Algebra 1 - Matrizes 2006 2s

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MATRIZES 
Prof. Fabio L . de Oliveira 1 
1. MATRIZES 
 
1.1. Introdução 
Chamamos de matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. 
A= 




 −
22
11
 









−
=
233
112
221
B 
Representamos uma matriz de m linhas e n colunas por: 
 
 
2. TIPOS DE MATRIZES 
2.1. Matriz Quadrada 
È aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas (m = n) 









−
=
233
112
221
B 
Chama-se diagonal principal de uma matriz quadrada de ordem n o conjunto dos 
elementos que têm os dois índices iguais, isto é: 
{aij/i =j} = {a11, a22, a33, ..., anm} 
 
Chama-se diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n o conjunto dos 
elementos que têm soma dos índices igual a n + 1,isto é: 
{aij/ i + j = n + 1} = {a1n, a2n-1, a3,n-2, ..., n} 
 
Exemplos: 
 
1. A matriz M = 










−
−
−
321
546
798
é quadrada de ordem 3. Sua diagonal principal é {8, 4, 
3} e sua diagonal secundária é {-7, 4, -1} 
 
 
2. A matriz M = 












−−−−
−−
6543
2198
7654
3210
é quadrada de ordem 4, sua diagonal principal é 
{0,5,-1,-6} e sua secundária é {3,6,9,-3} 
2.2. Matriz Nula 
É aquela em que aij = 0, para todo i e j. (Também indicada por Φ) 
Ex.: 
 MATRIZES 
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





=
00
00
A 
 
2.3. Matriz Coluna 
E aquela que possui uma única coluna (n=1) 
Ex.:










− 3
4
1
 e 





y
x
 
 
2.4. Matriz Linha 
È aquela onde m = 1. 
[ ]431 − 
 
2.5. Matriz Diagonal 
É uma matriz quadrada (m=n) onde aij =0, para i ≠j, isto é, os elementos que não estão 
na diagonal são nulos. 
A =










100
050
001
 
2.6. Matriz Identidade 
 
É aquela em que aij = 1 para i=j e aij = 0, para i≠j. 
I3 =










100
010
001
 I2= 





10
01
 
 
 
2.7. Matriz Triangular Superior 
É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, 
isto é, m = n e aij = 0, para i >j. 












44
3433
242322
14131211
000
00
0
a
aa
aaa
aaaa
 
 
 
Exemplos: 
A=










−
−
300
410
012
 B = 





10
ba
 
 
2.8. Matriz Triangular Inferior 
 
É aquela em que m = n e aij = 0 para i < j. 
 MATRIZES 
Prof. Fabio L . de Oliveira 3 
 
 












44434241
333231
2221
11
0
00
000
aaaa
aaa
aa
a
 
 
Exemplos: 
A = 










−
421
011
002
 B = 





cb
a 0
 
 
2.9. Matriz Transposta 
Se A é uma matriz Amxn = (aij), então sua transposta é dada por A’ = A’=At = (aji) 






=
102
321
A , a transposta é A’ = At = 










13
02
21
 
PROPRIEDADES: 
I) A’’ = A, isto é, a transposta da transposta de uma matriz é ela mesma. 
II) (A + B)’ = A’ + B’, a transposta de uma soma é igual à soma das transpostas. 
III) (kA)’ = kA, onde k é qualquer escalar. 
IV) (AB)t = BtAt (A transposta de um produto de um número qualquer de matrizes é igual ao 
produto de suas transpostas em ordem inversa.) 
V) Uma matriz é simétrica se, e somente ela é igual à sua transposta, isto é, se, e se somente 
se A = A’. (Observe a matriz A abaixo) 
 
2.10. Matriz Simétrica 
È aquela onde m = n e aij = aji. 










−
−
501
023
134
 
 
 Se A e B são matrizes simétricas de mesmo tamanho e se k é um escalar qualquer, então: 
I) At é simétrica 
II) kA é simétrica 
III) A + B e A – B são simétricas 
 
 
2.11. Matriz anti-simétrica 
 
Chama-se matriz anti-simétrica toda matriz quadrada A, de ordem n, tal que At = - A 
Exemplos: 
 






− 0
0
a
a
, 










−−
−
0
0
0
cb
ca
ba
 
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2.12. Matriz Escalar 
 
 A matriz diagonal que tem os elementos aij iguais entre si para i = j é uma matriz escalar. 
 Exemplo: 
 










=
500
050
005
A 
 
3. TRAÇO DE UMA MATRIZ 
 
 Se A é uma matriz quadrada, então o traço de A, denotado por tr(A), é definido pela 
soma das entradas (elementos) na diagonal principal de A. O traço não é definido se A não é 
uma matriz quadrada. 
 Exemplos: 
A =










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
 B = 












−
−
−
−
0124
3721
4853
0721
 
tr(A) = a11 + a22 + a33 tr(B) = -1 + 5 + 7 + 0 = 11 
 
 
4. OPREÇÕES COM MATRIZES 
4.1.Adição 
Exemplo: 





 −
=





++
−+−+
=




 −
+




 −
54
42
2322
)3(111
22
31
32
11
 
 
 Propriedades da Adição 
 
I) A + B = B + A (Comutativa) 
II) (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (Associativa) 
III) A + 0 = 0 + A = A (Elemento Neutro) 
IV) A + (-A) = 0 (oposta) 
 
Onde 0 é matriz mula mxn. Também usa-se Φ para indicar a matriz nula.(Φ denomina-se 
Phi) 
 
 
 Dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn,, chama-se diferença A – B, a matriz soma de 
A com a oposta de B: A + (-B) 
 
4.2.Multiplicação por escalar 
 
Dada uma matriz A= (aij) e um número real k, então definimos uma nova matriz. 
 
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k.A = [kaij]mxn 
 
 Exemplo: 





−
−−
=





−
−
62
204
31
102
2 
 
 PROPRIEDADES: 
 
 Dadas duas matrizes A e B de mesma ordem mxn e números k, k1 e k2, temos: 
 
I) k(A + B) = kA + kB 
II) (k1 + k2)A = k1A + k2A 
III) 0.A = 0, isto é, se multiplicarmos o número zero por qualquer matriz A, teremos a 
matriz nula. 
IV) k1(k2A) = (k1k2)A 
 
4.3.Multiplicação de Matrizes 
 
Sejam A = (aij)mxn e B = (brs)nxp, definimos AB = (Cuv)mxp 
Observações: 
 
I) Só podemos efetuar o produto de duas matrizes Amxn e Blxp se o número de 
colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda, isto é, n = 1. 
Além disso, a matriz-resultado C = AB será de ordem mxp; 
II) O elemento cij (i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz-produto) é obtido, 
multiplicando os elementos da i-ésima linha da primeira matriz pelos 
elementos correspondentes da e j-ésima coluna da segunda matriz, e somando 
estes produtos. 
 
PROPRIEDADES: 
 
I) Em geral AB ≠ BA (podendo mesmo um dos membros estar e o outro não). 
 
Exemplo: 
Sejam A = 










−
−−
−
012
123
111e B = 










321
642
321
 
Então AB = 










000
000
000
 e BA = 










−−
−−
−−
1611
21222
1611
 
Note que AB = 0, sem que A = 0 ou B = 0 
 
 
II) AI = IA = A 
III) A(B + C) = AB + AC (distributiva à esquerda) 
IV) (A + B)C = AC + BC (distributiva à direita) 
V) (AB)C = A(BC) (Associativa) 
VI) 0.A = A.0 = 0 
VII) (AB)t = BtAt 
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Exemplo: 
1) 
 
 
2) 




 −










40
11
.
35
24
12
 = 
OBS.: Sejam as matrizes A1x4 e B4x2: [ ]5234=A e 












=
43
75
24
16
B , existe o produto C = AB 
pois: 
 
 A1x4 e B4x2 
 
 
 
 O produto será C1,2 pois: 
 A1x4 e B4x2 
 
 
 
C1,2 = [ ]4461 
 
EXERCÍCIOS BÁSICOS SOBRE OPERÇÕES COM MATRIZES 
 
1. Considere as matrizes: 










−=
11
21
03
A 




 −
=
20
14
B 





=
513
241
C 










−=
423
101
251
D










−=
314
211
316
E , 
 
Calcule quando possível: 
 
 
2. Usando as matrizes do exercício 1, calcule quando possível: 
 
 
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3. Usando as matrizes o exercício 1,calcule quando possível: 
 
RESPOSTAS: 
 
1. 
a)










−
737
312
567
 
b)










−
−−
−−
111
110
145
 
c)










−
55
105
015
 
d) 






−−−
−−−
35721
14287
 
e) não definida 
f)










−
−
4010
642
8622
 
g)










−−−
−−
−−−
301233
1569
242139
 
h) 










00
00
00
 
i) 5 
j) -25 
k) 168 
l) não definida 
 
2. a) 





753
427
 b) 










−−
−
−−
111
114
105
 c) 










−−
−
−−
111
114
105
 d) não definida 
 e) 
















−
4
9
4
3
0
4
9
3
2
4
1
 f) 




 −
01
10
 g) 










−
−−
−
610
4213
119
 h) 










−−−
−
641
121
0139
 
 
3. a) 










−
−
14
54
312
 b) não definida c) 










−
637836
21312
7510842
 d) 










−
13177
171111
9453
 
 e)










−
13177
171111
9453
 f) 





3517
1721
 g) 




 −
8112
1120
 h) 










−
16824
142048
9612
 
 i) 61 j) 35 k) 28 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
 
1. Sejam 





−
=
112
321
A 




−
=
103
102
B









−
=
4
2
1
C ( )12 −=D . Encontre: 
a) A + B 
b) AC 
c) BC 
d) CD 
e) DA 
f) DB 
g) -A 
h)-D
 
2. Qual é o valor de c23 na multiplicação das matrizes abaixo? 














=





−
−−














−
−
−
−
44434241
34333231
24232221
14131211
2252
4515
21
44
25
21
cccc
cccc
cccc
cccc
 
 
3. Considere a multiplicação de matrizes 3x3 abaixo, em que os pontos de interrogação representam 
coeficientes desconhecidos: 










=










−−
−−










−
−
−
333231
232221
131211
784
?5?
?95
?4?
27?
489
ccc
ccc
ccc
 
Só possível determinar um coeficiente da matriz produto. Qual é ele e qual é o seu valor? 
 
4. Suponha que A, B, C, D e E sejam matrizes dos seguintes tamanhos: 
 
A4x5 B4X5 C5X2 D4X2 E5X4 
 
Determine quais das seguintes expressões matriciais estão definidas. Para as que estão definidas, dê 
o tamanho da matriz resultante. 
a) BA 
b) AC + D 
c) AE + B 
d) AB + B 
e) E(A + B) 
f) E(AC) 
g) ETA 
h) (AT + E)D 
 
5. Resolva as seguintes equações: 
a) 





−
=





−






95
75
22
13
dc
ba
 
b) 





−
=











− 95
75
22
31
dc
ba
 
 
6.Ache x, y, z, w tais que: 






=











10
01
43
32
wz
yx
 
 
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7. Mostre que não existem x, y, z, w tais que: 





=











10
01
00
01
wz
yx
 
 
8. . Existem x, y, z, w tais que 





=











10
01
11
11
wz
yx
? 
 
9. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial.A 
quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela tabela: 
 
1358256
21912187
17716205
int
Colonial
eoMediterrân
Moderno
TijoloaTVidroMadeiraFerro
 
a) Se ele pretende construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, 
respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregados. 
b) Suponha que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, 
respectivamente 15, 8, 5, 1 e 10. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa? 
c) Qual é o custo total do material empregado? 
 
10. Se A é uma matriz simétrica, então A – A’ = ________ 
 
11. Se A é uma matriz triangular superior, então A’ é ______ 
 
12. Verdadeiro ou falso? 
a) ( ) (-A)’ = - (A’) 
b) ( ) (A + B)’ = B’ + A’ 
c) ( ) Se AB = 0, então A = 0 ou B = 0 
d) ( ) (k1A)(k2B) = (k1k2)AB 
e) ( ) (-A)(-B) = -(AB) 
f) ( ) Se A.B = 0, então B.A=0 
 
 
13. João pesa 81 quilos. Ele quer perder peso por meio de um programa de dieta e exercícios. Após 
consultar a tabela 1, ele monta o programa de exercícios na tabela 2. Quantas calorias ele vai 
queimar por dia se seguir esse programa? 
 
 
TABELA 1: Calorias Queimadas por Hora 
 ATIVIDADE ESPORTIVA 
Peso Andar a 3 
Km/h 
Correr a 
9 Km/h 
Andar de bicicleta 
a 9 Km/h 
Jogar 
tênis(moderado) 
69 213 651 304 420 
73 225 688 321 441 
77 237 726 338 468 
81 249 764 356 492MATRIZES 
Prof. Fabio L . de Oliveira 11 
TABELA 2: Horas por Dia para Cada Atividade 
 PROGRAMA DE EXERCÍCIOS 
 Andar a 
3 Km/h 
Correr a 
9 Km/h 
Andar de bicicleta 
a 9 Km/h 
Jogar 
tênis(moderado) 
Segunda-feira 1 0 1 0 
Terça-feira 0 0 0 2 
Quarta-feira 0,4 0,5 0 0 
Quinta-feira 0 0 0,5 2 
Sexta-feira 0,4 0,5 0 0 
 
14. Uma empresa fabrica três produtos. Suas despesas de produção estão divididas em três 
categorias. Em cada uma dessas categorias, faz-se uma estimativa do custo de produção de um 
único exemplar de cada produto. Faz-se, também, uma estimativa da quantidade de cada produto a 
ser fabricado por trimestre. Essas estimativas são dadas nas Tabelas 3 e 4. A empresa gostaria de 
apresentar a seus acionistas uma única tabela mostrando o custo total por trimestre de cada uma das 
três categorias: matéria-prima, pessoal e despesas gerais. Monte esta tabela. 
 
TABELA 3: Custo de Produção por Item 
GASTOS PRODUTO 
 A B C 
Matéria-prima 0,10 0,30 0,15 
Pessoal 0,30 0,40 0,25 
Despesas gerais 0,10 0,20 0,15 
TABELA 4: Quantidade Produzida por Trimestre 
 ESTAÇÃO 
 VERÃO OUTONO INVERNO PRIMAVERA 
A 4000 4500 4500 4000 
B 2000 2600 2400 2200 
C 5800 6200 6000 6000 
 
15. Um projeto de pesquisa alimentar conta com a participação de adultos e crianças de ambos os 
sexos. A composição dos participantes no projeto é dada pela matriz: 
 
 
 
 O número de gramas diários de proteínas, gordura e carboidratos consumido por cada 
criança e cada adulto é dado pela matriz: 
 
a) Quantos gramas de proteína são consumidos diariamente pelos homens que participam do 
projeto? 
 MATRIZES 
Prof. Fabio L . de Oliveira 12 
b) Quantos gramas de gordura são consumidos diariamente pelas mulheres que participam do 
projeto? 
 
16. Um fabricante faz dois tipos de produtos, P e Q, em cada uma de duas fábricas X e Y. Ao 
fazer esses produtos, são produzidos dióxido de enxofre, óxido nítrico e partículas de outros 
materiais poluentes. As quantidades de poluentes produzidas são dadas (em quilos) pela matriz: 
 
 Leis federais e estaduais exigem a remoção desse poluentes. O custo diário para remover 
cada quilo de poluente é dado (em dólares) pela matriz: 
 
 
 
 
 Qual o significado da matriz AB? 
 
Respostas: 
 
1. a) 




−
015
421
 b) 





− 4
15
 c) 





1
6
 d) 










−
−
−
48
24
12
e) ( )730 
f) ( )107− g) 





−−
−−−
112
321
 g) ( )12− 
 
2) 21 
 
3) c12 
 
4) 
a) não definida 
b) 4x2 
c) não definida 
d) não definida 
e) 5x5 
f) 5x2 
g) não definida 
h) 5x2 
 
 MATRIZES 
Prof. Fabio L . de Oliveira 13 
5) a) 





41
23
 b)










−
8
23
8
5
8
13
8
25
 
 
6. 





−
−
23
34
 
9. a) [ ]388158260526146 
 b) 










465
528
492
 
 c) [ ]11736 
 
13. 
 
 
 
14.