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Índice 
Capítulo l: Introdução. 
1.1. Definições de Estatística. 
1.2. Dados. 
1.3. Estatística Descritiva . 
Tarefa 1: Introdução. 
Capítulo 2: Representações Gráficas. 
2.1. Contribuições Percentuais. 
2.2. Agrupamento por Classes e Distribuições de Freqüências. 
2.3. Histogramas e Polígonos de Freqüências. 
2.4. Exercícios Resolvidos. 
2.5. Exercícios Propostos. 
Tarefa 2: Representações Gráficas. 
Capítulo 3: Medidas de Tendência Central. 
3.1. Média Aritmética. 
3.2. Mediana. 
3.3. Moda. 
3.4. Exercícios Resolvidos. 
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02 
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07 
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25 
27 
31 
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34 
34 
35 
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3.5. Exercícios Propostos. 38 \~ 5.8. Exercícios Propostos. 
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Tarefa 3: Medidas de Tendência Central. 41 ·'a• 5.9. Distribuição de Probabilidade. 64 <) 
() 
Tarefa 5: Probabilidades. 67 3 
Capítulo 4: Medidas de Dispersão. 45 ~ () 4.1 Amplitude. 45 Capítulo 6: Distribuição Binomial e Distribuição de Poisson. 69 3 3 ... 4.2. Variância ( s' ). 45 6.1. Distribuição Binomial. 69 11 3 
4.3. Desvio-padrão (s). ~ 6.2. Exemplo de Aplicação de Distribuição Binomial. 71 11 47 c. I 
4.4. Coeficiente de Variação (cv). 48 ... 6.3. Fato Importante. 73 ~ 4.5. Exercícios-Resolvidos. 48 • • 6.4. Fórmula para o Cálculo da Distribuição de Probabilidades. 74 ~· 4.6. Exercícios Propostos. ~~ 6.5. Exercícios Resolvidos: Distribuição Binomial. 75 t 51 ~ 
Tarefa 4: Medidas de Dispersão. 53 .... 6.6. Exercícios Propostos: Distribuição Binomial. • 78 3 
u 
6.7. Distribuição de Poisson. 81 ~ Capítulo 5: Probabilidades. 55 ~---= 6.8. Exemplo de Aplicação de Distribuição de Poisson. 82 ()'1 
5.1. Conceitos Básicos. 55 ,;,• . 6.9. Exercícios Resolvidos: Distribuição de Poisson. 83 ~·· 
5.2. Operações com Eventos. 56 ... 6.1 O. Exercícios Propostos: Distribuição de Poisson. 85 :l· 
~ -~ Ç»·· 5.3. Conceitos de Probabilidade. 58 
--
Tarefa 6: Distribuição Binomial e Distribuição de Poisson. 87 Ç) 
5.4. Propriedades. 59 •• ~' •• 5.5. Probabilidade Condicionada. 59 Capítulo 7: Distribuição Normal. 91 ~ ~--= 5.6. Eventos Independentes. 60 7.1. Distribuição Normal. 91 1\ (1. 
5.7. Exercícios Resolvidos. 61 a' • 7.2. Exercícios Resolvidos: Utilização da Tabela Normal Padrão. 96 
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7.3. Exercícios Propostos: Utilização da Tabela Normal Padrão. 
7.4. Curvas Normais. 
7.5. Exercícios Resolvidos: Curvas Normais. 
7.6. Exercícios Propostos: Curvas Normais. 
Tarefa 7: Distribuição Normal. 
i v 
102 
104 
106 
109 
Capítulo 1: Introdução. 
l.l.Definições de Estatística. 
A palavra Estatística é originária do vocábulo "Status", que significa Estado em 
latim, sendo que o verbete "Statistics" surgiu na "Enciclopédia Britânica" em 
1797. 
O "Novo Dicionário Básico da Língua Portuguesa - Aurélio" apresenta as 
seguintes definições para Estatística: 
1. "Parte da Matemática em que se investigam os processos de 
obtenção, organização e análise de dados sobre uma população, ou 
- -
sobre uma coleção de seres quaisquer, e os métodos de .. tirar 
. -
conclusões e fazer ilações ou predições com base nesses dado~.". 
2. "Conjunto de elementos numéricos respeitantes a um fato social." 
3. "Representação e explic!ção_ sistemática, P,Or observações 
quantitativas de massa, dos acontecimentos e das leis da vida social 
que deles se podem deduzir." 
4. "Método que objetiva o estudo dos fenômenos de massa, isto é, os 
que dependem de uma multiplicidade de causas, e tem por fim 
representar, sob forma analítica ou gráfica, as tendências 
. Ç'!_rac_te)isticas limites desses fenômenos." 
.~ 
No entanto, é possível resumir as afirmações citadas anteriormente em: 
Estatística é uma subdivisão da Matemática que trata da coleta, 
organização, análise e interpretação de dados com a finalidade de auxiliar na 
tomada de decisões. 
As aplicações da Estatística ocorrem nas mais diversas áreas do conhecimento, 
como Engenharia, Física, Matemática, Química, Medicina, Economia e 
Psicologia, além de setores do planejamento da produção, análises comerciais e 
estudos sociológicos. 
A Estatística pode ser classificada em Estatística Descritiva e Estatística 
Indutiva, conforme descrito a seguir. 
Estatística Descritiva é a parte da Estatística que se ocupa da organização, 
sumarização e apresentação gráfica de dados. 
Estatística Indutiva é a parte da Estatística que se ocupa dos métodos 
utilizados para a obtenção de conclusões sobre uma população, segundo 
informações oriundas de uma amostra da população. 
1.2. Dados. 
Na perspectiva da Estatística, os dados podem ser expressos de acordo com a 
definição a seguir. 
Dados são informações obtidas a partir de medições de grandezas, 
resultados de pesquisas, respostas a questionários ou contagens em geral. 
Uma possível classificação dos dados é a seguinte: 
Dados Qualitativos: compostos de informações não numéricas, 
classificadas em categorias. 
Exemplos: cor dos olhos (azuis, verdes, castanhos, etc), sexo (feminino ou 
masculino), tipo sanguíneo (A, B, AB ou 0), religião praticada, etc .. 
Dados Ordinais: compostos de informações ordenadas em escalas do tipo 
l ,2,3, ... ou A, B, C, .... 
Exemplos: avaliação de uma prova com conceitos (A, B, C, D ou E), 
classificação dos pilotos em uma competição automobilística de acordo com 
a ordem de chegada, classificação de um movimento amortecido em sub-
critico, crítico ou super-crítico, etc. 
Dados Métricos: compostos de informações obtidas por medições de 
grandezas. 
Exemplos: estatura, peso, volume, área, comprimento, tempo, renda mensal, 
vazão de fluidos, etc. 
Dados de freqüência: compostos de informações a respeito do número de 
elementos pertencentes a uma dada categoria. 
Exemplos: número de habitantes por região do país, número de usuários de 
internet por faixa etária, número de eleitores do sexo feminino e do sexo 
masculino, etc. 
1.3. Estatística Descritiva. 
A Estatística Descritiva visa organizar, resumir e apresentar dados, utilizando 
recursos como tabelas e gráficos. Além disso, fornece valores de parâmetros 
como médias, medianas, desvios padrões e outros, calculados a partir dos dados. 
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Duas defmições fundamentais em Estatística são as de população e de amostra: 
População é o conjunto completo de todos os elementos que constituem o 
sistema em estudo. Ou seja, o concéíto de população inclui a totalidade de 
medições, resultados, observações ou outros itens considerados em 
determinada análise estatística. 
Amostra é um subconjunto de uma população. 
Por exemplo, podem ser estudadas características das pessoas que residem em 
um município, como altura, peso, renda mensal, grau de escolaridade, cor dos 
olhos, etc. Essas características são variáveis, ou seja, são propriedades às quais 
podem ser atribuídos valores numéricos ou conceitos. O conjunto de todas as 
alturas das pessoas do referido município compõe a população de alturas, o 
conjunto de todos os pesos das pessoas compõe a população de pesos e assim 
por diante. 
Quando a população é formada por um número muito elevado de elementos, 
como a população das alturas dos brasileiros,com mais de 18 anos,. geralmente 
~ão obtidos dados a respeito de uma amostra da mesma. Tal procedimento 
denomina-se "amostragem". O objetivo da amostragem é estimar, com elevada 
probabilidade de acerto, os resultados que seriam obtidos pela utilização de toda 
população. Além disso, há casos. em que é impossível operar com toda a 
população, como em situações nas quais a população é "constituída" por 
infinitos elementos. Nas pesquisas eleitorais, por exemplo, os institutos 
divulgam resultados oriundos de-~uma~amostra da população pois não são 
entrevistados todos os eleitores. 
4 
Uma amostra deve representar significativamente a população da qual foi 
extraída. A amostra deve apresentar, em escala reduzida, todas as características 
qualitativas e quantitativas do universo reproduzido. 
A fim de exemplificar os conceitos descritos anteriormente, considere a seguinte 
situação hipotética: deseja-se determinar a altura média dos 60 alunos que 
formam uma turma do 26 ano de Engenharia de uma universidade. Nesse caso, 
podem ser medidas as alturas de todos os 60 alunos da turma e a altura média 
calculada, proveniente dos dados de toda população estudada, corresponde a um 
''valor verdadeiro". 
Considere também outra situação: deseja-se determinar a altura média de todos 
os alunos que cursam Engenharia na referida universidade. Nesse caso, a 
população será composta pelos alunos de todas as turmas de Engenharia (do I o 
ano ao 5° ano) e a turma do 2° ano de Engenharia constitui unia amostra da 
população. 
A figura 1.1 ilustra esquematicamente os conceitos de população e de amostra, 
baseada no exemplo descrito a seguir. Suponha que haja 1 O sapos em uma lagoa, 
ou seja, a população estudada é formada por 10 "elementos". Desej~estimar 
o peso médio dos sapos que habitam na referida lagoa. Se o peso médio for 
calculado a partir de medições com 6 sapos escolhidos aleatoriamente 
(imparcialmente), foi realizada uma amostragem. 
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Figura 1.1: Exemplo de população e de amostra. 
A Estatística Descritiva estabelece relações matemáticas que permitem 
descrever o conjunto de dados representados pela amostra (por exemplo, os 
pesos dos sapos ilustrados na figura 1.1 ). 
6 j" 
Tarefa 1: Introdução. 
Nome:. __________________________________________________ _ 
Número: Tunna: ____________________ _ 
Curso: Turno: 
-------
1. Defina Estatística. 
2. Defina população e amostra. Dê exemplos. 
7 
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3. Diferencie Estatística Descritiva de Estatística Indutiva. 
4. Classifique os dados. Dê exemplos. 
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5. Cite critérios que devem ser obedecidos para se obter.u!P1í "boa" amostra. 
. ~:.:..,-"·. 
Capítulo 2: Representações Gráficas. 
2.1.Contribuições Percentuais. 
Considere, a título de exemplificação, 5 laboratórios de Física de uma 
universidade fictícia, denominados de Ll, L2, L3, L4 e L5. Foi realizada uma 
pesquisa na qual listaram-se os nomes de cada um dos alunos nos laboratórios e 
suas alturas, em em. Essas informações estão resumidas nas tabelasva~ 
Tabela 2.1: Laboratório L 1 ( 5 alunos) 
Nome do aluno Altura (em) 
----. 
Alice Machado (32> 
. -~-
t~o Ferreir'?--- _ •ÍJ5 
Lu~z Eduàrdo-Sântiago 180 
Marcelo Silva 165 
Patricia Villas 168 
---·· Tabela2:2:·taboratório'l::2·(6 alunos1--
Nome do aluno Altura (em) 
Alexandre Souto 158 
Ana Silva Dias 160 
Elias Fontes 162 
Fábio Dantas 175 
Marcos Freitas 176 
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Ricardo Reis . -162 
.2:.-J~~~ I ~·- -~~~-- -- ~111-.-~- ~~~ ~~-. ~~-~~ :-=,=-.::-..:.: =~=..:... 9 
J 
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...... 
Tabela 2.3: Laboratório L3 (12 alunos) 
Nome do aluno Altura (em) 
André Freitas 157 
Caio Cameron 160 
Fernando Sampaio 163 
Fernando Zarindi 171 
Luiz Carlos Figueira 180 
Luiz Fernando Dias 158 
Mário Maltez 162 
Pedro Farias 170 
Renato Longo 171 : 
Ricardo Ribeiro 157 I 
Sidney Alves !58 
Zenon da Silva 180 ' 
--- ----------- ---
Tabela 2.4: Laboratório L4 (7 alunos) 
Nome do aluno Altura (em) 
Alex Franco !58 I 
Beatriz Bento 160 
Carina Freitas 161 I 
Fábio Oliveira 163 
Marcos Vieira 170 
Ricardo Ramos 172 
Sérgio Crivo 175 
---- ----- --
lO 
Tabela 2.5: Laboratório L5 (10 alunos) 
Nome do aluno Altura (em) 
Alexandre Freitas 162 
Ana Maria Louveiro 170 I 
Fabricio Zacarias 171 
Fernando Silva 168 
Luciano Madeira 163 
Luiz Gustavo Arias 177 
Márcio Gouveia 183 
Murilo Vias 153 
Renata Andrade 160 
Ricardo Rudge 165 
- - - - - - -· -----
Suponha que ni represente o número de alunos no laboratório i, ou seja: 
i= 1 (laboratório Ll) => n1 = 5 
i = 2 (laboratório L2) => n2 = 6 
i = 3 (laboratório L3) => n3 = 12 
i= 4 (laboratório L4) => I4 = 7 
i = 5 (laboratório L5) => n5 = I O 
O número total de alunos, denominado de n, é dado pela soma do número de 
alunos de cada laboratório, ou seja: 
Total de alunos= n = n1 + n2 + n3 + 14 + n5 = 5 + 6 + 12 + 7 +!O= 40 
Esse processo de soma é denominado de "somatório de n desde i = 1 até NL", 
onde NL representa o número total de laboratórios (no caso, NL = 5), e é 
representado por: 
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N 
Total de alunos = n = f ni = nl + n2 + n3 + n4 + n5 = 40 
i=l 
Para se determinar a contribuição Pi, em termos de porcentagens, do número de 
alunos em cada laboratório sobre o total, procede-se da seguinte maneira: 
LI~ P1 = ( : 1 ).100 =( : 0).100 = 12,5% 
L2~ Pz =(:2 JIOo=(460}1o0=15,o% 
L3 ~ P3 = (; ).100 =(:~).100 = 30,0% 
L4 ~ P 4 = ( : 4 ). 1 00 = (:O). 1 00 = 17,5% 
L5 ~ Ps = (r; ).100 = (:~ ).100= 25,0% 
A tabela 2.6 apresenta um resumo da discussão anterior. 
Tabela 2.6: Número de alunos por laboratório e porcentagens. 
Laboratório Número de alunos Porcentagem 
Ll 5 12,5% 
L2 6 15,0% 
L3 12 30,0% 
L4 L 17,5% .. 
L5 lO 25,0% 
Total= 40 Total= 100% 
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12 
2.2. Agrupamento por Classes e Distribuições de Freqüências. 
É possível classificar os alunos em função da variável altura, independentemente 
do laboratório, conforme observado na tabela 2.7. 
Tabela 2.7: Altura e número de alunos. 
Altura (em) Número de alunos 
153 1 
157 2 
158 4 
160 4 
161 1 
--· 
162 5 
163 3 
165 2 
168 2 
170 3 
171 _3 
172 I 
175 3 
176 I 
177 I 
180 3 
183 I 
~·;.-:-..:: Total= 40 
---
13 
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}~'~ 
As alturas dos alunos podem ser agrupadas por CLASSES, ou seja, por 
intervalos de determinada AMPLITUDE (tamanho). A amplitude da classe será 
representada por h. Por exemplo, caso seja feita a opção por h = 5 em, as alturas 
podem ser agrupadas em 7 classes: de 150 em (inclusive) até 155 em 
(exclusive), de 155 em (inclusive) até 160 em (exclusive), de 160 em (inclusive) 
até 165 em (exclusive), e assim por diante, conforme mostrado na tabela 2.8. 
Tabela 2.8: Classes de alturas 
Classes de alturas (em) Número de alunos por classe 
1501- 155 1 
155 1- 160 6 
160 1- 165 131651-170 4 
1701-175 7 
1751-180 5 
1801- 185 4 
Total= 40 
O número de elementos (no caso, número de alunos) em dada classe i é 
denominado de freqüência e representado por fi. De acordo com a tabela 2.8: 
i =1 =>Classe 1 (150 em 1- 155 em)=> f1 = 1 
i =2 =>Classe 2 (155 em 1- 160 em)=> f2 = 6 
i =3 =>Classe 3 (160 em 1- 165 em)=> f3 = 13 
i =4 =>Classe 4 (165 em 1- 170 em)=> f4 = 4 
i =5 =>Classe 5 (170 em 1-175 em)=> f5 = 7 
i =6 =>Classe 6 (175 em 1- 180 em)=> f6 = 5 
i =7 =>Classe 7 (180 em 1- 185 em)=> f7 = 4 
~' 
,-.'-':, 
·;ot: •• 
~ .. -. 
A soma das freqüências de todas as classes (no caso, desde i= 1 (classe 1) até 
N=7 (classe 7)) deve resultar no número total n de elementos (40 alunos para o 
exemplo em estudo): 
N=7 
n = I fi = fi + f2 + f3 + f4 + fs + f6 + f7 = 40 
i=l 
f 
A freqüência relativa fri relacionada com uma classe i é dada por: f ri = _!._ 
n 
Para a classe 1 da tabela 2.8, a freqüência relativa é: 
frl = 1140 = 0,025 
N 
A soma de todas as freqüências relativas resulta em I, ou seja, L f ri = I. 
i=l 
A freqüência acumulada fai relacionada com uma classe i é dada pela soma das 
frequências anteriores à classe i com a freqüência da classe i. 
O ponto médio PMi de uma classe i é dado pela média aritmética dos extremos 
da classe considerada. Por exemplo, o ponto médio da classe 1 da tabela 2.8 é: 
PM1 =(!50+ 155)/2 = 152,5 em 
Na tabela 2.9 estão apresentados os resultados advindos da aplicação das 
definições anteriores para o caso em estudo. 
:.J 
() 
() 
ct 
() 
(} 
() 
() 
() 
C) 
ct 
~ r 
C) 
t) 
(,) 
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'') 
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J. 
~ 
:'_) 
b) Gráficos: 
Freqüência 
5 
4 
3 .. 
2 ··. 
t ·. 
60,0 65,0 70,0 75,0 80,0 85,0 90,0 Peso (kg) 
Figura 2.3: Histograma: freqüências de classes de pesos:· · 
Freqüência 
5 
4 
3 
2 
72,5 77,5 82,5 87,5 Peso (kg) 
Figura 2.4: Polígono de freqüências de classes de pesos. 
20 
2. Na tabela a seguir estão apresentadas as velocidades médias (em kmlh) de 
uma amostra constituída por 15 motoristas que utilizam diariamente 
determinada rodovia. 
73 80 87 88 83 
87 75 83 77 88 
83 82 87 75 77 
... 
Pedem-se: 
a) construir uma tabela na qual constem: classes de velocidades (amplitude 
igual a 4 km/h), freqüência, freqüência relativa, freqüência acumulada e 
pontos médios dos intervalos; 
b) construi~ o hi~togr~ma e o polígono de freqüências referentes à tabela do 
item a. 
a) São propostas N = 4 classes de velocidades (em kmlh), de amplitude igual 
a4 kmlh. 
Classes de- -Freqüência Freqüência Freqüência Ponto Médio 
Velocidades Relativa Acumulada do 
(kmlh) Intervalo (kmlh) 
731-77 3 3/15 = 0,200 3 (73+77)/2 = 75 
771-81 3 3/15 == 0,200 3+3 = 6 (77+81 )/2 = 79 
811-85 4 4115 = 0,267 6+4 = 10 (81 +85)/2 = 83 
851-89 5 5/15 = 0,333 10+5 = 15 (85+89)/2 = 87 
N=4 N=4 
I;;= 15 Lfn = 1 
i=l i=l 
~ 
14. r: .. . . -··~ ~· --·· 
21 
... 
b) Gráficos: 
Freqüência 
5 
......... ,:-
4 . . .. ~·-. ,... .;,. -
3 
2 
_, ... · 
·"<, 
73 77 81 85 89 Velocidade (kmlb) 
Figura 2.5: Histograma: freqüências de classes de velocidades. 
Freqüência 
5 
4 
3 
2 
75 79 83 87 Velocidade (kmlh) 
Figura 2.6: Polígono de freqüências de classes de velocidades. 
22 
3. A coordenação pedagógica de uma escola realizou um pesquisa com uma 
amostra de 30 alunos, de 5 a 9 anos, na qual questionou-se o tempo médio (em 
minutos) que as crianças assistiam programas televisivos diariamente. A tabela a 
seguir indica as respostas fornecidas pelos responsáveis das crianças citadas. 
30 40 20 90 60 25 60 90 60 30 
60 20 90 60 60 110 30 100 60 90 
60 40 90 25 60 60 60 25 90 60 
Pedem-se: 
a) construir uma tabela na qual constem: classes de tempos (amplitude de 
20 min), freqüência, freqüência relativa, freqüência acumulada e pontos 
médios dos intervalos; 
b) construir o histograma e o polígono de freqüências referentes à tabela 
do item a. 
a) São propostas N = 5 classes de tempos (em min), de amplitude 20 min. 
Classes de Freqüência Freqüência Freqüência Ponto Médio 
Tempos Relativa Acumulada do Intervalo (min) 
(min) 
' 201-40 8 8/30 = 0,267 8 (20+40)/2 = 30 I 
40 l-60 2 2/30 = 0,067 8+2 = 10 ( 40+60)/2 = 50 I 
601-80 12 12/30 = 0,400 10+12 = 22 ( 60+80)/2 = 70 
801-100 6 6/30 = 0,200 22+6 = 28 (80+ 1 00)/2 = 90 
1001- 120 2 2/30 = 0,067 28+2 = 30 (100+120)/2 = 110 
N=5 N=5 I .r= 3o Lfri = 1 
i=l i=l 
-----------· -
23 
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() 
3 
3 
() 
3 
3 
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J 
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J 
) 
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b) Gráficos: 
Freqüência 
12 
·.•, 
10-
8 
6 
I I' .. 
4 
2 
:I ··\. 
20 40 60 80 100 120 Tempo (min) 
Figura 2.7: Histograma: freqüências de classes de tempos. 
Freqüência 
12 
lO 
8 
6 
4 
2 
30 50 70 Tempo (min) 
Figura 2.8: Polígono de freqüências de classes de tempos. 
24 
2.5. Exercícios Propostos. 
1. Na tabela a seguir estão apresentados os pesos (em kg) de uma amostra 
.constituída por 30 frequentadores de um clube esportivo. 
52,5 68,5 64,4 87,2 73,0 83,5 67,9 92,3 66,4 82,3 
88,4 55,6 86,7 89,3 72,0 66,3 69,3 77,0 79,2 84,5 
92,4 55,0 67,8 93,4 55,8 95,4 96,7 58,4 75,4 72,3 
Pedem-se: 
a) construir uma tabela na qual constem: classes de pesos, freqüência, 
freqüência relativa, freqüência acumulada e pontos médios dos intervalos; 
b) construir o histograma e o polígono de freqüências referentes à tabela do 
item a. 
2. Na tabela a seguir estão apresentadas as velocidades médias (em km/h) de 
uma amostra constituída por 48 motoristas que utilizam diariamente 
determinada rodovia. 
55 78 90 110 70 90 60 100 100 120 !lO 115 
112 n- 70- 72 58 ·- 65 65 '6b . 80-,88 90 96 
120 120 110 80 87 110 83 96 75 100 120 105 
93 95 112 96 98 100 112 60 80 110 90 80 
Pedem-se: 
a) construir uma tabela na qual constem: classes de velocidades, freqüência, 
freqüência relativa, freqüência acumulada e pontos médios dos intervalos; 
b) construir o histograma e o polígono de freqüências referentes à tabela do 
item a. 
25 
I 
i 
3. A coordenação pedagógica de uma escola realizou um pesquisa com uma 
amostra de 40 alunos, de 5 a 1 O anos, na qual questionou-se o tempo médio (em 
minutos) que as crianças assistiam programas televisivos diariamente. A tabela a 
seguir indica as respostas fornecidas pelos responsáveis das crianças citadas. 
35 45 30 90 60 80 60 90 60 30 
75 20 90 60 80 110 30 100 130 90 
60 50 90 110 60 60 60 130 90 60 
! 
I 
I 
120 110 130 60 135 50 45 150 170 70 . 
Pedem-se: 
a) construir uma tabela na qual constem: classes de tempos, freqüência, 
freqüência relativa, freqüência acumulada e pontos médios dos 
intervalos; 
b) construir o histograma e o polígono de freqüências referentes à tabela 
do item a. 
26 
Tarefa 2: Representações Gráficas. 
Nome: ______________________________________________________ __ 
Número: Turma::-------------------------
Curso: Turno: ________ _ 
1. Na tabela a seguir estão apresentados os Índices de Massas Corporais (IMC) 
de uma amostra constituída por 30 pacientes de um endocrinologista. 
29,1 28,3 26,0 32,0 27,830,5 27,8 23,9 27,6 30,0 
30,4 31,0 25,3 25,8 28,8 24,5 24,6 28,3 26,5 30,9 . 
32,4 29,5 31,7 32,8 28,7 27,6 28,1 30,4 25,6 32,3 . 
Pedem-se: 
a) construir uma tabela na qual constem: classes de IMC, freqüência, 
freqüência relativa, freqüência acumulada e pontos médios dos intervalos; 
b) construir o histograma e o polígono de freqüências referentes à tabela do 
item a. 
Obs: O IMC de um indivíduo é obtido pela divisão do peso (em kg) pela altura 
(em m) ao quadrado e o classifica segundo o critério abaixo: 
IMC (kgJm-) Categoria 
I 
Até 18,5 Abaixo do peso 
I 
De 18,5 a 24,9 Peso normal I 
De 25,0 a 29,9 Sobre-peso i 
Maior ou igual a 30,0 Obesidade 
27 
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28 
2. Na tabela a seguir estão . apresentados os resultados de 20 medições da 
espessura de uma peça (em mm), executadas com um micrômetro de precisão 
igual a 0,01 mm. 
2,2 2,3 2,2 2,5 2,4 2,5 2,8 2,1 2,6 2,5 
2,4 2,5 2,3 2,8 2,8 2,5 2,6 2,3 2,5 2,9 
Pedem-se: 
a) construir uma tabela na qual constem: classes de espessuras (em mm), 
freqüência, freqüência relativa, freqüência acumulada e pontos médios 
dos intervalos; 
b) construir o histograma e o polígono de freqüências referentes à tabela do 
item a. 
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L"""""""'''"'~~ W,)S ', o " • P'!@i. ;"': 7 ·,.,· •'>!>nm4,.,tSJ#\@;·• • .. ·• ·A>•;.•:•;,:, .<c~ "' C~:'r'.iJ.i<'!'l'f~GJttiSI4IYI , i 
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3 
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17~~ ~f~~ 
x~ +~ F~ 
--
30 
Capítulo 3: Medidas de Tendência Central. 
Muitas vezes, precisamos reduzir os dados a um único valor que represente toda 
uma série em estudo. Usualmente, empregamos uma das medidas de tendência 
central. Estudaremos três dessas medidas: média, moda e mediana. 
3.1. Média Aritmética. 
A média aritmética ( x) de um conjunto de dados é a soma dos dados 
dividida pelo número de elementos do conjunto. 
Se xi'x 2,x 3 , ... ,xn são os n valores de um conjunto de dados, podemos 
escrever: 
X= XI+ x2 +X]+ ... + xn 
n 
Exemplo: As alturas de 5 jogadores de um time de basquetebol são dadas a 
seguir: 1,85 m, 1,90 m, 1,92 m, 1,89 me 1,94 m. Qual é a altura média desses 
- .----- -. "--- -jogadores? 
x = 1,85 + 1,90 + 1,92 + 1,89 + 1,94 = 1 90m 5 • 
Caso os dados estejam dispostos em uma tabela de freqüências, podemos obter 
x por: 
n 
_ LXi.~ x .f +x,.f, +x3.f3 + ... +xn.fn -_1 I I - -X= •----= 
n n 
31 
~~- .. <V-.~ _, • .,. ,.,. ""~ --~ ~c-b ltlo<-7'"'-' ~'. .:,_,~ .. ,...,.. -i'"'-
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? 
Exemplo: Foram medidas, em milímetros, as espessuras de 30 chapas 
produzidas por uma máquina, obtendo-se a distribuição de freqüências mostrada 
na tabela 3.1: 
,.t• 
Tabela 3.1: E de chapas 
G tiiE . 6 
57 I 2 g . . 
·~i--
lt· I -::r-- X•' ;:_ ,%'cmcm 
~I 
(58""' 9J 
59 
60 
61 
62 
Calcule a espessura média. 
_ 1756 = S8,53mm X=w 
xj 
56 
57 
I 58 I 
I I 
. ! I 59 i 
l 
I 60 I 
61 I i 
62 1 
Total J 
5 
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u I 
3 
1 
3o I 
'...;;;;.._ I 
4 
~a -=-.l-5 
oU 
f; I xJ; j 
6 I 336 
: t-:~~ 1- - -· 
)- ~ 
3 I 18o 
1 ~~ 
~ 3 1756 
- . "-''·'"~ 32--~ .~ 
- -
--
• .J,•'.r.' 
Caso os dados estejam fornecidos por classes de freqüências, utilizamos a 
n ~ 
L:x;-f;/ 
fórmula ~ = J.=!.__ , sendo X; os pontos médios das classes. 
n 
Exemplo: Calcular a média da distribuição de freqüências indicada na tabela 3.2: 
(\ Tabela 3.2: Distrib · 
(Y,L~~~ -
de fi 
- - ---
'ncia 
-
({=~~~0...­
~-o..~O.O 
~c..-..c~.A..&.w_ 
~-
f= ~c.Q_~.1w. 
Resolução: 
Classes 
301-33 
..-~=~ 
VÓ-Q_~ 
e+-- ( bt:ç. At.J 
331-36 
361-39 
391-42 
421-45 
451-48 
48t-51 
Total 
- 1239 = 41.3 
x=3Q 
.. ~ ......... 
Classes Freqüências 
301-33 3 
331-36 5 
361-39 2 
391-42 I 4 
421-45 6 
451-48 I 7 L i -481=5-1 ~-- 3- I 
Ponto Médio Freqüências 
do Intervalo 
I 31,5 3 I 
I 34,5 I 5 1 ... 
I 37,5 2 i 
I 40,5 4 
I 43,5 i 6 
I i ---
I 46,5 I 7 I I I 
i 49,5 I 3 
I 
I 
I i 30 I 
-- ~-·~-.~33 =~- ~-~· -
X; .fi 
94,5 
172,5 
75 
162 
261 
325,5 
148,5 
1239 
·y '"\.-
3.2. Mediana. 
A mediana (md) é um valor que caracteriza o centro da distribuição de 
freqüências. Generalizando, podemos dizer que a mediana divide um conjunto 
ordenado de dados em duas partes com iguais quantidades de elementos. 
A mediana é calculada levando em consideração a ordem dos valores que 
formam o conjunto de dados. 
Quando o conjunto de dados tiver uma quantidade ímpar de elementos, a 
mediana é o elemento que estiver no centro da distribuição. 
Exemplo: Para o conjunto de dados:t1_ 4{]), 9 e l!J a mediana é igual a 7. 
Quando o número de dados tiver uma quantidade par de elementos, usamos 
como mediana a média aritmética dos dados centrais. 
hemph 2, 4, (Qj11 e 15, ' medirum é iguol ' 8, poi® 8. 
Muitas vezes a mediana pode ser utilizada como uma alternativa em relação à 
média. 
3.3. Moda. 
A moda (mo) é uma medida de tendência central, indicando a região das 
máximas freqüências. 
34 
·' ...-; .. :;.~~. · .... ~.:... 
A moda de um conjunto de dados é o valor (ou os valores) de mrunma 
freqüência. Em alguns casos, pode haver mais de uma moda, ou seja, a 
distribuição de valores pode ser bimodal, trimodal, etc. 
Exemplo: Determine a moda para o conjunto de valores dados: 
32 33 34 33 36 37 33 30 => mo=33 
3.4. Exercícios Resolvidos. 
I. Dada a tabela 3.5, mostrando a altura (em em) e o número de alunos, encontre 
a média. 
Tabela 3.5: Altura e número de alunos. 
Altura (em) Número de 
X; alunos 
f, 
!53 I 
157 2 
!58 4 
160 ! 4 
161 I 
162 5 
163 3 
165 2 
168 2 
170 3 
171 3 
172 1 
35 
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-~---
.J 
-~) 
Resolução: 
I 
I 
I 
' 
Altura (em) 
X; 
153 
!57 
!58 
160 
161 
162 
163 
165 
168 
170 
171 
172 
175 
176 
177 
180 
183 
Total 
175 3 
176 1 
177 1 
180 3 
183 1 . 
Número de 
alunos 
fi 
I 
2 
4 
4 
I 
5 
3 
2 
2 
3 
3 
I 
3 
1 
1 
3 
I 
40 
----
36 
x;-fi 
!53 
314 
632 
640 
161 
810 
489 
330 
336 I 
__ 510 ___ 
513 
172 
525 
176 
177 
540 
183 
6661 
,. ~~- -~-
"5J;~;· 
_ 6661 = 166,53cm X=4o 
2. Para a tabela abaixo (tabela 3.6), encontre a média.Tabela 3.6: Classes de pesos (em kg). 
Classes de Freqüência 
Pesos (kg) 
60,01-65,0 2 
65,01-70,0 5 
70,01-75,0 4 
75,01-80,0 4 
80,0 1-85,0 2 
85,0 1-90,0 3 
Resolução: 
Classes de Freqüência Ponto Médio 
Pesos (kg) do Intervalo (kg) 
60,01-65,0 2 1 (60,0+65,0)/2 = 62,5 
65,01-70,0 5 (65,0+70,0)/2 = 67,5 
70,0 1-75,0 4 (70,0+75,0)/2 = 72,5 
75,01-80,0 4 (75,0+80,0)/2 = 77,5 
80,01-85,0 2 (80,0+85,0)/2 = 82,5 
85,01-90,0 3 (85,0+90,0)/2 = 87,5 
Total: 20 
37 
;:···, 
x.f 
I 1~ .. -
125 
337,5 
' 
290 
310 
165 
262,5 
1490 
_ 1490 = 74,5Kg 
X= 20 
3.5. Exercícios Propostos. 
I. Calcule a média, a mediana e a moda dos seguintes conjuntos de dados: 
a) 1112 1114 1125 1120 1114 1133 1129 1112 1114 j 
Resposta: x = 119,22 md = 114 mo = 114 
b) 1 23 · 1 22 1 21 1 20 1 23 1 24 1 22 1 25 1 20 1 23 1 
Resposta: x = 22,3 md = 22,5 mo= 23 
2. Calcule a média para as distribuições de freqüências indicadas nas tabelas 3.7 
e 3.8: 
a) Tabela 3. 7 
X l_~ 
12 I 3 
13 8 
r 
14 5 
15 12 
16 lO 
17 7 
18 5 
Resposta: x = 15,18 
38 
b) Tabela 3.8 
Classes Freqüências 
41-12 6 
121-20 12 
201-28 7 
281-36 8 
361-44 20 
441-52 12 
521-60 13 
601-68 10 
681-76 12 
Resposta: x = 42,72 
39 
C)\ 
(1} 
() 
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~ 3 
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.... J 
) 
) 
Tarefa 3: Medidas de Tendência Central. 
Nome: ______________________________________________ ___ 
Número: Tunna: -------------
Curso: Turno: ____ _ 
L Em uma clínica endocrinológica foi observado o nível de colesterol, em mg/dl 
(miligramas po_r decilitro de sangue) de 10 pacientes, conforme tabela abaixo: 
1 154 1 215 1 170 1 200 1 180 1 186 1 150 1 160 -1 165 1 180 1 
Pedem-se: 
a) a moda. 
b) a mediana. 
c) a média aritmética. 
Respostas: mo=l80 md = 175 x = 176 
5JJ ..a . ,,,_ 'C!< 
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-·~- 40 41 
) 
2. Na tabela de distribuição de freqüência a seguir estão apresentadas as 
espessuras (em mm) de 40 chapas de aço. Determine a espessura média. 
Classes {mm) Quantidade de chapas 
861-96 8 
961-106 5 
1061-116 lO 
1161-126 6 
1261-136 I 
1361-146 5 
1461-156 5 
Resposta: x = 116,5 mm. 
42 
. ~~; ...... •.·· 
3. A tabela abaixo apresenta o salário mensal de 40 funcionários de uma 
microempresa. 
Salários mensais Número de 
(em reais) funcionários 
650 5 
750 12 
850 lO 
950 8 
1050 5 
Qual é o salário médio dos funcionários desta empresa? 
Resposta: 840 reais 
43 
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~ 
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I 
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44 
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Capítulo 4: Medidas de Dispersão. 
As medidas de dispersão são utilizadas para indicar o quanto os dados 
apresentam-se dispersos em torno da região central, ou seja, mostram o grau de 
variação em um conjunto de dados . 
As principais medidas de dispersão são: amplitude, variância, desvio-padrão e 
coeficiente de variação. 
4.1 Amplitude. 
A amplitude é a diferença entre o maior e o menor valor de um conjunto de 
dados. 
O cálculo da amplitude é fácil e rápido, porém é uma medida de dispersão que 
utiliza apenas dois valores, podendo ser considerada um "cálculo grosseiro", que 
apresenta um valor aproximado da variação de uma distribuição. 
Exemplo: Determine a amplitude do conjunto de dados: 
I, 2, 5, 7, 7, 4, 5, 7, 9 e 3. ·-· 
A amplitude é igual a 8, pois 9-1 =8 
4.2. Variância ( s 2 ) • 
A variância ( s') é uma medida de dispersão dos valores de uma variável em 
torno de sua média . 
AS.~.-~ 
·'' 
.. ~ 
I,. 
Quando queremos calcular a variância para amostras recorremos às seguintes 
fórmulas: 
Variância Amostrai(;/) 
Dados isolados Dados agrupados 
n 
ICxi -x)2 i:cxi- x)Z.fi 
s2 = i=I s2 = i=l 
n-1 n-1 
Exemplo: Calcule a variância do conjunto de dados indicados a seguir. 
1 2 r 4 1 7 1 9 1 ,, 1 15 1 
X =8 
s 2 = (2 -8) 2 + (4-8) 2 + (7 -8) 2 + (9-8) 2 + (11-8) 2 +(15-Sf = ~ = 
22 4 6-1 5 , 
Exemplo: Determine a variância para a distribuição de freqüências dada na 
tabela 4.1. 
Tabela 4 
• & • -- .... ~ ................ 'Y ..................... eqüência 
x, ( 
56 6 
57 2 
58 9 
59 5 
60 3 
61 1 
62 4 
total 30 
46 
·~-~.,.~ 
Resolução: 
x, 
56 
57 
58 
59 
60 
61 
62 
total 
x = 1756 =58,53 
30 
f, 
6 
2 
9 
5 
3 
I 
4 
30 
2 107,46 = 107,46 =3,7lmm2 
s = 30 -I 29 
4.3. Desvio-padrão (s). 
xJi (xi - x)2 .fi 
336 (56- 58,53)2 .6 = 38,41 
114 (57- 58,5W .2 = 4,68 
522 (58- 58,5W .9 = 2,53 
295 (59- 58,53) 2 .5 = 1,1 o 
180 (6ü-58,5W.3 = 6,48 
61 (6I-58,5W.l = 6,Io 
248 (62- 58,53) 2 .4 = 48,16 
1756 107,46 
Desvio padrão (s) é a raiz quadrada positiva da variância. 
Desvio Padrão Amostrai (s) 
Dados isolados Dados agrupados 
n 
I<xi -x)2 
n 
I ex i - x)2 .ri 
s =~ i=l 
n-1 
s =~i=! 
n-1 
Para os dados do exemplo anterior, temos: s = .J3Jl = 1,93 mm 
47 
·.;.;.' ·~; .. ; . 
C) 
() 
() 
() 
:> 
() 
:) 
~ 
~ 
·3 I 
~ 
~I 
3; j:{ 
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3 
I~ 
3 
a 
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1) 
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~ 
~ 
~ 
:) 
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a) 
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l 
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4.4. Coeficiente de Variação (cv). 
Coeficiente de variação (cv) é o quociente entre o desvio-padrão e a média. 
s 
CV== 
X 
Exemplo: Determine o coeficiente de variação do exemplo anterior. 
CV= 1•93 =003=3% 
58,53 , 
4.5. Exercícios Resolvidos. 
1. Para a tabela abaixo (tabela 4.2), determine a variância e o desvio-padrão. 
Tabela 4.2: Altura e número de alunos. 
Número de 
Altura (em) alunos 
X; f, 
155 5 
156 3 
158 5 
160 8 
162 5 
164 8 
168 4 
170 2 
48 
Resolução: 
Altura 
(em) 
X; 
155 
156 
158 
160 
162 
164 
168 
170 
Total 
_ 6447 = 161,18cm X=4o 
Número 
de alunos 
f; 
5 
3 
5 
8 
5 
8 
. -
4 
2 
40 
2
_ 741,77 =19,02cm 2 
s - 39 
s = ~19,02 = 4,36 em 
xJi (xi - x) 2 .fi 
775 (155 -161,18) 2 .5 = 190,96 
468 (156 -161,1W J = 8o,5o 
790 (158 -161,18) 2 .5 = 50,56 
1280 (160-161,18) 2 .8 = 11,14 
810 (162 -161,18)2 .5 = 3,36 
1312 (164 -161,18) 2 .8 = 63,62 
, •.. 
- -
672 (168-161.18) 2 .4 = 186,05 
340 (170-161,18) 2.2 = 155,58 
6447 741,77 
2. Na tabela a seguir (tabela 4.3) estão apresentados os pesos (em kg) de uma 
amostra constituída por 20 freqüentadores de um clube esportivo. Determine o 
desvio padrão e coeficiente de variação. 
49 
_:.-· 
Tabela 4.3. Classes de freqüências de pesos. 
Classes de Freqüência 
Pesos (kg) f, 
60,0 1-65,0 I 
:-: ~J 
65,01-70,0 5 
70,01-75,0 4 
75,01-80,0 4 
80,01-85,0 3 
85,0 1-90,03 
Resolução: 
Classes de Pesos (kg) Freqüência Ponto Médio 
( x, X; .f; (x, -:;(/.f; 
60,01-65,0 1 62,5 62,5 (62,5-75,5) 2 .1=169. I 
65,01-70,0 5 67,5 337,5 (67,5 -75,5) 2 .5 = 320 
I 
70,0 1-75,0 4 72,5 I 290 (72,5- 75,5)" .4 = 36 
75,0 1-80,0 4 77,5 310 (77,5- 75,5) 2 .4 = 16 
80,01-85,0 3 82,5 247,5 (82,5 -75,5)2 .3 = 147 
85,01-90,0 3 87,5 262,5 (87,5 -75,5) 2 .3 = 432 
Total: 20 1510 1120 . 
- ---
- 1510 = 75 5kg X=: - , 
20 
50 
·f·~-
s2 = 
1120 
=58 95 kg2 19 , 
s = .../58,95 = 7,68kg 
CV = 7 •68 = O I O 17 = 1 O 17% 75,5 , , 
4.6. Exercícios Propostos. 
1. Calcule o desvio padrão e o coeficiente de variação para as tabelas 4.4 e 4.5. 
a) Tabela 4.4 b) Tabela 4.5 
x, f, Classes Freqüências 
12 3 41-12 6 
13 8 121-20 12 
14 5 I 201-28 7 
15 12 281-36 8 
16 10 361-44 20 
17 7 441-52 12 
18 5 
------ I 521-60 
13 
601-68 lO 
681-76 12 
Respostas: a) s=l,72 CV=11,33% b)s=l9,27 CV=45,11% 
2. A seguir são dadas as alturas (em em) de 8 atletas. Determine o coeficiente 
de variação. 
111s II8o I 192 I 1so I 19o 1179 I 1so I 191 I 
Resposta: CV=3,3% 
51 
• ..... -~,~ 
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I \) 
I) 
I ) 
I) 
3. O gerente de uma loja de equipamentos eletrônicos pesquisou o preço de um 
determinado equipamento em 12 fabricantes obtendo-se os seguintes valores 
unitários em reais. 
1120 1110 l1oo 198 1125 l11s 195 \98 · l11o 1120 1n2 1120 I 
Determine: 
a) o preço médio do equipamento. 
b) a variância. 
Resposta: ~ = 110,25reais e s2 = 106,02reais2 
4. Calcule a média e o desvio-padrão para a seguinte distribuição de freqüências 
agrupadas de notas de exames de Física em uma turma de 25 estudantes . 
Intervalos de Número de 
Classe Estudantes 
41-5 5 
51-6 8 
61-7 4 
71-8 I 
81-9 5 
91-10 2 
,1) i) - -Resposta;.)(= 6,46 s= 1 ,67 
) 
f) 
Js 
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~}~·)) 
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i\ ~~ ._,, 
1'1 
() 
5. A tabela a seguir mostra o consumo mensal de água (em m3) de uma 
residência. 
a) calcule a média de consumo mensal em m3 . 
b) calcule o coeficiente de variação. 
Resposta: x = 31,08 e CV=27,93% 
52 
: .. ;.;;. .... _ ~'·· 
Tarefa 4: Medidas de Dispersão. 
Nome: ____________________ _ 
Número: Turma: 
----------
Curso: Turno: ________ _ 
1. Em uma clínica endocrinológica foi observado o nível de colesterol, em mg/dl 
(miligramas por decilitro de sangue) de 10 pacientes, conforme tabela abaixo: 
1 154 1 215 1 110 1 200 1 180 1 186 1 150 1 160 1 165 1 180 1 
Pedem-se: 
a) o desvio-padrão. 
b) coeficiente de correlação. 
Respostas: a) s=20,55 mg/dl b) CV=l'1,68 · 
53 
1-·; 
2. Na tabela de distribuição de freqüência a seguir estão apresentadas as 
espessuras (em mm) de 40 chapas de aço. Determine: 
a) o desvio padrão e o coeficiente de variação. 
b) histograma. 
Classes (mm) Quantidade de chapas 
861-96 8 
961-106 5 
1061-116 10 
1161-126 6 I 
1261-136 I 
1361-146 5 
1461-156 5 
'- -----
Respostas: s=20,25mm e CV= 17,38% 
54 
.. ·~-- ... ~\:-
":"f" 
Capítulo 5: Probabilidades 
5.1. Conceitos Básicos. 
Em uma experiência aleatória, isto é, sujeita às leis do acaso, dizemos que: 
Ponto Amostrai é qualquer um dos resultados possíveis. 
Exemplo: Em um lançamento de uma moeda, podemos obter o ponto amostrai 
cara ou o ponto amostrai coroa. 
Espaço Amostrai (S) é o conjunto de todos os resultados possíveis. 
Exemplos: 
a) No lançamento de uma moeda honesta temos: S1={cara, coroa} 
b) No lançamento de um dado de 6 faces temos: S2={1,2,3,4,5,6} 
O número de elementos do espaço amostrai é dado por n(S). No exemplo 
temos n(S 1)=2 e no exemplo 2 temos n(S2)=6. 
Evento (representado por uma letra maiúscula) é qualquer subconjunto de 
um espaço amostrai. 
Por exemplo, no lançamento de um dado honesto de 6 faces, podemos ter os 
eventos: 
55 
-
H• ":c'" : 
ta: 
• 1t 
:1 
~· 
(t 
~~ 
lt. 
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3_ 
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'Oji,.''" jt 
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J)i 
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J) 
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11111.-; ~ I 
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j) 
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3 
3, 
3' 
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) 
) 
) 
) 
) 
) 
J 
E: sair ponto par. 
E={2,4,6} n(E)=3 
F: sair ponto menor ou igual a 4. 
F={l,2,3,4} n(F)=4 
Dentre os eventos, devemos considerar os seguintes: S, considerado evento 
certo, pois sempre ocorre e ~, considerado evento impossível, pois nunca· 
ocorre. 
5.2. Operações com Eventos. 
As operações entre conjuntos podem ser aplicadas aos eventos. 
1. Evento união (Eu F) é o evento formado pelos elementos que pertencem a 
pelo menos um dos eventos considerados. 
s 
Eu F 
Exemplo: 
No lançamento de um dado honesto, temos os eventos: 
E: sair ponto par 
"~56~--
~- :-: ...... ' 
E={2,4,6} 
F: sair ponto menor ou igual a 4. 
F= { 1 ,2,3,4} 
Eu F={l,2,3,4,6} 
2. Evento intersecção (E n F) é o evento formado pelos elementos 
pertencentes a ambos os eventos considerados. 
E F 
s 
EnF 
Exemplo: E n F= {2,4} 
3. Evento complementar (E) é o evento formado pelos elementos que não 
pertencem ao evento E. 
E 
57 
. ..._-. 
-.. _ ~ 
Exemplo: 
E: sair ponto par 
E={2,4,6} 
E ={1,3,5} 
5.3. Conceito de Probabilidade. 
A probabilidade P(E) de ocorrer um evento E é o quociente do número de 
elementos de E pelo número de elementos de S, onde S "# ~. 
Exemplos: 
P(E) = n(E) 
n(S) 
a) No lançamento de um dado honesto de 6 faces, qual a probabilidade de 
ocorrer ponto par? 
S={l,2,3,4,5,6} n(S)=6 
E={2,4,6} n(E)=3 
3 I P(E)=-=-
6 2 
b) Em um baralho comum de 52 cartas, qual a probabilidade de se retirar uma 
carta de paus? 
Em um baralho comum de 52 cartas temos 13 cartas de paus. Considerando F 
como sendo o evento sair carta de paus, então: n(S)=52 e n(F)= 13 
58 
.. ''" .... ··~ \'!";:.~ 
13 1 
P(F) =52 =4 
5.4. Propriedades. 
• O:::; P(E):::; 1 
• P(S)=1 (evento certo) 
• P( ~)=O (evento impossível) 
• Se E é o evento complementar de E, então: P(E) = 1- P(E). 
• Se E e F são dois eventos de um espaço amostrai S, finito e não vazio, 
então: 
P(E u F)= P(E) + P(F)- P(E n F) 
• Se E n F = ~, então E e F são chamados eventos mutuamente exclusivos 
e: 
P(E u F)= P(E) + P(F) 
• Se os eventos E, F, G, ... R de S forem, dois a dois, sempre mutuamente 
exclusivos, são chamados exaustivos se Eu F u ... u R =S. Assim sendo 
temos: P(E) + P(F) + ... + P(R) =I 
5.5. Probabilidade Condicionada. 
Considerando dois eventos E e F de um espaço amostrai S, sendo S"' $ e 
finito, a probabilidade de F condicionada a E é a probabilidade de ocorrer 
F sabendo que já ocorreu E: P(F /E)= n(E 11 F) 
n(E) 
59 
(]J 
~ 
1t 
1).·· 
9 
dt 
~· 
aJ 
• lt 
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9 
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J)· . 
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I 
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) 
) 
) 
) 
) 
) 
) 
) 
) 
) 
) 
) 
) 
) 
) 
) 
) 
} 
Exemplo: Retirando-se uma carta de um baralho de 52 cartas, qual é a 
probabilidade de retirar-se um rei, sabendo que a carta é de espadas? 
E: sair carta de espadas n(E)= 13 
F: sair rei n(F)=4 
E n F : sair rei de espadas n(E n F)= I 
P(F /E)=_!_ 
13 
5.6. Eventos Independentes. 
Dois eventos E e F são independentes se e somente se: P(E I F) = P(E) 
P(F I E)= P(F) 
Se E e F são eventos independentes temos P(E n F)= P(E).P(F) 
Exemplo: Se P(E)=0,3 e P(Eu F)=0,8, determine P(F)sabendo que E e F são 
independentes. 
P(F)= X 
Se E e F são eventos independentes então P(E n F)= P(E).P(F) = 0,3.x 
P(E u F)= P(E) + P(F)- P(E n F) 
0,8 = 0,3 + x- 0,3x 
0,5 = 0,7x 
0.5 
x=-
0,7 
5 
X=-
7 
60 
'.~ ·.:,: .J ,;.~:;!~ 
5.7. Exercícios Resolvidos. 
1. Uma caixa contém 15 bolas numeradas de I a 15. Extraindo-se uma bola ao 
acaso, qual a probabilidade de que o número seja: 
a) par; 
b) ímpar; 
c) menor ou igual a 8; 
d) múltiplo de 3. 
Resolução: 
S= {1,2,3,4,5,6, 7,8,9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} 
E: sair número par E= {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} 
n(s)=l5 
n(E)=7 
F: sair número ímpar F= {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} n(F)=8 
G: sair número menor ou igual a 8 G= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} n(G)=8 
H: sair número múltiplo de 3 
a) P(E) = }_ 
15 
8 
b) P(F) = 15 
c) P(G)=~ 
15 
5 1 
d) P(H) = 15 = 3 
H= {3, 6, 9, 12, 15} n(H)=5 
61 
2. Uma empresa fabrica peças em três filiais: I, II e III. A filial I produz 35% das 
peças, a filial II 25% das peças e a filial III 40% das peças. As probabilidades de 
que uma peça produzida por uma dessas filiais sejam defeituosas são 5%, 12% e 
3% respectivamente. É escolhida uma peça ao acaso da produção dessa empresa. 
Determine: 
a) a probabilidade de a peça ser defeituosa; 
b) Se ela é defeituosa, qual é a probabilidade de ter sido fabricada na filial II? 
Resolução: 
D: peça defeituosa 
a) P(D)= P(I).P(D/I)+P(II).P(DIII)+P(III).P(D/III) 
P(D)=0,35.0,05+0,25.0, 12+0,40.0,03= 0,0595 
b) P(II/D P(II).P(DIII) 
) P(l).P(D/1) + P(IJ).P(D!II) + P(III).P(D/III) 
P(II/D) 0,25.0, 12 =~=O 5042 
0,35.0,05 + 0,25.0, 12 + 0,40.0,03 0,0595 , 
5.8. Exercícios Propostos. 
1. No lançamento de 4 moedas honestas, encontre o espaço amostrai S e 
determine: 
a) E: sair 4 faces iguais. 
b) F: sair 2 faces caras. 
c) G: sair cara na primeira moeda. 
d) H: sair coroa na última moeda. 
e) EuF 
62 
·- . ~~: . ... ~ ...... 
-<- -; ~~~::. 
f)FnG 
g) (FuG)nH 
h) H 
2. Retirando-se uma carta de um baralho comum de 52 cartas, qual a 
probabilidade de sair rei ou cana de copas? 
4 
Resposta:-
13 
3. Três máquinas A, B e C produzem, respectivamente, 25%, 40% e 35% da 
produção diária de uma empresa de autopeças. Sabe-se, por experiências 
anteriores, que as porcentagens de autopeças defeituosas produzidas em cada 
máquina são de 5%, 2,5% e 4%. Retirando-se uma autopeça da produção diária 
desta empresa, foi verificado que era defeituosa, qual a probabilidade da 
autopeça ter sido fabricada pela máquina C? 
Resposta: 0,3836 
4. A probabilidade de um casal ter um filho do sexo masculino é _!_. Qual é a 
4 
probabilidade do casal ter dois filhos de sexos opostos? 
3 Resposta: -
8 
63 
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5.9. Distribuições de Probabilidade. 
5.9.1. Definições. 
Variável aleatória ( xJ: representa um valor numérico associado a cada um dos 
resultados de um experimento probabilístico. 
Variável aleatória discreta: quando os possíveis resultados da variável formam 
um conjunto enumerável de valores. 
Variável aleatória contínua: quando os possíveis resultados de um experimento 
são representados pelos infinitos valores de um intervalo contínuo. 
· Função de Probabilidade é uma função que associa a cada valor assumido pela 
variável aleatória a probabilidade do evento correspondente. 
Distribuição Discreta de Probabilidade: a cada valor de uma variável aleatória 
discreta poderá ser atribuída uma probabilidade. o conjunto formado por cada I 
,, valor da variável aleatória com a sua probabilidade. 
~ .•. Para uma distribuição de probabilidade temos: 
I) O:o;P(x):o;l 
II)LP(x)=l 
64 
·:.1- \~ 
l ~ .. 
:i·= • .I!. 
of'd: 
........... ~-
•• ! C:J' 
Exemplo: A tabela abaixo representa o número de computado~es por família em 
uma determinada região. 
Tabela 5.1: Número de computadores por família. 
Número de Número de 
computadores famílias 
o 13 
1 35 
2 12 
3 25 
4 15 
Total 100 
Construindo uma distribuição de probabilidade para a situação acima obtemos: 
I- xi • P(x.) 
I 
o 0,13 
1 0,35 
2 0,12 
3 0,25 
4 0,15 
__..........._.--
Total 1 
65 
66 
. ~~: .. ' ....... .,.: ... ' <·" 
Tarefa 5: Probabilidades. 
Nome: ____________________________________________ ___ 
Número: Turma: _________ _ 
Curso: Turno: _______ _ 
l. Se P(A)=0,25 e P( A u B) =0,85 determine P(B) sabendo que os eventos são: 
a) mutuamente exclusivos. 
b) independentes. 
Respostas: a) 0,6 b) 0,8 
2. As probabilidades de três jogadores marcarem um gol cobrando um pênalti 
- . I lI Sb d d. d b ' , . sao, respectivamente, -,-e-. a en o que ca a JOga or atera um um co 
3 4 5 
pênalti, qual a probabilidade de todos errarem? 
Resposta: 40% 
67 
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3. A tabela abaixo mostra a disponibilidade de doadores em um banco de sangue 
de um hospital. 
Tabela 5.2: Tipos sanguíneos e quantidades disponíveis. 
Fator Rh Tipo Sanguíneo 
A 8 AB o Total 
Rh 
positivo 15 8 7 10 40 
Rh 
negativo 16 24 8 12 60 
Total 31 32 15 22 100 
Selecionando um doador ao acaso, determine: 
a) a probabilidade de o doador ter tipo sanguíneo AB ou A. 
b) a probabilidade de o doador ter tipo sanguíneo O ou ser Rh positivo. 
Respostas: a) 0,46 b) 0,52 
68 
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''11>~ .. ··.~...,; ...... 
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Capítulo 6: Distribuição Binomial e Distribuição de 
6.1 - Distribuição Binomial. 
Muitos problemas em Estatística envolvem situações onde um experimento com 
dois resultados possíveis é repetido várias vezes, sempre em condições idênticas. 
Cada vez que o experimento é realizado, dizemos que ocorreu uma repetição ou 
realização do mesmo. Alguns exemplos dessas situações são: 
• Nascimentos- existem apenas duas possibilidades, o nascimento de 
uma criança do sexo masculino ou do sexo feminino; 
• Processos de fabricação - produtos sendo verificados como 
aceitáveis ou defeituosos; 
• Medicina - nova droga sendo testada em pacientes, podendo ser 
efetiva ou não efetiva; 
• Comércio - um vendedor atende vários clientes durante uma 
semana, para cada um uma venda ocorre ou não ocorre. 
Todas as situações acima exibem uma característica de dualidade que 
caracterizam um experimento binomial. A seguinte definição pode ser dada: 
Experimento binomial é um experimento que satisfaz os seguintes 
requisitos: 
1. O experimento deve ter um número fixo de repetições. 
2. As repetições devem ser independentes. 
3. Cada repetição deve ter um resultado classificado em apenas duas 
categorias. 
4. A probabilidade deve permanecer constante em cada repetição. 
69 c •. 
J 
Esta definição indica que, em um experimento binomial, temos um número fixo 
de repetições independentes, nas quais cada resultado tem somente duas 
classificações. O termo independente significa que o resultado de uma repetição 
ou realização do experimento não afetará as probabilidades dos resultados em 
repetições subseqüentes. 
Em Estatística é uma prática comum tratar eventos como independentes quando 
amostras pequenas são retiradas de grandes populações. Uma orientação comumé assumir independência quando o tamanho da amostra for no máximo 5% do 
tamanho da população. 
Notação: 
Sucesso ou falha (s ou f, respectivamente) indicam as duas categorias de todos 
os resultados; p e q indicam as probabilidades de sucesso(s) e de falha(f), 
respectivamente, ou seja: 
Onde: 
P(s) = p 
P(f)=l-p=q 
p indica a probabilidade de sucesso: 
q indica a probabilidade de falha. 
70 
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6.2. Exemplo de Aplicação da Distribuição Binomial. 
Sabe-se que uma máquina utilizada para a fabricação de parafusos produz 95% 
de peças dentro das dimensões padronizadas. Suponha que quatro parafusos 
sejam escolhidos aleatoriamente. Qual a probabilidade de que exatamente dois 
deles atendam às especificações? 
Solução: 
a) Cada repetição consiste em verificar se o parafuso está com as dimensões 
dentro das especificadas. Há dois possíveis resultados para cada repetição: 
dentro (conforme) e fora (não conforme). As repetições são independentes. 
Se chamarmos de sucesso um parafuso com as dimensões dentro das 
especificadas, então a probabilidade de sucesso é p = 0,95 (95%). 
b) Os possíveis resultados das quatro repetições estão mostrados na tabela 
abaixo. 
ssss sfss ffss stff 
ffff fsss sfsf fstf 
sssf ssff fsfs ffsf 
ssfs sffs fssf fffs 
- - -
Por exemplo, sssf representa o resultado de que os primeiros três parafusos estão 
dentro das medidas e de que o último não está. 
71 
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c) Como pode ser visto na tabela acima, existem 16 possíveis resultados e a 
probabilidade de ocorrência de cada um pode ser calculada aplicando a regra 
especial da multiplicação, uma vez que as repetições são independentes. A 
probabilidade de sucesso é 0,95 e, portanto; a probabilidade de falha é 0,05. 
Isto significa que: 
P(s) = p = 0,95 e P(f) = q = l~p = 1-0,95 = 0,05 
Logo, o cálculo da probabilidade de ocorrerem exatamente dois sucessos é dado 
pela regra especial da multiplicação: 
P(ssff) = P(s). P(s). P(f). P(f) = 0,95. 0,95. 0,05. 0,05 = 0,002256 
Se indicarmos a probabilidade de sucesso por p e a probabilidade de fracasso 
por q, como definido na notação, o produto acima seria escrito como: 
P(ssff) = p . p . q . q 
Entretanto, este não é o único resultado aceitáveL A tabela do item (b) mostra 
que outros resultados são possíveis. Existem 6 maneiras de obtermos 2 sucessos 
entre os 4 parafusos escolhidos aleatoriamente, e é fácil perceber que cada uma 
dessas maneiras terá uma probabilidade de 0,002256 de ocorrer. Assim, a 
probabilidade total será dada pela regra especial da adição: . 
P(x=2) = P(ssff) + P(ffss) + P(sfsf) + P(fsfs) + P(sffs) + P(fssf) = 
= 0,002256 + 0,002256 + 0,002256 + 0,002256 + 0,002256 + 0,002256 = 
= 6. 0,002256 = 0,013536 
72 
Este exemplo mostrou que em muitas situações estamos interessados no número 
de sucessos em um experimento binomial. Se indicarmos o número total de 
sucessos por x, então x é uma variável aleatória cujos possíveis valores seriam O, 
I, 2, 3, 4. Usando a notação de variável aleatória para representar eventos e 
probabilidades, o evento "exatamente dois parafusos dos quatro estejam dentro 
da especificação" pode ser escrito como "{x = 2} ". A probabilidade calculada 
no exemplo poderia ser indicada como P(x=2) = 0,013536 ou, simplesmente, 
P(2) = 0,013536 . 
O exemplo foi resolvido listando-se todas as possibilidades de resultados do 
experimento. Entretanto, se em vez de quatro parafusos tivéssemos vinte, este 
modo de resolução não seria viáveL Necessitamos de uma fórmula para definir 
uma distribuição binomial e que permita obter a probabilidade de ocorrer um 
número de sucessos x dentre n repetições do experimento. O fato importante, 
mostrado abaixo, nos dá o número de resultados possíveis com x sucessos. 
6.3. Simplificação. 
Suponha que n repetições sejam realizadas em um experimento binomial. O 
número - de .. resultados- com- exatamente-x-sucessos-é- igual- ao· coeficiente 
binomial: 
[:] 
Na parte (b) do exemplo, encontramos seis resultados possíveis nos quais 
exatamente dois dos quatro parafusos estão de acordo com a especificação: 
ssff, sfsf, sffs, fssf, fsfs e ffss. Em outras palavras, o evento de exatamente dois 
sucessos (x=2) em quatro repetições (n=4) consiste de seis resultados. 
73 
Usando o fato importante, podemos determinar este valor sem a necessidade de 
listar todos eles. 
[n] = [4] = 4! 4.3.2! = 6 X 2 2!.(4- 2)! 2!.2! 
6.4. Fór"mula para o Cálculo da Distribuição de Probabilidades da Variável 
x. 
Suponha que n repetições independentes sejam realizadas e que a probabilidade 
de sucesso em qualquer repetição seja p. Seja x o número total de sucessos 
dentre as n repetições. Então a distribuição de probabilidade da variável x é dada 
pela fórmula: 
P(x) = [: Jp' .(1- p)"-x 
A variável aleatória x é chamada variável aleatória binomial e apresenta 
distribuição binomial com parâmetros n e p. 
Para determinar a fórmula da distribuição binomial em problemas específicos, é 
útil ter um procedimento bem organizado. Tal procedimento é apresentado 
abaixo. 
74 
-. .::_~;<. ~ ... -:..,~. -~. 
~1' 
Como determinar uma distribuição binomial: . 
Hipóteses: 
I. n idênticas repetições são realizadas. 
2. Existem dois possíveis resultados (sucesso ou falha) para cada repetição. 
3. As repetições são independentes. 
4. A probabilidade de sucesso, p, permanece a mesma em cada repetição. 
Passo 1 - Identifique um sucesso. 
Passo 2 - Determine p, a probabilidade de sucesso. 
Passo 3 - Determine n, o número de repetições. 
Passo 4 - Substitua os valores na fórmula. 
P(x) = C)px (1-p y-x 
6.5. Exercícios Resolvidos: Distribuição Binomial. 
I) Um estudo de uma companhia telefônica em uma certa cidade mostrou que a 
duração média de uma chamada telefônica residencial é de 3,8 minutos e que a 
probabilidade de uma chamada telefônica, selecionada de maneira aleatória, 
com duração superior a 3,8 minutos é de 0,25. Qual é a probabilidade de que 
entre três chamadas aleatoriamente selecionadas, 
a) exatamente duas durem mais que 3,8 minutos? 
b) nenhuma dure mais que 3,8 minutos? 
75 
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Solução: 
Seja x o número de chamadas, dentre as três selecionadaS, que duram mais que 
3,8 minutos. Para encontrar as probabilidades pedidas, aplicaremos o 
procedimento anteriormente sugerido . 
Passo 1 -Identifique um sucesso. 
Um sucesso será uma chamada que durar mais que 3,8 minutos. 
Passo 2 - Determine p, a probabilidade de sucesso. 
A probabilidade p de uma chamada durar mais que 3,8 minutos é igual a 0,25. 
Assim, p=0,25. 
Passo 3 - Determine n, o número de repetições. 
Neste caso, o número de repetições é o número de chamadas selecionadas. Logo 
n=3. 
Passo 4 -A fórmula da distribuição binomial para o número de sucessos x, será 
P(x) =(~).0.25'.0,75 3-' _Tendo completado o procedimento. podemos responder às perguntas 
formuladas. 
a) A probabilidade de exatamente duas durarem mais que 3,8 minutos é obtida 
fazendo x=2: 
(3) 2 1 P(2)= 2 .0,25 .0,75 =0,141 
76 
.. ~-""""~---·~.r-,.. • ..---. ·-.~-~--
. 
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.· .:.;.,...~ 
A probabilidade de que duas das três chamadas selecionadas durem mais que 3,8 
minutos é de 14,1 %. 
b) A probabilidade de que nenhuma das três chamadas dure mais que 3,8 
minutos é obtida fazendo x=O: 
(3) o ) P(2) = O .0,25 .0, 75 = 0,422 
Existe 42,2% de chance de que nenhuma das três chamadas selecionadas dure 
mais que 3,8 minutos. 
2) A probabilidade do pouso de um avião ser bem-sucedido usando um 
simulador de vôo é dada por 0,70. Seis estudantes de pilotagem, escolhidos 
aleatória e independentemente. são convidados a tentar voar no avião, usando o 
simulador. Qual é a probabilidade de dois dos seis estudantes pousarem com 
sucesso o avião, usando o simulador? 
Solução: 
Seja x o número de estudantes que realizaram o pouso com sucesso, dentre os 
seis selecionados. 
Passo I - Identifique um sucesso 
Uin sucesso será um estudante que realiza um pouso bem-sucedido. 
Passo 2 - Determine p, a probabilidade de sucesso. 
~77 
A probabilidade p, de um pouso ser bem-sucedido é 0,70. Assim, p = 0,70. 
Passo 3 - Determine n, o número de repetições. 
O número de repetições é o número estudantes convidados. Logo n = 6. 
Passo 4 - A fórmula da distribuição binomial para o número de sucessos x, será: 
(6) x 6-x P(x) = x .0,70 .0,30 
Tendo completado o procedimento, podemos responder~ pergunta formulada. 
A probabilidade de exatamente dois estudantes pousarem com sucesso usando o 
simulador é, fazendo-se x=2: 
(6J 2 4 P(x)= 2 .0,70 .0,30 =0,0595 
Existe 5,95% de probabilidade de que dois estudantes consigam realizar o pouso 
com sucesso. 
6.6. Exercícios Propostos: Distribuição Binomial. 
I) Se 20% dos parafusos prod\)zidos por uma máquina são defeituosos, 
determinar a probabilidade de, entre 4 parafusos escolhidos ao acaso: 
a) um ser defeituoso; 
b) nenhum ser defeituoso; 
c) no máximo dois serem defeituc::;os. 
Respostas: a) 0,4096 b) 0,4096 c) 0,9728 
78 
. ·. ~-~: ,;.;:~. _., 
'(f:·' 
2) Devido às altas taxas de juros, uma empresa informa que 30% de suas 
contas a receber de outras ftrmas comerciais encontram-se vencidas. Se 
um contador escolhe, aleatoriamente, uma amostra de 5 contas, 
determinar a probabilidade de cada um dos seguintes eventos, usando a 
fórmula de probabilidades binomiais: 
a) Nenhuma das contas está vencida. 
b) Exatamente duas contas estão vencidas. 
c) A maioria das contas está vencida. 
Respostas: a) 0,16807 b) 0,3087 c) 0,16308 
3) Lotes, que consistem em 50 eixos provenientes de um processo de 
produção, são verificados em relação à conformidade às exigências dos 
consumidores. O número médio de eixos não conformes em um lote é 
igual a 5. Suponha que o número de eixos não conformes em um lote, 
denotado como X, seja uma variável aleatória binomial. 
a) Qual é P(X :S 2)? 
b) Qual é P(X 2: 49)? 
Respostas: a) O, 1117 b) o 
4) Entre 800 famílias com 5 crianças cada uma, qual a expectativa de terem 
(considerar probabilidades iguais para meninos e meninas): 
a) Três meninos. 
b) Cinco meninas. 
c) Dois ou três meninos. 
Respostas: a) 250 b) 25 c) 500 
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5) Um vendedor de seguros vende apólices a 5 homens, todos da mesma 
idade e boa saúde. De acordo com dados estatísticos, a probabilidade de um 
homem, dessa idade, estar vivo daqui a 30 anos é de 2/3. Determinar a 
probabilidade de ainda estarem vivos daqui a 30 anos: 
a) Todos os 5 homens. 
b) Pelo menos 3 deles. 
c). Apenas 2 homens. 
d) Pelo menos um. 
Respostas: a) 0,1317 b)0,7901 c)0,1646 d)0,9959 
6) Um vendedor de carros novos sabe, de experiência passada, que, na 
média, ele faz uma venda para cerca de 20% de seus clientes. Qual é a 
probabilidade de que em cinco clientes aleatoriamente selecionados, ele fará 
uma venda: 
a) Para exatamente três clientes? 
b) Para no máximo um cliente? 
c) Para no mínimo um cliente? 
Respostas: a) 0,051 b) 0,738 c) 0,672 
7) Suponha que somente I em 10 pessoas não -está satisfeita com seuplano ..... 
de saúde. Se 15 pessoas são selecionadas ao acaso, qual é a probabilidade de 
que o número de pessoas descontentes com seu plano de saúde seja: 
a) Exatamente duas? 
b) No máximo duas? 
c) No mínimo duas? 
d) Entre uma e três? 
Respostas: a) 0,267 b) 0,816 c) 0,451 d) 0,739 
- '80 
·:, 
6.7. Distribuição de Poisson. 
A distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidades para eventos que 
ocorrem em um intervalo de tempo ou de espaço. É uma distribuição semelhante 
à binomial, exceto pelo fato de que os eventos ocorrem em tentativas fixadas, 
por exemplo: número de falhas que ocorrem em um processo industrial em cada 
lote produzido ou a quantidade de mensagens que chegam por hora no servidor 
de uma rede de computadores. 
Distribuição de Poisson: Considere que eventos ocorram ao acaso, ao longo de 
um intervalo. Um experimento aleatório é denominado Processo de Poisson se 
o intervalo puder ser dividido em subintervalos com comprimentos 
suficientemente pequenos tal que: 
1 -a probabilidade de contagens diferentes em um subintervalo seja zero, 
2 - a probabilidade de uma contagem em Um subintervalo seja a mesma para 
todos os subintervalos e proporcional ao comprimento destes e 
3 -a contagem em cada subintervalo seja independente de outros subintervalos. 
Se o número médio de contagens no intervalo for À > O, a variável aleatória X, 
que é igual ao número de contagens no intervalo, terá uma distribuição de 
Poisson, com parâmetro À . 
'"' .•• .!'-
Fórmula para o cálculo da distribuição de probabilidade da variável x: 
P (x) = ')..:-e-). 
X! 
Onde: 
À : número médio de sucesso para uma específica dimensão de tempo ou espaço. 
e: núm~ro de Néper, aproximadamente 2,7183. 
Determinação de uma Distribuição de Poisson: 
Passo 1 - Identifique a variável aleatória x, que é igual ao número de sucessos 
no intervalo. 
Passo 2 - Determine o número médio (À) de sucessos para uma específica 
dimensão de tempo ou espaço. 
Passo3 - Substitua os valores na fórmula: 
p (x) = À x-e-;, 
X' 
6.8. Exemplo de Aplicação da Distribuição de Poisson. 
Uma equipe de manutenção atende em média cinco chamadas por hora. 
Determinar a probabilidade de que, em uma hora selecionada aleatoriamente, 
sejam recebidas exatamente quatro chamadas. 
Passo 1 -Identificar a variável aleatória: x = 4. 
82 
. :I- .. " "!!>;...-
Passo 2 - Determinar o número médio (,1.) de sucessos para uma específica 
dimensão de tempo ou espaço: À= 5. 
Passo 3- Aplicar a fórmula: 
P(x)= "A'-e-1. 
X! 
P (4) =5
4
-e-; =o 1755 
4! , 
6.9. Exercícios Resolvidos: Distribuição de Poisson. 
1) Suponha que o número médio de acidentes com fogos de artificio ocorridos 
por ano, em uma cidade é de 5 por I 00.000 pessoas. Determinar a probabilidade 
de, em uma cidade de 200.000 habitantes, haver: 
a) zero acidentes; 
b) dois acidentes; 
c) mais de dois acidentes. 
Solução: 
a) dez acidentes 
Passo I -Identificar a variável aleatória: x = O. 
Passo 2 - Determinar o número médio (À) de sucessos para uma específica 
dimensão de tempo ou espaço: À = I O. 
Passo 3- Aplicar a fórmula: 
83 
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· .P(x)= A,'.e~;.. =P(O)= 10o-e-10 =00000454 
X! O! ' 
b) dois acidentes: 
Passo 1 - Identificar a variável aleatória: x = 2. 
Passo 2 - Determinar o número médio (À) de sucessos para uma específica 
dimensão de tempo ou espaço À. = 10. 
Passo 3- Aplicar a fórmula: 
P(x)= À'·e-;. =P(2)= 102-e-'o =000227 
X! 2! ' 
c) mais de dois acidentes 
) A probabilidade de ocorrerem mais de dois acidentes pode ser determinada da 
'.() 
seguinte forma: 1 - (P(O) + P( 1) + P(2)) 
Como, P(O) = 0,0000454 e P(2) = 0,00227, precisamos, ainda, calcular a 
--probabilidade P(1). 
P(l)= 10~-e-lo =0000454 
[I , 
P(x > 2) = 1 - (0,0000454 + 0,000454 + 0,00227) 
P(x > 2) = 0,9972 
"84-
· ... :.·'...' ... 
-- 6.10. Exercícios Propostos: Distribuição de Poisson. 
1) Se 3% das lâmpadas elétricas fabricadas por uma companhia são defeituosas, 
determinar a probabilidade de, em uma amostra de 100 lâmpadas, serem 
defeituosas: 
a) Nenhuma lâmpada. 
b) Duas lâmpadas. 
c) Quatro lâmpadas. 
Respostas: a) 0,04979 b) 0,2241 c) 0,1680 
2) No problema anterior, determinar a probabilidade de serem defeituosas: 
a) No máximo duas lâmpadas; 
b) Mais de duas lâmpadas. 
Respostas: a) 0,4233 b) 0,5767 
3) Sabe-se que, em média, três clientes procuram atendimento numa agência da 
- -- -· 
previdência no período das 16 às 17 horas. Determine a probabilidade de que 
nesse período apareçam mais do que 2 clientes. 
Resposta: 0,5767 
85 
4) Em um trecho de uma auto-estrada, o número de buracos que requerem 
reparo segue uma distribuição de Poisson, com uma média de dois buracos por 
quilômetro. 
a) Qual é a probabilidade de que haja seis buracos que requeiram reparo em 
cinco quilômetros de auto-estrada? 
b) Qual é a probabilidade de que no mínimo um buraco requeira conserto em 
meio quilômetro? 
Respostas: a) 0,0630 b)0,6321 
5) O número de falhas em uma transmissão de dados é uma variável aleatória de 
Poisson, com uma média de 0,5 falha por hora. 
a) Qual é a probabilidade de que não haja falhas de transmissão durante 5 horas? 
b) Qual a probabilidade de que ocorram no mínimo três falhas em um período de 
12 horas? 
Respostas: a) 0,0821 b) 0,9380 
86 
·!;: ·• 
-.. ··'!:1}.: 
Tarefa 6: Distribuição Binomial e Distribuição de Poisson. 
Nome: ________________________________________________________ __ 
Número: Turma: 
------------------
Curso: Turno: _______ _ 
1) Um fabricante de lâmpadas divulga que seu produto tem uma vida útil de 
2500 horas. De acordo com dados de seu departamento de engenharia, a 
probabilidade de uma lâmpada queimar antes das 2500 horas é de O, 15. Se 
você efetuar uma compra de dez lâmpadas deste fabricante, qual será a 
probabilidade de que: 
a) Nenhuma queime antes das 2500 horas. 
b) No máximo três delas queimem antes do tempo. 
c) Exatamente nove lâmpadas funcionem no mínimo 2500 horas. 
87 
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) 
2) Uma nova droga está sendo testada para a cura de uma doença. Dados 
obtidos até o momento indicam que a probabilidade de cura de um doente 
é de O, 7. Para o teste da eficácia da droga, foram selecionados 
aleatoriamente I O pessoas portadoras de enfermidade. Determine a 
probabilidade de que: 
a) Ao menos oito pessoas sejam curadas. 
b) Todas obtenham sucesso no tratamento. 
88 
·': 
3) Uma estação de telecomunicação é projetada para receber, no máximo, 3 
chamadas a cada segundo. Se o número de chamadas para a estação for 
modelado como uma variável de Poisson, com média de 2 chamadas a cada 
segundo, qual é a probabilidade do número de chamadas exceder a máxima 
restrição de projeto da estação? 
Resposta: O, 1429 
89 
,3) Em dado processo produtivo, 6% das peças produzidas são refugadas. Qual é . 
a probabilidade de que um lote de 50 peças contenha no máximo dois refugos? 
. Resposta: 0,4232 
90 
Capítulo 7: Distribuição Normal. 
7.1. Distribuição Normal. 
O modelo mais amplamente utilizado para a distribuição de uma variável 
aleatória é a distribuição normal. Ela foi originalmente desenvolvida como 
resultado de estudos relacionados com erros que ocorrem em vários 
experimentos. Nós, agora, reconhecemos que muitas ocorrências reais e 
'> 
naturais, assim como muitas medidas fisicas têm distribuição de freqüência que 
são aproximadamente normais. Níveis de colesterol no sangue, alturas de 
mulheres adultas, peso de crianças recém nascidas, diâmetros de laranjas 
produzidas em um pomar são todos exemplos de coleções de valores cujos 
histogramas de freqüência se aproximam fortemente da distribuição normal de 
probabilidade. A forma da distribuição normal lembra a forma de um sino, como 
pode-se ver na figura 7.1 abaixo. 
"'. 
Figura 7.1: Forma genérica da distribuição normal. 
91 
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Uma variável aleatória contínua x tem uma distribuição normal com parâmetros 
J..l e cr, com -ex < J..l < ex, e O < cr, se a função distribuição de probabilidade de x 
for dada por: 
-(x-~)2 
1 --;;z ) -~e f(x;J..L,cr = 
0
.[i;i, -ex< x <ex, 
Existem muitas distribuições normais de probabilidade, cada uma dependente de 
apenas dois parâmetros: a média da população J..l e o desvio padrão da população 
cr. A figura 7.2 mostra três diferentes gráficos de f(x) onde as diferenças são 
devidas aos diferentes pares de valores (J..L, cr). Uma mudança no valor da média 
da população J..l provoca um deslocamento da curva para a direita ou para a 
esquerda. Uma mudança no valor de cr causa uma mudança na forma da curva; a 
forma básica de sino permanece, mas a curva torna-se mais larga ou mais 
estreita, dependendo de cr. 
o 2.5 
localizações d1ferentes 
,-J..J. :2.5 
CT=B 
~ 
Mesma forma 
50 75 100 
----------
p..=IOOJJ 
--O'= 8 .. __ . Mesma _ 
localizaçao 
1).= 100 
,-o= 15 
Formas 
diferentes 
Figura 7.2: Influência de J..l e de cr na forma e na localização da curva. 
92 
•õ.\..:. ~.·. :·-:..·}: 
Quando uma variável aleatória x tem wi1a distribuição normal de probabilidade 
com parâmetros J..l e cr, para calcularmos a probabilidade de x estar entre dois 
valores a e b, isto é para calcularmos o valor de P(a ~ x ~ b), precisamos 
calcular: 
b 
f 
1 -(x-~)2 
--e z 2 
a O" .}2;i, cr dx 
Nenhuma das técnicas comuns de integração pode ser usada para avaliar a 
expressão acima. Por outro lado, a distribuição normal com parâmetros J..L=O e 
cr= 1 é chamada distribuição normal padrão. A variável aleatória que tem uma 
distribuição normal padrão é chamada variável aleatória normal padrão e será 
indicada por z. A função distribuição de probabilidade de z é 
-z.:! 
- l __ e 2-f(z;0,1)- .}2;i, -ex< z <ex, 
A figura 7.3 ilustra uma distribuição normal padrão. A área total sob a curva é 
igual a I. Os números decimais que aparecem entre dois valores consecutivos de 
z indicam o valor da área·sob·a·curva·compreendida:entre·estes·dois valores. Por 
exemplo, o valor da área sob a curva entre os pontos z = O e z = 1 é 0,3413. 
Podemos observar que, aproximadamente68% da área está compreendida entre 
+1 e -1, aproximadamente 95% da área está entre +2 e -2 e 99,7% está entre +3 
e -3. Este é um fato importante que será mais tarde novamente discutido: 
93 
. ~-."':"\. 
,1< I 95!%--l---\. 
.-+ I I 99f.% ~ 
.34-1'!> .~4121o 
-3 -2 -I O •I •2 +3 
Figura 7.3: Distribuição normal padrão 
Propriedades das Curvas Normais: 
1) A área total sob a curva normal é igual a I. 
2) A curva normal se estende indefinidamente em ambas as direções, se 
aproximando cada vez mais do eixo x à medida que os valores de x crescem ou 
decrescem, tendendo a+ oo ou -oo, respectivamente. 
3) A curva normal com parâmetros !l e cr é simétrica com relação a).!. 
4) A maior parte da área sob a curva normal com parâmetros !l e cr se encontra· 
entre !l- 3cr e !l + 3cr. 
É necessário observar que a propriedade 1 não é unicamente uma propriedade da 
curva normal padrão. De fato, a área total sob qualquer curva que represente 
uma distribuição de probabilidade contínua é igual a I. Por causa da importância 
das áreas sob a curva normal padrão, tabelas dessas áreas foram construídas. A 
tabela 7 .I é uma dessas. Os valores no corpo da tabela, com quatro casas 
decimais, representam a área sob a curva entre O e um valor especificado de z. 
Os exemplos mostram como utilizar a tabela. 
94 
~ 
Tabela 7.1: Áreas sob a curva normal padrão. 
_Ll_ 
v ' 
,-,.....-,,, .. ,~ ,,--,-.-~ .. - .. 
:.•--,1 Segunda casa decimal em z 
'>i. p;iltioê i o.ot :· .: a.ài;~ _4iM'§ ~: ~;-~~,~·?#);J·ih~;;~~;pHf_I,~#J:!E~~\ 
I!. O:. 
·a;~-. 
o.s:_. 
1},9 
_q--4 
0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359 
0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753 
0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0,1064 0.1103 0.1141 
0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517 
0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879 
0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224 
0.2549 
0.2852 
0.3133 
0.3389 
0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 
o. 7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 
0.8.' 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 
O.!J· 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 
1.0 
1.1' 
1.2 
1.9 
1.~ 
1.5 
1.6 
1.7 
1.8 
1.9 
2.0 
2.1 
E.2 
2.3 
2 ... 
2.5 
2.6 
!!.7 
2.8 
f.9 
3.0 
3.1 
3.2 
3.3 
3.4 
3.5 
3.6 
3.7 
3.8· 
9.9· 
0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621 
0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830 
o 3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015 
0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177 
0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319 
0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441 
0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545 
0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633 
0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706 
0.4713 0.4719 0.4726 0.-!732 0.'1738 0.4744 0.4750 0.1756 0.4761 0.4767 
0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817 
11.4821 0.4826 0.4830 O.-lli34 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857 
0.4861 0.4864 0.4868 0.-1871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890 
0--1893 0.4896 0.4898 o.--1901 0.4904 0.4906 o.4909 0.4911 0.4913 0.4916 
0.4918 0.4920 0.4922 0.·1925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936 
0.49J8 0.4940 0.-1911 0.494:! 0.4945 0.4946 0.-1948 0.4949 0.4951 0.4952 
0.4953 0.4955 0.-1956 11.4957 0.4959 0.'1960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964 
0.4965 0.4966 0.-1967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974 
0.4974 0.497.\ 0.4976 0.4977 0.4977 0.'1978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981 
0.4981 0.'\982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986 
0.-1987 0.4987 0.4987 0.-1988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990 
0.4990 0.4991 0.4991 0.4991 0.4992 0.4992 0.4992 0.4992 0.4993 0.4993 
0.4993 0.4993 0.-1994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4995 0.4995 0.4995 
0.499-5 0.4995 OA99S 0.4996 0.4996 0.1996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4997 
0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.1997 0.1997 0.4997 0.4997 0.4998 
0.4998 0.4998 0..-1998 0.4998 0.4998 0.1998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 
0.4998 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 
0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 
0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 
0.5000 1 
t Para z;::: 3.90, as áreas sao 0.5000 para quatro casas decimais 
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7.2. Exercícios Resolvidos: Utilização da Tabela Normal Padrão. 
1) Determine a área sob a curva normal padrão entre O e 1,25. 
Solução: 
Primeiro encontramos na coluna esquerda o valor z = 1 ,2. Depois nos 
deslocamos nessa linha até encontrarmos a coluna de valor 0,05. O valor 
encontrado nesta célula da tabela, que é 0,3944, é numericamente igual a área 
sob a curva normal entre z =O e z = 1,25, conforme mostra a figura. 
2) Determine a área entre a curva normal padrão e z = -1,45 e z =O. 
Solução: 
Prim~iramente encontramos a área entre z=O e z=l,45. Como no exemplo 
anterior, percorremos a coluna z até encontrarmos o valor 1,4 e, em seguida, 
percorremos essa linha até estarmos na coluna correspondente ao valor 0,05 da 
primeira linha. Neste ponto determinamos o valor 0,4265 que é a área entre z=O 
e z= 1,45. Por simetria da curva, 0,4265 é também a área entre z=-1 ,45 e z=O, 
conforme ilustrado na figura a seguir. 
96 
lt ~"""' 
-1.45 o 
3) Determine a área sob a curva normal padrão à direita de z = 2,3 7. 
Solução: 
A área total sob a curva é I (propriedade I) e a curva é simétrica com relação ' 
(Propriedade 3), portanto a área total sob a curva normal à direita dez= O é O 
Da tabela vemos que a área entre z = O e z = 2,3 7 é igual a 0,4911. Então a ár 
à direita dez= 2,37 vale 0,5000-0,3944 = 0.1056. 
1UU56 
L~z 
2.37 
4) Determine a área sob a éurva normal padrão entre z = 0,35 e z = 1,47. 
Solução: 
97 
:-:::< 
Pela tabela, a área entre z =O e z = 0,35 é 0,1368 e a área entre z =O e z = 1,47 é 
0,4292. Dessa forma, a área entre z = 0,35 e z = 1,47 é igual à diferença entre as 
duas áreas anteriores, isto é: Área= 0,4292-0,1368 = 0,2924. 
AL:" 
0,35 1.47 
5) Obtenha a área sob a curva normal padrão à esquerda de z =I ,96. 
Solução: 
Primeiro determinamos a área entre z = O e z = I ,96. Da tabela, a área é igual a 
0.4 750. Uma vez que a área à esquerda dez= O vale 0,5, concluímos que a área 
à esquerda de z = 1,96 vale: 0,4750 + 0,5000 = 0,9750, conforme ilustrado a 
segmr. 
98 
I c; I _1 .. , I . . I.: ~ ... , -:==r--r z 
o 1,96 
6) Determine o valor de z para o qual a área sob a curva normal padrão, à direita 
daquele valor, seja igual a 0,025. 
Solução: 
Curva normal 
padrão 
Area = 0.025 
1/ 
=r: I I I I ~·--~··::r"':'!":"'[ 
o 
z=? 
Área dada à direita de z. 
Para achar o valor de z, pnmeiro determinamos a área entre z = O e o z 
procurado, lembrando que a área à direita de z = O vale 0,5. Por esse caminho 
encontramos que essa área é dada por 0,500- 0,025 = 0,475,como mostrado na 
figura. 
99 
~? 
~ t 
~· 
~ 
~; 
, 
~ 
~ ·~~ 
~ 
3 
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• 3 
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'"""·· \..l'i~ ,. 
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G)l 
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Gl 
(}i 
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() 
() 
) 
) 
) 
:> 
) 
~,) 
~ ) 
Área"" 0.500 - 0.025 
Área= 0.025 
_..........-I I I I !......__r 
z=? 
Área entre O e z. 
Usando a tabela 7.1, obtennos .o valor de z correspondente à àrea de 0,475. 
Pesquisando os valores internos da tabela, encontramos que o valor requerido de 
z é 1,96. 
---
___,....,...-= I I I I !;-!&"'=*=- z 
o 
z = 1,96 
Adotaremos a notação z0.025 para indicar o valor de z com área de 0,025 à sua 
direita, sob a curva nonnal padrão. Assim, pelo exemplo anterior, podemos 
escrever z0_025 = l ,96. Esta notação é melhor definida como segue. 
100 
. ~ \ 
·--·· 
..... 
.,.....--'-
•• ... 
•••• 
"":\'J!'· . 
O símbolo Za será usado para indicar o valor de z com área a à sua direita, sob a 
curva nonnal padrão, como mostrado na figura abaixo. 
--t"""'" I I I I P''' - Z 
o 
Za 
7.3. Exercícios Propostos: Utilização da Tabela Normal Padrão. 
I) Detennine a área sob· a curva nonnal padrão entre z = O e 
a) z = l 
b) z= 1.28 
c) z=2,5 
r:!) z = -0,46 
e) z = -2,12 
Respostas: a) 0.3413 b) 0,3997 c) 0,4938 d) 0.1772 e) 0,4830 
2) Detennine a área sob a curva nonnal padrão à direita de 
a) z = 1 
b) z = 1,65 
c) z = -2,34 
d) z = 3 
Respostas: a) 0,1587 b) 0,0495 c) 0,9904 d) 0,0013 
!OI 
_'t-
3) Determine a área sob a curva normal padrão entre 
a) z = 1 e z = 2 
b) z=2ez=3 
c) z = -1 e z = -0,5 
d) z = -1 e z = 2 
Respostas: a) 0,1359 b) 0,0215 c) 0,1498 d) 0,8185 
4) Determine a área sob a curva normal padrão à esquerda de 
a) z=-1 
b) z=-1,87 
c) = 0,78 
Respostas: a) 0,1587 b) 0,0307 c) 0,7823 
5) Obtenha o valor dez quando Za é: 
a) Zo,os 
b) Zo.1o 
Respostas: a) 1,645 b) 1,280 
7.4. Curvas Normais. 
Anteriormente, abordamos como determinar áreas sob a curva nonnal padrão. 
Com este conhecimento podemos obter áreas sob qualquer curva normal. Para 
isso, faz-se necessária a padroniza·ção dos parâmetros, conforme indicado no 
quadro abaixo. 
A área sob a curva normal com parâmetros !l e a situada entre x = a e x = b é 
igual à área sob a curva normal padrão que fica entre 
z=a-!l 
(J 
e 
102 
b-!l 
z= -
(J 
~ 
..,.. 
--~ 
• 
,.,...,..,r--
O • 
--... 
--
•• 
-
•• 
Determinação de áreas sob uma curva normal com parâmetros 1.1. e a: 
Passo 1. Esboce a curva normal com parâmetros !l e cr. 
Passo 2. Indique no gráfico a área a ser determinada. 
Passo 3. Calcule os valores requeridos dez e os marque no gráfico, abaixo dos 
valores de x. 
Passo 4. Use a tabela para obter a área desejada. 
Exemplo: Determine a área sob a curva normal com parâmetros 11=100 e a= 16 
que se encontra à direita de 120. 
Solução: 
Curva Normal 
100 120 X 
o 1.25 z 
Determinação de z: 
-170 _120-100 -175 X- - --+ Z- - ,-
16 
Área entre O e z = 0,3944 
Área sombreada= 0,5000-0,3944 = 0,1056 
103 
o· 
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)) 
J 
7.5. Exercícios Resolvidos: Curvas Normais. 
1) Numa empresa sabe-se que· os salários anuais são normalmente distribuídos 
com média R$ 20.000,00 e desvio padrão de R$ 4.000,00. Determine: 
a) A probabilidade de que um funcionário receba menos do que R$ 14.000,00 
nua1s. 
b) A probabilidade de que os salários estejam compreendidos entre R$ 
24.000,00 e R$ 28.000,00. 
a) 
!l = 20.000 e a= 4.000 
Z= 14.000- 20.000"= _ 1.5 4.000 . 
~ 
-1.5 
A.área entre z=O c z=-1.5 é igual a 0,4332. A área à esquerda de z=-1 ,5 é igual a 
- 0,5-0,4332=0,0668. -
A probabilidade de que um funcionário receba menos que R$ 14.000,00 é de 
6,68% . 
b) 
z = 24.000- 20.000 =I 
4.000 
z = 28.000- 20.000 = 2 
4.000 
104 
..-r··-
.. W"'"F~ 
•• .,, 
~ 
-.L. ,....,. 
-~· .J!. 
.,...~~ 
~ 
2 
A área entre z=O e z=l é igual a 0,3413. A área entre z=O e z=2 é igual a 0,4772. 
A área entre z=l e z=2 é igual a 0,4772-03413=0,1358. 
A probabilidade de um funcionário ter salário compreendido entre R$24.000,00 
e R$ 28.000,00 é de 13,58%. 
2) A espessura de uma chapa de aço é uma variável aleatória normalmente 
distribuída com média 15mm e desvio padrão 3 mm. O comprador exige que as 
chapas possuam no mínimo uma espessura de 12 mm. De um lote de 500 
chapas, quantas serão recusadas pelo comprador? 
12-15 I Z=---=-
3 
~ 
-I Q 
A área entre z=O e z=-1 é igual a 0,3413. A área à esquerda de z=-1 é 0,5-
0,3413=0.1587. A probabilidade de uma chapa de aço ter espessura menor de 12 
mm é de 15.87%. 
De um lote de 500 chapas, serão recusadas aproximadamente 80 chapas. 
105 
:~:.>· . 
-, 
7.6. Exercícios Propostos: Curvas Normais. 
1) Determine a área sob a curva normal com parâmetros J.L= 1 e cr = 2,5 que 
fica: 
a) à direita de O; 
b) à esquerda de -1,5; 
c) entre -2 e 2. 
Respostas: a) 0,6554 b) 0,1587 c) 0,5403 
2) Determine a área sob a curva normal com parâmetros J.L= 74 e cr = 2 que 
fica: 
a) entre 71 e 78; 
b) à direita de 76,5. 
Respostas: a) 0,9104 b) O, I 056 
3) Para a curva normal com parâmetros J.l= 74 e cr = 2, determine: 
a) O valor de x com área igual a 0,05 à sua direita. 
b) O valor de x com área igual a O, 1 O à sua esquerda. 
c) Os dois valores de x que dividem a área sob a curva em uma área central 
igual a 0,95 e duas áreas laterais iguais a 0,025. 
Respostas: a) 77,29 b) 71,44 c) 70,08 e 77,92 
4) A resistência à compressão de amostras de cimento pode ser modelada por 
uma distribuição normal, com uma média de 6.000 kg/cm2 e um desvio 
padrão de 100 kg/cm2 
a) Qual é a probabilidade da resistência da amostra ser menor do que 6.250 
kg!cm2? 
b) Qual é a probabilidade da resistência estar entre 5.800 e 5.900 kg/cm2? 
c) Que resistência é excedida por 95% das amostras? 
Respostas: a) 0,9938 b) 0,1359 c) x = 5835,51 
5) O período de falta ao trabalho em um mês por causa de doença dos 
empregados é normalmente distribuído, com uma média de 60 horas e 
desvio padrão de 1 O horas. 
a) Qual é a probabilidade desse período no próximo mês estar entre 50 e 80 
horas? 
b) Quanto tempo deveria ser estimado para esse período para que o período 
de falta o exceda em somente 10% ? 
Respostas: a) 0,8186 b) 72,85 
106 
-
6) A concentração de um poluente em água liberada por uma fábrica é 
normalmente distribuída, com média 8 ppm e desvio padrão 1,5 ppm. 
Qual a probabilidade de que, em um determinado dia, a concentração do 
poluente exceda o limite de 10 ppm? 
Resposta: 9% 
7) Se X é normalmente distribuída com J.L= 80 e cr = 4, determine: 
a) P(X < 75) 
b) P(X>86) 
c) P(73~X~89) 
Respostas: a) 0,1056 b) 0,0668 c) 0,9477 
8) O tempo requerido para uma orquestra sinfônica tocar a Nona Sinfonia de 
Beethoven tem uma distribuição normal com média de 64,3 min e um desvio 
padrão de 1,15 min. Na próxima vez em que for tocada, qual é a probabilidade 
de que a duração esteja entre 62.5 e 67.7 minutos') 
Resposta: 0,9397 
9) Um fabricante informa que os seus pacotes de biscoito contêm 1 OOg. Dados 
estatísticos do processo de empacotamento demonstram que a distribuição de 
massa é normal e, possui uma média de 1 04g por pacote com um desvio padrão . 
de 6g. Qual é a probabilidade do cliente ser lesado') 
Resposta: 25, 14% 
10) Alunos de estatJstica de uma universidade têmnotas que seguem uma 
distribuição normal, com média seis e meio e desvio padrão igual a dois. 
Sabendo que a média para aprovação na disciplina deve ser maior ou igual a 
sete, qual é a probabilidade de um aluno ser reprovado? 
Resposta: 59,87% 
107 
3~'. 
~:~ 
·3 
J) 
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. J . ~) 
108 
Tarefa 7: Distribuição Normal. 
Nome: ________________________________________________ ___ 
Número: Turma: __________________ _ 
Curso: Turno: ______________ _ 
1) O erro em medições do nível de açúcar no sangue por um determinado 
instrumento é normalmente distribuído, com média f..1 = 0,05 e desvio padrão 
cr = 1,5. Ou seja, em repetidas medições, a distribuição da diferença entre o 
nível registrado e o nível real é N(0,05; 2,25). Pedem-se: 
. .,;. 
a) Qual a porcentagem das medições que superestimam o valor verdadeiro? 
b) Suponha que um erro seja considerado sério quando o valor registrado 
diferir mais do que 2,8 do valor verdadeiro. Qual será a porcentagem das 
medições que incorrerão em sério erro? 
Respostas: a) 51 ,33% b) 6,23% 
"109 
2) Uma empresa engarrafadora de bebidas, engarrafa latas de refrigerante para 
distribuição local. Apesar do volume oficial da lata ser de 354 ml, a máquina 
engarrafadora é ajustada para um volume médio de 356 ml. Considerando que o 
conteúdo de uma lata seja normalmente distribuído com média igual a 356 e 
desvio padrão de 1,63 ml, determine a probabilidade de que uma lata 
aleatoriamente selecionada contenha menos que o conteúdo oficial anunciado. 
Resposta: O, 1093 
110 
.··~.,)',r '.o;.;.O:: 
3 I 
~ CJ 
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	Apostila Estatistica Descritiva