AP1 Cálculo II

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UNIVERSIDADE UNIGRANRIO 
RAQUEL RODRIGUES DA SILVA 
MATRÍCULA 5803272 
 
TRABALHO (AP1) 
CÁLCULO II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Magé, 2018. 
 
ENUNCIADO 
 
Nas Unidades 1 a 3, você estudou Integral Indefinida, Integral 
Definida e Antiderivada. 
 
 Parte 1 
Com o auxílio de outras fontes de pesquisa (Internet, livros, artigos 
científicos, etc), faça um pequeno resumo contendo definições e 
exemplos sobre Integral Indefinida. 
A partir do resumo, resolva as 3 aplicações.. 
 
 
 Parte 2 
Com o auxílio de outras fontes de pesquisa (Internet, livros, artigos 
científicos, etc), faça um pequeno resumo contendo definições e 
exemplos sobre Integral Definida. 
A partir do resumo, resolva as 3 aplicações. 
 
 
 Parte 3 
Com o auxílio de outras fontes de pesquisa (Internet, livros, artigos 
científicos, etc), faça um pequeno resumo contendo definições e 
exemplos sobre Antiderivada. 
A partir do resumo, resolva as 3 aplicações. 
 
 
 
PARTE 1 
 
INTEGRAL INDEFINIDA (síntese): 
Integral indefinida tem uma relação direta com a derivada desta função. Sendo 
resumidamente o inverso de derivar. Por isso muitas vezes também chamada de 
antiderivada. Aplicamos algebricamente métodos para descobrirmos uma função F a 
partir de uma função f. Sendo que F’(x) = f(x). Assim toda a operação de integral 
será definida desta maneira. 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹′(𝑥) + 𝐶 
Onde: 
 ∫ é o símbolo usado para a integração. Uma notação padrão; 
 𝑓(𝑥) é a função a ser integrada; 
 𝑑𝑥 indica a variável independente; 
 𝐹(𝑥) antiderivada ou função primitiva. Ou também a integral indefinida que foi 
calculada; 
 𝐶 constante de integração. Na integral indefinida ela estará sempre presente; 
Esse processo de integração nos dá a possibilidade de sabermos, por exemplo, a 
taxa de crescimento de uma determinada população em um instante futuro ou 
calcular preços a partir do índice de inflação. 
Regras algébricas para integração indefinida: 
∫ 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, 𝑘 𝑢𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 
∫[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 
Observação: Para a integral do produto e do quociente de duas funções não 
existem regras. 
Ao final a integral indefinida nos dará como resultado também uma função sempre 
acompanhada de uma Constante de integração C. 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
APLICAÇÃO: 
Encontre a INTEGRAL INDEFINIDA das seguintes funções: 
1. 𝒇(𝒙) = 𝟕𝒙
𝟓
𝟐 + 𝟒 
∫ 7𝑥
5
2 + 4 𝑑𝑥 = 7 .
𝑥
5
2+1
5
2 + 1
+ 4𝑥 = 7 . 
𝑥
7
2
7
2⁄
+ 4𝑥 = 7 . 𝑥
7
2 .
2
7
+ 4𝑥 = 7 .
2𝑥
7
2
7
+ 4𝑥 
∫ 7𝑥
5
2 + 4 𝑑𝑥 = 
𝑭(𝒙) = 𝟐𝒙
𝟕
𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝑪 
 
2. 𝒈(𝒕) = 
𝒕𝟓
𝟐
− 
𝟒
𝒕−𝟑
+ 𝟑𝒕 
∫
𝑡5
2
− 
4
𝑡−3
+ 3𝑡 𝑑𝑡 = ∫
𝑡5
2
− ∫
4
𝑡−3
+ ∫ 3𝑡 = 
1
2
∫ 𝑡5 = 
1
2
 .
𝑡5+1
5 + 1
= 
𝑡6
12
 
4. ∫
1
𝑡−3
= 4 .
1
𝑡−3
= 4𝑡3 = 4 .
𝑡4
4
= 𝑡4 
∫ 3𝑡 = 
3𝑡1+1
1 + 1
= 
3𝑡2
2
= ∫
𝑡5
2
− 
4
𝑡−3
+ 3𝑡 𝑑𝑡 = 
𝑭(𝒙) = 
𝒕𝟔
𝟏𝟐
− 𝒕𝟒 + 
𝟑𝒕𝟐
𝟐
+ 𝑪 
 
 
3. 𝒇(𝒙) = 
𝒙+𝟏
𝒙𝟓
 
∫
𝑥+1
𝑥5
 𝑑𝑥 = 
𝑥
𝑥5
+
1
𝑥5
= 
1
𝑥4
+
1
𝑥5
= 
∫
1
𝑥4
+ ∫
1
𝑥5
= 𝑥−4 + 𝑥−5 = 
𝑥−4+1
−4 + 1
+
𝑥−5+1
−5 = 1
= 
𝑥−3
−3
+
𝑥−4
−4
= 
𝑭(𝒙) = −
𝟏
𝟑𝒙𝟑
−
𝟏
𝟒𝒙𝟒
+ 𝑪 
 
 
 
 
4 
 
PARTE 2 
 
INTEGRAL DEFINIDA (síntese): 
Na integral definida teremos um valor específico contido dentro de um intervalo, 
onde a integral fica restrita. Como na integral indefinida tínhamos a constante de 
integração, na integral definida não a teremos mais. Aplicaremos o conceito de 
limites, pois o resultado não depende mais de x e sim dos valores que delimitam o 
intervalo. Para uma função f(x) definida e contínua num intervalo real [a, b]. A 
integral definida de f(x), de a até b, é um número real, e é indicada pelo símbolo, 
onde a é o limite inferior de integração, b é o limite superior de integração e f(x) é 
função a ser integrada: 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
Depois de integrada usaremos os valores de a e b para calcular o limite da integral 
quando ela tender a esses dois valores. Assim o resultado depende somente de 𝑎 e 
𝑏, e não de 𝑥. 
 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 = [lim𝑥→𝑏 𝐹′(𝑥)] − [lim𝑥→𝑎 𝐹′(𝑥)] 
Teremos grande dificuldade para encontrarmos a integral definida através de sua 
definição, por ser muito complexo e até mesmo inviável em certos momentos. Por 
isso usaremos o Teorema Fundamental do Cálculo: 
Se 𝑦 = 𝑓(𝑥) é uma função contínua no intervalo [𝑎, 𝑏] e 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) [isto é, 𝐹(𝑥) é 
uma primitiva ou antiderivada 𝑓(𝑥)], então 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) |⎤𝑥=𝑎
𝑥=𝑏
𝑏
𝑎
= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
APLICAÇÃO: 
Calcule as INTEGRAIS DEFINIDAS abaixo: 
1.∫ (𝟔𝒙 − 𝟏)𝒅𝒙
𝟐
𝟏
 
∫(6𝑥 − 1)𝑑𝑥 = 3𝑥2 − 𝑥 
lim𝑥→1(3𝑥
2 − 𝑥) = 3(1)2 − 1 = 2 lim𝑥→2(3𝑥
2 − 𝑥) = 3(2)2 − 2 = 10 
∫ (6𝑥 − 1)𝑑𝑥 = 10 − 2 = 8
2
1
 
2. ∫ 𝟔𝒙𝟐
𝟐
−𝟏
𝒅𝒙 
∫(6𝑥4)𝑑𝑥 =
6𝑥4+1
4+1
 ∫(6𝑥4)𝑑𝑥 =
6𝑥5
5
 
 
lim𝑥→−1
6𝑥5
5
= 
6(−1)5
5
= 
−6
5
 
lim𝑥→2
6𝑥5
5
= 
6(2)5
5
= 
192
5
 
∫ (6𝑥4)𝑑𝑥 = (
192
5
) − (−
6
5
)
2
−1
 
∫ (6𝑥4)𝑑𝑥 = (
192
5
) + (
6
5
)
2
−1
= 
198
5
≅ 39,6 
 
3.∫ 𝒙(𝟏 + 𝒙𝟑)𝒅𝒙
𝟐
−𝟏
 
∫ 𝑥(1 + 𝑥3) = ∫ 𝑥 + 𝑥4 = 
𝑥1+1
1 + 1
+
𝑥4+1
4 + 1
= 
𝑥2
2
+
𝑥5
5
 
lim
𝑥→2
𝑥2
2
+
𝑥5
5
= 
(2)2
2
+
(2)5
5
= 
4
2
+
32
5
= 
20 + 64
10
= 
84
10
= 
42
5
 
lim
𝑥→−1
𝑥2
2
+
𝑥5
5
= 
(−1)2
2
+
(−1)5
5
= 
1
2
+
−1
5
= 
5 − 2
10
= 
3
10
 
 
∫ 𝑥(1 + 𝑥3)𝑑𝑥 = 
2
−1
42
5
−
3
10
= 
81
10
 
 
 
6 
 
PARTE 3 
ANTIDERIVADA (síntese): 
Uma função F é uma antiderivada de uma função 𝑓 se, para todo 𝑥 no domínio de 𝑓, 
temos 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥). 
Se 𝐹(𝑥) é uma antiderivada de 𝑓(𝑥), então também o é 𝐹(𝑥) + 𝐶, onde 𝐶 é uma 
constante arbitrária. Por exemplo, 𝐹(𝑥) = 𝑥3 , 𝐺(𝑥) = 𝑥3 + 7 𝑒 𝑢(𝑥) = 𝑥3 − 0,947 
são antiderivadas de 3𝑥2 porque a derivada de cada uma delas é 3𝑥2. Acontece que 
todas as antiderivadas de 3𝑥2 são da forma 𝑥3 + 𝐶. Observamos assim, que o 
processo de antidiferenciação não define uma função única, e sim uma família de 
funções, que diferem entre si por uma constante. 
Principais primitivas: 
 
Claro que essa tabela não tem fim, essas são apenas algumas primitivas imediatas. 
Quando não for tão evidente encontrar primitivas usaremos outras técnicas. Tais 
como: Substituição, por Partes, Substituição trigonométrica, Frações parciais, 
Teorema da comparação, etc. 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
APLICAÇÃO: 
Encontre três ANTIDERIVADAS para cada função abaixo: 
1. 𝒇(𝒙) = 𝟎 
∫ 0𝑑𝑥 = 0 + 𝐶 = 𝐶 𝑆𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐶, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝐶 ∈ ℝ, 𝑙𝑜𝑔𝑜 
𝑠𝑒 𝐶 = 1 , 𝐶 = 2 𝑒 𝐶 = 3 
∫ 0𝑑𝑥 = 0 + 1 = 1 ∫ 0𝑑𝑥 = 0 + 2 = 2 ∫ 0𝑑𝑥 = 0 + 3 = 3 
𝑇𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑎 𝑓𝑎𝑚í𝑙𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 
2. 𝒈(𝒙) = 𝟏 
∫ 1𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 𝑆𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝐶 ∈ ℝ, 𝑙𝑜𝑔𝑜 
𝑠𝑒 𝐶 = 15 , 𝐶 = 0,32 𝑒 𝐶 = 79 
∫ 1𝑑𝑥 = 𝑥 + 15∫ 1𝑑𝑥 = 𝑥 + 0,32 ∫ 1𝑑𝑥 = 𝑥 + 79 
𝑇𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑎 𝑓𝑎𝑚í𝑙𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 
3. 𝒖(𝒙) = 𝒙𝟓 
∫ 𝑥5𝑑𝑥 = 
𝑥6
6
+ 𝐶 𝑆𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑥6
6
+ 𝐶, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝐶 ∈ ℝ, 𝑙𝑜𝑔𝑜 
𝑠𝑒 𝐶 = 4 , 𝐶 = 0,5 𝑒 𝐶 = 1 
∫ 𝑥5𝑑𝑥 = 
𝑥6
6
+ 4 ∫ 𝑥5𝑑𝑥 = 
𝑥6
6
+ 0,5 ∫ 𝑥5𝑑𝑥 = 
𝑥6
6
+ 1 
𝑇𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑎 𝑓𝑎𝑚í𝑙𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜