05 Matematica

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. 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BNB 
Analista Bancário 1 
 
1 Números reais: operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, radiciação e potenciação); 
expressões numéricas; múltiplos e divisores; máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum; 
problemas. ............................................................................................................................................... 1 
2 Proporcionalidade: razões e proporções; divisão em partes diretamente e inversamente 
proporcionais; médias aritmética, geométrica e ponderada; regras de três simples e composta; 
porcentagem; e problemas. .................................................................................................................... 20 
3 Funções, equações e inequações de 1º e de 2º graus, exponenciais e logarítmicas: conceito, 
representação gráfica, problemas. ......................................................................................................... 70 
4 Sistemas lineares. ......................................................................................................................... 140 
5 Análise combinatória e probabilidade: princípios fundamentais de contagem, arranjos, permutações, 
combinações, binômio de Newton, cálculo de probabilidades. ............................................................. 153 
6 Matemática financeira. 6.1 Juros simples e compostos: capitalização e descontos. ..................... 176 
6.2 Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, real e aparente. ......................... 189 
6.3 Planos ou sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos. .................................... 193 
6.4 Cálculo financeiro: custo real efetivo de operações de financiamento, empréstimo e investimento. 
6.5 Taxas de retorno. ........................................................................................................................... 203 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Bons estudos! 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
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Caro(a) candidato(a), antes de iniciar nosso estudo, queremos nos colocar à sua disposição, durante 
todo o prazo do concurso para auxiliá-lo em suas dúvidas e receber suas sugestões. Muito zelo e técnica 
foram empregados na edição desta obra. No entanto, podem ocorrer erros de digitação ou dúvida 
conceitual. Em qualquer situação, solicitamos a comunicação ao nosso serviço de atendimento ao cliente 
para que possamos esclarecê-lo. Entre em contato conosco pelo e-mail: professores@maxieduca.com.br 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS - R 
 
O conjunto dos números reais1 R é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba 
não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais. 
Assim temos: 
 
R = Q U I , sendo Q ∩ I = Ø ( Se um número real é racional, não será irracional, e vice-versa). 
 
Lembrando que N Ϲ Z Ϲ Q , podemos construir o diagrama abaixo: 
 
 
O conjunto dos números reais apresenta outros subconjuntos importantes: 
- Conjunto dos números reais não nulos: R* = {x ϵ R| x ≠ 0} 
- Conjunto dos números reais não negativos: R+ = {x ϵ R| x ≥ 0} 
- Conjunto dos números reais positivos: R*+ = {x ϵ R| x > 0} 
- Conjunto dos números reais não positivos: R- = {x ϵ R| x ≤ 0} 
- Conjunto dos números reais negativos: R*- = {x ϵ R| x < 0} 
 
Representação Geométrica dos números reais 
 
 
 
Ordenação dos números reais 
 
A representação dos números reais permite definir uma relação de ordem entre eles. Os números reais 
positivos, são maiores que zero e os negativos, menores que zero. Expressamos a relação de ordem da 
seguinte maneira: 
Dados dois números Reais a e b, 
 
a ≤ b ↔ b – a ≥ 0 
 
Exemplo: -15 ≤ 5 ↔ 5 - ( - 15) ≥ 0 
 5 + 15 ≥ 0 
 
1IEZZI, Gelson – Matemática - Volume Único 
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática Elementar – Vol. 01 – Conjuntos e Funções 
1 Números reais: operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, 
radiciação e potenciação); expressões numéricas; múltiplos e divisores; máximo 
divisor comum e mínimo múltiplo comum; problemas. 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
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Intervalos reais 
 
O conjunto dos números reais possui também subconjuntos, denominados intervalos, que são 
determinados por meio de desiguladades. Sejam os números a e b , com a < b. 
 
Em termos gerais temos: 
- A bolinha aberta = a intervalo aberto (estamos excluindo aquele número), utilizamos os símbolos: 
 
> ;< ou ] ; [ 
 
- A bolinha fechada = a intervalo fechado (estamos incluindo aquele número), utilizamos os símbolos: 
≥ ; ≤ ou [ ; ] 
 
Podemos utilizar ( ) no lugar dos [ ] , para indicar as extremidades abertas dos intervalos. 
 
 
 
Às vezes, aparecem situações em que é necessário registrar numericamente variações de valores em 
sentidos opostos, ou seja, maiores ou acima de zero (positivos), como as medidas de temperatura ou 
reais em débito, em haver e etc. Esses números, que se estendem indefinidamente, tanto para o lado 
direito (positivos) como para o lado esquerdo (negativos), são chamados números relativos. 
 
Valor absoluto de um número relativo é o valor do número que faz parte de sua representação, sem o 
sinal. 
 
Valor simétrico de um número é o mesmo numeral, diferindo apenas o sinal. 
 
Operações com números relativos 
 
1) Adição e subtração de números relativos 
a) Se os numerais possuem o mesmo sinal, basta adicionar os valores absolutos e conservar o sinal. 
b) Se os numerais possuem sinais diferentes, subtrai-se o numeral de menor valor e dá-se o sinal do 
maior numeral. 
Exemplos: 
3 + 5 = 8 
4 - 8 = - 4 
- 6 - 4 = - 10 
- 2 + 7 = 5 
 
2) Multiplicação e divisão de números relativos 
a) O produto e o quociente de dois números relativos de mesmo sinal são sempre positivos. 
b) O produto e o quociente de dois números relativos de sinais diferentes são sempre negativos. 
Exemplos: 
- 3 x 8 = - 24 
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. 3 
- 20 (-4) = + 5 
- 6 x (-7) = + 42 
28 2 = 14 
 
Questões 
 
01. (EBSERH/ HUPAA – UFAL – Analista Administrativo – Administração – IDECAN) Mário 
começou a praticar um novo jogo que adquiriu para seu videogame. Considere que a cada partida ele 
conseguiu melhorar sua pontuação, equivalendo sempre a 15 pontos a menos que o dobro marcado na 
partida anterior. Se na quinta partida ele marcou 3.791 pontos, então, a soma dos algarismos da 
quantidade de pontos adquiridos na primeira partida foi igual a 
(A) 4. 
(B) 5. 
(C) 7. 
(D) 8. 
(E) 10. 
 
02. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES) Considere m um número 
real menor que 20 e avalie as afirmações I, II e III: 
I- (20 – m) é um número menor que 20. 
II- (20 m) é um número maior que 20. 
III- (20 m) é um número menor que 20. 
É correto afirmar que: 
(A) I, II e III são verdadeiras. 
(B) apenas I e II são verdadeiras. 
(C) I, II e III são falsas. 
(D) apenas II e III são falsas. 
 
03. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor deMatemática – CAIPIMES) Na figura abaixo, o ponto 
que melhor representa a diferença 
3
4
−
1
2
 na reta dos números reais é: 
 
(A) P. 
(B) Q. 
(C) R. 
(D) S. 
 
04. (TJ/PR - Técnico Judiciário – TJ/PR) Uma caixa contém certa quantidade de lâmpadas. Ao retirá-
las de 3 em 3 ou de 5 em 5, sobram 2 lâmpadas na caixa. 
Entretanto, se as lâmpadas forem removidas de 7 em 7, sobrará uma única lâmpada. Assinale a 
alternativa correspondente à quantidade de lâmpadas que há na caixa, sabendo que esta comporta um 
máximo de 100 lâmpadas. 
(A) 36. 
(B) 57. 
(C) 78. 
(D) 92. 
 
05. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo – VUNESP) Para ir de sua casa à escola, 
Zeca percorre uma distância igual a 
3
4
 da distância percorrida na volta, que é feita por um trajeto diferente. 
Se a distância percorrida por Zeca para ir de sua casa à escola e dela voltar é igual a 
7
5
 de um quilômetro, 
então a distância percorrida por Zeca na ida de sua casa à escola corresponde, de um quilômetro, a 
(A) 
2
3
 
 
(B) 
3
4
 
 
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. 4 
(C) 
1
2
 
 
(D) 
4
5
 
 
(E) 
3
5
 
 
06. (TJ/SP - Auxiliar de Saúde Judiciário - Auxiliar em Saúde Bucal – VUNESP) Para numerar as 
páginas de um livro, uma impressora gasta 0,001 mL por cada algarismo impresso. Por exemplo, para 
numerar as páginas 7, 58 e 290 gasta-se, respectivamente, 0,001 mL, 0,002 mL e 0,003 mL de tinta. O 
total de tinta que será gasto para numerar da página 1 até a página 1 000 de um livro, em mL, será 
(A) 1,111. 
(B) 2,003. 
(C) 2,893. 
(D) 1,003. 
(E) 2,561. 
 
07. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Um funcionário de uma empresa 
deve executar uma tarefa em 4 semanas. Esse funcionário executou 3/8 da tarefa na 1a semana. Na 2 a 
semana, ele executou 1/3 do que havia executado na 1a semana. Na 3a e 4a semanas, o funcionário 
termina a execução da tarefa e verifica que na 3a semana executou o dobro do que havia executado na 
4 a semana. Sendo assim, a fração de toda a tarefa que esse funcionário executou na 4ª semana é igual 
a 
(A) 5/16. 
(B) 1/6. 
(C) 8/24. 
(D)1/ 4. 
(E) 2/5. 
 
08. (CODAR – Coletor de lixo reciclável – EXATUS/2016) Numa divisão com números inteiros, o 
resto vale 5, o divisor é igual ao resto somado a 3 unidades e o quociente é igual ao dobro do divisor. 
Assim, é correto afirmar que o valor do dividendo é igual a: 
(A) 145. 
(B) 133. 
(C) 127. 
(D) 118. 
 
09. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC) Quatro números inteiros serão sorteados. 
Se o número sorteado for par, ele deve ser dividido por 2 e ao quociente deve ser acrescido 17. Se o 
número sorteado for ímpar, ele deve ser dividido por seu maior divisor e do quociente deve ser subtraído 
15. Após esse procedimento, os quatro resultados obtidos deverão ser somados. Sabendo que os 
números sorteados foram 40, 35, 66 e 27, a soma obtida ao final é igual a 
(A) 87. 
(B) 59. 
(C) 28. 
(D) 65. 
(E) 63. 
 
10. (UNESP – Assistente de Informática I – VUNESP) O valor de uma aposta em certa loteria foi 
repartido em cotas iguais. Sabe-se que a terça parte das cotas foi dividida igualmente entre Alex e Breno, 
que Carlos ficou com a quarta parte das cotas, e que Denis ficou com as 5 cotas restantes. Essa aposta 
foi premiada com um determinado valor, que foi repartido entre eles de forma diretamente proporcional 
ao número de cotas de cada um. Dessa forma, se Breno recebeu R$ 62.000,00, então Carlos recebeu 
(A) R$ 74.000,00. 
(B) R$ 93.000,00. 
(C) R$ 98.000,00. 
(D) R$ 102.000,00. 
(E) R$ 106.000,00. 
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. 5 
Comentários 
 
01. Alternativa: D. 
Pontuação atual = 2 . partida anterior – 15 
* 4ª partida: 3791 = 2.x – 15 
2.x = 3791 + 15 
x = 3806 / 2 
x = 1903 
 
* 3ª partida: 1903 = 2.x – 15 
2.x = 1903 + 15 
x = 1918 / 2 
x = 959 
 
* 2ª partida: 959 = 2.x – 15 
2.x = 959 + 15 
x = 974 / 2 
x = 487 
* 1ª partida: 487 = 2.x – 15 
2.x = 487 + 15 
x = 502 / 2 
x = 251 
Portanto, a soma dos algarismos da 1ª partida é 2 + 5 + 1 = 8. 
 
02. Alternativa: C. 
I. Falso, pois m é Real e pode ser negativo. 
II. Falso, pois m é Real e pode ser negativo. 
III. Falso, pois m é Real e pode ser positivo. 
 
03. Alternativa: A. 
3
4
−
1
2
= 
3 − 2
4
= 
1
4
= 0,25 
 
04. Alternativa: D. 
Vamos chamar as retiradas de r, s e w: e de T o total de lâmpadas. 
Precisamos calcular os múltiplos de 3, 5 e de 7, separando um múltiplo menor do que 100 que sirva 
nas três equações abaixo: 
De 3 em 3: 3 . r + 2 = Total 
De 5 em 5: 5 . s + 2 = Total 
De 7 em 7: 7 . w + 1 = Total 
Primeiramente, vamos calcular o valor de w, sem que o total ultrapasse 100: 
7 . 14 + 1 = 99, mas 3 . r + 2 = 99 vai dar que r = 32,333... (não convém) 
7 . 13 + 1 = 92, e 3 . r + 2 = 92 vai dar r = 30 e 5 . s + 2 = 92 vai dar s = 18. 
 
05. Alternativa: E. 
Ida + volta = 7/5 . 1 
3
4
 . 𝑥 + 𝑥 =
7
5
 
 
5.3𝑥+ 20𝑥=7.4
20
 
 
15𝑥 + 20𝑥 = 28 
35𝑥 = 28 
 
𝑥 =
28
35
 (: 7/7) 
 
𝑥 =
4
5
 (volta) 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 6 
Ida: 
3
4
 .
4
5
= 
3
5
 
 
06. Alternativa: C. 
1 a 9 = 9 algarismos = 0,0019 = 0,009 ml 
De 10 a 99, temos que saber quantos números tem. 
99 – 10 + 1 = 90. 
OBS: soma 1, pois quanto subtraímos exclui-se o primeiro número. 
90 números de 2 algarismos: 0,00290 = 0,18ml 
De 100 a 999 
999 – 100 + 1 = 900 números 
9000,003 = 2,7 ml 
1000 = 0,004ml 
Somando: 0,009 + 0,18 + 2,7 + 0,004 = 2,893 
 
07. Alternativa: B. 
Tarefa: x 
Primeira semana: 3/8x 
2 semana:
1
3
∙
3
8
𝑥 =
1
8
𝑥 
1ª e 2ª semana:
3
8
𝑥 +
1
8
𝑥 =
4
8
𝑥 =
1
2
𝑥 
Na 3ª e 4ª semana devem ser feito a outra metade. 
3ªsemana: 2y 
4ª semana: y 
 2𝑦 + 𝑦 =
1
2
𝑥 
 3𝑦 =
1
2
𝑥 
 𝑦 =
1
6
𝑥 
 
08. Alternativa: B. 
Tendo D = dividendo; d = divisor; Q = quociente e R = resto, podemos escrever essa divisão como: 
D = d.Q + R 
Sabemos que o R = 5 
O divisor é o R + 3 → d = R + 3 = 5 + 3 = 8 
E o quociente o dobro do divisor → Q = 2d = 2.8 = 16 
Montando temos: D = 8.16 + 5 = 128 + 5 = 133. 
 
09. Alternativa: B. 
* número 40: é par. 
40 / 2 + 17 = 20 + 17 = 37 
* número 35: é ímpar. 
Seu maior divisor é 35. 
35 / 35 – 15 = 1 – 15 = – 14 
* número 66: é par. 
66 / 2 + 17 = 33 + 17 = 50 
* número 27: é ímpar. 
Seu maior divisor é 27. 
27 / 27 – 15 = 1 – 15 = – 14 
* Por fim, vamos somar os resultados: 
37 – 14 + 50 – 14 = 87 – 28 = 59 
 
10. Alternativa: B. 
Vamos chamar o valor de cada cota de ( x ). Assim: 
* Breno: 
𝟏
𝟐
 .
𝟏
𝟑
 . 𝒙 = 𝟔𝟐𝟎𝟎𝟎 
 
𝟏
𝟔
 . 𝒙 = 𝟔𝟐𝟎𝟎𝟎 
 
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. 7 
x = 62000 . 6 
x = R$ 372000,00 
* Carlos: 
 
𝟏
𝟒
 . 𝟑𝟕𝟐𝟎𝟎𝟎 = 𝑹$ 𝟗𝟑𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
 
EXPRESSÕES NUMÉRICAS 
 
Expressões numéricas2 são sentenças matemáticas formadas por números, suas operações (adições, 
subtrações, multiplicações, divisões, potenciações e radiciações) e também por símbolos chamados de 
sinais de associação, que podem aparecer em uma única expressão. 
 
Para resolvermos, é necessário estarmos atentos a alguns procedimentos: 
 
1º) Nas expressões que aparecem as operações numéricas, devemos resolver as potenciações e/ou 
radiciações primeiramente, na ordem que elas aparecem e somente depois as multiplicações e/ou 
divisões (na ordem que aparecem) e por último as adições e subtrações em qualquer ordem. 
Exemplos 
A) 10 + 12 – 6 + 7→ primeiro resolvemos a adição e subtração em qualquer ordem 
22 – 6 +7 
16 + 7 
23 
 
B) 15 x 2 – 30 ÷ 3 + 7 → primeiro resolveremos a multiplicação e a divisão. 
30 – 10 + 7 → Agora resolveremos a adição e subtração, em qualquer ordem. 
27 
 
2º) Quando aparecem os sinais de associações os mesmos tem uma ordem a ser seguida. Primeiro, 
resolvemos os parênteses ( ), quando acabarem os cálculos dentro dos parênteses, resolvemos os 
colchetes [ ]; e quando não houver mais o que calcular dentro dos colchetes, resolvemos as chaves { }. 
 
→ Quando o sinal de adição (+) anteceder um parêntese, colchetes ou chaves, deveremos eliminar o 
parêntese, o colchete ou chaves, na ordem de resolução, reescrevendo os números internos com o seus 
sinais originais. 
→ Quando o sinal de subtração (-) anteceder um parêntese, colchetes ou chaves, deveremos eliminar 
o parêntese, o colchete ou chaves, na ordem de resolução, reescrevendo os números internos com o 
seus sinais invertidos. 
 
Exemplos 
A) {100 – 413 x (20 – 5 x 4) + 25} : 5 → Inicialmente devemos resolver os parênteses, mas como 
dentro dos parênteses há subtração e multiplicação, vamos resolver a multiplicação primeiro, em seguida, 
resolvemos a subtração. 
{100 – 413 x (20 – 5 x 4) + 25} : 5 
{100 – 413 x (20 – 20) + 25} : 5 
{100 – 413 x 0 + 25} : 5 
Eliminado os parênteses, vamos resolver as chaves, efetuando as operações seguindo a ordem. 
{100 – 413 x 0 + 25} : 5 
{100 – 0 + 25} : 5 
{100 + 25} : 5 
125 : 5 
25 
 
B) – 62 : (– 5 + 3) – [– 2 . (– 1 + 3 – 1)² – 16 : (– 1 + 3)²] → elimine os parênteses. 
– 62 : (– 2) – [– 2 . (2 – 1)² – 16 : 2²] → continue eliminando os parênteses. 
– 62 : (– 2) – [– 2 . 1 – 16 : 2²] → resolva as potências dentro do colchetes. 
– 62 : (– 2) – [– 2 . 1 – 16 : 4] → resolva as operações de multiplicação e divisão nos colchetes. 
– 62 : (– 2) – [– 2 – 4] = 
 
2http://quimsigaud.tripod.com/expnumericas 
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. 8 
– 62 : (– 2) – [– 6] = elimine o colchete. 
– 62 : (– 2) + 6 = efetue a divisão. 
31 + 6 = 37 
 
C) [(5² - 6.2²).3 + (13 – 7)² : 3] : 5 
[(25 – 6.4).3 + 6² : 3] : 5 = 
[(25 – 24).3 + 36 : 3 ] : 5 = 
[1.3 + 12] : 5 = 
[3 + 12 ] : 5 = 
15 : 5 = 3 
 
D) [(𝟏𝟎 − √𝟏𝟐𝟓
𝟑
)𝟐 + (𝟑 + 𝟐𝟑: 𝟒)]𝟐 
[(10 - 5)2 + (3 + 8 : 4)]2 
[5² + (3+2)]2 
[25 + 5]2 
302 
900 
 
Expressões Numéricas com Frações 
A ordem das operações para se resolver uma expressão numérica com fração, são as mesmas para 
expressões numéricas com números inteiros. Você também precisará dominar as principais operações 
com frações: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Um ponto que deve ser 
levado em conta é o m.m.c (mínimo múltiplo comum) entre os denominadores das frações, através da 
fatoração numérica. 
Exemplos 
1) Qual o valor da expressão abaixo? 
(
1
2
)
3
+
1
2
.
3
4
 
 
A) 7/16 
B) 13/24 
C) 1/2 
D) 21/24 
Resolvendo temos: 
 
1º passo resolver as operações entre parênteses, depois a multiplicação: 
 
1
8
+
3
8
, 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 é 𝑜 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑜, 
 
𝑒𝑓𝑒𝑡𝑢𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑎𝑑𝑖çã𝑜: 
4
8
, 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟:
1
2
 
 
Resposta: C 
 
2) O resultado da expressão 3.
9
4
− {[(
2
3
)
2
+ 2] : √
4
9
}, em sua forma mais simples é: 
A) 6/37 
B) 37/12 
C) 27/4 
D) 22/6 
Resolvendo: 
Vamos resolver a multiplicação do início, a potenciação que está entre parênteses e a radiciação do 
final: 
27
4
− {[
4
9
+ 2] :
2
3
}, 
 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 9 
Na sequência vamos resolver a operação entre colchetes: 
 
27
4
− {[
4 + 18
9
] :
2
3
} , 𝑜 𝑚𝑚𝑐 é 9, 
𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎 𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑢𝑎𝑟 𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑎: 
27
4
− {[
22
9
] :
2
3
} 
 
𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠ã𝑜, 𝑡𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠: 
27
4
− {
22
9
.
3
2
}, 
 
Lembrando que na divisão com frações conservamos a 1ª fração e multiplicamos pelo inverso da 2ª, 
podemos também simplificar o resultado: 
27
4
− {
11
3
}. 
 
27
4
−
11
3
, 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑚𝑚𝑐(4,3) = 12, 
 
 
3.27 − 4.11
12
=
81 − 44
12
=
37
12
 
 
Resposta: B. 
 
Questões 
 
01. (MANAUSPREV – Analista Previdenciário – Administrativa – FCC) Considere as expressões 
numéricas, abaixo. 
 
 A = 1/2 + 1/4+ 1/8 + 1/16 + 1/32 e B = 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243 
 
O valor, aproximado, da soma entre A e B é 
(A) 2 
(B) 3 
(C) 1 
(D) 2,5 
(E) 1,5 
 
02. (Pref. de Itabaiana/SE – Técnico em Contabilidade – CONSULPLAN) Qual das expressões 
numéricas a seguir apresenta resultado correto? 
(A) 30 – 10 x 2 + 4 x 6 = 84 
(B) 30 – 10 x 2 + 4 x 6 = 264 
(C) 30 – 10 x 2 + 4 x 6 = 34 
(D) 30 – 10 x 2 + 4 x 6 = 64 
(E) 30 – 10 x 2 + 4 x 6 = 720 
 
03. (Pref. de Tramandaí/RS – Auxiliar Legislativo – OBJETIVA) Dadas as três expressões 
numéricas abaixo, é CORRETO afirmar que: 
(a) 2 + [(5 - 3) + 4] x 2 + 3 
(b) 13 - [5 x (2 - 1) + 4 x 2] 
(c) 6 + 4 x 2 x (5 - 1) - 7 
 
(A) b < a < c 
(B) a < b < c 
(C) c < a < b 
(D) c < b < a 
(E) a < c < b 
 
 
 
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. 10 
Comentários 
 
01. Resposta: E 
 
02. Resposta: C 
 
30 – 10 x 2 + 4 x 6 = 
30 – 20 + 24 = 
10+ 24 = 34 
 
03. Resposta: A 
2 + [(5 - 3) + 4] x 2 + 3 
2 + [2 + 4]x2 + 3 
2 + 12 + 3 = 17 
 
13 - [5 x (2 - 1) + 4 x 2] 
13 – [5x1 + 4x2] 
13 – [5 + 8] 
13 – 13 = 0 
 
6 + 4 x 2 x (5 - 1) - 7 
6 + 4 x 2 x 4 – 7 
6 + 32 – 7 = 31 
Assim 0 < 17 < 31. 
b < a < c. 
 
MÚLTIPLOS E DIVISORES 
 
Sabemos que 30 : 6 = 5, porque 5 x 6 = 30. 
Podemos dizer então que: 
 
“30 é divisível por 6 porque existe um número natural (5) que multiplicado por 6 dá como resultado 30.” 
Um número natural a é divisível por um número natural b, não-nulo, se existir um número natural c, tal 
que c . b = a. 
Ainda com relação ao exemplo 30 : 6 = 5, temos que: 
30 é múltiplo de 6, e 6 é divisor de 30. 
 
Conjunto dos múltiplos de um número natural: É obtido multiplicando-se esse número pela 
sucessão dos números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... 
Para acharmos o conjunto dos múltiplos de 7, por exemplo, multiplicamos por 7 cada um dos números 
da sucessão dos naturais: 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 11 
 
 
O conjunto formado pelos resultados encontrados forma o conjunto dos múltiplos de 7: M(7) = {0, 7, 
14, 21, 28,...}. 
 
Observações: 
- Todo número natural é múltiplo de si mesmo. 
- Todo número natural é múltiplo de 1. 
- Todo número natural, diferente de zero, tem infinitos múltiplos. 
- O zero é múltiplo de qualquer número natural. 
- Os múltiplos do número 2 são chamados de números pares, e a fórmula geral desses números é 2k 
(k

N). Os demais são chamados de números ímpares, e a fórmula geral desses números é 2k + 1 (k

 
N). 
O mesmo se aplica para os números inteiros, tendo k

 Z. 
 
Critérios de divisibilidade 
São regras práticas que nos possibilitam dizer se um número é ou não divisível por outro, sem 
efetuarmos a divisão. 
 
Divisibilidade por 2: Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, ou seja, quando 
ele é par. 
 
Exemplos 
a) 9656 é divisível por 2, pois termina em 6, e é par. 
b) 4321 não é divisível por 2, pois termina em 1, e não é par. 
 
Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus 
algarismos é divisível por 3. 
 
Exemplos 
a) 65385 é divisível por 3, pois 6 + 5 + 3 + 8 + 5 = 27, e 27 é divisível por 3. 
b) 15443 não é divisível por 3, pois 1+ 5 + 4 + 4 + 3 = 17, e 17 não é divisível por 3. 
 
Divisibilidadepor 4: Um número é divisível por 4 quando seus dois algarismos são 00 ou formam um 
número divisível por 4. 
 
Exemplos 
a) 536400 é divisível por 4, pois termina em 00. 
b) 653524 é divisível por 4, pois termina em 24, e 24 é divisível por 4. 
c) 76315 não é divisível por 4, pois termina em 15, e 15 não é divisível por 4. 
 
Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5. 
 
Exemplos 
a) 35040 é divisível por 5, pois termina em 0. 
b) 7235 é divisível por 5, pois termina em 5. 
c) 6324 não é divisível por 5, pois termina em 4. 
 
Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. 
 
Exemplos 
a) 430254 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3 (4 + 3 + 0 + 2 + 5 + 4 = 18). 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 12 
b) 80530 não é divisível por 6, pois não é divisível por 3 (8 + 0 + 5 + 3 + 0 = 16). 
c) 531561 não é divisível por 6, pois não é divisível por 2. 
 
Divisibilidade por 7: Um número é divisível por 7 quando o último algarismo do número, multiplicado 
por 2, subtraído do número sem o algarismo, resulta em um número múltiplo de 7. Neste, o processo será 
repetido a fim de diminuir a quantidade de algarismos a serem analisados quanto à divisibilidade por 7. 
 
Exemplo 
41909 é divisível por 7 conforme podemos conferir: 9.2 = 18 ; 4190 – 18 = 4172 → 2.2 = 4 ; 417 – 4 = 
413 → 3.2 = 6 ; 41 – 6 = 35 ; 35 é multiplo de 7. 
 
Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos forem 000 ou 
formarem um número divisível por 8. 
 
Exemplos 
a) 57000 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos são 000. 
b) 67024 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos formam o número 24, que é divisível por 
8. 
c) 34125 não é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos formam o número 125, que não é 
divisível por 8. 
 
Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus 
algarismos formam um número divisível por 9. 
 
Exemplos 
a) 6253461 é divisível por 9, pois 6 + 2 + 5 + 3 + 4 + 6 + 1 = 27 é divisível por 9. 
b) 325103 não é divisível por 9, pois 3 + 2 + 5 + 1 + 0 + 3 = 14 não é divisível por 9. 
 
Divisibilidade por 10: Um número é divisível por 10 quando seu algarismo da unidade termina em 
zero. 
 
Exemplos 
a) 563040 é divisível por 10, pois termina em zero. 
b) 246321 não é divisível por 10, pois não termina em zero. 
 
Divisibilidade por 11: Um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos algarismos 
de posição ímpar e a soma dos algarismos de posição par resulta em um número divisível por 11 ou 
quando essas somas forem iguais. 
 
Exemplos 
 - 43813: 
a) 1º 3º 5º  Algarismos de posição ímpar.(Soma dos algarismos de posição impar: 4 + 8 + 3 = 
15.) 
4 3 8 1 3 
 2º 4º  Algarismos de posição par. (Soma dos algarismos de posição par:3 + 1 = 4) 
 
15 – 4 = 11  diferença divisível por 11. Logo 43813 é divisível por 11. 
 
-83415721: 
b) 1º 3º 5º 7º  (Soma dos algarismos de posição ímpar:8 + 4 + 5 + 2 = 19) 
 8 3 4 1 5 7 2 1 
 2º 4º 6º 8º  (Soma dos algarismos de posição par:3 + 1 + 7 + 1 = 12) 
 
19 – 12 = 7  diferença que não é divisível por 11. Logo 83415721 não é divisível por 11. 
 
Divisibilidade por 12: Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4 ao mesmo tempo. 
 
Exemplos 
a) 78324 é divisível por 12, pois é divisível por 3 (7 + 8 + 3 + 2 + 4 = 24) e por 4 (termina em 24). 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 13 
b) 652011 não é divisível por 12, pois não é divisível por 4 (termina em 11). 
c) 863104 não é divisível por 12, pois não é divisível por 3 (8 + 6 + 3 +1 + 0 + 4 = 22). 
 
Divisibilidade por 15: Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5 ao mesmo tempo. 
 
Exemplos 
a) 650430 é divisível por 15, pois é divisível por 3 (6 + 5 + 0 + 4 + 3 + 0 =18) e por 5 (termina em 0). 
b) 723042 não é divisível por 15, pois não é divisível por 5 (termina em 2). 
c) 673225 não é divisível por 15, pois não é divisível por 3 (6 + 7 + 3 + 2 + 2 + 5 = 25). 
 
FATORAÇÃO 
 
Essa fatoração se dá através da decomposição em fatores primos. Para decompormos um número 
natural em fatores primos, dividimos o mesmo pelo seu menor divisor primo, após pegamos o quociente 
e dividimos o pelo seu menor divisor, e assim sucessivamente até obtermos o quociente 1. O produto de 
todos os fatores primos representa o número fatorado. 
Exemplo 
 
Divisores de um número natural 
 
Vamos pegar como exemplo o número 12 na sua forma fatorada: 
12 = 22 . 31 
 O número de divisores naturais é igual ao produto dos expoentes dos fatores primos acrescidos de 1. 
Logo o número de divisores de 12 são: 
22⏟
(2+1)
. 31⏟
(1+1)
 → (2 + 1) . (1 + 1) = 3.2 = 6 divisores naturais 
 
Para sabermos quais são esses 6 divisores basta pegarmos cada fator da decomposição e seu 
respectivo expoente natural que varia de zero até o expoente com o qual o fator se apresenta na 
decomposição do número natural. 
Exemplo: 
12 = 22 . 31 → 22 = 20,21 e 22 ; 31 = 30 e 31, teremos: 
20 . 30=1 
20 . 31=3 
21 . 30=2 
21 . 31=2.3=6 
22 . 31=4.3=12 
22 . 30=4 
O conjunto de divisores de 12 são: D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 
A soma dos divisores é dada por: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28 
 
Observação 
Para sabermos o conjunto dos divisores inteiros de 12, basta multiplicarmos o resultado por 2 (dois 
divisores, um negativo e o outro positivo). 
Assim teremos que D(12) = 6.2 = 12 divisores inteiros. 
 
Questões 
 
01. (Fuvest-SP) O número de divisores positivos do número 40 é: 
(A) 8 
(B) 6 
(C) 4 
(D) 2 
(E) 20 
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. 14 
02. (Professor/Pref.Itaboraí) O máximo divisor comum entre dois números naturais é 4 e o produto 
dos mesmos 96. O número de divisores positivos do mínimo múltiplo comum desses números é: 
(A) 2 
(B) 4 
(C) 6 
(D) 8 
(E) 10 
 
03. (Pedagogia/DEPEN) Considere um número divisível por 6, composto por 3 algarismos distintos e 
pertencentes ao conjunto A={3,4,5,6,7}. A quantidade de números que podem ser formados sob tais 
condições é: 
(A) 6 
(B) 7 
(C) 9 
(D) 8 
(E) 10 
 
04. (Pref.de Niterói) No número a=3x4, x representa um algarismo de a. Sabendo-se que a é divisível 
por 6, a soma dos valores possíveis para o algarismo x vale: 
(A) 2 
(B) 5 
(C) 8 
(D) 12 
(E) 15 
 
05. (BANCO DO BRASIL/CESGRANRIO) Em uma caixa há cartões. Em cada um dos cartões está 
escrito um múltiplo de 4 compreendido entre 22 e 82. Não há dois cartões com o mesmo número escrito, 
e a quantidade de cartões é a maior possível. Se forem retirados dessa caixa todos os cartões nos quais 
está escrito um múltiplo de 6 menor que 60, quantos cartões restarão na caixa? 
(A)12 
(B)11 
(C)3 
(D)5 
(E) 10 
 
06. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria III – ZAMBINI) Na sequência matemática a seguir, os dois 
próximos números são 
65 536 ; 16 384 ; 4 096 ; 1 024 ; _________ ; ________ 
(A) 256 e 64 
(B) 256 e 128 
(C) 128 e 64 
(D) 64 e 32 
 
07. (BRDE-RS) Considere os números abaixo, sendo n um número natural positivo. 
I) 10n + 2 
II) 2 . 10n + 1 
III) 10n+3 – 10n 
 
Quais são divisíveis por 6? 
(A) apenas II 
(B) apenas III 
(C) apenas I e III 
(D) apenas II e III 
(E) I, II e III 
 
 
 
 
 
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. 15 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
Vamos decompor o número 40 em fatores primos. 
40 = 23 . 51; pela regra temos que devemos adicionar 1 a cada expoente: 
3 + 1 = 4 e 1 + 1 = 2; então pegamos os resultados e multiplicamos 4.2 = 8, logo temos 8 divisores de 
40.02. Resposta: D. 
Sabemos que o produto de MDC pelo MMC é: 
MDC (A, B). MMC (A, B) = A.B, temos que MDC (A, B) = 4 e o produto entre eles 96, logo: 
4 . MMC (A, B) = 96 → MMC (A, B) = 96/4 → MMC (A, B) = 24, fatorando o número 24 temos: 
24 = 23 .3, para determinarmos o número de divisores, pela regra, somamos 1 a cada expoente e 
multiplicamos o resultado: 
(3 + 1).(1 + 1) = 4.2 = 8 
 
03. Resposta: D. 
Para ser divisível por 6 precisa ser divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo, e por isso deverá ser par 
também, e a soma dos seus algarismos deve ser um múltiplo de 3. 
Logo os finais devem ser 4 e 6: 
354, 456, 534, 546, 564, 576, 654, 756, logo temos 8 números. 
 
04. Resposta: E. 
Para ser divisível por 6 precisa ser divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo. Um número é divisível por 3 
quando a sua soma for múltiplo de 3. 
3 + x + 4 = .... Os valores possíveis de x são 2, 5 e 8, logo 2 + 5 + 8 = 15 
 
05. Resposta: A. 
Um número é divisível por 4 quando seus dois algarismos são 00 ou formam um número divisível por 
4. 
Vamos enumerar todos os múltiplos de 4: 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80 (15 
ao todo). 
Retirando os múltiplos de 6 menores que 60 temos: 24, 36 e 48 (3 ao todo) 
Logo: 15 – 3 = 12 
 
06. Resposta: A. 
Se dividimos 4096 por 1024, obtemos como resultado 4. Com isso percebemos que 4096 é o produto 
de 1024 x 4, e 4096 x 4 = 16384. Então fica evidente que todos os números são múltiplos de 4. Logo para 
sabermos a sequência basta dividirmos 1024/4 = 256 e 256/4 = 64. 
Com isso completamos a sequência: 256; 64. 
 
07. Resposta: C. 
n ∈ N divisíveis por 6: 
 
I) É divisível por 2 e por 3, logo é por 6. (Verdadeira) 
II) Os resultados são ímpares, logo não são por 2. (Falsa) 
III) É Verdadeira, pela mesma razão que a I. 
 
MDC 
 
O máximo divisor comum(MDC) de dois ou mais números é o maior número que é divisor comum de 
todos os números dados. Consideremos: 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 16 
- o número 18 e os seus divisores naturais: 
D+ (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}. 
 
- o número 24 e os seus divisores naturais: 
D+ (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. 
 
Podemos descrever, agora, os divisores comuns a 18 e 24: 
D+ (18) ∩ D+ (24) = {1, 2, 3, 6}. 
 
Observando os divisores comuns, podemos identificar o maior divisor comum dos números 18 e 24, 
ou seja: MDC (18, 24) = 6. 
 
Outra técnica para o cálculo do MDC: 
 
Decomposição em fatores primos 
Para obtermos o MDC de dois ou mais números por esse processo, procedemos da seguinte maneira: 
 
- Decompomos cada número dado em fatores primos. 
- O MDC é o produto dos fatores comuns obtidos, cada um deles elevado ao seu menor expoente. 
 
Exemplo 
 
 
MMC 
 
O mínimo múltiplo comum(MMC) de dois ou mais números é o menor número positivo que é múltiplo 
comum de todos os números dados. Consideremos: 
 
- O número 6 e os seus múltiplos positivos: 
M*+ (6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, ...} 
 
- O número 8 e os seus múltiplos positivos: 
M*+ (8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, ...} 
 
Podemos descrever, agora, os múltiplos positivos comuns: 
M*+ (6) M*+ (8) = {24, 48, 72, ...} 
 
Observando os múltiplos comuns, podemos identificar o mínimo múltiplo comum dos números 6 e 8, 
ou seja: MMC (6, 8) = 24 
 
Outra técnica para o cálculo do MMC: 
 
Decomposição isolada em fatores primos 
Para obter o MMC de dois ou mais números por esse processo, procedemos da seguinte maneira: 
 
- Decompomos cada número dado em fatores primos. 
- O MMC é o produto dos fatores comuns e não-comuns, cada um deles elevado ao seu maior 
expoente. 
 
 
 
 
 
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. 17 
Exemplo 
 
O produto do MDC e MMC é dado pela fórmula abaixo: 
 
MDC(A, B).MMC(A,B)= A.B 
 
Questões 
 
01. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – Matemática – GR Consultoria e 
Assessoria) Um professor quer guardar 60 provas amarelas, 72 provas verdes e 48 provas roxas, entre 
vários envelopes, de modo que cada envelope receba a mesma quantidade e o menor número possível 
de cada prova. Qual a quantidade de envelopes, que o professor precisará, para guardar as provas? 
(A) 4; 
(B) 6; 
(C) 12; 
(D) 15. 
 
02. (PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB) O policiamento em uma praça da cidade é realizado por 
um grupo de policiais, divididos da seguinte maneira: 
 
Grupo Intervalo de passagem 
Policiais a pé 40 em 40 minutos 
Policiais de moto 60 em 60 minutos 
Policiais em viaturas 80 em 80 minutos 
 
Toda vez que o grupo completo se encontra, troca informações sobre as ocorrências. O tempo mínimo 
em minutos, entre dois encontros desse grupo completo será: 
(A) 160 
(B) 200 
(C) 240 
(D) 150 
(E) 180 
 
03. (METRÔ/SP – Usinador Ferramenteiro – FCC) Na linha 1 de um sistema de Metrô, os trens 
partem de 2,4 em 2,4 minutos. Na linha 2 desse mesmo sistema, os trens partem de 1,8 em 1,8 minutos. 
Se dois trens partem, simultaneamente das linhas 1 e 2 às 13 horas, o próximo horário desse dia em que 
partirão dois trens simultaneamente dessas duas linhas será às 13 horas, 
(A) 10 minutos e 48 segundos. 
(B) 7 minutos e 12 segundos. 
(C) 6 minutos e 30 segundos. 
(D) 7 minutos e 20 segundos. 
(E) 6 minutos e 48 segundos. 
 
04. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) Fernanda divide as despesas de um 
apartamento com suas amigas. À Fernanda coube pagar a conta de água a cada três meses, a conta de 
luz a cada dois meses e o aluguel a cada quatro meses. Sabendo-se que ela pagou as três contas juntas 
em março deste ano, esses três pagamentos irão coincidir, novamente, no ano que vem, em 
(A) fevereiro. 
(B) março. 
(C) abril. 
(D) maio. 
(E) junho. 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 18 
05. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB) Marcelo é encarregado de dividir as entregas 
da empresa em que trabalha. No início do seu turno, ele observou que todas as entregas do dia poderão 
ser divididas igualmente entre 4, 6, 8, 10 ou 12 entregadores, sem deixar sobras. 
Assinale a alternativa que representa o menor número de entregas que deverão ser divididas por ele 
nesse turno. 
(A) 48 
(B) 60 
(C) 80 
(D) 120 
(E) 180 
 
06. (Prefeitura Municipal de Ribeirão Preto/SP – Agente de Administração – VUNESP) Em janeiro 
de 2010, três entidades filantrópicas (sem fins lucrativos) A, B e C, realizaram bazares beneficentes para 
arrecadação de fundos para obras assistenciais. Sabendo-se que a entidade A realiza bazares a cada 4 
meses (isto é, faz o bazar em janeiro, o próximo em maio e assim sucessivamente), a entidade B realiza 
bazares a cada 5 meses e C, a cada 6 meses, então a próxima vez que os bazares dessas três entidades 
irão coincidir no mesmo mês será no ano de 
(A) 2019. 
(B) 2018. 
(C) 2017. 
(D) 2016. 
(E) 2015. 
 
07. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB) Osvaldo é responsável pela manutenção das 
motocicletas, dos automóveis e dos caminhões de sua empresa. Esses veículos são revisados 
periodicamente, com a seguinte frequência: 
Todas as motocicletas a cada 3 meses; 
Todos os automóveis a cada 6 meses; 
Todos os caminhões a cada 8 meses. 
Se todos os veículos foram revisados, ao mesmo tempo, no dia 19 de maio de 2014, o número mínimo 
de meses para que todos eles sejam revisados juntos novamente é: 
(A) 48 
(B) 32 
(C) 24 
(D) 16 
(E) 12 
 
08. (PRODEST/ES – Assistente de Tecnologia da Informação – VUNESP) Dois produtos líquidos A 
e B estão armazenados em galões separados. Em um dos galões há 18 litros do produto A e no outro, 
há 42 litros do produto B. Carlos precisa distribuir esses líquidos, sem desperdiçá-los e sem misturá-los, 
em galões menores, de forma que cada galão menor tenha a mesma quantidade e o maior volumepossível de cada produto. Após essa distribuição, o número total de galões menores será 
(A) 6. 
(B) 8. 
(C) 10. 
(D) 12. 
(E) 14. 
 
09. (UNIFESP – Mestre em Edificações - Infraestrutura – VUNESP) Uma pessoa comprou um 
pedaço de tecido de 3 m de comprimento por 1,40 m de largura para confeccionar lenços. Para isso, 
decide cortar esse tecido em pedaços quadrados, todos de mesmo tamanho e de maior lado possível. 
Sabendo que não ocorreu nenhuma sobra de tecido e que o tecido todo custou R$ 31,50, então o preço 
de custo, em tecido, de cada lenço foi de 
(A) R$ 0,30. 
(B) R$ 0,25. 
(C) R$ 0,20. 
(D) R$ 0,15. 
(E) R$ 0,10. 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 19 
10. (UNIFESP – Engenheiro Mecânico – VUNESP) Iniciando seu treinamento, dois ciclistas partem 
simultaneamente de um mesmo ponto de uma pista. Mantendo velocidades constantes, Lucas demora 
18 minutos para completar cada volta, enquanto Daniel completa cada volta em 15 minutos. Sabe-se que 
às 9 h 10 min eles passaram juntos pelo ponto de partida pela primeira vez, desde o início do treinamento. 
Desse modo, é correto afirmar que às 8 h 25 min, Daniel já havia completado um número de voltas igual 
a 
(A) 2. 
(B) 3. 
(C) 4. 
(D) 5 
(E) 7. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: D. 
Fazendo o mdc entre os números teremos: 
60 = 2².3.5 
72 = 2³.3³ 
48 = 24.3 
Mdc(60,72,48) = 2².3 = 12 
60/12 = 5 
72/12 = 6 
48/12 = 4 
Somando a quantidade de envelopes por provas teremos: 5 + 6 + 4 = 15 envelopes ao todo. 
 
02. Resposta: C. 
Devemos achar o mmc (40,60,80) 
 
 
𝑚𝑚𝑐(40,60,80) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 = 240 
 
03. Resposta: B. 
Como os trens passam de 2,4 e 1,8 minutos, vamos achar o mmc(18,24) e dividir por 10, assim 
acharemos os minutos 
 
 
Mmc(18,24)=72 
Portanto, será 7,2 minutos 
1 minuto---60s 
0,2--------x 
x = 12 segundos 
Portanto se encontrarão depois de 7 minutos e 12 segundos 
 
04. Resposta: B. 
Devemos fazer o m.m.c. (3, 2, 4) = 12 meses 
Como ela pagou as três contas juntas em MARÇO, após 12 meses, pagará as três contas juntas 
novamente em MARÇO. 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 20 
05. Resposta: D. 
m.m.c. (4, 6, 8, 10, 12) = 120 
 
06. Resposta: E. 
m.m.c. (4, 5, 6) = 60 meses 
60 meses / 12 = 5 anos 
Portanto, 2010 + 5 = 2015 
 
07. Resposta: C. 
m.m.c. (3, 6, 8) = 24 meses 
 
08. Resposta: C. 
m.d.c. (18, 42) = 6 
Assim: 
* Produto A: 18 / 6 = 3 galões 
* Produto B: 42 / 6 = 7 galões 
Total = 3 + 7 = 10 galões 
 
09. Resposta: A. 
m.d.c. (140, 300) = 20 cm 
* Área de cada lenço: 20 . 20 = 400 cm² 
* Área Total: 300 . 140 = 42000 cm² 
42000 / 400 = 105 lenços 
31,50 / 105 = R$ 0,30 (preço de 1 lenço) 
 
10. Resposta: B. 
m.m.c. (15, 18) = 90 min = 1h30 
Portanto, às 9h10, Daniel completou: 90 / 15 = 6 voltas. 
Como 9h10 – 8h25 = 45 min, equivale à metade do que Daniel percorreu, temos que: 
6 / 2 = 3 voltas. 
 
 
 
RAZÃO 
 
É o quociente entre dois números (quantidades, medidas, grandezas). 
Sendo a e b dois números a sua razão, chama-se razão3 de a para b: 
 
𝑎
𝑏
 𝑜𝑢 𝑎: 𝑏 , 𝑐𝑜𝑚 𝑏 ≠ 0 
Onde: 
 
Exemplos: 
1 - Em um vestibular para o curso de marketing, participaram 3600 candidatos para 150 vagas. A razão 
entre o número de vagas e o número de candidatos, nessa ordem, foi de 
 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑔𝑎𝑠
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠
=
150
3600
=
1
24
 
 
 
3IEZZI, Gelson – Fundamentos da Matemática – Vol. 11 – Financeira e Estatística Descritiva 
IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único 
http://educacao.globo.com 
2 Proporcionalidade: razões e proporções; divisão em partes diretamente e 
inversamente proporcionais; médias aritmética, geométrica e ponderada; regras 
de três simples e composta; porcentagem; e problemas. 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 21 
Lemos a fração como: Um vinte e quatro avós. 
 
2 - Em um processo seletivo diferenciado, os candidatos obtiveram os seguintes resultados: 
− Alana resolveu 11 testes e acertou 5 
− Beatriz resolveu 14 testes e acertou 6 
− Cristiane resolveu 15 testes e acertou 7 
− Daniel resolveu 17 testes e acertou 8 
− Edson resolveu 21 testes e acertou 9 
O candidato contratado, de melhor desempenho, (razão de acertos para número de testes), foi: 
 𝐴𝑙𝑎𝑛𝑎:
5
11
= 0,45 
 
 𝐵𝑒𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧:
6
14
= 0,42 
 
 𝐶𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑎𝑛𝑒:
7
15
= 0,46 
 
 𝐷𝑎𝑛𝑖𝑒𝑙:
8
17
= 0,47 
 
 𝐸𝑑𝑠𝑜𝑛:
9
21
= 0,42 
 
Daniel teve o melhor desempenho. 
 
- Quando a e b forem medidas de uma mesma grandeza, essas devem ser expressas na mesma 
unidade. 
 
Razões Especiais 
 
Escala → Muitas vezes precisamos ilustrar distâncias muito grandes de forma reduzida, então 
utilizamos a escala, que é a razão da medida no mapa com a medida real (ambas na mesma unidade). 
𝐸 =
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝑚𝑎𝑝𝑎
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙
 
 
Velocidade média → É a razão entre a distância percorrida e o tempo total de percurso. As unidades 
utilizadas são km/h, m/s, entre outras. 
𝑉 =
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
 
 
Densidade → É a razão entre a massa de um corpo e o seu volume. As unidades utilizadas são g/cm³, 
kg/m³, entre outras. 
𝐷 =
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
 
 
PROPORÇÃO 
 
É uma igualdade entre duas razões. 
 
Dada as razões 
𝑎
𝑏
 e 
𝑐
𝑑
 , à setença de igualdade 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 chama-se proporção4. 
Onde: 
 
 
 
 
4IEZZI, Gelson – Fundamentos da Matemática – Vol. 11 – Financeira e Estatística Descritiva 
IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único 
http://educacao.globo.com 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 22 
Exemplo: 
1 - O passageiro ao lado do motorista observa o painel do veículo e vai anotando, minuto a minuto, a 
distância percorrida. Sua anotação pode ser visualizada na tabela a seguir: 
 
Distância percorrida (em km) 2 4 6 8 ... 
Tempo gasto (em min) 1 2 3 4 ... 
 
Nota-se que a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la é sempre igual a 2: 
 
2
1
= 2 ; 
4
2
= 2 ; 
6
3
= 2 ; 
8
4
= 2 
Então: 
 
2
1
=
4
2
= 
6
3
=
8
4
 
 
Dizemos que os números da sucessão (2,4,6, 8, ...) são diretamente proporcionais aos números da 
sucessão (1,2,3,3, 4, ...). 
 
Propriedades da Proporção 
 
1 - Propriedade Fundamental 
 
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é, a. d = b. c 
 
Exemplo: 
Na proporção 
45
30
=
9
6
 ,(lê-se: “45 está para 30, assim como 9 está para 6.), aplicando a propriedade 
fundamental, temos: 45.6 = 30.9 = 270 
 
2 - A soma dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo), assim como a 
soma dos dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo). 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 → 
𝑎 + 𝑏
𝑎
=
𝑐 + 𝑑
𝑐
 𝑜𝑢 
𝑎 + 𝑏
𝑏
=
𝑐 + 𝑑
𝑑
 
 
Exemplo: 
2
3
=
6
9
 → 
2 + 3
2
=
6 + 9
6
→
5
2
=
15
6
= 30 𝑜𝑢 
2 + 3
3
=
6 + 9
9
→
5
3
=
15
9
= 45 
 
3 - A diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo), assim 
como a diferença entre os dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo). 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 → 
𝑎 − 𝑏
𝑎
=
𝑐 − 𝑑
𝑐
 𝑜𝑢 
𝑎 − 𝑏
𝑏
=
𝑐 − 𝑑
𝑑
 
 
Exemplo: 
2
3
=
6
9
 → 
2 − 3
2
=
6 − 9
6
→
−1
2
=
−3
6
= −6 𝑜𝑢 
2 − 3
3
=
6 − 9
9
→
−1
3
=
−39
= −9 
 
4 - A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente está 
para o seu consequente. 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 → 
𝑎 + 𝑐
𝑏 + 𝑑
=
𝑎
𝑏
 𝑜𝑢 
𝑎 + 𝑐
𝑏 + 𝑑
=
𝑐
𝑑
 
 
 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 23 
Exemplo: 
2
3
=
6
9
 → 
2 + 6
3 + 9
=
2
3
 →
8
12
=
2
3
= 24 𝑜𝑢 
2 + 6
3 + 9
=
6
9
 →
8
12
=
6
9
= 72 
 
5 - A diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes, assim como cada 
antecedente está para o seu consequente. 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 → 
𝑎 − 𝑐
𝑏 − 𝑑
=
𝑎
𝑏
 𝑜𝑢 
𝑎 − 𝑐
𝑏 − 𝑑
=
𝑐
𝑑
 
 
Exemplo: 
6
9
=
2
3
 → 
6 − 2
9 − 3
=
6
9
 →
4
6
=
6
9
= 36 𝑜𝑢 
6 − 2
9 − 3
=
2
3
 →
4
6
=
2
3
= 12 
 
Problemas envolvendo razão e proporção 
1 - Em uma fundação, verificou-se que a razão entre o número de atendimentos a usuários internos e 
o número de atendimento total aos usuários (internos e externos), em um determinado dia, nessa ordem, 
foi de 3/5. Sabendo que o número de usuários externos atendidos foi 140, pode-se concluir que, no total, 
o número de usuários atendidos foi: 
A) 84 
B) 100 
C) 217 
D) 280 
E) 350 
 
Resolução: 
Usuários internos: I 
Usuários externos: E 
Sabemos que neste dia foram atendidos 140 externos → E = 140 
𝐼
𝐼+𝐸
=
3
5
=
𝐼
𝐼+140
 , usando o produto dos meios pelos extremos temos 
 
5I = 3(I + 140) → 5I = 3I + 420 → 5I – 3I = 420 → 2I = 420 → I = 420 / 2 → I = 210 
I + E = 210 + 140 = 350 
Resposta “E” 
 
2 – Em um concurso participaram 3000 pessoas e foram aprovadas 1800. A razão do número de 
candidatos aprovados para o total de candidatos participantes do concurso é: 
A) 2/3 
B) 3/5 
C) 5/10 
D) 2/7 
E) 6/7 
 
Resolução: 
 
 
Resposta “B” 
 
3 - Em um dia de muita chuva e trânsito caótico, 2/5 dos alunos de certa escola chegaram atrasados, 
sendo que 1/4 dos atrasados tiveram mais de 30 minutos de atraso. Sabendo que todos os demais alunos 
chegaram no horário, pode-se afirmar que nesse dia, nessa escola, a razão entre o número de alunos 
que chegaram com mais de 30 minutos de atraso e número de alunos que chegaram no horário, nessa 
ordem, foi de: 
A) 2:3 
B) 1:3 
C) 1:6 
D) 3:4 
E) 2:5 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 24 
Resolução: 
Se 2/5 chegaram atrasados 
1 −
2
5
=
3
5
𝑐ℎ𝑒𝑔𝑎𝑟𝑎𝑚 𝑛𝑜 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜 
2
5
∙
1
4
=
1
10
 𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟𝑎𝑚 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑒 30 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜 
𝑟𝑎𝑧ã𝑜 =
𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟𝑎𝑚 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑒 30min𝑑𝑒 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜
𝑐ℎ𝑒𝑔𝑎𝑟𝑎𝑚 𝑛𝑜 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜
=
1
10
3
5
 
𝑟𝑎𝑧ã𝑜 =
1
10
∙
5
3
=
1
6
 𝑜𝑢 1: 6 
 
Resposta “C” 
 
Questões 
 
01. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – GR Consultoria e Assessoria) André, 
Bruno, Carlos e Diego são irmãos e suas idades formam, na ordem apresentada, uma proporção. 
Considere que André tem 3 anos, Diego tem 18 anos e Bruno é 3 anos mais novo que Carlos. Assim, a 
soma das idades, destes quatro irmãos, é igual a 
(A) 30 
(B) 32; 
(C) 34; 
(D) 36. 
 
02. (MPE/SP – Oficial de Promotoria – VUNESP) Alfredo irá doar seus livros para três bibliotecas da 
universidade na qual estudou. Para a biblioteca de matemática, ele doará três quartos dos livros, para a 
biblioteca de física, um terço dos livros restantes, e para a biblioteca de química, 36 livros. O número de 
livros doados para a biblioteca de física será 
(A) 16. 
(B) 22. 
(C) 20. 
(D) 24. 
(E)18. 
 
03. (PC/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Foram construídos dois reservatórios de água. A 
razão entre os volumes internos do primeiro e do segundo é de 2 para 5, e a soma desses volumes é 
14m³. Assim, o valor absoluto da diferença entre as capacidades desses dois reservatórios, em litros, é 
igual a 
(A) 8000. 
(B) 6000. 
(C) 4000. 
(D) 6500. 
(E) 9000. 
 
04. (EBSERH/HUPAA-UFAL - Técnico em Informática – IDECAN) Entre as denominadas razões 
especiais encontram-se assuntos como densidade demográfica, velocidade média, entre outros. Supondo 
que a distância entre Rio de Janeiro e São Paulo seja de 430 km e que um ônibus, fretado para uma 
excursão, tenha feito este percurso em 5 horas e 30 minutos. Qual foi a velocidade média do ônibus 
durante este trajeto, aproximadamente, em km/h? 
(A) 71 km/h 
(B) 76 km/h 
(C) 78 km/h 
(D) 81 km/h 
(E) 86 km/h. 
 
 
 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 25 
05. (SEPLAN/GO – Perito Criminal – FUNIVERSA) Em uma ação policial, foram apreendidos 1 
traficante e 150 kg de um produto parecido com maconha. Na análise laboratorial, o perito constatou que 
o produto apreendido não era maconha pura, isto é, era uma mistura da Cannabis sativa com outras 
ervas. Interrogado, o traficante revelou que, na produção de 5 kg desse produto, ele usava apenas 2 kg 
da Cannabis sativa; o restante era composto por várias “outras ervas”. Nesse caso, é correto afirmar que, 
para fabricar todo o produto apreendido, o traficante usou 
(A) 50 kg de Cannabis sativa e 100 kg de outras ervas. 
(B) 55 kg de Cannabis sativa e 95 kg de outras ervas. 
(C) 60 kg de Cannabis sativa e 90 kg de outras ervas. 
(D) 65 kg de Cannabis sativa e 85 kg de outras ervas. 
(E) 70 kg de Cannabis sativa e 80 kg de outras ervas. 
 
06. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Uma gráfica produz blocos de papel em dois 
tamanhos diferentes: médios ou pequenos e, para transportá-los utiliza caixas que comportam 
exatamente 80 blocos médios. Sabendo que 2 blocos médios ocupam exatamente o mesmo espaço que 
5 blocos pequenos, então, se em uma caixa dessas forem colocados 50 blocos médios, o número de 
blocos pequenos que poderão ser colocados no espaço disponível na caixa será: 
(A) 60. 
(B) 70. 
(C) 75. 
(D) 80. 
(E) 85. 
 
07. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de Educação Básica – GR Consultoria e Assessoria) Eu tenho 
duas réguas, uma que ao quebrar ficou com 24 cm de comprimento e a outra tem 30 cm, portanto, a 
régua menor é quantos por cento da régua maior? 
(A) 90% 
(B) 75% 
(C) 80% 
(D) 85% 
 
08. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) Uma cidade A, com 120 km de vias, 
apresentava, pela manhã, 51 km de vias congestionadas. O número de quilômetros de vias 
congestionadas numa cidade B, que tem 280 km de vias e mantém a mesma proporção que na cidade A, 
é 
(A) 119 km. 
(B) 121 km. 
(C) 123 km. 
(D) 125 km. 
(E) 127 km. 
 
09. (FINEP – Assistente – Apoio administrativo – CESGRANRIO) Maria tinha 450 ml de tinta 
vermelha e 750 ml de tinta branca. Para fazer tinta rosa, ela misturou certa quantidade de tinta branca 
com os 450 ml de tinta vermelha na proporção de duas partes de tinta vermelha para três partes de tinta 
branca. 
Feita a mistura, quantos ml de tinta branca sobraram? 
(A) 75 
(B) 125 
(C) 175 
(D) 375 
(E) 675 
 
10. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo – VUNESP) A medida do comprimento de 
um salão retangular está para a medida de sua largura assim como 4 está para 3. No piso desse salão, 
foram colocados somente ladrilhos quadrados inteiros, revestindo-o totalmente. Se cada fileira de 
ladrilhos, no sentido do comprimento do piso, recebeu 28 ladrilhos, então o número mínimo de ladrilhos 
necessários para revestir totalmente esse piso foi igual a 
(A) 588. 
(B) 350. 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 26 
(C) 454. 
(D) 476. 
(E) 382. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D. 
Pelo enunciado temos que: 
A = 3 
B = C – 3 
C 
D = 18 
Como eles são proporcionais podemos dizer que: 
𝐴
𝐵
=
𝐶
𝐷
→
3𝐶 − 3
=
𝐶
18
→ 𝐶2 − 3𝐶 = 3.18 → 𝐶2 − 3𝐶 − 54 = 0 
 
Vamos resolver a equação do 2º grau: 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
→
−(−3) ± √(−3)2 − 4.1. (−54)
2.1
→
3 ± √225
2
→
3 ± 15
2
 
 
𝑥1 =
3 + 15
2
=
18
2
= 9 ∴ 𝑥2 =
3 − 15
2
=
−12
2
= −6 
 
Como não existe idade negativa, então vamos considerar somente o 9. Logo C = 9 
B = C – 3 = 9 – 3 = 6 
Somando teremos: 3 + 6 + 9 + 18 = 36 
 
02. Resposta: E. 
X = total de livros 
Matemática = ¾ x, restou ¼ de x 
Física = 1/3.1/4 = 1/12 
Química = 36 livros 
 
Logo o número de livros é: 3/4x + 1/12x + 36 = x 
Fazendo o m.m.c. dos denominadores (4,12) = 12 
Logo: 
9𝑥 + 1𝑥 + 432 = 12𝑥
12
→ 10𝑥 + 432 = 12𝑥 → 12𝑥 − 10𝑥 = 432 → 2𝑥 = 432 → 𝑥 =
432
2
→ 𝑥 = 216 
 
Como a Biblioteca de Física ficou com 1/12x, logo teremos: 
1
12
. 216 =
216
12
= 18 
 
03. Resposta: B. 
Primeiro: 2k 
Segundo: 5k 
2k + 5k = 14 → 7k = 14 → k = 2 
Primeiro: 2.2 = 4 
Segundo: 5.2=10 
Diferença: 10 – 4 = 6 m³ 
1m³------1000L 
6--------x 
x = 6000 l 
 
04. Resposta: C. 
5h30 = 5,5h, transformando tudo em hora e suas frações. 
430
5,5
= 78,18 𝑘𝑚/ℎ 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 27 
05. Resposta: C. 
 O enunciado fornece que a cada 5kg do produto temos que 2kg da Cannabis sativa e os demais outras 
ervas. Podemos escrever em forma de razão 
2
5
, logo: 
2
5
. 150 = 60𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑛𝑛𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 ∴ 150 − 60 = 90𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑟𝑣𝑎𝑠 
 
06. Resposta: C. 
Chamemos de (m) a quantidade de blocos médios e de (p) a quantidade de blocos pequenos. 
𝑚
𝑝
= 
2
5
 , ou seja, 2p = 5m 
 
- 80 blocos médios correspondem a: 
2p = 5.80 → p = 400 / 2 → p = 200 blocos pequenos 
- Já há 50 blocos médios: 80 – 50 = 30 blocos médios (ainda cabem). 
2p = 5.30 → p = 150 / 2 → p = 75 blocos pequenos 
 
07. Resposta: C. 
Como é a razão do menor pelo maior temos: 24/30 = 0,80. 100% = 80% 
 
08. Resposta: A. 
51
120
= 
𝑥
280
 
 
120.x = 51. 280 → x = 14280 / 120 → x = 119 km 
 
09. Resposta: A. 
2
3
= 
450
𝑥
 
 
2x = 450. 3 → x = 1350 / 2 → x = 675 ml de tinta branca 
Sobraram: 750 ml – 675 ml = 75 ml 
 
10. Resposta: A. 
𝐶
𝐿
= 
4
3
 , que fica 4L = 3C 
 
Fazendo C = 28 e substituindo na proporção, temos: 
28
𝐿
= 
4
3
 
 
4L = 28. 3 → L = 84 / 4 → L = 21 ladrilhos 
Assim, o total de ladrilhos foi de 28. 21 = 588 
 
DIVISÃO PROPORCIONAL 
 
Uma forma de divisão no qual determinam-se valores (a,b,c,..) que, divididos por quocientes (x,y,z..) 
previamente determinados, mantêm-se uma razão que não tem variação. 
 
Divisão Diretamente Proporcional 
 
Divisão em duas partes diretamente proporcionais 
Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a p e q, montamos um 
sistema com duas equações e duas incógnitas, de modo que a soma das partes seja A + B = M, porém 
 
𝐴
𝑝
=
𝐵
𝑞
 
 
A solução segue de acordo com as propriedades das proporções: 
𝐴
𝑝
=
𝐵
𝑞
=
𝐴 + 𝐵
𝑝 + 𝑞
=
𝑀
𝑝 + 𝑞
= 𝑲 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 28 
O valor de K é que proporciona a solução pois: A = K.p e B = K.q 
 
Exemplos 
1) Para decompor o número 200 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, montaremos 
o sistema de modo que A + B = 200, cuja solução segue de: 
 
𝐴
2
=
𝐵
3
=
𝐴 + 𝐵
5
=
200
5
= 𝟒𝟎 
 
Fazendo A = K.p e B = K.q; temos que A = 40.2 = 80 e B=40.3 = 120 
 
2) Determinar números A e B diretamente proporcionais a 8 e 3, sabendo-se que a diferença entre eles 
é 40. Para resolver este problema basta tomar A – B = 40 e escrever: 
 
𝐴
8
=
𝐵
3
=
𝐴 − 𝐵
5
=
40
5
= 𝟖 
 
Fazendo A = K.p e B = K.q; temos que A = 8.8 = 64 e B = 8.3 = 24 
 
Divisão em várias partes diretamente proporcionais 
Para decompor um número M em partes x1, x2, ..., xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, deve-
se montar um sistema com n equações e n incógnitas, sendo as somas x1 + x2 + ... + xn= M e p1 + p2 + ... 
+ pn = P. 
𝑥1
𝑝1
=
𝑥2
𝑝2
= ⋯ =
𝑥𝑛
𝑝𝑛
 
 
A solução segue das propriedades das proporções: 
 
𝒙𝟏
𝒑𝟏
=
𝒙𝟐
𝒑𝟐
= ⋯ =
𝒙𝒏
𝒑𝒏
=
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 +⋯+ 𝒙𝒏
𝒑𝟏 + 𝒑𝟐 +⋯𝒑𝒏
=
𝑴
𝑷
= 𝑲 
Observa-se que partimos do mesmo princípio da divisão em duas partes proporcionais. 
 
Exemplos 
1) Para decompor o número 240 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-
se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas tal que A + B + C = 240 e 2 + 4 + 6 = P. Assim: 
 
𝐴
2
=
𝐵
4
=
𝐶
6
=
𝐴 + 𝐵 + 𝐶
𝑃
=
240
12
= 𝟐𝟎 
 
Logo: A = 20.2 = 40; B = 20.4 = 80 e C = 20.6 =120 
 
2) Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A + 3B - 4C = 
480 
A solução segue das propriedades das proporções: 
 
𝐴
2
=
𝐵
4
=
𝐶
6
=
2𝐴 + 3𝐵 − 4𝐶
2.2 + 3.4 − 4.6
=
480
−8
= −𝟔𝟎 
 
Logo: A = - 60.2 = -120 ; B = - 60.4 = - 240 e C = - 60.6 = - 360. 
Também existem proporções com números negativos. 
Divisão Inversamente Proporcional 
 
Divisão em duas partes inversamente proporcionais 
Para decompor um número M em duas partes A e B inversamente proporcionais a p e q, deve-se 
decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a 1/p e 1/q, que são, 
respectivamente, os inversos de p e q. 
Assim basta montar o sistema com duas equações e duas incógnitas tal que A + B = M. Desse modo: 
 
𝐴
1/𝑝
=
𝐵
1/𝑞
=
𝐴 + 𝐵
1/𝑝 + 1/𝑞
=
𝑀
1/𝑝 + 1/𝑞
=
𝑀. 𝑝. 𝑞
𝑝 + 𝑞
= 𝑲 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 29 
O valor de K proporciona a solução pois: A = K/p e B = K/q. 
 
Exemplos 
1) Para decompor o número 120 em duas partes A e B inversamente proporcionais a 2 e 3, deve-se 
montar o sistema tal que A + B = 120, de modo que: 
 
𝐴
1/2
=
𝐵
1/3
=
𝐴 + 𝐵
1/2 + 1/3
=
120
5/6
=
120.6
5
= 144 
 
Assim A = K/p → A = 144/2 = 72 e B = K/q → B = 144/3 = 48 
 
2) Determinar números A e B inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre 
eles é 10. Para resolver este problema, tomamos A – B = 10. Assim: 
 
𝐴
1/6
=
𝐵
1/8
=
𝐴 − 𝐵
1/6 − 1/8
=
10
1/24
= 240 
 
Assim A = K/p → A = 240/6 = 40 e B = K/q → B = 240/8 = 30 
 
Divisão em várias partes inversamente proporcionais 
Para decompor um número M em n partes x1, x2, ..., xn inversamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, 
basta decompor este número M em n partes x1, x2, ..., xn diretamente proporcionais a 1/p1, 1/p2, ..., 1/pn. 
A montagem do sistema com n equações e n incógnitas, assume que x1 + x2 + ... + xn= M e além disso: 
 
𝑥1
1/𝑝1
=
𝑥2
1/𝑝2
= ⋯ =
𝑥𝑛
1/𝑝𝑛
 
 
Cuja solução segue das propriedades das proporções: 
 
𝒙𝟏
𝟏/𝒑𝟏
=
𝒙𝟐
𝟏/𝒑𝟐
= ⋯ =
𝒙𝒏
𝟏
𝒑𝒏
=
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 +⋯+ 𝒙𝒏
𝟏
𝒑𝟏
+
𝟏
𝒑𝟐
+⋯
𝟏
𝒑𝒏
=
𝑴
𝟏
𝒑𝟏
+
𝟏
𝒑𝟐
+⋯+
𝟏
𝒑𝒏
= 𝑲 
 
Exemplos 
1) Para decompor o número 220 em três partes A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-
se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas, de modo que A + B + C = 220. Desse modo: 
 
𝐴
1/2
=
𝐵
1/4
=
𝐶
1/6
=
𝐴 + 𝐵 + 𝐶
1/2 + 1/4 + 1/6
=
220
11/12
= 240 
 
A solução é A = K/p1 → A = 240/2 = 120, B = K/p2 → B = 240/4 = 60 e C = K/p3 → C = 240/6 = 40 
 
2) Para obter números A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A + 3B - 4C = 
10, devemos montar as proporções: 
 
𝐴
1/2
=
𝐵
1/4
=
𝐶1/6
=
2𝐴 + 3𝐵 − 4𝐶
2/2 + 3/4 − 4/6
=
10
13/12
=
120
13
 
 
Portanto, A = 60/13, B = 30/13 e C = 20/13 
Existem proporções com números fracionários! 
 
Divisão em partes direta e inversamente proporcionais 
 
Divisão em duas partes direta e inversamente proporcionais 
Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a, c e d e inversamente 
proporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais 
a c/q e d/q, basta montar um sistema com duas equações e duas incógnitas de forma que A + B = M e 
além disso: 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 30 
𝑨
𝒄/𝒑
=
𝑩
𝒅/𝒒
=
𝑨 + 𝑩
𝒄/𝒑 + 𝒅/𝒒
=
𝑴
𝒄/𝒑 + 𝒅/𝒒
=
𝑴.𝒑. 𝒒
𝒄. 𝒒 + 𝒑. 𝒅
= 𝑲 
 
O valor de K proporciona a solução pois: A = K.c/p e B = K.d/q. 
 
Exemplos 
1) Para decompor o número 58 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, e, 
inversamente proporcionais a 5 e 7, deve-se montar as proporções: 
 
𝐴
2/5
=
𝐵
3/7
=
𝐴 + 𝐵
2/5 + 3/7
=
58
29/35
= 70 
 
Assim A = K.c/p = (2/5).70 = 28 e B = K.d/q = (3/7).70 = 30 
 
2) Para obter números A e B diretamente proporcionais a 4 e 3 e inversamente proporcionais a 6 e 8, 
sabendo-se que a diferença entre eles é 21. Para resolver este problema basta escrever que A – B = 21 
devemos resolver as proporções: 
 
𝐴
4/6
=
𝐵
3/8
=
𝐴 − 𝐵
4/6 − 3/8
=
21
7/24
= 72 
 
Assim A = K.c/p = (4/6).72 = 48 e B = K.d/q = (3/8).72 = 27 
 
Divisão em n partes direta e inversamente proporcionais 
Para decompor um número M em n partes x1, x2, ..., xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn e 
inversamente proporcionais a q1, q2, ..., qn, basta decompor este número M em n partes x1, x2, ..., xn 
diretamente proporcionais a p1/q1, p2/q2, ..., pn/qn. 
A montagem do sistema com n equações e n incógnitas exige que x1 + x2 + ... + xn = M e além disso 
 
𝑥1
𝑝1/𝑞1
=
𝑥2
𝑝2/𝑞2
= ⋯ =
𝑥𝑛
𝑝𝑛/𝑞𝑛
 
 
A solução segue das propriedades das proporções: 
 
𝒙𝟏
𝒑𝟏/𝒒𝟏
=
𝒙𝟐
𝒑𝟐/𝒒𝟐
= ⋯ =
𝒙𝒏
𝒑𝒏
𝒒𝒏
=
𝒙𝒏 + 𝒙𝟐 +⋯+ 𝒙𝒏
𝒑𝟏
𝒒𝟏
+
𝒑𝟐
𝒒𝟐
+⋯+
𝒑𝒏
𝒒𝒏
= 𝑲 
 
Exemplos 
1) Para decompor o número 115 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 1, 2 e 3 e 
inversamente proporcionais a 4, 5 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas de 
forma que A + B + C = 115 e também: 
 
𝐴
1/4
=
𝐵
2/5
=
𝐶
3/6
=
𝐴 + 𝐵 + 𝐶
1/4 + 2/5 + 3/6
=
115
23/20
= 100 
 
Logo A = K.p1/q1 = (1/4)100 = 25, B = K.p2/q2 = (2/5)100 = 40 e C = K.p3/q3 = (3/6)100 = 50 
 
2) Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 1, 10 e 2 e inversamente proporcionais a 
2, 4 e 5, de modo que 2A + 3B - 4C = 10. 
A montagem do problema fica na forma: 
 
𝐴
1/2
=
𝐵
10/4
=
𝐶
2/5
=
2𝐴 + 3𝐵 − 4𝐶
2/2 + 30/4 − 8/5
=
10
69/10
=
100
69
 
 
A solução é A = K.p1/q1 = 50/69, B = K.p2/q2 = 250/69 e C = K.p3/q3 = 40/69 
 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 31 
Problemas envolvendo Divisão Proporcional 
 
1) As famílias de duas irmãs, Alda e Berta, vivem na mesma casa e a divisão de despesas mensais é 
proporcional ao número de pessoas de cada família. Na família de Alda são três pessoas e na de Berta, 
cinco. Se a despesa, num certo mês foi de R$ 1.280,00, quanto pagou, em reais, a família de Alda? 
A) 320,00 
B) 410,00 
C) 450,00 
D) 480,00 
E) 520,00 
 
Alda: A = 3 pessoas 
Berta: B = 5 pessoas 
A + B = 1280 
𝐴
3
+
𝐵
5
=
𝐴 + 𝐵
3 + 5
=
1280
8
= 160 
 
A = K.p = 160.3 = 480 
Resposta: D 
 
2) Dois ajudantes foram incumbidos de auxiliar no transporte de 21 caixas que continham 
equipamentos elétricos. Para executar essa tarefa, eles dividiram o total de caixas entre si, na razão 
inversa de suas respectivas idades. Se ao mais jovem, que tinha 24 anos, coube transportar 12 caixas, 
então, a idade do ajudante mais velho, em anos era? 
A) 32 
B) 34 
C) 35 
D) 36 
E) 38 
 
v = idade do mais velho 
Temos que a quantidade de caixas carregadas pelo mais novo: 
Qn = 12 
Pela regra geral da divisão temos: 
Qn = k.1/24 → 12 = k/24 → k = 288 
A quantidade de caixas carregadas pelo mais velho é: 21 – 12 = 9 
Pela regra geral da divisão temos: 
Qv = k.1/v → 9 = 288/v → v = 32 anos 
Resposta: A 
 
3) Em uma seção há duas funcionárias, uma com 20 anos de idade e a outra com 30. Um total de 150 
processos foi dividido entre elas, em quantidades inversamente proporcionais às suas respectivas idades. 
Qual o número de processos recebido pela mais jovem? 
A) 90 
B) 80 
C) 60 
D) 50 
E) 30 
 
Estamos trabalhando aqui com divisão em duas partes inversamente proporcionais e para a resolução 
da mesma temos que: 
 
𝑨
𝟏/𝒑
=
𝑩
𝟏/𝒒
=
𝑨 + 𝑩
𝟏/𝒑 + 𝟏/𝒒
=
𝑴
𝟏/𝒑 + 𝟏/𝒒
=
𝑴.𝒑. 𝒒
𝒑 + 𝒒
= 𝑲 
 
O valor de K proporciona a solução pois: A = K/p e B = K/q. 
 
Vamos chamar as funcionárias de p e q respectivamente: 
p = 20 anos (funcionária de menor idade) 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 32 
q = 30 anos 
Como será dividido os processos entre as duas, logo cada uma ficará com A e B partes que totalizam 
150: 
A + B = 150 processos 
 
𝐴
1/𝑝
=
𝐵
1/𝑞
=
150
1/20 + 1/30
=
150
1/20 + 1/30
=
150.20.30
20 + 30
=
90000
50
= 𝟏𝟖𝟎𝟎 
 
A = k/p → A = 1800 / 20 → A = 90 processos. 
 
Questões 
 
01. (Pref. Paulistana/PI – Professor de Matemática – IMA) Uma herança de R$ 750.000,00 deve ser 
repartida entre três herdeiros, em partes proporcionais a suas idades que são de 5, 8 e 12 anos. O mais 
velho receberá o valor de: 
(A) R$ 420.000,00 
(B) R$ 250.000,00 
(C) R$ 360.000,00 
(D) R$ 400.000,00 
(E) R$ 350.000,00 
 
02. (TRF/3ªRegião– Técnico Judiciário – FCC) Quatro funcionários dividirão, em partes diretamente 
proporcionais aos anos dedicados para a empresa, um bônus de R$36.000,00. Sabe-se que dentre esses 
quatro funcionários um deles já possui 2 anos trabalhados, outro possui 7 anos trabalhados, outro possui 
6 anos trabalhados e o outro terá direito, nessa divisão, à quantia de R$6.000,00. Dessa maneira, o 
número de anos dedicados para a empresa, desse último funcionário citado, é igual a 
(A) 5. 
(B) 7. 
(C) 2. 
(D) 3. 
(E) 4. 
 
03. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Uma prefeitura destinou a quantia 
de 54 milhões de reais para a construção de três escolas de educação infantil. A área a ser construída 
em cada escola é, respectivamente, 1.500 m², 1.200 m² e 900 m² e a quantia destinada à cada escola é 
diretamente proporcional a área a ser construída. 
Sendo assim, a quantia destinada à construção da escola com 1.500 m² é, em reais, igual a 
(A) 22,5 milhões. 
(B) 13,5 milhões. 
(C) 15 milhões. 
(D) 27 milhões. 
(E) 21,75 milhões. 
 
04. (SABESP – Atendente a Clientes 01 – FCC) Uma empresa quer doar a três funcionários um 
bônus de R$ 45.750,00. Será feita uma divisão proporcional ao tempo de serviço de cada um deles. Sr. 
Fortes trabalhou durante 12 anos e 8 meses. Sra. Lourdes trabalhou durante 9 anos e 7 meses e Srta. 
Matilde trabalhou durante 3 anos e 2 meses. O valor, em reais, que a Srta. Matilde recebeu a menos que 
o Sr. Fortes é 
(A) 17.100,00. 
(B) 5.700,00. 
(C) 22.800,00. 
(D) 17.250,00. 
(E) 15.000,00. 
 
05. (SESP/MT – Perito Oficial Criminal – FUNCAB) Maria, Júlia e Carla dividirão R$ 72.000,00 em 
partes inversamente proporcionais às suas idades. Sabendo que Maria tem 8 anos, Júlia, 12 e Carla, 24, 
determine quanto receberá quem ficar com a maior parte da divisão. 
(A) R$ 36.000,00(B) R$ 60.000,00 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 33 
(C) R$ 48.000,00 
(D) R$ 24.000,00 
(E) R$ 30.000,00 
 
06. (PC/SP – Fotógrafo Perito – VUNESP) Uma verba de R$ 65.000,00 será alocada a três projetos 
diferentes. A divisão desse dinheiro será realizada de forma diretamente proporcional aos graus de 
importância dos projetos, que são, respectivamente, 2, 4 e 7. Dessa maneira, a quantia que o projeto 
mais importante receberá ultrapassa a metade do total da verba em 
(A) R$ 2.500,00. 
(B) R$ 9.000,00. 
(C) R$ 1.000,00. 
(D) R$ 5.000,00. 
(E) R$ 7.500,00. 
 
07. (PC/SP – Atendente de Necrotério Policial – VUNESP) No ano de 2008, a Secretaria Nacional 
de Segurança Pública divulgou o Relatório Descritivo com o Perfil dos Institutos de Medicina Legal (IML) 
brasileiros. Nesse relatório, consta que, em 2006, as quantidades de IMLs nos Estados do Espírito Santo, 
de Minas Gerais, do Rio de Janeiro e de São Paulo eram, respectivamente, 2, 20, 9 e 64. Supondo-se 
que uma verba federal de R$ 190 milhões fosse destinada aos IMLs desses Estados, e a divisão dessa 
verba fosse feita de forma diretamente proporcional a essas quantidades de IMLs por estado, o Estado 
de São Paulo receberia o valor, em milhões, de 
(A) R$ 128. 
(B) R$ 165,5. 
(C) R$ 98. 
(D) R$ 156. 
(E) R$ 47,5. 
 
08. (UFABC/SP – Tradutor e Intérprete de Linguagens de Sinais – VUNESP) Alice, Bianca e Carla 
trabalharam na organização da biblioteca da escola e, juntas, receberam como pagamento um total de 
R$900,00. Como cada uma delas trabalhou um número diferente de horas, as três decidiram que a divisão 
do dinheiro deveria ser proporcional ao tempo trabalhado. Alice trabalhou por 4 horas, e Bianca, que 
trabalhou 30 minutos menos do que Alice, recebeu R$210,00. A parte devida a Carla foi de 
(A) R$400,00. 
(B) R$425,00. 
(C) R$450,00. 
(D) R$475,00. 
(E) R$500,00. 
 
09. (EMTU/SP – Agente de Fiscalização – CAIPIMES) Uma calçada retilínea com 171 metros precisa 
ser dividida em três pedaços de comprimentos proporcionais aos números 2, 3 e 4. O maior pedaço 
deverá medir: 
(A) 78 metros. 
(B) 82 metros. 
(C) 76 metros. 
(D) 80 metros. 
 
10. (METRÔ/SP - Agente de Segurança Metroviária I - FCC) Repartir dinheiro proporcionalmente às 
vezes dá até briga. Os mais altos querem que seja divisão proporcional à altura. Os mais velhos querem 
que seja divisão proporcional à idade. Nesse caso, Roberto com 1,75 m e 25 anos e Mônica, sua irmã, 
com 1,50 m e 20 anos precisavam dividir proporcionalmente a quantia de R$ 29.250,00. Decidiram, no 
par ou ímpar, quem escolheria um dos critérios: altura ou idade. Mônica ganhou e decidiu a maneira que 
mais lhe favorecia. O valor, em reais, que Mônica recebeu a mais do que pela divisão no outro critério, é 
igual a 
(A) 500. 
(B) 400. 
(C) 300. 
(D) 250. 
(E) 50. 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 34 
Comentários 
 
01. Resposta: C 
5x + 8x + 12x = 750.000 
25x = 750.000 
x = 30.000 
O mais velho receberá: 1230000=360000 
 
02. Resposta: D 
2x + 7x + 6x + 6000 = 36000 
15x = 30000 
x = 2000 
Como o último recebeu R$ 6.000,00, significa que ele se dedicou 3 anos a empresa, pois 2000.3 = 
6000 
 
03. Resposta: A 
1500x + 1200x + 900x = 54000000 
3600x = 54000000 
x = 15000 
Escola de 1500 m²: 1500.15000 = 22500000 = 22,5 milhões. 
 
04. Resposta: A 
* Fortes: 12 anos e 8 meses = 12.12 + 8 = 144 + 8 = 152 meses 
* Lourdes: 9 anos e 7 meses = 9.12 + 7 = 108 + 7 = 115 meses 
* Matilde: 3 anos e 2 meses = 3.12 + 2 = 36 + 2 = 38 meses 
* TOTAL: 152 + 115 + 38 = 305 meses 
* Vamos chamar a quantidade que cada um vai receber de F, L e M. 
 
𝑭
𝟏𝟓𝟐
= 
𝑳
𝟏𝟏𝟓
= 
𝑴
𝟑𝟖
= 
𝑭 + 𝑳 +𝑴
𝟏𝟓𝟐 + 𝟏𝟏𝟓 + 𝟑𝟖
= 
𝟒𝟓𝟕𝟓𝟎
𝟑𝟎𝟓
= 𝟏𝟓𝟎 
 
Agora, vamos calcular o valor que M e F receberam: 
 
𝑴
𝟑𝟖
= 𝟏𝟓𝟎 
 
M = 38 . 150 = R$ 5 700,00 
𝑭
𝟏𝟓𝟐
= 𝟏𝟓𝟎 
F = 152 . 150 = R$ 22 800,00 
Por fim, a diferença é: 22 800 – 5700 = R$ 17 100,00 
 
05. Resposta: A 
M + J + C = 72000 
 
𝑀
1
1
8
=
𝐽
1
1
12
= 
𝐶
1
1
24
 = 
𝑀 +𝐽+𝐶
1
3+2+1
24
= 
72000
1
6
24
= 
72000 .24
6 .1
= 72000 . 4 = 288000 
 
A maior parte ficará para a mais nova (grandeza inversamente proporcional). 
Assim: 
 
8.𝑀
1
= 288000 
8.M = 288 000 → M = 288 000 / 8 → M = R$ 36 000,00 
 
06. Resposta: A 
Temos que A + B + C = 65 000, por grau de importância temos: 
A = K.2 
B = K.4 
C = K.7 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 35 
Aplicando na propriedade da divisão proporcional: 
𝐴
2
+
𝐵
4
+
𝐶
7
=
𝐴 + 𝐵 + 𝐶
2 + 4 + 7
=
65 000
13
= 5000 
 
Temos que K = 5000, aplicando acima, vamos descobrir o valor atribuído a cada um projeto: 
A = 5000 .2 = 10 000 
B = 5000.4 = 20 000 
C = 5000.7 = 35 000 
Como ele quer saber quanto o projeto de maior importância superou a metade da verba total, temos: 
Metade da verba total = 65 000/2 = 32 500 
Como o valor do projeto de maior importância é 35 000, logo 35 000 – 32 500 = 2 500 
 
07. Resposta: A 
Temos que E + M + R + S = 190 milhões 
Então: 
𝐸
2
+
𝑀
20
+
𝑅
9
+
𝑆
64
=
𝐸 +𝑀 + 𝑅 + 𝑆
2 + 20 + 9 + 64
=
190 000 0000
95
= 2 000 000 
 
Como queremos saber de o valor de São Paulo: 
S = 2 000 000 . 64 = 128 000 000 ou 128 milhões. 
 
08. Resposta: C 
Alice: 4horas = 240 minutos 
Bianca: 3 horas 30 minutos = 210 minutos 
K: constante 
210.k = 210 
k = 1, cada hora vale R$ 1,00 
Carla: Y 
240 + 210 + Y = 900 
Y = 900 - 450 
Y = 450 
 
09. Resposta: C 
𝑥
2
+
𝑦
3
+
𝑧
4
=
171
9
= 19 
 
y = 19.4 = 76 ou 
2x + 3x + 4x = 171 
9x = 171 → x = 19 
Maior pedaço: 4x = 4.19 = 76 metros 
 
10. Resposta: A 
Pela altura: 
R + M = 29250 
𝑅
1,75
 +
 𝑀 
1,50
=
 29250
1,75 + 1,5
=
29250
3,25
= 9000 
 
Mônica: 1, 5.9000=13500 
Pela idade 
𝑅
25
+
𝑀
20
=
29250
45
= 650 
 
Mônica: 20.650 = 13000 
13500 – 13000 = 500 
 
MÉDIA ARITMÉTICA 
 
Considere um conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn} e efetue uma certa operação com todos os 
elementos de A. 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 36 
Se for possível substituir cada um dos elementos do conjunto A por um número x de modo que o 
resultado da operação citada seja o mesmo diz – se, por definição, que x será a média dos elementos de 
A relativa a essa operação. 
 
Média Aritmética Simples5 
 
A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à adição é chamada média aritmética. 
 
Cálculo da média aritmética 
Se x for a média aritmética dos elementos do conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn}, então, por 
definição: 
 
 
A média aritmética(x) dos n elementos do conjunto numérico A é a soma de todos os seus 
elementos, dividida pelo número de elementos n. 
Exemplos: 
1) Calcular a média aritmética entre os números 3, 4, 6, 9, e 13. 
Se x for a média aritmética dos elementos do conjunto (3, 4, 6, 9, 13), então x será a soma dos 5 
elementos, dividida por 5. Assim: 
 
𝑥 = 
3 + 4 + 6 + 9 + 13
5
↔ 𝑥 = 
35
5
↔ 𝑥 = 7 
 
A média aritmética é 7. 
 
2) Os gastos (em reais) de 15 turistas em Porto Seguro estão indicados a seguir: 
65 – 80 – 45 – 40 – 65 – 80 – 85 – 90 
75 – 75 – 70 – 75 – 75 – 90 – 65 
 
Se somarmos todos os valores teremos: 
 
𝑥 =
65 + 80 + 45 + 40 + 65+, , , +90 + 65
15
=
1075
15
= 71,70 
 
Assim podemos concluir que o gasto médio do grupo de turistas foi de R$ 71,70. 
 
Questões 
 
01. (Câmara Municipal de São José dos Campos/SP – Analista Técnico Legislativo – Designer 
Gráfico – VUNESP) Na festa de seu aniversárioem 2014, todos os sete filhos de João estavam 
presentes. A idade de João nessa ocasião representava 2 vezes a média aritmética da idade de seus 
filhos, e a razão entre a soma das idades deles e a idade de João valia 
(A) 1,5. 
(B) 2,0. 
(C) 2,5. 
(D) 3,0. 
(E) 3,5. 
 
02. (TJ/SC - Técnico Judiciário - Auxiliar TJ-SC) Os censos populacionais produzem informações 
que permitem conhecer a distribuição territorial e as principais características das pessoas e dos 
domicílios, acompanhar sua evolução ao longo do tempo, e planejar adequadamente o uso sustentável 
dos recursos, sendo imprescindíveis para a definição de políticas públicas e a tomada de decisões de 
investimento. Constituem a única fonte de referência sobre a situação de vida da população nos 
 
5IEZZI, Gelson – Matemática – Volume Único 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 37 
municípios e em seus recortes internos – distritos, bairros e localidades, rurais ou urbanos – cujas 
realidades socioeconômicas dependem dos resultados censitários para serem conhecidas. 
http://www.ibge.gov.br/home/estatistica/populacao/censo2010/default.shtm 
(Acesso dia 29/08/2011) 
Um dos resultados possíveis de se conhecer, é a distribuição entre homens e mulheres no território 
brasileiro. A seguir parte da pirâmide etária da população brasileira disponibilizada pelo IBGE. 
 
http://www.ibge.gov.br/censo2010/piramide_etaria/index.php 
(Acesso dia 29/08/2011) 
O quadro abaixo, mostra a distribuição da quantidade de homens e mulheres, por faixa etária de uma 
determinada cidade. (Dados aproximados) 
Considerando somente a população masculina dos 20 aos 44 anos e com base no quadro abaixo a 
frequência relativa, dos homens, da classe [30, 34] é: 
 
 
(A) 64%. 
(B) 35%. 
(C) 25%. 
(D) 29%. 
(E) 30%. 
 
03. (EsSA - Sargento - Conhecimentos Gerais - Todas as Áreas – EB) Em uma turma a média 
aritmética das notas é 7,5. Sabe-se que a média aritmética das notas das mulheres é 8 e das notas dos 
homens é 6. Se o número de mulheres excede o de homens em 8, pode-se afirmar que o número total 
de alunos da turma é 
(A) 4. 
(B) 8. 
(C) 12. 
(D) 16. 
(E) 20. 
 
04. (SAP/SP - Oficial Administrativo – VUNESP) A altura média, em metros, dos cinco ocupantes de 
um carro era y. Quando dois deles, cujas alturas somavam 3,45 m, saíram do carro, a altura média dos 
que permaneceram passou a ser 1,8 m que, em relação à média original y, é 
(A) 3 cm maior. 
(B) 2 cm maior. 
(C) igual. 
(D) 2 cm menor. 
(E) 3 cm menor. 
 
05. (PC/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Em uma empresa com 5 funcionários, a soma dos 
dois menores salários é R$ 4.000,00, e a soma dos três maiores salários é R$ 12.000,00. Excluindo-se o 
menor e o maior desses cinco salários, a média dos 3 restantes é R$ 3.000,00, podendo-se concluir que 
a média aritmética entre o menor e o maior desses salários é igual a 
(A) R$ 3.500,00. 
(B) R$ 3.400,00. 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 38 
(C) R$ 3.050,00. 
(D) R$ 2.800,00. 
(E) R$ 2.500,00. 
 
Comentários 
 
01. Alternativa: E. 
Foi dado que: J = 2.M 
 
𝐽 = 
𝑎+𝑏+⋯+𝑔
7
= 2.𝑀 ( I ) 
 
Foi pedido: 
𝑎+𝑏+⋯+𝑔
𝐽
= ? 
 
Na equação ( I ), temos que: 
 
7 = 
𝑎+𝑏+⋯+𝑔
𝐽
 
 
7
2
= 
𝑎+𝑏+⋯+𝑔
𝑀
 
 
𝑎 + 𝑏 +⋯+ 𝑔
𝑀
= 3,5 
 
02. Alternativa: E. 
 [30, 34] = 600, somatória de todos os homens é: 300+400+600+500+200= 2000 
 
600
300+400+600+500+200
=
600
2000
= 0,3 . (100) = 30% 
 
03. Alternativa: D. 
Do enunciado temos m = h + 8 (sendo m = mulheres e h = homens). 
 
A média da turma é 7,5, sendo S a soma das notas: 
𝑆
𝑚+ℎ
= 7,5 → 𝑆 = 7,5(𝑚 + ℎ) 
 
A média das mulheres é 8, sendo S1 a soma das notas: 
𝑆1
𝑚
= 8 → 𝑆1 = 8𝑚 
 
A média dos homens é 6, sendo S2 a soma das notas: 
𝑆2
ℎ
= 6 → 𝑆2 = 6ℎ 
 
Somando as notas dos homens e das mulheres: 
S1 + S2 = S 
8m + 6h = 7,5(m + h) 
8m + 6h = 7,5m + 7,5h 
8m – 7,5m = 7,5h – 6h 
0,5m =1,5h 
𝑚 =
1,5ℎ
0,5
 
𝑚 = 3ℎ 
h + 8 = 3h 
8 = 3h – h 
8 = 2h → h = 4 
m = 4 + 8 = 12 
Total de alunos = 12 + 4 = 16 
 
04. Alternativa: A. 
Sendo S a soma das alturas e y a média, temos: 
 
𝑆
5
= 𝑦 → S = 5y 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 39 
𝑆−3,45
3
= 1,8 → S – 3,45 = 1,8.3 
S – 3,45 = 5,4 
S = 5,4 + 3,45 
S = 8,85, então: 
5y = 8,85 
y = 8,85 : 5 = 1,77 
1,80 – 1,77 = 0,03 m = 3 cm a mais. 
 
05. Alternativa: A. 
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 
x1 + x2 = 4000 
x3 + x4 + x5 = 12000 
 
 
𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4
3
= 3000 
 
x2 + x3 + x4 = 9000 
 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 = 4000 + 12000 = 16000 
 
Sendo 𝑥1 𝑒 𝑥5 o menor e o maior salário, respectivamente: 
 𝑥1 + 9000 + 𝑥5 = 16000 
 
 𝑥1 + 𝑥5 = 16000 − 9000 = 7000 
 
Então, a média aritmética: 
𝑥1 + 𝑥2
2
=
7000
2
= 3500 
 
Média Aritmética Ponderada 
 
A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à adição e na qual cada elemento tem um 
“determinado peso” é chamada média aritmética ponderada6. 
 
Cálculo da média aritmética ponderada 
Se x for a média aritmética ponderada dos elementos do conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn} com 
“pesos” P1; P2; P3; ...; Pn, respectivamente, então, por definição: 
 
P1 . x + P2 . x + P3 . x + ... + Pn . x = 
= P1 . x1 + P2 . x2 + P3 . x3 + ... + Pn . xn ↔ (P1 + P2 + P3 + ... + Pn) . x = 
= P1 . x1 + P2 . x2 + P3 . x3 + ... + Pn . xn e, portanto, 
 
 
Observe que se P1 = P2 = P3 = ... = Pn = 1, então 𝑥 =
𝑥1; 𝑥2; 𝑥3; …; 𝑥𝑛
𝑛
: que é a média aritmética simples. 
 
A média aritmética ponderada dos n elementos do conjunto numérico A é a soma dos produtos 
de cada elemento multiplicado pelo respectivo peso, dividida pela soma dos pesos. 
 
Exemplos: 
1) Calcular a média aritmética ponderada dos números 35, 20 e 10 com pesos 2, 3, e 5, 
respectivamente. 
 
Se x for a média aritmética ponderada, então: 
𝑥 = 
2 .35 + 3 .20 + 5 .10
2 + 3 + 5
↔ 𝑥 = 
70 + 60 + 50
10
 ↔ 𝑥 = 
180
10
 ↔ 𝑥 = 18 
 
6IEZZI, Gelson – Matemática – Volume Único 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 40 
A média aritmética ponderada é 18. 
 
2) Em um dia de pesca nos rios do pantanal, uma equipe de pescadores anotou a quantidade de peixes 
capturada de cada espécie e o preço pelo qual eram vendidos a um supermercado em Campo Grande. 
 
Tipo de peixe Quilo de peixe pescado Preço por quilo 
Peixe A 18 R$ 3,00 
Peixe B 10 R$ 5,00 
Peixe C 6 R$ 9,00 
 
Vamos determinar o preço médio do quilograma do peixe vendido pelos pescadores ao supermercado. 
Considerando que a variável em estudo é o preço do quilo do peixe e fazendo a leitura da tabela, 
concluímos que foram pescados 18 kg de peixe ao valor unitário de R$ 3,00, 10 kg de peixe ao valor 
unitário de R$ 5,00 e 6 kg de peixe ao valor de R$ 9,00. 
Vamos chamar o preço médio de p: 
 
𝑝 =
18𝑥3,00 + 10𝑥5,00 + 6𝑥9,00
18 + 10 + 6
=
54 + 50 + 54
34
=
158
34
= 4,65 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 
 
Neste caso o fator de ponderação foi a quantidade de peixes capturadas de cada espécie. 
 
A palavra média, sem especificações (aritmética ou ponderada), deve ser entendida como média 
aritmética. 
 
Questões 
 
01. (EPCAR – Cadete – EPCAR) Um líquido L1 de densidade 800 g/l será misturado a um líquido L2 
de densidade 900 g/l Tal mistura será homogênea e terá a proporção de 3 partes de L1 para cada 5 partes 
de L2 A densidade da mistura final, em g/l, será 
(A) 861,5. 
(B) 862. 
(C) 862,5. 
(D) 863. 
 
02. (TJM-SP – Oficial de Justiça – VUNESP) Ao encerrar o movimento diário, um atacadista, quevende à vista e a prazo, montou uma tabela relacionando a porcentagem do seu faturamento no dia com 
o respectivo prazo, em dias, para que o pagamento seja efetuado. 
PORCENTUAL DO 
FATURAMENTO 
PRAZO PARA 
PAGAMENTO (DIAS) 
15% À vista 
20% 30 
35% 60 
20% 90 
10% 120 
 
O prazo médio, em dias, para pagamento das vendas efetuadas nesse dia, é igual a 
(A) 75. 
(B) 67. 
(C) 60. 
(D) 57. 
(E) 55. 
 
03. (SEDUC/RJ - Professor – Matemática – CEPERJ) Uma loja de roupas de malha vende camisetas 
com malha de três qualidades. Cada camiseta de malha comum custa R$15,00, de malha superior custa 
R$24,00 e de malha especial custa R$30,00. Certo mês, a loja vendeu 180 camisetas de malha comum, 
150 de malha superior e 70 de malha especial. O preço médio, em reais, da venda de uma camiseta foi 
de: 
(A) 20. 
(B) 20,5. 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 41 
(C) 21. 
(D) 21,5. 
(E) 11. 
 
04. (CÂMARA MUNICIPAL DE SÃO JOSÉ DO RIO PRETO/SP – Programador de Computador – 
FIP) A média semestral de um curso é dada pela média ponderada de três provas com peso igual a 1 
na primeira prova, peso 2 na segunda prova e peso 3 na terceira. Qual a média de um aluno que tirou 
8,0 na primeira, 6,5 na segunda e 9,0 na terceira? 
(A) 7,0 
(B) 8,0 
(C) 7,8 
(D) 8,4 
(E) 7,2 
 
05. (SESP/MT – Perito Oficial Criminal - Engenharia Civil/Engenharia Elétrica/Física/Matemática 
– FUNCAB) A tabela abaixo mostra os valores mensais do Imposto Predial e Territorial Urbano (IPTU) 
pagos pelos apartamentos de um condomínio. Determine a média aritmética desses valores. 
 
Número de Apartamentos Valor de IPTU Pago 
5 R$ 180,00 
5 R$ 200,00 
10 R$ 220,00 
10 R$ 240,00 
4 R$ 300,00 
6 R$ 400,00 
 
(A) R$ 248,50 
(B) R$ 252,50 
(C) R$ 255,50 
(D) R$ 205,50 
(E) R$ 202,50 
 
06. (SAP/SP - AGENTE DE SEGURANÇA PENITENCIÁRIA DE CLASSE I – VUNESP) Em uma 
seção de uma empresa com 20 funcionários, a distribuição dos salários mensais, segundo os cargos 
que ocupam, é a seguinte: 
 
Sabendo-se que o salário médio desses funcionários é de R$ 1.490,00, pode-se concluir que o salário 
de cada um dos dois gerentes é de 
(A) R$ 2.900,00. 
(B) R$ 4.200,00. 
(C) R$ 2.100,00. 
(D) R$ 1.900,00. 
(E) R$ 3.400,00. 
 
07. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST) Em um concurso existem provas de 
Português, Matemática, Informática e Conhecimentos Específicos, com pesos respectivos 2, 3, 1 e 4. Um 
candidato obteve as seguintes notas nas provas de Português, Matemática e Informática: 
 
Disciplina Nota 
Português 77 
Matemática 62 
Informática 72 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 42 
Se a nota do candidato no concurso foi 80, qual foi a sua nota na prova de Conhecimentos Específicos? 
(A) 95 
(B) 96 
(C) 97 
(D) 98 
(E) 99 
 
08. (VUNESP – FUNDUNESP – Assistente Administrativo) Um concurso teve duas fases, e, em 
cada uma delas, os candidatos foram avaliados com notas que variaram de zero a dez. Para efeito de 
classificação, foram consideradas as médias ponderadas de cada candidato, uma vez que os pesos da 
1.ª e da 2.ª fases foram 2 e 3, respectivamente. Se um candidato tirou 8 na 1.ª fase e 5 na 2.ª, então é 
verdade que sua média ponderada foi 
(A) 6,2. 
(B) 6,5. 
(C) 6,8. 
(D) 7,1. 
(E) 7,4. 
 
09. (SAAE/SP - Fiscal Leiturista – VUNESP) A tabela mostra os valores de algumas latinhas de 
bebidas vendidas em um clube e a quantidade consumida por uma família, em certo dia. 
 
Bebidas (latinha) Valor unitário Quantidade Consumida 
Refrigerante R$ 4,00 8 
Suco R$ 5,00 6 
Cerveja X 4 
 
Considerando-se o número total de latinhas consumidas por essa família nesse dia, na média, o preço 
de uma latinha saiu por R$ 5,00. Então, o preço de uma latinha de cerveja era 
(A) R$ 5,00. 
(B) R$ 5,50. 
(C) R$ 6,00. 
(D) R$ 6,50. 
(E) R$ 7,00. 
 
10. (Instituto de Pesquisas Tecnológicas – Secretária – VUNESP) Em um edifício residencial, 14 
unidades pagam uma taxa mensal de condomínio no valor de 930 reais. Para as 28 unidades restantes, 
que são menores, a taxa mensal de condomínio também é menor. Sabendo-se que o valor médio da taxa 
mensal de condomínio, nesse edifício, é de 750 reais, é correto afirmar que o valor em reais que cada 
unidade menor paga mensalmente de condomínio é igual a 
(A) 600. 
(B) 620. 
(C) 660. 
(D) 700. 
(E) 710. 
 
Comentários 
 
01. Alternativa: C. 
 
3.800+5.900
3+5
=
2400+4500
8
=
6900
8
= 862,5 
 
02. Alternativa: D. 
Média aritmética ponderada: multiplicamos o porcentual pelo prazo e dividimos pela soma dos 
porcentuais. 
 
15.0+20.30+35.60+20.90+10.120
15+20+35+20+10
= 
 
=
600+2100+1800+1200
100
= 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 43 
=
5700
100
= 57 
 
03. Alternativa: C. 
 Também média aritmética ponderada. 
 
180.15+150.24+70.30
180+150+70
= 
 
=
2700+3600+2100
400
= 
 
=
8400
400
= 21 
 
04. Alternativa: B. 
Na média ponderada multiplicamos o peso da prova pela sua nota e dividimos pela soma de todos os 
pesos, assim temos: 
𝑀𝑃 = 
8.1 + 6,5.2 + 9.3
1 + 2 + 3
=
8 + 13 + 27
6
=
48
6
= 8,0 
 
05. Alternativa: B. 
 
𝑀 =
5.180 + 5.200 + 10.220 + 10.240 + 4.300 + 6.400
5 + 5 + 10 + 10 + 4 + 6
=
10100
40
= 252,50 
 
06. Alternativa: C. 
 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 =
2𝑥 + 8 ∙ 1700 + 10 ∙ 1200
20
 
 
1490 =
2𝑥 + 8 ∙ 1700 + 10 ∙ 1200
20
 
 
2𝑥 + 13600 + 12000 = 29800 
2𝑥 = 4200 
𝑥 = 2100 
Cada um dos gerentes recebem R$ 2100,00 
 
07. Alternativa: C. 
 
2.77 + 3.62 + 1.72 + 4. 𝑥
2 + 3 + 1 + 4
= 80 
 
412 + 4. 𝑥
10
= 80 
 
4x + 412 = 80 . 10 
4x = 800 – 412 
x = 388 / 4 
x = 97 
 
08. Alternativa: A. 
𝑀𝑝 = 
2.8 + 3.5
2 + 3
 = 
16 + 15
5
 = 
31
5
 = 6,2 
 
09. Alternativa: E. 
 
8.4 + 6.5 + 4. 𝑥
8 + 6 + 4
= 5 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 44 
62 + 4. 𝑥
18
= 5 
 
4.x = 90 – 62 
x = 28 / 4 
x = R$ 7,00 
 
10. Resposta: C. 
 
𝟏𝟒 . 𝟗𝟑𝟎 + 𝟐𝟖 . 𝒙
𝟏𝟒 + 2𝟖
= 𝟕𝟓𝟎 
 
𝟏𝟑𝟎𝟐𝟎 + 𝟐𝟖 . 𝒙
𝟒𝟐
= 𝟕𝟓𝟎 
 
13020 + 28.x = 42 . 750 
28.x = 31500 – 13020 
x = 18480 / 28 
x = R$ 660,00 
 
MÉDIA GEOMÉTRICA 
 
Este tipo de média é calculado multiplicando-se todos os n valores e extraindo-se a raiz de 
índice n deste produto. (n≥2) 
 
Em uma fórmula: a média geométrica de a1, a2, ..., an é 
 
 
 
A média geométrica de um conjunto de números é sempre menor ou igual à média aritmética dos 
membros desse conjunto (as duas médias são iguais se e somente se todos os membros do conjunto são 
iguais). Isso permite a definição da média aritmética geométrica, uma mistura das duas que sempre tem 
um valor intermediário às duas. 
A média geométrica é também a média aritmética harmônica no sentido que, se duas sequências (an) 
e (hn) são definidas: 
 
 
 
e 
 
 
 
Então an e hn convergem para a média geométrica de x e y. 
 
Exemplo: 
 
Digamos que tenhamos os números 4, 6 e 9, para obtermos média geométrica deste conjunto, 
multiplicamos os elementos e obtemos o produto 216. 
Pegamos então este produto e extraímos a sua raiz cúbica, chegando ao valor médio 6. 
Extraímos a raiz cúbica, pois o conjunto é composto de 3 elementos. Se fossem n elementos, 
extrairíamos a raiz de índice n. 
 
 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 45 
Neste exemplo teríamos a seguinte solução: 
 
 
 
Utilidades da Média Geométrica 
 
Progressão Geométrica 
Uma das utilizações deste tipo de média é na definição de uma progressão geométrica que diz que 
em toda PG., qualquer termo é média geométricaentre o seu antecedente e o seu consequente: 
 
 
 
Tomemos como exemplo três termos consecutivos de uma PG.: 7, 21 e 63. 
Temos então que o termo 21 é média geométrica dos termos 7 e 63. 
 
Vejamos: 
 
 
 
 
Variações Percentuais em Sequência 
 
Outra utilização para este tipo de média é quando estamos trabalhando com variações percentuais em 
sequência. 
 
Exemplo 
Digamos que uma categoria de operários tenha um aumento salarial de 20% após um mês, 12% após 
dois meses e 7% após três meses. Qual o percentual médio mensal de aumento desta categoria? 
Sabemos que para acumularmos um aumento de 20%, 12% e 7% sobre o valor de um salário, 
devemos multiplicá-lo sucessivamente por 1,2, ; 1,12 e 1,07 que são os fatores correspondentes a tais 
percentuais. 
A partir daí podemos calcular a média geométrica destes fatores: 
 
 
 
Como sabemos, um fator de 1, 128741 corresponde a 12, 8741% de aumento. 
Este é o valor percentual médio mensal do aumento salarial, ou seja, se aplicarmos três vezes 
consecutivas o percentual 12, 8741%, no final teremos o mesmo resultado que se tivéssemos aplicado 
os percentuais 20%, 12% e 7%. 
Digamos que o salário desta categoria de operários seja de R$ 1.000,00, aplicando-se os sucessivos 
aumentos temos: 
 
Salário Inicial + % 
Informado 
Salário final Salário inicial + % médio Salário final 
R$ 1.000,00 20% R$ 1.200,00 R$ 1.000,00 12, 8417 R$ 1.128,74 
R$ 1.200,00 12% R$ 1.334,00 R$ 1.287,74 12, 8417 R$ 1.274,06 
R$ 1.334,00 7% R$ 1.438,00 R$ 1.274,06 12, 8417 R$ 1.438,08 
 
Observe que o resultado final de R$ 1.438,08 é o mesmo nos dois casos. Se tivéssemos utilizado a 
média aritmética no lugar da média geométrica, os valores finais seriam distintos, pois a média aritmética 
de 13% resultaria em um salário final de R$ 1.442,90, ligeiramente maior como já era esperado, já que o 
percentual de 13% utilizado é ligeiramente maior que os 12, 8417% da média geométrica. 
 
Cálculo da Média Geométrica Triangular 
Bom... primeiro observamos o mapa e somamos as áreas dos quadrados catetos e dividimos pela 
hipotenusa e no final pegamos a soma dos ângulos subtraindo o que está entre os catetos e dividimos 
por PI (3,1415...) assim descobrimos a média geométrica dos triângulos. 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 46 
Exemplo: 
A média geométrica entre os números 12, 64, 126 e 345, é dada por: 
 
G = R4[12 ×64×126×345] = 76,013 
 
Aplicação Prática: 
Dentre todos os retângulos com a área igual a 64 cm², qual é o retângulo cujo perímetro é o menor 
possível, isto é, o mais econômico? A resposta a este tipo de questão é dada pela média geométrica entre 
as medidas do comprimento a e da largura b, uma vez que a.b = 64. 
 
A média geométrica G entre a e b fornece a medida desejada. 
G = R[a × b] = R[64] = 8 
 
Resposta: 
É o retângulo cujo comprimento mede 8 cm e é lógico que a altura também mede 8 cm, logo só pode 
ser um quadrado! O perímetro neste caso é p = 32 cm. Em qualquer outra situação em que as medidas 
dos comprimentos forem diferentes das alturas, teremos perímetros maiores do que 32 cm. 
 
Interpretação gráfica 
A média geométrica entre dois segmentos de reta pode ser obtida geometricamente de uma forma 
bastante simples. 
Sejam AB e BC segmentos de reta. Trace um segmento de reta que contenha a junção dos segmentos 
AB e BC, de forma que eles formem segmentos consecutivos sobre a mesma reta. 
 
 
 
Dessa junção aparecerá um novo segmento AC. Obtenha o ponto médio O deste segmento e com um 
compasso centrado em O e raio OA, trace uma semicircunferência começando em A e terminando em C. 
O segmento vertical traçado para cima a partir de B encontrará o ponto D na semicircunferência. A medida 
do segmento BD corresponde à média geométrica das medidas dos segmentos AB e BC. 
 
 
MÉDIA HARMÔNICA 
 
A Média harmônica é o inverso da média aritmética do inverso dos referidos números: 
 
 
 
Exemplo: 
Calcular a média Harmônica entre 3 e 4. 
 
Basta calcular a média entre os inversos dos números 3 e 4 e depois inverte-los, ou seja, 
 
1
3 +
1
4
2
=
7
24
 
 
Logo a Média Harmônica é: 𝐻 = (
7
24
)
−1
= 
24
7
≅ 3,42 
 
 
 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 47 
Questões 
 
01. (Pref. de Pinhais/PR – Médico Veterinário – FAFIPA) Qual é a média geométrica dos números 
2 e 8? 
(A) 2 
(B) 4 
(C) 6 
(D) 8 
 
02. DPE/RS – Analista – FCC) A média geométrica dos números 4, 8 e 16 é 
(A) maior que a respectiva média aritmética. 
(B) inferior a 6. 
(C) igual a 8. 
(D) igual a 4. 
(E) superior a 9. 
 
03. (SEFAZ/RJ – Analista de Controle Interno – FGV) A média geométrica simples entre os valores 
{3; 9; 3; 1} é 
(A) 2. 
(B) 3. 
(C) 4. 
(D) 3,25. 
(E) 3,5. 
 
04. (FUB – Assistente Administrativo – CESPE) Os números x, y e z estão, nessa ordem, em 
progressão aritmética de razão 3 e os números x, z e w estão, nessa ordem, em progressão geométrica 
de razão 4. Com relação a essa situação, 
Julgue os itens que se seguem. 
A média geométrica entre os números x, z e w é igual a 9. 
( ) Certo ( ) Errado 
 
05. (ANAC – Especialista em Regulação de Aviação Civil – CESPE) Considerando que uma 
pesquisa de satisfação referente a um novo terminal de passageiros tenha sido realizada com 50 pessoas 
e o resultado em uma amostra de notas conforme apresentado na tabela abaixo, julgue os itens seguintes. 
 
A média geométrica da distribuição das notas foi superior à média aritmética. 
( ) Certo ( ) Errado 
 
06. (IF/RN – Professor – FUNCERN) Considere que os números a,b e c são reais positivos e que a é 
a média geométrica entre x2 e b. 
Se, b é a média geométrica entre a/3 e 2x, então, o valor de y para b3=xy é 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 48 
07. (TSE – Analista Judiciário – CONSULPLAN) O valor absoluto da diferença entre a média 
geométrica e a média aritmética de X = {2, 2, 2, 2, 4, 16, 128, 128} é 
(A) 19,5. 
(B) 33,5. 
(C) 31,5. 
(D) 27,5. 
 
08. (ARTESP – Especialista em Regulação de Transporte I – FCC - Adaptada) Considere as 
seguintes informações: 
I. (A) = média harmônica dos números 4, 6 e 12. 
II. (B) = média geométrica dos números 6, 12 e 24. 
A média aritmética de (A) + (B) é igual a 
(A) 6. 
(B) 9. 
(C) 12. 
(D) 18. 
(E) 36. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B 
Para encontrar a média geométrica basta multiplicarmos os termos e extrairmos a raiz cujo índice é 
igual a quantidade de termos, então teremos: 
√2.8
2
 = √16
2
= 4 
 
02. Resposta: C 
Para encontrar a média geométrica basta multiplicarmos os termos e extrairmos a raiz cujo índice é 
igual a quantidade de termos, então teremos: 
√4.8.16
3
 = √512
3
 = √29
3
= 23 = 8. 
 
03. Resposta: B 
Para encontrar a média geométrica basta multiplicarmos os termos e extrairmos a raiz cujo índice é 
igual a quantidade de termos, então teremos: 
√3.9.3.1
4
 = √81
4
 = √34
4
= 3. 
 
04. Resposta: Errado 
 
Como x, y, z estão em progressão aritmética de razão 3, temos que: 
y = x + 3 
z = y + 3 = x + 3 + 3 = x + 6 
 
Depois ele diz o seguinte: 
x, z, w estão em progressão geométrica de razão 4, logo 
z = 4.x 
Assim se igualarmos o valor de z nas duas etapas teremos: 
 
x + 6 = z = 4x 
x + 6 = 4x 
6 = 4x – x 
6 = 3x 
6/3 = x 
x = 2 
 
Portanto x = 2, disso concluímos que: 
y = x + 3 = 2 + 3 = 5 
z = x + 6 = 2 + 6 = 8 
w = 4z = 4.8 = 32 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 49 
Precisamos calcular a média geométrica entre x, z, w, assim teremos: 
√2.8.32
3
 = √21. 23. 25
3
 = √29
3
= 23 = 8. 
Logo é falsa, pois a média geométrica é iguala 8 e não 9. 
 
05. Resposta: Errado 
Para resolver esta questão não precisa se desesperar, basta se lembrar de algo muito simples, 
chamado desigualdade das médias, ou seja, a média aritmética é maior ou igual à média geométrica e 
esta maior ou igual à média harmônica, assim esta afirmação é errada. 
 
06. Resposta: A 
Para resolver este problema, devemos expressar os valores de forma a gerar uma equação. 
Temos o seguinte: 
√𝑥2. 𝑏
2
= 𝑎 (*) 
e também, 
√
𝑎
3
. 2𝑥
2
= 𝑏 (**) 
Vamos isolar o “a” em (**) e substituir em (*). 
𝑎
3
. 2𝑥 = 𝑏2 
𝑎 = 
𝑏2.3
2𝑥
= 
3𝑏²
2𝑥
 
 
Vamos substituir em (*) agora 
√𝑥2. 𝑏
2
= 𝑎 
√𝑥2. 𝑏
2
=
3𝑏²
2𝑥
 
𝑥2. 𝑏 = (
3𝑏2
2𝑥
)
2
 
𝑥2. 𝑏 =
9.𝑏4
4𝑥2
 
𝑥2. 4𝑥2 = 9.
𝑏4
𝑏
 
4𝑥4
9
= 𝑏³ 
 
Agora foi pedido para calcular o valor de y para b3=xy, vamos arrumar essa equação, ou seja, isolando 
o y. 
𝑏³
𝑥
= 𝑦, mas sabemos que b³ = 
4𝑥4
9
, substituindo então: 
 
4𝑥4
9
𝑥
1
= 𝑦 
 
4𝑥4
9𝑥
= 𝑦 
4𝑥3
9
= 𝑦 
Portanto alternativa A. 
 
07. Resposta: D 
Para resolver este problema precisamos calcular a média aritmética e a média geométrica dos termos. 
 
Média aritmética: 
2+2+2+2+4+16+128+128
8
=
284
8
= 35,5 
 
Média geométrica: 
√2.2.2.2.4.16.128.128
8
= √2¹. 2¹. 2¹. 2¹. 2². 24. 27. 27
8
= √224
8
= 23 = 8 
 
Agora basta fazer a diferença entre elas, assim teremos: 
35,5 – 8 = 27,5. 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 50 
08. Resposta: B 
Para resolver este problemas devemos encontrar a média harmônica de I e a média geométrica de II, 
a seguir basta calcular a média aritmética simples dos dois resultados obtidos, portanto vamos lá! 
Média harmônica de I. 
Para o cálculo da média harmônica, basta calcularmos o inverso da média dos inversos, ou seja, 
Média harmônica = 
𝑛
1
𝑥1
 +
1
𝑥2
+
1
𝑥3
+⋯+
1
𝑥𝑛
 
 
H = 
3
1
4
 +
1
6
+
1
12
 
 = 
 
Primeiramente vamos calcular a soma 
1
4
 +
1
6
+
1
12
 através do MMC. 
1
4
 +
1
6
+
1
12
 = 
3
12
 +
2
12
+
1
12
=
6
12
=
1
2
 
 
H = 
3
1
2
 
= 3.
2
1
= 6 
 
Agora vamos calcular a média geométrica de II. 
 
√6.12.24
3
= √21. 31. 22. 31. 23. 3¹ 
3
= √26. 3³
3
= 22. 31 = 12 
 
Basta encontrarmos a média aritmética simples entre 6 e 12, portanto: 
6 + 12
2
=
18
2
= 9 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
Os problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais podem ser 
resolvidos através de um processo prático, chamado regra de três simples7. 
Vejamos a tabela abaixo: 
 
 
 
 
 
7MARIANO, Fabrício – Matemática Financeira para Concursos – 3ª Edição – Rio de Janeiro: Elsevier,2013. 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 51 
Exemplos: 
1) Um carro faz 180 km com 15L de álcool. Quantos litros de álcool esse carro gastaria para percorrer 
210 km? 
O problema envolve duas grandezas: distância e litros de álcool. 
Indiquemos por x o número de litros de álcool a ser consumido. 
Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e as grandezas de espécies 
diferentes que se correspondem em uma mesma linha: 
 
 
Na coluna em que aparece a variável x (“litros de álcool”), vamos colocar uma flecha: 
 
 
Observe que, se duplicarmos a distância, o consumo de álcool também duplica. Então, as grandezas 
distância e litros de álcool são diretamente proporcionais. No esquema que estamos montando, 
indicamos esse fato colocando uma flecha na coluna “distância” no mesmo sentido da flecha da coluna 
“litros de álcool”: 
 
 
Armando a proporção pela orientação das flechas, temos: 
 
180
210
=
15
𝑥
→ 𝑐𝑜𝑚𝑜 180 𝑒 210 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚 𝑠𝑒𝑟 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 30, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
180: 30
210: 30
=
15
𝑥
 
 
1806
2107
=
15
𝑥
→ 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑑𝑜(𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑖𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠) → 6𝑥 = 7.15 
6𝑥 = 105 → 𝑥 =
105
6
= 𝟏𝟕, 𝟓 
 
Resposta: O carro gastaria 17,5 L de álcool. 
 
2) Viajando de automóvel, à velocidade de 50 km/h, eu gastaria 7 h para fazer certo percurso. 
Aumentando a velocidade para 80 km/h, em quanto tempo farei esse percurso? 
 
Indicando por x o número de horas e colocando as grandezas de mesma espécie em uma mesma 
coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha, temos: 
 
 
Na coluna em que aparece a variável x (“tempo”), vamos colocar uma flecha: 
 
 
Observe que, se duplicarmos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade. Isso significa que as 
grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. No nosso esquema, esse fato é 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 52 
indicado colocando-se na coluna “velocidade” uma flecha em sentido contrário ao da flecha da coluna 
“tempo”: 
 
 
Na montagem da proporção devemos seguir o sentido das flechas. Assim, temos: 
7
𝑥
=
80
50
, 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜 →
7
𝑥
=
808
505
→ 7.5 = 8. 𝑥 → 𝑥 =
35
8
→ 𝑥 = 4,375 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
 
Como 0,375 corresponde 22 minutos (0,375 x 60 minutos), então o percurso será feito em 4 horas e 
22 minutos aproximadamente. 
 
3) Ao participar de um treino de fórmula Indy, um competidor, imprimindo a velocidade média de 180 
km/h, faz o percurso em 20 segundos. Se a sua velocidade fosse de 300 km/h, que tempo teria gasto no 
percurso? 
 
Vamos representar pela letra x o tempo procurado. 
Estamos relacionando dois valores da grandeza velocidade (180 km/h e 300 km/h) com dois valores 
da grandeza tempo (20 s e x s). 
Queremos determinar um desses valores, conhecidos os outros três. 
 
 
Se duplicarmos a velocidade inicial do carro, o tempo gasto para fazer o percurso cairá para a metade; 
logo, as grandezas são inversamente proporcionais. Assim, os números 180 e 300 são inversamente 
proporcionais aos números 20 e x. 
Daí temos: 
180.20 = 300. 𝑥 → 300𝑥 = 3600 → 𝑥 =
3600
300
→ 𝑥 = 12 
 
Conclui-se, então, que se o competidor tivesse andando em 300 km/h, teria gasto 12 segundos para 
realizar o percurso. 
 
Questões 
 
01. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Em 3 de maio de 2014, o jornal Folha de S. Paulo 
publicou a seguinte informação sobre o número de casos de dengue na cidade de Campinas. 
 
De acordo com essas informações, o número de casos registrados na cidade de Campinas, até 28 de 
abril de 2014, teve um aumento em relação ao número de casos registrados em 2007, aproximadamente, 
de 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 53 
(A) 70%. 
(B) 65%. 
(C) 60%. 
(D) 55%. 
(E) 50%. 
 
02. (FUNDUNESP – Assistente Administrativo – VUNESP) Um título foi pago com 10% de desconto 
sobre o valor total. Sabendo-se que o valor pago foi de R$ 315,00, é correto afirmar que o valor total 
desse título era de 
(A) R$ 345,00. 
(B) R$ 346,50. 
(C) R$ 350,00. 
(D) R$ 358,50. 
(E) R$ 360,00. 
 
03. (Pref. Imaruí – Agente Educador – Pref. Imaruí) Manoel vendeu seu carro por R$27.000,00(vinte 
e sete mil reais) e teve um prejuízo de 10%(dez por cento) sobre o valor de custo do tal veículo, por 
quanto Manoel adquiriu o carro em questão? 
(A) R$24.300,00 
(B) R$29.700,00 
(C) R$30.000,00 
(D)R$33.000,00 
(E) R$36.000,00 
 
04. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES) Em um mapa, cuja escala 
era 1:15.104, a menor distância entre dois pontos A e B, medidacom a régua, era de 12 centímetros. Isso 
significa que essa distância, em termos reais, é de aproximadamente: 
(A) 180 quilômetros. 
(B) 1.800 metros. 
(C) 18 quilômetros. 
(D) 180 metros. 
 
05. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) A Bahia (...) é o maior produtor de cobre 
do Brasil. Por ano, saem do estado 280 mil toneladas, das quais 80 mil são exportadas. 
O Globo, Rio de Janeiro: ed. Globo, 12 mar. 2014, p. 24. 
 
Da quantidade total de cobre que sai anualmente do Estado da Bahia, são exportados, 
aproximadamente, 
(A) 29% 
(B) 36% 
(C) 40% 
(D) 56% 
(E) 80% 
 
06. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Um comerciante comprou uma caixa com 90 balas 
e irá vender cada uma delas por R$ 0,45. Sabendo que esse comerciante retirou 9 balas dessa caixa 
para consumo próprio, então, para receber o mesmo valor que teria com a venda das 90 balas, ele terá 
que vender cada bala restante na caixa por: 
(A) R$ 0,50. 
(B) R$ 0,55. 
(C) R$ 0,60. 
(D) R$ 0,65. 
(E) R$ 0,70. 
 
07. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Em 25 de maio de 2014, o jornal Folha de S. Paulo 
publicou a seguinte informação sobre a capacidade de retirada de água dos sistemas de abastecimento, 
em metros cúbicos por segundo (m3/s): 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 54 
 
De acordo com essas informações, o número de segundos necessários para que o sistema Rio Grande 
retire a mesma quantidade de água que o sistema Cantareira retira em um segundo é: 
(A) 5,4. 
(B) 5,8. 
(C) 6,3. 
(D) 6,6. 
(E) 6,9. 
 
08. (FUNDUNESP – Auxiliar Administrativo – VUNESP) Certo material para laboratório foi adquirido 
com desconto de 10% sobre o preço normal de venda. Sabendo-se que o valor pago nesse material foi 
R$ 1.170,00, é possível afirmar corretamente que seu preço normal de venda é 
(A) R$ 1.285,00. 
(B) R$ 1.300,00. 
(C) R$ 1.315,00. 
(D) R$ 1.387,00. 
(E) R$ 1.400,00. 
 
09. (PC/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) A mais antiga das funções do Instituto Médico Legal 
(IML) é a necropsia. Num determinado período, do total de atendimentos do IML, 30% foram necropsias. 
Do restante dos atendimentos, todos feitos a indivíduos vivos, 14% procediam de acidentes no trânsito, 
correspondendo a 588. Pode-se concluir que o total de necropsias feitas pelo IML, nesse período, foi 
(A) 2500. 
(B) 1600. 
(C) 2200. 
(D) 3200. 
(E) 1800. 
 
10. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) A expectativa de vida do Sr. Joel é de 
75 anos e, neste ano, ele completa 60 anos. Segundo esta expectativa, pode-se afirmar que a fração de 
vida que ele já viveu é 
(A) 
4
7
 
 
(B) 
5
6
 
 
(C) 
4
5
 
 
(D) 
3
4
 
 
(E) 
2
3
 
 
 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 55 
11. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) Foram digitados 10 livros de 200 páginas 
cada um e armazenados em 0,0001 da capacidade de um microcomputador. Utilizando-se a capacidade 
total desse microcomputador, o número de livros com 200 páginas que é possível armazenar é 
(A) 100. 
(B) 1000. 
(C) 10000. 
(D) 100000. 
(E) 1000000. 
 
12. (IF/GO – Assistente de Alunos – UFG) Leia o fragmento a seguir 
 
A produção brasileira de arroz projetada para 2023 é de 13,32 milhões de toneladas, correspondendo 
a um aumento de 11% em relação à produção de 2013. 
Disponível em: <http://www.agricultura.gov.br/arq_editor/projecoes-ver saoatualizada.pdf>. Acesso em: 24 fev. 2014. (Adaptado). 
 
De acordo com as informações, em 2023, a produção de arroz excederá a produção de 2013, em 
milhões de toneladas, em: 
(A) 1,46 
(B) 1,37 
(C) 1,32 
(D) 1,22 
 
13. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB) Numa transportadora, 15 caminhões de 
mesma capacidade transportam toda a carga de um galpão em quatro horas. Se três deles quebrassem, 
em quanto tempo os outros caminhões fariam o mesmo trabalho? 
(A) 3 h 12 min 
(B) 5 h 
(C) 5 h 30 min 
(D) 6 h 
(E) 6 h 15 min 
 
14. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Uma receita para fazer 35 bolachas 
utiliza 225 gramas de açúcar. Mantendo-se as mesmas proporções da receita, a quantidade de açúcar 
necessária para fazer 224 bolachas é 
(A) 14,4 quilogramas. 
(B) 1,8 quilogramas. 
(C) 1,44 quilogramas. 
(D) 1,88 quilogramas. 
(E) 0,9 quilogramas. 
 
15. (METRÔ/SP – Usinador Ferramenteiro – FCC) Laerte comprou 18 litros de tinta látex que, de 
acordo com as instruções na lata, rende 200m² com uma demão de tinta. Se Laerte seguir corretamente 
as instruções da lata, e sem desperdício, depois de pintar 60 m² de parede com duas demãos de tinta 
látex, sobrarão na lata de tinta comprada por ele 
(A) 6,8L. 
(B) 6,6L. 
(C) 10,8L. 
(D) 7,8L. 
(E) 7,2L. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: E. 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
 ano % 
 11442 ------- 100 
 17136 ------- x 
 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 56 
11442.x = 17136. 100 x = 1713600 / 11442 = 149,8% (aproximado) 
149,8% – 100% = 49,8% 
Aproximando o valor, teremos 50% 
 
02. Resposta: C. 
Se R$ 315,00 já está com o desconto de 10%, então R$ 315,00 equivale a 90% (100% - 10%). 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
 $ % 
 315 ------- 90 
 x ------- 100 
 
90.x = 315. 100 x = 31500 / 90 = R$ 350,00 
 
03. Resposta: C. 
Como ele teve um prejuízo de 10%, quer dizer 27000 é 90% do valor total. 
Valor % 
27000 ------ 90 
 X ------- 100 
 
27000
𝑥
 = 
909
10010
 → 
27000
𝑥
 = 
9
10
 → 9.x = 27000.10 → 9x = 270000 → x = 30000. 
 
04. Resposta: C. 
1: 15.104 equivale a 1:150000, ou seja, para cada 1 cm do mapa, teremos 150.000 cm no tamanho 
real. Assim, faremos uma regra de três simples: 
mapa real 
 1 --------- 150000 
 12 --------- x 
1.x = 12. 150000 x = 1.800.000 cm = 18 km 
 
05. Resposta: A. 
Faremos uma regra de três simples: 
cobre % 
280 --------- 100 
80 ---------- x 
280.x = 80. 100 x = 8000 / 280 x = 28,57% 
 
06. Resposta: A. 
Vamos utilizar uma regra de três simples: 
Balas $ 
 1 ----------- 0,45 
 90 ---------- x 
1.x = 0,45. 90 
x = R$ 40,50 (total) 
* 90 – 9 = 81 balas 
Novamente, vamos utilizar uma regra de três simples: 
Balas $ 
81 ----------- 40,50 
1 ------------ y 
81.y = 1 . 40,50 
y = 40,50 / 81 
y = R$ 0,50 (cada bala) 
 
07. Resposta: D. 
Utilizaremos uma regra de três simples INVERSA: 
m3 seg 
33 ------- 1 
5 ------- x 
5.x = 33 . 1 x = 33 / 5 = 6,6 seg 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 57 
08. Resposta: B. 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
 $ % 
1170 ------- 90 
 x ------- 100 
90.x = 1170 . 100 x = 117000 / 90 = R$ 1.300,00 
 
09. Resposta: E. 
O restante de atendimento é de 100% – 30% = 70% (restante) 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
Restante: 
 atendimentos % 
 588 ------------ 14 
 x ------------ 100 
14.x = 588 . 100 x = 58800 / 14 = 4200 atendimentos (restante) 
Total: 
atendimentos % 
 4200 ------------ 70 
 x ------------ 30 
70.x = 4200 . 30 x = 126000 / 70 = 1800 atendimentos 
 
10. Resposta: C. 
Considerando 75 anos o inteiro (1), utilizaremos uma regra de três simples: 
 idade fração 
 75 ------------ 1 
 60 ------------ x 
75.x = 60 . 1 x = 60 / 75 = 4 / 5 (simplificando por 15) 
 
11. Resposta: D. 
Neste caso, a capacidade total é representada por 1 (inteiro). 
Assim, utilizaremos uma regra de três simples: 
 livroscapacidade 
 10 ------------ 0,0001 
 x ------------ 1 
0,0001.x = 10 . 1 x = 10 / 0,0001 = 100.000 livros 
 
12. Resposta: C. 
Toneladas % 
13,32 ----------- 111 
 x ------------- 11 
111 . x = 13,32 . 11 
x = 146,52 / 111 
x = 1,32 
 
13. Resposta: B. 
Vamos utilizar uma Regra de Três Simples Inversa, pois, quanto menos caminhões tivermos, mais 
horas demorará para transportar a carga: 
caminhões horas 
 15 ---------------- 4 
 (15 – 3) ------------- x 
12.x = 4 . 15 → x = 60 / 12 → x = 5 h 
 
14. Resposta: C. 
Bolachas açúcar 
 35----------------225 
 224----------------x 
 𝑥 =
224.225
35
= 1440 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 = 1,44 𝑞𝑢𝑖𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 58 
15. Resposta: E. 
18L----200m² 
x-------120 
x=10,8L 
Ou seja, pra 120m² (duas demãos de 60 m²) ele vai gastar 10,8 l, então sobraram: 
18-10,8=7,2L 
 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
O processo usado para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas, diretamente ou 
inversamente proporcionais, é chamado regra de três composta8. 
 
Exemplos: 
1) Em 4 dias 8 máquinas produziram 160 peças. Em quanto tempo 6 máquinas iguais às primeiras 
produziriam 300 dessas peças? 
Indiquemos o número de dias por x. Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma só coluna 
e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha. Na coluna em que 
aparece a variável x (“dias”), coloquemos uma flecha: 
 
Iremos comparar cada grandeza com aquela em que está o x. 
 
As grandezas peças e dias são diretamente proporcionais. No nosso esquema isso será indicado 
colocando-se na coluna “peças” uma flecha no mesmo sentido da flecha da coluna “dias”: 
 
 
As grandezas máquinas e dias são inversamente proporcionais (duplicando o número de máquinas, 
o número de dias fica reduzido à metade). No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna 
(máquinas) uma flecha no sentido contrário ao da flecha da coluna “dias”: 
 
 
Agora vamos montar a proporção, igualando a razão que contém o x, que é 
x
4
, com o produto das 
outras razões, obtidas segundo a orientação das flechas 






300
160
.
8
6
: 
 
Simplificando as proporções obtemos: 
 
4
𝑥
=
2
5
→ 2𝑥 = 4.5 → 𝑥 =
4.5
2
→ 𝑥 = 10 
 
Resposta: Em 10 dias. 
 
8MARIANO, Fabrício – Matemática Financeira para Concursos – 3ª Edição – Rio de Janeiro: Elsevier,2013. 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 59 
2) Uma empreiteira contratou 210 pessoas para pavimentar uma estrada de 300 km em 1 ano. Após 4 
meses de serviço, apenas 75 km estavam pavimentados. Quantos empregados ainda devem ser 
contratados para que a obra seja concluída no tempo previsto? 
 
Iremos comparar cada grandeza com aquela em que está o x. 
 
As grandezas “pessoas” e “tempo” são inversamente proporcionais (duplicando o número de 
pessoas, o tempo fica reduzido à metade). No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna 
“tempo” uma flecha no sentido contrário ao da flecha da coluna “pessoas”: 
 
 
As grandezas “pessoas” e “estrada” são diretamente proporcionais. No nosso esquema isso será 
indicado colocando-se na coluna “estrada” uma flecha no mesmo sentido da flecha da coluna “pessoas”: 
 
 
 
 
Como já haviam 210 pessoas trabalhando, logo 315 – 210 = 105 pessoas. 
Reposta: Devem ser contratados 105 pessoas. 
 
Questões 
 
01. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) O trabalho de varrição de 6.000 m² 
de calçada é feita em um dia de trabalho por 18 varredores trabalhando 5 horas por dia. Mantendo-se as 
mesmas proporções, 15 varredores varrerão 7.500 m² de calçadas, em um dia, trabalhando por dia, o 
tempo de 
(A) 8 horas e 15 minutos. 
(B) 9 horas. 
(C) 7 horas e 45 minutos. 
(D) 7 horas e 30 minutos. 
(E) 5 horas e 30 minutos. 
 
02. (Pref. Corbélia/PR – Contador – FAUEL) Uma equipe constituída por 20 operários, trabalhando 
8 horas por dia durante 60 dias, realiza o calçamento de uma área igual a 4800 m². Se essa equipe fosse 
constituída por 15 operários, trabalhando 10 horas por dia, durante 80 dias, faria o calçamento de uma 
área igual a: 
(A) 4500 m² 
(B) 5000 m² 
(C) 5200 m² 
(D) 6000 m² 
(E) 6200 m² 
 
03. (PC/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Dez funcionários de uma repartição trabalham 8 
horas por dia, durante 27 dias, para atender certo número de pessoas. Se um funcionário doente foi 
afastado por tempo indeterminado e outro se aposentou, o total de dias que os funcionários restantes 
levarão para atender o mesmo número de pessoas, trabalhando uma hora a mais por dia, no mesmo 
ritmo de trabalho, será: 
(A) 29. 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 60 
(B) 30. 
(C) 33. 
(D) 28. 
(E) 31. 
 
04. (TRF 3ª – Técnico Judiciário – FCC) Sabe-se que uma máquina copiadora imprime 80 cópias em 
1 minuto e 15 segundos. O tempo necessário para que 7 máquinas copiadoras, de mesma capacidade 
que a primeira citada, possam imprimir 3360 cópias é de 
(A) 15 minutos. 
(B) 3 minutos e 45 segundos. 
(C) 7 minutos e 30 segundos. 
(D) 4 minutos e 50 segundos. 
(E) 7 minutos. 
 
05. (METRÔ/SP – Analista Desenvolvimento Gestão Júnior – FCC) Para inaugurar no prazo a 
estação XYZ do Metrô, o prefeito da cidade obteve a informação de que os 128 operários, de mesma 
capacidade produtiva, contratados para os trabalhos finais, trabalhando 6 horas por dia, terminariam a 
obra em 42 dias. Como a obra tem que ser terminada em 24 dias, o prefeito autorizou a contratação de 
mais operários, e que todos os operários (já contratados e novas contratações) trabalhassem 8 horas por 
dia. O número de operários contratados, além dos 128 que já estavam trabalhando, para que a obra seja 
concluída em 24 dias, foi igual a 
(A) 40. 
(B) 16. 
(C) 80. 
(D) 20. 
(E) 32. 
 
06. (PRODAM/AM – Assistente – FUNCAB) Para digitalizar 1.000 fichas de cadastro, 16 assistentes 
trabalharam durante dez dias, seis horas por dia. Dez assistentes, para digitalizar 2.000 fichas do mesmo 
modelo de cadastro, trabalhando oito horas por dia, executarão a tarefa em quantos dias? 
(A) 14 
(B) 16 
(C) 18 
(D) 20 
(E) 24 
 
07. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) No Brasil, uma família de 4 pessoas 
produz, em média, 13 kg de lixo em 5 dias. Mantida a mesma proporção, em quantos dias uma família de 
5 pessoas produzirá 65 kg de lixo? 
(A) 10 
(B) 16 
(C) 20 
(D) 32 
(E) 40 
 
08. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST) Na safra passada, um fazendeiro usou 15 
trabalhadores para cortar sua plantação de cana de 210 hectares. Trabalhando 7 horas por dia, os 
trabalhadores concluíram o trabalho em 6 dias exatos. Este ano, o fazendeiro plantou 480 hectares de 
cana e dispõe de 20 trabalhadores dispostos a trabalhar 6 horas por dia. Em quantos dias o trabalho 
ficará concluído? 
Obs.: Admita que todos os trabalhadores tenham a mesma capacidade de trabalho. 
(A) 10 dias 
(B) 11 dias 
(C) 12 dias 
(D) 13 dias 
(E) 14 dias 
 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 61 
09. (BNB – Analista Bancário – FGV) Em uma agência bancária, dois caixas atendem em média seis 
clientes em 10 minutos. Considere que, nesta agência, todos os caixas trabalham com a mesma eficiência 
e que a média citada sempre é mantida. Assim, o tempo médio necessário para que cinco caixas atendam 
45 clientes é de: 
(A) 45 minutos; 
(B) 30 minutos; 
(C) 20 minutos; 
(D) 15 minutos; 
(E) 10 minutos. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D. 
Comparando- se cada grandeza com aquela onde está o x. 
m² varredoreshoras 
6000--------------18-------------- 5 
7500--------------15--------------- x 
Quanto mais a área, mais horas (diretamente proporcionais) 
Quanto menos trabalhadores, mais horas (inversamente proporcionais) 
5
𝑥
=
6000
7500
∙
15
18
 
 
6000 ∙ 15 ∙ 𝑥 = 5 ∙ 7500 ∙ 18 
90000𝑥 = 675000 
𝑥 = 7,5 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
Como 0,5 h equivale a 30 minutos, logo o tempo será de 7 horas e 30 minutos. 
 
02. Resposta: D. 
Operários horas dias área 
 20-----------------8-------------60-------4800 
 15----------------10------------80-------- x 
Todas as grandezas são diretamente proporcionais, logo: 
 
 
4800
𝑥
=
20
15
∙
8
10
∙
60
80
 
 20 ∙ 8 ∙ 60 ∙ 𝑥 = 4800 ∙ 15 ∙ 10 ∙ 80 
 9600𝑥 = 57600000 
 𝑥 = 6000𝑚² 
 
03. Resposta: B. 
Temos 10 funcionários inicialmente, com os afastamento esse número passou para 8. Se eles 
trabalham 8 horas por dia, passarão a trabalhar uma hora a mais perfazendo um total de 9 horas, nesta 
condições temos: 
Funcionários horas dias 
 10---------------8--------------27 
 8----------------9-------------- x 
Quanto menos funcionários, mais dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). 
Quanto mais horas por dia, menos dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). 
Funcionários horas dias 
 8---------------9-------------- 27 
 10----------------8----------------x 
 
 
27
𝑥
=
8
10
∙
9
8
 → x.8.9 = 27.10.8 → 72x = 2160 → x = 30 dias. 
 
04. Resposta: C. 
Transformando o tempo para segundos: 1 min e 15 segundos = 75 segundos 
 Quanto mais máquinas menor o tempo (flecha contrária) e quanto mais cópias, mais tempo (flecha 
mesma posição) 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 62 
 Máquina cópias tempo 
 1----------------80-----------75 segundos 
 7--------------3360-----------x 
Devemos deixar as 3 grandezas da mesma forma, invertendo os valores de” máquina”. 
 Máquina cópias tempo 
 7----------------80----------75 segundos 
 1--------------3360--------- x 
 
 
75
𝑥
=
7
1
∙
80
3360
 → x.7.80 = 75.1.3360 → 560x = 252000 → x = 450 segundos 
 
Transformando 
1minuto-----60segundos 
 x-------------450 
x = 7,5 minutos = 7 minutos e 30segundos. 
 
05. Resposta: A. 
Vamos utilizar a Regra de Três Composta: 
Operários  horas dias 
 128 ----------- 6 -------------- 42 
 x ------------- 8 -------------- 24 
Quanto mais operários, menos horas trabalhadas (inversamente) 
Quanto mais funcionários, menos dias (inversamente) 
 Operários  horas dias 
 x -------------- 6 -------------- 42 
 128 ------------ 8 -------------- 24 
 
𝑥
128
=
6
8
∙
42
24
 
 
𝑥
128
=
1
8
∙
42
4
 
 
𝑥
128
=
1
8
∙
21
2
 
 
16𝑥 = 128 ∙ 21 
𝑥 = 8 ∙ 21 = 168 
168 – 128 = 40 funcionários a mais devem ser contratados. 
 
06. Resposta: E. 
Fichas Assistentes dias horas 
 1000 --------------- 16 -------------- 10 ------------ 6 
 2000 -------------- 10 -------------- x -------------- 8 
Quanto mais fichas, mais dias devem ser trabalhados (diretamente proporcionais). 
Quanto menos assistentes, mais dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). 
Quanto mais horas por dia, menos dias (inversamente proporcionais). 
Fichas Assistentes dias horas 
 1000 --------------- 10 -------------- 10 ------------ 8 
 2000 -------------- 16 -------------- x -------------- 6 
 
10
𝑥
=
1000
2000
 ∙ 
10
16
 .
8
6
 
 
10
𝑥
=
80000
192000
 
 
80. 𝑥 = 192.10 
𝑥 = 
1920
80
 
 𝑥 = 24 𝑑𝑖𝑎𝑠 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 63 
07. Resposta: C. 
Faremos uma regra de três composta: 
Pessoas Kg dias 
 4 ------------ 13 ------------ 5 
 5 ------------ 65 ------------ x 
Mais pessoas irão levar menos dias para produzir a mesma quantidade de lixo (grandezas 
inversamente proporcionais). 
Mais quilos de lixo levam mais dias para serem produzidos (grandezas diretamente proporcionais). 
 
5
𝑥
= 
5
4
 .
13
65
 
 
5
𝑥
= 
65
260
 
 
65.x = 5 . 260 
x = 1300 / 65 
x = 20 dias 
 
08. Resposta: C. 
Faremos uma regra de três composta: 
Trabalhadores Hectares h / dia dias 
 15 ------------------ 210 ---------------- 7 ----------------- 6 
 20 ------------------ 480 ---------------- 6 ----------------- x 
Mais trabalhadores irão levar menos dias para concluir o trabalho (grandezas inversamente 
proporcionais). 
Mais hectares levam mais dias para se concluir o trabalho (grandezas diretamente proporcionais). 
Menos horas por dia de trabalho serão necessários mais dias para concluir o trabalho (grandezas 
inversamente proporcionais). 
6
𝑥
= 
20
15
 .
210
480
 .
6
7
 
 
6
𝑥
= 
25200
50400
 
 
25200.x = 6. 50400 → x = 302400 / 25200 → x = 12 dias 
 
09. Resposta: B. 
 caixas clientes minutos 
 2 ----------------- 6 ----------- 10 
 5 ----------------- 45 ----------- x 
Quanto mais caixas, menos minutos levará para o atendimento (inversamente proporcionais). 
Quanto mais clientes, mais minutos para o atendimento (diretamente proporcionais). 
 caixas clientes minutos 
 5 ----------------- 6 ----------- 10 
 2 ----------------- 45 ----------- x 
 
 
10
𝑥
=
5
2
∙
6
45
 
10
𝑥
=
30
90
 
 
 30. 𝑥 = 90.10 𝑥 = 
900
30
 
 
 𝑥 = 30 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 
 
PORCENTAGEM 
 
Razões de denominador 100 que são chamadas de razões centesimais ou taxas percentuais ou 
simplesmente de porcentagem9. Servem para representar de uma maneira prática o "quanto" de um 
"todo" se está referenciando. 
 
9IEZZI, Gelson – Fundamentos da Matemática – Vol. 11 – Financeira e Estatística Descritiva 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 64 
Costumam ser indicadas pelo numerador seguido do símbolo % (Lê-se: “por cento”). 
 
𝒙% =
𝒙
𝟏𝟎𝟎
 
 
Exemplos: 
1) A tabela abaixo indica, em reais, os resultados das aplicações financeiras de Oscar e Marta entre 
02/02/2013 e 02/02/2014. 
 
 
Notamos que a razão entre os rendimentos e o saldo em 02/02/2013 é: 
 
50
500
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟, 𝑛𝑜 𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜 𝐴; 
 
50
400
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎, 𝑛𝑜 𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜 𝐵. 
 
Quem obteve melhor rentabilidade? 
 
Uma das maneiras de compará-las é expressá-las com o mesmo denominador (no nosso caso o 100), 
para isso, vamos simplificar as frações acima: 
 
𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟 ⇒
50
500
=
10
100
,= 10% 
 
𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎 ⇒
50
400
=
12,5
100
,= 12,5% 
 
Com isso podemos concluir, Marta obteve uma rentabilidade maior que Oscar ao investir no Banco B. 
 
2) Em uma classe com 30 alunos, 18 são rapazes e 12 são moças. Qual é a taxa percentual de rapazes 
na classe? 
Resolução: 
 
A razão entre o número de rapazes e o total de alunos é 
18
30
 . Devemos expressar essa razão na forma 
centesimal, isto é, precisamos encontrar x tal que: 
18
30
=
𝑥
100
⟹ 𝑥 = 60 
E a taxa percentual de rapazes é 60%. Poderíamos ter divido 18 por 30, obtendo: 
18
30
= 0,60(. 100%) = 60% 
 
Lucro e Prejuízo 
 
É a diferença entre o preço de venda e o preço de custo. 
Caso a diferença seja positiva, temos o lucro(L), caso seja negativa, temos prejuízo(P). 
 
Lucro (L) = Preço de Venda (V) – Preço de Custo (C).Podemos ainda escrever: 
C + L = V ou L = V - C 
P = C – V ou V = C - P 
 
IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único 
http://www.porcentagem.org 
http://www.infoescola.com 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 65 
A forma percentual é: 
 
 
Exemplos: 
1) Um objeto custa R$ 75,00 e é vendido por R$ 100,00. Determinar: 
a) a porcentagem de lucro em relação ao preço de custo; 
b) a porcentagem de lucro em relação ao preço de venda. 
 
Resolução: 
Preço de custo + lucro = preço de venda → 75 + lucro =100 → Lucro = R$ 25,00 
 
𝑎)
𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜
𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜
. 100% ≅ 33,33% 𝑏)
𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜
𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑎
. 100% = 25% 
 
2) O preço de venda de um bem de consumo é R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25% sobre 
o preço de custo deste bem. O valor do preço de custo é: 
A) R$ 25,00 
B) R$ 70,50 
C) R$ 75,00 
D) R$ 80,00 
E) R$ 125,00 
 
Resolução: 
𝐿
𝐶
. 100% = 25% ⇒ 0,25 , o lucro é calculado em cima do Preço de Custo(PC). 
 
C + L = V → C + 0,25. C = V → 1,25. C = 100 → C = 80,00 
Resposta D 
 
Aumento e Desconto Percentuais 
 
A) Aumentar um valor V em p%, equivale a multiplicá-lo por (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V . 
Logo: 
VA = (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V 
 
Exemplos: 
 1 - Aumentar um valor V de 20% , equivale a multiplicá-lo por 1,20, pois: 
(1 +
20
100
).V = (1+0,20).V = 1,20.V 
 
2 - Aumentar um valor V de 200%, equivale a multiplicá-lo por 3, pois: 
(1 +
200
100
).V = (1+2).V = 3.V 
 
3) Aumentando-se os lados a e b de um retângulo de 15% e 20%, respectivamente, a área do retângulo 
é aumentada de: 
(A)35% 
(B)30% 
(C)3,5% 
(D)3,8% 
(E) 38% 
 
 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 66 
Resolução: 
Área inicial: a.b 
Com aumento: (a.1,15).(b.1,20) → 1,38.a.b da área inicial. Logo o aumento foi de 38%. 
Resposta E 
 
B) Diminuir um valor V em p%, equivale a multiplicá-lo por (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V. 
Logo: 
V D = (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V 
 
Exemplos: 
1) Diminuir um valor V de 20%, equivale a multiplicá-lo por 0,80, pois: 
(1 −
20
100
). V = (1-0,20). V = 0, 80.V 
 
2) Diminuir um valor V de 40%, equivale a multiplicá-lo por 0,60, pois: 
(1 −
40
100
). V = (1-0,40). V = 0, 60.V 
 
3) O preço do produto de uma loja sofreu um desconto de 8% e ficou reduzido a R$ 115,00. Qual era 
o seu valor antes do desconto? 
 
Temos que V D = 115, p = 8% e V =? é o valor que queremos achar. 
V D = (1 −
𝑝
100
). V → 115 = (1-0,08).V → 115 = 0,92V → V = 115/0,92 → V = 125 
O valor antes do desconto é de R$ 125,00. 
 
A esse valor final de (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
) ou (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
), é o que chamamos de fator de multiplicação, muito útil 
para resolução de cálculos de porcentagem. O mesmo pode ser um acréscimo ou decréscimo no 
valor do produto. 
 
Abaixo a tabela com alguns fatores de multiplicação: 
 
 
Aumentos e Descontos Sucessivos 
 
São valores que aumentam ou diminuem sucessivamente. Para efetuar os respectivos descontos ou 
aumentos, fazemos uso dos fatores de multiplicação. 
 
Vejamos alguns exemplos: 
1) Dois aumentos sucessivos de 10% equivalem a um único aumento de...? 
 Utilizando VA = (1 +
𝑝
100
).V → V. 1,1, como são dois de 10% temos → V. 1,1 . 1,1 → V. 1,21 
Analisando o fator de multiplicação 1,21; concluímos que esses dois aumentos significam um único 
aumento de 21%. 
Observe que: esses dois aumentos de 10% equivalem a 21% e não a 20%. 
 
2) Dois descontos sucessivos de 20% equivalem a um único desconto de: 
Utilizando VD = (1 −
𝑝
100
).V → V. 0,8 . 0,8 → V. 0,64 . . Analisando o fator de multiplicação 0,64, 
observamos que esse percentual não representa o valor do desconto, mas sim o valor pago com o 
desconto. Para sabermos o valor que representa o desconto é só fazermos o seguinte cálculo: 
 100% - 64% = 36% 
Observe que: esses dois descontos de 20% equivalem a 36% e não a 40%. 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 67 
3) Certo produto industrial que custava R$ 5.000,00 sofreu um acréscimo de 30% e, em seguida, um 
desconto de 20%. Qual o preço desse produto após esse acréscimo e desconto? 
Utilizando VA = (1 +
𝑝
100
).V para o aumento e VD = (1 −
𝑝
100
).V, temos: 
VA = 5000 .(1,3) = 6500 e VD = 6500 .(0,80) = 5200, podemos, para agilizar os cálculos, juntar tudo 
em uma única equação: 
5000 . 1,3 . 0,8 = 5200 
Logo o preço do produto após o acréscimo e desconto é de R$ 5.200,00 
 
Questões 
 
01. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – GR Consultoria e Assessoria) Marcos 
comprou um produto e pagou R$ 108,00, já inclusos 20% de juros. Se tivesse comprado o produto, com 
25% de desconto, então, Marcos pagaria o valor de: 
(A) R$ 67,50 
(B) R$ 90,00 
(C) R$ 75,00 
(D) R$ 72,50 
 
02. (Câmara Municipal de São José dos Campos/SP – Analista Técnico Legislativo – VUNESP) 
O departamento de Contabilidade de uma empresa tem 20 funcionários, sendo que 15% deles são 
estagiários. O departamento de Recursos Humanos tem 10 funcionários, sendo 20% estagiários. Em 
relação ao total de funcionários desses dois departamentos, a fração de estagiários é igual a 
(A) 1/5. 
(B) 1/6. 
(C) 2/5. 
(D) 2/9. 
(E) 3/5. 
 
03. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – GR Consultoria e Assessoria) Quando 
calculamos 15% de 1.130, obtemos, como resultado 
(A) 150 
(B) 159,50; 
(C) 165,60; 
(D) 169,50. 
 
04. (ALMG – Analista de Sistemas – FUMARC) O Relatório Setorial do Banco do Brasil publicado 
em 02/07/2013 informou: 
[...] Após queda de 2,0% no mês anterior, segundo o Cepea/Esalq, as cotações do açúcar fecharam o 
último mês com alta de 1,2%, atingindo R$ 45,03 / saca de 50 kg no dia 28. De acordo com especialistas, 
o movimento se deve à menor oferta de açúcar de qualidade, além da firmeza nas negociações por parte 
dos vendedores. Durante o mês de junho, o etanol mostrou maior recuperação que o açúcar, com a 
cotação do hidratado chegando a R$ 1,1631/litro (sem impostos), registrando alta de 6,5%. A demanda 
aquecida e as chuvas que podem interromper mais uma vez a moagem de cana-de-açúcar explicam 
cenário mais positivo para o combustível. 
Fonte: BB-BI Relatório Setorial: Agronegócios-junho/2013 - publicado em 02/07/2013. 
 
Com base nos dados apresentados no Relatório Setorial do Banco do Brasil, é CORRETO afirmar que 
o valor, em reais, da saca de 50 kg de açúcar no mês de maio de 2013 era igual a 
(A) 42,72 
(B) 43,86 
(C) 44,48 
(D) 54,03 
 
05. (Câmara de Chapecó/SC – Assistente de Legislação e Administração – OBJETIVA) Em 
determinada loja, um sofá custa R$ 750,00, e um tapete, R$ 380,00. Nos pagamentos com cartão de 
crédito, os produtos têm 10% de desconto e, nos pagamentos no boleto, têm 8% de desconto. Com base 
nisso, realizando-se a compra de um sofá e um tapete, os valores totais a serem pagos pelos produtos 
nos pagamentos com cartão de crédito e com boleto serão, respectivamente: 
(A) R$ 1.100,00 e R$ 1.115,40. 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 68 
(B) R$ 1.017,00 e R$ 1.039,60. 
(C) R$ 1.113,00 e R$ 1.122,00. 
(D) R$ 1.017,00 e R$ 1.010,00. 
 
06. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST) Um vendedor recebe comissões mensais da 
seguinte maneira: 5% nos primeiros 10.000 reais vendidos no mês, 6% nos próximos 10.000,00 vendidos, 
e 7% no valor das vendas que excederem 20.000 reais. Se o total de vendas em certo mês foi de R$ 
36.000,00, quanto será a comissão do vendedor? 
(A) R$ 2.120,00 
(B) R$ 2.140,00 
(C) R$ 2.160,00 
(D) R$ 2.180,00 
(E) R$ 2.220,00 
 
07. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST) Uma loja compratelevisores por R$ 1.500,00 
e os revende com um acréscimo de 40%. Na liquidação, o preço de revenda do televisor é diminuído em 
35%. Qual o preço do televisor na liquidação? 
(A) R$ 1.300,00 
(B) R$ 1.315,00 
(C) R$ 1.330,00 
(D) R$ 1.345,00 
(E) R$ 1.365,00 
 
08. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) O preço de venda de um produto, 
descontado um imposto de 16% que incide sobre esse mesmo preço, supera o preço de compra em 40%, 
os quais constituem o lucro líquido do vendedor. Em quantos por cento, aproximadamente, o preço de 
venda é superior ao de compra? 
(A) 67%. 
(B) 61%. 
(C) 65%. 
(D) 63%. 
(E) 69%. 
 
09. (PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB) Numa liquidação de bebidas, um atacadista fez a 
seguinte promoção: 
Cerveja em lata: R$ 2,40 a unidade. 
Na compra de duas embalagens com 12 unidades cada, ganhe 25% de desconto no valor da segunda 
embalagem. 
 
Alexandre comprou duas embalagens nessa promoção e revendeu cada unidade por R$3,50. O lucro 
obtido por ele com a revenda das latas de cerveja das duas embalagens completas foi: 
(A) R$ 33,60 
(B) R$ 28,60 
(C) R$ 26,40 
(D) R$ 40,80 
(E) R$ 43,20 
 
10. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – GR Consultoria e Assessoria) Marcos 
gastou 30% de 50% da quantia que possuía e mais 20% do restante. A porcentagem que lhe sobrou do 
valor, que possuía é de: 
(A) 58% 
(B) 68% 
(C) 65% 
(D) 77,5% 
 
 
 
 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 69 
Comentários 
 
01. Resposta: A. 
Como o produto já está acrescido de 20% juros sobre o seu preço original, temos que: 
100% + 20% = 120% 
Precisamos encontrar o preço original (100%) da mercadoria para podermos aplicarmos o desconto. 
Utilizaremos uma regra de 3 simples para encontrarmos: 
R$ % 
108 ---- 120 
 X ----- 100 
120x = 108.100 → 120x = 10800 → x = 10800/120 → x = 90,00 
O produto sem o juros, preço original, vale R$ 90,00 e representa 100%. Logo se receber um desconto 
de 25%, significa ele pagará 75% (100 – 25 = 75%) → 90. 0,75 = 67,50 
Então Marcos pagou R$ 67,50. 
 
02. Resposta: B. 
* Dep. Contabilidade: 
15
100
. 20 =
30
10
= 3 → 3 (estagiários) 
 
* Dep. R.H.: 
20
100
. 10 =
200
100
= 2 → 2 (estagiários) 
 
∗ 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑔𝑖á𝑟𝑖𝑜𝑠
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛á𝑟𝑖𝑜𝑠
=
5
30
=
1
6
 
 
03. Resposta: D. 
15% de 1130 = 1130.0,15 ou 1130.15/100 → 169,50 
 
04. Resposta: C. 
1,2% de 45,03 = 
1,2
100
 . 45,03 = 0,54 
Como no mês anterior houve queda, vamos fazer uma subtração. 
45,03 – 0,54 = 44,49 
 
05. Resposta: B. 
 Cartão de crédito: 10/100. (750 + 380) = 1/10 . 1130 = 113 
1130 – 113 = R$ 1017,00 
Boleto: 8/100. (750 + 380) = 8/100 . 1130 = 90,4 
1130 – 90,4 = R$ 1039,60 
 
06. Resposta: E. 
5% de 10000 = 5 / 100. 10000 = 500 
6% de 10000 = 6 / 100. 10000 = 600 
7% de 16000 (= 36000 – 20000) = 7 / 100. 16000 = 1120 
Comissão = 500 + 600 + 1120 = R$ 2220,00 
 
07. Resposta: E. 
 Preço de revenda: 1500 + 40 / 100. 1500 = 1500 + 600 = 2100 
 Preço com desconto: 2100 – 35 / 100. 2100 = 2100 – 735 = R$ 1365,00 
 
08. Resposta: A. 
Preço de venda: V 
Preço de compra: C 
V – 0,16V = 1,4C 
0,84V = 1,4C 
 
𝑉
𝐶
=
1,4
0,84
= 1,67 
O preço de venda é 67% superior ao preço de compra. 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 70 
09. Resposta: A. 
2,40 . 12 = 28,80 
Segunda embalagem: 28,80. 0,75 = 21,60 
As duas embalagens: 28,80 + 21,60 = 50,40 
Revenda: 3,5. 24 = 84,00 
Lucro: R$ 84,00 – R$ 50,40 = R$ 33,60 
O lucro de Alexandre foi de R$ 33,60 
 
10. Resposta: B. 
De um total de 100%, temos que ele gastou 30% de 50% = 30%.50% = 15% foi o que ele gastou, 
sobrando: 100% - 15% = 85%. Desses 85% ele gastou 20%, logo 20%.85% = 17%, sobrando: 
85% - 17% = 68%. 
 
 
 
EQUAÇÃO DO 1º GRAU OU LINEAR 
 
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade e uma incógnita 
ou variável (x, y, z,..). 
Observe a figura: 
 
 
A figura acima mostra uma equação (uma igualdade), onde precisamos achar o valor da variável x, 
para manter a balança equilibrada. Equacionando temos: 
x + x + 500 + 100 = x + 250 + 500 → 2x + 600 = x + 750. 
 
Exemplos 
2x + 8 = 0 
5x – 4 = 6x + 8 
3a – b – c = 0 
 
- Não são equações: 
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta) 
x – 5 < 3 (Não é igualdade) 
5 ≠ 7 (Não é sentença aberta, nem igualdade) 
 
Termo Geral da equação do 1º grau 
Onde a e b (a ≠ 0) são números conhecidos e a diferença de 0, se resolve de maneira simples, 
subtraindo b dos dois lados obtemos: 
 
ax + b – b = 0 – b → ax = - b → x = - b/a 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 Funções, equações e inequações de 1º e de 2º graus, exponenciais e 
logarítmicas: conceito, representação gráfica, problemas. 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 71 
Termos da equação do 1º grau 
 
Nesta equação cada membro possui dois termos: 
1º membro composto por 5x e -1. 
2º membro composto pelo termo x e +7. 
 
Resolução da equação do 1º grau 
O método que usamos para resolver a equação de 1º grau é isolando a incógnita, isto é, deixar a 
incógnita sozinha em um dos lados da igualdade. O método mais utilizado para isso é invertermos as 
operações. Vejamos: 
Resolvendo a equação 2x + 600 = x + 750, passamos os termos que tem x para um lado e os números 
para o outro invertendo as operações. 
2x – x = 750 – 600, com isso eu posso resolver minha equação → x = 150 
 
Outros exemplos 
1) Resolução da equação 3x – 2 = 16, invertendo operações. 
 
Procedimento e justificativa: Se 3x – 2 dá 16, conclui-se que 3x dá 16 + 2, isto é, 18 (invertemos a 
subtração). Se 3x é igual a 18, é claro que x é igual a 18 : 3, ou seja, 6 (invertemos a multiplicação por 3). 
 
Registro 
 
2) Resolução da equação: 1 – 3x + 
5
2
= x + 
2
1
, efetuando a mesma operação nos dois lados da 
igualdade(outro método de resolução). 
 
Procedimento e justificativa: Multiplicamos os dois lados da equação pelo mmc (2;5) = 10. Dessa 
forma, são eliminados os denominadores. Fazemos as simplificações, os cálculos necessários e isolamos 
o x, sempre efetuando a mesma operação nos dois lados da igualdade. 
 
Registro: 
 
Há também um processo prático, bastante usado, que se baseia nessas ideias e na percepção de um 
padrão visual. 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 72 
- Se a + b = c, conclui-se que a = c – b. 
Na primeira igualdade, a parcela b aparece somando no lado esquerdo; na segunda, a parcela b 
aparece subtraindo no lado direito da igualdade. 
 
- Se a . b = c, conclui-se que a = c : b, desde que b ≠ 0. 
Na primeira igualdade, o número b aparece multiplicando no lado esquerdo; na segunda, ele aparece 
dividindo no lado direito da igualdade. 
 
O processo prático pode ser formulado assim: 
- Para isolar a incógnita, coloque todos os termos com incógnita de um lado da igualdade e os demais 
termos do outro lado; 
- Sempre que mudar um termo de lado, inverta a operação. 
 
Questões 
 
01. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) O gráfico mostra o número de gols marcados, por 
jogo, de um determinado time de futebol, durante um torneio. 
 
 
 
Sabendo que esse time marcou, durante esse torneio, um total de 28 gols, então, o número de jogos 
em que foram marcados 2 gols é: 
(A) 3. 
(B) 4. 
(C) 5. 
(D) 6. 
(E) 7. 
 
02. (Pref. Imaruí – Agente Educador – Pref. Imaruí) Certa quantia em dinheiro foi dividida igualmente 
entre três pessoas, cada pessoa gastou a metade do dinheiro que ganhou e 1/3(um terço) do restante de 
cada uma foi colocado em um recipiente totalizando R$900,00(novecentosreais), qual foi a quantia 
dividida inicialmente? 
(A) R$900,00 
(B) R$1.800,00 
(C) R$2.700,00 
(D) R$5.400,00 
 
03. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB) Um grupo formado por 16 motoristas 
organizou um churrasco para suas famílias. Na semana do evento, seis deles desistiram de participar. 
Para manter o churrasco, cada um dos motoristas restantes pagou R$ 57,00 a mais. 
O valor total pago por eles, pelo churrasco, foi: 
(A) R$ 570,00 
(B) R$ 980,50 
(C) R$ 1.350,00 
(D) R$ 1.480,00 
(E) R$ 1.520,00 
 
 
 
 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 73 
04. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC) Uma linha de Metrô inicia-se na 1ª estação 
e termina na 18ª estação. Sabe-se que a distância dentre duas estações vizinhas é sempre a mesma, 
exceto da 1ª para a 2ª, e da 17ª para a 18ª, cuja distância é o dobro do padrão das demais estações 
vizinhas. Se a distância da 5ª até a 12ª estação é de 8 km e 750 m, o comprimento total dessa linha de 
Metrô, da primeira à última estação, é de 
(A) 23 km e 750 m. 
(B) 21 km e 250 m. 
(C) 25 km. 
(D) 22 km e 500 m. 
(E) 26 km e 250 m. 
 
05. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Um funcionário de uma empresa 
deve executar uma tarefa em 4 semanas. Esse funcionário executou 3/8 da tarefa na 1a semana. Na 2a 
semana, ele executou 1/3 do que havia executado na 1a semana. Na 3a e 4a semanas, o funcionário 
termina a execução da tarefa e verifica que na 3a semana executou o dobro do que havia executado na 
4a semana. Sendo assim, a fração de toda a tarefa que esse funcionário executou na 4ª semana é igual 
a 
(A) 5/16. 
(B) 1/6. 
(C) 8/24. 
(D)1/ 4. 
(E) 2/5. 
06. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Bia tem 10 anos a mais que Luana, 
que tem 7 anos a menos que Felícia. Qual é a diferença de idades entre Bia e Felícia? 
(A) 3 anos. 
(B) 7 anos. 
(C) 5 anos. 
(D) 10 anos. 
(E) 17 anos. 
 
07. (DAE Americana/SP – Analista Administrativo – SHDIAS) Em uma praça, Graziela estava 
conversando com Rodrigo. Graziela perguntou a Rodrigo qual era sua idade, e ele respondeu da seguinte 
forma: 
- 2/5 de minha idade adicionados de 3 anos correspondem à metade de minha idade. 
Qual é a idade de Rodrigo? 
(A) Rodrigo tem 25 anos. 
(B) Rodrigo tem 30 anos. 
(C) Rodrigo tem 35 anos. 
(D) Rodrigo tem 40 anos. 
 
08. (METRÔ/SP - Agente de Segurança Metroviária I - FCC) Dois amigos foram a uma pizzaria. O 
mais velho comeu 
3
8
 da pizza que compraram. Ainda da mesma pizza o mais novo comeu 
7
5
 da 
quantidade que seu amigo havia comido. Sendo assim, e sabendo que mais nada dessa pizza foi comido, 
a fração da pizza que restou foi 
(𝐴)
3
5
 
 
(𝐵)
7
8
 
 
(𝐶)
1
10
 
 
(𝐷)
3
10
 
 
(𝐸)
36
40
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 74 
09. (METRÔ/SP - Agente de Segurança Metroviária I - FCC) Glauco foi à livraria e comprou 3 
exemplares do livro J. Comprou 4 exemplares do livro K, com preço unitário de 15 reais a mais que o 
preço unitário do livro J. Comprou também um álbum de fotografias que custou a terça parte do preço 
unitário do livro K. 
 
Glauco pagou com duas cédulas de 100 reais e recebeu o troco de 3 reais. Glauco pagou pelo álbum 
o valor, em reais, igual a 
(A) 33. 
(B) 132. 
(C) 54. 
(D) 44. 
(E) 11. 
 
10. (METRÔ/SP - Agente de Segurança Metroviária I - FCC) Hoje, a soma das idades de três irmãos 
é 65 anos. Exatamente dez anos antes, a idade do mais velho era o dobro da idade do irmão do meio, 
que por sua vez tinha o dobro da idade do irmão mais novo. Daqui a dez anos, a idade do irmão mais 
velho será, em anos, igual a 
(A) 55. 
(B) 25. 
(C) 40. 
(D) 50. 
(E) 35. 
 
Comentários 
 
01. Alternativa: E 
0.2 + 1.8 + 2.x + 3.2 = 28 
0 + 8 + 2x + 6 = 28 → 2x = 28 – 14 → x = 14 / 2 → x = 7 
 
02. Alternativa: D 
Quantidade a ser recebida por cada um: x 
Se 1/3 de cada um foi colocado em um recipiente e deu R$900,00, quer dizer que cada uma colocou 
R$300,00. 
𝑥
3
=
𝑥
3
2
+ 300 
 
𝑥
3
=
𝑥
6
+ 300 
 
𝑥
3
−
𝑥
6
= 300 
 
2𝑥 − 𝑥
6
= 300 
 
𝑥
6
= 300 
x = 1800 
Recebida: 1800.3=5400 
 
03. Alternativa: E 
Vamos chamar de ( x ) o valor para cada motorista. Assim: 
16 . x = Total 
Total = 10 . (x + 57) (pois 6 desistiram) 
Combinando as duas equações, temos: 
16.x = 10.x + 570 → 16.x – 10.x = 570 
6.x = 570 → x = 570 / 6 → x = 95 
O valor total é: 16 . 95 = R$ 1520,00. 
 
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. 75 
04. Alternativa: A 
 
 
Sabemos que da 5ª até a 12ª estação = 8 km + 750 m = 8750 m. 
A quantidade de “espaços” da 5ª até a 12ª estação é: (12 – 5). x = 7.x 
Assim: 7.x = 8750 
x = 8750 / 7 
x = 1250 m 
Por fim, vamos calcular o comprimento total: 
17 – 2 = 15 espaços 
2.x + 2.x + 15.x = 
= 2.1250 + 2.1250 + 15.1250 = 
= 2500 + 2500 + 18750 = 23750 m 23 km + 750 m 
 
05. Alternativa: B 
Tarefa: x 
Primeira semana: 3/8x 
 
2 semana:
1
3
∙
3
8
𝑥 =
1
8
𝑥 
 
1ª e 2ª semana:
3
8
𝑥 +
1
8
𝑥 =
4
8
𝑥 =
1
2
𝑥 
 
Na 3ª e 4ª semana devem ser feito a outra metade, pois ele executou a metade na 1ª e 2ª semana 
como consta na fração acima (1/2x). 
3ªsemana: 2y 
4ª semana: y 
 2𝑦 + 𝑦 =
1
2
𝑥 
 3𝑦 =
1
2
𝑥 
 𝑦 =
1
6
𝑥 
 
06. Alternativa: A 
Luana: x 
Bia: x + 10 
Felícia: x + 7 
Bia – Felícia = x + 10 – x – 7 = 3 anos. 
 
07. Alternativa: B 
Idade de Rodrigo: x 
 
 
2
5
𝑥 + 3 =
1
2
𝑥 
 
2
5
𝑥 −
1
2
𝑥 = −3 
 
Mmc(2,5)=10 
 
 
4𝑥−5𝑥
10
= −3 
 
 4𝑥 − 5𝑥 = −30 
 𝑥 = 30 
 
 
 
 
 
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. 76 
08. Alternativa: C 
𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎: 𝑥 ∴ 𝑦: 𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜𝑢 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎 
 
𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑣𝑒𝑙ℎ𝑜:
3
8
𝑥 
 
𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑛𝑜𝑣𝑜 ∶
7
5
∙
3
8
𝑥 =
21
40
𝑥 
 
3
8
𝑥 +
21
40
𝑥 + 𝑦 = 𝑥 
 
𝑦 = 𝑥 −
3
8
𝑥 −
21
40
𝑥 
 
𝑦 =
40𝑥 − 15𝑥 − 21𝑥
40
=
4𝑥
40
=
1
10
𝑥 
Sobrou 1/10 da pizza. 
 
09. Alternativa: E 
Preço livro J: x 
Preço do livro K: x+15 
á𝑙𝑏𝑢𝑚:
𝑥 + 15
3
 
Valor pago:197 reais (2.100 – 3) 
 
3𝑥 + 4(𝑥 + 15) +
𝑥 + 15
3
= 197 
 
9𝑥 + 12(𝑥 + 15) + 𝑥 + 15
3
= 197 
 
9𝑥 + 12𝑥 + 180 + 𝑥 + 15 = 591 
22𝑥 = 396 
𝑥 = 18 
á𝑙𝑏𝑢𝑚:
𝑥 + 15
3
=
18 + 15
3
= 11 
 
O valor pago pelo álbum é de R$ 11,00. 
 
10. Alternativa: C 
Irmão mais novo: x 
Irmão do meio: 2x 
Irmão mais velho:4x 
Hoje: 
Irmão mais novo: x + 10 
Irmão do meio: 2x + 10 
Irmão mais velho:4x + 10 
x + 10 + 2x + 10 + 4x + 10 = 65 
7x = 65 – 30 → 7x = 35 → x = 5 
Hoje: 
Irmão mais novo: x + 10 = 5 + 10 = 15 
Irmão do meio: 2x + 10 = 10 + 10 = 20 
Irmão mais velho:4x + 10 = 20 + 10 = 30 
Daqui a dez anos 
Irmão mais novo: 15 + 10 = 25 
Irmão do meio: 20 + 10 = 30 
Irmão mais velho: 30 + 10 = 40 
O irmão mais velho terá 40 anos. 
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. 77 
INEQUAÇÃO DO 1º GRAU 
 
Inequação10 é toda sentença aberta expressa por uma desigualdade. 
Uma inequação do 1º grau pode ser expressa por: 
 
ax + b > 0 ; ax + b ≥ 0 ; ax + b < 0 ; ax + b ≤ 0 , onde a ∈ R* e b ∈ R. 
 
A expressão à esquerda do sinal de desigualdade chama-se primeiro membro da inequação. A 
expressão à direita do sinal de desigualdade chama-se segundo membro da inequação. 
 
Propriedades 
- Aditiva: Uma desigualdade não muda de sentido quando adicionamos ou subtraímos um mesmo 
número aos seus dois membros. 
 
 
- Multiplicativa: Aqui teremosduas situações que devemos ficar atentos: 
1º) Uma desigualdade não muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos seus dois membros 
por um mesmo número positivo. 
 
 
2º) Uma desigualdade muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos seus dois membros por um 
mesmo número negativo. 
 
O que é falso, pois -15 < -6. 
 
Resolução prática de inequações do 1º grau: resolver uma inequação é determinar o seu conjunto 
verdade a partir de um conjunto universo dado. A resolução de inequações do 1º grau é feita procedendo 
de maneira semelhante à resolução de equações, ou seja, transformando cada inequação em outra 
inequação equivalente mais simples, até se obter o conjunto verdade. 
 
Exemplo 
Resolver a inequação 4(x – 2) ≤ 2 (3x + 1) + 5, sendo U = Q. 
1º passo: vamos aplicar a propriedade distributiva 
4(x – 2) ≤ 2 (3x + 1) + 5 → 4x – 8 ≤ 6x + 2 + 5 
 
2º passo: agrupamos os termos semelhantes da desigualdade e reduzimos os mesmos. 
4x – 6x ≤ 2 + 5 + 8 → -2x ≤ 15 
 
3º passo: multiplicamos por -1, e invertemos o sentido da desigualdade. 
-2x ≤ 15 → -2x ≥ 15 
 
4º passo: passamos o -2 para o outro lado da desigualdade dividindo 
 
𝑥 ≥ −
15
2
 
 
 
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. 78 
Logo: 
U = {x ϵ Q | x ≥ -15/2} 
 
Vejamos mais um exemplo: 
 
Resolver a inequação – 5x + 10 ≥ 0 em U = R 
-5x + 10 ≥ 0 → -5x ≥ -10, como o sinal do algarismo que acompanha x é negativo, multiplicamos por ( 
-1) ambos os lados da desigualdade → 5x ≤ 10 (ao multiplicarmos por -1 invertemos o sinal da 
desigualdade) → x ≤ 2. 
S = {x є R | x ≤ 2} 
 
Um outro modo de resolver o mesmo exemplo é através do estudo do sinal da função: 
y = -5x + 10, fazemos y = 0 (como se fossemos achar o zero da função) 
-5x + 10 = 0 → -5x = -10 → 5x = 10 → x = 2. 
Temos uma função do 1º grau decrescente, pois a < 0 (a = -5 < 0). 
 
 
 
Como queremos os valores maiores e iguais, pegamos os valores onde no gráfico temos o sinal de ( 
+ ) , ou seja os valores que na reta são menores e iguais a 2; x ≤ 2. 
 
- Inequações do 1º grau com duas variáveis 
 
Denominamos inequação toda sentença matemática aberta por uma desigualdade. 
As inequações podem ser escritas das seguintes formas: 
ax + b > 0; 
ax + b < 0; 
ax + b ≥ 0; 
ax + b ≤ 0. 
Onde a, b são números reais com a ≠ 0. 
 
- Representação gráfica de uma inequação do 1º grau com duas variáveis Método prático 
 
1) Substituímos a desigualdade por uma igualdade. 
2) Traçamos a reta no plano cartesiano. 
3) Escolhemos um ponto auxiliar, de preferência o ponto (0, 0) e verificamos se o mesmo satisfaz 
ou não a desigualdade inicial. 
 
3.1) Em caso positivo, a solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto 
auxiliar. 
 
3.2) Em caso negativo, a solução da inequação corresponde ao semiplano oposto aquele ao qual 
pertence o ponto auxiliar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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. 79 
Exemplo 
Vamos representar graficamente a inequação 2x + y ≤ 4. 
 
 
Substituindo o ponto auxiliar (0, 0) na inequação 2x + y ≤ 4. 
Verificamos: 
2.0 + 0 ≤ 4 → 0 ≤ 4, a afirmativa é positiva, pois o ponto auxiliar satisfaz a inequação. A solução da 
inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar (0, 0). 
 
Questões 
 
01. (OBM) Quantos são os números inteiros x que satisfazem à inequação 3 < √𝑥 < 7? 
(A) 13; 
(B) 26; 
(C) 38; 
(D) 39; 
(E) 40. 
 
02. (Assistente Administrativo) A pontuação numa prova de 25 questões é a seguinte: + 4 por 
questão respondida corretamente e –1 por questão respondida de forma errada. Para que um aluno 
receba nota correspondente a um número positivo, deverá acertar no mínimo: 
(A) 3 questões 
(B) 4 questões 
(C) 5 questões 
(D) 6 questões 
(E) 7 questões 
 
03. (Tec. Enfermagem) O menor número inteiro que satisfaz a inequação 4x + 2 (x-1) > x – 12 é: 
(A) -2. 
(B) -3. 
(C) -1. 
(D) 4. 
(E) 5. 
 
04. (TRT 6ª Região – Auxiliar Técnico - FCC) Uma pessoa, brincando com uma calculadora, digitou 
o número 525. A seguir, foi subtraindo 6, sucessivamente, só parando quando obteve um número 
negativo. Quantas vezes ela apertou a tecla correspondente ao 6? 
(A) 88. 
(B) 87. 
(C) 54. 
(D) 53. 
(E) 42. 
 
 
 
 
 
 
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. 80 
05. (CFSD/PM) Baseado na figura abaixo, o menor valor inteiro par que o número x pode assumir para 
que o perímetro dessa figura seja maior que 80 unidades de comprimento é: 
 
 
(A) 06. 
(B) 08. 
(C) 10. 
(D) 12. 
(E) 14. 
 
06. (MACK) – Em N, o produto das soluções da inequação 2x – 3 ≤ 3 é: 
(A) maior que 8. 
(B) 6. 
(C) 2. 
(D) 1. 
(E) 0. 
 
07. (SEE/AC – Professor – FUNCAB) Determine os valores de que satisfazem a seguinte inequação: 
3𝑥
2
+ 2 ≤
𝑥
2
− 3 
 
(A) x > 2 
(B) x ≤ - 5 
(C) x > - 5 
(D) x < 2 
(E) x ≤ 2 
 
08. (UEAP – Técnico em Planejamento – UFG) O dono de um restaurante dispõe de, no máximo, 
R$ 100,00 para uma compra de batata e feijão. Indicando por X e Y os valores gastos, 
respectivamente, na compra de batata e de feijão, a inequação que representa esta situação é: 
(A) X + Y > 100 
(B) X + Y ≤ 100 
(C) 
𝑋
𝑌
> 100 
(D) 
𝑋
𝑌
≤ 100 
 
Comentários 
 
01. Alternativa: D 
Como só estamos trabalhando com valores positivos, podemos elevar ao quadrado todo mundo e ter 
9 < x < 49, sendo então que x será 10, 11, 12, 13, 14, ..., 48. 
Ou seja, poderá ser 39 valores diferentes. 
 
02. Alternativa: D 
Se a cada x questões certas ele ganha 4x pontos então quando erra (25 – x) questões ele perde (25 – 
x)(-1) pontos, a soma desses valores será positiva quando: 
4X + (25 -1 )(-1) > 0 → 4X – 25 + x > 0 → 5x > 25 → x > 5 
O aluno deverá acertar no mínimo 6 questões. 
 
03. Alternativa: C 
4x + 2 – 2 > x -12 
4x + 2x – x > -12 +2 
5x > -10 
x > -2 
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. 81 
Se enumerarmos nosso conjunto verdade teremos: V= {-1,0,1, 2,...}, logo nosso menor número inteiro 
é -1. 
 
04. Alternativa: A 
Vamos chamar de x o número de vezes que ele apertou a calculadora 
525 – 6x < 0 (pois o resultado é negativo) 
-6x < -525. (-1) → 6x > 525 → x > 87,5; logo a resposta seria 88(maior do que 87,5). 
 
05. Alternativa: B 
Perímetro soma de todos os lados de uma figura: 
6x – 8 + 2. (x+5) + 3x + 8 > 80 
6x – 8 + 2x + 10 + 3x + 8 > 80 
11x + 10 > 80 
11x > 80 -10 
x > 70/11 
x > 6,36 
Como tem que ser o menor número inteiro e par, logo teremos 8. 
 
06. Alternativa: E 
2x ≤ 3+3 
2x ≤ 6 
x ≤ 3 
Como ele pede o produto das soluções, teremos: 3.2.1.0,...= 0; pois todo número multiplicado por zero 
será ele mesmo. 
 
07. Alternativa: B 
3𝑥
2
+ 2 ≤
𝑥
2
− 3 →
3𝑥
2
−
𝑥
2
≤ −3 − 2 →
2𝑥
2
≤ −5 → 𝑥 ≤ −5 
 
08. Alternativa: B 
Batata = X 
Feijão = Y 
O dono não pode gastar mais do que R$ 100,00(ele pode gastar todo o valor e menos do que o valor), 
logo: 
X + Y ≤ 100 
 
EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 
Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, 
expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de 
uma das incógnitas. 
 
 
Em que a, b, c são números reais e a ≠ 0. 
 
Nas equações de 2º grau com uma incógnita11, os números reais expressos por a, b, c são chamados 
coeficientes da equação. 
 
Equação completa e incompleta 
 
- Quando b ≠ 0 e c ≠ 0, a equação do 2º grau se diz completa. 
 
11somatematica.com.br 
IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. Matemática: ciência e aplicações.9ª ed. Saraiva. São Paulo. 2017. 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 82 
Exemplos 
x2 - 5x + 6 = 0 = 0 é uma equação completa (a = 1, b = – 5, c = 6). 
- 3y2 + 2y - 15 = 0 é uma equação completa (a = - 3, b = 2, c = - 15). 
 
- Quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0, a equação do 2º grau se diz incompleta. 
 
Exemplos 
x² - 36 = 0 é uma equação incompleta (b=0). 
x² - 10x = 0 é uma equação incompleta (c = 0). 
4x² = 0 é uma equação incompleta (b = c = 0). 
 
Todas essas equações estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0, que é denominada forma normal ou 
forma reduzida de uma equação do 2º grau com uma incógnita. 
Há, porém, algumas equações do 2º grau que não estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0; por meio 
de transformações convenientes, em que aplicamos o princípio aditivo e o multiplicativo, podemos reduzi-
las a essa forma. 
 
Exemplo 
Pelo princípio aditivo. 
2x2 – 7x + 4 = 1 – x2 
2x2 – 7x + 4 – 1 + x2 = 0 
2x2 + x2 – 7x + 4 – 1 = 0 
3x2 – 7x + 3 = 0 
 
Exemplo 
Pelo princípio multiplicativo. 
 
Raízes de uma equação do 2º grau 
Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença 
verdadeira. As raízes formam o conjunto verdade ou solução de uma equação. 
 
Resolução das equações incompletas do 2º grau com uma incógnita 
Primeiramente devemos saber duas importantes propriedades dos números Reais que é o nosso 
conjunto Universo. 
 
 
 
1°) A equação é da forma ax2 + bx = 0. 
x2 – 9x = 0  colocamos x em evidência 
x . (x – 9) = 0 , aplicando a 1º propriedade dos Reais temos: 
x = 0 ou x – 9 = 0 
 x = 9 
Logo, S = {0, 9} e os números 0 e 9 são as raízes da equação. 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 83 
2º) A equação é da forma ax2 + c = 0. 
x2 – 16 = 0  Fatoramos o primeiro membro, que é uma diferença de dois quadrados. 
(x + 4) . (x – 4) = 0, aplicando a 1º propriedade dos Reais temos: 
x + 4 = 0 x – 4 = 0 
x = – 4 x = 4 
ou 
x2 – 16 = 0 → x2 = 16 → √x2 = √16 → x = ± 4, (aplicando a segunda propriedade). 
Logo, S = {–4, 4}. 
 
Resolução das equações completas do 2º grau com uma incógnita 
 
Para este tipo de equação utilizaremos a Fórmula de Bháskara. 
Usando o processo de Bháskara e partindo da equação escrita na sua forma normal, foi possível 
chegar a uma fórmula que vai nos permitir determinar o conjunto solução de qualquer equação do 2º grau 
de maneira mais simples. 
 
Essa fórmula é chamada fórmula resolutiva ou fórmula de Bháskara. 
 
 
Nesta fórmula, o fato de x ser ou não número real vai depender do discriminante Δ; temos então, três 
casos a estudar. 
 
A existência ou não de raízes reais e o fato de elas serem duas ou uma única dependem, 
exclusivamente, do discriminante Δ = b2 – 4.a.c; daí o nome que se dá a essa expressão. 
 
Exemplos 
1) Resolver a equação 3x2 + 7x + 9 = 0 no conjunto R. 
Temos: a = 3, b = 7 e c = 9 
 
 
𝑥 =
−7 ± √−59
6
 
 
Como Δ < 0, a equação não tem raízes reais. 
Então: S = ᴓ 
 
2) Resolver a equação 5x2 – 12x + 4=0 
Temos que a= 5, b= -12 e c = 4. 
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. 84 
Aplicando na fórmula de Bháskara: 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−(−12) ± √(−12)2 − 4.5.4
2.5
=
12 ± √144 − 80
10
=
12 ± √64
10
 
 
Como Δ > 0, logo temos duas raízes reais distintas: 
 
𝑥 =
12 ± 8
10
 → 𝑥′ = 
12 + 8
10
=
20
10
= 2 𝑒 𝑥′′ =
12 − 8
10
=
4: 2
10: 2
=
2
5
 
S= {2/5, 2} 
 
Relação entre os coeficientes e as raízes 
As equações do 2º grau possuem duas relações entre suas raízes, são as chamadas relações de 
Girard, que são a Soma (S) e o Produto (P). 
 
1) Soma das raízes é dada por: 𝑺 = 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = −
𝒃
𝒂
 
 
2) Produto das raízes é dada por: 𝑷 = 𝒙𝟏 . 𝒙𝟐 =
𝒄
𝒂
 
 
Logo podemos reescrever a equação da seguinte forma: 
 
x2 – Sx + P = 0 
Exemplos 
1) Determine uma equação do 2º grau cujas raízes sejam os números 2 e 7. 
Resolução: 
Pela relação acima temos: 
S = 2+7 = 9 
P = 2.7 = 14 
Com esses valores montamos a equação: x2 - 9x + 14 = 0 
 
2) Resolver a equação do 2º grau: x2 - 7x + 12 = 0 
Observe que S = 7 e P = 12, basta agora pegarmos dois números aos quais somando obtemos 7 e 
multiplicados obtemos 12. 
S= 3 + 4 = 7 e P = 4.3 = 12, logo o conjunto solução é: S = {3,4} 
 
Questões 
 
01. (Pref. Jundiaí/SP – Eletricista – MAKIYAMA) Para que a equação (3m-9)x²-7x+6=0 seja uma 
equação de segundo grau, o valor de m deverá, necessariamente, ser diferente de: 
(A) 1. 
(B) 2. 
(C) 3. 
(D) 0. 
(E) 9. 
 
02. (Câmara de Canitar/SP – Recepcionista – INDEC) Qual a equação do 2º grau cujas raízes são 
1 e 3/2? 
(A) x²-3x+4=0 
(B) -3x²-5x+1=0 
(C) 3x²+5x+2=0 
(D) 2x²-5x+3=0 
 
03. (Câmara de Canitar/SP – Recepcionista – INDEC) O dobro da menor raiz da equação de 2º grau 
dada por x²-6x=-8 é: 
(A) 2 
(B) 4 
(C) 8 
(D) 12 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 85 
04. (CGU – Administrativa – ESAF) Um segmento de reta de tamanho unitário é dividido em duas 
partes com comprimentos x e 1-x respectivamente. 
Calcule o valor mais próximo de x de maneira que 
 x = (1-x) / x, usando 5=2,24. 
(A) 0,62 
(B) 0,38 
(C) 1,62 
(D) 0,5 
(E) 1/ 𝜋 
 
05. (PRODAM/AM – Assistente – FUNCAB) Hoje João tem oito anos a mais que sua irmã, e o produto 
das suas idades é 153. Daqui a dez anos, a soma da idade de ambos será: 
(A) 48 anos. 
(B) 46 anos. 
(C) 38 anos. 
(D) 36 anos. 
(E) 32 anos. 
 
06. (Pref. Paulistana/PI – Professor de Matemática – IMA) Temos que a raiz do polinômio p(x) = x² 
– mx + 6 é igual a 6. O valor de m é: 
(A) 15 
(B) 7 
(C) 10 
(D) 8 
(E) 5 
 
07. (CBTU – Analista de Gestão – CONSULPLAN) Considere a seguinte equação do 2º grau: ax2 + 
bx + c = 0. Sabendo que as raízes dessa equação são x’ = 6 e x’’ = –10 e que a + b = 5, então o 
discriminante dessa equação é igual a 
(A) 196. 
(B) 225. 
(C) 256. 
(D) 289. 
 
08. (SAAE/SP - Fiscal Leiturista – VUNESP) O dono de uma papelaria comprou 98 cadernos e ao 
formar pilhas, todas com o mesmo número de cadernos, notou que o número de cadernos de uma pilha 
era igual ao dobro do número de pilhas. O número de cadernos de uma pilha era 
(A) 12. 
(B) 14. 
(C) 16. 
(D) 18. 
(E) 20. 
 
09. (Pref. de São Paulo/SP - Guarda Civil Metropolitano - MS CONCURSOS) Se x1 > x2 são as 
raízes da equação x2 - 27x + 182 = 0, então o valor de 
1
𝑥2
 - 
1
𝑥1
 é: 
(A) 
1
27
. 
 
(B) 
1
13
. 
 
(C) 1. 
 
(D) 
1
182
. 
 
(E) 
1
14
. 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 86 
10. (Pref. de Mogeiro/PB - Professor – EXAMES) A soma das raízes da equação (k - 2)x² - 3kx + 1 
= 0, com k ≠ 2, é igual ao produto dessas raízes. Nessas condições. Temos: 
(A) k = 1/2. 
(B) k = 3/2. 
(C) k = 1/3. 
(D) k = 2/3. 
(E) k = -2. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C 
Neste caso o valor de a ≠ 0, 𝑙𝑜𝑔𝑜: 
3m - 9 ≠ 0 → 3m ≠ 9 → m ≠ 3 
 
02. Resposta: D 
Como as raízes foram dadas, para saber qual a equação: 
x² - Sx +P=0, usando o método da soma e produto; S= duas raízes somadas resultam no valor 
numérico de b; e P= duas raízes multiplicadas resultam no valor de c. 
 
𝑆 = 1 +
3
2
=
5
2
= 𝑏 
 
𝑃 = 1 ∙
3
2
=
3
2
= 𝑐 ; 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 
 
𝑥2 −
5
2
𝑥 +
3
2
= 0 
 
2𝑥2 − 5𝑥 + 3 = 0 
 
03. Resposta: B 
x²-6x+8=0 
 ∆= (−6)2 − 4.1.8 ⇒ 36 − 32 = 4 
 
 𝑥 =
−(−6)±√4
2.1
⇒ 𝑥 =
6±2
2
 
 
 𝑥1 =
6+2
2
= 4 
 
 𝑥2 =
6−2
2
= 2 
 
Dobro da menor raiz:22=4 
 
04. Resposta: A 
𝑥 =
1 − 𝑥
𝑥
 
x² = 1-x 
x² + x -1 =0 
∆= (1)2 − 4.1. (−1) ⇒ ∆= 1 + 4 = 5 
𝑥 =
−1 ± √5
2
 
 
𝑥1 =
(−1 + 2,24)
2
= 0,62 
 
𝑥2 =
−1 − 2,24
2
= −1,62 (𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚) 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 87 
05. Resposta: B 
Hoje: 
J = IR + 8 ( I ) 
J . IR = 153 ( II ) 
Substituir ( I ) em ( II ): 
(IR + 8). IR = 153 
IR² + 8.IR – 153 = 0 (Equação do 2º Grau) 
𝛥 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
𝛥 = 82 − 4.1. (−153) 
𝛥 = 64 + 612 
𝛥 = 676 
 
𝑥 =
−𝑏±√𝛥
2𝑎
 
 
𝑥 =
−8±√676
2.1
= 
−8±26
2
 
 
𝑥1 = 
−8+26
2
=
18
2
= 9 
 
𝑥2 = 
−8−26
2
=
−34
2
= −17 (Não Convém) 
 
Portanto, hoje, as idades são 9 anos e 17 anos. 
Daqui a 10 anos, serão 19 anos e 27 anos, cuja soma será 19 + 27 = 46 anos. 
 
06. Resposta: B 
Lembrando que a fórmula pode ser escrita como :x²-Sx+P, temos que P(produto)=6 e se uma das 
raízes é 6, a outra é 1. 
Então a soma é 6+1=7 
S=m=7 
 
07. Resposta: C 
O discriminante é calculado por ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
Antes, precisamos calcular a, b e c. 
* Soma das raízes = – b / a 
 – b / a = 6 + (– 10) 
– b / a = – 4 . (– 1) 
b = 4 . a 
Como foi dado que a + b = 5, temos que: a + 4.a = 5. Assim: 
5.a = 5 e a = 1 
* b = 4 . 1 = 4 
Falta calcular o valor de c: 
* Produto das raízes = c / a 
c / 1 = 6 . (– 10) 
c = – 60 
Por fim, vamos calcular o discriminante: 
∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆ = 42 − 4.1. (−60) = 16 + 240 = 256 
 
08. Resposta: B 
Chamando de (c o número de cadernos em cada pilha, e de ( p ) o número de pilhas, temos: 
c = 2.p (I) 
p.c = 98 (II) 
Substituindo a equação (I) na equação (II), temos: 
p.2p = 98 
2.p² = 98 
p² = 98 / 2 
p = √49 
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. 88 
p = 7 pilhas 
Assim, temos 2.7 = 14 cadernos por pilha. 
 
09. Resposta: D 
Primeiro temos que resolver a equação: 
a = 1, b = - 27 e c = 182 
∆ = b2 – 4.a.c 
∆ = (-27)2 – 4.1.182 
∆ = 729 – 728 
∆ = 1 
 
𝑥 =
−𝑏±√∆
2𝑎
 = 
−(−27)±√1
2.1
 = 
27±1
2
 → x1 = 14 ou x2 = 13 
 
O mmc entre x1 e x2 é o produto x1.x2 
 
1
𝑥2
−
1
𝑥1
=
𝑥1 − 𝑥2
𝑥2. 𝑥1
=
14 − 13
14.13
=
1
182
 
 
10. Resposta: C 
Vamos usar as fórmulas da soma e do produto: S = 
−𝑏
𝑎
 e P = 
𝑐
𝑎
. 
(k – 2)x2 – 3kx + 1 = 0; a = k – 2, b = - 3k e c = 1 
S = P 
−𝑏
𝑎
=
𝑐
𝑎
 → - b = c → -(-3k) = 1 → 3k = 1 → k = 1/3 
 
INEQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 
Chamamos de inequação do 2º toda desigualdade pode ser representada da seguinte forma: 
 
ax2 + bx + c > 0 , ax2 + bx + c < 0 , ax2 + bx + c ≥ 0 ou ax2 + bx + c ≤ 0 
 
A sua resolução depende do estudo do sinal da função y = ax2 + bx + c, para que possamos determinar 
os valores reais de x para que tenhamos, respectivamente: 
y > 0 , y < 0 , y ≥ 0 ou y ≤ 0. 
 
E para o estudo do sinal, temos os gráficos abaixo: 
 
 
 
Para melhor entendimento vejamos alguns exemplos: 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 89 
1) Resolver a inequação 3x² + 10x + 7 < 0. 
Δ = b2 – 4.a.c → Δ = 102 – 4.3.7 = 100 – 84 = 16 
𝑥 =
−10 ± √16
2.3
→ 𝑥 =
−10 ± 4
6
→ {
𝑥′ =
−10 + 4
6
=
−6
6
= −1
𝑥′′ =
−10 − 6
6
= −
14
6
= −
7
3
 
 
Agora vamos montar graficamente o valor para que assim achemos os valores que satisfaçam a 
mesma. 
 
 
Como queremos valores menores que zero, vamos utilizar o intervalo onde os mesmos satisfaçam a 
inequação, logo a solução para equação é: 
S = {x ϵ R | -7/3 < x < -1} 
 
2) Determine a solução da inequação x² – 4x ≥ 0. 
𝑥 =
−(−4) ± √16
2
→ 𝑥 =
4 ± 4
2
{
𝑥′ =
4 + 4
2
= 4
𝑥′′ =
4 − 4
2
= 0
 
Graficamente temos: 
 
 
 
Observe que ao montarmos no gráfico conseguimos visualizar o intervalo que corresponde a solução 
que procuramos. Logo: 
S = {x ϵ R | x ≤ 0 ou x ≥ 4} 
 
Questões 
 
01. (VUNESP) O conjunto solução da inequação 9x2 – 6x + 1 ≤ 0, no universo do números reais é: 
(A) ∅ 
(B) R 
(C) {
1
3
} 
(D) {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≥
1
3
} 
(E) {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≠
1
3
} 
 
02. (PUC-MG) O produto dos elementos do conjunto 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑁|(𝑥 − 2). (7 − 𝑥) > 0} é: 
(A) 60 
(B) 90 
(C) 120 
(D) 180 
(E) 360 
 
03. Em R, o domínio mais amplo possível da função, dada por 𝑓(𝑥) =
1
√9−𝑥2
, é o intervalo: 
(A) [0; 9] 
(B) ]0; 3[ 
(C) ]- 3; 3[ 
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. 90 
(D) ]- 9; 9[ 
(E) ]- 9; 0[ 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C. 
Resolvendo por Bháskara: 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆= (−6)2 − 4.9.1 
∆= 36 − 36 = 0 
𝑥 =
−𝑏±√∆
2𝑎
 
𝑥 =
−(−6)±√0
2.9
 
𝑥 =
6±0
18
=
6
18
=
1
3
 (delta igual a zero, duas raízes iguais) 
 
Fazendo o gráfico, a > 0 parábola voltada para cima: 
 
 
S = {
1
3
} 
 
02. Resposta: E. 
(x – 2).(7 – x) > 0 (aplicando a distributiva) 
7x – x2 – 14 + 2x > 0 
- x2 + 9x – 14 > 0 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆= 92 − 4. (−1). (−14) 
∆= 81 − 56 = 25 
𝑥 =
−9±√25
2.(−1)
 
𝑥 =
−9±5
−2
  𝑥1 =
−9+5
−2
=
−4
−2
= 2 ou 𝑥2 =
−9−5
−2
=
−14
−2
= 7 
 
Fazendo o gráfico, a < 0 parábola voltada para baixo: 
 
 
a solução é 2 < x < 7, neste intervalo os números naturais são: 3, 4, 5 e 6. 
3.4.5.6 = 360 
 
03. Resposta: C. 
Para que exista a raiz quadrada da função temos que ter 9 – x2 ≥ 0. Porém como o denominador da 
fração tem que ser diferente de zero temos que 9 – x2 > 0. 
- x2 + 9 >0 
As soluções desta equação do 2° grau são 3 e – 3. 
 
 
 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 91 
Fazendo o gráfico, a < 0, parábola voltada para baixo: 
 
A solução é – 3 < x < 3 ou ]- 3; 3[ 
 
EQUAÇÃO EXPONENCIAL 
 
Chama-se equação exponencial12, toda equação onde a variável x se encontra no expoente. 
 
Exemplos 
3𝑥 = 1 ; 5.22𝑥+2 = 20 
 
Para resolução, precisamos encontrar os valores da variável que a torna uma sentença numérica 
verdadeira. Vamos relembrar algumas das propriedades da potenciação para darmos continuidade: 
 
 
Vamos ver o passo a passo para resolução de uma equação exponencial: 
 
Exemplos 
 
1) 2x = 8 
1º) Algumas equações podem ser transformadas em outras equivalentes, as quais possuem nos dois 
membros potências de mesma base. Neste caso o 8 pode ser transformado em potência de base 2. 
Fatorando o 8 obtemos 23 = 8. 
2º) Aplicando a propriedade da potenciação:  base iguais, igualamos os expoentes, logo 
x = 3 
 
2) 2m . 24 = 210 
2 m + 4 = 210  m + 4 = 10  m = 10 - 4  m = 6 
S = {6} 
 
3) 6 2m – 1 : 6 m – 3 = 64 
6 (2m – 1 ) – (m – 3) = 64  2m – 1 – m + 3 = 4  2m – m = 4 + 1 – 3  m = 5 – 3  m = 2 
S = {2} 
 
4) 32x - 4.3x + 3 = 0. 
A expressão dada pode ser escrita na forma: 
(3x)2 – 4.3x + 3 = 0 
Criamos argumentos para resolução da equação exponencial. 
Fazendo 3x = y, temos: 
y2 – 4y + 3 = 0, assim y = 1 ou y = 3 (Foi resolvida a equação do segundo grau) 
Como 3x= y, então 
 
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BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval – Matemática – Volume 1 
IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único 
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. 92 
3x = 1 
x = 0 ou 
 
3x = 3 1 
x = 1 
 
S = {0,1} 
 
Questões 
 
01. (PM/SP – Cabo – CETRO) O valor de x na equação é 5 ∙ 3𝑥+1 + 3𝑥−2 = 408 é 
(A) 1. 
(B) 2. 
(C) 3. 
(D) 4. 
 
02. (PM/SP – Sargento CFS – CETRO) É correto afirmar que a solução da equação exponencial 3 ∙
9x − 4 ∙ 3x + 1 = 0 é 
(A) S = {0, 1}. 
(B) S = {-1, 0}. 
(C) S = {-2, 1}. 
(D) S = {1/3,1}03. (Escola de Sargento das Armas – Combatente/Logística – Exército Brasileiro) Se 5x+2=100, 
então 52x é igual a: 
(A) 4. 
(B) 8. 
(C) 10. 
(D) 16. 
(E) 100. 
 
04. (Escola de Sargento das Armas – Música – Exército Brasileiro) O conjunto solução da equação 
exponencial 4x-2x=56 é: 
(A) {-7,8} 
(B) {3,8} 
(C) {3} 
(D) {2,3} 
(E) {8} 
 
05. (BANESE – Técnico Bancário I – FCC) Uma empresa utiliza a função y = (1,2)x − 1 para estimar 
o volume de vendas de um produto em um determinado dia. A variável y representa o volume de vendas 
em milhares de reais. A variável x é um número real e representa a quantidade de horas que a empresa 
dedicou no dia para vender o produto (0 ≤ x ≤ 6). Em um dia em que o volume de vendas estimado foi de 
R$ 500,00, o valor utilizado para x, em horas, é tal que 
(A) 1 < x ≤ 2. 
(B) 2 < x ≤ 3. 
(C) 3 < x ≤ 4. 
(D) 4 < x ≤ 5. 
(E) 5 < x ≤ 6. 
 
06. (Pref. de Araraquara/SP – Agente da Administração dos Serviços de Saneamento – CETRO) 
O conjunto solução da equação:(16𝑥−1)𝑥+1 = 4𝑥
2+𝑥+4 é 
(A) S = {-2, 3} 
(B) S = {-1, 4} 
(C) S = {0, 6} 
(D) S = {-4, 1} 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 93 
 
07. (TJ/PR - Técnico Judiciário – TJ/PR) Após o processo de recuperação de uma reserva ambiental, 
uma espécie de aves, que havia sido extinta nessa reserva, foi reintroduzida. Os biólogos responsáveis 
por essa área estimam que o número P de aves dessa espécie, t anos após ser reintroduzida na reserva, 
possa ser calculado pela expressão 
 
𝑃 =
300
7 + 8 × (0,5)𝑡
 
 
De acordo com essa estimativa, quantos anos serão necessários para dobrar a população inicialmente 
reintroduzida? 
(A) 2 anos. 
(B) 4 anos. 
(C) 8 anos. 
(D) 16 anos. 
 
08. (CREA/PR – Administrador – FUNDATEC) Se 5n + 5-n = 10, o valor de 25n + 25-n é 
(A) 100. 
(B) 98. 
(C) 75. 
(D) 50. 
(E) 68. 
 
09. (SANEAR – Fiscal - FUNCAB) Sendo 23X+1 = 128 e y = 5 . x - 3, o valor de y² , é: 
(A) 49 
(B) 36 
(C) 25 
(D) 16 
(E) 9 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C 
3𝑥+1(5 + 3−3) = 408 
 3𝑥+1 (5 +
1
27
) = 408 
 3𝑥+1 (
136
27
) = 408 
 3𝑥+1 = 408 ∙
27
136
 
 3𝑥+1 = 81 
 3𝑥 . 3 = 81 
 3𝑥 = 27 
 3𝑥 = 33 
 𝑥 = 3 
 
02. Resposta: B 
3. (3𝑥)² − 4 ∙ 3𝑥 + 1 = 0 
3𝑥 = 𝑦 
3𝑦2 − 4𝑦 + 1 = 0 
∆= 16 − 12 = 4 
𝑦 =
(4 ± 2)
6
 
𝑦1 = 1 𝑦2 =
1
3
 
Voltando: 
3𝑥 = 1 
3𝑥 = 30 
𝑥 = 0 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 94 
3𝑥 =
1
3
 
3𝑥 = 3−1 
𝑥 = −1 
 
03. Resposta: D 
5𝑥 ∙ 25 = 100 
5𝑥 = 4 
52𝑥 = (5𝑥)2 = 42 = 16 
 
04. Resposta: C 
Podemos simplificar 4x = 22x 
Substituindo: 
(2x)2 – 2x = 56 
Fazendo 2x = y 
y² - y – 56 = 0 
∆ =(-1)² -4.1.(-56) = 1 + 224 = 225 
𝑦 =
1 ± 15
2
, 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑦 = 8 𝑜𝑢 𝑦 = −7 
O resultado y = -7 não convém, pois 2x é sempre positivo, assim: 
2x = 8  2x = 2³  x = 3  S = {3} 
 
05. Resposta: B 
0,5 = (1,2)x − 1 
 1,5 = 1,2x 
1,2²=1,44 
1,2³=1,728 
Portanto, 2 < x ≤ 3. 
 
06. Resposta: A 
(42𝑥−2)𝑥+1 = 4𝑥
2+𝑥+4 
(2x-2)(x+1)=x²+x+4 
2x²+2x-2x-2=x²+x+4 
x²-x-6=0 
=1+24=25 
 
 𝑥 =
1±5
2
 
𝑥1 =
1 + 5
2
= 3 
𝑥2 =
1 − 5
2
= −2 
 
07. Resposta: B 
Vamos verificar quantos animais foram reintroduzidos inicialmente (t = 0): 
𝑃 =
300
7+8×(0,5)0
= 
300
7+8 𝑋 1
= 
300
15
= 20 (população inicial) 
 
População dobrada: 2 . 20 = 40 
Assim: 
40 =
300
7+8×(0,5)𝑡
 
40 . (7 + 8 . 0,5𝑡) = 300 
7 + 8 . 0,5𝑡 = 
300
40
 
8 . 0,5𝑡 = 7,5 − 7 
0,5𝑡 = 
0,5
8
 
0,5𝑡 = 0,0625 = 0,54 
Excluindo as bases (0,5), temos que t = 4 anos. 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 95 
08. Resposta: B 
Elevando ao quadrado: 
(5𝑛 + 5−𝑛)2 = 102 
52𝑛 + 2.5𝑛. 5−𝑛 + 5−2𝑛 = 100 
5𝑛. 5−𝑛 = 50 = 1 
52𝑛 + 5−2𝑛 = 100 − 2 
52𝑛 + 5−2𝑛 = 98 
25 = 5² 
 
09. Resposta: A 
128=27 
23X+1 = 27 
3X-1=7 
X=2 
Y=5.2-3=7 
Y²=7²=49 
 
INEQUAÇÃO EXPONENCIAL 
 
Assim como as equações exponenciais, as inequações são aquelas cujo a variável se encontra no 
expoente. São representadas por uma desigualdade > , < , ≤ ou ≥. 
 
Exemplos 
 
 
Resolução de inequação exponencial 
 
Resolver uma inequação exponencial é achar valores para variável que satisfaça a sentença 
matemática. 
Antes de resolver uma inequação exponencial, deve-se observar a situação das bases nos dois 
membros, caso as bases sejam diferentes, reduza-as a uma mesma base e, em seguida, forme uma 
inequação com os expoentes. Atente-se as regras dos sinais: 
 
 
 
Exemplos 
 
A) 2x ≥ 128 
Por fatoração, 128 = 27. 
2x ≥ 27  como as bases são iguais e a > 1, basta formar uma inequação com os expoentes  x ≥ 7 
S = {x ∈ R | x ≥ 7} 
 
B) ( 
𝟏
𝟑
)
𝒙
< (
𝟏
𝟑
)
𝟐
 
 
Como as bases são iguais então igualamos os expoentes: x < 2. E como as bases estão 
compreendidas entre 0 e 1, inverte-se o sinal, logo: x > 2. 
Caso a > 1, mantenha o sinal original. 
 
Caso 0 < a < 1, inverta o sinal. 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 96 
S = {x ϵ R | x > 2} 
 
C) 4x + 4 > 5 . 2x 
Perceba que, por fatoração, 4x = 22x e 22x é o mesmo que (2x)². Vamos reescrever a inequação: 
(2x)² + 4 > 5 . 2x 
Chamando 2x de t, para facilitar a resolução, ficamos com: 
t2 + 4 > 5t 
t2 – 5t + 4 > 0, observe que caímos em uma inequação do 2º grau, resolvendo a equação gerada pela 
inequação encontramos as raízes t’ = 1 e t’’ = 4. Como a > 0, concavidade fica para cima e isto também 
significa que estamos procurando valores que tornem a inequação positiva, ficamos com: 
t < 1 ou t > 4 
Retornando a equação inicial: 
t = 2x 
2x < 1  x < 0  lembre-se que todo número elevado a 1 é igual ao próprio número, e que todo 
número elevado a zero é igual a 1. 
2x > 4  2x > 22  x > 2. 
S = {x ∈ R | x < 0 ou x > 2} 
 
Questões 
 
01. A soma das raízes da equação 5x2– 2x+1 = 5625 é: 
(A) -4 
(B) -2 
(C) -1 
(D) 2 
(E) 4 
 
02. (PUC-SP) Na função exponencial y = 2x2 – 4x , determine os valores reais de x para os quais 
1<y<32. 
(A) S = { x ϵ R| 0<x<4} 
(B) S = { x ϵ R| x < -2 e x > 4} 
(C) S = { x ϵ R| x < 0 e x > 5} 
(D) S = { x ϵ R| x < 8 e x > 4} 
(E) S = { x ϵ R| x < 0 e x > 4} 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D 
 5𝑥
2−2𝑥+1 = 54 → 𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 4 → 𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0 → 𝐴 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 é 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 −
𝑏
𝑎
→ −
−2
1
= 2 
 
02 . Resposta: E 
Devemos determinar esta inequação obtendo números em mesma base numérica. 
 
Como agora temos somente números na base numérica 2, podemos escrever essa desigualdade em 
relação aos expoentes. 
0 < x2 – 4x < 5  Vamos fazer cada desigualdade separadamente: 
0 < x2 – 4x  Devemos encontrar as raízes da equação do segundo grau x2-4x=0 e comparar o 
intervalo de valores em relação à desigualdade. 
x2 – 4x = 0  x’ = 0 e x’’ = 4 
Devemos comparar a desigualdade em três intervalos, (o intervalo menor que o x’, o intervalo entre x’ 
e x’’ e o intervalo maior que x’’). 
Para valores menores que x’’, teremos o seguinte: 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 97 
 
Portanto, os valores menores que x = 0 satisfazem essa inequação. Vejamos valores entre 0 e 4. 
 
Portanto, não é um intervalo válido. Agora os valores maiores que 4. 
 
Portanto para a desigualdade 0 < x2 – 4x a solução é: 
S = { x ϵ R| x < 0 e x > 4} 
 
LOGARITMO 
 
Sendo a um número real, positivo e diferente de 1 e N um número real positivo, chama-se logaritmo 
de N na base a o número ao qual devemos elevar a base a para obtermos N. 
 
Definição: logaN = x ⇔ a
x = N, onde: 
-N é chamado de logaritmando e N > 0. 
- a é chamado de base com a > 0 e a ≠ 1. 
 
Exemplo: log8 64 = 2 ⇔ 8
2 = 64 
 
Casos Particulares 
1) log𝑎 𝑎 = 1, pois a
1 = a; 
 
2) log𝑎 𝑎
𝑛 = 𝑛, pois na = na; 
 
3) log𝑎 1 = 0, pois a
0 = 1. 
 
Propriedades dos Logaritmos 
1) Logaritmo do Produto: o logaritmo de um produto é igual à soma de logaritmos. 
 
Log𝑎𝑀.𝑁 = log𝑎𝑀 + log𝑎𝑁 
 
2) Logaritmo da Divisão: o logaritmo da divisão é igual à subtração de dois logaritmos. 
 
Log𝑎
𝑀
𝑁
= log𝑎𝑀− log𝑎𝑁 
 
3) Logaritmo da Potência: o expoente passa multiplicando. 
 
Log𝑎𝑁
𝑚 = 𝑚. log𝑎𝑁 
 
Mudança de Base 
Em alguns casos é necessário efetuar uma mudança na base que foi dada, para isto temos a seguinte 
fórmula: 
 
log𝑎𝑁 =
log𝑏 𝑁
log𝑏 𝑎
 
 
Questões 
 
01. (CPTM - Médico do trabalho - Makiyama) Uma bactéria se espalhava no ambiente em que estava 
seguindo uma função logarítmica 𝑓(𝑥) = log2 𝑥, (x >1), em que x é o tempo medido em minutos e F(x) é 
a área que possui a presença da bactéria em m². Após 32 minutos, a área ocupada será de: 
(A) 1 m². 
(B) 2 m². 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 98 
(C) 3 m². 
(D) 4 m². 
(E) 5 m². 
 
02. (BRB – Escriturário – CESPE) Um estudo constatou que a população de uma comunidade é 
expressa pela função P(t) = 5.000e0,18t, em que P(t) é a população t anos após a contagem inicial, que 
ocorreu em determinado ano, e considerado t = 0. Com referência a esse estudo e considerando 1,2 e 
1,8 como os valores aproximados para e0,18e ln 6, respectivamente, julgue o item a seguir. A população 
será de 30.000 indivíduos 5 anos após a contagem inicial. 
( )Certo ( )Errado 
 
03. (BRB – Escriturário – CESPE) Um estudo constatou que a população de uma comunidade é 
expressa pela função P(t) = 5.000e0,18t, em que P(t) é a população t anos após a contagem inicial, que 
ocorreu em determinado ano, e considerado t = 0. Com referência a esse estudo e considerando 1,2 e 
1,8 como os valores aproximados para e0,18e ln 6, respectivamente, julgue o item a seguir. 
Um ano após a contagem inicial, a população da comunidade aumentou em 20%. 
( )Certo ( )Errado 
 
04. (SAEB-BA – Professor – CESPE) 
 
 
 
A obra acima foi pintada por Pablo Picasso em um único dia do ano de 1932. Em 1951, a tela foi 
adquirida por US$ 20 milhões e, em maio de 2010, foi vendida, em Nova Iorque, em um leilão que durou 
apenas 9 minutos, por US$ 95 milhões, sem incluir as comissões. 
A respeito dessa situação, considere que o investimento tenha evoluído a uma taxa de juros R, 
compostos continuamente, de acordo com o modelo C (t) =C0eRt , em que C(t) é o valor da tela, em 
milhões de dólares, t anos após 1951. Nesse caso, assumindo 1,56 como o valor aproximado de ln(4,75), 
é correto afirmar que a taxa de juros de tal investimento foi 
(A) superior a 5% e inferior a 10%. 
(B) inferior a 5%. 
(C) superior a 20%. 
(D) superior a 10% e inferior a 20%. 
 
05. (CBM/ES – Oficial Bombeiro Militar Combatente – CESPE) A soma dos logaritmos na base 10 
de 2 números é 6, e o dobro de um desses logaritmos é 4. Com relação a esses números, julgue o item 
a seguir. 
 
O produto desses números é igual a 1 milhão. 
( )Certo ( )Errado 
 
06. (CBM/ES - Oficial Bombeiro Militar Combatente - CESPE) A soma dos logaritmos na base 10 
de 2 números é 6, e o dobro de um desses logaritmos é 4. Com relação a esses números, julgue o item 
a seguir. 
A soma desses números é igual a 2.000. 
( )Certo ( )Errado 
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. 99 
07. (ESSA - Sargento - EB) Se 𝑓(𝑥) = log√5 𝑥
2, com x real e maior que zero, então o valor de f(f(5)) 
é: 
(A) 
2𝑙𝑜𝑔2
1+𝑙𝑜𝑔2
 
 
(B) 
𝑙𝑜𝑔2
𝑙𝑜𝑔2+2
 
 
(C) 
5𝑙𝑜𝑔2
𝑙𝑜𝑔2+1
 
 
(D) 
8𝑙𝑜𝑔2
1−𝑙𝑜𝑔2
 
 
(E) 
5𝑙𝑜𝑔2
1−𝑙𝑜𝑔2
 
 
08. (PREVIC – Técnico Administrativo – CESPE) Com o objetivo de despertar mais interesse de 
seus alunos para a resolução das expressões algébricas que com frequência ocorrem nos problemas, 
um professor de matemática propôs uma atividade em forma de desafio. Os estudantes deveriam 
preencher retângulos dispostos em forma triangular de modo que cada retângulo fosse o resultado da 
soma das expressões contidas nos dois retângulos imediatamente embaixo dele, exceto para aqueles da 
base do triângulo. Portanto, na figura a seguir, D = A + B, E = B + C e F = D + E. 
 
Com base nos dados acima, julgue o item que se segue. 
Os estudantes que preencheram corretamente os retângulos em branco encontraram F = In (4x) + 4x 
√x. 
( )Certo ( )Errado 
 
09. (Petrobras – Engenheiro de Petróleo Júnior – CESGRANRIO) Dado log3(2) = 0,63, tem-se que 
log6(24) é igual a 
(A) 1,89. 
(B) 1,77. 
(C) 1,63. 
(D) 1,51. 
(E) 1,43. 
 
10.(Pref. Chupinguaia/RO - Professor - MSCONCURSOS) O conjunto solução da equação log (x² - 
8) = 0: 
(A) ∅. 
(B) {0}. 
(C) {– 3, 3}. 
(D) {– 9, 9}. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: E 
 Fazendo x = 32, temos: 
𝐹(𝑥) = log2 32 , fatorando o 32 temos 2
5. Então: 
𝐹(𝑥) = log2 2
5 , pela propriedade log𝑎 𝑎
𝑛 = 𝑛, temos que F(x) = 5 m2 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 100 
02. Resposta: CERTO 
Pelo enunciado que saber o valor de t quando P(t) = 30.000: 
P(t) = 30.000 
 
5.000.𝑒0,18𝑡 = 30.000 
𝑒0,18𝑡=
30.000
5.000
 
 
𝑒0,18𝑡 = 6 , colocando logaritmo (ln) nos dois membros: 
ln 𝑒0,18𝑡 = ln6 , pela propriedade log𝑏 𝑎
𝑛 = 𝑛. log𝑏 𝑎 
 
0,18t = 1,8 → t = 1,8: 0,18 = 10 
 
03. Resposta: CERTO 
Se após u 1 ano houve um aumento de 20% temos 100% + 20% = 120% = 120: 100 = 1,2. Fazendo t 
= 1 nós teremos: 
P(1) = 1.2.P(0) 
5000 e0,18.1 = 5000 e0,18.0 
e0,18 = 1,2.e0 
1,2 = 1,2 – Certo 
 
04. Resposta: B 
Do enunciado: preço em 2010 (final) 95 mi, preço em 1951 (inicial) 20 mi, tempo t = 2010 – 1951 = 59 
anos e C(t) é preço final e C0 preço inicial. 
C(t) = C0.eRt 
95 = 20.eR.59 
95 : 20 = e59R 
4,75 = e59R , neste ponto para calcularmos o valor de R temos que utilizar logaritmo, já que temos a 
seguinte propriedade log𝑎𝑁
𝑚 = 𝑚. log𝑎𝑁, então colocaremos logaritmo nos dois membros da equação. 
E, pelo enunciado, usaremos ln (log. Neperiano de base e). Então: 
ln4,75 = lne59R 
1,56 = 59R 
R = 1,56 : 59 = 0,02644 (x100) → R = 2,644% 
 
05. Resposta: CERTO 
Sendo x e y os logaritmandos, temos: 
log 𝑥 + log 𝑦 = 6 
2. log 𝑥 = 4 
Para esta questão só precisamos para soma (1ª equação) e da propriedade que diz: a soma de dois 
logaritmos é igual ao logaritmo do produto. Então: 
log 𝑥 + log 𝑦 = 6 → log 𝑥𝑦 = 6 → como a base é 10 → 106 = x.y 
x.y = 1.000.000 
 
06. Resposta: ERRADO 
Sendo x e y os logaritmandos, temos: 
log 𝑥 + log 𝑦 = 6 
2. log 𝑥 = 4 
log 𝑥 =
4
2
 → log 𝑥 = 2 → 102 = x → x = 100 
 
Da questão anterior xy = 1.000.000, então: 
100.y = 1.000.000 → y = 1.000.000 : 100 → y = 10.000 
x + y = 100 + 10.000 = 10.100 
 
07. Resposta: D 
f(x) = log√5 𝑥
2 calcular f(f(5)), primeiro vamos calcular f(5): 
f(5) = log√5 5
2 = log
5
1
2
52 = 
2
1
2
 = 2.2 = 4 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 101 
f(f(5)) = f(4) = log√5 4
2 = 2. log√5 4, agora usamos a mudança de base log𝑎𝑁 =
log𝑏𝑁
log𝑏 𝑎
, mudando para 
base 10: 
2. log√5 4 = 2. (
log4
log√5
) = 2. (
log 22
5
1
2
) = 2. (
2.log2
1
2
.log5
) = 2. (
2.log2
1
2
.log
10
2
) → lembrando que 
2
1
2
= 4: 
 
2. (
4.log2
log10−log2
) = 
8.log2
1−log2
 
 
08. Resposta: CERTO 
D = A + B → D = ln(
x
2
) + x√x + B 
E = B + C 
-x√x + 2.ln(2)= B – 5x√x + ln(2) 
-x√x + 2.ln(2) + 5x√x - ln(2) = B 
B = 4x√x + ln(2) 
F = D +E 
𝐹 = 𝑙𝑛 (
𝑥
2
) + 𝑥√𝑥 + 𝐵 − 𝑥√𝑥 + 2. ln(2) → 𝐹 = ln(𝑥) − ln(2) + 4𝑥√𝑥 + ln(2) + ln (22) 
F = 4x√x + ln(x) + ln(4) 
F = ln(4x) + 4x√x 
 
09. Resposta: B 
Sabemos que log3 2 = 0,6. O log que foi dado está na base 3 e o que pede para calcular na base 6. 
Primeiro precisamos mudar de base e para isto temos a fórmula log𝑎𝑁 =
log𝑏𝑁
log𝑏 𝑎
. 
log6 24 =
log3 24
log3 6
 = 
 
= 
log3 2
3.3
log6 2.3
 = 
log3 2
3+log3 3
log3 2+log3 3
 = 
 
= 
3.log3 2+1
0,63+1
 = 
3.0,63+1
1,63
 = 
2,89
1,63
≅ 1,77 
 
10. Resposta: C 
Temos um logaritmo de base 10. 
log10(𝑥
2 − 8) = 0 , pela definição de logaritmo, temos: 
100 = x2 – 8 
1 = x2 – 8 
1 + 8 = x2 
x2 = 9 → x = ±√9 → x = 3 ou x = - 3. 
 
EQUAÇÃO LOGARÍTMICA13 
 
Existem equações que não podem ser reduzidas a uma igualdade de mesma base pela simples 
aplicação das propriedades das potências. A resolução de uma equação desse tipo baseia-se na 
definição de logaritmo. 
 
𝒂𝒙 = 𝒃 → 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 , 𝒄𝒐𝒎 𝟎 < 𝒂 ≠ 𝟏 𝒆 𝒃 > 𝟎. 
 
Existem quatro tipos de equações logarítmicas: 
 
1º) Equações redutíveis a uma igualdade entre dois logaritmos de mesma base: 
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈(𝒙) 
 
A solução pode ser obtida impondo-se f(x) = g(x) > 0. 
 
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. 102 
Exemplo 
𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟐𝒙 + 𝟒 = 𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟑𝒙 + 𝟏 
Temos que: 
2x + 4 = 3x + 1 
2x – 3x = 1 – 4 
– x = – 3 
x = 3 
Portanto, S = {3} 
 
2º) Equações redutíveis a uma igualdade entre dois logaritmos e um número real: 
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒇(𝒙) = 𝒓 
 
A solução pode ser obtida impondo-se f(x) = ar. 
 
Exemplo 
𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟓𝒙 + 𝟐 = 𝟑 
Pela definição de logaritmo temos: 
5x + 2 = 33 
5x + 2 = 27 
5x = 27 – 2 
5x = 25 
x = 5 
Portanto S = {5}. 
 
3º) Equações que são resolvidas por meio de uma mudança de incógnita: 
 
Exemplo 
(𝐥𝐨𝐠𝟒 𝒙)
𝟐 − 𝟑. 𝐥𝐨𝐠𝟒 𝒙 = 𝟒 
Vamos fazer a seguinte mudança de incógnita: 
𝐥𝐨𝐠𝟒 𝒙 = 𝒚 
 
Substituindo na equação inicial, ficaremos com: 
 
 
4º) Equações que envolvem utilização de propriedades ou de mudança de base: 
 
Exemplo 
𝐥𝐨𝐠(𝟐𝒙 + 𝟑) + 𝐥𝐨𝐠(𝒙 + 𝟐) = 𝟐 𝐥𝐨𝐠𝒙 
 
Usando as propriedades do logaritmo, podemos reescrever a equação acima da seguinte forma: 
log[(2𝑥 + 3)(𝑥 + 2)] = log 𝑥2 
 
Note que para isso utilizamos as seguintes propriedades: 
log 𝑥. 𝑦 = log 𝑥 + log 𝑦 
log 𝑥𝑛 = 𝑛. log 𝑥 
Vamos retornar à equação: 
log[(2𝑥 + 3)(𝑥 + 2)] = log 𝑥2 
 
 
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. 103 
Como ficamos com uma igualdade entre dois logaritmos, segue que: 
(2x + 3)(x + 2) = x2 
ou 
2x2 + 4x + 3x + 6 = x2 
2x2 – x2 + 7x + 6 = 0 
x2 + 7x + 6 = 0 
 
x = -1 ou x = - 6 
 
Lembre-se que para o logaritmo existir o logaritmando e a base devem ser positivos. Com os valores 
encontrados para x, o logaritmando ficará negativo. Sendo assim, a equação não tem solução ou S = ø. 
 
Questões 
 
01. (Escola de Sargento das Armas – Combatente/Logística – Exército Brasileiro) O logaritmo de 
um produto de dois fatores é igual à soma dos logaritmos de cada fator, mantendo-se a mesma base. 
Identifique a alternativa que representa a propriedade do logaritmo anunciada. 
(A) Logb(a.c )= logba + logbc 
(B) Logb(a.c) = logb(a + c) 
(C) Logb(a + c) = logba.logbc 
(D) Logb(a + c) = logb(a.c) 
(E) Loge(a.c) = logba + logfc 
 
02. (FUSA/PR – Agente Comunitário de Saúde – UNIUV) Aplicando as propriedades de logaritmo 
na equação log A - log B = 0, teremos: 
(A) A . B = 0 
(B) A . B > 0 
(C) A = B 
(D) A / B = 0 
(E) A é o inverso de B 
 
03. (Escola de Sargento das Armas – Música – Exército Brasileiro) Sabendo que log P = 3loga - 
4logb + 1/2logc, assinale a alternativa que representa o valor de P. 
(dados: a = 4, b = 2 e c = 16) 
(A) 12 
(B) 52 
(C) 16 
(D) 24 
(E) 73 
 
04. (SESI/PA – Nutricionista – FIDESA) Para calcular o pH de um efluente, os técnicos do 
departamento de controle ambiental utilizam a fórmula: 𝑝𝐻 = log (
1
|𝐻+|
), onde |H+|é a concentração de 
íons H+ nas amostras do efluente. Considerando que a concentração de íons é |H+|=5x10-5 e log 2 = 0,3, 
o pH das amostras coletadas desse efluente é de: 
(A) 3,6 
(B) 4,3 
(C) 6,4 
(D) 7,2 
 
05. (LIQUIGÁS – Assistente Administrativo – CESGRANRIO) Qual é o produto das raízes da 
equação [log(x)]² - log(x²) - 3 = 0 ? 
(A) - 3.000 
(B) - 3 
(C) 0,001 
(D) 100 
(E) 1.000 
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. 104 
Comentários 
 
01. Resposta: A 
Logb(a.c )= logba + logbc 
 
02. Resposta: C 
log(A/B)=0 
Pela propriedade do log: 
A/B=1 
A=B 
 
03. Resposta: C 
log P = log a3 − logb4 + logc
1
2 
log P = log(a3.
c
1
2
b4
) 
 P =
43√16
24
= 16 
 
04. Resposta: B 
 
pH = log (
1
|5x10−5|
) 
 
pH = log(0,2x105) 
pH = log 0,2 + log105 
 
pH = log (
2
10
) + 5log10 
 
pH = log 2 − log 10 + 5log10 
pH=0,3-1+5=4,3 
 
05. Resposta: D 
[log(x)]²- 2logx - 3 = 0 
Fazendo logx=y 
y²-2y-3=0 
=4+12=16 
 
𝑦 =
2 ± 4
2
 
y1 = 3 
y2 = −1 
 
Substituindo: 
Log x=3 
X=10³=1000 
Log x=-1 
X=10-1=0,1 
Produto das raízes: 10000,1=100 
 
INEQUAÇÃO LOGARITMICA 
 
A forma de se resolver a inequação logarítmica é a mesma da equação, mas é preciso ter muito 
cuidado quando a base for 0 < a < 1. 
 
 
 
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. 105 
São dois tipos de inequação logarítmica. 
 
1º) Inequações redutíveis a uma desigualdade entre logaritmos de mesma base: 
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒇(𝒙) < 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈(𝒙) 
 
Neste caso há ainda dois casos a considerar 
 
 
Exemplo 
Log3 (2x + 1) ≤ 1 
Condição de existência: 
2x + 1 > 0 → 2x > – 1 → x > -1/2 (S1) 
Veja que no 2º membro da desigualdade não temos um logaritmo. Porém, podemos escrever o número 
1 em forma de logaritmo, dessa forma igualando as bases: 1 = log3 31. A Base 3 foi escrita 
intencionalmente, para se igualar a base do logaritmo escrito no 1º membro. Reescrevendo a inequação: 
Log3 (2x + 1) ≤ log3 31 → como a > 1 mantem-se a direção inicial do sinal. 
2x + 1 ≤ 31 → 2x ≤ 3 – 1 
2x ≤ 2 → x ≤ 1. 
S = S1 ∩ S2 → a solução final é a interseção das soluções 1 e 2. 
S = {x ∈ R / −12 < x ≤ 1} 
 
2º) Inequações redutíveis a uma desigualdade entre um logaritmo e um número real: 
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒇(𝒙) > 𝒓 𝒐𝒖 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒇(𝒙) < 𝒓 
 
Para resolver uma inequação desse tipo, basta substituir r por log𝑎 𝑎
𝑟, assim teremos: 
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒇(𝒙) < 𝒓 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆 𝒂 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒇(𝒙) < 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒂
𝒓 
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒇(𝒙) > 𝒓 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆 𝒂 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒇(𝒙) > 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒂
𝒓 
 
Exemplo 
log1/2 (x − 7) > log1/2(3x + 1) 
Condições de existência: 
x – 7 > 0 → x > 7 (S1) 
3x + 1 > 0 → 3x > – 1 → x > −13 (S2) 
 
log1/2(x − 7) > log1/2(3x + 1) → como 0 < a <1 inverte-se a direção inicial do sinal. 
x – 7 < 3x + 1 → x – 3x < 1 + 7 
–2x < 8 → 2x > – 8 → x > – 4 (S3) 
S = S1 ∩ S2 ∩ S3 → a solução final é a interseção das soluções 1, 2 e 3. 
S = {x ∈ R | x > 7} 
 
 
 
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. 106 
Questões 
 
01. (SEE/AC – Professor de Matemática e Física – FUNCAB) Resolva a inequação abaixo 
 
 
(A) ]1,5/4[ 
(B) ]1, 8[ 
(C) ]- ∞, 5/4[ 
(D)] -∞, 1[ 
(E) ]5/4,8[ 
 
02. (SEDUC/SP – Professor de Matemática – FGV) Considere a desigualdade: 
 log2013(log2014( log2015 𝑥)) > 0o menor valor inteiro de x que satisfaz essa desigualdade é: 
(A) 20132014 + 1 
(B) 20142013 + 1 
(C) 20142015 + 1 
(D) 20152014 + 1 
(E) 2016 
 
Comentários 
 
01. Resposta: A 
A condição de existência (C.E.). 
C.E.: x - 1 > 0, 
x > 1 
 
Obs.: a função é decrescente (0 < x < 1). 
Assim, inverte-se o sinal. 
log1/2 (x-1) > 2 
log1/2 (x-1) > log1/2 (1/2)2 
x – 1 < 1/4 
x < 1 + 1/4 
x < 5/4 
S = {x E R / 1< x < 5/4} 
 ]1, 5/4[ 
 
02. Resposta: D 
 log2013(log2014( log2015 𝑥)) > 0 
 log2013(log2014( log2015 𝑥)) > log2013 1 
log2014(log2015 𝑥) > 1 
log2014(log2015 𝑥) > log2014 2014¹ 
log2015 𝑥 > 2014 
log2015 𝑥 > log2015 2015
2014 
x > 20152014, logo o menor inteiro será: x > 20152014 + 1. 
 
RELAÇÃO 
 
Plano Cartesiano Ortogonal de Coordenadas 
 
Foi criado por René Descartes, ao qual consiste em dois eixos perpendiculares: 
1 - Horizontal denominado eixo das abscissas e 
2 - Vertical denominado eixo das ordenadas. 
 
Tem como objetivo localizarmos pontos determinados em um determinado espaço. Além do mais, o 
plano cartesiano foi dividido em quadrantes aos quais apresentam as seguintes propriedades em relação 
ao par ordenado (x, y) ou (a, b). 
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. 107 
 
 
Par Ordenado 
 
Quando representamos o conjunto (a, b) ou (b, a) estamos, na verdade, representando o mesmo 
conjunto, sem nos preocuparmos com a ordem dos elementos. Porém, em alguns casos, é conveniente 
distinguir a ordem destes elementos. 
Para isso, usamos a ideia de par ordenado que é conjunto formado por dois elementos, onde o 
primeiro é a ou x e o segundo é b ou y. 
 
Exemplos 
1) (a,b) = (2,5) → a = 2 e b = 5. 
2) (a + 1,6) = (5,2b) → a + 1 = 5 e 6 = 2b → a = 5 -1 e b = 6/2 → a = 4 e b = 3. 
 
Gráfico cartesiano do par ordenado 
Todo par ordenado de números reais pode ser representado por um ponto no plano cartesiano. 
 
 
Temos que: 
- P é o ponto de coordenadas a e b; 
- o número a é chamado de abscissa de P; 
- o número b é chamado ordenada de P; 
- a origem do sistema é o ponto O (0,0). 
 
Vejamos a representação dos pontos abaixo: 
 
A (4,3) 
B (1,2) 
C (-2,4) 
D (-3,-4) 
E (3,-3) 
F (-4,0) 
G (0,-2) 
 
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. 108 
Produto Cartesiano 
 
Dados dois conjuntos A e B, chamamos de produto cartesiano A x B ao conjunto de todos os possíveis 
pares ordenados, de tal maneira que o 1º elemento pertença ao 1º conjunto (A) e o 2º elemento pertença 
ao 2º conjunto (B). 
 
𝐀 𝐱 𝐁 = {(𝐱, 𝐲)|𝐱 ∈ 𝐀 𝐞 𝐲 ∈ 𝐁} 
 
Quando o produto cartesiano for efetuado entre o conjunto A e o conjunto A, podemos representar A 
x A = A2. Vejamos, por meio de o exemplo a seguir, as formas de apresentação do produto cartesiano. 
 
Exemplo 
Sejam A = {2,3,4} e B = {3,5}. Podemos efetuar o produto cartesiano A x B, também chamado A 
cartesiano B, e apresentá-lo de várias formas. 
 
a) Listagem dos elementos 
Apresentamos o produto cartesiano por meio da listagem, quando escrevemos todos os pares 
ordenados que constituam o conjunto. Assim, no exemplo dado, teremos: 
 
A x B = {(2,3),(2,5),(3,3),(3,5),(4,3),(4,5)} 
 
Vamos aproveitar os mesmo conjuntos A e B e efetuar o produto B e A (B cartesiano A): 
B x A = {(3,2),(3,3),(3,4),(5,2),(5,3),(5,4)}. 
 
Observando A x B e B x A, podemos notar que o produto cartesiano não tem o privilégio da propriedade 
comutativa, ou seja, A x B é diferente de B x A. Só teremos a igualdade A x B = B x A quando A e B forem 
conjuntos iguais. 
 
Observação: Considerando que para cada elemento do conjunto A o número de pares ordenados 
obtidos é igual ao número de elementos do conjunto B, teremos: n (A x B) = n(A) x n(B). 
No nosso exemplo temos: n (A x B) = n (A) x n (B) = 3 x 2 = 6 
 
b) Diagrama de flechas 
Apresentamos o produto cartesiano por meio do diagrama de flechas, quando representamos cada um 
dos conjuntos no diagrama de Euler-Venn, e os pares ordenados por “flechas” que partem do 1º elemento 
do par ordenado (no 1º conjunto) e chegam ao 2º elemento do par ordenado (no 2º conjunto). 
Considerando os conjuntos A e B do nosso exemplo, o produto cartesiano A x B fica assim 
representado no diagrama de flechas: 
 
 
 
c) Plano cartesiano 
Apresentamos o produto cartesiano, no plano cartesiano, quando representamos o 1º conjunto num 
eixo horizontal, e o 2º conjunto num eixo vertical de mesma origem e, por meio de pontos, marcamos os 
elementos desses conjuntos. Em cada um dos pontos que representam os elementos passamos retas 
(horizontais ou verticais). Nos cruzamentos dessas retas, teremos pontos que estarão representando, no 
plano cartesiano, cada um dos pares ordenados do conjunto A cartesiano B (B x A). 
 
 
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. 109 
Noção de Relação 
 
Dado os conjuntos A = {4,5,6} e B = {5,6,7,8}, temos: 
A x B = {(4,5), (4,6), (4,7), (4,8), (5,5), (5,6), (5,7), (5,8), (6,5), (6,6), (6,7), (6,8)} 
 
Destacando o conjunto A x B, por exemplo, o conjunto R formado pelos pares (x,y) que satisfaçam a 
seguinte lei de formação: x + y = 10, ou seja: 
R = {(x,y) ϵ A x B| x + y = 10} 
Vamos montar uma tabela para facilitar os cálculos. 
 
Destacamos os pares que satisfazem a lei de formação: 
R = {(4,6), (5,5)}, podemos com isso observar que R ⊂ A x B. 
 
Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação de A em B qualquer subconjunto de A x B, isto é: 
 
R é uma relação de A em B ↔ R ⊂ A x B 
 
Noção de Função 
 
Dados os conjuntos A = {4,5,6} e B = {5,6,7,8}, considerando o conjunto de pares (x,y), tais que x ϵ A 
e y ϵ B. 
Qualquer um desses conjuntos é chamado relação de A em B, mas se cada elemento dessa relação 
associar cada elemento de A um único elemento de B, dizemos que ela é uma função de A em B. 
Vale ressaltar que toda função é uma relação, mas nem toda relação é uma função. 
 
Analisemos através dos diagramas de Venn. 
 
 
 
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. 110 
 
Analisemos agora através dos gráficos: 
 
 
 
Um jeito prático de descobrirmos se o gráfico apresentado é ou não função, é traçarmos retas paralelas ao 
eixo do y e se verificarmos se no eixo do x existem elementos com mais de uma correspondência, aí podemos 
dizer se é ou não uma função, conforme os exemplos acima. 
 
Elementos da função 
Como já vimos nos conceitos acima, temos que dado dois conjuntos não vazios A e B chamamos de 
função a relação que associa a cada elemento de x (ou a) de A um único elemento y (ou b) de B, 
conhecida também como função de A em B. 
Na figura abaixo está ilustrado os elementos de uma função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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. 111 
Pelo diagrama de Venn: 
 
 
Representado no gráfico: 
 
 
- Ao conjunto A dá-se o nome de domínio, ou conjunto partida, representado pela letra D. 
Logo, D(f) = A. 
- Ao conjunto B dá-se o nome de contradomínio, ou conjunto chegada, representado pelas letras CD 
ou somente C. Logo, CD(f) = B ou C(f) = B. 
- A cada elemento y de B que está associado a um x de A, denominamos imagem de x. Logo, y = f(x). 
(Lê-se: y é igual a f de x). 
- Ao conjunto dos elementos y de B, que são imagens dos elementos x de A dos elementos x de A, 
dá-se o nome de conjunto imagem ou apenas imagem, representado por Im ou Im(f). Têm:-se que Im ⊂ 
B. 
 
A notação para representar função é dada por: 
 
 
Exemplo 
Dado A = {-2, -1, 0, 1, 2} vamos determinar o conjunto imagem da função f:A→ R, definida por f(x) = 
x+3. 
Vamos pegar cada elemento do conjunto A, aplicarmos a lei de associação e acharmos a imagem 
deste conjunto. 
F(-2) = -2 + 3 = 1 
F(-1) = -1 + 3 = 2F(0) = 0 + 3 = 3 
F(1) = 1 + 3 = 4 
F(2) = 2 + 3 = 5 
 
 
Domínio de uma função real de variável real 
Para definirmos uma função precisamos conhecer dois conjuntos (não vazios) A e B e a lei que associa 
cada elemento x de A um único elemento y de B. Para nosso caso vamos considerar A e B sendo 
subconjuntos de R e diremos que f é uma função real de variável real. 
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. 112 
O conjunto A, domínio da função f, será formado por todos os elementos do conjunto real de x, para 
os quais as operações indicadas na lei de associação sejam possíveis em R. 
 
Exemplos 
1) y = x2 + 3x 
Vamos substituir x por qualquer número real obtermos para y um valor real. Logo D(f) = R. 
 
2) 𝑦 =
1
𝑥
 
Neste caso como o nosso denominador não pode ser igual a zero, temos que D(f) = R* 
 
3) 𝒇(𝒙) =
𝒙
𝒙−𝟐
 
 
Como sabemos que o denominador tem que ser diferente de zero, logo x – 2 ≠ 0  x ≠ 2. 
D(f) = R – {2} ou D(f) = {x ϵ R| x ≠ 2} 
 
Questão 
 
01. Dado o conjunto A= {0, 1, 2, 3, 4}, e seja a função f: A→ R, da função f(x) = 2x + 3. O conjunto 
imagem desta função será? 
(A) Im = {3, 5, 7, 9, 11} 
(B) Im = {0, 1, 2, 3, 4} 
(C) Im = {0, 5, 7, 9, 11} 
(D) Im = {5, 7, 9,11} 
(E) Im = {3, 4, 5, 6, 7} 
 
Comentário 
 
01. Resposta A. 
Basta substituirmos o x da função f(x) = 2x + 3 pelos elementos de A. 
Então: 
f(0) = 2.0 + 3 = 0 + 3 = 3 
f(1) = 2.1 + 3 = 2 + 3 = 5 
f(2) = 2.2 + 3 = 4 + 3 = 7 
f(3) = 2.3 + 3 = 6 + 3 = 9 
f(4) = 2.4 + 3 = 8 + 3 = 11 
Assim Im = {3, 5, 7, 9, 11} 
 
FUNÇÃO DO 1º GRAU OU FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU 
 
Função do 1º grau ou função afim ou polinomial do 1º grau recebe ou é conhecida por um desses 
nomes, sendo por definição14: Toda função f: R → R, definida por: 
 
Com a ϵ R* e b ϵ R. 
 
O domínio e o contradomínio é o conjunto dos números reais (R) e o conjunto imagem coincide com o 
contradomínio, Im = R. 
Quando b = 0, chamamos de função linear. 
 
Gráfico de uma Função 
 
Dada a função y = 2x + 3 (a = 2 > 0). Vamos montar o gráfico dessa função. 
 
14BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval – Matemática Volume 1 – Editora Moderna 
FACCHINI, Walter – Matemática Volume Único – 1ª Edição - Editora Saraiva:1996 
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. 113 
Para montarmos o gráfico vamos atribuir valores a x para acharmos y. 
 
x y (x,y) 
0 y = 2 .0 + 3 = 3 (0,3) 
-2 y = 2 . (-2) + 3 = - 4 + 3 = -1 (-2,-1) 
-1 y = 2 .(-1) + 3 = -2 + 3 = 1 (-1,1) 
 
Vamos construir o gráfico no plano cartesiano 
 
 
Observe que o gráfico de uma função afim é sempre 
uma reta. 
E como a > 0 ela é função crescente, que veremos 
mais à frente 
 
 
Vejamos outro exemplo: f(x) = –x + 1. Montando o gráfico temos: 
 
 
Observe que a < 0, logo é uma função decrescente 
 
Tipos de Função 
 
Função constante: é toda função definida f: R → R, para cada elemento de x, temos a mesma 
imagem, ou seja, o mesmo f(x) = y. Podemos dizer que y = f(x) = k. 
 
Observe o gráfico abaixo da função constante 
 
 
 
A representação gráfica de uma função constante, é uma reta paralela ao eixo das abscissas ou sobre 
o eixo (igual ao eixo abscissas). 
 
Função Identidade 
Se a = 1 e b = 0, então y = x. Quando temos este caso chamamos a função de identidade, notamos 
que os valores de x e y são iguais, quando a reta corta os quadrantes ímpares e y = - x, quando corta 
os quadrantes pares. 
 
 
 
 
 
 
 
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. 114 
A reta que representa a função identidade é denominada de bissetriz dos quadrantes ímpares: 
 
 
E no caso abaixo a reta é a bissetriz dos quadrantes pares. 
 
 
 
Função Injetora 
Para n elementos distintos do domínio apresenta-se imagens também distintas no contradomínio. 
 
 
Reconhecemos, graficamente, uma função injetora quando, uma reta horizontal, qualquer que seja 
interceptar o gráfico da função, uma única vez. 
 
 
Se traçarmos retas horizontais, paralelas ao eixo x, 
notaremos que o mesmo cortará a reta formada pela 
função em um único ponto (o que representa uma 
imagem distinta), logo concluímos que se trata de 
uma função injetora. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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. 115 
Função Sobrejetora 
Quando todos os elementos do contradomínio forem imagens de pelo menos um elemento do domínio. 
 
 
Reconhecemos, graficamente, uma função sobrejetora quando, qualquer que seja a reta horizontal 
que interceptar o eixo no contradomínio, interceptar, também, pelo menos uma vez o gráfico da função. 
 
 
Observe que todos os elementos do contradomínio 
tem um correspondente em x. Logo é sobrejetora. 
Im(f) = B 
 
 
Observe que nem todos os elementos do 
contradomínio tem um correspondente em x. Logo 
não é sobrejetora. 
Im(f) ≠ B 
 
Função Bijetora 
Uma função é dita bijetora quando é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. 
 
Exemplo 
A função f : [1; 3] → [3; 5], definida por f(x) = x + 2, é uma função bijetora. 
 
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. 116 
Função Ímpar e Função Par 
Dizemos que uma função é par quando para todo elemento x pertencente ao domínio temos 𝑓(𝑥) =
𝑓(−𝑥), ∀ 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓). Ou seja os valores simétricos devem possuir a mesma imagem. Para uma melhor 
compreensão observe o diagrama abaixo: 
 
 
 
A função é dita ímpar quando para todo elemento x pertencente ao domínio, temos f(-x) = -f(x) ∀ x є 
D(f). Ou seja, os elementos simétricos do domínio terão imagens simétricas. Observe o diagrama abaixo: 
 
 
 
Função Crescente e Decrescente 
A função pode ser classificada de acordo com o valor do coeficiente a (coeficiente angular da reta), 
se a > 0, a função é crescente, caso a < 0, a função é decrescente. A função é caracterizada por uma 
reta. 
 
 
Observe que medida que os valores de x aumentam, 
os valores de y ou f(x) também aumentam. 
 
 
Observe que medida que os valores de x aumentam, 
os valores de y ou f(x) diminuem. 
 
Através do gráfico da função notamos que: 
- Para a função ser crescente o ângulo formado entre a reta da função e o eixo x (horizontal) é agudo (< 90º); e 
- Para a função ser decrescente o ângulo formado é obtuso (> 90º). 
 
Zero ou Raiz da Função 
Chama-se zero ou raiz da função y = ax + b, o valor de x que anula a função, isto é, o valor de x para 
que y ou f(x) seja igual à zero. 
 
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. 117 
Para achar o zero da função y = ax + b, basta igualarmos y ou f(x) a zero, então assim teremos uma 
equação do 1º grau, ax + b = 0. 
 
Exemplo 
Determinar o zero da função: 
f(x) = x + 3 
Igualamos f(x) = 0 → 0 = x + 3 → x = - 3 
 
Graficamente temos: 
 
 
 
No plano cartesiano, o zero da função é representado pela abscissa do ponto onde a reta corta o eixo 
x. 
Observe que a reta f(x) = x + 3 intercepta o eixo x no ponto (- 3,0), ou seja, no ponto de abscissa - 3, 
que é o zero da função. Observamos que como a > 0, temos que a função é crescente. 
Partindo da equação ax + b = 0 podemos também escrever de forma simplificada uma outra maneira 
de acharmos a raiz da função utilizando apenas os valores de a e b. 
 
𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎 → 𝒂𝒙 = −𝒃 → 𝒙 =
−𝒃
𝒂
 
Podemos expressar a fórmula acima graficamente: 
 
 
 
Estudo do Sinal da Função 
Estudar o sinal da função y = ax + b é determinar os valores reais de x para que: 
- A função se anule (y = 0); 
- A função seja positiva (y > 0); 
- A função seja negativa (y < 0). 
 
Vejamos abaixo o estudo do sinal:1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 118 
 
Exemplo 
Estudar o sinal da função y = 2x – 4 (a = 2 > 0). 
1) Qual o valor de x que anula a função? 
y = 0 
2x – 4 = 0 
2x = 4 
x =
2
4
 
x = 2 
A função se anula para x = 2. 
 
2) Quais valores de x tornam positiva a função? 
y > 0 
2x – 4 > 0 
2x > 4 
x >
2
4
 
x > 2 
A função é positiva para todo x real maior que 2. 
 
3) Quais valores de x tornam negativa a função? 
y < 0 
2x – 4 < 0 
2x < 4 
x <
2
4
 
x < 2 
A função é negativa para todo x real menor que 2. 
 
Podemos também estudar o sinal da função por meio de seu gráfico: 
 
- Para x = 2 temos y = 0; 
- Para x > 2 temos y > 0; 
- Para x < 2 temos y < 0. 
 
 
 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 119 
Questões 
 
01. (MPE/SP – Geógrafo – VUNESP) O gráfico apresenta informações do lucro, em reais, sobre a 
venda de uma quantidade, em centenas, de um produto em um hipermercado. 
 
Sabendo-se que é constante a razão entre a variação do lucro e a variação da quantidade vendida e 
que se pretende ter um lucro total não menor que R$ 90.500,00 em 10 dias de venda desse produto, 
então a média diária de unidades que deverão ser vendidas, nesse período, deverá ser, no mínimo, de: 
(A) 8 900. 
(B) 8 950. 
(C) 9 000. 
(D) 9 050. 
(E) 9 150. 
 
02. (Pref. Jundiaí/SP – Eletricista – MAKIYAMA) Em determinado estacionamento cobra-se R$ 3,00 
por hora que o veículo permanece estacionado. Além disso, uma taxa fixa de R$ 2,50 é somada à tarifa 
final. Seja t o número de horas que um veículo permanece estacionado e T a tarifa final, assinale a seguir 
a equação que descreve, em reais, o valor de T: 
(A) T = 3t 
(B) T = 3t + 2,50 
(C) T = 3t + 2.50t 
(D) T = 3t + 7,50 
(E) T = 7,50t + 3 
 
03. (PM/SP – Sargento CFS – CETRO) Dada a função f(x) = −4x +15 , sabendo que f(x) = 35, então 
(A) x = 5. 
(B) x = 6. 
(C) x = -6. 
(D) x = -5. 
 
04. (BNDES – Técnico Administrativo – CESGRANRIO) O gráfico abaixo apresenta o consumo 
médio de oxigênio, em função do tempo, de um atleta de 70 kg ao praticar natação. 
 
 
Considere que o consumo médio de oxigênio seja diretamente proporcional à massa do atleta. 
Qual será, em litros, o consumo médio de oxigênio de um atleta de 80 kg, durante 10 minutos de prática 
de natação? 
(A) 50,0 
(B) 52,5 
(C) 55,0 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 120 
(D) 57,5 
(E) 60,0 
 
05. (PETROBRAS – Técnico Ambiental Júnior – CESGRANRIO) 
 
de domínio real, então, m − p é igual a 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 64 
(E) 7 
 
06. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - CONSULPLAN) A função inversa de uma função f(x) do 1º 
grau passa pelos pontos (2, 5) e (3, 0). A raiz de f(x) é 
(A) 2. 
(B) 9. 
(C) 12. 
(D) 15. 
 
07. (BRDE/RS) Numa firma, o custo para produzir x unidades de um produto é C(x) = 
𝑥
2
 + 10000, e o 
faturamento obtido com a comercialização dessas x unidades é f(x) = 
2
3
 𝑥. Para que a firma não tenha 
prejuízo, o faturamento mínimo com a comercialização do produto deverá ser de: 
(A) R$ 20.000,00 
(B) R$ 33.000,00 
(C) R$ 35.000,00 
(D) R$ 38.000,00 
(E) R$ 40.000,00 
 
08. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - CONSULPLAN) Qual dos pares de pontos a seguir 
pertencem a uma função do 1º grau decrescente? 
(A) Q(3, 3) e R(5, 5). 
(B) N(0, –2) e P(2, 0). 
(C) S(–1, 1) e T(1, –1). 
(D) L(–2, –3) e M(2, 3). 
 
09. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - CONSULPLAN) A reta que representa a função f(x) = ax + 
b intercepta o eixo y no ponto (0, 4) e passa pelo ponto (–1, 3). A raiz dessa função é 
(A) –4. 
(B) –2. 
(C) 1. 
(D) 2. 
 
10. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – UNEMAT) O planeta Terra já foi 
um planeta incandescente segundo estudos e está se resfriando com o passar dos anos, mas seu núcleo 
ainda está incandescente. 
Em certa região da terra onde se encontra uma mina de carvão mineral, foi constatado que, a cada 80 
metros da superfície, a temperatura no interior da Terra aumenta 2 graus Celsius. 
Se a temperatura ambiente na região da mina é de 23° Celsius, qual a temperatura no interior da mina 
num ponto a 1200 metros da superfície? 
(A) 15º C 
(B) 38º C 
(C) 53º C 
(D) 30º C 
(E) 61º C 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 121 
Comentários 
 
01. Resposta: E 
Pelo enunciado temos que, a razão constante entre variação de lucro (ΔL) e variação de quantidade 
(ΔQ) vendida: 
𝑅 =
∆𝐿
∆𝑄
→ 𝑅 =
7000 − (−1000)
80 − 0
→ 𝑅 =
8000
80
→ 𝑅 = 100 
 
Como se pretende ter um lucro maior ou igual a R$ 90.500,00, logo o lucro final tem que ser pelo 
menos 90.500,00 
Então fazendo a variação do lucro para este valor temos: 
ΔL = 90500 – (-1000) = 90500 + 1000 = 91500 
Como é constante a razão entre a variação de lucro (ΔL) e variação de quantidade (ΔQ) vendida, 
vamos usar o valor encontrado para acharmos a quantidade de peças que precisam ser produzidas: 
 
𝑅 =
∆𝐿
∆𝑄
→ 100 =
91500
∆𝑄
→ 100∆𝑄 = 91500 → ∆𝑄 =
91500
100
→ ∆𝑄 = 915 
 
Como são em 10 dias, termos 915 x 10 = 9150 peças que deverão ser vendidas, em 10 dias, para que 
se obtenha como lucro pelo menos um lucro total não menor que R$ 90.500,00 
 
02. Resposta: B 
Equacionando as informações temos: 3 deve ser multiplicado por t, pois depende da quantidade de 
tempo, e acrescentado 2,50 fixo 
T = 3t + 2,50 
 
03. Resposta: D 
35 = - 4x + 15 → - 4x = 20 → x = - 5 
 
04. Resposta: E 
A proporção de oxigênio/tempo: 
 
10,5
2
=
21,0
4
=
𝑥
10
 
 
4x = 210 
x = 52,5 litros de oxigênio em 10 minutos para uma pessoa de 70 kg 
52,5litros----70kg 
x-------------80kg 
x = 60 litros 
 
05. Resposta: C 
Aplicando segundo as condições mencionadas: 
x = 1 
f(1) = 2.1 - p 
f(1) = m - 1 
x = 6 
f(6) = 6m - 1 
 𝑓(6) =
7.6+4
2
=
42+4
2
= 23 ; igualando as duas equações: 
23 = 6m - 1 
m = 4 
Como queremos m – p , temos: 
2 - p = m - 1 ; igualando as duas novamente. 
2 – p = 4 – 1 → p = - 1 → m – p = 4 - (- 1) = 5 
 
06. Resposta: D 
Primeiramente, vamos calcular os valores de a e b: 
Sabendo que f(x) = y , temos que y = ax + b. 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 122 
* a: basta substituir os pontos T (2, 5) e V (3, 0) na equação. Assim: 
( T ) 5 = a.2 + b , ou seja, 2.a + b = 5 ( I ) 
( V ) 0 = a.3 + b , ou seja, 3.a + b = 0 , que fica b = – 3.a ( II ) 
Substituindo a equação ( II ) na equação ( I ), temos: 
2.a + (– 3.a) = 5 → 2.a – 3.a = 5 → – a = 5 . (– 1) → a = – 5 
Para calcular o valor de b, vamos substituir os valores de um dos pontos e o valor de a na equação. 
Vamos pegar o ponto V (3, 0) para facilitar os cálculos: 
y = a.x + b 
0 = – 5.3 + b 
b = 15 
Portanto, a função fica: y = – 5.x + 15 . 
Agora, precisamos calcular a função inversa: basta trocar x por y e vice-versa. Assim: 
x = – 5.y + 15 
5.y = – x +15 
y = – x / 5 + 15/5 
y = – x / 5 + 3 (função inversa) 
Por fim, a raiz é calculada fazendo y = 0. Assim: 
0 = – x / 5 + 3 → x / 5 = 3 → x = 3 . 5 → x = 15 
 
07. Resposta: E 
C(x) = 
𝑥
2
 + 10000 
F(x) = 
2
3
 𝑥 
F(x) ≥ C(x) 
2
3
 𝑥 ≥ 
𝑥
2
 + 10000 
 
2
3
 𝑥 −
𝑥
2
 ≥ 10000  
4𝑥−3𝑥
6
 ≥ 10000  
4𝑥−3𝑥
6
 ≥ 10000 x = 
10000
1
6
  x ≥ 60000, como ele quer o menor 
valor. 
 
Substituindo no faturamento as 60000 unidades temos: 
F(x) = 
2
3
 60000 = 40.000 
 
Portanto o resultado final é de R$ 40.000,00. 
 
08. Resposta: C 
Para pertencer a uma função polinomial do 1º grau decrescente, o primeiro ponto deve estar em uma 
posição “mais alta” do que o 2º ponto. 
Vamos analisaras alternativas: 
( A ) os pontos Q e R estão no 1º quadrante, mas Q está em uma posição mais baixa que o ponto R, 
e, assim, a função é crescente. 
( B ) o ponto N está no eixo y abaixo do zero, e o ponto P está no eixo x à direita do zero, mas N está 
em uma posição mais baixa que o ponto P, e, assim, a função é crescente. 
( D ) o ponto L está no 3º quadrante e o ponto M está no 1º quadrante, e L está em uma posição mais 
baixa do que o ponto M, sendo, assim, crescente. 
( C ) o ponto S está no 2º quadrante e o ponto T está no 4º quadrante, e S está em uma posição mais 
alta do que o ponto T, sendo, assim, decrescente. 
 
09. Resposta: A 
Primeiramente, vamos calcular os valores de a e b: 
Sabendo que f(x) = y , temos que y = ax + b. 
* a: basta substituir os pontos T (0, 4) e V (–1, 3) na equação. Assim: 
( T ) 4 = a.0 + b , ou seja, b = 4 
( V ) 3 = a.( – 1) + b 
a = 4 – 3 = 1 
Portanto, a função fica: y = x + 4 
Por fim, a raiz é calculada fazendo y = 0. Assim: 
0 = x + 4 , ou seja, x = – 4 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 123 
10. Resposta: C 
Vamos utilizar a função T(h) = 23 + 2.h, onde T é a temperatura e h é a profundidade. Assim: 
A temperatura aumenta: 1200 / 80 = 15 partes 
Assim: 15 . 2 = 30º C 
Assim: 23º C + 30º C = 53º C 
 
FUNÇÃO DO 2º GRAU 
 
Chama-se função do 2º grau15, função quadrática, função polinomial do 2º grau ou função trinômio do 
2º grau, toda função f de R em R definida por um polinômio do 2º grau da forma: 
 
 
Com a, b e c reais e a ≠ 0. 
 
Onde: 
a é o coeficiente de x2; 
b é o coeficiente de x; 
c é o termo independente. 
 
Exemplos 
y = x2 – 5x + 6, sendo a = 1, b = – 5 e c = 6 
y = x2 – 16, sendo a = 1, b = 0 e c = – 16 
f(x) = x2, sendo a = 1, b = 0 e c = 0 
f(x) = 3x2 + 3x, sendo a = 3 , b = 3 e c = 0 
 
Representação Gráfica da Função 
O gráfico da função é constituído de uma curva aberta chamada de parábola. 
Vejamos a trajetória de um projétil lançado obliquamente em relação ao solo horizontal, ela é uma 
parábola cuja concavidade está voltada para baixo. 
 
 
 
Exemplo 
Se a função f de R em R definida pela equação y = x2 + x. Atribuindo à variável x qualquer valor real, 
obteremos em correspondência os valores de y, vamos construir o gráfico da função: 
 
 
15BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval – Matemática Volume 1 – Editora Moderna 
FACCHINI, Walter – Matemática Volume Único – 1ª Edição - Editora Saraiva:1996 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 124 
1) Como o valor de a > 0 a concavidade está voltada para cima; 
2) -1 e 0 são as raízes de f(x); 
3) c é o valor onde a curva corta o eixo y, neste caso no 0 (zero); 
4) O valor do mínimo pode ser observado nas extremidades (vértice) de cada parábola: -1/2 e -1/4. 
 
Concavidade da Parábola 
No caso das funções definida por um polinômio do 2º grau, a parábola pode ter sua concavidade 
voltada para cima (a > 0) ou voltada para baixo (a < 0). A concavidade é determinada pelo valor do a 
(maior que zero ou menor que zero). Esta é uma característica geral para a função definida por um 
polinômio do 2º grau. 
 
 
 
Vértice da Parábola 
Toda parábola tem um ponto de ordenada máxima ou ponto de ordenada mínima, a esse ponto 
denominamos vértice. Dado por V (xv , yv). 
 
 
 
Eixo de Simetria 
É aquele que dado o domínio a imagem é a mesma. Isso faz com que possamos dizer que a parábola 
é simétrica a reta que passa por xv, paralela ao eixo y, na qual denominamos eixo de simetria. Vamos 
entender melhor o conceito analisando o exemplo: y = x2 + 2x – 3 (início do assunto). 
Atribuímos valores a x, achamos valores para y. Temos que: 
f (-3) = f (1) = 0 
f (-2) = f (0) = -3 
 
Conjunto Domínio e Imagem 
Toda função com Domínio nos Reais (R) que possui a > 0, sua concavidade está voltada para cima, e 
o seu conjunto imagem é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 125 
Logo se a < 0, a concavidade estará voltada para baixo, o seu conjunto imagem é dado por: 
 
 
Coordenadas do Vértice da Parábola 
Como visto anteriormente a função apresenta como eixo de simetria uma reta vertical que intercepta 
o gráfico num ponto chamado de vértice. 
As coordenadas do vértice são dadas por: 
 
 
 
Onde: 
x1 e x2 são as raízes da função. 
 
 
Valor Máximo e Valor Mínimo 
- Se a > 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada mínima. Nesse caso, o vértice é chamado 
ponto de mínimo e a ordenada do vértice é chamada valor mínimo da função; 
- Se a < 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada máxima. Nesse caso, o vértice é ponto 
de máximo e a ordenada do vértice é chamada valor máximo da função. 
 
 
 
Exemplo 
Dado a função y = x2 – 2x – 3 vamos construir a tabela e o gráfico desta função, determinando também 
o valor máximo ou mínimo da mesma. 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 126 
 
Como a = 1 > 0, então a função possui um valor mínimo como pode ser observado pelo gráfico. O 
valor de mínimo ocorre para x = 1 e y = - 4. Logo o valor de mínimo é - 4 e a imagem da função é dada 
por: Im = { y ϵ R | y ≥ - 4}. 
 
Raízes ou Zeros da Função 
As raízes ou zeros da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c são os valores de x reais tais que f(x) = 0, 
ou seja são valores que deixam a função nula. Com isso aplicamos o método de resolução da equação 
do 2º grau. 
ax2 + bx + c = 0 
 
A resolução de uma equação do 2º grau é feita com o auxílio da chamada “fórmula de Bháskara”. 
 
a
b
x
.2


 , onde, = b2 – 4.a.c 
 
As raízes (quando são reais), o vértice e a intersecção com o eixo y são fundamentais para traçarmos 
um esboço do gráfico de uma função do 2º grau. 
 
Forma fatorada das raízes: f (x) = a (x – x1) (x – x2). 
Esta fórmula é muito útil quando temos as raízes e precisamos montar a sentença matemática que 
expresse a função. 
 
Estudo da Variação do Sinal da Função 
Estudar o sinal de uma função quadrática é determinar os valores reais de x que tornam a função 
positiva, negativa ou nula. 
Abaixo podemos resumir todos os valores assumidos pela função dado a e Δ (delta). 
 
 
Observe que: 
 
Quando Δ > 0, o gráfico corta e tangencia o eixo x em dois pontos distintos, e temos duas raízes reais distintas. 
Quando Δ = 0, o gráfico corta e tangencia o eixo x em um ponto e temos duas raízes iguais. 
Quando Δ < 0, o gráfico não corta e não tangencia o eixo x em nenhum ponto e não temos raízes reais. 
 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 127 
Exemplos 
1) Considere a função quadrática representada pelo gráfico abaixo, vamos determinar a sentença 
matemática que a define. 
 
 
Resolução: 
Como conhecemos as raízes x1 e x2 (x1= - 4 e x2 = 0), podemos utilizar a forma fatorada: 
f (x) = a.[ x – (- 4)].[x – 0] ou f (x) = a(x + 4).x . 
O vértice da parábola é (- 2,4), temos: 
4 = a.(- 2 + 4).(- 2) → a = - 1 
Logo, f(x) = - 1.(x + 4).x → (- x - 4x).x → - x2 - 4x 
 
2) Vamos determinar o valor de k para que o gráfico cartesiano de f(x) = -x2 + (k + 4). x – 5 ,passe pelo 
ponto (2;3). 
Resolução: 
Como x = 2 e f(x) = y = 3, temos: 
3 = - (2)2 + (k + 4).2 - 5 → 3 = - 4 + 2k + 8 - 5 → 2k + 8 - 9 = 3 → 2 k - 1 = 3 → 2k = 3 + 1 → 2k = 4 → 
k = 2. 
 
Questões 
 
01. (CBM/MG – Oficial Bombeiro Militar – FUMARC) Duas cidades A e B estão separadas por uma 
distância d. Considere um ciclista que parte da cidade A em direção à cidade B. A distância d, em 
quilômetros, que o ciclista ainda precisa percorrer para chegar ao seu destino em função do tempo t, em 
horas, é dada pela função 𝑑(𝑡) =
100−𝑡2
𝑡+1
. Sendo assim, a velocidademédia desenvolvida pelo ciclista em 
todo o percurso da cidade A até a cidade B é igual a 
(A) 10 Km/h 
(B) 20 Km/h 
(C) 90 Km/h 
(D) 100 Km/h 
 
02. (ESPCEX – Cadetes do Exército – Exército Brasileiro) Uma indústria produz mensalmente x 
lotes de um produto. O valor mensal resultante da venda deste produto é V(x)=3x²-12x e o custo mensal 
da produção é dado por C(x)=5x²-40x-40. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor 
resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais que essa indústria deve 
vender para obter lucro máximo é igual a 
(A) 4 lotes. 
(B) 5 lotes. 
(C) 6 lotes. 
(D) 7 lotes. 
(E) 8 lotes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 128 
03. (IPEM – Técnico em Metrologia e Qualidade – VUNESP) A figura ilustra um arco decorativo de 
parábola AB sobre a porta da entrada de um salão: 
 
 
Considere um sistema de coordenadas cartesianas com centro em O, de modo que o eixo vertical (y) 
passe pelo ponto mais alto do arco (V), e o horizontal (x) passe pelos dois pontos de apoio desse arco 
sobre a porta (A e B). 
Sabendo-se que a função quadrática que descreve esse arco é f(x) = – x²+ c, e que V = (0; 0,81), pode-
se afirmar que a distância 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , em metros, é igual a 
(A) 2,1. 
(B) 1,8. 
(C) 1,6. 
(D) 1,9. 
(E) 1,4. 
 
04. (Polícia Militar/MG – Soldado – Polícia Militar) A interseção entre os gráficos das funções y = - 
2x + 3 e y = x² + 5x – 6 se localiza: 
(A) no 1º e 2º quadrantes 
(B) no 1º quadrante 
(C) no 1º e 3º quadrantes 
(D) no 2º e 4º quadrantes 
 
Comentários 
 
01. Resposta: A 
Vamos calcular a distância total, fazendo t = 0: 
𝑑(0) =
100−02
0+1
= 100𝑘𝑚 
 
Agora, vamos substituir na função: 
0 =
100−𝑡2
𝑡+1
 
 
100 – t² = 0 
– t² = – 100 . (– 1) 
t² = 100 
𝑡 = √100 = 10𝑘𝑚/ℎ 
 
02. Resposta: D 
L(x) = 3x² - 12x-5x² + 40x + 40 
L(x) = - 2x² + 28x + 40 
 𝑥𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 = −
𝑏
2𝑎
= −
28
−4
= 7 𝑙𝑜𝑡𝑒𝑠 
 
03. Resposta: B 
C = 0,81, pois é exatamente a distância de V 
f(x) = - x² + 0,81 
0 = - x² + 0,81 
x² = 0,81 
x =  0,9 
A distância AB é 0,9 + 0,9 = 1,8 
 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 129 
04. Resposta: A 
- 2x + 3 = x² + 5x - 6 
x² + 7x - 9 = 0 
 = 49 + 36 = 85 
𝑥 =
−7 ± √85
2
 
𝑥1 =
−7 + 9,21
2
= 1,105 
𝑥2 =
−7 − 9,21
2
= −8,105 
Para x=1,105 
y = - 2 . 1,105 + 3 = 0,79 
Para x = - 8,105 
y = 19,21 
Então a interseção ocorre no 1º e no 2º quadrante. 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
Definição 
 
A função exponencial é a definida como sendo a inversa da função logarítmica natural, isto é: 
 
Podemos concluir, que a função exponencial é definida por: 
 
Gráficos da Função Exponencial 
 
 
 
 Propriedades da Função Exponencial 
Se a, x e y são números reais quaisquer e k é um número racional, então: 
- ax . ay = ax + y 
- ax / ay = ax - y 
- (ax) y = ax.y 
- (a b)x = ax bx 
- (a / b)x = ax / bx 
- a-x = 1 / ax 
 
Estas relações também são válidas para exponenciais de base e (e = número de Euller = 2,718...) 
- y = ex se, e somente se, x = ln(y) 
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. 130 
- ln(ex) = x 
- ex+y= ex.ey 
- ex-y = ex/ey 
- ex.k = (ex)k 
 
Constante de Euler 
Existe uma importantíssima constante matemática definida por 
e = exp(1) 
O número e é um número irracional e positivo, de acordo com a definição da função exponencial, 
temos que: 
ln(e) = 1 
Este número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, um dos primeiros 
a estudar as propriedades desse número. 
O valor deste número expresso com 40 dígitos decimais, é: 
e = 2,718281828459045235360287471352662497757 
Porém ninguém é obrigado a decorar este número, sabendo com duas casas após a vírgula já é mais 
que suficiente, ou seja, devemos saber que e = 2,72 aproximadamente. 
Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser escrita como a potência de base e com 
expoente x, isto é: 
ex = exp(x) 
 
Construção do Gráfico de uma Função Exponencial 
Exemplo: 
Vamos construir o gráfico da função 𝑦 = 2𝑥 
Vamos atribuir valores a x, para que possamos traçar os pontos no gráfico. 
 
X Y 
-3 1
8
 
-2 1
4
 
-1 1
2
 
0 1 
1 2 
2 4 
3 8 
 
 
 
Questões 
 
01. (UFOP – Assistente em Administração – UFOP/2018) Sobre a função f(x) = (1/3)-x, assinale a 
afirmativa correta. 
(A)f é crescente. 
(B) f não é injetora. 
(C) O domínio de f é o conjunto dos números reais negativos. 
(D) A imagem de f é o conjunto dos números reais. 
 
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. 131 
02. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST) As funções 
exponenciais são muito usadas para modelar o crescimento ou o decaimento populacional de uma 
determinada região em um determinado período de tempo. A função 𝑃(𝑡) = 234 . (1,023)𝑡 modela o 
comportamento de uma determinada cidade quanto ao seu crescimento populacional em um determinado 
período de tempo, em que P é a população em milhares de habitantes e t é o número de anos desde 
1980. 
 
Qual a taxa média de crescimento populacional anual dessa cidade? 
(A) 1,023% 
(B) 1,23% 
(C) 2,3% 
(D) 0,023% 
(E) 0,23% 
 
03. (Polícia Civil/SP – Desenhista Técnico-Pericial – VUNESP) Uma população P cresce em função 
do tempo t (em anos), segundo a sentença 𝑷 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 . 𝟓𝟎,𝟏 .𝒕. Hoje, no instante t = 0, a população é de 2 
000 indivíduos. A população será de 50 000 indivíduos daqui a 
(A) 20 anos. 
(B) 25 anos. 
(C) 50 anos. 
(D) 15 anos. 
(E) 10 anos. 
 
04. (IF/BA – Pedagogo – IF/BA) Em um período longo de seca, o valor médio de água presente em 
um reservatório pode ser estimado de acordo com a função: Q(t) = 4000 . 2 -0,5 . t, onde t é medido em 
meses e Q(t) em metros cúbicos. Para um valor de Q(t) = 500, pode-se dizer que o valor de t é: 
(A) 6 meses 
(B) 8 meses 
(C) 5 meses 
(D) 10 meses 
(E) 4 meses 
 
05. (CBTU - Assistente Operacional - FUMARC) Uma substância se decompõe segundo a lei Q(t) 
= K.2 – 0,5 t, sendo K uma constante, t é o tempo medido em minutos e Q(t) é a quantidade de 
substância medida em gramas no instante t. O gráfico a seguir representa os dados desse processo 
de decomposição. Baseando-se na lei e no gráfico de decomposição dessa substância, 
é CORRETO afirmar que o valor da constante K e o valor de a (indicado no gráfico) 
são, respectivamente, iguais a: 
 
 
(A) 2048 e 4 
(B) 1024 e 4 
(C) 2048 e 2 
(D) 1024 e 2 
(E) 1024 e 8 
 
 
 
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. 132 
Comentários 
 
01. Resposta: A 
Como o expoente é um número negativo (- x), basta invertemos a fração para deixa-lo positivo, ou 
seja: 
(1\3)-x = (3\1)x = 3x, e está função é fácil identificar que será crescente, pois se aumentarmos o valor 
de x, aumentamos o valor de f(x). 
 
02. Resposta: C 
𝑃(𝑡) = 234 . (1,023)𝑡 
Primeiramente, vamos calcular a população inicial, fazendo t = 0: 
𝑃(0) = 234 . (1,023)0 = 234 . 1 = 234 mil 
Agora, vamos calcular a população após 1 ano, fazendo t = 1: 
𝑃(1) = 234 . (1,023)1 = 234 . 1,023 = 239,382 
Por fim, vamos utilizar a Regra de Três Simples: 
População % 
 234 --------------- 100 
 239,382 ------------ x 
234.x = 239,382 . 100 
x = 23938,2 / 234 
x = 102,3% 
102,3% = 100% (população já existente) + 2,3% (crescimento) 
 
03. Resposta: A 
50000 = 2000 . 50,1 .𝑡 
50,1 .𝑡 = 
50000
2000
 
50,1 .𝑡 = 52 
Vamos simplificar as bases (5), sobrando somente os expoentes. Assim: 
0,1 . t = 2 
t = 2 / 0,1 
t = 20 anos 
 
04. Resposta: A 
500= 4000 * 2-0.5t 
500/4000 = 2 -0.5t 
simplificando, 
1/8 = 2 -0.5t 
deixando o expoente positivo, invertemos a base: 
1/8 = 1/2 0.5t 
(½)3 = (½)0,5t 
0,5t = 3 
t = 3/0,5 = 6. 
 
05. Resposta: A 
Calcular o valor de K, ou seja, o valor inicial 
 Q(t) = K . 2-0,5t. Perceba que o K ocupa a posição referente à quantidade inicial, t=0. Q(t) = 2048 
Assim, temos para o ponto (0, 2048), temos tempo zero e quantidade final 2048. 
 
Calcular o valor de a, o seja, o tempo quando a quantidade final for 512. 
 Quantidade final = quantidade inicial x (crescimento)período 
512 = 2048 x (2)-0,5t 
512 = 2048 x (2)-0,5t 
 512/2048 = (2)-0,5t 
¼ = (2)-0,5t 
(1/2)2 = (1/2)0,5t 
0,5t = 2 
t = 2/0,5 = 4 
Assim temos 2048 e 4. 
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. 133 
Função Logarítmica 
 
A função logaritmo natural mais simples é a função y = f0(x) = lnx. Cada ponto do gráfico é da forma 
(x, lnx) pois a ordenada é sempre igual ao logaritmo natural da abscissa. 
 
 
 
O domínio da função ln é R*+=]0,∞[ e a imagem é o conjunto R=]-∞,+∞[. 
O eixo vertical é uma assíntota ao gráfico da função. De fato, o gráfico se aproxima cada vez mais da 
reta x = 0. 
O que queremos será descobrir como é o gráfico de uma função logarítmica natural geral, quando 
comparado ao gráfico de y = ln x, a partir das transformações sofridas por esta função. 
Consideremos uma função logarítmica cuja expressão é dada por y = f1(x) = ln x + k, onde k é uma 
constante real. A pergunta natural a ser feita é, qual a ação da constante k no gráfico dessa nova função 
quando comparado ao gráfico da função inicial y = f0(x) = ln x? 
Ainda podemos pensar numa função logarítmica que seja dada pela expressão y = f2(x) = a.ln x onde 
a é uma constante real, a 0. 
Observe que se a = 0, a função obtida não será logarítmica, pois será a constante real nula. Uma 
questão que ainda se coloca é a consideração de funções logarítmicas do tipo y = f3(x) = ln(x + m), onde 
m é um número real não nulo. Se g(x) = 3.ln(x - 2) + 2/3, desenhe seu gráfico, fazendo os gráficos 
intermediários, todos num mesmo par de eixos. 
y = a.ln(x + m) + k 
 
Conclusão: Podemos, portanto, considerar funções logarítmicas do tipo y = f4(x) = a In (x + m) + k, 
onde o coeficiente a não é zero, examinando as transformações do gráfico da função mais simples y = f0 
(x) = In x, quando fazemos, em primeiro lugar, y = ln(x + m); em seguida, y = a.ln(x + m) e, finalmente, y 
= a.ln(x + m) + k. 
 
Analisemos o que aconteceu: 
- Em primeiro lugar, y = ln(x + m) sofreu uma translação horizontal de -m unidades, pois x = - m exerce 
o papel que x = 0 exercia em y = ln x; 
- A seguir, no gráfico de y = a.ln(x + m) ocorreu mudança de inclinação pois, em cada ponto, a ordenada 
é igual àquela do ponto de mesma abscissa em y = ln(x + m) multiplicada pelo coeficiente a; 
- Por fim, o gráfico de y = a.ln(x + m) + k sofreu uma translação vertical de k unidades, pois, para cada 
abscissa, as ordenadas dos pontos do gráfico de y = a.ln(x + m) + k ficaram acrescidas de k, quando 
comparadas às ordenadas dos pontos do gráfico de y = a.ln(x + m). 
 
O estudo dos gráficos das funções envolvidas auxilia na resolução de equações ou inequações, pois 
as operações algébricas a serem realizadas adquirem um significado que é visível nos gráficos das 
funções esboçados no mesmo referencial cartesiano. 
 
Função logarítmica de base a, é toda função f : R*+ → R, definida por 𝑓(𝑥) = log
𝑎
𝑥 com: 
a ϵ R*+ e a ≠ 1. 
 
Podemos observar neste tipo de função que a variável independente x é um logaritmando, por isto a 
denominamos função logarítmica. Observe que a base a é um valor real constante, não é uma variável, 
mas sim um número real. 
A função logarítmica de R*+ → R é inversa da função exponencial de R*+ → R e vice-versa, pois: 
log
𝑏
𝑎 = 𝑥 ⟺ 𝑏𝑥 = 𝑎 
 
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. 134 
Representação da Função Logarítmica no Plano Cartesiano 
 
Podemos representar graficamente uma função logarítmica da mesma forma que fizemos com a 
função exponencial, ou seja, escolhendo alguns valores para x e montando uma tabela com os 
respectivos valores de f(x). Depois localizamos os pontos no plano cartesiano e traçamos a curva do 
gráfico. Vamos representar graficamente a função 𝑓(𝑥) = log 𝑥 e como estamos trabalhando com um 
logaritmo de base 10, para simplificar os cálculos vamos escolher para x alguns valores que são potências 
de 10: 
0,001, 0,01, 0,1, 1 e 10. 
 
Temos então seguinte a tabela: 
 
x y = log x 
0,001 y = log 0,001 = -3 
0,01 y = log 0,01 = -2 
0,1 y = log 0,1 = -1 
1 y = log 1 = 0 
10 y = log 10 = 1 
 
 
 
Acima temos o gráfico desta função logarítmica, no qual localizamos cada um dos pontos obtidos da 
tabela e os interligamos através da curva da função: Veja que para valores de y < 0,01 os pontos estão 
quase sobre o eixo das ordenadas, mas de fato nunca chegam a estar. Note também que neste tipo de 
função uma grande variação no valor de x implica numa variação bem inferior no valor de y. Por exemplo, 
se passarmos de x = 100 para x = 1 000 000, a variação de y será apenas de 2 para 6. Isto porque: 
 
{
𝑓(100) = log 100 = 2
𝑓(1000000) = log 1000000 = 6
 
 
Função Crescente e Decrescente 
 
Assim como no caso das funções exponenciais, as funções logarítmicas também podem ser 
classificadas como função crescente ou função decrescente. Isto se dará em função da base a ser 
maior ou menor que 1. Lembre-se que segundo a definição da função logarítmica f:R*+ → R, definida 
por 𝑓(𝑥) = log
𝑎
𝑥 , temos que a > 0 e a ≠ 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 135 
Função Logarítmica Crescente 
 
 
Se a > 1 temos uma função logarítmica crescente, qualquer que seja o valor real positivo de x. No 
gráfico da função ao lado podemos observar que à medida que x aumenta, também aumenta f(x) ou y. 
Graficamente vemos que a curva da função é crescente. Também podemos observar através do gráfico, 
que para dois valores de x (x1 e x2), que log𝑎 𝑥2 > log𝑎 𝑥1 ⟺ 𝑥2 > 𝑥1, isto para x1, x2 e a números reais 
positivos, com a > 1. 
Função Logarítmica Decrescente 
 
 
 
Se 0 < a < 1 temos uma função logarítmica decrescente em todo o domínio da função. Neste outro 
gráfico podemos observar que à medida que x aumenta, y diminui. Graficamente observamos que a curva 
da função é decrescente. No gráfico também observamos que para dois valores de x (x1 e x2), que 
log𝑎 𝑥2 < log𝑎 𝑥1 ⟺ 𝑥2 > 𝑥1 , isto para x1, x2 e a números reais positivos, com 0 < a < 1. É importante 
frisar que independentemente de a função ser crescente ou decrescente, o gráfico da função sempre 
cruza o eixo das abscissas no ponto (1, 0), além de nunca cruzar o eixo das ordenadas e que o log𝑎 𝑥2 =
log𝑎 𝑥1 ⟺ 𝑥2 = 𝑥1, isto para x1, x2 e a números reais positivos, com a ≠ 1. 
 
Questões 
 
01. (PETROBRAS - Geofísico Junior - CESGRANRIO) Se log x representa o logaritmo na base 10 
de x, então o valor de n tal que log n = 3 - log 2 é: 
(A) 2000 
(B) 1000 
(C) 500 
(D) 100 
(E) 10 
 
02. (MF – Assistente Técnico Administrativo – ESAF) Sabendo-se que log x representa o logaritmo 
de x na base 10, calcule o valor da expressão log 20 + log 5. 
(A) 5 
(B) 4 
(C) 1 
(D) 2 
(E) 3 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 136 
03. (SEE/AC – Professor – FUNCAB) Assinale a alternativa correta, considerando a função a seguir. 
 
(A) O domínio da função é o conjunto dos números reais. 
(B) O gráfico da função passa pelo ponto (0, 0). 
(C) O gráfico da função tem como assíntota vertical a reta x = 2. 
(D) Seu gráfico toca o eixo Y. 
(E)Seu gráfico toca o eixo X em dois pontos distintos. 
 
04. (PETROBRAS - Analista de Comercialização e Logística Júnior - CESGRANRIO) Ao resolver 
um exercício, um aluno encontrou as expressões 8p = 3 e 3q = 5. Quando perguntou ao professor se suas 
expressões estavam certas, o professor respondeu que sim e disse ainda que a resposta à pergunta era 
dada por 
 
 
Se log x representa o logaritmo na base 10 de x, qual é a resposta correta, segundo o professor? 
(A)log 8 
(B)log 5 
(C)log 3 
(D)log 2 
(E)log 0,125 
 
05. (TRT 13ª Região - Analista Judiciário - FCC) Com base em um levantamento histórico e utilizando 
o método dos mínimos quadrados, uma empresa obteve a equação para estimar a 
probabilidade (p) de ser realizada a venda de determinado equipamento em função do tempo (t), em 
minutos, em que as propriedades do equipamento são divulgadas na mídia. Considerando que ln (0,60) 
= - 0,51, tem-se que se as propriedades do equipamento forem divulgadas por um tempo de 15 minutos 
na mídia, então a probabilidade do equipamento ser vendido é, em %, de 
Observação: ln é o logaritmo neperiano tal que ln(e) = 1. 
(A)62,50 
(B)80,25. 
(C) 72,00. 
(D)75,00. 
(E)64,25. 
 
06. (PETROBRAS - Conhecimentos Básicos - CESGRANRIO) Quanto maior for a profundidade de 
um lago, menor será a luminosidade em seu fundo, pois a luz que incide em sua superfície vai perdendo 
a intensidade em função da profundidade do mesmo. Considere que, em determinado lago, a intensidade 
y da luz a x cm de profundidade seja dada pela função y = i0 . ( 0,6 )x/88, onde i0 representa a intensidade 
da luz na sua superfície. No ponto mais profundo desse lago, a intensidade da luz corresponde a i0/3 
A profundidade desse lago, em cm, está entre. 
Dados 
log 2 = 0,30 
log 3 = 0,48 
 
(A)150 e 160 
(B)160 e 170 
(C)170 e 180 
(D)180 e 190 
(E)190 e 200 
 
07. (DNIT - Analista em Infraestrutura de Transportes - ESAF) Suponha que um técnico efetuou 
seis medições de uma variável V1, cujos dados são mostrados na tabela abaixo. Ao perceber que os 
valores cresciam de forma exponencial, o técnico aplicou uma transformação matemática (logaritmo na 
base 10) para ajustar os valores originais em um intervalo de valores menor. A referida transformação 
logarítmica vai gerar novos valores cujo intervalo varia de: 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 137 
 
 
(A) 0 a 1. 
(B)0 a 5. 
(C)0 a 10. 
(D)0 a 100. 
(E)1 a 6. 
 
08. (PETROBRAS - Técnico de Exploração de Petróleo Júnior - CESGRANRIO) Se y = log81 (1⁄27) 
e x ∈ IR+ são tais que xy = 8 , então x é igual a 
(A)1⁄16 
(B)1⁄2 
(C)log38 
(D) 2 
(E)16 
 
09. (PETROBRAS - Geofísico Junior - CESGRANRIO) Se log x representa o logaritmo na base 10 
de x, então o valor de n tal que log n = 3 - log 2 é 
(A)2000 
(B)1000 
(C)500 
(D)100 
(E)10 
 
10. (PETROBRAS - Todos os Cargos - CESGRANRIO) Em calculadoras científicas, a tecla log serve 
para calcular logaritmos de base 10. Por exemplo, se digitamos 100 e, em seguida, apertamos a tecla log, 
o resultado obtido é 2. A tabela a seguir apresenta alguns resultados, com aproximação de três casas 
decimais, obtidos por Pedro ao utilizar a tecla log de sua calculadora científica. 
 
Utilizando-se os valores anotados por Pedro na tabela acima, a solução da equação log6+x=log28 é 
(A)0,563 
(B)0,669 
(C)0,966 
(D)1,623 
(E)2,402 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C 
log n = 3 - log 2 
log n + log 2 = 3 . 1 
onde 1 = log 10 então: 
log (n . 2) = 3 . log 10 
log(n . 2) = log 103 
2n = 103 
2n = 1000 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 138 
n = 1000 / 2 
n = 500 
 
02. Resposta: D 
E = log20 + log5 
E = log(2 x 10) + log5 
E = log2 + log10 + log5 
E = log10 + log (2 x 5) 
E = log10 + log10 
E = 2 log10 
E = 2 
 
03. Resposta: C 
(x) = log2(x - 2) 
Verificamos a condição de existência, daí x – 2 > 0 
X > 2 
Logo a reta x = 2 é uma assíntota vertical. 
 
04. Resposta: B 
8p = 3 
23p = 3 
log23p = log3 
3p = (log3/log2) 
p = (log3/log2).1/3 
3q = 5 
q.log3 = log5 
q = log5/log3 
3.p.q = 3. (log3/log2).1/3 . log5/log3 = log5/log2 
3.p.q/(1 + 3.p.q) 
log5/log2/(1 + log5/log2) 
(log5/log2)/( log2/log2 + log5/log2) 
(log5/log2)/(log2 + log5)/log2) 
(log5/log2)/( log10)/log2) 
(log5/ log10)= 
log5 
 
05. Resposta: A 
 Como sabemos que ln (0,60) = -0,51 
então ln (1 / 0,60) = 0,51 
Substituindo t = 15 minutos em 0,06 + 0,03 . t, teremos 0,06 + 0,03*15 = 0,51 
logo 1 / 0,60 = p / (1 - p) 
1 - p = 0,60 . p 
p = 0,625 
 
06. Resposta: E 
onde y = i0 . 0,6 (x/88) 
então: 
i0/ 3 = i0.0,6 (x/88) 
(i / 3) . (1/ i) = 0,6 (x/88) 
1/3 = 0,6 (x/88) 
log 1/3 = log 0,6 (x/88) 
log 1 - log 3 = x/88 . log 6/10 
0 - 0,48 = x/88 . log 6/10 
88 . (- 0,48) = x . [ log 6 - log 10 ] 
6 = 3 . 2 ===> log 3 + log 2 
como log10 na base 10 = 1. 
- 42,24 = x . [ log 3 + log 2 - (1)] 
- 42,24 = x . [ 0,48 + 0,30 - 1 ] 
x = - 42,24 / - 0,22 
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. 139 
x = (42,24 / 0,22) = 192 
x = 192 cm 
 
07. Resposta: B 
A transformação logarítmica vai gerar novos valores, através dos seguintes cálculos: 
medida 1 = log 1 = 0 
medida 2 = log 10 = 1 
medida 3 = log 100 = 2 
medida 4 = log 1000 = 3 
medida 5 = log 10000 = 4 
medida 6 = log 100000 = 5 
logo os valores (1,10,100,1000,10000,100000) transformados em logaritmos reduziu o intervalo de 
valores para (0,1,2,3,4,5), ou seja, 0-5. 
 
08. Resposta: A 
y = log (81) (1/27) 
y = -3log(81)(3) 
y = -3. 1/4 
y = -3/4 
x(-3/4) = 8 
Elevando os dois termos à quarta potência: 
x-3 = 84 
1/x3 = 84 
Agora raiz cubica dos dois termos: 
1/x = 8 4/3 
Como 3√8=2 
1/x = 24 
1/x = 16 
x = 1/16 
 
09. Resposta: C 
De acordo com o enunciado: 
log n = 3 - log 2 
log n + log 2 = 3 . 1, 
onde 1 = log 10 
então: 
log (n . 2) = 3 . log 10 
log(n . 2) = log 10 3 
2n = 103 
2n = 1000 
n = 1000 / 2 
n = 500 
 
10. Resposta: B 
Log 6 = Log (2 . 3) 
De acordo com uma das propriedades: 
Log (A . B) = Log A + Log B 
Então, Log (2 . 3) = Log 2 + Log 3. 
Fatorando o número 28 temos que 
28=2x2x7 
Temos que: 
Log 28 = Log (2x2x7) 
ou seja, 
Log 28 = Log 2 + Log 2 + Log 7 
Portanto: 
Log 2 + Log 3 + x = Log 2 + Log 2 + Log 7 
Cortando o Log 2 dos dois lados temos: 
Log 3 + x = Log 2 + Log 7 
Dados os valores da tabela, e substituindo-os, temos que: 
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. 140 
0,477 + x = 0,301 + 0,845 
x = 0,669 
 
 
 
Um Sistema de Equações Lineares é um conjunto ou uma coleção de equações com as quais é 
possível resolver tudo de uma só vez. Sistemas Lineares são úteis para todos os campos da matemática 
aplicada, em particular, quando se trata de modelar e resolver numericamente problemas de diversas 
áreas. Nas engenharias, na física, na biologia, na química e na economia, por exemplo, é muito comum 
a modelagem de situações por meio de sistemas lineares. 
 
Definição 
Toda equação do tipo a1x1 + a2x2 + a3x3+...anxn = b, onde a1, a2, a3,.., an e b são números reais e x1, x2, 
x3,.., xn são as incógnitas. 
Os números reais a1, a2, a3..., an são chamados de coeficientes e b é o termo independente. 
 
Observamos também que todos os expoentes de todas as variáveis são sempre iguais a 1. 
 
Solução de uma equação linear 
Na equação 4x – y = 2, o par ordenado (3,10) é uma solução, pois ao substituirmos esses valores na 
equação obtemos uma igualdade. 
4 . 3 – 10 → 12 – 10 = 2 
 
Já o par (3,0) não é a solução, pois 4.3 – 0 = 2 → 12 ≠ 2 
 
Sistema Linear 
Um conjunto de m equações lineares na variáveis x1,x2, ..., xn é dito sistema linear de m equações e n 
variáveis. 
 
Dessa forma temos: 
𝑎) {
2𝑥 − 3𝑦 = 5
𝑥 + 𝑦= 4
 é 𝑢𝑚 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚 2 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑒 2 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 
 
𝑏) {
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2
−3𝑥 + 4𝑦 = 1
 é 𝑢𝑚 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚 2 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑒 3 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 
 
𝑐){𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 − 𝑤 = 0 é 𝑢𝑚 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚 1 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑒 4 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 
 
Matrizes associadas a um sistema 
Podemos associar a um sistema linear 2 matrizes (completas e incompletas) cujos elementos são os 
coeficientes das equações que formam o sistema. 
 
Exemplo: 
𝑎) {
4𝑥 + 3𝑦 = 1
2𝑥 − 5𝑦 = −2
 
 
Temos que: 
𝐴 = (
4 3
2 −5
) é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑒 𝐵 = (
4 3
2 −5
 
1
−2
) é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎. 
 
Solução de um sistema 
Dizemos que a1,a2,...,an é a solução de um sistema linear de n variáveis quando é solução de cada 
uma das equações do sistema. 
 
 
 
4 Sistemas lineares. 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 141 
Exemplo: 
A tripla ordenada (-1,-2,3) é solução do sistema: 
{
3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2
𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 0
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 2
 
 
1º equação → 3.(-1) – (-2) + 3 = -3 + 2 + 3 = 2 (V) 
2º equação → -1 -2.(-2) – 3 = -1 + 4 – 3 = 0 (V) 
3º equação → 2.(-1) + (-2) + 2.3 = -2 – 2 + 6 = 2 (V) 
 
Classificação de um sistema linear 
Um sistema linear é classificado de acordo com seu números de soluções. 
 
 
 
Exemplos: 
A) O par ordenado (1,3) é a única solução do sistema {
2𝑥 − 𝑦 = −1
7𝑥 − 3𝑦 = −2
 
Temos que o sistema é possível e determinado (SPD) 
 
B) O sistema {
3𝑥 − 3𝑦 + 3𝑧 = 3
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1
 apresenta infinitas soluções, como por exemplo (0,1,2), (1,0,0),(2,-1,-
2). Dizemos que o sistema é possível e indeterminado (SPI) 
 
C) O sistema {
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 4
−4𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2
 não apresenta nenhuma solução, pois a primeira e a terceira 
equações não podem satisfeitas ao mesmo tempo. Dizemos que o sistema é impossível (SI). 
 
 
Sistemas escalonados 
Considerando um sistema linear S no qual, em cada equação, existe pelo menos um coeficiente não 
nulo. 
Dizemos que S está na forma escalonada (ou é escalonado) se o número de coeficientes nulos, antes 
do 1º coeficiente não nulo, aumenta de equação para equação. 
 
Exemplos de sistemas escalonados: 
 
Observe que o 1º sistema temos uma redução de números de coeficientes nulos: da 1ª para a 2ª 
equação temos 1 e da 1ª para a 3ª temos 2; logo dizemos que ele é escalonado. 
 
- Resolução de um sistema na forma escalonado 
Temos dois tipos de sistemas escalonados. 
 
 
 
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. 142 
1º) Número de equações igual ao número de variáveis 
 
Vamos partir da última equação, onde obtemos o valor de z. Substituindo esse valor na segunda 
equação obtemos y. Por fim, substituímos y e z na primeira equação, obtendo x. 
Assim temos: 
-2z = 8 → z = -4 
y + z = -2 → y – 4 = -2 → y = 2 
3x + 7y + 5z = -3 → 3x + 7.2 + 5.(-4) = -3 →3x + 14 – 20 = -3 →3x = -3 + 6 →3x = 3 → x = 1 
 
Logo a solução para o sistema é (1,2,-4). 
O sistema tem uma única solução logo é SPD. 
 
2º) Número de equações menor que o número de variáveis. 
 
{
𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 5
𝑦 + 𝑧 = 2
 
 
Sabemos que não é possível determinar x,y e z de maneira única, pois há três variáveis e apenas duas 
“informações” sobre as mesmas. A solução se dará em função de uma de suas variáveis, que será 
chamada de variável livre do sistema. 
Vamos ao passo a passo: 
 
1º passo → a variável que não aparecer no início de nenhuma das equações do sistema será 
convencionada como variável livre, neste caso, a única variável livre é z. 
 
2º passo → transpomos a variável livre z para o 2º membro em cada equação e obtemos: 
 
{
𝑥 − 𝑦 = 5 − 3𝑧
𝑦 = 2 − 𝑧
 
 
3º passo → para obtermos x como função de z, substituímos y = 2 – z, na equação: 
x - (2 – z) = 5 – 3z → x = 7 – 4z 
 
Assim, toda tripla ordenada da forma (7 – 4z, 2 – z, z), sendo z ϵ R, é solução do sistema. Para cada 
valor real que atribuirmos a z, chegaremos a uma solução do sistema. 
 
Este tipo de sistema é dado por infinitas soluções, por isso chamamos de SPI. 
 
Sistemas equivalentes e escalonamento 
Dizemos que dois sistemas lineares, S1 e S2, são equivalentes quando a solução de S1 também é 
solução de S2. 
Dado um sistema linear qualquer, nosso objetivo é transforma-lo em outro equivalente, pois como 
vimos é fácil resolver um sistema de forma escalonada. Para isso, vamos aprender duas propriedades 
que nos permitirá construir sistemas equivalentes. 
 
1ª Propriedade: quando multiplicamos por k, k ϵ R*, os membros de 
uma equação qualquer de um sistema linear S, obtemos um novo 
sistema S’ equivalente a S. 
𝑆 {
𝑥 − 𝑦 = 4
2𝑥 + 3𝑦 = 3
 , 𝑐𝑢𝑗𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 é (3, −1) 
 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 143 
Multiplicando-se a 1ª equação de S por 3, por exemplo, obtemos: 
𝑆′ {
3𝑥 − 3𝑦 = 12
6𝑥 + 9𝑦 = 9
 , 𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 (3, −1) 
 
2ª Propriedade: quando substituímos uma equação de um sistema 
linear S pela soma, membro a membro, dele com outra, obtemos um 
novo sistema S’, equivalente a S. 
𝑆 {
−𝑥 + 𝑦 = −2
2𝑥 − 3𝑦 = 1
 , 𝑐𝑢𝑗𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 é (5,3) 
 
Substituindo a 2ª equação pela soma dela com a 1ª: 
𝑆′ {
−𝑥 + 𝑦 = −2 
2𝑥 − 3𝑦 = 1 
(2ª 𝑒𝑞.)+(1ª 𝑒𝑞.)
← 
−𝑥 + 𝑦 = −2 
2𝑥 − 3𝑦 = 1 
𝑥 − 2𝑦 = −1 
(+) 
 
O par (5,3) é também solução de S’, pois a segunda também é 
verificada: 
x – 2y = 5 – 2. 3 = 5 – 6 = -1 
 
 
Escalonamento de um sistema e o Método de Gauss-Jordan 
Para escalonarmos um sistema linear qualquer vamos seguir o passo a passo abaixo: 
 
1º passo: Escolhemos, para 1º equação, uma em que o coeficiente da 1ª incógnita seja não nulo. Se 
possível, fazemos a escolha a fim de que esse coeficiente seja igual a -1 ou 1, pois os cálculos ficam, em 
geral, mais simples. 
2º passo: Anulamos o coeficiente da 1ª equação das demais equações, usando as propriedades 1 e 
2. 
3º passo: Desprezamos a 1ª equação e aplicamos os 2 primeiros passos com as equações restantes. 
4º passo: Desprezamos a 1ª e a 2ª equações e aplicamos os dois primeiros passos nas equações, 
até o sistema ficar escalonado. 
 
Vejamos um exemplo: 
 
Escalone e resolva o sistema: 
{
−𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −9
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
−2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 1
 
 
Primeiramente precisamos anular os coeficientes de x na 2ª e na 3ª equação: 
 
 
 
Deixando de lado a 1ª equação, vamos repetir o processo para a 2ª e a 3ª equação. Convém, 
entretanto, dividir os coeficientes da 2ª equação por 3, a fim de facilitar o escalonamento: 
{
−𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −9
𝑦 − 𝑧 = −4
−4𝑦 + 5𝑧 = 19
 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 144 
Que é equivalente a: 
{
−𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −9
𝑦 − 𝑧 = −4
𝑧 = 3
 
Substituímos a 3ª equação pela soma 
dela com a 2ª equação, multiplicada por 4: 
 
4𝑦−4𝑧=−16
−4𝑦+5𝑧=19
𝑧 = 3
 
 
 
O sistema obtido está escalonado é do tipo SPD. 
A solução encontrada para o mesmo é (2,-1,3) 
 
Observação: Quando, durante o escalonamento, encontramos duas equações com coeficientes 
ordenadamente iguais ou proporcionais, podemos retirar uma delas do sistema. 
 
Exemplo: 
 
Escalone e resolva o sistema: 
{
3𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 0
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1
8𝑥 − 6𝑦 + 2𝑧 = 2
 
 
{
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1
3𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 0
8𝑥 − 6𝑦 + 2𝑧 = 2
 
 
{
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1
𝑦 − 7𝑧 = −3
2𝑦 − 14𝑧 = −6
 
(-3) x (1ª eq.) + (2ª eq.): 
-3x + 3y – 6z = -3 
3x – 2y – z = 0 
 y – 7z = -3 
 
 
 
(-8) x (1eq.) + (3ª eq.) 
-8x + 8y – 16z = -8 
8x - 6y + 2z = 2 
 2y – 14z = -6 
 
 
Deixamosa 1ª equação de lado e repetimos o processo para a 2ª e 3ª equação: 
 
{
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1
𝑦 − 7𝑧 = −3
0 = 0
 
(-2) x (2ª eq.) + (3ª eq.) 
-2y + 14z = 6 
2y – 14z = -6 
 0 = 0 
 
 
A 3ª equação pode ser retirada do sistema, pois, apesar de ser sempre verdadeira, não traz informação 
sobre os valores das variáveis. Assim, obtemos os sistema escalonado: 
 
{
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1 (𝐼)
𝑦 − 7𝑧 = −3 (𝐼𝐼)
 , 𝑞𝑢𝑒 é 𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑆𝑃𝐼. 
 
A variável livre do sistema é z, então temos: 
(I) y = 7z – 3 
(II) x – (7z – 3) + 2z = 1 → x = 5z – 2 
 
Assim, S = [(5z – 2, 7z – 3, z); z ϵ R] 
 
 
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. 145 
Sistemas homogêneos 
Observe as equações lineares seguintes: 
 
x – y + 2z = 0 4x – 2y + 5z = 0 -x1 – x2 – x3 = 0 
 
O coeficiente independente de cada uma delas é igual a zero, então denominamos de equações 
homogêneas. 
Note que a tripla ordenada (0,0,0) é uma possível solução dessas equações, na qual chamamos de 
solução nula, trivial ou imprópria. 
Ao conjunto de equações homogêneas denominamos de sistemas homogêneos. Este tipo de sistema 
é sempre possível, pois a solução nula satisfaz cada uma de suas equações. 
 
 
 
Exemplo: 
Escalonando o sistema {
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 0
5𝑥 + 7𝑦 + 𝑧 = 0
, 𝑣𝑒𝑚: 
 
{
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0 
𝑦 + 3𝑧 = 0 ← (−2)𝑥(1ª 𝑒𝑞. ) + (2ª 𝑒𝑞. )
 2𝑦 + 6𝑧 = 0 ← (−5)𝑥(1ª 𝑒𝑞. ) + (3ª 𝑒𝑞. )
 
 
Dividindo os coeficientes da 3ª equação por 2, notamos que ela ficará igual à 2ª equação e, portanto 
poderá ser retirada do sistema. 
 
Assim, o sistema se reduz à forma escalonada {
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
𝑦 + 3𝑧 = 0
 𝑒 é 𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑆𝑃𝐼. 
 
Resolvendo-o teremos y = -3z e x = 4z. Se z = α, α ϵ R, segue a solução geral (4α,-3α, α). 
Vamos ver algumas de suas soluções: 
- α = 0 → (0,0,0): solução nula ou trivial. 
- α = 1 → (4,-3,1) 
- α = -2 → (-8,6,-2) 
 
As soluções onde α = 1 e – 2 são próprias ou diferentes da trivial. 
 
Regra de Cramer 
Consideramos o sistema {
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓
 . Suponhamos que a ≠ 0. Observamos que a matriz incompleta 
desse sistema é 𝑀 = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
), cujo determinante é indicado por D = ad – bc. 
 
Escalonando o sistema, obtemos: {
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒
(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐). 𝑦 = (𝑎𝑓 − 𝑐𝑒)
 (∗) 
Se substituirmos em M a 2ª coluna (dos coeficientes de y) pela coluna dos coeficientes independentes, 
obteremos (
𝑎 𝑒
𝑐 𝑓), cujo determinante é indicado por Dy = af – ce. 
Assim, em (*), na 2ª equação, obtemos D. y = Dy. Se D ≠ 0, segue que 𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷
. 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 146 
Substituindo esse valor de y na 1ª equação de (*) e considerando a matriz (
𝑒 𝑏
𝑓 𝑑
), cujo determinante 
é indicado por Dx = ed – bf, obtemos 𝑥 =
𝐷𝑥
𝐷
, D ≠ 0. 
 
Resumindo: 
 
Um sistema {
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓
 é possível e determinado quando 𝐷 = |
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
| ≠ 0, e a solução desse sistema 
é dada por: 
 
𝒙 =
𝑫𝒙
𝑫
 𝒆 𝒚 =
𝑫𝒚
𝑫
 
 
Estes resultados são conhecidos como Regra de Cramer e podem ser generalizados para um sistema 
n x n (n equações e n incógnitas). Esta regra é um importante recurso na resolução de sistemas lineares 
possíveis e determinados, especialmente quando o escalonamento se torna trabalhoso (por causa dos 
coeficientes das equações) ou quando o sistema é literal. 
 
Exemplo: 
Vamos aplicar a Regra de Cramer para resolver os sistema {
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0
4𝑥 − 𝑦 − 5𝑧 = −6
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = −3
 
 
De início temos que |
1 1 1
4 −1 −5
2 1 2
| = −9 ≠ 0. Temos, dessa forma, SPD. 
 
𝐷𝑥 = |
0 1 1
−6 −1 −5
−3 1 2
| = 15 − 6 − 3 + 12 = 18; 𝑥 =
𝐷𝑥
𝐷
=
18
−9
= −2 
 
𝐷𝑦 = |
1 0 1
4 −6 −5
2 −3 2
| = −12 − 12 + 12 − 15 = −27; 𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷
=
−27
−9
= 3 
 
𝐷𝑧 = |
1 1 0
4 −1 −6
2 1 −3
| = 3 − 12 + 6 + 12 = 9; 𝑧 =
𝐷𝑧
𝐷
=
9
−9
= −1 
 
Uma alternativa para encontrar o valor de z seria substituir x por -2 e y por 3 em qualquer uma das 
equações do sistema. 
Assim, S = {(-2,3-1)}. 
 
Discussão de um sistema 
 
Consideremos novamente o sistema {
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓
 , cuja forma escalonada é: 
 
{
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒
(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)⏟ 
𝐷
. 𝑦 = (𝑎𝑓 − 𝑐𝑒)(∗) 
 
em que 𝐷 = |
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
| é o determinante da matriz incompleta do sistema. 
 
Como vimos, se D ≠ 0, o sistema é possível e determinado e a solução pode ser obtida através da 
Regra de Cramer. 
Se D = 0, o 1º membro de (*) se anula. Dependendo do anulamento, ou não, do 2º membro de (*), 
temos SPI ou SI. 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 147 
Em geral, sendo D o determinante da matriz incompleta dos coeficientes de um sistema linear, temos: 
 
D ≠ 0 → SPD 
D = 0 → (SPI ou SI) 
 
Esses resultados são válidos para qualquer sistema linear de n equações e n incógnitas, n ≥ 2. Temos 
que discutir um sistema linear em função de um ou mais parâmetros significa dizer quais valores do(s) 
parâmetro(s) temos SPD, SPI ou SI. 
 Exemplo: 
 
Vamos discutir, em função de m, o sistema {
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0
3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2
2𝑥 + 3𝑦 +𝑚𝑧 = 2
 
 
Temos: 𝐷 = |
1 −2 3
3 1 1
2 3 𝑚
| = 𝑚 − 4 + 27 − 6 − 3 + 6𝑚 − 7𝑚 + 14 
 
- Se 7m + 14 ≠ 0, isto é, se m ≠ - 2, temos SPD. 
- Se 7m + 14 = 0, isto é, se m = -2, podemos ter SI ou SPI. Então vamos substituir m por -2 no sistema 
e resolvê-lo: 
 
{
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0
3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2
2𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 2
⟺ {
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0 
7𝑦 − 8𝑧 = 2 ⟵ (−3)𝑥 (1ª 𝑒𝑞. ) + (2ª 𝑒𝑞. )
7𝑦 − 8𝑧 = 2 ⟵ (−2)𝑥 (1ª 𝑒𝑞. ) + (3ª 𝑒𝑞. )
 
 
ou ainda {
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0
7𝑦 − 8𝑧 = 2
, 𝑞𝑢𝑒 é 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑒 𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑆𝑃𝐼. 
 
Assim: 
m ≠ - 2 → SPD 
m = -2 → SPI 
 
Observações: 
- Para um sistema homogêneo, a condição D = 0, é necessária para que tenhamos SPI, mas não é 
suficiente (pois existe a possibilidade de se ter SI). 
- Para um sistema homogêneo, a condição D = 0 é suficiente para que tenhamos SPI. 
 
Questões 
 
01. (MF – Analista de Finanças e Controle – ESAEF) Dado o sistema de equações lineares
 é correto afirmar que: 
(A) o sistema não possui solução. 
(B) o sistema possui uma única solução. 
(C) x= 1 e y = 2 é uma solução do sistema. 
(D) o sistema é homogêneo. 
(E) o sistema possui mais de uma solução. 
 
02. Determinar m real, para que o sistema seja possível e determinado: 





2
532
myx
yx
 
 
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. 148 
03. Resolver e classificar o sistema: 








422
73
53
zyx
yx
zyx
 
 
04. Determinar m real para que o sistema seja possível e determinado. 








03
522
52
mzyx
zyx
zyx
 
 
05. Se o terno ordenado (2, 5, p) é solução da equação linear 6x - 7y + 2z = 5, qual o valor de p? 
 
06. Escreva a solução genérica para a equação linear 5x - 2y + z = 14, sabendo que o terno ordenado 
(𝛼, 𝛽, 𝛾) é solução. 
 
07. Determine o valor de m de modo que o sistema de equações abaixo, 
2x - my = 10 
3x + 5y = 8, seja impossível. 
 
08. Se os sistemas: 
S1: {
x + y = 1
 x – 2y = −5
 e S2: {
ax – by = 5
 ay – bx = −1
 
São equivalentes, então o valor de a2 + b2 é igual a: 
(A) 1 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 9 
(E) 10 
 
09. Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer: 
 
{
x + 3y − 2z = 32x − y + z = 12
4x + 3y − 5z = 6
 
 
10. Resolver o sistema 





25
72
yx
yx . 
 
11. (UNIOESTE – ANALISTA DE INFORMÁTICA – UNIOESTE) Considere o seguinte sistema de 
equações lineares 
 
(
𝑥 + 2𝑦 +
3
2 𝑧 =
3
2
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2
2𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = 3
) 
 
Assinale a alternativa correta. 
(A) O determinante da matriz dos coeficientes do sistema é um número estritamente positivo. 
(B) O sistema possui uma única solução (1, 1, -1). 
(C) O sistema possui infinitas soluções. 
(D) O posto da matriz ampliada associada ao sistema é igual a 3. 
(E) Os vetores linha (1, 2, 3/2) e (2, 4, 3) não são colineares. 
 
 
 
12. (SEDUC/RJ - Professor – Matemática – CEPERJ) Sabendo-se que 2a + 3b + 4c = 17 e que 4a + 
b - 2c = 9, o valor de a + b + c é: 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 149 
(A) 3. 
(B) 4. 
(C) 5. 
(D) 6. 
(E) 7. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: E. 
Calculemos inicialmente D, Dx e Dy: 
 
01212
63
42
D 
03636
69
46
xD
 
01818
93
62
yD
 
 
Como D = Dx = Dy = 0, o sistema é possível e indeterminado, logo possui mais de uma solução. 
 
02. Resposta: 







2
3
/mRm
. 
Segundo a regra de Cramer, devemos ter D ≠ 0, em que: 
 
32
1
32
 m
m
D
 
Assim: 2m -3 ≠ 0 → m ≠ 
2
3
 
Então, os valores reais de m, para que o sistema seja possível e determinado, são dados pelos 
elementos do conjunto: 







2
3
/mRm
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03. Resposta: S = {(1, 2, 4)}. 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 150 
Calculemos inicialmente D, Dx, Dy e Dz 
 
 Como D= -25 ≠ 0, o sistema é possível e determinado e: 
;1
25
25




D
D
x x
 
;2
25
50




D
D
y
y
4
25
100



D
D
z z
 
 
Assim: S = {(1, 2, 4)} e o sistema são possíveis e determinados. 
 
04. Resposta: 
 3/  mRm
. 
Segundo a regra de Cramer, devemos ter D ≠ 0. 
Assim: 
 
mm
m
D 423212
13
212
121
 
D = -5m + 15 
 
Assim: -5m + 15 ≠ 0 → m ≠ 3 
Então, os valores reais de m, para que o sistema seja possível e determinado, são dados pelos 
elementos do conjunto: 
 3/  mRm 
 
05. Resposta: 14. 
Teremos por simples substituição, observando que x = 2, y = 5 e z = p, 6 . 2 – 7 . 5 + 2 . p = 5. 
Logo, 12 - 35 + 2p = 5. 
Daí vem imediatamente que 2p = 28 e, portanto, p = 14. 
06. Resposta: S = (1,3,15). 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 151 
Podemos escrever: 5α - 2β + γ = 14. Daí, tiramos: γ = 14 - 5α + 2β. Portanto, a solução genérica será 
o terno ordenado (α, β, 14 - 5α + 2β). 
Observe que se arbitrando os valores para α e β, a terceira variável ficará determinada em função 
desses valores. 
Por exemplo, fazendo-se α = 1, β = 3, teremos: 
γ = 14 - 5 α + 2 β = 14 – 5 . 1 + 2 . 3 = 15, 
ou seja, o terno (1, 3, 15) é solução, e assim, sucessivamente. 
 
Verificamos, pois que existem infinitas soluções para a equação linear dada, sendo o terno 
ordenado (α, β, 14 - 5 α + 2 β) a solução genérica. 
 
07. Resposta: m = -10/3. 
Teremos, expressando x em função de m, na primeira equação: 
x = (10 + my) / 2 
 
Substituindo o valor de x na segunda equação, vem: 
3[(10+my) / 2] + 5y = 8 
 
Multiplicando ambos os membros por 2, desenvolvendo e simplificando, vem: 
3(10+my) + 10y = 16 
30 + 3my + 10y = 16 
(3m + 10)y = -14 
y = -14 / (3m + 10) 
 
Ora, para que não exista o valor de y e, em consequência não exista o valor de x, deveremos ter o 
denominador igual a zero, já que, como sabemos, não existe divisão por zero. 
Portanto, 3m + 10 = 0, de onde se conclui m = -10/3, para que o sistema seja impossível, ou seja, não 
possua solução. 
 
08. Resposta: E. 
Como os sistemas são equivalentes, eles possuem a mesma solução. Vamos resolver o sistema: 
S1: x + y = 1 
 x - 2y = -5 
Subtraindo membro a membro, vem: x - x + y - (-2y) = 1 - (-5). 
Logo, 3y = 6 \ y = 2. 
 
Portanto, como x + y = 1, vem, substituindo: x + 2 = 1 \ x = -1. 
O conjunto solução é, portanto S = {(-1, 2)}. 
Como os sistemas são equivalentes, a solução acima é também solução do sistema S2. 
Logo, substituindo em S2 os valores de x e y encontrados para o sistema S1, vem: 
 
a(-1) - b(2) = 5 → - a - 2b = 5 
a(2) - b (-1) = -1 → 2 a + b = -1 
 
Multiplicando ambos os membros da primeira equação por 2, fica: 
-2 a - 4b = 10 
 
Somando membro a membro esta equação obtida com a segunda equação, fica: 
-3b = 9 \ b = - 3 
 
Substituindo o valor encontrado para b na equação em vermelho acima (poderia ser também na outra 
equação em azul), teremos: 
2 a + (-3) = -1 \ a = 1. 
Portanto, a2 + b2 = 12 + (-3)2 = 1 + 9 = 10. 
 
 
 
 
09. Resposta: S = {(5, 2, 4)}. 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 152 
Teremos: 
 
 
 
 
 
Portanto, pela regra de Cramer, teremos: 
x1 = D x1 / D = 120 / 24 = 5 
x2 = D x2 / D = 48 / 24 = 2 
x3 = D x3 / D = 96 / 24 = 4 
 
Logo, o conjunto solução do sistema dado é S = {(5, 2, 4)}. 
 
10. Resposta: 
  13 ,S
 
 
11. Resposta: C. 
 
𝐷 = |
1 2
2 1
 
3
2
1
2 4 3
| = 3 + 12 + 4 − 3 − 4 − 12 = 0 
 
O sistema pode ser SI (sistema impossível) ou SPI (sistema possível indeterminado) 
 
Para ser SI Dx = 0 e SPI Dx  0 
𝐷𝑥 = |
3
2
2
2 1
 
3
2
1
3 4 3
| =
9
2
+ 6 + 24 −
9
2
− 6 − 12 = 12 
Dx  0, portanto o sistema tem infinitas soluções. 
 
12. Reposta: D. 
(I) 2a + 3b + 4c = 17 x(-2) 
(II) 4a + b – 2c = 9 
Multiplicamos a primeira equação por – 2 e somamos com a segunda, cancelando a variável a: 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 153 
(I) 2a + 3b + 4c = 17 
(II) – 5b – 10c = - 25 : (- 5) 
Então: 
(I) 2a + 3b + 4c = 17 
(II) b +2c = 5 
Um sistema com três variáveis e duas equações é possível e indeterminado (tem infinitas soluções), 
então fazendo a variável c = α (qualquer letra grega). 
Substituímos c em (II): 
b + 2α = 5 
b = 5 - 2α 
substituímos b e c em (I): 
2a + 3(5 - 2α) + 4α = 17 
2a + 15 - 6α + 4α = 17 
2a = 17 – 15 + 6α - 4α 
2a = 2 + 2α : (2) 
a = 1 + α 
Logo a solução do sistema é a = 1 + α. b = 5 - 2α e c = α, então: 
a + b + c = 1 + α + 5 - 2α + α = 6 
 
 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
A Análise Combinatória16 é a parte da Matemática que desenvolve meios para trabalharmos com 
problemas de contagem, sendo eles: 
- Princípio Fundamental da Contagem (PFC); 
- Fatorial de um número natural; 
- Tipos de Agrupamentos Simples (Arranjo, permutação e combinação); 
- Tipos de Agrupamentos com Repetição (Arranjo, permutação e combinação). 
 
A Análise Combinatória é o suporte da Teoria das Probabilidades, e de vital importância para as 
ciências aplicadas, como a Medicina, a Engenharia, a Estatística entre outras. 
 
Princípio Fundamental da Contagem-PFC (Princípio Multiplicativo) 
 
O princípio multiplicativo ou fundamental da contagem constitui a ferramenta básica para resolver 
problemas de contagem sem que seja necessário enumerar seus elementos, através das possibilidades 
dadas. É uma das técnicas mais utilizadas para contagem, mas também dependendo da questão pode 
se tornar trabalhosa. 
 
Exemplos 
 
1) Imagine que, na cantina de sua escola, existem cinco opções de suco de frutas: pêssego, maçã, 
morango, caju e mamão. Você deseja escolher apenas um desses sucos, mas deverá decidir também se 
o suco será produzido com água ou leite. Escolhendo apenas uma das frutas e apenas um dos 
acompanhamentos, de quantas maneiras poderá pedir o suco?16IEZZI, Gelson – Matemática – Volume Único 
FILHO, Begnino Barreto; SILVA,Claudio Xavier da – Matemática – Volume Único - FTD 
BOSQUILHA, Alessandra - Minimanual compacto de matemática: teoria e prática: ensino médio / Alessandra Bosquilha, Marlene Lima Pires Corrêa, Tânia Cristina 
Neto G. Viveiro. -- 2. ed. rev. -- São Paulo: Rideel, 2003. 
 
5 Análise combinatória e probabilidade: princípios fundamentais de contagem, 
arranjos, permutações, combinações, binômio de Newton, cálculo de 
probabilidades. 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 154 
 
2) Para ir da sua casa (cidade A) até a casa do seu amigo Pedro (que mora na cidade C) João precisa 
pegar duas conduções: A1 ou A2 ou A3 que saem da sua cidade até a B e B1 ou B2 que o leva até o 
destino final C. Vamos montar o diagrama da árvore para avaliarmos todas as possibilidades: 
 
 
De forma resumida, e rápida podemos também montar através do princípio multiplicativo o número de 
possibilidades: 
 
3) De sua casa ao trabalho, Sílvia pode ir a pé, de ônibus ou de metrô. Do trabalho à faculdade, ela 
pode ir de ônibus, metrô, trem ou pegar uma carona com um colega. 
De quantos modos distintos Sílvia pode, no mesmo dia, ir de casa ao trabalho e de lá para a faculdade? 
Vejamos, o trajeto é a junção de duas etapas: 
 
1º) Casa → Trabalho: ao qual temos 3 possibilidades 
2º) Trabalho → Faculdade: 4 possibilidades. 
Multiplicando todas as possibilidades (pelo PFC), teremos: 3 x 4 = 12. 
No total Sílvia tem 12 maneiras de fazer o trajeto casa – trabalho – faculdade. 
 
DEFINIÇÃO do PFC: Se um evento que chamaremos de E1 puder ocorrer de a maneiras e um outro 
evento que chamaremos de E2 puder ocorrer de b maneiras e E1 for independente de E2, assim a 
quantidade de maneiras distintas de os dois eventos ocorrerem simultaneamente será dado por axb, 
isto é, a quantidade de maneiras de a ocorrer, multiplicado pela quantidade de maneiras de b ocorrer. 
 
 
 
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. 155 
Questões 
 
01. (Pref. Chapecó/SC – Engenheiro de Trânsito – IOBV) Em um restaurante os clientes têm a sua 
disposição, 6 tipos de carnes, 4 tipos de cereais, 4 tipos de sobremesas e 5 tipos de sucos. Se o cliente 
quiser pedir 1 tipo carne, 1 tipo de cereal, 1 tipo de sobremesa e 1 tipo de suco, então o número de opções 
diferentes com que ele poderia fazer o seu pedido, é: 
(A) 19 
(B) 480 
(C) 420 
(D) 90 
 
02. (Pref. Rio de Janeiro/RJ – Agente de Administração – Pref. do Rio de Janeiro) Seja N a 
quantidade máxima de números inteiros de quatro algarismos distintos, maiores do que 4000, que podem 
ser escritos utilizando-se apenas os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 
O valor de N é: 
(A) 120 
(B) 240 
(C) 360 
(D) 480 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
A questão trata-se de princípio fundamental da contagem, logo vamos enumerar todas as 
possibilidades de fazermos o pedido: 
6 x 4 x 4 x 5 = 480 maneiras. 
 
02. Resposta: C. 
Pelo enunciado precisa ser um número maior que 4000, logo para o primeiro algarismo só podemos 
usar os números 4,5 e 6 (3 possibilidades). Como se trata de números distintos para o segundo algarismo 
poderemos usar os números (0,1,2,3 e também 4,5 e 6 dependo da primeira casa) logo teremos 7 – 1 = 
6 possibilidades. Para o terceiro algarismos teremos 5 possibilidades e para o último, o quarto algarismo, 
teremos 4 possibilidades, montando temos: 
 
 
Basta multiplicarmos todas as possibilidades: 3 x 6 x 5 x 4 = 360. 
Logo N é 360. 
 
Fatorial de um Número Natural 
 
É comum aparecerem produtos de fatores naturais sucessivos em problemas de análise combinatória, 
tais como: 3. 2 . 1 ou 5. 4 . 3 . 2 . 1, por isso surgiu a necessidade de simplificarmos este tipo de notação, 
facilitando os cálculos combinatórios. Assim, produtos em que os fatores chegam sucessivamente até a 
unidade são chamados fatoriais. 
Matematicamente: 
Dado um número natural n, sendo n є N e n ≥ 2, temos: 
 
 
Onde: 
n! é o produto de todos os números naturais de 1 até n (lê-se: “n fatorial”) 
Por convenção temos que: 
 
 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 156 
Exemplos 
1) De quantas maneiras podemos organizar 8 alunos em uma fila. 
Observe que vamos utilizar a mesma quantidade de alunos na fila nas mais variadas posições: 
 
Temos que 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40320 
 
2) Dado 
9!
5!
 , qual o valor dessa fração? 
 
Observe que o denominador é menor que o numerador, então para que possamos resolver vamos 
levar o numerador até o valor do denominador e simplificarmos: 
 
 
Tipos de Agrupamento 
 
Os agrupamentos que não possuem elementos repetidos, são chamamos de agrupamentos 
simples. Dentre eles, temos aqueles onde a ordem é importante e os que a ordem não é importante. 
Vamos ver detalhadamente cada um deles. 
 
- Arranjo simples: agrupamentos simples de n elementos distintos tomados(agrupados) p a p. Aqui a 
ordem dos seus elementos é importante, é o que diferencia. 
 
Exemplos 
1) Dados o conjunto S formado pelos números S= {1,2,3,4,5,6} quantos números de 3 algarismos 
podemos formar com este conjunto? 
 
Observe que 123 é diferente de 321 e assim sucessivamente, logo é um Arranjo. 
 
Se fossemos montar todos os números levaríamos muito tempo, para facilitar os cálculos vamos utilizar 
a fórmula do arranjo. 
Pela definição temos: A n,p (Lê-se: arranjo de n elementos tomados p a p). 
Então: 
 
 
 
Utilizando a fórmula: 
Onde n = 6 e p = 3 
An, p =
n!
(n − p)!
→ A6,3 =
6!
(6 − 3)!
=
6!
3!
=
6.5.4.3!
3!
= 120 
 
Então podemos formar com o conjunto S, 120 números com 3 algarismos. 
 
2) Uma escola possui 18 professores. Entre eles, serão escolhidos: um diretor, um vice-diretor e um 
coordenador pedagógico. Quantas as possibilidades de escolha? 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 157 
n = 18 (professores) 
p = 3 (cargos de diretor, vice-diretor e coordenador pedagógico) 
 
An, p =
n!
(n − p)!
→ A18,3 =
18!
(18 − 3)!
=
18!
15!
=
18.17.16.15!
15!
= 4896 grupos 
 
- Permutação simples: sequência ordenada de n elementos distintos (arranjo), ao qual utilizamos 
todos os elementos disponíveis, diferenciando entre eles apenas a ordem. A permutação simples é um 
caso particular do arranjo simples. 
É muito comum vermos a utilização de permutações em anagramas (alterações da sequência das 
letras de uma palavra). 
 
Exemplos 
1) Quantos anagramas podemos formar com a palavra CALO? 
 
Utilizando a fórmula da permutação temos: 
n = 4 (letras) 
P4! = 4! = 4 . 3 . 2 . 1! = 24 . 1! (como sabemos 1! = 1) → 24 . 1 = 24 anagramas 
 
2) Utilizando a palavra acima, quantos são os anagramas que começam com a letra L? 
 
 
P3! = 3! = 3 . 2 . 1! = 6 anagramas que começam com a letra L. 
 
- Combinação simples: agrupamento de n elementos distintos, tomados p a p, sendo p ≤ n. O que 
diferencia a combinação do arranjo é que a ordem dos elementos não é importante. 
Vemos muito o conceito de combinação quando queremos montar uma comitiva, ou quando temos 
também de quantas maneiras podemos cumprimentar um grupo ou comitiva, entre outros. 
 
Exemplos 
1) Uma escola tem 7 professores de Matemática. Quatro deles deverão representar a escola em um 
congresso. Quantos grupos de 4 professores são possíveis? 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 158 
Observe que sendo 7 professores, se invertermos um deles de posição não alteramos o grupo 
formado, os grupos formados são equivalentes. Para o exemplo acima temos ainda as seguintes 
possibilidades que podemos considerar sendo como grupo equivalentes. 
P1, P2, P4, P3 – P2, P1, P3, P4 – P3, P1,P2, P4 – P2, P4, P3, P4 – P4, P3, P1, P2 ... 
 
Com isso percebemos que a ordem não é importante! 
 
Vamos então utilizar a fórmula para agilizar nossos cálculos: 
 
Aqui dividimos novamente por p, para desconsiderar todas as sequências repetidas (P1, P2, P3, P4 = 
P4, P2, P1, P3= P3, P2, P4, P1=...). 
Aplicando a fórmula: 
Cn, p =
n!
(n − p)! p!
→ C7,4 =
7!
(7 − 4)! 4!
=
7!
3! 4!
=
7.6.5.4!
3! 4!
=
210
3.2.1
=
210
6
= 35 grupos de professores 
 
2) Considerando dez pontos sobre uma circunferência, quantas cordas podem ser construídas com 
extremidades em dois desses pontos? 
 
 
Uma corda fica determinada quando escolhemos dois pontos entre 
os dez. 
Escolher (A,D) é o mesmo que escolher (D,A), então sabemos que 
se trata de uma combinação. 
Aqui temos então a combinação de 10 elementos tomados 2 a 2. 
C10,2 =
n!
(n − p)! p!
=
10!
(10 − 2)! 2!
=
10!
8! 2!
=
10.9.8!
8! 2!
=
90
2
= 
45 cordas 
 
 
Agrupamentos com Repetição 
 
Existem casos em que os elementos de um conjunto repetem-se para formar novos subconjuntos. 
Nestes casos, devemos usar fórmulas de agrupamentos com repetição. Assim, teremos: 
A) arranjo com repetição; 
B) permutação com repetição; 
C) combinação com repetição. 
 
Vejamos: 
a) Arranjo com repetição: ou arranjo completo, é um grupo de p elementos de um dado conjunto, 
com n elementos distintos, onde a mudança de ordem determina grupos diferentes, podendo porém ter 
elementos repetidos. 
Indicamos por AR n,p 
 
No arranjo com repetição, temos todos os elementos do conjunto à disposição a cada escolha, por 
isso, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: 
 
 
 
Exemplo 
Quantas chapas de automóvel compostas de 2 letras nas duas primeiras posições, seguidas por 4 
algarismos nas demais posições (sendo 26 letras do nosso alfabeto e sendo os algarismos do sistema 
decimal) podem ser formadas? 
 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 159 
O número de pares de letras que poderá ser utilizado é: 
 
Pois podemos repetir eles. Aplicando a fórmula de Arranjo com repetição temos: 
𝑨𝑹 𝒏, 𝒑 = 𝒏𝒑 → 𝑨𝑹 𝟐𝟔, 𝟐 = 𝟐𝟔𝟐 = 𝟔𝟕𝟔 
 
Para a quantidade de números temos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 – 10 algarismos): 
 
 
𝑨𝑹 𝒏, 𝒑 = 𝒏𝒑 → 𝑨𝑹 𝟏𝟎, 𝟒 = 𝟏𝟎𝟒 = 𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎 
 
Assim o número de chapas que podemos ter é dado pela multiplicação dos valores achados: 
676 . 10 000 = 6 760 000 possibilidades de placas. 
 
Observação: Caso não pudesse ser utilizada a placa com a sequência de zeros, ou seja, com 4 zeros 
teríamos: 
 
 
 
𝑨𝑹 𝒏, 𝒑 = 𝒏𝒑 → 𝑨𝑹 𝟏𝟎, 𝟒 = 𝟔𝟕𝟔. 𝟏𝟎𝟒 − 𝟏𝟎𝟒 = 𝟏𝟎𝟒. (𝟔𝟕𝟔 − 𝟏) 
 
b) Permutação com repetição: a diferença entre arranjo e permutação é que esta faz uso de todos 
os elementos do conjunto. Na permutação com repetição, como o próprio nome indica, as repetições são 
permitidas e podemos estabelecer uma fórmula que relacione o número de elementos, n, e as vezes em 
que o mesmo elemento aparece. 
 
Com α + β + γ + ... ≤ n 
 
Exemplo 
Quantos são os anagramas da palavra ARARA? 
n = 5 
α = 3 (temos 3 vezes a letra A) 
β = 2 (temos 2 vezes a letra R) 
 
Equacionando temos: 
𝑷𝒏(∝,𝜷,𝜸,… ) =
𝒏!
𝜶!𝜷! 𝜸!
… → 𝒑𝟓(𝟑,𝟐) =
𝟓!
𝟑! 𝟐!
=
𝟓. 𝟒. 𝟑!
𝟑! 𝟐!
=
𝟓. 𝟒
𝟐. 𝟏
=
𝟐𝟎
𝟐
= 𝟏𝟎 𝒂𝒏𝒂𝒈𝒓𝒂𝒎𝒂𝒔 
 
B.1) Permutação circular: a permutação circular com repetição pode ser generalizada através da 
seguinte forma: 
 
Vejamos o exemplo como chegar na fórmula, para aplicação. 
- De quantas maneiras 5 meninas que brincam de roda podem formá-la? 
Fazendo um esquema, observamos que são posições iguais: 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 160 
 
 
O total de posições é 5! e cada 5 representa uma só permutação circular. Assim, o total de permutações 
circulares será dado por: 
𝑃𝑐5 =
5!
5
=
5.4!
5
= 4! = 4.3.2.1 = 24 
 
C) Combinação com repetição: dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se combinação 
com repetição, classe p (ou combinação completa p a p) dos n elementos desse conjunto, a todo grupo 
formado por p elementos, distintos ou não, em qualquer ordem. 
 
 
 
Exemplo 
Em uma combinação com repetição classe 2 do conjunto {a, b, c}, quantas combinações obtemos? 
Ilustrando temos: 
 
Utilizando a fórmula da combinação com repetição, verificamos o mesmo resultado sem necessidade 
de enumerar todas as possibilidades: 
n = 3 e p = 2 
𝑪𝑹𝒏,𝒑 = 𝑪 𝒏 + 𝒑 − 𝟏, 𝒑 → 𝑪𝑹 𝟑 + 𝟐 − 𝟏, 𝟐 → 𝑪𝑹𝟒, 𝟐 =
𝟒!
𝟐! (𝟒 − 𝟐)!
=
𝟒!
𝟐! 𝟐!
=
𝟒. 𝟑. 𝟐!
𝟐! 𝟐!
=
𝟏𝟐
𝟐
= 𝟔 
 
Questões 
 
01. (CRQ 2ª Região/MG – Auxiliar Administrativo – FUNDEP) Com 12 fiscais, deve-se fazer um 
grupo de trabalho com 3 deles. Como esse grupo deverá ter um coordenador, que pode ser qualquer um 
deles, o número de maneiras distintas possíveis de se fazer esse grupo é: 
(A) 4 
(B) 660 
(C) 1 320 
(D) 3 960 
 
02. (PM/SP – Cabo – CETRO) Uma lei de certo país determinou que as placas das viaturas de polícia 
deveriam ter 3 algarismos seguidos de 4 letras do alfabeto grego (24 letras). Sendo assim, o número de 
placas diferentes será igual a 
(A) 175.760.000. 
(B) 183.617.280. 
(C) 331.776.000. 
(D) 358.800.000. 
 
03. (TJ/RS – Técnico Judiciário - FAURGS) O Tribunal de Justiça está utilizando um código de leitura 
de barras composto por 5 barras para identificar os pertences de uma determinada seção de trabalho. As 
barras podem ser pretas ou brancas. Se não pode haver código com todas as barras da mesma cor, o 
número de códigos diferentes que se pode obter é de 
(A) 10. 
(B) 30. 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 161 
(C) 50. 
(D) 150. 
(E) 250. 
 
04. (SEED/SP – Agente de Organização Escolar – VUNESP) Um restaurante possui pratos principais 
e individuais. Cinco dos pratos são com peixe, 4 com carne vermelha, 3 com frango, e 4 apenas com 
vegetais. Alberto, Bianca e Carolina pretendem fazer um pedido com três pratos principais individuais, 
um para cada. Alberto não come carne vermelha nem frango, Bianca só come vegetais, e Carolina só 
não come vegetais. O total de pedidos diferentes que podem ser feitos atendendo as restrições 
alimentares dos três é igual a 
(A) 384. 
(B) 392. 
(C) 396. 
(D) 416. 
(E)432. 
 
05. (Pref. Jundiaí/SP – Eletricista – MAKIYAMA) Dentre os nove competidores de um campeonato 
municipal de esportes radicais, somente os quatro primeiros colocados participaram do campeonato 
estadual. Sendo assim, quantas combinações são possíveis de serem formadas com quatro desses nove 
competidores? 
(A) 126 
(B)120 
(C) 224 
(D) 212 
(E) 156 
 
06. (Pref. Lagoa da Confusão/TO – Orientador Social – IDECAN) Renato é mais velho que Jorge 
de forma que a razão entre o número de anagramas de seus nomes representa a diferença entre suas 
idades. Se Jorge tem 20 anos, a idade de Renato é 
(A) 24. 
(B) 25. 
(C) 26. 
(D) 27. 
(E) 28. 
 
07. (Pref. Nepomuceno/MG – Técnico em Segurança do Trabalho – CONSULPLAN) Numa sala há 
3 ventiladores de teto e 4 lâmpadas, todos com interruptores independentes. De quantas maneiras é 
possível ventilar e iluminar essa sala mantendo, pelo menos, 2 ventiladores ligados e 3 lâmpadas acesas? 
(A) 12. 
(B) 18. 
(C) 20. 
(D) 24. 
(E) 36. 
 
08. (CREA/PR – Agente Administrativo– FUNDATEC) A fim de vistoriar a obra de um estádio de 
futebol para a copa de 2014, um órgão público organizou uma comissão composta por 4 pessoas, sendo 
um engenheiro e 3 técnicos. 
Sabendo-se que em seu quadro de funcionários o órgão dispõe de 3 engenheiros e de 9 técnicos, 
pode-se afirmar que a referida comissão poderá ser formada de _____ maneiras diferentes.Assinale a alternativa que completa corretamente a lacuna do trecho acima. 
(A) 252 
(B) 250 
(C) 243 
(D) 127 
(E) 81 
 
09. (ESA – Música – EXÉRCITO BRASILEIRO) Colocando-se em ordem alfabética os anagramas da 
palavra FUZIL, que posição ocupará o anagrama ZILUF. 
(A) 103 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 162 
(B) 104 
(C) 105 
(D) 106 
(E) 107 
 
10. (CODEMIG – Analista de Administração – Gestão de Concursos) Oito amigos encontraram-se 
em uma festa. Se cada um dos amigos trocar um aperto de mão com cada um dos outros, quantos apertos 
de mão serão trocados? 
(A) 22. 
(B) 25. 
(C) 27. 
(D) 28. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
Esta questão trata-se de Combinação, pela fórmula temos: 
Cn, p =
n!
(n − p)! p!
 
 
Onde n = 12 e p = 3 
Cn, p =
n!
(n − p)! p!
→ C12,3 =
12!
(12 − 3)! 3!
=
12!
9! 3!
=
12.11.10.9!
9! 3!
=
1320
3.2.1
=
1320
6
= 220 
 
Como cada um deles pode ser o coordenado, e no grupo tem 3 pessoas, logo temos 220 x 3 = 660. 
 
02. Resposta: C. 
Algarismos possíveis: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9=10 algarismos 
 _ _ _ _ _ _ _ 
101010  242424 24=331.776.000 
 
03. Resposta: B. 
_ _ _ _ _ 
22222=32 possibilidades se pudesse ser qualquer uma das cores 
Mas, temos que tirar código todo preto e todo branco. 
32-2=30 
 
04. Resposta: E. 
Para Alberto:5+4=9 
Para Bianca:4 
Para Carolina: 12 
_ _ _ 
9.4.12=432 
 
05. Resposta: A. 
1001. 
C_9,4 = 9! / 5!4! = (9∙8∙7∙6∙5!) / (5!∙24) = 126 
 
06. Resposta: C. 
Anagramas de RENATO 
_ _ _ _ _ _ 
6.5.4.3.2.1=720 
Anagramas de JORGE 
_ _ _ _ _ 
5.4.3.2.1=120 
 
Razão dos anagramas: 
720
120
= 6 
Se Jorge tem 20 anos, Renato tem 20+6=26 anos 
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. 163 
07. Resposta: C. 
1ª possibilidade:2 ventiladores e 3 lâmpadas 
 𝐶3,2 =
3!
1!2!
= 3 
 
 𝐶4,3 =
4!
1!3!
= 4 
 
 𝐶3,2 ∙ 𝐶4,3 = 3 ∙ 4 = 12 
 
2ª possibilidade:2 ventiladores e 4 lâmpadas 
 𝐶3,2 =
3!
1!2!
= 3 
 
 𝐶4,4 =
4!
0!4!
= 1 
 
 𝐶3,2 ∙ 𝐶4,4 = 3 ∙ 1 = 3 
 
3ª possibilidade:3 ventiladores e 3 lâmpadas 
 𝐶3,3 =
3!
0!3!
= 1 
 
 𝐶4,3 =
4!
1!3!
= 4 
 𝐶3,3 ∙ 𝐶4,3 = 1 ∙ 4 = 4 
 
4ª possibilidade:3 ventiladores e 4 lâmpadas 
 𝐶3,3 =
3!
0!3!
= 1 
 
 𝐶4,4 =
4!
0!4!
= 1 
 
 𝐶3,3 ∙ 𝐶4,4 = 1 ∙ 1 = 1 
Somando as possibilidades: 12 + 3 + 4 + 1 = 20 
 
08. Resposta: A. 
Engenheiros 
𝐶3,1 =
3!
2! 1!
= 3 
 
Técnicos 
𝐶9,3 =
9!
3! 6!
=
9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6!
6 ∙ 6!
= 84 
 
3 . 84 = 252 maneiras 
 
09. Resposta: D. 
F _ _ _ _ P4 = 4! 
I _ _ _ _ P4 = 4! 
L _ _ _ _p4 = 4! 
U_ _ _ _P4 = 4! 
ZF_ _ _P3 = 3! 
ZIF_ _P2 = 2! 
ZILFU-1 
ZILUF 
4 . 4! + 3! + 2! + 1 = 105 
Portanto, ZILUF está na 106 posição. 
 
10. Resposta: D. 
A primeira pessoa apertará a mão de 7 
A Segunda, de 6, e assim por diante. 
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. 164 
Portanto, haverá: 7+6+5+4+3+2+1=28 
 
Caro candidato, antes de abordarmos Binômio e Newton, precisamos ter algumas informações que 
serão muito importantes, são elas Número Binomial e o Triângulo de Pascal. 
 
Número Binomial 
 
Sendo n e k dois números naturais, o número binomial de ordem n e classe k, ou simplesmente o 
binomial n sobre k é um novo número natural representado por: 
 
(
𝑛
𝑘
) =
𝑛!
𝑘!(𝑛−𝑘)!
, se n ≥ k 
 
(
𝑛
𝑘
) = 0, se n < k 
 
- Propriedades dos binomiais: 
 
a) (
𝑛
𝑘
) = (
𝑛
𝑛 − 𝑘
), como consequência dessa propriedade, temos que se os números naturais n, k e p 
forem tais que n ≥ k e n ≥ p → (
𝑛
𝑘
) = (
𝑛
𝑝)  k = p ou k + p = n. 
 
b) (
𝑛 − 1
𝑘 − 1
) + (
𝑛 − 1
𝑘
) = (
𝑛
𝑘
) 
 
c) (
𝑛
𝑘
) .
𝑛−𝑘
𝑘+1
= (
𝑛
𝑘 + 1
) 
 
d) Temos que (
𝑛
0
) = 1 , (
𝑛
𝑛
) = 1 e (
𝑛
1
) = 𝑛 
 
Triângulo de Pascal 
 
É uma tabela formada por números binomiais dispostos de tal forma que os binomiais de mesmo 
numerador situam-se na mesma linha e os mesmos denominadores na mesma coluna. 
 
Resolvendo os números binomiais, temos: 
 
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. 165 
BINÔMIO DE NEWTON 
 
Denomina-se Binômio de Newton, a todo binômio da forma (a + b)n, sendo n um número natural. 
 
Exemplo: 
B = (3x - 2y)4 (onde a = 3x, b = -2y e n = 4, grau do binômio). 
 
Exemplos de desenvolvimento de binômios de Newton: 
 
a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3 
c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4 
d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5 
 
Nota: Não é necessário memorizar as fórmulas acima, já que elas possuem uma lei de formação bem 
definida, senão vejamos: 
Vamos tomar, por exemplo, o item (d) acima: 
Observe que o expoente do primeiro e últimos termos são iguais ao expoente do binômio, ou seja, 
igual a 5. 
A partir do segundo termo, os coeficientes podem ser obtidos a partir da seguinte regra prática de fácil 
memorização: 
Multiplicamos o coeficiente de a pelo seu expoente e dividimos o resultado pela ordem do termo. O 
resultado será o coeficiente do próximo termo. Assim por exemplo, para obter o coeficiente do terceiro 
termo do item (d) acima teríamos: 
5 × 4 = 20; agora dividimos 20 pela ordem do termo anterior (2 por se tratar do segundo termo) 20 ÷ 2 
= 10 que é o coeficiente do terceiro termo procurado. 
 
Observe que os expoentes da variável a decrescem de n até 0 e os expoentes de b crescem de 0 até 
n. Assim o terceiro termo é 10 a3b2 (observe que o expoente de a decresceu de 4 para 3 e o de b 
cresceu de 1 para 2). 
 
Usando a regra prática acima, o desenvolvimento do binômio de Newton (a + b)7 será: 
(a + b)7 = a7 + 7 a6b + 21 a5b2 + 35 a4b3 + 35 a3b4 + 21 a2b5 + 7 ab6 + b7 
 
Como obtivemos, por exemplo, o coeficiente do 6º termo (21 a2b5)? 
Pela regra: Coeficiente do termo anterior = 35. Multiplicamos 35 pelo expoente de a que é igual a 3 e 
dividimos o resultado pela ordem do termo que é 5. 
Então, 35 × 3 = 105 e dividindo por 5 (ordem do termo anterior) vem 105 ÷ 5 = 21, que é o coeficiente 
do sexto termo, conforme se vê acima. 
 
Observações: 
1) O desenvolvimento do binômio (a + b)n é um polinômio. 
2) O desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 termos. 
3) Os coeficientes dos termos equidistantes dos extremos, no desenvolvimento de (a + b)n são iguais. 
4) A soma dos coeficientes de (a + b)n é igual a 2n. 
 
Fórmula do termo geral de um Binômio de Newton 
Um termo genérico Tk + 1 do desenvolvimento de (a + b)n, sendo k um número natural, é dado por: 
 
a) Tk + 1 = (
𝑛
𝑘
) . an – k . bk, feito segundo os expoentes decrescentes de a. 
 
b) T k + 1 = (
𝑛
𝑘
).ak . bn – k , feito segundo os expoentes crescentes de a. 
 
 Sendo (𝑛𝑘) = 
𝑛!
𝑘!(𝑛−𝑘)!
 
 
 
 
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. 166 
Questões 
 
01. Determine o 7º termo do binômio (2x + 1)9, desenvolvido segundo as potências decrescentes de x. 
(A) 144𝑥2 
(B) 258𝑥2 
(C) 3𝑥7 
(D) 𝑥9 
(E) 672𝑥³ 
 
02. Qual o termo médio do desenvolvimento de (2x + 3y)8? 
(A) 90720x4y4 
(B) 15120x3y6 
(C) 45260x2y2 
(D) 45360x3y3 
(E) 55256x4y6 
 
03. Desenvolvendo o binômio (2x - 3y)3n, obtemos um polinômio de 16 termos. Qual o valor de n? 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 6 
(E) 7 
04. O termo independente de x no desenvolvimento de (x + 
1
𝑥
 )6 é: 
(A) 6 
(B) 15 
(C) 18 
(D) 20 
(E) 30 
 
05. Qual o valor numérico de 5!. 
(A) 15 
(B) 150 
(C) 12 
(D) 120 
(E) 100 
 
06. Qual o valor numérico de (
5
3
). 
(A) 10 
(B) 5 
(C) 2 
(D) 1 
(E) 20 
07. O(s)valor(es) de x que torna(m) verdadeira a equação (
2𝑥
𝑥 − 1
) = (
2𝑥
3
) é: 
(A) x = 2 ou x = 1 
(B) x = 1 ou x = 4 
(C) x = 3 ou x = 4 
(D) x = 4 ou x = 3 
(E) x = 2 ou x = 4 
 
Comentários 
 
01. Resposta: E 
Primeiro temos que aplicar a fórmula do termo geral de (a + b)n, onde: 
a = 2x 
b = 1 
n = 9 
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. 167 
Como queremos o sétimo termo, fazemos p = 6 na fórmula do termo geral e efetuamos os cálculos 
indicados. 
Temos então: 
 
T6+1 = T7 = (
9
6
). (2x)9 - 6 . (1)6 = 
9!
[(9−6)! ×6!]
 . (2𝑥)3. 1 =
9 .8 .7 .6!
3 .2.1 .6!
 .8𝑥³ = 672𝑥³ 
Portanto o sétimo termo procurado é 672x3. 
 
02. Resposta: A 
Temos: 
a = 2x 
b = 3y 
n = 8 
Sabemos que o desenvolvimento do binômio terá 9 termos, porque n = 8. Ora sendo T1 T2 T3 T4 T5 T6 
T7 T8 T9 os termos do desenvolvimento do binômio, o termo do meio (termo médio) será o T5 (quinto 
termo). 
Logo, o nosso problema resume-se ao cálculo do T5. Para isto, basta fazer k = 4 na fórmula do termo 
geral e efetuar os cálculos decorrentes. Teremos: 
 
T4+1 = T5 = (
8
4
). (2x)8-4 . (3y)4 = 
8!
[(8−4)! .4!]
 . (2x)4 . (3y)4 = 
8 .7 .6 .5 .4! 
(4! .4 .3 .2 .1
 . 16x4 . 81y4 
 
Fazendo as contas vem: 
T5 = 70.16.81.x4 . y4 = 90720x4y4 , que é o termo médio procurado. 
 
03. Resposta: C 
Ora, se o desenvolvimento do binômio possui 16 termos, então o expoente do binômio é igual a 15. 
Logo, 
3n = 15 de onde se conclui que n = 5. 
 
04. Resposta: D 
Sabemos que o termo independente de x é aquele que não depende de x, ou seja, aquele que não 
possui x. 
Temos no problema dado: 
a = x 
b = 
1
𝑥
 
n = 6. 
Pela fórmula do termo geral, podemos escrever: 
Tk + 1 = (
6
𝑘
). x6 - k . (
1
𝑥
)k = (
6
𝑘
). x6 - k . x- k = (
6
𝑘
). x6 - 2p . 
 
Ora, para que o termo seja independente de x, o expoente desta variável deve ser zero, pois x0 = 1. 
Logo, fazendo 6 – 2k = 0, obtemos k = 3. Substituindo então k por 6, teremos o termo procurado. 
Temos então: 
T3+1 = T4 = (
6
3
). x0 = 
6!
[(6−3)! .3!]
= 
6 .5 .4 .3!
3! .2 .1
= 20 
Logo, o termo independente de x é o T4 (quarto termo) que é igual a 20. 
 
05. Resposta: D 
5! = 5.4.3.2.1 = 120 
 
06. Resposta: A 
(
5
3
) = 
5!
3!(5−3)!
 = 
5.4.3!
3!.2!
 = 
5.4
2.1
 = 
20
2
= 10 
 
07. Resposta: E 
Esses dois números binomiais são iguais se: 
x – 1 = 3 ou x – 1 + 3 = 2x 
x = 3 + 1 ou 2 = 2x – x 
x = 4 ou x = 2 
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. 168 
PROBABILIDADE 
 
A teoria das probabilidades surgiu no século XVI, com o estudo dos jogos de azar, tais como jogos de 
cartas e roleta. Atualmente ela está intimamente relacionada com a Estatística e com diversos ramos do 
conhecimento. 
 
Definições17: 
A teoria da probabilidade é o ramo da Matemática que cria e desenvolve modelos matemáticos para 
estudar os experimentos aleatórios. Alguns elementos são necessários para efetuarmos os cálculos 
probabilísticos. 
- Experimentos aleatórios: fenômenos que apresentam resultados imprevisíveis quando repetidos, 
mesmo que as condições sejam semelhantes. 
 
Exemplos: 
a) lançamento de 3 moedas e a observação das suas faces voltadas para cima 
b) jogar 2 dados e observar o número das suas faces 
c) abrir 1 livro ao acaso e observar o número das suas páginas. 
 
- Espaço amostral: conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrer em um determinado 
experimento aleatório. Indicamos esse conjunto por uma letra maiúscula: U, S, A, Ω ... variando de acordo 
com a bibliografia estudada. 
 
Exemplo: 
a) quando lançamos 3 moedas e observamos suas faces voltadas para cima, sendo as faces da moeda 
cara (c) e coroa (k), o espaço amostral deste experimento é: 
S = {(c,c,c); (c,c,k); (c,k,k); (c,k,c); (k,k,k,); (k,c,k); (k,c,c); (k,k,c)}, onde o número de elementos do 
espaço amostral n(A) = 8 
 
- Evento: é qualquer subconjunto de um espaço amostral (S); muitas vezes um evento pode ser 
caracterizado por um fato. Indicamos pela letra E. 
 
Exemplo: 
a) no lançamento de 3 moedas: 
E1→ aparecer faces iguais 
E1 = {(c,c,c);(k,k,k)} 
O número de elementos deste evento E1 é n(E1) = 2 
 
E2→ aparecer coroa em pelo menos 1 face 
E2 = {(c,c,k); (c,k,k); (c,k,c); (k,k,k,); (k,c,k); (k,c,c); (k,k,c)} 
Logo n(E2) = 7 
 
Veremos agora alguns eventos particulares: 
- Evento certo: que possui os mesmos elementos do espaço amostral (todo conjunto é subconjunto 
de si mesmo); E = S. 
E: a soma dos resultados nos 2 dados ser menor ou igual a 12. 
 
- Evento impossível: evento igual ao conjunto vazio. 
E: o número de uma das faces de um dado comum ser 7. 
E: Ø 
 
 
 
17FILHO, Begnino Barreto; SILVA,Claudio Xavier da – Matemática – Volume Único - FTD 
IEZZI, Gelson – Matemática – Volume Único 
BUCCHI, Paulo – Curso prático de Matemática – Volume 2 – 1ª edição - Editora Moderna 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 169 
- Evento simples: evento que possui um único elemento. 
E: a soma do resultado de dois dados ser igual a 12. 
E: {(6,6)} 
 
- Evento complementar: se E é um evento do espaço amostral S, o evento complementar de E 
indicado por C tal que C = S – E. Ou seja, o evento complementar é quando E não ocorre. 
E1: o primeiro número, no lançamento de 2 dados, ser menor ou igual a 2. 
E2: o primeiro número, no lançamento de 2 dados, ser maior que 2. 
S: espaço amostral é dado na tabela abaixo: 
 
 
 
E: {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3) (2,4), (2,5), (2,6)} 
Como, C = S – E 
C = {(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), 
(5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} 
 
- Eventos mutuamente exclusivos: dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a 
ocorrência de um deles implica a não ocorrência do outro. Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, 
então: A ∩ B = Ø. 
Sejam os eventos: 
A: quando lançamos um dado, o número na face voltada para cima é par. 
A = {2,4,6} 
B: quando lançamos um dado, o número da face voltada para cima é divisível por 5. 
B = {5} 
Os eventos A e B são mutuamente exclusivos, pois A ∩ B = Ø. 
 
Probabilidade em espaços equiprováveis 
Considerando um espaço amostral S, não vazio, e um evento E, sendo E ⊂ S, a probabilidade de 
ocorrer o evento E é o número real P (E), tal que: 
 
𝐏(𝐄) =
𝐧(𝐄)
𝐧(𝐒)
 
 
Sendo 0 ≤ P(E) ≤ 1 e S um conjunto equiprovável, ou seja, todos os elementos têm a mesma 
“chance de acontecer. 
Onde: 
n(E) = número de elementos do evento E. 
n(S) = número de elementos do espaço amostral S. 
 
Exemplo: 
Lançando-se um dado, a probabilidade de sair um número ímpar na face voltada para cima é obtida 
da seguinte forma: 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S) = 6 
E = {1, 3, 5} n(E) = 3 
 
P(E) =
n(E)
n(S)
=
3
6
=
1
2
= 0,5 𝑜𝑢 50% 
 
 
 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 170 
Probabilidade da união de dois eventos 
Vamos considerar A e B dois eventos contidos em um mesmo espaço amostral A, o número de 
elementos da reunião de A com B é igual ao número de elementos do evento A somado ao número de 
elementos do evento B, subtraindo o número de elementos da intersecção de A com B. 
 
 
Sendo n(S) o número de elementos do espaço amostral, vamos dividir os dois membros da equação 
por n(S) a fim de obter a probabilidade P (A U B). 
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵)
𝑛(𝑆)
=
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)
+
𝑛(𝐵)
𝑛(𝑆)
−
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝑆)
 
 
 
P (A U B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B) 
 
 
Para eventos mutuamenteexclusivos, onde A ∩ B = Ø, a equação será: 
 
 
P (A U B) = P(A) + P(B) 
 
 
Exemplo: 
A probabilidade de que a população atual de um país seja de 110 milhões ou mais é de 95%. A 
probabilidade de ser 110 milhões ou menos é de 8%. Calcule a probabilidade de ser 110 milhões. 
Sendo P(A) a probabilidade de ser 110 milhões ou mais: P(A) = 95% = 0,95 
Sendo P(B) a probabilidade de ser 110 milhões ou menos: P(B) = 8% = 0,08 
P (A ∩ B) = a probabilidade de ser 110 milhões: P (A ∩ B) = ? 
P (A U B) = 100% = 1 
Utilizando a regra da união de dois eventos, temos: 
P (A U B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B) 
1 = 0,95 + 0,08 - P (A ∩ B) 
P (A ∩ B) = 0,95 + 0,08 - 1 
P (A ∩ B) = 0,03 = 3% 
 
Probabilidade condicional 
Vamos considerar os eventos A e B de um espaço amostral S, definimos como probabilidade 
condicional do evento A, tendo ocorrido o evento B e indicado por P(A | B) ou 𝑃 (
𝐴
𝐵
), a razão: 
 
𝑷(𝑨|𝑩) =
𝒏(𝑨 ∩ 𝑩)
𝒏(𝑩)
= 
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
𝑷(𝑩)
 
 
Lemos P (A | B) como: a probabilidade de A “dado que” ou “sabendo que” a probabilidade de B. 
Exemplo: 
No lançamento de 2 dados, observando as faces de cima, para calcular a probabilidade de sair o 
número 5 no primeiro dado, sabendo que a soma dos 2 números é maior que 7. 
 
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. 171 
Montando temos: 
S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), 
(3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), 
(6,5), (6,6)} 
Evento A: o número 5 no primeiro dado. 
A = {(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)} 
 
Evento B: a soma dos dois números é maior que 7. 
B = {(2,6), (3,5), (3,6), (4,4), (4,5), (4,6), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} 
 
A ∩ B = {(5,3), (5,4), (5,5), (5,6)} 
P (A ∩ B) = 4/36 
P(B) = 15/36 
Logo: 
𝑃(𝐴|𝐵) = 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
=
4
36
15
36
=
4
36
.
36
15
=
4
15
 
 
Probabilidade de dois eventos simultâneos (ou sucessivos) 
A probabilidade de ocorrer P (A ∩ B) é igual ao produto de um deles pela probabilidade do outro em 
relação ao primeiro. Isto significa que, para se avaliar a probabilidade de ocorrem dois eventos 
simultâneos (ou sucessivos), que é P (A ∩ B), é preciso multiplicar a probabilidade de ocorrer um deles 
P(B) pela probabilidade de ocorrer o outro, sabendo que o primeiro já ocorreu P (A | B). 
Sendo: 
 
𝐏(𝐀|𝐁) =
𝐏(𝐀 ∩ 𝐁)
𝐏(𝐁)
 𝐨𝐮 𝐏(𝐁|𝐀) =
𝐏(𝐀 ∩ 𝐁)
𝐏(𝐀)
 
 
- Eventos independentes: dois eventos A e B de um espaço amostral S são independentes quando 
P(A|B) = P(A) ou P(B|A) = P(B). Sendo os eventos A e B independentes, temos: 
 
P (A ∩ B) = P(A). P(B) 
 
Exemplo: 
Lançando-se simultaneamente um dado e uma moeda, determine a probabilidade de se obter 3 ou 5 
na dado e cara na moeda. 
Sendo, c = coroa e k = cara. 
 
S = {(1,c), (1,k), (2,c), (2,k), (3,c), (3,k), (4,c), (4,k), (5,c), (5,k), (6,c), (6,k)} 
Evento A: 3 ou 5 no dado 
A = {(3,c), (3,k), (5,c), (5,k)} 
𝑃(𝐴) =
4
12
=
1
3
 
 
Evento B: cara na moeda 
B = {(1,k), (2,k), (3,k), (4,k), (5,k), (6,k)} 
𝑃(𝐵) =
6
12
=
1
2
 
 
Os eventos são independentes, pois o fato de ocorrer o evento A não modifica a probabilidade de 
ocorrer o evento B. Com isso temos: 
P (A ∩ B) = P(A). P(B) 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =
1
3
.
1
2
=
1
6
 
 
Observamos que A ∩ B = {(3,k), (5,k)} e a P (A ∩ B) poder ser calculada também por: 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝑆)
=
2
12
=
1
6
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 172 
No entanto nem sempre chegar ao n(A ∩ B) nem sempre é fácil dependendo do nosso espaço 
amostral. 
 
Lei Binomial de probabilidade 
Vamos considerar um experimento que se repete n número de vezes. Em cada um deles temos: 
P(E) = p, que chamamos de probabilidade de ocorrer o evento E com sucesso. 
P(�̅�) = 1 – p, probabilidade de ocorrer o evento E com insucesso (fracasso). 
 
A probabilidade do evento E ocorrer k vezes, das n que o experimento se repete é dado por uma lei 
binomial. 
 
A probabilidade de ocorrer k vezes o evento E e (n - k) vezes o evento �̅� é o produto: pk . (1 – p)n - k 
 
As k vezes do evento E e as (n – k) vezes do evento �̅� podem ocupar qualquer ordem. Então, 
precisamos considerar uma permutação de n elementos dos quais há repetição de k elementos e de (n – 
k) elementos, em outras palavras isso significa: 
 
𝑃𝑛
[𝑘,(𝑛−𝑘)] =
𝑛!
𝑘.(𝑛−𝑘)!
= (𝑛𝑘), logo a probabilidade de ocorrer k vezes o evento E no n experimentos é 
dada: 
 
𝒑 = (
𝒏
𝒌
) . 𝒑𝒌. 𝒒𝒏−𝒌 
 
A lei binomial deve ser aplicada nas seguintes condições: 
 
- O experimento deve ser repetido nas mesmas condições as n vezes. 
- Em cada experimento devem ocorrer os eventos E e �̅�. 
- A probabilidade do E deve ser constante em todas as n vezes. 
- Cada experimento é independente dos demais. 
 
Exemplo: 
Lançando-se uma moeda 4 vezes, qual a probabilidade de ocorrência 3 caras? 
Está implícito que ocorrerem 3 caras deve ocorrer uma coroa. Umas das possíveis situações, que 
satisfaz o problema, pode ser: 
 
Temos que: 
n = 4 
k = 3 
𝑃(𝐸) =
1
2
, 𝑃(𝐸)̅̅ ̅ = 1 −
1
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 173 
Logo a probabilidade de que essa situação ocorra é dada por: 
(
1
2
)
3
. (1 −
1
2
)
1
, como essa não é a única situação de ocorre 3 caras e 1 coroa. Vejamos: 
 
Podemos também resolver da seguinte forma: (43) maneiras de ocorrer o produto (
1
2
)
3
. (1 −
1
2
)
1
, 
portanto: 
𝑃(𝐸) = (
4
3
) . (
1
2
)
3
. (1 −
1
2
)
1
= 4.
1
8
.
1
2
=
1
4
 
 
Questões 
 
01. (BANESTES – Técnico em Segurança do Trabalho – FGV/2018) Dados os conjuntos A = {1, 2, 
3} e B = {4, 5, 6, 7}, João escolhe ao acaso um elemento de cada um deles. A probabilidade de que o 
produto dos dois elementos escolhidos seja um número par é: 
 
(A) 1/4; 
(B) 1/3; 
(C) 1/2; 
(D) 2/3; 
(E) 3/4. 
 
02. (ENEM - CESGRANRIO) Em uma escola, a probabilidade de um aluno compreender e falar inglês 
é de 30%. Três alunos dessa escola, que estão em fase final de seleção de intercâmbio, aguardam, em 
uma sala, serem chamados para uma entrevista. Mas, ao invés de chamá-los um a um, o entrevistador 
entra na sala e faz, oralmente, uma pergunta em inglês que pode ser respondida por qualquer um dos 
alunos. 
A probabilidade de o entrevistador ser entendido e ter sua pergunta oralmente respondida em inglês é 
(A) 23,7% 
(B) 30,0% 
(C) 44,1% 
(D) 65,7% 
(E) 90,0% 
 
03. (ENEM - CESGRANRIO) Em uma central de atendimento, cem pessoas receberam senhas 
numeradas de 1 até 100. Uma das senhas é sorteada ao acaso. 
Qual é a probabilidade de a senha sorteada ser um número de 1 a 20? 
(A) 1/100 
(B) 19/100 
(C) 20/100 
(D) 21/100 
(E) 80/100 
 
 04. (Pref. Niterói – Agente Fazendário – FGV) O quadro a seguir mostra a distribuição das idades 
dos funcionários de certa repartição pública: 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 174 
Escolhendo ao acaso um desses funcionários, a probabilidade de que ele tenha mais de 40 anos é: 
(A) 30%; 
(B) 35%; 
(C) 40%; 
(D) 45%; 
(E) 55%. 
 
05. (Pref. Niterói – Fiscal de Posturas – FGV) Uma urna contém apenas bolas brancas e bolas pretas. 
São vinte bolas ao todo e a probabilidade de uma bola retirada aleatoriamente da urna ser branca é 1/5. 
Duas bolas são retiradas da urna sucessivamente e sem reposição. 
A probabilidade de as duas bolas retiradas serem pretas é: 
(A) 16/25; 
(B) 16/19;(C) 12/19; 
(D) 4/5; 
(E) 3/5. 
 
06. (TJ/RO – Técnico Judiciário – FGV) Um tabuleiro de damas tem 32 quadradinhos pretos e 32 
quadradinhos brancos. 
 
Um desses 64 quadradinhos é sorteado ao acaso. 
A probabilidade de que o quadradinho sorteado seja um quadradinho preto da borda do tabuleiro é: 
(A) ½; 
(B) ¼; 
(C) 1/8; 
(D) 9/16; 
(E) 7/32. 
 
07. (Pref. Jucás/CE – Professor de Matemática – INSTITUTO NEO EXITUS) Fernanda organizou 
um sorteio de amigo secreto entre suas amigas. Para isso, escreveu em pedaços de papel o nome de 
cada uma das 10 pessoas (incluindo seu próprio nome) que participariam desse sorteio e colocou dentro 
de um saco. Fernanda, como organizadora, foi a primeira a retirar um nome de dentro do saco. A 
probabilidade de Fernanda retirar seu próprio nome é: 
(A) 3/5. 
(B) 2/10. 
(C) 1/10. 
(D) ½. 
(E) 2/3. 
 
08. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST – UNEMAT) Uma loja 
de eletrodoméstico tem uma venda mensal de sessenta ventiladores. Sabe-se que, desse total, seis 
apresentam algum tipo de problema nos primeiros seis meses e precisam ser levados para o conserto 
em um serviço autorizado. 
Um cliente comprou dois ventiladores. A probabilidade de que ambos não apresentem problemas nos 
seis primeiros meses é de aproximadamente: 
(A) 90% 
(B) 81% 
(C) 54% 
(D) 11% 
(E) 89% 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 175 
09. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST – UNEMAT) Em uma 
caixa estão acondicionados uma dúzia e meia de ovos. Sabe-se, porém, que três deles estão impróprios 
para o consumo. 
Se forem escolhidos dois ovos ao acaso, qual a probabilidade de ambos estarem estragados? 
(A) 2/153 
(B) 1/9 
(C) 1/51 
(D) 1/3 
(E) 4/3 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D. 
Vamos fazer o total de possíveis resultados entre os conjuntos A e B. 
Como em A temos 3 elementos e em B temos 4 elementos, teremos um total de 12 possibilidades de 
fazer A vezes B, 
Vamos ver quais serão pares agora: 
A = {1, 2, 3} e B = {4, 5, 6, 7}, 
A . B 
1 . 4 = 4 
1 . 6 = 6 
2 . 4 = 8 
2 . 5 = 10 
2 . 6 = 12 
2 . 7 = 14 
3 . 4 = 12 
3 . 6 = 18 
Assim, teremos 8 possibilidades de um total de 12, logo a probabilidade desse número ser par será de 
8/12 = 2/3 (simplificando a fração) 
 
02. Resposta: D. 
A probabilidade de nenhum dos três alunos responder à pergunta feita pelo entrevistador é 
0,70 . 0,70 . 0,70 = 0,343 = 34,3% 
Portanto, a possibilidade dele ser entendido é de: 100% – 34 ,3% = 65,7% 
 
03. Resposta: C. 
A probabilidade de a senha sorteada ser um número de 1 a 20 é 20/100, pois são 20 números entre 
100. 
 
04. Resposta: D. 
O espaço amostral é a soma de todos os funcionário: 
2 + 8 + 12 + 14 + 4 = 40 
O número de funcionário que tem mais de 40 anos é: 14 + 4 = 18 
Logo a probabilidade é: 
𝑃(𝐸) =
18
40
= 0,45 = 45% 
 
05. Resposta: C. 
B = bolas brancas 
T = bolas pretas 
Total 20 bolas = S (espaço amostral) 
P(B) = 1/5 
𝑃(𝐵) =
𝑛(𝐵)
𝑛(𝑆)
→
1
5
=
𝑛(𝐵)
20
→ 𝑛(𝐵) =
20
5
= 4 
 
Logo 20 – 4 = 16 bolas pretas 
𝑃(𝑇1) =
𝑛(𝑇)
𝑛(𝑆)
=
16
20
=
4
5
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 176 
Como não há reposição a probabilidade da 2º bola ser preta é: 
 
𝑃(𝑇2) =
𝑛(𝑇)
𝑛(𝑆)
=
15
19
 
 
Como os eventos são independentes multiplicamos as probabilidades: 
4
5
.
15
19
=
60
95
=
12
19
 
 
06. Resposta: E. 
Como são 14 quadrinhos pretos na borda e 64 quadradinhos no total, logo a probabilidade será de: 
𝑃(𝐸) =
14
64
=
7
32
 
 
07. Resposta: C. 
A probabilidade é calculada por 𝑃 =
𝑟𝑒𝑡𝑖𝑟𝑎𝑑𝑜
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
 
Assim, 𝑃 =
1
10
 
 
08. Resposta: B. 
6 / 60 = 0,1 = 10% de ter problema 
Assim, se 10% tem problemas, então 90% não apresentam problemas. 
 
𝑃 = 
90
100
.
90
100
= 
8100
10000
= 81% 
 
09. Resposta: C. 
𝑃 = 
3
18
 .
2
17
= 
6
306
= 
1
51
 (: 6 / 6) 
 
 
 
JUROS SIMPLES18 
 
Em regime de juros simples (ou capitalização simples), o juro é determinado tomando como base 
de cálculo o capital da operação, e o total do juro é devido ao credor (aquele que empresta) no final da 
operação. As operações aqui são de curtíssimo prazo, exemplo: desconto simples de duplicata, entre 
outros. 
No juros simples o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial 
emprestado ou aplicado. 
 
- Os juros são representados pela letra J. 
- O dinheiro que se deposita ou se empresta chamamos de capital e é representado pela letra C (capital) 
ou P(principal) ou VP ou PV (valor presente) *. 
- O tempo de depósito ou de empréstimo é representado pela letra t ou n.* 
- A taxa de juros é a razão centesimal que incide sobre um capital durante certo tempo. É representado 
pela letra i e utilizada para calcular juros. 
 
*Varia de acordo com a literatura estudada. 
 
 
 
 
 
 
 
18 MARIANO, Fabrício – Matemática Financeira para Concursos – 3ª Edição – Rio de Janeiro: Elsevier,2013. 
6 Matemática financeira. 6.1 Juros simples e compostos: capitalização e 
descontos. 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 177 
Chamamos de simples os juros que são somados ao capital inicial no final da aplicação. 
 
Exemplo 
1) Uma pessoa empresta a outra, a juros simples, a quantia de R$ 4. 000,00, pelo prazo de 5 meses, 
à taxa de 3% ao mês. Quanto deverá ser pago de juros? 
 
Resposta 
- Capital aplicado (C): R$ 4.000,00 
- Tempo de aplicação (t): 5 meses 
- Taxa (i): 3% ou 0,03 a.m. (= ao mês) 
 
Fazendo o cálculo, mês a mês: 
- No final do 1º período (1 mês), os juros serão: 0,03 x R$ 4.000,00 = R$ 120,00 
- No final do 2º período (2 meses), os juros serão: R$ 120,00 + R$ 120,00 = R$ 240,00 
- No final do 3º período (3 meses), os juros serão: R$ 240,00 + R$ 120,00 = R$ 360,00 
- No final do 4º período (4 meses), os juros serão: R$ 360,00 + R$ 120,00 = R$ 480,00 
- No final do 5º período (5 meses), os juros serão: R$ 480,00 + R$ 120,00 = R$ 600,00 
 
Desse modo, no final da aplicação, deverão ser pagos R$ 600,00 de juros. 
 
 
Fazendo o cálculo, período a período: 
- No final do 1º período, os juros serão: i.C 
- No final do 2º período, os juros serão: i.C + i.C 
- No final do 3º período, os juros serão: i.C + i.C + i.C 
-------------------------------------------------------------------------- 
- No final do período t, os juros serão: i.C + i.C + i.C + ... + i.C 
 
Portanto, temos: 
J = C . i . t 
 
1) O capital cresce linearmente com o tempo; 
2) O capital cresce a uma progressão aritmética de razão: J=C.i 
3) A taxa i e o tempo t devem ser expressos na mesma unidade. 
4) Nessa fórmula, a taxa i deve ser expressa na forma decimal. 
5) Chamamos de montante (M) ou FV (valor futuro) a soma do capital com os juros, ou seja: 
Na fórmula J= C . i . t, temos quatro variáveis. Se três delas forem valores conhecidos, podemos 
calcular o 4º valor. 
 
M = C + J → M = C.(1+i.t) 
 
 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 178 
Exemplo 
A que taxa esteve empregado o capital de R$ 25.000,00 para render, em 3 anos, R$ 45.000,00 de 
juros? (Observação: Como o tempo está em anos devemos ter uma taxa anual.) 
 
C = R$ 25.000,00 
t = 3 anos 
j = R$ 45.000,00 
i = ? (ao ano) 
 j = 
100
.. tiC
 
45 000 = 
100
3..25000 i
 
45 000 = 750 . i 
i = 
750
000.45
 
i = 60 
Resposta: 60% ao ano. 
 
Quando o prazo informado for em dias, a taxa resultante dos cálculos será diária; se o prazo for 
em meses, a taxa será mensal; se for emtrimestre, a taxa será trimestral, e assim sucessivamente. 
 
Questões 
 
01. (AL/RR – Economista – FUNRIO/2018) Paulo contraiu uma dívida do Banco X, no valor de R$ 
400,00 que foi quitada em dois trimestres, depois de contraída. 
A taxa linear mensal praticada pelo Banco X, que teve como resultado a cobrança de juros de R$ 
150,00, foi de 
(A) 8,70%. 
(B) 7,50%. 
(C) 6,25%. 
(D) 5,10%. 
 
02. (EBSERH – Técnico em Contabilidade – CESPE/2018) No que se refere a matemática financeira 
e finanças, julgue o item seguinte. 
Se R$ 10.000 forem aplicados pelo prazo de 45 dias à taxa de juros simples de 12% ao ano, o montante 
ao final do período será inferior a R$ 10.140. 
( )Certo ( )Errado 
 
03. (BANESTES – Assistente Securitário – FGV/2018) Caso certa dívida não seja paga na data do 
seu vencimento, sobre ela haverá a incidência de juros de 12% a.m.. Se essa dívida for quitada com 
menos de um mês de atraso, o regime utilizado será o de juros simples. 
Considerando-se o mês comercial (30 dias), se o valor dessa dívida era R$ 3.000,00 no vencimento, 
para quitá-la com 8 dias de atraso, será preciso desembolsar: 
(A) R$ 3.096,00; 
(B) R$ 3.144,00; 
(C) R$ 3.192,00; 
(D) R$ 3.200,00; 
(E) R$ 3.252,00. 
 
04. (BANPARÁ – Técnico Bancário – INAZ do Pará) Na capitalização de juros simples: 
(A) A capitalização de juros ocorre sobre o capital inicial 
(B) Os juros são pagos no vencimento, que é fixo. 
(C) Os juros são pagos durante o período de capitalização 
(D) Os juros são incorporados ao capital durante a capitalização 
(E) Todas as alternativas acima estão erradas 
 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 179 
05. (IESES) Uma aplicação de R$ 1.000.000,00 resultou em um montante de R$ 1.240.000,00 após 
12 meses. Dentro do regime de Juros Simples, a que taxa o capital foi aplicado? 
(A) 1,5% ao mês. 
(B) 4% ao trimestre. 
(C) 20% ao ano. 
(D) 2,5% ao bimestre. 
(E) 12% ao semestre. 
 
06. (EXATUS-PR) Mirtes aplicou um capital de R$ 670,00 à taxa de juros simples, por um período de 
16 meses. Após esse período, o montante retirado foi de R$ 766,48. A taxa de juros praticada nessa 
transação foi de: 
(A) 9% a.a. 
(B) 10,8% a.a. 
(C) 12,5% a.a. 
(D) 15% a.a. 
 
07. (UMA Concursos) Qual o valor do capital que aplicado por um ano e meio, a uma taxa de 1,3% 
ao mês, em regime de juros simples resulta em um montante de R$ 68.610,40 no final do período? 
(A) R$ 45.600,00 
(B) R$ 36.600,00 
(C) R$ 55.600,00 
(D) R$ 60.600,00 
 
08. (TRF- 3ª REGIÃO – Analista Judiciário – FCC) Em um contrato é estabelecido que uma pessoa 
deverá pagar o valor de R$ 5.000,00 daqui a 3 meses e o valor de R$ 10.665,50 daqui a 6 meses. Esta 
pessoa decide então aplicar em um banco, na data de hoje, um capital no valor de R$ 15.000,00, durante 
3 meses, sob o regime de capitalização simples a uma taxa de 10% ao ano. No final de 3 meses, ela 
resgatará todo o montante correspondente, pagará o primeiro valor de R$ 5.000,00 e aplicará o restante 
sob o regime de capitalização simples, também durante 3 meses, em outro banco. Se o valor do montante 
desta última aplicação no final do período é exatamente igual ao segundo valor de R$ 10.665,50, então 
a taxa anual fornecida por este outro banco é, em %, de 
(A) 10,8%. 
(B) 9,6%. 
(C) 11,2%. 
(D) 12,0%. 
(E) 11,7%. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C 
O capital será de: 400,00 
2 trimestres: 2.3 = 6 meses 
J = 150 reais. 
Utilizando a fórmula básica para juros compostos teremos: 
 
j = 
100
.. tiC
 
150 . 100 = 400 . i . 6 
 i = 
15000
2400
 = 6,25% ao mês 
 
02. Resposta: Errado 
Pela fórmula de juros simples teremos j = 
100
.. tiC
 
Mas antes devemos converter os dados para a mesma unidade de tempo. 
i = 12% ao ano = 1% ao mês 
t = 45 dias = 1,5 meses 
C = 10000 
Montante foi de 10140, logo o juros foi de 10140 – 10000 = 140 reais. 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 180 
Vamos lá! 
j = 
100
.. tiC
 
j = 
10000 . 1 . 1,5
100
 = 
15000
100
 = 150 reais, que é superior à 140 reais conforme dito no enunciado. 
 
03. Resposta: A 
Antes de resolvermos devemos fazer as devidas conversões, vamos lá! 
i = 12% ao mês = 12 : 30 = 0,4% ao dia 
 
j = 
100
.. tiC
 
j = 
3000 . 0,4 . 8
100
 = 
9600
100
 = 96 reais 
 
Assim deverá pagar 3000 + 96 = 3096 reais 
 
04. Resposta: A 
Na capitalização simples o juros sempre incide sobre o capital inicial, por isto a alternativa A está 
correta. 
 
05. Resposta: E 
C = 1.000.000,00 
M = 1.240.000,00 
t = 12 meses 
i = ? 
M = C.(1+it) → 1240000 = 1000000(1 + 12i) → 1 + 12i = 1240000 / 1000000 → 1 + 12i = 1,24 → 12i = 
1,24 – 1 → 12i = 0,24 → i = 0,24 / 12 → i = 0,02 → i = 0,02x100 → i = 2% a.m 
Como não encontramos esta resposta nas alternativas, vamos transformar, uma vez que sabemos a 
taxa mensal: 
Um bimestre tem 2 meses → 2 x 2 = 4% a.b. 
Um trimestre tem 3 meses → 2 x 3 = 6% a.t. 
Um semestre tem 6 meses → 2 x 6 = 12% a.s. 
Um ano tem 1 ano 12 meses → 2 x 12 = 24% a.a. 
 
06. Resposta: B 
Pelo enunciado temos: 
C = 670 
i = ? 
n = 16 meses 
M = 766,48 
Aplicando a fórmula temos: M = C.(1+in) → 766,48 = 670 (1+16i) → 1 + 16i = 766,48 / 670 →1 + 16i = 
1,144 → 16i = 1,144 – 1 → 16i = 0,144 → i = 0,144 / 16 → i = 0,009 x 100 → i = 0,9% a.m. 
Observe que as taxas das alternativas são dadas em ano, logo como 1 ano tem 12 meses: 0,9 x 12 = 
10,8% a.a. 
 
07. Resposta: C 
C = ? 
n = 1 ano e meio = 12 + 6 = 18 meses 
i = 1,3% a.m = 0,013 
M = 68610,40 
Aplicando a fórmula: M = C (1+in) → 68610,40 = C (1+0,013.18) → 68610,40 = C (1+0,234) → C = 
68610,40 = C.1,234 → C = 68610,40 / 1,234 → C = 55600,00. 
 
08. Resposta: C 
j= 15.000*0,10*0,25 (0,25 é 3 meses/12) 
j=15.000*0,025 
j=375,00 
Montante 15.000+375,00= 15.375,00 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 181 
Foi retirado 5.000,00, então fica o saldo para nova aplicação de 10.375,00 o valor a pagar da segunda 
parcela (10.665,50) é o mesmo valor do saldo da aplicação dos 10.375,00 em 03 meses. 
10.665,50-10.375,00= 290,50, esse foi o juros, então é só aplicar a fórmula dos juros simples. 
j=c.i.t 
290,5=10.375,00*i*0,025 
290,5=2.593,75*i 
i= 290,5/2.593,75 
i= 0,112 
i=0,112*100=11,2% 
 
JUROS COMPOSTOS19 
 
O capital inicial (principal) pode crescer, como já sabemos, devido aos juros, segundo duas 
modalidades, a saber: 
 
Juros simples (capitalização simples) – a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial. 
Juros compostos (capitalização composta) – a taxa de juros incide sobre o capital de cada 
período. Também conhecido como "juros sobre juros". 
Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores particulares costumam reinvestir as 
quantias geradas pelas aplicações financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros compostos 
na Economia. Na verdade, o uso de juros simples não se justifica em estudos econômicos. 
 
Exemplo 
Considere o capital inicial (C) $1500,00 aplicado a uma taxa mensal de juros compostos (i) de 10% (i 
= 10% a.m.). Vamos calcular os montantes (capital + juros), mês a mês: 
Após o 1º mês, teremos: M1 = 1500 x 1,1 = 1650 = 1500(1 + 0,1) 
Após o 2º mês, teremos: M2 = 1650 x 1,1 = 1815 = 1500(1 + 0,1)2 
Após o 3º mês, teremos: M3 = 1815 x 1,1 = 1996,5 = 1500(1 + 0,1)3 
..................................................................................................... 
Após o nº (enésimo) mês, sendo M o montante, teremos evidentemente: M = 1500(1 + 0,1)t 
De uma forma genérica, teremos para um capital C, aplicado a uma taxa de juros compostos (i) durante 
o período (t): 
M = C (1 + i)t 
 
Onde: 
M = montante, 
C = capital, 
i = taxa de juros e 
t = númerode períodos que o capital C (capital inicial) foi aplicado. 
(1+i)t ou (1+i)n = fator de acumulação de capital 
 
Na fórmula acima, as unidades de tempo referentes à taxa de juros (i) e do período (t), tem de 
ser necessariamente iguais. Este é um detalhe importantíssimo, que não pode ser esquecido! 
Assim, por exemplo, se a taxa for 2% ao mês e o período 3 anos, deveremos considerar 2% ao mês 
durante 3x12=36 meses. 
 
Graficamente temos, que o crescimento do principal(capital) segundo juros simples é LINEAR, 
CONSTANTE enquanto que o crescimento segundo juros compostos é EXPONENCIAL, GEOMÉTRICO 
e, portanto tem um crescimento muito mais "rápido". 
 
19 MARIANO, Fabrício – Matemática Financeira para Concursos – 3ª Edição – Rio de Janeiro: Elsevier,2013. 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 182 
 
 
- O montante após 1º tempo é igual tanto para o regime de juros simples como para juros 
compostos; 
- Antes do 1º tempo o montante seria maior no regime de juros simples; 
- Depois do 1º tempo o montante seria maior no regime de juros compostos. 
 
Juros Compostos e Logaritmos 
Para resolução de algumas questões que envolvam juros compostos, precisamos ter conhecimento de 
conceitos de logaritmos, principalmente aquelas as quais precisamos achar o tempo/prazo. É muito 
comum ver em provas o valor dado do logaritmo para que possamos achar a resolução da questão. 
 
Exemplo 
Um capital é aplicado em regime de juros compostos a uma taxa mensal de 2% (2% a.m.). Depois de 
quanto tempo este capital estará duplicado? 
 
Resposta 
Sabemos que M = C (1 + i)t. Quando o capital inicial estiver duplicado, teremos M = 2C. 
Substituindo, vem: 2C = C(1+0,02)t [Obs: 0,02 = 2/100 = 2%] 
Simplificando, fica: 
2 = 1,02t , que é uma equação exponencial simples. 
Teremos então: t = log1,022 = log2 /log1,02 = 0,30103 / 0,00860 = 35 
 
Nota: log2 = 0,30103 e log1,02 = 0,00860; estes valores podem ser obtidos rapidamente em máquinas 
calculadoras científicas. Caso uma questão assim caia no vestibular ou concurso, o examinador teria de 
informar os valores dos logaritmos necessários, ou então permitir o uso de calculadora na prova, o que 
não é comum no Brasil. 
Portanto, o capital estaria duplicado após 35 meses (observe que a taxa de juros do problema é 
mensal), o que equivale a 2 anos e 11 meses. 
Resposta: 2 anos e 11 meses. 
 
- Em juros simples quando a taxa de juros(i) estiver em unidade diferente do tempo(t), pode-se 
colocar na mesma unidade de (i) ou (t). 
- Em juros compostos é preferível colocar o (t) na mesma unidade da taxa (i). 
 
Questões 
 
01. (EXÉRCITO BRASILEIRO) Determine o tempo necessário para que um capital aplicado a 20 % a. 
m. no regime de juros compostos dobre de valor. Considerando que log 2 = 0,3 e log 1,2 = 0,08. 
(A) 3,75 meses. 
(B) 3,5 meses. 
(C) 2,7 meses. 
(D) 3 meses. 
(E) 4 meses. 
 
02. (FCC) Saulo aplicou R$ 45 000,00 em um fundo de investimento que rende 20% ao ano. Seu 
objetivo é usar o montante dessa aplicação para comprar uma casa que, na data da aplicação, custava 
R$ 135 000,00 e se valoriza à taxa anual de 8%. Nessas condições, a partir da data da aplicação, quantos 
anos serão decorridos até que Saulo consiga comprar tal casa? 
Dado: (Use a aproximação: log 3 = 0,48) 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 183 
(A) 15 
(B) 12 
(C) 10 
(D) 9 
(E) 6 
 
03. (CESGRANRIO) Um investimento de R$1.000,00 foi feito sob taxa de juros compostos de 3% ao 
mês. Após um período t, em meses, o montante foi de R$1.159,27. Qual o valor de t? (Dados: ln(1.000) 
= 6,91; ln(1.159,27) = 7,06; ln(1,03) = 0,03). 
 
04. (MPE/GO – Secretário Auxiliar – MPE-GO/2017) Fábio aplicou R$ 1.000,00 em uma aplicação 
que rende juros compostos de 2% ao mês. Ao final de 3 meses qual será o montante da aplicação de 
Fábio, desprezando-se as casas decimais? 
(A) R$ 1.060 
(B) R$ 1.061 
(C) R$ 1.071 
(D) R$ 1.029 
(E) R$ 1.063 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
M=C(1+i)t 
2C=C(1+0,2)t 
2=1,2t 
Log2=log1,2t 
Log2=t.log1,2 → 0,3=0,08t → T=3,75 meses 
 
02. Resposta: B. 
M = C. (1 + i)t 
C = 45.000 
i = 0,2 
-------------------- 
C = 135.000 
i= 0,08 
45.000 (1+ i)t = 135.000 (1 + i)t 
45.000 (1 + 0,2)t = 135.000 (1 + 0,08)t 
45.000 (1,2)t = 135.000 (1,08)t 
135.000/45.000 = (1,2/1,08)t 
3 = (10/9)t 
log3 = t.log (10/9) → 0,48 = (log10 - log9).t → 0,48 = (1 - 2log3).t 
0,48 = (1 - 2.0,48).t → 0,48 = (1 - 0,96).t → 0,48 = 0,04.t 
t = 0,48/0,04 → t = 12 
 
03. Resposta: 05. 
M = C (1 + i) t 
1159,27 = 1000 ( 1 + 0,03)t 
1159,27 = 1000.1,03t 
ln 1159,27 = ln (1000 . 1,03t) 
7,06 = ln1000 + ln 1,03t 
7,06 = 6,91 + t . ln 1,03 → 0,15 = t . 0,03 → t = 5 
 
04. Resposta: B. 
Juros Compostos 
M = 1000 .(1,02)^3 
M = 1000 . 1,061208 
M = 1061,20 
 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 184 
DESCONTOS 
 
Entende-se por Valor Nominal o valor de resgate, ou seja, o valor definido para um título em sua data 
de vencimento. Representa, em outras palavras, o próprio montante da operação. 
A operação de se liquidar um título antes de seu vencimento envolve geralmente uma recompensa, ou 
um desconto pelo pagamento antecipado. Desta maneira, desconto pode ser entendido como a diferença 
entre o valor nominal de um título e o seu valor atualizado apurado n períodos antes de seu vencimento. 
Por outro lado, Valor Descontado de um título é o seu valor atual na data do desconto, sendo 
determinado pela diferença entre o valor nominal e o desconto, ou seja: 
 
Valor descontado = Valor nominal – Desconto 
 
As operações de desconto podem ser realizadas tanto sob o regime de juros simples como no de juros 
compostos. O uso do desconto simples é amplamente adotado em operações de curto prazo, 
restringindo-se o desconto composto para as operações de longo prazo. 
Tanto no regime linear como no composto ainda são identificados dois tipos de desconto: 
(a) desconto “por dentro” (ou racional) e; 
(b) desconto “por fora” (ou bancário, ou comercial). 
 
Exemplo 
Ao resgatar uma duplicata dois meses, antes da data do vencimento (04/03/2005), o credor José da 
Silva (aquele que irá receber o valor da mesma) recebe uma quantia de R$ 460,00. 
A essa diferença entre o valor título (valor nominal) e o valor recebido (valor atual) damos o nome 
de desconto. 
 
D = N – A 
Onde: 
D = desconto 
N = valor nominal 
A = valor atual 
 
O desconto concedido pelo banco, para o resgate de um título antes do vencimento é maior, resultando 
num resgate de menor valor para o proprietário do título. O desconto é o contrário da capitalização. 
 
Comparando com o regime de juros, observamos que: 
 
- o Valor Atual, ou valor futuro (valor do resgate) nos dá ideia de Montante; 
- o Valor Nominal, nome do título (valor que resgatei) nos dá ideia de Capital; 
- e o Desconto nos dá ideia de Juros. 
 
DESCONTOS SIMPLES20 
 
Desconto Racional Simples (por dentro) 
O desconto racional, também denominado de desconto “por dentro”, incorpora os conceitos e relações 
básicas de juros simples. Assim, sendo Dr o valor do desconto racional, C o capital (ou valor atual), i a 
taxa periódica de juros e n o prazo do desconto (número de períodos que o título é negociado antes de 
seu vencimento), tem-se a conhecida expressão de juros simples 
 
𝐷𝑟 = 𝐶 . 𝑖 . 𝑛 
 
Pela própria definição de desconto e introduzindo-se o conceito de valor descontado no lugar de capital 
no cálculo do desconto, tem-se: 
 
𝐷𝑟 = 𝑁 − 𝑉𝑟 
 
Sendo N o valor nominal (ou valor de resgate, ou montante) e V o valor descontado racional (ou valor 
atual) na data da operação. 
 
20 NETO.A. Alexandre. Matemática Financeira e suas aplicações. 12ed. Atlas, São Paulo. 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 185 
Como: 
𝑉𝑟 = 𝐶 = 
𝑁
1 + 𝑖. 𝑛
 
 
Tem-se: 
 
𝐷𝑟 = 
𝑁. 𝑖. 𝑛
1 + 𝑖. 𝑛
 
 
A partir dessa fórmula é possível calcular o valor do desconto racional obtido de determinado valor 
nominal (N), a uma dada taxa simples de juros (i) e a determinado prazo de antecipação (n). 
Já o valor descontado, conforme definição apresentada, é obtido pela seguinte expressão de cálculo: 
 
𝑉𝑟 = 
𝑁
1 + 𝑖. 𝑛
 
 
Observe, uma vez mais, que o desconto racional representa exatamente as relações de juros simples. 
É importante registrar que o juro incide sobre o capital (valor atual) do título, ou seja, sobre o capital 
liberado da operação. 
A taxa de juro (desconto) cobrada representa, dessa maneira, o custo efetivo de todo o período do 
desconto. 
 
Desconto Comercial Simples (por fora) 
Esse tipo de desconto, simplificadamente por incidir sobre o valor nominal (valor de resgate) do título, 
proporciona maior volume de encargos financeiros efetivos nas operações. Observe que, ao contrário dos 
juros “por dentro”, que calculam os encargos sobre o capital efetivamente liberado na operação, ou seja, 
sobre o valor presente, o critério “por fora” apura os juros sobre o montante, indicando custos adicionais 
ao tomador de recursos. 
A modalidade de desconto “por fora” é amplamente adotada pelo mercado, notadamente em 
operações de crédito bancário e comercial a curto prazo. 
O valor desse desconto, genericamente denominado desconto “por fora” (Df) no regime de juros 
simples é determinado pelo produto do valor nominal do título (N), da taxa de desconto periódica “por 
fora” contratada na operação (d) e do prazo de antecipação definido para o desconto (n). Isto é: 
 
Df = N . d . n 
 
O valor descontado “por fora” (Vf), aplicando-se a definição, é obtido: 
 
Vf = Nx(1 – d . n) 
 
Desconto comercial (bancário) acrescido de uma taxa pré-fixada 
Em alguns casos teremos acréscimos de taxas pré-fixadas aos títulos, que são as taxas de despesas 
bancárias/administrativas (comissões, taxas de serviços, ...) cobradas sobre o valor nominal (N). Quando 
as mesmas aparecem nos enunciados, devemos somá-la à taxa de juros, conforme a fórmula abaixo: 
 
Df = N. (i.t + h) 
 
Onde: 
Df = desconto comercial ou bancário 
N = valor nominal 
i = taxa de juros cobrada 
t = tempo ou período 
h = taxa de despesas administrativas ou bancárias. 
 
Temos ainda o valor bancário recebido, que nada mais é que: V = N – Db na qual podemos escrever 
da seguinte forma: 
 
V = N – Db → V = N – N (i.t + h) → V = N . [1 - (i.t + h)] 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 186 
Relação entre Desconto Comercial (Dc) e Desconto Racional (Dr) 
Algumas questões propõem a utilização dessa relação para sabermos o valor do desconto caso fosse 
utilizado o desconto comercial e precisássemos saber o desconto racional e vice-versa. A relação é dada 
por: 
 
Df = Dr . (1 + i.t) 
 
Questões 
 
01. Um banco ao descontar notas promissórias, utiliza o desconto comercial a uma taxa de juros 
simples de 12% a.m. O banco cobra, simultaneamente uma comissão de 4% sobre o valor nominal da 
promissória. Um cliente do banco recebe R$ 300.000,00 líquidos, ao descontar uma promissória vencível 
em três meses. O valor da comissão é de: 
(A) R$ 20.000,00 
(B) R$ 30.000,00 
(C) R$ 40.000,00 
(D) R$ 50.000,00 
(E) R$ 60.000,00 
 
02. (FCC) Dois títulos são descontados em um banco 4 meses antes de seus vencimentos com uma 
taxa de desconto, em ambos os casos, de 2% ao mês. O valor atual do primeiro título foi igual a R$ 
29.440,00 e foi utilizada a operação de desconto comercial simples. O valor atual do segundo título foi 
igual a R$ 20.000,00 e foi utilizada a operação de desconto racional simples. A soma dos valores nominais 
destes dois títulos é igual a 
(A) R$ 53.600,00. 
(B) R$ 54.200,00. 
(C) R$ 55.400,00. 
(D) R$ 56.000,00. 
(E) R$ 56.400,00. 
 
03. O desconto simples comercial de um título é de R$ 860,00, a uma taxa de juros de 60% a.a. O 
valor do desconto simples racional do mesmo título é de R$ 781,82, mantendo-se a taxa de juros e o 
tempo. Nesse as condições, o valor nominal do rótulo é de: 
(A) R$ 9000,00 
(B) R$ 8600,22 
(C) R$ 8000,00 
(D) R$ 9600,22 
(E) R$ 10.600,00 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
h = 0,04 
t = 3 
iB = 0,12 . 3 
AB = N . [1 - (iB + h)] 
300 000 = N . [1 - (0,12.3 + 0,04)] 
300 000 = N . [1 – 0,4] 
N = 500 000 
Vc = 0,04 . N 
Vc = 0,04 . 500 000 
Vc = 20 000 
 
02. Resposta: A. 
1º título - Dcs 
t = 4 meses 
i = 2% a.m 
A = 29440 
N1 = ? 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 187 
D = N – A 
Dcs = N.i.t → N – A = N.i.t → N – 29440 = N.0,02.4 → N – 29440 = N.0,08 → N – 0,08N = 29440 → 
0,02N = 29440 → N = 29440 / 0,02 → N = 32000 
 
2º título - Drs 
t = 4 meses 
i = 2% a.m 
A = 20000 
N2 = ? 
N = A (1 + i.t) → N = 20000 (1 + 0,02.4) → N = 20000 (1 + 0,08) → N = 20000.1,08 → N = 21600 
Como o enunciado da questão pede a soma dos valores nominais, então teremos: 
N1 + N2 → 32000 + 21600 = 53600. 
 
03. Resposta: B. 
Dc = 860 
Dr = 781,82 
Usando N = (Dc . Dr) / (Dc – Dr), 
N = (860 . 781,82) / (860 – 781,82) = 672365,2 / 78,18 = 8600,22 
 
DESCONTOS COMPOSTOS21 
 
Desconto Racional Composto (por dentro) 
As fórmulas estão associadas com os juros compostos, assim teremos: 
 
Onde: 
D = Desconto Racional Composto 
A = Valor Atual 
i = taxa 
t = tempo ou período 
 
Onde: 
N = Valor Nominal 
A = Valor Atual 
i = taxa 
t = tempo ou período 
 
Desconto Comercial Composto (por fora) 
 
Como a taxa incide sobre o Valor Nominal (maior valor), trocamos na fórmula o N pelo A e vice versa, 
mudando o sinal da taxa (de positivo para negativo). 
 
 
Onde: 
N = Valor Nominal 
 
21 NETO. A. Alexandre. Matemática Financeira e suas aplicações. 12ed. Atlas, São Paulo. 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 188 
A = Valor Atual 
i = taxa 
t = tempo ou período 
 
Questões 
 
01. (FCC) Dois títulos, um com vencimento daqui a 30 dias e outro com vencimento daqui a 60 dias, 
foram descontados hoje, com desconto racional composto, à taxa de 5% ao mês. Sabe-se que a soma 
de seus valores nominais é R$ 5.418,00 e a soma dos valores líquidos recebidos é R$ 5.005,00. O maior 
dos valores nominais supera o menor deles em 
(A) R$ 1.195,00. 
(B) R$ 1.215,50. 
(C) R$ 1.417,50. 
(D) R$ 1.484,00. 
(E) R$ 1.502,50. 
 
02. (CESPE) Na contração de determinada empresa por certo órgão público, ficou acordado que o 
administrador pagaria R$ 200.000,00 para a contração do serviço, mais quatro parcelas iguais no valor 
de R$ 132.000,00 cada a serem pagas, respectivamente, no final do primeiro, segundo, terceiro e quarto 
anos consecutivos à assinatura do contrato. Considere que a empresa tenha concluído satisfatoriamente 
o serviço dois anos após a contração e que tenha sido negociada a antecipação das duas últimas parcelas 
para serem pagas juntamente com a segunda parcela. Com base nessa situação hipotética, julgue o item 
a seguir. 
Se para o pagamento for utilizado desconto racional composto, a uma taxa de 10% ao ano, na 
antecipação das parcelas, o desconto obtido com o valor da terceira parcela será o mesmo que seria 
obtido se fosse utilizado desconto racional simples. 
( ) Certo ( ) Errado 
 
03. (FCC) O valor do desconto de um título de valor nominal igual a R$ 15.961,25, resgatado 2 anos 
antes de seu vencimento e segundo o critério do desconto composto real, é igual a R$ 3.461,25. A taxa 
anual de desconto utilizada foi de(A) 11%. 
(B) 13%. 
(C) 14%. 
(D) 15%. 
(E) 16%. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
t = 30 dias = 1 mês (1º título) e 60d = 2 meses(2º título) 
Drc 
i = 5% a.m = 0,05 
N1 + N2 = 5418 
A1 + A2 = 5005 → A1 = 5005 – A2 
Temos que o Drc é dado por : 
N = A (1 + i)t → N1 = A1 (1 + 0,05)1 e N2 = A2 (1,05)2 → N2 = A2.(1,1025) 
N1 + N2 = 5418 , substituindo teremos: 
A1 (1,05) + A2(1,1025) = 5418 , como temos que A1 = 5005 – A2 : 
(5005 – A2).(1,05) + A2(1,1025) = 5418 → 5255,25 – 1,05 A2 + 1,1025 A2 = 5418 → 
0,0525 A2 = 5418 – 5255,25 → 0,0525 A2 = 162,75 → A2 = 3100 e A1 = 5005 – 3100 = 1905 
N1 = 1,05 .1905 = 2000,25 e N2 = 1,1025. 3100 = 3417,75 
O maior é N2 e o menor N1 , assim faremos N2 – N1 = 3417,75 – 2000,25 = 1417,5 
 
02. Resposta: CERTO. 
Como ele pede para saber se antecipássemos o valor da 3º parcela em um 1 ano, termos: 
N = 132.000 
t = 1 
i = 10% a.a = 0,10 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 189 
- Para o Desconto Racional Composto: A = N / (1 + i)t 
A = 132.000 / (1 + 0,1)¹ → A = 132.000 / 1,1 
- Fazendo no Desconto Racional Simples: A = N / (1 + i.t) 
A = 132.000 / (1 + 0,1.1) 
A = 132.000 / 1,1 
Ao anteciparmos 3° parcela em um ano, o desconto obtido com o valor desta parcela será o mesmo 
que seria obtido se fosse utilizado desconto racional simples. 
 
03. Resposta: B. 
O termo real faz referência a racional. 
N = 15961,25 
t = 2 anos 
Drc = 3461,25 
i = ? 
D = N – A → 3461,25 = 15961,25 – A → A = 15961,25 – 3461,25 → A = 12500 
N = A (1 + i)t → 15961,25 = 12500.(1 + i)2 → (1 + i)2 = 15961,25 / 12500 → (1 + i)2 = 1,2769 → 1 + i = 
√ 1,279 → 1,13 = 1 + i → i = 1,13 – 1 → i = 0,13 → i = 13% 
 
 
 
As taxas de juros são índices fundamentais no estudo da matemática financeira. Os rendimentos 
financeiros são responsáveis pela correção de capitais investidos perante uma determinada taxa de juros. 
As taxas serão incorporadas sempre ao capital. 
 
Taxa Efetiva 
São aquelas onde a taxa da unidade de tempo coincide com a unidade de tempo do período de 
capitalização(valorização). Utilizado muito em caderneta de poupança. 
 
Exemplos 
 
 
 
- Uma taxa de 75% ao ano com capitalização anual. 
- Uma taxa de 11% ao trimestre com capitalização trimestral. 
 
Quando no enunciado não estiver citando o período de capitalização, a mesma vai coincidir com 
unidade da taxa. Em outras palavras iremos trabalhar com taxa efetiva!!! 
 
Taxa Nominal 
São aquelas cujas unidade de tempo NÃO coincide com as unidades de tempo do período de 
capitalização. 
Exemplos 
 
 
- 5% ao trimestre com capitalização semestral. 
- 15% ao semestre com capitalização bimestral. 
 
Para resolução de questões com taxas nominais devemos primeiramente descobrir a taxa 
efetiva (multiplicando ou dividindo a taxa) 
 
 
6.2 Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, real e aparente. 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 190 
Exemplo 
 
 
Como são 12 meses que existem no ano, então dividimos a taxa por 12, trazendo a taxa para o mesmo 
período da capitalização, tendo assim a taxa efetiva da operação. 
 
Toda taxa nominal traz implícita uma taxa efetiva que deve ser calculada proporcionalmente. 
 
Taxas Proporcionais ou Lineares (regime de juros simples) 
São taxas em unidade de tempo diferente que aplicadas sobre o mesmo capital ao mesmo período de 
tempo irão gerar o mesmo montante. 
 
Exemplos 
- 2% a.s é proporcional quantos % a.a? 
Como 1 ano tem 2 semestre 2%. 2(semestres) = 4% a.a 
- Uma taxa de 60% a.a geraria as seguintes taxas: 5% a.m (60%/12 meses);10% a.b (60%/6 
bimestres); 20% a.q(60%/3quadrimestres) .... 
 
Taxas Equivalentes (regime de juros compostos) 
As taxas de juros se expressam também em função do tempo da operação, porém não de forma 
proporcional, mas de forma exponencial, ou seja, as taxas são ditas equivalentes. 
 
Exemplos 
 
- 24% a.a é equivalente a %a.m? 
Vamos aplicar o conceito acima, para resolução deste exemplo: 
(1+ia)=(1+im)12 (expoente na menor unidade de tempo) (1+0,24) = (1+im)12  1,24 = (1+im)12  Para 
retirar o expoente, basta fazermos a operação inversa da potenciação  √1,24 
12 = √(1 + 𝑖𝑚)12
12
 
√1,24 
12 = 1 + 𝑖𝑚 → 𝑖𝑚 = 1,24
1
12 − 1 
Algumas bancas informam o valor da raiz, outras deixam como está. 
 
√𝒂𝒎
𝒏
= 𝒂
𝒎
𝒏 
 
Taxa Real, Aparente e Inflação 
Taxa Real (ir) = taxa que considera os efeitos da inflação e seus ganhos. 
Taxa Aparente (ia) = taxa que não considera os efeitos da inflação (são as taxas efetivas/nominais). 
Taxa de Inflação (ii) = a inflação representa a perda do poder de compra. 
 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 191 
Podemos escrever todas essas taxas em função uma das outras: 
 
(1+ia) = (1+ir).(1+ii) 
 
Onde: (1 + 𝑖𝑎) =
𝑀
𝐶
 , independe da quantidade de períodos e do regime de juros. 
 
Exemplos 
 
01. Uma aplicação no mercado financeiro forneceu as seguintes informações: 
− Valor aplicado no início do período: R$ 50.000,00. 
− Período de aplicação: um ano. 
− Taxa de inflação no período de aplicação: 5%. 
− Taxa real de juros da aplicação referente ao período: 2%. 
Se o correspondente montante foi resgatado no final do período da aplicação, então o seu valor é 
(A) R$ 53.550,00. 
(B) R$ 53.500,00. 
(C) R$ 53.000,00. 
(D) R$ 52.500,00. 
(E) R$ 51.500,00. 
 
Observe que o período de aplicação é de 1 ano, então tanto faz utilizar o regime de juros simples ou 
compostos. 
C = R$ 50.000,00 
t= 1 ano 
ii = 5% = 0,05 
ir = 2% = 0,02 
M=? 
 
(1+ia) = (1+ir).(1+ii)  (1+ia) = (1+0,02).(1+0,05i)  (1+ia) = 1,02 . 1,05  (1+ia) = 1,071  
 ia = 1,071-1  ia = 0,071(taxa efetiva da operação) 
Aplicando a fórmula do montante: M = C.(1+i)t  M= 50 000.(1+0,071)1  50 000. 1,071  
M= 53.550,00 
Resposta: A. 
 
02. Uma pessoa investiu R$ 1.000,00 por 2 meses, recebendo ao final desse prazo o montante de R$ 
1.060,00. Se, nesse período, a taxa real de juros foi de 4%, então a taxa de inflação desse bimestre foi 
de aproximadamente 
(A) 1,92. 
(B) 1,90. 
(C) 1,88. 
(D) 1,86. 
(E) 1,84. 
 
Neste exemplo, está nos faltando saber o valor da taxa de juros aparente, mas com as outras 
informações do enunciado podemos chegar ao seu valor: 
C = 1.000,00 
M = 1.060,00 
t = 2 meses 
ir = 4% = 0,04 
ii= ? 
(1 + 𝑖𝑎) =
𝑀
𝐶
⇒ (1 + 𝑖𝑎) =
1060
1000
 ⇒ (1 + 𝑖𝑎) = 1,06 
 
(1 + 𝑖𝑎) = (1 + 𝑖𝑟). (1 + 𝑖𝑖) ⇒ 1,06 = (1 + 0,04). (1 + 𝑖𝑖) ⇒ (1 + 𝑖𝑖) =
1,06
1,04
⇒ (1 + 𝑖𝑖) = 1,0192 ⇒ 
 
𝑖𝑖 = 1,0192 − 1 ⇒ 𝑖𝑖 = 0,0192 ⇒ 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 100(𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙) ⇒ 1,92 
 
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. 192 
Questões 
 
01. (Pref. Guarujá/SP – Professor de Matemática – CAIPIMES) Considere as seguintes situações: 
I- Carlos comprou um produto que à vista custava R$ 1.000,00. Como ele não tinha todo esse valor, 
ele fez um plano de pagamento com 12 prestações iguais, de R$ 100,00 cada uma, sem entrada. 
II- Ana comprou o mesmo produto que Carlos, na mesma loja e com o mesmo preço à vista, mas fez 
o seguinte plano de pagamento: uma entrada de R$ 100,00 e mais 11 prestações de R$ 100,00 cada 
uma. 
 
Com base nessas situações, é possível afirmar corretamente que: 
(A) a taxa de juros do plano de Ana foi menor que a taxa de juros do plano de Carlos. 
(B) a taxa de juros do plano de Ana foi igual à taxa de juros do plano de Carlos. 
(C) a taxa de juros do plano de Ana foi maior que a taxa de juros do plano de Carlos. 
(D) não há como comparar as taxas de juros dos planos de Ana e de Carlos. 
 
02. (TJ/PE - Analista Judiciário-Contador - FCC) Uma taxa de juros nominal de 21% ao trimestre, 
com juros capitalizadosmensalmente, apresenta uma taxa de juros efetiva, trimestral de, 
aproximadamente, 
(A) 21,7%. 
(B) 22,5%. 
(C) 24,8%. 
(D) 32,4%. 
(E) 33,7%. 
 
03. (Pref. Florianópolis/SC – Auditor Fiscal – FEPESE) A taxa de juros simples mensais de 4,25% 
equivalente à taxa de: 
(A) 12,5% trimestral. 
(B) 16% quadrimestral. 
(C) 25,5% semestral. 
(D) 36,0% anual. 
(E) 52% anual. 
 
04. (BAHIAGÁS – Técnico de Processos Tecnológicos – IESES) Uma pessoa faz um investimento 
em uma aplicação que rende 14% de juros (taxa aparente) anuais. Porém a inflação em seu país é de 
10% anuais. Portanto a taxa de juros real que remunera a aplicação é: 
(A) Maior que 3,8% e menor que 3,9% ao ano. 
(B) Maior que 3,6% e menor que 3,7% ao ano. 
(C) Menor que 3,6% ao ano. 
(D) Maior que 3,9% ao ano. 
(E) Maior que 3,7% e menor que 3,8% ao ano. 
 
05. (LIQUIGÁS – Assistente Administrativo – CESGRANRIO) Um financiamento está sendo 
negociado a uma taxa nominal de 20% ao ano. 
A taxa de juros efetiva anual desse financiamento, se os juros são capitalizados semestralmente, é: 
(A) 10,00% 
(B) 20,21% 
(C) 21,00% 
(D) 22,10% 
(E) 24,20% 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C. 
I. Carlos: 12 . 100 = 1200 
II. Ana: 100 + 11 . 100 = 100 + 1100 = 1200 
Os valores são iguais, porém Carlos não deu entrada e Ana sim. Por isso, a taxa de juros do plano de 
Ana foi maior que a de Carlos. 
 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 193 
02. Resposta: B. 
21% a. t capitalizados mensalmente (taxa nominai), como um trimestre tem 3 meses, 21/3 = 7% 
a.m(taxa efetiva). 
im = taxa ao mês 
it= taxa ao trimestre. 
(1+im)3 = (1+it)  (1+0,07)3 = 1+it  (1,07)3 = 1+it  1,225043 = 1+it  it= 1,225043-1  it = 
0,225043 x 100  it= 22,5043% 
 
03. Resposta: C. 
Sabemos que taxas a juros simples são ditas taxas proporcionais ou lineares. Para resolução das 
questões vamos avaliar item a item para sabermos se está certo ou errado: 
4,25% a.m 
Trimestral = 4,25 .3 = 12,75 (errada) 
Quadrimestral = 4,25 . 4 = 17% (errada) 
Semestral= 4,25 . 6 = 25,5 % (correta) 
Anual = 4,25.12 = 51% (errada) 
 
04. Resposta: B. 
(1+ia) = (1+ir).(1+ii) 
Jogando os valores que temos, na fórmula. 
1+ 0,14=(1+taxa real) . (1+ 0,1 
1,14= (1+taxa real) . (1,1) 
1,14/1,1= (1+taxa real) 
1,0363= 1+ taxa real 
1.0363-1=taxa real 
Taxa real = 0,0363 
Taxa real = 3,63% 
 
05. Resposta: C. 
Taxa nominal: 20%a.a. capitalizada semestralmente, ou seja 20/2 = 10% ao semestre. 
Agora, basta determinar a taxa efetiva: 
 
(1+iquero) = (1+itenho) 
(1+iquero)1 = (1+0,10)² 
iquero = 1,21 – 1 = 0,21 = 21% 
 
 
 
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÕES 
 
Muito utilizado hoje quando se faz um empréstimo/financiamento22, transações de pagamentos de 
compra de imóveis, entre outros, transações feitas a longo prazo. 
 
 - Alguns conceitos: 
 
Amortização (A)  é um processo que extingue dívidas através de pagamentos periódicos, é 
a extinção de uma dívida através da quitação da mesma. Parte da prestação que não incide juros. 
 
 
22 SAMANEZ, C.P., Matemática Financeira, 3ª edição. São Paulo: Pearson-Prentice Hall, 2002. 
NETO, Alexandre Assaf. Matemática Financeira e suas Aplicações.12 ed. São Paulo: Atlas, 2012. 
NETTO, Scipione Di Pierro; TEIXEIRA, James. Matemática Financeira. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 1998. 
6.3 Planos ou sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos. 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 194 
 
 
Prestação (P)  É a amortização acrescida de juros. 
 
P = A + J 
 
Juros (J)  Taxa que incide sobre o saldo devedor do período anterior (note que quando trabalhamos 
com sistemas de amortização, estamos trabalhando com o regime de juros compostos). 
 
Postecipadas Algo que será realizado posteriormente. Em outras palavras você irá usar e depois 
pagar. 
 
Antecipadas O contrário de postecipada. 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) 
 
Exemplo 
 
Para um empréstimo de R$ 10.000,00, a uma taxa de 5% ao mês, qual será a sua tabela de 
amortização sabendo que serão pagas em 4 parcelas. 
 
 
1º Passo: Determinar o valor da cota de amortização: 
 
𝐴 =
𝐸
𝑛
⟹
10000
4
= 2500 
 
Em um sistema de amortização constante, as amortizações são iguais para todos os períodos: 
 
 
O período 0(zero), é o do valor do empréstimo/financiamento. 
Com a cota de amortização, podemos calcular o Saldo Devedor para todos os períodos. Observe que 
no período 4 o saldo é 0(zero), é onde temos a quitação total da dívida. 
 
2º Passo: Calcular o Juros para cada período. (Atenção: o Juros sempre irá incidir sobre o 
Capital/Saldo Devedor do período anterior.) 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 195 
Período 1 J = C.i.t (t=1)  J= 10000 . 0,05 .1  J = 500 ∴ Observe que o juros incidiu sobre o 
capital do Período 0(período anterior) e não do Período 1. 
 
3º Passo: Calcular o valor da prestação para cada período. Lembrando que P= A+J 
 
Período 1 P = 2500+500  P = 3000 
 
4º Passo: Calcular o Juros para o Período 2. 
 
Período 2  J = C.i.t (t = 1)  J = 7500 . 0,05 .1  J = 375 ∴ Observe que o juros incidiu sobre o 
capital do Período 1 (período anterior) e não do Período 2. 
 
5º Passo: Calcular o valor da prestação para cada período. Lembrando que P = A + J 
 
Período 2 P = 2500+375  P = 2875 
 
 
E vamos fazendo assim para cada período, temos: 
 
 
Principais características: 
- As cotas de amortização são iguais; 
- As prestações são decrescentes; 
- Os juros são decrescentes; 
- As amortizações serão sempre constantes. 
- Nas colunas dos Juros e das Prestações observa-se de uma PA (Progressão Aritmética) de razão 
decrescente. 
 
 
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. 196 
Fórmulas do Cálculo da Prestação (Séries Postecipadas) 
 
 
Para séries antecipadas (com entrada), basta multiplicar o valor da prestação por 
𝟏
(𝟏+𝐢)
. 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS OU TABELA PRICE (SAF) 
 
Exemplo 
 
Para um empréstimo de R$ 8.660,00 a uma taxa de 5% ao mês, qual será a sua tabela de amortização 
sabendo que serão pagas em 5 parcelas. Dado que FRC = 0,231. 
 
 
1º Passo: Determinar o valor da prestação 
 
Em um sistema de amortização francês, as prestações são iguais para todos os períodos, e é possível 
acha-la através da fórmula: 
 
 
 
Com isso podemos reescrever da seguinte forma, sabendo que 𝐹𝑉𝐴 =
1
𝐹𝑅𝐶
 : 
 
𝑬 = 𝑷.
𝟏
𝑭𝑹𝑪
→ 𝑬. 𝑭𝑹𝑪 = 𝑷 → 𝑭𝑹𝑪 =
𝑷
𝑬
 
 
Aplicando ao exemplo: 
 
E = P . FVA  𝐸 = 𝑃.
1
𝐹𝑅𝐶
  E .FRC= P  8660 . 0,231 = P  P = 2000,46 (vamos arredondar para 
2000.) 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 197 
 
 2º Passo: Calcular o Juros para cada período. (Atenção: o Juros sempre irá incidir sobre o 
Capital/Saldo Devedor do período anterior.) 
 
Período 1 J = C.i.t (t = 1)  J = 8660 . 0,05 .1  J = 433 ∴ Observe que o juros incidiu sobre o 
capital do Período 0 (período anterior) e não do Período 1. 
 
 
3º Passo: Calcular o valor da amortização para cada período. Lembrando que P= A+J, logo A = P - J 
 
Período 1 A = 2000 - 433  A = 1567 
Com a Amortização já podemos descobrir o Saldo Devedor do Período 1. 
 
 
4º Passo: Calcular o Juros para cada período. 
 
Período 2 J = C.i.t (t=1)  J= 7093. 0,05 .1  J = 354,65 ∴ Observe que o juros incidiu sobre o 
capital do Período 1(período anterior) e não do Período 2. 
 
 
 
5º Passo: Calcular o valor da amortização para cada período. 
 
Período 2 A = 2000 – 354,65  A = 1645,35 
Com a Amortização já podemos descobrir o Saldo Devedor do Período2. 
 
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. 198 
 
E vamos fazendo assim para cada período, temos: 
 
 
Obs.: Por estarmos trabalhando com números com vírgulas, podem ocorrer erros de aproximação, 
fazendo com que na coluna do Saldo Devedor ainda reste algum valor. 
 
Principais características: 
- As prestações são constantes; 
- Juros decrescentes; 
- Amortizações crescentes. 
- Na coluna Juros, temos uma PG (Progressão geométrica) de razão descrente. 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM). 
 
Principais características: 
- A prestação é a média entre a do SAC e a do Sistema Francês. 
 
Para efetuar os cálculos basta utilizar todo os conceitos aprendidos acima. 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO VARIÁVEL 
 
No sistema de amortizações variáveis (SAV), a devolução do financiamento não segue uma sequência 
que obedeça a um critério ou modelo matemático. Neste sistema, o devedor paga o principal, 
periodicamente por valores variáveis de acordo com a combinação realizada previamente com o credor. 
A única restrição consiste em que o somatório das parcelas de amortização seja idêntico ao valor do 
financiamento, enquanto os juros sobre o saldo devedor sejam pagos em cada período, juntamente com 
a parcela de amortização e, na hipótese de não estar prevista amortização em um determinado período, 
os juros, necessariamente, sejam pagos. 
 
Exemplo 
 
Supondo um financiamento de $ 50 mil a uma taxa de 12,0% a.a. e prazo de 12 meses, imaginando-
se que tenha sido combinado o fluxo de pagamentos seguinte: 
 
 
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. 199 
 
 
Referências 
http://www.premioabecip.org.br/2010/tema1/universitario/marcelo-dos-santos.pdf 
REZENDE, Teotonio Costa. Os sistemas de amortização nas operações de crédito imobiliário: a falácia da capitalização de juros e da inversão do momento de 
deduzir a quota de amortização. Rio de Janeiro: Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro, 2003. 
 
SISTEMA AMERICANO DE AMORTIZAÇÃO 
 
O Sistema Americano de Amortização é um tipo de quitação de empréstimo que favorece aqueles que 
desejam pagar o valor principal através de uma única parcela, porém os juros devem ser pagos 
periodicamente ou, dependendo do contrato firmado entre as partes, os juros são capitalizados e pagos 
junto ao valor principal. Observe as planilhas demonstrativas desse modelo de amortização. 
 
Exemplo 1 
Um empréstimo de R$ 50.000,00 será pago através do sistema americano no prazo de 10 meses, a 
juros mensais de 3% ao mês. Veja: De acordo com o modelo de amortização americana, a quitação do 
empréstimo ocorrerá no último mês, então nos meses anteriores a pessoa irá pagar somente o valor 
dos juros. 
Juros = 3% de 50.000 = 1.500 
 
 
Observe que os juros do último período também são pagos pelo devedor. 
 
Exemplo 2 
Construa a planilha e determine o valor total dos juros pagos pelo empréstimo referente a R$ 
25.250,00, pagos pelo sistema americano durante 5 meses, a uma taxa de 2,5% ao mês. 
Juros mensais = 2,5% de 25.250,00 = 0,025 * 25.250,00 = 
 
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. 200 
 
O valor total dos juros é equivalente a R$ 3.156,25. 
 
Questões 
 
01. (Banco do Brasil – Técnico bancário – FCC) Um empréstimo de R$ 800.000,00 deve ser 
devolvido em 5 prestações semestrais pelo Sistema de Amortizações Constantes (SAC) à taxa de 4% ao 
semestre. O quadro demonstrativo abaixo contém, em cada instante do tempo (semestre), informações 
sobre o saldo devedor (SD), a amortização (A), o juro (J) e a prestação (P) referentes a esse empréstimo. 
Observe que o quadro apresenta dois valores ilegíveis. 
 
Se o quadro estivesse com todos os valores legíveis, o valor correto da prestação P, no último campo 
à direita, na linha correspondente ao semestre 5, da tabela, seria de 
(A) 170.300,00. 
(B) 167.500,00. 
(C) 166.400,00. 
(D) 162.600,00. 
(E) 168.100,00. 
 
02. (TRT 6ª REGIÃO- ANALISTA JUDICIÁRIO-CONTABILIDADE - FCC) Um empréstimo foi obtido 
com taxas de juros simples de 18% a.a., para pagamento em 12 prestações mensais, consecutivas, 
vencendo a primeira 30 dias após a obtenção do empréstimo. Sabendo-se que foi adotado, neste caso, 
o sistema de amortização constante (SAC) e que o valor principal do empréstimo era R$ 120.000,00, o 
valor da 8a parcela foi 
(A) R$ 9.750,00 
(B) R$ 10.600,00 
(C) R$ 10.750,00 
(D) R$ 12.000,00 
(E) R$ 11.250,00 
 
03. (UFGD – Analista Administrativo – Economia – AOCP) O sistema que consiste no plano de 
amortização de uma dívida em prestações periódicas, sucessivas e decrescentes, em progressão 
aritmética, denomina-se 
(A) Sistema de Amortização Misto. 
(B) Sistema Price. 
(C) Sistema de Amortização Constante. 
(D) Sistema Americano com fundo de amortização. 
(E) Sistema Alemão. 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 201 
04. (BNDES – Profissional Básico – Ciências Contábeis – CESGRARIO) Um cliente solicitará um 
empréstimo bancário e, para tirar suas dúvidas, antes de ir ao banco, contratou um consultor particular. 
Ele informou ao consultor que gostaria de que o empréstimo fosse nas seguintes condições: na prestação 
calculada, já estivesse incluída parte da amortização da dívida e que, no final da operação, tivesse pagado 
a menor quantidade de juros possível. Ele não tem restrições quanto ao valor das prestações. 
Baseando-se nas informações do seu cliente, qual sistema de amortização o consultor deve indicar? 
(A) Americano 
(B) Alemão 
(C) Francês (PRICE) 
(D) SAC (Amortização Constante) 
(E) SAM (Amortização Misto) 
 
05. (UFRB – Economista – FUNRIO) Sobre o sistema de amortização constante (SAC) e o sistema 
de amortização francês (SAF), é correto afirmar que: 
(A) no SAC as parcelas são decrescentes. 
(B) no SAF as parcelas são crescentes. 
(C) os juros são calculados sobre o valor da amortização em ambos os sistemas. 
(D) o pagamento total de juros é igual em ambos os sistemas. 
(E) o saldo devedor após o pagamento da primeira parcela é maior no SAC do que no SAF. 
 
06. (Pref. Florianópolis/SC – Auditor Fiscal de Tributos Municipais – FEPESE) Uma pessoa 
financiou 100% de um imóvel no valor de R$ 216.000,00 em 9 anos. O pagamento será em prestações 
mensais e o sistema de amortização é o sistema de amortização constante (SAC). 
Sabendo que o valor da terceira prestação é de R$2.848,00, a taxa de juros mensal cobrada é de: 
(A) 0,2%. 
(B) 0,4%. 
(C) 0,5%. 
(D) 0,6%. 
(E) 0,8%. 
 
07. (TRE/BA – Técnico Judiciário – CESPE/2017) Um banco emprestou a uma empresa R$ 100.000, 
entregues no ato, sem prazo de carência, para serem pagos em quatro prestações anuais consecutivas 
pelo sistema de amortização constante (SAC). A taxa de juros compostos contratada para o empréstimo 
foi de 10% ao ano, e a primeira prestação será paga um ano após a tomada do empréstimo. 
Nessa situação, o valor da segunda prestação a ser paga pela empresa será? 
(A) Superior a R$ 33.000,00. 
(B) Inferior a R$ 30.000,00. 
(C) Superior a R$ 30.000,00 e inferior a R$ 31.000,00. 
(D) Superior a R$ 31.000,00 e inferior a R$ 32.000,00. 
(E) Superior a R$ 32.000,00 e inferior a R$ 33.000,00. 
 
08. (ELETROBRAS – Contabilidade – FCC) O Banco Comitê S.A. emprestou para a empresa 
Empreende S.A. a quantia de R$ 1.000.000,00, por 3 anos, a taxa de juros de 2,5%, ao ano, com 
pagamentos anuais. O sistema de amortização pactuado é o sistema Price. Com base nos dados, o valor 
a ser registrado pela empresa, considerando que a mesma não pretende liquidar o empréstimo 
antecipadamente, é 
(A) o pagamento de três parcelas de R$ 374.137,17. 
(B) um total de juros pagos, pelo empréstimo de R$ 50.411,50. 
(C) uma amortização do valor principal, referente a terceira parcelade R$ 350.137,17. 
(D) uma amortização do valor da segunda parcela de R$ 25.000,00. 
(E) o pagamento de juros no valor de 8.539,93, relativos a primeira parcela. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
Parcela 5 = Amortização 5 + Juros 5 
Juros 5 = Saldo devedor 4 x taxa de juros 
Juros 5 = 160.000 x 0,04 = 6.400,00 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 202 
 P5 = 160.000 + 6.400 = 166.400,00 
 
02. Resposta: D. 
SAC = P e J decrescente. 
i = 18% a.a /12 = 1,5% a.m. = 0,015 
A = E/n  120 000/12 = 10 000 
Vamos utilizar a fórmula do termo geral da PA 
Pn = P1 + (n - 1).r  P8 = P1 + 7.r , 
Onde: J1= 0,015 . 120 000 = 1800 
P1 = A + J = 10 000 + 1800 = 11 800 
r = - i.A = - 0,015 x 10 000 = - 150 
P8= 11 800 + 7.(- 150)  P8= 11 800 – 1050  P8 = 10 750,00 
 
03. Resposta: C. 
Como vimos no estudo dos tipos de Amortização, a única que apresenta esta característica é o Sistema 
de Amortização Constante (SAC). 
 
04. Resposta: D. 
Principais características: 
- As cotas de amortização são iguais; 
- As prestações são decrescentes; 
- Os juros são decrescentes; 
- As amortizações serão sempre constantes. 
- Nas colunas dos Juros e das Prestações observa-se de uma PA (Progressão Aritmética) de razão 
decrescente. 
 
05. Resposta: A. 
(A) correto 
(B) as parcelas são constantes 
(C) vimos que no SAC as amortizações são constantes. 
(D) Cada sistema tem um pagamento de juros diferentes. No SAC é em progressão aritmética e no 
SAF é em progressão geométrica. 
(E) Na verdade no SAF o saldo devedor após o pagamento da primeira parcela é maior que no SAC, 
pois a amortização é crescente o que torna o saldo devedor menor a cada pagamento. 
 
06. Resposta: B. 
Sabemos que no SAC Amortizações são constantes: 
Sabemos que E = 216.000 
n = 9 anos x 12(mensal) = 108 parcelas 
A = ? 
𝐴 =
𝐸
𝑛
=
216000
108
= 2000 
Com a cota de amortização, podemos calcular o Saldo Devedor para todos os períodos: 
 
 
Sabemos a prestação do período 3 que é R$ 2.848,00. Lembrando que P = A + J, temos que para o 
período 3: 
P = A + J  2 848 = 2 000 + J  J = 2 848 – 2 000 = 848. O juros incide sobre o capital do período 
anterior que neste caso é o 2.O tempo é 1 
J = C.i.t  848 = 212 000.i.1  i = 848 / 212 000  i = 0,004 x 100%  i = 0,4%. 
 
07. Resposta: E. 
D = 100.000 
A = 100.000/4 = 25.000 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 203 
i = 10% a.a 
P2 = ?? 
 
P2 = A + J2 
P2 = 25.000 + (100.000-25.000) x 0,1 
P2 = 25.000 + 75.000x0,1 
P2 = 25.000 + 7500 
P2 = 32.500 
 
08. Resposta: B. 
Como é pela tabela Price, vamos encontrar primeiramente o valor da prestação 
 
 
1000000 = P.[
(1+0,025) 3−1
0,025.(1+0,025) 3
] =P. 
0,07689062
0,02692226
 = P. 2,856023 
 
P = 
1000000
2,856023
= 350137,24, este é o valor pago por prestação, vamos montar a tabela para descobrir o 
valor dos juros e da amortização. 
 
J = 25000 + 16871,57 + 8539,92 = 50411,49 
 
 
 
CUSTO EFETIVO23 
 
Quando é cobrado unicamente juro nas operações de empréstimos e financiamentos, o custo efetivo, 
qualquer que seja o sistema de amortização adotado, é a própria taxa de juro considerada. O custo efetivo 
do exemplo ilustrativo geral, desenvolvido ao longo deste capítulo, é de 1400175% a.s. (ou: 30% a.a.), 
que representa a taxa contratada para a operação. 
Por outro lado, é comum as instituições financeiras cobrarem, além do juro declarado, outros tipos de 
encargos, tais como IOC (Imposto sobre Operações de Crédito), comissões, taxas administrativas etc. 
Estas despesas adicionais devem ser consideradas na planilha de desembolsos financeiros, onerando o 
custo efetivo da operação. Nessas condições, torna-se indispensável a apuração do custo efetivo de um 
empréstimo, permitindo melhores comparações com outra alternativas. O cálculo do custo efetivo é 
desenvolvido pelo método da taxa interna de retorno. 
 
Planilha com Despesas Adicionais 
Ilustrativamente, admita que uma empresa tenha obtido um financiamento de $ 50.000,00 para ser 
amortizado em 4 prestações anuais de $ 12.500,00 cada. O financiamento foi concedido sem carência. 
O custo da operação é constituído de juros de 20% ao ano e IOC de 4,5% incidente sobre o valor do 
crédito e pago quando da liberação dos recursos. O banco cobra ainda uma taxa de 1,0% ao final de cada 
 
23 FARIA, Rogério Gomes de. Matemática Comercial e Financeira. 5 ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2000. 
FRANCISCO, Walter De. Matemática Financeira. 7 ed. São Paulo: Atlas, 1991. 
NETO, Alexandre Assaf. Matemática Financeira e suas Aplicações.12 ed. São Paulo: Atlas, 2012. 
NETTO, Scipione Di Pierro; TEIXEIRA, James. Matemática Financeira. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 1998. 
 
6.4 Cálculo financeiro: custo real efetivo de operações de financiamento, 
empréstimo e investimento. 6.5 Taxas de retorno. 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 204 
ano, incidente sobre o saldo devedor, a título de cobrir despesas administrativas de concessão do crédito. 
Pelos dados apresentados, pode-se elaborar a planilha financeira do financiamento levando-se em 
consideração as despesas adicionais de IOC e taxa administrativa. 
 
 
 
Para se achar a taxa interna de retorno do fluxo de caixa deve ser determinado i de tal forma que: 
 
 
 
47.750,00 = 
23.000,00
(1+i)
 + 
20.375,00
(1+i)2
 
 
17.750,00
(1+i)3
 + 
15.125,00
(1+i)4
 
 
Calculando-se: 
 
I = 23,7% a.a., que representa o custo efetivo de empréstimo, levando-se em conta os encargos 
adicionais cobrados. 
 
Planilha de Financiamento com Juros Pós- Fixados pela TJLP 
 
Admita um financiamento Finame de $700.000,00 a ser liquidado em 24 meses. O primeiro ano é de 
carência, sendo pagos somente os encargos financeiros ao final de cada trimestre. Após a carência, o 
tomador deve efetuar 12 pagamentos mensais pelo sistema francês de amortização, vencendo a primeira 
no 13º mês e as demais sequencialmente. A taxa de juros contratada para essa operação é a efetiva de 
5% a.a., que equivale a 0,4074% a.m., mais a TJLP. 
A TJLP é uma taxa de juros de longo prazo, instituída pelo Conselho Monetário Nacional, que tem 
como base de cálculo as médias de juros dos títulos públicos federais das dívidas externas e internas. O 
prazo de vigência dessa taxa é de três meses, sendo seu percentual geralmente divulgado pelo Banco 
Central no primeiro dia útil do período de sua vigência. A TJLP foi regulamentada pela Resolução nº 
2.121, de 30-11-94 do Banco Central do Brasil. 
Admita, ilustrativamente, que as taxas TJLP para cada um dos trimestres do prazo do financiamento 
sejam as seguintes: 
 
 
4º Trim.: 6,0% 
 
 
 
 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 205 
Quadro 10 Planilha Financeira com Juros e TJLP 
 
 
Saldo Devedor: Permanece constante ($700.000,00), pois os encargos financeiros são pagos ao final 
de cada trimestre; 
 
Amortização: Representa, para cada trimestre, a TJLP do período aplicada sobre o saldo devedor de 
$700.000,00, ou seja: 
1º Trim.: $ 700.000,00 x 6,8% = $ 47.600,00 
2º Trim.: $ 700.000,00 x 6,2% = $ 43.400,00 
3º Trim.: $ 700.000,00 x 7,7% = $ 53.900,00 
4º Trim.: $ 700.000,00 x 6,0% = $ 42.000,00 
 
Juros: Taxa efetiva de 5% a.a., equivalendo a 1,2272% a.t. Esse percentual é aplicado trimestralmente 
sobre o principal corrigido pela TJLP. Assim: 
1º Trim.: ($700.000,00 x 1,068) x 1,2272% = $ 9.174,60 
2º Trim.: ($700.000,00 x 1,062) x 1,2272% = $ 9.123,00 
3º Trim.: ($700.000,00 x 1,077) x 1,2272% = $ 9.251,90 
4º Trim.: ($700.000,00 x 1,06) x 1,2272% = $ 9.105,80 
 
Ao final da carência, o financiamento prevê 12 pagamentos mensais,corrigidos trimestralmente pela 
TJLP. Dessa maneira, para o 5º trimestre, as prestações são calculadas com base na formulação do fluxo 
de caixa padrão, conforme descrito no Capítulo 6, isto é: 
 
PV = PMT x FPV (i,n) 
 
700.000,00 = PMT x FPV (0,4074%,12) 
 
Resolvendo-se: 
PMT = $ 59.889,60 
 
No início dos próximos três trimestres (16º mês, 19º mês e 22º mês), as prestações, e também os 
demais valores da planilha financeira, são corrigidos pela TJLP publicada para o período, conforme consta 
do Quadro 12.11. Por exemplo, no 16º mês, tem-se: 
 
Prestação: $ 59.889,60 x 1,048 = $ 62.764,30 
Juros: ($ 528.188,60 x 1,048) x 0,4074% = $ 2.255,10 
Amortização: $ 62.764,30 - $ 2.255,10 = $ 60.509,20 
Saldo Devedor: ($528.188,60 x 1,048) - $ 60.509,20 = 493.032,40 
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. 206 
Para os demais trimestres, segue-se a mesma metodologia de cálculo. 
 
Exemplos 
01. Um empréstimo no valor de $ 420.000,00 foi concedido a uma empresa nas seguintes condições: 
- Taxa de Juros = 5% a.t.; 
- Amortização = pagamentos trimestrais 
- Prazo de Amortização = 3 anos 
 
Pede-se elaborar a planilha financeira para amortizações pelos sistemas SAC e SPC, admitindo que: 
(A) Não haja carência 
(B) Haja carência de 2 trimestres 
 
02. Um empréstimo de $ 160.000,00 é concedido a uma empresa para ser liquidado em 2 anos e meio 
mediante pagamentos semestrais. A taxa de juros concentrada é de 24% ao ano, e não há carência. 
Pede-se construir a planilha de desembolso deste empréstimo pelo sistema de amortização misto. 
 
03. Admita que em determinada data um banco conceda um financiamento a uma empresa com as 
seguintes condições: 
- Valor do financiamento: $ 60.000,00; 
- Prazo de amortização: 12 meses com carência de 6 meses. Durante a carência o mutuário paga 
trimestralmente somente os encargos de juros e comissão do banco; 
- Taxa de juros: 18% ao ano (taxa efetiva); 
- Sistema de amortização: SAC; 
- Comissão do banco: 0,2% a.m. calculado sobre o saldo devedor; 
- IOC: 6,9% sobre o valor do financiamento (principal) e descontado quando da liberação dos recursos 
do mutuário. 
 
Pede-se elaborar a planilha de desembolsos desse financiamento. 
 
Resolução 
 
01. 
(A). Planilha pelo SAC com e sem Carência 
 
 
Amortização = 
$ 420.000,00
12 Trim.
 = 35.000,00/ Trim. 
 
 
 
 
 
 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 207 
(B). Planilha pelo SPC com e sem Carência 
 
 
PMT = PV x 
1
FPV (i,n)
 
PMT = PV x 
1
FPV (5%,12)
 
 
PMT = $ 47.386,70 
 
02. 
 
Juros = 24% a.a. (√1,24 − 1 = 11,.36% a.s.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 208 
03. 
 
Comissão: 0, 2% a.m. ou 0,6% a.t. 
Mês 3 = Mês 6: 600.000,00 x 0,6% = $ 3.600,00 
IOC = 600.000,00 x 6,9% = $ 41.400,00 
Juros = 18% a. √1,18
12 – 1 =1,3888% a.m.; √1,18
4 – 1 = 4,2247% a.t. 
 
Questões 
 
01. Uma pessoa está negociando a compra de um imóvel pelo valor de $ 350.000,00. As condições 
de pagamento propostas são as seguintes: 
1º mês: $ 70.000,00 
2º mês: $ 50.000,00 
3º mês: $ 80.000,00 
4º mês: $ 60.000,00 
5º mês: $ 90.000,00 
Sendo de 2,5% ao mês a taxa corrente de juros, qual é o total que essa pessoa pagará pela compra 
desse imóvel? 
(A) R$ 350.000,00 
(B) R$ 360.000,00 
(C) R$ 377.500,00 
(D) R$ 350.500,00 
(E) R$ 370.000,00 
 
02. Um financiamento para capital de giro no valor de $ 2.000.000,00 é concedido a uma empresa pelo 
prazo de 4 semestres. A taxa de juros contratada é de 10% a.s. Sendo adotado o sistema americano para 
amortização desta dívida, e os juros pagos semestralmente durante a carência, calcular o valor de cada 
prestação mensal. Admita, ainda, que a taxa de aplicação seja de 4% a.s. Calcular os depósitos 
semestrais que a empresa deve efetuar neste fundo de maneira que possa acumular, ao final do prazo 
do financiamento (4 semestres), um montante igual ao desembolso de amortização exigido. 
(A) $ 500.980,00 
(B) $ 470.000,00 
(C) $ 500.000,00 
(D) $ 470.980,00 
(E) $ 780.980,00 
 
03. Um empréstimo no valor de $ 80.000,00 será liquidado pelo sistema de amortização constante em 
40 parcelas mensais. A taxa de juros contratada para a operação é de 4% ao mês. Qual é o valor dos 
juros e da prestação referentes ao 22º pagamento; 
(A) J = $1520,00 e P = $3520,00 
(B) J = $3520,00 e P = $1520,00 
(C) J = $2820,00 e P = $4720,00 
(D) J = $4720,00 e P = $2820,00 
(E) J = $1000,00 e P = $3000,00 
 
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. 209 
04. Um financiamento no valor de $ 900.000,00 é amortizado em 30 parcelas mensais pelo sistema 
francês. A taxa de juros contratada é de 2,8% ao mês. Qual é o valor da amortização e dos juros referentes 
ao 19º mês. 
(A) A = $ 19.538,10 e J = $ 12.619,20 
(B) A = $ 19.000,00 e J = $ 12.000,00 
(C) A = $ 19.000,00 e J = $ 17.829,20 
(D) A = $ 19.538,10 e J = $ 12.000,00 
(E) A = $ 19.000,00 e J = $ 15.000,00 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C. 
 
02. Resposta: D. 
 
 
 
O valor de cada parcela a ser depositada semestralmente no fundo de amortização é de $ 470.980,00, 
isto é: 
 
PV = PMT x FPV (i,n) 
 
PV = PMT x 
(1+i)𝑛 −1
i
 
 
PMT = PV x 
i
(1+i)𝑛 −1
 
 
PMT = 2.000.000,00 x
0,04
(1,04)4 −1
 
 
PMT = 2.000.000,00 x 0,235490 = $ 470.980,00 
 
03. Resposta: A. 
 
𝐽𝑡 = 
𝑃𝑉
𝑛
 x (n – t + 1) x i 
 
𝐽22 = 
80.000,00
40
 x (40 – 22 + 1) x 0,04 
 
𝐽22 = 2.000,00 x 19 x 0,04 = $ 1.520,00 
 
1500444 E-book gerado especialmente para JOSE CRISTOVAO DA SILVA
 
. 210 
PMT = Amort + Juros 
 
PMT = 2.000,00 + 1.520,00 = $ 3.520,00 ou 
 
PM𝑇22 = 
PV
n
 x [1 + (n – t + 1) x 1] 
 
PM𝑇22 = 
80.000,00
40
 x [1 + (40 -22 +1) x 0,004] 
 
PM𝑇22 = 2.000,00 x ( 1 + 0,76) = $ 3520,00 
 
04. Resposta: A. 
 
Amor𝑡19 e 𝐽19 
Amor𝑡1 = Amor𝑡1 x (1 + i)
𝑡−1 
Amor𝑡1 = PMT – PV x i 
Amor𝑡1 = 44.738,10 – (900.000 x 0,028) = $ 19.538,10 
Substituindo: 
Amor𝑡19 = 19.538,10 x (1,028)
19−1 = $ 32.118,70 
𝐽𝑡 = S𝐷𝑡−1 x i 
S𝐷𝑡−1 = PMT x FPV (i, n – t) ) 
S𝐷19−1 = 44.738,10 x FPV (2,8%, 30 – 18) 
S𝐷18 = 44.738,10 x 10,073898 = $ 450.687,00 
Substituindo: 
𝐽19 = 450.687,00 x 0,028 = $ 12.619,20 
 
TAXAS DE RETORNO E TAXAS INTERNAS DE RETORNO 
 
Taxa Mínima de Atratividade (TMA) 24 
 
Os métodos de avaliação que serão apresentados, para efeito de avaliar méritos de alternativas para 
investimento, apresentam como principal característica o reconhecimento da variação do valor do dinheiro 
no tempo. Este fato evidência a necessidade de se utilizar uma taxa de juros quando a análise for efetuada 
através de um deles. A questão é definir qual será a taxa a ser empregada. 
 
A TMA é a taxa a partir da qual o investidor considera que está obtendo ganhos financeiros 
Existem grandes controvérsias quanto a como calcular esta taxa. Alguns autores afirmam que a taxa 
de juros a ser usada pela engenharia econômica é a taxa de juros equivalente à maior rentabilidade das 
aplicações correntes e de pouco risco. Uma proposta de investimento, para ser atrativa, deve render, no 
mínimo, esta taxa de juros. 
Outro enfoque dado a TMA é a de que deve ser o custo de capital investido na proposta em questão, 
ou ainda, o custo de capital da empresa mais o risco envolvido em cada alternativa de investimento. 
Naturalmente, haverá disposição de investir se a expectativa de ganhos, já deduzido o valor do 
investimento, for superior ao custo de capital. Por custo de capital, entendesse a média ponderada dos 
custos das diversas fontes de recursos utilizadas no projeto em questão. 
 
Taxa Interna de Retorno (TIR) 
Vamos