Quádricas Centradas Origem

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Superfícies quádricas centradas na origem
O tipo de quádrica pode ser identi…cado reescrevendo a equação com todas as variáveis e parâmetros no membro esquerdo
e 1 ou 0 no membro direito. No primeiro caso temos:
Quádrica elipsóide
hiperbolóides de uma folha
(um sinal � )
hiperbolóides de duas folhas
(dois sinais � )
Equações x
2
a2 +
y2
b2 +
z2
c2 = 1
x2
a2 +
y2
b2 � z
2
c2 = 1
x2
a2 � y
2
b2 +
z2
c2 = 1
�x2a2 + y
2
b2 +
z2
c2 = 1
�x2a2 + y
2
b2 � z
2
c2 = 1
�x2a2 � y
2
b2 +
z2
c2 = 1
x2
a2 � y
2
b2 � z
2
c2 = 1
A interceção de uma superfície quádrica com um plano diz-se traço dessa superfície no plano. Os traços das superfícies
quádricas nos planos coordenados ou planos paralelos a eles são cónicas.
Exemplos de elipsóides
-4
yx
-10
z 0-2
-2
0
2
20 4
10 y
-4-2-5
-2
z 0 00
2
52 104
x
-10 z
x
-4
-10
0 -20
y
0 2 4
10
-2
2
x2
102 +
y2
42 +
z2
32 = 1
x2
42 +
y2
102 +
z2
32 = 1
x2
32 +
y2
42 +
z2
102 = 1
Os traços dos elipsóides são elipses.
Exemplos de hiperbolóides de uma folha
-20
y
0 -1010 20
z-10-20
10
-10x
010
0
20
-40 0-20z
20
-20
-40
x -40
0
-200
2020
y
40
40
40
-20
10
-20 0
x
z
y-10
0-10 0
201020
x2
62 +
y2
42 � z
2
32 = 1
x2
62 � y
2
32 +
z2
42 = 1 �x
2
32 +
y2
42 +
z2
102 = 1
O traço perpendicular ao eixo do hiperbolóide é uma elipse e os outros dois são hipérboles.
Exemplos de hiperbolóides de duas folhas
-20 z-10
10
0 -20-10
x y-10
001020
2010
-40z-20 0 -40
-40
-20
0
x
2040
0
y
20
20
40
-20
40
-20
-10
-20 -10z
10
0 0
0
yx
10 2020
�x262 + y
2
42 � z
2
32 = 1 �x
2
62 � y
2
32 +
z2
42 = 1
x2
32 � y
2
42 � z
2
102 = 1
1
Existem apenas dois traços que são hipérboles.
No caso do membro direito da equação ser 0 temos
Quádrica
cone elíptico
(nenhum termo linear)
parabolóide elíptico
(um termo linear e dois
quadráticos com o mesmo sinal)
parabolóide hiperbólico
(um termo linear e dois
quadráticos com sinais diferentes)
Equações
x2
a2 +
y2
b2 � z
2
c2 = 0
x2
a2 � y
2
b2 +
z2
c2 = 0
�x2a2 + y
2
b2 +
z2
c2 = 0
x2
a2 +
y2
b2 � cz = 0
x2
a2 +
z2
c2 � by = 0
y2
b2 +
z2
c2 � ax = 0
x2
a2 � y
2
b2 � cz = 0
x2
a2 � z
2
c2 � by = 0
y2
b2 � z
2
c2 � ax = 0
Exemplos de cones elípticos
-40
0 0-10
-20 yx
-20
20 20 4040
10
z-20-40
20
0 -4040z-20 0
20
-20
-40
-200
yx
020
40
20
20
10
0
0
-10
x
-20
-20
0
y
20
-20z
20
x2
62 +
y2
42 � z
2
32 = 0
x2
62 � y
2
42 +
z2
32 = 0 �x
2
62 +
y2
42 +
z2
32 = 0
Um dos traços é a origem. Os outros dois são pares de retas concorrentes.
Exemplos de parabolóides elípticos
-10-20
10
5
15
00
0
z
-10 10
x y
10
20
-4010
-10
0z-20
-10
x
-20
-20
0
y
0 10
20
20
40 2010
0 10
0
-10 -20
-10
x
y
z-20 0
-30
-20
-10
10
20
x2
62 +
y2
42 =
1
3z
x2
36 +
z2
16 = �y y
2
36 +
z2
16 = � 15x
Um dos traços é a origem. Os outros são parábolas.
Exemplos de parabolóides hiperbólicos
-20
-10-10
z -10
y
10
0
0
x 10
20
0
10
-20
-20 y
0
x
0
20
-20z
20
0
20
-10
-20
-20z
x30
0
0
0
10
1020 20
20
-10
y
x2
62 � y
2
42 =
1
5z
x2
36 � z
2
16 =
1
5y
y2
36 � z
2
16 = x
Um dos traços é um par de retas concorrentes. Os outros são parábolas.
2