Aula 17 Permutação Simples

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Disciplina: ÁLGEBRA		 Ano Escolar: 2º.			Aula nº: 04
Título: Permutações Simples	 Nº do PE.: .			Aula Rest.:
										 Data: ___/___/___
RESUMO TEÓRICO
PERMUTAÇÕES SIMPLES
	Definição: Permutação simples é um caso particular de arranjo simples onde m = p, isto é Pm = Am,p = Am,n = 
 = 
Pm = m!
Permutação Circular
	Definição: Chama-se permutação circular de m objetos distintos, a qualquer disposição desses objetos em torno de um círculo, onde duas permutações são diferentes quando uma não for obtida da outra por qualquer rotação 
Notação (PC)m Fórmula:
Permutação com Repetição
Definição: Seja E um conjunto com n elementos, i é, E = { a1, a2, ..., ar}
Onde n1 são iguais a a1
 	n2 são iguais a a2 tal que, n1 + n2 + ... + nr = n
 	nr são iguais a ar
Então: 
Calcular a soma de todos os números de 5 algarismos distintos formados com os algarismos 1,2,3,4, e 5. Resposta 3.999.960
Escrevendo-se tos os números de 6 algarismos distintos em ordem crescente, utilizando os algarismos 1,2,3,4,5 e 6, qual é o lugar que ocupa o número 432651? Resposta: 420º
De quantos modos podemos decompor 12 objetos distintos em 3 grupos de 4 objetos?
Resposta C12,4 . C8,4 . C4,4 ou 
De quantos modos podemos decompor 15 objetos distintos em 5 grupos, sendo dois grupos com 2 objetos, dois grupos com 3 objetos, e um grupo com 5 objetos?
Resposta: 
Cinco pessoas (entre elas um casal) devem sentar a uma mesa circular. De quantos modos pode ser feita a sua disposição, de tal forma que o casal fique sempre junto?
Resposta: 2 (PC)4 = 12
Quantos colares podem ser feitos com cinco contas diferentes?
Resposta: 
Os 8 lugares de um carrossel serão ocupados por 4 meninos e 4 meninas. Quantas são as maneiras de se fazer a ocupação de modo que meninos e meninos fiquem intercalados?
Resposta: (PC)4 P4 = 144
Das 8 pessoas que devem sentar-se à uma mesa, A e B nunca podem ser vizinhos. Quantas são as disposições possíveis?
Resposta: (PC)8 – 2(PC)7 = 3600
Quantos anagramas tem a palavra BARBARIDADE?
Resposta: 
= 831600
Um grupo em que n elementos são iguais a A e 2 elementos são iguais a B tem 21 permutações. Determine n?
Resposta: 
 = 21 
n = 5
Em quantos anagramas da palavra BRASÍLIA as letras iguais a I:
a) Aparecem juntas?					Resposta: 
 = 2520
b) Não aparecem juntas?					Resposta: 
 = 7560
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
De quantos modos se pode pintar um cubo, usando 6 cores diferentes, sendo cada face de uma cor?
Solução: O número de modos diferentes de um observador ver o cubo pintado é dado por 6!, entretanto o número de modos de pintar o cubo nas condições não é 6!, pois o observador pode ver de 24 modos diferentes uma mesma pintura do cubo, vejamos porque:
Seja a face ABCD pintada de verde 
Como vemos, podemos ver a face verde de 4 modos diferentes e que cada uma dessas posições a face verde permanece voltada para o observador, fazendo raciocínio igual para as 6 faces obtemos 4 x 6 = 24 modos diferentes do observador ver a mesma face, assim temos:
 
Observação: Este problema pode ser generalizado para um poliedro regular com F faces, tendo cada face n lados. O número de modos de pintar esse poliedro com F cores, sendo cada face com uma cor é dado por:
 
A Escola Naval receberá 20 novos oficiais, entre fuzileiros, intendentes e oficiais da armada. De quantos modos pode ser preenchido o efetivo da E.N. se deve haver entre os 20 novos oficiais, pelo menos dois fuzileiros, pelo menos dois intendentes e pelo dois do corpo da armada?
Solução: O problema consiste em calcular o número de solução da equação x + y + z = 20 onde x 
 fuzileiros; y 
 intendentes e z 
 corpo da armada e x 
 2.
Fazendo uma mudança de variável, temos:
x = 1 + x|			x + z + z = 20
y = 1 + y|			1 + x| + 1 + y| + 1 + z| = 20
z = 1 + z|			x| + y| + z| = 17
Para calcular o número de soluções inteiras positivas da equação x| + y| + z| = 17, devemos usar a fórmula:
.Resp.
Dedução da Fórmula
Calcule o número de soluções inteiras positivas da equação x + y = 5. Escrevendo-se em fila 5 bolas iguais, de quantos modos podemos separá-la em 2 grupos, onde cada grupo contenha pelo menos 1 bola.
Exemplos: 00/000; 000/0; 000/00 e 0/0000.
Observe que entre as 5 bolas existem 4 espaços para se colocar as barras para dividimos em 2 grupos de bolas.
Portanto, o número de soluções inteiras positivas da equação x + y = 5 é igual ao número de modos de se escolher 1 entre 4 espaços para se colocar a barra, isto é, 
Fazendo um raciocínio análogo para a equação x1 + x2 + ... + xp = n (n – natural)
Temos: 
Observação: 1) Se p = n a equação possui uma única solução.
 2) Se p > n a equação não possui solução inteira positiva.
 3) Quantos são os anagramas da palavra “ESCOLA” nos quais nenhuma letra, ocupa o seu lugar primitivo.
Solução:
y = m! 
y = 6! 
y = 720
y = 360 – 120 + 30 – 6 + 1
y = 265
Chamamos de desarrumação caótica a qualquer permutação na qual nenhum elemento está fixo.
Dado o conjunto {a1, a2, a3, a4} determine o número de permutações caóticas que podemos obter com esses elementos.
Sejam os conjuntos.
F = conjunto das permutações de 4 elementos = 4! = n (E)
E1 = conjunto das permutações de E que tem a1 fixo n (E1) = 3! 
E2 = conjunto das permutações de E que tem a2 fixo n (E2) = 3!
E3 = conjunto das permutações de E que tem a3 fixo n (E3) = 3!
E4 = conjunto das permutações de E que tem a4 fixo n (E4) = 3!
O número pedido é encontrado se de todas as permutações retirarmos as que possui | elemento fixo.
Y = n (E) – n (E1 E​2 E3 E4)
Y = n (E) –
[(n (E1) + n (E​2)+n (E3) + n (E4) – n (E1(E​2) – n (E1(E3) – n (E1(E4) – n (E​2(E3) – n (E​2(E4)] – n (E​3 ( E4) + n (E1(E​2 ( E3) + n (E1(E​2 ( E4) + n (E1(E​3(E4) + n (E2(E​3 ( E4) – n (E1(E​2 (E3(E4)]
y = 4! [(3! + 3! + 3! + 3!) – (2! + 2! + 2! + 2! + 2! + 2!) + (1! + 1! + 1! + 1!) – 0)]
y = 4! – C4,1 . 3! + C4,2 . 2! – C4,3 . 1! + C4,4 . 0!
Y = 4! – 
Y = 4! – 
Y = 4! 
Y = 4! (1 – 1 + 1/2 – 1/6 + 1/24)
Y = 12 – 4 + 1
Y = 9
Fazendo raciocínio análogo para um conjunto de m elemento temos:
Y = m! 
 
	
(PC)m = (m-1)!
A
B
C
D
D
A
C
B
C
B
D
A
B
A
C
D
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