MATEMATICA AULA 1 FATEC

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MATEMÁTICA 
Unidade de Aprendizagem 1 
 
Conjuntos (Parte 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elaborar com o aluno, a partir de sua relação com o 
mundo físico (cotidiano) as noções de elemento, 
conjunto e propriedades comuns que geram conjuntos, 
bem como a linguagem matemática necessária para 
essa elaboração. 
Observar a realidade ao seu redor e elaborar relações 
dessa realidade com o mundo, por meio da percepção 
de conjuntos e de seus elementos; entender 
propriedades comuns dos elementos que pertencem 
ao seu cotidiano. 
Identificar fenômenos que podem ser modelados pela 
teoria dos Conjuntos. Identificar e construir leis que 
representem relações entre elementos e conjuntos. 
Usar corretamente a linguagem dessa teoria, em 
conexão com o contexto dos fenômenos em questão. 
 
 
2 
 
 
 
 
Conjuntos (Parte 1) 
 
Apresentação 
Vamos nesta aula, elaborar, a partir de sua relação com o mundo físico e 
do cotidiano, as noções de elemento, conjunto, propriedades comuns e de 
como estas geram os conceitos de classes, categorias, que a área científica 
utiliza. 
Esperamos que você compreenda e perceba que, assim como temos a 
linguagem corrente para conversarmos, as ciências usam a linguagem da 
Matemática como meio de comunicação. 
Mostraremos que os símbolos matemáticos são apenas uma linguagem 
que você deve aprender para poder conversar no “matematiquês”. Mas não se 
assuste: não iremos nos aprofundar tanto nessa linguagem, apenas 
forneceremos uma base para que o seu trato com as ideias sobre conjuntos se 
desenvolva de modo válido e sem ambiguidades. 
 
Para começar 
 
Ao observar as estruturas sociais, percebemos que as pessoas pertencem 
a um número considerável de grupos: a um país, a uma área profissional, a um 
setor de uma empresa, a uma família, a um grupo de amigos, a uma 
comunidade, à torcida de um time de futebol etc. Neste contexto, cada grupo 
 
 
3 
citado é caracterizado por reunir pessoas com alguma propriedade comum. 
Refletindo um pouco mais sobre a existência de vários tipos de 
agrupamento, é possível observar que não apenas nós, seres humanos, mas 
todo ser vivo e tudo o que podemos imaginar pode ser associado a pelo menos 
um grupo ou coleção, muitas vezes, caracterizado por uma propriedade. Veja 
alguns exemplos: 
 
Rosa pertence à coleção de flores. 
Boneca pertence à coleção de brinquedos. 
Vermelho pertence à coleção de cores. 
Engenheiro pertence à categoria de profissionais. 
Cachorro pertence ao grupo de quadrúpedes. 
A letra W pertence ao alfabeto oficial da Língua Portuguesa. 
“Vitória” pertence à coleção de resultados possíveis para um 
determinado time em uma partida de futebol. 
“Aprovado” pertence à coleção de resultados possíveis para um 
estudante ao final de um curso. 
A Figura 1 a seguir possui ilustrações de coleções: de animais, de frutas, 
de pessoas e de objetos de informática. 
 
Figura 1: coleções diversas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
Entendendo que pessoas, animais, vegetais, coisas diversas, letras, 
números, conjuntos, resultados possíveis de um experimento, atributos etc, 
podem ser caracterizados como objetos, em Matemática, toda coleção de 
objetos é denominada de Conjunto. Cada objeto de um conjunto é 
denominado elemento. 
Em geral, todos os elementos de um conjunto têm uma propriedade 
comum (além da propriedade de pertencerem ao mesmo conjunto). Qualquer 
objeto que tem essa propriedade pertence ao conjunto e qualquer objeto que 
não tem essa propriedade não pertence ao conjunto. 
Estendendo o primeiro dos exemplos anteriores, sabemos que Rosa, 
Cravo, Margarida e Crisântemo têm a propriedade comum de serem flores 
(pertencem ao conjunto das flores). Martelo, caneta e xícara não pertencem ao 
conjunto das flores por não possuir essa propriedade comum (ser uma flor). 
Estamos filosofando, não? Bem, é verdade que muitos embasamentos 
matemáticos foram construídos juntamente com alicerces filosóficos, mas estas 
são ideias para você começar a ter noções da teoria dos Conjuntos. O 
conhecimento de Conjuntos e das relações estabelecidas entre eles são 
extremamente importantes no uso da Matemática e em processos que 
requerem a construção de modelos matemáticos. 
Modelos matemáticos são representações de problemas e situações da 
realidade numa forma matemática. Por meio da solução e interpretação de uma 
questão no formato e na linguagem matemática, obtém-se a solução na 
linguagem do mundo real. Para uma empresa, por exemplo, os modelos 
matemáticos subsidiam a tomada de decisão em determinado impasse de 
forma mais fundamentada contribuindo para a definição de caminhos a serem 
seguidos ou mesmo do futuro da empresa. Os modelos matemáticos aparecem 
nas diferentes áreas do conhecimento humano e, em particular, nas atribuições 
e em muitas áreas de atuação do Tecnólogo. A cada aula da disciplina de 
 
 
5 
CONCEITO 
Muitos autores em Matemática destacam que “Conjunto”, assim 
como “Ponto”, “Reta” e “Plano”, da Geometria, são chamados 
de conceitos primitivos, uma vez que estão presentes na 
intuição das pessoas, sem necessariamente possuir uma 
definição matemática absoluta. 
 
Matemática você irá desenvolver conhecimentos matemáticos necessários para 
isso. 
 
 
 
 
 
 
A Matemática utiliza símbolos e representações universais adotados 
principalmente na área científica e técnica. Isso significa que, como você deve 
aprender nova(s) língua(s) para se adaptar ao mundo globalizado, também 
deve aprender a linguagem da Matemática. Para usar adequadamente a 
matemática, você precisa aprender a “pensar, ler e escrever" na linguagem 
matemática. Calma! Não se angustie e nem se aborreça! Você não vai estudar 
toda a linguagem matemática (sabemos que você não está num curso de 
graduação em Matemática), mas sim uma parte desse enorme conjunto de 
símbolos e conceitos. 
Portanto, não se preocupe: da mesma maneira que aprendemos as 
demais línguas, as letras das músicas e as gírias de nossas turmas, a prática do 
uso dos símbolos e das representações matemáticas vai se tornando cada vez 
mais fácil quanto mais os utilizarmos. 
E vamos aos Conjuntos! 
 
 
 
 
6 
DICA 
Perceba que você não lida com a noção de conjunto apenas de 
um jeito matemático e formal. Você usa diariamente essa ideia 
de conjuntos em quaisquer momentos em que se vê agrupando 
ou participando de um agrupamento, e algumas figuras deste 
texto já lhe forneceram essa ideia. Veja que no seu dia a dia você 
nota pessoas de um mesmo grupo social ou profissional juntas 
em alguma sala ou instituição, as frutas agrupadas na gaveta da 
geladeira, os objetos de escrita (lápis, caneta, borracha etc) 
agrupados em um estojo, os livros agrupados numa estante, as 
roupas agrupadas em gavetas e cabides, os brinquedos das 
crianças numa caixa e as figurinhas agrupadas em um álbum. 
São alguns exemplos desses agrupamentos. 
 
Fundamentos 
 
1. Conjuntos 
 
Conjunto pode ser entendido como uma coleção de objetos. Em geral, 
todos os objetos em um conjunto têm alguma propriedade em comum (além de 
pertencerem ao mesmo conjunto). Cada objeto que pertence a um conjunto é 
denominado elemento. 
 
1.1 Representações de conjuntos 
 
Frequentemente, os conjuntos são designados por letras maiúsculas do 
alfabeto: A, B, C, D etc. Para descrever um conjunto, precisamos identificar 
todos os seus elementos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figuras 2 e 3: agrupamentos que tem a noção de conjunto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
As figurasanteriores (2 e 3) nos dão a ideia de conjunto, ou seja, uma 
coleção de brinquedos e uma coleção de figurinhas. E como pode ser a 
representação matemática de um conjunto? Ela pode ser feita através de 
algumas formas: 
 
Listagem (completa ou parcial) dos seus elementos: nessa 
representação todos os elementos que formam o conjunto são apresentados 
numa lista, entre chaves, separados por vírgula ou por ponto e vírgula. Os 
elementos podem ser apresentados em qualquer ordem e cada elemento deve 
ser listado apenas uma vez. Exemplos: 
a) Conjunto dos alunos do grupo A: 
A = {Pedro, Mateus, Joana, Isabel}. 
Podemos ler assim: A é o conjunto formado por Pedro, Mateus, Joana, 
Isabel. 
b) Conjunto de frutas cultivadas pelo professor Chico: 
B = {amora, nêspera, banana, limão}. 
Podemos ler assim: B é o conjunto formado por amora, nêspera, banana, 
limão. 
c) Conjunto das vogais do alfabeto da Língua Portuguesa: 
C={a,e,i,o,u} 
 
 
8 
Podemos ler assim: C é o conjunto formado por a, e, i, o, u. 
d) Conjunto dos números inteiros pares de 2 a 50: D={ 2, 4, 6, 8, ... , 50} 
Podemos ler assim: D é o conjunto formado por 2, 4, 6, 8, reticências, 
50. 
Neste caso, poderíamos representar o conjunto D listando todos os seus 
elementos. Mas, como D tem muitos elementos, em vez de listar todos eles, 
utilizamos as reticências para indicar todos os números inteiros pares que estão 
entre 8 e 50 (do 10 ao 48). 
As reticências podem ser usadas nos casos em que o conjunto tem 
muitos elementos e é possível compreender quais são os demais elementos a 
partir da representação de uma listagem parcial deles no conjunto. No caso do 
conjunto D, sabemos que cada número par, a partir do segundo elemento, pode 
ser obtido somando-se 2 ao anterior. Embora não nos preocupemos com uma 
ordem específica dos elementos na representação de um conjunto, quando 
utilizamos as reticências, essa ordenação é necessária aos elementos listados, 
para permitir a percepção da “regra” (ou “padrão”) que caracteriza os demais 
elementos. 
 
e) Conjunto dos números inteiros pares positivos: 
E={2,4,6,8,10,12, ...} 
Podemos ler assim: E é o conjunto formado por 2, 4, 6, 8, 10, 12, 
reticências. 
No conjunto E foram listados somente os primeiros números pares e as 
reticências indicam que há muitos números pares maiores que 12 que fazem 
parte do conjunto E. Nesse caso, diferentemente do anterior, não é possível 
representar todos os elementos por causa de sua “grande quantidade”. 
Observe que o conjunto F={2,4,6,8,10,12} é formado somente pelos 
elementos 2, 4, 6, 8, 10 e 12 (as reticências não aparecem!). Enquanto o 
conjunto E={2,4,6,8,10,12, ...} tem muito mais elementos que F; voltaremos à 
 
 
9 
essa diferenciação mais adiante. 
f) Conjunto dos números inteiros: ...,–2, –1, 0, 1, 2, 3,...} 
Podemos ler assim: é o conjunto formado por: reticências, -2, -1, 0, 1, 
2, 3, reticências. 
Observe que os números estão ordenados (do menor para o maior). 
Neste caso as reticências apareceram duas vezes no conjunto, indicando que há 
uma grande quantidade de números inteiros menores que -2 e também de 
números inteiros maiores que 3. 
 
Descrição da propriedade dos seus elementos: nessa representação os 
elementos do conjunto são descritos através da propriedade comum que os 
caracteriza. As chaves também são utilizadas nessa forma. Nessa representação 
temos um novo símbolo da lógica, a barra “|”, que significa “tal que”. Esse 
símbolo, na representação de um conjunto, separa a indicação de todo 
elemento e a propriedade que caracteriza os elementos do conjunto: 
 
 
 
Exemplos: 
a) M = {x | x é um número inteiro positivo ímpar} 
que se lê: M é o conjunto de todos os elementos x tal que x é um 
número inteiro positivo ímpar. 
b) N = {x | x é mês com exatamente 30 dias} 
que se lê: N é o conjunto de todos os elementos x tal que x é um mês 
com exatamente 30 dias. 
c) P = {x | x é capital da Bahia} 
que se lê: P é o conjunto de todos os elementos x tal que x é capital da 
Bahia. 
 
 
10 
 
Os conjuntos M, N e P também podem ser representados por meio da 
listagem dos seus elementos. Tente fazer isso! 
 
Diagrama de Venn: é uma forma muito utilizada para representar conjunto e 
ter boa visualização de relações entre conjuntos. A representação do conjunto é 
feita por uma região plana, limitada por uma curva fechada e simples. Os 
elementos são identificados na região plana interna à curva. Essa curva fechada 
pode ter qualquer formato sem auto intersecção. Indicamos a letra que 
representa o conjunto próximo a ele, na região externa. Vamos aos exemplos: 
a) A Figura 4 apresenta o conjunto M = {a,e,i,o,u} representado em 
Diagrama de Venn: 
Figura 4: Conjunto das vogais. 
 
 
 
 
 
 
 
b) Ao se lançar um dado normal de seis faces, e se observar a face de 
cima, podemos obter como resultado um dos valores do conjunto D, 
ilustrado na Figura 5: 
Figura 5: Conjunto das faces de um dado normal. 
 
 
 
 
 
 a
 
e
 
i 
o
 
u
 
M 
1 
2 
3 
4 
5 6 
D 
 
 
11 
Papo Técnico 
Qual é a melhor forma de se representar um conjunto? Entendemos que 
não há uma resposta definitiva para essa pergunta, ao se abordar um 
conjunto qualquer. Este e o próximo capítulo vão mostrar isso a você. Há 
momentos em que a listagem dos elementos entre chaves é suficiente 
para ilustrar um conjunto (como os números naturais, por exemplo), 
mas há conjuntos para os quais não é possível listar os seus elementos e 
a descrição da propriedade dos elementos se faz necessária. Também há 
situações em que o Diagrama de Venn nos ajudará a resolver algumas 
operações entre conjuntos, conforme ainda praticaremos. Assim como 
em outras linguagens e em diversos contextos, na teoria dos Conjuntos 
também há mais de uma maneira de se expressar. 
 
 
c) O conjunto R das grandes regiões brasileiras: 
Figura 6: Conjunto das regiões brasileiras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2 Relação de Pertinência 
 
Ao lidarmos com um conjunto, consideramos a possibilidade de observar 
se um determinado elemento pertence ou não a ele. Para estabelecer uma 
Norte 
Nordeste 
Centro-Oeste 
Sul 
Sudeste 
R 
 
 
12 
Atenção 
A relação de pertinência associa, necessariamente, um 
elemento e um conjunto, nesta ordem: 
“Elemento” “Conjunto” 
ou 
“Elemento” “Conjunto” 
 
relação entre elemento e conjunto utilizamos dois símbolos: 
 : pertence a 
 : não pertence a 
Para indicar que um elemento pertence ao conjunto , escrevemos: 
 , que se lê: pertence a . 
Para indicar que um elemento não pertence ao conjunto , 
escrevemos: 
 , que se lê: não pertence a . 
 
 
 
 
 
 
Veja os dois exemplos a seguir: 
a) Se A = {x | x é um estado brasileiro} então Paraná A, porém, Fortaleza 
 A. 
b) Se B = {y | y é torcedor da Seleção Brasileira} e o prof. Chico, que adora 
futebol, torce pela Seleção Brasileira, então prof. Chico B. 
 
Há íntima ligação entre o símbolo (pertence a) da Matemática e o “é” 
do verbo ser, da língua portuguesa. O verbo “ser”, segundo o dicionário Aurélio, 
liga o atributo ao sujeito. 
Logo, afirmar que: 
 
 
13 
DICA 
Caro(a) aluno(a), ao longo desta e das próximas Unidades de 
Aprendizagem, você perceberá que lhe forneceremos, ao longo 
do texto, sugestões para que você resolva, naquele momento, 
algum exercício do Momento da Verdade. É uma formade fazer o 
exercício no momento em que você acaba de ler alguns itens 
teóricos pertinentes a ele. É claro que é apenas uma sugestão, 
afinal o aluno pode optar por fazer toda a lista de exercícios 
quando terminar a leitura do capítulo. Você decide! 
 
“Maria é bonita”, matematicamente, corresponde a dizer que Maria é 
elemento do conjunto das pessoas bonitas, ou que Maria pertence ao conjunto 
das pessoas bonitas. Agora, preste muita atenção na dica a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste momento, por exemplo, você pode aproveitar e resolver o 
exercício n° 1 do Momento da Verdade, que se refere ao uso dos símbolos 
mencionados nos parágrafos anteriores. 
 
1.3 Igualdade de conjuntos 
 
 Dois conjuntos são iguais se, e somente se, possuem os mesmos 
elementos. Se dois conjuntos A e B são iguais indicamos A = B. Se A e B são 
diferentes, indicamos essa relação com a desigualdade A ≠ B. Estabelecemos 
como padrão representar cada elemento uma única vez no conjunto. 
Veja os exemplos: 
 
a) O conjunto J = {verde, amarelo, azul, branco} é igual ao conjunto K = 
{branco, amarelo, verde, azul}. Porém, o conjunto J é diferente do 
conjunto L = {verde, amarelo, azul, branco, vermelho}. 
 
 
14 
PAPO TÉCNICO 
Perceba uma definição que existe na literatura matemática, e que 
você deve ter observado nos exemplos anteriores: quando 
escrevemos explicitamente os elementos de um conjunto, a 
ordem dos elementos é indiferente (veja o exemplo (a)) e não se 
considera a repetição de um mesmo elemento (veja os exemplos 
(b) e (c)) 
 
Logo: J = K e J ≠ L. 
 
b) A = {x | x é letra da palavra SUSTENTABILIDADE} 
Assim, A = {S,U,S,T,E,N,T,A,B,I,L,I,D,A,D,E} é igual a B = 
{S,U,T,E,N,A,B,I,L,D}. 
 
Logo: A = B. 
 
c) R = {5,6,7,8} é igual a S = {5,6,7,8,8}. Temos, então, que R = S. 
 
d) Os conjuntos D = {2,4,6,8,10,12, ...} e E = {2,4,6,8,10,12} são 
diferentes pois não possuem os mesmos elementos. 
 
Logo: D E. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Será que você entendeu? Vá ao Momento da Verdade e resolva agora o 
exercício n° 2, que irá testar seu entendimento sobre a igualdade de conjuntos. 
 
 
 
15 
2. Conjuntos Finitos e Conjuntos Infinitos 
 
 2.1 Conjuntos Finitos e Conjuntos Infinitos 
 
 Você deve ter percebido nos exemplos anteriores que podemos ter 
conjuntos com um número finito de elementos. Observe nos exemplos os 
conjuntos que têm um número de elementos, inteiro não-negativo. 
 
O conjunto A = {Pedro, Mateus, Joana, Isabel} tem 4 elementos ( ). 
O conjunto B = {amora, nêspera, banana, limão} tem 4 elementos ( ). 
O conjunto C = {a,e,i,o,u} tem 5 elementos ( ). 
O conjunto F = {2,4,6,8,10,12} tem 6 elementos ( ). 
O conjunto N = {x | x é um mês com exatamente 30 dias} tem 4 elementos 
( ). 
O conjunto P = {x | x é capital da Bahia} tem 1 elemento ( ). 
 
 Conjuntos com número finito de elementos são chamados de 
Conjuntos Finitos. Dois conjuntos finitos especiais são: 
 
Conjunto Unitário: todo conjunto que possui somente um elemento. 
 
Exemplos: 
a) P = { x | x é capital da Bahia} 
b) Q = { x | x é número de CPF de uma determinada pessoa} 
 
Conjunto Vazio: é um conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é 
denotado pelo símbolo Ø ou por { }. 
 
Exemplos: 
 
 
16 
ATENÇÃO 
Se algum dia você prestar algum concurso público ou mesmo 
uma prova (teste ou dissertativa) para alguma instituição, tome 
cuidado na hora de escrever o conjunto vazio. As notações 
universais são Ø e { }, mas é muito comum o aluno escrever 
{Ø}. Na lógica da teoria que ora apresentamos, esse conjunto é 
um conjunto unitário, cujo único elemento é o conjunto vazio. 
Doido, não? 
 
a) R = { x | x é número par e ímpar} 
b) S = { x | x é número inteiro que satisfaz a equação x² = –9 } 
c) T = { x | x é mês do ano que, na língua portuguesa, começa com C } 
d) U = { x | x é televisão em quatro dimensões} 
e) V = { x | x é palavra da língua portuguesa que inicia com Ç} 
 
Em todos esses exemplos, não há elemento algum que satisfaça a 
condição dada. Para todos eles temos , ou seja, número de elementos 
igual a zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E também, podemos ter conjuntos com tantos elementos, que não é 
possível determinar finitamente seu número. São conjuntos que têm infinitos 
elementos. Os conjuntos D = {2,4,6,8,10,12, ...} e M = {x | x é um número 
inteiro positivo ímpar} têm infinitos elementos. Conjuntos com infinitos 
elementos são chamados de Conjuntos Infinitos. 
Entendeu? Então agora você pode testar seu entendimento através do 
Momento da Verdade. Vá até lá e faça os exercícios 3 e 4. Que tal? 
 
 
 
 
 
17 
ATENÇÃO 
A mesma explicação sobre a notação para o conjunto vazio vale 
também para os conjuntos que acabamos de mencionar. Ou seja, 
represente os números reais com o símbolo , e não com o 
símbolo { }. 
 
2.2 Conjuntos Numéricos 
 
Todos os números com os quais você lida no seu dia a dia para 
contagem, cálculos, medidas e medições, pertencem a importantes conjuntos 
infinitos que você já teve contato ao longo de sua vida escolar. São os seguintes 
Conjuntos Numéricos: 
Conjunto dos Números Naturais: 
Conjunto dos Números Inteiros: 
Conjunto dos Números Racionais: 
Conjunto dos Números Irracionais: 
Conjunto dos Números Reais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O estudo desses conjuntos será retomado com mais atenção, 
detalhamento e cuidado na Unidade de Aprendizagem 4 (UA 4). Você trabalhará 
bastante com alguns desses conjuntos também em outras disciplinas, uma vez 
que aplicações da Matemática serão estudadas em cálculos e conferências da 
Contabilidade, em processos e demonstrativos estatísticos, nas apreciações 
mercadológicas, em programas financeiros, em planejamentos e estudos 
econômicos e até mesmo na Informática, na qual a diferenciação entre 
números inteiros e números reais é importante, por exemplo, para empreender 
uma pesquisa de marketing ou pesquisa social. Nossa, parece que nos 
empolgamos... Voltaremos aos detalhes destes conjuntos no momento 
 
 
18 
DICA 
Veja que o número de elementos de um conjunto finito é 
sempre um número inteiro não-negativo. Esse conjunto pode 
conter números reais não inteiros, como o conjunto 
 
 
 
 , mas seu número de elementos é 4, ou 
seja, n(W) = 4. Perceba também que nesse conjunto separamos 
os elementos usando “ponto e vírgula”, para que não ficasse a 
possibilidade de se confundir a vírgula como separador dos 
elementos com a vírgula que usamos para separar a parte inteira 
da parte decimal de um número. 
oportuno, ok? Agora vamos apenas melhorar um pouco a notação para o 
número de elementos de um conjunto. 
 
2.3 Número de elementos de um conjunto 
 
Se um conjunto A é finito, indicaremos o número de elementos de A por 
n(A). O número de elementos de um conjunto também é conhecido por 
cardinalidade do conjunto. 
Exemplos: 
a) Se W = {a, b} então n(W) = 2 
b) Se C = {x, y, z} então n(C) = 3 
c) Se J =  então n(J) = n() = 0 
d) Se F = {x | x é satélite natural da Terra} então n(F) = 1, pois F = {Lua}. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
Se um conjunto B não é finito, então B tem infinitos elementos. O infinito 
é representado por meio do símbolo . Esse símbolo não representa um 
número, apenas indica que não é possível estabelecer um número total de 
elementos do conjunto ou explicitar todosos elementos de um conjunto devido 
à sua “grande quantidade”. 
É preciso observar que há conjuntos com grande quantidade de 
elementos que são aparentemente infinitos, porém, são finitos. 
Essa ideia é observada quando pensamos nas pessoas que habitam o 
planeta Terra. Existe um número finito de pessoas habitantes do nosso planeta 
que é determinado quando são realizados os censos demográficos. A 
Organização das Nações Unidas (ONU) divulgou em 2013 uma população 
mundial de 7,2 bilhões de pessoas; a estimativa é de que em 2050 a população 
atinja 9,6 bilhões. Portanto, continuará sendo finita. Recursos naturais do 
planeta, como água potável, existem em quantidade finita. O dinheiro no 
mundo também existe em uma quantia finita. Outros exemplos são: o conjunto 
dos sites disponíveis na internet, o conjunto dos grãos de areia de uma praia, o 
conjunto dos fios de cabelo numa cabeça, o conjunto de todas as árvores no 
estado de São Paulo, dentre outros. 
A questão dos conjuntos infinitos está relacionada ao fato de sempre 
existir um elemento do conjunto além daqueles que se é capaz de determinar 
finitamente, como nos casos dos Conjuntos Numéricos infinitos que citamos. 
Bem, achamos que você, agora que leu sobre tantas coisas conceituais 
em Matemática, esteja um pouco cansado(a). Como atividade de relaxamento, 
propomos a você o último exercício do Momento da Verdade, o de número 5. 
 
 
 
20 
 
 
ANTENA PARABÓLICA 
 
 
Em determinado momento deste texto, chegamos a nos empolgar no 
assunto que engloba a diferença entre números inteiros ...,–2, –1, 0, 1, 2, 
3,...} e os números reais (que além desses incluem, por exemplo, os decimais 
0,673 e –2,3333..., e os famosos irracionais = 1,4142... e 
Mas por que dissemos que a clareza nessa diferenciação pode ser importante 
para pesquisadores e informatas? 
Observe as duas perguntas a seguir, que podem fazer parte de um 
questionário maior, visando à identificação do perfil de consumo de 
determinados produtos ou mesmo uma análise mais profunda de uma pesquisa 
social ou de marketing, que procura analisar o nível socioeconômico de um 
bairro ou cidade, por exemplo. 
 
1. Quantos banheiros possui a casa em que você habita? 
 1 
 2 
 3 
 4 
 5 
 Mais que 5 
 
 
 
 
 
21 
2. Dentre as opções a seguir, assinale a alternativa que melhor representa o 
valor da renda familiar do seu domicílio: 
 Até R$ 500,00; 
 Acima de R$ 500,00 e no máximo R$ 1.000,00; 
 Acima de R$ 1.000,00 e no máximo R$ 2.000,00; 
 Acima de R$ 2.000,00 e no máximo R$ 3.000,00; 
 Acima de R$ 3.000,00 e no máximo R$ 5.000,00; 
 Acima de R$ 5.000,00 e no máximo R$ 8.000,00; 
 Acima de R$ 8.000,00. 
 
Perceba, nesses exemplos, que a questão 1 foi programada para oferecer 
ao respondente somente alternativas que possuem números inteiros (podemos 
fazer piadas e dizer que minha casa tem “um banheiro e meio”, mas na prática 
isso não se sustenta: há um ou dois banheiros, funcionando ou não). 
Já a questão 2 indica que o valor que o respondente pode estimar para a 
renda é um número real: se sua renda for R$ 1.427,78 ele assinalará a 3ª 
alternativa. 
Porém, esses exemplos foram indicados com alternativas, e o 
respondente pode, apenas com um clique do mouse, optar por uma delas. Mas 
a pesquisa poderia ser apresentada de forma que esse respondente digitasse o 
número que melhor se aproximasse de sua realidade. Veja como isso pode ser 
disponibilizado num site: 
1. Escreva quantos banheiros possui a casa em que você habita. 
 
2. Escreva o valor da renda familiar do seu domicílio. 
 
Nessas “caixas” de digitação, o informata deve programar, para a 1ª 
pergunta, apenas a possibilidade do respondente digitar um número inteiro. 
Caso esse respondente digite 1,6 para o número de banheiros, ele deve 
 
 
22 
programar o software para não aceitar essa resposta (ou seja, “receber” apenas 
números inteiros), ou ainda fazer um arredondamento: 1,6  2. Claro que a 
viabilidade desse procedimento depende muito da pesquisa, e você também 
deve estar se perguntando: por que o número de banheiros de uma residência 
poderia servir para uma pesquisa social? Não daremos agora a resposta a essa 
pergunta, mas você pode refletir sobre isso e exercitar sua observação. 
Voltaremos a essa questão oportunamente, nas aulas de função. 
Finalizando, perceba que na 2ª questão não há a necessidade de se 
digitar um número inteiro; para receber esse número digitado pelo usuário em 
condições de não haver mensagens de erro, o informata responsável deve 
programar o software para receber um número real com duas casas decimais. 
 
Glossário 
 
Cardinalidade do conjunto: número de elementos do conjunto. 
Conjunto: coleção de objetos. 
Conjunto finito: conjunto que possui número finito de elementos. 
Conjunto infinito: conjunto que possui infinitos elementos. 
Diagrama de Venn: forma de representar um conjunto, caracterizada por 
uma região plana, limitada por uma curva fechada e simples. 
Elemento: cada objeto pertencente a um conjunto. 
Modelo matemático: representação de um problema ou situação da 
realidade numa forma matemática. Por meio da solução e interpretação de uma 
questão no formato e na linguagem matemática, obtém-se a solução na 
linguagem do mundo real. 
Relação de Pertinência: relação entre elemento e conjunto. Indica se um 
determinado elemento pertence ou não a um determinado conjunto. 
 
 
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Símbolos Matemáticos: 
= : igual 
≠ : diferente 
| : tal que 
{ ....... } : chaves 
 : pertence a 
 : não pertence a 
∞: infinito 
 ou { } : conjunto vazio 
 : Conjunto dos Números Naturais 
 : Conjunto dos Números Inteiros 
 : Conjunto dos Números Racionais 
 : Conjunto dos Números Irracionais 
 : Conjunto dos Números Reais 
 
E agora José? 
Nesta aula você aprendeu os conceitos básicos de Conjuntos e as 
relações de pertinência que irá aplicar praticamente em todas as áreas da 
Matemática daqui para frente. Corresponde a você ter aprendido os conceitos 
intuitivos sobre Conjuntos, bem como a linguagem mais formal que envolve 
esse assunto. 
Não deixe de verificar as atividades pertinentes a esta aula; se você 
ainda não trabalhou com o Momento da Verdade, faça agora mesmo! 
Nas próximas aulas você aprenderá como aplicar os conhecimentos 
adquiridos nas relações entre dois ou mais conjuntos e todas as suas 
implicações no seu cotidiano. 
 
 
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Referências 
 
 
GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da 
Computação – Um tratamento moderno de Matemática Discreta. 5 ed. Rio de 
Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2004. 
De Maio, Waldemar. O Raciocínio Lógico-Matemático, sua estrutura 
neurofisiológica. São Paulo: Arte e Ciência,2004. 
De Maio, Waldemar. Estruturas Algébricas e Matemática Discreta. Rio de 
Janeiro: LTC, 2009. 
http://www.onu.org.br/populacao-mundial-deve-atingir-96-bilhoes-em-2050-
diz-novo-relatorio-da-onu/ Disponível em 02 de setembro de 2013.