UNIDADE 6 - TESTES DE HIPÓTESES

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TESTES DE HIPÓTESES 
Alexandra Augusti Boligon 
 Nessa parte da disciplina vamos tratar dos testes de hipóteses referentes a 
parâmetros da população. Trata-se de uma técnica para se fazer inferência estatística, ou 
seja, a partir de um teste de hipóteses, realizado com os dados amostrais, pode-se inferir 
sobre parâmetros populacionais. 
 Nos intervalos de confiança podemos dizer que se procurava “cercar” o parâmetro 
populacional desconhecido através de um limite inferior e um limite superior deste. Já nos 
testes de hipóteses, formula-se uma hipótese referente ao valor do parâmetro 
populacional, e pelos elementos amostrais, faz-se um teste que indicará a aceitação ou 
rejeição da hipótese formulada. 
Assim, seja uma hipótese, que será considerada válida até a comprovação ou não, 
acerca de um dado parâmetro da população (média, variância, proporção, etc.). Esta 
hipótese que estamos considerando será testada com base em resultados amostrais, 
sendo aceita ou rejeitada, através da aplicação de testes de hipóteses. 
 Como vimos anteriormente, cada parâmetro populacional possui um estimador 
obtido na amostra. Assim, vimos que a média amostral 
X
 é o melhor estimador da média 
populacional 

, fazendo com que, se desejarmos testar uma hipótese referente ao 
verdadeiro valor da média 

 da população, a variável de teste mais adequada será 
X
. 
 
1 - HIPÓTESES ESTATÍSTICAS 
 
 Quando desejamos comparar determinadas estimativas amostrais com parâmetros 
populacionais desconhecidos, fazemos suposições acerca do resultado. Essas 
suposições, que podem ser ou não verdadeiras, são denominadas de hipóteses 
estatísticas. Normalmente queremos saber se os valores diferem ou não entre si a um 
determinado nível de significância. 
 
1.1 – Hipótese nula – H0 
 
 É a hipótese a ser testada. É a hipótese que o teste levará à aceitação ou rejeição. 
Corresponde, portanto, à negação ou afirmação de H1, respectivamente. A conclusão 
será sempre enunciada em termos de hipótese H0, ou seja, aceitar ou rejeitar H0. 
 2 
 
1.2 – Hipótese alternativa – H1 
 
 Será a hipótese alternativa, a qual será comparada a hipótese nula, representada 
por H1. 
 
2 – TESTES DE HIPÓTESES 
 
 É o processo pelo qual aceitamos ou rejeitamos as hipóteses formuladas. Através 
destes, podemos concluir se a amostra observada difere de modo significativo dos 
resultados esperados ou não. Também podemos conceituá-lo como uma regra de decisão 
para aceitar ou rejeitar uma hipótese estatística com base em elementos amostrais. 
 
2.1 – Erros do tipo I e tipo II 
 Há dois tipos possíveis de erro ao testar uma hipótese estatística. Pode-se rejeitar 
uma hipótese quando ela é, de fato, verdadeira, ou aceitar uma hipótese quando ela é, de 
fato, falsa. 
Assim, o erro tipo I diz respeito à probabilidade de rejeitar H0 quando esta é 
verdadeira, ou seja, concluir que existe diferença entre os parâmetros estudados quando 
na verdade não há diferença significativa entre eles. Já o erro tipo II nos fornece a 
probabilidade de aceitar H0 quando esta é falsa, ou seja, concluir que não há diferença 
entre os parâmetros, quando na verdade estes são significativamente diferentes. 
 O erro tipo I será representado por 

, chamado de nível de significância do teste, e 
o erro tipo II por 

. 
 
 
 
 
 
 
Nos testes de hipótese, normalmente fixamos o nível de significância do teste, 

, e 
delimitamos a região de rejeição e de aceitação de H0 através da tabela da distribuição 
Decisões possíveis 
Estados possíveis 
H0 verdadeira H0 falsa 
Aceitação de H0 Decisão correta Erro do tipo II 
Rejeição de H0 Erro do tipo I Decisão correta 
 
 3 
normal padrão, de acordo com a figura abaixo. Observe que o erro tipo I só poderá ser 
cometido se for rejeitada H0, e o erro tipo II, quando se aceitar H0. 
 
 
 
 O pesquisador deseja, obviamente, reduzir ao mínimo as probabilidades dos dois 
tipos de erros. Infelizmente essa é uma tarefa difícil, pois, para uma amostra de 
determinado tamanho, a probabilidade de se incorrer em um erro tipo II aumenta à 
medida que diminui a probabilidade de erro tipo I, e vice-versa. A redução simultânea dos 
erros poderá ser alcançada pelo aumento do tamanho de amostra. 
 Conclusão: nesse caso, se o valor observado da média amostral for inferior ao 
valor de z crítico, a hipótese H0 deve ser rejeitada, concluindo que há diferença entre as 
médias testadas, ao nível de 5% de probabilidade de erro. Isso implica automaticamente 
que esta hipótese também será rejeitada se for utilizado probabilidade de erro de 10%. 
Caso a média amostral seja superior ao valor de z crítico, aceitamos a hipótese H0 e 
concluímos que não houve diferença significativa entre os valores testados, com 5% de 
probabilidade de erro. 
 
2.2 – Nível de significância 
 Ao testar uma hipótese estabelecida, a probabilidade máxima com a qual se 
sujeitaria a correr o risco de um erro do tipo I é denominada de nível de significância do 
teste. Essa probabilidade, representada freqüentemente por 

, é geralmente 
.05,0
 
Região de rejeição de H0. 
Região de aceitação de H0. 
Valor crítico de zi. 
 4 
especificada antes da extração de quaisquer amostras, de modo que os resultados 
obtidos não influenciem na escolha. 
 Nos testes de hipóteses, apenas o erro 

 é considerado. 
 
2.3 – Tipos de testes de hipóteses 
 
 Estudaremos testes de hipóteses com uma hipótese nula (H0) e uma hipótese 
alternativa (H1). A partir da formulação de H0 e H1, podemos definir o tipo do teste a ser 
utilizado. 
 Consideremos  o parâmetro estudado e o valor inicialmente suposto para . 
 Se nas hipóteses formuladas forem do tipo: 
 
 
 O teste de hipóteses é denominado de TESTE BILATERAL. 
 
 
 
 O teste é denominado de TESTE UNILATERAL Á DIREITA. 
 
 
 O teste é denominado de TESTE UNILATERAL Á ESQUERDA. 
 
 
A decisão de aceitar ou rejeitar a hipótese H0 pode variar com o nível de 
significância adotado. Assim, um resultado experimentalmente obtido pode ser ou não 
significante, dependendo do 

 fixado. Assim, sendo verdadeira a hipótese H0, a 
probabilidade de se obter um valor experimental significativamente incompatível com H0 
(ou seja, um valor experimental que caia na região crítica) é pequena, fixada em 

. Logo, 
se obtivermos um valor experimentalmente que caiu na região crítica, será pouco provável 
que a hipótese H0 seja verdadeira; rejeitamos então H0 com bastante convicção, a qual 
será tanto maior quanto menor o nível 

 adotado. 
 Por outro lado, se o valor experimental da variável de teste cair na região de 
aceitação, não terá havido, ao nível 

 considerado, evidencia significativa suficiente para 
H0   = o 
H1    o 
H0   = o 
H1    o 
H0   = o 
H1    o 
 
 5 
a rejeição da hipótese H0, a qual deverá ser, portanto, aceita. Nesse caso, estaríamos 
sujeito a cometer o erro tipo II, cuja probabilidade é dada por 

. 
 
2.4 – Etapas de um teste de hipóteses 
Resumo das etapas aplicadas a qualquer teste de hipóteses: 
 
I. Determinar as hipóteses, nula e alternativa, que são apropriadas para a 
aplicação (H0 e H1). 
II. Selecionar a estatística de teste (zi, t...). 
III. Especificar o nível de significância 

 (0.01, 005, 0.1...). 
IV. Encontrar as regiões de aceitação e de rejeição de H0 na tabela. 
V. Calcular o valor da estatística de teste, com os dados amostrais.VI. Concluir pela aceitação ou rejeição de H0, através da comparação do valor 
obtido no 5º passo com RA e RC. 
 
3 - TESTE DE HIPÓTESES PARA A MEDIA DA POPULAÇÃO – quando n é grande e a 
variância populacional é conhecida 
 
Vamos agora aplicar o que vimos anteriormente aos casos que podem ocorrer ao 
se testarem hipóteses sobre a média de uma população. 
É conveniente lembrar que todos os testes de hipóteses que serão vistos neste aqui 
pressupõe a normalidade da distribuição amostral da variável de teste (média). Como 
sabemos, essa suposição será rigorosamente válida se a distribuição da população for 
normal e a amostragem aleatória, e será válida, em geral, com boa aproximação, se a 
amostra for suficientemente grande. 
No caso de amostra de tamanho grande e variância populacional conhecida, a 
distribuição normal de probabilidades pode ser utilizada para testar um valor hipotético da 
média da população. Então: 
- n≥30, devido ao teorema do limite central, ou se 
- n<30, a população for normalmente distribuída e σ2 conhecida. 
 O valor da estatística de teste, neste caso, é determinado por: 
 
 ou 
 
n
x
Z oi
/


 
S x
o
i
x
Z


 
 6 
 Onde: 
n
SS
X

 
 
Montando o teste: 
 
1º passo: definir as hipóteses: 
00 :  H
 
01 :  H
 (teste unilateral à esquerda) ou 
01 :  H
 (teste unilateral à direita) ou 
01 :  H
 (teste bilateral) 
 
2º passo: selecionar a estatística de teste. Como temos n grande e a variância 
populacional conhecida, usamos a distribuição normal (z). 
 
3º passo: definir 

. 
 
4º passo: encontrar os valores críticos do teste na tabela da distribuição normal padrão 
(ztabelado). 
 
5º passo: Definir zcalculado pelas equações dadas acima. 
 
6º passo: comparar o valor calculado com o valor tabelado (definir região de aceitação e 
de rejeição) e concluir. Assim, se o valor de zcalculado encontra-se na região de rejeição, 
rejeita-se H0. Conclui-se que a média populacional (

) difere significativamente da média 
testada (
0
), em 5% de probabilidade de erro. Caso contrário, não se rejeita a hipótese 
nula e conclui-se que a média populacional não difere significativamente de 
0
, ao nível 
de 5% de significância. 
 
 7 
REGIÕES DE REJEIÇÃO E ACEITAÇÃO PARA TESTE UNILATERAL E BILATERAL 
 
Teste bilateral 
00 :  H
 
01 :  H
 
 
 
 
Teste unilateral à direita 
 
00 :  H
 
01 :  H
 
 
Regiões de rejeição (

/2 *2 caudas=

). 
Região de aceitação (1-

). 
Região de aceitação de H0 (1- ). 
Região de rejeição de H0 (1- ). 
 8 
Teste unilateral à esquerda 
 
00 :  H
 
01 :  H
 
 
 
 
 
 
Interpretação e conclusão: 
Tabela 1 – testes de hipótese para uma média com 

 conhecido. 
Hipóteses Rejeita-se H0 quando 
00 :  H
 
zz 
 
01 :  H
 
00 :  H
 
zz 
 
01 :  H
 
00 :  H
 
2/zz 
 
01 :  H
 
Fonte: Costa Neto, 1977. 
Região de aceitação (1-

). 
Região de rejeição (

). 
 9 
EXEMPLO: O desvio-padrão do diâmetro de uma população de plantas é igual a 22 cm. 
Se uma amostra de 100 elementos, retirada dessa população, forneceu 
cmX 80,115
. 
Podemos afirmar que a média dessa população é inferior a 120 cm, ao nível de 5% de 
significância? 
 
Passo 1: As hipóteses a serem testadas são: 
120:
120:
1
0




H
H 
 
Passo 2: Estatística de teste: distribuição normal padrão. 
 
Passo 3: Definição de 

=0,05. 
 
Passo 4: Valor de ztabelado. Na tabela z encontramos: 
65,1%5 z
 
 
Passo 5: Valor de zcalculado. 
91,1
100/22
1208,115
/





n
x
Z oi 
 
 
Passo 6: Comparar os valores de z: 
%5zzcalculado 
. 
 
Passo 7: Rejeita-se H0 ao nível 

= 0,05 (ver figura do teste unilateral à esquerda). 
Assim, podemos concluir que a média do diâmetro dessa população de araucária é 
inferior a 120 cm. 
 
 10 
4 - TESTE DE HIPÓTESES PARA A MEDIA DA POPULAÇÃO – quando n é pequeno 
ou a variância populacional é desconhecida 
 
 É muito freqüente, na prática, o caso em que desejamos testar hipóteses referentes 
à média de uma população cujo desvio-padrão nos é desconhecido ou quando temos 
uma amostra de tamanho pequeno. Se dispusermos apenas de uma amostra de n 
elementos extraídos dessa população, com base na qual iremos realizar o teste, devemos 
então usar essa mesma amostra para estimar o desvio-padrão 

 dessa população. 
 Por outro lado vimos que ao se substituir 

 por s no cálculo do valor crítico de z, a 
variável resultante terá distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade. 
Como já vimos na aula de distribuições amostrais, a distribuição t de Student deve 
ser utilizada num teste de hipóteses sobre a média populacional quando n<30, população 
for normalmente distribuída e σ2 desconhecida. 
 A estatística de teste apropriada nestes casos será t, determinada pela formula: 
 
 
 
 
 
 
 
Interpretação e conclusão 
Tabela 1 – testes de hipótese para uma média com 

 desconhecido. 
Hipóteses Rejeita-se H0 quando 
00 :  H
 
tabeladocalculado tt 
 
01 :  H
 
00 :  H
 
tabeladocalculado tt 
 
01 :  H
 
00 :  H
 
tabeladocalculado tt 
 
01 :  H
 
Fonte: Costa Neto, 1977. 
 
nS
x
t o
/


 
 
 11 
EXEMPLO: Em trabalho avaliando a percentagem de nutrientes em folhas de um clone 
seringueira (Hevea brasiliensis), encontrou-se, no folhedo (folhas recém caídas), o valor 
de 12 g.kg-1 de nitrogênio. Deseja-se investigar se o este valor é significativamente 
diferente do encontrado nas folhas das plantas, as quais forneceram 
1.9,13  kggX
 e 
8155,02 xS
 (n=5). Qual a conclusão ao nível de 1% de probabilidade de erro? 
 
 
Passo 1: definição das hipóteses: 
1
1
1
0
.12:
.12:




kggH
kggH

 TESTE BILATERAL. 
 
Passo 2: Estatística de teste: distribuição t. 
 
Passo 3: Definição de 

=0,01. 
 
Passo 4: Valor de ttabelado. Na tabela t encontramos: 
604,4%)1;4( t
 
 
Passo 5: Valor de tcalculado. 
 
21,5
5/8155,0
0,129,13
/





nS
x
t
x
o
calculado
 
Passo 6: Comparar os valores de t: 
%)1;4(ttcalculado 
. O valor de t calculado está na região 
de rejeição de H0 (conferir figura do teste bilateral). 
 
Passo 7: Rejeita-se H0 ao nível  = 0,01. Há diferença significativa a 1% de probabilidade 
de erro, entre a concentração média de nitrogênio encontrada nas folhas senescentes e 
no folhedo de seringueira. 
 12 
5 - TESTE DE HIPÓTESES PARA UMA VARIÂNCIA POPULACIONAL 
 As mesmas idéias apresentadas no caso do teste para média populacional podem 
ser utilizadas para se realizarem testes envolvendo a variância da população. Assim, 
testamos as hipóteses: 
22
1
22
0
:
:
SH
SH



 
 Como já vimos na aula de distribuições, a variância amostral segue a distribuição 
qui-quadrado (
2
) com n-1 graus de liberdade. Então, nesses casos, utilizaremos a 
tabela da distribuição 
2
, onde o grau de liberdade 

 é dado por n-1. 
Se a variância da amostra S² for próxima do valor testado 
2
, iremos aceitar H0. 
Somente rejeitaremos a hipótese H0 se S² for significativamente superior a 2 . Isso 
ocorrerá se S² cair na região crítica, a qual corresponde à cauda àdireita, com 
probabilidade de erro 

, suposta verdadeira a hipótese H0. Ou seja, rejeitamos H0 se a 
variância da amostra (valor calculado) for maior que o valor crítico (valor tabelado). 
O valor de
calculado
2
 é dado por: 
 
 
²
²)1(
1
2

 Snn


 
Onde: n é o tamanho da amostra; S² é a variância amostral e 
2
é o valor da 
hipótese nula. O valor tabelado (
 ;1² n
) é dado na tabela qui-quadrado com n-1 graus de 
liberdade e 

 probabilidade de erro. 
 
Interpretação e conclusão 
Tabela 1 – testes de hipótese para uma variância. 
Hipóteses Rejeita-se H0 quando 
22
0 : SH 
 
eriorcalculado
eriorcalculado
sup
2
inf
2
²
²



 
22
1 : SH 
 
22
0 : SH 
 
tabeladocalculado ²²  
 
22
1 : SH 
 
22
0 : SH 
 
tabeladocalculado ²²  
 
22
1 : SH 
 
Fonte: Costa Neto, 1977. 
 13 
EXEMPLO: Considerando o exemplo dado anteriormente, analisando-se uma amostra de 
dez folhas novas de seringueira, foi encontrada uma variância de 12,4 g.kg-1 para a 
percentagem de nitrogênio. Pergunta-se: esse resultado é suficiente para concluir, ao 
nível de 5% de significância, que a variância da percentagem de nitrogênio na população 
de folhas jovens de seringueira é inferior a 25 g.kg-1? 
 
Passo 1: definição das hipóteses: 
1
1
1
0
.25²:
.25²:




kggH
kggH

 
 
Passo 2: Estatística de teste: distribuição 
²
. 
 
Passo 3: Definição de 

=0,05. 
 
Passo 4: Valor de 
²
tabelado. Na tabela 
²
 encontramos: 
325,3² )95,0;9( 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Passo 5: Valor de 
²
calculado. 
 
464,4
25
4,12*9
²
²)1(
² 

 
Sn
calculado
. 
Passo 6: Comparar os valores de 
²
: 
)95,0;9(²²  calculado
. O valor de 
²
 calculado está na 
região de aceitação de H0. 
 
Passo 7: Aceita-se H0 ao nível  = 0,05. A 5% de probabilidade de erro, concluímos que a 
variância amostral não é significativamente inferior a 25 g.kg-1. 
 14 
6 - TESTE DE HIPÓTESES PARA UMA PROPORÇÃO POPULACIONAL 
 
 Já sabemos que, ao realizar induções sobre uma proporção populacional 
p
, 
devemos nos basear na proporção observada na amostra, 
'p
. Sabemos também que, se 
5np
, podemos aproximar a distribuição amostral de
'p
 pela distribuição normal de 
média 
p
 e desvio-padrão 
npp /)1( 
. Isso permite a realização de testes de hipóteses 
envolvendo proporções populacionais, de forma análoga ao que foi visto para os testes de 
uma média. Assim, sejam as hipóteses: 
01
00
:
:
ppH
ppH

 
Satisfeitas as condições 
50 np
 e 
5)1( 0  pn
, a distribuição da freqüência relativa 
'p
 será aproximadamente normal, com média (pela hipótese acima) igual a 
0p
, e desvio-
padrão 
npp /)1( 
. Logo, padronizando o valor experimental 
'p
, teremos o z 
experimental, dado por: 
 
 
n
pp
pp
z
)1(
'
00
0



 
 
 População finita População infinita 
 
 Onde: p’ é a freqüência relativa do evento na amostra; p0 é o valor da hipótese nula 
e n é o tamanho da amostra. 
A hipótese H0 será rejeitada, no caso acima, se 
zz 
. De modo análogo ao visto 
para teste de hipóteses para médias, no caso de testes unilaterais à direita, a condição de 
rejeição de H0 seria 
zz 
. Já para testes bilaterais, a condição de rejeição de H0 seria 
2/zz 
. 
1
)1(
'
00
0




N
nN
n
pp
pp
z
 
 15 
EXEMPLO: Desenvolveu-se um trabalho em praças públicas do estado do Rio Grande do 
Sul, avaliando-se a presença de fungos patogênicos nas espécies vegetais existentes 
nesses locais. Do total de 1000 plantas avaliadas, 590 estavam atacadas e 410 não 
atacadas por esses patógenos. Ao nível de 5% de significância, pode-se afirmar que há a 
mesma probabilidade de se encontrar plantas atacadas ou não atacadas por fungos 
patogênicos nas praças avaliadas? 
 
Passo 1: definição das hipóteses: 
5,0:
5,0:
1
0


pH
pH 
 
Passo 2: Estatística de teste: distribuição 
z
. 
 
Passo 3: Definição de 

=0,05. 
 
Passo 4: Valor de 
tabeladoz
. Na tabela 
z
 encontramos: 
96,1%5,22/  zz
. 
 
 
 
 
 
Passo 5: Valor de 
calculadoz
. 
 
69,5
0100/)5,01(5,0
5,059,0



calculadoz
. 
Passo 6: Comparar os valores de 
z
: 
tabeladocalculado zz 
. O valor de 
calculadoz
 calculado está na 
região de rejeição de H0. 
 
Passo 7: Rejeita-se H0 ao nível  = 0,05. A 5% de probabilidade de erro, concluímos que 
a proporção de plantas atacadas por fungos patogênicos difere da proporção de plantas 
não atacadas nas praças avaliadas. 
 16 
7 - TESTE DE HIPÓTESES PARA COMPARAÇÃO DE DUAS MÉDIAS 
 
Agora vamos estender a teoria dos testes de hipóteses para os casos em que 
temos duas ou mais amostras, em princípio provenientes de populações distintas. Com 
base nessas amostras, iremos comparar parâmetros equivalentes das populações 
envolvidas. Em termos gerais, testaremos hipóteses referentes ao real valor da diferença 
entre duas médias populacionais, ou seja: 
 210 : H
 
Quando 
0
, temos 
21  
. 
Este teste de hipótese é particularmente importante, já que muitas vezes queremos 
comparar médias de dois tratamentos. A partir desses testes, podemos concluir qual 
destes difere entre si e, ainda, qual apresenta maior ou menor média. 
Temos dois casos a considerar: dados emparelhados (ou populações 
correlacionadas) e dados não-emparelhados (ou populações não-correlacionadas). Além 
disso, o caso de dados não-emparelhados será subdividido em três casos: 
a) quando os desvios-padrão das populações são conhecidos; 
b) quando os desvios-padrão das populações são desconhecidos mas podem ser 
supostos iguais; 
c) quando os desvios-padrão das populações são desconhecidos e não podem ser 
supostamente iguais. 
 
7.1 – TESTE DE HIPÓTESES PARA COMPARAÇÃO DE DUAS MÉDIAS – variâncias 
populacionais conhecidas, independentes e normais 
 
Hipóteses: 
210 :  H
 ou 
dH  210 : 
 onde d>0 é uma diferença admitida entre as médias. 
211 :  H
 ou 
dH  211 : 
 
Os testes unicaudais são permitidos. 
 
Cálculo de z: 
 
2
2
2
1
2
1
21
nn
dxx
Z calculado




 
 17 
EXEMPLO: Um fabricante produz dois tipos de pneus agrícolas, A e B, informando que o 
2500A
 e o 
3000B
. Uma empresa produtora de celulose testou os dois tipos de 
pneus, e obteve duração média de 24000 km para o tipo A e 26000 km para o tipo B. 
Adotando-se um 
4
%, testar a hipótese de que a vida média dos dois tipos é a 
mesma. Considere que foram avaliados 50 pneus do tipo A e 40 pneus do tipo B. 
1º passo: 
BA
BA
H
H




:
:
1
0
 
 
2º passo: distribuição z. 
 
3º passo: 
04,0
 
 
3º passo: valor de z tabelado: z0,04=2,05. 
4º passo: 
   
38,3
40
3000
50
2500
2600024000
22



z
 
5º passo: Conclusão: como 
)05,2()38,3(  tabeladocalculado zz
 rejeita-se H0. Assim, conclui-se, 
com risco de 4%, que as vidas médias dos pneus são diferentes. 
 
 18 
7.2 – TESTE DE HIPÓTESES PARA COMPARAÇÃO DE DUAS MÉDIAS – variâncias 
populacionais desconhecidas e, admitidas independentes e normais 
 
Hipóteses: 
210 :  H
 ou 
dH 210 : 
 onde d>0 é uma diferença admitida entre as médias. 
211 :  H
 ou 
dH  211 : 
 
 
Cálculo de t: 
 
21
21
21
*nn
nn
S
dxx
t
c
calculado



 
Onde: 
 
2
1)1(
21
2
22
2
11



nn
SnSn
Sc
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusões: 
Se 
2/2/  ttt cal 
, não se pode rejeitar H0. 
Se 
2/2/2/  toutttcalc 
. 
 
 
 
 
 
 19 
EXEMPLO: Dois tipos de substratos foram testados, avaliando-se para isso a média da 
altura de mudas da mesma espécie em cada um deles. Com a utilização do substrato A, 
uma amostra com 5 mudas, obteve-se média de 80 cm de altura e desvio-padrão de 5 
cm. Para o substrato B, avaliando-se 6 mudas, obteve-se média de 83 cm e desvio-
padrão de 4 cm. Adotando 
05,0
 testar a hipótese da igualdade das médias. 
1º passo: 
BA
BA
H
H




:
:
1
0
 
2º e 3º passos: 
05,0
 e variável t com 5 + 6 + - 2 = 9 graus de liberdade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4º passo: 
 
47,4
265
4165)15( 22



Sc
 
 
12,1
6*5
65
47,4
8380



calculadot
 
5º passo: 
Como 
2622,22622,2  calct
 não se pode rejeitar H0 com esse nível de significância. 
 
 20 
8 – TESTE DE HIPÓTESES PARA COMPARAÇÃO DE DUAS PROPORÇÕES 
 
Hipóteses: 
 
211
210
:
:
ppH
ppH

 
 
Estatística de teste: 
 
 Para comparação de duas proporções a distribuição a ser utilizadas é a distribuição 
normal padrão, ou seja, utiliza-se a tabela z. 
 
 
Região de aceitação e de rejeição de H0: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calculo de z: 
 
  








21
21
11
ˆ1ˆ
nn
pp
pp
zcalculado
 
 
Onde: f1 e f2 são as freqüências relativas amostrais; 
pˆ
é o estimador comum a p1 e p2, 
dado por: 
 
21
21ˆ
nn
xx
p



 
1
1
1
n
x
p 
 
2
2
2
n
x
p 
 
 
Conclusões: 
 
Se 
2/2/  zzz calculado 
, não se pode rejeitar H0. 
Se 
2/zzcalculado 
 ou 
2/zzcalculado 
, rejeita-se H0. 
 21 
EXEMPLO: Deseja-se testar se são iguais as proporções de homens e mulheres que 
lêem revista e se lembram de determinado anúncio. Os resultados de amostras aleatórias 
independentes de homens e mulheres são os seguintes: 
 
Homens Mulheres 
701 x
 
502 x
 
2001 n
 
2002 n
 
 
Onde x1 é o número de homens que se lembram do anúncio e x2 é o correspondente 
número de mulheres. Admita 
%.10
 
 
211
210
:
:
ppH
ppH

 
 
%.10
 
 
Região de aceitação e de rejeição de H0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo de z: 
 
35,0
200
70
1
1
1 
n
x
p
 
25,0
200
50
2
2
2 
n
x
p
 
 
30,0
200200
5070
ˆ
21
21 






nn
xx
p
 
 
   
18,2
200
1
200
1
*7,0*3,0
25,035,0
11
ˆ1ˆ
21
21 


















nn
pp
pp
zcalculado
 
 
 
Conclusão: 
 
 Como 
64,1calculadoz
, rejeita-se a hipótese da igualdade das proporções, concluindo-
se com um risco de 10% que as proporções diferem entre si. 
 22 
Exercícios: 
1 – Uma amostra de 25 elementos resultou em média de 13,5 com desvio-padrão de 4,4. Efetuar 
o teste ao nível 0,05 para a hipótese que 
16
 contra 
16
 e 
16
. 
 
2 – Retirada uma amostra de 15 tubetes, obteve-se as seguintes medidas para seus diâmetros: 
10 10 10 11 11 12 12 12 12 13 13 14 14 14 15 
 
Adotando 
05,0
, testar a hipótese de que 
5,12
 contra 
5,12
,
5,12
 e 
.5,12
 
 
 
3 – Os diâmetros de 20 bromélias da mesma espécie (cm) foram mensurados em uma floresta 
nativa no estado do RS, e são dados abaixo: 
 
41 50 52 49 49 54 50 47 52 49 50 52 50 47 49 51 46 50 49 50 
 
a) Suponha inicialmente que o diâmetro médio para a espécie é normal com variância=2. 
Teste a hipótese de que a média desta amostra é 50 cm, 
%5
. 
b) Faça o mesmo teste para a média, mas agora desconhecendo a variância. 
 
4 – 15 insetos foram alimentados com uma dieta durante três semanas e verificou-se os seguintes 
aumentos de pesos: 
 
25 30 32 24 40 34 37 33 34 28 30 32 38 29 31 
 
Testar a hipótese de que a média é 30, sendo 
%.10
 
 
5 – Um laboratório fez oito determinações da quantidade de impurezas em certo substrato para 
plantas. Os valores foram: 12.4,12.6,12.0,12.0,12.1,12.3,12.5 e 12.7 mg g-1. 
 
a) Estimar a variância de impurezas entre porções. 
 
b) Testar a hipótese de que a variância populacional é 1, com 
%10
, contra a hipótese de 
que a variância é menor que 1. 
 
6 – De uma amostra de 500 sementes de pitangeira (Eugenia uniflora), 52% de germinaram. 
Poderia esta amostra ser retirada de uma população que tivesse germinação de 50%? Admita 
05,0
. 
 
 
7 – Em uma pesquisa avaliando-se a preferência em relação aos produtos A e B, das 500 
pessoas testadas, 300 preferem o produto A. Testar a hipótese ao nível 0,04 para 
5,0:0 pH
contra 
.5,0:1 pH
 
 
 
9 – Com a finalidade de estudar a influência do tipo de adubo no aumento em diâmetro de plantas 
de guajuvira (Patagonula americana), um grupo de 25 mudas (com diâmetros entre 150 mm e 200 
mm) foi dividido em 5 grupos de 5 mudas cada, às quais foram aplicadas as diferentes 
formulações de adubo. Os dados de ganho em diâmetro são dados abaixo: 
 
Adubos 
 A B C D E 
 22 22 42 21 26 
 23 
 31 26 30 21 19 
 31 24 28 17 23 
 26 21 26 19 25 
 27 40 25 28 17 
 ix
 137 133 151 106 110 
2
 ix
 3811 3777 4749 2316 2480 
 
a) Há diferença entre as médias em aumento de diâmetro das formulações A e E? 
b) E entre as formulações B e C? 
 
10 – Numa avaliação da presença de plantas de maçã resistentes a ferrugem, encontram-se para 
a variedade Fugi 120 plantas resistentes das 200 avaliadas. Para a variedade Gala, 240 plantas 
eram resistentes, de um total de 500 plantas avaliadas. Há diferença significativa entre a 
proporção de plantas resistentes entre as duas variedades? 
 
 
 
RESPOSTAS 
 
1 – Como 
84,2calct
, rejeita-se H0, nos dois casos. 
2 – Como 
72,0calct
, não se pode rejeitar H0. 
3 – Como 
71,2calct
, rejeita-se H0. 
4 – 
a) Como 
06,2calcz
, rejeita-se H0. 
b) Como 
068,1calcz
, não se pode rejeitar H0. 
 
c) 5 – Como 
56,1calct
 não se pode rejeitar H0. 
5 – 
a) S² = 0,07. 
b) Como 
49,02 calc
, rejeita-se H0. 
 
6 – Como 
89,0calct
, não se pode rejeitar H0. 
7 – Como 
47,4calcz
, rejeita-se H0. 
8 – Como 
29,1calcz
, não se pode rejeitar H0. 
9 – Como 
86,2calcz
, rejeita-se H0.