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Fundamentos da Engenharia 
Econômica 
 
Rogério Itaborahy Tavares 
Aula 3 
Juros Compostos 
 
Slide 1 EEIMVR 
Fórmula dos Juros Compostos 
 No regime de juros compostos, a taxa de juros incide sobre o valor acumulado 
ao final do período anterior, ou seja, ocorrerá a incidência de juros sobre juros. 
 O regime de juros compostos é mais comum do que o regime de juros 
simples, sendo utilizado nas principais operações financeiras, tanto investimentos 
como financiamentos. 
 Supondo um Capital Inicial PV aplicado durante n períodos a uma taxa de juros i 
por período, ao final do primeiro período os juros e o montante devidos seriam: 
 Juros1 = PV  i 
 FV1 = PV + Juros1 = PV + PV  i = PV  (1 + i) 
 No final do segundo período, os juros incidirão sobre o valor acumulado no final do 
primeiro período (FV1). Os juros e o montante devidos no final do 2º período são: 
Juros2 = FV1  i = PV  (1 + i)  i 
FV2 = FV1 + Juros2 = PV  (1 + i) + PV  (1 + i)  i = PV  (1 + i)
2 
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 Sucessivamente, o Valor Futuro (FV) de um principal (PV) aplicado a uma taxa de 
juros compostos i, por um prazo n, é dado por: 
 
FV = PV  (1 + i)n 
 
Exemplo 3.1: Determinar os juros e o valor de resgate de um empréstimo de R$ 
50.000,00, com taxa de juros compostos de 5% a.m., com prazo de 3 trimestres. 
Comparar os resultados com o do Exemplo 1.5. 
 
Solução : PV = 50.000,00 
 n = 3 trimestres = 9 meses 
 i = 5% a.m. 
 Juros = ? 
 FV = ? 
 FV = PV  (1 + i)n = 50.000,00  (1 + 5%)9 = 77.566,41 
 
Fórmula dos Juros Compostos 
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Slide 3 EEIMVR 
Exercícios Resolvidos 
Mês PV Juros Mensais FV 
1 50.000,00 5%  50.000,00 = 2.500,00 52.500,00 
2 52.500,00 5%  52.500,00 = 2.625,00 55.125,00 
3 55.125,00 5%  55.125,00 = 2.756,25 57.881,25 
4 57.881,25 5%  57.881,25 = 2.894,06 60.775,31 
5 60.775,31 5%  60.775,31 = 3.038,77 63.814,08 
6 63.814,08 5%  63.814,08 = 3.190,70 67.004,78 
7 67.004,78 5%  67.004,78 = 3.350,24 70.355,02 
8 70.355,02 5%  70.355,02 = 3.517,75 73.872,77 
9 73.872,77 5%  73.872,77 = 3.693,64 77.566,41 
Exemplo 3.1 (continuação): 
Crescimento do dinheiro a juros compostos 
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Exemplo 3.1 (continuação): Crescimento linear dos juros simples e exponencial dos 
juros compostos. 
50.000,00 
55.000,00 
60.000,00 
65.000,00 
70.000,00 
75.000,00 
80.000,00 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
Meses 
V
a
lo
r 
F
u
tu
ro
 
(R
$
) 
Juros 
Compostos 
Juros 
Simples 
Exercícios Resolvidos 
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 Os cálculos a juros compostos podem ser realizados facilmente através de 
calculadoras financeiras ou planilhas eletrônicas. 
 No presente curso será usada a calculadora HP-12C e a planilha Microsoft Excel. 
 A calculadora HP-12C possui cinco funções financeiras básicas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Nesta aula, serão usadas as funções PV, n, i e FV. A função PMT será analisada 
com detalhes na Aula 5. Por enquanto, será assumido que o valor das prestações 
(PMT) é zero. 
 
 
Exercícios Resolvidos 
PV Valor Presente 
n Tempo 
i Taxa de Juros 
FV Valor Futuro 
PMT Prestações 
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Juros Compostos 
 
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 Antes de resolver qualquer exercício, é importante limpar a memória da calculadora 
HP-12C, o que pode ser feito com o auxílio das funções: 
 
 
 
 
 É importante também informar para a calculadora HP-12C o regime de capitalização 
de juros a ser usado (simples ou composto). 
 Quando o “C” está ativado no visor, a calculadora faz os cálculos a juros compostos, 
tanto na parcela fracionária como na inteira de tempo. 
 Quando o “C” está desativado no visor, a calculadora faz os cálculos a juros simples 
na parcela fracionária e a juros compostos na parte inteira de tempo. 
 Para ativar ou desativar o “C”, deve-se teclar [STO] [EEX]. 
 Convenção de sinais: entradas de caixa devem ser inseridas com sinal positivo, e 
saídas de caixa com sinal negativo. 
 A função [CHS] permite mudar o sinal de uma variável (de positivo para negativo e 
vice-versa). 
Exercícios Resolvidos 
[CLX] Limpa somente o visor da HP-12C 
f [FIN] Limpa somente as memórias financeiras da HP-12C 
f [REG] Limpa todas as memórias da HP-12C 
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Slide 7 EEIMVR 
Exemplo 3.1 (continuação): O presente exemplo poderia ser facilmente resolvido 
utilizando as funções financeiras da HP-12C. 
 
Solução : PV = 50.000,00 
 n = 3 trimestres = 9 meses 
 i = 5% a.m. 
 Juros = ? 
 FV = ? 
 
 O valor de resgate do financiamento é de R$ 77.566,41, valor idêntico ao 
encontrado pela fórmula algébrica dos juros compostos. 
 Vale destacar que o valor presente foi inserido com valor positivo 
(recebimento do empréstimo de R$ 50.000,00) e o valor futuro é negativo, 
correspondente a um pagamento a ser feito para liquidar o financiamento no 
vencimento. 
 
Exercícios Resolvidos 
50.000,00 PV 
9 n 
5 i 
0,00 PMT 
FV - 77.566,41 
Solução na HP-12C 
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Slide 8 EEIMVR 
 O Microsoft Excel possui 5 funções financeiras básicas, análogas às da HP-12C: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Neste curso, os exercícios são ilustrados com o Microsoft Excel em português. 
 As funções VP, Nper, Taxa e VF são estudadas nesta aula, enquanto as funções 
PGTO e Tipo são analisadas na Aula 5. 
 As funções financeiras do Excel são acionadas através do menu “Inserir Função”, e 
selecionando a categoria “Financeira”, conforme pode ser visto no próximo slide. 
Exercícios Resolvidos 
Descrição 
Função 
(Versão em Inglês) 
Função 
(Versão em Português) 
Valor Presente PV (Rate; Nper; PMT; FV; Type ) VP (Taxa; Nper; PGTO; VF; Tipo) 
Tempo Nper (Rate; PMT; PV; FV; Type ) Nper (Taxa; PGTO; VP; VF; Tipo) 
Taxa de Juros Rate (Nper; PMT; PV; FV; Type ) Taxa (Nper; PGTO; VP; VF; Tipo) 
Valor Futuro FV (Rate; Nper; PMT; PV; Type ) VF (Taxa; Nper; PGTO; VP; Tipo) 
Prestações PMT (Rate; Nper; PV; FV; Type ) PGTO (Taxa; Nper; VP; VF; Tipo) 
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Slide 9 EEIMVR 
Exercícios Resolvidos 
Menu de funções financeiras do Microsoft Excel 
Botões para 
inserir função na 
célula marcada 
Selecionada a 
categoria 
“Financeira” 
Selecionada a 
função VF 
(Valor Futuro) 
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Slide 10 EEIMVR 
Exemplo 3.1 (continuação): O presente exemplo poderia ser facilmente resolvido 
no Microsoft Excel através da função financeira VF (Taxa; Nper; PGTO; VP; Tipo), 
conforme pode ser visto abaixo: 
 
Exercícios Resolvidos 
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Slide 11 EEIMVR 
Exemplo 3.2: Determinar o valor de resgate de um empréstimo de R$ 
50.000,00, com taxa de juros de 5% a.m. e prazo de 15 dias. Fazer os cálculos 
no regime de juros simplese compostos. Obs.: Assumir o mês com 30 dias. 
 
Solução : PV = 50.000,00 
 n = 15 dias = 0,5 mês 
 i = 5% a.m. 
 FV = PV  (1 + i  n) = 50.000,00  (1 + 5%  0,5) = 51.250,00 
 FV = PV  (1 + i)n = 50.000,00  (1 + 5%)0,5 = 51.234,75 
 
 É possível notar que, quando n é fracionário, o dinheiro a juros simples 
(R$ 51.250,00) cresce mais rápido que a juros compostos (R$ 51.234,75). 
 
Exercícios Resolvidos 
Juros Simples 
Juros Compostos 
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Slide 12 EEIMVR 
Exemplo 3.2 (continuação): 
Solução na HP-12C : Nesse exemplo, como n é fracionário, é preciso informar 
para a HP-12C o regime de capitalização de juros a ser usado (simples ou 
composto). Para ativar ou desativar o “C”, deve-se teclar [STO] [EEX]. 
 
 
 
 
 
 
 Portanto, quando o “C” está ativado no visor, os cálculos são sempre feitos a 
juros compostos (R$ 51.234,75), e quando o “C” está desativado, os cálculos 
são feitos a juros simples na parcela fracionária de tempo (R$ 51.250,00). 
 
Exercícios Resolvidos 
[STO] [EEX] “C” Desativado 
50.000,00 PV 
0,5 n 
5 i 
0,00 PMT 
FV - 51.250,00 
[STO] [EEX] “C” Ativado 
50.000,00 PV 
0,5 n 
5 i 
0,00 PMT 
FV - 51.234,75 
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Slide 13 EEIMVR 
Exemplo 3.2 (continuação): Solução no Microsoft Excel 
 As funções financeiras do Microsoft Excel sempre realizam os cálculos a juros 
compostos, tanto na parcela fracionária como na inteira de tempo. Para o 
cálculo do resultado a juros simples, deve ser usada a fórmula algébrica. 
Exercícios Resolvidos 
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Slide 14 EEIMVR 
Exemplo 3.3: Mostrar a evolução do valor de resgate de um empréstimo de R$ 
50.000,00, com taxa de juros de 5% a.m. e prazos de 10, 20, 30, 40, 50 e 60 dias. 
Fazer os cálculos no regime de juros simples e compostos. Obs.: Mês com 30 dias. 
Solução : PV = 50.000,00 ; i = 5% a.m. ; 
 FV = PV  (1 + i  n) = 50.000,00  (1 + 5%  0,3333) = 50.833,33 
 FV = PV  (1 + i)n = 50.000,00  (1 + 5%)0,3333 = 50.819,82 
 
 
 
 
 
 Quando n é fracionário, o dinheiro a juros simples (R$ 50.833,33) cresce 
mais rápido do que a juros compostos (R$ 50.819,82). 
 
Exercícios Resolvidos 
 mês 0,3333 
30
10 dias 10 n
[STO] [EEX] “C” Desativado 
50.000,00 PV 
10 [ENTER] 30 [ / ] n 
5 i 
0,00 PMT 
FV - 50.833,33 
[STO] [EEX] “C” Ativado 
50.000,00 PV 
10 [ENTER] 30 [ / ] n 
5 i 
0,00 PMT 
FV - 50.819,82 
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Exemplo 3.3 (continuação): 
 PV = 50.000,00 ; i = 5% a.m. ; 
 FV = PV  (1 + i  n) = 50.000,00  (1 + 5%  0,6666) = 51.666,67 
 FV = PV  (1 + i)n = 50.000,00  (1 + 5%)0,6666 = 51.653,08 
 
 
 
 
 
 
 Conforme esperado, uma vez que n é fracionário, o dinheiro a juros simples 
(R$ 51.666,67) cresce mais rápido do que a juros compostos (R$ 51.653,08). 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 mês 0,6666 
30
20 dias 20 n
[STO] [EEX] “C” Desativado 
50.000,00 PV 
20 [ENTER] 30 [ / ] n 
5 i 
0,00 PMT 
FV - 51.666,67 
[STO] [EEX] “C” Ativado 
50.000,00 PV 
20 [ENTER] 30 [ / ] n 
5 i 
0,00 PMT 
FV - 51.653,08 
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Slide 16 EEIMVR 
Exemplo 3.3 (continuação): 
 PV = 50.000,00 ; i = 5% a.m. ; 
 FV = PV  (1 + i  n) = PV  (1 + i ) = 50.000,00  (1 + 5%  1) = 52.500,00 
 FV = PV  (1 + i)n = PV  (1 + i ) = 50.000,00  (1 + 5%)1 = 52.500,00 
 
 
 
 
 
 
 Quando n é igual a 1, o dinheiro a juros simples (R$ 52.500,00) coincide com o 
dinheiro a juros compostos (R$ 52.500,00). 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 mês 1 dias 30 n
[STO] [EEX] “C” Desativado 
50.000,00 PV 
1 n 
5 i 
0,00 PMT 
FV - 52.500,00 
[STO] [EEX] “C” Ativado 
50.000,00 PV 
1 n 
5 i 
0,00 PMT 
FV - 52.500,00 
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Slide 17 EEIMVR 
Exemplo 3.3 (continuação): 
 PV = 50.000,00 ; i = 5% a.m. ; 
 FV = PV  (1 + i  n) = 50.000,00  (1 + 5%  1,3333) = 53.333,33 
 FV = PV  (1 + i)n = 50.000,00  (1 + 5%)1,3333 = 53.360,81 
 
 
 
 
 
 Nesse caso, com o “C” desativado, a calculadora faz os cálculos a juros simples na 
parcela fracionária e a juros compostos na parte inteira do tempo, obtendo um valor 
(R$ 53.375,00) diferente do calculado pela fórmula dos juros simples (R$ 53.333,33). 
FV = 50.000,00  (1 + 5%)1  (1 + 5%  0,3333) = 53.375,00 
 
Exercícios Resolvidos 
 mês 1,3333 dias 40 n
[STO] [EEX] “C” Desativado 
50.000,00 PV 
40 [ENTER] 30 [ / ] n 
5 i 
0,00 PMT 
FV - 53.375,00 
[STO] [EEX] “C” Ativado 
50.000,00 PV 
40 [ENTER] 30 [ / ] n 
5 i 
0,00 PMT 
FV - 53.360,81 
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Slide 18 EEIMVR 
Exemplo 3.3 (continuação): 
 PV = 50.000,00 ; i = 5% a.m. ; 
 FV = PV  (1 + i  n) = 50.000,00  (1 + 5%  1,6666) = 54.166,67 
 FV = PV  (1 + i)n = 50.000,00  (1 + 5%)1,6666 = 54.235,73 
 
 
 
 
 
 Nesse caso, com o “C” desativado, a calculadora faz os cálculos a juros simples na 
parcela fracionária e a juros compostos na parte inteira do tempo, obtendo um valor 
(R$ 54.250,00) diferente do calculado pela fórmula dos juros simples (R$ 54.166,67). 
FV = 50.000,00  (1 + 5%)1  (1 + 5%  0,6666) = 54.250,00 
 
Exercícios Resolvidos 
 mês 1,6666 dias 50 n
[STO] [EEX] “C” Desativado 
50.000,00 PV 
50 [ENTER] 30 [ / ] n 
5 i 
0,00 PMT 
FV - 54.250,00 
[STO] [EEX] “C” Ativado 
50.000,00 PV 
50 [ENTER] 30 [ / ] n 
5 i 
0,00 PMT 
FV - 54.235,73 
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Slide 19 EEIMVR 
Exemplo 3.3 (continuação): 
 PV = 50.000,00 ; i = 5% a.m. ; 
 FV = PV  (1 + i  n) = 50.000,00  (1 + 5%  2) = 55.000,00 
 FV = PV  (1 + i)n = 50.000,00  (1 + 5%)2 = 55.125,00 
 
 
 
 
 
 
 Uma vez que n só tem parte inteira (2 meses), com “C” ativado ou não, a 
calculadora gera o mesmo resultado, referente ao cálculo a juros compostos. 
 Não ocorre a capitalização “mista”, decorrente do cálculo com “C” desativado, 
pois não existe parte fracionária do n. 
Exercícios Resolvidos 
 meses 2 dias 60 n
[STO] [EEX] “C” Desativado 
50.000,00 PV 
2 n 
5 i 
0,00 PMT 
FV - 55.125,00 
[STO] [EEX] “C” Ativado 
50.000,00 PV 
2 n 
5 i 
0,00 PMT 
FV - 55.125,00 
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Slide 20 EEIMVR 
Exemplo 3.3 (continuação): A evolução do valor de resgate do investimento é 
 vista abaixo. 
Exercícios Resolvidos 
Tempo 
(Dias) 
Tempo 
(Meses) 
FV a Juros 
Simples 
FV a Juros 
Compostos 
0 0,00 50.000,00 50.000,00 
10 0,33 50.833,33 50.819,82 
20 0,67 51.666,67 51.653,08 
30 1,00 52.500,00 52.500,00 
40 1,33 53.333,33 53.360,81 
50 1,67 54.166,67 54.235,73 
60 2,00 55.000,00 55.125,00 
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Slide 21 EEIMVR 
Exemplo 3.3 (continuação): A evolução mensal do investimento é vista abaixo. 
Exercícios Resolvidos 
FV 
n 0 1 n > 1 n < 1 
Juros Compostos 
Juros Simples 
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Slide 22 EEIMVR 
Exemplo 3.4: Calcular o resgate de um investimento de R$ 1.000,00, com taxa de 
juros de 20% a.a. e prazo de 2,5 anos, nos regimes de juros simples, compostos e 
“misto” (juros simples na parte fracionária e juros compostos na parte inteira). 
Solução : PV = 1.000,00 ; i = 20% a.a. ; n = 2,5 anos ; 
 FV = PV  (1 + i  n) = 1.000,00  (1 + 20%  2,5) = 1.500,00 
 FV = PV  (1 + i)n = 1.000,00  (1 + 20%)2,5 = 1.577,44 
 FV = 1.000,00  (1 + 20%)2  (1 + 20%  0,5) = 1.584,00 
 
 
 
 
 
 Nesse caso, com o “C” desativado, a calculadora faz os cálculos a juros simples na 
parcela fracionária e a juros compostos na parte inteira do tempo, obtendo um valor 
de capitalização “mista”. 
 
Exercícios Resolvidos 
[STO] [EEX] “C” Desativado 
1.000,00 CHS PV 
2,5 n 
20 i 
0,00 PMT 
FV 1.584,00 
[STO] [EEX] “C” Ativado 
1.000,00 PV 
2,5 n 
20 i 
0,00 PMT 
FV 1.577,44 
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Juros Compostos 
 
Slide 23 EEIMVR 
Exemplo 3.4 (continuação): Solução no Microsoft Excel 
 As funções financeiras do Microsoft Excel sempre utilizam juros compostos, 
tanto na parcela fracionária como na inteira de tempo. O cálculo do resultado na 
capitalização simples ou mista deve ser feito através das fórmulas algébricas. 
Exercícios Resolvidos 
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Slide 24 EEIMVR 
Exemplo 3.5: Determinar o valor de resgate de um investimento de R$ 
15.000,00, aplicado a uma taxa de juros de 1,8% a.m., por um prazo de 4 
semestres. 
Solução : PV = 15.000,00 
 i = 1,8% a.m. 
 n = 4 semestres = 24 meses 
 FV = PV  (1 + i)n = 15.000,00  (1 + 1,8%)24 = 23.016,43 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Resolvidos 
15.000,00 CHS PV 
1,8 i 
24 n 
0,00 PMT 
FV 23.016,43 
Solução na HP-12C 
Juros Compostos 
Fundamentos da Engenharia 
Econômica 
 
Rogério Itaborahy Tavares 
Aula 3 
Juros Compostos 
 
Slide 25 EEIMVR 
Exemplo 3.5 (continuação): O exemplo seria resolvido no Microsoft Excel através 
da função financeira VF (Taxa; Nper; PGTO; VP; Tipo), como pode ser visto abaixo: 
 
Exercícios Resolvidos 
Fundamentos da Engenharia 
Econômica 
 
Rogério Itaborahy Tavares 
Aula 3 
Juros Compostos 
 
Slide 26 EEIMVR 
Exemplo 3.6: Calcular o investimento necessário para se produzir um 
montante de R$ 23.000,00, a uma taxa de juros de 18,2% a.a., daqui a 288 
dias. Considerar o ano comercial. 
Solução : FV = 23.000,00 ; i = 18,2% a.a. ; 
 PV = ? 
 FV = 23.000,00 = PV  (1 + 18,2%)0,80 
 PV = 20.120,27 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Resolvidos 
23.000,00 FV 
18,2 i 
288 [ENTER] 360 [ / ] n 
0,00 PMT 
PV - 20.120,27 
Solução na HP-12C 
 ano 0,80 
360
288dias 288 n
Fundamentos da Engenharia 
Econômica 
 
Rogério Itaborahy Tavares 
Aula 3 
Juros Compostos 
 
Slide 27 EEIMVR 
Exemplo 3.6 (continuação): O exemplo seria resolvido no Microsoft Excel através 
da função financeira VP (Taxa; Nper; PGTO; VF; Tipo), como pode ser visto abaixo: 
 
Exercícios Resolvidos 
Fundamentos da Engenharia 
Econômica 
 
Rogério Itaborahy Tavares 
Aula 3 
Juros Compostos 
 
Slide 28 EEIMVR 
 n = 6,12 anos 
Exemplo 3.7: Determinar o prazo necessário para um capital dobrar, a uma 
taxa de juros de 12% a.a.. 
Solução : PV = 100,00 ; FV = 200,00 ; i = 12% a.a. ; n = ? 
 200,00 = 100,00  (1 + 12%)n 
 
Exercícios Resolvidos 
200,00 FV 
100,00 CHS PV 
12 i 
0,00 PMT 
n 7,0 
Solução na HP-12C 
 Nesse caso, o valor de PV deve ser inserido na 
HP-12C com sinal negativo (investimento, saída de 
caixa), e o FV com sinal positivo (resgate no final, 
entrada de caixa). 
 A HP-12C não mostra o resultado de n 
exato (6,12 anos), aproximando-o para o inteiro 
superior (7 anos). 
 12% 1 Ln 
100
200Ln 















 n
Fundamentos da Engenharia 
Econômica 
 
Rogério Itaborahy Tavares 
Aula 3 
Juros Compostos 
 
Slide 29 EEIMVR 
Exemplo 3.7 (continuação): O valor de PV também deve ser inserido no Excel com 
sinal negativo (investimento) e o FV com sinal positivo (resgate no final). O Excel 
apresenta o resultado de n exato (6,12 anos), através da função financeira 
Nper (Taxa; PGTO; VP; VF; Tipo), como pode ser visto abaixo: 
 
Exercícios Resolvidos 
Fundamentos da Engenharia 
Econômica 
 
Rogério Itaborahy Tavares 
Aula 3 
Juros Compostos 
 
Slide 30 EEIMVR 
 i = 5,30% a.a. 
Exemplo 3.8: Qual é a taxa anual de juros que produz um montante de R$ 
68.000,00 a partir de um investimento de R$ 45.000,00 no fim de 8 anos? 
Solução : FV = 68.000,00 ; PV = 45.000,00 ; n = 8 anos ; i = ? ; 
 68.000,00 = 45.000,00  (1 + i )8 
 
Exercícios Resolvidos 
68.000,00 FV 
45.000,00 CHS PV 
8 n 
0,00 PMT 
i 5,30 
Solução na HP-12C 
 i 1
45.000,00
68.000,00
45.000,00
68.000,00
1/8











 8 
Fundamentos da Engenharia 
Econômica 
 
Rogério Itaborahy Tavares 
Aula 3 
Juros Compostos 
 
Slide 31 EEIMVR 
Exemplo 3.8 (continuação): O Exemplo 3.8 seria resolvido no Microsoft Excel 
através da função financeira Taxa (Nper; PGTO; VP; VF; Tipo), como pode ser visto 
abaixo: 
 
Exercícios Resolvidos 
Fundamentos da Engenharia 
Econômica 
 
Rogério Itaborahy Tavares 
Aula 3 
Juros Compostos 
 
Slide 32 EEIMVR 
 i = 39,75% a.a. 
Exemplo 3.9: Qual é a taxa anual de juros que faz com que um capital de R$ 
100.000,00 se transforme num montante de R$ 125.000,00 no fim de 8 meses? 
Solução : FV = 125.000,00 ; PV = 100.000,00 ; 
 125.000,00 = 100.000,00  (1 + i )8/12 
 
Exercícios Resolvidos 
125.000,00 FV 
100.000,00 CHS PV 
8 [ENTER] 12 [ / ] n 
0,00 PMT 
i 39,75 
Solução na HP-12C 
 i 1 
100.000,00
125.000,00
100.000,00
125.000,00
 
12/8
 8/12 










 
 ano 0,67 
12
8meses 8 n
Fundamentos da Engenharia 
Econômica 
 
Rogério Itaborahy Tavares 
Aula 3 
Juros Compostos 
 
Slide 33 EEIMVR 
Exemplo 3.10: Um investidor resgatou R$ 65.000,00 após aplicar R$ 
50.000,00 a uma taxa de 1% a.m.. Qual foi o prazo da operação? 
Solução : FV = 65.000,00 
 PV = 50.000,00 
 i = 1% a.m. 
 65.000,00 = 50.000,00  (1 + 1%)n 
 
 n = 26,37 meses 
Exercícios Resolvidos 
65.000,00 FV 
50.000,00 CHS PV 
1 i 
0,00 PMT 
n 27,00 
Solução na HP-12C 
 1% 1 Ln 
50.000,00
65.000,00
Ln 















 n
 A HP-12C não mostra o resultado de n 
exato (26,37 meses), aproximando-o para o 
inteiro superior (27 meses). 
Fundamentos da Engenharia 
Econômica 
 
Rogério Itaborahy Tavares 
Aula 3 
Juros Compostos 
 
Slide 34 EEIMVR 
Exemplo 3.11: Um empresário comprou um equipamento no valor de R$ 
80.000,00. Ele pagou R$ 20.000,00 a vista e se comprometeu a pagar R$ 
55.000,00ao final de 4 meses. Sabendo que a taxa de juros é de 2% a.m., 
determine o pagamento a ser feito ao final do 6º mês para liquidar a dívida. 
Solução : O empresário financiou um valor de R$ 60.000,00 (R$ 80.000,00 – R$ 
20.000,00). O 1º passo é calcular o valor presente dos R$ 55.000,00 a 
serem pagos daqui a 4 meses. O empresário ainda precisa pagar, a valor 
presente, R$ 9.188,50 (R$ 60.000,00 – R$ 50.811,50). Em seguida (2º passo), 
é preciso calcular o valor futuro dos R$ 9.188,50 no mês 6 (R$ 10.347,75). 
 
Exercícios Resolvidos 
55.000,00 FV 
4 n 
2 i 
0,00 PMT 
PV - 50.811,50 
1º Passo na HP-12C 
9.188,50 PV 
6 n 
2 i 
0,00 PMT 
FV - 10.347,75 
2º Passo na HP-12C 
Fundamentos da Engenharia 
Econômica 
 
Rogério Itaborahy Tavares 
Aula 3 
Juros Compostos 
 
Slide 35 EEIMVR 
Exemplo 3.12: Um clube de futebol possui uma dívida com um banco, cujos 
pagamentos de R$ 15.000,00 e R$ 20.000,00 vencem daqui a 3 e 6 meses, 
respectivamente. O clube procurou o banco e propôs liquidar a dívida com um 
pagamento único de R$ 30.000,00. Determine a época em que deve ser feito esse 
pagamento, se a taxa de juros for de 5% a.m.. 
Solução : Primeiro é preciso calcular o valor presente dos R$ 15.000,00 e R$ 
20.000,00, que vencem daqui a 3 e 6 meses, respectivamente. Portanto o clube 
deve, a valor presente, R$ 27.881,87 (R$ 12.957,56 + R$ 14.924,31). 
 
 
 
 
 
Em seguida, é preciso determinar o n que transforma o PV de R$ 27.881,87 em 
um FV de R$ 30.000,00:  30.000,00 = 27.881,87  (1 + 5%)n 
 
Exercícios Resolvidos 
15.000,00 CHS FV 
3 n 
5 i 
0,00 PMT 
PV 12.957,56 
20.000,00 CHS FV 
6 n 
5 i 
0,00 PMT 
PV 14.924,31 
 n = 1,50 mês 5% 1 Ln 
27.881,87
30.000,00
Ln 















 n
Fundamentos da Engenharia 
Econômica 
 
Rogério Itaborahy Tavares 
Aula 3 
Juros Compostos 
 
Slide 36 EEIMVR 
Exemplo 3.13: Calcular o montante de um empréstimo de R$ 500.000,00 com 
prazo de 150 dias, à taxa de 12% a.a. (ano civil). 
Solução : Nesse caso, n e i devem ser colocados na mesma base de tempo. 
Como n está em dias e i está em anos, uma opção seria colocar n em anos. 
 
 
 
 
 
 Exemplo 3.14: Um grande investidor pagou R$ 100.000,00 por um título de 
renda fixa, com prazo de 60 meses e taxa de juros de 18% a.a.. Dois anos 
depois, precisando urgentemente de recursos, vendeu o título no mercado. 
Determine o valor recebido pelo investidor, sabendo que, no momento da venda, 
a taxa de juros era 25% a.a.. 
Solução : O 1º passo é calcular o valor de resgate do título no vencimento (5 anos). 
Exercícios Resolvidos 
500.000,00 PV 
150 [ENTER] 365 [ / ] n 
12 i 
0,00 PMT 
FV - 523.837,50 
Fundamentos da Engenharia 
Econômica 
 
Rogério Itaborahy Tavares 
Aula 3 
Juros Compostos 
 
Slide 37 EEIMVR 
Exemplo 3.14 (continuação): Se o investidor 
aguardasse os 5 anos, receberia R$ 228.775,78 
no vencimento. Como vendeu o título faltando 3 
anos para o vencimento, ele receberá o valor 
presente do título, calculado pela taxa de mercado 
vigente no momento da venda (25% a.a.). 
Dessa forma, o investidor comprou um título por 
R$ 100.000,00 e o vendeu por R$ 117.133,20 
ao final de 2 anos. A taxa de juros anual recebida 
pelo investidor nessa operação poderia ser 
calculada conforme mostrado na 3ª tabela. 
Deve-se notar que a taxa de juros recebida pelo 
investidor diminui de 18% a.a. para 8,23% a.a., 
pois ele não mantém o título até o vencimento e 
decide vender o papel após dois anos, quando a 
taxa vigente no mercado era maior (25% a.a.) do 
que quando adquiriu originalmente o título. 
Exercícios Resolvidos 
100.000,00 CHS PV 
5 n 
18 i 
0,00 PMT 
FV 228.775,78 
228.775,78 CHS FV 
3 n 
25 i 
0,00 PMT 
PV 117.133,20 
100.000,00 CHS PV 
2 n 
0,00 PMT 
117.133,20 FV 
i 8,23 
Fundamentos da Engenharia 
Econômica 
 
Rogério Itaborahy Tavares 
Aula 3 
Juros Compostos 
 
Slide 38 EEIMVR 
Exercícios Propostos – Juros Compostos 
1: Determinar o valor de resgate de um investimento de R$ 20.000,00, aplicado a uma 
taxa de juros de 3,2% a.m., por um prazo de 4 semestres. 
2: Calcular o investimento necessário para se produzir um montante de R$ 43.000,00, a 
uma taxa de juros de 16,5% a.a., daqui a 187 dias. Fazer os cálculos considerando o ano 
comercial e o ano civil. 
3: Determinar o prazo necessário para um capital triplicar, a uma taxa de 25% a.a.. 
4: Qual é a taxa semestral de juros que produz um montante de R$ 79.000,00 a partir 
de um investimento de R$ 50.000,00 no fim de 10 anos? 
5: Determinar o valor hoje das seguintes obrigações: R$ 3.000,00 devidos hoje, R$ 
5.000,00 devidos em 5 meses e R$ 9.000,00 devidos em 7 meses, com juros de 3,5% 
a.m.. 
6: Um estudante deseja investir uma quantia que lhe permita resgatar R$ 50.000,00 no 
final de 12 meses e R$ 75.000,00 no final de 24 meses. Determinar o valor do 
investimento, sabendo que o banco remunera a uma taxa de 6% a.t.. 
7: Um banco vendeu títulos de sua emissão por R$ 98.500,00. O título vence em 100 
dias, com valor de resgate de R$ 100.000,00. Determinar a taxa anual da operação, 
considerando o ano civil. 
Fundamentos da Engenharia 
Econômica 
 
Rogério Itaborahy Tavares 
Aula 3 
Juros Compostos 
 
Slide 39 EEIMVR 
Exercícios Propostos – Juros Compostos 
8: Uma pequena empresa deseja reestruturar suas dívidas. Atualmente, ela tem três 
obrigações, nos valores de R$ 30.000,00, R$ 50.000,00 e R$ 80.000,00, com 
vencimentos em 50, 70 e 90 dias, respectivamente. Ela deseja trocar os três pagamentos 
por um único daqui a 120 dias. Determinar o valor desse pagamento, sabendo-se que a 
taxa de juros de mercado é de 30% a.a. (ano comercial). 
9: Um empresário comprou um veículo no valor de R$ 30.000,00, dando uma entrada de 
R$ 5.000,00, ficando com uma prestação de R$ 15.000,00 para 3 meses e outra para 6 
meses. Determinar o valor da última prestação, sabendo-se que a taxa de juros é 3% 
a.b.. 
10: Um aposentado comprou um certificado de depósito bancário (CDB) que paga R$ 
100.000,00 daqui a 182 dias. Determinar o valor de emissão, para que a taxa de juros na 
operação seja 17% a.a. (ano comercial). 
11: Uma empresa contraiu um financiamento que deve ser liquidado com um 
pagamento único no final de 15 meses. A taxa de juros do banco é 3,5% a.m., 
desdobrada em dois componentes: (a) uma taxa de 2,5% a.m. cobrada de forma 
postecipada; e (b) uma taxa antecipada (em percentagem do valor financiado), cobrada 
a vista e a título de tarifa de abertura de crédito. Determinar o valor da taxa antecipada 
para que o custo total do financiamento seja 3,5% a.m..