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ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIAL AV. INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW .AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO . DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. APOSTILA MATEMÁTICA FINANCEIRA USO DA HP-12C PROFª. MS. DANIELE MARTINI www.cliqueapostilas.com.br http://www.cliqueapostilas.com.br ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E DE ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIAL AV. INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 2 INTRODUÇÃO “REFLEXÃO” � Alguém emprestaria um dinheiro sem cobrar nada? � Se você atrasar o pagamento de um título, o valor para quitar é o mesmo? � Será que daqui a 10 anos um pacote de arroz de 5Kg custará em média R$ 8,00? � Você se lembra qual o preço de um tênis de marca há 12 anos atrás? Nota-se que em todos os questionamentos existem duas figuras: valor e tempo. Dois principais fatores podem ser citados para que possamos entender as possíveis respostas dos questionamentos: • Capital escasso – Ninguém empresta dinheiro “de graça”, tanto que a taxa de aplicação financeira é diferente do empréstimo. • Ambiente inflacionário – historicamente vivemos em um país inflacionário. Considerando um exemplo simples, se no início do ano precisamos de 100,00 para comprarmos 10 pacotes de arroz e no final do ano precisamos de 110,00 para comprarmos a mesma quantidade de arroz, dizemos então que 100,00 no início do ano e 110,00 no final do ano expressam o mesmo poder de compra. Então inflação é a correção do dinheiro ao longo do tempo. Se não tivéssemos estes dois fatores, os valores ao longo do tempo não se alterariam, o que não é o caso. A matemática financeira é o estudo do capital ao longo do tempo, ou seja, tem como objetivo capitalizar e descapitalizar valores. Quando se fala em matemática financeira pensamos na figura dos juros, que podemos definir como: É o ganho/rendimento/compensação pelo uso do capital financeiro em um determinado tempo a uma dada taxa. MATEMÁTICA FINANCEIRA Hoje toda base para a análise, planejamento, avaliação e decisão de negócios, têm como pré- requisito o conhecimento de matemática financeira e da engenharia econômica. Taxas, inflação, índices de preços, lucros, prejuízos, cotações de moedas, taxa interna de retorno, valor atual líquido e outros estudos de viabilidade e alternativas econômicas devem passar por essas disciplinas. Afirma Hirschfeld (1989, p. 16): “Conseguir a máxima eficiência técnica somente se torna viável se for demonstrada a máxima eficiência financeira”. SÍNTESE HISTÓRICA DA MATEMÁTICA FINANCEIRA A História da Matemática constitui um dos capítulos mais interessantes do conhecimento. Permite compreender a origem das idéias que deram forma à nossa cultura e observar também os aspectos humanos do seu desenvolvimento: enxergar os homens que criaram essas idéias e estudar as circunstâncias em que elas se desenvolveram. Pré-História Neste período houve a elaboração de um processo rudimentar de contagem: ranhuras em ossos, marcas em galhos, desenhos em cavernas e pedras. Também podemos citar aqui o processo que muitos utilizavam para relacionar quantidades, ou seja, para cada unidade obtida, era colocada uma pequena pedra em um saquinho. Uso dos símbolos As tábuas mostram que os sumérios antigos estavam familiarizados com todos os tipos de contratos legais e usuais, como faturas, recibos, notas promissórias, crédito, juros simples e compostos, hipotecas, escrituras de venda e endossos. www.cliqueapostilas.com.br http://www.cliqueapostilas.com.br ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E DE ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIAL AV. INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 3 As trocas As trocas começam quando o homem faz a divisão social do trabalho. Não produzindo tudo que precisava e produzindo outros produtos em excedente, procurou trocar o que estava sobrando pelo que estava faltando. O primeiro tipo de troca comercial foi o escambo, forma segundo a qual se trocam diretamente (e, portanto, sem a intervenção de uma "moeda" no sentido moderno da palavra) gêneros e mercadorias correspondentes a matérias primas ou a objetos de grande necessidade. Escambo A primeira unidade de escambo admitida na Grécia pré-helênica foi o boi. Não é por acaso que a palavra latina pecúnia quer dizer "fortuna, moeda, dinheiro": provém, com efeito, de pecus, que significa "gado, rebanho"; além disso, o sentido próprio da palavra pecúnia corresponde ao "ter em bois" - pecuária. Moedas – dinheiro No Egito faraônico, os gêneros e as mercadorias foram freqüentemente estimados e pagos em metal (cobre, bronze e, por vezes, ouro ou prata), que se dividia inicialmente em pepitas e palhetas. A avaliação era feita também sob a forma de lingotes ou de anéis, cujo valor se determinava em seguida pela pesagem. Os juros É bastante antigo o conceito de juros, tendo sido amplamente divulgado e utilizado ao longo da História. Esse conceito surgiu naturalmente quando o Homem percebeu existir uma estreita relação entre o dinheiro e o tempo. Nas citações mais antigas, os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras conveniências emprestadas. Muitas das práticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empréstimo e devolução de sementes e de outros produtos agrícolas. Quando as sementes eram emprestadas para a semeadura de certa área, era lógico esperar o pagamento na próxima colheita - no prazo de um ano. A História também revela que a idéia se tinha tornado tão bem estabelecida que já existia uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC, com os escritórios centrais na Babilônia. Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o financiamento do comércio internacional. O juro não é apenas uma das nossas mais antigas aplicações da Matemática Financeira e Economia, mas também seus usos sofreram poucas mudanças através dos tempos. Os bancos – banqueiros As pessoas entregavam seu dinheiro à custódia do cambista rico, que o guardava e devolvia ao dono quando ele pedisse. Imaginemos um cambista qualquer que tenha acumulado, desta forma, em seus cofres, imensa quantidade de dinheiro. O cambista exercia sua profissão sentado num banco de madeira em algum lugar do mercado. Daí a origem da palavra "banqueiro" e "banco". Os primeiros bancos de verdade da História foram criados pelos sacerdotes. Era natural que a seguinte idéia ocorresse: Por que estas grandes somas de dinheiro haverão de permanecer em meu poder sem qualquer lucro para mim? Aí então se percebe que a palavra "lucro" está diretamente interligada com o conceito de finanças. O cambista então pensa: - É pouco provável que todos os proprietários, ao mesmo tempo e num mesmo dia, exijam a devolução imediatae os valores atuais dos pagamentos.”(MERCHEDE 2001:, pg 336) “Consiste em determinar o valor atual do fluxo de caixa (receitas e despesas), empregando a taxa mínima de atratividade. Calculando os valores atuais das alternativas apresentadas, encontramos a melhor delas pela diferença entre os valores atuais das receitas e despesas. A que apresentar melhor resultado a favor do investidor será a alternativa preferida.”(KUHNEN & BAUER 2001:, pg 394) “O valor presente líquido (VPL) ou net present value (NPV) de um fluxo de caixa corresponde a trazer todos os fluxos futuros para o valor atual, descontando-se uma taxa de juros, que www.cliqueapostilas.com.br http://www.cliqueapostilas.com.br ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E DE ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIAL AV. INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 32 corresponde ao custo de capital, também chamada de custo de oportunidade ou taxa mínima de atratividade. Esta taxa representa o retorno que o investidor poderia obter em uma aplicação no mercado com risco comparável.” (SILVA 2009:, p. 141) Segundo Branco (2002): VPL é uma das técnicas consideradas sofisticadas em análise de projetos; é obtida calculando-se o valor presente de uma série de fluxos de caixa (pagamento e recebimento) com base em uma taxa de custo de oportunidade conhecida ou estimada, e subtraindo-se o investimento inicial. Se considerarmos um investimento inicial P0 que gera entradas de caixa FC1, FC2, FC3, ..., FCn nos próximos n períodos, temos o VPL como sendo: 0 321 )1( ... )³1()²1()¹1( P i FC i FC i FC i FC VPL n n − + ++ + + + + + = Na calculadora HP – 12C: � destina-se a introdução do fluxo de caixa inicial www.cliqueapostilas.com.br http://www.cliqueapostilas.com.br ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E DE ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIAL AV. INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 33 � destina-se a introdução de fluxos de caixa � destina-se a introdução da freqüência dos fluxos de caixa � Taxa mínima de atratividade/custo de oportunidade � calcula o valor presente líquido de um fluxo de caixa 40.000 295.000 30.000 36.000 36.000 36.000 0 1 2 3 4 5 6 7 220.000 5.000 Observa-se que no sétimo ano ele pretende vender por R$ 250.000,00 mas tem o aluguel do período de R$ 45.000,00, ficando, assim, em R$ 295.000,00. HP – 12C: [f] [REG] 220000 [CHS] [g] [CFo] 5000 [CHS] [g] [CFj] 30000 [g] [CFj] 36000 [g] [CFj] 3 [g] [Nj] 40000 [g] [CFj] 295000 [g] [CFj] 12 [i] [f] [NPV] � R$ 22.089,90 Ou seja, este valor corresponde ao superávit financeiro do projeto, pois além dos 12% ao ano pretendido o investidor teve um resultado financeiro positivo no tempo zero. www.cliqueapostilas.com.br http://www.cliqueapostilas.com.br ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E DE ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIAL AV. INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 34 � Faça o mesmo cálculo, ou se estiver ainda com este número de 22.089,90 no visor clique em 15 [i], ou seja, uma taxa de atratividade de 15% a.a., depois clique em [f] [NPV], a resposta será de R$ -13.316,92, resposta negativa. Observa-se que com 15% de taxa de retorno o projeto é inviável, mas qual seria o mínimo de taxa de juros que esse projeto comportaria? Clique em [f] [IRR] A resposta é 13,919039% ao ano, correspondendo a TIR (Taxa Interna de Retorno). Exercício: Calcular o VPL de um investimento de R$ 100.000,00 que oferece como retorno líquido em cada período de um ano R$ 25.000,00; R$ 40.000 e R$ 50.000,00 à uma taxa de oportunidade de 12% ao ano. Solução: TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) A taxa interna de retorno (TIR), pode ser definida como a taxa de desconto que iguala os fluxos de caixa ao investimento inicial. Em outras palavras, é a taxa que faz o VPL ser igual a zero. Quando um investidor vai a algum banco aplicar recursos, o que ele pergunta primeiro ao funcionário do setor? Qual a aplicação que está rendendo a melhor taxa de juros? O investidor sabe que se aplicar na operação que tem a melhor taxa de juros o retorno financeiro será maior. Então, a pergunta é: será que, depois de mensurado o fluxo financeiro constante de investimentos e retiradas em determinado período, não haveria uma taxa que resumisse todo o fluxo? www.cliqueapostilas.com.br http://www.cliqueapostilas.com.br ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E DE ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIAL AV. INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 35 A TIR (Taxa Interna de Retorno) é uma das soluções deste problema. Segue alguns conceitos de autores: “A taxa Interna de Retorno é a taxa de juros que iguala, em determinado momento do tempo, o valor presente das entradas (recebimentos) com os da saídas (pagamentos) previstas em caixa. Geralmente, adota-se a data de início da operação - momento zero - como data focal de comparação dos fluxos de caixa.”(ASSAF NETO 2001:, pg 271) É a taxa que anula o saldo dos valores atuais do fluxo de caixa. Quando analisamos diversas alternativas de investimentos pelo método de Taxa Interna de Retorno, é necessário equipararmos o investimento inicial, ou seja, aplica-se a diferença de investimento pela taxa mínima de atratividade nas mesmas condições do investimento base.”(KUHNEN & BAUER 2001, pg 415) “Nos casos de análise de aplicações de projetos de investimento, têm-se na data zero, uma entrada, que representa o investimento inicial (ou o empréstimo ou o financiamento) e diversos fluxos futuros de caixa. A TIR equaliza o valor presente de um ou mais pagamentos (saídas) com o valor presente de um ou mais recebimentos (entradas). (MERCHEDE 2001, pg 345) 0 321 )1( ... )³1()²1()¹1( 0 P i FC i FC i FC i FC n n − + ++ + + + + + = Exemplo: (MERCHEDE 2001, pg. 346) Este projeto tem uma vida estipulada em 7 anos. � destina-se a introdução do fluxo de caixa inicial � destina-se a introdução de fluxos de caixa 220.000 5.000 30.000 36.000 295.000 40.000 36.000 36.000 0 1 2 3 4 5 6 7 Investimentos Retiradas www.cliqueapostilas.com.br http://www.cliqueapostilas.com.br ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E DE ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIALAV. INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 36 � destina-se a introdução da freqüência dos fluxos de caixa � calcula a taxa interna de retorno. Solução, considerando os investimentos como negativo, e retiradas positivo temos: HP – 12C: [f] [REG] 220000 [CHS] [g] [CFo] 5000 [CHS] [g] [CFj] 30000 [g] [CFj] 36000 [g] [CFj] 3 [g] [Nj] 40000 [g] [CFj] 295000 [g] [CFj] [f] [IRR] � 13,919039% ao ano Isso quer dizer que o retorno deste projeto é de 13,919039% ao ano nestes 7 anos. Conclusão: NPV maior que 0 � IRR maior que TMA � Investimento viável. A taxa interna de retorno (IRR) é maior que o custo de oportunidade NPV igual a 0 � IRR igual a TMA � Investimento proporciona rentabilidade igual ao custo de oportunidade NPV menor que 0 � IRR menor que a TMA � Investimento inviável. A taxa interna de retorno (IRR) é menor que o custo de oportunidade. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO Plano de Amortização - É um quadro analítico de um empréstimo, constituído de várias colunas, que apresenta, após cada pagamento, a parcela dos juros pagos, a quota de amortização, o total da dívida que foi amortizado e o saldo devedor. Juros - é calculado sobre o saldo devedor do período anterior. Quota de amortização - é a parcela da prestação destinada a resgatar a dívida que corresponde a prestação menos os juros. www.cliqueapostilas.com.br http://www.cliqueapostilas.com.br ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E DE ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIAL AV. INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 37 Dívida Amortizada - representa a parcela de dívida que já foi paga. Os valores desta coluna representam as quotas de amortização acumuladas. Saldo devedor - representa a diferença entre o valor do empréstimo e a dívida amortizada após cada pagamento realizado. SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO (PRICE) SAF Esse sistema consiste em um plano de amortização de uma dívida em prestações periódicas, iguais e sucessivas, dentro do conceito de termos vencidos, em que o valor de cada prestação, ou pagamento, é composto por duas parcelas distintas: uma de juros e outra de capital (chamada amortização). + −+= ii i PMTPV n n .)1( 1)1( e J = PV.i SISTEMA AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) Consiste em pagar periodicamente uma cota de amortização constante e os juros sobre o saldo devedor N Empréstimo a = J = PV.i T = a + J SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) Foi desenvolvido originalmente para as operações de financiamento do Sistema Financeiro de Habitação. Representa basicamente a média aritmética entre o sistema francês (SAF) ou Price e o sistema de amortização constante (SAC), daí explicando-se a sua denominação. Para cada um dos valores de seu plano de pagamento, deve-se somar aqueles obtidos pelo SAF com os do SAC e dividir por dois. Exemplo: Uma empresa contraiu um empréstimo no valor de R$ 12.000,00 para ser resgatado em quatro prestações mensais com juros de 10% a.m. Elaborar o plano de amortização da dívida pelo sistema PRICE, SAC e Misto. + −+= ii i PMTPV n n .)1( 1)1( PRICE n Prestação Juro Quota de amortização Divida amortizada Saldo devedor 0 -- -- -- -- 12.000,00 1 2 3 4 www.cliqueapostilas.com.br http://www.cliqueapostilas.com.br ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E DE ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIAL AV. INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 38 T = a + J J = PV.i N Empréstimo a = SAC n Prestação Juro Quota de amortização Divida amortizada Saldo devedor 0 -- -- -- -- 12.000 1 2 3 4 www.cliqueapostilas.com.br http://www.cliqueapostilas.com.br ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E DE ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIAL AV. INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 39 Misto n Prestação Juro Quota de amortização Divida amortizada Saldo devedor 0 -- -- -- -- 12.000 1 2 3 4 www.cliqueapostilas.com.br http://www.cliqueapostilas.com.br ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E DE ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIAL AV. INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 40 EXERCÍCIOS 1. Uma empresa deve escolher entre dois projetos, A e B, que apresentam o seguinte fluxo de caixa: Ano Projeto A (R$) Projeto B (R$) 0 - 75.000,00 - 85.000,00 1 40.000,00 65.000,00 2 38.000,00 40.000,00 3 42.000,00 32.000,00 Considerando que a taxa de atratividade é de 9% ao ano (capitalização anual), qual o projeto que mais favorece a empresa? (Deve ser o de maior VPL!!!) 2. Um empréstimo de R$ 23.600,00 será liquidado em 3 prestações mensais e sucessivas de R$ 12.000,00, R$ 5.000,00 e R$ 8.000,00. Considerando uma taxa de juros de 3% ao mês, calcular o valor presente líquido. 3. Um banco financia um veículo para pagamento em 18 prestações mensais e sucessivas de R$ 720,00 cada uma, mais 3 prestações semestrais adicionais de R$ 780,00, R$ 880,00 e R$ 980,00, respectivamente, para serem pagas no final de cada semestre juntamente com as prestações mensais. Calcular o valor financiado, sabendo-se que o banco cobra uma taxa de 2% ao mês. 4. Um apartamento foi colocado à venda pelo valor de R$ 80.000,00 à vista ou em 2 anos de prazo, com R$ 20.000,00 de entrada, mais 12 prestações mensais de R$ 2.600,00 e mais 12 de R$ 3.100,00. Admitindo-se que você esteja interessado em adquiri-lo e que tenha recursos para comprá-lo até mesmo à vista, qual seria sua decisão se você tivesse a alternativa de aplicar esses recursos à uma taxa de 0,5% ao mês? 5. Qual é a taxa interna de retorno do projeto dado abaixo? Ano Projeto (R$) 0 - 30.000,00 1 6.000,00 2 6.200,00 3 6.500,00 4 6.800,00 5 7.000,00 6 7.500,00 6. Determinar o fluxo de caixa(tomar com referência quem emprestou o dinheiro) e a taxa interna de retorno correspondente a um empréstimo de R$ 1.100,00 a ser liquidado em três pagamentos mensais de R$ 300,00, R$ 500,00 e R$ 400,00. www.cliqueapostilas.com.br http://www.cliqueapostilas.com.br ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E DE ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIAL AV. INTEGRAÇÃOJAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 41 7. Um equipamento de R$ 100.000,00 é integralmente financiado, para pagamento em 7 parcelas mensais, sendo as 3 primeiras de R$ 10.000,00, as 2 seguintes de R$ 15.000,00, a 6ª de R$ 20.000,00 e a 7ª de R$ 30.000,00. Faça o fluxo de caixa e calcule a taxa interna de retorno. 8. Um consumidor adquire uma geladeira pelo sistema de crediário para pagamento em 8 prestações mensais de R$ 287,40. Sabendo-se que o valor financiado foi de R$ 1.890,00 e que a 1ª prestação será paga no final do 3º mês (2 meses de carência), determinar a taxa de juros cobrada pela loja. 9. Um empréstimo de R$ 300.000,00 deve ser liquidado em quatro prestações mensais com juros de 10% a.m. Elaborar o plano de amortização da dívida pelo sistema PRICE, SAC e Misto. PRICE n Prestação Juro Quota de amortização Divida amortizada Saldo devedor 0 -- -- -- -- 12.000,00 1 2 3 4 SAC n Prestação Juro Quota de amortização Divida amortizada Saldo devedor 0 -- -- -- -- 12.000 1 2 3 4 Misto n Prestação Juro Quota de amortização Divida amortizada Saldo devedor 0 -- -- -- -- 12.000 1 2 3 4 www.cliqueapostilas.com.br http://www.cliqueapostilas.com.br ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E DE ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIAL AV. INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 42 BIBLIOGRAFIA ALMEIDA, Adilson; GUERRA, Fernando. Integrando a Matemática Financeira com Excel. Florianópolis: Visual Books, 2006. ASSAF NETO, Alexandre; Matemática financeira e suas aplicações. São Paulo: Atlas, 2001. BAUER, Udibert Reinoldo - Calculadora HP 12C : manuseio, cálculos financeiros e análise de investimentos. - São Paulo: Atlas 1994. BRANCO, Anísio Conta, Matemática financeira aplicada, São Paulo, Cengagem Learning, 2002. BRUNI, Adriano Leal; FAMÁ, Rubens. Matemática Financeira: com HP 12C e Excel. São Paulo: Atlas, 2004. CASAROTO FILHO, Nelson; KOPITTKE, Bruno Hartmut. Análise de Investimento. São Paulo: Atlas, 2000. COPELAND, Tom, Tim Koller e Jack Murrin, Avaliação de Empresas –Valuation- Makron Books, 2000 DAMODARAN, Aswath, , Avaliação de Investimentos, Qualitymark, 2002 DAMODARAN, Aswath, Corporate Finance, Theory and Practice - John Wiley & Sons,1997 DE FRANCISCO, Walter. - Matemática financeira. São Paulo: Atlas, 1994. GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática Financeira com HP 12C e Excel. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. HIRSCHFELD, Henrique. Engenharia econômica, São Paulo, Atlas, 1989. KASSAI, José Roberto; KASSAI, Sílvia; SANTOS, Ariovaldo dos; ASSAF NETO, Alexandre. Retorno de Investimento: abordagem matemática e contábil do lucro empresarial. São Paulo: Atlas, 2000. KUHNER, Osmar Leonardo; BAUER, Udibert Reinoldo. Matemática financeira aplicada a análise de investimentos. São Paulo, Atlas,2001 LAPONNI, Juan Carlos. Excel & Cálculos financeiros: introdução a modelagem financeira. São Paulo: Laponni treinamento e Editora, 1999. MERCHEDE, Alberto. Matemática financeira - para usuários do Excel e da calculadora HP-12C. São Paulo, Atlas, 2001. MOTTA, Regis da Rocha; CALÔBA, Guilherme Marques. Análise de investimento: tomada de decisão em projetos industriais. São Paulo: Atlas, 2006. NETO, Alexandre Assaf. Matemática financeira e suas aplicações. São Paulo, Atlas. 1992. PUCCINI, Alberto de Lima. Matemática financeira: objetiva e aplicada. São Paulo, Saraiva, 1999. ROSS, Stephen A., Randolph W. 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INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 4 - Por isso, além do dinheiro emprestado, deverá entregar-me, no vencimento do prazo estipulado, uma soma adicional. A idéia prosperou e... Assim tiveram início as operações creditícias. Aqueles que, por alguma razão, se encontravam sem dinheiro (comerciantes, senhores feudais e não raras vezes o próprio rei ou o erário nacional) recorriam ao cambista que, por sua vez, lhes emprestava grandes somas de dinheiro a juros "razoáveis". O juro era pago pelo usufruto do dinheiro recebido ou, mais, propriamente, era a "compensação pelo temor" de quem dava dinheiro emprestado e assim se expunha a um grande risco. A força da Igreja A Igreja cristã não só deu continuidade à tradição das operações creditícias dos antigos sacerdotes, que considerava pagãos, mas desenvolveu-as em grande escala. A Igreja Católica criou o "Banco do Espírito Santo", com um fabuloso capital inicial. Seu verdadeiro propósito era tornar mais expedita a exação, aos fiéis, dos chamados "denários de São Pedro" destinados a satisfazer as frugalidades do Papa e para facilitar o pagamento de dízimos e indulgências, assim como para a realização de transações relacionadas com os empréstimos, em outras palavras, com a usura. Hoje como está? O surgimento dos bancos está diretamente ligado ao cálculo de juros compostos e ao uso da Matemática Financeira de modo geral. O primeiro banco privado foi fundado pelo duque Vitali em 1157, em Veneza. Após este, nos séculos XIII, XIV e XV toda uma rede bancária foi criada. Os bancos foram um dos grandes propulsores práticos para o avanço da Matemática Financeira e da Economia durante os séculos X até XV, motivação para o aprimoramento dos cálculos, talvez, sem eles essa área de Matemática não estivesse tão avançada nos dias atuais. CONCEITO O valor de um capital numa data é diferente do valor desse mesmo capital em outra data qualquer, se durante este tempo houver pagamento de juros ou inflação. A Matemática Financeira estuda o comportamento do dinheiro através do tempo (em função do tempo) ou ainda, faz a avaliação do comportamento do dinheiro num determinado período, considerando-se sempre as taxas de juros ou de descontos, estipuladas num determinado período de tempo. Segundo Neto (1992, p. 13), “Seu objetivo básico é o de efetuar análises e comparações dos vários fluxos de entrada e saída de dinheiro de caixa verificado em diferentes momentos”. PRESSUPOSTOS DO CONCEITO Capital (Valor presente – C – PV): Valor inicial da aplicação ou empréstimo. Representa o valor monetário colocado na data inicial da operação, isto é, no ponto de tempo chamado zero. Capital = C Taxa de juros = i Período de tempo = n Juros ao capital inicial = C x i x n Montante = C + J www.cliqueapostilas.com.br http://www.cliqueapostilas.com.br ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E DE ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIAL AV. INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 5 Taxa de juros (i): Unidade de remuneração dada ao capital inicial expressa em percentagem e mencionando a unidade de tempo. Período (Tempo – n): Quantidade de tempo da aplicação do Capital ou que houve a capitalização de juros, expresso em anos, semestres, trimestres, meses ou dias. Montante (Valor futuro – M – FV): Valor final, resultado da aplicação, corresponde ao valor inicial da aplicação mais os juros produzidos. Exemplo: Valor inicial de $ 1.000,00 emprestado por dois meses a taxa de juros de 10,00% ao mês resultará num montante de $ 1.200,00. Já a mesma quantia emprestada a mesma taxa de juros por um período de cinco meses terá um montante de $ 1.500,00 Tudo é representada pelo diagrama do fluxo de capitais ou fluxo de caixa. 1 2 3 1.000 1.000 1 2 4 5 I = 10% a.p. n = 2 p. n = 5 p. 0 1.200 1.500 0 JUROS A diferença entre o valor aplicado (capital) e o recebido (montante) se chama juro. Exemplo: $1.200,00 – $1.000,00 = $200,00 $1.500,00 – $1.000,00 = $500,00 O resultado do comportamento do dinheiro aplicado no tempo se chama juro. Entende-se também por juros, a remuneração do valor aplicado ou emprestado. www.cliqueapostilas.com.br http://www.cliqueapostilas.com.br ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E DE ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIAL AV. INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 6 Existe proporcionalidade em relação as variáveis C, i e n. A variação de qualquer uma ou mais (aumentando ou diminuindo), causará variação (mais ou menos) nos juros. Por isso podemos escrever: J = C x i x n Todas as fórmulas se desenvolvem supondo a existência destas três variáveis: Exemplo: a) Fórmula do montante - Juros simples: M = C + J M = C(1 + in) b) Fórmula do montante - juros compostos: M = C(1+ i)n c) Fórmula da prestação - anuidade CONHECENDO A HP - 12C 1. Ligar e desligar: Teclar [ON] 2. Notação matemática brasileira (vírgula em vez de ponto) a) Desligar a calculadora: Teclar [ON]. b) Com a calculadora desligada pressionar ao mesmo tempo as teclas [ON] e [.]. c) Soltar primeiro a tecla [ON] e depois a tecla decimal [.]. Exemplo: 1.000,00 3. Para juros compostos PMTPMTPMTPMT ==== (1+i)(1+i)(1+i)(1+i) (1+i)(1+i)(1+i)(1+i) nnnn ---- x 1111 nnnn 1111 PVPVPVPV www.cliqueapostilas.com.br http://www.cliqueapostilas.com.br ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E DE ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIAL AV. INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 7 Sempre que operar com juros compostos a calculadora deve apresentar no visor a letra “c” para que realize todos os cálculos a juros compostos, independentes do valor do período “n” ser fracionário ou não. Para aparecer o “c” pressionar concomitantemente as teclas [STO] e [EEX]. 4. Ajustar as casas depois da vírgula a) Teclar [f] (amarela) b) Teclar a tecla numérica com o número decasas que se quer trabalhar. Exemplo: [f] [4]. 5. Fluxo de caixa a) Sempre que digitar saída de caixa teclar após o valor [CHS]. O valor vai aparecer no visor como negativo. b) Se os valores forem pagos no final de cada período (postificado) teclar [g] (azul) e depois [END]. c) Se os valores forem pagos no início do período (antecipado) teclar [g] (azul) e depois [BEG]. 6. Funcionamento da HP-12C Exemplo: 3 + 4 x 5 T 3 Z 3 4 3 Y 3 4 5 20 23 X 3[e] 4[e] 5 x + 7. Operações mais comuns a) Adição: Teclar o número, depois [ENTER], em seguida a parcela desejada e após [+]. Exemplo: 100 [ENTER] 50 [+]... 150 b) Adição com várias parcelas: Teclar a primeira parcela, depois [ENTER], em seguidas as parcelas uma a uma teclando após cada uma [+]. Exemplo: 20 [ENTER] 5 [+] 3 [+] 25 [+] 62 [+]... 115 c) Subtração: Teclar o número, depois [ENTER], em seguida a parcela desejada e após [-]. Exemplo: 200 [ENTER] 30 [-]... 170 d) Subtração com várias parcelas: Teclar a primeira parcela, depois [ENTER], em seguidas as parcelas uma a uma teclando após cada uma [-]. Exemplo: 350 [ENTER] 25 [-] 20 [-] 60 [-]... 235 e) Multiplicação: Teclar o número, depois [ENTER], em seguida a parcela desejada e após [X]. Exemplo: 25 [ENTER] 5 [X]... 125 f) Multiplicação com varias parcelas: Teclar a primeira parcela, depois [ENTER], em seguidas as parcelas uma a uma teclando após cada uma [X]. Exemplo: 100 [ENTER] 2 [X] 6 [X] 18 [X]... 21.600 g) Divisão: Teclar o número, depois [ENTER], em seguida a parcela desejada e após [÷]. Exemplo: 144 [ENTER] 12 [÷]... 12 h) Divisão com várias parcelas: Teclar a primeira parcela, depois [ENTER], em seguidas as parcelas uma a uma teclando após cada uma [÷]. www.cliqueapostilas.com.br http://www.cliqueapostilas.com.br ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E DE ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIAL AV. INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 8 Exemplo: 255 [ENTER] 15 [÷] 3 [÷] 8 [÷]... 0,71 i) Sentenças matemáticas Para resolver sentenças matemáticas, seguem-se as orientações das operações com várias parcelas e a seqüência para a resolução das mesmas que é: potência, parênteses, multiplicação/divisão e soma/diferença. Exemplo: [4 x (3-2) + 9 x 3] 3 [ENTER] 2 [-] 4 [X] 9[ENTER] 3 [X] [+]... 31 Exemplo: (1 + 3%) 1 [ENTER] 3% 1+ ... 1,03 ou 1[ENTER] 3% + ... 1,03 JUROS SIMPLES No conceito de juros simples, o resultado é sempre obtido sobre o valor principal, sem incorporação ao capital para efeito de cálculo dos juros de um período sobre o período seguinte. Vamos tomar o seguinte exemplo: Capital de R$10.000,00, juros de 2% ao mês, e prazo de 6 meses. Compare a tabela abaixo com o gráfico a seguir. Capital [C] Taxa de Juros [i] Prazo [t] Juros [J]=[i]x[C] Montante M=C+J 10.000,00 2%x1=2% 1 mês 10.000,00 x 2% = 200,00 10.200,00 10.000,00 2%x2=4% 2 meses 10.000,00 x 4% = 400,00 10.400,00 10.000,00 2%x3=6% 3 meses 10.000,00 x 6% = 600,00 10.600,00 10.000,00 2%x4=8% 4 meses 10.000,00 x 8% = 800,00 10.800,00 10.000,00 2%x5=10% 5 meses 10.000,00 x 10% = 1.000,00 11.000,00 10.000,00 2%x6=12% 6 meses 10.000,00 x 12% = 1.200,00 11.200,00 Deduções das fórmulas: J = C x i x n ou J = PV x i x n M = C + J ou FV = PV + J M = C + C x i x n ou FV = PV + PV x i x n M = C(1 + i x n) ou FV = PV(1 + i x n) Ex.: 1) Calcular o montante (FV) de uma aplicação (PV) no valor de $ 1.500,00 num prazo de 12 meses a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês. Dados: FV = ? PV = 1.500,00 n = 12 meses i = 1,5% a.m. www.cliqueapostilas.com.br http://www.cliqueapostilas.com.br ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E DE ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIAL AV. INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 9 FV = PV (1+ i x n) = 1500 (1+0,015x12) = 1.770,00 Uso da calculadora HP 12 C: 12 [E] 0,015 [X] 1 [+] 1500 [X] →→→→ FV = 1.770,00 Excel A B C D E 1 C i n k 2 1500 0,015 12 1 =A2* (D2+B2*C20) 1.770 Exercícios: 1 2 3 4 Capital (R$) = PV 250 5.000 ? 1.500 Taxa (%) = i 2,5 ? 3,25 8,3 Período (mês) = n 5 3 5 ? Juros (R$) = J ? ? ? ? Montante (R$) = FV ? 5.300 1.200 2.400 Exercício 1 Dados: PV = 250,00 i = 2,5% n = 5 meses J = ? FV = ? 1.1.Calcular o juro: J = PV.i.n → J = 250 x 0,025 x 5 → J = 31,25 1.2. Calcular o montante: FV = PV + J → FV = 250 + 31,25 → FV = 281,25 1.2.Calcular o montante: FV = PV(1+in) → FV = 250(1 + 0,025 x 5) → FV = 281,25 HP12C 1.1. Calcular o juro: J = PV.i.n → 250 [E] 0,025 [X] 5 [X] → J = 31,25 1.2. Calcular o montante: FV = PV + J → FV = 250 [E] 31,25 [+] → FV = 281,25 1.2. Calcular o montante: FV = PV(1+in) → 0,025 [E] 5 [X] 1 [+] 250 [X] → FV = 281,25 Exercício 2 Dados: FV = 5.300,00 PV = 5000,00 n = 3 meses i = ? J = ? 2.1 Calcular a taxa FV = PV (1+ in) → FV/PV= (1 + in) → (FV/PV) – 1 = in → i = [(FV/PV) – 1]/n i = [(5.300/5.000) – 1] / 3 → i = (1,06 – 1)/3 → i = 0,06/3 → i = 0,02 i = 0,02 x 100 → i = 2 % a.m. 2.2. Calcular o juro: J = FV – PV → J = 5.300 – 5.000 → J = 300,00 HP12C 2.1. Calcular a taxa: 5.300 [E] 5000 [÷] 1 [-] 3 [÷] 100 [X] → i = 2% a.m. 2.2. Calcular o juro: J = FV – PV → 5.300 [E] 5.000 [-] → J = 300,00 www.cliqueapostilas.com.br http://www.cliqueapostilas.com.br ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E DE ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIAL AV. INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 10 Aplicações sobre juros simples: a) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 1.000,00 pelo prazo de 5 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 6 % ao mês? b) Um capital de R$ 25.000,00, aplicado durante 6 meses, rende juros de R$ 5.000,00. Determinar a taxa correspondente. c) Uma aplicação de R$ 13.000,00, em letras de câmbio, pelo prazo de 180 dias, obteve um rendimento de R$ 2.350,00. Pergunta-se: qual a taxa anual correspondente a essa aplicação? d) Aplicando-se R$ 15.000,00, a taxa de 9 % ao trimestre, obteve-se R$ 12.000,00 de juros. Qual o prazo dessa aplicação? e) Qual o capital que, à taxa de 3,5 % ao mês, rende juros de R$ 25.000,00? www.cliqueapostilas.com.br http://www.cliqueapostilas.com.br ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E DE ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIAL AV. INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 11Juros Simples utilizando as teclas financeiras da HP-12C Exemplo: PV = 45.000,00 n = 60 dias i = 7% ao ano J = ? FV = ? DESCONTO BANCÁRIO (“POR FORA”, OU “COMERCIAL”). Conceito Segundo Vieira (1981, pág. 30), desconto deve ser entendido como a diferença entre o valor futuro de um título (valor nominal, valor de face ou valor de resgate) e o seu valor atual na data da operação, ou seja, D = N - P, em que: D = Valor monetário do desconto N = FV = Valor futuro (valor assumido pelo título na data do vencimento) A = PV = VL = Valor atual (valor presente ou valor líquido) d = Taxa de desconto n = Período de antecipação Observação: Como o valor do desconto dependerá do valor das variáveis N, A, d e n, em que aumentando ou diminuindo uma ou mais delas, fará seu valor aumentar ou diminuir; podemos dizer que existe proporcionalidade direta. D = N x d x n. ou D = FV x d x n São conhecidos dois tipos de descontos simples o desconto “por fora” e o desconto “por dentro”. O primeiro é amplamente utilizado no Brasil, principalmente nas operações de comércio e banco; o segundo praticamente não é utilizado. Por isso ficaremos apenas com o desconto “por fora” ou bancário. HP – 12C Considerando Ano Comercial (360 dias) 45000 [CHS] [PV] 60 [n] (n deve estar em dias) 7 [i] (i deve estar em anos) f [INT] ... 525,00 juros [+] ... 45.525,00 montante Algebricamente: J = PV x i x n J = 45000 x 0,07 x 60/360 J = 525,00 FV = PV + J FV = 45000 + 525 FV = 45.525,00 www.cliqueapostilas.com.br http://www.cliqueapostilas.com.br ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E DE ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIAL AV. INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 12 Fórmulas: D = FV x d x n (1) PV = FV – D (2) Substituindo (1) em (2) obtemos: PV = FV (1 – d x n) Exemplo 1: Calcular o valor presente de um desconto comercial simples de um título com valor nominal de $ 10.000,00 para vencer em 3 meses a uma taxa de 3,5% ao mês. Dados: FV = 10.000,00 n = 3 meses d = 3,5% a.m. PV = ? PV = FV (1 – d x n) → PV = 10.000 (1 – 0,035 x 3) → PV = 10.000 x 0,8950 → PV = 8.950,00 HP – 12C → 0,035 [E] 3 [X] [CHS] 1 [+] 10000 [X] → PV = 8.950,00 Excel A B C D E 1 PV d n K PV 2 10.000 0,035 3 1 = C2*(D2-(B2*C2)) 8.950,00 Exemplo 2: Qual a o valor nominal de um título comercial descontado com prazo de 6 meses a uma taxa de 2,65% ao mês e recebido um valor líquido de $ 8.324,50? Dados: PV = 8.324,50 d = 2,65 % a.m. n = 6 meses FV = ? PV = FV(1 – d.n) → FV = PV/(1- d x n) → FV = 8324,50/(1 – 0,0265 x 6) → FV = 8.324,50/(1 – 0,159) → FV= 8324,50 / 0,8410 → FV = 9.898,34 HP - 12C → 0,0265 [E] 6 [X] [CHS] 1 [+] 8.324,50 [ ] [÷] → FV = 9.898,34 Excel A B C D E 1 PV d N K N 2 8.324,50 0,0265 6 1 = A2/(D2-(B2*C2)) 9.898,34 Exemplo 3: Determinar a taxa de desconto de um título de valor líquido igual à $ 1.528,40 e valor nominal de $ 2.145,00 num prazo de 6 meses. Dados: PV = 2.145,00 FV = 1.528,40 n = 6 meses d = ? PV = FV(1- d.n) → PV/FV = 1 – d.n → (PF/FV) – 1 = - d.n → - d.n = (PV/FV) - 1 → (-1) d.n = (-1) [(PV/FV) – 1] → d.n = 1 – (PV/FV) → d = [1 – (PV/FV)]/n d= [1 – (1528,40/ 2.145,00)]/6 → d = [ 1 – 0,7125]/6 → d = 0,2875 / 6 → d = 0,0479 x 100 → d = 4,79 % a.m. HP – 12C → 1528,40 [E] 2.145 [÷] [CHS] 1 [+] 6 [÷] 100 [X] → d = 4,79% a.m. Excel A B C D E 1 FV PV n k d 2 2.145,00 1.528,00 6 1 = ((K2- (B2/A2)/C2)*100 4,79 Exemplo 4: Qual foi o período em dias de um título descontado a taxa simples, de valor nominal de $ 3.250,00 e valor líquido de $ 3.120,00 à taxa de desconto de 2 % a.m.? www.cliqueapostilas.com.br http://www.cliqueapostilas.com.br ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E DE ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIAL AV. INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 13 Dados: FV = 3.200,00 PV = 3.120,00 d = 2% a.m. = 0,02/30 n = ? PV = FV (1 – d.n) → PV/FV = 1 – d.n → (PV/FN) – 1 = - d.n → (-1) [(PV/FV) – 1] = (-1) (-d.n) → 1 – (PV/FV) = d.n → n = [1 – (PV/FV)]/d n = [1 – (3120/3.200)]/(0,02/30) → n = [1 – 0,9750]/0,000666667 → n = 0,0250/0,000666667 → n = 37,5 dias HP - 12C → 3120 [E] 3200 [÷] [CHS] 1 [+] 0,02 [E] 30 [÷] [÷] → n = 37,5 dias Excel A B C D E 1 FV PV d k d 2 3.200 3.120 0,000666667 1 = (K2- (B2/A2)/C2 37,5 Exercícios: Variáveis 1 2 3 4 FV (R$) 1500,00 ? 7200,00 2200,00 PV (R$) ? 5000,00 6250,00 1830,00 n (m) 3,00 4,2 ? 5,5 d (%) 4,00 5,5 2,3 ? D (R$) ? ? ? ? SÉRIES DE TÍTULOS DE MESMO VALOR Usado quando os títulos têm mesmo valor e espaçados igualmente. + −= + = 2 1 2 11 nn tt dxSxNxP tt SxNxdxD onde: N = nº de títulos t1 = prazo de vencimento do 1º título tn = prazo de vencimento do último título P = valor resgatado de todos os títulos S = valor de cada título no vencimento Exemplo: Quatro duplicatas, no valor de R$ 32.500,00 cada uma, com vencimento para 90, 120, 150 e 180 dias são apresentadas para desconto. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de 3,45% ao mês, calcular o valor descontado. R: R$ 20.182,50 www.cliqueapostilas.com.br http://www.cliqueapostilas.com.br ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E DE ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIAL AV. INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 14 SUBSTITUIÇÃO DE TÍTULOS (EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS) Segundo Francisco (1988:71), dois ou mais capitais são diferidos quando são exigíveis em datas diferentes. Desta forma, títulos de créditos que tem vencimentos distintos são capitais diferidos. Dois ou mais capitais diferidos são equivalentes em certa época se, nessa época seus valores atuais forem iguais. Por exemplo: um título de valor nominal 100,00 tem vencimento para 3 meses e outro título de valor nominal 109,31 tem vencimento para 7 meses. Atualizando os valores desses títulos a taxa de 2 % ao mês, temos: Título 1: PV1 = 100 (1 – 0,02 x 3) = 94 Título 2: PV2 = 109,31 (1- 0,02 x 7) = 94 E podemos escrever: PV1 = PV2 ou 100 (1 – 0,02 x 3) = 109,31 (1 – 0,02 x 7) Ou ainda que FV1 (1- d x n1) = FV2 (1 – d x n2) Ex1: O portador de um título de R$ 30.000,00 para 2 meses, a uma taxa de desconto de 3,00 % a.m., deseja trocá-lo por outro para 3 meses. Qual deverá ser o valor deste novo título, se a taxa de desconto permanecer a mesma? Dados: FV1 = 30.000,00 n1 = 2 meses d = 3 % a.m. FV2 = ? n2 = 3 meses d = 3 % a.m. FV1 (1- d x n1) = FV2 (1 – d x n2) → FV2 = FV1 (1- d x n1) / (1 – d x n2) FV2 = 30.000( 1 – 0,03 x 2)/(1 – 0,03 x 3) FV2 = 30.000 (1 – 0,06) / (1 – 0,09) FV2 = 30.000 x 0,94 / 0,9 FV2 = 30.989,01 HP-12C→0,03 [E] 2 [X] [CHS] 1 [+] 30000 [X] 0,03 [E] 3 [X] [CHS] 1 [+] [÷] →FV2 = 30.989,01 Prova:PV1 = 30.000,00 (1 – 0,03 x 2 ) = 28.200,00 PV2 = 30.989,01 (1 – 0,03 x 3) = 28.199,99 Excel A B C E D E 1 FV1 d n1 n2 k FV2 2 30.000 0,03 2 3 1 = A2*(D2-B2*C2)/(DE-B2*E2) 30.989,01 www.cliqueapostilas.com.br http://www.cliqueapostilas.com.br ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E DE ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIAL AV. INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 15 Ex 2: Qual será o valor de um título que deverá substituir um no valor de $ 15.000,00 com um prazo de 2 meses para vencer à uma taxa de desconto de 3,5 % ao mês, se o novo título deverá vencer em 6 meses à uma nova taxa de 4,5 % ao mês? Dados: FV2 = ? n2 = 6 meses d2 = 0,045 FV1 = 15.000 n1 = 2 meses d1 = 0,035 FV2 = FV1(1 – d1x n1) / (1 – d2 x n2) FV2 = 15.000(1 – 0,035 x 2) / (1- 0,045 x 6) FV2 = 15.000 x 0,93 / 0,73 → FV2 = 19.109,59 HP - 12C → 0,035 [E] 2 [X] [CHS] 1 [+] 15000 [X] 0,045 [E] 6 [X] [CHS] 1 [+] [÷] → FV2 = 19.109,59 Excel: A B C D E F G 1 VF2 d1 d2 n1 n2 k FV2 2 15.000 0,035 0,045 2 6 1 = A2*(F2-B2*D2)/(F2-C2*E2) 19.109,59 Exercícios: a) Um título de valor nominal equivalente a R$ 5.000,00 vencível em 3 meses, vai ser substituído por outro, com vencimento para 5 meses. Admitindo-se que esses títulos podem ser descontados á taxa de 1,5 % ao mês, qual o valor nominal do novo título? b) O portador de um título de R$ 10.000,00 para 60 dias trocou-o por outro de R$ 15.000,00 para 120 dias. Qual foi a taxa mensal de desconto comercial simples utilizada nessa troca. c) Um título no valor de R$ 10.000,00 foi descontado pelo valor de R$ 9.500,00, sabendo-se que a taxa de desconto bancário foi de 4 % a.m., qual foi o período do desconto? d) Uma empresa deve pagar dois títulos: um de R$ 5.400,00 para 3 meses e outro de R$ 7.300,00 para 5 meses. Sabendo não poder resgatar em seus vencimentos, propõe a cooperativa de crédito credora, substituí-los por um único título para 6 meses. Qual será o valor nominal do novo título, empregando-se uma taxa de desconto bancário de 2,5 % a.m.? www.cliqueapostilas.com.br http://www.cliqueapostilas.com.br ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E DE ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIAL AV. INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 16 JUROS COMPOSTOS No conceito de juros compostos existe a capitalização dos juros sobre o valor principal a cada período. Note que aqui a variável tempo é representada pela letra n. Vamos utilizar os mesmos valores utilizados anteriormente para a montagem do gráfico dos juros simples, ou seja: capital de R$10.000,00, taxa de juros de 2% a.m. com prazo de 6 meses. Podemos efetuar os cálculos considerando que a evolução dos juros capitalizados poderia ser representada por uma série de juros simples, em que o valor anterior de cada período representa o valor inicial do período seguinte. Período Capital Taxa periódica Montante 1 10.000,00 2% 10.000,00 + (10.000,00 x 2%) = 10.200,00 2 10.200,00 2% 10.200,00 + (10.200,00 x 2%) = 10.404,00 3 10.404,00 2% 10.404,00 + (10.404,00 x 2%) = 10.612,08 4 10.612,08 2% 10.612,08 + (10.612,08 x 2%) = 10.824,32 5 10.824,32 2% 10.824,32 + (10.824,32 x 2%) = 11.040,81 6 11.040,81 2% 11.040,81 + (11.040,81 x 2%) = 11.261,62 No entanto, é obvio verificarmos que este método seria muito demorado e trabalhoso. Para facilitar, vamos utilizar a tabela anterior para verificarmos que: MONTANTE = [CAPITAL + (CAPITAL X TAXA DE JUROS)], ou, M = [C + (C x i)] → M = C (1 + i) Assim, teremos para cada período o acréscimo da série (1 + i), que no nosso caso corresponde a (1,02). Aplicando este conceito, teremos: Período Capital Taxa periódica Montante 1 10.000,00 (1,02) 10.200,00 2 10.000,00 (1,02)(1,02) 10.404,00 3 10.000,00 (1,02)(1,02)(1,02) 10.612,08 4 10.000,00 (1,02)(1,02)(1,02)(1,02) 10.824,32 www.cliqueapostilas.com.br http://www.cliqueapostilas.com.br ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E DE ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIAL AV. INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 17 5 10.000,00 (1,02)(1,02)(1,02)(1,02)(1,02) 11.040,81 6 10.000,00 (1,02)(1,02)(1,02)(1,02)(1,02)(1,02) 11.261,62 Poderemos, então, facilmente deduzir que para n períodos, teremos n vezes repetida a série (1 + i) e assim podemos afirmar que: ou FV = PV (1 + i)n Existem algumas variações da fórmula do Montante Composto, que estão apresentadas abaixo: FV = PV (1 + i)n )1log( log i PV FV n + = FV = PV (1+i)n 1 1 − = n PV FV i CONCEITO Para Francisco (1988:38), “juros compostos, acumulados ou capitalizados, são os que, no fim de cada período, são somados ao capital constituído no início, para produzirem novos juros no período seguinte”. Exemplo: Período Capital Taxa (%) Juros Capital Acumulado 0 100,00 10,00 - 100,00 1 100,00 10,00 10,00 110,00 2 110,00 10,00 11,00 121,00 3 121,00 10,00 12,10 133,10 4 133,10 10,00 13,31 146,41 5 146,41 10,00 14,64 161,05 6 161,05 10,00 16,10 177,15 Funções Financeiras da calculadora HP - 12 C www.cliqueapostilas.com.br http://www.cliqueapostilas.com.br ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E DE ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIAL AV. INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 18 Segundo Sobrinho (1988), através das funções financeiras (n), (i), (PV), (PMT) e (FV), podem ser resolvidos, no regime de capitalização composta, quaisquer problemas financeiros que impliquem em um só pagamento ou uma série de pagamentos iguais. Os valores dos pagamentos, ou recebimentos, introduzidos na calculadora devem estar de acordo com a convenção de sinais estabelecidos para os fluxos de caixa, ou seja, (+) para as entradas e o sinal (-) ou tecla (CHS) as saídas. (PV) = Valor presente ou capital (FV) = Valor futuro ou montante (PMT) = Prestação ou renda periódica igual (i) = Taxa de juros compostos (n) = Período Exemplos: a) Quanto deverá receber uma pessoa que empresta R$ 5.000,00 por 5 meses, à taxa de 4 % ao mês? Dados: PV = 5.000,00 n = 5 meses i = 4% a.m. FV = ? FV = PV (1 + i)n → FV = 5000 (1+0,04)5 → FV = 5000 x 1,2167→ FV = 6.083,26 HP - 12C → [f] [FIN] [f] [REG] 5000 [CHS] [PV] 5 [n] 4 [i] [FV] → FV = 6.083,26 Excel: A B C D E 1 PV i n k FV 2 5.000 0,04 5 1 = A2*(D2 + B2)^C2 6.083,26 b) Qual foi o capital aplicado na caderneta de poupança, se após 12 meses, a taxa de juros de 1,5 % a.m., resultou num montante de R$ 11.300,45? Dados: FV = 11.300,45 n = 12 meses i = 1,5% a.m. PV = ? PV = FV / (1 + i)n PV = 11300,45 / (1 + 0,015)12 → PV = 11300,45 / 1,01512 → PV = 11.300,45 / 1,195618171 → PV = 9.451,55 HP - 12C → [f] [FIN] [f] [REG] 11300,45 [FV] 12 [n] 1,5 [i] [PV] → PV = - 9.451,55 Excel: www.cliqueapostilas.com.br http://www.cliqueapostilas.com.br ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E DE ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIAL AV. INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 19 A B C D E 1 FV i n k FV 2 11.300,45 0,015 12 1 = A2/(D2+B2)^C2 9.451,55 c) Determinar a taxa de juros correspondente a uma aplicação de R$ 300.000,00, por 6 meses e valor de resgate de R$ 325.140,00. Dados: PV = 300.000,00 n = 6 meses FV = 325.140,00 i = ? FV = PV (1 + i)n ..%35,11000135,01 300000 325140 1 300000 325140 6 1 6 maixiii =→=→=− →=− HP - 12C → [f] [FIN] [f] [REG] 300.000 [CHS] [PV] 325.140 [FV] 6 [n] [i] → i = 1,35% a.m. d) Um título foi emitido por R$ 10.000,00 e resgatado por R$ 20.000,00. Sabendo-se que a taxa de rendimento é de 22 % ao ano, calcular o prazo. Dados: PV = 10.000,00 FV = 20.000,00 i = 22% a.a. n = ? FV = PV (1 + i)n n log (1+i) = log (FV/ PV) n = log (FV/PV)/log (1+i) n = log (20.000/10.000)/ log 1,22 n = log 2 / log 1,22 n = 0,6931/0,1989 n = 3,484 anos HP - 12C → [f] [FIN] [f] [REG] 10000 [CHS] [PV] 22 [i] 20000 [FV] [n] → n = 4 anos Observação1: A máquina dá o resultado inteiro “4” , porém se aplicarmos nas mesmas condições por quatro anos o PV vai ser maior (= 22.153,34) o que é muito superior a 20.000,00. Observação2: Pela aplicação da fórmula por logaritmo o período passa ser fracionário, isto é 3,484 que aplicado às mesmas condições do problema vai dar um resultado de 19.992,98, mais coerente com a aplicação. TAXAS DE JURO Taxa de juro é a unidade de remuneração dada ao capital principal em uma transação financeira. Ex: 5% a.m. → deve-se pagar $ 5,00 por cada $ 100,00 do capital principal a cada mês. Ex: 12% a.a. → deve-se pagar $ 12,00 por cada $ 100,00 de capital a cada ano. www.cliqueapostilas.com.br http://www.cliqueapostilas.com.br ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E DE ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIAL AV. INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 20 Capitalização É a incorporação dos juros ao capital, melhor explicando, segundo Neto (1992, pág. 16) “Os critérios (regimes) de capitalização demonstram como os juros são formados e sucessivamente incorporados ao capital no decorrer do tempo”. Podem ser identificados dois regimes de capitalização de juros: simples (ou linear) e o composto (ou exponencial). Inicialmente trataremos da capitalização simples. Ainda segundo Neto (1992, pág. 16), “O regime de capitalização simples comporta-se como se fosse uma progressão aritmética (PA), crescendo os juros de forma linear ao longo do tempo. Neste critério, os juros somente incidem sobre o capital inicial da operação (aplicação ou empréstimo), não se registrando juros sobre o saldo dos juros acumulados”. TAXA PROPORCIONAL “Duas taxas se dizem proporcionais quando há uma proporção entre as grandezas em que se expressam as durações dos períodos de tempo a que se referem” VERAS (1989, pág. 58). De Francisco (1986, p.50): “Quando entre duas taxas existe a mesma relação dos períodos de tempo a que se referem elas são proporcionais”. São taxas fornecidas em unidades de tempo diferentes que ao serem aplicadas a um mesmo principal durante o mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juro simples. Ex1: Um capital de $ 100,00 aplicado a taxas de 12% a.a.; 6% a.s.; 3% a.t.; durante um ano. Dados: PV = 100,00 FV = ? i1 = 12% ou 0,12 a.a.; i2 = 6% ou 0,06 a.s.; i3 = 3% ou 0,03 a.t. FV = PV (1+in) Solução: M1 = 100 (1 + 0,12 x 1) = 112,00 M2 = 100 (1 + 0,06 x 2) = 112,00 M3 = 100(1 + 0,03 x 4) = 112,00 i1 x t1 = i2 x t2 = i3 x t3 = 12% ao ano Ex2: Qual será a diferença do montante de duas aplicações de mesmo valor $ 1.500,00. Uma a taxa de 36% a.a. e a outra taxa a 3% a.m. num prazo de 2 anos? Dados: PV = 1.500,00; i1 = 36% ou 0,36 a.a.; i2 = 3% ou 0,03 a.m.; n = 24 m. ou 2 a. www.cliqueapostilas.com.br http://www.cliqueapostilas.com.br ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E DE ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIAL AV. INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 21 FV = PV (1 + in) Solução FV1 = 1.500 (1 + 0,36 x 2) = 2.580,00 FV2 = 1.500 (1 + 0,03 x 24) = 2.580,00 Resposta: Não existe diferença, são juros simples e as taxas são proporcionais. Aplicações sobre taxas proporcionais: Taxa dada Determinar a taxa em: Resultado (?) 30,00 % a.a. % a.m. (÷ 12) 1,50 % a.m. % a.a. (x 12) 6,50 % a.m. % a.d. (÷ 30) 8,35 % a.t. % a.s. (x 2) Observação: • Juro exato corresponde a aplicação do tempo exato (ano de 365 dias). • Juro comercial corresponde a aplicação do mês de 30 dias (ano de 360 dias). Exemplo: Juro exato: 120 % a.a. / 365 dias = 0,328767% ao dia Juro comercial: 120 % a.a. / 360 dias = 0,333333 % ao dia Observa-se neste exemplo que o juro comercial diário é um pouco superior ao juro exato. TAXA EQUIVALENTE De Francisco (1986, p. 51): Duas taxas são equivalentes quando, referindo-se a períodos de tempo diferentes, fazem com que um capital produza o mesmo montante, em mesmo intervalo de tempo. Segundo Veras (1989, p. 73), são aquelas que, aplicadas a capitais iguais, produzem juros iguais (e montantes iguais) em tempos iguais. Exemplo: A taxa de 1,39% a. m. é equivalente á taxa de 18% a.a., pois um capital colocado a 1,39% a.m. produz o mesmo montante que produz quando colocado a 18% a.a. FV = 100(1 + 0,139)12 → FV = 118,01 FV = 100(1 + 0,18)1 → FV = 118,00 www.cliqueapostilas.com.br http://www.cliqueapostilas.com.br ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E DE ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIAL AV. INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 22 São taxas em juros compostos, fornecidas em unidades de tempo diferentes que ao serem aplicadasao mesmo principal durante um mesmo prazo produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo. Exemplo: Dados: PV = 100,00 i1 = 12,6825% a.a. i2 = 6,1520% a.s. i3 = 3,031% a.t. i4 = 1% a.m. FV1 = 100 (1+0,1268)1 = 100 x 1,1268 = 112,68 FV2 = 100 (1+ 0,6152)2 = 100 x 1,1268 = 112,68 FV3 = 100 (1 + 0,0303)4 = 100 x 1,1268 = 112,68 FV4 = 100 (1+ 0,01)12 = 100 x 1,1268 = 112,68 Cálculo da taxa equivalente Sempre haverá uma taxa de juros dada para encontrar outra taxa equivalente com ciclo de capitalização diferente. (1 + ia.a.)1 = (1 + ia.s.)2 = (1 + ia.q.)3 = (1 + ia.t.)4 = (1 + ia.b.)6 = (1 + ia.m.)12 Um ano, dois semestres, três quadrimestres, quatro trimestres, seis bimestres, doze meses, os períodos são iguais somente as capitalizações são diferentes. (1 + ia.b.)1 = (1 + ia.m.)2 é o mesmo resultado de (1 + ia.b.)6 = (1 + ia.m.)12 (1 + ia.m.)1 = (1 + ia.d.)30 Exemplo: a) Uma taxa de 5% ao mês tem uma taxa equivalente ao ano de: (1 + ia.a.)1 = (1 + ia.m.)12 1 + ia.a. = (1 + 0,05)12 → 1 + ia.a. = 1,795856326 → ia.a. = 1,795856326 – 1 → ia.a. = 0,795856326 a.a. x 100 → ia.a. = 79,59% a.a. b) Uma taxa de 60% ao ano tem uma taxa equivalente ao mês de: (1 + ia.m.)12 = (1 + ia.a.)1 (1 + ia.m.)12 = (1 + 0,6)1 → (1 + ia.m.)12 = 1,6 → (1 + ia.m.) = 12 6,1 → (1+ia.m.) = 1,61/12 → 1 + ia.m = 1,0399441 → ia.m. = 1,0399441 – 1 → ia.m.= 0,0399441 a.m. x 100 = 3,99% a.m. De forma algébrica: ip = (1 + ic) p/c - 1 Onde: p = período procurado, c = período conhecido, ic = taxa conhecida, p e c devem estar na mesma unidade de tempo. Exercício: Complete com as respectivas taxas equivalentes a seguir: a) 2% ao mês � % a.s. % a.a. b) 60% ao ano � % a.m. % a.s. c) 12% ao ano � % a.m. _________ % a.t. www.cliqueapostilas.com.br http://www.cliqueapostilas.com.br ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E DE ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIAL AV. INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 23 TAXA NOMINAL Puccini (1999, p.73): Taxa nominal é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é sempre fornecida em termos anuais, e os períodos de capitalização podem ser semestrais, mensais, ou diários. Exemplos: a) 12% a.a. capitalizados mensalmente (1% a.m.) b) 24% a.a. capitalizados semestralmente (12% a.s.) c) 10% a.a. capitalizados trimestralmente (2,5% a.t.) d) 130% a.a. capitalizados diariamente (0,36% a.d.) Casarotto & Koptke (1992, p. 30): Freqüentemente nas transações financeiras a taxa de juros informada é apenas aparentemente correta. São utilizados artifícios para que a taxa pareça mais elevada ou mais baixa. Se um tíulo rende 36% ao ano, é dito que o mesmo rende 3% ao mês, o que é incorreto; 36% a.a.corresponde a 2,6% ao mês. Uma taxa mensal de 4% a.m. muitas vezes é dita 48% ao ano com capitalização mensal, no entanto, 4% ao mês corresponde a 60% a.a. TAXA EFETIVA Taxa efetiva é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização (momento em que os juros se juntam ao capital principal) Segundo Lapponi (1999, p. 9): taxa de juro efetiva é a taxa de juro obtida do FDV (fator de variação: FDV = FV/PV) da operação financeira; isto é, da relação dos valores monetários final e inicial do DFC – diagrama do fluxo de caixa. Casarotto & Koptke (1992, p. 30): Para que uma taxa de juros seja considerada efetiva é necessário que o período referido na taxa coincida com o período de capitalização, caso contrário a taxa será dita nominal. Observação: www.cliqueapostilas.com.br http://www.cliqueapostilas.com.br ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E DE ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIAL AV. INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 24 A taxa anual equivalente a essa taxa efetiva implícita é sempre maior que a taxa nominal que lhe deu origem, pois essa equivalência é sempre feita no regime de juros compostos. Exemplo: Dados: PV = 100,00; i = 9% a.a.; n = 12 meses (FV = 109,00) Capitalização: a) mensal b) trimestral c) semestral Capitalização Solução HP12C Diferença (R$) Diferença (%) Mensal 9/12 = 0,75 % a.m. 100[CHS][PV]12[n]0,75[i][FV] 9,3807 4,23 Trimestral 9/4 = 2,25 % a.t. 100[CHS][PV]4[n]2,25[i][FV] 9,3083 3,43 Semestral 9/2 = 4,5 % a.s. 100[CHS][PV]2[n]4,5[i][FV] 9,2025 2,25 Caso ilustrativo: Em um financiamento de PV = $ 1.500.000,00 Taxa de juros de 14% a.a.; n = 2 anos Capitalização mensal Capitalização Solução HP12C i nominal = 14%/12 = 1,166666667 1.500.000[CHS][PV]24[n]1,166666667[i] [FV] 1.981.480,65 i equivalente = 1,0978852 1.500.000[CHS][PV]24[n]1,0978852[i] [FV] 1.949.400,00 Diferença em valores Nominal:............................1.981.480,65 Equivalente........................1.949.400,00 Diferença................................32.080,65 SÉRIES DE PAGAMENTOS Relembrando: Define-se fluxo de caixa como sendo a movimentação de recursos financeiros (entradas e saídas de caixa) ao longo de um período de tempo. Na verdade, estamos nos referindo à entrada e saída de dinheiro. O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transações em um período de tempo. O tempo é representado por uma linha horizontal dividida pelo número de períodos relevantes para a análise. As entradas ou recebimentos são representados por setas verticais apontadas para cima e, as saídas ou pagamentos por setas verticais apontadas para baixo: Entradas Saídas $ $ www.cliqueapostilas.com.br http://www.cliqueapostilas.com.br ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E DE ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIAL AV. INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 25 SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS Exemplo: Uma venda a prestação de uma máquina de moer carne, no valor à vista de R$ 560,14 em 06 prestações de R$ 100,00 à taxa de juros de 2,00% ao mês. As Séries Uniformes de Pagamentos são aquelas em que os pagamentos ou recebimentos são constantes e ocorrem em intervalos de tempo iguais. Sua aplicação é importante porque, em comercialização, as vendas à prestação são séries de pagamentos. Séries de pagamentos é o nome dado às operações financeiras que envolvem pagamentos ou recebimentos parcelados e que deverão ocorrer em datas pré-estabelecidas. Basicamente vamos tratar dos pagamentos de compras em prestações e de depósitos periódicos para constituição de um montante. Classificação das séries: As séries de pagamentos podem ser classificadas de acordo com diversos critérios (certas ou aleatórias,uniformes ou variáveis, postecipadas ou antecipadas, imediatas ou diferidas, periódicas ou aperiódicas, temporárias ou perpétuas, inteiras ou fracionárias). www.cliqueapostilas.com.br http://www.cliqueapostilas.com.br ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E DE ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIAL AV. INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 26 Algumas destas características podem ser assim descritas: ● Uniformes: neste caso os pagamentos são iguais e igualmente espaçados no tempo. ● Temporárias: existe um número limitado de pagamentos. ● Postecipadas: os pagamentos ocorrem no fim de cada período. ● Antecipadas: os pagamentos ocorrem no início da cada período. Onde: PV : é uma parcela única que equivale ou que substitui todos os pagamentos (devidamente descapitalizados) no início do fluxo. É a soma dos valores atuais dos respectivos pagamentos que compõe a série. FV : é uma parcela única que equivale a todos os depósitos (devidamente capitalizados) no final do fluxo. É a soma dos montantes dos respectivos depósitos que compõe a série. n : número de depósitos (ou pagamentos ou prestações) i : taxa do período PMT : valor dos pagamentos ou depósitos ou prestações CÁLCULO DO VALOR PRESENTE (PV): + −+= ii i PMTPV n n .)1( 1)1( Essa é a FÓRMULA DO VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE POSTECIPADA (sem entrada). Essa é a característica principal da fórmula do Valor Atual de uma Série Postecipada, nela o Valor Atual “PV” encontra-se um período antes da primeira prestação. A fórmula do montante é dada por: −+= i i PMTFV n 1)1( Exemplos: a) Calcular o valor à vista de um financiamento para comprar uma moedora de carne, paga em 12 prestações iguais de R$ 394,27 à taxa de 3,5% de juros a.m. vencendo a primeira prestação 30 dias após a compra. Dados: PV = ? PMT = 394,27 n = 12 i = 0,035 PV = PMT [(1+i)n-1/(1+i)n x i] PV = 394,27 [(1+0,035)12 - 1/(1+ 0,035)12 x 0,035] → PV = 3.809,96 HP - 12C: [f] [FIN] [f] [REG] [g] [END] 394,27 [CHS] [PMT] 12 [n] 3,5 [i] [PV] →PV = 3.809,96 Excel: www.cliqueapostilas.com.br http://www.cliqueapostilas.com.br ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E DE ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIAL AV. INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 27 b) Qual vai ser o montante de uma compra a prestação de um motor no valor de R$ 1.500,00 à vista, oferecido em 12 prestações de R$ 150,00 com uma taxa de juros de mercado igual a 4,32% a. m.? Dados: PV = 1.500 PMT = 150,00 n = 12 i = 0,0432 FV = ? FV = PMT x[(1+i)n - 1]/ i FV = 150 x [(1+0,0432)12 -1]/ 0,0432 → FV = 2.295,68 HP - 12C: [f] [FIN] [f] [REG] 150 [CHS] [PMT] 12 [n] 4,32 [i] [FV] → FV = 2.295,68 Excel: c) Calcular o valor da prestação de uma canoa que à vista custa R$ 1.500,00; à venda em 6 prestações iguais, à uma taxa de juro de 2,5% ao mês, com pagamento da primeira prestação em 30 dias. Dados: PV = 1.500 PMT = ? n = 6 i = 0,025 PMT = PV / [(1+i)n-1/(1+i)n x i] PMT = 1.500 / x [(1+0,025)6 -1 / (1+0,025)6 x 0,025] → PMT = 272,32 HP - 12C: [f] [FIN] [f] [REG] 1500 [CHS] [PV] 6 [n] 2,5 [i] [PMT] → PMT = 272,32 Excel: d) Qual foi a taxa de juro cobrada em um financiamento para aquisição de um utilitário no valor à vista de R$ 52.000,00 a ser pago em 48 prestações mensais iguais de R$ 2.100,00? Dados: PV = 52.000 PMT = 2.100 n = 48 i = ? Obs.: O cálculo da taxa de juros em uma série uniforme de pagamentos de pagamento postecipado ou antecipado não poderá ser encontrado através de uma fórmula resolutiva básica, isto é, utilizando-se uma solução pelo método algébrico (Castelo Branco, 2002). HP – 12C: [f] [FIN] [f] [REG] 52000 [CHS] [PV] 48 [n] 2100 [PMT] [i] → i = 3,1099% a.m. CASIO FC100: 52000 [+/-] [PV] 48 [n] 2100 [PMT] [COMP] [i] → I = 3,1099% a.m. e) Um cliente quer fazer uma compra a prestações, no valor de R$ 1.300,00. Se a taxa de juro do mercado estiver em 4,5% a.m. e ele dispor de apenas R$ 120,00 por mês, em quantas prestações o vendedor poderá fazer o financiamento? Dados: PV = 1.300 PMT = 120 n = ? i = 0,045 HP - 12C: [f] [FIN] [f] [REG] 1300 [CHS] [PV] 120 [PMT] 4,5 [i] [n] → n = 16 Excel: www.cliqueapostilas.com.br http://www.cliqueapostilas.com.br ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E DE ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIAL AV. INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 28 SÉRIE ANTECIPADA Valor presente: Valor futuro: + −++= ii i iPMTPV n n .)1( 1)1( ).1.( −++= i i iPMTFV n 1)1( ).1.( Exercícios: Fazer as mesmas questões com a antecipação da prestação na HP12C: a) [f] [FIN][f] [REG] [g] [BEG] 394,27 [CHS] [PMT] 12 [n] 3,5 [i] [PV] → PV = 3.943,31 (3.809,96) b) [f] [FIN] [f] [REG] [g] [BEG] 150 [CHS] [PMT] 12 [n] 4,32 [i] [FV] → FV = 2.394,86 (2.295,68) c) [f] [FIN] [f] [REG] [g] [BEG] 1500 [CHS] [PV] 6 [n] 2,5 [i] [PMT] → PMT = 265,6 (272,32) d) [f] [FIN] [f] [REG] [g] [BEG] 52000 [CHS] [PV] 48 [n] 2100 [PMT] [i] → i = 3,2888% a.m. (3,1099 % a.m.) e) [f] [FIN] [f] [REG] [g] [BEG] 1300 [CHS] [PV] 120 PMT 4,5 [i] [n] → n = 15 (16) EXERCÍCIOS: Juros Simples 1. Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 10.000,00, pelo prazo de 5 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3% ao mês? R: R$ 1.500,00 2. Um capital de R$25.000,00 aplicado durante 7 meses, rende juros de R$7.875,00. Determine a taxa correspondente. R: 4,5% a.m. 3. Sabendo-se que os juros de R$ 6.000,00 foram obtidos com a aplicação de R$ 7.500,00, à taxa de 8% ao trimestre, calcule o prazo. R: 10 trimestres 4. Calcular o valor dos juros e do montante de uma aplicação de R$ 20.000,00, feita a uma taxa de 4,94% ao mês, no prazo de 76 dias. R: R$ 2.502,93 / R$ 22.502,93 Desconto Bancário 5. Qual o valor do desconto simples de um título de R$ 2.000,00, com vencimento para 90 dias, à taxa de 2,5% ao mês? R: R$ 150,00 6. Qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operação a 120 dias, cujo valor de resgate é de R$ 1.000,00 e cujo valor atual é de R$ 880,00? R: 3% ao mês 7. Uma duplicata no valor de R$ 6.800,00 é descontada por um banco, gerando um crédito de R$ 6.000,00 na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa cobrada pelo banco é de 3,2% ao mês, determinar o prazo de vencimento da duplicata. R: 110 dias 8. Calcular o valor líquido creditado na conta de um cliente, correspondente ao desconto de uma duplicata no valor de R$ 34.000,00, com prazo de 41 dias, sabendo-se que o banco está cobrando nessa operação uma taxa de desconto de 4,7% ao mês. R: R$ 31.816,07 9. Uma pessoa obteve um financiamento para ser quitado em 18 prestações mensais, iguais e consecutivas de R$ 9.470,00. No dia do vencimento da 10ª prestação, após ter pago esta, o financiado propõe à financeira a quitação, nesta data, das 8 prestações restantes. Sabendo-se que essa financeira concede um desconto de 3,4%ao mês para pagamentos antecipados, calcular o valor do desconto total concedido. R: R$ 11.591,28 Juros Compostos 10. Calcular o montante de uma aplicação de R$ 15.000,00, pelo prazo de 6 meses, à taxa de 3% ao mês. R: R$ 17.910,78 11. No final de 2 anos, o Sr. Pedro deverá efetuar um pagamento de R$ 200.000,00, referente ao valor de um empréstimo contraído hoje, mais os juros devidos, correspondentes a uma taxa de 4% ao mês. Qual o valor emprestado? R: R$ 78.024,29 www.cliqueapostilas.com.br http://www.cliqueapostilas.com.br ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E DE ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIAL AV. INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 29 12. A loja “Topa Tudo” financia a venda de uma mercadoria no valor de R$ 16.000,00, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 22.753,61 no final de 8 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja? R: 4,5%a.m. 13. Determinar o montante correspondente a uma aplicação de R$ 10.000,00 pelo prazo de 7 meses, a uma taxa de 3,387% ao mês. R: R$ 12.625,88 Séries de Pagamentos iguais com termos postecipados 14. Determinar o valor do montante no final do 5º mês, de uma série de 5 aplicações mensais, iguais e consecutivas, no valor de R$ 100,00 cada uma, a uma taxa de 4% ao mês, sabendo-se que a primeira parcela é aplicada no final do 1º mês, e que a última, no final do 5º mês, coincidente com o momento em que é pedido o montante. R: R$ 541,63 15. Quanto terá no final de 4 anos, uma pessoa que aplicar R$ 500,00 por mês, durante esse prazo, em um “Fundo de Renda Fixa”, à taxa de 3% ao mês? R: R$ 52.204,20 16. Calcular o valor atual de uma série de 24 prestações iguais, mensais e consecutivas de R$ 3.500,00 cada uma considerando uma taxa de 5% ao mês. R: R$ 48.295,25 Séries de Pagamentos iguais com termos antecipados 17.Qual o montante, no final do 5º mês, resultante da aplicação de 5 prestações iguais, mensais e consecutivas de R$ 100,00, à taxa de 4% ao mês, sabendo-se que a primeira aplicação é feita hoje (data do contrato) R: R$ 563,30 18.Determinar qual o valor de um telefone financiado em 24 prestações iguais de R$5.054,03, sabendo-se que a taxa de juros cobrada é de 3,5% ao mês e que a 1ª prestação é paga no ato da assinatura do contrato. R: R$ 84.000,05 PROJETOS E INVESTIMENTOS O empresário com seu espírito empreendedor está sempre atento às oportunidades do mercado. Podendo abrir um novo negócio, comprar outra empresa ou expandir seu empreendimento. Todas estas opções devem ser avaliadas em projetos que possam refletir as possíveis situações futuras. Para Kassai et. All (2000; p.57) um projeto consiste num conjunto de informações de natureza quantitativa e qualitativa que permite estimar um cenário com base em uma alternativa escolhida. Os cálculos de análise de investimentos são regidos por princípios, segundo KUHNEN & BAUER (2001 p. 389:391) são: � Principais Princípios da engenharia econômica � Não existe decisão com alternativa única � Só se podem comparar alternativas homogêneas � Apenas as diferenças de alternativas são relevantes � Os critérios para decisão de alternativas econômicas devem reconhecer o valor do dinheiro no tempo � Não se pode esquecer o problema do capital escasso � As decisões devem levar também em consideração os eventos qualitativos não quantificáveis monetariamente Os projetos resumem-se em duas grandes avaliações uma qualitativa e outra quantitativa. Esta em fluxos financeiros de investimentos e retiradas em ciclos periódicos (mensais, anuais, etc) em determinado período em que o empresário “consegue enxergar no futuro”. Partindo-se do www.cliqueapostilas.com.br http://www.cliqueapostilas.com.br ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E DE ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIAL AV. INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 30 princípio que o empresário investe recurso financeiro, pois deseja ter um retorno percentual e conseqüentemente financeiro, demonstrar-se-á os principais métodos de avaliação de investimento. PAYBACK Esta é uma das formas mais simples de se analisar um investimento, baseia-se no tempo de recuperação do capital investido. Apesar da forma simplista, não deixa de ser uma forma de analisar um investimento. Conceitos de Payback O payback corresponde ao tempo necessário para que os fluxos de caixa positivos recuperem os fluxos de caixas negativos, e é normalmente expresso em anos. Seu cálculo é obtido a partir dos fluxos de caixa nominais e a decisão de aceitar ou não um projeto é tomada com base em algum período limite arbitrário (o período de payback deverá ser inferior a este limite), sem considerar o custo de capital.(SILVA 2002:p.146:147) “É o período de recuperação de um investimento e consiste na identificação do prazo em que o montante do dispêndio de capital efetuado seja recuperado por meio de fluxos líquidos de caixa gerados pelo investimento”(KASSAI 2002:, p. 84) Exemplo, (KASSAI 2002:, p. 84): Ano Investimento Retorno Saldo a Recuperar 0 25.000 (25.000) 1º 12.000 (13.000) 2º 11.000 (2.000) 3º 10.000 8.000 4º 9.000 17.000 5º 24.000 41.000 diaseanosPBanosPBPB 7222,22,0 10000 2000 =→=→== 25.000 12.000 11.000 10.000 9.000 24.000 1 2 3 4 5 0 www.cliqueapostilas.com.br http://www.cliqueapostilas.com.br ASSOCIAÇÃO JUINENSE DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO JURUENA FACULDADE DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS E DE ADMINISTRAÇÃO DO VALE DO JURUENA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRA : ENSINO E EMPRESARIAL AV. INTEGRAÇÃO JAIME CAMPOS N 145 – MODULO 01 – JUINA – MT – CEP 78320-000 WWW.AJES.EDU.BR – AJES@AJES.EDU.BR TODOS OS DIREITOS RESERVADOS AOS AUTORES DOS ARTIGOS CONTIDOS NESTE MATERIAL DIDÁTICO. DE ACORDO COM A LEI DOS DIREITOS AUTORAIS 9610/98. 31 Observam-se as seguintes limitações segundo Kassai et all (2000; p.86) : • Não leva em consideração a magnitude dos fluxos de caixa e sua distribuição nos períodos que antecedem ao período de payback; • Não leva em consideração os fluxos de caixa que ocorrem após o período de payback. A maior limitação é que os valores são tratados nominalmente, ou seja, não leva-se em consideração o valor do dinheiro no tempo. Exercício: Determine o payback: R: 3 anos e 4 meses Ano Investimento Retorno Saldo a Recuperar 0 50.000 (50.000) 1º 15.000 (35.000) 2º 15.000 (20.000) 3º 15.000 (5.000) 4º 15.000 10.000 5º 15.000 25.000 VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) Conceito O valor presente líquido é uma técnica que apresenta a resposta em valores monetários, diferente da TIR que a resposta é percentual, podendo dizer que o VPL e a TIR se complementam em termos de decisão. Cita-se a seguir conceitos de autores: “O método do Valor Presente Líquido para análise dos fluxos de caixa é obtido pela diferença entre o valor presente dos benefícios (ou pagamentos) previstos de caixa, e o valor presente do fluxo de caixa inicial (valor do investimento, do empréstimo ou do financiamento).”(ASSAF NETO 2001:, pg 278) “Consiste em calcular o valor presente de uma série de pagamentos (ou recebimentos), iguais ou diferentes, a uma dada taxa, e deduzir deste valor o fluxo inicial (valor do investimento, financiamento ou empréstimo). Em outras palavras, é a diferença entre os valores atuais dos fluxos de recebimento
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