Logaritmo 1

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CASA DA MATEMÁTICA (EXPONENCIAL E LOGARITMO 1) 
1 
 
● EQUAÇÃO EXPONENCIAL 
 É toda equação cuja incógnita aparece no expoente. 
 Exemplos: 2x = 64 52x + 5x = 30 4x − 2x = 2 
 A resolução de algumas equações exponenciais é possível graças a propriedade abaixo: 
 Desde que o número a seja 
 a f(x) = a g(x) ⟺ f(x) = g(x) real positivo e diferente de 1. 
 
 Além da propriedade acima é de fundamental importância a seguinte propriedade: 
 
TODA POTÊNCIA DE BASE REAL POSITIVA E EXPOENTE REAL É UM NÚMERO POSITIVO 
a > 0 ⟹ ab > 0 
 
EXERCÍCIOS EXTRAS 
E1. Resolva, em ℝ, as equações: 
a) 2x = 8 c) (
9
4
)
x
 = 
16
81
 d) 0,125x = 
1
2
 f) 9x = √27 
b) 125x = 625 d) 0,125x = 
1
2
 e) 7x = 1 
 
E2. Resolva, em ℝ, as equações: E3. (CESGRANRIO-RJ) Se 8x = 32, então x é igual a: 
a) 2x = 
1
16
 c) 125x = 0,04 e) √2
x
= 1 a) 
5
2
 b) 
5
3
 c) 
3
5
 d) 
2
5
 e) 4 
b) 100x = 0,001 d) √3
4 x
 = √9
3
 f) 7x = 8x 
 
E4. (FCC) A solução da equação 0,52x = 0,251 − x E5. (URRN) Se 2 −2
x
 = 
1
256
 , então o valor de x é: 
 é um número x, tal que: a) 8 b) 3 c) -2 d) -3 e) -8 
 a) 0 < x < 1 c) 2 < x < 3 e) x < 0 
 b) 1 < x < 2 d) x > 3 
 
E5. (URRN) Se 2 −2
x
 = 
1
256
, então o valor de x é: E6. (AT – 2011) Resolva a equação 0,2x
2
 = 
1
625
 
a) 8 b) 3 c) −2 d) − 3 e) − 8 tendo o conjunto IN para conjunto Universo. 
 
E7. Resolva, em ℝ, a equação 9x − 10 . 3x + 9 = 0 E8. Resolva, em ℝ, as equações: 
 a) 4x − 12. 2x + 32 = 0 c) 81x − 4. 9x + 3 = 0 
 b) 5 . 25x − 26 . 5x + 5 = 0 d) 4x − 6 . 2x + 8 = 0 
 
E9. (UFOP−MG) O valor de x que satisfaz a equação 4x − 15 . 2x − 16 = 0 é um número: 
a) ímpar b) irracional c) negativo d) primo e) par 
 
E10. (UEPG−PR) A soma das raízes da equação 32x − 12 . 3x + 27 = 0, pertence ao intervalo: 
a) [10, 12] b) [ 0 , 3 ] c) [ 1 , 2 ] d) (10 , 12 ] e) ( 1 , 3 ) 
 
E11. (FAFI−BH) Sobre a solução da equação 4x − 7. 2x − 8 = 0, pode-se afirmar que ela é composta: 
a) por dois números reais. c) pelo conjunto vazio. e) por um único número irracional. 
b) por um único número negativo. d) por um único número primo. 
 
E12. (CEFET) A soma das soluções da E13. Resolva, em ℝ, as equações: 
 equação 26√x + 8 = 9 . 23√x, é igual a: a) 23x − 1 . 42x + 3 = 83 − x b) 5x − 2 − 5x + 5x + 1 = 505 
a) 1 b) 2 c) 0 d) 4 e) 3 
 
E14. (UEL−PR) Considere as soluções reais 3x
2
 . 37x . 312 = 1. E15. (FURRN) Resolvendo a equação 
 A diferença entre a maior e a menor dessas raízes é: (
1
 3 
 )x + ( 
1
 3 
)x + 2 − (
1
 3 
 )x − 1 = − 17 , tem-se: 
a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 a) x = − 2 b) x = 2 c) x = − 3 d) x = 3 e) x = 1 
 
E16. Resolva, em ℝ, as equações: E17. Resolva, em ℝ, as equações: 
a) x2x
2 − 5x + 3 = x b) xx
2 − 5x + 6 = 1 a) xx
2 − 7x + 12 = 1 b) xx
2 − 2x − 7 = x 
 
E18. Resolva, em ℝ, a equação (x2 − x + 1)(2x
2− 3x−2) = 1 E19. Resolva, em ℝ, a equação x2x – ( x2 + x )x x + x3 = 0 
 
E20. Resolva, em ℝ, a equação 4x + 6x = 2. 9x 
 
E21. Resolva, em ℝ, as equações: a) 5x + 2. 10x = 3. 4x b) 22x+2 − 6x − 2 . 32x+2 = 0 
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● FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Chama-se função exponencial toda função f: ℝ ⟶ ℝ+
∗ , tal que f(x) = ax, 
em que a é um número real positivo e diferente de 1. 
 
 y y 
 
 
 
 a > 1 0 < a < 1 
 
 1 
 1 
 
 0 x 0 x 
 
PROPRIEDADES DA FUNÇÃO EXPONENCIAL: 
P1. A função exponencial f(x) = 𝑎𝑥, é crescente um todo o seu domínio se, e somente se, a > 1. 
 Temos então que, 𝑎𝑥2 > 𝑎𝑥1 ⟹ 𝑥2 > 𝑥1 
 
P2. A função exponencial f(x) = 𝑎𝑥 é decrescente em todo o seu domínio se, e somente se, 0 < a < 1. 
 Temos então que, 𝑎𝑥2 > 𝑎𝑥1 ⟹ 𝑥2 < 𝑥1 
 
P3. A função exponencial f(x) = ax é bijetora. 
 Pelo fato de f(x) = ax ser bijetora, ela também é injetora, e daí, podemos concluir que 𝑎𝑥1= 𝑎𝑥2 ⟺ 𝑥1= 𝑥2 
 
E22. (U. AMAZONAS−AM) Em pesquisa realizada, constatou-se que a população (P) de determinada bactéria cresce segundo a 
expressão P(t) = 25. 2t , em que t representa o tempo em horas. Para atingir uma população de 400 bactérias, será necessário 
um tempo de: 
a) 4 horas b) 3 horas c) 2 horas e 30 minutos d) 2 horas e) 1 hora 
 
E23. (PUC−SP) Os gráficos de f(x) = ax , com a ∈ ℝ+
∗ e a ≠ 1, e g(x) = x2 − 1, se interceptam em um ponto de abscissa 3. O valor 
de a é: 
a) 2 b) 3c) 4 d) 8 e) 9 
 
E24. (UFMG) y 
Na figura ao lado está representado 12 
O gráfico de f(x) = k ax , sendo k e a, 
constantes reais positivas, com a ≠ 1. 
O valor de f(2) é: 
3
2
 
a) 
3
8
 b) 
1
2
 c) 
3
4
 d) 1 
 - 3 0 x 
 
E25. (FGV−SP, adaptada) O número de certo produto aparece diariamente num certo horário na televisão. Após t dias do inicio 
da apresentação desse anúncio, o número y de pessoas que ficam conhecendo o produto é dado por y = 3 – 3(0,8)t , em que y 
representa o número de pessoas, em milhões. Para que valores de t teremos exatamente 1,08 milhões de pessoas conhecendo o 
produto? 
 
● INEQUAÇÃO EXPONENCIAL 
 Chamamos de inequação exponencial toda inequação na qual a incógnita aparece no expoente. 
a) Exemplos: a) 3𝑥 > 81 b) 5𝑥
2 − 7 > 25 c) 2𝑥 > 5 d) 3𝑥−1 + 3. 3𝑥 − 3𝑥+1 < 
1
3
 
 Resolveremos as inequações exponenciais entre duas bases iguais de acordo com as regras abaixo: 
 
 Para a > 1 Para 0 < a < 1 
 𝒂𝒇(𝒙) ≥ 𝒂𝒈(𝒙) ⟺ 𝒇(𝒙) ≥ 𝒈(𝒙) 𝒂𝒇(𝒙) ≥ 𝒂𝒈(𝒙) ⟺ 𝒇(𝒙) ≤ 𝒈(𝒙) 
 𝒂𝒇(𝒙) > 𝒂𝒈(𝒙) ⟺ 𝒇(𝒙) > 𝑔(𝑥) 𝒂𝒇(𝒙) > 𝒂𝒈(𝒙) ⟺ 𝒇(𝒙) < 𝒈(𝒙) 
 𝒂𝒇(𝒙) ≤ 𝒂𝒈(𝒙) ⟺ 𝒇(𝒙) ≤ 𝒈(𝒙) 𝒂𝒇(𝒙) ≤ 𝒂𝒈(𝒙) ⟺ 𝒇(𝒙) ≥ 𝒈(𝒙) 
 𝒂𝒇(𝒙) < 𝒂𝒈(𝒙) ⟺ 𝒇(𝒙) < 𝑔(𝑥) 𝒂𝒇(𝒙) < 𝒂𝒈(𝒙) ⟺ 𝒇(𝒙) > 𝑔(𝑥) 
 
 
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E26. Resolva, em ℝ, as seguintes inequações: 
a) 163x −1 > 82x +5 c) ( √2 )3x − 1 ≤ √8
4
 e) (0,16)x > √15,625
5
 
b) ( 
1
3
 )x > 
1
81
 d) (0,008)x > √25
3
 f) (
1
√2
)2x + 1 ≤ ( 
1
√2
 )x +3 
 
E27. Resolva, em ℝ, as inequações: 
a) 9x − 1 < 81x + 1 ≤ 273x + 5 b) 0,0001 < 0,1x < 0,01 
 
E28. (FEI-SP) Resolva a inequação 
3x − 9
1 − 3x
 < 0 
E29. (CESCEA) O conjunto de todos os números reais x para os quais 
ex + 1
1 − x2
 < 0 é: 
a) {x ∈ ℝ / x ≥ 1 ou x ≤ -1} c) {x ∈ ℝ / x ≠ 0 } e) {x∈ ℝ / x < -1 ou x > 1} 
b) {x ∈ ℝ / - 1 < x < 1 } d) {x ∈ ℝ / x ≠ 1 e x ≠ -1} 
 
E30. Resolva, em ℝ, a inequação 32x + 2 − 3x + 3 > 3x − 3 
 
E31. Resolva, em ℝ, as inequações: a) 2. 9x + 6. 3x − 8 ≤ 0 b) 4x − 3. 2x ≤ 40 
 
● LOGARITMO 
 
Sendo 𝒂 e 𝒃 números reais positivos, com 𝒃 ≠ 1, chama-se logaritmo de 𝒂 na base 𝒃( 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒂) 
o número real 𝒄, de modo que 𝒃𝒄 = 𝒂. 
𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒂 = 𝒄 ⟺ 𝒃
𝒄 = 𝒂 
 
 logaritmando logaritmo 
 𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑎 = 𝑐 
 base 
Exemplos: 
a) 𝑙𝑜𝑔28 = 3 ⟺ 2
3 = 8 b) 𝑙𝑜𝑔1
2
 
 √2 = − 
1
2
 ⟺ (
1
2
)− 
1
2 = √2 
Obs.: Quando a base do logaritmo for o número 10, não há necessidade de escrever a base. 
 𝑙𝑜𝑔10 5 = log 5 𝑙𝑜𝑔10 0,8 = log 0,8 
 
E32. Calcule os logaritmos mostrados a seguir: 
a) log7 49 b) log49 7 c) log9
4
 
16
81
 d) log0,0016 0,008 e) log √23 32√8 f) log√5 √625
3
 
 
E33. Calcule o valor da base b em cada um dos logaritmos abaixo: 
a) logb 256 = 8 b) logb 
2
3
 = 
1
2
 c) logb 0,000125 = 3 d) logb 1 296 = −2 
 
E34. Determine os valores de x para que exista 𝑙𝑜𝑔(𝑥+1)( 𝑥
2 − 4). 
 
E35. (UFJF−MG) O conjunto dos números reais 𝑥 para os quais a função 𝑓(𝑥) = log( 
𝑥2− 2𝑥 − 3
𝑥 − 2
 ) está definida é: 
a) ] − ∞, − 1[ ∪ ] 2, 3[ b) ] – 1, 2[ ∪ ]3, ∞ [ c) ] – 3 , 3[ d) ℝ − { 2 } e) ]2, 3[ 
 
E36. Calcule o valor de cada soma S: 
a) S = 𝑙𝑜𝑔2 16 + 𝑙𝑜𝑔3 243 − 𝑙𝑜𝑔√5 3 125 b) S = 𝑙𝑜𝑔√3 √3
4
− 𝑙𝑜𝑔8 1 024 + 𝑙𝑜𝑔0,1 0,01 
 
E37. (MACKENZIE−SP) A expressão 𝑙𝑜𝑔1
2
 32 + 𝑙𝑜𝑔10 0,001 − 𝑙𝑜𝑔0,1 10 √10 é igual a: 
a) 
13
2
 b) − 
13
2
 c) 0 d) 
5
4
 e) − 
19
2
 
 
● CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO DE LOGARITMO 
P1 ) 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝟏 = 𝟎 P3) 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒂
𝒙 = 𝒙. 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒂 P5 ) 𝒃
𝒍𝒐𝒈𝒃𝒂 = 𝒂 
P2 ) 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒃 = 𝟏 P4) 𝒍𝒐𝒈𝒃𝒂 = 𝒍𝒐𝒈𝒃𝒄 ⟺ 𝒂 = 𝒄 
 
E38. Usando as consequências da definição resolva as seguintes expressões: 
a) 𝑙𝑜𝑔3 3 b) log
√
1
3
3 1 c) 𝑙𝑜𝑔5 5
7 d) 0,1𝑙𝑜𝑔0,1 1 000 
E39. Resolva as seguintes expressões: 
a) 34 + 𝑙𝑜𝑔3 5 + 62 − 𝑙𝑜𝑔6 4 b) 2(𝑙𝑜𝑔7 28). 𝑙𝑜𝑔2 7 
 
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E40. (FAFI−BH) O valor de log3( log5( log22
125) ) é: 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 
 
E41. (UNIFOR−CE) Qual é o valor de [ 𝑙𝑜𝑔5( 25 𝑙𝑜𝑔2 32 )] 
3 ? 
 
E42. (Unirio) Um professor propôs aos seus alunos o seguinte exercício: 
"Dada a função f: IR+
∗ ⟶ IR” determine a imagem de x=1024" f(x) = log264x
3 
Qual não foi sua surpresa quando, em menos de um minuto, um aluno respondeu corretamente que a imagem era: 
a) 30 b) 32 c) 33 d) 35 e) 36 
 
● PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS 
 Observadas as condições de existência, são válidas as seguintes propriedades: 
P6 . 𝐥𝐨𝐠𝐜(𝐚. 𝐛) = 𝐥𝐨𝐠𝐜𝐚 + 𝐥𝐨𝐠𝐜𝐛 P7 . 𝐥𝐨𝐠𝐜 (
𝐚
𝐛
) = 𝐥𝐨𝐠𝐜𝐚 − 𝐥𝐨𝐠𝐜𝐛 P8. 𝐥𝐨𝐠𝐛𝐱𝐚 = 
𝟏
𝐱
 . 𝐥𝐨𝐠𝐛𝐚 
 
E43. Sendo log2 = 0,301 e log3 = 0,477, calcule 
a) log12 b) log5 c) log240 d) log2 500 
 
E44. (FURG−RS) Dados log 2 = 0,301 e log3 = 0,477, o log7,2 vale: 
a) 0,380 b) 0,857 c) 0,861 d)1,85 e) 1,861 
 
E45. (CEFET) A soma das soluções da equação 16 . xlog2x = x5 é: 
a) 4 b) 6c) 8 d) 12 e) 18 
 
E46. (FUVEST−SP) Se x = log47 e y = log1649, então x – y é igual a: 
a) log47 b) log167 c) 1 d) 2 e) 0 
 
E47. (UFRS) O valor de log(217,2) – log (21,72) é: 
a) −1 b) 0 c) 1 d) log (217,2 − 21,72) e) 
log (217,2)
 log(21,72) 
 
 
E48. (FEI) Considere a > 1 e a expressão x = loga2 a + logaa
2. Então o valor de x é: 
a) 2 b) 
3
2
 c) 
5
2
 d) 
2
5
 e) 1 
 
E49. Prove que: 
a) logb
1
a
 = − logba, com {a, b} ⊂ ℝ+
∗ e b ≠ 1 b) logba = 
1
 logab 
 , com {a, b} ⊂ ℝ+
∗ , a ≠ 1 e b ≠ 1 
 
E50. (FUVEST−SP) Sabendo que 5𝑝 = 2, podemos afirmar que 𝑙𝑜𝑔2100 é igual a: 
a) 
2
 p 
 b) 2p c) 2 + 𝑝2 d) 2 + 2p e) 
 2 +2𝑝 
𝑝
 
 
E51. (UNESP) Considere os seguintes números reais: a = 
1
2
 , b = 𝑙𝑜𝑔√22 e c = 𝑙𝑜𝑔2
√2
2
 . então: 
a) c < a < b b) a < b < c c) c < b < a d) a < c < b e) b < a < c 
 
E52. (PUC−MG) A raiz da equação 𝑙𝑜𝑔2𝑥 + 𝑙𝑜𝑔4𝑥 = 1 é igual a: 
a) 2 b) √2
3
 c) √4
3
 d) 2√4
3
 e) 3√2
3
 
 
E53. (ENCE) O conjunto solução da equação log4x + logx4 = 
5
2
 , sendo U = ℝ+
∗ − {1 }, é tal que a soma de seus elementos é 
igual a: 
a) 0 b) 2 c) 14 d) 16 e) 18 
 
E54. (FEI−SP) A equação log3x = 1 + logx9 tem duas raízes reais. o produto dessas raízes é: 
a) 0 b) 
1
 3 
 c) 9 d) 6 e) 3 
 
E55. (FGV−SP) Se o par ordenado (a;b) é a solução do sistema 
 { √2
x + y = 2y
log10(3x + ` 4) = 1 + log10(y − 1)
 
então a . b é igual a: 
a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9 
 
 
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5 
 
E56. (CESESP−PE) Os valores de x e y que satisfazem o sistema 
 log3x + log3y = 1 
 3x – 5y = 12 são respectivamente: 
a) 5 e 
3
 5 
 b) 
 3 
5
 e 5 c) −1 e −3 d) 3 e − 
 3
5
 e) 1 e − 
9
 5 
 
 
● COLOGARITMO 
 Chama-se cologaritmo de um número positivo a numa base b ( 1 ≠ b > 0 ) o logaritmo do inverso do número a 
na base b. Indicamos o cologaritmo do número a base b através da notação cologba. 
 
𝑐𝑜𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎 = 𝑙𝑜𝑔𝑏
1
𝑎
 ou 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎 = − 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎 
 
 
● MUDANÇA DE BASE: 𝒍𝒐𝒈𝒃𝒙 = 
𝒍𝒐𝒈𝒄𝒙
 𝒍𝒐𝒈𝒄𝒃 
 Respeitadas as condições de existência. 
 
E57. Considerando 𝑙𝑜𝑔3 = 0,47 e 𝑙𝑜𝑔5 = 0,69, calcule o logaritmo de 15 na base 3. 
 
E58. (UFAL) Se 𝑙𝑜𝑔52 = 𝑎, então 𝑙𝑜𝑔√220 é igual a: 
a) 10a b) 4 + √𝑎 c) 
 8 + 𝑎 
2
 d) 
 2𝑎 + 1 
𝑎
 e) 
 2(2𝑎 + 1) 
𝑎
 
 
E59. (ITA−SP) O valor de y que satisfaz a igualdade logy49 = logy27 + log2y7 é: 
a) 
 1 
2
 b) 
 1 
3
 c) 3 d) 
 1 
8
 e) 7 
 
● EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS 
Chamamos de equações logarítmicas toda equação que envolve 
logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos. 
 
E60. Resolva, em ℝ, as equações: 
a) logx(x + 6) = 2 b) log3(x + 1) + log3(x − 7) = 2 
 
E61. Resolva, em IR, as equações seguintes. 
a) log3(log2x) = 1 c) log1
4
 { log3 [ log2 (3x − 1)]} = 0 e) log2 {2 + 3 . log3 [ 1 + 4. log4 (5x + 1)]} = 3 
b) log1
2
[ log3 (log4x) ] = 0 d) log√2 { 2 . log3 [ 1 + log4 ( x + 3)]} = 2 f) log3 [log2(3x
2 − 5x + 2)] = log32 
 
E62. (MACKENZIE – 1980) Seja x a solução da equação 2log8(log2x) = 
1
2
. O valor de x8 é igual a: 
a) 
1
8
 b) 
1
4
 c) 
1
2
 d) 1 e) 2 
 
E63. (PUC - MG) A soma das raízes da equação log22
x2 − 3x + 5 = 3 é: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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USO DA TÁBUA DE LOGARITMOS DECIMAIS 
 Qualquer número real positivo x pode ser escrito na forma 10𝑐 ≤ 𝑥 < 10𝑐 + 1, onde c é um número inteiro. 
 Vamos agora logaritmar essa dupla desigualdade e ver o resultado que obteremos. 
 10c ≤ x < 10c + 1 ⟹ log 10c ≤ log x < log10c + 1 ⟹ c . log 10 ≤ log x < (c + 1). log 10 ⟹ 𝐜 ≤ 𝐥𝐨𝐠 𝐱 < 𝐜 + 𝟏 
 O resultado obtido nos mostra que o log x é menor que c + 1 e maior ou igual ao número c. Podemos então escrever a seguinte 
relação: 
log x = c + m, sendo 0 ≤ m < 1 
 
Esse número c é chamado de característica do log x e o número m é a mantissa desse logaritmo. 
Regra para determinação da característica do n úmero log x: 
1o caso ( x > 1): A característica de log x, nesse caso, é igual ao número de algarismos de sua parte inteira diminuído de 1. 
2o caso ( 0 < x < 1): A característica de log x, nesse caso, é igual ao simétrico do número de zeros que antecedem o primeiro 
algarismo significativo. 
 
E70. Consultando uma tábua de logaritmos decimais calcule o valor de cada um dos logaritmos mostrados a seguir. (Dê a resposta 
com 5 casas decimais) 
a) log 2 b) log 23 c) log 215 d) log 1 179 
 
E71. Consultando uma tábua de logaritmos ou uma calculadora cientifica encontre os seguintes logaritmos. 
a) log 5 b) log 50 c) log 500 d) log 5 000 e) log 50 000 
 
Percebeu que os resultados do exercício anterior possuem, todos eles, a mesma mantissa? Veja o teorema. 
Os logaritmos de dois ou mais números decimais e que difiram 
entre si apenas pela posição da virgula, possuem a mesma mantissa. 
 
E72. Escreva o número log0,00749 na forma negativa e na forma mista (preparada). 
 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS EXTRAS 
E1. a) S = { 3 } b) S = { 
4
3
 } c) S = { −2 } d) S = { 
1
3
 } e) S = {0} f) S = { 
3
4
 } E2. a) S = { − 4 } b) S = { − 
3
2
 } c) S 
= { − 
2
3
 } d) S = { 
8
3 
 } e) S = { 0 } E3. b E4. a E5. b E6. S = { 2 } E7. S = { 0 ou 2 } E8. a) S = { 2 ou 3 } b) S = { 
1 ou – 1 } c) S = { 0 ou 
1
2
 } d) S = { 1 ou 2 } E9. e E10. b E11. d E12. a E13. a) S = { 
2
5
 } b) S = { 3 } E14. d E15. 
a E16. a) S = { 0, 2, 1, 
1
2
 }b) S = { 1, 2, 3 } E17. a) S = {1, 3, 4} b) S = {1, 4} E18. S = {0, 1, 2, − 
1
2
 } E19. S = {1, 2} 
E20. S = {0} E21. a) S = { 0 } b) S = { − 2 } E22. a E23. a E24. A E25. t = 2 E26. a) S = { x ∈ ℝ / x > 
19
6
 } b) S = { x 
∈ ℝ / x < 4 } c) S = { x ∈ ℝ / x ≤ 
5
6
 } d) S = { x ∈ ℝ / x < - 
2
9
 } e) S = { x ∈ ℝ / x < - 
3
10
 } f) S = { x ∈ ℝ / x ≥ 2 } E27. a) S 
= { x ∈ ℝ/ x ≥ − 
11
5
 } b) S = { x ∈ ℝ/ 2 < x < 4 } E28. S = { x ∈ ℝ / x < 0 ou x > 2 } E29. e E30. S = { x ∈ ℝ / x < −2 ou 
x > 1 } E31. a) S = { x ∈ ℝ / 2 < x < 5 } b) S = { x ∈ ℝ / x ≤ 3 } E32. a) 2 b) 
1
2
 c) – 2 d) 
4
3
 e) 
39
2
 f) 
8
3
 E33. a) b = 
2 b) b = 
4
9
 c) b = 0,05 d) b = 
1
36
 E34. S = { x∈ ℝ / x > 2 } E35. b E36. a) S = −1 b) S = − 
5
6
 E37. b E38. a) 1 b) 
0 c) 7 d) 1 000 E39. a) 414 b) 28 E40. b E41. 27 E42. e E43. a) 1,079 b) 0,699 c) 1, 778 d) 3,398 E44. b 
E45. e E46. e E47. c E48. c E50. d E51. a E52. c E53. e E54. e E55. b E56. a E57. ≃ 2,47 E58. e E59. d 
E60. a) S = { 3 } b) S = { 8 } E61. a) S = { 8 } b) S = { 64 } c) S = { 3 } d) S = { 13 } e) S = { 3 } f) S = {2, − 
1
3
 } E62. e 
E63. c E70. a) 0,30103 b) 1,36173 c) 2, 33244 d) 3,07151 E71. a)0,69897 b)1,69897 c)2,69897 d)3,69897 e) 
4,69897 E72. Forma negativa = − 2,12552 forma preparada = 3̅, 87448 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASA DA MATEMÁTICA (EXPONENCIAL E LOGARITMO 1) 
7 
 
Questões do ENEM 
1. (ENEM - 2013) 
Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de 
césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da 
população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza 
à metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t 
anos, é calculada pela expressão M(t) = A · (2,7)kt, onde A é a massa inicial e k é uma constante negativa. Considere 
0,3 como aproximação para log102. Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-
137 se reduza a 10% da quantidade inicial? 
a) 27 b) 36 c) 50 d) 54 e) 100 
 
2. (ENEM- 2011) 
A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como Mw), introduzida em 1979 por Thomas 
Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia 
liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos 
os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Ricther, a MMS é uma escala logarítmica. Mw e M0 se 
relacionam pela fórmula: 
MW = − 10,7 + 
2
3
 log10(MO) 
Onde M0 é o movimento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através 
dos sismogramas), cuja unidade é o dina⋅ cm. O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um 
dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude 
Mw= 7,3. 
 U.S. GEOLOGICAL SURVEY. Historic Earthquakes. Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 
(adaptado). U.S. GEOLOGICAL SURVEY. USGS Earthquake Magnitude Policy. Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso 
em: 1 maio 2010 (adaptado). 
Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento 
sísmico M0 do terremoto de Kobe (em dina⋅ cm)? 
a) 10 – 5,10 b) 10 – 0,73 c) 10 12,00 d) 10 21,65 e) 10 27,00 
 
3. (ENEM - 2009) 
A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. 
No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas 
(ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita 
representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos 
países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total nos países desenvolvidos. 
 
 
Suponha que o modelo exponencial y = 363e 0,03X, em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 
2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar 
essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, 
considerando e 0,3 = 1,35, estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre: 
a) 490 e 510 milhões c) 780 e 800 milhões e) 870 e 910 milhões 
b) 550 e 620 milhões d) 810 e 860 milhões 
CASA DA MATEMÁTICA (EXPONENCIAL E LOGARITMO 1) 
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4. (ENEM – 2015) 
Um engenheiro projetou um automóvel cujos vidros das portas dianteiras foram desenhados de forma que suas 
bordas superiores fossem representadas pela curva de equação y = log(x), conforme a figura. 
 
 A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo x sempre divida ao meio a altura h do vidro e a base do vidro 
seja paralela ao eixo x. Obedecendo a essas condições, o engenheiro determinou uma expressão que fornece a 
altura h do vidro em função da medida n de sua base, em metros. 
A expressão algébrica que determina a altura do vidro é: 
a) log(
n + √n2 + 4 
2
) − log(
n − √n2 + 4 
2
) 
b) log(1 + 
n
2
) − log(1 − 
n
2
) 
c) log(1 + 
n
2
) + log(1 − 
n
2
) 
d) log(
n + √n2 + 4 
2
) 
e) 2. log(
n + √n2 + 4 
2
) 
 
RESPOSTAS DAS QUESTÕES DO ENEM 
1. e 2. e 3. e 4. e 
 
QUESTÕES CONTEXTUALIZDAS DE LOGARITMOS
1. (PETRÓBRAS – CESGRANRIO – 2014) 
Quanto maior for a profundidade de um lago, menor será a luminosidade em seu fundo, pois a luz que incide em sua 
superfície vai perdendo a intensidade em função da profundidade do mesmo. Considere que, em determinado lago, 
a intensidade y da luz a x cm de profundidade seja dada pela função y = iO . (0,6)
x
88, onde i0 representa a intensidade 
da luz na sua superfície. No ponto mais profundo desse lago, a intensidade da luz corresponde a 
iO
3
. 
(Considere log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48) 
A profundidade desse lago, em cm, está entre: 
a) 150 e 160 
b) 160 e 170 
c) 170 e 180 
d) 180 e 190 
e) 190 e 200 
 
2. (Professor de Matemática – CEPERJ – 2011) 
João tem uma fazenda de gado, e a quantidade de animais cresce regularmente 20% a cada ano. Certo dia, João diz: 
“se todas as condições continuarem as mesmas, daqui a n anos minha boiada será 10 vezes maior que a de hoje”. O 
menor valor inteiro de n que torna essa afirmação verdadeira é: 
(Considere log12 = 1,08) 
a) 11 
b) 13 
c) 15 
d) 20 
e) 50 
 
CASA DA MATEMÁTICA (EXPONENCIAL E LOGARITMO 1) 
9 
 
 
3. (Perito Criminal – Policia Civil – ES – CESPE – 2011) 
Em um sítio arqueológico, foram encontrados ossos de animais e um perito foi incumbido de fazer a datação das ossadas. 
Sabe-se que a quantidade de Carbono 14, após a morte do animal, varia segundo a lei 𝑄(𝑡) = 𝑄(0). 𝑒− 0,00012𝑡, em que e 
é a base do logaritmo natural, Q(0) é a quantidadede carbono 14 existente no corpo do animal no instante da morte e 
Q(t) é a quantidade de Carbono 14, t anos depois da morte. Com base nessas informações e considerando − 2,4 e 0,05 
como valores aproximados de ln (0,09) e 𝑒− 3, respectivamente, julgue os itens que se seguem. 
a) Suponha que, ao examinar uma ossada, o perito tenha verificado que o animal morreu há 25.000 anos. Nesse caso, a 
quantidade de carbono 14 existente nessa ossada, no instante do exame, era superior a 4% da quantidade no instante 
da morte. 
b) Se, em uma ossada, o perito constatou que a quantidade de carbono 14 presente era 9% da quantidade no instante 
da morte do animal, então é correto afirmar que o animal morreu a menos de 19.000 anos. 
 
4. (Vunesp – SP) 
O corpo de uma vítima de assassinato foi encontrado às 22h. Às 22h 30min o médico da polícia chegou e imediatamente 
tomou a temperatura do cadáver, que era de 32,5 oC. Uma hora mais tarde, tomou a temperatura outra vez e encontrou 
31,5o C. A temperatura do ambiente foi mantida constante a 16,5 oC. Admita que a temperatura normal de uma pessoa 
viva seja de 36,5 oC e suponha que a lei matemática que descreve o resfriamento do corpo é dada por D(t) = DO . 2
− 2αt, 
em que t é o tempo em horas, DO é a diferença de temperatura do cadáver com o meio no instante t = 0, D(t) é a diferença 
de temperatura do cadáver com o meio ambiente num instante t qualquer e α é uma constante positiva. Os dados obtidos 
pelo médico foram colocados na tabela seguinte: 
 
Considerando os valores aproximados log25 = 2,3 e log23 = 1,6, determine: 
a) a constante α 
b) a hora em que a pessoa morreu 
 
5. (Uerj) 
Segundo a lei do resfriamento de Newton, a temperatura T de um corpo colocado num ambiente cuja temperatura é TO 
obedece à seguinte relação: 
 T = TO + k . e
− ct 
Nesta relação, T é medida na escala Celsius, t é o tempo medido em horas, a partir do instante em que o corpo foi colocado 
no ambiente, e k e c são constantes a serem determinadas. 
Considere uma xícara contendo café, inicialmente a 100°C, colocada numa sala de temperatura 20°C. Vinte minutos 
depois, a temperatura do café passa a ser de 40°C. 
a) Calcule a temperatura do café 50 minutos após a xícara ter sido colocada na sala. 
b) Considerando Ln 2 = 0,7 e Ln 3 = 1,1, estabeleça o tempo aproximado em que, depois de a xícara ter sido colocada 
na sala, a temperatura do café se reduziu à metade. 
 
6. (Uerj) 
Em uma cidade, a população que vive nos subúrbios é dez vezes a que vive nas favelas. A primeira, porém, cresce 2% ao 
ano, enquanto a segunda cresce 15% ao ano. Admita que essas taxas de crescimento permaneçam constantes nos 
próximos anos. 
a) Se a população que vive nas favelas e nos subúrbios hoje é igual a 12,1 milhões de habitantes, calcule o número de 
habitantes das favelas daqui a um ano. 
b) Essas duas populações serão iguais após um determinado tempo t, medido em anos, Se t = 1/log x, determine o valor 
de x. 
 
7. (UFPE) 
Em 2002, um banco teve lucro de um bilhão de reais e, em 2003, teve lucro de um bilhão e duzentos milhões de reais. 
Admitindo o mesmo crescimento anual para os anos futuros, em quantos anos, contados a partir de 2002, o lucro do 
banco ultrapassará, pela primeira vez, um trilhão de reais? 
(Obs.: use as aproximações Ln 1 000 = 6,907 e Ln 1,2 = 0,182) 
 
 
 
CASA DA MATEMÁTICA (EXPONENCIAL E LOGARITMO 1) 
10 
 
8. (Fuvest) 
A intensidade I de um terremoto, medida na escala Richter, é um número que varia de I = 0 até I = 8,9 para o maior 
terremoto conhecido. I é dado pela fórmula: 
 I = 
2
3
 . log10 (
E
EO
) 
Onde E é a energia liberada no terremoto em quilowatt-hora e EO=7×10
− 3kWh. 
a) Qual a energia liberada num terremoto de intensidade 8 na escala Richter? 
b) Aumentando de uma unidade a intensidade do terremoto, por quanto fica multiplicada a energia liberada? 
 
9. (UNB) 
Estima-se que 1 350 m2 de terra sejam necessários para fornecer alimento para uma pessoa. Admite-se, também, que há 
30 x 1 350 bilhões de m2 de terra arável no mundo e que, portanto, uma população máxima de 30 bilhões de pessoas 
pode ser sustentada, se não forem exploradas outras fontes de alimento. A população mundial, no início de 1987, foi 
estimada em 5 bilhões de habitantes. Considerando que a população continua a crescer, a uma taxa de 2% ao ano, e 
usando as aproximações Ln 1,02 = 0,02; Ln2=0,70 e Ln 3 = 1,10, determine em quantos anos, a partir de 1987, a Terra 
teria a máxima população que poderia ser sustentada. 
 
RESPOSTAS 
1. e 2. b 3. a (certo) b (errado) 4. a) 𝛂 = 0,05 b) 19h 30 min 5. a) 22,5 oC b) aproximadamente 15 minutos 
6. a) 1 265 000 b) x ≃ 1,127 7. 38 anos 8. a) E = 7.109 kWh b) 10√10 9. 90 anos