Modelo Cinetico Molecular

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O Modelo Cinético da Matéria
Juan Omar M. Herrera(DQI-IQ)
27 de abril de 2016
Dimensionalidades
• Dimensionalidades
• As Escalas
• Características de Objetos
Macroscópicos e
Microscópicos
• O Estado Gasoso e o
Vácuo
• Definições Básicas
• Teoria Cinética Molecular:
O Gás Ideal
• A Energia Cinética das
Moléculas
• As Velocidades
Moleculares
• Descrição de um metro
cúbico de ar
• Exemplo
• Transporte Molecular:
Efusão e Difusão
• Caminho Livre Médio e a
Difusão
• Exemplo
• O tempo de Voo das
moléculas
• Considerações Finais
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A descrição dos fenômenos naturais dependera fundamentalmente da
nossa percepção das dimensões ou escalas nas quais estes acontecem.
No cotidiano, a descrição macroscópica é direta. Numa descrição micros-
cópica precisaremos de instrumentos que nos permita avaliar de maneira
indireta a extensão dos fenômenos. Num mundo em transformação, onde
os limites das medidas esta fronteira das dimensões moleculares e atômi-
cas, corresponde a mais recente descrição nanoscópica, em pleno domínio
da estranha e fascinante mecânica quântica. As escalas descritas a seguir
estão aferidas a ideia de tamanho em função do comprimento, entretanto
também podemos discutir em função da massa dos objetos e do tempo de
duração dos fenômenos.
As Escalas
• Dimensionalidades
• As Escalas
• Características de Objetos
Macroscópicos e
Microscópicos
• O Estado Gasoso e o
Vácuo
• Definições Básicas
• Teoria Cinética Molecular:
O Gás Ideal
• A Energia Cinética das
Moléculas
• As Velocidades
Moleculares
• Descrição de um metro
cúbico de ar
• Exemplo
• Transporte Molecular:
Efusão e Difusão
• Caminho Livre Médio e a
Difusão
• Exemplo
• O tempo de Voo das
moléculas
• Considerações Finais
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Escala Macroscópica: É a descrição de objetos físicos que podem ser
mensurados e observados a olho nu. Os comprimentos menores são da
ordem de milímetros. A propriedade mais importante é o volume e a dimen-
sionalidade é tridimensional ou 3D.
Escala Microscópica: É a descrição de objetos em uma escala de compri-
mentos que variam entre um milímetro e alguns microns. Os objetos são
impossíveis de medir a olho nu, precisando de microscópios óticos. A propri-
edade mais importante é a superfície, e a dimensionalidade é bidimensional
ou 2D, considerando que a espessura dos objetos é desprezível.
Escala Nanoscópica: É a descrição de objetos na escala de comprimentos
de alguns nanômetros, os objetos são moléculas ou pequenos aglomerados
de átomos. A propriedade mais importante é o comprimento que pode ser
de alguns milímetros, com largura de alguns nanômetros. A dimensiona-
lidade é monodimensional ou 1D. Também são considerados os recente-
mente descobertos pontos quânticos que correspondem a aglomerados
de átomos com dimensionalidade 0D.
Características de Objetos Macroscópicos e Microscópicos
• Dimensionalidades
• As Escalas
• Características de Objetos
Macroscópicos e
Microscópicos
• O Estado Gasoso e o
Vácuo
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O Gás Ideal
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Moléculas
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Moleculares
• Descrição de um metro
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• Exemplo
• Transporte Molecular:
Efusão e Difusão
• Caminho Livre Médio e a
Difusão
• Exemplo
• O tempo de Voo das
moléculas
• Considerações Finais
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Objetos Macroscópicos: Número pequeno de objetos, massas e compri-
mentos grandes, fácil de individualizar. Visão fenomenológica, posição e
momento dos objetos podem ser descritas pelas leis de Newton. Medidas
instantâneas precisas, flutuações nas medidas são desprezíveis. Tempera-
tura e pressão não influenciam na posição nem na velocidade dos objetos.
Objetos Microscópicos: Número muito grande de objetos, massas e com-
primentos muito pequenos, impossíveis de individualizar. Visão estatística,
posição e momento dos objetos individuais não fazem sentido, apenas os
valores médios, que podem estar sujeitos a flutuações nas medidas. Tempe-
ratura e pressão influenciam posição e velocidade dos objetos. A mecânica
de Newton não é aplicável diretamente, porem combinada com probabili-
dades é gerada uma nova mecânica apropriada para objetos microscópi-
cos:mecânica estatística.
O Estado Gasoso e o Vácuo
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• As Escalas
• Características de Objetos
Macroscópicos e
Microscópicos
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Vácuo
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Moléculas
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Moleculares
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cúbico de ar
• Exemplo
• Transporte Molecular:
Efusão e Difusão
• Caminho Livre Médio e a
Difusão
• Exemplo
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moléculas
• Considerações Finais
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O vácuo ou vazio e o estado gasoso estão relacionados. Isto é, quando
falamos em vácuo fazemos referencia a ausência total de matéria, qualquer
seja seu estado de agregação. A densidade de moléculas e a pressão
estão relacionadas pela equação de estado dos gases ideais. O vácuo
absoluto é apenas teórico. O nosso próprio sistema solar esta preenchido
na maioria das vezes de gás hidrogênio e outros. Vivemos imersos num
oceano gasoso, a atmosfera. Tecnologicamente cada vez mais usamos o
vácuo para obter produtos como café em pó fechado a vácuo. As regiões
típicas do vácuo são destacadas na tabela abaixo, entretanto, não existe o
limite claro entre elas.
Tipo Pressão (Torr) moléculas/cm3
Normal 760 2,5× 1019
pre-vácuo 10−3 3,3× 1013
alto-vácuo 10−8 3,3× 108
ultra-vácuo 10−12 4
Definições Básicas
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Macroscópicos e
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Vácuo
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O Gás Ideal
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Moléculas
• As Velocidades
Moleculares
• Descrição de um metro
cúbico de ar
• Exemplo
• Transporte Molecular:
Efusão e Difusão
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Difusão
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moléculas
• Considerações Finais
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m = massa de uma molécula ou partícula; n = número de mols.
N = número de moléculas ou partículas;Mam = massa da amostra (g)
M =m×NA = massa molar (g/mol).
NA = 6,022× 1023mol−1, constante de Avogadro
R/NA = kB = 1,381× 10−23 JK−1, constante de Boltzman
N∗ = N/V = densidade de moléculas (moléculas por metro cúbico).
n =
Mam
M
=
Mam
mNA
=
N
NA
PV = nRT =
N
NA
RT = N(
R
NA
)T = NkBT
N∗ =
N
V
=
P
kBT
= (
P
RT
)NA
Teoria Cinética Molecular: O Gás Ideal
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• Características de Objetos
Macroscópicos e
Microscópicos
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Vácuo
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O Gás Ideal
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Moléculas
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Moleculares
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Efusão e Difusão
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moléculas
• Considerações Finais
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• Um gás ideal consiste em um número muito grande de moléculas idênti-
cas que estão sempre em movimento contínuo e aleatório. A separação
media entre as moléculas do gás é muitas vezes o diâmetro das mes-
mas. O volume de uma molécula do gás é infinitesimalmente pequeno
e desprezível em relação ao volume do gás.
• As moléculas se movem em linhas retas, com velocidade constante, obe-
decendo as leis do movimento de Newton. Não interagem umas com as
outras, exceto quando colidem. As colisões entre moléculas ou de molé-
culas com as paredes do recipiente são perfeitamente elásticas. Assim
quando duas moléculas interagem elas podem mudar suas direções po-
rém a energia cinética total é conservada.
• A energia cinética média das moléculas do gás é independente da natu-
reza do gáse diretamente proporcional a temperatura absoluta. A soma
da energia cinética de todas as moléculas é a energia térmica do gás.
• Em condições normais de pressão e temperatura as moléculas do gás
tem velocidades medias entre 0,1 e 1,0 km/s e cada molécula expe-
rimenta aproximadamente 1010 colisões com outras moléculas por se-
gundo.
A Energia Cinética das Moléculas
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O Gás Ideal
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Moleculares
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• Transporte Molecular:
Efusão e Difusão
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moléculas
• Considerações Finais
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Vamos assumir que cada molécula que compõem o gás tem uma massa
m e uma velocidade v. As consequências imediatas do modelo cinético
molecular diz respeito a duas grandezas microscópicas: as velocidades e
energia cinética das moléculas. A energia cinética média por molécula vale
3kBT/2. A temperatura absoluta T é uma medida da energia cinética trans-
lacional média das moléculas. Agora a energia cinética translacional total
de n mols de um gás, que contemN moléculas é:
K = Ec = N(
1
2
m〈v2〉) = 3
2
NkBT =
3
2
nRT
Ou seja, a energia cinética translacional é 3kBT/2 por molécula e 3RT/2
por mol de moléculas e representa a energia térmica do gás.
As Velocidades Moleculares
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Do modelo cinético molecular podemos extrair informação sobre as velo-
cidades das moléculas do gás. A raiz quadrada da velocidade média é
chamada de velocidade quadrática média vrms:
〈v2〉 = 3kBT
m
=
3NAkBT
mNA
=
3RT
M
vrms =
√
〈v2〉 =
√
3kBT
m
=
√
3RT
M
Reescrevendo a equação anterior na forma v2rms = 3RT/M podemos
enfatizar, que para um gás ideal, a temperatura é proporcional ao quadrado
da velocidade média das moléculas.
T =
Mv2rms
3R
Uma conclusão importante do modelo é que a energia cinética molar do gás
é proporcional a temperatura e não depende da massa molar do gás.
Descrição de um metro cúbico de ar
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Consideremos a descrição de um metro cúbico de ar encerrado num reci-
piente. Macroscopicamente é descrito pela temperatura T de 300K, pela
pressão P de 105 Pa, pela densidade de 1,2kgm−3 e pelo volume V de
1m3. A massa total do ar é de 40 mols. Uma micro descrição indica que a
separação media entre as moléculas de ar é de 2,0nm, a velocidade média
por molécula é de 500m s−1 e cada molécula colide aproximadamente 250
vezes por segundo. Assumindo que aMar é 29× 10−3 kgmol−1 então a
massa de uma molécula de ar é 5× 10−26 kg.
K =
1
2
mv2 =
1
2
(5× 10−26 kg)(500m s−1)2 = 6,25× 10−21 J
T =
2
3kB
K =
2
31,381× 10−23 6,25× 10
−21 ≈ 300K
A densidade do gás pode ser obtida como a razão entre a massa de uma
molécula e o volume da mesma, assumindo que é esférica. Podemos ver
que os resultados macroscópicos como temperatura e densidade são evi-
dencia do comportamento molecular das partículas.
Exemplo
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Efusão e Difusão
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moléculas
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A água passa do estado liquido para o vapor em duas formas, por evapo-
ração em qualquer temperatura abaixo do ponto de ebulição e por ebulição.
Considere um mol de vapor de água em 25 ◦C ou (298K) e em 100 ◦C ou
(373K). A velocidade quadrática média das moléculas moléculas de vapor
aumenta por um fator de:
√
373K
298K
=
√
1,2516 = 1,12
Portanto, no ponto de ebulição as moléculas de água vapor tem a veloci-
dade média aproximadamente 12% maior que na temperatura ambiente.
Agora o incremento da energia térmica do vapor de água em as mes-
mas temperaturas sera proporcional a razão de ambas temperaturas, isto é
373/298 ou seja um fator de 1,25, ou seja 25% maior. O vapor de água
usado nas turbinas combinadas gas e vapor de água, atinge uma tempera-
tura de 500 ◦C onde tem o maior rendimento.
Transporte Molecular: Efusão e Difusão
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Efusão: É o movimento das moléculas do gás através de uma minúscula
abertura em um recipiente, para uma região de pressão muito baixa. Isto é
quantificado pela lei da efusão de Graham:
velocidade de efusão de A
velocidade de efusão de B
=
√
MB
MA
Difusão: Refere-se ao transporte de substancia através de um gradiente
de concentração, seguindo um sentido natural, sempre de regiões de maior
concentração para regiões de menor concentração. É o processo pelo qual
as moléculas de substâncias diferentes misturam-se entre si. A difusão de
dois sólidos é muito lenta, a difusão de um sólido num líquido ou de um
liquido num sólido é mais rápida e a difusão gasosa é muito mais rápida. A
difusão é responsável pela composição da atmosfera ser uniforme.
Caminho Livre Médio e a Difusão
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A distância média percorrida por uma molécula entre duas colisões suces-
sivas é chamado de caminho livre médio, λ. Num líquido uma molécula
encontra uma molécula vizinha mesmo que ela percorra somente uma fra-
ção de um diâmetro molecular. O λ num líquido é menor que o diâmetro
molecular. Ao contrario, nos gases, o λ pode ser de várias centenas de
diâmetros moleculares.
λ =
1√
2pid2N/V
=
1√
2pid2N∗
d é o diâmetro molecular e N∗ é a densidade de moléculas no gas. O λ
para as moléculas de ar no nível do mar é de aproximadamente 60 nanô-
metros. A aproximadamente 100km de altitude, onde a densidade do ar é
muito baixa, o λ é cercade 10 milhões de vezes mais longo que na superfí-
cie da terra.
Exemplo
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O diâmetro médio da molécula de O2 é 0,357nm. Calcule o caminho livre
médio do oxigênio nas CNTP.
N∗ = (
P
RT
)NA = 2,429× 1025m−3
λ =
1√
2pid2N∗
= 7,27× 10−8m
Em temperatura ambiente e ao nível do mar, o caminho livre médio do O2
é aproximadamente 200 vezes maior que o diâmetro molecular do O2. Em
geral moléculas pequenas como H2 e CH4 tem diâmetros típicos entre 0,03
e 0,05 nanômetros, em CNPT o valor deN∗ é:
6,02× 1023mol−1
22,4× 10−3m3mol−1 = 2,69× 10
−3m−3
nestas condições os valores de λ são da ordem de 100nm. Valores que
representam 100 vezes os diâmetros moleculares e mais importante apro-
ximadamente 30 vezes as separações medias entre as moléculas.
O tempo de Voo das moléculas
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O tempo de voo τ é o tempo médio que uma molécula passa se deslocando
(em voo) entre duas colisões sucessivas. O tempo médio é de aproximada-
mente 1 nanosegundo a 1 atm e temperatura ambiente.
τ =
λ
vrms
=
caminho livre médio (m)
velocidade quadrática média (m/s)
Para a molécula de O2 do exemplo anterior, o tempo médio de voo é de
1,62× 10−10 s.
Frequência de Colisões 1/τ : É o número de colisões por segundos que
uma molécula realiza.
1
τ
=
1
1,62× 10−10s = 6,16× 10
9s−1
O tempo médio de uma colisão é de 1,6 nanosegundos, ou seja, em 1
segundo cada molécula executa em média 6 bilhões de colisões.
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O modelo cinético molecular é eficiente se a densidade de moléculas é alto,
isto é, N∗ ≈ NA, caso contrario, os resultados podem não ter sentido
físico. Numa altitude de 2500km da superfície da Terra, a densidade mole-
cular é de cerca de 1 molécula por centímetro cúbico, nesta condições o λ é
de 6× 1012m, ou seja, não existem praticamente colisões e as moléculas
apenas orbitam o planeta.
A temperatura absoluta T é uma evidencia da energia cinética media das
moléculas. A energia térmica de um gás ideal corresponde a energia ciné-
tica total das moléculas do gas. Considerando as moléculas do gas como
partículas puntiforme toda a energia que elas possuem é cinética, também
conhecida como energia translacional.
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	Descrição de um metro cúbico de ar
	Exemplo
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