Um primeiro curso em elementos finitos.pdf

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Sumário 
Prefácio ix 
1 Introdução 1 
1.1 
1.2 
Histórico 
Aplicações de Elementos Finitos 
Referências 
1 
6 
8 
2 Aproximação Direta para Sistemas Discretos 9 
9 2.1 
2.2 
2.3 
2.4 
2.5 
2.6 
Descrição do Comportamento de um Elemento de Barra Simples 
Equações para um Sistema 
2.2.1 Equações para Montagem 
2.2.2 Condições de Contorno e Solução do Sistema 
Aplicações a Outros Sistemas Lineares 
Sistemas de Treliças Bidimensionais 
Lei da Transformação 
Sistemas de Treliças Tridimensionais 
Referências 
Problemas 
12 
14 
16 
19 
22 
24 
28 
29 
29 
3 Formulações Forte e Fraca para Problemas Unidimensionais 32 
3.1 Formulação Forte em Problemas Unidimensionais 33 
3.1.1 Formulação Forte para uma Barra Elástica Carregada Axialmente 33 
3.1.2 Formulação Forte para Condução de Calor Unidimensional 35 
3.1.3 Difusão Unidimensional 36 
3.2 Formulação Fraca Unidimensional 37 
3.3 Continuidade 39 
3.4 Equivalência entre as Formulações Fraca e Forte 40 
3.5 Análise de Tensões Unidimensional com Condições de Contorno Arbitrárias 45 
3.5.1 Formulação Forte para Análise de Tensões Unidimensional 46 
3.5.2 Formulação Fraca para Análise de Tensões Unidimensional 47 
3.6 Condução de Calor Unidimensional com Condições de Contorno Arbitrárias 47 
3.6.1 Formulação Forte para Condução de Calor Unidimensional com Condições de 
Contorno Arbitrárias 47 
3.6.2 Formulação Fraca para Condução de Calor Unidimensional com Condições de 
Contorno Arbitrárias · 47 
3.7 Problema de Valor de Contorno com Dois Pontos com Condições de Contorno Generalizadas 48 
3.7.1 Formulação Forte para Problemas de Valor de Contorno com Dois Pontos com 
Condições de Contorno Generalizadas 48 
3.7.2 Formulação Fraca para Problema de Valor de Contorno com Dois Pontos com 
Condições de Contorno Generalizadas 50 
3.8 Advecção-Difusão 50 
3.8.1 Formulação Forte da Equação de Advecção-Difusão 50 
3.8.2 Formulação Fraca da Equação de Advecção-Difusão 5 I 
3.9 Energia Potencial Mínima 52 
3.10 Integrabilidade 55 
Referências 56 
Problemas 56 
4 Aproximação de Soluções Tentativas, Funções Peso e Quadratura de Gauss para 
Problemas Unidimensionais 
4.1 
4.2 
Elemento Linear com Dois Nós 
Elemento Quadrático Unidimensional 
60 
61 
63 
vi SUMÁRIO 
L. 
4.3 
4.4 
4.5 
4.6 
Construção Direta das Funções de Forma em uma Dimensão 
Aproximação das Funções Peso 
Aproximação Global e Continuidade 
Quadratura de Gauss 
Referência 
Problemas 
64 
65 
65 
67 
70 
70 
5 Formulação de Elementos Finitos para Problemas Unidimensionais 72 
5.1 Desenvolvimento da Equação Discreta: Caso Simples 72 
5.2 Matrizes Elemento para Elemento com Dois Nós 76 
5.3 Aplicação a Problemas de Condução e Difusão de Calor 77 
5.4 Desenvolvimento de Equações Discretas para Condições de Contorno Arbitrárias 82 
5.5 Problema de Valor de Contorno com Dois Pontos com Condições de Contorno Generalizadas 87 
5.6 Convergência do MEF 88 
5.6.1 Convergência por Experimentos Numéricos 90 
5.6.2 Convergência por Análises 92 
5.7 MEF para a Equação de Advecção-Difusão 94 
Referências 96 
Problemas 96 
6 Formulações Forte e Fraca para Problemas de Campo Escalar Multidimensionais 102 
6.1 Teorema da Divergência e Fórmula d~ Green 104 
6.2 Formulação Forte 108 
6.3 Formulação Fraca 111 
6.4 A Equivalência entre as Formulações Forte e Fraca 112 
6.5 Generalização para Problemas Tridimensionais 113 
6.6 Formulações Forte e Fraca para Advecção-Difusão Escalar em Regime Permanente 
Bidirnensional 114 
Referências 115 
Problemas 116 
7 Aproximações de Soluções Tentativas, Funções Peso .e Quadratura de 
Gauss para Problemas Multidimensionais 
7.1 Completude e Continuidade 
7.2 Elemento Triangular com Três Nós 
7.2.1 Aproximação Global e Continuidade 
7 .2.2 Elementos Triangul~Jres de Ordem Superior 
7 .2.3 Derivadas de Funções de Forma para o Elemento Triangular com Três Nós 
7.3 Elementos Retangulares com Quatro Nós 
7.4 Elemento Quadrilateral com Quatro Nós 
7 .4.1 Continuidade de Elementos Isoparamétricos 
7 .4.2 Derivadas de Funções de Forma lsoparamétricas 
7.5 Elementos Quadrilaterais de Ordem Superior 
· 7.6 Coordenadas Triangulares 
7.6.1 Elemento Triangular Linear 
7.6.2 Elementos Triangulares Isoparamétricos 
7 .6.3 Elemento Cúbico 
7.6.4 Elementos Triangulares pelo Colapso dos Elementos Quadrilaterais 
7.7 Completude de Elementos lsoparamétricos 
7.8 Quadratura de Gauss em Duas Dimensões 
7.8.1 Integração sobre Elementos Quadrilaterais 
7 .8.2 Integração sobre Elementos Triangulares 
· - ·7 .9 Eementos Tndimensionais --- · 
7.9 .1 Elementos Hexaéd.ricos 
7.9.2 Elementos Tetraédricos 
Referências· 
Problemas 
6 Formulação de Elementos Finitos para Problemas de Campo Escalar 
Multidimensionais 
8.1 
8.2 
8.3 
Formulação de Elementos Fmitos para Problemas de Condução de Calor Bidimensionais 
Verificação e Validação 
Equação de Advecção-Difusão 
Referências 
Problemas 
118 
119 
120 
123 
124 
125 
125 
127 
129 
130 
131 
134 
134 
136 
137 
137 
138 
139 
139 
140 
i4I 
141 
143 
145 
145 
147 
147 
157 
160 
163 
163 
SUMÁRIO vi i 
9 Fonnulação de Elementos Finitos para Problemas de Campo Vetorial -
Elasticidade Linear 167 
9.1 Elasticidade Linear 167 
9.1.1 Cinemática 168 
9.1.2 Tensão e Tração 170 
9.1.3 Equilibrio 171 
9.1.4 Equação Constitutiva 172 
9.2 Formulações Forte e Fraca 173 
9.3 Discretização de Elementos Finitos 175 
9.4 Elemento Triangular com Três Nós 177 
9.4.1 Matriz de Força de Campo do Elemento 178 
9.4.2 Matriz de Força de Contorno 178 
9.5 Generalização das Condições de Contorno 179 
9.6 Discussão 185 
9.7 Equações da Elasticidade Linear em Três Dimensões 186 
Problemas 187 
10 Formulação de Elementos Finitos para Vigas 192 
10.1 Equações de Governo da Viga 192 
10.1.1 Cinemática da Viga 192 
10.1.2 Lei da Tensão-Deformação 194 
10.1.3 Equilíbrio 195 
10.1.4 Condições de Contorno 196 
10.2 Formulação Forte para Formulação Fraca 197 
10.2.1 Formulação Fraca para Formulação Forte 198 
10.3 Discretização de Elementos Finitos 199 
10.3.1 Aproximações da Solução Tentativa e da Função Peso 199 
10.3.2 Equações Discretas 201 
10.4 Teorema da Energia Potencial Mínima 201 
10.5 Observações sobre Elementos de Casca 205 
Referência 208 
Problemas 208 
11 Thtoriais para o Programa Comercial de Elementos Finitos ABAQUS pela 
ABAQUS, Inc. 212 
11.1 Introdução 212 
11.1.1 Exemplo de Condução de Calor em Regime Permanente 212 
11.2 Preliminares 213 
11.3 Criando um Objeto 213 
11.4 Criando uma Definição do Material 215 
11.5 Definindo e Designando Propriedades de Seção 215 
11.6 Montando o Modelo 216 
11.7 Configurando a Análise 216 
11.8 Aplicando uma Condição de Contorno e uma Carga ao Modelo 216 
11.9 Gerando Malhas no Modelo 218 
11.10 Criando e Submetendo um Trabalho para Análise 219 
11.11 Examinando os Resultados da Análise 219 
11.12 Resolvendo o Problema Usando Quadrilaterais 220 
11.13 Refinando a Malha 220 
11.13.1 Curvatura de uma Viga Curta em Balanço 221 
11.14 Copiando o Modelo 221 
11.15 Modificando a Definição do Material 221 
11.16 Configurando a Análise 222 
11.17 Aplicando uma Condição de Contorno e uma Carga ao Modelo 222 
11.18 Gerando Malhas no Modelo 223 
11.19 Criando e Submetendo um Trabalho para Análise 223 
11.20 Examinando os Resultados da Análise 224 
11.20.1 Placa com um Furo sob Tensão 224 
11.21 Criando um Novo Modelo 225 
11.22 Criando um Objeto 225 
11.23 Criando uma Definição do Material 225 
11.24 Definindo e Designando Propriedades de Seção 226 
11.25 Montando o Modelo 227 
-
viíi SUMARIO 
. ' 
11 .26 Configurando a Análise 
11.27 Aplicando uma Condição de-Contorno e uma Carga ao Modelo 
11.28 Gerando Malhas no Modelo 
11.29 Criando e Submetendo um Trabalho paraAnálise 
11 .30 Examinando os Resultados da Análise 
11.31 Refinando a Malha 
12 Programação de Elementos Finitos com MATLAB (no síte www.ltceditora.com.br) 
Apêndice 
A. l Rotação do Sistema de Coordenadas em Três Dimensões 
A.2 Teorema do Produto Escalar 
A.3 Fórmula de Taylor com Resto e o Teorema do Valor Médio 
A.4 Teorema de Green 
A.5 Força em um Ponto (Fonte) 
A.6 Condensação Estática 
A. 7 Métodos de Solução 
Soluções Diretas 
Soluções Iterativas 
Condicionamento 
Referências 
Problemas 
Índice 
227 
227 
229 
230 
231 
231 
232 
232 
233 
233 
233 
235 
236 
236 
237 
238 
238 
239 
239 
---
UM BREVE GLOSSÁRIO DA NOTAÇÃO 
Escalares, Vetores, Matrizes 
a, B Escalares 
a, B Matrizes 
ã,B Vetores 
a,. B u Componentes matriciais ou vetoriais 
Inteiros 
e 
Conjuntos 
Número de pontos nod~is 
Número de elementos 
Número de pontos de Gauss 
Número de nós do elemento 
índice do elemento 
Delta de Kronecker 
V Para todo 
U União 
n Interseção 
E Pertence 
C Está contido 
Espaços, Continuidade 
U Espaço de soluções tentativas 
U0 Espaço de funções peso 
C" Funções cujas /'1""" derivadas em O :S j :S n são 
contínuas 
H' Um espaço de funções com s derivadas do quadrado 
integrável 
Formulações Fortes- Geral 
n Domínio do problema 
f Contorno do domínio 
n = (n,, n) Normal unitário a r(n = :t 1 em lD) 
(x, y) Coordenadas físicas (x em I D) 
A, As Matrizes gradiente e gradiente simétrico 
~ Vetor gradiente 
Formulação Forte- Condução de Calor 
T 
q = (q.,. qy 
rr . 
r, 
s 
q,'t 
D 
k.tr, k . .,. k.rr 
Temperatura 
Fluxo (q em lD) 
Contorno essencial 
Contorno natural 
Fonte de calor 
Fluxo de contorno e temperatura 
Matriz de condutividade 
Condutividades (k em lD) 
Formulação Forte - Elasticidade 
u = (u,, ul Deslocamentos (u em lD) 
ü x, ü)' Vetores tensão agindo sobre os planos normais às 
direções x e y 
e, u Matrizes deformação e tensão (e eu em ID) 
-r Tensor tensão 
e .. , e,., y.rr Componentes de deformação 
fi .... fi,.. fi .rr Componentes de tensão 
b = (b,, bY Forças de campo (bem lD) 
t = (t,, tl Trações 
E, v Módulo de Young e coeficiente de Poisson 
D Matriz módulos do material 
i= (ix, iyf Tração prescrita (f em lD) 
ü = (üx, ü,.l Deslocamentos prescritos (ü em lD) 
r .. r, Contornos essencial (deslocamento) e natural (tração) 
Formulação Forte -Vigas 
u'f (x) Deslocamento em x na linha central 
m(x) Momento interno 
s(x) Força de cisalbamento interna 
p(x) Carregamento distribuído 
I Momento de inércia 
K Curvatura 
u 
é 
Deslocamentos verticais 
Rotações 
PREFÁCIO xl 
m,s 
üy,ê 
r ... r, 
r .. r, 
Momentos prescritos e forças de cisalhamento 
Deslocamentos verticais prescritos e rotações 
Contorno natural: momentos e cisalbamento 
Contorno essencial: deslocamentos verticais e rotações 
Elementos Finitos - Geral 
O• Domínio do elemento e (/'em ID) 
A' Área do elemento e (área da seção transversal em lD) 
xf,yf Coordenadas do nó/ no elemento e 
N', N Matrizes função de forma do elemento e global 
B', B Matrizes derivada da função de forma do elemento e 
v 
v r 
J' 
9',fl' 
w',wl 
~ 
g, 11· gl 
x(g, 1/) 
y(g, 'l'J) 
K E' K,. Ku 
w 
R' 
global 
Matriz reunião 
Matriz com coeficientes dispersos 
Matriz jacobiano 
Soluções tentativas do elemento e global 
Funções peso do elemento e global 
Pesos da quadratura de Gauss 
Coordenada de referência/natural 
Mapeamento da coordenada x 
Mapeamento da coordenada y 
Partição em E e F nós 
Matriz global de funções peso 
Matriz rotação do elemento para o sistema de 
coordenada global 
Elementos Finitos - Condução de Calor 
7.' Temperatura do elemento finito 
d, d' Matrizes de temperatura global e do elemento 
K, K• Matrizes de condutãncia global e do elemento 
f r, rf Matrizes de fluxo de contorno global e do elemento 
f n, fó Matrizes fonte global e do elemento 
r Matriz residual global 
f Matriz de fluxo global 
Elementos Finitos -Elasticidade 
d,d' 
K,K• 
fr,rf 
fn,fó 
f, f' 
r 
Deslocamentos do elemento finito 
Deslocamentos no nó/ do elemento nas direções x e y, 
respectivamente 
Matrizes deslocamento global e do elemento 
Matrizes de rigidez global e do elemento 
Matrizes força de contorno global e do elemento 
Matrizes força de campo global e do elemento 
Matrizes força global e do elemento 
Matriz força de reação global 
Elementos Finitos - Vigas 
u;. Deslocamentos verticais do elemento finito 
d' Matriz deslocamento do elemento 
K, K' Matrizes de rigidez global e do elemento 
f r, fj. Matrizes força de contorno global e do elemento 
fn, fó Matrizes força de campo global e do elemento 
f, f' Matrizes força global e do elemento 
r Matriz força de reação global 
1. 1 HISTÓRICO 
1 
Introdução 
M uitos fenômenos em engenharia e ciências podem ser desctitos em tennos de equações diferenciais parciais. Em geral, solucionar essas equações por meio de métodos analíticos clássicos para geometrias arbitrárias é quase 
impossível. O método de elementos finitos (MEF) é uma aproximação numérica com a qual essas equações dife-
renciais parciais podem ser resolvidas de modo aproximado. Do ponto de vista da engenharia, o MEF é um método 
para resolver problemas de engenharia, tais como análise de tensões, transferência de calor, escoamento de fluidos e 
eletromagnetismo, por simulações de computador. 
Milhões de engenheiros e cientistas em todo o mundo usam o MEF para prever o comportamento estrutural, 
mecânico, ténnico, elétrico e químico de sistemas, tanto na etapa de projeto quanto na de análise de desempenho. 
Sua popularidade pode ser atribuída ao fato de que mais de US$ 1 bilhão é gasto por ano nos Estados Unidos em 
programas de computador sobre MEF e em tempo computacional. Em 1991, uma lista de referências bibliográficas 
(N oor, 1991) foi publicada com cerca de 400 livros sobre elementos finitos escritos em inglês e outros idiomas. Uma 
pesquisa feita na internet em 2006 para a frase "elementos finitos", usando o programa Google, encontrou mais de 
14 núlhões de páginas de resultados. Mackerle (http://ohio.ikp.liu.se/fe)relaciona 578 livros de elementos finitos 
publicados entre 1967 e 2005. · 
Para explicar a base da aproximação do MEF, considere uma placa com um furo, como mostrado na Figura 1.1, 
sobre a qual desejamos encontrar a distribuiÇão de temperatura. É conveniente.escrever uma equação de balanço de 
calor para cada ponto da placa. Contudo, a solução da equação diferencial parcial resultante para uma geometria 
complicada. como a de um bloco de motor, é impossível pelos métodos clássicos, como o da separação de variáveis. 
Métodos numéricos, como os métodos de diferenças finitas, são igualmente muito complicados de aplicar a fonnas 
arbitrárias; os desenvolvedores de programas computacionais não têm comercializado programas com base em 
diferenças finitas capazes de lidar com geometrias complicadas, comumente encontradas na engenharia. De modo 
- --·-------semelhante, a análise-1Je-tensões-requer a solução-de-equações diferenciais pareiais,-que-são-muito difíceis-de-serem 
resolvidas por métodos clássicos, exceto para formas muito simples, como as retangulares, e problemas de engenharia 
raramente têm tais formas simples. 
A idéia básica do MEF é dividir o corpo em elementos finitos, muitas vezes chamados apenas de elementos, conec-
tados por n6s, e obter uma solução aproximada como mostra a Figura 1.1. Esta é chamada de malha de elementos 
finitos e o processo para a sua construção é conhecido como geração da malha. 
O MEF provê uma metodologia sistemática com a qual a solução (no caso do nosso exemplo, o campo de tempe-
ratura) pode ser determinada por meio de um programa de computador. Para problemas lin~s. a solução é deter-
núnada pela resolução de um sistema de equações lineares; o número de incógnitas (que são astemperaturas nodais) 
é igual ao número nodal. Para obter uma solução razoavelmente exata, milhares de nós são geralmente necessários, 
assim os computadores são essenciais para resolver essas equações. Geralmente, a exatidão da solução melhora 
com o aumento do número de elementos (e nós), mas o tempo computacional e, em conseqüência o custo, também 
aumentam. O programa em elementos finitos determina a temperatura em cada nó e o fluxo ~e calor por meio de 
2 CAPITuLO UM 
I 
Placa com um Furo 
Modelo de Elemento Finito 
Elemento Finito 
Triangular 
Modelo Refinado de Elemento Finito 
Figura 1.1 Geometria. cargas e malhas de elementos finitos. 
cada elemento. Os resultados são geralmente apresentados como visualizações computacionais, tais como gráficos 
de contorno, embora os resultados selecionados sejam freqUentemente produzidos em monitores. Essa informação é 
então usada nas etapas do projeto de engenharia. 
A mesma abordagem básica é usada em outros tipos de problemas. Na análise de tensões, as variáveis de campo 
são os deslocamentos; em sistemas químicos, as variáveis de campo são as concentrações das substâncias; e em 
eletromagnetismo, procura-se o campo de potencial. O mesmo tipo de malha é usado para representar a geometria 
da estrutura ou do componente e para desenvolver as equações dos elementos finitos. E para um sistema linear, os 
valores nodais são obtidos por meio da solução de grandes sistemas (de 103 a 106 equações são comuns atualmente, 
e em aplicações especiais, 109) de equações algébricas lineares. 
Este texto é limitado à análise de elementos finitos lineares (AEF). A maioria das análises por elementos finitos 
em projetos de engenharia é, ainda hoje, feita com um MEF linear. Na condução de calor, a linearidade requer que a 
condutância seja independente da temperatura. Na análise de tensões, um MEF linear é aplicável apenas se o compor-
tamento elástico do material for linear e os deslocamentos, pequenos. Essas suposições são .discutidas com mais 
profundidade em outras partes do livro. Em análise de tensões, para muitos estudos de cargas operacionais, a análise 
linear é adequada, pois, em geral. é indesejável trabalhar com cargas que possam conduzir o material ao comporta-
mento não-linear ou a grandes deformações. Para simulações de cargas extremas, tais como cargas de choque e testes 
de perda de componentes eletrônicos, a análise não-linear é necessária. 
9 MEF foi desenvolvido nos anos 1950 pela indústria aeroespacial. Os principais envolvidos foram a Boeing_:_ 
a Bell Aeroespacial (há muito tempo extinta), nos Estados Unidos e a Rolls Royce no Reino Unido. Em 1956, M.J. 
Tumer, R.W. Clough, H.C. Martin e L.J. Topp publicaram um dos primeiros artigos no qual expuseram as principais 
idéias crumer er ai., 1956). Eles estabeleceram os procedimentos de montagem da matriz de elementos e folJl)Ula: 
ções para os elementos que você aprenderá neste livro, mas não usaram o termo elementos finitos. O segundo autor 
desse artigo, Ray Clough, era professor em Berkeley, quando foi à Boeing para um trabalho de verão. Em seguida, 
ele escreveu um artigo no qual foi usado pela primeira vez o termo elementos finitos, e ganhou muitos créditos como 
um dos criadores do método. Ele trabalhou com elementos finitos por poucos anos, e então retomou aos métodos 
experimentais, mas o seu trabalho acendeu uma grande chama em Berkeley, conduzida por jovens professores, prin-
cipalmente E. Wilson e R .L. Taylor e por estudantes de pós-graduação como T.J.R. Hughes, C. Felippa e K.J. Bathe, 
e Berkeley tomou-se o centro de pesquisas em elementos finitos por muitos anos. Essa pesquisa coincidiu com o 
rápido crescimento da potência de computadores, e o método foi rapidamente usado de modo amplo nas indústrias 
de energia nuclear, de defesa, automotiva e aeronáutica. 
Inicialmente, a maior parte da comunidade científica viu o MEF de forma muito céptica, e alguns dos periódicos 
de maior prestígio se recusaram a publicar artigos sobre o método: a típica resistência da humanidade (e, em parti-
~·-:---...--------------------------
lrrtrodução 3 
cular, das comunidades acadêmicas) para o novo. Sem criticar, vários pesquisadores competentes reconheceram logo 
as vantagens do método, mais notadamente, O.C. Zienlàewicz e R.H. Gall~(em..Comell)_O~C-Zienkie.\!licz 
fundou um renomado grupo em Swansea no País de Gales, que incluiu B. Irons, R. Owen e muitos outros que criaram 
conceitos novos, como os elementOS isoparamétricos e os métodos de anális~ não-linear. Outros colaboradores novos 
e importantes foram J.H. Argyris e J.T. Oden. 
Posteriormente, matemáticos descobriram um artigo de f._ourant, de 1943...no qual ele usou elementos triangulares 
com princípios variacionais para .resolver problemas de vibraÇão. Em conseqüência, muitos matemáticos reclamam 
que esta foi a descoberta original do método (isso lembra um pouco a reclamação de que foram os Vlki.ngs que desco-
briram a América, e não Colombo). É interessante que por muitos anos o MEF necessitou de uma base teórica, isso 
é, não havia uma prova matemática de que as soluções por elementos finitos davam a resposta correta. No início dos 
anos 1960, essa área despertou o interesse de muitos matemáticos, que mostraram que, para problemas lineares, tais 
como aqueles que abordaremos neste livro, as soluções por elementos finitos convergem para a solução correta da 
equação diferencial parcial (desde que certos aspectos do problema sejãin suficientemente contínuos). Em outras 
palavras, mostrou-se que se o número de volumes de controle aumentar, as soluções melhoram e tendem, no limite, 
a ser a solução exata das equações diferenciais parciais. ·· 
E. Wilson desenvolveu um dos primeiros programas em eiementos finitos que foi amplamente usado. A rápida 
popularidade se deve ao fato de ele ser livre (gratuito), o que era muito comum no início dos anos 1960, pois o valor 
comercial dos programas não era reconhecido naquela época. O programa era limitado à análise de tensões bidi-
mensional. Ele foi" usado e modificado por muitos grupos acadêmicos de pesquisa e laboratórios industriais e foi um 
instrumento que comprovou a força e a versatilidade de elementos finitos a muitos usuários. 
Então, em 1965. a NASA iniciou um projeto para desenvolver um programa com objetivo. geral em elementos 
finitos com um grupo da Califórnia liderado por Dick MacNeal. Esse programa, que ficou conhecido como NASTRAN. 
i_ncluiu um amplo conjunto de possibilidades, tais como a aríáliSede tensões em duas e trêS dime.ns.õ.es,..em..vig~ 
elementos de casca, para análise de estruturas complexas, como armaduras de avião, e análise de vibra~ões e resp.QS.tas. 
transientes de car~as dinâmicas. A NASA despendeu US$ 3 milhões nesse projet9 (o .equivalente a US$30 milhões 
hoje); O programa inicial foi de domínio público, mas ele tinha muitos problemas. Logo após a finalização do 
progtama, Dick MacNeal e Bruce McCormick fundaram uma empresa que cuidou mais dos problemas do programa, 
comercializando-o para a indústria. Por volta de 1990, o programa foi o cavalo de batalha de grandes empresas, e a 
companhia MacNeal-Schwendler contava com um patrimônio financeiro de US$100 milhões. 
Mais ou menos na mesma época, John Swanson desenvolveu um programa em ele~ntos.finitos.para.a...W.estinghous.e 
Electric Corp. para â análise de reatores nucleares. Em-1-969, Swanson deixou a Westinghouse para lançar no mercado 
um programa chamado ANSYS. O programa tinha capacidade para resolver problemaS lineares e não-!ineare:;, e foi 
logo amplamente adotado por muitas companhias. Em 1996, q~~ti[tomoú-se público, e em 2006 teve uma capi-
talização de US$1,8 bilhão. -' . 
Um outro pacote computacional não-linear de safra mais recente é oLJê-~W~'. Esse pro~ foi PF!!l~k~­
mente desenvolvido no Livermore National Laboratocy pQr John.Hallquist. Em 1989, John Hallquist deixouesse 
iãbõfãtórioifulidõüãSüápiópriã""cõmpãnhia:·a. LTvermoreS-;;~·are and T~hnology, que comercializao programa. 
Inicialmente, o programa tinha apenas capacidade para resolver problemas dinâmicos e não-lineares . .E era usado 
principalmente para ensaios de impactos, laminação de metais e simulações padtões, como teste de perdas. Mas, 
Hallquist rapidamente acrescentou várias capacidades, assim como análises estáticas. Por volta de 2006, a compa-
nhia tinha uase 60 empregados. 
p Q~ foi desenvolvido por uma companhia chamada HKS, uefoi fundada em 1978. O ~a 
co~o objetivo inicial as aplicações não-lineares, mas gradualmente também foram adicionadas capacidades para apli-
cações lineares. O programa foi amplamente usado por pesquisadores, porque HKS introduziu portas no prográma 
e com isso pennitiu que os usuários adicionassem novos modelos e elementos. Em 2005, a companhia foi vendida 
para a Dassault Systemes por US$ 413 milhões. Como se pode notar, 5% das ações dessas companhias geraram um 
belo pé-de-meia.· É por isso que osjovens deveriam sempre pensar em abrir·se~ próprios negócios; geralm~nte, isso 
é muito mais lucrativo e excitante do que trabalhar para uma grande corporação. 
Em muitos projetos industriais, o banco de dados de elementos finitos toma-se um componente-chave do produto 
desenvolvido, pois é usado para uma grande quantidade de diferentes análises, embora em muitos casos a malha 
precise ser moldada para aplicações específicas. Um banco de dados de elementos finitos tem interface com o banco 
de dados CAD*., e é freqUentemente gerado a partir do banco de dados .~. Infelizmente, em ambientes atuais, os 
---- ··------ ----- --dois-são substancialmente-diferentes.-Portanto;-sistemas-de-elemento&finitos-contêm-tradutores; que geram·maihas 
. de ele.mentos finitos a partir do banco de dados CAD; eles podem também.gerar màJ.has de elementos finitos a p~r 
da digitação de dados da superfície analisada. A necessidade de duas bases de dados causa grandes dores de cabeça 
e é um dos maiores obstáculos em análises computacionais atualmente, pois as duas bases não são compatíveis. 
A disponibilidade de uma grande variedade de capacidades de análises em um programa toma possíveis as análises 
de muitos problemas complexos da vida real. Por exemplo, o escoamento em·tomo de um carro e pelo compartimento 
do motor pode ser obtido por um solucionador de equações diferenciais de fluidos, chamado em inglês de compu-
tational fiuid dynamics (CFD). Iss!) permite aos projetistas prever o fator de arrasto e a forma do escoamento no 
compartimento do motor. O escoamento pelo çompartimento do motor é então usado como uma base para os cálculos 
• A sigl_a ÇAJ) significa eril ingl!s Comp<ner Aided Design (em portugues. DeseDho Au)tiliado por Computador). Trata· se de um programa par;t dese· 
nhar objetos planos e tridimensionais, como plantaS arquite!O"nicas, peças de àutomóveis, componentes eletrônicos e produtos em geral. (N.T.) 
4 CAPITULO UM 
da transferência de calor no bloco do motor e no radiador. Esses cálculos levam à distribuição de temperaturas, que 
são combinadas com as cargas, para se obter uma análise de tensões do motor. 
De modo similar, no projeto de um computador ou microdispositivo, as temperaturas nos componentes podem 
ser determinadas pela combinação da análise de fluidos (para o ar escoando em torno dos componentes) e da análise 
de condução de calor. As temperaturas resultantes podem então ser usadas para determinar as tensões nos comp<r 
nentes, tais como nas juntas de soldas, que são cruciais para a vida dos componentes. O mesmo modelo em elementos 
finitos, com algumas modificações, pode ser usado para determinar os campos eletromagnéticos em várias situações. 
Estes são de suma importãncia para a avaliação da operabilidade quando o componente é exposto a vários campos 
eletromagnéticos. 
Em projetos de aeronaves, cargas calculadas por CFD e testes em túnel de vento são usados para prever cargas nas 
armações do avião. Um modelo de elementos finitos é então usado com milhares de casos de carga, que incluem cargas 
em várias manobras, tais como rolamento, • aterrissagem, decolagem e assim por diante, para determinar as tensões 
nas armações da aeronave. Quase todas essas são análises lineares; apenas a determinação da última capacidade de 
carga de uma aeronave reqüer urna 3Jlálise não-linear. É interessante que, nos anos 1980, um famoso professor previu 
que, por volta de 1990, túneis de vento seriam usados apenas como recipientes para guardar os resultados gerados 
pelos computadores. Ele errou em dois pontos: resultados computacionais impressos quase desaparecem completa-
mente, mas os túneis de vento ainda são necessários, pois o escoamento turbulento é tão difícil de ser calculado que 
uma simulação computacional completamente confiável não é factível. 
Processos de fabricação são também simulados por elementos finitos . Assim, a solidificação de um produto fabricado 
por fundição é simulada para assegurar a sua boa qualidade. No projeto de uma lâmina metálica para aplicações, tais 
como em carros e máquinas de lavar, o processo de conformação é simulado para assegurar que a peça possa ser fabri-
cada, submetida.a testes de resistência à flexão e depois de tudo isto ela ainda continue dentro das especificações. 
Procedimentos similares aplicam-se em muitas outras indústrias. De fato, é impressionante como o MEF trans-
formou os escritórios de engenharia nos últimos 40 anos. Nos anos 1960, a maioria dos departamentos de projetos 
de engenharia consistia em uma sala com pranchetas de 1,5 m X 3 m, sobre as quais engenheiros criavam seus 
projetos usando réguas T e outros instrumentos de desenho. As tensões no projeto 'eram estimadas por meio de 
~imples fórmulas, como aquelas que você aprendeu em resistência dos materiais para vigas submetidas a esforços 
de tração, flexão e torção (essas fórmulas ainda são úteis, particularmente para verificar as soluções em elementos 
finitos, porque se estas diferem dessas fórmulas de uma ordem de grandeza, a solução em elementos finitos está, em 
geral, errada). Para verificar o vigor de um projeto, fabricavam-se e testavam-se protótipos. Naturalmente, os protó-
tipos são usados ainda hoje, mas principalmente nos últimos estágios de um projeto. Assim, a análise por elementos 
ftnitos-AEF, conduziu a uma tremenda redução no tempo do ciclo de um projeto, e o uso eficaz desse instrumento é 
crucial para a competitividade de muitas indústrias. 
A pergunta que pode lhe ocorrer é: por que o MEF causou enormes mudanças? Indubitavelmente, o principal fator 
foi o aumento exponencial na velocidade dos computadores e o declínio ainda maior no preço dos recursos compu-
tacionais. A Figura 1.2 mostra a velocidade dos computadores, começando com o primeiro computador eletrônico, o 
ENIAC, em 1945. A velocidade do computador aqui é medida em megaftops, um termo bastante arcaico que signi-
fica milhões de operações de pontos flutuantes por segundo (nos anos 1960, multiplicar números reais foi chamado 
de operações de ponto flutuante). 
O ENIAC foi desenvolvido em 1945 para gerar tabelas balísticas. Ele ocupava 550 m1 e empregava 17.468 válvulas 
eletrônicas. Ainda assim, a sua potência computacional era uma fração de uma calculadora de US$ 20. Só depois dos 
anos 1960 é que os computadores tiveram potência suficiente para fazer razoavelmente bem os cálculos com elementos 
finitos. Por exemplo, o Control Data 6600, de 1966, o computador mais potente dessa época, podia tratar cerca de 
10.000 elementos em várias horas; hoje, um PC faz esse cálculo em questão de minutos. Esses computadores não 
eram apenas lentos, como também tinham muito pouca memória: c CDC 6600 possuía 32 KB de memória de acesso 
aleatório, que tinha de acomodar a operação do sistema, o compilador e o programa. 
Como pode ser visto na Figura 1.2, o aumento da potência computacionalfoi linear em uma escala logarítmica, 
indicando uma progressão geométrica na velocidade. Essa progressão geométrica foi publicada primeiramente por 
Moore, um dos fundadores da Intel, nos anos 1990. Ele percebeu que o número de transistores que podiam ser compac-
tados em um chip, e daí a velocidade dos computadores, dobrava a cada 18 meses. Isso ficou conhecido como lei de 
Moore e, notavelmente, ela é válida até hoje. 
A partir deste gráfico, você pode ver que a velocidade dos computadores aumentou cerca de oito unidades da 
escala gráfica nos últimos 40 anos. Contudo, a melhora é até mais drástica, se for vista em termos de custo com a 
inflação da moeda corrigida. Isso pode ser observado na Tabela 1.1, que mostra o custo de vários computadores de 
1968 a 2005,junto com uma aplicação na Northwestem, alguns salários, os preços de um carro médio e de um carro 
de luxo (nas linhas debaixo). Pode-se ver que o preço da potência computacional diminuiu de um fator de mais de 
100 de 1968 a 2006. Durante esse tempo, o valor da moeda norte-americana diminuiu de um fator de cerca de 10, 
e o custo da potência computacional diminuiu de um fator de um bilhão! Uma piada amplamente difundida, que 
teve origem na Microsoft, diz que, se a indústria automobilística tivesse feito o mesmo progresso que a indústria de 
computadores nos últimos 40 anos, um carro deveria custar menos de um centavo de dólar. A indústria automobilís-
tica contestou dizendo que se a indústria de computadores projetasse e fabricasse carros, estes bloqueariam várias 
vezes por dia e você precisaria apertar o botão para parar o carro (e muitas outras besteiras assim). Sem dúvida, a 
• •Pequen~ rotaç~o de um ~vião em tomo de seu próprio ei~o longitudin~l. (N.T.) 
106 
lo' 
., lol 
.......... 
.. ., 
-= Q. 
·- o gc:; 
~6 
10-2 
l<r-4 
l<JÓ 
1950 1960 1970 
Anos 
1980 
• CRAYC90 
1990 
Figura 1.2 Evolução histórica da velocidade dos computadores. 
Introdução 5 
• PC 
2000 
eletrônica de chips é uma área onde houve uma tremenda melhora no preço e no desempenho, e isso mudou nossas 
vidas e a prática em engenharia. · · 
O preço de um programa computacional em elementos finitos também diminuiu, mas só um pouco. Nos anos 
1980, as taxas corporativas de uso de programas NASTRAN eram da ordem de US$200 mil a US$ 1 milhão. Ati 
uma peql.!ena empresa teria de pagar na ordem deUS$ 100 mil. Hoje, um programa NASTR.AN ainda custa cerca de 
US$65 ~por inst,alação, o custo do ABÀQUS começa em US$ 10 mil e o LS-DYNA custa US$ 12 mil. Felizmente, 
todas essas" companhias fazem versões disponíveis para estudantes por muito menos. A versão para estudante do 
ABAQUS é livre na compra deste livro; uma licença universitária para o LS-DYNA custa US$ 500. Assim, hoje 
você pode resolver problemas. em elementos finitos· no seu PC tão amplamente quanto aqueles resolvidos por super-
computadores nos anos 1990. 
Como as pessoas vivenciaram o rápido crescimento das possibilidades em engenharia ocasionado por compu-
tadores nos anos 1980, muitas previsões fantasiosas foram aventadas. Uma estória da Costa Oeste contava que, 
no século seguinte (este que estamos vivendo agora), quando um engenheiro fosse trabalhar usaria um capacete 
capaz de ler os seus pensamentos. O engenheiro então pegaria o esboço do projeto a ele conferido e visualizaria a 
solução. O computador geraria um banco de dados e uma tela, a qual o engenheiro modificaria com poucos reto-
ques de sua caneta laser e "alguns pensamentos. Uma vez que o engenheiro considerasse o projeto visualmente 
satisfatório,· ele então pensaria na 'análise PelO MEF', o que lev"aria o computador a gerar uma malha e uma tela 
de ten~ões. Ele então me?'eria em poucos lugares do p.rojeto, usandÓ uma caneta la5er ou a sua mente, e refaria 
algumas análises, até que o projeto ficasse bom. Então, o engenheiro apertaria um botão, um protótipo cairia na 
sua frente e ele poderia ir.surfar. 
~om, isto não aconteceu. Hoje, de fato, a construção de malhas consome ~a significativa parte do tempo da 
engenharia. e. é freqüentemente tediosa e causa muitos atrasos no processo do projeto. Mas a qualidade dos produtos 
. . , ' 
Tabela 1.1 Custos de alguns computadores e itens selecionados para uma estimativa de dólar sem inflação (de Hughes-Belytschko 
Curso Breve de MEF Não-Linear). 
Computador CDC 6600 (0,5-1 Mftop) 
Computador 512 Beowulf cluster (2003) 1 Tftop 
PC (200-1.600 Mflops) 
Salário inicial de um Engenheiro Mecânico nos Estados Unidos 
Salário inicial de um Professor Assistente de Engenharia nos Estados Unidos 
Um ano de. aplicação na Northwestem 
Carro sedan GM, Ford ou Ctuysler 
Carro Mercedes SL 
Diminuição real de custo da potência computacional 
Alguns valores slio aproximados 
1968 
US$ 8.000.000 
USS 9.000 
uss 11.000 
US$ 1.800 
uss 3.000 
uss 7.000 
Custo 
2005 
US$500.000 
uss 500-3.000 
USS 51.000 
US$75.000 
uss 31.789 
uss 22.000 
USS90-120K 
107 para 101 
6 CAPíTULO UM 
que podem ser projetados com a ajuda do CAD e do MEF é bastante surpreendente, e pode ser feita muito mais 
rapidamente do que antes. A próxima década assistirá provavelmente algumas importantes mudanças, e, em vista 
do risco de. previsões, não faremos nenhuma, mas indubitavelmente o MEF exercerá um papel em sua vida em tUdo 
o que você fizer. 
1.2 APLICAÇÕES DE ELEMENTOS FINITOS 
Na seqüência, daremos alguns exemplos de aplicações de elementos finitos . A faixa de aplicaÇões de elementos finitos 
é muito ampla para listar, mas para dar uma idéia da sua versatilidade listamos as seguintes: 
a. análise de tensões e térmica de peças industriais tais como chips eletrônicos, dispositivos elétricos, válvulas, tubos, 
vasos de pressão, motores automotivos e aeronáuticos; 
b. análises sísmicas de represas, plantas de potência, cidades e arranha-céus; 
c. análise de impacto de carros, trens e aeronaves; 
d. análise do escoamento de líquidos refrigerantes, poluentes e contaminantes1 além de ar em sistemas de venti-
lação; 
e. análise eletromagnética de antenas, transistores e componentes de aeronaves; 
f. análise de procedimentos cirúrgicos, tais como cirurgias plásticas, reconstrução maxilar, correção de escoliose e 
muitas outras. 
Esta é uma lista muito pequena que dá a você apenas uma idéia da amplitude das áreas de aplicação do método. 
Novas áreas de aplicação estão constantemente surgindo. Assim, há poucos anos, a comunidade médica ficou muito 
excitada com as possibilidades de uma medicina preventiva para pacientes específicos. 
Uma aproximação em medicina preventiva tem por objetivo usar a visualização médica e o monitoramento de 
dados para construir um modelo de.u.ma parte da.anatomia e da fisiologia de um indivíduo. Por exemplo, a Figura 
1.3(a) mostra uma mão ferida e uin modelo de elementos finitos. Esse modelo pode ser usado para planejar o proce-
dimento cirúrgico e aperfeiçoar a sutura do local. 
Modelos de coração, como aquele mostrado na Figura 1.3(b), são ainda tópicos preliminares de pesquisa, mas 
espera-se que eles sejam usados para projetar substituições de válvulas e muitos outros procedimentos cirúrgicos. 
Uma outra área em que elementos finitos foram usados por um longo período de tempo é o projeto. de próteses,. tais 
como mostrado na Figura 1.3(c). A maioria dos. projetos de próteses ainda é genérica, isto é, uma simples prótese é 
projetada para todos os pacientes com algumas variações no tamanho. Contudo, com a medicina preventiva, é ainda 
possível analisar as características de um paciente em particular tais como andadura, estrutura óssea e muscular, e 
chegar a um projeto ótimo de uma prótese. 
A AEF de componentes estruturais reduziu significativamente o tempo do ciclo de um projeto e realçou a quali-
dade geral do produto. Por exemplo, na indústria automobilística, a AEF linear é usada em análise de acústicapara 
reduzir barulhos no interior do carro, para análise de vibrações, para melhorar o conforto, para otimizar a rigidez do 
chassi e para aumentar o tempo de vida por fadiga dos componentes da suspensão no projeto do motor, de modo que 
as temperaturas e tensões sejam aceitáveis, e em muitas outras tarefas. Já mencionamos anteriormente análises em 
CFD do bloco e dos compartimentos do motor. Os MEF usados nessas análises são exatamente como os descritos neste 
livro. A AEF.não-linear é usada para análise de impactos com modelo tanto para o carro quanto para os o.cupantes; um 
modelo em elementos finitos para análise de impacto é mostrado na Figura 1.4(a) e um modelo em elementos finitos 
para análise da previsão de rigidez é mostrado na Figura 1.4(c). Observe o extraordinário detalhamento do último; 
esses modelos ainda necessitam de centenas de horas de trabalho para serem desenvolvidos. A importância de tal 
modelagem é que o número de protótipos necessários no processo de projeto pode ser reduzido significativamente. 
(a) (b) 
Figura 1.3 Aplicações em medicina preventiva. (a) Malha de cobertura de um modelo de mão perto da ferida.' (b) Seção transversal de modelo de. coração.2 (c) 
Porção do quadril. para: substituição: objeto físico e modelo em elementos finitos.3 
'Com permissão de Mimic Technologies. 
'Conesia de Chandrajit Bajaj, Universidade do Texas em Austin. • 
3Conesia de Engineering Ditectorate, Lav.,.enc·e Livennore National Laboratory. 
Introdução 7 
(3) 
Figura 1.4 Aplicações em projeto de avião e segurança contra impactos de veículo: (a) modelo em elementos finitos para impacto do Ford Taurus;) (b) modelo 
em elementos finitos da fuselagem do C-130, empenagem e centro de massa• e (c) escoamento em tomo de um carro.' 
A Figura l.4(b) mostra um modelo em elementos finitos para um avião. No projeto de urna aeronave, é impe-
rativo que as tensões incursas de milhares de cargas, algumas muito raras, algumas repetitivas, não conduzam a 
uma falha catastrófica ou por fadiga. Antes da disponibilidade da AEF, tal projeto seguia um processo evolutivo 
pesado (em que os novos projetos baseavam-se nos antigos), como a realização de testes para todas as cargas. 
Isso não é prático. Com a AEF, é possível fazer muitas mudanças no projeto estrutural, assim como em direção a 
materiaís compósitos. 
Em uma veia completamente diferente, elementos finitos também desempenluim um amplo papel na criação de 
leis ambientais e na redução de danos ao meio ambiente. Por exemplo, a Figura 1.5 é uma visualização da dispersão 
de um aerossol químico no meio de Atlanta, obtida por AEF; a concentração de aerossol é representada por cores, 
coin a maior concentração em vermelho. Observe que a topografia complexa desta área em virtude dos arranha-
céus, a qual é crucial para a determinação da dispersão, pode ser tratada detalhadamente por essa análise. Outras 
áreas de redução de danos, na qual a AEF oferece grandes possibilidades, dizem respeito à modelagem de terre-
motos e às respostas sísmicas de construções, as quaís estão sendo usadas para melhorar a resistência sísmica das 
construções, a modelagem dos efeitos do vento sobre as estruturas e a dispersão de calor proveniente das chaminés 
de usinas de eletricidade. Essa dltima, como a dispersão de aerossóis, envolve a equação de advecção-difusão, que 
é um dos tópicos deste livro. A equaÇão de advecção-difusão também pode ser usada para modelar a dispersão de 
drogas no corpo humario. Naturaimente, a aplicação dessas equações para esses diferentes tópicos envolve extensa 
modelagem, que é o valor adicionado por engenheiros com experiência e conhecimento, e constitui o tópico de 
validação, que é tratado nos Capítulos 8 e 9. 
Figura 1.5 Dispersão de agentes químicos e biológicos em Atlanta. As cores vermelha e azul representam os níveis maiores e menores da 
concentração de contaminantes.' 
'Cortesia de Engineering Directorate. Lawrencc Livennore National Laboratory. 
'Cortesia de Mercer Engineering Research Center. 
'Cortesia de Marlc Shephanl, Rensselaer. 
'Cortesia de Shahtouz Ali:lbadi. 
8 CAPITULO UM 
Álgebra Matricial e Programas de Computador 
REFERÊNCIAS 
Recomenda-se que os estudantes se familiarizem com álgebra matricial e programação antes de se dedicarem a este 
livro. Uma introdução em álgebra matricial e aplicações em MATLAB é dada em um capítulo em versão eletrônica 
(Capítulo 12) que' está disponível no endereço www. wileyeurope/college!Fisb. 
Essa página eletr9nica também inclui o programa MATLAB, que é mencionado neste livro, e outros programas 
MA1LAB para análise em elementos finitos. Escolhemos usar uma versão eletrônica de capítulo para este mate-
rial para fornecer uma opção de atualização desse material em MATI.AB e para fazer a mudança de programas. 
Convidamos os leitores que desenvolveram outros programas em elementos finitos no MATLAB a entrar em contato 
com o primeiro autor (Jacob Fish) sobre a inclusão de seus programas. Também criamos um blog, onde estudantes e 
professores podem trocar idéias e programas alternativos em elementos finitos. Esse fórum de debates é apresentado 
em http://lcoursefem.blogspot.com/ 
Courant, R. (1943) Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations. Bull. Am. Mcuh. 
Soe., 42, 2165-86. 
Mackerle, J. Linkoping lnstirute of Technology, S-581 83 Linkoping, Sweden, http://ohio.U..']l.liu.se/fe 
Noor, A.K. (1991) Bibliography of books and monographs on tini te element technology. Appl. Meeh. Rev., 44 (8), 
307-17. 
Tumer. MJ., Clough, R.W., Martin, H.C. and Topp, LJ. (1956) Stiffness and deftection analysis of complex 
structures. J. Aeronaut. Sei., 23, 80.5-23. 
2 
Aproximação Direta para 
Sistemas Discretos 
o método de elementos finitos (MEF) consiste nos seguintes cinco passos: 
1. Pré-processamento: subdivisão do donúnio do problema.em elementos finitos. 
2. Formulação dos elementos: desenvolvimento de equações para os elementos. 
3. Montagem: obtenção do sistema global de equações a partir das equações individuais dos elementos. 
4. Resolu~ão das equações. 
5. Pós-processamento: determinação de valores de interesse, tais como tensões e deformações, e a obtenção da visu-
alização das respostas. 
O passo 1, a subdivisão do domínio do problema em elementos finitos em ambiente de engenharia auxiliada por 
computadores (CAE) atuais, é executado automaticamente por geradores de malhas. Para problemas de treliças, tais 
como o mostrado na Figura 2.1, cada membro da treliça é representado por um elemento finito. O passo 2, a descrição 
do comportamento de cada elemento, gerabnente exige o desenvolvimento das equações diferenciais parciais para 
o problema e a sua formulação fraca. Isso será o principal objetivo dos próximos capítulos. Todavia, em situações 
simples, tais como sistemas de molas ou treliças, é possível descrever o comportamento de um elemento diretamente, 
sem a consideração de uina equação diferencial parcial de governo ou a sua formulação fraca. 
Neste capítulo, colocaremos em evidência o passo 3, como combinar as equações que governam os elementos 
individuais para obter as equações do sistema. Os elementos das equações são expressos na forma matricial. Antes 
disso, desenvolvemos algumas matrizes de elementos finitos simples para conjunto de molas e treliças, o passo 2. 
Também introduzimos os procedimentos para o pós-processamento de resultados. 
2.1 DESCRIÇÃO DO COMPORTAMENTO DE UM ELEMENTO DE BARRA SIMPLES 
Uma estrutura de treliça, como a mostrada na Figura 2.1, consiste em uma coleção de elementos delgados, freqUen-
temente chamados de barras. Esses elementos de barra são considerados suficient~mente finos, de modo que apre-
sentam resistência à torção, dobragem e cisalhamento desprezíveis. Conseqüentemente, as forças de dobragem, de 
cisalhamento e de torção sãoconsideradas inexistentes. As únicas forças internas importantes em barras são as forças 
axiais internas, de modo que o comportamento desses elementos é similar a0 das molas. Alguns dqs elementos de 
barra na Figura 2.1 estão alinhados h~rizontalmente, enquanto outros estão posicionados em um ângulo arbitrário tf>, 
como mostrado na Figura 2.2(b). Nesta seção, mostramos como relacionar forças internas nodais, agindo em nós, 
para os deslocamentos Mdais correspondentes, denotados por (F-1, F;) e(~. u;>. respectivamente, para a barra unidi-
mensional mostrada na Figura 2.2(a). Em duas dimensões, as forças nodais de um elemento são (F~ •• F~ ... F;,, F;) e 
os deslocamentos nodais são (~ •• u~ ... u'lz, u;,). 
10 CAPITULO DOIS 
Figura 2.1 Uma ponte àe treliças. 
Notação . Em todas as partes deste livro-texto, a seguinte notação é usada. Os índices referentes ao elemento 
aparecem como sobrescritos. Os índices àos nós aparecem como subscritos; quando a variável é um vetor com 
componentes. a indicação da componente vem depois do índice do nó. Quando a variável tem apenas um elemento 
sobrescrito, então o índice do nó é uma indicação local; caso contrário, ela é um índice do nó global. A distinção entre 
índice do nó local e global será descrita depois desta seção. Por exemplo, u~: é a componente y do deslocamento do 
nó 2 do elemento 5. Iniciaremos considerando elementos alinhados horizontalmente na Seção 2.1. Problemas bidi-
menslonais serão considerados na Seção 2.4. 
Considere um elemento de barra posicionado ao longo do eixo x, como mostrado na Figura 2.2(a). A forma da 
seção transversal é bastante arbitrária, como mostrado na Figura 2.3. Neste capítulo, consideraremos que a barra é 
inflexível, seu material obedece a lei de Hooke e que pode suportar apenas carregamento axial, isto é, ela não trans-
mite esforços de dobramento, cisalhamento e torção. O módulo de Young do elemento e será denotado por E', a sua 
seção transversal por A' e o seu comprimento por/'. 
Por causa das suposições sobre as forças no elemento, a única força interna é uma força interna axial, que é coli-
near com o comprimento do eixo da barra. A força interna através de alguma seção transversal da barra é denotada 
por p'. Supõe-se que a tensão axial é constante na seção transversal e é dada pela força interna dividida pela área de 
seção transversal. 
p• 
u' =-A' 
A força e a tensão axial são positivas na tração e negativas na compressão. 
As seguintes equações governam o comportamento da barra: 
1. Equihôrio do elemento, isto é, a soma das forças internas nodais atuando no elemento é igual a zero: 
F1 +Fi= o. 
{2.1) 
(2.2) 
2. A lei da tensão-deformação elástica, conhecida como lei de Hooke, que estabelece que a tensão O' é uma função 
linear da deformação e': 
a• =E' e'. (2.3) 
3. A deformação da estrutura deve ser compaúvel, isto é , fendas ou sobreposições não se podem desenvolver na 
estrutura depois da deformação. 
É importante reconhecer a diferença entre a convenção de sinal para a força interna axial (e para a tensão) e aquela 
para as forças internas nodais. A força interna p' é positiva na tração e negativa na compressão, isto é, p' é positiva 
quando aponta para fora da superfície sobre a qual está agindo; as forças internas nodais são positivas quando elas 
apontam na direção positiva x e não são associadas com superfícies (veja Figura 2.4 ). 
~·~ ~. ~ 
-..=------=>+ . I 2 
(:I) (h) 
Figura 2.2 Diferentes configurações de elementos de barra: (a) barra alinhada horizontalmente e (b) elemento de barra posicionado sob um ângulo arbitrário 
em duas dimensões (veja Seção 2.4). 
'· ,. 
' 
' · 
Aproximação Direta para Sistemas Discretos 11 
T 
Figura 2.3 Ex~ pios de seções transversais de 'um elemento de barra 
. . . 
Também necessitaremos de uma definição de defonnação para aplicar-se a lei de Hooke. Apenas a deformação axial 
e• é diferente de zero, sendo definida como a razão entre a elongação f/ pelo comprimento original do elemento: 
ó• 
e• =F· (2.4) 
.Agora, desenvolveremos a matriz de rigidez do elemento, que relaciona forças internas nodais dos elementos aos 
deslocamentos nodais do elemento. A matriz de força interna do elemento é denotada por F" e a matriz de desloca-
mento do elemento por d•. Para esse elemento de dois nós, essas matrizes são dadas por: 
~= [~]. d.- [~1 
- "2J' 
A matriz K• de rigidez do elemento que relaciona essas matrizes será agora desenvolvida. A matriz é obtida pela 
aplicação da lei de Hooke, das equações de tensão-deformação e das condições de equih'brio: 
Fi = p' =A' cr definição de tenSão (Equação [2. i)) 
= A'f:t' 
= A~e 6' 
e• 
lei de Hooke <E<l:uação [2.3)) 
definição de deformação (Equação [2.4]) 
A elongação de um elemento pode ser expressa em termos dos deslocamentos nodais (veja ;Figura 2.4) por: 
ó' = UÍ- u~, 
que é obtida assim: como z:_ = I• + u; + u~. então de f/ = I:_, ~ l', segue (2.6). 
(2.5) 
(2.6) 
N~te que quando u; = u;, que corresponde à translação de corpo rígido, a elongação desaparece. A substiruição 
d.e (2.6) em (2.5) fornece: · 
onde k' é dado por 
A'E" fé=-. z• 
:Oa condição de equilíbrio do elemento de barra (2.2) e (2. 7), segue-se que 
Ff =-Fi= ~<"i- &4). 
As Equações (2.7) e (2.9) podem ser escritas na forma matricial como 
[Fj] = [ k' -k'] ["i] f~ -k' k' z4 . 
......_....... _____......._....... 
--- -r - - ----K•- - d" 
jc I' ...... )oi 
~/I 22l4 , lo c · p' p• 
I c u• I r )oi u• 1 
F{ 
9-+ 
F1gura 2.4 Elongação de um elemento e diagramas de corpos livres, mostrando o sentido positivo de p' e F;. 
.~ . . 
(2.7) 
(2.8) 
(2.9) 
(2.10) 
12 CAPITULO DOIS 
Usando as definições assinaladas, podemos escrever a relação entre as forças nodais e os deslocamentos nodais 
como 
F'= K•d•, , [ ~ -~] A'E' [ I onde K = -~ ~ = T - l -1] 1 . (2.11) 
Aqui, K• é a chamada matriz de rigidez do elemento. Podemos usar essa rigidez do elemento para alguma área constante 
do elemento de barra em uma dimensão. Essa universalização das matrizes de rigidez do elemento de barra é um dos 
atributos do MEF que leva à sua versatilidade: para qualquer elemento de barra com área constante A' em uma dimensão, 
a Equação (2.11) fornece a matriz de rigidez. Depois, desenvolveremos matrizes que se aplicarão a qualquer elemento 
triangular ou quadrilateral com base na solução fraca de equações diferenciais em vez de usar argumentos físicos. 
A Equação (2.10) descreve a relação entre as forças nodais e os deslocamentos para um elemento simples, isto 
é, descreve o comportamento de um elemento. Observe que isto é uma relação linear: as forças nüdais são linear-
mente relacionadas com os deslocamentos nodais. Essa linearidade surge da linearidade de todos os ingredientes 
que descrevem esse comportamento do elemento: a lei de Hooke, a linearidade entre as forças e tensões axiais e a 
linearidade da expressão para a deformação. 
Uma característica importante da matriz de rigidez do elemento é que ela é simétrica, isto é, K' = KtT. 
2.2 EQUAÇÕES PARA UM SISTEMA 
O objetivo desta seção é descrever o desenvolvimento das equações para o sistema completo de matrizes de rigidez 
dos elementos. Introduziremos as operações de dispersão dos coeficientes e de montagem das matrizes que são usadas 
para esse propósito. Essas são usadas em todas as partes do MEF, inclusive nos problemas mais complexos, assim, 
o domínio desse procedimento é essencial ao aprendizado do MEF. 
Descreveremos o processo de desenvolvimento dessas equações por meio de um e:~Cemplo. Para isso, considere o 
sistema· de duas barras mostrad9 na Figura 2.5, que também dá as propriedades dos materiais, das cargas e as condi-
ções de apoio. Em um· dos apoios, o deslocamento é um valor dado; nós o especificaremos depois. Os deslocamentos 
nodais e as forças nodais são positivas na direçãopositiva x. 
O primeiro passo na aplicação do MEF é dividir a estrutura em elementos. A seleção e geração de uma malha para 
modelos em elementos finitos é um tópic9 e:~Ctenso que será discuúdo em capítulos subseqüentes. No caso de uma 
estrutura discretizada como esta, é necessário apenas colocar nós onde as cargas estão aplicadas e em pontos onde 
as propriedades da seção ou do material mudam; assim, a malha do elemento finito constituída dos dois elementos 
mostrados na Figura 2.5(b) é adequada. 
Os elementos são numerados por 1 e 2, e os nós são numerados de 1 a 3; nem os nós nem os elementos necessitam 
ser numerados em urna ordem específica no MEF. Comentaremos sobre a numeração de nós na Seção 2.2.2. Em cada 
nó, ou as forças externas ou os deslocamentos nodais são conhecidos, mas não os dois; por exemplo, no nó 1 o deslo-
camento u1 = u1 é prescrito, por isso a força a ser subseqüentemente referida como reação r1 é desconhecida. Nos nós 
2 e 3 as forças externas.!; e.t; são conhecidas, e por isso os deslocamentos u2 e u3 são desconhecidos. 
Para cada elemento mostrado na Figura 2.6, as forças internas são relacionadas com os deslocamentos por meio 
da matriz de rigidez dada na Equação (2.11 ). 
As equações de rigidez dos elementos, obtidas na Seção 2.1.1, são repetidas aqui por conveniência (e:::: 1, 2): 
F' = K''d'" ou [ F1] = [ k'.r Fí . -/.; (2.12) 
As equações do sistema global serão construídas forçando-se a compatibilidade entre as condições de equillôrio dos 
elementos e dos nós. 
Para desenvolver o sistema de equações, escreveremos as equações de equilíbrio para os três nós. Com essa fina-
lidade, construímos diagramas de corpo livre dos nós mostrados na Figura 2.7(c). Observe que as forças sobre os 
elementos são iguais e opostas às forças correspondentes sobre os nós pela terceira lei de Newton. 
(a) 
(b) cC:JG•';.•u.l~rz •• t;. .• u~.tr'í· ü, 
3 (1 l 2 (2) I 
Figura 2.5 (a) Estrurura constituída de duas barras e (b) modelo de elemento finito (os números dos elementos estão entre parênteses). 
·---· ------------------------
Aproximação Direta para Sistemas Discretos 13 
r.", ... ~·· ,,, ·~·'': 
Figura 2.6 Separação da estrutura da Figura 2.5 em dois elementos. 
(2.13) 
Cada linha da equação matricial anterior é uma equação de equilíbrio de um nó. No lado direito estão as forças 
externas aplicadas e as reações, que são dispostas na matriz f e r, respectivamente. A matriz f consiste nas forças 
externas prescritas (conhecidas) nos nós,f2 ef3, a matriz r consiste na força desconhecida no nó 1, denotada 
por r1• . •• 
A equação anterior pode ser resumida assim: a soma das forças internas dos elementos é igual à soma das forças 
externas e das reações. Isso difere um tanto da bem conhecida condição de equillbrio na qual a soma das forças em 
um ponto precisa anular-se. A razão para essa diferença é que as forças nodais dos elementos, que são forças que 
aparecem na matriz de rigidez do elemento, atuam sobre os elementos. As forças exercidas pelos elementos sobre 
os nós são iguais e opostas. 
Note que as forças dos elementos são indexadas com os subscritos 1 e 2; esses são fndices nodais locais. Os nós 
da malha são os fndices nodais globais. Os índices nodais locais de um elemento de barra são sempre os ntlmeros 
1 e 2, na direção positiva x. Os índices globais nodais são arbitrários. Os índices nodais globais e locais para este 
exemplo são mostrados na Figura 2.7(a) e (b), respectivamente. 
Usaremos agora as equações de rigidez do elemento para expressar as forças nodais internas do elemento (lado 
esquerdo da Equação [2.13]), em termos dos deslocamentos nodais globais do elemento. 
Para o elemento), os índices nodais globais são os ntlmeros 2 e 3, e a equação de rigidez (2.12) fornece 
(2.14) 
Note que substituímos os deslocamentos nodais por deslocamentos nodais globais. Tal substituição força a compa-
tibilidade, pois assegu.-a que os deslocamentos de elementos com nós comuns fiquem idênticos. 
Para o elemento 2, os índices nodais globais são 1 e 2, e a equação de rigidez (2.12) fornece 
[ ~1::] = [ ~~~~) 1;~> ][ :~]. (2.15) 
As expressões anteriores para forças nodais internas não podem ser substituídas diretamente no lado esquerdo da 
Equação (2.13), porque as matrizes não são do mesmo tamanho. Por isso, ampliamos as matrizes de força interna em 
(2.14) e (2.15) acrescentando zeros; similarmente, ampliamos as matrizes de deslocamento. Os termos ~s matrizes 
de rigidez dos elementos em (2.14) e (2.15) são rearranjados e a matriz é ampliada ainda mais do que as outras e 
zeros são adicionados onde esses termos não t!m efeitos. Os resultados são 
-~ ~ 
(a) a. .. .-~~ ...... ú~-4 
(b) 
t 
?." ~ (c)~ 
2 
Figura 2.7 Diagramas de corpo livre dos nós e dos elementos (as forças externas são mostradas acima dos nós, mas atuando na mesma linha): (a) sistema 
completo com os índices globais. dós nós; (b) diagramas de corpo livre dos elementos com os índices locais dos nós, e (c) diagramas de corpo livre dos nós. 
14 CAPITULO DOIS [),·· l = [~ o -~(') l [ :: l :F10 = :K11> d . k(l) ou (2.16) F<t> -k{l) k{l) U3 ~ ...____.... 
F(tl :K!tl d 
Observe que adicionamos uma linha de zeros na linha 1 correspondente à força do nó 1, de modo que o elemento 1 
não exerce força sobre o nó 1, e uma coluna de zeros na coluna 1, de modo que o deslocamento do nó 1 não afeta o 
elemento 1 àiretamente. De modo similar, uma equação ampiiada para o elemento 2 é 
ou (2.17) 
As matrizes nas equações anteriores são agora do mesmo tamanho que na Equação (2.13) e podemos substituir as Equações (2.16) e (2.17) pela Equação (2.13) para obter 
ou na forma matricial 
(2.18) 
Essa expressão representa o conjunto das equações de rigidez e a variável entre parênteses é o conjunto das matrizes de rigidez, que nesse caso é dado por 
(2.19) 
A matriz de rigidez K é singular, como pude facilmente ser visto pelo cálculo do determinante. Para obter um sistema solucionável, as condições de contorno devem ser prescritas. 
Resumiremos agora o que fizemos para obter a matriz de rigidez global. Primeiramente, expandimos as matrizes de rigidez, dispersando os seus coeficientes acrescentando zeros aos espaços vagos. As novas matrizes assim obtidas 
são de tamanhos iguais, de acordo com o fndice global de n6s. Então, adicionamos essas matrizes para obter a 
matriz global de rigidez. Então, o processo de obtenção da matriz global de rigidez consiste em dispersão e adição de matrizes. Isto é resumido na Tabela 2.1. 
Podemos pular a adição de zeros e montar a matriz global diretamente apenas adicionando os termos nos elementos de rigidez de acordo com o seu índice de nó global como mostrado na Tabela 2.1. Esse processo é chamado montagem direta. O resultado é equivalent~ ao da matriz com coeficientes dispersos e de adição. A montagem da matriz de 
rigidez em programas de computadores é feita por meio da montagem direta, mas o conceito de matriz com coefi-
cientes dispersos e matrizes adicionadas é útil, pois explica como a compatibilidade e o equilíbrio são forçados no âmbito global. 
· 2.2. 1 Equações para Montagem 
A seguir, desenvolveremos os procedimentos de montagem em termos de equações. Nessa aproximação, a compati-bilidade entre elementos é forçada relacionando-se os deslocamentos nodais do elemento à matriz global de deslo-
camento d = [u1 u2 u)]T pelas equações. Essas equações são escritas a seguir: 
[ 
(2) J ·r o 1 o 1 [ ü 
1 l d (2) = UI = U2 
J2l 1 o o 
-l ..._____,__.... U3 
(2.20) 
L (2l 
ou em geral 
d' = L•d. (2.21) 
b 
Aproximação Direta para Sistemas Discretos 15 
Tabela 2.1 Matriz com coeficientes dispersos, matrizes adicionadas e montagem direta 
Matriz com os coeficiebte:s dispersos e adicionados • 
Dispersão dos coeficientes do elemento 1, nós 3 e 2 
K <•) - ( k<•> -k<'>] K-<•> - [oo o<•> -ko<•> l 
- -k(l)k{l) ~ - . k 
. 
o -k{l) k{l) 
Dispersão dos coeficientes dÔ elemento 2, nós 2 e I 
Matrizes adicionadas 
Montagc~ direta 
(!)- [ k(l) -k<1l] [3] [ ~,, -k(2) 
K - -k<tl k {t) [2] K = -~(2l k (t) +k(2) 
(3] [2] 
- k{l) 
[1] [2] 
{2)- [ k(2) 
K - -k<2l 
-k<2>] [2] 
k(2) [1] 
[2] [1 J 
o ]1'1 
-k(ll (2] 
k(l) [3] 
[3] 
As matrizes V são chamadas de matrizes reunidas. O nome reunida deriva do fato de que essas matri
zes ret1nero 
os deslocamentos nodais de cada elemento da matriz global. Observe que essas equações afumarn qu
e o desloca-
mento do elemento em um nó é o mesmo que o desl~ento global correspondente, o que é equivalente
 a forçar a 
compatibilidade. 
As manizes L• são matrizes Booleanas, que são constituídas estritamente por coeficientes iguai
s a um e zero. 
Elas desempenham um importante papel no desenvolviMento de express~s ÍÍ!atriciais relacionando o elemento às 
matrizes globais. 
Usando a Equação (2.11), as equações do elemento podem ser escritas como 
K•Jfd =F". (2.22) 
A compatibilidade é automaticamente foiçada pela Equação (2.20). 
Pode ser observado que o primeiro termo do primeiro membro da Equação (2.13) pode ser expresso como 
[A·']= [~ ~] [4::] = L<1l!J''l, F<'l 1 O F2 
--------------~ 1- ~ ----------
ao passo que o segundo tenn:o do segundo membro da Equação (2.13) é igual a 
Observe que (V)T dispersa as forças nodais na matriz global. A substituição das duas equações anteriores na 
Equação (2.13) fornece 
(2.23) 
16 CAPITULO DOIS 
Embora tenhamos mostrado a relação entre as forças interna e externa e as reações para um exemplo específico, a 
Equação (2.23) sempre ocorre. A relação geral é obtida na Seção 2.5. 
Para eliminar as forças internas do elemento (incógnitas) da Equação (2.22), pré-multiplicamos a Equação (2.22) 
por vr e então as adicionamos em conjunto. Assim, a pré-multiplicação das equações do elemento (2.22) por vr 
fornece 
e= 1,2. 
Agora vamos definir o sistema de equações para o sistema inteiro. Pela adição das equações do elemento (e= 1, 2), 
obtemos 
Kd =f+r, (2.24) 
onde K é chamado de matriz global de rigidez e é dado por 
K = fuTKtL' (2.25) 
e~ I 
onde n,1 é o nílrnero dos elementos; nesse caso, n,, = 2. A equação anterior dá o procedimento de montagem em termos 
de uma equação. Ela é equivalente à montagem direta e à montagem pela matriz com coeficientes dispersos e das 
matrizes adicionadas. Sempre que essa equação aparece, indica montagem das matrizes do elemento na matriz global 
(para malhas gerais, o intervalo de e será de 1 a n). Pela comparação com a Equação (2.19), podemos ver que 
(2.26) 
Logo, a matriz de rigidez com coeficientes dispersos corresponde à pré- e pós-multiplicação de K• por vr e L', 
respectivamente. 
A substituição das expressões das matrizes de rigidez dos elementos (2.12) em (2.24) e usando (2.25) fornece a 
equação global 
(2.27) 
Esse sistema de três equações pode ser resolvido para as três incógnitas u2, uJ e r1,como descrito na próxima seção. 
2.2.2 Condições de Contorno e Solução do Sistema 
Agora prosseguimos com o processo de solução do sistema de equações globais. Para isso, vamos considerar os 
deslocamentos prescritos Ü1 = 4/Jél) no nó I e nas forças externas f; = -4 e f, = 10 atuando nos nós 2 e 3, como 
mostrado na Figura 2.8. 
O sistema de equações globais (2.27) é então: 
(2.28) 
Existem várias formas de modificar essas equações para impor as condições de contorno de deslocamento. No 
primeiro método, o sistema global é partido, dependendo se o deslocamento do nó é prescrito ou não. Partimos o 
sistema de equações em E nós e F nós. Os E nós são aqueles nos quais os deslocamentos nodais são conhecidos (E 
refere-se a essencial, cujo significado ficará claro em capítulos posteriores), enquanto F nós são aqueles nos quais os 
deslocamentos não são conhecidos (ou são livres). Os subscritos E e F na matriz global de deslocamento, d = [ ::]. 
na matriz global de força, f = [ ~:]. e na matriz de reação, r = [ ~:]. denotam os blocos correspondentes; r F = O 
porque não há reações nos nós livres; presume-se que as forças externas neste capítulo correspondentes aos E nós 
desaparecerãO, fE = 0. 
..t; =lO (I) h= -4 c:!) ~- 4 ~I,=Fzi ~ 
3 kfll 2 kfll I lj 
Figura 2.8 Dois elementos de estruturas de treliça com forças externas aplicadas e condições de contorno . 
. ~ --------------------------------------------------...................... . 
Aproximação Direta para Sistemas Discretos 17 
Por conveniência, quando resolvemos as equações, seja manualmente ou por utilização do programa MA'Il...AB 
(Capítulo 12), os E nós são numerados inicialmente. Em _Beral, a numeração ótima é baseada em considerações de 
eficiência computacional. 
O sistema da Equação (2.28) é então partido como a seguir: 
[ !~~;i--kc~f~~fii---::Zm-j-[-~!l;;-~-_:4] 0 ! ~-kl 1) k(l) u3J 10 
f 
ou (2.29) 
onde 
KEF = [-k<2l Oj, 
re= hl. 
As incógnitas nesse sistema de equações são ~ e rE, enquanto dE, fP 1!11 e JP> são conhecidas. Se escrevermos a 
segunda linha da Equação (2.29), teremos 
Se subtrairmos o primeiro termo de ambos os lados da equação antericr e pré-mi.Jltiplicannos por K;1, obteremos 
dp = Kf"1(fp - KL:dE)· (2.30) 
Essa equação nos pennite obter os deslocamentos nodais desconhecidos. A partição também nos pennite obter a força 
de reação, r E. Escrevendo a primeira linha de (2.29), obtemos 
(2.31) 
Como ~ é conhecido da Equação (2.30), podemos avaliar o segundo membro da equação anterior para obter a reação r e-
Para o problema das duas barras, a solução dos deslocamentos desconhecidos pela Equação (2.30) usando (2.29) 
gera 
[u2 ] _ [k<
1>+k<2> -k<t>] -1{[-4) _ [-k<2>]r 1 (2)1} 
UJ - _ ,t(l) k{l ) 10 0 14 k ' 
que fornece 
A força de reação é encontrada da Equação (2.31) e é dada por 
r1 = - 6. 
Pode ser mostrado que ~é definido positivo (veja Problema 12.3 no Capítulo 12). 
O segundo método para imposição das condições de contorno do deslocamento consiste em substituir as equações 
correspondentes aos deslocamentos prescritos por equações triviais que ajustam os deslocamentos nodais aos seus 
valores corretos, ou e.m cálculos manuais, para modificá-los todos juntos. Pomos o produto da primeira coluna de K 
e u1 no segundo membro e substituímos a. primeira equação por u1 = ü'1• Isso leva a 
0 k(l) + k(l) -k(l) U2 = -4 - ( -k(l))ÜJ . 
_j 1 o o JJ;J• [ Üt l 
. --- - _ 0 -k(l) k{l) U3 -~_!E - (0)~~ . 
(2.32) 
Novam~nte, pode-se ver que as equações anteriores podem ser resolvidas manualmente considerando apenas as duas 
últimas equações. · 
As reações podem ser então calculadas pela avaliação das linhas das equações totais de rigidez: que dão as reações. 
Da linha 1 da Equação (2.29), obtemos · 
,, ~ [•(" -<"'o][:;] ~ -6 
O terceiro método para iuiposição das condições' de contorno é o método da penalidade. Este é um método muito 
simples para programar, mas deve ser usado apenas para matrizes de tamanhos moderados (até aproximadamente 
10.000 incógnitas) porque ele tende a reduzir o condicionamento das equações (veja Saad [1996] e George e Liu 
18 . CAPÍTULO DOIS 
[1986]). Nesse método, os deslocamentos prescritos são impostos pondo um número muito grande na entrada corres-
pondente ao deslocamento prescrito. Assim, para o exemplo considerado, mudamos as equações para 
(2.33) 
onde {3 é um número muito grande. Por exemplo, em um computador com oito dígitos de precisão, tomamos {3 -
107 em média (K;). Os outros termos na linha 1 e na coluna 1 então ficam irrelevantes porque eles são muito menores 
que o termo da primeira diagonal, e as equações são quase idênticas àquelas de (2.32). 
O método pode ser fisicamente compreendido em análises de tensões como na união de uma mola muito rígida 
entre o nó 1 e o suporte, o qual é deslocado por ü'1• A mola rígidaentão força o nó 1 a mover-se com o suporte. O 
método da penalidade é mais facilmente compreendido quando üi = O; nesse caso, ele corresponde a uma mola presa 
a um suporte estacionário e o deslocamento do nó I é muito pequeno. As reações podem ser avaliadas como foi feito 
para os métodos anteriores. Entraremos em detalhes sobre o método da penalidade nos Capítulos 3 e 5. 
Exemplo2.1 
Três barras estão unidas como mostrado na Figura 2.9. As extremidades esquerda e direita são fixas, isto é, o 
deslocamento prescrito vale zero· para ambas as extremidades. Há uma força de 5 N atuando sobre o nó interme-
diário. Os nós são numerados a partir daqueles onde os deslocamentos são prescritos. As matrizes de rigidez dos 
elementos são 
[lj 
K (l} - [ k(l} 
- - k(l) 
[i] 
[1] K(2) = [ k<2> 
[3] ' -k<2) 
[3) 
[lJ K(3l = [ k(3) [3), -k(J) 
onde os índices globais correspondentes aos nós estão indicados acima de cada coluna e à direita de cada linha. 
Pela montagem direta, a matriz global de rigidez é 
As matrizes de deslocamento e de força são 
O sistema global de equações é dado por 
[2] 
o 
k(3) 
-k(3) 
[3] 
-k<3> [2] 
-k(l)- k(2) l [1] 
k(l) + k(2) + k(3) [3) 
Como os primeiros dois deslocamentos são prescritos, partimos a matriz depois de duas linhas e duas colunas 
Figura 2.9 Exemplo de problema com três barras. 
Aproximação Direta para Sistemas Discretos 19 
ou 
onde 
fp= [5] 
O sistema reçluzido de equações é dado por 
(k(t) + k(2) + k(31)u3 = 5 , 
que leva a 
5 
U) = k(l) + k(2) + k(3) • 
2.3 APLICAÇÕES A OUTROS SISTEMAS LINEARES1 
Os métodos descritos para barras unidimensionais podem também ser usados diretamente para outros sistemas. Para 
os métodos serem aplicáveis, os sistemas devem ser caracterizadas por 
1. uma lei de balanço ou conservação para o fluxo; 
2. uma lei linear relacionando o fluxo ao potencial; 
3. um potencial contínuo (isto é, um potencial compatível) 
Dois exemplos são descritos a seguir: escoamento de cargas elétricaS. em regime permanente em um circuito e esco-
amento de fluido em um sistema de tubulação hidráulica 
Em um sistema elétrico, o potencial é a voltagem e o fluxo é a corrente. Um elemento de um circuito é mostrado 
na Figura 2.1 O. Pela lei de Ohm, a corrente do nó .1 para o nó 2 é dada por 
(2.34) 
onde e; e~ são as voltagens (potenciais) nos nós e R' é a resistência do fio. Essa é a lei linear entre o fluxo e o poten-
cial. Pela lei de conservação da carga, se a corrente está em regime permanente, 
i'j+ií =0, . (2.35) 
que é a primeira das condições anteriores sobre o ·elemento em questão. Escrevendo (2.34) e (2.35) na forma matri-
cial, temos 
A continuidade da voltagem nos nós é forçada por 
d' = L'd. 
Figura 2.10 Um elemento de resistência para um circuito e um elemento pani: unia rede de bombeamento; o fluxo nodal~ positivo quando 
ele sai do domínio do elemento. 
'Recome.ndado para ttajetórias de Ci!ocia e Engenharia. 
(2.36) 
(2.37) 
20 CAPiTuLO DOIS 
O balanço de corrente nos nós dá 
(2.38) 
Detalhes podem ser vistos no Exemplo 2.2. 
O sistema de equações pode então ser obtido forçando a condição de que a soma das correntes em qualquer nó é 
igual para quaisquer fontes externas de correntes. O processo é idêntico ao que fizemos para os elementos de barra. 
n., 
r+ r = I:>•TF' pela Equação (2.38) 
·~ · 
"" 
= l::VTK•d• pela Equação (2.36) 
•~1 
"·' 
= L:>•TK•Vd pela Equação (2.37). 
tcJ 
..______., 
K 
Como indicado pelo destaque, a montagem da matriz do sistema é dada por 
n_, 
K = LL'TK~·. (2.39) 
t:l 
Esse sistema é obtido pela seqüência das operações de dispersão dos coeficientes e de adição das matrizes, que 
corresponde à montagem direta. 
Para um sistema de tubos, um procedimento similar pode ser desenvolvido se a vazão de escoamento for linear-
mente relacionada com a queda de pressão entre dois pontos. Um modelo de circuito é construído como mostrado na 
Figura 2.11. Nós são necessários apenas onde dois tubos se conectam ou onde o fluido é retirado ou acrescentado. 
Em cada elemento, a vazão nodal~ que sai do nó é proporcional à queda de pressão nodal (P;- P~) (veja Figura 
2.10), assim 
(2.40) 
onde K' depende da área da seção transversal do tubo, da viscosidade do fluido e do comprimento do elemento. U:is 
lineares deste tipo aplicam-se sobre uma grande faixa de escoamentos. 
A conservação de fluido em um elemento é expressa por 
Qj +~ =0. (2.41) 
As equações do sistema são então obtidas ao escrever a equação para a conservação de fluido nos nós e ao usar a 
continuidade do campo de pressão. O processo é idêntico àquele usado na obtenção da Equação (2.39). Isso é deixado 
como um exercício, embora fique evidente no exemplo. 
A similaridade desses diferentes sistemas é surpreendente e pode fornecer uma compreensão mais profunda dos 
sistemas lineares. Todos esses sistemas possuem um potencial e uma lei de conservação. Na mecânica da barra, o 
potencial não é tão óbvio: ele é o deslocamento. O deslocamento tem todas as propriedades de um potencial: ele 
precisa ser contínuo (compatível) e sua mudança determina o fluxo , que nesse caso é a tensão. 
~ Exemplo 2.2 ( ~ 1o \ t ..;> ) 
Prepare as equações discretas para os sistemas mostrados na Figura 2.11 e resolva-as. Todos os três sistemas 
mostrados na Figura 2.11 têm a mesma topologia básica, isto é, a mesma relação entre nós e elementos. Primeiro, 
montamos a matriz do sistema pela dispersão dos coeficientes e da adição das matrizes. Então, as equações espe-
cíficas são preparadas, forçando constantes no fluxo ou no potencial. Usamos k' = -J; = tt1 para denotar os coefi-
cientes dos elementos para os três diferentes sistemas. 
As operações de dispersão dos coeficientes das matrizes geram então o seguinte (/e J dão os índices globais 
nodais do elemento): 
Elemento 1,/ = 1, J = 4: 
Elemento 2, I = 4, J = 2: 
K ltl = k(t) [ 1 
-1 
-1] -(I) - [ k~) ~ ~ 
1 => K - O O O 
- k {l) o o 
. 
I j, 
i 
Aproximação Direta para Sistemas Discretos 21 
2 
Figura 2.11 Exemplo 2.2: sistemas mecânico, elc!lrico e hidráulico com uma esttutura de re9e id!ntica. 
K <ll = ~c<2J [ 1 -1 ] ~ K(l) = [~ 
. -1 1 o 
o 
Elemento 3, I = 1, J = 3: 
K<3J = k(3J [ 1 
. - 1 
Elemento 4,!'"' 4, J- 3: 
K(4J = ~c<4J [ 1 
-1 
Elemento 5,1 = 3, J = 2: 
Matriz global do sistema: 
K (S) = fc(S) [ 1 
- 1 
Equações para o sistema mecânico: 
-1] -(3)- o 
[ 
k (3) 
1 ~ K - - k<3J 
o - /c(3) 
o o 
o k<3l 
o 
-1] - (4) [~ ~ 1 =>K = O O 
·o o 
o o 
o 
o 
fc(4) 
-k(4) 
o 
fc(S) 
-1] -(S) [~ 1 => K = O 
-fc(S) 
o o 
22 CAPÍTULO DOIS 
onde a matriz solução para o sistema mecânico, de tubos e elétrico é 
A partição. da matriz anterior após duas linhas e duas colunas fornece 
l"k(3)+k(4) +k(S) - k(4) ] [0] 10 r-k(S)] -k{4) k(l) + k{2) + k{4) dF = 0 - jJi) -k(2) 
Fazendo k' = 1 para e = 1 a 5 e resolvendo a equação anterior, obtemos 
2.4 SISTEMAS DE TRELIÇAS BIDIMENSIONAIS2 
Estruturas de treliças, como a mostrada na Figura 2.1, consistem em elementos de barras posicionados sob ângulos 
arbitrários no espaço e ligados por uniões parecidas a pinos que não podem transmitir momentos. Par-a analisar tais 
estruturas de treliças em geral, é necessário desenvolver uma matriz de rigidez de elemento para um elemento de 
barra alinhado arbitrariamente em duas ou três dimensões espaciais. Primeiramente, vamos considerar o caso bidi-
mensional, no qual os elementos de barra estão no plano xy mostrado na Figura 2.2(b). As treliças diferenciam-se 
dos circuitos, tais como nos sistemas elétricos em que os deslocamentos nodais em problemas mulúdimensionais 
são vetores. As incógnitas do ~istema são então as componentes do vetor, de forma que o número de incógnitas por 
nó é 2 e 3 em duas e três dimensões,respectivamente. 
Começar.emos pelo desenvolvimento da matriz de rigidez do elemento para um elemento de barra em duas dimen-
sões. Um elemento de barra genérico é mostrado na Figura 2.12, juntamente com deslocamentos nodais e forças 
nodais. Em cada nó, a força nodal tem duas componentes; de modo similar, como pode ser visto na Figura 2.12, cada 
deslocamento nodal tem duas componentes, de modo que as matrizes de força e de deslocamento dos elementos são, 
respectivamente, 
Para obter uma relação geral entre as forças internas F' e os deslocamentos d', vamos iniciar com as equações de 
rigidez no sistema de coordenadas locais x'•, y''; como mostrado na Figura 2.12, x'' é alinhado junto à direção axial do 
elemento de barra e. é positivo do nó 1 para. o nó 2. O ângulo t/J' é definido como positivo no sentido anti-horário .. 
No sistema de coordenadas (x'•, y''), a rigidez do elemento dada pela Equação (2.10) aplica-se, portanto 
[ k' -~] [ li,• ] [ F',• ] 
-k' k' Jt = F~ . 
A equação anterior pode ser exp;mdida pela adição das equações F;~= F;;= O. Essas componentes de força nodal 
perpendicul~ ao eixo do elemento podem ser consideradas nulas porque consideramos que o elemento é tão delgado 
que os esforços de cisalhamento são desprezíveis. 
I /f / . I''' !!~·· ,"·, ,·,, 
.J''' 
.r 
Figura 2.12 Elemento de treliça em duas dimensões em um sistema de coordenadas locais x':, y':. 
' Recomendado para a trajetOria de Mecânica Estrutural.. 
Aproximação Direta para Sistemas Discretos 23 
Segundo a teoria para pequenos deslocamentos, as forças nodais no elemento são independentes dos deslocamentos 
normais. Isso se justifica porque a·elongação é uma função quadrática do deslocamento nodal normal à barra. Como 
os deslocantentos nodais são considerados pequenos, o efeito dos deslocamentos normais sobre a elongação é, por 
isso, de segunda ordem, e daí os efeitos dessas componentes de deslocamentos sobre a tensão e a deformação podem 
ser desprezados. Assim, a matriz de rigidez no sistema de coordenadas do elemento é dada por 
ou em termos da nomenclatura de sobrescritos 
F"= K'.d". (2.42) 
É fácil ver que para essa matriz de rigidez, as componentes y'• das forças nos dois nós sempre desaparecem e que as 
componentes y'• dos deslocamentos não têm efeito nas forças nodais; a matriz de rigidez em (2.42) é simplesmente 
a matriz (2.11) embutida em uma matriz de zeros. Em outras palavras, vamos simplesmente dispersar os coeficientes 
de tigidez axial da barra em uma matriz maior; isso é válido quando o sistema de coordenadas é alinhado com o 
eixo do elemento. 
Para os nós (1 = 1, 2), a relação entre as compOnentes dos deslocamentos nos slstemas de duas coordenadas, 
mostrado na ~gura 2.12, é obtida por meio da relação para transformações vetoriais: 
u~ = ui. cos 4>• + uJ1 sen 4>• 
u~ = -u.i.. sen 4>• + u~ cos 4>• 
Essas equações podem ser escritas na forma matricial, como a seguir: 
d'• = R•d•, (2.43) 
onde 
n [ =·· ..... 
o J .. ] d• = u~>' R• = - sen 4>' cos 4>' o u• ' o o oos.i>• 2x 
14, - o o -sen4>• cos 4>' 
R• é a matriz rotacional. As duas equações anteriores combinam a transformação vetorial em dois nós. Como essas 
transformações são independentes uma da outra, os blocos da matriz relacionando diferentes nós são nulos; por 
exemplo, bloco superior direíto 2 X 2 é nulo, pois os componentes dos elementos dos deslocamentos nodais no nó 
1 são independentes dos deslocamentos no nó 2. 
Observe que R• é uma matriz ortogonal: a sua inversa é igual a sua transposta, isto é, (R•)TR• = R• (R•)T = I ou 
(2.44) 
Pré-multiplicando a Equação (2.43) por (R•)T, obtemos 
R'Td'' = R'TR'd' = d•, 
onde a segunda igualdade decorre da relação de ortogonalidade (2.44). Os componentes das matrizes de força dos 
elementos estão relac~onadas pela mesma regra de transformação de componentes: 
Estamos agora em condições de de~ar a relação entre F' e d'. Iniciand~ com (2.4Sb), 
F'= R'TF'· 
= R'TK"d'' 
= !{'T~'•R: d' 
K• 
pela Equação (2.45b) 
pela Equação (2.42) 
pela Equação (2.43) 
O termo destacado, indicado anteriormente, é a rigidez do elemento no sistema de coordenadas globais: 
K' = R'TK'•R•. 
(2.45) 
(2.46) 
24 CAPiTULO DOIS 
Uma expressão explicita para K' é obtida pela substituição das expressões matriciais para K' e R• na Equação (2.46), 
que fornece 
[ 
cos2 tjl 
K' = k' cos 4>' sen4>' 
- cos2 4>• 
- cos 4>• seo 4>• 
cos tjl sen4>' 
sen2 4>' 
- cos 4>' 4>' 
-sen2 4>' 
Pode ser visto que K• é uma matriz simétrica. 
- cos2 4>' 
- cos 4>' sen 4>' 
cos2 4>' 
c os 4>' sen 4>' 
- c os 4>' sen 4>' l 
-seo2 4>' 
cos 4>' sen 4>• · 
sen2 4>' 
(2.47) 
2.5 LEI DA TRANSFORMAÇÃ03 
Na seqüência, vamos desenvolver um método mais geral para transformação de matrizes de rigidez por meio de 
conceitos de energia. Aqui, transformação significa uma rotação de um sistema de coordenadas para outro ou uma 
operação de dispersão de coeficientes de um elemento para o sistema global de coordenadas. Denotaremos tal trans-
formação matricial por T'. A matriz T' transforma a matriz de deslocamento do elemento de um sistema de coorde-
nadas em que a relação de rigidez K.• é conhecida para outro sistema de coordenadas no qual a matriz. de rigidez K.• 
não é conhecida. Começamos com 
(2.48) 
No caso de rotação de um sistema de coordenadas para outro (Seção 2.4), d'' = R'd', de modo que T' = R', d'' = 
d' e d' = d'; no caso da operação de dispersão de coeficientes (Seção 2.2), d' = V d, de modo que 1" = V , d' = d' 
e d = d'. Na seqüência, descreveremos como relacionar F- a F• e como estabelecer a relação de rigidez F' = K.<Ci•. 
Vamos considerar que F< é a matriz de força interna do elemento e &i• é urna matriz de deslocamento arbitrário e 
infinitesimal do elemento. As forças nodais internas precisam ser escolhidas de modo que o trabalho realizado pelas 
forças internas, denotado por ôW;,.• seja dado por 
(2.49) 
Observe que &i• tem que ser infinitesimal para que a matriz. de força interna F' permaneça constante quando o 
elemento deforma. Por exemplo, para o elemento de dois nós em uma dimensão, o trabalho realizado pelo elemento 
e é ôW;,. = ôu~?. + ôu;fr;. 
Agora, mostraremos que se (2.48) se verifica, então 
(2.50) 
Primeiro, vamos mostrar que se (2.48) se verifica então 
(2.51) 
O conceito chave ql!e torna essa prova possível é que _o ~balho interno expresso em termos de &í• e F' precisa 
igualar-se ao trabalho interno expresso em termos de ôd' e F', de modo que 
óW;., = ód'TF< = ód'T F. (2.52) 
Vejamos porque isso precisa ser verdade. Vamos substituir a primeira parte de (2.48) em (2.52), o que fornece 
(2.53) 
Rearranjando os termos dessa equação, obtemos 
(2.54) 
Como essa equação precisa ser verificada para qualquer l>d•, o resultado (2.51) vem do teorema do produto escalar 
de vetores (veja Apêndice A2). 
A seguir, provamos a relação (2.50) como se segue: 
'Opcional para rodas as trajetórias. 
de (2.51 ) 
= T'Tí{'(J' pela (2.48b) 
= T'TK'T' d' pela {2.48a). ~ 
:K 
·-
Aproximação Direta para SistemaS Discretos 25 
Como a última linha dessa expressão define a matriz transformada de rigidez do elemento, (2.50) está provada. 
A prova apresentada é baseada no fato de que quaisquer duas representações válidas para um elemento precisam 
ser consistentes do ponto de vista da energia, isto é, o elemento precisa absorver a mesma quantidade de energia 
independente do sistema de coordenadas no qual ele é descrito. Uma forma de explicar isso é demonstrando que 
a energia é um escalar, de modo que é independente do alinhamento do sistema de coordenadas. Variáveis físicas 
escalares, como pressão, temperarura e energia, não dependem do sistema de coordenadas que é escolhido. Além 
disso, a energia tem que ser independente dos modos generalizados de deformação que são usados paradescrever 
a deformação do sistema. A energia tem um papel único e muito importante na física e na mecânica: a sua inva-
riância com respeito ao referencial de análise do problema leva a resultados importantes, tais como o princípio 
do trabalho virtual e o teorema da energia potencial mínima, e isso aparece em todas as partes nas análises por 
elementos finitos. 
~ Exemplo 2.3 
A Figura 2.13 mostra propriedades de materiais, geometria, cargas e condições de contorno da estrutura de duas 
barras. Neste exemplo, enfatizamos os quatro principais passos no método de elementos finitos (MEF), a saber: 
(1) pré-processamento, (2) construção do comportamento local (elemento), (3) montagem das matrizes locais para 
obter o comportamento global e (4) pós-processamento. 
O passo 1, mostrado na Figura 2.13. consiste em subdividir a estrutura em elementos, assinalando os números 
dos elementos para cada barra, e os números dos nós para cada junção, começando com os nós nos quais os desloca-
mentos são prescritos. O modelo dos elementos finitos consiste em dois elementos numerados 1 e 2 e três nós. 
O passo 2 trata da formulação de cada elemento começando com o elemento 1. 
Elemento 1: 
O elemento 1 está numerado com os nós globais 1 e 3. Ele é posicionado segundo o ângulo 4f1> = 90° com respeito 
à direção positiva do eixo x como mostrado na Figura 2.14. As outras relaçõeS são as seguintes: 
1<1> =I, 
A<1lE{t) AE 
cos 90° =o, sen90° = 1, k(l ) =---= -J(l) l ' 
~,,_AE [~ o o ~·] {11 1 o l o o o [3J 
o -1 o 
[1J (3J 
Elemento 2: 
O elemento 2 está numerado com os nós globais 2 e 3. Ele está posicionado em um ângulo <fP> = 45° com respeito 
à direção positiva do eixo x, como mostrado na Figura 2.14. As outras relações são as seguintes: 
50 1 cos 4 =..fi ' o 1 sen 45 =..fi' f.ll =..til, 
Figura 2.13 Estrutura de treliça com dois elementos. 
26 CAPITULO DOIS 
2 
F igura 2.14 Sistema de coordenadas locai (elemento) e global. 
1 
2 2 2 2 
1 1 1 I [21 
K(2l = AE 2 2 2 2 
-./21 
-2 2 2 2 [3) 
2 2 2 2 
[2) [3) 
Passo 3: trata da construção do comportamento global. 
(3a) Montagem direta: 
[I) o o o o o o 
o 1 o o o -I 
o o 
I 1 I I 
2-./2 2-./2 -2-./2 -2-./2 
[2] K=AE o o I 1 I I 
I 2-./2 2-./2 -2-./2 -2-./2 
[31 
o o 
I 1 1 1 
-2-./2 -2-./2 2-./2 2-./2 
o -I 1 
I I I 
- 2v'2 -2-./2 2v'2 1+-2v'2 
[1 I [2) [3) 
e 
o r~ r~x o r,1 
d= o r~ l: r2x o r= rz.,. 
u:u ~ o UJy o 
Mais uma vez observamos que se a componente da força externa em um nó é prescrita, então a componente corres-
pondente do deslocamento nesse nó é desconhecida. Por outro lado, se uma componente do deslocamento em um 
nó é prescrita, então a componente que corresponde à força nesse nó é desconhecida. 
(3b) Sistema global de equações: 
o o 
o 
o o 
AE O O 
o 
o 
I 
2-./2 
I 
o 
o 
1 
2v'2 
I 
o 
o 
I 
-2-./2 
1 
-2-./2 
o 
-1 
I 
-2-./2 
I 
-2-./2 
o 
o 
o 
o 
o o 
2-./2 
I 
-2-./2 
1 
-2vÍ2 
2v'2 
I 
-2-./2 
1 
2-./2 
I 
2-./2 
1 
2-./2 
UJ.r 
o -1 1 
-2-./2 
1 
I+ 2-./2 
t 
Aproximação Direta para Sistemas Discretos TI 
(3c) Sistema global reduzido de equações: 
O sistema global é partido depois de quatro linhas e quatro colunas: 
- - [:~]- [~] de- _ - , U2,x 0 
Üzy O 
f = [10) 
F 0 ' K = [2~ 2~ l F I l ' 
- 1+-2~ 2~ 
re = [~] , KEF = 
rzy 
o 
o 
1 
-2v'2 
1 
- 2·/'i 
o 
-1 
1 
-2v'2 
1 
-2-./2 
A matriz desconhecida dos deslocamentos é encontrada da solução do sistema reduzido de equações 
2~ l [U3x] = [10] 
1 +-1- U3y 0 2..fi 
e é dada por 
[U3x] =_I [10+20~]. UJy AE -10 
A matriz desconhecida r das reações é 
o o 
['" o -1 [IO+Wv2] = [ : ]· Tty = Kede + KJ;F«iF = 1 1 re= -2..fi -2..fi r2.x -10 -10 
rzy 1 1 -10 . 
-2..fi -2..fi 
Pode ser facilmente verificado que as equações de equilíbrio são satisfeitas: 
Finalmente, no passo.do pós-processamento as tensões nos dois elementos são calculadas como a seguir. 
~~ 
~ = ·E" r4 - ~~ = E" !-I O 1 O] ~~ = E"J• [ -1 O I O jR'd' 
I• ze u'{x 
~ 
E" - . 
= -[- cos c/>' - sen tP' cos tP• sen tP' J de. I• 
Para- o e1emeriioT iemós: __ ____ _ _____ . - ·---·--·-·-·-·--· - · · 
tP(l) =90° (costP{I) =0, sentP(l) = 1), 
[
Ut.xl . [ O l d(l) _ U!y _ 0 _l_ 
- U)x - 10+20~ AE' 
U3y -10 
[ 
o j o 1 -10 
a<ll=[O -1 O 1] .r;;-=-. l0+20v2 A A 
-10 
,. 
2B CAPITuLO DOIS 
Para o elemento 2, temos: 
1 
q(2) = -(-1/VÍ 
..fi [ o l O 1 10J2 -1/VÍ 1/VÍ 1/VÍ] 10 + 20v'2 A= -A-. 
- 10 
2.6 SISTEMAS DE TRELIÇAS TRIDIMENSIONAIS4 
Considere um elemento de barra em três dimensões como mostrado na Figura 2.15. Corno o elemento tem resistência 
apenas para deformação em direção a sua extensão, podemos escrever a relação entre as forças nodais e os desloca-
mentos nodais no sistema de coordenadas locais como 
[ F;~] = k' [ 1 -1 ] [ li1~] • F'{. -1 I "i. (2.55) 
Os graus de liberdade inclusos nessas matrizes de deslocamento e de força são apenas aqueles envolvidos na rigidez
 
do sistema. 
O elemento nas três direções terá três graus de liberdade por nó: as componentes de translação nas direções x, y 
e z, portanto 
(2.56) 
Como a matriz de força precisa ser consistente do ponto de vista da energia, 
(2.57) 
Para obter a equação de rigidez em termos das forças nodais e dos deslocamentos (2.57) e (2.56), respectivamente, 
vamos agora construir a matriz rotacional R• para treliças tridimensionais. Observe que o vetor unitário ao longo do 
elemento é dado por 
(2.58) 
onde _x-;1 = x; - X' e assim por diante. Se tratarmos os deslocamentos nodais como vetores, então 
(2.59) 
para I= 1 e 2. 
Tornando um produto escalar dos termos com i' dessa expressão, encontramos (devido à ortogonalidade dos 
vetores unitários) que 
(2.60) 
x' 
·~ 
i 
Figura 2.15 Um elemento de treliça tridimensional na coordenada local. 
'Opcional para todlU lU ~r.~jetórias. 
Aproximação Direta para Sistemas Discretos 29 
Da Figura 2.15 pOdemos ver que substituindo (2.58) em (2.60) encontramos que 
Usando essa expressão para escrever as relações entre d '• e d•, temos 
R' 
que define a matriz R•. A rigidez global é então dada por (2.50) 
K' = R'T K" R', 
6x2 2x2 2x6 
(2.61) 
(2.62) 
onde K'• é a mai:riz dada em (2.55) e R' é a dada em (2.62). O resultado é uma matriz 6 X 6. Não vale a pena multi-
plicar as matrizes; isso pode ser feito facilmente com um programa de computador. Esse procedimento pode também 
ser usado para obter a rigidez do elemento em duas dimensões: a matriz R' então seria a matriz 2 X 4 com as colunas 
com z;, termos interrompidos e o resultado idêntico a (2.47). 
REFERÊNCIAS 
Problemas 
George, A. and Liu J.W. (1986) Computer Solution of Largt Sparst Poritivt Definire Systems, Prentice Hall, 
Englew.ood Cliffs, NJ. 
Saad, Y. (1996) lteralive Metlwds for Spam Linear Systems, PWS Publ.ishing Company, Boston, MA. 
/ Problema 2.1 I \-('I r 
r Para o sistema de molas dado na Figura 2.16, 
a. Numere os elementos e os nós. 
b. Monte a matriz global de rigidez e de força. 
c. Parta o sistema e resolva para os deslocamentos nodais. 
d. Calcule as forças de reações. 
Figura 2.16 Dados do Problema 2.1. 
.i!illf Problema 2.2 
Mostre que a rigidez equivalente de uma mola alinhada na direção x para a barra de ~sura t com um furo retan-
gular centrado mostrado na Figura 2.17 é -
5Etab 
k= (a+b)l' 
---·-----·····---- . --- . --·---~~---- .. --
onde E é o módulo de Young e t é a largura da barra (Sugestão: subdivida a barra 1com um furo retangulâr fm f --
elementos). 
{ 
Figura 2.17 Dados do Problema 2.2. 
30 C~ÍTULO DOIS 
Problema 2.3 
Considere a estrutura de treliça dada na Figura 2.18. Os nós A e B são fixos. Uma força igual a 10 N atua no nó C, 
nadireção positiva x. As coordenadas das junções são dadas em metros. O módulo de Young é E = 10
11 Pa e as áreas 
das seções transversais de todas as barras são A = 2 ·1 o-1 m1. 
a. Numere os elementos e os nós. 
b. Monte a matriz global de rigidez e de força. 
c. Parta o sistema e resolva para os deslocamentos nodais. 
d. Calcule as tensões e as reações. 
Figura 2.18 Dados do Problema 2.3. 
~ Problema 2.4 
Considere a estrutura de três barras sujeita a carga prescrita no ponto B igual a 103 N, como mostrado na Figura 
2.19. O módulo de Young é E= 1011 Pa, a área da seção transversal da barra BC é 2XI0-
2 m2 e as áreas das barras 
BD e BF são 10-2 m2• Observe que o ponto D é livre para se mover na direção x. As coordenadas das junções são 
dadas em metros. 
a. Construa a matriz global de rigidez e a matriz de carga. 
b. Parta as matrizes e resolva para os deslocamentos desconhecidos no ponto B e o deslocamento em direção x do 
ponto D. 
c. Encontre as tensões nas três barras. 
d. Encontre as reações nos nós C, D e F. 
.,. 
Figura 2.19 Dados do Problema 2.4. 
Problema 2.5 
Em cada uma das duas estruturas planas mostradas na Figura 2.20, blocos rígidos são conectados por molas lineares. 
Imagine que apenas deslocamentos horizontais sejam pennitidos. Em cada caso, escreva as equações reduzidas globais 
de equilíbrio em termos da rigidez k< da mola, dos deslocamentos nodais desconhecidos u1 e das cargas aplicadas fr 
Você deve refazer o problema numerando os nós, de modo que aqueles nos quais os deslocamentos são prescritos 
sejam numerados primeiramente. 
(h) 
Figura 2.20 Dados do Problema 2.5. 
Aproximação Direta para Sistemas Discretos 31 
Problema 2.6 
A estrutura plana mostrada na Figura 2.2 t consiste em uma-barra rígida e leve e em molas lineares de rigidezes k!-11 
e Jé.'ZI. Apenas pequenos deslocamentos verticais são permitidos. A matriz reduzida de rigidez Kdessa ~trutura é 2 
X 2, mas pode ter várias formas, dependendo da escolha da matriz global de deslocamento. Determine Kpara cada 
uma das seguintes escolhas de translações laterais: 
a. u1., em x = O e u2,. em x =L (veja Fig!JI3. 2.21, a direita). 
b. u11 emx = Oeui\Yemx = L/2. 
c. u2r em x = L e u81 em x = 2L. 
r"· L ~ .. L ., 
I 2 X 
A B 
1;ku' 
<> 
~k(Zl 
~ Gmus de liberdade para a Parte (a) 
Figura 2.21 Dados do Problema 2.6. 
~ Problema 2.7 
Modifique o código de elementos finitos d~MA.TI..AB para forçar condições de contorno de deslocamentos usando 
o método da penalidade (veja Equação [2.33]). 
a. Resolva para os deslocamentos nodais e tensões da estrutura mostrada na Figura 2.22. 
b. Trace a estrutura deformada com o MATLAB. Para isso, acresceo~ o mag X deslocamento às coordenadas nodais. 
O fator mag é para aumentar os desloc!'IDentos, de modo que eles sejam visíveis. 
Figura 2.22 Dados do Problema 2.7. 
Problema 2.8 
E = J.S · 1011Pa 
A= 10-:m: 
para todas as 
barras 
Jlf Usando o código de elementos finitos do MATLAB:' encontre os d~locamentos e as forças nas duas estru~ dadas 
na Figura 2.23. Para a estrutura (b ), explore a simetria. Para as duas treliças, verifique o equilibrio no nó I. Considere 
o módulo de Young E= 1011 Pa, as áreas de todas as seções transversais de barra IQ-1 m1, as forças F= 101 N e 
L=2m. 
2 F 
s 
L L 
{a) (b) 
Figura 2.23 Dados do Problema 2.8. 
3 
Formulações Forte e F~aca .para 
Problemas Unidimensionais 
Neste capítulo, são desenvolvidas as formulações forte e fraca para diversos problemas físicos unidimensionais. A formulação forte consiste nas equações de governo e das condições de contorno para um sistema físico. As 
equações de governo são normalmente equações diferenciais parciais, mas no caso unidimensional elas tornam-se 
equações diferenciais ordinárias. A formulação fraca é uma forma integral dessas equações, que é necessária para 
formular o método de elementos finitos. 
Em alguns métodos numéricos para resolver ~uações diferenciais parciais, estas podem ser discretizadas direta-
mente (isto é, escritas como equações algébricas lineares adequadas para soluções computacionais). Por exemplo, no 
método de diferenças finitas, podemos escrever diretamente as equações algébricas lineares discretas das equações 
diferenciais parciais. Entretanto, isso não é possível no método de elementos finitos. 
Um esquema para o desenvolvimento do método de elementos finitos é mostrado na Figura 3.1. Como pode 
ser visto no esquema, existem três ingredientes distintos que são combinados para chegar até as equações discretas 
(também chamadas de sistemas de equações; para análises de tensões elas são chamadas de equações rígidas), as 
quais em seguida são resolvidas por um computador. Esses ingredientes são 
1. a formulação forte, que consiste nas equações de governo para o modelo e nas condições de contorno (essas 
também são necessárias para qualquer outro método); 
2. a formulação fraca; 
3. as funções de aproximação. 
As funções de aproximação são combinadas com a formulação fraca de modo a se obter as equações de elementos 
finitos discretas. 
Aproxima\-ão de funçõ~~ 
(Capítulo 4) 
Equações discretas 
(Capítulo 5) 
Figura 3.1 Esquema para o desenvolvimento do método de elementos finitos. 
Formulações Forte e Fraca para Problemas Unidimensionais 33 
Portanto, o caminho para as equações diferenciais de governo é substancialmente mais complicado do que. aquele 
para os métodos de diferenças finitas. No método de difen:nças finitas, não existe necessidade de uma formulação 
fraca; a formulação forte é .di.re~nte convertida para um conjunto de equações discretas. A necessidade de uma 
formulação fraca toma o método de elementos finitos intelectualmente mais desafiador. Um número de pontos sutis, tais 
como a diferença entre várias condições· de contorno, deve ser estudado para o uso inteligente do método. Entretanto, 
para compensar essa complexidade àdicional, os métodos de elementos finitos podem lidar mais facilmente com as 
formas complicadas, que necessitam ser analisadas em projeto de engenharia. . ' · 
Para demonstrar os passos oáSicos na5 formuláções forte e ·fraca, considera.rémos os prÕbl~mas .tanto de b~as 
elásticas carregadas axialmente como o de condução de calor unidimensional. As formulações fortes para esses 
problemas serão desenvolvidas juntamente com as condições de contorno. Em seguida, desenvolveremos as formu-
lações fracas para esses problemas e mostraremos que elas são equivalentes às formulações fortes. Também exami-
naremos vários graus de continuidade, ou suavidade, os quais terão um papel importante no desenvolvimento dos 
métodos de elementos finitos. 
A formulação fraca é a parte mais intelectualme.nte desafiadora no desenvolvimento dos elementos finitos, de 
forma que um estudante pode encontrar algumas dificuldades na compreensão desse conceito; ele é provavelmente 
diferente de qualquer outra coisa que o estudante tenha visto antes em análise de engenharia. Entretanto, uma compre-
ensão desses procedimentos e as implicações em resolver uma formulação fraca são cruciais para a compreensão do 
caráter das soluções de elementos finitos. Além disso, os procedimentos são de fato bastante simples e repetitivos, 
de forma que uma vez. seja compreendido para uma formulação forte, os procedimentos podem ser facilmente apli-
cados a outras formulações fortes . 
3.1 FORMULAÇÃO FORTE EM PROBLEMAS UNIDIMENSIONAIS 
3. 1.1 Formulação Forte para uma Barra Elástica Carregada Ax_ialmente 
Considere a resposta estática de uma barra elástica de seção transversal variável, tal como a mostrada na Figura 3.2. 
Esse é um exemplo de um problema em análise de tensão linear ou elasticidade linear, em que procuramos determinar 
a distribuição de tensão o{x) na barra. A tensão resultará da deformação do corpo, que é caracterizada por desloca-
mentos de pontos do corpo, u(x).O deslocamento resulta em uma tensão denotada por e(x); a deformação é uma vari-
ável adimensional. Como mostrado na Figura 3.2, a barra é submetida a uma força de campo ou a um carregamento 
distribuído b(x). A força de campo poderia ser em razão de gravidade (se a barra fosse colocada verticalmente em vez 
de horizontalmente, conforme mostrado) a uma força magnética ou a uma tensão térmica; no caso unidimensional, 
consideraremos a força de campo por unidade de comprimento, então as unidades de b(x) são força/comprimento. 
Além disso, as cargas podem ser aplicadas nas extremidades da barra, onde o deslocamento não é prescrito; essas 
cargas são chamadas de trações e indicadas por r.Essas cargas estão em unidades de força por área e, quando multi-
plicadas pela área, fornecem a força aplicada. 
A barra precisa satisfazer as seguintes condições: 
1. Estar em equilíbrio. 
2. Estar de acordo com a lei da tensão-deformação elástica, conhecida como lei de Hooke: o{x) == E(x) e(x). 
3. O campo de deslocamento precisa ser compatível. 
4. Estar de acordo com a equação deslocamento-deformação. 
A equação düere~cial ~~~.!!b!Ííl.~JQtÇ,..asjl!_tell:@S.P(~-e..daúotÇas..extemas..h(x) 
~~~~~"-""-~'iG'~~·~~.l14l~!J.Q..i.QJlg~).. Considere o equilíbrio de um segmento de barra ao 
longo do eixo x, conforme mostrado na Figura 3.2. A somatória das forças na direção x fornece 
~p(x) + b(x+ ~)Lll+ p(x+ .ó..t) =O. 
x=O 
-X 
.r= I 
Figura 3.2 Um problema de análise de tensões (elasticidade) unidimensional. 
34 CAPITuLO TRÊS 
... . 
Rearranjando os termos nessa equação e dividindo por t:.x, obtemos 
p(x + .ó.x)- p(x) ' b( !:u) O tu T x+ 2 = . 
Se tomarmos o limite dessa equação quando 6.x..,.. O, o primeiro termo é a derivada dp/dx e o segundo termo torna-
se b(x). Portanto, essa equação pode ser escrita como 
dp(x) b( ) -O dt+:c- . (3.1) 
Essa é a equação de equilíbrio expressa em termos da força interna p. A tensão é definida como a força dividida pela 
área da seção transversal: 
u(x) = ~t:~ , então p(x) = A(x)a(x) . (3.2) 
A equação deslocamento-deformação (ou cinemática) é obtida pela aplicação da definição de engenharia que utili-
zamos no Capítulo 2 para um segmento infinitesimal da barra. O alongamento do segmento é dado por u(x + ó.x) -
u(x) e o comprimento original é 6.x; portanto, a deformação é dada por 
alongamento u(x + ll.:c) - u(x) 
s(x) = comprimento original = ~x 
Tomando o limite dessa expressão quando 6.x ..... O, reconhecemos que o lado direito da equação é a derivada de u(x). 
Portanto, a equação deslocamento-deformação é 
du 
r.(x) = dx. 
A lei de tensão-deformação para um material elástico linear é a lei de Hooke, que já vimos no Capítulo 2: 
a(x) = E(x)li(x), 
em que E é o módulo de Young. 
Substituindo (3.3) por (3.4) e o resultado por (3.1) temos 
d ( du) dt AE dr + b = O, o< X< I. 
(3.3) 
(3.4) 
Essa é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem. Nela, u(x) é a variável dependente, que é a função desco-
nhecida, e x é a variável independente. Na equação (3.5) e em outras equações, a dependência das funções sobre x 
será freqüentemente omitida. A equação diferencial (3.5) é uma forma específica da equação de equilíbrio (3.1). A 
equação (3.1) aplica-se a materiais lineares e não-lineares, ao passo que (3.5) considera a linearidade na definição da 
deformação (3.3) e da lei de tensão--defonnação (3.4). A compatibilidade é satisfeita pela exigência do deslocamento 
ser continuo. Posteriormente, discutiremos mais sobre o grau de suavidade, ou continuidade, que é exigido. 
Para resolver a equação diferencial (3.5), necessitamos prescrever as condições de contorno nas duas extremi-
dades da barra. Com o objetivo de ilustrar, consideraremos as seguintes condições de contorno específicas: em x = 
l, o deslocamento, u(x = l), é prescrito; em x = O, a força por unidade de área, ou tração, denotada por T, é prescrita. 
Essas condições são escritas como 
( dul p(O} _ a (O) = E- = -= -1 dx .t<:O A(O)- ' 
u(l) = ii. 
Observe que a barra superposta indica um valor de contorno prescrito nessa equação e em todo este livro. 
(3.6) 
A tração T tem as mesmas unidades que a tensão (força/área), porém seu sinal é positivo quando age na direção 
positiva do eixo x, sem considerar sobre qual face ela está agindo, enquanto a tensão é positiva em tração e negativa 
em compressão, de forma que sobre unia face negativa uma tensãg positiva corresponde a uma tração negativa; isto 
será esclarecido na Seção 3.5. Note que tanto a carga quanto o deslocamento podem ser especificados em um ponto 
de contorno, mas não em ambos. 
A equação diferencial de governo (3.5), juntamente com as condições de contorno (3.6), é chamada defonnulclção 
forte do problema. Para resumir, a formulação fone consiste na equação de governo e nas condições de contorno, as 
quais para esse exemplo são 
(a) d ( du) dx AE dx + b = O sobre o< X< I, 
(b) u(x =O) = (Ed~) = -1, 
dx x=O 
(3.7) 
{c) u(x = /) = ü . 
q(.x)A(x) 
Revestimento Papel de 
Isolamento 
f.(----·- · 
fOrmiJiações Forte e 'Fraca para Problemas Unidimensionais 35 
-----.x 
---~ 
Fi~ 3.3 Um problema de condução de calor unidimensional 
Deve ser notado que T, ü e b são dados. Eles são os dados que descrevem o problema. A incógnita é o deslocamento 
u(.x). 
3.1.2 Formulação Forte para Condução de Calor Unidimensionaf1 
. .... . 
O fluxo de calor ocorre quando existe uma diferença de temperatura no interior de um corpo ou entre o corpo e o 
meio ·que o cerca. O calor é :transferido na forma de condução';' convecção e fll:diação ,téfmie& O escoamento de calor 
pela parede de uma sala aquecida nÓ inverno é um éxemplo de condução de Calor. Por outro lado, na transferência 
de calor por convecção. a energia transferida para o corpo depende da diferença de temperatura entre a superfíci~ do 
corpo e o meio ambiente. Nesta Seção, daremos ênfase à condução de calor. U:ma discussão envolvendo a convecção 
é apresentada na Seção 3.5. · 
Considere uma seção transVersal de espessura da parede I, conforme mostrado ná Figura 3.3. Nosso objetivo é deter-
minar a distribuição da temperatura. Seja A(x) a área normal para a direção do fluxo de calor e seja .s(x) o calor gerado 
por unidade de espessura da parede, 1. Isso é freqtientemente chamado de uma fonte de calor. Um exemplo comum de 
uma fonte de calor é o calor gerado em um fio elétrico devido à resistência. No caso unidimensional, a taxa de geração 
de calor é medida em tinidades.de energia por tempo; no Sistema lnterilaci.onal de Unidades (SI), as unidades de energia 
por unidade de cOmprimento e tempo são, respectivamente, joule (J) pór metro (m) e segundo (s). Lembre-se de que 
a unidade de potência é watt (1 W = 1 J s-1). Uma fonte de calor .s(x) é considerada positiva quando o calor é gerado, 
isto é, adicionado ao sistema, e negativa quando o calor é retirado do sistema. O fluxo de calor, indicado por q(x), é 
definido corno uma taxa de fluxo de calor sobre uma superfície. Suas unidades são a taxa .de calor por unidade de área; 
si.S~ma Inteniaclonal de Unidades, W m -l. O fluxo de calor é positivo quando o calor escoa na direção positiva do eixo 
x. Consi~~mos um problema em regime pemianente, isto é, um sistema que não está Variando com o tempo. 
~~ es'iatieiecer a'equas;ão diferencial que governa o,sisteiDa:'considerainos·o balánço de energia (ou a c.onser-
vação de energia) em um volume de controle da parede. o balanço de energia exige que a taxa de energia sob a forma 
de calor (qA), que é gerada no volume de controle, precisa ser igual à energia sob a fonna de calor saindo do volume 
de controle, visto que a temperatura e conseqüentemente a energia no volilme de controle são constantes em um 
problema em regime permanente. A energia sob a forma de calor saindo do volume de controte é a diferença entre o 
fluxo entrando no lado esquerdo,qA, e o fluxo saindo no lado direito, q(x + ó.x)A(x + àx). Portanto, o biuanço de 
energia para o volume de controle pode ser escrito como 
--------· --- ·'-- · 
s(x + l:u/2)Àx + q(x)A(x)- q(x + Àx)A(x+ .clx) =O . 
.._____._..... '--v---' ' ,....,_::::;,: . , ----- ----- ---- ---- -- ---- ·------
calor P'QdO Aaxo de calor no.ao de ca1ot ainda · 
Cmllindo . ··' 
Observe que os fluxos de calor .são multiplicados pell!- área para ob~r a taxa de calor, enquanto a fontes é multiplicada 
pelo comprimento do segmento. Rearranjando os termos nessa equação e dividindo _por ó.x, obteinos 
q(x + tu)A(x + ~) - q(x)A(x) = s(x + ~/2). ~ 
Se tomarmos o limite dessa equação quando ó.x ~ O, o primeiro termo coincide com a derivada d(qA)/dx e o segundo 
termo reduz-se para s(x). Portanto, essa equação ~e ser escrita como 
'Recomendado para a Trajetória de Engenbaria e Ci!ncias . 
36 CAPITULO TRES 
d(qA ) d;"" = s. (3.8) 
A equação característica para o fluxo de calor, que o relaciona à temperatu
ra, é conhecida como lei de Fourier e é 
dada por 
dT 
q=-k-. dr 
(3.9) 
em que T é a temperatura e k é a condutividade térmica (que precisa ser positiva); no Sistem
a Internacional (SI) de 
unidades, as dimensões da condutividade térmica são W m·• oc-•. Um sina
l negativo aparece em (3.9) porque o 
calor emana de onde a temperatura é mais alta (quente) para onde ela é mais baixa (frio), isto
 é, contrá.rio à direção 
do gradiente do campo de temperatura. 
Inseri.ndo (3.9) em (3.8) obtemos 
Quando Ak é constante, obtemos 
d ( dT) dt Ak dr + s = O. 
d~T 
Ak-d,+s=O, 
:r· 
o< X< I. 
o< X< I. 
(3.10) 
y·üY0} 
0~~ (3.11) 
"' 
Nas duas extremidades do domúUo do problema, tanto o fluxo quanto a tem
peratura precisam serfprescritos; essas 
são as condições de contorno. Consideraremos as condições de contorno es
pecíficas da temperatura prescrita f em 
x = I e o fluxo prescrito q em x = O. O fluxo prescrito q é positivo se o calor (energia) escoa para f
ora da batra, isto 
é, q(x = 0) = -q. A formulação forte para o problema de condução de calor é então dada por 
~ (Ak dT) ..L, s = O em O < r < I dr dt · · 
dT 
- q = k dr = q em x = O, 
T =f em .r= I. 
(3.12) 
3. 1.3 Difusão Unídimensíonaf2 
A difusão é o processo em que um material é transportado por movimento
 atômico. Assim, na ausência do movi-
mento de um fluido, os materiais que se encontram no fluido são difundidos p
or toda a parte do fluido pelo movi-
mento atômico. Alguns exemplos são a difusão de um perfume quando uma
 pessoa fortemente perfumada entra em 
uma sala, a difusão de contarninantes em um lago e a difusão de sal em um c
opo com água (a água ficará salgada por 
difusão, mesmo na ausência de movimento do fluido). 
A difusão também ocorre em sólidos. Uma das formas mais simples de
 difusão em sólidos ocorre quando 
dois materiais entram em contato um com o outro. Existem dois mecanism
os básicos para a difusão em sólidos: 
difusão por lacunas e difusão intersticial. A difusão por lacunas ocorre 
primeiramente quando os átomos em 
difusão são de tamanhos similares. Um átomo em difusão necessita de uma
 lacuna no outro sólido para se mover. 
A difusão intersticial, representada esquematicamente na Figura 3.4, oc
orre quando um átomo em difusão é 
pequeno o suficiente para se movimentar entre os átomos do outro sólido
. Esse tipo de difusão não exige falhas 
de lacunas. 
Seja c a concentração de átomos em difusão, dada na unidade de átomos m·
3
• O fluxo de átomos, q(x) (átomos m· 2 
s·•), é positivo na direção da maior para a menor concentração. A relação entre o fluxo e a con
centração é conhecida 
como primeira lei de Fick, que é dada por 
de 
q= -k- , d\· 
em quek é o coeficiente de difusão, dado em m·
2 s·1• A equação de balanço para a difusão em regime permanente pode 
ser desenvolvida a partir da Figura 3.4 pelo mesmo procedimento que usam
os para deduzir a equação de condução 
de calor pela imposição da conservação de cada espécie de átomos e pela le
i de Fick. As equações são idênticas em 
estrutura para a condução de calor em regime permanente e diferem soment
e nas constantes e variáveis: 
d ( de) 
d- A
k- = O em O < x < I. 
r dr 
' Recomendado para a Trajetória de Engenharia e Ci!ncia. 
Fonnulações Forte-e Fraca para Problemas Unidimensionais 37 
q(x)A(X) : : f/.X + Ã.t)A(.t + Â.t) 
- - .. 11~: I • 
' ' 
. ;_ . . 
Atomos em 
treliça 
X 
difusão 
Figura 3.4 Di..fusão intersticial em uma treliça atômica. 
3.2 FORMULAÇÃO FRACA UNIDIMENSIONAL 
Para desenvolver as equações de elementos finitos, as equações diferenciais parciais precisam ser reformuladas 
em uma forma integral chamadajormuiação fraca. Uma formulação fraca das equações diferenciais é equivalen~ 
à equação de governo e suas condi ões de contorno, isto é, à formulação forte. Em muitas disciplinas, a formu-
lação aca possUI nomes específicos; por exemplo, ela é chamada o princípio do trabalho virtual em análise de 
tensões. 
Para mostrar como as formulações fracas são desenvolvidas, primeiramente consideramos a formulação forte do 
problema de análise de tensões dada em (3.7}.lniciamos pela mulnpucação dã equaçãõ de governo (3-:'?a) e a condição 
de contorno de tração (3.7b) por uma função arbitrária w(x) e pela integração sobre os seus domínios de ação: para 
a equação de governo, o domínio pertinente é o intervalo [O,l), enquanto para a condição de contorno de tração, o 
domínio é a área da seção transversal em x = O (não é necessária uma integral porque essa condição age somente em 
um ponto, mas multiplicamos a condição pela área A). As duas equações resultantes são 
I 
(a) f w[!(AE:) +b] dx=O 
o 
Vw, 
(3.13) 
A função w(x) é chamada de junção peso; em tratamentos mais matemáticos, ela também é chamada de função teste. 
Nessa equação, 'r/w denota que w(x) é uma função arbitrária, isto é, (3.13) deve ser válida para todas as funções w(x). 
A arbitrariedade da função peso é crucial, como por outro lado uma formulação fraca não é equivalente à formu-
lação forte (veja Seção 3.7).A função peso pode ser pensada como uma função que força uma solução: tudo o que 
for multiplicado por ela é forçado a ser zero por sua arbitrariedade. 
Você deve ter notado que não forçamos a condiÇão· de contorno sobre o deslocamento em (3.13) pela função 
peso. Veremos que é fácil construir soluções tentativas ou candidatas u(x) que satisfaçam essa condição de contorno 
de deslocamento, de modo que consideraremos que todas ás soluções candidatas da Equação (3.13) satisfaçam 
essa condição de contorno. Do mesmo modo, em breve veremos que é conveniente ter todas as funções peso 
correspondendo a 
w(l) =O. (3.14) 
De forma que impomos essa condição ao conjunto de funções peso. 
Conforme você verá, na solução de uma formulação fraca, é considerado um conjunto de soluções admissfveis 
- ·----~r qüe safisfaçã·cena:s condiÇões. Essas solüÇ'õCS'sãõ ênaniadã:s'l:!esolüçõe.nentativas: EláS"Uütioeilf são·chamadas 
de soluções candidatas. 
Poderíamos usar (3.13) para desenvolver um método de elementos finito~. mas por causa da derivada segunda de 
u(x) na expressão, soluções tentativas muito suaves seriam necessárias; tais soluções tentativas muito suaves seriam 
difíceis de construir em m~s que uma dimensão. Al6m disso, a matriz de rigidez resultante não seria simétrica, porque 
a primeira integral não é simétrica em w(x) e u(x). Por essa razão, iremos transformar (3.13) em uma formulação que 
contenha somente a derivada primeira. Isso levará primeiramente a matrizes de rigidez simétricas, e nos permitirá 
usar soluções menos suaves e simplificará o tratamento da condição, de contorno de tração. 
Por conveniência, reescrevemos (3.13a) na forma equivalente: 
I I f IV! ( AE~;)dx +f wbdt = 0 
" . . ... o 
Vw. (3.15) 
38CÀPITULO TR~ 
o 
Para obter uma formulação fraca. na qual somente as derivadas primeira apareçam, primeiramente recordemos da 
regra para a derivada de um produto: 
d d/ dw df d dw 
-(»f) = w-+J- => w-=- (wf) -f-dx dx dx dx dx dx. 
Integrando essa equação sobre o domínio [0, l), obtemos 
I I I f w! dx = f ~(uf)dx- f f: dx. 
o o o 
O teorema fundamental do cálculo estabelece que a integral da derivada de uma função é a própria função. Esse 
teorema nos permite substituir a primeira integral oo segundo membro por um conjunto de valores de contorno e 
reescrever a equação como 
I I I f IV~ dx = (~tf)l~-f f~ dx = (~tf).<=l- (wf)..-=0 - f f~ dt. (3.16) 
o o o 
Esta fórmula é conhecida como integração por partes. Descobriremos que a integração por partes é útil sempre que 
relacionamos as formulações forte e fraca. 
Para aplicar a fórmula da integração por partes à (3.15), seja f= AE(duldx). Portanto, (3.16) pode ser escrita 
como 
(3.17) 
Usando (3.17), (3.15) pode ser escrita como segue: 
( ) 
I 1 1 
du Jdw du f wAE- - -AE-dx+ wbdt=O ~ dx dr 
(J o o o 
Vw com w(l) = O. (3.18) 
Notamos que pela lei da tensão-deformação e pelas equações de deslocamento-deformação, o termo destacado é a 
tensão u (como mo.strado), de forma que essa equação pode ser reescrita como 
I I 
(wAu)x=J- (wAa).t=o-f~ AE: dt +f wbdx =O 'v'w com w(l) = O. 
o o 
O primeiro termo nessa equação desaparece por causa de (3.14): isso é porque é conveniente construir funções peso 
que desapareçam nos contornos de deslocamento prescritos. Embora o termo pareça bastante insignificante, ele levaria 
à perda de simetria nas equações finais. 
De (3.13b), podemos ver que o segundo termo é igual a ~wAt\. 0, de. modo que essa equação torna-se 
f1 dw du _ f' dx AE dx dx = (wAt) .•• o + wbdx Vw com w(l) =O. (3.19) 
o o 
Vamos recapitular o que fizemos. Multiplicamos a equação de governo e contorno de tração por uma função peso 
suave, arbitrária, e integramos o produto sobre o domínio de ação. Adicionamos as expressões e transformamos a 
integral, de modo que as derivadas são de ordem mais baixa. 
Agora, chegamos ao ponto mais importante desse desenvolvimento: Estabelecemos que a solução tentativa que 
satisfaz o que foi citado anteriormente para todas as funções suaves w(x) com w(l) == O é a solução. Então a solução 
é obtida como se segue: 
Determinar u(x) dentre as funções suaves que satisfaçam u(l) = ü tal que 
I I 
~~AE~dx=(wAi).~ .. o+ f wbdx 'v'w com w(/) =O. (3.20) 
o o 
Essa equação é chamada de formulação fraca. O nome tem origem no fato de que as soluções para a formulação 
fraca não necessitam ser tão suaves quanto às das soluções da formulação forte, isto é, elas possuem exigências de 
continuidade mais fracas. Isso será explicado mais tarde. 
; 
Formulações Forte e Fraca para Problemas Unidimensionais 39 
Compreender como uma solução para uma equação diferencial pode ser obtida por essa instrução um tanto 
abstrata, e por que ela é uma solução útil, não é fácil. Exige-se que a maior parte dos estudantes tenha considerável 
raciocínio e experiência para compreender o processo. Para facilitar, daremos dois exemplos nos quais uma solução 
é obtida para um problema específico. 
Mostraremos na próxima seção que a formulação fraca (3.20) é equivalente à equação de equih'brio (3.7a) e à 
condição de contorno de tração (3.7b). Em outras palavras, a solução tentativa que satisfaz (3.20) é a solução da 
formulllção fone. A prova dessa afirmação na Seção 3.4 é um passo fundamental na teoria dos elementos finitos. 
Na obtenção de (3.19), passamos por um conjunto de etapas matemáticas que está correto, mas não temos base para 
dizer que a solução para a formulação fraca é uma solução da formulação forte, a menos que possamos mostrar que 
(3.20) implica (3.7). 
É importante lembrar que as solÚções tentativas u(x) precisam satisfazer as condições de contorno de desloca-
mento (3. 7c). Satisfazer as condições de contorno de deslocamento é essencial para as soluções tentativas, de modo 
que essas condiçOês âe contorno são íieqüeÓtemente chamadaS· dé condições 'de contorno essenciais. Veremos na 
Seção 3.4 que as condições de contorno de tração emanam na~ente da formulação fraca (3.20), de forma que 
as soluções tentativas não necessitam ser construídas para satisfazer as condições de contorno de tração. Portanto, 
essas condições de contorno são chamadas de condições de contorno naturais. Outras exigências de suavidade sobre 
as soluções tentativas serão discutidas nas Seções 3.3 e 3.9. 
Uma solução tentativa suave e que satisfaz as condições de contorno essenciais é chamada de admissfvel. Do mesmo 
modo, uma função peso que seja suave e que desapareça nos contornos ~sendais é admissfvel. Quando as formula-
, ções fracas são usadas para resolver um problema, as soluções tentativas e as funções peso devem ser admissíveis. 
Observe que em (3.20), a integral é simétrica em w eu. Isso levará a uma matriz de rigidez simétrica. Além disso, 
a derivada de maior ordem que aparece na integral é de primeira ordem: isso terá implicações importantes sobre a 
construção dos métodos dos elementos finitos. 
3.3 CONTINUIDADE 
Embora já tenhamos desenvolvido a formulação fraca, ainda não especificamos quão suaves as funções peso e 
as soluções tentativas devam ser. Antes de examinar esse tópico, examinaremos o conceito de suavidade, isto 
é, de continuidade. Uma função apresenta um grau de continuidade C", se as suas derivadas de ordemj para 
O s j s n existem e são funções contínuas em todo o domínio. Ficaremos preocupados principalmente com 
as funções com graus de continuidade CO, c-• e c•. Tais exemplos estão ilustrados na Figura 3.5. Como se 
pode ver, uma função com grau de continuidade CO é sucessivamente derivável por partes, isto é, sua derivada 
primeira é contínua, exceto em pontos selecionados. A derivada de uma função com grau de continuidade C' é 
uma função com grau de continuidade c-•. Então, por exemplo, se o deslocamento é uma função com grau de 
continuidade CO, a deformação é uma função com grau de continuidade c-•. Do mesmo modo, se um campo 
de temperatura e a condutividade térmica são funções com grau de continuidade CO, o fluxo é uma função com 
grau de continuidade c-•. Em geral, a derivada de uma função com grau de continuidade C" é uma função com 
grau de continuidade C'-1• 
As suavidades de funções com graus de continuidades CO, c-• e C1 podem ser relembradas por meio de alguns 
artifícios mnemônicos simples. Como pode ser visto na Figura 3.5, uma função com grau de continuidade c-• pode 
ter torções ou saltos. Uma função com grau !ie continuidade CO não possui saltos, isto é, descontinuidades, porém 
possui torções. Uma função com grau de continuidade C1 não possui saltos ou torções. Assim, existe uma progressão 
de suavidade conforme o sobrescrito aumenta, e que está resumida na Tabela 3.1. Na literatura, os saltos na função 
são freqUentemente chamados de descontiüuidades fortes, enquanto as torções são chamadas de descontinuidades 
fracas. · 
É importante mencionar que as bases de dados do CAD para superfícies suaves normalmente empregam funções 
com grau de sua~dade no mínimo igual a C1; as mais comuns são as funções "splines". De outra maneira, a superfície 
apresentaria torções provocadas pela função descritiva da geometria, por exemplo, em um carro existiriam torções na 
chapa metálica, em que o grau de continuidade de C1 não fosse observado. Veremos que os elementos finitos normal-
mente empregam funções com grau de continuidade CJ. 
• 
Flgun 3.5 Exemplos de funções com graus de continl,lidade c-•, C" e C'. 
40 CAPiTuLO TRÊS 
Tabela 3.1 Suavidades de funções. 
Suavidades Dobras Saltos Comentários 
c-• Sim Sim Continua por panes, 
<Y Sim Não Derivável continuamente por panes 
Cl Não Não Derivável continuamente 
3.4 EQUIVALÊNCIA ENTREAS FORMULAÇÕES FRACA E FORTE 
Na seção anterior. construímos a formulação fraca a panir da formulação forte. Para mostrar a equivalência entre 
as duas, agora mostraremos o inverso: a formulação fraca subentende a formulação forte. Isso garantirá que quando 
resolvermos a formulação fraca, teremos uma solução para a formulação forte. 
A prova de que a formulação fraca implica a formulação forte pode ser obtida pela simples inversão dos passos 
pelos quais obtivemos a formulação fraca. Dessa forma, em vez de usar--ª integração por partes para eliminar a deri-
vada segunda de u(x), invertemos a fórmula para obter uma integral com uma derivada maior e um termo de contorno. 
Para isso, trocamos os termos em (3.17), que fornece 
Substituindo essa equação em (3.20) e colocando os termos da integral no lado esquerdo e os termos de contorno no 
lado direito obtemos 
'r:lw com w(/) =O. (3.21) 
O segredo para fazer a possível prova é a arbitrariedade de w(x). Ela pode ser assumida como sendo algo que preci-
samos para comprovar a equivalência. Nossa seleção de w(x) é gwada por ter visto essa prova antes -O que faremos 
não é imediatamente óbvio, mas você verá que funciona! Primeiramente, seja 
(3.22) 
em que 1/J(x) é suave, 1/J(x) > O sobre O < x < l e 1/J(x) desaparece nos contornos. Um exemplo de uma função que 
satisfaz essas condições é rjl(x) = x(l - x). Em razão de como rjl(x) é construída. segue-se que w(l) = O, então, a 
condição de que w = O no contorno de deslocamento prescrito, isto é, no contorno essencial, é satisfeita. 
Inserindo (3.22) em (3.21) obtemos 
(3.23) 
O termo de contorno desaparece porque construímos a função peso, de forma que w(O) = O. Como o integrando em 
(3.23) é o produto de uma função positiva e o quadrado de uma função, ele precisa ser positivo em cada ponto no 
domínio do problema. Então, a única forma da igualdade em (3.23) ser satisfeita é se o integrando for igual a zero 
em cada ponto! Portanto, segue-se que 
d ( du) d~ AE d~ + b = O, o< X< I. (3.24) 
que é precisamente a equação diferencial na formulação forte, (3.7a). 
De (3.24) segue que a integral em (3.21) desaparece, e ficamos com 
(wA(i + a)),,=O =O 'r:lw com w(l) = O. (3.25) 
Como a função peso é arbitrária, nós a selecionamos, de forma que w(O) = l e w(l) = O. É mwto fácil construir tal 
função, por exemplo, (I - x)!l é uma função peso adequada; qualquer função suave que você possa esboçar sobre o 
intervalo {0, 1] e que desapareça em x = l é também adequada. 
Como a área da seção transversal A(O) #: O e w(O) #: O, segue-se que 
a= -7 em x =O, (3.26) 
que é a condição de contorno natural (tração prescrita), a Equação (3.7b). 
~--------------------------------------------------------............ . 
Fonnulações Forte e Ftaca para Problemas Unidimensionais 41 
A última equação restante da formulação forte, a condição de contorno de deslocamento (3.7c), é satisfeita por 
todas as soluções tentativas por construção, isto é, como pode ser visto de (3.20), exigimos que u(l) = ü. Portanto, 
podemos concluir que a solução tentativa que satisfaz a fdrmulação fraca satisfaz a formulação fone. 
Outra forma de provar a equivalência com a formulação forte partindo de (3.20) e que é mais instrutiva sobre a 
natureza da equivalência é a seguinte. Primeiramente fazemos 
e 
Tl) = A(O)u(O) +i. 
A variável r(x) é chamada de o resíduo; r(x) é o erro na Equação (3.7a) e r0 é o erro na condição de contorno de tração 
(3.7b). Note que quando r(x) =O, a equação de equih'brio (3.7a) é exatamente satisfeita e quando r0 = O, a condição 
de contorno de tração (3.7b) é exatamente satisfeita. 
A Equação (3.20) pode então ser escrita como 
I f w(x)r(x) dx + w(O)ro =O 
o 
Vw com w(l) = O. (3.27) 
Agora provamos que r(x) = O por contradição. Considere que em algum ponto O < a < l, r(a) '* O. Em seguida 
considerando que r(x) é suave, deve ser diferente de zero em uma pequena vizinhança de x = a, como mostrado na 
Figura 3.6(a). Temos a extensão completa na construção de w(.x) , visto que esta é urna função suave arbitrária. Assim, 
a construímos como mostrado na Figura 3.6(b). A Equação (3.27) então se toma 
I f w(x)r{x) dx + w(O)ru :::::: 4 r( a )6 :;é O. 
o 
Essa expressão implica que (3.27) é violada, e por contradição r(a) não pode ser diferente de zero. Isso pode ser 
repetido em qualquer outro ponto do intervalo aberto O < x < l, então se segue que r{x) = O para O < x < I, isto é, 
a equação de governo (3.27) é Satisfeita. Façamos agora w(O) = 1; como a integral desaparece porque r(x) = O para 
O < x < /, segue-se de (3.27) que r0 = O e, portanto, a condição de contorno de tração é também satisfeita. 
· Do que foi exposto, podemos ver por que dizemos que a equação é forçada quando ela, ou mais precisamente 
o resíduo, é multiplicada pela função peso: isso ocorre por causa da arbitrapedade da função peso, qualquer 
coisa que ela multiplica deve desaparecer. As provas da equivalência das formulações forte e fraca são de modo 
crítico ligadas na validade da formulação fraca para qualquer função suave. Na primeira prova (Equações [3.7]-
[3.20]), selecionamos uma função peso arbitrária especial (baseada n;i previsão de como a prova evoluiria) que 
tem que ser suave, enquanto na segunda prova, usamos a arbitrariedade e a suavidade diretamente. A função 
peso na Figura 3.6(b) pode não parecer particularmente suave, mas ela é tão suave quanto se necessita para 
essa prova. 
Figura 3.6 Dustração da equivalência entre as formulações fraca e forte: (a) um exemplo da funçli.o residual; (b) escolha da 
função peso e (c) produto das funções residual e peso. À esquerda, o procedimento~ mostrado para uma função com grau de 
continuidade CO; à direita, para uma funç!o com grau de continuidade c-1• 
42 CAPÍTULO TR~S 
~ Exemplo 3.1 
Desenvolva a formulação fraca da formulação forte: 
(a) ~ (AE du) + lOA.r = O, d"t" Ex O< x< 2, 
(b) llx:O E u(O) = 10-4, (3.28) 
(c) a..,.2 = ( E:).=l = 10. 
A Equação (3.28c) é uma condição sobre a derivada de u(x), então é uma condição de contorn_Q_natural; (3.28b) 
.é ~a..QQI}~ão sobre u(x), então é uma condição d<:_~!Qmn~ F:~~tç, como a função peso precisa 
desaparecer nos contornos essenciais, consideraniôii todas as funções peso suaves w(x) tal que w(O) = O. As solu-, 
ções tentativas u(x) precisam satisfazer a condição de contorno .essencial u(O) = w-•. 
Começamos multiplicando a equação de governo e a conàição de contorno natural sobre os domínios de ação 
por uma função peso arbitrária: 
\t'w(x), 
(3.29) 
du (b) (wA(E dx- 10)) ... _2 =O Vw(2). 
Em seguida, integramos a primeira equação por partes, exatamente conforme fizemos indo de (3.13a) para (3.17): 
1
2 
[ ( d du)] · ( du) ~.r-2 / 2 dw du 
w dx AE dx dt = ivAE d.x x=o- dx AEdx dx. 
o o 
(3.30) 
Construímos as funções peso de forma que w(O) = O; portanto, o primeiro termo do segundo membro da equação 
anterior desaparece em x = O. Substituindo (3.30) por (3.29a) temos 
/
2 
dwdu /
2 
( du) 
- AEdt~+ IOwAtdx+ wAEdx ,=0 
o o -
Vw(x) com w(O) = O. (3.31) 
Substituindo (3.29b) pelo último termo de (3.31) obtemos (após urna mudança de sinal) 
/
2 
dwdu /
2 
AE d\' dt dr- JOwAtdx- JO(wA)_ •• 2 =O V'11'(x) com w(O) = O. (3.32) 
o o 
Portanto, a formulação fraca é como se segue: encontre a função u(x) tal que para todas as funções u(x) suaves 
com u(O) = 10-•, tal que (3.32) seja verificada para todas as funções W(x) suaves com w(O) = O. 
~ Exemplo 3.2 
Desenvolva a formulação fraca para a formulação forte: 
d2u 
dr2 ·= O em I < .t < 3, 
( du) = 2, u(3) = I. dx ,rei 
(3.33) 
As condições sobre a função peso e as soluções tentativas podem ser deduzidas das condições de contorno. O 
ponto de contorno x = 1 é uma condição natural, visto que a derivada nele é prescrita, enquanto o contorno x = 
3 é um contorno. essencial, visto que aprópria solução. é prescrita. Portanto, é necessário que w(3) = O e que a 
solução tentativa satisfaça a condição de contorno essencial u(3) = I. 
Em seguida, multiplicamos a equação de governo pela função peso e integramos sobre o donúnio do problema; 
de modo similar, multiplicamos a condição de contorno natural pela função peso, que leva a 
3 . f d2u (a) w d,x2 dx = O, I , (3.34) 
{b) (w(:- 2) ).=,=O. 
FonnulaÇões Fórte e Fraca para Problemas Unidimensionais 43 
A integração por partes do integrando em (3.34a) fornece 
J.l wd2~dx= (wdu) - .(wdu) -!3 dw~dx. dx dx x• 3 dx x-t dx dx 
I I 
(3.35) 
Como w(3) = O, o primeiro termo do segundo membro na equação anterior desaparece. Substituindo (3.35) em 
(3.34a) obtemos 
!
3 
dwdu ( du) 
- dx dx dx - w dx x-1 = o. 
I 
(3.36) 
Adicionando (3j4b) a (3.36)'obtemos 
3 
/
dwdu 
dx dxdx+ 2w(l) =O. (3.37) 
I 
Então, a formulação fraca é: encontre uma função suave u(x) com u(3) = 1 para a qual (3.37) seja verificada para 
todas as funções w(x) suaves com w(3) = O. 
Para mostrar que a formulação fraca implica a formulação forte, invertemos os passos precedentes. A integração 
por partes do primeiro termo em (3.37) fornece 
3 3 
Jdwdu dx = (w du) 13-J w d2u dx (3.38) dxdx dx 1 dx2 • 
I I 
Em seguida, substinúmos (3.38) por (3.37), obtendo 
3 (w:) - (w:) -jw~dx+2w(l) =0. 
x•3 x• 1 I . 
(3.39) 
Como no contorno essencial, a função peso desaparece, isto é, w(3) = O, retira-se o primeiro termo da equação 
anterior. Coletando os termos e mudando sinais, obtemos 
3 .. j w:;dx+ (w(: -2)) s-
1
=0. 
I 
(3.40) 
Agora usamos os mesmos argumentos que para as Equações (3.22)-(3.26). Como w(x) é arbitrário, fazemos 
em que 
Então (3.40) torna-se 
-·'·( )~u(x) W-'I'X <Jxl, 
{
0, x= 1, 
t/t(x)= :;:-O,l<x.<3i 
O, x=J. 
3 ., 2 j t/t(x)(:;) dx =O. 
1'- _ ............ __ ----- ----
Como o integrando é positivo no intervalo [1,3), s.egue-se que a dnica forma do integrando desaparecer é se 
d2u(.x) O ~= para I <x<3, 
que é a equação diferencial na formulação forte(3.33). . . 
Agora, seja w(x) uma função suave que desapareça em x = 3, mas que'seja ig\ial a um em x = 1. Você pode 
esboçar um número infinito de tais f\J.nções: qualquer curva entre esses pontos com os valores finais especificados 
servirá. Como já sabemos que a integral em (3.40) desaparece, ficamos com 
(du -2) =0, 
d.x -· 
..,, .· 
44 CAPITULO TRÊS 
de modo que a condição de contorno natural é satisfeita. Como a condição de contorno essencial é satisfeita por 
todas as soluções tentativas, podemos então concluir que a solução da formulação fraca é a solução para a formu-
lação forte. 
í Exemplo 3.3 
Obtenha uma solução para a formulação fraca no Exemplo 3.1 utilizando soluções tentativas e funções peso da 
forma 
u(x) = ~ + 2,x. 
w(x) =Pu+ fi,:c. 
em que a0 e a 1 são parâmetros desconhecidos e /30 e {31 são parâmetros arbitrários. Considere que A é co
ns-
tante e E= 105. Para ser admissível, a função peso precisa desaparecer em x = O, de modo que /30 = O. Para 
a solução tentativa ser admissível, esta precisa satisfazer a condição de contorno essencial u(O) = w-•, Jogo 
ao= w-•. 
Dessa simplificação, resulta que apenas um parâmetro desconhecido e um parâmetro arbitrário permanecem, e 
w(x) = {J,x. 
du(x) 
~= ::!t: 
dw 
dx = fi,. 
Substituindo essa equação na formulação fraca (3.32) obtemos 
> • I p,-:x ,Edr:- I fi1x210dx- (fi1x 10).,~2 =O. 
(l [I 
Avaliando as integrais e fatorando sobre 13, obtemos 
P1 ( 2a1E-
8
3° -20) = o 
(3.41) 
Como a equação anterior precisa ser verificada para todo 13" segue-se que o termo entre parênteses precisa desa-
parecer, então a 1 = ;~ = j X w-•. Substituindo esse resultado em (3.41) obtemos a formulação fraca, que indi-
camos pelo sobrescrito '!in', visto que é obtida a partir de soluções tentativas lineares: u
1i• = w-•o + ~ x) e 
a';• = 7~ (a lei tensão-deformação precisa ser usada para obter as tensões). Os resultados são mostrados na Figura 
3.7 e comparados com a solução exata dada por 
u'"(x) = 10- 4 (1 + 3.r- .r'/6). a•x(x) == 10(3 - .r /2). 
Observe que mesmo essa aproximação linear muito simples para uma solução tentativa fornece um resultado razoavel-
mente preciso, mas ele não é exato. Veremos essa mesma carência de exatidão nas soluções em elementos finitos. 
Repita esse exemplo com soluÇões tentativas e funções peso quadráticas 
u(:r) = IXO + ?:,x + 1X2r. w(x) = {J0 + {J,x +fi~. 
Como antes, em razão das condições nos contornos essenciais, a0 = 1 o-• e 130 = O. Substituindo os campos ante-
riores com os valores dados de a0 e 130 na formulação fraca obtemos 
2 ! f (/11 + 2P1x)(E('.t:r +2:z~x))dx- f (/J1x+/]2.~)10xd\' - ((JJ1.r+/]1x~) 10).,"1 =0. 
o o 
Integrando, fatorando sobre 131 e /32 e rearranjando os termos obtemos 
P1[ E(2a1 +4~)- 1 ~0 ]+ ~(( 4a1 + 32? )E-80 )=o 
Como a equação anterior precisa ser válida para funções peso arbitrárias, ela precisa valer para {31 e {32 arbitrários. 
Portanto, os coeficientes de 13, e 132 precisam desaparecer (lembre-se do teorema do produto escalar), que fornece 
a seguinte equação linear algébrica em a 1 e Cl.z: 
E 32 I = 3 . [2 4][a] [140] 
4 3 a2 80 
60 
5õ 
50 
f' ,; 45 ,; o ,; 
... 
X , 
40 ,; 
"' 
,; 
~ ,; 
41 35 /"'" "'() E 
= 30 / U X 8 ,; 
o; 25 
,; 
"' 
,; 
o ,; 
20 .,; / 
/ 
/ 
"' · 
0.5 1 1.5 
(a) 
;; 
/. , 
, 
2 
Formul,ções Forte e Fraca para Problemas Unidimensionais 45 
35~----~----~----~----~ 
.. 
.. 
.. 
.,25 
., 
.. 
.. 
---,---~~~ -------•O ~ {E 
20 
15 
.. 
.. 
.. 
u"" (x) , ••••••• , 
u""'" (x) 
10L-----~----~------~----~ 
o 0.6 1 1.5 2 
(b) 
Figura 3.7 Comparação entre as aproxinútções linear (lin) e quadrática (quad) para a solução exata de (a) deslocamentos e 
(b) tensões. 
A solução é a 1 = 
1~ X 10-• e a2 = -0,5 X 10-•. Os deslocamentos e as tensões resultantes são 
uquliJd = 10-c( 1 + 1f x- O,Si!), ,...,.. = 10( 1f - x). 
A solução fraca é mostrada na Figura 3.7, da qual você pode ver que a solução' tentativa quadrática de dois párã-
metros aproxima-se mais da solução exata que a solução tentativa linear de um parâmetro. 
3.5 ANÁLISE DE TENSÕES UNIDIMENSIONAL COM CONDIÇÕES DE CONTORNO 
ARBITRÁRIAS 
3.5.1 Fonnulação Forte para Análise de Tensões Unidimensional 
• r~ •~ , 
Agora consideraremos uma situação mais geral, onde em vez de especificar uma condição de contorno de tensão 
em X= o e uma condição de contorno de deslocamento em X= I, as condiçPe-s de contorno de deslocamento e 
tensão pqdem ser prescritas em cada extremidade. Para isso, necessitaremos de uma notação mais geral para os 
contornos: 
O contorno do domínio unidimensional, que consiste em dois pontos extremos, é denotado por r. A porção do 
contorno onde os deslocamentos sãp prescritos é denotada porf.; o çontorno onde a tração é prescrita é denotado por 
r,. Nessa notação geral, tarito r. como r, podem ser conjuntos vazios (sem pontos), com um ponto ou dois pontos. 
A tração e o deslocamento não podem ser ambos prescritos no mesmo ponto de contorno. Fisicamente, pode-se. ver 
que isso é impossível, considerando uma barra tal como a mostrada na Figura 3.2. Se pudéssemos prescrever tanto 
o d~loc~ento quanto a força sobre o lado direito, isso significaria que a deformação da barra seria independente 
da força aplicada. Significaria também que as propriedades do material não teriam efeito sobre o comportamento 
· força-deslocamento da barra Obviamente, isso não é ,realista do ponto de vista físico, de forma que qualquer ponto 
. de contorno existe: ou uma tração ou um deslocamento prescritos. ltscrevêmos isso como r, n r.= o. Iremos ver 
nos exemplos subseqüentes que issd pode ser generalizado para outros sistemas: condições de contorno naturais e 
condiçõe~de contorno essenciais não podem ser aplicàdas nos mesmos pontos de contorno. 
Freqüentemente, os contornos com condições de contorno essenciais serão denominados contornos essenciais; 
do mesmo modo, os contornos com condições de contorno naturais serão denominados éontornos naturais. Podemos 
então dizer que um contorno não pódé ser ao mesmo tempo uin contorno essencial e natural. Também resulta da teoria 
dos problemas de valor de contorno que um tipo de condiÇão de contorno é necessário em cada ponto de contorno, 
isto é, não podemos ter qualquer contorno no qual não seja aplicada uma condição de contorno essencial ou natural. 
-P.ortanto. _qualqJJ,CLCQD19.rno é_QJJ J.Un~Q!ltorni_~sencial ou um contorno natural, e sua união é o contorno inteiro. 
Matematicamente, isso pOde ser ês~rito como r, U r • = r-. --------·-··-----~----·--·-... -.. -- --~-- ··--
Para resumir o que foi dito anteriormente, em qualquer contorno, tanto a função qu~to a sua derivada precisam 
ser especificadas, porém estas não podem ser especificadas no mesmo·contorno. Assim qualquer contorno precisa ser 
um contorno essencial ou um contorno natural; mas não pode ser os dois ao mesmo tempo. Essas condições são muito 
importantes e pooem ser matematicamente expressas pelas duas condições que estabelecemos anteriormente: 
r~nr., =O. I (3.42) 
Os dois contornos são ditos complementares: o contorno essencial mais seu corpplemento, o contorno natural, cons-
titui o contorno total. e vic.e-versa. · · 
Usando a notaçã~ anterior, resumimos a formulação forte para análise de tensões unidimensional (3.7) no 
Quadro 3.1. 
46 CAPITULO TR~ 
~ Quadro 3.1 Formulação forte para análise de tensões unidimensional 
:t(AE~) +b=O, O <x <I, 
(3.43) du _ r 
un=En-=1 em ,, dx 
u=ü em ru. 
No Quadro 3.1, adicionamos um vetor unitário normal ao corpo e o indicamos por n: como pode ser visto da Figura 
3.2, n = -1 em x = O e n = + 1 em x = l. Esse arúfício nos permite escrever a condição de contorno em termos 
das trações aplicadas nas extremidades. Por exemplo, quando uma força positiva por unidade de área é aplicada no 
primeiro membro da barra na Figura 3.2, a tensão naquela extremidade é negativa, isto é, ela é compressiva. e 0'71 = 
-u = T. Em qualquer ponto de contorno do segundo membro, n = + I e! portanto, 0'71 = u = T. 
3.5.2 Formulação Fraca para Análise de Tensões Unidimensional 
Nesta seção, desenvolveremos a formulação fraca para análise de tensões unidimensional (3.43), com condições de 
contorno arbitrárias. Primeiramente, reescrevemos a fórmula para integração por partes na notação introduzida na 
Seção 3.2: 
f df f dw f dw w dt dx = (wfil)lr- f dx dt = (ufil)lr. + {nfo)lr, - f dx dt. 
fi fi P. 
(3.44) 
Na equação anterior, o subscrito n na integral indica que a integral é avaliada sobre o domínio do problema unidi-
mensional, isto é, a notação n indica quaisquer limites de integração, tais como [0,1), (a, b ]. o subscrito r indica que 
a quantidade precedente é avaliada em todos os pontos de contorno, enquanto os subscritos r. e r, indicam que as 
quantidades precedentes são avaliadas sobre os contornos de deslocamento e de tração prescritos, respectivame.nte. A 
segunda igualdade resulta da complementaridade dos contornos de tração e deslocamento: visto que, como indicado 
por (3.42), o contorno total é a soma dos contornos de tração e de deslocamento, o termo contorno pode ser expresso 
como a soma dos contornos de tração e de deslocamento. 
As funções peso são construídas de forma que w = O em r •' e as soluções tentativa são construídas de maneira 
queu = üemr •. 
Multiplicamos as duas primeiras equações na formulação forte (3.43) pela função peso e as integramos sobre os 
domínios nos quais elas agem: o domínio Q para a equação diferencial e o domínio r, para a condição de contorno 
de tração. Isso fornece 
(a) f w(:t (AE:) +b) dx=O 
11 
Vw, 
(3.45) 
{b) (wA(i- an))lr, =O Vw. 
Denotando f= AE(du/dx) e usando a integração por partes (3.44) do primeiro termo em (3.45a) e combinando com 
(3.45b) obtemos · 
( ._)I fdw du ·f (wAan)lr. + wAt r, - dx AE dx dx + wb dx =O 
n n 
Vw com w =O em r •. (3.46) 
O termo de contorno em r. desaparece porque wlr. =O. A formulação fraca então se torna 
f dw du _ f dx AE dx dx = (wAt)lr, + wbdx Vw com IV= o em r.,. 
u n 
Neste ponto, introduzimos alguma notação nova, de modo que não necessitaremos continuar repetindo a frase 'u(x) é 
suave o suficiente e satisfaz a condição de contorno essencial'. Para esse objetivo, indicaremos o conjunto de todas as 
funções que são suficientemente suaves por Efl. As funções lf apresentam grau de continuidade ()l. Matematicamente, 
isso é expresso como H1 C ()l, Entretanto, nem todas as funções ()lsão soluções tentativas adequadas. Trabalharemos 
adicionalmente sobre isso na Seção 3.9; H1 é um espaço de funções com derivadas de quadrados integráveis. 
Denotamos o conjunto de todas as funções que são soluções tentativas admiss(veis por U, onde 
(3.47) 
Qualquer função no conjunto U deve satisfazer todas as condições que seguem a barra vertical. Assim, a expressão 
anterior denota o conjunto de todas as funções que são suficientemente suaves (a primeira condição depois da barra) 
e satisfaz a condição de contorno essencial (a condição depois dà vírgula). Portanto, podemos indicar que uma função 
u(x) é uma solução tentativa admissível afirmando que u(x) está contida no conjunto U, ou u(x) E U. 
~~- ----------~--------------------------------------------.................... . 
Fonnulaç6es Forte e Fraca para Problemas Unidimensionais 47 
De modo similar, indicaremos o conjunto de todas as funções peso admissfveis por 
Uo = {w(x)jw(x) E 1t, w =O emT11 }. (3.48) 
Observe que esse conjunto de funções é idêntico a U, exceto que as funções peso precisam desaparecer nos contornos 
essenciais. Esse espaço é distinguido de U pelo subscrito zero. 
Tais conjuntos de funções são freqUentemente chamadas de junção espaços ou somente espaços. A função espaço 1f1 
contém um número infinito de funções. Por essa razão, ela é chamada de um conjunto fufi.nito-dimensional. Para uma 
discussão de vários espaços, o leitor pode desejar consultar Ciarlet (1978), Oden e Reddy (1978) e Hughes (1987). 
Com essas definições. podemos escrever a formulação fraca ([3.45], (3.47]) e [3.48]) no Quadro 3.2. 
~ Quadro 3.2 Formulaç§o fraca ·para análise de tensões unidimensional 
Determine u(x) E U tal que 
~~AE~dx= (wAt)lr, + j wbdx Vwe Uo. 
n n 
(3.49) 
Observe que as funções w(x) e u(x) aparecem simetricamente na primeira integral em (3.49), enquanto isso não acon-
tece em (3.45a). Em (3.49), tanto as soluções tentativas quanto as funções peso aparecem como derivadas primeira, 
enquanto na primeira integral em (3.45a), as funções peso aparecem diretamente e as soluções tentativas aparecem 
como uma derivada segunda. Veremos em conseqüência que (3.49) levará a uma matriz de rigidez simétrica e a um 
conjunto de equações algébricas lineares simétricas, enquanto isso não acontecerá com (3.45a). 
3.6 CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL COM CONDIÇÕES DE CONTORNO 
ARBITRÁRIAS3 
3.6.1 Fonnulação Forte para Condução de Calor Unidimensional com Condições de Contorno Arbffrárlas 
Seguindo o mesmo procedimento da Seção 3.5.1, a porção do contorno onde a temperatura é prescrita. isto é, o 
COntorno ~Sencial, é denotada por r Te O COntorno Onde O flUXO é prescritO é denotado por r,; esses SãO OS COntornOS 
com as c:ondições de contorno naturais. Esses contornos são complementares, então 
r.,nrr = o.j (3.50) 
Com o vetor normal unitário usado em (3.43), podemos expressar a condição de contorno natural como qn = ij. Por 
exemplo, o fluxo positivo q causa entrada de calor (q negativo) sobre o ponto de contorno à esquerda onde qn = 
- q = q e saída de calor (ij positivo) sobre o ponto de contorno à direita onde qn = q =: ij. 
Podemosentão reescrever a formulação forte (3.12) como mostrado no Quadro 3.3. 
~ Quadro 3.3 Formulação forte para problemas de condução de calor unidimensional 
! (Ak ':) + s = o em n, 
dT 
qn = -kndX = q em rq, 
T= T em rT. 
3.6.2 Fonnulação Fraca para Condução de Calor Unidimensional com Condições de 
Contorno Arbffiárias 
(3.51) 
Novamente multiplicamos as duas primeiras equações na formulação forte (3.51) pela função peso e integramos 
sobre os domínios nos quais elas agem, o domínio n para a equação diferencial e o domínio rq para a condição de 
contorno de fluxo, que leva a 
'Recomendado para a trajetória de Engenharia c Ci!ncias. 
48 CAPITULO TRÉS 
(a) f w :t (Ak :) dt + f ws dr = O 
n n 
(b) (wA(q11- q))lr =O \fw . 
• 
O uso-da integração por partes do primeiro termo em (3.52a) fornece 
- Ak -:- dr = wAk-n + wsdt f dw dr ( dr )I f dr ux d( r· \fw com w =o em rr. 
!! !I 
Recordando que w = O em r r e combinando (3.53) com (3.52b) obtém-se 
Quadro 3.4 Formulação fraca para problemas de condução de calor unidimensional 
Determine T(x) E U tal que 
Jdw dT I j -Ak~dr = - (wAq) + w.nb' dr d..- r. 
n n 
Vw E Uo. 
Observe a similaridade entre (3.54) e (3.49). 
(3.52) 
(3.53) 
(3.54) 
3.7 PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO COM DOIS PONTOS COM CONDIÇÕES DE 
CONTORNO GENERALIZADA54 
3. 7.1 Formulação Forte para Problemas de Valor de Contorno com Dois Pontos com Condições de 
Contorno Generalizadas 
As equações desenvolvidas neste capítulo para problemas de condução de calor, difusão e elasticidade são todos da 
seguinte forma: 
d ( dO) dt AK dt +f = o em n. (3.55) 
Tais problemas unidimensionais são chamados de problemas de valor de contorno de dois pontos. A Tabela 3.2 
fornece o significado específico das variáveis e dos parâmetros anteriores para diversas aplicações. As condições de 
contorno naturais podem também ser generalizadas como (baseado em Becker et al. [1981]) 
( d8-) -~'dt-lf> + ft(B-8)= 0 em r4o. (3.56) 
A Equação (3.56) é uma condição de contorno natural porque a derivada da solução aparece na mesma. A Equação 
(3.56) se reduz às condições de contorno naturais padrão consideradas nas seções prévias quando {3(x) = O. Note que 
a condição de contorno essencial pode ser·recuperada como um caso lin:lite de (3.56) quando f3(x) é um parâmetro 
de penalidade, isto é, um número grande (veja Capítulo 2). Nesse caso, r !!!! r 4> e a Equação (3.56) é chamada de 
condição de contorno generalizada. 
Um exemplo dessa condição de contorno generalizada é uma barra elástica com uma mola fixada como mostrado 
na Figura 3.8. Nesse caso, f3(l) = k e (3.56) se reduz a 
( E(l)n(l) ~; (!) - 1) + k(u(/) - li) =O em x = I, (3.57) 
ü 
- ku(l) 
T 
Figura 3.8 Um exemplo do contorno generalizado para problema de elasticidade. 
' Recomendado para a Traje16ria Avançada. 
Formulações Forte e·Fraca para Problemas Unidimensionais 49 
~la 3.2 Tabela de conversão para equaÇões físicas aplicáveis à forma geral (3.55) e (3.56). 
Campo/parâmetro Elasticidade Condução de calor Difusão 
6 u T a.Jf c 
K E k k 
f IJ s s 
4) I -q -q 
8 ü f c 
r. r, r, r 
• 
r, r. r r rt 
f3 k h h 
em que {3([) = k é a constante da mola. Se a rigidez da mola for estabelecida em um valor muito grande, a condição 
de contorno anterior implica u(l) = ü; se fizermos k =O, a condição de contorno anterior corresponde ao contorno de 
tração prescrito. Na prática, tais condições de contorno generalizadas (3 .57) são freqUentemente usadas para modelar 
a influência do ambiente. Por exemplo, se a barra é um modelo simplificado de um edifício e de sua fundação, a mola 
pode ser representada pela rigidez do solo. 
Outro exemplo da aplicação dessa condição de contorno é a transfe~ncia de calor por convecção, na qual a energia 
é transferida entre a superfície da parede e o meio ambiente. Suponha que ocorra transferência de calor por convecção 
em x = l. Seja T(l) a temperatura da parede ~m x = l e f a temperatura do meio ambiente. Então o fluxo no contorno 
· x = l é dado por q(l) = h(T(l) - f de forma que {3([) = h e a condição de contorno é 
d.lt -kn dx + h(T(l) - T) =O, (3.58) 
em que h é o c.oeficiente de transferência de calor por convecção, o qual possui dimensões de W m-2 oc- 1• Note 
que quando o coeficiente de transferência de calor por convecção é muito grande, a temperatura f é imàdiatamente 
sentida em x = l e, assim, a condição de cont9nw «?s_sen~ial_ é novamente fo!ça~ ~~mo um caso limite da condição 
de contorno natural. · - • · . 
Existem duas aproximações para tratar com a condição de contorno (3.56). Nós as chamaremos de métodos da 
penalidade e da panição. No método da penalidade, a condição de contorno essencial é forçada a um caso limite da 
condição de contorno natural, igualando-se {3(x) a um parãn:i.etro de penalidade. A formulação forte resultante para 
o método da penalidade é dada no Quadro 3.5. 
~ Quadro 3.5 Formulação forte geral para problemas unidimensionais- método da penalidade 
·~ (A~ dO) +f= O em O. 
dx d~ . (3.59) 
( Kll d(}- cr;) + p(8- 8) =o em r. dr · 
Na aproximação da partição, o contorno total é partido no contorno natural, r~· e no contorno essencial comple-
-. __ mentar,T, .. A ç_onQi.ção d~_ç_Q!ltQillQ nawrai.P.Q~§~iJtf.Q.J:ID.it&!<l!~~ª-~-defi!!idª p~la ~!:!ªÇãQJ3.5.§2 .. !\ f~~~laçã~. ____ ·-
forte x:esultante para o método da partição é resumida no Quadro 3.6. 
~ Quadro 3.6 Formulação forte geral para problemas unidimensionais -método da partição 
(a) d ( d8) dx A~~: dx +f = O em 0, 
(b) ( d(} -) -M d:c- ~ + {3((}- 8) = 0 em r~. 
(3.60) 
50 CAPITULO TRts 
3.7.2 Formulação Fraca para Problema de Valor de Contorno com Dois Pontos com 
Condições de Contorno Generalizadas 
Nesta seção, deduziremos a formulação fraca geral para problemas de valor de contorno com dois pontos. Os métodos 
da penalidade e da partição descritos na Seção 3.7.1 serão considerados. Para obter a formulação fraca geral para o 
método da penalidade, multiplicamos as duas equações na formulação forte (3.59) pela função peso e integramos 
sobre os domínios nos quais elas agem: o domínio Q para a equação diferencial e o domínio r para a condição de 
contorno generalizada. 
(a) f w(:r ( AN- !~) +f) dr =O \fw, 
11 
(b) wA(("': -<$) +P<e - n))lr=o 'v'll". (3.61) 
Após integrar por partes o primeiro termo em (3.6la) e adicionar (3.61 b), a formulação fraca geral para problemas 
unidimensionais está resumida no Quadro ~.7. 
~ Quadro 3.7 Formulação fraca geral para problemas unidimensionais- método da penalidade 
Determine 6(x) E H1 tal que 
/
dw dO f - - I dx AK dx dr ·- nfd.r- 11-A(1>- {l(B- O)) r= O (3.62) 
n n 
Observe que no método da penalidade, r~ c; r. a função peso é arbitrária em r, isto é, V'w(x) E !fi, e a solução não 
é, em princípio, forçada a desaparecer sobre o contorno essencial, isto é, 8(x) E H1• A condição de·contorno essencial 
é obtida como um caso-limite da condição de contorno natural ao se fazer {3(x) muito grande, isto é, um parâmetro 
de penalidade. 
No método da partição, a formulação fraca geral para problemas unidimensionais é dada no Quadro 3.8. 
~ . ' Quadro 3.8 Formulação fraca geral para problemas unidimensionais- método da partição Detetmine 6(x) E V tal que 
f dw d8 f - - I - At>-dr- ltfdx- wA(<ll- {J(O- O)) =O dt dx r. 'v'w E Uo, (3.63) 
!! I! 
em que V e V0 são dados em (3.47) e (3.48), respectivamente. Note que na aproximação da partição, a função peso 
desaparece sobre o contorno essencial, r~· isto é, Vw E V0• Os contornos r ,e r ~são complementares. 
3.8 ADVECÇÃO-DIFUSÃ05 
Em muitas situações, uma substância é transportada e difundida por um meio. Por exemplo, um poluente em um 
aqüífero é disperso tanto por difusão quanto pelo movimento da água no aqüífero. Em tanques de resfriamento para 
plantas de potência, a energia sob a forma de calor move-se pelo tanquetanto por difusão quanto por transporte em 
virtude do movimento da água. Se adicionarmos açúcar em uma xícara de café, ele irá se dispersar através da xícara 
por difusão; a dispersão é acelerada pela agitação, que causa advecção no açúcar. A dispersão devido ao movimento 
do fluido possui diversos nomes além de advecção: convecção e transporte são outros dois nomes largamente utili-
zados. 
3.8.1 . Formulação Forte da Equação de Advecção-Difusão 
Considere a advecção-difusão de uma espécie em um modelo unidimensional de área de seção transversal A(x), que 
poderia ser um tubo ou um aqüffero; a concentração da espécie ou a energia é denotada por O(x). Em um aqüífero, o 
escoamento pode estender-se a uma grande distância notmal ao plano, de modo que consideraremos uma unidade de 
'Recomend.ldo para a Trajetória Avançada. 
f11rmulações Forte e Fraca para Problemas Unidimensionais . 51- -
profundidade, onde a profundidade é a dimensão perpendicular ao plano. Nunúubo, A(x) é simplesmente a área da 
seção transversal. A velocidade do tubo é denotada por (x), e ela é considerada constante na seção transversal a cada 
ponto ao longo do eixo, isto é, para cada x. Uma fonte s(x) é éonsiderada; ela pode ser positiva ou negativa. Esta última 
indica o declínio ou a eliminação das espécies. Por exemplo, no transporte de um contaminante radioativo, s(x) é a 
variação em um isótopo específico, o qual pode diminuir devido ao decaimento ou aumentar em razão da formação. 
O fluido é considerado incompressível, o que acarreta algumas implicações que veremos posteriormente. 
O princípio da conservação estabelece que a espécie (seja um material, uma energia ou um estado) é conservada 
em cada volume de controle lu. Portanto, a quantidade da espécie que entra menos a quantidade que sai é igual à 
quantidade produzida (um volume negativo quando as espécies decaem). Neste caso, temos dois mecanismos para 
escoamentos que entram e saem do volume de controle, a advecção, que é (Av8)z' e a difusão, que é q(x). O princípio 
da conservação pode ser então expresso como 
· 
(Av8).r + (Aq).r- (Av8).r+ãr- (Aq).r+t..r + !:usx+t..r/2 =O. 
. .. 
Dividindo por tu e tomando o limite quando tu--+ O, obtemos .(após uma troca de sinal) 
d{~v9) + d<:.xq)- s =o. (3.64) 
Agora, consideraremos a incompressibilidade do fluido. Para um fluido incompressfvel, o volume de material entrando 
em um volume de controle é igual ao volume de material saindo, que fornece 
(Av)x = (Av).r+t..r· 
Passando o segundo membro para o primeiro membro dessa equação e dividindo por Ax e fazendo Ax--+ O, obtemos 
d(Av) = O. 
dx 
Se usarmos a regra da derivada do produto no primeiro termo de (3.64), obtemos 
d(Av9) = d(Av) e+ Av dB 
dx dx dx ' 
(3.65) 
(3.66) 
em que o primeiro termo no segundo membro desaparece por (3.65), então substituindo (3.66) em (3.64) obtemos 
dB d(Aq) 
Av dx +~-s= O. (3.67) 
Essa é a equação da conservação para uma espécie em um fluido incompressível em movimento. Se a difusão for 
linear, a primeira lei de Fick é verificada, então 
d8 q= -k- , dx 
em que k é a difusividade. Substituindo (3.68) em (3.67) obtemos 
(3.68) 
(3.69) 
Essa é chamada equ::.ção de advecção-difusão. O primeiro termo leva em conta a advecção {algumas vezes chamada 
de transporte) do material. O segundo termo leva em conta a difusão. O terceiro termo é o termo de fonte. 
Consideraremos as condições de contorno essencial e natural usuais · 
------------- -
(a) 8=8 em r 9 , 
d9 (b) -kdxn=qn=q em rq, 
(3.70) 
em que r, e r, são complementareS, veja (3.50). 
A equação de advecção-difusão é importante por si própria, mas ela é também um modelo para muitas outras 
equações. Equações similares à equação de advecção-difusão são encontradas por meio do campo da mecânica 
dos fluidos computacional. Por exemplo, a equação da vorticidade é dessa forma. Se. substituirmos 8 por 11, então o 
segundo termo em (3.66) corresponde ao termo de transporte nas equações de Navier-Stokes, que são as equações 
fundamentais da dinâmica dos fluidos. 
3.8.2 Fonnu/ação Fraca da Equação de AdvecçãcrDifusão 
Obtemos a formulação fraca de (3.69) multiplicando a equação de governo por uma função peso arbitrária w(x) e 
integrando sobre o donúnio. Do mesmo modo, a declaração fraca das condições de contorno naturais é obtida pela 
multiplicação de (3. 70b) pela função peso e pela área A. As equações fracas resultantes são 
52 CAPíTULO TRÊS 
Vw. 
(3.71) 
Os espaços de solução tentativa e função peso são exatamente como antes, veja (3.47) e (3.48). 
Podemos ver que o segundo termo na Equação (3.7la) não é simétrico em w e 8e envolve uma derivada segunda, 
a qual deseja."11os evitar visto que ela requereria soluções tentativas mais suaves que o conveniente. Podemos reduzir 
a ordem da derivada por integração por partes. 
O primeiro termo em (3.71a) é intrincado, visto que envolve somente uma derivada primeira, mas não é simétrico. 
Daí não podemos fazer esse termo simétrico via integração por partes, visto que o integrando torna-se (dwldx)Av8: 
nesse caso, a integração por partes somente muda a derivada da solução tentativa para a função peso. Então deixemos 
esse termo como ele é. 
Integrando por partes o segundo termo em (3.71a) e combinando com (3.7lb) obtemos 
k wAv(:)dr +In ~;·Ak(:)dx -lo wsdr+ (Awq)L =O, (3.72) 
A formulação fraca é então: encontre a solução tentativa 8(x) E U tal que (3.72) seja válida para todos 
w(x) E U0. 
Não provaremos que a formulação fraca implica a formulação forte; o procedimento é exatamente o mesmo daquele 
anterior e consiste na simples inversão dos passos precedentes. Uma propriedade importante de (3. 72) é que o primeiro 
termo não é simétrico em w(x) e 8(x). Portanto, as equações discretas para essa formulação fraca não serão simétricas. 
A Equação (3. 72) e suas c~ndições Çe contorno tornam-se complicadas quando k = O. Neste caso, não existe difusão, 
somente transporte. O tratamento deste caso especial está além deste livro, veja Donea e Huerta (2002). 
Em vez da condição de contorno de fluxo (3.70b), o influxo total de entrada de material no contorno é freqüente-
mente prescrito pela condição de contorno alternativa 
d8 
( -k dx + vfJ)n = lír· (3.73) 
Integrando o primeiro termo em (3.72) por partes e adicionando o produto da função peso, área A e (3.73), 
obtemos 
(3.74) 
A formulação fraca então consiste na equação (3.74) juntamente com uma condição de contorno essencial (3.70a) e 
a condição de contorno generalizada (3.73). 
3.9 ENERGIA POTENCIAL MÍNIMA6 
Uma aproximação alternativa para o desenvolvimento das equações de elementos fulltos, que é amplamente utilizada, 
é baseada nos princfpios variacionais. A teoria que lida com os princípios variacionais é chamada de cálculo varia-
ciónal, e à primeira.vista seu entendimento pode ser um pouc~ difícil para estudantes de graduação. Aqui, daremos 
uma simples introdução no contexto para a análise de tensões e a condução de calor unidimensional. Também mostra-
remos que o efeito desses princípios variacionais é equivalente à formulação fraca para sistemas simétricos, tais 
como condução de calor e elasticidade. Portanto, as equações de elementos finitos são também idênticas. Finalmente, 
mostraremos como os princípios variacionais podem ser desenvolvidos das formulações fracas. O princípio varia-
cional correspondente à formulação fraca para a elasticidade é chamado de teorema da energia potencial mínima. 
Esse teorema é estabelecido no Quadro 3.9. 
Quadro 3.9 Teorema da energia potencial mínima 
A solução da formulação forte é minimizada de 
W(u(x)) pn~ 'v'u(:r) E U onde W(u(x)) =~f AE(:) 2 dr- (! ubdl'+ (uAi)lr,) 
H I! 
~ '-------~-----J 
W;nt W.xt 
'Recomendado para as Trajetórias Avançada e de Mecânica EstrUtural. 
(3.75) 
Fonnulaç6es Forte e Fraca para· Problemas Unldlmensionals 53Na elasticidade, W é a energia potencial do sistema. lndicail}oS pelos subscritos 'int' e 'ext' que fisicamente o primeiro 
termo é a energia interna e o segundo termo é a energia externa. 
Mostraremos agora que o minimizador de W(u(x)) corresponde à formulação fraca, a qual, como já sabemos, 
implica a formulação forte. Mostrar que a equação para o minimizador de W(u(x)) é a formulação fraca implica que 
o minimizador é a solução, conforme já mostramos que a solução para a formulação fraca é a solução da formulação 
forte. 
Uma das maiores barreiras intelectuais no aprendizado do cálculo variacional é compreender o significado de 
W(u(x)). W(u(x)) é uma função de u1714junção. De tal modo, uma função de uma função é chamada de funcional. 
Examinaremos agora como W(u(x)) varia conforme a função u(x) é mudada (ou variada). Uma mudança infinitesimal 
em uma função é chamada de uma variação da junção e denotada por ôu(x) • tw(x), em que w(x) é uma função 
arbitrária (usaremos ambos os símbolos) e O < t < < l, isto é, t é um número positivo muito pequeno. 
A -mud8nça cÕrrespOIÍdente-no funcioiiãl é-chamada <Je variação riO fiinciôiuil e denotada por 8W, que é definida 
por 
óW = W(u(x) + (w{x)) - W(u(x)) = W(u(x) + óu(x))- W(u(x)). (3.76) 
Essa equação é análoga à definição de um diferencial, exceto que nessa última considera-se uma mudança na vari-
ável independente, veja Oden e Reddy (1983) e Reddy (2000) para detalhes sobre cálculos variacionais. Um diferen-
cial fornece a mudança em uma função devido à mudança da variável independente. Uma variação de um funcional 
fornece a mudança em um funcional devido a uma variação na função. Se você substitui 'função' por 'funcional' e 
'variável independente' por 'função' na primeira sentença, você tem a segunda sentença. 
Do enunciado do teorema da energia potencial mínima dado no Quadro 3.9, está claro que a função u(x) + tw(x) 
deve ainda ser U. Para obter essa condição, w(x) precisa ser suave e desaparecer no contorno essencial, isto é 
w(x) E Uo. (3.77) 
Vamos avaliar a variação do primeiro termo em ôW1 ... Da definição da variação de um funcional, Equação (3.76), 
segue-se que 
1 f (d" dw) 2 I f (du) 2 óW~nl =- AE -+(- dx-- AE - dx 
I 2 dx dx 2 dt 
ll 11 
. (( )2 ( )2) (du)? I du dudw 2 dw I -=1.f AE dr +2Ç(i;d;+( dx dt- 2f AE dt dx. 
ll ll 
(3.78) 
O primeiro e o quarto termos nessa equação se cancelam. O terceiro termo pode ser desprezado porque t é muito 
pequeno, então seu quadrado é um termo de segunda ordem. Ficamos com 
(3.79) 
A variação no trabalho externo é avaliada pela utilização da definição de uma variação e do se~ndo termo na Equação 
(3.75); é dividida em partes devido à força de campo e de tração para maior clareza. Isto fornece 
ów;.~ = j (u + (w)bdx- f ubdx = c:j wbdx 
n n n 
cSw!:, = (u + (w)Ailr, -(ui)Air, = <.(wAí)lr, (3.80) 
6W m = 6W!:, + 6w!;, = ( (! wbdx + (wA1)1,,) (3.81) 
No mínimo de W(u[x}), a variação do funcional precisa desaparecer, justamente como os diferenciais ou as derivadas 
de uma função desaparecem no mínimo de uma função. Isso é expresso como ôW = O. Portanto, temos 
O= óW = óWint - 6Wext· (3.82) 
Substituindo (3.79)-{3.81) na equação anterior e dividindo por!; obtemos o seguinte: para u(x) EU, 
f (dw) (du) f -~ ôW/( = AE dx dx dx- wbdx- (wAt) r =O, li li • w(.t) e Uo. (3.83) 
Você reconhece a equação anterior? Ela é precisamente a declaração da formulação fraca, a Equação (3.49) que desen· 
volvemos na Seção 3.6. Também relembre que mostramos na Seção 3.4 que a formulação fraca implica a formulação 
forte, de forma que o minimizador do funcional da energia potencial fornece a formulação forte. 
54 CAPITULO TRES 
Para ser preciso, somente mostramos que um ponto estacionário da energia corresponde à formulação forte. Pode 
também ser mostradó que o ponto estacionário é um minirnizador, veja Equação (3.75) ou Becker, Carey e Oden 
(1981, pp. 60--62). 
Na maior parte dos livros sobre princípios variacionais, a mudança na função u(x), em vez de ser denotada por 
tw(x), é denotada por óu(x). A Equação. (3.83) é então escrita como se segue. Determine u E V tal que 
r (dll) (d(5u)) f _
1 óW = J AE dX ~ dr- óubdx- (6uAr} r,= O 
li li 
't/óu E Uo. (3.84) 
Isso pode ser adicionalmente simplificado pelo uso da equação da deformação--deslocamento e a lei da tensão--defor-
mação nos primeiros termos no primeiro integrando de (3.84), que fornece 
óW - [ M 6""' - ([ bóudx + ~Aóu )I,·.) - O 
..__., 
c5W;01 óW<~< 
(3.85) 
A equação anterior é chamada de o princípio do trabalho vinual: o campo de deslocamento admissível (u E U) para 
o qual a variação no trabalho interno o~ .. é igual à variação no trabalho externo õW .. , para todo Vôu E U0, satisfaz 
o equihôrio e as condições de contorno naturais. Note que (3.85) é idêntica às formulações fracas (3.49) e (3.83), 
somente a nomenclatura é diferente. 
Uma característica muito interessante do princípio da energia potencial núnima e a sua relação com a energia do 
sistema. Considere o tenno W "''na Equação (3.75). A substituição da equação da deformação--deslocamento (3.3) e 
da lei de Hooke (3.4) permite-nos escrevê-la como 
f . 1/ " W;n1 = n)n( A dx = 2 AEc dx. (3.86) 
li !! 
Se examinarmos um gráfico de uma lei linear como o da Figura 3.9. podemos ver que a energia por unidade de volume 
é wint = (l/2)Ee2• Portanto, w; .. • a integral da densidade de energia sobre o volume, é a energia interna total dp sistema, 
o que justifica o subscrito 'int', que é a abreviatura de 'interna', e que está indexando esse termo. Essa energia também 
é chamada de energia de deformação, que é a energia potencial estocada em um corpo quando ele é deformado. Essa 
energia pode ser recuperada quando o corpo é liberado. Pense em uma régua de metal que está curvada ou em uma 
mola comprimida; quando a força é liberada, elas se descomprimem, liberando a energia estocada. O segundo termo 
é também uma energia, pois os dois termos que compreendem w .. , são produtos da força (b ou 7) e do deslocamento 
u; em qualquer caso, ele deve ser uma energia para que a equação seja dimensionalmente consistente. 
Podemos reescrever o funcional na Equação (3.75) como 
IV = W;., - W .... (3.87) 
pelo uso das definições ressaltadas e pelo princípio variacional, que é óW = O. Isto esclarece o significado físico do 
princípio da energia potencial mínima: a solução é o minirnizador (isto é, um ponto estacionário) da energia potencial 
W dentre todas as funções de deslocamento admissíveis. 
Muitos textos de elementos finitos usam o teorema da energia potencial roínüna como um modo de fonnular o método 
dos elementos finitos. A questão natural que emerge nessa aproximação para ensinar elementos finitos é: como esse teorema 
surgiu e os princípios correspondentes podem ser desenvolvidos para outtas equações diferenciais? De fato, o desenvolvi-
mento dos princípios variacionais consumiu muitos anos e foi um tópico de intensa pesquisa nos séculos XVITI e Xrx. Os 
princípios variacionais não podem ser construídos por regras simples como as que utilizamos para as formulações fracas: 
Entretanto, algumas fonilulações fracas podem ser convertidas em princípios variacionais, e na próxima seção, mostraremos 
como construir um princípio variacional para análises de.tensão e de condução de calor unidimensionais. 
Figura 3.9 Definição da densidade de energia interna ou densidade de energia de defonnação w"". 
Fonnulações Forte e Fraca para Problemas Unidimensionais 55 
Uma característica atrativa do teorema de energia potencial é que ele vale para qualquer sistema eiástico. Assim, 
se escrevemos a energia para qualquer outro sistema, podemos rapidamente deduzir as equações de elementos finitos 
para aquele sistema; isso ·será visto no Capítulo lO para ·vi gás. Os princípios variacionais também são muito úteis .nó 
estudo da precisão e da convergênciade elementos finitos. 
A desvantagem da apro?dmação variacional é que existem muitos sistemas para os quais·ela não é prontamente 
aplicável. Os princípios variacionais simples não podem ser desenvolvidos para a equação de advecção-difusão, para 
a qual desenvolvemos uma formulação fraca na Seção 3.8 pelo mesmo procedimento direto como para as outras equa-
ções. Os princípios variacionais somente podem ser desenvolvidos para sistemas que são auto-adjuntos. A formulação 
fraca para a equação de advecção-difusão não é simétrica, e ela não é um sistema auto-adjunto (veja Becker, Carey 
e Oden (1981) para definição de sistemas auto-adjuntos). 
Os princípios. variacionais idênticos àqueles para elasticidade aplicam-se à transferência de calor e a outras equa-
ções de difusão. !sso não é uma surpresa, visto que as equações são idênticas, exceto para os parâmetros. Como um 
exemplo1-o princípio yariacional para condução de calor é dado no Quadro 3.10. 
Quadro 3.1 O Princípio variacional para condução de calor 
S•ja W(T(x)) = ~ [ Ak ( :)' dx - V r. dx - (TAq) [,.). 
..._______... 
W;.., Wex, 
então a solução da formulação forte de (3.51) é o minimizador de W(2\x)) para VT(x) E U. 
O funcional nesse princípio variacional não é uma energia física; de fato, a temperatura por si só corresponde à 
energia física. Entretanto, o funcional é freqUentemente chamado de urna energia mesmo para equações de difusão; 
nós o chamaremos de uma energía matemática. A prova da equivalência desse princípio para a formulação fraca (e, 
portan~o. para a formulação forte) das equações de condução de calor .envolve somente a substitução dos símbolos 
em (3.78)-{3.83) de acordo com a Tabela 3.2; a matemática é idêntica independentemente dos símbolos. 
3.101NiEGRAs1UDADE1 IIJP e; t~ •'MA-\~ I 
Até o momento deixam.os a dÍscussão da suavidade das funções peSO e -das ·soluções· tentativas um tanto nebulosa. 
Definiremos agora maiS. precisamente o grau de suavidade. exigi!lo na.S formulaÇões fracas. Muitos leitores podem 
desejar passar p<)r cima desse material em uma leitura prellininar, vist<? que o rest9 do livro é bastante claro sem uma 
compreensão deste materiâl. · 
O grau de suavidade que é requerido nas funções peso e tentativa é determinado pelo quão suaves elas necessitam 
ser, de forma que as integrais na formulação fraca, tais como (3.54), poss~ ser avaliadas. Isto é chamado de. inte-
grabilidade da fornuilação fraca. Se as funções peso e tentativa são muito irregulares. então as integrais não podem 
ser avaliadas, .então obviamente a formulação fraca não é utilizável. · 
Em seguida, examinamos, de forma grosseira, o quão suave essas funções devem ser. Se você olhar para uma 
função cem grau de continuidade c-' que não é singular (não tende para o infinito), você pode ver que obviamente 
ela é ~tegrável, conforme a área sob tal função é bem definida. Mesmo a derivada de uma função com grau de conti-
nuidade c-• é integrável, para um ponto de descontinuidade· X= a de magnitude p, a derivada é a função delta de 
· Dirac pô(x - a). Pei.a definição ~e uma função delta de birac (Veja Apêndice A5), ' 
Então, a integral da derivada de uma função com grau de continuidade c-1 é bem definida. Entretanto, o produto das 
derivadas das funções peso e tentativa aparece na formulação fraca. Se essas funções tiverem grau de continuidade 
·- -c-1 ,'e asaesconfinuiàâOes ocorrerem no- mesmo ponto, digamos X-=- a, -entãÕ-ã fônnülãÇãOfiãCa COÍiteraô-termo ·-
r: ,r ó(x - a )2 dx. o integrando aqui pode ser considerado como um 'quadrado infinito': não existe forma significa-
ti~a para obter essa integral. Assim, o com grau de continuidade c-' das funções peso e tentativa não é suficiente. 
Ao contrário, se as funções peso e tentativa tiverem grau de continuidade CO e não forem singulares, então as 
derivadas são funções com grau de continuidade c-' e o integrando será o produto de duas funções com grau de 
continuidade c-'. Você pode esboçar algumas funções e ver que o produto das derivadas de duas funções com grau 
de continuidade c-' também será UJA3 função com grau de continuidade c-1 enquanto as funções forem limitadas 
(não tendendo para infinito). Visto que uma função com grau de continuidade c-1 e limitada é integrável, a função 
com grau de continuidade CO é suave o suficiente para as funções peso e tentativa. 
'Recomen~o para a Trajetória Avançada. 
' ~o··· 
56 CAPITuLO TR~ 
REFERÊNCIAS 
Problemas 
Essa exigência de continuidade pode também ser justificada fisicamente. Por exemplo, na análise de tensão, um
 
campo de deslocamento com grau de continuidade c-
1 teria falhas ou superposições nos pontos de descontinui-
dade da função. Isso violaria a compatibilidade do campo de deslocamento. Embora
 as falhas possam ser tratadas 
em métodos mais avançados para modelar as falhas, elas não estão dentro do esco
po dos métodos que estamos 
desenvolvendo aqui. De modo sinúlar, na condução de calor, um campo de temperatu
ra com grau de continuidade 
c-' acarretaria um fluxo de calor infinito nos pontos de descontinuidade, os quais não
 são fisicamente razoáveis. 
Portanto, as noções de suavidade exigidas, que surge da integrabilidade da formulaç
ão fraca, também possui uma 
base física. 
Nos tratamentos matemáticos do método de elementos finitos, é feita uma descrição mai
s precisa do grau de suavi-
dade exigido: as funções peso e tentativa são exigidas por possuir derivadas dos quadrad
os integráveis. Uma derivada 
de u.-na função u(x) é chamada quadrado integrdvel se W,.(O), definido como 
W;m(B) =~f KA (~~r ck 
n 
(3.88) 
é limitado, isto é, W1.,(9) < oo. O valor de Jwin:(O) é freqüentemente chamado de uma no
rma de energia. Para 
condução de calor, () = Te K(x) = k(x) >O. Em elasticidade, K(x) = E(x) > O e () = u e (3.88) corresponde à
 energia 
de deformação, que aparece no princípio da energia potencial mínima. 
Pode ser provado que H' é um subespaço de grau de continuidade CO, isto é, H' C CO, assim qualqu
er função em ff 
é também uma função com grau de continuidade CO. Entretanto, o inverso não é verdadeiro:
 existem funções com grau 
de continuidade CO que não existem em H1• Um exemplo de uma função com grau de continuida
de CO, mas que não 
está contida em H1, é examinado no Problema 3.8. Contudo, tais funções não são normalm
ente do tipo encontrado na 
análise padrão em elementos finitos (exceto na mecânica da fratura), de modo que a maior parte dos leitore
s acharão 
que a especificação do grau de suavidade exigido para uma função com grau de contin
uidade CO é suficiente. 
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n \Vilt:y. 
NCI\' York. 
Problema 3.1 
Mostre que a formulação fraca de 
- AE- +2>:=0 em d ( du) d\' d\' I <x<3. 
( du) o-(1} = E-d = 0,1. X x-1 
u(3) = 0,001 
é dada por 
VIl' <.:Om 11'(3} = 0. 
Problema 3.2 
Mostre que a formulação fraca no Problema 3. I implica a formulação forte. 
Problema 3.3 
Considere uma solução tentativa (candidata) da forma u(x) = a 0 + a 1(x- 3) e uma função peso da mesm
a forma. 
Obtenha uma solução para a formulaçãofraca no Problema 3.1 . Cheque a equação de e
quilíbrio na formulação forte 
no Problema.3.1; ela é satisfeita? , 
Cheque a condição de contorno natural; ela é satisfeita? 
Formulações Forte e Fraca para Problemas Unidimensionais SI 
Problema 3.4 
Repita o Próblema 3.3 com a solução tentativa u(x) = a0 + ·a,(x - 3) + a.,_(x - 3)'. 
A 7]§§1e~ ~:§] · · 
-' Obtenha a formulação fraca para a equação da condução de calor com as condições de contorno T(O) = 100 e 
q(IO) = hT. A segunda condição é uma condição de convecção. 
J ,r~~;;;~~ 3.6 7 /~ ~ãfu~o forte para o problema de condução de calor numa placa circular: 
O< r$ R. 
condição de contorno natural: 
condição de contorno essencial: 
em que R é o raio total da placa, s é a fonte. de calor por unidade de comprimento ao longo do raio da placa; T é a 
temperatura e k é a condutividade térmi.ca. Considere que k, s, e R são dados: 
a. Construa a formulação fraca para a formulação forte anterior. 
b. Use .soluções tentativas (candidatas) quadráticas da forma T = a 0 + a 1r + a.,_r e funções peso da mesma forma 
para obter uma solução da formulação.fraca.· · 
c. Resolva a equação diferencial com as condições de contorno e mostre que a distribuição de temperatura ao longo 
do raio é dada por 
Problema 3.7 
Dada a formulação forte para a b~ circular em torção (Figura 3.10): 
d ( . dc/1) dx JG dx + tn = O, 
condição de contorno natural: M(:r = /) = (JG.~) 
1
= M, 
condição de contorno essencial: <P(:c = O) = 4>, 
em que m(lt) é uma quantidade de movimento distribuída por unidade de comprimento, M é a quantidade de movi-
mento de·torção, 4> é o ângulo de rotação, G é o módulo de cisalhamento e J é o momento polar de inércia dado por 
J = -rrC4/2, onde C é o raio do eixo circular. 
a. Construa a formulação fraca para a barra circUlar em torção. 
b.. Considere que m(x) = O e integre a equação diferencial dada. Determine as constantes de integração usando as 
condiÇões de contorno. 
Problema 3.8 
Considere um problema no intervalo O s x s l que possui uma solução da forma 
</J(x =O)=~ 
·I 
X= 0 x=I 
Figura 3.10 Barra cilíndrica em torção do Problema 3.7. · 
58 CAPITULO TR~ 
a. Mostre que para À > O a solução u tem grau de continuidade CO no intervalo O s x s !. 
b. Mostre que para O < À s 1/2 a solução u não está contida em H1• 
Problema 3.9 
Considere uma barra elástica com uma mola variável distribuída p(x) ao longo de seu comprimento conforme mostrado 
na Figura 3.11. A mola distribtúda impõe uma força coaxial sobre a barra proporcional ao deslocamento. 
Considere uma barra de comprimento I, área de seção transversal A(x), módulo de Young E(x) com força de campo 
b(x) e condições de contorno conforme mostrado na Figura 3.11. 
a. Construa a formulação forte. 
b. Construa a formulação fraca . 
.Jf [Problema 3.1õ] 
,. ' Considere uma barra elástica na Figura 3.2. A barra está sujeita a um campo de temperaturas T(x). A temperatura 
causa a expansão da barra e a lei de tensão-deformação é 
.~ 
O'(x) = E(x)(t(x)- tt(x)T(x)), 
em que a: é o coeficiente de expansão térmica, o qual pode ser uma função de x. 
a. Desenvolva a formulação forte pela substituição da lei de Hooke padrão pela lei citada anteriormente na equação 
de equilíbrio; use as condições de contorno dadas no Problema 3.1. 
b. Construa a formulação forte para (3.43) quando ;~lei citada anteriormente for válida. 
Ziii?E~j.11J 
Determine a formulação fraca para a seguinte formulação forte: 
n., /. são constantes O < x < I , 
sujeita a u(O) = 1 e u(l) = -2. 
koblema 3.12 J. 
O movimento de um fluxo de carga elétrica qv é proporcional ao gradiente de potencial elétrico. Isto é descrito pela 
lei de Ohm: 
dV 
qv = -kv dx , 
em que kv é a condutividade elétrica e V é o potencial elétrico. Denote Qv como a fonte de carga elétrica. 
Construa a formulação forte pela imposição da condição de que a carga elétrica é conservada. 
Problema 3.13 
Determine a formulação fraca para a seguinte formulação forte: 
d~u du · 
X dtl + dt -X = O, O~x~ I , 
Figura 3.11 Barra elástica com molas distribuídas do Problema 3.9. 
Fonnulaçiles Forte e Fraca para Problemas Unidimensionais 59 
Figura 3.12 Barra elástica sujeita a força de campo linear ào Problema 3.14. 
sujeita a u(O) = u(l) =O. 
Problema 3.14 
Considere uma barra na Figura 3.12 sujeita a uma força de campo linear b(x) = ex. A barra possui uma á"ea de seção 
transversal A e módulo de Young E. Considere a solução tentativa quadrática e a função peso 
em que a, são parâmetros indeterminados. 
a. Para que valor de ar u(x) é cinematicamente admissível? 
b. Usando a formulação fraca, estabeleça equações para a, e resolva-as. Para obter as equações, expresse o prin-
cípio do trabalho virtual na forma {32(. •• ) + {33( ••• ) = O. Pelo teorema do produto escalar, cada um dos termos em 
parênteses, isto!, os coeficientes de 13r precisam desaparecer. 
c. Resolva o problema na Figura 3.12 usando elementos de dois DÓS considerados DO Capítulo 2 de igual tamanho. 
Aproxime a carga externa no nó 2 pelã integração da força de campo de x = U4 at! x = 3U4. Do II).esmo modo, 
calcule a carga externa no nó 3 pela integração da força de campo de x = 3U4 até x = L. 
Problema 3.15 
Considere a barra no Problema 3.14. 
a. Usando uma solução aproximada da forma u(x) = a0 + arT +~.determine u(x) pelo teorema da energia poten-
cial mínima. Sugestão: ap6s forçar a ~ssibilidade, substitua a solução tentativa anterior em (3. 75) e minimize 
com respeito aos parâmetros independentes. 
b. Compare a solução obtida na parte (a) para uma solução exata da equação E::;+ ex= O. 
c. Para as soluções aproximadas u(L) = O? 
d. Cheque se a tensAo obtida a partir de u(x) por q =E: satisfaz o equilíbrio. 
f 
! 
,. 
4 
Aproximação:·.de Soluções· Tentativas, 
Funções Peso e Quadratura de Gauss· para 
Problemas Unidimensionais 
Consideremos agora o próximo ingrediente importante do método de elementos finitos (MEF): a construção das aproximações. No Capítulo 3, obtivemos formulações fracas para problemas de elasticidade e de condução em uma 
dimensão. As formulações fracas envolvem funções peso e soluções tentativa para a temperatura, os deslocamentos, 
as concentrações de solutos, e assim por diante. No MEF, as funções peso e as soluções tentativas são construídas 
pela subdivisão do domínio do problema em elementos e pela construção de funções intrínsecas de cada elemento. 
Essas funções devem ser cuidadosamente escolhidas de modo que o MEF seja convergente: a precisão de um MEF 
corretamenre.desenvolvido aumenta com o refinamento da malha, isto é, quando o tamanho do elemento, indicado por 
h, diminui, o resultado tenõe·à correta solução. Essa propriedade· do MEF é de grande importância prática, por isso o 
refinamento da malha é realizado pelos usuários para controlar a quaÜdade das soluções por elementos.fi·nitos. 
Por exemplo, a exatidão de uma solução é freqüentemente checada refazendo-se o mesmo problema com uma 
malha mais fina; se a diferença entre as soluções com a malha fina e a mais grossa é pequena, pode-se concluir que a 
solução da malha grossa é bastante exata. Ao contrário, se uma solução muda significativamente com o refinamento 
da malha, a solução da malha grossa é inexata, e até mesmo a malha mais fina pode ainda. ser inadequada. 
Embora a teoria matemática de convergência esteja além da finalidade deste livro, podemos dizer, de forma 
simples, que as duas condições necessárias para a convergência do MEF são a continuidade e a completude. Isso 
pode esquematicamente ser expresso como 
Por continuidade entendemos que as soluções tentativas e as funções peso sejam suficientemente suaves. O grau 
de suavidade exigido depende dii ordem das derivadas que aparecem na (ormulação fraca. Para as equações diferen-
ciais de segunda ordem consideradasno Capítulo 3, em que as derivadas na formulação fraca são derivadas primeira, 
vimos que as funções peso e as soluções tentativa devem apresentar grau de continuidade CO. 
Completude é um termo matemático que se refere à capacidade que uma série de funções tem de se aproximar de 
uma dada função suave com exatidão arbitrária. Para a convergência do MEF, é suficiente que à. medida que os tama-
nhos dos elementos se aproximem de zero, as soluções tentativa e as funções peso e as suas derivadas, incluindo até a 
· derivada de ordem superior que aparece na formulação fraca, sejam capazes de assumir valores constantes. Isso pode 
ser interpretado fisicamente para vários tipos de problemas. Por exemplo, em elasticidade, isso exige que os campos 
4.1 
Aproximação de Soluções TentatiVas, Funções Peso e Quadratura de Gauss para Problemas Unidimensio
nais 61 
{J) (2) 
fi'l(x) 
·~ 
(2) 2 
Figura 4.1 Uma malha de dois elementos e as aproximações em Cllda elemento. 
de deslocamento possam tomar valores constantes para que os elementos finitos poss
am representar exatamente o 
movimento de corpo rígido e os estados de deformação constantes. 
Antes de discutirmos sobre continuidade e completude, gostaríamos de dizer algumas pala
vras sobre a nossa notação 
e nomenclatura. As funções em elementos finitos, funções peso e soluções tentativa s
erão chamadas como um todo 
de aproximações ou funções. Usaremos o símbolo 8(x) para todas as funções neste capítulo, sejam elas temperat
ura, 
deslocamento ou qualquer outra variável. A aeroxima.x.ão global em elementos finitos
 será indicada por e"(x)_i_ essa 
função para um elemento específico e será indicada por-ll"(x), e é considerado que ll"(x) é diferente de ze
ro apenas 
no elemento e. Como nos capítulos anteriores, os sobrescritos numéricos referem-se a 
um elemento específico. Para 
variáveis nodais, um subscrito'denota o índice do nó; para variáveis nodais relacionadas 
com um elemento, ~ão usados 
útdices locais e nodais; assim, por e~templo, ~ é a coordenada x do local do nó 1 do elemento e. 
Para fixar os conceitos de continuidade e completude, considere um domínio unidimen
sional modelado por dois 
elementos como mostrado na Figura 4.1. Examinaremos como construir uma aprox
imação contínua no domínio 
inteiro por meio do MEF. 
Na construção de uma aproximação por elementos finitos, tom amos próxima a aprox
imação em cada elemento 
por ll"(x). Em cada elemento, empregamos um polinômio B"(x) da forma 
ff = aô + cxjx + ij + cx).xl + · .' · , 
onde oc são os coeficientes selecionados de modo que a continuidade seja satisfeita. Pode ser visto dessa expres
são 
que e~ cada elementO a aproximação lfti) é obviamente contínua. Contudo, para val.ores arbitrários de ~· a apro-
ximação não será contínua entre elementos. Para encontrar a exigência de grau de co
ntinuidade CJ, o campo e"(x) 
precisa ser contínuo (ou compatível) entre elementos, isto é, é necessário que 8Cil(x'~l) = ~
2l(_t;.1_na Figura 4.1. 
Veremos na seqüência que se os coeficientes ~são expressos em termos dos. valores nodais
, será fácil construir 
aproximações contínuas. 
A segunda exigência para o MEF convergir p2fi! a solução correta é a completude. Segund
o o guia dado no parágrafo 
anterior, elementos com uma aproximação linear 8" = ~ + ct;x são completos. O termo aõ pode representar qualque
r 
função, já que ele é arbitrário, e o termo ct;x pode representar qualquer função com uma derivada constante. Port
anto, 
o polinômio 8" = + ~x e ser usado ara construir aproximações de elemento. finitos gue conv
ergirão. 
oluções tentativas aproximadas por polinômios incomp etos, mas com uma aproxima
ção linear completa, tais 
como 8" = ~ + «.x + ~. convergirão, mas a uma taxa comparável àquela de aproximações lineares. Cont
udo, 
uma aproximação incompleta, tal como 8" = aõ + ct;r. não pode ser usada Para desenvolver um elemento finito. 
Ness~a aproximação, falta o necessário termo linear. Conseqüentemente, quando ela é usada co
mo ponto de partida 
para construir uma aproximação de elemento finito, os elementos resultantes não conv
ergem. 
ELEMENTO LINEAR COM DOIS NÓS 
·-·- 4- - -- ----- - --·-·------4- --·- -
Considere o elemento unidimensional mais simples, com dois nós como mostrado na 
Figura 4.2. Os valores nodais 
das funções são indicados por 8" (~) a tr. e 8' (xl) s e;. Agora, desenvolveremos um procedimento para construir 
uma função completa e com grau de continuidade CO para esse elemento. Como indicamos na s
eção precedente, para 
obter a continuidade, e~tpressaremos a aproximação no elemento em termos de valores nodais. 
r- I'' ---1 
.rf • ···'·· ····;-.... . ..... e ~t'Í 
I ~ 2 
·· Figura 4:2 Um elemento·com dois nós. -
62 CAPITULO QUATRO 
~a encontrar a condição de completu~. precisamos escolher pelo menos um polinômio linear 
B"(x) = aô + ~x. (4.1) 
Observe a bela coincidência: Se selecionamos dois nós nas extremidades do elemento, temos o mesmo número de 
valores nodais como parâmetros em (4.1), de modo que devemos ser capazes de expressar os parâmetros unicamente 
em termos de valores nodais. Passaremos agora a fazer isso. Podemos escrever (4.1) na forma matricial como 
B'(x) =I 1 xJ [~ ] = p (x)cr. 
.._,_, a, 
p(x) ~ 
A seguir, expressamos os coeficientes ~ e ~ em termos dos valores da aproximação nos nós 1 e 2: 
if(xí) = Bí = cxõ +~xj 
B"(xí) = 8i = cxõ +~xí 
(4.2) 
(4.3) 
em que d ' é a matriz nodal para o elemento e, que é definido como em (4.3). Na forma matricial, a inversa de (4.3) 
é dada por 
a.'= CM'r'd'. (4.4) 
A substituição de (4.4) em (4.2} gera 
B"(x) = N'(x)d', onde N'(x) = p(x)(M')-1. (4.5) 
A linha matricial N• (x) = [N~ (x) N; (x)] = p(x) (M•)-1 é chamada de função matrizjonna do elemento. Ela consiste 
nas funções de forma do elemento associadas ao elemento e. 
Veremos que as funções de forma exercem um papel central no MEF; funções de forma de várias ordens e dimen-
sões permitem ao MEF resolver problemas de vários tipos com variação do grau de exatidão. 
A seguir, desenvolvemos as expressões para a função matriz forma do elemento N' pela avaliação das matrizes 
em (4.5). Da expressão para M• dada em (4.3), segue que 
(M'r' =-1- [ x2 
xí -xj -1 -xj] = .!_ [ xí 1 /< -1 
em que !• é o comprimento do elemento e. Então, usando (4.5), obtemos 
N' = INf NíJ = p(,t)(MT1 =I 1 xJ [ XÍ 
-1 
-xj] 1 • 
(4.6) 
Nesta equação, Nr(x) e N;(x) são as funções forma correspondentes aos nós 1 e 2. respectivamente. Essas funções de 
forma são mostradas na Figura 4.3. Observe que elas são diferentes de zero apenas ao longo do elemento e. 
Pode-se observar que as funções de forma são lineares no elemento, como esperado. Além disso, as funções de 
forma possuem as seguintes propriedades: 
Nf(xj) = 1, 
N2(~) =O, 
Nf(.tí) =O, 
Ni(.tí) = 1. 
Na notação concisa, esta equação pode ser escrita como 
N' I 
Ni(xj ) = óu , 
I 
I 
I 
I 
1 -------------- ---------------,--
x' t 
. . 
1 
Figura 4.3 Funções de fonna do eleménto de dois nós. 
(4.7) 
Aproximação de Soluções Tentativas, Funções Peso e Quadratura de Gauss para Problemas Unidimensionais 63 
- em que 511 é chamado de delta de Kronecker (que é definido exatamente como a matriz unitária) e é dado por 
c { 1 se I'= J, 
uu = O se I :f:. J. (4.8) 
A Equação (4.7) é conhecida como a propriedade delta de Kronecker e está relacionada com a propriedade fundamental 
das funções de forma chamada de propriedade de interpolação. Interpolantes são funções que passam exatamente por 
meio dos dados. Se pensarmos em Valores nodais como dados, então funções de forma serão interpolantes dos dados 
nodais. De fato, as funções de forma podem ser usadas como interpolantes para ajustar quaisquer dados. 
Para mostrar a propriedade de interpolação, escrevemos(4.5) em termos das funções de forma e dos valores 
nodais: 
n,. 
tr(x) = N'(x)d' = LNí(x)D;. 
1=1 
em que n.,. é o número de nós do elemento; neste caso, n.., = 2. Queremos mostrar 9'(x1) = ~ Para isso, fazendo 
x = ~ na equação anterior, obtemos 
2 2 
ot(.xj) = 2:Nj(.xj)B; = 2:óuD; = Oj, 
/ • 1 / • I 
em que usamos (4.7), e o último passo resulta na definição do delta de Kronecker (4.8). Portanto, a aproximação em 
elementos finitos é exatamente igual aos valores nodais nos nós. Isto não é uma surpresa, pois avaliamos os coefi-
cientes a; com essa finalidade. 
Na formulação fraca desenvolvida no capítulo anterior, foi necessário avaliar as derivadas das soluções tentativas e 
das funções peso. Para o elemento com dois nós, podemos deduzir uma· expressão para as derivadas como a seguir: 
doe _ d (N'd•) _ dN' d' _ dNf M dN2 M 
--- -- --ul+-ul dx dx dx dx dx ' 
Na fornia matricial, isso pode ser escrito como 
: = [~Í ~~][~] =B'd•, (4.9) 
em que 
• [dNf dN~] 1 [ B = - - =- -1 +lJ dx dx ze . (4.10) 
O último passo em (4.10) resulta do uso das derivadas dos teimos em (4.6). 
Como já mencionamos, em cada elemento usamos uma expansão polinotnial completa, de modo a satisfizer a 
exigência de completude. Expressamos a função em termos de valores nodais, por isso será fácil construir de modo 
global as funções com grau de continuidade CO. Examinaremos a exigência de continuidade mais detalhadamente 
na Seção 4.5. 
4.2 ELEMENTO QUADRÁTICO UNIDIMENSIONAL 
Para desenvolver um elemento quadrático, começaremos com uma aproximação completa polinomial de segunda 
ordem: 
___ ~(x),.aõ+<é,x+<$'-)~: x'J!~J -p(x) .. _ ·-
p(x) ..__, 
(4.11) 
a• 
O elemento é mostrado na Figura 4.4. Precisamos de três nós, pois não seria possível de outra maneira expressar 
de modo único as constantes (crõ, a;. a;> em termos de valores nodais da solução tentativa: B<(r.) = ~. B'(r,) = o;. 
9'(~) = o;. Dois dos nós são colocados nas extremidades do elemento, de modo que a aproximação global será 
e 
2 3 
Figura 4.4 Um elemento de·tr!s·nós. 
64 CAPITULO QUATRO 
N' I 
X 
Figura 4.5 As funções de forma quadráticas para um elemento de três nós. 
contínua. O terceiro nó pode ser colocado em qualquer lugar, mas é conveniente e simetricamente agradável colocá-lo 
no centro do elemento. Em geral, esses elementos funcionam melhor se o terceiro nó estiver no ponto central. 
Para obter as funções de fonna, primeiro expressamos (ex~. ex~. ex;) em termos de valores nodais dos valores (9;. 
e;. 8;) da função nodal: 
Bj = aó + aí.xí + Cl;xr 
~ = ClÓ +aí~ +Clíxf 
~ =aO + ~4 + Cl;xf 
(4.12) 
Como mostrado nessa expressão, podemos escrever (4.12) na forma matricial como d' = M'o:'. A combinação de 
(4.11) e (4.12) gera · 
, .. ()' = p(M•)-1 d• = N•d• = LN;(x)8j, 
~ 1=1 
(4.13) 
em que n •• = 3. As funções de fonna são dadas por 
N• = 1~ [(;c- ;c2)(x- x;) -2(x- xr)(x - x;) (x- x!)(x- ;c2)J. (4.14) 
Pode ser facilmente mostrado que essas funções satisfazem a propriedade delta de Kronecker. As funções de forma 
são mostradas na Figura 4.5. Como pode ser visto, por causa da propriedade delta de Kronecker, cada função de 
fonna é diferente de zero apenas em um único nó, no qual o seu valor é unitário. Dentro do elemento, as funções de 
foooa são quadráticas; a função de forma no nó central pode ser facilmente reconhecida tomo uma parábola com a 
concavidade para baixo. 
4.3 CONSTRUÇÃO DIRETA DÃS FUNÇÕES DE FORMA EM UMA DIMENSÃO 
As funções de forma em uma dimensão que desenvolvemos são chamadas de interpolantes de Lagrange. A teoria da 
interpolação de Lagrange é muito útil para a construção de interpolantes de várias ordens, particularmente as funções 
de ordens maiores, tais como quadráticas ou cúbicas. Como será visto por meio de exercícios, os elementos de ordem 
superior podem fornecer muito mais exatidão do que elementos lineares. 
Em vez de usar a: descrição dada no parágrafo anterior, os interpolantes de Lagrange podem ser desenvolvidos de 
forma mais direta por meio de um procedimento que utiliza as vantagens da propriedade do delta de Kronecker das 
funçõe5 de forma. Por causa dessa propriedade, a função de forma I precisa ser zero em todos os nós, exceto no nó 
/, e deve ser igual ao nó/. Para ver como usamos essas propriedades para construir as funções de forma, considere 
as funções quadráticas para um elemento de três nós. 
Primeiro construiremos N'_,(x). Como a. função de formaN~(;c) é quadrática pelo menos em x, consiste em um 
produto de dois monômios lineares em x. A forma mais geral de um tal produto quadrático de monômios é 
,,.() _ (x-a)(x-b) 
"l X - ' c 
em que a, b e c são constantes com valores estabelecidos, de modo a satisfazer a propriedade delta de Kronecker. 
Queremos que N~(x) seja igual a zero em x; ex;. o que pode ser conseguido deixando a = .x; e b = x;. Isso fornece 
N~(x) = (x- ~)(x- xV, 
c 
~~· ------------------------------------------------------...................... .m 
·-. 
r .... . •.. 
Aproxlrn~ <!e SoJ!JÇ~ T~ntatlvas, Funções Peso e Quadratura de Gauss para Problemas Unidimensionais 65 .. 
, 
' 
Ni 
.,.,~ .. -- ........ 
--
-<l,SL,-------2'---------~3-------'4 
Figura 4.6 Funções de fonna cl1bicas do elemen!O unidimensional com quatro nós; observe que cada função de fonna é diferente de zero apenas em um nó. 
· · ·· -~-onde ela é'a unidade. 
Encontramos agora duas das condições da função de fonna: que ela precisa ser nula nos nós 2 e 3. Falta satisfazer 
a condição que ~(r.) = I. Essa condição é encontrada deixando o denominador c igual ao numerador avaliado em 
r.. que fornece 
Nf (x) = (x- x2)(x - xj) . 
(~ - x2)(~ - xj) 
Deixamos para o leitor mostrar que N1(~) = /)1r As outras duas funções de fonna são construídas de maneira idên-
tica dando 
As equações anteriores dão o mesmo resultado que ( 4.14), se observarmos que/' = X) - r.-
O mesmo p rocedimento pode ser usado para construir as funções de fonna cúbicas. O elemento com função 
de fonna cúbica terá quatro nós, pois existem quatro constantes em um polinômio cúbico arbitrário. As funções 
de forma são 
N' _ (x- x; )(x- xj)(x- ,r.) 
I-(~ -~) (~ -xj)(~ -r.) ' 
N~ = (x-~)(x-xj)(x-r.) , 
(x2- .x1)(~ - xj){x2- r.) 
Essas funções de fonna são mostradas na F~gura 4.6. 
4.4 APROXIMAÇÃO DAS FUNÇÕES PESO 
M _ (x-~)(x -~)(x -,r.) 
3 - {xj - ~)(xj- ~)(xj -,r.)' 
Nt _ (x -~)(x-~)(x -xj) · 
4 - <r.- ~)(r.- x;)(,r. - xj). 
Não é exigido que as funções peso sejam aproximadas pelos mesmos interpolantes que são usados para a aproximação 
das soluções tentativas; contudo, para a maioria dos problemas, é vantajoso usar a mesma aproxiin:ação para as funções 
peso e para as soluções tentativas, e essa é a prática mais comum. O método resultante é chamado de MEF Galerkin. 
Esse método é usado nd material apresentado neste livro. AS funções peso e suas derivadas são então dadas por 
w(x) =N•(x)w'", dw" = B'w". 
dx 
-4-:s--A-PROXIMAÇÃO Gt:OBA'L E· CON·TINU/DAt:)E· · · 
Nas seções anteriores deste capítulo, aproximamos as soluções tentativas e as funções peso em cada elemento sepa-
radamente. A aproximação global das soluções tentativas e das funções peso, indicádas a seguir por f1' e wA, respecti-
vamente, é obtida pelo conjunto das contribuições dos elementos. individuais. Para uma malha de net elementos, 
fi'= :tN'd' = (i:N' L')d, 
t=l ~-1 
.J' = f:N•wt = (f:N·v)w, 
t>SI tal 
(4.15) 
. . em que usamos d' = V d ,.de acordo com .a Equação..{2.21). As .funções.de fosma globais..são definidas como 
66 CAPITULO QUATRO 
n,, 
N = LN'L', (4.16) 
t=i 
e pode ser visto por (4.15) q11e a aproximação global das soluções tentativas e das funções peso pode ser expressa 
como 
fi' = Nd = 't,l'hd,, 
1=1 (4.17) 
l:r:p 
w" = Nw = LN,wr, 
/c I 
em que n.P é o número de nós da malha. Observe que (4.15) e(4.17) são funções idênticas, como pode ser visto pela 
substituição de (4.16) por (4.17). 
Escrever a aproximação na forma global é muito útil para estudar as propriedades de continuidade e convergência 
da solução em elementos finitos. 
As matrizes de funções de forma globais N(x) e de funções de forma de elemento N'(x) são ambas matrizes linha. 
Para expressar as funções de forma em uma matriz coluna, tomamos a transposta de (4.16) 
n, 
Nr = 'L:L'rN.r. 
t=l 
(4.18) 
A Equação ( 4.18) mostra que as funções de forma globais podem ser obtidas por um conjunto que é idêntico àquele 
usado no Capítulo 2 para montar a matriz força. 
Para explícar as características das funções de fo!Jlla globais, consideremos a malha de dois elementos repre-
sentada na Figura 4.7. Aqui os nós globais foram numerados seqüencialmente; relembramos que a presença de um 
sobrescrito em uma variável indica que o subscrito refere-se a índices nodais locais. 
Para o exemplo na Figura 4.7, as matrizes com os coeficientes dispersos L', que foram introduzidas no Capítulo 
2, são dadas por 
De (4.16), obtemos 
(4.19) 
O número de funções de forma globais é igual ao número de nós. As funções de forma globais indicadas em (4.19) 
são mostradas na Figura 4.8. Observe que as funções de forma globais e de elementos são idênticas sobre o domínio 
de um elemento. 
Pode-se ver que as ii.Jnções de forma globais também satisfazem a propriedade delta de Kronecker. Uma das 
características salientes das funções de forma globais é que elas apresentam um grau de continuidade C!. Como 
pode ser visto de ( 4.17), as soluções tentativas e as funções peso em elementos finitos são combinações lineares das 
funções de forma. Como as funções de forma globais apresentam grau de continuidade C!, qualquer combinação 
linear precisa apresentar esse mesmo grau de continuidade, de modo que o grau de continuidade fY é garantido tanto 
para fi' quanto para w". 
(I) (l) 
(I) (2) 
2 2 
·· .. Figtira 4.7 indiú·s nodAis &lobais'e'locais para'ilma malha de elementos finitos. 
"'·------------------------· 
· Aproximação de Soluções TentatiVas, Funções Peso e Quadratura de Gauss para Problemas Unldirtlensiónais õl · 
Nr 
N' I 
N (l)( ) J.-11 
I X I 
i 
2 
2 
X 
3 
X 
3 
Figura 4.8 Funções de fo~ lineares globais (em cima) e de elem~ntos (embaixo) para uma malha de dois elementos. 
Além disso, como essas funções de forma são pOlinomiais, as integrais resultante$ na formulação fraca são finitas, 
de modo que a exigência da integrabilidade do quadrado das soluções tentativas e das funções peso, discutida na 
Seção 3.10, é encontrada. Matematicamente, dizemos que as funções de forma são IJL, isto é, N1 E lfl (veja Seção 
3.5.2 para a definição de Ef1). 
·4.6 QUADRATURA DE GAUSS 
Em geral, a formulação fraca obtida no Capítulo 3 não pode ser integrada analiticamente .. Por isso, a integração numé-
rica é necessária. Embora existam muitas técnicas de integração numérica, a quadratura de Gauss, que é descrita nesta 
seção, é uma das técnicas mais eficientes para funções que são polinomiais ou aproximadamente polinomiais. No 
MEF, as integrais geralroente envolvem polinômios, de modo que a quadratura de Gauss é uma escolha natural. 
Considere a seguinte integral; 
I= 1b f(x)dx =? (4.20) 
As fórmulas da quaci.ratura de Gauss são sempre dadas sobre um domínio de referência [ -1, 1). Por isso, mapearemos 
o do.mfnio unidimensional do domínio de referência [-1, 1) para o domínio ffsico [a, b] usando um mapeamento 
linear como mostrado na Figura 4.9. Observe que em x = a, ~ = -1 e em x = b, ~ = 1. 
Isto nos dá, a seguinte equação relacionando x e ~; 
1 . 1 
x = 2(a +b) +z~(b -a). (4.21) 
. Esse mapa também pode ser escrito diretamente em termos das ·funções de forma lineares: 
: . 1-~ e+t 
x = X1N1 (e)+ x2N2{e) = a-2- + b-2- · 
---'-'---------- . -·-- ···--·-· .. - ··---
.De (4.21), obtemos o seguinte; 
1 l 
âx =- (b- a) de= -de= Jcte, 2 2 (4.22) 
I . ... s lillo X 
-1 o "1 a b 
68 CAPITULO QUATRO 
em que J é o Jacobiano dado por J = (b - a)n. Agora, escrevemos a integral (4.20) como 
I 
I= J f f(Ç)clÇ = Ji, 
- I 
I 
em que i= j f(Ç)clÇ. 
- I 
No procedimento da integração de Gauss delineado a seguir, aproximamos a integral por 
em que ~são os pesos e {são os pontos nos quais o integrando está para ser avaliado. 
(4.23) 
A idéia básica da quadratura .de Gauss é escolher os pesos e os pontos de integração, de modo que o polin
ômio 
de maior ordem possível seja integrado exatamente. Para obter essa fórmula, a função ft {) é aproximada por um 
polinômio como 
/(()~«,+«,(+•,('+···= ~ [: l ~ p(l;)«. 
.....___._., 
a 
A seguir, expressamos os valores dos coeficientes ex; em termos da função ft{) nos pontos de integração: 
f(f.l) = llj + <X2f.l + il3f.; + .. . 
f(f.l) = ll( + «2{2 + OC3f.i + . ' ' 
ou 
Baseado em (4.25) e (4.23), a integral/ será escrita como 
f(f.n) 
'---v--" 
f 
(J 
{2 
f.n 
f,~ 
.. I E. i il2 
ç; !tn 
.....___._., 
M (X 
(4.24) 
(4.25) 
(4.26) 
A quadratura de Gauss fornece os pesos e os pontos de integração que geram uma integral exata de um p
olinômio 
de uma dada ordem. Para determinar quais os valores que os pesos e os pontos da quadratura devem ter, in
tegramos 
o polinômio fi{): 
1 = j /(() d{ = j [ I ( (' (' · · · j [::; l d( = [ Ç 
a, 
= [ 2 O ~ O · .. ] a = Pcx. 
p 
e e e 
2 3 4 
.. ·11 a 
-I 
(4.27) 
Os pesos e os pontos da quadratura são selecionados, de modo que i em (4.27) iguala-se com i em (4.26), de modo 
que a fórmula da quadrarura dá a integral exata para um polinômio de uma dada ordem. Isso fornece 
W7Mcx = Pcx '* I Mrw = pT j. (4.28) 
A Equação (4.28) é um sistema de equações algébricas não-lineares para as matrizes desconhecidas Me W. 
Observe que se n1P é o número de pontos de G
auss, o polinômio de ordem p que pode ser integrado exatamente 
é dado por 
p::; ingp- 1. 
Aproximação de Soluções Tentativas, Funções Peso e Quadratura de Gauss para Problemas Unidimensionais 69 
A razão para isso é que um polinômio de ordem pé definido por p + 1 parâmetro. Como ambos, os pesos e os pontos 
de integração, são ajustáveis, os n19 pontos do esquema da int:gração de Gauss têm 2n19 parâmetros que podem ser 
ajustados para integrar um polinômio de ordem p exatamente. Portanto, uma fórmula de Gauss com n
19 
pontos pode 
integrar um polinômio de ordem (2n"' - 1) exatamente. Conclui-se que o número de pontos de integração necessá-
rios para integrar um polinômio de ordem p exatamente é dado por 
p+1 
ngp;::: -2-. 
Por exemplo, para integrar um polinômio quadrático (p = 2) exatamente, necessitamos de um número mínimo de 
pontos de integração n19 = 2. 
~ Exemplo 4.1 Quadratura de Gauss 
Avaliar a integral a seguir usando a quadratura de Gauss com dois pontos. 
2ngp - 1 = 3 ::::} ngp = 2. 
Como n
19 
= 2 (dois pontos de integração), essa integral pode ser avaliada exatamente. Usamos (4.28) para calcular 
(Wt, Çt) e (W2' ~): 
Para obter essa solução de quatro equações algébricas não-lineares com quatro incógnitas, observe que pela sime-
tria W1 = W2 e g, = - ~- A primeira equação JX>de então ser usada para obter os pesos e a terceira equação, os 
pontos de integração. 
A seguir, usaremos (4.22) com a= 2 e b = 5 para expressar xe/em termos de g: 
1 1 
x = 2(a + b) +7:Ç(b -a)= 3.5 + 1.5Ç, 
f(Ç) = (3.5 + 1,5Ç)3 + (3,5 + l.5Ç)2. 
Us.ando (4.23), a integral fica 
I 
I= JJ =~f ((3,5 + l.5Ç)3 + (3.5 + 1,5Ç)2) dÇ 
-I 
l 3 2 l 3 2 
=2W,((3,5+1.5Çt) +(3,5+1.5Ç,) )+ 2 W2((3,5+1,5Ç2) +(3,5+1.5{2)) 
= 37,818 + 153.432 = 191,25. 
Nesse caso, como a quadratura de Gauss é exata, podemos checar o resultado pela execução da integração anali-
- ·ticamênte·;·qué"fõmec:e- · ·- -~-- · - -·- ------ ·--- ·· . .. - ----- ----- · ---· - .. 
s ;r? 5 f (xl +xl)dx = (~ +1') 1 = 197.917-6.667 = 191.25. 
2 . . 2 . 
Os pontos da quadratura de Gauss e os pesos (W" g) podem ser calculados para qualquer número de pontos de 
integração. Ess~s resultados são apreSentados na Tabela 4.1. No programa de elementos finitos, esses valores 
podem ser programados, de modo que (4.28) não tem que ser repetidamente resolvida .. 
As fórmulas de Gauss de ordem superior são geralmente obtidas de funções especiais chamadas de polinômios 
de Bernstein, veja Bemstein (1912):· · r ·•" ,. - . 
70 CAPfruLO QUATRO 
REFERÊNCIA 
Problemas 
Tabela 4.1 Posição de pontos de Gauss e pesos correspondentes. 
Localização,~- Pesos, W; 
0,0 2,0 
2 ±l/ ..f3 = ±0,5773502692 1,0 
3 ±0,7745966692 0,555 555 5556 
0,0 0,888 888 8889 
4 ±0,8611363116 0,347 854 8451 
±0,3399810436 0.652 145 1549 
5 ±0,9061798459 0,236 926 8851 
±0,5384693101 0,478 628 6705 
0,0 0,568 888 8889 
6 ±0,9324695142 0,1713244924 
±0,6612093865 0,360 7615730 
±0,2386191861 0,467 913 9346 
Berostein, S. (1912) Démonstration du lhéoreme de Weierstrass fondée sur !e calcul des probabilities. Commun. Soe. 
Math. Kharlwv, 13, 1-2. 
Problema 4.1 
Considere um elemento cúbico com quatro nós em uma dimensão. O comprimento do elemento é 3 com x 1 = -1; 
os nós restantes são igualmente espaçados. 
a. Construa as funções de forma do elemento. 
b. Encontre o campo de deslocamento no elemento quando 
c. Avalie a matriz B' e encontre a deformação para o campo de deslocamento encontrado em (b). 
d. Trace o gráfico do deslocamento u(x) e da deformação e(x). 
e. Encontre o campo de deformação quando os deslocamentos nodais são ct•T = (1 1 1 1]. Por que este resultado 
é esperado? 
(;o~~:~ ~.2 R-~1/ /3- f<.. 
.._ Considerê um elémento com cinco nós em uma dimensão. O comprimento do elemento é 4, coro o nó 1 em x = 2 e 
os nós restantes são igualmente espaçados ao longo do eixo x. 
a. Construa as funções de forma para o elemento. 
b. As temperaturas nos nós são dadas por T1 = 3°C, T1 = 1 oc, T3 = 0°C, T4 = -1 °C, T, = 2°C. Encontre o campo 
de temperatura em x = 3,5 usando as funções de forma construídas em (a). 
Problema 4.3 
Obtenha as funções de forma para um elemento unidimensional com dois nós com grau de continuidade C'. Note que 
as funções de forma obtidas no Capítulo 4 apresentam grau de continuidade CJ. Para forçar o grau de continuidade C', 
é necessário forçar a continuidade dos deslocamentos e de suas derivadas. Comece considerando uma aproximação 
cúbica completa u' = a~ + a;x + a;r + a~ e obtenha quatro funções correspondentes ao deslocamento e as suas 
derivadas em cada nó. Para claridade de notação, denote as derivadas nos nós por 4>r i = 1, 2. 
Problema 4.4 K ~Sx:>( v e e_ .f::.tJv \. ~ A l I~ 
.. ·-. Consid~re o campo c!e desloc~ento u(x). = xl, O s x s 1. Escreva um programa MATLAB que execute as seguintes 
tarefas. (O seu professor deve especificar quantas dessas partes devem ser feitas.) · ' 
"·-------------------------------.. 
~ Apruxlma~o de Soluções Tentativas, Funções Peso e auauratura· de Gauss para Priiblenias UnldiiilenSkiilals · 71 
a. Subdivida o intervalo [0, 1) em dois elementos. Calcule o campo de deslocamento em cada elemento fazendo os 
deslocamentos nodais serem dados por u1 =r, e usando um. elemento linear com dois nós, de modo que o campo 
de deslocamento em cada elemento seja dado por u'(x) = N•(x)d• = N•(x)Vd, onde N'(x) são funções de forma line-
ares dadas por (4.6). Trace, em um mesmo gráfico, u(x) e o campo de elementos finitos u'(x) no intervalo [0, 1]. 
b. Calcule a deformação em cada elemento por e'(x) = B•(x)d' = B•(x)Vd e trace o gráfico da deformação por 
elementos finitos e o da deformação exata. Como essas deformações se comparam? 
c. Repita as partes (a) e (b) para malhas de quatro e oito elementos. A interpolação da deformação melhora? 
d. O erro de uma interpolação é geralmente medido pela chamada norma L,. O erro na norma L2, que é denotado por 
e, é dado por 
. . 
em que, nesse caso, u(x) = x'. Calcule o erro e para malhas de dois, quatro e oito elementos de deslocamento 
linear. Use a quadratura de Gauss para integração. Então, trace o gráfico (isso pode ser feito à mão) do erro versus 
o tamanho do elemento, usando uma escala logarítmica na abscissa e na ordenada. Isso deve ser quase uma reta. 
O que representa a sua inclinação? Essa inclinação é indicativa da razão de convergência do elemento. 
e. Repita a parte (d) usando elementos quadráticos com dois nós. 
Problema 4.5 
Modifique as funções NmatrizlD.m e BmatrizlD.m na Seção 12.4 para incluir elementos de quatro nós. 
Problema 4.6 
Use a quadratura de Gauss para obter valores exatos para as seguintes integrais. Verifique por integração analítica: 
4 
(a) f (~+ l ) dx, 
o 
I 
(b) f <t + 2{2) <1{. 
-I 
(c) Escreva um código MATLAB que utiliza funções gauss.m e executa integrações de Gauss. Cheque seus cálculos 
manuais contra os do código M.ATLAB, 
Problema 4.7 
Use a quadratura de Gauss de três pontos para avaliar as seguintes integrais. Compare à integral analítica. 
I 
(a) f {2 ~ 1 dx, 
- I 
I . 
(b) f cos2 11"( <!{. 
-I 
. Escreva um código MATI.AB que utiliza funções gauss.m e executa integrações de Gauss. Cheque seus cálculos 
manuais contra os do código MATLAB. 
Problema 4.8 
I 
A integral f (3çJ + 2 )<I{ pode ser determinada de modo exato usando a quadratura de Gauss com dois pontos. Como 
-I 
. ~E...~i§ão é =IW:.::.eta= da=...::::se:........ __ _ 
----- ----- - . --- -·-
a. a quadratura com um ponto é empregada; 
b. a quadratura com três pontos é empregada. 
Cheque seus cálculos manuais contra os do código MA1LAB. 
Problema 4.9 
Verifique que as funções de forma de elementos de dois, três e quatro nós deduzidas neste capítulo satisfazem as 
seguintes condições: 
· · Explique'J>or que esta condição ·sempre teili"de ser satisfeità. 
5 
Formulação de Elementos Finitos para 
Problemas Unidimensionais 
A gora já preparamos todos os ingredientes necessários para a formulação das equações dos elementos finitos: ( 1) a formulação fraca, que é equivalente à formulação forte que desejamos resolver, e (2) as funções peso e tenta-
tiva para elementos finitos, que serão conectadas na formulação fraca. Então, estamos prontos para desenvolver as 
equações dos elementos finitos para os sistemas físicos que descrevemos no Capftulo 3: condução de calor, análise 
de tensões e a equação de advecção-difusào. Este é o último passo no esquema mostrado na Figura 3.1 . Esse passo 
é freqüentemente chamado de discretização, em razão de agora obtermos um número finito de equações discretas a 
partir da formulação fraca. 
O procedimento é similar àquele usado no Exemplo 3.3. Primeiramente, construímos funções peso admissíveis e 
soluções tentativas em termos de parâmetros arbitrários. Entretanto, no método de elementos finitos, os parâmetros são 
os valores nodais das funções. Da arbitrariedade dos valores nodais para a função peso. deduzimos as equações dos 
elementos ~tos, que são equações algébricas lineares, freqüentemente chamadas de equações discretas do sistema 
de: equações; na análise de tensões, são chamadas de equações 'de rigidez. 
O procedimento da análise de elementos finitos é freqUentemente dividido em quatro passos: 
1. pré-processamento, no qual a malha é construída; 
2. formulação das equações discretas dos elementos finitos; 
3. solução das equações discretas; 
4. pós-processamento, em que a solução é exibida e, diversas variáveis, que não emanam diretamente da solução, 
são calculadas. 
Em uma dimensão, o pré-processamento e o pós-processamento são bastante diretos, de forma que teremos pouco a 
dizer sobre isso neste capítulo. Entretanto, em problemas multidimensionais, esses passos são bastante desafiadores 
e imponantes para usuáriosde programas computacionais. 
5.1 DESENVOLVIMENTO DA EQUAÇÃO DISCRETA: CASO SIMPLES 
De forma a minimizar a abstração dessa descrição, consideramos primeiramente o problema específico discutido na 
Seção 3.2, com um modelo de elementos finitos consistindo em dois elementos lineares, como mostrado na Figura 
5.1 a. Como pode ser visto emx =O, o problema possui uma condição de contorno (natural) de tração, e uma condição 
de contorno essencial é aplicada em x = l. Os nós sobre o contorno essencial são primeiramente numerados como 
mostrado na Figura S.la. 
A formulação fraca foi desenvolvida no Capítulo 3 e é dada a seguir. 
(a) 
(1) 
(b) . 
(1) 
' (c) : u3 3i 2 
(1) 
2 
• 
' 
' l u2 
Formulação de Elementos Finitos para Problemas Unidimensionais 73 
(2) 
(2) 
(2) 
. l/r .. 
~~X 
X1 = ·f 
1: ül 
X 
Figura 5.1 (a) Malha com dois elementos, (b) funções de forma global e (c) um exemplo de uma solução tentativa que 
satisfaz uma condição de contorno essencial. 
,, .. '• ~ \ 
Determine u(x) dentre as soluções tentativas suaves que satisfaçam a concliçllo de contorno essencial u(l) = Ü1 
tal que 
t (dw)T (du) {1 T T- I lo dx AE dx dx- lo w bdx- (w tA) -o= O 'v'w(x) com w(l) =O. (5.1) 
Nesta equação, tomamos a transposta das funções peso; como w(x) é um escalar, essa operação não muda o valor 
da expressão, mas é necessária para a consistência quando substituímos expressões de matriz por w(x) ou sua deri· 
vada. 
O procedimento que seguiremos é similar ao Exemplo 3.3: avaliaremos a formulação fraca para soluções tenta-
tivas e funções peso dos elementos finitos. Em seguida, invocando a arbitrariedade das funções peso, deduziremos 
um conjunto de equações (cliscretas) algébricas lineares. 
As funções peso dos elementos finitos são 
w(x) ~ wh(x) = N(x)w, (5.2) 
em que = denota aproximação e N(x) é a matriz das funções de forma. Para essa malha. w(x) = w 1N1(x) + 
w/'2(x) + w/'3(x). As soluções tentativas dos elementos finitos são aproximadas pelas mesmas funções de forma: 
u(x) ~ Ji(x) ,.; N(x)d. . (5.3) 
Para essa malha. u(x) = u1N1(x) + u/l,(x) + u/f3(.x). Note que nos referimos às funções peso e soluções tentativas 
no plural, visto que estas são inúmeras; o nosso trabalho será deter:miDar qual s~lução tentativa satisfaz a formulação 
fraca. Diversas funções de fcrma foram desenvolvidas no Capítulo 4, e o proceclimento que desenvolveremos será 
aplicável a todas elas, porém, primeiramente colocaremos em evidência o elemento com dois nós e as funções de 
forma linear. Essas funções de forma dos elementos finitos, como mostrado no Capítulo4, são suficientemente suaves· 
para serem empregadas na formulação fraca. 
As soluções tentativas precisam ser construídas de forma que satisfaçam às condições de contorno essenciais. Isso 
pode ser facilmente realizado fazendo 
--- ·- - (5.4) 
Os outros deslocamentos nodais são desconhecidos e serão determinados pela solução da formulação fraca. As 
funções de forma global são mostradas na Figura 5.1 (b ). Note que elas são funções triangulares que descrevemos no 
Capítulo 4. A aproximação dos elementos finitÕs é uma combinação linear dessas funç~ de forma. Um exemplo de 
uma solução tentativa dos elementos finitos é mostrado na Figura 5.l(c). Por causa de (5.4) e da suavidade da apro. 
ximação dos elementos finitos, todas as soluções tentativas são admissíveis. 
Sobre o contorno essencial, as funções peso precisam desaparecer. Para obter essa exigência, esta~lecemos 
(5.5) 
Os valores nodais remanescentes, w2 e w3, são arbitrários, ·visto que as funções peso precisam ser arbitrárias. 
As matrizes elemento e global estão relacionadas com as matrizes reunião, como mostrado no Capítulo 2, então 
temos , .. . '-• • ,; · •, 
74 CAPiruLO-GINCO 
w =L'w, d' = L'd. (5.6) 
As matrizes reunião se originam da relação entre os índices nodais local e global. 
Como as furições dos elementos finitos e suas derivadas possuem, respectivamente, curvas e saltos nas interfaces 
do elemento (veja Figura 3.5), a integração eficiente da formulação fraca (5.1) necessita de avaliação da integral sobre 
[0, l), como uma soma de integrais sobre os domínios específicos do elemento [~, ~). Então substituímos a integral 
sobre o domínio inteiro em (5.1) pela soma das integrais sobre os domínios do elemento: 
(5.7) 
em que colocamos o sobrescrito 'c' nas funções peso e tentativa para indicar que elas são parte daquelas funções 
que pertencem ao elemento e. Em cada elemento e, a função peso (5.2) e a solução tentativa (5.3) podem ser escritas 
como 
u'(x) = N'd', 
(5.8) 
em que d' e w' são dados em termos dos valores nodais globais por (5.6). A Equação (5.8) tem a mesma abordagem 
que a (5.2) e a (5.3), e essas funções são também admissíveis. Elas são uma localização das aproximações globais 
para os elementos e surgem pelo fato de que, no elemento e, as funções global N e de forma do elemento N• são idên-
ticas (veja Figura 4.8). Daqui em diante, escreveremos as aproximações dos elementos finitos no nível do elemento 
na forma (5.8); as condições de contorno essenciais seiâo encontradas sobre o nível global e será implicito que d' e 
w< são dados em função dos valores nodais globais por (5:6). 
Substituindo (5.8) por (5.7) obtemos 
r, r, f B'1A'eB'dxd'- f N'Tbdx -(~)r-=0 
~ ~ ~ 
=0. (5.9) 
~ '----.,----" 
K' fCl' 
Na equação anterior, definimos duas matrizes que serão bastante úteis no método dos elementos finitos (MEF): 
(i) a matriz de rigidez do elemento 
-'1 
K' =f B'rA'eB'dx= h B'1A'eB'ctx; 
r, 
(i i) a matriz de força externa do elemento 
(5.10) 
(5.11) 
em que r; é a porção do contorno do elemento sobre o contorno natural e fn e fj. em (5.11) são o corpo externo do 
elemento e as matrizes de força no contorno, respectivamente. As matrizes do elemento terão o mesmo papel funda-
mental como na análise dos sistemas discretos no Capítulo 2: elas são os blocos de construção das equações globais. 
Mais tarde, examinaremos essas matrizes para análise de tensões e condução de calor detalhadameote. Em (5.10) e 
(5.11), as expressões mais à direita usam uma notação que introduziremos na próxima seção. 
Substituindo (5.10) e (5.11) por (5.9) e usando (5.6) obtemos 
(5.12) 
Na dedução da.Equação (5.12),lembre-se de que w não é uma função de x mas é uma matriz global, portanto, pode 
ser tomada fora do somatório. Além do mais, o operador de dispersão L' não é uma função de x, mas é dependente 
.... do elemeritó. Por essa razão, foi colocado fora da integral, mas deve permanecer nos somatórios dos elementos. 
Fonnulação de Elementos Rnltos para Problemas Unidimensionais 75 
Se você compara o primeiro somatório ·em (5.12) com a Equação (2.25), a expressão pode ser reconhecida como 
a matriz (de rigidez) do sistema montado · 
n., 
K= LLeTK•L•. (5.13) 
•-I 
A matriz do sistema para a equação diferencial é montada exatamente pelas mesmas operações como para os sistemas 
discretos: matriz de coe;.ficientes dispersos e adição, que também é equivalente à montagem direta. Devemos ressaltar 
que não necessitamos realizar as grandes multiplicações de matrizes indicadas anteriormente para montar as matrizes 
globais. Os processos de montagem são idênticos aos procedimentos de montagem que aprendemos no Capítulo 2. 
O segundo termo em (5.1.2) é a.matriz de força externa reunida 
• ' \ I • 
n,. 
f= :L>•Tfl. 
·=I 
(5.14) 
Essa é a operação montagem da matriz coluna, que éonsiste em uma matriz coluna com coeficientes dispersos e 
em adição e é realmente mais fácil de ser aprendida do que a matriz montagem; isso será ilustrado nos exemplos a 
seguir. 
Substituindo as Equações (5.13) e (5.14) pela Equação (5.12) obtemos 
wT (K d -f) =O Vw exceto w1 = w(l) =O, (5.15) 
em que indicamos a arbitrariedade dos valores nodais, w, que emanam da arbitrariedade das funçõespeso no estabe-
lecimento da formulação fraca (5.1) e da restrição sobre w, (5.5). Seja 
r ,.=Kd-f, 
em que r é chamado de. resíduo. Então (5.15) toma-se 
Vw exceto wi = O. 
Se escrevermos a Equação (5.15) para o modelo específico na Figura 5.1, obtemos 
w2r2 + w3r3 = O, 
(5.16) 
(5.17) 
em que o primeiro termo desapareceu porque w1 = O. Como a equação anterior vale para w2 e w3 arbitrários, podemos 
deduzir que r2 = r3 = O, mas não podemos dizer nada sobre r1• De fato, como r1 é uma força não balanceada no nó 
1, então ·é a força de reação. Se escrevemos as equações, obtemos 
Rearranjando o termo em (5.18) obtemos 
[
Kn K12 
K21 K22 
K31 . Kn 
(5.18) 
(5.19) 
A Equação (S .19) é um sistema de três equações com três incógnitas, u2, u3 e r1• É similar à Equação (2.27) deduzida 
no Capítulo 2. Diversos procedimentos de solução, tais como os métodos da partição e da penalidade, foram discu-
tidos no Capítulo 2. Por exemplo, usando a aproximação da partição, os deslocamentos nodais u1 e u3 são determ,i-
·--------nados-primeiramente .. pela.solução.de- ------------------ ---·- -- --- - ·- -- -------- ---------- -- · 
[~: ~:] [~~] = {~: =~:~:~ }, 
seguida pelo cálculo das reações desconh~das no nó 1: 
'• ~f, - (Ku K., K.,J [H 
Como as equaçoCs para sistemas discretos, a Equação (5.19) pode ser vista como equações de equilíbrio discreto nos 
nós. O primeicQ membro é a matriz das forças internas e o segundo membro é aquele das forças externas e reações. Note 
que a matriz de rigidez.em (5.19) é am·da-singütar. Entrétàítto, "ã aproXima_ção da'p:arti~ão não exige a sua inversão. 
-· .l 1 .. ....... • 
• 
• 
• 
• 
• 
I 
• 
• 
I 
I 
I 
1 
r 
. .• 
j 
· I 
.J 
I 
•• 
I 
l 
<f 
• 
i l 
76 CAPITULO CINCO 
Figura S.Z Elemento com dois nós com distribuição linear de força de campo. 
5.2 MATRIZES ELEMENTO PARA ELEMENTO COM DOIS NÓS 
Considere um elemento linear com dois nós, área de seção transversal constante A' e módulo de Young E< sujeito a 
uma distribuição linear de forças de campo, como mostrado na Figura 5.2. Nesta seção, deduzimos a matriz de rigidez 
do elemento e a matriz de força externa. 
Lembre-se de que na Seção 4.1 mostramos que as funções de forma de elementos com dois nós e suas derivadas 
são dadas como 
. rx-~ x-xj] )[ N = -- -- =- (xí - x) xj-~ ~-xj I• 
B' =~N' = (- .!_ .!.) =.!_[-1 1) . dx I• I• t• 
(x -xD] , 
(5.20) 
Portanto, a matriz de rigidez do elemento é 
A'F! [ 1 
= (1•)2 - 1 ~I] (y). 
K'= - -A'E' [ I I• -1 -1] 1 . (5.21) 
Observe que esse resultado é idêntico àquele do elemento de barra deduzido no Capítulo 2 com base em argumentos 
físicos. Em outras palavras, a 'matriz de rigidez do elemento com dois nós com área de seção transversal constante e 
módulo de Young constante, quando deduzida da formulação fraca, é idêntica àquela obtida por argumentos físicos. 
Você pode pensar então: por que ter todos esses problemas? A razão é que, para elementos de ordem superior e em 
multidimensões, os procedimentos descritos no Capítulo 2 não funcionam, enquanto a formulação fraca pode ser 
aplicada para elementos de ordem superior em duas e três dimensões. 
Agora, voltando à avaliação das forças de campo nodais externas, o primeiro termo na Equação (5.11) é: 
r, 
fó = f N•Tb(x) dx. 
~ 
Como a distribuição da força de campo é linear, pode ser expre~a em termos de funções de forma lineares, como 
b(x) = N'b, b = [~]· 
A matriz de força de campo do elemento é, portanto, dada como 
(~- x)(x -.xj)] d.xb 
(x- xj)2 
Pode-se ver que a soma das forças que agem sobre o elemento é I'(b1 + b2)12, que é exatamente a integral da força 
de campo sobre o donúnio do elemento, isto é, a força total. Conforme esperado, para b1 = b2, metade da força vai 
para o nó 1 e metade para o nó 2. 
Fonnulaçáo de Bementos Finitos para Probl~ Unidimensionais n 
Tabela 5.1 Tenninologia para matrizes em elementos finitos. 
Matrizes Elasticidade Difusão Condução de calor 
K Rigidez Difusividade Coodutância 
r Força Fluxo Fluxo 
d Deslocamento Concentração Temperâtllra 
5.3 APLICAÇÃO A PROBLEMAS DE CONDUÇÃO E DIFUSÃO DE C~.LOR1 
., · .:: 
As expressões para condução de calor e outras equações de difusão podem ser obtidas pela mera substituição dos 
campos e parâmetros lisando a tabe~ de conversão introduzida no Capítulo 3{.I'abela3.2). A terminologia das matrizes 
nas equações discretas de condução de calor e difusão está resumida na Tabela 5.1. As matrizes do elemento são 
dadas por 
Ke = L BtT A •~t;• B'• d:c, 
re =h Nafd:c+(N.TA.~)I 
~ r: 
.._,___._, 
ro rr 
(5.22) 
com parâmetros definidos pelo uso das equivalências dadas na Tabela 3.2. 
~ Exemplo 5.1 Condução de calor 
Primeiramente usaremos um problema de condução de calor para ilustrar como o procedimento dos elementos 
finitos é aplicado. Esse exemplo ilustrará a construção e solução das equações de elementos finitos e discutirá a 
exatidão das soluções de elementos finitos. A maior parte dos procedimentos e discussão nesse ~emplo aplica-
se igualmente à análise de tensões. 
Considere uma barra com uma fonte de calor uniformemente distribuída de s = 5 W m - 1• A barra po~ 
uma área de seção transversal uniforme de A = 0.1 m2 e condutividade térmica de k - 2 W oc;-t m-1 _g 
.comprimento da barra é de 4 m. As condições de contorno são T(O) = ooc e if(x = 4) - 5 W m-1, conforme 
mostrado na Figura 5.3. Divida o domínio do problema em dois elementos com dois nós de temperatura linear 
e resolva pelo MEF. 
Pré-pnocessa~nto 
Iniciamos por numerar os nós sobre r r A malha de elementos finitos é mostrada na Figura 5.4. 
Matriz de condutância do elemento 
As funções de forma do elemento com dois nós, suas derivadaS e a matriz de condutâricia resultante (substitua 
E' por k' em [5.2i]) · 
K• = f B•T A • k"B~ dx = A;: [ _ ~ -~] 
fl' 
- ---- · --ti{i~4Yi1=if=swm-z~ 
\ 
x=O s=Swm-1 x=4m 
t f t f t t t t f f f t f f f f f f f f ft 
Figura 5.3 Definição do problema do Exemplo S.l. 
'Rec:Omendado para a trajetória dé Ciencias e Engenharia. - .. 
78 CAPilULO CINCO 
f r 
\I (1) 2 (2) 3 
X 
Xt =0 .x-2=2 . .x-3=4 
Figura 5.4 Malba de elementos finitos do Exemplo 5.1. . 
foram deduzidas na Seção 5.2. Note que esse resultado é similar ao do elemento de barra, exceto que o módulo 
de Young é substituído pela condutividade térmica. 
Para o elemento 1, temos 
X(l) - o ~(:) - 2 I - ' ""'2 - ' [(I)= 2, (Ak)(l) = 0,2, 
K(tl = 0,2 [ 1 -1] = [ O, 1 
2 -1 1 -0,1 
-0,1 ]· 
o, 1 
e similarmente para o elemento 2: 
Matriz de condutância 
K (2) = [ 0,1 
-0,1 
- 0,1] 
0,1 . 
A matriz de condutância (global) é obtida pela operação de montagem da matriz: 
,.,, 
K = L L'TK'L' = L(I)TK(l)L(l) + L(2)TK (2)L(2). 
•=I 
(5.23) 
Podemos usar a montagem da matriz direta para obtê-la, mas para mostrar que os dois procedimentos são idên-
ticos primeiramente obteremos a matriz de condutância global a partir da equação anterior. Moiltaremos a matriz 
de condutância completa, sem levar em consideração as condições de contorno essenciais. Isso significa que, 
exatamente como no Capítulo 2, obteremos equações em que o segundo membro contém incógnitaS. Entretanto, 
pela montagem de todas as equações, estaremos aptos para avaliar a matriz de fluxo no contorno dos contornos 
essenciais . 
.Os operadores reunião para os dois elementos são 
d<'l ~ [ ~::] ~ [~:] ~ [~ 0 ~] [~:l ~L<'Id, 
d<'l = [ ~:] = [~:] = [~ ~ ~l[~:l = L'''d 
A dispersão dos coeficientes das matrizes de condutância fornece 
K(l)= L(l)TK (I)L (l) = 
u q [ 0,1 -0,1] [ 1 o 0 ] [ 0.1 -0,1 ~] o -0,1 0,1 o 1 o = -~,1 0,1 o 
K'''= L''''K'''L0l = [~ ~] [ ~· 1 -o,1 ][o 1 n ~ [~ o. -o.~] 0,1 o 1 0,1 0,1 o o 
-0,1 0,1 
A rigidez total é obtida pela adição da rigidez dos elementos dispersos dados anteriormente-o.1 o] 
0,2 -0,1 . 
-0,1 0,1 [ 
0,1 
K = K:<l) + K<2l = -o,~ (5.24) 
Na prática, os produtos triplos anteriores não são calculados, mas uma montagem direta é empregada, como 
descrito previamente no Capítulo 2. A montagem direta para o proeesso é mostrada a seguir: 
Fonnulação de Elementos Finitos para Problemas Unidimensionais 79 
K(I) = [ Ó,l 
-0,1 
[1] 
-0,1] 
0,1 
[2] 
!I I (2] 
A matriz de condutância global resultante é 
[ 
0,1 
K= -0,~ 
[1 I 
K(2) = [ 0,1 
.. -0,1 
-0,1 
0,2 
-0,1 
[2] 
[2J 
o] [IJ 
-0,1 (2). 
0,1 (3) 
[3] 
Essa matriz, obtida por montagem direta, é idêntica à Equação (5.24) . 
Matriz dejisuo àe contorno 
-0,1] 
0,1 
[3] 
[21 
[3] 
As matrizes de fluxo de contorno do elemento são calculadas por (5.11), em que t foi substituído por -ij de 
acordo com a Tabela 3.2 
Observe que as funções de forma para o elemento 1 (mostrado na Figura 5.5) desaparecem sobre r,. Somente as 
funções de forma que não são zero sobre o contorno natural r, contribuirão para o fluxo de contorno nodal. Por 
conseguinte, no cálculo da matriz de fluxo de contorno necessitamos considerar somente aqueles elementos que 
estão sobre o contorno natural. 
Usando a equação anterior, as matrizes de fluxo de contorno do elemento para os dois elementos são 
A dispersão dos ·coeficientes (ou processo de montagem direta) então fornece a matriz de fluxo de contorno 
global: · 
fr= o 1 [~]+ 1 o [_~ 5 ]= o (2]. [ I o] [o o] [ o ]li] o o o 1 • -0,5 [3) 
Observe que esse resultado é o mesmo que especificando (-Aij)lr para o nó em que o fluxo é prescrito e zero 
para todos os outros nós. Dessa forma, a matriz de contorno pode sh calculada direta,mente. 
Matriz tfe fluxo da fonte 
A matriz de fluxo da fonte do elemento é deduzida na Seção 5.2 e dada por 
N~o 
............ í ~~ 1 i[ = 5 em x3 
......... } A= 0,1 =constante 
:2 3 
0~~~------------~~--------------~--~~x 
0 X1 (1) ~ (2) XJ 
Figüra S.S Funções de.'forrna para o elemento l. 
.... ~ . 
80 CAPITuLO CINCO 
·t N fl 
N(2) 
..... ' i 2 
q = 5 ern x3 
_,... t 
,, I 
A= 0,1 =constante , 
I 
I 
2 I 
0 I X 
o XI 
(I) x2 (2) X) 
Figura 5.6 Funções de fonna para o elemento 2. 
em que bem (5.11) foi substituído por s de acorào com a Tabela 3.2. Como s, = s2 = s, a equação anterior se 
reduz a 
!'s [ 1] fó=2 1 . 
Pode-se ver que metade do calor vai para o nó 1 e metade para o nó 2. Isso também acontece pelo fato de que a 
integral das funções de forma lineares sobre o elemento podem ser calculadas como uma área de um triângulo com 
altura igual a 1 e a base igual ao comprimento do elemento; isso pode ser visto facilmente nas Figuras 5.5 e 5.6. 
No presente exemplo, zm = /(21 = 2 e s = 5, fornecem 
f t•> _ rl2l _ [5] n-n - 5· 
A matriz de fluxo da fonte do elemento é, portanto, montada: 
Na prática, em seu lugar uma montagem direta é usada: 
r(l> _ [5] [1] 
n - 5 [2] 
f!2l = [5] [2] 
n 5 (3) 
=? fn = [5 ~ 5] gj. 
5 [3) 
Partição e solução 
O sistema global de equações é dado por 
[ 
0,1 
-0,1 
o 
-0,1 o ][o] [5] [O l ["] [r,+5] 0.2 -0,1 T2 = 10 + O + O = 10 . 
-0, I O, I T.1 5 -0,5 O 4,5 
Como o nó 1 está sobre o contorno essencial, partimos após a primeira linha, o que fornece 
[ 0.2 
-0,1 -0,1] [ T2] = [ 10] 0.1 T3 4.5 :::} [T2] _ [ 145] T3 - 190 . 
Pós-processamento 
O gradiente de temperatura é dado como 
d:f{I) = Bll)L(I)d =! (-1 1] [ 1 o ~ ] [::J -72.5, dx 2 o 
dT(2) = Bl2lLI2ld =! (-1 1] [O 1 ~] [·~+22,5 dx 2 o o 190 
Observe que o gradiente de temperatura é constante por partes e, como será visto em seu gráfico, esse gradiente 
é uma função com grau de continuidade c-1• · 
Formulação de Elementos,Finitos para Próble~ ~nidlmenslonals 81 
Ava(iando a qualidade da solução 
A solução de elementos finitos agora será comparada à solução analítica exata. Esse tipO de comparação pode ser 
feito somente para alguns tipos de problemas simples (principalmente em uma dimensão) para os quais a solução 
exata é conhecida. 
Iniciamos a partir da formulação forte no Capítulo 3: 
! ( Ak :) + s = 0, 0 < X < l, 
d ( dT) d2T dx 0.2dx +5=0 => dx2=-25, 
. . . dT 
T(O) =O, q(4) = -k dx nl.r=o~ = 5 => àT 5 dx (4) = -2 = -2,5. 
A integração da equação diferencial de governo fornece 
~T dT dT 
d,x2 = -25 => dx = -25x + CJ => dx (4) = -2,5 = -25 X4 + CJ => CJ = 97,5. 
A expressão para a temperatura é obtida pela integração do gradiente de temperatura, que fornece 
dT dx = -25x + 97,5 => T = -12,5xl + 97,5x + c2 , 
T(O) = 0 => -12,5(0)2 + 97 ,5{0) + Cz = 0 => Cz = 0. 
Portanto, a temperatura exata e ~ g~diente de temperatura são 
rx = -12,5x2 + 91,5x, drex (h""= -25x + 97 ,5. 
A Figura 5.7 compara a solução do MEF com a solução exata. Pode-se ver que as temperaturas nodais para o 
MEF são exatas. Essas são anomalias não usuais das soluções de elementos finitos em uma dimensão e não devem 
ocorrer em soluções multidímensíonais. Isso é explicado por Hughes (1987) p. 25. Observe que a condição de 
contorno essencial é rigorosamente satisfeita. Isso não é surpreendente visto que a solução tentativa foi cons-
truída de forma a satisfazer a condição de contorno essencial. Em soluções de elementos finitos, as condições de 
contorno essenciais sempre serão exatamente satisfeitas. 
A Figura 5.8 compara a derivada da solução de elementos finitos com a derivada da solução exata (a derivada 
é proporcional ao fluxo). Como pode ser visto na Figura 5.8 e mencionado anteriormente, a derivada é uma função 
com grau de continuidade c-•; a derivada da temperatura e, conseqüentemente, do fluxo na solução de elementos 
finitos é descontínua entre os elementos. Como apontado na Figura 5.8, a condição de contorno natural em x = 4 
não é satisfeita pela solução de elementos finitos. Entretanto, veremos em outros exemplos e em exercícios que 
a condição de contorno natural é encontrada com mais exatidão conforme a malha é refinada. Portanto, embora 
não tenhamos que construir aproximações de elementos finitos para satisfazer as condições de contorno naturais, 
elas são obtidas aproximadamente. 
Também é informativo ver quão bem a equação de condução de calor é satisfeita pela solução dos elementos 
finitos. Lembre-se da equação de condução de calor (3.12) e substitua a solução dos ele~nentos finitos para a 
temperatura: 
T 
_ 11.5 - . --- -
150 
125 
100 
75 
50 
2 3 4 
Figura. 5.7 Comparação entre a ·solução exata e a solução por elementos finitos para a temperatura. 
82 CAPITULO CINCO 
* 100 
75 
50 
25 ~h----/ 
X 
00 2 3 4 
Figura 5.8 Comparação entre a solução exata e a solução por elementos finitos para o gradiente de temperatura. 
d2 
Ak dx2 (N(x)d) + s(x) = err(x). (5.25) 
Na equação anterior, substituímos o zero no segundo termo da equação de condução de calor por 'err', visto que 
o desvio de zero é indicativo do erro na solução dos elementos finitos. O primeiro termo da Equação (5.25) desa-
parecerá no interior de um elemento, visto que as funções de forma são lineares em x. Portanto, no interior dos 
elementos, o erro na equação de condução de calor será 
err(x) = s(x) para x ':/; x1• 
Esse erro realmente parece ser bastante grande e, além disso, não diminuiria com o refinamento da malha. O 
comportamento nos nós é mais complicado e não será considerado aqui. 
Desse modo, tanto a condição de contorno natural quanto as equações de balanço são satisfeitas aproxima-
damente somente pela solução dos elementos finitos. Entretanto, pode-se mostrar que a solução dos elementos 
finitos converge para a solução exata conforme a malha é refinada, embora isso não seja facilmente evidente a 
partir da formulação fraca . A convergência da solução dos elementos finitos para a solução exata é discutida na 
Seção 5.6. 
5.4 DESENVOLVIMENTO DE EQUAÇÕES DISCRETASPARA CONDIÇÕES DE 
CONTORNO ARBITRÁRIAS 
Consideraremos agora o desenvolvimento das equações dos elementos finitos para a formulação fraca com condições 
de contorno arbitráriàs, a Equação.(3.49). Por conveniência, a escrevemos novamente: 
determine u(x) e U tal que 
f (:rAE:dx-f wTbd.x-(wTAi)i =0 V'wEUo. (5.26) 
n n ~ 
Considere a malha de elementos finitos mostrada na Figura 5.9. Os elementos podem ser de qualquer tamanho e, 
como veremos posteriormente, os elementos menores são normalmente usados onde são necessários para exatidão. Os 
nós sobre o contorno essencial são numerados primeiramente, visto que usaremos o método da partição descrito no 
Capítulo 2. Os dados reais não necessitam estar naquela forma, visto que os nós podem ser renumerados no programa; 
a maior parte dos programas computacionais comerciais não usa a partição. Porém, para o objetivo do desenvolvimento 
seguinte, é considerado que os nós do contorno essencial aparecem primeiramente em todas as matrizes. 
(1) (2) e n,t 
• • I I I • • • .. X 
1 2 I nnp 
x=a x=b 
Figura 5.9 Malha dos elementos finitos em uma dimens.ão. 
.. . ---------
Fonnulação de Elementos Rnltos para Problemas Unidimensionais 83 
Tendo selecionado a mallia dos elementos finitos e construido funções de aproximação suaves sobre os domínios 
do elemento específico (5.8), agora expressamos a integral_sobre O como a soma das integrais sobre os domínios 
do elemento: 
'r/we Uo, (5.27) 
em que .O.• são os domínios do elementos; a integração sobre .O.• é equivalente à integração sobre o intervalo[~, 
r •• J 
Usaremos as mesmas aproximações globais para as funções peso e soluções tentativas, (5.2) e (5.3), respectivamente. 
Para tratar com condições de contorno arbitrárias, partiremos as matrizes da solução global e da função peso como 
A parte da matriz marcada pelo subscrito 'E' contém os valores nodais sobre os contornos essenciais. Como indicado 
pela barra sobre dE, esses valores da solução são estabelecidos para satisfazer as condições de contorno essenciais, 
de forma que podem ser considerados como conhecidos. As submatrizes marcadas pelo subscrito 'F' contêm todos 
os valores nodais remanescentes: essas entradas são arbitrárias P.ara a função peso e são incógnitas para a solução 
tentativa. As funções peso resultantes e as soluções tentativas serão, portanto, adnússfveis. 
Substituindo (5.8) por (5.27) obtemos 
t~T{ f Ba~A'B' dx-d'- f N'Tbdx- (N'TA'I)I } = o 
.,., Sl' Sl' r; 
(5.28) 
Observe que (5.28) é válida para todo wF (arbitrário), como wEnão é arbitrário, W8 precisa ser zero. 
Substituindo (5.10) e (5.11) por (5.28) e usando (5.6), w' = L•w e d• = L'd, obtemos 
(5.29) 
O sistema anterior pode ser escrito como 
(5.30) 
em que r= Kd- C como em (5.16). 
Apartição de r na Equação (5.30) congruente com w fqmece 
[wE wp]T [ ~=] = wi,r.e + w~rF = O · Y/wp. (5.31) 
Como we =O e wF é arbitrário, logo o teorema do prodúto escalar r,= O. A Equação (5.16) pode então ser escrita 
na forma partida como 
em que ~. ~ e ~ são partidas para serem congruentes com as partições de d e r. 
- ---A-equação-anterior-pode-seneescrita·como- ·-- ·~---~------· 
(5.32) 
Usando a aproximação de dois passos discutida na Seção 5.1, resolvemos primeiro para a solução discreta desconhe-
cida ~ pela utilização da segunda linha na equação anterior: 
Uma vez que dFé conhecida. as reações desconhecidaS podem ser calculadas da primeira linh~ de (5.32): 
· re = K.ed.e-+ Kudp- C~:.. 
(5.33) 
(5.34) 
84 .CAPÍTULO CINCO 
A= 2x E= 8 Pa 
I (X= 6) =o 
x=2 
x=6 
Figura 5.10 Geometria, cargas e condições de contorno do Exemplo 5.2. 
Para a finalidade de pós-processamento, os deslocamentos e as tensões são calculados em cada elemento usando a 
Equação (5.8) e a lei de tensão-deformação: 
u'(x) = N' (x)d' , cr(x) = e(x)B'(x)d'. 
Os valores dos elementos nodais são obtidos pela reuruão do operador V usando d' = Vd. 
Uma parte importante do pós-processamento é a descrição visual desses resultados. Esses são inestimáveis para 
a interpretação dos resultados e para avaliar se o modelo é apropriado e foi resolvido corretamente. A variedade e a 
riqueza da visualização em problemas urudimensionais são limitadas, porém veremos que a visualização em duas 
dimensões é bastante importante. 
~ [ Exemplo S.ijBarra elástica cônica 
Considere um problema de uma barra elástica carregada ax.ialmente como mostrado na Figura 5.1 O. As dimen-
sões estão em metros. Resolva para as tensões e os deslocamentos desconhecidos com uma malha de elementos 
finitos (n., = 3, nd = 1) que se constitui em um elemento simples com três nós (n.1 = 3, ncl = l) como mostrado 
na Figura 5 .11. 
Lembre-se de que as funções de forma para o elemento quadrático com três nós são 
e a matriz B correspondente é 
(I) B~l) = dN2 = ~ (4 - x), 
- dt 2 
I 
B11l = 4!(x- 5) (8- 2x) (x- 3)]. 
Matriz de rigidez 
A matriz de rigidez do elemento é dada por 
2 3 
o o o 
' 
o 
x\11 = 2 x~11 = 4 p x~l) = 6 
dN(I) I 
,.<31) = _ 3_ = - (x - 3) 
- dx 4 , 
Figura 5.11 Malha dos elementos finitos do Exemplo 5.2. 
Formulação de Elementos AnHos para Problemas Unidimensionais 85 
~, 6 [ {x- 5) l 
K(t) = K = f B(l)T A{l) ,E(llB(ll dx = f~ {8- 2x) {2x){8) ~ ({x- 5) (8- 2x) {x - 3)) dx 
"' 2 (x - 3) 
6 [ x(x- 5)2 x(x - 5)(8 - 2x} x(x- 5)(x- 3) l 
= j x(8 - 2x)(x- 5) x(8 - 2x)2 x(8- 2x)(x- 3) dx. 
2 x(x- 3)(x- 5) x(x- 3}(8- 2x) x(x- 3)2 
Pode-se ver que o integrando é cúbico (p = 3). Então o número de pontos da quadratura exigidos para a inte-
gração exata é 2niP - 1 2: 3, isto é, "~~> 2: 2, que é a quadratura de Gauss adequada para a integração exata do 
integrando. O Jacobiano é 
b-a 1 =-- ·= 2. 2 
Escrevendo x em termos de ~ e transformando para o domínio de referência, temos 
j f(x) dx = 2 j f(x(Ç)) d{ = 1 l~f(x(~t)) + ~f(x({2))] = 2[/(xi) + f(x2)], (5.35) 
2 -1 I 1 
em que 
x. =x(e.}=4+2e• = 4 +2( - ~) =2,8453, 
X2 = x(el) = 4 + 2{2 = 4 + 2(~) = 5,1547. 
Usando (5.35), K 11 é dado por 
6 
K11 = f x(x- 5)2 dx = 2{2,8453(2,8453 - 5)2 + 5,1547(5,1547 - 5)2) = 26,667. 
2 
A matriz de rigidez é dada por 
[
26,67 -32 5,33 l [26,67 -32 
K = 85,33 -53,33 = - 32 85,33 
sim 48 5,33 -53,33 
5,33] 
-53,33 . 
48 
Observe que a. matriz de rigidez é simétrica e que a soma dos termos em cada linha (ou coluna) é igual a zero. 
Isso vem do fato de que sob movimento de corpo rígido (p. ex., quando os deslocamentos nodais são todos iguais 
a 1) as forças nodais resultantes precisam ser zero. 
Matriz. de força de campo 
A matriz de forças de campo nodais é obtida pela adição das contribuiçõeS do carregamento distribuído b (primeiro 
termo em [5.36]) :: da força no ponto P (segundo termo em [5.36]) . 
.1") 
Co =r~l =f N'Tbdx + ~ (5.36) 
za .. __ contribuição da_força_RQolllal ____ ______ _ 
Os detalhes da dedução das forças de campo nodais que surgem das forças pontuais são dados no Apêndice AS. 
Observe que o segundo termo em (5 .. 36) consiste em um produto das funções de forma do elemento avaliadas no 
ponto em que a força pontual está agindo e do valor da força pontual (positivo se age na direção positiva de x) . 
Por exemplo, se a força pontual está agindo no meio de um elemento linear, o valor da função de forma no meio 
é metade, então metade da força vai para cada nó. 
No exemplo presente, (5.36) fornece 
6 [ 0,125(x- 4}(x - 6) l [ 0,125(x- 4)(x- 6) l 
fn = f -0,25(x- 2){x- 6} x 8 dx + -0,25(x- 2)(x- 6) x24. 
2 0,125(x - 2)(x- 4) 0,125(x- 2)(x- 4) .=s 
A quadiàtura de Gauss de doís pontos é necessári'â porque a funçlib é quadrática, então· · 
86 CAPITULO CINCO 
Portanto, 
6 j f(x) dx = 2[f(xJ) + f(x2)). 
2 
[ 2[N~ 1>(x.)+NP> cx2)] ] [ 3(5-4)(5-6) l fn = 8 2(Ni•>cx:) + Ni•>cx2}) + -6(5- 2)~5- 6) 2{N~• > cx.) + N~!l(x2)J 3(5- 2)(:>- 4) 
[ 
2((2,8453- 4)(2,8453-6) + (5,1547- 4)(5,1547- 6)) l 
= -4((2,8453- 2)(2,8453- 6) + (5,1547 - 2)(5,1547- 6)) + 
2((2,8453- 2)(2,8453- 4) + (5,1547- 2)(5,1547- 4)) 
[
5,33] [-3] [2,33] = 21,33 + 18 = 39,33 . 
5,33. 9 14;33 
~ "-v-' 
soma= 24 
8. 4 24 
Observe que a matriz de força no contorno desaparece, exceto para a reação no nó 1. Portanto, o segundo membro 
de (5.32) é: 
[
TJ +2,33] 
f +r= 39,33 . 
14,33 
O sistema global resultante de equações é 
em que a partição das equações foi feita após a primeira linha e primeira coluna. O sistema de equações redu-
zido é: 
Resolvendo o sistema antérior 
Pós-processamento 
[ 
85,33 
-53,33 -53,33] [uz ] = [39,33] '* [u2 ] = [2,1193] · 48 U3 14,33 U3 2,6534 
Uma vez que os deslocamentos nodais foram calculados, o campo de deslocamento pode ser obtido por (5 .3). 
Escrevendo essa equação para o elemento com três nós obtemos 
u = Nl 1)Ut +Ni1)Ui +N~1>u3, d = d(l) = [2,1~93] . 
2,6534 
1 -l 1 
u(x) = s<x- 4)(x- 6)(0) + 4(x- 2)(x- 6)(2,1193) + 8 (x- 2)(x- 4)(2,6534) 
= -0,19815~ + 2,248 55x- 3,7045. 
O campo de tensões é dado por 
u(x) =Edu= E~(N<1ld( 1 l) = EB<1ld<1l 
dx dx 
=8~ ((x-5) (8 - 2x) (x - 3))[2,1~93] = - 3,17x+l7,99. 
. . . . 2,6534 . 
Fonnulação de Elementos Rnitos para Problemas Unidimensionais 87 
2 
36-4x 
-.-
··-... /X 
··. 
· .. 
·. 
·. 
·. 
·. 
4 
· .. 
···o 
24- 4x 
X 
6 
Figura 5.12 Comparações dos elem::atos finitos (linha contínua) e tensões exatas (li.'lha pontilhada) para o Exemplo 5.2. 
Estimativa da qualidade da solução 
Para sermos breves, somente a qualidade das tensões será avaliada. Como o problema é. determinado estatica-
mente, o campo de tensões exato pode ser calculado a partir da força axial p(x) pela sua divisão pela área da seção 
transversal o"' = pt). A Figura 5.12 compara a solução por elementos finitos do campo de tensões (mostrado por 
uma linha contínua) com o campo de tensões exato (mostrado. por uma linha pontilhada). Observe que o campo 
de tensões por elementos finitos não captura o salto que ocorre na localização da força pontual. 
5.5 PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO COM DOIS PONTOS COM CONDIÇÕES DE 
~ CONTORNO GENERALIZADAS2 
Agora consideraremos um problema de valor de contorno com dois pontos e condições de contorno generalizadas. 
Primeiramente consideraremos o método da penalidade (Equação [3.62]), seguido pelo método da partição (Equação 
[3.63]). No método da penalidade, as çondições de contorno essenciais são consideradas como um caso limite das 
condições de contorno naturais; portanto, o contorno natural se estende por todo o contorno. A formulação fraca é 
repetida ~ui por conveniência: 
determine 6(x) E 1f1 tal que 
-AK-dx- wfdx-wA(il!-fJ(8-Õ)) =0 f dw d9 f - I dx dx r 
o n 
(5.37) 
em que os campos e os parâmetros são definidos na Tabela 3.2. 
Nessa aproximação, não existem condições de contorno essenciais, de maneira que todos os valores nodais em d 
e.w são livres. A ~tegração da formulação fraca (5.37) sobre os domínios do elemento e a substituição dos interpo-
lantes (5.8) na formÚlação fraca fornece 
t~T{! B•TK•A•B•dxd.+(N•TA•,8i1{'}1 d•- f N.Tfdx-(N•TA•(~+/JB))I} =0 "'w. 
c=l 11' , I'< 11' I'< 
(5.38) 
em que P é uma porção do contorno do elemento sobre o contorno externo. Definimos as matrizes dos elementos 
finitos: 
-
- - _.. . --------~--K~ = f B~T K·A·B· dx + (N'TAt JJN•) I'< 
n-
(5.39) 
r= f N•Tt dx + (N"TAt (~ + fJÕ))Ir •. 
n- -
'Rec:omendado'Jlant. a Trajetória Avançada. 
Substituindo (5.39) por (5.38), usando W' = Vw, d' = L'd e definindo as matrizes globais por (5.13) e (5.14) obtemos 
a formulação fraca discreta 
Vw, (5.40) 
em que r é a matriz residual definida em (5.16). Devido~ arbitrariedade de w, segue-se que 
r= Kd -f= O ou Kd = f . (5.41) 
Em (5.41), não é requerida partição ou renumeração dos nós; as condições de contorno essenciais são facilmente 
forçadas pela seleção de {3 para ser um parâmetro de grande penalidade. 
Agora voltemos ao método da partição, que foi usado na Seção 5.1. A formulação fraca geral está estabelecida 
(veja Quadro 3.6) como: 
detennine 8(x) E U tal que 
Jdw dB f - - I dx AK. dx dx- ~ dx- wA(ii> - P(x)(B(x)- B(x))) r. =O 
n n 
"v'w E Uo. (5.42) 
As matrizes globais são partidas como se segue: 
A parte da matriz denotada pelo subscrito 'E' contém os valores nodais sobre os contornos essenciais. Como indi-
cado pela sobrebarra em dE esses valores são conhecidos. As submatrizes denotadas pelo subscrito 'F' contêm todós 
os graus remanescentes de liberdade: essas entradas são arbitrárias, ou livres, para a função peso e desconhecidas 
para a solução tentativa. 
Substituindo (5.27) na formulação fraca dada em (5.42), obtemos 
(5.43) 
Note que (5.43) é similar a (5.38) exceto que os termos de contorno em (5.43) são definidos para r~ e que (5.43) 
é arbitrária para wF e não para w. As matrizes do elemento resultantes são idênticas a.(5.39) exceto que o termo de 
contorno é sobre r 4>" 
tj)~ 5.6 CONVERGÊNCIA DO MEF 
Na avaliação da qualidade da solução para vários tipos de elementos, necessita-se de uma medida melhor para o 
desempenho do elemento do que o resíduo "observado" na diferença entre uma solução exata e uma solução por 
elementos finitos. Nesta seção, descrevemos alguns métodos gerais para quantificar o erro em uma solução por 
elementos finitos. Para isso, uma solução exata é necessária, porém como veremos no Capítulo 8, tal solução pode 
geralmente ser construída pela 'fabricação' da solução. 
A questão básica abordada nesta seção é: como pode o erro em uma solução por elementos finitos uh(x) ser quan-
tificado, se conhecemos à solução exata? Obviamente, a comparacão da solução por elementos finitos com a solução 
exata em um único ponto pode não ajudar; se o ponto é um nó, a solução por elementos finitos em uma dimensão 
sempre fornece o valor exato, e não existe erro. A resposta para nossa questão é fornecida por normas de funções. 
Uma nonna de uma função é uma medida do 'tamanho' da função, exatamente como o comprimento de um vetor 
é uma medida do tamanho do vetor. O comprimento de um vetor ã, algumas vezes chamado de norma do vetor e 
marcado por 11 ãll, é dado por 
(5.44) 
em que n é o número de componentes do vetor. Esta é a fórmula padrão para o comprimento de um vetor; para 
exemplo em duas dimensões, n = 2 e as componentes do vetor em x e em y são dadas por a, = a1 e aY = a2. Então 
(5.44) fornece 11 a 11= )ai+ a;, que é a fórmula para o comprimento de um vetor em duas dimensões. 
A norma de uma função é definida por 
(5.45) 
' I 
t .. 
.... , 
Formulação de Elementos Rnltos para Problemas Unidimensionais 89 
em que [x,, x2] é o intervalo sobre o qual a função é definida. Essa norma é chamada de norma Lebesq.ue (L2). 
A similaridade entre a norma de um vetor e a norma de u~a função pode ser vista quando normalizamos (5.44), 
dividindo pelo número de componentes, o que fornece 
(
1 " )! llã 11= -I>~ . 
n /ai 
(5.46) 
Agora, se fizennos a(x) = a,~ tu = ~ e n ~ oo, então essa equação toma-se 
Portanto, a nonna de uma função é como o comprimento de um ·vetor com n componentes, com n tendendo para o 
infinito. Como o comprimento precisa ser positivo, e como o comprimento de um vetor mede a sua magnitude, a 
norma de uma função mede a magnitude da função. 
Usando essa definição de uma norma, podemos definir o erro em uma solução por elementos finitos como 
1 
11 •11..,-11uu(x)- u'{x) 11 - u (u"'(x)- u'(x))'w) ' , (5.47) 
em que u'"(x) é a solução exata e il'(x) é a solução por elementos finitos, e o erro ponto a ponto é u'"(x) - il'(x). Se 
pensarmos nas normas como medidas da distância entre duas funções, então a Equação (5.47) é uma medida da 
distância entre a solução exata e a solução do deslocamento por elementos finitos. O erro em qualquerponto no inter-
valo contribui para essa medida de erro, porque o integrando é o quadrado do erro em qualquer ponto. Essa equação 
pode ser considerada uma medida da raiz quadrada média do erro. Portanto, fornece uma medida do erro que não é 
afetada por uma ausencia acidental de erros em alguns pontos. 
Na comparação de erros de diferentes soluções, é preferível nonnalizar o erro pela norma da solução exata. O 
erro normalizado é dado por 
(5.48) 
O erro normalizado pode ser interpretado facilmente: se o erro normalizado eL2 é da ordem de 0,02, então o erro 
médio no deslocamento é da ordem de 2%. 
Embora o erro Lz no deslocamento seja bastante útil, estamos freqUentemente mais interessados no erro da 
derivada da função. Por exemplo, na análise de tensões, o erro na tensão, que é proporcional ao erro na defor-
mação, é, com frequencia, de interesse. Na condução de calor, estamos freqüentemente interessados no fluxo de 
, calor. Um erro na tensão pode ser calculado pela mesma fónnula como (5.47) com a função substituída por sua 
derivada. Entretanto, uma aproximação usada mais freqüentemente é calcular o erro na energia. O erro na energia 
é definido por 
l 
11• 11~-11 u"'(xl - u'(xl 11u- (V E(•u<xl - .'<xl)' w)'- (5.49) 
·comparando ess·a equação-com W ioc no princípio da energia·potencial mínima, podemos ver·que-essa·equação é-a-raiz 
quadrada da energia do erro na deformação, portanto, o chamado erro na energia. Além do mais, como a deformação 
é a derivada do campo de deslocamento, logo o erro na energia é similar ao erro na derivada do campo de desloca-
mento. Repetindo, é preferível em aplicações examinar o erro normalizado na energia, que é dado por 
- uu•l(x) -li' (x)llen 
e..= = II ~P(x) llen 
(5.50) 
90 CAPiTULO CINCO 
I< 
----
b(:x) = c:x 
---- ----
21 
----a-:1=-d% 
)I 
Figura 5.13 Uma barra sob compressão. 
Quando a solução exata é conhecida, as normas do erro nos deslocamentos e do erro na energia são facilmente 
calculadas. As integrais são calculadas pela subdivisão do donúnio nos elementos, e em seguida usando a quadratura 
de Gauss em cada elemento. As fórmulas da quadratura de Gauss de ordem superior são normalmente necessárias 
porque a solução exata geralmente não é um polinôrruo, de modo que as eficiências da quadratura de Gauss para 
polinômios são perdidas. 
No próximo exemplo, examinaremos os erros avaliados por essas normas para dois elementos. Para atingir esse 
objetivo, necessitaremos de soluções exatas. Em uma dimensão, as soluções exatas podem ser facihnente obtidas 
para a análise de tensões e equações de condução de calor. Na verdade, os elementos finitos normalmente não são 
necessários em problemas unidimensionais, porque as equações podem ser integradas por programas computacionais. 
tais como MATLAB ou MAPLE. Então descrevemos os elementos finitos em uma única dimensão porque é a forma 
mais simples de aprender o método. Em multidimensões, a obtenção de soluções exatas é mais difícil, e aprenderemos 
como fabricar as soluções no Capítulo 7. 
5.6.1 Convergência por Experimentos Numéricos 
Consideremos uma barra de comprimento 21, área de seção transversal A e módulo de Young E. A barra é fixa em 
x =O, sujeita à força de campo linear ex e à compressão aplicada t = - cfliA em x = 2/ conforme mostrado na Figura 
5.13. 
A formulação forte é dada por 
!(AE:) +cx=O, 
u(O) =O, 
_ du l ct2 
I = E dx ll xa2J = -A. 
A solução exata para esse problema pode ser obtida na formulação fechada e dada como 
ucx (x) =:e (-~ + 12 X) , 
••( ) du c ( x2 2) 
e x =dx= AE -2+1 · 
Esse problema é resolvido usando o MEF. Estudamos a taxa de convergência do MEF com malhas de elementos 
finitos lineares e elementos quadráticos. Os parâmetros do material considerado são E= 10' N m- 2, A = 1 m2, c ~ 
1 N m-2 e l = 1 m. 
A Figura 5.14 mostra o logaritmo da norma do erro como uma função do logaritmo do tamanho do elemento h. 
Como pode ser visto a partir desses resultados. o logaritmo do erro varia linearmente com o tamanho do elemento e a 
inclinação depende da ordem do elemento e se o erro está na função ou na sua derivada. Se observarmos a inclinação 
por ex, então o erro na função (a norma L2) pode ser expresso como 
log(ll e i!L.,) =C + a.log h, (5.51) 
em que C é uma constante arbitrária, a interseção com o eixo y da curva. A inclinação ex é a taxa de convergência do 
elemento. Tomando a potência de ambos os lados, obtemos 
(5.52) 
Para elementos lineares com dois nós, ex = 2, enquanto para elementos quadráticos ex = 3. Diz-se que o erro para 
elementos com dois nós é quadrático, enquanto o erro em elementos com três nós é de terceira ordem. A constante C 
depende do problema e da malha, e não é de muita importância. O conceito crucial a ser aprendido dessa equação é 
como o erro diminui com o tamanho do elemento. Pode ser visto em (5.52) que se o tamanho do elemento é dividido 
ao meio, o erro na função diminui por um fator de 4 para elementos lineares. Essa fórmula tem sido generaljzada na 
literan,u-a matem~t.ica. A essêqcia,dessa generalização é que se um elemento finito contém o,polil)ômio completo de 
ordem p, então o erro na norma L, do deslocamento varia de acordo com 
Formulação de Elementos Rnltos para Problemas Unidimensionais 91 
Elemento linear 
10° 10.:1 
Elemento quadrático 
10"1 
104 
10 .... 
o g Ji 10-:z w 
J J' 10..a 
10-3 
10..a 
~ - ,. 1Õ .. 10 .a 
10-2 10"1 ,., 10 10"1 10° 
Comprimento do elemento (in) Cow.pnmento do elemento (ln) 
Figura 5.14 Nonn~ ~do erro para malhas de elementos finitos lineares (esquerda) e quadráticos (direita). 
(5.53) 
Você pode ver que essa fórmula está de acordo com os nossos resultados para erros para elementos lineares e 
quadráticos (p = 1 para elementos lineares, p = 2 para elementos quadráticos) considerados no exemplo anterior. 
Do mesmo modo, pode ser visto a partir da Figura 5.15 que a inclinação do gráfico de convergência para derivadas, 
isto é, o erro na energia, é uma ordem inferior. Então, o erro na energia para wn elemento que está completo até a 
ordem p é dado por 
(5.54) 
Portanto, a exatidão na derivada é uma ordem inferior do que a exatidão na função. 
São muitas as implicações desses resultados. A mais impOrtante é que se o tamanho do elemento é dividido pela 
metade, o erro na derivada (erro na energia) diminui por fatores de 2 e 4 para elementos lineares e quadráticos, respec-
tivamente. Isto é uma das importantes lições neste capítulo; elementos quadráticos fornecem mais exatidão para o 
procedimento. De fato~ na análise linear, os elementos. quadráticos são quase sempre preferidos. Suas vantagens em 
exatidão são irresistíveis e vêem com baixo custo. 
O condicionamento de sistemas de equações lineares deteriora-se para elementos de Lagrange de ordem supe· 
rior. A melhor relação entre exatidão e complexidade para os interpolantes de Lagrange parece ser oferecida pelos 
elementos quadráticos. Essa taxa de convergência de elementos de ordem superior é maior, desde que a solução seja 
suficientemente suave, isto é, as derivadas p + l da solução exata devem ser finitas. Se a solução não for suave, tal 
como, por exemplo, em u = x112 (veja também Problema 3.8) a estimativa na Equação (5.53) não é mais válida. Gui 
e Babuska (1986) mostraram que . 
(5.55) 
em que 
À. > 1/2. p ?. 1. (5.56) 
Elemento linear 
tlfr-----~~--~-T------------~~ 
Elemento quadrático 
10"1 ,...-----~------.-----------. 
10.:1~--~----~--~~----~--~~~ 
10.:. 10"' 10. 
Comprimento do elemento (In) 
Figura 5.15 Norma do erro de energia para malhas de elementos finitos lineares (esquerda) e quadráticos (direita). 
. .. ~ · .... •• ... 
92 CAPITULO CINCO 
Para os limites (5.55) e (5.56) serem válidos, três imposições precisam ser obedecidas: (i) a solução exata tem de 
existir em H' (integrabilidade), tendoem vista o parâmetro de suavidade À > 112 na Equação (5.56); (Ü) a solução 
dos elementos finitos tem de ter grau de continuidade pelo menos igual a CO( continuidade) com derivadas do tipo 
quadrado integrável, e (üi) a solução tentativa tem de ser completa até a ordem p com p ~ 1 (completude). 
~muito importante ter em mente o fato de que as soluções por elementos finitos são apenas aproximadas em sua 
aplicação.~ crucial que o usuário de um programa de elementos finitos tenha alguma forma de avaliar a qualidade da 
solução. Uma forma de se fazer isso é refinando a malha e verificando o quanto a solução muda com o refinamento; 
caso existam grandes mudanças, então a malha original é inadequada e a nova malha pode também ser inadequada, 
de forma que refinamentos adicionais podem ser necessários. Atualmente, os programas de computador de elementos 
finitos freqüentemente incluem indicadores de erro que fornecem estimativas do erro na solução pelo MEF. Esses 
indicadores de erro fazem estimativas do erro na solução por elementos finitos sobre uma base elemento por elemento. 
Tais indicadores de erro são muito úteis para aferir a exatidão da solução. 
5.6.2 Convergência por Aná/ises3 
Agora, faremos a discussão formal de convergência. O caráter aproximado da solução por elementos finitos provém 
da substituição do espaço de todas as funções em U e U0 por subespaços dimensionais finitos U' C U e ~ C U0, 
que são definidos como 
Uh= {&h(x)J&h(x) = N(x)d,N e H 1 , 8 = 9 em fe}, 
U~ = {w"(x)lw"(x) = N(x)w, N e H1, w =O em re}. 
(5.57) 
Isso significa que u~ e u~ são conjuntos de funções interpoladas com funções de forma com grau de continuidade 
CO e que satisfazem a condição de contorno essencial sobre r, ou que desaparecem no contorno essencial, respec-
"tivamente. 
Existe um número infinito de funções em U e U0, isto é, esses espaços são de dimensão infinita. Quando represen-
tamos as funções peso por funções de forma, então o espaço das funções peso ~ toma-se de dimensão finita (igual 
ao número de nós excluindo aqueles no contorno essencial). Do mesmo modo, o espaço U', no qual procuramos 
nossa solução por elementos finitos, toma-se de dimensão finita. Embora a formulação fraca seja exatamente equi-
valente à formulação forte para os espaços de dimensão infinita U e U0, ela é somente aproximada para os espaços 
de dimensão finita u~ C U e ~ C U0, que são usados no MEF. Entretanto, as equações derivadas da formulação 
fraca, a equação de balanço, e as condições de contorno naturais são somente aproximadamente satisfeitas. Nesta 
seção, iremos distinguir entre as formulações fracas definidas para as soluções exatas e por elementos finitos. Para o 
problema de elasticidade, essas equações são dadas a seguir. Determine u(x) E U e u'(x) E U', tal que 
f dw du f . (a) dxAk dx dx = (wAi)lr, + wbdX \fw e Uo, 
n n 
f dwh dzlt f {b) -;hAkd; dx = (w"Ai)lr, + w"~dx 
n n 
(5.58) 
Para analisar o quão perto ll'(x) está de u(x), iniciamos por mostrar que uh(x) minimiza a norma de erro de energia 
llell = llu - 11'11 , isto é CO C:D 
11 u - uh llen= min 11 u- u' llen . 
u•eu• 
(5.59) 
Para provar (5.59), expandimos o segundo membro da seguinte .forma 
Observe que como u" e u· satisfazem as condições de contorno essenciais, logo (li' - u*) s ~ E ~e portanto 
11 e+ w" ll~n= ll e ll;o + 11 w" 11;. +f d; AE: dx. 
n 
Subtraindo as duas formulações fracas em (5.58) e escolhendo w = ~ E ~em (5.58a) obtemos 
f dw" Ak de dx = O. dx dx 
n 
' Recomendado para a Trajetória Avaoç<~da. 
Formulação de B11mentos Finitos para Problemas Unidimensionais 93 
u 
elemento i 
Figura 5.16 Aprmrimação da função de inteipOlação da .solução exata. 
Como 11 W' H •• > O para qualquer W' * O, temos que 11 e 11 ... é mínimo. A partir de (5.59) podemos obter uma estimativa 
quantitativa para a norma do erro de energia 11 e 11.., estimando 11 u - ü li..,• em que Ü E U" é uma escolha adequada para 
a função auxiliar definida no mesmo subespaço como a solução por elementos finitos. Denotamos o erro da função 
auxiliar no elemento i como êJ = u - ü para (i - l)h :5 x :5 ih, em que h = lln é o comprimento de n elementos de 
tamanho igual. 
Escolhamos a função auxiliar ü E U" como sendo uma função 9e interpolação linear tal que ela seja igual à solução 
exata nos nós dos elementos finitos, isto é, Ú(x1) = u(x1), como mostrado na Figura 5.16. Note que para problemas 
unidimensionais a função de interpolação coincide com a solução por elementos finitos (vela Exemplo 5.1). 
A derivada da função de interpolação dü no elemento i é dada por 
dx 
dÜ (X) = Ü(XJ+I)- Ü(XJ) 
1 dx XJ+l -XJ . 
em que x1 = (i - 1 )h e x.J+ 1 = ih. Pelo teorema do valor médio (veja Apêndice A3), existe um ponto c no intervalo 
X1 :5 C :5 XI+ I tal que 
dü du 
-=-(c) dx dx 
du . 
(5.60) 
Agora expandimos a derivada da solução exata JJ-xl usando a formula de Taylor com resíduo (veja Apêndice A3) 
em tomo do ponto c satisfazendo (5.60): · 
du du ~u 
dx (x) =:= dx (c)+ (x- c) tJx2 ((), (5.61) 
Em que c :5 t :5 x. 
Subtraindo ~5.60) de (5.61) e considerando que 1: (()I :5 ex, temos 
(i- l)h $X$ ih. (5.62) 
A norma do erro de energia na função de interpolação pode ser limitada como · 
(5.63) 
em queA(x)E(x) :5 K. Denotando nh = I e lembrando que a norma da energia do erro da solução por elementos finitos 
é menor ou igual à norma da energia do erro da função de interpolação, temos 
11 e llen:S JiKlrt.2Jil = Ch. (5.64) 
A estimativa de erro para elementos de ordem superior pode ser obtida de forma similar como para o elemento linear, 
exceto que uma fórmula de Taylor de ordem superior com resíduo tem de ser usada nesse caso (veja Problema 5.5 
·para estimativa de erro' em elementos quadráticos). Pode ser mostrado·.que a norma de energia do erro· para elementos 
.,. 
94 CAPITULO CINCO 
l
dP+lu I 
finitos de ordemp é limitada por (5.54), contanto que a derivadap + 1 da solução exata seja limitada, dxf+l (() ~a:. 
Em (5.54), C é independente de h (veja Strang e Fix [1981)). 
5. 7 MEF PARA A EQUAÇÃO DE ADVECÇÃO-DIFUSÃ04 
Para obter as equações discretas para o problema de advecção-difusão, usamos o mesmo procedimento anterior: 
expressamos a função peso e a solução tentativa em termos das funções de forma, as substiruímos na formulação 
fraca e usamos a arbitrariedade das funções peso para deduzir a equação. 
A formulação fraca desenvolvida na Seção 3.8.2 é usada com as aproximações usuais em elementos finitos para 
as funções peso e soluções tentativas, (5.2) e (5.3), respectivamente. As variáveis nodais são partidas em nós essen-
ciais e livres, e os valores nodais da solução tentativa e da função peso são dados por 
em que dE são estabelecidas para satisfazer as condições de contorno essenciais. Entretanto, as funções peso e as 
soluções tentativa são admissíveis. 
Subdividimos o domínio ü em elementos ü•. Substiruindo (5.2) e (5.3) em (3.74) e seguindo o procedimento 
dado na Seção 5.1 obtemos 
f A'v'N'TB' dxd'+ f A'k'B'TB' dxd' 
rl' rl' 
K' 
• 
K' D 
As matrizes do elemento, como indicado pelos termos grifados são 
(a) K0 = f A'k•B•TB• dx, 
rl' 
(b) K~ = f A•v•N•TB• dx. 
rl' 
-f N'Tsdx- (A'N'Tq)l , 
n- r, 
=0. 
~ 
(5.65) 
(5.66) 
A matriz K~ considera a difusão e é idêntica à matriz que desenvolvemos na Seção 5.3, que é dada em (5.22). A 
matriz K~ considera a advecção (convecção). O produto da área com a velocidade precisa ser constante de acordo 
com (3.65). · 
As matrizes do elemento são 
K' = K0 +K~. 
A matriz força do elemento ft é idêntica àquela para a equação de condução àe calor ou equação de difusão, a Equação 
(5.22), como indicado pelo termo grifado em (5.65). 
As matrizes do elemento são montadas por dispersão e por adição dos coeficientes descritos anteriormente, e as 
equações algébricas linearesresultantes serão resolvidas como nas Equações (5.32)-(5.34). 
Como pode ser visto em (5.66b), a matriz advecção não é simétrica. Para fornecer um exemplo concreto da falta 
de simetria, avaliamos a matriz advecção para um elemento linear com dois nós com área constante A' e velocidade 
v' usando (5.66b): 
=v' A' 
I 
f[ - (1-Ç) 
-{ 
o 
1- {] ç d{ 
[ -~ ~] ~A' [-1 = v'A' 2 2 =--1 1 2 - 1 
2 2 
'Recomendado pan a Trajetória Avançada. 
----------------~~----------------------------------
Formulação de Elementos Anltos para Problemas Unidimensionais 95 
A matriz sistema, que é obtida pela montagem das matrizes de advecção e de difusividade, também não será simétrica. 
Essa é a diferença mais importante dos modelos de elementos finitos que estudamos anteriormente. 
A matriz do sistema em geral não é definida como positiva. Isso póde ser visto pela consideração do caso 
quando k =O. Fazendo z1 = [1, O] e avaliando zl){~z. obtemos zl]{~z = -(v'A'/2) <O. Será visto no Exemplo 
5.3 que a perda de simetria e de positividade definida leva a algumas dificuldades excepcionais na solução desses 
sistemas. 
I ~ Exemplo 5.3 Problema de advecção-difusão 
Resolva a equação unidimensional de advecção-<l.ífusão 
. . 
dO tPe 
v--k-=0 dx tJx2 . ' 
com as condições de contorno 
8(0) =o, 8(10) = 1. 
(5.67) 
A área A< = A = 1,0. Use elementos finitos lineares 8 e urna malha de 20 elementos com nós uniformemente 
espaçados. Seja v = 2 e k = 5 de forma que o número de Peclet P, = ~ = 0.1. Repita para P, = 3,0. 
As matrizes do elemento para todos os elementos são as mesmas. As matrizes do elemento são dadas por 
K' = K' K' =vA'[-1 +1]+kA'[ 1 O+ A 2 - 1 +1 [< - 1 -l] = kA.[1-P, - l+P•]. 1 1• -1-Pe l+Pe 
Substituindo nos valores para k, A•, e 1•, obtemos o seguinte: 
• para nós I com l <I< 21, a equação do sistema é montada para ser (-1 - P)d1_1 + 2d1 + ( -1 + P)d1+1 = O; 
• paranósl:d1 + (- l+P,)d1 =0; 
• para nós 21: (-1- P>Lzo + 2d11 =O. 
As soluções para P, = 0,1 e P. = 3,0 são comparadas com a solução exata na Figura 5.17. Pode ser visto que a 
solução pelo MEF é bastante boa para P, = 0,1. 
Entretanto, a solução oscila extraordinariamente para P = 3,0. Isso é chamado de instabilidade espacial. Para 
altos valores do' ndmero de Peclet, iSto é, quando domina a' advecção, técnicas especiais devem ser desenvolvidas 
para obter soluções exatas da equação de advecção-difusão. Uma dessas técnicas está descrita no Capftulo 8; 
registros em livros-te:xto podem ser achados em Donea e Huerta (2003). Essas técnicas são muito importantes nas 
dinâmicas dos fluidos computacionais, porque muitas de suas equações são dessa forma. 
P • ..0,1 P.-3 
0,9 
ois 
0,8 
0,6 0,7 
0,6 0,4 
CD 0,5 CD 0,2 
0,4 
0,3 
-<>.2 0;2 .. 
- · .. ··--·-
0,1 -<>.4 
ó 
-<>.60 2 3 .. s 6 7 8 9 10 
X 
Figura 5.17 Soluções da Equação (5.67) exata e pelo MEF para P. = 0,1 (esquerda) e P, = 3 (direita). 
· ·· · 'i 
96 CAPíTuLO CINCO 
REFERÊNCIAS 
Problemas 
Donea, J. and Huerta, A. (2003) Finite Element Methods for Flow Problems, John Wiley & Sons, Ltd, Chichester. 
Gui, W. and Babuska, I. (1986) The h·, p- and hp-versions of the finite element rnethod in one dirnension. Numer. 
Math., 49, 577-683. 
Strang, G. and Fix, GJ. (1981) An Analysis of the Finiu Elemenr Method, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ. 
Hughes, TJ.R. ( 1987) The Finite Element Method, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ. 
Problema 5.1 
Considere um problema de condução de calor no domínio [0, 20]m. A barra possui uma seção tt:msversal unitár
ia, 
condutividade térmica constante k = 5 W oc-1 m-1 e uma fonte de calor uniformes= 100 W m-
1
• As condições 
de contorno são T(x = O) = ooc e q(x = 20) = O wm-l. Resolva o problema com dois elementos lineares iguais. 
Desenhe a solução por elementos finitos 'P'(x) e d'P'(x)/dx e compare com a solução exata que é dada por T(x) = 
-lOr + 400x. 
Problema 5.2 
Repita o Problema 5.1 com malhas uniformes com 4, 8 e 16 elementos (elementos de tamanho igual) usando o programa 
MA1LAB. Compare as soluções por elementos finitos com a solução exata. Faça o gráfico do 
erro na condição de 
contorno natural, conforme a malha é refinada. Qual é o modelo? 
~ Problema 5.3 x 
Considere um problema de condução de ~or mostrado na Figura 5.18. As dimensões estão em metros. A barra possui 
uma seção transversal unitária constante, condutividade térmica constante k = 5 W oc-
1 m-1 e uma fonte de calor 
constantes como mostrado na Figura 5.18. 
[f f 
Figura 5.18 Condução de calor do Problema 5.3. 
As condições de contorno são T(x = I) = 100 oc e T(x = 4) =O °C. 
Divida a barra em dois elementos (n,, = 2) conforme mostrado na Figura 5.19. 
(1) (2) 
--~======~5:======3E======:3~X X;,_ 3 
Figura 5.19 Malha de elementos finitos para o Problema 5.3. 
Observe que o elemento 1 é um elemento (quadrático) com três nós (n,. = 3), enquanto o elemento 2 é um elemento 
com dois nós (n.,. = 2). 
a. Estabeleça a formulação forte representando o fluxo de calor e resolva analiticamente. Determ
ine as distribuições 
de temperarura e de fluxo. 
b. Construa as matrizes fonte do elemento e as monte para obter a matriz fonte global. Note qu
e a matriz de fluxo 
de contorno é zero. 
c. Construa as matrizes condutãncia do elemento e as monte para obter a matriz de condutância
 global. 
d. Determine a distribuição de temperatura usando o MEF. Esboce as distribuições de temperat
ura analítica (exata) 
epeloMEF. 
e. Determine a distribuição de fluxo usando o MEF. Esboce as distribuições de fluxo, exata e p
elo MEF. 
-~ Problema 5.4 
É dado. um problema de elasticidade conforme m~s~rado na figura 5.20. A barra está restringida em ambas as 
extremidades (A e C). Sua área de seção transversal é constante (A = O, ( m
2) no segffiento AB e varia lioeairnente 
Formu1açio de Elementos AnltDs para Problemas Unldlmenslonals !f1 
A = 0,5(x- 1) m1 no segmento BC. O módulo de Young é E= 2 X 107 Pa. Uma carga distribuída b = 10 Nm·' está 
aplicada ao longo da porção esquerda AB da barra e uma força pontual P = 150 N age no ponto B. A geometria. 
propriedades do material, cargas e condições de contorno sãÕ dadas na Figura 5.20a. Use um elemento com três nós 
sobreAB (n, = 3) e um elemento com dois nós sobre BC (n.,. = 2) conforme mostrado na Figura 5.20b. As dimen-
sões na Figura 5.20 estão em metros. 
a. Construa as matrizes de força de campo do elemento e as monte para obter a matriz de força global. 
b. Construa as matrizes de rigidez do elemento e as monte para obt:r a matriz de rigidez global. 
c. Determine e esboce os deslocamentos dos eJementos finitos. 
d. Determine e esboce as tensões nos elementos finitos. 
b= lONm-1 
P= 150N (a) A B X ·c 
~ I ;tA= I lxs =3 IX(:=5 
(b) A D B c 
• • • • I 3 4 2 
(1) (2) 
Figura 5.20 (a) Geomelria. propriedades do material. cargas e condições de contorno para uma barra com uma área de seçlo transversal variável; 
(b) o model!> dos elementos finitos.· 
Problema 5.5 
Considere um problema de tensão axial dado na Figura 5.21. A barra possui uma área de seção transversal variando 
linearmente A = (x + 1) m2 na região O m < x < 1 m e uma área de seção transversal constante A = 0,2 m2 na região 
1 m < x < 2 m. O módulo de Young é E = 5 X 107 Pa. A barra está sujeita à carga pontual P = -200 Nem x = 
0,75 me a um carregamento distribuído variando quadraticamente b =r Nm-• na região 1 m < x <2m. A barra 
está restringida em x = O m e a tração é livre em x = 2 m. 
u(x = 0) = O P (x = 314) = - 200 b(x) = x2 
~:~m~~~=B®I~~-~~Ri E-~-~-~-:3 o(x= Z> = ~ 
x =O x=I x=2 
Figura 5.21 Dados para o Problema 5.5. 
Use um elemento quadrático simples (n.., = 3, n" = 1) com un( nó central emx = 1. 
1. Construa a matriz de rigidez e a matriz força do elemento e execute a quadnitura de G~uss damatriz de rigidez 
do elemento usando a integração cóm um ponto e a matriz ae força de campo usando a quadratura de Gauss com 
dois pontos. 
2. Resolva o sistema de equações lineares e determine os.deslocamentos nodais e tensões no elemento. 
3. Determine a distribuição de tensões exata e compare-a com a solução por elementos finitos. 
4. Sugir:Lcomo melhorar o modelo de elementos fuútos para obter resultados-mais-exatos. 
Problema 5.6 
Considere uma fonnulaçiio fraca dada em (5.26). Prove que para funções suficientemente suaves (possuindo derivadas 
p + l limitadas), o erro na nonna de energia da solução finita de ordem p = 2 é limitarlo por 11 e lln s aJJVl. Siga os 
passos a seguir para provar a limitação . 
.. 
a. Em cada elemento, expanda a temperatura exata usando a fórmula de Taylor com resíduo até a ordem quadrática. 
· Mostre que existe um ponto c dentro do domínio do elemento tal que 
filT (c)= T(x3)- 2T(x2 ) + T(x1) 
tfx2 (1/2)2 ' o~ c~ l, 
-...... .. 
98 CAPiTULO CINCO 
b. Em cada domí.nio do elemento, considere uma função de interpolação quadrática f para ser exata em três pontos: 
Í\x
1
) :: T(x1). Í\x2) = T(x2), f<x3) :: T(x3), e construa uma aproximação quadrática. 
c. Usando a fórmula de Taylor com resíduo até a ordem quadrática, expanda ãfldx em torno do ponto c determinado 
em (a). 
d. Escreva a derivada da função de interpolação.construída em (b) como 
dT 
.dx =a +bx, 
em que a e b são expressos em termos das temperaturas nodais exatas. 
e. Mostre que existe uma constante c no intervalo O s c :S I para o qual os coeficientes das temperaturas exata e de 
interpolação até a ordem linear são idênticas. 
Problema 5. 7 
Modifique o código de elementos finitos MATLAB para problemas de condução de calor em uma dimensão. 
a. Renomeie as variáveis para eliminar a confusão. 
b. Use o seu código para resolver o Problema 5.1. 
c. Compare os resultados do programa MATI..AB com seus cálculos manuais no Problema 5.1. 
Problema 5.8 
Desenvolva equações de elementos finitos para condução de calor com convecção superficial. A formulação forte 
nesse caso é dada por 
0 $X $1, 
em que k, A, h, f3 e T._. são constantes, f3 = 21Tr é o perímetro da aleta. 
Problema 5.9 
Modifique o código MATI..AB de elementos finitos para resolver o problema de condução de calor com convecção 
superficial (veja Problema 5.8). Considere também "as condições de contorno de convecção 
-q=h(T-T00) em x=O ou x=l. 
Usando o código MATLAB de elementos finitos, resolva o problema com os seguintes parâmetros: 
k ""400Wm-1 oc-t , 
Too = 20"C. 
I= 0,1 m, h = 3.000 w m - 2 oc-t ' 
Condições de contorno: T(O) = 80°C; -q == h(T- T j em X= I. 
r = 10-2 m (raio do pino), 
Determine a temperatura e o fluxo com malhas de elementos finitos uniformes consistindo em dois, quatro e oito 
elementos. 
Problema 5.1 O 
No MEF formulado nesse capítulo, as funções peso e as soluções tentativa foram aproximadas usando o mesmo 
conjunto de funções de forma .. Isso é conhecido como o MEF de Galerkin. No método de aproximação alternativa, 
conhecido corno o método da colocação por subdomínio, as funções peso são escolhidas para serem unitárias sobre 
uma porção do domínio (p. ex., domínio do elemento) e zero nas outras partes: 
w'(x)- { 1 em X E n•. 
- O . em x~n·. 
a. Deduza a formulação fraca para o método da colocação por subdomínio. 
b. Deduza as equações discretas. . 
c. Resolva o Problema 5.1 e compare os resultados com o MEF de Galerkin e com a solução exata. A matriz de 
rigidez é simétrica? 
d. Quão exato é o método da colocação por subdomínio comparado com o de Galerkin? Por quê? 
Problema 5.11 
Repita o Problema 5.10, mas em vez do método da colocação por subdomínio, considere o método da colocação 
pontual. No método da colocação pontual, a função peso é escolhida para ser a função delta de Dirac w(x) == ô(x -
x.). Os x. referem-se aos pontos de colocação selecionados pelo analista. Ao considerar o· Problema 5.1, localize os 
pontos de colocação nos nós dos elementos finitos. · · 
Fonnulaçáo de Elementos Anltos para Problemas Unidimensionais 99 
Problema 5.12 
Dada uma bárra elástica de comprimento l = 4 m com área de seção transversal constante A = O, 1 m2 e um módulo 
de Young_constante por partes conforme mostr~do na Figura 5.22. A barra está restrita em x = 4 m, e uma tração 
prescrita t = 500 N m-2 age em x = O m na direção positiva do eixo x. Considere uma malha de elementos finitos 
que consiste em um único elemento com dois nós (nd = 1, n.,. = 2). 
E1 =10~Nim1 E2= tifNtm2 
r~~~~-m~%.~:t~<*f~ 
x=O x=/12 · x=l 
X 
.. 
Figura 5.22 Uma barra com o módulo de Young constante por partes. 
a. Construa a matriz de rigidez usando uma integração exata. 
o. Construa a matriz de força. 
c. Determine os deslocamentos e deformaÇões usando o MEF. 
d. Modele o problema com dois elementos tipo mola; resolva para os deslocamentos desconhecidos usando as 
técnicas que você aprendeu no Capítulo 2. 
e. Compare os resultados de c e d. Qual deles é melhor? 
f. Se você modelar a barra com dois elementos lineares (n .. = 2, n,. = 2) ou coni um elemento quadrático (ncl = 1, 
ncn = 3), qual deles vai dar uma solução mais exata das deformações? 
g. Que malha de elementos finitos é ótima para esse problema? Uma malha ótima é definida como aquela que fornece 
a melhor solução unidimensional (para deslocamentos e tensões) com o mínimo de nós de elementos finitos. 
h. Em termos de projeto de malhas de elementos finitos, que tipo de recomendação você pode fazer com base nos 
resultados desse problema? 
/) Problema 5.13 
Considere um elemento quadrático com três nós em uma dimensão com nós espaçados desigualmente (Figura 
5.23). 
X 
Figura 5.23 Dados para o Problema 5.13. 
a. Obtenha a matriz B•. 
b.' Considere um elemento com x1 = O, x2 = 1/4, e x3 = 1. Avalie a deformação e em termos de u2 eu, (u1 = 0), e 
cheque o que acontece quando Ç se aproxima de O. 
c. Se você avaliar K• por uma quadratura de um ponto usando B•TE•A•DB• para as mesmas coordenadas que em (b) 
~o nó !_ :estrito_ (isto_é,~ ~ _Q)_1~ K• é_inyertfvel? .. ________ _ 
d. Se u(x) na parte (b) é dado por (112)xl nos nós, e = x? 
-;") Problema 5.14 
./ Considere uma barra cônica {Figura 5.24) com a área de seção transversal dada por 
X A({)= A1(1- {) +Az{, onde {=I· 
a. Obtenha a rigidez do elemento para um elemento de deslocamento linear, com o módulo de Young igual a E, pelo 
uso de K' = f B'TDB dD. 
O' . 
b. Obtenha a matriz de rigidez K• usando o campo de deslocamento 
· u:::: ({) = u1 -Huz - u1)e. 
1 00 CAPITULO CINCO 
Figura 5.24 Barca cônica para o Problema 5.14. 
Adapte o resultado para A1 = A.; esta resposta faz sentido? Qual é a tensão quando você aplica uma força F em 
uma extremidade? 
Problema 5.15 
Considere uma barra com área de seção transversal constante A e módulo de Young E discretizado com dois elementos 
finitos conforme mostrado na Figura 5.25. A barra está sujeita à força de campo linear b(x) = ex. 
X 
x=O 
Figura 5.25 Estrutura da barra com dois elementos para o Problema 5.15. 
a. Calcule a rigidez do elemento e as matrizes de força. 
b. Mostre que L L;K.L. e 2: L•T ~ dão a mesma matriz de rigidez e a mesma matriz de forças externas como a 
t t 
montagem direta; 
c. Obtenha a solução por elementos finitos e desenhe u(x) e e(x); 
d. Compare com a solução da formulação fechada. 
~= 2:dL 
x :. O 
LJ2 
·+· LJ2 ·I 
I ., ... ~ 
-I o 
Figura 5.26 Um elemento quadrático único para o Problema 5.16. 
Problema 5.16 
Considere um elemento de barra mostrado na Figura 5.26 com um campo de deslocamento quadrático u(x) = a1 + 
a.zx +a.;?. 
a. Expresse o campo de deslocamento em termos dos deslocamentos nodais d1, d2, d3• (Sugestão: use os interpolantes 
quadráticos nas coordenadas locais Ob. Para um campo de forças de campo linear b(Ç) = b1 (1/2)(1 - Ç) + bp/2)(1 + Ç) mostre que a matriz de força 
externa é dada por f' = (U6)[b1 2(b1 + b3) b3]T. 
c . Desenvolva a matriz B• tal que e= dí:iu = B'd', d'T = (u1, u2, u3). X . 
d. Mostre que a matriz de rigidez do elemento K, = f B'TE• A'B' df!, é dada por K. = A3E [~8 7: -7
1
8]. 
n, . L 1 -8 
· Fonnulação de Elementos Finitos para-Problemas Unidimensionais 101 
e. Useumelemento-de~locamentoquadráticocomtrêsnóspararesolverporelementosfinitos Etflu = -b(x) =-ex, 
- dx2 
u(-L/2) = u(U2) = O. 
f. Compare os resultados do MEF com a solução exata para u(x), o{x). 
Problema 5.17 
Considere a malha mostrada na Figura 5.27. O modelo consiste em dois elementos de deformação constante e deslo-
camento linear. A área da seção transversal é A = l, o módulo de Young é E; ambos são constantes. Uma força de 
campo b(x) = ex é aplicada. 
X 
L --1~~<~1•"--L 
Figura 5.27 Malha dos elementos com dois nós do Problema 5.17. 
a. Resolva e desenhe u(x) e e(x) para a solução pelo MEF. 
b. Compare (em um gráfico) a solução por elementos finitos com a solução exata para a equação 
tPu 
E dx2 = -b(x) = -ex. 
c. Resolva esse problema usando um simples elemento de deslocamento quadrático. 
d. Compare a exatidão da tensão e do deslocamento na extremidade direita com aquela de dois elementos de deslo-
camento linear. · 
e. Verifique se a eq1.1ação de equiliôrio e a condição de contorno de tração são satisfeitas para as duas malhas . 
. · . ~, . 
6 
Formulações Forte e ·fraca para 
Problemas de Campo Escalar 
Multidimensionais 
Nos próximos três capítulos, vamos reconstituir o mesmo caminho trilhado nos problemas unidimensionais, com o objetivo de abordar os problemas multidimensionais. Novamente, seguiremos o esquema da Figura 3.1, iniciando 
com o desenvolvimento da formulação forte e da formulação fraca neste capítulo. Entretanto, consideraremos uma 
classe de problemas mais específica; chamamos esses problemas de escalares, porque as incógnitas são grandezas 
escalares, como temperatura ou potencial. ét dos que serão desenvolvidos neste ca ítulo a licam-se a roblemas 
como condução de calor em regime permanente, escoamento de flui o ideal, campos elétricos e difusão-advecção. 
Para fornecer uma base física a esses desenvolvimentos, vamos nos concentrar na condução de calor em duas dimen-
sões, mas outros detalhes serão dados para outras aplicações. 
Como pode ser visto no esquema da Figura 3.1, o primeiro passo no desenvolvimento de um método de elementos 
finitos é deduzir as equações de governo e as condi ões de contorno, ue são a formula ão forte. Veremos que 
em duas dimensões, exatamente como antes, teremos cond1çoes e contornos essenciais e naturais. Usando uma 
fórmula similar para integrar por partes, desenvolveremos então uma formulação fraca. Finalmente, mostraremos 
que a formulação fraca implica na formulação forte, de modo que podemos usar aproximações de elementos finitos 
para as soluções tentativas com o objetivo de obter soluções aproximadas para a formulação forte pela resolução da 
formulação fraca. 
Um aspecto que realçará na extensão para duas dimensões é a sua similaridade à fortnulação para uma dimensão. A 
maioria das equações em duas dimensões é estruturalmente quase idêntica àquela em uma dimensão, de forma que a 
maior parte do esforço de aprendizagem pode ser dedicada à compreensão daquilo que essas expressões significam em 
duas dimensões. As expressões para as fortnulações forte e fraca em duas dimensões, a propósito, são idênticas àquelas 
para três dimensões, e ao final do capítulo daremos uma breve descrição de como são aplicadas para três dimensões. 
~I mente. na..Jl[ática de ~nharia, a maioria das análises é realizada em três dimensões, de forma que é importante 
ter conhecimento da teoria em três dimensõ~ A extensão de duas para três dimensões é quase trivial (nortnalmente, 
evitamos a palavra "trivial" neste livro porque ela é usada demais em textos, e o que parece trivial para um autor pode 
ser muito difícil para outro mas a extensão de duas dimensões para três dimensões é, de fato, trivial). 
Uma complicação na extensão do método para duas dimensões está na notação. f;m duas dimensões, as variáveis 
comÕ fluxo de calor e deslocamento são vetores. Você certamente lidou com vetores na ffsica elementar. Vetores são 
~as fís1cas .que possuem módulo e direção, e podem ser expressos em termos de componentes e de u~ 
~- Denotaremos os vetores com setas sobrepostas, tais como i_ que é a matriz de fluxo. Sejam os vetores unitá-
Fonnulaçóes Forte e Fraca para Problemas de Campo Escalar Multidimensionals 103 
rios T e J nas direções x e y; esses são freqüenteme~te chamados de base dos vetores do sistema de coordenadas. 
Assim, o vetor ij pode ser expresso em termos de suas com~~entes por ·. 
o·::· 
(6.1) 
em que q, e q
1 
são as componentes x e y do vetor, res~tivamente. . 
Quando deduzimos as equações de elementos finitos, é conveniente usar a notação de matriz: úma matriz coluna 
pode s~r usada para descrever um vetor q listando as componentes do vetor na ordem' como mostrãdo -a ségúir: 
q = [ :;]. (6.2) 
Embora não seja essencial para compreender profundamente a diferença entre -..:etores e matrizes neste ponto, 
um vetor difere de uma matriz: um vetor QeCSOnifica a direção de uma grandeza física, ao passo que uma matriz 
é apenas um arranjo de números. Daremos a maior parte das ~xpressões das formulações forte e fraca tanto na 
notação vetorial quanto na matricial. Nas equações de elementos finitos, usaremos apenas notação matricial. Você 
verá que a dedução das formulações fraca e forte em notação matricial é um pouco desajeitada e difere das formas 
comumente vistas no cálculo e na física avançadas. Assim, se você conhece notação vetorial pelo que foi ensi-
nado nesses cursos, pode achar preferível usar notação vetorial para o material deste capítulo. A transição para a 
notação matricial é bastante fácil. Ao contrário, algumas pessoas preferem aprender ambas as partes na notação 
matricial por causa da coerência. 
_. 
Uma importante operação em métodos vetoriais é oJiif!i!J.jjíó.esCglif;yJ produto escalar de dois vetores em coor-
denadas cartesianas é a soma dos produtos das componentes dos vetores; o produto escalar de ij com um vetor r é 
dado por 
O produto escalar é comutativo, a ordem dos dois vetores não importa. Se considerarmos duas matrizes q e r que 
contenham as componentes de ij e r, respectivamente, então o produto escalar é escrito como 
qTr = lqx· qy] [ ~;] = q:cr:c + qyry. 
Logo, escrever o produto escalar em termos das matrizes requer achar a transposta da primeira matriz. Pode ser facil-
mente mostrado que qTr = rTq. Quando expressões vetoriais são Inânipuladas na forma matricial, é importante tratar 
cuidadosamente a operação de transposição. ··----
Outra importante operação em métodos vetoriais é o/gradiente/ O mcl!.el!te ~uma medida da inclin_a.~ 
~~. ele é a vers o bi · d ri.Y~ O operador vetor gradiente é definido por* 
- (-ô -ô) V= iãX+j-ãj . 
~ 
O gradiente de uma função 8(x, y) é obtido pela aplicação do operador gradiente à função, o que fornece 
- -88 -88 
v e= i ôx + j ôy. 
Observe que substituímos simplesmente o ponto em frente ao ( ) por 8(x, y). O gradiente de urna função dá a direção 
da descida mais íngreme. Em outras palavras, s~você imagina a ~o como uma p~ta de-~ui, o gradiente lhe dá 
ª-- · _ ão ao lon o da ual você desceria mais iá2!@. Mais à frente, isto~ ilustrado no Exêmplo 6.1. 
· O produto escalar do operador gradiente com um campo vetorial dá o ~do campo vetorial. O ~11!!9 
dive!Sente 2_fOvavelmente se originou na mecânica dos fluidos, e se refere ao escoamento ~.!!_te j_e um ~· 
Veremos depois que o divergente do fluxo de calor é igual ao calor que flui de um ponto (a parcela negativa do termo 
__fon~:..=~ u~a s!~.~~~? ~-~~!!_o ~rrnanente). Q. div~~ente de um vetor q é obtido tomando-se o produto escalar 
do operador gracJ.i~l!.te V e _ij ~q~J~ 
" - (-: ô -: ô ) ( -: -:) ôq. Ôqy di -
v • q = 1 ôx + J ôy · q.z + q-,1 = ôx + ôy = v q. 
Observe que o divergente de um campo vetorial é um escalar. Como indicado na última expressão, o operador diver-
_gente é freqUentemente escrito com a simples abreviatura "div" precedendo o vetor. 
As expressões anteriores podem ser escritas na forma matricial, como se segue. O operador gradiente ~ definido 
como uma matriz coluna. Logo 
•o símbolo V 6 chan\ado de nabla, nome originário de uma palavní grega para utna harpa com·torma semelhante ao sfmbolo. (N.T.) 
104 CAPITULO SEIS • 
e 
A forma matricial do divergente é escrita pela substituição do ponto no produto escalar por uma operação de trans-
posição, de modo que 
divq =v ·q = vTq. 
É importante observar que quando escrevemos o operador gradiente em notação vetorial, uma seta é colocada sobre 
o símbolo nabla; na notação matricial, a seta é omitida. 
Na seqüência, os estudantes devem usar a notação que lhes for a mais natural. Aqueles que não são muito fami-
liarizados com notação, devem primeiro pesquisar no material e ver qual delas podem entender mais prontamente. 
Para estudantes avançados, uma familiaridade com ambas as notações é recomendada. 
6.1 TEOREMA DA DIVERGÊNCIA E FÓRMULA DE GREEN 
As duas equações para duas dimensões serão desenvolvidas para um corpo de forma arbitrária. Vamos freqüente-
mente nos referir aos pontos no interior do corpo como o domínio do problema que estamos lidando. Seguiremos a 
seguir a prática comum e desenharemos esse corpo arbitrário, como mostrado na Figura 6.l(b); a idéia dessa figura 
é tentar transmitir que não colocamos qualquer restrição sobre a forma do corpo: as deduções que se seguem valem 
para formas arbitrárias. Esse corpo é muitas vezes chamado de batata, embora a condução de calor em batatas seja 
de pouco interesse. Vale a pena ratificar que a forma pode de fato ser muito mais complicada: o corpo pode ter furos, 
pode ter quinas e consistir em diferentes materiais com interfaces entre si. O contomó do domínio é denotado por r. · · 
Note que nossa nomenclarura é idêntica àquela dos capítulos anteriores, mas agora os símbolos referem-se a objetos 
mais complicados. As correspondências entre as definições em uma e duas dimensões são prontamente aparentes 
pela comparação da Figura 6.l(a) e da Figura 6.l(b). 
O vetor unitário normal ao domínio, denotado por ii, é mostrado em um ponto típico na Figura 6.l(b) e é dado 
por 
(6.3) 
e n, e n1 são as componentes .x e y do vetor unitário normal, res
pectivamente; esse vetor é também chamado de vetor 
normal ou simplesmente de~omo ii é um vetor unitário, isso significa que n; + n; = 1 . 
.9 _9Qjetivo destas~ § desenvolver a fó~ula co~s~ndente à integração J.><!r eartes, a fórmula (3.16). para um 
campo escalar 8(x, y), onde 8(x, y) é definido no domínio n. Exemplos do campo escalar são os campos de tempe-
ratura T(x, y) e os campos de potencial cp(x, y). 
Antes de discutir o teorema da divergência, é esclarecedor relembrar o teorema fundamental do cálculo que desen-
volvemos no Capítulo 3: P-ªfa.>ll!~....fwl.ç.~~e.CQ!ltinu,ig;td~ C.0 em um domínio unidime_Q-
. 
te s: 
j do:) dx = (Bn)lr· (6.4) 
n 
Lembre-se de que o contorno consiste nos dois pontos extremos do domínio e nos normais unitários que apontam na 
direção negativa do eixo x em x = O e na direção positiva do eixo x em x = I. 
A generalização desse enunciado para multidimensões é dada pelo teorema de Green, que estabelece: 
n = -1 fl = [0,1] n = 1 X 
~ ir=+ 
o ..-:::::::::: ............... / 
r 
(a) (b) 
Figura 6.1 (a) Domínio em uma dimensão e (b) domínio em duas dimensões. 
Formulaç6es Forte e Fraca para Problemas de Campo Escalar Multldimenslonals 105 
Se B(x, y) E CJ e é integrável, então 
fvociD. =f o;; di' ou J veciD. =f Bndi'. 
n r n r 
(6.5) 
Note a similaridade de (6.4) e (6.5); o operador dldx é simplesmente substituído pelo gradiente V. De fato, dldx pode 
ser considerado a versão unidimensional do gradiente. Por isso, a forma·unidimerisional (6.4) nada mais é que um 
caso especial de (6.5). A Equação (6.5) também se aplica a três dimensões. A prova do teorema de Green é dada no 
Apêndice A4. 
Usando a equação anterior, desenvolveremos agora um teorema que relaciona a integral de superffcie do divergente 
ãe um campo vetorial pua a integral de contorno de um campo vetorial, que é chamado de teorema da diverg€ncia. 
E e estabelece que se q possui um grau de-rontinuidade c~ e é integrável; então 
f v o ijcll. =f ij o iidl' 
n r 
ou f vtqcll. =f qTudi'. 
n r 
(6.6) 
Observe que (6.5) em duas dimensões representa duas equações escalares 
(a) f:df2= f Bnxdi', 
n r 
(b) f: cll. = IfJn,di'. 
n r 
(6.7) 
Seja 8 = qz em (6.7a) e B = qY em (6.7b), e a soma deles gera 
f (i:+ i;) df2 =f (qxnx + q1n1 ) di' OU 
n r 
f v. ijcll. =f q. iidl', 
n r 
(6.8) 
que é o teorema da divergência dado em (6.6). 
Afónnula de Green, que é deduzida a seguir, é a versão da integração por partes em uma dimensão. Ela estabe-
lece que 
f wV · qcll. =f wq · iidl'- f Vw. qcll. ou 
n r n 
f wVTqdf2 =f wqTndi'- f (Vw)Tqcill.. 
n r n 
Para desenvolver a fórmula de Green. primeiro avaliamos V · (w(j) pela derivada de uma regra do produto: 
- Ô Ô &w Ôqx {)W Ôq1 
"\/· (wq) = ÔX (wqz) + &y (wq1) = ax qz + w ax + &y q., + w7i; 
=~(~~+i;)+ (:qx+ ~q,) =wV ·q+Vw·q. 
'---v--' 
;ç, . q ;ç,w . q 
(6.9) 
Observe que podemos escrever imediatamente o último passo desse desenvolvimento, se pensarmos no gradiente 
como uma derivada generalizada e colocarmos pontos entre dois vetores quaisquer. 
Integrando (6.9) sobre o domínio, obtemos 
f v. (wv ciD. =f wv. iJcll. + fvw . qdn. (6.10) 
n n n 
Aplicando o teorema da divergência para o primeiro membro de (6.10) e então rearranjando os termos, obtemos a 
fórmula de Green: 
f wv. iJciD. =f wr;. iidi'- jvw. qcll.. (6.11) 
n r n 
É _!pte~san~ observar ~e para up domínio retangular l X 1 com um fluxo de calor unidimen'!>ional, em que q = 
q) en = ni ,n(O) =-i ,n(l) =i, temos 
(6.12) 
Escolhendo apenas funções de x para w, isto é, w(x), e integrando (6.12) em y, a equação anterior reduz-se à fórmula 
para integração por·partes em unidimensional (3.16), que é repetida a seguir. 
106 CAPiTULO SEIS 
(6.13) 
Observe a similaridade de (6.11) e (6.13). Como leituras adicionais sobre o teorema de Green, a fórmula de Green e 
o teorema da divergência, recomendamos Fung (I 994) para uma abordagem introdutória e Mal vem (1969) para um 
tratamento mais avançado. 
~ Exemplo 6.1 
É dado um donúnio retangular como mostrado na Figura 6.2. Considere urna função escalar 8 = r + 2y2. Seja 
q o gradiente de 9 definido como q = V 9. As linhas de contorno são linhas ao longo das quais urna função é 
constante. 
(a) Encontre a normal para a linha de contorno de 9 passando pelo ponto x = y = 0,5. 
(b) Verifique o teorema da divergência para q. 
O vetor gradiente q é dado como 
D 
-1 X 
A -1 B 
Figura 6.2 Domínio usado para ilustração do teorema da divergência. 
. . 
. 
Figura 6.3 Linhas de contorno de uma função 9 = :i' + 2y e seu gradiente. 
Formulações Forta e ffaca para Problemas de campo Escalar Muftidlménslonals 101 
A Figura 6.3 representa as linhas de contorno de 8 e o vetor gradiente q. Pode-se ver que q é normal para as linhas 
de contorno e seu módulo represe.nta a inclinação de e e.m um ponto qualquer. 
0 gradiente de e em X = y = 0,5 é 
q(0,5, 0,5) = 1 + 2] 
No ponto x = y = 0,5, o valor do campo escalar 6é 6(0,5, 0,5) = 0,75. O vetor unitário normal à linha de contorno 
r + 2y- 0,75 = O no ponto x = y = 0,5 é obtido pela divisão do vetor.q pelo seu módulo,o que dá 
n(o,s, o,s) = ~ (l + 2]). 
Vamos agora verificar o teorema da divergÇncia. Os vetores unitários normais aos quatro contornos do domínio 
· ABCihão·mostrados na Figura 6.2. Para verificar o teorema da ~vergencia (6.6), primeiro avaliamos o inte-
grando no primeiro membro de (6.6): 
- Ôqx ôq., 
"V. q =-+-= 2 + 4 = 6. ôx {Jy 
Integrando a expressão sobre o domínio do problema, obtemos 
O cálculo da integral de contorno no sentido anti-horário foroece 
fq ·ndf'= f <-4y)~+ f 2x~+ f 4y~+ f (-2x)~ 
r AB dx BC dy CD -dx DA -dy 
I I I I 
= f 4dx+ f 2dy+ f 4dx+ f 2dx = 24. 
-1 -1 - 1 - 1 
Assim, verificamos o teorema da divergencia para esse exemplo. 
~ Exemplo 6.2 
Dado um campo vetorialqz = 3ry +f, q
1 = 3x +f sobre o domínio mostradonaFigura6.4, verifique o teorema da divergência. 
O integrando no primeiro membro de (6.6) é dado como 
- _ Ôqx ôq., . .2 
"V. q = ôx + {Jy = 6xy + 3Y • 
Integrando a expressão anterior, obtem~s 
f 12 [ rt-o.sx ] 12 . v. q em= lo lo (6xy + 3y)dy r.lx =lo [3x(1 - 0,5x)2 + (1 - 0,5x)3] dx = 1,5. 
o 
Fi gora 6.4 DomíniÓ ttiangular de. Problema uSado para ilustraÇão do ~re~ da di~dg!ncia. 
' ; 
108 CAPITuLO SEIS 
A integral de contorno calculada no sentido anti-horário sobre AB é 
2 f q·nO>dr= f q,.(-J)di'== f -3xdx== -6, 
AB AB O 
em que n°) = -7. d[ = dx e y =o sobre AB. 
Para o cálculo da integral de contorno no sentido anti-horário sobre BC, note que a equação de linha BC é 
dada por y = 1 - 0,5x e ii<2l = ../5j5(f + 2]), di'== -../5/2dx sobre BC. A integral de contorno sobre BC é 
então dada por 
o f q · ii(Z) df =f (q...i +qJ) '] (7 +2})df =f -4[(3.? +i)+ 2(3x +l)] dx = 7,75. 
BC AB 2 
Finalmente, a integral de contorno no sentido anti-horário sobre CA é 
o f q · ij(l) di'= f (qxi + qJ)( -7) df = f Y dy =: -0,25, 
BC AB I 
em que nC3l = -r' d[ = - dy e X = o sobre CA. 
A adição das contribuições dos três segmentos fornece 
fii·iidr== f ii·ndi'+ f ii·ndi'+ f q·ndr =-6 +1,15-0,25 =1,5, 
r AB BC CA 
que completa a demonstração de que o teorema da divergência vale para este caso. 
6.2 FORMULAÇÃO FORTE1 
Para deduzir a formulação forte aplicaremos o balanço de energia para um volume de controle. A formulação forte será 
completada pelo acréscimo da lei de Fourier, que relaciona o fluxo de calor ao gradiente de temperatura e às condições 
de contorno. Finalmente, a formulação fraca será estabelecida pela integração do produto da equação de governo e da 
condição de contorno natural com a função peso sobre os domínios em que elas são válidas. Uma fórmula simétrica é 
obtida pela aplicação da fórmula de Green (equivalente à integração por partes em uma dimensão). Vamos considerar 
apenas problemas em regime permanente, no qual a temperarura não é uma função do tempo. 
Considere urna chapa de espessura unitária mostrada na Figura 6.5(a): a chapa contém uma fonte de calor s(x, y) 
(energia por unidade de área e tempo). O volume de controle é mostrado na Figura 6.5(b). O balanço de energia no 
volume de controle requer que o fluxo de calor q que sai pelas fronteiras do volume de controle seja igual ao calor 
gerados. Isso é o mesmo balanço de energia que usamos no Capírulo 3: como o corpo está em regime permanente, 
a energia interna de qualquer volume de controle precisa permanecer constante, o que significa que o fluxo de calor 
que sai tem de ser igual à energia calorífica gerada pela fonte. 
O vetor fluxo q pode ser expresso em termos de duas componentes: a componente tangencial ao contorno q, e a 
componente normal ao contorno q •. A componente tangencial ao contorno q, não contribui para a entrada ou saída 
de calor no volume de controle. Lembre-se de que 
t:.y 
t q,(.x,y + - ) D ,..-----''------, C 2 y ii 
t:.y O(.x,y) 
-t:..x q,.(.x- 2,y) 
A 
.X 
(a) 
Figura 6.5 Definição do problema: (a) domínio de uma chapa com um volume de controle sombreado e (b) fluxos de calor entrando e 
saindo do volume de controle. 
'Recomendado para a Trajetória de Ciências c Engenharia. 
Fonnulações Forte e Fraca para Problemas de campo Escalar Multldimensionals 109 
2 2 -1 n .. + ")- . 
A componente normal q• é dada pelo produto escalar do fluxo de calor com a normal ao corpo: 
qn = q · n = qTn = qznz + qyny. (6.14) 
Sobre AD, em que n = -7' o fluxo d_: c~or entrando é - q. = - q . ( -7) = qz' enquanto sobre BC, em que n = T' 
o fluxo de calor entrando é - q. = -q · i = -q,. 
Na Figura 6.5(b), apenas as componentes nonnais do fluxo são mostradas, já que somente estas são as que contri-
buem para o fluxo de energia no volume de controle. O ballUIÇO de energia no volume de controle é dado por 
em que os quatro primeiros termos são o fluxo liquido de calor. Dividindo esses termos por tull.y e usando a defi-
nição da derivada parcial, obtemos: 
A equaç.ão de balanço de energia (depois de uma mudlUiça de sinais) pode então ser escrita como 
Ôqz + Ôqy _ S = O 
ax ôy ' 
ou na forma vetorial e matricial: 
(a) V·q-s =O ou divq-i=O ou (b) VTq-s =O. (6.15) 
Se lembrarmos da definição do operador divergente, podemos ver que essa equação pode ser obtida apenas por lógica: 
o primeiro termo é o divergente do fluxo, isto é, o fluxo de calor saindo dé um ponto. O fluxo de calor saindo do 
ponto V · q precisa ser igual ao calor gerado s para mllDter uma qulUitidade constante de energia interna, isto é, uma 
temperatura constante em um ponto, que leva à Equação (6.15). 
Lembrando a lei de Fourier para uma dimensão: 
dF 
q = -k dx = -k'VT. 
Em duas dimensões, temos duas componentes de fluxo e duas componentes de gradiente de temperatura. Para mate-
riais iso~picos em duas dimensões, a lei de Fourier é dada por: 
q = -kVT ou q = -kVT, (6.16) 
em que k >O. Como para uma dimensão, o sinal menos em (6.16) reflete o fato de que o calor escoa em direção 
oposta ao gradiente, isto é, da temperatura mais alta para a mais baixa. Se a condutividade térmica k é constante, 
a equação de balanço de energia expressa em termos da temperatura é obtida pela substituição de (6.16) em 
(6.15): 
(6.17) 
em que 
(6.18) 
A Equação (6.17) é chamada de equação de Poisson e Vl é o chamado operador Laplaciano. 
Os vetores de fluxo e gradiente de temperatura são relacionados pela generalização da lei de Fourier: 
110 CAPillJLO SEIS 
ou na forma matricial: 
q= -DVT, (6.19) 
em que D é a matriz de condutividade .. Escrevemos essa equação apenas na forma matricial porque a forma vetorial 
não pode ser escrita sem tensores de segunda ordem, que não são cobertos neste texto. 
Substituindo a lei de Fourier generalizada (6.19) na equação de balanço de energia (6.15), obtemos 
VT(DVT) +s =O. (6.20) 
A matriz D precisa ser positiva, é claro, uma vez que o calor precisa fluir em direção ao decréscimo da tempera-
tura. 
Para materiais isotrópicos, 
· [k o] D = O k =ki. (6.21) 
Em duas dimensões, a simetria do material é um importante fator na forma da lei de Fourier. Um material é dito ter 
simetria isotrópica se as propriedades são as mesmas em qualquer sistema de coordenadas. Por exemplo, a maioria 
dos metais, o concreto e um cristal de silício são isotrópicos. A forma da relação entre o fluxo de calor e o gradiente 
de temperatura em um material isotrópico é independente de como o sistema de coordenada é posicionado. Em 
materiais não-isotrópicos, D depende do sistema de coordenadas. Exemplos de materiais não-isotiópicos são pneus 
radiais, compósitos de fibras e ligas de alumínio laminadas. Por exemplo, em um pneu radial, o calor flui muito mais 
rapidamente ao longo da direção dos arames de aço que nas outras direções. 
Para resolver a equação diferencial parcial (6.20), as condições de contorno precisam ser prescritas. Em multi-
di!nensões, valein as mesm<l$ cóndições de complemen.taridade que aprendemos em uma di,mensão. Em qualquer. 
ponto do contorno (veja Figura 6.6), tanto atemperatura quanto o fluxo normal precisam ser prescritos, mas ambos' 
não podem ser prescritos. Por isso, se denotamos o contorno onde a temperatura é prescrita por r r e o contorno onde 
o fluxo é prescrito por fq, então temos 
Escrevemos a condição de contorno de temperatura prescrita como 
T(x,y) = T(x,y) sobre rr, 
- . 
(6.22) 
(6.23) 
em que T(x, y) é a temperatura prescrita; essas são as condições essenciais de contorno; essas são também chamadas 
de condições de Dirichlet. Como indicado, a temperatura prescrita ao longo do contorno pode ser uma função das 
coordenadas espaciais. 
Sobre um conromo de ftuxci prescrito, apenas o fluxo normal é prescrito. Podemos escrever a condição de fluxo 
prescrito como 
qn = q · ii = q sobre fq· (6.24) 
Essas sãó também chamadas de condições de Neumann. Para um materi.al isotrópico, o fluxo normal é proporcional 
ao gradiente da temperatura em direção normal, isto é, segue de (6.19) e (6.21) que qn = -knTVT. Pode-se ver que 
.o fluxo depende da derivada da temperatura, de modo que isso é a congição de contorno natural. 
A formulação forte resultante para o próblema de condução de calor em duas dimensões é dada na forma veto-
rial para materi.ais isotrópicos'no Quadro 6.1 e na forma matricial para materiais não isotrópicos gerais ~o Quadro 
6.2. Essas formas diferenciam-se da que usamos em uma dimensão devido ao fato de o balanço de energia e a lei de 
Fouri.er não serem combinados. Isso simplifica o desenvolvimento da fonnulação fraca e estende a aplicabilidade da 
formulação fraca à condução de calor não-linear. 
y 
"" 
T= T sobre rT 
L---------------------------------~ X 
Figura 6.6 Domínio e condições de contorno do problema. 
Fonnutações Forte e Fraca para Problemas de Campo Escalar Muttiãunenslonals 111 
~ Quadro 6.1 Formulação forte (notação vetorial) para condução de calor 
(a) balanço de energia: V· q- s =O sobre n. 
(b) lei de Fourier: q = :k ~T sobre n. 
(c) CC natural: q• = !1 · n = q sobre r,, 
(d) CC essencial: T = T sobre r T 
~ Quadro 6.2 Formulação forte (notação matricial) pa.ra condução de calor 
(a) balanço de energia: 
(b) lei de Fourier: 
(c) CC natural: 
(d) CC essencial: 
VTq - s =o -· 
q= - DVT 
q. = _gTn = q 
T = T 
- 50óre0, 
sobre n. 
sobre r,. 
sobre r r 
(6.25) 
(6.26) 
As variáveis s, D, f e q são os dados para o problema. Essas, juntamente com a geometria do domínio O, precisam 
ser dadas. 
6.3 FORMULAÇÃO FRACA 
Para obter a formulação fraca seguiremos o mesmo procedimento básico do problema unidimensional do Capírulo 3. 
Contudo, como já mencionamos, desenvolveremos a formulação fraca da equação de balanço (6.15a). Então, expres-
saremos o fluxo de calor em termos do gradiente de temperatura pela lei de Fourier. 
Começamos com a equação de balanço de energia (6.15a) e a condição de contorno natural (6.25c). Pré-multi-
plicamos as duas equações pela função peso w e as integramos sobre o domínio do problema n e contorno natural 
r,. respectivamente: . 
(a) f w{\1 ·q-s)d!l =O Vw, 
n 
(b) f w(q- q. n)di' =o 
r. 
Vw. (6.27) 
Para a equivalência das formulações forte e fraca, é crucial que a formulação fraca seja válida para todas as funções w. 
Como em uma dimensão, descobriremos que algumas restrições precisam ser impostas nas funções peso. mas as desen-
volveremos conforme forem necessárias. Aplicando a fórmula de Green ao primeiro termo em (6.27a), obtemos 
f wV · q dn = f wq · n di' - f Vw · q dn 
n r n 
Vw. (6.28) 
Inserindo (6.28) em (6.27a), obtemos 
f Vw. qd!l-= f wq. ndi'-f wsdU = f wq. ndi'+ f wq . ndi'- f wsd!l. (6.29) 
n r n r. rr n 
em que subdividimos a primeira integral no segundo membro de (6.29) na temperatura prescrita e nas condições de 
fluxo prescrito, o que é permitido por causa de (6.22). Substituindo (6.27b) na integral sobre r (6.29), obtemos 
. ' J ~~ · qd.f.!_.= J w_qdf + j ~q · ndr -: j.w~@· -···- --· ··-·--
n r. rr n 
Agora seguimos o mesmo raciocínio do Capítulo 3. É fácil construir funções peso que desapareçam sobre uma porção 
do contorno, de modo que estabelecemos w = O no contorno de temperatura prescrita, isto é, estabelecemos o contorno 
essencial. Por isso, a integral sobre r T desaparece e a formulação fraca é dada por . 
f Vw · qdU = f wqdi'- f wsd!l Vw E Uo, (6.30) 
n r. n 
em que U0 é o conjunto de funções suficientemente suaves que desaparecem sobre o contorno essencial, ele é o espaço 
de funções definidas em (3.48). O espaço de soluções tentativas admissíveis U satisfaz as condições de contorno 
essenciais e é suficientemente suave como definido em (3.47). Lembre-se de que, de acordo com a definição desses 
espáÇos, as sólúções tenfafivas e as ffulções peso tSm de ter grau de continuidade CO. ' · . ., . ,. · 
112 CAPfruLO SEIS 
Expressando (6.30) na forma matricial, obtemos 
f (Vw)TqdS1 =f wqdr- f wsdS1 Vw E Uo. 
o r. o 
Essa equação é a formulação fraca para qualquer material, linear ou não-linear. Para obter a formulação fraca para 
materiais lineares, substituímos a lei de Fourier no primeiro termo dessa equação, o que fornece 
~ Quadro 6.3 Formulação fraca (notação matricial) para condução de calor 
encontre T E U tal que: 
f(Vw}TDVTdS1 =- f wqdf+ f wsdS1 Vw E Uo. 
o r. o 
(6.31) 
6.4 A EQUIVALÊNCIA ENTRE AS FORMULAÇÕES FORTE E FRACA 2 
Para demonstrar a equivalência da formulação forte com a formulação fraca, é necessário que se mostre que a 
formulação fraca implica a formulação forte. Essa demonstração é similar a uma usada no Capítulo 3 para mostrar 
a equivalência para problemas unidimensionais: revertemos os passos que seguimos indo da formulação forte para a 
formulação fraca e, então, invocamos a arbitrariedade das funções peso para extrair a formulação forte das equações 
integrais. Faremos isso para a formulação fraca para materiais arbitrários. 
Iniciamos com (6.30), reescrevendo o seguinte: 
f ~w ·1JdS1 = f wqdr- f wsdf2. 
o r. n 
Agora aplicamos a fórmula de Green (6.11) para o primeiro termo, o que fornece 
f w~·q-s}dS1+ f w(q-q·ii)df - f wq·iidr=O 
n ~ ~ 
VwE Uo. (6.32) 
Seguimos a mesma estratégia do Capítulo 3. Desde que a função peso w(x) seja arbitrária, ela pode ser considerada 
qualquer função que desapareça sobre r r 
Tomamos vantagem da arbitrariedade da função peso e a igualamos ao integrando que ela é, tomando-a 
w = '1/J(x)(~ · q- s), [ O sobre r] em que '1/J(x) = >O sobre n · (6.33) 
Inserindo (6.33) em (6.32), obtemos 
f - 2 '1/J('l· q- s) df2 =O. (6.34) 
o 
Os termos de contorno desapareceram porque nossa escolha de w(x), (6.33), desaparece nos contornos. Desde que 
t/J(x) >O em n, o integrando em (6.34) é positivo em todo ponto no domínio. Para a integral em (6.34) desaparecer, 
o integrando tem de desaparecer também. Daqui, desde que t/J(x) > O, 
~ . q - s = o em n, (6.35) 
que é a equação de balanço de energia (6.15). Depois de substituir (6.35) em (6.32), selecionamos uma função peso 
que não seja zero no contorno natural, mas que desapareça no contorno essencial (não importa que o seu valor esteja 
dentro do donúnio, pois de (6.35) sabemos que o primeiro termo em (6.32) desaparecerá). Portanto, fazemos 
w = V'(q- q. ii), [ O sobre fr] em que V' = > o sobre r 9 . (6.36) 
Substituindo (6.36) em (6.32), encontramos 
'Recomendado para a Trajetória Avançada. 
Fo.rmulações Forte e Fraca para Problemas de Campo Escalar Multldlmerisioriais 113 
q · ii = ij sobre r: T =f sobre rr 
Figura 6.7 Douúnio do problema e condições de contorno em três dimensões. 
J ~P(q- q. n)2 di'= o. (6.37) 
r, 
Como o ~tegrando em (6.37) é positivo sobre rt, a quantidade ~ntro dos parênteses precisa desaparecer em todo o 
ponto de contorno natural, e a condição de contorno natural (6.25c) continua. 
6.5 GENERALIZAÇÃO PARA PROBLEMAS TRIDIMENS/ONAIS3 
A extensão de duas para três dimensões é quase trivial. A diferençanão está na estrutura das equações das formulações 
forte e fraca, que são idênticas, mas nas defin!ç~ ~os vetores, os operadores gradiente, divel!ente e laplaciano. 
Em três dimensões, os vetores da base são i ,j ek, como mostrado naFigura6.7. Um vetorq expresso em termos 
de suas componentes é · 
q = fb;Í + q.J + q:k, 
·=[H (6.38) 
em que a fonna matricial é mostrada no segundo membro. Em três dimensões, o domínio !l do problema é um volume 
(que parece a batata na Figura 6.7) e o seu contorno r é uma superfície. A progressão da dimensionalidade do domínio 
do problema e seu contorno de problemas de uma dimensão para três dimensões está resumida na Tabela 6.1. 
o contorno r. qúe é a superfície abarcando o domínio tridimensional n. consiste na complementaridade dos 
contornos essencial e natural, como mostrado na Figura 6.7. 
O operador gradiente em três dimensões nas notações vetorial e ·matricial é definido como 
- -8 -8 -8 
"il =i 8x + I{}y + k 8z' 
V= 
8 
8x 
8 
{}y' 
8 
- -89 -89 -89 
"ilB=iax+j&Y+kôz' 
r: 
vo = l89 
E 
Com essa definição de vetores e do operador vetorial gradiente, o divergente do campo vetorial e o laplaciano são 
Tabela 6.1 Dimensional idade do domínio do problema e seu contorno. 
Entidade 
Uma dimensão (lD) 
Duas dimensões (2D) 
Três dimensões (3D) 
'Recomendado para a Í'ra}etória Avançàila 
Domínio 
Segmento de linha 
Superfície 
Volume 
Contorno f 
Dois pontos extremos 
Curva 
Superfície 
114 CAPITULO SEIS 
d. - âq~ âqy âqt !Vq=-+-+-ÔX ây âz.' 
2 - - T ffl â2 ffl \l =\l·\l=V V=-+-+-âx2 ayz 8z2, 
A formulação forte em notações vetorial e matricial é idêntica àquela dada nas ,Equações (6.25) e (6.26). Note que a 
lei de Fourier, que relaciona as três componentes do gradiente de temperatura às três componentes do fluxo, é defi-
nida em termos de uma conhecida matriz D simétrica positiva: 
A formulação fraca é também idêntica àquela para problemas bidimensionais dados em (6.31). 
6.6 FORMULAÇÕES FORTE E FRACA PARA ADVECÇÃO-DIFUSÃO ESCALAR EM 
REGIME PERMANENTE 8/D/MENS/ONAL 4 
As equações de advecção-difusão são obtidas de um princípio de conservação (freqüentemente chamado de um 
princípio de balanço), justamente como a condução de calor. O princípio da conservação estabelece que as espé-
cies (seja ela um material, uma energia ou um estado) são conservadas em cada volume de controle da área tu 
multiplicado por lly e espessura unitária mostrada na Figura 6.8. A quantidade de espécies que entra menos a 
quantidade de espécies que sai é igual a quantidade produzida (um volume negativo quando a espécie decai). Há 
dois mecanismos para escoamentos que entram e saem, a advecção (ou convecção), que é dada por v6, e difusão, 
que é dada por q. 
Além clisso, a advecção em cada superfície resulta em um escoamento na entrada de v · n 6. O princípio da conser-
vação pode então ser desenvolvido como na Seção 6.2: 
v~B(x- ~,y)t.y+qx(x- ~,y)t.y+v18(x,y- 6.;)tu+q1 G,y- 6.;)& 
- vxB(x+ ~,y)t.y- q~(x+ ~ ,y )t.y- v18(x,y + i)tu- qy(x,y + i)tu 
+ &6.ys(x,y) =O. 
Dividindo essa equação por tully e tomando o limite tu--. O, óy- O, obtemos 
â(vxB) + â(v,.B) + â(qx) + â(qy) _ s =O. 
âx ây âx ây 
Essa equação pode ser escrita na forma vetorial como 
~. (BV) + ~. q- s =o. (6.39) 
Essa é a forma geral da equação de advecção-difusão. O primeiro termo corresponde à advecção ou ao transporte do 
material e· o segundo termo corresponde à clifusão. 
Em muitos casos, o material que transporta a espécie é incompressível. Para problemas em regime permanente 
e materiais incompressíveis, a taxa de volume de material que entra no volume de controle é igual à taxa de volume 
de material que sai do volume de controle. Matematicamente, isso é dado por 
Figura 6.8 Volume de con1role para problema de advecção-dífusão. 
'Recomend~do para a Trajetória Avançada. 
y.:·· 
; • 
REFERÊNCIAS 
Fonnulações Forte e Fraca para Problemas de campo Escalar Mutüdimensionais 115 
v .. (x -~,y )D.y+ v1 (x,y- ~)D.x- v .. (x + ~ ,y )D.y- v1 (x,y + ~)D.x =O. 
Dividindo essa equação por l:ut.y e tomando o limite tu --+ O, Ây --+ O, obtemos 
8(v_.) + 8(v1 ) = 0 8x 8y ' 
Essa equação em notações matricial e vetorial é 
I v . v= o ou vT v = o. (6.40) 
A Equação (6.40) é coi:thecida como a equação da continuidade para problemas em regime permanente de materiais 
incompressíveis. 
Substituindo a equação da continuidade (6.40) em (6.39), obtemos a equação da conservação para uma espécie 
em um movimento de fluido incompressfvel, que pode ser escrita como 
(6.41) 
Considerando que a lei de Fourier generalizada é válida, a equação de conservação das espécies na forma matricial 
fica 
Para materiais isotrópicos D = kl, a equação da conservação se reduz para 
v. V8 - k\PB- s = o ou vTV8- k\128- s = o, 
em que V2 é o laplaciano definido em ( 6.18). Consideremos as condições de contorno essencial e natural 
8 = (j sobre r,, 
q·n=q sobre r 9 , 
(6.42) 
(6.43) 
(6.44) 
em que r. e r q são complementares. 
. Para obter a formulação fraca de (6.43), multiplicamos a equação da conservação (6.41) e a condição de contorno 
na'tural por uma função peso w e integramos sobre o do.m.Inio correspondente: 
(a) j w(v · V8 +V. q- s) d!l =o, 
o 
(b) f w(q- q ·n) di'= O sobre 'v'w. 
r, 
A integração por partes do segundo termo (o termo da difusão) em (6.45a) dá 
f wv · V8df2 - f Vw · qd.n +f wqdl'- f wsdn(a) 
n n r, n 
em gue exploramos (6.45b) e o fato de que w =o sobre r ,. 
'v'w e Uo, 
(6.45) 
(6.46) 
Finalmente, a formulação fraca é completada pela substituição da lei de Fourier generalizada em (6.46), que 
dá 
encontre a solução tentativa 8(x, y) E U, tal que f wvTV8d.n +f (Vw)TDV8d.n +f wéjdl'- f wsdíl 'v'we Uo. (6.47) 
_ _fl ____ n _________ r • .. _ __1! ___ _ 
Essa é a formulação fraca pata a equação de advecção-difusão. Note que o primeiro termo é assimétrico na função 
peso w e na solução 8. Isso resultará em um sistema de equações discreto e assimétrico e terá importantes implica-
ções na natureza das soluções, pois, como em uma dimensão, as soluções podem ser.instáveis se a velocidade for 
bastante grande. 
Pung, Y.C. (1994) A First Course in Continuum Mechanics, 3rd edn, Prentice Hall, Englewood Clüfs, NJ. 
Malvern, L.E. (1969) lnrroduction to the Mechanics of a Continuous Medium, Prentice Hall, Englewood 
Clitrs;NJ. 
116 CAPiTuLO SEIS 
Problemas 
Problema 6.1 
Dado um campo vetorial q, = -y, q, = -2xy sobre o domínio mostrado na Figura 6.2. Verifique o teorema da 
divergência · 
Problema 6.2 
Dado um campo vetorial q, = 3ry + y, q• = 3x + y3 sobre o domínio mostrado na Figura 6.9. Verifique o teorema 
da divergência. O contorno. curvo do domíi:úo é uma parábola. 
y 
(0,4) 
Figura 6.9 Domínio parabólico do Problema 6.2 usado para ilus~o do teorema da divergência. 
Problema 6.3 
Usando o teorema da divergência prove 
f nctr =0. 
r 
Problema 6.4 
Partindo da formulação forte 
dq 
--s=O, 
dx 
q(O) = q, T(l) = T, 
desenvolva a formulação fraca. Note que o fluxo q está relacionado com a temperatura pela lei de Fourier, mas desen-
volva primeiro a formulação fraca em termos do fluxo. 
Problema 6.5 
Considere a equação de governo para o problema de condução de calor em duas dimensões com convecção oa super· 
ffcie: 
Deduza a formulação fraca. 
Problema 6.6 
VT (DVT) + s = 2h(T- T co) sobre n, 
qn = qTn = q sobre fq, 
T = T sobre f r. 
Deduza a formulação forte para uma chapa com uma espessura t(x, y). Sugestão: considere o volume de controle na 
Figura 6.5b, e leve em conta a espessura variável. Por exemplo, o fluxo de calor para dentro em (x - ó.x/2, y) é 
qz(x-~ ,y )Llyt(x-~ ,y). 
Deduza a formulação fraca para a chapa com espessura variável. 
Problema 6. 7 
Considere um problema de condução de calor em duas dimensões comconvecção no contorno (Figura 6.1 0). 
~y .. 
~---------------------------------------------------
Rlrmulaç6es Rlrte e Fraca para Problemas de Campo Escalar Multldimenslonals 117 
y 
T ='i sobre rT 
L---------------~--------------~ X 
Figura 6.10 Domínio do problema e condições de contorno para cooduçllo de calor com convecção no coni.Omo. 
Construa a formulação para condução de calor em duas dimenSões com convecção no contorno. 
Problema 6.8 
Considere uma transferência de calor dependente do tempo. O balanço de energia em um volume de controle (veja 
Figura 6.5) é dado por 
em que T(x, y, t), c e p denotam a temperatura, o calor específico e a massa específica do material, respectivamente, e 
t é o tempo. A equação anterior estabelece que a mudança de energia interna não é zero, mas é governada pela massa 
específica, o calor específico e a mudança de temperatura. 
Deduza as formulações fraca e forte para o problema de transferência de calor dependente do tempo. 
7 
Aproxim·àções de Soluções Tentativas, 
Funções PeSo e Quadratura de Gauss 
para Problemas Multidimensionais 
N este capítulo, descrevemos a construção das funções peso e soluções tentativas para aplicações bid.imensionais; algumas vezes, chamaremos coletivamente tais expressões de aproximações ou simplesmente de funções. No método de 
elementos finitos, essas aproximações são construídas a partir de funções de forma Como no Capítulo 4, em que funções 
peso e soluções tentativas foram construídas para problemas unidimensionais, a idéia básica é construir interpolantes com 
grau de continuidade CJ que sejam completos. Seguindo a nomenclatura introduzida no Capítulo 4, denotaremos a aproxi-
mação por 8(x, y). Ela representa qualquer função escalar, tal como temperatura ou concentração de material. 
Já observamos que a situação em multi dimensões é completamente diferente daquela em problemas unidimensio-
nais, visto.que a solução exata das equações diferenciais parciais em multidimensõeS é factível apenas para problemas 
sobre dotrúnios com condições de contorno simples. Assim, a solução numérica das equações .diferenciais parciais é 
geralmente a única possibilidade para problemas práticos. A abordagem do método de elementos finitos permanece 
a mesma: aproximar as funções peso e as soluções tentativas por funções de forma de elementos finitos para que, 
como o número de elementos é aumentado, a qualidade da solução seja melhorada No limite, como h~ O (h sendo 
o tamanho do elemento) ou como a ordem polinomial é aumentada, a solução em elementos finitos deve convergir 
para a. solução exata, se as aproximações forem suficientemente suaves e completas. 
É nos problemas bidimensionais que a potência do método de elementos finitos fica claramente evidente. Veremos que 
o método de elementos finitos fornece uma técnica para construir facilmente aproximações para corpos de geometria arbi-
trária Além disso, como ficará evidente quando examinarmos os programas MA'ILAB, os métodos de elementos finitos 
possuem uma estrutura modular que permite que programas simples tratem de uma grande classe de problemas. Dessa 
forma, o programa de elemen.tos finitos desenvolvido no Capítulo 12 pode tratar qualquer problema de condução de calor 
bidimensional, independentemente da geometria ou da variação da condutividade. Além disso, os programas bidirnensio-
nais são praticamente idênticos em arquitetura aos programas unidimensionais, e a generalidade do método de elementos. 
finitos ainda permite que mesmo esses programas simples em MA1LAB operem com quase toda geometria 
Vimos no Capítulo 4 que as soluções tentativas têm de ser construídas de modo que a expansão polinomial para 
cada elemento seja completa e a aproximação global tenha um grau de continuidade CJ ou, em outras palavras, sejam 
compatíveis. Em múltiplas dimensões, as exigências permanecem as mesmas, mas a construção de soluções tenta-
tivas e de funções peso apresenta vários desafios, como a construção de campos contínuos para malhas arbitrárias de 
quadriláteros e triângulos, que se tomá mais complicada; particularmente, a construção das funções de forma para 
quadriláteros requer um novo conceito a ser introduzido: o do elemento isoparamétrico. Veremos que, além de suas 
Aproxlmaç6es de Soluções Tentativas, Funções Peso e Quadratura de Gauss para Problemas M~dlmensionals 119 
Figura 7.1 Domínio triangular. 
utilidades em quadriláteros, os elementos isoparamétricos permitem que contornos curvos sejam tratados com notável 
precisão, de modo que problemas de engenharia podem ser efetivamente resolvidos. 
7.1 Completude e Continuidade 
Primeiro, considere a questão da completude. Para explicar esse conceito, considere o domínio de problema simples 
mostrado na Figura 7 .1. O domínio é subdividido em elementos triangulares (malha), que é um dos elementos finitos 
a ser considerado neste capítulo, como mostrado na Figura 7.2. A solução tentativa é então construída sobre cada 
elemento. 
Considere a seguinte expansão polinomial possível: 
(a) O"(x,y) = cxj + cxix + o:jy, 
(b) O"(x,y) = cxj + cxix + o:JI, 
(c) O"(x,y) = o:j + cx2x + cxlY + ~xy + a5X2 + cx6_x3y, 
(d) O"(x,y) := cxj + cxix+o:jy + ~_xlj +.a5xy + tr~. 
(7.1) 
Qual das quatro é uma expansão polinomial útil para soluções tentativas? A resposta pode ser determinada pelo 
exame do triângulo de Pascal, que é mostrado na Figura 7 .~. Cada linha do triângulo dá os monô~os que precisam 
ser incluídos em uma aproximáção de elementos ·finitos para fornecer um elemento com·a ordem de completude 
indicada à direita. Se qualquer termo em uma linha estiver ausente, então o elemento não será completo para aquele 
grau e não terá a razão de convergência associada àquela linha da expansão. Por exemplo, (7 .la) é linear completa, e 
sua razão de convergência será de segunda ordem, isto é, quadrática. Por outro lado, (7 .1 b) não convergirá, pois nela 
falta o termo linear em y (lembre-se de que a expansão linear completa é a exigência núnima discutida no Capítulo 
4). Semelhantemente, (7.ld) não é quadraticamente completa e terá apenas a razão de convergência associada a um 
polinômio linear (quadrático nos deslocamentos), embora ela tenha monômios que são de ordem maior do que no 
caso linear. 
Expansões polinomiais completas podem ser obtidas a partir do triângulo de Pascal pelo acréscimo dos coefi-
cientes desconhecidos em todos os monômios até uma dada liriha. Expansões polinomiais completas de ordem linear, 
quadrática e cúbica são dadas a seguir: 
linear: O"(x,y) = aô + ~x + o:lY, 
quadrática: O"(x,y) = ~ + ajx + alY + o:jil + ct4xy + a51, 
cúbica: O"(x,y) = aõ + ~x + alY + o:jr + ct4xy + trd + o:6_x3 + ct;~y + trslx + a9T· 
Usaremos esses polinômios para construir elementos finitos de várias ordens. 
·A seguir, consideremos a questão sobre o grau de continuidade C>. Para explicar o que é exigido em problemas 
bidim.ensionais, considere os dois elementos adjacentes mostrados na Figura 7.4, cada um com uma expansão poli-
nomial linear completa: 
Figura 7.2 Malha de elerÍieritos firútos de diferentes refinamentos para o domínio triangular mostrado na Figura 7.1. 
120 CAPITULO sm 
constante 
X y linear 
X 
2 
xy y 2 quadrática 
x3 2 2 y) cúbica xy xy 
Figura 7.3 Triângulo de Pascal em duas dimensões. 
em que o sobrescrito indica o índice do elemento. Cada polinômio tem obviamente um grau de continuidade C' dentro 
do elemento. Contudo, para a função ter globalmente um grau de continuidade C', esta também precisa ter um grau 
de continuidade C' em todos os pontos sobre as interfaces entre os elementos (não apenas nos nós). Em outras pala-
vras, para o exemplo específico que consideramos, é necessário que 
B(ll (s) = B(l}(s). 
Por isso, ~I) , cxP>, ~I) , ~2) , o:\2) e ~2} tem de ser cuidadosamente escolhido para satisfazer o grau de continuidade 
C' entre os dois elementos.Nas próximas duas seções, descreveremos como construir funções de forma contínuas e 
completas para elementos triangulares e quadrilaterais. Iniciaremos com o elemento triangular com três nós. 
7.2 Elemento Triangular com Três Nós 
O elemento triangular com três nós é um dos mais versáteis e simplificados dos elementos finitos em duas dimen-
·sões. Podemos representar facilmente quase toda geometria com elementos .triangulares e, sem muitas dificul-
dades, construir malhas que tenham mais elementos em áreas de elevados gradientes (grandes derivadas); de 
modo que uma maior precisão pode ser obtida com o mesmo número de elementos. Além disso, os geradores de 
malhas para malhas triangulares são os mais robustos, isto é, eles não tendem a produzir erros. Isto é uma enorme 
vantagem, pois um gerador automático de malhas robusto é fundamental para a solução de problemas complexos 
por elementos finitos. 
Uma desvantagem do triângulo com três nós é que ele é um elemento relativamente não-exato e, de fato, o elemento 
não é recomendado para produzir análises com programas computacionais de elementos finitos. Entretanto, a simpli-
cidade do elemento o faz um veículo ideal para ensinar o método de elementos finitos multidimensional, de forma 
que iniciaremos com ele. 
Malba de elementos finitos, que consiste em elementos triangulares com três nós, é mostrada na Figura 7 .5a. Pode 
ser observado que os nós estão posicionados nos cantos de todos os elementos. Um número arbitrário de elementos 
pode ser conectado a um nó. Não há restrições sobre a topologia de uma malha de elementos finitos, embora, para 
uma precisão razoável, nenhum dos ângulos de qualquer elemento deva ser muito agudo. 
Como os lados de um elemento triangular são retilíneos, as bordas curvadas do corpo precisam ser aproximadas. 
Assim, na malha da Figura 7.5a, os lados curvos do furo são aproximados por segmentos de retas, os quais intro-
duzem um erro na geometria do modelo de elementos finitos. A solução em elementos finitos será a solução para a 
geometria com as bordas retas, de modo que algum erro aparece devido a essa aproximação da forma. Contudo, na 
maioria dos casos, se um número suficiente de elementos é usado, esse erro é bastante pequeno. Em muitos casos, 
simplesmente o posicionamento dos nós sobre o contorno fornece resultados satisfatórios. · 
Um elemento típico· dã·malha mostrada na Figura 7.5a é mostrado na Figura 7.5b. As coordenadas nodais do 
elemento e são denotadas por (xí.Yi). I = 1 por 3; usamos números nodais locais para os nós do elemento. É impor-
tante que os nós sejam numerados no sentido anti-horário. As formulações que seguem também podem ser desenvol-
vidas para numeração no sentido horário, mas muitos programas de elementos finitos, inclusive aqueles deste tivro, 
usam a numeração no sentido anti-horário, e é importante aderir a tal convenção, pois, de outra forma, algum sinal 
importante ficará errado. Quando geradores de malhas são usados, isso não é mais importante, pois um gerador de 
malhas numera automaticamente os nós dos elementos na ordem correta. 
y s 
)C 
Figura 7.4 Continuidade entre dois elementos triangulares lineares. 
Aproximações de-Soluções Tentativas, Funções Peso e Quadrab.ira de Gauss para Problemas Multldimenslonals 121 
• - . - --
-- ··- ·--- . ' -
(a) (b) 
Figura 7.5 (a) AproJÚmaÇãO de contorno curvo usando elementos finitos aiangulares com tres nós e (b) um elemento finito aiangular simples com tres nós. 
A solução tentativa em cada elemento triangular é aproximada por uma função linear de coordenadas espaciais x e y: 
9"(x,y) = IXÓ + ajx + <XÍY• (7.2) 
em que a; são parâmetros arbitrários. Essa equação pode ser escrita na forma matricial, como mostrado a seguir: 
9"(x,y) = IXÓ + cx~x + 9 = [1 x y) [~] = p(x,y)cze. 
p(x,y) ~ 
(7.3) 
Note a circunstância fortuita em que o número de parâmetros que descreve o campo completo linear 8'(x, y) em um 
elemento triangular é igual ao número de nós, de forma que devemos ser capazes de expressar unicamente o parâ-
metro a; em termos dos valores nodais 8'r Se houvesse menos nós que constantes ou vice-versa, uma única expressão 
em termos dos valores nodais não seria possível. 
·· Partindo de (7 .3), construfmos agora funções de forma para o elemento seguindo o mesmo procedimento 
que usamos em uma dimensão no Capítulo 4. Para essa finalidade, primeiro expressamos os valores nodais 
lJl (~, Yi) = 9!. lJl (~, Yz) = ~ e lJl (.xj, Y3) = 93 em termos dos parâmetros ( ~, cxj, cxD e escrevemos isso na forma 
matricial: 
9! =aõ+cxi~ +~Yi 
92 = ~ + cxj~ + cxifJ 
93 = crô + cxj .xJ + cx2Y3 
. Essa expressão pode ser escrita como 
Tomando o inverso dessa equação, obtemos uma expressão para os parâmetros em termos dos valores nodais: 
A substi:uição de (7.6) em (7.5) dá 
9"(x,y) = p(x,y)(M')-1d'. 
(7.4) 
(7.5) 
(7.6) 
(7.7) 
Como no caso unidimensional, o produto de matrizes que precede d' dá as funções de forma; para tomar isso claro, 
·- Cõmpare 'ã eqüàÇão aritenor corri -aforiila geêàr dê"ümã ffiiiÇao expressa em;"teriiiõ-s-de 'funçõês deiomia (fem15i'e7se ··-
da Equação [4.5]): 
(7.8) 
Das Equações (7.7) e (7.8), fica claro que as funções de forma são dadas por 
N'(x,y) = p(x,y)(M')-1 = [Nf{x,y) Ní(x,y) N)(x,y)). 
Para desenvolver uma expressão de forma fechada para as funções de forma, é necessário inverter a matriz M•. Isso 
pode ser obtido analiticamente ou usando a ferramenta Symbolic Tool.box" do programa MATLAB, que dá 
•Ferramenta do programa MATI.AB usada para executar cálculos com sfmbolos. (N.T.) 
122 CAPITuLO SETE 
Figura 7.6 Um diagrama para cálculo da área de um triângulo. 
em que A' é a área do elemento e; o determinante da matriz M' foi substituído por 2A' e é dado por 
2A' = det(M') = (rvr~ - x)y~) - (.r.Y3 - rJYD + (.r.Yi - x2YD· 
Avaliando essa expressão, obtemos 
Ní = ~~ (~y)- r3)'~ + (yí- y3)x + (x) - ~)y), 
Ní = ~~ (x)Yt- .XÍY3 + (y)- ft)x + (.XÍ- x))y), 
N) = ~~ (.XÍYÍ- XÍY~ + (yj - YÍ)x + (~- .xí)y). 
(7.9) 
(7.10) 
Observe que as funções de forma são lineares em x e y e os coeficientes de todos os monômios dependem das coor-
denadas nodais. 
A relação entre a área e o determinante de M' pode ser demonstrada a seguir. Considere o elemento triangular 
mostrado na Figura 7.6. A área é dada pelo produto da base e da altura, de modo que 
1 1 
A' = z.bh = z.ab ~en rp. (7.11) 
Lembre-se de que o valor do produto escalar triplo de dois vetores é dado por (essa fórmula pode ser encontrada em 
qualquer introdução para vetores, tais como de Hoffman e Kunze [1961} e de Noble [1969)) 
k · (ã x b) = ab ~n rp. 
Das Equações (7.11) e (7.12), podemos observar que 
1- - 1- i A'= z.k · (ã X b) = zk · det x2- XÍ 
.x1-.:tí 
k 
O, 
o 
(7.12) 
em que a última igualdade decorre da fórmula padrão para um produto escalar triplo e ã = (~- .:tí)7+~- ft), b = (.x1 - .:q)7 +61-ft)}. Com um pouco de álgebra, (7.9) pode ser obtido da expressão anterior. Observe que 
essa expressão é baseada na regra da mão direita para definição do ângulo cp. É por essa razão que os nós precisam 
ser numerados no sentido anti-horário. Você pode facilmente checar que se os nós são numerados no sentido horário, (7.9) dá uma área negativa (uma vez que duas linhas do determinante foram permutadas, o que troca o seu sinal). 
As funções de forma para um elemento triangular típico estão desenhadas na Figura 7.7. Pode ser visto que cada 
função de forma desaparece em todos os nós, exceto um, e esse nó é o número da função de forma. Em outras pala-
vras, essas funções de forma apresentam a propriedade delta de Kronecker: 
N' I y y Nj y 
Figura 7.7 Funções de forma de elemento triangular com três nós. 
Aproximações de Soluções Tentativas, Funções Peso e Quadratura de Gauss para Problemas Muttidlmensionais 123 
(713) 
Lembre-se de que as funções de forma em umadimensão tanibém apresentam essa característica (veja Equação [4.7)) 
e são, por isso, interpolantes .. Funções de forma em duas dimensões são também interpolantes. 
Além disso, como pode ser visto da Figura 7.7, as funções de forma são planares quando seus valores corres-
pondero aos eixos verticais em um gráfico de três dimensões. Isso é uma conseqüência óbvia da linearidade das 
funções de forma em x e y. Também implica que as projeções das funções de forma sobre linhas retas, tais como suas 
bordas, são lineares. Isto pode ser visto na Figura 7.7; as linhas pontilhadas correspondem aos valores das funções 
de forma sobre as bordas. 
7.2.1 .Aproximação Global e Continuidade 
No Capítulo 4 , mostramos que as funções de forma globais N são dadas em termos das funções de forma dos 
elementos N• por 
.... 
NT = LL'TN•T, 
... t 
(714) 
em que V T é o operador reunião. As soluções tentativas são aproximadas por uma combinação linear de funções de 
forma global com grau de continuidade O (7.14): 
.... 
fi'= Nd = L_Ntdti (7.15) 
1-1 
de modo que o grau de continuidade O de (f' é garantido. 
Para ilustrar, considere uma malha de dois elementos mostrada na Figura 7.8. O número de funções de forma 
globais é igual ao número de nós da malha. As funções de forma correspondentes à malha da Figura 7.8 são mostradas 
na Figura 7.9. 
O grau de continuidade O das funções de forma ao longo das interfaces, entre quaisquer dois elementos adjacentes, 
pode ser demonstrado a seguir. Por conveniência, definiremos uma borda comum entre os elementos 1 e 2 por uma 
equação paramétrica em termos de um parâmetros, de modo que s = O no nó 2 e s = 1 no nó 3: 
X= x2 + (XJ- X2)s, y = Y2 + {y)- Y2)S. (7.16) 
Como as funções de forma são lineares ao longo de qualquer borda, as funções dos dois elementos genéricos 1 e 2 
ao longo da interface podem então ser escritas como 
em que ~são funções de ~definidas em (7 .2) e nas coordenadas nodais. 
Como IJ('>(s) deve igualar-se a 82 e 8) em s = O e s = 1, respectivamente, segue que 
Semelhantemente, para o elemento 2: 
8 P(l) 8 oO) oO) 2 = o , 3 = Pó + Pi · 
,(2) 
82 =Pó • 8 - p (2) + ,(2) 3- o Pi . 
(7.17) 
Conclui-se imediatamente da equação anterior que {J~t) = P~2) = ~e p~l) = P\2) = 83 - 82.Por isso, as duas funções 
dos elementos são iguais ao longo da interface e daí são contínuas pela interface. Esse argumento é válido para todas 
as outras interfaces da malha, de modo que a aproximação possui grau de continuidade O globalmente. Note que, na 
Figura 7.9, a função tem dobras ao longo da interface, de modo que não apresenta grau de continuidade C'. 
y . 3 
1~ 
( 
2 
1 
~ :\3>3 1~~2 
2 
~----------------------~~X 
F1g11ra 7.8 Malha de dois elementos: numeração nodal global e local. 
124 CAPiTuLO SETE 
)' 
~~· 
2 
·3 
X 
Figura 7.9 Funções de forma globais com grau de continuidade CJ para uma malha de dois elementos. Apenas a numeração nodal global é mostrada. 
A numeração nodal local é dada na Figura 7 .8. 
A continuidade de funções lineares entre elementos com dois nós compartilhados pode ser argumentada verbal-
mente como se segue. Ao longo de qualquer lado reto, as funções dos elementos são funções lineares do parâmetro 
de interfaces. Como uma função linear ao longo de uma linha é detennínada por duas constantes, se as duas funções 
são idênticas nos dois nós, elas precisam ser iguais ao longo da interface inteira. Em uma malha de elementos trian-
gulares com três nós, elementos adjacentes compartilham dois nós em cada interface, de modo que a continuidade 
é assegurada .. 
7.2.2 Elementos Triangulares de Ordem Superior 
Os conceitos assinalados na construção de aproximações contínuas de elementos finitos baseadas em polinômios 
podem ser mais extensamente esclarecidos, além disso, se considerarmos um elemento quadrático. Do triângulo de 
Pascal, segue que um campo quadrático em um elemento é dado em termos de seis parâmetros ct, por 
8' (x, y) = cxj + cx1x + cx3y + cx~.r + cx;xy + cx6r· (7 .18) 
A projeção dessa função sobre qualquer borda retilínea de um elemento em termos de um parâmetros (com a faixa 
de s de O a 1 como nas Equações [7 .16)) é 
(7.19) 
Isto pode ser mostrado pela substituição de (7.16) em (7.18). As funções dos elementos são assim as funções quadrá-
ticas do parâmetro de borda s e são determinadas pelas três constantes, f3;, i = 1 a 3, em cada elemento. Por isso, 
para ter continuidade, as funções de dois elementos adjacentes precisam ter valores iguais nos três pontos, além de 
três nós serem necessários ao longo de cada borda. 
Uma configuração que encontra essa exigência é mostrada na Figura 7. !Oa. Pode-se observar que o elemento 
possui nós em cada canto e um nó ao longo do ponto médio de cada borda. Novamente, temos a coincidência fortuila 
de que o número de nós exigido corresponde ao número de constantes no campo polinomial (7 .18). Lego, as cons-
tantes podem ser expressas unicamente em termos dos valores nodais 8; do elementó da função O'(x,y), e, segilindo 
o mesmo procedimento como para o elemento triangular com três nós, a função pode ser expressa em termos dos 
valores nodais do elemento. Uma vez que isso seja feito, as funções de forma podem ser extraídas. 
Não faremos esses passos, pois a álgebra é muito trabalhosa. Além disso, as funções de forma podem ser constru-
ídas diretamente como mostrado na Seção 7 .6.2; de outra maneira, a; seria avaliado numericamente pelo programa 
computacional. 
2 
Figura 7.10 (a) Elemento finito triangular com seis nós e (b) elemento triangular com lO nós. 
.. , 
r· 
Aproximações de-Soluções Tentativas, Funções Peso e Quadratura de Gauss para Problemas Multldlmensionais · 125 
É interessante observar que a estrutura nodal para os elementos lineares e quadráticos pode ser obtida do triângulo 
de Pascal. Se considerannos os contornos fora do triângulo .de Pascal mostrado na Figura 7.3 como as bordas de um 
elemento, então pode-se observar que, para um elemento com três nós, apenas dois nós são necessários ao longo de 
cada borda, ao passo que três nós são necessários para cada borda de um elemento quadrático. 
A função aproximação para um elemento cúbico para o triângulo de Pascal (Figura 7.3) é 
B'(x,y) = CXÕ + a1x +9 +a;~ + CX:xy+ aSY +a6~ +a1~Y + aSix+ a;l . 
Relembrando o triângulo Pascal,, podemos observar que uma função cúbica necessita de quatro nós ao longo de cada 
borda. Isto pode ser estabelecido pelos argumentos que usamos anteriormente: ao longo de uma linha, a projeção 
de uma função cúbica de x e y sobre uma borda reta é uma função cúbica de s e é definida por quatro constantes. 
Portanto, quatro nós são necessários ao longo de cada borda para assegurar a continuidade da aproximação global. 
O esquema nodal para o ele~ento cúbico é mostrado na Figura 7. ~ Ob. 
Uma diferença entre os elementos quadrático e cúbico é que o número de nós sobre as bordas não é igual ao 
número de constantes: o número de nós requeridos para a conti,nuidade é menor que o número de constantes. Essa 
desigualdade é facilmente retificada pela adição de outro nó. Esse nó pode ser colocado em qualquer lugar, mas como 
mostrado na Figura 7.10b, ele é geralmente colocado no centróide (centro de massa). Observe que o triângulo de 
Pascal também indica a necessidade de um nó central. 
Elementos de ordem quatro e superior também podem ser desenvolvidos. Contudo, elementos de tais ordens 
superiores são raramente desenvolvidos de simples expansões polinomiais. O inconveniente desses elementos de 
ordens superiores é que o sistema resultante de equações discretas não é bem condicionado. Por isso, embora tais 
elementos tenham potencialmente altas taXas de convergência, e daí melhor precisão, eles não são usados. Em vez 
disso, elementos de ordem muito alta têm como base conceitos diferentes. Porexemplo, elementos de ordem superior 
chamados de elementos espectrais podem ser desenvolvidos de polinômios de Legendre; eles não degradam tanto o 
condicionamento do sistema de equações. 
7.2.3 Derivadas de Funções de Forma para o Elemento Triangular com Três Nós 
O gradiente da matriz das funções de forma será expresso em cÍlda elemento por uma matriz :s• como anteriormente. 
A matriz B• é calculada pela diferenciação da expressão para a aproximação nos termos das funções de forma. Para 
um elemento triangular com três nós, obtemos a matriz B• tomando o gradiente das aproximações como na equação 
(7.10): 
Ao nos referinnos às funções de forma como dadas em (7 .1 O) e na equação anterior, podemos ver que a matriz B• 
é dada por: 
· .. (7.20) 
Observe que a matriz B• é constante em cada elemento, isto é, ela é independente de x e y, e depende apenas das coor-
denadas dos nós do elemento. Por isso, o gradiente de qualquer solução tentativa será constante dentro de qualquer 
elemento triangular com três nós; isso pode ser diretamente concluído da linearidade das funções de fomia.. Assim, 
em uma dimensão, o elemento triangular com três nós possui caracteósticas e propriedades muito semelhantes ao 
elemento.com.dois..nós, com um campo. de aproximação linear e um campo.de gradiente constante. 
7.3 ELEMENTOS RETANGULARES COM QUATRO NÓS 
Como uma intrOdução à formulação de um elemento quadrilateral com quatro nós, primeiramente vamos considerar 
um elemento retangular com quatro nós, como o representado na Figura 7 .11. Como para o triângulo, os nós são 
numerados no sentido imti-borário; essa convenção tiunbém será aplicada a todos os elementos subseqüentes, exceto 
quando eXistiie.:n' hós 'ao longó das bordas, os quais serão numerados. neste livro, após os nós dos vértices. 
Como o eiem~nto possui quatro nós, é necessário começar com uma éxpansão polinomial que tenha quatro parâ-
metros. Obviamente, se devemos restringir-nos a ~xpansões polinomiais., o termo adicional deve vir da terceira linha 
do triângulo de Pascal. Uma questão então surge: qual dos três termos na terceira linha deve ser selecionado? Apenas 
um monômio adicional é necessário, pois já temos três parâmetros do campo linear, mas podemos selecionar qualquer 
dos três monômios na terceira linha do triângulo de Pascal. 
126 CAPITULO SETE 
y 
1 
4 
<x4.Yn 
3 
(~ .yj) 
2b 
(x~ .yn 
1 I· 2a 
L---~------------------------~x 
Figura 7.11 Elemento retangular com quatro nós. 
Esta pergunta deve ser respondida com base na necessidade da linearidade da aproximação ao longo de cada borda. 
O monômio r variará quadraticamente ao longo das bordas entre os nós 1 e 2 e os nós 3 e 4, ao passo que o monômio 
y2 variará quadraticamente ao longo das bordas entre os nós 2 e 3 e os nós 4 e 1. O monômio xy é linear ao longo de 
cada borda, pois tanto x quanto y é constante ao longo de cada borda. Por isso, o monômio xy é consistente com a 
configuração nodal mostrada na Figura 7 .11, na qual existem apenas dois nós por borda. O monômio xy é chamado 
bilinear. Com a adição dos termos bilineares, a aproximação do elemento é 
B'(x,y) = aó + cc~x + cc;y + ccjxy. (7.21) 
É possível expressar (cc~, ~.ex), a~) em termos dos valores nodais(~, e;, Bj, 84) como na Seção 7 .2. Conrudo, uma 
inversão simbólica da forma fechada é muito complicada. Claro, podemos sempre inverter M• numericamente para 
cada elemento em uma malha, mas é útil desenvolver expressões de forma fechada (na prática, isso não é muito 
importante, já que matrizes 4 X 4 podem ser invertidas muito rapidamente nos computadores aruais). 
As funções de forma N• serão construídas pelo método do produto tensorial. Essa aproximação é baseada em 
tomar os produtos das funções de forma de dimensão mais baixas e explorar a propriedade delta de Kronecker das 
funções de forma (7.13). 
As funções de forma bidimensionais para um elemento retangular são obtidas como um produto das funções de 
forma unidimensionais, como ilustrado na Figura 7.12. Por exemplo, a função de forma N;(x. y) é obtida tomando 
o produto das funções de forma unidimensionais N;(x) e N~(y). Pode ser visto na Figura 7.12 que o produto dessas 
duas funções de forma desaparecerão nos nós 1 e 4, porque N;(x) desaparece nesses nós, e desaparecerão no nó 3 
porque N~(y) desaparece nesse nó. No nó 2, ambas as funções de forma têm valor unitário, de maneira que o produto 
é também igual a 1. Assim, N;(x, y) tem a propriedade delta de Kronecker para o elemento com quatro nós, o qual 
também pode ser visto da Figura 7.12. 
O método do produto tensorial e o papel da propriedade delta de Kronecker podem ficar mais claros se nume-
rarmos os nós com os pares mostrados na Figura 7 .12. As funções de forma bidimensionais podem então ser escritas 
como um produto das funções de forma unidimensionais por 
NV,JJ(x,y)=N;(x)Nj(y) para /=1,2 e 1=1,2. (7.22) 
É conveniente mostrar também que essa função de forma bidimensional tem a propriedade delta de Kronecker: 
NV,J)(xú,yL) = Ní(xu )NJ(yL) = ÓIMÓJL· 
Dessa expressão, pode ser visto que o produto tensorial das duas funyões de forma unidimensionais é unitário apenas 
quando os números do par nodal são os mesmos que os do par da função de forma. A relação entre os números 
F igura 7.12 Construção de funções de fonna bidimensionais. 
Aproximações de Soluções Tentativas, Funções Peso e Quadratura de Gauss para Problemas Multidimensionais 127 
Tabela 7.1 Funções de forma do retângulo com quatro nós (llltima coluna) como construfdas de funções de forma 
unidimensionais (valores nodais dados na segunda a quinta colunas). 
K I J Nf(~) Ní(~) Nf(>1) N~(>1) 2D: NHx,y) = NvJJ(x,y) 
o o Nf(x)Nf(y) 
2 2 o o NHx)Ní(y) 
3 
4 
2 2 o o Nl(x)Ni(y) 
2 o o Ní(x)Ni(y) 
(I e J) do par nodal e os números (K) do nó real é dada nas primeiras três colunas da Tabela 7 .1. Além disso, as funções 
de fonna bidimensionais obtidas pela regra do produto tensorial são resumidas na Tabela 7 .1. 
A partir da Tabela 7.1 e da Equação (7 .22), pode-se ver que as funções de forma bidimensionais são 
x-~ y->1 1 , 
Nj(x,y) = .t1-~>1- >1 = A• (x - ~)(y - y4), 
x-.x1 y-Y. 1 
N2(x,y) = ~ _ .t1 >1- >1 =-A• (x- ~)(y- f.), 
x-r. y->1 1 , N)(x,y) = ~ _ .t1 Y. _ >1 = A• (x- ~)(y- Y1), 
(7.23) 
x-~ y->1 1 
N:(x,y) = .t1 _ ~>1- >1 =-A• (x- .t;)(y- >1), 
em que A' é a área do elemento. Também pode ser verificado que cada uma dessas funções de forma satisfaz a proprie-
dade de delta de Kronecker diretamente. As funções de fonna de elementos são mostradas na Figura 7.13. Como se 
pode ver na figura. as funções de forma são lineares ao longo de cada borda. 
Embora este elemento funcione para retângulos, ele não é conveniente para quadriláteros arbitrários. Isso pode ser 
visto ao se coqsiderar o quadrilátero mostrado na Figura 7 .14a. Considere a borda que liga os nós 1 e 4 ao longo da 
qualy = x. Se substituímos na equação para a aproximação (7.21), vemos que a aproximação é uma função quadrá-
tica ao longo dessa borda y = x. As funções de forma também são quadráticas ao longo dessa borda, o que pode ser 
verificado fazendo y = x em qualquer das funções de forma em (7 .23). Por issõ, dois nós não são mais suficientes 
para assegurár a compatibilidade, isto é, a continuidade desse elemento com outros elementos. Assim, as funções 
de forma desenvolvidas nesta seyão são convenientes somente para elementos retangulares; para tratar uma maior 
variedade de geometrias quadrilaterais com quatro nós, um método mais potente precisa ser desenvolvido para a 
construção das funções de forma. 
7.4 ELEMENTO QUADRILATERAL COM QUATRO NÓS1 
Como vimos, embora as funções de forma bilineares em termos de x e y funcionem para retângulos, essas funções de 
forma não são lineares ao longo das b9rdas de um elemento quadrilateral arbitrário, de modo que dois nós comuns 
4 
. . ... _i 
.:}~ :~J 
.·.·.·.·. · ... o. ... .. 
. . . . . . . 
3 
3 
4 
N' 
. 4 
3 
3 
2 
Figura 7.13 ilustração gráfica de funções de forma de elementos retangulares. 
'Recomendado para a Traje16ria Avançada. 
128 CAPITULO SETE 
)' )' 
4 
2e---~3 
(a) {b) 
Figura 7.14 Elementos quadrilaterais com quatro nós. 
não são suficientes para assegurar o grau de continuidade CJ entre os elementos. A resolução dessa dúvida levou a 
um dos mais importantes desenvolvimentos em elementos finitos, os elemenros isoparamétricos. O conceito isopa-
ramétrico permite construir elementos com lados curvados, que são uma ferramenta muito poderosa na modelagem 
de muitas estruturas complexas de engenharia. Mostraremos, primeiramente, como esse conceito pode ser usado 
para construir aproximações contínuas para quadriláteros com quatro nós. Em seguida. consideraremos elementos 
de ordem superior, os quais podem ser modelados com contornos curvos. 
Começaremos lembrando como construímos as fórmulas da quadratura de Gauss no Capítulo 4. Lembre-se de 
que definimos um domínio padrão [ -1, 1] e depois fizemos o mapa desse domínio padrão no domínio físico do 
elemento finito por 
Ç E [-1, 1). (7.24) 
Chamaremos o domínio [ -1, I] de domínio do elemento de referência e Ç de coordenada de referência; ela é também 
chamada de coordenada natural. 
Agora, em vez de escrever a aproximação para (}em termos de x, vamos escrevê-la em termos da coordenada g 
do elemento de referência. Começando com a expressão da função de forma para o campo e substituindo em (7.24), 
obtemos 
• X ~.xí X- xj 8=~--+82--
xj-.xí .xi-xi 
- tf.xí(l-Ç) +.xí(l +Ç) -zx; ~xí(l-Ç) +.xí(l +Ç)- 2xí 
- l 2(xí-.x2) + l 2(.x2-xí) 
-tf-1-Ç ~l+Ç 
- ~-2-+ z-z-· 
(7.25) 
Assim, notavelmente, a forma da aproximação linear 8( g) é idêntica ao mapa do elemento de referência para o elemento 
físico; em outras palavras, as funções de forma para o mapeamento dado em (7 .24) são idênticas às funções de forma 
para a aproximação na última linha de (7.25). Isso é a característica fundamental de um elemento isoparamétrico: as 
coordenadas físicas são mapeadas pelas mesmas funções de forma como as usadas para a aproximação. 
De fato, não é necessário usar álgebra em (7.24) e (7.25) para desenvolver a expressão em termos das coordenadas 
do elemento de referêqcia. Como a relação entre as coordenadas física e de referência é linear, qualquer relação que 
seja linear nas coordenadas de referência será também linear nas coordenadas físicas. 
Para desenvolver um elemento quadrilateral, façamos o elemento de referência ser um quadrado biunitário como 
mostrado na Figura 7 .15. Em seguida, mapeamos o elemento físico a partir do elemento de referência pelas funções 
de forma de quatro nós 
(7.26) 
7) 
4 +I 3 
LI.2J [2,2j 
y 
I +I 
(1,1] (2,11 2 
-1 2 
X 
Figura 7.15 Mapeamento do sistema de coordenadas cartesianas do elemento de referência para o elemento físico; entre colchetes está o par de números do nó 
para a aproximação do produto tensorial para a construÇão de funções de fonna bidimen.sionais a partir de funções de fonna unidimensionais. 
Aproximações de Soluções Tentatlvas,.Funções Peso e Quadratura de Gauss para Problemas Multldlmensionais 129 
Tabela 7.2 Coordenadas nodais no domínio do elemento paramétrico. 
Nó/ 'IJ, 
-1 -1 
2 -1 
3 
4 -I 
em que N4Q(Ç. TJ) são as funções de forma do elemento com quatro nós no sistema da coordenada de referência; r e 
Y' são matrizes colunas que denotam as coordenadas x e y dos nós do elemento: 
Em (7 .26), mudamos a notação de N• para N4Q para enfatizar que, como vimos, as funções de forma não são mais 
funções de coordenadas do elemento, isto é, são idênticas para todo elemento quadrilateral. Como o elemento de 
referência é um quadrado bi-unitário, suas funções de forma são idênticas àquelas do elemento retangular, exceto 
que elas são expressas em termos de coordenadas naturais. As funções de forma podem ser obtidas pela substituição 
de (.x, y) por(~. TJ) e as coordenadas nodais no dom.úrio físico (xr y) pelas coordenadas nodais no elemento de refe-
rência (~r TJ) em (7.23). As funções de forma resultantes são resumidas a seguir: 
1 ~({, 17) = 4 (l + ~{)(1 + '71'7). (7.27) 
em que <~r TJ,) são as coordenadas nodais no elemento de referência resumidas na Tabela 7.2 (veja também a Figura 
7 .15, à esquerda). A equação anterior pode ser obtida diretamente pelo método do produto tensorial. 
A solução tentativa é aproximada pelas mesmas funções de forma: 
lf({, 17) = ~(Ç, 77)d •. (7.28) 
Por isso, o elemento é isoparamétrico. 
As funções de forma (7 .27) contêm um termo constante, termos lineares em Ç e TJ e o monõmio ÇJJ, o monômio 
bilinear; essas funções de forma são chamadas funções de forma bilineares. Se escrevermos os monômios em termos 
de parãmetros arbitrários, obtemos a seguinte expressão: 
(7.29) 
O mapa (7 .26) é também bilinear por causa da bilincaridade das funções de forma, (7 ,27). Assim, há quatro funções 
independentes na aproximação, que é igual ao número de nós no elemento, e podemos obter as funções de forma usando 
o procedimento da Seção 7.2. Contudo, o procedimento anterior com a regra do produto tensorial é mais direto. 
7.4. 1 Continuidàde de Elementos /soparamétri~s 
Uma importante questão a ser considerada é: a relação (7 .26) mapeia as bordas do elemento de referência em linhas 
retas no plano físico? Se a resposta for negativa, então o elemento nãô será compatível com triângulos com três nós 
e poderá até ter dificuldades no tratamento de malhas constituídas inteiramente por quadriláteros. A resposta parece 
ser afirmativa. Como o mapa (7 .26) é bilinear ao longo de cada borda, tanto f quanto TJ são constantes ao longo de 
cada borda. Por isso, ao longo de qualquer das bordas, o termo bilinear fica linear. Por exemplo, ao longo da borda 
entre os nós 2 e 3, e = 1, isto é, ele é constante, e o termo bilinear é linear em TJ. Por isso, o mapa é linear ao longo da 
borda entre os nós 2 e 3, e a borda correspondente no plano físico precisa ser retilínea. Argumentos idênticos podem 
ser feitos para as outras três bordas. 
Observe que nem toda linha reta no plano de referência é mapeada em linha reta no plano fÍsico. Se tomarmos 
~--.--.a-diagonal do elemento -no plano de referência, em que Ç-=-1), o termo -bilinear então fica quadrático em -§.-Logo, 
quando p elemento físico não é um retângulo, a diagonal do elemento de referência i uma linlul curva no elemento 
flsico. Portanto, em geral, nem todas as linhas retas no plano de referência são mapeadas em linhas retas no plano 
físico, mas as bordas sempre são. 
Pelos mesmos argumentos, pode-se mostrar que as funções de forma globais apresentam grau de continuidade CO. 
Por exemplo, ao longo da borda conectando os nós 2 e 3 ( ~ = I), segue-se de (7 .27) que 
~({ = 1,7]) = ~(1-7]). 
Assim, a função de forma ~Q ao longo da borda é linear em TJ e é igual a 1 no nó 2 e zero no nó 3. Pode também 
ser mostrado que todas as outras funções de forma são lineares ao longo dessa borda e de todas as outras bordas; 
a linearidade da aproximação ao longo das bordas pode ser inferida da característica bilinear da expressão para a 
aproximação (7.29):· 
130 CAPÍTULO SETE 
Como a aproximação é linear ao longo de cada borda, ela pode ser expressa em termos de dois parâmetros ao 
longo de cada borda. Como cada borda tem dois nós, a aproximação é então determinada unicamente ao longo da 
borda. Além disso, se dois elementos adjacentes compartilham uma borda, então a função de forma global precisa ser 
continua pela borda, e assim a aproximação construída pelos elementos quadrilaterais tem grau de continuidade c>. 
Os elementos quadrilaterais isoparamétricos com quatro nós também são compatíveis com os elementos triangulares 
com três nós, de modo que esseselementos podem ser misturados em uma única malha. 
7.4.2 Derivadas de Funções de Forma lsoparamétricas 
A seguir, desenvolvemos expressões para o gradiente de funções de forma do elemento isoparamétrico com quatro 
nós. O procedimento é mais complicado que aquele para o triângulo com três nós, porque as funções de forma são 
expressas em termos das coordenadas do elemento de referência. Em termos das coordenadas físicas, o gradiente de 
uma solução tentativa para o elemento quadrilateral com quatro nós é 
Vff = s•d•, (7.30) 
em que 
(7.31) 
Para obter as derivadas das funções de forma expressas nas coordenadas do elemento de referência com respeito às 
coordenadas físicas (x, y), usaremos a regra da cadeia 
[ar] = [: ~] [ôt]. afljQ ax &y afljQ 
- a, a, -ÔT) ..___,_... ôy 
J• 
Como indicado, a matriz relacionando as derivadas das coordenadas físicas com respeito às coordenadas do elemento 
é a matriz jacobiana, denotada por J•. As derivadas exigidas podem ser obtidas pela inversão do segundo membro 
da expressão anterior: 
(7.32) 
Na forma matricial concisa, escrevemos essa equação como 
(7.33) 
em que G é o operador gradiente no sistema de coordenadas de referência definido como 
(7.34) 
Pela substituição do mapa (7 .26) na expressão para o jacobiano (7 .32), uma expressão mais detalhada pode ser desen-
volvida para o jacobiano: 
A Equação (7.35) pode ser escrita na forma matricial como 
J• =G~(r r J. 
Usando (7 .31 ), (7 .35) e (7 .36), a matriz B• pode ser escrita na forma matricial como 
s• = (J•r'GN4Q. 
(7.35) 
(7.36) 
(7.37) 
_, 
~-----------------------~--------------------------------................ . 
· Aproximações de Soluções Tentativas, Funções Peso e Quadratura de Gauss para PrOblemaS Multldlniensionais 131 
TJ 7 3 
4 1,.3] 7 ~2.3) 3 [3,.3) y 
4 
8 (1,2) 9 [2.2} 6 (3.2] 6 
> [1,1) [2.11 (3.l] 2 
5 2 X 
Figura 7.16 Quadrilátero isoparam6trico com nove nós nos domínios de refertncia e ffsico; entre colchetes estão os pares dos números nodais usados na 
aproxim.açlo do produto tensorial para a construção das funções àe fonna bidímensionais a~ <!::3 funções de foaru: unidimensionais. 
Para o mapeamento (7.26) ser único em cada ponto, é necessário que o determinante do jacobiano seja diferente de 
zero. Além disso, o determinante do Jacobiano precisa ser positivo, de modo que tenhamos 
IJ'I = det{J') >o Ve e {x,y). (7.38) 
Pode-se mostrar que essa exigência será respeitada, se todos os ângulos de todos os quadriláteros forem menor que 
do 180° (veja Problema 7.3). 
Observe que embora as funções de forma N4<l não dependam das coordenadas do elemento, a matriz jacobiana J• 
e as derivadas das funções de forma B• dependem das coordenadas do elemento, como pode ser visto das Equações 
(7 .37) e (7 .36). Por isso, os sobrescritos que aparecem nas funções de forma isopararnétricas denotam o tipo do 
elemento, ao passo que em J• e B• denotam o índice do elemento. 
7.5 ELEMENTOS QUADRILATERAIS DE ORDEM SUPERIOR2 
Os elementos isoparamétricos de ordem superior fornecem uma das características mais atrativas dos elementos 
finitos, a habilidade para modelar contornos curvos. Como exemplo de um elemento isoparamétrico de lado curvo. 
descrevemos o elemento quadrático com nove nós. 
O elemento isoparamétrico com nove nós é construído pelo produto tensorial de funções de forma quadráticas 
unidimensionais desenvolvidas no Capítulo 4. Os domínios de referência e ffsico do elemento são mostrados na Figura 
7.16. A convenção de numeração dos nós é a seguinte. Os nós dos cantos são numerados primeiro, seguidos pelos 
nós situados nos pontos médios dos lados, ambos na direção anti-horária; o primeiro nó do ponto médio do lado é 
definido entre os nós 1 e 2, e o interno é o \1ltimo. 
Para gerar as funções de forma para o quadrilátero com nove nós pelo método do produto tensorial, tomamos o 
produto das funções de forma com três nós em termos de ~com as funções de forma com três nós em termos de 11. 
gerando 
(7.39) 
em que Nf- são as funções de forma quadráticas unidimensionais dos elementos com três nós e o n\1mero K de nós 
padrão pode ser expresso em termos dos elementos do par[/,}) dado na Tabela 7.3. 
Não tabularemos todas as funções de forma, mas como um exemplo 
(7.40) 
Essas funções de forma apresentam a propriedade delta de Kronecker. 
Como N'/ ( g) são quadrilaterais em ~e Nl/ ( 17) são quadrilaterais em 11. as funções de forma são biquadráticas em 
~e 11. isto 15, o monômio de ordem mais alta é {2-rf. De fato, se vod passar pelos termos de todas as funções de forma 
cuidadosamente, você verá que há nove monômios distintos em termos de ~ e 11 entre todas as funções de forma, e 
entlo<rcampo-paraeneelementopooeseresCfitocOmo- ------ - - ---- --
(7.41) 
Assim, o número de monômios independentes é igual ao n\1mero de nós, e poderíamos ter usado a mesma aproxi-
mação como na Seção 7.2 para resolver ex; em termos de EJr Contudo, a construção pelo método do produto tensorial 
é muito mais fácil. 
Em um elemento isoparamétrico, a aproximação e o mapa dos planos de referenda para os planos físicos são 
gerados pelas mesmas funções de forma. Assim, para esse quadrilateral com nove nós, 
2Rccomeodado para a Trajetória Avançada. 
132 CAPITULO sm. 
Tabela 7.3 Relação entre as funções de fonna unidimensionais e 
bidimensíonais para o elemento quadrilateral com nove nós. 
K 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
I 
1 
3 
3 
I 
I 2 
3 
2 
I 
2 
x(Ç,7J) = ~(Ç,7J)r, 
oe(ç, 11) = N9Q(ç, 11)d" 
J 
I 
I 
3 
3 
I 
2 
3 
2 
2 
(7.42) 
(7 .43) 
A característica importante desse elemento é que as bordas são cuT\Ias. Considere, por exemplo, os nós de junção 
de bordas 1 e 4. O mapeamento do plano de referência para o plano físico (7 .42) tem os mesmos monômios que a 
aproximação da função em (7.41). Ao longo dessa borda, gé constante, como pode ser visto na Figilra 7.16, de modo 
que o mapa conterá os monômios 1, 7), r(. Conseqüentemente, as coordenadas (x, y) são funções quadráticas de 1J ao 
longo da borda e por isso curvadas como mostra a figura. 
A vantagem das bordas curvas em modelagem de elementos finitos é realmente impressionante em aplicações 
de engenharia. Um número muito menor de elementos pode ser usado ao redor de furos e sobre outras superfícies 
curvas ao se comparar com os elementos com lados retos. Semelhantemente, na modelagem de formas complexas, 
tais como lagos e ossos, a geometria pode ser construída quase precisamente com poucos elementos quando elementos 
isoparamétricos de ordem superior são usados. De fato, a descoberta do conceito isopararnétrico foi um dos maiores 
avanços nos métodos de elementos finitos: comparado aos outros métodos, tais como o método das diferenças finitas, 
permite a modelagem de objetos reais com uma fidelidade muito maior. 
A matriz B• para o elemento com nove nós, e quanto a isso qualquer elemento isopararnétrico, é obtida por meio 
do mesmo procedimento da Seção 7.4.2. Para o elemento com nove nós, a matriz é 2 X 9, então métodos computa-
cionais são essenciais para a sua avaliação e existe pouco ganho ao se escrever isso. 
Outros elementos isoparamétricos podem ser construídos da mesma maneira. Por exemplo, a Figura 7.17 ilustra 
o elemento quadrilateral isopararnétrico com 12 nós nos planos de referência e físico. As funções de forma para o 
elemento quadrilateral com 12 nós são obtidas pelo produto tensorial das funções de forma (cúbicas) de quatro nós 
em Ç e as funções de forma (quadráticas) de três nós em termos de 1], resultando em 
(7.44) 
em que ~L são funções de forma cúbicas unidimensionais do elemento com quatro nós. As relações entre as funções· . . 
de forma unidimensionais e bidimensionais são fornecidas na Tabela 7.4. A Figura 7.18 fomece a ilustração gráficada construção da função de forma. 
Elementos finitos isoparamétricos em duas (ou três) dimensões construídos por um produto tensorial de funções 
de forma de elementos unidimensionais são chamados de elementos lagrangeanos. Alguns elementos lagrangeanos 
possuem nós internos que não contribuem para a compatibilidade entre os elementos. Esses nós podem ser conden-
sados (veja Apêndice A6) ao nível do elemento para diminuir o tamanho das matrizes globais. 
1J 3 
4 9 8 3 
o 12 li 7 -ç 
5 6 2 
Figura 7.17 Mapeamento do domínio físico nas coordenadas de referência para o elemento quadrilateral com 12 nós. 
,; 
r 
Aproximações de Soluções Tentativas, Funções Peso e Quadratura de Gauss para Problemas Multidlménslonals 133 
Tabela 7.4 Tabela de construção para o elemento q~adrilateral com 12 nós. 
K ) NfL(~) Nf(õ) ~L({/) N!L(~) Nr'-('11) N'f('ll) Nf-('11) NJ:IQ(~, f'/) 
I I I o o o o o Nfl'({)Nr'-{'1/) 
2 4 o o o o o ~({)NF-('1/) 
3 4 3 o o o o o N!'-(e)Nj'-('1/) 
4 3 o o o o o 1 Nt'-({)Nj'-(fJ) 
.5 2 o o o I o o Nf({)N?'-(11) 
6 3 o o I o I o o Nj'-({)N?'-(17) 
7 4 2 o o o I o 1 o Nf"({)Nf"(-n.) 
8 3 3 o o o o o Hf-({)Nf-('1/) 
9 2 3 o I o o o o Hf({)Nf(T/) 
lO 2 o o o o o Nt'-({)Nf-(17) 
11 3 2 o o I o o o ~({)N'f('1) 
12 2 2 o o o o o l/f({)Nf-(17) 
Programas comerciais de computador geralmente empregam a formulação de elemento de ordem superior sem 
nós internos como mostra a Figura 7 .19; estes são chamados de elementos serendipiry. As funções de forma para os 
elementos da família serendipíty não podem ser construídos por um produto tensorial de funções de forma unidimen-
sionais, como no caso dos elementos da familia lagrangeana. As funções de forma do elemento serendipity são obtidas 
por um produto tensorial de funções cuidadosamente selecionadas para satisfazer a propriedade delta de K.ronecker 
das funções de forma. Por exemplo, a função de forma ~Q para o elemento serendipity com oito nós deve ser zero 
nos nós de 2 a 8 e deve ser 1 no nól. o produto de (1 - g), (1 -'I'}) e c e+ 'I'}+ 1) desaparecerá em todos esses nós, 
exceto no nó 1, af o produto triplo anterior é igual a -4, e por isso ~Q é dado por 
1 ~ = -4(1- Ç)(l- '7)(1 + ç + '7)· 
Semelhantemente, a função de formaN\lQ para o elemento serendipity (cúbico) com 12 nós é obtido por um produto 
de (1 - g), (1 - 'I'J}, (s + 'I'J + 413) e (€ + 'I'J + 213), que normalizado fornece 
N:2Q = ;2 (1- Ç)(l- 77)(77 + { + 4/3)('7 + Ç + 2/3). 
As funções de forma restantes dos elementos quadrilaterais quadrático e cúbico podem ser construídas de modo 
semelhante. Os criadores do elemento serendipity, Ergatoudis, Irons e Zienkiewicz (1968), deduziram as funções de 
forma anteriores por inspeção, e então eles as denominaram 'serendipity' em homenagem aos príncipes de Serendip, 
que ficaram famosos por suas descobertas feitas por acaso. 
Figura 7.18 Construção das fui!Ções de fonna para o elemento quadrilateral com 12 nós. 
·<(>. 
. .. ... 
134 CAPiTULO SETE 
'I) 
4 7 3 )' 
4 
6 
(a) ', ~ 8 
' ', 6 ' > ' ' ' ',, 
' 
2 
s' .. , 2 
'· 
.v 
~+-q+I=O 
'I) 3 
4 lO 9 3 )' 
8 
7 
6 2 
{b) 
J' 
' 
8 
' 
.:~ ~ ..... 
' 
'' .... 
', 7 
' 
' 
' 
12 L._-> 
X 
' ' 1 5 ', 6 ,, 2 ~ + 1) + 4/ 3 = -~, '',,,_ ~ + TJ + 2/3 = o 
Figura 7.19 Elementos serendipity com (a) oito nós e (b) 12 nós. Numeração dos nós e construção da função de forma. 
7.6 COORDENADAS TRIANGULARES3 
Para elementos triangulares de ordem superior com lados curvos, o desenvolvimento das funções de forma pela apro-
ximação direta discutida na Seção 7.2 é algebricamente complexo. Além disso, a integração exigida para integrar a 
formulação fraca pode ser muito árdua. Uma simplificação considerável das funções de forma pode ser obtida pelas 
coordenadas naturais (ou de referência). As coordenadas naturais (ou coordenadas do elemento de referência) que 
são específicas para elementos triangulares têm muitos outros nomes: (i) coordenadas triangulares, (ii) coordenadas 
de área e (iii) coordenadas baricêntricas. Usaremos. o nome coordenadas triangulares. Primeiro, desenvolvemos o 
elemento triangular linear na Seção 7 .6.1, seguido pelo elemento triangular quadrático na Seção 7 .6.2 e o elemento 
triangular cúbico na Seção 7.6.3. 
7.6.1 Elemento Triangular Linear 
As coordenadas triangulares são definidas como mostrado na Figura 7.20. Para qualquer ponto P, as coordenadas 
.triangulares de um ponto são dadas por 
(7.45) 
em que A1 é a .área do triângulo gerado pela conexão entre dois nós; que não sejam o nó/, com o ponto P, veja Figura 
7 .20a. Por exemplo, A3 é a área do triângulo conectando P e os nós 1 e 2. 
Facilmente pode-se ver que como o ponto P move-se para um dos nós, a coordenada triangular correspondente 
torna-se unitária e as outras coordenadas triangulares tomam-se nulas; por exemplo, veja Figura 7 .20b, quando P 
coincide com o nó 2, ~ = I e g1 = ~ = O. Assim, em geral, 
~(.xj,yj) = óu, (7.46) 
de modo que as coordenadas triangulares apresentam a propriedade delta de Kronecker. Isto sugere que essas coor-
denadas particulares são interpolantes. 
Da definição das coordenadas triangulares em (7.45), segue-se que a relação entre (x,y) e as coordenadas trian-
gulares é linear. Isto, combinado com (7.46), nos permite escrever a relação entre as coordenadas triangulares e as 
coordenadas físicas como · 
3 
Y = L:Yí€1· 
1=1 
(7.47) 
Como veremos rapidamente, as coordenadas triangulares são lineares em x e y e satisfazem a propriedade delta de 
Kronecker (7.46), de modo que devem ser idênticas às funções de forma lineares para um triângulo (há apenas uma 
!Recomendado para a Trajetória Avançada. 
.. ~ . 
. Aproxlmaçõés de Soluções TentirtiVas, Funções Peso e Oua11ratura de Gauás para "Pníblemas Multldlme~onals 135 
2 
(a) 
~2"' o ~2"' 1/2 
(b) 
Figura 7.20 Definição das coordenadas triangulares de U!'Il ponto no elemento em termos das á.-eas generalizadas por esse ponto. 
única série de funções lineares que satisfaz essas proprie$des). Por isso, podemos escrever uma aproximação linear 
como 
3 
~ = :E 8f9 =~ÇI + ~Ó + B;6. (7.48) 
1=1 
Em outras palavras, as funções de forma lineares dadas em (7 .lO) são idênticas às coordenadas triangulares .. A 
Equação (7 .48) fornece uma forma muito mais conveniente para estudar os elementos triangulares que aquela descrita 
na Seção 7 .2. 
A Equação (7 .47) pode ser vista como um mapa entre um elemento de referência e o elemento no plano físico, 
exatamente como nos ~lementos i.soparamétricos. Se olharmos o elemento no plano Ç1, ~e notarmos que por (7 .46) 
€1(x1, y 1) = 1, ~(x1, y1) = O e ~(x2, y2) = 1, Ç1(x2, y2) = O e Ç1(x3, Y) = ~(:t3, y3) = O, então conectando os nós por 
linhas retas (que é apropriado por causada linearidade da relação entre [x,y] _e [Ç1 ~ ~]),_pode ser visto que o elemento 
no plano de referência é um triângulo como mostrado na .Figura 7.21. A Equação (7.47) é, então, o mapa desse 
elemento de referência para o elemento físico. 
Para concluir o desenvolVimento· das c(?ordenadas triangulares, é necessário expressar as coordenadas triangu-
lares em termos de (x, y). A Equação (7.47) fornece somente duas equações pax:a €1• o que é insuficiente. Para obter 
um sistema de equações algébricas lineares que apresente solução, notamos da defiiúção de Ç1 por (7 .46) e da Figura 
.· 7.21 que · · · · 
(7.49) 
A combinação de (7.47) e (7.49) na forma matricial fornece 
[!]=[~ ~ ~][~:]. 
y YiY2Y3 6 
(7.50) 
A matriz quadrada em (7 .50) corresponde à (M•)T em (7 .4), de modo que a inversa seja dada por (M•)-T e temos 
(7.51) 
em que usamos a notação 41 = 4 - xj, Tu = Y1 - Y5. A partir de (7 .51) pode ser visto que as coordenadas triangu-
lares ~o lineares em (x, y). É fácil obter de (7.51) que · . . · 
~~ _ Yn 8ó _ >11 . ~3 _ YÍ2 · 
ax - 2A• 8x - 2A• 8x - 2A•' 
8{1~2 8ó ~3 â{J ~I (7.52) 
- ~ -·--- _qy. = 24~ -::.~-~:::-24~--~ ~- 2Ã~:· · --~ ----- ---- --- ··---- ··· ----.---·- ---
~I 
Figura 7.21 Domínio do elemento de referencía nas· coordenadas triangulares. 
136 CAPITULO sm' 
3 •.•.•. -·· g3 = 1 
5 
.•. -·- g3 = 112 
Figurá7.22 Elemento triangular com seis nós: (a) convenção de numeração dos nós e (b) linhas de valores constantes de coordenadas triangulares. 
7.6.2 Elementos Triangulares lsoparamétricos 
Assim como os elementos de lados curvos foram desenvolvidos para elementos quadrilaterais, podemos desenvolver 
elementos triangulares de lados curvos pelo conceito isoparamétrico. Antes de fazer isso, mostraremos como as 
funções de forma para elementos triangulares cúbicos e quadráticos podem ser construídas sem a solução de qual-
quer equação. 
Primeiramente, consideremos o triângulo com seis nós mostrado na Figura 7.22. Lembre-se da Seção 7.2.2 que 
seis nós são necessários para elementos quadráticos, com nós ao longo dos pontos médios de cada lado. Iníciamos a 
numeração dos nós dos cantos e o fazemos no sentido· anti-horário, depois numeramos os nós dos pqntos médios, como 
mos~do lia Figura 7.22. As "CÇ>Ordenadas triangulares· dos nós e dás funções de forma são dadas na Tabela 7 .5. Note 
que as coordenadas triangulares de um nó de um ponto médio são sempre uma permutação de (0,5, 0,5, O,D), como 
ao longo de um lado, uma das coordenadas triangulares sempre desaparecem e o nó do ponto médio parte. o elemento 
em dois; por isso, as outras duas coordenadas triangulares são cada uma Ih como mostrado na Figura 7 .20. 
A construção das funções de forma para o triângulo com seis nós é semelhante à construção de interpolantes de 
Lawange: quando ·construímos a função de forma Nf, buscamos uma função qÚe desapareça em todos os outros nós 
e que se iguale à unidade no nól. Vamos 'considerar primeiro a construção de ~T. A construção de ~T começa com 
a escolha de uma função que não desapareça no nó 2, mas sim nos outros cantos dos nós; essa função é ~-A seguir, 
encontramos outra função, de modo que o seu produto com~ desapareça nos nós reStantes. Essa função é (2~- I), 
pois ela desaparece nos nós 4 e 6, e o produto, ~(2~- 1), desaparece em todos os nós, exceto no nó 2. Falta norma-
lizar a função de forma, is~o é, assegurar que N6/(x2, y2) = 1; ocorre que essa condição já foi encontrada, de modo 
que nada mais precisa ser feito, e o resultado é mostrado na Tabela 7.3. As funções de forma dos nós de cantos nos 
outros nós são construídas de modo semeihante. 
As funções de forma dos nós dos pontos médios são construídas observando quais coordenadas triangulares desa· 
parecem nos vários nós. A função ~~~ desaparece em todos os nós exceto no nó 4, portanto depois de normalizar 
vemos que ~T = 4~1~2• As funções de forma dos outros nós de pontos médios são construídas de modo semelhante. 
Observe que as funções de forma são quadráticas em ~I' que por sua vez são lineares em (x, y), então as funções de 
forma são quadráticas. em (x, y). 
Por construção, as funções de forma ·satisfazem·a propriedade delta de Kronecker: 
IVJT(:thYJ} = f>u. 
A aproximação é então dada por 
Quando a Equação (7.47) é usada para mapear do plano de referência para o plano físico, o elemento representado 
na Figura 7.20 é um elemento de lados retos com seis nós. Contudo, se usamos.o mapa 
Tabela 7.5 Tabela das funções de forma para o elemento triangular com seis nós. 
I ~. (x1.>1) 6(x1.>1) 6(x1.>1) Nf!"(~ •. ~2.6) 
1 o o ~~(~.-I) 
2 o 1 o ~2~26- I) 
3 o o 1 6(26 1) 
4 172 1/2 o ~l~Z 
5 o 1/2 1/2 4€26 
6 172 o 1/2 4{t6 
r 
v 
Aproximações de Soluç6es Tentativas, Funções Peso e Quadratura de Gauss para Problemas Mu!tidlmenslonais 137 
Tabela 7.6 Tabela das funçõês de fonna para o elemento triangular com dez nós. 
I 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
~I (.x1,Tr) ~(.t1,J1) 6(.x1.>1) N}crr(~.,~.ó) 
I o o (9/2)~1 (~I - 1/3)(~1 - 2/3) 
o 1 o (9/2)~(~- 1/3)(~ - 2/3) 
o o 1 (9/2)~(~- 1/3)(6 - 2/ 3) 
2/ 3 1/3 o {27/2)~t~(~t- 1/3) 
1/3 2/ 3 o (27/2)~,(2(~ -1/3) 
o 2/ 3 1/3 (27/2)66({2- 1/3) 
o 1/3 2/3 (27/2)ú6(6 -1/3) 
1/3 o 2/3 (27 / 2){tô(ô - 1/3) 
2/3 o 1/3 (27/2)~t~(~, -1/3) 
1/3 1/3 1/3 27{,{2ô 
então os lados do elemento físico são curvados. Isso é um exemplo de um elemento lriangular isoparamétrico. Os elementos 
são compatíveis com o elemento quadrilateral isoparamétrico com nove nós; isto é investigado no Problema 7 .I. 
Quando o mapa da geometria usa as funções de fonna de ordem mais baixa que as funções de fonna na aproxi· 
mação da função, então o elemento é chamado de um elemento subparamétrico. Por exemplo, se as funções de fonna 
quadráticas com seis nós são combinadas com o mapa linear (7.47), então os lados são retos, e temos um elemento 
subparamétrico. Esse elemento subparamétrico pode reproduzir exatamente· campo$ que são quadráticos em x e y, 
ao passo que o elemento isoparamétrico pode reproduzir com exatidão apenas campos lineares. Isto tende a diminuir 
a exatidão do elemento. De fato, quanto mais distorcido o elemento, menor é a sua exatidão. Por isso, bordas curvas 
devem ser usadas somente onde ~or necessário, como os contornos do domínio do problema. 
7.6.3 Elemento Cúbico 
O mesmo procedimento Pode ser usado para calcular as funções de fonna para um elemento cúbico. O arranjo nodal 
para o elemento cúbico já foi discutido na Seção 7.2.2 e pode ser obtido do triângulo de Pascal. Como no triângulo 
com seis nós, os nós dos cantos são numerados primeiro e os outros nós depois. As coordenadas triangulares dos nós 
e das funções de fonna são dadas ~Tabela 7 .6. O elemento é mostrado na Figura 7 .23. Como pode ser visto, cÕmo 
ditado pelo triângulo de Pascal, cada borda tem quatro nós, e um nó central é inclUído. Os nós nas bordas são agora 
colocados de modo a subdividir cada borda em três segmentos iguais. As coordenadas triangulares podem facilmente 
ser detenninadas observando quiü delas desaparece e examinando as áreas dos subelementos que são generalizados 
pela conexão do nó da borda ao nó oposto; isto é ilustrado na Figura 7.23. 
As funções de fonna são construídas por meio dos mesmos argumentos usados para o triângulo com seis nós. 
Os mesmos argumentos na capacidade de reprodução que foram feitos para o triângulo com seis nós aplicam-se ao 
triângulo com 10 nós. 
O nó central do elem.ento cúbico geralmente não é conservado na estrutura nodal da malha. Em vez disso, é elimi-
nado por um procedimento chamado de condensação estática, descrito no Apêndice A6. 
7.6.4 Elementos Triangulares pelo Colap~o dos Eleme~tos Quadrilatera/s 
Uma aproximação alternativa de geração de elementos triangulares é por meio da designação das mesmas coordenadas 
para dois nós vizinhos em um elemento quadrilateral, como mostrado na Figura 7 .24; isto é equivalente a designar 
o mesmo número nOdal com dois dos nós. Essa técnica é usada por alguns programas computacionâis comerciais, 
tal como ANSYS. · 
Pode-se mostrar (veja Problema 7.11) que a superimposição de dois nós de um quadrilátero, que coxresponde 
a colapsar uma das bordas, resultará em um triângulo de deformação constante. É interessante notar que a matriz 
(a) (b) 
Figura 7.23 Elemento triangular com dez nós: (a) convenção da numeraçlio dos nós e (b) linhas de valor constante das coordenadas triangulares. 
138 cÁPITuLo srn 
4 
4 
2 
3 
3 
Figura 7.24 Fonna degenerada do elemento quadrilateral com quatro nós obtida pelo colapso dos nós 1 e 2. 
jacobiana do elemento quadrilateral colapsado é singular no ponto onde os nós foram colapsados. A matriz B' do 
quadrilátero degenerado é idêntica àquela do triângulo com três nós, exceto no ponto onde os dois nós coincidem, 
onde B' não é definido (zero dividido por zero). Uma conseqilência prática é que gradientes da solução não devem 
ser calculados nos nós do elemento. 
7. 7 COMPLETUDE DE ELEMENTOS