Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original
Guias dos Relat�rios/LAB 1 - Determina��o Experimental do Centro de Press�o de uma Superf�cie Submersa.pdf
Disciplina: Mecânica dos Fluidos
Prática: Prof. Elie Luis Martínez Padilla
Prof. João Marcelo Vedovoto
Teoria: Prof. Aristeu da Silveira Neto
Experiência No 1
Determinação Experimental do Centro de Pressão de uma
Superfície Submersa
1. Objetivo
Comprovar experimentalmente a teoria da hidrostática, para o caso particular de uma superfície
parcialmente ou totalmente submersa.
2. Desenvolvimento teórico
A figura 1 ilustra a montagem experimental e a notação utilizada:
a = 10,0 cm
b = 7,5 cm
d = 10,0 cm
L = 27,5 cm
Figura 1. Esquema da montagem e notação.
2.1 Superfície completamente imersa
2.1.1 Cálculo da força hidrostática (demonstrar no relatório!),
cgF gh Aρ= (1)
2
d
hhcg −=
2.1.2. Cálculo do centro de pressão teórico
cp cg cph h y= − (2)
sen
0xycp
cg
I
x
h A
θ
= − =
senxx xx
cp
cg cg
I I
y
h A h A
θ
= − = −
Universidade Federal de Uberlândia
Faculdade de Engenharia Mecânica
Laboratório de
Ensino em Fenômenos de Transporte
d
b
x
y
cg
cp
hcp hcg
ycp
Figura 2. Completamente imersa
hcp hcg d h
P b
y
x
L
a
3
12xx
bdI = , A bd= .
2.1.3. Centro de pressão experimental
Pelo equilíbrio de momento
( )[ ] ( )[ ]cpcp hdhabd2dhghdhaFmgL +−−
−=+−−= ρ
( )[ ]dha
bd
2
dh
mLhcp −−−
−
=
ρ
(3)
2.2 Superfície parcialmente imersa
2.2.1 Cálculo da força hidrostática,
cgF gh Aρ= (4)
2
hhcg =
2.2.2. Cálculo do centro de pressão teórico
cp cg cph h y= − (5)
0xcp =
Ah
Iy
cg
xx
cp −=
12
bhI
3
xx = , bhA =
2.2.3. Centro de pressão experimental
( )[ ] ( )[ ]cpcp hhdahb2hghhdaFmgL +−+=+−+= ρ
..................
..
cph = (6)
3. Equipamento experimental
• Bancada hidráulica base,
• Aparato de hidrostática.
4. Procedimento experimental
Será explicado no laboratório.
Figura 3. Parcialmente imersa
d
b
x
y
h
cp
cg
Figura 3. Parcialmente imersa
Tabela 1. Dados coletados, área e momento de inércia calculados.
Medida Massa [gr] h [mm] A[m2] Ixx[ ]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5. Resultados
Tabela 2. Usando ..................ρ =
Medida hcg [m] ycp [m] F [N] hcpt teórico hcpe exp. erro [%]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
• Traçar uma curva do centro de
pressão experimental ( cpeh ) em
função do centro de pressão teórico
( cpth ), Gráfico 1; ajustar uma
equação utilizando-se o método dos
mínimos quadrados e calcular o
ângulo de inclinação da reta obtida;
qual o ângulo esperado? e porque?
• Explicar porque o centro de pressão
está sempre abaixo do centróide e
dar explicações para os possíveis
erros observados.
6. Relatório
Elaborá-lo segundo as recomendações.
7. Bibliografia
Procurar no setor de mec. dos fluidos e
fenômenos de transporte da biblioteca. Gráfico 1.
Guias dos Relat�rios/LAB 2 - Valida��o Experimental da Segunda Lei de Newton ou Balan�o de Quantidade de Movimento.pdf
Disciplina: Mecânica dos Fluidos
Prática: Prof. Elie Luis Martínez Padilla
Prof. João Marcelo Vedovoto
Teoria: Prof. Aristeu da Silveira Neto
Experiência No 2
Validação Experimental da Segunda Lei de Newton ou Balanço de
Quantidade Movimento
1. Objetivo
Comprovar a segunda lei de Newton ou lei da quantidade de movimento linear aplicada a um
volume de fluido inercial.
2. Desenvolvimento teórico
O teorema do transporte de Reynolds aplicado a quantidade de movimento linear em um meio
fluido em movimento está demonstrada na maior parte dos livros de Mecânica dos Fluidos
básica. Buscar esta literatura e apresentar a demonstração da equação seguinte, válida para
um volume de fluido inercial:
( ) ( ).y yy
VC SC
Fs V d V V dA
t
ρ ϑ ρ ∂= + ∂ ∫ ∫
��
. (1)
Fazer, as seguintes hipóteses:
• Regime permanente,
• Desprezar efeitos viscosos,
• Desprezar efeitos da gravidade (erros da ordem de 0,8 %),
e demonstrar que:
A) para o sistema ilustrado na figura 1, a
força resultante vertical que o jato efetuará
sobre a placa defletora é dada por:
( )
2
1 cosy
QF
A
ρ θ= + , (2)
B) para o sistema ilustrado na figura 2, a
força resultante vertical que o jato efetuará
sobre a placa defletora é dada por:
( )
2
1 cosy
QF
A
ρ θ= − , (3)
onde Q é a vazão, A é a área da saída do bico injetor e θ é o ângulo formado com a
horizontal. É importante observar que a hipótese usada acima, desprezar os efeitos viscosos,
Universidade Federal de Uberlândia
Faculdade de Engenharia Mecânica
Laboratório de
Ensino em Fenômenos de Transporte
Figura 1. Colisão e deflexão de um jato simétrico
sobre uma placa.
implica em dizer que a velocidade do líquido, após
sair do bico injetor, é constante. Logo, pode-se dizer
que a área transversal do jato é igual à área do
lençol de líquido na saída da placa defletora.
Lembrar que a força que se calcula pela aplicação
da conservação da quantidade de movimento atua
sobre o volume de controle de fluido. A forca que
atua sobre a placa é a reação, ou seja, de igual
magnitude e de sentido contrário.
A equação (2) pode ser reescrita da seguinte forma:
( )1 cosy tF Q C QQ A
ρ θ= + = , (4)
com
( )1 costC A
ρ θ= + . (5)
Assim, a equação (4) pode ser expressa da seguinte forma:
( ) ty x C x= , (6)
onde x Q= e ( ) yFy x Q= .
A equação (3) também pode ser reescrita, na forma da equação (6).
3. Equipamento experimental
• Bancada hidráulica base,
• Bancada para impacto de jatos; Diâmetro do bico injetor = 8,0 mm.
4. Procedimento experimental
Será explicado no laboratório.
Fixar um tipo de placa defletora. Montar uma tabela com diferentes pares de vazão e massa
necessária para equilibrá-la. Repetir o procedimento para as outras placas: 0o, 30o, 90o e 120o.
Preencher a tabela abaixo.
Tabela 1. Dados, placa de ângulo 0o
Medida Massa [gr] t1 [s] t2 [s] t3 [s] t médio [s] Q [lit/s]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Figura 2. Colisão e deflexão de um jato não
simétrico sobre uma placa.
Tabela 2. Dados, placa de ângulo 30o
Medida Massa [gr] t1 [s] t2 [s] t3 [s] t médio [s] Q [lit/s]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tabela 3. Dados, placa de ângulo 90o
Medida Massa [gr] t1 [s] t2 [s] t3 [s] t médio [s] Q [lit/s]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5. Resultados
Com os dados das tabelas 1, 2 e 3 montar uma tabela contendo os valores da força relativa às
diferentes vazões. Criar outra coluna de força dividida pela vazão e:
Tabela 4. Cálculo da força.
• Montar os gráficos x vs. ( )y x e,
utilizando-se do método dos mínimos
quadrados, obter Ct relativo aos
ângulos das placas.
• Comparar os coeficientes teóricos e
experimentais.
• Calcular os erros e explicá-los.
• Analisar a influência do ângulo θ
sobre a força.
6. Relatório
Elaborá-lo segundo as recomendações.
7. Bibliografia: Conforme nos experimentos precedentes.
Placa 0o
Medida Q [m3/s] F
exp [N] F exp /Q [ ]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tabela 5. Cálculo da força.
Placa 30o 90o
Medida Q [m3/s] Fexp [N] F exp /Q [ ] Q [m3/s] F exp [N] F exp /Q [ ]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tabela 6. Comparação dos coeficientes Ct. usando ..................ρ =
Placa Ct teor. Ct exp. erro [%]
0 o
30 o
90 o
Gráfico 1
Obs: levar calculadora
Guias dos Relat�rios/LAB 3 - Demonstra��o da Equa��o de Bernoulli.pdf
Disciplina: Mecânica dos Fluidos
Prática: Prof. Elie Luis Martínez Padilla
Prof. João Marcelo Vedovoto
Teoria: Prof. Aristeu da Silveira Neto
Experiência No 3
Demonstração da Equação de Bernoulli
1. Objetivo
Comprovar experimentalmente a equação de Bernoulli.
2. Desenvolvimento teórico
A equação de Bernoulli representa o principio da conservação da energia total (Fig. 1) sobre
um escoamento reversível (sem efeitos viscosos e sem transferência de calor). Buscar na
literatura informação e demonstrar essa equação:
2 2
1 2
1 1 2 22 2
V Vp gz p gz constanteρ ρρ ρ+ + = + + = . (1)
onde V representa a velocidade, p a
pressão estática, ρ a massa específica,
g a aceleração da gravidade e z a
cota do ponto considerado.
Para a demonstração fazer as seguintes
hipóteses:
• Regime permanente;
• Escoamento incompressível;
• Escoamento não viscoso.
3. Equipamento experimental
• Bancada hidráulica de base,
• Bancada de Bernoulli.
Parâmetros geométricos das seções:
Seção Diâmetro [mm] Distância [mm]
1 25,00 00,00
2 13,00 60,28
3 11,80 68,68
4 10,70 73,18
5 10,00 81,08
6 25,00 141,54
Universidade Federal de Uberlândia
Faculdade de Engenharia Mecânica
Laboratório de
Ensino em Fenômenos de Transporte
Figura 1. Princípio de Bernoulli
4. Procedimento experimental
Será explicado no laboratório e o aluno deverá desenvolvê-lo no relatório.
Tabela 1. Dados coletados e vazão experimental calculada.
Medida Volume [l] Tempo [s] ( )eQ [l /s] ( )eQ
1
2
3
Tabela 2. Dados experimentais.
Vazão 1Q 2Q 3Q
Seção ( )e ep [mmCA] ( )t ep [mmCA] ( )e ep [mmCA] ( )t ep [mmCA] ( )e ep [mmCA] ( )t ep [mmCA]
1
2
3
4
5
6
5. Resultados
A experiência será desenvolvida em um tubo de Venturi. As medidas serão levantadas na
seção convergente do mesmo. Para se comprovar a validade desta equação,
experimentalmente, serão medidas a pressão estática ( ( )e ep ) e a pressão total ( ( )t ep ) para
logo calcular a ( ) ( ) ( )( )d e t e e ep p p= − . Para esse conjunto de dados será medida também a
vazão ( )eQ .
Teoricamente, com o valor de Q calcula-se a velocidade média e usando-se o termo da
pressão dinâmica obtém-se ( )d tp . Considera-se que a pressão total teórica é igual à pressão
total experimental do primeiro ponto, assim, calcula-se a pressão ( )e tp em todos os pontos.
• Montar os gráficos de pressões (estática, dinâmica, total) em função da posição da tomada
da pressão, um para cada valor de ( )eQ .
• Represente graficamente a variação da pressão total em função de ( )eQ para cada ponto.
• Analise os gráficos e comente a respeito da validade da equação de Bernoulli.
• As pressões teóricas e experimentais são iguais? Se existir diferença entre elas, dar
explicações das possíveis causas.
• Qual das pressões totais é mais confiável? Justificar.
Tabela 3. Usando ..................ρ =
Vazão 1Q = [m3/s]
Seção ( )e ep [Pa] ( )d ep [Pa] ( )t ep [Pa] Vm [m/s] ( )d tp [Pa] ( )e tp [Pa] ( )t tp [Pa]
1
2
3
4
5
6
Tabela 4. Usando ..................ρ =
Vazão 2Q = [m3/s]
Seção ( )e ep [Pa] ( )d ep [Pa] ( )t ep [Pa] Vm [m/s] ( )d tp [Pa] ( )e tp [Pa] ( )t tp [Pa]]
1
2
3
4
5
6
Tabela 5. Usando ..................ρ =
Vazão 3Q = [m3/s]
Seção ( )e ep [Pa] ( )d ep [Pa] ( )t ep [Pa]] Vm [m/s] ( )d tp [Pa]] ( )e tp [Pa] ( )t tp [Pa]]
1
2
3
4
5
6
Tabela 6. Erro para pressão total.
Vazão 1Q 2Q 3Q
Seção erro [%] erro [%] erro [%]
1
2
3
4
5
6
6. Relatório
Elaborá-lo segundo as recomendações.
7. Bibliografia
Conforme nos experimentos precedentes.
Gráfico 1
Gráfico 2
Gráfico 3
Gráfico 4. Pressão total experimental nas seções 1, 5 e 6.
Obs: levar calculadora
Guias dos Relat�rios/LAB 4 - Determina��o experimental dos coeficientes de descarga dos medidores de vaz�o tipo Venturi e tipo placa de orif�cio.pdf
Disciplina: Mecânica dos Fluidos
Prática: Prof. Elie Luis Martínez Padilla
Prof. João Marcelo Vedovoto
Teoria: Prof. Aristeu da Silveira Neto
Experiência No 4
Determinação experimental dos coeficientes de descarga dos medidores de
vazão tipo Venturi e tipo placa de orifício
1. Objetivo
• Determinar experimentalmente o coeficiente de descarga de um medidor de vazão
venturi;
• Determinar experimentalmente o coeficiente de descarga de um medidor de vazão
placa de orifício;
2. Desenvolvimento teórico
Sabe-se que é possível medir, indiretamente, a
vazão que passa por uma dada canalização,
medindo-se a diferença de pressão provocada por
uma contração colocada nesta canalização. Seja
o venturi ilustrado na Fig. 1, aplicando a equação
de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 e combinando o
resultado com a equação da continuidade, tem-se
a seguinte expressão para a vazão (o aluno deve
demonstrar esta dedução):
( )1 1 22
1
vc
2
1
AQ p p
A
A
ρ
= −
−
. (1)
Observar que a pressão 2p é determinada pela
área da vena contracta a qual é desconhecida e não se pode determiná-la com precisão. Neste
caso, ela será substituída por 2A e introduz-se uma correção através do chamado coeficiente
de descarga dC . Logo,
( )Q C A
A
A
p pd=
−
−
1
1
2
2 1 2
1
2
ρ
. (2)
Este coeficiente de descarga também é conhecido como coeficiente de calibração. Sua
determinação deve ser forçosamente experimental. Para tanto basta identificar o lado esquerdo
da equação (2) como sendo a vazão real ou experimental e o lado direito como sendo o
produto de Cd pela vazão teórica, ou seja:
Universidade Federal de Uberlândia
Faculdade de Engenharia Mecânica
Laboratório de
Ensino em Fenômenos de Transporte
Figura 1. Venturi
( ) ( ) e d tQ C Q= . (3)
Fazendo-se uma série de medidas da vazão real e da diferença de pressão associada e
conhecendo-se os parâmetros geométricos, traça-se uma reta de ( )
ex tQ f Q= , cujo coeficiente
angular é o coeficiente de descarga do medidor de vazão em questão.
3. Equipamento experimental
• Bancada hidráulica base,
• Circuito para calibração de medidores de vazão.
Dados geométricos: tuboD = 31,75 mm
ventD = 15,00 mm
porfD = 20,00 mm
4. Procedimento experimental
Será explicado no laboratório.
Tabela 1. Vazão experimental.
Medida ( )eQ [l /s]a ( )eQ [l /min]
1
Rotâmetro
2
volume 1 v2 v3
tempo 1 t2 t3
3
Rotâmetro
4
volume 1 v2 v3
tempo 1 t2 t3
5
Rotâmetro
6
volume 1 v2 v3
tempo 1 t2 t3
7
Rotâmetro
8
volume 1 v2 v3
tempo 1 t2 t3
9
Rotâmetro
10
volume 1 v2 v3
tempo 1 t2 t3
Tabela 2. Pressão experimental ( )ep .
Venturi [mmCA] Placa de orifício [mmCA]
Medida 1p 2p 6p 7p
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5. Resultados
Realizar os experimentos e preencher as tabelas anexas.
• Tratar os dados e calcular ( )eQ e ( )tQ ( ( )tQ usando a Eq. 2 e os dados de pressão
medidos).
• Traçar as curvas e ajustar as equações para os dois casos.
• Determinar os coeficientes de descarga.
• Comparar com os valores típicos citados pela literatura.
• Comparar os valores da ( )eQ com os valores indicados pelo rotâmetro, especificar o erro.
6. Relatório
Elaborá-lo segundo as recomendações.
7. Bibliografia
Conforme nos experimentos precedentes.
Obs: Levar calculadora.
Tabela 3. Venturi.
Medida ( )tQ [m3/s] ( )eQ [m3/s] ( )eQ [m3/s] erro [%] erro [%]
1 Rotâmetro Rotâmetro
2
3 Rotâmetro Rotâmetro
4
5 Rotâmetro Rotâmetro
6
7 Rotâmetro Rotâmetro
8
9 Rotâmetro Rotâmetro
10
Gráfico 1. Medidor de tipo Venturi.
Tabela 4. Placa de orifício.
Medida ( )tQ [m3/s] ( )eQ [m3/s] ( )eQ [m3/s] erro [%] erro [%]
1 Rotâmetro Rotâmetro
2
3 Rotâmetro Rotâmetro
4
5 Rotâmetro Rotâmetro
6
7 Rotâmetro Rotâmetro
8
9 Rotâmetro Rotâmetro
10
Gráfico 2. Placa de orifício
Tabela 5. Coeficientes de descarga.
dC dC
Venturi Rotâmetro
Placa de orifício Rotâmetro
Guias dos Relat�rios/LAB 5 - Calibra��o de um convergente para determina��o da velocidade m�dia na se��o de testes de um t�nel aerodin�mico.pdf
Disciplina: Mecânica dos Fluidos
Prática: Prof. Elie Luis Martínez Padilla
Prof. João Marcelo Vedovoto
Teoria: Prof. Aristeu da Silveira Neto
Experiência No 5
Calibração de um convergente para determinação da velocidade média
na seção de testes de um túnel aerodinâmico
1. Objetivo
• Medir velocidades utilizando um tubo de Pitot
• Calibrar um conduto convergente para determinação de vazão
2. Desenvolvimento teórico
2.1 Revisar a teoria para determinar a
velocidade de uma partícula de fluido
utilizando-se um tubo de Pitot. Visto em
sala de aula! Aprofundar com leitura
complementar !.
A velocidade local V pode ser avaliada
pela expressão:
2
pV
ρ
∆
= , (1)
onde P∆ é a diferença de pressão registrada na sonda de Pitot e ρ é a massa específica
do fluido.
A velocidade média deve ser calculada usando os valores de velocidade local ponderada
pela posição do tubo de Pitot H (em relação à base do túnel de vento).
2.2 Revisar a teoria para determinar a vazão do fluido em um sistema utilizando um duto
convergente. Visto na experiência 4! Reapresentar.
3. Equipamento:
• Túnel de vento,
• Tubo de Pitot.
Diâmetro do tubo de Pitot: 3 mm.
4. Procedimento experimental
Será explicado no laboratório.
............................ρ = ???
Universidade Federal de Uberlândia
Faculdade de Engenharia Mecânica
Laboratório de
Ensino em Fenômenos de Transporte
Figura 1. Tubo de Pitot
Tabela 1. Dados experimentais coletados.
P∆ conv. [mmCA] =
Freqüência [Hz] = 20 30 40 50 60
Méd. H [mm] p∆ [mmCA] p∆ [mmCA] p∆ [mmCA] p∆ [mmCA] p∆ [mmCA]
1 1,5
2 2,0
3 2,5
4 3,0
5 3,5
6 4,0
7 5,0
8 6,0
9 7,0
10 8,0
11 9,0
12 10,0
13 12,0
14 20,0
15 30,0
16 40,0
17 60,0
18 100,0
Tabela 2. Velocidade local.
Freqüência [Hz] = 20 30 40 50 60
Méd. H [m] V [m/s] V [m/s] V [m/s] V [m/s] V [m/s]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
5. Resultados
Tabela 3. Dados para calcular velocidade média.
Freqüência [Hz] = 20 30 40 50 60
Méd. H [m] VH [.....] VH [.....] VH [.....] VH [.....] VH [.....]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
∑
• Traçar os gráficos de velocidade local em função da posição em relação à parede inferior
do canal;
Gráfico 1. Perfis de velocidade
Tabela 4. Dados experimentais para determinar a equação de calibração.
Méd. Freq.
[Hz]
P∆ do convergente
[mmCA]
V velocidade média
[m/s]
1 20
2 30
3 40
4 50
5 60
• Traçar o gráfico da velocidade média V na seção de teste do túnel em função do p∆ do
convergente em mmCA.
• Determinar o polinômio (da forma ( )bV a P= ∆ ) pelo método dos mínimos quadrados,
onde V em [m/s] e, convenientemente, P∆ em [mmCA] .
Gráfico 2. Usando ..................ρ =
6. Relatório
Elaborá-lo segundo as recomendações.
7. Bibliografia
Conforme nos experimentos precedentes.
Obs: Levar calculadora.
Guias dos Relat�rios/LAB 5 (TIPO 2) - Caracteriza��o Hidrodin�mica de um Orif�cio.pdf
Disciplina: Mecânica dos Fluidos I
Prática: Prof. Elie Luis Martínez Padilla
Experiência No 5
Caracterização hidrodinâmica de um orifício
1. Objetivo
• Calibrar um orifício como um medidor de vazão;
• Determinar o coeficiente de velocidade (Cv), o coeficiente de contração (Cc) e o
coeficiente de descarga (Cd) de um orifício.
2. Desenvolvimento teórico
A Fig. 1 ilustra um orifício, por meio do qual se gera
uma vazão ( )eQ . Apresenta-se em seguida a teoria
resumida sobre os coeficientes citados acima (o aluno
deve apresentar esta teoria em detalhes no seu
relatório).
A velocidade que se atingiria na vena contracta se os
efeitos de atrito não fossem considerados é
denominada de velocidade teórica ou ideal tV . Devido
ao efeito do atrito viscoso, a velocidade real eV é
menor e a relação delas é o coeficiente de velocidade:
e
v
t
VC
V
= . (1)
A razão da área do jato na vena contracta vcA e a área do orifício oA é definida como sendo o
coeficiente de contração:
o
vc
c A
AC = . (2)
A razão entre a vazão real
e
Q e a vazão ideal tQ é definida como sendo o coeficiente de
descarga do orifício:
e
d
t
QC Q= . (3)
Observando-se que tde QCQ = , evce VAQ = e tot VAQ = , conclui-se que:
C C Cd c v= . . (4)
Universidade Federal de Uberlândia
Faculdade de Engenharia Mecânica
Laboratório de
Ensino em Fenômenos de Transporte
Figura 1. Venturi
Aplicando-se a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 na Fig. 1 e desprezando-se a
diferença das pressões entre estes dois pontos e os efeitos viscosos, tem-se que:
ghVt 2= . (5)
Logo,
ghCV ve 2= . (6)
Para se determinar os coeficientes a que se propõe, necessita-se determinar a vazão e um dos
coeficientes de descarga. Como o coeficiente de contração não pode ser medido no nosso
laboratório, buscar-se-á uma forma de se medir o coeficiente de velocidade. Para tanto será
utilizado o seguinte desenvolvimento teórico. Considera-se o jato da Fig. 1, o qual está
submetido ao campo gravitacional. Logo as posições x e y de uma partícula de fluido são
dadas por:
x V tx= (7)
y gt g x
V
x
C h C
x
hx v v
= =
= =
1
2
1
2 4
1
2
2
2 2
2 2
2
( ) (8)
logo,
( )
2
2
1
2 v
xy
hC
=
. (9)
Traçando-se a reta y versus 2 x h determina-se o seu coeficiente angular e em
consequência o coeficiente de velocidade vC . Determina-se experimentalmente dC e com a
equação (4) determina-se
c
C .
3. Equipamento experimental
• Bancada hidráulica base,
• Aparato para teste de jatos.
Dados geométricos:
orificioD = 6 mm
4. Procedimento experimental
Será explicado no laboratório.
Tabela 1. Vazão experimental e altura.
Medida ( )eQ [l /s] h [mm]
1
2
volume 1 v2 v3
tempo 1 t2 t3
3
4
volume 1 v2 v3
tempo 1 t2 t3
5
6
volume 1 v2 v3
tempo 1 t2 t3
7
8
volume 1 v2 v3
tempo 1 t2 t3
9
10
volume 1 v2 v3
tempo 1 t2 t3
5. Resultados
Realizar os experimentos e preencher as tabelas anexas.
• Ajusta-se uma reta de Q em função de Qi e determina-se o coeficiente de descarga Cd .
• Para cada altura h traça-se numa folha branca ou milimetrada a trajetória do jato livre e
obtem-se os pares y função de x2 /h.
• Com a curva 2 ( / ) y f x h= determina-se Cv por meio de uma regressão linear. Assim,
determina-se diferentes valores de Cv e Cc .
• Traçar as curvas de Cv e Cc em função de h.
6. Relatório
Elaborá-lo segundo as recomendações.
7. Bibliografia
Conforme nos experimentos precedentes.
Tabela 2. Posições dos jatos.
Med [m]
1
y
2
x h
3
4
5
6
7
8
9
10
Gráfico 1. Determinação do coeficiente de velocidade (2 curvas).
Tabela 3. Venturi.
Medida ( )tQ [m3/s] ( )eQ [m3/s] erro [%] dC vC cC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Gráfico 2. Determinação do coeficiente de descarga.
Gráfico 3. Curvas de Cv e Cc em função de h.
Obs: Levar calculadora.
Guias dos Relat�rios/LAB 6 - Determina��o Experimental do Coeficiente de Arrasto sobre Cilindros de Base Circular.pdf
Disciplina: Mecânica dos Fluidos
Prática: Prof. Elie Luis Martínez Padilla
Prof. João Marcelo Vedovoto
Teoria: Prof. Aristeu da Silveira Neto
Experiência No 6
Determinação Experimental do Coeficiente de Arrasto sobre
Cilindros de Base Circular
1. Objetivo
• Determinar experimentalmente o coeficiente de arrasto de um cilindro circular imerso;
• Verificar experimentalmente o efeito da rugosidade do cilindro sobre o coeficiente de
arrasto;
• Levantar as curvas de coeficiente de arrasto em função do número de Reynolds;
• Comparar os resultados determinados no MFLab com resultados publicados na
literatura.
2. Desenvolvimento teórico
Revisar a teoria para arrasto sobre corpos imersos em escoamentos. Revisar a teoria e as
equações para o cálculo do coeficiente de arrasto no presente experimento; visto em sala de
aula! Aprofundar com leitura complementar!
Polinômio de calibração do convergente do túnel:
( )0,4953,85V p= ∆ , (1)
onde as unidades são m/s para a velocidade média V e mmCA para a diferença de pressão
do convergente p∆ .
Logo, o número de Reynolds é expresso como:
VDRe ρ
µ
= , (2)
sendo D o diâmetro do cilindro e ρ e µ são a massa específica e a viscosidade dinâmica
do fluido.
O coeficiente de arrasto é calculado segundo a equação:
20,5
D
D
FC
V Aρ
= , (3)
onde DF é a força de arrasto e A é a área transversal do cilindro.
Na figura 1 apresentam-se dados de referência para cilindro liso (Schlichting, 1979).
Universidade Federal de Uberlândia
Faculdade de Engenharia Mecânica
Laboratório de
Ensino em Fenômenos de Transporte
Figura 1. Coeficiente de arrasto para cilindro liso.
3. Equipamento:
3.1 Túnel de vento.
• Diâmetro do cilindro liso: 9,6 mm
• Diâmetro do cilindro rugoso: 9,7 mm
• Massa do cilindro liso: 37,12 g
• Massa do cilindro rugoso: 37,69 g
• Comprimento do cilindro liso: 193,6 mm
• Comprimento do cilindro rugoso: 193,6 mm
4.
Procedimento experimental
Será explicado no laboratório.
Tabela 1. Dados coletados para o cilindro liso.
Freqüência do controlador [Hz]
20 30 40 50 60
Ângulo [o]
P∆ conv. [mmCA]
Tabela 2. Dados coletados para o cilindro rugoso.
Freqüência do controlador [Hz]
20 30 40 50 60
Ângulo [o]
P∆ conv. [mmCA]
5. Resultados
Tabela 3. Cálculos para cilindro liso.
Freqüência do controlador [Hz]
20 30 40 50 60
V [m/s]
DF [N]
Re
DC
Tabela 4. Cálculos para cilindro rugoso.
Freqüência do controlador [Hz]
20 30 40 50 60
V [m/s]
DF [N]
Re
DC
• Traçar os gráficos do coeficiente de arrasto em função do número de Reynolds para os
dois cilindros, comparar com dados de referência.
Gráfico 1.
6. Relatório
Elaborá-lo segundo as recomendações.
7. Bibliografia
Conforme nos experimentos precedentes. Obs: Levar calculadora.
Relat�rios/LAB 1 - Relat�rio.pdf
1
Universidade Federal de Uberlândia
FEMEC
Laboratório de Transferência de Calor e
Massa e Dinâmica dos Fluidos
Prof. Odenir de Almeida
Centro de Pressão em uma superfície
submersa
Nome: Guilherme Ribeiro Goulart nº: 87284
Uberlândia, 16 de Abril de 2010.
2
Sumário
RESUMO .................................................................................................................................................... 3
INTRODUÇÃO .......................................................................................................................................... 4
PROBLEMA A SER ESTUDADO ........................................................................................................... 4
DESCRIÇÃO DOS EQUIPAMENTOS ................................................................................................... 5
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL ................................................................................................... 6
DESENVOLVIMENTO TEÓRICO – MODELO MATEMÁTICO ..................................................... 6
ANÁLISE DOS DADOS ......................................................................................................................... 15
CONCLUSÃO .......................................................................................................................................... 16
BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................................................... 17
3
Resumo
Foi realizado um experimento que consiste no enchimento de uma cuba de acrílico com
água, a qual contém um ¼ toróide, onde atua a força hidrostática. O ponto de aplicação dessa
força é chamado de centro de pressão, e a determinação deste ponto é o principal objetivo do
relatório, comparando os valores experimentais com os teóricos. Assim foram recolhidos dados
no experimento e com a ajuda das expressões deduzidas capazes de calcular o centro de
pressão tanto de forma teórica como experimental. Observou-se que o erro aumenta de acordo
com que se retira água da cuba e a face plana do toróide fica menos imersa no líquido.
4
Introdução
A hidrostática, também chamada estática dos fluidos ou fluidostática (hidrostática
refere-se a água, que foi o primeiro fluido a ser estudado, assim por razões históricas mantém-
se o nome) é a parte da física que estuda as forças exercidas por e sobre fluidos em repouso,
além das tensões geradas por superfícies submersas nesses fluidos. Assim as tensões
estudadas na hidrostática são geralmente chamadas pelo termo “pressão” e essa pressão é o
quociente da intensidade da força exercida uniforme e perpendicularmente sobre uma
superfície, pela área dessa mesma superfície. Com isso a hidrostática proporciona maneiras
para determinar as conseqüências dessa pressão nas áreas submersas e desenvolver
métodos matemáticos que simulem todo esse fenômeno.
O prévio conhecimento acerca da pressão atmosférica e da pressão devido ao fluido é
necessário para o estudo dos problemas na hidrostática. Através das duas componentes é
calculada a pressão total em um ponto de uma superfície submersa, a qual resulta em uma
força em uma determinada área.
A força hidrostática é calculada a partir do somatório dessas forças em cada elemento de
área. Ela é determinada através da pressão exercida, tanto pela pressão atmosférica quanto
pela coluna de fluído, no centro de gravidade. Porém a força resultante atua no Centro de
Pressão, ponto o qual deve atuar a força de forma a equilibrar os momentos de cada
componente de força presente em uma placa submersa. Devido ao fato de esse centro de
pressão não coincidir com o centro de gravidade (CG) do corpo de prova, está sempre abaixo
do último, há a geração de um torque na estrutura em relação a o “CG” da mesma.
A intenção do presente laboratório é comprovar a veracidade do conceito de centro de
pressão ministrado em aula. Assim foi realizado o procedimento experimental que será
explicado adiante, que consiste basicamente no balanceamento entre a força peso
acrescentada de tempos em tempos no sistema e a força hidrostática exercida por um fluido na
seção do corpo de prova.
Problema a ser estudado
O objetivodo laboratório se resume na determinação, experimental e teórica, do centro
de pressão de uma estrutura (toróide) submersa, total e parcialmente, em um fluido (água) para
posterior confirmação da teoria.
5
Descrição dos Equipamentos
- Bancada Hidráulica
- ¼ de toróide de acrílico
- Haste (sustentação dos pesos)
- Contra peso
- Porta peso
- Ponto pivotante
- Mangueira de silicone
- Válvula lenta (controlar a vazão)
Figura 01 – Foto tirada do laboratório de Fenômeno de Transporte
6
Procedimento experimental
Ao iniciar o experimento, houve o balanceamento do sistema (equilíbrio das forças).
Assim a cuba foi colocada na bancada hidráulica observando-se sempre se indicador bolha
estava ao centro indicando o equilíbrio. O contrapeso foi regulado em uma posição na qual a
barra ficou totalmente na horizontal. Caso esta etapa não fosse corretamente executada todos
os dados poderiam ser descartados.
A cuba de acrílico foi preenchida com água até a altura de 149 mm, de acordo com o peso pré
estabelecido (435 g). Retirou-se, a partir do inicio do experimento, de 35 em 35 g de massa,
sempre medindo as respectivas alturas. A cada nova massa que se obtinha no sistema, o
mesmo deveria ser novamente equilibrado, nivelando-o de acordo com o indicador bolha.
Os dados estão indicados na Tabela 1 (página XXXXX).
Desenvolvimento Teórico – Modelo Matemático
Força Hidrostática
Figura 02
Fonte: http://www.esta.ipt.pt/download/disciplina/2051__Trab2_CentroImpulsao.pdf
7
Considerando o esquema demonstrado acima, é uma placa que está totalmente
submersa em um fluido, e com uma dada inclinação
em relação ao nível de água. É
importante determinar a força total que a pressão provoca na superfície total da placa.
Tomando um elemento diferencial
dA
, sobre essa área atua uma força também diferencial
dF
.Esses dois elementos se relacionam da seguinte forma:
dAPdF .
(1)
dAHPdF fa .
(2)
Integrando em ambos os lados, na intenção de se determinar a força total que atua
sobre a placa, temos:
A
fa dAHPdF .
(3)
A
fa dAHAPF ...
(4)
Como a pressão atmosférica atua em ambos os lados da placa e não há grande
variação, pode ser desconsiderada . E que o peso específico seja constante em todo o fluído.
A
f dAHF .
(5)
È necessário que se determine uma relação entre a altura H e o elemento diferencial
dA, já que ambos são variáveis ao longo de toda a placa. Utilizando-se da equação Eq (7):
XsenH .
(6)
E substituindo Eq.(7) na Eq.(6), temos:
A
dAsenXF ..
(7)
Para se determinar as coordenadas do centróide de qualquer figura utiliza-se da
seguinte integral:
A
dAX
X CG
.
(8)
XdAAX CG .
(9)
8
Temos que a força em uma superfície plana qualquer é:
AXsenF CGf ..
(10)
AHF CGf .
(11)
Portanto a força hidrostática que atua em uma superfície plana qualquer submersa, é
dada pelo peso especifico, a altura do centro de gravidade até a superfície e a área total da
placa.
Superfície Totalmente Imersa
Cálculo do centro de pressão teórico
Figura 03
Fonte: http://www.cct.uema.br/Cursos_OnLine/Mecanica_dos_Fluidos/Aulas/FT1-03-02-HE.pdf
A partir do centro de gravidade da peça pode-se determinar a força hidrostática que
atua em uma peça submersa. Porém, como já citado anteriormente, a força resultante F não
atua através do centróide, mas abaixo dele, na parte de maiores pressões. Sua linha de ação
passa através do centro de pressões CP da placa. Essas coordenadas podem ser
determinadas a partir de eixos de coordenadas fixos em cima do centróide da placa, as quais
são representadas pelas equações abaixo:
Cálculo das coordenadas do C.P:
Para se determinar o centro de pressão de uma placa submersa segue-se o principio
que é o ponto onde é aplicada a força hidrostática , a qual gera um torque CPyF. e CPxF. .
dApyyF
A
CP ...
(12)
9
dApxxF
A
CP ...
(13)
dAhPyyF fa
A
CP ...
(14)
senZh .
(15)
Substituindo a equação 15 e em 13, temos:
dAsenZPyyF fa
A
CP ...
A
fa
A
CP dAZysendAPyyF .....
Coordenadas de um centróide:
A
dAy
y ACP
.
,
A
CP dAyAy ..
(16)
Aplicando a equação 16 em 17.
0... AyPydAPdAPy CGA
A
aa
A
(17)
O sistema de eixos que está sendo utilizado na determinação das coordenadas
X e Y, está sobre o Centro de gravidade, portanto as coordenadas desse ponto são CG (0,0) .
dAsenZyyF fCP .....
(18)
yZZCG
(19)
A
fCP dAZysenyF ....
Substituindo 19 em 18:
A
CGfCP dAyZysenyF ....
dAydAZysenyF
A
CGfCP .....
2
10
Determinando valor da primeira integral:
0.... CGCG
A
CG
A
CG yZdAyZdAZy
Da mesma maneira, utilizou-se a equação 16, e a coordenada 0CPy
dAysenyF
A
fCP ...
2
(20)
A
XX dAyI .
2
(21)
Substituindo 21 em 20, temos:
IxxsenyF fCP ...
APF CG .
Ah
Isen
y
CG
XX
CP
.
..
(22)
dAsenZPxxF fa
A
CP ...
A
fa
A
CP dAZxsendAPxxF .....
A
dAx
x ACP
.
,
A
CP dAxAx ..
0... AxPxdAPdAPx CGA
A
aa
A
dAsenZxxF fCP .....
yZZCG
A
fCP dAZxsenxF ....
A
CGfCP dAyZxsenxF ....
11
dAyxdAZxsenxF
A
CGfCP ......
dAyxsenyF
A
fCP ....
(23)
O produto de inércia em relação a x :
dAyxPxy ..
(24)
Substituindo 24 em 23:
xtfCP PsenxF ...
APF CG .
Ah
Psen
x
CG
XY
CP
.
..
(25)
Desta forma foram determinadas as coordenadas CPX e CPY , em relação a
um sistema de eixo que está centrado no centróide da figura, equações 22 e 25.
Sendo que XP representa o produto de inércia da figura em relação ao eixo X, XXI o
momento de inércia também em relação a X, o ângulo da superfície e a placa, A sendo a
área total e CGh altura da superfície até o centróide da figura analisada.
No caso da experiência realizada:
Figura: 04
Fonte: http://www.mecanica.ufu.br/ArquivosDisciplinas/GEM19_0656.PDF
12
0
.
.
Ah
senP
X
CG
x
CP
, pois o produto de inércia é zero
Ah
I
Ah
senI
Y
CG
XX
CG
XX
CP
..
.
, sendo que o ângulo é de 90°.
As equações abaixo representam as relações que estão apresentadas na figura acima:
Produto de Inércia para um retângulo: 0xP
Momento de Inércia: 12
. 3db
I xx
Área: dbA .
Altura da superfície do fluído até o centro de gravidade: 2
d
hhCG
Altura da superfície do fluído até o centro de pressão: CPCGCP yhh
São por essas equações que posteriormente nesse relatório serão calculados os
CPh para cada nível de água determinado no laboratório.
Centro de pressão experimental
Para se determinar a altura da superfície do fluído até o centro de pressão, aplicou-se o
principio que o ¼ toróide estaria em repouso, ou seja:
0AM (26)
Portanto, aplicando as equações de momento no ponto A, temos:
CPhdhaFmgL
CPhdhabd
d
hgmgL
.
2
.
13
Tal que
bd
d
hgF .
2
.
, representa a força hidrostática aplicada no centro de pressão.
dha
bd
d
h
mL
hCP
.
2
(27)
Sendo que é a massa específica do fluído em questão, no caso da experiência a água
3
998
m
kg
.
Superfície Parcialmente Imersa
Cálculo da força hidrostática
Figura: 06
Fonte: http://www.mecanica.ufu.br/ArquivosDisciplinas/GEM19_0656.PDF
As mudanças que ocorrerão relativamente à superfície completamente submersa se
restringem ao fato de que as pressões de fluido atuarão apenas na superfície submersa. Desta
forma temos que a força e
CGh
podem ser determinado pelas seguintes equações:
2
h
hCG e (28)
AhgF CG ... (29)
14
Cálculo do Centro de pressão teórico
0
.
.
Ah
senP
X
CG
x
CP
, é o mesmo valor que na superfície totalmente submersa.
Ah
I
Ah
senI
Y
CG
XX
CG
XX
CP
..
.
(30)
Produto de Inércia para um retângulo:
0xP
Momento de Inércia:
12
. 3hb
I xx
Área:
hbA .
Altura da superfície do fluído até o centro de gravidade:
2
h
hCG
Altura da superfície do fluído até o centro de pressão:
CPCP y
h
h
2
Centro de Pressão experimental
0AM
, temos:
CPhhdaFLgm ..
CPhhdabh
h
gLgm ..
2
...
hda
bph
mL
hCP 2
2
(31)
Desta forma pode-se calcular a altura da superfície até o ponto de centro de pressão
pela equação Eq.(17) experimentalmente.
15
Análise dos dados
A partir dos dados obtidos foi possível preencher os dados da tabela a seguir
Medida Massa [g] h [mm] A [m²] Ixx [m4]
1 435 149 0,0075 6,25E-06
2 400 140 0,0075 6,25E-06
3 365 131 0,0075 6,25E-06
4 330 123 0,0075 6,25E-06
5 295 114 0,0075 6,25E-06
6 260 106 0,0075 6,25E-06
7 225 97 0,007275 5,7E-06
8 190 88 0,0066 4,26E-06
9 155 79 0,005925 3,08E-06
10 120 68 0,0051 1,97E-06
Tabela 1
Medida Hcg [m] Ycp [m] F [N]
cpth
teor
cpeh
exp erro [%]
1 0,099 -0,00842 7,269075 0,107418 0,110434 2,808174
2 0,09 -0,00926 6,60825 0,099259 0,10329 4,06036
3 0,081 -0,01029 5,947425 0,091288 0,096557 5,772262
4 0,073 -0,01142 5,360025 0,084416 0,089086 5,532242
5 0,064 -0,01302 4,6992 0,077021 0,083349 8,216324
6 0,056 -0,01488 4,1118 0,070881 0,076579 8,039256
7 0,0485 -0,01617 3,454279 0,064667 0,072715 12,44656
8 0,044 -0,01467 2,843016 0,058667 0,068285 16,39457
9 0,0395 -0,01317 2,291227 0,052667 0,061494 16,76061
10 0,034 -0,01133 1,697586 0,045333 0,058693 29,46942
Tabela 2
16
Gráfico
cpth
teórico x
cpeh
experimental
Conclusão
Observou-se que os dados teóricos são ligeiramente diferentes dos experimentais
(medidos em laboratório). Esta diferença se deve ao fato de erros sistemáticos como: erro na
calibração do sistema, erro de leitura de operadores, erro nos valores da massa e etc.
O objetivo do laboratório foi alcançado, mostrando aos executores do mesmo a
veracidade do problema pré-estabelecido.
17
Bibliografia
White, F, Mecânica dos Fluidos, McGrawwHill, RJ, 1991
Streeter, V. I., 1978, Mecânica dos Fluidos, McGraw-Hill do Brasil, São Paulo, SP,
Brasil
Daugherty, R.L.,1965, Fluid Mechanics, McGraw- Hill, New York, USA.
http://pt.wikipedia.org
Instruções para Elaboração de Relatórios – Prof. Odenir de Almeida
Relat�rios/LAB 2 - Relat�rio 1.pdf
Universidade Federal de Uberlândia
FEMEC
Laboratório de Transferência de Calor e
Massa e Dinâmica dos Fluidos
Prof. Odenir de Almeida
Validação Experimental da Segunda
Lei de Newton ou Balanço de
Quantidade de Movimento
Nome: Guilherme Ribeiro Goulart nº: 87284
Guilherme Caetano Pontes n°: 87283
Turma D
Uberlândia, 30 de Abril de 2010.
Sumário
RESUMO .................................................................................................................................................... 3
INTRODUÇÃO .......................................................................................................................................... 4
DESENVOLVIMENTO TEÓRICO ......................................................................................................... 5
DESCRIÇÃO DOS EQUIPAMENTOS ................................................................................................... 7
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL ................................................................................................... 8
CONCLUSÃO .......................................................................................................................................... 11
BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................................................... 12
Resumo
Este experimento tem como objetivo a comprovação da Segunda Lei de Newton ou
balanço de quantidade de movimento linear.
Utilizou-se o teorema do transporte de Reynolds como principal embasamento teórico e
as considerações de que o atrito viscoso e a força da gravidade são desprezíveis bem como de
que o sistema estava em regime permanente para se comparar os resultados teóricos com os
experimentais.
No experimento um jato de água atingia uma placa de impacto com diferentes ângulos de
deflexão, assim puderam ser relacionados força resultante, vazão de saída do jato e ângulo de
saída.
Introdução
A mecânica dos fluidos é uma das ciências básicas para toda a engenharia. O
assunto compreende várias especialidades tais como aerodinâmica, engenharia hidráulica,
engenharia naval, dinâmica dos gases e processos de fluxo. Trata da estática, cinemática e da
dinâmica dos fluidos, já que o movimento de um fluido é causado por forças não equilibradas,
aplicadas sobre o mesmo. Os métodos de análise disponível baseiam-se na aplicação dos
seguintes princípios, conceitos e leis: leis do movimento, de Newton, a primeira e a segunda
leis da termodinâmica, o princípio da conservação da massa, equações de estado relacionando
propriedades do fluido, lei da viscosidade de Newton, conceitos de comprimento de mistura e
restrições causadas pela presença de fronteiras.
Considerando
meios em movimento deve-se aplicar as equações fundamentais a
volumes de controle. Utiliza-se o tratamento Euleriano que, geralmente, é mais vantajoso no
estudo dos fenômenos de transporte na determinação de forças, pressões, temperaturas,
concentrações, viscosidades, etc., em uma determinada região do espaço sem se preocupar
com a sua história precedente ou com o futuro do escoamento.
A técnica do volume de controle é muito utilizada, visto que, aparelhos de medida,
como termômetros e transdutores ficam geralmente fixos numa região em vez de se
movimentarem com o fluido. Portanto, as técnicas de medida são baseadas no conceito de
volume de controle que fornecem as medidas das propriedades Eulerianas do fluido.
Neste experimento será comprovada a lei da conservação da quantidade de
movimento linear (segunda Lei de Newton) aplicada a um volume de fluido inercial.
Desenvolvimento Teórico
A partir do teorema do transporte de Reynolds aplicado à quantidade de movimento
linear em um meio fluido em movimento, sendo considerado regime permanente, desprezados
os efeitos viscosos e os da gravidade, pode-se determinar a força que o jato de fluido exerce
em diferentes geometrias e para diferentes vazões.
É importante observar que, para cada geometria das placas de colisão, são obtidas
quantidades de movimento linear diferentes, proporcionais aos respectivos ângulos de
deflexão.
A força que se calcula pela aplicação da conservação da quantidade de movimento
atua sobre o volume de controle de fluido. A força que atua sobre a placa é a reação, ou seja,
de igual magnitude e de sentido contrário.
Figura 1 – Colisão e deflexão de um jato sobre uma placa.
Hipóteses:
Sem perdas pela gravidade;
Não há perdas por atrito viscoso.
De acordo com a segunda lei de Newton, uma massa m sujeita a ação de uma força
resultante F se acelera de acordo com a seguinte equação:
)(mV
dt
d
dt
dV
mmaF
(1)
Para um volume de controle fixo e arbitrário, o teorema do transporte de Reynolds é
dado pela equação:
dAnVd
dt
d
B
dt
d
SC
r
VC
sist ).()(
(2)
Na segunda lei de Newton (1), queremos definir a quantidade de movimento linear (
mV
), portanto,
mVB
(3)
Logo,
VdmdB /
(4)
Então, substituindo as variáveis
B
e
no teorema de transporte de Reynolds,
obtemos a relação da quantidade de movimento linear para um volume de controle deformável:
dAnVVdV
dt
d
FmV
dt
d
SC
r
VC
sist ).()(
(5)
Sendo:
V
- a velocidade do fluido em relação a um referencial inercial;
- massa especifica do fluido;
Q
- vazão de fluido;
A
- a área de saída do bico injetor;
F
- a soma vetorial de todas as forças atuantes no volume de controle material, sendo
estas forças de superfície e de campo.
Como a equação (5) é uma relação vetorial e somente nos interessa a componente
vertical y, a equação acima se reduz a:
dAnVVdV
dt
d
F
SC
ry
VC
y ).(
(6)
Para que a Equação (6) seja válida, o fluido deve estar em regime permanente, ou
seja, considerar a velocidade do liquido constante após sair do bico injetor. Para isso devemos
desprezar os efeitos de viscosidade e da gravidade.
Considerando o esquema da Fig. 1, temos que:
dAnVVdV
dt
d
F
SC
ry
VC
y ).(
=> cos)(cos)( 22 dAVAVFy
Portanto,
cos1
2
A
Q
Fy
(7)
A equação (7) pode ser reescrita da seguinte forma:
QCQ
AQ
F
t
y
..cos1
(8)
Para o cálculo teórico utilizaremos a relação:
Q
AQ
Fy
.cos1
(9)
E para o cálculo experimental utilizaremos a relação:
Q
Fy QCt .
(10)
Como:
cos1
A
Ct
(11)
Podemos reescrever a equação (8) da seguinte forma:
y(x) =
tC
. x (12)
No qual
y(x) =
Q
Fy
e x = Q
Descrição dos Equipamentos
- Bancada hidráulica de acrílico: utilizada como base do experimento. Nela se
encontrava todos os próximos equipamentos citados
- Bancada de impactos: por onde passa o jato de água e o impacto é recebido
- Bomba: responsável pelo bombeamento da água para o surgimento do jato
- Mangueira: responsável pelo transporte da água
- Reservatório de água
- Placas defletoras de 0°, 30° e 90°: dispersão do jato de água
- Disco porta-peso: aparato para os pesos
- Mola: prende o disco à placa defletora
- Pesos
- Cronômetro: marcação do tempo
- Registro: responsável por controlar a vazão de água
- Graduação: indicador da variação do volume
Figura 2 – Bancada Hidráulica Figura 3 – Bancada de impactos
Procedimento Experimental
Com a bomba ligada e inicialmente com um peso de 50g sobre o disco, utilizando-se do
registro, controla-se a vazão de água até a posição de equilíbrio. Como o mesmo tinha sido
quebrado, um objeto foi utilizado para se identificar esta posição. Utilizando a graduação como
referência, a partir da posição 0 (zero) dispara-se o cronômetro e na posição 5 o mesmo era
parado. Estas marcações se referem ao volume contido no reservatório. O reservatório era
esvaziado e o procedimento repetido. Após 3 (três) medições, 50 g eram acrescentadas ao
disco até atingir-se 500 g. O experimento foi feito com uma placa defletora de 30º e os dados
apresentados na sessão “Resultados” foram obtidos por outras turmas da disciplina.
Resultados
TABELA 1
Medida Massa [g] t1 [s] t2 [s] t3 [s] t médio [s] Volume [L]
1 50 57,62 54,91 58,12 56,88333 5
2 100 34,03 36,43 35,04 35,16667 5
3 150 29,63 29,94 27,5 29,02333 5
4 200 23,65 25,78 23,87 24,43333 5
5 250 20,56 22,69 21,56 21,60333 5
6 300 19,28 19,4 19,71 19,46333 5
7 350 18,75 16,84 17,1 17,56333 5
8 400 16,91 17,71 17,12 17,24667 5
9 450 15,03 15,22 16,62 15,62333 5
10 500 13,9 14,5 14,5 14,3 5
TABELA 2
Placa 0 30 90
Medida Q [ m³/s] F [N] F/Q Q [ m³/s] F [N] F/Q Q [ m³/s] F [N] F/Q
1 0,000115 -0,5209 -4549,16 8,78992E-05 -0,1771541 -2015,42 0,000152 -0,2532 -1666,23
2 0,000146 -0,8426 -5785,82 0,00014218 -0,4635098 -3260,02 0,000232 -0,5884 -2539,88
3 0,000183 -1,32943 -7267,55 0,000172275 -0,6804979 -3950,06 0,000244 -0,6501 -2669,76
4 0,000215 -1,83477 -8537,82 0,000204638 -0,9601872 -4692,11 0,000341 -1,2759 -3740,22
5 0,000238 -2,25939 -9474,4 0,000231446 -1,2282303 -5306,77 0,000346 -1,3097 -3789,34
6 0,000258 -2,63905 -10239,5 0,000256893 -1,5131672 -5890,26 0,000407 -1,8196 -4466,52
7 0,000296 -3,47758 -11754,2 0,000284684 -1,8582642 -6527,46 0,000429 -2,0138 -4698,78
8 0,000294 -3,42335 -11662,2 0,000289911 -1,92713 -6647,31 0,000472 -2,4456 -5178,13
9 0,000333 -4,41437 -13243,1 0,000320034 -2,3484102 -7338 0,000484 -2,5670 -5305,08
10 0,00036 -5,14069 -14291,1 0,00034965 -2,8031689 -8017,06 0,000524 -3,0159 -5750,26
Os sinais negativos que apareceram nos valores de força mostram que estas estão em
sentido contrário ao adotado pelo eixo de referência.
Para uma melhor visualização
dos resultados apresentados nas tabelas acima foram
construídos os gráficos abaixo, onde pode-se notar que o coeficiente experimental é a
inclinação da reta de regressão linear que acompanha o próprio gráfico.
Coeficiente experimental de . O mesmo indica um decréscimo de y (F/Q) com o
crescimento de x.
y = -4E+07x + 2E-11
-16000
-14000
-12000
-10000
-8000
-6000
-4000
-2000
0
0 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004
F/
Q
Q
F/Q x Q (0°)
F/Q x Q (0°)
Linear (F/Q x Q (0°))
Coeficiente experimental de . O mesmo indica um decréscimo de y (F/Q) com o
crescimento de x.
Coeficiente experimental de . O mesmo indica um decréscimo de y (F/Q) com o
crescimento de x.
y = -2E+07x + 1E-11
-9000
-8000
-7000
-6000
-5000
-4000
-3000
-2000
-1000
0
0 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004
F/
Q
Q
F/Q x Q (30°)
F/Q x Q (30°)
Linear (F/Q x Q (30°))
y = -1E+07x + 5E-12
-7000
-6000
-5000
-4000
-3000
-2000
-1000
0
0 0,0002 0,0004 0,0006
F/
Q
Q
F/Q x Q (90°)
F/Q x Q (90°)
Linear (F/Q x Q (90°))
Conclusões
Com a análise dos resultados, vimos que o coeficiente experimental se aproxima
consideravelmente do coeficiente teórico, o que pode ser comprovado pela analise de erros, a
qual apresenta valores muito pequenos, conforme apresentado na Tabela 3.
Placa defletora Ct Ce Erro (%)
0° -39729299
-4E+07
0,006813
30° -22928801
-2E+07
0,1277
90° -10963824
-1,00E+07 0,0879
Tabela 3: Erros obtidos no ensaio.
Os erros apresentados se devem a pequenas variações nas medidas de vazão, erros
no equilíbrio do jato com os pesos, além de arredondamentos de cálculos e outros fatores que
tiram o ambiente da condição ideal de realização do experimento. Observamos também, que
quanto maior for o ângulo da placa defletora, menor será a força que o jato fará na placa para
equilibrar uma mesma massa. Isto já era esperado, pois a força do jato varia com o cosseno de
, o qual diminui no intervalo de 0° a 90°.
Assim, comparando os dados experimentais com os dados teóricos, pudemos
comprovar a Segunda lei de Newton ou lei da quantidade de movimento linear aplicada a um
volume de fluido inercial, cumprindo assim o objetivo do experimento realizado.
Bibliografia
- SHAMES, I. H., Mecânica dos Fluidos Princípios Básicos, v. 1, São Paulo, 1973,
McGraw-Hill.
- WHITE, F. M., Mecânica dos Fluidos, Ed. Edgard Blucher.
- http://pt.wikipedia.org
- Instruções para Elaboração de Relatórios – Prof. Odenir de Almeida
Relat�rios/LAB 2 - Relat�rio 2.pdf
1
UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLANDIA – FEMEC
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECANICA
DISCIPLINA: MECÂNICA DOS FLUIDOS
PROF. Elie Luis Martínez Padilla
Experiência nº 2 Turma: E
VALIDAÇÃO EXPERIMENTAL DA SEGUNDA LEI DE NEWTON OU
BALANÇO DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO
2
Resumo
Nesse experimento, procuramos comprovar a segunda lei de Newton ou lei da quantidade de
movimento linear aplicada a um volume de fluido inercial, se impactando com superfícies de
diferentes inclinações, formando assim, diferentes ângulos de saída para o fluxo de fluido. 10
massas diferentes foram colocadas para equilibrar o sistema. Para efeito de cálculo, foram
medidos 3 valores de tempo para cada massa.
Introdução
No experimento relatado a seguir foi realizado o estudo prático da reação de forcas sobre três
diferentes superfícies com diferentes ângulos de saída e diferentes massas usadas para o
equilíbrio da força do jato, para a posterior comparação destes valores com os calculados
analiticamente através da equação da quantidade de movimento linear, combinada com o
teorema de transporte de Reynolds. Também neste experimento buscou-se visualizar
graficamente a variação do coeficiente Ct experimental através da curva quociente da Força pela
Vazão mássica X Vazão mássica, comparando os três distintos resultados obtidos.
Procedimento de cálculo
Neste experimento, foi utilizada uma bancada hidráulica base, para impacto de jatos, que
possuía uma válvula para se regular o fluxo do fluido, e um medidor do volume do fluido
acumulado na bancada hidráulica. Para o experimento, foram utilizadas três placas, com ângulos
de saída diferentes: zero, trinta e noventa graus. Para equilibrar a força do jato na placa, foram
utilizadas 10 massas diferentes: 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, 400, 450 e 500 gramas, e eram
equilibradas controlando o fluxo do fluido através da válvula da bancada. Para medir a vazão
mássica, cronometramos três tempos distintos. Esses tempos decorriam do enchimento de 5, 10 e
15 litros dentro do compartimento da bancada hidráulica, mostrados por um nível do lado
externo da bancada.
Para calcularmos a Força resultante vertical que o jato efetuará sobre a placa defletora,
utilizamos o teorema de transporte de Reynolds aplicado a quantidade de movimento linear em
um meio fluido em movimento, demonstrado a baixo:
“Seja B uma propriedade do fluido, e seja a grandeza intensiva correspondente,
definida pela quantidade de B por unidade de massa em qualquer porção pequena de fluido. A
quantidade total de B no volume de controle e uma curva sólida qualquer é:
, sendo . Três, são as fontes de variação em B relacionadas com o volume
3
de controle: Variação no interior do volume de controle:
; Fluxo de saída de no
volume de controle:
, e Fluxo de entrada de no volume de controle:
. Assim, podemos afirmar que:
(Bsist)=
+
-
.”[1]
Para o sistema do experimento, a força resultante estará apenas na vertical e pode ser calculada
da seguinte maneira: sabendo que o escoamento é em regime permanente e desprezando o efeito
viscoso e da gravidade, podemos aplicar o teorema de transporte de Reynolds, onde B=mV
temos: , a parcela
é zero pois não há
variação de volume no volume de controle(regime permanente). Como o escoamento é
incompressível, podemos fazer o balanço de massa, onde Q=VA, e sabendo que Q1=Q3, temos:
, como V1=V3, descobrimos que as áreas também são iguais. Voltando à equação
(1), temos: , mas
V=Q/A, então:
. Fr=mg=
.
Portanto,
. Onde Q é a vazão, A é a área da saída do bico injetor e θ é o
ângulo formado com a horizontal.
Para obter o Ct teórico, manipulamos a equação (2), de modo que:
,
com:
. Ainda podemos
dizer que: y(x)=Ctx, onde x=Q e
. Com
a equação (3), poderemos determinar o Ct experimental, à partir de uma regressão linear, que
será explanada posteriormente.
Análise dos resultados
Tabela 1. Dados, placa de ângulo 0°
Medida Massa [gr] t1 [s] t2 [s] t3 [s] tmédio [s] Q [lit/s]
1 500 13,70 13,80 14,20 13,90 0,35971223
2 450 15,50 14,00 14,60 14,70 0,34013605
3 400 17,40 17,30 17,00 17,23 0,29013540
4 350 17,00 16,70 17,00 16,90 0,29585799
5 300 18,50 19,60 20,10 19,40 0,25773196
6 250 21,50 20,50 20,90 20,97 0,23847377
7 200 23,90 23,20 22,70 23,27 0,21489971
8 150 27,00 27,30 27,70 27,33 0,18292683
9 100 32,60 34,70 35,70 34,33 0,14563107
10 50 38,00 45,80 47,20 43,67 0,114503817
Tabela 2. Dados, placa de ângulo 30°
4
Medida Massa [gr] t1 [s] t2 [s] t3 [s] tmédio [s] Q [lit/s]
1 500 13,56 13,45 13,23 13,41333333 0,372763419
2 450 14,10 14,70 14,10 14,30000000 0,349650350
3 400 15,08 14,60 17,92 15,86666667 0,315126050
4 350 16,00 16,50 16,00 16,16666667 0,309278351
5 300 16,54 17,22 17,20 16,98666667 0,294348509
6 250 18,90 18,70 18,30 18,63333333 0,268336315
7 200 21,63 21,78 21,56 21,65666667 0,230875789
8 150 24,30 24,40 24,50 24,40000000 0,204918033
9 100 31,22 30,46 31,27 30,98333333 0,161377084
10 50 44,50 45,00 44,80 44,76666667 0,111690246
Tabela 3. Dados, placa de ângulo 90°
Medida Massa [gr] t1 [s] t2 [s] t3 [s] tmédio [s] Q [lit/s]
1 500 11,09 10,19 10,88 10,72000000 0,46641791
2 450 12,60 11,28 10,62 11,50000000 0,434782609
3 400 11,75 11,69 11,34 11,59333333 0,431282346
4 350 13,28 12,69 12,84 12,93666667 0,386498325
5 300 13,5 13,59 13,68 13,59 0,367917586
6 250 15,03 15,6 14,47 15,03333333 0,332594235
7 200 16,25 15,84 15,91 16 0,3125
8 150 20,47 19,22 19,19 19,62666667 0,254755435
9 100 26,69 25,9 25,97 26,18666667 0,190936864
10 50 43 41,88 43,38 42,75333333 0,116949945
Tabela 4. Cálculo da força
Placa 0°
Medida Q [m³/s] Fexp
[N]
Fexp/Q [N.s/m³]
1 0,000359712 4,905 13635,90
2 0,000340136 4,415 12978,63
3 0,000290135 3,924 13524,72
4 0,000295858 3,434 11605,23
5 0,000257732 2,943 11418,84
6 0,000238474 2,453 10284,15
7 0,000214900 1,962 9129,840
8 0,000182927 1,472 8044,200
9 0,000145631 0,981 6736,200
10 0,000114504 0,491 4283,700
5
Tabela 5. Cálculo da força
Placa 30° Placa 90°
Medida Q [m³/s] Fexp
[N]
Fexp/Q [N.s/m³] Q [m³/s] Fexp [N] Fexp/Q [N.s/m³]
1 0,00037276 4,905 13158,48 0,000466418 4,905 10516,3200
2 0,00034965 4,415 12625,47 0,000434783 4,415 10153,3500
3 0,000315126 3,924 12452,16 0,000431282 3,924 9098,44800
4 0,000309278 3,434 11101,65 0,000386498 3,434 8883,60900
5 0,000294349 2,943 9998,352 0,000367918 2,943 7999,07400
6 0,000268336 2,453 9139,650 0,000332594 2,453 7373,85000
7 0,000230876 1,962 8498,076 0,000312500 1,962 6278,40000
8 0,000204918 1,472 7180,920 0,000254755 1,472 5776,12800
9 0,000161377 0,981 6078,930 0,000190937 0,981 5137,82400
10 0,000111690 0,491 4391,610 0,000087090 0,491 5632,10472
Nas tabelas 1, 2 e 3, podemos perceber 10 massas distintas, que variam de 50 a 500 gramas,
usadas para equilibrar a força do jato na placa defletora. Os tempos t1, t2 e t3, todos em
segundos, foram medidos ã partir do equilíbrio da força peso da placa com a força do fluxo de
fluido do jato. Eles foram medidos quando a bancada atingia 5, 10 e 15 litros após o equilíbrio. O
tempo médio nada mais é do que a média aritmética dos três tempos medidos
. O Q(vazão mássica) é calculado a partir da divisão entre o volume, que é de 5 litros,
com o tempo médio medido; sua unidade é litros/segundo. A diferença de valores dos tempos ,
tempo médio e do Q se deve apenas à inclinação da placa defletora, e conseqüentemente o
ângulo θ em que o jato saía da placa. Para a tabela 1 esse ângulo era de 0 graus, na tabela 2 o
ângulo era de 30 graus e na tabela 3 o ângulo era de 90 graus.
Na tabela 4, calculamos o Q em /s. Para isso, basta pegar o Q calculado na tabela 1 e dividir
por 1000. Depois calculamos a força resultante experimental dada por: Fy=m.g/1000 ( a divisão
por 1000 é apenas para deixar a Força em Newtons), onde m é a massa correspondente ao
experimento( de 50 a 500 gramas) e g é a aceleração da gravidade, dada por g=9,81m/ . Por
último calculamos o quociente da F experimental pela vazão mássica para todas as 10 medidas.
Na tabela 5, foi adotado o mesmos procedimentos de cálculo, porém, como o ângulo da placa
defletora mudou, foram coletados os dados pertinentes, das tabelas 2 e 3 respectivamente, onde
foram coletados dados para as placas dessas angulações.
Das tabelas 4 e 5, foram confeccionados 3 gráficos. No gráfico 1, para a placa de 0 graus foram
usados os dados da tabela 4: No eixo x, os valores de Q [m³/s] e no eixo y, os valores de Fexp/Q
[N.s/m³]. Para a confecção do gráfico foi feita uma regressão linear com os 10 pares de valores
oferecidos, ajustados com a reta y=ax+b. Para a regressão, consideramos Q como os valores de x
e F/Q como os valores de y. Assim, foram aplicadas as fórmulas da regressão linear[2], e deste
modo, foi possível descobrir o coeficiente Ct experimental. Para a obtenção dos gráficos 2 e 3,
para as placas de 30 e 90 graus respectivamente, foram usados os dados da tabela 5, e o
procedimento de cálculo para os gráficos foi o mesmo explanado anteriormente.
6
y = 37091170,27x + 1113,862073
R² = 0,964330123
0,00
2000,00
4000,00
6000,00
8000,00
10000,00
12000,00
14000,00
16000,00
0 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004
Fe
xp
/Q
[
N
.s
/m
³]
Q [m³/s]
Gráfico 1 - Placa 0°
y = 34916893,82x+320,0299908
R² = 0,986473518
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
0,00000000 0,00010000 0,00020000 0,00030000 0,00040000
Fe
xp
/Q
[
N
.s
/m
³
Q [m³/s]
Gráfico 2 - Placa 30°
y = 14672956,81x + 2894,520516
R² = 0,901803822
0,0000
2000,0000
4000,0000
6000,0000
8000,0000
10000,0000
12000,0000
0 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005
Fe
xp
/Q
[
N
.s
/m
³]
Q [m³/s]
Gráfico 3 - Placa 90°
7
Das regressões lineares, foram obtidas as equações escritas no gráfico. No gráfico 1 ,
obtivemos que y = 37091170,27x + 1113,862073, com cerca de 96% dos pontos contidos na reta.
No gráfico 2, obtivemos que y = 34916893,82x+320,0299908, com cerca de 98% dos pontos
contidos no gráfico. No gráfico 3, obtivemos que y = 14672956,81x + 2894,520516, com 90%
pertencendo à reta do gráfico. Como já foi dito, o coeficiente Ct experimental foi descoberto
através das equações das retas, e já foi demonstrado que Ct exp é igual ao coeficiente a da
equação da reta. Disso podemos obter outra Tabela:
Tabela 6. Comparação dos coeficientes Ct, usando ρ=977 kg/m³
Placa Ct teor. Ct exp. erro [%]
0° 38873594,85 37091170,27 4,58518073
30° 36269555,58 34916893,82 3,729468809
90° 19436803,78 14672956,81 24,509
Da equação (3), pudemos deduzir a fórmula para se obter Ct teórico, onde o ρ utilizado foi de
977 kg/m³, e a área foi dada pela área do jato do fluido, que sai de um bico injetor de diâmetro
igual a 8 mm. , sendo que r=0,004 m. Disso temos que A é aproximadamente
0,00005
. O erro entre Ct teórico e Ct experimental é dado por:
.
Posteriormente esse valor é multiplicado por 100, e é dado em %.
Conclusão
Com base em todos os dados, tabelas e gráficos apresentados, podemos dizer que a força
resultante do sistema é o mesmo para as massas, independente do ângulo da placa defletora.
Porém, o Ct é maior quando o ângulo do jato que sai da placa é menor, e portanto a força
aplicada na placa é maior para um ângulo de 0 graus.
O erro de cálculo entre os Cts foi grande para a placa de 90 graus, pois a medida dos tempos
foi feita manualmente, e para se verificar o nível da água, deveria se estar perpendicular às
marcações, ação essa dificultada pelo posicionamento da bancada.
Quanto a vazão mássica(Q), também foi verificado que ele é aumenta com o aumento do grau,
verificando-se as medidas de mesma massa.
Referências Bibliográficas
[1]- WHITE, F.R. Mecânica dos Fluidos, 6ed, Porto Alegre: AMGH, 2011;
[2]- MONTGOMERY, D.C; RUNGER, G.C; RUBELE, N.F. Estatística aplicada a engenharia,
2ed, Rio de Janeiro : Livros técnicos científicos, 2004
Relat�rios/LAB 2 - Relat�rio 3.pdf
Suma´rio
1 Resumo 1
2 Introduc¸a˜o 1
3 Desenvolvimento teo´rico 1
4 Procedimento experimental 3
4.1 Equipamento e Materiais Utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4.2 Coleta de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
5 Ana´lise dos Resultados 6
6 Conclusa˜o 8
1 Resumo
No segundo experimento realizado no Laborato´rio de Transfereˆncia de Calor e Massa e Dinaˆmica dos
Fluidos (LTCM), tivemos como objetivo comprovar a segunda lei de Newton ou lei da quantidade de
movimento linear aplicada a um volume de controle, sendo que para isso, analisamos uma bancada
hidra´ulica acoplada a um sistema com um jato de a´gua colidindo contra diferentes superf´ıcies gerando
enta˜o uma forc¸a no suporte de sustentac¸a˜o. Assim, para termos o mo´dulo dessa forc¸a, utilizamos o
Teorema do Transporte de Reynolds, aplicado a quantidade de movimento linear e tambe´m utilizamos
padro˜es ma´ssicos para poder verificar se o experimento e´ valido ou na˜o com a teoria. Por fim, vamos
verificar como esta forc¸a e´ afetada de acordo com a taxa de vaza˜o de a´gua do jato, analisando gra´ficos
relacionados a forc¸a e vaza˜o.
2 Introduc¸a˜o
O trabalho realizado no LTCM, objetivamos realizar a comprovac¸a˜o a segunda lei de Newton intr´ınseca
no Teorema de Transporte de Reynolds (T.T.R.) [1] sendo feito a partir da bancada hidra´ulica
preparada com um sistema de impacto de um jato. Esse impacto gerado e´ a forc¸a que iremos veri-
ficar se esta´ de acordo com o esperado, ou seja, se a forc¸a experimental esta´ de acordo com a forc¸a
teo´rica. Essa ana´lise de forc¸a feita em laborato´rio e´ importante, pois a partir deste experimento lab-
oratorial de pequenas forc¸as, pode ser expandida para dimensionamento de pa´s mecaˆnicas em usinas
hidra´ulicas e para forc¸as em sistema de resfriamento a a´gua em superf´ıcies. Nesse experimento real-
izamos a aplicac¸a˜o desse jato em diferentes superf´ıcies com diferentes aˆngulos de sa´ıda, a saber, 0o, 30o
e 90o, para observarmos as forc¸as destas em relac¸a˜o a` forc¸a encontrada de acordo com a quantidade
de movimento linear. Em fim realizaremos a ana´lise de relac¸a˜o das forc¸as experimentais, de acordo
com a T.T.R. com a forc¸a teo´rica, de acordo com os padro˜es ma´ssicos. Para esse trabalho pra´tico de
mecaˆnica dos fluidos, e´ de suma importaˆncia a medic¸a˜o precisa dos dados da bancada, para se evitar
erros grosseiros influenciando para o erro os resultados.
3 Desenvolvimento teo´rico
Tomando como base a Figura:1 temos:
A superf´ıcie de impacto e´ a superf´ıcie de a´gua que sai do jato, com uma velocidade V1 tendo que
apo´s o contato com a superf´ıcie, saindo com uma velocidade V2 com a inclinac¸a˜o θ em relac¸a˜o ao eixo
horizontal. Logo vamos fazer a seguinte considerac¸o˜es:
- O regime e´ permanente,
- Desprezar os efeitos viscosos,
- Desprezar os efeitos da gravidade.
Considerando o volume de controle e a superf´ıcie de controle adotados, podemos fazer a seguinte
formulac¸a˜o:
Tomando B como um paraˆmetro da quantidade de movimento linear.
~B = m~V ; e ~β = d
~B
dm =
~V
1
Figura 1: Colisa˜o de um jato sime´trico em uma placa
Assim, do Teorema de Transporte de Reynolds temos:
d
dt
( ~Bsist) =
∂
∂t
(∫
V C
ρ~βd∀
)
+
∫
SC
ρ~β(~V .d ~A)
d
dt
(m~V ) =
∂
∂t
(∫
V C
ρ~V d∀
)
︸ ︷︷ ︸
termo nulo
+
∫
SC
ρ~V (~V .d ~A)
Da equac¸a˜o acima temos que o primeiro termo apo´s a igualdade nulo devido a condic¸a˜o de regime
permanente imposta sem a variac¸a˜o de massa.
Logo a expressa˜o acima fica: ∑
~Fext =
∫
SC
ρ~V (~V .d ~A)
Tomando agora somente o volume de controle temos:
Figura 2: Volume de controle
Assim, a expressa˜o pode ser escrita como:∑
~Fext =
(∫
SC
ρ~V (~V .d ~A)
)
entra
+
(∫
SC
ρ~V (~V .d ~A)
)
sai
2
Da definic¸a˜o temos que o vetor d ~A aponta para fora da superf´ıcie de controle, logo V1 faz um
aˆngulo de 180o com d ~A e V2 faz um aˆngulo de 0
o com d ~A.
∴
∑
~Fext =
(∫
SC
ρ~V1(~V1d ~Acos180
o)
)
+
(∫
SC
ρ~V2cosθ(~V2d ~Acos0
o)
)
Observando que V2 aponta para o sentido contra´rio ao da refereˆncia e sendo ρ constante e ||~Vi|| = Vi.
∑
Fext = −ρV 21 A1 − ρV 22 cosθA2
Sendo A1 = A2 = A a a´rea do jato de a´gua e V1 = V2 = V .
∑
Fext = −ρV 2A(1 + cosθ)
Em y temos apenas a forc¸a Fy apontando para baixo, logo:
−Fy = −ρV 2A(1 + cosθ)
Definindo a vaza˜o como Q = V A
Fy =
ρQ2
A
(1 + cosθ) (1)
Portanto temos a forc¸a Fy que iremos chamar de forc¸a teo´rica, Fteo,em func¸a˜o da a´rea A do jato,
da densidade ρ da vaza˜o Q e do aˆngulo θ formado com a horizontal.
4 Procedimento experimental
4.1 Equipamento e Materiais Utilizados
◦ Bancada Hidra´ulica,
◦ Bancada de impacto,
◦ Padro˜es ma´ssicos,
◦ Cronoˆmetros.
Para a realizac¸a˜o do experimento, foi necessa´ria a utilizac¸a˜o da bancada hidra´ulica, constitu´ıda
de um reservato´rio de fluido principal, um reservato´rio interno, uma bomba submersa, um sistema de
medic¸a˜o de vaza˜o e uma superf´ıcie de trabalho sobre o reservato´rio principal(Figura:7). Nessa bancada
temos acoplada um aparato que e´ composto de um cilindro transparente sobre pernas e no topo da
bancada hidra´ulica conte´m um bico coˆnico que produz um jato de alta velocidade que colidira´ com a
placa de teste fixada em uma viga objetivando medir a forc¸a do jato (Figura:8).
A partir da´ı apo´s a explanac¸a˜o teo´rica, treˆs alunos foram solicitados para poder fazer a leitura dos
dados da bancada.
3
Figura 3: Bancada hidra´ulica
Figura 4: Aparato de impacto
do jato
4.2 Coleta de dados
Inicia-se regulando a bancada de impacto de jatos a fim de deixa´-la em equil´ıbrio esta´tico. Logo em
seguida coloca-se uma soma de padro˜es ma´ssicos no valor de 500g e enta˜o, faz a abertura da va´lvula da
bancada hidra´ulica fazendo com que saia a´gua pelo bico injetor a uma vaza˜o qualquer. Essa abertura
da vaza˜o e feita ate´ encontrar novamente o equil´ıbrio esta´tico entre a forc¸a aplicada do jato e o peso
de 500g.
Feito o equil´ıbrio, fecha-se o escoamento da a´gua na bancada hidra´ulica e observava na re´gua
medidora do volume d’a´gua.
Quando o
volume d’a´gua atinge o n´ıvel zero da re´gua, dispara o primeiro cronoˆmetro esperando o
n´ıvel chegar a 5 litros, e enta˜o anota-se o valor do tempo. Ao mesmo tempo, o segundo cronoˆmetro e´
disparado e espera o volume chegar ate´ a 10 litros, e anota-se esse valor do tempo, e ao mesmo tempo
deste u´ltimo, dispara-se o primeiro cronoˆmetro novamente marcando o tempo ate´ atingir 15 litros.
E´ essa marcac¸a˜o de tempo e´ necessa´ria para se determinar a vaza˜o ma´ssica do jato de a´gua. Pois
temos que a vaza˜o ma´ssica pelo tempo e´ dada por: Q = V olume/Tempo.
A leitura dos tempos e´ feita em treˆs vezes para se minimizar os erros que se pode ocorrer caso esse
procedimento seja feito em apenas uma vez. Feito essa captac¸a˜o dos dados, repete-se diminuindo os
padro˜es ma´ssicos em 50g, fazendo a captac¸a˜o dos tempos para os novos equil´ıbrios.
Esse procedimento experimental foi feito para cada superf´ıcie de impacto do equipamento. Para
os diferentes aˆngulos de sa´ıda (0o, 30o e 90o). Os dados coletados esta˜o apresentados nas Tabelas 1,
2, e 3.
Sabemos que ρ = 960kg/m3 e Diaˆmetro do bico injetor = 8, 0mm
4
Tabela 1: Para um aˆngulo de sa´ıda de 0o
Medida Massa [g] t1[s] t2[s] t3[s] tmedio[s] Q [L/s]
1 500 13,70 13,80 14,20 13,90 0,3597
2 450 15,50 14,00 14,60 14,70 0,3401
3 400 17,40 17,30 16,40 17,03 0,2935
4 350 17,00 16,70 17,00 16,90 0,2959
5 300 18,50 19,60 20,10 19,40 0,2577
6 250 21,50 20,50 20,90 20,97 0,2385
7 200 23,90 23,20 22,70 23,27 0,2149
8 150 27,00 27,30 27,70 27,33 0,1829
9 100 32,60 34,70 35,70 34,33 0,1456
10 50 38,00 45,80 47,20 43,67 0,1145
Tabela 2: Para um aˆngulo de sa´ıda de 30o
Medida Massa [g] t1[s] t2[s] t3[s] tmedio[s] Q [L/s]
1 500 13,56 13,45 13,23 13,41 0,3728
2 450 14,10 14,70 14,10 14,30 0,3497
3 400 15,08 14,60 14,92 14,87 0,3363
4 350 16,00 16,50 16,00 16,17 0,3093
5 300 16,54 17,22 17,20 16,99 0,2943
6 250 18,90 18,70 18,30 18,63 0,2683
7 200 21,63 21,78 21,56 21,66 0,2309
8 150 24,30 24,40 24,50 24,40 0,2049
9 100 31,22 30,46 31,27 30,98 0,1614
10 50 44,50 45,00 44,80 44,77 0,1117
Tabela 3: Para um aˆngulo de sa´ıda de 90o
Medida Massa [g] t1[s] t2[s] t3[s] tmedio[s] Q [L/s]
1 500 11,70 11,11 11,15 11,32 0,4417
2 450 10,75 11,16 11,19 11,03 0,4532
3 400 13,09 12,53 12,59 12,74 0,3926
4 350 14,00 13,47 14,28 13,92 0,3593
5 300 13,84 14,03 13,81 13,89 0,3599
6 250 16,06 16,28 16,50 16,28 0,3071
7 200 18,66 18,47 18,47 18,53 0,2698
8 150 20,96 20,73 20,06 20,58 0,2429
9 100 25,19 25,90 26,75 25,95 0,1927
10 50 30,57 32,57 30,47 31,20 0,1602
5
5 Ana´lise dos Resultados
Apo´s a coleta de dados feita completando as Tabelas acima podemos montar novas tabelas com os
valores das forc¸as para as diferentes vazo˜es.
Devemos acrescentar tambe´m a essa nova tabela uma coluna da relac¸a˜o Fexp/Q[kg/m
2s] para que
possamos utilizar o me´todo dos mı´nimos quadrados para ver a veracidade do experimento.
A forc¸a experimental Fexp citada e´ calculada a partir da massa pela seguinte formula:
Fexp = massa.gravidade
Sendo esta a mesma para qualquer aˆngulo de sa´ıda da superf´ıcie.
Tabela 4: Calculo da forc¸a 0o
Medida Q [m3/s] Fteo[N] Fexp[N] Fexp/Q[kg/m
2s]
1 3,5971E-04 4,9425 4,9050 13635,9000
2 3,4014E-04 4,4191 4,4145 12978,6300
3 2,9354E-04 3,2913 3,9240 13367,7600
4 2,9586E-04 3,3435 3,4335 11605,2300
5 2,5773E-04 2,5373 2,9430 11418,8400
6 2,3847E-04 2,1723 2,4525 10284,1500
7 2,1490E-04 1,7640 1,9620 9129,8400
8 1,8293E-04 1,2782 1,4715 8044,2000
9 1,4563E-04 0,8101 0,9810 6736,2000
10 1,1450E-04 0,5008 0,4905 4283,7000
Tabela 5: Calculo da forc¸a 30o
Medida Q [m3/s] Fteo[N] Fexp[N] Fexp/Q[kg/m
2s]
1 3,7276E-04 4,9521 4,9050 13158,4800
2 3,4965E-04 4,3570 4,4145 12625,4700
3 3,3632E-04 4,0312 3,9240 11667,3600
4 3,0928E-04 3,4089 3,4335 11101,6500
5 2,9435E-04 3,0878 2,9430 9998,3520
6 2,6834E-04 2,5661 2,4525 9139,6500
7 2,3088E-04 1,8997 1,9620 8498,0760
8 2,0492E-04 1,4965 1,4715 7180,9200
9 1,6138E-04 0,9281 0,9810 6078,9300
10 1,1169E-04 0,4446 0,4905 4391,6100
6
Tabela 6: Calculo da forc¸a 90o
Medida Q [m3/s] Fteo[N] Fexp[N] Fexp/Q[kg/m
2s]
1 4,4170E-04 3,7261 4,9050 11104,9200
2 4,5317E-04 3,9222 4,4145 9741,3300
3 3,9257E-04 2,9433 3,9240 9995,7360
4 3,5928E-04 2,4653 3,4335 9556,5750
5 3,5988E-04 2,4736 2,9430 8177,6160
6 3,0713E-04 1,8015 2,4525 7985,3400
7 2,6978E-04 1,3901 1,9620 7272,4800
8 2,4291E-04 1,1270 1,4715 6057,6750
9 1,9270E-04 0,7092 0,9810 5090,7360
10 1,6024E-04 0,4904 0,4905 3061,0470
Assim, Partindo da equac¸a˜o(1), e linearizando-a e temos:
Fteo
Q
=
ρ
A
(1 + cosθ)︸ ︷︷ ︸
Ct
Q
∴ Fteo
Q
= CtQ
Em que
Ct =
ρ
A
(1 + cosθ) (2)
chamado de coeficiente angular da reta
Fteo
Q
= CtQ. Sendo este coeficiente o coeficiente teo´rico
Cteot , que e´ determinado pela formula acima.
Apo´s feita a linearizac¸a˜o, vamos montar o gra´fico com os dados experimentais, (Q,
Fexp
Q ) para cada
aˆngulo de sa´ıda.
Como podemos observar do gra´fico, cada reta possui um coeficiente angular que neste caso,
chamaremos de Cexpt pois ele e´ gerado a partir da linearizac¸a˜o dos dados reais coletados,
Figura 5: Gra´fico com θ = 0o Figura 6: Gra´fico com θ = 30o
7
Figura 7: Gra´fico com θ = 0o Figura 8: Junc¸a˜o dos Gra´ficos
Mas como definimos antes, temos tambe´m o Cteot que e´ dado pela equac¸a˜o (2).
Logo podemos montar mais uma tabela para termos a comparac¸a˜o dos valores experimentais e
teo´ricos esperados.
Tabela 7: Comparac¸a˜o dos coeficientes Ct usando ρ = 960[kg/m
3]
Placa Cteot C
exp
t Erro[%]
0◦ 38197249,00 36950137,72 3,2649
30◦ 35638516,35 33601319,94 5,7163
90◦ 19098630,74 23719243,34 24,1934
Assim, a partir da Tabela 7 podemos ver que o erro encontrado e´ baixo, afirmando enta˜o que o
experimento foi satisfato´rio.
Pore´m podemos fazer uma observac¸a˜o que este experimento deveria ser feito com maior precisa˜o
para que se fosse tomado como base para um dimensionamento de grandes componentes.
Outra ana´lise pertinente seria para a forc¸a experimental Fexp em que deveria ter o mesmo valor
da forc¸a Fteo que calculamos a partir do T.T.R.. E como podemos observar nas Tabelas 4, 5 e 6, os
valores de Fexp e´ proximo dos valores de Fteo, que e´ outro paraˆmetro que podemos dizer que o objetivo
foi alcanc¸ado.
6 Conclusa˜o
Temos que o presente trabalho foi realizado de forma satisfato´ria e foi poss´ıvel comprovar que a segunda
lei de Newton pode ser aplicada a um volume de fluido inercial. Isso pois temos que os dados coletados
no experimento se comportam em similaridade com o esperado no desenvolvimento teo´rico.Podemos
ver que os coeficientes angulares teo´rico e experimental possui valores pro´ximos.
Como ja´ havia salientado, para se tomar como base este experimento para um dimensionamento de
pec¸as e componentes de estruturas maiores como as ja´ mencionadas pa´s mecaˆnicas de usinas, deve-se
levar em conta os erros cometidos para que se tenha um aproveito ma´ximo da forc¸a da a´gua.
8
Refereˆncias
[1] Frank M. White, Mecaˆnica dos Fluidos, 6a Ed, Mc Graw-Hill, 2011.
[2] Robert W. Fox e Alan T. Mcdonald, Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica dos Fluidos, 3a Ed, Guanabara
[3] http://www.novadidacta.com.br
9
Relat�rios/LAB 3 - Relat�rio.pdf
1
Disciplina: Mecânica dos Fluídos
Prof.: Aristeu da Silveira Neto
Experiência nº. 3
Equação de Bernoulli
Nome nº.
Bruno Alexandre Roque 85732
Guilherme Augusto de Oliveira 85733
Uberlândia, Novembro de 2008.
2
Resumo
Uma contração ao longo de um tubo pode provocar uma queda de pressão no interior do
mesmo. Essa mesma queda de pressão pode ser calculada pela equação de Bernoulli, que é muito
famosa e muito usada,apesar de algumas restrições. Esta terceira experiência teve como objetivo a
comprovação, por meios experimentais, desta equação, bem como a validade da mesma.
Para o uso da mesma, fizeram-se algumas hipóteses, para facilitar os cálculos, pois estes
fatores impossibilitam a utilização da equação. Descreveu-se com riqueza de detalhes os equipamentos
utilizados nesta prática experimental, bem como o procedimento prático necessário para a realização
desta experiência..
Foram feitos gráficos relacionando, para cada vazão, as pressões estáticas, dinâmicas e totais e
as posições relativas das sondas do tubo de Venturi.
Com a análise dos gráficos e alguns cálculos complementares, e apesar da obtenção e alguns
erros extremamente grandes (na ordem de 200%), observou-se que, para algumas vazões e regiões do
tubo de venturi, houve um resultado próximo do teórico (erro na ordem de 5%).
3
Sumário
1 – Lista de símbolos.................................................................................................................................02
2 - Introdução............................................................................................................................................04
3 - Estabelecimento do problema a ser estudado.....................................................................................05
4 - Desenvolvimento teórico - Modelo matemático..................................................................................06
5 - Descrição dos equipamentos utilizados ..............................................................................................12
6 – Procedimento experimental..................................................................................................................16
7 - Análise dos resultados obtidos.............................................................................................................16
8 – Conclusão.............................................................................................................................................26
Bibliografia............................................................................................................................................27
4
1. Lista de Símbolos
V = velocidade da água [m/s];
ρρρρ = massa específica da água = 1000[kg/m³]
z = altura em relação ao nível de referência [m]
P = Pressão [Pa]
A = Área [m²]
Q = vazão volumétrica [m³/s]
v = volume [m³]
x = distância relativa entre as sondas do tubo de Venturi [m]
5
2. Introdução
Nesta terceira prática laboratorial, foi feita a análise experimental do escoamento de água que se
estabelece em um difusor convergente (tubo Venturi), por meio de leituras de pressão estática e
dinâmica do escoamento e cálculo do campo de velocidade média através da equação de Bernoulli.
A Equação de Bernoulli é utilizada para, entre outras aplicações em hidráulica, quantificar
velocidades de escoamentos estacionários de descarga de reservatórios, estimar a velocidade de um
escoamento através de uma restrição à sua passagem e medir velocidades de escoamentos e os
correspondentes caudais, dimensionar asas de aviões, vaporizar um fluido, explicar a circulação
sanguínea.) A aplicação da Equação de Bernoulli está portanto, presente quer nas operações de
previsão feitas pelo Engenheiro, quer nas correspondentes operações de verificação e experimentação
em geral. Aspectos estes que constituem as duas faces do mundo em que um Engenheiro se
movimenta.
As equações presentes no desenvolvimento teórico obedecem as hipóteses feitas no roteiro
desta prática laboratorial (regime permanente, escoamento incompressível e não-viscoso), e foram
demonstradas com o auxilio do livro texto White, T, Mecânica dos Fluidos, McGraw-Hill, RJ, 1999.
Para a realização deste experimento, foram utilizadas, as bancadas: hidráulica de base e a de
Bernoulli, tais itens serão descritos no decorrer deste relatório. A água escoa através do tubo de Venturi,
que possui uma entrada em alta pressão e restringe a sua área da seção, desta forma a pressão em
áreas menores é menor, porém há um aumento na velocidade do escoamento da água nessas áreas.
Mediu-se a vazão através do tubo, analisando a pressão em dois pontos distintos. A leitura da
pressão estática foi feita pela observação do nível da água em tubos finos graduados, enumerados de 1
a 6, que ficam acima do Venturi. Fez-se a leitura da pressão total. A partir destes dados, foram
montados gráficos relacionando as pressões em função das posições da tomada de valor da mesma,
analisaram-se tais curvas e confrontaram-se os resultados teóricos e os experimentais. O
desenvolvimento dos cálculos teóricos e experimentais será detalhado no decorrer deste relatório, com o
intuito de facilitar o entendimento do leitor.
Finalmente, após a análise dos resultados obtidos, foram feitas afirmações e hipóteses para
justificar a diferença de resultados entre os dois modelos e chegou-se a importantes conclusões, que
serão explicitadas em momento oportuno.
6
3. Estabelecimento do problema a ser estudado
O experimento realizado nesta prática laboratorial busca provar a equação de Bernoulli, que
representa o princípio da conversão da energia total (vide figura 3.1) sobre um escoamento reversível,
ou seja, um escoamento sem efeitos viscosos e sem transferência de calor.
Fig. 3.1 - Princípio de Bernoulli
7
4. Desenvolvimento teórico – Modelo matemático
Estreitamente relacionada à equação da energia para o escoamento permanente, existe uma
relação entre pressão, velocidade e elevação para um fluido sem atrito, conhecida como equação de
Bernoulli. Tal equação é muito famosa e largamente usada, mas é preciso estar atento para as restrições
impostas por ela.
Sabe-se que todos os fluidos são viscosos, logo todos os escoamentos apresentam, ainda que
mínimo, um atrito. Para o uso eficaz da equação de Bernoulli, deve-se restringi-la a regiões de
escoamento com atrito desprezível. Observando a figura 4.1, vê-se um volume de controle formado por
um tubo de corrente elementar, fixo, de área variável A(s) e comprimento d(s), onde s é uma coordenada
natural na direção das linhas de corrente. As propriedades (ρ, P, V) podem variar com s e com o tempo,
mas admite-se que são uniformes sobre a seção transversal A.
A orientação θ do tubo de corrente é arbitrária, com uma variação de elevação estabelecida por
dz = ds.sen(θ). O atrito no tubo de corrente está mostrado, mas é desprezado - uma hipótese altamente
restritiva.
Figura 4.1 – Equação de Bernoulli para um escoamento sem atrito ao longo de uma linha de
corrente. (a) Forças e fluxos; (b) Forças líquidas de pressão após a subtração de P.
8
A conservação da massa, definida pela equação:
(4.1)
A equação 4.1, para o volume de controle elementar considerado anteriormente, conduz a:
(4.2)
Onde m´ = ρρρρ.A.V e dv = A.ds. Logo, a forma desejada para a conservação da massa é:
(4.3)
A relação 4.3 não requer a hipótese de escoamento sem atrito. Escreve-se agora a relação de
quantidade de movimento linear:
(4.4)
Com (5.4), na direção das linhas de corrente:
(4.5)
9
Onde Vs = V, pois s está na direção da própria linha de corrente. Se desprezarmos a força
cisalhante nas paredes (escoamento sem atrito), as forças se devem à pressão e à gravidade. A força de
gravidade na direção da linha de corrente é igual ao correspondente componente do peso do fluido
dentro do volume de controle:
(4.6)
Com o auxilio da figura 4.1, a força de pressão é mais facilmente visualizada. Na figura,
subtraindo-se antes um valor uniforme p de todas as superfícies, isso não alterará a força de pressão
resultante. A força de pressão ao longo da lateral inclinada do tubo de corrente tem um componente na
direção das linhas de corrente, que atua não sobre A, mas sobre o anel externo correspondente à
variação de área dA. A força de pressão resultante é, portanto:
(4.7)
Substituem-se esses dois termos de força na relação de quantidade de movimento:
(4.8)
10
O primeiro e o ultimo termos da equação (4.8) se cancelam, em virtude da relação de
continuidade (4.3). Dividindo os termos remanescentes por ρA e reorganizando, obtém-se a forma:
(4.9)
A equação (4.9) é a equação de Bernoulli para o escoamento sem atrito, não-permanente, ao
longo de uma linha de corrente. Tal forma diferencial pode ser integrada entre dois pontos 1 e 2
quaisquer, sobre a linha de corrente:
(4.10)
Para as integrais restantes da equação (4.10), adequa-se a equação as hipóteses feitas no
roteiro fornecido pelo L.T.C. M para a experiência número 3:
• Regime permanente;
• Escoamento incompressível e não-viscoso.
Obedecendo estas hipóteses, tem-se:
(4.11)
Na forma correspondente à equação (4.11), cada um dos termos apresenta as seguintes denominações:
• O termo (ρρρρ.V²)/2 representa a chamada pressão dinâmica do escoamento,ou energia cinética por
unidade de volume;
• O termo p representa a chamada pressão estática do escoamento;
• o termo ρgz representa a energia potencial por unidade de volume.
11
À quantidade:
(4.12)
Habitua-se chamar pressão total ou pressão de estagnação, isto é, num ponto da mesma linha
de corrente em que a velocidade se anula.
A equação (4.11) é igual a que consta no roteiro da experiência.
A seguir, serão citadas brevemente algumas aplicações mais usuais da equação de Bernoulli:
Asas de aviões
Esse conhecimento permite o entendimento da aerodinâmica da asa de um avião. Em relação ao
avião, o ar situado ao redor das asas se move para trás. O formato da asa do avião faz com que o ar que
passa em cima dela se movimente mais depressa do que o ar que passa embaixo. Isso ocorre devido às
diferentes curvaturas na parte superior e inferior da asa. Assim, as moléculas de ar que passam por cima
da asa o fazem com uma velocidade maior do que aquelas que passam por baixo, porque devem
percorrer uma distância maior no mesmo intervalo de tempo. O caminho percorrido por cada partícula do
ar é chamado linha de corrente. Na figura, aparecem duas linhas de corrente.
Fig. 4.2 – Ilustração de um perfil de asa
Como em cima a velocidade é maior, a pressão é menor. E em baixo a velocidade é menor, logo
a pressão é maior, favorecendo a subida do avião.
12
Vaporização
Bem como o spray funciona da seguinte forma: um jato de ar é “soprado” na extremidade aberta
de um tubo mergulhado em líquido. Então, a pressão nesse ponto diminui, e a diferença depressão no
outro extremo (ar dentro do tubo) empurra o líquido para cima. Ao chegar ao topo, a superfície líquida é
convertida em gotículas, que se espalham com o jato de ar.
Velejar
A idéia de que "o vento bate e empurra o veleiro" só é verdadeira quando se veleja a favor do vento
(popa rasa). Em todas as outras situações deve-se regular (trimar) nossas velas para que o ar possa fluir
suavemente pelos dois lados de sua curvatura. O fluxo de ar em volta do pano curvo da vela cria uma
zona de baixa pressão no lado externo da vela para a qual o veleiro é sugado.
Fig. 4.2 – Ilustração de um veleiro
13
5. Descrições dos equipamentos utilizados
Para a realização desenvolvimento desse experimento, foram utilizadas as bancadas hidráulicas
de base e de Bernoulli. A figura 6.1 apresenta um esquema da montagem do aparato experimental:
Fig. 5.1 – Esquematização do aparato experimental
1) Válvula de entrada: Entrada da água, oriunda da bancada hidráulica de base, no sistema.
2) Tubo Venturi: A água, ao escoar pelo tubo, terá a sua pressão e velocidade de escoamento alterado.
Fornece as pressões estáticas.
3) Tubo de Acrílico: Transporte da água pelo aparato experimental.
4) Tubo flexível: Saída da água oriunda do sistema.
5) Tubos medidores de pressão, interligados a um manômetro, fornecem a pressão estática em
diferentes seções do Venturi
6) tubo de aço, ligado a um manômetro,fornece a pressão total
14
Figura 5.2 – Bancada hidráulica de base
A bancada hidrostática é a alimentadora de água ao aparato de Bernoulli, e a receptora da água
retirada da mesma. Assim, a bancada Bernoulli é posicionada sobre a bancada hidráulica de base para o
desenvolvimento da prática experimental.
Toda a parte externa é construída em fibra, material leve e resistente, com rodas que facilitam
seu transporte. Na face superior, onde a prática é realizada, há uma base plana horizontal, e ao seu lado
uma parte plana rebaixada. Na parte mais alta, o aparato hidrostático é posicionado, e na parte mais
baixa a mangueira é conectada. O tanque de medição volumétrica acomoda taxas de fluxo baixas ou
elevadas. Um defletor reduz a turbulência e um tubo remoto com escala dá uma indicação instantânea
do nível de água. Um cilindro de medição é incluído na fonte para a medida de taxas de fluxo muito
pequenas. Uma válvula na base do tanque é operada por um atuador remoto. Ao abrir a válvula, o
volume medido da água retorna ao depósito na base. A água é extraída do tanque do depósito por uma
bomba centrífuga e uma válvula de controle montada no painel regula o fluxo.
15
Um conector rápido da tubulação de liberação situado no alto da bancada permite a troca rápida dos
acessórios sem a necessidade de ferramentas. (informações
retiradas e traduzidas de
http://www.armfield.co.uk/scripts/fcp.pl?words=bench&wt=ew&bl=or&d=/f1_datasheet.html)
Figura 5.2 – Figura ilustrativa da bancada Bernoulli
Este aparato para a demonstração da equação de Bernoulli ilustra em quais circunstâncias o
teorema pode ser aplicado, pois para algumas situações o teorema pode nos fornecer um estudo
inadequado do fluido em questão.
O aparato consiste em uma série de tubos graduados em (mmCA), que estão ligados a um
manômetro, que irá medir a pressão estática quando se der o escoamento do fluido pelo Venturi.
Figura 5.3 – Figura ilustrativa de um tubo de Venturi
16
O Tubo de Venturi é o medidor de vazão diferencial de pressão, também chamado de medidor
de vazão por obstrução de área. Consiste em um tubo, onde escoa um fluido. Possui a entrada (como
pode-se ver na figura 5.3) em alta pressão e restringe a sua área de seção(vide figura 5.3), desta forma
a pressão na área restringida é menor, porém a velocidade do escoamento é maior. Para se determinar
a vazão através de um Venturi, é necessário que se tome dois pontos distintos, um de entrada e o outro
da área restringida, para fazer as medidas de pressões. A partir desses dados, é possível determinar o
valor da pressão estática no Venturi.
O Venturi pode ser usado com êxito para medir vazões de qualquer fluido, com tubulações de
diferentes diâmetros, onde a perda de carga é desprezível.
Fig. 5.4 – Ilustração de um escoamento de fluido em um tubo de venturi, retirado de:
http://www.fem.unicamp.br/~instmed/Vazao_Curso_Ford_1.pdf
6. Procedimento experimental
Montado o aparato experimental,como ilustra a figura 5.1, para a coleta dos valores de pressão
e vazão, deve-se proceder da seguinte maneira:
1º ) Abre-se a válvula (1) da bancada hidráulica, para o escoamento de água no tubo de Venturi(2).
2º) Espera-se o fluxo de água se normalizar, eliminando do tubo a presença de bolhas de ar, oriundas da
turbulência no escoamento.
3º) Verifica-se se o nível mostrado pelos tubos medidores de pressão (5) estão iguais, para que possa
ser desprezado termo da energia potencial gravitacional da equação de Bernoulli.
4º) Insere-se o tubo de aço (6), que mede a magnitude da pressão total.
17
5º)Para dados intervalos de tempo, mediu-se o volume de fluido, através de uma proveta, que passava
no Venturi. Tal medição foi feita para diferentes aberturas da válvula de entrada (1).
6º) Faz-se a coleta dos dados (pressão estática e total), para as diferentes vazões.
7. Análises dos resultados obtidos
Como já foi dito anteriormente, a experiência será desenvolvida em um tubo de Venturi. As
medidas serão levantadas na seção convergente do mesmo. Para a comprovação experimental da
equação (4.11), serão medidas a pressão estática Pe(e); e a pressão total Pt(e). Com isso, calcula-se a
pressão dinâmica:
(7.1)
Para esse conjunto de dados mediu-se também a vazão Q(e). A seguir, serão apresentados os dados
obtidos teoricamente e experimentalmente.
Tabela 1 – Área das seções consideradas
N.ºda seção
Diâmetro [mm]
Distância x[mm]
Área [m²}
1 25.0 0.0 4.91 E-4
2 13.9 61.00 1.52 E-4
3 11.8 68.68 1.09 E-4
4 10.7 73.18 8.99 E-5
5 10.0 81.08 7.85 E-5
6 25.0 141.51 4.91 E-4
18
Tabela 2 – Vazão experimental
N.ºda
medida
Volume
[m³]
Tempo
[s]
Qi(e)
[m³/s]
1
6.9 E-4 4.5 1.53 E-4
8.7 E-4 6.0 1.45 E-4
9.5 E-4 6.3 1.51 E-4
2
8.2 E-4 7.0 1.17 E-4
8.8 E-4 7.4 1.19 E-4
8.8 E-4 7.5 1.17 E-4
3
6.3 E-4 7.5 8.40 E-5
6.2 E-4 7.4 8.38 E-5
5.8 E-4 6.8 8.53 E-5
4
3.4 E-4 7.4 4.59 E-5
3.1 E-4 6.9 4.49 E-5
3.6 E-4 8.4 4.29 E-5
Tabela 3 – Dados experimentais de pressão, para a primeira medida.
MEDIDA Nº. 1
Nº. da seção
Pe(e)
[Pa]
Pt(e)
[Pa]
1 2563.60 2632.62
2 2110.04 2563.60
3 1676.20 2563.60
4 1232.5 2563.60
5 591.60 2534.02
6 1449.27 1676.20
Q(e) [m³/s] 1.50 E-4
19
Tabela 4 – Dados experimentais de pressão, para a segunda medida.
Tabela 5 – Dados experimentais de pressão, para a terceira medida.
MEDIDA Nº. 2
Nº. da seção
Pe(e)
[Pa]
Pt(e)
[Pa]
1 2100.18 2119.90
2 1745.22 2662.20
3 1429.70 2050.88
4 1133.90 2050.88
5 719.78 2021.30
6 1252.22 1449.42
Q(e) [m³/s] 1.18 E-4
MEDIDA Nº. 3
Nº. da seção
Pe(e)
[Pa]
Pt(e)
[Pa]
1 1449.42 1429.70
2 1262.08 1429.70
3 1104.32 1419.84
4 956.42 1419.84
5 739.50 1419.84
6 1015.58 1153.62
Q(e) [m³/s] 8.44 E-5
20
Tabela 6 – Dados experimentais de pressão, para a quarta medida
Montadas as tabelas acima, com o valor das vazões, calculou-se as velocidades médias,
usando-se à equação de Bernoulli, obtém-se Pd(t). Considera-se que a pressão teórica é igual à pressão
total experimental no primeiro ponto, assim calcula-se a pressão Pe(t) em todos os pontos.
Para as 4 vazões, calcularam-se as velocidades em 6 seções do tubo de Venturi previamente
consideradas, usando a seguinte relação matemática:
(7.2)
, onde Q são as quatro medidas de vazões que foram determinadas no laboratório e As são as 6
diferentes áreas das seções consideradas
MEDIDA Nº. 4
Nº. da seção
Pe(e)
[Pa]
Pt(e)
[Pa]
1 877.54 877.54
2 818.38 857.82
3 788.8 857.82
4 729.64 847.96
5 660.62 847.96
6 719.78 808.52
Q(e) [m³/s] 4.46 E-5
21
Tabela 7 – Velocidade média em cada seção para Q = 1.50 E-4 m³/s
Seção Nº. Área [m²] Velocidade [m/s]
1 4.91 E-4 0.31
2 1.52 E-4 0.99
3 1.09 E-4 1.38
4 8.99 E-5 1.67
5 7.85 E-5 1.91
6 4.91 E-4 0.31
Tabela 8 – Velocidade média em cada seção para Q = 1.18 E-4 m³/s
Seção Nº. Área [m²] Velocidade [m/s]
1 4.91 E-4 0.24
2 1.52 E-4 0.78
3 1.09 E-4 1.08
4 8.99 E-5 1.31
5 7.85 E-5 1.50
6 4.91 E-4 0.24
Tabela 9 – Velocidade média em cada seção para Q = 8.44 E-5 m³/s
Seção Nº. Área [m²] Velocidade [m/s]
1 4.91 E-4 0.17
2 1.52 E-4 0.56
3 1.09 E-4 0.77
4 8.99 E-5 0.93
5 7.85 E-5 1.07
6 4.91 E-4 0.17
22
Tabela 10 – Velocidade média em cada seção para Q = 4.46 E-5 m³/s
Seção Nº. Área [m²] Velocidade [m/s]
1 4.91 E-4 0.09
2 1.52 E-4 0.29
3 1.09 E-4 0.41
4 8.99 E-5 0.50
5 7.85 E-5 0.57
6 4.91 E-4 0.09
Os gráficos a seguir foram feitos com o auxilio do software computacional EES, e relacionam as
pressões e as diferentes posições das sondas, foram feitos quatro gráficos, um para cada vazão:
Gráfico 7.1 – Pressões estática, dinâmica e total em função da posição ( Q = 1.50 E-4 [m³/s]
23
Gráfico 7.2 – Pressões estática, dinâmica e total em função da
posição ( Q = 1.18 E-4 [m³/s])
Gráfico 7.3 – Pressões estática, dinâmica e total em função da posição ( Q = 8.44 E-5 [m³/s])
24
Gráfico 7.4 – Pressões estática, dinâmica e total em função da posição ( Q = 4.46 E-5 [m³/s])
O gráfico 8.5 abaixo mostra as quatro pressões totais para as diferentes vazões, em função da
posição da sonda no tubo de Venturi:
Gráfico 7.5 – Pressões totais em função da posição x
25
Analisando os gráficos do item 7, nota-se que a medida em que a vazão diminui, a pressão
dinâmica também diminui. O mesmo acontece com a pressão total, que diminui juntamente com a vazão
e com o aumento da distancia relativa entre as sondas.
Para validar a equação de Bernoulli, foram calculadas as pressões dinâmicas para as diferentes
vazões, por meio da relação entre a equação (4.11) e a equação (7.1)
Tabela 11 - Q = 1.50 E-4 m³/s, pressões dinâmicas e teóricas.
N.º da seção Pdin.(teórica) [Pa]
Pdin.(experimental) [Pa] Erro (%)
1 48.05 69 43.6
2 490 454 7.93
3 952 858 10.96
4 1394.45 1301 6.70
5 1824 1942 6.47
6 48.05 227 372.42
Tabela 12 - Q = 1.18 E-4 m³/s, pressões dinâmicas e teóricas.
N.º da seção Pdin.(teórica) [Pa]
Pdin.(experimental) [Pa] Erro (%)
1 28.8 19.72 31.53
2 304.2 916.98 201.44
3 583.2 621.18 6.51
4 858 916.98 6.87
5 1125 1301.5 15.69
6 28.8 198.6 589.58
Tabela 13 - Q = 8.44 E-5 m³/s, pressões dinâmicas e teóricas.
N.º da seção Pdin.(teórica) [Pa]
Pdin.(experimental) [Pa] Erro (%)
1 14.45 19.12 32.31
2 156.8 167.62 6.9
3 296.45 315.52 6.43
4 432.45 463.42 7.16
5 572.45 680.34 18.85
6 14.45 138 855.02
26
Tabela 14 - Q = 4.46 E-5 m³/s, pressões dinâmicas e teóricas.
N.º da seção Pdin.(teórica) [Pa]
Pdin.(experimental) [Pa] Erro (%)
1 4 0 100
2 42.0 39.44 6.09
3 84 69.01 17.85
4 125 118.32 5.344
5 162.45 187.34 15.32
6 4 88.74 2118.5
Analisando as tabelas acima, verifica-se que, em posições intermediarias, o erro entre a pressão
dinâmica teórica e experimental é menor.
8. Conclusões
Através do experimento realizado, notou-se que há um percentual de erro elevado, principalmente
nas seções de entrada e saída do tubo de Venturi. Existem erros associados à falha de operação do
experimento, pode-se citar como os mais comuns desta categoria:
• Erros de paralaxe (na leitura da pressão e do volume de água na proveta);
• Erro de histerese;
Além desses erros causados por uma possível ineficiência dos operadores do experimento,
arredondamentos numéricos podem causar certas discrepâncias entre os valores teóricos e
experimentais.
Apesar disso, a equação de Bernoulli pode fornecer resultados satisfatórios, com relação à
análise de dados experimentais, como nas posições intermediarias das seções contidas nas tabelas
de comparação entre as pressões teórica e experimental.
27
Bibliografia
1- http://www.unb.br/ft/enm/vortex/ftp/MecFlu1/Exp3_Bernoulli.pdf
2- http://www.escoladavida.eng.br/mecflubasica/aula3_unidade5.htm;
3 - www.bringer.com.br/bringer_instrumentos/produtos/medidoresvazao/medidores;
4- http://pt.wikipedia.org/wiki/Rot%C3%A2metro;
5- White, T, Mecânica dos Fluidos, McGraw-Hill, RJ, 1991;
6- Roteiro do 3º experimento de laboratório de mecânica dos fluidos, LTCM, FEMEC, UFU, MG,
2008
Relat�rios/LAB 4 - Relat�rio.pdf
Disciplina: Mecânica dos Fluídos
Prof.: Aristeu da Silveira Neto
Experiência nº. 4
Determinação experimental dos coeficientes de descarga dos
medidores de
vazão tipo Venturi e tipo placa de orifício
Nome nº.
Bruno Alexandre Roque 85732
Guilherme Augusto de Oliveira 85733
Uberlândia, 21 de Novembro de 2008.
2
Sumário
1. Resumo.................................................................................................................................3
2. Introdução.............................................................................................................................4
3. Estabelecimento do problema a ser estudado......................................................................5
4. Descrição dos equipamentos utilizados no experimento......................................................5
5. Desenvolvimento Teórico – Modelo Matemático................................................................11
6. Procedimento Experimental.............................................................................................17
7. Análise dos dados obtidos................................................................................................22
8. Conclusões.......................................................................................................................22
9. Bibliografia........................................................................................................................23
10. Anexos..............................................................................................................................23
3
1. Resumo
Nesta quarta prática experimental, mostrou-se a importância dos medidores de vazão
tubo de Venturi e placa de orifício. Para o cálculo da vazão volumétrica teórica, foi desenvolvida
uma relação matemática, usando a equação de Bernoulli e a equação da continuidade. Para a
calibração dos medidores de vazão, mediram-se diferenças de pressões em dois pontos
distintos do Venturi e da placa de orifício. A vazão volumétrica experimental foi fornecida por um
rotâmetro, equipamento este que foi detalhadamente descrito no decorrer deste relatório.
Ao coletar os dados e efetuar alguns cálculos, notou-se que o modelo teórico não
correspondia exatamente ao modelo experimental. Tal diferença é corrigida por meio da
determinação do coeficiente de descarga (Cd) de cada aparelho. Para a determinação do
coeficiente de descarga, faz-se uma linearização da curva que relaciona a vazão volumétrica
teórica com a experimental, desta forma, o coeficiente angular corresponde ao valor do
coeficiente de descarga (Cd) Para o Venturi, segundo a literatura técnica empregada neste
relatório, White, F, Mecanica dos Fluidos, McGrawHill, RJ, 1991, o coeficiente de descarga deve
ser em torno de 1. Achou-se experimentalmente para o Venturi, um coeficiente de descarga de
aproximadamente 0,95, valor este realmente muito próximo de 1. Para a placa de orifício,
segundo a literatura técnica, o coeficiente de descarga deve estar entre 0,3 e 0,6. Achou-se
experimentalmente para a placa de orifício um coeficiente de descarga de aproximadamente
0,59.
Foram feitas importantes conclusões acerca dos resultados obtidos experimentalmente,
como a boa precisão que os medidores oferecem, a fácil operacionalidade, baixo custo que
estes possuem. Estes fatores ajudam a entender o porquê do tubo de Venturi e a placa de
orifício tem um vasto uso na indústria para a medição da vazão de um fluido.
4
2. Introdução
Quase todos os problemas práticos de mecânica dos fluidos estão associados à
necessidade de medições precisas do escoamento.
A medida de grandezas nos fluidos inclui a
determinação de pressão, velocidade, vazão em massa ou vazão volumétrica, ondas de
choque, gradientes de massa específica, turbulência e viscosidade.
Existem várias maneiras pelas quais estas medidas podem ser feitas, por exemplo, de
maneira direta, indireta, gravimétrica, volumétrica, eletrônica, eletromagnética e óptica. A
medida direta da vazão consiste na determinação do volume ou do peso de fluido que
atravessa uma secção num dado intervalo de tempo, e sua medição precisa é vital na cobrança
de consumidores por numa dada quantidade de líquido ou gás que passa por um duto. Nos
medidores utilizados nesta experiência, verifica-se que existem vantagens e desvantagens
referentes à utilização dos mesmos. Por exemplo, o medidor Venturi é mais caro que a placa
de orifício, porém, esta tem perda de carga e recirculações muito maiores do que num medidor
Venturi. O rotâmetro, que também foi utilizado, tem perda de carga intermediária, e só pode ser
usado verticalmente.
Neste experimento, a vazão de um fluido numa linha será determinada, a fim de avaliar os
diferentes medidores de vazão, bem como introduzir um fator de correção para corrigir as
perdas e o afastamento das hipóteses usadas na utilização da equação de Bernoulli para o
escoamento. Maiores detalhes sobre os medidores para fluidos podem ser encontrados nos
livros de mecânica dos fluidos, White T. Mecânica dos Fluidos, 1991, e Streeter V.L. Mecânica
dos Fluidos, 1974. Com a confecção dos gráficos, foram feitas importantes conclusões, que
serão abordadas com maior profundidade no decorrer deste relatório.
5
3. Estabelecimento do problema a ser estudado
Deseja-se determinar experimentalmente o coeficiente de descarga de dois medidores de
vazão: um tubo de Venturi e uma placa de orifício.
Obtidas, experimentalmente, as diferentes vazões dos sistemas citados acima e em posse
das equações matemáticas que as relacionam, torna-se possível o cálculo do coeficiente de
descarga (Cd) do tubo de Venturi e da placa de orifício. Para a calibração destes equipamentos,
utiliza-se o fator de correção Cd, obtido através do levantamento da curva da vazão teórica pela
vazão experimental. Para a fundamentação teórica, utilizou-se a equação de Bernoulli, o que
possibilitou o cálculo da vazão teórica. Deve-se conhecer a vazão experimental para que
finalmente seja obtido o coeficiente de descarga Cd.
4. Descrição dos equipamentos utilizados no experimento
Para o desenvolvimento da prática experimental, utilizou-se a bancada hidráulica de base
e um circuito para calibração de medidores de vazão. A seguir, serão descritos estes
equipamentos, bem como seus componentes integrantes.
4.1– Bancada hidráulica de base
Figura 1– Ilustração da bancada hidráulica de base
4.2 - Circuito para calibração de medidores de vazão
6
Figura 2 - Circuito para calibração de medidores de vazão utilizado na prática experimental
A ilustração abaixo ajuda a entender o aparato experimental, a seguir serão descritos os
componentes integrantes do circuito.
7
Figura 3 – ilustração esquemática do circuito de calibração de medidores de vazão
1.Válvula de entrada: Responsável por controlar a entrada de água no aparato
experimental e regular a vazão.
2.Tubo de Venturi: É um elemento medidor de vazão de diferencial de pressão, também
chamado de medidor de vazão por obstrução de área. A diferença de pressão entre duas
seções distintas do medidor é proporcional à vazão que escoa por ele. A diferença de pressão é
produzida por efeitos inerciais – a aceleração do escoamento devido à obstrução do mesmo
(redução de área na garganta) – e viscosos, isto é, a perda de carga.
Algumas das principais razões de usar elementos de obstrução para se medir vazão são
as seguintes:
• Podem ser usados para medir qualquer fluido;
8
• Não há nenhum elemento mecânico imerso no escoamento;
• Não há limite de vazão a ser medida, ou seja, a tubulação pode ter qualquer diâmetro;
A medição de vazão tem grande importância no controle de processos industriais,
envolvendo misturas e descargas de fluidos. Mais especificamente, a medição de vazão com o
uso do tubo de Venturi torna-se relevante em aplicações onde não se deseja grandes perdas de
carga.
As principais partes que constituem o Tubo de Venturi são: o cilindro de entrada, onde se
faz a medida de alta pressão; o cone (convergente) de entrada, destinado a aumentar
progressivamente a velocidade do fluido; a garganta cilíndrica, onde se faz a tomada de baixa
pressão; e o cone de saída, que diminui progressivamente a velocidade até ser igual à de
entrada.
Figura 4 – Ilustração esquemática do funcionamento de um tubo de Venturi.
3.Rotâmetro: Constituído por um tubo cônico, com o diâmetro menor do lado de baixo, dentro
do qual existe um flutuador ou bóia. É através da parte menor do tubo que o fluido entra. A bóia
pode mover-se livremente na vertical, subindo ou descendo no tubo, conforme aumenta ou
diminui o fluxo. O tubo possui uma escala de medida, onde é possível fazer a leitura
diretamente o valor do fluxo através da borda de cima da bóia. Convém notar que a bóia terá
que ter uma densidade superior à do fluido. Os rotâmetros são bastante utilizados na indústria
química, farmacêutica, petroquímica, alimentar, mecânica. São também bastante comuns em
laboratórios e no tratamento de águas.
9
O princípio de funcionamento do rotâmetro é relativamente simples. O fluido, gás ou
líquido, desloca-se no rotâmetro da base para o topo, resultando num movimento axial da bóia.
Ao longo do comprimento do tubo existe uma relação entre o diâmetro da bóia e o diâmetro
interior do tubo. O diâmetro da bóia é fixo ao contrário do tubo interior do rotâmetro que vai
aumentando da base até ao topo. Se o fluxo é constante, a diferença de pressão sobre a bóia
iguala o peso efetivo da bóia e esta “fixa-se” na posição que define o fluxo. Quando o fluxo de
caudal aumenta a força que atua na bóia também aumenta. Esta força faz com que a bóia suba
para uma posição mais elevada. Quando o fluxo diminui a bóia muda de posição para baixo. O
fluxo é uma função da altura da bóia.
Em suma, o principio de funcionamento do rotâmetro baseia-se na força de
arrastamento que o fluido exerce sobre a bóia, móvel, dentro de uma secção variável de
escoamento. Nestes medidores a variação de pressão é constante. Estes se baseiam na
variação da área de passagem do fluido entre a parede do tubo e a bóia, com a altura (posição)
da bóia.
Figura 5 – Ilustração esquemática do funcionamento de um rotâmetro
Q = umax (p/4) (Dt^2-Df^2)
10
ONDE:
Q - caudal volumétrico
umax - velocidade máxima do fluido
Dt – diâmetro do tubo do rotâmetro
Df – diâmetro da bóia
4.Tubo U: leitura das pressões na entrada e saída da placa de orifício e também na entrada e
garganta do Venturi.
5.Placa de orifício: É um dos meios mais usados para medição de fluxos.
Certamente as razões para tal participação devem ser as vantagens que apresenta:
simplicidade, custo relativamente baixo, ausência de partes móveis, pouca manutenção,
aplicação para muitos tipos de fluido, instrumentação externa, etc. Desvantagens também
existem: provoca considerável perda de carga no fluxo, a faixa de medição é restrita, desgaste
da placa, etc.
Figura 6 – Ilustração esquemática de uma placa de
orifício
Um arranjo comum é dado na figura acima. A placa (com orifício de diâmetro D)
provoca
uma redução da seção do fluxo e é montada entre dois anéis que contêm furos para tomada de
pressão em cada lado. O conjunto é fixado entre flanges, o que torna fácil sua instalação e
manutenção. A medição da diferença de pressão p1 − p2 pode ser feita por algo simples como
um manômetro U e uma tabela ou uma fórmula pode ser usada para calcular a vazão. Ou pode
ser coisa mais sofisticada como transdutores elétricos e o sinal processado por circuitos
analógicos ou digitais para indicação dos valores de vazão.
6.Válvula de saída: Controla a saída de água do sistema.
11
7.Tubo de saída: Saída de água do sistema.
8. Tubo de Acrílico: Transporte de água pelo circuito .
5. Desenvolvimento Teórico – Modelo Matemático
Para o cálculo das vazões teóricas do tubo de Venturi e da placa de orifício, utilizou-se da
equação de Bernoulli (5.3), combinada com a equação da continuidade (5.9). A referência
bibliográfica para este desenvolvimento teórico foi o livro White, T, Mecânica dos Fluidos,
McGraw-Hill, RJ, 1991.
A equação de Bernoulli, na forma diferencial, para um escoamento sem atrito, não-
permanente, ao longo de uma linha de corrente é dada por:
(5.1)
Onde:
V é a velocidade;
t é o tempo;
s é a variável de comprimento;
p é a pressão;
ρ é a massa específica do fluído;
g é a aceleração da gravidade local;
z é a variável de elevação.
Integrando a forma diferencial entre dois pontos (1 e 2 ) quaisquer sobre a linha de
corrente, tem-se:
(5.2)
12
Para avaliar as duas integrais restantes, deve-se estimar o efeito não-permanente e a
variação da massa específica com a pressão. O escoamento será considerado permanente e
incompressível, com isso, tem-se:
(5.3)
Ambos os medidores de vazão estão na horizontal, sendo assim, tem-se:
Z1 = Z2 (5.4)
Pela equação da continuidade ou da conservação de massa, diz-se que a vazão
mássica é constante em qualquer seção da tubulação e do elemento medidor, então, tem-se:
(5.5)
Como há uma entrada e uma saída, a equação (5.5) fica:
(5.6)
Onde:
V é a velocidade;
ρ é a massa específica;
A é a área.
13
Informação Importante: Se for considerado que a P2 é determinada pela A2, o valor da
diferença de pressão é medido é diferente daquele resultante da aceleração do escoamento
devido à redução de área entre 1 e 2 (da Equação de Bernoulli). A diferença é proveniente de
fenômenos tais como a perda de carga (efeito viscoso), a formação da vena contracta (efeitos
inerciais) e mesmo o posicionamento das tomadas de pressão estática. A figura abaixo facilita o
entendimento e a visualização:
Figura 7 – Ilustração do tubo de Venturi e seus pontos considerados
A título de ilustração, as figuras baixo mostram visualizações do escoamento em um
bocal e em uma placa de orifício.
14
(8a) (8b)
Figura 8 - Escoamento em um bocal divergente; lento (à esquerda, velocidade 0,3 ~0,4 m/s)
e rápido (à direita, 1,5 ~ 2,0 m/s); fluido: água; ângulo divergente: 20o.
Figura 9: Escoamento através de uma placa - orifício. Fluído: água; velocidade: 1.4
m/s.
Pode se dizer que a equação (5.6) é igual a
(5.7)
15
Como foi dito anteriormente, o escoamento pode ser considerado incompressível, o que
facilitará os cálculos, pois, neste caso, não há variação de temperatura na passagem da água
pelos medidores de vazão, ou seja, não há variação da energia interna, evitando-se assim o
uso de equações oriundas da termodinâmica para a simplificação da equação. A equação (5.6)
fica da seguinte forma:
V1. A1= V2. Avc (5.8)
Isolando V2 na equação (5.8), tem-se:
V2 = (V1. A1)/Avc (5.9)
Substituindo as equações (5.4), (5.9) na equação (5.3), tem-se:
(5.10)
Isolando o termo V1, deixando-o em evidência e tirando a raiz quadrada de ambos os lados da
equação (5.10), têm-se:
(5.11)
Sabe-se que a vazão volumétrica Q é dada pela multiplicação da área por onde escoa o
fluído e sua velocidade, então, tem-se a vazão teórica:
16
(5.12)
Como já foi dito anteriormente, a área de vena contracta é de difícil determinação, a
mesma deverá ser substituída pela A2. Tal substituição, para possibilitar o cálculo da vazão
volumétrica teórica, produzirá um erro, que deverá ser corrigido pelo Coeficiente de descarga
(Cd), que será determinado experimentalmente:
(5.13)
A equação (5.13) relaciona a vazão teórica com a vazão real, então:
(5.14)
Nesta prática experimental, serão apresentados os valores do coeficiente de descarga
para o tubo de Venturi e para a placa de orifício. O efeito da montagem da tubulação, tal como
a presença de elementos próximos ao medidor, influencia o coeficiente de descarga. Estes
elementos causam turbulência e tendem a aumentar Cd. Já a rugosidade interna, para o caso
de tubos de Venturi, no qual o escoamento tende a acompanhar a geometria, reduz o valor do
coeficiente. Deve-se levar em conta que a rugosidade relativa será maior para medidores de
menor diâmetro.
17
6. Procedimento Experimental
Os procedimentos experimentais serão explicitados com o auxílio da figura 3 e seus
respectivos itens:
• Foi feita a retirada de ar do tubo (item 8), para evitar o aparecimento de bolhas no
escoamento e para que houvesse o alinhamento dos níveis das pressões;
• Esperou-se o tempo necessário para que o escoamento no interior do tubo se
tornasse permanente;
• Ajustou-se uma vazão determinada de água, através da válvula de entrada (item 1);
• Por meio da leitura direta do rotâmetro (item 3) obtém-se a vazão real, dada pela
seguinte relação matemática:
)(
)(
segundosTempo
litrosVolumeVazão = (6.1)
• Para 10 diferentes vazões, obtidas com o auxílio do rotâmetro, foram coletados os
valores das pressões (mmCA) ao longo das duas seções do tubo U (item 4),onde foram
colocadas as sondas,para a placa de orifício (item 5) e para o medidor Venturi (item 2).
Para cada vazão escolhida no Rotâmetro tem-se 4 leituras de pressões, duas para o
tubo de Venturi e duas para a Placa de Orifício.
• A válvula de saída (item 6) controla a saída de água do circuito, por meio do tubo
(item 7)
7. Análise dos dados obtidos
Com a coleta dos dados, montaram-se as tabelas, para as diferentes vazões, das
variações das pressões no tubo de Venturi e na placa de orifício. Em seguida, foram feitos dois
gráficos da vazão experimental pela teórica, para o tubo de Venturi e para a placa de orifício.
Faz-se a regressão linear y = ax +b, que será ajustada para y = ax. Onde se tem que o
coeficiente angular (a) da reta é o coeficiente de descarga (Cd).
18
expQy = ;
x= teorQ ;
Os valores esperados para o coeficiente de descarga são de aproximadamente 1 para o
tubo de
Venturi e entre 0.3 e 0.6 para a placa de orifício dados retirados do livro-texto, White,
T, Mecânica dos Fluidos, 1991
A seguir, consta a tabela para as diferentes vazões das pressões lidas no tubo de
Venturi e na placa de orifício:
Tabela 1 – Pressões do tubo de Venturi para diferentes vazões
Medição
nº.
Vazão do
Rotâmetro
Qrot
[L/min.]
P1 – Venturi
[mmca]
P2 – Venturi
[mmca]
Vazão do
Rotâmetro
Q
10^-5[m³/s.]
∆P – Diferença de
P [Pa]
1 22 370 145 36,7 2205
2 20 330 145 33,3 1813
3 18 295 140 30 1519
4 16 245 125 26,7 1176
5 14 205 105 23,3 980
6 12 170 105 20 637
7 10 140 95 16,7 441
8 08 115 80 13,3 343
9 06 85 70 10 147
10 04 70 63 6,67 68,6
Tabela 2 – Pressões da placa de orifício para diferentes vazões
Medição
nº.
Vazão do
Rotâmetro
Qrot
[L/min.]
P6 – Placa
de Orifício
[mmca]
P7 – Placa de
Orifício
[mmca]
Vazão do
Rotâmetro
Q
10^-5[m³/s.]
∆P – Diferença de
P [Pa]
1 22 200 40 36,7 1568
2 20 180 45 33,3 1323
3 18 155 45 30 1078
4 16 127 40 26,7 852,6
5 14 100 35 23,3 637
6 12 75 30 20 441
7 10 60 25 16,7 343
8 08 40 20 13,3 196
19
9 06 25 15 10 98
10 04 15 10 6,67 49
Como mostra a equação (5.13), necessita-se da diferença de pressões (∆P) e as áreas
A1 e A2 e a massa específica ρágua para o cálculo da vazão teórica ( teorQ ). O roteiro fornecido
pelo L.T.C. M traz os seguintes dados:
1D =0,03175 m (tubo),
Então A1 = 7,92. 10^-4 m²
2D =0,015 m (Venturi),
Então A2 = 1,77. 10^-4 m²
A seguir, consta a tabela das vazões experimentais, fornecidas pelo rotâmetro, e das
vazões teóricas, calculadas usando-se os dados oferecidos pelo tubo de Venturi:
Tabela 3 – Vazões do tubo de Venturi para diferentes pressões
Medição Q exp –Rotâmetro 10^-5 [m³/s] Qteor. – Venturi 10^-5 [m³/s]
1 36,7 38,22
2 33,3 34,66
3 30 31,73
4 26,7 27,91
5 23,3 25,48
6 20 20,54
7 16,7 17,09
8 13,3 15,08
9 10 9,87
10 6,67 6,74
20
Com o auxílio do software computacional E.E.S, foi confeccionado o seguinte gráfico:
Gráfico 1 - Relação entre as vazões teórica e experimental para o Venturi
Pela reta de regressão linear, Cd = 0,95. Para o tubo de Venturi, a equação (5.14) é:
Qexp = 0,95.Qteor.
A seguir, constam os cálculos de vazão para a placa de orifício:
1D =0,03175 m,
Então A1 = 7,92.10^-4 m²;
2D =0,02 m,
21
Então A2 = 3,14.10^-4 m²
Aplicando a equação (5.13), chega-se aos seguintes valores da tabela:
Tabela 4 – Vazões da placa de orifício para diferentes pressões
Medição Q exp –Rotâmetro 10^-5 [m³/s] Qteor. – Venturi 10^-5 [m³/s]
1 36,7 60,58
2 33,3 55,65
3 30 50,23
4 26,7 44,67
5 23,3 38,62
6 20 32,13
7 16,7 28,34
8 13,3 21,42
9 10 15,15
Com o auxílio do software computacional E.E.S, foi confeccionado o seguinte gráfico:
Gráfico 2 - Relação entre as vazões teórica e experimental para a placa de orifício
22
Pela reta de regressão linear, Cd = 0,58966. Para a placa de orifício, a equação (5.14)
é:
Qexp = 0,59.Qteor.
8. Conclusões
Após a prática experimental, pode-se concluir que os medidores de vazão, quando
eficazmente regulados, por meio da determinação de seus respectivos coeficientes de
descarga, são de grande valia e ótima precisão para um uso industrial.
Os resultados obtidos no laboratório ficaram bem próximos dos propostos pela literatura
técnica utilizada como referência neste relatório, White, F, Mecânica dos Fluidos, 4ª Edição,
McGrawHill, RJ, 1991. Para o tubo de Venturi, o resultado do coeficiente de descarga foi igual a
0,95. Tal proximidade de valor com o previsto pela literatura explica-se pelo fato do experimento
ter sido eficazmente realizado, havendo a eliminação de significativos erros experimentais e
principalmente por que a área que foi tomada seção de estrangulamento é realmente muito
próxima da área de veno contracta. O coeficiente de descarga Cd, também corrigiu os erros
causados pelas hipóteses que foram feitas no desenvolvimento teórico deste relatório, (
negligência da viscosidade, consideração do regime permanente e negligência das perdas de
carga, freqüentes principalmente nos cotovelos da tubulação do circuito de calibração).
Para a placa de orifício, que oferece uma obstrução mais brusca ao escoamento, quando
comparada ao tubo de Venturi, obteve-se um resultado igualmente satisfatório. O coeficiente de
descarga foi igual a 0,58966, valor entre o 0,3 - 0,6, limites estes que podem ser conferidos no
livro referência para a confecção deste relatório, White, F, Mecânica dos Fluidos, 4ª Edição,
McGrawHill, RJ, 1991.
Após estas análises, pode-se concluir que quanto maior o coeficiente de descarga, menores
serão os erros relativos, pois assim a área de vena contracta se aproxima mais da área de
estrangulamento do venturi e as hipóteses feitas para facilitar os cálculos terão menores
influências no resultado experimental da vazão.
23
9. Bibliografia
[1] White, F, Mecanica dos Fluidos, McGrawHill, RJ, 1991.
[2] Streeter V.L. Mecânica dos Fluidos, 1974.
[3] http://www.escoladavida.eng.br/mecflubasica/aula3_unidade5.htm.
[4] http://www.bringer.com.br/bringer_instrumentos/produtos/medidoresvazao/medidores.
[5] Roteiro de orientação para o 2º experimento, Laboratório de Transferência de Calor e
massa e Dinâmica dos Fluidos, Universidade Federal de Uberlândia.
[6] http://m.albernaz.sites.uol.com.br/rotametro.htm
[7]http://www.ifi.unicamp.br/~lunazzi/F530_F590_F690_F809_F895/F809/F809_sem1_2
005/ThiagoB-Landers_F809_RF1.pdf
[8] http://www.fem.unicamp.br/~em712/vazao.doc
[9] http://www.fem.unicamp.br/~instmed/Vazao_Curso_Ford_1.pdf
10. Anexos
ρ água = 998 [Kg/m3]
4
2
1
1
D
A
pi
=
4
2
2
2
D
A
pi
=
1mmca = 9,8 Pa
g = 9,81 m/s²
Relat�rios/LAB 5 - Relat�rio.pdf
Experimento nº 5
Disciplina; Mecânica dos Fluídos
Professor: Dr. Aristeu da Silveira Neto
Calibração de um Convergente para a determinação da velocidade
média de um fluído
Nomes N.º
Bruno Alexandre Roque 85732
Guilherme Augusto de Oliveira 85733
Uberlândia, 15 de dezembro de 2008.
Sumário
1.Resumo
Esta quinta prática experimental consiste em medir as velocidades do escoamento as
partículas do ar, por meio do uso de um tubo de Pitot,
traçando-se assim os perfis de
velocidade para diferentes vazões, e também para a calibração do conduto convergente,
possibilitando assim a determinação da velocidade média na seção de testes do túnel.
Foram utilizados neste experimento um manômetro em U, que media a variação de pressão
no convergente, um micromanômetro que efetuava a leitura da variação da pressão de
estagnação com a estática em um ponto, um inversor de freqüência, que promovia a variação
da vazão do ar pelo túnel, por meio do controle da freqüência do ventilador.
Para a determinação da velocidade, utilizou-se a equação de Bernoulli, através da variação
de pressão de estagnação e estática no ponto, medidas pelo tubo de Pitot.
Obtidos estes dados, traça-se o perfil de velocidade para cada vazão de fluído. Obtém-se
também a variação de pressão no conduto convergente A partir disso, traça-se o perfil de
velocidade para cada vazão de fluido. Para cada vazão obtêm-se também a variação de
pressão no conduto convergente através de um manômetro em U. É possível assim calibrar o
túnel de vento, relacionando a pressão e a velocidade do fluído. Os resultados serão
mostrados no decorrer deste relatório
2. Introdução
Nesta quinta prática experimental, utilizou-se um tubo de Pitot para determinação do
perfil de velocidade na saída do túnel de vento, posteriormente calibrou-se o conduto
convergente para a determinação da vazão de ar.
O túnel de vento é uma instalação que permite a simulação e o estudo dos efeitos do
movimento de ar sobre o contorno de corpos sólidos.
Este aparato experimental tem vasta aplicação prática, sobretudo para a determinação
de parâmetros em projetos de aeronaves, automóveis, cápsulas espaciais, edifícios, pontes,
antenas e outras construções civis. Com estes testes, é possível a otimização de
características aerodinâmicas de um automóvel, aeronave, possibilitando a minimização das
forças de arrasto atuantes nestes corpos e proporcionando ganhos como economia de
combustível, etc.
O túnel de vento tem uma mesa de apoio para que se possa testar corpos de diferentes
pesos e formas e medir as forças de atrito resultantes de um escoamento de ar. Para realizar
esse escoamento de ar, utiliza-se um ventilador de dimensões e velocidades de escoamento
variáveis de um túnel para outro, dependendo dos corpos analisados e dos objetivos do teste.
É possível através destes túneis, testar sistemas de climatização e ar condicionado, por
meio de dispositivos acoplados no aparato experimental que simulam a radiação solar. Túneis
que são usados para testes mais complexos, como, por exemplo, para a análise do
escoamento de ar sobre um automóvel, tem suas paredes com rasgos, que ajudam a amenizar
a perturbação do escoamento de ar em torno do corpo de teste e regular o fluxo de ar,
minimizando assim a geração de turbulências.
Comentários mais explicitados acerca da importância e aplicação dos instrumentos
utilizados na prática experimental serão feitos no decorrer deste relatório. Maiores detalhes
sobre o desenvolvimento teórico empregado neste relatório podem ser encontrados nos livros
de mecânica dos fluidos, White T. Mecânica dos Fluidos, 1991, e Streeter V.L. Mecânica dos
Fluidos, 1974. Com a confecção dos gráficos, foram feitas importantes conclusões, que serão
abordadas com maior profundidade no decorrer do texto.
3. Estabelecimento do problema a ser estudado
Através da equação de Bernoulli, objetiva-se neste experimento calcular a
velocidades nos diferentes pontos ao longo da altura da seção de testes do túnel de vento, por
meio da utilização de um tubo de Pitot e um micro manômetro, que fornece a magnitude das
pressões pontuais, estabelecendo-se assim o perfil de velocidade na seção de testes.
Deve-se ressaltar também que o duto convergente do túnel de vento pode ser
calibrado, por meio do ajuste polinomial do gráfico entre a diferença de pressão do duto,
fornecido pelo tubo em U, em função da média ponderada das velocidades pontuais na seção
de teste do túnel, calculadas para diferentes freqüências do ventilador, localizado na “entrada”
do túnel de vento. Com a calibração do conduto convergente, pode ser obtida a vazão do ar
que escoa pelo túnel.
4. Descrição dos equipamentos utilizados no experimento
A figura abaixo ajuda a compreender os componentes e o funcionamento do túnel de vento:
Figura 1 – Desenho esquemático do túnel de vento utilizado no experimento
01. Ventilador, que irá escoar o ar pelo túnel de vento.
02. .Lona, conexão do ventilador com o túnel de vento.
03. Divergente :Seção onde ocorre a expansão do ar
04. Telas: auxilia na uniformização do escoamento do ar, diminuindo turbulências.
05. Zona plena: Responsável por deixar o fluido uniforme.
06. Colméia: Responsável por deixar o fluido uniforme.
07. Paquímetro: Informa a altura do tubo de Pitot, localizado na seção de testes.
08. Seção de testes: Seção transversal retangular onde faz-se o levantamento do perfil de
velocidade do fluido.
09. Duto convergente, onde ocorre a compressão do fluido .
10. Tubo em U: Mede a variação de pressão no duto convergente.
11. Micro manômetro: Mede a variação de pressão no tubo de Pitot.
12.Tubo de Pitot: Auxilia na medição de vazão.
A seguir, serão expostas algumas fotos, tiradas no laboratório da FEMEC, do túnel de
vento e seus componentes:
Figura 2 – Ventilador que escoa o ar pelo túnel e o regulador de freqüência
Figura 3 – Visão ampla do túnel de vento
Figura 4 – Seção divergente, onde ocorre a expansão do ar
Figura 5 - Duto convergente, onde ocorre a compressão do fluido.
Figura 6 - Micro manômetro, responsável pela medição da variação de pressão no tubo de Pitot.
Figura 7 - Paquímetro: Informa a altura do tubo de Pitot, localizado na seção de testes, que auxilia
na medição de vazão.
Figura 8 - Tubo em U: Mede a variação de pressão no duto convergente.
Figura 9 - Vista frontal da seção de testes do túnel de vento
Figura 10 - Vista lateral da seção de testes do túnel de vento
Dada a grande importância e aplicação do tubo de Pitot para testes e ensaios, serão
apresentadas algumas informações adicionais a respeito deste equipamento.
Tubo de Pitot
O tubo de Pitot é um instrumento de medida de velocidades que, através da diferença
entre as pressões total e estática (medida através de manômetros) permite a obtenção do
módulo do escoamento em uma seção. A pressão total (pressão estática mais pressão
dinâmica) é medida através do orifício principal no tubo disposto longitudinalmente ao
escoamento e a pressão estática através de orifícios secundários dispostos transversalmente
ao escoamento.
Figura 11 – Desenho ilustrativo de um tubo de Pitot.
Pressão Estática – É a pressão real ou a pressão termodinâmica que atua no fluido. Pode
também ser definida como a pressão acusada por um sensor que acompanha o fluido, com a
mesma velocidade deste. É medida através do uso de um pequeno orifício executado
na
parede da tubulação ou de outra superfície alinhada com o escoamento, tendo-se o cuidado de
que esta medição altere o mínimo possível o movimento do fluido.
Pressão Dinâmica – É a pressão decorrente da transformação da energia cinética do fluido
em pressão, através de uma desaceleração isoentrópica do mesmo.
Pressão Total, de Impacto ou de Estagnação –É a soma da pressão estática com a pressão
dinâmica. A sua medição é feita através de uma tomada de pressão voltada contra o
escoamento e alinhada com as linhas de corrente, de forma a receber o impacto do fluido.
Figura 12 – Exemplo da aplicação do tubo de Pitot na aviação
Figura 13 – Tubo de Pitot em um carro de fórmula 1.
5. Desenvolvimento Teórico
Para o cálculo da velocidade na seção de testes, utilizou-se da equação de Bernoulli. A
referência bibliográfica para este desenvolvimento teórico foi o livro White, T, Mecânica dos
Fluidos, McGraw-Hill, RJ, 1991.
Como ilustração e para facilitar o entendimento do desenvolvimento teórico, considera-se a
seguinte nomenclatura da figura:
Figura 13- Ilustração de um tubo de Pitot
A equação de Bernoulli, na forma diferencial, para um escoamento sem atrito, não-
permanente, ao longo de uma linha de corrente é dada por:
(5.1)
Onde:
V é a velocidade;
t é o tempo;
s é a variável de comprimento;
p é a pressão;
ρ é a massa específica do fluído;
g é a aceleração da gravidade local;
z é a variável de elevação.
Integrando a forma diferencial entre dois pontos (1 e 2 ) do tubo de Pitot, tem-se:
(5.2)
Para avaliar as duas integrais restantes, deve-se estimar o efeito não-permanente e a
variação da massa específica com a pressão. O escoamento será considerado permanente e
incompressível, com isso, tem-se:
(5.3)
Como ambos os pontos do tubo de Pitot estão na horizontal, sendo assim, tem-se:
Z1 = Z2 (5.4)
Também se pode afirmar que a velocidade no ponto 2 (V2) é igual a zero, pois tal ponto
é onde é feita a medida da pressão estática. Fazendo as substituições e rearranjando a
equação, tem-se:
ρρ
21
2
1
2
PPV
=+ (5.5)
Como o preterido é o valor de V1, por meio de simples manipulações matemáticas,
chega-se a equação:
( )
ρ
12
1 2
PPV −= (5.6)
Faz-se uma média ponderada para o cálculo da vazão média, então, tem-se:
(5.7)
Onde Vi é a velocidade calculada para cada altura hi do tubo de Pitot na seção de teste.
De acordo com a teoria, espera-se o seguinte perfil de velocidade para o fluido no túnel
de vento (White, T, Mecânica dos Fluidos,1991):
Figura 14 – Ilustração do perfil de velocidade esperado no túnel de vento
A Equação (5.6) é empregada para a determinação da velocidade em cada ponto, devido as
diferenças de pressões, medidas pelo micro manômetro. Pela equação da continuidade ou da
conservação de massa, diz-se que a vazão mássica é constante em qualquer seção da
tubulação e do elemento medidor, então, tem-se:
(5.8)
Onde:
V é a velocidade;
ρ é a massa específica;
A é a área.
Como há uma entrada e uma saída, a equação (5.8) fica:
V1. A1= Vvc. Avc (5.9)
Onde:
1A é a área da seção transversal no ponto 1
1V é a velocidade no ponto 1
VCA é a área vena contracta
Vvc é a velocidade na vena contracta.
Por meio de manipulações matemáticas, a equação (5.7), fica como:
Vvc = (V1. A1)/Avc (5.10)
Substituindo as equações (5.4), (5.9) na equação (5.3), tem-se:
(5.11)
Isolando o termo V1, deixando-o em evidência e tirando a raiz quadrada de ambos os lados da
equação (5.11), têm-se:
(5.12)
Sabe-se que a vazão volumétrica Q é dada pela multiplicação da área por onde escoa o
fluído e sua velocidade, então, tem-se a vazão teórica:
(5.13)
Deve se reafirmar como já foi dito no 4º experimento desta disciplina, que a área de
vena contracta é de difícil determinação, a mesma deverá ser substituída pela A2. Tal
substituição, para possibilitar o cálculo da vazão volumétrica teórica, produzirá um erro, que
deverá ser corrigido pelo Coeficiente de descarga (Cd), que será determinado
experimentalmente:
(5.14)
A equação (5.13) relaciona a vazão teórica com a vazão real, então:
(5.15)
As equações para o cálculo da vazão foram expostas apenas a título de informação, pois neste
experimento simplesmente calcularam-se as diferentes velocidades para as freqüências do
ventilador.
6. Procedimentos experimentais
Para a realização da prática experimental, devem ser tomados os seguintes procedimentos:
• Deve-se zerar o micromanometro ligado ao tubo de Pitot, para a determinação de
um referencial;
• Deve-se tomar nota da posição inicial do tubo de Pitot, (neste experimento, 18.70
mm), para diferentes freqüências do ventilador (60, 58, 48, 38, 28, 20 Hz), deve-se
tomar nota da altura inicial do paquímetro (neste experimento, 18.50 mm)
• Liga-se o motor a uma determinada freqüência;
• Toma-se nota da diferença de pressão medida pelo manômetro em U, conectado
ao Túnel de Vento;
• Toma-se nota da diferença de pressão no micro manômetro;
• Faz-se a variação da altura do tubo de Pitot para as seguintes posições: 21, 22, 23,
24, 25, 30, 35, 45, 60, 80, 100, 120, mm, e fazem-se as respectivas leituras de
diferença de pressão no micro manômetro, para cada altura tomada.
Tais procedimentos acima citados foram tomados para cada uma das 6
diferentes freqüências do ventilador. Uma informação relevante que deve ser citada é
que antes das medições, espera-se um certo tempo, para que o escoamento se torne
estável, para a diminuição de erros experimentais.
7. Levantamento, análise e apresentação dos resultados:
Foram montadas as seguintes tabelas com os valores de pressões lidos no tubo de Pitot
e as velocidades calculadas para cada altura do tubo de Pitot na seção de teste do túnel de
vento:
Tabela 1- Dados obtidos para uma freqüência de 20 Hz
∆h: 3,5 [mmca] - convergente
Posição
Pitot
H(mm)
18,70 20 21 22 23 24 25 30 35 45 60 80 100 120
∆h Pitot
[mmCa]
1,76 2,1 2,28 2,40 2,46 2,44 2,45 2,43 2,46 2,48 2,50 2,48 2,46 2,52
Tabela 2- Dados obtidos para uma freqüência de 28 Hz
∆h: 10 [mmca] -convergente
Posição
Pitot
H(mm)
18,70 20 21 22 23 24 25 30 35 45 60 80 100 120
∆h Pitot
[mmCa]
4,10 4,10 4,04 4,08 4,10 4,16 4,14 4,20 4,18 4,06 4,10 4,07 4,06 4,23
Tabela 3- Dados obtidos para uma freqüência de 38 Hz
∆h: 12 [mmca] -convergente
Posição
Pitot
H(mm)
18,70 20 21 22 23 24 25 30 35 45 60 80 100 120
∆h Pitot
[mmCa]
4,76 5,32 6,16 6,36 6,46 6,48 6,42 6,50 6,52 6,52 6,50 6,40 6.46 6,42
Tabela 4- Dados obtidos
para uma freqüência de 48 Hz
∆h: 20 [mmca] -convergente
Posição
Pitot
H(mm)
18,70 20 21 22 23 24 25 30 35 45 60 80 100 120
∆h Pitot
[mmCa]
8,92 9,74 9,90 9,92 10,04 9,96 9,96 10,01 9,98 9,92 9,88 9,82 9,72 9,42
Tabela 5- Dados obtidos para uma freqüência de 58 Hz
∆h: 30 [mmca] -convergente
Posição
Pitot
H(mm)
18,70 20 21 22 23 24 25 30 35 45 60 80 100 120
∆h Pitot
[mmCa]
8,94 10,64 11,62 12,40 13,80 13,30 13,92 13,90 13,96 13,90 13,90 13,92 13,78 13,72
Tabela 6- Dados obtidos para uma freqüência de 60 Hz
∆h: 35 [mmca] -convergente
Posição
Pitot
H(mm)
18,70 20 21 22 23 24 25 30 35 45 60 80 100 120
∆h Pitot
[mmCa]
9,40 11,22 12,54 13,52 14,14 14,36 14,69 14,90 15,04 15,02 14,95 14,90 14,82 14,76
8. Análise dos dados obtidos
Por meio da equação (5.6), apresentada no desenvolvimento teórico, é possível a
obtenção das velocidades do ar, para diferentes posicionamentos do tubo de Pitot.
Nestes cálculos, admitiu-se que 1mmca = 9,81 N/m² e a densidade do ar é igual a 1,22
kg/m³.
Com o auxílio do software E.E.S, foram obtidas as seguintes velocidades:
Tabela 7- Velocidade do ar calculada para uma freqüência de 20 Hz
∆h: 3,5 [mmca] - convergente
Posição
Pitot
H(mm)
18,70 20 21 22 23 24 25 30 35 45 60 80 100 120
Var
[m/s²]
5,32 5,81 6,06 6,21 6,29 6,26 6,28 6,25 6,29 6,31 6,34 6,31 6,29 6,37
Tabela 8- Velocidade do ar calculada para uma freqüência de 28 Hz
∆h: 10 [mmca] - convergente
Posição
Pitot
H(mm)
18,70 20 21 22 23 24 25 30 35 45 60 80 100 120
Var
[m/s²]
8,12
8,12
8,06
8,10
8,12
8,18
8,16
8,22
8,20
8,08
8,12
8,09
8,08
8,25
Tabela 9- Velocidade do ar calculada para uma freqüência de 38 Hz
∆h: 12 [mmca] - convergente
Posição
Pitot
H(mm)
18,70 20 21 22 23 24 25 30 35 45 60 80 100 120
Var
[m/s²]
8,75
9,25
9,95
10,11
10,19
10,21
10,16
10,22
10,24
10,24
10,22
10,15
10,19
10,16
Tabela 10- Velocidade do ar calculada para uma freqüência de 48 Hz
∆h: 20 [mmca] - convergente
Posição
Pitot
H(mm)
18,70 20 21 22 23 24 25 30 35 45 60 80 100 120
Var
[m/s²]
11,98
12,52
12,62
12,63
12,71
12,66
12,66
12,69
12,67
12,63
12,61
12,57
12,50
12,31
Tabela 11- Velocidade do ar calculada para uma freqüência de 58 Hz
∆h: 30 [mmca] - convergente
Posição
Pitot
H(mm)
18,70 20 21 22 23 24 25 30 35 45 60 80 100 120
Var
[m/s²]
11,99
13,08
13,67
14,12
14,90
14,63
14,96
14,95
14,98
14,95
14,95
14,96
14,89
14,85
Tabela 12- Velocidade do ar calculada para uma freqüência de 60 Hz
∆h: 35 [mmca] - convergente
Posição
Pitot
H(mm)
18,70 20 21 22 23 24 25 30 35 45 60 80 100 120
Var
[m/s²]
12,30
13,43
14,20
14,75
15,08
15,20
15,37
15,48
15,55
15,54
15,51
15,48
15,44
15,41
A partir dos dados obtidos das tabelas acima, construiu-se os seguintes gráficos:
Gráfico 1 – Velocidade em função da altura - freqüência de 20 Hz
Gráfico 2 - Velocidade em função da altura - freqüência de 28 Hz
Gráfico 3 - Velocidade em função da altura - freqüência de 38 Hz
Gráfico 4 - Velocidade em função da altura - freqüência de 48 Hz
Gráfico 5 - Velocidade em função da altura - freqüência de 58 Hz
Gráfico 6 - Velocidade em função da altura - freqüência de 60 Hz
Através dos gráficos mostrados anteriormente, nota-se que à medida que a freqüência
aumenta obviamente as velocidades alcançadas pelas partículas são maiores.
O gráfico também mostra a região de influência viscosa gerada por corpo imerso em um
escoamento de um fluido viscoso, ou seja, a camada limite. Os efeitos viscosos próximos à
parede do túnel de vento são evidenciados pela grande variação de velocidade mostrada, ou
seja, quanto mais próximas estão partículas de ar da parede, menor sua quantidade de
movimento linear devido o contato entre o fluido e a estrutura.
A condição de não escorregamento na parede do túnel de vento retarda o escoamento
(White), modificando assim o perfil de velocidade. È possível observar que há alguns pontos
muito díspares, o que evidencia erros de leitura dos aparelhos utilizados no experimento.
Neste experimento, foi feita a aquisição de dados da pressão apenas para a porção
inferior até a metade da altura total da seção de testes, devido a simetria da seção. Tal
semelhança também assegura a igualdade de perfil de velocidades entre a porção superior e
inferior da seção de testes. Para o cálculo das velocidades médias que serão apresentadas a
seguir, relacionou-se, através de uma média aritmética, cada velocidade obtida para cada
freqüência do ventilador.
Tabela 13 – Velocidades médias obtidas pela relação da freqüência do ventilador e pela
variação da pressão do duto convergente
Freqüência do motor
[Hz]
convergente
[mmca]
Velocidade do fluido
[m/s]
20 3,5 6,26
28 10 8,14
38 12 10,11
48 20 12,52
58 30 14,69
60 35 15,21
Com os dados obtidos na tabela 13, constrói-se um gráfico que relaciona as velocidades
médias obtidas e as diferenças de pressão observadas no convergente:
Gráfico 7 – Variação da Pressão (x) pela velocidade média (y)
Observa-se com o ajuste da curva, que com o aumento da pressão, os pontos obtidos
experimentalmente se aproximam mais da curva ajustada.
9.Conclusões
Após feita esta prática experimental, pode-se obter as variações de pressões do duto
convergente e também os perfis de velocidade para cada freqüência do ventilador de ar. Com o
tratamento dos dados, calibrou-se o duto convergente por meio de uma curva ajustada, que
relaciona a velocidade média e a variação de pressão do convergente. Pelo gráfico, pode-se
concluir que há uma boa calibração, devido a proximidade da curva ajustada com os pontos
obtidos experimentalmente.
Deve-se observar que alguns pontos das curvas levantadas através dos dados
experimentais evidenciam a presença de erros. Com a aplicação da equação de Bernoulli,
produz-se um erro pequeno, pois se desconsidera os efeitos viscosos, mas sabe-se que o
fluído não é ideal. Efeitos viscosos ficam evidentes pelo comportamento dos gráficos,
mostrando a influência da camada limite para alturas próximas à parede do túnel de vento.
Devem ser considerados os erros oriundos da prática experimental de fato, como o de
paralaxe, histerese e imperfeições geométricas no túnel de vento.
Foi possível notar que o escoamento não pode ser considerado como perfeitamente
laminar.
10 – Bibliografia
1-WHITE, F.,Mecânica dos Fluidos, McGraw-Hill, Rio de Janeiro, 1991.
2-FOX, Robert W. & MCDONALD, Alan T, Introdução à Mecânica dos Fluidos, 4ª edição, LTC
Livros Técnicos e Científicos Editora S.A, Rio de Janeiro, 1998.
3 - http://www.geste.mecanica.ufrgs.br/pss/medterm/pitot.pdf
4- http://www.poli.usp.br/d/pme2333/Arquivos/Experiencia%20Tubo%20de%20Pitot.pdf
Relat�rios/LAB 5 (TIPO 2) - Relat�rio.pdf
Universidade Federal de Uberlândia
Faculdade de Engenharia Mecânica – FEMEC
Laboratório de Transferência de Calor e Massa e
Dinâmica dos Fluidos
Responsável: Prof. Aristeu da Silveira Neto
Estudantes: N°: Turma:
Júlia Bertelli Duarte 82768 UE
Simone Pereira Saramago 82775 UE
Uberlândia, 30 de maio de 2008
CARACTERIZAÇÃO HIDRODINÂMICA DE UM ORIFÍCIO
1
SUMÁRIO
RESUMO......................................................................................................... 2
1. INTRODUÇÃO............................................................................................. 3
2. ESTABELECIMENTO DO PROBLEMA A SER ESTUDADO...................... 4
3. DESENVOLVIMENTO TEÓRICO – MODELO MATEMÁTICO.................... 6
4. DESCRIÇÃO DOS EQUIPAMENTOS......................................................... 12
5. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL........................................................... 16
6. LEVANTAMENTO, ANÁLISE E APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS... 18
7. CONCLUSÕES............................................................................................. 25
8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.............................................................. 30
ANEXOS............................................................................................................ 30
A.1. Veia contraída............................................................................................ 30
A.2. Escoamento sem atrito: a equação de Bernoulli....................................... 31
A.3. Teorema de Transporte de Reynolds........................................................ 34
Universidade Federal de Uberlândia
Faculdade de Engenharia Mecânica – FEMEC
Laboratório de Transferência de Calor e Massa e
Dinâmica dos Fluidos
Responsável: Prof. Aristeu da Silveira Neto
Estudantes: N°: Turma:
Júlia Bertelli Duarte 82768 UE
Simone Pereira Saramago 82775 UE
Uberlândia, 30 de maio de 2008
CARACTERIZAÇÃO HIDRODINÂMICA DE UM ORIFÍCIO
1
SUMÁRIO
RESUMO......................................................................................................... 2
1. INTRODUÇÃO............................................................................................. 3
2. ESTABELECIMENTO DO PROBLEMA A SER ESTUDADO...................... 4
3. DESENVOLVIMENTO TEÓRICO – MODELO MATEMÁTICO.................... 6
4. DESCRIÇÃO DOS EQUIPAMENTOS......................................................... 12
5. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL........................................................... 16
6. LEVANTAMENTO, ANÁLISE E APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS... 18
7. CONCLUSÕES............................................................................................. 25
8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.............................................................. 30
ANEXOS............................................................................................................ 30
A.1. Veia contraída............................................................................................ 30
A.2. Escoamento sem atrito: a equação de Bernoulli....................................... 31
A.3. Teorema de Transporte de Reynolds........................................................ 34
2
RESUMO
Em mecânica dos fluidos é muito importante obter medidas precisas de
escoamento. Uma propriedade bastante relevante é a vazão. Para relacionar os
valores teóricos e experimentais de vazão, utiliza-se o coeficiente de descarga (Cd).
Este experimento tem, por objetivos, calibrar o orifício como medidor de vazão e
calcular os valores dos coeficientes de descarga (Cd), velocidade (Cv) e contração
(Cc). Para a calibração, faz-se necessário encontrar os valores reais (medidos através
de uma proveta e um cronômetro) e teóricos de vazão. Com a regressão linear,
obtém-se a calibração do orifício, bem como o valor do coeficiente de descarga. Para
o cálculo do coeficiente de velocidade e de contração, monta-se uma bancada
experimental em que é possível visualizar diferentes perfis de jato de água. Estes
perfis são marcados em um papel milimetrado, obtendo pares (x,y). Através dos
valores dos pares (x,y) e de equações que relacionam estes pares com o Cv,
consegue-se obter os valores de Cv. Com os valores de Cv e Cd os valores para o Cc.
Depois de realizado a prática experimental na qual os valores para todos os
coeficientes foram encontrados, observou-se que estes valores possuem um nível de
acurácia bastante satisfatório.
3
1. INTRODUÇÃO
De acordo com White (2002), quase todos os problemas práticos de engenharia de
fluidos estão associados à necessidade de medições precisas do escoamento. Essas
medições podem ser de propriedades locais, tais como velocidade e pressão,
integradas, tal como vazão e globais (visualização de todo campo de escoamento).
Neste trabalho, o interesse maior é nas propriedades integradas, ou seja, nos
medidores de vazão.
Na maioria dos casos, utiliza-se de um orifício como medidor de vazão. Um orifício
é uma abertura de perímetro fechado e forma geométrica definida, feita abaixo da
superfície livre da água em paredes de reservatórios, de pequenos tanques canais ou
canalizações.
Ao passar pelo orifício, o fluido passa por uma região conhecida como vena
contracta (vide Anexo A.1). Essa contração sofrida pelo fluido pode ser medida através
do coeficiente de contração (Cc).
Outros
coeficientes utilizados para se caracterizar e calibrar um orifício são o
coeficiente de descarga (Cd), que é a relação da descarga real através do dispositivo
para a descarga ideal. Esse coeficiente não é uma constante. Para um dado
dispositivo, ele varia com o número de Reynolds (Giles, 1978), e o coeficiente de
velocidade, que compara a velocidade real com a teórica.
Este experimento tem, por objetivos, calibrar um orifício como um medidor de
vazão e determinar os coeficientes (Cc, Cv e Cd) deste mesmo orifício.
2. ESTABELECIMENTO DO PROBLEMA A SER ESTUDADO
O trabalho se configura na caracterização hidrodinâmica de um orifício. É proposta
a calibração de um orifício como medidor de vazão, por meio da determinação direta e
indireta da vazão de escoamento de um fluido. Os conceitos de coeficiente de
velocidade (Cv), contração (Cc) e de descarga (Cd) são introduzidos e é possível
estabelecer uma relação entre eles. A prática experimental, em questão, visa à
determinação destes coeficientes.
Os coeficientes, acima citados, são descritos a seguir. As equações apresentadas
serão detalhadas, posteriormente, no tópico de fundamentos teóricos.
A Fig. 2.1 ilustra um orifício, por meio do qual se gera uma vazão Q.
4
Figura 2.1. Representação esquemática de um orifício, por meio do qual se gera uma
vazão.
A velocidade que se atingiria na vena contracta (vide Anexo A.1) se os efeitos de
atrito não fossem considerados é denominada de velocidade ideal, Vi. Devido ao efeito
do atrito viscoso, a velocidade real V é menor e a relação V/Vi é o coeficiente de
velocidade:
Vi
V
Cv
(2.1)
A razão da área do jato na vena contracta (A) e a área do orifício (Ao) é definida
como sendo o coeficiente de contração:
Ao
A
Cc
(2.2)
A razão entre a vazão real (Q) e a vazão ideal (Qi) é definida como sendo o
coeficiente de descarga do orifício:
Qi
Q
Cd
(2.3)
x
y
5
Estes coeficientes são relacionados linearmente, de acordo com a Eq. (2.4):
CvCcCd .
(2.4)
Para se determinar os coeficientes a que se propõe, necessita-se determinar a
vazão e o coeficiente de descarga. Como o coeficiente de contração não pode ser
medido no laboratório, buscar-se-á uma forma de se medir o coeficiente de
velocidade.
Considera-se o jato da Fig. 2.1, o qual está submetido ao campo gravitacional. É
possível relacionar as posições x e y de uma partícula de fluido de acordo com a
equação:
h
x
Cv
y
2
2
2
1
(2.5)
Traçando-se a reta y versus x2/h determina-se o seu coeficiente angular e em
conseqüência o coeficiente de velocidade Cv. Com a equação (2.3) determina-se Cd e
com a equação (2.4) determina-se Cc.
A montagem sobre a qual se desenvolverá o experimento pode ser visualizada na
Fig. 2.2.
Figura 2.2. Aparato experimental usado na caracterização de um orifício.
6
O mecanismo é formado por um aparato para teste de jatos conectado, por meio
de um tubo flexível, a uma bancada hidráulica de base.
A bomba de água da bancada hidráulica será acionada, de forma que a água
começará a encher o recipiente de acrílico. Este recipiente possui uma entrada de
fluido (ligada à bancada) e duas saídas: uma é o jato de água e a outra é uma saída
para uma câmara. Nesta câmara a altura do fluido é regulada por meio de um
vertedouro, que escoa a água de volta para a bancada hidráulica. O aparato para
testes de jatos possui, ainda, um sistema de posicionamento de sondas. Essas sondas
(também conhecidas por agulhas) serão posicionadas sobre o jato de água, a fim de
marcar a sua trajetória. O papel milimetrado marcará a posição das agulhas. Devido à
dificuldade em se posicionar a origem do sistema de coordenadas (x, y) exatamente
na saída do orifício, adota-se esta origem no papel milimetrado.
A vazão real, medida experimentalmente, será obtida através da relação entre
volume de água na saída do circuito e tempo (para isso serão utilizados uma proveta
graduada e um cronômetro). Com base na equação de Bernoulli (vide Anexo A.2),
obtém-se a velocidade teórica Vi, e a vazão teórica Qi poderá ser calculada de acordo
com a Eq. (2.6):
AoViQi ghAo 2
(2.6)
Em que:
Ao
= área do orifício
g
= aceleração da gravidade
h
altura do fluido
Para leitura da altura do fluido, será utilizada a escala do recipiente de acrílico,
cujo zero está posicionado exatamente no centro do orifício.
De posse dos valores das vazões, é possível obter o coeficiente de descarga, pois
este relaciona linearmente a vazão real, medida experimentalmente e a vazão teórica
(Eq. (2.3)). Dessa forma, Cd corresponderá ao coeficiente angular de uma reta
ajustada para os pontos (
Qi
,
Q
).
Para cálculo de Cv através da Eq. (2.5), serão consideradas as posições (x, y) das
agulhas que posicionam a trajetória do jato de água. Essas marcações serão feitas em
um papel milimetrado.
De posse dos valores de Cd e Cv será possível obter Cc através da Eq. (2.4), e
então comparar estes coeficientes com valores encontrados na literatura.
7
3. DESENVOLVIMENTO TEÓRICO – MODELO MATEMÁTICO
Os coeficientes de velocidade (Cv), de contração (Cc) e de descarga (Cd) são
dados pelas Eqs. (2.1), (2.2) e (2.3), respectivamente.
Reescrevendo a Eq. (2.3) obtém-se:
QiCdQ .
(3.1)
A vazão é dada por:
m
Q
(3.2)
De acordo com a equação de conservação da massa (vide Anexo A.2):
VAm (3.3)
Substituindo a Eq. (3.3) na Eq. (3.2):
AVQ (3.4)
Logo:
AoViQi
(3.5)
De posse das Eqs. (3.1), (3.4) e (3.5), obtém-se a seguinte relação:
CvCcCd .
(3.6)
Aplicando-se a equação de Bernoulli para escoamento sem atrito, permanente,
incompressível, ao longo de uma linha de corrente (vide Anexo A.2) entre os pontos 1
e 2 na Fig. 2.1, considerando a superfície de controle sempre coincidente com a
superfície livre do fluido (
01 V
) e desprezando-se
a diferença das pressões entre
estes dois pontos (
21 pp
) e os efeitos viscosos, tem-se que:
8
2
2
2
2
1
2
1
1
2
1
2
1
zgV
p
zgV
p
(3.7)
Reorganizando:
212 2 zzgV
(3.8)
Sabe-se que:
21 zzh
(3.9)
Portanto:
ghViV 22
(3.10)
Logo:
ghCvV 2
(3.11)
Para se determinar o coeficiente de velocidade utiliza-se do seguinte
desenvolvimento teórico.
Considera-se a trajetória do jato da Fig. 2.1, o qual está submetido ao campo
gravitacional. O movimento da partícula de fluido pode ser decomposto segundo as
direções x e y.
Em x, não tem força atuando sobre a partícula, e a velocidade de saída do jato no
bocal é dada por:
tot
xox
Vx
(3.12)
Considerando
0xo
e
0to
:
tVx x .
(3.13)
0
9
Em y, existe a ação da força gravitacional. A variação da quantidade de movimento
linear corresponde à soma das forças externas que atuam sobre o corpo (segunda lei
de Newton). No caso da partícula de fluido, em que a força externa que atua sobre o
jato de água é a força peso, obtém-se:
mg
dt
mVd y
)( (3.14)
Sabendo-se que a velocidade
yV
é a variação da posição y com o tempo, pode-se
reescrever a Eq. (3.14) como:
g
dt
dy
dt
d
(3.15)
Integrando a Eq. (3.15):
1Cgt
dt
dy
(3.16)
21
2
2
CtC
gt
y
(3.17)
Considerando nula a velocidade inicial da partícula:
00)0( 1 Ct
dt
dy
(3.18)
Sendo
yo
a posição inicial da partícula:
yoCyoty 2)0(
(3.19)
Substituindo as Eqs. (3.18) e (3.19) na Eq. (3.17):
yo
gt
y
2
2 (3.20)
10
Adotando
0yo
, a Eq. (3.20) é dada por:
2
2gt
y
(3.21)
Sabendo-se que o tempo é o mesmo nas Eqs. (3.13) e (3.21), é possível relacionar
as posições x e y da partícula de fluido, conforme se segue:
h
x
CvhCv
x
V
x
ggty
x
2
22
2
2
2
2
1
42
1
2
1
(3.22)
Logo:
h
x
Cv
y
2
2
2
1
(3.23)
O coeficiente de velocidade Cv pode ser obtido traçando-se a reta y versus x2/h e
encontrando o seu coeficiente angular. Sendo o coeficiente angular dessa reta, tem-
se:
1
2
1
Cv
(3.24)
Com a equação (2.3) determina-se Cd e com a equação (2.4) determina-se Cc.
4. DESCRIÇÃO DOS EQUIPAMENTOS
Para execução do experimento, utiliza-se uma bancada hidráulica de base e um
aparato para testes de jatos (Fig. 4.1):
11
Figura 4.1. Bancada Hidráulica (1) e Aparato para testes de jatos (2).
A bancada hidráulica possui os seguintes componentes (Fig. 4.2):
Figura 4.2. Componentes da Bancada Hidráulica.
Os componentes da bancada hidráulica, numerados na Fig. 4.2, são descritos
conforme se segue:
2
1
1
2
3
12
1- Acionamento e Controle da bomba de água da bancada hidráulica
2- Válvula de controle da vazão de água
3- Escala de medição (em litros) do volume de água armazenado na bancada
Os componentes do aparato para teste de jatos, numerados na Fig. 4.3, são
descritos da seguinte forma:
4- Agulhas que marcam a posição do jato de água.
5- Prancheta em que será colocado o papel milimetrado.
6- Recipiente de acrílico.
7- Câmara que se comunica com o recipiente de acrílico e com o vertedouro
8- Vertedouro.
9- Orifício de 6 mm de diâmetro.
10- Tubo flexível que conecta a bancada hidráulica à entrada do recipiente de
acrílico.
13
Figura 4.3. Circuito para calibração de medidores de vazão.
Nas figuras seguintes é possível visualizar melhor os componentes do aparato
experimental.
Os componentes numerados na Fig. 4.4, são descritos da seguinte forma:
11- Conexão do tubo flexível com a bancada hidráulica.
12- Placa de acrílico que separa o recipiente de acrílico em 2 câmaras, com o
objetivo de diminuir a interferência da entrada de água na saída do jato.
13- Escala graduada em mm que possibilita verificar a altura da água.
14- Tubo flexível através do qual escoa a água que passa pelo vertedouro.
Os componentes numerados na Fig. 4.6, são descritos da seguinte forma:
15- Roscas que prendem as agulhas na posição desejada.
16- Papel milimetrado sobre o qual se marca a posição das agulhas.
5
4
6
7
8
9
10
14
Figura 4.4. Recipiente de acrílico.
Figura 4.5. Orifício.
Nível de
bolha
14
4
12
13
11
15
Figura 4.6. Sistema de Posicionamento de Sondas.
Utilizam-se, ainda, durante o experimento, uma proveta e um cronômetro para se
medir a vazão de água.
5. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
O experimento realizado consta das seguintes etapas:
1- Acionar a bomba de água da bancada hidráulica (1).
Ao acionar a bomba, a água começa a encher, primeiramente, o lado esquerdo
da placa do recipiente de acrílico. Em seguida, a água passa para o lado direito da
placa, o que possibilita a saída do jato de água pelo orifício.
Depois o líquido continua a preencher o recipiente e passa para a câmara que
comunica o recipiente com o vertedouro. Ao preencher a câmara, ele escoa pelo
vertedouro.
2- Regular a altura da água.
Ao movimentar o vertedouro verticalmente, é possível regular a altura de fluido.
Após definir a altura da água, procede-se para medir a vazão da mesma.
3- Medir a vazão de água.
16
4
15
4
16
3.1 – Vazão real de água:
Mede-se a variação do volume de água, que sai do recipiente pelo orifício, e
enche uma proveta com o tempo, através da escala de medição da proveta, graduada
em litros, e de um cronômetro, que fornece o tempo em segundos.
Para cada vazão considerada devem ser feitas 3 medidas.
A vazão corresponde ao volume dividido pelo tempo:
t
V
Q
(5.1)
3.2 – Vazão teórica de água:
A vazão teórica é calculada segundo a Eq. (2.6). Esta equação fornece a vazão
em termos da área do orifício, da aceleração da gravidade e da altura entre a
superfície livre de fluido e o centro do bocal. A área do orifício e a aceleração da
gravidade são parâmetros conhecidos. A altura da água é lida na escala do recipiente
de acrílico.
4- Posicionar as agulhas que marcam a trajetória do jato de água.
Posicionam-se as agulhas bem próximas ao jato de água. Recomenda-se que as
agulhas sejam posicionadas na superfície superior dos jatos e que as duas ultimas
sejam colocadas um pouco mais para baixo dessa superfície.
5- Marcar a posição das agulhas no papel milimetrado.
Para cada altura considerada serão posicionadas 8 agulhas. Estas terão sempre
a abscissa (x) constante, variando somente a ordenada (y), de acordo com a trajetória
do jato de água.
Após realizar as 2 medidas de vazão (uma real e uma teórica) e marcar a
posição das agulhas no papel milimetrado, considera-se uma nova altura de água,
regulada através do vertedouro.
17
Uma vez ajustada a nova altura de água, repete-se o procedimento descrito
anteriormente para obter as medidas de vazão e a posição das agulhas.
Serão feitas, ao todo, medidas correspondentes a 10 alturas de água diferentes.
Ou seja, o procedimento acima detalhado deverá ser executado 10 vezes.
6. LEVANTAMENTO, ANÁLISE E APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS
Durante o experimento foi realizada uma medição de vazão, utilizando de uma
proveta e um cronômetro. Os dados coletados, bem como os valores encontrados
para a vazão real e vazão ideal estão mostrados na Tab. (6.1). Os valores da vazão
teórica são calculados através da Eq. (2.6) enquanto a vazão real é calculada através
da Eq. (51). O diâmetro do orifício vale 0,006 m, e a gravidade utilizada foi de 9.81
m/s². O cálculo da velocidade ideal é feito através da Eq. (3.10).
Tabela 6.1. Valores de vazão real e ideal para as diferentes alturas.
Medida Alt. (m) Vol. V (ml)
Tempo t
(s)
Vazão Real
média Qr (m³/s)
Vazão teórica
Qi (m³/s)
1 0.393
895 17.66
0.5126x10-4 0.7851 x10-4 960 18.42
900 17.65
2 0.380
905 17.90
0.5044 x10-4 0.7720 x10-4 945 18.77
900 17.85
3 0.370
915 18.37
0.4993 x10-4 0.7618 x10-4 880 17.61
955 19.10
4 0.355
785 16.12
0.4888 x10-4 0.7462 x10-4 780 15.98
725 14.76
5 0.340
730 15.07
0.4800 x10-4 0.7303 x10-4 645 13.52
660 13.79
6 0.325
640 14.81
0.4569 x10-4 0.7140 x10-4
810 17.21
18
820 17.52
7 0.310
830 18.69
0.4537 x10-4 0.6973 x10-4 905 19.77
775 16.88
8 0.300
835 18.42
0.4515 x10-4 0.6860 x10-4 915 20.25
915 20.37
9 0.290
860 19.50
0.4430 x10-4
0.6744 x10-4 805 18.18
775 17.41
10 0.275
835 19.45
0.4407 x10-4 0.6568 x10-4 880 20.30
885 19.27
Para o cálculo do Cd (coeficiente de descarga) fez-se necessário passar as
unidades de vazão para o S.I.. A fórmula utilizada está sendo mostrada pela Eq. (6.1).
610 .
SI medidor r
Q Q
(6.1)
Com os dados da tabela acima, é possível traçar os gráficos entre vazão teórica e
vazão experimental e obter os valores do Cd.
Utilizando-se o método dos mínimos quadrados para fazer uma regressão linear,
obtém-se o valor experimental Cd para cada um dos medidores de vazão, em que Cd
corresponde ao coeficiente angular da reta obtida pela regressão linear dos pontos (Qi,
Qr) considerados.
A Fig. (6.1) mostra o gráfico entre vazão teórica e a vazão real para o orifício.
19
6.5 7 7.5 8
x 10
-5
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5
5.1
5.2
5.3
x 10
-5
Q
r
Qteórico
Figura 6.1. Gráfico entre vazão teórica e vazão real para o orifício.
A Eq. (6.2) foi obtida ao se ajustar a curva.
0.6085.r iQ Q
(6.2)
Comparando a Eq. (6.2) com a Eq. (3.1), encontra-se que Cd=0.6085, valor muito
próximo ao esperado. Na literatura, para um orifício, esperam-se valores de Cd em
torno de 0.6.
Durante o experimento foram coletados valores de pares (x,y) a fim de se calcular
o valor do coeficiente de velocidade (Cv), utilizando-se da Eq. (3.23). Para cada altura
foram encontrados 8 pares.
Os dados obtidos estão mostrados na Tab. (6.2).
Tabela 6.2. Valores dos pares (x,y) obtidos experimentalmente.
Medida Altura (m) x (m) y (m)
1 0.393
0
0.048
0.1649
0.1591
20
0.0975
0.1475
0.1975
0.248
0.298
0.348
0.1526
0.1401
0.1239
0.1082
0.0842
0.0582
2 0.380
0
0.048
0.0975
0.1475
0.1975
0.248
0.298
0.348
0.1649
0.1591
0.1526
0.1393
0.1229
0.1055
0.0816
0.0564
3 0.370
0
0.048
0.0975
0.1475
0.1975
0.248
0.298
0.348
0.1639
0.1591
0.1526
0.1393
0.122
0.1041
0.0790
0.0531
4 0.355
0
0.048
0.0975
0.1475
0.1975
0.248
0.298
0.348
0.1634
0.1573
0.1495
0.1374
0.121
0.1033
0.0762
0.0485
5 0.340
0
0.048
0.0975
0.1475
0.1975
0.248
0.1629
0.1573
0.1483
0.1364
0.1188
0.1004
21
0.298
0.348
0.0725
0.0457
6 0.325
0
0.048
0.0975
0.1475
0.1975
0.248
0.298
0.348
0.1629
0.1573
0.1483
0.135
0.1166
0.0965
0.0690
0.0395
7 0.310
0
0.048
0.0975
0.1475
0.1975
0.248
0.298
0.348
0.1629
0.1573
0.1474
0.1336
0.1145
0.095
0.0631
0.0328
8 0.300
0
0.048
0.0975
0.1475
0.1975
0.248
0.298
0.348
0.1629
0.1573
0.1474
0.1325
0.1131
0.0913
0.0605
0.0289
9 0.290
0
0.048
0.0975
0.1475
0.1975
0.248
0.298
0.348
0.1629
0.1573
0.1465
0.1315
0.1108
0.0882
0.057
0.0246
10 0.275
0
0.048
0.1622
0.1561
22
0.0975
0.1475
0.1975
0.248
0.298
0.348
0.1452
0.1292
0.1082
0.0835
0.048
0.0133
Com os dados coletados, e através da Eq. (3.23), construiu-se 10 gráficos, um
para cada medida, com o intuito de se encontrar os valores de Cv.
As figuras de Fig. (6.2) a Fig. (6.11), representam os gráficos bem como a reta
linearizada para cada medida.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
y
x²/h
Figura 6.2. Gráfico de x²/h por y, para a altura de 0.393 m.
23
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
y
x²/h
Figura 6.3. Gráfico de x²/h por y, para a altura de 0.380 m.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
y
x²/h
Figura 6.4. Gráfico de x²/h por y, para a altura de 0.370 m.
24
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
y
x²/h
Figura 6.5. Gráfico de x²/h por y, para a altura de 0.355 m.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
y
x²/h
Figura 6.6. Gráfico de x²/h por y, para a altura de 0.340 m.
25
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
y
x²/h
Figura 6.7. Gráfico de x²/h por y, para a altura de 0.325 m.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
y
x²/h
Figura 6.8. Gráfico de x²/h por y, para a altura de 0.310 m.
26
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
y
x²/h
Figura 6.9. Gráfico de x²/h por y, para a altura de 0.300 m.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
y
x²/h
Figura 6.10. Gráfico de x²/h por y, para a altura de 0.290 m.
27
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
y
x²/h
Figura 6.11. Gráfico de x²/h por y, para a altura de 0.275 m.
Através da Eq. (6.24), calculou-se os valores de Cv, que serão mostrados na Tab.
(6.3).
E, através da Eq. (3.6), calculou-se, indiretamente, os valores de Cc, também
mostrados na Tab. (6.3).
Tabela 6.3. Valores obtidos de Cv e Cc para cada altura h.
Medida Altura (m) Cv Cc
1 0.393 0.8595 0.7080
2 0.380 0.8635 0.7047
3 0.370 0.8624 0.7056
4 0.355 0.8714 0.6984
5 0.340 0.8783 0.6928
6 0.325 0.8758 0.6948
7 0.310 0.8730 0.6971
8 0.300 0.8735 0.6966
9 0.290 0.8741 0.6962
10 0.275 0.8646 0.7039
28
Com a Tab. (6.3), construiu-se um gráfico de Cv em função de h, representado
pela Fig. (6.12).
0.26 0.28 0.3 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4
0.855
0.86
0.865
0.87
0.875
0.88
0.885
C
v
h
Figura 6.12. Gráfico de h por Cv.
Através da reta linearizada, representada pela Eq. (6.3), observa-se que os valores
de Cv estão próximos de um valor constante (próximos de 0.89). De acordo com a
literatura, os valores de Cv variam em torno de 0.9, e tem que ser sempre um valor
constante. Logo, o valor obtido está condizente com a literatura.
0.0834. 0.8975vC h
(6.3)
Com a Tab. (6.3), construiu-se também um gráfico de Cc em função de h,
representado pela Fig. (6.13).
29
0.26 0.28 0.3 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4
0.692
0.694
0.696
0.698
0.7
0.702
0.704
0.706
0.708
0.71
0.712
C
c
h
Figura 6.13. Gráfico de h por Cc.
Através da reta linearizada, representada pela Eq. (6.4), observa-se que os valores
de Cc estão próximos de um valor constante (próximos de 0.68). De acordo com a
literatura, os valores de Cc variam em torno de 0.67, e tem que ser sempre um valor
constante. Logo, o valor obtido está condizente com a literatura.
0.0676. 0.6773cC h
(6.4)
7. CONCLUSÕES
A partir da realização do experimento e da análise dos dados, conclui-se que:
O valor encontrado de Cd, 0.6085, está muito próximo do valor previsto pela
literatura.
O valor médio encontrado de Cv e Cc, 0.89 e 0.68, estão próximos dos
valores esperados.
Através das retas linearizadas para o Cv e o Cc, observa-se que estes estão
bem próximos de uma constante.
Com a reta linearizada para a vazão, o orifício está calibrado.
30
8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Daugherty, R. L. and Franzini, J. B., 1965. “Fluid Mechanics with Engineering
Applications”. 6ª ed. McGraw Hill Inc., New York.
Fox, R. W. e McDonald, A. T. 1998. “Introdução à Mecânica dos Fluidos”. 4ª ed.
LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. Rio de Janeiro.
Giles, R. V., 1978. “Mecânica dos Fluidos e Hidráulica”. Coleção Schaum. McGraw
Hill do Brasil., Rio de Janeiro.
Streeter, V. L., 1977. “Mecânica dos Fluidos”. McGraw Hill Inc. São Paulo.
White, F. M., 2002. “Mecânica dos Fluidos”. 4ª ed. McGraw Hill Inc., Rio de Janeiro.
[1] - ISO 4787 Laboratory glassware (1984)- Volumetric glassware - Methods for
use and testing of capacity.
SINTESE DA TERCEIRA AULA DA UNIDADE 5,
www.escoladavida.eng.br/mecflubasica/aula3_unidade5.htm , capturado em
24/05/2008.
HIDROMETRIA,
www.cca.ufsc.br/~aaap/hidraulica/hidrometria/orificios_e_bocais.ppt, capturado em
24/05/2008.
ANEXOS
A.1. Veia contraída
A experiência demonstra que os filamentos da corrente líquida convergem para o
orifício, tocam as bordas e, em seguida, continuam a convergir mesmo depois de
terem atravessado o orifício. Como conseqüência, a veia líquida sofre uma contração.
No local da contração, a seção Avc da veia é mínima e chama-se seção contraída
(Fig. A.1.1). Em virtude do princípio da conservação de massa, a veia líquida alcança
sua velocidade máxima nesta seção.
31
Figura A.1.1. Vena contracta.
A.2. Escoamento sem atrito: a equação de Bernoulli
Existe uma relação entre pressão, velocidade e elevação para um fluido sem atrito,
conhecida como equação de Bernoulli. A equação de Bernoulli é muito famosa e muito
usada, mas é necessário estar atento às suas restrições – todos os fluidos são
viscosos e, portanto, todos os escoamentos apresentam algum atrito. Para usar
corretamente a equação de Bernoulli, deve-se restringi-la a regiões de escoamento
aproximadamente sem atrito.
Na Fig.A.2.1, retirada de White (2002), considera-se um
volume de controle
formado por um tubo de corrente elementar, fixo, de área variável A(s) e comprimento
ds, em que s é uma coordenada natural na direção das linhas de corrente. As
propriedades (, V, p) podem variar com s e com o tempo, mas admite-se que são
uniformes sobre a seção transversal A. A orientação do tubo de corrente é arbitrária,
com uma variação de elevação dz=ds senO atrito no tubo de corrente está
mostrado, mas é desprezado – uma hipótese altamente restritiva.
Figura A.2.1. Equação de Bernoulli para um escoamento sem atrito ao longo de uma linha
de corrente: (a) forças e fluxos; (b) forças líquidas de pressão após a subtração de
32
A conservação da massa, a partir do Teorema de Transporte de Reynolds (vide
Anexo A.3), para esse volume de controle elementar, conduz a:
mddv
t
mmdv
dt
d
entsai
VC
0
(A.2.1)
Em que
VAm
e
dsAdv
. Logo, nossa forma desejada para a conservação
de massa é:
dsA
t
VAdmd
(A.2.2)
Esta relação não requer a hipótese de escoamento sem atrito.
Escreve-se agora a relação da quantidade de movimento linear (vide Anexo A.3), a
partir do Teorema de Transporte de Reynolds, na direção das linhas de corrente:
VmddsAV
t
VmVmdvV
dt
d
dF entsai
VC
s
(A.2.3)
Em que Vs=V, pois s está na direção da própria linha de corrente. Desprezando-se
a força cisalhante nas paredes (escoamento sem atrito), as forças se devem à pressão
e à gravidade. A força de gravidade na direção da linha de corrente é igual ao
correspondente do peso do fluido dentro do volume de controle:
dzAsendsAsendPdF gravs , (A.2.4)
A força de pressão é mais facilmente visualizada, na Fig. A.2.1(b), subtraindo-se
antes um valor uniforme p de todas as superfícies, lembrando-se que isto não altera a
força de pressão resultante. A força de pressão ao longo da lateral inclinada do tubo
de corrente tem um componente na direção das linhas de corrente, que atua não
sobre A, mas sobre o anel externo correspondente à variação de área dA. A força de
pressão resultante é, portanto, em primeira ordem:
33
dpAdAAdpdAdpdF presss 2
1
,
(A.2.5)
Substituem-se esses dois termos de força na relação de quantidade de
movimento:
mVddVmdsA
t
V
dsVA
t
VmddsAV
t
dpAdzAdFs
(A.2.6)
O primeiro e o último termos da direita se cancelam, em virtude da relação de
continuidade, Eq. (A.2.2). Dividindo-se o que resta por
A
e rearrumando, obtém-se a
relação final desejada:
0
dzgdVV
dp
ds
t
V
(A.2.7)
Essa é a equação de Bernoulli para escoamento sem atrito, não-permanente, ao
longo de uma linha de corrente. Ela está em uma forma diferencial e pode ser
integrada entre dois pontos 1 e 2 quaisquer sobre a linha de corrente:
0
2
1
12
2
1
2
2
2
1
2
1
zzgVV
dp
ds
t
V
(A.2.8)
Para avaliar as duas integrais restantes, devemos estimar o efeito não permanente
tV /
e a variação de massa específica com a pressão. A essa altura,
consideramos apenas o caso de escoamento permanente
0/ tV
e
incompressível (densidade constante), para o qual a Eq. (A.2.8) fica:
0
2
1
12
2
1
2
2
12
zzgVV
pp
ou
constzgV
p
zgV
p
2
2
2
2
1
2
1
1
2
1
2
1
(A.2.9)
Essa é a equação de Bernoulli para escoamento sem atrito, permanente,
incompressível, ao longo de uma linha de corrente.
34
A.3. Teorema de Transporte de Reynolds
O teorema de transporte de Reynolds estabelece uma relação entre o que
acontece sobre o volume de controle e sobre o sistema.
Para converter uma análise de sistema em uma análise de volume de controle,
deve-se transformar a matemática de modo a aplicá-la a uma região fixa, em vez de a
massas individuais. Essa transformação, chamada de teorema de transporte de
Reynolds, pode ser aplicada a todas as leis básicas. Examinando as leis básicas,
verifica-se que todas se referem a derivadas temporais de grandezas do fluido. O que
se necessita, portanto, é de relacionar a derivada temporal de uma grandeza do
sistema à taxa de variação da mesma grandeza no interior de certa região.
A fórmula de conversão desejada difere ligeiramente, de acordo com o volume de
controle (fixo, móvel ou deformável).
A forma compacta do teorema de transporte de Reynolds para um volume de
controle fixo arbitrário é:
VC
sist dv
dt
d
B
dt
d
SC
dAnV )(
(A.3.1)
Em que B é uma grandeza qualquer do fluido (energia, quantidade de movimento
etc.), e β = dB/dm a grandeza intensiva correspondente, definida pela quantidade de B
por unidade de massa em qualquer porção pequena do fluido.
Conservação da massa
Para a conservação da massa, o teorema de transporte de Reynolds aplicado a
um volume de controle fixo pode ser escrito segundo a Eq. (A.3.2), uma vez que
mB
e
1/ dmdm
.
VCsist
dv
dt
d
dt
dm 0
SC
dAnV )(
(A.3.2)
Equação da quantidade de movimento linear
35
Na segunda lei de Newton, a grandeza a ser diferenciada é a quantidade de
movimento linear, m
V
. Portanto
VmB
e
VdmBd
/
, e a aplicação do
teorema de transporte de Reynolds fornece a relação da quantidade de movimento
linear. Para um volume de controle fixo, ele é dado por:
VC
sist dvV
dt
d
FVm
dt
d
SC
dAnVV )(
(A.3.3)
Relat�rios/LAB 6 - Relat�rio.pdf
Experimento nº 6
Disciplina; Mecânica dos Fluídos
Professor: Dr. Aristeu da Silveira Neto
Determinação experimental do coeficiente de arrasto sobre
cilindros de base circular
Nomes N.º
Bruno Alexandre Roque 85732
Guilherme Augusto de Oliveira 85733
Uberlândia, 19 de dezembro de
2008.
2
Sumário
1. Resumo-------------------------------------------------------------------------------------------------03
2. Introdução-----------------------------------------------------------------------------------------------04
3. Análise do problema a ser estudado-----------------------------------------------------------07
4. Descrição dos equipamentos utilizados no experimento--------------------------------07
5. Procedimentos Experimentais--------------------------------------------------------------------12
6. Fundamento Teórico----------------------------------------------------------------------------------12
7. Levantamento de dados------------------------------------------------------------------------------18
8. Conclusões-----------------------------------------------------------------------------------------------24
9. Bibliografia------------------------------------------------------------------------------------------------24
3
1.Resumo
Quando um corpo é submetido a um escoamento de um fluído, surge uma força
sobre este corpo, tal força recebe a denominação de força de arrasto. Tal afirmação pode
ser comprovada experimentalmente, através do ensaio em túnel de vento de um corpo de
prova que recebe um escoamento de um fluído. Nesta sexta prática experimental,
verificou-se o coeficiente de arrasto sobre dois cilindros: liso e rugoso. Os procedimentos
experimentais são similares aos que foram adotados na quinta experiência, onde o
objetivo era a calibração do convergente para a determinação da velocidade média ou da
vazão de um gás. Após a realização dos ensaios, traçaram-se as curvas que relacionam
coeficiente de arrasto com o número de Reynolds, para ambos os cilindros. Comparam-se
os gráficos obtidos experimentalmente para o cilindro liso com os gráficos presentes na
literatura técnica White T. Mecânica dos Fluidos, 1991. Como já era esperado, houve um
aumento do coeficiente de arrasto com a rugosidade. Importantes conclusões foram feitas
com o levantamento das curvas e posterior comparação dos dados obtidos
experimentalmente com os esperados teoricamente. Os resultados, técnicas
experimentais e uso da teoria de mecânica dos fluidos serão abordados oportunamente
no decorrer do presente relatório.
4
2. Introdução
Os túneis de vento são equipamentos de grande importância para o estudo de
modelos teóricos, que visam testar corpos para o aperfeiçoamento de suas características
aerodinâmicas, acústicas, e de resistência à correntes de ar. Pode-se utilizar o modelo
confiavelmente para o teste de situações de escoamento em escala real quando o
coeficiente de arrasto e o número de Reynolds do modelo for igual ao da escala real. No
presente relatório, tratará-se principalmente da relação entre o numero de Reynolds e o
coeficiente de arrasto, para ambos os cilindros (liso e rugoso). Segundo White, 1991, um
corpo de forma arbitrária, quando imerso em um fluido a escoar, fica exposto a forças e
momentos, em três direções (força de arrasto, força transversal e força lateral)
Com o auxílio do túnel de vento devidamente instrumentado, é possível quantificar
a força de arrasto e o coeficiente de arrasto, consequentemente. O coeficiente de arrasto
pode ser considerado como uma função exclusiva do número de Reynolds, para
escoamentos de baixas velocidades. O coeficiente de arrasto assim como o numero de
Reynolds, se torna útil apenas quando se tem conhecimento das dimensões utilizadas
para a obtenção dos mesmos. A determinação analítica ou numérica do arrasto ainda
permanece como um grande obstáculo a teoria da mecânica dos fluidos, devido ao fato
que tanto o coeficiente de arrasto e o número de Reynolds são aplicáveis somente
quando se conhece as dimensões do corpos utilizadas nos ensaios.Apenas alguns casos
tais determinações são fáceis, tal característica deve-se ao fenômeno da separação do
escoamento, que pode ser determinado pela teoria da camada limite, Em escoamentos
subsônicos com número de Reynolds elevado (Re > 1000, por exemplo), o arrasto de
forma pode superar em várias ordens de grandeza o arrasto de atrito. Entretanto, não se
pode dizer que isto sempre irá ocorrer, pois a relação entre os dois está ligada a forma do
corpo. A seguir, apresenta-se um trecho do texto retirado de
www.fem.unicamp.br/~em712/arrasto.doc, que fala sobre corpos rombudos e as
características de seu escoamento.
Em corpos rombudos, isto é, não delgados, tais como cilindros e placas planas
normais ao escoamento, o arrasto de pressão é dominante e corresponde a mais que
90% do arrasto total. Para escoamentos com Re > 1000, por exemplo, corpos delgados
com formas de placas planas, aerofólios, pássaros, têm Cd < 0.1. Nestes corpos os
arrastos de forma e atrito são igualmente importantes na constituição do arrasto total. Por
5
outro lado os corpos rombudos, barra de seção quadrada, cilindro transversal ao
escoamento e placa plana normal ao escoamento têm Cd ≈ 1.
A razão para os corpos rombudos apresentarem Cd próximo da unidade é que a
força de arrasto total é bem próxima do produto entre a pressão dinâmica e a área frontal.
De maneira aproximada pode-se estimar a força total de arrasto considerando que
a diferença de pressão entre as superfícies do corpo, à montante e à jusante em relação
ao escoamento, corresponde à pressão dinâmica, (1/2)ρU², no ponto de estagnação
frontal. Esta diferença de pressão vezes a área frontal do corpo [(1/2) ρU²A] é, então, uma
estimativa do arrasto total. Isto então justifica o fato, nestes corpos rombudos, do arrasto
de forma ser a componente dominante no arrasto total.
Figura 1.1 – Ilustração esquemática do ponto de separação escoamento em um cilindro em
regime laminar e turbulento.
A redução do arrasto pode ser observada na distribuição de pressão no cilindro
para os diferentes regimes, como mostra a Figura 1.2:
Figura 1.2 - Distribuições de pressão num cilindro, causadas por um escoamento: potencial
(teórico), camada limite laminar e turbulenta.
6
A curva tracejada é uma distribuição simétrica obtida da solução do escoamento
potencial; as linhas ‘traço-ponto’ e ‘contínua’ são assimétricas e são valores medidos de
escoamentos de camada limite laminar e turbulenta. A assimetria na distribuição de
pressão resulta, naturalmente, da separação do escoamento. A partir do valor máximo de
estagnação frontal, o caso laminar apresenta uma pressão negativa e constante a partir
de 82º. No caso turbulento o ponto de separação desloca-se para 120º e a distribuição de
pressão é mais simétrica que a do caso laminar: portanto, o arrasto é menor.
Portanto, a transição do escoamento de laminar para turbulento causa uma
redução do arrasto total do cilindro. Sem dúvida, o arrasto de atrito aumenta quando o
escoamento passa de laminar para turbulento. Porém, neste regime e para esta forma de
corpo, a contribuição do arrasto de atrito para o arrasto total no cilindro é muito pequena
quando comparado com o arrasto de pressão. Assim como a transição laminar-turbulento
torna mais simétrica a distribuição de pressão, ela também reduz o arrasto total.
(a) (b)
Papel lixa
Figura 1.3– Diferenças entre os pontos de separação laminar (a) e turbulento
(b)
em uma bola de boliche de 216 mm de diâmetro
entrando na água com 7.6 m/s.
7
3. Análise do problema a ser estudado
Com o escoamento do ar sobre um cilindro acoplado a seção de testes do túnel de
vento, objetiva-se a determinação do coeficiente de arrasto (Cd) do cilindro em
questão. Desta forma, verifica-se a influência da rugosidade do cilindro no seu
coeficiente de arrasto. Faz-se o levantamento das curvas do coeficiente de arrasto em
função do número de Reynolds, para a comparação dos resultados experimentais com
os resultados fornecidos pela literatura técnica.
4. Descrição dos equipamentos utilizados no experimento
A figura abaixo ajuda a compreender os componentes e o funcionamento do túnel de
vento:
Figura 4.1 – Desenho esquemático do túnel de vento utilizado no experimento
8
01. Ventilador, que irá escoar o ar pelo túnel de vento.
02. .Lona, conexão do ventilador com o túnel de vento.
03. Divergente :Seção onde ocorre a expansão do ar
04. Telas: auxiliam a uniformização do escoamento do ar, diminuindo turbulências.
05. Zona plena: Responsável por deixar o fluido uniforme.
06. Colméia: Responsável por deixar o fluido uniforme.
07. Corpo de prova cilíndrico, submetido ao escoamento.
08. Seção de testes: Seção transversal retangular onde faz-se o levantamento do
perfil de velocidade do fluido.
09. Duto convergente, onde ocorre a compressão do fluido .
10. Tubo em U: Mede a variação de pressão no duto convergente.
11. Transferidor, mede a variação do ãngulo do cilindro durante o escoamento.
A seguir, serão expostas algumas fotos, tiradas no laboratório da FEMEC, do túnel
de vento e seus componentes:
Figura 4.2 – Ventilador que escoa o ar pelo túnel e o regulador de freqüência
9
Figura 4.3 – Visão ampla do túnel de vento
Figura 4.4 – Seção divergente, onde ocorre a expansão do ar
10
Figura 4.5 - Duto convergente, onde ocorre a compressão do fluido.
Figura 4.6 – Seção de testes, detalhe para o transferidor, que medirá a variação do ângulo
do cilindro do escoamento, permitindo assim a determinação da variação de sua altura.
11
Figura 4.7 - Tubo em U: Mede a variação de pressão no duto convergente.
Figura 4.8 - Vista frontal da seção de testes do túnel de vento
12
5 – Procedimentos experimentais
Para o procedimento experimental de determinação do coeficiente de arrasto dos
cilindros, utilizou-se o túnel de vento. Colocou-se o cilindro (liso ou rugoso) na seção de
testes do túnel de vento (Fig.8). O cilindro foi devidamente alinhado, de modo a eliminar
possíveis fontes causadoras de erro no experimento, e prenderam-se a ele os fios, para
sustentação.
Foram feitos ajustes na freqüência do ventilador do túnel (23, 33, 43, 53, 60 Hz)
(Fig.2). Mediram-se os deslocamentos angulares do cilindro submetido ao fluxo do ar, por
meio do uso de um transferidor, fixado na parede do túnel de vento, na seção de testes
(Fig.6). Para a leitura da variação da pressão do duto convergente (Fig. 5), foi utilizado um
manômetro em U (Fig.7). Anotaram-se os respectivos dados obtidos por estes
equipamentos de medição, separando-os para cada cilindro e freqüência do ventilador.
Deve-se lembrar que, para minimizar os erros na tomada dos dados, deve-se esperar um
pequeno intervalo de tempo para que o motor do ventilador opere a freqüência desejada,
e também para que haja uma melhor uniformização do fluxo de ar. A atenção e cuidado
na hora de anotar os dados de pressão e do ângulo são de igual importância.
6 – Fundamento teórico
A seguir, será feita a fundamentação teórica do experimento, com o auxilio de
White T. Mecânica dos Fluidos, 1991, EPUSP, Demec, Escoamento de ar ao redor de um
cilindro em túnel de vento e Mecânica dos Fluidos, Prof. Oscar M. H. Rodriguez EESC,
USP:
Para um corpo imerso em um fluido, onde há movimento relativo entre ambos,
surge uma força resultante desta interação. É usual expressar esta força em função de
duas componentes, chamadas de:
Força de Arrasto (D ou FD): Componente da força que age no sentido do escoamento,
resultante da integração das forças de pressão e das tensões cisalhantes na parede do
corpo. São raras as situações em que se pode definir de maneira certa essas
distribuições de pressão, o que torna o estudo ainda mais superficial. Os dados
resultantes de experimentações fornecem uma apresentação adimensional que
caracteriza esse Arrasto, e que denominamos coeficiente de arrasto.
13
Força de Sustentação (L ou FL): Trata-se da componente da Força que age normal ao
escoamento, trabalhando literalmente como uma sustentação. Curioso, que em algumas
situações, os projetos visam sua total eliminação, em outros, seu total aproveitamento. Tal
qual o Arrasto, sua determinação depende das distribuições de pressão e das tensões
cisalhantes, além de também ser caracterizado por um termo adimensional, no caso,
denominado coeficiente de sustentação.
Mesmo sendo o cilindro estudado tridimensional, adota-se nesta análise uma
simplificação, fazendo-a bidimensional, conforme mostra a figura 9:
Figura 6.1 – Ilustração do escoamento em torno do cilindro e referenciais adotados.
(http://www.poli.usp.br/d/pme2237/PME2237_-_Experiencia1.pdf)
A seguir, será mostrada uma ilustração que representa o diagrama de corpo livre
de um cilindro exposto ao escoamento de um fluído:
Figura 6.2 - Diagrama de corpo livre de um cilindro submetido a um escoamento de
ar.
14
( )0.4953.85.u P= ∆r
Para a figura acima, T representa a tração no fio de sustentação do cilindro, Tx e Ty
são as suas componentes, P é a força peso, Fd é a força de arrasto.
Para as condições de equilíbrio, tem-se:
∑Fx = 0;
∑Fy = 0; (6.1)
Aplicando as equações (5.1), tem-se:
Fd = Tx;
Ty = P;
(6.2)
Pela figura 10, pode-se concluir que:
Ty = T.cos(θ);
Tx = T.sen(θ); (6.3)
No experimento anterior, determinou-se que a velocidade média de escoamento
do fluído na seção de testes é dada pela equação:
(6.4)
Do livro texto, White T. Mecânica dos Fluidos, 1991, o coeficiente de arrasto é
determinado pela seguinte relação matemática:
15
21
. . .
2
FdCd
u Aρ
= (6.5)
Onde:
A = D.L
D: diâmetro do cilindro
L: comprimento do cilindro
A seguir, será feita uma breve explicação sobre o número de Reynolds:
O coeficiente, número ou módulo de Reynolds (abreviado como Re) é um número
adimensional usado em mecânica dos fluidos para o cálculo do regime de escoamento de
determinado fluido sobre uma superfície. É utilizado, por exemplo, em projetos de
tubulações industriais e asas de aviões. O seu nome vem de Osborne Reynolds, um físico
e engenheiro hidráulico irlandês. O seu significado físico é um quociente de forças: forças
de inércia (vρ) entre forças de viscosidade (µ/D). É expresso como:
µ
ρ..Re Du= (6.6)
Onde:
• u - velocidade média do fluído
• D
- longitude característica do fluxo, o diâmetro para o fluxo no tubo
• µ - viscosidade dinâmica do fluído
• ρ - massa específica do fluído
A grande importância do número de Reynolds é que permite avaliar o tipo do
escoamento (a estabilidade do fluxo) e pode indicar se flui de forma laminar ou turbulento.
16
Para o caso de um fluxo de água num tubo cilíndrico, admite-se os valores de 2.000 e
3.000 como limites. Dessa forma, para valores menores que 2.000 o fluxo será laminar e
para valores maiores que 3.000 o fluxo será turbulento. Entre estes dois valores o fluxo é
considerado como de transição. O número de Reynolds constitui a base do
comportamento de sistemas reais, pelo uso de modelos físicos reduzidos. Um exemplo
comum é o túnel aerodinâmico onde se medem forças desta natureza em modelos de
asas de aviões, automóveis, edificações. Pode-se dizer que dois sistemas são
dinamicamente semelhantes se o número de Reynolds, for o mesmo para ambos. D
refere-se em geral, a qualquer dimensão do sistema, por exemplo a corda de asa de um
avião, o comprimento de um navio, a altura de um edifício. Geralmente, nos túneis
aerodinâmicos a semelhança mais utilizada é a de Mach. Tipicamente, por valores
experimentais, costuma-se caracterizar um fluido com escoamento laminar com Re <
2100 e escoamento turbulento com Re > 4000.
Algumas das informações contidas abaixo já foram citadas na introdução, mas
serão reafirmadas para ajudar na compreensão da teoria. Para escoamentos imersos
incompressíveis com alto número de Reynolds, estes são divididos em:
Escoamentos em torno de corpos rombudos;
Escoamentos em torno de corpos carenados.
Figura 6.3 – Escoamento em torno de um corpo rombudo
17
Figura 6.4 – Escoamento em torno de um corpo carenado
Região separada: Uma região de escoamento recirculante.
• Esteira: Uma região de deficiência de velocidade que se expande devido à difusão; a
esteira se difunde dentro do escoamento principal e eventualmente desaparece.
• As tensões de cisalhamento devido à viscosidade se concentram:
•na fina camada limite;
•na esteira;
•na região separada (submersa na esteira).
O arrasto sobre um corpo rombudo é dominado pelo escoamento na região
separada, trata-se de arrasto de pressão.
No corpo carenado, a região separada é desprezível; portanto se o escoamento na
camada limite puder ser determinado, o arrasto de atrito poderá ser calculado.
18
Figura 13- Coeficiente de Arrasto em função do número de Reynolds
http://www.poli.usp.br/d/pme2237/PME2237_-_Experiencia1.pdf
7. Levantamento de Dados
Com a realização do experimento, foram obtidos os seguintes dados:
Tabela 1-Dados experimentais obtidos para o cilindro liso.
Freqüência do ventilador (Hertz)
23 33 43 53 60
Ângulo (Graus) 15 28 43 55 62
h∆ convergente (mmCa) 2 7.5 16 24 32
Tabela 2- Dados experimentais obtidos para o cilindro rugoso.
Freqüência do ventilador (Hertz)
23 33 43 53 60
Ângulo (Graus) 14 30 44 56 61
h∆ convergente (mmCa) 2.5 8 15 24 33
Por meio do uso das equações apresentadas no desenvolvimento teórico, calcula-
se a velocidade média do escoamento de ar, a força de arrasto, o coeficiente de arrasto e
o número de Reynolds. Os seguintes dados foram empregados nos cálculos:
19
Cilindro Liso:
Diâmetro =9.6mm
Massa=37.13g
Comprimento =193.6
Cilindro Rugoso:
Diâmetro =9.7mm
Massa=37.69g
Comprimento =193.6mm
Para o ar, a uma pressão de 1 atm., e temperatura de 20 ºC, tem-se:
[ ]
3
5
1, 205 /
1,81.10 / .
Kg m
Kg m s
ρ
µ −
=
=
Tabela 3 – Cd, Fd, Vmédia para o cilindro liso.
Freqüência do controlador (Hertz)
23 33 43 53 60
Velocidade
média do ar
(m/s)
5,43
10,44
15,19
18,56
21,4
Força de
Arrasto (N)
0,098
0,19
0,34
0,52
0,685
Coeficiente de
Arrasto
2,972
1,556
1,316
1,348
1,326
Nº de Reynolds 3470 6672 9708 11862 13677
20
Tabela 4 – Cd, Fd, Vmédia para o cilindro rugoso.
Freqüência do controlador (Hertz)
23 33 43 53 60
Velocidade
média do ar
(m/s)
6,06
10,78
14,71
18,56
21,73
Força de
Arrasto (N)
0,09 0,21 0,35 0,54 0,66
Coeficiente de
Arrasto
2,164 1,59 1,43 1,38 1,23
Nº de Reynolds 3913 6961 9499 11985 14033
Com os dados exibidos nas tabelas acima, levantou-se as curvas que relacionam
o número de Reynolds e o coeficiente de arrasto para ambos os cilindros:
Gráfico 1 – Número de Reynolds pelo Coeficiente de Arrasto – Cilindro Liso
21
Através da observação do gráfico, percebe-se que, para coeficientes de arrasto
entre 1,2 e 1, 4, o número de Reynolds tem uma variação quase nula, sendo expressada
por uma reta. Percebe-se que o coeficiente de arrasto cai com o aumento do número de
Reynolds. Através destes intervalos do número de Reynolds, pode-se determinar as
características do escoamento de ar pelo corpo de prova cilíndrico.
Gráfico 2 – Número de Reynolds pelo Coeficiente de Arrasto – Cilindro Rugoso
Observando este gráfico para o corpo rugoso, percebe-se que há o aumento do
número de Reynolds com a diminuição do coeficiente de arrasto, mas não há certos
intervalos com uma variação aproximadamente linear do número de Reynolds como pode
ser visto no gráfico 1 referente ao cilindro liso.
22
A seguir, apresenta-se juntamente a curva que relaciona o número de Reynolds
com o coeficiente de arrasto dos dois cilindros usados neste teste:
Gráfico 3 - Número de Reynolds pelo Coeficiente de Arrasto – Cilindro Rugoso e Liso
Através da comparação entre as curvas obtidas pelo teste com os cilindros rugoso
e liso, nota-se que o rugoso, em um intervalo de aproximadamente 12000 a 7000 Re
sobrepõe-se ao cilindro liso. Dada a similaridade geométrica dos corpos de teste, pela
teoria esperava-se que a curva do cilindro rugoso tivesse forma similar a do cilindro liso e
que estivesse sobreposta a esta, fato este que não se observou experimentalmente. Tal
discrepância pode ser explicada principalmente pela dificuldade em determinar-se com
exatidão o ângulo de deslocamento do cilindro, devido ao “balanço” que o cilindro tinha
durante o escoamento. Pode-se concluir, então, que o coeficiente de arrasto sofre
algumas alterações com a rugosidade do cilindro de testes, já que a forma geométrica, a
massa e o diâmetro dos cilindros não são as mesmas, existem pequenas diferenças.
23
A seguir, compara-se a curva obtida experimentalmente com a curva retirada do
livro-texto White T. Mecânica dos Fluidos, 1991. A curva encontrada através da prática
experimental para o cilindro liso tem comportamento similar à do gráfico 4. Na faixa de um
número de Reynolds de 310 a 410 , conclui-se que há uma grande similaridade entre a
teoria e a prática.
Gráfico 4 – Coeficiente de arrasto de um cilindro e uma esfera lisa
Gráfico 5 – O aumento da rugosidade antecipa a transição para uma camada-limite
turbulenta
24
8 – Conclusões
Com a realização do experimento, pode-se concluir que há um aumento do
coeficiente de arrasto com o aumento
da rugosidade dos cilindros utilizados no ensaio. Ao
analisar as curvas que relacionam o coeficiente de arrasto e o numero de Reynolds para o
cilindro liso e o rugoso, nota-se que o número de Reynolds fica na faixa de 10³ e 104,
como já era esperado através da análise teórica. Consultado o livro texto da disciplina,
White T. Mecânica dos Fluidos, 1991, o coeficiente de arrasto do cilindro liso variaentre o
mesmo intervalo do que foi encontrado no experimento. Seguindo o roteiro elaborado pelo
LTCM para esta prática experimental, traçaram-se os gráficos do coeficiente de arrasto
em função do numero de Reynolds para ambos os cilindros, comparando-os com gráficos
oriundos do livro texto da disciplina. Pode-se concluir que, apesar dos erros
experimentais, os resultados obtidos foram satisfatórios e facilitaram o entendimento da
disciplina.
9 – Bibliografia
1- White, T, Mecânica dos Fluidos, McGraw-Hill, RJ, 1991;
2- www.fem.unicamp.br/~em712/arrasto.doc
3- Roteiro fornecido pelo LTCM para o 6º experimento, UFU.
4 - http://www.netef.eesc.usp.br/Oscar/Aula13.pdf
Tabelas e Gr�ficos/LAB 2 - Tabelas e Gr�ficos.xlsx
Plan1
Tabela 1. Dados, placa de ângulo 0°
Medida Massa [gr] t1 [s] t2 [s] t3 [s] tmédio [s] Q [lit/s] Dados de Entrada
1 550 16.47 16.60 17.03 16.70 0.299401 Volume [L] 5
2 500 17.57 18.40 18.88 18.28 0.273473 Massa Específica da Água [kg/m³] 990
3 450 18.40 18.25 19.00 18.55 0.269542 Diâmetro do Bico Injetor [m] 8.0000000000000002E-3
4 400 19.63 19.94 21.19 20.25 0.246873 Área do Bico Injetor [m²] 5.0265482457436686E-5
5 350 22.66 21.97 23.02 22.55 0.221729 Ângulo da Placa 1 [rad] 0
6 300 25.19 25.16 26.19 25.51 0.195976 Ângulo da Placa 2 [rad] 0.52359877559829882
7 250 28.15 28.04 29.09 28.43 0.175891 Ângulo da Placa 3 [rad] 1.5707963267948966
8 200 29.68 30.03 30.89 30.20 0.165563 Gravidade 9.81
9 150 34.00 34.03 33.85 33.96 0.147232
10 100 64.85 61.57 64.75 63.72 0.078464
Tabela 2. Dados, placa de ângulo 30°
Medida Massa [gr] t1 [s] t2 [s] t3 [s] tmédio [s] Q [lit/s]
1 500 13.56 13.45 13.23 13.41 0.372763
2 450 14.10 14.70 14.10 14.30 0.349650
3 400 15.08 14.60 17.92 15.87 0.315126
4 350 16.00 16.50 16.00 16.17 0.309278
5 300 16.54 17.22 17.20 16.99 0.294349
6 250 18.90 18.70 18.30 18.63 0.268336
7 200 21.63 21.78 21.56 21.66 0.230876
8 150 24.30 24.40 24.50 24.40 0.204918
9 100 31.22 30.46 31.27 30.98 0.161377
10 50 44.50 45.00 44.80 44.77 0.111690
Tabela 3. Dados, placa de ângulo 90°
Medida Massa [gr] t1 [s] t2 [s] t3 [s] tmédio [s] Q [lit/s]
1 500 11.83 11.1 11.53 11.49 0.435287
2 450 11.58 11.31 11.56 11.48 0.435414
3 400 14.13 13.15 12.87 13.38 0.373599
4 350 14.02 12.88 13.33 13.41 0.372856
5 300 16.55 14.72 15.3 15.52 0.322096
6 250 16.74 15.19 15.24 15.72 0.317999
7 200 19.37 18.5 17.74 18.54 0.269736
8 150 20.06 22.65 21.11 21.27 0.235036
9 100 28 30.21 29.64 29.28 0.170746
10 50 49.74 47.5 47.64 48.29 0.103534
Tabela 4. Cálculo da força
Placa 0°
Medida Q [m³/s] Fexp [N] Fexp/Q [N.s/m³]
1 0.0002994012 5.40 18020.97
2 0.0002734731 4.91 17935.95
3 0.0002695418 4.41 16377.80
4 0.0002468729 3.92 15894.82
5 0.0002217295 3.43 15485.08
6 0.000195976 2.94 15017.15
7 0.000175891 2.45 13943.28
8 0.0001655629 1.96 11850.48
9 0.000147232 1.47 9994.43
10 0.000078464 0.98 12502.52
Tabela 5. Cálculo da força
Placa 30° 90°
Medida Q [m³/s] Fexp [N] Fexp/Q [N.s/m³] Q [m³/s]2 Fexp [N]2 Fexp/Q [N.s/m³]2
1 0.000372763 5.40 14474.33 0.0004352873 5.40 12395.26
2 0.000349650 4.91 14028.30 0.0004354136 4.91 11265.15
3 0.000315126 4.41 14008.68 0.000373599 4.41 11816.15
4 0.000309278 3.92 12687.60 0.0003728561 3.92 10524.17
5 0.000294349 3.43 11664.74 0.0003220958 3.43 10659.87
6 0.000268336 2.94 10967.58 0.0003179987 2.94 9254.75
7 0.000230876 2.45 10622.60 0.000269736 2.45 9092.24
8 0.000204918 1.96 9574.56 0.000235036 1.96 8347.66
9 0.000161377 1.47 9118.40 0.0001707456 1.47 8618.09
10 0.000111690 0.98 8783.22 0.000087090 0.98 11264.21
Tabela 6. Comparação dos coeficientes Ct, usando ρ=980 kg/m³
Placa Ct teor. Ct exp. erro [%]
0° 39390848.4152441 37091170.27 5.84
30° 36752159.70 34916893.82 4.99
90° 19695430.643986166 14672956.81 25.50
Plan2
Plan3
Tabelas e Gr�ficos/LAB 3 - Tabelas e Gr�ficos.xlsx
Plan1
Seção Diâmetro [m] Distância [m] Área [m²] 990
1 0.025 0 0.0004908738
2 0.013 0.06028 0.0001327323
3 0.0118 0.06868 0.0001093588
4 0.0107 0.07318 0.000089920
5 0.01 0.08108 0.000078540
6 0.025 0.14154 0.0004908738
Tabela 1. Dados coletados e vazão experimental calculada
Medida Volume [l] Tempo [s] Q [l/s] Qmédio [l/s]
1 0.99 5.5 0.18000 0.17701
0.98 5.68 0.17254
0.955 5.35 0.17850
2 0.96 6.97 0.13773 0.14035
0.96 6.75 0.14222
0.965 6.84 0.14108
3 0.98 10.31 0.09505 0.09436
0.985 10.35 0.09517
0.975 10.5 0.09286
Tabela 2. Dados experimentais
Vazão Q1 Q2 Q3
Seção pe(e) pt(e) pe(e) pt(e) pe(e) pt(e)
1 275 280 210 215 145 148
2 215 280 175 217 125 148
3 155 275 132 215 108 148
4 97 275 97 210 90 145
5 10 270 42 208 65 142
6 115 140 100 130 87 112
Tabela 3.
Vazão Q1
Seção pe(e) [Pa] pd(e) [Pa] pt(e) [Pa] Vm [m/s] pe(t) [Pa] pd(t) [Pa] pt(t) [Pa]
1 2670.77250 48.55950 2719.33200 0.36061 2654.96291 64.36909 2719.33200
2 2088.05850 631.27350 2719.33200 1.33361 1838.96455 880.36745 2719.33200
3 1505.34450 1165.42800 2670.77250 1.61865 1422.42343 1296.90857 2719.33200
4 942.05430 1728.71820 2670.77250 1.96856 801.09494 1918.23706 2719.33200
5 97.11900 2525.09400 2622.21300 2.25380 204.91451 2514.41749 2719.33200
6 1116.86850 242.79750 1359.66600 0.36061 2654.96291 64.36909 2719.33200
Tabela 4.
Vazão Q2
Seção pe(e) [Pa] pd(e) [Pa] pt(e) [Pa] Vm [m/s] pe(t) [Pa] pd(t) [Pa] pt(t) [Pa]
1 2039.49900 48.55950 2088.05850 0.28591 2047.59494 40.46356 2088.05850
2 1699.58250 407.89980 2107.48230 1.05736 1534.64378 553.41472 2088.05850
3 1281.97080 806.08770 2088.05850 1.28335 1272.79858 815.25992 2088.05850
4 942.05430 1097.44470 2039.49900 1.56078 882.22038 1205.83812 2088.05850
5 407.89980 1612.17540 2020.07520 1.78694 507.45071 1580.60779 2088.05850
6 971.19000 291.35700 1262.54700 0.28591 2047.59494 40.46356 2088.05850
Tabela 5
Vazão Q3
Seção pe(e) [Pa] pd(e) [Pa] pt(e) [Pa] Vm [m/s] pe(t) [Pa] pd(t) [Pa] pt(t) [Pa]
1 1408.22550 29.13570 1437.36120 0.19223 1419.07009 18.29111 1437.36120
2 1213.98750 223.37370 1437.36120 0.71090 1187.19608 250.16512 1437.36120
3 1048.88520 388.47600 1437.36120 0.86285 1068.83180 368.52940 1437.36120
4 874.07100 534.15450 1408.22550 1.04937 892.27517 545.08603 1437.36120
5 631.27350 747.81630 1379.08980 1.20143 722.86460 714.49660 1437.36120
6 844.93530 242.79750 1087.73280 0.19223 1419.07009 18.29111 1437.36120
Vazão Q1 Q2 Q3
Seção Erro[%] Erro[%] Erro[%]
1 0.00 0.00 0.00
2 0.00 0.93 0.00
3 1.79 0.00 0.00
4 1.79
2.33 2.03
5 3.57 3.26 4.05
6 50.00 39.53 24.32
Plan2
Plan3
Tabelas e Gr�ficos/LAB 4 - Tabelas e Gr�ficos.xlsx
Plan1
Tabela 1. Vazão experimental. Tabela 2. Pressão experimental (e) p .
Medida Q(e) [l/s]a Q(e) [l/min] Venturi [mmCA] Placa de orificio [mmCA]
1 950 960 850 0.354756 21 Medida P1 P2 P6 P7 Dados de entrada
2.53 2.72 2.53 01 345 147 195 60 rho 990
2 940 1000 940 0.317881 19 02 315 155 185 70 g 9.81
3.03 3.06 2.97 03 293 160 170 80 D_tubo 0.03175
3 930 930 930 0.278443 17 04 270 165 160 85 D_vent 0.015
3.4 3.28 3.34 05 247 167 147 94 D_porf 0.02
4 965 935 945 0.242747 15 06 226 162 139 97
3.94 3.84 3.94 07 206 168 130 103
5 960 975 955 0.218608 13 08 191 166 125 105 Áreas
4.5 4.44 4.28 09 182 167 120 110 A1 0.0007917304
6 1000 985 985 0.180437 11 10 171 165 115 110 A2 0.0001767146
5.44 5.56 5.46 A3 0.0003141593
7 1000 945 1010 0.149620 9
6.56 6.44 6.75
8 1000 990 960 0.119530 7 Tabela 5. Coeficientes de descarga
8.21 8.31 8.16 Cd Cd rot
9 990 1000 985 0.090674 5 Venturi
10.91 11.12 10.78 Placa de orifício
10 990 985 985 0.053604 3
18.31 18.35 18.56
Tabela 3. Venturi Tabela 4. Placa de orifício.
Medida Q(t) [m³/s] Q(e) [m³/s] Q(e)rot [m³/s] erro [%] erro Rot [%] Medida Q(t) [m³/s] Q(e) [m³/s] Q(e)rot [m³/s] erro [%] erro Rot [%]
01 0.000357315 0.000354756 0.000350000 0.72 2.05 01 0.000557017 0.000354756 0.000350000 36.31 37.17
02 0.000321202 0.000317881 0.000316667 1.03 1.41 02 0.000514104 0.000317881 0.000316667 38.17 38.40
03 0.000292849 0.000278443 0.000283333 4.92 3.25 03 0.000454803 0.000278443 0.000283333 38.78 37.70
04 0.000260204 0.000242747 0.000250000 6.71 3.92 04 0.000415176 0.000242747 0.000250000 41.53 39.78
05 0.000227124 0.000218608 0.000216667 3.75 4.60 05 0.000349011 0.000218608 0.000216667 37.36 37.92
06 0.000203146 0.000180437 0.000183333 11.18 9.75 06 0.000310689 0.000180437 0.000183333 41.92 40.99
07 0.000156535 0.000149620 0.000150000 4.42 4.17 07 0.000249106 0.000149620 0.000150000 39.94 39.78
08 0.000126966 0.000119530 0.000116667 5.86 8.11 08 0.000214396 0.000119530 0.000116667 44.25 45.58
09 0.000098348 0.000090674 0.000083333 7.80 15.27 09 0.000151601 0.000090674 0.000083333 40.19 45.03
10 0.000062201 0.000053604 0.000050000 13.82 19.61 10 0.000107198 0.000053604 0.000050000 50.00 53.36
Plan2
Plan3
Tabelas e Gr�ficos/LAB 5 - Tabelas e Gr�ficos.xlsx
Plan1
Rô: 998
Tabela 1
ΔP conv. [mmCA] 5 8 14 22 34
ΔP + refer. Frequência [Hz] 20 30 40 50 60 20 30 40 50 60
50 60 Medida H [mm] ΔP [mmCA] ΔP [mmCA] ΔP [mmCA] ΔP mmCA] ΔP [mmCA] ΔP [Pa] ΔP [Pa] ΔP [Pa] ΔP [Pa] ΔP [Pa]
12.22 14.98 1 1.5 1.50 4.14 9.60 4.52 10.72 14.68557 40.5321732 93.987648 44.2525176 104.9528736
12.27 15.89 2 2 1.74 4.14 11.58 6.00 11.40 17.0352612 40.5321732 113.3726004 58.74228 111.610332
12.65 16.65 3 2.5 2.02 5.40 11.96 6.56 12.72 19.7765676 52.868052 117.0929448 64.2248928 124.5336336
13.3 16.98 4 3 2.22 5.94 12.08 17.52 14.52 21.7346436 58.1548572 118.2677904 171.5274576 142.1563176
13.59 17.3 5 3.5 2.42 6.10 12.20 17.60 15.40 23.6927196 59.721318 119.442636 172.310688 150.771852
13.65 17.68 6 4 2.38 6.14 12.24 17.72 15.84 23.3011044 60.1129332 119.8342512 173.4855336 155.0796192
13.66 17.82 7 5 2.42 6.20 12.26 17.80 16.84 23.6927196 60.700356 120.0300588 174.268764 164.8699992
13.75 17.84 8 6 2.42 6.20 12.28 17.92 17.12 23.6927196 60.700356 120.2258664 175.4436096 167.6113056
13.78 17.88 9 7 2.44 6.28 12.36 18.00 17.16 23.8885272 61.4835864 121.0090968 176.22684 168.0029208
13.8 17.88 10 8 2.46 6.30 12.36 18.12 17.24 24.0843348 61.679394 121.0090968 177.4016856 168.7861512
13.85 17.94 11 9 2.42 6.34 12.32 18.24 17.28 23.6927196 62.0710092 120.6174816 178.5765312 169.1777664
13.83 18 12 10 2.44 6.34 12.36 18.36 17.28 23.8885272 62.0710092 121.0090968 179.7513768 169.1777664
13.83 18.05 13 12 2.44 6.38 12.34 18.48 17.32 23.8885272 62.4626244 120.8132892 180.9262224 169.5693816
13.84 18.09 14 20 2.46 6.38 12.36 19.24 17.32 24.0843348 62.4626244 121.0090968 188.3669112 169.5693816
13.9 18.08 15 30 2.46 6.38 12.40 19.40 17.36 24.0843348 62.4626244 121.400712 189.933372 169.9609968
13.84 18.1 16 40 2.46 6.38 12.40 19.64 17.48 24.0843348 62.4626244 121.400712 192.2830632 171.1358424
13.9 18.06 17 60 2.44 6.38 12.42 20.00 17.52 23.8885272 62.4626244 121.5965196 195.8076 171.5274576
13.88 18.06 18 100 2.46 6.38 12.42 21.20 17.68 24.0843348 62.4626244 121.5965196 207.556056 173.0939184
Tabela 2
Frequência [Hz] 20 30 40 50 60
y[mm] V[m/s] V[m/s] V[m/s] V[m/s] V[m/s]
1.5 4.9473 8.2191 12.5158 8.5880 13.2258
2 5.3284 8.2191 13.7461 9.8946 13.6388
2.5 5.7412 9.3869 13.9698 10.3461 14.4068
3 6.0187 9.8450 14.0397 16.9080 15.3924
3.5 6.2839 9.9767 14.1093 16.9465 15.8520
4 6.2318 10.0094 14.1324 17.0042 16.0769
5 6.2839 10.0582 14.1439 17.0425 16.5766
6 6.2839 10.0582 14.1554 17.0999 16.7138
7 6.3099 10.1229 14.2015 17.1380 16.7333
8 6.3357 10.1390 14.2015 17.1950 16.7723
9 6.2839 10.1711 14.1785 17.2519 16.7918
10 6.3099 10.1711 14.2015 17.3085 16.7918
12 6.3099 10.2032 14.1900 17.3650 16.8112
20 6.3357 10.2032 14.2015 17.7185 16.8112
30 6.3357 10.2032 14.2244 17.7920 16.8306
40 6.3357 10.2032 14.2244 17.9017 16.8886
60 6.3099 10.2032 14.2359 18.0650 16.9080
100 6.3357 10.2032 14.2359 18.5991 16.9850
Tabela 3
Frequência [Hz] 20 30 40 50 60
H[m] VH[...] VH[...] VH[...] VH[...] VH[...]
0.0015 0.0074 0.0123 0.0188 0.0129 0.0198
0.002 0.0107 0.0164 0.0275 0.0198 0.0273
0.0025 0.0144 0.0235 0.0349 0.0259 0.0360
0.003 0.0181 0.0295 0.0421 0.0507 0.0462
0.0035 0.0220 0.0349 0.0494 0.0593 0.0555
0.004 0.0249 0.0400 0.0565 0.0680 0.0643
0.005 0.0314 0.0503 0.0707 0.0852 0.0829
0.006 0.0377 0.0603 0.0849 0.1026 0.1003
0.007 0.0442 0.0709 0.0994 0.1200 0.1171
0.008 0.0507 0.0811 0.1136 0.1376 0.1342
0.009 0.0566 0.0915 0.1276 0.1553 0.1511
0.01 0.0631 0.1017 0.1420 0.1731 0.1679
0.012 0.0757 0.1224 0.1703 0.2084 0.2017
0.02 0.1267 0.2041 0.2840 0.3544 0.3362
0.03 0.1901 0.3061 0.4267 0.5338 0.5049
0.04 0.2534 0.4081 0.5690 0.7161 0.6755
0.06 0.3786 0.6122 0.8542 1.0839 1.0145
0.1 0.6336 1.0203 1.4236 1.8599 1.6985
Σ 2.0391 3.2858 4.5953 5.7667 5.4340
Tabela 4
Freq. [Hz] ΔP conv. [mmCA] V média [m/s]
20 5 6.3033178328
30 8 10.1570802469
40 14 14.2048846826
50 24 17.8258844021
60 34 16.7975847291
Plan2
Plan3
Tabelas e Gr�ficos/LAB 5 (TIPO 2) - Tabelas e Gr�ficos 1.xls
Plan1
Medida tabela 1: Vazão experimental e altura Vazão [l/s] h [mm] Medida 1 2 3 4 5 6 7 8
1 t 18 18.47 17.18 0.05154711 394 x 0 0.052 0.102 0.152 0.201 0.251 0.301 0.351
v 920 950 895 1 y 0.013 0.018 0.027 0.0375 0.0515 0.069 0.0915 0.115
2
t 18.56 17.84 18.06 0.0503170815 379 x²/h 0 0.0068629442 0.0264060914 0.0586395939 0.1025406091 0.1599010152 0.2299517766 0.3126928934
v 925 900 915 2 y 0.013 0.018 0.027 0.039 0.054 0.0715 0.094 0.1195
3 t 19 18.62 18.85 0.0495856162 365 x²/h 0 0.0071345646 0.0274511873 0.0609604222 0.1065989446 0.1662295515 0.2390527704 0.3250686016
v 940 930 930 3 y 0.013 0.018 0.028 0.0405 0.055 0.0745 0.0975 0.1235
4 t 18.94 19.31 19.66 0.0487809771 349 x²/h 0 0.0074082192 0.0285041096 0.0632986301 0.1106876712 0.1726054795 0.2482219178 0.3375369863
v 920 945 960 4 y 0.0135 0.0185 0.0295 0.0415 0.0575 0.077 0.102 0.128
5 t 19.22 20.16 19.15 0.0482835716 335 x²/h 0 0.007747851 0.0298108883 0.0662005731 0.1157621777 0.1805186246 0.2596017192 0.3530114613
v 965 950 910 5 y 0.0135 0.0195 0.0305 0.043 0.06 0.0805 0.106 0.133
6 t 20.19 20.41 20.19 0.0468013855 318 x²/h 0 0.0080716418 0.0310567164 0.0689671642 0.1206 0.1880626866 0.2704507463 0.3677641791
v 945 950 950 6 y 0.0135 0.02 0.031 0.0445 0.062 0.083 0.111 0.141
7 t 20.16 20.75 20.88 0.0454752192 304 x²/h 0 0.0085031447 0.0327169811 0.0726540881 0.1270471698 0.1981163522 0.284908805 0.3874245283
v 915 940 955 7 y 0.014 0.021 0.0315 0.046 0.0655 0.088 0.1165 0.15
8 t 21.78 21.63 21.13 0.0444685285 290 x²/h 0 0.0088947368 0.0342236842 0.076 0.1328980263 0.2072401316 0.2980296053 0.4052664474
v 970 960 940 8 y 0.014 0.0215 0.032 0.048 0.068 0.0905 0.1215 0.1565
9 t 21.57 20.56 22.41 0.043222516 275 x²/h 0 0.0093241379 0.0358758621 0.0796689655 0.1393137931 0.2172448276 0.3124172414 0.4248310345
v 930 885 975 9 y 0.014 0.022 0.035 0.0495 0.071 0.096 0.129 0.1655
10 t 22.19 22.87 23 0.0426092386 260 x²/h 0 0.0098327273 0.0378327273 0.0840145455 0.1469127273 0.2290945455 0.3294581818 0.4480036364
v 945 975 980 10 y 0.0145 0.0225 0.0345 0.0515 0.0735 0.101 0.136 0.1735
x²/h 0 0.0104 0.0400153846 0.0888615385 0.1553884615 0.2423115385 0.3484653846 0.47385
Medida Qt [m³/s] Qe [m³/s] erro [%] Cd Cv Cc
1 0.0000786122 0.0000515471 34.4286195255 0.989406 0.6246171946
2 0.0000771013 0.0000503171 34.7389654453 0.989024 0.6248584463
3 0.0000756638 0.0000495856 34.4658910934 0.99175 0.6231409125
4 0.0000739869 0.000048781 34.0680533779 0.981015 0.6299597865
5 0.0000724877 0.0000482836 33.3906646152 0.618 0.979712 0.6307976222
6 0.0000706245 0.0000468014 33.7320910783 0.995701 0.6206682528
7 0.0000690524 0.0000454752 34.1438822487 0.991465 0.6233200365
8 0.0000674436 0.0000444685 34.0656276957 0.977392 0.6322949236
9 0.0000656762 0.0000432225 34.1884964282 0.982306 0.6291318591
10 0.0000638599 0.0000426092 33.2770535871 0.978156 0.6318010624
Medida Vt Ve Dados
1 2.7803381089 2.750883207 D 0.006
2 2.7268993381 2.6969688909 g 9.81
3 2.6760605374 2.653983038 ro 990
4 2.6167498925 2.5670708958 Área 0.0000282743
5 2.5637277547 2.511714846
6 2.4978310591 2.4870928834
7 2.4422284905 2.4213840704
8 2.3853301658 2.3314026214
9 2.3228215601 2.2817215554
10 2.258583627 2.2092471262
Plan1
Plan2
Plan3
Tabelas e Gr�ficos/LAB 5 (TIPO 2) - Tabelas e Gr�ficos 2.xls
Plan1
Medida tabela 1: Vazão experimental e altura Vazão [l/s] h [mm] Medida 1 2 3 4 5 6 7 8
1 t 18 18.47 17.18 0.05154711 394 x 0 0.052 0.102 0.152 0.201 0.251 0.301 0.351
v 920 950 895 1 y 0.013 0.018 0.027 0.0375 0.0515 0.069 0.0915 0.115
2 t 18.56 17.84 18.06 0.0503170815 379 x²/h 0 0.0068629442 0.0264060914 0.0586395939 0.1025406091 0.1599010152 0.2299517766 0.3126928934
v 925 900 915 2 y 0.013 0.018 0.027 0.039 0.054 0.0715 0.094 0.1195
3 t 19 18.62 18.85 0.0495856162 365 x²/h 0 0.0071345646 0.0274511873 0.0609604222 0.1065989446 0.1662295515 0.2390527704 0.3250686016
v 940 930 930 3 y 0.013 0.018 0.028 0.0405 0.055 0.0745 0.0975 0.1235
4 t 18.94 19.31 19.66 0.0487809771 349 x²/h 0 0.0074082192 0.0285041096 0.0632986301 0.1106876712 0.1726054795 0.2482219178 0.3375369863
v 920 945 960 4 y 0.0135 0.0185 0.0295 0.0415 0.0575 0.077 0.102 0.128
5 t 19.22 20.16 19.15 0.0482835716 335 x²/h 0 0.007747851 0.0298108883 0.0662005731 0.1157621777 0.1805186246 0.2596017192 0.3530114613
v 965 950 910 5 y 0.0135 0.0195 0.0305 0.043 0.06 0.0805 0.106 0.133
6 t 20.19 20.41 20.19 0.0468013855 318 x²/h 0 0.0080716418 0.0310567164 0.0689671642 0.1206 0.1880626866 0.2704507463 0.3677641791
v 945 950 950 6 y 0.0135 0.02 0.031 0.0445 0.062 0.083 0.111 0.141
7 t 20.16 20.75 20.88 0.0454752192 304 x²/h 0 0.0085031447 0.0327169811 0.0726540881 0.1270471698 0.1981163522 0.284908805 0.3874245283
v 915 940 955 7 y 0.014 0.021 0.0315 0.046 0.0655 0.088 0.1165 0.15
8 t 21.78 21.63 21.13 0.0444685285 290 x²/h 0 0.0088947368 0.0342236842 0.076 0.1328980263 0.2072401316 0.2980296053 0.4052664474
v 970 960 940 8 y 0.014 0.0215 0.032 0.048 0.068 0.0905 0.1215 0.1565
9 t 21.57 20.56 22.41 0.043222516 275 x²/h 0 0.0093241379 0.0358758621 0.0796689655 0.1393137931 0.2172448276 0.3124172414 0.4248310345
v 930 885 975 9 y 0.014 0.022 0.035 0.0495 0.071 0.096 0.129 0.1655
10 t 22.19 22.87 23 0.0426092386 260 x²/h 0 0.0098327273 0.0378327273 0.0840145455 0.1469127273 0.2290945455 0.3294581818 0.4480036364
v 945 975 980 10 y 0.0145 0.0225 0.0345 0.0515 0.0735 0.101 0.136 0.1735
x²/h 0 0.0104 0.0400153846 0.0888615385 0.1553884615 0.2423115385 0.3484653846 0.47385
Medida Qt [m³/s] Qe [m³/s] erro [%] Cd Cv Cc
1 0.0000786122 0.0000515471 34.4286195255 0.3207 0.1981926
2 0.0000771013 0.0000503171 34.7389654453 0.3342 0.2065356
3 0.0000756638 0.0000495856 34.4658910934 0.3217 0.1988106
4 0.0000739869 0.000048781 34.0680533779 0.3197 0.1975746
5 0.0000724877 0.0000482836 33.3906646152 0.618 0.3196 0.1975128
6 0.0000706245 0.0000468014 33.7320910783 0.3223 0.1991814
7 0.0000690524 0.0000454752 34.1438822487 0.3284 0.2029512
8 0.0000674436 0.0000444685 34.0656276957 0.3278 0.2025804
9 0.0000656762 0.0000432225 34.1884964282 0.3304 0.2041872
10 0.0000638599 0.0000426092 33.2770535871 0.3304 0.2041872
Medida Vt Ve Dados
1 2.7803381089 0.8916544315 D 0.006
2 2.7268993381 0.9113297588 g 9.81
3 2.6760605374 0.8608886749 ro 999
4 2.6167498925 0.8365749406 Área 0.0000282743
5 2.5637277547 0.8193673904
6 2.4978310591 0.8050509504
7 2.4422284905 0.8020278363
8 2.3853301658 0.7819112284
9 2.3228215601 0.7674602435
10 2.258583627 0.7462360303
Plan1
razão x²/h
Altura y [m]
Plan2
vazão Teórica [m³/s]
Vazão
experimental [m³/s]
Plan3
velocidade teórica [m/s]
Velocidade experimental [m/s]
Tabelas e Gr�ficos/LAB1_Tabelas_e_Graficos_1.m
rho=992;
g=9.81;
a=0.1;
b=0.075;
d=0.1;
L=0.275;
h=[0.167,0.1565,0.144,0.132,0.120,0.1075,0.095,0.082,0.067,0.050];
m=[0.51,0.46,0.41,0.36,0.31,0.26,0.21,0.16,0.11,0.06];
for i=1:10
if h(i)>=d
A(i)=b*d;
Ixx(i)=b*d^3/12;
hcg(i)=h(i)-d/2;
ycp(i)=-Ixx(i)/(hcg(i)*A(i));
hcpt(i)=hcg(i)-ycp(i);
F(i)=rho*g*hcg(i)*A(i);
hcpe(i)=m(i)*g*L/F(i)-(a-h(i)+d);
erro(i)=abs((hcpe(i)-hcpt(i))/hcpt(i))*100;
else
A(i)=b*h(i);
Ixx(i)=b*h(i).^3/12;
hcg(i)=h(i)/2;
ycp(i)=-Ixx(i)/(hcg(i)*A(i));
hcpt(i)=hcg(i)-ycp(i);
F(i)=rho*g*hcg(i)*A(i);
hcpe(i)=m(i)*g*L/F(i)-(a+d-h(i));
erro(i)=abs((hcpe(i)-hcpt(i))/hcpt(i))*100;
end
end
A
Ixx
hcg
ycp
F
hcpt
hcpe
erro
plot(hcpt,hcpe,'--',hcpt,hcpt,'-')
Tabelas e Gr�ficos/LAB1_Tabelas_e_Graficos_2.m
%Entrada
m=[500 450 400 350 300 250 200 150 100 50]; %[g]
h=[166 154 142 129 111 104 92 73 63 43]; %[mm]
m=m./1000;
h=h./1000;
a=0.1;
b=0.075;
d= 0.1;
L=0.275;
g=9.81;
ro=990;
for i=1:10
if h(i)>d
A(i)=d*b;
Ixx(i)=b*d^3/12;
h_cg(i)=h(i)-d/2;
Ycp(i)=-Ixx(i)/(A(i)*h_cg(i));
F(i)=ro*g*h_cg(i)*A(i);
h_cpt(i)=h_cg(i)-Ycp(i);
h_cpe(i)=(m(i)*L/(ro*b*d*(h(i)-d/2)))-a+(h(i)-d);
e(i)=abs((h_cpt(i)-h_cpe(i))*100)/h_cpt(i);
else
A(i)=h(i)*b;
Ixx(i)=b*h(i)^3/12;
h_cg(i)=h(i)/2;
Ycp(i)=-Ixx(i)/(A(i)*h_cg(i));
F(i)=ro*g*h_cg(i)*A(i);
h_cpt(i)=h_cg(i)-Ycp(i);
h_cpe(i)=(2*m(i)*L/(ro*b*h(i)^2))-a-(d-h(i));
e(i)=abs((h_cpt(i)-h_cpe(i))*100)/h_cpt(i);
end
end
plot(h_cpt,h_cpe,'-b');
hold on;
plot(h_cpt,h_cpe,'or');
fprintf('%3.2f \n',e);Mais conteúdos dessa disciplina
ROTEIRO DE AULA PRÁTICA - FENÔMENOS DE TRANSPORTE- Resolução de Exercícios MecFlu Prática (4,5 e 6)
- Avaliação I - Individual
- Avaliação I - Individual
- Relações de Pertinência e Inclusão
- Avaliação II - Fenômenos de Transporte (180999)
- Prova AV Mecânica dos Fluidos
- Laboratório Virtual Prático_hidrostatica_HosanaPaonessa Chagas
- Cálculo Vetorial e Edo
- Hidráulica Aplicada Engenharia 01
- Relatório de Fenômenos de Transporte
- Exercícios 1. Quando ocorre o escoamento de determinado fluido líquido, a direção do movimento dos fluidos pode ser indicada pelas linhas de corre...
- quais são os intervalos sugeridos por osborne
- Quando o ângulo de ataque atinge o valor conhecido como ângulo crítico, qual fenômeno aerodinâmico ocorre?
- Assinale a alternativa correta sobre os medidores de vazão: Questão 11Escolha uma opção: a. Os medidores de vazão eletromagnéticos funcionam de acordo
- 1. Um ciclista está se deslocando a 15 m/s e a área frontal de seu corpo e bicicleta é de 0,5 m². Sabendo que o coeficiente de arrasto é 0,9 e qu...
- Qual alternativa apresenta ações sugeridas no material didático da disciplina que visam minimizar as dificuldades e superar os desafios da avaliação B
- 2026/1 - Edital 26/DEING/2026/1 - Qualificação Profissional - Sorteio Inteligência Artificial do Campus São José - integral
- 2026/1 - Edital 26/DEING/2026/1 - Qualificação Profissional - Sorteio Inteligência Artificial do Campus São José - integral
- 2026/1 - Edital 26/DEING/2026/1 - Qualificação Profissional - Sorteio Inteligência Artificial do Campus São José - integral
- Como o nome sugere, a mecânica dos fluidos é o estudo dos fluidos, tanto em repouso quanto em movimento. Tradicionalmente, ela tem sido aplicada em ár
- sobre conceitos fundamentais e cálculos de vazão responda: Como é considerado um fluido ideal? Um fluido ideal é aquele que possui alta viscosidade e
- Para classificar um escoamento como laminar ou turbulento, três parâmetros principais são utilizados para caracterizar o movimento do fluido. Dentre e
- Considerando o estudo do movimento de um fluido em um tubo, as variáveis envolvidas podem incluir a velocidade do fluido, o diâmetro do tubo, a viscos
- Exercício Avaliativo - Módulo 1_ Revisão da tentativa 01
- 1729529549621IMG_4649