Apostila de Vibrações Mecânicas 4ª edição 2014

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Faculdade Redentor 
Curso de Graduação em Engenharia Mecânica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 2 
 
 
Cronograma da Disciplina 
 
CARGA HORÁRIA TOTAL: 45h CRÉDITOS: 03 
 
EMENTA: 
Sistemas com um grau de liberdade. Representação por vetores rotativos. Vibrações livres amortecidas e não 
amortecidas. Equação do movimento. Vibrações forçadas amortecidas. Excitações harmônicas por notação 
complexa. Sistemas com múltiplos graus de liberdade: análise modal. 
 
DISTRIBUIÇÃO DO CONTEÚDO PROGRAMÁTICO, ATIVIDADES TEÓRICAS E AVALIAÇÕES. 
Data Tipo Assunto 
01/08 Teórica Capítulo 1 – Fundamentos de Vibrações – Parte I 
08/08 Teórica Capítulo 1 – Fundamentos de Vibrações – Parte II 
15/08 Teórica Capítulo 2 - Vibração Livre de Sistemas com um Grau de Liberdade – Parte I 
22/08 Teórica Capítulo 2 - Vibração Livre de Sistemas com um Grau de Liberdade – Parte II 
29/08 Teórica Capítulo 3 – Vibração Livre com Amortecimento Viscoso – Parte I 
05/09 Teórica Capítulo 3 – Vibração Livre com Amortecimento Viscoso – Parte II 
12/09 Teórica Capítulo 3 – Vibração Livre com Amortecimento Viscoso – Parte III 
19/09 Teórica Revisão para a Avaliação // Resolução de Exercícios 
26/09 Avaliação 1ª Verificação – V1 (8,0 Pontos) 
03/10 Teórica 
Vista de Prova 
Capítulo 4 – Vibração Livre com outros tipos de amortecimento – Parte I 
10/10 Teórica Capítulo 4 – Vibração Livre com outros tipos de amortecimento – Parte II 
17/10 Teórica Capítulo 5 – Vibrações excitada harmonicamente – Parte I 
24/10 Teórica Capítulo 5 – Vibrações excitada harmonicamente – Parte II 
07/11 Teórica Capítulo 6 – Vibrações em sistemas com dois graus de liberdade – Parte I 
14/11 Teórica Capítulo 6 – Vibrações em sistemas com dois graus de liberdade – Parte II 
28/11 Teórica Revisão para a Avaliação // Resolução de Exercícios 
05/12 Avaliação 2ª Verificação – V2 (8,0 Pontos) 
19/12 Avaliação 3ª Verificação – V3 (10,0 Pontos) 
Total 45 horas 
 
Bibliografia Básica: 
RAO, Singiresu S. Vibrações Mecânicas. 4ª Edição. São Paulo: Prentice Hall, 2009. 
MERIAM, James L. KRAIGE. Mecânica para Engenharia – Dinâmica. Vol. II. 5ª edição. Ed. LTC. 2003. 
FRANÇA, Luiz Novaes Ferreira. Introdução às Vibrações Mecânicas. 1ª Edição. São Paulo: Edgard Blucher, 2006 
 
Bibliografia Complementar: 
INMAN, Daniel J. Engineering Vibrations. 3ª Edição. São Paulo: Prentice Hall, 2007. 
HIBBELER, R. C. Dinâmica – Mecânica para Engenharia. 12ª edição. Ed. Prentice Hall. 2011. 
BEER, F. P. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Cinemática e Dinâmica. Traduzido por Adolpho Hengeltraub. 
5ª Edição revisada. São Paulo: Makron Books, 1994. 
MABIE, H. H.; REINHOLTZ, C. F. Mechanisms and Dynamics of Machinery. New York: John Wilwy & Sons, 1987. 
MEIROVITCH, L. - Elements of Vibration Analysis - USA - McGraw-Hill 1975 
NORTON, Robert L. Projeto de Máquinas – Uma abordagem integrada. Traduzido por João Batista de Aguiar et 
al. 2ª Edição. Porto Alegre: Bookman, 2004. 887p. 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 3 
 
 
Lista de Símbolos 
 
Símbolo Significado Unidades Inglesas Unidades SI 
A Área in² m² 
c Coeficiente de amortecimento viscoso lb.s/in N.s/m 
cc 
Constante de amortecimento viscoso 
crítico 
lb.s/in N.s/m 
d Diâmetro in m 
e Excentricidade in m 
E Módulo de Young lb/in² Pa 
 Frequência linear Hz Hz 
F Força lb N 
F0 Amplitude da força F(t) lb N 
FT Força transmitida lb N 
g Aceleração da gravidade in/s² m/s² 
G Módulo de elasticidade transversal lb/in² Pa 
h Constante de amortecimento por histerese lb/in N/m 
H(i ) Função resposta em frequência 
I Momento de inércia de área in4 m4 
J Momento de inércia polar in4 m4 
k Constante elástica lb/in N/m 
m Massa lb.s²/in kg 
M Momento fletor lb-in Nm 
N Força normal lb N 
p Pressão lb/in² Pa 
r Razão de frequências = 
s Coeficiente exponencial, raiz da equação 
T Torque in.lb J 
T Energia cinética in.lb J 
U Energia potencial in.lb J 
 Velocidade linear in/s m/s 
V Energia potencial in.lb J 
W Peso da massa lb N 
X Amplitude de x(t) in m 
y Deslocamento de base in M 
 Constante de amortecimento por histerese 
 Peso especifico lb/in³ N/m³ 
 Decremento logarítmico 
 Deflexão estática in m 
 Energia dissipada em um ciclo in.lb J 
 Fator de amortecimento 
 Constante, deslocamento angular rad rad 
 Amplitude de θ(t) rad rad 
 Viscosidade de um fluido 
 Coeficiente de atrito lb.s/in² kg/m.s 
 Densidade de massa lb.s²/in4 kg/m³ 
 Período de oscilação s s 
 Ângulo de fase rad rad 
 Frequência natural rad/s rad/s 
 Frequência de vibração amortecida rad/s rad/s 
 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 4 
 
 
Sumário 
 
Capítulo 1 – Fundamentos de Vibrações .................................................................................................................. 6 
1.1 Conceitos Básicos ................................................................................................................................................... 8 
1.1.1 Graus de Liberdade (GDL) .................................................................................................................... 8 
1.1.2 Classificação das vibrações ................................................................................................................... 9 
1.1.2.1 Quanto à existência ou não de forçamento ........................................................................... 9 
1.1.2.2 Quanto à existência ou não de amortecimento ................................................................... 10 
1.2 Construção de Modelos de Sistemas Vibratórios .................................................................................................. 10 
1.2.1 Elementos de Inércia ............................................................................................................................ 11 
1.2.2 Elementos de rigidez ............................................................................................................................ 13 
1.2.2.1 Molas lineares ..................................................................................................................... 14 
1.2.2.2 Associação de molas........................................................................................................... 15 
1.2.2.3 Constantes elásticas equivalentes de elementos estruturais .............................................. 16 
1.2.3 Outra forma de elementos de energia potencial ................................................................................... 20 
1.2.4 Elementos de Dissipação ..................................................................................................................... 20 
1.2.4.1 Amortecimento viscoso ....................................................................................................... 21 
1.2.4.2 Amortecimento Coulomb ou por atrito seco ........................................................................ 21 
1.2.4.3 Amortecimento material ou sólido ou por histerese ............................................................. 21 
1.2.4.4 Construção de amortecedores viscosos ............................................................................. 22 
1.2.5 Análise da modelagem física ................................................................................................................ 23 
1.2.6 Projeto para vibração................................................................................................................................. 26 
Exercícios ................................................................................................................................................... 27 
Capítulo 2 – Vibração Livrede Sistemas com um grau de Liberdade .................................................................. 30 
2.1 Introdução ............................................................................................................................................................. 30 
2.2 Vibração livre de um sistema de translação não amortecido ................................................................................ 32 
2.2.1 Equação do movimento pela segunda lei do movimento de Newton ................................................... 32 
2.2.2 Equação do movimento por outros métodos ........................................................................................ 33 
2.2.3 Equação do movimento de um sistema massa-mola em posição vertical ........................................... 34 
2.2.4 Solução da equação do movimento ..................................................................................................... 35 
2.2.5 Movimento harmônico .......................................................................................................................... 36 
2.3 Vibração livre de um sistema torcional não amortecido ........................................................................................ 40 
2.3.1 Equação do movimento ....................................................................................................................... 40 
2.3.2 Solução ................................................................................................................................................ 41 
Exercícios .................................................................................................................................................... 42 
Capítulo 3 – Vibração Livre com Amortecimento Viscoso .................................................................................... 48 
3.1 Equação do movimento ......................................................................................................................................... 48 
3.2 Solução .................................................................................................................................................................. 49 
 3.2.1 Caso 1: Sistema sub amortecido .......................................................................................................... 51 
 3.2.2 Caso 2: Sistema criticamente amortecido ............................................................................................ 52 
 3.2.3 Caso 3: Sistema superamortecido ....................................................................................................... 53 
3.3 Decremento logarítmico ......................................................................................................................................... 54 
3.4 Energia dissipada em amortecimento viscoso ....................................................................................................... 55 
3.5 Sistemas torcionais com amortecimento viscoso .................................................................................................. 55 
Exercícios .................................................................................................................................................................... 57 
Capítulo 4 – Vibração Livre com outros tipos de amortecimentos ....................................................................... 64 
4.1 Vibração livre com amortecimento Coulomb ....................................................................................................... 64 
 4.1.1 Equação do movimento ....................................................................................................................... 64 
 4.1.2 Solução ............................................................................................................................................... 66 
4.1.3 Vibração torcional com amortecimento Coulomb ................................................................................. 69 
4.2 Vibração livre com amortecimento por histerese .................................................................................................. 70 
4.2.1 Rigidez Complexa ....................................................................................................................................... 71 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 5 
 
 
4.2.2 Resposta do sistema ................................................................................................................................... 72 
Exercícios .................................................................................................................................................................... 73 
Capítulo 5 – Vibrações excitada harmonicamente ................................................................................................. 75 
Exercícios ........................................................................................................................................................... 90 
 
 
 
Apostila de Vibrações Mecânicas - 4ª Edição - 2014 
Autor: Juvenil Nunes de Oliveira Júnior 
Engenheiro Mecânico e de Segurança do Trabalho 
Mestre em Engenharia de Materiais 
 
Contato: prof.juvenil@gmail.com 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 6 
 
 
 
 
 
 
 
1.1 Conceitos Básicos 
1.1.1 Graus de Liberdade (GDL) 
1.1.2 Classificação das vibrações 
1.1.2.1 Quanto à existência ou não de forçamento 
1.1.2.2 Quanto à existência ou não de amortecimento 
1.2 Construção de Modelos de Sistemas Vibratórios 
1.2.1 Elementos de Inércia 
1.2.2 Elementos de rigidez 
1.2.2.1 Molas lineares 
1.2.2.2 Associação de molas 
1.2.2.3 Constantes elásticas equivalentes de elementos 
estruturais 
1.2.3 Outra forma de elementos de energia potencial 
1.2.4 Elementos de Dissipação 
1.2.4.1 Amortecimento viscoso 
1.2.4.2 Construção de amortecedores viscosos 
1.2.5 Análise da modelagem física 
1.2.6 Projeto para vibração 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
maioria das atividades humanas envolve alguma forma de vibração. Nós 
ouvimos porque o tímpano vibra, nós vemos porque ondas luminosas se 
propagam. A respiração está associada à vibração dos pulmões, os batimentos 
cardíacos são movimentos vibratórios do coração, a fala se fundamenta na vibração das 
cordas vocais e os nossos movimentos envolvem oscilações de braços e pernas. Em muitos 
outros campos da atividade humana, fenômenos apresentam variáveis cujo comportamento é 
oscilatório (economia, biologia, química, física, etc.). 
Em engenharia, as aplicações das vibrações mecânicas são de grande importância nos 
tempos atuais. Projetos de máquinas, fundações, estruturas, motores, turbinas, sistemas de 
controle e outros, exigem que questões relacionadas com vibrações sejam levadas em conta. 
Os primeiros estudos de vibrações em engenharia foram motivados pelo problema de 
desbalanceamento em motores. O desbalanceamento pode ser tanto devido a problemas de 
projeto como de fabricação e manutenção. As rodas de locomotivas podem sair até um 
centímetro dos trilhos devido a desbalanceamentos. Em turbinas, os engenheiros ainda não 
foram capazes de resolver uma grande parte dos problemas originados em pás e rotores. As 
A 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 7 
 
 
estruturas projetadas para suportar máquinas centrífugas pesadas (motores, turbinas, bombas, 
compressores, etc.) também estão sujeitas a vibração, sendo possível que partes dessas 
estruturas sofram fadiga devido à variação cíclica de tensões. A vibração também causa 
desgaste mais rápido em mancais e engrenagens, provocando ruído excessivo. Em máquinas, 
a vibração pode provocar o afrouxamento de parafusos. Em processos de usinagem, a 
vibraçãopode causar trepidação, conduzindo a um pobre acabamento superficial. 
Sempre que a frequência natural de vibração de uma máquina ou estrutura coincide com 
a frequência da força externa atuante, ocorre um fenômeno conhecido como ressonância, que 
leva a grandes deformações e falhas mecânicas. A literatura é rica em exemplos de falhas 
causadas por vibrações excessivas em virtude da ressonância. Um exemplo clássico é o da 
ponte de Tacoma Narrows, conforme figura 1.1, nos Estados Unidos. Inaugurada em julho de 
1940, colapsou em 7 de novembro do mesmo ano quando entrou em ressonância induzida 
pelo vento. Em virtude dos efeitos devastadores que podem surgir em máquinas e estruturas, 
os testes vibratórios se tornaram um procedimento padrão no projeto e desenvolvimento da 
maioria dos sistemas em engenharia. 
 
Figura 1.1: Ponte Tacoma Narrows durante vibração induzida pelo vento. 
 
Em muitos sistemas de engenharia o ser humano atua como parte integrante do mesmo. 
A transmissão de vibração para o ser humano resulta em desconforto e perda de eficiência. 
Vibrações de painéis de instrumentos podem produzir mau funcionamento ou dificuldade de 
leitura de medidores. Portanto, um dos propósitos importantes do estudo de vibração é a 
redução dos níveis vibratórios através do projeto e montagem adequados de máquinas. Nesta 
interface, o engenheiro mecânico tenta projetar a máquina para que a mesma apresente níveis 
vibratórios baixos, enquanto o engenheiro estrutural tenta projetar a base da máquina de forma 
a assegurar que o efeito da vibração não se transmita. 
Por outro lado, a vibração também pode ser utilizada com proveito em várias aplicações 
industriais. Esteiras transportadoras, peneiras vibratórias, compactadores, misturadores, 
máquinas de lavar e outras, utilizam a vibração em seu princípio de funcionamento. A vibração 
também pode ser útil em testes de materiais, processos de usinagem e soldagem. 
Os ultrassons são largamente utilizados também em medicina (obstetrícia, destruição de 
cálculos renais, etc.). A vibração também pode ser empregada para simular terremotos em 
pesquisas geológicas e para conduzir estudos no projeto de reatores nucleares. 
Nas indústrias automobilísticas são feitos teste de vibração nos laboratórios de 
segurança veicular, por exemplo, o Sled Test, uma espécie de trenó que faz simulações de 
impacto veicular; um novo Laboratório Elétrico-eletrônico foi construído, com câmaras 
climáticas, bancadas para testes em componentes e capacidade para teste de descarga 
eletrostática; o Laboratório de Ruídos e Vibrações possui um dinamômetro para validar a 
qualidade sonora dos veículos; e o Laboratório Estrutural recebeu um simulador de pistas para 
avaliação estrutural mais completa dos modelos. 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 8 
 
 
 
Figura 1.2: Teste de vibração em Automóveis. 
 
1.1 Conceitos básicos 
 
Qualquer movimento que se repete depois de certo intervalo de tempo é denominado 
vibração ou oscilação. A vibração, portanto, é o estudo do movimento de oscilação de um 
corpo em torno de uma posição de equilíbrio, bem como das forças e/ou momentos a ele 
associadas. 
 
1.1.1 Graus de Liberdade (GDL) 
 
É o número mínimo de coordenadas independentes (denominadas coordenadas 
generalizadas) que descrevem completamente o movimento de todos os elementos do 
sistema. 
 
Nº de GDL do sistema = Nº de massas do sistema x Nº de GDL de cada massa 
 
 Exemplos de Sistemas com 1 GDL (fig. 1.3): 
 
Figura 1.3: Exemplos de sistemas com 1 GDL. 
 
 Exemplos de Sistemas com 2 GDL (fig. 1.4): 
 
Figura 1.4: Exemplos de sistemas com 2 GDL. 
 
 Exemplos de Sistemas com 3 GDL (fig. 1.5): 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 9 
 
 
 
Figura 1.5: Exemplos de sistemas com 3 GDL. 
 
1.1.2 Classificação das vibrações 
 
1.1.2.1 Quanto à existência ou não de forçamento: 
 
• Vibrações livres (ou naturais): causadas por condições iniciais (deslocamento 
inicial e/ou velocidade inicial). 
• Vibrações forçadas: causadas por forças e/ou torques externos; as oscilações 
persistem durante a aplicação dos mesmos e uma vez cessadas essas solicitações o sistema 
entra em vibração livre. A seguir os tipos de excitação mais comuns: 
Força harmônica: forma mais simples de excitação em sistemas mecânicos, descrita 
pela equação: 
 
 ( ) ( ) ( ) 
 
Sendo F a amplitude da excitação e a freqüência de excitação em rad/s. Também é 
usual descrever as frequências em Hertz Hz. A frequência em Hz é nomeada de f e descrita 
por: 
 
 
 
 
 ( ) 
Sendo T o período de oscilações (tempo que o movimento harmônico leva para repetir 
seu padrão), medidos em s. A relação entre as frequências sem Hz e rad/s é dada por: 
 
 
 
 
 ( ) 
Um movimento harmônico é definido completamente a partir do conhecimento das 
variáveis acima. Um exemplo prático de excitação harmônica aparece em rotores com massa 
desbalanceada. 
Força periódica: Tipo de excitação que se repete após um período, mas não de forma 
exatamente igual. Motores de combustão interna são exemplos deste tipo de excitação; 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 10 
 
 
Força transitória: Excitação caracterizada por uma liberação de energia grande em um 
intervalo curto de tempo. Inúmeros exemplos descrevem este tipo de força: explosão, impacto, 
etc; 
Força aleatória: São forças de excitação que não descrevem um padrão determinístico 
que possa ser definido por uma equação. Para tratar sistemas excitados por forças aleatórias é 
necessário utilizar métodos estatísticos. Fenômenos aeroelásticos são exemplos de sistemas 
excitados por forças aleatórias, como forças em asas de aviões, ventos em colunas de pontes, 
etc. 
 
1.1.2.2 Quanto à existência ou não de amortecimento: 
 
• Vibrações sem amortecimento: não há perda de energia por atrito. Se a vibração for 
livre, não haverá diminuição da amplitude da vibração e o sistema vibrará indefinidamente. Se 
a vibração for forçada, a excitação reporá energia no sistema, podendo ocorrer até aumento da 
amplitude da vibração; 
• Vibrações com amortecimento: há perda de energia por atrito. Se a vibração for livre, 
haverá sempre diminuição da amplitude da vibração e o sistema tenderá a parar na posição de 
equilíbrio estático. Se a vibração for forçada, poderá haver ou não diminuição da amplitude da 
vibração, porque a excitação repõe energia no sistema. 
A figura 1.7 ilustra uma vibração não amortecida e uma amortecida. 
 
Figura 1.7: Vibrações livres sem e com amortecimento. 
 
1.2 Construção de modelos de sistemas vibratórios 
 
Nesta seção, os elementos que formam um modelo de sistema vibratório são descritos, e 
a utilização desses elementos na construção de modelos é ilustradas com exemplos. 
Em geral, existem três elementos que constituem um sistema vibratório: 
a) Elementos de Inércia: que armazenam e liberam energia cinética, são caraterizados 
por uma relação entre uma força (ou momento) aplicada e a resposta em aceleração 
correspondente; 
b) Elementos de Rigidez: armazenam e liberam a energia potencial, são caracterizados 
por uma relação entre uma força (ou momento) aplicada e a resposta em deslocamento (ou 
rotação) correspondente; 
c) Elementos de Dissipação: que são utilizados para expressar a perda de energia em 
um sistema e são caracterizados por uma relação entre uma força (ou momento) aplicada e a 
resposta em velocidade correspondente. 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 11 
 
 
Cada um desses elementos apresenta características diferentes de resposta á excitação, 
e esta tem a forma de uma força ouum momento, e a resposta correspondente do elemento 
tem a forma de deslocamento, velocidade ou aceleração. 
A natureza dessas relações, que podem ser lineares ou não lineares, é apresentada 
neste capítulo. As unidades associadas com esses elementos e os símbolos comumente 
utilizados para os vários elementos estão relacionados na Tabela 1.1. 
 
Tabela 1.1: Unidades de componentes que compõem um sistema mecânico vibratório. 
Grandeza Unidades 
Movimento de translação 
Massa, m kg 
Rigidez, k N/m 
Amortecimento, c N.s/m 
Força externa, F N 
 
Movimento rotacional 
Massa, m kg.m² 
Rigidez, k N.m/rad 
Amortecimento, c N.m.s/rad 
Força externa, F N.m 
 
1.2.1 Elementos de Inércia 
O movimento de translação de uma massa é descrito como o movimento ao longo do 
percurso seguido pelo centro de massa. A propriedade de inércia associada depende apenas 
da massa total do sistema e é independente de sua geometria de distribuição de massa. 
Entretanto, a propriedade de inércia de uma massa em movimento rotacional é uma 
função da distribuição de massa, especificamente do momento de inércia da massa, que, em 
geral, é definido em torno de seu centro de massa ou de um ponto fixo O. 
Quando a massa oscila em torno de um ponto fixo O ou um ponto pivô O, a inércia de 
rotação JO é dada por: 
 
 ( ) 
Onde: 
m – massa do elemento; JG é o momento de inércia da massa em torno do centro de 
massa, e d é a distância do centro de gravidade ao ponto O. Na equação 1.4, os momentos de 
inércia são definidos em relação aos eixos normais ao planto de massa. Essa relação entre os 
momentos de inércia de massa em torno de um eixo através do centro de massa G e um eixo 
paralelo através de outro ponto O resultado do teorema dos eixos paralelos. Os momentos 
de inércia de massa de algumas formas comuns estão relacionados na Tabela 1.2. 
 
Tabela 1.2: Momentos de inércia de massa em torno do eixo z normal ao plano x-y e que atravessa o 
centro de massa. 
Barra Delgada 
 
 
 
 
 
Disco Circular 
 
 
 
 
 
Esfera 
 
 
 
 
 
Cilindro Circular 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 12 
 
 
 
A figura 1.8 mostra uma massa m em translação a uma 
velocidade de magnitude ̇ no plano X-Y. O sentido do vetor 
velocidade também é indicado na figura, juntamente com o 
sentido da força que atua sobre a massa. 
Com base no princípio da quantidade de movimento linear, a 
equação governante do movimento da massa é: 
 
 
 
( ̇ ) ( ) 
A qual, se m e i são independentes do tempo, é simplificada 
para: 
 ̈ ( ) 
Para obter a equação da energia cinética da massa, basta aplicar o teorema do trabalho-
energia. Vamos supor que a massa mostrada na figura 1.8 seja deslocada de um estado inicial 
de repouso, no qual a velocidade é zero no instante t0, para o estado final no instante tf. Então, 
temos que o trabalho W, realizado sob a ação de uma força Fi, é: 
 ∫ 
 
 
 ∫ ̈ 
 
 
 ∫ ̈ 
 
 
 ( ) 
 ∫ ̈ ̇ 
 
 
 ∫ ̇ ̇
 ̇
 
 
 
 
 ̇ ( ) 
Onde aplicamos a relação ̇ . Portanto, a energia cinética é: 
 ( ) ( ) 
 
 
 ̇ ( ) 
 
No caso de um corpo rígido apenas em rotação 
no plano a uma velocidade angular ̇ , pode-se 
mostrar, com base no princípio da quantidade de 
movimento angular: 
 
 ̈ ( ) 
Onde M é o momento que atua em relação ao 
centro de massa G ou a um ponto fixo O (como 
mostra a figura 1.9) ao longo da direção normal ao 
plano de movimento e J é o momento de inércia de 
massa associado. 
Da equação 1.9, temos que, para o movimento rotacional, a propriedade de inércia J é a 
razão do momento pela aceleração angular. Pode-se verificar que as unidades de J 
relacionadas na tabela 1.1 estão consistentes com a equação 1.9. Essa propriedade de inércia 
também é chamada inércia de rotação. A energia cinética do sistema é: 
 
 
 
 ̇ ( ) 
Desse modo, a energia cinética do movimento rotacional é linearmente proporcional à 
propriedade de inércia J, o momento de inércia da massa. 
 
 
Figura 1.8: Massa em 
translação. 
 
Figura 1.9: (a) Disco uniforme articulado 
em um ponto de seu perímetro e (b) barra 
de massa uniforme articulada em uma 
extremidade. 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 13 
 
 
Exemplo 1.1: Determinação de momentos de inércia de massa 
Determine os momentos de inércia de massa dos corpos-rígidos: 
(a) Disco Uniforme; 
 
(b) Barra Uniforme. 
 
 
1.2.2 Elementos de Rigidez 
Os elementos de rigidez são fabricados com vários materiais e têm diversas formas. O 
tipo de elemento é escolhido de acordo com os requisitos. Por exemplo, para minimizar a 
transmissão de vibração das máquinas para o suporte de estrutura, isolar um edifício dos 
efeitos dos terremotos ou absorver a energia de sistemas sujeitos a impactos. 
Alguns tipos representativos de elementos de rigidez comercialmente disponíveis são 
mostrados na figura 1.10, juntamente com sua aplicação. 
 
 
Figura 1.10: (a) Isolamento da base de edifícios ou pistas de alta velocidade no que concerne a 
movimento lateral utilizando elementos cilíndricos de borracha; (b) isoladores de cabos de aço para 
isolar movimentos verticais das máquinas; (c) molas pneumáticas utilizadas em sistemas de suspensão 
para isolar movimentos verticais; (d) molas helicoidais convencionais de aço para isolamento de 
movimentos verticais e (e) molas de cabo de aço utilizadas em um amortecedor de massa regulado de 
chaminé para suprimir movimentos laterais. 
 
Os elementos de rigidez armazenam e liberam a energia potencial de um sistema. A 
figura 1.11 ilustra a representação de um elemento de rigidez, que está preso na extremidade 
O, e, na outra extremidade, uma força de magnitude F está direcionada no sentido vertical. 
Sob a ação dessa força, o elemento se estica de um comprimento inicial ou não 
estendido L0 para um comprimento L0 + x no sentido vertical. 
Movimento 
Movimento 
Movimento 
Movimento 
Mola 
Molas Molas 
Cabo de aço 
Molas 
de 
cabo 
de aço 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 14 
 
 
 
Figura 1.11: (a) Elementos de rigidez com uma força aplicada a ele e (b) o respectivo diagrama de corpo 
livre (DCL). 
 
Por tentar restaurar a configuração não deformada do elemento de rigidez, a força FS é 
chamada de força restauradora. À medida que é deformado, o elemento de rigidez armazena 
energia, e esta é liberada à medida que a forma do elemento de rigidez é restaurada. 
 
1.2.2.1 Molas Lineares 
Tipo 1 - Mola de Translação: se for aplicada a uma mola linear, como a figura 1.12(a), 
uma força F produzirá uma deflexão x, de modo que: 
 
 ( ) ( ) 
Onde o coeficiente k é chamado de constante elástica e uma relação linear é 
estabelecida entre a força e o deslocamento. 
A energia potencial V assume a forma: 
 ( ) ∫ 
 
 
 ( ) 
Com base nas equações 1.11 e 1.12, a energia potencial V armazenada na mola é 
definida por: 
 ( ) ∫ ( ) ∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
Desta forma, para uma mola linear, a energia potencial associada é linearmente 
proporcional à rigidez da mola k e proporcional à segunda potência da magnitude do 
deslocamento. 
 
Tipo 2 – Mola de Torção: se consideramos uma mola de torção linear com um momento 
 aplicado a uma de suas extremidades e a outra extremidadepresa, teremos: 
 
 ( ) ( ) 
Onde kt é a constante elástica, e  a deformação da mola. A energia potencial 
armazenada na mola será: 
 
 ( ) ∫ ( ) ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
Elemento 
de Rigidez 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 15 
 
 
1.2.2.2 Associação de molas 
 
Em muitas aplicações práticas, várias molas lineares são usadas em associação. Estas 
molas podem ser associadas em uma única mola equivalente como indicado a seguir: 
 Molas em paralelo: O sistema da 
figura (1.12b) tem molas em paralelo na qual 
a força F atua e permanece paralela à sua 
posição original, os deslocamentos das duas 
molas são iguais e, desse modo, a força 
total é: 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 
Onde F(x) é a força resultante na mola 
e keq é a constante elástica equivalente para 
duas molas em paralelo definida por: 
 
 ( ) 
 
Em geral, para N molas em paralelo, 
temos: 
 ∑ 
 
 
 ( ) 
 
 Molas em série: no caso de duas ou mais molas em série, como mostra a figura 1.12(c), 
a força em cada mola é a mesma, e o deslocamento total é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
 
 
 
) 
 
 
 ( ) 
 
Esta equação pode ser generalizada para o caso de N molas em série: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
A energia potencial para a combinação de molas mostrada na figura 1.12 (b), associação 
em paralelo, é dada por: 
 ( ) ( ) ( ) 
Onde ( )é a energia potencial associada à mola de rigidez k1, e ( ) é a energia 
potencial associada à mola de rigidez k2. Aplicando a equação 1.13 para determinar ( ) e 
 ( ), obtemos: 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 ( ) 
Para a combinação de molas mostrada na figura 1.12(c), associação em série, a energia 
potencial é definida por: 
 ( ) ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
Figura 1.12: Várias configurações de molas: (a) 
uma mola, (b) duas molas em paralelo e (c) duas 
molas em série. 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 16 
 
 
1.2.2.3 Constantes elásticas equivalentes de elementos estruturais comuns 
utilizadas em modelos de vibração 
 
Elementos elásticos como vigas também se comportam como molas. Por exemplo, 
considere uma viga em balanço com uma massa m na extremidade como mostra a figura 1.13. 
 
(a) Sistema Atual (b) Modelo com um 
único grau de liberdade 
Figura 1.13: Viga em balanço com massa na extremidade. 
 
Admitimos que a massa da viga é desprezível em comparação com a massa m. Pela 
resistência dos materiais, sabemos que a deflexão estática da viga na extremidade livre é dada 
por: 
 
 
 
 ( ) 
 
Onde W = mg é o peso da massa m, E ó modulo de Young, e I é o momento de 
inércia da seção transversal da viga. Como consequência, a constante elástica é: 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
Medir experimentalmente massa e rigidez não é tão difícil, agora medir amortecimento 
pode ser um enorme desafio, pois os sistemas mecânicos podem dissipar energia de formas 
diferentes. O mais comum é considerar um modelo de amortecedor com amortecimento 
viscoso. Um componente linear de amortecimento viscoso tem uma relação força-velocidade 
da forma. 
A tabela 1.3, resume algumas constantes de molas obtidas a partir de elementos 
estruturais. 
 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 17 
 
 
Tabela 1.3: Constantes elásticas para alguns elementos elásticos comuns. 
 
A: área da seção transversal; E: módulo de Young; G: módulo de cisalhamento; I: momento de inércia de 
área ou momento de inércia polar. 
Haste ou barra 
carregada axialmente 
Haste cônica 
carregada axialmente 
Haste circular oca em 
torção 
Viga em balanço 
Viga articulada, 
simplesmente apoiada 
Viga bi-engastada 
Duas barras circulares 
em torção 
Duas barras circulares 
em torção 
Mola helicoidal 
Placa retangular 
engastada espessura 
constante, força 
aplicada ao centro 
Coeficiente de Poisson 
Placa circular 
engastada, espessura 
constante, força 
aplicada ao centro 
Placa em balanço, 
espessura 
constante, força 
aplicada ao centro 
da borda livre 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 18 
 
 
Exemplo 1.2: Rigidez Equivalente de uma combinação viga-mola 
Considere as combinações mostradas na figura 1.14, onde temos uma viga em balanço com 
uma mola presa na extremidade livre. 
 
Figura 1.14: Combinação de molas e diagramas de corpo livre. 
 
 
Exemplo 1.3: Rigidez equivalente de uma viga em balanço com carga transversal na 
extremidade 
Uma viga em balanço, feita de uma liga com um módulo de elasticidade (módulo de Young) E 
= 72 x 109 N/m², é carregada transversalmente em sua extremidade livre. Se o comprimento 
da viga for 750 mm, e a viga tiver uma seção transversal anular com os diâmetros interno e 
externo 110 mm e 120 mm, respectivamente, determine a rigidez equivalente da viga. 
 
 
Exemplo 1.4: Rigidez equivalente de uma viga com extremidade fixa e em translação na outra 
extremidade. 
Na figura 1.15, uma viga uniforme de comprimento L e rigidez flexional EI, onde E é módulo de 
elasticidade (módulo de Young), e I, o momento de inércia de área em torno do eixo de 
curvatura, é mostrada. Essa viga está presa em uma extremidade e livre para se mover em 
translação na direção vertical na outra extremidade, com a restrição de que a inclinação da 
viga seja zero nessa extremidade. A rigidez equivalente dessa viga deve ser determinada 
quando a viga for submetida a um carregamento transversal F na extremidade em translação. 
 
 
 
Figura 1.15: Viga presa em uma extremidade e livre para se mover em translação na outra 
extremidade. 
 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 19 
 
 
Exemplo 1.5: Rigidez equivalente de um sistema microeletromecânico (MEMS) em flexão 
fixa-fixa. 
Um sistema de sensor microeletromecânico (MEMS) consistindo em quatro flexões é 
mostrado na figura. Cada um dos elementos em flexão está preso em uma extremidade e 
ligado a uma massa na outra extremidade. Cada elemento tem um comprimento L, uma 
espessura h e uma largura b. Um carregamento transversal atua sobre a massa na direção Z, 
que é normal ao plano X-Y. Cada elemento é fabricado com um material polisilício, que tem 
um módulo de elasticidade (módulo de Young) E = 150 GPa. Se o comprimento de cada 
elemento for 100m, e a largura e a espessura forem de 2 m, determine a rigidez equivalente 
do sistema. 
 
 
 
Figura 1.15: Viga presa em uma extremidade e livre para se mover em translação na outra 
extremidade. 
 
 
Exemplo 1.6: k equivalente de um sistema de suspensão 
A figura 1.16 mostra o sistema de suspensão de um vagão ferroviário de carga com um 
arranjo de molas em paralelo. Determine a constante elástica equivalente da suspensão se 
cada uma das três molas helicoidais for fabricada em aço comum módulo de elasticidade 
transversal G=80x109 N/m² e tiver cinco espirais efetivas, diâmetro médio do enrolamento 
D=20 cm, e diâmetro do arame d= 2 cm. 
 
 
Figura 1.16: Arranjo em paralelo de molas em um vagão ferroviário de carga. 
 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 20 
 
 
 
Exemplo 1.7: Constante elástica torcional de um eixo de um propulsor a hélice 
Determine a constante elástica torcional do eixo de hélice em aço mostrado na figura 1.17. 
 
 
Figura 1.17: Eixo de um propulsor a hélice. 
 
 
1.2.3 Outra forma de elementos de energiapotencial 
 
 Elemento de fluido 
Como um exemplo de elemento de fluido, considere o 
manômetro mostrado na figura 1.18, no qual o fluido é 
deslocado em um percurso x em um dos segmentos do 
manômetro. Consequentemente, o fluido foi deslocado em um 
percurso total de 2x. Se o fluido tiver uma densidade de 
massa ,e o manômetro tiver uma área A0, a magnitude da 
força total do fluido deslocado que atua sobre o restante do 
fluido será: 
 ( ) ( ) 
 
Consequentemente, a constante elástica equivalente do sistema de fluido será: 
 
 
 
 ( ) 
Que mostra claramente que a rigidez do elemento de fluido depende da densidade de 
massa , da área da seção transversal do manômetro A0 e da aceleração da gravidade g. A 
energia potencial correspondente é: 
 ( ) 
 
 
 
 
 ( ) 
 
1.2.4 Elementos de Dissipação 
Supõe-se que os elementos de amortecimento não têm inércia nem meios para 
armazenar ou liberar a energia potencial. O movimento mecânico aplicado a esses elementos é 
convertido em calor ou som e, dessa forma, eles são chamados não conservativos ou 
dissipativos, porque essa energia não é recuperável pelo sistema mecânico. 
Existem quatro tipos comuns de mecanismos de amortecimento utilizados na construção 
de modelos de sistemas vibratórios. Esses tipos são: 
 
Figura 1.18: Manômetro. 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 21 
 
 
a) Amortecimento viscoso; 
b) Amortecimento de Coulomb ou de atrito seco; 
c) Amortecimento material, sólido ou histerético; 
d) Amortecimento fluido. 
Em todos esses casos, a força de amortecimento é expressa como uma função da 
velocidade entre suas extremidades. 
 
1.2.4.1 Amortecimento viscoso 
Quando um fluido viscoso escoa através de uma fenda 
ou em torno de um pistão em um cilindro, a força de 
amortecimento gerada é proporcional à velocidade relativa 
entre as duas superfícies de limite que confinam o fluido. 
Uma representação comum de um amortecedor viscoso é 
um cilindro com cabeça de pistão, como mostra a figura 1.19. 
Nesse caso, a cabeça de pistão se move com velocidade 
 ̇ relativa à carcaça do cilindro, que está fixa. A magnitude da 
força do amortecimento F sempre atua no sentido oposto ao da 
velocidade. 
Dependendo da estrutura do amortecedor na faixa de velocidade, a magnitude da força 
do amortecimento F( ̇) é uma função não linear da velocidade ou pode ser aproximada como 
uma função linear da velocidade. No caso linear, a relação é expressa como: 
 
 ( ̇) ̇ ( ) 
Onde a constante de proporcionalidade, denotada por c, é chamada coeficiente de 
amortecimento. O coeficiente de amortecimento tem unidades de N/(m/s). O amortecimento 
viscoso da forma da pela equação 1.28, também é chamado de amortecimento de fluido lento 
ou amortecimento viscoso linear. 
Quando os amortecedores aparecem em associação, eles podem ser substituídos por um 
amortecedor equivalente adotando-se um procedimento semelhante ao especificado para 
mola. 
 
1.2.4.2 Amortecimento Coulomb ou por atrito seco 
Aqui, a magnitude da força de amortecimento é constante, mas no sentido oposto ao 
movimento do corpo vibratório. O amortecimento, nesse caso, é causado pelo atrito entre 
superfícies em contato que estejam secas ou não tenham lubrificação suficiente. 
 
1.2.4.3 Amortecimento material ou sólido ou por histerese 
Quando um material é deformado, ele absorve e dissipa energia. O efeito deve-se ao 
atrito entre os planos internos, que deslizam ou escorregam enquanto as deformações 
ocorrem. Quando um corpo com amortecimento material é sujeito à vibração, o diagrama 
tensão-deformação mostra um ciclo de histerese como indicado na figura 1.20. A área desse 
ciclo denota a energia perdida por unidade de volume do corpo por ciclo devido ao 
amortecimento. 
 
Figura 1.19: Representação de 
um amortecedor viscoso. 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 22 
 
 
 
Figura 1.20: Ciclo de histerese para materiais elásticos. 
1.2.4.4 Construção de amortecedores viscosos 
Um amortecedor viscoso pode ser construído usando-se duas placas paralelas 
separadas por uma distância h, com um fluido de viscosidade  entre as placas (Figura 1.20). 
Considere que uma das placas é fixa e a outra está movimentando-se com uma velocidade v 
em seu próprio plano. As camadas de fluido em contato com a placa em movimento movem-se 
com uma velocidade v, enquanto as que estão em contato com a placa fixa não se movem. 
Admite-se que as velocidades das camadas intermediárias de fluido variam linearmente entre 0 
e v, como mostra a figura 1.21. 
 
 
Figura 1.21: Placas paralelas com um fluido viscoso entre elas. 
 
Segundo a lei de Newton de fluxo viscoso, a tensão de cisalhamento ( ) desenvolvida na 
camada de fluido a uma distância y da placa fixa é dada por: 
 
 
 
 
 ( ) 
 
Onde du/dy = v/h é o gradiente de velocidade. A força de cisalhamento ou de resistência 
(F) desenvolvida na superfície inferior da placa em movimento é: 
 
 
 
 
 ( ) 
 
Onde A é a área da superfície da placa em movimento e 
 
 
 
 
 ( ) 
É denominado constante de amortecimento. 
Energia gasta (ABD) 
Energia recuperada (BCD) 
Tensão 
Deformação 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 23 
 
 
Exemplo 1.8: Folga em um mancal 
Verificou-se que um mancal, que pode ser aproximado como duas placas planas separadas 
por uma fina película de lubrificante (figura 1.22), oferece uma resistência de 400 N quando é 
usado óleo SAE30 como lubrificante e a velocidade relativa entre as placas é 10 m/s. Se a 
área das placas (A) for 0,1 m², determine a folga entre as placas. Suponha que a viscosidade 
absoluta do óleo SAE30 seja 50 reyn ou 0,3445 Pa.s. 
 
 
Figura 1.22: Placas planas separadas por uma fina película de lubrificante. 
 
Exemplo 1.9: Coeficiente de amortecimento equivalente e rigidez equivalente de um sistema 
vibratório 
Determine o coeficiente de amortecimento equivalente e a rigidez equivalente do sistema 
vibratório mostrado na figura 1.23. 
 
 
Figura 1.23: Sistema vibratório linear. 
 
Exemplo 1.10: Projeto de um amortecedor de placas paralelas 
Um amortecedor de placas paralelas com uma placa superior de dimensões 100 mm x 100 
mm deve ser puxado através de uma camada de óleo de 0,2 mm de espessura, confinada 
entre a placa móvel e a placa fixa. O óleo é do tipo SAE30, cuja viscosidade é de 0,3445 Pa.s. 
Determine o coeficiente de amortecimento. 
 
 
1.2.5 Análise da modelagem física 
O objetivo é representar esquematicamente todas as propriedades importantes do 
sistema, visando reduzir as equações que descrevem o seu comportamento. Deve haver um 
compromisso entre simplicidade do modelo e a precisão obtida, ou seja, o modelo deve ser o 
mais simples possível, porém mantendo as propriedades principais do sistema. A seguir, dois 
exemplos de modelagem física com refinamentos do modelo. 
A seguir temos um exemplo de modelagem física de uma prensa mecânica: 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 24 
 
 
 
Figura 1.24: Modelagem de um martelo de forjar. 
 1º Modelamento (1 GDL): 
 
Figura 1.25: Representação do martelo de forjar com 1 GDL. 
 
O deslocamento vertical x1 do conjunto bigorna + fundação, ou seja, com apenas 1 GDL. 
 
 
 
 2º Modelamento (2 GDL): 
 
Figura 1.26: Representação da Prensa Mecânica com 2 GDL. 
Martelo-pistão 
Suporte 
Bigorna 
Coxim elástico 
Bloco de base 
Solo 
Martelo-pistão 
Rigidez do solo Amortecimento do solo 
Bigorna e bloco da 
baseMartelo-pistão 
 Bigorna 
Rigidez do coxim elástico Amortecimento do coxim 
elástico 
Rigidez do solo Amortecimento do solo 
 Bloco de base 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 25 
 
 
 
O modelo físico do mesmo sistema com 2 GDL utilizando o deslocamento vertical x1 para 
a bigorna e o deslocamento vertical x2 para a fundação. Evidentemente, o modelo com 2 GDL 
é mais refinado, porém apresenta uma maior complexidade matemática. 
Agora vamos realizar a modelagem física de um sistema composto pelo conjunto 
motociclista + motocicleta. 
 
Figura 1.27: Conjunto Motocicleta + Motociclista. 
 
 1º Modelamento (1 GDL): 
 
Figura 1.28: Representação do Conjunto Motocicleta + Motociclista com 1 GDL. 
 
Temos apenas 1 GDL, o deslocamento vertical da massa equivalente às massas das 
rodas, da motocicleta e do motociclista; na figura 1.28. 
 
 2ª Modelamento (3 GDL): 
 
 
Figura 1.29: Representação do Conjunto Motocicleta + Motociclista com 3 GDL. 
 
Agora a quantidade de GDL aumentou para 3; os deslocamentos verticais das massas e 
a rotação da massa que engloba a moto + motociclista em torno de um eixo horizontal 
perpendicular ao plano do papel e passando pelo centro de massa do conjunto; 
Motociclista 
Longarina 
Longarina 
Pneu 
Roda 
Rodas, moto, motociclista 
Pneus, suspensões, 
motociclista 
Suspensões, motociclista 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 26 
 
 
 3ª Modelamento (4 GDL): 
 
Figura 1.30: Representação do Conjunto Motocicleta + Motociclista com 4 GDL. 
 
E finalmente temos acrescentado, em relação ao modelo da anterior, mais 1 GDL, que é 
o deslocamento vertical do corpo do motociclista, perfazendo um total de 4 GDL. Esse último 
modelo está mais próximo da realidade do que os anteriores, embora a complexidade 
matemática decorrente seja bem maior. 
 
1.2.6 Projeto para Vibração 
Os princípios que governam os sistemas de um grau de liberdade, múltiplos graus de 
liberdade e contínuos são abordados apresentados nesta apostila, e apresentados juntamente 
com as informações necessárias para a investigação experimental, numérica e analítica de um 
sistema vibratório. Na figura 1.31, é apresentado como esses diferentes aspectos são 
utilizados para projetar um sistema com características específicas de vibração. 
 
 
Figura 1.31: Projeto de vibração 
Índices: 
t: pneu v: veículo 
w: roda r: motociclista 
s: longarina eq: equivalente 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 27 
 
 
 
Exercícios 
 
1. Calcule a rigidez equivalente ( ) para cada um dos sistemas massa-mola não-amortecidos 
mostrados abaixo. 
(a) (b) (c) 
 
2. Determine a rigidez equivalente do sistema mostrado na figura a seguir, usando o 
deslocamento do bloco como uma coordenada generalizada. 
 
 
3. Represente o sistema vibratório dado na figura abaixo como um sistema vibratório 
equivalente com massa m, rigidez equivalente ke e coeficiente de amortecimento equivalente 
ce. Cada rigidez tem valor 1000 N/m e cada constante de amortecimento o valor 30 Ns/m. 
 
 
4. Determine a constante elástica equivalente do sistema mostrado na figura abaixo, sabendo 
que cada k tem valor de 300 N/m. 
 
 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 28 
 
 
5. Uma máquina de massa m=500kg está montada sobre um viga de aço simplesmente 
apoiada de comprimento l=2m, seção transversal retangular (profundidade = 0,1m, largura 
=1,2m) e módulo Young E = 2,06 x 1011 N/m². Para reduzir a deflexão vertical da viga, uma 
mola de rigidez k é acoplada ao ponto central do vão, como mostra a figura. Determine o valor 
de k necessário para reduzir a deflexão da viga em: 
(a) 25% de seu valor original; 
(b) 50% de seu valor original; 
(c) 75% de seu valor original. 
Admita que a massa da viga seja desprezível. 
 
 
6. Um tambor de içamento equipado com um cabo de aço é montado na extremidade de uma 
viga em balanço como mostrado na figura abaixo. Determine a constante elástica equivalente 
do sistema quando o comprimento de suspensão do cabo é L. Admita que o diâmetro efetivo 
da seção transversal do cabo é d e que o módulo de Young da viga e do cabo é E. 
 
7. Na figura abaixo, determine a constante elástica equivalente do sistema na direção de . 
 
8. Considere duas molas helicoidais com as seguintes características: 
Mola 1: material: aço; número de esperas: 10; Diâmetro médio do enrolamento: 12 in; 
Diâmetro do arame: 2 in; comprimento livre: 15 in; Módulo de elasticidade transversal: 12 x 106 
psi. 
Mola 2: material: alumínio; número de espiras: 10; Diâmetro médio do enrolamento: 10 in; 
diâmetro do arame: 1 in; comprimento livre: 15 in; Módulo de elasticidade transversal 4 x 106 
psi. 
Determine a constante elástica equivalente quanto (a) a mola 2 é colocada dentro da mola 1, e 
(b) a mola 2 é colocada sobre a mola 1. 
 
9. Determine o comprimento equivalente Le de uma mola de seção transversal constante de 
diâmetro d2 que tem a mesma constante elástica da mola cônica mostrada no Caso 2 da tabela 
1.3. As duas molas têm o mesmo módulo de Young E. 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 29 
 
 
10. Determine a rigidez equivalente de cada sistema mostrado na figura abaixo. Cada sistema 
consiste de três molas lineares com rigidez k1 = 10 N/m; k2 = 20 N/m e k3 = 5 N/m. 
 
11. Para o sistema de molas de translação e torção mostrada na figura abaixo, determine a 
constante elástica equivalente para oscilações torcionais. O disco tem um raio R, e as molas de 
translação são tangentes ao disco no ponto de ligação. 
 
12. Determine uma única constante de amortecimento equivalente para os seguintes casos 
a) Quando três amortecedores estão em paralelo. 
b) Quando três amortecedores estão em série. 
c) Quando três amortecedores estão conectados a uma barra rígida (figura a) e o amortecedor 
equivalente está no ponto c1. 
d) Quando três amortecedores torcionais estão localizados a eixos engrenados (figura b) e o 
amortecedor equivalente está no ponto ct1. 
(a) (b) 
Sugestão: A energia dissipada por um amortecedor viscoso em um ciclo durante o movimento 
harmônico circular é dada por , onde c é a constante de amortecimento, é a frequência e X é a 
amplitude de oscilação. 
 
13. A constante de amortecimento (c) do amortecedor pistão-cilindro mostrado na figura é dado 
por: 
 
 
 
6( 
 
 
)
 
 7 [
 
 
 
 
 ] 
 
Determine a constante de amortecimento do amortecedor para os seguintes dados: = 0,3445 
Pa.s, =10cm, h = 0,1 cm, a = 2 cm, r = 0,5 cm. 
 
14. No problema 13, usando os dados apresentados como referência, determine a variação da 
constante de amortecimento c quando: 
a) r varia de 0,5cm a 1,0 cm. b) h varia de 0,05cm a 0,10 cm c) a varia de 2 cm a 4 cm. 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 30 
 
 
 
 
 
 
 
2.1 Introdução 
2.2 Vibração livre de um sistema de translação não amortecido 
2.2.1 Equação do movimento pela segunda lei do movimento de Newton 
2.2.2 Equação do movimento por outros métodos 
2.2.3 Equação do movimento de um sistema massa-mola em posição vertical 
2.2.4 Solução da equação do movimento 
2.2.5 Movimento harmônico 
2.3 Vibração livre de um sistema torcional não amortecido 
2.3.1 Equação do movimento 
2.3.2 Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1 Introdução 
onsidera-se que um sistema sofre vibração livre quando oscila somente sob 
uma perturbação inicial, sem a ação de nenhuma força após essa 
perturbação inicial. As oscilações do pêndulo de um relógio de armário e o 
movimento de uma criança em um balanço após o empurrão inicial 
representam alguns exemplosde vibração livre. 
C 
2 
 
As oscilações livres dos sistemas são fatores importantes que devem ser considerados para o 
estabelecimento de operações eficazes em um sistema. No caso de um helicóptero ou 
guindaste de navio, as oscilações da carga devem ser consideradas para que as operações de 
transferência de carga sejam executadas com segurança. 
Na turbina eólica, a massa das 
hélices é apoiada pela coluna, que 
funciona como uma mola. 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 31 
 
 
A figura 2.1(a) mostra um sistema massa-mola que representa o sistema vibratório mais 
simples possível. É denominado um sistema com um grau de liberdade visto que a coordenada 
(x) é suficiente para especificar a posição da massa a qualquer tempo. Não há nenhuma força 
externa aplicada à massa; por consequência, o movimento resultante de uma perturbação 
inicial será uma vibração livre. Uma vez que não existe nenhum elemento que cause 
dissipação de energia durante o movimento da massa, a amplitude do movimento permanece 
constante ao longo do tempo; é um sistema não amortecido. 
O estudo da vibração livre de sistemas com um grau de liberdade, amortecidos e não 
amortecidos, é fundamental para o entendimento de questões mais avançadas de vibrações. 
 
Figura 2.1: Sistema massa-mola em posição horizontal. 
 
Os elementos do sistema came-seguidor (haste de 
comando, balancim, válvula e mola da válvula) são todos 
elásticos, mas podem ser reduzidos a uma única mola 
equivalente de rigidez keq. Assim, para uma análise 
simples, o sistema came-seguidor pode ser idealizado 
como um sistema massa-mola com um grau de liberdade, 
como mostra a figura 2.2. 
De maneira semelhante, a estrutura apresentada na 
figura 2.3(a) pode ser considerada uma viga em balanço 
fixada no solo. 
Para o estudo da vibração transversal, a massa que 
está na parte superior pode ser considerada uma massa 
pontual, e a estrutura do suporte (viga) pode ser 
aproximada como uma mola para obter o modelo com um 
grau de liberdade exposto na figura 2.3(b) e (c). 
 
(a) (b) (c) 
Figura 2.3: (a) Obelisco Espacial, uma torre com 184 metros de altura, Seattle. (b) Idealização da 
estrutura alta. (c) Sistema massa-mola equivalente. 
 
Figura 2.2: Sistema massa-mola 
equivalente para o sistema came-
seguidor. 
 
 
Comprimento 
livre 
Comprimento 
distendido 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 32 
 
 
A estrutura de edifício mostra a figura 2.4(a) também pode ser idealizada como um 
sistema massa-mola, como se pode ver na figura 2.4(b). Nesse caso visto que a constante 
elástica da mola, k, é a mera razão entre força e deflexão, ela pode ser determinada pelas 
propriedades geométricas e materiais das colunas. A massa do sistema idealizado é igual à 
massa do piso, se considerar que a massa das colunas é desprezível. 
 
 
 
Figura 2.4: Idealização da estrutura de um edifício. 
 
2.2 Vibração livre de um sistema de translação não amortecido 
 
2.2.1 Equação do movimento pela segunda lei do movimento de Newton 
Nesta seção, usaremos a segunda lei de movimento de Newton para obter a equação de 
movimento. O procedimento utilizado pode ser resumido em: 
(I) Seleção de uma coordenada adequada para descrever a posição da massa ou do 
corpo rígido no sistema; 
(II) Determinação da configuração de equilíbrio estático do sistema; 
(III) Medição do deslocamento da massa ou do corpo rígido em relação à sua posição de 
equilíbrio; 
(IV) Desenho do diagrama de corpo livre da massa ou corpo rígido quando submetido a 
um deslocamento positivo e a uma velocidade; 
(V) Aplicação da segunda lei do movimento de Newton à massa ou corpo rígido. 
 
Assim, se a massa m for deslocada por uma distância ⃗( ) quando uma força resultante 
 ⃗( ) agir sobre ela na mesma direção, a segunda lei do movimento de Newton resulta em: 
 
 ⃗( ) 
 
 
4 
 ⃗( )
 
5 
 
Se a massa m for constante, essa equação se reduz a: 
 
 ⃗( ) 
 
 
4 
 ⃗( )
 
5 ̈ ( ) 
Onde 
 ̈ 
 ⃗( )
 
 
É a aceleração da massa. A equação 2.1 pode ser enunciada em palavras como: 
(b) Sistema massa-mola 
equivalente (a) Estrutura do edifício 
Colunas elásticas 
(massa é desprezível) 
Piso rígido 
(massa = m) 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 33 
 
 
Força resultante sobre a massa = Massa x Aceleração 
 
Para um corpo rígido sujeito a movimento rotacional, a lei de Newton resulta em: 
 
 ⃗⃗⃗( ) ̈ ( ) 
 
Onde ⃗⃗⃗ é momento resultante que age sobre o corpo, e e ̈ =d²(t)/dt² são o 
deslocamento angular e a aceleração angular resultantes, respectivamente. A equação (2.1) ou 
a (2.2) representa a equação de movimento do sistema vibratório. 
Agora, o procedimento é aplicado ao sistema não amortecido com um grau de liberdade 
mostrado na figura 2.1(a). Nesse caso, a massa está apoiada sobre roletes sem atrito e pode 
ter movimento de translação no sentido horizontal. 
Quando a massa é deslocada a uma distância +x em relação à sua posição de equilíbrio 
estático, a força na mola é kx, e o diagrama de corpo livre da massa pode ser representado 
como mostra a figura 2.1(c). 
A aplicação da equação 2.1 à massa m resulta na equação de movimento. 
 
 ( ) ̈ 
Ou 
 ̈ ( ) 
 
2.2.2 Equação do movimento por outros métodos 
As equações de movimento de um sistema vibratório podem ser derivadas por vários 
métodos como: o Princípio de D’Alembert, o principio dos deslocamentos virtuais e o princípio 
da conservação de energia. 
Princípio da conservação da energia: Diz-se que um sistema é conservativo se nenhuma 
energia for perdida devido a atrito ou membros não elásticos que dissipam energia. Visto que a 
energia de um sistema vibratório é parcialmente potencial e parcialmente cinética, a soma 
dessas duas energias permanece constante. 
A energia cinética T é armazenada na massa em virtude de sua velocidade, e a energia 
potencial U é armazenada na mola em virtude de sua deformação elástica. Assim, o princípio 
de conservação de energia pode ser expresso como: 
 
T + U = Constante 
Ou 
 
 
( ) ( ) 
 
As energias cinética e potencial são dadas por: 
 
 
 
 ̇ ( ) 
E 
 
 
 
 ( ) 
A substituição das equações (2.5) e (2.6) na equação (2.4) dá a equação desejada: 
 
 ̈ ( ) 
 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 34 
 
 
2.2.3 Equação de movimento de um sistema massa-mola em posição vertical 
Considere a configuração do sistema massa-mola mostrada na figura 2.5(a). A massa 
está pendurada na extremidade inferior de uma mola cuja extremidade superior, por sua vez, 
está ligada a um suporte rígido. 
 
Figura 2.5: Um sistema massa-mola em posição vertical. 
 
Em repouso, a massa penderá em uma posição denominada posição de equilíbrio 
estático, na qual a força da mola dirigida para cima equilibra exatamente a força gravitacional 
dirigida para baixo que age sobre a massa. 
Nessa posição, o comprimento da mola é , onde é a deflexão estática – o 
alongamento devido ao peso W da massa m. Pela figura 2.5(a), constatamos que, para 
equilíbrio estático. 
 ( ) 
 
Onde g é a aceleração da gravidade. Se a massa sofrer uma deflexão até uma distância 
+x em relação à sua posição de equilíbrio estático, então a força da mola é ( ), como 
mostra a figura 2.5(c). A aplicação da segunda lei do movimento de Newton à massa m dá: 
 
 ̈ ( ) 
 
E, visto que , obtém-se: 
 
 ̈( ) 
 
Observe que as equações (2.3) e (2.8) são idênticas. Isso indica que, quando a massa se 
movimenta em uma direção vertical, podemos ignorar seu peso, contanto que x seja medida 
em relação á sua posição de equilíbrio estático. 
 
 
Posição de equilíbrio estático 
Posição final 
Força de mola 
Energia potencial 
Posição de equilíbrio estático 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 35 
 
 
2.2.4 Solução da equação do movimento 
Partindo da equação do movimento encontrada anteriormente, temos: 
 
 ̈ 
 
Dividindo a equação anterior por m tem-se: 
 
 ̈( ) 
 
 
 ( ) ( ) 
 
Definindo a frequência angular natural não-amortecida em rad/s. 
 
 √
 
 
 ( ) 
 
Substituindo a equação 2.10 na equação 2.9 tem-se: 
 
 ̈( ) 
 ( ) 
 
Para encontrar as equações da posição, velocidade e aceleração, temos duas soluções e 
são elas: 
 
 
 
Com uma solução geral, temos: 
 
 ( ) ( ) 
 
Onde e são constantes e podem ser determinadas pelas condições iniciais do 
sistema. Duas condições devem ser especificadas para avaliar essas constantes 
inequivocamente. Observe que o número de condições a especificar é igual à ordem da 
equação diferencial governante. No presente caso, se os valores do deslocamento ( ) e da 
velocidade ̇( ) ( ( ) ) forem especificados como e ̇ em t = 0, temos, pela equação 
2.11, 
 
 ( ) 
 ̇( ) ̇ 
 
Por consequência, e ̇ . Assim, a solução da equação movimento 
sujeita às condições iniciais é dada por: 
 
 ( ) 
 ̇ 
 
 ( ) 
 
Os valores máximos dos módulos da velocidade e aceleração são: 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 36 
 
 
( ) 
( ) 
2.2.5 Movimento Harmônico 
As equações 2.11 e 2.12 são funções harmônicas do tempo. O movimento é simétrico em 
relação à posição de equilíbrio da massa m. A velocidade é um máximo, e a aceleração é zero 
toda vez que a massa passa por essa posição. Nos deslocamentos extremos, a velocidade é 
zero e a aceleração é um máximo. Visto que isso representa movimento harmônico simples, o 
próprio sistema massa-mola é denominado um oscilador harmônico. A quantidade dada 
pela equação 2.10 representa a frequência natural de vibração do sistema. 
A equação 2.11 pode ser expressa de uma forma diferente com a introdução da notação: 
 
 
 ( ) 
 
onde A e são novas constantes, que podem ser expressas em termos de e 
como: 
 ( 
 
 ) [ 
 .
 ̇ 
 
/
 
]
 
 
 
 (
 
 
) (
 ̇ 
 
) 
 
Introduzindo a equação 2.15 na equação 2.11, a solução pode ser escrita como: 
 
 ( ) ( ) ( ) 
 
Usando as relações 
 
 
 
 
A equação 2.11 também pode ser expressa como: 
 
 ( ) ( ) ( ) 
Onde: 
 6 
 (
 ̇ 
 
)
 
7
 
 
 ( ) 
E 
 
 (
 
 ̇ 
) ( ) 
 
A seguir temos uma representação gráfica do movimento de oscilação harmônica: 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 37 
 
 
 
Figura 2.6: Representação gráfica do movimento de um oscilador harmônico. 
 
 
Observações: 
 
1 – Se o sistema massa-mola estiver em uma posição vertical, como a figura seguir, a 
frequência natural circular pode ser expressa como: 
 √
 
 
 
A constante elástica da mola, k, pode ser expressa em termos da massa m pela seguinte 
equação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A substituição da equação anterior na equação 2.6 dá 
 √
 
 
 
Por consequência, a frequência natural em ciclos por segundo e o período natural são 
dados por: 
Máximo de velocidade 
Amplitude 
Inclinação = 𝑥 ̇ 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 38 
 
 
 
 
 
√
 
 
 
 
 
 
 
 √
 
 
 
Assim, quando a massa vibra em sentido vertical, podemos calcular a frequência natural 
e o período de vibração pela simples medição da deflexão estática . Não é necessário saber 
qual é a rigidez da mola, k, e a massa da mola, m. 
 
2 – Pela equação 2.17, a velocidade ̇( ) e a aceleração ̈( ) da massa m no tempo t 
pode ser obtida como: 
 ̇( ) 
 ( )
 
 ( ) 
 
 . 
 
 
/ 
 
 ̈( ) 
 ( )
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) ( ) 
 
A equação 2.22 mostra que a velocidade está adiantada (defasada) em relação ao 
deslocamento por ⁄ e a aceleração esta adiantada (defasada) em relação ao deslocamento 
por . 
 
3 – Se o deslocamento inicial ( ) for zero, a equação 2.17 torna-se: 
 
 ( ) 
 ̇ 
 
 . 
 
 
/ 
 ̇ 
 
 
 
Contudo, se a velocidade inicial ( ̇ ) for zero, a solução torna-se: 
 
 ( ) 
 
 
Exemplo 2.1: Módulo de Young pela medição da frequência natural 
Constata-se que uma viga simples bi engastada com seção transversal quadrada de 5 mm x 5 
mm e comprimento de 1 m, que suporta uma massa de 2,3 kg em seu ponto médio tem uma 
frequência natural de vibração transversal de 30 rad/s. Determine o módulo de Young (E) da 
viga. 
 
 
 
 
 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 39 
 
 
Exemplo 2.2: Determinação da frequência natural 
Um corpo de massa desconhecida é colocada sobre uma mola sem peso, que se comprime 
2,54 cm. Determine (a) a frequência natural de vibrações do sistema massa mola; (b) a 
frequência natural em ciclos por segundo e (c) o período natural. 
 
 
Exemplo 2.3: Determinação da constante elástica 
Quando um colar de 3 kg é colocado sobre o prato que é preso à mola de rigidez 
desconhecida, observa-se que a deflexão estática adicional do prato é de 42 mm. Determine a 
constante elástica da mola. 
 
 
Exemplo 2.4: Resposta harmônica de uma caixa d’água 
A coluna da caixa d’água mostrada na figura ao lado, tem 300 ft de altura e é feita de concreto 
reforçado com uma seção transversal tubular de 8 ft de diâmetro interno e 10 ft de diâmetro 
externo. A caixa d’água pesa 2,76 x 105 lb quando está cheia. Desprezando a massa da 
coluna e admitindo que o módulo de Young do concreto reforçado seja 4 x 106 psi, determine o 
seguinte: 
(a) A frequência natural e o período natural de vibração transversal da caixa d’água; 
(b) A resposta de vibração da caixa d’água resultante de um deslocamento transversal inicial 
de 10 in; 
(c) Os valores máximos da velocidade e da aceleração experimentados pela caixa d’água. 
 
Figura 2.7: Reservatório elevado. 
 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 40 
 
 
 
Exemplo 2.5: 
Um corpo de 10 kg é suspenso por uma mola de rigidez k=2,5 kN/m. No tempo de t=0 ele 
possui uma ̇= 0,5 m/s para baixo quando para pela posição de equilíbrio estático. Determine: 
(a) Deslocamento estático da mola; 
(b) Frequência natural do sistema em rad/s e em Hz; 
(c) Período do sistema; 
(d) Deslocamento x em função do tempo, onde x é medido a partir da posição de equilíbrio 
estático; 
(e) A velocidade máxima alcançada pela massa; 
(f) Aceleração máxima alcançada pela massa. 
 
 
2.3 Vibração livre de um sistema torcional não amortecido 
 
2.3.1 Equação do movimento 
Observe a figura 2.8: 
 
Figura 2.8: Vibração por torção de um disco. 
 
A vibração livre, gerada por umacondição inicial, é regida por uma equação resultante da 
aplicação da segunda Lei de Newton ao movimento angular, em que os esforços atuantes 
estão mostrados no diagrama de corpo livre da figura 2.8 (b), resultando em: 
 
 ̈ ( ) 
 
que podemos verificar que é idêntica à equação 2.3, se o momento de inércia de massa polar 
 , o deslocamento angular e a constante elástica torcional kt forem substituídos pela massa 
m, deslocamento x e a constante elástica linear k, respectivamente. Assim, a frequência natural 
circular do sistema torcional é: 
 
 √
 
 
 ( ) 
e o período e a frequência de vibração em ciclos por segundo são: 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 41 
 
 
 √
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
√
 
 
 ( ) 
 
Observe os seguintes aspectos desse sistema: 
1. Se a seção transversal do eixo que suporta o disco não for circular, a constante de 
rigidez deverá ser calculada apropriadamente através dos métodos de Resistência dos 
Materiais. 
2. O momento de inércia de massa polar de um disco é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
onde  é a densidade da massa, h é a espessura, D é o diâmetro e W é o peso do 
disco. 
3. O sistema de mola de torção-inércia mostrado na figura 2.8 é denominado pêndulo de 
torção. Uma das mais importantes aplicações de um pêndulo de torção é em relógios 
mecânicos, nos quais um sistema catraca-lingueta converte a oscilação regular de um 
pequeno pêndulo de torção nos movimentos dos ponteiros. 
 
2.3.2 Solução 
 
A solução geral da equação 2.23 pode ser obtida, como no caso da equação 2.3: 
 
 ( ) ( ) 
 
Onde é dado pela equação 2.24 e A1 e A2 podem ser determinados pelas condições 
iniciais. Se: 
 
 ( ) ̇( ) 
 
 
( ) ̇ ( ) 
 
As constantes A1 e A2 podem ser determinadas: 
 
 
 
 ̇
 
⁄ 
Com isso, a solução da equação se transforma em: 
 
 ( ) 
 ̇
 
 ( ) 
 
A equação 2.30 representa um movimento oscilatório de frequência igual a que 
depende, exclusivamente das condições iniciais. 
 
 
 
 ( ) 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 42 
 
 
Exemplo 2.6: Frequência natural de pêndulo composto 
Qualquer corpo rígido articulado em um ponto que não seja seu centro de massa oscilará em 
relação ao ponto de articulação sob sua própria força gravitacional. Tal sistema é conhecido 
como um pêndulo composto, mostrado na figura. Determine a frequência natural desse 
sistema. 
 
 
 
 
Exercícios 
 
15. Determine a velocidade máxima e a aceleração máxima de uma partícula que se move em 
movimento harmônico simples com uma amplitude de 5 mm e um período de 0,1 s. 
 
16. Um homem de 90 kg fica de pé na extremidade de um trampolim, causando um 
deslocamento nessa posição. Se ele flexionar seus joelhos levemente, de modo a provocar 
uma vibração na direção vertical, com período de 0,6s, qual é a deflexão estática causada pelo 
homem na extremidade do trampolim? Admita um comportamento elástico do trampolim e 
despreze sua massa relativamente pequena. 
 
 
17. Uma prensa industrial está montada sobre almofadas de borracha, a fim de evitar a 
transmissão de vibrações para a vizinhança. Quando da montagem, verificou-se que os 
isoladores deformaram 5 mm devido ao peso da prensa. Achar a frequência natural do sistema. 
 
18. Uma torre de resfriamento de uma unidade de condicionamento de ar pesa 8900 N e deve 
ser montada sobre 4 molas de ar. Calcular a rigidez que deve ter cada mola de tal modo que a 
frequência natural da unidade seja 7,5 rad/s. 
 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 43 
 
 
19. O cilindro de um servomecanismo da figura possui um pistão com m = 0,3 kg associado a 
uma mola helicoidal de d =1 mm, D = 10 mm, 10 espiras ativas e G = 1,05 x 1011 Pa. 
Determinar a frequência natural da vibração do pistão se não há óleo no cilindro. 
 
20. Determine a amplitude e a velocidade máxima de uma partícula que se move em 
movimento harmônico simples com uma aceleração máxima de 60 mm/s² e uma frequência de 
40 Hz. 
 
21. Uma chave de comando elétrica é suportada por um guindaste por meio de dois cabos de 
aço de 4 m de comprimento e 12 mm de diâmetro cada. Se o período natural de vibração axial 
da chave for 0,2 s, determine a massa da chave. 
 
22. Determine a frequência natural do sistema massa-mola mostrado na figura em rad/s e em 
ciclos /s (Hz). 
 
23. Resolva a equação ̈ para k = 4N/m, m= 1kg, x0= 1mm e v0= 0. Sabemos que a 
solução da equação diferencial acima é ( ) ( ) ( ). 
 
24. Um sistema massa-mola tem um período natural de 0,21 s. Qual será o novo período se a 
constante elástica for: 
a) aumentada em 50 %. 
b) reduzida em 50 %. 
 
25. Considere um bloco de 6 kg suspenso por uma mola de rigidez k = 200 N/m. Comunica-se 
ao bloco uma velocidade de 0,4 m/s para cima quando este está 75 mm acima da sua posição 
de equilíbrio. Determine a equação que descreve o movimento do bloco. 
 
26. Durante o projeto de um sistema de apoio com molas uma plataforma de pesagem de 4000 
kg, foi decidido que a frequência de vibração livre vertical na condição descarregada não deve 
exceder 3 ciclos por segundo. (a) Determine a constante de mola máxima aceitável k para cada 
uma das três molas idênticas. (b) para essa constante de mola, qual seria a frequência natural 
 da vibração vertical da plataforma carregada por um caminhão de 40 t? 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 44 
 
 
27. Quando se prende um bloco de 3 kg com uma mola esta se alonga 60 mm. Determine a 
frequência natural e o período de vibração para um bloco de 0,2 kg ligado à mola. 
 
28. Quando se suspende uma massa de 9,1 kg por uma mola esta se alonga 101,6mm. 
Determine a frequência natural e o período de vibração correspondente para uma massa de 
4,54 kg ligada à mola. 
 
29. Um praticante de bungee jumping que pesa 160 lb amarra uma extremidade de uma corda 
elástica de comprimento 200 ft e rigidez 10 lb/in a uma ponte e a outra extremidade a si mesmo 
e pula da ponte. Admitindo que a ponte seja rígida, determine o movimento vibratório do rapaz 
em relação à sua posição de equilíbrio estático. 
 
30. As molas de suspensão de um automóvel cuja massa é 2.000 kg sofrem uma deflexão de 
0,02 m sob condições estáticas. Determine a frequência natural do automóvel no sentido 
vertical, considerando o amortecimento desprezível. 
 
31. Determine a frequência natural do sistema massa mola tanto em rad/s quanto por ciclos por 
segundo. Dados: k = 100 N/m e m = 30 kg. 
 
32. Para o sistema massa mola do problema anterior determine: 
(a) A posição x da massa em função do tempo se a massa for solta do repouso no tempo t = 0 
de uma posição 50 mm à esquerda da posição de equilíbrio; 
(b) A velocidade e a aceleração máximas da massa em um ciclo de movimento. 
 
33. Para o sistema mostrado abaixo, calcule: 
 
(a) Rigidez equivalente do sistema; 
(b) A frequência natural em rad/s e em ciclos por segundo; 
(c) O período de oscilação natural. 
 
34. Três molas e uma massa estão ligadas a uma barra rígida sem peso PQ, como mostra a 
figura abaixo. Determine a frequência natural de vibração do sistema. 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 45 
 
 
35. Uma unidade de resfriamento de ar com peso de 2000 lb deve ser apoiada por quatro 
molas de ar. Calcule as molas de ar de modo que a frequência natural de vibração da unidade 
fique entre 5 e 10 rad/s.36. A velocidade máxima obtida pela massa de um oscilador harmônico simples é 10 cm/s, e o 
período de oscilação é 2 s. Se a massa for solta com um deslocamento inicial de 2 cm, 
determine: (a) a amplitude; (b) a velocidade inicial; (c) a aceleração máxima; (d) o ângulo de 
fase. 
 
 
37. O manômetro inclinado mostrado abaixo é usado para medir pressão. Se o comprimento 
total de mercúrio no tubo for L, determine uma expressão para a frequência natural de 
oscilação do mercúrio. 
 
38. Um pacote de instrumento B é colocado na mesa C como mostrado na figura. A mesa foi 
projetada para se deslocar horizontalmente em movimento harmônico simples com uma 
frequência de 3 Hz. Sabendo que o coeficiente de atrito estático é igual a 0,40, determine a 
maior amplitude possível do movimento para que o pacote não deslize na mesa. 
 
39. Derive uma expressão para a frequência natural do pêndulo simples mostrado na figura 
abaixo. (a) Determine o período de oscilação de um pêndulo simples com massa m = 5 kg e 
comprimento l = 0,5 in.(b) Se esse mesmo pêndulo for colocado dentro de um foguete que se 
movimenta em sentido vertical com uma aceleração 5 m/s², qual será seu período de 
oscilação? 
 
40. Um bloco de 15 kg é suportado pela mola. Se o bloco é movido verticalmente para baixo 
até sua posição de equilíbrio e liberado, determine (a) o período e a frequência do movimento 
resultante, (b) a velocidade máxima e a aceleração máxima do bloco se a amplitude de seu 
movimento é de 50 mm. 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 46 
 
 
 
41. Um pêndulo simples consistindo de um peso ligado a uma corda oscila em um plano 
vertical com um período de 1,3s. Considerando um movimento harmônico simples e sabendo 
que a velocidade máxima do pêndulo é de 400 mm/s, determine (a) a amplitude do movimento 
em graus, (b) a aceleração tangencial máxima do peso. 
 
 
42. Uma caixa de instrumento A está aparafusada numa mesa vibratória como mostrado na 
figura. A mesa se movimenta verticalmente em movimento harmônico simples na mesma 
frequência do motor de rotação variável que a impulsiona. A caixa deve ser testada para uma 
aceleração de pico de 50 m/s². Sabendo que a amplitude da mesa vibratória é de 60 mm, 
determine (a) a rotação requerida do motor em RPM, (b) a velocidade máxima da mesa. 
 
 
43. Um braço de robô de seleção e posicionamento, mostrado abaixo, transporta um objeto 
que pesa 10 lb. Determine a frequência natural do braço de robô na direção axial para os 
seguintes dados: l1 = 12 in, l2 = 10 in, l3 = 8 in; E1 = E2 = E3 =10
7 psi; D1 = 2 in. D2 = 1,5 in, D3 = 1 in; d1 = 
1,75 in, d2 = 1,25 in, d3 = 0,75. 
 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 47 
 
 
44. Um colar C de 8 kg pode deslizar sem atrito sobre uma barra horizontal entre duas molas 
idênticas A e B nas quais não está preso. Cada mola tem uma constante k = 600 N/m. O colar 
é empurrado para a esquerda contra a mola A, comprimindo esta em 20 mm, e liberado na 
posição mostra na figura. Ele então desliza ao longo da barra para a direita e atinge a mola B. 
Após comprimir esta mola em 20 mm, o colar desliza para esquerda e atinge a mola A, que é 
comprimida de 20 mm. O ciclo é então repetido. Determine (A) o período do movimento do 
colar, (B) a velocidade do colar 1,5 s depois de ter sido liberado. (Nota: isto é um movimento 
periódico, mas não um movimento harmônico simples.) 
 
 
45. Observou-se que o período de vibração do sistema mostrado na figura é de 0,6 s. Após o 
cilindro B ser removido, o período observado é de 0,5 s. Determine (a) a massa do cilindro A, 
(b) a constante da mola. 
 
 
46. Quando o bloco A com uma massa de 5 kg está ligado ao bloco B, a frequência natural do 
sistema combinado é reduzida de 30% em comparação com o valor que teria somente com o 
bloco B. Qual é a massa do bloco B? 
 
 
 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 48 
 
 
 
 
 
 
 
3.1 Equação do movimento 
3.2 Solução 
3.2.1 Caso 1: Sistema sub amortecido 
3.2.2 Caso 2: Sistema criticamente amortecido 
3.2.3 Caso 3: Sistema superamortecido 
3.3 Decremento logarítmico 
3.4 Energia dissipada em amortecimento viscoso 
3.5 Sistemas torcionais com amortecimento viscoso 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.1 Equação do movimento 
 
Na natureza não existe uma vibração sem nenhum amortecimento. Por menor que seja 
ele sempre está presente. Este amortecimento será responsável pela atenuação do 
movimento, tendendo a diminuir a sua amplitude com o tempo. 
A força de amortecimento viscoso, F, é proporcional à velocidade ̇ e pode ser expressa 
como: 
 ̇ ( ) 
 
Onde c é a constante de amortecimento ou coeficiente de amortecimento viscoso, e o sinal 
negativo indica que a força de amortecimento é oposta ao sentido da velocidade. Um sistema 
com um grau de liberdade com um amortecedor viscoso é mostrado na figura 3.1. Se x for 
medida em relação à posição de equilíbrio da massa m, a aplicação da lei de Newton dá a 
equação de movimento: 
 ̈ ̇ 
Ou 
 ̈ ̇ ( ) 
 
3 
 
Sistema de amortecimento da Ponte Rio Niterói - RJ. As oscilações ocorrem devido 
ao vento, e teve cerca de 80% de redução com a utilização deste sistema. 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 49 
 
 
 
Figura 3.1: Sistema com um grau de liberdade com amortecimento viscoso. 
 
3.2 Solução 
 
Para resolver a equação 3.2, admite-se uma solução na forma: 
 
 ( ) ( ) 
 
onde C e s são constantes indeterminadas. A inserção dessa função na equação 3.2 resulta na 
equação característica: 
 
 ( ) 
 
cujas as raízes são: 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 √.
 
 
/
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
Estas raízes dão duas soluções para equação 3.2: 
 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
Assim, a solução geral da equação 3.2 é dada por uma combinação das duas soluções 
 ( ) ( ) 
 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) 
8 
 
 
 √.
 
 
/
 
 
 
 
9 
 
8 
 
 
 √.
 
 
/
 
 
 
 
9 
 ( ) 
 
 
Sistema Diagrama de corpo livre 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 50 
 
 
 Constante de amortecimento crítico e o fator de amortecimento 
O amortecimento crítico é definido como valor da constante de amortecimento c para o 
qual o radical na equação 3.5 torna-se zero: 
 
.
 
 
/
 
 
 
 
 
Ou 
 √
 
 
 √ ( ) 
 
Para qualquer sistema amortecido, o fator de amortecimento (zeta) é definido como a 
razão entre a constante de amortecimento e a constante de amortecimento crítico: 
 
 
 
 
 ( ) 
 
Pelas equações 3.9 e 3.8, pode-se escrever: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
e, por consequência, 
 
 . √ / ( ) 
 
Assim, a solução, equação 3.7, pode ser escrita como: 
 
 ( ) 
. √ / 
. √ / ( ) 
 
A natureza das raízes s1 e s2 e, por consequência, o comportamento da solução, 
equação 3.12, depende da magnitude do amortecimento. 
Pode-se perceber que o caso resulta nas vibrações não amortecidas discutidas no 
capítulo anterior. 
Por consequência, admite-se que e consideramos os três casos seguintes. 
 Sistema Superamortecido: ; 
 Sistema Criticamente Amortecido: ; 
 Sistema Sub amortecido: . 
 
Exemplo 3.1: 
Um bloco de 0,8kg está suspenso por uma mola de rigidez igual a 120 N/m. Se umamortecedor apresenta força de amortecimento de 2,5 N quando a velocidade é de 0,2 m/s, 
determine o período amortecido. 
 
 
Exemplo 3.2: 
Para um sistema massa-mola-amortecedor temos m = 1 kg, c = 2 kg/s e k = 10kN/m. Calcule 
os valores de e . E diga se o sistema é: superamortecido, sub amortecido ou criticamente 
amortecido? 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 51 
 
 
3.2.1 Caso 1: Sistema sub amortecido ( ou ou 
 
 
 √ ). 
Para essa condição, o radicando ( ) é negativo e as raízes s1 e s2 podem ser 
expressas como: 
 . √ / 
 
 . √ / 
 
E a solução, equação 3.12, pode ser escrita de formas diferentes: 
 
 ( ) 
. √ / 
. √ / 
 ( ) 2 
 √ 
 √ 3 ( ) 
 
Para as condições iniciais ( ) e ̇( ) ̇ , pode-se determinar 
 e 
 : 
 
 
 
 
 ̇ 
√ 
 ( ) 
 
e, por consequência, a solução torna-se: 
 
 ( ) 8 √ 
 ̇ 
√ 
 √ 9 ( ) 
 
O movimento descrito pela equação 3.15 é um movimento harmônico amortecido de 
frequência angular √ ; porém, por causa do fator 
 , a amplitude diminui 
exponencialmente com o tempo, como mostra a figura 3.2. 
 
 
Figura 3.2: Solução sub amortecida. 
 
A quantidade: 
 √ ( ) 
 
é denominada a frequência de vibração amortecida. Pode-se ver que a frequência de 
vibração amortecida é sempre menor do que a frequência natural não amortecida . A 
redução na frequência de vibração amortecida com o aumento da quantidade de 
amortecimento, dada pela equação 3.16, é mostrada em gráfico na figura 3.3. 
 
Equação 3.15 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 52 
 
 
 
Figura 3.3: Variação de com amortecimento. 
 
O caso sub amortecido é muito importante no estudo de vibrações mecânicas porque é o 
único que resulta em um movimento oscilatório. 
 
Exemplo 3.3: 
A massa de 3,6 kg é solta a partir do repouso a uma distância x0 para a direita em relação à 
posição de equilíbrio. Determine o deslocamento x em função do tempo t, onde t=0 é o tempo 
em que a massa foi solta. 
 
 
3.2.2 Caso 2: Sistema criticamente amortecido ( ou ou 
 
 
 √ ). 
Neste caso, as raízes e da equação 3.11 são iguais: 
 
 
 
 
 ( ) 
 
Por causa das raízes repetidas, a solução da equação 3.2 é dada por: 
 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
 
A aplicação das condições iniciais ( ) e ̇( ) ̇ para esse resulta em: 
 
 
 ̇ ( ) 
 
e a solução torna-se: 
 
 ( ) , ( ̇ ) - 
 ( ) 
 
Pode-se ver que o movimento representado pela equação 3.19 é aperiódico (isto é, não 
periódico). Visto que  0 quanto t  , o movimento eventualmente diminuirá até zero, 
como indicado na figura 3.4. 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 53 
 
 
Exemplo 3.4: 
A massa do sistema mostrado na figura é liberada a partir do repouso em x0 = 150 mm, 
quando t=0. Determine o deslocamento x em t=0,5s se c=200 Ns/m. 
 
 
3.2.3 Caso 3: Sistema superamortecido ( ou ou 
 
 
 √ ). 
As raízes e são números reais negativos e distintos e são dadas por: 
 0 . √ /1 
 0 . √ /1 
 
com << . Nesse caso, a solução, equação 3.2, pode ser expressa como: 
 
 ( ) 
. √ / 
. √ / ( ) 
 
A aplicação das condições iniciais ( ) e ̇( ) ̇ para esse resulta em: 
 
 
 . √ / ̇ 
 √ 
 
 
 . √ / ̇ 
 √ 
 ( ) 
A equação 3.20 mostra que o movimento é aperiódico, independentemente das 
condições iniciais impostas ao sistema. Visto que as raízes e são ambas negativas, o 
movimento diminui exponencialmente com o tempo, como mostra a figura 3.4. 
 
Figura 3.4: Comparação entre movimentos com tipos diferentes de amortecimento. 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 54 
 
 
 
Exemplo 3.5: 
A massa de 2 kg é solta a partir do repouso a uma distância x0 à direita da posição de 
equilíbrio. Determine o deslocamento x em função do tempo. Dados c = 42 Ns/m e k = 98 N/m. 
 
 
3.3 Decremento Logarítmico 
 
O decremento logarítmico representa a taxa de redução da amplitude de uma vibração 
livremente amortecida. É definido como o logaritmo natural da razão entre duas amplitudes 
sucessivas. Vamos representar por e os tempos correspondentes a duas amplitudes 
(deslocamentos) consecutivas medidas, como mostra a figura 3.2. 
Pela equação 3.13, podemos expressar a razão: 
 
 
 
 
 
 ( )
 ( )
 ( ) 
 
Porém, onde é o período de vibração amortecida. Por 
conseqüência, ( ) ( ) ( ) e a equação 3.22 pode 
ser escrita como: 
 
 
 
 
 
 ( )
 ( ) 
 
O decremento logarítmico pode ser obtido pela equação 3.23: 
 
 
 
 
 
 
 √ 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
O decremento logarítmico é adimensional e, na realidade, é outra forma do fator de 
amortecimento adimensional . Uma vez conhecido , pode ser determinado resolvendo-se a 
equação 3.24. 
 
 
 
√( ) 
 ( ) 
 
Exemplo 3.6: 
Um bloco possui massa de 20 kg e a mola tem rigidez k = 600 N/m. Após o bloco ser 
deslocado e solto, efetuaram-se duas medidas da amplitude x1=150 mm e x2=87 mm. 
Determine o coeficiente de amortecimento viscoso c. 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 55 
 
 
3.4 Energia dissipada em amortecimento viscoso 
 
Em um sistema amortecido viscosamente, a taxa de variação de energia com o tempo 
(dW/dt) é dada por: 
 
 
 
 (
 
 
)
 
 ( ) 
 
pela equação 3.1. O sinal negativo na equação 3.26 denota que a energia dissipa-se com o 
tempo. Suponha um movimento harmônico simples como ( ) , onde X é a 
amplitude do movimento e a energia dissipada em um ciclo completo é dada por: 
 
 ∫ (
 
 
)
 
 ∫ 
 
 
( )
 
 ( ) 
 ( ) 
 
Isso mostra que a energia dissipada é proporcional ao quadrado da amplitude do 
movimento. Observe que ela não é uma constante para valores de amortecimento e amplitude 
determinados, visto que também é função da frequência . 
A equação 3.27 é válida mesmo quando há uma mola de rigidez k em paralelo ao 
amortecedor viscoso. 
Também podemos calcular a fração da energia total do sistema vibratório que é dissipada 
em cada ciclo de movimento ( ), como segue. A energia total do sistema W pode ser 
expressa como a máxima energia potencial (
 
 
 ) ou como a máxima energia cinética 
(
 
 
 
 
 
 
 
 ). As duas serão aproximadamente iguais para valores pequenos de 
amortecimento. Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
).
 
 
/ ( ) 
 
A quantidade 
 
 
 é denominada capacidade de amortecimento específico e é útil para 
comparar a capacidade de amortecimento de materiais de engenharia. Outra quantidade, 
conhecida como coeficiente de perda, também é usada para comparar a capacidade de 
amortecimento de materiais de engenharia. O coeficiente de perda é definido como a razão 
entre a energia dissipada por radiano e a energia total de deformação.( )
 
 
 
 
 ( ) 
 
3.5 Sistemas torcionais com amortecimento viscoso 
 
Considere um sistema torcional com um grau de liberdade com um amortecimento 
viscoso, como mostrado na figura 3.5. O torque de amortecimento viscoso é dado por (figura 
3.5b): 
 
 ̇ ( ) 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 56 
 
 
Onde é a constante de amortecimento viscoso por torção, ̇ é a velocidade 
angular do disco, e o sinal negativo denota que o torque de amortecimento está no sentido 
oposto ao da velocidade angular. 
 
 
Figura 3.5: Amortecedor viscoso por torção. 
 
A equação de movimento pode ser descrita como: 
 
 ̈ ̇ ( ) 
 
onde = momento de inércia de massa do disco, = constante elástica do sistema (torque 
restaurador por unidade de deslocamento angular), e = deslocamento angular do disco. A 
solução da equação 3.30 pode ser determinada exatamente como no caso de vibrações 
lineares. Por exemplo, no caso de um sistema sub amortecido, a frequência de vibração 
amortecida é dada por: 
 
 √ ( ) 
 
Onde 
 √
 
 
 ( ) 
E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 √ 
 ( ) 
 
onde é a constante crítica de amortecimento por torção. 
 
Eixo 
Fluido 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 57 
 
 
Exemplo 3.7: Resposta da bigorna de um martelo de forjar 
A bigorna de um martelo de forjar pesa 5.000N e está montada sobre uma base que tem uma 
rigidez de 5 x 106 N/m e um amortecimento viscoso constante de 10.000 Ns/m. Durante 
determinada operação de forjamento, o martelo-pilão (isto é, o martelo de queda, martelo ou 
pilão) com peso de 1.000 N é acionado e cai de uma altura de 2 m sobre a bigorna (figura a). 
Se a bigorna estiver em repouso após o impacto. Considere que o coeficiente de restituição 
entre a bigorna e o pilão seja 0,4. 
 
 
Exemplo 3.8: Amortecedor de choque para uma motocicleta 
O projeto de um absorvedor de choque subamortecido para uma motocicleta de 200 kg de 
massa (figura a) deve atender às seguintes especificações: quando o amortecedor estiver 
sujeito a uma velocidade vertical inicial devido a uma saliência na estrada, a curva 
deslocamento-tempo resultante deve ser como a indicada na figura (b). Determine as 
constantes de rigidez e amortecimento necessárias para o amortecedor se o período de 
vibração amortecida for de 2 s e a amplitude x1 tiver de ser reduzida a um quarto em um meio-
ciclo (isto é, x1,5 =x1/4). Determine também a velocidade inicial mínima que resulta em um 
deslocamento máximo de 250 mm. 
 
 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 58 
 
 
Exemplo 3.9: Análise de um canhão 
O diagrama esquemático de um canhão de grande porte é mostrado na figura. Quando a arma 
é disparada, gases sob alta pressão aceleram o projétil no interior do cano até uma velocidade 
muito alta. A força de reação empurra o cano do canhão no sentido contrário ao do projétil. 
Visto que é desejável que o canhão volte à posição de repouso no menor tempo possível sem 
oscilação, ele é forçado a fazer uma translação para trás contra um sistema mola-amortecedor 
criticamente amortecido denominado mecanismo de recuo. Em um caso particular, o cano do 
canhão e o mecanismo de recuo têm uma massa de 500 kg com uma mola de recuo de 
rigidez 10.000 N/m. O recuo do canhão após um disparo é 0,4 m. Determine (1) o coeficiente 
de amortecimento crítico do amortecedor, (2) a velocidade inicial de recuo do canhão e (3) o 
tempo que leva para o canhão retornar até uma posição a 0,1 m de sua posição inicial. 
 
 
 
 
Cano do canhão 
Projétil 
Mecanismo de recuo 
(mola e amortecedor) 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 59 
 
 
 
Exercícios 
 
47. Para um sistema massa-mola-amortecedor, temos m=1kg, c= 2kg/s e k=10N/m. Calcule os 
valores do fator de amortecimento e da frequência natural do sistema. E depois diga se o 
sistema é superamortecido, subamortecido ou criticamente amortecido? 
 
48. Um aprimoramento do projeto original da plataforma de pesagem é mostrado aqui com dois 
amortecedores viscosos que foram introduzidos limitando para 4 a razão entre amplitudes 
positivas sucessivas da vibração vertical na condição descarregada. Determine o coeficiente de 
amortecimento viscoso c para cada um dos amortecedores. Admita m = 4000kg e k=474 k N/m. 
 
 
 
49. Um vagão de trem carregado de massa 30.000 lb está circulando a uma velocidade 
constante v0, quando é acoplado com uma mola e um sistema amortecedor (fig.1). O registro 
da curva de deslocamento-tempo do vagão de trem carregado é mostrado (fig.2). Determine (a) 
a constante de amortecimento, (b) a constante da mola. 
 
50. Determine o valor do coeficiente de amortecimento c para o qual o sistema é criticamente 
amortecido se k = 70 kN/m e m= 100kg. 
 
 
51. Um oscilador harmônico possui massa m = 30kg e constante de rigidez k=100kN/m. 
Determinar: 
a) A constante de amortecimento para um fator de amortecimento . 
b) O decremento logarítmico e a frequência natural amortecida. 
 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 60 
 
 
52. Determine o valor do coeficiente de amortecimento viscoso c para o qual o sistema 
mostrado na figura apresenta uma taxa de amortecimento de (a) 0,5 e (b) 1,5. 
 
53. Determine o valor do coeficiente de amortecimento viscoso c para o qual o sistema 
mostrado na figura é criticamente amortecido. 
 
54. O sistema mostrado na figura é liberado a partir do repouso a uma posição inicial x0. 
Determine o deslocamento negativo de x1. Admita que o movimento de translação ocorra na 
direção x. 
 
 
55. A massa do sistema mostrado na figura é liberada a partir do repouso em x0 = 125 mm, 
quando t=0. Determine o deslocamento x em t=0,65s se c=300 Ns/m. 
 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 61 
 
 
56. O proprietário de uma picape testa a ação dos amortecedores traseiros aplicando uma 
força permanente de 450 N ao para-choque traseiro e medindo um deslocamento estático de 
75 mm. Ao se retirar repentinamente a força, o para-choque se levanta e, em seguida, desce 
até um deslocamento máximo de 12 mm abaixo da posição de equilíbrio sem carga. Trate a 
oscilação como um problema unidimensional com uma massa equivalente igual à metade da 
massa do carro. Determine o fator de amortecimento viscoso para a extremidade traseira e o 
coeficiente de amortecimento viscoso c para cada amortecedor supondo que sua ação seja 
vertical. Admita a massa do veículo igual a 1.600 kg. 
 
57. Para o sistema massa-mola-amortecedor ao lado, calcule: 
 
Dados: 
 
k = 150 N/m; 
m = 7 kg; 
C1 = 42 Ns/m; 
C2 = 7 Ns/m. 
 
(a) A frequência natural não amortecida do sistema; 
(b) O período de oscilação natural não-amortecido; 
(c) O fator de amortecimento; 
(d) A frequência natural amortecida; 
(e) O período de oscilação natural amortecido; 
(f) O decremento logarítmico; 
(g) Caracterize a oscilação livre do sistema como superamortecida, 
(h) criticamente amortecida ou sub-amortecida. Justifique sua resposta. 
 
58. Durante parte do Campeonato Mundial de Fórmula 1 de 2006, a Equipe Renault utilizou em 
seus carros absorvedores de vibração na dianteira e na traseira, com o objetivo de minimizar 
as oscilações do chassi provocadas pela passagem sobre as “zebras” e, consequentemente, 
melhorar seu desempenho. No detalhe está mostrado o dispositivo empregado na dianteira, 
que consiste basicamente em um sistema massa-mola-amortecedor de 1 grau de liberdade, 
com uma massa de 7 kg (1) apoiada sobre molas (2 e 3) de diferente rigidez, com relação 1:3, 
inseridas emuma carcaça (4) de fibra de carbono, e com um amortecedor regulável (5) 
contendo um fluido viscoso. 
 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 62 
 
 
 
PIOLA, G., Formula 1 Technical Analysis 2006-2007. Giorgio Nada Editore, 2007. (Adaptado). 
 
a) Sabendo que a frequência natural não amortecida do absorvedor de vibração utilizado 
na dianteira é de √ Hz, determine a rigidez das molas empregadas. 
 
b) O gráfico a seguir apresenta uma possível configuração do fator de amplificação da 
resposta da parte dianteira do veículo em função da frequência de excitação, para o 
sistema sem e com o absorvedor de vibração, empregando um determinado ajuste do 
amortecimento no absorvedor. Analise a influência do absorvedor de vibrações no 
comportamento do sistema. 
 
 
59. Verifica-se que a frequência de vibração de um pêndulo simples é 0,5 Hz no vácuo e 0,45 
Hz em um meio fluido viscoso. Determine a constante de amortecimento, considerando que a 
massa do peso do pêndulo é de 1 kg. 
60. Para sistema massa-mola amortecedor, m=50kg e k=5000 N/m. Determine os seguintes: 
(a) constante de amortecimento crítico cc; 
(b) a frequência natural amortecida quando c = cc/2; 
(c) o decremento logarítmico. 
 
61. Uma locomotiva de 2.000 kg de massa que está viajando a uma velocidade v=10m/s é 
parada no final da via férrea por um sistema mola-amortecedor, como mostra a figura. Se a 
rigidez da mola for k=40 N/mm e a constante de amortecimento for c = 20 Ns/mm, determine o 
deslocamento máximo da locomotiva após alcançar as molas e o amortecedor. 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 63 
 
 
 
62. Um pêndulo de torção tem uma frequência natural de 200 ciclos/min quando vibra no 
vácuo. O momento de inércia de massa do disco é 0,2 kg/m². Então, o pêndulo é imerso em 
óleo, e verifica-se que sua frequência natural é 180 ciclos/min. Determine a constante de 
amortecimento. Se o disco, quando mergulhado em óleo, sofrer um deslocamento inicial de 2°, 
determine seu deslocamento ao final do primeiro ciclo. 
 
63. Um sistema viscosamente amortecido tem uma rigidez de 5.000 N/m, constante de 
amortecimento crítico de 0,2 Ns/mm e um decremento logarítmico de 2,0. Se for imprimida ao 
sistema uma velocidade inicial de 1 m/s, determine o máximo deslocamento do sistema. 
 
64. Um prisma retangular de madeira de seção transversal 40 cm x 60 cm, altura 120 cm e 
massa 40 kg flutua em um fluido, como mostra a figura. Quando perturbado, observa-se que 
ele vibra livremente com um período natural de 0,5 s. Determine a densidade do fluido. 
 
65. Determine os valores de e para os seguintes sistemas viscosamente amortecidos: 
a) m = 10 kg; c = 150 Ns/m; k = 1000 N/m; 
b) m = 10 kg; c = 200 Ns/m; k = 1000 N/m; 
c) m = 10 kg; c = 250 Ns/m, k = 1000 N/m. 
 
66. Determine a resposta de vibração livre dos sistemas viscosamente amortecidos descritos 
no problema 62 quando = 0,1 m e ̇ = 10 m/s. 
 
67. Determine a energia dissipada durante um clico de movimento harmônico simples dado por 
 ( ) por um sistema viscosamente amortecido com um grau de liberdade com os 
seguintes parâmetros: 
a) m = 10 kg; c = 50 Ns/m; k = 1000 N/m; 
b) m = 10 kg; c = 150 Ns/m; k = 1000 N/m. 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 64 
 
 
 
 
 
 
 
4.1 Vibração livre com amortecimento Coulomb 
4.1.1 Equação do movimento 
4.1.2 Solução 
4.1.3 Vibração torcional com amortecimento Coulomb 
4.2 Vibração livre com amortecimento por histerese 
4.2.1 Rigidez Complexa 
4.2.2 Resposta do sistema 
 
4.1 Vibração livre com amortecimento Coulomb 
 
O amortecimento de Coulomb aparece quando corpos deslizam em superfícies secas. 
Em muitos sistemas mecânicos, são utilizados elementos que provocam amortecimento por 
atrito seco. Também em estruturas, componentes frequentemente deslizam um em relação ao 
outro e o atrito seco aparece internamente. A Lei de Coulomb para o atrito seco estabelece que 
quando dois corpos estão em contato, a força requerida para produzir deslizamento é 
proporcional à força normal atuante no plano do contato. A força de atrito F: 
 
 ( ) 
 
onde N é a força normal e é o coeficiente de atrito. A força de atrito atua em sentido oposto 
ao da velocidade. O amortecimento de Coulomb é, algumas vezes, chamado de amortecimento 
constante, uma vez que a força de amortecimento é independente do deslocamento e da 
velocidade, dependendo somente da força normal atuante entre as superfícies em 
deslizamento. 
 
4.1.1 Equação do movimento 
A figura 4.1a, mostra um sistema de um grau de liberdade com amortecimento de 
Coulomb. A figura 4.1b apresenta os diagramas de corpo livre para as duas possíveis 
orientações do movimento. Em cada uma destas orientações a equação do movimento tomará 
uma forma diferente. O movimento se dá oscilatoriamente, portanto o sistema está ora em uma 
situação, ora em outra. 
 
Figura 4.1: Sistema com amortecimento de Coulomb. 
4 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 65 
 
 
(4.4) 
 
Primeira fase do movimento: Quando a velocidade tiver sentido positivo (segundo o 
referencial adotado), a força de atrito será negativa e a Segunda Lei de Newton aplicada 
resultará: 
 
 
 
 
 
 
que é uma equação diferencial ordinária, linear, de segunda ordem, coeficientes constantes, 
não homogênea. 
A solução geral desta equação compõe-se de duas partes, uma chamada homogênea e 
a outra chamada particular, que inclui o termo do lado direito da equação, resultando: 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
onde √ é a frequência de vibração e A1 e A2 são constantes cujos valores dependem 
das condições iniciais desse meio-ciclo. 
A equação (4.2) e, consequentemente, sua solução (4.3), valem somente enquanto a 
velocidade permanecer com o sinal positivo. 
 
Segunda fase do movimento: Quando a velocidade troca de sinal, a força de atrito 
também muda de sinal resultando na equação: 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
onde A3 e A4 são constantes a ser determinadas pelas condições iniciais desse meio-ciclo. O 
termo μN/k representa o deslocamento da mola devido à força de atrito estabelecendo uma 
nova posição de equilíbrio. Como a força de atrito muda de sentido a cada meio ciclo (período 
em que a velocidade permanece com sinal inalterado), esta posição de equilíbrio também 
muda a cada meio ciclo como pode ilustrar a figura 4.2. 
 
𝑚�̈� 𝑘𝑥 𝜇𝑁 ( ) 
que tem solução análoga a 2.3, apenas com o sinal da 
solução particular invertido, resultando: 
𝑚�̈� 𝑘𝑥 𝜇𝑁 
𝑚�̈� 𝑘𝑥 𝜇𝑁 ( ) 
Ou então, 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 66 
 
 
 
Figura 4.2: Movimento do sistema com amortecimento de Coulomb. 
 
4.1.2 Solução 
Para complementar a solução das equações (4.2) e (4.4), deve-se analisar o movimento 
a partir de condições iniciais. O sistema inicia o seu movimento a partir de um deslocamento 
inicial, com velocidade inicial nula, para caracterizar a inversão do sentido do movimento em 
cada meio ciclo. São, então, as condições iniciais: 
 
 ( ) 
 ̇( ) ( ) 
 
Se o movimento começa com um deslocamento inicial positivo e velocidade nula, o 
primeiro meio ciclo ocorrerá com velocidade negativa. A equação que descreve esta fase do 
movimento é (4.4), cuja solução é dada em (4.5). Introduzindo as condições iniciais (4.6) em 
(4.5), as constantes podem ser determinadas por: 
 ( ) 
 
 
 
 ̇( ) 
Resultando em: 
 
 
 
 
A equação 4.5 se torna, portanto: 
 
 ( )( 
 
 
) 
 
 
 ( ) 
 
Está solução é válida apenas para metade do ciclo, isto é, para 0 ≤ t ≤ ⁄ . Quando t = 
 
 ⁄ , a massa estará em sua posição extrema esquerda e seu deslocamento em relação à 
posição de equilíbrio pode ser determinado pela equação 4.7. 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 67 
 
 
 ( 
 
 ⁄ ) ( 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma vez que o movimento começou com um deslocamento de x = x0 e, em um meio-
ciclo, o valor de x tornou-se – , ( )-, a redução em magnitude de x no tempo de 
é . 
No segundo meio-ciclo, a massa movimenta-se da esquerda para a direita, portanto a 
equação 4.3 deve ser usada. As condições iniciais para esse meio-ciclo são: 
 
 ( ) ⁄ ( 
 
 
) 
 ̇( ) ̇ ⁄ ( 
 
 
) 
Assim, as constantes na equação 4.3 tornam-se: 
 ( 
 
 
) 
O deslocamento, neste segundo meio ciclo do movimento, é regido então por: 
 
 ( ) ( 
 
 
) 
 
 
 ( ) 
 
Esta equação é válida somente para o segundo meio-ciclo, isto é, para ⁄ 
 
 ⁄ . No final desse meio-ciclo, o valor de x(t) é: 
 ( 
 
 ⁄ ) 
 
 
 
 ̇ ( 
 
 ⁄ )
̇
 
Estes valores serão as condições iniciais do terceiro meio ciclo, quando, novamente, 
passa a valer a equação (4.4) e sua solução (4.5). 
O movimento prosseguirá desta forma, mudando de equação a cada meio ciclo até que 
no final de um determinado meio ciclo, o deslocamento seja tão pequeno que a força de mola 
seja incapaz de vencer a força de atrito estático. Isso acontecerá no final do meio ciclo de 
ordem r que pode ser determinado por: 
 
 
 
 
 
 
 
isto é, 
 {
 
 
 
 
 
} ( ) 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 68 
 
 
A característica principal do amortecimento causado por atrito seco, como já foi dito 
anteriormente, é que a amplitude diminui sempre uma quantidade constante a cada ciclo (ou 
meio ciclo). Observando 4.7 e 4.8, ambas representam movimentos harmônicos na frequência 
 , com a amplitude caindo 
 
 
 a cada meio ciclo e com a posição de equilíbrio variando 
 
 
 
também a cada meio ciclo. 
Observe a seguintes características de um sistema com amortecimento Coulomb: 
1. A equação de movimento é não linear com amortecimento Coulomb, ao passo que é 
linear com amortecimento viscoso. 
2. A frequência natural do sistema permanece inalterada com a adição de amortecimento 
Coulomb, ao passo que é reduzida com a adição de amortecimento viscoso. 
3. O movimento é periódico com amortecimento Coulomb, ao passo que pode ser não-
periódico em um sistema viscosamente amortecido (superamortecido). 
4. O sistema entra em repouso após algum tempo com amortecimento Coulomb, ao passo 
que, teoricamente, o movimento continua para sempre (talvez com uma amplitude 
infinitesimalmente pequena) com amortecimento viscoso e por histerese. 
5. A amplitude é reduzida linearmente com amortecimento Coulomb, ao passo que a 
redução é exponencial com amortecimento viscoso. 
6. Em cada ciclo sucessivo a amplitude do movimento é reduzida pela quantidade , 
de modo que as amplitudes no final de quaisquer dois ciclos consecutivos estão relacionadas: 
 
 
 
 ( ) 
Como a amplitude é reduzida por uma quantidade em um ciclo (isto é, no tempo 
de ), a inclinação das retas do envelope (representadas por linhas tracejadas) na figura 
4.2 é: 
 (
 
 
) (
 
 
) ⁄
 
 
 
A posição final da massa normalmente é afastada em relação à posição de equilíbrio 
(x=0) e representa um deslocamento permanente no qual a força de atrito é travada. Leves 
batidinhas normalmente farão a massa chegar à sua posição de equilíbrio. 
Exemplo 4.1: 
Uma massa de 10 kg oscila deslizando em uma superfície seca sob a ação de uma de rigidez 
10 N/mm. Após quatro ciclos completos a amplitude é 100 mm. Qual é o coeficiente de atrito 
médio entre as duas superfícies se a amplitude original era 150 mm? Em quanto tempo a 
massa executar quatro ciclos? 
 
 
Exemplo 4.2: 
Uma massa de 20 kg está suspensa por uma mola de rigidez 1000N/m. O movimento vertical 
da massa está sujeito a uma força de atrito de Coulomb de magnitude 50N. Se a mola é 
inicialmente deslocada de 5 cm para baixo de sua posição de equilíbrio estático determinar: 
a) O número de meio-ciclos transcorridos até que atinja o repouso; 
b) Tempo transcorrido até atingir o repouso; 
c) Posição em que ocorrerá a parada. 
 
 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 69 
 
 
Exemplo 4.3: Coeficiente de atrito em relação a posição medidas de massa 
Um bloco de metal colocado sobre uma superfície irregular está ligado a uma mola e recebe 
um deslocamento inicial de 10 cm em relação à sua posição de equilíbrio. Após cinco ciclos de 
oscilação em 2 s, constata-se que a posição final do bloco de metal é 1 cm em relação à sua 
posição de equilíbrio. Determine o coeficiente de atrito entre a superfície e o bloco de metal. 
 
 
4.1.3 Sistemas torcionais com amortecimento Coulomb 
Se um torque de atrito constante agir sobre um sistema torcional, a equação que controla 
as oscilações angulares do sistema podem ser derivadas, semelhantes às equações 4.2 e 4.4, 
como: 
 ̈ ( ) 
e 
 ̈ ( ) 
 
onde T denota o torque de amortecimento constante (semelhante a para vibrações 
lineares). As soluções das equações 4.11 e 4.12 são semelhantes às das vibrações lineares. 
Em particular, a frequência de vibração é dada por: 
 √
 
 
 ( ) 
 
e a amplitude do movimento ao final do r-ésimo meio-ciclo ( ) é dada por: 
 
 
 
 
 ( ) 
 
onde é o deslocamento angular inicial em t=0 (com ̇ em t=0). O movimento cessa 
quando: 
 
 {
 
 
 
 
 
} ( ) 
 
 
Exemplo 4.4: Polia sujeita a amortecimento Coulomb 
Um eixo de aço com 1 m de comprimento e 50 mm de diâmetro está fixado em uma 
extremidade e suporta uma polia de momento de inércia de massa de 25 kg/m² na outra 
extremidade. Um freio de lona exerce um torque de atrito constante- de 400 N/m ao redor da 
circunferência da polia. Se a polia for deslocada de 6° e então solta, determine (1) o número 
de ciclos antes de a polia atingir o repouso e (2) a posição final de acomodação da polia. 
 
 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 70 
 
 
4.2 Vibração livre com amortecimento por histerese 
 
Considere o conjunto mola-amortecedor viscoso mostrado na figura 4.3(a). 
 
 
Figura 4.3: Sistema mola-amortecedor viscoso. 
 
Para esse sistema, a força F necessária para causar um deslocamento x(t) é dada por: 
 
 ̇ ( ) 
 
Para um movimento harmônico de frequência e amplitude X, 
 
 ( ) ( ) 
 
As equações 4.16 e 4.17 dão: 
 
 ( ) 
 
 ( ) √ ( ) 
 
 ( ) √ ( ) 
 
Quando construímos um gráfico de F em relação a x, a equação 4.18 representa um laço 
fechado, como mostra a figura 4.3 (b). A área do laço denota a energia dissipada pelo 
amortecedor em um ciclo de movimento e é dada por: 
 ∮ 
 ∫ ( )( ) 
 
 
 
 ( ) 
 
O amortecimento causado pelo atrito entre os planos internos que escorregam ou 
deslizam à medida que o material de deforma é denominado amortecimento por histerese (ouamortecimento sólido, ou estrutural). Tal amortecimento gera um laço de histerese que se 
formará na curva tensão-deformação ou força-deslocamento (figura 4.4a). A perda de energia 
em um ciclo de carregamento é igual à área envolvida pelo laço de histerese. 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 71 
 
 
 
 
Figura 4.4: Laço de histerese. 
 
A similaridade entre as figura 4.3(b) e 4.4(a) pode ser usada para definir uma constante 
de amortecimento por histerese. Constatou-se experimentalmente que a perda de energia por 
ciclo devido atrito interno independe da frequência, mas é aproximadamente proporcional ao 
quadrado da amplitude. Para conseguir esse comportamento observado na equação 4.19, 
considera-se que o coeficiente de amortecimento c é inversamente proporcional à frequência 
como: 
 
 
 
 
 ( ) 
 
onde h é denominada a constante de amortecimento por histerese. As equações 4.19 e 4.20 
dão: 
 ( ) 
 
4.2.1 Rigidez complexa 
Na figura 4.3 (a), a mola e o amortecedor estão ligados em paralelo e, para um 
movimento harmônico geral, , a força é dada por: 
 
 ( ) ( ) 
 
De maneira semelhante, se uma mola e um amortecedor por histerese forem ligados em 
paralelo, como mostrado na figura 4.4(b), a relação força-deslocamento pode ser expressa 
como: 
 
 ( ) ( ) 
onde 
 ( 
 
 
) ( ) ( ) 
 
é denominada a rigidez complexa do sistema e é uma constante que indica uma 
medida adimensional de amortecimento. 
 
 
Descarregamento 
Área 
Tensão (força) 
Laço de 
histerese 
Carregamento 
Deformação 
(deslocamento) 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 72 
 
 
4.2.2 Resposta do sistema 
Em termos de , a perda de energia por ciclo pode ser expressa como: 
 
 ( ) 
 
Sob amortecimento por histerese, o movimento pode ser considerado como 
aproximadamente harmônico (visto que é pequeno), e a diminuição na amplitude por ciclo 
pode ser determinada usando equilíbrio de energia. 
O decremento logarítmico por histerese pode ser definido como: 
 
 4
 
 
5 ( ) ( ) 
 
Já que consideramos que o movimento seja aproximadamente harmônico, a frequência 
correspondente é definida por: 
 √
 
 
 ( ) 
O fator de amortecimento viscoso equivalente pode ser determinado igualando-o à 
relação para o decremento logarítmico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
Assim, a constante de amortecimento equivalente ceq é dada por: 
 
 √ 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
Observe que o método para determinar um coeficiente de amortecimento viscoso 
equivalente para um sistema estruturalmente amortecido só é válido para excitação harmônica. 
A análise que acabamos de fazer supõe que a resposta do sistema seja aproximadamente 
harmônica à frequência . 
 
Exemplo 4.5: Estimativa de constante de amortecimento por histerese 
As medições experimentais realizadas em uma estrutura resultaram nos dados de força-
deflexão mostrados na figura. A partir desses dados, estime a constante de amortecimento por 
histerese h e o decremento logarítmico. 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 73 
 
 
 
 
Exemplo 4.6: Resposta de uma estrutura de ponte com amortecimento por histerese 
Uma estrutura de ponte é modelada como um sistema com um grau de liberdade com uma 
massa equivalente de 5 x 105 kg e uma rigidez equivalente de 25 x 106 N/m. 
Durante um teste de vibração livre, constatou-se que a razão entre amplitudes sucessivas era 
1,04. Estime a constante de amortecimento estrutural ( ) e a resposta de vibração livre 
aproximada da ponte. 
 
 
 
Exercícios 
 
68. A massa de um sistema massa-mola com k = 10.000 N/m e m = 5 kg é posta para vibrar 
sobre uma superfície irregular. Se a força de atrito for F=20N e observarmos que a amplitude 
da massa diminui 50 mm em 10 ciclos, determine o tempo transcorrido para completar os 10 
ciclos. 
 
69. Uma massa de 10 kg esta ligada a uma mola de rigidez 3000 N/m e é solta após sofrer um 
deslocamento inicial de 100 mm. Admitindo que a massa movimenta-se sobre uma superfície 
horizontal, determine a posição na qual a massa atinge o repouso. Suponha que o coeficiente 
de atrito entre a massa e a superfície seja 0,12. 
 
70. Uma massa de 20 kg desliza para frente e para trás sobre uma superfície seca devido à 
ação de uma mola com rigidez de 10 N/mm. Após 4 ciclos completos, verificou-se que a 
amplitude é de 100 mm. Qual é o coeficiente médio de atrito entre as duas superfícies se a 
amplitude original era de 150 mm? Quanto tempo transcorreu durante os 4 ciclos? 
 
71. Um peso de 25 N esta suspenso por uma mola que tem uma rigidez de 1000 N/m. O peso 
vibra no sentido vertical sob uma força de amortecimento constante. Quando o peso é 
inicialmente puxado para baixo até uma distância de 10 cm em relação à sua posição de 
equilíbrio estático e então é solto, atinge o repouso após exatamente dois ciclos completos. 
Determine a magnitude de força de amortecimento. 
 
72. Um bloco de metal colocado sobre uma superfície irregular esta ligado a uma mola e sofre 
um deslocamento inicial de 10 cm em relação á sua posição de equilíbrio. Constata-se que o 
período natural de movimento é 1,0 s e que a amplitude decresce 0,5 cm em cada ciclo. 
Determine: 
(a) O coeficiente de atrito cinético entre o bloco de metal e a superfície; 
(b) O número de ciclos de movimento executados pelo bloco antes de parar. 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 74 
 
 
 
73. A massa m = 2 kg de um oscilador harmônico linear com k = 500 N/m desliza em uma 
superfície horizontal com coeficiente de atrito estático μs = 0,2 e cinético μ = 0,08. 
(a) Determinar o máximo valor do deslocamento inicial que não resultará em qualquer 
movimento devido à força de atrito. 
(b) Determinar o número de ciclos para a vibração iniciada por um deslocamento inicial de 25 
mm até pararem completamente. 
74. Determine: (a) o número de ciclos; (b) A posição na qual a massa atinge o repouso. 
Admitindo que: a massa, de 20000g, esta ligada a uma mola de rigidez 25 N/cm e é solta após 
sofrer um deslocamento inicial de 128 mm e que a massa movimenta-se sobre uma superfície 
horizontal, como mostrado na figura, sendo que o coeficiente de atrito entre a massa e a 
superfície seja 0,14. 
 
75. Uma massa de 20 kg esta ligada a um conjunto de molas, sendo que as suas respectivas 
rigidez são mostradas abaixo, e é solta após sofrer um deslocamento inicial de 120 mm. 
Admitindo que a massa movimenta-se sobre uma superfície horizontal, como mostrado na 
figura abaixo, determine a posição na qual a massa atinge o repouso. Suponha que o 
coeficiente de atrito entre a massa e a superfície seja 0,13. 
 
76. Uma massa de 20 kg está suspensa por uma mola de rigidez 1N/mm. O movimento vertical 
da massa está sujeito a uma força de atrito de Coulomb de magnitude 55N. Se a mola é 
inicialmente deslocada de 65 mm para baixo de sua posição de equilíbrio estático determinar: 
(a) O número de meio-ciclos transcorridos até que atinja o repouso; 
(b) Tempo transcorrido até atingir o repouso; 
(c) Posição em que ocorrerá a parada. 
 
77. Determine a constante de amortecimento viscoso equivalente para amortecimento Coulomb 
para vibração senoidal. 
 
78. Uma viga em balanço embutida com resistência à flexão (rigidez) de 200 N/m suporta uma 
massa de 2 kg em sua extremidade livre. A massa sofre um deslocamento inicial de 30 mm e 
então é solta. Se constatarmos que a amplitude seja de 20 mm após100 ciclos de movimento, 
estime a constante de amortecimento por histerese da viga. 
 
k1 = 3 kN/m 
k2 = 1500 N/m 
k3 = 4,05 kN/m 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 75 
 
 
 
 
 
 
 
5.1 Introdução 
5.2 Forças de excitação 
5.3 Equação do movimento 
5.4 Resposta de um sistema não amortecido à força harmônica 
5.5 Resposta de um sistema amortecido à força harmônica 
5.5.1 Resposta total 
5.6 Resposta de um sistema amortecido a movimento harmônico de base 
5.6.1 Força transmitida 
5.6.2 Movimento relativo 
5.7 Resposta de um sistema amortecido ao desbalanceamento rotativo 
5.8 Vibração forçada com amortecimento Coulomb 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.1 Introdução 
Diz-se que um sistema mecânico ou estrutural sofre vibração forçada sempre que energia 
externa é fornecida ao sistema durante a vibração, sendo esta energia fornecida por meio de 
uma força aplicada ou por uma excitação de deslocamento imposta. 
Se a frequência de excitação coincidir com a frequência natural do sistema, a resposta do 
sistema será muito grande. Essa condição, conhecida como ressonância, deve ser evitada, 
para impedir falha do sistema. A vibração produzida por uma máquina rotativa desbalanceada, 
as oscilações de uma chaminé alta, provocadas por emissões de vórtices (redemoinhos) sob 
5 
Vibrações periódicas forçadas podem ocorrer a partir de sistemas em rotação, tais como 
engrenagens num redutor de velocidades. A transmissão destas vibrações a suas proximidades 
pode ser reduzida por meio de várias técnicas de isolamento e redução de vibrações. Estas técnicas 
são utilizadas para projetar uma luva de ar que reduz vibrações da britadeira na mão e suportes 
elásticos que reduzem o efeito de vibrações de máquinas rotativas na fundação. 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 76 
 
 
vento constante e o movimento vertical de um automóvel sobre a superfície senoidal de uma 
estrada são exemplos de vibração excitada harmonicamente. 
 
5.2 Forças de excitação 
 
 Força Harmônica: Forma mais simples de excitação em sistemas mecânicos, descrita pela 
equação: 
 
 ( ) ( ) ( ) 
 
Um movimento harmônico é definido completamente a partir do conhecimento das 
variáveis acima. Um exemplo prático de excitação harmônica aparece em rotores com massa 
desbalanceada. 
 
Figura 5.1: Exemplo de força harmônica. 
 
 Força Periódica: Tipo de excitação que se repete após um período, mas não de forma 
exatamente igual, conforme o exemplo da figura 5.2. Motores de combustão interna são 
exemplos deste tipo de excitação. 
 
 
Figura 5.2: Exemplo de força periódica. 
 
 Força Aleatória: Não descrevem um padrão determinístico que possa ser definido por uma 
equação. Para tratar de sistemas excitados por forças aleatórias é necessário utilizar métodos 
estatísticos. Fenômenos aeroelásticos são exemplos de sistemas excitados por forças 
aleatórias, como forças em asas de aviões, ventos em colunas de pontes, etc. 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 77 
 
 
 
Figura 5.3: Exemplo de força periódica. 
 
 Força Transitória: caracterizada por uma liberação de energia grande em um intervalo 
curto de tempo. Inúmeros exemplos descrevem este tipo de força: explosão, impacto, etc. 
 
 
Figura 5.4: Exemplo de força periódica. 
 
 
5.3 Equação de movimento 
 
Considera-se, inicialmente, o sistema mostrado na figura 5.5, onde o corpo está sujeito à 
força harmônica externa F(t), com o diagrama de corpo pode-se aplicar a segunda lei de 
Newton e obter: 
 
 ̇ ̈ ( ) 
 
 
Figura 5.5: Um sistema massa-mola-amortecedor. 
 
Diagrama de corpo livre 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 78 
 
 
Em excitações harmônicas a força ( ) , onde é a amplitude da força e é 
a frequência de excitação (em radianos por segundo). 
Certifique-se de fazer a distinção entre √
 
 
, que é uma propriedade do sistema, e , 
que é uma propriedade da força aplicada ao sistema. 
 
Considerando 
 
 
 
, 
 
 
 , e substituindo na equação 5.2, tem-se: 
 
 
 ̈ 
 
 
 ̇ 
 
 
 
 ( ) 
 
 
5.4 Resposta de um sistema não amortecido à força harmônica 
 
Antes de estudarmos a resposta de um sistema amortecido, consideramos um sistema 
não amortecido sujeito a uma força harmônica, por simplicidade. Se uma força ( ) 
agir sobre a massa m de um sistema não amortecido, a equação de movimento, equação 3.2, 
reduz-se a: 
 ̈ ( ) 
A solução homogênea dessa equação é dada por: 
 ( ) ( ) 
onde ( )
 é a frequência natural do sistema. Como a força excitadora F(t) é 
harmônica, a solução particular ( ) também é harmônica, e tem mesma frequência . Assim, 
admitimos uma solução na forma: 
 ( ) ( ) 
onde X é uma constante que denota máxima amplitude de ( ). Substituindo a equação 5.5 
na equação 5.3 e resolvendo para X, tem-se: 
 
 
 
 
 
 .
 
 
/
 ( ) 
onde ⁄ denota a deflexão da massa sob uma força F0. A solução total ( ( ) ( ) 
 ( )) da equação 5.3 torna-se: 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
Usando as condições iniciais ( ) e ̇( ) ̇ constatamos que: 
 
 
 
 
 ̇ 
 
 ( ) 
E, por consequência, 
 ( ) ( 
 
 
) (
 ̇ 
 
) 
 
 
 ( ) 
 
A máxima amplitude X na equação 5.6 pode ser expressa como: 
 
 
 
 
 ( ⁄ )
 ( ) 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 79 
 
 
A quantidade ⁄ representa a razão 
entre a amplitude dinâmica e amplitude estática 
do movimento e é denominado fator de ampliação, 
fator de amplificação ou coeficiente de amplitude. 
A variação do coeficiente de amplitude, ⁄ , 
com a razão de frequências ⁄ (equação 
5.10) é mostrada na figura 5.6. 
Por essa figura, pode-se constatar que há 
três tipos de reposta do sistema. 
 
CASO 1: Quando 0 < ⁄ < 1, o denominador da 
equação 5.10 é positivo, e a resposta é dada pela 
equação 5.5 sem alterações. Diz-se que a 
resposta harmônica do sistema ( ) está em fase 
com a força externa como mostra a figura 5.7. 
 
CASO 2: Quando ⁄ >1, o denominador da 
equação 5.10 é negativo, e a solução em regime 
permanente pode ser expressa como: 
 ( ) ( ) 
onde a amplitude do movimento X é redefinido 
para ser uma quantidade positiva como: 
 
 
.
 
 
/
 
 
 ( ) 
As variações de F(t) e ( ) com o tempo 
são mostradas na figura 5.8. Visto que ( ) e F(t) 
têm sinais opostos, diz-se que a resposta está 
defasada de 180° em relação à força externa. 
Além disso, quando ⁄ , . Assim, a 
resposta do sistema a uma força harmônica de 
frequência muito alta é próxima de zero. 
 
CASO 3: Quando ⁄ =1, a amplitude X dada 
pela equação 5.10 ou equação 5.12 torna-se 
infinita. Essa condição, para a qual a frequência 
forçante é igual à frequência natural do sistema 
 , é denominado ressonância. Para determinar a 
resposta para essa condição, reescrevemos a 
equação 5.9 como: 
 ( ) (
 ̇ 
 
) 
 [
 
 .
 
 
/
 ] ( ) 
 
 
Visto que o último termo dessa equação toma uma forma indefinida para , 
aplicamos a regra de L’Hospital. Assim, a resposta do sistema em ressonância tornar-se: 
 ( ) (
 ̇ 
 
) 
 
 
 ( ) 
 
Figura 5.6: Fator de amplificação de um 
sistema não amortecido. 
 
 
Figura5.7: Resposta harmônica quando 
0<𝜔 𝜔𝑛⁄ < 1. 
 
 
Figura 5.8: Resposta harmônica quando 
𝜔 𝜔𝑛⁄ > 1. 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 80 
 
 
Podemos ver que a equação 5.14 que, em ressonância, ( ) aumenta indefinidamente. O 
último termo da equação 3.15 é mostrado na figura 5.9, pela qual podemos ver que a amplitude 
da resposta aumenta linearmente com o tempo. 
 
Figura 5.9: Resposta quando ⁄ = 1. 
 
 
Exemplo 5.1: Placa de Suporte da uma Bomba 
Uma bomba alternativa com 200 N de peso está montada no meio de uma placa de aço de 
13,2 mm de espessura, 508 mm de largura e 25400 mm de comprimento, presa por 
braçadeiras ao longo de duas bordas, como mostra a figura seguir. Durante a operação da 
bomba, a placa é sujeita a uma força harmônica, F(t) = [120 cos (62,5 t)] N. Determine a 
amplitude de vibração da placa. 
 
 
 
5.5 Resposta de um sistema amortecido à força harmônica 
 
Se a função forçante for dada por ( ) , a equação de movimento torna-se: 
 ̈ ̇ ( ) 
Espera-se que a solução particular da equação 5.15 também seja harmônica; admitimos 
que esteja na forma: 
 ( ) ( ) ( ) 
onde e são constantes a determinar. e denotam a amplitude e o ângulo de fase da 
resposta, respectivamente. Substituindo a equação 5.16 na equação 5.15, chega-se a: 
 ,( ) ( ) ( )- ( ) 
usando as relações trigonométricas: 
 ( ) 
 ( ) 
na Equação 3.17 e igualando os coeficientes de e em ambos os lados da 
equação resultante, obtemos: 
 ,( ) - 
 ,( ) - ( ) 
13,2 mm 
25400 mm 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 81 
 
 
A solução da equação 5.18 dá: 
 
 
*, - +
 
 ( ) 
e 
 0
 
 
1 ( ) 
 
Inserindo as expressões de X e das equações 5.19 e 5.20 na equação 5.16,obtemos a 
solução particular da equação 5.15. A figura 5.10(a) mostra gráficos típicos da função forçante 
e resposta (em regime permanente). Os vários termos da equação 5.17 são mostrados sob 
forma vetorial na figura 5.10(b). 
 
 
 
 
Figura 5.10: Representação de função forçante e resposta. 
 
Dividindo o numerador e o denominador da equação 5.19 por k e fazendo as seguintes 
substituições: 
 √
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
e 
 
 
 
 
obtemos: 
 
 
 
 
8[ .
 
 
/
 
]
 
 0 
 
 
1
 
9
 
 
 
√( ) ( ) 
 ( ) 
e 
 {
 
 
 
 .
 
 
/
 } 
 (
 
 
) ( ) 
 
Como dito na seção 5.4, a quantidade ⁄ é denominada fator de ampliação, fator 
de amplificação ou coeficiente de amplitude. As variações de ⁄ e com a razão de 
frequências ⁄ e o fator de amortecimento são mostradas na figura 5.11. 
(a) Representação gráfica 
(b) Representação vetorial 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 82 
 
 
 
Figura 5.11: Variação de X e com a razão de frequências r. 
 
As seguintes características do fator de amplificação (M) podem ser observadas pela 
equação 5.21 e a figura 5.11(a): 
1. Para um sistema não amortecido ( ), a equação 5.21 reduz-se à equação 5.10 e 
 quando ; 
2. Qualquer quantidade de amortecimento ( ) reduz o fator de amplificação (M) para 
todos os valores da frequência forçante; 
3. Para qualquer valor especificado de r, um valor mais alto de amortecimento reduz o 
valor de M; 
4. No caso degenerado de uma força constante (quanto r = 0), o valor de M=1; 
5. A redução de M na presença de amortecimento é muito significativa na ressonância ou 
próximo da ressonância; 
6. A amplitude de vibração forçada torna-se menor com valores crescentes da frequência 
forçante (isto é, M quando ); 
7. Para 0 < < 
 
√ 
, o valor máximo de M ocorre quando: 
 √ √ ( ) 
que podemos observar que é mais baixo que a frequência natural não amortecida e a 
frequência natural amortecida √ . 
8. O valor máximo de X (quando √ ) é dado por: 
(
 
 
)
 
 
 
 √ 
 ( ) 
e o valor de X em , por: 
(
 
 
)
 
 
 
 
 ( ) 
A equação 5.24 pode ser usada para a determinação experimental da medida do 
amortecimento presente no sistema. Se a amplitude máxima da resposta ( ) for 
medida durante um teste de vibração, o fator de amortecimento do sistema pode ser 
determinado usando-se a equação 5.24. Ao contrário, se a quantidade de 
amortecimento for conhecida, pode-se fazer uma estimativa da máxima amplitude de 
vibração. 
 
As seguintes características do ângulo de fase podem ser observadas pela equação 5.22 
e a figura 5.11(b): 
1. Para um sistema não amortecido ( ), a equação 5.22 mostra que o ângulo de fase 
é 0 para 0< r < 1 e 180° para r>1. Isso implica que a excitação e a resposta estão em 
fase para 0 < r < 1 e fora de fase para r > 1 quando ; 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 83 
 
 
2. Para e 0 < r < 1, o ângulo de fase é dado por 0 < < 90°, o que implica que a 
resposta se atrasa em relação à excitação; 
3. Para e r > 1, o ângulo de fase é dado por 90° < < 180°, o que implica que a 
resposta se adianta em relação à excitação; 
4. Para e r = 1, o ângulo de fase é dado por , o que implica que a diferença 
de fase entre a excitação e a resposta é 90°; 
5. Para e valores grandes de r, o ângulo de fase aproxima-se de 180°, o que 
implica que a resposta e a excitação estão fora de fase. 
 
5.5.1 Resposta total 
 
A solução completa é dada por ( ) ( ) ( ) é dada pela equação 3.13. Assim, 
para um sistema sub-amortecido, tem-se: 
 
 ( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
 
onde são dados pela equações 5.21 e 5.22, respectivamente, e podem ser 
determinados pelas condições iniciais. Para as condições iniciais, ( ) e ̇( ) 
 ̇ , a equação 5.26 dá: 
 
 ̇ ( ) 
 
Exemplo 5.2: Resposta total de um sistema 
Determine a resposta total de um sistema com um grau de liberdade com m=10 kg, c=20 
Ns/m, k= 4000 N/m, x0 = 0,01 m, ̇ =0 sob as seguintes condições: 
a) Uma força externa ( ) age sobre o sistema com F0= 100 N, . 
b) Vibração livre com ( ) . 
 
 
Exemplo 5.3: 
O pistão de 45 kg mostrado na figura é suportado por uma mola de rigidez k = 35 kN/m. Um 
amortecedor com coeficiente de amortecimento c = 1.250 Ns/m atua em paralelo com a mola. 
Uma pressão flutuante p = 4.000 sen 30t, expressa em Pa, atua sobre o pistão, cuja área de 
superfície superior é de 50 (10-3) m². Determine o deslocamento no regime estacionário em 
função do tempo e a força máxima transmitida à base. 
 
 
Exemplo 5.4: 
Determine a amplitude x do movimento em regime permanente da massa de 10 kg se (a) 
c=500 Ns/m e (b) c=0. 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 84 
 
 
 
Exemplo 5.5: 
Uma máquina com 45 kg é montada em cima de um isolador não-amortecido composto por 
quatro molas em paralelo com rigidez de em cada mola. Quando opera a uma 
velocidade de 32 Hz, a amplitudes em regime permanente é medida a partir de um teste 
experimental e corresponde a 1.5mm. Qual a magnitude da força que excita esta máquina 
nesta velocidade? 
 
5.6 Resposta de um sistema amortecido a movimento harmônico de base 
 
Às vezes, a baseou o suporte de um sistema massa-mola-amortecedor sofre movimento 
harmônico, como mostra a figura 5.12. 
 
Figura 5.12: Excitação de base. 
 
Seja y(t) o deslocamento da base e x(t) o deslocamento da massa em relação à sua 
posição de equilíbrio estático no tempo t. Então, a elongação líquida da mola é x – y e a 
velocidade relativa entre as duas extremidades do amortecedor é ̇ ̇. Pelo diagrama de 
corpo livre mostrado na figura 3.12(b), obtemos a equação de movimento: 
 
 ̈ ( ̇ ̇) ( ) ( ) 
 
Se ( ) , a equação 5.28 torna-se: 
 
 ̈ ̇ ̇ ( ) ( ) 
 
onde √ ( ) e 0 
 
 
1. Isso mostra que fornecer excitação à base equivale 
a aplicar uma força harmônica de magnitude A à massa. A resposta em regime permanente da 
massa, ( ), pode ser expressa como: 
 ( ) 
 √ ( ) 
,( ) ( ) -
 
 
 ( ) ( ) 
onde 
 
 .
 
 
/ 
 
Usando identidades trigonométricas, a equação 5.29 pode ser reescrita de uma forma 
mais conveniente como: 
 ( ) ( ) ( ) 
onde X e são dados por: 
 
 
 6
 ( ) 
( ) ( ) 
7
 
 6
 ( ) 
( ) ( ) 
7
 
 ( ) 
e 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 85 
 
 
 6
 
 ( ) ( ) 
7 6
 
 ( ) 
7 ( ) 
 
A razão entre a amplitude da resposta ( ) e a do movimento da base movimento 
 ( ) ⁄ , é denominada transmissibilidade de deslocamento. As variações de ⁄ e , 
dadas pelas equações 5.31 e 5.32, são mostradas nas figuras 5.13 (a) e (b), respectivamente, 
para diferentes valores de r e . 
 
 
Figura 5.13: Variações de e com r. 
 
Os seguintes aspectos da transmissibilidade de deslocamento, ⁄ , podem ser 
observados na figura 3.15(a): 
1. O valor de é unitário em r = 0 e próximo à unidade para pequenos valores de r; 
2. Para um sistema não amortecido ( ), em ressonância (r = 1); 
3. O valor de é menor que a unidade ( ) para valores de r > √ (para qualquer quantidade 
de amortecimento ); 
4. O valor de para todos os valores de em r = √ ; 
5. Para r < √ , fatores de amortecimento menores levam a valores maiores de . Por outro lado, 
para r > √ , valores menores do fator de amortecimento levam a valores menores de 
6. A transmissibilidade de deslocamento, , atinge um máximo para 0 < < 1 à razão de 
frequências r = rm < 1 dada por: 
 
 
 
0√ 1
 
 ( ) 
5.6.1 Força transmitida 
Na figura 5.12, uma força, F, é transmitida para a base ou suporte devido às reações da 
mola e do amortecedor. Essa força pode ser determinada como: 
 ( ) ( ̇ ̇) ̈ ( ) 
Pela equação 5.30, a equação 5.34 pode ser escrita como: 
 ( ) ( ) ( ) 
onde FT é amplitude ou valor máximo da força transmitida à base dada por: 
 
 
 6
 ( ) 
( ) ( ) 
7
 
 ( ) 
A razão .
 
 
/ é conhecida como transmissibilidade de força. Observe que a força 
transmitida está em fase como movimento da massa x(t). A variação da força transmitida à 
base com a razão de frequências r é mostrado na figura 5.14 para diferentes valores de . 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 86 
 
 
 
Figura 5.14: Transmissibilidade de força. 
 
5.6.2 Movimento relativo 
Se z = x – y denotar o movimento da massa em relação à base, a equação de 
movimento, equação 5.28, pode ser reescrita como: 
 ̈ ̇ ̈ ( ) 
A solução em regime permanente da equação 5.37 é dada por: 
 ( ) 
 ( )
,( ) ( ) -
 
 
 ( ) ( ) 
 
onde 
 
 
√( ) ( ) 
 
 
√( ) ( ) 
 ( ) 
e 
 
 .
 
 
/ (
 
 
) 
 
A razão é mostrada em gráfico na figura 5.15. A variação de é a mesma que a de 
 mostrada na figura 5.11(b). 
 
Figura 5.15: Variação de com a razão de frequências r. 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 87 
 
 
Exemplo 5.6: 
A figura abaixo mostra um modelo simples de um veículo automotor que pode vibrar no 
sentido vertical quando percorre uma estrada irregular. O veículo tem 1.200 kg de massa. O 
sistema de suspensão tem constante elástica de 400 kN/m e fator de amortecimento de =0,5. 
Se a velocidade do veículo for 20 km/h, determine a amplitude de deslocamento do veículo. O 
leito da estrada apresenta variação senoidal com uma amplitude de Y=0,05 m e comprimento 
de onde de 6 m. 
 
 
Exemplo 5.7: Máquina sobre fundação resiliente 
Uma máquina pesada, com 3.000N de peso, está apoiada sobre uma fundação resiliente. A 
deflexão estática da fundação devido ao peso da máquina foi determinada como 7,5 cm. 
Observa-se que a máquina vibra com uma amplitude de 1 cm quando a base da fundação é 
sujeita a oscilação harmônica na frequência natural não amortecida do sistema com uma 
amplitude de 0,25 cm. Determine (a) a constante de amortecimento da fundação, (b) a 
amplitude da força dinâmica na base e (c) a amplitude do deslocamento da máquina em 
relação à base. 
 
5.7 Resposta de um sistema amortecido ao desbalanceamento rotativo 
 
O desbalanceamento de máquinas rotativas é uma das principais causas de vibração. 
Um modelo simplificado de tal máquina é mostrado na figura 5.16. 
A massa total da máquina é M, e há duas 
massas excêntricas m/2 que giram em sentidos 
opostos com uma velocidade angular constante . 
A força centrífuga ( ) devido a cada 
massa causará excitação da massa M. 
Consideramos duas massa iguais m/2 girando em 
sentidos opostos para que as componentes 
horizontais de excitação das duas massas cancelem-
se mutuamente. Todavia, as componentes verticais 
da excitação somam-se e agem ao longo do eixo de 
simetria A – A na figura 5.16. Se a posição angular 
das massas for medida em relação a uma posição 
horizontal, a componente vertical total da excitação é 
sempre dada por ( ) . A equação de 
movimento pode ser derivada pelo procedimento 
usual: 
 ̈ ̇ ( ) 
 
A solução dessa equação também pode ser 
expressa como: 
 
Figura 5.16: Massas desbalanceadas em 
rotação. 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 88 
 
 
 ( ) ( ) 
onde 
 
 
,( ) ( ) - 
 ( ) 
e 
 .
 
 
/ ( ) 
 
Definindo e as equações 5.41 e 5.42 podem ser reescritas como: 
 
 
 
 
,( ) ( ) - 
 ( ) 
e 
 (
 
 
) ( ) 
A variação de 
 
 
 com r para valores diferentes é mostrada na figura 5.15. Por outro 
lado, o gráfico de em relação a r permanece como na figura 5.11. 
 
Exemplo 5.8: Turbina hidráulica Francis 
O diagrama esquemático de uma turbina hidráulica Francis é mostrado na figura a seguir, no 
qual a água escoa de A, passa pelas pás B e desce até a pista de descarga C. O rotor tem 
uma massa de 250 kg e um desbalanceamento ( ) de 5 kg.mm. A folga radial entre o rotor e 
o estator é 5 mm. A turbina funciona na faixa de velocidade de 600 a 6.000 rpm. Pode-se 
admitir que o eixo de aço suporta o rotor. Está fixado nos mancais. Determine o diâmetro do 
eixo de modo que o rotor fique sempre afastado do estator em todas as velocidades de 
operação da turbina. Suponha que o amortecimento seja desprezível. 
 
 
 
Exemplo 5.9: 
Um motor com 100 kg está apoiado em quatro molas, cada uma com constante de rigidez 
igual a 90 kN/m, e está ligado ao solo por um amortecedor com coeficiente de amortecimento 
c = 6500 Ns/m.O motor é obrigado a mover-se verticalmente, e a amplitude da vibração do 
motor é de 2,1 mm a uma velocidade de 1200 rpm. Sabendo que a massa do rotor é de 15 kg, 
determine a distância entre o centro de massa do rotor e o eixo de rotação. 
 
 
Exemplo 5.10: 
Um motor de 9 kg é suportado por quatro molas, cada uma de constante 20 kN/m. O motor é 
forçado a mover-se verticalmente e a amplitude observada de seu movimento é de 1,2 mm a 
uma velocidade de 1200 rpm. Sabendo que a massa do rotor é 2,5 kg, determine a distância 
entre o centro de massa do rotor e o eixo da árvore (e). 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 89 
 
 
Exemplo 5.11: 
Um motor pesa 1500 N e está apoiado por quatro molas, cada uma com constante de rigidez 
igual a 120 kN/m. O desequilíbrio do motor é equivalente a uma massa de 50 g colocada a 
200 mm do eixo de rotação. Sabendo que o motor é obrigado a mover-se verticalmente, 
determine a amplitude de vibração do motor à velocidade de 1200 rpm. 
 
5.8 Vibração forçada com amortecimento Coulomb 
 
Para um sistema com um grau de liberdade com amortecimento Coulomb ou por atrito 
seco, sujeito a uma força harmônica ( ) como na figura 5.17: 
 
Figura 5.17: Sistema com um grau de liberdade e amortecimento Coulomb. 
 
A equação de movimento é dada por: 
 ̈ ( ) ( ) 
onde o sinal da força de atrito ( ) é positivo (negativo) quando a massa movimenta-se 
da esquerda para a direita (da direita para esquerda). A solução exata da equação 5.45 é bem 
complicada. Todavia, podemos esperar que, se a força de amortecimento por atrito seco for 
grande, o movimento da massa será descontínuo. Por outro lado, se a força de atrito seco for 
pequena em comparação com a amplitude da força aplicada F0, espera-se que a solução em 
regime permanente seja aproximadamente harmônica. Nesse caso, podemos determinar uma 
solução da equação 5.45 determinando um fator de amortecimento viscoso equivalente. 
Para determinar tal fator, igualamos a energia dissipada devido ao atrito seco à energia 
dissipada por um amortecedor viscoso equivalente durante um ciclo de movimento completo. 
Se denotarmos a amplitude de movimento por X, a energia dissipada pela força de atrito em 
um quarto de ciclo é . Por consequência, em um ciclo completo, a energia dissipada por 
amortecimento por atrito seco é dada por: 
 ( ) 
Se denominarmos a constante de amortecimento viscoso equivalente por ceq, a energia 
dissipada durante um ciclo completo será: 
 
 ( ) 
Igualando as equações 5.46 e 5.47, obtém-se: 
 
 
 
 ( ) 
Assim, a resposta em regime permanente é dada por: 
 ( ) ( ) ( ) 
onde a amplitude X pode ser determinada através da equação: 
 
 
0( ) ( )
 
1
 
 
( ⁄ )
[. 
 
 
 /
 
 . 
 
 
/
 
]
 
 ( ) 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 90 
 
 
com 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
Substituindo a equação 5.51 na equação 5.50, tem-se: 
 
 
0( ) ( )
 
1
 
 
( ⁄ )
[. 
 
 
 /
 
 .
 
 
/
 
]
 
 ( ) 
 
Como já dito anteriormente, a equação 5.52 só pode ser usada se a força de atrito for 
pequena em comparação com F0. Na verdade, o valor-limite da força de atrito pode ser 
determinado pela equação 5.52. Para evitar valores imaginários de X, precisamos ter: 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
O ângulo de fase que aparece na equação 5.49 pode ser determinado pela equação: 
 .
 
 
/ [
 
 
 
 
 
 
 
] {
 
 
 
 
 
 
} ( ) 
 
Exemplo 5.12: Sistema massa-mola com amortecimento Coulomb 
Um sistema massa-mola com 10 kg de massa e uma mola de rigidez de 4000N/m vibra sobre 
uma superfície horizontal. O coeficiente de atrito é 0,12. Quando sujeito a uma força 
harmônica de frequência 2 Hz, constata-se que a massa vibra a uma amplitude de 40 mm. 
Determine a amplitude da força harmônica aplicada à massa. 
 
 
 
Exercícios 
 
79. O instrumento está centrado uniformemente sobre uma plataforma P, que por sua vez é 
suportada por quatro molas, cada uma com rigidez de 130 N/m. Se o piso está sujeito a uma 
vibração de 7 Hz, com amplitude de deslocamento vertical de 0,05m, determine a amplitude do 
deslocamento vertical da plataforma e instrumento. A massa total da plataforma e instrumento 
é de 8,2 kg. 
 
80. Um motor pesando 1.750 N está apoiado em quatro molas, cada uma tendo constante de 
150 kN/m. O desbalanceamento do rotor é equivalente a um peso de 0,3 N localiza a 0,15 m do 
eixo de rotação. Sabendo-se que o motor é obrigado a mover-se verticalmente, determinar (a) 
a frequência em RPM em que ocorrerá ressonância, (b) a amplitude da vibração do motor na 
frequência de 1200 RPM. 
 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 91 
 
 
81. Um cilindro de 5 kg esta suspenso por uma mola de constante igual a 320 N/m e esta 
submetido a uma força periódica vertical F=Fm sen wt, onde Fm= 14N. Determine a amplitude 
do movimento do cilindro para (a) w = 6 rad/s e (b) w = 12 rad/s. 
 
82. Um peso de 50 N esta suspenso por uma mola de rigidez 4000 N/m e sujeito a uma força 
harmônica de amplitude 60 N e frequência 6 Hz. Determine: 
(a) A extensão da mola devido ao peso suspenso; 
(b) O deslocamento estático da mola devido à máxima força aplicada; 
(c) A amplitude de movimento forçado do peso. 
 
83. Um bloco de 50 kg está ligado a uma mola de constante k= 20 kN/m e pode se mover sem 
atrito em uma fenda vertical como mostrado na figura. Sobre ele atua uma força periódica de 
intensidade P = Pm sen , onde =18rad/s. Sabendo que a amplitude do movimento é de 3 
mm, determine Pm. 
 
84. Um sistema massa-mola com m = 10kg e k = 5000N/m esta sujeito a uma força harmônica 
de amplitude 250 N e frequência w. Se for constatado que a amplitude máxima da massa é 100 
mm, determine o valor de w. 
 
85. Considere um sistema massa-mola com k= 4.000 N/m e m = 10 kg sujeito a uma força 
harmônica F(t) = 400 cos 10t N. Determine a resposta total do sistema as seguintes condições 
iniciais: 
a) ̇ 
b) ̇ ; 
c) ̇ . 
 
86. Um sistema massa-mola com amortecimento viscoso é excitado por uma força harmônica 
de amplitude constante F0 mas frequência que varia lentamente w. Se observa que a amplitude 
do movimento em regime permanente decresce por um fator de 10 quando se faz variar a 
razão entre frequências w/wn de 1 para 2, determine a taxa de amortecimento ζ do sistema. 
 
87. Um cursor de 5 kg pode deslizar sobre uma barra horizontal sem atrito e está ligado a uma 
mola de constante 550 N/m. Sobre ele atua uma força periódica de intensidade P = Pm sen , 
onde Pm= 15 N. Determine a amplitude do movimento do cursor se (a) w= 5 rad/s, (b) w= 10 
rad/s. 
 
 
88. O bloco de massa igual 45 kg é suspenso por duas molas, cada uma de rigidez k = 200 
N/m, e é acionado pela força F = [75 cos(15t)] N, onde t é o tempo em segundos. Determine a 
amplitude X do movimento em regime permanente se o coeficiente de amortecimento viscoso c 
é (a) 0 e (b) 60 Ns/m. 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 92 
 
 
89. Um motor com 100 kg está apoiado em quatro molas, cada uma com constante de rigidez 
igual a 90 kN/m, e está ligado ao solo por um amortecedor com coeficiente de amortecimento c 
= 6500Ns/m. O motor é obrigado a mover-se verticalmente, e a amplitude da vibração do motor 
é de 2,1mm a uma velocidade de 1.200 RPM (seis polos). 
Sabendoque a massa do rotor é de 15 kg, determine a distância entre o centro de massa do 
rotor e o eixo de rotação. 
 
90. Para o sistema mostrado abaixo, determine o valor necessário para o coeficiente de 
amortecimento c se a amplitude em regime estacionário não exceder 75mm. Utilize a w=6 
rad/s. 
 
 
 
91. Um motor pesa 1.472N e está apoiado por quatro molas, cada uma com uma constante de 
rigidez k = 120 kN/m. O desequilíbrio do motor é equivalente a uma massa de 30g colocada a 
150mm do eixo de rotação. Sabendo que o motor é obrigado a mover-se verticalmente, 
determine (a) a velocidade em RPM para a qual ocorre a ressonância, (b) a amplitude de 
vibração do motor à velocidade de 1.200 RPM. 
 
 
92. Um motor com 15 kg está apoiado em 4 molas cada uma com k=45 kN/m e o desequilíbrio 
do motor é equivalente a uma massa de 20g situada a 125 mm do eixo de rotação. Sabendo 
que o motor é forçado a mover-se verticalmente, determine a amplitude de vibração do motor 
em regime estacionário a uma velocidade 1500 RPM, admitindo que: 
a) Não existe amortecimento, c=0; 
b) Se ζ =1,3. 
 
93. Um sistema massa-mola consiste em uma massa que pesa 100 N e uma mola cuja rigidez 
é 2.000 N/m. A massa está sujeita a ressonância por uma força harmônica F(t) = 25 cos t N. 
Determine a amplitude do movimento forçado no final de: 
a) 
 
 
 ciclo; 
b) 
 
 
 ciclos; 
c) 
 
 
 ciclos. 
 
94. Considere um sistema massa-mola-amortecedor com k = 4.000 N/m, m = 10 kg e c = 40 
Ns/m. Determine a resposta em regime permanente e as respostas totais do sistema sob a 
força harmônica F(t) = 200 cos 10t N e as condições iniciais ̇ 
 
 
 
 
95. Um automóvel com motor de quatro cilindros deve ser apoiado sobre três suportes 
amortecedores, como indicado na figura. O conjunto do bloco do motor pesa 500 lb. Se a força 
desbalanceada gerada pelo motor for dada por 200 sen 100t lb, calcule os três suportes 
amortecedores (cada um com rigidez k e constante de amortecimento viscoso c), de modo tal 
que a amplitude de vibração seja menos que 0,1 in. 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 93 
 
 
 
96. Para um sistema vibratório, m = 10 kg, k = 2500 N/m e c = 45 Ns/m. Uma força harmônica 
de amplitude 180 N e frequência 3,5 Hz age sobre a massa. Se o deslocamento e a velocidade 
iniciais da massa são 15 mm e 5 m/s, determine a solução completa que representa o 
movimento da massa. 
 
97. O trem de aterrisagem de um avião pode ser idealizado como o sistema massa-mola-
amortecedor mostrado na figura. Se a superfície da pista for descrita por y(t) = y0 cos t, 
determine os valores de k e c que limitam a amplitude de vibração do avião (x) a 0,1 m. 
Suponha m = 2.000 kg, y0 = 0,2 m e = 157,08 rad/s. 
 
98. Se o solo estiver sujeito a um deslocamento harmônico horizontal com frequência = 200 
rad/s e amplitude Xg = 15 mm na figura, determine a amplitude de vibração do piso (massa m). 
Suponha que a massa do piso seja 2.000 kg e a rigidez das colunas é 0,5 MN/m. 
 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 94 
 
 
99. Um compressor de ar de um cilindro com 100 kg de massa está montado sobre suporte de 
borracha, como mostra a figura. As constantes de rigidez e amortecimento dos suportes de 
borracha são dadas por 106 N/m e 2000 Ns/m, respectivamente. Se o desequilíbrio do 
compressor for equivalente à massa de 0,1 kg localizada na extremidade da manivela (ponto 
A), determine a resposta do compressor à velocidade da manivela de 3000 rpm. Suponha que r 
= 10 cm e l = 40 cm. 
 
 
100. Um sistema massa – mola está sujeito a amortecimento Coulomb. Quando é aplicada 
uma força harmônica de amplitude 120 N e frequência 2,5173268 Hz, constata-se que o 
sistema oscila com uma amplitude de 75 mm. Determine o coeficiente de atrito seco se m = 2 
kg e k = 2.100 N/m. 
 
Vibrações Mecânicas – Prof. Juvenil Jr – 95 
 
 
Anexo I – Tabelas 
 
Propriedades físicas de alguns materiais de engenharia 
 
Material 
Módulo de 
Elasticidade E 
Módulo de Rigidez 
G 
Densidade em 
massa  
Ligas de Alumínio 71,7 GPa 26,8 GPa 2,8 Mg/m³ 
Cobre 120,7 GPa 44,7 GPa 8,9 Mg/m³ 
Ferro Fundido 
Cinzento 
103,4 GPa 5,9 GPa 7,2 Mg/m³ 
Ferro Fundido Dúctil 168,9 GPa 9,4 GPa 6,9 Mg/m³ 
Aço-carbono 206,8 GPa 11,7 GPa 7,8 Mg/m³ 
Aço Inoxidável 189,6 GPa 10,7 GPa 7,8 Mg/m³ 
Fonte: Projeto de Máquinas. Autor: Robert L. Norton. Pag. 846. 
 
 
 
Momento de Inércia 
 
Seção Momento de Inércia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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