Apostila Métodos Computacionais

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Métodos Computacionais Aplicados à 
Engenharia Química 
 
 
 
 
Parte I – Introdução 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Jackson Araújo de Oliveira 
 
 
 
 
 
Universidade Federal do Rio Grande do Norte 
Centro de Tecnologia 
Departamento de Engenharia Química 
 
 
 
Fev/2008 
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1. – Introdução ao uso dos métodos computacionais 
 Nos últimos anos, com o aumento da capacidade de processamento dos 
computadores, a aplicação dos métodos computacionais em problemas de engenharia teve 
um enorme desenvolvimento, transcendendo o campo da pesquisa científica e ingressando 
definitivamente no campo da engenharia aplicada. O que comprova a notoriedade desta 
revolução tecnológica é o surgimento de um número significativo de simuladores de 
processos disponíveis comercialmente para as diversas áreas da engenharia e, em particular, 
de forma marcante para a engenharia química. Como exemplo, podemos citar alguns 
simuladores de processos bastante utilizados na engenharia química: o PRO/II (da empresa 
SIMSCI-ESSCOR ou Simulation Science), o AspenOne (da empresa AspenTech) e o 
Hysys. É importante chamar a atenção aqui que na essência destes simuladores comerciais 
estão implementados muitos dos métodos computacionais de que abordaremos durante o 
andamento deste curso. 
1.1 – Fases na resolução de problemas de engenharia 
 A resolução de um problema físico passa por algumas etapas principais, conforme 
representado abaixo: 
 
 A partir de um problema físico, a modelagem surge como a etapa de análise dos 
recursos e fontes de dados do problema. O modelo, por definição, é qualquer objeto 
concreto ou abstrato utilizado para explicar algum tipo de fenômeno. Na engenharia, um 
modelo pode ser concebido quando um certo conjunto de dados e idéias são utilizados para 
explicar um fenômeno de interesse. Se relações quantitativas entre as diversas variáveis do 
problema puderem ser estabelecidas, então o modelo passa a ser um modelo matemático. A 
engenharia química emprega, fundamentalmente, as leis de conservação (de massa, de 
energia e de quantidade de movimento) e as relações constitutivas (equações 
termodinâmicas, taxas de reação química, taxas de transferência de massa e calor, etc.) para 
formular os modelos matemáticos dos processos de interesse. Portanto, não é possível 
imaginar engenharia sem modelos matemáticos. Sem os modelos matemáticos, estaríamos 
condenados a repetir apenas os procedimentos que deram certo ou a perder tempo e 
dinheiro realizando inúmeras tentativas na busca por situações melhores. É necessário 
afirmar que o modelo não é a realidade, mas apenas uma representação consistente da 
realidade. O melhor modelo será aquele que consegue descrever mais adequadamente os 
aspectos de interesse dentro da realidade. Como não é possível ter um modelo que descreva 
completamente todos os aspectos da realidade, somos obrigados a conviver com algumas 
hipóteses e simplificações e, portanto, com algumas incertezas. “É a vida....” 
 Os modelos matemáticos podem ser úteis em todas as fases da engenharia química, 
desde a pesquisa e desenvolvimento de projetos de unidades de processamento até a 
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operação e otimização da planta industrial, sendo de grande importância na compreensão da 
relação causa-efeito do processo. 
 Não é objetivo deste curso enveredar no caminho do desenvolvimento de modelos 
matemáticos, já que este será um tema abordado futuramente em outras disciplinas do curso 
de engenharia química. O objetivo principal aqui é apresentar métodos numéricos que serão 
de fundamental importância na etapa de resolução dos modelos matemáticos e, por 
conseguinte, na resolução do problema físico. O conhecimento adquirido nesta disciplina 
terá aplicações diretas em outras disciplinas, tais como: Modelagem e Simulação de 
Processos; Instrumentação e Controle de Processos; Fenômenos de Transporte; Operações 
Unitárias; Termodinâmica; Cálculo de Reatores, etc. 
 A etapa de resolução do modelo matemático tem como propósito mostrar se o 
problema tem solução ou não e, se houver solução, mostrar se a solução é única ou não. A 
resolução dos modelos que representam adequadamente os problemas da engenharia 
química, na maioria das vezes, não pode ser feita analiticamente e, por esta razão, tais 
modelos precisam ser resolvidos numericamente. 
 A solução (ou a resposta do problema de interesse, modelado por uma certa equação 
ou por um sistema de equações) é dita numérica quando a mesma é obtida de forma 
aproximada, através de testes e procedimentos que são diferentes da manipulação analítica 
da equação. Deste modo, os métodos numéricos surgem como ferramenta importante para 
resolver problemas cujas soluções analíticas são complicadas e, principalmente, quando tais 
soluções analíticas não são possíveis de serem obtidas. 
1.2 – Erros 
 Por ser uma resposta aproximada, a obtenção de uma solução numérica para um 
problema físico pode diferir da solução real, coincidindo apenas dentro de um certo limite 
de tolerância. Também é possível que diferentes soluções numéricas sejam obtidas, 
coincidindo com a solução real também apenas dentro de uma tolerância. 
 Esta diferença entre a solução numérica e a solução real é chamada de erro e é 
inerente ao processo numérico, não podendo ser evitada em muitos casos. As principais 
fontes de erros, no que diz respeito à resolução de um problema físico, concentram-se nas 
fases de modelagem e resolução numérica. 
1.2.1 – Erro na fase de modelagem 
Conforme já foi discutido, durante a concepção de um modelo matemático não é 
possível levar em consideração os infinitos aspectos da realidade. Desta forma, algumas 
simplificações são necessárias ao modelo matemático e constituem em fontes de erros. Para 
minimizar os erros provenientes da modelagem é comum uma reformulação do modelo, 
revendo e modificando algumas das hipóteses admitidas inicialmente. 
 
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1.2.2 – Erro na fase de resolução 
 Na resolução numérica de modelos matemáticos, é necessária a utilização do 
computador como instrumento de cálculo que, em seu funcionamento, apresenta certas 
limitações que podem gerar erros. Também, durante o processo numérico de resolução, 
alguns métodos apresentam simplificações inerentes que conduzem a erros. Os seguintes 
erros podem ser classificados em relação à resolução do modelo: 
(a) Erros de arredondamento 
Os erros de arredondamento surgem pelo fato de que algumas propriedades básicas 
da aritmética real não são válidas quando executadas no computador. Enquanto na 
matemática alguns números podem ser representados por infinitos dígitos, no computador 
isso não é possível, já que a memória da máquina apresenta capacidade finita (limitada). 
Desta forma, matematicamente 1/3 = 0,33333333... (com infinitas casas decimais) e 
computacionalmente 1/3 ≈ 0,3333 (aproximadamente), sendo que nesta representação 
existe erro de arredondamento. Os erros de arredondamentos dependem de como os 
números são representados na máquina. A representação do número, por sua vez, depende 
da base de escrita e da quantidade máxima de dígitos usados nessa representação. Quanto 
maior o número de dígitos após a vírgula, maior a precisão numérica. 
É usual, no cotidiano, a representação e a realização de operações com números 
decimais (ou número na base 10). Porém um número real pode ser representado em 
qualquer base. No caso particular de um computador (ou de uma máquina de calcular), um 
número é representado internamente através de uma seqüência de sinais elétricos que 
indicam dois estados: 0 ou 1 (ligado ou desligado). Isto significa que os números são 
representados na base 2 ou base binária. 
Quando o usuário está utilizando o computador para executar uma operação, 
ocorrem os seguintes passos: 
- o usuário entra com seus dados numéricos na base decimal; 
- o computador converte toda a informaçãopara a base binária; 
- o computador realiza todas as operações na base binária (através dos circuitos 
eletrônicos com sinais 0 ou 1); 
- o computador converte as respostas das operações realizadas para a base decimal 
e, finalmente, transmite ao usuário. 
Ex.: o número 72 (na base decimal) é representado por 1001000 (na base binária), 
ou ainda, 7210 = 10010002. 
Para transformar um número decimal (base 10) num número binário (base 2), é 
preciso aplicar um processo sucessivo para a parte inteira do número decimal e outro 
processo para a parte fracionária do mesmo. 
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i) Para a parte inteira – divide-se o número por 2. Em seguida, procede-se 
sucessivamente dividindo os quocientes por 2 até que o último quociente seja igual a 1. O 
número binário é, então, formado pelo último quociente seguido pelos restos das divisões 
lidos em sentido inverso. 
Ex.: Representar os números 29 e 42 (decimais) na base 2. 
 
ii) Para a parte fracionária – multiplica-se o número fracionário por 2. Em seguida, 
procede-se sucessivamente multiplicando a nova parte fracionária por 2 até que a última 
parte fracionária seja igual a 0 ou até que se observe o aparecimento de uma repetição 
(dízima periódica). O número binário é, então, formado pelo número inteiro de cada parte 
fracionária obtida no processo e seguindo o sentido normal. 
Ex.: Representar o número 0.1875 (decimal) na base 2. 
 
Ex.: Representar o número 0.6 (decimal) na base 2. 
 
 Para representar um número decimal com parte inteira e fracionária ao mesmo 
tempo, é preciso proceder como mencionado anteriormente para cada parte separadamente. 
 Ex.: Representar o número 12.25 (decimal) na base 2. 
 
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 A situação inversa, ou seja, para transformar um número binário num número na 
base decimal, é preciso expressar o número na forma: 
m m 1 2 1 0
m m 1 2 1 0a 2 a 2 ... a 2 a 2 a 2 ...
−
−⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + (1) 
 Como pode ser visto nos exemplos abaixo, é simples converter da base 2 para a base 
10. Basta apenas multiplicar o dígito binário por uma potência de 2 adequada. 
Ex.: 100112 (base binária) = 1·24 + 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20 = 19 (na base decimal) 
Ex.: 110,012 (base binária) = 1·22 + 1·21 + 0·20 + 0·2-1 + 1·2-2 = 6.25 (na base decimal) 
 De um modo geral, um número x qualquer pode ser representado numa base β por: 
31 2 n
1 2 3 n
dd d dx ... α⎡ ⎤= ± + + + + ⋅β⎢ ⎥β β β β⎣ ⎦ , (2) 
onde: 
di – são números inteiro dentro do intervalo (0 ≤ di ≤ β-1), com i = 1, 2, ..., n; 
α – é um certo expoente; 
31 2 n
1 2 3 n
dd d d...⎡ ⎤+ + + +⎢ ⎥β β β β⎣ ⎦ – é chamada de mantissa e representa os dígitos significativos; 
n – é o número de dígitos significativos e é comumente chamado de precisão da máquina. 
Ex.: Uma certa máquina, com sistema em base binária, possui 16 dígitos (bits) para 
representação de um número. São distribuídos 10 bits para a mantissa, 4 bits para o 
expoente, um bit para o sinal da mantissa e um bit para o sinal do expoente. Os bits usados 
para representar o sinal da mantissa e do expoente são configurados como 0 para positivo e 
1 para negativo. Como ficariam os 16 bits para representar o número 53 decimal nesta 
máquina? 
 Solução: 5310 = 1101012 = 0.110101·26 = 0.110101·2110 
 1101 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 0 1 0 1 0 0 0 053 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
⎡ ⎤= + + + + + + + + + + ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦ 
Ou na forma do sinal eletrônico binário: 
Bit 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 
 + Mantissa + Expoente 
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Ex.: Para a mesma máquina do exemplo anterior, como ficariam os 16 bits para 
representar agora o número -7.125 decimal nesta máquina? 
 Solução: - 7.12510 = - 0.111001·23 = -0.111001·211 
 111 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 1 0 0 1 0 0 0 07.125 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
⎡ ⎤− = − + + + + + + + + + ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦ 
Ou na forma do sinal eletrônico binário: 
Bit 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 
 - Mantissa + Expoente 
Ex.: Para a mesma máquina dos exemplos anteriores, como ficaria a representação 
do número decimal 0.1? 
 Solução: 0.110 = 0.000110011001100...2 = 0.110011001100...·2-3 
 = 0.110011001100... 2-11 
Ou na forma do sinal eletrônico binário: 
Bit 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 
 + Mantissa - Expoente 
 Retornando este número para a base decimal, tem-se 0.099976 ≠ 0.1. 
Ex.: Para a mesma máquina dos exemplos anteriores, quais seriam os valores 
decimais máximos e mínimos que esta máquina poderia processar? 
 Solução: valor máximo = 0.1111111111·21111 = 3273610 
 valor máximo = - 0.1111111111·21111 = - 3273610 
Através destes exemplos, foi possível observar que: 
 - Não é possível representar todos os números reais por meio destes sistemas. Ao se 
tentar representar números reais por meio desses sistemas, pode-se incorrer nos chamados 
erros de arredondamentos. 
 - Existe um intervalo válido (finito) de números que pode ser representado numa 
determinada máquina. Portanto, é muito importante conhecer os limites da mesma. 
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 O número de casas decimais da mantissa pode ser utilizado como parâmetro para 
avaliar a precisão de um determinado sistema de representação. Como o último bit da 
mantissa é o bit de maior significância, então a precisão pode ser dada por: 
n
1Pr ecisão ≤ β , (3) 
 Ex.: A máquina dos exemplos anteriores trabalhava com base binária (β = 2) e com 
10 bists na mantissa (n =10). Logo, a precisão desta máquina fica: 
 10
1Pr ecisão
2
≤ ≈ 10-3 e o número de casa decimais significativas é 3. 
 (b) Erros de truncamento 
 Os erros de truncamentos são inerentes ao método numérico e ocorre pelo fato de 
que, muitas vezes, a aproximação numérica substitui um procedimento matemático infinito 
por um processo finito (ou truncado). É o caso, por exemplo, quando processos infinitos 
são utilizados para avaliar funções matemáticas (exponenciais, logarítmicas, 
trigonométricas, etc.). 
 Exemplos: 
3 5 7x x xsen(x) x ...
3! 5! 7!
= − + − + 
 
2 3 4
x x x xe 1 x ...
2! 3! 4!
= + + + + + 
Em geral, pode-se dizer que os erros de truncamento são controláveis. É possível 
reduzir o erro de truncamento de um método numérico até alcançar um valor na ordem de 
grandeza do erro de arredondamento. Ao longo do curso, serão abordadas diversas 
situações onde aparecem erros de truncamento e como fazer para controlá-los. 
(c) Propagação de erros 
 É sempre desejável durante a resolução numérica de um problema manter um 
controle adequado dos erros de arredondamento e truncamento. Isto porque, numa 
seqüência de operações, o erro pode propagar ao longo das operações subseqüentes. Se a 
propagação não é significativa, então o problema é dito estável numericamente. Por outro 
lado, se o problema é sensível a flutuações (como no caso de erros de arredondamento), tais 
flutuações serão propagadas nas diversas operações levando o resultado final do problema a 
um valor muito diferente do valor esperado. Nesta situação, o problema é dito instável 
numericamente. 
(d) Erro absoluto, erro relativo e tolerância 
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 Já foi mencionado que, durante a resolução numérica de um problema, a solução é 
obtida de forma aproximada. Portanto, é importante conhecer e delimitar o erro da 
aproximação realizada. Para se estimar e delimitar os erros, recorre-se aos conceitos de erro 
absoluto e erro relativo. A definição é dada por: 
 - Erro Absoluto = |x* - x| 
 - Erro Relativo = |x* - x|/x 
sendo x* o valor obtido pela aproximação numérica e x o valor exato do problema. 
 A tolerância é definida como um critério numérico utilizado para permitir a 
obtenção da solução numérica de uma certa equação (ou um sistema de equações). O 
problema é testado um número finito de vezes, durante a resolução, até quea condição 
admitida para a tolerância seja satisfeita. Quando isto ocorre, a solução numérica atingiu o 
critério de convergência. 
 Ex.: Supondo que se deseja resolver numericamente a equação f(x) = 0. Então uma 
solução aproximada x* desta função poderia ser obtida quando testes repetidos fossem feito 
até que o critério |f(x*)| ≤ ε fosse satisfeito. Neste caso, ε é a tolerância e normalmente é um 
número pequeno (da ordem de 10-4 a 10-6). Nota-se que, se ε fosse exatamente zero, a 
solução aproximada x* seria exatamente a solução exata x do problema. Logo, quanto 
menor é o valor de ε, mais próximo a solução aproximada x* estará da solução exata x. 
1.3 – Considerações Finais 
 A partir das discussões iniciais, abordadas nesta introdução aos conceitos básicos 
dos métodos numéricos, uma nova forma de encarar as fases da resolução de um problema 
físico é apresentada de modo mais abrangente com relação à fase resolução: 
 
A escolha do método numérico mais eficiente para a resolução de um problema 
físico deve levar em conta os seguintes aspectos: 
a) capacidade de resolução – o método converge para o resultado desejado? 
b) precisão dos resultados – qual o método que fornece o menor erro? 
c) desempenho de resolução – o método demanda grande esforço computacional?