MATEMATICA 4

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INVESTIMENTO
Aula 1
VALOR FUTURO - APLICAÇÕES
Valor futuro e aplicações
Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá
aprender conteúdos importantes para a sua formação profissional. Vamos assisti-la?
Bons estudos!
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Ponto de Partida
Nesta aula, você se aprofundará nos estudos relacionados a investimentos, desde sua
definição, utilização e como podemos usar fórmulas matemáticas para calcular
investimentos com depósitos periódicos e iguais. 
Para melhor compreender sobre o assunto, imagine que você fez uma aplicação para
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06/08/24, 10:32 Investimento
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utilizar o dinheiro em uma viagem. Sendo assim, qual foi resultado de uma aplicação
mensal de R$ 20.000,00, durante 3 anos sob regime de juros compostos e taxa de
1,20% a.m.?
Para isso, vamos dar início ao nosso estudo!
Vamos Começar!
Investimentos
Muitas pessoas acabam tendo dúvidas sobre o que é um investimento, que é
considerando qualquer valor capaz de gerar um lucro, seja em um período de curto,
médio ou longo prazo.
As pessoas optam por investir seu dinheiro para adquirir algo no futuro, seja uma
viagem, compra um imóvel ou móvel, para ter rendimentos, rendas, entre outros. Um
investimento é toda aplicação de dinheiro visando ganhos. Vejamos alguns exemplos de
aplicação:
Caderneta de poupança.
Fundos.
Ações.
Antes de escolher um investimento, faz-se necessário planejar e estudar os demais tipos
de investimentos existentes no mercado. Para isso, alguns conceitos discutidos na
Matemática Financeira podem contribuir bastante. 
Fonte: Freepik.
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Cálculo do valor futuro
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Ao trabalharmos com investimentos, podemos utilizar o cálculo do valor futuro, que está
embasado no resultado de uma aplicação com depósitos iguais e periódicos. Para
determinar o valor futuro, usamos a seguinte fórmula matemática:
VF=dep .
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
(1+ i)n−1
i
Em que:
VF: valor futuro; resultado da aplicação ou investimento.
dep: refere-se ao valor do depósito.
n: número total de depósitos periódicos e iguais.
i: taxa de juros compostos. 
Um exemplo disso pode ser uma pessoa que queira aplicar um determinado valor
sempre no mesmo dia, em uma aplicação que renda um valor x de taxa de juros
compostos. Após um determinado período de depósitos, se obtém o valor final, ou seja,
o valor futuro. 
Resultado de aplicações
Para encontrarmos o resultado de uma aplicação, ou seja, o valor futuro, ou valor de
depósitos periódicos e iguais, ou período, fazemos uso da fórmula do valor futuro. Para
melhor compreender, observe um exemplo:
Em uma determinada instituição financeira, uma aplicação que paga uma taxa de juros
compostos de 1,2% a.m. após dois anos apresentou um valor futuro de R$ 8.839,27.
Sendo assim, qual o valor dos depósitos mensais e iguais que foram realizados nesse
período?
Primeiramente, vamos extrair os valores do problema:
VF: R $ 8 .839,27
dep:?
n: 24 depósitos periódicos e iguais.
Substituindo na fórmula:
VF=dep
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
( )1+ i n−1
i
Temos, 
8 839,27=dep
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
( )1+0,012 24−1
0,012
8 839,27=dep
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
0,3315
0,012
8 839,27=dep ·27,6250
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dep=
8 839,27
27,6250
=319,97
Logo, o valor de cada depósito foi de R$ 319,97.
Vamos Exercitar?
Para colocar em prática os conceitos vistos, imagine que você fez uma aplicação para
realização de uma viagem. Sendo assim, qual foi resultado de uma aplicação mensal de
R$ 20.000,00, durante 3 anos sob regime de juros compostos e taxa de 1,20% a.m.?
Primeiramente, vamos extrair os valores do problema:
VF: Resultado final da aplicação.
dep: R$ 20.000,00 por mês.
n: 36 depósitos periódicos e iguais, pois trata-se de depósitos mensais durante três
anos.
Substituindo os valores na fórmula, temos:
VF=dep
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
( )1+ i n−1
i
Temos,
i:1,20% a .m
VF=20.000
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
( )1+0,012 36−1
0,012
VF=20.000
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
1,5364−1
0,012
VF=20.000 ·44,70
VF=R$894.000,00
Logo, o resultado da aplicação final é de R$ 894.000,00.
Saiba Mais
Para saber mais sobre investimentos, leia o artigo Análise de investimentos de Luiz
Henrique Figueira Marquezan.
Referências Bibliográficas
ASSAF NETO, A.. Matemática financeira e suas aplicações. 12 ed. São Paulo:
Editora Atlas, 2012.
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática financeira aplicada.
Rio de Janeiro: FGV, 2009.
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https://periodicos.ufsm.br/contabilidade/article/view/21
MARQUEZAN, L. H. F.; BRONDANI, G. Análise de investimentos. Revista eletrônica de
contabilidade, v. 3, n. 1, p. 35-35, 2006.
PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação
contábil. 4 ed. São Paulo: Atlas, 2004.
Aula 2
DETERMINAÇÃO DA TAXA DE
JUROS DO VALOR FUTURO
Determinação da taxa de juros do valor futuro
Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá
aprender conteúdos importantes para a sua formação profissional. Vamos assisti-la?
Bons estudos!
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Ponto de Partida
Nesta aula, você aprofundará ainda mais seu conhecimento sobre os investimentos,
sejam eles para compra de um veículo, um imóvel, entre outros. Você vai também
compreender sobre como calcular o valor da taxa de juros imposta em um rendimento e
fazer uso da calculado HP – 12C para seu cálculo. 
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Para melhor compreender sobre o assunto, imagine que o dono de uma multinacional
pretende fazer uma reforma, mas para isso vai aplicar R$ 10.000,00 por mês, durante
seis meses. Sabendo que essa mesma aplicação resultou, num período de quatro
meses, no valor de R$ 48.763,64, depositando R$ 12.000,00 por mês, qual é a taxa de
juros dessa aplicação?
Para isso, vamos dar início ao nosso estudo!
Vamos Começar!
Taxa de juros no investimento
Quando estamos pensando em fazer um investimento, é necessário estar ciente da
influência do cenário econômico, assim como a taxa de juros também pode impactar
diretamente a sua estrutura. Além disso, a taxa de juros é bastante utilizada no mercado
de crédito como um todo, por esse motivo é importante estar atento às suas variações.
Compreender e conseguir determinar a taxa de juros pode contribuir para melhores
resultados nas aplicações financeiras, já que ela afeta de maneira direta a rentabilidade
da maioria dos investimentos disponibilizados no mercado. 
Um exemplo disso pode ser de duas financeiras oferecendo taxas de juros distintas;
mesmo que o valor da diferença entre ela seja pequeno, opte sempre pela menor e as
melhores condições, pois isso pode impactar o seu rendimento futuro. 
Figura 1 | Taxa de juros no investimento. Fonte: Freepik.
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Métodos para o cálculo de taxa
Muitas vezes necessitamos determinar a taxa imposta em investimentos. Nesse caso,
podemos fazer uso do Método de Newton-Raphson para valor futuro, o qual apresenta o
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menor número de iterações. Para sua aplicação, fazemos uso de uma série de funções,
em que:
VF: valor futuro
parc: valor do depósito periódico e igual
i j : taxa de juros (chute)
 
Funçãoda taxa de juros compostos:
f (i j )=
VF
dep
i j− ( )1+ i j
n+1
Função marginal da taxa de juros compostos:
f ' (i j )=
VF
dep
−n ( )1+ i j
n−1
Função de Newton-Raphson:
i j+1= i j−
f (i j )
f ' (i j )
Mecanismo do método:
1º passo: estipular uma taxa de juros compostos inicial em valor relativo ( )i j .
2º passo: substituir i j na função da taxa de juros compostos f ( )i j .
Se 







f ( )i j ≤0,0001, então i j é a taxa de juros compostos imposta na aplicação.
Se 







f ( )i j >0,0001, então i j não é a taxa de juros compostos imposta na aplicação,
vá para o 3º passo.
3º passo: usando o valor da taxa de juros compostos i j , calcule o valor da função
marginal da taxa de juros compostos f '( )i j .
4º passo: usando os valores da taxa de juros compostos ( )i j , da função da taxa de juros
compostos f ( )i j e da função marginal da taxa de juros compostos f '( )i j , calcule a
próxima taxa de juros compostos ( )i j+1 , que deverá substituir a última taxa que não deu
certo.
5º passo: com a nova (i (j+1)) determinada no passo anterior, volte ao 2º passo e refaça
os cálculos como se essa fosse a taxa inicial, esquecendo-se da taxa anterior.
Os passos deverão ser repetidos até que:








f ( )i j ≤0,0001
Exemplo disso é quando pretende saber qual o valor dos depósitos periódicos e iguais,
as quantidades das parcelas e o resultado da aplicação.
 
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Utilização da calculadora HP para cálculo da taxa de
investimento
Além do método de Newton-Raphson podemos calcular a taxa de um investimento com
depósitos iguais e periódicas a partir da utilização da calculadora HP-12C. 
Observe o passo a passo na HP12C para cálculo da taxa de juros num financiamento.
Digita valor futuro → Tecla CHS e Tecla FV
Digita quantidade de depósitos → Tecla n
Digita valor do depósito → Tecla PMT
Tecla i
Observe um exemplo:
João Lucas depositou todos os meses, durante 15 meses, o valor de R$ 2.000,00 em
um investimento. Esse investimento resultou um montante final de R$ 34.586,83. Qual é
a taxa de juros compostos paga por essa aplicação?
Podemos seguir o passo a passo abaixo para resolver pela HP12C:
Digita o valor futuro → 34 586,83 → Tecla CHS e Tecla FV
Digita quantidade de depósitos → 15 → Tecla n
Digita valor do depósito → 2 000→ Tecla PMT
Tecla i
Logo, teremos o valor da taxa igual a 2% a.m.
Vamos Exercitar?
Para colocar em prática os conceitos vistos, imagine que o dono de uma multinacional
pretende fazer uma reforma, mas para isso vai aplicar R$ 10.000,00 por mês, durante
seis meses. Sabendo que essa mesma aplicação resultou, em um período de quatro
meses, o valor de R$ 48.763,64, depositando R$ 12.000,00 por mês, qual é a taxa de
juros dessa aplicação?
1ª Etapa: determinando a taxa de juros compostos da aplicação:
VF:R$48.763,64
i j : Taxa de juros compostos que desejamos encontrar.
n: 4
dep: R$ 12.000,00/mês
Substituindo na função da taxa de juros compostos, temos?
f ( )i j =
VF
dep
i j− ( )1+ i j
n+1
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https://www.vichinsky.com.br/hp12c/hp12c.php
f ( )i j =
48.763,64
12.000
i j− ( )1+ i j
4+1
f ( )i j =4,0636i j− ( )1+ i j
4+1
Substituindo na função da taxa de juros compostos
f ' ( )i j =
VF
dep
−n ( )1+ i j
n−1
f ' ( )i j =4,0636−4( )1+ i j
3
Substituindo na função da taxa de juros compostos
i j+1= i j−
f (i j )
f ' (i j )
Observe na tabela como fica as iterações:
 
Logo, a taxa imposta nesse investimento é de 1,14% a.m.
Saiba Mais
Para saber mais sobre investimentos, leia a dissertação O efeito dos atributos dos
mercados na escolha de investimentos de Simone Hilário da Silva Brasileiro.
Referências Bibliográficas
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 12. ed. São Paulo:
Editora Atlas, 2012.
 1º 2º 3º 4º
Iterações i j F (i j ) 𝐹’ � 𝑖𝑗 � 𝑖𝑗 + 1
1ª 0,02 -0,0012 -0,1812 0,0134
2ª 0,0134 -0,0002 -0,0992 0,0114
3ª 0,0114 -0,0001 FIM 9,0687 0,0100
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https://alexandria-html-published.platosedu.io/36406b07-6636-4bff-ad23-62828ce5770f/v1/index.html 9/25
http://ppggo.sistemasph.com.br/images/documentos/dissertacoes/2016/SIMONE_HILARIO_DA_SILVA_BRASILEIRO.pdf
http://ppggo.sistemasph.com.br/images/documentos/dissertacoes/2016/SIMONE_HILARIO_DA_SILVA_BRASILEIRO.pdf
BRASILEIRO, S. H. S. et al. O efeito dos atributos dos mercados na escolha de
investimentos. 2018.
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática financeira aplicada.
Rio de Janeiro: FGV, 2009.
PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação
contábil. 4 ed. São Paulo: Atlas, 2004.
Aula 3
AMORTIZAÇÃO
Amortização
Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá
aprender conteúdos importantes para a sua formação profissional. Vamos assisti-la?
Bons estudos!
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Ponto de Partida
Nesta aula, você conhecerá sobre os sistemas de amortização para financiamentos, seja
de um imóvel, um carro, entre outros. Abordaremos suas principais características,
assim como vamos aprender a realizar cálculos para o sistema SAC e PRICE. 
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Para melhor compreender sobre o assunto, imagine que você vai financiar uma obra em
4 parcelas trimestrais sob regime de juros compostos e taxa de 3,66% a.t. Sabendo que
o sistema de amortização é o SAC e o valor financiado é de R$ 306.000,00, qual valor
das parcelas? 
Para isso, vamos dar início ao nosso estudo!
Vamos Começar!
Sistemas de amortização
É muito comum as pessoas optarem por financiamentos para compra da sua casa
própria, carro, para realizar uma viagem, algum item para sua casa, entre outros. Muito
se discute sobre valores abusivos de juros que podem ser cobrados em alguns
financiamentos, por isso é necessário conhecer e compreender os tipos de
financiamentos para optar pelo melhor cenário. 
No Brasil, para financiamentos, de uma forma geral, podemos utilizar diversos métodos,
mas em específico, nesta aula, abordaremos sobre os dois métodos de amortização da
dívida de compra: 
SAC (Sistema de Amortização Constante).
PRICE (Sistema Francês de Amortização).
Um exemplo desses métodos pode ser o financiamento de uma casa pela SAC e um
carro pelo sistema PRICE.
Figura 1 | Financiamento de um automóvel. Fonte: Freepik.
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Sistema SAC
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O SAC - Sistema de Amortização Constante tem como característica a diminuição do
valor das parcelas ao longo do tempo. Para o cálculo de suas parcelas temos que
primeiramente calcular o valor da amortização, pois a parcela será composta sempre
pela mesma amortização, afinal ela é constante, mais o valor dos juros. 
 
Fórmula para cálculo da Amortização 𝐴𝑚
𝐴𝑚 = 𝑉𝑃
𝑛
Em que,
Am: Amortização
VP: Valor presente
n: Quantidade parcelas
 
Fórmula para cálculo da Parcela 𝑃𝑘
𝑃𝑘 = 𝐴𝑚 + 𝐽𝑘
Em que,
Am: amortização
𝑃𝑘: valor da parcela
𝐽𝑘: juros
 
Fórmula para cálculo dos Juros 𝐽𝑘
𝐽𝑘 = 𝐷𝑘 - 1 . 𝑖
Em que,
𝐽𝑘: juros
𝐷𝑘 - 1: dívida anterior
i: taxa de juros
 
Fórmula para cálculo da Dívida 𝐷𝑘
𝐷𝑘 + 1 = 𝐷𝑘 - 𝐴𝑚
Em que,
𝐷 ( 𝑘 + 1 � : dívida atual
𝐷𝑘: dívida
Am: amortização
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Um exemplo desse tipo de sistema é para financiamento de compra de imóveis.
 
Sistema PRICE
O PRICE – Sistema Francês de Amortização tem comocaracterística suas parcelas
serem iguais. Tem maior aplicação em financiamentos de veículos.
Fórmula para cálculo da Parcela: 
𝑝𝑎𝑟𝑐 = 𝑉𝑃 . 𝑖 . ( 1 + 𝑖 ) 𝑛
( 1 + 𝑖 ) 𝑛 - 1
Em que,
parc: valor da parcela
VP: valor presente
n: quantidade parcelas
i: taxa de juros
Fórmula para cálculo da Amortização 𝐴𝑚
𝐴𝑚𝑘 = 𝑝𝑎𝑟𝑐 - 𝐽𝑘
Em que,
Amk: amortização
parc: valor da parcela
𝐽𝑘: valor dos juros
 
Fórmula para cálculo dos Juros 𝐽𝑘
𝐽𝑘 = 𝐷𝑘 - 1 . 𝑖
Em que:
𝐽𝑘: juros
𝐷𝑘 - 1: dívida anterior
I: taxa de juros
Fórmula para cálculo da Dívida 𝐷𝑘
𝐷𝑘 = 𝐷𝑘 - 1 - 𝐴𝑚𝑘
Em que,
𝐷𝑘 - 1: dívida anterior
𝐷𝑘: dívida
Amk: amortização
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Um exemplo desse tipo de método são financiamentos de veículos, em que as parcelas
são constantes ao longo de todo financiamento.
Vamos Exercitar?
Para colocar em prática os conceitos vistos, imagine que você vai financiar uma obra em
4 parcelas trimestrais sob regime de juros compostos e taxa de 3,66% a.t. Sabendo que
o sistema de amortização é o SAC e o valor financiado é de R$ 306.000,00, qual valor
das parcelas? 
Para melhor compreender a nossa tabela:
Observe que a nossa dívida inicial 𝐷𝑘=306 000.
Para calcularmos a amortização (coluna II), dividimos o valor do financiamento por
R$ 306.000,00 pela quantidade de parcelas (4).
Na terceira coluna, temos que o cálculo dos juros será a multiplicação da dívida
anterior pela taxa de juros. 
E, por fim, na quarta coluna, somamos a amortização e valor dos juros para
determinação do valor das parcelas. 
Sendo assim, o valor das parcelas será R$ 87.699,60; R$ 84.899,70; R$ 82.099,80; R$
79.288,90; R$ 333.999,00.
Saiba Mais
Dívida (𝐷𝑘)
𝐷𝑘 + 1 = 𝐷𝑘 - 𝐴𝑚
Amortização
(Am)
𝐴𝑚 = 𝑉𝑃
𝑛
Juros (𝐽𝑘)
𝐽𝑘 = 𝐷𝑘 - 1 . 𝑖
Parcela (𝑃𝑘)
𝑃𝑘 = 𝐴𝑚 + 𝐽𝑘
306 000,00 76 500,00 
229 500,00 76 500,00 11 199,60 87 699,60
153 000,00 76 500,00 8 399,70 84 899,70
76 500,00 76 500,00 5 599,80 82 099,80
0,00 76 500,00 2 799,90 79 288,90
 306 000,00 333 999,00
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Para saber mais sobre financiamentos, leia o artigo SAC ou PRICE? de Debora Borges
Ferreira. 
Referências Bibliográficas
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 12 ed. São Paulo: Editora
Atlas, 2012.
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática financeira aplicada.
Rio de Janeiro: FGV, 2009.
FERREIRA, D. B. Sac ou PRICE? Revista do Professor de Matemática, n. 85, p. 42-
45, SBM, Rio de Janeiro, 2014.
FERNANDES, N. C. C. Matemática financeira: uma abordagem sobre financiamentos.
2014. Disponível em: https://repositorio.ufc.br/handle/riufc/9588. Acesso em: 18 nov.
2023. 
PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação
contábil. 4 ed. São Paulo: Atlas, 2004.
 
Aula 4
MÉTODO HAMBURGUÊS
Método Hamburguês
Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá
aprender conteúdos importantes para a sua formação profissional. Vamos assisti-la?
Bons estudos!
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https://rpm.org.br/rpm/img/conteudo/files/85_SAC%20ou%20PRICE.pdf
https://repositorio.ufc.br/handle/riufc/9588
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Ponto de Partida
Nesta aula, você aprenderá sobre o cheque especial, bem como utilizar o método
hamburguês para calcular valor de juros do cheque especial. Para melhor compreender
sobre o tema, imagine que você controla todo fluxo de caixa de uma empresa. Observe
o extrato bancário:
A instituição bancária cobra uma taxa de juros simples de 0,47% a.d. e IOF de 0,07% ao
dia. Qual o valor dos juros a serem cobrados pelo uso do cheque especial e o saldo
bancário da empresa no último dia do mês?
Para isso, vamos dar início ao nosso estudo!
Vamos Começar!
Data Histórico Movimento Saldo
01 Transporte 1.000,00 +
03 Clientes 400.000,00 + 
05 Fornecedores 150.000,00 - 
05 Funcionários 100.000,00 - 
10 Encargos fiscais 170.000,00 - 
13 Clientes 50.000,00 + 
15 Pagamento de reforma 17.541,51 - 
22 Pagamento de manutenção 20.000,00 - 
28 Pagamento de material de construção 85.000,00 - 
30 Clientes 100.000,00 + 
30 Juros do cheque especial 
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Conta garantida
Muitas pessoas acabam tendo dúvidas sobre o que é uma conta garantida, pois trata-se
de um empréstimo rotativo destinado às empresas clientes da instituição financeira. O
dinheiro fica disponível da conta bancária do cliente e a empresa, de acordo com o limite
contratado, pode fazer seu uso para suprir eventuais necessidades de fluxo de caixa.
Porém, quando o dinheiro é utilizado, são cobrados valores de juros que incidem
somente sobre os valores utilizados nos dias úteis, sendo debitados mensalmente da
conta garantida e o limite utilizado pode ser coberto a qualquer momento, por meio de
créditos na conta garantida.
Podemos dizer que a conta garantida é quase a mesma coisa que cheque especial, com
a diferença que conta garantida é um produto específico para pessoas jurídicas. É
comum também, na pessoa jurídica, que a conta garantida seja separada da conta da
pessoa física. 
Um exemplo de conta garantida é quando uma empresa faz uso do dinheiro
disponibilizado pela instituição bancária para pagamentos de salários e depois de alguns
dias cobre esse dinheiro e mais o adicional dos juros pelo período utilizado.
Figura 1 | Empréstimo bancário. Fonte: Freepik.
Siga em Frente...
Cheque especial
Hoje em dia, com tantos imprevistos, muitas vezes, o nosso dinheiro não é suficiente
para sanar as despesas do mês, bem como podem aparecer alguns gastos de
emergência. Diante desse contexto, o cheque especial é um tipo de crédito que o banco
disponibiliza em sua conta corrente, como se fosse um empréstimo pré-aprovado que
fica ali disponível diretamente na conta para usar a qualquer momento. 
Algumas instituições bancárias também oferecem um período no qual aquele limite
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disponível pode ser utilizado sem a aplicação de juros, por até 10 dias sem incidência de
juros. 
A partir do cheque especial, o limite fica disponível para usar sempre que a pessoa
precisar, fácil e prático, mas é necessário cautela, pois muitas pessoas cometem o erro
de usar o limite do cheque especial como se fosse uma extensão da conta corrente, o
que pode ocasionar num endividamento fora do controle.
 
Cálculo dos juros do cheque especial
Com intuito de contribuir para o cálculo dos juros do uso do cheque especial e da conta
garantida, a serem cobrados ao final de um período de trinta dias para conta garantida
ou cheque especial, podemos utilizar o método hamburguês a partir da seguinte fórmula:
𝐽 = � 𝑖 + 𝐼𝑂𝐹 � ∑ 𝑆𝐷 . 𝑑
Em que,
J: juros a serem cobrados pelo uso da conta garantida ou cheque especial.
i: taxa de juros simples ao dia.
IOF: Imposto sobre Operações Financeiras ao dia.
SD: saldo devedor.
d: número de dias em que o saldo devedor (SD) não se altera.
 
Vamos Exercitar?
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Para colocar em prática os conceitos vistos, imagine que você controla todo fluxo de
caixa de uma empresa. Observe o extrato bancário:
A instituição bancária cobra uma taxa de juros simples de 0,47% a.d. e IOF de 0,07% ao
dia. Qual o valor dos juros a serem cobrados pelo uso do chequeespecial e o saldo
bancário da empresa no último dia do mês?
Ao analisar o extrato bancário, vamos adicionar os valores positivos, subtrair os valores
negativos e quando o saldo ficar negativo multiplicar cada valor pela quantidade de dias
que o saldo se manteve negativo.
Sendo assim, temos que:
∑ SD . d = 279 364,08
i = 0,47% 𝑎 . 𝑑 = 0,0047 𝑎 . 𝑑
IOF = 0,07 % a . d = 0,0007 a . d
Substituindo os valores na fórmula:
J = � i + IOF � ∑ SD . d
J = 0,0047 + 0,0007 . 279364,08
J = 0,0047.279364,08
J = R$1.313,01
Logo, os juros a serem cobrados serão de R$ 1.313,01.
Saiba Mais
Para saber mais sobre conta garantida e cheque especial, leia o artigo Gestão do capital
de giro de pequenas empresas de Valdineide Santos Araújo.
Data Histórico Movimento Saldo
01 Transporte 1.000,00 +
03 Clientes 400.000,00 + 
05 Fornecedores 150.000,00 - 
05 Funcionários 100.000,00 - 
10 Encargos fiscais 170.000,00 - 
13 Clientes 50.000,00 + 
15 Pagamento de reforma 17.541,51 - 
22 Pagamento de manutenção 20.000,00 - 
28 Pagamento de material de construção 85.000,00 - 
30 Clientes 100.000,00 + 
30 Juros do cheque especial 
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https://periodicos.unifor.br/rca/article/view/259
https://periodicos.unifor.br/rca/article/view/259
Referências Bibliográficas
ARAÚJO, V. S.; MACHADO, M. A. V. Gestão do capital de giro de pequenas empresas.
Revista Ciências Administrativas, v. 13, n. 1, 2007.
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 12 ed. São Paulo: Editora
Atlas, 2012.
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática financeira aplicada.
Rio de Janeiro: FGV, 2009.
PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação
contábil. 4 ed. São Paulo: Atlas, 2004.
Encerramento da Unidade
INVESTIMENTO
Videoaula de Encerramento
Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá
aprender conteúdos importantes para a sua formação profissional. Vamos assisti-la?
Bons estudos!
Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.
Ponto de Chegada
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Para desenvolver a competência desta unidade, que é compreender os conceitos
relacionados a investimentos e os diferentes tipos sistemas de amortização a fim de
aplicá-los na resolução de problemas financeiros, é necessário abordar os seguintes
conceitos:
Ao trabalharmos com investimentos com depósitos iguais e periódicos, podemos utilizar
o cálculo do valor futuro, a partir da seguinte fórmula matemática:
𝑉F = dep . ( 1 + 𝑖 ) 𝑛 - 1
𝑖
Em que:
VF: valor futuro; resultado da aplicação ou investimento.
dep: refere-se ao valor do depósito.
n: número total de depósitos periódicos e iguais.
i: taxa de juros compostos. 
 
Além dessa fórmula do valor futuro, às vezes precisamos determinar a taxa imposta em
investimentos. Nesse caso, podemos fazer uso do Método de Newton-Raphson:
VF: valor futuro.
parc: valor do depósito periódico e igual.
𝑖𝑗: taxa de juros (chute).
Função da taxa de juros compostos:
𝑓 ( 𝑖𝑗 � = 𝑉𝐹
𝑑𝑒𝑝
𝑖𝑗 - 1 + 𝑖𝑗
𝑛 + 1
Função marginal da taxa de juros compostos:
𝑓' ( 𝑖𝑗 � = 𝑉𝐹
𝑑𝑒𝑝
- 𝑛1 + 𝑖𝑗
𝑛 - 1
Função de Newton-Raphson:
𝑖𝑗 + 1 = 𝑖𝑗 -
𝑓 � 𝑖𝑗 �
𝑓' � 𝑖𝑗 �
Mecanismo do método
1º passo: estipular uma taxa de juros compostos inicial em valor relativo 𝑖𝑗.
2º passo: substituir i_j na função da taxa de juros compostos 𝑓 � 𝑖𝑗 � .
Se 𝑓𝑖𝑗 ≤ 0,0001, então 𝑖𝑗 é a taxa de juros compostos imposta na aplicação.
Se 𝑓𝑖𝑗 > 0,0001, então 𝑖𝑗 não é a taxa de juros compostos imposta na
aplicação, vá para o 3º passo.
3º passo: usando o valor da taxa de juros compostos 𝑖𝑗, calcule o valor da função
marginal da taxa de juros compostos 𝑓'𝑖𝑗.
4º passo: usando os valores da taxa de juros compostos 𝑖𝑗, da função da taxa de
juros compostos 𝑓 � 𝑖𝑗 � , e da função marginal da taxa de juros compostos 𝑓'𝑖𝑗,
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calcule a próxima taxa de juros compostos (i_(j+1) ), que deverá substituir a última
taxa que não deu certo.
5º passo: com a nova � 𝑖 ( 𝑗 + 1 � � determinada no passo anterior, volte ao 2º passo
e refaça os cálculos como se essa fosse a taxa inicial, esquecendo-se da taxa
anterior. 
Os passos deverão ser repetidos até que: 
𝑓𝑖𝑗 ≤ 0,0001
Além do método de Newton-Raphson podemos calcular a taxa de um investimento com
depósitos iguais e periódicas a partir da utilização da calculadora HP-12C. 
Agora, em nosso dia a dia, podemos optar por diversos tipos de financiamentos, dois
deles são o SAC e o PRICE. O SAC – Sistema de Amortização Constante tem como
característica ter suas parcelas num comportamento decrescente, ou seja, as parcelas
diminuem ao longo do tempo. 
Já o PRICE – Sistema Francês de Amortização tem como característica suas parcelas
serem iguais. Tem maior aplicação em financiamentos de veículos.
E, por fim, para o cálculo dos juros do uso do cheque especial e da conta garantida, a
serem cobrados ao final de um período de trinta dias para conta garantida ou cheque
especial, podemos utilizar o método hamburguês a partir da seguinte fórmula:
𝐽 = � 𝑖 + 𝐼𝑂𝐹 � ∑ 𝑆𝐷 . 𝑑
Em que,
J: juros a serem cobrados pelo uso da conta garantida ou cheque especial.
i: taxa de juros simples ao dia.
IOF: Imposto sobre operações financeiras ao dia.
SD: Saldo devedor.
d: número de dias em que o saldo devedor (SD) não se altera.
É Hora de Praticar!
Agora, você colocará em prática os conceitos vistos nesta unidade. Vamos lá!
Carlos pretende realizar uma viagem cujo custo é de R$ 6.400,00. Ele tem R$ 450,00
para aplicar mensalmente num investimento, que paga uma taxa de juros compostos de
1,07% a.m. Sendo assim, quantos depósitos mensais deverão ser feitos para atingir o
valor da viagem? 
Reflita
Ao final dos estudos, responda:
Você consegue identificar qual fórmula utilizar em casa situação problema?
Você extrai as informações dos problemas de forma correta?
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Você consegue identificar situações do seu dia a dia em nossa disciplina e como
ela pode te ajudar?
Dê o Play!
Clique aqui para acessar os slides do Dê o play!
Resolução do estudo de caso
Primeiramente, vamos extrair as informações do problema:
VF: R$ 6.400,00
dep: 400,00
n: ?
i: 1,07% a.m = 0,0107 a.m
Substituindo os valores na fórmula, temos:
𝑉𝐹 = 𝑑𝑒𝑝1 + 𝑖𝑛 - 1
𝑖
6400 = 4501 + 0,0107𝑛 - 1
0,0107
6400
450
= 1,0107𝑛 - 1
0,0107
14,22 . 0,0107 + 1 = 1,0107𝑛
1,1522 = 1,0107𝑛
Para tombar expoente, vamos multiplicar por ln
𝑙𝑛1,1522 = 𝑙𝑛1,0107𝑛
𝑙𝑛1,1522 = 𝑛 . 𝑙𝑛1,0107
0,1417 = 𝑛 . 0,0106
𝑛 = 0,1417
0,0106
= 13,37
Logo, serão necessários aproximadamente 13 meses de depósitos para atingir o valor
necessário para a viagem. 
Dê o play!
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Assimile
Figura 1 | Mapa mental - investimentos
Referências
ARAÚJO, V. S.; MACHADO, M. A. V. Gestão do capital de giro de pequenas empresas.
Revista Ciências Administrativas, v. 13, n. 1, 2007.
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 12 ed. São Paulo:
Editora Atlas, 2012.
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática financeira aplicada.
Rio de Janeiro: FGV, 2009.
MOREIRA, Fernando Ricardo et al. Juros: conceitos e aplicações.Enciclopédia
Bioesfera, v. 6, n. 9, 2010.
OLIVEIRA, W. Sistema de juros compostos. Revista Processus Multidisciplinar, v. 1,
n. 1, p. 11-22, 2020.
06/08/24, 10:32 Investimento
https://alexandria-html-published.platosedu.io/36406b07-6636-4bff-ad23-62828ce5770f/v1/index.html 24/25
06/08/24, 10:32 Investimento
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