transformada2 z

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ADL 25
Cap 13 Transformada z
A Transformada z Inversa
 Qualquer que seja o método utilizado a transformada z inversa produzirá somente os 
valores da função do tempo nos instantes de amostragem. Portanto, mesmo que 
obtenhamos funções do tempo na forma fechada, elas são válidas somente nos instantes 
de amostragem
Transformada z Inversa por Expansão em Frações Parciais
De forma semelhante à utilizada na transformada inversa de Laplace e com base na 
Tabela 13.1, observamos que as funções exponenciais amostradas se relacionam com 
suas transformadas z da seguinte forma:
(13.19)
Prevemos então que uma expansão em frações parciais terá a seguinte forma:
(13.20)
 
Como a expansão de F(s) não contém termos em s no numerador das frações parciais, 
primeiro formamos F(z)/z para eliminar os termos z no numerador, executamos a expansão 
em frações parciais de F(z)/z, e finalmente multiplicamos o resultado por z para fazer 
aparecer os z's no numerador das frações. 
Exemplo 13.2
Transformada z inversa via expansão em frações parciais
Problema Dada a função da Eq. (13.21), determine a função no domínio do tempo 
amostrada.
(13.21)
Solução Comece dividindo a Eq. (13.21) por z e executando a expansão em 
frações parciais.
(13.22)
Depois, multiplique todo o resultado por z
(13.23)
Usando a Tabela 13.1, obtemos a transformada z inversa de cada fração parcial. 
Portanto, o valor da função no domínio do tempo nos instantes de amostragem é
(13.24)
Além disso, com base nas Eqs. (13.7) e (13.24), a função no domínio do tempo 
amostrada ideal é
(13.25)
Se substituirmos k = 0, 1, 2 e 3, podemos encontrar as quatro primeiras amostras 
do sinal amostrado. Portanto,
(13.26)
 
Transformada z Inversa via Método de Série de Potências
Exemplo 13.3
Transformada z inversa via série de potências
Problema Dada a função na Eq. (13.21), determinar a função no domínio do 
tempo amostrada. 
Solução Comece pela conversão do numerador e do denominador de F(z) em 
polinômios em z.
(13.27)
Agora execute a divisão indicada
Usando o numerador e a definição de z, obtemos
(13.29)
a partir da qual
(13.30)
Você deve comparar a Eq. (13.30) com a Eq. (13.26), o resultado obtido via 
expansão cm frações parciais.
 
13.4 Funções de Transferência
Considere o sistema contínuo mostrado na Fig. 13.8a. Se a entrada for amostrada como 
indicado na Fig. 13.8(b), a saída é ainda um sinal contínuo. Se, contudo, ficarmos 
satisfeitos em obter a saída nos instantes de amostragem e não entre eles, a 
representação do sistema de dados amostrados pode ser grandemente simplificada. 
Nossa suposição é visualmente descrita na Fig. 13.8(c), onde a saída é amostrada 
conceitualmente em sincronização com a entrada por meio de um amostrador imaginário 
(Phantom sampler). 
Fig. 13.8
Sistema com dados 
amostrados:
a. contínuo;
b. entrada amostrada; 
c. entrada e saída 
amostradas
Dedução da Função de Transferência Pulsada
Usando a Eq. (13.7), constatamos que a entrada amostrada, r*(t), para o sistema da Fig. 
13.8(c) é
(13.31)
a qual é uma soma de impulsos. Como a resposta ao impulso de um sistema, G(s), é 
g(t), podemos escrever a saída de G(s) no domínio do tempo como a soma das 
respostas a impulso geradas pela entrada, Eq. (13.31). Por conseguinte,
(13.32)
 
Com base na Eq. (13.10),
(13.33)
Usando a Eq. (13.32) com t = kT, obtemos
(13.34)
Substituindo a Eq. (13.34) na Eq. (13.33), obtemos
(13.35)
Fazendo m = k - n, encontramos
(13.36)
onde o limite inferior, m + n, foi mudado para m. O raciocínio é que m + n = 0 leva a 
valores negativos de m para todos os valores de n > O. Mas, como g(mT) = 0 para todos 
os valores de m < 0, m não é menor que zero. Alternativamente, g(t) = 0 para t < O. 
Dessa forma, n = 0 no primeiro limite inferior do somatório.
Usando a definição da transformada z, a Eq. (13.36) torna-se
(13.37)
A Eq. (13.37) é um resultado muito importante, uma vez que mostra que a 
transformada da saída amostrada é o produto da transformada da entrada 
amostrada pela função de transferência pulsada do sistema. 
Uma forma de obter a função de transferência pulsada, G(z), é começar com 
G(s), determinar g(t), e então usar a Tabela 13.1 para encontrar G(z)
 
Exemplo 13.4
Convertendo G1(s) em cascata com z.o.h em G(z)
Problema Dado um z.o.h. em cascata com G1(s) = (s + 2)/(s + 1), ou seja,
(13.38)
determinar a função de transferência de dados amostrados, G(z), se o período 
de amostragem, T, for 0,5 s.
Solução A Eq. (13.38) representa uma ocorrência comum nos sistemas de controle 
digital, em outras palavras, uma função de transferência em cascata com um 
extrapolador de ordem zero. Especificamente, G1(s) está em cascata com um 
extrapolador de ordem zero, (1 - e-Ts)/s. 
Podemos formular uma solução geral para este tipo de problema deslocando o s no 
denominador do extrapolador de ordem zero para G1(s) resultando
(13.39)
(13.40)
Dessa forma, comece a solução encontrando a resposta ao impulso (transformada de 
Laplace inversa) de G1(s)/s Portanto,
(13.41)
Aplicando a transformada de Laplace inversa, temos
(13.42)
de onde
(13.43)
 
Usando a Tabela 13.1, obtemos
(13.44)
Substituindo T = 0.5 resulta
(13.45)
A partir da Eq. (13.40),
(13.46)
 
Lab Conbtrole
Sistema Digital quase-contínuo
Trabalhando com frequências de amostragem 
suficientemente altas o sistema digital pode ser 
considerado “quase-contínuo”. Estas frequências devem 
ser tais que permitam (no mínimo) entre 6 e 8 amostras 
durante o tempo de subida do processo quando 
submetido a um degrau. Porém, mesmo operando com 
frequências de amostragem superiores a esta, o 
sistema digital introduz um atraso no sinal que pode 
causar uma alteração em relação ao caso de tempo 
contínuo. Quanto maior o tempo entre 2 amostras 
maiores os atrasos. 
Implementação de um compensador 
analógico equivalente
Como exemplo da maneira de se implementar um 
equivalente do compensador analógico no 
microcontrolador, considere a função de transferência 
do compensador PD analógico:
 (A)Gc (s)=
U (s)
E (s)
=K (1+s.T d )
 
No sistema digital, trabalharemos no domínio do tempo, 
portanto:
 (B)
Substituindo o tempo contínuo pelo tempo discreto,
 t → kT onde k é um nº inteiro e T o período de 
amostragem, supostamente pequeno. Também temos 
uma aproximação para a derivada, baseada no 
quociente de Newton:
(C)
Onde simplificamos a notação fazendo e(kT) = e(k). 
Substituindo (C) em (B) acima:
(D)
Esta última equação é conhecida como equação de 
diferenças e é análoga a uma equação diferencial para 
sistemas de tempo discreto. Observe que em um 
instante de tempo qualquer, múltiplo inteiro de T o valor 
da saída do compensador pode ser calculado a partir da 
entrada atual e da entrada anterior, multiplicadas por 
constantes e somadas. O aluno poderá desenvolver 
equações de diferenças semelhantes para os 
compensadores em avanço e PID.
u (t)=K (e (t)+ e˙(t ).T d )
e˙ (t) = e (kT )−e((k−1)T )
T
=
e(k )−e(k−1)
T
u (k )=K [(1+
T d
T
)e(k )−
T d
T
e(k−1)]
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