamente a forma já vista de 
P(A) a saber P(A) = r/k, :'Onflfu~Ji~O'inlffil:ero"'io:t·a:l;;€hle:matt:eir.a:s..--. -~;~:::~!!1:~=:~~;:~;~~~t~~;~!!!~~~;:~:;:~~:~~:" 
. aqui;-pequena difi~uld~de-foi ençontrada para calcular r e k. · Mas 
nós precisamos estudar sit~ações apenas um poupo mais complica-
das, para percebermos a necessidade de alguns procedimentos siste-
máticos de contagem ou enumerâção.I 
li 
I ,, 
30 I PROBABIUDADIE / lp 
_,. 
/ ,:;ljl~~~{~~~r,·.~ Uma partida de cem peças ,é ,comppsta ,de ~O . 
peçM-defeituosas e 80 peças perfeitas. n ·ez dessas .. peçás 'são esco-
lhidas ao acaso, sem reposição de qualqu~r peça· escolhida antes que 
a seguinte seja escolhida. Qual é a probabilidade de que exatarnente 
metade das peças escolhidas seja defeituosa? · · 
Para analisarmos este problema, consideremos ·o seguinte ·espa-
ço amostral S. Cada elemento de S é. constituÚ:lo deqez possíveis 
peças da partida, (i,, i2, . . . , i,o). Quantos resultádos des~es existem? 
E dentre esses resultados, quantos têm a característica de que exa-
tamente a metade das peças seja defeituosa? Nós, evidentemente, 
precisamos ter condições de responder a tais questões a fim de resol-
vermos o problema em estudo. Muitos problemas semelhantes dão 
origem a questões análogas. N'nST"puucmí:::i)eç~egumte~...,a.p.re~­
tãiêffio'S'::~àlgumas=téeni:cas~si1fteiji4Hj~.as,,;dg~êriDttmY.a~aeo 
Suponha-se que ·um procedimento 
possa ser de n 1 ma~eiras. Admita'-se 
que um- segundo procedimento, designado por 2, possa ser executado 
de n2 maneiras. Suponha-se, também, que cada maneira de e~ecutâ.r 
1 possa ser· seguida por qualquer daquelas para executar 2. Então, 
o procedimento formado por 1 seguido de 2 poderá ser executado de 
n 1 • n 2 maneiras. Para indicar a validade deste priiJ.cipio, é ~ais 
fácil considerar o seguinte tratamento sistemático; 
p 
i"íg. 2.1 
COnsiderem-se um ponto P e duas retas L 1 e L2. Admita-se que 
o procedimento 1 consista em ir de P até L1, enquanto o procedimento 
2 consista em ir de L 1 até L2• A Fig. 2.1 indica como o resultado 
final é obtido. 
Comentário: Obviamente, esta regra pode ·ser estendida a qualquer número 
de procedimentos. Se existirem k procedimentos e o i-ésimo procedimento puder 
· set executado de n,; maneiras, i = 1, 2, .. ; , k, então o proc.edimento formado 
por 1, seguido por 2, .. . , se'guido pelo procedimento k, poderá ·ser executàdo de 
l'l1ll:! • • • nk rrumeiras. 
ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS I 31 
Exemplo 2.5. UDll). peça manufaturada deve passar por três 
estações de controle. Em cada estação, a peça é inspecionada para 
determinada característica e marcada adequadamente. ~a primeira 
estação, três classificaçõe..> ~il.o possiveis, enquanto nas duas últimas, 
quatro classificaçõe!l são po!~!l{veis. Conseqüentemente, exilitem 
3 - 4 - 4 = 48 maneiras pela:; quais uma peça pode ser marcada. 
B. Regra da Adição. Suponha-se que um procedimento, de-
signado por 1, possa ser realizado de n1 maneiras. Admita-se que 
um segundo procedimento, designado por 2, possa ser realizado de n2 
maneiras. Além disso, suponha-se que não seja possível que ambos 
os procedimentos l e 2 sejam realizados em conjunto. Então, o 
número de maneiras pelas quais poderemos realizar ou I ou 2 será 
n1 + n2. 
Novamente, empregaremos um tratamento esquemático para nos 
convencermos da validade da regra da adição, como a Fig. 2.2 indtca. 
p 
L,~l, 
Fig. 2.2 
Comenúirio: Esta regra também pode ser generalizada da seguinte maneira: 
Se existirem k procedimentos e o i-ésimo procedimento puder ser realizado de n; 
manein.s, i ~ 1, 2, ... , k, entAo, o número de m&neiras pelas quais poderemos 
realizar ou o procedimento 1, ou o procedimento 2, ou ... , ou o procedimento k, 
é dado por n1 + n2 + _ . + nA:. supond<H!e que dois quaisquer deles nlo se pos-
sam realizar co llJltament.e. 
Exemplo 2.6. Suponha-se que estejamos planejando uma via-
gem e devamos escolher entre o transporte por ônibus ou por trem. 
Se existirem três rodovias e duas ferrovi~, então existirão 3 + 2 = 5 
caminhos disponíveis para a viagem. 
C. Permutações e Arranjos. (a) Suponha-se que nós temos n 
objetos diferentes. De quantas maneiras "p" poderemos dispor (per-
mutar) esses objetos 'l Por exemplo, se tivermos os objetos a, b e c, 
P<>deremos considerar as seguintes permutações: abc, ccb, bac, bca, 
cab e cba. Portanto, a resposta é 6. Considere-se, em geral, o se-
... ._ __________________________ __ 
·'I 
. 32 I I"ROBAB!UOADIE 
O primeiro comparti,mento pode ser ocupado por qualquer 
uma das n maneiras, o segundo compartimento por qualquer u~a. 
das (n - 1) maneiras, .. . , e o último comparÜmentO apenas por 
uma maneira. Portanto, aplicando-se a regra da multiplicação, 
vista acima, verifica-se que a caixa poderá ser carregada de n(n-1) 
(n- 2) . .. 1 maneiras. Este número aparece tão freqüentemente em 
Matemática que se adotam um nome e um símbolo especiais para ele. 
Definição. Sendo n um inteiro positivo, definimos n! = · (n)(n- I) 
(n- 2) ... 1 e o denominamos fatorial de n. Também definimos 
O!= 1. 
Dessa maneira, o número de permutações de n objetos diferen-
tes é dado por 
(b) Considerem-se novamente n objetos diferentes. cA<gQp§t9:~- .• 
~~~::;~fi!!~~~~~~:;~!e~v:!~:!~~~-~:;;r-~~~~~~]1!~3~~~~: , 
por ::11Jf;. ··Recorremos novamente ao esquema acima, de encher uma 
caixa de n compartimentos; desta vez simplesmente paramos depois 
que o compartimento de ordem r tenha sido ocupado. Assim, o pri-
meiro compartimento pode ser preenchido de n maneiras, o segundo 
de (n- 1) maneiras, ... e o de ordem -r de n- (r- I) maneiras. 
Portanto,- o procedimento completo poderá ser executado, novamente 
aplicando-se a regra da multiplicação, de 
n(n -'- 1) (n - 2) ... (n- r + 1) 
maneiras. Empregando a notação · de fatorial, introduzida acima, 
poderemos escrever 
D. Combinações. C.on8iderem-se, novamente, n objetos dife-
rentes. Agora, trataremos da cont&g<em do número de mweiras de 
ESPA'ÇOS AMOSTRAIS FINITOS I 33 
escolher r dentre esses n objetos sem. considerarmos a ordem. Por 
exemplo, temós os obj~tos a, -b, ~ ';':Z/ ~ :; =: 2; desejainQ~· contar ab, 
ac, ad, bc 1 bd e cd; por outras palavras, não contaremos ab e ba, por-
que os mesmos objetos estão incluídos e somente a ordem é diversa. 
Para obtermos o resultado geral, recordaremos . a· fórmula dedu-
zida acima: o número de maneiras de escolher r objetos dentre n, e 
permutar os r escolhidos é n!/(n- r)! Seja C o número de maneiras 
. de escolher r denl;re os n, não considerada a ordem. (Isto· é, C é o 
número procurado.) Observe-se que, uma vez que r objetos tenham 
sido escÓlhidos, existirão r! maneiras de permutá-l~s. Conseqüen-:-
temente, aplicando~se novamente a regra da multiplicação, junta-
mente com esse resultado, obteremos 
C 1
__ n! 
r.- (n- r)! 
Portanto, o número de maneiras de escolher r dentre n objetos dife-
rentes, não se considerando. a ordem, é dado por. 
C= . n! . 
r!{fl.- r)! 
Este número surge em muitas passagens da Matemática e, por 
isso, um símbolo especial é empregado pará éle. Escreveremos 
rl(n~ r)! = ( ~) 
Para nossos objetivos atuais, ( ~) somente fica definido para n in-
teiro positivo e r um inteiro tal que O :5_ r :5_ n. Contudo, pode-
remos definir (~) · de modo mais geral, para qualquer número real 
n e para qual<Iuer inteiro não negativo r, na forma seguinte: 
( n) = n(n-l)(n-2) ··· (n- r+ 1). r r! . 
Os números ( ~) são freqüentemente denominados coeficientes bino-
miclis, porque eles. aparecem como co!)ficientes no desenvolyimento da 
<e;lq)ressio binomial (a+ b)n. I Se n for um inteiro positivo, (a+ w = 
= (a+ b) (ar+ b) ..• (a + b). Q~ando a multiplicação tiver sido 
eKecutada, cada termo será formado de k elementos a, e de (n - k) 
elementos b, k =O, 1, 2, .. . ,n. Quàntos te~osda forma akbn-k 
34 I PROBABiLIDADE 
existir~? Simplesmente contaremos o númeci ,iJ.e>lniuiei.ráB posSf .. 
veis de escolher k déntre os n elemen~s a, ·débiandó deiãdó a'otdém. 
Mas isw é justamente dado por ( ~) ~· Dai ob~rtridso "~Jeé collhe-
cido como o reorema birwmial: 
(a+ b)" ~ ± (n)a~bn-k_ . ·. 
. •-o k . . (2.2) 
Os números (;)apresentam muitas propriedades in~~ess;mtes, ape-
nas duas das quais mencionaremosaqui: (A . merios que . ~e diga 
expressamente de modo diverso, admitiremos que n sej~ inteiro posi-
tivo e r um inteiro, O ~ r ~ nJ · 
~ fácil verificar algebricamente as duas identidades acima. Basta 
desenvolverem-se, em cada uma, · o primeiro e o segundo membros, e 
verificar que são iguais. 
Existe, contudo, outra maneira de verificar essas "'id~ntidades, 
que emprega a interpretação que demos para ( ~), . a · saber, o nú-
mero de maneiras de escolher r dentre n coisas. 
(a) Quando escolhemos ·r dentre n coisas, estamos ao mesmo 
tempo deixando (n:.... r) coisas não ·escolhidas, e, por isso, escolher r 
dentre n é equivalente a escolher (n ·- r) dentre n. Ora, isso é exa-
tamente a primeira identidade a verificar. 
(b) Vamos fixar um qualqm~r dos n objetos, por exemplo o pri-
meiro, a1. Ao. escolher r objetos, a1 estará incluído ou estará excluído, 
mas não ambas as coisas. Portanto, ao contar o número de maneir!LS 
de escolher r objetos, poderemos aplicar a Regra da Adição, expli-
cada anteriormente. 
Se a1 for excluído, então deveremos escolher os r objetos dese-
jados dentre os restantes (n - I) objetos, e existem ( n ~ 1) maneiras 
de se fazer isso. 
Se a1 for incluído, entã:o somente (r - I) mais objetos deve~ 
ser escolhidos dentre os restantes (n - I) objetos e isto pode ser 
feito de ( ~ = ~) maneiras. Conseqüentemente;· o .número procu-
rado é a soma desses dois, o que verifica a segunda identidade. 
:~ 
f. 
I . . 
ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS I 35 . 
I 
N [ f" · b' · · ( n ) t" t'd Comentário: este contexto, os c~e 1c1entes momm.lS k em sen 1 o 
somente se n e k forem inteiros não-negativos, com O ,;;; k ,;;; n. Todavia, se escre-
. I 
vermos i -
I 
n . n! _ n(~-l) ... (n -k+ l) 
( )=---- I ·' 
k k!(n-k)! k! 
I 
observaremos que a última expressão temi sentido se n for qualquer número real e 
k for qualquer inteiro não-negativo. Portanto, I I 
3 (-3)(+ 4) ... (-7) ! . 
c ) = -----,-,...-----
5 I 5! 
e assim por diar1te. I 
Empreg;uido · esta versão estendida dos· coeficientes binomiais, poderemos 
estabelecer a forma generalizada do teorenk binomial: 
. I 
. n ooi n k (l+x) =E' ( )x 
·· kJo k 
I 
' I 
Esta série tem significado para qualquer ;n real e para todo x tal que I· X I < 1. 
Observe-;<;e que, se n for um inteiro posithp, a série infinita se reduz a um número 
finito de t~rmos,porque, neste caso, ( ~) f O, se k> n. 
i . 
• Exemplo 2.1. (a) Dentre oi:o l pessoas, quantas conússõ~s de 
tres membros podem ser escolhidas ? Desde que duas corrussões 
sejam a mesma comissão se forem cbnstituidas pelas mesmas pessoas 
(não se levando em conta a ordem e~ que sejam escolhidas), · teremos 
· ( ~ ) = 56 conússões possíveis. 1 
(b) Com oito bandeiras difere~tes, quantos sinais , feitos com 
tl'ês bandei;ra.s se podem obter? Este problema parece-se muito com 
o anterior. No entanto, aqui a ordem acarreta diferença e, ,por isso, 
obteremos 8!f5! = 336 siwüs. : · · · 
(c) Um grupo de oito pessoa.S é formado de cinco homens e 
três mulheres. Quantas coiDÍllSões ~e três pessoas podení. ser cons-
tituídas, .· incluilldo exatamente dois 1 homens? · Aqui deveremos fazer 
duas coisas: escolher dois homens (dentre cinco) e escolher uma 
. I 
mulher (dentre três). Daí 1 obtermos como 1 número procurado 
( ~) · ( ~ ) = 30 comissões. ! 
(á) Agora poderemos verifica~ uma afirmà.ção feita anterior-
mente, a · saber, a de que o númerq de subconjuntos (ou partes) de 
36 I lf'ROBABIUDAOIE 
um conjunto constituído de n elementos é igüàJa 2" :(coritados o 
conjunto vazio e o próprio ()onjunto) . . · Siwplesine11te a.ssoçiemos a 
cada elemento o valor um ou zero, conforme esse elemento deva 
ser incluído . ou excluído do subconjunto. Existe~ du~s .· maneiras 
de rotular cada elemento e existem a,o ~oqo p, desses elementos. 
Daí a regra da multiplicação nos dizer que existem 2 · 2 · 2 · · · 2 = 2" 
rotulações possíveis. Mas cada rotulação particular representa uma 
escolha de um subconjunto. Por exemplo, . (1; 1, O, ,0, o;· ... , O) 
constituiria. Ó subconjunto formado exatamente por d.1 e · ~~- Ainda, 
(1, 1, •... , 1) representaria o próprioS, e (0, O, ... , O) . representaria 
. o conjuntá vazio. 
(e) Poderíamos. obter o resultado acima, pelo emprego da Regra 
da Adição, na forma seguinte: Para obter subconjuntOs, .deveremos 
escolher o conjunto vazio,. aqueles subconjuntos co:D,stituídos . exata-
mente por ~m elemento, aqueies constituídos exat~nÍenÚ~ por dois 
elementos, ... , e o próprio conjunto constituído por todos os n ele-
mentos. Isto seria feito de 
maneiras. Ora, a soma desses coeficientes. binomiais é exatamente 
o desenvolvimento de' (1 + 1)" = 2": 
Voltemos agora ao . Ex. 2.4. De · uma partida formada . por 20 
peças defeituosas e 80 peças perfeitas, escolhemos ao acaso 10 (sem· 
reposição). O número de maneiras de fazer isso é · e~). Daí, 
a probabilidade de achar exatamente 5 peças defeitu0sas e · 5 perfeitas 
entre as 10 escnlhidas ser dada por 
(2~) (~o)_ 
e~) 
Por meio de logaritmos de fatoriais (os quais se acham tabuls.dos), 
a expressão acima pode ser avaliada como igual a 0,021. 
Exemplo ·2.8. Vamos generalizar o problema acima. Admi-
tamos que temos N peças. Se. escolhermos ao acaso n delas, sem repo-
sição, teremos ( ~) diferentes amostras possíveis, todas elas com 111 
· rilesma. probabilidade de serem escolhida.S. Se as N peças forem 
!~~madás por r 1 da classe A e r2 da, classe B · (COJ1l r1 + r2 = N), 
ESPAÇOS AMOSTRAIS !FINITOS I 37 
então, a probabilidade de qu~ as n peças escolhidas sejam exatamente 
111 da classe A e (n- s1) da classe B será dada por 
(A express·ao acima se denomina probabilidade ltipergeomélrica, e 
será aillda reencontrada.) 
Comentdrw: 11: muit;o importante <éspecificar, quando falarmos de peças 
G!lxtra!das oo acaso, SG!l a eS1:nlh& é · com ou sem reposiçl!.o. Na maiori& dos casos 
concretcs, pretenderemos a última. Por exemplo, qus.ndo inspecionamos certo 
ndmero de- peças manufs.turadas a fim de descobrirmos quantas defeituosas po-
deriw existir, geralmente não tencionaremos examinar a mG!lSma. peça. duas vezes. 
Já disSG!l!D.()8 que o número <l.e maneiras de e.gcolher r coiSilll dentre n, não considerada 
B ordem, é dado por (~). · O. número de maneiras de escolher y coisas dentre n, 
com repoaição, é dado por n•. Neste caso, eataremoa interessados na ordem em 
que as peç:ns sejam escolhidas. ··- · . 
Exemplo 2.9. Admitamos que se escolham ao acaso dois objeios, 
dentre os quatro denominados a, b, c e d. 
(a) Se escolhermos sem reposição, o espaço amostral S poderá. 
ser representado da forma abaixo: 
S = ((a, b); (a, c); (b, c); (b, d); .(c, d); (a, d)}. 
Existem ( ~ ) = 6 resultados passiveis. Cada um desses resultados 
indica somente quais os dois objetos que foram escolhidos e não a or-
dem em que eles foram escolhidos. 
(b) Se escolhermos com reposição, o espaço amostral §' poderá 
-ser representado por: 
S' = { (a, a); (a, b);_ (a, c); (a, d); (b, a); (b, b); (b, c); (b., d);}. 
(c, a); (c, b); (c, c,); (c, d); (d, a); (d, b); (d, c); (d, d) 
Existem 42 _ = 16 resultados possíveis. Aqui, cada um desses resul-
tados indica quais objetos foram escolhidos e a ordem -em que eles 
o foram. Escolher ao acasq implica que, se escolhermos sem repo-
sição, todos os resultados em S serão igualmente verossimeis, enquanto 
se escolhermos com reposição, então todos os resultados em S' serão 
igualmente verossímeis. Portanto, se A for o evento {o objeto c é 
I 'Í 
38 I PROBABILIDADE 
escolhido} I então teremos: de . s, P(A) = 3/f, ;=( 1/2 se ' eS(!Olh~rffios 
se~ reposição; e de S', P(A) = 7/16 se escdlhermôa com;-re~~siÇão. 
E. _ _,.Ji!e7f/ttiil&$r§<ÇÕW,4lu'úits:c;Jtléirient&~:,B~e'ffie~ftvs~' · Em. todas . as 
técnicas'"â~:.:-êiiumeraçã~ já apresent~das, . admitimos que ~deis os 
objetos consideradosfossem diferentes (isto é, distinguív(lis). No 
entanto, não é sempre essa a situação que ocorre, · 
Suponha-se, a seguir, que temos n objetos, tai!l que n~ sejam 
de uma primeira espécie, nz de uma segunda espécie, -., .;•m< .de .;\una 
k-ésima espécie, com n1 + nz + ... + n~c = _n. - Nesse CaS!), o 'nú~ 
mero de permutações possíveis desses n objetos .é dado por 
n! 
n1!nz!. . . n~c! 
Deixa-se ao leitor a dedução dessa fórmula. Note-se ~tie, se todos 
OS objetos fossem diferentes, teríamos TU = 1, i ·:.: 1j 2, ; ·~ . 1 k, é, 
conseqüentemente, a fórmula acima se reduzirià a n!, que é o res'll1- . 
tado obtido anteriormente. 
Comentán"o: Devemos .salientar mais uma vez que a atribuição realística de 
probabilidades a resultados individuais de um espaço amostral,( ou a mp.a.éoleção 
de resultados, isto é' um evento) constitui alguma coisa que nã:o pode sei déduzi~a 
matematicamente, mas que deve ser originada de outras considerações. Por 'exem-
plo, poderemos recorrer a determinados traços simétricos do experimento para ' 
averiguar se todos os resultados são .igualmente prováveis. Além disso;poderemos 
construir um procedimento de amostragem (por exemplo, escolhendo :• um:ou 
vários indivíduos de uma população especificada) de tal maneira que' seja rai:oávd 
admitir que todas as escolhas sejam igualmente prováveis. Em muitos outi:os casos, 
quando nenhuma suposição básica natural seja apropriada, deveremos recorrer à 
aproximação da freqüência relativa. Nós repetiremos o experimento n'vezes e·, em 
seguida, calcularemos a proporção de vezes em que o resultado (ou eveiltÓ) efu es-
tudo tenha ocorrido . Ao empregar isto como uma aproximação, sabemos que é 
bastante improvável que esta freqüência relativa difira da ''Verdadéira" pfõbàbili~ 
dade (cuja existência tenha sido especificada por nosso modelo te6rico), de tim 
valor apreciável, se n for suficientemente grande. Quando for impossível estabe-
lecer suposições razoáveis sobre a probabilidade de um resultado e também 
impossível repetir o experimento um grande número de vezes (em Virtude de 
considerações de custo ou de tempo, por exemplo), será realmente bastante sem 
sentido prosseguir com um estudo probabilístico do experimento, exceto em uma 
base puramente teórica. (Para um comentário adicional sobre este mesmo ponto, 
veja a Seção 13.5). ' 
2.1. O aeguÍnte grupo de pessoas está numa ·sala: 5 homens maiores de 21 
anos; 4 homens com menos de 21 anos deidade; .6 mulheres maiorés de 21- anos, ·e 
·.· 
li 
~ ..ti 
"'{'< -, ''!' I"'\ j, ,J .. .J " r ''..]'-
.,..:\ DOt;, \ . -~-...\ 
r .r-.,5"'<---J \ "J' 
V'" \}( 
ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS I 39 
3 mulheres menores. Uma pessoa. é esdolhida ao ace.So. Definem-se os seguint..es 
eventos: A= {a pessoa é ~aior de'2i1 an~sl; 'E= (a. ,pessoil. é menor de 21 
anos).;, C,;;,· (.a. pessoa. é homem); D ;= (a. ~oa. .é mülhe'rl, ~ CS.!~e: · 
(a) P(B U D), (b) P(Ã n C). 
·. ~ E~· um~ s~J,la., 10 pessoas estãd usando emble~as numerados de 1 até 10. 
Tr~OII8 são escolhidas ao acaso e I convidadas a saírem da sala simultanea-
... t ···' 
mente. r.O número de seu_!~mblem_~. é _~nota.do. . 
. .. · .... ::. . . l .. , .... ·:.:·.·. ~ .. . :·:-: .. - ·.:..:.:~ -~-: .... ~:.:-~,..:.-~;::-:;.::.r::::::::;~.-:;":-~_--:,-·::~:::::: .. , ... 
(a) Qual é a. probabilidade ·d~ .qtle .o menor número .de .ern~~IDJ!oAlCja .-5? ... ,.,, ' 
(b) Qual é .. ~ p~~b~hÜidad~ d~ que lo' ~~iJ;·~;j;~;~d~·~~bl~ma ~ej~ 5? / 
. .·· ... \ i . . ,_ ~ . .. ' ·-· .. 
2.3. (a) Suponha que os três dígitoS.l, 2 e 3 s~jam escritos em ~rdem*a-
tória. Qual a probabilidade· de que ao menos um dígito. ocupe seu lugar próprio? 
(b) O ~esmo que em (a), com os \dígitos 1, 2, 3 e 4. . i · · -
(c) ·o mesmo que em (a), com os idígitos 1, 2, 3, ... , n. 
SugeStão·: Empregue (1.7) . ! 
(d) Examine a resposta a (c), quarldo .n for grande. 
. . I . 
2.4. Uma remessa de 1.500 a,rrueias contém 4ÔO peças defeituosas e 1.100 
perfeitas. Duzentas arruelas são escolhidas ao acaso (sem reposição) e classi~ 
ficadas. . .. I · · 
(a) Qual a probabilidade de que sejam encontradas exatamente 90 peças 
defeitUOSas? ; ' , , r, . I· . . • ,; 
(b) Qual a probabilidade de que sei encontrem ao. menos 2 p
1
eças .defeituosas? 
2.5. Dez ficha~ numeradas <:le 1 até 10 são misturadas em uma urna. Duas. 
fichas, nu:merad~ ._<X, Y), são extr~!das jda urna, sucessivame,nte : e, sem reposição. 
Qual é a probab1hdade de que seJa X +t- Y ·= 10? .f.J.__. l J (1. . ,r// "~ 
· 1 . r • ) o'-"~ . 
2.6. Um lote é formado de 10 ar~i~os bons, 4 ~rr: d~feitos menor~~ e 2 com 
. ' ' : \ ' . / \ "\.. . 
defeitos graves; U:m arti"go é dcolnido lf acãso. ··Ache a probab,ilidade de que: 
(a) . Ele não tenha defeitos. j 
(b) ,EJel nii.o t;nh~ d~reitos gra':-es. • · . 
(c) E!~ ~u ·seja p~rfei~· ou 'tenh~· d~feitos graves. 
• - ,~· - I , ,'·~ · . 
2.7. s 'e do lote 1~~rtigos descrito [no Probi. :2.{!, dois artigos f~re~ escolhi- . 
dos (sem rep,osiÇ.ão), áché a probabilidàd~1de que: ~ L . .-:::) 
t.a) Ambos- sejam' perfeitos. · (b} Amb~s"'-tenham defeitos gr~~eà, (c) ~o 
meno.s um. seja -perfeito. (d) No máxill]ó úin seja perfeito. (e) Exatamente Úm • 
sejã ·.Perfêltó' . . -(j1""Neuhum deles teuba l defeitos graves. ,....Cg) Nenhum deles seja 
. / 1_ ! ....._ " ./' 
perfeito. -~ ~ · · 
2.8. Um produto é montado em 1 três estágios. No primeiro estágio, exis-
tem 5 linhas de montagem; no segundo lestágio, existem 4 linhas de montagem e 
no terceiro estágio, existem 6 linhas d,e montagem . De qúantás maneiras dife-
rentes poderá o prod.utó se deslocar durante o processo de montagem? I . . . 
2.9. Um inspetor visita 6 máquinas diferentes durante um dia . A fim cie 
evitar que os operários saibam quando 1ele os irá. inspecionar, o inspetorvaria a 
ordenação de suas visitas. De quantas maneiras isto poderá ser feito? •·' 
. I 
4 
40 I lf'ROBABBUDADE 
man!~· ;~:á m=~ueC:7:~:~~/:!e3f~h~~;:~;<;~ ;~":~1:;'i;,pç quantas 
2.1~ . Eirist0m 12. categor~ de d~feitos ~~~6~' :.ât0't~~f~ç~ -~J;anrifatu­
rradm, e 10 tipoo de defeitos graves. De quantM'~a,fi~ir~ :pode~q.'. Je<iirer, 1 de-
:~J;,~S~~SS;j~l}~~~#;;;;,, 
(b) Adm1W. que esses mecanismos sejam ins't~l'ados- 'eni âetemiiriâda 'ordem 
(lin~) preestabelecida. De quantas ~aneir!lll o si&t~rria .po~~f.4 '; ~er: disposto, se 
dois mecanismos adjacantes não estiverem em igul!.l -pqsiçã~ -~-.:':·, : .. .. 
(c) Qu~mtas maneiras de disppr· serão possíveis, se ,8omentç. as -posições .a e b 
1orem usadas, e o forem com igual freqüência? . __ 1 : ... ,. __ · ·:.- , _,,." .''·'" . 
(d) Quantas maneiras serão possíveis, se somente duas. posições fo~em usa,. 
das, e d~as posições .uma ocorrer três vezes mais freqüe~te~ez;_f.~' q~~ -~ ~utra? 
. . . ·.,· ,. t' ~ .. f• . ·: I . 
-2.13. Suponha que de N objetos, n sejam escolhidos ao acaso, com reposição. 
Qual sem SI probabilidade de que nenhum objeto·seja escolhido maiS do qiui'uroa 
vez? (Admita n < N.) , 
2.'14. Com as seis letras a, b, c, d, e, j quantas palavras-có~igo de 4 letras 
poderão ser foriDSidas se: 
·(a) Nenhuma let~_a puder ser repetida? 
(b) Qualquer letra. puder ser repetida qualquer · núi:nero de_ vezes-? 
2.15. Supondo que ( 9i) . =a e (O:) = b, expreSstJ ( 19W)emtermos de 
111 e b. (Sugeswô: . N ao ca.lcule as expr~ões acima, para . resolver ~ . p;oblema:) 
2.16. Uma caiu contém etiquetas numeradas 1,· 2, ... , n. Duas etique-
tas_ são escolhidas ao acaso. Determine a probl),bilidade de que os ·números das 
<etiquetms ooj&m inteiros consecutivos se: 
(a) As etiquetas forem escolhidas sem reposição .. _ 
{b) As etiquetas forem escolhidas com reposição. 
2.17. Quantos subconjlintos se podem formar, contend~ . a~- ·p-tenos um ele-
mento, de um conjunto de 100 elementos? 
2. ~gj. Um inteiro é escolhido ao a.ca.so, dentre os números 1, 2, ~ . . , 50. Qual 
00~ a probabilids.de de que o númeroesoolhld9 seja divisível por 6 ou por 8? 
2.19. Dentre 6 números positivos e 8 negativos, escolhem-se ao acaso .4 
números (sem reposição) e multiplicam-se esses números. Qual, será aprobabili-
dade de que o produto séja. um número positivo? 
2.20. Determinado composto qufmico é obtido pela. mistura de 5 Ú~uidos 
diferentes. P ropõe-se despejar um lfquido em uin tanque e, em seguida, juntar 
os outro~ lfquidos sucessivSJ,mente. Todas as seqüências possíveis devem ser 
ensaiadas, para verificar-se qual delas dará o ~elhor resultado.· Quantos ensaios 
deverão ser efetuados? 
\ 
.I 
., 
I 
I 
I 
\ 
I 
I 
ESPAÇOS AMOSTRAIS FINOTOS I 41 
2.21. Um lote contém n peças, das quais se sabe serem r defeituosas. &l 
a orden{ da inspeção das peças se fizer ao acaso, qual a probabilidade de que a peç&· 
inspecionada em k-ésimo lugar (k ~ r) seja s última peça defeituosa contida no 
lote? 
2.22. Dentre os números O, 1, 2, ... , 9 são escolliidos ao acaso (sem repo-
sição) r números (O <r < 10). Qual é a probabilidade de que não ocorram dois 
números iguais? 
'. 1,,: .. ""." 
"·! 
Probabilidade Condicionada 
e Independência 
3.1. P·robab.ilid.ade Cond,icionada . 
Capítulo 3 
. l 
·Vamos . reexaminar a diferença entre extrair uma peça de um 
lote, ao acaso, com ou sem reposição. No Ex. 2.4, :o lote estudado 
tinha a seguinte composição: 80 não-defeituosàs e 20 defeituosas. 
Suponha-se que escolhemos duas peças desse lote: ·(a) com reposi-
ção; (b) sem reposição. ,. · 
Definamos os dois eventos seguintes: 
A = {a primeira peça é defeituos~); B = {a segunda peça é . 
defeituosa) . 
Se estivermos extraindo com reposição, P(A) = P(B) = 20/100 = 
= 1/5, porque cada vez que extrairmos do lote, existirão 20 peças 
defeituosas no total de 100. No entanto; se estivermos extraindo 
sem reposição, os resultados ~ão serão tão imediatos. É: ainda ver-
. dade, naturalmente, que P(A) = 1/5. Mas e sopre P(B) ? É evi-
dente que, a fim de calcularmos P(B), dB:veremos conhecer a compo-
siçãq do lote no momento de se extrair a segunda peça. Isto é, deve-
remos saber se A ocorreu ou não. Este exemplo mostra a necessidade 
de se introduzir o seguinte importante conceito. 
Sejam A e B dois eventos associados ao experimento e. De~ 
.notaremos por P(BIA) a probabiiidade condicionada d~ evento B, 
quando . A tiver ocorrido. 
No exemplo acima, P(B I A) = 19/99, porque se A t iver ocorrido, 
então para a segunda extração restarão somente 99 peças, das quais 
19 delas serão defeituosas. 
Sempre que calcularmos P(B IA), estaremos essencialmente cal.:. 
culando P(B) em relação ao espaço.amostral reduzido A, êm lugar de 
··'.. 
I . \_ 
PROBABILIDADE CONDICIONADA Ê.INUEP.ENDENCIA I .4l~ 
I 
fazê-lo em relação ao espaço ambstral original S. Consideremos o 
Diagra$ de Venn da Fig . . 3.1. 
r---~--------·s 
A B (]) 
!Fig. 3.1 
Qu:kdo . calcularmos · P(B) estâl:emos 
nos per~taiido quão provávEl! será estar-
D;J.OS em! B, sabendo que · devemos_ -estar 
em S. ~ quando calcularmos P(B I A) .esta-
remos p~rguntando ·quão provável será, es-
tarmos eii). iJ,. sabendo que ~evemos estar 
em A, i(Isto é, o ·espaço amostral ficou 
redmido Ide S para A.) Logd, daremos uma 
definiçãJ rigorosa <teP(BIA). Por enquan~ 
to, contudo, empregaremos nossd noção intuitiva de 1 probabilidade 
d.. d d. I con ICIOna a e aremos um exemplo. 
1-· 
Exemplo 3.1. Dois dados ~quilibrados são lançados, regis-
trand~se o resultado ~orno (x1, x2~, onde Xi é o resultado do i-ésimo 
dado, ~ = 1, 2. Por Isso, o esp3:ço amostral S pode ser represen-
tado pela seguinte lista de 36 re~ultados igualmente prováveis. 
( (1, I)'" 
S = ) (2, I) . 
{ (6, :I) 
I . 
(1, ~) (1, 6) ) , 
(2, 2) . (2, 6) ~ 
I c 
(6, 2) (6, 6) ) ' 
Consideremos os dois eventos seguintes: 
. I 
A = {(x1, x2) I x1 + X2 = 10t B = {(x1, x2) I x1 ,> x2}. 
I 
. I . . 
Assim, A = {(5; 5), (4, 6), (6, 4)} e fl. = ·{(2, 1), (3, 1), (3, 2), ... , (6, 5)}. 
· Portanto, P(A) = 3
3
6 e P(B) = l~ · · E P(B 14) = ~, :uma ve.z; qüe 
. o espaço amostral é, _ agora, forma!do por A (isto é, ·três resultados), 
e somente um desses três resultadJs é coerente com o evento B. De 
. . I . 
modo semelhante, poderemos calc~lar P(A !B) ,= I/15. 
Finalmente, vamos calcular PCA () B) . . O evento A () B ·ocorre 
se, e soii).ente se, a soma dos dois \dados for 10 e se o primeiro dado 
tiver, apresentado um valor maior
1 
que o segundo dado~ Existe ape-
nas um desses resultados e, por isso, P(A () B) = . 1/36. Se fizermos 
, . I 
um exame cuidadoso dos vá'rios números já calculados, concluiremos 
I ' 
que 
P(AIB) = P(A () B) 
P(B) 
i 
I 
el P(BIA) = P(A () B) · 
· · . P(A') · 
i i 
44 I lí'IROBABBUDADIE 
,, 
Essas relações não surgiram apenas do particular exemplo que 
<Consideramos. Ao contrário, elas são bastante gerais, e_ nos .<ião um 
caminho p3;ra definir rigorosamente a probabilidad~ ·condicionada. 
Para sugerir essa definição, voltemos ao conc~it<J de frequência 
relativa. Admitamos que um experimento s tenha ~ido. repetido n 
vezes. Sejam nA, nB e nAnB o número de vezes que, respectiva-
mente, os eventos A, B e. A () B tenham ocorrido em n repetições; 
Qual o significado de nAnB/nA? Representa a frequência relativa 
de B naqueles resultados em que A tenha ocorrido. . Isto é, nAnB/nA 
é a frequênc.ia relativa de B, condicionada a que A tenha. ocorrido. 
Poderemos escrever nAn~/riA, da· seguint~ forma:-
fUnB nAnB/n . }AnB 
=--· 
nA nA/n }A · 
onde }AnB e }A são as frequências rel~tivas dos eventos A ()B e A, 
respectivamente. Como já dissemos (e explicaremos ~ais tarde) 
se n, o número de repetiçõesfot grande, }Anil f)erá próximâ de P(A () B) 
e Ú ·será próxima de P(A), Conseqüentemente, a relação acima 
sugere que nAnB/riA . será próxima de P(B I A). Por isso, estabelece-
remos a seguinte definição: . 
Definição: 
P(BiA) = P(A n B) I desde que P(A) >o. (3.1) P(A) 
Comentârios: (a) :f: importante co~preender que isso não ·é um teoremil. 
(nós não demonstramos coisa ·alguma), nem é tim axioma. Apena.s introduzimos 
a noção intuitiva de probabilidade condicionada e, . depoi.~, estabelecemos uma. 
definição ·formal daquilo ·que essa noção significa. o fato de que no!lSÍ!. defiriiÇão 
formal corresponde à noSsa noção intuitiva· é fundamentado. pelo .parágrafo que 
precede à definição. 
(b) l!: assunto simples verificar que P(B IA) para A fixado, satisfaz aos várioo 
posttdados de probabilidade das Eq. (1.3). (Ver ·Probl., 3.22.) IstO é; temos 
(1') O~P(B!A)~l, 
(2') P(SIA) = 1, 
(3') P(BiU~~IA),;P(B1 !A)+P(B2lA) se Bt()B2='0, (3.2) _ 
(4') P(Bt u B2 u ···IA)= P(BtlA) + P(B2IA) + ·: · · se · B; nn; =e 
para i ~j. 
(c) Se A= S, P(B I S) =P(B n S) I P(S) =P(B). 
(d) A cada evento B c S poderemos associar dois números, P(B), a proba-
bilidade (não-condicionada) de B, e P(B 1 A), a probabilidade condicionada de 
._·. B, desde que _algüm evento A (para o qualP(A) > 0) tenha ocorrido. Em gerai, 
· essas·.; duas medidas de probabilidade atnouirão probabilidades diferentes ao 
I 
:~ .· 
·~ . 
. ·.; 1 ;_:. 
PROBABILIDADE COi\lDBCiOI\lADA rE ii\lDrEI"rENDIÊi\lCiA I 45 
evento B, como indicaram os exemplos precedentes. Dentro em breve, estudare-
mos um caso especial importante, para o qualP(B) e P(B I A) serão iguais. 
(e) Observe-se que a probabilidade condicionada está definida em termos . 
da medida de probabilidade não-condicionada P, isto é, se conhecermos P(B) 
para todo B c S, poderemos calcular P(B 1 A) para todo B c S. 
Deste modo, temos duas maneiras de calcular a probabilidade 
condicionada P(B I A): 
(a) Diretamente, pela consideração da probabilidade de B einm 
~relação ao espaço amostra! ~~:Cduzido .Al. 
(b) Empregando a definição acima, onde P(A n B) e P(A) são 
calculados em relaÇão ao espaço amostr~loriginal S. 
Ccmientário: Se A = S, obteremos P(B IS) = P(B () S)/P(S) = P(B), porque 
P(S) = 1 e B () S = B. Isto é como seria de se esperar, porque dizer que S 
ocorreu é à.penas dizer que o experimento joi realizado. 
N 
u 
Tab. 3.1 
E M 
·. 
40 30 
20 10 
60 40 
70 
30 
100 
Exemplo 3.2. Suponha-'se que um escritório possua 100 má-
quinas de calcular. Algumas dessas máquinas são elétricas (E), 
enquanto outras são manuais (M); e algumas são novas (N), enquanto 
outras são muito usadas (U). A Tàb. 3.1 dá o número de máquinas 
de cada categoria. Uma pestsoa entra no escritório, pega uma má-
quina ao acaso, e descobre que é nova. Qual será a probabilidade 
de que seja elétrica? Em termos da notação introduzida, desejamos 
calcular P(E I N) . 
Considerando-se somente o espaço amostral reduzido N (isto 
· é, as 70 máquinas novas), temos P(E IN) = 40/70 = 4/7. Empre-
gando a definição de probabilidade condicionada, temos que 
P(E 
1 
N) = P(E n N) = 40/IOO = .!. 
: P(N) 70/100 7 ' 
A mais importante conseqüência da definição de probabilidane 
condicionada acima, é obtida ao se escrever: 
P(A n B) = P(B I A)P(A) ou, equivalentemente, 
.. .-.~·':. · .. 
11 
46 I PROBABILIDADE 
P(A n B) =P(A ' i B)P(E) . .... (3;3.a) 
. Isto é, algumas vezes, mencionado como o teore_ma. da ·miiltiplicação 
de probabilidades. · · · '" . · 
Podemos aplic~r esse teorema para calcular a ptobabÜidade da 
ocorrência conjunta dos eventos A e B. 
Exemplo 3.3. Consideremos novamente o 'lote forma<;lo . de ·. 20 
peças defeituosas e 80 não-:defeituosas, estudado no início' da Seç~ 3.1. 
Se escolhermos ao acaso duas peças, sem reposição, qu.ai se~á a pro-: 
babil~ade de que ambas as peças sejam defeituosas? 
Como anteriormente, definamos os eventos . A e . B, na seguinte 
forma. 
A = {a primeira peça é defeituosa l; B = {a segunda peça é 
defeituosa l· 
Conseqüentemente, pediremos P(A (I B), qtre poderemos cal-
cular, de acordo com a fó~da acima, como P(B\A) P(A). ::'i1as, · 
P(B I A) = 19/99, enquanto P(A) = 1/5. Portanto, P(A. (I B) = 
=: 19/495. ') 
Cornentdrjo: O teorema da multiplicação de probabilidades (3.3.a) pode ser 
· generalizado para mais de dois eventos, da seguinte maneira : 
p [A 1 n A 2 n ... n An J = 
=P(Á 1 )P(A 2 I A 1 )P(A 3 I A,,A 2 ) ... P(An I A, ... Ari -1). (3.3.b) 
(a) A nB=íl (b) A :: B (c) B c A (d) Nenhum desses casos 
Fig. 3.2 
Examinemos agora, rapidamente,. se poderemos fazer uma afir- · 
geral sobre a grandeza relativa de P(A jB) e P, (A). Consi-
quatro casos, que estão ilustrados pelos Diagramas de 
Fig. 3.2. Teremos: 
porque A não poderá ocorrer se · B 
--~~·--~---=-~~-·-·· .. .