Análise Estrutural Aula 01

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Análise Matricial
Prof. M.Sc. Antonio de Faria
Novembro/2012
Métodos de Análise Estrutural
Modelo Discretizado e Modelo 
Estrutural
Perspectiva esquemática de uma estrutura de concreto com laje maciça, 
viga, pilares blocos e estacas. Partes que a compõem e esquema estrutural 
dos diversos elementos em que as estrutura pode ser discretizada
Modelo Discretizado e Modelo 
Estrutural
Estruturas constituídas por
barras prismáticas
P8P7P5 P6 viga
VIGA
TRELIÇA PLANA
Estruturas constituídas por
barras prismáticas
PÓRTICO PLANO
GRELHA
Estruturas constituídas por
barras prismáticas
PÓRTICO ESPACIAL
TRELIÇA ESPACIAL
Características das estruturas 
prismáticas
Estrutura Barras Esforços solicitantes Deslocamentos nodais
Viga Todas em um plano e alinhadas Cortante e Momento fletor Uma rotação e um deslocamento (vertical).
Treliça Plana Contidas todas em um plano(com extremidades rotuladas) Normal
Deslocamentos lineares em 
duas direções (x e y)
Pórtico plano Contidas todas em um plano Nomal, Cortante e Momento Fletor
Deslocamento lineares em 
duas direções e uma rotação
Grelha
Contidas todas em um plano 
(perpendicular ao plano do 
carregamento)
Cortante, momento fletor e 
momento torçor
Duas rotações e um 
deslocamento linear
Treliça espacial Barras não contidas em um só plano 
com extremidades rotuladas Normal Três deslocamentos lineares
Pórtico Espacial Barras não contidas em um só plano.
Nornal, Cortante e Cortante 
Transversal, Momento Torçor, 
momento Fletor e Momento 
fletor transversal
Três deslocamentos lineares 
e três rotações
3.2 – Fundamentos Teóricos
Eixos:
Denomina-se eixo de um elemento o segmento originado a partir da união dos 
centros de massa das seções transversais que o compõem. Elementos curvos 
podem ser discretizados por segmentos lineares de corda dos trechos curvos.
Nós:
Os eixos dos elementos se interceptam nos chamados pontos nodais ou nós
da estrutura. Quando da análise estrutural, também são considerados nós os
pontos de apoio e extremidades livres da estrutura ou qualquer outro ponto
interno pertencente ao eixo de um elemento, assim como os pontosinterno pertencente ao eixo de um elemento, assim como os pontos
intermediários cujos deslocamentos e esforços internos devem ser
conhecidos.
Os nós de apoio ou pontos de apoio podem ser engastes, que impedem
deslocamentos verticais, horizontais e rotações; articulações, que impedem
deslocamentos verticais e horizontais, mas permitem as rotações; e os apoios
móveis, que impedem apenas o deslocamento vertical ou o deslocamento
horizontal, ou seja, qualquer elemento que impeça total ou parcialmente um
deslocamento, a priori possível, do referido nó.
Nós de apoio:
3.2 Fundamentos Teóricos
Ações:
Serão consideradas ações em uma estrutura as forças concentradas, cargas 
distribuídas, ou binários que estarão submetendo a estrutura a um estado de 
deformação. Em um primeiro momento para o desenvolvimento do programa, 
considera-se apenas a atuação de cargas concentradas ou momentos 
concentrados nos nós.
Deslocamentos:
Entende-se por deslocamento uma rotação ou translação em algum ponto do 
eixo da estrutura. A translação está relacionada à distância percorrida por tal 
ponto, enquanto a rotação significa o ângulo de rotação da tangente à curva ponto, enquanto a rotação significa o ângulo de rotação da tangente à curva 
elástica neste mesmo ponto. 
Deformação:
Por deformação, entende-se a pequena mudança ocorrida na forma às quais 
os elementos constituintes da estrutura são submetidos ao serem solicitados 
pelo carregamento, já definido anteriormente. Ressalta-se que a deformação 
de um determinado elemento da estrutura é originada a partir da combinação 
dos deslocamentos verificados para os diversos pontos pertencentes ao eixo 
do elemento. Neste trabalho, a deformação da estrutura é considerada em 
função dos deslocamentos de seus nós, também já definido anteriormente.
Fundamentos Teóricos
Elementos estruturais:
Entende-se por elementos estruturais as peças que compõem uma estrutura, 
que é a parte da construção que resiste às diversas ações e garante o 
equilíbrio das edificações. 
Estas peças geralmente apresentam uma ou duas dimensões preponderantes 
sobre as demais (vigas, lajes e pilares). 
Para o desenvolvimento deste trabalho, foram considerados os elementos 
lineares prismáticos, ou seja, aqueles que apresentam seção transversal lineares prismáticos, ou seja, aqueles que apresentam seção transversal 
constante ao longo do seu comprimento, o qual consiste da dimensão 
preponderante sobre as demais. 
Sistema de Coordenadas locais
e globais
Esquema dos elementos da estrutura com eixos locais 
 
431 2
Esquema da estrutura com eixos globais 
y
x 1 2 3
43
1
2
Coordenadas Globais (da estrutura) 
3
4
5
6
7
8
Esquema dos elementos da estrutura com eixos locais 
43
Coordenadas locais (dos elementos)
1 2
Esquema dos elementos da estrutura com eixos locais 
y
x 1
32
y
x 2
43
3
y
x 2
Esquema dos elementos da estrutura com eixos locais 
1 2
Coordenadas locais (dos elementos)
1
32
2
43
3
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
ND = 2.n
com ND – número de deslocamentos nodais possíveis;
n – número de nós
x
y
z
1 2
3
1
2
6 5 12
8
9
7
Sistema de Coordenadas locais
e globais
1
4
5
11
10
12
Representação de um elemento de barra de um pórtico tri-dimensional
com nós 1 e 2, seus eixos locais e coordenadas locais
Resolução de Estruturas Prismáticas 
utilizando técnicas computacionais
flexibilidade Fij de um elemento em uma
direção i o deslocamento nesta direção i causado
por uma força unitária na direção j.
A B 1
a)
A R1=1
B
f11
por uma força unitária na direção j.
Este deslocamento deve estar referenciado a
um sistema de coordenadas.
rigidez Kij de um elemento a ação mecânica
provocada por um deslocamento unitário. 
Similarmente à flexibilidade,a rigidez deve estar 
referenciada a um sistema 
de coordenadas.
B
r1 = 1
b)
A K11
B
r1 = 1
b)
c)
Método da Rigidez
Incógnitas αααα1, αααα2 ......
1 3 5
2 4 6
Nós e barras 
Para se proceder o método da rigidez, introduz-se inicialmente na estrutura
vínculos fictícios nos nós de maneira que todos os deslocamentos 
(translações e rotações) estejam impedidos . 
a)Estrutura básica
Dado uma estrutura com um sistema
de coordenadas (do tipo viga)
1 3 5
2 4 6
31
41 61
51
21
11
=11
K
K
K
K K
K
Obtem-se os coeficientes com término em 1 (Coluna 1) 










61
51
41
31
21
11
K
K
K
K
K
K
Obtem-se os coeficientes com término em 1 (Coluna 1) 










6665646362
5655545352
4645444342
3635343332
2625242322
1615141312
KKKKK
KKKKK
KKKKK
KKKKK
KKKKK
KKKKK
E o restante de 
maneira similar 
Obtendo-se a 
matriz de RIGIDEZ 
DA ESTRUTURA 
Matriz de rigidez da estrutura
A matriz de rigidez da estrutura pode ser montada através da matriz do
elemento 1 (em azul) e do elemento 2 (em rosa) como pode ser visto de
forma esquemática na figura 3.9 onde é indicada através de quadrados
as posições dos elementos na matriz a. A matriz de rigidez de um
elemento é aquela em que se obtém a partir das coordenadas locais.
Determinação da matriz de
rigidez de um elemento
1 3
2 4
1
Imaginando a viga (um elemento de viga) da figura 3.10 e com as coordenadasImaginando a viga (um elemento de viga) da figura 3.10 e com as coordenadas
Globais indicadas. Considerando um deslocamento unitário na direção 1,
surgem os valores de reaçõesK11, K12, K13 e K14. Pode-se escrever então o
momento fletor em uma seção S distante x do apoio à esquerda a equação do
momento fletor:
2111 KxKM s −⋅= EI
M
dx
yd
=2
2 ( )21112
2
KxK
dx
ydEI −⋅=⋅






+⋅−
⋅
=⋅ 121
2
11
2
CxKxK
dx
dyEI
Determinação da matriz de
rigidez de um elemento
Cabe lembrar que para x=0 dy/dx (rotação)=0 e aplicando na equação 
anterior, resulta em C1=0;
Outra condição da estrutura é que para x=L (comprimento da barra) dy/dx 
(rotação)=0, aplicando esta condição na mesma equação, chega-se a:
21
11
2
KLK =⋅ 





+
⋅
−
⋅
=⋅ 2
2
21
3
11
26
CxKxKyEIIntegrando a equação, chega-se a
EIC =2






+
⋅
−
⋅
=⋅ EIxKxKyEI
26
2
21
3
11








+
⋅
−
⋅
= EI
LKLK
46
0
3
11
3
11
311
12
L
EIK =
Impondo a condição de contorno para x=0 y=1
e portanto a expressão 3.6 fica
Para x=L (comprimento da barra) sabe-se que y=0 aplicando esta condição, chega-se a:
Matriz de rigidez de um elemento de viga




−
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI 612612
2323
2
1
4
3
[ ]


















−
−−−
−
−
=
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
LLLL
K
4626
612612
2646
22
2323
22
2323
Matrizes de Rigidezes Elementares
Matrizes de Rigidezes Elementares
Método da rigidez
OS COEFICIENTES DE RIGIDEZ SÃO CONHECIDOS
Imaginando agora conhecido os diversos Di
D1, D2, ....Dn
1 3 5
2 4 6
K11D1 + K12D2 + K13D3 + ... + K1nDn = P1
K21D1 + K22D2 + K23D3 + ... + K2nDn = P2
1 2 n
Kij são os coeficientes de rigidez;
Di são os deslocamentos nodais;
P
-i são os carregamentos nodais 
Ocorrendo D1 surge em 1 um esforço de K11D1
Mas surge tambem em 1 um esforço de K12D2 devido a D2
Obtendo-se o sistema 
Método da Rigidez
K11D1 + K12D2 + K13D3 + ... + K1nDn = P1
K21D1 + K22D2 + K23D3 + ... + K2nDn = P2
{P} = {K}{D}
{P} = vetor dos carregamentos nodais 
equivalentes;
{K} = matriz de rigidez da estrutura;
{D} = vetor dos deslocamentos nodais.
S31
41S S61
51S
21S
11S
=11
O vetor {P} dos carregamentos {D} = vetor dos deslocamentos nodais. O vetor {P} dos carregamentos 
nodais equivalentes pode ser 
dividido em 
vetor {AD} das ações na viga 
original correspondentes aos 
deslocamentos 
de nó desconhecidos D, e
vetor {ADL} das ações na estrutura 
restringida 
Assim:
{P} = {AD} – {ADL}
K11 K12 K13 ... K1n
K21 K22 K23 ... K2n
.
.
Kn1 Kn2 Kn3 ... Knn
D1
D2
Dn
p1
p2
pn
=
Método da Rigidez
K11D1 + K12D2 + K13D3 + ... + K1nDn = P1
K21D1 + K22D2 + K23D3 + ... + K2nDn = P2
{K}{D}= {P} S31
41S S61
51S
21S
11S
=11
{D}= {K’}{P}
K’11 K’12 K’13 ... K’1n
K’21 K’22 K’23 ... K’2n
.
.
Kn1 Kn2 Kn3 ... Knn
D1
D2
Dn
p1
p2
pn
=
Método da Rigidez
2 4 6
Para resolver uma viga pode-se usar o sistema 
de coordenadas indicados 
1 3 5
As incógnitas do problema passam a ser os 
deslocamentos 
δδδδ1111, δ, δ, δ, δ2222, δ, δ, δ, δ3333, δ, δ, δ, δ4444, δ, δ, δ, δ5555 ε δε δε δε δ6666
Método da Rigidez
Para resolver a estrutura com o método dos deslocamentos 
Deve-se descobrir 
Método da Rigidez
Toda estrutura pode ter além do sistema de coordenadas globais, as 
coordenadas locais
642
531
Coordenadas Globais
531
1 3
2 4
1
2 4
3
1 2 Coordenadas Locais
A matriz de rigidez da estrutura pode ser montada através da
matriz do elemento 1 (em azul) e do elemento 2 (em rosa)
642
531
2 4 2 4
1 3
2 4
1
2 4
3
1 2
azul rosa
Fluxograma
Leitura dos 
Dados da 
Estrutura
I = 1 ... 
nelementos
Rigidez do 
Vetor de 
Cargas
Condições de 
Com os 
valores de D, 
calcula-se u
Calcula-se
1 2
Rigidez do 
Elemento
Rigidez da 
Estrutura
Condições de 
Contorno
Solução do 
Sistema de 
Equações
Calcula-se
{M, Q} = [k].[u]
Calcula-se as 
Reações de 
Apoio
1
2
Exemplo
AD1 = ADL1 + K11D1 + K12D2
AD2 = ADL2 + K21D1 + K22D2
Exprimindo-se em forma matricial, obtemos:
BA C
S11 21S
1
1
C
22S
BA
S12L/2
P1 P3P1
L/2 L/2 L/2
AR2
M
R1A R3A R4A
A B C
1D 2D
Exprimindo-se em forma matricial, obtemos:
{AD} = {ADL} + [K]{D}
{AD} é o vetor que representa as ações na estrutura original, sem as restrições, 
correspondentes aos deslocamentos dos nós desconhecidos;
{ADL} é o vetor que representa as ações na estrutura restringida correspondentes 
aos deslocamentos dos nós desconhecidos e causadas pelas cargas atuantes na 
viga;
[K] é a matriz de rigidez da estrutura;
{D} é o vetor que representa os deslocamentos desconhecidos.
D = kD = k--11(AD (AD -- ADL)ADL)SOLUÇÃOSOLUÇÃO
Coordenadas Locais e Globais
431 2
Esquema da estrutura com eixos globais 
y
x 1 2 3
43
1
2
Coordenadas Globais (da estrutura) 
3
4
5
6
7
8
1 2
Esquema dos elementos da estrutura com eixos locais 
y
x 1
32
y
x 2
43
3
y
x
Esquema dos elementos da estrutura com eixos locais 
1 2
Coordenadas locais (dos elementos)
1
32
2
43
3
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
Exemplo numérico:
Determinar os esforços na viga abaixo, com inércia constante I e com
valor do módulo de elasticidade E, sendo os vãos iguais a L
 
Y
Estrutura eixos globais esquema dos elementos da estrutura 
y yY
X
Z
Estrutura eixos globais 
31 2
Coordenadas globais da estrutura 
1
2 2
3 5
4 61
Z Z
1 2
y
x 1
32
y
x 2
1 2
Coordenadas locais dos elementos 
1
2 2
3
41
1 2
1
2
3
4
 
Resolução
Matriz de Rigidez do Elemento
[ ] 








−
−
=
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
2646
612612
22
2323
[ ]














−
−−−
−
=
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
LLLLK
4626
612612
22
2323
22
Resolução
Pode-se após a numeração, montar a matriz de rigidez da estrutura a partir da
rigidez de cada elemento. O esquema da figura 3.9 ajuda neste cálculo. Este
esquema reproduzido novamente na figura 3.16 mostra que os coeficientes
K15, K16, K25 e K26 (e os simétricos) são nulos. Exceto os termos K33, K34, K44 e
K43 os demais termos não nulos decorrem dos valores de cada barra isolada.
Resolução
333
2
11
1
3333
241212
L
EI
L
EI
L
EIKKK =+=+=
Assim
Com:
K33 – coeficiente de rigidez da estrutura na direção 3 com deslocamento
unitário em 3;
K133 – coeficiente de rigidez do elemento 1 na direção 3 com 
L
EI
L
EI
L
EIKKK 844222
1
4444 =+=+=
066 22
2
12
1
344334 =+−=+== L
EI
L
EIKKKK
K 33 – coeficiente de rigidez do elemento 1 na direção 3 com 
deslocamento unitário em 3;
K211 – coeficiente de rigidez do elemento 2 na direção 1 (do elemento) 
com deslocamento unitário em 1 (do elemento e 3 na estrutura);
Analogamente:
Resolução
[ ]






























−
−−−
−++−
−+−+−−
−
−
=
L
4EI
L
6EI
L
2EI
L
6EI00
L
6EI
L
12EI
L
6EI
L
12EI00
L
2EI
L
6EI
L
EI4
L
4EI
L
EI6
L
6EI
L
2EI
L
6EI
L
6EI
L
12EI
L
EI6
L
6EI
L
EI12
L
12EI
L
6EI
L
12EI
00
L
2EI
L
6EI
L
4EI
L
6EI
00
L
6EI
L
12EIL
6EI
L
12EI
 K
22
2323
2222
23223323
22
2323
Assim, a matriz de rigidez da estrutura
fica com a forma final






























−
−−−
−
−−−
−
−
=
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
K
462600
61261200
268026
612024612
002646
00612612
22
2323
22
23322
33
2323



 LLLL 22
Resolução
Vetor dos deslocamentos 












=
0
0
4
2
D
D
D
Vetor de ações












−
=
3
1
0
2
P
P
P








 0
0
4D








 6
5
0
P
P
Como os valores de P1, P3, P5, P6 são as reações dos vínculos indeterminados
no início da resolução do problema, basta usar a expressão abaixo para
resolver o problema:
{D}= [K’].{P}
Resolução
Assim, as equações da estrutura são: 
K11D1 + K12D2 + K13D3 + K14D4+ K15D5 +K16D6 = P1
K21D1 + K22D2 + K23D3 + K24D4+ K25D5 + K26D6 = P2
K31D1 + K32D2 + K33D3 + K34D4+ K35D5 + K36D6 = P3
K41D1 + K42D2 + K43D3 + K44D4+ K45D5 + K46D6 = P4
K51D1 + K52D2 + K53D3 + K54D4+ K55D5 + K56D6 = P5
K61D1 + K62D2 + K63D3 + K56D4+ K65D5 + K66D6 = P6
Lembrando que há diversos valores nulos do deslocamento, 
assim o sistema fica:
K11.0 + K12D2 + K13.0 + K14D4+ K15.0 + K16.0 = P1
K21.0 + K22D2 + K23.0 + K24D4+ K25.0 + K26.0 = -2
K31.0 + K32D2 + K33.0 + K34D4+ K35.0 + K36.0 = P3
K41.0 + K42D2 + K43.0 + K44D4+ K45.0 + K46.0 = 0
K51.0 + K52D2 + K53.0 + K54D4+ K55.0 + K56.0 = P5
K61.0 + K62D2 + K63.0 + K56D4+ K65.0 + K66.0 = P6
Resolução
Finalmente, separando a segunda e a quarta equação, tem-se:
K22D2 + K24D4 = -2
K42D2 + K44D4 = 0
Que substituindo os valores dos coeficientes de rigidez:
(4EI/L). D + (2EI/L). D =-2(4EI/L). D2 + (2EI/L). D4=-2
(2EI/L). D2 + (8EI/L). D4= 0
Logo:
EI
LD ⋅=
7
1
4 EI
LD ⋅−=
7
4
242 4 DD ⋅−=
Matriz de rigidez do elemento Vetor deslocamento nodal paraCoordenadas locais do elemento 1












−
=
1L
0
EI7
L4
0
D
Resolução
[ ]
















−−−
−
−
=
EIEIEIEI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
K
4626
612612
2646
612612
2323
22
2323



 7EI
1L
Vetor de esforços solicitantes
















−
−
=
571,0
7
18
2
7
18
L
L
P






−
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
LLLL
4626
22
















=


































−
−−−
−
−
=
0,5714-
7L
18
2-
7L
18
-
 
7EI
1L
0
7EI
4L
-
0
 x 
L
4EI
L
6EI
L
2EI
L
6EI
L
6EI
L
12EI
L
6EI
L
12EI
L
2EI
L
6EI
L
4EI
L
6EI
L
6EI
L
12EI
L
6EI
L
12EI
22
2323
22
2323
K
Resolução
Aplicando-se analogamente para o segundo elemento, chega-se à:
















−
=


































−
−−−
−
−
=
0,2857
7L
6
0,5714
7L
6
 
0
0
7EI
1L
0
 x 
4626
612612
2646
612612
22
2323
22
2323
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
K
As reações de apoio podem ser obtidas por meio da soma das forças
nodais devidas aos diversos elementos ou por meio das equações
1,3,5 e 6 com os deslocamentos conhecidos, resultando em:
kN.m 2,0- P
kN 0,6421- P
2
1
=
=
=
Resolução
kN 0,2857 P
kN 0,2142- P
0 P
kN 0,8571 P
6
5
4
3
=
=
=
=










=

























−−
−
−
3
1
1
23332
33
2323
P
2-
P
 
0
D
0
 x 
612024612
002646
00612612
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
Resolução











=



























−
−−
−
6
5
3
22
2323
232
P
P
0
 
0
0
D
 x 
462600
61261200
268026
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
LLLLL
Resolução
Resultados obtidos com o programa FTOOL (Martha-2008), mostram
a linha deformada, o diagrama de momento fletor, o diagrama de
esforço cortante e também as reações de apoio com os resultados
concordando com os obtidos com a análise realizada.
Considerou-se: L = 4,0 m; E = 21000 MPa, I = 4,5x10-4 m4. 
Resolução