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COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Exercícios de Geometria Espacial. 
Poliedros regulares. 
 
QUESTÃO 1 
Onze cubinhos, todos de mesma aresta, foram 
colados, conforme a figura a seguir. O menor 
número de cubinhos, iguais aos já utilizados, que 
devem ser agregados ao sólido formado pelos onze 
cubinhos, para obtermos um cubo maciço, é igual a: 
 
 
 
A) 48 
B) 49 
C) 52 
D) 53 
E) 56 
QUESTÃO 2 
Os três polígonos a seguir podem ser divididos em 
triângulos equiláteros. 
 
 
 
Podemos afirmar que: 
 
0-0) Todas as três figuras resultam da planificação 
de um tetraedro regular. 
1-1) Todas as três figuras possuem eixo de simetria. 
2-2) Todas as três figuras possuem centro de 
simetria. 
3-3) Cada uma delas, repetindo-se por translações e 
rotações, preenche todo o espaço bidimensional, 
formando uma malha plana. 
4-4) As três figuras têm a mesma área e o mesmo 
perímetro. 
QUESTÃO 3 
Para se fazer uma previsão sobre a geometria das 
moléculas, podem-se utilizar várias teorias. 
Considerando a molécula SF6, em que a menor 
distância entre os átomos de flúor mede 
aproximadamente 1,8 Å e considerando que 
= 2,54 e que =1,4 , assinale o que for correto. 
 
01) Nessa molécula, o átomo de enxofre obedece à 
regra do octeto. 
02) A forma espacial que representa a molécula SF6 
é a de um octaedro regular. 
04) A distância do átomo de enxofre a qualquer 
átomo de flúor nessa molécula mede 
aproximadamente 1,7 Å. 
08) Desconsiderando as dimensões dos átomos na 
molécula, a área total da superfície do SF6 mede 
mais do que 10 Å
2
. 
16) Desconsiderando as dimensões dos átomos na 
molécula, o volume da forma espacial do SF6 mede 
menos do que 4 Å
3
. 
QUESTÃO 4 
Sejam A, B, C e D os vértices de um tetraedro 
regular cujas arestas medem 1 cm. 
Se M é o ponto médio do segmento e N é o 
ponto médio do segmento , então a área do 
triângulo M N D, em cm
2
, é igual a 
 
A ( ) . 
B ( ) . 
C ( ) . 
D ( ) . 
E ( ) . 
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QUESTÃO 5 
Na figura abaixo, representando um cubo H, 
destaca-se o quadrilátero sombreado ABCD. 
 
 
 
 
 
Sabendo-se que o volume de H é igual a 8 cm
3
, 
então o perímetro de ABCD é igual a 
 
A) 
B) 
C) 
D) 
QUESTÃO 6 
Na ilustração a seguir, temos um octaedro regular 
com área total da superfície . Indique o 
volume do octaedro, em cm
3
. 
 
 
QUESTÃO 7 
No cubo ABCDEFGH considere o ponto P na aresta 
AE satisfazendo . 
Sabendo que mede cm, calcule o 
volume do cubo. 
 
 
QUESTÃO 8 
 
 
A base do tetraedro PABCD é o quadrado ABCD de 
lado l contido no plano α. Sabe-se que a projeção 
ortogonal do vértice P no plano α está no semiplano 
de α determinado pela reta e que não contém o 
lado . Além disso, a face BPC é um triângulo 
isósceles de base cuja altura forma, com o 
plano α, um ângulo θ, em que 0 < θ < . Sendo 
= , determine, em função de l e θ, 
 
a) o volume do tetraedro PABCD; 
b) a altura do triângulo APB relativa ao lado ; 
c) a altura do triângulo APD relativa ao lado . 
QUESTÃO 9 
A pele é o maior órgão de seu corpo, com uma 
superfície de até 2 metros quadrados. Ela tem duas 
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camadas principais: a epiderme, externa, e a derme, 
interna. 
BREWER, Sarah. Viva mais e viva bem. Rio de 
Janeiro: Ediouro, v. 1, 2013. p. 72. Adaptado. 
 
De acordo com o texto, a superfície máxima coberta 
pela pele humana é equivalente a de um cubo cuja 
diagonal, em m, é igual a 
 
01) 
02) 
03) 
04) 1 
05) 
QUESTÃO 10 
Assinale a(s) proposição(ões) correta(s). 
 
01. Considere um octaedro regular inscrito em uma 
esfera de raio 6 cm. O volume do octaedro é 288 
cm
3
. 
 
02. Na figura a seguir, ABCD é um quadrilátero e o 
segmento DB é paralelo ao segmento CE. Então a 
área do quadrilátero ABCD é igual à área do 
triângulo ADE. 
 
04. Na figura a seguir, o triângulo ABC é retângulo e 
o ponto M é o ponto médio da hipotenusa AC. A 
perpendicular à hipotenusa AC pelo ponto M cruza o 
segmento BC no ponto E, que está entre B e C. 
Então a área do triângulo MEC é menor do que a 
metade da área do triângulo ABC. 
 
08. Na figura a seguir, o triângulo ABC é equilátero 
e o quadrilátero MNPQ é um quadrado. Então os 
pontos P e Q são pontos médios dos lados BC e 
AC, respectivamente. 
 
16. Se em um quadrilátero as diagonais são 
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bissetrizes dos ângulos internos, então o 
quadrilátero é um losango. 
QUESTÃO 11 
Assinale a(s) proposição(ões) correta(s). 
 
01. Uma conhecida marca de chocolate utiliza como 
embalagem um prisma regular de base triangular 
cuja aresta da base mede 3,5 cm. Se sua altura tem 
o dobro do perímetro da base, então sua área lateral 
é igual a 220,5 cm
2
. 
 
02. Seja . Então 
existem exatamente dois valores reais x tais que 
. 
04. Dadas as matrizes 
, então a 
matriz D = A · B não admite inversa. 
08. A equação log2 (cos x) = 1 tem exatamente 
duas soluções no intervalo [0, 2π]. 
16. . 
32. Sabemos que aplicando um capital C0 após n 
meses a uma taxa i, obtemos o valor a ser 
resgatado Cf através da seguinte equação Cf = C0 
(1 + i)
n
. Dessa forma, uma pessoa que aplica um 
capital de R$10.000,00 a uma taxa de 1% ao mês 
durante três meses deve resgatar um valor igual a 
R$ 10.303,01. 
64. Quatro cidades, A, B, C, D, estão localizadas 
nos vértices de um quadrado. As linhas nas figuras 
1 e 2 são dois caminhos que interligam as quatro 
cidades. O ângulo mede 120° e os segmentos 
AQ, BQ, CP e DP têm a mesma medida. Então o 
comprimento do caminho na figura 1 é menor do 
que o comprimento do caminho na figura 2. 
 
QUESTÃO 12 
Calcule o volume de um tetraedro regular cujos 
vértices foram escolhidos dentre os vértices de um 
cubo de 1m
3
 de volume. 
QUESTÃO 13 
Na figura, ABCDEFGH é um paralelepípedo reto-
retângulo, e PQRE é um tetraedro regular de lado 6 
cm, conforme indica a figura. Sabe-se ainda que: 
• P e R pertencem, respectivamente, às faces ABCD 
e EFGH; 
• Q pertence à aresta ; 
• T é baricentro do triângulo ERQ e pertence à 
diagonal da face EFGH; 
• é um arco de circunferência de centro E. 
 
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a) Calcule a medida do arco , em centímetros. 
b) Calcule o volume do paralelepípedo ABCDEFGH, 
em cm
3
. 
QUESTÃO 14 
Os vértices de um cubo são pintados de azul ou de 
vermelho. A pintura dos vértices é feita de modo que 
cada aresta do cubo tenha pelo menos uma de suas 
extremidades pintada de vermelho. 
O menor número possível de vértices pintados de 
vermelho nesse cubo é 
 
a) 2. 
b) 3. 
c) 4. 
d) 6. 
e) 8. 
QUESTÃO 15 
Os vértices de um tetraedro regular são também 
vértices de um cubo de aresta 2. A área de uma 
face desse tetraedro é 
 
a) 
b) 4 
c) 
d) 
e) 6 
QUESTÃO 16 
Os vértices do hexágono sombreado, na figura a 
seguir, são pontos médios das arestas de um cubo. 
 
 
 
 
Se o volume do cubo é 216, o perímetro do 
hexágono é 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
QUESTÃO 17 
Para a premiação dos melhores administradores de 
uma galeria comercial, um designer projetou um 
peso de papel com a forma de um tetraedro regular 
reto de aresta 20 cm, que será entregueaos 
vencedores. Esse peso de papel será recoberto com 
placas de platina, nas faces laterais e com uma 
placa de prata na base. Se o preço da platina é de 
30 reais por centímetro quadrado, e o da prata é de 
50 reais por centímetro quadrado, assinale a 
alternativa que apresenta o valor mais próximo, em 
reais, do custo desse recobrimento. 
 
Dado: 
 
a) 24.000 
b) 18.000 
c) 16.000 
d) 14.000 
e) 12.000 
QUESTÃO 18 
Sendo θ o ângulo formado entre uma diagonal e 
uma face de um mesmo cubo, determine . 
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QUESTÃO 19 
Três das arestas de um cubo, com um vértice em 
comum, são também arestas de um tetraedro. A 
razão entre o volume do tetraedro e o volume do 
cubo é 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
QUESTÃO 20 
Um cristal com a forma de um prisma hexagonal 
regular, após ser cortado e polido, deu origem a um 
sólido de 12 faces triangulares congruentes. Os 
vértices desse poliedro são os centros das faces do 
prisma, conforme representado na figura. 
 
 
 
Calcule a razão entre os volumes do sólido e do 
prisma. 
QUESTÃO 21 
Um octaedro é um poliedro regular cujas faces são 
oito triângulos equiláteros, conforme indicado na 
figura. 
 
 
Para um octaedro de aresta a: 
 
a) Qual é a sua área total? 
b) Qual é o seu volume? 
c) Qual é a distância entre duas faces opostas? 
QUESTÃO 22 
Um torneiro mecânico construiu uma peça em 
alumínio conforme figura a seguir. A peça é 
constituída de sete cubos, sendo que o cubo maior 
tem aresta de 3 cm, os cubos menores são idênticos 
e têm aresta de 1cm: 
 
 
 
Desconsiderando as perdas na confecção, qual é o 
volume da peça? 
 
a) 27 cm
3 
b) 28 cm
3 
c) 33 cm
3 
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d) 15 cm
3 
e) 6 cm
3 
QUESTÃO 23 
Uma maquete de um reservatório cúbico foi 
construída em escala linear de 1 : 200. Se o volume 
da maquete do reservatório é de 64 cm
3
, a aresta 
do reservatório cúbico real, em metros, é igual a: 
 
a) 4 
b) 8 
c) 16 
d) 20 
e) 32 
QUESTÃO 24 
Uma piscina vazia, com formato de paralelepípedo 
reto retângulo, tem comprimento de 10 m, largura 
igual a 5 m e altura de 2 m. Ela é preenchida com 
água a uma vazão de 5.000 litros por hora. Após 
três horas e meia do início do preenchimento, a 
altura da água na piscina atingiu: 
 
a) 25 cm 
b) 27,5 cm 
c) 30 cm 
d) 32,5 cm 
e) 35 cm 
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QUESTÃO 1 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Para construir um cubo maciço tendo como base os 
cubinhos já colados, a aresta mínima é de 4 
cubinhos. 
Assim, o novo cubo será formado por 4 × 4 × 4 = 64 
cubinhos. Como já existem 11, serão necessários 
mais 53 cubinhos. 
 
QUESTÃO 2 
FFFVV 
 
RESOLUÇÃO: 
(Resolução oficial) 
 
O candidato pode usar a régua para dividir os 
polígonos em triângulos equiláteros. Rascunhando 
com as três figuras e conhecendo a forma do 
tetraedro regular, poderá facilmente responder a 
toda esta questão. 
 
 
 
0-0) FALSA, pois a terceira figura reuniria os quatro 
triângulos equiláteros em um mesmo vértice, o que 
não pode acontecer com o tetraedro. 
 
1-1) FALSA, pois a segunda figura não tem eixo de 
simetria. 
 
2-2) FALSA, pois a terceira figura não tem centro, e 
o centro da primeira não é de simetria. 
 
3-3) VERDADEIRA, A primeira figura repete-se por 
rotação; a segunda por translação e, a terceira, por 
rotações e translações. 
 
4-4) VERDADEIRA, pois a área de cada uma mede 
quatro vezes a área de cada triângulo equilátero, e o 
seu perímetro mede seis vezes o comprimento de 
seu lado. 
 
QUESTÃO 3 
26 
 
RESOLUÇÃO: 
01) Incorreto. Na molécula de SF6, o átomo de 
enxofre não obedece à regra do octeto, pois esse 
átomo apresenta 12 elétrons na camada de valência 
e, portanto, apresenta octeto expandido. 
02) Correto. A forma espacial que representa a 
molécula SF6 é a de um octaedro regular ou 
bipirâmide de base quadrada. 
04) Incorreto. A distância do átomo de enxofre a um 
átomo de flúor presente nos vértices superior e 
inferior do octaedro é diferente da distância do 
átomo de enxofre a um átomo de flúor presente na 
base da pirâmide. 
08) Correto. Considerando-se que a menor distância 
entre os átomos de flúor seja de 1,8 Å, e que esse 
valor corresponda ao próprio lado de cada um dos 8 
triângulos equiláteros que formam a área total do 
octaedro, temos: 
Aoctaedro = 8 . Atriângulo 
Aoctaedro = 8 . [(l
2
 . 3) / 4] 
Aoctaedro = 8 . [(1,8)
2
 . 1,7 / 4) Å 
Aoctaedro  11,02 Å
2 
Assim, desconsiderando as dimensões dos átomos 
na molécula, a área total da superfície do SF6 mede 
mais do que 10 Å
2
. 
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16) Correto. O volume de um octaedro é dado pela 
seguinte relação: 
Voctaedro = (1 / 3) . l
3
 . 2 
Considerando-se que a menor distância entre os 
átomos de flúor seja de 1,8 Å e que corresponda à 
medida do próprio lado (aresta) do tetraedro, temos: 
Voctaedro = (1 / 3) . (1,8)
3
 . 2) 
Voctaedro  2,72 Å
3 
 
QUESTÃO 4 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
 
O segmento MD é altura do triângulo ABD 
(equilátero de lado 1 cm). 
Portanto, cm. 
Além disso, o segmento MN é a altura do triângulo 
CDM, portanto o triângulo MND é retângulo. Pelo 
Teorema de Pitágoras, temos: 
cm. 
Assim, a área do triângulo MDN é: 
 
 
QUESTÃO 5 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Sendo 8 o volume do cubo, chamando de M a 
medida do lado, temos: 
M
3 
= 8 M = 2 
 
Os lados AB e CD são arestas do cubo, medindo, 
portanto, 2. 
Os lados BC e AD do quadrilátero são diagonais das 
faces, medindo, portanto, . 
Assim, o perímetro pedido 
é: 
 
QUESTÃO 6 
GABARITO: 
(Resolução oficial) 
 
 
Se a aresta do octaedro mede a cm, então, a área 
de sua superfície é 
e . A altura de uma das pirâmides 
quadradas que formam metade do octaedro 
mede cm, e o volume do 
octaedro 
será 
 
 
QUESTÃO 7 
GABARITO: 
Sendo AE = AP + PE com AP = 3PE, chega-se a 
PE= , em que a > 0 é a medida da aresta do 
cubo. 
Como as arestas de um cubo são perpendiculares 
entre si, o triângulo PEG é retângulo e seu cateto 
EG é a diagonal da face EFGH do cubo. 
 
Pelo Teorema de Pitágoras obtém-se: 
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EG = cm 
 
 
Daí, obtém-se a igualdade 
 e conclui-se que a
2 
= 16, 
ou seja, a = 4 cm. 
 
Portanto, o volume do cubo é a
3
= 64 cm
3
. 
 
QUESTÃO 8 
GABARITO: 
a) Da figura a seguir, que é uma piramide 
quadrangular, temos: 
 
 . 
( = altura do tetraedro PABCD) 
Então: . 
O volume do tetraedro PABCD é dado por: 
 . 
b) Em ΔPP'H temos: 
 
 
c) Em ΔPP'N temos: 
 . 
 
QUESTÃO 9 
04 
 
RESOLUÇÃO: 
A superfície de um cubo de aresta x mede 6x
2
. 
Nesse caso, temos: 
 6x
2
 = 2 
x
2
 = 
x = 
A diagonal D de um cubo de aresta x mede x . 
Assim, temos: 
 
D = x = 
 
QUESTÃO 10 
02 + 04 + 08 + 16 = 30 
 
RESOLUÇÃO: 
 01. Correta. O volume do octaedro pode ser 
calculado por 
. Assim, 
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. 
02. Correta. Na figura, temos: 
• ÁreaCED = ÁreaCEB, pois é um lado comum e 
como eles apresentam a mesma 
altura em relação a esse lado; 
• como CEF é comuma CED e CEB, a ÁreaCFD = 
ÁreaFEB ; 
• assim, ÁreaABCD = ÁreaABE . 
 
04. Correta. Sendo uma mediana, temos: 
• ÁreaMBC = · ÁreaABC, pois, em relação aos 
lados e esses triângulos possuem a 
mesma altura; 
• ÁreaMEC < · ÁreaMBC ; 
• ÁreaMEC < · ÁreaABC ; 
 
08. Incorreta. Na figura, temos: 
• se o triângulo ABC é equilátero e MNPQ é um 
quadrado, então CPQ é um triângulo equilátero; 
• PC = CQ = PQ = PN = MQ ; 
• os triângulos AMQ e BNP são retângulos em M e 
N, respectivamente. Logo, MQ < AQ e PN< PB; 
• assim, CQ < AQ e PC < PB. Então, os pontos P e 
Q não são pontos médios dos lados BC e AC, 
respectivamente. 
 
16. Correta. Considere a figura. 
 
 
• Considerando os triângulos ABC e ACD, temos: 
, 
analogamente, podemos concluir que ; 
• . Como x + y = 
180° ⇔ x = y = 90°; 
• Pelo critério ALA, podemos dizer que os triângulos 
ABF, CBF, CDF e ADF são congruentes, o que 
acarreta que: AB = BC = CD = AD. Logo, ABCD é 
um losango. 
 
QUESTÃO 11 
01 + 02 + 04 + 32 = 39 
 
RESOLUÇÃO: 
01. Correta. A área lateral dessa pirâmide é dada 
por: 
Alateral da pirâmide = 3 · 3,5 · [2 · (3 · 3,5)] = 220,5 
cm
2
. 
 
02. Correta. Sendo , temos: 
• ; 
• esboçando os gráficos das funções e y = 
cos x, num mesmo plano cartesiano, temos: 
 
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• Assim, existem exatamente dois valores reais x 
tais que f(x) = 0. 
 
04. Correta. Sendo D = A · B, temos: 
• 
 ; 
• Pela regra de Sarrus, temos: det D = 0 ; 
• Assim, a matriz D não admite inversa. 
 
08. Incorreta. Na equação log2 (cos x) = 1, temos: 
• cos x = 2
1
 = 2; 
• ; 
• Assim, não admite solução. 
 
16. Incorreta. 
• ; 
• ; 
• Assim, o valor de . 
32. Correta. Como Cf = C0 · (1 + i)
n
, temos: Cf = 
10.000 · (1 + 0,01)
3
 = 10.303,01 reais. 
64. Incorreta. Sendo x a medida do lado do 
quadrado, temos: 
 
• No triângulo ABQ, aplicando a Lei dos Cossenos, 
obtemos: ; 
• O comprimento do caminho na figura 1, é: 
 ; 
• O comprimento do caminho na figura 2, é: 
 ; 
• Assim, o comprimento do caminho na figura 1 é 
maior que o comprimento do caminho na figura 2. 
 
QUESTÃO 12 
GABARITO: 
 
Qualquer aresta do tetraedro construído é uma 
diagonal de uma face do cubo. Assim, o volume do 
tetraedro ACFH é igual ao volume do 
cubo (1m
3
) menos a soma dos volumes dos 
tetraedros AEFH, FABC, CFGH e HACD. Como o 
volume de um tetraedro é igual a do produto da 
área de sua base por sua altura, segue-se que o 
volume de cada um desses tetraedros 
é . Assim, o volume do tetraedro 
regular ACFH é igual a . 
 
Outra solução: 
A medida da diagonal de uma face do cubo é igual 
a m. Dessa maneira, a área do triângulo 
equilátero CFH é . 
Sendo P o centro do triângulo equilátero CFH, sabe-
se que . Usando o Teorema de 
Pitágoras no triângulo retângulo APH, conclui-se 
que a altura do tetraedro é dada 
por . 
Logo, seu volume é . 
 
QUESTÃO 13 
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GABARITO: 
a) 
 
Considerando a figura, 
temos: . 
b) 
1) Lembrando que a altura de um tetraedro regular 
de aresta a é dada por: , temos: 
; 
2) No triângulo EHG, temos: 
; 
3) Assim, o volume do paralelepípedo 
ABCDEFGHé: 
 . 
 
QUESTÃO 14 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Um cubo tem 12 arestas. Como cada aresta é 
limitada por 2 vértices, podemos considerar que as 
arestas partem de um vértice e chegam a 
outro. Sabendo que cada vértice é o encontro de 3 
arestas, podemos considerar que temos 12 : 3 = 4 
vértices de partida e 4 de chegada. Se pintarmos, 
então, 4 vértices de vermelho, escolhendo-os 
sabiamente, garantiremos que as 12 arestas terão, 
pelo menos, um vértice vermelho. 
Veja um exemplo: 
 
 
 
QUESTÃO 15 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Para que um tetraedro regular seja inscrito em um 
cubo, as arestas do tetraedro devem estar sobre as 
diagonais das faces do cubo. 
Assim, cada aresta desse tetraedro mede l = . 
Como suas faces são triângulos equiláteros, a área 
de uma face é 
 
 
QUESTÃO 16 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
É possível encontrar a medida da aresta "a" do cubo 
se considerarmos que o volume "V" é dado por V 
= a
3
. Assim, temos a
3 
= 216, logo a = 6. 
 
Selecionando apenas uma das faces do cubo, como 
na figura a seguir, é possível observar que o lado do 
hexágono x é a base média do triângulo formado 
pela diagonal da face. Assim, temos . 
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Como propriedade de qualquer quadrado, temos 
. 
Assim, 
O perímetro do hexágono então será 6x = 18 . 
 
QUESTÃO 17 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
O objeto será formado por 3 triângulos equiláteros de 
platina e 1 de prata, todos com 20 cm de aresta. 
A área de um desses triângulos é dada por (202 · 1,7)/4 = 
170 cm2. 
Logo, será necessário comprar 170 cm2 de prata e 3 · 170 
= 510 cm2 de platina. 
O preço de custo do objeto será 30 · 510 + 50 · 170 = 
15.300 + 8.500 = 23.800 reais (aproximadamente 24.000). 
 
QUESTÃO 18 
03 
 
RESOLUÇÃO: 
Sabe-se que a diagonal de um cubo de aresa 
a mede . Assim, o triângulo destacado na 
figura tem hipotenusa . 
 
 
Portanto, temos: 
 
 
QUESTÃO 19 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Sendo x a medida da aresta do cubo, seu volume 
será V1 = x³. 
O tetraedro descrito tem como base um triângulo 
retângulo isósceles de cateto medindo x. A área 
dessa base é . 
Como a altura desse tetraedro também é x, seu 
volume será V2 = . 
Logo, V2 é de V1. 
 
QUESTÃO 20 
GABARITO: 
(Resolução oficial) 
 
O poliedro é formado por duas pirâmides 
hexagonais regulares congruentes. Cada uma tem 
metade da altura do prisma original. Sejam a a 
medida das arestas da base do prisma e a' a 
medida das arestas das bases das pirâmides que 
compõem o poliedro. Sejam ainda h e h' as medidas 
da altura do prisma e da altura das pirâmides, 
respectivamente. 
Observe as ilustrações: 
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Valem as relações: 
 
 
Então: 
 
 
sendo B a área da base do prisma e B' a área da 
base das pirâmides. 
Desse modo, obtêm-se os volumes V do prisma 
e V' do poliedro: 
 
V = B × h 
 
 
Portanto: 
 
 
QUESTÃO 21 
GABARITO: 
a) Área total é igual à área de 8 triângulos 
equiláteros de altura igual ao apótema da pirâmide 
que vale 
g = . Logo At = 8x 
b) Volume do octraedro = 2 × volume da pirâmide. 
Assim temos que a altura da pirâmide vale: ( 
lembrando que a/2 é o apótema da base da 
pirâmide). 
 
. 
 
Logo o volume do octraedro vale: 
 
V = 
c) Sejam A, B, C e D conforme a figura: 
 
 
A e D são centros de faces opostas, B é o ponto 
médio de uma aresta e C é um vértice do octaedro. 
A distância pedida é AD. 
O quadrilátero ABCD é um trapézio retângulo. Suas 
bases AB e CD medem: 
e respectivamente. 
O lado BC mede . Assim, por Pitágoras, AD
2
 
+ (CD - AB)
2
 = BC
2 
AD
2
 + AD = 
 
QUESTÃO 22 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Volume do cubo maior: 3
3
 = 27 cm
3 
Volume de cada um dos seis cubos menores: 1
3 
= 1 
cm
3 
Volume da peça: 27 + 6 · 1 = 27 + 6 = 33 cm
3 
 
QUESTÃO 23 
B 
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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RESOLUÇÃO: 
A aresta do cubo da maquete é dada por:V = a
3 
64 cm
3
 = a
3 
a = 4 cm 
 
Uma vez que a escala linear é de 1 : 200, a aresta 
do reservatório cúbico real é de: 
1 cm — 200 cm 
4 cm — 800 cm 
4 cm — 8 m 
 
QUESTÃO 24 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
 Sendo h a altura, em centímetros, que a água 
atinge na piscina após três horas e meia, temos: 
 
• a quantidade de água na piscina (Vágua) é Vágua= 
5.000 · 3,5 = 17.500 litros = 17.500.000 cm² ; 
• como a piscina, inicialmente, estava vazia Vágua = 
1.000 · 500 · h = 17.500.000 ⇒ h = 35 cm. 
 
 
 
 
	Exercícios de Geometria Espacial.
	Poliedros regulares.
	Questão 1
	Questão 2
	Questão 3
	Questão 4
	Questão 5
	Questão 6
	Questão 7
	Questão 8
	Questão 9
	Questão 10
	Questão 11
	Questão 12
	Questão 13
	Questão 14
	Questão 15
	Questão 16
	Questão 17
	Questão 18
	Questão 19
	Questão 20
	Questão 21
	Questão 22
	Questão 23
	Questão 24
	Questão 1
	D
	Resolução:
	Questão 2
	FFFVV
	Resolução:
	Questão 3
	26
	Resolução:
	Questão 4
	B
	Resolução:
	Questão 5
	D
	Resolução:
	Questão 6
	Gabarito:
	Questão 7
	Gabarito:
	Questão 8
	Gabarito:
	Questão 9
	04
	Resolução:
	Questão 10
	02 + 04 + 08 + 16 = 30
	Resolução:
	Questão 11
	01 + 02 + 04 + 32 = 39
	Resolução:
	Questão 12
	Gabarito:
	Questão 13
	Gabarito:
	Questão 14
	C
	Resolução:
	Questão 15
	A
	Resolução:
	Questão 16
	E
	Resolução:
	Questão 17
	A
	Resolução:
	Questão 18
	03
	Resolução:
	Questão 19
	B
	Resolução:
	Questão 20
	Gabarito:
	Questão 21
	Gabarito:
	Questão 22
	C
	Resolução:
	Questão 23
	B
	Resolução:
	Questão 24
	E
	Resolução: