Cálculo 1 UFPE - PROVA FINAL - 2018.1 (RESOLVIDA)

Prévia do material em texto

CA´LCULO 1: GABARITO PROVA FINAL
PERI´ODO: 2018.1
Questa˜o 1: Calcule:
a)
lim
x→+∞
12 + 2x
6− 2x = limx→+∞
2x(1 + 122x )
2x(−1 + 62x )
= lim
x→+∞
1 + 122x
−1 + 62x
= −1
b)
lim
x→1
x− 1− lnx
1 + cos(pix)
= lim
x→1
1− 1/x
−pi sin(pix) = limx→1
1/x2
−pi2 cos(pix) =
1
pi2
Questa˜o 2: Calcule:
a)
f ′(x) =
2e2x sinx+ (1 + e2x) cosx
(1 + e2x) sinx
b)
f ′(x) =
1 + 3x2
2
√
x+ x3
Questa˜o 3: Calcule
a) Fazendo u = ex, temos que du = exdx e∫ √
1− e2xexdx =
∫ √
1− u2du.
Fazendo v = sinu, temos dv = cosudu e∫ √
1− u2du =
∫
cos2 vdv =
∫
1 + cos(2v)
2
dv =
1
2
v +
1
4
sin(2v).
Logo, ∫ √
1− e2xexdx = 1
2
sin(ex) +
1
4
sin(2 sin(ex)).
1
2
b) Fazendo u = x2 + 1, du = 2xdx, logo∫ √2
0
x(x2 + 1)3dx =
1
2
∫ 3
1
u3du =
u4
4
∣∣∣∣3
1
= 10.
Questa˜o 4: Como f(x) = x+ 1/x, temos que D(f) = R \ {0}.
Temos
f ′(x) =
x2 − 1
x2
e enta˜o f ′(x) > 0 se x > 1 ou x < −1 (intervalos de crescimento). Tambe´m, f ′(x) < 0 se
−1 < x < 1 (intervalos de decrescimento).
A segunda derivada e´
f ′′(x) =
2
x3
.
Temos f ′′(x) > 0 se x > 0 (concavidade para cima) e f ′′(x) < 0 se x < 0 (concavidade para
baixo).