IAM - Lista 01 - Resolução

Prévia do material em texto

BC0104: Int. Atômicas e Moleculares UFABC Resolução da Lista 01 (Geral) v1.3 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/05/13 – pág. 1/17 
1. (a) Qual é a velocidade de um elétron cujo comprimento de onda é 3,00 𝑐𝑚? 
 
(b) Qual a velocidade de um próton com o mesmo comprimento de onda? 
 
(c) Qual a razão para obter velocidades que diferem por três ordens de grandeza, uma vez 
que os comprimentos de onda são iguais? 
 
(d) Considere que um elétron e um próton tenham a mesma velocidade 𝑣 = 1,00 × 106 𝑚/𝑠. 
Quais os respectivos comprimentos de onda? 
 
(e) Nessas condições, você esperaria que efeitos quânticos fossem mais importantes para o 
elétron ou para o próton? Justifique sua resposta. 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
(a) De acordo com a relação de onda-partícula de de Broglie: 
𝑝 =
ℎ
𝜆
= 𝑚𝑣 
Logo, para um elétron com 𝜆 = 3,00 × 10−2 𝑚: 
𝑣 =
ℎ
𝑚𝜆
 
⇒ 𝑣 =
6,626 × 10−34
9,109 × 10−31 · 3,00 × 10−2
≈ 0,0242 𝑚/𝑠 
 
(b) Para um próton com o mesmo comprimento de onda, basta adequar o valor de sua massa: 
𝑣 =
6,626 × 10−34
1,673 × 10−27 · 3,00 × 10−2
≈ 0,132 × 10−4 𝑚/𝑠 
 
(c) A razão implicaria: 
𝑣1
𝑣2
=
ℎ/𝑚1𝜆
ℎ/𝑚2𝜆
 
𝑣1
𝑣2
=
𝑚2
𝑚1
≈ 103 
⇒ 𝑚2 ≈ 𝑚1 × 10
3 
 
(d) Para um elétron com 𝑣 = 1,00 × 106 𝑚/𝑠, temos: 
𝜆 =
ℎ
𝑚𝑣
 
⇒ 𝜆𝑒 =
6,626 × 10−34
9,109 × 10−31 · 1,00 × 106
≈ 7,27 Å𝑚 
Enquanto que, para um próton com mesma velocidade, temos: 
BC0104: Int. Atômicas e Moleculares UFABC Resolução da Lista 01 (Geral) v1.3 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/05/13 – pág. 2/17 
𝜆𝑝 =
6,626 × 10−34
1,673 × 10−27 · 1,00 × 106
≈ 3,96 × 10−3 Å𝑚 
 
(e) Nessas condições, os efeitos quânticos seriam mais importantes para o elétron, pois sua 
massa é inferior e portanto as leis da Física Quântica teriam mais influência. Isso é notado 
pelos resultados do item anterior, onde o comprimento de onda se torna tão pequeno na 
medida em que a massa aumenta tal que não possamos mais medi-la por nenhum aparelho 
atual. 
 
2. Uma lâmpada de sódio emite luz amarela com comprimento de onda 𝜆 = 550 𝑛𝑚. Quantos 
fótons são emitidos por segundo, se a potência da lâmpada for de (a) 1,00 𝑊? e (b) 100 𝑊? 
 
(c) Qual o momento linear dos fótons emitidos pela lâmpada de sódio? 
 
(d) Sabendo que os fótons são emitidos por uma transição entre dois níveis eletrônicos do 
átomo de sódio, obtenha a diferença entre esses níveis de energia. 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
(a) Como a potência da lâmpada é de 1,00 𝑊, temos: 
𝒫 = 1,00 𝐽/𝑠 
Ou seja, por segundo estão sendo emitidos fótons com 1,00 𝐽 de energia total somada. 
Como o comprimento de onda da luz amarela que emite esses fótons é de 550 × 10−9 𝑚, 
de acordo com a equação de Einstein, cada fóton possui energia: 
𝐸 = ℎ𝜈 =
ℎ𝑐
𝜆
 
onde 𝑐 é a velocidade da luz em que um fóton viaja. 
Juntando os resultados, obtemos que a quantidade 𝑛𝑎 de fótons emitidos por segundo é: 
𝑛𝑎 =
𝒫
𝐸
=
𝜆𝒫
ℎ𝑐
 
⇒ 𝑛𝑎 =
550 × 10−9 · 1,00
6,626 × 10−34 · 2,998 × 108
≈ 2,77 × 1018 𝑠−1 
(b) Para uma potência de 100 𝑊, temos que a quantidade 𝑛𝑏 de fótons emitidos é: 
𝑛𝑏 =
100 · 𝒫
𝐸
= 100 · 𝑛𝑎 ≈ 2,77 × 10
20 𝑠−1 
BC0104: Int. Atômicas e Moleculares UFABC Resolução da Lista 01 (Geral) v1.3 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/05/13 – pág. 3/17 
(c) O momento linear 𝑝 desses fótons é dado pela relação de de Broglie: 
𝑝 =
ℎ
𝜆
=
6,626 × 10−34
550 × 10−9
≈ 1,20 × 10−27 𝑘𝑔 · 𝑚/𝑠 
(d) Como cada fóton possui uma energia específica e cada um é resultado de uma mudança de 
nível onde sua energia específica é exatamente a diferença de energia entre esses dois 
níveis do átomo de sódio. Assim, sabemos que, para um fóton de qualquer lâmpada, sua 
energia é dependente somente de seu comprimento de onda: 
𝐸 = ℎ𝜈 =
ℎ𝑐
𝜆
=
6,626 × 10−34 · 2,998 × 108
550 × 10−9
≈ 3,61 × 10−19 𝐽 
 
3. Considere que a função de onda de um elétron confinado em uma caixa unidimensional de 
comprimento 𝐿 seja dada por: 
 
𝜓(𝑥) = cos (
𝜋𝑥
𝐿
) , − 𝐿/2 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿/2 
 
𝜓(𝑥) = 0 , |𝑥| > 𝐿/2 
 
(a) Essa função de onda é quadraticamente integrável? 
 
(b) Essa função de onda é normalizada? 
 
(c) Em caso negativo, normalize-a. 
 
(d) Qual a probabilidade de encontrar o elétron nos seguintes intervalos: −𝐿/2 ≤ 𝑥 ≤ 0, 0 ≤
𝑥 ≤ 𝐿/2, −𝐿/4 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿/4? 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
(a) Para ser quadraticamente integrável, essa função de onda precisa ter energia finita, ou seja: 
∫ 𝜓∗𝜓 𝑑𝑥
∞
−∞
< ∞ 
Por se tratar de uma função senoidal confinada, ou seja, por possui valor diferente de nulo 
apenas dentro de um espaço definido (neste caso, entre −𝐿/2 a 𝐿/2), sua energia é 
certamente finita. Matematicamente, isso pode ser provado calculando: 
∫ 𝜓∗𝜓 𝑑𝑥
∞
−∞
= ∫ 0 𝑑𝑥
−𝐿/2
−∞
+ ∫ cos2 (
𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿/2
−𝐿/2
+ ∫ 0 𝑑𝑥
∞
𝐿/2
 
BC0104: Int. Atômicas e Moleculares UFABC Resolução da Lista 01 (Geral) v1.3 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/05/13 – pág. 4/17 
𝑐𝑜𝑠(2𝑎) = 𝑐𝑜𝑠(𝑎 + 𝑎) = 𝑐𝑜𝑠2(𝑎) − 𝑠𝑒𝑛2(𝑎) 
⇒ 𝑐𝑜𝑠(2𝑎) = 𝑐𝑜𝑠2(𝑎) − [1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑎)] 
⇒ 𝑐𝑜𝑠2(𝑎) =
1 + 𝑐𝑜𝑠(2𝑎)
2
 
= ∫
1 + cos (
2𝜋𝑥
𝐿
)
2
 𝑑𝑥
𝐿/2
−𝐿/2
 
=
1
2
[ ∫ 𝑑𝑥
𝐿/2
−𝐿/2
+ ∫ cos (
2𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿/2
−𝐿/2
] 
=
1
2
[𝑥 +
𝐿
2𝜋
sen (
2𝜋𝑥
𝐿
)]
𝐿/2 
 
−𝐿/2
 
=
1
2
[
𝐿
2
− (−
𝐿
2
)] +
1
2
𝐿
2𝜋
[sen(𝜋) − sen(−𝜋)] 
=
𝐿
2
< ∞ 
(b) Essa função não está normalizada, pois o resultado final do item anterior deveria ter sido 
1. 
(c) Sua forma normalizada teria uma constante multiplicativa com valor √2/𝐿, pois: 
∫ (√
2
𝐿
𝜓∗) (√
2
𝐿
𝜓 ) 𝑑𝑥
∞
−∞
=
2
𝐿
∫ 𝜓∗𝜓 𝑑𝑥
∞
−∞
=
2
𝐿
𝐿
2
= 1 
(d) Como o elétron está confinado em −𝐿/2 e 𝐿/2, por simetria, a probabilidade de encontrar 
o elétron entre −𝐿/2 ≤ 𝑥 ≤ 0 e 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿/2 é de 1/2. Matematicamente isso é provado 
por: 
2
𝐿
∫ 𝜓∗𝜓
0
−𝐿/2
𝑑𝑥 =
2
𝐿
·
1
2
[𝑥 +
𝐿
2𝜋
sen (
2𝜋𝑥
𝐿
)]
0 
 
−𝐿/2
=
1
2
 
2
𝐿
∫ 𝜓∗𝜓
𝐿/2
0
𝑑𝑥 =
2
𝐿
·
1
2
[𝑥 +
𝐿
2𝜋
sen (
2𝜋𝑥
𝐿
)]
𝐿/2
 
0 
 =
1
2
 
Analogamente, para −𝐿/4 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿/4, temos: 
2
𝐿
∫ 𝜓∗𝜓
𝐿/4
−𝐿/4
𝑑𝑥 =
2
𝐿
·
1
2
[𝑥 +
𝐿
2𝜋
sen (
2𝜋𝑥
𝐿
)]
𝐿/4 
 
−𝐿/4
=
1
2
+
1
𝜋
 
 
BC0104: Int. Atômicas e Moleculares UFABC Resolução da Lista 01 (Geral) v1.3 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/05/13 – pág. 5/17 
4. Em cada caso, mostre que 𝑓(𝑥) é uma autofunção do operador dado. Ache o autovalor: 
 𝑓(𝑥) 
(a) 
𝑑2
𝑑𝑥2
 cos(𝜔𝑥) 
(b) 
𝑑
𝑑𝑡
 𝑒
𝑖𝜔𝑡 
(c) 
𝑑2
𝑑𝑥2
+ 2
𝑑
𝑑𝑥
+ 3 𝑒
𝛼𝑥 
(d) 
𝜕
𝜕𝑦
 𝑥
2𝑒6𝑦 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
Para que 𝑓(𝑥) seja uma autofunção, ao se aplicar o operador 
 nela, é preciso que o resultado seja igual a um múltiplo dela mesma: 
Â[𝑓(𝑥)] = 𝛼𝑓(𝑥) 
onde 𝛼 é dito autovalor. 
(a) 
𝑑2
𝑑𝑥2
[cos(𝜔𝑥)] = (−𝜔2) cos(𝜔𝑥) 
(b) 
𝑑
𝑑𝑡
(𝑒𝑖𝜔𝑡) = (𝑖𝜔)𝑒𝑖𝜔𝑡 
(c) 
𝑑2
𝑑𝑥2
(𝑒𝛼𝑥) + 2
𝑑
𝑑𝑥
(𝑒𝛼𝑥) + 3(𝑒𝛼𝑥) = 𝛼2𝑒𝛼𝑥 + 2𝛼𝑒𝛼𝑥 + 3𝑒𝛼𝑥 = (𝛼2 + 2𝛼 + 3)𝑒𝛼𝑥 
(d) 
𝜕
𝜕𝑦
(𝑥2𝑒6𝑦) = (6)𝑥2𝑒6𝑦BC0104: Int. Atômicas e Moleculares UFABC Resolução da Lista 01 (Geral) v1.3 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/05/13 – pág. 6/17 
5. Mostre que 
 
(a) 
∫ sen2 (
𝑛𝜋𝑥
𝑎
) 𝑑𝑥
𝑎
0
=
𝑎
2
 
(b) 
∫ 𝑥 sen2 (
𝑛𝜋𝑥
𝑎
) 𝑑𝑥
𝑎
0
=
𝑎2
4
 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
(a) 
∫ sen2 (
𝑛𝜋𝑥
𝑎
) 𝑑𝑥
𝑎
0
= 
𝑐𝑜𝑠(2𝑎) = 𝑐𝑜𝑠(𝑎 + 𝑎) = 𝑐𝑜𝑠2(𝑎) − 𝑠𝑒𝑛2(𝑎) 
⇒ 𝑐𝑜𝑠(2𝑎) = [1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝑎)] − 𝑠𝑒𝑛2(𝑎) 
⇒ 𝑠𝑒𝑛2(𝑎) =
1 − 𝑐𝑜𝑠(2𝑎)
2
 
=
1
2
∫ 1 − cos (
2𝑛𝜋𝑥
𝑎
) 𝑑𝑥
𝑎
0
 
=
1
2
[𝑥 −
𝑎
2𝑛𝜋
sen (
2𝑛𝜋𝑥
𝑎
)]
𝑎
 
0
 
=
1
2
[𝑎 −
𝑎
2𝑛𝜋
sen(𝑛2𝜋)] 
=
𝑎
2
 ∎ 
(b) 
∫ 𝑥 sen2 (
𝑛𝜋𝑥
𝑎
) 𝑑𝑥
𝑎
0
=
1
2
∫ 𝑥 − 𝑥 cos (
2𝑛𝜋𝑥
𝑎
) 𝑑𝑥
𝑎
0
 
𝑢 = 𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = cos (
2𝑛𝜋𝑥
𝑎
) 𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 =
𝑎
2𝑛𝜋
sen (
2𝑛𝜋𝑥
𝑎
) 
=
1
2
[
𝑥2
2
− [
𝑎𝑥
2𝑛𝜋
sen (
2𝑛𝜋𝑥
𝑎
) + (
𝑎
2𝑛𝜋
)
2
cos (
2𝑛𝜋𝑥
𝑎
)]]
𝑎
 
0
 
BC0104: Int. Atômicas e Moleculares UFABC Resolução da Lista 01 (Geral) v1.3 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/05/13 – pág. 7/17 
=
1
2
[
𝑎2
2
− [
𝑎𝑥
2𝑛𝜋
sen(𝑛2𝜋) + (
𝑎
2𝑛𝜋
)
2
[cos(𝑛2𝜋) − 1]]] 
=
𝑎2
4
 ∎ 
 
6. a) Mostre que a função de onda 𝛹(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑒(𝑘𝑥−𝜔𝑡) não satisfaz a equação de Schrödinger 
dependente do tempo. 
 
b) Mostre que a função 𝛹(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡) satisfaz tanto a equação de Schrödinger 
dependente do tempo quanto a equação de onda clássica 
 
𝜕2Ψ(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑥2
=
1
𝑐2
𝜕2Ψ(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡2
 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
(a) Para satisfazer a equação de Schrödinger, basta que 𝛹(𝑥, 𝑡) respeite a igualdade: 
−
ℏ2
2𝑚
𝜕2Ψ(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑥2
+ 𝑉(𝑥, 𝑡)Ψ(𝑥, 𝑡) = 𝑖ℏ
𝜕Ψ(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡
 
−
ℏ2
2𝑚
𝜕2
𝜕𝑥2
[𝐴𝑒(𝑘𝑥−𝜔𝑡)] + 𝑉(𝑥, 𝑡)𝐴𝑒(𝑘𝑥−𝜔𝑡) = 𝑖ℏ
𝜕
𝜕𝑡
[𝐴𝑒(𝑘𝑥−𝜔𝑡)] 
−
ℏ2𝑘2
2𝑚
𝐴𝑒(𝑘𝑥−𝜔𝑡) + 𝑉(𝑥, 𝑡)𝐴𝑒(𝑘𝑥−𝜔𝑡) = −𝑖ℏ𝜔𝐴𝑒(𝑘𝑥−𝜔𝑡) 
−
ℏ2𝑘2
2𝑚
+ 𝑉(𝑥, 𝑡) = −𝑖ℏ𝜔 
−
ℎ24𝜋2
8𝜋2𝑚𝜆2
+ 𝑉(𝑥, 𝑡) = −𝑖
ℎ
2𝜋
2𝜋𝜈 
−
ℎ2
2𝑚𝜆2
+ 𝑉(𝑥, 𝑡) = −𝑖ℎ𝜈 
𝑝2
2𝑚
− 𝑉(𝑥, 𝑡) = 𝑖𝐸 
𝐾 − 𝑉 = 𝑖𝐸 𝐴𝑏𝑠𝑢𝑟𝑑𝑜! ∎ 
 
 
BC0104: Int. Atômicas e Moleculares UFABC Resolução da Lista 01 (Geral) v1.3 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/05/13 – pág. 8/17 
(b) 
−
ℏ2
2𝑚
𝜕2Ψ(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑥2
+ 𝑉(𝑥, 𝑡)Ψ(𝑥, 𝑡) = 𝑖ℏ
𝜕Ψ(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡
 
−
ℏ2
2𝑚
𝜕2[𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡)]
𝜕𝑥2
+ 𝑉(𝑥, 𝑡)𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡) = 𝑖ℏ
𝜕[𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡)]
𝜕𝑡
 
ℏ2
2𝑚
𝑘2𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡) + 𝑉(𝑥, 𝑡)𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡) = ℏ𝜔𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡) 
ℏ2𝑘2
2𝑚
+ 𝑉(𝑥, 𝑡) = ℏ𝜔 
𝐾 + 𝑉 = 𝐸 ∎ 
 
𝜕2Ψ(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑥2
=
1
𝑐2
𝜕2Ψ(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡2
 
𝜕2[𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡)]
𝜕𝑥2
=
1
𝑐2
𝜕2[𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡)]
𝜕𝑡2
 
−𝑘2𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡) = −𝜔2
1
𝑐2
𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡) 
𝑘2 =
𝜔2
𝑐2
 
(
2𝜋
𝜆
)
2
=
(2𝜋𝜈)2
𝑐2
 
1
𝜆2
=
𝜈2
𝑐2
 
𝑐 = 𝜆𝜈 ∎ 
 
 
BC0104: Int. Atômicas e Moleculares UFABC Resolução da Lista 01 (Geral) v1.3 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/05/13 – pág. 9/17 
7. Determine (a) 〈𝑥〉 e (b) 〈𝑥2〉 para o segundo estado excitado (𝑛 = 3) de um poço quadrado 
infinito. 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
Em um poço quadrado infinito temos: 
{ 
𝑉(𝑥) = 0 , 0 < 𝑥 < 𝐿 
𝑉(𝑥) → ∞ , 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
⇒ −
ℏ2
2𝑚
𝜕2𝜓(𝑥)
𝜕𝑥2
+ 0 · 𝜓(𝑥) = 𝐸𝜓(𝑥) 
𝜕2𝜓(𝑥)
𝜕𝑥2
= −
2𝑚𝐸
ℏ2
𝜓(𝑥) 
Assumindo 𝜓(𝑥) = 𝑒𝛼𝑥 e como 𝑉 = 0 ⇒ 𝐸 = 𝐾: 
𝜕2[𝑒𝛼𝑥]
𝜕𝑥2
= −
2𝑚𝐾
ℏ2
𝑒𝛼𝑥 
𝐾 =
𝑚𝑣2
2
⇒ 𝑣 = √
2𝐾
𝑚
⇒ 𝑝 = 𝑚𝑣 = 𝑚√
2𝐾
𝑚
 
∴ 𝑝2 =
𝑚22𝐾
𝑚
= 2𝑚𝐾 
𝛼2𝑒𝛼𝑥 = −
𝑝2
(ℎ/2𝜋)2
𝑒𝛼𝑥 
𝛼2𝑒𝛼𝑥 = − (
2𝜋
𝜆
)
2
𝑒𝛼𝑥 
𝛼 = ±√−𝑘2 = ±𝑖𝑘 
∴ 𝜓(𝑥) = 𝐴𝑒𝑖𝑘𝑥 + 𝐵𝑒−𝑖𝑘𝑥 
Resolvendo as condições de contorno: 
𝜓(0) = 𝜓(𝐿) = 0 
{ 𝐴𝑒
𝑖𝑘0 + 𝐵𝑒−𝑖𝑘0 = 0
𝐴𝑒𝑖𝑘𝐿 + 𝐵𝑒−𝑖𝑘𝐿 = 0
 
{ 
𝐴 + 𝐵 = 0
𝐴𝑒𝑖𝑘𝐿 + 𝐵𝑒−𝑖𝑘𝐿 = 0
 
𝐴𝑒𝑖𝑘𝐿 − 𝐴𝑒−𝑖𝑘𝐿 = 0 
BC0104: Int. Atômicas e Moleculares UFABC Resolução da Lista 01 (Geral) v1.3 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/05/13 – pág. 10/17 
𝑒𝑖𝑘𝐿 − 𝑒−𝑖𝑘𝐿 = 0 
[cos(𝑘𝐿) + 𝑖 sen(𝑘𝐿)] − [cos(𝑘𝐿) − 𝑖 sen(𝑘𝐿)] = 0 
2𝑖 sen(𝑘𝐿) = 0 
sen(𝑘𝐿) = 0 
⇒ 𝑘𝐿 = 𝑛𝜋 ; 𝑛 = 1,2,3,4, … 
𝑘 =
𝑛𝜋
𝐿
 
∴ 𝜓(𝑥) = 𝐴𝑒𝑖𝑘𝑥 − 𝐴𝑒−𝑖𝑘𝑥 
𝜓(𝑥) = 2𝐴𝑖 sen(𝑘𝑥) 
𝜓(𝑥) = 𝐴′ sen (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 
Normalizando a função: 
∫ 𝜓∗𝜓 𝑑𝑥
𝐿
0
= 1 
𝐴′
2 ∫ sen2 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
0
= 1 
𝑐𝑜𝑠(2𝑎) = 𝑐𝑜𝑠(𝑎 + 𝑎) = 𝑐𝑜𝑠2(𝑎) − 𝑠𝑒𝑛2(𝑎) 
⇒ 𝑐𝑜𝑠(2𝑎) = [1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝑎)] − 𝑠𝑒𝑛2(𝑎) 
⇒ 𝑠𝑒𝑛2(𝑎) =
1 − 𝑐𝑜𝑠(2𝑎)
2
 
𝐴′
2
2
∫ 1 − 𝑐𝑜𝑠 (
2𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
0
= 1 
𝐴′
2
2
[𝑥 −
𝐿
2𝑛𝜋
𝑠𝑒𝑛 (
2𝑛𝜋𝑥
𝐿
)]
𝐿
 
0
= 1 
𝐴′
2
2
𝐿 = 1 
𝐴′ = √
2
𝐿
 
 
BC0104: Int. Atômicas e Moleculares UFABC Resolução da Lista 01 (Geral) v1.3 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/05/13 – pág. 11/17 
Para o segundo estado excitado onde 𝑛 = 3 temos: 
𝜓(𝑥) = √
2
𝐿
sen (
3𝜋𝑥
𝐿
) 
(a) Assim, o valor da posição esperada é: 
〈𝑥〉 = ∫ 𝜓∗ 𝑥 𝜓 𝑑𝑥
∞
−∞
 
〈𝑥〉 =
2
𝐿
∫ 𝑥 sen2 (
3𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
0
 
〈𝑥〉 =
1
𝐿
[∫ 𝑥𝑑𝑥
𝐿
0
− ∫ 𝑥 cos (
6𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
0
] 
𝑢 = 𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = cos (
6𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 =
𝐿
6𝜋
sen (
6𝜋𝑥
𝐿
) 
〈𝑥〉 =
1
𝐿
[
𝑥2
2
− [
𝐿𝑥
6𝜋
sen (
6𝜋𝑥
𝐿
) + (
𝐿
6𝜋
)
2
cos (
6𝜋𝑥
𝐿
)]]
𝐿
 
0
 
〈𝑥〉 =
1
𝐿
[
𝐿2
2
− [
𝐿2
6𝜋
[sen(6𝜋) − 0] + (
𝐿
6𝜋
)
2
[cos(6𝜋) − 1]]] 
〈𝑥〉 =
1
𝐿
(
𝐿2
2
) 
〈𝑥〉 =
𝐿
2
 
 
(b) Analogamente: 
〈𝑥2〉 =
2
𝐿
∫ 𝑥2 sen2 (
3𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
0
 
〈𝑥2〉 =
2
𝐿
∫
𝑥2 − 𝑥2 cos (
6𝜋𝑥
𝐿
)
2
 𝑑𝑥
𝐿
0
 
BC0104: Int. Atômicas e Moleculares UFABC Resolução da Lista 01 (Geral) v1.3 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/05/13 – pág. 12/17 
〈𝑥2〉 =
1
𝐿
[∫ 𝑥2𝑑𝑥
𝐿
0
− ∫ 𝑥2 cos (
6𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
0
] 
𝑢 = 𝑥2 ⇒ 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = cos (
6𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 =
𝐿
6𝜋
sen (
6𝜋𝑥
𝐿
) 
〈𝑥2〉 =
1
𝐿
[
𝑥3
3
− [
𝐿
6𝜋
𝑥2 sen (
6𝜋𝑥
𝐿
) − ∫ 2𝑥
𝐿
6𝜋
sen (
6𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
0
]]
𝐿
 
0
 
〈𝑥2〉 =
1
𝐿
[
𝑥3
3
−
𝐿
6𝜋
𝑥2 sen (
6𝜋𝑥
𝐿
) +
𝐿
3𝜋
∫ 𝑥 sen (
6𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
0
]
𝐿
 
0
 
𝑤 = 𝑥 ⇒ 𝑑𝑤 = 𝑑𝑥 
𝑑𝑞 = sen (
6𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥 ⇒ 𝑞 = −
𝐿
6𝜋
cos (
6𝜋𝑥
𝐿
) 
〈𝑥2〉 =
1
𝐿
[
𝑥3
3
−
𝐿
6𝜋
𝑥2 sen (
6𝜋𝑥
𝐿
) +
𝐿
3𝜋
[−
𝐿
6𝜋
𝑥 cos (
6𝜋𝑥
𝐿
) − ∫ (−
𝐿
6𝜋
) cos (
6𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
0
]]
𝐿
 
0
 
〈𝑥2〉 =
1
𝐿
[
𝑥3
3
−
𝐿
6𝜋
𝑥2 sen (
6𝜋𝑥
𝐿
) −
𝐿2
18𝜋2
𝑥 cos (
6𝜋𝑥
𝐿
) +
𝐿2
18𝜋2
∫ cos (
6𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
0
]
𝐿
 
0〈𝑥2〉 =
1
𝐿
[
𝑥3
3
−
𝐿
6𝜋
𝑥2 sen (
6𝜋𝑥
𝐿
) −
𝐿2
18𝜋2
𝑥 cos (
6𝜋𝑥
𝐿
) +
𝐿3
108𝜋3
sen (
6𝜋𝑥
𝐿
)]
𝐿
 
0
 
〈𝑥2〉 =
1
𝐿
(
𝐿3
3
−
𝐿3
18𝜋2
) 
〈𝑥2〉 = 𝐿2 (
1
3
−
1
18𝜋2
) 
 
 
BC0104: Int. Atômicas e Moleculares UFABC Resolução da Lista 01 (Geral) v1.3 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/05/13 – pág. 13/17 
8. Uma partícula se encontra em um poço quadrado infinito de largura 𝐿. Calcule a energia do 
estado fundamental: (a) se a partícula é um próton e 𝐿 = 0,1 𝑛𝑚, o tamanho aproximado 
de uma molécula; (b) se a partícula é um próton e 𝐿 = 1 𝑓𝑚, o tamanho aproximado de um 
núcleo. 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
Utilizando o valor do número de onda 𝑘 encontrado pelo exercício 7 no estado 
fundamental, temos: 
𝑘 =
𝑛𝜋
𝐿
=
𝜋
𝐿
, 𝑛 = 1 
2𝜋
𝜆
=
𝜋
𝐿
 
2𝜋
𝜆
ℎ
ℎ
=
𝜋
𝐿
 
ℎ/𝜆
ℎ/2𝜋
=
𝜋
𝐿
 
𝑝
ℏ
=
𝜋
𝐿
 
√2𝑚𝐸
ℏ
=
𝜋
𝐿
 ; 𝐸 = 𝐾 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑉 = 0 
𝐸 =
𝜋2ℏ2
2𝑚𝐿2
 
𝐸 =
ℎ2
8𝑚𝐿2
 
(a) Se a partícula é um próton e 𝐿 = 0,1 𝑛𝑚 for o tamanho aproximado de uma molécula, sua 
energia será: 
𝐸 =
(6,6 × 10−34)2
8 · 1,7 × 10−27(0,1 × 10−9)2
≈ 3,2 × 10−21 𝐽 = 3,2 𝑧𝐽 
 
(b) Se a partícula é um próton e 𝐿 = 1 𝑓𝑚 for o tamanho aproximado de um núcleo, sua 
energia será: 
𝐸 =
(6,6 × 10−24)2
8 · 1,7 × 10−27(1 × 10−15)2
≈ 3,2 × 10−9 𝐽 = 3,2 𝑛𝐽 
 
BC0104: Int. Atômicas e Moleculares UFABC Resolução da Lista 01 (Geral) v1.3 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/05/13 – pág. 14/17 
9. Alguns dados para a energia cinética dos elétrons ejetados com função do comprimento de 
onda da radiação incidente do efeito fotoelétrico para o sódio metálico são: 
 
𝜆 / 𝑛𝑚 100 200 300 400 500 
Energia / 𝑒𝑉 10,1 3,94 1,88 0,842 0,222 
 
Faça o gráfico destes dados e obtenha ℎ e a função trabalho do metal 𝜑. 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
Pela equação de Einstein: 
𝐸 = ℎ𝜈 =
ℎ𝑐
𝜆
 
Ou seja, a constante de Plank ℎ vezes a velocidade da luz 𝑐 é o coeficiente angular da reta 
formada pelo gráfico da energia 𝐸 versus o recíproco do comprimento de onda 𝜆. Sabendo 
a priori o valor da velocidade da luz, podemos obter com uma certa precisão o valor da 
constante de Plank. 
 
De acordo com os dados e o gráfico temos que: 
ℎ𝑐 =
10,1 − 0,222
1
100 −
1
500
× 10−9 · 1,60 × 10−19 = 1,98 × 10−25 𝐽𝑚 
ℎ ≈
1,98 × 10−25
3,00 × 108
≈ 6,59 × 10−34 𝐽𝑠 
 
0
2
4
6
8
10
12
 1/500 1/250 3/500 1/125 1/100
E 
(e
V
)
1/𝜆 (109 m-1)
E × 1/𝜆
BC0104: Int. Atômicas e Moleculares UFABC Resolução da Lista 01 (Geral) v1.3 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/05/13 – pág. 15/17 
10. Calcule 𝜎𝑥 = √〈𝑥2〉 − 〈𝑥〉2, 𝜎𝑝 = √〈𝑝2〉 − 〈𝑝〉2 e 𝜎𝑥𝜎𝑝 para a função de onda do estado 
fundamental do poço quadrado infinito. 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
Por definição, o valor esperado da posição 𝑥 é: 
〈𝑥〉 = ∫ 𝜓∗𝑥𝜓 𝑑𝑥
∞
−∞
 
Utilizando o valor da autofunção de onda independente do tempo no estado fundamental 
𝜓(𝑥) = √
2
𝐿
sen (
𝜋𝑥
𝐿
) encontrada no exercício 7, temos: 
〈𝑥〉 =
2
𝐿
∫ 𝑥 sen2 (
𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
0
 
〈𝑥〉 =
2
𝐿
∫
𝑥 − 𝑥 cos (
2𝜋𝑥
𝐿
)
2
 𝑑𝑥
𝐿
0
 
〈𝑥〉 =
1
𝐿
[∫ 𝑥𝑑𝑥
𝐿
0
− ∫ 𝑥 cos (
2𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
0
] 
〈𝑥〉 =
1
𝐿
[
𝑥2
2
−
𝐿
2𝜋
sen (
2𝜋𝑥
𝐿
) −
𝐿2
4𝜋2
cos (
2𝜋𝑥
𝐿
)]
𝐿
 
0
 
〈𝑥〉 =
1
𝐿
(
𝐿2
2
) 
〈𝑥〉 =
𝐿
2
 
Analogamente: 
〈𝑥2〉 =
2
𝐿
∫ 𝑥2 sen2 (
𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
0
 
〈𝑥2〉 =
2
𝐿
∫
𝑥2 − 𝑥2 cos (
2𝜋𝑥
𝐿
)
2
 𝑑𝑥
𝐿
0
 
BC0104: Int. Atômicas e Moleculares UFABC Resolução da Lista 01 (Geral) v1.3 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/05/13 – pág. 16/17 
〈𝑥2〉 =
1
𝐿
[∫ 𝑥2𝑑𝑥
𝐿
0
− ∫ 𝑥2 cos (
2𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
0
] 
〈𝑥2〉 =
1
𝐿
[
𝑥3
3
−
𝐿𝑥2
2𝜋
sen (
2𝜋𝑥
𝐿
) −
𝐿2𝑥
2𝜋2
cos (
2𝜋𝑥
𝐿
) +
𝐿3
4𝜋3
sen (
2𝜋𝑥
𝐿
)]
𝐿
 
0
 
〈𝑥2〉 =
1
𝐿
(
𝐿3
3
−
𝐿3
2𝜋2
) 
〈𝑥2〉 = 𝐿2 (
1
3
−
1
2𝜋2
) 
Para o momento, temos então: 
〈𝑝〉 = ∫ 𝜓∗𝑝𝜓 𝑑𝑥
∞
−∞
 
〈𝑝〉 = ∫ 𝜓∗ (−𝑖ℏ
𝑑
𝑑𝑥
) 𝜓 𝑑𝑥
∞
−∞
 
〈𝑝〉 = −𝑖ℏ ∫ 𝜓∗
𝑑𝜓
𝑑𝑥
 𝑑𝑥
∞
−∞
 
〈𝑝〉 = −
2𝑖ℏ
𝐿
∫ sen (
𝜋𝑥
𝐿
)
𝑑
𝑑𝑥
[sen (
𝜋𝑥
𝐿
)] 𝑑𝑥
𝐿
0
 
〈𝑝〉 = −
2𝑖ℏ𝜋
𝐿2
∫ sen (
𝜋𝑥
𝐿
) cos (
𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
0
 
〈𝑝〉 = −
𝑖ℏ𝜋
𝐿2
sen2 (
𝜋𝑥
𝐿
) |
𝐿
 
0
 
〈𝑝〉 = 0 
Analogamente: 
〈𝑝2〉 = −
2ℏ2
𝐿
∫ sen (
𝜋𝑥
𝐿
)
𝑑2
𝑑𝑥2
[sen (
𝜋𝑥
𝐿
)] 𝑑𝑥
𝐿
0
 
〈𝑝2〉 =
2𝜋2ℏ2
𝐿3
∫ sen2 (
𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
0
 
BC0104: Int. Atômicas e Moleculares UFABC Resolução da Lista 01 (Geral) v1.3 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/05/13 – pág. 17/17 
〈𝑝2〉 =
𝜋2ℏ2
𝐿3
[∫ 𝑑𝑥
𝐿
0
− ∫ cos (
2𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
0
] 
〈𝑝2〉 =
𝜋2ℏ2
𝐿3
[𝑥 −
𝐿
2𝜋
sen (
2𝜋𝑥
𝐿
)]
𝐿
 
0
 
〈𝑝2〉 =
𝜋2ℏ2
𝐿2
 
 
Assim, temos que: 
𝜎𝑥 = √〈𝑥2〉 − 〈𝑥〉2 
𝜎𝑥 = √𝐿2 (
1
3
−
1
2𝜋2
) −
𝐿2
4
 
𝜎𝑥 = 𝐿√
1
12
−
1
2𝜋2
 
e: 
𝜎𝑝 = √〈𝑝2〉 − 〈𝑝〉2 
𝜎𝑝 = √
𝜋2ℏ2
𝐿2
 
𝜎𝑝 =
𝜋ℏ
𝐿
=
ℎ
2𝐿
 
Logo: 
𝜎𝑥𝜎𝑝 = (𝐿√
1
12
−
1
2𝜋2
)
ℎ
2𝐿
 
𝜎𝑥𝜎𝑝 = (√
1
12
−
1
2𝜋2
)
ℎ
2
>
ℏ
2
 𝑝𝑜𝑖𝑠 2𝜋√
1
12
−
1
2𝜋2
> 1 
	1. (a) Qual é a velocidade de um elétron cujo comprimento de onda é 3,00 𝑐𝑚? (b) Qual a velocidade de um próton com o mesmo comprimento de onda? (c) Qual a razão para obter velocidades que diferem por três ordens de grandeza, uma vez que os comp...
	2. Uma lâmpada de sódio emite luz amarela com comprimento de onda 𝜆=550 𝑛𝑚. Quantos fótons são emitidos por segundo, se a potência da lâmpada for de (a) 1,00 𝑊? e (b) 100 𝑊? (c) Qual o momento linear dos fótons emitidos pela lâmpada de sódio? ...
	3. Considere que a função de onda de um elétron confinado em uma caixa unidimensional de comprimento 𝐿 seja dada por: 𝜓,𝑥.=,cos-,,𝜋𝑥-𝐿... , −𝐿/2≤𝑥≤𝐿/2 𝜓,𝑥.=0 , ,𝑥.>𝐿/2 (a) Essa função de onda é quadraticamente integrável? ...
	4. Em cada caso, mostre que 𝑓,𝑥. é uma autofunção do operador dado. Ache o autovalor:
	5. Mostre que (a) ,0-𝑎-,,sen-2.-,,𝑛𝜋𝑥-𝑎...𝑑𝑥.=,𝑎-2. (b) ,0-𝑎-𝑥,,sen-2.-,,𝑛𝜋𝑥-𝑎...𝑑𝑥.=,,𝑎-2.-4.
	6. a) Mostre que a função de onda 𝛹,𝑥,𝑡.=𝐴,𝑒-,𝑘𝑥−𝜔𝑡.. não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo. b) Mostre que a função 𝛹,𝑥,𝑡.=𝐴,𝑒-𝑖,𝑘𝑥−𝜔𝑡.. satisfaz tanto a equação de Schrödinger dependente do tempo quanto a equa...
	7. Determine (a) ,𝑥. e (b) ,,𝑥-2.. para o segundo estado excitado (𝑛=3) de um poço quadrado infinito.
	8. Uma partícula se encontra em um poço quadrado infinito de largura 𝐿. Calcule a energia do estado fundamental: (a) se a partícula é um próton e 𝐿=0,1 𝑛𝑚, o tamanho aproximado de uma molécula; (b) se a partícula é um próton e 𝐿=1 𝑓𝑚, o tamanho...
	9. Alguns dados para a energia cinética dos elétrons ejetados com função do comprimento de onda da radiação incidente do efeito fotoelétrico para o sódio metálico são:
	10. Calcule ,𝜎-𝑥.=,,,𝑥-2..−,,𝑥.-2.., ,𝜎-𝑝.=,,,𝑝-2..−,,𝑝.-2..e ,𝜎-𝑥.,𝜎-𝑝. para a função de onda do estado fundamental do poço quadrado infinito.