1ª avaliação Matemática Financeira UFPE Gabarito

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Prof. PAULO GLÍCIO, D.Sc.
Um grande magazine anuncia a venda de um jogo de rodas de magnésio por R$ 5.000,00 a vista ou R$ 1.000,00 de entrada e dois pagamentos mensais de R$ 2.120,78. Se a taxa de juros de mercado for 42,5% a.a. compensa a compra à vista?
Diagrama:
 R$ 50.000,00 ou R$ 1.000,00 R$ 2.120,78 R$ 2.120,78
 n=0 n=0 n=1 n=2
Convertendo a taxa de juros anual para mensal: ia.m.=ia.a./12 = 42,5%/12 = 3,542% a.m..
Valor presente: P = 1.000,00 + 2.120,78/(1+0,03542) + 2.120,78/(1+0,03542)2 = 5.026,40
Como o pagamento à vista é R$5.000,00, menor que o valor presente do fluxo de pagamento, então é preferível pagar a vista.
Um desconto Comercial é concedido ao cliente no valor de R$ 57,63. Qual será a taxa de desconto anual considerada, uma vez que o valor nominal é de R$ 600,00 e o período de antecipação for de 5 meses?
Dc = ic*n*N ; Dc = 57,63 = ic * 5*600, onde n=5; N= 600 e Dc = 57,63;
ic = 57,63/(5*600) = 0,01921 a.m.; ic = 12*0,01921 = 0,23052 ou 23,05% a.a.
Um cliente de um banco deseja aplicar um certo valor à taxa de juros da aplicação financeira fixada em 3% ao mês, de maneira que ao final de 2 meses ele possa pagar um nota promissória no valor de R$ 150.000,00 e o respectivo Imposto de Renda sobre os juros ganhos na operação. Na operação é cobrada o Imposto de Renda sobre o ganho de capital a uma alíquota de 20%, ou seja, os juros total ganho no período.Qual é o valor que ele deverá aplicar?
Diagrama: IR 
P=? Nota Promissória = R$ 150.000.
Então M = Valor Futuro = IR + Valor da Nota Promissória = IR + 150.000,00
IR = 20% *Juros ; J = M – P; como M = P*(1+i)n então, J = P*(1+i)n – P, assim,
IR = 20%*[ P*(1+i)n – P]
Fazendo M = P*(1+i)n = 20%*[ P*(1+i)n – P]+150.000, e substituindo os valores de i e n tem-se:
P*(1+0,03)2 =20%*[ P*(1+0,03)2 – P] + 150.000
P*(1+0,03)2 - 20%*[ P*(1+0,03)2 – P] = 150.000
P*[(1+0,03)2 - 20%*[(1+0,03)2 – 1)] = 150.000
P = 150.000 / [(1+0,03)2 - 20%*[(1+0,03)2 – 1)] = 143.041,50
Qual é a taxa de juros anual simples de uma aplicação financeira, dado que o valor do montante final alcançado em um prazo de 36 meses foi de R$ 120.000,00 e que o valor aplicado inicialmente foi de R$ 50.000,00?
 
M = P*(1+i*n)
120.000 = 50.000*(1+i*36)
120.000/50.000 = (1+i*36)
120.000/50.000 – 1 = i*36
i = 1/36 * [(120.000/50.000 – 1)] = 3,39% a.m. = 3,39%*12 = 46,67% a.a..
O Banco Central baixou as taxas de juros anuais para 10,55% a a .Qual é a taxa mensal de rentabilidade é equivalente à essa? Capitalização Simples e Capitalização Composta.
Capitalização Simples:
ia.m. = i a.a./12 = 10,55%/12 = 0,88% a.m.
Capitalização Composta:
Aqui deve-se usar a equivalência de taxas: (1+iaa) = (1+iam)12
(1+0,1055) = (1+iam)12 ; (1+iam)12/12 = (1,1055)1/12 ; 1+iam = 1,008393; iam = 1,008393 – 1
iam = 0,008393 ; iam = 0,8393 % a.m.
Qual o rendimento produzido por uma aplicação de R$ 3.000,00 durante 6 meses à taxa de juros simples de 25% a a .?
Aplicando a regra geral: M = P*(1+i*n) e sabendo-se que J = M – P; 
Substituindo P tem-se 
J = P*(1+i*n) – P ; J = 3.000*(1+(0,25/12)*6) = 3.375,00; J = 3.375,00
Um cliente deseja trocar dois Cheques pré-datados com valores de R$ 1.500,00 e R$ 3.000,00 e datas respectivas de 3 e 12 meses, por um único Cheque para daqui a 6 meses. Qual deverá ser o valor desse Cheque?
 3.000 
 ?
 1.500 
3 6 12
O Valor do Cheque único será: 1.500*(1+0,05)(6-3)+3.000/(1+0,05)(12-6)= 3.975,08
Uma duplicata de $180.000,00 é descontada quatro meses antes de seu vencimento. Considerando uma taxa simples de desconto comercial de 60% ao semestre, calcular o valor do desconto e o valor líquido liberado pelo banco.
 180.000 
Ic = 60% a.s = 60%/6 a.m. = 10% a.m.. Dc = ic*n*N, sendo ic= 10%, n=4 e N=180.000. Substituindo tem-se: Dc = 0,10*4*180.000 = 72.000,00.
VL = N – Dc = 180.000 – 72.000 = 108.000,00.
Calcular o montante e a taxa efetiva anual ganha por um investimento de R$ 2.000,0, após dois anos de aplicação, se rendeu juros nominais de 9% a a.
Taxa efetiva: i = 9% a.a./12 = 0,75% a.m.. Taxa de juros efetiva anual, capitalização mensal, igual a (1+ia)=(1+im)12; (1+ia) = (1+0,75%)12; ia = 9,38% a.a.; 
M = ? e i = ? P = 2.000,00, n = 2 anos; i = 9% a.a. M = P*(1+i)n ; M = 2.000*(1+0,0938)2 = 2.392,80.
Dois capitais C1 e C2 são aplicados às taxas de juros compostos, i1 e i2 respectivamente, na mesma época. Demonstrar quando os seus montantes serão iguais? 
M1 = C1*(1+i1)n
M2 = C2*(1+i2)n
Dado que M1 = M2 então C1*(1+i1)n = C2*(1+i2)n. 
Aplicando o logaritmo: log(C1*(1+i1)n) = log(C2*(1+i2)n) ; 
log(C1) + log((1+i1)n) = log(C2)+log((1+i2)n)
log(C1) + n*log(1+i1) = log(C2)+n*log(1+i2)
n*log(1+i1) - n*log(1+i2)= log(C2) - log(C1)
n*[log(1+i1) - log(1+i2)]= log(C2) - log(C1)
n = [log(C2) - log(C1)]/[log(1+i1) - log(1+i2)]
	
Há 13 meses e 10 dias um capital de R$ 10.000, foi aplicado à taxa de juros compostos de 6% a.a. Se fosse aplicada a importância de R$ 8.000,0 a juros compostos de 12% a.a. em que prazo os montantes respectivos serão iguais?
n’1 = 13 meses e 10 dias; C1 = 10.000 ; i1 = 6% a.a.
n’2 = 13 meses e 10 dias; C2 = 8.000 ; i2 = 12% a.a.
M1 = M2 ; M1 = C1*(1+i1)n = M2 = C2*(1+i2)n
C1*(1+i1)n = C2*(1+i2)n ; 10.000*(1+0,06)n = 8.000*(1+0,12)n
Aplicando o logaritmo: log(10.000) + log((1,06)n) = log(8.000) + log((1,12)n)
n*log(1,06) - n*log(1,12)= log(8.000) - log(10.000) 
n*[log(1,06) - log(1,12)]= log(8.000) - log(10.000) 
n = [log(8.000) - log(10.000) ] / [log(1,06) - log(1,12)]
n = 4,052 anos; n = 4 anos e 19 dias.
Como a aplicação já se passaram 13 meses e 10 dias, então o tempo que falta para completar o prazo de 4 anos e 19 dias são: 4 anos + 19 dias – 1 ano - (1 mês + 10 dias) = 2 anos +11 meses + -19 dias = 3 anos + 21 dias!
Demonstre que a taxa de juros efetiva linear em relação a taxa de desconto comercial é dada por: 
P = Vc S onde S = P (1+i*n)
Sendo comercial simples: P = Vc = S (1 – ic n) ; Substituindo na equação acima tem-se:
S = S (1-ic n) (1 + i* n) ou seja 1 = (1 – ic n ) (1 + i*n) 
_1448375557.unknown
_1448522661.unknown