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SUMÁRIO 
 
1 PORCENTAGEM ..................................................................................................... 1 
1.1 PORCENTAGEM ..................................................................................................... 1 
1.2 ABATIMENTOS SUCESSIVOS ............................................................................... 3 
1.3 TAXA ÚNICA NO SISTEMA DE ABATIMENTOS SUCESSIVOS ............................. 4 
1.4 ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS ................................................................................. 4 
1.5 TAXA ÚNICA NO SISTEMA DE ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS .............................. 5 
1.6 OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS .................................................................. 7 
1.6.1 Lucro sobre o Preço de Custo .................................................................................. 7 
1.62 Lucro sobre o Preço de Venda ................................................................................. 8 
 
2 JUROS SIMPLES .................................................................................................. 10 
2.1 JUROS SIMPLES .................................................................................................. 10 
2.1.1 Conceito de Juros Simples ..................................................................................... 10 
2.1.2 Elementos Básicos ................................................................................................. 10 
2.1.3 Fórmula Fundamental de Juros Simples ................................................................ 11 
2.1.4 Juros Comercial e Juro Exato ................................................................................ 12 
2.1.5 Aplicação do Juro Simples ..................................................................................... 12 
2.2 MONTANTE SIMPLES (M) .................................................................................... 13 
 
3 JUROS COMPOSTOS ......................................................................................... 166 
3.1 CONCEITO .......................................................................................................... 166 
3.2 CÁLCULO DO FUTURO VALOR ........................................................................... 17 
3.3 CÁLCULO DO PRESENTE VALOR ....................................................................... 17 
3.4 CÁLCULO DA TAXA .............................................................................................. 18 
3.5 CÁLCULO DO NÚMERO DE PERÍODOS FINANCEIROS .................................... 19 
3.6 CÁLCULO DO FUTURO VALOR QUANDO O NÚMERO DE PERÍODOS 
FINANCEIROS NÃO FOR UM NÚMERO INTEIRO ............................................... 20 
 
4 DESCONTO SIMPLES .......................................................................................... 23 
4.1 DESCONTO SIMPLES COMERCIAL .................................................................... 23 
4.1.1 Conceito ................................................................................................................. 23 
4.1.2 Fórmula .................................................................................................................. 23 
4.1.3 Valor Atual Comercial ............................................................................................ 24 
4.1.4 Valor Líquido .......................................................................................................... 24 
4.1.5 Taxa efetiva de juro numa operação de desconto simples bancário....................... 26 
4.2 DESCONTO SIMPLES RACIONAL ....................................................................... 28 
4.2.1 Conceito ................................................................................................................. 28 
4.2.2 Valor Atual Racional ............................................................................................... 28 
4.2.3 Fórmula para cálculo do desconto racional em relação ao valor nominal ............... 28 
 
5 DESCONTO COMPOSTO ..................................................................................... 30 
 
6 TAXAS DE JUROS ................................................................................................ 34 
6.1 TAXAS PROPORCIONAIS .................................................................................... 34 
6.2 TAXAS EQUIVALENTES ....................................................................................... 34 
6.3 TAXA NOMINAL .................................................................................................... 37 
 
 
6.4 TAXA EFETIVA (I) ................................................................................................. 37 
 
7 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS .............................................................................. 43 
 
8 RENDAS ................................................................................................................ 45 
8.1 CONCEITO ............................................................................................................ 45 
8.2 CLASSIFICAÇÃO DAS RENDAS .......................................................................... 45 
8.2.1 Quanto ao valor dos termos ................................................................................... 45 
8.2.2 Quanto aos períodos .............................................................................................. 45 
8.2.3 Quanto ao prazo .................................................................................................... 45 
8.2.4 Quanto à ocorrência do primeiro termo .................................................................. 45 
8.2.5 Quanto ao momento dos pagamentos ................................................................... 45 
8.3 VALOR ATUAL DE UMA RENDA OU PRESENTE VALOR DE UMA RENDA 
UNITÁRIA
( )na
 ..................................................................................................... 45 
8.4 PRESENTE VALOR DE UMA RENDA (PV) ........................................................... 46 
8.4.1 Postecipada ........................................................................................................... 46 
8.4.2 Antecipada ............................................................................................................. 47 
8.4.3 Diferida .................................................................................................................. 48 
8.5 MONTANTE DE UMA RENDA ............................................................................... 49 
8.5.1 De uma Renda Unitária Imediata ........................................................................... 49 
8.5.2 De uma Renda Postecipada .................................................................................. 50 
8.5.3 De uma Renda Antecipada .................................................................................... 50 
 
9 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS ........................................... 54 
9.1 SISTEMA FRANCÊS (DE PRESTAÇÕES IGUAIS OU PRICE) ............................. 54 
9.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES CONSTANTES (SAC) ........................................ 57 
 
10 ANÁLISE DE INVESTIMENTOS ............................................................................ 59 
10.1 VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) ..................................................................... 59 
10.2 TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) ................................................................... 61 
 
ANEXO A – TABELA DE VALORES UNITÁRIOS ATUAIS .................................................. 64 
 
ANEXO B – TABELA DE VALORES UNITÁRIOS FUTUROS .............................................65 
 
 
1 
 
 
1 PORCENTAGEM 
 
1.1 PORCENTAGEM 
 
A porcentagem é muito utilizada na prática. Ela é usada no cálculo de comissões, 
abatimentos, lucros, descontos, reajustes, etc. 
 
Elementos básicos: 
 
Principal (C): Valor sobre o qual se calcula a porcentagem. O principal corresponde 
sempre a 100% da operação. 
 
Porcentagem (p): É a parte do principal que corresponde à taxa. 
 
Taxa percentual (r): É a razão representada pela fração de denominador 100. 
 
Cálculo da porcentagem: Por ser um sistema proporcional, para o cálculo da 
porcentagem utiliza-se a seguinte regra de três: 
 
 Principal----------- 100% 
 Porcentagem ------- taxa percentual 
 
 
Exemplo 1: Um empregado que ganha R$ 2.100,00 recebeu um aumento R$ 147,00. Qual 
foi a taxa percentual desse aumento? 
 
C = 2.100 p = 147 r = ? 
 
2.100 ---------- 100% 
 147 ----------x 
 
x = 
147 𝑥 100
2100
 𝑥 = 7% 
 A taxa percentual de aumento foi de 7%. 
 
 
Exemplo 2: Uma mercadoria foi comprada por R$ 80,00 e vendida por R$ 108,00. Calcular 
a taxa percentual de lucro. 
 
a= 80 
 
 80 ----------- 100% 
 b = 108 
108 -----------x 
 
 
x = x = 135% 
 
 
135 – 100 = 35% 
O lucro foi de 35%. 
 
 
 
 
2 
 
 
Exemplo 3: Calcular 23,5% de 140. 
 
C = 140 r = 23,5 p = ? 
 
140 -------- 100% 
 
 
 x -------- 23,5% 
 
 
 x = x = 32,9 
 
 Exemplo 4: Sabendo que uma pessoa pagou 45% de uma dívida. Calcular o valor da 
dívida, se a pessoa pagou R$ 36,00. 
 r = 45% p = 36 C = ? 
 
x -------- 100% 
36 -------- 45% 
𝑥 = 
36 𝑥 100
45
 𝑥 = 𝑅$ 80 
 A dívida é de R$ 80,00. 
 
Exemplo 5: 15% de um rebanho bovino são vacas e o restante são bois. Qual é o total de 
cabeças desse rebanho, se há 17.000 bois? 
 
 100 – 15 = 85% 
 
 x -------- 100% 
17000 -------- 85% 
𝑥 = 
17000 𝑥 100
85
 𝑥 = 20.000 
 O total de cabeças é 20.000. 
 
Exemplo 6: Uma biblioteca tem 3.750 livros. Esse número é 25% maior do que o número de 
livros do ano passado. Quantos livros tinha essa biblioteca no ano passado? 
 x -------- 100% 
 3750 --------125% 
𝐶 = 
3750 𝑥 100
125
 𝑥 = 3.000 
A biblioteca tinha 3.000 livros. 
 
 
 Exercícios propostos 
 
1- Araci comprou uma antena parabólica por R$ 500,00 e vendeu por R$ 800,00. De 
quantos por cento foi o lucro, em relação ao preço de custo? 
 
2- Para vender um aparelho eletrônico com um certo lucro, Letícia acrescenta 35% ao 
valor que pagou. Sabendo que ela vendeu esse aparelho por R$ 2.700,00, quanto 
ela pagou? 
 
3 
 
 
3- O salário de Luiz Cláudio era x reais em Janeiro. Em Maio, ele recebeu um aumento 
de 20% e outro de 15% em novembro. Se o seu salário atual é de R$ 2.208,00. 
Calcule o salário de Luiz em Janeiro. 
 
4- Numa cidade 25% são italianos, 12% são alemães, 10% são japoneses e os 
restantes 118.720 são brasileiros. Quantos são alemães? 
 
5- Em uma sala de aula existiam no início do ano 75 alunos. Na metade do ano 
desistiram 20% do total e no final do ano 15% foram reprovados. Quantos alunos 
foram aprovados? 
 
6- Determinada mercadoria, comprada por R$ 35,00, está sendo vendida pelo 
comerciante por R$ 50,00. Qual a margem percentual do lucro sobre o preço de 
custo obtido nessa mercadoria? 
 
1.2 ABATIMENTOS SUCESSIVOS 
 
No meio comercial é muito comum o uso de abatimentos sucessivos, isto é, calcular os 
abatimentos sobre os valores líquidos encontrados anteriormente. O cálculo do valor líquido 
ou valor final é dado pela seguinte fórmula: 
 
VF = C(1 - i1)(1- i2)........(1- i n) 
 
Sendo: 
VF=valor real a ser pago 
C=principal, ou seja, valor de 100% i = 
taxas unitárias sucessivas 
 
Exemplo 1: Sobre uma fatura de R$ 124.000,00 são dados os seguintes descontos 
sucessivos: 20% + 10% + 5%. Qual o valor líquido a ser pago? 
 
C = 124.000,00 i1= 20/100 i2= 10/100 i3= 5/100 
 
VF = 124.000 x (1- 0,2) x (1- 0,1)x (1- 0,05) 
VF = 124.000 x 0,8x 0,9 x 0,95 
VF = R$ 84.816,00 
 
Exemplo 2: Por uma mercadoria foi pago R$ 70,00. Sabendo-se que sobre o preço 
constante na tabela foram dados descontos sucessivos de 30%+ 20%, qual era o preço da 
tabela? 
 
VF = 70,00 i1= 30/100 i2= 20/100 
 
70 = C x (1- 0,3) x (1 – 0,2) 70 = C x 0,56 
70= C x 0,7 x 0,8 C= 70/ 0,56 
C= R$ 125,00 
 
 
4 
 
 
 
 
1.3 TAXA ÚNICA NO SISTEMA DE ABATIMENTOS SUCESSIVOS 
 
i = 1 - (1- i1)(1- i2)......(1- i n) 
 
Exemplo: Sobre os valores constantes numa tabela de preços são dados os descontos 
sucessivos de 30%+ 20%. Na realidade qual o desconto oferecido pela empresa? 
 
I1 = 30/100 i2 = 20/100 
 
i = 1- (1- 0,3) (1 – 0,2) 
i = 1 – 0,7x 0,8 
i = 1- 0,56 
i =0,44x100 = 44% 
 
 
1.4 ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS 
 
O cálculo do valor líquido ou valor final é dado pela seguinte fórmula: 
 
VF = C(1+ i1)(1+ i2)......(1+ in) 
 
Exemplo 1: O preço de uma mercadoria era de R$ 8,00, no início de um determinado mês. 
Durante o mês sofreu aumentos sucessivos de 2,5% + 5%. Qual o preço final dessa 
mercadoria? 
 
C = 8,00 i1= 2,5/100 i2= 5/100 
 VF= 8 x (1+ 0,025) x (1+0,05) 
 VF = 8 x 1,025 x 1,05 
 VF = R$ 8,61 
 
Exemplo 2: Uma mercadoria sofreu aumentos sucessivos de 20% + 15%, pagando o 
comprador R$ 144,90, qual era o valor da mercadoria? 
 
VF = 144,90 i1= 20/100 i2= 15/100 
 
144,90 = C x (1+0,2) x (1+0,15) 
144,90 = C x 1,2 x 1,15 
144,90 = C x 1,38 
C = 144,90/ 1,38 
C= R$ 105,00 
 
 
 
 
 
5 
 
 
1.5 TAXA ÚNICA NO SISTEMA DE ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS 
 
i = (1 + i1)(1+ i2)......(1+ in) - 1 
 
 Exemplo: Qual a taxa total de aumento no exemplo anterior? 
i1= 20/100 i2= 15/100 
 
 i = (1+ 0,2) x ( 1+ 0,15) – 1 
 i = 1,2 x 1,15 -1 
 i = 0,38 x 100= 38% 
 
Nesse caso podemos incluir a taxa acumulada. Taxa acumulada é aquela resultante 
ao final de n períodos. Se a taxa for constante em todos os períodos, então a taxa 
acumulada será iacumulada=(1+ido período)n. Entretanto pode-se calcular a taxa de juros 
acumulada quando ela não é constante. 
 
 
1. Em dois anos consecutivos a taxa de juros anual de um banco foi 12% e 10%, 
respectivamente. Qual a taxa de juros acumulada no período? 
 i1=0,12 e i2=0,10 
 iacumulada = (1+0,12) x (1+0,10) -1= (1,12 x 1,10)-1 = 0,232 = 23,2% 
 
2. Em três anos um produto aumentou 7%, 8% e 5%. Qual a taxa de aumento acumulada no 
período? 
 
 i1=0,07 i2=0,08 e i3=0,05 
 iacumulada = (1+0,07) x (1+0,08) x (1+0,05) -1 
iacumulada= (1,07 x 1,08 x 1,05)-1 
 iacumulada = 1,2134 - 1 
iacumulada = 0,2134 
iacumulada = 21,34% 
 
Exercícios propostos 
 
1) Uma mercadoria que custava R$ 24,00 foi vendida com abatimentos sucessivos de 
30%+20%+10%. Pergunta-se: 
a) Por quanto foi vendida? 
b) Qual o percentual total do abatimento? 
 
2) Na compra de uma mercadoria foram obtidos abatimentos sucessivos de 
20%+10%+5% se o total pago foi R$ 273,60, pergunta-se: 
a) Qual o valor da mercadoria antes dos abatimentos?b) Qual o percentual total do abatimento? 
 
3) Um produto cujo preço era de R$ 36,00, sofreu aumentos sucessivos de 30%+25%. 
Pergunta-se: 
a) Qual o preço atual? 
b) Qual o percentual do aumento? 
 
4) O preço de um objeto foi aumentado, sucessivamente 10%, 10% e 20%, passando a 
custar R$ 450,12. Qual era o preço inicial? 
 
6 
 
 
5) Uma mercadoria sofreu dois aumentos sucessivos de 20%. Na venda foi concedido um 
desconto de 15%, pagando o comprador R$ 24,48. Qual era o preço inicial desta 
mercadoria? 
 
6) Calcule a taxa acumulada trimestral de um banco que pagou 1,2% no primeiro mês, 
1,17% no segundo e 1,23% no terceiro mês do ano. 
 
7) Uma mercadoria custava R$ 75,00 foi vendida com abatimentos sucessivos de 
10%+5%+2%. Por quanto foi vendida? 
 
8) Um televisor foi comprado numa liquidação por R$ 420,75, já deduzidos os 6,5% de 
abatimento. Qual o valor do televisor antes do abatimento? 
 
9) Num depósito, há dois tipos de refrigerantes. O refrigerante A representa 36% do total, 
e do refrigerante B há 1.296 garrafas. Qual o número total de garrafas existentes no 
depósito? 
 
10) Após um aumento de 3,5%, certo empregado passou a ganhar R$ 2.173,50. Qual era 
seu salário antes do aumento? 
 
11) Uma mercadoria sofreu aumentos sucessivos de 14%+9%. Na venda foi concedido um 
desconto de 10%, pagando o comprador R$ 239,32. Qual era o preço inicial desta 
mercadoria? 
 
12) Uma escola tem 600 alunos dos quais 60% são meninas e os demais meninos. 
Sabendo-se que apenas 80% dos meninos ainda aprenderam a ler, indique quantos 
meninos ainda não sabem ler. 
 
13) Sabendo que certo comerciante recebeu R$ 3.515,00 por mercadorias vendidas com 
um desconto de R$ 185,00, determinar a taxa percentual do referido desconto. 
 
14) Em janeiro, fevereiro, março e abril de um ano, o preço de um produto teve, 
respectivamente os seguintes aumentos: 2%, 5%, 3,6% e 7%. Qual a taxa de aumento 
no quadrimestre? 
 
15) Uma camiseta foi comprada por R$ 85,00. Por quanto deverá ser vendida se é 
desejado uma taxa de lucro de 30%? 
 
16) Calcule o preço de venda de um objeto que comprei por R$ 540,00 tendo perdido 20% 
do preço de compra? 
 
17) Um feirante compra uma caixa de laranjas por R$ 260,00. Se houver um aumento de 
15% no preço da caixa, quanto irá pagar? 
7 
 
 
 
18) No posto de combustíveis da esquina, o preço de gasolina passou de R$ 3,62 para R$ 
3,80. De quanto foi o índice de reajuste? 
 
19) Uma televisão que custava R$ 1.800,00 teve um aumento de R$ 100,00. Qual foi o 
percentual de aumento? 
 
20) A inflação nos últimos 4 meses foi de 5,4%, 6,2%, 2,8% e 3,1% ao mês, 
respectivamente. Determine a taxa acumulada no período. 
 
 
 
1.7 OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS 
 
Utilizando o processo da porcentagem pode-se facilmente calcular, partindo do preço 
de custo, o preço de venda de mercadorias considerando o lucro sobre o preço de custo ou 
sobre o preço de venda. 
 
OBS: Preço de custo de uma mercadoria compreende o preço de aquisição, acrescido das 
despesas diretas sobre a compra e sobre a venda e, ainda, das despesas de administração 
e funcionamento da empresa. 
 
 
1.7.1 Lucro sobre o Preço de Custo 
 
Para calcular o preço de venda com lucro sobre o preço de custo, considera-se o preço de 
custo como o valor correspondente a 100%. O preço de venda será equivalente a 100%+ r. 
 
Fórmula: 
V = C(1+ i) C ---------- 100% 
 V ---------- 100 + i 
 
 
Exemplo 1: Uma mercadoria foi comprada por R$ 120,00. Por quanto deverá ser vendida 
se o lucro desejado é de 40% sobre o preço de compra? 
 
C = 120,00 
 
i = 40/100 
V= 120 x (1+0,4) 120 -------- 100% 
V= 120 x 1,4 V -------- 140% 
V= R$ 168,00 V = (120 x 140)/ 100 
 
Exemplo 2: Uma mercadoria será vendida por R$ 111,28. Por quanto foi comprada se o 
lucro desejado é de 30% sobre o preço de compra? 
V = 111,28 i = 30/100 
 
111,28 = C x (1+0,3) C ------ 100% 
C= 111,28 / 1,3 111,28 --- 130% 
8 
 
 
C= R$ 85,60 130C = 111,28 . 100 
 C = R$ 85,60 
 
 
1.7.2 Lucro sobre o Preço de Venda 
 
 Para calcular o preço de venda com lucro sobre o preço de venda, considera-se o preço de 
venda como o valor correspondente a 100%. O preço de custo será equivalente a 100% - r. 
 
Fórmula: 
 
 𝑉 = 
𝐶
1−𝑖 
 C -------- (100 – i) % 
 V -------- 100% 
 
 
Exemplo 1: Por quanto deverá ser vendida uma mercadoria, comprada por R$20,00, 
desejando-se obter um lucro de 20% sobre o preço de venda? 
C = 20,00 i = 20/100 
 
V = 20 -------- 80% 
V = V ------- 100% 
V = R$ 25,00 V = (20 x 100)/80 
 V = R$ 25,00 
 
Exemplo 2: Um objeto foi vendido por R$ 800,00, com um lucro de 25% sobre o preço de 
venda. Calcular o preço de venda desse objeto. 
V= 800 i = 25% 
 
800 = 
𝐶
1−0,25
 C --------- (100 -25)% 
 800 --------- 100% 
800 = 
𝐶
0,75
 100C = 800. 75 
800 . 0,75 = C C = R$ 600,00 
C = R$ 600,00 
 
Exercícios propostos: 
 
1) Uma mercadoria foi comprada por R$ 24,00. Por quanto deverá ser vendida para que o 
lucro seja de 30% sobre o preço de compra? 
 
2) Uma mercadoria foi vendida por R$ 50,75, com um lucro de 45% sobre o preço de 
compra. Quanto custou esta mercadoria? 
 
3) Uma mercadoria foi comprada por R$ 240,00 e deverá ser vendida com um lucro de 
40% sobre o preço de venda. Qual o preço de venda? 
 
4) Um terreno foi comprado por R$ 47.500,00 e vendido com um lucro de 5% sobre o 
preço de venda. Por quanto foi vendido? 
 
9 
 
 
5) Uma mercadoria foi vendida por R$ 12,50 com um lucro de 40% sobre o preço de 
venda. Quanto custou esta mercadoria? 
 
6) Uma mercadoria foi vendida por R$ 430,00. Sabendo-se que o lucro foi de 15% sobre o 
preço de venda, qual o preço de custo? 
 
7) Na venda de um objeto um comerciante recebeu R$ 700,00. Quanto custou o objeto se 
o comerciante teve lucro de 15% sobre o preço de venda? 
 
8) Uma mercadoria custou R$ 160,00. O comerciante pretende vendê-la com 20% de lucro 
sobre o preço de venda. A que preço deve vendê-la? 
 
9) Na venda de uma TV por R$ 2.190,72 a loja teve um lucro de 12% sobre o preço de 
custo. Qual foi o preço de custo da TV? 
 
10) Uma mercadoria que tem preço de custo R$ 324,00 e será vendida com um lucro de 
8,5% sobre o preço de venda. Calcular o preço de venda dessa mercadoria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
2 JUROS SIMPLES 
 
O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. O tempo, o risco e a 
quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a 
remuneração, mais conhecida como taxa de juros. A taxa de juros que o banco cobra e 
paga inclui, além dos itens como risco e o tempo do empréstimo, a expectativa de inflação 
para o período. 
Se aplicarmos um capital durante determinado período de tempo, ao fim do prazo 
obteremos um valor (montante) que será igual ao capital aplicado acrescido da remuneração 
obtida durante o período de aplicação. 
 A diferença entre o montante e a aplicação é denominada remuneração, rendimento 
do capital ou juros. 
 
 
2.1 JUROS SIMPLES 
 
Raramente encontramos uso para o regime de jurossimples: é o caso das 
operações de curtíssimo prazo, cheque especial e do processo de desconto simples de 
duplicatas. Juros simples são aqueles calculados sempre sobre o capital inicial. 
Considere que uma pessoa no inicio de um ano aplicou R$ 1.000,00 com direito a 
receber juros simples a razão de 10% ao ano. Qual será o valor para resgate no final de 3 
anos? 
 
Observe o cálculo a seguir: 
 
 Cálculo dos juros simples 
Período Capital Juros do período Juros Montante 
 inicial (i= 10%a.p.) acumulados 
0 1.000,00 0,00 0,00 1.000,00 
1 1000 x 0,10= 100 100 1.100,00 
2 1000 x 0,10= 100 200 1.200,00 
3 1000 x 0,10= 100 300 1.300,00 
 
Podemos observar que o valor será de R$ 1.300,00. 
 
 
2.1.1 Conceito de Juros Simples 
 
 É o regime no qual, ao final de cada período de capitalização, oos juros são 
calculados sobre o capital inicialmente aplicado. 
 
 
2.1.2 Elementos Básicos 
 
Capital (C): É a quantia empregada no início da aplicação. 
Juro (j): É o valor pago pelo empréstimo do dinheiro. 
Taxa de juro (i): É a unidade de medida dos juros. Nas fórmulas de cálculo utiliza-se 
a taxa na forma unitária. (divide-se a taxa percentual por 100 para transformá-la em 
unitária). 
Tempo(t): É o tempo de duração do empréstimo. Deverá ser sempre representado 
em relação ao período da taxa. 
11 
 
 
Montante (M): É o valor total a ser pago ou recebido com a finalidade de quitar ou 
encerrar um empréstimo. 
 
 
2.1.3 Fórmula Fundamental de Juros Simples 
 
 j = Cit 
 
Obs: A taxa de juros e o tempo devem ser expressos na mesma unidade. 
 Vamos estudar o juro comercial, portanto o ano comercial tem 360 dias e o mês 
 30 dias. 
 
Exemplo 1:Tomou-se emprestada a importância de R$ 1.200,00 pelo prazo de 2 anos, à 
taxa de 30% ao ano. Qual será o valor do juro a ser pago? 
C= 1.200,00 t = 2 anos i = 30/100 
 
j = 1.200,00 x 0,3 x 2 
j = R$ 720,00 
 
Exemplo 2: Calcule o capital necessário para que uma aplicação financeira produza 
rendimentos iguais a R$ 148.612,61, à taxa de juros simples de 12% ao ano, durante 3 
anos. 
J = 148.612,61 i = 12/100 t = 3 anos 
 
148.612,61 = C x 0,12 x 3 
C = 148.612,61/ 0,36 
C = R$ 412.812,81 
 
Exemplo 3: Qual o tempo necessário, para que um capital de R$ 20.000,00 renda juros de 
R$ 4.000,00, a uma taxa simples de 12% ao ano? 
C = 20.000,00 j = 4.000,00 i = 12/100 
 
4.000,00= 20.000,00 x 0,12 x t 
 t = 4.000,00/ 2.400,00 
 t = 1,67 x 12 = 20 meses ou1 ano e 8 meses 
 
Exemplo 4: Que capital deve ser empregado em juros simples à taxa de 60% ao ano, para 
que se obtenha um juro de R$ 330,00 em 60 dias? 
j = 330,00 t = 60 i = 60/100 
 
330 = C x 0,6 x 60/360 
C= 330/ 0,1 C = R$ 3300,00 
 
Exemplo 5: Um título de R$ 22.000,00 vencido em 24/06 e pago em 08/08 do mesmo ano, 
foi penalizado com um juro de R$ 1.650,00. Qual foi a taxa mensal de juros simples 
cobrada? 
 
Nesse caso vamos contar os dias pelo calendário. 
Junho 25 a 30 =6 dias 
Julho = 31 dias 
Agosto =8 dias 
Portanto o total de 45 dias 
 
12 
 
 
 
Na HP-12C 
 
Usar g 4, aparecerá então no visor, a direita a notação D.MY. 
Para o cálculo do número de dias entre duas datas, basta digitar a primeirae depois a 
segunda e usar g EEX. As datas devem ser digitadas da seguinte maneira; o dia separados 
por ( . ), depois o mês e o ano um seguido do outro. 
24, 06 2011 enter 08,082011 g EEX = 45 dias 
 
Obs: Se não tiver o ano deve-se colocar qualquer ano, porque o cálculo só é realizado com 
a data completa. 
C = 22.000,00 j = 1.650,00 t = 45 
 
1.650,00 = 22.000,00 x 45/30 x i 
 i = 1650,00/33.000,00 
 i = 0,05 x 100 = 5% a.m. 
 
 
2.1.4 Juros Comercial e Juro Exato 
 
A técnica que estamos empregando no cálculo de juros simples (1 ano = 360 dias) 
nos dá o que denominamos juros simples comercial. Entretanto, podemos obter o juro 
fazendo o uso do número exato de dias do ano (1 ano = 365 dias ou 366, se o ano for 
bissexto). Neste caso, o resultado é denominado juros simples exato. 
 
 
2.1.5 Aplicação do Juro Simples 
 
 O mercado financeiro no Brasil trabalha quase sempre com juros compostos. Poucos 
são os exemplos no mercado em que os juros simples são usados. Um exemplo é o cheque 
especial. 
 Quando utilizamos o cheque especial, a cada dia que a conta fica negativa é 
aplicada uma taxa de juros sobre o saldo devedor, dessa forma são calculados os juros. Os 
juros totais que incorrem neste mês são debitados na conta corrente no mês seguinte. 
 
Vamos analisar um exemplo da movimentação de uma conta-corrente ao longo do mês. 
 
Exemplo: Marcelo é um trabalhador que frequentemente utiliza o cheque especial para 
conseguir honrar os seus compromissos. Sabendo que o banco cobra 9% ao mês pela 
utilização do cheque especial, calcule quanto Marcelo terá que pagar ao banco. A tabela a 
seguir mostra a movimentação da conta corrente de Marcelo no mês de abril de 2007. 
 
 
Data Valor D/C Saldo D/C Número de dias com 
 
o respectivo saldo 
negativo 
1/4/2007 R$ 1.500,00 R$ 1.600,00 C 0 
5/4/2007 R$ 1.000,00 R$ 600,00 D 0 
7/4/2007 R$ 700,00 (R$ 100,00) D 3 
10/4/2007 R$ 100,00 (R$ 200,00) D 5 
15/4/2007 R$ 50,00 (R$ 250,00) D 5 
20/4/2007 R$ 60,00 (R$ 310,00) D 10 
30/4/2007 R$ 1.500,00 R$ 1.190,00 C 0 
13 
 
 
 Observe que o banco informa a taxa com período mensal. Todavia como o saldo 
muda a cada dia, temos de encontrar a taxa ao dia. Como o mês de abril tem 30 dias, a taxa 
diária é simplesmente a taxa mensal dividida por 30. 
Assim: 
 𝑖𝑎𝑑 = 𝑖𝑎𝑚/30 9%/30 = 0,3% ao dia 
 
O juro total pago é dado pela soma do juro de cada dia. Observe que no dia 7 a 
conta ficou negativa para o dia 8 o juro será o produto do saldo devedor (R$ 100,00) pela 
taxa de juro ao dia (0,3%). Entretanto, esse saldo fica negativo em R$ 100,00 por 3 dias; 
dessa forma, multiplicamos também o período de tempo. Fazendo o mesmo com o restante 
do mês. 
 
J=R$ 100,00 x 0,003 x 3 + R$ 200,00 x 0,003 x 5 + R$ 250,00x 0,003 x 5 + R$ 310,00 x 
0,003 x 10 
J=R$ 16,95 
Consequentemente Marcelo terá que pagar ao banco R$ 16,95 no próximo mês. 
 
 
2.2 MONTANTE SIMPLES (M) 
 
Montante de um capital é igual à soma deste capital com os juros por ele produzido. 
 
 
 
 
Como a fórmula de juros é: j = Cit. Então o montante simples pode ser calculado pela 
fórmula: 
 
 
ou 
 
 
Exemplo 1: Um capital de R$ 20.000,00 foi aplicado em juros simples num prazo fixo de 3 
meses a taxa de 72%a.a.. Qual o valor do resgate? 
M = ? M = 20.000,00 x (1 + 0,72/12 x 3) 
i = 72% a.a. M = 20.000,00 x (1 + 0,06 x 3) 
C = 20.000,00 M= R$ 23.600,00 
t = 3 meses 
 
Exemplo 2: Qual o valor a ser aplicado, em juro simples, durante 42 dias a taxa de 4% a.m., 
para resgatar no fim deste tempo R$ 12.672,00? 
i = 4% a.m. 12.672,00 = C x (1 + 0,04 x 42/30) 
t = 42 dias C = 12672,00/ 1,056 
M = R$ 12.672,00 
C = ? 
 
Exemplo 3: Um aplicador deseja transformar o capital de R$ 23.000,00 em R$ 29.997,88, 
em 556 dias. Qual a taxa anual de juros simples que o aplicador deverá conseguir para 
alcançar seu objetivo? 
M= 29.997,88 J = M –C 
C = 23.000,00 J = 29.997,88 – 23.000,00 
 t = 556 dias J = 6.997,88 
 i = ? anual 
M = C + j 
M = C (1+ it) M = C + Cit 
14 
 
 
Existem duas maneiras de resolver o problema: 
 M = C . ( 1 + it) J = Cit 
 29997,88 = 23000 . ( 1 + i . 556/360) 6997,88 = 23000 . i . 556/360 
 29997,88/23000= 1 + i . 1,54444444 6997,88 = 35522,222222i 
 1,304255652 – 1 = 1,54444444i 6997,88/35522,222222= i 
 0,304255652 = 1,54444444i i = 0,197 . 100 
 i = 0,304255652/ 1,5444444 i = 19,7%a.a. 
 i = 0,197 . 100 
 i = 19.7%a.a.Exemplo 4: Um refrigerador é vendido por R$ 980,00 à vista ou com uma entrada de 25% e 
mais um pagamento de R$ 793,80 após 40 dias. Qual a taxa mensal de juro simples 
envolvida na operação? 
 
Preço à vista = 980 Entrada 25% do PV M = 793,80 t = 40 d 
 980 ---- 100 % 
 E ---- 25% 
 E = 245 
 
C = 980 – 245 J = 793,80 – 735 
C = 735 J = 58,80 
 
 58,80 = 735 . 40/30 . i 
 58,80 = 980i 
 i = 58,80/ 980 
 i = 0,06 . 100 i = 6%a.m. 
 
 
Exercícios propostos: 
 
1) Que capital aplicado em juro simples produz um juro de R$ 24.000,00 à taxa de 30% 
a.a. em 2 anos? 
 
2) A que taxa anual de juros simples deve-se empregar o capital de R$ 80.000,00 para se 
obter um juro de R$ 32.000,00 durante 8 meses? 
 
3) Um banco cobra uma taxa de 3,5% por dia de atraso no pagamento de seus boletos. 
Joaquim pagou R$ 460,67 por um boleto, cujo valor nominal era de R$ 430,50. Por 
quantos dias de atraso a multa foi calculada? 
 
4) Calcule os rendimentos referentes a uma aplicação financeira de R$ 1.470,00, durante 
95 dias, à taxa de juros simples de 21%a.a.. 
 
5) Qual o valor do resgate de uma aplicação, sabendo-se que o investimento inicial foi de 
R$ 32.500,00, o prazo de 135 dias e a taxa de juros simples de 2,3% ao mês? 
 
6) Uma TV em cores é vendida nas seguintes condições: 
Preço à vista= R$ 1.800,00; 
Condições à prazo = 30% de entrada e R$ 1.306,00 em 30 dias. 
Determinar a taxa de juros simples cobrada na venda a prazo. 
 
7) Uma aplicação de R$ 15.000,00 é efetuada pelo prazo de 3 meses à taxa de juros 
simples de 26% ao ano. Que outra quantia deve ser aplicada por 2 meses à taxa linear 
de 18% ao ano para obter o mesmo rendimento financeira? 
15 
 
 
 
8) Uma mercadoria é oferecida num magazine por $ 130,00 à vista, ou nas seguintes 
condições: 20% de entrada e um pagamento de R$106,90 em 30 dias. Calcular a taxa 
linear mensal de juros que está sendo cobrada. 
 
9) Uma aplicação financeira tem prazo de 3 meses, rende juros simples à taxa de 22%a.a., 
porém o investidor deve pagar no ato do resgate um imposto de renda igual a 20% do 
valor do juro auferido. Qual o montante líquido de uma aplicação de R$ 4.000,00? 
 
10) Uma pessoa tomou emprestado R$ 1.400,00 durante 1 ano e 4 meses , a uma taxa de 
juros simples de 8%a.m.. Qual o valor dos juros a ser pago? 
 
11) Calcular a taxa anual de juros simples que rendeu um fundo de investimento, sabendo-
se que o capital aplicado foi de R$ 4.000,00 e que o valor de resgate foi de R$ 5.200,00 
após seis meses. 
 
12) Uma mercadoria cujo o preço à vista é R$ 500,00 foi vendida com uma entrada de 25% 
e, mais um pagamento no valor de R$ 401,25 com vencimento para 42 dias. Qual a taxa 
mensal de juros simples cobrada no financiamento? 
 
13) Calcule o juro simples do capital de R$ 36.000,00, colocado à taxa de 30% ao ano, de 2 
de janeiro de 1990 a 28 de maio do mesmo ano. 
 
14) O preço à vista de um televisor é R$ 500,00. Entretanto, em dois pagamentos, com 
entrada, na ocasião, de R$ 200,00, e outro em 30 dias, o preço sobe para R$ 530,00. 
Qual é a taxa cobrada? 
 
15) Um produto está sendo vendido nas seguintes condições: R$ 70,00 à vista ou uma 
entrada de 40% e um cheque de R$ 48,00 para 42 dias. Qual a taxa de juros simples 
usada por este estabelecimento? 
 
16) Uma televisão é vendida à vista por R$ 1.500,00 ou, então, a prazo com R$ 300,00 de 
entrada mais uma parcela de R$ 1.308,00 após três meses. Qual a taxa mensal de juros 
simples do financiamento. 
 
17) O saldo bancário de Marcelo ficou negativo por 7 dias. Nos 3 primeiros dias o saldo 
devedor foi de R$ 200,00 e nos 4 dias seguintes foi de R$ 450,00. A tarifa do “cheque 
especial”, cobrada pelo banco é de 1,5% ao dia. Calcule quanto Marcelo terá que pagar 
ao banco pelo uso do serviço. 
 
18) Um título de R$ 5.200,00 vencido em 14/06 será pago em 17/06. Se o banco cobra uma 
taxa de juros simples de 2% por dia de atraso, qual será o valor da multa a ser paga? 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
 
3 JUROS COMPOSTOS 
 
3.1 CONCEITO 
 
 O regime de juros compostos é o mais comum no dia-a-dia do sistema financeiro e 
do cálculo econômico. Os juros compostos são popularmente chamados de juros sobre 
juros. Isso ocorre porque os juros incidem não apenas sobre o valor original, mas também 
sobre os juros que estão acumulados. 
 Na capitalização composta ao final de cada período, os juros são calculados e 
somados ao capital, formando um montante, que irá ser o capital do período seguinte. A 
esse processo de agregação dos juros ao capital é que se dá o nome de capitalização 
composta. 
 
Utilizando as seguintes notações: 
 
PV = capital inicial 
FV = montante final 
i = taxa unitária (sempre referente ao período da capitalização) 
n = número de períodos de capitalização (ano, trimestre, mês, dia, etc.). 
 
 
 
Regime de Capitalização Composta 
 
Capital aplicado Juros de cada período Valor acumulado 
R$ 1.000,00 R$ 1.000 x 10% = R$ 110,00 R$ 1.100,00 
R$ 1.100,00 R$ 1.100 x 10% = R$ 110,00 R$ 1.210,00 
R$ 1.210,00 R$ 1.210 x 10% = R$ 121,00 R$ 1.331,00 
 
O cálculo do montante foi assim efetuado: 
 
 
1FV
= 1.000 ( 1 + 0,1 x 1) 
 
2FV
= 1.100 ( 1 + 0,1 x 1) 
 
3FV
= 1.210 ( 1 + 0,1 x 1) 
 
Substituindo os valores pelos símbolos, temos: 
 
• montante ao final do 1º período 
 
1FV
= 
0PV
( 1 + i ) 
• montante ao final do 2º período 
2FV
= 
0PV
( 1 + i )² 
• montante ao final do 3º período 
 
3FV
= 
0PV
( 1 + i )³ 
• montante ao final do n-ésimo período 
 
nFV
= 
0PV ( )
n
i 1+
 
 
Portanto, a fórmula fundamental para o Cálculo do Futuro Valor: 
 
n) i PV(1 FV +=
 
17 
 
 
3.2 CÁLCULO DO FUTURO VALOR 
 
 
n) i PV(1 FV +=
 
 
Exemplo 1: Uma pessoa toma emprestados R$ 5.000,00 a juros de 3%a.m., pelo prazo de 
10 meses, com capitalização composta. Qual o valor a ser pago no final do período? 
 
PV = 5.000,0 i = 3% a.m. 
n = 10 m FV = ? 
 
10
10
 1,03) ( x 5000,00 FV
 0,03) 1 x(5000,00 FV
=
+=
 
6.719,58 R$ FV =
 
 
Na HP-12C 
 
TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
5000 (CHS) (PV) -5000,00 Introduz o valor do capital 
3 (i) 3 Introduz a taxa 
10 (n) 10 Introduz o prazo 
(FV) 6.719,58 Calcula o montante 
 
 
Exemplo 2: Um empréstimo de R$ 200.000,00 deverá ser pago no final de um ano a taxa 
de 5% a.m., num sistema de capitalização mensal. Qual o valor a ser pago no vencimento? 
 
PV = 200.000,00 i = 5% a.m. 
n = 1 ano(como a taxa está em mês passar o tempo também para mês) FV = ? 
 
1,79585636 x 200000,00 FV
) 0,05 1 ( x 200000,00 FV 12
=
+=
 
359.171,26 R$ FV =
 
 
 
3.3 CÁLCULO DO PRESENTE VALOR 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Que capital deve ser empregado a juros compostos a taxa de 12% a.t., para em 
dois anos, em capitalização trimestral, constituir um montante de R$ 838.426,00? 
 
FV = 838.426,00 i =12% a.t. 
n= 2 anos, 24 meses/ 3 meses = 8 trimestres PV = ? 
 
( )ni 1
FV 
 PV
+
=
 -n) i 1 ( FV PV += 
18 
 
 
( ) 80,121 838426 PV −+=
 
 
338.626,20 R$ PV =
 
 
Na HP-12C 
 
TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
838426 (CHS) (FV) -838426,00 Introduz o valor do montante 
12(i) 12 Introduz a taxa 
8 (n) 8 Introduz o prazo 
(PV) 338.626,20 Calcula o capital 
 
 
3.4 CÁLCULO DA TAXA 
 
 
1
PV
FV
 i
1
−





=
n 
 
 
Exemplo 1: A que taxa de juro deve-se empregar o capital de R$ 30.000,00 para obter um 
montante de R$ 506.736,04 no final de dois anos em capitalização mensal? 
 
PV = 30.000,00 FV = 506.736,04 
n = 2 anos(passar para mês porque pede a taxa mensal) i = ? mensal 
 
1
30.000,00
506.736,04
 i
24
1
−





=
 
1- 1,125 i =
 
100 x 0,125 i =
 
a.m 12,5% i =
 
 
Na HP-12C 
 
TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
30000 (CHS) (PV) -30000,00 Introduz o valor do capital 
24(n) 24 Introduz o prazo 
506736,04 (FV) 506.736,04 Introduz o valor do montante 
(i) 12,50 Calcula a taxa 
 
Exemplo 2: A que taxa o capital de R$ 2.000,00 gera um juro de R$ 207,63, em 4 meses? 
PV = 2.000,00 i = ? 
J= 207,63 n= 4 m 
FV = PV + J 
FV = 2.207,63 
1
PV
FV
 i −= n
 
0,403883838426x PV =
19 
 
 
1
2000
2207,63
 i
4
1
−





=
 
1- 1,025 i =
 
100 x 0,025 i =
 
a.m 2,5% i =
 
 
 
3.5 CÁLCULO DO NÚMERO DE PERÍODOS FINANCEIROS 
 
i)log(1
log(FV/PV)
n
+
=
 
 
Exemplo 1: No final de quanto tempo, em capitalização mensal, a aplicação de um capital 
de R$ 120.000,00 à taxa de 6% a.m. oportuniza um resgate de R$ 287.586,98? 
 
PV = 120.000,00 FV = 287.586,98 
i = 6% a.m. n = ? 
 
( )06,01log
120.000,00
287.586,98
log
n
+






=
 
meses 15 n =
 
 
Na HP-12C 
 
TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
120000 (CHS) (PV) -120000,00 Introduz o valor do capital 
6(i) 6 Introduz a taxa 
287586,98 (FV) 287.586,98 Introduz o valor do montante 
(n) 15 Calcula o tempo 
 
 
Exemplo 2: Durante quanto tempo o capital de R$ 4.200,00, à taxa de 12% a.s., produza 
juros de R$ 1.068,48? 
PV = 4.200,00 i = 12%a.s. 
J= 1.068,48 n= ? 
FV = PV + J 
FV = 5.268,48 
 
( )12,01log
4200,00
5268,48
log
n
+






=
 
semestres 2 n =
 
 
 
20 
 
 
 
3.6 CÁLCULO DO FUTURO VALOR QUANDO O NÚMERO DE PERÍODOS 
FINANCEIROS NÃO FOR UM NÚMERO INTEIRO 
 
 Na capitalização composta, muitas vezes o prazo da aplicação não corresponde a 
um número inteiro de períodos a que se refere a taxa de juros, mas a um número 
fracionário. Nesse caso, na maioria das vezes admite-se dois sistemas de cálculo. Um 
através da Convenção Linear e outro através da Convenção Exponencial. 
 
q
p
 m n +=
 
 
Onde m representa a parte inteira e p/q a parte fracionária. 
 
Convenção Linear: 
 
 No cálculo da convenção linear calculamos a parte inteira com capitalização 
composta e, para a parte fracionária, calculamos o juro simples sobre esse montante. 
 
 
( ) ( )p/qi1i 1 PV FV ++= m
 
 
 
Exemplo: Uma dívida de R$ 100.000,00 está sendo paga com 1 a, 2 m e 17 d de atraso. 
Qual deverá ser o valor cobrado se o cálculo é realizado no sistema de convenção linear e a 
taxa é de 12% a.m.? 
PV = 100.000,00 i = 12% a.m. 
n= 437/30 = 14,56666666 meses FV = ? 
m = 14 e p/q= 0,56666666 
 
FV= 100.000,00 x (1+ 0,12)14 x ( 1 + 0,12 x 0,56666666) 
FV = R$ 521.943,59 
 
Observação: Tirar o “C” e calcular da mesma maneira que o FV no item 3.1. 
 
 
Convenção Exponencial: 
 
 No cálculo da convenção exponencial se baseia na fórmula fundamental, ou seja 
inclusive no período fracionário o juro é calculado através do juro composto. 
 
Exemplo: Cálculo do exemplo anterior, através da convenção exponencial. 
 
 
 
 
 
FV = 100.000,00 x (1 + 0,12) 14,56666666 
FV= R$ 521.125,74 
 
Observação: Colocar o “C” e calcular da mesma maneira que o FV no item 3.1. 
 
 
( ) p/q mi 1 PV FV ++=
 
21 
 
 
Exercícios Propostos: 
 
1) Foram aplicados R$ 1.800,00 durante cinco trimestres a uma taxa de 8% a.t., no regime 
de juros compostos. Calcular o montante. 
 
2) Qual será o valor do resgate, aplicando-se R$ 5.000,00, em juros compostos a taxa de 
6% a.m., durante dois anos em capitalização mensal? 
 
3) Um título de renda fixa deverá ser resgatado por R$ 14.345,00 daqui a um ano. 
Sabendo que o rendimento desse título é de 28,8% ao ano, determine o seu valor atual. 
4) Um capital de R$ 6.600,00 foi aplicado durante um ano, a uma taxa de 1,6% ao mês. 
Qual foi o valor do juro composto produzido? 
 
5) O capital de R$ 22.000,00 foi aplicado durante dois anos e produziu o montante a juro 
composto de R$ 31.449,06. Calcule a taxa de juro mensal dessa aplicação. 
 
6) Um investidor quer resgatar R$ 35.000,00 daqui a seis meses. Se o banco oferecer uma 
rentabilidade de 1,8% ao mês, quanto deverá aplicar hoje? Suponha capitalização 
mensal. 
 
7) Uma empresa tomou um empréstimo de R$ 98.000,00 e comprometeu-se liquidá-lo no 
final de 8 meses mediante um pagamento de R$ 158.570,43. Calcular a taxa mensal de 
juro, sabendo-se que a capitalização é mensal. 
 
8) A que taxa de juro semestral um capital de R$ 43.000,00 pode ser dobrado em 36 
meses? 
 
9) Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado à taxa de 3%a.m. por 60 dias, e o de R$ 
1.200,00, à taxa de 2% a.m. por 30 dias. qual foi o montante total recebido? 
 
10) Um capital foi depositado a juros compostos e, após 2 anos, triplicou de valor. Qual a 
taxa mensal de juros compostos usada? 
 
11) Calcule o juro produzido por um capital de R$ 100.000,00, a uma taxa de juro composto 
de 25% ao ano, em dois anos. 
 
12) Uma certa pessoa concedeu um empréstimo de R$ 10.000,00 à taxa efetiva de 4,8% 
a.m.. Qual o valor a ser cobrado na liquidação, um ano, três meses e seis dias após a 
realização do empréstimo: 
a) Calculado através da convenção linear. 
b) Calculado através da convenção exponencial. 
 
13) Foram aplicados R$ 28.700,00 a uma taxa efetiva de 2% ao mês, e foram recebidos R$ 
10.698,95 de juro. Qual foi o prazo da aplicação? 
 
14) Calcular o montante de R$ 18.000,00 durante 2 a4 m8 d, a juros de 5% a.t., 
capitalizados trimestralmente : 
a) Pela convenção linear. 
b) Pela convenção exponencial. 
 
15) Por quantos meses deve-se deixar um capital de R$ 260.000,00 investido, a taxa de juro 
de 1,17% a.m. para se obter um saldo de R$ 300.000,00? 
 
22 
 
 
16) O capital de R$ 50.000,00 ficou empregado durante 6 meses, sendo que nos dois 
primeiros à taxa de 4,7% a.m., nos dois seguintes à taxa de 4,9% a.m. e nos dois 
últimos à taxa de 5,3% a.m.. Qual o montante constituído no final de seis meses? 
 
17) Por quantos meses o capital de R$ 1.800,00 foi aplicado a uma taxa de juro composto 
de 1,6% ao mês, tendo produzido o montante de R$ 2.247,94? 
 
18) Calcule o montante resultante da aplicação de um capital de R$ 10.000,00 durante um 
ano, três meses e seis dias a uma taxa de juro composto de 4,8% ao mês, pela 
convenção linear. 
 
19) Resolva o problema anterior pela convenção exponencial. 
 
20) Foram aplicados R$ 20.000,00 durante 35 anos, a uma taxa de juro composto de 15% 
ao ano nos primeiros dez anos, 18% ao ano nos dez anos seguintes e 17% ao ano nos 
últimos 15 anos. Determine o montante obtido. 
 
21) Um capital de R$ 8.100,00 foi aplicado a juros compostos, da seguinte forma: a 2,25% 
a.m. durante os primeiros cinco meses, a 1,8% a.m. nos três seguintes meses e a 
1,65% a.m. nos próximos três meses. Calcule o total de juros apurado. 
 
22) Um capital foi aplicado a juros compostos, durante 9 meses, rendendo um montante 
igual ao triplo do capital aplicado. Qual a taxa trimestral da aplicação? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
 
 
 
 
4. DESCONTO SIMPLES 
 
Desconto é o abatimento concedido sobre um título de crédito em virtude de seu 
resgate antecipado. Representa a retirada do juro calculado pelo banco nas operações de 
capitalização simples, proporcionalmente ao prazo antecipado de pagamento. 
 
Dentre os títulosde crédito reconhecidos pelo Direito Comercial Brasileiro, 
destacamos alguns: 
 
• Nota promissória: consiste em um documento oficial pelo qual uma pessoa 
declarando-se devedora de certa quantia a outra pessoa, compromete-se a pagá-la 
em certa data, combinada entre as partes. 
 
• Duplicata: consiste em um documento oficial pelo qual uma pessoa se declara 
devedora de certa quantia à outra, relativa à compra de mercadorias. A duplicata 
corresponde a uma cópia da fatura de compra. 
 
Elementos básicos: 
 
• Valor nominal ( N ):
→
valor do título a ser pago no dia do vencimento. 
• Valor atual ( A ): é o valor pelo qual o título foi adquirido. 
• Comissões (com ) 
• Despesas ( desp ) 
• Imposto sobre Operações Financeiras ( IOF ) 
• Taxa de desconto ( ia ): taxa unitária de desconto 
• Valor líquido ( VL ) 
• Tempo ( t ): tempo de antecipação 
→
 período compreendido entre o dia em que se 
negocia o título e seu vencimento 
• Desconto( d) : Valor que será abatido no título 
 
Quando se fala em desconto simples, temos duas modalidades de desconto a considerar: 
a) o comercial ou bancário ou por fora; 
 b) o racional ou por dentro. 
 
 
4.1 DESCONTO SIMPLES COMERCIAL 
 
4.1.1 Conceito 
 
 O desconto simples comercial é igual ao juro simples calculado sobre o valor nominal 
do título, a uma taxa de desconto durante o tempo que antecede o vencimento deste. Esse 
tipo de desconto é geralmente utilizado nos casos de operações de curto prazo. 
 
4.1.2 Fórmula 
 
d = Niat 
 
24 
 
 
 
Exemplo 1: Um título de R$ 280.000,00 sofreu um desconto comercial 39 dias antes de seu 
vencimento, a uma taxa de desconto de 6%a.m.. Calcular o desconto. 
N = 280.000 t = 39 dias 
ia = 6% a.m. d = ? 
 
d = 280000,00 x 0,06 x (39/30) 
d = R$ 21.840,00 
 
 
4.1.3 Valor Atual Comercial 
 
 É a diferença entre o valor nominal e o desconto comercial por ele sofrido. 
 
 A = N – d Ou A = N ( 1 – iat) 
 
Onde: 
A = é valor líquido, já abatido o desconto, a ser pago (ou recebido) antecipadamente; 
d = desconto simples comercial 
ia = taxa de desconto 
t= tempo de antecipação 
 
Exemplo: Um título de R$ 280.000,00 sofreu um desconto comercial 39 dias antes de seu 
vencimento, a uma taxa de desconto de 6%a.m.. Calcular o valor atual. 
 
N =280.000 ia = 6% a.m. 
t = 39 dias d= ? 
 
A = 280000 x (1- 0,06 x 39/30) 
A = 280000 x ( 1 – 0,078) 
A = 280000 x 0,922 
A = R$ 258.160,00 
 
Ou: 
A = N - d 
A = 280000 – 21840 
A = R$ 258.160,00 
 
 
4.1.4 Valor Líquido 
 
Sempre que houver cobrança de comissões ou taxas, o valor líquido é igual ao valor 
atual diminuído da comissão. 
 
 
 
 
 
Ou : 
VL = N – ( d + com + desp + IOF ) 
 
 
 
VL = A - com 
25 
 
 
Exemplo 1: Um título de R$ 240.000,00 sofreu um desconto bancário, 27 dias antes do seu 
vencimento, numa instituição financeira que opera com uma taxa de desconto de 7% a.m.. 
Sabendo-se que é cobrada uma comissão de 0,5% sobre o valor nominal, qual o valor 
líquido recebido pelo portador? 
 
N = 240.000 t = 27 dias 
ia = 7% a.m. d = ? 
 
d = 240000 x 0,07 x 27/30 
d= R$ 15.120,00 
 
Com =0,5% sobre o valor nominal 240000 ---------- 100% 
 VL = ? x ---------- 0,5% 
 x = 1200 
 
 
VL = 240.000 – ( 15.120 + 1.200) = R$ 223.680,00 
 
 
Exemplo 2: Uma empresa desconta 5 títulos no valor total de R$ 18.000,00 vencíveis em 
36 dias, num banco que opera com uma taxa de desconto de 4,5% a.m.. Sabendo-se que o 
banco cobra uma comissão antecipada de 0,5 % sobre o valor nominal dos títulos, mais 
despesas para cobrança no valor de R$ 4,00 por título e mais o IOF (imposto sobre 
operações financeiras) que é de 0,123% a.m., qual o valor líquido creditado na conta da 
empresa? 
 
N = 18.000 t = 36 dias 
ia = 4,5% a.m. VL = ? 
 
d = 18000 x 0,045 x 36/30 
d = 972,00 
 
IOF = 0,123% a.m. 
Com =0,5% sobre o valor nominal 
 
Com. = 18000 → 100% 
 X → 0,5% 
 X = 90,00 
 
 
Despesas de cobrança = R$ 4,00 por título desp. de cobr. = 4 x 5 = 20,00 
 
0,123% → 30 dias 18000 →100% 
 x → 36 dias x →0,1476% 
 x = 0,1476% x = 26,57 
 
 VL = 18000 – (972 + 90 + 20 + 26,57) 
 VL = R$ 16.891,43 
 
 
Obs: Quando não houver cobrança de comissões ou taxas o valor líquido é igual ao 
valor atual. 
 
 
26 
 
 
4.1.5 Taxa efetiva de juro numa operação de desconto simples bancário 
 
 Numa operação de desconto, a taxa efetiva de juro é calculada levando-se em conta 
o valor nominal dos títulos, o prazo médio destes títulos e o valor líquido recebido pelo 
portador. 
É a taxa de juros que aplicada sobre o valor descontado, comercial ou bancário gera 
no período considerado um montante igual ao valor nominal. 
 Para calcular a taxa efetiva de juro do período do desconto de títulos com 
vencimento para t dias, basta efetuar a divisão entre o valor nominal e o valor líquido 
diminuindo de 1, ou seja, calcular a diferença percentual entre o valor líquido e o valor 
nominal. 
 Seu cálculo pode ser realizado utilizando a fórmula: 
𝑖𝑓 =
𝑁
𝑉𝐿 
 − 1 
 
Nota: Os valores correspondentes ao Desconto e ao valor Atual – são utilizados 
tanto para juro comercial, quanto bancário. 
 
Exemplo 1: Uma empresa desconta um título de R$ 20.000,00, 39 dias antes de seu 
vencimento, num banco que opera com uma taxa de desconto de 6% a.m..qual a taxa 
efetiva de juro paga pela empresa nesta operação? 
 
N = 20.000 ia = 6% a.m. 
t = 39 dias A = ? 
 
A = 20.000 x (1- 0,06 x 39/30) 
A = R$ 18440,00 
 
if = ? if = 20000/18440 -1 
 if= 1,0846 – 1 
 if= 8,46% a.p. 
 
Exemplo 2: Uma duplicata de R$ 6.900,00 foi resgatada 3 meses antes de seu 
vencimento por R$ 6.072,00.Qual a taxa mensal de juros? 
N = 6.900 A = 6.072 
n = 3 meses if = ? 
if = 6900/6072 – 1 
if = 1,13636 -1 
if = 0,13636 . 100 
if= 13,64% ao período de 3 meses. 
 
 13,64% -------- 3 meses 
 X --------- 1 mês 
27 
 
 
 X = 4,55%a.m. 
 
 
 
Exercícios propostos: 
 
1) Uma empresa comercial possui em seu grupo de contas a receber um cheque pré-
datado no valor de R$ 5.000,00 e cuja data de depósito está programada para daqui a 
cinco meses. Sabendo que a empresa pensa em descontar esse título em um banco 
que cobra uma taxa de desconto de 3% a.m. mais uma taxa operacional igual a 0,7% do 
valor nominal, calcule o desconto sofrido pelo título. 
 
2) A o descontar uma promissória com prazo de 45 dias, um banco calculou um desconto 
de R$ 1.200,00. Qual o valor da promissória sabendo-se que a taxa de desconto 
utilizada foi de 4% a.m.? 
 
3) Um pequeno comerciante leva a um banco o seguinte conjunto de cheques pré-datados 
para serem descontados à taxa de desconto de 2,8% a.m. 
 
Cheque Valor Prazo de antecipação 
A R$ 500,00 2 meses 
B R$ 1.500,00 1 mês 
C R$ 2.000,00 45 dias 
Determinar o valor líquido recebido pela empresa. 
 
4) Uma empresa desconta em um banco uma duplicata de R$ 14.000,00, dois meses 
antes do vencimento, a uma taxa de desconto de 3,5% a.m.. 
a) Qual o valor do desconto? 
b) Qual o valor descontado recebido pela empresa? 
c) Qual a taxa mensal de juros simples efetivamente cobrada pelo banco? 
 
5) Um título de R$ 5.000,00 sofreu um desconto por fora 42 dias antes de seu vencimento. 
Sabendo-se que a taxa de desconto foi de 6% a.m., qual o valor do desconto? 
 
6) Uma empresa desconta três títulos no valor nominal total de R$ 8.000,00, 36 dias antes 
de seus vencimentos, num banco que opera com uma taxa de descontode 4,5% a.m.. 
Sabe-se que para operações de desconto o banco cobra 0,0041% ao dia para IOF mais 
R$ 4,00 por título descontado. Com base nestes dados determine: 
a) O valor do desconto. 
b) O valor das despesas administrativas. 
c) O valor do IOF. 
d) O valor líquido total dos títulos. 
e) A taxa mensal de juros simples efetivamente cobrada pelo banco. 
 
7) Um título no valor de R$ 120.000,00 foi descontado por R$ 108.380,00, faltando 95 dias 
para o seu vencimento. Qual a taxa de juro semestral utilizada? 
 
8) Uma nota promissória foi descontada por R$ 25.000,00 no dia 10/10/08, à taxa de 
desconto de 2,5%a.m, sabendo-se que o desconto foi de R$ 2.932,96. Qual a data do 
vencimento da nota promissória e qual o seu valor? 
 
28 
 
 
9) Qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operação a 120 dias, cujo valor 
de nominal é de $ 1.000,00 e cujo valor atual é de $ 880,00? 
 
10) Um título de R$ 13.600,00 sofreu desconto simples comercial 47 dias antes do 
seu vencimento, a uma taxa de desconto de 3,8%a.m..Qual foi ovalor pago? 
 
 
4.2 DESCONTO SIMPLES RACIONAL 
 
4.2.1 Conceito 
 
 Desconto simples racional é igual ao valor do juro simples calculado sobre o valor 
atual racional de um título, numa taxa de juro, durante o tempo que antecede o vencimento 
deste. 
 
itAd rr = 
 
4.2.2 Valor Atual Racional 
 
 Chama-se de valor atual racional de um título de valor nominal (N), vencível no final 
de um certo tempo (t), ao capital (
r
A
) que aplicado a juro simples, durante o tempo (t) 
produza um montante igual ao valor nominal do título (N). 
 
 
it
N
Ar
+
=
1
 
 
 
Exemplo 1: Qual o valor atual racional de um título de R$ 120.000,00 vencível no final de 60 
dias, sendo 10% a.m. a taxa de juros simples? 
 
N = 120.000,00 i = 10% a.m. 
t = 60 dias Ar= ? 
 
30
60
1,01
120000
+
=rA
 
2,01
120000
+
=rA
 
=rA
 R$ 100.000,00 
 
 
4.2.3 Fórmula para cálculo do desconto racional em relação ao valor nominal 
 
Se: 
rr ANd −=
 
 
Logo: 
 
29 
 
 
it
Nit
dr
+
=
1 
 
 
Exemplo 1: Qual o desconto racional de um título de R$ 150.000,00 vencível no final de 45 
dias, sendo 5% a.m. a taxa de juros simples? 
 
N = 150.000,00 i = 5% a.m. 
t = 45 dias Ar= ? 
30
45
05,01
150000
+
=rA
 dr = N - Ar 
075,01
150000
+
=rA
 dr = 150000 – 139534,88 
=rA
 R$ 139.534,88 dr = R$ 10.465,12 
 
 
Exercícios propostos: 
 
1) Um título de R$ 320.000,00 foi negociado racionalmente 75 dias antes do seu 
vencimento a uma taxa de 11,2% a.m..Qual o desconto sofrido? 
 
2) Qual o desconto racional sofrido por um título de valor R$ 24.000,00 vencível no final de 
4 meses, sendo 5% a.m. a taxa de desconto? 
 
3) Um título com valor nominal de R$ 3.836,00 foi resgatado quatro meses antes do seu 
vencimento, tendo sido concedido um desconto racional simples à taxa de 10% a.m. De 
quanto foi o valor pago pelo título? 
 
4) Uma letra de câmbio no valor nominal de R$ 7.560,00, vence em 6 meses e 15 dias. 
Calcular o valor atual, deste título, considerando 48% a.a. para o desconto por dentro. 
 
5) Calcular o desconto por dentro sobre um título de R$ 3.225,00vencível no final de 75 
dias e negociado à taxa utilizada na operação é de 36% a.a.? 
 
6) Um título com valor nominal de R$ 110.000,00 foi resgatado dois meses antes do seu 
vencimento, tendo sido concedido um desconto racional simples à taxa de 60% a.m. De 
quanto foi o valor pago pelo título? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
 
5 DESCONTO COMPOSTO 
 
O conceito de desconto é o mesmo que no regime a juros simples: abatimento ao 
antecipar o pagamento de um vencimento. Existem as duas modalidades de desconto 
composto, o racional e o comercial. 
Ao contrário do desconto simples, que o amis utilizado é o comercial, no desconto 
compostos o mais utilizado é o racional. Por esta razão, vamos nos restringir ao desconto 
comercial. 
 
A = N (1+i)-n ou 
ni
N
A
)1( +
=
 
 
d = N - A 
A = valor atual racional ou valor descontado racional 
→
 valor líquido pago ou 
recebido antes do vencimento 
N = valor nominal do título 
→
 valor indicado no título (importância a ser paga no dia do 
vencimento) 
i = taxa de desconto 
n = tempo 
→
 período compreendido entre o dia em que se negocia o título e seu 
vencimento (Obs.: inclui um dos dias extremos, o primeiro ou o último) 
d = desconto racional composto 
 
Exemplo1: Determine o valor atual de um título de R$ 80.000,00, saldado 4 meses antes de 
seu vencimento, à taxa de desconto composto de 2% ao mês. 
 
N = 80.000,00 i = 2% a.m. 
n = 4 meses A = ? 
 
A = N (1+i)-n 
A = 80000 (1+0,02)-4 
A= 73.907,63 
O valor atual do título é de R$ 73.907,63 
 
Na HP-12C 
 
TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
80000 (CHS) (FV) -80.000,00 Introduz o valor do montante 
2(i) 2 Introduz a taxa 
4 (n) 4 Introduz o prazo 
(PV) 73.907,63 Calcula o capital 
 
 
 
Exemplo 2: Qual o desconto composto que um título de R$ 50.000,00 sofre ao ser 
descontado 3 meses antes do seu vencimento, à taxa de 2,5% ao mês? 
 
d =? N = 50.000 
n = 3 meses i = 2,5% a.m. = 0,025 a.m. 
 
31 
 
 
Como d = N – A, 
A = N (1+i)-n d = 50.000 - 46.429,97 
A = 50000 (1+0,025)-3 d = 3.570,03 
A = 46.429,97 
O valor do desconto é de R$ 3.570,03 
 
Na HP-12C 
 
 
 TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
50000 (CHS) (FV) -50.000,00 Introduz o valor do montante 
2,5(i) 2,5 Introduz a taxa 
3 (n) 3 Introduz o prazo 
(PV) 46.429,97 Calcula o capital 
50000 enter 50.000,00 Introduz o valor do montante 
x><y - 3.570,03 Calcula o valor do desconto 
 
 
Exemplo 3: Um título de R$ 13.314,73 foi resgatado por R$ 10.000,00, antes do vencimento 
a uma taxa de 1,2% a.m. Quanto tempo de antecipação teve esse título? 
 
N = 13.314,73 A = 10.000,00 
i = 1,2%a.m. n = ? 
 
( )012,01log
10.000,00
13.314,73
log
n
+






=
 
meses 24 n =
 
 
Na HP-12C 
 
TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
10000 (CHS) (PV) -10000,00 Introduz o valor do capital 
1,2(i) 1,2 Introduz a taxa 
13314,73 (FV) 13.314,73 Introduz o valor do montante 
(n) 24 Calcula o tempo 
 
 
 
Exemplo 4: Um título R$ 79.600,00 foi antecipado em 117 dias. Qual a taxa mensal de juros 
compostos cobrada se valor atual é de R$ 64.000,00? 
 
N = 79.600,00 A = 64.000,00 
n = 117 dias /30 = 3,9 meses i = ? 
1
64000
79600
 i
30/117
1
−





=
 
1- 1,0575 i =
 
100 x 0,0575 i =
 
32 
 
 
a.m 5,75% i =
 
 
Na HP-12C 
 
TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
64000 (CHS) (PV) -64000,00 Introduz o valor do capital 
117 enter 30 ÷ (n) 3,9 Introduz o prazo 
79600 (FV) 79.600,00 Introduz o valor do montante 
(i) 5,75 Calcula a taxa 
 
Exercícios propostos: 
 
1) Qual o valor atual de um título de R$ 10.000 vencível no final de 6 meses, sendo 7% 
a.m. a taxa de juro? 
 
2) Um título de valor nominal de R$ 150.000,00 foi resgatado 3 meses antes de seu 
vencimento, tendo sido contratado à taxa de 2,5% a.m.. Qual foi o desconto 
concedido? 
 
3) Um título é descontado 5 meses antes do seu vencimento, pelo valor de R$ 
64.220,00, à uma taxa de juros de 4,88%a.m. Qual o seu valor nominal? 
 
4) Por um título de R$ 1.000.000,00 paguei R$ 887.971,00. Qual o prazo de antecipação 
desse título, se o desconto composto deu-se a 2% a.m.? 
 
5) Com base na taxa composta de 10%a.m., um título foi descontado3 meses antes de 
seu vencimento. Qual o valor atual desse título se o seu valor nominal é de R$ 
400.000,00? 
 
6) Uma indústria obteve um empréstimo para ser pago, em um único pagamento de R$ 
2.000.000,00 após 1 ano. Decorridos 10 meses, a diretoria resolveu liquidá-lo. Qual foi 
o desconto racional a que fez jus se a taxa adotada na operação foi de 5%a.m.? 
 
7) Um título de R$ 8.756,91 foi resgatado por R$ 8.500,00, antes do vencimento a uma 
taxa de 1,5% a.m. Qual foi o tempo de antecipação desse título? 
 
8) Um título de R$ 120.000,00 foi antecipado em seis meses e a pessoa recebeu 
R$51.879,31. Qual a taxa usada nessa transação? 
 
9) Uma nota promissória de R$ 200.000,00 foi descontada por R$ 114.306,18, no regime 
de desconto composto a uma taxa de 3,8%a.m. Determine o prazo de antecipação em 
bimestres. 
 
10) Foi paga uma dívida 6 bimestres antes do vencimento, onde se reduziu para R$ 
5.690,27 com uma taxa de 4% a.b. Sabendo-se que o regime adotado foi o de 
desconto composto, qual o valor da dívida? 
 
11) Um título de valor nominal R$ 42.045,00 foi resgatado 6 meses antes de seu 
vencimento por R$ 36.991,00. Nas mesmas condições de taxa de juro e prazo de 
vencimento, por quanto será resgatado um título de valor nominal R$ 18.871,00? 
 
33 
 
 
 
34 
 
 
6 TAXAS DE JUROS 
 
 Uma parte bastante complexa dentro da Matemática Financeira refere-se ao estudo 
das taxas de juros. Isso porque é muito comum a ocorrência de contratos escritos onde são 
usadas apenas taxa “referenciais” em que a capitalização não ocorre na periodicidade 
indicada pela taxa. 
 
 
6.1 TAXAS PROPORCIONAIS 
 
Duas, ou mais taxas, são proporcionais quando, ao serem aplicadas sobre o mesmo 
capital durante o mesmo período, produzem o mesmo montante isso ocorre no juros 
simples. 
 
Exemplos: 36% ao ano e 3% ao mês; 
 36% ao ano e 9% ao trimestre. 
 
 
Exercícios propostos: 
 
1. As taxas de 48% ao ano e 4% ao mês são proporcionais? 
 
2. As taxas de 8% ao mês e 42% ao semestre são proporcionais? 
 
3. As taxas de 90% ao semestre e 0,5% ao dia são proporcionais? 
 
4. As taxas de 0,8% ao dia e 25% ao mês são proporcionais? 
 
5. Determine as taxas mensais, trimestrais e anuais proporcionais à taxa de 0,4% ao dia. 
 
6. Determine as taxas diárias, semestrais e anuais proporcionais à taxa de 8,2% ao mês. 
 
 
6.2 TAXAS EQUIVALENTES 
 
Duas, ou mais taxas, são equivalentes quando, referindo-se a períodos e 
capitalização diferentes, fazem com que capitais iguais constituam, no final de um, certo 
tempo, montantes iguais. 
A equivalência é calculada pela seguinte fórmula: 
 
 ( ) ( ) 11 −+= Qt
QQ
ceq ii
 
 
Onde: 
 
ci
 = taxa conhecida. 
eqi
= taxa a ser calculada. 
QQ= tempo do período da taxa a ser calculada. 
35 
 
 
Qt= tempo da taxa conhecida, em relação a k. 
Na realidade 
eqi
nada mais é do que o valor do juro calculado sobre o capital unitário 
(1,00), no prazo estipulado. 
 
Exemplo 1: 
Taxa Conhecida Taxa equivalente para: 
a) 79,5856% ao ano 1 mês 
b) 28,59% ao trimestre 1 semestre 
c) 2,5 % ao mês 105 dias 
d) 0,5% ao dia 1 ano 
 
 
Solução algébrica 
a) 
( ) ( ) 1001795856,01i 360
30
eq 



−+=
 
( )   100......049997,0i eq =
 
 
( ) ( )  1001795856,1i ...08333,0eq −=
 
( ) mês ao %5i eq =
 
 
( )   1001....049997,1i eq −=
 
 
Na HP-12C 
 
 TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
100 (CHS) (PV) -100,00 Introduz o valor do capital 
79,5856(i) 79,5856 Introduz a taxa 
30 enter 360 ÷ (n) 0,08333 Introduz o valor do tempo 
(FV) 105 Calcula o montante 
100 - 5 Calcula o valor da taxa 
 
b)
( ) ( ) 10012859,01i 90
180
eq 



−+=
 
( ) ( )  1001653539,1i eq −=
 
( ) ( )  10012859,1i 2eq −=
 
( ) semestre ao %35,56 i eq =
e 
 
Na HP-12C 
 
 TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
100 (CHS) (PV) -100,00 Introduz o valor do capital 
28,59(i) 28,59 Introduz a taxa 
180 enter 90 ÷ (n) 2 Introduz o valor do tempo 
(FV) 165,35 Calcula o montante 
100 - 65,35 Calcula o valor da taxa 
 
 
36 
 
 
c) 
( ) ( ) 1001025,01i 30
105
eq 



−+=
 
( ) ( )  100090269,0i eq =
 
 
( ) ( )  1001025,1i 5,3eq −=
 
( ) período ao %0269,9 i eq =
 
 
( ) ( )  1001090269,1i eq −=
 
 
Na HP-12C 
 
 TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
100 (CHS) (PV) -100,00 Introduz o valor do capital 
2,5(i) 2,5 Introduz a taxa 
105 enter 30 ÷ (n) 3,5 Introduz o valor do tempo 
(FV) 109,03 Calcula o montante 
100 - 9,03 Calcula o valor da taxa 
 
d) 
( ) ( ) 1001005,01i 1
360
eq 



−+=
 
( ) ( )  100022575,5i eq =
 
 
( ) ( )  1001005,1i 360eq −=
 
( ) 502,26i eq =
% ao ano 
 
( ) ( )  1001022575,6i eq −=
 
 
Na HP-12C 
 
 TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
100 (CHS) (PV) -100,00 Introduz o valor do capital 
0,5(i) 0,5 Introduz a taxa 
360 enter 1 ÷ (n) 360 Introduz o valor do tempo 
(FV) 602,26 Calcula o montante 
100 - 502,26 Calcula o valor da taxa 
 
Exemplo 2: 
Um administrador deseja realizar um empréstimo. O banco A oferece uma taxa de juro de 
129,2% a.a.. O banco B oferece uma taxa de 8,1% a.m. Qual das duas taxas é a mais 
atrativa? 
 
 
Exercícios propostos: 
 
1) Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente às seguintes taxas: 
 a) 1,8% a.m. b) 2,5% a.b. c) 4,5%a.t. d) 18% a.s 
 
 
37 
 
 
 
2) Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente às seguintes taxas: 
a) 75% a.a. b) 50% a.s. c) 21% a.t. d) 6,5% a.b. 
e) 0,12% a.d. 
 
3) Em juros compostos, qual a taxa semestral equivalente às seguintes taxas: 
a) 0,14% a.d. b) 1,6% a.m. c) 2,7% a.b. d) 4,1% a.t. 
e) 96% a.a. 
 
4) Sendo a taxa de 5%a.m., determinar a taxa equivalente para: 
a) 3 meses. b) 3 dias. c) 42 dias. d) um ano. 
e) 15 dias. 
 
5) Qual a taxa mensal de juros compostos equivalente a uma taxa de 148% no período de 1 
ano, 3 meses e 24 dias? 
 
6) Um administrador deseja realizar um empréstimo. O banco A oferece uma taxa de juro de 
134,6% a.a.. O banco B oferece uma taxa de 9,25% a.m. Qual das duas taxas é a mais 
atrativa? 
 
 
6.3 TAXA NOMINAL 
 
 A taxa nominal é uma taxa referencial em que os juros são capitalizados 
(incorporados ao principal) mais de uma vez no período a que a taxa se refere. A taxa de 
juros é nominal quando a sua unidade de tempo não coincide com a unidade de tempo dos 
períodos de capitalização. Na prática é comum utilizar, por exemplo, juros de 48% ao ano, 
capitalizado semestralmente. Nestes casos onde o período de capitalização não coincide 
com o período a que a taxa se refere diz-se que a taxa é nominal. 
Para resolver problemas que trazem em seu enunciado uma taxa nominal, devemos 
calcular a taxa efetiva da operação. 
 
Exemplos: 
• 20% ao ano, capitalizados mensalmente. 
• 36% ao ano, capitalizados bimestralmente. 
 
 
6.4 TAXA EFETIVA 
 
É a taxa efetivamente paga. É a taxa de capitalização ou toda e qualquer taxa 
equivalente a esta. 
 
 
Exemplo 1: Um banco oferece empréstimos a taxa de 72% a.a. em capitalização mensal 
(Taxa Nominal). Qual a taxa efetiva anual cobrada pelo banco? 
 
Solução: 
 
i = 0,72 / 12 = 0,06 ou 6% a.m. (taxa efetiva de capitalização) 
 
( ) ( ) 100106,01i 30
360
eq 



−+=
 100 CHS PV 
38 
 
 
( ) ( )  100106,1i 12eq −=
 6 i 
( )   1001012196,2ieq −=
 360 enter 30 : n 
( ) ( )  100012196,1i eq =
 FV 100 - 
( ) 101,2196i eq =
% ao ano 
 
 
Exemplo 2: Quanto uma pessoa deve depositar em um Banco que paga 24% ao ano, com 
capitalizações bimestrais, para que no fim de 5 anos possua R$ 200.000,00? 
FV = 200.000,00 i = 24/6 = 4%a.m. n= 5a = 30 bimestres 
PV = 200000 x ( 1+ 0,04)-30 Na HP-12C 
PV = R$ 61.663,73 200000 CHS FV 
 4 i 
 30 n 
 PV 
 
 
Exercícios propostos: 
 
1) Calcular a taxa efetiva anual equivalente a taxa nominal de 36% a.a. capitalizada 
mensalmente. 
 
2) Aplicando-se R$ 50.000,00 no regime de juro composto, durante um ano a taxa de 108% 
a.a., em capitalização mensal, qual o valor do montante no final do ano? 
 
3) Em juros compostos, qual taxa em 40 dias equivalente a 2,5% a.m.? 
 
4) Em juros compostos, qual taxa em 65 dias equivalente a 2% a.m.? 
 
5) Dadas as taxas a seguir encontre as respectivas taxas efetivas anuais. 
a) 24% a.a. com capitalização diária. 
b) 24% a.a. com capitalização mensal. 
c) 24% a.a. com capitalização bimestral. 
 
6) Um banco oferece a taxa de 54% a.a. para aplicações em CDBs. Pergunta-se, qual a 
taxa para: 
 a) 47 dias? b) um dia? c) um mês? 
 
7) Uma empresa toma emprestado em um Banco R$ 500.000,00 à taxa de 21% ao ano, 
com capitalizações quadrimestrais. Quanto deverá devolver ao final de 2 anos? 
 
8) Quais os juros de R$ 3.000,00, no fim de 1 ano, a 24%a.t., capitalizados mensalmente? 
 
9) Fernando pretende comprar um imóvel daqui a dois anos, cujo valor deverá situar-se em 
torno de R$ 120.000,00. Para dispor dessa importância na época desejada, quanto deverá 
aplicar hoje, à taxa de 45%a.a. capitalizada bimestralmente? 
 
10) Calcular a taxa mensal equivalente a 72%a.a. Com capitalização diária. 
 
11) Calcule os juros correspondentes, a um capital de R$ 100.000,00 empregado a juros 
compostos, durante 1 ano a taxa de 15%a.t. 
 
39 
 
 
12) Quanto rende de juros compostos uma aplicação de R$ 25.000,00, a 6%a.a., durante 6 
meses? 
 
13) Qual o capital que deve ser aplicado durante 1 ano, 7 meses e 11 dias, à uma taxa de 
juros compostos de 15,6% ao ano capitalizada bimestralmente, de modo a obter um saldo 
de R$ 10.000,00? 
 
14) Calcular o valor dos juros, ao final de 5 anos, de um capital de R$ 100.000,00 aplicado à 
taxa de juros compostos de 32%a.a. capitalizados trimestralmente. 
 
15) Assinalar a alternativa certa: 
1- Aumentando a frequência da capitalização de uma taxa nominal expressa ao ano: 
a) Aumenta a taxa efetiva ao ano. 
b) Diminui a taxa efetiva ao ano. 
c) Não altera a taxa efetiva ao ano. 
d) Dependendo do prazo pode ou não alterar a taxa efetiva ao ano. 
2- Para uma mesma taxa nominal ao ano é preferível um empréstimo em que a frequência 
de capitalização é: 
a) Mensal b) Trimestral c) Bimestral d) Semestral 
3- Considere uma taxa nominal igual a 24% ao ano com capitalização mensal. Neste caso, a 
taxa efetiva ao mês é: 
a) 2,1% b) 1,9% c) 2% d) 1,8% 
4- Considere que uma empresa que precisa tomar um empréstimo de seis meses. A melhor 
alternativa é: 
a) 24% ao ano de taxa nominal com capitalização semestral. 
b) 23% ao ano de taxa nominal com capitalização trimestral. 
c) 22% ao ano de taxa nominal com capitalização bimestral. 
d) 21% ao ano de taxa nominal com capitalização mensal. 
5- Qual é a taxa proporcional ao ano de uma taxa de 3,5% ao trimestre? 
a) 15% ao ano b) 14% ao ano c) 16% ao ano d) 17% ao ano 
6- Considere uma taxa nominal de 19% ao ano e sua respectiva taxa efetiva de 20,75%ao 
ano. Neste caso, a capitalização ocorre de foram: 
a) Bimestral b) Mensal c) Trimestral d) Semestral 
7- Qual é a taxa proporcional ao bimestre de uma taxa de 18% ao ano? 
a) 2,5% ao bimestre c) 3% ao bimestre 
b) 2% ao bimestre d) 1,5% ao bimestre 
8- A afirmação: “As taxas proporcionais estão para os juros simples, assim como as taxas 
equivalentes estão para os juros compostos.” 
c) É verdadeira apenas para prazos menores que um ano. 
d) É verdadeira sob quaisquer circunstância. 
e) É falsa sob quaisquer circunstância. 
f) É falsa apenas para prazos menores que um ano. 
 
40 
 
 
9- Duas taxa de juro são ditas equivalentes quando: 
(I) são taxas de juro compostas. 
(II) quando aplicadas a um mesmo capital pelo mesmo período geram o mesmo valor de 
juro. 
a) (I) é falsa e (II) é verdadeira. c) (I) e (II) são falsas 
b) (I) e (II) são verdadeiras d) (I) é verdadeira e (II) é falsa 
 
10- Considere uma taxa de juro composta definida ao semestre e sua equivalente taxa ao 
ano. 
Então: 
a) A taxa ao ano é maior que duas vezes a taxa semestral. 
b) A taxa ao ano é menor que duas vezes a taxa semestral. 
c) A taxa ao ano é igual a duas vezes a taxa semestral. 
d) A taxa ao ano pode ser maior ou menor que a taxa semestral. 
 
11- Um investidor tem duas alternativas para investir por um mesmo prazo: 
 (I) A uma taxa de 10% ao semestre. 
 (II) A uma taxa de 21% ao ano. 
 Neste caso: 
a) As duas alternativas são idênticas, pois as taxas são equivalentes. 
b) A melhor alternativa é a (I). 
c) A melhor alternativa é a (II). 
d) A melhor alternativa é a (II) para prazos iguais ou menores a um ano. 
 
 
 
 
 
 6.5. Taxa De Juro Real (ir) 
 
Taxa de juro real é a taxa efetiva ganha em cima do índice inflacionário, ou seja , a 
apuração do ganho ou perda em relação a uma taxa de inflação. Na taxa real se leva em 
consideração a inflação do período. O juro real é calculado sobre o capital corrigido. 
A diferença entre taxa aparente e taxa real é bastante simples: a taxa aparente é a 
taxa que normalmente é divulgada pelas instituições financeiras, enquanto que a taxa real é 
a taxa obtida depois de descontada a taxa de inflação. 
Apesar de ser um conceito simples, a distinção entre taxa aparente e taxa real é 
muito importante para os economistas, uma vez que traz fortes implicações: Vamos dar um 
exemplo: suponha que foram aplicados R$100 e o saldo líquido foi de R$100,94, vamos 
imaginar que a inflação no período tenha sido de 0,35% (no período, que pode ser de um, 
dois ou mais meses). Desse modo, para comprar a mesma coisa que você comprava com 
R$100, você precisaria ter R$100,35. Com isso, o retorno real deve ser calculado dividindo-
se o valor de resgate pelo “valor real” de aplicação: 100,94 : 100,35 = 1,005879. Subtrai-se 1 
deste número e multiplica-se o que restou por 100, de modo que o ganho “real” da aplicação 
foi de 0,59% no período (arredondando 0,5879 para mais). Neste caso, os juros de 0,94%, 
denominados “nominais”, quando a inflação for de 0,35% no período, equivalerão a 0,59% 
de juros reais. Perceba que a taxa de juros foi maior do que a variação dos preços, o que 
indica que os juros reais são positivos. Isto significa que a aplicação financeira não só está 
protegendo o dinheiro da variação da inflação, como está também proporcionando o 
crescimento deste dinheiro. 
41 
 
 
Na ótica do investidor o que interessa são os ganhos reais, de que adianta ter uma 
aplicação que rendeu 12% enquanto os preços no mesmo período subiram 15%? Nesse 
caso o investidor teve uma rentabilidade real negativa, após o período de aplicação o seu 
dinheiro passou a comprar menos do que comprava antes de investir. Uma referência 
internacional para o investidor é a taxa de rentabilidade real anual de 6%, meta de grande 
parte dos fundos de pensão (previdência) de todo o mundo. Os aumentos reais dos salários 
são referentes aos reajustes acima da inflação. Somente assim podemos visualizar o 
aumento do poder de compra do assalariado. Os patrões podem fazera maior festa 
divulgando um aumento de 10%, no entanto se a inflação do período anterior foi de 9%. Os 
ganhos reais foram de menos de 1% para o trabalhador. 
A taxa real é a taxa aparente descontado a inflação do período. A taxa real reflete 
com maior precisão o ganho real de um investimento por considerar a perda com a 
desvalorização causada pela inflação do período. Existe uma relação matemática entre a 
taxa aparente, taxa real e inflação. 
 
 
Sendo: 
api
= taxa aparente ( taxa efetiva) 
ii
= taxa da inflação 
ri
= taxa de ganho real 
Na capitalização composta, para retirar uma taxa de outra, deve-se utilizar a seguinte 
fórmula: 
 
𝑖𝑟 =
( 1 + 𝑖𝑎𝑝)
( 1 + 𝑖𝑖)
 − 1 
 
 Para alguns investimentos ( como caderneta de poupança) ou financiamentos ( como 
n0 sistema imobiliário), a taxa aparente aplicada é calculada a partir de uma taxa de juro 
real pré-fixada acrescida de uma correção monetária que acompanha a taxa de inflação. Um 
destes corretores é chamado de Taxa Referencial (TR) cujo o valor é determinado pelo 
Banco Central. 
 
Exemplo 1: Qual o rendimento da poupança se a TR do mês foi 0,93% e a taxa de juro real 
é de 0,5%a.m.? 
 
ir = 0,5% ii = 0,93% iap = ? 
 
1
0093,1
i1
005,0
ap
−
+
=
 api101435,1 =− 
0093,1
i1
1005,0
ap+
=+
 
10001435,0iap =
 
 
api1005,10093,1 += api
= 1,435% a.m. 
 
 
Exemplo 2: Se a taxa aparente de juro foi de 3,224% a.m. e a TR de mês foi de 1,2%, qual 
a taxa de ganho real? 
 
iap= 3,224% ii = 1,2% ii = ? 
 
42 
 
 






−
+
+
= 1
012,01
03224,01
ir
 






−= 1
012,1
03224,1
ir
 
 
 102,1ir −=
 
10002,0ir = %2i r = a.m. 
 
 
 
 
 
Exercícios propostos: 
 
1) Um capital foi aplicado, por um ano, à taxa de juros igual a 22% a.a. No mesmo período, 
a taxa de inflação foi de 12%. Qual a taxa real de juros? 
 
2) A taxa anual de juros cobrada por uma loja é de 40%a.a. Qual a taxa real de juros, se a 
taxa de inflação resultar em 15% no mesmo período? 
 
3) Que taxa ao período deve ser aplicada sobre um capital depositado em caderneta de 
poupança por um mês, sabendo que esse produto é remunerado à taxa de 0,5% a.m. + 
TR? (considere TR do mês 0,45%). 
 
4) Se a taxa de juro aparente for 7,2%a.m., qual a taxa de ganho real se a taxa de inflação 
mensal for de 6%? 
 
5) Que taxa ao período deve ser aplicada sobre um capital depositado em caderneta de 
poupança por um mês, sabendo que esse produto é remunerado à taxa de 0,6% a.m. + 
TR? (considere TR do mês 0,5%). 
 
 
43 
 
 
7 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
 
O conceito de equivalência de capitais permite transformar formas de pagamento em 
outras formas equivalentes, para poder compará-las e decidir sobre a melhor alternativa. 
Dois capitais são equivalentes se, em uma mesma data t, seus valores são iguais. 
 
Exemplo 1: Uma empresa devedora de um título de R$ 15.000,00 vencível no final de 6 
meses, propõe a substituição deste título por dois novos títulos, de mesmo valor nominal, 
vencíveis no final de 2 e 4 meses respectivamente. Se transação é realizada a taxa de 12% 
a.a. em capitalização mensal, qual o valor dos novos títulos? 
 
N1 = 15.000,00 N2 = N N3 = N 
n1= 6 meses n2 = 2 meses n3 = 4 meses 
 
A1 = A2 + A3 
 
15000 . (1 + 0,01)-6 = N .( 1 + 0,01)-2 + N . ( 1 + 0,01 )-4 
14.130,68= 0,980296N + 0,96098N 
14.130,68 = 1,941276N 
N = 14130,68/ 1,941276 
N = R$ 7.279,07 
 
Exemplo 2: Um título no valor nominal de R$ 7.000,00, com vencimento para 5 meses, é 
trocado por outro com vencimento para 3 meses. Sabendo que a taxa de juro corrente no 
mercado é de 3%a.m., qual o valor nominal do novo título? 
 
N1 = 7.000,00 N2 = N 
N1= 5 meses n2 = 3 meses 
 
A1 = A2 
7000 x ( 1 + 0,03)-5 = N x ( 1 + 0,03)-3 
6038,26 = 0,915142N 
N = 6038,26/ 0,915142 
N = R$ 6.598,17 
 
Exemplo 3: Duas promissórias, uma de R$ 4.000,00, vencível em 120 dias, e outra de R$ 
9.000,00, vencível em 180 dias, deverão ser resgatadas por um só pagamento, dentro de 90 
dias. Qual o valor desse resgate, no regime de juros compostos, à taxa de 3% a.m.? 
 
N1 = 4.000,00 N2 = 9.000,00 N3 = N 
N1= 4 meses n2 = 6 meses n3 = 3 meses 
 
A1 + A2 = A3 
4000 x ( 1 + 0,03)-4 + 9000 x ( 1 + 0,03)-6 = N x ( 1 + 0,03 )-3 
3553,95 + 7537,36 = 0,915142N 
11091,31 = 0,915142N 
N = 11091,31/ 0,915142 
N = R$ 12.119,77 
 
 
 Exercícios propostos: 
 
1) Uma nota promissória, cujo valor nominal é R$ 50.000 vence daqui a um mês. O devedor 
propõe a troca por outra nota promissória, a vencer daqui a 3 meses. Qual deve ser o valor 
44 
 
 
nominal da nova nota promissória para que os capitais sejam equivalentes, à taxa de 2% ao 
mês? 
 
2) Dois títulos, um de R$ 6.000,00 para 6 meses e outro de R$ 20.000,00 para 1 ano, são 
trocados por um único, vencendo em 9 meses. Se for adotada a taxa de desconto de 3% 
a.m., qual deverá ser o valor desse novo título? 
 
3) Uma empresa devedora de R$ 221.490,00 com vencimento para 2 meses, deseja liquidar 
essa dívida em dois pagamentos iguais, sendo o primeiro hoje e o segundo em 1 mês. Qual 
o valor desse pagamentos, considerando a taxa de 7% a.m.? 
 
4) Certa pessoa devia dois títulos a um banco: o primeiro de R$ 5.000,00 e o segundo, 6 
meses após o primeiro de R$ 7.000,00. Contudo, no vencimento da primeira parcela, propôs 
adiamento de sua dívida da seguinte maneira: pagamento de R$ 8.000,00 daí a 3 meses e o 
saldo em 9 meses. Se a taxa de juros considerada foi de 5%a.m., qual é o saldo restante? 
 
5) Uma empresa deve para um banco R$ 124.000,00 com vencimento para hoje. Não 
podendo efetuar esse pagamento, propõe a troca do título por outros dois, sendo o primeiro 
de R$ 73.500,00, com vencimento para 30 dias, e o saldo restante, para 60 dias. Qual o 
valor desse saldo restante, se o banco em questão opera com uma taxa de 5% a.m., pelo 
critério de desconto racional composto? 
 
6) Um dívida é resultante de 3 títulos: o primeiro, vencendo em 4 meses, no valor de R$ 
1.000,00; o segundo, vencendo em 8 meses, no valor R$ 1.500,00 e o terceiro, em 1 ano, 
no valor de R$ 2.000,00. O devedor, desejando liquidá-la rapidamente, propõe ao credor 
saldá-la em três pagamentos iguais, vencendo o primeiro em 1 mês, o segundo em 2 meses 
e o terceiro em 3 meses. A taxa de juros contratada é de 3% a.m.. Qual é o valor dos 
pagamentos? 
 
7) Um varejista faz a seguinte proposta a um de seus fornecedores a quem deve certa 
quantia em dinheiro. Pagamentos de R$ 25.000,00, R$ 40.000,00 e R$ 80.000,00 vencíveis 
dentro de 2, 6 e 10 meses, respectivamente, ou um único pagamento dentro de 8 meses. 
Suponha taxa de juros de 2%a.m. Qual o valor do pagamento? 
 
8) Uma empresa contraiu uma dívida de R$ 500.000,00 com um particular que cobra juros 
bimestrais de 8%. Decorridos 2 bimestres, a empresa paga R$ 200.000,00 e combina 
liquidar o saldo restante no final de mais 4 bimestres. Qual o valor do pagamento final? 
 
9) Uma firma contraiu um empréstimo para pagar do seguinte modo: 1º pagamento depois 
de 1 mês no valor de R$ 50.000,00 e o 2º pagamento depois de 2 meses no valor de R$ 
100.000,00. Esses pagamentos abrangiam capital mais juros calculados a 7%a.m. Se a 
firma modificar a forma de pagamento, saldando o débito com uma única prestação 4 meses 
após a data do contrato, qual o valor dessa única prestação? 
 
10) Um conjunto de sofás é vendido à vista por R$ 1.500,00, ou a prazo por três 
prestações mensais sem entrada, sendo a segundaigual ao dobro da primeira e a 
terceira o triplo da primeira. Obtenha o valor da segunda prestação, sabendo-se que 
a loja opera com uma taxa de juros de 5%a.m. 
 
 
 
45 
 
 
8 RENDAS 
 
 Denomina-se renda à sucessão de depósitos (capitalizações) ou de prestações 
(amortizações), em épocas diferentes, destinadas a formar um capital ou pagar uma dívida. 
 O processo de realização de depósitos sucessivos com o objetivo de formar um 
fundo, um capital ou uma poupança é chamado de capitalização. Ao processo de 
pagamento de uma dívida dá-se o nome de amortização. 
 
8.1 CONCEITO 
 
Renda é uma sucessão de depósitos e/ou saques ou, ainda, de recebimentos e/ou 
pagamentos, em épocas diferentes, destinados a formar um capital (capitalização) ou a 
pagar (ou receber) uma dívida (amortização). 
 
 
8.2 CLASSIFICAÇÃO DAS RENDAS 
 
8.2.1 Quanto ao valor dos termos 
 
Constantes – os valores dos termos são iguais entre si. 
Variáveis - os valores dos termos não são iguais entre si. 
 
8.2.2 Quanto aos períodos 
Periódicas – todos os períodos são iguais. 
Não periódicas- os períodos não são iguais entre si. 
 
8.2.3 Quanto ao prazo 
Temporária – o prazo de pagamentos ou recebimentos é finito. 
Perpétuas – o prazo é infinito. 
 
8.2.4 Quanto à ocorrência do primeiro termo 
Imediatas - quando os termos forem exigidos a partir do primeiro período. 
Diferidas – quando os termos forem exigidos a partir de um outro período que não seja o 
primeiro; neste caso existirá um intervalo de tempo em que não ocorre o pagamento. Esse 
intervalo de tempo é chamado de carência. 
 
8.2.5 Quanto ao momento dos pagamentos 
Postecipadas - quando os termos vencem no final do período. 
Antecipadas – quando os termos vencem no tempo “0” do período, 
 
 
8.3 VALOR ATUAL DE UMA RENDA OU PRESENTE VALOR DE UMA RENDA UNITÁRIA
( )na
 
 
 O valor atual de uma renda é a soma dos valores atuais de seus pagamentos. Na 
prática, no entanto, fica muito difícil, a cada operação, ter que calcular os valores atuais das 
parcelas individualmente. Para facilitar, podemos utilizar um fator específico. O fator é 
representado por 
( )na
. 
46 
 
 
 
Este fator é calculado através da fórmula: 
 
( )
i
i
a
n
n
−
+−
=
11 
 
Onde: n = número de períodos i= taxa 
 
Exemplo: Qual o valor atual de uma renda unitária imediata, com 10 pagamentos, sendo 
5% a.p. a taxa de juro? 
i = 5% a.p. 
n = 10 
=10a
 
( )
05,0
05,011
10
10
−
+−
=a
 
721735,710 =a
 
 
 
8.4 PRESENTE VALOR DE UMA RENDA (PV) 
 
8.4.1 Postecipada 
 
 
= naPMTPV .
 
 
 
Exemplo 1: O preço de um carro é R$ 32.500,00. Um comprador dá 40% de entrada e o 
restante é financiado à taxa de 5% ao mês em 10 meses. Calcule o valor da prestação 
mensal. 
 
32.500 
→
 100% Na HP 12C 
 x 
→ 60% 32.500 enter 
 x = 19.500 60 % 
 
Valor a ser financiado R$19.500,00 
 
PV = 19.500,00 
n = 10 meses 
i = 5% a.m. 
PMT = ? 
 
19.500,00 = PMT x 7,721735 Na HP 12 
PMT = 19.500,00/ 7,721735 19.500,00 CHS PV 
PMT = R$ 2.525,34 5 i 
 10 n 
 PMT 
O valor da prestação é R$ 2.525,34 
 
Exemplo 2: Qual o valor que, financiado à taxa de 2,5% ao mês, pode ser amortizado em 
12 prestações mensais, iguais e sucessivas de R$ 350 cada uma? 
 
47 
 
 
PMT = 350 i = 2,5% a.m. 
n = 12 prestações PV = ? 
 
PV = 350 x 10,257765 Na HP 12C 
PV = R$ 3.590,21 350 CHS PMT 
 2,5 i 
 12 n 
 PV 
 
 
Exemplo 3: Quantas prestações de mensais de R$ 80,00 cada uma são suficientes para 
liquidar um financiamento de R$ 361,20, à taxa de 3,5% a.m.? 
 
PV = 361,20 PMT = 80 
i = 3,5 % a.m. n = ? 
 
361,20 = 80 x
na
 Na HP 12C 
na
= 361,20/ 80 80 CHS PMT 
na
 =4,515000 361,2 PV 
n = 5 3,5i 
 n 
 
 
Exemplo 4: Qual a taxa de um financiamento de R$ 12.000,00 se prestações de mensais 
são de R$ 1.005,20 cada uma são suficientes para liquidar um financiamento de 15 
prestações? 
 
PV = 12.000,00 PMT = 1.005,20 
n = 15 mensais i = ? 
 
12000= 1005,20 x
na
 Na HP 12C 
= 12000/1005,20 1005,20 CHS PMT 
 =11,937935 12000 PV 
 i = 3% 15 n 
 i 
 
8.4.2 Antecipada 
 
 
( )+= −11 naPMTPV
 
 
Exemplo 1: Um aparelho eletrônico foi comprado em quatro prestações mensais de R$ 
200,00, no início de cada mês, à taxa de 2% a.m.. Calcular o valor a vista do aparelho. 
 
PMT = 200 i = 2% a.m. 
n = 4 prestações PV = ? 
 Na HP 12C 
 
PV = 200 +
( )+ −141 a
 g beg 
PV = 200 + ( 1 + 2,883883) 200 CHS PMT 
na
na
48 
 
 
PV = 200 x 3,883883 2 i 
PV = 776,78 4 n 
 PV 
 
Exemplo 2: Por uma compra no valor de $ 582,40 pagam-se 10 prestações mensais 
antecipadas. A juros efetivos de 5% a. m., calcular o valor da prestação. 
 
i = 5% a.m. n = 10 prestações 
PV = 582,40 PMT = ? 
 
Na HP – 12C 
582,40= PMT +
( )+ −1101 a g beg
 
582,40 = PMT ( 1 + 7,107822) 582,40 CHS PV 
582,40 = PMT x 8,107822 5 i 
PMT =582,40/8,107822 10 n 
PMT = R$ 71,83 PMT 
 
 
8.4.3 Diferida 
 
( ) mn iaPMTPV
−
+= 1.
 
 
 
Onde m representa o número de períodos da carência. 
 
Exemplo 1: Um empréstimo de R$ 50.000,00 é concedido a uma empresa em 24 
prestações mensais e iguais. Sabendo-se que a taxa de financiamento contratada foi de 2% 
ao mês e foi concedido um prazo de carência de três meses, pergunta-se: Qual o valor da 
prestação? 
PV = 50.000 carência n = 3 meses 
n = 24 prestações i = 2% a.m. PMT = ? 
 
= PMT50000 24.a ( )
-3
0,021+ 
= PMT50000
18,913926 x 0,942322 50000 CHS PV 
 PMT = 50000/ 17,823015 3n 
PMT = R$ 2.805,36 2i 
 FV 
 CHS PV 
0 FV 
24 n 
PMT 
 
Exemplo 2: Uma empresa comprou uma máquina e financiou o seu valor em oito 
prestações mensais de R$ 8.000,00 cada, com três meses de carência. Se a taxa cobrada 
no financiamento é de 4% a.m, qual o valor da máquina à vista? 
 
PMT = 8.000,00 carência n = 3 meses 
n = 8 prestações i = 4% a.m. PV = ? 
 
PV = 8000x a8 x ( 1 + 0,04)-3 HP-12C 
PV = 8000 x 6,732745 x 0,888996 8000 CHS PMT CHS FV 
49 
 
 
PV = R$ 47.934,99 4 I 0 PMT 
 8 n 3 n 
 PV PV 
 
 
Exercícios propostos: 
 
1) Calcular o valor de um financiamento a ser quitado através de seis pagamentos mensais 
de R$ 1.500,00, vencendo a primeira parcela 30 dias da liberação dos recursos, sendo 
de 3% a.m. a taxa de juros negociada na operação. 
 
2) Um produto é comercializado à vista por R$ 500,00. Qual deve ser o valor da prestação 
se o comprador resolver financiar em cinco prestações mensais iguais e sem entrada, 
considerando a taxa de juros cobrada pelo comerciante seja de 5% ao mês? 
 
3) Antônio adquiriu um microcomputador para pagamento, sem entrada, em cinco 
prestações mensais iguais e sucessivas de R$ 345,00. Qual foi o valor a vista da 
compra considerando a taxa mensal de 2%? 
 
4) Qual o valor da prestação de um bem que está sendo anunciado para pagamento em 1 
+ 5 prestações mensais iguais, sabendo que a taxa praticada é de 36% a.a. (nominal) e 
o valor a vista do aparelho é de R$ 450,00? 
 
5) Uma loja vende uma mercadoria por R$ 3.000,00. É exigida uma entrada de 40% do 
valor da mercadoria e são cobrados juros de 5% ao mês. Qual será o valor das 
prestações se um cliente optar por 6 prestações iguais? 
 
 
8.5 MONTANTE DE UMA RENDA 
 
 Montante ou futuro valor de uma renda éa soma do montante dos depósitos, 
montante este calculado a partir da data deste depósito a data do último depósito. 
 
8.5.1 De uma Renda Unitária Imediata 
 
 ( )
i
i
S
n
n
11 −+
=
 
 
 
Exemplo: Qual o montante ou futuro valor de uma renda unitária imediata com doze 
depósitos, sendo 5% a.p. a taxa de juro? 
 
( )
05,0
105,01
12
−+
=Sn
 
917127,15=Sn
 
Sn representa o fator de multiplicação para cálculo do Futuro Valor de uma renda 
uniforme. 
 
 
50 
 
 
8.5.2 De uma Renda Postecipada 
 
= nS PMT FV
 
Obs.: Ao efetuarmos o cálculo do (PMT . Sn) estaremos substituindo todos os n depósitos, 
por um único valor com vencimento na data do último depósito. 
 
 
Exemplo 1: Determinar o valor futuro de uma série de 18 aplicações mensais, iguais e 
sucessivas, no valor de R$ 1.600,00, à taxa de 2% a.m., sabendo que a primeira é aplicada 
no final do primeiro mês. 
 
FV= 1600 x S18 Na HP 12C 
FV = 1600 x 21,412312 1600CHS PMT 
FV =R$ 34.259,70 18 n 
2 i 
FV 
 
 
8.5.3 De uma Renda Antecipada 
 
( )nn i1S PMT FV +=
 
 
 
Exemplo 1: Depositando-se R$ 500,00 no início de cada mês, durante dois anos, numa 
instituição financeira que credita juro mensalmente a taxa de 4% a.m., qual o saldo da conta 
no final dos dois anos? 
 
FV = 500 x S24x (1+ 0,04)¹ Na HP 12C 
FV = 500 x 39,082604 x 1,04 g beg 
FV = R$ 2.0322,95 500 CHS PMT 
4 i 
24 n 
FV 
 
 
Exemplo 2: Com a finalidade de constituir um fundo de reserva uma pessoa se propõe a 
depositar, no início de cada mês, durante três anos consecutivos, R$ 200,00, numa 
instituição financeira que credita juro mensalmente à taxa de 3% a.m. Qual o saldo da conta 
no final do quinto ano, a partir do primeiro depósito? 
 
FV = 200 x S36x 
( )250,031+
 Na HP 12C 
FV = 200 x63,275944 x 2,093778 g beg 
FV = R$ 26.497,16 200CHS PMT 
3 i 
36 n 
FV 
CHS PV 
24 n 
0 PMT 
FV 
 
51 
 
 
 
Exemplo 3: Com a finalidade de constituir um fundo de reserva uma pessoa se propõe a 
depositar, no final de cada mês, durante dois anos consecutivos, R$ 300,00, numa 
instituição financeira que credita juro mensalmente à taxa de 3% a.m. Qual o saldo da conta 
no final do quarto ano? 
 
 
FV = 300 x S24x 
( )240,031+
 Na HP 12C 
FV = 300 x 34,42647 x 2,0327941 
FV = R$ 20.994,58 300CHS PMT 
3 i 
24 n 
FV 
CHS PV 
24 n 
0 PMT 
FV 
 
 
Exercícios propostos: 
 
1) Qual o montante que um poupador acumula em 12 meses, no caso de ele aplicar a 
quantia de R$ 640,00 à taxa de 3% a.m. ao final de cada mês? 
 
2) Um banco remunera suas aplicações a 2% a.m. Quanto deverá ser depositado, a partir 
de hoje, para que ao final de 50 meses o montante de R$ 14.300,00 seja atingido? 
 
3) Certa pessoa deposita R$ 2.000,00 no final de cada mês, numa instituição financeira. 
Qual o saldo da conta no final de um ano, se a taxa efetiva de juro é de 4% a.m.? 
 
4) Com a finalidade de constituir um fundo de reserva uma pessoa se propõe a depositar, 
no início de cada mês, durante três anos consecutivos, R$ 200,00, numa instituição 
financeira que credita juro mensalmente à taxa de 3% a.m. Qual o saldo da conta no 
final do quinto ano, a partir do primeiro depósito? 
 
5) Seu João depositou R$ 210,00 no final de cada mês, durante três anos consecutivos, 
numa instituição financeira que credita juro mensalmente. Se a taxa de juros foi 2% 
a.m., qual o saldo da conta no final dos três anos? 
 
 
Problemas de rendas: 
 
1) Calcular a taxa mensal percentual que está sendo praticada no caso de um bem 
oferecido à vista por R$ 1.500,00 e, a prazo, em 10 prestações mensais de R$ 167,00 
sem entrada? 
 
2) Qual o valor a vista de um aparelho de som que está sendo oferecido para pagamento 
em cinco prestações iguais de R$ 300,00, à taxa de 4,5% a.m., sendo a primeira no ato 
da compra? 
 
3) Um automóvel 0 km é vendido à vista por R$ 32.000,00 ou a prazo com 20% de entrada 
mais 24 prestações mensais iguais. Qual o valor de cada prestação se a taxa de juros 
compostos do financiamento for de 2% a.m.? 
52 
 
 
 
4) Um equipamento de som está sendo vendido em uma loja por R$ 1.020,00 para 
pagamento à vista. Um comprador pode pedir um financiamento pelo plano (1+1) 
pagamentos iguais, isto é, o primeiro pagamento deve ser feito no ato da compra e o 
segundo, um mês após aquela data. Se a taxa de juros praticada pela empresa que irá 
financiar a compra for de 4% ao mês, qual o valor de cada prestação? 
 
5) Uma pessoa depositou R$ 150,00, no final de cada mês, durante dois anos 
consecutivos, numa instituição financeira que credita juro mensalmente. Se a taxa de 
juros foi 2%a.m., qual o saldo da conta no final dos três anos? 
 
6) Um banco concede um empréstimo a uma pessoa cobrando 10 prestações mensais de 
R$ 700,00 cada uma, sem entrada. Qual o valor emprestado, sabendo-se que o banco 
cobra juros compostos, à taxa de 4% a.m.? 
 
7) Uma pessoa deseja depositar bimestralmente uma mesma importância numa instituição 
financeira, à taxa de 1,5% ao bimestre, capitalizado bimestralmente, de modo que com 8 
depósitos antecipados constitua o capital de R$ 150.000,00. Calcule a importância. 
 
8) Um terreno é vendido por R$ 200.000,00 a vista, ou por 40% de entrada e o restante em 
12 prestações mensais. Para uma taxa de juros de 2% a.m., determinar o valor de cada 
prestação mensal. 
 
9) Uma empresa toma um empréstimo para ser amortizado em 24 prestações mensais de 
R$ 50.000,00 cada, com um ano de carência. Calcular o valor do empréstimo, se a taxa 
de juro do financiamento é de 3% a.m.? 
 
10) Uma empresa toma um empréstimo de R$ 720.000,00, com carência de um ano, para 
ser amortizado em 12 prestações mensais iguais. Calcular o valor das prestações, se a 
taxa do financiamento é de 1,5%a.m.. 
 
11) Ao comprar uma máquina uma empresa paga R$ 10.000,00 no ato e financia o restante 
em oito prestações trimestrais de R$ 5.000,00 cada. Se a taxa de financiamento é de 
5%a.t., qual o valor da máquina à vista? 
 
12) Desejando constituir uma poupança, uma pessoa deposita, no final de cada mês, R$ 
100,00 durante dois anos consecutivos. Qual será o saldo da conta no final do terceiro 
ano, se a taxa de juro é de 4% a.m.? 
 
13) Uma mercadoria é vendida por R$ 5.000,00 à vista ou, R$ 1.000,00 de entrada mais 
prestações mensais iguais de R$ 480,97. Sabendo-se que a taxa de juros considerada é 
de 3,5% ao mês, qual o número de prestações? 
 
14) A que taxa uma pessoa, realizando depósitos imediatos no valor de R$ 809,30, forma 
um capital de R$ 13.500,00 ao fazer o décimo quinto depósito? 
 
15) Uma dívida de R$ 20.000,00 deve ser amortizada com 6 pagamentos bimestrais 
consecutivos, sendo 4% ao bimestre a taxa de juros. Calcule esta prestação, sabendo-
se que teve 3 meses de carência. 
 
16) Desejando constituir uma poupança, uma pessoa deposita, no final de cada mês, R$ 
120,00 durante dois anos consecutivos. Qual será o saldo da conta no final de quatro 
anos, se a taxa de juro é de 4% a.m.? 
 
53 
 
 
17) Comprei uma mercadoria por R$ 2.000,00 de entrada mais 12 prestações mensais de 
R$ 339,00, sendo a taxa de juros 5%a.m. Qual o preço à vista da mercadoria? 
 
18) Quanto um poupador deverá depositar ao fim de cada trimestre durante 3 anos para 
formar um capital acumulado de R$ 100.000,00 ao término desse prazo, recebendo uma 
taxa de 18% a.a. capitalizada trimestralmente? 
 
 
54 
 
 
9 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 
 
Nos empréstimos a médio e longo prazo é usual a cobrança de juro composto 
 Nos empréstimos sempre que efetuamos um pagamento estamos pagando parte do 
valor relativa aos juros,que são calculados sobre o saldo devedor, e outra parte chamada 
amortização, que faz com que o saldo devedor diminua. 
Os principais sistemas de amortização de empréstimos mais utilizados são: 
• Sistema Francês de Amortização (SF) ou Sistema de Amortização Progressiva 
ou Sistema Price 
• Sistema de Amortização Constante (SAC) 
 
 
9.1 SISTEMA FRANCÊS (DE PRESTAÇÕES IGUAIS OU PRICE) 
 
 Este sistema foi usado inicialmente na França, no século XIX. É o sistema de amortização 
mais utilizado no comércio em geral nas compras à prazo de bens de consumo (com crédito 
direto ao consumidor). A principal característica desse sistema de amortização é que as 
prestações são iguais e periódicas, sendo a periodicidade normalmente mensal. Os juros de 
cada período são calculados sobre o saldo devedor do período anterior e, portanto decrescentes. 
Dessa forma as parcelas de amortização são crescentes. 
O sistema também é conhecido com Sistema ou Tabela Price, devido ao economista 
Richard Price que incorporou o juro composto no sistema, no século XVIII. Sistema ou Tabela 
Price é um caso particular do Sistema Francês, pois a taxa de juros é apresentada em taxas 
anuais nominais e as prestações mensais são calculadas com as correspondentes taxas efetivas 
mensais. 
Esse sistema de amortização é aplicado nas operações de crédito direto ao consumidor, 
nas operações de leasing e nos crediários das lojas comerciais. 
 
Exemplo 1: Uma pessoa fez um empréstimo de R$ 1.000,00, que devem ser pagos em quatro 
parcelas. O sistema de amortização escolhido foi o Price, e a taxa acertada foi de 5% a.m. 
Construir uma planilha. 
 
 
Cálculo através da fórmula 
CÁLCULO RESULTADO SIGNIGADO 
1.000 Presente Valor 
3,545951 Valor do na 
 = 1000/3,545951 282,01 Valor da prestação 
 
 
 
1000 x 0,05 50,00 Valor dos juros no primeiro período 
282,01 - 50 232,01 Valor da amortização do capital no primeiro período 
1000 - 232,01 -767,99 Saldo devedor no primeiro período 
 767,99 x 0,05 38,40 Valor dos juros no segundo período 
282,01 - 38,40 243,61 Valor da amortização do capital no segundo período 
767,99 - 243,61 -524,38 Saldo devedor no segundo período 
 524,38 x 0,05 26,22 Valor dos juros no terceiro período 
282,01 - 26,22 255,79 Valor da amortização do capital no terceiro período 
524,38 - 255,79 -268,58 Saldo devedor no terceiro período 
268,58 x 0,05 13,43 Valor dos juros no quarto período 
282,01 - 13,43 268,58 Valor da amortização do capital no quarto período 
268,58 - 268,58 0,00 Saldo devedor no quarto período 
 
55 
 
 
 
Planilha do financiamento 
n prestação juros amortização saldo devedor 
0 
 
 1.000,00 
1 282,01 50,00 232,01 767,99 
2 282,01 38,40 243,61 524,38 
3 282,01 26,22 255,79 255,79 
4 282,01 13,43 268,58 0 
 
 
Na HP 12C 
TECLAS VISOR SIGNIGADO 
(f) (FIN) (REG) 0,00 Limpa os registros financeiros e o visor 
1.000 (CHS) (PV) -1.000,00 Saldo devedor no período zero 
5 (i) 5 Taxa de juros 
4 (n) 4 Número de prestações 
(PMT) 282,01 Valor da prestação 
 1 (n) (f) (AMORT) 50,00 Valor dos juros no primeiro período 
(x><y) 232,01 Valor da amortização do capital no primeiro período 
(RCL) (PV) -767,99 Saldo devedor no primeiro período 
 1 (n) (f) (AMORT) 38,40 Valor dos juros no segundo período 
(x><y) 243,61 Valor da amortização do capital no segundo período 
(RCL) (PV) -524,38 Saldo devedor no segundo período 
 1 (n) (f) (AMORT) 26,22 Valor dos juros no terceiro período 
(x><y) 255,79 Valor da amortização do capital no terceiro período 
(RCL) (PV) -268,58 Saldo devedor no terceiro período 
 1 (n) (f) (AMORT) 13,43 Valor dos juros no quarto período 
(x><y) 268,58 Valor da amortização do capital no quarto período 
(RCL) (PV) 0 Saldo devedor no quarto período 
 
 
Observação: Se pressionarmos 2(f) (AMORT), o resultado será o valor dos juros 
acumulados nos dois primeiros períodos. Se em seguida, pressionarmos a tecla (x><y), 
obtemos o valor amortizado nos dois primeiros períodos, enquanto que as teclas (RCL) (PV) 
nos fornecem o saldo devedor no final do período considerado. 
 
Exemplo 2: Uma pessoa toma um empréstimo no valor de R$ 6.500,00, à taxa de juros 
efetiva de 3% a.m.. A dívida será paga em cinco prestações mensais, com dois meses de 
carência, calculada pela Tabela Price. Durante o período de carência não haverá 
pagamento de juros. Elabore a planilha de financiamento. 
1º Mês 
FV = 6500.(1+ 0,03)1 6500 enter 3 % + 
FV = 6695 
2º Mês 
FV = 6695.(1+ 0,03)1 6695 enter 3 % + 
FV = 6895,85 
6895,85 = PMT . 6895,85 CHS PV 5 n 
PMT = 6895,85/ 4,579707 3 i PMT 
PMT = 1505,74 
 
 
56 
 
 
 
 
n prestação juros amortização saldo devedor 
0 6.500,00 
1 195,00 6.695,00 
2 200,85 6.895,85 
3 1.505,74 206,88 1298,86 5596,99 
4 1.505,74 167,91 1337,83 4259,16 
5 1.505,74 127,77 1377,97 2881,19 
6 1.505,74 86,44 1419,30 1461,89 
7 1.505,74 43,86 1461,88 0,00 
 
 
Exemplo 3: Uma pessoa toma um empréstimo no valor de R$ 6.500,00, à taxa de juros 
efetiva de 3% a.m.. A dívida será paga em cinco prestações mensais, com dois meses de 
carência, calculada pela Tabela Price. Durante o período de carência haverá pagamento de 
juros. Elabore a planilha de financiamento. 
J = 6500 x 0,03 x 1 
J = 195 
6.500 = PMT . 6500 CHS PV 
PMT = 6500/ 4,579707 5 n 
PMT = 1.419,30 3 i 
 PMT 
 
n prestação juros amortização saldo devedor 
0 6.500,00 
1 195,00 6.500,00 
2 195,00 6.500,00 
3 1.419,30 195,00 1.224,30 5.275,70 
4 1.419,30 158,27 1.261,03 4.014,66 
5 1.419,30 120,44 1.298,86 2.715,80 
6 1.419,30 81,47 1.337,83 1.377,97 
7 1.419,30 41,33 1.377,97 0,00 
 
Exercícios propostos: 
 
1) Um empréstimo de 50.000 UR deve ser devolvido em quatro prestações semestrais à 
taxa de juros de 5% a.s.. Obtenha a planilha pelo sistema Price. 
 
n prestações juros amortização saldo devedor 
 
 
 
 
 
 
2) Um empréstimo de R$ 10.000,00 foi contratado para ser resgatado em 12 prestações 
mensais iguais. Sabendo-se que a taxa de juro contratada foi de 5% a.m., pede-se: 
a) Qual o valor das prestações mensais? 
b) Qual o valor dos juros pagos na primeira prestação? 
c) Qual o valor do capital amortizado na primeira prestação? 
d) Qual o saldo devedor do empréstimo imediatamente após o pagamento da primeira 
prestação? 
 
57 
 
 
3) Dona Nilza toma um empréstimo no valor de R$ 8.800,00, à taxa de juros efetiva de 3% 
a.m.. A dívida será paga em seis prestações mensais, com dois meses de carência, 
calculada pela Tabela Price. Durante o período de carência haverá pagamento de juros. 
Elabore a planilha de financiamento. 
4) Elabore uma planilha do caso anterior se os juros não foram pagos durante o período de 
carência. . 
 
5) Construa um plano de amortização pelo Sistema Francês com as seguintes 
informações: 
Dívida: R$ 150.000,00 Prazo: 5 anos 
Prestações mensais Taxa de juros: 1,2 % ao mês 
De quanto é amortização da 4ª prestação? 
Quanto falta pagar ao saldar a 5ª prestação? 
 
 
9.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES CONSTANTES (SAC) 
 
O sistema de amortização constante é liquidado via pagamento de prestações assim 
como o Sistem Price. 
 Esse sistema de amortização é utilizado principalmente em repasses de recursos 
do Governo, notadamente BNDES e, em financiamentos imobiliários (Sistema Financeiro de 
Habitação). 
 Neste sistema o mutuário paga a dívida em prestações periódicas e imediatas, que 
englobam juros e amortização. A diferença é que a amortização é constante em todos os 
períodos. 
 Nesse sistema, o principalé dividido pelo número de parcelas, nas quais as cotas de 
amortização são sempre iguais, sendo, portanto constantes. Os juros são calculados sobre o 
saldo devedor do principal, por ocasião do pagamento de cada parcela. A prestação é a soma 
dos juros com a amortização. 
 
 
Exemplo 1: Na compra de uma geladeira, uma pessoa quer um financiamento de R$ 1.080,00 
em um banco que cobra uma taxa de juros de 1% a.m. Essa importância será amortizada através 
do SAC, em seis prestações mensais. 
 
Cálculo do valor da amortização: 
Amort. = PV / nº de prestações 
Amort. = 1.080 / 6 
Amort. = R$ 180,00 
 
Cálculo do saldo devedor: Saldo devedor do período anterior - amortização. 
Cálculo do juros: Saldo devedor do período anterior x i/100 
Cálculo da prestação: juros + amortização 
 
n prestações juros amortização saldo devedor 
0 1.080,00 
1 190,80 10,80 180,00 900,00 
2 189,00 9,00 180,00 720,00 
3 187,20 7,20 180,00 540,00 
4 185,40 5,40 180,00 360,00 
5 183,60 3,60 180,00 180,00 
6 181,80 1,80 180,00 0,00 
 
58 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios propostos: 
 
1) Um empréstimo no valor de R$ 2.000.000,00 é concedido, à taxa de juros compostos de 
10% a.a., para ser reembolsado em cinco anos, através de prestações anuais, a 
primeira vencível ao final do primeiro ano, pelo sistema SAC. Qual valor a amortização 
contida no 3º pagamento? 
 
2) Um banco libera para uma empresa um crédito de 120.000 UR para ser devolvido pelo 
SAC em seis parcelas trimestrais. Obtenha a planilha, sabendo-se que a taxa de juros é 
de 5% a.t. 
 
3) Dona Eunice tomou um empréstimo no valor de R$ 6.500,00, à taxa de juros efetiva de 2% 
ao mês. A dívida será paga em quatro prestações mensais, com três meses de carência, 
calculada pelo SAC. Durante o período de carência haverá pagamento dos juros 
compensatórios. Elabore uma planilha de financiamento. 
 
4) Elabore uma planilha do caso anterior se os juros não forem pagos durante o período de 
carência.. 
 
 
 
 
59 
 
 
10 ANÁLISE DE INVESTIMENTOS 
 
 Em todo processo de análise de projetos e decisões de investimentos, a Matemática 
Financeira possui um papel fundamental, pois, com a aplicação de técnicas certas, é 
possível avaliar com maior clareza e segurança os riscos inerentes a esses processos. O 
Administrador Financeiro deve tomar decisões básicas que dizem respeito aos 
Investimentos a serem efetuados numa empresa a forma de Financiamento mais 
apropriada. 
Um investimento deve ser efetuado quando o retorno obtido no futuro for maior do 
que o custo de oportunidade, ou seja, quando a taxa de retorno for superior à taxa de 
mercado. 
 Para analisar a viabilidade de um investimento verificaremos dois dos mais 
importantes métodos utilizados: cálculo do Valor Presente Líquido (VPL) e o cálculo da Taxa 
Interna de Retorno (TIR). 
 
 
10.1 VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) 
 
 O valor presente líquido é a soma algébrica dos valores atuais das entradas e saídas 
de dinheiro, ao longo do tempo, descontadas a uma taxa efetiva. 
 Essa técnica de análise oferece maiores possibilidades ao administrador financeiro, 
pois se trata de uma técnica mais precisa. Permite conhecer as necessidades de caixa, ou 
os ganhos de determinado projeto, em termos de valores hoje. Assim, ao deslocarmos os 
fluxos de caixa para uma data zero, deveremos lançar mão de uma taxa de juros que, no 
jargão do mercado, é chamado de Taxa Mínima de Atratividade (TAM) . Se o VPL 
calculado for positivo o projeto deve ser aceito, se o VPL for negativo o projeto deve 
ser recusado. 
 
 
Exemplo 1: Uma firma investiu R$ 10.000,00 obtendo um retorno de R$ 6.000,00 no final de 
um mês e R$ 5.000,00 no final de dois meses. Pede-se para calcular: 
a) O valor presente líquido (VPL) descontado a uma taxa de 6% a.m. 
b) O valor presente líquido (VPL) descontado a taxa de 7% a.m. 
 
 6.000 5.000 
 
 0 1 2 
 
10.000 
 
a) VPL (6%) 
 VPL= -10.000 + 6.000 x (1+0,06)-1 + 5.000 x (1 + 0,06)-2 
 VPL= 110,36 
 
Na HP-12C 
TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
(f) (REG) 0,00 Limpa todos os registros 
10000 (CHS) (g) (Cfo) -10.000,00 Introduz a saída do período 0 
6000 (g) (CFj) 6.000,00 Introduz a saída do período 1 
5000 (g) (CFj) 5.000,00 Introduz a saída do período 2 
6 (i) 6 Introduz a taxa de desconto 
(f) (NPV) 110,36 Calcula o VPL 
 
60 
 
 
 
b) VPL (7%) 
 VPL= -10.000 + 6.000 x (1+0,07)–1 + 5.000 x (1+0,07)-2 
 VPL=-25,33 
Se o VPL calculado for positivo o projeto deve ser aceito, se o VPL for 
negativo o projeto deve ser recusado. 
 
 
Exemplo 2: Calcule o VPL e verifique se o investimento deve ser aceito ou rejeitado, 
tomando como base os dados da tabela abaixo e uma taxa de 3% ao mês. 
 
R$/Meses 0 1 2 3 
Entrada 10.000,00 15.000,00 30.000,00 
Saídas 40.000,00 2.000,00 20.000,00 
Saldo - 40.000,00 8.000,00 -5.000,00 30.000,00 
 
VPL= - 40.000 + 8.000 x (1+0,03)–1 - 5.000 x (1+0,03)-2 + 30.000 x (1+0,03)–3 
VPL= - 40.000+ 7.766,99 – 4.712,98 + 27.454,25 
VPL = - 44.712,98 + 35.221,24 
VPL = - 9.491,74 
Deve ser rejeitado, porque o VPL é negativo. 
 
TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
(f) (REG) 0,00 Limpa todos os registros 
40000 (CHS) (g) (Cfo) -40.000,00 Introduz a saída do período 0 
8000 (g) (CFj) 8.000,00 Introduz a saída do período 1 
5000 (CHS) (g) (CFj) -5.000,00 Introduz a saída do período 2 
30000 (g) (CFj) 30.000,00 Introduz a saída do período 3 
3 (i) 3 Introduz a taxa de desconto 
(f) (NPV) -9.491,74 Calcula o VPL 
 
 
Exercícios propostos: 
 
1) Uma transportadora pensa em comprar um novo caminhão no valor de R$ 70.000,00. Os 
fluxos de caixa decorrentes do investimento estão apresentados na tabela a seguir. 
Sabendo que o custo de capital da empresa é igual a 12% ao ano, estime o VPL. 
 
Período Fluxo 
0 (70.000,00) 
1 50.000,00 
2 40.000,00 
3 30.000,00 
 
 
2) Calcule o VPL e verifique se o investimento deve ser aceito ou rejeitado, tomando como 
base os dados da tabela abaixo e uma taxa de 5% ao mês. 
 
R$/Meses 0 1 2 3 
Entrada 10.000,00 15.000,00 30.000,00 
Saídas 50.000,00 
Saldo 
 
61 
 
 
3) Um analista financeiro precisa determinar o valor da terceira parcela do fluxo de caixa B, 
que faz com que os fluxos de caixa indicados na tabela a seguir sejam equivalentes na data 
focal zero, à taxa efetiva de 3%a.m., no regime de juros compostos. 
 
Mês 0 1 2 3 4 5 6 
Fluxo A 2500 3000 5000 10000 5000 4000 
Fluxo B 8000 ????? 7000 5000 6000 
 
 
10.2 TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) 
 
 A taxa interna de retorno é a taxa de juros (desconto) que iguala, em determinado 
tempo, o valor presente das entradas (recebimentos) com os das saídas (pagamentos) 
previstas de caixa. 
 É a taxa de juro efetiva para a qual o valor presente líquido (VPL) é zero.Do ponto de 
vista prático, um projeto é considerado viável quando sua TIR supera a TMA. 
 
Exemplo: Calcular a taxa interna de retorno, do exemplo do VPL. 
 
Por não existir uma fórmula para calcular o TIR, utilizamos o método de interpolação. 
Estipulamos uma taxa qualquer e calculamos o VPL do investimento. Se o valor for positivo, 
a TIR é maior que a estimada. Supõe-se uma nova taxa, de valor maior que a anterior, e 
calcula-se o VPL. Caso o valor volte a ser positivo, devemos repetir o procedimento até 
achar um valor negativo para o VPL. 
 
Em seguida faz-se a interpolação. 
 
Como vimos, para r=6% tivemos VPL= 110,36 
e para r=7% tivemos VPL = -25,33, 
 
Assim podemos dizer queo valor de TIR esta entre 6% e 7%, logo: 
 
6 110,36 então, x=
81,0
69,135
36,110
=
 
7 -25,33 
 
1 135,69 TIR = 6 + 0,81= 6,81% a.m. 
x 110,36 
 
 
Na HP-12C 
TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
(f) (REG) 0,00 Limpa todos os registros 
10000 (CHS) (g) (Cfo) -10.000,00 Introduz a saída do período 0 
6000 (g) (CFj) 6.000,00 Introduz a saída do período 1 
5000 (g) (CFj) 5.000,00 Introduz a saída do período 2 
(f) (IRR) 6,81 Calcula a TIR 
 
 
 
 
62 
 
 
 
Exercícios propostos: 
 
1) Determinar a TIR referente a um empréstimo de R$ 126.900,00 a ser liquidado em 
quatro pagamentos mensais e consecutivos de R$ 25.000,00, R$ 38.000,00, R$ 
45.000,00 e R$ 27.000,00. 
 
2) Uma aplicação financeira envolve uma saída de caixa de R$ 47.000,00 no momento 
inicial, e os seguintes benefícios esperados de caixa ao final de 3 meses imediatamente 
posteriores: R$ 12.000,00, R$ 15.000,00 e R$ 23.000,00. Determinar a TIR mensal 
efetiva dessa operação. 
 
3) Calcule o VPL e verifique se o investimento deve ser aceito ou rejeitado, tomando como 
base os dados da tabela abaixo e uma taxa de 5% ao mês. 
 
R$\ 
Meses 0 1 2 3 
Entradas - 4.000,00 22.000,00 34.000,00 
Saídas 25.000,00 18.000,00 5.000,00 - 
Saldo 
 
4) Calcule a taxa de retorno de um investimento de R$ 1.200,00, onde serão obtidas 
receitas mensais conforme o diagrama a seguir: 
 
 500 800 200 
 
 
 
 1.200 
 
5) Um projeto de investimento inicial de R$ 70.000,00 gera entradas de caixa de R$ 
25.000,00 nos próximos 5 anos; em cada ano será necessário um gasto de R$ 5.000,00 
para manutenção, considerando um custo de oportunidade de 8% ao ano. O 
investimento deve ser realizado ou não? 
 
6) Fábio empresta hoje a André a importância de R$ 10.000,00. Para pagamento do 
empréstimo, André entrega a Fábio cheques de R$ 3.000,00, R$ 4.000,00 e R$ 6.000,00 
com vencimentos para 2, 4 e 6 meses, respectivamente. Calcule a taxa de juros (TIR) 
cobrada no empréstimo. 
 
7) O Sr. Pedro pretende se aposentar nos próximos anos e quer juntar suas economias 
para investir na compra de uma máquina que faça sacolas plásticas. Pretende contratar 
um funcionário para trabalhar nessa máquina nos próximos 5 anos. As informações que 
ele dispõe são as seguintes: uma máquina nova custa R$ 30.000,00. As despesas de 
manutenção da máquina estão estimadas em R$ 5.000,00 no primeiro ano e estima-se 
um aumento de R$ 1.500,00 a cada novo ano. O Sr. Pedro pretende pagar para o 
funcionário R$ 5.000,00 no primeiro ano com um aumento salarial de 10% a cada ano, e 
o faturamento anual previsto é de R$ 25.000,00. Após os 5 anos, o Sr. Pedro pretende 
vender a máquina por R$ 10.000,00. Considerando que o investimento seja aceito se 
render pelo menos 16% a.a., determine o valor presente líquido. 
 
63 
 
 
8) Jari precisa avaliar um novo negócio com investimento inicial de R$ 8.000,00. Ele faz as 
seguintes estimativas para o fluxo de caixa anual: R$ 2.000,00; R$ 3.500,00 e R$ 
5.000,00. A taxa de atratividade é de 15% a.a. 
a) Qual o VPL do projeto? 
b) O projeto é viável? Por que? 
c) Qual o valor máximo para o investimento inicial que torna o projeto viável? 
 
9) Cristina precisa avaliar um novo investimento que, segundo suas estimativas, vai 
gerar os seguintes fluxos de caixa anual: R$ 7.000,00; R$ 6.000,00; R$ 5.000,00; R$ 
4.000,00; R$ 3.000,00; R$ 2.000,00 e R$ 1.000,00. O investimento será de R$ 
18.000,00 e ela trabalha com uma taxa mínima de atratividade é de 15% a.a. 
a) Qual o VPL do projeto? 
b) O que significa um VPL positivo para o projeto? 
c) O projeto é viável? 
 
10) Uma fábrica de estofados, estuda s possibilidade de realização de dois projetos 
excludentes: reformar sua linha de produção mais antiga, ou adquirir uma linha 
inteiramente nova. A reforma está orçada em R$ 600.000,00 e a aquisição dos novos 
equipamentos tem um investimento estimado em R$ 1.200.000,00. Os fluxos de caixa de 
ambos os investimentos estão apresentados na tabela abaixo. 
 
Opção Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 
Reformar -600 150 250 350 250 550 
Comprar -1200 300 500 600 650 650 
 
 
a) Qual a TIR da opção comprar uma linha nova? 
b) Qual o valor presente líquido da opção reforma das linhas de produção, sendo a taxa 
24%a.a.? 
c) Qual o valor presente líquido da opção comprar uma linha nova, sendo a taxa 
24%a.a.? 
d) Considerando o VPL, qual é a melhor opção para a empresa? 
 
 
64 
 
 
ANEXO A – TABELA DE VALORES UNITÁRIOS ATUAIS 
 
n 1% 1,50% 2% 2,50% 3,00% 3,5% 4% 5% 6% 
1 0,990099 0,985222 0,980392 0,975610 0,970874 0,966184 0,961538 0,952381 0,943396 
2 1,970395 1,955883 1,941561 1,927424 1,913470 1,899694 1,886095 1,859410 1,833393 
3 2,940985 2,9122 2,883883 2,856024 2,828611 2,801637 2,775091 2,723248 2,673012 
4 3,901966 3,854385 3,807729 3,761974 3,717098 3,673079 3,629895 3,545951 3,465106 
5 4,853431 4,782645 4,713460 4,645828 4,579707 4,515052 4,451822 4,329477 4,212364 
6 5,795476 5,697187 5,601431 5,508125 5,417191 5,328553 5,242137 5,075692 4,917324 
7 6,728195 6,598214 6,471991 6,349391 6,230283 6,114544 6,002055 5,786373 5,582381 
8 7,651678 7,485925 7,325481 7,170137 7,019692 6,873956 6,732745 6,463213 6,209794 
9 8,566018 8,360517 8,162237 7,970866 7,786109 7,607687 7,435332 7,107822 6,801692 
10 9,471305 9,222185 8,982585 8,752064 8,530203 8,316605 8,110896 7,721735 7,360087 
11 10,36763 10,07112 9,786848 9,514209 9,252624 9,001551 8,760477 8,306414 7,886875 
12 11,25508 10,90751 10,575341 10,257765 9,954004 9,663334 9,385074 8,863252 8,383844 
13 12,13374 11,73153 11,348374 10,983185 10,634955 10,302738 9,985648 9,393573 8,852683 
14 13,0037 12,54338 12,106249 11,690912 11,296073 10,920520 10,563123 9,898641 9,294984 
15 13,86505 13,34323 12,849264 12,381378 11,937935 11,517411 11,118387 10,379658 9,712249 
16 14,71787 14,13126 13,577709 13,055003 12,561102 12,094117 11,652296 10,837770 10,105895 
17 15,56225 14,90765 14,291872 13,712198 13,166118 12,651321 12,165669 11,274066 10,477260 
18 16,39827 15,67256 14,992031 14,353364 13,753513 13,189682 12,659297 11,689587 10,827603 
19 17,22601 16,42617 15,678462 14,978891 14,323799 13,709837 13,133939 12,085321 11,158116 
20 18,04555 17,16864 16,351433 15,589162 14,877475 14,212403 13,590326 12,462210 11,469921 
21 18,85698 17,90014 17,011209 16,184549 15,415024 14,697974 14,029160 12,821153 11,764077 
22 19,66038 18,62082 17,658048 16,765413 15,936917 15,167125 14,451115 13,163003 12,041582 
23 20,45582 19,33086 18,292204 17,332110 16,443608 15,620410 14,856842 13,488574 12,303379 
24 21,24339 20,03041 18,913926 17,884986 16,935542 16,058368 15,246963 13,798642 12,550358 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
65 
 
 
ANEXO B – TABELA DE VALORES UNITÁRIOS FUTUROS 
 
n 1% 1,50% 2% 2,50% 3,00% 3,5% 4% 5% 6% 
1 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 
2 2,01000 2,01500 2,02000 2,02500 2,03000 2,03500 2,04000 2,05000 2,06000 
3 3,03010 3,04522 3,06040 3,07563 3,09090 3,10622 3,12160 3,15250 3,18360 
4 4,06040 4,09090 4,12161 4,15252 4,18363 4,21494 4,24646 4,31013 4,37462 
5 5,10101 5,15227 5,20404 5,25633 5,30914 5,36247 5,41632 5,52563 5,63709 
6 6,15202 6,22955 6,30812 6,38774 6,46841 6,55015 6,63298 6,80191 6,97532 
7 7,21354 7,32299 7,43428 7,54743 7,66246 7,77941 7,89829 8,14201 8,39384 
8 8,28567 8,43284 8,58297 8,73612 8,89234 9,05169 9,21423 9,54911 9,89747 
9 9,36853 9,55933 9,75463 9,95452 10,15911 10,36850 10,58280 11,02656 11,49132 
10 10,46221 10,70272 10,94972 11,20338 11,46388 11,7313912,00611 12,57789 13,18079 
11 11,56683 11,86326 12,16872 12,48347 12,80780 13,14199 13,48635 14,20679 14,97164 
12 12,68250 13,04121 13,41209 13,79555 14,19203 14,60196 15,02581 15,91713 16,86994 
13 13,80933 14,23683 14,68033 15,14044 15,61779 16,11303 16,62684 17,71298 18,88214 
14 14,94742 15,45038 15,97394 16,51895 17,08632 17,67699 18,29191 19,59863 21,01507 
15 16,09690 16,68214 17,29342 17,93193 18,59891 19,29568 20,02359 21,57856 23,27597 
16 17,25786 17,93237 18,63929 19,38022 20,15688 20,97103 21,82453 23,65749 25,67253 
17 18,43044 19,20136 20,01207 20,86473 21,76159 22,70502 23,69751 25,84037 28,21288 
18 19,61475 20,48938 21,41231 22,38635 23,41444 24,49969 25,64541 28,13238 30,90565 
19 20,81090 21,79672 22,84056 23,94601 25,11687 26,35718 27,67123 30,53900 33,75999 
20 22,01900 23,12367 24,29737 25,54466 26,87037 28,27968 29,77808 33,06595 36,78559 
21 23,23919 24,47052 25,78332 27,18327 28,67649 30,26947 31,96920 35,71925 39,99273 
22 24,47159 25,83758 27,29898 28,86286 30,53678 32,32890 34,24797 38,50521 43,39229 
23 25,71630 27,22514 28,84496 30,58443 32,45288 34,46041 36,61789 41,43048 46,99583 
24 26,97346 28,63352 30,42186 32,34904 34,42647 36,66653 39,08260 44,50200 50,81558