1 Manual de Cálculo Financeiro 2018

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Universidade de Brasília 
Faculdade de Administração, Contabilidade, Economia e Gestão Pública 
Departamento de Administração 
 
 
 
 
 
 
 
Manual de 
 
Matemática 
Financeira 
 
Disciplina: Cálculo Financeiro 
Professor: Aldery Silveira Júnior 
 
 
 
 
Brasília, 2017 
 
 
 
 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 
Sumário 
 
Introdução ............................................................................................................................ 1 
1 – Capitalização .................................................................................................................. 2 
1.1 – Capitalização Simples ............................................................................................ 2 
1.1.1 – Fórmulas ..................................................................................................... 2 
1.1.2 – Exercícios de Capitalização Simples .......................................................... 4 
1.2 – Capitalização Composta ........................................................................................ 6 
1.2.1 – Fórmulas ..................................................................................................... 6 
1.2.2 – Exercícios sobre – Capitalização Composta .............................................. 7 
2 – Estudo das Taxas .......................................................................................................... 10 
2.1 – Equivalência de taxas ............................................................................................ 10 
2.1.1 – Equivalência de Taxas de Juros Simples ................................................... 10 
2.1.2 – Equivalência de Taxas em Juros Compostos: ............................................ 10 
2.1.3 – Exercícios sobre Equivalência da Taxas .................................................... 12 
2.2 – Taxas Nominais ...................................................................................................... 14 
2.2.1 – Cálculo da Taxa Efetiva .............................................................................. 14 
2.2.2 – Exercícios sobre Taxas Nominais ............................................................... 17 
3 – Desconto ........................................................................................................................ 18 
3.1 – Desconto Racional Simples ................................................................................... 19 
3.1.1 – Fórmulas de Desconto Racional Simples ................................................... 19 
3.1.2 – Exercícios sobre Desconto Racional Simples ............................................ 20 
3.2 – Desconto Comercial Simples ................................................................................. 23 
3.2.1 – Fórmulas de Desconto Comercial Simples ................................................. 23 
3.2.2 – Cálculo da Taxa Efetiva em Desconto Comercial Simples ......................... 25 
3.2.3 – Exercícios sobre Desconto Comercial Simples .......................................... 25 
3.3 – Desconto Racional Composto ................................................................................ 28 
3.3.1 – Fórmulas de Desconto Racional Composto ............................................... 28 
3.3.2 – Exercícios sobre Desconto Racional Composto ......................................... 30 
4 – Equivalência de Capitais Diferidos .............................................................................. 32 
4.1 – Equivalência de Capitais Diferidos com Desconto Racional Simples .................... 32 
4.2 – Exercícios sobre Equivalência de Capitais Diferidos com Desc. Rac. Simples ..... 37 
4.3 – Equivalência de Capitais Diferidos com Desconto Comercial Simples .................. 33 
4.4 – Exercícios sobre Equivalência de Capitais Diferidos com Desc. Com. Simples .... 37 
4.5 – Equivalência de Capitais Diferidos com Desconto Racional Composto ................ 39 
4.6 – Exercícios sobre Equivalência de Capitais Diferidos com Juros Compostos ........ 40 
Lista Extra de Exercícios nº 1 ............................................................................................. 43 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 
5 – Rendas (Série de Pagamentos ou Anuidade) ............................................................ 49 
5.1 – Rendas do Modelo Básico: .................................................................................... 51 
5.1.1 – Fórmulas ..................................................................................................... 51 
5.1.2 – Exercícios sobre Rendas do Modelo Básico .............................................. 53 
5.2 – Rendas não constante do Modelo Básico .............................................................. 55 
5.2.1 – Fórmulas ..................................................................................................... 55 
5.2.2 – Exercícios sobre Rendas não constantes do Modelo Básico ..................... 56 
Lista Extra de Exercícios nº 2 ............................................................................................. 59 
6 – Uso de Tabela Financeira ............................................................................................. 61 
6.1 – Exercícios com a utilização de Tabelas Financeiras .............................................. 63 
6.2 – Interpolação ............................................................................................................ 65 
7 – Sistemas de Amortização de Divida ............................................................................ 66 
7.1 – Sistema de Amortização Constante – SAC ............................................................ 66 
7.2 – Sistema Francês .................................................................................................... 67 
7.3 – Tabela Price ........................................................................................................... 67 
7.4 – Exercícios sobre Sistemas Amortização de Dívidas .............................................. 68 
8 – Inflação ........................................................................................................................... 69 
8.1 – Fórmulas ................................................................................................................ 69 
8.2 – Exercícios sobre Inflação ....................................................................................... 70 
9 – Empréstimos com Correção Monetária ............................. Error! Bookmark not defined. 
9.1 – Planilha de Atualização Monetária ......................................................................... 73 
9.2 – Exercícios sobre Empréstimo com Correção Monetária ........................................ 74 
10 – Engenharia Econômica (Análise de alternativas de investimentos) ...................... 77 
10.1 – Análise pelo Método da Taxa Média de Retorno ................................................. 78 
10.2 – Análise pelo Método dos Períodos de Pay Back ................................................. 78 
10.3 – Análise pelo Método do Valor Atual ..................................................................... 79 
10.4 – Análise pelo Método da Taxa interna de Retorno ................................................ 79 
10.5 – Exercícios sobre Engenharia Econômica ............................................................. 81 
Lista Extra de Exercícios nº 3 ............................................................................................. 86 
Anexo - Tabela Financeira ..................................................................................................93 
Referências – Bibliografia Consultada ............................................................................ 123 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 1 
Introdução 
 
 
O estudo da Matemática Financeira possui uma importância impar para os Agentes 
Econômicos, Administradores, Contadores, Economistas e Gestores das mais diferentes 
áreas empresariais, assim como também para as pessoas físicas comuns, já que permite 
aos mesmos realizarem cálculos mais apurados e realísticos nas suas realizações 
comerciais e de trabalho onde o conhecimento de Matemática Financeira se faz presente. 
 
A Matemática Financeira não é uma propriedade de uma categoria de profissionais ou de 
um ramo do conhecimento, como a Economia, a Administração, a Contabilidade ou o Direito. 
a Matemática Financeira possui uma linguagem própria, o que a caracteriza como um ramo 
do conhecimento. 
 
A Matemática Financeira não deve estar restrita aos Agentes que operam o sistema de 
trocas e que a utilizam como ferramenta para mensurar suas diversas variáveis, o seu 
conhecimento é útil e necessário para todas as pessoas, independente da profissão que 
exerçam. As pessoas que desconhecem os princípios da Matemática Financeira são, às 
vezes, levadas a acreditarem em informações que não estão de acordo com a realidade. Ou 
seja, são “enganadas” e têm prejuízos em financeiros. 
 
O conhecimento da Matemática Financeira possui uma significativa importância em nossa 
vida; proporciona o fim de uma escuridão e nos lança com maior clareza para o mundo em 
que vivemos diariamente, onde somos ativos e passivos a todo o momento, em termos de 
agente econômico. Esse conhecimento nos faz deixar de ser “vitimas” dos Agentes 
conhecedores e formadores de preço, juros, e taxas, para sermos pessoas ativas e 
questionadoras em relação à utilização do nosso dinheiro. 
 
No mundo atual, os termos: juros, desconto, paridade de taxa, amortização de dívidas e 
engenharia econômica, entre tantos outros, fazem parte do nosso linguajar cotidiano e o 
conhecimento correto dos mesmos nos proporciona, sem nenhuma duvida, um ganho 
significativo e qualitativo nas nossas transações econômico-financeiras. 
 
O presente Manual contém os apontamentos das aulas da disciplina Cálculo Financeiro e é 
fruto da contribuição do Aluno Alisson Robert Gomes Peixoto, que cursou esta disciplina no 
2º semestre de 2006, e das atualizações efetuadas pelo professor da disciplinas nos 
semestres subsequentes. 
 
Para cada tópico da disciplina, são apresentados: i) as anotações básicas que serão 
devidamente explanadas pelo professor nas aulas; ii) os exemplos que serão resolvidos e 
explicados pelo professor; e iii) as listas de exercícios que serão resolvidas pelos alunos, 
sob a supervisão do professor, durante as aulas. 
 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 2 
1 – Capitalização 
 
Capitalização corresponde à operação destinada a calcular o valor futuro de um determinado 
valor presente, considerando uma taxa de juro previamente fixada. 
 
Existem dois tipos de capitação, simples e composta, conforme o tipo de juro a que se refira: 
simples ou composto. 
 
 
Conceitos Básicos 
 
• Capital: valor que pode ser aplicado com a finalidade de rendimento de juros. 
• Juros: é a remuneração do fator capital – é o dinheiro pago pelo uso do dinheiro. 
• Montante: soma do capital inicial mais os juros recebidos. 
• Taxa de juros: relação entre juros traduzidos e uma unidade de tempo. 
 
Taxa de Juros 
 
Existem dois tipos de taxas de juros: taxa percentual e taxa unitária. Nas fórmulas a serem 
utilizadas no presente curso, a taxa a ser adotada será a unitária. 
 
• Taxa Percentual: é a utilizada na pratica. Ex: 5% ao mês (o todo é 100). 
• Taxa Unitária: é uma taxa técnica. Ex: 0,05 ao mês (o todo é 1). 
 
A taxa unitária é obtida dividindo-se a taxa percentual por 100. Ex: 5/100 = 0,05. Nesta taxa 
não se utiliza o símbolo da percentagem. 
 
 
Simbologia: 
 
P = Capital S = Montante J = Valor dos Juros 
i = Taxa de Juros n = Número de períodos de Capitalização. 
 
 
 
1.1 – Capitalização Simples 
 
Neste tipo de capitalização apenas o capital inicial rende juros, ou seja, os juros incidem 
apenas sobre o valor inicialmente aplicado. 
 
1.1.1 – Fórmulas 
 (1) S =P 1+ i.n( ) à (2) P = S1+ in à (3) i =
S
P
−1
n
 à (4) n =
S
P
−1
i
 
 
 (5) S =P+ J à (6) P = S – J à (7) J = S – P 
 
 (8) J = P. i. n à (9) P = J
i.n
 à (10) i = J
P.n
 à (11) n = J
P.i
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 3 
Exercícios resolvidos: 
 
(1) Quanto deve ser aplicado hoje à taxa de 5% a.m., para que se resgate 
$ 3.300,00 ao final de seis meses? 
 
P = ? S = 3.300,00 
n = 6 meses i = 5% a.m. è 0,05 a.m. 
 
P = S
(1 + i . n) 
 è P = 3.300,00
(1 + 0,05 . 6) 
è P = 3.300,00
1,3
 
 
P = 2.538,46 
 
 
(2) Caso você aplique $ 5.000,00 e após 7 meses resgate $ 6.050,00 qual terá sido a 
taxa de juros dessa operação? 
 
P = 5.000,00 S = 6.050,00 
n = 7 meses i = ? 
 
i =
S
P
− 1
n 
è i =
6.050,00
5.000,00
− 1
7
 è i = 0,21
7 
è i = 0,03 a.m. 
 
P = 3% a.m. 
 
 
(3) Qual o juro produzido por um capital de $ 8.000,00 aplicado à taxa de 24% a.a 
durante 3 meses? 
 
J = ? P = 8.000,00 
n = 3 meses i = 24% a.a. è i = 0,24 a.a. 
 
Obs.: como o período da taxa está diferente do período do tempo, faz-
se necessária a transformação de uma dessas variáveis. Como 
ainda não foi visto a transformação de taxa, para a resolução do 
exercício, deve-se transformar o tempo è 3 meses = 0,25 ano. 
 
J = P . i . n è J = 8.000,00 . 0,24 . 0,25 
 
J = 480,00 
 
 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 4 
1.1.2 – Exercícios de Capitalização Simples 
 
1) O banco “X” empresta ao Sr. Carlos a quantia de $ 300.000,00, à taxa de 5% ao ano, 
para ser paga após três anos e meio. Calcule o montante dessa operação. 
R: S = $ 352.500,00 
 
2) A que taxa devemos aplicar um certo capital para que, em 8 meses, ele dobre de valor? 
R: i = 12,5% a.m. 
 
3) Um capital de $ 7.000,00 foi aplicado a juros simples durante 1 ano e meio, à taxa de 
15% a.s. Calcular os valores dos juros e do montante obtidos no final deste prazo. 
R: J = $ 3.150,00; S = $ 10.150,00 
 
4) Um capital de $ 900,00 foi aplicado a juros simples, à taxa de 5% a.a., sendo obtidos 
$ 15,00 de juros. Calcular o prazo de aplicação em meses. 
R: n = 4 meses 
 
5) A empresa Monitoria S/A aplicou o valor de $ 5.000,00 a juros de 1,5% a.m. e pretende 
sacar o valor após 12 meses. Qual o montante a ser regatado? 
R: S = $ 5.900,00 
 
6) Certo cliente adquire um titulo por $ 60.000,00 e resgata $ 119.350,00, após 9 meses. 
Qual a taxa de juros dessa operação? 
R: i = 10,99% a.m. 
 
7) Qual o juros recebido por um comerciante que investe $ 20.000,00, à taxa de 5% a.m., 
durante 2 meses? 
R: $ 2.000,00 
 
8) Calcular o prazo, em anos, necessário para um capital triplique de valor, caso seja 
aplicado à taxa de 10% a.t. 
R: n = 5 anos 
 
9) Um capital aplicado por 16 meses gerou $ 13.440,00 de juros. Sabendo que a taxa de 
juros mensal foi de 6%, calcule o valor do capital inicial. 
R: P = $ 14.000,00 
 
10) Qual será o valor dos juros de um capital de $ 3.145,00, aplicado a uma taxa de 0,5% 
a.m., durante 1 ano e meio? 
R: J = $ 283,05 
 
11) Um capital de $ 4.250,00, aplicado a uma taxa de 3% a.m., produziu um montante de 
$ 6.162,50. Qual foi o período de aplicação? 
R: n = 15 meses = 1 ano e 3 meses 
 
12) Danilo decidiu investir $ 1.035,00em uma instituição financeira que opera com uma 
taxa de juros simples de 1,8% a.m., durante 1 ano. Qual será o montante ao final do 
período? 
R: S = $ 1.258,56 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 5 
13) Um empréstimo de $ 15.000,00 foi feito para ser pago em 24 meses, foi liquidado, ao 
final do período, por $ 23.000,00. Qual a taxa de juros utilizada? 
R: i = 2,22% a.m. 
 
14) Em quantos meses um capital de $ 750,00 renderá juros igual a um terço de seu valor, 
se aplicado a uma taxa de 6,67% a.m.? 
R: n = 5 meses 
 
15) Gilberto solicitou em seu banco um empréstimo de $ 6.000,00. O pagamento será feito 
em 36 meses com incidência de juros de 2,7% ao mês. Qual o valor a ser pago para 
liquidar a dívida? 
R: S = $ 11.832,00 
 
16) Por um empréstimo de $ 12.450,00, pagou-se $ 3.200,00 de juros. Sabendo-se que a 
taxa de juros utilizada foi de 1,79% a.m., qual foi o período dessa operação? 
R: n = 14 meses e 11 dias 
 
17) Leonardo solicitou um empréstimo de $ 3.990,00 para pagar em 6 meses. A financeira 
cobrou juros de 1,97% a.m. Qual o valor dos juros a pagar? 
R: J = $ 471,62 
 
18) Qual a taxa de juros cobrado por um banco, sabendo que por um empréstimo de 
$ 500,00 pagou-se $ 115,00 de juros, em 3 meses? 
R: i = 7,67% a.m. 
 
19) Qual o capital que aplicado a juros simples de 12% a.a., durante 5 meses, gerou um 
montante de $ 1.260,00? 
R: P = $ 1.200,00 
 
20) Ao se aplica a importância de $ 5.000,00, à taxa de 8% a.a., obtém-se, após certo 
período, o montante de $ 6.000,00. Qual é o período de aplicação? 
R: n = 2 anos e 6 meses 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 6 
1.2 – Capitalização Composta 
 
Nesse tipo de capitalização os juros produzidos em cada período são capitalizados, 
formando um novo capital que irá render juros no período seguinte. 
 
 
P0 P0+J1 = P1 P1+J2 = P2 P2+J3 = P3 P3+J = S 
|-----------------|--------------------|-------------------|-------------------| 
0 1 2 3 4 
 
 
1.2.1 – Fórmulas 
 
 (1) S =P 1+ i( )
n (2) P = S
1+ i( )
n (3) P = S 1+ i( )
−n
 
 
 (4) i = S
P
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
n
−1 (5) i = S
P
n −1 (6) n =
LogS
P
Log 1+ i( )
 
 
 (7) S = P+J (8) P = S – J (9) J =P 1+ i( )
n
−P 
 
 (10) J=P 1+ i( )
n
−1⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
 (11) P =
J
1+ i( )
N
−1
 
 
Exercícios resolvidos 
 
(1) Caso você aplique $ 3.500,00 em uma instituição financeira que pague juros de 
2,75% a.m., quanto resgatará no final de sete meses? 
 
P = 3.500,00 i = 2,75% a.a. = 0,075 a.m. 
n = 7 meses S = ? 
 
S = 3.500,00.(1+0,0275)7 
S = 3.500,00 . 1,209129491 
 
S = 4.231,95 
 
Resolução pela HP 12-C – sequência de teclas: 1,0275 ENTER 7 𝐘𝐗 3500 X. 
 
 
(2) Caso você aplique $ 7.000,00 em uma instituição e ao final e cinco meses resgate a 
importância de $ 8.640,12 qual terá sido a taxa de juros dessa operação? 
 
P = 7.000,00 n = 5 meses 
S = 8.640,12 i = ? 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 7 
i = 8.640,12
7.000,00
5 −1
 
è i = 0,043 a.m. 
 
 i = 4,3% a.m. 
 
Resolução pela HP 12-C: 8.640,12 ENTER 7.000 ÷ 5 1/x 𝐘𝐗 1 - 100 X. 
 
 
(3) Qual o tempo necessário para que um capital de $ 10.000,00 dobre de valor, se 
aplicado a taxa de 20% a.a.? 
 
n = ? P = 10.000,00 
S = 20.000,00 I = 20% a.a. 
 
n =
Log20.000,00
10.000,00
Log 1+0,2( ) 
è n =
Log 2
Log 1,2
 
 
n = 3,801784017 anos è n = 3 anos, 9 meses e 19 dias 
 
 
Resolução pela HP 12-C: 2 g LN 1,2 g LN ÷ 
 
Como transformar 3,801784017 para números inteiros na HP 12-C: 
 
 3,801284017 ENTER 3 - .12 x . 9 - . 30 x . 
 
 
(4) Qual o juro produzido por um capital de $ 6.500,00, aplicado a taxa de 15% a.a., 
durante seis meses? 
 
J = ? i = 15% a.a. = 0,15 a.a. 
P = 6.500,00 n = 6 meses = 0,5 ano 
 
J = 6.500 [ (1 + 0,15 )0,5− 1 ] è J = 6.500 . 1,072380529 
 
J = 470,47 
 
Resolução pela HP 12-C: 1,15 ENTER 0,5 𝐘𝐗 6500 X. 
 
 
 
1.2.2 – Exercícios sobre – Capitalização Composta 
 
1) Calcule o montante de uma aplicação de $ 50.000,00 pelo prazo de 6 meses, à taxa de 
juros compostos de 6% a.m. 
R: S = $ 70.925,96 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 8 
2) Quanto deverei aplicar hoje para ter direito a receber a importância de 
$ 500.000,00 daqui a 5 anos, se a taxa de juro composto adotada for 15% ao ano? 
R: P = $ 248.588,37 
 
3) Caso você aplique R$ 1.000,00 hoje e após 18 meses resgate a importância total de 
R$ 1.320,00, qual terá sido a taxa de juros composta dessa operação? 
R: i = 1,55% a.m. 
 
4) Em quanto tempo um capital de $ 1.650,00 produzirá um montante de $ 1.776,87, se 
aplicado a uma taxa composta de 2,5% a.m.? 
R: n = 3 meses 
 
5) Qual o valor dos juros produzidos por um capital de $ 2.500,00, aplicado à taxa de 4% 
a.m., durante 12 meses? 
R: J = 1.502,58 
 
6) Rivaldo, desejando viajar no próximo ano, decidiu aplicar $ 2.200,00 e resgatar daqui a 
12 meses, fins custear a viagem. Sabendo que a instituição financeira paga juros 
compostos de 1,2% a.m., qual será o montante a ser resgatado ao final do período? 
R: S = $ 2.538,57 
 
7) Um capital de $ 7.000,00, aplicado durante 6 meses, proporcionou ao aplicador um 
montante de $ 8.117,85. Qual a taxa de juros compostos dessa operação? 
R: i = 2,5% a.m. 
 
8) O que é mais vantajoso? Investir $ 5.000,00 durante 2 anos a juros compostos de 2% 
a.m. ou investir $ 5.000,00 durante 2 anos, a juros simples de 3% ao mês. 
R: Investir os 5.000 reais sob o regime de juros simples 
 
9) Um investidor investiu $ 5.000,00 a juros de 1,5% a.m., durante um ano. Qual será o 
valor a ser resgatado ao final do período? 
S = $ 5.978,09 
 
10) Um capital de $ 5.000,00, aplicado à taxa de 20% a.m., produzirá um montante de 
$ 10.000,00 em quanto tempo? 
R: n = 3 meses e 24 dias 
 
11) Um investidor aplicou $ 45.000,00 em uma instituição financeira que opera com juros 
compostos de 3,55% a.t., pelo período de 1 ano. Qual o valor dos juros dessa 
operação? 
R: J = $ 6.738,39 
 
12) Saul contraiu uma dívida de $ 2.000,00 para ser quitada após 2 anos e meio. Ao final 
do prazo contratado, Saul quitou a dívida com um único pagamento de R$ 3.400,00. 
Qual a taxa de juro composta mensal dessa operação? 
R: i = 1,78% a.m. 
 
13) Quantos dias são necessários para que um capital de $ 35.000,00, aplicado a uma taxa 
de 10% a.m., produza juros de $ 11.585,00? 
R: n = 90 dias 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 9 
14) Um determinado título de capitalização, com valor de face de $ 6.000,00, remunera o 
aplicador com juros de 3% ao mês. O prazo de aplicação é de 18 meses. Qual será o 
valor de resgate desse título ao final do prazo contratado? 
R: S = $ 10.214,60 
 
15) Qual a taxa de juro composta mensal que faz um capital dobra de valor em 6 meses? 
R: i = 12,25% a.m. 
 
16) Uma pessoa tem uma dívida no valor de $ 900.000,00, a ser saldada daqui a 6 meses. 
Quanto deverá aplicar hoje, à taxa de 7% a.m. para que, ao final de 6 meses, disponha 
da importância necessária para saldar o seu compromisso, considerando o regime de 
juros compostos? 
 
R: P = $ 599.708,00 
17) Um capital de $ 5.000,00 produz juros de $ 800,00 em um período de 4 meses. Qual a 
taxa mensal de juros compostos? 
R: i = 3,78 a.m.18) Uma pessoa compra um lote de ações na Bovespa por $ 1.250,00. Depois de 1 mês 
resolve vender suas ações por $ 1.500,00. Qual foi a rentabilidade, em termos 
percentuais, auferida por essas ações? 
R: i = 20% a.m. 
 
19) Em quanto tempo um capital pode produzir juros a 70% de seu valor se aplicado a 
5.72% ao mês? 
R: 9 meses e 16 dias 
 
20) Bruno pede emprestado a um colega a importância de $ 1.250,00 para consertar o seu 
carro. Tal amigo o empresta, porém cobra uma taxa de juro composto de 1,5% ao mês. 
Ao final dos 6 meses, quanto Bruno deverá pagar ao seu amigo para liquidar a dívida? 
R: S = $ 1.366,80 
 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
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2 – Estudo das Taxas 
 
Neste tópico, estudaremos equivalência de taxas em juros simples e compostos, e as taxas 
nominais – taxas onde o período de capitalização difere do período do tempo. 
 
 
2.1 – Equivalência de taxas 
 
Duas taxas são ditas equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo 
espaço de tempo, porém com períodos de aplicação diferentes, produzem o mesmo juro ou 
o mesmo montante. 
 
 
2.1.1 – Equivalência de Taxas de Juros Simples 
 
Fórmulas: 
 
1) iK =
i
k
 
 
2) i = iK.k 
 
 
2.1.2 – Equivalência de Taxas em Juros Compostos: 
 
Fórmulas: 
 
1) i = 1+ iK( )
k
−1. 
 
2) ik = 1+ i( )
1
k −1. 
 
3) iK = 1+ i
k −1 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
(1) Se aplicado $ 3.000,00 à taxa de 3,2% a.m., quanto será resgatado ao final de 13 
dias? (juros simples). 
 
P = 3.000,00 i = 3,2% a.m. 
n = 13 dias S = ? 
 
Obs.: tem-se aqui uma taxa mensal e queremos saber qual a taxa diária 
equivalente, ou seja, temos que calcular a taxa do menor período (ik) 
 
 Onde: 
 Ki = Taxa do menor período 
 i = Taxa do maior período 
 k = Maior período / menor período 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 11 
i = 3,2% a.m. = 0,032 a.m. 
ik = ? (taxa diária) 
 
ik =
i
k
 è ik =
0,032
30
 = 0,001066667 a.d. (obs.: k = mês dividido por dia = 30) 
 
S = P (1 + i . n) 
 
S = 3.000,00.(1+0,001066667.13) è S = 3.000,00 . 1,0138666667 
 
S = 3.041,60 
 
Resolução pela HP 12-C: 0,0010667 ENTER 13 x 1 + 3.000 X. 
 
(2) Quanto deverá ser aplicado hoje, à taxa de 5,4% ao trimestre, para que se resgate 
$ 10.000,00 ao final de um ano? (juros simples). 
 
P = ? i = 5,4% a.t. = 0,054 a.t. 
S = 10.000,00 n = 1 ano 
Obs.: neste caso, tem-se uma taxa mensal e queremos saber qual a taxa 
anual equivalente, ou seja, temos que calcular a taxa do maior 
período (i). 
 
i = ik . k è i = 0,054 . 4 = 0,216 a.a. (obs.: k = ano dividido por trimestre = 4) 
 
P = S
(1 + i . n) 
 è P = 10.000,00
(1 + 0,216 . 1)
 è P = 10.000,00
(1,216)
 
 
P = 8.223,68 
 
Resolução pela HP 12-C: 10.000,00 ENTER 1,216 ÷. 
 
(3) Qual o juro produzido por um capital de $ 6.000,00, aplicado à taxa de 13% a.a., 
durante cinco meses? (juros compostos). 
 
J = ? P = 6.000,00 
n = 5 meses i = 13% a.a. = 0,13 a.a. 
Obs.: a taxa é dada em ano e queremos saber qual a taxa mensal 
equivalente, ou seja, devemos calcular a taxa do menor período (ik). 
 
ik = 1 + ik − 1 
 è ik = 1 + 0,1312 − 1 (obs.: k = ano dividido por mês = 12) 
ik = 0,010236844 a.m. 
 
Resolução pela HP 12-C: 1,13 ENTER 12 1/x 𝐘𝐗 1 -. 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 12 
J = P [ (1 + i )n − 1 ] 
J = 6.000,00 [ (1 + 0,010236844 )5 − 1 ] 
J = 6.000,00 . 0,052242932 
 
J = 313,45 
 
Resolução pela HP 12-C: 1,010236844 ENTER 5 1 -. 6000. x. 
 
 
(4) Se aplicado $ 8.000,00 em uma financeira que pague juros de 2,5% a.m., quanto será 
resgatado ao final de três anos? (juros compostos). 
 
P = 8.000,00 i = 2,5% a.m. = 0,025 a.m. 
n = 3 anos S = ? 
 
Obs.: a taxa é dada em mês e queremos saber qual a taxa anual 
equivalente, ou seja, temos que calcular a taxa do maior período (i). 
 
i = (1 + ik )
k − 1 è i = (1 + 0,025)
12− 1 
i = 0,344888824 a.a. (obs.: k = ano dividido por mês = 12) 
 
Resolução pela HP 12-C: 1,025 ENTER 12 1 -. 
 
S = P (1 + i)n 
S = 8.000,00 (1 + 0,344888824)3 
S = 8.000,00 2,432535314 
 
S = 19.460,28 
 
Resolução pela HP 12-C: 1,344888824 ENTER 3 8000 x. 
 
 
 
2.1.3 – Exercícios sobre Equivalência da Taxas (Resolução com transformação 
da taxa) 
 
1) Qual o montante produzido por um capital de $ 1.000,00, aplicado à taxa de juros 
simples de 17,28% ao ano, durante 6 meses? 
 R: S = $ 1.086,40 
 
2) Um capital $ 30.000,00, aplicado à taxa de juros simples de 0,99% ao mês, durante um 
biênio, produzirá o montante de ..... 
R: P = $ 37.128,00 
 
3) Qual é o valor dos juros simples produzidos por um capital de $ 1.000,00, aplicado à 
taxa de 5% ao mês, durante 21 dias? 
R: J = $ 35,00 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 13 
4) Um determinado banco paga juros compostos de 6% ao trimestre. Se uma pessoa 
necessitar dispor de $ 6.000,00 daqui a 3 anos, quanto deverá aplicar hoje nesse 
banco? 
 R: P = $ 2.981,82 
 
5) Um banco publica em suas agências o seguinte anúncio: “Aplique $ 1000,00 hoje e 
receba $ 1.900,00 ao final de 6 meses”. Determinar as taxas semestral e mensal de 
juros compostos oferecidas por este banco. 
 R: i = 90% a.s. e 11,29% a.m. 
 
6) Uma aplicação de $ 6.700,00, efetuada à taxa de juros compostos de 36% ao ano, 
durante 7 meses, produzirá juros no valor de ...... 
 R: J = $ 1.316,27 
 
7) Qual a taxa mensal de juros compostos cobrada num empréstimo de $ 64.000,00, que 
deverá ser quitado no prazo de 117 dias, por $ 79.600,00? 
 R: i = 5,75% a.m. 
 
8) Uma aplicação de $ 3.800,00 proporcionou um rendimento de $ 2.400,00 no final de 
208 dias. Determinar as taxas diária, mensal, trimestral e anual de juros compostos 
dessa operação. 
 R: i = 0,24% a.d.; i = 7,32% a.m.; i = 23,59% a.t.; e i = 133,33% a.a. 
 
9) Quanto uma pessoa resgatará ao final de 93 dias se aplicar $ 2.000,00 à taxa de 150% 
ao ano (Juros Compostos)? 
 R: S = $ 2.534,14 
 
10) Determinar o montante produzido por uma aplicação de $ 200.000,00, admitindo os 
seguintes prazos e taxas compostas: 
 a) i = 5% a.m., durante 2 anos 
 b) i = 12% a.t., durante 1 ano e meio 
 R: a) S = $ 645.020,00 e b) S = $ 394.764,54 
 
 
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2.2 – Taxas Nominais 
 
Forma de apresentação: 72% a.a.c.c.m. (72% ao ano com capitalização mensal). 
 
Sempre que nos deparamos com uma taxa nominal, faz-se necessário se calcular a taxa 
efetiva, ou seja, devemos determinar qual a verdadeira taxa que está por trás da taxa 
nominal. 
 
 
2.2.1 – Cálculo da Taxa Efetiva 
 
Calcula-se a taxa efetiva por meio de dois passos: 
 
1) Calcular a taxa efetiva do menor período utilizando a formula de equivalência de taxas de 
juros simples: 
ifK =
i
k 
 
2) Calcular a taxa efetiva do maior período utilizando a formula de equivalência de taxas de 
juros compostos: 
 
 
if = 1+ ifk( )
k
−1
 
 
Resolução da taxa efetiva da taxa nominal 72% a.a.c.c.m.: 
 
Passo 1 è ifK =
0,72
12
= 0,06
 
ao mês 
 
Passo 2 è if = 1+0,06( )
12
−1=101,22% ao ano. 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Determinar o valor dos juros produzidos por um capital de $ 15.000,00, aplicado às taxa 
de 48% a.a.c.c.m., durante 2 anos. 
 
J = ? P = 15.000,00 
i = 48% a.a.c.c.m. n = 2 anos 
 
Cálculo dataxa efetiva: 
 
1º passo: calcular a taxa efetiva do menor período utilizando a fórmula de equivalência 
de taxas de juros simples 
 
 ifk =
i
k
 è ifk =
0,48
12
 è ifk = 0,04 a.m. Obs.: k = ano/mês = 12 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
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2º passo: calcular a taxa efetiva do maior período utilizando a fórmula de equivalência 
de taxas de juros compostos 
 
if = (1 + ifk )
k − 1 è if = (1 + 0,04)
12− 1 è if = 0,601032212 a.a. 
 
Cálculo dos Juros: 
 
J = P [ (1 + i )n − 1 ] 
J = 15.000,00 [ (1 + 0,601032212 )2 − 1 ] 
J = 15.000,00 1,563304166 
 
J = 23.449,56 
 
Resolução pela HP 12-C (de forma integrada): 
 
 0,48 ENTER 12 ÷. 1 +. 12 𝐘𝐗 2 𝐘𝐗 1 -. 15000 x. 
 
2) Caso você aplique $ 3.000,00, às taxa de 6,78% a.m.c.c.d., por 7 meses, quanto 
resgatará ao final do período? 
 
P = 3.000,00 i = 6,78% a.m.c.c.d. 
n = 7 meses S = ? 
 
Cálculo da taxa efetiva: 
 
1º passo: calcular a taxa efetiva do menor período utilizando a fórmula de equivalência 
de taxas de juros simples 
 
 ifk =
i
k
 è ifk =
0,0678
30
 è ifk = 0,00226 a.m. Obs.: k = mês/dia = 12 
 
2º passo: calcular a taxa efetiva do maior período utilizando a fórmula de equivalência 
de taxas de juros compostos 
 
if = (1 + ifk )
k − 1 è if = (1 + 0,00226)
30− 1 è if = 0,070069395 a.m. 
 
Cálculo do Montante: 
 
S = P (1 + i)n 
S = 3.000,00 (1 + 0,070069395)7 
S = 3.000,00 . 1,606510621 
S = $ 4.819,53 
 
Resolução pela HP 12-C (de forma integrada): 
 
 0,0678 ENTER 30 ÷. 1 +. 30 𝐘𝐗 7 𝐘𝐗 3000 x. 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 16 
3) O Banco Alfa opera com uma taxa de 15% a.t.c.c.m. Se você efetuar um empréstimo de 
$ 5.000,00 nesse banco, quanto desembolsará ao final de 2 anos para liquidar a dívida? 
 
i = 15% a.t.c.c.m P = 5.000,00 
n = 2 anos = 8 trimestres S = ? 
 
Cálculo da taxa efetiva: 
 
1º passo: calcular a taxa efetiva do menor período utilizando a fórmula de equivalência 
de taxas de juros simples 
 
 ifk =
i
k
 è ifk =
0,15
3
 è ifk = 0,05 a.m. Obs.: k = trimestre/mês = 3 
 
2º passo: calcular a taxa efetiva do maior período utilizando a fórmula de equivalência 
de taxas de juros compostos 
 
if = (1 + ifk )
k − 1 è if = (1 + 0,05)
3 − 1 è if = 0,157623 a.t. 
 
Cálculo do Montante: 
 
S = P (1 + i)n è S = 5.000,00 (1 + 0,157625)
8
 è 
S = 5.000,00 . 3,225099944 
S = 16.125,50 
 
Resolução pela HP 12-C (de forma integrada): 
 
 0,15 ENTER 3 ÷. 1 +. 3 𝐘𝐗 8 𝐘𝐗 5000 x. 
 
4) Dada a taxa de juros 120% a.a.c.c.m., quais são as taxas efetivas mensal e anual? 
 
Cálculo das taxas efetivas: 
 
1º passo: calcular a taxa efetiva do menor período utilizando a fórmula de equivalência 
de taxas de juros simples 
 
 ifk =
i
k
 è ifk =
1,2
12
 è ifk = 0,1 a.m. Obs.: k = ano/mês = 12 
ifk = 10% a.m.
 
 
 
2º passo: calcular a taxa efetiva do maior período utilizando a fórmula de equivalência 
de taxas de juros compostos 
 
if = (1 + ifk )
k − 1 è if = (1 + 0,1)
12− 1 è if = 2,138428377 a.a. 
if = 213,84% a.a.
 
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2.2.2 – Exercícios sobre Taxas Nominais 
 
 
1) A empresa “X” aplicou o valor de $ 5.000,00 a juros de 27% a.a.c.c.m e pretende sacar 
o valor após 3 anos. Qual o valor a ser regatado ao final deste período? 
 R: $ 11.139,08 
 
2) O Sr. Caio emprestou a um amigo de $ 10.000,00. A taxa de juros negociada foi de 
3,6% a.m.c.c.d. Qual o valor a ser recebido pelo Sr. Caio ao final de 9 meses? 
 R: 13.823,79 
 
3) Calcular o montante final de uma aplicação de $ 1.250,00, à taxa de 36% a.a.c.c.m., por 
2 anos. 
 R: $ 2.540,99 
 
4) Quero dispor de $ 25.000,00 daqui a 4 anos. Para tanto, quanto devo aplicar hoje em 
uma instituição financeira que paga juros de 18% a.a.c.c.m? 
 R: 12.234,04 
 
5) Qual é o valor do juro produzido por um capital de $ 12.000,00, aplicado à taxa de 15% 
a.s.c.c.m, por 2 anos? 
 R: $ 9.704,71 
 
6) Se você aplicar $ 3.000,00 a juros de 3% a.m.c.c.d, quando resgatará após 20 dias 
 R: $ 3.060,57 
 
7) Foram aplicados $ 21.000 durante 7 semestres, a uma taxa de 15% a.a.c.c.s. Qual o 
montante dessa operação? 
 R: $ 34.840,03 
 
8) Determinar o juro produzido por um capital de $ 6.000,00, aplicado durante 3 anos, à 
taxa de 24% a.a.c.c.q. 
 R: $ 5.994,03 
 
9) Quanto devo depositar em um banco que pague juros de 34% a.a.c.c.t. para resgatar 
R$ 10.000,00 em 3 meses? 
 R: $ 9216,59 
 
10) Calcular as taxas efetivas das seguintes taxas nominais: 
 a) 15% a.m.c.c.d. b( 12% a.t.c.c.m. c) 18% a.s.c.c.t d) 30% a.a.c.c.q 
 
 R: a) 16,14% a.m. 
 b) 12,49% a.t. 
 c) 18,81% a.s. 
 d) 33,10% a.a. 
 
 
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Professor Aldery Silveira Jr. 18 
3 – Desconto 
 
Desconto é uma operação inversa à Capitalização, ou seja, corresponde a trazermos um 
valor do futuro para a data presente, descontando os juros que estão embutidos nesse valor. 
 
O Desconto corresponde ao abatimento obtido por se saldar uma dívida antes do 
vencimento. 
 
 
Conceitos básicos: 
 
• Valor de face: valor de um titulo na data de sua emissão. 
• Valor nominal: valor de um titulo na data de seu vencimento. 
• Valor atual: valor de um titulo em uma data intermediaria entre a de 
emissão e a de vencimento. 
 
Obs.: Titulo – denominação genérica para qualquer tipo de dívida (Nota Promissória, 
Duplicata, etc.). 
 
 
Tipos de Desconto 
 
Existem dois tipos de descontos: Racional e Comercial. Ambos podem ser utilizados tanto 
em juros simples quanto em juros compostos. 
 
O Desconto Racional corresponde à verdadeira operação de Desconto. O Desconto 
Comercial nada mais é do que uma variação do Desconto Racional adotada pelo Mercado. 
 
 
 
 Racional (por dentro) Simples 
Desconto: 
 Comercial (por fora) Composto 
 
 
 
Quanto ao Desconto Comercial, na prática, o mesmo é utilizado somente sob o regime de 
juros simples. 
 
 
Simbologia utilizada nas operações de desconto: 
 
N - Valor Nominal 
Dr - Valor do Desconto Racional Simples 
Vr - Valor Atual Racional Simples 
Dc - Valor do Desconto Comercial Simples 
Vc - Valor Atual Comercial Simples 
Drc - Valor do Desconto Racional Composto 
Vrc - Valor Atual Racional Composto 
i - Taxa de Desconto 
n - Número de períodos que faltam para 
o vencimento da dívida 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 19 
3.1 – Desconto Racional Simples 
 
Neste tipo de Desconto, a taxa é aplicada sobre o Valor Atual, sobre o número de períodos 
que faltam para o vencimento da dívida. 
 
 
3.1.1 – Fórmulas de Desconto Racional Simples 
 
1) N = VR 1+ i.n( ) à VR =
N
1+ i.n
 à i =
N
VR
−1
n
 à n =
N
VR
−1
i
. 
 
2) N = Vr + Dr à Vr = N – Dr à Dr = N – Vr 
 
3) DR =
N.i.n
1+ i.n
. 
 
Exemplo: 
 
N = 10.000,00 I = 10% ao mês 
n = 3 meses Dr = ? 
Vr = ? 
 
DR =
10.000.0,1.3
1+0,1.3
 à Dr = 2.307,69. 
Vr = 10.000,00 – 2.307,69 
 
Vr = 7.692,31 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
(1) Caso você desconte um título de R$ 35.000,00 15 dias antes do vencimento, a uma 
taxa de 5,5% a.m., qual será a importância recebida? 
 
N = 35.000,00 i = 5,5% a.m. = 0,05 a.m. 
n = 15 dias = 0,5 mês Vr = ? 
 
VR =
N
1 + i . nVR =
35.000,00
1 + 0,055 . 0,5 
 
Vr = 34.063,25 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 20 
(2) Um título foi descontado à taxa de 2% a.m. Sabendo-se que o valor nominal era 
$ 7.414,00 e o valor descontado racional $ 6.740,00, qual o prazo da antecipação? 
 
N = 7.414,00 i = 2,% a.m. = 0,02 a.m. 
Vr = 6.740,00 n = ? 
 
n =
N
VR
− 1
i 
è 
 
n =
7.414,00
6.740,00R
− 1
0,02
 
 
n = 5 meses 
 
 
(3) Uma promissória com valor nominal de $ 275.820,00 e vencimento para 75 dias foi 
descontada á taxa de 90% a.a. Qual o valor do desconto racional dessa operação? 
 
N = 275.820,00 i = 90% a.a. = 0,9 a.a. è 0,075 a.m. 
n = 75 dias = 2,5 meses Dr = ? 
 
DR =
N . i . n
1 + i . n
 
 
DR =
275.820,00 . 0,075 . 2,5
1 + 0,075 . 2,5
 
 
Dr = 43.550,52 
 
 
 
 
3.1.2 – Exercícios sobre Desconto Racional Simples 
 
1) Marta descontou um Título no valor de $ 15.000,00, 1 mês e 15 dias antes do 
vencimento, considerando que a taxa cobrada foi de 4,5% a.m. Qual o valor do 
desconto racional simples? 
 R: Dr = $ 948,48 
 
2) Desconta-se racionalmente uma Nota Promissória 9 meses antes do vencimento, a uma 
taxa de 5,8% a.m. Sabendo que o valor descontado foi $ 5.250,00, qual era o valor 
nominal dessa Nota Promissória? 
 R: N = $ 7.990,50 
 
3) Uma Nota Promissória com valor nominal de $ 25.000,00 foi descontada 3 meses antes 
do vencimento, a uma taxa de 4% a.m. Qual o valor do desconto racional simples? 
 R: Dr = $ 2.678,57 
 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 21 
4) Paulo, ao resgatar um Título com valor nominal de $ 50.000,00 sob o critério de 
desconto racional simples, desembolsou a quantia de $ 32.000,00. Considerando que a 
operação foi efetuada com base em uma taxa de 23% a.a., calcule o período de 
antecipação. 
 R: n = 2 anos, 5 meses e 10 dias 
 
5) Qual o valor a ser pago hoje por uma Duplicata de $ 58.000,00, com vencimento para 60 
dias, se for descontada sob o critério de desconto racional simples, a uma taxa de 3% 
a.m.? 
 R: Vr = $ 54.716,98 
 
6) Ao descontar um título com valor nominal de $ 1.200,00, com vencimento para 16 de 
outubro, Manuel obteve o valor de $ 1.110,00, em 1º de setembro do mesmo ano. Qual 
foi a taxa mensal de desconto racional simples utilizada pelo banco? 
 R: i = 5,41% a.m. 
 
7) Uma Nota Promissória foi descontada 1 ano antes do vencimento, a uma taxa de 20% 
ao ano. Usando o desconto racional simples e sabendo-se que valor atual foi de 
$ 30.000,00, qual seria o seu valor nominal? 
 R: N = $ 36.000,00 
 
8) Uma dívida de $ 10.000,00 será saldada 2 meses antes de seu vencimento. Qual será o 
valor do desconto racional simples, se a taxa de juros for de 16% a.m.? 
 R: Dr = $ 2.424,24 
 
9) Quanto devo pagar por um Título com valor nominal de $ 10.000,00, com vencimento 
para daqui a 60 dias, se desejo ter uma taxa de retorno de 24% ao ano? (desconto 
racional simples) 
 R: Vr = $ 9.615,38 
 
10) Antecipando 3 meses um Título com valor nominal de $ 600,00, obtenho um desconto 
de $ 41,86. Qual é a taxa de desconto racional simples mensal dessa operação? 
 R: i = 2,5 % a.m. 
 
11) Ao descontar um Título no valor de $ 46.800,00, a uma taxa de 6,7% a.m., 6 meses de 
antes do vencimento, o valor do desconto racional simples será .... 
 R: Dr = $ 13.419,11 
 
12) Quanto devo pagar por uma Promissória com valor nominal de $ 24.000,00, com 
vencimento para 9 meses, se pretendo obter um rendimento de 12% a.t? 
 R: Vr = $ 17.647,06 
 
13) Uma Duplicata foi descontada a uma taxa de 4,5% a.m., 210 dias antes do vencimento. 
Sabendo que o valor atual racional foi $ 19.452,48, calcule o valor nominal dessa 
Duplicata. 
 R: N = $ 25.580,01 
 
14) Em uma operação de desconto racional simples, com uma taxa de 12% a.m., o valor 
atual de um Título é igual à metade do seu valor nominal. Qual o tempo necessário para 
que isso ocorra? 
 R: n = 8 meses e 10 dias 
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15) Calcular o valor do desconto racional simples de um título com valor nominal de 
$ 10.900,00, descontado 3 meses antes do vencimento, à taxa 3% a.m. 
 R: Dr = $ 900,00 
 
16) Se um Título for resgatado três meses antes do vencimento por $ 53.409,00, à taxa de 
desconto racional simples de 84% a.a., qual é o valor nominal desse Título? 
 R: N = $ 64.624,89 
 
17) Uma Nota Promissória foi descontada racionalmente com 78 dias de antecipação por 
$ 3.652,00, à taxa de juros simples de 4% a.m. Qual o valor do desconto auferido nessa 
operação? 
 R: Dr = $ 379,80 
 
18) Marina possui um CDB de $ 1.300,00, com vencimento para daqui a 3 meses. A fim de 
comprar um notebook que está em promoção para pagamento à vista, ela pretende 
descontar esse Título hoje. Considerando o critério de desconto racional simples e taxa 
de 1,5% a.m., qual será o valor de resgate desse CDB? 
 R: Vr = $ 1.244,02 
 
19) Diego resgatou um Título de $ 1.150,00, a uma taxa de desconto racional simples de 2% 
a.m., tendo recebido a importância de $ 1.045,45. Quanto foi o período de antecipação 
dessa operação? 
 R: n = 5 meses 
 
20) Se uma dívida de $ 6.462,20 for quitada 60 dias antes do prazo estabelecido, à taxa de 
juros de 60% a.a., qual será o valor do desconto racional simples? 
 R: Dr = $ 587,47 
 
 
 
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Professor Aldery Silveira Jr. 23 
3.2 – Desconto Comercial Simples 
 
Neste tipo de Desconto, a taxa de juros é aplicada sobre o Valor Nominal, vezes o número 
de períodos que falta para o vencimento da dívida. 
 
 
3.2.1 – Fórmulas de Desconto Comercial Simples 
 
1) Dc =N.i.n è N = Dc
i.n
 è i = Dc
N.n
 è n = Dc
N.i
 
 
2) N = Vc +Dc è DcNVc −= è VcNDc −= . 
 
3) Vc =N 1− i.n( ) è N = Vc1− i.n è i =
−
Vc
N
+1
n
 è n =
−
Vc
N
+1
i
 
 
4) Dc =Dr 1+ i.n( ) è Dr = Dc1+ i.n 
 
Exemplo: 
 
N = 10.000,00 i = 10% a.m. 
n = 3 meses Dc = ? 
Vc = ? 
 
Dc = 10.000,00. 0,1. 3 = 3.000,00. 
Vc = 10.000,00 – 3.000,00 = 7.000,00. 
Vc = 7.000,00 
 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
(1) Qual o valor atual comercial recebido pelo detentor de um titulo de $ 4.000,00, 
descontados três meses antes do vencimento, a uma taxa de 7% a.m. Calcule a taxa 
efetiva de desconto comercial dessa operação. 
 
N = 4.000,00 i = 7% a.m. = 0,07 a.m. 
n = 3 meses Vc = ? 
 
)n.i1(NVC −= 
VC = 4.000,00 (1 − 0,07 . 3) 
Vc = 3.160,00 
 
 
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Professor Aldery Silveira Jr. 24 
(2) Uma duplicata de $ 180.000,00 foi descontada 4 meses antes de seu vencimento. 
Considerando uma taxa de desconto simples de 60% ao semestre, calcule o valor do 
desconto e o valor recebido pelo detentor da duplicata. 
 
N = 180.000,00 i = 60% a.s. = 0,6 a.s. 
n = 4 meses Dc = ? 
Vc = ? 
 
ik =
i
k 
è ik =
0,6
6 
è ik = 0,1 a.m. 
 
DC = N . i . n 
è DC = 180.000,00 . 0,1 . 4 
 
Dc = 72.000,00 
 
VC = N − DC
 
è VC = 180.000,00 – 72.000,00 
 
Vc = 108.000,00 
 
 
(3) Um título a vencer em 120 dias, no valor de $ 13.000,00 foi descontado por 
$ 11.400,00. Calcular a taxa anual de desconto comercial simples e a taxa efetiva de 
desconto. 
 
n = 120 dias N = 13.000,00 
Vc = 11.400,00 ia = ? 
if = ? 
 
Obs.: ao se calcular a taxa, a mesma sairá em dia, pois o tempo está 
em dia. Como o exercício pede a taxa anual, há necessidade de 
se calcular a taxa anual equivalente à taxa diária. 
 
i =
−
VC
N
+ 1
n 
è i =
−
11.400,00
13.000,00+ 1
120 
è i = 0,001025641 ao dia 
 
 
i = ik . k 
 
ia = 0,001025641 . 360 = 0,0369230769 a.a. è i = 36,92% a.a.
 
 
if =
N
VC
− 1
n 
è if =
13.000,00
11.400,00
− 1
120 
è if = 0,001169591 ao dia 
 
 i = ik . k è 0,001169591 x 360 = 0,421052631 a.a. è If = 42,11% a.a. 
 
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Professor Aldery Silveira Jr. 25 
3.2.2 – Cálculo da Taxa Efetiva em Desconto Comercial Simples 
 
A taxa de Comercial Simples é uma taxa nominal, e, como tal, deve ser calculada a taxa 
efetiva, que é obtida utilizando-se a seguinte fórmula? 
 
 
if =
N
VC
− 1
n 
 
Exemplo: 
 
Um título no valor de R$ 10.000,00 foi descontado 3 meses antes do vencimento, à uma 
taxa de 10% a.m., tendo o detentor do mesmo recebido a importância de R$ 7.000,00. 
Sabendo-se que esse título foi descontado sob o critério de desconto comercial simples, 
calcular a taxa de juros efetiva dessa operação; 
 
N = 10.000,00 i = 10% a.m. 
Vc = 7.000,00 n = 3 meses 
If = ? 
 
if =
N
VC
− 1
n 
è if =
10.000
7.000
−1
3
 
if = 14,29% a.m. 
 
 
 
3.2.3 – Exercícios sobre Desconto Comercial Simples 
 
1) Uma Duplicata com valor nominal de $ 12.000,00 foi descontada 2 meses antes do 
vencimento, a uma taxa de 17,17% ao ano. Qual foi o valor do desconto comercial 
simples? 
 R: Dc = $ 343,40 
 
2) Uma Duplicata no valor nominal de $ 25.000,00 foi liquidada 12 meses antes do seu 
vencimento. Foi pago por ela a importância de $ 18.960,00. Calcule a taxa de desconto 
comercial simples da operação e a taxa efetiva que vigorou na transação. 
 R: i = 2,01% a.m.; if = 2,65% a.m. 
 
3) André decide descontar um Título três meses antes do vencimento. Sabendo que o valor 
do título é $ 4.500,00 e que a taxa de desconto é de 1,5% a.m., qual o valor do desconto 
comercial? 
 R: Dc = $ 202,50 
 
 
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4) Qual o valor atual comercial de uma Duplicata com valor nominal de $ 5.000,00, que foi 
descontada 3 meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto simples de 1,5% 
a.m.? 
 R: Vc = $ 4.775,00 
 
5) Um Título foi descontado 3 meses antes do vencimento, à taxa de 24% a.a. Sabendo 
que o valor atual comercial apurado foi de $ 17.860,00, qual era o valor nominal desse 
Título? 
 R: N = $ 19.000,00 
 
6) Uma Duplicata com valor nominal de $ 45.000,00 é descontada 6 meses antes do 
vencimento, à taxa de 30% a.a. Qual o valor de desconto comercial? 
 R: Dc = $ 6.750,00 
 
7) O valor nominal de um Título é $ 35.000,00. Caso este Título seja descontado 1 mês 
antes do vencimento, a uma taxa de 3% a.t., qual será o valor do desconto comercial 
simples? 
 R: Dc = $ 350,00 
 
8) Um título no valor nominal de $ 20.000,00 sofre um desconto comercial simples de 
$ 1.800,00, três meses antes de seu vencimento. Calcule a taxa mensal de desconto. 
 R: i = 3%. 
 
9) Uma Duplicata de valor nominal de $ 20.000,00 foi resgatada por $ 19.250,00. Se a taxa 
de desconto comercial simples era de 90% a.a., quanto tempo restava para o 
vencimento dessa Duplicata? 
 R: n = 15 dias 
 
10) Qual o valor atual comercial recebido pelo detentor de um Título no valor de $ 4.000,00, 
descontado 7 meses antes do vencimento, a uma taxa de 6,5% a.m. Qual foi a taxa 
efetiva de desconto comercial aplicada na operação? 
 R: Vc = $ 2.180,00; if = 11,93% a.m. 
 
11) Um Título com valor nominal de $ 6.000,00 foi descontado 5 meses antes do 
vencimento, a uma taxa de 5% a.m. Qual o valor do desconto comercial simples e qual 
o valor do recebido pelo detentor do título? 
 R: Vc: $ 4.500,00; Dc = $ 1.500,00 
 
12) Ao quitar uma dívida, obteve-se um desconto comercial simples. O valor nominal era de 
$ 15.000 e a taxa de desconto de 2,75% ao mês. A antecipação foi de 9 meses. Qual o 
valor pago pela dívida? 
R: Vc = $ 11.287,50 
 
13) Uma nota promissória de $ 22.000,00 é descontada 6 meses antes do vencimento, à 
uma taxa de desconto comercial simples de 1,6% a.m. Calcule o valor atual da nota. 
 R: Vc = $ 19.888,00 
 
14) Calcule o valor atual comercial simples recebido por Diego pelo seu título no valor de 
$ 5.000,00, descontado 3 meses antes do vencimento, a uma taxa de 8,5% a.m. Calcule 
também a taxa efetiva de desconto comercial dessa operação? 
R: Vc: $ 3.725,00 e If = 11,41% a.m. 
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Professor Aldery Silveira Jr. 27 
15) Em uma operação de desconto comercial simples de um título com valor nominal de 
$ 250,00, o desconto auferido foi de $ 25,00. Considerando que a taxa utilizada foi de 
10% ao mês, qual foi o tempo de antecipação? 
R: n = 1 mês. 
 
16) Uma duplicata com valor nominal de R$ 35.000,00 foi descontada 8 meses antes do 
vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 24% a.a, determine o valor 
recebido pelo detentor do título. 
R: Vc =$ 29.400,00 
 
17) Por quanto tempo devo antecipar o pagamento de um título de $ 1.100,00 para obter um 
desconto comercial de $ 300,00, a uma taxa de 3,5% ao mês? 
R: n = 7m e 24d 
18) Qual o valor atual comercial recebido por um título de $ 900,00 descontado 2 meses 
antes do vencimento a uma taxa de 1,5% ao mês? 
R: Vc = $ 873,00 
 
19) Qual taxa de juros devo descontar um título de $ 15.000,00 para obter um desconto 
comercial de $ 1.500,00, descontado 3 meses antes do vencimento? 
R: i = 3,33% a.m. 
 
20) Uma duplicata de $ 250.000,00 foi resgatada por $ 215.000,00, antes do seu 
vencimento. Calcular o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de desconto 
comercial foi de 3,5 % ao mês. 
R: n = 4 meses 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Professor Aldery Silveira Jr. 28 
3.3 – Desconto Racional Composto 
 
O princípio do Desconto Racional Composto é o mesmo do Desconto Racional Simples, 
sendo que agora os juros utilizados são os compostos. 
 
Na prática, em se tratando de operações com juros compostos, utiliza-se apenas o Desconto 
Racional. 
 
 
 
3.3.1 – Fórmulas de Desconto Racional Composto 
 
A única diferença do Desconto Racional Composto em relação ao Desconto Racional 
Simples diz respeito apenas ao regime de juros, o princípio é o mesmo. 
 
1) N = Vrc 1+ i( )
n
 à Vrc = N
1+ i( )
n à i =
N
Vrc
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
n
−1 à n =
Log N
Vrc
Log 1+ i( )
 
 
2) N = Vrc +Drc à Vrc =N−Drc à Drc =N−Vrc 
 
3) DRC =N 1−
1
1+ i( )
n
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 ou DRC= N [1 − (1 + i)
−n] 
 
Exemplo: 
 
N = 10.000,00 i = 10% a.m. 
n = 3 meses Drc = ? 
Vrc =? 
Drc =10.000,00 1− 1
1,1( )
3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 à Drc =10.000,00 1− 1
1,331
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ à Drc = $ 2.486,85. 
 
Vrc = $ 7.513,15 
 
 
Exercícios resolvidos: 
. 
(1) Qual o valor do desconto racional composto de um titulo de $ 8.000,00 descontado 
dois meses antes do vencimento a taxa de 5,5% a.m. 
 
N = 8.000,00 i = 5,5% a.m. = 0,055 a.m. 
n = 2 meses Drc = ? 
 
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Professor Aldery Silveira Jr. 29 
DRC= N 1−
1
(1 + i)n
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
 è DRC= 8.000,00 1−
1
(1 + 0,055)2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
 
Drc = 812,38 
Resolução pela HP 12C: 8000 CHS FV 2 n 5,5 i PV. CHS 8000 +. f 2. 
 
 
(2) Um titulo com valor nominal de $ 15.000,00 foi descontado antes do vencimento, 
tendo o detentor desse titulo recebido $ 13.870,00. Considerando uma taxa de 42% 
a.a., determine o período de antecipação (juros compostos). 
 
N = 15.000,00 i = 42% a.a. = 0,42 a.a. 
Vrc = 13.870,00n = ? 
 
n =
Log N
VRC
Log (1 + i) 
 è n =
Log 15.000,00
13.870,00
Log (1 + 0,42) 
 
n = 0,223357855 ano 
 
Transformando o resultado em números inteiros: 
 
0,223357855 x 12 = 2,680294254 meses 
 
0,680294254 x 30 = 20,40882762 
 
n = 2 meses e 20 dias 
 
Resolução pela H 12C: 
 
 15000 ENTER 13870 ÷ g LN 1,42 g. LN / 12 X 2 - 30 X. f 0. 
 
 
(3) Caso desconte um titulo de $ 5.000,00 três meses antes do vencimento e receba 
$ 4.380,00 qual é a taxa de juros compostos dessa operação? 
 
N = 5.000,00 n = 3 meses 
Vrc = 4.380,00 i = ? 
 
i = N
VRC
n − 1
 
 è i = 5.000,00
4.380,00
3 − 1
 
 
i = 0,045117828 a.m. 
 
i – 4,51% a.m. 
 
Resolução pela H 12C: 5000 ENTER 4380 ÷ 3 1/x 𝐘𝐗 1 -. 100 X f 2. 
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Professor Aldery Silveira Jr. 30 
3.3.2 – Exercícios sobre Desconto Racional Composto 
 
1) Quanto deverá ser o valor do desconto racional composto de um Título cujo valor 
nominal de $ 29.500,00, que será descontado 8 meses antes do vencimento, a uma taxa 
de 6,8% a.m.? 
 R: Drc = $ 12.071,82 
 
2) O valor de certo Título no vencimento é de $ 175.000,00. O detentor do mesmo, 
desejando saldar algumas dívidas, resolveu antecipá-lo, recebendo um valor de 
$ 144.000,00, sendo utilizada, para tanto, uma taxa de desconto racional composto de 
5,5% a.m. Qual foi o período de antecipação? 
 R: n = 3 meses e 19 dias 
 
3) Carlos Alberto deseja antecipar o pagamento de um empréstimo no valor de 
$ 15.000,00, que vencerá daqui a 10 meses, tendo negociado com o credor o 
pagamento de $ 13.685,00 para liquidar a dívida. Qual foi a taxa de desconto racional 
composto acordada nessa operação? 
 R: i = 0,92% a.m. 
 
4) Um Título cujo valor nominal era de $ 55.000,00 foi antecipado em 3 meses, utilizando-
se uma taxa de desconto racional composta de 6,35% a.m. Pergunta-se: qual o valor 
líquido que foi recebido pelo dono do Título? 
 R: Vrc = $ 45.724,63 
 
5) Um Titulo com valor nominal de $ 8.000,00, vencível em 3 meses, foi descontado à taxa 
de 4,5% a.m. Calcule o valor do desconto racional composto. 
 R: Drc = $ 989.63 
 
6) Qual o valor do desconto racional de um título cujo valor nominal é $ 13.000,00, caso ele 
seja resgatado 4 meses antes do vencimento, a uma taxa composta de 4,2% a.m.? 
 R: Drc = 1.972,62 
 
7) Que desconto racional deve-se exigir na compra de um Título com valor nominal de 
$ 25.000,00, vencível em 3 meses, se a taxa de juro composto for de 5% a.m.? 
 R: Drc = $ 3.404,06 
 
8) Um Titulo com valor nominal de $ 18.000,00 foi descontado 5 meses antes de seu 
vencimento, obtendo-se um desconto de $ 500,00. Qual foi a taxa de desconto racional 
composto utilizada nessa operação? 
 R: i = 0,57% a.m. 
 
9) Marcos comprou um título da dívida pública com valor nominal de $ 138.503.39, com 
vencimento para 180 dias. Calcule o valor de compra deste título sabendo que o 
governo está adotando a taxa Selic de 14,5% a.a. como indexador de referência. 
 R: Vrc = $ 129.436.77 
 
10) Desconta-se racionalmente uma Nota Promissória 6 meses antes do vencimento. 
Sabendo que o valor nominal da mesma era de $ 79.500,00 e o valor do desconto 
racional foi de $ 8.750,00. Qual foi a taxa de juro composto empregada nessa operação? 
 R: i = 1,96% a.m. 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 31 
11) Qual é o valor do desconto racional composto sofrido por um Título com valor nominal 
de $ 6.688,78, descontado 55 dias antes do vencimento, à taxa de 6% a.a.? 
 R: Drc = $ 59,28 
 
12) Um Título com valor nominal de $ 8.996,68 foi descontado 5 meses antes do 
vencimento, a uma taxa composta de 2,5% a m. Calcule o valor líquido recebido pelo 
detentor do Título, tendo em vista que a operação foi realizada sob o critério de 
Desconto Racional Composto. 
 R: Vrc = $ 7.951,75 
 
13) Uma dívida com valor de $ 8.560,00 foi descontada 5 meses antes do vencimento sob o 
critério de Desconto Racional Composto. Sabendo que a taxa de juros foi de 1,5% a.m., 
qual foi o valor do desconto obtido? 
 R: Drc = $ 614,09 
 
14) Tenho uma divida de $ 50.000,00 e pretendo liquidá-la 5 meses antes de vencimento, a 
uma taxa de juros compostos de 5% a.m. Considerando o desconto racional composto, 
quanto deverei pagar por essa dívida? 
 R: Vrc = $ 39.176,31 
 
15) Bruna pretende descontar um título de $ 10.000 8 meses antes do vencimento. Se ela 
receber $ 7.500,00. Qual será a taxa de juros compostos dessa operação? 
 R: i = 3,66% a.m. 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 32 
4 – Equivalência de Capitais Diferidos 
 
Definição: 
 
Um conjunto de capitais diferidos no tempo (um ou mais capitais) é considerado equivalente 
a outro conjunto de capitais também diferidos se, e somente se, for descontado para uma 
mesma data focal e em idênticas condições e produzir o mesmo valor. 
 
• Data focal: data base de comparação dos valores diferidos. 
• Idênticas condições: mesmo critério de desconto e mesma taxa de juros. 
 
 
 
4.1 – Equivalência de Capitais Diferidos com Desconto Racional Simples 
 
Duas dividas, a primeira no valor de $ 5.000,00 com vencimento para hoje, e uma segunda, 
com o valor de $ 10.000,00 com vencimento para três meses estão sendo negociadas por 
duas outras dividas. A primeira no valor de $ 7.000,00 com vencimento para quatro meses e 
a segunda para ser paga a seis meses. Considerando o critério de desconto racional 
simples, e data focal três e taxa de 5% ao mês, calcule o valor do segundo pagamento. 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 5.000,00 10.000,00 
 |---------------|----------------|---------------|----------------|----------------|---------------| 
 0 1 2 3 4 5 6 
 7.000,00 X 
 
 
 
Obs.: 
 
Usar a fórmula de Valor Nominal (ou Montante) 
Usar a fórmula de Valor Atual (ou Capital) 
 
 
5.000,00 1+0,05.3( )+10.000,00 = 7.000,001+0,05.1+
X
1+0,05.3
 
 
5.750,00+10.000,00 = 6.666,67+0,869565217X 
 
X = 9.083,33/0,869565217 
 
X = 10.445,83 
 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 33 
 
Suponha que você deva $ 3.000,00 para pagamento daqui a cinco meses e queira 
renegociar essa divida para pagar em três pagamentos mensais e iguais, vencendo o 
primeiro pagamento a trinta dias. Considerando o critério de desconto racional simples e 
data focal três e taxa de 3% ao mês, calcule o valor dos pagamentos. 
 
Resolução: 
 
 3.000,00 
|---------------|--------------|--------------|----------------|---------------| 
 0 1 2 3 4 5 
 X X X 
 
 
3.000,00
1+0,03.2( )
= X +X 1+0,03.1( )+X 1+0,03.2( ) . 
2.830,19 = X + 1,03X + 1,06X è X = 2.830,19
3,09
 
 
X = 915,92 
 
 
 
Refazendo o exemplo anterior considerando como data focal a data zero. 
 
Resolução: 
 
 
 3.000,00 
 |---------------|---------------|---------------|---------------|---------------| 
 0 1 2 3 4 5 
 X X X 
 
 
 
 
 
3.000,00
1+0,03.5
= X 1
1+0,03.1
+
1
1+0,03.2
+
1
1+0,03.3⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ 
 
2.608,70 = 2,831701205X 
 
X = 2.608,70
2,831701205
 
 
X = 921,25 
 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 34 
 
4.2 – Exercícios sobre Equivalência de Capitais Diferidos Desconto 
Racional Simples 
 
1) Márcia tem duas dívidas, sendo uma de $ 3.500,00 com vencimento para 5 meses e 
outra de $ 1.500,00 com vencimento para hoje. Ela pretende renegociar essas dívidas 
para liquidá-las em um único pagamento com vencimento para daqui a 4 meses. Qual o 
valor dessa nova dívida, considerando o critério de desconto racional simples, data focal 
quatro e taxa de 4% a.m.? 
 R: $ 5.105,38 
 
2) Caso você deva $ 15.000,00 para pagar daqui 10 meses e queira renegociar tal dívida 
para pagar em 3 prestações iguais, vencíveis nos meses 5, 6 e 7, qual seria o valor das 
prestações, se for adotado o critério de desconto racional simples, uma taxa de 3,5% 
a.m. e data focal sete? 
 R: $ 4.371,87 
 
3) Uma loja de instrumentos musicais vende um violão Eagle por $ 1.899,00 à vista. Como 
opção, esse bem pode ser pago em duas parcelas mensais e iguais, vencíveis em 3 e 4 
meses. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 24% a.a., qual será o valor dos 
pagamentos, considerando data focal zero e critério de desconto racional simples? 
 R: $ 1.015,88 
 
4) Ao vender seu carro, João propôs uma entrada de $ 8.000,00 e outra parcela de 
$ 6.000,00 para 6 meses. O comprador propôs a seguinte alternativa: o pagamento de 
uma parcela em 3 meses no valor de $ 7.000,00 e o restante em 10 meses. 
Considerando uma taxa de juros de 2,25% a.m., qual o valor do segundo pagamento? 
(Data focal 6 e critério desconto racional simples) 
 R: $ 8.292,18 
 
5) Uma moto custa $ 6.000,00 à vista, porém, após um acordo feito entre o comprador e o 
vendedor, ficou acertado que o pagamento seria feito em 3 parcelas trimestrais iguais, 
vencendo a primeira daqui a 3 meses. Calcule o valor das parcelas sabendo que a taxa 
de juros é de 3% a.m., a data focal é a zero e o critério desconto racional simples. 
 R: $ 2.350,83 
6) Uma televisão é vendida por $ 700,00 à vista ou duas parcelas trimestrais iguais, 
vencendo a primeira 3 meses após a compra. Considerando o critério desconto racional 
simples, taxa de 2% a.m. e data focal zero, calcule o valor dos pagamentos. 
 R: i = 381,21 
 
7) Em uma concessionária de veículos, um determinado carro custa $15.000,00 à vista. 
Caso esse carro seja pago em 3 parcelas mensais e iguais, com a 1ª para 30 dias após 
a compra, a juros de 2% a.m., qual o valor das parcelas, uma vez seja adotado o critério 
de desconto racional simples e data focal zero? 
 R: $ 5.198,72 
 
8) Ricardo comprou uma maquina fotográfica que custava $ 1.800,00 à vista para ser paga 
em 4 prestações mensais e iguais, vencendo a primeira prestação daqui 3 meses, qual 
o valor dos pagamentos, uma vez que foi adotado o critério de desconto racional 
simples, taxa de 2% a.m. e data focal 6? 
 R: $ 489,32 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 35 
 
9) Rosane possui um titulo no valor de $ 900,00, vencendo para daqui a 60 dias e outra no 
valor de $ 700,00, vencendo para daqui a 90 dias. Necessitando de dinheiro, Rosane 
desconta os dois títulos em uma financeira, tendo a operação sido efetuada sob o 
critério de desconto racional simples, taxa de 3,5% a.m. e data focal zero. Calcule o 
valor recebido pela mesma. 
 R: $ 1.474,60 
 
10) Possuo uma divida no valor de $ 3.000,00 para pagamento daqui a três meses. No 
entanto, quero quitá-la hoje. Considerando o critério de desconto racional simples, taxa 
de 2,5% a.m. e data focal zero, quanto deverei desembolsar para liquidar a dívida? 
 R: $ 2.790,70 
 
1. Arthur tem uma dívida de $ 50.000,00 para ser paga em junho do próximo ano. 
Considere que estamos em dezembro. Arthur percebeu que sua empresa deu mais lucro 
do que o esperado e ele quer aproveitar o excedente para quitar suas dívidas em três 
parcelas iguais iniciando os pagamentos em fevereiro. Qual o valor da parcela? 
Considere a data focal como fevereiro e uma taxa de 2% a.m. 
R: $23.840,30 
 
1. Pedro tem duas dívidas, sendo uma de $ 8.500,00 com vencimento para 6 meses e outra 
de $ 2.500,00 com vencimento para hoje. Ele gostaria de renegociar essas dívidas para 
liquidá-las em um único pagamento com vencimento para daqui a 4 meses. Qual o valor 
dessa nova dívida, considerando o critério de desconto racional simples, data focal 
quatro e taxa de 2% a.m.? 
R: $ 10.873,08 
 
1. Maria deve $ 15.000,00 para pagar daqui a 6 meses e quer renegociar tal dívida para 
pagar em 3 prestações iguais, vencíveis nos meses 2, 3 e 4. Qual seria o valor das 
prestações, se for adotado o critério de desconto racional simples, uma taxa de 2,5% 
a.m. e data focal seis? 
R: $ 4.651,16 
 
1. Lúcia tem que pagar uma dívida daqui a 3 meses no valor de $ 4.000,00. Caso queira 
renegociar essa dívida para pagar em 2 parcelas mensais e iguais, com a primeira 
vencendo daqui a trinta dias. Qual será o valor das parcelas se for considerando o 
critério de desconto racional simples, taxa de 5% ao mês e data focal 3? 
R: $ 1.860,47 
 
1. Um celular é vendido por $ 1.700,00 à vista ou duas parcelas trimestrais iguais, 
vencendo a primeira daqui a 3 meses após a compra. Considerando o critério desconto 
racional simples, taxa de 3,5% a.m. e data focal zero, calcule o valor dos pagamentos. 
R: $ 981,85 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 36 
4.3 – Equivalência de Capitais Diferidos com Desconto Comercial Simples 
 
Duas dividas, a primeira no valor de $ 5.000,00 com vencimento para hoje, e uma segunda, 
com o valor de $ 10.000,00 com vencimento para três meses estão sendo negociadas por 
duas outras dividas. A primeira no valor de $ 7.000,00 com vencimento para quatro meses e 
a segunda para ser paga a seis meses. Considerando o critério de desconto comercial 
simples, e data focal três e taxa de 5% ao mês, calcule o valor do segundo pagamento. 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 5.000,00 10.000,00 
 |---------------|----------------|---------------|----------------|----------------|---------------| 
 0 1 2 3 4 5 6 
 7.000,00 X 
 
 
 
5.000,00 / 1 - 0,05.3 + 10.000,00 = 7.000,00 (1 - 0,05.1) + X (1 - 0,05.3) 
 
5.882,35 + 10.000,00 – 6.650,00 = 0,85X 
 
X = 9.232,35/0,85 
 
X = 10.861,59 
 
 
Suponha que você deva $ 3.000,00 para pagamento daqui a cinco meses e queira 
renegociar essa divida para pagar em três pagamentos mensais e iguais, vencendo o 
primeiro pagamento a trinta dias. Com desconto comercial simples e data focal três, calcule 
o valor dos pagamentos. Taxa de 3% ao mês. 
 
Resolução: 
 
 3.000,00 
|---------------|--------------|--------------|----------------|---------------| 
 0 1 2 3 4 5 
 X X X 
 
 
( )
( ) ( )2.03,01
X
1.03,01
XX2.03,0100,000.3
−
+
−
+=− . 
2.820,00 = X + 1,030927835X + 1,06382978X è 
094757622,3
00,820.2
=X 
 
X = 911,22 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 37 
 
 
4.4 – Exercícios sobre Equivalência de Capitais Diferidos com Desconto 
Comercial Simples 
 
1) João tem umadívida de $ 4.500,00 que vence no próximo mês, mas decide renegociá-la 
para pagar em duas prestações iguais e seguidas, sendo a primeira com vencimento em 
3 meses. Qual o valor das prestações, se adotado o critério de desconto comercial 
simples, taxa de 2% a.m. e data focal quatro? 
R: $ 2.369,44 
 
2) Pedro tem que pagar uma dívida daqui a 6 meses no valor de $ 4.000,00. Caso queira 
renegociar essa dívida para pagar em 3 parcelas mensais e iguais, com a primeira 
vencendo daqui a trinta dias, qual será o valor das parcelas se for considerando o 
critério de desconto comercial simples, taxa de 4% ao mês e data focal 6? 
R: $ 1.118,31 
 
3) Juliana deseja substituir 3 títulos de $ 10.000,00, $ 20.000,00 e $ 30.000,00, com 
vencimentos respectivamente para 3, 6 e 9 meses, por um único titulo com vencimento 
para daqui a 1 ano. Qual será o valor desse novo titulo, uma vez que seja adotada uma 
taxa de 3% a.m., data focal 1 ano e critério de desconto comercial simples? 
R: $ 71.055,91 
 
4) Dois títulos: um de $ 15.000,00, com vencimento para hoje e outro de $ 70.000,00, com 
vencimento para 6 meses serão substituídos um por um único título com vencimento 
para 3 meses. Considerando o critério de desconto comercial simples, taxa de 84% a.a. 
e data focal 3, calcule o valor desse novo título. 
R: $ 74.287,34 
 
5) Uma empresa possuía duas dívidas junto a um determinado banco: $ 900,00 e 
$ 1.200,00, com vencimento para daqui a 5 e a 8 meses, respectivamente. O gerente do 
banco propôs transformar as duas dívidas em uma só, com vencimento para 10 meses, 
adotando-se, para tanto, uma taxa de 4% a.m., critério de desconto comercial simples e 
data focal zero. Calcule o valor da nova dívida. 
R: $ 2.560,00 
 
6) Tenho uma divida de $ 3.000,00 para pagamento daqui a 4 meses e quero renegociar 
essa divida para ser paga em 3 pagamentos mensais e iguais, vencendo o primeiro 
pagamento pra daqui trinta dias. Qual o valor das parcelas, sabendo que a data focal é 
3, desconto comercial simples e taxa de 3% ao mês. 
R: $ 940,30 
 
7) Uma determinada motocicleta custa $ 6.000,00 à vista. Quero comprá-la em 3 
pagamentos mensais e iguais com vencimento do primeiro pagamento para daqui 60 
dias, com taxa de 3,75% a.m. Calcule o valor desses pagamentos considerando o 
critério de desconto comercial simples e data focal 2. 
R: $ 2.246,40 
 
8) Laura comprou uma bolsa que custava $ 800,00 à vista, porém, não possuindo o valor 
total, parcelou em 3 prestações mensais e iguais, vencendo a primeira prestação para 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 38 
daqui 30 dias após a compra. Qual o valor dos pagamentos, uma vez que foi adotado o 
critério de desconto comercial simples, taxa de 1,5% a.m. e data focal 1? 
R: $ 274,85 
 
9) Caso você deva $ 15.000,00 para pagar daqui 12 meses e queira quitar a dívida hoje, 
qual seria o valor do pagamento, se for adotado o critério de desconto comercial simples, 
uma taxa de 3 % a.m. e data focal zero? 
R: $ 9.600,00 
 
10) Wilson tem uma dívida de $ 4.500,00 que vence no próximo mês, mas decide renegociá-
la para pagar em duas prestações iguais e seguidas, sendo a primeira com vencimento 
para 3 meses. Qual o valor das prestações, se adotado o desconto comercial simples, 
taxa de 2% a.m. e data focal quatro? 
R: $ 2.369,44 
 
11) Dois títulos: um de $ 18.500,00, com vencimento para 2 meses e outro de $ 23.000,00, 
com vencimento para 6 meses, serão substituídos por um único título com vencimento 
para 3 meses. Considerando o critério de desconto comercial simples, taxa de 6% a.m. e 
data focal 3, calcule o valor desse novo título. 
R: $ 38.540,85 
 
12) Júlio comprou alguns móveis para sua casa nova, ficando com uma dívida no valor 
$ 7.300,00 para ser paga daqui 10 meses. Júlio deseja parcelar esse valor em quatro 
vezes, sendo a primeira para ser paga em 60 dias. Qual seria o valor das parcelas? 
Considerando o critério de desconto comercial simples e data focal 2 com juros de 3,5% 
ao mês 
R: $ 1.386,81 
 
13) Pedro comprou um carro no valor de $ 35.000,00, caso ele queira parcelar o valor em 3 
pagamentos mensais e iguais, sendo a primeira parcela para ser paga em 90 dias. Qual 
será o valor das parcelas? Considerando o critério de desconto comercial simples, data 
focal 3 e taxa de 11% ao mês. 
R: $ 19.565,10 
 
14) Duas dividas, a primeira no valor de $ 10.000,00 com vencimento para hoje, e uma 
segunda, com o valor de $ 3.000,00 com vencimento para três meses estão sendo 
negociadas por duas outras dívidas. A primeira no valor de $ 7.000,00 com vencimento 
para quatro meses e a segunda para ser paga daqui a seis meses. Considerando o 
critério de desconto comercial simples, e data focal três e taxa de 10% ao mês, calcule o 
valor do segundo pagamento. 
R: $ 15.693,87 
 
15) Carol tem uma dívida de $ 12.500,00 que vence no próximo mês, porém, pretende 
renegociá-la para pagar em duas prestações iguais e seguidas, sendo a segunda com 
vencimento em quatro meses. Qual o valor das prestações, se adotado o critério de 
desconto comercial simples, taxa de 5% a.m. e data focal quatro? 
R: $7164,40 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 39 
4.5 – Equivalência de Capitais Diferidos com Desconto Racional 
Composto 
 
Em juros compostos, a determinação da data focal deixa de ter importância, pois qualquer 
data focal que venha a ser utilizada leva o resultado da operação ao mesmo valor. 
 
Um determinado bem custa $ 5.000,00 à vista. Caso você queira adquirir esse bem a prazo, 
para pagamento em três vezes iguais, vencendo o primeiro um mês após a compra, qual 
será o valor dos pagamentos se for considerado o critério de Desconto Racional Composto e 
taxa de 3% ao mês? 
 
5.000 
 |-------------|--------------|--------------| 
 0 1 2 3 
 X X X 
 
 
5.000,00 = X
1,03( )
+
X
1,03( )
2
+
X
1,03( )
3
⇒ X = 5.000,00
2,828611355 
 
X = 1.767,65 
 
 
Exercícios resolvidos: 
 
(1) Caso você deva pagar $ 15.000,00 daqui a 6 meses e $ 8.000,00 em 12 meses, e 
queira renegociar essas dívidas para pagar $ 5.000,00 hoje e o restante em 3 meses, 
qual será o valor do pagamento, se for considerado uma taxa de 37% ao ano e critério 
de desconto racional composto? 
 
Obs.: 1) Como a taxa está em ano, sugere-se transformar o tempo para ano 
 2) Resolver o exercício utilizando a data 0,25 ano como Data Focal: 
 
 
 
 
 
 15.000,00 8.000,00 
 |-------------------|--------------------|------------------------------------------| 
 0 0,25 0,5 1 
5.000,00 X 
 
 
15.000
1,37( )
0,25
+
8.000
1,37( )
0,75
= 5.000. 1,37( )
0,25
+X 
 
X =13.864,72+ 6.317,56−5.409,41 è X = 14.772,87 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 40 
(2) Três dividas, a 1ª no valor de $ 3.000,00, a 2ª de $ 7.000,00 e a 3ª de $ 20.000,00, 
com vencimentos para 15 dias, 5 meses e 11 meses, respectivamente, estão sendo 
renegociadas para serem pagas hoje. Qual o valor desse pagamento se for usado 
taxa de 45% ao ano e critério de desconto racional composto? 
 
Obs.: 1) Como a taxa está em ano e o tempo em mês, sugere-se transformar a taxa para 
mês, por meio da equivalência de taxas 
 2) Resolver o do exercício utilizando a data Zero como Data Focal: 
 
 
 
 
 
 
 3.000,00 7.000,00 20.000,00 
 |--------------|----------------------------|---------------------------------------------------| 
 0 0,55 11 
 X 
 
ik = 1 + ik − 1 è ik = 1 + 0,45
12 − 1 
 
ik = 0,031447989 a.m. 
 
3.000
1,031447989( )
0,5
+
7.000
1,031447989( )
5
+
20.000
1,031447989( )
11
= X 
 
X = 2.913,91+5.995,00+14.226,87 
 
X = 23.176,78 
 
 
 
4.6 – Exercícios sobre Equivalência de Capitais Diferidos com Juros 
Compostos 
 
1) Carlos possui duas dívidas, uma no valor de R$ 1.000,00 que vence hoje e outra no 
valor de R$ 1.500,00 que vence em três meses. Estas dívidas estão sendo negociadas 
por outras duas, sendo a primeira para daqui a 2 meses, no valor de R$ 750,00 e a 
segunda a ser paga daqui a 5 meses. Sabendo que taxa é de 2% ao mês, calcule o 
valor do segundo pagamento utilizando o critério de desconto racional composto. 
R: $ 1.868,77 
 
2) Uma máquina de lavar roupa custa R$ 7.000,00 a vista. Caso o cliente queira adquirir 
esse bem a prazo, para pagamento em três parcelas mensais e iguais, vencendo o 
primeiro em um mês após a compra. Qual será o valor das parcelas considerando a 
taxa de 3% ao mês e o critério de desconto racional composto? 
R: R$ 2.474,71 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 41 
3) Suponha que você tenha uma divida de $10.000,00 com vencimento para daqui a 8 
meses, porém você quer negociá-la para pagar $ 7.000,00 hoje e o restante daqui a 
dois meses. Qual será o valor do segundo pagamento se for considerado a taxa mensal 
de 2,5% ao mês e o critério do desconto racional composto? 
R: $ 1.268,59 
 
4) João aplicou $ 30.000,00 em um banco que rende juros de 37% ao ano, pretendo assim 
retirar o montante em 9 meses. Entretanto decorrido 2 meses ele retirou 
$ 5.000,00. Qual o valor retirado por ele no fim de 9 meses? 
R: $ 31.981,42 
 
5) João Deve $ 35.000,00 para daqui um ano, porém recebeu um dinheiro de uma causa 
na justiça e propôs o refinanciamento de sua divida, comprometendo a liquidá-la em 3 
parcelas trimestrais iguais, vencendo a primeira hoje. Quanto será o valor das parcelas 
se a taxa de juros composto cobrada é de 20% ao ano? 
R $ 10.168,58 
 
6) Uma divida de $ 7.350,00 para 12 meses e outra de $ 8.000,00 para 24 meses foi 
transformada em 4 parcelas iguais semestrais, vencendo a primeira daqui a 6 meses. 
Qual é o valor das parcelas, se a taxa de juros considerada é de 34% ao ano? 
R: $ 3.535,33 
 
7) Henrique deseja comprar uma moto de $ 13.000,00. Ele dispõe de $ 7.000,00 para 
pagar a vista e pretende financiar o restante em 3 pagamentos iguais e trimestrais, com 
o primeiro pagamento para daqui a 90 dias. Considerando uma taxa trimestral de 4%, 
qual será o valor das prestações? 
R: $ 2.162,09 
 
8) Uma televisão está sendo vendida por $ 6.500,00 à vista ou pode ser adquirida com 
uma entrada de $ 2.000,00 mais 3 parcelas mensais, com a primeira vencimento para 
60 dias. Sabe-se ainda que a taxa de juros anual é de 17%. Qual é o valor das 
prestações? 
R: $ 1.559,96 
 
9) Uma loja especializada em bicicletas anunciou que vende uma super bicicleta de 
corrida por $ 1.000,00 à vista ou em dois pagamentos mensais, sendo o primeiro para 3 
meses e o segundo para 4 meses. Considerando uma taxa de 14% a.a., calcule o valor 
dos pagamentos. 
R: $ 519,47 
 
10) Uma loja de Móveis tinha uma dívida com seus fornecedores e decidiu negociá-la. 
Substituiu 3 dívidas de $ 5.000,00, $ 2.000,00 e $ 3.000,00 com prazo de vencimento 
de 30, 60 e 90 dias, respectivamente, por um único título vencível em 180 dias. Qual é o 
valor desse título, sabendo que a taxa é de 25% a.a.? 
R: $ 10.813,73 
 
11) Uma dívida de $ 20.000 para ser paga em 1 ano e outra no valor de $ 30.000 para ser 
paga em 2 anos foram refinanciadas para serem pagas em 4 parcelas iguais e 
semestrais, sendo que a 1ª será para daqui 6 meses. Considerando uma taxa de 20% 
a.a., qual será o valor das parcelas? 
R: $ 11.713,72 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 42 
12) Um comerciante tem uma dívida de $ 14.500,00, vencendo em 5 meses e quer pagar 
esta dívida parceladamente. Ele conseguiu junto ao banco o parcelamento em 3 vezes 
iguais, a juros de 2,3% ao mês, vencendo a primeira em um mês. Qual o valor das 
prestações? 
R: $ 4.513,83 
 
13) Determine o valor nominal de um titulo com vencimento para 5 meses que substituirá 
outros dois no valor de $ 500,00 cada, vencendo em 30 e 60 dias, à taxa de 3% a.m. 
R: $ 1.109,12 
 
14) Faltam 3 prestações mensais e iguais de $ 700,00 para quitar um financiamento de um 
imóvel, vencendo a 1ª em 30 dias,. Quero pagá-las uma única prestação daqui a 60 
dias. Considerando uma taxa mensal de 4%, qual o valor desse pagamento? 
R: $ 2.101,08 
 
15) Duas dívidas, a primeira no valor de $ 500,00 com vencimento para hoje, e a segunda, 
com valor de $ 700,00 com vencimento para três meses, estão sendo negociadas por 
duas outras dívidas: a primeira no valor de $ 400,00, com vencimento para 4 meses e a 
segunda com vencimento para 6 meses. Considerando o critério de desconto racional 
composto e taxa de 5,2% ao mês, calcule o valor do segundo pagamento. 
R: $ 1.050,04 
 
16) Suponha que você deve $ 12.000,00 para daqui a 6 meses e queira renegociar essa 
dívida para pagar em três pagamentos bimestrais e iguais, vencendo o primeiro daqui a 
60 dias. Considerando uma taxa de 7% ao mês, calcule o valor dos pagamentos. 
R: $ 3.472,53 
 
17) Um título com valor nominal de $ 75.000,00, com vencimento para 5 meses, é trocado 
por outro com vencimento para 3 meses. Sabendo que a taxa de juro corrente no 
mercado é de 3% ao mês, qual o valor nominal do novo título? 
R: $ 70.694,69 
 
18) Um comerciante, devedor de um título de $ 400.000,00, com vencimento para 3 anos, 
deseja substituir essa dívida por dois pagamentos anuais e iguais: um para daqui a 1 
ano e outro no fim de 2 anos. Sabendo-se que a taxa é de 40% ao ano, calcule o valor 
desses pagamentos. 
R: $ 119.047,62 
 
19) Uma televisão de plasma que custa $ 7.000,00 pode ser adquirida em 5 prestações 
mensais iguais, sendo a primeira na data da compra. Qual o valor de cada uma dessas 
prestações se for adotada uma taxa composta de 10% a.m.? 
R: $ 1.678,70 
 
20) Um empresário possui dois títulos a pagar com valores de $ 50.000,00 e 
$ 70.000,00, vencíveis em 3 e 7 meses, respectivamente, a partir da data presente. 
Sem liquidez para quitar os débitos em suas datas, negocia com a Instituição bancária - 
que estipula juros compostos de 3% a.m. - para substituição das dívidas por duas 
outras de igual valor a vencerem em 9 e 12 meses. Determinar o valor de cada débito 
nesta nova situação. 
R: $ 69.950,76 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 43 
Lista Extra de Exercícios nº 1 
 
 
I – Capitalização com Juros Compostos 
 
1) Determinar o montante, ao final de 2 anos, produzido por um capital de 
$ 2.000,00, aplicado a juros de 24% a.a.c.c.m. 
R: $ 3.216,87 
 
2) Um capital de $ 1.000,00 produz um montante de $ 1.150,00, ao final de 10 meses. 
Determinar a taxa de juro composto mensal dessa operação. 
R: 1,41% ao mês 
 
3) Determinar o tempo necessário para fazer um capital dobrar de valor, considerando uma 
taxa de juros compostos de 6% ao ano. 
R: 11a, 10m e 22d 
 
4) Uma pessoa toma $ 1.000,00 emprestado a juros compostos de 26,82% ao ano, pelo 
prazo de 10 meses. Qual o montante a ser devolvido? 
R: $ 1.218,96 
 
5) Uma pessoa aplicou $ 15.000,00 e após 1 ano recebeu $ 18.782,87 de juros. Qual foi a 
taxa de juro composto mensal pago pela financeira onde o dinheiro foi aplicado? 
R: 7%% ao mês 
 
6) Um investidor aplicou $ 25.000,00 em uma instituição que paga juro compostode 3% ao 
mês. Após certo período de tempo, ele recebeu $ 35.644,02, estando neste valor 
incluídos os juros creditados e o capital investido. Quanto tempo ficou o dinheiro 
aplicado? 
R: 12 meses 
 
7) Tendo investido $ 25.000,00 na Bolsa de Valores, João esperava ganhar 20% ao ano 
(juros compostos). Qual seria os juros recebidos por ele ao fim de 1 ano e 6 meses, caso 
tal rentabilidade ocorresse? 
R: $ 7.863,35 
 
8) Sabendo-se que a taxa trimestral de juros cobrada por uma instituição financeira é de 
12,486%, determinar qual o prazo em que um empréstimo de $ 20.000,00 seja 
resgatado por $ 36.018,23. 
R: 5 trimestres 
 
9) Qual é mais vantajoso: aplicar $ 10.000,00 por 3 anos, a juros compostos de 33% 
a.a.c.c.m. ou aplicar esse mesmo valor, pelo mesmo prazo, a juros simples de 3,5% ao 
mês? Demonstrar os cálculos. 
R: 33% a.a.c.c.m 
 
10) Em quanto tempo um capital pode produzir juros iguais a 50% do seu valor, se aplicado 
à taxa de 3,755% ao mês? 
R: 11 meses 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 44 
II – Desconto com Juros Simples 
 
11) O emitente de uma Nota Promissória de $ 53.500,00 para daqui a 4 meses, propôs-se a 
pagá-la imediatamente se seu portador concordasse em calcular seu valor atual através 
de um desconto racional simples, à taxa de 8% ao mês. O credor concordou. Quanto o 
devedor deverá pagar? 
 R: $ 40.530,30 
 
12) Um título de $ 300.000,00 foi resgatado antes do vencimento à taxa de 10% ao mês, de 
desconto racional simples. Qual o período de antecipação desse título, sabendo que o 
valor de resgate foi $ 260.869,56? 
 R: 1 mês e 15 dias 
 
13) Qual o valor nominal de um título resgatado 5 meses antes do vencimento por 
$ 6.481,48 numa instituição financeira que utiliza uma taxa de desconto racional simples 
de 1,6% ao mês? 
 R: $ 7.000,00 
 
14) Determine a taxa de desconto racional simples utilizada para obter um desconto de 
$ 80,00 sobre um título com valor nominal de $ 3.500,00, descontado 2 meses antes do 
vencimento. 
 R: 1,17% ao mês 
 
15) Quanto pagarei por um título de $ 700,00 se antecipar o seu pagamento em um mês, a 
uma taxa de desconto racional de 1,5% ao mês? 
 R: $ 689,66 
 
16) Por quanto tempo devo antecipar o pagamento de um título de $ 1.100,00 para obter um 
desconto comercial simples de $ 300,00, se for adotada uma taxa de 3,5% ao mês? 
 R: 7m e 24d 
 
17) Qual o valor atual comercial recebido por um título de $ 900,00 descontado 2 meses 
antes do vencimento, a uma taxa de 1,5% ao mês? 
 R: $ 873,00 
 
18) Qual taxa de juros devo descontar um título de $ 15.00,00 para obter um desconto 
comercial simples de $ 1.500,00, se o período de antecipação for de 3 meses? 
 R: 3,33% ao mês. 
 
19) Qual a taxa efetiva de desconto comercial que deverá ser aplicada sobre um titulo de 
$ 1.400,00, descontado por $ 1.200,00, 4 meses antes do vencimento? 
 R: 4,17% ao mês 
 
20) Determine o valor nominal de um título descontado comercialmente 5 meses antes do 
vencimento, a uma taxa de 8%, por $ 4.600,00? 
 R: $ 7.666,67 
 
 
 
 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 45 
III – Desconto com Juros Compostos 
 
21) Calcular o valor atual racional de um título com valor nominal de $ 75.000,00, 
descontado 6 meses antes do vencimento, a uma taxa composta de 3,25% a.m. 
 R: $ 61.904,31 
 
22) Calcular o valor do desconto racional composto de um título com valor nominal de $ 
11.261,62, descontado 6 meses antes do vencimento, à taxa composta de 2% a.m. 
 R: $ 1.261,62 
 
23) Por quanto tempo devo antecipar o pagamento de um título de $ 1.300,00 para obter um 
desconto racional composto de $ 313,00, se for considerada a taxa de 3,5% ao mês? 
 R: 8 meses 
 
24) Qual o valor atual racional composto recebido pelo detentor de um título de $ 5.000,00, 
descontado 15 dias antes do vencimento, a uma taxa de 1,5% ao mês? 
 R: $ 4.962,92 
 
25) Qual taxa de juros devo descontar um título de $ 15.00,00 para obter um desconto 
racional composto de $ 1.000,00, se antecipado em 3 meses? 
 R: 2,33% ao mês. 
 
26) Ao se descontar uma nota promissória de $ 19.000,00, recebeu-se um desconto de 
$ 3.600,00. Sabendo-se que a taxa de desconto racional composto aplicada foi de 1,5% 
a.m., calcule o período de antecipação dessa nota promissória. 
R: n = 1 ano, 2 meses e 3 dias. 
 
27 Deseja-se antecipar o pagamento de um empréstimo no valor de $ 8.000,00, com 
vencimento para daqui 6 meses, desembolsou-se $ 6.500,00, para liquidar a dívida. Qual 
foi a taxa de desconto racional composto nessa operação? 
R: 3,52% a.m. 
 
28 Um título cujo valor nominal era de $ 45.000,00 foi antecipado em 5 meses, utilizando-se 
uma taxa de desconto racional composto de 6,35% ao mês. Qual o valor recebido pelo 
detentor desse título? 
R: $ 33.076,92 
 
29 O valor recebido por um título descontado 6 meses antes de seu vencimento foi de $ 
25.000,00. Sabendo-se que a taxa de desconto racional composta utilizada na operação 
foi de 7% ao mês, qual o valor nominal deste título? 
R: $ 37.518,26 
 
30) Quanto deverá ser o valor do desconto racional composto de um título cujo valor nominal 
é $ 15.000,00, e que será descontado 4 meses antes do vencimento, a uma taxa de 
3,5% a.m.? 
R: $ 1.928,37 
 
 
 
 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 46 
IV – Equivalência de Capitais Diferidos com Juros Simples 
 
31) Um fazendeiro deve ao um banco $ 6.000,00 vencendo hoje e $ 10.000,00 com 
vencimento para daqui a sete meses. Essas dívidas foram renegociadas por duas outras: 
um pagamento de $ 8.000,00 com vencimento paga daqui três meses e outra com 
vencimento para daqui a oito meses. Considerando o critério de desconto racional 
simples, taxa de 7% ao mês e data focal 8, calcule o valor do segundo pagamento. 
R: $ 9.260,00 
 
32) Um empréstimo foi contratado para ser pago em duas parcelas, sendo uma para daqui a 
6 meses, no valor de $ 1.570,00, e outra para daqui a um ano, no valor de $ 1.925,00. 
Contudo, o pagamento foi antecipado para uma única parcela vencível daqui a 3 meses. 
Adotando o critério de desconto comercial simples, taxa de 13% a.a. e data focal 3, 
determine o valor a ser pago para liquidar a dívida 
R: $ 3.256,29 
 
33) Uma dívida no valor de $ 80.000,00 a ser quitada em 10 meses, será trocada por outra 
em duas parcelas: uma de $ 50.000,00 a vencer no sexto mês e outra para vencer no 
oitavo mês. Sabendo que a taxa é de 5% ao mês, a data focal é a 8 e o critério é 
desconto comercial simples, qual é valor a ser pago no oitavo mês? 
R: $ 16.444,44 
 
34) Argemiro tem duas dívidas junto a uma instituição financeira: uma no valor de $ 8.000,00 
para hoje e outra de $ 6.000,00 para daqui a um ano. Ele deseja liquidar essas dívidas 
dividas em um só pagamento daqui a seis meses. Considerando o critério de desconto 
racional simples, data focal zero e uma taxa de 5% ao mês, qual o valor desse 
pagamento? 
R: $ 15.275,00 
 
35) Duas dívidas, a primeira de $ 150.000,00 para daqui a 6 meses e outra de $ 300.000,00 
com vencimento para daqui a 18 meses foram renegociadas para pagamento hoje, em 
uma única parcela. Qual o valor a ser pago para liquidar a dívida se na negociação foi 
considerado o critério de desconto racional simples, taxa de 4% ao mês e data focal 
zero? 
R: $ 295.386,35 
 
36) Uma empresa tem duas duplicatas a receber, uma no valor de $ 10.000,00, para 45 dias 
e outra de $ 12.000,00, para 75 dias. A empresa optou por negociar essas duplicatas em 
um banco que trabalha com uma taxa de desconto racional simples de 4,5% ao mês. 
Considerando que a data focal adotada foi ade hoje, data do desconto das duplicatas, 
quanto a empresa pelas duas duplicatas? 
R: $ 20.154,20 
 
37) Carlos comprou vários móveis para equipar sua sala de estar, tendo negociado o 
pagamento em duas parcelas, uma no valor de $ 4.500,00, com vencimento para 3 
meses e outra de $ 6.000,00, para 7 meses. Um mês após a compra, resolveu 
renegociar essas dívidas para serem pagas da seguinte forma: um pagamento vencendo 
em 2 meses, no valor de $ 5.000,00 e outro pagamento para daqui a 8 meses. A 
operação foi realizada sob o critério de desconto comercial simples, a juros de 1,67% ao 
mês, tendo como data focal a de hoje. Qual o valor do segundo pagamento? 
R: $ 5.471,09 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 47 
38) Gomes resolveu liquidar hoje três dívidas vencíveis em 2, 5 e 8 meses, com valores, 
respectivamente, de $ 450,00, $ 400,00 e $ 250,00. Como a operação será realizada sob 
o critério de desconto racional simples, à taxa de 2,07% ao mês e data focal zero, qual o 
valor a ser desembolsado para liquidar a dívida? 
R: $ 1.009,08 
 
39) Uma dívida de $ 2.000,00, com vencimento para hoje, foi renegociada para ser paga em três 
parcelas mensais e iguais, vencendo a primeira em trinta dias. Considerando o critério de 
desconto racional simples, taxa de 2,5% ao mês e data focal zero, calcule o valor dos 
pagamentos. 
R: $ 699,74 
 
40) Duas duplicatas, uma no valor de $ 23.000,00 e outra no valor de $ 45.000,00, com vencimentos 
para 12 e 24 meses, respectivamente, foram substituídas por uma terceira duplicata, com 
vencimento para 18 meses. Considerando o critério de desconto comercial simples, taxa de 
1,34% ao mês e data focal zero, qual o valor da terceira duplicata? 
R: $ 65.668,95 
 
V – Equivalência de Capitais Diferidos com Juros Compostos 
 
41) Um móvel pode ser adquirido à vista, por $ 9.320,00, ou a prazo, em 5 vezes iguais com 
a primeira para 30 dias. Utilizando o critério de desconto racional composto, qual será o 
valor de cada prestação, sabendo que a taxa de juro mensal é de 3,5%? 
R: $ 2.064,21 
 
42) Uma dívida de $ 8.250,00 para 12 meses e outra de $ 10.115,00 para 24 meses foram 
substituídas por 3 pagamentos iguais e semestrais, vencendo a primeira daqui a 6 
meses. Considerando o critério de desconto racional composto e taxa de 38% ao ano, 
calcule o valor dos pagamentos. 
R: $ 5.148,63 
 
43) Um automóvel custa $ 27.990,00 à vista. Contudo, será adquirido com uma entrada de 
40% e financiamento da diferença em 4 parcelas trimestrais de igual valor, com a 
primeira para 6 meses. Sabendo que a taxa de juro trimestral é de 7% e utilizando o 
critério de desconto racional composto, determine o valor das parcelas. 
R: $ 5.305,13 
 
44) Um produtor de café possui junto a um banco duas dívidas: uma de $ 50.000,00, com 
vencimento para 5 meses e outra de $ 30.0000,00, com vencimento para 10 meses. 
Considerando o critério de taxa de desconto racional composto é taxa de 6% ao mês, 
determine o valor a ser pago pelo produtor para saldar a dívida em uma única parcela, 
com vencimento para daqui a 5 meses. 
R: $ 72.417,75 
 
45) Bernardo possui duas dívidas, uma de $ 20.000,00 com vencimento para daqui a 2 
meses e outra de $ 30.000,00 com vencimento para daqui a 6 meses. Ele deseja 
renegociá-las para ser paga em um só pagamento para daqui a 5 meses. Se for 
considerado o critério de desconto racional composto e taxa de juros de 3% ao mês, 
qual o valor da nova dívida? 
R: $ 50.980,75 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 48 
46) Regiane comprou um terreno que custava $ 40.000,00 à vista. Como não possuía todo o 
valor para pagá-lo avista, deu uma entrada de $ 20.000,00 e prometeu pagar o restante 
daqui a seis meses. Considerando o critério de desconto racional composto e taxa de 
2% ao mês, qual o valor da segunda parcela? 
R: $ 22.523,25 
 
47) Marcelo vendeu um ponto comercial que custava $ 500.000,00 para um comprador que 
se dispôs a pagá-lo em duas parcelas semestrais e iguais, vencendo a primeira para 
daqui a seis meses. Considerando o critério de desconto racional composto e juros de 
2% ao mês, calcule o valor das parcelas. 
R: $ 298.246,67 
 
48) Uma usado que custava $ 28.000,00 à vista foi vendido para ser pago em 3 parcelas: a 
primeira no valor de $ 10.000,00, paga no ato da compra, mais duas parcelas iguais, 
com vencimentos para 3 e 6 meses. Considerando o critério de desconto racional 
composto e taxa de 5% a.m., qual o valor dos pagamentos? 
R: X = $ 11.179,76 
 
49) Tiago tem 3 prestações a pagar de $ 399,89 cada, vencendo a primeira daqui a um mês 
e as outras nos subsequentes. Ele propôs à financeira substituí-las por dois pagamentos 
iguais vencíveis em 3 e 6 meses. Considerando o critério de desconto racional composto 
e taxa de 1,57% ao mês, qual o valor dos pagamentos? 
R: $ 623,54 
 
50) Duas notas promissórias com vencimentos para 3 e 9 meses, com valores de 
$ 15.000,00 e $ 22.000,00, respectivamente, foram substituídas por uma única dívida, 
com vencimento para daqui a 5 meses. Sabendo que a taxa de juro composta utilizada 
na operação foi de 0,93% ao mês, calcule a valor da nova dívida. 
R: $ 36.480,58 
 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 49 
5 – Rendas (Série de Pagamentos ou Anuidade) 
 
Há varias formas de pagamento de um bem: como o pagamento no ato da compra, não 
existindo uma diferença temporal entre o pagamento e o recebimento da mercadoria e, 
consequentemente, a incidência de juros, sendo, neste caso, chamado de pagamento à 
vista. Outra forma de pagamento é a que há hiato temporal entre o recebimento da 
mercadoria e o pagamento, havendo assim o pagamento de juros por essa diferença de 
tempo, já que o valor do dinheiro não é o mesmo no tempo, sendo essa forma chamada de 
pagamento no futuro. Outra forma é o pagamento parcelado. 
 
O pagamento parcelado possui uma grande variedade de tipos, podendo ser efetuado em 
varias parcelas sequencialmente, ou existindo um período de carência para o início dos 
pagamentos, ou ser pagas em períodos não sequenciais, etc., dependendo do acordo 
ajustado entre as partes: o devedor e o credor. O que não diferencia em todos os tipos de 
Rendas é que sempre haverá a incidência de juros, proporcional ao tempo e/ou ao número 
das parcelas. 
 
Pagamento à vista: 
 
 P 
 |-------------------------------| 
0 n 
Pagamento no futuro: 
 n 
 S S = P(1 +i) 
 |-------------------------------| 
0 n 
 
 
Pagamento parcelado (Rendas ou Série de Pagamentos ou Anuidade): 
 
 S 
 P R R R R R R 
 |------|-----|------|------|------|-----| 
0 1 2 3 4 5 6 
 
Qualquer série de pagamento é uma Renda. 
 
 
 R 
 
 Variáveis de uma Renda e suas relações 
 
 
 P S 
 
 
Existem dois tipos de Rendas: 
 
• Rendas Certas ou Determinísticas, que são estudadas pela Matemática Financeira. 
• Rendas Aleatórias ou Probabilísticas, que são estudadas pela Matemática Atuarial. 
 
 
O nosso curso abordará apenas as Rendas Determinísticas. 
 Onde: 
 P = Valor Atual 
 R = Valor dos Termos 
 S = Montante 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 50 
Classificação das Rendas 
 
 Postecipadas Imediatas Constantes Antecipadas Periódicas Diferidas Temporárias Variáveis Certas Não Periódicas 
Rendas Perpétuas 
 Aleatórias 
 
Temporária à possui início e fim 
Perpetua à não possui um fim, é ad perpetum 
 
Periódica à os pagamentosou recebimentos ocorrem em todos os períodos 
Não-periódica à os pagamentos ou recebimentos não ocorrem em todos os períodos 
 
Constante à o valor dos termos são iguais 
Variável à o valor dos termos não são iguais 
 
Imediata à os pagamentos ou recebimentos ocorrem a partir do 1º período. 
Diferida à há uma carência para o início dos pagamentos ou recebimentos. 
 
Postecipada à os pagamentos ou recebimentos ocorrem no final dos períodos. 
Antecipada à os pagamentos ou recebimentos ocorrem no início dos períodos. 
 
 
Inicialmente, serão estudadas as Rendas do Modelo Básico, que são as Rendas que 
apresentam as seguintes características: 
 
Renda à certa à temporária à periódica à constante à imediata à postecipada 
 
 
Simbologia 
 
Nas operações com Rendas (ou Anuidades) será utilizada a seguinte simbologia: 
 
R – Termos da Renda 
P – Valor Atual. 
S – Montante. 
i – Taxa de Juros. 
n – Número de Termos. 
 
Informações importantes: 
 
• As operações com Rendas utilizam juros compostos. 
• O montante de uma Renda (S) fica na “altura” do último termo. 
• O Valor Atual (P) de uma Renda corresponde à soma dos Valores Atuais de seus Termos 
 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 51 
5.1 – Rendas do Modelo Básico: 
 
 
 
 
P R R R R R R R ...... R 
|--------|--------|--------|---------|--------|--------|--------|--------| 
0 1 2 3 4 5 6 8 ....... n 
 
 
P = soma dos valores atuais da Renda. 
 
P = R
1+ i( )
+
R
1+ i( )
2
+
R
1+ i( )
3
… R
1+ i( )
N 
 
 
5.1.1 – Fórmulas 
 
1) P =R.
1+ i( )
n
−1
1+ i( )
n
.i
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 
 
2) R =P.
1+ i( )
n
.i
1+ i( )
n
−1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 
3) S =R.
1+ i( )
n
−1
i
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 
 
4) R = S.
i
1+ i( )
n
−1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 
 
Obs.: estas fórmulas são válidas somente para as Rendas do Modelo Básico. 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
(1) Um determinado bem custa $ 10.000,00 à vista. Caso você queira adquirir esse bem 
a prazo, para pagamento em 24 prestações mensais e iguais, vencendo a primeira 
um mês após a compra, qual será o valor do pagamento com taxa de 3% ao mês. 
 
P = 10.000,00 i = 3% a.m. 
n = 24 R=? 
 
R =10.000,00
1+0,03( )
24
.0,03
1+0,03( )
24
−1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥ 
 
R = 590,47 
 
Resolução com a Calculadora HP 12C: 10000 CHS PV 24 n 3 i PMT. 
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(2) Caso você queira dispor de $ 10.000,00 daqui a seis meses, quanto deverá depositar 
mensalmente em uma instituição financeira que pague juros de 2% ao mês par que 
no ultimo deposito obtenha a quantia desejada? 
S = 10.000,00 n = 6 
i = 2% a.m. R = ? 
 
R =10.000,00 0,02
1+0,02( )
6
−1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 
 
R = 1.585,26 
 
Resolução pela HP 12C: 10000 CHS FV 6 n 2 i PMT. 
 
 
(3) Um determinado bem esta sendo vendido por nove prestações de $ 500,00 reais, 
vencendo a primeira um mês após a compra. Considerando um taxa de 2,5% ao 
mês, determine o valor à vista desse bem. 
 
R = 500,00 n = 9 
i = 2,5% a.m. P = ? 
 
P =R (1+ i)
n −1
(1+ i)n. i
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
 è P = 500,00
(1+0,025)9 −1
(1+0,025)9. 0,025
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
 
 
P = 500,00 x 7,970865531 
P = 3.985,43 
 
Resolução pela HP 12-C: 500 CHS PMT 9 n 2,5 i PV. 
 
 
(4) Caso você efetue 24 depósitos mensais e iguais de $ 300,00 em uma instituição 
que pague juros de 1,5% ao mês, quanto disporá por ocasião do ultimo deposito? 
 
R = 300,00 n = 24 
i = 1,5 a.m. S = ? 
 
S =R (1+ i)
n −1
i
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ è S = 300,00
(1+0,015)24 −1
0,015
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ è S = 300,00 x 28,6335208 
 
S = 8.590,06 
Resolução pela HP 12-C: 300 CHS PMT 24 n. 1,5 i. FV. 
 
 
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5.1.2 – Exercícios sobre Rendas do Modelo Básico 
 
1) Um bem custa $ 15.000,00 à vista. Caso a aquisição desse bem seja feita a prazo, para 
pagamento em 6 prestações mensais e iguais, a uma taxa de 1,5% a.m., qual será o 
valor das parcelas? 
R: R = $ 2.632,87 
 
2) Quanto deverei depositar mensalmente para que, ao final de 3 anos, disponha de 
$ 50.000,00, considerando que a instituição financeira pague juros de 0,5% a.m.? 
R: R = $ 1.271,10 
 
3) Lílian comprou um carro para ser pago em 60 prestações de $ 550,00, com taxa de 
1,0% a.m., qual o valor à vista do carro? 
R: P = $ 24.725,27 
 
4) Qual o valor das parcelas de um bem que custa $ 25.000,00 à vista e que será vendido 
em 12 pagamentos iguais e mensais, cuja taxa de juros é de 1,5% a.m.? 
R: R = $ 2.291,99 
 
5) Se efetuo um empréstimo de $ 3.500,00, à taxa de juros de 2% a.m., para ser liquidado 
em 8 pagamentos mensais e iguais, qual será o valor das prestações? 
R: R = $ 477,78 
 
6) Ivan pretende levantar um empréstimo de $ 15.000,00. Se a taxa de juros de mercado 
for 3,5% a.m. e o mesmo deseja pagá-lo em 24 parcelas mensais e iguais, qual será o 
valor das prestações? 
R: R = $ 934,10 
 
7) Danilo decidiu fazer uma viagem daqui 1 ano e meio e, para tanto, deseja dispor de 
$ 10.000,00 na data da viagem. Para tanto, pretende efetuar depósitos mensais e iguais 
numa instituição financeira que paga juros de 1% a.m. Qual será o valor dos depósitos 
para que, por ocasião do 18º depósito o mesmo disponha da importância desejada? 
 R: R = $ 509,82 
 
8) Um carro é vendido em 36 parcelas mensais e iguais de $ 599,00. Sabendo que a taxa 
utilizada 1,5% a.m., qual é valor do carro à vista? 
 R: P = $ 16.568,75 
 
9) Fernando depositará mensalmente $ 450,00, durante 6 meses, em um banco que paga 
juros de 3% a.m. Qual o montante que poderá ser sacado por Fernando por ocasião do 
último depósito? 
R: S = $ 2.910,78 
 
10) Quanto terei que depositar, mensalmente, em uma instituição que paga juros de 2,5% 
a.m. para que, ao final de 8 meses, eu possua $ 10.000,00? 
R: R = $ 1.144,67 
 
11) Ana comprou uma casa de $ 80.000,00 financiada em 36 prestações mensais e iguais. 
Calcule o valor das prestações, considerando uma taxa de 1,5% a.m.? 
R: R = $ 2.892,19 
 
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12) Comprei um carro financiado em 24 prestações mensais de $ 800,00. Qual o seu valor à 
vista, sabendo que foi usada uma taxa de 2% a.m.? 
R: P = $ 15.131,14 
 
13) Roberto precisou fazer uma cirurgia que custava $ 3.000,00 à vista. Para pagá-la, fez 
um empréstimo desse valor, a uma taxa de 0,5% a.m., para quitá-lo em 12 parcelas 
mensais e iguais. Qual o valor das parcelas? 
R: R = $ 258,20 
 
14) Um computador custa, atualmente, $ 3.500,00. Paulo decide comprá-lo, e financia o 
objeto desejado em 10 prestações iguais e mensais, sendo que a 1ª parcela deverá ser 
paga daqui a 1 mês. Sabendo que a taxa de juro é de 5,5% a.m., quanto Paulo terá que 
desembolsar mensalmente? 
 R: R = $ 464,34 
 
15) Getúlio se propôs a fazer uma poupança para viajar após sua formatura. Para tanto, 
efetuou 18 meses depósitos mensais e iguais de $ 200,00 em uma caderneta de 
poupança que paga juros de 0,5% a.m. Qual a importância disponível por ocasião do 
último depósito? 
 R: $ 3.757,16 
 
16) Quanto uma pessoa deve depositar mensalmentedurante 15 meses num fundo de 
investimentos que rende 1,8% a.m., para que no instante do último depósito tenha um 
montante de $ 60.000,00? 
R: R = $ 3.519,95 
 
17) Marta efetuou 12 depósitos bimestrais e iguais no valor de $ 500,00 em uma instituição 
que paga juros de 3% a.b. Quanto ela terá no momento do último depósito? 
R: $ 7.096,01 
 
18) Qual é a prestação mensal de um carro cujo preço à vista é $ 50.000,00, se for 
financiado em 24 prestações mensais e iguais, à taxa de 3,5% a.m.? 
R: R = $ 3.113,65 
 
19) Um financiamento de $ 100.000,00 foi concedido a uma empresa, para ser pago em 4 
prestações semestrais iguais, à juros de 20% a.s. Qual é o valor das prestações? 
R: R = $ 38.628,90 
 
20) Qual é o preço à vista de um carro que está sendo vendido por 12 prestações mensais e 
iguais de $ 5.000,00, considerando que a taxa contratada foi de 2% a.m.? 
R: P = $ 52.876,71 
 
 
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5.2 – Rendas não constante do Modelo Básico 
 
Para se resolver qualquer tipo de operação envolvendo Renda não constante do Modelo 
Básico, tem-se que, necessariamente, transformá-la em Renda do Modelo Básico e aplicar 
as fórmulas correspondentes. 
 
 
5.2.1 – Fórmulas 
 
As fórmulas a serem utilizadas são as mesmas de Rendas do Modelo Básico, exceto as 
Rendas Perpétuas, que só admitem que sejam calculados os seus valores atuais, cuja 
fórmula é a seguinte: 
 
 R 
P = 
 i 
 
Exercícios resolvidos: 
 
(1) O preço à vista de um carro é $ 80.000. A revendedora exige 30% como entrada, 
financiando o saldo em 36 prestações mensais e iguais, com 6 meses de carência. 
Sabendo-se que a taxa de juros é 3,5% a.m., qual é o valor das prestações? 
 
Valor à vista = 80.000,00 
Entrada = 24.000,00 
Valor a financiar = 56.000,00 
P = 56.000,00 n = 36 
i = 3,5% a.m. R = ? 
 
R = 56.000,00 (1+0,035)5
(1+0,035)36. 0,035
(1+0,035)36 −1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
 
 
R = 56.000,00 x 1,187686306 x 0,049284163 
 
R = 3.277,91 
 
Resolução pela HP 12-C: 
 
 56000 CHS PV 5 n 3,5 i FV. CHS PV 36 n 0 FV PMT 
 
 
(2) Uma pessoa abriu uma conta em uma instituição financeira e depositou 
$ 1.000. Em seguida, efetuou uma série de 24 depósitos mensais de $ 300, sendo 
que o primeiro foi feito 4 meses após a abertura da conta. Supondo-se que não seja 
efetuada nenhuma retirada, e considerando que a instituição financeira paga juros 
compostos de 2% a.m. sobre o saldo devedor, quanto essa pessoa terá disponível 
após 5 anos da abertura da conta? 
 
1º depósito = 1.000,00 
n = 60 meses 
I = 2% a.m. 
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Professor Aldery Silveira Jr. 56 
R = 300,00 
n = 24, com 4 meses de carência para o 1º depósito, após a abertura da conta 
S = ? (ao final de 5 anos após a abertura da conta) 
 
S =1.000,00 (1+0,02)60 +300,00 (1+0,02)
24 −1
0,02
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ (1+0,02)33
 
S = (1.000,00 x 3.281030788) + (300,00 x 30,42186245 x 1,922231404) 
S = 3.281.03 + 17.543,34 
 
S = 20.824,39 
 
Resolução pela HP 12-C – 2 passos, conforme demonstrado abaixo: 
 
1) 1000 CHS PV 60 n 2 i FV = 3.281,03 
 
2) 300. CHS PMT 24 n 2 I 0 PV FV CHS PV 0 PMT 33 n FV. 
 
 3281,03 +. 
 
 
 
5.2.2 – Exercícios sobre Rendas não constantes do Modelo Básico 
 
1) O preço a vista de uma casa é $ 70.000,00. No entanto, o banco exige 20% de entrada. 
O restante será financiado em 60 parcelas iguais e mensais com 4 meses de carência 
para pagamento da 1ª parcela, a uma taxa de 2,5% a.m. Qual será o valor das parcelas? 
R: R = $ 1.951,10. 
 
2) Uma pessoa vai receber 10 parcelas mensais e iguais de $ 250,00 com uma carência de 
4 meses para recebimento da primeira parcela. Qual é o valor atual desta série de 
pagamentos, se a taxa considerada for de 2% a.m.? 
R: P = $ 2.116,11. 
 
3) Um fogão foi financiado em 5 parcelas mensais e iguais de $ 125,00, sendo a primeira 
parcela paga no ato da compra, como entrada. Considerando que a. loja “Só Fogões” 
opera com uma taxa de 1,5% a.m., qual é o preço do fogão a vista? 
R: P = $ 606,80. 
 
4) João efetuou uma compra cujo pagamento deveria ser efetuado em 4 parcelas 
trimestrais de $ 2.500,00, a taxa de juros seria de 2% a.m., vencendo a 1ª daqui a 3 
meses. Caso João queira pagar essa compra em 12 parcelas mensais e iguais, 
vencendo o 1º pagamento em 1 mês, qual será o valor das parcelas? 
R: R = $ 816,89 
 
5) Carlos comprou um aparelho de som que foi pago da seguinte maneira: 3 parcelas 
mensais e iguais de $ 200,00, vencendo a 1ª daqui a um mês e duas parcelas de 
$ 500,00, a serem pagas no 5º e no 6º mês. Considerando a taxa de juros foi de 3%, 
calcule o valor do aparelho à vista. 
R: P = $ 1.415,77 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 57 
6) Um carro é vendido da seguinte forma: uma entrada de $ 3.500,00, mais 4 parcelas 
mensais e iguais de $ 2.500,00, vencendo a 1ª daqui a 1 mês e outras 2 parcelas 
mensais e iguais de $ 3.000,00, com vencimentos para os meses 6 e 7, a partir da data 
da compra. Se a taxa de juros for de 2% a.m., qual o valor do carro a vista. 
R: P = $ 18.294.92 
 
7) Calcule o valor presente do seguinte fluxo de caixa postecipado: 1º mês $ 20.000,00 e 
do 2º ao 5º mês $ 40.000,00, considerando uma taxa de juros de 3% a.m. 
R: P = $ 163.770,81 
 
8) O preço a vista de um bem é $ 80.000,00. Pretendo comprá-lo a prazo, dando uma 
entrada de $ 24.000,00 e o restante financiar em 36 prestações com o primeiro 
pagamento para daqui a 6 meses. Considerando uma taxa de 3,5% a.m., calcule o valor 
das prestações. 
R: R = $ 3.277,91 
 
9) Um veículo foi comprado para ser pago em 3 prestações mensais e iguais, vencendo a 
primeira somente no final do terceiro mês após a compra. Sabendo que o veículo a vista 
é $ 17.850,00 e que a taxa de juros utilizada pela loja é 7% a.m., qual o é o valor das 
prestações? 
R: R = 7.787,35 
 
10) Ao dar entrada de $ 60.000,00 em uma Hilux, Lucas se responsabilizou em pagar 
mensalmente parcelas de $ 1.380,00 por 60 meses, com a primeira parcela vencendo ao 
final de 2 meses após a compra. Qual o valor à vista da Hilux considerando, 
considerando que a operação foi efetuada à taxa de 2% a.m.? 
 R: P = $ 107.029,43 
 
11) Simpson efetuou um empréstimo em uma instituição financeira para pagar em 10 
prestações de $ 1.700,00, com uma carência de 5 meses para pagamento da primeira 
parcela, Sendo a taxa utilizada de 5% a.m., qual o valor do empréstimo? 
 R: P = $ 10.800,00 
 
12) Eduardo comprou uma motocicleta que custa $ 10.000,00. A aquisição foi efetuada em 
18 pagamentos mensais e iguais, com uma carência de 4 meses para começar a pagar. 
O valor da taxa acertada foi de 2,8% a.m. Calcule o valor das mensalidades? 
 R: R = $ 776,59 
 
13) Rivaldo adquiriu um aparelho eletrônico para pagar da seguinte forma: 6 pagamentos 
iguais de $ 75,00, sendo os 3 primeiros pagamentos para o 3º, 4º e 5º mês e as outras 3 
para o 8º, 9º e 10º mês, a partir de hoje. A taxa de juro utilizada foi de 2,5% a.m. Qual 
era o valor à vista do aparelho? 
 R: P = $ 384,08 
 
14) Danilo foi a um feirão de carros usados e se interessou por um que custava $ 9.500,00 à 
vista. Sem possui o dinheiro para adquiri-lo nesta forma de pagamento e após longa 
conversa com o vendedor, fica acordado o seguinte: daqui a 2 meses ele pagaria 
$ 3.000,00 e, 3 meses após esse pagamento, ele pagaria mais 5 pagamentos iguais e 
subsequentes. Sabendo que foi adotada uma taxa de 2% a.m., qual será o valor das 
parcelas? 
 R: R = $ 1.519,46 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e ExercíciosProfessor Aldery Silveira Jr. 58 
15) Igor decidiu comprar um carro 0 km que custa $ 24,990,00 à vista. Ele possui 
$ 12.000,00 para dar de entrada e se compromete a pagar 24 parcelas iguais e mensais 
com uma carência de 6 meses. Sabendo que a taxa de juros ajustada foi de 2% a.m., 
qual será o valor das parcelas? 
 R: R = $ 758,28 
 
16) Maria adquiriu um aparelho eletrônico para pagar em oito prestações, sendo que as três 
primeiras seriam no valor de $ 120,00, as três seguintes no valor de $ 100,00 e as 
restantes no valor de $ 80,00. Considerando uma taxa de 1,5% a.m., calcule o valor à 
vista desse aparelho. 
 R: P = $ 771,06 
 
17) Se uma TV esta sendo vendida em 12 prestações mensais, sendo as seis primeiras no 
valor de $ 150,00 e as restantes no valor de $ 200,00. Considerando uma taxa de 1,0% 
a.m., calcule o valor à vista dessa TV. 
 R: P = $ 1.961,24 
 
18) Se eu fizer um depósito hoje de $ 1.000,00 em uma instituição financeira e a partir do 6º 
após o primeiro depósito efetuar 12 depósitos mensais de $ 250,00, qual o valor que eu 
terei ao por ocasião do último depósito, sabendo que a taxa de juro adotada pela 
instituição financeira é de 1% a.m.? 
 R: S = $ 4.354,93 
 
19) Em uma renegociação de dívidas, ficou acertado que seria pago 10 prestações mensais 
e iguais de $ 300,00, com uma carência de 6 meses para o pagamento da primeira 
parcela. Qual o valor atual dessa dívida, considerando que a operação foi efetuada a 
uma taxa de juros de 2,5% a.m.? 
 R: P = $ 2.320,66 
 
20) O preço à vista de um computador é $ 2.500,00. A vendedora exige uma entrada de 
$ 200,00 e financia o saldo em 12 prestações pensais e iguais, a juros de 2,5% a.m., 
com 2 meses de carência para o pagamento da primeira parcela. Qual o valor dessas 
prestações? 
R: R = $ 229,83 
 
 
 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 59 
Lista Extra de Exercícios nº 2 
 
 
Rendas não constantes do Modelo Básico 
 
1) Calcule o valor presente (P) dos fluxos de caixa a seguir, supondo uma taxa de 12%: 
 
 15.000 20.000 20.000 20.000 20.000 25.000 25.000 25.000 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
 
 
 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 6.000 7.000 8.000 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
 
 R: a) $ 13.042,07 b) $ 101.702,83 
 
2) Um financiamento foi concedido para ser pago num prazo de 24 meses, nas seguintes 
condições: 12 prestações iguais de $ 20.000,00, sendo as 6 primeiras pagas 
mensalmente a partir do final do 7º mês até o final do 12º mês, e as 6 últimas pagas 
mensalmente a partir do final do 19º mês até o final do 24º mês. Considerando uma taxa 
de juros é de 4% a.m., calcule o valor financiado. 
R: $ 134.612,06 
 
3) Uma empresa consegue um empréstimo de $ 30.000,00 para ser liquidado da seguinte 
maneira: 20% do empréstimo no final de 2 meses e o restante em 6 prestações mensais 
iguais vencíveis a partir do 4º mês. Sabendo-se que a taxa de juros contratada fora de 
3,4% a.m., determine o valor dos pagamentos. 
R: $ 5.043,16 
 
4) Uma pessoa vai receber 16 prestações mensais e iguais de $ 400,00 com uma carência 
de 16 meses para recebimento da primeira parcela. Qual é o valor atual desta série de 
pagamentos, se for considerada uma taxa de juros de 2% a.m.? 
R: 4.035,35 
 
5) Calcule o montante das séries de pagamento abaixo, considerando uma taxa de 10%. 
 
 200 200 200 200 0 200 200 200 200 200 
 
 
0 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 
 
 
 
 500 500 500 500 0 0 800 800 800 800 
 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 
 
 
 
 500 500 500 0 800 800 800 0 1000 1000 
 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 
 
 
 R: a) $ 2.865,38 b) $ 7.823,71 c) $ 8.849,62 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 60 
7) Calcule o valor atual e o montante das seguintes séries de pagamento – taxa = 5%. 
 
 
500 500 500 500 500 500 800 800 800 800 800 800 800 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
 
 
 400 400 400 400 400 400 400 400 400 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
 
 
 R: a) P = $ 6.291,76 S= $ 11.299,09 b) P = $ 2.456,00 S = $ 4.410,63 
 
 
8) Considerando uma taxa de 5%, calcule o valor dos pagamentos (R) das séries abaixo: 
 
 
10.000 R R R R R R R R 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
 
 
 R R R R R R R R R R 10.000 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
 
 
R: a) $ 1.880,65 b) $ 686,79 
 
 
9) Considerando uma taxa de 3%, calcule o valor atual (P) das séries abaixo: 
 
 
 P 900 900 900 900 900 900 900 900 900 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
 
 
 P 100 100 100 100 100 300 300 300 300 300 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
 
 
R: a) $ 6.412,85 b) $ 1.548,79 
 
 
10) Duas dívidas com valores de $ 3.500,00 e $ 7.800,00, vem vencimentos para 3 e 12 
meses, respectivamente, estão sendo renegociadas para serem pagas em 12 parcelas 
mensais e iguais, vencendo o primeiro pagamento daqui a 30 dias. Considerando uma 
taxa de juros compostos de 2% ao mês, calcule o valor dos pagamentos. 
R: $ 893,43 
 
 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 61 
6 – Uso de Tabela Financeira 
 
As Tabelas Financeiras possibilitam uma forma alternativa de se obter os resultados 
solicitados pela Matemática Financeira. Alguns podem considerar mais fácil o cálculo por 
meio da Tabela Financeiro e outros não, mas o que importa é que pelo método convencional 
(fórmulas normais) ou pelo uso de Tabela Financeiras, o resultado é o mesmo, apenas o 
canal é diferente. 
 
Observação: as siglas a serem utilizadas nas operações com Tabelas Financeiras possuem 
as seguintes definições: 
 
• FPS à fator de P para S, ou seja, cálculo de S (montante) a partirde P (valor atual). 
• FSP à fator de S para P (cálculo de P, partindo de S). 
• FRP à fator de R para P (cálculo de R, partindo de P). 
• FPR à fator de P para R (cálculo de R, partindo de P). 
• FRS à fator de R para S (cálculo de S, partindo de R). 
• FSR à fator de S para R (cálculo de R, partindo de S). 
 
 
Na Tabela, as colunas representam os fatores e as linhas o número de períodos (n). Por 
exemplo, para um FSP (5%,8), identifica-se a Tabela relativa à taxa de juros de 5%; nessa 
Tabela, localiza-se a coluna FSP e, por último, a linha 8, onde acha-se o fator desejado. 
 
Formulas Convencionais Formulas Tabeladas 
 
1) S =P 1+ i( )
n
 à S = P.FPS (i, n) 
 
2) P = S 1+ i( )
−n
 à P = S.FSP (i, n) 
 
3) P =R.
1+ i( )
n
−1
1+ i( )
n
.i
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 à P = R.FRP (i, n) 
 
4) R =P.
1+ i( )
n
.i
1+ i( )
n
−1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 à R = P.FPR (i, n) 
 
5) S =R.
1+ i( )
n
−1
i
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 à S = R.FRS (i, n) 
 
6) R = S. i
1+ i( )
n
−1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 à R = S.FSR (i, n) 
As fórmulas 1 e 2 
são utilizadas nas 
operações de 
Capitalização 
composta e Des- 
conto Racional 
composto. 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 62 
Exemplo: 
 
P = 5.000,00 
i = 3% a.m. 
n = 9 
R =? 
 
R = 5.000,00.FRP(3%,9) 
R = 5.000,00 . 0,12843 
R = 642,15 
 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
(1) calcule o valor atual (P) dos valores abaixo, com i = 5%. 
 
 
 P 500 500 500 500 1000 1000 1000 1000 1000 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
 
 
P = 500,00 . FRP(5%, 4) + 1.000,00 . FRP(5%, 5) . FSP(5%,4) 
 
P = 500,00 . 3,545950504 + 1.000,00 . 4,329476671 . 0,822702475 
 
P = 1.772,98 + 3.561,87 
 
P = 5.334,85 
 
 
 
 5.000 300 300 300 400 400 400 400 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
 
 
P = 5.000,00 + 300,00 . FRP(5%, 3) + 400,00 . FRP(5%, 4) . FSP(5%,5) 
 
P = 5.000,00 + 300,00 . 2,723248029 + 400,00 . 3,545950504 . 0,783526166 
 
P = 5.000,00 + 816,97 + 1.111,34 
 
P = 6.928,31 
 
 
 
(2) calcule as prestações (R) das rendas abaixo, com i = 3% 
 
(P) 
 15.000 R R R R R R 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
 
 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 63 
R = 1.500,00 . FPS(3%, 3) . FPR(3%,6) 
 
R = 1.500,00 . 1,092727000 . 0,184597500 
 
R = 1.500,00 . 302,57 
 
R = 302,57 
 
 
 
 (S) 
 R R R R R R R 10.000 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
 
 
R = 10.000,00 . FSP(3%, 3) . FSR(3%, 7) 
 
R = 10.000,00 . 0,915141659 . 0,130506354 
 
R = 1.194,32 
 
 
 
6.1 – Exercícios com a utilização de Tabelas Financeiras 
 
1) Qual é o montante de uma aplicação de $ 2.550,00, a uma taxa de 1,5% a.m. durante 
cinco meses? 
 R: S = 2.747,07 
 
2) Uma pessoa receberá 10 prestações iguais e mensais de $ 1.000,00, mas decide optar 
por receber apenas uma prestação ao final do período. Qual será esse valor, 
considerando uma taxa de juros compostos de 3% a.m.? 
 R: S = $ 11.463,87 
 
3) Qual o valor das parcelas de um bem que custa $ 25.000,00 à vista e que será 
parcelado em 12 vezes iguais e mensais, cuja taxa de juros é de 1,5% a.m.? (juros 
compostos) 
 R: R = $ 2.291,99 
 
4) Qual o valor do desconto racional composto de um título de $ 12.000,00 que foi 
descontado 7 meses antes do vencimento, cuja taxa era de 2% a.m.? 
 R: Drc = $ 1.553,28. 
 
5) Quanto se deve depositar mensalmente para que ao final de 3 anos possua $ 50.000,00, 
considerando que a instituição financeira pague 0,5% a.m? 
 R: R = $ 1.271,09 
 
6) Lílian comprou um carro em 60 prestações de $ 550,00, com taxa de 1,0% a.m, qual o 
valor à vista do carro? 
 R: P = $ 24.725,27 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 64 
7) Um bem custa $ 15.000,00 à vista. Caso tal bem fosse adquirido parcelado em 6 
prestações mensais e iguais e considerada uma taxa de 1,5% a.m., qual seria o valor 
das parcelas? 
 R: R = $ 2.632,87 
 
8) Qual será o valor atual de um título de $ 150.000,00 se esse for resgatado 90 dias antes 
do prazo previsto, a uma taxa composta de 4% a.m.? 
 R: $ 133.349,46 
 
9) Uma dívida com valor nominal de $ 1.000.000,00 e vencimento daqui a 3 anos deve ser 
liquidada hoje. Considerando uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, qual é o 
valor atual dessa dívida? 
 R: Vrc = $ 751.314,80 
 
10) Ao final de 2 anos, qual o valor a ser retirado, se for apliquei $ 20.000,00 a uma taxa de 
3,5% a. m.? 
 R: S = 45.666,57 
 
11) Se efetuo um empréstimo de $ 3.500,00 a uma taxa de juros de 2% e desejo pagá-lo em 
8 pagamentos mensais e iguais, qual será o valor das prestações? 
 R: R = $ 477,80 
 
12) Preciso dispor de $ 10.000,00 daqui a 12 meses para viajar com a família. Quanto devo 
aplicar mensalmente, a partir deste mês, em uma instituição financeira que pague juros 
de 1,5% a.m. para que eu tenha essa importância por ocasião do último depósito? 
 R: R = $ 766,80 
 
13) Um financiamento de $ 100.000,00 é concedido a uma firma para ser pago em 4 
prestações semestrais iguais, à taxa de 10% a.s. Qual é o valor das prestações? 
 R: R = $ 31.547,08 
 
14) Um carro é vendido em 36 parcelas mensais e iguais de $ 599,00. Sabendo que é 
utilizada uma taxa de 1,5% a.m., qual seria o valor do carro à vista? 
 R: P = $ 16.568,75 
 
15) Fernando pretende depositar mensalmente $ 450,00, durante 6 meses, em um banco 
que paga juros de 3% a.m. Qual o montante que Fernando disporá por ocasião do último 
depósito? 
 R: S = $ 2.910,78 
 
16) Quanto terei que depositar mensalmente, em uma instituição que paga juros de 2,5% 
a.m., para que, ao final de 8 depósito, possua $ 10.000,00? 
 R: R = $ 1.144,67 
 
17) João depositou $ 5.000,00 em um banco que rende juros de 2% a.m. Após 6 meses, ele 
decide retirar seu dinheiro em 12 parcelas mensais, iguais e sucessivas, vencendo a 
primeira 30 dias após. Considerando a mesma taxa de juros para todo o período, qual 
o valor das parcelas que serão sacadas? 
 R: R = $ 532,48 
 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
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18) Ana comprou uma casa de $ 80.000,00 para ser financiada em 36 prestações mensais e 
iguais. Qual será o valor de cada prestação, sabendo que será cobrada uma taxa de 
juros de 1,5% a.m.? 
 R: R = $ 2.892,19 
 
19) Comprei um carro financiado em 24 prestações mensais de $ 800,00. Qual o seu valor à 
vista, sabendo que foi usada uma taxa de 2% a.m.? 
 R: P = $ 15.131,14 
 
20) Marta, necessitando de dinheiro, desconta um titulo de $ 25.000,00 3 meses do 
vencimento, a uma taxa e 2% a.m. Qual o valor do desconto racional composto dessa 
operação? 
 R: Drc = $ 1.441,94 
 
 
 
6.2 – Interpolação 
 
A interpolação é um método utilizado para se calcular um Fator que não consta na Tabela 
Financeira. Consiste em usar dois Fatores existentes para se chegar ao Fator desejado. 
 
P = 3.000,00 
i = 2,7% a.a. 
n = 6 
S = ? 
 
Como na Tabela Financeira em uso não consta a taxa 2,7%, encontra-se o Fator 
correspondente a essa taxa por meio da interpolação, adotando-se os seguintes 
procedimentos: 
 
1) Buscam-se na Tabela os Fatores correspondestes às taxas mais próximas da taxa em 
questão. No caso, os Fatores de P para S das taxas 2,5% e 3%; 
 
2) Em seguida, ordena-se as taxas em ordem crescente ou decrescente, apondo ao lado 
de cada taxa o correspondente Fator. No caso da taxa que não consta na Tabela, o 
Fator referente à mesma será a incógnitada questão; e 
 
3) Procede-se à interpolação, conforme demonstrado abaixo> 
 
 2,5 ---- 1,159693418 
 2,7 ---- X 
 3,0 ---- 1,194052297 
 
2,5− 2,7
2,5−3
=
1,159693418−X
1,159693418−1,194052297
==>
−0,2
−0,5
=
1,159693418−X
−0,034358879
==> X =1,17343697
 
 
S = P.FPS(2,7%, 6) è S = 3.000,00 x 1,17343697 è S = 3.520,31 
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7 – Sistemas de Amortização de Divida 
 
São utilizados para financiamento de longo prazo. Normalmente com taxa de juros reais, 
sendo os pagamentos corrigidos monetariamente nas datas dos vencimentos, pela inflação 
acumulada do período (taxa pós-fixada). Os juros são calculados sobre o saldo devedor, o 
que caracteriza a operação como juros compostos. 
 
 
Principais Sistemas de Amortização: 
 
• Sistema Hamburguês (Sistema de Amortização Constante – SAC) 
• Sistema Francês 
• Tabela Price 
 
 
7.1 – Sistema de Amortização Constante – SAC 
 
 
↓ Rk = a + j ↓ 
 
Fórmulas: 
 
1) aK =
P
n
 2) RK = a+ jK 
3) SDK = SDK−1 −a 4) jK = r.SDk−1 
 
 
Exemplo: 
P = $ 20.000,00; 
n = 5 pagamentos anuais; 
r = 10% ao ano 
 
aK =
20.000,00
5
= 4.000,00 
 
PLANILHA 
 
k KSD Ka KJ KR 
0 20.000,00 ---- ---- ---- 
1 16.000,00 4.000,00 2.000,00 6.000,00 
2 12.000,00 4.000,00 1.600,00 5.600,00 
3 8.000,00 4.000,00 1.200,00 5.200,00 
4 4.000,00 4.000,00 800,00 4.800,00 
5 ----- 4.000,00 400,00 4.400,00 
 
 
Onde: 
k = período 
a = amortização 
J = Juros 
R = Prestação 
SD = Saldo Devedor 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 67 
7.2 – Sistema Francês 
 
 
R = ↑ a + j ↓ 
 
 
Fórmulas: 
 
1) R =P.
1+ r( )
n
.r
1+ r( )
n
−1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 
 
2) ak =Rk − jk 
 
3) SDK = SDK−1 −a 
 
 
4) JK = r,SDK−1 
 
 
 
Exemplo: 
P = $ 20.000,00; 
n = 5 pagamentos anuais; 
r = 10% ao ano 
 
R = 20.000.
1+0,1( )
5
.i
1+0,1( )
5
−1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
= 5.275,95 
 
Resolução pela HP 12-C: 
 
 20000 CHS PV 5 n 10 i PMT. 
 
 
PLANILHA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.3 – Tabela Price 
 
Corresponde ao Sistema Francês, todavia com as seguintes alterações: 
 
1) A taxa de juro é dada em ano, porém a capitalização é mensal (a.a.c.c.m.). 
2) As amortizações são mensais (as prestações são pagas mensalmente). 
 
k KSD Ka KJ KR 
0 20.000,00 ----- ----- ----- 
1 16.724,05 3.275,95 2.000,00 5.275,95 
2 13.120,51 3.603,54 1.672,41 5.275,95 
3 9.156,1 3.963,90 1.312,06 5.275,95 
4 4.796,32 4.360,26 915,66 5.275,95 
5 ----- 4.796,32 479,63 5.275,95 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 68 
7.4 – Exercícios sobre Sistemas Amortização de Dívidas 
 
1) O preço à vista de uma casa é $ 100.000,00. Se essa casa for adquirida para ser 
liquidada pelo SAC, em 5 prestações anuais, a juros reais de 10% a.a., qual será o valor 
da terceira prestação? 
R: R = $ 26.000,00 
 
2) Qual é o valor das prestações, no sistema Francês, de um empréstimo de $ 18.000,00, 
sendo amortizado em 5 prestações anuais, com taxa real de 9% a.a. 
 R: R = $ 4.627,66 
 
3) Um empréstimo no valor de $ 2.000.000,00 é concedido à taxa de juros reais de 10% 
a.a., para ser reembolsado em 5 anos por meio de prestações anuais, sendo a primeira 
vencível ao final do primeiro ano, pelo sistema SAC. Qual o valor da última prestação? 
 R: R = $ 440.000,00 
 
4) Montar uma planilha de um financiamento efetuado pelo SAC relativo aos dados 
indicados a seguir: P = $ 64.000,00; n = 8 pagamentos anuais; e r = 12% a.a. 
 R: Última prestação: $ 8.960,00 
 
5) Um empréstimo de $ 30.000,00 será amortizado pelo Sistema Francês em 8 parcelas 
anuais, a uma taxa real de juro de 5% a.a. Qual o valor do saldo ao final do 3° ano? 
 R: SD = $ 20.095,95 
 
6) Qual será o valor da 4ª prestação de um financiamento de $ 20.000,00, com juros reais de 
10% a.a., em 4 prestações anuais, segundo o sistema SAC? 
 R: R = $ 5.500,00 
 
7) Montar as planilhas do Sistema Francês do financiamento abaixo: 
 P = $ 70.000,00 
 n = 7 pagamentos anuais 
 r = 7% ao ano. 
 R: a7 = 12.138,99 
 
8) Um empréstimo no valor de $ 10.000,00 será amortizado pela Tabela Price, em de 12 
prestações mensais, a uma taxa de juro real de 15% a.a. Indique o valor da 4ª 
amortização. 
 R: a4 = $ 807,11 
 
9) Monte a planilha de um financiamento de $ 30.000,00, efetuado pelo SAC, a ser 
amortizados em 4 parcelas anuais, a juros reais de 12% a.a. 
R: R4 = 8.400,00 
 
10) Construa a planilha do financiamento efetuado pelo Sistema Francês, de acordo com os 
dados apresentados a seguir: 
P = $ 40.000,00; n = 5 pagamentos anuais; r = 15% a.a. 
 R: a5 = 10.376,00 
 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 69 
8 – Inflação 
 
Inflação é a aumento generalizado dos preços. A inflação desvaloriza o dinheiro no tempo, já 
que diminui o seu poder de compra, por isso, torna-se necessário fazer uma correção 
monetária, a fim de recuperar o poder de compra de um determinado valor. 
 
 
 Taxa de mercado à i 
 
Taxa de juros Taxa de juro real à r 
 
 Taxa de inflação à j 
 
 
8.1 – Fórmulas 
 i = 1+ r( ) 1+ j( )−1 
 
 1+ i = 1+ r( ) 1+ j( ) r = 1+ i1+ j −1 
 
 j =
1+ i
1+ r
−1 
 
Exemplo: 
 
Caso você efetue um empréstimo de $ 10.000,00, à taxa de 3% ao mês, para pagamento 
em um ano e, por ocasião de pagamento, constate que a inflação de período (um ano) foi de 
34%, qual terá sido a taxa de juros real dessa operação? 
P = $ 10.000,00 
i = 3% a.m. 
n = 12 
 S =10.000,00 1,03( )
12
=14.257,61→ i = S
P
n −1→ i = 14.257,61
10.000,00
−1 à i = 0,42571 
i = 42,5761% 
j = 34%a.a 
r = ? 
 
r = 1+0,425761
1+34
 
 
 
r = 6,4% a.a. 
 
 
Exercícios resolvidos: 
 
(1) Por um empréstimo de $ 15.000,00, deve-se pagar $ 19.000,00 em 1 ano. Se a 
inflação ao final do período for 37%, qual será a taxa de juro real dessa operação? 
 
P = 15.000,00 S = 19.000,00 
n = 1 ano j = 37% a.a. 
r = ? 
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Obs.: para se calcular a taxa real (r), há necessidade de, primeiramente, 
se calcular a taxa de juros (i). 
 
i = S
P
n − 1
 
è como n = 1, o radical desaparece 
 
i = S
P
− 1
 
è i =
19.000,00
15.000,00
− 1
 
 
 
i = 0,2666666667 a.a. 
 
r = 1+ i
1+ j
−1
 
è r =
1+0,2666666667
1+0,37
−1 è r = – 0,075425791 a.a. 
 
r = – 7,54% a.a. 
 
 
 
(2) Se eu aplicar $ 3.000,00 e resgatar $ 3.700,00 ao final de 1 ano, qual terá sido a taxa 
real de juros, se nesse período for constatado as seguintes taxas de inflação: 1º 
trimestre 3,4%; 2º trimestre 3,11%; 3º trimestre 2,75%; 4º trimestre 3,37%? 
 
P = 3.000,00 S = 3.700,00 
n = 1 ano j1ºtrim = 3,4% 
j2ºtrim = 3,11% j3ºtrim = 2,75% 
j4ºtrim = 3,37% r = ? 
 
i = 3.700,00
3.000,00
− 1
 
è i = 0,233333333 a.a. 
 
j = (1,034).(1,0311).(1,0275).(0,0337) – 1 è j = 0,132394295 a.a. 
 
r = 1+ i
1+ j
−1
 
è r =
1+0,233333333
1+0,132394295−1 è r = 0,089137713 a.a. 
 
r = 8,91% a.a. 
 
 
 
 
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8.2 – Exercícios sobre Inflação 
 
1) Uma aplicação de $ 5.000,00 rendeu juros de $ 1.500,00 no prazo de um ano. Sabendo-
se que neste período a taxa de inflação foi de 25%, pergunta-se: qual foi a taxa de juro 
real obtida pelo aplicador? 
R: r = 4% a.a. 
 
2) Um indivíduo aplicou $ 540.000,00 por três meses. No mesmo período, a inflação foi de 
20%. Qual valor do resgate para que a taxa real seja nula? 
R: S = $ 648.000,00 
 
3) Marta aplicou $ 10.000,00 e após 2 anos recebeu $ 3.600,00 de juros. Considerando 
que a inflação média durante o período de aplicação foi de 20% a.a., qual foi a taxa de 
juros real anual obtida pelo aplicador? 
R: r = – 2,82% a.a. 
 
4) Uma aplicação de $ 10.000,00 rendeu $ 2.000,00 em juros, durante 1 ano. Calcule a 
taxa de juros real da aplicação sabendo que a inflação do período foi 15%. 
R: r = 4,3% a.a. 
 
5) Pedro aplicou $ 1.000,00 em CDB pelo período de 2 anos e, ao final do período, obteve 
o montante de $ 1.322,5. Qual a taxa de correção monetária anual sabendo que o CDB 
rende juros reais de 10% a.a. 
R: j = 4,5% a.a. 
 
6) Se a taxa de mercado for 25% a.a., qual será a taxa de juros real se a taxa de inflação 
for de 19% a.a.? 
R: r = 5,04% a.a. 
 
7) Marcos aplicou $ 30.000,00 em um fundo de investimentos e, após 2 anos, resgatou o 
montante de $ 38.500,00. Considerando que a inflação do período foi de 11% a.a., qual 
foi a taxa de juro real anual da aplicação? 
R: r = 2,05% a.a. 
 
8) Um grupo de investidores aplicou, por um período de 24 meses, um capital de 
$ 10.000,00, tendo resgatado o montante de $ 16.500,00. A inflação do período foi 
estimada em 3,6% a.m. Qual a taxa real de juros mensal dessa operação? 
R: r = – 1,44% a.m. 
 
9) Uma aplicação de $ 3.200,00 proporcionou o resgate do montante de $ 5.100,00 num 
período de 8 meses, a uma taxa de juros real de 2% a.m. Pergunta-se: qual foi a taxa de 
inflação mensal desse período? 
R: j = 3,92% a.m. 
 
10) Um investimento de $ 15.000,00 rendeu um juro no valor de $ 3.600,00, após 3 anos. 
Qual a taxa de inflação anual do período, se a taxa real de juros foi de 15% a.a.? 
R: j = – 6,58% a.a. 
 
11) Se a taxa de juro real operada por uma determinada financeira é de 2% a.m., Qual 
deverá ser a taxa de juro cobrada pela mesma se a inflação estimada para os próximos 
meses for de 1% a.m.? 
R: i = 3,02% a.m. 
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12) Carlos viajou para a Europa para fazer seu Curso de Mestrado. Entretanto, antes de 
viajar fez uma aplicação de $ 4.500,00 e obteve juros de $ 6.300,00 num prazo de 2 
anos. Carlos ficou curioso para saber qual o rendimento real anual dessa aplicação 
depois que soube que a taxa de inflação dos 2 anos foi 17%. Calcule a taxa de juro real 
anual dessa operação. 
R: r = 43,22% a.a. 
 
13) Thiago aplicou $ 2.300,00 numa caderneta de poupança e após 6 meses percebe juros 
no valor de $ 700,00. Considerando que a taxa de juro real foi de 1,75% a.m., qual a 
taxa de inflação mensal desse período? 
R: j = 2,73% a.m. 
 
14) Uma casa esta sendo vendida por $ 73.000,00 à vista ou parcelada em 60 pagamentos 
mensais e iguais, vencendo o primeiro pagamento 1 mês após a compra. Considerando 
que o proprietário deseja juros reais de 8,5% a.a. e que a taxa de inflação anual 
prevista para os próximos anos seja de 15% a.a., calcule o valor das prestações. 
R: R = 2.030,30 
 
15) A taxa de juros para aplicação de curto e médio prazos em um banco é de 40% a.a. Que 
remuneração real recebe o cliente, se a inflação for de 30% a.a? 
R: r = 7,69% a.a. 
 
16) Que taxa de inflação anual deve ocorrer para que um aplicador ganhe 12% a.a. de juros 
reais, caso a taxa nominal seja de 25% a.a.? 
R: I = 11,61%a.a. 
 
17) Por um capital de $ 6.000,00 aplicado por 2 anos, o investidor recebeu $ 5.179,35 de 
juros. Qual é a taxa de juros real ganha, se a inflação for de 30% a.a.? 
R: r = 5% a.a. 
 
18) Carla recebeu seu FGTS e emprestou o valor recebido a uma taxa de 10% a.a. Qual 
deverá ser a taxa de inflação para que ela obtenha uma taxa real de juro de 4% a.a.? 
R: j = 5,77% a.a. 
 
19) Uma aplicação de $ 4.000,00 rendeu juros de $ 500,00 em 1 ano. Sabendo-se que 
nesse período a taxa de inflação foi de 10%, qual foi a taxa de juros real obtida pelo 
aplicador? 
R: r = 2,27% a.a. 
 
20) O capital de $ 850,00 esteve depositado durante 6 meses em uma instituição financeira 
que opera a uma taxa de juros reais de 2,5% ao semestre. Sabendo que a correção 
monetária semestral foi de 3,4% qual foi o montante auferido no final do período? 
R: S = $ 900,87 
 
 
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9 – Empréstimos com Correção Monetária 
 
Correção Monetária corresponde à recuperação do poder de compra da moeda em função 
da desvalorização provocada pela inflação, por essa razão, a Correção Monetária equivale 
justamente à taxa de inflação: 
CM = j.P 
 
Atualização Monetária corresponde ao capital inicial, adicionada à Correção Monetária, e é 
calculada pela seguinte fórmula: 
AM = (1 + j).P 
 
Exemplo 1: 
 
P= $ 1.000,00 n = 1 ano j = 7% ao ano 
Correção Monetária = 0,07 . 1.000,00 = $ 70,00 
Atualização Monetária = (1 + 0,07) . 1.000,00 = $ 1.070,00 
 
 
Exemplo 2: 
 
P = $ 1.000,00 n = 3 anos 
Taxas anuais de inflação: ano 1 = 8,5%; ano 2 = 9,3%; ano 3 = 7,5%. 
AM = (1,085)(1,093)(1,075) .1.000,00 = $ 1.274,85. 
 
 
9.1 – Planilha de Atualização Monetária 
 
Exemplo: 
P = $ 20.000,00 
r = 10% ao ano 
n = 5 prestações anuais 
As prestações desse empréstimo são: 
 
R1 = $ 6.000,00 
R2 = $ 5.600,00 
R3 = $ 5.200,00 
R4 = $ 4.800,00 
R5 = $ 4.400,00 
 
Atualizar monetariamente as prestações desse empréstimo, considerando as taxas anuais 
de inflação: ano 1: 8,37%; ano 2: 7,82%; ano 3: 9,43%; ano 4: 10,25%; ano 5: 11,36% 
 
Planilha de Atualização 
 
ANO INFLAÇÃO 
FATOR DE 
ATUALIZAÇÃO 
FATOR DE ATUALIZAÇÃO 
ACUMULADO 
PRESTAÇÃO 
 NOMINAL 
PRESTAÇÃO 
ATUALIZADA 
1 8,37% 1,0837 1,083700000 6.000,00 6.502,20 
2 7,82% 1,0782 1,168445340 5.600,00 6.543,29 
3 9,43% 1,0943 1,278629736 5.200,00 6.648,87 
4 10,25% 1,1025 1,409689289 4.800,00 6.766,51 
5 11,36% 1,1136 1,569829986 4.400,00 6.907,25 
 
Obs.: o fator de atualização acumulado corresponde ao fator do período anterior 
multiplicado pelo fator do período atual. 
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9.2 – Exercícios sobre Empréstimos com Correção Monetária 
 
1) João, querendo comprar um carro, pegou um empréstimo de $ 18.000,00, por um ano. A 
taxa de real contratada foi de 12% ao ano. Qual seria o valor do pagamento final desse 
empréstimo se a inflação do período for de 7,5%? 
 R: S atualizado = $ 21.672,00 
 
2) Qual é a atualização monetária de um capital de $ 2.136,00, ao final de 4 anos, 
considerando uma taxa média de inflação de 7,5% a.a.? 
 R: AM = $ 2.852,57 
 
3) Qual será a correção monetária de um capital de $ 11.500,00, ao final de um ano, se a 
inflação desse período for 7,1%? 
R: CM = $ 816,50 
 
4) Pedro resolveu comprar um carro no valor de $ 40.000,00 para pagamento em 8 
prestações anuais, a uma taxa real de 16% a.a. O financiamento foi efetuado pelo SAC, 
sendo as prestações atualizadas monetariamente pela inflação do período. Calcule o 
valor atualizado da 8ª prestação, considerando as seguintes taxas anuais de inflação: 
j1 =2%; j2 = 2,5%; j3 = 3,0%; j4 = 3,5%%; j5 = 4%%; j6 = 4,2%; j7 = 4,8%; j8 = 5%? 
 R: R 8 atualizado= $ 7.708,70 
 
5) Uma pessoa faz uma compra no valor de R$ 1.500,00, à taxa de juro real de 14,4% a.a., 
com correção monetária, para ser pago daqui a 2 anos. Determine o valor a ser pago 
para saldar a dívida, se as taxas anuais de inflação for: j1 = 4,2%; j2 =3.75%. 
 R: S atualizado = $ 2.122,26 
 
6) Calcule a correção monetária e a atualização monetária de $ 5000,00, após 1 ano, cuja 
inflação do período foi 12%. 
 R: CM = $ 600,00; AM = $ 5.600,00 
 
7) Após construir a planilha de financiamento pelo SAC relativa ao financiamento indicado 
abaixo, atualize monetariamente os valores das prestações pelas seguintes taxas de 
inflação: j1 = 7%; j2 = 9%; j3 = 11%; j4 = 12%; j5 = 15%. 
P = $ 20.000,00 
r = 10% a.a. 
n = 5 pagamentos anuais 
R: Valor da última prestação $ 7.336,72 
 
8) Construa a planilha de amortização pelo Sistema Francês e a Planilha de Atualização 
Monetária do financiamento indicado abaixo, considerando as seguintes taxas anuais 
de inflação: j1 = 13,2%; j2 = 5,67%; j3 = 8,12%; j4 = 11,5% e j5 = 4,5%. 
P = $ 20.000,00 
n = 5 pagamentos anuais 
r = 10 % a.a. 
R: R5 = $ 7.950,53 
 
9) Elaborar a Planilha de amortização do seguinte financiamento e atualizar 
monetariamente as prestações, considerando as taxas anuais de inflação indicadas 
P = $ 40.000,00 
n = 4 prestações anuais pelo SAC 
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r = 10% a.a. 
j1 = 10%; j2 = 10,25%; j3 = 10,59%; j4 = 11,47%. 
R: Prestação no ano 4 = $ 16.445,15 
 
10) Considerando os dados abaixo, construa a Planilha de amortização pelo SAC. 
Posteriormente, atualize monetariamente os valores das prestações pelas seguintes 
taxas anuais de inflação indicadas a seguir: 
P= 36.000,00 
r = 10% a.a. 
n = 6 parcelas anuais 
j1 = 5%; j2 = 6,75%; j3 = 8,5%; j4 = 10,25%; j5 = 11,15%; j6 = 12,5%. 
R: Última prestação = $ 11.065,51 
 
11) Construa a Planilha de financiamento do empréstimo indicado abaixo, pelo SAC, e 
atualize monetariamente as prestações pelas taxas de inflação indicadas: 
 P = 87.500,00 
 r = 7,5% 
 n = 5 
 j1 = 1%; j2 = 2%; j3 = 3%; j4 = 4%; j5=5% 
 R: R5 $ 21.798,57 
 
12) Atualize monetariamente as prestações relacionadas abaixo, considerando as taxas 
anuais de inflação indicadas logo a seguir: 
 Ano 1: R = $ 22.500,00 
 Ano 2: R = $ 20.000,00 
 Ano 3: R = $ 17.500,00 
 Ano 4: R = $ 15.000,00 
 Ano 5: R = $ 12.500,00 
 j1 = 11,50%; j2 = 10,95%; j3 = 10,23%; j4 = 9,89%; j5 = 8,75%. 
 R: R5 = $ 20.370,40 
 
13) Atualize monetariamente as seguintes prestações: 
 R1 = $ 7.000,00 
 R2 = $ 5.500,00 
 R3 = $ 2.300,00 
 Inflações anuais: j1 = 7,0%; j2 = 5,5%; j3 = 5,0%. 
 R: R3 = $ 2.726,17 
 
14) Um carro de $ 20.000,00 foi comprado para pagamento em cinco prestações, a uma 
taxa real de 8% a.a. O financiamento foi efetuado pelo SAC, sendo as prestações 
atualizadas monetariamente pela inflação. Calcule o valor atualizado da 5ª prestação, 
considerando as seguintes taxas anuais de inflação: j1 = 1%; j2 = 1,5%; j3 = 3,7%; 
j4 = 4,8%; j5 = 6,4% 
R: 5ª prestação = $ 5.120,98. 
 
15) Atualize monetariamente as seguintes prestações, considerando as taxas anuais de 
inflação indicadas a seguir: 
 R1 = 16.000,00 R2 = 20.000,00 
 R3 = 30.000,00 R4 = 12.000,00 
 J1 = 15%; j2 = 12%; j3 = 13%; j 4 = 18% 
 R: Prestação do ano 4 = $ 20.609,03 
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16) Considerando os dados abaixo, construa a Planilha de financiamento pelo SAC e 
atualize monetariamente as prestações pelas seguintes taxas anuais de inflação: 
j1 = 7%; j2 = 8%; j3 = 9%; j4= 10%. 
 P = 20.000,00 
 r = 7% a.a. 
 n = 4 parcelas 
 R: Última prestação $ 7.412,77 
 
17) Considerando os dados abaixo construa a Planilha de financiamento pelo Sistema 
Francês e atualize monetariamente os valores das prestações pelas seguintes taxas 
anuais de inflação: j1 = 1,53%; j2 = 1,43%; j3 = 1,17%; j4= 1,52%. 
P = $ 31.547,08 
n = 4 prestações anuais 
r = 10% a.a. 
R: Última prestação $ 10.526,46 
 
18) Atualize monetariamente as seguintes prestações, considerando as taxas anuais de 
inflação indicadas: 
R1 = $ 4.000,00 
R2 = $ 5.500,00 
R3 = $ 2.300,00 
j1 = 5%; j2 = 8%; e 3j = 6,5%. 
R) R3 atualizado = $ 2.777,73 
 
19) Qual o valor da correção monetária do capital de $ 45.000,00, após 1 ano, 
considerando uma inflação anual de 5%? 
R: CM = $ 2.250,00 
 
20) Montar a Planilha do financiamento indicado abaixo pelo Sistema Francês e atualizar 
monetariamente as prestações pelas taxas anuais de inflação indicadas: 
P = $ 15.000,00 
n = 6 pagamentos anuais 
r = 8,5% a.a. 
j1 = 6,5%; j2 = 5,34%; j3 = 7,32%; j4 = 4,98%; j5 = 5,67%; j6 = 3,45%. 
R: Última prestação = $ 4.551,46 
 
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10 – Engenharia Econômica (Análise de alternativas de investimentos) 
 
 
Corresponde a um conjunto de técnicas utilizadas na analise econômico-financeira de 
alternativas de investimentos. 
 
O Presente curso se aterá apenas à análise da parte financeira das alternativas de 
investimentos. 
 
 
Tipos de Alternativas de Investimentos 
 
è Alternativas Mutuamente Exclusivas: possuem o mesmo objetivo – a escolha de uma 
implica necessariamente na rejeição das demais. 
 
è Alternativas Independentes: possuem objetivos diferentes – a escolha de uma não 
implica na rejeição das demais. 
 
No presente curso, estudar-se-á apenas as alternativas Mutuamente Exclusivas. 
 
 
Quesitos a serem observados no processo de análise 
 
è Alternativa Comparativa (I0) – alternativa de investimento que o Investidor dispõe e 
que servirá de parâmetro para a análise das demais. 
 
è Custo de oportunidade – o que o investidor deixa de ganhar por optar por outra 
alternativa de investimento. 
 
è Vida útil do investimento – tempo de maturação do investimento. 
 
 
Critérios de análise 
 
è Aceitação: deve-se, em princípio, aceitar todas as alternativas que sejam mais 
atrativas que o I0. 
 
è Seleção: dentre as alternativas aceitas, selecionar a melhor. 
 
 
Principais Métodos de Análise 
 
a) Métodos Simplificados 
 
è Método da Taxa Média de Retorno (Método Contábil). 
è Método dos Períodos de Pay Back. 
 
b) Método Baseados no Desconto de Fluxo de Caixa 
 
è Método do Valor Atual. (Valor Presente Líquido) 
è Método da Taxa Interna de Retorno - TIR 
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Análise de Alternativas de Investimento: 
 
Apresenta-se, a seguir, um exemplo de duas alternativas de investimentos, onde 
constam os desembolsos iniciais e as entradas líquidas de caixa de cada uma das 
alternativas, a partir das quais serão efetuadas as análises financeiras pelos métodos 
supracitados: 
 
Ano Alternativa A Alternativa B 
0 -120.000,00 -145.000,00 
1 40.000,00 90.000,00 
2 40.000,00 45.000,00 
3 40.000,00 40.000,00 
4 40.000,00 25.000,00 
5 40.000,00 25.000,00 
6 40.000,00 25.000,00 
 
 
10.1 – Análise pelo Método da Taxa Média de Retorno 
 
Consiste em calcular a media anual das entradas liquidas de caixa, dividir pelo investimento 
inicial e multiplicar por 100, obtendo-se, assim, a Taxa Média percentual de Retorno de cada 
uma das alternativas em análise. Em seguida, compara-se o resultado encontrado com o I0 
(investimento inicial) e aplica-se os critérios de aceitação e seleção. 
 
TMRA = (40.000,00 / 120.000,00) x 100 = 33,33% a.a. 
 
TMRB = 90.000,00 + 45.000,00 + 40.000,00 + 25.000,00 + 25.000,00 + 25.000,00 / 6) / 
145.000,00 x 100 = 28,74% a.a. 
 
Considerandoum I0 = 20% ao ano, tem-se: 
 
Critério de Aceitação: aceitam-se ambas, já que TMR A/B > 20% a.a. 
Critério de Seleção: seleciona-se a de maior TMR, no caso em analise, a Alternativa A. 
 
 
10.2 – Análise pelo Método dos Períodos de Pay Back 
 
Consiste em calcular os períodos de retornos das alternativas em analise, comparar com I0 e 
aplicar os critérios de aceitação e seleção. 
 
Pay-A = 3 anos 
Pay-B = 2 anos e 3 meses. 
I0 = 4 anos: 
 
Critérios de Aceitação: aceitar ambas, pois possuem pay pack < 4 anos 
Critérios de Seleção: selecionar a de menor pay back, no caso, a Alternativa B 
 
 
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10.3 – Análise pelo Método do Valor Atual (VPL) 
 
Consiste em calcular o Valor Atual de todas as alternativas em analise, utilizando para tal 
uma taxa de juros que o investidor tenha garantido (I0), e aplicar os critérios de aceitação e 
seleção. 
 
I0 = 20% 
VAA (20%) = - 120.000,00 + 40.000,00 FRP(20%,6) = 13.020,40 
VAB (20%) = - 145.000,00 + 90.000,00 FSP(20%,1) + 45.000,00 FSP(20%,2) + 40.000,00 
FSP(20%,3) + 25.000,00 FRP(20%,3).FSP(20%, 3) = 
-145.000,00 +7 5.000,00 + 31.249,98+23.148,00 + 30.475,50 = 
= 14.873,86 
 
Critérios de Aceitação: aceitar ambas, pois as duas possuem VA > 0 
Critérios de Seleção: selecionar a Alternativa B, pois esta Alternativa apresenta o maior 
valor atual (ou maior Valor Presente Líquido). 
 
 
Cálculo do Valor Atual (VPL) por meio da calculadora HP 12-C 
 
VPL da Alternativa A com I0 = 20%: 
 
 120000 CHS g CFj 40000 g CFj 6. g Nj 20 i f. NPV. 
 
VPL da Alternativa B: 
 
145000 CHS g CFo 90000 g CFj 45000. g CFj 40000 g CFj 25000. 
 
 g CFj 3 g Nj 20. i f. NPV. 
 
 
10.4 – Análise pelo Método da Taxa interna de Retorno 
 
Consiste em calcular a TIR de cada uma das alternativas em análise, comparar com I0 e 
aplicar os critérios de aceitação e seleção. 
 
A TIR de uma alternativa de investimento é a taxa que iguala as entradas líquidas de caixa 
ao investimento inicial na data zero, conforme demonstrado a baixo: 
 
TIRA à - 120.000,00 + 40.000,00 FRP( i,6) = 0 à 120.000,00 = 40.000,00 FRP(i,6) 
 
TIRB à -145.000,00 + 90.000,00 FSP(i,1) + 45.000,00 FSP(i,2) + 40.000,00 FSP(i,3) + 
25.000,00 FRP(i,3).FSP(i,3) = 0 à 145.000,00 = 90.000,00 FSP(i,1) + 45.000,00 
FSP(i,2) + 40.000,00 FSP(i,3) + 25.000,00 FRP(i,3).FSP(i,3) 
 
Para se calcular a TIR de uma alternativa de investimento, existem três formas distintas: 
 
• Por meio de uma calculadora financeira, que dá esse resultado imediatamente; ou 
• Por meio de tentativa e erro, que consiste em um método bastante trabalhoso; ou 
• Por meio de interpolação (por essa forma, encontra-se uma TIR aproximada). 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 80 
Cálculo da TIR por meio da calculadora HP 12-C 
 
TIR da Alternativa A: 
 
 120000 CHS PV 40000 PMT 6 n i. 
 
TIR da Alternativa B: 
 
145000 CHS g CFo 90000 g CFj 45000. g CFj 40000 g CFj 25000. 
 
 g CFj 3 g Nj f. IRR. 
 
 
Cálculo da TIR por meio de interpolação 
 
Para se conseguir a TIR por meio da interpolação, primeiro deve-se estimar duas taxas 
aleatoriamente. Em seguida, calcula-se o valor atual de cada uma das alternativas em 
análise com as taxas estimadas e interpola-se os resultados, com o intuito de se obter o 
Valor Presente Líquido = ZERO. Vide demonstração abaixo: 
 
Taxas estimadas: 20% e 25% ao ano. 
 
Cálculo da TIR da Alternativa “A” 
 
VAA (20%) à – 120.000,00 + 40.000,00 FRP( 20%,,6) = VPL 
120.000,00 + 40.000,00 . 3,32551 = 13.020,40 
 
VAA (25%) à – 120.000,00 + 40.000,00 FRP( 25%,,6) = VPL 
120.000,00 + 40.000,00 . 2,95142 = – 1.943,20 
 
20% à 13.020,40 
TIR à 0 
25% à – 1.943,20 
Resolvendo, temos: 
(20 - TIR / 20 – 25) = 13.020,40 – 0 / 13.020,40 – (– 1.943,20) 
TIR = 24,29% 
 
TIRA = 24,29% ao ano (valor obtido por meio da calculadora HP 12-C) 
 
 
Cálculo da TIR da Alternativa “B” 
 
VAB (20%) à – 145.000,00 + 90.000,00 FSP(20%, 1) + 45.000,00 FSP(20%, 2) + 40.000,00 
FSP(20%, 3) + 25.000,00 FRP(20%, 3).FSP(20%, 3) = 14.873,86 
 
VAB (25%) à – 145.000,00 + 90.000,00 FSP(25%, 1) + 45.000,00 FSP(25%, 2) + 40.000,00 
FSP(25%, 3) + 25.000,00 FRP(25%, 3).FSP(25%, 3) = 1.265,60 
 
 
Interpolando os valores encontrados, tem-se: 
 
20% à 14.873,86 
25% à 1.265,60 
TIR à 0 
(20 - 25 / 20 – TIR) = 14.873,86 – 1.265,60 / 14.873,86 – 0 
TIR = 25,51% 
 
TIRB = 25,51% ao ano (valor obtido por meio da calculadora HP 12-C 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 81 
Aplicando os critérios de aceitação e seleção: 
I0 = 20% ao ano. 
Critério de Aceitação: aceitar ambas, pois apresentam TIR > 20% ao ano 
Critério de Seleção: selecionar a Alternativa B (possui a maior TIR). 
 
 
10.5 – Exercícios sobre Engenharia Econômica 
 
1) Considerando as seguintes opções de investimento representadas na tabela abaixo, 
responda os quesitos que se seguem: 
 
Alternativas Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 
A - 30.000,00 8.000,00 10.000,00 20.000,00 
B - 70.000.00 30.000,00 48.000,00 18.000,00 
C - 100.000,00 35.000,00 40.000,00 50.000,00 
 
a) Qual os paybacks das alternativas A, B e C? 
R: Pay A = 2 anos e 7 meses; Pay B = 1 ano e 10 meses; Pay C = 2 anos e 6 
meses 
 
b) Qual a taxa média de retorno da alternativa A? 
R: TMR A = 42,22% 
 
c) Qual a taxa média de retorno da alternativa B? 
R: TMR B = 45,71% 
 
2) Calcule o payback dos investimentos a seguir e indique a melhor alternativa, 
considerando como I0 um payback de 4 anos. 
 
Ano Investimento X Investimento Y Investimento Z 
0 -10.000,00 -12.000,00 -16.000,00 
1 2.000,00 4.000,00 4.000,00 
2 4.000,00 1.500,00 7.000,00 
3 3.000,00 3.500,00 5.000,00 
4 1.000,00 2.000,00 3.000,00 
5 500,00 1.000,00 4.000,00 
 
R: Payx = 4 anos; Payy = 5 anos e Payz = 3 anos. Logo, o melhor dos 3 é o 
investimento Z 
 
3) Analise as alternativas de investimento abaixo pelo método da taxa média de retorno e 
aplique os critérios de aceitação e seleção, considerando como I0 TMR = 15% a.a. 
 
Ano Investimento X Investimento Y Investimento Z 
0 - 45.000,00 - 36.000,00 - 64.000,00 
1 15.000,00 14.000,00 20.000,00 
2 20.000,00 16.500,00 10.000,00 
3 10.000,00 5.500,00 34.000,00 
4 8.000,00 12.000,00 12.000,00 
5 5000,00 11.000,00 15.000,00 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 82 
R: Critério de aceitação: aceitam-se as três alternativas pois possuem TMR > 15%. 
Critério de seleção: seleciona-se a alternativa Y, pois possui a maior TMR 
(32,7% a.a.) 
 
 
4) Calcule os paybacks das alternativas de investimentos abaixo e aplique os critérios de 
aceitação e seleção, considerando um I0 de 3 anos: 
 
Ano Investimento X Investimento Y Investimento Z 
0 -40.000,00 -36.000,00 -64.000,00 
1 15.000,00 14.000,00 20.000,00 
2 10.000,00 6.500,00 20.000,00 
3 5.000,00 5.500,00 24.000,00 
4 8.000,00 12.000,00 12.000,00 
5 2000,00 11.000,00 15.000,00 
 
R: Payx = 5 anos, Payy = 3ª e 10m e Payz = 3 anos. Logo a melhor das 3 é o 
investimento Z 
 
 
5) Das alternativas de investimento abaixo, qual é a melhor, considerando como I0 uma 
TMR de 21% a.a.? 
 
Ano Investimento X Investimento Y Investimento Z 
0 -80.000,00 -78.000,00 -74.000,00 
1 25.000,00 28.000,00 10.000,00 
2 10.000,00 16.000,00 15.000,00 
3 35.000,00 34.000,00 28.000,00 
4 7.000,00 18.000,00 17.000,00 
5 9.000,00 21.000,00 24.000,00 
 
R: Critério de aceitação: aceitam-se as três alternativas, pois possuem TMR > 
21%. Critério de seleção: Selecionamos a demaior TMR, ou seja, a alternativa 
Y, com TMR = 30% a.a. 
 
 
6) Com base nas alternativas de investimentos indicadas abaixo, responda os quesitos 
que se seguem: 
 
 
 
 
 
 
a) A taxa media de retorno da alternativa A. 
R: 55,55% 
 
b) O valor atual da alternativa B e C, tendo como I0 20% a.a. Aplicar os critérios de 
aceitação e seleção. 
R: Aceitar ambas e selecionar a alternativa B 
 
Alternativas Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 
A - 45.000,00 25.000,00 10.000,00 40.000,00 
B - 35.000,00 5.000,00 5.000,00 60.000,00 
C - 25.000,00 2.000,00 30.000,00 10.000,00 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 83 
7) Hernandes, como investidor audacioso, estava a procura de novos investimentos e teve 
uma proposta de uma empresa no ramo de hidrelétrica que estava prestes a construir 
uma barragem. Hernandes almejava por retorno do investimento em 02 anos. Verifique 
se tal proposta seria viável pelo método dos períodos de payback. 
 
Anos Investimento Valores 
1 - 3.000,00 
2 900,00 
3 1.000,00 
4 2.000,00 
5 2.500,00 
6 3.000,00 
 
R: Payback = 2 anos, 6 meses e 18 dias. Não é viável tendo em vista que o tempo 
de retorno do investimento é maior que o tempo esperado pelo investidor. 
 
8) Carlos Augusto estava querendo comprar ações da empresa Alfa Loyds S.A. A 
empresa atua no ramo de construção civil e remunera seus acionistas com base na TIR 
dos projetos de investimentos. A expectativa de Carlos Augusto era obter um 
rendimento anual de no mínimo 15%. Considerando os valores apresentados a seguir, 
relativos à projeção de um determinado projeto de investimento da citada empresa, 
calcule a rentabilidade esperada desse projeto (TIR) e verifique se o investidor pode 
aplicar em ações da empresa ALFA LOYDS S.A. 
 
Ano Valor 
0 - 800.000,00 
1 350.000,00 
2 400.000,00 
3 350.000,00 
 
R: TIR = 17,76% a.a., investimento atrativo. 
 
9) Apresentam-se, a seguir, os fluxos de caixa de três projetos de investimentos. 
Determine a melhor alternativa pelos seguintes metidos de análise: taxa média de 
retorno, períodos de payback e valor atual, considerando as seguintes alternativas 
comparativas (I0): TMR = 30% a.a.; payback = 4 anos; e VA = 20% a.a. 
 
Alternativas ano 0 ano 1 ano 2 ano 3 ano 4 ano 5 
A - 50.000,00 12.000,00 12.000,00 12.000,00 12.000,00 12.000,00 
B - 60.000,00 9.000,00 16.000,00 19.000,00 24.000,00 26.000,00 
C - 70.000,00 10.000,00 18.000,00 20.000,00 22.000,00 27.000,00 
 
a) Taxas Médias de Retorno. 
 R: TMRA = 24%; TMRB = 31,33%; TMRC = 27,71% 
b) Paybacks. 
 R: 4 anos e 2 meses; B = 3 anos e 8 meses; C = 4 anos 
c) Valores Atuais. 
 R: VA(A) = $ - 14.112,65; VA(B) = $ - 8.370,63; VA(C) = $ - 16.132,33 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 84 
10) O banco GOLF estava a procura de investimentos rentáveis para cobrir perdas 
referentes a última crise econômica e deparou-se com as duas alternativas 
apresentadas a seguir: 
 
Ano Projeto A Projeto B 
0 - 489.000,00 - 500.000,00 
1 97.800,00 56.000,00 
2 67.000,00 39.000,00 
3 87.090,00 110.000,00 
4 98.000,00 59.000,00 
5 45.000,00 45.000,00 
 
Indique a alternativa mais interessante, considerando o método da taxa média de 
retorno, tendo como I0 15% ao ano. 
R: A alternativa mais interessante é o Projeto ‘A’, pois apresenta uma taxa média 
de retorno de 16,15%. 
 
11) Uma determinada empresa dispõe das duas alternativas abaixo para investimento 
imediato, no entanto, deverá descartar a menos lucrativa. Indique a alternativa a ser 
descartada, utilizando, para tanto, o método da TIR e I0 de 15% ao ano: 
 
Projeto Ano 0 Ano 01 Ano 02 Ano 03 Ano 04 Ano 05 
A - 250.000 78.000 78.000 78.000 78.000 78.000 
B - 260.000 82.000 49.000 82.500 85.000 88.000 
 
R: a alternativa a ser descartada é a B, pois apresenta uma TIR de 14,21% a.a., 
inferior ao I0 e inferior à TIR do Projeto A, que é 16,92% a.a. 
 
12) Considerando os fluxos de caixa das alternativas de investimento abaixo, responda os 
quesitos que se seguem: 
 
Alternativa Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 
A - 30.000,00 18.500,00 14.200,00 10.000,00 
B - 30.000,00 18.000,00 14.500,00 9.800,00 
 
a) Qual é a taxa média de retorno das alternativas A e B? 
 R: TMRA = 47,44% a.a.; TMRB = 47% a.a. 
 
b) Quais são os paybacks de A e de B? 
 R: PayA= 1 ano e 10 meses; PayB = 1 ano e 10 meses 
 
c) Quais são os valores atuais das alternativas A e B? (I0 =15% a.a.) 
 R: VAA = 3.399,36; VAB = 3.059,92 
 
d) Quais são as TIR das alternativas A e B? (I0 = 20% a.a.) 
 R: TIRA = 22,59% a.a.; TIRB = 21,81% a.a. 
 
13) Calcule os valores atuais (VPL) das alternativas abaixo, considerando um I0 de 10% 
a.a. e aplique os critérios de aceitação e seleção: 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 85 
Ano Alternativa A Alternativa B Alternativa C 
0 - 25.000,00 - 35.000,00 - 45.000,00 
1 9.000,00 15.000,00 21.000,00 
2 15.000,00 22.000,00 25.000,00 
3 21.000,00 25.000,00 27.000,00 
 
R: A = $ 11.355,11; B = $ 15.601,04; C = $ 15.037,57. Aceitam-se as três e 
seleciona-se a alternativa B. 
 
14) Considerando como I0 uma taxa de 11% a.a., calcule o valor atual das alternativas Alfa 
e Gama apresentadas a seguir: 
 
Alternativa Ano o Ano 1 Ano 2 Ano 3 
Alfa -105.000,00 70.000,00 20.000,00 38.000,00 
Gama -360.000,00 120.000,00 120.000,00 120.000,00 
 
R: VA Alfa = $ 2.080,78 e VA Gama = $ - 66.754,23 
 
15) Calcule o valor atual dos seguintes alternativas de investimentos, considerando 
I0 = 20% a.a. 
 
Anos Alternativa A Alternativa B 
0 - 120.000,00 - 130.000,00 
1 70.000,00 60.000,00 
2 40.000,00 60.000,00 
3 40.000,00 60.000,00 
4 40.000,00 60.000,00 
 
R: VAA = $ 8.549,38; VAB = $ 25.324,07 
 
16) Uma loja oferece um microcomputador com duas alternativas para o pagamento. 
Alternativa 1: $ 1.000,00 de entrada, mais duas parcelas mensais de $ 3.000,00 cada 
uma. Alternativa 2: Sem entrada, 4 parcelas mensais de $ 1.250,00 cada uma, 
vencendo a primeira um mês após a compra, mais uma quinta parcela de $ 2.000,00. 
Considerando I0 = 2% a.m., indique a melhor alternativa, considerando o método de 
análise do Valor Atual? 
R: Alternativa 2 
 
17) Analise as alternativas de investimento abaixo indicadas pelo método do valor atual, 
considerando I0 = 10% a.a. 
 
Ano Alternativa A Alternativa B Alternativa C 
0 - 13.000,00 - 18.000,00 - 23.000,00 
1 4.500,00 5.000,00 7.500,00 
2 6.500,00 9.000,00 10.000,00 
3 8.000,00 11.000,00 13.000,00 
 
R: VA(A) = $ 2.473,33; VA(B) = $ 2.247,93; VA(C) = $1.849,74. Aceitam-se todas e 
seleciona-se a alternativa A. 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 86 
Lista Extra de Exercícios nº 3 
 
 
I) Rendas do Modelo Básico 
 
1) Quanto devo depositar mensalmente em uma instituição financeira que paga juros de 
1,25% a.m., se quiser dispor de $ 25.000,00 daqui a 18 meses ? 
R: R = $ 1.247,12 
 
2) A Sra. Marta depositará mensalmente $ 600, durante 9 meses, em um banco que paga 
juros de 2,45% a.m. Qual o montante disponível por ocasião do último depósito? 
R: S = $ 5.960,59 
 
3) Numa agência de automóveis o preço a vista de um carro é de $ 60.000,00. Qual o valor 
da prestação mensal, se o carro for financiado por 36 meses, à taxa de 3,5% a.m.? 
R: R = $ 2.957,05 
 
4) O preço à vista de uma casa é $ 300.000,00. Sabendo que Zeca comprou a casa em 36 
prestações mensais e iguais, à taxa de 3% a.m., qual o valor das prestações? 
R: R = $ 13.741,14 
 
5) Caso se deseje obter R$ 30.000,00 em 9 meses, quanto deverá ser depositado 
mensalmente em um banco que paga juros de 3,5%a.m. para se atingir esse montante 
no último depósito? 
R: R = R$ 2.893,38 
 
6) Deposita-se mensalmente R$ 487,00. Após 30 meses, qual será o valor disponível, se a 
taxa de juros for de 2,4% a.m.? 
R: S = R$ 21.043,19 
 
7) Roberto comprou um laptop financiado em 6 prestações mensais e iguais de R$ 350,00. 
Qual o montante pago após a última prestação, se a loja cobra juros de 2,3%a.m.? 
R: S = R$ 2.224,52 
 
8) Um apartamento foi vendido para ser pago em 160 prestações mensais de R$ 2.168,50. 
Sabendo-se que a taxa de juros utilizada nessa operação foi de 1% ao mês, determine o 
valor a vista desse imóvel 
R: P = R$ 172.719,42 
 
 
II) Rendas não constantes do Modelo Básico 
 
9) O preço à vista de uma casa é de $ 500.000,00, podendo ser pagada seguinte forma: 
$ 100.000,00 como entrada, e o restante em três parcelas semestrais, vencendo a 
primeira parcela em um ano após a compra. Considerando uma taxa de juros de 6% a.s., 
calcule o valor das parcelas? 
R: R = $ 158.622,56 
 
10) Guilherme comprou um computador cujo pagamento foi efetuado da seguinte forma: três 
pagamentos de mensais de $ 200,00 nos meses 1º, 2º e 3º, e mais três pagamentos 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 87 
também mensais de $ 300,00 nos meses 6º, 7º e 8º. Considerando a taxa de 2,5% a.m., 
qual é o valor à vista do computador? 
R: P = $ 1.328,50. 
 
11) Juliana comprou uma TV para pagar em 12 prestações de $ 600, com uma carência de 3 
meses para o pagamento da primeira parcela. Se a taxa utilizada for de 4% a.m, qual era 
o valor a vista do televisor? 
R: P = $ 5.206,22. 
 
12) Duas dívidas, a 1ª no valor de $ 1.600,00 e a 2ª no valor de $ 2.300, com vencimentos 
para 3 e 6 meses, respectivamente, estão sendo renegociadas para serem pagas em 6 
pagamentos mensais e iguais, vencendo o primeiro pagamento daqui a 30 dias. Qual o 
valor desses pagamento se for usada a taxa de 1,6 % ao mês? 
R: R = R$ 636,98 
 
13) Um bem que custa R$ 3.800,00 à vista. Caso você queira comprá-la a prazo, para 
pagamento em 12 parcelas mensais e iguais, com carência de 6 meses paga pagamento 
da primeira prestação, qual será o valor das parcelas se a taxa adotada for de 2,4% ao 
mês? 
R: R = R$ 414,57 
 
14) Carlos fez uma aplicação de R$ 45.000,00 em um banco de investimento que paga juros 
de 1,2% ao mês, com o propósito de efetuar 6 retiradas mensais e iguais, a partir de 6 
meses após a aplicação. Qual o valor das retiradas? 
R: R = R$ 8.298,61 
 
15) Mário Jorge adquiriu um computados pagando a seguinte forma: 6 pagamentos mensais 
e iguais de R$ 300,00, vencendo o primeiro pagamento um mês após a compra e, na 
sequência, mais seis pagamentos de R$ 500,00. Qual o valor a vista desse bem, se a 
taxa de juros utilizada na operação foi 1,8% a.m.? 
R: P = R$ 4.225,32 
 
16) Caso você faça 10 depósitos mensais de R$ 1.500,00, iniciando hoje, em uma instituição 
financeira que paga juros de 1,3% a.m. e 6 meses após o último depósito efetue mais um 
depósito de R$ 10.000,00, quanto terá disponível ao final de dois anos, contados a partir 
do primeiro depósito? 
R: S = R$ 30.542,36 
 
 
III) Inflação 
 
17) João aplicou $ 6.000,00 e após 2 anos recebeu $ 3.000,00 de juros. Considerando que a 
inflação média do período foi de 15% a.a., qual foi a taxa de juros real anual obtida por 
João? 
R: r = 6,5% a.a. 
 
18) Maria aplicou $ 600,00 na caderneta de poupança e após 3 anos regatou $ 1.880,00. 
Qual foi a taxa de correção monetária anual, uma vez que a caderneta de poupança 
rende juros reais de 0,5% a.m.? 
R: j = 37,83% a.a. 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 88 
19) Uma aplicação de $ 6.000,00 rendeu juros de $ 1.800,00 no prazo de 1 ano. Sabendo-se 
que neste período a taxa de inflação foi de 22,5%, pergunta-se qual foi a taxa de juro real 
obtida pelo aplicador?. 
R: r = 6,12% a.a. 
 
20) Uma pessoa tomou emprestado $ 1.500,00, comprometendo-se a restituir $ 2.000,00 
após 1 ano. Qual a taxa anual de juros real dessa operação, se a inflação for de 13% 
a.a.? 
R: r = 17,99% a.a. 
 
21) Ana fez uma aplicação de $ 4.000,00 e após de 2 anos resgatou $ 5.454,54. 
Considerando que a aplicação foi feita à taxa real de 10% a.a., qual foi a taxa anual de 
correção monetária? 
R: r = 6,16% a.a. 
 
22) Um título com valor nominal de $ 35.000,00 foi descontado 1 ano e 6 meses antes de 
seu vencimento, sob o critério de desconto racional composto, tendo o detentor do título 
recebido a importância de R$ 25.347,52. Sabendo-se que a taxa média anual de inflação 
nesse período foi de 6,8%, qual foi a taxa de juro real anual dessa operação? 
R: r = 16,10% a.a. 
 
23) Apliquei R$ 5.000,00 e resgatei R$ 8.900,00 depois de 2 anos. Considerando que a 
aplicação foi feita à taxa real de 15% a.a. mais correção monetária, qual foi taxa de 
inflação anual? 
R: j = 16,01% a.a. 
 
 
IV) Sistemas de Amortização de Dívidas 
 
24) Um empréstimo de $ 80.000,00 será amortizado pelo SAC em 4 parcelas anuais. A taxa 
de juros contratada foi de 8% a.a. Qual o valor da última prestação? 
R: R4 = $ 21.600,00 
 
25) Uma empresa recebe um financiamento de $ 500.000,00, em 31.12.20X0, para ser pago 
em 6 prestações anuais pelo sistema francês. Desejando saber quais são as parcelas de 
juros anuais, construa a planilha de amortização considerando a taxa de juros de 25% 
a.a. 
R: a6 = $ 135.527,80 
 
26) Um financiamento de $ 150.000,00, contratado à taxa de 14% a.a., foi pelo SAC, para 
ser pago em quatro parcelas anuais. Monte a planilha de amortização. 
R: R4 = $ 42.750,00 
 
27) Um empréstimo de $ 200.000,00 foi contratado à taxa de 10% a.a. para ser saldado em 5 
prestações anuais pelo Sistema Francês. Construa a planilha de amortização. 
R: a5 = $ 47.963,18 
 
28) Um empréstimo no valor de $ 25.000,00 será amortizado pela Tabela Price em 12 
prestações mensais, a uma taxa nominal de 12% a.a. Qual é o valor da 5ª amortização? 
R: a5 = $ 2.052,94 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 89 
29) Comprou-se um carro financiando em 5 prestações anuais pelo sistema SAC. Se o valor 
a vista desse bem era R$ 28.000,00 e a taxa cobrada pela concessionária foi 15% a.a, 
qual será o valor da última parcela? 
R: R5 = R$ 6.440,00 
 
30) Considere um empréstimo de R$ 50.000,00 efetuado pelo sistema SAC, em um banco 
que cobra juros de 26% a.a., para ser pago em 6 parcelas anuais. Pergunta-se: qual o 
valor do juros da segunda parcela? 
R: J2 = R$ 10.833,33 
 
 
V) Correção Monetária 
 
31) Maria comprou uma casa por $ 200.000,00, para ser paga em 8 prestações anuais pelo 
SAC, a uma taxa real de 12% a.a. As prestações serão atualizadas monetariamente pela 
inflação acumulada do período. Calcule o valor atualizado da última prestação, 
considerando as seguintes taxas anuais de inflação: j1 = 4,5%, j2 = 5,1%, j3 = 4,9%, j4 = 
3,5%, j5 = 4,3%, j6 = 4,7%, j7 = 5,2% e j8 = 5,6% 
R: R8 = $ 40.504,52 
 
32) Calcule a correção monetária e a atualização monetária de $ 27.000,00, após 1 ano, cuja 
inflação do período foi 17%. 
R: CM = $ 4.590,00; AM = $ 31.590,00 
 
33) Qual será a atualização monetária de um capital de $ 35.770,50, ao final de 3 anos, 
considerando uma taxa média anual de inflação de 5,6% ? 
R: AM = $ 42.122,75 
 
34) Joaquim comprou um carro no valor de $ 25.000,00 financiado pelo sistema SAC, para 
ser pago em 5 prestações anuais, a uma taxa real de 9% a.a. As prestações são 
atualizadas monetariamente pela inflação do período. Calcule o valor atualizado da 
última prestação, considerando as seguintes taxas anuais de inflação: j1 = 1,3%, 
j2 =2,4%, j3 = 3,2%, j4 = 4,5%, j5 =3,9% 
R: R 5 = $ 6.334,57 
 
35) Comprou-se um carro financiando em 5 prestações anuais pelo SAC, à taxa real de 15% 
a.a., devendo as prestações serem atualizadas monetariamente pelas taxas de inflação. 
O valor a vista desse bem era R$ 28.000,00. qual será o valor da última parcela, se a 
inflação média no período foi de 5,8% a.a? 
R: R5 = R$ 8.537,18 
 
36) Efetuou-se um empréstimo de R$ 50.000,00 pelo SAC, um banco cobra juros reais de 
15% a.a., para ser pago em oito parcelas anuais, devendo as prestações serem 
corrigidas monetariamente. Calcule os valores atualizados da 2a. e da 4a. Taxas anuais 
de inflação: j1 = 3%, j2 = 5,6%, J3 = 4,7% e J4 = 5,3%. 
R: R2 = R$ 13.935,90 e R4 = R$ 13.115,78 
 
37) Considere um financiamento de R$ 42.000,00, efetuado pelo Sistema Francês, para ser 
pago em 8 prestações anuais, à taxa de juro real de 8% a.a., devendo as prestações 
serem atualizadas monetariamente por ocasião dos pagamentos. Considerando uma 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
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inflação média anual de 6,8% nos quatro primeiros anos e uma inflação média anual de 
7,2% nos anos restantes, calcular o valor atualizado da sexta. 
R: R6 = R$ 10.927,23 
 
 
VI) Análise de Investimentos 
 
38) Considerando as opções de investimentos apresentadas no quadro abaixo, responda as 
questões que se seguem: 
 
Ano Investimento X Investimento Y 
0 - 40.000,00 - 70.000,00 
1 5.000,00 10.000,00 
2 17.000,00 25.000,00 
3 27.000,00 40.000,00 
 
a) Qual o payback do investimento X? 
R: Pay X = 2 anos e 8 meses 
 
b) Calcule a taxa média de retorno do investimento Y. 
R: TMR Y = 35,71% ao ano. 
 
 
39) Calcule o payback das alternativas de investimento a seguir e aponte qual o melhor 
deles, considerando Io = 4 anos. 
 
Ano Alternativa A Alternativa B Alternativa C 
0 - 45.000,00 - 63.000,00 - 52.000,00 
1 11.000,00 20.000,00 17.000,00 
2 7.000,00 18.000,00 15.000,00 
3 12.000,00 27.000,00 12.000,00 
4 20.000,00 17.000,00 16.000,00 
 
R: Pay X = 3 anos e 9 meses; Pay Y = 2 anos e 11 meses; Pay Z = 3 anos e 6 
meses. Portanto, o melhor investimento é o Y. 
 
 
40) Analise as alternativas de investimento abaixo pelo método da Taxa Média de Retorno e 
aplique os critérios de aceitação e seleção, considerando como Io TMR = 33% ao ano. 
 
Ano Alternativa A Alternativa B Alternativa C 
0 - 30.000,00 - 45.000,00 - 60.000,00 
1 12.000,00 17.000,00 23.000,00 
2 15.000,00 21.000,00 19.000,00 
3 10.000,00 8.000,00 20.000,00 
4 5.000,00 11.000,00 18.000,00 
 
R: Aceitam-se os investimentos X e Z, pois possuem TMR > 33%, e seleciona-se 
o investimento X, pois possui a maior TMR (35% ao ano). 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
Professor Aldery Silveira Jr. 91 
41) Calcule o valor atual dos fluxos de caixa dos investimentos apresentados a seguir, 
considerando como Io uma taxa de 20% ao ano, e aplique os critérios de aceitação e 
seleção. 
 
Ano Investimento X Investimento Y 
0 - 25.000,00 - 37.000,00 
1 14.000,00 17.000,00 
2 9.000,00 19.000,00 
3 12.000,00 23.000,00 
 
R: VA X = $ -138,88; VA Y = $ 3.671,30. Critério de aceitação: aceita-se somente 
o Investimento Y, pois apresenta VA > 0, e seleciona-se o investimento Y. 
 
 
42) A partir das alternativas abaixo, calcule os paybacks respectivos de cada uma delas. 
Com esses dados, avalie qual será o melhor alternativa para se investir? 
 
Ano Opção A Opção B Opção C 
0 - 50.000 - 160.000 - 70.000 
1 30.000 60.000 40.000 
2 10.000 120.000 30.000 
3 60.000 80.000 20.000 
 
R: Pay a = 2 anos e 2 meses; Pay b = 1 ano e 10 meses; Pay c = 2 anos 
A melhor alternativa será a “b”, pois recupera o investimento em menor tempo. 
 
 
43) Considerando um Io = 20%, calcule será o valor atual (VPL) das alternativas w e z, e 
aplique os critérios de aceitação e seleção. 
 
Ano Opção W Opção Z 
0 - 80.000 - 100.000 
1 40.000 50.000 
2 40.000 50.000 
3 40.000 50.000 
 
R: VA(w) = $ 4.259,26; VA(z) = $ 5.324,07 
 
Aceita-se ambas, pois possuem Va > 0 
Seleciona-se a opção z, pois possui valor atual (maior VPL) 
 
 
44) Calcule a TIR das alternativas apresentadas a seguir, considerando Io = 20% a.a. e 
aplique os critérios de seleção e aceitação. 
 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
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Ano Opção alfa Opção beta 
0 - 90.000 - 110.000 
1 50.000 50.000 
2 30.000 40.000 
3 30.000 40.000 
4 30.000 40.000 
 
VA alfa (20%) = $ 4.328,70 VA beta (20%) = $ 1.882,72 
VA alfa (25%) = $ - 3.152,00 VA beta (25%) = $ - 7.536,00 
 
R: TIR alfa = 22,80% a.a. (TIR real) R: TIR beta = 20,94% a.a. (TIR real) 
 
Aceitam-se ambas as opções, pois têm TIR maior que o Io. 
Seleciona-se também a opção alfa, por possuir a maior TIR. 
 
 
 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
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Anexo – Tabela Financeira 
 
Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios 
 
 
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Referências – Bibliografia Consultada 
 
 
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações. 6ª ed. São Paulo: 
Atlas, 2001. 
BRUNI, Adriano Leal & FAMÁ, Rubens. Matemática Financeira com HP 12C e Excel. 3ª ed. 
São Paulo: Atlas, 2004. 
DAL ZOT, W. e CASTRO, Manuela L. Matemática Financeira: Fundamentos e Aplicações. 
Porto Alegre: Bookman, 2015 
EHRLICH, Pierre Jacques. Engenharia Econômica: avaliação e seleção de projetos de 
investimentos. Belo Horizonte, 1996. 
KUHNEN, Osmar Leonardo & BAUER, Humberto Reinold. Matemática Financeira Aplicada e 
Análise de Investimentos. São Paulo: Atlas, 2001; 
MATHIAS, Washington Franco & GOMES, José Maria. Matemática financeira. 2ª ed. São 
Paulo: Atlas, 1996. 
NEVES, César das. Análise de investimentos. Rio de Janeiro: Zahar, 1982. 
OLIVEIRA, J. A. N. Engenharia Econômica: uma abordagem às decisões de investimento. 
São Paulo: McGraw Hill, 1981. 
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira – Aplicações à Análise de Investimentos. 
3ª ed. São Paulo: Pearson, 2004. 
SILVA, André Luiz Carvalho da. Matemática Financeira Aplicada. São Paulo: Atlas, 2005. 
SOBRINHO, José Dutra Vieira. Matemática financeira. 3a. ed. São Paulo: Atlas, 1990. 
SOUZA, Alceu e CLEMENTE, Ademir. Decisões Financeira e Análises de Investimentos: 
fundamentos, técnicas e aplicações. São Paulo: Atlas, 1995.