TRABALHO MEF

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Universidade Estácio de Sá 
 
 
 
 
 
Laion Luiz silva de França 
202008613094 
 
 
 
 
 
 
 
 
Métodos dos Elementos Finitos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Duque de Caxias 
2022 
LAION LUIZ SILVA DE FRANÇA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS DOS ELEMNETOS FINITOS 
 
Trabalho de Métodos Finitos apresentado ao professor 
David Silva Nobre do curso de Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DUQUE DE CAXIAS 
2022 
 
Sumário 
 
1. INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS .... Erro! Indicador 
não definido.4 
1.1. Definições Básicas ........................................... Erro! Indicador não definido.4 
1.2. Histórico ........................................................... Erro! Indicador não definido.4 
1.3 Aplicações na Engenharia ................................................................................ 5 
2. Fundamento dos métodos dos elementos finitos ....................................... 8 
2.1 O conceito de um Elemento ............................................................................. 8 
2.2 Tipos de Elementos.......................................................................................... 9 
2.3 Modelagem – Discretização do Meio ................................................................ 9 
3.0 FORMULAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ATRAVÉS DO 
ELEMENTO DE TRELIÇA ....................................................................................... 10 
3.1 Matriz de Rigidez de um Elemento ................................................................. 10 
3.2 Matriz de Rigidez Global ................................................................................ 11 
3.3 Condições de Contorno .................................................................................. 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMNETOS FINITOS 
 
1.1 DEFINIÇÕES BÁSICAS 
 
O Método de Elementos Finitos (MEF) é uma análise que se utiliza de 
computadores para resolver problemas na engenharia e tem como objetivo a 
determinação do estado de tensão e deformação de um sólido de geometria 
arbitrária sujeito a ações exteriores. 
Montam-se então as funções de interpolação para reduzir o comportamento 
de um campo infinito de pontos para um número finito de pontos. A 
interconectividade desses pontos é definida por elementos finitos que preenchem a 
geometria dos elementos a serem estudados. Esse método consiste no fato de que 
possibilita a solução sistemática dos problemas com boa aproximação das soluções 
analíticas e dos resultados experimentalmente observados. 
 
1.2 HISTÓRICO 
 
O Método de Elementos Finitos (MEF) é referido por vários autores que a 
publicação mais antiga em que é utilizada a designação “Elemento Finito” é o artigo 
que data de 1960 e tem como autor Ray Clough. Anteriormente, algumas técnicas 
já eram conhecidas e vieram a ser incorporadas no MEF, sem este aparecer ainda 
com as principais características que hoje em dia possui. A partir da década de 60 e 
inicio de 70 foram dados grandes passos para o desenvolvimento do MEF que o 
conduziram ao formato que hoje em dia, atualmente, apresentam maior aceitação. 
No início, os elementos finitos mais comuns eram os triangulares e os 
tetraédricos, passando-se mais tarde a dar preferência aos quadriláteros e aos 
hexaedros. 
Diferente de outros métodos utilizados no passado, o MEF só tem utilidade 
prática se se dispuser de um computador digital, isso é devido à grande quantidade 
de cálculos que é preciso realizar, e nomeadamente na resolução de grandes 
sistemas de equações lineares. Logo se compreende que o rápido desenvolvimento 
do MEF tenha praticamente coincidido com a generalização da utilização dos 
computadores nos centros de investigação. Com o aumento dos microcomputadores 
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ocorrido no final da década de 80 e nos anos 90, o MEF chega finalmente as mãos 
dos projetistas estruturais. 
 
1.3 APLICAÇÕES NA ENGENHARIA 
 
Apresenta-se em seguida um exemplo de aplicação do MEF, que consiste na 
análise de uma estrutura do tipo consola curta de pequena espessura, sujeita as 
ações indicadas na figura 1.1. Nisto pode-se admitir que se trata de um meio 
contínuo sujeito a um estado plano de tensão. Nesta figura está representada a 
malha utilizada que é constituída por 92 elementos finitos quadriláteros, sendo cada 
um destes elementos definidos por 8 nós. Encontram-se também assinalados os 10 
nós que estão ligados no meio exterior. 
Depois de completada a análise da estrutura pelo MEF, fica-se a conhecer os 
valores aproximados dos deslocamentos e das tensões instaladas. Na Figura 1.2 
está representada a malha deformada pela ação das forças aplicadas à estrutura. 
Para permitir uma melhor visualização dos deslocamentos, estes são multiplicados 
por um fator de ampliação. Como referência, é também representada a malha 
original indeformada. 
Com o tipo de visualização utilizado na Figura 1.3 é possível ter uma 
percepção imediata dos locais em que as tensões principais apresentam maiores 
valores, bem como da trajetória das tensões dentro da estrutura. Neste tipo de 
representação cada segmento de reta está orientado segundo uma direção principal 
de tensão e a sua grandeza é proporcional ao valor da correspondente tensão 
normal. A cor verde indica que se trata de uma tração e à cor vermelha está 
associada uma compressão. 
Na Figura 1.4, o valor da componente vertical do vetor deslocamento é 
representado, em cada ponto, por intermédio de uma codificação por cores. 
Consultando a escala Introdução lateral, fica-se a conhecer a ordem de grandeza do 
deslocamento vertical em qualquer ponto da estrutura. 
Na Figura 1.5, o tipo de visualização gráfica coincide com o da Figura 1.4, 
tratando-se também da representação de um campo escalar por intermédio de uma 
codificação por cores. O campo representado na Figura 1.5 é o das tensões normais 
σy, sendo y o eixo vertical. Esta componente do tensor das tensões é sempre 
perpendicular a facetas horizontais. 
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CAPÍTULO 2: FUNDAMENTOS DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 
 
2.1 O CONCEITO DE UM ELEMENTO 
 
 Existem várias maneiras de abordar a teoria dos elementos finitos. O 
procedimento de Rayleigh-Ritz é um dos métodos mais intuitivos e mais didáticos. 
 Este método é aproximado de resolução de problemas baseado no 
princípio do trabalho virtual. 
 O princípio do trabalho virtual afirma que a energia potencial total de um 
sistema elástico é mínima (ou estacionária) quando o sistema está em equilíbrio, logo, 
a energia potencial total é a soma da energia potencial gravitacional e da energia de 
deformação elástica. 
 O método reduz em meio contínuo com infinitos graus de liberdade 
(produto do número de nós em uma malha pelo número de incógnitas por nó) a um 
sistema com um número finito de graus de liberdade. 
 O método torna possível, baseando-se na hipótese de que os 
deslocamentos no meio contínuo são funções de um número finito de coeficiente 
indeterminado que devem ser determinados. 
 O problema passa a ser a determinação desses coeficientes, por 
exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Condições de contorno para resoluções de problema 
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2.2 TIPOS DE ELEMENTOS 
 
Diversos tipos de elementos finitos já foram desenvolvidos. Estes apresentam 
formas geométricas diversas (por exemplo, triangular, quadrilateral, cúbico, etc) em 
função do tipo e da dimensão do problema (se uni, bi, ou tridimensional). A Figura 
abaixoapresenta a geometria de vários tipos de elementos finitos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.3 MODELAGEM- DISCRETIZAÇÃO DO MEIO 
 
CAPÍTULO 3 FORMULAÇÃO DO MEF ATRAVÉS DO ELEMENTO DE TRELIÇA 
 
3.1 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UM ELEMENTO 
 
A formulação da matriz de rigidez de uma barra de eixo retilíneo e de secção 
constante são considerados dois referenciais diretos e ortonormados: o geral 
(g1,g2,g3) e o local (l1,l2,l3). O referencial geral é aquele em que se encontram 
expressas as coordenadas de todos os nós que depois são utilizados para definir a 
posição das barras. O referencial local é definido pelos seguintes eixos: l1 é o eixo da 
barra e l2 e l3 são os eixos principais centrais de inércia da secção transversal da 
barra (ver a Figura 3.1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considera-se habitualmente, sem perda de generalidade, que a barra definida 
pelos nós i e j tem o nó i coincidente com a origem dos dois referenciais e o nó j sobre 
o semi-eixo positivo l1. É também habitual considerar que o número do nó i é inferior 
ao número do nó j (i