APOSTILA CONJUNTO NUMERICOS

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CONJUNTOS NUMERICOS 
Professor Judson Santos 
 
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I - DEFINIÇÃO 
O estudo dos conjuntos numéricos tem como característica principal os seus elementos 
relacionados entre si. Isto é, com a necessidade da época de contarmos, enumerarmos os 
objetos criarão o conjunto dos números naturais e a partir daí os outros conjuntos foram 
surgindo também por necessidades, como ampliações daqueles até então conhecidos. 
 
II – CLASSIFICAÇÃO DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS. 
1) Conjunto dos números naturais ( )Ν 
2) Conjunto dos números inteiros ( )Ζ 
3) Conjunto dos números racionais ( )Q 
4) Conjunto dos números irracionais ( )Ι 
5) Conjunto dos números reais ( )ℜ 
6) Conjunto dos números complexos ( )C 
Vamos relacionar os conjuntos numéricos através do diagrama de Venn. 
 
No diagrama acima observamos que: 
 
Com isso, fica fácil agora de perceber a relação entre os conjuntos numéricos. 
 
N 
 Z 
 Q 
 R 
 
 I 
 C 
 
QICRQZN −ℜ=⊂⊂⊂⊂ ; 
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III – CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS ( )Ν 
{ }
{ } ( )
{ } { }.......,3,2,10
.......,3,2,1
,.....3,2,1,0
=−•
−=•
=•
∗
∗
N
nulosnãonaturaisN
N
 
Observamos que o asterisco indica que o zero deve ser suprimido do conjunto. 
 
 
 Fica de olhos abertos. 
• A soma de dois números naturais quaisquer é um número natural; 
• O produto de dois números naturais quaisquer é um número natural; 
• A diferença de dois números naturais a e b ( )ba − é igual a um número natural se, e 
somente se, ba ≥ . 
 
IV – CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS ( )Ζ 
{ }
{ } ( )
{ } ( )
{ } ( )
{ } ( )
{ } ( )negativosteestritameneirosZ
positivosnãoeirosZ
positivosteestritameneirosZ
negativosnãoeirosZ
nulosnãoeirosZ
Z
int1,2....................
int0,1,2......,..........
int..................,4,3,2,1
int.........,.........3,2,1,0
int.........,2,1,1,2...,
.....,2,1,0,1,2...,
−−=•
−−−=•
=•
−=•
−−−=•
−−=•
∗
−
−
∗
+
+
∗
 
Observamos que o conjunto dos números inteiros ( )Ζ é uma ampliação dos conjuntos dos 
números naturais ( )Ν . 
 
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Então todo número natural é também um número inteiro e consequentemente N é um 
subconjunto de Z. 
 
 
 Fica de olhos abertos. 
• A soma de dois números inteiros quaisquer é um número inteiro; 
• O produto de dois números inteiros quaisquer é um número inteiro; 
• A diferença de dois números inteiros é igual a um número inteiro. 
 
4.1. DIVISIBILIDADE 
Sejam a e b dois inteiros, com a ≠ 0, diz-se que a divide b, se, e somente se, existe 
um inteiro q tal que b = a . q. Neste caso diz-se também que a é divisor de b e que b é 
múltiplo de a. 
Indicaremos por a b o fato de a dividir b; e se a não dividir b, escrevemos a b. 
Vejamos alguns exemplos: 
 
1. 4 12, pois 12 = 4 . 3 
2. – 5 30, pois 30 = - 5 . (- 6) 
3. 7  -21, pois – 21 = 7 . ( - 3) 
4. 3 11, pois não existe q inteiro tal que 10 = 3 . q 
 
Para a relação x y nos inteiros valem as seguintes propriedades: 
 
P1 : a a, ∀ a ∈Z*, pois a = 1 . a (propriedade reflexiva) 
 Z 
N 
Veja: 
 
ZN ⊂ 
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P2 : se a b e b a ⇒ b =a . (propriedade anti–simétrica) 
 
Demonstração: 
De fato, por hipótese, b = a.q 1 e a = b.q 2 . Daí, b = b.( 12.qq ). Se b = 0, como a=b.q 2 , então 
a=0, e se b ≠ 0, então 1. 12 =qq e portanto 1q 21 ==q . Logo ba = também nesse caso. 
 
P3 : se a b e b c ⇒ a c (propriedade transitiva) 
 
Demonstração: 
Por hipótese, b = a.q1 e c = b.q2 . Daí, c = a.( 21.qq ) e portanto a c. 
 
P4 : se a b e c≠0, então a.c b.c . 
 
Demonstração: 
De fato, por hipótese b = aq e agora multiplique ambos os membros por c, vem: 
b.c = (a.c).q. Portanto, a.c b.c. 
 
Obs.: a recíproca da propriedade 4 também é verdadeira, ou seja, se a.c b.c ⇒ a b. 
(Tente provar !) 
 
P5 : se a b e a c, então a ( b ± c). 
 
Demonstração: 
Pela hipótese, b = aq 1 e c = aq 2 . Daí subtraindo ou somando uma equação de outra, vem: 
(b ± c) = a ( 21 qq ± ). Portanto, a (b ± c). 
 
4.2. CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE 
 
Um inteiro qualquer diferente de zero, é divisível por: 
 
• 2, se for par. Ex: 2.004; 
• 3, se a soma dos seus algarismos for um numeral divisível por 3. Ex: 123; 
• 4, se o numeral formado pelos dois algarismos da direita for um divisível por 4. Ex: 
7.008; 
• 5, se terminar em 0 ou 5. Ex: 19.875; 
• 6, se for divisível simultaneamente por 2 e 3. Ex: 1.056; 
• 7, retira-se o último algarismo da direita, em seguida subtrai-se do número que restou o 
dobro do algarismo retirado. Essa diferença tem que ser divisível por 7. Ex: 343; 
 Obs.: Não sendo notável a diferença, pode-se seguir várias vezes o mesmo processo. 
• 8, se o numeral formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8. Ex: 
123.016; 
• 9, se a soma dos algarismos desse número for divisível por 9. Ex: 9.234; 
• 10, se terminar em 0. Ex: 1.230; 
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• 11, se a soma dos algarismos de ordem ímpar menos a soma dos algarismos de ordem 
par for um número divisível por 11. Ex: 72.897; 
• 12, se for divisível simultaneamente por 3 e 4. Ex: 11.580; 
• 13, retira-se o último algarismo da direita, em seguida adiciona-se ao número que restou 
o quádruplo do algarismo retirado. Essa soma tem que ser divisível por 13. Ex: 11.661; 
 Obs.: Não sendo notável a soma, pode-se seguir várias vezes o mesmo processo. 
• 14, se for divisível simultaneamente por 2 e 7. Ex: 3.612; 
• 15, se for divisível simultaneamente por 3 e 5. Ex: 13.455; 
• 21, se for divisível simultaneamente por 3 e 7. Ex: 16.548; 
• 22, se ao mesmo tempo for divisível por 2 e 11. Ex: 19.536; 
• 25, quando terminar 00, 25, 50 ou 75. Ex: 121.345.725. 
 
4.3. ALGORITMO DA DIVISÃO 
 
Teorema 
 
Se a e b são dois número inteiros, com b > 0, então existem e são únicos os inteiros q e r 
que satisfazem as condições: 
a = b.q + r e 0 ≤ r < b 
 
Os elementos a, b, q e r são chamados, respectivamente, dividendo, divisor, quociente e 
resto da divisão de a por b. 
 
Exemplo 1: Numa divisão o divisor é 4, ache os possíveis restos. 
 
Solução: Como o divisor é 4, então 0 ≤ resto < 4. Daí, os possíveis restos são { }3,2,1,0 . 
 
Exemplo 2: Achar os números que, na divisão por 7, dão quociente igual ao resto. 
 
Solução: Seja N um dos números procurados. Pelo algoritmo da divisão temos N = 7.q + r, 
com 0 ≤ r < 7. Fazendo r = q, temos N = 8.q , com 0 ≤ q < 7 e portanto os números são: 0, 
8, 16, 24, 32, 40 e 48. 
 
4.4. RESTOS DAS DIVISÕES 
 
Na aplicação do caráter de divisibilidade, o resto da divisão de um número qualquer por 
outro, cujocaráter de divisibilidade conhecemos, será o mesmo resto encontrado na 
aplicação do caráter pelo divisor considerado. 
 
Exemplo: Qual o resto da divisão de 1938 por 11? 
 
Solução: 
Soma dos algarismos de ordem ímpar = 9 + 8 = 17 
Soma dos algarismos de ordem par = 1 + 3 = 4 
17 – 4 = 13 e 13 dividido por 11 deixa resto 2. 
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4.5. TEORIA DOS RESTOS. 
 
Proposição 1. O resto da divisão de uma soma por um número é o mesmo que o da divisão 
da soma dos restos das parcelas por esse mesmo número. 
 
Exemplo: Qual o resto da divisão da soma 18 + 27 + 14 por 4? 
 
Solução: 
Soma dos restos das parcelas: 2 + 3 + 2 = 7 e 7 deixa resto 3 na divisão por 4. Portanto, o 
resto da soma de 18 + 27 + 14 por 4 será 3. 
 
Proposição2. O resto da divisão de um produto por um número é o mesmo que o da 
divisão do produto dos restos dos fatores por esse número. 
 
Exemplo: Qual o resto da divisão do produto 4735 x 28624 x 74652 por 9? 
 
Solução: 
Produto dos restos dos fatores: 1 x 4 x 6 = 24 e 24 deixa resto 6 na divisão por 9. Logo, o 
resto do produto 4735 x 28624 x 74652 por 9 será 6. 
 
 
4.6. NÚMEROS PRIMOS 
 
Definição 
 
Dizemos que um número inteiro positivo p maior que 1 é primo, se, e somente se, p possui 
exatamente dois divisores positivos distintos, ou seja, { }p ,1 . Exemplo: O número 2 é primo, 
pois os divisores positivos de 2 são { }2 ,1 . E mais, 2 é o único número primo par, pois se 
existe primo par maior que 2, seria da forma N = 2q (q >1). Portanto, 1, 2 e q são divisores 
de N, o que torna absurdo, pois N é primo. 
 
Proposição 1. O conjunto dos números primos é infinito. 
 
Proposição 2. Se p é primo e p ab, então p a ou p b. 
 
CÁLCULO DO NÚMEROS DE DIVISORES POSITIVOS 
Quantos são os divisores do número 126.000? 
Fatorando o número N = 126.000, obtemos: 
 7.5.3.2 324=N 
Consideremos alguns exemplos de divisores de N: 
 ;2;3;7.5.3;7.5.3.2;7.3.2;5.2 422233 etc. 
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Podemos notar que nos divisores de N: 
1. O expoente do fator 2 pode variar de 0 a 4: 
 (20; 21; 22; 23; 24). 
2. O expoente do fator 3 pode variar de 0 a 2: 
 (30; 31; 32). 
3. O expoente do fator 5 pode variar de 0 a 3: 
 (50; 51; 52; 53). 
4. O expoente do fator 7 pode variar de 0 a 1: 
 (70; 71). 
Então, se representarmos os divisores de N como números da forma wyxD 7.5.3.2 2= , das 
observações anteriores podemos dizer que: 
1. x toma valores em {0, 1, 2, 3, 4}, resultando em 5 o número de possibilidades para o x. 
2. y toma valores em {0, 1, 2}, resultando em 3 o número de possibilidades para o y. 
3. z toma valores em {0, 1, 2, 3}, resultando em 4 o número de possibilidades para z. 
4. w toma valores em {0,1}, resultando em 2 o número de possibilidades para w. 
Então, pelo princípio multiplicativo, temos 5 . 3 . 4 . 2 = 120 divisores de N = 126.000. 
Dado nnpppN
ααα
......
2
2
1
1= onde os spi ' são primos e distintos, calcular o número de 
divisores de N. 
Tomando-se as considerações do exemplo anterior, temos: 
1. O expoente de p1 toma valores em {0, 1, 2,.......α1}, resultando em (α1 + 1) possibilidades 
de escolha para ele. 
2. O expoente de p2 toma valores em {0, 1, 2, ... α2}, resultando em (α2 + 1) possibilidades 
de escolha para ele. 
............................................................................................................................................ 
n. O expoente de pn toma valores em {0, 1, 2,.....αn}, resultando em (αn + 1) possibilidades 
de escolha para ele. 
Pelo princípio multiplicativo, podemos concluir que (α1 + 1) (α2 + 1)... (αn + 1) representa o 
número de divisores de N. 
02) Quantos divisores naturais possui o número 360? Quantos são pares? Quantos são impares? 
Quantos são quadrados perfeitos? 
Solução: 
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Sabemos que a fatoração do número 15.23.32360 = 
Com isso, o número θβα 5.3.2:360 formadaescritoserpode onde : 
1. α toma valores em {0, 1, 2, 3}, resultando em 4 o número de possibilidades para o α . 
2. β toma valores em {0, 1, 2}, resultando em 3 o número de possibilidades para o β . 
3. θ toma valores em {0, 1}, resultando em 2 o número de possibilidades para θ . 
Então, pelo princípio multiplicativo, temos 4 . 3 . 2 = 24 divisores positivos de 360. 
Observamos que a quantidade de divisores positivos que são pares o valor de α não pode ser 0. 
Pois, se for α for zero terá com resultado 102 = que é um numero impar. 
Então, pelo princípio multiplicativo, temos 3 . 3 . 2 = 18 divisores positivos pares de 360. 
Observamos que a quantidade de divisores positivos que são impares o valor de α só admite o 
número zero como possibilidades. Pois, se for α for zero terá com resultado 102 = que é um 
numero impar. 
Então, pelo princípio multiplicativo, temos 1 . 3 . 2 = 6 divisores positivos impares de 360. 
Observamos que a quantidade de divisores positivos que são quadrados perfeitos os valores de 
θβα e, são respectivamente { } { } { }02,0,2,0 e . Portanto, pelo princípio multiplicativo, temos 
2 . 2 . 1 = 4 divisores positivos que são quadrados perfeitos de 360. 
 
Quantidade de subconjuntos envolvendo 
contagem. 
Quantos subconjuntos possui o conjunto A = {a, b, c}? 
Vamos escrever todos os subconjuntos de A: 
Ø; {a}; {b}; {c}; {a, b}; {a, c}; {b, c}; {a, b, c}. 
 
Há, portanto, 8 subconjuntos. Analisando o que acontece com os elementos, em relação aos 
subconjuntos, podemos dizer que cada um deles aparece ou não. Então para o elemento α temos 
2 possibilidades quanto à sua presença no subconjunto (aparecer ou não aparecer). O mesmo 
acontece com os elementos b e c. Portanto, segundo o princípio multiplicativo, temos 2 . 2 . 2 = 8 
subconjuntos de A = {a, b, c}. 
Quantos subconjuntos possui um conjunto A com n elementos? 
Pelo que foi explicado no exemplo anterior, cada elemento de A pode ou não estar presente num 
determinado subconjunto e, pelo fato de A ter n elementos, então A possui 
2 . 2...2 = 2n subconjuntos. 
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 TESTANDO SEUS CONHECIMENTOS 
 
Problema 1. 
(COLÉGIO NAVAL) Dois inteiros positivos, primos entre si x e y , satisfazem a equação 
0x7xy6y 22 =−− . Achar a soma yx+ . 
(A) 6 (B) 8 (C) 4 
(D) 10 (E) 13 
 
resp.: B 
 
Problema 2. 
(EUA) Se r2 – r –10 = 0, então (r + 1)(r + 2)(r –4) é : 
a) inteiro 
b)positivo e irracional 
c)negativo e irracional 
d)racional e não inteiro 
e)não real 
resp.: A 
 
Problema 3. 
(MACK – 2003) Dado o numero natural n = 26.32.55 , os divisores positivos de n, que são 
múltiplos de 225, são em numero de 
a) 36 
b) 32 
c) 28 
d) 25 
e) 27 
RESP.: C 
 
Problema 4. 
(OBM) O número 1234a6 é divisível por 7. Então o algarismo a é igual a: 
A) 0 B) 2 C) 4 D)6 E) 8 
RESP.: D 
 
Problema 5. 
(UNIFESP – 2006)Um número inteiro positivo m dividido por 15 dá resto 7. A soma dos restos das divisões 
de m por 3 e por 5 é 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 
RESP.: B 
 
Problema 6. 
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(OBM)Quantos são os possíveis valores inteiros de x para que 
19
99
+
+
x
x
 seja um número 
inteiro? 
a) 5 b) 10 c) 20 d) 30 e) 40 
RESP.: C 
 
Problema 7. 
(UNICAMP – ADAPTADA)A divisão de um certo número inteiro positivo N por 1994 
deixa o resto 148. Então o resto da divisão de N + 2000 pelo mesmo número 1994 é igual a: 
a) 0 b) 1 c) 148 d) 154 e) 160 
RESP.: D 
 
 
Problema 8. 
(MACK – 2002)Em um determinado site de Olimpíada de Matemática tinha o seguinte 
desafio: 
Sabendo que a, b e c são números naturais tais que a + b + c = 25 e a + 2b + 3c = 40. Se c 
assume o maior valor possível, o produto a . b vale: 
A) 7 B) 17 C) 18 D) 20 E) 21 
Resp.: B 
 
Problema 9. 
O maior número pelo qual devemos dividir 301 e 411 para que os restos das divisões sejam 
5 e 4, respectivamente, é: 
a) 35 b) 39 c) 37 d) 41 e) 11 
RESP.: C 
 
Problema 10. 
(CN)Quantos valores do K Є Z existem, tais que, 
1
7.113
+
+
k
k
 é um número inteiro? 
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 
RESP.: E 
 
Problema 11. 
(MACK – 2000) Os naturais n , n < 100 , que divididos por 4, 6 e 8 dão sempre resto 3, 
têm soma: 
a) 177 b) 201 c) 252 d) 276 e) 304 
RESP.: C 
 
Problema 12. 
(EUA)Calcule o valor de 3x2y2 tal que x e y são inteiros satisfazendo a equação y2 + 
3x2y2 = 30x2 + 517 
RESP.: 196 
 
Problema 13. 
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(UERJ)Considere o conjunto formado pelos inteiros p para os quais 
2
52
+
+
p
p
 também é um 
número inteiro. Calcule o número de elementos desse conjunto. 
RESP.: 08 
 
Problema 14. 
(OMRJ - 1994) Se p é o maior fator primo do número 314 + 313 – 12, então p é igual a: 
a) 29 b) 47 c) 73 d) 97 e) 101 
RESP.: C 
 
Problema 15. 
(EUA)Se a, b, c são números reais que satisfazem a2 + 2b = 7, b2 + 4c = -7 e c2 + 6a = -14. 
Então, o valor de a2 + b2 + c2 é igual a: 
a) 14 b) 21 c) 28 d) 35 e) 49 
resp.: A 
Problema 16. 
(PUC)Para a orientação dos maquinistas, ao longo de uma ferrovia existem placas com a 
indicação Um trem percorre essa ferrovia em velocidade constante e, num dado instante, 
seu maquinista observa uma placa em que o número indicador da quilometragem tinha 2 
algarismos. Após 30 minutos, ele passa por uma outra em que, curiosamente, os algarismos 
assinalados eram os mesmos da primeira, só que escritos na ordem inversa. Decorridos 30 
minutos de sua passagem pela segunda placa, ele passa por uma terceira em que o número 
marcado tinha os mesmos algarismos das anteriores mas na mesma ordem dos da primeira e 
com um zero intercalado entre eles. Nessas condições, a velocidade desse trem, em 
quilômetros por hora, era 
A) 72 B) 90 C) 100 D) 116 E) 120 
RESP.: B 
 
Problema 17. 
(OBM) Quantos são os pares (x, y) de inteiros positivos que satisfazem a equação 
2x +3y = 101 ? 
A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17 
RESP.: E 
 
Problema 18. 
(OBM) Uma das soluções inteiras e positivas da equação 19x + 97y = 1997 é, 
evidentemente, ( x0 , y0) = (100, 1). Além desse, há apenas mais um par de números inteiros 
e positivos, (x1 ,y1), satisfazendo a equação. O valor de x1 + y1 é: 
a) 23 b) 52 c) 54 d) 101 e) 1997 
RESP.: A 
Problema 19. 
(BIELORUSSIA) Num quadro negro estão escritos os 97 números 
97
48
,.....,16,24,48 , os 
97 números racionais da forma 
k
48
 para 97,.....,3,2,1=k . Em cada movimento, 
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escolhemos então dois números a e b e os substituímos pelo número 1..2 +−− baba . Após 
96 movimentos, resta somente um número no quadro. O último destes números é igual a: 
4)2)
4
1)1)
2
1) edcba 
RESP.: A 
 
Problema 20. 
(CN)Sabendo-se que o resultado de 12x11x10x.....x3x2x1 + 14 é divisível por 13. Calcule 
o resto da divisão do número 13x12x11x10x.....x3x2x1 por 169?(onde x representa 
multiplicação). 
RESP.: 156 
 
Problema 21. 
(EUA) Sabendo que a, b, c e d assume valores inteiros positivos na equação a5 = b4, c3 = d2 
e c – a = 19. Determine d – b 
RESP.: 757 
Problema 22. 
Considere o número inteiro 200...102.101.100=p , produto de 101 números inteiros 
sucessivos. Ao escrever-se p como um produto de fatores primos, o número de vezes que o 
fator 7 aparece é: 
a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 
RESP.: B 
 
Problema 23. 
(EUA)Na equação ( ).( )XY ZY TTT= , XY representa um número de 2 algarismos distintos, o 
mesmo acontecendo com ZY , enquanto que TTT representa um número com 3 algarismos iguais. A 
soma X Y Z T+ + + é igual a: 
A) 21 B) 20 C) 22 D) 19 E) 23 
RESP.: A 
Problema 24. 
(ROMÊNIA)Sejam yex naturais tais que: 
59
60
1
24........
3
60
1
....
5
1
4
1
24.
2
60
1
....
4
1
3
1
24.60
1
....
4
1
3
1
2
1
243.2




















+++










+++










++++
=
yx
. 
Ache o valor da soma yx + 
RESP.: 3656 
 
Problema 25. 
(OMRJ – 2004) Qual numeral inteiro positivo representa a expressão abaixo? 
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 





+++++




 +
++
+
+
+
668
1
3
1
2
11
2004
20032002
6
54
3
21
LL 
RESP.: 1336 
Problema 26. 
(OBMEP – 2007)Quantos números inteiros positivos n existem tais que ( )
33
1842 2
+
++
n
nn
 é 
um inteiro? 
RESP.: 117,3,1: esãonparavalorespossiveisos 
 
Problema 27. 
(OBMEP – 2007)Determine um valor de n para o qual o numero n222 118 ++ seja um 
quadrado perfeito. 
RESP.: 12=n 
 
Problema 28. 
(Olimpíada do Cone Sul)Temos o conjunto dos 100 números 
100
1
......,,
4
1
,
3
1
,
2
1
,1 . 
Eliminamosdois números quaisquer a e b desse conjunto, substituindo-os por abba ++ , e 
obtendo um conjunto com um elemento a menos. Após 99 dessas operações, resta apenas 
um número. Quais os possíveis valores desse último número? 
RESP.: 100 
 
Problema 29. 
Dizemos que um número x é a soma de dois quadrados, se existem inteiros a e b tais que x 
= a2 + b2. Prove que se dois números são somas de dois quadrados, seu produto também o 
é. 
 
Problema 30. 
Seja 





+++++





+++





++=
100
99
......
100
2
100
1
.......
4
3
4
2
4
1
3
2
3
1
2
1S . Calcule a soma dos 
algarismos de S. 
RESP.: 2475 
 
Problema 31. 
(OMABCSP – 2004)Os números naturais não nulos a e b tais que a + ab + b = 322 são: 
a) 15 e 17 b) 17 e 19 c) 18 e 20 d) 16 e 18 e) 20 e 22 
RESP.: B 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 14 
Problema 32. 
(O.B.M – 1997)O número de pares (x, y) de inteiros que satisfazem a equação x + y + xy = 
120 é: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 
RESP.: E 
 
Problema 33. 
(OMRJ – 2001) Achar o menor inteiro positivo que dividido por 29 deixa resto 5 e dividido por 31 
deixa resto 28. 
 
Problema 34. 
(O.M.IRLANDA – 1997)) Quantos pares ordenados (x;y) com x e y inteiros positivos, são 
soluções da equação 1 + 1996x + 1998y = xy 
RESP.: 03 
 
Problema 35. 
(OMRJ) Quantas pares ordenados (x, y) com x e y inteiros positivos são soluções da 
equação 
 
 124 =+
yx
? 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) mais do que 4 
RESP.: D 
 
Problema 36. 
(OMRJ)Considere a seqüência (1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, ......) cujos termos são 
os inteiros consecutivos em ordem crescente, e na qual o inteiro n ocorre c vezes. O resto 
da divisão por 5 do 1993a termo desta seqüência é igual a: 
 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
RESP.: B 
 
Problema 37. 
(OMRJ)Sejam A = {2, 5, 10, 17, ...., n2 + 1, ....} e B = {10001, 10004, 10009, ....., n2 + 
10000}. O número de elementos de A ∩ B é: 
a) 0 b) 1 c) 4 d) 6 e) 10 
RESP.: C 
 
Problema 38. 
(ARGENTINA)Se n abc= representa um número de 3 digitos tais que 
( )f n a b c ab ac bc abc= + + + + + + . Ache todos os números n de 3 digitos tais que ( ) 1
n
f n = . 
 
Problema 39. 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 15 
(CANADA) Se 12003 10 1 1
xnx e x para nn
xn
+
= = ≥+
−
. Calcule o valor de 2004x . 
Resp.: 2003 
 
Problema 40. 
(EUA – 99)O número de pares ordenados inteiros ( )nm , tais que 0. ≥nm e 
333 33..99 =++ nmnm é igual a: 
(A) 2 (B) 3 (C) 33 (D) 35 (E) 99 
RESP.: D 
 
Problema 41. 
(Olimpíada Argentina) Determine todos os naturais n, n > 9 de modo que a fração 
3
33
−
−
n
n
 
seja um número inteiro. 
 
RESP.: 27,15,11=n 
 
Problema 42. 
(ROMÊNIA) Ache todos os inteiros positivos m e n de modo que 839 22 +=+ nnm . 
 
Problema 43. 
(BANCO CONE SUL) Ache todos os inteiros x, de modo que 152 −− xx seja um 
quadrado perfeito. 
 
Problema 44. 
Determine todos os naturais n de modo que ( ) ( )22 120062005 +=++ nn . 
 
Problema 45. 
(OMRJ – 98) 
a) Encontre todas as soluções inteiras e positivas de 
pyx
111
=+ , onde p é um número 
primo [cada solução é um par ordenado ( )yx; ]. 
b) Encontre pelo menos 5 soluções inteiras e positivas de .
1998
111
=+
yx
 
Problema 46. 
Sejam a e b números reais tais que a2 + b2 = 6ab. Se 
q
p
ba
ba 2
33
33
=
+
−
 onde p e q são 
números primos entre si. Calcule o valor de p + q. 
 
Problema 47. 
(O.C.M)Encontre as soluções inteiras da equação ( )6332 −=− yxy 
 
 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 16 
Problema 48. 
(EUA – 99)Seja a2, a3, a4, a5, a6, a7 valores inteiros que satisfaça a equação 
!7!6!5!4!3!27
5 765432 aaaaaa +++++= . Sabendo que 0 ≤ ai < i para i = 2, 3, 4, ...., 7. Então, o 
valor da expressão a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 é igual a: 
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 
RESP.: B 
 
Problema 49. 
(OMRN – 2002)Seja 
24
2)(
+
=
x
xf , para todo x Є R. O valor da expressão : 






++





+





+





2001
2000
....
2001
3
2001
2
2001
1 ffff é igual a: 
a)1000 b) 500 c) 2000 d) 1500 e) 2001 
RESP.: A 
 
Problema 50. 
(OMRJ) Seja n = 295 x 319. O número de divisores inteiros positivos de n2 menores que n 
que não são divisores de n é igual a: 
 
a) 1800 b) 1803 c) 1805 d) 1807 e) 1809 
 
Cancelamento Telescópica. 
1.1. Soma telescópica 
A soma telescópica tem como objetivo principal desenvolver um raciocínio lógico estruturado dos 
alunos em resoluções de problemas envolvendo soma de várias parcelas sem precisar efetuar as 
adições. Isto é, a soma telescópica desenvolverá nos estudantes uma visualização matemática 
apurada. 
Portanto, caro estudantes vamos agora estudar algumas somas telescópicas envolvendo 
potenciação. 
 
Por exemplo: 
Sem desenvolver as potências das expressões abaixo. Calcule S . 
a) 3210 2222 +++=S 
Solução: 
Observamos que o número posterior é o anterior vezes 2. Portanto, para desenvolver essa soma 
basta multiplicar o 1º membro e o 2º membro da igualdade por 2. 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 17 
Com isso: 
(I): 3210 2222 +++=S x (2) 
(II): 4321 22222 +++=S 
Vamos efetuar esses produtos: 
20 . 21 = 21 
21 . 21 = 22 
22 . 21 = 23 
23 . 21 ≠ 24 
 
Agora vamos subtrair as expressões (II) e (I). Temos: 
)2222()2222(2 32104321 +++−+++=− SS 
Com isso: 
32104321 22222222 −−−−+++=S 
Então: 
1511622 04 =→−=→−= SSS 
 
b) 43210 33333 ++++=S 
Solução: 
Observamos que o número posterior é o anterior vezes 3. Portanto, para desenvolver essa soma 
basta multiplicar o 1º membro e o 2º membro da igualdade por 3. 
Com isso: 
(I): 43210 33333 ++++=S x (3) 
(II): 54321 333333 ++++=S 
 
Vamos efetuar esses produtos: 
30 . 31 = 31 
31 . 31 = 32 
32 . 31 = 33 
33 . 31 = 34 
34 . 31 = 35 
 
Agora vamos subtrair (II) e (I) temos: 
)33333()33333(3 4321054321 ++++−++++=− SS 
 
Com isso: 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 
CONJUNTOS NUMERICOSProfessor Judson Santos 18 
4321054321 33333333332 ++++−++++=S 
Então: 
12112432332 05 =→−=→−= SSS 
 
c) nnS 22...222 1210 +++++= − 
Solução: 
Usando a mesma técnica dos itens anteriores. Temos: 
(I): nnS 22...222 1210 +++++= − . (2) 
(II): 1321 22...2222 ++++++= nnS 
Agora vamos subtrairmos (II) e (I) temos: 
)22...222()22...222(2 12101321 nnnnSS +++++−+++++=− −+ 
Com isso: 
nnnnS 22...22222...222 12101321 −−−−−−+++++= −+ 
Então: 
1222 101 −=→−= ++ nn SS 
 
Outra maneira de resolver a soma telescópica: 
a) 3210 2222 +++=S 
Solução: 
(I): 3210 2222 +++=S x (2) 
(II): 4321 22222 +++=S 
 
Observamos que: 
(I): 32103210 22222222 ++=−→+++= SS 
 
Substituindo na expressão (II), temos: 
(I): 2S = 21 + 22 + 23 + 24 
 
Então: 
40 222 +−= SS 
15116222 04 =→−=→−=− SSSS 
 
b) 43210 33333 ++++=S 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 19 
Solução: 
(I): 43210 33333 ++++=S x (3) 
(II): 54321 333333 ++++=S 
 
Observamos que: 
(I): 4321043210 3333333333 +++=−→++++= SS 
Substituindo na expressão (II), temos: 
(II): 3S = 31 + 32 + 33 + 34 + 35 
Então: 
50 333 +−= SS 
05 333 −=− SS 
121242212432 =→=→−= SSS 
Com isso: 
25 = 31 + 32 + 33 + 34 + 35 – 30 – 31 -32 -33 -34 
Então: 
25 = 35 – 30 → 25 = 243 – 1 → S = 121 
c)Leia atentamente: 
Sabendo que os desenvolvimentos das potências de 10 menos 1 representa uma 
determinada quantidade 9. 
Vejamos: 
101 – 1 = 9 1.9 
102 – 1 = 99 11.9 
103 – 1 = 999 111.9 
104 – 1 = 9999 1111.9 
105 – 1 = 99999 11111.9 
.......................................................... 
Com isso, calcule o valor de 43421
vezesn
999.....99..........999999 ++++ em função de n . 
Solução: 
Observamos que a soma de noves é uma soma telescópica de potencia de 10 
menos 1 . Portanto: 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 20 





−++




−+




−+




−=++++ 110....131012101110999....99.....999999 n
vezesn
43421 
Com isso, essa soma pode ser escrita da seguinte forma: 










++++−










++++ 44 344 2144444 344444 21
vezesnvezesn
n 1......11110.....310210110 
Seja 
( )
11010..................31021010
1010110....31021010
+++++=
×+−++++=
nnS
nnS
 
Observamos que: 
1101010 ++−= nSS 
Portanto: 
9
10110 −+
=
n
S 
Então, concluímos que a soma de noves vale: 








−−
+
=++++
9
109110999......99.....999999 n
n
novesn
43421 
1.2. Produto telescópico 
O produto telescópico tem como objetivo principal desenvolver um raciocínio lógico estruturado dos 
alunos em resoluções de problemas envolvendo produto de várias parcelas sem precisar efetuar 
as multiplicações. Isto é, o produto telescópico desenvolverá nos estudantes uma visualização 
matemática apurada. 
Portanto, caro estudantes vamos agora estudar algumas produtos telescópicos envolvendo 
potenciação. 
Por exemplo: 
Calcule uma lei explicita para encontramos todos os valor de nx em função de n nas expressões 
abaixo: 
a)Sabendo que 20.21 ==+ xcomnxnx 
Solução: 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 21 
Observamos que o número posterior é o anterior vezes 2. Portanto, para encontrar-mos o valor de 
nx basta dividir o 1º membro e o 2º membro da igualdade por nx e depois multiplicar todos os 
valores encontrados. 
Com isso: 
( )
21
:
21
:
21
=






 +
=
+
÷=+
nx
nx
issoCom
nx
nx
nx
nx
temos
nxnxnx
 
Agora vamos substituir valores naturais { }1,.......,2,1,0 −= nn 
Obtemos: 
2
1
1
........................................
2
2
32
2
1
21
2
0
10
=







−
→−=
=





→=
=





→=
=







→=
nx
nx
nnpara
x
x
npara
x
x
npara
x
x
npara
 
Multiplicando os valores acima encontraremos: 
( ) 4434421 vezesnnx
nx
nx
nx
x
x
x
x
x
x
1
2.2........2.2.2
1
.
2
1
.........
2
3
.
1
2
.
0
1
−
=







−








−
−




















 
Cancelando os termos iguais, temos: 
12
2
12
0
−
=
−
=







nnx
porém
n
x
nx
 
Portanto, o valor de nx é igual a: 
 
 
 
b)Sabendo que 102.31 =+=+ xcomnxnx 
Solução: 
n
nx 2= 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 22 
Observamos que para encontrar-mos o valor de nx basta somar-mos 1 nos dois membros da 
igualdade. 
( ) ( ) ( ) ( )13113311 +=++→+=++ nxnxnxnx 
Com isso, dividindo o 1º membro e o 2º membro da igualdade por ( )1+nx recairemos a uma 
expressão matematica muito parecida com o exemplo anterior. 
Isto é: 
( )
( ) 31
11
:
1
1
3
1
11
=
+
++








+
+
=







+
++
nx
nx
temos
nx
nx
nx
nx
 
Agora vamos substituir valores naturais { }1,.......,2,1,0 −= nn 
Obtemos: 
3
11
1
1
........................................
3
11
122
3
11
121
3
10
110
=







+
−
+
→−=
=





+
+
→=
=





+
+
→=
=







+
+
→=
nx
nx
nnpara
x
x
npara
x
x
npara
x
x
npara
 
Multiplicando os valores acima encontraremos: 
( ) 4434421 vezesnnx
nx
nx
nx
x
x
x
x
x
x
3.3.......3.3.3
11
1
.
12
11
.......
12
13
.
11
12
.
10
11
=







+
−
+








+
−
+
−






+
+






+
+








+
+
 
Cancelando os termos iguais, temos: 
nnx
porém
n
x
nx
3
2
1
3
10
1
=
+
=







+
+
 
Portanto, o valor de nx é igual a: 
 
 
 
EXEMPLO 2. No ano 1 Papai Noel viajou sozinho para entregar seus presentes na noite de Natal. 
No ano seguinte ele percebeu que precisava de um ajudante e contratou um Matesito (tipo 
13.2 −= nnx
 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 23 
habitante do pólo norte). A cada ano ele sempre precisava dobrar a quantidade de Matesitos 
contratva mais um Matesito para guiar as renas. Quantos Matesitos Papai Noel vai precisar 
contratar no anode 2006? 
Solução: 
Seja 
nL o número de Matesitos em cada ano. O problema no diz que .1.21 +=+ nn LL Somando 1 
aos dois lados obtemos ( )1211 +=++ nn LL . Vamos escrever várias equações seguidas: 
 
 
( )
( )
( )
( )121
..........
121
121
121
12
21
1
1
+=+
+=+
+=+
+=+
−−
−
+
LL
LL
LL
LL
nn
nn
nn
 
Multiplicando tudo obtemos um cancelamento de vários termos, solução: 
 1222.....2221 11
1
1
1 −=⇒=××××=+
+
+
+
+
+
n
n
n
vezesn
n LL 44 344 21 
Radicais com Radicais 
Caro aluno, agora vamos utilizar a soma telescópica nos estudos de radicais com radicais 
Vejamos alguns exemplos resolvidos . 
1615
1
.......
23
1
12
1)
...................)
.......2222)
...........49494949)
+
++
+
+
+
++++
d
yxyxc
b
a
 
Solução: 
49.49.....49494949.....49494949
...........49494949)
222
2
=⇒=⇒=⇒=







=
xxxxx
xa
 
 
22....2222.....2222
.......2222)
222
2
=⇒=+⇒=++++⇒=







++++
=++++
xxxxx
xb
 
 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 24 
( ) 3 24.24222222
2
.....................
...................)
yxaaayxayxyxyxayxyxayxyxayxyx
ayxyxc
=⇒=⇒=⇒=





⇒=⇒=







=
 
 
3116
1516
1516
......
34
34
23
23
12
12
1615
1
.......
23
1
12
1) =−=
−
−
++
−
−
+
−
−
+
−
−
=
+
++
+
+
+
d 
 
Soma de Frações Parciais 
Caro aluno, agora vamos utilizar a soma telescópica nos estudos de soma de frações parciais. 
 
 
 
Vejamos algumas somas de frações parciais interessantes resolvidas passo – a – passo. 
99,0
100
99
100
1
1
1
100.99
1
......
4.3
1
3.2
1
2.1
1
:tan
100
1
99
1
100.99
1
99
1
98
1
99.98
1
..
.
..
4
1
3
1
4.3
1
3
1
2
1
3.2
1
2
1
1
1
2.1
1
:
100.99
1
99.98
1
............
4.3
1
3.2
1
2.1
1)
==−=++++






−=






−=






−=






−=






−=
+++++
topor
solução
a
 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 25 
24,0
2
1
.
100
48
2
1
.
100
1
2
1
100.98
1
......
8.6
1
6.4
1
4.2
1
:tan
2
1
.
100
1
98
1
100.98
1
..
.
..
2
1
.
8
1
6
1
8.6
1
2
1
.
6
1
4
1
6.4
1
2
1
.
4
1
2
1
4.2
1
:
100.98
1
............
8..6
1
6.4
1
4.2
1)
=





=





−=





++





+





+











−=






−=






−=






−=
++++
topor
solução
b
 
 
Soma de Seqüências infinitas 
Caro aluno, vamos trabalhar agora algumas somas de termos infinitas de tal maneira que 
despertará nos estudantes desta bela ciência o prazer da descoberta e entendimento, através da 
resolução de problemas e da análise de situações das mais engenhosas. 
 
PERIODICASDIZIMASCASO :10 
Calcule as dizimas periódicas abaixo: 
......2555,0).......3333,0) ba 
....0003,0003,003,0.1,0:)(
)1,0(....0003,0003,003,03,0:)(
:......3333,0)
:
+++=
×++++=
=
SII
SI
quetalSSejaa
soluções
 
Subtraindo (I) do (II), temos: 
9
3
9,0
3,03,0.9,0 =→=→= SSS 
..........0005,0005,0.1,0:)(
)1,0(.........0005,0005,005,0:)(
:
........0005,0005,005,02,0:)(
:.......2555,0)
1
1
1
++=
×+++=
++++=
=
SIII
SII
quetemos
SI
quetalSSejab
S
44444 344444 21
 
Subtraindo (II) do (III), temos: 
90
5
9,0
05,005,0.9,0 111 =→=→= SSS 
Substituindo no item (I) acima, temos: 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 26 
90
23
90
518
90
5
10
22,0 1 =→
+
=→+=→+= SSSSS 
 
INFINITAGEOMETRICAPROGRESSÃOCASO :20 
Calcule a soma da progressão geométrica infinita abaixo: 
 ........
16
1
8
1
4
1
2
11 +++++=S 
...........
16
1
8
1
4
1
2
1
.
2
1
:)(
2
1
..........
16
1
8
1
4
1
2
11:)(
:
:
++++=






×+++++=
SII
SI
Seja
soluções
 
Subtraindo os itens (I) do (II), temos: 
21.
2
1
=→= SS 
 
( )...:30 GAPGEOMETRICOARITMETICOPROGRESSÃOCASO − 
Calcule a soma da progressão aritmético – geométrica (P.A.G.) abaixo: 
 11...........4321 32 <<−++++= xparaxxxS 
.............32.1.:)(
)(.............4321:)(
:
:
32
32
+++=
×++++=
xxxSxII
xxxxSI
Seja
solução
 
Subtraindo os itens (I) do (II), temos: 
( )
.........).1(:)(
)(......11:)(
432
432
++++=−
×+++++=−
xxxxSxxIV
xxxxxSxIII
 
Subtraindo os itens (III) do (IV), temos: 
( ) ( ) ( )21
111..1
x
SxSx
−
=→=−− 
 
FATORIALEMSOMACASO :04 
 Qual o valor da expressão: 
!k
1k
...
!5
4
!4
3
!3
2
!2
1E −+++++= 
Solução: 
Vamos lembrar que: 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 27 
( ) !k
1
!1kk
E
!k
1
!k
k
!k
1k
* −
−
=−=
−
 
( ) ( ) !k
1
!1k
1
k
1
1kk
k
−
−
=−
−
= 
 
Essa quebra é uma quebra em frações parciais muito comum em somas telescópicas com 
repetição. 
 
Assim teremos: 
( ) ( ) ( ) !k
1
!1k
1
!1k
1
!2k
1
...
!4
1
!3
1
!3
1
!2
1
!2
1
!1
1E −
−
+
−
−
−
++−+−+−= 
!k
1
!1
1E −=
 
 
Recorrência 
As relações de recorrências são artifícios matemáticos de grande importância na resolução de 
problemas que envolvem seqüências, funções, princípio fundamental da contagem(P.F.C), cálculo 
de determinantes, etc. De fato, muitos problemas considerados difíceis à primeira vista são 
facilmente resolvidos por essa técnica. Portanto, estudar recorrência tem como objetivo principal 
desenvolver nas pessoas um raciocínio lógico estruturado nas resoluções de problemas, fórmulas 
fechadas das funções e seqüências numéricas. 
Hoje em dia com a evolução das tecnologias, como os computadores é extremamente importante 
saber raciocinar recursivamente. Então, você pode está se perguntando: 
Como resolver um problema por recorrência? 
A resposta é muito simples. Basta resolver um problema de tamanho n transformando em uma 
solução do problema em tamanho menores ( )1−n , ( )2−n , etc. 
Vejamos alguns exemplos. 
Havia uma bancada com 4 lâmpadas cada uma dela poderia esta ligada ou desligada. 
 
De quantos modos diferentes existem de tal maneira que não pode haver duas lâmpadas 
adjacentes ligadas simultaneamente?Solução: 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 28 
Vamos resolver a situação acima mostrando todas as configurações possíveis. Isto é, vamos 
desenhar uma arvore de possibilidades. 
} ( )
( )
( )
.sec
43
3
2:3
4
1:2
1
4:1
utivamenteconligadasestejamlâmpadasasque
mameirataldeligadasestaremlâmpadasedeadespossibilidnenhumaexistenãoqueObserve
adespossibilid
DLDL
LDDL
LDLD
ligadasestálâmpadasapenasõesconfiguraç
adespossibilid
DDDL
DDLD
DLDD
LDDD
ligadaestálâmpadaapenasõesconfiguraç
adepossibilidDDDD
desligadasestálâmpadasasãoconfiguraç





°







°
°
 
Portanto, concluimos que o total de possibilidades de 4 lâmpadas estarem ligada ou desligada de 
tal maneira que duas lâmpadas adjecentes não estajam ligadas é igual a 8. 
Porém, esse não é o objetivo da recorrência. Vamos mudar a situação – problema acima, 
considere agora que existem 10 lâmpadas. Qual seria a resposta ? 
Caro aluno, vamos resolver esse problema racionando recurssivamente. 
lâmpadasnparaproblemadosoluçãonA ⇒ 
Agora vamos expressar a solução do problema em tamanhos menores ...,2,1 −− nAnA . Isto é, 
vamos dividir a solução do problema em casos quando a primeira lâmpada está desligada mais o 
número de solução quando a primeira lâmpada está ligada. 
Veja o seguinte esquema: 
44444 344444 21444 3444 21
ligadalâmpadadesligadalâmpada
nA
°
+
°
=
1
______________________
1
_________________ 
Observamos se a primeira está desligada a solução do problema passa a ter tamanho 
( ) lâmpadasn 1− e se a primeira lâmpada está ligada, observamos que a segunda lâmpada não 
pode está ligada com isso verificamos que a minha solução do problema passa a ter tamanho 
( ) lâmpadasn 2− . 
Portanto, obtemos a seguinte configuração: 
 
321321
ligadalâmpada
nA
desligadalâmpada
nAnA
°
−
+
°
−
=
2
2
1
1 
Com isso, agora vamos calcular a solução do problema para os seguintes casos: 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 29 
} ( )
( )
.,2
3
2:2
2
1:1
problemadocondiçãoasatisfaznãopoisLLestálâmpadasdasadepossibilidaexistenãoqueObservamos
adespossibilid
LD
DL
DD
lâmpadasbancadaõesconfiguraç
adespossibilidLouD
lâmpadabancadaãoconfiguraç





°
°
 
Com isso, obtemos : 
 32,21 == AA 
Observe que a nossa recorrência nos mostra que para cada valor natural de n obtemos a soma 
dos dois valores anteriores imediatos(consecutivamente) . Isto é: 
14410891010
8997899
5586788
3475677
2164566
1353455
842344
532133
=→+=→=
=→+=→=
=→+=→=
=→+=→=
=→+=→=
=→+=→=
=→+=→=
=→+=→=
AAAAnpara
AAAAnpara
AAAAnpara
AAAAnpara
AAAAnpara
AAAAnpara
AAAAnpara
AAAAnpara
 
Portanto, concluimos que o total de possibilidades de 10 lâmpadas estarem ligada ou desligada de 
tal maneira que duas lâmpadas adjacentes não estajam ligadas é igual a 144. 
Um problema classico em combinatoria e a contagem das regioes criadas no plano por um 
conjunto de retas. Estudaremos duas variantes do problema. 
(a) As retas são duas a duas concorrentes e a interseção de qualquer subconjunto de três retas e 
vazia. 
 
Chamemos de f(n) 0 numero de regi6es quando 0 conjunto contem n retas. Quando n = 0, temos 
obviamente apenas uma região, designada por I na Figura 6.1(a). Ao introduzir uma reta, dividimos 
0 plano em duas regiões, I e II na Figura 6.1(b). 0 que acontece se acrescentamos uma segunda 
reta? Se ela estivesse inteiramente contida numa das regiões I ou II, apenas esta região seria 
subdividida, passando 0 numero de regi6es para 3. Mas isto só seria possível se a segunda reta 
fosse paralela a primeira, fato vedado pela hipótese do enunciado. Portanto a segunda reta deve 
cruzar com a primeira e deve atravessar as duas regiões definidas pela primeira. Logo cada uma 
dessas regiões será par sua vez subdividida, e 0 novo numero de regiões é 4, como ilustrado na 
Figura 6.1(c). 
 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 30 
 
 
 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 31 
 
SOMA DOS DIVISORES INTEIROS POSITIVOS 
Seja n um inteiro positivo. Por S(n) indica-se a soma dos divisores positivos de n (inclusive 
1 e n). Se krrkkk ppppn ....... 321 32´1= é a decomposição canônica do inteiro n > 1, então: 
 
 
 
 
 
PRODUTO DOS DIVISORES INTEIROS POSITIVOS 
O produto P(n) dos divisores positivos de um número inteiro positivo n > 1 é igual a : 
 
 
 
 
 
Onde : d(n) é a quantidade de divisores positivos de n. 
 
Problema 1. 
(OBM – 2004) Na seqüência de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … cada termo, a 
partir do terceiro, é igual à soma dos dois termos anteriores. 
Quanto vale a soma infinita 
( ) 






−
−








−








−
−
=
+++
1
1
........
1
.
1
1 1
2
1
2
1
1
1
21
r
k
r
kk
p
p
p
p
p
p
nS
r
 
2
)(
)(
nd
nnP = 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 32 
 
onde o n-ésimo termo é o n-ésimo termo da seqüência de Fibonacci dividido por 2n? 
RESP.: 02 
 
Problema 2. 
(IME – 1996 / O.B.M - 1985) Calcule a soma abaixo: 
 3001.2998
1`
....
10.7
1
7.4
1
4.1
1
++++
 
RESP.: 
3001
1000
 
 
Problema 3. 
(I.M.O - 1979)Sejam p e q naturais tais que: 
1319
1
1318
1
........
4
1
3
1
2
11 +−+−+−=
q
p
. Prove que p é divisível por 1979. 
RESP.: DEMONSTRAÇÃO 
 
Problema 4. 
(ALEMANHA)Ache o valor da soma: 
 ∑
=
=





+−
101
0
2
3
1013.31i
i
ii
i ixpara
xx
x
 
RESP.: 51 
 
Problema 5. 
(O.M.M.G)Determine o valor da soma 2008
1
12007
2007
=





+
∑
−=
apara
ak
k . 
RESP.: 





2
4015
 
 
 
Problema 6. 
(OMSP)Um micróbio (de tamanho desprezível) parte da origem de um sistema de 
coordenadas. Inicialmente ele se desloca uma unidade e chega ao ponto (1,0). Aí ele vira 
900 no sentido anti-horário e anda 
2
1
 unidade até o ponto (1,1/2). Ele continua dessa 
maneira, sempre descrevendo ângulos de 900 , no sentido anti-horário e andando a metade 
da distância da vez anterior. Continuando indefinidamente ele vai se aproximando cada vez 
mais de um determinado ponto. Então a soma das coordenadas desse ponto é igual a: 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos33 
2
1)1)
5
2)
5
4)
5
6) edcba 
RESP.: A 
 
Problema 7. 
(ROMÊNIA – 1998)Sejam: 
10001998
1
.....
19981001
1
19981000
1
19981997
1
.....
54
1
43
1
21
1
×
++
×
+
×
=
×
++
×
+
×
+
×
= BeA
 
Prove que 
B
A
 é um número inteiro. 
 
Problema 8.. 
(EUA) Sabendo que *+ℜ∈x na equação 3
3
=
xx
x . Então o valor de x é igual a: 
a) 3 b) 
3
1
 c) 3 d) 3 3 e) 6 3 
RESP.: D 
 
Problema 9. 
(CANADÁ - 98) Resolva a equação 3)1( 2
2
2
=
+
+
x
x
x no conjunto dos números reais ( )ℜ . 
RESP.:
2
51
2
51
21
−
=
+
= xex 
 
Problema 10. 
Num programa de televisão Show do milhão o apresentador lançou a seguinte pergunta: 
 
o valor da expressão ...16842 representa um número racional Q. Então o valor de Q 
é igual a: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
RESP.: D 
 
 
Problema 11. 
Seja a a maior raiz da equação 01223 =−−− xxx . Calcule o valor de 
 
a a a 242 
RESP.: 02 
 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 34 
Problema 12. 
(IRLANDA – 1997)Encontre todos os pares ( )yx ; de inteiros tais que: 
 yxyx ..1998.19961 =++ 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )1995;19971998
,1997;19971998,3993;3995,19971996;1997,19971996;1999,1;1:.
2
222
−
+−+−RESP
 
Problema 13. 
(MOLDAVIA)Se }0{, −∈ Nceba tais que 2000..... =++++++ cbacbcabacba . Ache 
o valor numérico de cba ++ 
RESP.: 52 
 
Problema 14. 
(INGLATERRA – 1998)Seja f : N → R uma função tal que f(1) = 999 e f(1) + f(2) + f(3) 
+ ...+ f(n) = n2.f(n) para todo n inteiro positivo. Determine o valor de f(1998) 
RESP.: 
1999
1
 
 
Problema 15. 
(EUA) Sejam a e b números reais tais que 560 ,360 == ba . Calcule o valor numérico de 
( )b
ba
−
−−
12
1
12 . 
RESP.: 02 
 
Problema 16. 
(PERU) Sabendo que a expressão ( ) ( ) ( ) ( )3 4 5 432 ........ xxxx tem infinitos termos e pode 
ser representada da seguinte forma nx . Então o valor de n é igual a: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
RESP.: A 
 
Problema 17. 
(PERU) Seja a sucessão s0, s1, s2, ..........., sk , ........ onde s0 = 49, s1 = 7 , s2 = 7 , ......, . 
Calcule a soma dos algarismos do produto de todos os termos da sucessão . 
Obs.: a sucessão tem infinitos termos. 
RESP.: 07 
 
Problema 18. 
(OBMEP – 2007)Qual é o 021 termo da sequência : 
( ) ( ) ( ) ( ) ?;.........1514131211;10987;654;32;1 ++++++++++ 
RESP.: 4641 
 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 35 
Problema 19. 
(OBMEP – 2007)A soma nn aS +++++= .....3929199 denota a soma dos primeiros n 
números naturais terminados em 9. Qual é o menor valor de n para que nS seja maior do 
que ?105 
RESP.: 142=n 
 
Problema 20. 
(OBMEP – 2007)Para percorrer um caminho reto de 10 metros de comprimento, uma pulga 
usa a seguinte estratégia: a cada dia ela percorre a metade do caminho que faltava no dia 
anterior. Portanto, no primeiro dia ela percorre 5 metros, no segundo 2,5 metros e assim por 
diante (o tamanho da pulga é desprezível). 
A partir de qual dia a pulga estará a menos de 0, 001m do final do caminho? 
RESP.: 14=n 
 
Problema 21. 
(OBMEP – 2007)Sabendo que a quantidade de palitos de fósforo utilizados da 
filanaté aa1 é igual a 270 . Calcule o valor de n, cujos os três primeiros termos são 
mostrados na figura abaixo? 
 
RESP.: 12=n 
 
Problema 22. 
(BULGARIA)A soma dos algarismos do inteiro positivo n solução da equação 
( ) ( )22 120062005 +=++ nn é igual a: 
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 
RESP.: E 
 
Problema 23. 
(CROACIA – 2004) Calcule o valor de ( )2005z na expressão abaixo: 
( ) 





+++
−= ∑
=
2004
1 1.1
11)(
j jjjj
nnz 
RESP.: 01 
 
Problema 24. 
(Olimpíada do Cone Sul)Temos o conjunto dos 100 números 
100
1
......,,
4
1
,
3
1
,
2
1
,1 . 
Eliminamos dois números quaisquer a e b desse conjunto, substituindo-os por abba ++ , e 
obtendo um conjunto com um elemento a menos. Após 99 dessas operações, resta apenas 
um número. Quais os possíveis valores desse último número? 
RESP.: 100 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 36 
 
Problema 25. 
(RUSSIA)Sabe-se que a soma 
.....00000013,0000008,000005,00003,0002,001,01,0 +++++++=S converge para 
uma dizima periódica cujo número de algarismos do período é igual a: 
a) 22 b) 42 c) 44 d) 48 e) 88 
RESP.: C 
Problema 26. 
(CHILE)Simplificando )2).(1(
2.
......
6.5
2.4
5.4
2.3
4.3
2.2
3.2
2.1 15432
++
+++++
+
nn
n
n
 obtemos: 
1
3
2)
3
2)2
2
2)1
2
2)
2
2)
21221
−
++
−
+
−
++
+++++
n
e
n
d
n
c
n
b
n
a
nnnnn
 
RESP.: C 
 
Problema 27. 
(EUA – 2001)Sabendo que 
!2001
1
!2001!2000!1999
2001
......
!5!4!3
5
!4!3!2
4
!3!2!1
3
+
++
++
++
+
++
+
++
 vale k. Então o valor de 
2008.k é igual a: 
a) 2008 b) 1004 c) 502 d) 2009 e) 251 
RESP.: B 
 
Problema 28. 
Se 3x + 4y = 5, calcule o valor mínimo de x2 + y2 . 
RESP.: 01 
 
Problema 29. 
(BIOLORÚSSIA – 2001)Determine o resto da divisão de ( ) 200440601!.200.....13!......11!.25!.1 2 porkkk +++++++ . 
RESP.: 2001 
 
Problema 30. 
(OBM – 95)O número 26! = 1.2.3.4....25.26 termina por uma fileira de zeros. Seja N o 
inteiro que se obtem ao removermos todos os zeros do final de 26!. O maior inteiro k para o 
qual 12k é um divisor de N é: 
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9 
RESP.: D 
 
Problema 31. 
O valor da soma 
)1009999100(
1
.......
)3223(
1
)2112(
1
+
++
+
+
+
=S 
10
11)
9
10)
9
1)
10
9)
10
1) edcba 
RESP.: A 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 37 
 
Problema 32. 
Um aluno resolvendo uma questão de múltipla escolha chegou ao seguinte resultado 
, no entanto as opções estavam em números decimais e pedia-se a mais 
próxima do valor encontrado para resultado, e, assim sendo, procurou simplificar esse 
resultado, a fim de melhor estimar a resposta. Percebendo que o radicando da raiz de 
índice 4 é quarta potência de uma soma de dois radicais simples, sabendo que este 
resultado é da forma ( )qpcomqp >+ .Então o valor de p + q é igual a: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
RESP.: EProblema 33. 
 
(UNICAMP)Considere duas circunferências, uma delas tendo o raio com medida racional e 
a outra com medida irracional. Suponha que essa circunferência têm centros fixos e estão se 
tocando de modo que a rotação de uma delas produz uma rotação na outra, sem 
deslizamento. Mostre que os dois pontos (um de cada circunferência) que coincidem no 
início da rotação, nunca mais voltarão a se encontrar. 
Resp.: DEMONSTRAÇÃO 
 
Problema 34. 
(EUA)Se r2 – r –10 = 0, então (r + 1)(r + 2)(r –4) é : 
a) inteiro 
b)positivo e irracional 
c)negativo e irracional 
d)racional e não inteiro 
e)não real 
RESP.: A 
 
Problema 35. 
(OBM)Sejam x e y números racionais. Sabendo que 5 2006
4 2006
x
y
−
−
 também é um número racional, 
quanto vale o produto xy? 
A) 20 
B) Pode ser igual a 20, mas também pode assumir outros valores. 
C) 1 
D) 6 
E) Não se pode determinar 
REsp.: A 
 
 
 
 
 
 
 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 38 
Problema 36. 
(UERJ - 2004)Considere a seguinte soma infinita: 
 (1/2) + (2/4) + (3/8) + (4/16) + ... 
No gráfico I, abaixo, cada parcela desta soma é representada pela área de um retângulo, e a 
soma infinita é determinada pela soma das áreas desses retângulos. No gráfico II, embora a 
configuração dos retângulos tenha sido alterada, as áreas se mantêm iguais. 
 
Com base nessas informações, podemos afirmar que a soma infinita tem o seguinte valor: 
a) 3/2 b) 2 c) 5/2 d) 4 
RESP.: B 
 
Problema 37. 
(UFF – 2003) 
 
RESP.: E 
 
Problema 38. 
(EUA – 2002) Qualquer número que pode ser representado como nas figuras seguintes é 
chamado número triangular. 
 • 
 • • • 
 • • • • • • 
• • • • • • • • • • 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 39 
(1) (3) (6) (10) 
 
Se tn representa o n – ésimo número triangular. Então o valor da expressão : 
2)
2001
4001)
2003
4004)
1001
2001)
2003
4003)
1
....
111
2002321
edcba
tttt
++++
 
resp.: C 
 
Problema 39. 
Passando em uma sala de aula, um aluno verificou que, no quadro negro, o professor havia 
escrito uma sequência oscilante de 123454321234543..... o aluno achou interessante e ficou 
imaginando qual seria o digito da posição 02007 . Descubra você também este digito. 
 
 
 
Problema 40. 
(CANADA)Sabendo que 
8
....2207
12207
12207
12207
12207
−
−
−
−
− pode ser escrito da 
seguinte forma 
d
cba +
, quando a, b, c e d são inteiros positivos. Então o valor de 
dcba +++
 é igual a: 
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 
RESP.: B 
 
Problema 41. 
(UFRJ) A região fractal F, construída a partir de um quadrado de lado 1cm, é constituída por uma infinidade 
de quadrados e construída em uma infinidade de etapas. A cada nova etapa consideram-se os quadrados de 
menor lado (l ) acrescentados na etapa anterior e acrescentam-se, para cada um destes, três novos quadrados 
de lado l /3. As três primeiras etapas de construção de F são apresentadas a seguir. 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 40 
 
Calcule a área de F. 
 
a) 3/2 cm2 b) 2 cm2 c) 1 cm2 d) 3cm2 e) 5/2 cm2 
resp.: A 
 
Problema 42. 
(OBM-2000) Colocamos em ordem crescente os números escritos nas casas brancas 
do tabuleiro a seguir (estamos mostrando apenas as suas quatro primeiras linhas). Assim, 
por exemplo, o nono número da nossa lista é 14. Qual é o 2000o número da nossa lista? 
 
 1 
 2 3 4 
 5 6 7 8 9 
 10 11 12 13 14 15 16 
… … … … … … … … … 
 
A) 3931 B) 3933 C) 3935 D) 3937 E) 3939 
 
Problema 43. 
 
 
O número total de laranjas que compõem quinze camadas é igual a: 
a) 1360 b) 1260 c) 1160 d) 1060 e) 960 
RESP.: A 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 41 
( ) ( )
( )( )
( ) laranjasSS
toPor
nnnn
k
kn
queSabemos
n
n
n
nS
n
nnS
n
nnS
queobserve
S
Seja
1360
2
15.151
6
31.16.15
:tan
6
121
1
22
.....
232221
:
15
1
15
1
215
1
215
1
1
:
16.15.........4.33.22.1
=→
+
+=
++
=∑
=





=++++
∑
=
+∑
=





=→∑
=




 +=→∑
=
+=
++++=
 
Outra solução: 
Usando as propriedades da coluna no triângulo de pascal, temos: 
1615...433221S ×++×+×+×= ⇒⇒⇒⇒ 
2
1615
...
2
43
2
32
2
21
2
S ×
++
×
+
×
+
×
= ⇒⇒⇒⇒ 
3
17
2
16
2
3
2
2 CC...CC2
S
=+++= 680
23
151617
=
×
××
= ⇒⇒⇒⇒ S = 1.360 laranjas 
 
Problema 44. 
(O.C.M ) Se x² + x + 1 = 0 , calcule o valor numérico de: 
2
27
27
222 1
........
³
1
³
²
1
²
1






+++





++





++





+
x
x
x
x
x
x
x
x 
RESP.: 54 
Problema 45. 
(EUA)Sejam 
x
x
9119
9119
9119
9119
9119
+
+
+
+
+= e S a soma dos valores absolutos de 
todas as raízes desta equação então o valor de S2 é igual a: 
a)381 b) 382 c) 383 d) 384 e) 385 
RESP.: C 
 
 
 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 42 
Problema 46. 
(CANADA – 2000) Sabendo que p e q são duas raízes reais da equação 
,434343 xx +−+−+−= então o valor de p² + q² é igual a: 
a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 
RESP.: C 
 
Problema 47. 
Dada a equação do 2o grau 
2 ( 1) 2 1 0.x m x m+ + + − = Quantos são os 
valores inteiros de m para que as raízes desta equação sejam inteiros? 
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 
RESP.: D 
 
Problema 48. 
 (Hong Kong) A raiz real da xx =+++ 111 pertence ao intervalo: 
a) (0, 1) 
b) (1, 2) 
c) (2, 3) 
d) 3, 4) 
e) 94, 5) 
RESP.: B 
Problema 49. 
(UFRJ – 2008) Um jogo de computador tem diversas fases. As fases são compostas por 
níveis. A primeira fase tem um único nível, que dá acesso aos três níveis da segunda. Cada 
um dos níveisda fase k dá acesso a três níveis da fase k + 1, de acordo com o esquema da 
figura 1. 
Assim, o diagrama correspondente às 4 primeiras fases é o apresentado na figura 2. 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 43 
 
Quantos níveis tem a fase 6? 
Problema 50. 
04)(UERJ – 2007) A figura 1 mostra um molusco 'Triton tritonis' sobre uma estrela do mar. 
Um corte transversal nesse molusco permite visualizar, geometricamente, uma seqüência de 
semicírculos. O esquema na figura 2 indica quatro desses semicírculos. 
 
Admita que as medidas dos raios (AB, BC, CD, DE, EF, FG, ...) formem uma progressão 
tal que (AB)/(BC) = (BC)/(CD) = (CD)/(DE) = (DE)/(EF) = ... 
Assim, considerando AB = 2, a soma AB + BC + CD + DE + ... será equivalente a: 
53)
33)
52)
32)
+
+
+
+
d
c
b
a
 
RESP.: D 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 44 
Problema 51. 
(EUA – 95)Considere o triângulo abaixo formados pelos números 0,1, 2, .... nas 
extremidades e os números interiores serão obtidos com a soma dos dois números 
adjacentes acima dele. 
 
 
Se f(n) é a soma dos números da linha n. Então, o resto da divisão de f(100) por 100 é igual 
a: 
(A) 12 (B) 30 (C) 50 (D) 62 (E) 74 
resp.: E 
 
Problema 52. 
(OMRN – 96)Sabendo-se que A0 = A e que 
n
n
n
nA
AA
+
=+ 11
, qual é o valor de A1996 ? 
A
A
eAAd
A
A
cbAa
+++++
++++
1
.1996).
1996....21
)
.1995.9981
)1996....321)
1996
) 
resp.: C 
 
Problema 53. 
(HUNGRIA-96)Definimos a seqüência )2)(1(
1
3
2
11 ++
+==
−
nn
aaea nn para n > 1. 
Expresse an em função de n. 
 
Problema 54. 
Calcule a1992, se 
n
n
n
na
a
a
+
=+ 11
, n = 0, 1, 2, 3, ..... e a0 = 1 
Problema 55. 
(Holanda) Determine ∑
=
−+
1989
1 2 1
1
n nn
 
Problema 56. 
Considere os conjuntos: 
 
C1 = {1} 
C2 = {2,3,4} 
C3 = {5,6,7,8,9} 
C4 = {10,11,12,13,14,15,16} 
.................................................. 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 
CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 45 
E assim por diante. Se a soma dos elementos do 500 conjunto é representado por x3 + y3. 
Determine o valor de x + y, sabendo-se que x e y são números consecutivos. 
 
a) 95 b) 96 c) 97 d) 98 e) 99 
resp.: E 
 
Problema 57. 
Os números inteiros positivos são agrupados em partes distintas da seguinte maneira {1}, 
{2,3}, {4,5,6} , {7,8,9,10}, {11,12,13,14,15}... seja S a soma dos elementos que compõem 
o 240 conjunto desta sequência. Calcule a soma dos algarismos de S 
 
a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25 
resp.: A 
 
Problema 58. 
(IME)Considere a tabela formada por números ímpares. 
 
 1 
3 5 
7 9 11 
13 15 17 19 
............................. 
 
a) Obter o terceiro elemento da linha vinte 
b) Obter a soma dos elementos da linha vinte. 
 
Problema 59. 
(AUSTRALIA)Para cada inteiro positivo n, seja f(n) = 
3 23 23 2 12112
1
+−+−+++ nnnnn
 
Calcule o valor de f(1) + f(3) + f(5) + ........ + f(999997) + f(999999) 
 
Problema 60. 
(CROACIA) Seja f(x) = 
aa
a
x
x
+
, onde a é um número real positivo. Determine S = 
)
2001
2000(.....)
2001
2()
2001
1( fff +++