AULA 02 Matemática e Raciocínio Lógico

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Aula 02
Matemática e Raciocínio Lógico p/ TRTs - Todos os cargos
Professores: Arthur Lima, Luiz Gonçalves
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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AULA 02: CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
1. Teoria ± matemática básica 01 
2. Resolução de exercícios 53 
3. Questões apresentadas na aula 118 
4. Gabarito 145 
 
Olá! 
 
Nesta segunda aula repassaremos diversos tópicos de matemática básica 
que você certamente já estudou em algum momento da vida, mas naturalmente não 
se lembra mais de vários deles! São tópicos muito presentes em editais de 
concursos, e que também servem de base para o entendimento e a resolução de 
diversas questões sobre assuntos mais complexos. Veja como eles costumam ser 
cobrados nas provas de TRIBUNAIS: 
 
Números inteiros e racionais: operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, 
potenciação); expressões numéricas; múltiplos e divisores de números naturais; 
problemas. Frações e operações com frações. Porcentagem e problemas. 
Conjuntos numéricos complexos. 
 
Tenha uma excelente aula. Permaneço à disposição no fórum, ok? 
 
1. TEORIA ± MATEMÁTICA BÁSICA 
 Chamamos de conjuntos numéricos as principais classificações dos números 
conhecidos. Nos próximos tópicos conheceremos os principais conjuntos, suas 
propriedades e suas operações. 
 
1.1 NÚMEROS NATURAIS 
 Os números naturais têm esse nome por serem aqueles mais intuitivos, de 
³FRQWDJHP�QDWXUDO´��,VWR�p��VmR�DTXHOHV�FRQVWUXtGRV�FRP�RV�Dlgarismos de 0 a 9. O 
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símbolo desse conjunto é a letra N, e podemos escrever os seus elementos entre 
chaves: 
1� �^��������������������������������������������������������������������������������«` 
As reticências indicam que este conjunto não tem fim, ou seja, existem 
infinitos números naturais. 
 Apesar de incluído neste conjunto, o zero não é um número natural 
SURSULDPHQWH�GLWR��SRLV�QmR�p�XP�Q~PHUR�GH�³FRQWDJHP�QDWXUDO´���3RU�LVVR��XWLOL]D-se 
o símbolo N* para designar os números naturais positivos, isto é, excluindo o zero. 
Vejam: 1
� �^����������«` 
 Alguns conceitos básicos relacionados aos números naturais: 
 
a) Sucessor: é o próximo número natural. Isto é, o sucessor de 2 é 3, e o 
VXFHVVRU�GH����p�����(�R�VXFHVVRU�GR�Q~PHUR�³Q´�p�R�Q~PHUR�³Q��´�� 
 
b) Antecessor: é o número natural anterior. Isto é, o antecessor de 2 é 1, e o 
DQWHFHVVRU� GH� ��� p� ���� (� R� DQWHFHVVRU� GR� Q~PHUR� ³Q´� p� R� Q~PHUR� ³Q-�´��
Observe que o número natural zero não possui antecessor, pois é o primeiro 
número desse conjunto. 
 
c) Números consecutivos: são números em sequência. Assim, {2,3,4} são 
números consecutivos, porém {2, 5,4} não são. E {n-1, n e n+1} são números 
consecutivos. 
 
d) Números naturais pares: {0, 2, 4...}. Número par é aquele que, ao ser dividido 
por 2, não deixa resto. Por isso o zero também é par. 
 
e) Números naturais ímpares: {1, 3, 5...}. Ao serem divididos por 2, deixam 
resto 1. 
 
Sobre pares e ímpares, vale a pena perceber que: 
- a soma ou subtração de dois números pares tem resultado par. Ex.: 12 + 6 = 18; 
12 ± 6 = 6. 
- a soma ou subtração de dois números ímpares tem resultado par. Ex.: 13 + 5 = 18; 
13 ± 5 = 8. 
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- a soma ou subtração de um número par com outro ímpar tem resultado ímpar. Ex.: 
12 + 5 = 17; 12 ± 5 = 7. 
- a multiplicação de números pares tem resultado par: 4 x 6 = 24. 
- a multiplicação de números ímpares tem resultado ímpar: 3 x 5 = 15. 
- a multiplicação de um número par por um número ímpar tem resultado par: 2 x 3 = 
6. 
 
1.2 NÚMEROS INTEIROS 
 Os números inteiros são os números naturais e seus respectivos opostos 
(negativos). Isto é, 
Z = {...-12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 
12...} 
Observem que todos os números Naturais são também Inteiros, mas nem 
todos os números inteiros são naturais. Assim, podemos dizer que o conjunto de 
números naturais está contido no conjunto de números inteiros, isto é, N Z, ou 
ainda que N é um subconjunto de Z. O diagrama abaixo explicita esta relação entre 
N e Z: 
 
 Dentro deste conjunto, podemos destacar alguns subconjuntos de números. 
Vejam que os nomes dos subconjuntos são auto-explicativos: 
 
a) Números Inteiros não negativos = {0,1,2,3...}. Veja que são os números naturais. 
 
b) Números Inteiros não positivos �^«�-3, -2, -1, 0}. Veja que o zero também faz 
parte deste conjunto, pois ele não é positivo nem negativo. 
 
c) Números inteiros negativos �^�«�-3, -2, -1}. O zero não faz parte. 
 
d) Números inteiros positivos = {1, 2, 3...}. Novamente, o zero não faz parte. 
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1.3 NÚMEROS RACIONAIS 
 Os números racionais são aqueles que podem ser representados na forma 
da divisão de dois números inteiros. Isto é, são aqueles números que podem ser 
escritos na forma (A dividido por B), onde A e B são números inteiros. Exemplos: 
 
 é Racional, pois é a divisão do número inteiro 5 pelo número inteiro 4. 
 
 é Racional, pois é a divisão do número inteiro -15 pelo número inteiro 9, 
ou a divisão de 15 por -9. 
 
73 e -195 são Racionais, pois são a divisão dos números 73 e -195 pelo 
número 1. 
 
 Observe este último exemplo. Já tínhamos visto que qualquer número natural 
é também inteiro. E agora vemos que todo número inteiro é também racional! Isto 
porque qualquer número inteiro é o resultado da divisão dele mesmo por 1, podendo 
ser representado na forma (A dividido por 1, onde A é um número inteiro 
qualquer). Veja se este novo diagrama, contendo os números Naturais, Inteiros e 
Racionais, faz sentido para você: 
 
 O zero também faz parte dos Números Racionais (pode ser escrito na forma 
, concorda?). Porém, quando escrevemos um número racional na forma , o 
denominador (isto é, o número B) nunca é zero. Isto porque a divisão de um número 
por zero é impossível (exceto 
0
0
, cujo valor é indeterminado). 
 
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 No conjunto dos Números Racionais, temos basicamente 3 tipos de números: 
 
a) Frações. Ex.: , , etc. 
 
b) Números decimais. Ex.: 1,25 
 Veja que este número decimal tem escrita finita, isto é, um número 
definido de casas após a vírgula. Por isso, ele também poderia ser escrito na 
forma . Neste caso, poderíamos representá-lo como , ou mesmo 
simplificá-lo para . 
 
c) Dízimas periódicas. Ex.: 0,33333... ou simplesmente (a barra indica que o 
algarismo 3 repete-se indefinidamente). 
As dízimas periódicas são consideradas racionais porque também 
podem ser escritas na forma . O número deste exemplo poderia ser escrito 
na forma . Existem métodos que nos permitem encontrarqual fração é 
equivalente a uma determinada dízima periódica. Outro exemplo de dízima 
periódica: 1,352525252... ou . 
 
 Antes de prosseguirmos, vejamos como obter as frações que dão origem a 
dízimas periódicas. Divida 1 por 3 e você obterá 0,333... , ou simplesmente 0,3 . 
$VVLP��GL]HPRV�TXH�D�³IUDomR�JHUDWUL]´�GD�Gt]LPD� 0,3 é igual a 1
3
. Existem métodos 
que nos permitem, a partir de uma dízima periódica, chegar até a fração que deu 
origem a ela. 
 Em alguns casos, a parte que se repete já começa logo após a vírgula. Isto é 
o caso em: 
0,333... 
0,353535... 
0,215215215... 
 
 Em outros casos, existem alguns números entre a vírgula e o início da 
repetição. Veja esses números sublinhados nas dízimas abaixo: 
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0,1333... 
0,04353535... 
0,327215215215... 
 
 Vamos começar trabalhando com os casos onde a repetição começa logo 
após a vírgula, para a seguir estender o método aos casos onde existem números 
entre a vírgula e o início da repetição. 
 
Î Casos onde a repetição começa logo após a vírgula: 
Vamos trabalhar com a dízima 0,333... . Chamemos de X a fração que dá 
origem a esta dízima. Ou seja, 
X = 0,333... 
 
 Como a repetição é formada por um único número (3), se multiplicarmos esta 
dízima por 10 conseguimos passar, para o outro lado da vírgula, o primeiro número 
da repetição: 
10X = 10 x 0,333... = 3,333... 
 
 Observe que 10X = 3 + 0,333... . Veja ainda a seguinte subtração: 
10X ± X = 3,333... ± 0,333... 
 
 Os dois números à direita da igualdade acima possuem infinitas casas 
decimais idênticas. Portanto, o resultado desta subtração é: 
9X = 3 
3 1
9 3
X 
 Assim, descobrimos que a fração geratriz da dízima 0,333... é 
1
3
X . 
 Vejamos um segundo exemplo: vamos buscar a fração geratriz da dízima 
0,216216216... . Repare que temos a repetição de 216, e não há nenhuma casa 
separando a vírgula e o início da repetição. Chamando de X a fração geratriz da 
dízima, temos: 
X = 0,216216216... 
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 Para passar a primeira repetição (216) para a esquerda da vírgula, 
precisamos multiplicar X por 1000: 
1000X = 216,216216216... 
 
 Efetuando a subtração 1000X ± X podemos obter a fração geratriz: 
1000X ± X = 216,216216216... ± 0,216216216... 
999X = 216 
216 24
999 111
X 
 
 Assim, a geratriz de 0,216 é a fração 24
111
. 
 
Î Casos onde existem números entre a vírgula e o início da repetição: 
Vejamos como obter a fração geratriz da dízima 1,327215215215... . Veja 
que, neste caso, temos a repetição do termo 215. Entre a vírgula e o início da 
repetição temos 3 números (327). Deste modo, chamando de X a fração geratriz, 
temos: 
X = 1,327215215215... 
 
 Multiplicando X por 1000 conseguimos deixar, à direita da vírgula, apenas os 
termos que se repetem: 
1000X = 1327,215215215... 
 
 E multiplicando X por 1000000 conseguimos passar a primeira repetição 
³���´�SDUD�R�ODGR�HVTXHUGR�GD�YtUJXOD� 
1000000X = 1327215,215215215... 
 
 Assim, podemos efetuar a seguinte subtração: 
1000000X ± 1000X = 1327215,215215215... - 1327,215215215... 
999000X = 1327215 ± 1327 
999000X = 1325888 
1325888
999000
X 
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 Temos, portanto, a fração geratriz da dízima 1,327215215215... . Poderíamos 
ainda simplificá-la, se quiséssemos. 
 
1.3.1 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS 
 As quatro operações básicas que podemos efetuar com estes números são: 
adição, subtração, multiplicação e divisão. Vejamos em detalhes cada uma delas. 
 
a) Adição: 
 A adição de dois números é dada pela soma destes dois números. Isto é, a 
adição de 15 e 6 é: 
15 + 6 = 21 
 
 Você se lembra do método para se efetuar a soma de dois números? Vamos 
exercitar efetuando a soma 728 + 46. Primeiramente, você deve posicionar estes 
números um abaixo do outro, alinhados pela direita (casa das unidades): 
 728 
 +46 
 
 A seguir devemos começar a efetuar a soma pela direita. Somando 8 + 6 
obtemos 14. Com isto, devemos colocar o algarismo das unidades (4) no resultado 
e transportar o algarismo das dezenas (1) para a próxima soma: 
 1 
 728 
 +46 
 4 
 Agora, devemos somar os dois próximos números (2 + 4), e adicionar 
também o número que veio da soma anterior (1). Assim, obtemos 7. Devemos 
colocar este número no resultado: 
 728 
 +46 
 74 
 
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 Temos ainda o algarismo 7 na casa das centenas do número 728. Como o 
segundo número (46) não possui casa das unidades, podemos simplesmente levar 
este 7 para o resultado, obtendo: 
 728 
 +46 
 774 
 
 Chegamos ao nosso resultado final. Antes de conhecermos a próxima 
operação, vejamos as principais propriedades da operação de adição. 
 
- propriedade comutativa: dizemos que a adição de números racionais possui a 
propriedade comutativa, pois a ordem dos números não altera a soma. Isto é, 728 + 
46 é igual a 46 + 728. 
 
- propriedade associativa: ao adicionar 3 ou mais números racionais, podemos 
primeiramente somar 2 deles, e a seguir somar o outro, em qualquer ordem, que 
obteremos o mesmo resultado. Logo, esta propriedade está presente na adição. Ex.: 
2 + 5 + 7 = (2 + 5) + 7 = 2 + (5 + 7) = 14. 
 
- elemento neutro: dizemos que o zero é o elemento neutro da adição, pois qualquer 
número somado a zero é igual a ele mesmo. Ex.: 2 + 0 = 2; 45 + 0 = 45. 
 
- propriedade do fechamento: esta propriedade nos diz que a soma de dois números 
racionais SEMPRE gera outro número racionais. Ex: a soma dos números racionais 
2 e 5 gera o número racional 7 (2 + 5 = 7). 
 
b) Subtração: efetuar a subtração de dois números significa diminuir, de um deles, 
o valor do outro. Isto é, subtrair 5 de 9 significa retirar 5 unidades de 9, restando 4 
unidades: 
9 ± 5 = 4 
 
 
 
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 Acompanhe a subtração abaixo para relembrar o método para a subtração de 
números racionais (veja que, por simplicidade, estamos usando números inteiros 
nos exemplos, que não deixam de ser também racionais). Vamos efetuar a 
operação 365 ± 97: 
 
365 
- 97 
 
 Observe que o primeiro passo é posicionar um número abaixo do outro, 
alinhando as casas das unidades. Começamos a efetuar a subtração a partir da 
casa das unidades. Como 5 é menor do que 7, não podemos subtrair 5 ± 7. 
'HYHPRV�� SRUWDQWR�� ³SHJDU´� XPD� XQLGDGH� GD� FDVD� GDV� GH]HQDV� GH� ����� /HYDQGR�
este valor para a casa das unidades, temos 10 unidades, que somadas a 5 chegam 
a 15 unidades. Agora sim podemos subtrair 15 ± 7 = 8, e anotar este resultado:365 
- 97 
 8 
 
 Devemos agora subtrair as casas das dezenas. Devemos subtrair 5 ± 9, e 
não 6 ± 9, pois já utilizamos uma unidade na primeira subtração acima. Como 5 é 
PHQRU�TXH����GHYHPRV�QRYDPHQWH�³SHJDU´�XPD�XQLGDGH�GD�FDVD�GDV�FHQWHQDV�GH�
365, e somar ao 5. Assim, teremos 15 ± 9 = 6. Vamos anotar este resultado: 
365 
- 97 
 68 
 
 Agora devemos subtrair a casa das centenas. Veja que não temos mais um 3 
na casa das centenas de 365, e sim 2, pois já usamos uma unidade na operação 
anterior. Como 97 não tem casa das centenas, basta levarmos este 2 para o 
resultado: 
365 
- 97 
268 
 
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 E se quiséssemos efetuar a subtração 97 ± 365? Neste caso, como 97 é 
menor que 365, devemos: 
- subtrair o menor número do maior, isto é, efetuar a operação 365 ± 97; 
- colocar o sinal negativo (-) no resultado. 
 
 Desta forma, 97 ± 365 = -268. Vejamos as principais propriedades da 
operação de subtração. 
 
- propriedade comutativa: dizemos que a subtração de números racionais NÃO 
possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos números ALTERA o resultado. 
Como vimos acima, 365 ± 97 = 268, já 97 ± 365 = -268. 
 
- propriedade associativa: a subtração NÃO possui essa propriedade, pois (A ± B) ± 
C pode ser diferente de (C ± B) ± A 
 
- elemento neutro: o zero é o elemento neutro da subtração, pois, ao subtrair zero 
de qualquer número, este número permanecerá inalterado. Ex.: 2 ± 0 = 2. 
 
- propriedade do fechamento: a subtração de números racionais possui essa 
propriedade, pois a subtração de dois números racionais SEMPRE gera outro 
número racional. 
 
- elemento oposto: para todo número racional A, existe também o seu oposto, com 
sinal contrário, isto é, -A. Exemplos de números opostos: 5 e -5, 29 e -29 etc. 
Também podemos dizer que o elemento oposto de A é aquele número que, somado 
a A, resulta em zero: 
A + (-A) = 0 
 
c) Multiplicação: a multiplicação nada mais é que uma repetição de adições. Por 
exemplo, a multiplicação 15 x 3 é igual à soma do número 15 três vezes (15 + 15 + 
15), ou à soma do número 3 quinze vezes (3 + 3 + 3 + ... + 3). Vejamos como 
efetuar uma multiplicação: 
 57 
x 13 
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 Novamente alinhamos os números pela direita. Começamos multiplicando os 
números das unidades: 3 x 7 = 21. Deixamos o algarismo das unidades (1) no 
resultado, e levamos o algarismo das dezenas (2) para a próxima operação: 
 
 2 
 57 
x 13 
 1 
 
 Agora devemos multiplicar os números das unidades do segundo número (3) 
pelo número das dezenas do primeiro número: 3 x 5 = 15. Antes de colocar este 
valor no resultado, devemos adicionar o 2 que veio da operação anterior: 15 + 2 = 
17. Assim, temos: 
 57 
x 13 
 171 
 
 Agora devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo número (1) 
pelo algarismo das unidades do primeiro número (7): 1 x 7 = 7. Devemos levar este 
número para o resultado, entretanto devemos colocá-lo logo abaixo do algarismo 
das dezenas do segundo número (1). Veja: 
 57 
x 13 
 171 
 7 
 A seguir, devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo número 
(1) pelo algarismo das dezenas do primeiro número (5): 1 x 5 = 5. Assim, temos: 
 57 
x 13 
 171 
 57 
 
 
 
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 Por fim, devemos somar as duas linhas de resultado, obtendo: 
 57 
x 13 
 171 
 570 
 741 
 
Veja que antes de efetuar a soma, colocamos um zero à direita do 57, 
transformando-o em 570. Fazemos isto porque este resultado (57) surgiu da 
multiplicação do algarismo das dezenas do multiplicador (13). Se fosse do algarismo 
das centenas do multiplicador, colocaríamos 2 zeros, e assim por diante. 
É importante relembrar as regras de sinais na multiplicação de números. 
Você deve se lembrar que: 
- a multiplicação de números de mesmo sinal tem resultado positivo. 
Ex.: 5 x 5 = 25, e (-5)x(-5) = 25. 
- a multiplicação de números de sinais diferentes tem resultado negativo. 
Ex.: 5x(-5) = -25. 
 
 Portanto, se tivéssemos multiplicado (-57) x 13, ou então 57 x (-13), 
deveríamos obter -741. E se tivéssemos multiplicado (-57) x (-13) deveríamos obter 
741. 
 
Vejamos as principais propriedades da operação de multiplicação: 
 
- propriedade comutativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois A x B é 
igual a B x A, isto é, a ordem não altera o resultado (ex.: 3 x 5 = 5 x 3 = 15). 
 
- propriedade associativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois (A x B) x C 
é igual a (C x B) x A, que é igual a (A x C) x B etc. Ex.: (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4) = (4 x 
3) x 2 = 24. 
 
- elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da multiplicação, pois ao 
multiplicar 1 por qualquer número, este número permanecerá inalterado. Ex.: 5 x 1 = 
5. 
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- propriedade do fechamento: a multiplicação possui essa propriedade, pois a 
multiplicação de números racionais SEMPRE gera um número racional (ex.: 5 x 7 = 
35, que é racional). 
 
- propriedade distributiva: apenas a multiplicação possui essa propriedade. Esta 
propriedade nos permite dizer que: 
Ax(B+C) = (AxB) + (AxC) 
 
Exemplificando: 
5x(3+7) = 5x(10) = 50 
ou, usando a propriedade: 
5x(3+7) = 5x3 + 5x7 = 15+35 = 50 
 
d) Divisão: quando dividimos A por B, queremos repartir a quantidade A em partes 
de mesmo valor, sendo um total de B partes. Ex.: Ao dividirmos 10 por 2, queremos 
dividir 10 em 2 partes de mesmo valor. No caso, 10 2 5y . Vamos relembrar como 
efetuar divisões com o caso abaixo, onde dividimos 715 por 18: 
715 |18 
 
 Neste caso, chamamos o 715 de dividendo (número a ser dividido) e o 18 de 
divisor (número que está dividindo o 715). Como o divisor possui 2 casas (18), 
devemos tentar dividir as primeiras duas casas da esquerda do dividendo (71). Veja 
que 18x4 = 72 (que já é mais que 71). Já 18x3 = 54. Assim, temos: 
715 |18 
 3 
 
 Devemos multiplicar 3 por 18 e anotar o resultado abaixo de 71, e a seguir 
efetuar a subtração: 
715 |18 
 -54 3 
 17 
 
 
 
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 $JRUD�GHYHPRV�³SHJDU´�R�SUy[LPR�DOJDULVPR�GR�GLYLGHQGR����� 
715 |18 
 -54 3 
 175 
 
 Dividindo 175 por 18, temos o resultado 9. Devemos anotar o 9 no resultado, 
à direita, e anotar o resultado da multiplicação 9 x 18 abaixo do 175, para 
efetuarmos a subtração: 
715 |18 
 -54 39 
 175 
 -162 
 13 
 
 Agora temos o número 13, que é inferiorao divisor (18). Portanto, 
encerramos a divisão. Obtivemos o quociente (resultado) 39 e o resto igual a 13. 
Dizemos que esta divisão não foi exata, pois ela deixou um resto. 
 
 Observe que o dividendo (715) é igual à multiplicação do divisor (18) pelo 
quociente (39), adicionada do resto (13). Isto é: 
715 = 18 x 39 + 13 
 
 Como regra, podemos dizer que: 
Dividendo = Divisor x Quociente + Resto 
 
 As regras de sinais na divisão de números racionais são as mesmas 
da multiplicação: 
- a divisão de números de mesmo sinal tem resultado positivo. 
- a divisão de números de sinais diferentes tem resultado negativo. 
 
 Portanto, se tivéssemos dividido (-10) por 2, ou então 10 por (-2), 
deveríamos obter -5. E se tivéssemos dividido (-10) por (-2) deveríamos obter 5. 
 
Vejamos as principais propriedades da operação de divisão: 
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- propriedade comutativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois A / B pode 
ser diferente de B / A. Ex.: 2 / 5 = 0,4; e 5 / 2 = 2,5. 
 
- propriedade associativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois (A / B) / C 
pode ser diferente de (C / B) / A. Ex.: (2/5)/3 é diferente de (3/5)/2. 
 
- elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da divisão, pois ao dividir 
qualquer número por 1, o resultado será o próprio número. Ex.: 5 / 1 = 5. 
 
- propriedade do fechamento: a divisão possui essa propriedade, pois a divisão de 
números racionais SEMPRE gera um número racional (ex.: 2 / 100 = 0,02; que é 
racional). 
 
Para sedimentar seus conhecimentos, segue uma tabela-resumo sobre as 
propriedades das operações com números racionais: 
 
Elem. 
Neutro 
Comut. Assoc. Fecham. 
Distributiva 
Adição zero Sim Sim Sim 
Não: 
( ) ( ) ( )A B C A B A C� � z � � � 
Multiplicação 1 Sim Sim Sim 
Sim: 
( ) ( ) ( )A B C A B A Cu � z u � u 
Subtração zero Não Não 
Sim 
 
Não: 
( ) ( ) ( )A B C A B A C� � z � � � 
Divisão 1 Não Não Sim 
Não: 
( ) ( ) ( )A B C A B A Cy � z y � y 
 
1.3.2 Operações com frações 
Ao trabalhar com números racionais, recorrentemente estaremos lidando com 
frações, que nada mais são que operações de divisão. Escrever 
2
5 é equivalente a 
escrever 2 5y . As frações estão constantemente presentes na resolução de 
exercícios, motivo pelo qual é essencial lembrar como efetuamos cada operação 
com elas: soma, subtração, multiplicação e divisão. 
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a) Para somar ou subtrair frações, é preciso antes escrevê-las com o mesmo 
denominador, isto é, com um denominador comum. Este denominador é, 
simplesmente, um múltiplo comum entre os denominadores das frações originais. 
Falaremos sobre múltiplos adiante, de modo que aqui veremos apenas o básico. 
Vamos entender isto com o exemplo abaixo: 
1 3
6 8
� 
 Veja o número 24 é um múltiplo de 6 (pois 6x4 = 24) e de 8 (pois 8x3 = 24). 
 Para trocar o denominador da fração 
1
6
 para 24, é preciso multiplicar o 
denominador 6 por 4. Assim, também devemos multiplicar o numerador 1 por 4, 
para manter a fração. Portanto, 
1 4
6 24
 . 
Já para trocar o denominador da fração 
3
8
 para 24, é preciso multiplicar o 
denominador 8 por 3. Assim, também devemos multiplicar o numerador 3 por 3, 
para manter a fração. Portanto, 
3 9
8 24
 . 
Agora sim podemos efetuar a soma: 
1 3 4 9 4 9 13
6 8 24 24 24 24
�� � 
 
b) Para multiplicar frações, basta multiplicar o numerador de uma pelo numerador 
da outra, e o denominador de uma pelo denominador da outra. Veja nosso exemplo: 
1 3 1 3 3
6 8 6 8 48
uu u 
 
c) Para dividir frações, basta multiplicar a primeira pelo INVERSO da segunda. Veja 
isso em nosso exemplo: 
1
1 3 1 8 86
3 6 8 6 3 18
8
 y u 
 
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*** Dica importantíssima: trabalhando com frações, normalmente podemos 
VXEVWLWXLU�D�H[SUHVVmR�³GH´�SHOD�PXOWLSOLFDomR��9HMD�FRPR� 
- quanto é um terço de 1000? Ora, simplesmente 
1 1000
3
u ! 
- e quanto é dois sétimos de 25? A resposta é 
2 25
7
u . 
- quanto vale um quarto da soma do número de homens (700) e de mulheres (600) 
presentes em um evento? Simplesmente 
1 (700 600)
4
u � . 
- por fim, quanto vale 5/9 da diferença entre os números X e Y? Aqui, a resposta é 
dada pela expressão 
5 ( )
9
X Yu � . 
 Certifique-se de que você entendeu isso. Usaremos bastante ao longo dos 
exercícios! 
 
1.3.3 Operações com números decimais 
 Os números decimais são, em regra, aqueles que resultam da divisão não-
H[DWD� GH� GRLV� Q~PHURV� LQWHLURV�� 6mR� RV� Q~PHURV� TXH� SRVVXHP� ³FDVDV� DSyV� D�
YtUJXOD´��$�PDQLSXODomR�GHOHV�p�HVVHQFLDO� SDUD�D� UHVROXomR�GH�GLYHUVDV�TXHVW}HV��
motivo pelo qual você precisa saber somá-los, subtraí-los, multiplicá-los, dividi-los, 
elevá-los a potências e extrair raízes dos mesmos. Vejamos cada uma dessas 
operações em detalhes. 
 
a) Adição de números decimais: 
 A adição de dois números decimais segue a mesma lógica da adição comum. 
Isto é: 
- os números devem ser posicionados um embaixo do outro, com a vírgula logo 
abaixo da vírgula do outro, e as casas correspondentes uma embaixo da outra 
- as casas correspondentes devem ser somadas, começando da direita para a 
esquerda. 
- à medida que forem sendo formadas dezenas, estas devem ser transferidas para a 
próxima adição (das casas logo à esquerda). 
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 Vamos aplicar estes passos na adição de 13,47 e 2,9. Colocando os números 
um embaixo do outro, com a vírgula uma embaixo da outra, temos todas as casas 
correspondentes em uma mesma vertical: 
 
 13,47 
+ 2,9 
 
 Veja que a casa das unidades do primeiro número (3) está logo acima da 
casa das unidades do segundo número (2). A primeira casa decimal do primeiro 
número (4) está logo acima da primeira casa decimal do segundo (1). E assim por 
diante. Como não há casa decimal abaixo do 7, podemos considerá-la igual a 0. 
Agora, basta começar a somar as casas correspondentes, começando pelas da 
direita, anotando o resultado. Quando houver a formação de dezenas (ex.: 4 + 9 = 
13), a dezena (1) deve ser transferida para a próxima operação (3 + 2). Com isso, 
temos: 
 13,47 
+ 2,9 
 16,37 
 
b) Subtração de números decimais: 
 Aqui também devemos posicionar os números um abaixo do outro, com a 
vírgula do primeiro na mesma vertical da vírgula do segundo número. A seguir 
devemos subtrair as casas correspondentes, da direita para a esquerda. Vejamos: 
 
 13,47 
- 2,9 
 10,57 
 Repare, neste exemplo, que no momento de efetuar a subtração 4 ± 9 foi 
preciso pegar uma uQLGDGH�GD�FDVD�j�HVTXHUGD�GR����QR�FDVR��R����H�³WUDQVIRUPi-OD´�
em uma dezena, somando-a ao 4. Assim, subtraimos 14 ± 9, obtendo o resultado 5. 
A seguir, ao invés de subtrair 3 ± 2, tivemos que subtrair 2 ± 2 pois uma unidade do 
³�´�Mi�KDYLD�VLGR�XWLOL]DGD.c) Multiplicação de números decimais: 
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 Aqui aplicamos o mesmo procedimento da multiplicação comum, com duas 
observações: 
- devemos posicionar os números assim como fizemos na adição e na subtração, 
isto é, com a vírgula de um logo abaixo da vírgula do outro. 
- o número de casas decimais do resultado será igual à soma do número de casas 
decimais dos dois números sendo multiplicados. Assim você saberá posicionar a 
vírgula. 
 Vejamos o nosso exemplo: 
 
 13,47 
x 2,9 
 12123 
+ 26940 
39,063 
 Repare que a primeira linha abaixo do 2,9 refere-se à multiplicação de 13,47 
por 9. Já a segunda linha refere-se à multiplicação de 13,47 por 2. Nesta linha há 
um 0 à direita porque o 2 está uma casa decimal à frente do 9. Efetuando a soma 
das duas linhas, obtém-se 39063. E, lembrando que existem 3 casas decimais nos 
números sendo multiplicados (duas em 13,47 e uma em 2,9), devemos ter 3 casas 
decimais no resultado, o que leva ao número 39,063. 
 
d) Divisão de números decimais: 
 Para efetuar a divisão de números decimais, devemos inicialmente multiplicar 
ambos os números (divisor e dividendo) por uma potência de 10 (10, 100, 1000, 
10000 etc.) de modo a retirar todas as casas decimais presentes. Após isso, é só 
efetuar a operação normalmente. 
 Para exemplificar, vamos dividir 3,5 por 0,25. Observe que o número que 
possui mais casas decimais é o divisor (0,25), possuindo 2 casas decimais. Assim, 
devemos multiplicar ambos os números por 100, de modo a retirar ambas as casas 
decimais: 
 
3,5 x 100 = 350 
0,25 x 100 = 25 
 
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 Agora, basta efetuar a divisão de 350 por 25, que você sabe fazer, tendo 
como resultado o número 14. 
 
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO ± NÚMEROS DECIMAIS) Para fixar o que foi visto aqui, 
efetue as seguintes operações, cujo gabarito é fornecido em seguida. 
a) 2,25 + 1,7 
b) 2,25 ± 1,7 
c) 2,25 x 1,7 
d) 2,25 / 1,5 
e) 0,898 + 1,12 
f) 0,898 ± 1,12 
g) 0,898 x 1,12 
h) 0,898 / 0,01 
Respostas: 
a) 3,95 
b) 0,55 
c) 3,825 
d) 1,5 
e) 2,018 
f) -0,222 
g) 1,00576 
h) 89,8 
 
1.3.4 REPRESENTAÇÃO NA RETA 
 Veja abaixo a reta numérica, onde podemos representar todos os números 
racionais. As setas nas extremidades denotam que a reta cresce infinitamente para 
ambos os lados: 
 
 
 É possível localizar a posição exata de um número racional na reta numérica, 
ainda que ele seja fracionário. Por exemplo, vamos localizar o número 
3
4
, ou 0,75 
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(na forma decimal). Na reta numérica, basta dividirmos o espaço entre 0 e 1 em 
quatro partes, e colocar o número 
3
4
ao final da terceira delas: 
 
 
 Ainda observando a reta numérica acima, observe que a distância do 0 até o 
1 é a mesma distância do 0 até o -���(VVD�GLVWkQFLD�PHGH�³��XQLGDGH´��'D�PHVPD�
forma, a distância de 0 a 2 é a mesma distância de 0 a -���$TXL�D�GLVWkQFLD�p�GH�³��
XQLGDGHV´�� 
Chamamos de módulo de um número a distância entre esse número e o 
zero. Utilizamos o símbolo |A| para representar o módulo do número A. Assim, como 
vimos acima, podemos dizer que: 
|1| = 1 
|-1| = 1 
|2| = |-2| = 2 
 
 Repare que, se o número A é positivo (como no caso do 2), o módulo é ele 
mesmo. Se o número A é negativo (como no caso do -2), o módulo é o seu oposto 
(isto é, -(-2) = 2). De maneira mais formal, podemos dizer que: 
, se A 0| |
, se A<0
A
A
A
t­° ®�°¯
 
 
1.4 NÚMEROS IRRACIONAIS 
 Os Números Irracionais são aqueles que, ao contrário dos Racionais, não 
podem ser obtidos da divisão de dois inteiros, ou seja, não podem ser escritos na 
forma (onde A e B são números inteiros). Isto porque esses números são 
formados por uma sequência infinita de algarismos. 
Exemplo: na obtenção da raiz quadrada do algarismo 2, nos deparamos com 
um número irracional: 
 
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(as reticências indicam que este número é composto por infinitos algarismos) 
Da mesma forma, o conhecido número �³SL´��� PXLWR� XWLOL]DGR� QD�
trigonometria, possui infinitas casas decimais que não se repetem como em uma 
dízima periódica, o que faz dele um número irracional: 
 
 
Antes de avançarmos, deixo uma observação a respeito da representação 
dos números irracionais na reta numérica: 
- não é possível localizar precisamente um número irracional na reta numérica. Isto 
porque esses números tem infinitas casas decimais que não se repetem, não sendo 
possível escrevê-los na forma 
A
B
e usar o mesmo método que vimos para localizar 
os números racionais. 
Obs.: existem formas indiretas para a localização desses números na reta com boa 
precisão. Ex.: sabemos que a diagonal de um quadrado de lados iguais a 1 mede 
exatamente 2 , que é um número irracional. Portanto, basta desenhar esse 
quadrado, pegar a sua diagonal e utilizá-la para medir, na reta numérica, a distância 
entre a origem (zero) e a posição onde deve estar o número 2 . 
 
1.5 NÚMEROS REAIS 
 O conjunto dos Números Reais é formado pela união dos números Racionais 
e Irracionais. Desta forma, podemos dizer que: 
 
(O conjunto dos Números Naturais está contido no dos Inteiros, que está contido no 
dos Racionais, que está contido no dos Reais) 
 E, além disso, 
 
(O conjunto dos Números Irracionais está contido no dos Números Reais) 
 
 Complementando o diagrama que desenhamos nos tópicos acima, agora 
temos: 
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 No diagrama acima, Q/R significa que aquele subconjunto pertence aos 
Números Racionais e Reais, e I/R significa que aquele subconjunto pertence aos 
Números Irracionais e Reais. 
 
1.5.1 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS 
 As propriedades das operações com números reais são as mesmas já vistas 
para os racionais. 
 
1.5.2 REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS REAIS NA RETA 
 Dado que os números reais são formados por 2 subconjuntos (racionais e 
irracionais), sabemos que alguns números reais podem ser posicionados 
precisamente na reta numérica (os racionais) e outros não podem ser localizados 
exatamente (os irracionais). 
 
1.6 NÚMEROS PRIMOS E FATORAÇÃO 
Dizemos que um número é primo quando ele só pode ser dividido, sem 
deixar resto, por 1 e por si mesmo. Veja, por exemplo, o número 7. Como qualquer 
número, ele pode ser dividido por um, tendo como resultado 7 e não deixando resto 
algum. Entretanto, experimente dividi-lo por 2, 3, 4, 5 ou 6, e verá que sempre há 
um resto diferente de zero. Apenas ao dividi-lo por 7 é que não encontraremos resto 
novamente. Portanto, 7 é um número primo, pois só é divisível por 1 e por ele 
mesmo. Diversos outros números possuemessa propriedade, como os listados 
abaixo: 
{2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...} 
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A título de curiosidade, repare que o 2 é o único número primo par. Todos os 
demais são ímpares. 
Qualquer número natural pode ser representado como uma multiplicação de 
números primos. Por exemplo, 6 pode ser representado por 2 x 3. Este processo de 
transformar um número qualquer em um produto de números primos é chamado de 
fatoração. 
Vamos fatorar o número 24. Devemos começar tentando dividi-lo por 2, que é 
o menor número primo (muitos autores não consideram que o 1 seja um número 
primo). Esta divisão é exata (não possui resto), e o resultado é 12. Podemos dividir 
novamente por 2, tendo resultado 6, e dividir o 6 outra vez por 2, tendo resultado 3. 
Agora não é mais possível dividir por 2. Assim, devemos partir para o próximo 
número primo, que é o 3. Dividindo 3 por 3 temos resultado 1. Repare que para 
chegar no resultado 1 foi preciso dividir 24 por 2 em 3 etapas, e a seguir dividir por 3 
em uma etapa. Portanto, 24 = 2 x 2 x 2 x 3, ou simplesmente 24 = 23 x 3. Visualize 
este processo abaixo: 
Número Fator primo 
24 2 
12 2 
6 2 
3 3 
1 Logo, 24 = 23 x 3 
 
 Para praticar, vejamos a fatoração do número 450: 
Número Fator primo 
450 2 
225 3 
75 3 
25 5 
5 5 
1 Logo, 450 = 2 x 32 x 52 
 
Vejamos ainda a fatoração do número 1001. Observe que ele não é divisível 
(ou seja, deixa resto) por 2, 3 ou 5. Apenas ao chegar o fator primo 7 é que 
conseguimos dividi-lo. Acompanhe abaixo: 
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Número Fator primo 
1001 7 
143 11 
13 13 
1 Logo, 1001 = 7 x 11 x 13 
 
A fatoração será muito útil na obtenção do Mínimo Múltiplo Comum e Máximo 
Divisor Comum entre dois números, como veremos a seguir. 
 
1.7 MÚLTIPLOS E DIVISORES 
Para a resolução de diversas questões que podem cair em sua prova, vale a 
pena você desenvolver a rapidez na obtenção de múltiplos e divisores de um dado 
número, calcular o mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum entre dois 
números, e conhecer regras práticas para saber se um número é ou não divisível 
por outro (critérios de divisibilidade). 
Os múltiplos de um número X são aqueles números que podem ser obtidos 
multiplicando X por outro número natural. Por exemplo, os múltiplos de 3 são: 3, 6, 
9, 12, 15 etc. Repare que esses números podem ser obtidos multiplicando 3 por 1, 
2, 3, 4 e 5, respectivamente. Quando temos 2 números X e Y, e listamos os 
múltiplos de cada um deles, podemos ter múltiplos em comum entre os dois. 
Exemplificando, vamos listar alguns múltiplos de 8 e de 12: 
Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72 etc. 
Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72 etc. 
 Observe que os seguintes números são múltiplos de 8 e também de 12: 24, 
48, 72. Isto é, são múltiplos em comum desses 2 números. O menor deles, neste 
caso o 24, é chamado de mínimo múltiplo comum (MMC) entre 8 e 12. O cálculo do 
MMC se mostra útil na resolução de diversos exercícios, como veremos adiante. 
 Um método simples de se calcular o MMC entre 2 números é dado pelos 
seguintes passos: 
1. Decompor cada número em uma multiplicação de fatores primos; 
2. O MMC será formado pela multiplicação dos fatores comuns e não comuns dos 
dois números, de maior expoente. 
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 Decompondo 8 em fatores primos, temos que 8 = 2x2x2 = 23. E decompondo 
12 em fatores primos, temos que 12 = 2x2x3 = 22x3. 
 Assim, o MMC será formado pelos fatores comuns (2) e não comuns (3) de 
maior expoente (isto é, MMC = 23 x 3 = 24). 
 A título de exercício, vamos calcular o MMC entre 15 e 9. Veja que 15 = 3x5, 
e 9 = 32. Portanto, MMC = 32x5 = 45. 
 Para você entender como o MMC pode ser útil na resolução de questões, 
imagine o seguinte caso: dois colegas de trabalho, João e José, gostam de realizar 
festas em suas casas periodicamente. João costuma realizar festas de 9 em 9 dias, 
enquanto José costuma realizar festas de 15 em 15 dias. Sabendo que hoje houve 
festa na casa de ambos, daqui a quanto tempo as datas das festas de ambos 
coincidirão novamente? 
 Ora, se João dá festas de 9 em 9 dias, sua próxima festa será daqui a 9 dias, 
a seguinte daqui a 18, a outra daqui a 27, e assim por diante. Já a próxima festa de 
José será daqui a 15 dias, depois daqui a 30, depois 45 etc. Observe que os dias 
em que ambos darão festas devem ser múltiplos de 9 e também de 15, isto é, 
múltiplos comuns de 9 e 15. A próxima festa ocorrerá no menor desses múltiplos, 
isto é, no mínimo múltiplo comum entre 9 e 15. Como calculamos acima, MMC (9, 
15) = 45. Portanto, a próxima vez em que as festas coincidirão ocorrerá daqui a 45 
dias. 
Dizemos que um número é divisível por outro quando esta divisão é exata, 
não deixando resto nem casas decimais. Para saber se um número é divisível por 
outro, basta efetuar a divisão e verificar se existe resto. Ex.: 25 5 5y , portanto 25 é 
divisível por 5. O problema surge quando queremos julgar, por exemplo, se o 
número 1765830275 é divisível por 5. Efetuar esta divisão à mão consome muito 
tempo. Para identificarmos rapidamente essa divisibilidade, existem os critérios de 
divisibilidade. Os principais deles encontram-se na tabela abaixo: 
 
 
 
 
 
 
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Principais critérios de divisibilidade 
Divisor* Critério Exemplos 
1 Todos os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8... 
2 
Números pares (isto é, terminados 
em um algarismo par) 
0, 2,4, 28, 490, 522 etc. 
3 
Números cuja soma dos algarismos 
é divisível por 3 
0, 3, 6, 9, 12 (1+2=3), 15 (1+5 = 6), 
27 (2+7=9), 51 (5+1=6), 915 
(9+1+5=15) etc. 
4 
Se o número formado pelos 2 
últimos dígitos for divisível por 4 
0, 4, 8, 12, 16, 912, 1816 etc. 
5 Números terminados em 0 ou 5 0, 5, 10, 65, 120, 1345 etc. 
6 Números divisíveis por 2 e por 3 
0, 6, 12, 924 (é par, e 9+2+4=15) 
etc. 
9 
Números cuja soma dos algarismos 
é divisível por 9 
0, 9, 18, 27, 126 (1+2+6 = 9), 7155 
(7+1+5+5=18) etc. 
10 Números terminados em 0 0, 10, 20, 150, 270, 1580 etc. 
*7 e 8 foram omitidos intencionalmente, pois possuem critérios muito difíceis, motivo 
pelo qual praticamente não são cobrados. 
 
Chamamos de máximo divisor comum (MDC) entre dois números A e B o 
maior número pelo qual tanto A quanto B podem ser divididos de maneira exata, isto 
é, sem deixar resto. 
Podemos calcular o máximo divisor comum entre 2 números listando os 
divisores de cada um deles. Exemplificando, vamos listar os divisores de 32 e 40: 
- 32 pode ser dividido por: 1, 2, 4, 8, 16, 32. 
- 40 pode ser dividido por: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40. 
- Divisores comuns entre 32 e 40: 1, 2, 4, 8. 
 Vejam que 8 é o máximo divisor comum (MDC) entre 32 e 40. 
Para calcular o MDC sem precisar listar todos os divisores de cada número 
(como fizemosacima), basta seguir 2 passos: 
1. Decompor cada um dos números em fatores primos (ex.: 32 = 25; 40 = 23u5) 
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2. O MDC será formado pela multiplicação dos fatores comuns de menor 
expoente (neste caso, apenas o 2 é comum, e seu menor expoente é 3. 
Logo, MDC = 23 = 8); 
 
Para você visualizar uma aplicação prática do MDC, imagine o seguinte caso: 
temos um conjunto de 20 cães e 30 gatos. Queremos criar grupos de gatos e 
grupos de cães, sem misturá-los, porém todos os grupos devem ter o mesmo 
número de integrantes. Qual o menor número de grupos possível? 
Para obter o menor número de grupos possível, precisamos dividir 20 e 30 
pelo maior número possível. Este maior número que divide tanto 20 quanto 30, sem 
deixar resto, é justamente o MDC entre 20 e 30. 
Decompondo 20 em fatores primos, temos que 20 = 22x5. Temos também 
que 30 = 2x3x5. Portanto, MDC(20,30) = 2x5 = 10. Portanto, devemos formar 
grupos de 10 elementos. Isto é, 2 grupos com 10 cães em cada, e 3 grupos com 10 
gatos em cada. Assim, o menor número de grupos possível é 5. 
 
Podemos ainda calcular o MMC e o MDC mais rapidamente, fatorando os 
números simultaneamente. Vejamos como fazer isso com exemplos: 
 
a) Cálculo do MMC entre 30 e 40: 
 Inicialmente escrevemos os dois números, um em cada coluna. Na terceira 
coluna vamos escrever os fatores primos que dividem os números. Devemos 
começar pelos menores fatores primos (2, 3, 5...), em ordem crescente. Nosso 
objetivo é dividir os números até ambos ficarem iguais a 1. Veja: 
 
30 40 Fator primo 
30/2 = 15 40/2 = 20 2 
15 (não dá p/ dividir por 2) 20 / 2 = 10 2 
15 (não dá p/ dividir por 2) 10 / 2 = 5 2 
15 / 3 = 5 5 (não dá p/ dividir por 3) 3 
5 / 5 = 1 5 / 5 = 1 5 
 MMC = 23 x 3 x 5 = 120 
 
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b) Cálculo do MDC entre 30 e 40: 
 Inicialmente escrevemos os dois números, um em cada coluna. Na terceira 
coluna vamos escrever os fatores primos que dividem os números. Devemos 
começar pelos menores fatores primos (2, 3, 5...), em ordem crescente. Aqui o 
nosso objetivo é dividir os números apenas pelos fatores que sejam capazes de 
dividir ambos os números simultaneamente: 
 
30 40 Fator primo 
15 20 2 
3 4 5 
 MDC = 2 x 5 = 10 
 
1.8 POTÊNCIAS 
Já tivemos que trabalhar com potências nesta aula, ao abordar a fatoração, 
mas nesta seção veremos mais detalhes sobre esta operação matemática. Observe 
o exemplo abaixo: 
35 5 5 5 125 u u 
(lê-VH��³FLQFR�HOHYDGR�j�WHUFHLUD�SRWrQFLD�p�LJXDO�D�FLQFR�YH]HV�FLQFR�YH]HV�FLQFR´� 
 Pelo exemplo dado, você pode perceber que elevar um número X a uma 
GHWHUPLQDGD� SRWrQFLD� ³Q´� p� VLPSOHVPHQWH� PXOWLSOLFDU� ;� SRU� HOH� PHVPR�� ³Q´� YH]HV��
Outro exemplo, para não deixar dúvida: 
42 2 2 2 2 16 u u u 
�³GRLV�HOHYDGR�j�TXDUWD�SRWrQFLD�p�LJXDO�DR�GRLV�PXOWLSOLFDGR�SRU�HOH�PHVPR���YH]HV´� 
 Resumindo, quando tratamos sobre potências temos sempre uma base 
(número X) elevada a um expoente �³Q´��� (QWHQGLGR� R� FRQFHLWR� EiVLFR�� Sodemos 
analisar algumas propriedades das potências. Essas propriedades facilitarão 
bastante o manuseio de equações que envolvam potências: 
a) Qualquer número elevado a zero é igual a 1. 
Trata-se de uma convenção, isto é, uma definição. Assim, podemos dizer 
que: 
0
0
0
5 1
( 25) 1
0,3 1
 
� 
 
 
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b) Zero elevado a qualquer número é igual a zero. 
,VVR�p�EHP�OyJLFR��SRLV�]HUR�HOHYDGR�D�³Q´�VLJQLILFD�]HUR�PXOWLSOLFDGR�SRU�HOH�
PHVPR��³Q´�YH]HV��([�� 
30 0 0 0 0 u u 
 
c) Multiplicação de potências de mesma base (X): 
A questão aqui é como multiplicar 2 34 4u . Normalmente você faria assim: 
u u u u u 2 34 4 (4 4) (4 4 4) 1024 
9HMD� TXH� EDVWD� VRPDU� RV� H[SRHQWHV� �³Q´��� XPD� YH]� TXH� DV� GXDV� SRWrQFLDV�
têm a mesma base 4: 
�u 2 3 2 3 54 4 4 4 1024 
 
d) Divisão de potências de mesma base (X): 
Como você faria a divisão 
5
3
4
4
? Provavelmente seria assim: 
5
3
4 4 4 4 4 4
4 4 16
4 4 4 4
u u u u u u u 
(QWUHWDQWR��REVHUYH�TXH�EDVWD�VXEWUDLU�RV�H[SRHQWHV��³Q´���SRLV�R�QXPHUDGRU�H�
denominador da divisão tem a base 4. Veja: 
5
5 3 2
3
4
4 4 16
4
� 
 Analogamente, observe que 33
1
4
4
� . Isto porque: 
0
0 3 3
3 3
1 4
4 4
4 4
� � 
 O que vimos acima nos permitirá levar uma potência do numerador para o 
denominador de uma divisão, ou vice-versa, simplesmente trocando o sinal da 
potência. Exemplificando, vamos resolver a expressão 3 54 4� u . Temos duas formas: 
Î Usar a propriedade de multiplicação de potências de mesma base, somando 
os expoentes: 
3 5 ( 3) 5 24 4 4 4 16� � �u 
Î Usar a propriedade que acabamos de ver, levando 34� para o denominador e, 
a seguir, fazendo a divisão de potências de mesma base: 
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5
3 5 5 3 2
3
4
4 4 4 4 16
4
� �u 
 
e) Potência de potência: 
A questão agora é resolver 2 3(2 ) . Você poderia inicialmente elevar 2 à 
segunda potência (isto é, ao quadrado), e a seguir elevar o resultado à terceira 
potência (ao cubo): 
2 3 3(2 ) (4) 64 
Entretanto, veja que basta você elevar 2 ao resultado da multiplicação entre 
os dois expoentes: 
2 3 2 3 6(2 ) 2 2 64u 
 
f) Raiz de potência: 
 Quando estudarmos radiciação (próximo tópico), veremos que trata-se de 
uma operação inversa à potenciação. Assim, obter a raiz quadrada de um número é 
equivalente a elevá-lo a 
1
2
, obter a raiz cúbica é equivalente a elevá-lo a 
1
3
, e assim 
por diante. 
 Visto isso, vamos obter o valor de: 62 . Veja que poderíamos fazer 
simplesmente assim: 
62 2 2 2 2 2 2 64 8 u u u u u 
 Entretanto, como obter a raiz quadrada é igual a elevar a 
1
2
, podemos fazer: 
� � 11 66 6 3222 2 2 2 8u 
 Note que utilizamos a propriedade anterior (potência de potência) para 
resolver este caso. 
 
g) Potência de produto: 
Se tivermos que resolver uma expressão como 2(2 3)u , podemos fazer de 
algumas formas: 
Î 2 2(2 3) (6) 36u 
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Î 2(2 3) (2 3) (2 3) 36u u u u 
Î 2 2 2(2 3) 2 3 4 9 36u u u 
Veja a última forma. Ela nos diz que um produto A Bu elevado à uma 
SRWrQFLD�³Q´�p�LJXDl ao produto das potências nA e nB . 
 
h) Potência de base 10: 
4XDQGR�D�EDVH�GD�SRWrQFLD� IRU����H�R�H[SRHQWH� IRU�XP�Q~PHUR�QDWXUDO� ³Q´��
ILFD� EHP� IiFLO� UHVROYHU�� 2� UHVXOWDGR� VHUi� IRUPDGR� SHOR� Q~PHUR� �� VHJXLGR� GH� ³Q´�
zeros: 
3
6
10 1000
10 1000000
 
 
 Da mesma forma, se o expoente for um número inteiro negativo, basta usar 
as propriedades que vimos acima. Veja exemplos: 
3
3
6
6
1 1
10 0,001
10 1000
1 1
10 0,000001
101000000
�
�
 
 
 
i) Potência de base negativa: 
Quando a base da potência é um número negativo, devemos analisar qual 
será o sinal do resultado. Por ex.: 3(-2) = 8 ou -8 ? 
Para isso, fica aqui uma regra: se o expoente for par, o resultado é positivo. 
Se o expoente for ímpar, o resultado será negativo. Neste caso, como 3 é ímpar, o 
resultado correto é -8. Você pode visualizar isso melhor fazendo a conta em etapas: 
3(-2) = (-2) (-2) (-2) (4) (-2) 8u u u � 
 Veja um exemplo com expoente par: 
4(-2) = (-2) (-2) (-2) (-2) (4) (4) 16u u u u 
j) Fração elevada a um expoente: 
Uma fração elevada a um expoente é igual a outra fração onde numerador e 
denominador estão elevados àquele expoente. Veja: 
3 3
3
2 2
3 3
§ · ¨ ¸© ¹ 
 Isto pode ser visto fazendo a conta em etapas: 
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3 3
3
2 2 2 2 2 2 2 2 8
3 3 3 3 3 3 3 3 27
u u§ · u u ¨ ¸ u u© ¹ 
 
1.9 RAÍZES 
Como já disse acima, a radiciação é uma operação inversa à potenciação. 
Quando dizemos que a raiz quadrada de 9 é 3, isso significa que 3 elevado ao 
quadrado será igual a 9. A operação de radiciação pode ser escrita usando-se o 
símbolo n ou elevando o número em questão ao expoente 
1
n
. Veja alguns 
exemplos: 
1
3 327 27 3 , pois 33 27 
1
2 216 16 4 , pois 24 16 
 Veja que, quando se trata de raiz quadrada, podemos usar o símbolo 2 ou 
simplesmente . 
 
As principais propriedades da radiciação são: 
 
a) Qualquer raiz de zero é igual a zero: 
Isto é, 0 0n . Isto porque zero elevado a qualquer número também resulta 
em zero. 
 
b) Qualquer raiz de 1 é igual a 1: 
Ou seja, 1 1n . Isto porque 1 elevado a qualquer número também resulta em 
1. 
 
c) 
a
b a bx x 
 Essa é uma propriedade muito importante. Exemplificando, 
6
3 6 234 4 4 16 . 
 
d) 5DL]�³Q´�GH�SURGXWR�p�LJXDO�DR�SURGXWR�GDV�UDt]HV�³Q´� 
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,VWR�p��D�UDL]�³Q´�GH�$�[�%�p�LJXDO�D�UDL]�³Q´�GH�$�[�UDL]�³Q´�GH�%�� 
n n nA B A Bu u 
Veja que essa propriedade só vale se ambas as raízes tiverem o mesmo 
UDGLFDO�³Q´��,OXVWUDQGR��WHPRV�TXH� 
25 16 25 16 5 4 20u u u 
 
e) Raiz da divisão é igual à divisão das raízes: 
A raiz de A/B é igual à raiz de A dividida pela raiz de B: 
n
n
n
A A
B B
 
Veja esse exemplo: 
25 25 5
16 416
 
 
f) Raiz de raiz: 
Por essa propriedade, temos que n m n mA Au . Exemplificando: 
3 3 2 62 2 2u 
 Isso pode ser visto usando-se as propriedades de potência: 
1
1 1 11 1 333 62 3 62 22 2 2 2 2 2
u§ · ¨ ¸© ¹
 
 
Vamos estudar um método para extrair a raiz de um número. Ele consiste em 
2 passos: 
1. Decomposição do número em fatores primos 
2. Aplicação da propriedade 
a
b a bx x 
A título de exemplo, vamos calcular 3 216 . Lembre-se que os números 
primos são aqueles divisíveis apenas por 1 e por si mesmos, ou seja: 2, 3, 5, 7, 11, 
13, 17, 19, 23 etc. Assim, iremos começar dividindo 216 pelo menor número primo 
(2) e, quando não mais for possível, passamos para o número primo seguinte (3), e 
assim sucessivamente. Teremos: 
 
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Número Fator primo 
216 2 
108 2 
54 2 
27 3 (pois não é mais possível usar o 2) 
9 3 
3 3 
1 Logo, 216 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 23 x 33 
 
 Feito isso, podemos aplicar a propriedade da radiciação da seguinte forma: 
1 1 1
3 33 3 3 3 1 13 3 3 3 3216 (2 3 ) (2 3 ) 2 3 2 3 6
u u u u u u 
 Se você ficou em dúvida, talvez precise voltar na seção de Potenciação e 
revisar as propriedades que estudamos. 
 Vamos resolver mais um caso: 7056 . Decompondo 7056 em fatores 
primos, temos: 
Número Fator primo 
7056 2 
3528 2 
1764 2 
882 2 
441 3 
147 3 
49 7 
7 7 
1 Logo, 4 2 27056 2 3 7 u u 
 
Portanto: 
1 1 1
4 2 24 2 2 22 2 27056 2 3 7 2 3 7 2 3 7 84
u u u u u u u u u 
 
 Várias vezes você irá se deparar com números que não possuem raiz exata. 
Apesar disso, é possível simplificar o resultado. Vamos calcular, por exemplo, a raiz 
quadrada de 32. 
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Fazendo a decomposição em fatores primos, temos que: 
32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25 
Assim, 
532 2 
 Podemos simplificar esta expressão lembrando-se que 5 42 2 2 u : 
5 4 432 2 2 2 2 2 4 2 u u u ou, simplesmente, 4 2 
 
Finalizando, é bom lembrar que no conjunto dos números reais não existe 
raiz par de números negativos (ex.: não existe 2 16� ), mas existe raiz ímpar 
( 33 27 3, pois ( 3) 27� � � � ). 
 
1.10 EXPRESSÕES NÚMERICAS 
 Uma expressão numérica é uma sequência de números dispostos de acordo 
com sinais matemáticos, que indicam as operações a serem efetuadas. Veja um 
exemplo: 
^ `( 25 2) (9 3) 7 4ª º� u � � y ¬ ¼ 
 A resolução desse tipo de expressão é muito simples, desde que você se 
lembre das seguintes regras: 
1. Primeiro resolver o que está dentro dos parênteses, depois o que está entre 
colchetes, e a seguir o que está entre chaves. 
2. Primeiro resolver operações de radiciação ou potenciação, a seguir multiplicação 
ou divisão, e a seguir resolver operações de soma ou subtração. 
 Utilizando o nosso exemplo, veja que devemos inicialmente resolver as duas 
operações que encontram-se entre parênteses. Dentro desses parênteses, veja que 
há uma operação de radiciação ( 25 ), que é a primeira a ser resolvida: 
> @^ `(5 2) (9 3) 7 4� u � � y 
 A seguir, resolvemos as demais operações dentro dos parênteses, obtendo: 
> @^ `7 6 7 4u � y 
 Agora devemos resolver a multiplicação dentro dos colchetes: 
^ `42 7 4� y 
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 Em seguida resolvemos a subtração dentro das chaves: 
35 4y 
 Por fim, resolvemos a divisão que se encontrava fora das chaves, obtendo: 
35 4 8,75y 
Vale a pena lembrar aqui que uma fração é uma operação de divisão como 
outra qualquer, e se houver uma fração em sua expressão numérica, basta resolvê-
la no momento que você resolveria aquela operação de divisão. 
 
1.11 EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
 As expressões algébricas são expressões matemáticas que possuem 
variáveis, também chamadas de incógnitas, que normalmente são representadas 
por letras. Estas variáveis representam, em realidade, números que não sabemos. 
Para descobri-los, precisamos saber manipular a expressão (que normalmente é 
composta por letras e números). Exemplos de expressões algébricas: 
2
5
2 3 0
10 0
1 5
a b
x
y y
p
� 
� 
� � 
� 
 
 É fundamental sabeU�³OHU´�HVWDV�H[SUHVV}HV��9HMD�DOJXQV�H[HPSORV� 
- ³D�VRPD�GH�GRLV�Q~PHURV�p�LJXDO�D��´�Æ a + b = 5 
- ³R�GREUR�GH�XP�Q~PHUR��DGLFLRQDGR�GH���XQLGDGHV��p�LJXDO�D�]HUR´�Æ 2x + 3 = 0 
- ³R�TXDGUDGR�GH�XP�Q~PHUR��VXEWUDtGR�GHVWH�PHVPR�Q~PHUR�H�DGLFLRQDGR�GH����uQLGDGHV�p�LJXDO�D�]HUR´�Æ y2 ± y + 10 = 0 
 
A maioria das questões não fornecerá uma expressão algébrica como as que 
vimos acima. Normalmente, o enunciado apresenta informações que permitirão que 
você mesmo construa a(s) expressão(ões) algébrica(s) para resolver a questão. 
 As expressões algébricas são constituídas de um 1º termo (à esquerda), o 
sinal de igualdade e o 2º termo (à direita). Veja: 
2 3 5x x� � 
 É possível somar, subtrair, multiplicar ou dividir um dos termos da expressão 
por qualquer número, desde que façamos a mesma coisa com o outro termo. Caso 
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contrário, não mais teremos uma igualdade. Exemplificando, podemos somar 1 
unidade em cada membro da equação acima, obtendo o seguinte: 
2 3 (1) 5 (1)
2 4 6
x x
x x
� � � �
� � 
 Note o que acontece se somamos -4 (isto é, subtraímos 4) nos dois membros 
dessa última expressão: 
2 4 ( 4) 6 4
2 6 4
x x
x x
� � � � � �
 � � 
 Você percebe que somar (-���QRV�GRLV�PHPEURV�p�HTXLYDOHQWH�D�³SDVVDU´�R����
que estava somando no primeiro termo (2x + 4) para o outro lado da igualdade, 
porém invertendo o sinal? Em resumo: sempre que você quiser passar um número 
ou variável que está somando ou subtraindo de um lado para o outro da igualdade, 
basta trocar o seu sinal. 
 Agora, veja a seguinte expressão: 
2( 2) 6x x� � 
 Note que no primeiro membro temos o número 2 multiplicando o termo (x+2). 
Se dividirmos ambos os lados da igualdade por 2, teremos: 
2( 2) 6
2 2
6
2
2
x x
x
x
� � 
�� 
 
 Veja que o 2 que estava multiplicando o primeiro membro agora está 
dividindo o segundo membro. Assim, sempre que um número ou variável estiver 
multiplicando ou dividindo um dos termos da igualdade, ele pode passar para o 
outro lado, bastando para isso inverter a operação. 
 Muito cuidado para não cometer o seguinte erro: 
3 1 6
6
1
3
x x
x
x
� �
�� 
 Neste caso acima, o número 3 estava multiplicando x e foi transferido para o 
outro lado da igualdade, dividindo o segundo termo. Porém, o 3 não estava 
multiplicando todo o primeiro termo, por isso não podia passar para o outro lado 
dividindo o segundo termo. Neste caso, o correto seria passar, primeiramente, o 
número 1 (que estava somando) para o outro lado (subtraindo). Feito isso, teríamos: 
3 6 1x x � � 
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 Agora sim o 3 está multiplicando todo o primeiro termo da igualdade, e pode 
passar para o outro lado dividindo: 
6 1
3
x
x
� � 
 Quando estamos diante de uma expressão algébrica e queremos descobrir o 
valor de uma variável, basta passar todos os termos que contém a variável para um 
lado da igualdade, e todos os que não a contém para o outro lado da igualdade. 
Utilizando a equação3 3 7x x� � , vamos descobrir o valor de x. Inicialmente, 
passamos para o lado esquerdo os termos que contém x, e para o lado direito os 
que não contém, fazendo as trocas de sinal ou inversão de operação necessárias: 
3 3 7
3 7 3
2 4
x x
x x
x
� �
� �
 
 
 A seguir, podemos isolar a variável x, passando para o outro lado da 
igualdade o 2 que a multiplica: 
2 4
4
2
2
x
x
x
 
 
 
 
 Assim como vimos nas expressões numéricas, devemos resolver primeiro o 
que está entre parênteses (), depois o que está entre colchetes [ ], e por fim o que 
está entre chaves { }. 
 Da mesma forma, devemos resolver primeiro as operações de potenciação 
ou radiciação, a seguir as de multiplicação ou divisão, e por fim as de soma ou 
subtração. Preste atenção nesses aspectos ao estudar a resolução dos exercícios. 
 
1.12 PORCENTAGEM 
 A porcentagem nada mais é do que uma divisão onde o denominador é o 
número 100. Você certamente deve estar bem habituado a ver porcentagens nas 
notíciaV� GD� LPSUHQVD�� 'L]HU� TXH� ���� �OHLD� ³FLQFR� SRU� FHQWR´�� GRV� EUDVLOHLURV� VmR�
desempregados é igual a dizer que 12 a cada grupo de 100 brasileiros não tem 
emprego. Veja outros exemplos: 
 
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- ³����GR�VHX�VDOiULR�GHYH�VHU�SDJR�D�WtWXOR�GH�FRQWULEXLomR�SUHYLGHQFLiULD´��GH�FDGD�
100 reais que você recebe como salário, 11 devem ser pagos para a previdência. 
 
- ³D�WD[D�GH�DQDOIDEHWLVPR�GH�DGXOWRV�QR�%UDVLO�p�GH����´��GH�FDGD�����DGXOWRV�QR�
Brasil, 20 são analfabetos. 
 
- ³R�Q~PHUR�GH�DGROHVFHQWHV�JUiYLGDV�FUHVFHX�����HP� 2011, em relação ao ano 
DQWHULRU´��SDUD�FDGD�����DGROHVFHQWHV�JUiYLGDV�TXH�H[LVWLDP�HP�������SDVVDUDP�D�
existir 10 a mais em 2011, isto é, 110 adolescentes grávidas. 
 
- ³R�Q~PHUR�GH�IXPDQWHV�KRMH�p���PHQRU�TXH�DTXHOH�GR� LQtFLR�GD�GpFDGD´�� �SDUD�
cada 100 fumantes existentes no início da década, hoje temos 100 ± 5, isto é, 95 
fumantes. 
 
 Para calcular qual a porcentagem que uma certa quantia representa de um 
todo, basta efetuar a seguinte divisão: 
 
quantia de interesse
Porcentagem = 100%
total
u 
 
 Por exemplo, se queremos saber qual o percentual que 3 crianças 
representam em um total de 4 crianças, temos: 
 
quantia de interesse 3
Porcentagem = 100% 100% 0,75 100% 75%
total 4
u u u 
 
 Podemos transformar um número porcentual (ex.: 75%) em um número 
decimal (ex.: 0,75), e vice-YHUVD��OHPEUDQGR�TXH�R�VtPEROR���VLJQLILFD�³GLYLGLGo por 
���´��,VWR�p������p�LJXDO�D����GLYLGLGR�SRU������TXH�p�LJXDO�D������ 
 
75
75% 0,75
100
 
 
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 Da mesma forma, se temos um número decimal (ex.: 0,025) e queremos 
saber o valor percentual correspondente, basta multiplicá-lo por 100%: 
 
100
0,025 0,025 0,025 100% 2,5%
100
 u u 
 
 Por fim, se 
quantia de interesse
Porcentagem = 100%
total
u , então também 
podemos dizer que: 
 
quantia de interesse = porcentagem totalu 
(Obs.: veja que omiti o 100% desta última fórmula, afinal 
100
100% 1
100
 ). 
 Esta fórmula acima nos diz que, se queremos saber quanto é 20% de 300, 
basta multiplicar 20% por 300: 
 
20% de 300 = 20% x 300 = 0,2 x 300 = 60 
 
 Isto é, 60 pessoas correspondem a 20% de um total de 300 pessoas. 
Portanto, grave isso: HP�PDWHPiWLFD��R�³GH´�HTXLYDOH�j�PXOWLSOLFDomR. Portanto, 
20% de 300 é igual a 20% x 300, e assim por diante. 
 
1.13 REGRA DE TRÊS SIMPLES 
A regra de três simples é uma ferramenta essencial na resolução de várias 
questões. 
Imagine uma empresa onde o salário dos profissionais é diretamente 
proporcional ao tempo de serviço. Isso quer dizer que, à medida que o tempo de 
serviço aumenta, o salário do profissional também aumenta, e vice-versa. Esse 
crescimento ocorre de maneira proporcional, isto é, de maneira a manter a mesma 
razão entre o salário e o tempo trabalhado. Assim, se S1 é o salário de um 
empregado e T1 é o tempo trabalhado por ele atualmente, e S2 é o salário de outro 
empregado que já trabalhou pelo período T2. 
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 Neste caso, podemos montar uma regra de três simples para relacionar 
essas grandezas: 
Tempo...........................................Salário 
T1 S1 
T2 S2 
 8PD�YH]�PRQWDGD�HVVD� UHJUD�GH� WUrV��EDVWD�XVDU�D� ³PXOWLSOLFDomR�FUX]DGD´��
isto é, multiplicar os termos das diagonais para obter a seguinte igualdade: 
1 2 2 1T S T Su u 
 
Vamos usar números para entender melhor esse exemplo: nessa empresa 
onde salários e tempos de serviço são diretamente proporcionais, João tem 5 anos 
de serviço e ganha R$1000 por mês. Se o salário de Kléber é de R$1500 por mês, 
há quanto tempo ele trabalha nesta empresa? 
Temos duas grandezas envolvidas (tempo trabalhado e salário). Para encontrar 
o tempo trabalhado por Kléber (que chamaremos de T), montamos a seguinte regra 
de três: 
Tempo (anos)...........................................Salário (reais) 
5 1000 
T 1500 
Assim, basta multiplicar os termos de uma diagonal (5 x 1500) e igualar à 
multiplicação dos termos da outra diagonal (T x 1000): 
5 1500 1000
7500 1000
7500
7,5
1000
T
T
T
u u
 u
 
 
 Portanto, Kléber trabalha na empresa há 7,5 anos. 
 
1.14 PRODUTOS NOTÁVEIS 
 Existem algumas expressões que costumam aparecer com frequência em 
QRVVRV� FiOFXORV�� (VVDV� H[SUHVV}HV� VmR� FKDPDGDV� GH� ³SURGXWRV� QRWiYHLV´�� H� R�
conhecimento delas pode permitir que você agilize os seus cálculos e obtenha 
resultados mais rapidamente. Vejamos os principais casos: 
 
Quadrado da soma de dois termos 
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 ,PDJLQH� TXH� WHQKDPRV� GXDV� YDULiYHLV� HP� XPD� HTXDomR�� ³D´� H� ³E´�� 2�
quadrado da soma desses dois termos é simplesmente (a + b)2. Repare que: 
(a + b)2 = (a + b) . (a + b) 
 
 Desenvolvendo essa expressão da direita da igualdade acima, utilizando a 
propriedade distributiva da multiplicação, temos: 
(a + b)2 = a.a + a.b + b.a + b.b 
(a + b)2 = a2 + a.b + a.b + b2 
(a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2 
 
 $�H[SUHVVmR�DFLPD�p�R�QRVVR�³SURGXWR�QRWiYHO´��(OD�QRV�GL]�TXH�R�TXDGUDGR�
da soma de dois termos é IGUAL ao quadrado do primeiro termo (a2) somado a 
duas vezes a multiplicação entre os termos (2.a.b) e somado ao quadrado do 
segundo termo (b2). 
 Vejamos um exemplo prático. Suponha que você precise fazer o cálculo de 
572. Isso é o mesmo que: 
(50 + 7)2 
 
 Temos o quadrado de uma soma, que pode ser resolvido através do produto 
notável que já conhecemos acima: 
(a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2 
(50 + 7)2 = 502 + 2.50.7 + 72 
(50 + 7)2 = 2500 + 100.7 + 49 
(50 + 7)2 = 2500 + 700 + 49 
(50 + 7)2 = 3249 
 
Quadrado da diferença entre dois termos 
 ,PDJLQH� TXH� WHQKDPRV� GXDV� YDULiYHLV� HP� XPD� HTXDomR�� ³D´� H� ³E´�� 2�
quadrado da diferença entre esses dois termos é simplesmente (a ± b)2. Repare 
que: 
(a ± b)2 = (a ± b) . (a ± b) 
(a ± b)2 = a.a ± a.b ± b.a + b.b 
(a ± b)2 = a2 ± 2.a.b + b2 
 
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 Temos na linha acima mais um produto notável. Ele poderia ter sido usado 
para fazer também o cálculo de 572, lembrando que isto é equivalente a (60 ± 3)2. 
Veja: 
572 = 
(60 ± 3)2 = 
602 ± 2x60x3 + 32 = 
3600 ± 360 + 9 = 
3249 
 
 Veja como utilizar um produto notável como este em uma questão de prova: 
 
1. FCC ± TRT/4ª ± 2011) Dos números que aparecem nas alternativas, o que mais 
se aproxima do valor da expressão 2 2(0,619 0,599 ) 0,75� u é: 
a) 0,0018 
b) 0,015 
c) 0,018 
d) 0,15 
e) 0,18 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que elevar 0,619 e 0,599 ao quadrado seria bem trabalhoso. Entretanto, 
lembrando que 2 2( ) ( )a b a b a b� u � � , onde a = 0,619 e b = 0,599, temos que: 
2 2
2 2
2 2
2 2
( ) ( )
0,619 0,599 (0,619 0,599) (0,619 0,599)
0,619 0,599 (1,218) (0,02)
0,619 0,599 0,0243
a b a b a b� � u �
� � u �
� u
� 
 
 Assim, 
2 2(0,619 0,599 ) 0,75 0,0243 0,75 0,0182� u u 
Resposta: C 
 
Diferença entre dois quadrados 
 Observe que: 
(a + b) x (a ± b) = 
a.a + a.b ± b.a ± b.b = 
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a2 + a.b ± a.b ± b2 = 
a2 ± b2 
 
 
 Ou seja, 
(a + b) x (a ± b) = a2 ± b2 
 
 Este é o nosso produto notável. Ele nos diz que a diferença entre dois 
números elevados ao quadrado (a2 ± b2) é igual à multiplicação entre a soma deles 
(a + b) e a diferença entre eles (a ± b). Portanto, caso você precise fazer, por 
exemplo, (82 ± 72), basta calcular assim: 
 
a2 ± b2 = (a + b) x (a ± b) 
82 ± 72 = (8 + 7) x (8 ± 7) 
82 ± 72 = (15) x (1) 
82 ± 72 = 15 
 
 Fácil, não? Vejamos mais produtos notáveis. 
 
Cubo da soma de dois números e Cubo da diferença entre dois números 
 A lógica desses produtos notáveis é similar à lógica que já vimos nos demais 
casos. Assim, para não perdermos tempo, vou disponibilizar para você diretamente 
as fórmulas desses dois casos: 
 
3 3 2 2 3( ) 3 3� � u u � u u �a b a a b a b b 
 
3 3 2 2 3( ) 3 3� � u u � u u �a b a a b a b b 
 
 
 Exemplificando o uso desses produtos notáveis, vamos resolver a questão 
abaixo: 
 
 
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2. CEPERJ ± DEGASE/RJ ± 2012) Uma quantidade X é dada pela expressão: 
 
Desse modo, X é igual a: 
A) 25,2527456 
B) 26,3939392 
C) 27,0000000 
D) 36,0000000 
E) 36,3020293 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que temos termos elevados ao cubo nessa expressão do enunciado, o 
que nos faz lembrar do seguinte produto notável: 
3 3 2 2 3( ) 3 3� � u u � u u �a b a a b a b b 
 
 2EVHUYH� TXH� VH� WURFDUPRV� ������ SRU� ³D´� H� ������ SRU� ³E´�� D� H[SUHVVmR� GR�
enunciado seria exatamente 3 2 2 33 3a a b a b b� u u � u u � . 
 Observando os produtos notáveis, vemos que: 
3 2 2 3 33 3 ( )a a b a b b a b� u u � u u � � 
 Portanto, ao invés de efetuar toda a conta, basta calcularmos: 
X = (0,023 + 2,977)3 = 33 = 27. 
Resposta: C 
 
 Estes não são os únicos produtos notáveis existentes, mas são os mais 
importantes. Resumindo-os, temos: 
1. 2 2 2( ) 2a b a a b b� � u u � 
2. 2 2 2( ) 2a b a a b b� � u u � 
3. 2 2( ) ( )a b a b a b� u � � 
4. 3 3 2 2 3( ) 3 3� � u u � u u �a b a a b a b b 
5. 3 3 2 2 3( ) 3 3� � u u � u u �a b a a b a b b 
 
 
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1.15 CONJUNTOS NUMÉRICOS COMPLEXOS 
 Utilizando o conjunto dos números Reais é possível representar tudo o que 
lidamos no dia-a-dia. Entretanto, como já vimos, não existe raiz quadrada de 
número negativo no conjunto dos números reais��(VVH�³SUREOHPD�PDWHPiWLFR´�WHP�
diversas implicações que não estamos tão acostumados a ver, como o 
modelamento matemático da eletricidade.3DUD� ³VROXFLRQDU´� HVWH� SUREOHPD�� IRL� FULDGR� R� FRQMXQWR� GRV� Q~PHURV�
complexos, através da definição da unidade imaginária, simbolizada pela letra i, 
sendo que: 
1i � 
 Observe que: 
� �22 1 1i � � 
� �23 2 1 1i i i i i i u � u � u � 
4 2 2 ( 1) ( 1) 1i i i u � u � 
 Portanto, veja que a sequência i, i2, i3 e i4 é igual a i, -1, -i e 1, 
respectivamente. Veja o que temos para i5: 
5 4 1i i i i i u u 
 Observe que a partir de i5 voltamos a repetir o ciclo. Veja que i6 = -1, i7 = -i, i8 
= 1, e assim por diante. 
 Um número complexo é formado por duas partes: uma parte real e uma parte 
imaginária. Costumamos designar um número complexo pela letra z, e os 
escrevemos na forma z a b i � u �� RX� VLPSOHVPHQWH� ]� � D� �� EL�� 1HVWH� FDVR�� ³D´�
UHSUHVHQWD�D�SDUWH�UHDO�GR�Q~PHUR�FRPSOH[R�H�³E´�UHSUHVHQWD�D�SDUWH�LPDJLQiria. 
 Exemplificando, veja os números complexos abaixo: 
z = 3 + 5i Æ 3 é a parte real e 5 é a parte imaginária 
w = 2 ± 3i Æ 2 é a parte real e -3 é a parte imaginária 
 
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 Assim como representamos os números reais na reta numérica, os números 
complexos são representados no Plano de Argand-Gauss, que nada mais é que um 
plano com um eixo real e um eixo imaginário, como vemos abaixo: 
 
 A título de exemplo, vamos representar os números z e w definidos acima no 
plano de Argand-Gauss: 
 
 Repare que: 
- o número z ficou no 1º quadrante, pois tanto a parte real como a parte imaginária 
são positivas; 
- o número w ficou no 4º quadrante, pois a parte real é positiva e a parte imaginária 
é negativa. 
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 Da mesma forma, saiba que: 
- se a parte real for negativa e a parte imaginária positiva, o número estará no 2º 
quadrante; 
- se a parte real for negativa e a parte imaginária também, o número estará no 3º 
quadrante. 
 Tudo isto está resumido na tabela a seguir: 
Parte real (a) 
Parte imaginária 
(b) 
Quadrante Exemplo 
Positiva Positiva 1º 3 + 5i 
Negativa Positiva 2º -3 + 5i 
Negativa Negativa 3º -3 -5i 
Positiva Negativa 4º 3 -5i 
Nula (a = 0) Positiva ou 
negativa 
Número sobre o 
eixo imaginário 
-5i ou 5i 
Positiva ou 
negativa 
Nula (b = 0) Número sobre o 
eixo real 
-3 ou 3 
 
 Para somar dois números complexos, basta somar a parte real de um com a 
parte real do outro, e a parte imaginária de um com a parte imaginária do outro. O 
mesmo vale para a subtração. Ex.: 
(3 + 5i) + (2 ± 4i) = (3 + 2) + (5 ± 4)i = 5 + i 
 
 Para multiplicar dois números complexos, basta lembrar da propriedade 
distributiva da multiplicação: 
(3 + 5i) x (2 ± 4i) = 
3x2 + 3x(-4i) + 5i x 2 + 5i x (-4i) = 
6 ± 12i + 10i -20i2 = 
6 ± 2i ± 20x(-1) = 
26 ± 2i 
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 Antes de ver a divisão de números complexos, precisamos lembrar que, 
dados dois números A e B, então: 
(A + B) x (A ± B) = A2 ± AB + BA ± B2 = A2 ± B2 
 
 Ou seja, se temos um número do tipo A + B, se o multiplicarmos por A ± B 
teremos como resultado A2 ± B2 . Essa propriedade é muito útil para a divisão de 
números complexos. Vamos efetuar a seguinte divisão: 
3 5
2 4
i
i
�
� 
 
 Ao invés de efetuar uma operação de divisão propriamente dita, vamos 
utilizar a propriedade que acabamos de ver acima e multiplicar tanto o numerador 
como o denominador da fração 
3 5
2 4
i
i
�
� por 2 ± 4i. Veja o que acontece: 
� �
� �u � �
u � u � � u � u � � u � � u � u �
� � � � � �
� � �
�
2
2
2
3 5
2 4
3 5 2 4
2 4 2 4
3 2 3 ( 4 ) 5 2 5 ( 4 )
2 2 ( 4 ) 4 2 4 ( 4 )
6 12 10 20
4 8 8 16
6 2 20
4 16
26 2
20
i
i
i i
i i
i i i i
i i i i
i i i
i i i
i
i
 
 
 Portanto, sempre que precisarmos dividir um número por um número 
complexo do tipo z = a + bi, basta multiplicar o numerador e o denominador por a ± 
bi. 
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 Se dois números complexos são iguais, então as suas respectivas partes 
reais são iguais e as respectivas partes imaginárias também são iguais. Isto é, se z 
= a + bi e w = c + di são dois números complexos, podemos dizer que: 
se z = w, então a = c e b = d 
 
 O módulo de um número complexo z = a + bi é dado por: 
2 2| | | |z a bi a b � � 
 
 Como já vimos anteriormente, o módulo exprime a distância entre o número e 
o ponto de origem. Exemplificando, sendo z = 2 + 3i, então o seu módulo é: 
2 2| | | 2 3 | 2 3 13 3,60z i � � # 
 
 Por fim, repare que o conjunto dos números complexos engloba todos os que 
estudamos anteriormente. Isto porque os números reais são os números complexos 
QRV�TXDLV�D�SDUWH�LPDJLQiULD��³E´��p�QXOD��LVWR�p��E� ��� 
 
 Vamos aos exercícios? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 
3. FCC ± TRT/4ª ± 2011) Considere o número inteiro X1Y, em que X e Y 
representam os algarismos das centenas e das unidades, respectivamente. 
Sabendo que 31692 : (X1Y) = 76, a soma X+Y é um número: 
a) Quadrado perfeito 
b) Menor que 10 
c) Primo 
d) Divisível por 6 
e) Múltiplo de 4 
RESOLUÇÃO: 
 Ora, se 
31692
76
1X Y
 , então 31692 1
76
X Y . Fazendo a divisão, temos: 
417 1X Y 
 Portanto, X = 4 e Y = 7. Assim, X+Y = 11, que é um número primo. 
Alternativa C. 
Resposta: C. 
 
4. FCC ± TRT/22ª ± 2010) Seja P o produto de um número inteiro e positivo N por 9. 
Se N tem apenas três dígitos e P tem os algarismos das unidades, dezenas e 
centenas iguais a 4, 6 e 3, respectivamente, então P + N é igual a: 
a) 6480 
b) 6686 
c) 6840 
d) 5584 
e) 5960 
RESOLUÇÃO: 
Quero mostrar-lhes 3 formas de resolver essa questão, todas relativamente 
simples. Recomendo entender as 3, pois pode ser que em outra questão parecida 
seja possível usar apenas 1 dos métodos. Vamos começar entendendo a questão e 
estruturando o problema. 
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Sabemos que N possui três dígitos, portanto vamos representá-lo como 
sendo o número xyz, onde x, y e z são os dígitos que representam as centenas, 
dezenas e unidades, respectivamente. Sabemos ainda que o número P termina com 
364. 
Assim, temos que 
N*9 = P, 
ou seja, 
xyz * 9 = w364 
(w representa o algarismo da casa dos milhares do número P) 
 Você reparou que eu assumi que P possui 4 dígitos? Fiz isso porque um 
número de 3 dígitos multiplicado por 9 não pode dar um número maior que 4 dígitos. 
Afinal, mesmo o maior número de 3 dígitos (999) multiplicado por9 tem 4 digítos. 
Ah, e pode ser que a gente descubra que w é igual a zero, isto é, que P tem apenas 
3 dígitos. 
 
Î Primeira forma de resolver: 
Sabemos que N*9 = P, portanto podemos dizer que N = P/9. Se N é igual a P 
dividido por 9, isso significa que P deve ser divisível por 9 (caso contrário N não 
seria um número inteiro, ou seja, teria casas decimais). 
Qual o critério de divisibilidade por 9? Um número é divisível por 9 se a soma 
dos seus algarismos também é divisível por 9. A soma dos algarismos de P é w + 3 
+ 6 + 4 = w + 13. Qual o único algarismo que, somado a 13, chega a um número 
divisível por 9? Ora, w = 5, pois sabemos que 18 é divisível por 9, e 5 + 13 = 18. 
Portanto, P = 5364. Basta dividir 5364/9 que chegaremos no valor de N, neste caso, 
596. Logo, N + P = 5960. 
 
Î Segunda forma de resolver: �³VROXomR�EUDoDO´� 
Digamos que você entendeu que P deve ser divisível por 9, mas não se recordou 
de critério de divisibilidade algum. Ora, não existem muitas opções para w (ele só 
pode ir de 0 a 9). Logo, você pode substituir w por cada algarismo e tentar dividir P 
por 9. Quando conseguir, terá encontrado P e N (ex.: ao substituir w por 5, verá que 
5364/9 = 596, encontrando simultaneamente P = 5364 e N = 596). 
 
 
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Î Terceira forma de resolver: 
Nesta resolução vamos detalhar cada passo da multiplicação de xyz*9=w364. 
Você sabe que nós devemos começar multiplicando a casa das unidades de xyz por 
9. Fazendo isso, vemos que z multiplicado por 9 resulta em um número terminado 
em 4. Ou seja, só há uma possibilidade para z: ele deve ser o algarismo 6, pois 
sabemos que 6 x 9 = 54. Nenhum outro algarismo, quando multiplicado por 9, 
resulta em um número terminado em 4. Substituindo o valor de z na equação acima, 
temos: 
xy6 * 9 = w364 
 Vamos agora analisar o número y. Veja que y multiplicado por 9, e somado 5 
(que vieram da multiplicação vista no parágrafo acima), resulta em um número 
terminado em 6. Subtraindo os 5 que vieram da multiplicação anterior, temos um 
número terminado em 1. O único algarismo que, multiplicado por 9, resulta em um 
número terminado em 1, é próprio 9 (9*9 = 81). Logo, y é 9. Até aqui, temos: 
 x96 * 9 = w364 
 Por fim, temos que o algarismo x multiplicado por 9 resulta em um número 
com final tal que, somado com os 8 que vieram da multiplicação anterior, resulta em 
um número terminado em 3. Portanto, x deve ser 5, pois 5*9 = 45, e 45 + 8 = 53: 
596 * 9 = w364 
 Assim, vemos que w deve ser o algarismo 5, que veio da multiplicação 
mostrada no parágrafo anterior. De fato, é verdade que: 
596 * 9 = 5364 
 Assim, N é 596 e P é 5364, e a soma N+P = 5960 
Resposta: E. 
 
5. FCC ± TRT/24ª ± 2011) Nicanor deveria efetuar a divisão de um número inteiro e 
positivo N, de três algarismos, por 63; entretanto, ao copiar N, ele enganou-se, 
invertendo as posições dos dígitos extremos e mantendo o seu dígito central. Assim, 
ao efetuar a divisão do número obtido por 63, obteve quociente 14 e resto 24. 
Nessas condições, se q e r são, respectivamente, o quociente e o resto da divisão 
de N por 63, então: 
a) q + r = 50. 
b) r < 40. 
c) q < 9. 
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d) r é múltiplo de 4. 
e) q é um quadrado perfeito. 
RESOLUÇÃO: 
 Se um número N, dividido por D, deixa quociente q e resto r, podemos dizer 
que N = D*q + r. Ex: 7 dividido por 2 tem quociente 3 e resto 1. Logo, 7 = 2*3 + 1, 
concorda? 
 Vamos chamar de M o número que foi utilizado por engano, isto é, o número 
N com os dígitos extremos trocados. Sabemos que M dividido por 63 tem quociente 
14 e resto 24. Logo, 
M = 63*14 + 24 
M = 882 + 24 = 906 
 Se M = 906, N deve ser 609 (basta trocar os algarismos das extremidades). 
Dividindo N por 63, temos: 
609 63
42 9
 
 Isto é, q = 9 e r = 42. Das respostas possíveis, vemos que apenas a letra E 
está correta, pois sabemos que 9 é um quadrado perfeito (isto é, a raiz quadrada de 
9 é um número inteiro, neste caso 3). 
Resposta: E. 
 
6. FCC ± TRT/01ª ± 2011) Se X é um número inteiro positivo tal que 
1 1 1 1
2 3 7
E
x
 � � � seja um número inteiro, então: 
a) Existem infinitas possibilidades distintas para x 
b) X é múltiplo de 12 
c) X é maior que 84 
d) X tem oito divisores 
e) E pode ser maior que 2 
RESOLUÇÃO: 
 Inicialmente, para somar as frações que compõem o número E, é preciso 
escrevê-las com o mesmo denominador. A multiplicação dos denominadores 
(2u3u7ux, ou 42ux) é sempre uma possibilidade de denominador comum. 
Portanto, vamos utilizar esse denominador. Assim, teríamos: 
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21 14 6 42
42 42 42 42
21 14 6 42
42
41 42
42
x x x
E
x x x x
x x x
E
x
x
E
x
 � � �
� � � 
� 
 
 Feito isso, podemos manipular a equação acima para isolar a variável x: 
42 41 42
(42 41) 42
42
42 41
E x x
x E
x
E
u �
� 
 �
 
 Lembra que tanto x quanto E devem ser números inteiros? Veja que se E for 
igual a 1, x também será inteiro: 
42 42
42
42 1 41 1
x u � 
 Veja ainda que se E for maior que 1, o denominador será maior que o 
numerador (portanto não obteremos nenhum número inteiro). Por exemplo, se E = 
2, temos: 
42 42
42 2 41 43
x u � 
 Ou seja, se E > 1, não é possível que x seja um número inteiro. Ainda, se 
E=0, x também não será inteiro: 
42 42
42 0 41 41
x u � � 
 E também sabemos que E não pode ser menor que zero, pois o enunciado 
disse que ele é inteiro positivo. Dessa forma, a única possibilidade é E = 1 e x = 42. 
Como 42 tem 8 divisores (1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 e 42), a alternativa correta é a letra D. 
Resposta: D. 
 
7. FCC ± TRT/1ª ± 2011) Em uma campanha de doação de livros, x pessoas 
receberam 4 livros, e y pessoas receberam 3 livros, sendo x e y números inteiros e 
positivos. Se foram distribuídos 100 livros, então, as possibilidades diferentes para x 
+ y são em número de: 
a) 6 
b) 7 
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c) 8 
d) 9 
e) 10 
RESOLUÇÃO: 
 Como foram distribuídos 100 livros no total, temos que: 
4 3 100x y� 
 Para facilitar a análise, podemos isolar uma das variáveis (por ex.: y) dessa 
equação da seguinte forma: 
4 3 100
3 100 4
100 4 25
4
3 3
x y
y x
x x
y
� 
 �
� � u
 
 Como y deve ser um número inteiro, isso significa que 25-x deve ser divisível 
por 3. Como x e y devem ser números naturais (pois representam quantidades de 
pessoas), podemos ir variando o valor de x de modo que 25-x seja divisível por 3 
(ou seja, 25-x deve ser igual a 24, 21, 18, 15 etc.). 
 Por exemplo, para que 25-x seja igual a 24, x deve ser igual a 1. E, 
substituindo x = 1 na expressão acima, y = 4 x 24/3 = 4x8 = 32. Veja os demais 
casos na tabela abaixo: 
25 ± x x y x+y 
24 1 32 33 
21 4 28 32 
18 7 24 31 
15 10 20 30 
12 13 16 29 
9 16 12 28 
6 19 827 
3 22 4 26 
0 25 0 26 
 
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 Veja, na coluna da direita da tabela acima, que temos 9 possibilidades para 
x+y. Entretanto, devemos excluir a última (x = 25 e y = 0), pois o enunciado disse 
que tanto x quanto y devem ser números inteiros positivos (e o zero não é 
considerado um número natural positivo, lembra-se?). 
 Assim, ficam 8 possibilidades válidas. 
Resposta: C. 
 
8. FCC ± TRT/22ª ± 2010) Em julho de 2010, dois Analistas Judiciários receberam 
um lote com X licitações para emitir pareceres. No mês seguinte, indagados sobre 
quantos pareceres de tal lote haviam emitido em julho, eles responderam: 
$QDEHOD��³�����GR�WRWDO�GDV�OLFLWDo}HV�UHFHEHUDP�PHX�SDUHFHU´ 
%HQLYDOGR�� ³$�TXDQWLGDGH�GH� OLFLWDo}HV�HP�TXH�GHL�PHX�SDUHFHU�FRUUHVponde a 3/5 
GR�Q~PHUR�GH�SDUHFHUHV�HPLWLGRV�SRU�$QDEHOD´�� 
Sabendo que cada licitação recebeu o parecer de apenas um desses Analistas e 
que a soma das quantidades que cada um emitiu era um número compreendido 
entre 100 e 150, então: 
a) X < 50 
b) 50 < X < 100 
c) 100 < X < 150 
d) 150 < X < 200 
e) X > 200 
RESOLUÇÃO: 
 Sabemos que Anabela deu parecer em 6/11 do total de licitações (X), ou 
seja, o número de licitações em que ela deu parecer é 
6
X
11
. Já a quantidade de 
licitações com parecer de Benivaldo é 3/5 do total de Anabela, ou seja, 
3 6 18
X X
5 11 55
§ ·u ¨ ¸© ¹ . 
 Sabemos que tanto o número de licitações com parecer de Anabela quanto 
de Benivaldo devem ser números inteiros. Isto é, 
6
X
11
 e 
18
X
55
devem ser números 
inteiros. 
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Somando os pareceres dados por Anabela e por Benivaldo, temos: 
6 18
X X
11 55
30 18
X+ X=
55 55
48
X
55
� 
 
 Sabemos que a soma dos pareceres dados por ambos deve ser um número 
inteiro. E este número deve estar entre 100 e 150. Ou seja, 
48
100 X<150
55
� 
 Repare que não há como simplificar a fração 
48
55
, ou seja, 48 e 55 são primos 
entre si (não possuem um divisor em comum, além do número 1). Assim, não 
existem muitas opções de X que atendem a condição acima. X deve 
necessariamente ser divisível por 55, pois 48 não o é. Logo, devemos testar para X 
valores que sejam múltiplos de 55. Veja que, se X = 55, então 
48 48
X 55 = 48
55 55
 u 
(inferior a 100). Já, caso X = 2u55 = 110, então 48 X 96
55
 (ainda inferior a 100). 
Porém, se X = 3u55 = 165, então 48 X 144
55
 , que está dentro do intervalo 
procurado. Veja que caso X seja maior (por ex., X = 210), 
48
X
55
 será maior que 150. 
 Portanto, como X = 165 é o total de licitações a serem analisadas, a letra D é 
a correta. 
Resposta: D. 
 
9. FCC ± TRT/9ª ± 2010) Para estabelecer uma relação entre os números de 
funcionários de uma unidade do Tribunal Regional do Trabalho, que participaram de 
um curso sobre Controle e Prevenção de Doenças, foi usada a expressão: 
 
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em que h e m representam as quantidades de homens e de mulheres, 
respectivamente. Sabendo que o total de participantes do curso era um número 
compreendido entre 100 e 200, é correto afirmar que: 
a) h+m = 158 
b) h-m = 68 
c) 70 < h < 100 
d) 50 < m < 70 
e) m.h < 4000 
RESOLUÇÃO: 
 Devemos começar simplificando a expressão dada. Acompanhe os passos 
abaixo: 
1
3
1
3
1
3
3
1 1 1
3 3 3
1 1 3
3 3 3 1
9 1 8 8
3 3
1 1 1
3 3 3
3 24 3 21
3
8 8 8
8 8 63 8 55
3 1 3
21 21 21 21
h
m
h
m
h
m
h
m
 �
�
�
 � � �
� � � u�
 � � ���
� � u � 
 
 
Como 
55
21
h
m
 , podemos escrever que 55
21
h m . E como o exercício diz que 
o total de participantes está entre 100 e 200 pessoas, temos que: 
100 200
55
100 200
21
76
100 200
21
h m
m m
m
� � �
� � �
� �
 
Veja que não é possível simplificar a fração 76/21. Assim, para que 
76
21
m 
seja um número inteiro, m deve ser um múltiplo de 21 (ex.: 21, 42, 63 etc.). Veja que 
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se m = 21, então 
76
76
21
m (abaixo de 100). Já se m = 2x21 = 42, então 76 152
21
m 
(que está entre 100 e 200). Observe que se m = 63, 
76
21
m será maior que 200. 
Portanto, m = 42 e h = 152 ± 42 = 110. 
Assim, h ± m = 68, sendo B a alternativa correta. 
Resposta: B. 
 
10. FCC ± TRT/4ª ± 2011) Considere que Asdrúbal tem um automóvel que, em 
média, percorre 14 quilômetros de estrada com 1 litro de gasolina. Certo dia, após 
ter percorrido 245 quilômetros de uma rodovia, Asdrúbal observou que o ponteiro do 
marcador da gasolina, que anteriormente indicava a ocupação de 
5
8
da capacidade 
do tanque, passara a indicar uma ocupação de 
1
3
. Nessas condições, é correto 
afirmar que a capacidade do tanque de gasolina desse automóvel, em litros, é: 
a) 50 
b) 52 
c) 55 
d) 60 
e) 65 
RESOLUÇÃO: 
 Chamemos de C a capacidade do tanque. O ponteiro estava na posição 
5
8
 
de C, ou seja, 
5
8
Cu . Em outras palavras, o tanque possuía a quantidade de 
combustível equivalente a 
5
8
Cu . Ao final do percurso, o ponteiro indicava a 
posição 
1
3
 de C (
1
3
Cu ), indicando uma quantidade de combustível de 1
3
Cu . 
Portanto, o gasto de combustível é a subtração da quantidade inicial menos a 
quantidade final: 
5 1 (15 8) 7
8 3 24 24
Gasto C C C C
� u � u u u 
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 Por outro lado, sabemos que o carro percorre 14km com 1 litro, e que 
percorreu 245km. Podemos descobrir o total de combustível gasto com uma regra 
de três simples: 
14km 1 litro 
245km Gasto 
14 245 1
17,5
Gasto
Gasto
u u
 
 Como 17,5Gasto e, também, 7
24
Gasto C u , então: 
7
17,5
24
24
17,5 60
7
C
C
 u
 u 
 
 Logo, a capacidade total do tanque é de 60 litros. 
Resposta: D. 
 
11. FCC ± TRT/15ª ± 2009) Do total de projetos que estavam em um arquivo, sabe-
se que: 
2
5
deveriam ser analisados e 
4
7
referiam-se ao atendimento ao público 
interno. Com essa informação, é correto concluir que o total de projetos existentes 
nesse arquivo NUNCA poderia ser um número compreendido entre 
a) 10 e 50 
b) 60 e 100 
c) 110 e 160 
d) 150 e 170 
e) 180 e 220 
RESOLUÇÃO: 
 Observe que se o total de projetos for um número divisível por 5 e por 7 ao 
mesmo tempo, será possível calcular 
2
5
 e 
4
7
dos projetos, isto é, eles serão 
números inteiros. Quais números são divisíveis por 5 e 7 ao mesmo tempo? Os 
múltiplos comuns entre 5 e 7. O mínimo múltiplo comum entre eles é 35. 
Portanto, se o número de projetos for múltiplo de 35, será um número divisível 
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por 5 e 7. As outras possibilidades para o número de projetos são os demais 
múltiplos comuns entre 5 e 7. Você pode encontrá-los simplesmente buscando 
os múltiplos de 35, que é o MMC (5,7). Portanto: 
Nº de projetos = 35, 70, 105, 140, 175, 210, 245... 
Dado que em todos os intervalos existe um múltiplo comum entre 5 e 7, 
exceto naquele entre 150 e 170 (letra D), somente nesse intervalo é que o 
número de projetos NUNCA poderia estar. 
Resposta: D 
 
12. FCC ± TRT/18ª ± 2013) A versão atual de certo automóvel consome 0,15 litros 
de gasolina para cada quilômetro rodado. O fabricante anunciou que a nova versão 
desse carro, a ser lançada no próximo ano, terá uma redução de 20% no consumo 
de gasolina em relação à versão atual. De acordo com a informação do fabricante, 
para rodar 200 quilômetros, a nova versão desse automóvel consumirá um total de 
litros de gasolina igual a 
(A) 20. 
(B) 24. 
(C) 28. 
(D) 30. 
(E) 36. 
RESOLUÇÃO: 
 A redução de 20% no consumo leva a: 
Novo consumo = 0,15 ± 20% x 0,15 
Novo consumo = 0,12 litros por quilômetro 
 
 Assim, para rodar 200 quilômetros: 
0,12 litros -------------------------- 1 quilômetro 
X litros ---------------------------- 200 quilômetros 
0,12 x 200 = X 
X = 24 litros 
Resposta: B 
 
 
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13. FCC ± TRT/6ª ± 2012) Quando o usuário digita na tela um número positivo n, 
um programa de computador executa a seguinte sequência de operações: 
 I. Soma 0,71 ao número n. 
 II. Extrai a raiz quadrada do resultado obtido em (I). 
 III. Multiplica o resultado obtido em (II) por 7,2. 
 IV. Escreve na tela o resultado obtido em (III). 
Após digitar na tela o número positivo, um usuário observou que esse programa 
escreveu na tela o número 15,12. O número digitado por esse usuário foi 
(A) 3,3. 
(B) 3,4. 
(C) 3,5. 
(D) 3,6. 
(E) 3,7. 
RESOLUÇÃO: 
 Após a etapa I, teremos n + 0,71. Após a etapa II, teremos 0,71n� . Com a 
etapa III, obtemos 7,2 0,71nu � . 
 Assim, o número escrito na tela (15,12) é igual ao resultado da operação 
7,2 0,71nu � . Ou seja: 
 
7,2 0,71 15,12nu � 
15,120,71
7,2
n � 
0,71 2,1n� 
� �2 20,71 2,1n� 
0,71 4,41n� 
4,41 0,71 3,7n � 
Resposta: E 
 
 
 
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14. FCC ± TRT/24ª ± 2011) Indagado sobre o número de processos que havia 
arquivado certo dia, um Técnico Judiciário, que gostava muito de Matemática, 
respondeu: 
í O número de processos que arquivei é igual a 12,252 í������2. 
Chamando X o total de processos que ele arquivou, então é correto afirmar que: 
(A) X < 20. 
(B) 20 < X < 30. 
(C) 30 < X < 38. 
(D) 38 < X < 42. 
(E) X > 42. 
RESOLUÇÃO: 
 Lembrando que 2 2 ( ) ( )a b a b a b� � u � , onde a = 12,25 e b = 10,25, 
podemos resolver a questão sem a necessidade de efetuar o cálculo das potências. 
Assim, temos: 
2 2
2 2
2 2
( ) ( )
12,25 10,25 (12,25 10,25) (12,25 10,25)
12,25 10,25 22,5 2 45
a b a b a b� � u �
� � u �
� u 
 
 Portanto, o técnico arquivou 45 processos, ou seja, mais de 42 processos 
(letra E). 
Resposta: E 
 
15. FCC ± TRF/2ª ± 2012) Considere as seguintes afirmações: 
 
Relativamente a essas afirmações, é certo que 
(A) I, II e III são verdadeiras. 
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(B) apenas I e II são verdadeiras. 
(C) apenas II e III são verdadeiras. 
(D) apenas uma é verdadeira. 
(E) I, II e III são falsas. 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos trabalhar com a expressão 
1 1
2 1
4 4 4 16,8
4 4
x x x
x x
� �
� �
� � � : 
 
1 1
2 1
4 4 4
4 4
x x x
x x
� �
� �
� � � 
1
2 1
4 4 4 4 4
4 4 4 4
x x x
x x
�
� �
u � � u u � u 
1
2 1
4 1 4
4 4
�
� �
� � � 
1 1 4
4
1 1
16 4
� �
 
�
 
1 4 16
4 4 4
1 4
16 16
� �
 
�
 
21
4
5
16
 
21 16
4 5
u 
21 4
1 5
u 
16,8 
 
 Vejamos agora a expressão 
1
3 118 0,4444... : 30
135
§ ·� ¨ ¸© ¹
. Devemos começar 
encontrando a fração geratriz da dízima 0,4444... Chamando esta fração de X, 
temos: 
X = 0,4444... 
10X = 4,444... 
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Logo, 
10X ± X = 4,444... ± 0,4444... 
9X = 4 
X = 4/9 
 Assim, 
1
3 118 0,4444... :
135
§ ·� ¨ ¸© ¹
 
1
3 3 4 11(2 ) :
9 135
§ ·� ¨ ¸© ¹
 
4 112 :
9 135
§ ·� ¨ ¸© ¹ 
18 4 11
:
9 9 135
§ ·� ¨ ¸© ¹ 
22 11
:
9 135
§ · ¨ ¸© ¹ 
22 135
9 11
§ ·u ¨ ¸© ¹ 
2 135
9 1
§ ·u ¨ ¸© ¹ 
270
9
 
30 
 Quanto à expressão III, temos: � � � �4 46 2 5 6 2 5� u � 
� � � �44 6 2 5 6 2 5� u � 
� �224 6 6 ( 2 5) (2 5) 6 2 5� u � � u � 
� �224 6 2 5� 
4 36 20� 
4 16 
4 42 
2 
 
 Portanto, apenas as afirmações I e II são verdadeiras. 
Resposta: B 
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16. FCC ± TRF/2ª ± 2012) Ao consultar o livro de registro de entrada e saída de 
pessoas às dependências de uma empresa, um funcionário observou que: 5/8 do 
total das pessoas que lá estiveram ao longo de certa semana eram do sexo 
masculino e que, destas, 2/7 tinham menos de 35 anos de idade. Com base nessas 
informações, pode-se concluir corretamente que o total de pessoas que visitaram tal 
empresa naquela semana NÃO poderia ser igual a 
(A) 56. 
(B) 112. 
(C) 144. 
(D) 168. 
(E) 280. 
RESOLUÇÃO: 
 Seja P o número de pessoas que visitaram a empresa. Como 5/8 eram do 
sexo masculino, então é preciso que 
5
8
P seja um número inteiro. E como 2/7 tinham 
menos de 35 anos de idade, então é preciso também que 
2
7
P seja inteiro. 
 Assim, é preciso que o número de pessoas seja divisível por 8 e por 7. O 
MMC(8,7) é 56. Também são múltiplos comuns de 8 e 7 os múltiplos de 56, ou seja: 
112, 168, 224, 280 etc. 
 Repare que apenas o número 144 (letra C) não é múltiplo de 56. 
Resposta: C 
 
17. FCC ± TRF/1ª ± 2011) Na compra de um computador, um Técnico recebeu um 
desconto de 10% sobre o preço de M reais. Após certo tempo, comprou um novo 
computador por R$ 2 370,00 e, para fazer o pagamento, deu o primeiro computador 
como entrada, com prejuízo de 10% sobre a quantia que havia pago, e mais três 
parcelas sem juros de R$ 250,00 cada. Nessas condições, M é igual a 
a) 2000 
b) 2050 
c) 2100 
d) 2105 
e) 2110 
RESOLUÇÃO: 
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 Se o técnico recebeu desconto de 10% sobre o preço M do primeiro 
computador, ele pagou: 
 
M ± 10% de M = M ± 10%M = M ± 0,1M = 0,9M 
 
 Para comprar o segundo computador, foi dado de entrada o primeiro, com 
prejuízo de 10% em relação ao valor pago. Isto é, o primeiro computador foi 
entregue pelo preço P abaixo: 
 
P = 0,9M ± 10% x 0,9M = 0,9M ± 0,09M = 0,81M 
 
 Para pagar os 2370 reais do segundo computador, foi entregue o primeiro 
computador (pelo valor 0,81M) e mais 3 parcelas de 250 reais. Portanto: 
2370 = 0,81M + 3 x 250 
0,81M = 1620 
M = 2000 
Resposta: A 
 
18. FCC ± TRF/1ª ± 2007) Do total de processos que recebeu certo dia, sabe-se 
que um técnico judiciário arquivou 8% no período da manhã e 8% do número 
restante à tarde. Relativamente ao total de processos que recebeu, o número 
daqueles que deixaram de ser arquivados corresponde a 
a) 84,64% 
b) 85,68% 
c) 86,76% 
d) 87,98% 
e) 89,84% 
RESOLUÇÃO: 
 Se o técnico recebeu P processos, e arquivou 8% de manhã, sobraram ao 
final deste período: 
P ± 8% de P = P ± 0,08P = 0,92P 
 
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A tarde foram arquivados mais 8% do restante, isto é, 8% de 0,92P. Portanto, 
sobraram: 
0,92P ± 8% x 0,92P = 0,92P ± 0,0736P = 0,8464P 
 
 Portanto, sobraram 84,64% do total de processos. 
Resposta: A 
 
19. FCC ± TRF/2ª ± 2012) Certo dia, no início do expediente, um Técnico Judiciário 
constatou que no almoxarifado do Tribunal havia 120 pastas, 60% das quais eram 
verdes e as demais, azuis. Sabe-se que, tendo sido retiradas algumas pastas do 
almoxarifado, no final do expediente ele constatou que a porcentagem do número 
de pastas verdes havia se reduzido a 52% do total de pastas que lá restavam. 
Assim, considerando que o número de pastas azuis era o mesmo que havia 
inicialmente, a quantidade de pastas verdes que foram retiradas é um número: 
a) menor que 10 
b) compreendido entre 10 e 18 
c) compreendido entre 18 e 25 
d) compreendido entre 25 e 30 
e) maior que 30 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos calcular o número de pastas de cada cor que haviam inicialmente, 
lembrando que o total era de 120: 
Æ Verdes = 60% de 120 = 60% x 120 = 0,6 x 120 = 72 
Æ Azuis = 120 ± 72 = 48 
 Ao final do expediente, as pastas verdes eram apenas 52% do total, de modo 
que as pastas azuis passaram a representar 48% do total. Deste modo, podemos 
calcular o número total de pastas restantes: 
48 pastas azuis ------------------- 48% 
Total de pastas restantes-------- 100% 
 
 Logo, Total de pastas restantes = 100 pastas. Destas, as pastas verdes são 
100 ± 48 (azuis) = 52. 
 Se haviam 72 pastas verdes no início do expediente e, ao final, apenas 52, 
então podemos dizer que 20 pastas verdes foram retiradas. 
Resposta: C 
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20. FCC ± TRF/2ª ± 2012) Ao conferir o livro de registro da entrada e saída das 
pessoas q visitaram uma Unidade do Tribunal Regional Federal, ao longo dos cinco 
dias úteis de certa semana, um Técnico Judiciário observou que: 
- o número de pessoas que lá estiveram na segunda-feira correspondia a terça parte 
do total de visitantes da semana inteira; 
- em cada um dos três dias subsequentes, o número de pessoas registradas 
correspondia a ¾ do número daquelas registradas no dia anterior. 
Considerando que na sexta-feira foi registrada a presença de 68 visitantes, é correto 
afirmar que o número de pessoas que visitaram essa Unidade. 
(A) na segunda-feira foi 250. 
(B) na terça-feira foi 190. 
(C) na quarta-feira foi 140. 
(D) na quinta-feira foi 108. 
(E) ao longo dos cinco dias foi 798. 
RESOLUÇÃO: 
 Seja V o número total de visitantes da semana. Na segunda-feira, um terço 
do total compareceu, ou seja, V/3. Na terça-feira, ¾ do total presente na segunda 
compareceu, isto é, ¾ x (V/3) = V/4. Na quarta-feira, ¾ do total presente na terça 
compareceu, ou seja, 3V/16. Na quinta-feira, ¾ do total presente na quarta 
compareceu, totalizando 9V/64. Por fim, 68 estiveram presentes na sexta. Assim, o 
total V pode ser dado pela soma dos presentes em cada dia: 
V = segunda + terça + quarta + quinta + sexta 
V = V/3 + V/4 + 3V/16 + 9V/64 + 68 
 
 Para colocar as frações em um denominador comum, podemos usar o 
denominador 192. Assim, temos: 
192 64 48 36 27 68
192 192 192 192 192
V V V V V � � � � 
192 64 48 36 27 68
192 192 192 192 192
V V V V V� � � � 
17 68
192
V 
19268 768
17
V u 
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 Assim, o total de presentes na segunda foi V/3 = 256, na terça foi V/4 = 192, 
na quarta foi 3V/16 = 144 e na quinta foi 9V/64 = 108. Temos essa última 
informação na alternativa D. 
Resposta: D 
 
21. FCC ± TRF/3ª ± 2014) Um tabuleiro de xadrez possui 64 casas. Se fosse 
possível colocar 1 grão de arroz na primeira casa, 4 grãos na segunda, 16 grãos na 
terceira, 64 grãos na quarta, 256 na quinta, e assim sucessivamente, o total de 
grãos de arroz que deveria ser colocado na 64a casa desse tabuleiro seria igual a 
(A) 2256. 
(B) 264. 
(C) 2126. 
(D) 266. 
(E) 2128. 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que na primeira casa colocamos 40 grãos (ou seja, 1), na segunda casa 
colocamos 41 grãos (isto é, 4), na terceira 42 grãos (ou 16), na quarta 43 grãos (ou 
64), e assim por diante. Na 64ª casa colocaremos, portanto, 463 grãos, ou: 
463 = (22)63 = 22 x 63 = 2126 
Resposta: C 
 
22. FCC ± TRF/3ª ± 2014) Um funcionário tem que executar 500 tarefas do tipo A, 
150 do tipo B e 300 do tipo C no prazo de alguns dias, sendo necessário finalizar as 
tarefas dos tipos A, B, e C simultaneamente ao final do último dia. De acordo com 
as instruções que recebeu, ele tem que realizar, por dia, sempre o mesmo número 
de tarefas A, o mesmo número de tarefas B e o mesmo número de tarefas C, sendo 
que a soma diária da quantidade de tarefas A, B e C realizadas seja a maior 
possível. Em tais condições, esse funcionário terá que realizar um total de tarefas 
diárias igual a 
(A) 19. 
(B) 25. 
(C) 10. 
(D) 21. 
(E) 15. 
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RESOLUÇÃO: 
 Veja que é preciso realizar a cada dia o mesmo número de tarefas A, o 
mesmo de B, e o mesmo de C, e devem ser realizadas o máximo de tarefas 
possíveis por dia. Como temos números diferentes de tarefas (500, 150 e 300), 
devemos buscar o máximo divisor comum (MDC) entre esses números, que é 50. 
Assim, a cada dia realizaremos 500/50 = 10 tarefas A, 150/50 = 3 tarefas B, e 
300/50 = 6 tarefas C, totalizando 10 + 3 + 6 = 19 tarefas por dia. 
Resposta: A 
 
23. FCC ± TJ/PE ± 2012) Eram 22 horas e em uma festa estavam 243 mulheres e 
448 homens. Verificou-se que, continuadamente a cada nove minutos, metade dos 
homens ainda presentes na festa ia embora. Também se verificou que, 
continuadamente a cada 15 minutos, a terça parte das mulheres ainda presentes na 
festa ia embora. Desta forma, após a debandada das 22 horas e 45 minutos,a 
diferença entre o número de mulheres e do número de homens é 
(A) 14. 
(B) 28. 
(C) 36. 
(D) 44. 
(E) 58. 
RESOLUÇÃO: 
 Entre 22h e 22:45h temos 5 intervalos de 9 minutos. Como a cada intervalo o 
número de homens cai pela metade ± ou seja, é multiplicado por ½ ± temos que o 
número de homens ao final passou a ser de: 
5
1 1 1 1 1 448 448448 14
2 2 2 2 2 2 32
u u u u u homens 
 
 Neste mesmo período, temos 3 intervalos de 15 minutos. Como a cada 
intervalo 1/3 das mulheres saem, sobram 2/3 das mulheres, ou seja, o número de 
mulheres é multiplicado por 2/3. Assim, o número de mulheres passou a ser: 
3
3
2 2 2 243 2 243 8243 72
3 3 3 3 27
u uu u u mulheres 
 
 A diferença entre homens e mulheres passou a ser 72 ± 14 = 58. 
Resposta: E 
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24. CESPE ± TJ/RR ± 2012) Considere as seguintes definições: 
I. os divisores próprios de um número inteiro positivo n são todos os divisores 
inteiros positivos de n, exceto o próprio n; 
II. um número n será perfeito se a soma de seus divisores próprios for igual a n; 
III. dois números serão números amigos se cada um deles for igual à soma dos 
divisores próprios do outro. 
Com base nessas definições, julgue os itens que seguem. 
( ) O número 28 é um número perfeito. 
( ) Os números 284 e 220 são números amigos. 
( ) Se um número é maior que 1, então o conjunto dos seus divisores próprios tem, 
pelo menos, 2 elementos. 
( ) Nenhum número primo é um número perfeito. 
RESOLUÇÃO: 
( ) O número 28 é um número perfeito. 
 Os divisores de 28 são 1, 2, 4, 7, 14, 28. A soma dos divisores de 28, exceto 
o próprio número, é 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Portanto, segundo a definição dada no 
item II do enunciado, o número 28 é perfeito. Item CORRETO. 
 
 ( ) Os números 284 e 220 são números amigos. 
 Fatorando esses dois números, você obtem: 
220 = 22 x 5 x 11 
284 = 22 x 71 
 
 Assim, os divisores de 220 são {1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, 220}. 
Veja que a sua soma (excluindo o próprio 220) é 284. 
 Da mesma forma, os divisores de 284 são {1, 2, 4, 71, 142, 284}. A sua soma 
(excluindo o próprio 284) é 220. 
 Logo, segundo a definição III do enunciado, estes números são amigos. Item 
CORRETO. 
 
( ) Se um número é maior que 1, então o conjunto dos seus divisores próprios tem, 
pelo menos, 2 elementos. 
 ERRADO. Se um número for primo, ele terá apenas um divisor próprio (o 
próprio número 1). Veja, por exemplo, que o único divisor próprio de 7 é o número 1. 
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( ) Nenhum número primo é um número perfeito. 
 O único divisor próprio de um número primo é o 1. Portanto, a soma dos 
divisores próprios de um número primo é igual a 1. Assim, nenhum número primo é 
perfeito, pois a soma dos divisores próprios nunca será igual ao próprio número. 
Item CORRETO. 
Resposta: C C E C 
 
25. CESPE ± TJ/RR ± 2012) Determinado jogo consiste em explorar o fato de que 
todo número natural não nulo pode ser escrito como a soma de potências de base 
2, distintas, com expoentes inteiros (por exemplo: 14 = 2 + 4 + 8 = 2 + 22 + 23; 17 = 
1 + 16 = 20 + 24). No jogo entre os jogadores A e B, B indica os expoentes e A 
aponta qual é o número natural correspondente. A respeito desse jogo e do fato 
mencionado, julgue os itens seguintes. 
( ) Caso o jogo fosse invertido, de forma que o jogador A indicasse o número 50, e B 
tivesse de identificar os expoentes, haveria dificuldade nessa identificação, já que o 
número 50 pode ser escrito de mais de duas formas diferentes como a soma de 
potências de base dois. 
( ) Se B indicar os expoentes 1, 2, 5 e 6, então A acertará se apontar um número 
menor que 100. 
( ) Suponha que A tenha acertado ao apontar que o número correspondente é o 37. 
Então, nesse caso, B indicou os números 0, 2 e 5. 
( ) Se um número P, par, for escrito como a soma de seis potências de base 2, 
distintas, então o número P/2 também será escrito como a soma de seis potências 
de base 2, distintas. 
( ) Se o jogador A apontar corretamente que o número correspondente é um número 
par, então entre os expoentes indicados por B não estará o número 1. 
RESOLUÇÃO: 
( ) Caso o jogo fosse invertido, de forma que o jogador A indicasse o número 50, e B 
tivesse de identificar os expoentes, haveria dificuldade nessa identificação, já que o 
número 50 pode ser escrito de mais de duas formas diferentes como a soma de 
potências de base dois. 
 ERRADO. Veja que a única forma de escrever 50 com potências de 2 
distintas é: 
50 = 2 + 16 + 32 = 2 + 24 + 25 
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( ) Se B indicar os expoentes 1, 2, 5 e 6, então A acertará se apontar um número 
menor que 100. 
 Neste caso o número procurado é: 
21 + 22 + 25 + 26 = 2 + 4 + 32 + 64 = 102 
 Item ERRADO. 
 
( ) Suponha que A tenha acertado ao apontar que o número correspondente é o 37. 
Então, nesse caso, B indicou os números 0, 2 e 5. 
 Veja que 20 + 22 + 25 = 1 + 4 + 32 = 37. Item CORRETO. 
 
( ) Se um número P, par, for escrito como a soma de seis potências de base 2, 
distintas, então o número P/2 também será escrito como a soma de seis potências 
de base 2, distintas. 
 Imagine que P = 2a + 2b + 2c + 2d + 2e + 2f. Neste caso, dividir P por 2 (para 
obter P/2) é igual a multiplicar P por 2-1, ou seja, somar -1 no expoente de cada 
fator: 
P/2 = 2a-1 + 2b-1 + 2c-1 + 2d-1 + 2e-1 + 2f-1 
 Este número também é formado por 6 potências de base 2 distintas. Logo, o 
item está CORRETO. 
 
( ) Se o jogador A apontar corretamente que o número correspondente é um número 
par, então entre os expoentes indicados por B não estará o número 1. 
 ERRADO, pois 21 é par. Veja que o número 6, que é par, pode ser escrito 
como 6 = 21 + 22. Na verdade, se um número for par, então entre os expoentes não 
estará o número 0, pois 20 = 1, o que faria que a soma de potências tivesse 
resultado ímpar. 
Resposta: E E C C E 
 
26. VUNESP ± TJ/MT ± 2008) Uma pequena doceira bem sucedida comprou 1 800 
embalagens para seus docinhos. Do total de embalagens, inicialmente 1/6 foi 
utilizado para embalar brigadeiros e 2/5 para os beijinhos. Sabendo que para os 
cajuzinhos seriam necessárias ½ do total das embalagens compradas, a doceira 
observou que iriam faltar ___ embalagens. Assinale a alternativa que completa 
corretamente a lacuna do texto. 
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(A) 120 
(B) 110 
(C) 100 
(D) 90 
(E) 80 
RESOLUÇÃO: 
 Para embalar os brigadeiros foram utilizadas: 
Embalagens p/ brigadeiros = (1/6) x 1800 = 300 
 
 Para embalar os beijinhos foram utilizadas: 
Embalagens p/ beijinhos = (2/5) x 1800 = 720 
 
 Para embalar os cajuzinhos seriam necessárias: 
Embalagens p/ cajuzinhos = (1/2) x 1800 = 900 
 
 Portanto, ao todo seriam necessárias 300 + 720 + 900 = 1920 embalagens. 
Como foram compradas apenas 1800, faltaram 120 embalagens. 
Resposta:A 
 
27. VUNESP ± TJ/MT ± 2008) Uma pessoa quer trocar duas notas de dez reais por 
moedas de 5, 10, 25 e 50 centavos de real. Se ela deseja receber moedas de todos 
esses valores, então o número mínimo de moedas a receber em troca será de 
(A) 40. 
(B) 41. 
(C) 42. 
(D) 43. 
(E) 44. 
RESOLUÇÃO: 
 Para ter o menor número possível de moedas, devemos pegar o máximo 
possível de moedas de maior valor, e o mínimo possível de moedas de baixo valor. 
Pegando R$19,50 em moedas de 50 centavos, são necessárias 39 moedas 
deste valor. 
 Para chegar aos 20 reais (duas notas de 10), são necessárias ainda 1 moeda 
de 25 centavos, 2 de 10 centavos e 1 de 5 centavos. Ao todo, são necessárias pelo 
menos: 
39 + 1 + 2 + 1 = 43 moedas 
Resposta: D 
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28. CESGRANRIO ± PETROBRÁS ± 2011) Sendo i a unidade imaginária e 
escrevendo o complexo 
2(3 )
1
i
z
i
� � na forma z = a + bi tem-se que a + b é igual a: 
a) -1 
b) 1 
c) 2 
d) 6 
e) 8 
RESOLUÇÃO: 
 3DUD� ³WLUDU´� R� �� �� L� � GR� GHQRPLQDGRU�� EDVWD� PXOWLSOLFDU�� WDQWR� R� QXPHUDGRU�
como o denominador, por (1 ± i): 
2 2
2 2
2
2
(3 ) (3 ) (1 ) (3 )(3 )(1 )
1 (1 )(1 ) 1
(9 6 )(1 ) (9 6 1)(1 )
1 ( 1) 2
(8 6 )(1 ) 8 8 6 6 8 2 6 ( 1)
2 2 2
8 2 6
7
2
i i i i i i
z
i i i i
i i i i i
z
i i i i i i
z
i
z i
� � � � � � � � � �
� � � � � � � �
� � � � � � � u � 
� � �
 
 Se z = a + bi = 7 ± i, então a = 7 e b = -1. Portanto, a + b = 6. 
Resposta: D 
 
29. FCC ± TCE/SP ± 2010) Sabe-se que se i é unidade imaginária do conjunto dos 
números complexos, então, para cada número natural n, a potência in é igual a 1, i, 
-1 ou ±i. Usando essa informação, é correto afirmar que a soma 
50
1
n
n
i
 
¦ é igual a: 
a) 0 
b) -1 ± i 
c) 1 + i 
d) 1 ± i 
e) i ± 1 
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RESOLUÇÃO: 
 Sabemos que i1 = i; i2 = -1; i3 = -i e i4 = 1. A partir de i5 a sequência se repete 
novamente. 
 Repare que i1 + i2 + i3 + i4 = i ± 1 ± i + 1 = 0. Isto é, a soma de quatro 
potências de i consecutivas é igual a zero. Veja, por exemplo, que: 
i5 + i6 + i7 + i8 = i ± 1 ± i + 1 = 0 
 Assim, ao efetuar o somatório de in, para n = 1 a 50, teremos 12 conjuntos de 
4 potências consecutivas de i (totalizando 48 números) e mais i49 e i50. Portanto, 
50
49 50
1
n
n
i i i
 
 �¦ 
 Para saber o valor de i49, você deve calcular o resto da divisão de 49 por 4. 
Neste caso, o resto é igual a 1. Assim, i49 = i1 = i. 
 Da mesma forma, o resto de 50 dividido por 4 é igual a 2. Portanto: 
i50 = i2 = -1 
 Assim, 
50
49 50 1 2
1
1n
n
i i i i i i
 
 � � �¦ 
Resposta: E 
 
30. CESGRANRIO ± PETROBRÁS ± 2010) Sejam w = 3 - 2i e y = m +pi dois 
números complexos, tais que m e p são números reais e i, a unidade imaginária. Se 
w + y = -1 + 3i, conclui-se que m e p são, respectivamente, iguais a 
a) -4 e +1 
b) -4 e +5 
c) +2 e +1 
d) +2 e +5 
e) +4 e -1 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que: 
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w + y = 3 ± 2i + m + pi 
 Ao efetuar a soma de números complexos, devemos somar a parte real de 
um com a parte real do outro, e a parte imaginária de um com a parte imaginária do 
outro. Isto é, 
w + y = (3 + m) + (-2 + p)i 
 Como o enunciado disse que w + y = -1 + 3i, então: 
w + y = (3 + m) + (-2 + p)i = -1 + 3i 
 Se dois números complexos são iguais, isso significa que suas partes reais 
são iguais, e suas partes imaginárias também são iguais. Ou seja: 
3 + m = -1 Æ m = -4 
-2 + p = 3 Æ p = 5 
Resposta: B 
 
31. CONESUL ± CMR/RQ ± 2008) Assinale a alternativa que corresponde ao 
inverso do número complexo z = 3 + 2i: 
a) (3 + 2i) / 13 
b) (2 ± 3i) / 13 
c) (2 + 3i) / 13 
d) (-2 + 3i) / 13 
e) (3 ± 2i) / 13 
RESOLUÇÃO: 
 O inverso de 3 + 2i é: 
1 1
3 2z i
 � 
 (QWUHWDQWR�� SDUD� REWHU� XPD� GDV� UHVSRVWDV� GR� HQXQFLDGR�� GHYHPRV� ³WLUDU´� D�
unidade imaginária i do denominador. Para isto, basta multiplicar tanto numerador 
quanto denominador por 3 ± 2i: 
� �22
1 1 3 2
3 2 3 2
1 3 2 3 2
9 ( 4)3 2
1 3 2
13
i
z i i
i i
z i
i
z
� u� �
� � � ��
� 
 
Resposta: E 
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32. FCC ± TRF/2ª ± 2012) &RQVLGHUH�D�LJXDOGDGH�[��������\����L� ����í�[�����\L���HP 
que x e y são números reais e i é a unidade imaginária. O módulo do número 
complexo z = x + yi, é um número 
(A) maior que 10. 
(B) quadrado perfeito. 
(C) irracional. 
(D) racional não inteiro. 
(E) primo. 
RESOLUÇÃO: 
 Dois números complexos são iguais quando as suas partes são iguais entre 
si, e suas partes imaginárias são também iguais entre si. Desta forma, se: 
[��������\����L� ����í�[�����\L 
 
Podemos dizer que: 
x = 6 ± x 
e 
4 + y = 2y 
 
 Assim, na primeira equação temos: 
2x = 6 
x = 3 
 
 Na segunda equação, temos: 
4 + y = 2y 
y = 4 
 
 Assim, z = x + yi = 3 + 4i. O módulo de z é: 
2 2| | | 3 4 | 3 4 25 5z i � � 
 
 Como 5 é um número primo, a alternativa correta é a letra E. 
Resposta: E 
 
 
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33. FEPESE ± SEA/SC ± 2013) Seja i = 1� . Analise as afirmativas abaixo: 
1. Se (a+bi)(c+di) é um número real, então ou a = c = 0 ou b = d = 0. 
2. Se z = 2 + i e w é tal que zw = 1, então w = 
2 1
5 5
i� . 
���2�Q~PHUR�FXMD�H[SDQVmR�GHFLPDO�LQILQLWD�p�GDGD�SRU�����������«�p�XP�Q~PHUR�
racional. 
Assinale a alternativa que indica todas as afirmativas corretas. 
a) É correta apenas a afirmativa 3. 
b) São corretas apenas as afirmativas 1 e 2. 
c) São corretas apenas as afirmativas 1 e 3. 
d) São corretas apenas as afirmativas 2 e 3. 
e) São corretas as afirmativas 1, 2 e 3. 
RESOLUÇÃO: 
 Vejamos cada afirmativa: 
 
1. Se (a+bi)(c+di) é um número real, então ou a = c = 0 ou b = d = 0. 
 Veja que: 
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac ± bd + (ad + bc)i 
 
 Assim, para este número ser real, é preciso que a parte imaginária seja nula, 
ou seja, ad + bc = 0. Não é preciso que a, c, b ou d sejam iguais a zero. FALSO. 
 
2. Se z = 2 + i e w é tal que zw = 1, então w = 
2 1
5 5
i� . 
 Vamos usar a simbologia a + bi para representar o número w. Assim, 
z.w = 1 
(2 + i).(a + bi) = 1 
2a + 2bi + ai + bi2 = 1 
2a ± b + (2b + a)i = 1 
 
 Para que esta igualdade seja verdadeira, é preciso que a parte real do 
número da esquerda da igualdade seja igual à parte real do número da direita, e que 
a parte imaginária do número da esquerda seja igual à parte imaginária do número 
da direita. Isto é, 
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2a ± b = 1 
2b + a = 0 
 
 Na primeira equação acima, podemos escrever que: 
b = 2a ± 1 
 
 Substituindo na segunda equação, temos: 
2.(2a ± 1) + a = 0 
4a ± 2 + a = 0 
5a = 2 
a = 2/5 
 
b = 2a ± 1 
b = 2.(2/5) ± 1 
b = -1/5 
 
 Logo, w = 2/5 ± (1/5)i. VERDADEIRO. 
 
3. O número cuja expansão decimal infinita p�GDGD�SRU�����������«�p�XP�Q~PHUR�
racional. 
 VERDADEIRO, pois sabemos que dízimas periódicas são números racionais. 
Neste caso, a fração geratriz é 1/3. 
Resposta: D 
 
34. FGV ± TJRJ ± 2014) Mario fez uma viagem de ônibus que durou três horas e 
meia. Assim que o ônibus partiu, Mario dormiu. Quando acordou, dois quintos do 
tempo da viagem haviam passado. O tempo que Mario passou dormindo nessa 
viagem foi de: 
(A) 1h 10min; 
(B) 1h 24min; 
(C) 1h 32min; 
(D) 1h 48min; 
(E) 2h 12min. 
RESOLUÇÃO: 
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Mario dormiu 2/5 de 3,5 horas (três horas e meia), ou seja: 
Tempo dormindo = (2/5) x 3,5 
Tempo dormindo = 2 x 0,7 
Tempo dormindo = 1,4 horas 
Tempo dormindo = 1 hora + 0,4 x 60 minutos 
Tempo dormindo = 1 hora + 24 minutos 
Resposta: B 
 
35. FGV ± TJRJ ± 2014) Ana vendeu um terreno que tinha recebido de herança. Do 
valor recebido, pagou 20% de impostos atrasados e outras despesas e, do que 
sobrou, utilizou 25% para comprar um carro usado. Depois dessas operações, Ana 
ficou ainda com R$72.000,00, que colocou na poupança. 
Ana vendeu o terreno por: 
(A) R$120.000,00; 
(B) R$128.000,00; 
(C) R$136.000,00; 
(D) R$144.000,00; 
(E) R$150.000,00. 
RESOLUÇÃO: 
Seja V o valor recebido pelo terreno. Pagando 20% disso de impostos, 
sobram 80% de V, ou seja, 0,80xV. Usando 25% deste restante para comprar um 
carro, sobra 75% do restante, isto é, 0,75x0,80xV. Esta sobra foi igual a 72.000 
reais, ou seja, 
0,75x0,80xV = 72.000 
(3/4)x0,80xV = 72.000 
0,60xV = 72.000 
V = 72.000 / 0,60 
V = 120.000 reais 
Resposta: A 
 
36. FGV ± TJRJ ± 2014) A Meta Prioritária 04/2010 do CNJ determina que os 
tribunais lavrem e publiquem todos os acórdãos em até 10 dias após a sessão de 
julgamento. A meta é considerada atingida quando o grau de cumprimento é igual 
ou superior a 90%. A tabela a seguir mostra, para o mês de setembro de 2014, o 
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total de acórdãos e o número de acórdãos publicados em até 10 dias após a sessão 
de julgamento de três Câmaras Cíveis hipotéticas. 
Total de acórdãos Publicados em até 10 dias 
 
É correto afirmar que: 
(A) as três Câmaras atingiram a meta; 
(B) apenas as Câmaras 1 e 2 atingiram a meta; 
(C) apenas as Câmaras 1 e 3 atingiram a meta; 
(D) apenas as Câmaras 2 e 3 atingiram a meta; 
(E) apenas a Câmara 2 atingiu a meta. 
RESOLUÇÃO: 
Calculando o percentual de acórdãos publicados em até 10 dias em cada 
câmara, podemos ver quem cumpriu a meta: 
Percentual da câmara 1 = 115/ 125 = 0,92 = 92% (cumpriu) 
Percentual da câmara 2 = 130 / 147 = 0,884 = 88,4% (não cumpriu) 
Percentual da câmara 3 = 170 / 182 = 0,934 = 93,4% (cumpriu) 
Resposta: C 
 
37. FGV ± TJRJ ± 2014) Em agosto de determinado ano, para cada dois processos 
pendentes de julgamento na Câmara X havia três processos pendentes de 
julgamento na Câmara Y. Em setembro do mesmo ano, o número de processos 
pendentes de julgamento na Câmara X aumentou 20% e o número de processos 
pendentes de julgamento na Câmara Y diminuiu 20%, ambos em relação aos 
respectivos números de agosto. 
Conclui-se que, em setembro daquele ano: 
(A) para cada processo pendente de julgamento na Câmara X, houve um processo 
pendente de julgamento na Câmara Y; 
(B) para cada dois processos pendentes de julgamento na Câmara X, houve um 
processo pendente de julgamento na Câmara Y; 
(C) para cada três processos pendentes de julgamento na Câmara X, houve dois 
processos pendentes de julgamento na Câmara Y; 
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(D) para cada quatro processos pendentes de julgamento na Câmara X, houve três 
processos pendentes de julgamento na Câmara Y; 
(E) para cada quatro processos pendentes de julgamento na Câmara X, houve nove 
processos pendentes de julgamento na Câmara Y. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos trabalhar com números para facilitar o entendimento, ok? Se preferir 
você pode trabalhar com variáveis... 
Inicialmente para cada dois processos pendentes de julgamento na Câmara 
X havia três processos pendentes de julgamento na Câmara Y. Assim, se houvesse 
200 processos na câmara X, haveriam 300 processos na câmara Y. 
Em setembro, o número de processos pendentes de julgamento na Câmara X 
aumentou 20%, passando a ser de 200 x (1 + 20%) = 200 x 1,20 = 240 processos. 
E o número de processos pendentes de julgamento na Câmara Y diminuiu 20%, 
passando a ser de 300 x (1 - 20%) = 300 x 0,80 = 240 processos. 
Portanto, repare que as quantidades de processos das duas câmaras se igualou em 
setembro. 
Isto é, para cada processo pendente de julgamento na Câmara X, houve um 
processo pendente de julgamento na Câmara Y. 
Resposta: A 
 
38. FGV ± TJ/BA ± 2015) Maria ganha 25% a mais do que Ângela que, por sua vez, 
ganha 20% a mais do que Paulo. Assim, Maria ganha x% a mais do que Paulo. O 
valor de x é: 
(A) 45; 
(B) 48; 
(C) 50; 
(D) 52; 
(E) 55 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos chamar de M, A e P os valores recebidos, respectivamente, por 
Maria, Ângela e Paulo. Sabemos que Maria ganha 25 por cento a mais do que a 
Ângela, ou seja: 
M = A x (1 + 25%) 
M = A x 1,25 
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 Também sabemos que Ângela ganha 20 por cento a mais do que Paulo, ou 
seja: 
A = P x (1 + 20%) 
A = P x 1,20 
 
 Podemos substituir o A da equação M = A x 1,25 por P x 1,20, ficando com: 
M = A x 1,25 
M = (Px1,20)x1,25 
M = P x 1,50 
M = P x (1 + 50%) 
 
 Observando esta última equação podemos dizer que Maria ganha 50% a 
mais que Paulo. 
Resposta: C 
 
39. FGV ± TJ/BA ± 2015) (P�XPD�FLGDGH�GR�³YHOKR-RHVWH´�DPHULFDQR��GR�WRWDO�GH�
pessoas que iam a julgamento, 90% eram condenadas e 10% eram absolvidas. Das 
pessoas condenadas, 80% eram realmente culpadas e 20% eram inocentes. Das 
pessoas absolvidas, 90% eram realmente inocentes e 10% eram culpadas. 
Sorteando ao acaso uma das pessoas que foi a julgamento nessa cidade, a 
probabilidade de que ela fosse inocente é: 
(A) 18%; 
(B) 20%; 
(C) 24%; 
(D) 25%; 
(E) 27%. 
RESOLUÇÃO: 
 A maneira mais fácil de resolvermos uma questão como essa consiste em 
trabalharmos com uma quantidade de pessoas qualquer. Por exemplo, suponha 
que o total de pessoas levadas a julgamento na cidade é igual a 1000. 
 Sabemos que 90 por cento dessas pessoas são condenadas e as demais 
são absolvidas, ou seja, 900 pessoas são condenadas e as 100 pessoas restantessão absolvidas. 
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 Das 900 pessoas condenadas sabemos que 80 por cento realmente são 
culpadas, isto é, 80% x 900 = 0,80 x 900 = 720 pessoas são efetivamente culpadas, 
de modo que as 900 - 720 = 180 pessoas restantes são inocentes. 
 Das 100 pessoas absolvidas sabemos que 90 por cento são realmente 
inocentes, isto é, 90% x 100 = 90 pessoas são efetivamente inocentes, de modo que 
as 100 - 90 = 10 pessoas restantes são culpadas. 
 Como você pode ver nos parágrafos acima o total de pessoas inocentes é 
igual a 180 + 90 = 270, em um total de 1000 pessoas. A probabilidade de escolher 
uma dessas 270 pessoas inocentes em um total de 1000 pessoas é: 
P = 270 / 1000 = 0,27 = 27% 
Resposta: E 
 
40. FGV ± TJ/SC ± 2015) Em uma casa de lanches, o sanduíche Big custa R$8,80, 
o copo com refrigerante R$ 2,50 e a porção de batatas fritas, R$ 4,70. Entretanto, o 
consumidor que pedir esses três produtos juntos pagará, na promoção, apenas R$ 
14,20. Em relação ao preço normal, o preço da promoção equivale a um desconto 
de, aproximadamente: 
(A) 7%; 
(B) 9%; 
(C) 11%; 
(D) 13%; 
(E) 15% 
RESOLUÇÃO: 
 A soma dos preços dos três produtos é 8,80 + 2,50 + 4,70 = 16 reais. 
Comprando os produtos juntos o nosso desconto é de 16,00 - 14,20 = 1,80 reais. 
Percentualmente, em relação ao preço normal, esse desconto corresponde a: 
P = 1,80 / 16 
P = 0,1125 
P = 11,25% 
Resposta: C 
 
 
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41, FGV ± TJ/SC ± 2015) Um grupo de amigos se reuniu para as comemorações de 
fim de ano, sendo que 40% do total eram mulheres. Todos eram torcedores do 
Figueirense, do Avaí ou do Joinville. Do total, 50% deles eram torcedores do 
Figueirense. Metade dos torcedores do Avaí eram mulheres, bem como um quarto 
dos torcedores do Joinville. Entre os homens, o número de torcedores do Avaí era 
igual ao número de torcedores do Joinville. Do total de amigos, eram mulheres 
torcedoras do Figueirense: 
(A) 5%; 
(B) 10%; 
(C) 15%; 
(D) 20%; 
(E) 25%. 
RESOLUÇÃO: 
 Suponha que temos 1000 amigos. Como 40% são mulheres, temos 400 
mulheres e 600 homens. Sabemos que 50% (500 pessoas) torciam para o 
Figueirense e os outros 500 para os outros times. Chamando de A os torcedores do 
Avaí e de J os do Joinville, podemos dizer que: 
Mulheres torcedoras do Avaí = A/2 
Homens torcedores do Avaí = A - A/2 = A/2 
 
Mulheres torcedoras do Joinville = J/4 
Homens torcedores do Joinville = J - J/4 = 3J/4 
 
 A soma dos torcedores do Joinville e do Avaí é igual a 500, ou seja, 
A + J = 500 
A = 500 - J 
 
 Assim, podemos reescrever os torcedores do Avaí assim: 
Mulheres torcedoras do Avaí = A/2 = (500 - J)/2 
Homens torcedores do Avaí = A - A/2 = A/2 = (500 - J)/2 
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 Sabemos que, dentre os homens, o número de torcedores do Joinville era 
igual ao número de torcedores do Avaí, ou seja: 
3J/4 = (500-J)/2 
3J/2 = (500-J) 
3J = 2.(500-J) 
3J = 1000 - 2J 
5J = 1000 
J = 200 torcedores do joinville 
 
 Como temos 400 mulheres e 600 homens ao todo, podemos dizer que: 
Mulheres torcedoras do Figueirense = 400 - A/2 - J/4 
Mulheres torcedoras do Figueirense = 400 - (500-J)/2 - J/4 
Mulheres torcedoras do Figueirense = 400 - 250 + J/2 - J/4 
Mulheres torcedoras do Figueirense = 400 - 250 + 2J/4 - J/4 
Mulheres torcedoras do Figueirense = 150 + J/4 
Mulheres torcedoras do Figueirense = 150 + 200/4 
Mulheres torcedoras do Figueirense = 150 + 50 
Mulheres torcedoras do Figueirense = 200 
 
 Assim, essas mulheres representam, em relação ao total de amigos (1000): 
P = 200 / 1000 
P = 0,20 
P = 20% 
Resposta: D 
 
 
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42. VUNESP ± TJ/SP ± 2014) Considere um reservatório com o formato de um 
paralelepípedo reto retângulo, com 2m de comprimento e 1,5m de largura, 
inicialmente vazio. A válvula de entrada de água no reservatório foi aberta por certo 
período, e, assim, a altura do nível da água no reservatório atingiu 50 cm, 
preenchendo 40% da sua capacidade total. Desse modo, é correto afirmar que a 
medida da altura desse reservatório, em metros, é igual a 
(A) 1,75. 
(B) 1,25. 
(C) 1,65. 
(D) 1,50. 
(E) 1,35. 
RESOLUÇÃO: 
 Note que 50cm de altura corresponde a 40% da capacidade do reservatório, 
que também corresponde a 40% da altura total do reservatório. Assim, a altura total 
(100%) é obtida em uma regra de três simples: 
50cm --------------- 40% da altura 
A --------------------- 100% da altura 
 
50x100% = Ax40% 
50 x 100 / 40 = A 
5 x 100 / 4 = A 
5 x 25 = A 
125 cm = A 
1,25m = A 
Resposta: B 
 
43. VUNESP ± TJ/SP ± 2014) A Câmara dos Deputados aprovou ontem a Medida 
Provisória no 647, que permite ao governo elevar para até 27,5% o limite de etanol 
anidro misturado à gasolina vendida nos postos de combustível. Hoje, esse teto é 
de 25%. 
(O Estado de S.Paulo, 07.08.2014) 
Suponha que dois tanques, A e B, contenham quantidades iguais, em litros, de um 
combustível formado pela mistura de gasolina e de álcool anidro, sendo 25% o teor 
de álcool na mistura do tanque A e 27,5%, o teor de álcool na mistura do tanque B. 
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Nessas condições, é correto afirmar que a quantidade de álcool no tanque B supera 
a quantidade de álcool no tanque A em 
(A) 7,5% 
(B) 8% 
(C) 10% 
(D) 5% 
(E) 2,5% 
RESOLUÇÃO: 
 Suponha que os dois tanques tem 100 litros de mistura. No tanque A temos 
25 litros de álcool (25%), e no tanque B temos 27,5 litros de álcool (27,5%). Ou seja, 
no tanque B temos 27,5 ± 25 = 2,5 litros de álcool a mais do que no tanque A. 
Percentualmente, o álcool do tanque B supera o álcool do tanque A em: 
P = 2,5 / 25 = 25 / 250 = 1 / 10 = 10/100 = 10% 
Resposta: A 
 
44. VUNESP ± TJ-SP ± 2010) Em um concurso para escrevente, 40% dos 
candidatos inscritos foram eliminados na prova de Língua Portuguesa, e a prova de 
Conhecimentos em Direito eliminou 40% dos candidatos restantes. Essas duas 
provas eliminaram, do total de candidatos inscritos, 
(A) 84%. 
(B) 80%. 
(C) 64%. 
(D) 46%. 
(E) 36%. 
RESOLUÇÃO: 
 Para facilitar o entendimento, imagine que o total era de 100 candidatos. 
Assim, os 40% eliminados na prova de Português correspondem a: 
Eliminados em Português = 40% x 100 
Eliminados em Português = 0,40 x 100 = 40 
 
Deste modo, restaram 60 candidatos. Deste 60 restantes, 40% foram 
eliminados em Direito: 
Eliminados em Direito = 40% x 60 
Eliminados em Direito = 0,40 x 60 = 24 
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 Assim, de cada 100 candidatos do concurso, foram eliminados 40 + 24 = 64. 
Isto é, foram eliminados 64 a cada 100, ou 64% dos candidatos. 
Resposta: C 
 
45. VUNESP ± TJ-SP ± 2007) Um investidor aplicou a quantia total recebida pela 
venda de um terreno, em dois fundos de investimentos (A e B), por um período de 
um ano. Nesse período, as rentabilidades dos fundos A e B foram, respectivamente, 
de 15% e de 20%, em regime de capitalização anual, sendo que o rendimento total 
recebido pelo investidor foi igual a R$ 4.050,00. Sabendo-se que o rendimento 
recebido no fundo A foi igual ao dobro do rendimento recebido no fundo B, pode-se 
concluir que o valor aplicado inicialmente no fundo A foi de 
(A) R$ 18.000,00. 
(B) R$ 17.750,00. 
(C) R$ 17.000,00. 
(D) R$ 16.740,00. 
(E) R$ 15.125,00. 
RESOLUÇÃO: 
 6HMD�³D´�R�YDORU�DSOLFDGR�QR�IXQGR�$�H�³E´�R�YDORU�DSOLFDGR�QR�IXQGR�%��6H�R�
primeiro fundo rendeu 15%, então o rendimento foi de: 
Rendimento fundo A = 15% x a = 0,15a 
 
 E se o segundo fundo rendeu 20%, então tivemos um ganho de: 
Rendimento fundo B = 20% x b = 0,20b 
 
 Foi dito que a soma dos ganhos nos fundos A e B é de 4050. Ou seja, 
0,15a + 0,20b = 4050 
 
 O enunciado também informa que o rendimento recebido no fundo A foi igual 
ao dobro do rendimento recebido no fundo B, ou seja: 
Rendimento fundo A = 2 x (Rendimento fundo B) 
0,15a = 2 x 0,20b 
0,15a = 0,40b 
15a = 40b 
a = 40b / 15 
a = 8b / 3 
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 Substituindo a por 8b/3 na equação anterior, temos: 
0,15 x (8b/3) + 0,20b = 4050 
0,05 x 8b + 0,20b = 4050 
0,4b + 0,2b = 4050 
0,6b = 4050 
b = 6750 reais 
 
 Logo, a = 8 x 6750 / 3 = 18000 reais. Este é o valor aplicado no fundo A. 
Resposta: A 
 
46. VUNESP ± TJ-SP ± 2007) Um comerciante estabeleceu que o seu lucro bruto 
(diferença entre os preços de venda e compra) na venda de um determinado 
produto deverá ser igual a 40% do seu preço de venda. Assim, se o preço unitário 
de compra desse produto for R$ 750,00, ele deverá vender cada unidade por 
(A) R$ 1.050,00. 
(B) R$ 1.100,00. 
(C) R$ 1.150,00. 
(D) R$ 1.200,00. 
(E) R$ 1.250,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Sendo L o lucro bruto, V o preço de venda e C o preço de compra de um 
produto, o enunciado nos disse que L é igual a 40% de V, ou seja: 
L = 40% x V 
L = 0,40V 
 
 O enunciaGR�WDPEpP�GL]�TXH�R�SUHoR�GH�FRPSUD�IRL�&� ������H�TXH�³/�p�LJXDO�
D�9�PHQRV�&´��$VVLP� 
Lucro = preço de venda ± preço de compra 
L = V ± C 
0,40V = V ± 750 
750 = V ± 0,40V 
750 = 0,60V 
V = 750 / 0,60 = 1250 reais 
Resposta: E 
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47. VUNESP ± TJ/SP ± 2004) Em uma loja, o metro de corda é vendido por R$ 
3,00, e o rolo com 60 metros de corda, por R$ 150,00. Três amigos compraram 
juntos um rolo de corda, ficando o primeiro com 1/4 do rolo, o segundo com 1/12 e o 
terceiro com o restante. Se a divisão dos gastos foi proporcional à quantidade de 
corda que cada um recebeu, aquele que comprou a maior quantidade de corda 
economizou, em relação à compra da mesma quantidade de corda por metro, o total 
de 
(A) R$ 18,00. 
(B) R$ 19,00. 
(C) R$ 20,00. 
(D) R$ 21,00. 
(E) R$ 22,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Se um amigo ficou com 1/4 do rolo e o outro com 1/12, o terceiro amigo ficou 
com o restante para completar 1 unidade do rolo. Chamando de X a proporção do 
rolo que ficou para o terceiro amigo, temos: 
1/4 + 1/12 + X = 1 
 
 Multiplicando todos os membros desta equação por 12, temos: 
3 + 1 + 12X = 12 
12X = 12 ± 3 ± 1 
X = 8 / 12 = 2/3 
 
 Observe que o terceiro amigo ficou com a maior proporção do rolo: 2/3 (que é 
maior que 1/4 e também que 1/12). Como o rolo tem 60 metros de corda, e ele ficou 
com 2/3, a quantidade de corda que ele ficou é: 
2/3 x 60 = 40 metros 
 
 E como o rolo custou 150 reais, ele pagou 2/3 deste valor: 
2/3 x 150 = 100 reais 
 
 Portanto, o terceiro amigo adquiriu 40 metros de rolo por 100 reais. Se ele 
tivesse comprado os mesmos 40 metros de rolo isoladamente, pagando 3 reais por 
metro, ele teria gasto: 
40 x 3 = 120 reais 
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 Portanto, ao comprar junto com os demais amigos, o terceiro amigo 
economizou 120 ± 100 = 20 reais. 
Resposta: C 
 
48. VUNESP ± TJ/MT ± 2008) Uma pessoa quer trocar duas notas de dez reais por 
moedas de 5, 10, 25 e 50 centavos de real. Se ela deseja receber moedas de todos 
esses valores, então o número mínimo de moedas a receber em troca será de 
(A) 40. 
(B) 41. 
(C) 42. 
(D) 43. 
(E) 44. 
RESOLUÇÃO: 
 Para ter o menor número possível de moedas, devemos pegar o máximo 
possível de moedas de maior valor, e o mínimo possível de moedas de baixo valor. 
Pegando R$19,50 em moedas de 50 centavos, são necessárias 39 moedas 
deste valor. 
 Para chegar aos 20 reais (duas notas de 10), são necessárias ainda 1 moeda 
de 25 centavos, 2 de 10 centavos e 1 de 5 centavos. Ao todo, são necessárias pelo 
menos: 
39 + 1 + 2 + 1 = 43 moedas 
Resposta: D 
 
49. VUNESP ± TJ/MT ± 2008) Uma pequena doceira bem sucedida comprou 1 800 
embalagens para seus docinhos. Do total de embalagens, inicialmente 1/6 foi 
utilizado para embalar brigadeiros e 2/5 para os beijinhos. Sabendo que para os 
cajuzinhos seriam necessárias ½ do total das embalagens compradas, a doceira 
observou que iriam faltar ___ embalagens. Assinale a alternativa que completa 
corretamente a lacuna do texto. 
(A) 120 
(B) 110 
(C) 100 
(D) 90 
(E) 80 
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RESOLUÇÃO: 
 Para embalar os brigadeiros foram utilizadas: 
Embalagens p/ brigadeiros = (1/6) x 1800 = 300 
 
 Para embalar os beijinhos foram utilizadas: 
Embalagens p/ beijinhos = (2/5) x 1800 = 720 
 
 Para embalar os cajuzinhos seriam necessárias: 
Embalagens p/ cajuzinhos = (1/2) x 1800 = 900 
 
 Portanto, ao todo seriam necessárias 300 + 720 + 900 = 1920 embalagens. 
Como foram compradas apenas 1800, faltaram 120 embalagens. 
Resposta: A 
 
50. VUNESP ± TJ/SP ± 2011) Na transmissão de um evento esportivo, comerciais 
dos produtos A, B e C, todos de uma mesma empresa, foram veiculados durante um 
tempo total de 140 s, 80 s e 100 s, respectivamente, com diferentes números de 
inserções para cada produto. Sabe-se que a duração de cada inserção, para todos 
os produtos, foi sempre a mesma, e a maior possível. Assim, o número total de 
comerciais dessa empresa veiculados durante a transmissão foi igual a 
(A) 32. 
(B) 30. 
(C) 24. 
(D) 18. 
(E) 16. 
RESOLUÇÃO: 
 Sendo T a duração de cada inserção, os números de inserções de cada 
anúncio são dados por 140/T, 80/T e 100/T. Para que a duração seja a maior 
possível, é preciso que T seja o máximo divisor comum entre 140, 80 e 100. 
Fatorando esses números, temos: 
140 = 22 x 5 x 780 = 24 x 5 
100 = 22 x 52 
 Logo, MDC(80,100,140) = 22 x 5 = 20. Assim, o tempo de duração de cada 
inserção foi T = 20 segundos. Deste modo, o número de inserções de cada 
comercial foi: 
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Inserções de A = 140/20 = 7 
Inserções de B = 80/20 = 4 
Inserções de C = 100/20 = 5 
 
 Ao todo, tivemos 16 comerciais veiculados. 
Resposta: E 
 
51. VUNESP ± TJ/SP ± 2011) Ao longo de um dia, um supermercado fez vários 
anúncios dos produtos A, B e C, todos eles com o mesmo tempo de duração. Os 
tempos totais de aparição dos produtos A, B e C foram, respectivamente, iguais a 
90s, 108s e 144s. Se a duração de cada anúncio, em segundos, foi o maior 
possível, então, a soma do número de aparições dos três produtos, nesse dia, foi 
igual a 
a) 14 
b) 15 
c) 17 
d) 18 
e) 19 
RESOLUÇÃO: 
 Sendo T a duração de cada comercial, o número de aparições de cada um é 
dado por 90/T, 108/T e 144/T respectivamente. Para que a duração de cada anúncio 
seja a maior possível (T seja o maior possível), é preciso que T seja o máximo 
divisor comum de 90, 108 e 144. Fatorando esses números: 
90 = 2 x 32 x 5 
108 = 22 x 33 
144 = 24 x 32 
 
 Assim, MDC(90,108,144) = 2 X 32 = 18. Portanto, a duração de cada anúncio 
é T = 18 segundos. O número de aparições é: 
Aparições de A = 90/18 = 5 
Aparições de B = 108/18 = 6 
Aparições de C = 144/18 = 8 
 
 Ao todo, temos 19 aparições. 
Resposta: E 
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52. VUNESP ± TJ/SP ± 2004) A cobertura de um piso retangular de 12 x 18 metros 
será feita com placas quadradas de lado igual a L metros. Se L é um número 
natural, para que haja uma cobertura perfeita do piso, sem cortes ou sobreposições 
de placas, é necessário e suficiente que 
(A) L seja um número par. 
(B) L divida 12. 
(C) L divida 18. 
(D) L divida o MDC (12,18). 
(E) L divida o MMC (12,18). 
RESOLUÇÃO: 
 Sendo L o lado do quadrado, no sentido da largura da sala caberão 12/L 
placas, e no sentido do comprimento caberão 18/L. Portanto, L deve ser um divisor 
comum de 12 e 18. Se ele for o máximo divisor comum, será utilizado o menor 
número possível (número suficiente) de placas. 
Resposta: D 
 
53. VUNESP ± TJ/SP ± 2006) Certo plano de saúde emite boletos para pagamento 
bancário com as seguintes condições: 
Pagamento até o vencimento: x 
Pagamento após a data de vencimento: 
x + juros + multa 
Um conveniado desse plano de saúde pagaria R$ 1.198,00 se tivesse feito o 
pagamento até o vencimento. Porém, houve alguns dias de atraso, o que acarretou 
uma multa de 10% e juros de R$ 0,60 por dia de atraso. Como ele pagou um 
acréscimo de R$ 124,00, o total de dias em atraso foi igual a 
(A) 3. 
(B) 4. 
(C) 5. 
(D) 6. 
(E) 7. 
RESOLUÇÃO: 
 O valor da multa é de 10% multiplicado pelo valor inicialmente devido (1198 
reais), ou seja, 10% x 1198 = 119,8 reais. Como o acréscimo total foi de 124 reais, 
então a parcela devida aos juros é de: 
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Juros = 124 ± 119,8 = 4,2 reais 
 
 Os juros são calculados multiplicando o número de dias de atraso (d) pelo 
valor de 0,60 reais. Assim, 
4,20 = d x 0,60 
d = 7 dias 
 
 O tempo total de atraso foi de 7 dias. 
Resposta: E 
 
54. VUNESP ± TJ/SP ± 2006) O gráfico I mostra como seria, inicialmente, a 
distribuição porcentual da verba publicitária total de uma empresa para 2007, sendo 
que, somente para a TV aberta, estavam destinados 9 milhões de reais. 
Posteriormente, a diretoria reformulou conceitos e estratégias e estabeleceu uma 
nova distribuição porcentual da verba total conforme mostra o gráfico II, sendo que 
não houve alteração no valor total da verba publicitária inicialmente prevista. Com a 
nova distribuição, a soma dos valores destinados à publicidade na Internet e na Tv a 
cabo superou a soma dos valores inicialmente previstos para esse fim em 
 
(A) R$ 1,56 milhão. 
(B) R$ 1,78 milhão. 
(C) R$ 1,95 milhão. 
(D) R$ 2,12 milhões. 
(E) R$ 2,25 milhões. 
RESOLUÇÃO: 
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 Observe, no gráfico I, que os 9 milhões destinados à TV aberta 
correspondiam a 60% do total. Deste modo, o valor total pode ser obtido assim: 
9.000.00060%
Total
 
15.000.000Total 
 
 Ainda no gráfico I, os percentuais destinados à internet e tv a cabo somavam 
1,7% + 2,3% = 4% do total. No gráfico II, vemos que os percentuais da internet e tv 
a cabo passaram a somar 6% + 11% = 17% do total. Assim, houve um aumento em 
relação ao inicialmente previsto correspondente a 13% do total. Esse aumento 
corresponde, em valores absolutos, a: 
 
Aumento da verba de internet e tv a cabo = 13% x 15.000.000 = 1.950.000 reais 
 
 Assim, houve um aumento de 1,95 milhão de reais em relação à previsão 
inicial. 
Resposta: C 
 
55. VUNESP ± TJ/SP ± 2008) Do preço de venda de um determinado produto, 25% 
correspondem a impostos e comissões pagos pelo lojista. Do restante, 60% 
correspondem ao preço de custo desse produto. Se o preço de custo desse produto 
é de R$ 405,00, então, o seu preço de venda é igual a 
(A) R$ 540,00. 
(B) R$ 675,00. 
(C) R$ 800,00. 
(D) R$ 900,00. 
(E) R$ 1.620,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Seja V o preço de venda do produto. Como 25% de V corresponde a 
impostos e comissões, então sobram 75% de V. Deste restante, 60% correspondem 
ao custo. Assim, 
Custo = 60% x (75% x V) = 0,45V 
 
 Como o custo é de 405 reais, então 
405 = 0,45V 
V = 900 reais 
Resposta: D 
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56. VUNESP ± TJ/SP ± 2011) Uma pessoa pagou 30% do valor total de uma dívida 
e o restante dela irá pagar em 30 dias, sem acréscimo. Se R$ 3.500,00 
correspondem a 20% do valor restante a ser pago, então é correto afirmar que, ao 
pagar 30% do valor da dívida, a pessoa desembolsou 
(A) R$ 5.200,00. 
(B) R$ 6.800,00. 
(C) R$ 7.500,00. 
(D) R$ 7.850,00. 
(E) R$ 8.200,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Seja D o valor total da dívida. Pagando 30% de D, restam 70% de D a serem 
pagos. Sabemos que 3500 reais correspondem a 20% deste restante, ou seja: 
3500 = 20% x (70% x D) 
3500 = 0,14D 
D = 25000 reais 
 
 Assim, pagando 30% da dívida, a pessoa desembolsa 0,30 x 25000 = 7500 
reais. 
Resposta: C 
 
57. VUNESP ± TJ/SP ± 2011) No 2º semestre, a receita líquida (RL) de certa 
empresa subiu 45% em relação à do semestre anterior, totalizando 725 milhões, 
enquanto o lucro líquido (LL) teve uma queda de 15%, em relação ao do semestre 
anterior, totalizando 85 milhões. Desse modo, é correto afirmar que, no semestre 
anterior, a razão LL/RL foi igual a 
a) 1/6 
b) 1/5 
c) 1/4 
d) 3/8 
e) 2/5 
RESOLUÇÃO: 
 Seja RL1 a receita líquida no primeiro semestre,e LL1 o lucro líquido no 
primeiro semestre. 
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 No segundo semestre, a receita subiu 45% em relação a RL1, passando a 
ser de 145% x RL1. Este valor totalizou 725 milhões, portanto: 
145% x RL1 = 725.000.000 
RL1 = 500.000.000 reais 
 
 Da mesma forma, no segundo semestre o lucro caiu 15% em relação a LL1, 
passando a ser de 85% x LL1. Como este valor somou 85 milhões, então: 
85% x LL1 = 85.000.000 
LL1 = 100.000.000 reais 
 
 Desta forma, no primeiro semestre tivemos: 
LL/RL = 100.000.000/500.000.000 = 1/5 
Resposta: B 
 
58. VUNESP ± TJ/MT ± 2008) Uma concessionária de automóveis de certa marca 
queria vender um carro zero quilômetro que acabara de ficar fora de linha pelo qual 
ninguém estava muito interessado. Primeiro, tentou vendê-lo com um desconto de 
5%, mas ninguém o comprou. Em seguida, experimentou vendê-lo com um 
desconto de 10% sobre o preço do primeiro saldo. Como continuou encalhado, 
finalmente fez um desconto de 20% sobre o segundo preço de saldo. Agora, 
apareceu uma pessoa que o comprou por vinte mil e quinhentos e vinte reais. 
Então, o preço inicial do carro era de 
(A) R$ 25 500,00. 
(B) R$ 27 000,00. 
(C) R$ 28 500,00. 
(D) R$ 29 000,00. 
(E) R$ 30 000,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Seja P o preço inicial do carro. Ao reduzir seu preço em 5%, a loja passou a 
oferecê-lo por 95%xP. A seguir, foi feita uma redução de 10% em relação ao preço 
anterior, sobrando 90% do preço anterior, ou seja: 
Preço após segundo desconto = 90% x (95%xP) 
 
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 Após isso, foi dado mais um desconto de 20% em relação ao anterior, de 
modo que a loja passou a cobrar apenas 80% do preço anterior: 
Preço após o terceiro desconto = 80% x (90% x 95% x P) 
 
 Como o preço após o terceiro desconto foi de 20520 reais, então 
20520 = 80% x (90% x 95% x P) 
20520 = 0,684 x P 
P = 30000 reais 
Resposta: E 
 
59. CESPE ± TRE/ES ± 2011) Com relação a problemas aritméticos e matriciais, 
cada um dos próximos itens apresenta uma situação hipotética, seguida de uma 
assertiva a ser julgada. 
( ) Se em um município que tem 2.500 eleitores, a votação dura 10 horas, cada 
seção eleitoral possui apenas uma urna, todos os eleitores votam e cada eleitor leva 
1 minuto e meio para votar, então, nesse município serão necessárias, no mínimo, 7 
seções eleitorais. 
( ) Se, em um município, as seções eleitorais X, Y e Z têm, juntas, 1.500 eleitores; 
os tempos médios de votação nessas seções são 1 minuto e 30 segundos, 2 
minutos e 1 minuto por eleitor, respectivamente; o tempo médio de votação nas três 
seções é de 2.175 minutos; e o número de eleitores da seção Y é igual à metade da 
soma do número de eleitores das seções X e Z, então, nesse caso, a seção eleitoral 
que tem o maior número de eleitores é a X. 
RESOLUÇÃO: 
( ) Se em um município que tem 2.500 eleitores, a votação dura 10 horas, cada 
seção eleitoral possui apenas uma urna, todos os eleitores votam e cada eleitor leva 
1 minuto e meio para votar, então, nesse município serão necessárias, no mínimo, 7 
seções eleitorais. 
 Se um eleitor gasta 1,5 minuto, então 2500 eleitores gastarão, ao todo, 
Tempo total = 1,5 x 2500 = 3750 minutos = 62,5 horas 
 
 Como o tempo total da eleição é de 10 horas, precisaremos de distribuir os 
eleitores em pelo menos 7 seções eleitorais para que seja possível que todos 
votem. Item CORRETO. 
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( ) Se, em um município, as seções eleitorais X, Y e Z têm, juntas, 1.500 eleitores; 
os tempos médios de votação nessas seções são 1 minuto e 30 segundos, 2 
minutos e 1 minuto por eleitor, respectivamente; o tempo médio de votação nas três 
seções é de 2.175 minutos; e o número de eleitores da seção Y é igual à metade da 
soma do número de eleitores das seções X e Z, então, nesse caso, a seção eleitoral 
que tem o maior número de eleitores é a X. 
 Sejam x, y e z o número de eleitores das seções X, Y e Z , respectivamente. 
Sabemos que: 
x + y + z = 1500 
y = (x + z) / 2 Æ x + z = 2y 
 
Assim, 
2y + y = 1500 Æ y = 500 eleitores 
 
 Além disso, podemos dizer que x + z = 1000. 
 
 O tempo total de votação em cada seção é dado pela multiplicação do tempo 
médio de votação pelo número de eleitores. Assim: 
1,5x + 2y + 1z = 2175 
0,5x + x + 2x500 + z = 2175 
0,5x + (x + z) + 1000 = 2175 
0,5x + 1000 + 1000 = 2175 
x = 350 
z = 1000 ± x = 1000 ± 350 = 650 
 
 Assim, a seção com maior número de eleitores é Z. Item ERRADO. 
Resposta: C E 
 
60. CESPE ± TRE/ES ± 2011) Apesar da pressão sobre os parlamentares para 
diminuir ou não aprovar o percentual de reajuste dos seus próprios salários, 
deputados e senadores aprovaram proposta de aumento de 62%. Com isso, eles 
passarão a ganhar R$ 26,7 mil, fora os valores de verbas de gabinete, 
indenizatórias, de cotas de passagens, telefone e despesas médicas, que, 
somados, ultrapassam R$ 100 mil por mês. 
Internet: <www.correioweb.com.br> (com adaptações). 
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Tendo como referência o texto acima, julgue os itens que se seguem. 
( ) O salário dos parlamentares, antes do reajuste referido no texto, era superior a 
R$ 16,5 mil. 
RESOLUÇÃO: 
 Seja S o salário anterior ao reajuste. Sabemos que S mais 62% de S 
corresponde a 26,7 mil reais. Isto é, 
S + 62%S = 26700 
1,62S = 26700 
S = 16481,48 reais 
 
 Assim, o salário era INFERIOR a 16,5 mil reais. Item ERRADO. 
Resposta: E 
 
61.VUNESP ± TJ/SP ± 2015) Um determinado recipiente, com 40% da sua 
capacidade total preenchida com água, tem massa de 428 g. Quando a água 
preenche 75% de sua capacidade total, passa a ter massa de 610 g. A massa desse 
recipiente, quando totalmente vazio, é igual, em gramas, a 
(A) 338. 
(B) 208. 
(C) 200. 
(D) 182. 
(E) 220. 
RESOLUÇÃO: 
 Observe que de 40% da capacidade total para 75% desta mesma capacidade 
total, temos uma diferença que corresponde a 75% - 40% = 35% da capacidade 
total. Essa mesma diferença corresponde a 610g - 428g = 182g. Portanto, 
podemos dizer que 35 por cento da capacidade total corresponde a 182 gramas. 
Com uma regra de três simples podemos calcular a quantos gramas corresponde a 
40 por cento da capacidade total: 
35% -------------- 182g 
40% --------------- P 
 
35%xP = 40%x182 
P = 40%x182 / 35% 
P = 0,40x182 /0,35 
P = 208g 
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 Portanto, repare que 40 por cento da capacidade total corresponde a 208 
gramas de água. Como nesta situação a massa total (água + massa do recipiente) 
é de 428 gramas, podemos dizer que a massa do recipiente é simplesmente 428 - 
208 = 220g. 
Resposta: E 
 
62.VUNESP± TJ/SP ± 2015) Para a montagem de molduras, três barras de 
alumínio deverão ser cortadas em pedaços de comprimento igual, sendo este o 
maior possível, de modo que não reste nenhum pedaço nas barras. Se as barras 
medem 1,5 m, 2,4 m e 3 m, então o número máximo de molduras quadradas que 
podem ser montadas com os pedaços obtidos é 
(A) 3. 
(B) 6. 
(C) 4. 
(D) 5. 
(E) 7. 
RESOLUÇÃO: 
 Devemos encontrar um tamanho de barra que seja divisor de 1,5m, 2,4m e 
3m. Para isso, é mais interessante trabalharmos com decimetros, ficando com 
15dm, 24dm e 30dm respectivamente. O maior divisor comum entre esses três 
números é 3, ou seja, 3dm. Portanto, esse é o maior comprimento possível para 
cada uma das barras. A quantidade de barras que vamos conseguir é dada pela 
divisão dos comprimentos de cada uma das barras originais (15dm, 24dm e 30dm) 
pelo comprimento das barras menores (3dm). Respectivamente, teremos 5, 8 e 10 
barras menores, totalizando 23 barras menores. Para formar cada moldura 
quadrada, devemos utilizar 4 dessas 23 barras menores. A partir de 23 barras 
menores conseguimos formar 5 conjuntos com quatro barras menores, isto é, 5 
molduras, sobrando exatamente três barras menores. 
Resposta: D 
 
 
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63. FCC ± TRT/PR ± 2010) A tabela abaixo apresenta as frequências das pessoas 
que participaram de um programa de recuperação de pacientes, realizado ao longo 
de cinco dias sucessivos. 
 
Considerando que cada um dos participantes faltou ao programa em exatamente 2 
dias, então, relativamente ao total de participantes, a porcentagem de pessoas que 
faltaram no terceiro dia foi: 
a) 40%. 
b) 38,25%. 
c) 37,5%. 
d) 35,25%. 
e) 32,5%. 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que o total de presenças na lista é de 79+72+75+64+70=360. 
Seja X o número de participantes do programa. Se todos tivessem ido todos 
os 5 dias, teríamos X+X+X+X+X = 5X presenças. Dado que cada um dos X 
participantes tem 2 faltas, temos 2X faltas ao todo. Portanto, o total de presenças a 
ser verificado somando as listas é de 5X ± 2X = 3X. Isto é, 
3X = 360 
X = 360 / 3 
X = 120 participantes 
 
No terceiro dia, 75 pessoas compareceram, ou seja, o número de faltas foi de 
120 ± 75 = 45. Em relação ao total de participantes (120), as 45 faltas representam: 
45
0,375 37,5%
120
 
Resposta: C 
 
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64. FCC ± CNMP ± 2015) Renato recebeu um lote de 6.325 peças idênticas que 
devem ser organizadas em grupos de 73 peças. O menor número de peças que ele 
terá que descartar do lote para que consiga fazer o maior número possível de 
grupos é igual a 
(A) 47. 
(B) 38. 
(C) 33. 
(D) 26. 
(E) 13. 
RESOLUÇÃO: 
 Dividindo 6.325 por 73, você encontrará o resultado 86 e o resto 47. Isto 
significa que, se descartarmos este resto (47), será possível dividir o restante em 86 
grupos de 73 peças. 
Resposta: A 
 
65. FCC ± CNMP ± 2015) Um livro foi impresso de modo que seu texto ocupou 420 
páginas. Cada página foi impressa com 30 linhas. Para uma versão mais compacta 
foi planejado que em cada página seriam impressas 35 linhas. Desta maneira, a 
diferença entre o número de páginas da primeira versão e o número de páginas da 
versão compacta é igual a 
(A) 60. 
(B) 80. 
(C) 50. 
(D) 90. 
(E) 30. 
RESOLUÇÃO: 
 O total de linhas do livro é: 
Total de linhas = 420 páginas x 30 linhas por página 
Total de linhas = 420 x 30 = 12.600 linhas 
 
 Caso cada página tenha 35 linhas, o total de páginas para acomodar as 
12.600 linhas será igual a: 
Novo total de páginas = 12.600 / 35 = 360 páginas 
 
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 A diferença entre o número de páginas da primeira versão (420) e da versão 
compacta (360) é igual a 420 - 360 = 60 páginas. 
Resposta: A 
 
66. FCC ± CNMP ± 2015) O resultado da expressão numérica 
� � � � � �1 2 1 3 11 10 3 9 4 5. 6 13 . . 4 2 . . 1 11 . .
3 3 5 5 4 4 7 7 9 9
§ · § · § · § · § ·� � � � � � � � � � � �¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ 
é igual a 
(A) - 4. 
(B) 8. 
(C) - 6. 
(D) 9. 
(E) - 12. 
RESOLUÇÃO: 
1 2 1 3 11 10 3 9 4 5
.( 6 13). .( 4 2). .( 1 11). .
3 3 5 5 4 4 7 7 9 9
§ · § · § · § · § ·� � � � � � � � � � � � ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ 
1 2 1 6 9
.7. .( 6). .10. .
3 5 4 7 9
§ · § · § · § · § ·� � � � � ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ 
� �1 2 1 6.7. .( 6). .10. . 1
3 5 4 7
§ · § · § · § ·� � � � � ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹ © ¹ © ¹ 
� �1 2 1 6.7. .(6). .10. . 1
3 5 4 7
§ · § · § · § · � ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹ © ¹ © ¹ 
� �1 2 1 6.1. .(2). .10. . 1
1 5 4 1
§ · § · § · § · � ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹ © ¹ © ¹ 
� �1 1 1 6.1. .(1). .10. . 1
1 5 1 1
§ · § · § · § · � ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹ © ¹ © ¹ 
� �60 1
5
§ · � ¨ ¸© ¹ 
� � � �12 . 1� 
12� 
Resposta: E 
 
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67. FCC ± CNMP ± 2015) Um novo automóvel em teste percorre 7 km com um litro 
de gasolina comum. Já com gasolina aditivada este mesmo automóvel percorre 10,5 
km com um litro. Sabe-se que o preço por litro de gasolina comum é R$ 2,80 e o 
preço por litro da gasolina aditivada é R$ 3,10. Comparando-se a despesa com 
gasolina que esse novo automóvel em teste consumirá em um percurso de 525 km, 
a economia, em reais, ao ser utilizada a gasolina aditivada em relação ao uso da 
gasolina comum é, aproximadamente, igual a 
(A) 0. 
(B) 45. 
(C) 55. 
(D) 63. 
(E) 48. 
RESOLUÇÃO: 
 No caso da gasolina comum, temos: 
7 quilômetros --------- 1 litro 
525 quilômetros ---- N litros 
 
7 x N = 525 x 1 
N = 525 / 7 
N = 75 litros 
 
Valor gasto com gasolina comum = 75 x 2,80 = 210 reais 
 
 No caso da gasolina aditivada: 
10,5 quilômetros --------- 1 litro 
525 quilômetros ---- N litros 
 
10,5 x N = 525 x 1 
N = 525 / 10,5 
N = 50 litros 
 
Valor gasto com gasolina comum = 50 x 3,10 = 155 reais 
 
 Assim, a economia com gasolina aditivada é de 210 ± 155 = 55 reais. 
Resposta: C 
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68. FCC ± CNMP ± 2015) O treinamento de um corredor é composto por 4 etapas. 
Em geral, cada uma dessas 4 etapas é de 1.000 m. No entanto, para aprimorar sua 
forma física, em determinado dia o treinamento foi alterado de modo que a partir da 
2a etapa o corredor percorreu 10% a mais do que havia percorrido na etapa 
anterior. Desta maneira, em relação aos treinamentos usuais, o total da distância 
percorrida neste dia de treinamento, também realizado em 4 etapas, corresponde a 
um acréscimo de, aproximadamente, 
(A) 10%. 
(B) 18%. 
(C) 30%. 
(D) 16%. 
(E) 12%. 
RESOLUÇÃO: 
 Na segunda etapa o atleta percorreu 1.000 x (1+10%)= 1.000 x 1,10 = 1.100 
metros. Na terceira etapa ele percorreu 1.100 x 1,10 = 1.210 metros. Na quarta 
etapa ele percorreu 1.210 x 1,10 = 1.331 metros. 
 Ao todo ele percorreu 1.000 + 1.100 + 1.210 + 1.331 = 4.641 metros. Como 
em regra ele percorreria 4x1.000 = 4.000 metros, neste dia ele percorreu 
4.641 - 4.000 = 641 metros a mais. Percentualmente, temos um acréscimo de: 
P = 641 / 4.000 = 16,025% 
Resposta: D 
 
69. FCC ± CNMP ± 2015) Uma empresa multinacional possui 420 funcionários 
(homens e mulheres) dos quais 
3
7
 são homens e, destes, a metade são brasileiros. 
Sabendo que 6,25% das funcionárias mulheres dessa empresa são brasileiras, 
então, a porcentagem de funcionários (homens e mulheres) não brasileiros dessa 
empresa é de 
(A) 78%. 
(B) 64%. 
(C) 75%. 
(D) 27%. 
(E) 25%. 
RESOLUÇÃO: 
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 Os homens são 3/7 dos 420 funcionários, ou seja, 
Homens = 420 x 3/7 = 60 x 3 = 180 
 
 As mulheres são os demais funcionários: 
Mulheres = 420 ± 180 = 240 
 
 Metade dos homens são brasileiros, logo a outra metade deles não é 
formada por brasileiros: 
Homens não brasileiros = 180 / 2 = 90 
 
 6,25% das mulheres são brasileiras, portanto 100% = 6,25% = 93,75% das 
mulheres não são brasileiras: 
Mulheres não brasileiras = 93,75% x 240 = 0,9375 x 240 = 225 
 
 Logo, o total de não brasileiros é 90 + 225 = 315. Percentualmente, eles 
representam 315 / 420 = 0,75 = 75% do total de funcionários. 
Resposta: C 
 
70. FCC ± CNMP ± 2015) Quanto tempo faz que você não vê ou usa uma moeda de 
um centavo? Embora não sejam fabricadas desde 2004, elas permanecem em 
circulação e, conforme apurou o Jornal do Comércio junto ao Banco Central, não há 
previsão de que sejam retiradas do mercado. São 1,2 bilhão de unidades em 
circulação. 
(Adaptado de: Jornal do Comércio, Porto Alegre, 28/02/2014) 
De acordo com o dado fornecido no texto, se o Banco Central decidisse substituir o 
total de moedas de um centavo em circulação por moedas de cinco centavos 
perfazendo o mesmo valor, em reais, das atuais moedas de um centavo em 
circulação, seria necessário um total de moedas de cinco centavos igual a 
(A) 24 milhões. 
(B) 24 bilhões. 
(C) 2,4 bilhões. 
(D) 60 milhões. 
(E) 240 milhões. 
RESOLUÇÃO: 
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 Cada 5 moedas de um centavo devem ser substituídas por 1 moeda de cinco 
centavos. Assim, temos a regra de três 
5 moedas de um centavo ------------- 1 moeda de cinco centavos 
1.200.000.000 moedas de um centavo ---- N moedas de cinco centavos 
 
5 x N = 1.200.000.000 x 1 
N = 1.200.000.000 / 5 
N = 240.000.000 moedas de cinco centavos 
Resposta: E 
 
71. FCC ± CNMP ± 2015) Dois amigos fizeram provas em concursos diferentes. 
Mário acertou 42 das 60 questões do concurso que prestou e Lúcio acertou 64 das 
80 questões de seu concurso. Para superar o resultado de Lúcio em 5 pontos 
percentuais, o número de questões que Mário deveria ter acertado, além das 42 que 
acertou, é igual a 
(A) 15. 
(B) 10. 
(C) 7. 
(D) 9. 
(E) 3. 
RESOLUÇÃO: 
 Para sabermos o percentual de acertos de Lúcio, basta dividirmos os acertos 
(64) pelo total de questões (80): 
Percentual de Lúcio = 64 / 80 = 8 / 10 = 0,80 = 80% 
 
 Queremos que Mário supere em 5 pontos percentuais, ou seja, queremos 
que Mário acerte 85% de sua prova. Como sua prova tem 60 questões, podemos 
dizer que: 
 
Percentual desejado de Mário = Número de acertos desejado / total de questões 
85% = Número de acertos desejado / 60 
Número de acertos desejado = 85% x 60 
Número de acertos desejado = 0,85 x 60 
Número de acertos desejado = 51 questões 
 
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 Como Mário acertou apenas 42, ele deveria acertar mais 51 - 42 = 9 
questões para atingir o percentual desejado pelo enunciado. 
Resposta: D 
 
72. FGV ± DPE/MT ± 2015) Sabe-se que o número 3 2
4 3
x x� é um número inteiro. 
Sobre o número x conclui-se que 
(A) é um número par mas não necessariamente múltiplo de 3. 
(B) é um múltiplo de 3 mas não necessariamente um número par. 
(C) é negativo. 
(D) é um múltiplo de 6. 
(E) é um múltiplo de 4 mas não necessariamente um múltiplo de 6. 
RESOLUÇÃO: 
 Observe que: 
3x/4 ± 2x/3 = 
9x/12 ± 8x/12 = 
x/12 
 
 Note que 12 = 2x2x3. Assim, como x/12 é um número inteiro, então x deve 
ser um múltiplo de 12. Como 12 é 2x2x3, podemos dizer que x deve ser também 
múltiplo de 2, de 3, de 4 e de 6 (que são divisores de 12). 
Resposta: D 
 
73. FGV ± DPE/MT ± 2015) Em um canil há 42 cães adultos, dos quais metade são 
fêmeas. Um terço das fêmeas teve filhotes e, em média, cada uma destas fêmeas 
teve cinco filhotes. O número total de cães, adultos e filhotes, nesse canil é 
(A) 70. 
(B) 77. 
(C) 84. 
(D) 91. 
(E) 98. 
RESOLUÇÃO: 
 Sabemos que metade dos 42 cães adultos são fêmeas, portanto podemos 
dizer que temos 21 fêmeas adultas. Um terço dessas fêmeas, ou 21x(1/3) = 7 
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fêmeas, possuem 5 filhotes em média cada uma, totalizando 7x5 = 35 filhotes. O 
total de cães nesse canil é igual a 42 + 35 = 77. 
Resposta: B 
 
74. FGV ± DPE/MT ± 2015) O cartão de crédito usado por João cobra 10% de juros 
ao mês. Certa época, João recebeu a fatura do cartão no valor de R$ 520,00 e, na 
data do pagamento, depositou apenas 20% desse valor. Durante os 30 dias 
seguintes João fez apenas uma compra com esse cartão no valor de R$ 66,40 e 
pagou integralmente a próxima fatura, liquidando sua dívida com o cartão. O valor 
depositado por João para liquidar sua dívida com o cartão foi de 
(A) R$ 482,40. 
(B) R$ 489,04. 
(C) R$ 524,00. 
(D) R$ 534,40. 
(E) R$ 541,04. 
RESOLUÇÃO: 
 Como João pagou 20 por cento da fatura ele ficou com uma dívida 
correspondente a 80 por cento da fatura, ou seja, 80%x520 = 0,80x520 = 416 reais. 
Ao longo do mês essa dívida foi acrescida em 10 por cento, chegando a 
416x(1+10%) = 416x1,10 = 457,60 reais. Somando os 66,40 reais gastos no mês, 
ficamos com uma dívida de 457,60 + 66,40 = 524,00 reais. Este é o valor que deve 
ser pago para liquidar a dívida com o cartão. 
Resposta: C 
*************************** 
Fim de aula. Até o nosso próximo encontro! 
Abraço, 
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3. LISTA DAS QUESTÕES APRESENTADAS NA AULA 
1. FCC ± TRT/4ª ± 2011) Dos números que aparecem nas alternativas, o que mais 
se aproxima do valor da expressão 2 2(0,619 0,599 ) 0,75� u é: 
a) 0,0018 
b) 0,015 
c) 0,018 
d) 0,15 
e) 0,18 
 
2. CEPERJ ± DEGASE/RJ ± 2012) Uma quantidade X é dadapela expressão: 
 
Desse modo, X é igual a: 
A) 25,2527456 
B) 26,3939392 
C) 27,0000000 
D) 36,0000000 
E) 36,3020293 
 
3. FCC ± TRT/4ª ± 2011) Considere o número inteiro X1Y, em que X e Y 
representam os algarismos das centenas e das unidades, respectivamente. 
Sabendo que 31692 : (X1Y) = 76, a soma X+Y é um número: 
A)Quadrado perfeito 
B)Menor que 10 
C)Primo 
D)Divisível por 6 
E)Múltiplo de 4 
 
4. FCC ± TRT/22ª ± 2010) Seja P o produto de um número inteiro e positivo N por 9. 
Se N tem apenas três dígitos e P tem os algarismos das unidades, dezenas e 
centenas iguais a 4, 6 e 3, respectivamente, então P + N é igual a: 
A)6480 
B)6686 
C)6840 
D)5584 
E)5960 
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5. FCC ± TRT/24ª ± 2011) Nicanor deveria efetuar a divisão de um número inteiro e 
positivo N, de três algarismos, por 63; entretanto, ao copiar N, ele enganou-se, 
invertendo as posições dos dígitos extremos e mantendo o seu dígito central. Assim, 
ao efetuar a divisão do número obtido por 63, obteve quociente 14 e resto 24. 
Nessas condições, se q e r são, respectivamente, o quociente e o resto da divisão 
de N por 63, então: 
A) q + r = 50. 
B) r < 40. 
C) q < 9. 
D) r é múltiplo de 4. 
E) q é um quadrado perfeito. 
 
6. FCC ± TRT/01ª ± 2011) Se X é um número inteiro positivo tal que 
1 1 1 1
2 3 7
E
x
 � � � seja um número inteiro, então: 
A) Existem infinitas possibilidades distintas para x 
B) X é múltiplo de 12 
C) X é maior que 84 
D) X tem oito divisores 
E) E pode ser maior que 2 
 
7. FCC ± TRT/1ª ± 2011) Em uma campanha de doação de livros, x pessoas 
receberam 4 livros, e y pessoas receberam 3 livros, sendo x e y números inteiros e 
positivos. Se foram distribuídos 100 livros, então, as possibilidades diferentes para x 
+ y são em número de: 
A) 6 
B) 7 
C) 8 
D) 9 
E) 10 
 
 
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8. FCC ± TRT/22ª ± 2010) Em julho de 2010, dois Analistas Judiciários receberam 
um lote com X licitações para emitir pareceres. No mês seguinte, indagados sobre 
quantos pareceres de tal lote haviam emitido em julho, eles responderam: 
$QDEHOD��³�����GR�WRWDO�GDV�OLFLWDo}HV�UHFHEHUDP�PHX�SDUHFHU´ 
%HQLYDOGR�� ³$�TXDQWLGDGH�GH� OLFLWDo}HV�HP�TXH�GHL�PHX�SDUHFHU�FRUUHVponde a 3/5 
GR�Q~PHUR�GH�SDUHFHUHV�HPLWLGRV�SRU�$QDEHOD´�� 
Sabendo que cada licitação recebeu o parecer de apenas um desses Analistas e 
que a soma das quantidades que cada um emitiu era um número compreendido 
entre 100 e 150, então: 
A) X < 50 
B) 50 < X < 100 
C) 100 < X < 150 
D) 150 < X < 200 
E) X > 200 
 
9. FCC ± TRT/9ª ± 2010) Para estabelecer uma relação entre os números de 
funcionários de uma unidade do Tribunal Regional do Trabalho, que participaram de 
um curso sobre Controle e Prevenção de Doenças, foi usada a expressão: 
 
em que h e m representam as quantidades de homens e de mulheres, 
respectivamente. Sabendo que o total de participantes do curso era um número 
compreendido entre 100 e 200, é correto afirmar que: 
a) h+m = 158 
b) h-m = 68 
c) 70 < h < 100 
d) 50 < m < 70 
e) m.h < 4000 
 
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10. FCC ± TRT/4ª ± 2011) Considere que Asdrúbal tem um automóvel que, em 
média, percorre 14 quilômetros de estrada com 1 litro de gasolina. Certo dia, após 
ter percorrido 245 quilômetros de uma rodovia, Asdrúbal observou que o ponteiro do 
marcador da gasolina, que anteriormente indicava a ocupação de 
5
8
da capacidade 
do tanque, passara a indicar uma ocupação de 
1
3
. Nessas condições, é correto 
afirmar que a capacidade do tanque de gasolina desse automóvel, em litros, é: 
a) 50 
b) 52 
c) 55 
d) 60 
e) 65 
 
11. FCC ± TRT/15ª ± 2009) Do total de projetos que estavam em um arquivo, sabe-
se que: 
2
5
deveriam ser analisados e 
4
7
referiam-se ao atendimento ao público 
interno. Com essa informação, é correto concluir que o total de projetos existentes 
nesse arquivo NUNCA poderia ser um número compreendido entre 
(A) 10 e 50 
(B) 60 e 100 
(C) 110 e 160 
(D) 150 e 170 
(E) 180 e 220 
 
12. FCC ± TRT/18ª ± 2013) A versão atual de certo automóvel consome 0,15 litros 
de gasolina para cada quilômetro rodado. O fabricante anunciou que a nova versão 
desse carro, a ser lançada no próximo ano, terá uma redução de 20% no consumo 
de gasolina em relação à versão atual. De acordo com a informação do fabricante, 
para rodar 200 quilômetros, a nova versão desse automóvel consumirá um total de 
litros de gasolina igual a 
(A) 20. 
(B) 24. 
(C) 28. 
(D) 30. 
(E) 36. 
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13. FCC ± TRT/6ª ± 2012) Quando o usuário digita na tela um número positivo n, 
um programa de computador executa a seguinte sequência de operações: 
 I. Soma 0,71 ao número n. 
 II. Extrai a raiz quadrada do resultado obtido em (I). 
III. Multiplica o resultado obtido em (II) por 7,2. 
 IV. Escreve na tela o resultado obtido em (III). 
Após digitar na tela o número positivo, um usuário observou que esse programa 
escreveu na tela o número 15,12. O número digitado por esse usuário foi 
(A) 3,3. 
(B) 3,4. 
(C) 3,5. 
(D) 3,6. 
(E) 3,7. 
 
14. FCC ± TRT/24ª ± 2011) Indagado sobre o número de processos que havia 
arquivado certo dia, um Técnico Judiciário, que gostava muito de Matemática, 
respondeu: 
í O número de processos que arquivei é igual a 12,252 í������2. 
Chamando X o total de processos que ele arquivou, então é correto afirmar que: 
(A) X < 20. 
(B) 20 < X < 30. 
(C) 30 < X < 38. 
(D) 38 < X < 42. 
(E) X > 42. 
 
15. FCC ± TRF/2ª ± 2012) Considere as seguintes afirmações: 
 
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Relativamente a essas afirmações, é certo que 
(A) I, II e III são verdadeiras. 
(B) apenas I e II são verdadeiras. 
(C) apenas II e III são verdadeiras. 
(D) apenas uma é verdadeira. 
(E) I, II e III são falsas. 
 
16. FCC ± TRF/2ª ± 2012) Ao consultar o livro de registro de entrada e saída de 
pessoas às dependências de uma empresa, um funcionário observou que: 5/8 do 
total das pessoas que lá estiveram ao longo de certa semana eram do sexo 
masculino e que, destas, 2/7 tinham menos de 35 anos de idade. Com base nessas 
informações, pode-se concluir corretamente que o total de pessoas que visitaram tal 
empresa naquela semana NÃO poderia ser igual a 
(A) 56. 
(B) 112. 
(C) 144. 
(D) 168. 
(E) 280. 
 
17. FCC ± TRF/1ª ± 2011) Na compra de um computador, um Técnico recebeu um 
desconto de 10% sobre o preço de M reais. Após certo tempo, comprou um novo 
computador por R$ 2 370,00 e, para fazer o pagamento, deu o primeiro computador 
como entrada, com prejuízo de 10% sobre a quantiaque havia pago, e mais três 
parcelas sem juros de R$ 250,00 cada. Nessas condições, M é igual a 
a) 2000 
b) 2050 
c) 2100 
d) 2105 
e) 2110 
 
18. FCC ± TRF/1ª ± 2007) Do total de processos que recebeu certo dia, sabe-se 
que um técnico judiciário arquivou 8% no período da manhã e 8% do número 
restante à tarde. Relativamente ao total de processos que recebeu, o número 
daqueles que deixaram de ser arquivados corresponde a 
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a) 84,64% 
b) 85,68% 
c) 86,76% 
d) 87,98% 
e) 89,84% 
 
19. FCC ± TRF/2ª ± 2012) Certo dia, no início do expediente, um Técnico Judiciário 
constatou que no almoxarifado do Tribunal havia 120 pastas, 60% das quais eram 
verdes e as demais, azuis. Sabe-se que, tendo sido retiradas algumas pastas do 
almoxarifado, no final do expediente ele constatou que a porcentagem do número 
de pastas verdes havia se reduzido a 52% do total de pastas que lá restavam. 
Assim, considerando que o número de pastas azuis era o mesmo que havia 
inicialmente, a quantidade de pastas verdes que foram retiradas é um número: 
a) menor que 10 
b) compreendido entre 10 e 18 
c) compreendido entre 18 e 25 
d) compreendido entre 25 e 30 
e) maior que 30 
 
20. FCC ± TRF/2ª ± 2012) Ao conferir o livro de registro da entrada e saída das 
pessoas q visitaram uma Unidade do Tribunal Regional Federal, ao longo dos cinco 
dias úteis de certa semana, um Técnico Judiciário observou que: 
- o número de pessoas que lá estiveram na segunda-feira correspondia a terça parte 
do total de visitantes da semana inteira; 
- em cada um dos três dias subsequentes, o número de pessoas registradas 
correspondia a ¾ do número daquelas registradas no dia anterior. 
Considerando que na sexta-feira foi registrada a presença de 68 visitantes, é correto 
afirmar que o número de pessoas que visitaram essa Unidade. 
(A) na segunda-feira foi 250. 
(B) na terça-feira foi 190. 
(C) na quarta-feira foi 140. 
(D) na quinta-feira foi 108. 
(E) ao longo dos cinco dias foi 798. 
 
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21. FCC ± TRF/3ª ± 2014) Um tabuleiro de xadrez possui 64 casas. Se fosse 
possível colocar 1 grão de arroz na primeira casa, 4 grãos na segunda, 16 grãos na 
terceira, 64 grãos na quarta, 256 na quinta, e assim sucessivamente, o total de 
grãos de arroz que deveria ser colocado na 64a casa desse tabuleiro seria igual a 
(A) 2256. 
(B) 264. 
(C) 2126. 
(D) 266. 
(E) 2128. 
 
22. FCC ± TRF/3ª ± 2014) Um funcionário tem que executar 500 tarefas do tipo A, 
150 do tipo B e 300 do tipo C no prazo de alguns dias, sendo necessário finalizar as 
tarefas dos tipos A, B, e C simultaneamente ao final do último dia. De acordo com 
as instruções que recebeu, ele tem que realizar, por dia, sempre o mesmo número 
de tarefas A, o mesmo número de tarefas B e o mesmo número de tarefas C, sendo 
que a soma diária da quantidade de tarefas A, B e C realizadas seja a maior 
possível. Em tais condições, esse funcionário terá que realizar um total de tarefas 
diárias igual a 
(A) 19. 
(B) 25. 
(C) 10. 
(D) 21. 
(E) 15. 
 
23. FCC ± TJ/PE ± 2012) Eram 22 horas e em uma festa estavam 243 mulheres e 
448 homens. Verificou-se que, continuadamente a cada nove minutos, metade dos 
homens ainda presentes na festa ia embora. Também se verificou que, 
continuadamente a cada 15 minutos, a terça parte das mulheres ainda presentes na 
festa ia embora. Desta forma, após a debandada das 22 horas e 45 minutos, a 
diferença entre o número de mulheres e do número de homens é 
(A) 14. 
(B) 28. 
(C) 36. 
(D) 44. 
(E) 58. 
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24. CESPE ± TJ/RR ± 2012) Considere as seguintes definições: 
I. os divisores próprios de um número inteiro positivo n são todos os divisores 
inteiros positivos de n, exceto o próprio n; 
II. um número n será perfeito se a soma de seus divisores próprios for igual a n; 
III. dois números serão números amigos se cada um deles for igual à soma dos 
divisores próprios do outro. 
Com base nessas definições, julgue os itens que seguem. 
( ) O número 28 é um número perfeito. 
( ) Os números 284 e 220 são números amigos. 
( ) Se um número é maior que 1, então o conjunto dos seus divisores próprios tem, 
pelo menos, 2 elementos. 
( ) Nenhum número primo é um número perfeito. 
 
25. CESPE ± TJ/RR ± 2012) Determinado jogo consiste em explorar o fato de que 
todo número natural não nulo pode ser escrito como a soma de potências de base 
2, distintas, com expoentes inteiros (por exemplo: 14 = 2 + 4 + 8 = 2 + 22 + 23; 17 = 
1 + 16 = 20 + 24). No jogo entre os jogadores A e B, B indica os expoentes e A 
aponta qual é o número natural correspondente. A respeito desse jogo e do fato 
mencionado, julgue os itens seguintes. 
( ) Caso o jogo fosse invertido, de forma que o jogador A indicasse o número 50, e B 
tivesse de identificar os expoentes, haveria dificuldade nessa identificação, já que o 
número 50 pode ser escrito de mais de duas formas diferentes como a soma de 
potências de base dois. 
( ) Se B indicar os expoentes 1, 2, 5 e 6, então A acertará se apontar um número 
menor que 100. 
( ) Suponha que A tenha acertado ao apontar que o número correspondente é o 37. 
Então, nesse caso, B indicou os números 0, 2 e 5. 
( ) Se um número P, par, for escrito como a soma de seis potências de base 2, 
distintas, então o número P/2 também será escrito como a soma de seis potências 
de base 2, distintas. 
( ) Se o jogador A apontar corretamente que o número correspondente é um número 
par, então entre os expoentes indicados por B não estará o número 1. 
 
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26. VUNESP ± TJ/MT ± 2008) Uma pequena doceira bem sucedida comprou 1 800 
embalagens para seus docinhos. Do total de embalagens, inicialmente 1/6 foi 
utilizado para embalar brigadeiros e 2/5 para os beijinhos. Sabendo que para os 
cajuzinhos seriam necessárias ½ do total das embalagens compradas, a doceira 
observou que iriam faltar ___ embalagens. Assinale a alternativa que completa 
corretamente a lacuna do texto. 
(A) 120 
(B) 110 
(C) 100 
(D) 90 
(E) 80 
 
27. VUNESP ± TJ/MT ± 2008) Uma pessoa quer trocar duas notas de dez reais por 
moedas de 5, 10, 25 e 50 centavos de real. Se ela deseja receber moedas de todos 
esses valores, então o número mínimo de moedas a receber em troca será de 
(A) 40. 
(B) 41. 
(C) 42. 
(D) 43. 
(E) 44. 
 
28. CESGRANRIO ± PETROBRÁS ± 2011) Sendo i a unidade imaginária e 
escrevendo o complexo 
2(3 )
1
i
z
i
� � na forma z = a + bi tem-se que a + b é igual a: 
a) -1 
b) 1 
c) 2 
d) 6 
e) 8 
 
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29. FCC ± TCE/SP ± 2010)Sabe-se que se i é unidade imaginária do conjunto dos 
números complexos, então, para cada número natural n, a potência in é igual a 1, i, 
-1 ou ±i. Usando essa informação, é correto afirmar que a soma 
50
1
n
n
i
 
¦ é igual a: 
a) 0 
b) -1 ± i 
c) 1 + i 
d) 1 ± i 
e) i ± 1 
 
30. CESGRANRIO ± PETROBRÁS ± 2010) Sejam w = 3 - 2i e y = m +pi dois 
números complexos, tais que m e p são números reais e i, a unidade imaginária. Se 
w + y = -1 + 3i, conclui-se que m e p são, respectivamente, iguais a 
a) -4 e +1 
b) -4 e +5 
c) +2 e +1 
d) +2 e +5 
e) +4 e -1 
 
31. CONESUL ± CMR/RQ ± 2008) Assinale a alternativa que corresponde ao 
inverso do número complexo z = 3 + 2i: 
a) (3 + 2i) / 13 
b) (2 ± 3i) / 13 
c) (2 + 3i) / 13 
d) (-2 + 3i) / 13 
e) (3 ± 2i) / 13 
 
32. FCC ± TRF/2ª ± 2012) &RQVLGHUH�D�LJXDOGDGH�[��������\����L� ����í�[�����\L���HP 
que x e y são números reais e i é a unidade imaginária. O módulo do número 
complexo z = x + yi, é um número 
(A) maior que 10. 
(B) quadrado perfeito. 
(C) irracional. 
(D) racional não inteiro. 
(E) primo. 
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33. FEPESE ± SEA/SC ± 2013) Seja i = 1� . Analise as afirmativas abaixo: 
1. Se (a+bi)(c+di) é um número real, então ou a = c = 0 ou b = d = 0. 
2. Se z = 2 + i e w é tal que zw = 1, então w = 
2 1
5 5
i� . 
���2�Q~PHUR�FXMD�H[SDQVmR�GHFLPDO�LQILQLWD�p�GDGD�SRU�����������«�p�XP�Q~PHUR�
racional. 
Assinale a alternativa que indica todas as afirmativas corretas. 
a) É correta apenas a afirmativa 3. 
b) São corretas apenas as afirmativas 1 e 2. 
c) São corretas apenas as afirmativas 1 e 3. 
d) São corretas apenas as afirmativas 2 e 3. 
e) São corretas as afirmativas 1, 2 e 3. 
 
34. FGV ± TJRJ ± 2014) Mario fez uma viagem de ônibus que durou três horas e 
meia. Assim que o ônibus partiu, Mario dormiu. Quando acordou, dois quintos do 
tempo da viagem haviam passado. O tempo que Mario passou dormindo nessa 
viagem foi de: 
(A) 1h 10min; 
(B) 1h 24min; 
(C) 1h 32min; 
(D) 1h 48min; 
(E) 2h 12min. 
 
35. FGV ± TJRJ ± 2014) Ana vendeu um terreno que tinha recebido de herança. Do 
valor recebido, pagou 20% de impostos atrasados e outras despesas e, do que 
sobrou, utilizou 25% para comprar um carro usado. Depois dessas operações, Ana 
ficou ainda com R$72.000,00, que colocou na poupança. 
Ana vendeu o terreno por: 
(A) R$120.000,00; 
(B) R$128.000,00; 
(C) R$136.000,00; 
(D) R$144.000,00; 
(E) R$150.000,00. 
 
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36. FGV ± TJRJ ± 2014) A Meta Prioritária 04/2010 do CNJ determina que os 
tribunais lavrem e publiquem todos os acórdãos em até 10 dias após a sessão de 
julgamento. A meta é considerada atingida quando o grau de cumprimento é igual 
ou superior a 90%. A tabela a seguir mostra, para o mês de setembro de 2014, o 
total de acórdãos e o número de acórdãos publicados em até 10 dias após a sessão 
de julgamento de três Câmaras Cíveis hipotéticas. 
Total de acórdãos Publicados em até 10 dias 
 
É correto afirmar que: 
(A) as três Câmaras atingiram a meta; 
(B) apenas as Câmaras 1 e 2 atingiram a meta; 
(C) apenas as Câmaras 1 e 3 atingiram a meta; 
(D) apenas as Câmaras 2 e 3 atingiram a meta; 
(E) apenas a Câmara 2 atingiu a meta. 
 
37. FGV ± TJRJ ± 2014) Em agosto de determinado ano, para cada dois processos 
pendentes de julgamento na Câmara X havia três processos pendentes de 
julgamento na Câmara Y. Em setembro do mesmo ano, o número de processos 
pendentes de julgamento na Câmara X aumentou 20% e o número de processos 
pendentes de julgamento na Câmara Y diminuiu 20%, ambos em relação aos 
respectivos números de agosto. 
Conclui-se que, em setembro daquele ano: 
(A) para cada processo pendente de julgamento na Câmara X, houve um processo 
pendente de julgamento na Câmara Y; 
(B) para cada dois processos pendentes de julgamento na Câmara X, houve um 
processo pendente de julgamento na Câmara Y; 
(C) para cada três processos pendentes de julgamento na Câmara X, houve dois 
processos pendentes de julgamento na Câmara Y; 
(D) para cada quatro processos pendentes de julgamento na Câmara X, houve três 
processos pendentes de julgamento na Câmara Y; 
(E) para cada quatro processos pendentes de julgamento na Câmara X, houve nove 
processos pendentes de julgamento na Câmara Y. 
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38. FGV ± TJ/BA ± 2015) Maria ganha 25% a mais do que Ângela que, por sua vez, 
ganha 20% a mais do que Paulo. Assim, Maria ganha x% a mais do que Paulo. O 
valor de x é: 
(A) 45; 
(B) 48; 
(C) 50; 
(D) 52; 
(E) 55 
 
39. FGV ± TJ/BA ± 2015) (P�XPD�FLGDGH�GR�³YHOKR-RHVWH´�DPHULFDQR��GR�WRWDO�GH�
pessoas que iam a julgamento, 90% eram condenadas e 10% eram absolvidas. Das 
pessoas condenadas, 80% eram realmente culpadas e 20% eram inocentes. Das 
pessoas absolvidas, 90% eram realmente inocentes e 10% eram culpadas. 
Sorteando ao acaso uma das pessoas que foi a julgamento nessa cidade, a 
probabilidade de que ela fosse inocente é: 
(A) 18%; 
(B) 20%; 
(C) 24%; 
(D) 25%; 
(E) 27%. 
 
40. FGV ± TJ/SC ± 2015) Em uma casa de lanches, o sanduíche Big custa R$8,80, 
o copo com refrigerante R$ 2,50 e a porção de batatas fritas, R$ 4,70. Entretanto, o 
consumidor que pedir esses três produtos juntos pagará, na promoção, apenas R$ 
14,20. Em relação ao preço normal, o preço da promoção equivale a um desconto 
de, aproximadamente: 
(A) 7%; 
(B) 9%; 
(C) 11%; 
(D) 13%; 
(E) 15% 
 
 
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41 FGV ± TJ/SC ± 2015) Um grupo de amigos se reuniu para as comemorações de 
fim de ano, sendo que 40% do total eram mulheres. Todos eram torcedores do 
Figueirense, do Avaí ou do Joinville. Do total, 50% deles eram torcedores do 
Figueirense. Metade dos torcedores do Avaí eram mulheres, bem como um quarto 
dos torcedores do Joinville. Entre os homens, o número de torcedores do Avaí era 
igual ao número de torcedores do Joinville. Do total de amigos, eram mulheres 
torcedoras do Figueirense: 
(A) 5%; 
(B) 10%; 
(C) 15%; 
(D) 20%; 
(E) 25%. 
 
42. VUNESP ± TJ/SP ± 2014) Considere um reservatório com o formato de um 
paralelepípedo reto retângulo, com 2m de comprimento e 1,5m de largura, 
inicialmente vazio. A válvula de entrada de água no reservatório foi aberta por certo 
período, e, assim, a altura do nível da água no reservatório atingiu 50 cm, 
preenchendo 40% da sua capacidade total. Desse modo, é correto afirmar que a 
medida da altura desse reservatório, em metros, é igual a 
(A) 1,75. 
(B) 1,25. 
(C) 1,65. 
(D) 1,50. 
(E) 1,35. 
 
43. VUNESP ± TJ/SP ± 2014) A Câmara dos Deputados aprovou ontem a Medida 
Provisória no 647, que permite ao governo elevar para até 27,5% o limite de etanol 
anidro misturado à gasolina vendida nos postos de combustível. Hoje, esse teto é 
de 25%. 
(O Estado de S.Paulo, 07.08.2014)Suponha que dois tanques, A e B, contenham quantidades iguais, em litros, de um 
combustível formado pela mistura de gasolina e de álcool anidro, sendo 25% o teor 
de álcool na mistura do tanque A e 27,5%, o teor de álcool na mistura do tanque B. 
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Nessas condições, é correto afirmar que a quantidade de álcool no tanque B supera 
a quantidade de álcool no tanque A em 
(A) 7,5% 
(B) 8% 
(C) 10% 
(D) 5% 
(E) 2,5% 
 
44. VUNESP ± TJ-SP ± 2010) Em um concurso para escrevente, 40% dos 
candidatos inscritos foram eliminados na prova de Língua Portuguesa, e a prova de 
Conhecimentos em Direito eliminou 40% dos candidatos restantes. Essas duas 
provas eliminaram, do total de candidatos inscritos, 
(A) 84%. 
(B) 80%. 
(C) 64%. 
(D) 46%. 
(E) 36%. 
 
45. VUNESP ± TJ-SP ± 2007) Um investidor aplicou a quantia total recebida pela 
venda de um terreno, em dois fundos de investimentos (A e B), por um período de 
um ano. Nesse período, as rentabilidades dos fundos A e B foram, respectivamente, 
de 15% e de 20%, em regime de capitalização anual, sendo que o rendimento total 
recebido pelo investidor foi igual a R$ 4.050,00. Sabendo-se que o rendimento 
recebido no fundo A foi igual ao dobro do rendimento recebido no fundo B, pode-se 
concluir que o valor aplicado inicialmente no fundo A foi de 
(A) R$ 18.000,00. 
(B) R$ 17.750,00. 
(C) R$ 17.000,00. 
(D) R$ 16.740,00. 
(E) R$ 15.125,00. 
 
 
 
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46. VUNESP ± TJ-SP ± 2007) Um comerciante estabeleceu que o seu lucro bruto 
(diferença entre os preços de venda e compra) na venda de um determinado 
produto deverá ser igual a 40% do seu preço de venda. Assim, se o preço unitário 
de compra desse produto for R$ 750,00, ele deverá vender cada unidade por 
(A) R$ 1.050,00. 
(B) R$ 1.100,00. 
(C) R$ 1.150,00. 
(D) R$ 1.200,00. 
(E) R$ 1.250,00. 
 
47. VUNESP ± TJ/SP ± 2004) Em uma loja, o metro de corda é vendido por R$ 
3,00, e o rolo com 60 metros de corda, por R$ 150,00. Três amigos compraram 
juntos um rolo de corda, ficando o primeiro com 1/4 do rolo, o segundo com 1/12 e o 
terceiro com o restante. Se a divisão dos gastos foi proporcional à quantidade de 
corda que cada um recebeu, aquele que comprou a maior quantidade de corda 
economizou, em relação à compra da mesma quantidade de corda por metro, o total 
de 
(A) R$ 18,00. 
(B) R$ 19,00. 
(C) R$ 20,00. 
(D) R$ 21,00. 
(E) R$ 22,00. 
 
48. VUNESP ± TJ/MT ± 2008) Uma pessoa quer trocar duas notas de dez reais por 
moedas de 5, 10, 25 e 50 centavos de real. Se ela deseja receber moedas de todos 
esses valores, então o número mínimo de moedas a receber em troca será de 
(A) 40. 
(B) 41. 
(C) 42. 
(D) 43. 
(E) 44. 
 
 
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49. VUNESP ± TJ/MT ± 2008) Uma pequena doceira bem sucedida comprou 1 800 
embalagens para seus docinhos. Do total de embalagens, inicialmente 1/6 foi 
utilizado para embalar brigadeiros e 2/5 para os beijinhos. Sabendo que para os 
cajuzinhos seriam necessárias ½ do total das embalagens compradas, a doceira 
observou que iriam faltar ___ embalagens. Assinale a alternativa que completa 
corretamente a lacuna do texto. 
(A) 120 
(B) 110 
(C) 100 
(D) 90 
(E) 80 
 
50. VUNESP ± TJ/SP ± 2011) Na transmissão de um evento esportivo, comerciais 
dos produtos A, B e C, todos de uma mesma empresa, foram veiculados durante um 
tempo total de 140 s, 80 s e 100 s, respectivamente, com diferentes números de 
inserções para cada produto. Sabe-se que a duração de cada inserção, para todos 
os produtos, foi sempre a mesma, e a maior possível. Assim, o número total de 
comerciais dessa empresa veiculados durante a transmissão foi igual a 
(A) 32. 
(B) 30. 
(C) 24. 
(D) 18. 
(E) 16. 
 
51. VUNESP ± TJ/SP ± 2011) Ao longo de um dia, um supermercado fez vários 
anúncios dos produtos A, B e C, todos eles com o mesmo tempo de duração. Os 
tempos totais de aparição dos produtos A, B e C foram, respectivamente, iguais a 
90s, 108s e 144s. Se a duração de cada anúncio, em segundos, foi o maior 
possível, então, a soma do número de aparições dos três produtos, nesse dia, foi 
igual a 
a) 14 
b) 15 
c) 17 
d) 18 
e) 19 
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52. VUNESP ± TJ/SP ± 2004) A cobertura de um piso retangular de 12 x 18 metros 
será feita com placas quadradas de lado igual a L metros. Se L é um número 
natural, para que haja uma cobertura perfeita do piso, sem cortes ou sobreposições 
de placas, é necessário e suficiente que 
(A) L seja um número par. 
(B) L divida 12. 
(C) L divida 18. 
(D) L divida o MDC (12,18). 
(E) L divida o MMC (12,18). 
 
53. VUNESP ± TJ/SP ± 2006) Certo plano de saúde emite boletos para pagamento 
bancário com as seguintes condições: 
Pagamento até o vencimento: x 
Pagamento após a data de vencimento: 
x + juros + multa 
Um conveniado desse plano de saúde pagaria R$ 1.198,00 se tivesse feito o 
pagamento até o vencimento. Porém, houve alguns dias de atraso, o que acarretou 
uma multa de 10% e juros de R$ 0,60 por dia de atraso. Como ele pagou um 
acréscimo de R$ 124,00, o total de dias em atraso foi igual a 
(A) 3. 
(B) 4. 
(C) 5. 
(D) 6. 
(E) 7. 
 
54. VUNESP ± TJ/SP ± 2006) O gráfico I mostra como seria, inicialmente, a 
distribuição porcentual da verba publicitária total de uma empresa para 2007, sendo 
que, somente para a TV aberta, estavam destinados 9 milhões de reais. 
Posteriormente, a diretoria reformulou conceitos e estratégias e estabeleceu uma 
nova distribuição porcentual da verba total conforme mostra o gráfico II, sendo que 
não houve alteração no valor total da verba publicitária inicialmente prevista. Com a 
nova distribuição, a soma dos valores destinados à publicidade na Internet e na Tv a 
cabo superou a soma dos valores inicialmente previstos para esse fim em 
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(A) R$ 1,56 milhão. 
(B) R$ 1,78 milhão. 
(C) R$ 1,95 milhão. 
(D) R$ 2,12 milhões. 
(E) R$ 2,25 milhões. 
 
55. VUNESP ± TJ/SP ± 2008) Do preço de venda de um determinado produto, 25% 
correspondem a impostos e comissões pagos pelo lojista. Do restante, 60% 
correspondem ao preço de custo desse produto. Se o preço de custo desse produto 
é de R$ 405,00, então, o seu preço de venda é igual a 
(A) R$ 540,00. 
(B) R$ 675,00. 
(C) R$ 800,00. 
(D) R$ 900,00. 
(E) R$ 1.620,00. 
 
56. VUNESP ± TJ/SP ± 2011) Uma pessoa pagou 30% do valor total de uma dívida 
e o restante dela irá pagar em 30 dias, sem acréscimo. Se R$ 3.500,00 
correspondem a 20% do valor restante a ser pago, então é correto afirmar que, ao 
pagar 30% do valor da dívida,a pessoa desembolsou 
(A) R$ 5.200,00. 
(B) R$ 6.800,00. 
(C) R$ 7.500,00. 
(D) R$ 7.850,00. 
(E) R$ 8.200,00. 
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57. VUNESP ± TJ/SP ± 2011) No 2º semestre, a receita líquida (RL) de certa 
empresa subiu 45% em relação à do semestre anterior, totalizando 725 milhões, 
enquanto o lucro líquido (LL) teve uma queda de 15%, em relação ao do semestre 
anterior, totalizando 85 milhões. Desse modo, é correto afirmar que, no semestre 
anterior, a razão LL/RL foi igual a 
a) 1/6 
b) 1/5 
c) 1/4 
d) 3/8 
e) 2/5 
 
58. VUNESP ± TJ/MT ± 2008) Uma concessionária de automóveis de certa marca 
queria vender um carro zero quilômetro que acabara de ficar fora de linha pelo qual 
ninguém estava muito interessado. Primeiro, tentou vendê-lo com um desconto de 
5%, mas ninguém o comprou. Em seguida, experimentou vendê-lo com um 
desconto de 10% sobre o preço do primeiro saldo. Como continuou encalhado, 
finalmente fez um desconto de 20% sobre o segundo preço de saldo. Agora, 
apareceu uma pessoa que o comprou por vinte mil e quinhentos e vinte reais. 
Então, o preço inicial do carro era de 
(A) R$ 25 500,00. 
(B) R$ 27 000,00. 
(C) R$ 28 500,00. 
(D) R$ 29 000,00. 
(E) R$ 30 000,00. 
 
59. CESPE ± TRE/ES ± 2011) Com relação a problemas aritméticos e matriciais, 
cada um dos próximos itens apresenta uma situação hipotética, seguida de uma 
assertiva a ser julgada. 
( ) Se em um município que tem 2.500 eleitores, a votação dura 10 horas, cada 
seção eleitoral possui apenas uma urna, todos os eleitores votam e cada eleitor leva 
1 minuto e meio para votar, então, nesse município serão necessárias, no mínimo, 7 
seções eleitorais. 
 
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( ) Se, em um município, as seções eleitorais X, Y e Z têm, juntas, 1.500 eleitores; 
os tempos médios de votação nessas seções são 1 minuto e 30 segundos, 2 
minutos e 1 minuto por eleitor, respectivamente; o tempo médio de votação nas três 
seções é de 2.175 minutos; e o número de eleitores da seção Y é igual à metade da 
soma do número de eleitores das seções X e Z, então, nesse caso, a seção eleitoral 
que tem o maior número de eleitores é a X. 
 
60. CESPE ± TRE/ES ± 2011) Apesar da pressão sobre os parlamentares para 
diminuir ou não aprovar o percentual de reajuste dos seus próprios salários, 
deputados e senadores aprovaram proposta de aumento de 62%. Com isso, eles 
passarão a ganhar R$ 26,7 mil, fora os valores de verbas de gabinete, 
indenizatórias, de cotas de passagens, telefone e despesas médicas, que, 
somados, ultrapassam R$ 100 mil por mês. 
Internet: <www.correioweb.com.br> (com adaptações). 
Tendo como referência o texto acima, julgue os itens que se seguem. 
( ) O salário dos parlamentares, antes do reajuste referido no texto, era superior a 
R$ 16,5 mil. 
 
61.VUNESP ± TJ/SP ± 2015) Um determinado recipiente, com 40% da sua 
capacidade total preenchida com água, tem massa de 428 g. Quando a água 
preenche 75% de sua capacidade total, passa a ter massa de 610 g. A massa desse 
recipiente, quando totalmente vazio, é igual, em gramas, a 
(A) 338. 
(B) 208. 
(C) 200. 
(D) 182. 
(E) 220. 
 
62.VUNESP ± TJ/SP ± 2015) Para a montagem de molduras, três barras de 
alumínio deverão ser cortadas em pedaços de comprimento igual, sendo este o 
maior possível, de modo que não reste nenhum pedaço nas barras. Se as barras 
medem 1,5 m, 2,4 m e 3 m, então o número máximo de molduras quadradas que 
podem ser montadas com os pedaços obtidos é 
(A) 3. 
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(B) 6. 
(C) 4. 
(D) 5. 
(E) 7. 
 
63. FCC ± TRT/PR ± 2010) A tabela abaixo apresenta as frequências das pessoas 
que participaram de um programa de recuperação de pacientes, realizado ao longo 
de cinco dias sucessivos. 
 
Considerando que cada um dos participantes faltou ao programa em exatamente 2 
dias, então, relativamente ao total de participantes, a porcentagem de pessoas que 
faltaram no terceiro dia foi: 
(A) 40%. 
(B) 38,25%. 
(C) 37,5%. 
(D) 35,25%. 
(E) 32,5%. 
 
64. FCC ± CNMP ± 2015) Renato recebeu um lote de 6.325 peças idênticas que 
devem ser organizadas em grupos de 73 peças. O menor número de peças que ele 
terá que descartar do lote para que consiga fazer o maior número possível de 
grupos é igual a 
(A) 47. 
(B) 38. 
(C) 33. 
(D) 26. 
(E) 13. 
 
 
 
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65. FCC ± CNMP ± 2015) Um livro foi impresso de modo que seu texto ocupou 420 
páginas. Cada página foi impressa com 30 linhas. Para uma versão mais compacta 
foi planejado que em cada página seriam impressas 35 linhas. Desta maneira, a 
diferença entre o número de páginas da primeira versão e o número de páginas da 
versão compacta é igual a 
(A) 60. 
(B) 80. 
(C) 50. 
(D) 90. 
(E) 30. 
 
66. FCC ± CNMP ± 2015) O resultado da expressão numérica 
� � � � � �1 2 1 3 11 10 3 9 4 5. 6 13 . . 4 2 . . 1 11 . .
3 3 5 5 4 4 7 7 9 9
§ · § · § · § · § ·� � � � � � � � � � � �¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ 
é igual a 
(A) - 4. 
(B) 8. 
(C) - 6. 
(D) 9. 
(E) - 12. 
 
67. FCC ± CNMP ± 2015) Um novo automóvel em teste percorre 7 km com um litro 
de gasolina comum. Já com gasolina aditivada este mesmo automóvel percorre 10,5 
km com um litro. Sabe-se que o preço por litro de gasolina comum é R$ 2,80 e o 
preço por litro da gasolina aditivada é R$ 3,10. Comparando-se a despesa com 
gasolina que esse novo automóvel em teste consumirá em um percurso de 525 km, 
a economia, em reais, ao ser utilizada a gasolina aditivada em relação ao uso da 
gasolina comum é, aproximadamente, igual a 
(A) 0. 
(B) 45. 
(C) 55. 
(D) 63. 
(E) 48. 
 
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68. FCC ± CNMP ± 2015) O treinamento de um corredor é composto por 4 etapas. 
Em geral, cada uma dessas 4 etapas é de 1.000 m. No entanto, para aprimorar sua 
forma física, em determinado dia o treinamento foi alterado de modo que a partir da 
2a etapa o corredor percorreu 10% a mais do que havia percorrido na etapa 
anterior. Desta maneira, em relação aos treinamentos usuais, o total da distância 
percorrida neste dia de treinamento, também realizado em 4 etapas, corresponde a 
um acréscimo de, aproximadamente, 
(A) 10%. 
(B) 18%. 
(C) 30%. 
(D) 16%. 
(E) 12%. 
 
69. FCC ± CNMP ± 2015) Uma empresa multinacional possui 420 funcionários 
(homens e mulheres) dos quais 
3
7
 são homens e, destes, a metade são brasileiros. 
Sabendo que 6,25% das funcionárias mulheres dessa empresa são brasileiras, 
então, a porcentagem de funcionários (homens e mulheres) não brasileiros dessa 
empresa é de 
(A) 78%. 
(B) 64%. 
(C) 75%. 
(D)27%. 
(E) 25%. 
 
70. FCC ± CNMP ± 2015) Quanto tempo faz que você não vê ou usa uma moeda de 
um centavo? Embora não sejam fabricadas desde 2004, elas permanecem em 
circulação e, conforme apurou o Jornal do Comércio junto ao Banco Central, não há 
previsão de que sejam retiradas do mercado. São 1,2 bilhão de unidades em 
circulação. 
(Adaptado de: Jornal do Comércio, Porto Alegre, 28/02/2014) 
 
 
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De acordo com o dado fornecido no texto, se o Banco Central decidisse substituir o 
total de moedas de um centavo em circulação por moedas de cinco centavos 
perfazendo o mesmo valor, em reais, das atuais moedas de um centavo em 
circulação, seria necessário um total de moedas de cinco centavos igual a 
(A) 24 milhões. 
(B) 24 bilhões. 
(C) 2,4 bilhões. 
(D) 60 milhões. 
(E) 240 milhões. 
 
71. FCC ± CNMP ± 2015) Dois amigos fizeram provas em concursos diferentes. 
Mário acertou 42 das 60 questões do concurso que prestou e Lúcio acertou 64 das 
80 questões de seu concurso. Para superar o resultado de Lúcio em 5 pontos 
percentuais, o número de questões que Mário deveria ter acertado, além das 42 que 
acertou, é igual a 
(A) 15. 
(B) 10. 
(C) 7. 
(D) 9. 
(E) 3. 
 
72. FGV ± DPE/MT ± 2015) Sabe-se que o número 3 2
4 3
x x� é um número inteiro. 
Sobre o número x conclui-se que 
(A) é um número par mas não necessariamente múltiplo de 3. 
(B) é um múltiplo de 3 mas não necessariamente um número par. 
(C) é negativo. 
(D) é um múltiplo de 6. 
(E) é um múltiplo de 4 mas não necessariamente um múltiplo de 6. 
 
 
 
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73. FGV ± DPE/MT ± 2015) Em um canil há 42 cães adultos, dos quais metade são 
fêmeas. Um terço das fêmeas teve filhotes e, em média, cada uma destas fêmeas 
teve cinco filhotes. O número total de cães, adultos e filhotes, nesse canil é 
(A) 70. 
(B) 77. 
(C) 84. 
(D) 91. 
(E) 98. 
 
74. FGV ± DPE/MT ± 2015) O cartão de crédito usado por João cobra 10% de juros 
ao mês. Certa época, João recebeu a fatura do cartão no valor de R$ 520,00 e, na 
data do pagamento, depositou apenas 20% desse valor. Durante os 30 dias 
seguintes João fez apenas uma compra com esse cartão no valor de R$ 66,40 e 
pagou integralmente a próxima fatura, liquidando sua dívida com o cartão. O valor 
depositado por João para liquidar sua dívida com o cartão foi de 
(A) R$ 482,40. 
(B) R$ 489,04. 
(C) R$ 524,00. 
(D) R$ 534,40. 
(E) R$ 541,04. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4. GABARITO 
1 C 2 C 3 C 4 E 5 E 6 D 7 C 
8 D 9 B 10 D 11 D 12 B 13 E 14 E 
15 B 16 C 17 A 18 A 19 C 20 D 21 C 
22 A 23 E 24 CCEC 25 EECCE 26 A 27 D 28 D 
29 E 30 B 31 E 32 E 33 D 34 B 35 A 
36 C 37 A 38 C 39 E 40 C 41 D 42 B 
43 A 44 C 45 A 46 E 47 C 48 D 49 A 
50 E 51 E 52 D 53 E 54 C 55 D 56 C 
57 B 58 E 59 CE 60 E 61 E 62 D 63 C 
64 A 65 A 66 E 67 C 68 D 69 C 70 E 
71 D 72 D 73 B 74 C