Questões de Álgebra Linear

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15/11/2018 EPS: Alunos
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 1a Questão
Os autovalores da matriz são:
λ1 = 5 , λ2 = 2 , λ3 = -1
λ1 = 0 , λ2 = 5 , λ3 = -1
λ1 = -5 , λ2 = -2 , λ3 = 1
λ1 = 0 , λ2 = -5 , λ3 = 1
λ1 = 5 e λ2 = -1
 
 
Explicação:
Para determinar os autovalores basta resolver a equação: det (A - l.I) = 0
Como é uma matriz triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal: 
- l.(5- l).(-1- l) = 0
Assim, l = 0, l= 5, l = -1
 
 
 
 
 2a Questão
Determine a imagem do vetor v = (4, 1) pela Transformação Linear T(x,y) = (6x -y, 3x +5y).
(11,22)
(23,17)
(21, 28)
(21,31)
(31,25)
 
 
 
 3a Questão
Seja T (x, y) = (5x, -2y - 3x) uma transformação linear T:R2→R2. Determine a imagem do vetor v = (4, 1).
(20, -14)
(-12, -14)
(-12, 14)
(-20, -12)
(20, 12)
 
 
Explicação:
5x = 5.4 = 20
-2y - 3x = - 2.1 - 3.4 = -14
(20, -14)
 
 
A=(00005200−1)A =
⎛
⎝
⎜
0
0
0
0
5
0
0
2
−1
⎞
⎠
⎟
det(−λ0005−λ200−1−λ)=0det = 0
⎛
⎝
⎜
−λ
0
0
0
5 − λ
0
0
2
−1 − λ
⎞
⎠
⎟
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 4a Questão
Seja T (x, y) = (5x, -2y - 3x) uma transformação linear T:R2→R2. Determine a imagem do vetor v = (3, 3).
(-15, -6)
(9, -15)
(15, -15)
(-15, 9)
(-15 - 9)
 
 
Explicação:
5x = 5.3 = 15
-2y - 3x = -2.3 - 3.3 = -15
(15, -15)
 
 
 
 5a Questão
Seja A=((1,1),(2,-1) os autovalores da matriz A são:
raizq(6)
raizq(2)
+-raizq(5)
+-raizq(3)
+-3
 
 
 
 6a Questão
Seja T (x, y) = (5x, -2y-3x) uma transformação linear T:R2→R2. Determine a imagem do vetor v = (3, 4).
(-15, -9)
(15, -17)
(15, -8)
(20, -9)
(-20, -8)
 
 
Explicação:
5x = 5.3 = 15
-2y - 3x = -2.4 -3.3 = -17
(15, -17)
 
 
 
 7a Questão
Considere a matriz A abaixo:
A = [50 0 005 0 014-3 0-1-2 0-3]
c) Os autovalores são - 5 e 3, cada um com multiplicidade 2, tendo associado a matriz A à matriz diagonal D
= [-5 0 0 0 0-5 0 0 0 03 0 0 0 0 3]
 d) Os autovalores são 5 e 3, cada um com multiplicidade 2, tendo associado a matriz A à matriz diagonal D
= [ 5 0 0 0 0 5 0 0 0 03 0 0 0 0 3]
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e) Os autovalores são -5 e -3, cada um com multiplicidade 2, tendo associado a matriz A à matriz diagonal D
= [ -5 0 0 0 0 -5 0 0 0 0-3 0 0 0 0 -3]
 b) Os autovalores são 5 e -3, cada um com multiplicidade 2, tendo associado a matriz A à matriz diagonal D
= [50 0 005 0 000-3 000 0-3]
a) Os autovalores são 5 e -3, cada um com multiplicidade 2, tendo associado a matriz A à matriz diagonal D
= [50 0 005 0 000-3 0-10 0-3]
 
 
Explicação:
Determinação do polinômio característico: P(l) = [A - l.I4], onde I4 é uma matriz identidade de ordem igual a da matriz
quadrada A, ou seja, quarta ordem.
O determinante da matriz [A - l.I4] deve ser nulo. Assim, 
 
 
 
Como a matriz é triangular, o determinante é dado pelo produto do elementods da diagonal principal.
(5 - l).(5 - l).(-3 - l).(-3 - l).= 0
Basta igualar cada fator a zero, ou seja
(5 - l) = 0
(5 - l) = 0
(-3 - l) = 0
(-3 - l) = 0
Assim, l = 5 (duas vezes - multiplicidade 2) e l = - 3 (duas vezes - multiplicidade 2)
 
 
 
 8a Questão
 
Encontre o polinômio característico da matriz 2X2 abaixo: 
 3 1 
 1 2
λ²-3λ+3
λ²-5λ+2
λ²-4λ+4
λ²-5λ+5
λ²-2λ+2
A=|5000050014−301−20−3|A =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
5
0
1
1
0
5
4
−2
0
0
−3
0
0
0
0
−3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
I=|1000010000100001|I =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
det(A−λ.I)=|5−λ00005−λ0014−3−λ01−20−3−λ|=0det(A − λ. I) = = 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
5 − λ
0
1
1
0
5 − λ
4
−2
0
0
−3 − λ
0
0
0
0
−3 − λ
∣
∣
∣
∣
∣
∣