Aula 10

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Professor: Jeronymo Marcondes
Econometria p/BACEN 
Teoria e exercícios comentados 
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Tópicos extras e simulado 2 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
Função de Verossimilhança 1 
Momento 5 
Lista de exercícios resolvidos 56 
Gabarito 76 
 
O Ministério da Saúde adverte: esta aula é MUITO difícil! Vamos avaliar dois 
tópicos importantes e que ficaram faltando: Momento e Lei dos Grandes Números. Já 
DGLDQWR��DV�TXHVW}HV���H����VmR�³SRQWRV�IRUD�GD�FXUYD´��$�&(63(�H[DJHURX�QHVWDV�
duas questões da área 4. Sugestão, se você vir uma dessa: pule. 
 
Além disso, faremos mais questões! 
 
Então, vamos lá! 
 
Função de verossimilhança 
 
Pessoal, lembra que nós estudamos a estimação por Máxima Verossimilhança e 
definimos a nossa função de verossimilhança (FV)? Para vocês que vão prestar o 
BACEN, é preciso que vocês saibam determina-la! 
 
Só para lembrar: toda a ideia da estimação por máxima verossimilhança é estimar 
parâmetros de uma distribuição de probabilidade de forma que estes parâmetros 
maximizem a probabilidade de que a amostra em estudo tenha sido coletada de uma 
população que segue uma determinada distribuição de probabilidade. Isso é feito por 
meio da maximização da FV com relação aos parâmetros. 
 
-³7XGR�EHP�SURIHVVRU��PDV�TXDO�R�IRUPDWR�GHVWD�IXQomR´" 
 
 
 
 
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Veja, dada uma distribuição de probabilidade, a FV será dada pelo produtório desta 
função avaliada em todos os seus pontos. Por exemplo, suponha a seguinte 
distribuição de probabilidade: 
 ݂ሺݔሻ ൌ ߠ ?ݔ ǡ ݔ ൒ ? 
 
Portanto, a nossa função de verossimilhança é: ܨܸሺߠǢ ݔሻ ൌ ߠ ?ݔଵ ൈ ߠ ?ݔଶ ൈ ߠ ?ݔଷ ǥ ൌ ߠ௡ ?ݔଵ ൈ ݔଶ ൈ ݔଷ ǥ 
-Por que isso? 
 
Veja, o que estamos avaliando é, para uma determinada amostra (ݔଵ a ݔ௡), qual a 
probabilidade conjunta de todos estes valores terem ocorrido ao mesmo tempo? No 
caso da estimação por Máxima Verossimilhança iremos estimar qual o valor do 
parâmetro (ߠ) que maximiza a probabilidade de ocorrência conjunta destas 
observações. Entendeu o que queremos aqui? 
 
Assim, em termos matemáticos, dada uma amostra de ݔଵ a ݔ௡ que segue uma 
distribuição de probabilidade ݂ሺሻ, a função de verossimilhança é a seguinte função da 
amostra e do parâmetro (ߠ): 
 ܨܸሺܺǢ ߠሻ ൌ ݂ሺݔଵǢ �ߠሻ ൈ ݂ሺݔଶǢ �ߠሻ ൈ ݂ሺݔଷǢ �ߠሻ ǥ 
 
Como encontrar o parâmetro que maximiza esta relação? Você já aprendeu na aula 
7, derive a função com relação ao parâmetro e iguale a zero. 
 
O problema é na hora de derivar esta FV! Aquelas regras de derivação que eu ensinei 
podem não ser suficientes, assim, vamos a mais duas regrinhas que podem salvar 
sua vida! 
 
 
 
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Regra da multiplicação 
 
Como derivar uma função que tenha o seguinte formato: 
 ݂ሺݔሻ ൌ ݁௫ ൈ ݔ 
 
 
No caso, é como se tivéssemos duas funções de x, certo? Neste caso: 
 ଵ݂ሺݔሻ ൌ ݁௫ ଶ݂ሺݔሻ ൌ ݔ 
 
O que você deve fazer é: 
 ࢊ൫ࢌሺ࢞ሻ൯ ൌ ࢊ൫ࢌ૚ሺ࢞ሻ൯ ൈ ࢌ૛ሺ࢞ሻ ൅ ࢌ૚ሺ࢞ሻ ൈ ࢊሺࢌ૛ሺ࢞ሻሻ 
 
2X�VHMD��D�GHULYDGD�GD�PXOWLSOLFDomR�p��³D�GHULYDGD�GR�SULPHLUR�YH]HV�R�VHJXQGR, mais 
D�GHULYDGD�GR�VHJXQGR�YH]HV�R�SULPHLUR´� É assim que agente decora esta regra. 
 
Assim: 
 ݀൫݂ሺݔሻ൯ ൌ ݁௫ ൈ ݔ ൅ ݁௫ ൈ ? ൌ ሺ ? ൅ ݔሻ ௫݁ 
 
Entendeu? Esta regra quase nunca é cobrada, mas é bom você saber. 
 
Mais uma regrinha: 
 
Regra da cadeia 
 
A ideia é a mesma da regra anterior, pois iremos supor que existem duas funções. 
Suponha que você queira a derivada de: 
 
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݂ሺݔሻ ൌ ሺݔ ൅ ?ሻଶ 
 
O que você está querendo é dividir esta expressão em duas partes: 
 
ଵ݂ሺݔሻ ൌ ൫ ଶ݂ሺݔሻ൯ଶ ଶ݂ሺݔሻ ൌ ݔ ൅ ? 
 
 
Portanto, você vai tratar a expressão de duas formas, uma função ³LQWHUQD´�H�RXWUD�
³H[WHUQD´��$�LGHLD�EiVLFD�DTXL�p�HQ[HUJDU�TXH�Ki�GXDV�IXQo}HV��XPD�PDLV�³LQWHUQD��QR�
caso ( ଶ݂ሺݔሻ), e outra que engloba a anterior ( ଵ݂ሺݔሻ). A forma de derivar uma função 
deste tipo é assim: 
 ࢊሺࢌሺ࢞ሻሻ ൌ ࢊሺࢌ૚൫ࢌ૛ሺ࢞ሻ൯ሻ ൈ ࢊሺࢌ૛ሺ࢞ሻሻ 
 
Esta é a regra da cadeia. Intuitivamente, pense que se trata da derivada da função 
externa multiplicada pela derivada da função interna. 
 
Vamos a nosso exemplo: 
 
x ݀ ቀ ଵ݂൫ ଶ݂ሺݔሻ൯ቁ ൌ ݀ሺሺݔ ൅ ?ሻଶሻ ൌ ? ൈሺݔ ൅ ?ሻଵ 
x ݀൫ ଶ݂ሺݔሻ൯ ൌ ݀ሺݔ ൅ ?ሻ ൌ ? 
 
Assim: 
 ݀൫݂ሺݔሻ൯ ൌ ? ൈሺݔ ൅ ?ሻଵ ൈ ? ൌ ?ሺݔ ൅ ?ሻ 
 
Entendeu? Eu sei que foi só uma passada rápida, mas isso não cai muito mesmo. 
Esse conteúdo é só para os corajosos que se aventurarem na última questão desta 
aula (um ponto fora da curva de questões). 
 
Vamos a mais um exemplo para você entender. 
 
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݂ሺݔሻ ൌ ݁ଶ௫ 
 
Nós temos duas funções: 
 ଵ݂ሺݔሻ ൌ ݁௙మሺ௫ሻ ଶ݂ሺݔሻ ൌ ?ݔ 
 
 
A derivada de cada uma das funções é: ݀ሺ ଵ݂ሺݔሻሻ ൌ ݁௙మሺ௫ሻ ݀ሺ ଶ݂ሺݔሻሻ ൌ ? 
 
Portanto, com base em nossa fórmula: 
 ࢊ൫ࢌሺ࢞ሻ൯ ൌ ࢊ ቀࢌ૚൫ࢌ૛ሺ࢞ሻ൯ቁ ൈ ࢊ൫ࢌ૛ሺ࢞ሻ൯ ൌ ૛ ൈ ݁ଶ௫ 
 
Entendeu? Vamos ao próximo tópico! 
 
Momento 
 
Este é um assunto muito abstrato! Veja o conceito: 
Dada a distribuição de uma variável aleatória X, o 
momento de ordem k com relação à média é: 
 ࡹ࢑ ൌ ࡱ൫ࢄ࢑൯ 
 
Entendeu? 
 
Veja, o primeiro momento desta variável com relação à origem, ou seja, 0 (zero) é: 
 ܯଵ ൌ ܧሺܺ ?ሻ ൌ ܧሺܺሻ ൌ ߤ 
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Essa é a média da variável! Nada, além disso. 
 
-3URIHVVRU��SRU�TXH�YRFr�IDORX�GR�³PRPHQWR�FRP�UHODomR�j�]HUR´" 
 
Pelo seguinte, meu querido aluno, o momento pode ser calculado com relação à outra 
estatística, como a própria média. Não entendeu? O momento de ordem k da variável 
X com relação a sua média é: 
 ܯ௞ ൌ ܧሺܺ െ ߤሻ௞ 
 
Ora, o primeiro momento da variável com relação a sua média é zero: 
 ܯଵ ൌ ܧሺܺ െ ߤሻଵ ൌ ܧሺܺሻ െ ߤ ൌ ߤ െ ߤ ൌ ? 
 
E o segundo momento com relação à média? 
 ܯଶ ൌ ܧሺܺ െ ߤሻଶ ൌ ߪଶ 
 
O famoso Método dos Momentos consiste em igualar o k-ésimo momento 
populacional ao k-ésimo momento amostral. 
 
1mR�HQWHQGHX"�9HMD��FRP�EDVH�QR�TXH� Mi�HVWXGDPRV�QD�VHomR�GH�³(VWLPDomR�SRU�
0i[LPD�9HURVVLPLOKDQoD´��D�LGHLD�p�HVWLPDU��FRP�EDVH�HP�XP�PpWRGR��YDORUHV�SDUD�
os parâmetros de uma distribuição. Nós faremos isso com base na teoria dos 
Momentos. Veja um exemplo! 
 
Suponha que uma população de 100 elementos possua uma característica X e que a 
mesma seguem uma distribuição binomial. Sabendo que, por meio de uma amostra 
extraída desta população, encontrou-se uma média amostral de 50 para a 
característica X, determine, com base no estimador de momentos, uma estimativa 
para a proporção de ocorrência da característica X. 
 
 
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Ora, você sabe que a média de uma distribuição binomial é dada por: 
 ܧሺܺሻ ൌ ݊݌ 
 
O estimadorde momentos deriva da equivalência entre momentos amostrais e 
momentos populacionais. No caso, este exemplo é bastante simples, dado que basta 
fazer: 
 ݊݌ ൌ തܺ�ሺ݉±݀݅ܽ�ܽ݉݋ݏݐݎ݈ܽሻ 
 
Assim: 
 ݊݌ ൌ 眃?՜ 猃爃?݌ ൌ 眃?՜ ݌ ൌ ? ? 
 
Entendeu? Este exemplo é bem simples. Quer aprender com um exemplo que te 
interessa? Adianto, este exercício é muito difícil. 
(BACEN ± CESPE/2013) 
 
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Exercício 1 
 
 
Resolução 
 
O que nós sabemos dessa distribuição? Pelo enunciado, nós sabemos que a média 
amostral é dada por: 
 ܯ±݀݅ܽ�ܣ݉݋ݏݐݎ݈ܽ ൌ തܺ 
 
Este é o momento da média amostral! 
 
Nós temos que o momento da média populacional é dado pelo cálculo da média 
aplicada àquela distribuição. Portanto, o que temos de fazer é o seguinte: calcule o 
momento da média populacional, iguale este resultado ao valor do momento da média 
amostral e obtenha o valor do parâmetro. Fácil, não? Não, não é mesmo! Essa 
questão é bem complexa. Vamos calcular o momento da média populacional. 
 
Alguns detalhes: 
 
x Perceba que a distribuição é discreta, pois a probabilidade de a mesma 
assumir valor igual a uma constante k é diferente de zero. 
x Não conhecemos esta distribuição, o que levanta a necessidade de 
estudarmos o comportamento da mesma para inferirmos qual o valor de sua 
média. 
 
 
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Primeira coisa é encontrar o valor de C. 
 
Para encontra-lo temos de aplicar a propriedade que sabemos de qualquer 
distribuição: 
 ෍ ܥ ൈ ݁ିఏ௞ஶ௞ୀ଴ ൌ ? 
 
Isso é equivalente a: 
 ܥ൫݁ି଴ ൅ ݁ିఏ ൅ ݁ିଶఏ ൅ ݁ିଷఏ ǥ ݁ି௞ఏ൯ ൌ ? 
 
Isso é uma progressão geométrica (PG)! Hora de lembrar do 2º grau (aulas de 
Matemática básica do Estratégia). O primeiro termo é: 
 ܽଵ ൌ ݁଴ 
 
E a razão: 
 ݍ ൌ ݁ିఏ 
 
A soma de uma PG infinita é dada por: 
 ܵ݋݉ܽ ൌ ܽଵ ? െ ݍ 
 
Substituindo os valores, chegamos a: 
 ܵ݋݉ܽ ൌ ܽଵ ? െ ݍൌ ݁଴ ?െ ݁ିఏ ൌ ? ?െ ݁ିఏ 
 
Substituindo este valor na equação original: 
 
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 ܥ ൈ ? ? െ ݁ି ఏ ൌ ? ՜ ܥ ൌ ? െ ݁ି ఏ 
 
Agora que encontramos C, podemos continuar na peregrinação de achar nossa média 
populacional! 
 
Nós já sabemos que a esperança de uma distribuição é dada por: 
 
 
Portanto: 
 ܧሺܺ ൌ ݇ሻ ൌ ෍ ݇ ൈ ܥ ൈ ݁ିఏ௞ஶ௞ୀ଴ 
 
Isso é igual a: 
 ܧሺܺ ൌ ݇ሻ ൌ ܥ ൈ ൫ ? ൈ ଴݁ ൅ ? ൈ ݁ି ఏ ൅ ? ൈ ݁ି ଶఏ ൅ ? ൈ ݁ି ଷఏ ǥ ൯ 
 
$JRUD�p�TXH�p�R�³SXOR�GR�JDWR´��3HUFHED�TXH�HVWD�H[SUHVVmR�p�FRPR�VH�IRVVH�D�VRPD�
de várias progressões geométricas. Veja, o que está dentro dos parênteses é a soma 
de uma PG que inicia em ݁ିఏ com outra que inicia em ݁ିଶఏ, com outra que inicia em ݁ିଷఏ, e por aí vai. 
 
Assim, o que está dentro do parênteses é a soma de várias PG, que tem a mesma 
razão, mas que só muda o termo inicial. Assim, a primeira PG é tal que: 
 ܽଵ ? െ ݍൌ ݁ିఏ ? െ ݁ି ఏ 
 
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A segunda: 
 ܽଵ ? െ ݍൌ ݁ିଶఏ ? െ ݁ି ఏ 
 
E por aí vai. Assim, o somatório dentro da expressão original será: 
 ܧሺܺ ൌ ݇ሻ ൌ ܥ ൈ ቆ ݁ିఏ ? െ ݁ି ఏ ൅ ݁ିଶఏ ? െ ݁ି ఏ ൅ ݁ିଷఏ ? െ ݁ି ఏ ൅ ڮ ቇ 
 
Esta também tem uma PG dentro dos parênteses, cujo termo inicial é: 
 ܽଵ ൌ ݁ିఏ ? െ ݁ି ఏ 
 
E a razão: 
 ݍ ൌ ݁ିఏ 
 
Colocando na fórmula da soma da PG infinita: 
 ܽଵ ? െ ݍൌ ൬ ݁ିఏ ? െ ݁ି ఏ൰ ?െ ݁ିఏ ൌ ݁ିఏሺ ? െ ݁ି ఏሻଶ 
 
Agora basta substituir na expressão original: 
 ܧሺܺ ൌ ݇ሻ ൌ ܥ ൈ ݁ିఏሺ ? െ ݁ି ఏሻଶ 
 
Substituindo o valor de C: 
 ܧሺܺ ൌ ݇ሻ ൌ ? െ ݁ି ఏ ൈ ݁ିఏሺ ? െ ݁ି ఏሻଶ ൌ ݁ିఏ ? െ ݁ି ఏ 
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Agora basta igualar esta expressão à média amostral: 
 ܧሺܺሻ ൌ ݁ିఏ ? െ ݁ି ఏ ൌ തܺ 
 
Multiplicando invertido: 
 ݁ିఏ ൌ തܺ ൈ ൫ ? െ ݁ି ఏ൯ ൌ തܺ െ തܺ݁ିఏ 
 
Isso equivale a: 
 ݁ିఏ ൅ തܺ݁ିఏ ൌ തܺ 
 ሺ ? ൅ തܺሻ݁ିఏ ൌ തܺ 
 ݁ିఏ ൌ തܺሺ ? ൅ തܺሻ 
 
Elevando ambos os lados a -1: 
 ݁ఏ ൌ ? ൅ തܺതܺ 
 
Tirando o logaritmo neperiano de ambos os lados: 
 ߠ ൌ ݈݊ ቆ ? ൅ തܺതܺ ቇ 
 
Esta é a resposta da questão. Ufa! Inviável para um concurso... 
 
Alternativa verdadeira. 
 
 
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Vamos fazer mais exercícios para treinar? Continuamos o simulado! 
 
Exercício 2 
(Fiscal RJ ± ESAF/2010) 
 
 
 
Resolução 
 
Lembram-se das variáveis centradas na média que discutimos na aula 09? Eu usei 
um acento diferencial em cima da variável para indicar quando a mesma foi calculada 
com base na diminuição da mesma com relação a sua média. A fórmula ensinada foi: 
 
 
 
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O coeficiente b está bem fácil de calcular com base nos dados do enunciado! 
 
 ܾ ൌ ?൫ሺܺ௜ െ തܺሻሺ ௜ܻ െ തܻሻ൯ ?ሺ ௜ܺ െ തܺሻଶ ൌ ? 猃爃? ? ? ?ൌ ?ǡ ? 
 
O cálculo do intercepto fica assim (para cálculo da média divida os somatórios de X 
e Y por 22, número de observações): 
 ܽ ൌ തܻ െ ?ǡ ?തܺ ൌ 球稃? 球? െ ?ǡ ? ൈ ? 瘃? 球? ൌ ? ?െ 球?ൌ െ 猃? 
 
Assim, a reta estimada seria: 
 ܻ ൌ െ 猃?൅ ?ǡ ? ܺ
 
Alternativa (e). 
 
Exercício 3 
 
(Fiscal RJ ± ESAF/2010) 
 
 
Resolução 
 
Nós sabemos que o R² é dado por: 
 ܴ ? ൌܵ݋݉ܽ�݀݋ݏ�ܳݑܽ݀ݎܽ݀݋ݏ�ܧݔ݌݈݅ܿܽ݀݋ݏܵ݋݉ܽ�݀݋ݏ�ܳݑܽ݀ݎܽ݀݋ݏ�ܶ݋ݐܽ݅ݏ ൌ ܵܳܧܵܳܶ 
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Lembre-se dos conceitos da aula 09: 
 
 
 
 
Assim, o SQE fica fácil de calcular. Só falta o SQT. Mas, o enunciado já nos deu isso: 
 
 
 
Portanto: 
 
É só substituir: ܴ ? ൌܵܳܧܵܳܶ ൌ ?ǡ ? ? ൈ 稃眃? 猃砃笃? ൌ ?ǡ ? ? 
 
Alternativa (c). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 4 
 
(MTUR ± ESAF/2014) 
 
 
Resolução 
 
O coeficiente de determinação (R²) implica que as variações da variável explicativa 
explicam 95% das variações na variável explicada. A única alternativa que condiz com 
esta afirmação é a alternativa (a). 
 
Alternativa (a). 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 5 
 
(EMPLASA ± VUNESP/2015) 
 
 
Resolução 
 
Qual é o modelo de séries temporais que utilizamos para modelar componentes 
autoregressivos e de médias móveis ao mesmo tempo, ora, o modelo ARMA.Alternativa (d). 
 
Exercício 6 
 
(EMPLASA ± VUNESP/2015) 
 
 
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Resolução 
 
Nós estudamos na aula 05 que: 
 
 
 
Ou seja, podemos dividir a série nestes três componentes, que são: 
 
 
 
Qual é o movimento que indica o comportamento de longo prazo de crescimento ou 
decréscimo? A tendência! 
Alternativa (e). 
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Exercício 7 
(EMPLASA ± VUNESP/2015) 
 
 
Resolução 
 
Lembre-se de que nós estamos estudando o modelo de regressão linear, ou seja, 
linear nos parâmetros! Apesar de podermos realizar regressões não lineares nas 
variáveis explicativas, a hipótese básica é que os parâmetros tem relação linear com 
a variável dependente. 
 
Alternativa (c). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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(TJ-SP - VUNESP/2015) Com base no texto responda as questões a seguir. 
 
 
Exercício 8 
 
 
 
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Resolução 
 
Veja, a melhor forma de resolver esta questão é utilizando aproximação, até porque 
o exercício permite isso, pelo seu enunciado. Nós sabemos que: 
 
 
 
Ou seja, a raiz quadrada do R² nos dá o coeficiente de correlação. 
 
O R² é achado facilmente pela divisão da variação explicada pela variação total, 
descrita no quadro acima: 
 ܴଶ ൌ 猃?ǡ ? 猃?ǡ ?؆ ?ǡ ? 稃砃?؆ ?ǡ 礃? 
 
A raiz quadrada deste valor é de 0,89, aproximadamente. O valor que mais se 
aproxima das alternativas é a letra (e), 0,9. 
 
Alternativa (e). 
 
Exercício 9 
 
 
 
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Resolução 
 
Para responder essa questão, basta pensar! 
 
O que é o R²? É uma medida percentual do grau de ajuste, ou seja, quanto da 
variação total conseguiu ser explicada com o modelo prposto. Ora, não é isso que 
está sendo perguntado? ܴଶ ൌ 猃?ǡ ? 猃?ǡ ?؆ ?ǡ ? 稃砃?؆ 礃?ǡ 砃稃? 
 
Alternativa (e). 
 
Exercício 10 
 
 
 
 
 
 
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Resolução 
 
Vamos montar a tabela ANOVA: 
 
 
Aproximadamente, 22. 
 
Alternativa (b). 
 
Exercício 11 
(ISS Salvador ± FUNCAB/2014) A reta de regressão estimada para uma 
determinada variável (Y) em função de outra variável (X) é: 
Y=149-2X 
Quando X=50, Y é igual a: 
A)49 
B)52 
C)51 
D)53 
E)50 
 
Resolução 
 
Muito fácil, pois basta substituir 50 no lugar de X: 
 ܻ ൌ 猃瘃?െ ?ܺ ՜ 猃瘃?െ ? ൈ 眃?ൌ 瘃? 
 
Alternativa (a). 
 
 
 
Fonte de variação GL Soma de quadrados Quadrado Médio Teste F
SQE 1 13,26 13,26/1=13,26 13,26/0,6016=22,04
SQR 6 3,61 3,61/6=0,6016
SQT 7 16,87
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Exercício 12 
(ISS Salvador ± FUNCAB/2014) No modelo de regressão linear ࢅ ൌ ࢼ૙ ൅ ࢼ૚ࢄ, os 
coeficientes {ࢼ૙ǡ ࢼ૚} são denominados, respectivamente: 
A)angular e linear. 
B)linear e linear. 
C)convexidade e concavidade. 
D)linear e angular. 
E)angular e angular. 
 
Resolução 
 
Esta questão é outra decoreba pura! Vamos resolvê-la com raciocínio e com base 
nos conceitos aprendidos em aula. Uma regressão é assim: 
 ܻ ൌ ߚ଴ ൅ ߚଵܺ ൌ ܾ ? ൅ ܾ ? ܺ
 
 
Perceba que b1 é um coeficiente angular! Pois, a depender de seu valor, a inclinação 
da curva será diferente. Já b0 é um valor fixo, o intercepto, no qual a curva intercepta 
o eixo. Este intercepto, com certeza não afeta o ângulo, certo? Por exclusão você 
chega que ele deve ser o coeficiente linear! Assim, você conseguiria responder a 
TXHVWmR�VHP�WHU�³GHFRUDGR´� Alternativa (d). 
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 (TELEBRAS ± CESPE/2015) 
 
 
Exercício 13 
 
 
Resolução 
 
O estimador de máxima verossimilhança para a variância da Normal é esse valor 
mesmo! 
 
Porém, perceba que o denominador tem (n) e não (n-1), portanto este estimador é 
viesado, ou viciado, dado que estamos usando uma amostra. Nós já sabíamos! O 
estimador de Máxima Verossimilhança é viesado. 
 
Alternativa errada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 14 (bota difícil nisso) 
 
 
 
Resolução 
 
Outra questão que você deveria pular. Nós já calculamos o valor de C no exercício 1: 
 ܥ ൌ ? െ ݁ି ఏ 
 
Agora vamos encontrar a função de verossimilhança da nossa função de distribuição. 
Nós sabemos que ela deriva do produtório da mesma avaliada em todos seus pontos: 
 ܨܸ ൌ ܥ ൈ ݁ିఏ ൈ ܥ ൈ ݁ିఏଶܥ ൈ ݁ିఏଷ ൌ ܥ௡ ൈ ݁ିఏ ?௑೔ 
 
Isso é feito para toda variável X, de ݔଵ a ݔ௡. Substituindo o valor de C: 
 ܨܸ ൌ ሺ ? െ ݁ି ఏሻ௡ ൈ ݁ିఏ ?௑೔ 
 
Agora, vamos tirar o Ln de ambos os lados: 
 ܨܸ ൌ ݊ ൈ ܮ݊൫ ? െ ݁ି ఏ൯ െ ߠ ෍ ܺ௜ 
Derive em função do parâmetro: 
 ݊ ൈ ?ሺ ? െ ݁ି ఏሻ ൈ ൫݁ିఏ൯ െ ෍ ܺ௜ ൌ ? 
 
 
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Perceba que a derivada da função dentro do Ln seguiu a regra da cadeia. O que 
fizemos foi derivar a função toda em função do parâmetro e multiplicar pela 
GHULYDGD�GD�³SDUWH�GH�GHQWUR´� 
 
Assim: 
 ݁ିఏሺ ? െ ݁ି ఏሻ ൌ ?ܺ௜݊ 
 
Sabendo que ൫ ? െ ݁ି ఏ൯ ൌ ܥ: 
 ? െ ܥܥ ൌ ?ܺ௜݊ ՜ ?ܥ െ ? ൌ ?ܺ௜݊ 
 
Rearranjando, finalmente chegamos a: 
 ?ܥ ൌ ?ܺ௜݊ ൅ ? ൌ തܺ ൅ ? ՜ ࡯ ൌ ૚૚ ൅ ࢄഥ 
 
Alternativa falsa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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(TCE-RN ± CESPE/2015) 
 
Exercício 15 
 
Resolução 
 
Para resolver esta questão precisamos nos lembrar das fórmulas para encontrarmos 
os valores centrados na média para soma de quadrados: 
 
Precisamos preencher uma ANOVA! A ideia é encontrar a soma dos quadrados dos 
resíduos. Nós sabemos da aula 00 que: 
 
 
 
 
Assim, precisamos encontrar a estimativa para o coeficiente ߙ na regressão dada no 
enunciado e calcular as somas dos quadrados dos resíduos. Assim: ܵܳܶ ൌ ȭݕ෤௞ଶ ൌ ȭݕ௞ଶ െ ሺȭݕ௞ሻଶ݇ 
 
Como, pelo enunciado, k=5: 
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 ܵܳܶ ൌ ȭݕ෤௞ଶ ൌ ȭݕ௞ଶ െ ሺȭݕ௞ሻଶ݇ ൌ ? ?െ 猃?ଶ ? ൌ ? 
 
No caso da soma dos quadrados explicados, precisamos calcular o coeficiente da 
regressão primeiro. Ora, a fórmula é dada por: 
 
 
Neste caso, o b corresponde ao ߙ deste exercício. 
 ȭݕ෤௜ݔ෤௜ ൌ ȭݕ௞ݔ௞ െ ȭݕ௞ȭݔ௞݊ ൌ ? ?െ 猃?ൈ 猃? ? ൌ ? 
 
Enquanto que: 
 ȭݔ෤௞ଶ ൌ ȭݔ௞ଶ െ ሺȭݔ௞ሻଶ݇ ൌ ? ?െ 猃?ଶ ? ൌ ? ? 
 
Portanto: 
 ߙ ൌ ȭݕ෤௜ݔ෤௜ȭݔ෤௞ଶ ൌ ? ? ?ൌ ? ? 
 
Agora, podemos calcular a soma dos quadrados explicados: 
 ܵܳܧ ൌ ȭሺܾݔ෤௜ሻଶ ൌ ܾଶȭݔ෤௜ଶ ൌ ൬ ? ?൰ଶ ൈ ? ?ൌ ?ǡ ? 
 
Agora, depois deste trabalhão, vamos construir a ANOVA: 
 
 
 
 
 
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 Soma dos quadrados Graus de liberdade Quadrado médio 
SQE 2,5 K=1 
SQR 6-2,5=3,5 n-K-1=5-1-1=3 3,5/3=1,16 
SQT 6 n-1=5-1=4 
 
Sendo n o número de observações e K o número de variáveis explicativas! Você 
lembra de como é possível encontrar estes graus de liberdade, certo? 
 
 
 
O quadrado médio dos resíduos é a própria variância dos mesmos! Portanto, o valor 
de V é de 1,16, aproximadamente. 
 
Alternativa correta. 
 
Exercício 16 
 
 
Resolução 
 
Já calculamos isso no exercício anterior. O coeficiente é de ½. 
 
Alternativa falsa. 
 
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Exercício 17 
 
 
Resolução 
 
Vamos fazer a ANOVA completa? Isso facilitará a resolução de todas as alternativas: 
Fonte de 
variação gl 
Soma dos 
quadrados Quadrados Médios Teste F 
P-valor 
(F) 
modelo 1 4,623 4,623/1=4,623 9,76 0,0261 
erro 5 2,371 2,371/5=0,4742 
total 6 7 7/6=1,16 
 
A variância de Y é dada pelo quadrado médio de Y! Ora, nós sabemos que: 
 ܸܽݎሺܻሻ ൌ ܧሺܻଶሻ െ ሺܧሺܻሻሻଶ 
 
Só substitua o que temos: 
 
 
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 ?ǡ 猃?ൌ ?ǡ 球?െ ሺܧሺܻሻሻଶ 
 
Portanto: 
 ሺܧሺܻሻሻଶ ൌ ?ǡ 爃? ܧሺܻሻ ؆ ?ǡ 瘃? 
 
Alternativa verdadeira. 
 
Exercício 18 
 
 
Resolução 
 
O R² é o grau de ajuste e é dado por: 
 ܴଶ ൌ ܵܳܧܵܳܶ ൌ ?ǡ 砃球? ? ؆ ?ǡ ? ? 
 
Alternativa falsa. 
 
Exercício 19 
 
Resolução 
 
Basta nos lembrarmos da fórmula da soma dos quadrados explicados: 
 
 
 
Sendo ݔ෤௜ ൌ ݔ௜ െ ݔҧ e ݔҧ ൌ ݉±݀݅ܽ�݀݁�ݔ. 
 
 
Assim: 
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 ?ǡ 砃球?ൌ ܾ ? ൈሺݔ௜ െ ݔҧ�ሻଶ ?ǡ 砃球?ൌ ܾ ? ൈ 猃?ǡ ? 
 
Bom, aqui já fica claro que esse coeficiente angular nunca será maior do que 1, mas 
vamos calcular: 
 ܾଶ ൌ ?ǡ 砃球? 猃?ǡ ? ؆ ?ǡ ? 砃瘃? 
 ܾ ؆ ?ǡ 眃猃甃? 
 
Alternativa falsa. 
 
Exercício 20 
 
Resolução 
 
A estatística t é calculada pela divisão do valor do coeficiente angular pelo desvio 
padrão de b: 
 ݐ ൌ ܾݏ 
 
A estimativa para o desvio padrão de b é dada por: 
 ݏ ൌ ඨܳݑܽ݀ݎܽ݀݋�݉±݀݅݋�݀݋ݏ�ݎ݁ݏÀ݀ݑ݋ݏሺݔ௜ െ ݔҧ�ሻଶ 
 
 
Portanto: 
 
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ݏ ൌ ඨ ?ǡ 瘃礃瘃? 猃?ǡ ? ؆ ඥ ?ǡ ? 球?؆ ?ǡ ? ? 
 
Agora, calcule a estatística t: 
 ݐ ൌ ?ǡ 眃猃甃? ?ǡ 猃? ؆ ?ǡ ? ? 
 
Alternativa verdadeira. 
 
(TCU ± CESPE/2016) 
Exercício 21 
 
 
Resolução 
 
Nós estudamos isso em nossa aula extra de Regressão Múltipla! 
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Eu já expliquei para vocês que uma Regressão Linear Múltipla, com k parâmetros, é 
dada, genericamente, por: ݕ௜ ൌ ߚ଴ ൅ ߚଵݔଵ௜ ൅ ߚଶݔଶ௜ ǥ ߚ௞ݔ௞௜ ൅ ߝ௜ 
De forma que i represente qual observação está sendo avaliada para cada uma das 
variáveis, de forma que i = 1, 2...n. 
 
Assim, vocês vão pensar com bastante calma e enxergar que é possível dispor os 
dados da seguinte forma: ݕଵ ൌ ߚ଴ ൅ ߚଵݔଵଵ ൅ ߚଶݔଶଵ ൅ ڮ ൅ ߚ௞ݔ௞ଵ ൅ ߝଵ ݕଶ ൌ ߚ଴ ൅ ߚଵݔଵଶ ൅ ߚଶݔଶଶ ൅ ڮ ൅ ߚ௞ݔ௞ଶ ൅ ߝଶ ڭ ݕ௡ ൌ ߚ଴ ൅ ߚଵݔଵ௡ ൅ ߚଶݔଶ௡ ൅ ڮ ൅ ߚ௞ݔ௞௡ ൅ ߝ௡ 
E, portanto, também podemos escrever: 
อݕଵڭݕ௡อ ൌ อ ? ڮ ݔ௞ଵڭ ǥ ڭ ? ǥ ݔ௞௡อ ? อߚ଴ڭߚ௞อ ൅ อߝଵڭߝ௡อ 
O que pode ser reduzido à notação matricial: ܻ ൌ ܺߚ ൅ ߝ 
Opa! Agora vocês estão entendendo o porquê de todo aquele falatório sobre 
matrizes? Esta última forma é a melhor forma de se avaliar uma regressão múltipla, 
pois simplifica, e muito, a descrição das operações realizadas. 
 
Então, o estimador de MQO para a regressão múltipla é o seguinte: ߚ ൌ ሺܺԢܺሻିଵሺܺԢܻሻ 
Olha só pessoal! Percebam a semelhança entre esta expressão e a expressão 
utilizada na regressão simples. No caso, ሺܺԢܻሻ associa-se ao fator ?ݔݕ, enquanto que ሺܺᇱܺሻିଵ é análogo a ଵ 쌋? ?. 
 
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Assim, temos de multiplicar estas duas matrizes. O que temos de fazer multiplicar as 
linhas pelas colunas e somar o resultado. No caso: 
 ൥ ?ǡ 眃? െ ?ǡ 球? െ ?ǡ 瘃?െ ?ǡ 球? ?ǡ 瘃? ?ǡ 猃?െ ?ǡ 瘃? ?ǡ 猃? ?ǡ 眃? ൩ ൥ 球? 猃? 猃?൩ ൌ ൥ ?ǡ ? ൈ 球?െ ?ǡ 球?ൈ 猃?െ ?ǡ 瘃?ൈ 猃?െ ?ǡ 球?ൈ 球?൅ ?ǡ ? ൈ 猃?൅ ?ǡ ? ൈ 猃?െ ?ǡ ? ൈ 球?൅ ?ǡ ? ൈ 猃?൅ ?ǡ ? ൈ 猃?൩ ൌ ൥ ?ǡ ? ?െ ?൩ 
 
Alternativa Correta. 
(TCU ± CESPE/2016) 
Exercício 22 
 
 
 
 
 
Resolução 
 
Para resolver esta questão precisamos dos operadores Esperança e Variância, 
lembra-se? 
 
Para encontrar a média do processo, aplique o operador esperança na equação: 
 ܧሺܺ௧ሻ ൌ ܧሺ ? ൅ ?ǡ ?௧ܺିଵ ൅ ܽ௧ሻ 
 
Ora, pelas propriedades da esperança sabemos que: 
 ܧሺܺ௧ሻ ൌ ܧሺ ?ሻ ൅ ܧሺ ?ǡ ?௧ܺିଵሻ ൅ ܧሺܽ௧ሻ 
 
A primeira coisa a perceber é que, para calcularmos a esperança incondicional: 
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 ܧሺܺ௧ሻ ൌ ܧሺܺ௧ିଵሻ 
 
 
 
Ou seja, queremos saber qual a média do processo, que no caso, seria constante ao 
longo do processo. 
 
A média de uma constante (2) é igual à constante e a média dos erros é zero, segundo 
o enunciado: 
 ܧሺܺ௧ሻ ൌ ? ൅ ?ǡ ?ܧሺܺ௧ሻ ՜ ?ǡ ?ܧሺܺ௧ሻ ൌ ? ՜ ܧሺܺ௧ሻ ൌ ? 
 
E a variância? 
 
Mesmo jeito! Aplique o operador variância: 
 ܸܽݎሺܺ௧ሻ ൌ ܸܽݎሺ ? ൅ ?ǡ ?௧ܺିଵ ൅ ܽ௧ሻ 
 
Lembre-se das propriedades da variância e saiba que somar uma constante em uma 
variável não altera a variância, portanto: 
 ܸܽݎሺܺ௧ሻ ൌ ܸܽݎሺ ?ǡ ? ௧ܺିଵ ൅ ܽ௧ሻ 
 
Como trata-se de um ruído branco, sabemos que o mesmo respeita as hipóteses 
básicas do modelo de regressão, portanto: 
 ܥ݋ݒሺܺ௧ǡ ܽ௧ሻ ൌ ? 
 
Assim, a soma da variância destas duas variáveis será: 
 ܸܽݎሺܺ௧ሻ ൌ ܸܽݎሺ ?ǡ ? ௧ܺିଵሻ ൅ ܸܽݎሺܽ௧ሻ 
 
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Da mesma forma que naaplicação anterior, para encontrar a variância incondicional 
do processo: 
 ܸܽݎሺܺ௧ሻ ൌ ܸܽݎሺܺ௧ିଵሻ 
 
Substituindo: 
 ܸܽݎሺܺ௧ሻ ൌ ܸܽݎሺ ?ǡ ? ௧ܺሻ ൅ ܸܽݎሺܽ௧ሻ 
 
Ao substituir o valor da variância do ruído branco e tirando a constante que multiplica 
X ao quadrado (lembre-se da propriedade de multiplicação de constante nas 
propriedades da variância): 
 ܸܽݎሺܺ௧ሻ ൌ ?ǡ 球?ܸܽݎሺܺ௧ሻ ൅ ? ՜ ܸܽݎሺܺ௧ሻ ൌ ? ?ǡ 礃?ൌ ? 
 
Se a variância é 4, o desvio padrão é 2. 
 
Alternativa correta. 
 
(ANATEL ± CESPE/2015) 
 
 
Exercício 23 
 
Resolução 
É exatamente o contrário! 
 
Só podemos usar o estimador de efeitos aleatórios quando o efeito não observado 
não for correlacionado com as variáveis explicativas! Caso contrário temos de usar 
efeitos fixos! 
Alternativa falsa. 
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Exercício 24 
 
 
Resolução 
 
Perfeito! Se o efeito não observado for correlacionado com as variáveis explicativas, 
o termo de efeito fixo será computado como parte do erro no caso de um painel 
empilhado. Portanto, haverá correlação entre as variáveis explicativas e o termo de 
erro, condição que gera viés e inconsistência. 
 
Alternativa correta. 
 
Exercício 25 
 
Resolução 
 
Nós já vimos isso na aula 08: 
 
 
Alternativa correta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 26 
(IBGE ± FGV/2016) 
 
 
Resolução 
 
Se o modelo estimado não é homocedastico, a saber, possui heterocedasticidade, o 
modelo não será, necessariamente, viesado, mas não será mais eficiente. 
 
Se há correlação entre as variáveis explicativas e o termo de erro, os estimadores 
serão viesados, ou seja, tendenciosos. Como já aprendemos, se o estimador é 
tendecioso, ele também não é consistente! 
 
Alternativa (e). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 27 
(DPE-RJ ± FGV/2015) 
 
 
Resolução 
 
Pessoal, lembra quando eu digo que econometria exige conhecimentos prévios de 
estatística. Aí um caso! Você tem que lembrar qual a relação entre coeficiente de 
correlação e covariância, que é: 
 
Ora, sabendo disso, podemos encontrar a covariância, e, por consequência, o 
HVWLPDGRU�GH�ȕ��9HMD� 
 ?ǡ ? ൌܥ݋ݒሺݔǡ ݕሻ ? ൈ ? ൌ ܥ݋ݒሺݔǡ ݕሻ ൌ ? 
 
3RUWDQWR��ILFD�IiFLO�DFKDU�ȕ� 
 
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ߚ ൌ ܥ݋ݒሺݔǡ ݕሻܸܽݎሺݔሻ ൌ ? ? ?ൌ ? ?ൌ ? 
 
No caso do intercepto, basta lembrar que: 
 തܻ ൌ ߙ ൅ ߚ തܺ ՜ ߙ ൌ 猃?െ ? ൈ ? ൌ ? 
 
Alternativa (b). 
 
Exercício 28 
(DPE-RJ ± FGV/2015) 
 
 
Resolução 
 
Vamos lá, parte por parte. 
(1)-alta correlação entre as variáveis explicativas é o caso de multicolinearidade. Isso 
implica em variância muito elevada para os estimadores e testes de hipóteses 
viesados, porém a banca foi para a linha de considerar o mais amplo, no caso 
multicolinearidade. 
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(2)-causalidade da variável dependente sobre a independente é oc aso cla´ssico de 
endogeneidade, que gera viés e inconsistência. 
(3)-variância não constante do resíduos é autocorrelação, o que gera estimadores 
ineficientes. 
 
Alternativa (b). 
 
Exercício 29 
(DPE-RJ ± FGV/2015) 
 
 
Resolução 
 
Acabamos de ver isso! No caso de presenção de resíduos autocorrelacionados, os 
estimadores de MQO são ineficientes. 
 
Alternativa (d). 
 
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Exercício 30 
(DPE-RJ ± FGV/2015) 
 
 
 
Resolução 
 
Vamos preencher a ANOVA: 
 
Fonte Soma de Quadrados GL Média de Quadrados Teste F p-valor 
Equação 800 
X=2 (2 variáveis 
explicativas) W=800/2=400 H=400/200=2 0,1573 
Resíduos R=5400-800=4600 23 200 
Total 5400 Y=23+2=25 Z=5400/25=216 
 
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Como o p-valor do teste F é de 0,1573, pode-se rejeitar a hipótese nula de que todos 
os coeficientes são igual a zero a 20%. 
 
Alternativa (c). 
 
Exercício 31 
(MI-CENAD- ESAF/2012) 
 
 
Resolução 
 
Para tirar a média precisamos aplicar o operador esperança: 
 ܼ௧ ൌ 猃?൅ ?ǡ ? ௧ܼିଵ ൅ ܽ௧ 
Aplicando o operador (o erro é ruído branco, portanto, possui média igual a zero): 
 ܧሺܼ௧ሻ ൌ ܧሺ 猃?൅ ?ǡ ? ௧ܼିଵ ൅ ܽ௧ሻ ൌ 猃?൅ ?ǡ ?ܧሺ ௧ܼሻ ?ǡ ?ܧሺ ௧ܼሻ ൌ 猃? ܧሺܼ௧ሻ ൌ 球? 
Agora, no caso da variância: ܸܽݎሺܼ௧ሻ ൌ ܸܽݎሺ 猃?൅ ?ǡ ? ௧ܼିଵ ൅ ܽ௧ሻ ൌ ?ǡ ?ଶܸܽݎሺܼ௧ሻ ൅ ? ?ǡ 礃?ܸ ܽݎሺܼ௧ሻ ൌ ? ܸܽݎሺܼ௧ሻ ൌ ? 
 
Alternativa (d). 
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Exercício 32 
(MI-CENAD- ESAF/2012) 
 
 
Resolução 
 
Um modelo conforme descrito no enunciado teria a seguinte forma: 
 ݕ௧ ൌ ߮ݕ௧ିଵ ൅ ܽ௧ െ ߠܽ௧ିଵ 
 
Se utilizarmos o operador defasagem proposto: 
 ݕ௧ ൌ ߮ܤݕ௧ ൅ ܽ௧ െ ߠܤܽ௧ 
 
Rearranjando: 
 ሺ ? െ߮ܤሻݕ௧ ൌ ሺ ? െߠܤሻܽ௧ 
 
Alternativa (e). 
 
 
 
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Exercício 33 
(EPE ± CESGRANRIO/2015) 
 
Resolução 
 
Vamos avaliar as alternativas! 
 
I-Perfeito! O processo em questão tem componentes autoregressivos e de média 
móvel, com defasagem máxima de 1. Portanto, trata-se de uma ARMA(1,1). 
II-A melhor forma é calcular a esperança, variância e covariância do processo, de 
forma que: 
 ݕ௧ ൌ ?ǡ ?ݕ௧ିଵ ൅ ? ൅ ௧݁ െ ?ǡ ?௧݁ିଵ 
 
Para encontrar a média do processo, vamos aplicar o operador esperança: 
 ܧሺݕ௧ሻ ൌ ܧሺ ?ǡ ?ݕ௧ିଵ ൅ ? ൅ ௧݁ െ ?ǡ ?௧݁ିଵሻ 
 ܧሺݕ௧ሻ ൌ ?ǡ ?ܧሺݕ௧ሻ ൅ ? ՜ ?ǡ ?ܧሺݕ௧ሻ ൌ ? ՜ ܧሺݕ௧ሻ ൌ 猃? 
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Ou seja, a média é constante, primeira condição satisfeita. 
 
Agora, precisamos calcular a variância: 
 ܸܽݎሺݕ௧ሻ ൌ ܸܽݎሺ ?ǡ ?ݕ௧ିଵ ൅ ? ൅ ௧݁ െ ?ǡ ?௧݁ିଵሻ ܸܽݎሺݕ௧ሻ ൌ ?ǡ ? ?ܸܽݎሺݕ௧ሻ ൅ ? ൅ ߪ ? െ ?ǡ ? ?ߪ ?ሻ ?ǡ 甃?ܸܽݎሺݕ௧ሻ ൌ ?ǡ 礃?ߪ ? ܸܽݎሺݕ௧ሻ ؆ ?ǡ 爃?ߪ ? 
 
Portanto, a variância é constante, segunda condição satisfeita. 
 
A covariância calcula-se assim: ܧሺݕ௧ݕ௧ିଵሻ ൌ ܧሺሺ ?ǡ ?ݕ௧ିଵ ൅ ? ൅ ௧݁ െ ?ǡ ?௧݁ିଵሻݕ௧ିଵሻ ܧሺݕ௧ݕ௧ିଵሻ ൌ ܧሺ ?ǡ ?ݕ௧ିଵ ? ൅ ?ݕ௧ିଵ ൅ ݁௧ݕ௧ିଵ െ ?ǡ ?௧݁ିଵݕ௧ିଵሻ ܥ݋ݒሺݕ௧ݕ௧ିଵሻ ൌ ?ǡ ?ܸܽݎሺݕ௧ሻ ൅ ?ܧሺݕ௧ሻ 
 
Portanto, a covariância não depende de nada além do valor da defasagem. 
 
A série é estacionária.III-Já calculamos a média do processo, que é 10 e não 2. 
 
Alternativa (c). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Está manjando de derivada? Vamos fazer um exercício 
mais complicadinho? 
 
Exercício 34 
(EPE ± CESGRANRIO/2015) 
 
 
Resolução 
 
Vamos analisar alternativa por alternativa. Basicamente, o exercício quer uma parte 
determinística côncava, a saber: 
 
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(a)-essa função é constante e, portanto, não há como um segmento de reta unir a 
parte de baixo desta reta, ou seja, não é côncava. 
(b)-essa função, apesar de não ser constante, não é côncava, mas uma reta. 
(c)-Vamos derivar a função! Se a segunda derivada for sempre for positiva quer dizer 
que ela é estritamente convexa, enquanto que se for sempre negativa, estritamente 
côncava. ݕ ൌ ߙ ൅ ߚඥݔ ?ൌ ߙ ൅ ߚݔଷଶ 
Derivando: ݀ݕ݀ݔ ൌ ? ?ߚݔଵଶ 
Derivando de novo: ݀ ?ݕ݀ݔ ?ൌ ? ?ߚݔିଵଶ 
 
No intervalo desejado, pode fazer as contas, isso será sempre positivo, portanto, não 
côncava. 
(d)-Mesma coisa: 
 ݕ ൌ ߙ ൅ ߚݔ ? ݀ݕ݀ݔ ൌ ?ߚݔ ݀ ?ݕ݀ݔ ?ൌ ?ߚ 
 
Sempre positiva, portanto, convexa, ou seja, não côncava. 
(e)-Mesma coisa: 
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ݕ ൌ ߙ ൅ ߚŽ�ሺ ? ൅ ݔሻ ݀ݕ݀ݔ ൌ ߚ ?൅ ݔ ݀ ?ݕ݀ݔ ?ൌ െ ߚሺ ?൅ ݔሻଶ 
 
Essa será negativa no intervalo desejado! Portanto, essa função é côncava! 
 
Alternativa (e). 
 
Exercício 35 
(DAAE ± CETRO/2015) 
 
 
Resolução 
 
Vamos avaliar as alternativas: 
 
I-Essa é uma propriedade importante que tem de ser guardada! Estimadores de 
Máxima Verossimilhança são viesados, mas consistentes. 
II-Nada a ver. O teste de Durbin-Watson testa autocorrelação nos resíduos, como ele 
poderia ter essa hipótese? 
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III-A multicolinearidade amplia a variância dos coeficientes associados às variáveis 
H[SOLFDWLYDV�� RX� VHMD�� LQGHSHQGHQWHV�� 4XH� SHJDGLQKD�� QmR� p� ³GHSHQGHQWHV´�� PDV�
³LQGHSHQGHQWHV´� 
 
Alternativa (a). 
 
(DAAE ± CETRO/2015/alterada) Julgue as afirmativas à respeito de Econometria. 
 
Exercício 36 
 
Resolução 
 
Nós já vimos que multicolinearidade não gera viés! Colinearidade imperfeita é o caso 
em que existe correlação entre as variáveis explicativas, mas não forma uma relação 
linear perfeita. Alternativa errada. 
 
Exercício 37 
 
 
Resolução 
Todos os testes de hipóteses ficam prejudicados sob heterocedasticidade, inclusive 
o Teste F. Essa é uma das características de um modelo estimado sob 
heterocedasticidade, a saber, variância dos erros não constante. 
 
Alternativa Falsa. 
 
Exercício 38 
 
 
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Resolução 
 
Nós estudamos formas de realizar previsões de uma série de tempo a partir da 
modelagem da mesma por meio do procedimento Box-Jenkins, ou seja, o 
conhecimento e previsão são faces da mesma moeda de análise de series de tempo. 
 
Alternativa verdadeira. 
 
(TJ-BA ± FGV/2015- alterada) 
 
Com base no enunciado, julgue as afirmativas: 
 
Exercício 39 
 
 
 
Resolução 
 
Falso! O coeficiente relativo à classe de renda da localidade tem p-valor maior do que 
10%, portanto ele não é significativo a 10%. 
 
Alternativa errada. 
 
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Exercício 40 
(SEDUC± FGV/2015) 
 
 
Resolução 
 
Vamos preencher a tabela. Aí fica fácil! 
 VALOR GL QM TESTE F 
SQE 220 1 220/1 220/1,25=176 
SQR 
250-
220=30 24 30/24=1,25 
SQT 250 1+24=25 
 
Alternativa (c). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 41 
(SEDUC± FGV/2015) 
 
 
Resolução 
 
2OKD�Dt�XPD�TXHVWmR�SDUD�YRFr�WRPDU�FXLGDGR��(OH�FKDPRX�R�³QRVVR´�645�GH�64(�
H� ³QRVVR´�64(�GH�645��6RPD�GRV�TXDGUDGRV�GD� UHJUHVVmR�p�645�H�GRV�HUURV�p�
SQE. Portanto, o R² é dado por: 
 ܴଶ ൌ ܴܵܳܵܳܶ ൌ ? െܵܳܧܵܳܶ 
 
Alternativa (d). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Lista de exercícios resolvidos 
(BACEN ± CESPE/2013) 
 
 
Exercício 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 2 
(Fiscal RJ ± ESAF/2010) 
 
 
 
Exercício 3 
 
(Fiscal RJ ± ESAF/2010) 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 4 
 
(MTUR ± ESAF/2014) 
 
 
 
Exercício 5 
 
(EMPLASA ± VUNESP/2015) 
 
 
 
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Exercício 6 
 
(EMPLASA ± VUNESP/2015) 
 
 
Exercício 7 
(EMPLASA ± VUNESP/2015) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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(TJ-SP - VUNESP/2015) Com base no texto responda as questões a seguir. 
 
 
Exercício 8 
 
 
 
 
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Exercício 9 
 
 
Exercício 10 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 11 
(ISS Salvador ± FUNCAB/2014) A reta de regressão estimada para uma 
determinada variável (Y) em função de outra variável (X) é: 
Y=149-2X 
Quando X=50, Y é igual a: 
A)49 
B)52 
C)51 
D)53 
E)50 
 
 
Exercício 12 
(ISS Salvador ± FUNCAB/2014) No modelo de regressão linear ࢅ ൌ ࢼ૙ ൅ ࢼ૚ࢄ, os 
coeficientes {ࢼ૙ǡ ࢼ૚} são denominados, respectivamente: 
A)angular e linear. 
B)linear e linear. 
C)convexidadee concavidade. 
D)linear e angular. 
E)angular e angular. 
 
 (TELEBRAS ± CESPE/2015) 
 
 
Exercício 13 
 
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Exercício 14 (bota difícil nisso) 
 
 
 
(TCE-RN ± CESPE/2015) 
 
Exercício 15 
 
 
Exercício 16 
 
 
 
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Exercício 17 
 
 
Exercício 18 
 
 
Exercício 19 
 
 
Exercício 20 
 
 
 
 
 
 
 
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(TCU ± CESPE/2016) 
Exercício 21 
 
 (TCU ± CESPE/2016) 
Exercício 22 
 
 
 
 
 
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(ANATEL ± CESPE/2015) 
 
 
Exercício 23 
 
 
Exercício 24 
 
 
Exercício 25 
 
 
Exercício 26 
(IBGE ± FGV/2016) 
 
 
 
 
 
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Exercício 27 
(DPE-RJ ± FGV/2015) 
 
 
Exercício 28 
(DPE-RJ ± FGV/2015) 
 
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Resolução 
 
Exercício 29 
(DPE-RJ ± FGV/2015) 
 
 
 
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Exercício 30 
(DPE-RJ ± FGV/2015) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 31 
(MI-CENAD- ESAF/2012) 
 
 
Exercício 32 
(MI-CENAD- ESAF/2012) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 33 
(EPE ± CESGRANRIO/2015) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Está manjando de derivada? Vamos fazer um exercício 
mais complicadinho? 
 
Exercício 34 
(EPE ± CESGRANRIO/2015) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 35 
(DAAE ± CETRO/2015) 
 
 
(DAAE ± CETRO/2015/alterada) Julgue as afirmativas à respeito de Econometria. 
 
Exercício 36 
 
 
Exercício 37 
 
 
Exercício 38 
 
 
 
 
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(TJ-BA ± FGV/2015- alterada) 
 
Com base no enunciado, julgue as afirmativas: 
 
Exercício 39 
 
 
 
 
Exercício 40 
(SEDUC± FGV/2015) 
 
 
 
 
 
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Exercício 41 
(SEDUC± FGV/2015) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1 V 21 V 41 d 
2 e 22 V 
3 c 23 F 
4 a 24 V 
5 d 25 V 
6 e 26 e 
7 c 27 b 
8 e 28 b 
9 e 29 d 
10 b 30 c 
11 a 31 d 
12 d 32 e 
13 F 33 c 
14 F 34 e 
15 V 35 a 
16 F 36 F 
17 V 37 F 
18 F 38 V 
19 F 39 F 
20 V 40 c 
 
 
Que aula difícil! Estude com calme e mandem as dúvidas. Esta aula 
extra\simulado não é obrigatória, mas, para os corajosos, pode ser a diferença 
fundamental. Foco no BACEN! 
 
Se você vir questões como a 1 e/ou 14, não seja bobo, pule!! Aquilo é inviável 
para uma prova, se você resolvesse, demoraria o tempo da prova inteira. 
 
Um abraço e mandem dúvidas 
 
jeronymobj@hotmail.com