CADERNO PREUNISEED 1 2018 MATEMÁTICA

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MATEMÁTICA BÁSICA 
SISTEMA DE NUMERAÇÃO 
Há milhares de anos o modo de vida era muito diferente do atual. Os 
homens primitivos não tinham necessidade de contar. Eles não 
compravam, não vendiam, portanto não usavam dinheiro. 
Com o passar dos anos, os costumes foram mudando e o homem 
passou a cultivar a terra, a criar animais, a construir casas e a 
comercializar. Com isso, surgiu a necessidade de contar. 
A vida foi tornando-se cada vez mais complexa. Surgiram as 
primeiras aldeias que, lentamente, foram crescendo, tornando-se 
cidades. Algumas cidades se desenvolveram, dando origem às 
grandes civilizações. Com o progresso e o alto grau de organização 
das antigas civilizações, a necessidade de aprimorar os processos de 
contagem e seus registros tornou-se fundamental. 
Foram criados, então, símbolos e regras originando assim os 
diferentes sistemas de numeração. 
SISTEMA DE NUMERAÇÃO ROMANO 
Esse sistema de numeração usa letras maiúsculas, as quais são 
atribuídos valores. Os algarismos romanos são usados 
principalmente: 
 Nos números de capítulos de uma obra. 
 Nas cenas de um teatro. 
 Nos nomes de papas e imperadores. 
 Na designação de congressos, olimpíadas, assembleias... 
A numeração romana utiliza sete letras maiúsculas, que 
correspondem aos seguintes valores: 
 
EX.: 
4 - IV 6 - VI 11 - XI 9 - IX 40 - XL 60 – LX 
90 - XC 110- CX 400- CD 600- DC 900-CM 1100-MC 
SISTEMA DE NUMERAÇÃO INDO ARÁBICO	 
Todos os idiomas utilizam-se de símbolos e com o português não é 
diferente. Nós utilizamos as letras para nos comunicar e na linguagem 
matemática os números. 
Atualmente utilizamos os algarismos indo-arábicos, que foram 
criados pelos hindus e difundido pelos árabes para a Europa 
Ocidental. 
Podemos citar algumas mudanças que ocorreram neste sistema de 
numeração ao longo dos tempos: 
 
Esse sistema de numeração tem como principais características o 
fato de ser posicional e decimal, o princípio fundamental do sistema 
decimal é que dez unidades de uma ordem qualquer formam uma de 
ordem imediatamente superior. Depois das ordens, as unidades 
constitutivas dos números são agrupadas em classes, em que cada 
classe tem três ordens, em que cada ordem tem uma denominação 
especial, sendo idênticas às mesmas ordens de outras classes. 
ORDENS E CLASSES 
BILHÕES MILHÕES MILHAR SIMPLES 
C
EN
TE
N
A
S 
D
E 
B
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ES
 
D
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ID
A
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ES
 
 2 0 7 6 1 
 4 6 8 9 1 0 7 
 6 0 0 9 6 4 2 1 0 6 0 
Como se lê os números acima? 
20.761= vinte mil e setecentos e sessenta e um 
4.689.107= quatro milhões e seiscentos e oitenta e nove mil e cento 
e sete 
60.096.421.060 = sessenta bilhões e noventa e seis milhões e 
quatrocentos e vinte e um mil e sessenta 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
Todo conjunto numérico é expresso por uma letra (N, Z, Q, R,…), 
caso essa letra venha com um asterisco sobrescrito, deste conjunto 
se exclui o zero (0), se vier um sinal de mais (+) subscrito, deste 
conjunto se excluem os números negativos e se vier um sinal de 
menos ( – ) subscrito, deste conjunto se excluem os números 
positivos. 
1. Números Naturais 
É formado pela cardinalidade dos conjuntos. 
 
 
Naturais não-nulos: Գ∗ ൌ ሼ1,2,3,4,… ሽԳ∗ ∈ Գ 
Գ ൌ ሼ0,1,2,3,4,… ሽ 
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2. Números Inteiros 
É formado pelos números naturais juntamente com os inteiros 
negativos. 
 
 
Inteiros não-nulos: ܼ∗ ൌ ሼ… , – 3, – 2, – 1, 1, 2, 3, … ሽ 
Inteiros não-negativos: ܼା ൌ ሼ0, 1, 2, 3, … ሽ ൌ Գ 
Inteiros não-positivos: ܼ– ൌ 	 ሼ… , – 3, – 2, – 1,0ሽ 
Inteiros positivos: ܼା∗ ൌ 	 ሼ1,2,3… ሽ ൌ Գ∗ 
Inteiros negativos: ܼ–∗ ൌ ሼ… , – 3, – 2, – 1ሽ 
3. Números Racionais 
Incluem-se neste conjunto os números inteiros, os decimais exatos 
(finitos) e as dízimas periódicas. Todo número racional pode ser 
escrito na forma a / b. 
 
OBSERVAÇÃO: 
Admita sempre nas divisões 
b
a
 que 0b . 
4. Números Irracionais 
É formado pelos números decimais com representação infinita e não-
periódica. Os números irracionais não podem ser expressos na forma 
fracionária (a / b). 
Exemplos: ...4142,12  ...7320,13  
 ߨ ൌ 3,1415… 2, 7182...e= 
OBSERVAÇÕES: 
 As operações entre números irracionais podem dar resultados 
dentro do conjunto dos irracionais ou dos racionais. 
 Um número jamais poderá ser racional e irracional ao mesmo 
tempo, ou seja, os conjuntos Q e I não possuem elementos em 
comum, ou seja  IQ . 
5. Números Reais 
É formado pela união dos números Racionais com os Irracionais, ou 
seja, inclui todos os conjuntos anteriormente citados. Os únicos 
números que não fazem parte deste conjunto são as raízes de índices 
pares de números negativos. IQ  R 
Exemplo: R16  ; R814  
6. Operações com decimais 
 
 
 
7. Critérios de Divisibilidade 
a) Divisão por 2 
Todo número terminado em 0, 2, 4, 6 ou 8. 
b) Divisão por 3 
Todo número cuja soma dos algarismos é um múltiplo de 3. 
c) Divisão por 5 
Todo número terminado em 0 ou 5. 
d) Divisão por 10 
Todo número termina em 0. 
Observação: Noções de conjuntos, relações de inclusão 
(ESPCEX/2014) Uma determinada empresa de biscoitos realizou 
uma pesquisa sobre a preferência de seus consumidores em relação 
a seus três produtos: biscoitos cream cracker, wafer e recheados. Os 
resultados indicaram que: 
 65 pessoas compram cream crackers. 
 85 pessoas compram wafers. 
 170 pessoas compram biscoitos recheados. 
 20 pessoas compram wafers, cream crackers e recheados. 
 50 pessoas compram cream crackers e recheados. 
 30 pessoas compram cream crackers e wafers. 
 60 pessoas compram wafers e recheados. 
 50 pessoas não compram biscoitos dessa empresa. 
Determine quantas pessoas responderam essa pesquisa. 
A) 200 B) 250 C) 320 D) 370 E) 530 
RES.: Com os dados do problema, temos os seguintes diagramas: 
 
Portanto, o número de pessoas que responderam a pesquisa será 
dado por: 
N = 5 + 10 + 30 + 20 + 15 + 40 + 80 + 50 = 250. (B) 
Z = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,…} 
ܳ ൌ ቄܾܽ 	/ܽ ∈ Ժ ݁ ܾ ∈ Ժ
∗ቅ 
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É fundamental compreender as diversas operações com 
os números reais, para posterior resolução das questões 
propostas. 
 
 
https://goo.gl/Vj5XnA 
https://goo.gl/wdAcnk 
https://goo.gl/vZZJdt 
 
 
LINKS COM O CADRENO THÉTIS: 
Texto 13: Visão de um professor sobre o PNE 
sancionado em 2014 
Texto 8: Está sobrando (muito) dinheiro na Previdência; 
entenda os números 
 
01. (ESPM/2017) Uma senhora foi ao shopping e gastou a 
metade do dinheiro que tinha na carteira e pagou R$ 10,00 de 
estacionamento. 
Ao voltar para casa parou numa livraria e comprou um livro 
que custou a quinta parte do que lhe havia sobrado, ficando 
com R$ 88,00. Se ela tivesse ido apenas à livraria e comprado 
o mesmo livro, ter-lhe-ia restado: 
A) R$218,00 B) R$ 186,00 C) R$ 154,00 
D) R$ 230,00 E) R$ 120,00 
02. (FATEC/2017) Uma pesquisa foi realizada com alguns alunos 
da Fatec–São Paulo sobre a participação em um Projeto de Iniciação 
Cientifica (PIC) e a participação na reunião anual da Sociedade 
Brasileira para o Progresso da Ciência (SBPC). 
Dos 75 alunos entrevistados: 
• 17 não participaram de nenhuma dessas duas atividades; 
• 36 participaram da reunião da SBPC e 
• 42 participaram do PIC. 
Nessas condições, o número de alunos entrevistados que 
participaram do PIC e da reunião da SBPC e 
A) 10. B) 12. C) 16. D) 20. E) 22. 
03. (ETEC/2017) O Quadrado Mágico é uma tabela quadrada 
composta por números inteiros consecutivos a partir do 1, em que a 
soma de cada coluna, de cada linha e de cada diagonal são iguais. 
Essa soma é chamada de número mágico. 
Aprenda a encontrar o número mágico de um quadrado 3 x 3, como 
o da figura. 
 
O quadrado mágico 3 x 3 possui 9 posições, portanto deve ser 
preenchido com os números de 1 até 9, sem repetição. 
O número mágico pode ser encontrado seguindo dois passos. 
Passo 1 – Encontrar a soma total dos números. 
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 
Passo 2 – Dividir a soma encontrada pelo número de colunas 
existentes no quadrado. 
No caso do quadrado mágico 3 x 3, os 9 números estão agrupados 
em 3 colunas. 
Logo o número mágico será 45:3 = 15 
Em condições semelhantes, o número mágico de um quadrado 4x4 
será 
A) 16. B) 24. C) 34. D) 64. E) 136. 
04. (PREUNISEED/2017) O sistema binário usado pelos 
computadores é constituído de dois dígitos o 0 e o 1. A combinação 
desses dígitos leva o computador a criar várias informações: letras, 
palavras, textos, cálculos. 
A criação do sistema de numeração binária é atribuída ao matemático 
alemão Leibniz. 
Disponível em: http://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistema-
numeracao-binaria.htm. Acesso em: 24/04/2017 
Observe alguns exemplos de transformação de um número binário 
em decimal 
Ex. 11001 
 
Ex. 110101 
 
Se um estudante curioso resolvesse descobrir o número decimal que 
representa o binário (111010)2 encontraria o número: 
A) 58 B) 63 C) 116 D) 47 E) 45 
05. (PREUNISEED/2018) Em meados do mês de março de 2017, a 
Secretaria de Estado da Justiça, em parceria com uma indústria 
sergipana, implantou no presídio de São Cristóvão, o Copemcan, 
uma fábrica de chuveiros, possibilitando que internos do presídio 
começassem a trabalhar na linha de montagem do produto. O preso 
que trabalha na indústria recebe um salário mínimo mensalmente. 
Desse valor 2\3 é depositado em sua conta bancária e poderá ser 
retirado após sua saída do presídio ou é destinado a sua família; já o 
1\3 restante é depositado na conta do Fundo Penitenciário do Estado, 
sendo esse valor revertido em benefício para a própria unidade 
prisional e manutenção do projeto. 
Disponível em: http://www.agencia.se.gov.br/noticias/justica/detentos-
trabalham-na-montagem-de-chuveiros Acesso em: 18/09/2017 
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Um certo detento, começou a trabalhar nessa empresa no primeiro 
dia de janeiro e concluiu sua pena trabalhando até o último dia de 
Agosto do mesmo ano, depositando seus rendimentos em sua conta. 
Como o salário mínimo vigente era R$ 937,00, ao final da pena, o 
valor total depositado na conta do detento era aproximadamente: 
A) R$ 4.992,00 B) R$ 2.496,00 C) R$ 3.774,00 
D) R$ 7.488,00 E) R$ 5616,00 
 
06. (ENEM/2017) Em um parque há dois mirantes de alturas distintas 
que são acessados por elevador panorâmico. O topo do mirante 1 é 
acessado pelo elevador 1, enquanto que o topo do mirante 2 é 
acessado pelo elevador 2. Eles encontram-se a uma distância 
possível de ser percorrida a pé, e entre os mirantes há um teleférico 
que os liga que pode ou não ser utilizado pelo visitante. 
 
O acesso aos elevadores tem os seguintes custos: 
• Subir pelo elevador 1: R$ 0,15: 
• Subir pelo elevador 2: R$ 1,80; 
• Descer pelo elevador 1: R$ 0,10; 
• Descer pelo elevador 2: R$ 2,30. 
O custo da passagem do teleférico partindo do topo mirante 1 para o 
topo do mirante 2 é de R$ 2,00, e do topo do mirante 2 para o topo 
do mirante 1 é de R$ 2,50. 
Qual é o menor custo em real para uma pessoa visitar os topos dos 
dois mirantes e retornar ao solo? 
A) 2,25 B) 3,90 C) 4,35 D) 4,40 E) 4,45 
 07. (ENEM-PPL/2016) Em 20 de abril de 2010 ocorreu a explosão e 
afundamento de uma plataforma de petróleo semissubmersível, no 
Golfo do México. a acidente ocasionou um dos maiores desastres 
ecológicos mundiais, devido ao derrame de 780 000 m 3 de óleo cru 
no mar, por um período de 87 dias, entre abril e julho de 2010. 
Finalizado o vazamento, parte do óleo vazado começou a ser 
queimado, diretamente, enquanto que outra parte foi removida por 
coleta, através de barcos filtradores. As duas técnicas juntas 
retiravam, aproximadamente, 480 m3 de óleo por dia. Durante todo o 
período de remoção foram retirados, no total, apenas 66 705 m3 de 
óleo. Por recomendação de ambientalistas, a retirada total de óleo 
não deveria ultrapassar 300 dias. 
Disponível em: www.popularmechanics.Acesso em:26 fev.2013(adaptado). 
Para que todo o óleo derramado no Golfo pudesse ter sido retirado 
dentro do prazo recomendado pelos ambientalistas, qual deveria ter 
sido a taxa mínima de remoção de óleo, em metro cúbico/dia? 
A) 1.625 B) 2.600 C) 3.508 D) 5.613 E) 8.966 
08. (ENEM-PPL/2016) Uma empresa pretende adquirir uma nova 
impressora com o objetivo de suprir um dos seus departamentos que 
tem uma demanda grande por cópias. Para isso, efetuou-se uma 
pesquisa de mercado que resultou em três modelos de impressora 
distintos, que se diferenciam apenas pelas seguintes características: 
 
Para facilitar a tomada de decisão, o departamento informou que sua 
demanda será de, exatamente, 50 000 cópias. 
Assim, deve-se adquirir a impressora 
A) A ou B, em vez de C B) B, em vez de A ou C 
C) A, em vez de B ou C D) C, em vez de A ou B 
E) A ou C, em vez de B 
09. (ENEM-PPL/2016) Em um torneio intercalasses de um colégio, 
visando estimular o aumento do número de gols nos jogos de futebol, 
a comissão organizadora estabeleceu a seguinte forma de contagem 
de pontos para cada partida: uma vitória vale três pontos, um empate 
com gols vale dois pontos, um empate sem gols vale um ponto e uma 
derrota vale zero ponto. Após 12 jogos, um dos times obteve como 
resultados cinco vitórias e sete empates, dos quais, três sem gols. De 
acordo com esses dados, qual foi o número total de pontos obtidos 
pelo time citado? 
A) 22 B) 25 C) 26 D) 29 E) 36 
10. (ENEM/2016-2) Para comemorar o aniversário de uma cidade, a 
prefeitura organiza quatro dias consecutivos de atrações culturais. A 
experiência de anos anteriores mostra que, de um dia para o outro, o 
número de visitantes no evento é triplicado. É esperada a presença 
de 345 visitantes para o primeiro dia do evento. 
Uma representação possível do número esperado de participantes 
para o último dia é 
A) 3 x 345. B) (3 + 3 + 3) x 345. C) 33 x 345. 
D) 3 x 4 x 345. E) 34 x 345. 
11. (ENEM/2016) O ábaco é um antigo instrumento de cálculo que 
usanotação posicional de base dez para representar números 
naturais. Ele pode ser apresentado em vários modelos, um deles é 
formado por hastes apoiadas em uma base. 
Cada haste corresponde a uma posição no sistema decimal e nelas 
são colocadas argolas; a quantidade de argolas na haste representa 
o algarismo daquela posição. 
Em geral, colocam-se adesivos abaixo das hastes com os símbolos 
U, D, C, M, DM e CM que correspondem, respectivamente, a 
unidades, dezenas, centenas, unidades de milhar, dezenas de milhar 
e centenas de milhar, sempre começando com a unidade na haste da 
direita e as demais ordens do número no sistema decimal nas hastes 
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subsequentes (da direita para esquerda), até a haste que se encontra 
mais à esquerda. 
Entretanto, no ábaco da figura, os adesivos não seguiram a 
disposição usual. 
 
Nessa disposição, o número que está representado na figura é 
A) 46 171. B) 147 016. C) 171 064. D) 460 171. E) 610 741. 
12. (ENEM-PPL/2015) Os maias desenvolveram um sistema de 
numeração vigesimal que podia representar qualquer número inteiro, 
não negativo, com apenas três símbolos. Uma concha representava 
o zero, um ponto representava o número 1 e uma barrinha horizontal, 
o número 5. Até o número 19, os maias representavam os números 
como mostra a Figura 1: 
 
FIGURA1 
Números superiores a 19 são escritos na vertical, seguindo potências 
de 20 em notação posicional, como mostra a Figura 2. 
 
Ou seja, o número que se encontra na primeira posição é multiplicado 
por 20଴ ൌ 1 , o número que se encontra na segunda posição é 
multiplicado por 20ଵ ൌ 20 e assim por diante. Os resultados obtidos 
em cada posição são somados para obter o número no sistema 
decimal. 
Um arqueólogo achou o hieróglifo da Figura 3 em um sítio 
arqueológico: 
 
Figura 3 
O número, no sistema decimal, que o hieróglifo da Figura 3 
representa é igual a 
A) 279. B) 539. C) 2 619. D) 5 219. E) 7 613. 
13. (ENEM-PPL/2015) Um paciente precisa ser submetido a um 
tratamento, sob orientação médica, com determinado medicamento. 
Há cinco possibilidades de medicação, variando a dosagem e o 
intervalo de ingestão do medicamento. As opções apresentadas são: 
A: um comprimido de 400 mg, de 3 em 3 horas, durante 1 semana; 
B: um comprimido de 400 mg, de 4 em 4 horas, durante 10 dias; 
C: um comprimido de 400 mg, de 6 em 6 horas, durante 2 semanas; 
D: um comprimido de 500 mg, de 8 em 8 horas, durante 10 dias; 
E: um comprimido de 500 mg, de 12 em 12 horas, durante 2 semanas. 
Para evitar efeitos colaterais e intoxicação, a recomendação é que a 
quantidade total de massa da medicação ingerida, em miligramas, 
seja a menor possível. 
Seguindo a recomendação, deve ser escolhida a opção 
A) A. B) B. C) C. D) D. E) E. 
14. (ENEM-PPL/2015) Um granjeiro detectou uma infecção 
bacteriológica em sua criação de 100 coelhos. A massa de cada 
coelho era de, aproximadamente, 4 kg. Um veterinário prescreveu a 
aplicação de um antibiótico, vendido em frascos contendo 16 mL, 25 
mL, 100 mL, 400 mL ou 1 600 mL. A bula do antibiótico recomenda 
que, em aves e coelhos, seja administrada uma dose única de 0,25 
mL para cada quilograma de massa do animal. 
Para que todos os coelhos recebessem a dosagem do antibiótico 
recomendada pela bula, de tal maneira que não sobrasse produto na 
embalagem, o criador deveria comprar um único frasco com a 
quantidade, em mililitros, igual a 
A) 16. B) 25. C) 100. D) 400. E) 1600. 
15. (ENEM/2015) A insulina é utilizada no tratamento de pacientes 
com diabetes para o controle glicêmico. Para facilitar sua aplicação, 
foi desenvolvida uma “caneta” na qual pode ser inserido um refil 
contendo 3 mL de insulina, como mostra a imagem. 
 
Para controle das aplicações, definiu-se a unidade de insulina como 
0,01 mL. Antes de cada aplicação, é necessário descartar 2 unidades 
de insulina, de forma a retirar possíveis bolhas de ar. 
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A um paciente foram prescritas duas aplicações diárias: 10 unidades 
de insulina pela manhã e 10 à noite. 
Qual o número máximo de aplicações por refil que o paciente poderá 
utilizar com a dosagem prescrita? 
A) 25 B) 15 C) 13 D) 12 E) 8 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
1. Números primos 
Um número n é dito primo quando possui quatro divisores inteiros: o 
próprio número n, o número – n, o número 1 e o número – 1. 
2. Primos entre si 
Dois números são chamados de números primos entre si quando o 
MDC entre eles é igual a um (1), ou seja, não existe nenhum número 
(a exceção do um) que divida, de forma inteira, os dois números ao 
mesmo tempo. 
Exemplo: 8 e 9 são números primos entre si. 
3. Decomposição em fatores primos 
Decompor um número em fatores primos significa encontrar quais são 
os números primos que multiplicados formam o número em questão. 
OBSERVAÇÃO: 
Cada número tem uma única decomposição em fatores primos. 
4. Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e Máximo Divisor Comum 
(MDC) 
O mínimo múltiplo comum (MMC) entre n e m é o menor valor inteiro 
que seja múltiplo simultaneamente de n e m. 
 Processo da decomposição simultânea 
 Ex.: m.m.c.(15,24,60) 
 
m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120 
 Propriedades do m.m.c. 
Dados dois ou mais números, se um deles é 
múltiplo de todos os outros, então ele é o 
m.m.c. dos números dados. 
Ex.: m.m.c.(3,6,30) = 30 
 
Dados dois números primos entre si, 
o m.m.c. deles é o produto desses números. 
Ex.: m.m.c.(8,9) = 72 
O máximo divisor comum (MDC) entre n e m é o maior valor inteiro 
que divide simultaneamente n e m. 
 Processo das divisões sucessivas 
Ex.: m.d.c.(164,72) 
 
 Processo da decomposição simultânea 
164 , 72 / 2 (DIVIDE TODOS AO MESMO TEMPO) 
 82 , 36 / 2 (DIVIDE TODOS AO MESMO TEMPO) 
 41 , 18 
m.d.c.(164,72) = 2 x 2 = 4 
 Propriedades do m.d.c. 
Dados dois ou mais números, se um deles é 
divisor de todos os outros, então ele é o 
m.d.c. dos números dados. 
Ex.: m.d.c.(6, 18, 30) = 6 
 
OBSERVAÇÕES: 
O produto mnmnMDCmnMMC  ),(),( 
Todo MÚLTIPLO do ( )MMC a,b é múltiplo comum de a e b 
Todo DIVISOR do  ba, MDC é divisor comum de a eb . Assim 
para calcular o número de divisores comuns entre dois números a 
e b devemos calcular quantos divisores possui o  ba, MDC . 
5. Determinação dos divisores de um número 
Na prática determinamos todos os divisores de um número 
utilizando os seus fatores primos. 
 Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90: 
 
Portanto os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 
45, 90. 
6. Quantidade de divisores de um número 
Dado um número natural n, 1n  , cuja forma fatorada 
seja 2 3 5 ...x y zn   , com ...,,, zyx , a quantidade de 
divisores de n será igual  ...)1()1()1( zyx . 
 Exemplo: Calculo o número de divisores(N) do número 720. 
 
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276 
 1º passo: FATORAÇÃO 
 
 
2º passo: EXPOENTE + 1 
( 4 1) ( 2 1) (1 1)N       
 3º passo: MULTIPLICA 
5 3 2
30
N
N
  
 
7. Operações com frações 
 
 
 
8. Fração Geratriz 
As dízimas periódicas são um dos elementos que fazem parte do 
conjunto dos números racionais e, portanto, podem ser expressos em 
forma de fração. Essa fração que “gera” a dízima periódica é ditafração geratriz. 
 Como achar a fração geratriz de uma dízima periódica? 
 Dízima Periódica Simples 
a) 0,2222... 
Período: 2 
Coloca-se o período no numerador da fração e, para cada 
algarismo dele, coloca-se um algarismo 9 no denominador. 
 
b) 0,278278... 
 Período: 278 
 
c) 1,555.... 
Período: 5 (1 algarismo) 
Nesse caso, temos uma dízima simples e a parte inteira diferente 
de zero. Uma estratégia é separar parte inteira e parte decimal: 
 
 Dízimas periódicas compostas 
a) 0,27777... 
Aqui, a dica é um pouco diferente: para cada algarismo do período 
ainda se coloca um algarismo 9 no denominador. Mas, agora, para 
cada algarismo do antiperíodo se coloca um algarismo zero, também 
no denominador. 
No caso do numerador, faz-se a seguinte conta: 
(parte inteira com antiperíodo e período)  (parte inteira com 
antiperíodo) 
Assim: 
 
b) 21,308888... (o período tem 1 algarismo e o antiperíodo tem 2 
algarismos) 
 
c) 2,4732121212... (o período tem 2 algarismos e o antiperíodo 
tem 3 algarismos) 
 
OBSERVAÇÕES: 
As dízimas periódicas têm uma outra notação. 2,0...222,0  ;
25,0...252525,0  ; 123,0...123123123,0  
As dízimas não-periódicas são números irracionais, logo, não podem 
ser transformadas em frações. 
9. Fração Mista 
Toda fração que tenha o numerador maior que o denominador (fração 
imprópria) pode ser transformada em uma fração mista. Para isso, 
basta separar a parte inteira da parte fracionária. 
Exemplo: 
5
325
3
5
5
5
5
5
355
5
13  
10. Fração de um número 
Para determinar a “fração de um número”, basta multiplicar a fração 
pelo valor referido. 
Ex.: determinar 
8
3
 de 480. 
180603
8
4803480
8
3  
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277 
11. Racionalização 
Racionalizar uma expressão consiste em tornar o seu denominador 
um número racional. 
Vejamos os principais casos de racionalização: 
1° caso) Expressões do tipo 
a
c 
2º caso) Expressões do tipo 
n a
c 
3º caso) Expressões do tipo 
ba
c
 
 
 
 
 
É fundamental compreender as diversas operações com 
frações, para posterior resolução das questões 
propostas. 
Igualmente observar a fatoração dos números e assimilar 
o cálculo do mínimo múltiplo comum, bem como do 
máximo divisor comum. 
 
 
https://goo.gl/x8pEhu 
https://goo.gl/r2LHi2 
https://goo.gl/4Uc9br 
 
 
 
LINK COM O CADERNO THÉTIS: 
Texto 13 - Visão de um professor sobre o PNE 
sancionado em 2014 
 
 
01. (FATEC/2017) Para a realização de uma atividade, um professor 
pretende dividir a sua turma em grupos. O professor observou que, 
se dividir a turma em grupos de 3 alunos, exatamente um aluno ficara 
de fora da atividade; se dividir em grupos de 4 alunos, exatamente 
um aluno também ficara de fora. 
Considere que nessa turma há N alunos, dos quais 17 são homens, 
e que o número de mulheres e maior que o número de homens. 
Nessas condições, o menor valor de N e um numero 
A) primo e não par. B) par e não divisível por 4. 
C) impar e divisível por 5. D) quadrado perfeito. 
E) cubo perfeito. 
02. (PREUNISEED/2017) O CFM (Conselho Federal de Medicina) 
publicou nesta quarta-feira (13) resolução com novas regras para 
a autorização de cirurgia bariátrica – destinada a reduzir 
capacidade de absorção do intestino em pessoas obesas. A 
principal mudança é a ampliação do número de doenças que 
justificam a indicação de cirurgia para pacientes com IMC (Índice 
de Massa Corpórea) entre 35 e 40 kg/m². 
Disponível em: http://g1.globo.com/bemestar/noticia/2016/01/conselho-reduz-imc-
minimo-para-cirurgia-bariatrica-de-40-para-35-kgm.html Acesso em: 20/04/2017 
Um paciente com 180 quilos precisava ficar com dois terços de seu 
peso para se enquadrar nas novas regras de autorização de cirurgia 
bariátrica, pois os outros requisitos já estavam satisfeitos. A meta do 
paciente é conseguir esse objetivo em quatro meses, se no 1º mês 
ele conseguiu reduzir 
ଵ
ଽ do seu peso, no segundo 
ଷ
ହ	da quantidade do 
1º mês, quantos quilos ele precisa perder nos dois meses seguintes 
para atingir o seu objetivo 
A) 20 B) 26 C) 28 D) 22 E) 30 
03. (PREUNISEED/2017) Quando chega o natal um dos enfeites 
mais vendidos nas casas comercias são os chamados “pisca pisca” 
que enfeitam as casas produzindo efeitos de luzes. 
 
Num determinado modelo de “ pisca pisca” existem duas cores de 
lâmpadas diferentes que piscam em tempos distintos, as lâmpadas 
brancas piscam 12 vezes por minuto e as vermelhas 15 vezes por 
minuto. Se elas piscarem juntos num determinado instante, depois de 
quantos segundos elas piscaram juntas novamente? 
A) 60 B) 30 C) 180 D) 10 E) 20 
04. (PREUNISEED/2017) 
Festa das Cabacinhas 
Quem visita o município de Japaratuba, distante 54 quilômetros da 
capital sergipana, no início de janeiro, é recebido pelos moradores 
com rajadas de uma conhecida bolinha recheada com água: A 
cabacinha. O artefato produzido a base de parafina, se tornou o 
principal elemento da festa profana de Santos Reis e São Benedito, 
realizada anualmente por estimular uma gostosa e refrescante 
brincadeira entre os foliões. 
 
Disponível em: http://grupominhaterraesergipe.blogspot.com.br/2014/01/festa-
das-cabacinhas-no-municipio-de.html. Acesso em 20/04/2017 
Essas cabacinhas possuem uma diversidade de cores. 
Uma família de Japaratuba pretende fazer pacotes com o maior 
número de cabacinhas possíveis, de modo que cada pacote possua 
cabacinhas de apenas uma cor. 
Sabendo que essa família produziu 288 cabacinhas azuis, 360 
vermelhas e 396 verdes, a quantidade de cabacinhas em cada pacote 
e a quantidade de pacotes feitos, foram respectivamente: 
A) 18 e 58 B) 36 e 29 C) 9 e 116 
D) 12 e 87 E) 8 e 130 
05. (PREUNISEED/2017) Num jogo de tiro ao alvo o jogador deve 
atirar o dardo num painel com várias dízimas periódicas que se 
encontram dispostas num quadro 
Pré-Universitário/SEED Matemática e suas Tecnologias 
 
278 
 
Para vencer o jogo, o jogador deve acertar o dardo em dois números 
e representar a fração que representa a soma desses dois números. 
Supondo que um jogador acertou o dardo pela 1ª vez no número 
representado pela letra B e pela 2ª vez no número representado pela 
letra H, qual fração ele deverá encontrar para vencer o jogo? 
A) 
଻଻
ଽ଴ B) 
ହ଴
ଽଽ C) 
଼ହ
ଽଽ D) 
ହ଴
ଽ଴ E) 
଻଻
ଽଽ 
 
06. (ENEM/2017) Em uma cantina, o sucesso de venda no verão são 
sucos preparados à base de polpa de frutas. Um dos sucos mais 
vendidos é o de morango com acerola, que é preparado com 
ଶ
ଷ de 
polpa de morango e 
ଵ
ଷ	de polpa de acerola. 
Para o comerciante, as polpas são vendidas em embalagens de igual 
volume. Atualmente, a embalagem da polpa de morango custa R$ 
18,00 e a de acerola, R$ 14,70. Porém, está prevista uma alta no 
preço da embalagem da polpa de acerola no próximo mês, 
passando a custar R$ 15,30. 
Para não aumentar o preço do suco, o comerciante negociou com o 
fornecedor uma redução no preço da embalagem da polpa de 
morango. 
A redução, em real, no preço da embalagem da polpa de morango 
deverá ser de 
A) 1,20. B) 0,90. C) 0,60. D) 0,40. E) 0,30. 
07. (ENEM/2017) Para uma temporada das corridas de Fórmula 1, a 
capacidade do tanque de combustível de cada carropassou a ser de 
100 kg de gasolina. Uma equipe optou por utilizar uma gasolina com 
densidade de 750 gramas por litro, iniciando a corrida com o tanque 
cheio. Na primeira parada de reabastecimento, um carro dessa 
equipe apresentou um registro em seu computador de 
bordo acusando o consumo de quatro décimos da gasolina 
originalmente existente no tanque. Para minimizar o peso desse carro 
e garantir o término da corrida, a equipe de apoio reabasteceu o carro 
com a terça parte do que restou no tanque na chegada ao 
reabastecimento. 
Disponível em: www.superdanilof1page.com.br. Acesso em: 6 jul. 2015 
(adaptado). 
A quantidade de gasolina utilizada, em litro, no reabastecimento, foi 
A) ଶ଴଴,଴଻ହ B) 
ଶ଴
଴,଻ହ C) 
ଶ଴
଻,ହ D) 20	ݔ	0,075 E) 20	ݔ	0,75 
08.(ENEM/2016-2) Até novembro de 2011, não havia uma lei 
específica que punisse fraude em concursos públicos. Isso dificultava 
o enquadramento dos fraudadores em algum artigo específico do 
Código Penal, fazendo com que eles escapassem da Justiça mais 
facilmente. Entretanto, com o sancionamento da Lei 12.550/11, é 
considerado crime utilizar ou divulgar indevidamente o conteúdo 
sigiloso de concurso público, com pena de reclusão de 12 a 48 meses 
(1 a 4 anos). Caso esse crime seja cometido por um funcionário 
público, a pena sofrerá um aumento de ଵଷ. 
Disponível em: www.planalto.gov.br. Acesso em: 15 ago. 2012. 
Se um funcionário público for condenado por fraudar um concurso 
público, sua pena de reclusão poderá variar de 
A) 4 a 16 meses. B) 16 a 52 meses. C) 16 a 64 meses. 
D) 24 a 60 meses. E) 28 a 64 meses. 
09. (ENEM/2016) No tanque de um certo carro de passeio cabem até 
50 L de combustível, e o rendimento médio deste carro na estrada é 
de 15 km/L de combustível. Ao sair para uma viagem de 600 km o 
motorista observou que o marcador de combustível estava 
exatamente sobre uma das marcas da escala divisória do medidor, 
conforme a figura a seguir. 
 
Como o motorista conhece o percurso, sabe que existem, até a 
chegada ao seu destino, cinco postos de abastecimento de 
combustível, localizados a 150 km, 187 km, 450 km, 500 km e 570 
km do ponto de partida. 
Qual a máxima distância, em quilômetro, que poderá percorrer até ser 
necessário reabastecer o veículo, de modo a não ficar sem 
combustível na estrada? 
A) 570 B) 500 C) 450 D) 187 E) 150 
10. (ENEM/2015) No contexto da matemática recreativa, utilizando 
diversos materiais didáticos para motivar seus alunos, uma 
professora organizou um jogo com um tipo de baralho modificado. No 
início do jogo, vira-se uma carta do baralho na mesa e cada jogador 
Pré-Universitário/SEED Matemática e suas Tecnologias 
 
279 
recebe em mãos nove cartas. Deseja-se formar pares de cartas, 
sendo a primeira carta a da mesa e a segunda, uma carta na mão do 
jogador, que tenha um valor equivalente àquele descrito na carta da 
mesa. O objetivo do jogo é verificar qual jogador consegue o maior 
número de pares. Iniciado o jogo, a carta virada na mesa e as cartas 
da mão de um jogador são como no esquema: 
 
Segundo as regras do jogo, quantas cartas da mão desse jogador 
podem formar um par com a carta da mesa? 
A) 9 B) 7 C) 5 D) 4 E) 3 
11. (ENEM/2015) Um arquiteto está reformando uma casa. De modo 
a contribuir com o meio ambiente, decide reaproveitar tábuas de 
madeira retiradas da casa. Ele dispõe de 40 tábuas de 540 cm, 30 de 
810 cm e 10 de 1 080 cm, todas de mesma largura e espessura. Ele 
pediu a um carpinteiro que cortasse as tábuas em pedaços de mesmo 
comprimento, sem deixar sobras, e de modo que as novas peças 
ficassem com o maior tamanho possível, mas de comprimento menor 
que 2 m. 
Atendendo o pedido do arquiteto, o carpinteiro deverá produzir 
A) 105 peças. B) 120 peças. C) 210 peças. 
D) 243 peças. E) 420 peças. 
12. (ENEM/2015) O gerente de um cinema fornece anualmente 
ingressos gratuitos para escolas. Este ano serão distribuídos 400 
ingressos para uma sessão vespertina e 320 ingressos para uma 
sessão noturna de um mesmo filme. Várias escolas podem ser 
escolhidas para receberem ingressos. Há alguns critérios para a 
distribuição dos ingressos: 
1) cada escola deverá receber ingressos para uma única sessão; 
2) todas as escolas contempladas deverão receber o mesmo número 
de ingressos; 
3) não haverá sobra de ingressos (ou seja, todos os ingressos serão 
distribuídos). 
O número mínimo de escolas que podem ser escolhidas para obter 
ingressos, segundo os critérios estabelecidos, é 
A) 2. B) 4. C) 9. D) 40. E) 80. 
13. (ENEM/2014 – 3ª Aplicação) No ano de 2011, o sul do país foi 
castigado por uma forte estiagem. Para amenizar essa situação, a 
prefeitura de um município dessa região utilizou um caminhão pipa, 
com capacidade de 32 mil litros de água para abastecer as 
residências de uma localidade desse município. Nessa localidade, 
com o caminhão pipa cheio, foram realizados 3 abastecimentos de 
água. No primeiro, foram distribuídos 1/4 da capacidade de água do 
caminhão e, no segundo 1/3 do restante. Considerando-se que não 
houve desperdício de água durante o abastecimento e que o restante 
tenha sido utilizado totalmente, a fração da capacidade de água do 
caminhão pipa, distribuída no terceiro abastecimento, foi 
A) 
7
2
 B) 
3
1
 C) 
12
5
 D) 
2
1 E) 
12
7
 
14. (ENEM/2014 – 3ª Aplicação) Em uma plantação de eucaliptos, 
um fazendeiro aplicará um fertilizante a cada 40 dias, um inseticida 
para combater as formigas a cada 32 dias e um pesticida a cada 28 
dias. Ele iniciou aplicando os três produtos em um mesmo dia. 
De acordo com essas informações, depois de quantos dias, após a 
primeira aplicação, os três produtos serão aplicados novamente no 
mesmo dia? 
A) 100 B) 140 C) 400 D) 1 120 E) 35 840 
15. (ENEM-PPL/2014) Um estudante se cadastrou numa rede social 
na internet que exibe o índice de popularidade do usuário. Esse índice 
é a razão entre o número de admiradores do usuário e o número de 
pessoas que visitam seu perfil na rede. 
Ao acessar seu perfil hoje, o estudante descobriu que seu índice de 
probabilidade é 0,3121212... 
O índice revela que as quantidades relativas de admiradores do 
estudante e pessoas que visitam seu perfil são: 
A) 103 em cada 330. B) 104 em cada 333. C) 104 em cada 3333. 
D) 139 em cada 330. E) 1039 em cada 3330. 
 
NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS 
Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. 
Alguns exemplos de grandeza: o volume, a massa, a superfície, o 
comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a 
produção. 
Razão 
A razão entre dois números a e b, com 0b  , é o quociente entre 
eles: a
b
 ou :a b 
Exemplo: Na sala da 3ª série de um colégio há 20 rapazes e 25 
moças. Encontre a razão entre o número de rapazes e o número de 
moças. (lembrando que razão é divisão) 
5
4
525
520 
 (Indica que para cada 4 rapazes existe 5 moças) 
Lendo Razões: 
5
2 , lê-se, 2 está para 5 ou 2 para 5. 
Razões especiais 
Velocidade 
média Tempo
DistânciaVelocidade 
 
Densidade 
demográfica 
Nº de habitantes
Área
Densidade demográfica  
Densidade 
v
mdensidade
volume
massadensidade  
Escala 
real
desenhoescala
 
Pré-Universitário/SEEDMatemática e suas Tecnologias 
 
280 
Proporção 
É uma igualdade entre duas razões 
Se os números a, b, c, e d, não nulos, formam nessa ordem uma 
proporção então: a c
b d
 
Propriedade fundamental das proporções 
Em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos 
extremos. 
a c a d b c
b d
     
Números Diretamente Proporcionais: Quando a razão entre as 
medidas de duas grandezas é constante. 
Números Inversamente Proporcionais: Quando o produto entre as 
medidas de duas grandezas é constante. 
Grandezas diretamente proporcionais 
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando ambas 
aumentam ou diminuem na mesma proporção. 
A razão entre os dois valores da primeira é igual à razão entre os 
valores correspondentes da segunda. 
Ex.: distância e tempo  diretamente proporcionais. Quanto maior 
a distância, mais tempo para percorrê-la. 
Exemplo: Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo 
com a tabela abaixo: 
Tempo (minutos) Produção (Kg) 
5 100 
10 200 
15 300 
Observe que quando uma grandeza aumenta a outra também 
aumenta em uma mesma razão. Neste caso são ditas diretamente 
proporcionais. 
Grandezas inversamente proporcionais 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a medida 
que uma aumenta, a outra diminui na mesma proporção ou vice-versa 
A razão entre dois valores da primeira é igual ao inverso da razão 
entre os valores correspondentes da segunda. 
Ex.: velocidade e tempo  inversamente proporcionais. Quanto 
maior a velocidade, menor o tempo gasto. 
Exemplo: Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros 
contra o relógio", mantendo em cada volta uma velocidade constante 
e obtendo, assim, um tempo correspondente, conforme a tabela 
abaixo. 
Velocidade (m/s) Tempo (s) 
5 200 
10 100 
20 50 
Observe que quando uma grandeza aumenta a outra diminui, ou 
melhor, suas razões são inversas. Neste caso são ditas 
inversamente proporcionais. 
 
Divisão proporcional 
Dividir um número N em partes diretamente proporcionais a a, b, 
e c, significa encontrar os números x, y, e z, tais que: 
c
z
b
y 
a
x
 e ainda x y z N   
Ex.: Três irmãos fizeram uma aposta numa loteria e decidiram que, 
se ganhassem o prêmio, que era de R$ 600.000,00, esse seria 
dividido entre eles em partes diretamente proporcionais a suas 
respectivas idades. Dessa forma, qual o valor recebido por cada um 
dos irmãos, sabendo que as idades são 20, 30 e 50 anos? 
RESOLUÇÃO: 
azayax
azyx
zyx
zyx
50;30;20
503020
000.600
,,



 
6000
100
000.600
000.600100
000.600503020
000.600





a
a
a
aaa
zyx
 
000.120
600020
20



x
x
ax
 
000.180
600030
30



y
y
ay
 
000.300
600050
50



z
z
az
 
Dividir um número N em partes inversamente proporcionais a a, b, 
e c, significa encontrar os números x, y, e z, tais que: 
ax by cz  e ainda x y z N   
Ex.: Quando você divide R$ 34.000,00 entre 3 pessoas, de modo que 
a divisão seja feita em parcelas inversamente proporcionais aos 
números 5, 2 e 10, qual a quantia que cada pessoa receberá? 
RESOLUÇÃO: 
10
;
2
;
5
1025
000.34
,,
azayax
azyx
zyx
zyx



 
34.000
34000
5 2 10
2 5 340.000
10 10
x y z
a a a
a a a
  
  
  
 
500.42
8
000.340
000.3408



a
a
a
 
 
500.8
5
500.42
5



x
x
ax
 
250.21
2
500.42
2



y
y
ay
 
250.4
10
500.42
10



z
z
az
 
 
Pré-Universitário/SEED Matemática e suas Tecnologias 
 
281 
 
 
 
 
É imprescindível observar que a razão dos valores de 
quaisquer grandezas será a divisão entre ambas, ou seja, a 
razão entre A e B será A/B e ainda perceber que para haver 
relação de proporção entre duas grandezas é necessário 
que haja crescimento ou decrescimento constante das 
mesmas (DIRETAMENTE PROPORCIONAIS) ou 
crescimento constante de uma grandeza e decrescimento 
constante da outra (INVERSAMENTE PROPORCIONAIS). 
A razão mais comum envolvendo outras disciplinas é a de 
velocidade média(vm = Δs/Δt) 
 
 
 
 
https://goo.gl/Jqhf4t 
https://goo.gl/vTGLsa 
https://goo.gl/voY2m1 
https://goo.gl/nvUwcy 
 
 
01. (PREUNISEED/2017) Uma pia tem comprimento de 1,20m de 
comprimento por 0,50m de largura. Deseja-se retirar a pia e colocar 
outra de forma que a razão entre o comprimento e largura seja a 
mesma. Uma cliente escolheu a seguinte pia para sua cozinha com 
as medidas em centímetros 
 
O valor de a, em metros, na figura para a razão ser mantida deverá 
ser 
A) 0,5. B) 0,65. C) 0,75. D) 0,8. E) 1,0. 
 
02. (PREUNISEED/2017) Para ocupar a cadeira de vereador de um 
determinado município, observa-se para a votação aos candidatos a 
vereador de um município o número de votos válidos, dividindo-o pelo 
número de vagas. Com isso, chega-se ao resultado, que também é 
chamado de quociente eleitoral. 
Esse elemento é importante para determinar a quantidade mínima de 
votos que é preciso para que se possam garantir cadeiras na Câmara 
Municipal 
Disponível em: http://manualdovereador.com.br/quantos-votos-precisa-para-
eleger-um-vereador.html . Acesso em 19/04/2017 
Em uma determinada cidade, o quociente eleitoral é de 324. Sabendo 
que nessa cidade existem 20 vagas para vereador e 9300 eleitores, 
a quantidade de votos não-válidos é 
A) 6480. B) 16. C) 2820. D) 465. E) 1520. 
03. (PREUNISEED/2017) A apresentação das quadrilhas juninas é o 
auge dos festejos juninos de Sergipe e do Nordeste. De acordo com 
o saudoso pesquisador sergipano Luiz Antônio Barreto. A quadrilha 
junina é uma dança tradicional coletiva, que conta com a participação 
de vários casais vestidos com roupas caipiras. A dança é embalada 
ao som de músicas instrumentais típicas do interior do Brasil. A 
quadrilha é dirigida pela narração de uma pessoa (marcador), que faz 
brincadeiras e conduz os casais em cada momento 
Disponível em: http://www.agencia.se.gov.br/noticias/governo/quadrilha-
junina-arte-obrigatoria-em-todo-arraia-sergipano. Acesso em 
20/04/2017(Adaptado) 
Em uma escola sergipana, observou-se que a razão entre a 
quantidade de homens e a quantidade de mulheres era de 3 para 4. 
A intenção do diretor é formar o máximo de pares possíveis, formados 
por um homem e uma mulher, e os demais por pessoas do mesmo 
sexo. 
Como a escola possui 350 alunos e todos desejam participar da 
quadrilha, quantos pares serão formados por pessoas do mesmo 
sexo? 
A) 15 B) 20 C) 30 D) 25 E) 50 
04. (PREUNISEED/2017) Três acionistas A, B e C investiram 36 mil 
reais num determinado negócio, o acionista A colocou 16 mil, o B 13 
mil e o C 7 mil. Ao final de um ano tiveram um lucro de R$ 6 520,00 
e resolveram acabar o negócio, porém foi acertado que a divisão do 
lucro seria feita em partes diretamente proporcionais ao que cada um 
teria investido. Desse modo, o valor que o investidor C lucrou nesse 
negócio foi, em reais, aproximadamente igual a: 
A) 2173. B) 1267. C) 1784. D) 1129. E) 2059. 
05. (PREUNISEED/2017) O orgulho de um colecionador de carros é 
seu velho corcel que apresenta desempenho de 10 km rodados por 
cada litro de gasolina. Como esse colecionadorirá participar de uma 
feira de carros em outra cidade com seu corcel e o tanque se encontra 
vazio ele leva o carro num guincho até um posto de combustível e 
abastece o carro com gasolina, gastando R$ 100,10. 
No momento em que o colecionador inicia a viagem, aparece um 
vazamento no tanque por onde escoa 0,1 litros de gasolina a cada 
meia hora. Sabendo-se que o colecionador pretende desenvolver 
uma velocidade média de 50 km/h durante a viagem e que o preço do 
litro da gasolina foi R$ 3,50, a distância máxima que o corcel pode 
percorrer até esgotar toda a gasolina do tanque será 
A) 275 km. B) 259 km. C) 280 km. D) 250 km. E) 286 km. 
 
06. (ENEM/2017) A mensagem digitada no celular, enquanto você 
dirige, tira a sua atenção e, por isso, deve ser evitada. Pesquisas 
mostram que um motorista que dirige um carro a uma velocidade 
constante percorre “às cegas” (isto é, sem ter visão da pista) uma 
distância proporcional ao tempo gasto ao olhar para o celular durante 
a digitação da mensagem. 
Considere que isso de fato aconteça. Suponha que dois motoristas 
(X e Y) dirigem com a mesma velocidade constante e digitam a 
mesma mensagem em seus celulares. Suponha, ainda, que o tempo 
gasto pelo motorista X olhando para seu celular enquanto digita a 
Pré-Universitário/SEED Matemática e suas Tecnologias 
 
282 
mensagem corresponde a 25% do tempo gasto pelo motorista Y para 
executar a mesma tarefa. 
Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 21 jul. 2012 (adaptado). 
A razão entre as distâncias percorridas às cegas por X e Y, nessa 
ordem, é igual a 
A) 
ହ
ସ B) 
ଵ
ସ c) 
ସ
ଷ D) 
ସ
ଵ E) 
ଷ
ସ 
07. (ENEM/2017) Uma bicicleta do tipo mountain bike tem uma coroa 
com 3 engrenagens e uma catraca com 6 engrenagens, que, 
combinadas entre si, determinam 18 marchas (número de 
engrenagens da coroa vezes o número de engrenagens da catraca). 
 
Os números de dentes das engrenagens das coroas e das catracas 
dessa bicicleta estão listados no quadro. 
 
Sabe-se que o número de voltas efetuadas pela roda traseira a cada 
pedalada é calculado dividindo-se a quantidade de dentes da coroa 
pela quantidade de dentes da catraca. 
Durante um passeio em uma bicicleta desse tipo, deseja-se fazer um 
percurso o mais devagar possível, escolhendo, para isso, uma das 
seguintes combinações de engrenagens (coroa x catraca): 
 
A combinação escolhida para realizar esse passeio da forma 
desejada é 
A) I. B) II. C) III. D) IV. E) V. 
 
08. (ENEM/2017) Em um teleférico turístico, bondinhos saem de 
estações ao nível do mar e do topo de uma montanha. A travessia 
dura 1,5 minuto e ambos os bondinhos se deslocam a mesma 
velocidade. Quarenta segundos após o bondinho A partir da estação 
ao nível do mar, ele cruza com o bondinho B, que havia saído do topo 
da montanha. 
Quantos segundos após a partida do bondinho B partiu o bondinho 
A? 
A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25 
09. (ENEM-PPL/2016) A economia no consumo de combustível é um 
fator importante para a escolha de um carro. ~ considerado mais 
econômico o carro que percorre a maior distância por litro de 
combustível. 
O gráfico apresenta a distância km e o respectivo consumo de 
gasolina L de cinco modelos de carros. 
 
O carro mais econômico em relação ao consumo de combustível é o 
modelo 
A) A B) B C) C D) D E) E 
10. (ENEM-PPL/2016) Em alguns supermercados, é comum a venda 
de produtos em atacado com preços inferiores aos habituais. Um 
desses supermercados anunciou a venda de sabonetes em cinco 
opções de pacotes diferentes. Segue a descrição desses pacotes 
com as respectivas quantidades e preços. 
 Pacote I: 3 unidades por R$ 2,10; 
 Pacote II: 4 unidades por R$ 2,60; 
 Pacote III: 5 unidades por R$ 3,00; 
 Pacote IV: 6 unidades por R$ 3,90; 
 Pacote V: 12 unidades por R$ 9,60. 
 Todos os sabonetes que compõem esses pacotes são idênticos. 
Qual desses pacotes oferece o menor preço por sabonete? 
A) I. B) II. C) III. D) IV. E) V. 
11. (ENEM-PPL/2016) O governo de um estado irá priorizar 
investimentos financeiros, na área de saúde, em uma das cinco 
cidades apresentadas na tabela. 
 
A cidade a ser contemplada será aquela que apresentar a maior razão 
entre número de habitantes e quantidade de médicos. 
Qual dessas cidades deverá ser contemplada? 
A) M B) X C) Y D) Z E) W 
12. (ENEM-PPL/2016) Possivelmente você já tenha escutado a 
pergunta: "O que pesa mais, 1 kg de algodão ou 1 kg de chumbo?". 
É óbvio que ambos têm a mesma massa, portanto, o mesmo peso. O 
truque dessa pergunta é a grande diferença de volumes que faz, 
enganosamente, algumas pessoas pensarem que pesa mais quem 
tem maior volume, levando-as a responderem que é o algodão. A 
grande diferença de volumes decorre da diferença de densidade (ρ) 
dos materiais, ou seja, a razão entre suas massas e seus respectivos 
volumes, que pode ser representada pela expressão: 
Pré-Universitário/SEED Matemática e suas Tecnologias 
 
283 
 
Considere as substâncias A, B, C, D e E representadas no sistema 
cartesiano (volume x massa) a seguir: 
 
A substância com maior densidade é 
A) A B) B C) C D) D E) E 
13. (ENEM-PPL/2016) O técnico de um time de voleibol registra o 
número de jogadas e de acertos, por atleta, em cada fundamento, 
para verificar os desempenhos dos jogadores. Para que o time tenha 
um melhor aproveitamento no fundamento bloqueio, ele decide 
substituir um dos jogadores em quadra por um dos que estão no 
banco de reservas. O critério a ser adotado é o de escolher o atleta 
que, no fundamento bloqueio, tenha apresentado o maior número de 
acertos em relação ao número de jogadas de que tenha participado. 
Os registros dos cinco atletas que se encontram no banco de 
reservas, nesse fundamento, estão apresentados no quadro. 
 
Qual dos atletas do banco de reservas o treinador deve colocar em 
quadra? 
A) I B) II C) III D) IV E) V 
14. (ENEM-PPL/2016) O quadro apresenta dados sobre viagens 
distintas, realizadas com o mesmo veículo, por diferentes motoristas. 
Em cada viagem, o veículo foi abastecido com combustível de um 
preço diferente e trafegou com uma velocidade média distinta. 
 
Sabe-se que esse veículo tem um rendimento de 15 km por litro de 
combustível se trafegar com velocidade média abaixo de 75 km/h. Já 
se trafegar com velocidade média entre 75 km/h e 80 km/h, o 
rendimento será de 16 km por litro de combustível. Trafegando com 
velocidade média entre 81 km/h e 85 km/h, o rendimento será de 12 
km por litro de combustível e, acima dessa velocidade média, o 
rendimento cairá para 10 km por litro de combustível. 
O motorista que realizou a viagem que teve o menor custo com 
combustível foi o de número 
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 
15. (ENEM/2016-2) O veículo terrestre mais veloz já fabricado até 
hoje é o Sonic Wind LSRV, que está sendo preparado para atingir a 
velocidade de 3 000 km/h. Ele é mais veloz do que o Concorde, um 
dos aviões de passageirosmais rápidos já feitos, que alcança 2 330 
km/h. 
 
Para uma distância fixa, a velocidade e o tempo são inversamente 
proporcionais. 
BASILIO, A. Galileu, mar. 2012 (adaptado). 
Para percorrer uma distância de 1 000 km, o valor mais próximo da 
diferença, em minuto, entre os tempos gastos pelo Sonic Wind LSRV 
e pelo Concorde, em suas velocidades máximas, é 
A) 0,1. B) 0,7. C) 6,0. D) 11,2. E) 40,2. 
 
REGRA DE TRÊS 
É um método prático para a resolução de problemas que envolvem 
duas ou mais grandezas. De uma forma geral, os problemas podem 
ser estudados separando-os em dois casos: 
1º caso: Regra de três simples 
A regra de três simples é aplicada em situações de proporcionalidade, 
utilizando-se de três valores dados para o cálculo do quarto valor. 
Pode ser considerada diretamente proporcional ou inversamente 
proporcional. 
Exercício resolvido 1: 
Se cinco caminhões transportam 300 m³ de areia, quantos caminhões 
serão necessários para transportar 1800 m³ de areia? 
A) 10; B) 20; C) 30; D) 40; E) 50. 
Usaremos a incógnita x para representar o número de caminhões. 
nº de caminhões Volume (m³) 
 5 300 
 x 1800 
Perceba que as grandezas nº caminhões e volume (m³) são 
diretamente proporcionais. Assim: 
30
300
90009000300
1800
3005  xxx
x 
Pré-Universitário/SEED Matemática e suas Tecnologias 
 
284 
Exercício resolvido 2: 
Sete homens estavam num acampamento, onde havia comida 
suficiente para todos, durante 20 dias. Dois deles foram embora. 
Dessa forma, quantos dias os alimentos devem durar? 
A) 18; B) 22; C) 25; D) 28; E) 30. 
Usaremos a incógnita x para representar o número de dias. 
Homens dias 
 7 20 
 5 x 
Perceba que as grandezas homens e dias são inversamente 
proporcionais. Assim: 
28
5
1401405
205
7  xxxx 
2º caso: Regra de três compostas 
A regra de três compostas é utilizada em problemas com mais de 
duas grandezas, diretamente ou inversamente proporcionais. 
Exercício Resolvido: 
Se 8 pedreiros constroem em 6 dias um muro de 40 m de 
comprimento, quantos pedreiros serão necessários para construir, 
em 14 dias, um muro de 70 m de comprimentos? 
A) 6; B) 7; C) 8; D) 9; E) 10. 
Usaremos a incógnita x para representar o nº de pedreiros pedido. 
 
 
 
↑ 
Nº de pereiros 
 
 
↓ 
 
Nº de dias
 
 
 
 
↑ 
 
Comprimento 
 
8 6 40 
X 14 70 
 
8 14 40 8 4 244 24 6
6 70 3 4
x x x
x x
          
 
 
 
 
 
 
 
 
É essencial notar a proporcionalidade existente entre as 
grandezas envolvidas. Quando as grandezas são 
inversamente proporcionais os valores do numerador e do 
denominador da proporção são invertidos. 
Do mesmo modo, é importante lembrar das regras de 
divisibilidade para realizar as simplificações, por 2 (número 
par), por 3 (soma dos algarismos deve ser múltiplo de 3), por 
5 (termina em 0 ou 5) e por 10 (termina em 0). 
 
https://goo.gl/NfG6iL 
https://goo.gl/bct7wi 
https://goo.gl/WWXFtb 
https://goo.gl/pNVmwj 
https://goo.gl/NcFZLn 
 
 
01. (PREUNISEED/2017) 
Como economizar água instalando mictórios em banheiros 
masculinos 
A instalação de mictórios em banheiros masculinos resulta em 
economia de água de até 75%. Tanto individuais quanto coletivas, 
essas peças são usadas, na maioria das vezes, em locais com grande 
fluxo de pessoas, como restaurantes e shopping centers. 
 
Os mictórios consomem geralmente 9 litros de água para cada 6 
acionamentos da descarga para descarte de urina. As bacias 
sanitárias comuns, sem duplo acionamento gastam, em média, 36 
litros para cada 6 acionamentos da descarga para descarte de urina. 
Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 18/04/2017 (adaptado) 
Num banheiro masculino de um restaurante que possue bacias 
sanitárias comuns e cujas descargas têm em média 120 
acionamentos diários para descarte de urina, haveria uma economia 
de quantos litros de água se as bacias fossem trocadas por mictórios? 
A) 540 B) 180 C) 270 D) 720 E) 360 
02. (PREUNISEED-SE/2017) Um motorista de Uber inicia o dia de 
trabalho com o tanque de combustível do seu carro inteiramente 
cheio. Percorre 494 km até um posto, sobrando apenas 2 litros de 
gasolina no tanque. Como o seu carro faz 13 km com um litro de 
gasolina, a capacidade máxima do tanque do carro, em litros, é 
A) 38. B) 50. C) 45. D) 40. E) 55. 
03. (PREUNISEED-SE/2017) Quando chega o São João as diversas 
feiras da capital sergipana contam com vendedores de espigas de 
milho, alimento tão presente nos festejos juninos de todo o Nordeste. 
Com ele, as opções da mesa farta são enormes e deliciosas! Por isso, 
hoje, trouxemos uma das receitas mais disputadas do seu arraial: 
pamonha. 
Mãos na massa? 
 
Ingredientes 
6 espigas grandes de milho 
1/2 xícara (chá) de açúcar 
1/2 xícara (chá) de leite de coco 
1 pitada de sal 
Rende 8 porções. 
Disponível em: http://www.infonet.com.br/saojoao/2014/ler.asp?id=158202. 
Acesso em 05.07.2017 
Uma escola da capital sergipana para realizar sua festa junina 
precisava comprar comidas típicas, dentre as encomendas, foi 
realizado um pedido de 356 pamonhas. Para que o fabricante possa 
entregar essas pamonhas, a quantidade mínima de espigas de milho 
que ele deverá compra será 
A) 2136. B) 60. C) 267. D) 45. E) 198. 
Pré-Universitário/SEED Matemática e suas Tecnologias 
 
285 
04. (PREUNISEED-SE/2017) Trabalhando o conteúdo de estatística, 
um professor pediu que os alunos fizessem um levantamento das 
alturas dos alunos da sala, colocasse numa tabela de frequências 
com intervalo de classes e fizessem um gráfico de setores com os 
dados coletados. 
Assim que terminaram, os alunos apresentaram um gráfico, conforme 
o da figura abaixo: 
 
Com base no gráfico produzido pelos alunos, é possível observar que 
o ângulo correspondente ao percentual de alunos que têm uma 
estatura entre 1,60 e 1,69 é aproximadamente igual a 
A) 39°. B) 143°. C) 71°. D) 35°. E) 161. 
05. (ESPM/2016) Duas impressoras iguais imprimem 5000 páginas 
em 30 minutos. Se elas forem substituídas por uma só impressora 
20% mais eficiente que cada uma das anteriores, 3600 páginas 
seriam impressas num tempo de: 
A) 36 min B) 42 min C) 24 min D) 28 min E) 48 min 
 
06. (ENEM/2017) Às 17h 15min começa uma forte chuva, que cai com 
intensidade constante. Uma piscina em forma de um paralelepípedo 
retângulo, que se encontrava inicialmente vazia, começa a acumular 
a água da chuva e, às 18 horas, o nível da água em seu interior 
alcança 20 cm de altura. 
Nesse instante, é aberto o registro que libera o escoamento da água 
por um ralo localizado no fundo dessa piscina, cuja vazão é 
constante. As 18h 40min a chuva cessa e, nesse exato instante, o 
nível da água na piscina baixou para 15 cm. 
O instante em que a água dessa piscina terminar de escoar 
completamente está compreendido entre 
A) 19h 30min e 20h 10min. B) 19h 20min e 19h 30min. 
C) 19h 10min e 19h 20min. D) 19h e 19h 10min. 
E) 18h40 min e 19h. 
07. (ENEM/2016-2) Um banco de sangue recebe 450 mL de sangue 
de cada doador. Apósseparar o plasma sanguíneo das hemácias, o 
primeiro é armazenado em bolsas de 250 mL de capacidade. O banco 
de sangue aluga refrigeradores de uma empresa para estocagem das 
bolsas de plasma segundo a sua necessidade. Cada refrigerador tem 
uma capacidade de estocagem de 50 bolsas. Ao longo de uma 
semana, 100 pessoas doaram sangue àquele banco. 
Admita que, de cada 60 mL de sangue, extraem-se 40 mL de plasma. 
O número mínimo de congeladores que o banco preciso alugar, para 
estocar todas as bolsas de plasma dessa semana, foi 
A) 2. B) 3. C) 4. D) 6. E) 8. 
08. (ENEM/2016-2) Um clube tem um campo de futebol com área 
total de 8 000 m2, correspondente ao gramado. Usualmente, a poda 
da grama desse campo é feita por duas máquinas do clube próprias 
para o serviço. Trabalhando no mesmo ritmo, as duas máquinas 
podam juntas 200 m2 por hora. 
Por motivo de urgência na realização de uma partida de futebol, o 
administrador do campo precisará solicitar ao clube vizinho máquinas 
iguais às suas para fazer o serviço de poda em um tempo máximo de 
5 h. 
Utilizando as duas máquinas que o clube já possui, qual o número 
mínimo de máquinas que o administrador do campo deverá solicitar 
ao clube vizinho? 
A) 4 B) 6 C) 8 D) 14 E) 16 
09. (ENEM/2016-2) Um produtor de maracujá usa uma caixa-d’água, 
com volume V, para alimentar o sistema de irrigação de seu pomar. 
O sistema capta água através de um furo no fundo da caixa a uma 
vazão constante. Com a caixa-d’água cheia, o sistema foi acionado 
às 7 h da manhã de segunda-feira. Às 13 h do mesmo dia, verificou-
se que já haviam sido usados 15% do volume da água existente na 
caixa. Um dispositivo eletrônico interrompe o funcionamento do 
sistema quando o volume restante na caixa é de 5% do volume total, 
para reabastecimento. 
Supondo que o sistema funcione sem falhas, a que horas o dispositivo 
eletrônico interromperá o funcionamento? 
A) Às 15 h de segunda-feira. B) Às 11 h de terça-feira. 
C) Às 14 h de terça-feira. D) Às 4 h de quarta-feira. 
E) Às 21 h de terça-feira. 
10. (ENEM-PPL/2015) Uma confecção possuía 36 funcionários, 
alcançando uma produtividade de 5 400 camisetas por dia, com uma 
jornada de trabalho diária dos funcionários de 6 horas. Entretanto, 
com o lançamento da nova coleção e de uma nova campanha de 
marketing, o número de encomendas cresceu de forma acentuada, 
aumentando a demanda diária para 21 600 camisetas. Buscando 
atender essa nova demanda, a empresa aumentou o quadro de 
funcionários para 96. Ainda assim, a carga horária de trabalho 
necessita ser ajustada. 
Qual deve ser a nova jornada de trabalho diária dos funcionários para 
que a empresa consiga atender a demanda? 
A) 1 hora e 30 minutos B) 2 horas e 15 minutos C) 9 horas 
D) 16 horas E) 24 horas 
11. (ENEM-PPL/2015) Uma fábrica vende pizzas congeladas de 
tamanhos médio e grande, cujos diâmetros são respectivamente 30 
cm e 40 cm. Fabricam-se apenas pizzas de sabor muçarela. Sabe-se 
que o custo com os ingredientes para a preparação é diretamente 
proporcional ao quadrado do diâmetro da pizza, e que na de tamanho 
médio esse custo é R$ 1,80. Além disso, todas possuem um custo 
fixo de R$ 3,00, referente às demais despesas da fábrica. Sabe-se 
ainda que a fábrica deseja lucrar R$ 2,50 em cada pizza grande. 
Pré-Universitário/SEED Matemática e suas Tecnologias 
 
286 
Qual é o preço que a fábrica deve cobrar pela pizza grande, a fim de 
obter o lucro desejado? 
A) R$ 5,70 B) R$ 6,20 C) R$ 7,30 D) R$ 7,90 E) R$ 8,70 
12. (ENEM/2015) Alguns medicamentos para felinos são 
administrados com base na superfície corporal do animal. Foi 
receitado a um felino pesando 3,0 kg um medicamento na dosagem 
diária de 250 mg por metro quadrado de superfície corporal. 
O quadro apresenta a relação entre a massa do felino, em 
quilogramas, e a área de sua superfície corporal, em metros 
quadrados. 
 
A dose diária, em miligramas, que esse felino deverá receber é de 
A) 0,624. B) 52,0. C) 156,0. D) 750,0. E) 1201,9. 
13. (ENEM/2014 – 3ª Aplicação) A direção de uma escola comprará 
lapiseiras para distribuir para os seus alunos. Sabe-se que x 
lapiseiras custam y reais. 
 O número máximo de lapiseiras que a direção da escola 
conseguirá comprar com z reais é o maior inteiro menor do que, ou 
igual a 
A) 
y
zx 
 B) 
x
zy 
 C) 
xy
z
 D) y
z
 E) 
x
z
 
14. (ENEM-PPL/2014) Uma revista publicará os dados, apresentados 
no gráfico, sobre como os tipos sanguíneos estão distribuídos entre a 
população brasileira. Contudo, o editor dessa revista solicitou que 
esse gráfico fosse publicado na forma de setores, em que cada grupo 
esteja representado por um setor circular. 
 
O ângulo do maior desses setores medirá, em graus: 
A) 108,0. B) 122,4. C) 129,6. D) 151,2. E) 154,8. 
15. (ENEM-PPL/2014) Em 2010, cerca de 3,24 milhões de 
passageiros foram transportados entre os Estados Unidos e o Brasil, 
de acordo com dados divulgados pela Agência Nacional de Aviação 
Civil (ANAC). O gráfico mostra a distribuição relativa do número de 
passageiros transportados entre o Brasil e os cinco destinos mais 
procurados, dos quais apenas dois países são europeus: França e 
Portugal. 
 
De acordo com esses dados, o valor mais aproximado para a 
quantidade total de passageiros transportados em 2010 entre o Brasil 
e os países europeus mostrados é: 
A) 874.800. B) 1.018.285. C) 1.481.142. 
D) 2.499.428. E) 3.240.000. 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
Porcentagem 
É uma razão na qual o denominador é 100, ou seja: 
100
% pp  
As razões de denominador 100 são chamadas razões centesimais ou 
taxas percentuais ou porcentagens. 
As porcentagens podem ser expressas de duas maneiras: na forma 
de fração com denominador 100 ou na forma decimal. 
Ex.: 03,0
100
3%3  ; 72,0
100
72%72  
 LEMBRAR NO ENEM: 
 5,6g de 14g, é o mesmo que 
 
%40
100
4040,0
140
56
14
6,5 
 
 14g------- 100% 
5,6g -------- x 
 %40
14
6,5100 x 
 %40
14
5601006,514
10014
6,5  xxx 
Para entendermos como se dá a porcentagem, preste atenção nestes 
exemplos: 
- Cálculo direto 
Ex.1 José foi a uma loja comprar um som e o vendedor ofereceu duas 
opções, a primeira foi a prazo em 6 parcelas sem juros de R$ 87,00 
ou à vista com 12% de desconto. A diferença aproximada entre o 
valor do som à vista e a prazo é igual a: 
- A partir de uma parte encontrar o todo 
Ex.2 Quantos alunos possui uma escola onde 324 alunos 
correspondem a 8,1% do total de alunos. 
- Dado um valor com desconto, encontrar o valor original sem o 
desconto 
Pré-Universitário/SEED Matemática e suas Tecnologias 
 
287 
Ex.3 Uma loja lançou uma promoção, onde todos os produtos 
vendidos na loja estavam com 15% de desconto. 
Rosivaldo entrou nessa loja e comprou um smartphone por R$ 
670,00, qual era o valor desse produto sem o desconto? 
- Dado um valor com acréscimo, encontrar o valor original sem o 
acréscimo 
Ex.4 Uma pessoa teve um acréscimo de 11% sobre o valor total, 
numa fatura de cartão de crédito, pois estava atrasada. Sabendo que 
o valor pago foi R$ 1375,29, quanto ele economizaria se tivessepagado no vencimento? 
 
 
 
 
O assunto matemática financeira, especificamente, 
porcentagem, foi o mais cobrado nas provas anteriores do 
enem, além de questões específicas, também aparece 
inserido em questões de outros conteúdos. É preciso estar 
atento aos diversos cálculos percentuais, às operações com 
números decimais, em especial à multiplicação e divisão. 
É indispensável interpretar e entender tabelas e gráficos. 
 
 
https://goo.gl/4ByF6D 
https://goo.gl/gGQoQK 
https://goo.gl/dh3qpX 
 
 
LINKS COM O CADERNO THÉTIS: 
Texto 5: Lixo - muita sujeira para baixo do tapete 
Texto 76: 'The Guardian': É o fim da globalização? 
 
01. (FGV/2017) No início de certo ano, Fábio aplicou sua poupança 
em dois fundos de investimentos A e B, sendo A o de ações e B o de 
renda fixa. 
O valor aplicado em B foi o quádruplo do aplicado em A. 
Um ano depois, Fábio observou que o fundo A rendeu – 2% (perda 
de 2%) e o B rendeu 15%. 
Considerando o total aplicado, a taxa anual de rentabilidade de Fábio 
foi: 
A) 11,8% B) 11,6% C) 11,0% D) 11,4% E) 11,2% 
02. (UERJ/2016) No Brasil, o imposto de renda deve ser pago de 
acordo com o ganho mensal dos contribuintes, com base em uma 
tabela de descontos percentuais. Esses descontos incidem, 
progressivamente, sobre cada parcela do valor total do ganho, 
denominadas base de cálculo, de acordo com a tabela a seguir. 
 
Segundo a tabela, um ganho mensal de R$ 2.100,00 corresponde a 
R$ 15,00 de imposto. Admita um contribuinte cujo ganho total, em 
determinado mês, tenha sido de R$ 3.000,00. Para efeito do cálculo 
progressivo do imposto, deve-se considerar esse valor formado por 
três parcelas: R$ 1.900,00, R$ 900,00 e R$ 200,00. O imposto de 
renda, em reais, que deve ser pago nesse mês sobre o ganho total é 
aproximadamente igual a: 
A) 55 B) 98 C) 128 D) 180 E) 169 
03. (UNCISAL/2016) Para realização de avaliação continuada, um 
professor de uma instituição de ensino superior distribui estrelas aos 
alunos de acordo com suas participações em sala de aula. A cada 
estrela recebida corresponde um abono na nota da prova, calculado 
em porcentagem de acordo com a tabela. 
 
Se considerarmos que o regime acadêmico da instituição prevê notas 
com uma casa decimal, um aluno desse professor que tirou 6,5 na 
prova e obteve durante as aulas 2 estrelas de prata, 2 de bronze e 1 
de ouro, teve sua nota acrescida de 
A) 0,3. B) 1,8. C) 2,0 D) 8,3. E) 8,5. 
 04. (PREUNISEED/2017) Numa caixa existem 840 bolas de três 
cores diferentes, vermelhas, brancas e azuis, que serão colocadas 
em potes que cabem no máximo 8 bolas, onde estarão apenas bolas 
de mesma cor. Sabendo que o número de bolas brancas é o dobro 
do número de bolas azuis e que a quantidade de bolas vermelhas 
representa 42,5% das bolas da caixa, quantos potes no mínimo, 
serão necessários para guardar as bolas brancas? 
A) 30. B) 31. C) 40. D) 41. E) 51. 
05.(PREUNISEED/2017) 
Descubra em números como 
andam os acidentes 
domésticos envolvendo idoso 
nas residências do Brasil. Os 
dados foram divulgados 
pelo Guia Morar Sozinho, da 
Telehelp. 
 70% das quedas acontecem em casa. 
 30% caem uma vez ao ano. 
 28% das quedas dos homens resultam em fratura. 
 40% das mulheres que caem acabam com alguma fratura 
Disponível em: http://revistavivasaude.uol.com.br/familia/dados-sobre-
quedas-de-idosos-no-brasil/4033/# . Acesso em 19/04/2017 
Sabendo que essa estatística pode ser aplicada em um 
conjunto habitacional com 420 unidades e que nessas, 250 
possuem um casal de idosos e as demais não possuem 
Pré-Universitário/SEED Matemática e suas Tecnologias 
 
288 
idosos, a soma entre a quantidade de homens que caem e 
resultam em fratura com a quantidade de mulheres que caem 
e também resulta em fraturas, em um ano é 
A) 86. B) 68. C) 140. D) 51. E) 170. 
 
 
06. (ENEM/2017) A energia solar vai abastecer parte da demanda de 
energia do campus de uma universidade brasileira. A instalação de 
painéis solares na área dos estacionamentos e na cobertura do 
hospital pediátrico será aproveitada nas instalações universitárias e 
também ligada na rede da companhia elétrica distribuidora de 
energia. 
O projeto inclui 100 m² de painéis solares que ficarão instalados nos 
estacionamentos, produzindo energia elétrica e proporcionando 
sombra para os carros. Sobre o hospital pediátrico serão colocados 
aproximadamente 300 m² de painéis, sendo 100 m² para gerar 
energia elétrica utilizada no campus, e 200 m² para geração de 
energia térmica, produzindo aquecimento de água utilizada nas 
caldeiras do hospital. 
Suponha que cada metro quadrado de painel solar para energia 
elétrica gere uma economia de 1 kWh por dia e cada metro quadrado 
produzindo energia térmica permita economizar 0,7 kWh por dia para 
a universidade. Em uma segunda fase do projeto, será aumentada 
em 75% a área coberta pelos painéis solares que geram energia 
elétrica. Nessa fase também deverá ser ampliada a área de 
cobertura com painéis para geração de energia térmica. 
Disponível em: http://agenciabrasil.ebc.com.br. 
Acesso em: 30 out. 2013 (adaptado). 
Para se obter o dobro da quantidade de energia economizada 
diariamente em relação à primeira fase, a área total dos painéis que 
geram energia térmica em metro quadrado, deverá ter o valor mais 
próximo de 
A) 231. B) 431. C) 472. D) 523. E) 672. 
07. (ENEM-PPL/2016) No início de janeiro de um determinado ano, 
uma família decidiu economizar para as férias de julho daquele ano, 
guardando uma quantia por mês. Eles decidiram que, em janeiro, 
guardariam R$ 300,00 e, a partir de fevereiro, guardariam, a cada 
mês, 20% a mais do que no mês anterior. Qual foi o total 
economizado (em real) no primeiro semestre do ano, abandonando, 
por arredondamento, possíveis casas decimais nesse resultado? 
A) 1.800,00 B) 2.100,00 C) 2.160,00 
D) 2.978,00 E) 3.874,00 
 
08. (ENEM-PPL/2016) Segundo o Compromisso Empresarial para 
Reciclagem (Cempre), o volume de lixo urbano reciclado passou de 
5 milhões de toneladas, em 2003, para 7,1 milhões de toneladas, em 
2008. Nesse mesmo período, o número de municípios com coleta 
seletiva passou de 653 para 1 004. Esperava-se, durante este 
período, um aumento de pelo menos 40% no volume de lixo urbano 
reciclado e de 60% no número de municípios com coleta seletiva. 
Disponível em: http://revistaepoca.globo.com.Acesso em: 31 jul. 2012 
Considerando os valores apresentados para o período de 2003 a 
2008, os aumentos esperados no volume de lixo urbano reciclado e 
no número de municípios com coleta seletiva 
A) não foram atingidos, pois o aumento no volume de lixo urbano 
reciclado foi de 30%, e no número de municípios com coleta seletiva 
foi de 30%. 
B) não foram atingidos, pois o aumento no volume de lixo urbano 
reciclado foi de 30%, e no número de municípios com coleta seletiva 
foi de 35% 
C) foram atingidos apenas parcialmente, pois os aumentos no volume 
de lixo urbano reciclado e no número de municípios com coleta 
seletiva foram de 42%. 
D) foram atingidos apenas parcialmente, pois o aumento no volume 
de lixo urbano reciclado foi de 42%, e no número de municípios com 
coleta seletiva foi de 35%. 
E) foram atingidos apenas parcialmente, pois o aumento no volume 
de lixo urbano reciclado foi de 42%, e no número de municípioscom 
coleta seletiva foi de 54%.ara ver se está adequada) 
09. (ENEM/2016-2) O Brasil é o quarto produtor mundial de alimentos 
e é também um dos campeões mundiais de desperdício. São 
produzidas por ano, aproximadamente, 150 milhões de toneladas de 
alimentos e, desse total, 2/3 são produtos de plantio. Em relação ao 
que se planta, 64% são perdidos ao longo da cadeia produtiva (20% 
perdidos na colheita, 8% no transporte e armazenamento, 15% na 
indústria de processamento, 1% no varejo e o restante no 
processamento culinário e hábitos alimentares). 
Disponível em: www.bancodealimentos.org.br. Acesso em: 1 ago. 2012. 
O desperdício durante o processamento culinário e hábitos 
alimentares, em milhão de tonelada, é igual a 
A) 20. B) 30. C) 56. D) 64. E) 96. 
10. (ENEM/2016) O censo demográfico é um levantamento estatístico 
que permite a coleta de várias informações. A tabela apresenta os 
dados obtidos pelo censo demográfico brasileiro nos anos de 1940 e 
2000, referentes à concentração da população total, na capital e no 
interior, nas cinco grandes regiões. 
População residente, na capital e interior 
segundo as Grandes Regiões 1940/2000 
 
O valor mais próximo do percentual que descreve o aumento da 
população nas capitais da Região Nordeste é 
A) 125%. B) 231%. C) 331%. D) 700%. E) 800%. 
Pré-Universitário/SEED Matemática e suas Tecnologias 
 
289 
11. (ENEM/2016) O setor de recursos humanos de uma empresa 
pretende fazer contratações para adequar-se ao artigo 93 da Lei no 
8.213/91, que dispõe: 
Art. 93. A empresa com 100 (cem) ou mais empregados está obrigada 
a preencher de 2% (dois por cento) a 5% (cinco por cento) dos seus 
cargos com beneficiários reabilitados ou pessoas com deficiência, 
habilitadas, na seguinte proporção: 
I. até 200 empregados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2%; 
II. de 201 a 500 empregados . . . . . . . . . . . . . . 3%; 
III. de 507 a 1000 empregados . . . . . . . . . . . . . 4%; 
IV. de 1001 em diante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5%. 
Disponível em: www.planalto.gov.br. Acesso em: 3 fev. 2015 
Constatou-se que a empresa possui 1200 funcionários, dos quais 10 
são reabilitados ou com deficiência, habilitados. 
Para adequar-se à referida lei, a empresa contratará apenas 
empregados que atendem ao perfil indicado no artigo 93. 
O número mínimo de empregados reabilitados ou com deficiência, 
habilitados, que deverá ser contratado pela empresa é 
A) 74. B) 70. C) 64. D) 60. E) 53. 
12. (ENEM/2016) Densidade absoluta (d) é a razão entre a massa 
de um corpo e o volume por ele ocupado. Um professor propôs à sua 
turma que os alunos analisassem a densidade de três corpos: Ad , 
Bd , Cd . Os alunos verificaram que o corpo A possuía 1,5 vez a 
massa do corpo B e esse, por sua vez, tinha 3/4 da massa do corpo 
C. Observaram, ainda, que o volume do corpo A era o mesmo do 
corpo B e 20% maior do que o volume do corpo C. 
Após a análise, os alunos ordenaram corretamente as densidades 
desses corpos da seguinte maneira 
A) 
B A Cd d d<< B) B A Cd d d<= 
C) 
C B Ad d d=< D) B C Ad d d<< 
E) 
C B Ad d d<< 
13. (ENEM/2016) Um paciente necessita de reidratação endovenosa 
feita por meio de cinco frascos de soro durante 24 h. Cada frasco tem 
um volume de 800 mL de soro. Nas primeiras quatro horas, deverá 
receber 40% do total a ser aplicado. Cada mililitro de soro 
corresponde a 12 gotas. 
O número de gotas por minuto que o paciente deverá receber após 
as quatro primeiras horas será 
A) 16. B) 20. C) 24. D) 34. E) 40. 
14. (ENEM/2016) A fim de acompanhar o crescimento de crianças, 
foram criadas pela Organização Mundial da Saúde (OMS) tabelas de 
altura, também adotadas pelo Ministério da Saúde do Brasil. Além de 
informar os dados referentes ao índice de crescimento, a tabela traz 
gráficos com curvas, apresentando padrões de crescimento 
estipulados pela OMS. 
O gráfico apresenta o crescimento de meninas, cuja análise se dá 
pelo ponto de intersecção entre o comprimento, em centímetro, e a 
idade, em mês completo e ano, da criança. 
 
Uma menina aos 3 anos de idade tinha altura de 85 centímetros e aos 
4 anos e 4 meses sua altura chegou a um valor que corresponde a 
um ponto exatamente sobre a curva p50. 
Qual foi o aumento percentual da altura dessa menina, descrito com 
uma casa decimal, no período considerado? 
A) 23,5% B) 21,2% C) 19,0% D) 11,8% E) 10,0% 
15. (ENEM/2016) O LIRAa, Levantamento Rápido do Índice de 
Infestação por Aedes aegypti, consiste num mapeamento da 
infestação do mosquito Aedes aegypti. O LIRAa é dado pelo 
percentual do número de imóveis com focos do mosquito, entre os 
escolhidos de uma região em avaliação. 
O serviço de vigilância sanitária de um município, no mês de outubro 
do ano corrente, analisou o LlRAa de cinco bairros que apresentaram 
o maior índice de infestação no ano anterior. Os dados obtidos para 
cada bairro foram: 
I. 14 imóveis com focos de mosquito em 400 imóveis no bairro; 
II. 6 imóveis com focos de mosquito em 500 imóveis no bairro; 
III. 13 imóveis com focos de mosquito em 520 imóveis no bairro; 
IV. 9 imóveis com focos de mosquito em 360 imóveis no bairro; 
V. 15 imóveis com focos de mosquito em 500 imóveis no bairro. 
O setor de dedetização do município definiu que o direcionamento 
das ações de controle iniciarão pelo bairro que apresentou o maior 
índice do LIRAa. 
Disponível em: http:/bvsms.saude.gov.br. 28/10/2015 
As ações de controle iniciarão pelo bairro 
A) I. B) II. C) III. D) IV. E) V. 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
Juro é o valor que se obtém quando se aplica dinheiro “sob 
determinada taxa percentual”, por um determinado período. 
Juros simples 
Nesse regime, os juros são constantes por período. 
Fórmulas: 
J = C.i.t M = J + C 
Pré-Universitário/SEED Matemática e suas Tecnologias 
 
290 
Juros compostos 
Os juros compostos são a prática de juros sobre juros. Eles são muito 
utilizados pelo sistema financeiro, pois oferecem maior rentabilidade 
se comparados ao juro simples. 
Fórmulas: M = C.(1 + i)t J = M – C 
C – capital; M – montante; i – taxa de juros; t – tempo. 
Observação: 
A taxa e o tempo tem que estar na mesma unidade de tempo (dia, 
mês, ano, bimestre, trimestre, semestre,...). 
Equivalência de capital 
Essa é a fórmula fundamental da equivalência de capitais: Para obter 
o valor futuro, basta multiplicar o atual por (1 + i)n. Para obter o valor 
atual, basta dividir o futuro por (1 + i)n. 
Ex: Pedro tem duas opções de pagamento na compra de um televisor: 
i) três prestações mensais de R$ 160,00 cada; 
ii) sete prestações mensais de R$ 70,00 cada. Em 
ambos os casos, a primeira prestação é paga no ato 
da compra. Se o dinheiro vale 2% ao mês para Pedro, 
qual a melhor opção que Pedro possui? 
Solução: 
Para comparar, determinaremos o valor dos dois conjuntos de 
pagamentos na mesma época, por exemplo na época 2. Os 
esquemas de pagamentos são: 
 
Para comparar, determinaremos o valor dos dois conjuntos de 
pagamentos na mesma época. Por exemplo, na época 2, temos, 
66,489160)02,01(160)02,01(160 2 a 
77,480
)02,01(
70
)02,01(
70
)02,01(
70
02,01
7070)02,01(70)02,01(70 432
2 b
Pedro deve preferir o pagamento em seis prestações.Acréscimos 
EX.: Quantidade X gramas acréscimo de 15%
xxxxx 15,115,0
100
15  
Descontos 
EX.: Após ter recebido um desconto de 10 % uma TV está sendo 
vendida por R$ 1 800,00. Qual era o preço da TV antes do 
desconto? x – 0,10x = 0,90 x 
0,90 x = 1 800 
 x = 1 800/0,90 
 x = 2 000 
Acréscimos sucessivos 
Pn= Po(1 + i 1). (1 + i 2)....(1 + i n). 
Descontos sucessivos 
Pn= Po(1 – i 1). (1 – i 2)....(1 – i n). 
Lucro 
É o resultado da diferença entre o valor de venda e o custo. 
L = V – C, onde 
L lucro
V venda
C custo
  
 
 
 
O assunto matemática financeira, especificamente, 
porcentagem, foi o mais cobrado nas provas anteriores do 
enem, além de questões específicas, também aparece 
inserido em questões de outros conteúdos. É preciso estar 
atento aos diversos cálculos percentuais, às operações com 
números decimais, em especial à multiplicação e divisão. 
É indispensável interpretar e entender tabelas e gráficos. 
 
 
 
 
https://goo.gl/DRTNzA 
https://goo.gl/2ZQC9y 
https://goo.gl/ysgnhC 
https://goo.gl/9foToh 
https://goo.gl/M9upyi 
 
LINKS COM O CADERNO THÉTIS: 
Texto 5: Lixo - muita sujeira para baixo do tapete 
Texto 76 - 'The Guardian': É o fim da globalização? 
 
 
01. (UNICAMP/2018) Dois anos atrás certo carro valia R$ 50.000,00 
e atualmente vale R$ 32.000,00. Supondo que o valor do carro 
decresça a uma taxa anual constante, daqui a um ano o valor do carro 
será igual a 
A) R$ 25.600,00. B) R$ 24.400,00. 
C) R$ 23.000,00. D) R$ 18.000,00. 
 
02. (PREUNISEED/2017) Uma loja de calçados lança uma promoção: 
 
Uma cliente estava à procura de uma sandália, pois iria participar de 
uma festa naquele dia, após testar várias opções, decidiu ficar com a 
que estava na vitrine conforme figura seguinte: 
 
Pré-Universitário/SEED Matemática e suas Tecnologias 
 
291 
As sandálias que estão na vitrine já estão com o desconto anunciado. 
O valor aproximado dessa sandália antes dessa promoção era 
A) R$ 84,00. B) R$ 164,00. C) R$ 174,00. 
D) R$ 45,00. E) R$ 198,00. 
03. (PREUNISEED/2017) Para a compra de um carro no valor 
de R$ 53.280, uma pessoa entregou o seu no valor de R$ 
18.000,00 e financiou o restante. 
 
Sabendo que o comprador terá as seguintes condições: 
 Acréscimo de 2% anual, como taxa de administração, 
sobre o valor financiado. 
 Acréscimo de 1% em todos os meses sobre o valor 
financiado que será adicionado em cada parcela do 
financiamento. 
 Prazo do financiamento: 36 meses, 
Quanto custará o carro, em reais, ao final do financiamento? 
A) 68.097,60 B) 74.078,30 C) 80.001,20 
D) 62.038,30 E) 76.354,60 
04. (PREUNISEED-SE/2017) A arrecadação do ICMS em Sergipe 
vinha mantendo crescimento ao longo dos últimos três anos, mas em 
2016 sua trajetória mudou e voltou ao patamar de 2014. Em 2016 a 
arrecadação do estado com o ICMS foi de aproximadamente R$ 2,7 
bilhões. Ver o gráfico: 
 
 
Disponível em: http://www.fecomercio-se.com.br/wp-content/uploads/2017/03/S%C3%ADn 
tese _Econ%C3%B4mica_da_Economia_de_Sergipe_em_2016.pdf Acesso em 05.07.2017 
 
A queda percentual da arrecadação de ICMS no ano de 2016 com 
relação ao ano de 2015, foi de aproximadamente 
A) 7,3% B) 2,1% C) 6,8% D) 12,3% E) 8,0% 
 
05. (PREUNISEED/2017) Um investidor resolve aplicar um valor de 
R$ 30.000,00 da seguinte forma: 
 30% desse valor será investido em um banco que possui 
uma taxa de 1% a.m. 
 70% desse valor será aplicado a uma taxa de juros de 4% 
a. a . 
Se ambos os investimentos forem aplicados durante 6 meses e 
capitalizados sob o regime de juros simples, ao término desse 
período, o investidor terá um montante, em reais, igual a 
A) 31.800,00 B) 30.960,00 C) 31.080,00 
D) 30.810,00 E) 33.960,00 
 
06. (ENEM/2017) Um empréstimo foi feito a taxa mensal de i%, 
usando juros compostos, em oito parcelas fixas e iguais a P. O 
devedor tem a possibilidade de quitar a dívida antecipadamente a 
qualquer momento, pagando para isso o valor atual das parcelas 
ainda a pagar. Após pagar a 5ª parcela, resolve quitar a dívida no ato 
de pagar a 6ª parcela. 
A expressão que corresponde ao valor total pago pela quitação do 
empréstimo é 
 
 
 
 
 
 
07. (ENEM-PPL/2016) Para atrair uma maior clientela, uma loja de 
móveis fez uma promoção oferecendo um desconto de 20% em 
alguns de seus produtos. 
No gráfico, estão relacionadas as quantidades vendidas de cada um 
dos produtos, em um dia de promoção. 
 
Pré-Universitário/SEED Matemática e suas Tecnologias 
 
292 
No quadro constam os preços de cada produto vendido já com o 
desconto de 20% oferecido pela loja. 
 
Qual foi o valor total de desconto, em reais, concedido pela loja com 
a venda desses produtos durante esse dia de promoção? 
A) 300,00 B) 375,00 C) 720,00 D) 900,00 E) 1.125,00 
08. (ENEM/2016) Uma pessoa comercializa picolés. No segundo dia 
de certo evento ela comprou 4 caixas de picolés, pagando R$ 16,00 
a caixa com 20 picolés para revendê-los no evento. No dia anterior, 
ela havia comprado a mesma quantidade de picolés, pagando a 
mesma quantia, e obtendo um lucro de R$ 40,00 (obtido 
exclusivamente pela diferença entre o valor de venda e o de compra 
dos picolés) com a venda de todos os picolés que possuía. 
Pesquisando o perfil do público que estará presente no evento, a 
pessoa avalia que será possível obter um lucro 20% maior do que o 
obtido com a venda no primeiro dia do evento. 
Para atingir seu objetivo, e supondo que todos os picolés disponíveis 
foram vendidos no segundo dia, o valor de venda de cada picolé, no 
segundo dia, deve ser 
A) R$ 0,96. B) R$ 1,00. C) R$ 1,40. D) R$ 1,50. E) R$ 1,56. 
09. (ENEM-PPL/2015) Segundo dados apurados no Censo 2010, 
para uma população de 101,8 milhões de brasileiros com 10 anos ou 
mais de idade e que teve algum tipo de rendimento em 2010, a renda 
média mensal apurada foi de R$ 1 202,00. A soma dos rendimentos 
mensais dos 10% mais pobres correspondeu a apenas 1,1% do total 
de rendimentos dessa população considerada, enquanto que a soma 
dos rendimentos mensais dos 10% mais ricos correspondeu a 44,5% 
desse total. 
Disponível em: www.estadao.com.br. Acesso em: 16 nov. 2011(adaptado). 
Qual foi a diferença, em reais, entre a renda média mensal de um 
brasileiro que estava na faixa dos 10% mais ricos e de um brasileiro 
que estava na faixa dos 10% mais pobres? 
A) 240,40 B) 548,11 C) 1 723,67 D) 4 026,70 E) 5 216,68 
10. (ENEM-PPL/2015) A uma pesquisa recente aponta que 8 em 
cada 10 homens brasileiros dizem cuidar de sua beleza, não apenas 
de sua higiene pessoal. 
CAETANO, M.; SOEIRO, R.; DAVINO, R. Cosméticos. Superinteressante, n. 
304, maio 2012 ( adaptado). 
Outra maneira de representar esse resultado é exibindo o valor 
percentual dos homens brasileiros que dizem cuidar de sua beleza. 
Qual é o valor percentual que faz essa representação? 
A) 80% B) 8% C) 0,8% D) 0,08% E) 0,008% 
11. (ENEM/2015) Um casal realiza um financiamento imobiliário de 
R$ 180 000,00 a ser pago em 360 prestações mensais, com taxa de 
juros efetiva de 1% ao mês. A primeira prestação é paga um mês após 
a liberação dos recursos e o valor da prestação mensal é de R$ 500,00 
mais juro de 1% sobre o saldo devedor (valor devido antes do 
pagamento).Observe que, a cada pagamento, o saldo devedor se 
reduz em R$ 500,00 e considere que não há prestação em atraso. 
Efetuando o pagamento dessa forma, o valor, em reais, a ser pago 
ao banco na décima prestação é de 
A) 2 075,00. B) 2 093,00. C) 2 138,00. D) 2 255,00. E) 2 300,00. 
12. (ENEM/2014 – 3ª Aplicação) A legislação brasileira estabelece 
vários impostos para que o Estado levante os recursos necessários 
para custear os investimentos e despesas de responsabilidade do 
setor público. A arrecadação do Brasil, nas três esferas da 
administração pública (municípios, estados e União), vem 
aumentando consideravelmente nos últimos anos. No ano de 2005, 
foram arrecadados cerca de 700 bilhões de reais. A evolução do 
crescimento da arrecadação até 2010, em porcentagem, está 
expressa na tabela a seguir. 
 
De acordo com os dados apresentados, infere-se que o valor mais 
aproximado da arrecadação brasileira do setor público do ano de 
2007 foi, em bilhões de reais, de 
A) 724. B) 738. C) 784. D) 868. E) 878. 
13. (ENEM/2014 - 3ª Aplicação) Um estudo feito em cidades 
brasileiras aponta que apenas 15% dos diabéticos do país fazem bom 
controle da doença. A pesquisa, que foi feita por meio da análise dos 
prontuários e questionários respondidos por pacientes entre 2008 e 
2010, analisou os dados de 3 580 pessoas de 20 cidades nas cinco 
regiões do Brasil. 
Disponível em: http://noticias.uol.com.br. Acesso em: 14 nov. 2011 (adaptado). 
Entre todos que participaram da pesquisa, qual é o número de 
pessoas que fazem um bom controle do diabetes? 
A) 27 B) 53 C) 239 D) 537 E) 1074 
14. (ENEM/2014 – 3ª Aplicação) Em uma cidade turística, três 
hotéis ofereceram promoções para o mês de abril de 2011 e 
compararam as taxas de ocupação nesse mês com as de abril de 
2010. Os descontos praticados estão descritos a seguir: 
* Hotel 1: Foi dado um desconto de 10% nas diárias, elevando a 
ocupação de 70% em 2010 para 80% em 2011. 
* Hotel 2: Foi dado um desconto de 15% nas diárias, elevando a 
ocupação de 60% em 2010 para 100% em 2011. 
* Hotel 3: Foi dado um desconto de 20% nas diárias, elevando a 
ocupação de 10% em 2010 para 60% em 2011. 
* Hotel 4: Foi dado um desconto de 25% nas diárias, elevando a 
ocupação de 30% em 2010 para 90% em 2011. 
* Hotel 5: Foi dado um desconto de 30% nas diárias, elevando a 
ocupação de 40% em 2010 para 60% em 2011. 
Pré-Universitário/SEED Matemática e suas Tecnologias 
 
293 
Após o término de 2011, foi feita uma avaliação sobre os impactos 
desses descontos nos valores arrecadados pelos hotéis. 
O hotel que apresentou a maior diferença na taxa de arrecadação de 
2010 para 2011 foi o 
A) hotel 1, pois apresenta a maior taxa de ocupação antes dos 
descontos. 
B) hotel 2, pois apresenta a maior taxa de ocupação após os 
descontos. 
C) hotel 3, pois apresenta aumento de 38% na taxa de arrecadação. 
D) hotel 4, pois apresenta a maior diferença na taxa de arrecadação 
de 2010 para 2011. 
E) hotel 5, pois apresenta o maior desconto no valor da diária. 
15. (ENEM/2014 – 3ª Aplicação) Em 2010, o mundo produziu uma 
quantidade de alimentos adequada para 5,5 bilhões de pessoas. A 
população mundial era 6,5 bilhões e 1 bilhão de pessoas passou 
fome, segundo a FAO. Em 2050, estimativas indicam que a 
população mundial será de nove bilhões, ou seja, será preciso 
aumentar bastante a oferta de alimentos nos próximos 40 anos. 
Considere que a quantidade de alimentos produzidos em 2050 seja 
40% superior à 2010. 
Disponível em: http://blogdaterra.com.br. Acesso em: 28 ago. 2011 (adaptado). 
De acordo com os dados e estimativas apresentados, a quantidade 
de pessoas, em bilhões, que passará fome em 2050, será igual a 
A) 1,2. B) 1,3. C) 1,4. D) 2,2. E) 2,3. 
 
FUNÇÕES 
Função: noção intuitiva 
No estudo científico de qualquer fenômeno, procuramos 
identificar grandezas ligadas a ele e estabelecer as relações 
existentes entre essas grandezas. 
Obs.: Grandeza, em Matemática, é tudo aquilo que pode ser 
medido. 
Ex.: Na tabela é dado o preço pago em função da quantidade de 
carne adquirida em um açougue 
QUANTIDADE(KG) PREÇO(R$) 
0,5 7,00 
1,0 14,0 
1,5 21,00 
2,0 28,0 
3,5 49 
É possível encontrar uma fórmula que estabelece a relação entre o 
preço (y) e a quantidade de carne (x). 
14y x 
A noção de função como relação entre dois conjuntos 
Vamos considerar os conjuntos  3,2,1,0A e 
 3,2,1,0,1B e observar uma relação entre elementos de A e 
elementos de B. 
- Associar cada elemento Ax o elemento By , tal que 
1 xy . Obtemos a seguinte tabela: 
X Y (X, Y) 
0 -1 (0, -1) 
1 0 (1, 0) 
2 1 (2, 1) 
3 2 (3, 2) 
 Note que, para todo Ax existe um único By tal que y está 
associado a x . Por esse motivo, a relação 1 xy é uma 
função definida de A com valores em B. 
 
Definição 
Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma relação que 
associa cada elemento Ax um único elemento By recebe o 
nome de função de A em B. 
BAf : 
 
Se, nessa função, By é imagem de Ax , indicamos: 
 
)(xfy  
Obs.: toda função gera um conjunto de pares ordenados ),( yx . 
Função polinomial do 1º grau 
É toda função :f , sendo baxxf )( , com ba, 
e 0a . Onde a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear. 
Gráfico: RETA 
 
 CRESCENTE DECRESCENTE 
 
a > 0 a < 0 
 
Raiz ou Zero da função: .a
bx  
 
Pré-Universitário/SEED Matemática e suas Tecnologias 
 
294 
 
 
 
 
Os três tipos de questões mais comuns são: 
Transformação de informações numa função; 
Substituição de valores no lugar das incógnitas; 
Análise de gráficos. 
Da mesma forma é relevante notar que se duas funções f(x) e 
g(x) “estão em equilíbrio” ou “são indiferentes” elas se igualam 
f(x) = g(x). 
 
 
 
 
https://goo.gl/Zo4F88 
https://goo.gl/yY7t6n 
https://goo.gl/uEHuXb 
https://goo.gl/Gk5snh 
 
01. (FATEC/2017) Admita que a população da Síria em 2010 era de 
20,7 milhões de habitantes e em 2016, principalmente pelo grande 
número de mortes e da imigração causados pela guerra civil, o 
número de habitantes diminuiu para 17,7 milhões. 
Considere que durante esse período, o número de habitantes da 
Síria, em milhões, possa ser descrito por uma função h, polinomial do 
1º grau, em função do tempo (x), em número de anos. 
Assinale a alternativa que apresenta a lei da função h(x), para 0 ≤ x ≤ 
6, adotando o ano de 2010 como x = 0 e o ano de 2016 como x = 6. 
A) h(x) = – 0,1 x + 17,7 B) h(x) = – 0,1 x + 20,7 
C) h(x) = – 0,25 x + 17,7 D) h(x) = – 0,5 x + 20,7 
E) h(x) = – 0,5 x + 17,7 
02. (FGV/2016) Em 2013, uma empresa exportou 600 mil dólares e, 
em 2014, exportou 650 mil dólares de um certo produto. 
Suponha que o gráfico das exportações y (em milhares de dólares) 
em função do ano x seja formado por pontos colineares. 
Desta forma, a exportação triplicará em relação à de 2013 no ano de 
A) 2036 B) 2038 C) 2035 D) 2037 E) 2034 
03. (PREUNISEED/2017) Um taxista ao fazer uma corrida percebeu 
que seu taxímetro estava quebrado. Sem querer perder a corrida, ele 
disse a seu cliente que cobraria um valor fixo e mais R$ 1,25 por 
quilômetro rodado. Se ao final da corrida o cliente pagou por 30 Km 
um valor de R$ 42,20, o valor fixo cobrado pelo taxista, em reais, foi: 
A) 5,20 B) 4,70 C) 4,85 D) 2,30 E) 3,30 
04. (PREUNISEED-SE/2017) O francês Nicolas François Blondel(1618-1686) analisou profundamente a questão da segurança, 
energia e conforto em subir e descer escadas. 
A famosa Fórmula de Blondel tem o seguinte aspecto: 
FÓRMULA DE BLONDEL: 
M = 2h + b 
 
onde: 
M = Module ou le pas, que é o Passo, o tamanho do passo da 
pessoa; 
h = hauteur, que é a altura entre um degrau e outro; 
b = é a distância horizontal entre duas quinas consecutivas numa 
escada (em outras palavras, a largura de um degrau) 
Disponível em: http://www.ebanataw.com.br/escada/escada4.htm. Acesso em: 12/06/2017 
No Brasil, a norma NBR-9077 também adota a Fórmula de Blondel e 
admite duas situações extremas, uma com Passo = 63 centímetros e 
outra com Passo = 64 centímetros. 
Uma pessoa quer construir uma escada, sem descanso e estipulou 
que a largura de cada degrau será de 28 cm. Considerando o maior 
valor de M adotado pela norma NBR-9077 e sabendo que a escada 
possui 12 degraus, a altura da escada será 
A) 18 cm B) 208 cm C) 96 cm D) 216 cm E) 108 cm 
05. (PREUNISEED/2017) Um casal de turistas desembarcou em 
Aracaju e alugou um veículo para ir até cidade de Canindé do São 
Francisco. O valor cobrado pela locadora, foi uma taxa fixa de R$ 
69,90 por dia, mais R$ 0,70 por quilômetros rodados. 
O casal ficou 3 dias com o veículo e nesse período percorreram 95 
km na cidade de Canindé, quando devolveram esse carro na 
locadora, em Aracaju o casal pagou 
A) R$ 276,20 
B) R$ 413,60 
C) R$ 553,40 
D) R$ 540,30 
E) R$ 414,80 
 
Considere a distância de Aracaju à 
Canindé do São Francisco 198 km. 
 
 
06. (ENEM/2017) A água para o abastecimento de um prédio é 
armazenada em um sistema formado por dois reservatórios idênticos, 
em formato de bloco retangular, ligados entre si por um cano igual ao 
cano de entrada conforme ilustra a figura. 
 
A água entre no sistema pelo cano de entrada do Reservatório 1 a 
uma vazão constante e, ao atingir o nível do cano de ligação, passa 
a abastecer o Reservatório 2. Suponha que, inicialmente, os dois 
reservatórios estejam vazios. 
Qual dos gráficos melhor descreverá a altura h do nível da água no 
Reservatório 1, em função do volume V de água no sistema? 
 
Pré-Universitário/SEED Matemática e suas Tecnologias 
 
295 
 
 
 
 
07. (ENEM/2016-2) Uma empresa farmacêutica fez um estudo da 
eficácia (em porcentagem) de um medicamento durante 12 h de 
tratamento em um paciente. O medicamento foi administrado em 
duas doses, com espaçamento de 6 h entre elas. Assim que foi 
administrada a primeira dose, a eficácia do remédio cresceu 
linearmente durante 1 h, até atingir a máxima eficácia (100%), e 
permaneceu em máxima eficácia durante 2 h. Após essas 2 h em que 
a eficácia foi máxima, ela passou a diminuir linearmente, atingindo 
20% de eficácia ao completar as 6 h iniciais de análise. Nesse 
momento, foi administrada a segunda dose, que passou a aumentar 
linearmente, atingindo a máxima eficácia após 0,5 h e permanecendo 
em 100% por 3,5 h. Nas horas restantes da análise, a eficácia 
decresceu linearmente, atingindo ao final do tratamento 50% de 
eficácia. 
Considerando as grandezas tempo (em hora), no eixo das abscissas; 
e eficácia do medicamento (em porcentagem), no eixo das 
ordenadas, qual é o gráfico que representa tal estudo? 
 
 
 
 
 
08. (ENEM/2016) Uma cisterna de 6000 L foi esvaziada em um 
período de 3 h. Na primeira hora foi utilizada apenas uma bomba, mas 
nas duas horas seguintes, a fim de reduzir o tempo de esvaziamento, 
outra bomba foi ligada junto com a primeira. O gráfico, formado por 
Pré-Universitário/SEED Matemática e suas Tecnologias 
 
296 
dois segmentos de reta, mostra o volume de água presente na 
cisterna, em função do tempo. 
 
Qual é a vazão, em litro por hora, da bomba que foi ligada no início 
da segunda hora? 
A) 1000 B) 1250 C) 1500 D) 2000 E) 2500 
09. (ENEM/2016) De forma geral, os pneus radiais trazem em sua 
lateral uma marcação do tipo abc/deRfg, como 185/65R15. Essa 
marcação identifica as medidas do pneu da seguinte forma: 
 abc é a medida da largura do pneu, em milímetro; 
 de é igual ao produto de 100 pela razão entre a medida da 
altura (em milímetro) e a medida da largura do pneu (em 
milímetro); 
 R significa radial; 
 fg é a medida do diâmetro interno do pneu, em polegada. 
A figura ilustra as variáveis relacionadas com esses dados. 
 
O proprietário de um veículo precisa trocar os pneus de seu carro e, 
ao chegar a uma loja, é informado por um vendedor que há somente 
pneus com os seguintes códigos: 175/65R15, 175/75R15, 
175/80R15, 185/60R15 e 205/55R15. Analisando, juntamente com o 
vendedor, as opções de pneus disponíveis, concluem que o pneu 
mais adequado para seu veículo é o que tem a menor altura. 
Desta forma, o proprietário do veículo deverá comprar o pneu com a 
marcação 
A) 205/55R15. B) 175/65R15. C) 175/75R15. 
D) 175/80R15. E) 185/60R15. 
10. (ENEM-PPL/2015) Num campeonato de futebol de 2012, um time 
sagrou-se campeão com um total de 77 pontos (P) em 38 jogos, tendo 
22 vitórias (V), 11 empates (E) e 5 derrotas (D). No critério adotado 
para esse ano, somente as vitórias e empates têm pontuações 
positivas e inteiras. As derrotas têm valor zero e o valor de cada vitória 
é maior que o valor de cada empate. 
Um torcedor, considerando a fórmula da soma de pontos injusta, 
propôs aos organizadores do campeonato que, para o ano de 2013, 
o time derrotado em cada partida perca 2 pontos, privilegiando os 
times que perdem menos ao longo do campeonato. Cada vitória e 
cada empate continuariam com a mesma pontuação de 2012. 
Qual a expressão que fornece a quantidade de pontos (P), em função 
do número de vitórias (V), do número de empates (E) e do número de 
derrotas (D), no sistema de pontuação proposto pelo torcedor para o 
ano de 2013? 
A) P = 3V + E B) P = 3V - 2D C) P = 3V + E – D 
D) P = 3V + E - 2D E) P = 3V + E + 2D 
11. (ENEM-PPL/2015) No comércio é comumente utilizado o salário 
mensal comissionado. Além de um valor fixo, o vendedor tem um 
incentivo, geralmente um percentual sobre as vendas. Considere um 
vendedor que tenha salário comissionado, sendo sua comissão dada 
pelo percentual do total de vendas que realizar no período. O gráfico 
expressa o valor total de seu salário, em reais, em função do total de 
vendas realizadas, também em reais. 
 
Qual o valor percentual da sua comissão? 
A) 2,0% B) 5,0% C) 16,7% D) 27,7% E) 50,0% 
12. (ENEM/2015) Após realizar uma pesquisa de mercado, uma 
operadora de telefonia celular ofereceu aos clientes que utilizavam 
até 500 ligações ao mês o seguinte plano mensal: um valor fixo de 
R$ 12,00 para os clientes que fazem até 100 ligações ao mês. Caso 
o cliente faça mais de 100 ligações, será cobrado um valor adicional 
de R$ 0,10 por ligação, a partir da 101ª até a 300ª; e caso realize 
entre 300 e 500 ligações, será cobrado um valor fixo mensal de R$ 
32,00. 
Com base nos elementos apresentados, o gráfico que melhor 
representa a relação entre o valor mensal pago nesse plano e o 
número de ligações feitas é: 
 
 
Pré-Universitário/SEED Matemática e suas Tecnologias 
 
297 
 
 
 
13. (ENEM/2014 – 3ª Aplicação) A empresa E fornece linhas para 
telefones celulares da Companhia de Telefonia X a dois de seus 
funcionários. Os funcionários 1 e 2 usam, em média, 170 minutos e 
195 minutos mensais,em ligações, respectivamente. 
O plano das linhas desses celulares possui uma franquia de 90 
minutos mensais (ou seja, 90 minutos de ligações grátis a cada mês), 
e custo de R$ 0,20 por minuto adicional, além de um custo fixo de R$ 
30,00 mensais. 
A companhia X lançou novos planos que podem baratear o custo da 
empresa E com esses celulares e ofereceu-lhes, com preços 
mostrados a seguir: 
 
FRANQUIA 
(em minutos) 
CUSTO POR 
MINUTO 
ADICIONAL 
(em reais) 
 
CUSTO FIXO 
(em reais) 
PLANO 
DOURADO 
120 0,22 20 
PLANO 
PARCERIA 
110 0,25 15 
Mas, por contrato, E só pode migrar uma das contas para um novo 
plano, enquanto a outra precisa continuar no plano em que está. 
De modo a ter o menor custo possível com os pagamentos dessas 
contas de celulares, qual é a melhor atitude a ser tomada pela 
empresa E em relação às ofertas descritas? 
A) Fornecer o Plano Dourado para o funcionário 1 
B) Fornecer o Plano Parceria para o funcionário 1 
C) Fornecer o Plano Dourado para o funcionário 2 
D) Fornecer o Plano Parceria para o funcionário 2 
E) Manter os planos atuais 
14. (ENEM/2014 – 3ª Aplicação) Enchem-se, segundo vazões 
constantes e idênticas, dois reservatórios, um em forma de um 
cilindro circular reto e outro em forma de prisma reto de base 
quadrada, cujo lado da base tem a mesma medida do diâmetro da 
base do primeiro reservatório. 
 
O gráfico que representa a variação das alturas dos níveis da água 
do reservatório cilíndrico (h1) e do reservatório em forma de prisma 
(h2) em função do volume de água contido em cada um dos 
reservatórios (V ) estão melhor representados em 
 
 
Pré-Universitário/SEED Matemática e suas Tecnologias 
 
298 
 
 
 
15. (ENEM/2014 – 3ª aplicação) Em Economia, costuma-se 
representar o consumo mensal C de uma família por uma função 
linear 0 1C c c Y  , em que 0c é o consumo independente da 
renda, 1c é a chamada propensão ao consumo e Y é a renda 
mensal da família. 
Uma determinada família possui a seguinte função consumo: 
500 0,8C Y  . Nesse caso, ela possui um gasto de R$ 500,00, 
independente da renda, e propensão ao consumo de 0,8. Nessa 
família a renda mensal provém somente dos salários do pai e da mãe, 
que são, respectivamente, R$ 3 000,00 e R$ 4 000,00. 
Qual o consumo mensal dessa família: 
A) R$ 2 900,00. B) R$ 3 300,00. C) R$ 3 700,00. 
D) R$ 6 100,00. E) R$ 6 600,00. 
 
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU OU 
QUADRÁTICA 
Sejam os números reais a, b e c, com a  0, chama-se função 
polinomial do 2º grau, ou função quadrática, a função :f 
definida por 
cbxaxxf  ²)( . 
Gráfico da função quadrática: O gráfico de uma função quadrática 
é uma curva denominada parábola. 
Domínio e Imagem: Seu domínio é o conjunto dos números reais e 
sua imagem é um subconjunto dos números reais. 
Ou seja, D(f) = IR e Im(f)  IR. 
Concavidade: O sinal de a (coeficiente de x2) determina a 
concavidade da parábola. Assim: 
i) Se a > 0 (a positivo), a concavidade é voltada para cima. 
ii) Se a < 0 (a negativo), a concavidade é voltada para baixo. 
 
 
Vértice da Parábola: Toda parábola tem um ponto de ordenada 
máxima ou um ponto de ordenada mínima. A esse ponto chamaremos 
de vértice da parábola e o representaremos por V(xv,yv) onde: 
a
bxv 2
 e 
a
yv 4
 , assim: 

 
aa
bV
4
;
2
. 
 
Obs: De acordo com o valor de a na função cbxaxxf  ²)( , 
as ordenadas do vértice recebem as denominações de valor máximo 
ou valor mínimo. 
Raízes ou zeros da função quadrática: cbxaxxf  ²)( 
São os valores de x que anulam a função e representam as abscissas 
dos pontos onde a parábola (gráfico de f) corta o eixo x. 
a
bx
2
 , onde acb 4²  
Obs: O eixo de simetria passa pelo ponto médio das raízes, logo 
podemos calcular a abscissa do vértice como segue: 
Pré-Universitário/SEED Matemática e suas Tecnologias 
 
299 
2
"' xxxv
 (ponto médio das raízes) 
Termo independente função quadrática (c) : Ponto que a reta toca no 
eixo y. 
 
Estudo do Sinal 
 
 
 
 
 
 
É essencial perceber que o vértice representa o valor máximo ou 
mínimo das funções quadráticas ))(( 2 cxbxaxf  . 
mínimovalor 0;máximovalor 0  aa 
Similarmente, notar que para resolução de algumas questões será 
necessário a habilidade de transformar informações em funções.  
 
 
 
 
 
https://goo.gl/yk1Nru 
https://goo.gl/5Jvtoh 
https://goo.gl/xYLQRg 
https://goo.gl/wbxaD5 
https://goo.gl/rfR3Qh 
https://goo.gl/aDqyYE 
https://goo.gl/bznPgH 
 
01. (ESPM/2017) O lucro de uma pequena empresa é dado por uma 
função quadrática cujo gráfico está representado na figura abaixo: 
 
Podemos concluir que o lucro máximo é de: 
A) R$ 1280,00 B) R$ 1400,00 C) R$ 1350,00 
D) R$ 1320,00 E) R$ 1410,00 
02. (ESPM/2016) O lucro (em reais) obtido com a produção e venda 
de x unidades de um certo produto é dado pela função 
L = k · (x + 10) · ( x – 50 ), onde k é uma constante negativa. 
Podemos avaliar que o maior lucro possível será obtido para x igual 
a: A) 24 B) 22 C) 15 D) 20 E) 18 
03. (PREUNISEED/2017) Numa partida de futebol um goleiro chutou 
a bola para o campo do adversário, esse chute levou a bola a realizar 
duas trajetórias parabólicas antes de parar, como mostra a figura 
abaixo: 
FIGURA A 
 
O ponto inicial do chute é considerado a origem dos eixos, R e S são 
os vértices das duas parábolas e uma das parábolas possui a 
seguinte função: 
1
4
y x² 7x= - + 
A distância da origem ao ponto Q é igual a 
A) 38 m. B) 35 m. C) 37 m. D) 35 m. E) 39 m. 
04. (PREUNISEED-SE/2017) A aluna, Bete, empolgada com as aulas 
de Educação Física, resolveu montar uma cesta diferente na sala de 
aula. 
 
 
Pré-Universitário/SEED Matemática e suas Tecnologias 
 
300 
Um professor de Matemática, observando a brincadeira, verificou que 
a trajetória da bola, em metros, obedece a seguinte função: 
xxxf 3²)(  
Diante disso, a altura máxima que a bola atingiu em relação ao chão 
e a distância entre a mão de Bete e o local onde a bola começou a 
entrar na cesta, eram respectivamente 
A) 1,5 m e 1m B) 1,5 m e 3 m C) 2,25 m e 1 m 
D) 2,25 m e 3 m E) 3,45 m e 3 m 
05. (PREUNI-SEED/2016) O dono de uma pequena empresa de 
produtos de limpeza, através de análises sobre sua produção, 
percebeu que o lucro pode ser estudado através da relação
000.63602  xxy , onde y representa o lucro e x a quantidade 
de material produzido. Com base nessas informações, o empresário 
observou que 
A) quanto maior a produção, maior será o lucro. 
B) o lucro é máximo quando são fabricados 90 produtos. 
C) se a produção for abaixo de 180 itens, a empresa não terá lucro 
algum. 
D) o lucro máximo obtido pela empresa é de R$ 26.400,00. 
E) produzindo 20 itens, o lucro pode chegar a R$ 8.000,00. 
 
 
 
06. (ENEM 2016/2) Para evitar uma epidemia, a Secretaria de Saúde 
de uma cidade dedetizou todos os bairros, de modo a evitar a 
proliferação do mosquito da dengue. Sabe-se que o número f de 
infectados é dado pela função f(t) = – 2t2 + 120t (em que t é expresso 
em dia e t = 0 é o dia anterior à primeira infecção) e que tal expressão 
é válida para os 60 primeiros dias da epidemia. 
A Secretaria de Saúde decidiu que uma segunda dedetização deveria 
ser feita no dia em que o número de infectados chegasse à marca de 
1600 pessoas, euma segunda dedetização precisou acontecer. 
A segunda dedetização começou no: 
A) 19° dia. B) 20° dia. C) 29° dia. D) 30° dia. E) 60° dia. 
07. (ENEM-PPL/2015) Um meio de transporte coletivo que vem 
ganhando espaço no Brasil é a van, pois realiza, com relativo conforto 
e preço acessível, quase todos os tipos de transportes: escolar e 
urbano, intermunicipal e excursões em geral. 
O dono de uma van, cuja capacidade máxima é de 15 passageiros, 
cobra para uma excursão até a capital de seu estado R$ 60,00 de 
cada passageiro. Se não atingir a capacidade máxima da van, cada 
passageiro pagará mais R$ 2,00 por lugar vago. 
Sendo x o número de lugares vagos, a expressão que representa o 
valor arrecadado V(x), em reais, pelo dono da van, para uma viagem 
até a capital é 
A) ( ) 902V x x B) ( ) 930V x x 
C) ( ) 900 30V x x  D) 2( ) 60 2V x x x  
E) 2( ) 900 30 2V x x x   
08. (ENEM/2015) Um estudante está pesquisando o desenvolvimento 
de certo tipo de bactéria. Para essa pesquisa, ele utiliza uma estufa 
para armazenar as bactérias. A temperatura no interior dessa estufa, 
em graus Celsius, é dada pela expressão 8522²)(  hhhT , 
em que h representa as horas do dia. Sabe-se que o número de 
bactérias é o maior possível quando a estufa atinge sua temperatura 
máxima e, nesse momento, ele deve retirá-las da estufa. A tabela 
associa intervalos de temperatura, em graus Celsius, com as 
classificações: muito baixa, baixa, media, alta e muito alta. 
 
Quando o estudante obtém o maior número possível de bactérias, a 
temperatura no interior da estufa está classificada como 
A) muito baixa. B) baixa. C) media. D) alta. E) muito alta. 
09. (ENEM/2015) Uma padaria vende, em média, 100 pães especiais 
por dia e arrecada com essas vendas, em média, R$ 300,00. 
Constatou-se que a quantidade de pães especiais vendidos 
diariamente aumenta, caso o preço seja reduzido, de acordo com a 
equação: pq 100400 , na qual q representa a quantidade de 
pães especiais vendidos diariamente e p, o seu preço em reais. 
A fim de aumentar o fluxo de clientes, o gerente da padaria decidiu 
fazer uma promoção. Para tanto, modificará o preço do pão especial 
de modo que a quantidade a ser vendida diariamente seja a maior 
possível, sem diminuir a média de arrecadação diária na venda desse 
produto. 
O preço p, em reais, do pão especial nessa promoção deverá estar 
no intervalo 
A) $0,50 $1,50R p R  . B) $1,50 $ 2,50R p R  . 
C) $ 2,50 $3,50R p R  . D) $3,50 $ 4,50R p R  . 
E) $ 4,50 $5,50R p R  . 
10. (ENEM/2014) Um professor, depois de corrigir as provas de sua 
turma, percebeu que várias questões estavam muito difíceis. Para 
compensar, decidiu utilizar uma função polinomial f, de grau menor 
que 3, para alterar as notas x da prova para notas y = f(x), da seguinte 
maneira: 
• A nota zero permanece zero. 
• A nota 10 permanece 10. 
• A nota 5 passa a ser 6. 
A expressão da função y = f(x) a ser utilizada pelo professor é 
A) xxy
5
7²
25
1  B) xxy 2²
10
1  
C) xxy
12
7²
24
1  D) 2²
5
4  xy 
E) xy 
Pré-Universitário/SEED Matemática e suas Tecnologias 
 
301 
11. (ENEM-PPL/2013) Uma pequena fábrica vende seus bonés em 
pacotes com quantidades de unidades variáveis. O lucro obtido é 
dado pela expressão L(x) = −x2 + 12x − 20, onde x representa a 
quantidade de bonés contidos no pacote. A empresa pretende fazer 
um único tipo de empacotamento, obtendo um lucro máximo. Para 
obter o lucro máximo nas vendas, os pacotes devem conter uma 
quantidade de bonés igual a 
A) 4. B) 6. C) 9. D) 10. E) 14. 
12. (ENEM/2013) A parte inferior de uma taça foi gerada pela rotação 
de uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura. 
 
A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, 
é dada pela lei cxxxf  6
2
3)( 2 , onde C é a medida da 
altura do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o 
ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre 
o eixo x. 
Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em 
centímetros, é 
A) 1. B) 2. C) 4. D) 5. E) 6. 
13. (ENEM/2013) A temperatura T de um forno (em graus 
centígrados) é reduzida por um sistema a partir do instante de seu 
desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expressão
400
4
)(
2
 ttT , com t em minutos. Por motivos de segurança, 
a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a 
temperatura de 39°C. Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, 
após se desligar o forno, para que a porta possa ser aberta? 
A) 19,0 B) 19,8 C) 20,0 D) 38,0 E) 39,0 
14. (ENEM/2010) Nos processos industriais, como na indústria de 
cerâmica, é necessário o uso de fornos capazes de produzir elevadas 
temperaturas e, em muitas situações, o tempo de elevação dessa 
temperatura deve ser controlado, para garantir a qualidade do 
produto final e a economia no processo. 
Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado para elevar a 
temperatura ao longo do tempo de acordo com a função 






100 tpara ,320t
5
16t
125
2
100t 0 para ,20t
5
7
)t(T
2
 
em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno, em graus 
Celsius, e t é o tempo, em minutos, decorrido desde o instante em 
que o forno é ligado. 
Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a temperatura for 
48 ºC e retirada quando a temperatura for 200 ºC. 
O tempo de permanência dessa peça no forno é, em minutos, igual a 
A) 100. B) 108. C) 128. D) 130. E) 150. 
15. (ENEM/2009) Um posto de combustível vende 10.000 litros de 
álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, 
para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 
100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do 
álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros. 
Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de 
cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do 
álcool, então a expressão que relaciona V e x é 
A) ²50000.10 xxV  B) ²50000.10 xxV  
C) ²50000.15 xxV  D) ²50000.15 xxV  
E) ²50000.15 xxV  
 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Revisão de potenciação 
Potenciação com Expoente Natural 
fatoresn
n aaaaa
 
...  
Potência com Expoente Negativo: 1n
na a
 , com *n 
2 2
2
2
1 1 2 3 95
5 25 3 2 4

               
Potência com Expoente Racional 
  n mmnnm aaa  , com *Ra  , *m e *n . 
Propriedades das Potências 
 P1.: nmnm aaa  
 P2.: nmnm aaa : 
 P3.:   mmm baba  
 P4.:
m
mm
b
a
b
a 

 , se 0b 
 P5.:   nmnm aa  
Equação Exponencial 
Para resolvermos uma equação exponencial devemos transformar os 
dois membros da igualdade em potências de bases iguais (onde a 
base é maior que zero e diferente de um), para que possamos igualar 
os expoentes. Determinando assim o valor da variável. 
Inequação Exponencial 
Para resolvermos uma inequação exponencial devemos transformar 
os dois membros da desigualdade em potências de bases iguais 
Pré-Universitário/SEED Matemática e suas Tecnologias 
 
302 
(onde a base é maior que zero e diferente deum). Se a base for maior 
que 1(um) a desigualdade permanece a mesma, se estiver entre 
0(zero) e 1(um) a desigualdade muda (se é maior passa a ser menor 
e se for menor passa a ser maior). 
Considere inequação 21
xx aa  com 1 a > 0 e a R . 
Se a >1 21 xx  ,(conserva o sentido da desigualdade). 
Se 0 < a < 1 21 xx  , (inverte o sentido da desigualdade) 
Exemplo: Resolva as inequações; 
a) 81 22 x 
Como a base 2 é maior que 1, temos 
1 82 2 1 8 8 1 9x x x x          
 (O sentido da desigualdade se conserva) 
b) 
53
3
1
3
1 



 x
 
Como a base 
3
1 está compreendido entre 0 e 1, temos 
23553
3
1
3
1 53 



  xxx
x
 
(O sentido da desigualdade se inverte). 
Função Exponencial 
Toda função RRf : definida por xaxf )( , com ,Ra
10  a e Rx  , é denominada função exponencial de base a 
Gráfico 
 
Exemplos: 
- Na função
8( ) 2 xf x  , qual o valor de x, para o qual 
( ) 512f x  ? 
8 8 92 512 2 2 8 9 1x x x x         
- Suponhamos que a população de uma certa cidade seja estimada, 
para daqui a x anos, por 1000
2
120)( 

  xxf . 
Determine a população referente ao terceiro ano. 
1000
2
120)( 3 

 xf 
1000
8
120)( 

 xf 
1000
8
1160)( 

 xf 
1000
8
159)( 

xf 
8
000.159)( xf 
875.19)( xf 
 
 
 
Lembrar as propriedades das potências, e do mesmo modo, 
algumas potências notáveis: 
 
0e0,e,com
;1;1;00;11; 2
1101

 
cbRcba
cc
b
baaa nn  
 
 
https://goo.gl/xx9Feb 
https://goo.gl/ykf4bu 
https://goo.gl/WvFhWK 
https://goo.gl/qgJDnU 
 
 
01. (ESPM/2016) Um novo aparelho eletrônico foi lançado no 
mercado em janeiro de 2014, quando foram vendidas cerca de 3 
milhões de unidades. A partir de então, esse número teve um 
crescimento exponencial, dado pela expressão ܄ ൌ ܖ	 ൈ ܓܜ , em 
que n e k são constantes reais e t é o número de meses após o 
lançamento (jan = 0, fev = 1 etc.). 
Se, em fevereiro desse ano foram vendidos 4,5 milhões de aparelhos, 
podemos concluir que, no mês seguinte, esse número passou para: 
A) 5,63 milhões B) 10,13 milhões C) 4,96 milhões 
D) 8,67 milhões E) 6,75 milhões 
02. (VUNESP/2016) A figura descreve o gráfico de uma função 
exponencial do tipo 
xay  , de em  . 
 
Nessa função, o valor de y para x = –0,5 é igual a: 
A) 5log B) 2log5 C) 5 D) 5log2 E) 2,5 
03. (PREUNISEED/2017) Suponhamos que temos um litro de água 
num recipiente aberto a 80°C (graus Celsius) e estamos num inverno 
rigoroso onde a temperatura ambiente é de 0°C. Colocamos então a 
água em contato com o ambiente e um termômetro mergulhado nela 
e começamos a contar o tempo a partir deste momento. Depois de 
cinco minutos, podemos notar que a temperatura da água está em 
40°C, ou seja, está a meio-caminho entre a temperatura inicial e a 
Pré-Universitário/SEED Matemática e suas Tecnologias 
 
303 
temperatura do ambiente, que também é a temperatura final. E assim 
se sucede que passados mais cinco minutos, ela terá a temperatura 
entre os quarenta graus e o zero, ou seja, no instante dez minutos 
contados a partir do momento em que a água foi posta em contato 
com o ambiente, ela terá como temperatura a metade da metade da 
diferença entre sua temperatura e a do meio. E assim 
progressivamente. Podemos a partir destes dados traçar um gráfico 
da temperatura em função do tempo, teremos: 
 
Disponível em: http://www.if.ufrgs.br/tex/fis01043/20011/Adriano/intro.html . 
Acesso em 17/04/2017 
Vemos que a temperatura vai gradativamente aproximando-se da 
temperatura ambiente e esta diferença vai tornando-se cada vez 
menor até que num determinado tempo ela fica desprezível e 
podemos dizer que os corpos estão em equilíbrio térmico (suas 
temperaturas são iguais). A partir do gráfico podemos saber a 
temperatura da água em determinado instante de tempo. Podemos 
usar para descrever a situação acima a equação: 
A) 80	 ൉ 	ቀ૚૛ቁ
ܜ
૚૙ B) 80	 ൉ 	ቀ૚૛ቁ
ܜ
૚૙ା૚ C) 80	 ൉ 	 ቀ૚૛ቁ
ܜ
૞ 
D) 40	 ൉ 	ቀ૚૛ቁ
ܜ
૞ ൅ 40 E) 40	 ൉ 	ቀ૚૛ቁ
ܜ
૞ 
04. (PREUNISEED/2017) A depreciação de veículos é o valor anual 
que um carro perde valor conforme o tempo passa. Como é de se 
esperar, carro que sai da concessionária já não é mais zero 
quilômetro, e, logicamente, não poderá ser revendido pelo mesmo 
preço fixado enquanto não estava emplacado. 
Disponível em: http://www.e-konomista.com.br/d/depreciacao-de-veiculos/ . 
Acesso em 20/04/2017 
Uma forma que alguns vendedores utilizam para calcular o preço do 
veículo de acordo com a quantidade de anos que ele possui é usar a 
seguinte fórmula: 
0,2x
0
p(x) p 2-= × , onde p(x) é o preço atual do veículo, p(0) é 
o preço do veículo novo e x é a quantidade de anos. 
Se um determinado veículo depois de 5 anos de uso está valendo R$ 
30.000,00, então o valor desse veículo após 15 anos será: 
A) R$ 4.000,00. B) R$ 5.000,00. C) R$ 6.000,00. 
D) R$ 7.500,00. E) R$ 10.000,00. 
05. (PREUNISEED/2017) Os resultados de uma nova pesquisa sobre 
a duração no ar de bactérias eliminadas ao tossir ou espirrar são 
surpreendentes. A espécie pseudomonas aeruginosa, associada a 
infecções hospitalares, chega a "viajar" cerca de quatro metros e tem 
meia-vida de dez minutos, mas pode ficar ativa por até 45, 
descobriram cientistas da Universidade de Tecnologia de 
Queensland, da Austrália. 
Disponível em: http://revistagalileu.globo.com/Ciencia/noticia/2017/06/bacterias-de-
espirro-e-tosse-podem-ficar-vivas-por-45-minutos-no-ar.html. Acesso em 21.06.2017 
Supondo que a espécie pseudomonas aeruginosa tenha uma 
população num determinado ambiente, cujo crescimento é dado 
através da fórmula 32100)(
t
tp  , onde p(t) é a população e t 
é o tempo. Em quanto tempo o número dessas bactérias atingirá 
1600? 
A) 12 B) 20 C) 25 D) 30 E) 40 
 
 
06. (ENEM-PPL/2016) A volemia V de um indivíduo é a quantidade 
total de sangue em seu sistema circulatório (coração, artérias, veias 
e capilares). Ela é útil quando se pretende estimar o número total N 
de hemácias de uma pessoa, a qual é obtida multiplicando-se a 
volemia V pela concentração C de hemácias no sangue, isto é, N = V 
x C. Num adulto normal essa concentração é de 5 200 000 hemácias 
por mL de sangue, conduzindo a grandes valores de N. Uma maneira 
adequada de informar essas grandes quantidades é utilizar a notação 
científica, que consiste em expressar N na forma N = Q x 10n , sendo 
1≤ Q ≤ 10 e n um número inteiro. 
Considere um adulto normal, com volemia de 5 000 mL. 
http://perfline.com. Acesso em: 23 fev. 2013 (adaptado). 
Qual a quantidade total de hemácias desse adulto, em notação 
científica? 
A) 2,6x10 -10 B) 2,6 x 10-9 C) 2,6 x 109 
D) 2,6 X 10 10 E) 2,6 x 1011 
07. (ENEM2016-2) O governo de uma cidade está preocupado com a 
possível epidemia de uma doença infectocontagiosa causada por 
bactéria. Para decidir que medidas tomar, deve calcular a velocidade 
de reprodução da bactéria. Em experiências laboratoriais de uma 
cultura bacteriana, inicialmente com 40 mil unidades, obteve-se a 
fórmula para a população: 
p(t) = 40 ൉ 23t 
em que t é o tempo, em hora, e p(t) é a população, em milhares de 
bactérias. 
Em relação à quantidade inicial de bactérias, após 20 min, a 
população será 
A) reduzida a um terço. B) reduzidaà metade. 
C) reduzida a dois terços. D) duplicada. 
E) triplicada. 
08. (ENEM2016-2) Admita que um tipo de eucalipto tenha expectativa 
de crescimento exponencial, nos primeiros anos após seu plantio, 
modelado pela função y (t) = at – 1, na qual y representa a altura da 
planta em metro, t é considerado em ano, e a é uma constante maior 
que 1. O gráfico representa a função y. 
Pré-Universitário/SEED Matemática e suas Tecnologias 
 
304 
 
Admita ainda que y(0) fornece a altura da muda quando plantada, e 
deseja-se cortar os eucaliptos quando as mudas crescerem 7,5 m 
após o plantio. O tempo entre a plantação e o corte, em ano, é igual 
a 
A) 3. B) 4. C) 6. D) log2 7 E) log2 15 
09. (ENEM-PPL/2015) O sindicato de trabalhadores de uma empresa 
sugere que o piso salarial da classe seja de R$ 1 800,00, propondo 
um aumento percentual fixo por cada ano dedicado ao trabalho. A 
expressão que corresponde à proposta salarial (s), em função do 
tempo de serviço (t), em anos, é tts )03,1(800.1)(  
De acordo com a proposta do sindicato, o salário de um profissional 
dessa empresa com 2 anos de tempo de serviço será, em reais, 
A) 7.416,00. B) 3.819,24. C) 3.709,62. 
D) 3.708,00. E) 1.909,62. 
10. (ENEM-PPL/2015) O fisiologista francês Jean Poiseuille 
estabeleceu, na primeira metade do século XIX, que o fluxo de 
sangue por meio de um vaso sanguíneo em uma pessoa é 
diretamente proporcional à quarta potência da medida do raio desse 
vaso. Suponha que um médico, efetuando uma angioplastia, 
aumentou em 10% o raio de um vaso sanguíneo de seu paciente. 
O aumento percentual entre o fluxo por esse vaso está entre 
A) 7% e 8%. B) 9% e 11%. C) 9% e 11%. 
D) 39% e 41%. E) 46% e 47%. 
11. (ENEM-PPL/2013) Em um experimento, uma cultura de bactérias 
tem sua população reduzida pela metade a cada hora, devido à ação 
de um agente bactericida. Neste experimento, o número de bactérias 
em função do tempo pode ser modelado por uma função do tipo: 
A) afim. B) seno. C) cosseno. 
D) logarítmica crescente. E) exponencial. 
12. (ENEM/2013) Muitos processos fisiológicos e bioquímicos, tais 
como batimentos cardíacos e taxa de respiração, apresentam escalas 
construídas a partir da relação entre superfície e massa (ou volume) 
do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera que o “cubo 
da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado 
de sua massa M”. 
HUGHES-HALLETT, et al. Calculo e aplicações. São Paulo: Edgard Bücher, 
1999 (adaptado). 
Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k > 0, a área S 
pode ser escrita em função de M por meio da expressão: 
A) S K M  B) S = (1/3)S K M  
C) (1/3) (1/3)S K M  D) (1/3) (2/3)S K M  
E) (1/ ) 23S K M  
13. (ENEM/2012) Dentre outros objetos de pesquisa, a Alometria 
estuda a relação entre medidas de diferentes partes do corpo 
humano. Por exemplo, segundo a Alometria, a área A da superfície 
corporal de uma pessoa relaciona-se com a sua massa m pela 
fórmula 3
2
mkA  , em que k é uma constante positiva. 
Se no período que vai da infância até a maioridade de um indivíduo 
sua massa é multiplicada por 8, por quanto será multiplicada a área 
da superfície corporal? 
A) 3 16 B) 4 C) 24 D) 8 E) 64 
14. (ENEM/2009 - Adaptado) TEXTO: 1 
A população mundial está ficando mais velha, os índices de 
natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico 
seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada 
pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da 
quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os 
números da coluna da direita representam as faixas percentuais. Por 
exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais 
nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população 
total nos países desenvolvidos. 
 
Fonte: “Perspectivas da População Mundial”, ONU, 2009 
Disponível em: www.economist.com.Acesso em: 9 jul. 2009 (adaptado). 
Suponha que o modelo exponencial 0,02491 xy e , em que x = 0 
corresponde ao ano 2010, x = 1 corresponde ao ano 2011, e assim 
sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no 
ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais 
de idade num determinado país em desenvolvimento entre 2010 e 
2050. 
Desse modo, considerando 0,2 1, 2e  , estima-se que a população 
com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre: 
A) 490 e 510 milhões. B) 550 e 620 milhões. 
C) 700 e 800 milhões. D) 810 e 860 milhões. 
E) 870 e 910 milhões. 
 
 
Pré-Universitário/SEED Matemática e suas Tecnologias 
 
305 
 
 
LOGARITMO 
Definição 
Denomina-se logaritmo do número b na base a o expoente x ao 
qual se deve elevar a para se obter b. 
x
a abxb log 
em que ,, Rba  0b e 01  a . 
Consequências da definição 
;01log a ;1log aa 
;log na na  ;
log ba ba  
;loglog cbcb aa  
Condição de Existência ∃ log௔ ܾ ⟺ ൝
ܾ ൐ ݋
݁
1 ് ܽ ൐ 0
 
Obs.: 
 
xx loglog10  
Logaritmo Neperiano 
(Logaritmo natural) 
xx elogln  , onde ...71828,2e 
Propriedades 
P1.: ;loglog)(log cbcb aaa  
P2.:   ;logloglog cb aacba  
P3.: bnb a
n
a loglog  ; 
P4.: b
n
b a
n
a log
1log  ; 
Cologaritmo 
bcb aa log)(logco  
Mudança de Base 
;
log
log
log
a
b
b
c
c
a  10e10;0  cab 
 
 
Recordar e compreender as propriedades dos logaritmos, 
bem como verificar como efetuar mudanças de base. 
Quando a base não aparece, a mesma é 10, ou seja: 
bb 10loglog   
 
 
https://goo.gl/9N6q68 
https://goo.gl/6LzERD 
https://goo.gl/gjC5S4 
https://goo.gl/vjmDZM 
https://goo.gl/x6qjCW 
 
 
01. (ESPM/2017) A taxa de crescimento populacional de um país é 
de 2% ao ano. Utilizando os dados da tabela abaixo e considerando 
que essa taxa permanecerá constante, podemos afirmar que a 
população desse país dobrará em: 
 
A) 15 anos B) 20 anos C) 25 anos 
D) 30 anos E) 35 anos 
02. (FGV/2017) Estima-se que, daqui a t semanas, o número de 
pessoas de uma cidade que ficam conhecendo um novo produto seja 
dado por 
20.000N t1 19(0,5)
=
+
 
Daqui a quantas semanas o número de pessoas que ficam 
conhecendo o produto quintuplica em relação ao número dos que o 
conhecem hoje? 
A) 
log19 log7
1 log5
-
- B) 
log19 log6
1 log5
-
- C) 
log19 log5
1 log5
-
- 
D) 
log19 log 4
1 log5
-
- E) 
log19 log3
1 log5
-
- 
03. (SANTA-CASA/2018) O Nível de Pressão Sonora (NPS) é uma 
medida que determina o grau de potência de uma onda Sonora 
sonora, sendo o decibel (dB) sua unidade de medida mais usual. O 
infográfico traz dados do NPS de alguns sons: 
 
O NPS, em dB, de um som emitido está relacionado à sua Intensidade 
Sonora (I), em W/m2, pela seguinte lei: 
NPS = 120 + 10 · log I 
Desse modo, a razão entre a intensidade sonora do ronco mais alto 
já registrado e a do ronco moderado, nessa ordem, é um valor entre 
A) 10 e 100. B) 1 e 10. C) 100 e 1 000. 
D) 10 000 e 100 000. E) 1 000 e 10000. 
04. (PREUNISEED/2017) A escala Richter foi desenvolvida por 
Charles Richter e Beno Gutenberg, no intuito de medir a magnitude 
Pré-Universitário/SEED Matemática e suas Tecnologias 
 
306 
de um terremoto provocado pelo movimento das placas tectônicas. 
As ondas produzidas pela liberação de energia do movimento das 
placas podem causar desastres de grandes proporções. 
Disponível em: http://brasilescola.uol.com.br/matematica/aplicacoes-
matematicas-na-geologia-escala-richter.htm Acessado em: 19/04/2017 
Para calcular a energia liberada por um terremoto, usamos a escala 
Richter, representada pela fórmula: ܫ ൌ 	 ଶଷ 		ൈ 	 log
ா
ாబ 
Onde: 
E = Energia liberada 
E0 = 7x10-3. 
I = intensidade do terremoto 
Em 2010 no Chile, um terremoto de alta intensidade deixou 
destruição na costa da região do Maule. Segundo o USGS, o evento 
registrou magnitude de 8,8 pontos e deixou 523 mortos e 12 mil 
feridos. Neste terremoto o valor da energia liberada nesse terremoto 
é de: 
A) 3x108 B) 4x1012 C) 5x1015,6 D) 6x109 E) 7x1010,2 
05. (PREUNISEED/2017) O som que ouvimos são ondas sonoras 
produzidas por vibrações de partículas do meio. O nosso ouvido, ao 
ser atingido por essa onda sonora, possui a capacidade de converter 
a variação de pressão no ar em estímulo nervoso, o qual, quando 
alcança o cérebro, nos passa uma sensação auditiva, o som. Em 
virtude dos valores das intensidades serem muito pequenos ou muito 
grandes, utilizam-se as noções de logaritmos na seguinte fórmula 
capaz de calcular níveis sonoros: ܰܵ ൌ 10	 ൉ log	 ூூబ 
onde: 
deaudibilidadeI
oconsideradsomdoeIntensidadI
sonoroNívelNS
limiar0 


 
Disponível em: http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/medindo-
intensidade-dos-sons.htm Acesso em: 04/07/2017 
Abaixo estão alguns ruídos e sua classificação em decibéis: 
 
Sendo 
212
0 /10 mWI
 , o valor da intensidade do som de uma 
britadeira é 
A) 10-1 B) 10-2 C) 10-3 D) 10-4 E) 10-5 
 
06. (ENEM/2017) Para realizar a viagem dos sonhos. uma pessoa 
precisava fazer um empréstimo no valor de R$ 5 000,00. Para pagar 
as prestações, dispõe de, no máximo, R$ 400,00 mensais. 
Para esse valor de empréstimo, o valor da prestação (P) é 
calculado em função do número de prestações (n) segundo a fórmula 
 
Se necessário, utilize 0,005 como aproximação para log 1,013; 2,602 
como aproximação para log 400; 2,525 como aproximação para log 
335. 
De acordo com a fórmula dada, o menor número de parcelas cujos 
valores não comprometem o limite definido pela pessoa é 
A) 12. B) 14. C) 15. D) 16. E) 17. 
07. (ENEM/2016) Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura 
de 3.000° C e diminui 1% de sua temperatura a cada 30 min. 
Use 0,477 como aproximação para 
10log (3) e 1,041 como 
aproximação para 
10log (11) . 
O tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja 30°C é mais próximo 
de 
A) 22. B) 50. C) 100. D) 200. E) 400. 
08. (ENEM/2016) Em 2011, um terremoto de magnitude 9,0 na escala 
Richter causou um devastador tsunami no Japão, provocando um 
alerta na usina nuclear de Fukushima. 
Em 2013, outro terremoto, de magnitude 7,0 na mesma escala, 
sacudiu Sichuan (sudoeste da China), deixando centenas de mortos 
e milhares de feridos. A magnitude de um terremoto na escala Richter 
pode ser calculada por 



0
log
3
2
E
EM , 
sendo E a energia, em kWh, liberada pelo terremoto e 0E uma 
constante real positiva. Considere que 1E e 2E representam as 
energias liberadas nos terremotos ocorridos no Japão e na China, 
respectivamente. 
www.terra.com.br. 15/085/2013 (adaptado). 
Qual a relação entre 1E e 2E ? 
A) 221  EE B) 221 10 EE  C) 231 10 EE  
D) 21 7
9
10 EE  E) 21 7
9 EE  
09. (ENEM/2015) Um engenheiro projetou um automóvel cujos vidros 
das portas dianteiras foram desenhados de forma que suas bordas 
superiores fossem representadas pela curva de equação 
,log xy  conforme a figura. 
 
 
A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo x sempre divida 
ao meio a altura h do vidro e a base do vidro seja paralela ao eixo x. 
Pré-Universitário/SEED Matemática e suas Tecnologias 
 
307 
Obedecendo a essas condições, o engenheiro determinou uma 
expressão que fornece a altura h do vidro em função da medida n de 
sua base, em metros. 
A expressão algébrica que determina a altura do vidro é 
A) 
2 24 4
log log
2 2
n n n n               
 
B) log 1 log 1
2 2
n n           
 
C) log 1 log 1
2 2
n n           
 
D) 
2 4
log
2
n n     
 
E) 
2 4
2 log
2
n n     
 
10. (ENEM/2013) Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior 
acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-
137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi 
manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de 
um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse 
material se reduza à metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a 
quantidade restante de massa de um material radioativo, após t anos, 
é calculada pela expressão ( ) (2,7) k tM t A  , onde A é a 
massa inicial e k é uma constante negativa. Considere 0,3 como 
aproximação para ܔܗ܏૚૙ ૛. Qual o tempo necessário, em anos, para 
que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da 
quantidade inicial? 
A) 27; B) 36; C) 50; D) 54; E) 100. 
11. (ENEM/2011) A Escala de Magnitude de Momento (abreviada 
como MMS e denotada como Mw), introduzida em 1979 por Thomas 
Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escola de Richter para medir a 
magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos 
conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para 
estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. 
Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. 
wM 
e 
0M se relacionam pela fórmula: 
)M(log
3
27,10M 010W  
Onde M0 é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos 
registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja 
unidade é o dina·cm. 
O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um 
dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na 
comunidade científica internacional. Teve magnitude MW = 7,3. 
U.S. GEOLOGICAL SURVEY. HistoricEarthquakes. 
Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 
(adaptado). 
U.S. GEOLOGICAL SURVEY. USGS Earthquake Magnitude Policy. 
Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 
(adaptado). 
Mostrando que é possível determinar a medida por meio de 
conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M0 do 
terremoto de Kobe (em dina·cm)? 
A) 10 – 5,10 B) 10 – 0,73 C) 1012,00 D) 1021,65 E) 1027,00 
 
MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 
MATRIZES 
É uma tabela, com linhas (filas horizontais) e colunas (filas verticais). 
Uma matriz que possuir m linhas e n colunas é chamada de matriz do 
tipo ( )m x n . 
Por exemplo, queremos representar uma matriz A, com quatro linhas 
e três colunas: 
 











434241
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
aaa
A 
Podemos representar a matriz 
A, de forma abreviada por   34 ijaA ou, A ai j , 
com 41  i e
31  j . 
Obs.: Uma matriz nm possui m nelementos. 
Matriz quadrada: é a matriz que tem o número de linhas igual ao 
número de colunas. 
Matriz identidade: é toda matriz em que os elementos da diagonal 
principal são todos iguais a 1 e os demais elementos são todos iguais 
a 0 (zero). A matriz identidade de ordem n é indicada por nI 
OBSERVAÇÃO: Toda matriz quadrada tem duas diagonais: 
Diagonal principal: formada pelos elementos jia , tais que ji . 
Diagonal secundária: é formada pelos elementos jia , tais que 
1 nji . 
Igualdade de Matrizes 
Duas matrizes são iguais quando possuem a mesma ordem e todos 
os seus elementos correspondentes são iguais. 
 
Adição / Subtração de Matrizes 
Somamos ou subtraímos duas matrizes, apenas se elas possuírem a 
mesma ordem. 
E efetuamos a operação indicada com os elementos correspondes 
em cada matriz. 
Ex.: Sendo 





061
342
A e 





423
175
B , 
determine BA  . 











423
175
061
342
BA 






4026)3(1
)1(374)5(2
BA 






484
433
BA 
Pré-Universitário/SEED Matemática e suas Tecnologias 
 
308 
OBSERVAÇÃO: Chamamos de matriz oposta de A, simbolizada por 
–A, à matriz obtida trocando todos os sinais dos elementos da matriz 
A. 
Exemplo: 










053
221
053
221
AA 
Multiplicação de um número por uma matriz 
Para multiplicarmos um número k por uma matriz A, devemos 
multiplicar TODOS os elementos de A, pelo número k. 
 
Ex.: Se 





731
542
A , determine A3 . 











2193
15126
3
731
542
AA
 
 
Multiplicação de Matrizes 
O produto BA só existe quando o número de colunas de A é 
igual ao número de linhas de B. Caso exista, é uma matriz que herda 
o número de linhas de A e o número de colunas de B. 
pmpnnm CBA   
Ex.: Dadas as matrizes 


 
24
31
A e 



43
21
B , determine 
o produto BA . 
 









1601
108
42243214
43213311
BABA 
Não podemos afirmar, de um modo geral, que ABBA  . 
O produto de uma matriz qualquer A pela matriz identidade I, de 
ordem compatível, sempre resulta na mesma matriz A. 
AAIIA  
 
Matriz Transposta 
A matriz transposta de A, simbolizada por tA , é obtida trocando 
linhas por colunas e colunas por linhas, na matriz A. 
 
Matriz Simétrica 
Uma matriz quadrada é dita simétrica quando: AAt 
 
Matriz Antissimétrica 
Uma matriz quadrada é dita antissimétrica quando: AAt  
 
Matriz Inversa 
A inversa de uma matriz quadrada A, simbolizada por 1A , é tal 
que quando multiplicamos A por 1A , ou 1A por A, sempre 
obtemos a matriz identidade I, de mesma ordem. 
IAAAA   11 
SISTEMA LINEAR 
Sistema Linear 
É todo sistema formado por equações lineares. 
 
Exemplo: 




32
132
yx
yx Sistema com duas equações e duas 
variáveis. 
Neste sistema temos que x e y são as variáveis, os números 2, 3, 1 e 
– 2 são coeficientes e os números –1 e 3 são termos independentes. 
 
Obs.: Equação Linear É toda equação da forma 
bzayaxa  ...321 . 
Solução de um Sistema Linear 
A solução de um sistema linear é um conjunto de valores dados a 
suas variáveis que verifica todas as equações do sistema. 
Exemplo: O par ordenado  1;1  é solução do sistema linear 




32
132
yx
yx . De fato, 1)1(312  e 3)1(21  . 
 
Resolução de Sistemas Lineares 
Sistema 22 (duas equações e duas variáveis) 
Podemos resolver por dois métodos: adição e substituição. 
 
 
 
Compreender o processo de multiplicação entre matrizes. 
Sistemas Lineares, é importante assimilar os métodos de 
resolução, dando ênfase ao método da adição. 







43
21
24
31
BA
Pré-Universitário/SEED Matemática e suas Tecnologias 
 
309 
 
 
 
 
https://goo.gl/rYZCGu 
https://goo.gl/YCceTA 
https://goo.gl/AhM9kw 
https://goo.gl/eycCSx 
https://goo.gl/ZKn84Q 
https://goo.gl/zuPcxC 
https://goo.gl/FgCvhx 
https://goo.gl/nSJzKG 
 
 
LINK COM OUTRA DISCIPLINA: 
Ver: Distribuição da PEA (População Economicamente 
Ativa) por setores de produção no caderno de Geografia. 
 
 
01. (FGV/2018) Rita compra bijuterias para revender. Em julho, ela 
comprou 3 pulseiras iguais e 10 colares iguais, pagando, no total, R$ 
87,00. Em agosto, ela comprou 10 das mesmas pulseiras, com 
desconto de 10%, e 25 dos mesmos colares, com acréscimo de 10%, 
gastando, nessa compra, R$ 243,00. Em julho, o preço de cada colar 
superava o preço de cada pulseira em 
A) 30% B) 32% C) 36% D) 40% E) 44% 
 
02. (IFPE/2016) Cristina resolveu empilhar seus 48 livros de duas 
coleções, de Matemática e de História. Seus livros de Matemática 
possuem 8 cm de espessura cada um, enquanto que os livros de 
História possuem 5 cm de espessura cada um. No fim da 
organização, Cristina viu que a pilha de livros tinha 321cm de altura. 
Quantos livros de Matemática Cristina possui? 
A) 27 B) 25 C) 23 D) 22 E) 21 
 
03. (INSPER/2016) Quanto custa uma medalha de ouro – e por que 
as da Olimpíada Rio 2016 são diferentes? 
Os organizadores dos Jogos Olímpicos de 2016 encomendaram 
2.488 medalhas para recompensar seus atletas, das quais 812 são 
de ouro. 
Mas quanto vale uma medalha de ouro da Rio 2016? 
Elas pesam 500 gramas e seu valor, calculado com base na sua 
composição, é de US$ 600, de acordo com estimativas do Conselho 
Mundial de Ouro. 
As últimas medalhas douradas feitas inteiramente de ouro foram 
entregues nos Jogos Olímpicos de 1912. 
http://www.bbc.com/portuguese/brasil-37016908. Adaptado 27. 
As medalhas de ouro dos Jogos Olímpicos de 2016 foram feitas por 
uma liga de outros metais, além do ouro. Considerando que, no 
cálculo apresentado na reportagem, o valor do grama do ouro era de 
R$ 140,00, o valor do grama da liga de outros metais era de R$ 2,10 
e a cotação do dólar era de R$ 3,20, o percentual de ouro presente 
na medalha está entre 
A) 5,0% e 5,5%. B) 2,0% e 2,5%. C) 0,0% e 0,5%. 
D) 6,0% e 6,5%. E) 1,0% e 1,5%. 
04. (UEG/2016) Tatiana e Tiago comunicam-se entre si por meio de 
um código próprio dado pela resolução do produto entre as matrizes 
A e B, ambas de ordem 2 X 2, onde cada letra do alfabeto 
corresponde a um número, isto é, a = 1, b = 2, c = 3, ..., z = 26. Por 
 
exemplo, se a resolução de A B for igual a 1 13
15 18
   
, logo a 
mensagem recebida é amor. 
Dessa forma, se a mensagem recebida por Tatiana foi flor e a matriz 
B = 1 1
2 1
   
, então a matriz A é 
A) 8 7
8 10
   
 B) 6 6
7 11
   
 C) 8 5
7 11
   
 
D) 6 7
6 11
    
 E) 1 0
0 1
   
 
05. (PREUNISEED-SE2017) Um frequentador de uma academia, 
pratica duas modalidades de cultura corporal do movimento: pilates e 
musculação, pagando por isso R$ 215,00 reais mensais. 
Ao final de um mês essa academia contabilizou 36 praticantes de 
pilates e 72 de musculação, com essas modalidades foi arrecadado 
um total de R$ 10.440,00. 
Os valores que essa academia cobra para se praticar pilates e 
musculação, correspondem, respectivamente a 
A) R$ 155,00 e R$ 60,00. B) R$ 150,00 e R$ 70,00. 
C) R$ 145,00 e R$ 70,00. D) R$ 135,00e R$ 77,50. 
E) R$ 140,00 e R$ 75,00. 
 
 
06. (ENEM2016-2) Na figura estão representadas três retas no plano 
cartesiano, sendo P, Q e R os pontos de intersecções entre as retas, 
e A, B e C s pontos de intersecções dessas retas com o eixo x. 
 
Essa figura é a representação gráfica de um sistema linear de três 
equações e duas incógnitas que 
A) possui três soluções reais e distintas, representadas pelos pontos 
P, Q e R, pois eles indicam onde as retas se intersectam. 
B) possui três soluções reais e distintas, representadas pelos pontos 
A, B e C, pois eles indicam onde as retas intersectam o eixo das 
abscissas. 
C) possui infinitas soluções reais, pois as retas se intersectam em 
mais de um ponto. 
D) não possui solução real, pois não há ponto que pertença 
simultaneamente às três retas. 
E) possui uma única solução real, pois as retas possuem pontos em 
que se intersectam. 
Pré-Universitário/SEED Matemática e suas Tecnologias 
 
310 
07. (ENEM-PPL/2015) Uma barraca de tiro ao alvo de um parque de 
diversões dará um prêmio de R$ 20,00 ao participante, cada vez que 
ele acertar o alvo. Por outro lado, cada vez que ele errar o alvo, 
deverá pagar R$ 10,00. Não há cobrança inicial para participar do 
jogo. Um participante deu 80 tiros e, ao final, recebeu R$100,00. 
Qual foi o número de vezes que esse participante acertou o alvo? 
A) 30 B) 36 C) 50 D) 60 E) 64 
08. (ENEM/2012-Adaptado) Um aluno registrou as médias 
semestrais de algumas de suas disciplinas numa tabela. Ele observou 
que as entradas numéricas da tabela formavam uma matriz 24  , e 
que poderia calcular as médias anuais dessas disciplinas usando 
produto de matrizes. Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a 
tabela que ele conseguiu é mostrada a seguir. 
 1º Semestre 2º Semestre 
Matemática 5,9 6,2 
Português 6,6 7,1 
Geografia 8,6 6,8 
História 6,2 5,6 
Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a partir da 
tabela por: 
A) 


2
1
2
1
 B) 


4
1
4
1
4
1
4
1
 C) 










1
1
1
1
 D) 










2
1
2
1
 E) 










4
1
4
1
 
 
09. (ENEM/2011) O prefeito de uma cidade deseja construir uma 
rodovia para dar acesso a outro município. Para isso, foi aberta uma 
licitação na qual concorreram duas empresas. A primeira cobrou R$ 
100 000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 
350 000,00, enquanto a segunda cobrou R$ 120 000,00 por km 
construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 150 000,00. As duas 
empresas apresentam o mesmo padrão de qualidade dos serviços 
prestados, mas apenas uma delas poderá ser contratada. 
Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar 
a extensão da rodovia que tornaria indiferente para a prefeitura 
escolher qualquer uma das propostas apresentadas? 
A) 150120350100  nn 
B) 350120150100  nn 
C) )150(120)350(100  nn 
D) )000150(120)000350(100  nn 
E) )000120(150)000100(350  nn 
10. (ENEM/2010 – 2ª Aplicação) Algumas pesquisas estão sendo 
desenvolvidas para se obter arroz e feijão com maiores teores de 
ferro e zinco e tolerantes à seca. Em média, para cada 100 g de arroz 
cozido, o teor de ferro é de 1,5 mg e o de zinco é de 2,0 mg. Para 
100g de feijão, é de 7 mg o teor de ferro e de 3 mg o de zinco. Sabe-
se que as necessidades diárias dos dois micronutrientes para uma 
pessoa adulta é de aproximadamente 12,25 mg de ferro e 10 mg de 
zinco. 
Disponível em: http://www.embrapa.br. Acesso em: 29 abr. 2010 (adaptado). 
Considere que uma pessoa adulta deseja satisfazer suas 
necessidades diárias de ferro e zinco ingerindo apenas arroz e feijão. 
Suponha que seu organismo absorva completamente todos os 
micronutrientes oriundos desses alimentos. 
Na situação descrita, que quantidade a pessoa deveria comer 
diariamente de arroz e feijão, respectivamente? 
A) 58 g e 456 g B) 200 g e 200 g C) 350 g e 100 g 
D) 375 g e 500 g E) 400 g e 89 g 
11. (ENEM/2009-Cancelado) Diante de um sanduíche e de uma 
porção de batatas fritas, um garoto, muito interessado na quantidade 
de calorias que pode ingerir em cada refeição, analisa os dados de 
que dispõe. Ele sabe que a porção de batatas tem 200 g, o que 
equivale a 560 calorias, e que o sanduíche tem 250 g e 500 calorias. 
Como ele deseja comer um pouco do sanduíche e um pouco das 
batatas, ele se vê diante de uma questão: quantos gramas de 
sanduíche e quantos gramas de batata eu posso comer para ingerir 
apenas as 462 calorias permitidas para esta refeição? 
Considerando que x e y representam, respectivamente, em gramas, 
as quantidades do sanduíche e das batatas que o garoto pode ingerir, 
assinale a alternativa correspondente à expressão algébrica que 
relaciona corretamente essas quantidades. 
A) 4628,22  yx . B) 46228,2  yx . 
C) 10603,28,1  yx . D) 4624,0
2
1  yx . 
E) 462
2
14,0  yx . 
12. (ENEM/2009) Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial 
para organizar uma festa, que seria dividido entre elas em cotas 
iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas, 
faltavam R$ 510,00, e que 5 novas pessoas haviam ingressado no 
grupo. No acerto foi decidido que a despesa total seria dividida em 
partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não havia ainda contribuído 
pagaria a sua parte, e cada uma das 50 pessoas do grupo inicial 
deveria contribuir com mais R$ 7,00. 
De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota calculada 
no acerto final para cada uma das 55 pessoas? 
A) R$ 14,00 B) R$ 17,00 C) R$ 22,00 D) R$ 32,00 E) R$ 57,00 
13. (ENEM/2000) Uma companhia de seguros levantou dados sobre 
os carros de determinada cidade e constatou que são roubados, em 
média, 150 carros por ano. O número de carros roubados da marca 
X é o dobro do número de carros roubados da marca Y, e as marcas 
X e Y juntas respondem por cerca de 60% dos carros roubados. 
O número esperado de carros roubados da marca Y é: 
A) 20. B) 30. C) 40. D) 50. E) 60.