algebra linear

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Educação a Distância
GRUPO
ÁLGEBRA LINEAR
Prof. André Marcelo Santos de Souza
Prof. Roy Wilhelm Probst
UNIASSELVI
2012
NEAD
Caderno de Estudos
Copyright  UNIASSELVI 2012
Elaboração:
Prof. André Marcelo Santos de Souza
Prof. Roy Wilhelm Probst
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo Da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri
UNIASSELVI – Indaial.
CENTRO UNIVERSITÁRIO
LEONARDO DA VINCI
Rodovia BR 470, Km 71, nº 1.040, Bairro Benedito
89130-000 - INDAIAL/SC
www.uniasselvi.com.br
512.5
S729a Souza, André Marcelo Santos de
 Álgebra linear / André Marcelo Santos de Souza; Roy Wilhelm 
Probst. Indaial : Uniasselvi, 2012.
 
 195 p. : il
 
 ISBN 978-85-7830- 586-4
1.	 Álgebra linear.
 I. Centro Universitário Leonardo da Vinci.
ÁLGEBRA LINEAR
APRESENTAÇÃO
Prezado(a) acadêmico(a)!
 Neste Caderno de Estudos, você será levado a estudar a base da matemática 
algébrica. Tentamos produzir um caderno que seja instrutivo e, ao mesmo tempo, compreensível. 
Levamos em conta que você estudará sozinho(a) e estará tendo contato com alguns desses 
conceitos pela primeira vez. Esperamos ter conseguido esse intento.
 Apesar de, na primeira leitura, o assunto poder parecer obscuro, tente ler várias 
vezes o texto refazendo os exercícios e os exemplos, a fim de memorizar o aprendido. Você 
verá que não é nenhum monstro e nada muito difícil, só depende de vontade e dedicação.
 Vale lembrar ainda que este caderno traz um curso introdutório de álgebra 
linear e você deve se sentir curioso e instigado a procurar outros livros para completar seu 
aprendizado.
 Esperamos, sinceramente, que você consiga se divertir enquanto aprende e que, 
após o estudo desse caderno, você consiga notar a evolução da sua matemática, nos seus 
conceitos e nas suas definições, pois a melhoria constante tem que ser o objetivo de todo(a) 
acadêmico(a).
Prof. André Marcelo Santos de Souza
Prof. Roy Wilhelm Probst
iii
ÁLGEBRA LINEAR iv
UNI
Eu sou o UNI, já me apresentei nos cadernos anteriores. Estarei 
com você durante os estudos de deste caderno. Desejamos a 
você uma caminhada tranquila e rica em reflexões. Sempre 
que ocorrerem dúvidas as anotem e as esclareçam nos dias de 
atendimento.
ÁLGEBRA LINEAR v
SUMÁRIO
UNIDADE 1 – MATRIZES ................................................................................................. 1
TÓPICO 1 – MATRIZES .................................................................................................... 3
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 3
2 CONCEITOS BÁSICOS ................................................................................................. 3
3 PRINCIPAIS TIPOS DE MATRIZES .............................................................................. 7
3.1 MATRIZ QUADRADA .................................................................................................. 7
3.2 MATRIZ NULA ............................................................................................................. 7
3.3 MATRIZ COLUNA ........................................................................................................ 8
3.4 MATRIZ LINHA ............................................................................................................ 8
3.5 MATRIZ DIAGONAL .................................................................................................... 9
3.6 MATRIZ IDENTIDADE ................................................................................................. 9
3.7 MATRIZ TRIANGULAR ............................................................................................. 10
3.8 MATRIZ SIMÉTRICA .................................................................................................. 11
4 OPERAÇÕES COM MATRIZES ................................................................................... 11
4.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO ........................................................................................... 11
4.2 MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM ESCALAR ........................................ 12
4.3 MATRIZ TRANSPOSTA ............................................................................................. 13
4.4 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES ............................................................................. 13
4.5 PROPRIEDADES ...................................................................................................... 18
4.6 EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DE OPERAÇÕES COM MATRIZES ....................... 19
RESUMO DO TÓPICO 1 ................................................................................................. 23
AUTOATIVIDADE ........................................................................................................... 24
TÓPICO 2 – ESCALONAMENTO E DETERMINANTE .................................................. 27
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 27
2 ESCALONAMENTO .................................................................................................... 28
2.1 MATRIZ ESCALONADA ............................................................................................ 28
2.2 OPERAÇÕES SOBRE LINHAS DE MATRIZES ....................................................... 29
2.3 ESCALONANDO MATRIZES .................................................................................... 31
3 DETERMINANTE ......................................................................................................... 36
3.1 DETERMINANTE DE MATRIZES DE ORDEM 1 ...................................................... 36
3.2 DETERMINANTE DE MATRIZES DE ORDEM 2 ...................................................... 37
3.3 DETERMINANTE DE MATRIZES DE ORDEM 3 ...................................................... 37
3.4 USANDO ESCALONAMENTO PARA CALCULAR O DETERMINANTE .................. 40
RESUMO DO TÓPICO 2 ................................................................................................. 43
AUTOATIVIDADE ........................................................................................................... 44
TÓPICO 3 – MATRIZ INVERSA ..................................................................................... 45
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 45
ÁLGEBRA LINEAR vi
2 MATRIZ INVERSA ....................................................................................................... 45
2.1 DEFINIÇÃO ............................................................................................................... 45
2.2 CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA DE UMA MATRIZ DE ORDEM 2 ......................... 46
2.3 CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA UTILIZANDO DETERMINANTE ......................... 53
2.4 CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA UTILIZANDO O ESCALONAMENTO ................. 55
LEITURA COMPLEMENTAR .......................................................................................... 60
RESUMO DO TÓPICO 3 ................................................................................................. 65
AUTOATIVIDADE ........................................................................................................... 66
AVALIAÇÃO .................................................................................................................... 67
UNIDADE 2 – SISTEMAS LINEARES, ESPAÇOS VETORIAIS E 
 TRANSFORMAÇÕES LINEARES ..........................................................69
TÓPICO 1 – SISTEMAS LINEARES .............................................................................. 71
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 71
2 CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS LINEARES ........................................................... 71
2.1 VISUALIZAÇÃO DOS TIPOS DE SISTEMAS EM R² ............................................... 73
3 MATRIZ RELACIONADA A UM SISTEMA LINEAR .................................................... 74
3.1 MATRIZ AMPLIADA ................................................................................................... 77
4 RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR UTILIZANDO ESCALONAMENTO .......... 78
5 CLASSIFICANDO UM SISTEMA EM SPD, SPI OU SI ............................................... 87
RESUMO DO TÓPICO 1 ................................................................................................. 93
AUTOATIVIDADE ........................................................................................................... 94
TÓPICO 2 – ESPAÇO VETORIAL – PARTE 1 ............................................................... 95
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 95
2 VETORES .................................................................................................................... 95
2.1 VETORES NO R² ...................................................................................................... 95
2.1.1 Operações com vetores ......................................................................................... 98
2.2 VETORES NO Rn. .................................................................................................... 99
3 ESPAÇOS VETORIAIS .............................................................................................. 100
4 SUBESPAÇOS VETORIAIS ...................................................................................... 106
RESUMO DO TÓPICO 2 ............................................................................................... 108
AUTOATIVIDADE ......................................................................................................... 109
TÓPICO 3 – ESPAÇO VETORIAL (PARTE 2) .............................................................. 111
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 111
2 COMBINAÇÃO LINEAR ............................................................................................. 111
3 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR .......................................................... 112
4 BASE DE ESPAÇO VETORIAL ................................................................................. 114
RESUMO DO TÓPICO 3 ................................................................................................ 118
AUTOATIVIDADE .......................................................................................................... 119
ÁLGEBRA LINEAR vii
TÓPICO 4 – TRANSFORMAÇÕES LINEARES ........................................................... 121
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 121
2 O QUE É TRANSFORMAÇÃO LINEAR .................................................................... 121
3 TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ .................................................................. 123
4 NÚCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR ................................. 126
LEITURA COMPLEMENTAR ........................................................................................ 131
RESUMO DO TÓPICO 4 ............................................................................................... 135
AUTOATIVIDADE ......................................................................................................... 136
AVALIAÇÃO .................................................................................................................. 137
UNIDADE 3 – PRODUTO INTERNO, AUTOVETORES E AUTOVALORES, 
 MUDANÇA DE BASE ............................................................................ 139
TÓPICO 1 – AUTOVALORES E AUTOVETORES ....................................................... 141
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 141
2 DEFINIÇÃO ................................................................................................................ 143
3 SUBESPAÇO ASSOCIADO AO AUTOVALOR λ ...................................................... 147
4 MÉTODO PRÁTICO PARA DETERMINAR OS AUTOVALORES ............................ 148
5 POLINÔMIO CARACTERÍSTICO .............................................................................. 154
6 MULTIPLICIDADE ALGÉBRICA E GEOMÉTRICA DE UM AUTOVALOR DE T ..... 155
RESUMO DO TÓPICO 1 ............................................................................................... 157
AUTOATIVIDADE ......................................................................................................... 158
TÓPICO 2 – PRODUTO INTERNO ............................................................................... 159
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 159
2 DEFINIÇÃO ................................................................................................................ 159
3 PRODUTO INTERNO USUAL ................................................................................... 160
4 EXEMPLOS DE PRODUTOS INTERNOS NÃO USUAIS ......................................... 161
5 ORTOGONALIDADE DE VETORES ......................................................................... 163
6 NORMA DE UM VETOR ............................................................................................ 164
7 ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES ........................................................................... 166
8 BASE ORTONORMAL .............................................................................................. 168
LEITURA COMPLEMENTAR ........................................................................................ 169
RESUMO DO TÓPICO 2 ............................................................................................... 172
AUTOATIVIDADE ......................................................................................................... 174
TÓPICO 3 – MUDANÇA DE BASE .............................................................................. 175
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 175
2 BASE .......................................................................................................................... 175
3 BASE .......................................................................................................................... 178
4 A MATRIZ INVERSA DA MATRIZ MUDANÇA DE BASE ......................................... 187
ÁLGEBRA LINEAR viii
RESUMO DO TÓPICO 3 ............................................................................................... 191
AUTOATIVIDADE ......................................................................................................... 192
AVALIAÇÃO .................................................................................................................. 193
REFERÊNCIAS ............................................................................................................. 195
Á
L
G
E
B
R
A
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I
N
E
A
R
UNIDADE 1
MATRIZES
ObjETIvOS DE ApRENDIZAgEM
 A partirdesta unidade o(a) acadêmico(a) estará apto(a) a:
•	 reconhecer uma matriz;
•	 definir e fazer operações com matrizes;
•	 identificar as principais propriedades das matrizes;
•	 classificar as matrizes quanto ao tipo;
•	 calcular o determinante de uma matriz quadrada;
•	 escalonar uma matriz qualquer;
•	 calcular a matriz inversa.
TÓPICO 1 – MATRIZES
TÓPICO 2 – ESCALONAMENTO E DETERMINANTE
TÓPICO 3 – MATRIZ INVERSA
pLANO DE ESTUDOS
Esta unidade está dividida em três tópicos. No final de cada um 
deles, você encontrará atividades que reforçarão o seu aprendizado.
Á
L
G
E
B
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A
L
I
N
E
A
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Á
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MATRIZES
1 INTRODUÇÃO
2 CONCEITOS BÁSICOS
TÓPICO 1
UNIDADE 1
O estudo de álgebra linear, geralmente, começa com o estudo de matrizes. Essa 
prática acontece devido às várias aplicações e facilidades proporcionadas ao relacionarmos 
os conceitos de álgebra linear com matrizes.
Embora isso não seja obrigatório, seguiremos esse roteiro no Caderno de Estudos, pois 
acreditamos que facilitará o seu aprendizado.
O quadro que segue mostra a quantidade diária em kg que cada animal deve comer 
para cada tipo de ração (X, Y, Z).
 ANIMAL
RAÇÃO Boi Ovelha Cachorro Gato
X 20 3 1 0,3
Y 18 2 0,8 0,3
Z 15 2 1,2 0,2
Ao retirarmos os significados das linhas e das colunas, ficamos apenas com os 
valores:
UNIDADE 1TÓPICO 14
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
Essa organização em linhas e colunas dos valores sem a preocupação do que eles 
representam chama-se matriz. Num conceito intuitivo, matriz é uma tabela de valores.
A matriz geralmente é representada por uma letra maiúscula do alfabeto e seus 
elementos dispostos dentro de colchetes como acima. Mas podem aparecer também entre 
parênteses, como é mostrado a seguir.
Cada item da matriz é denominado elemento da matriz. Esses elementos podem ser 
de qualquer natureza, podem ser números, funções ou até mesmo outras matrizes.
Para facilitar a sua localização, cada elemento é associado a sua posição na matriz, e 
essa posição é dada pela combinação entre a linha e a coluna em que se encontra. Chamando 
a matriz de A, usamos números indexados para representar, conforme os exemplos a seguir:
a11 = elemento da 1ª linha com a 1ª coluna, lê-se “a um um” não pode ser dito “a 
onze”
a12 = elemento da 1ª linha com a 2ª coluna, lê-se “a um dois”
a32 = elemento da 3ª linha com a 2ª coluna, lê-se “a três dois”
amn = elemento da m-ésima linha com a n-ésima coluna.
ATEN
ÇÃO!
Vejam que o primeiro número indexado ao ‘a’ na representação do 
elemento se refere à linha e o segundo, à coluna.
UNIDADE 1 TÓPICO 1 5
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
ATEN
ÇÃO!
Notem que o i representa a linha e o j a coluna.
Exemplo:
O número de linhas e colunas que uma determinada matriz possui nos fornece a ordem 
desta matriz.
 Veja os exemplos:
a matriz A tem ordem 2x3
a matriz B tem ordem 2x5
a matriz C tem ordem 3x4
IMP
OR
TAN
TE! �
A ordem da matriz segue a mesma ideia das dos elementos, 
primeiro informa-se o total de linhas e depois, o de colunas.
Assim, outra forma é representar, a generalização é dada por ou seja, A é 
uma matriz de ordem m por n.
UNIDADE 1TÓPICO 16
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
Esse tipo de representação pode ser utilizado para construir os elementos de uma 
matriz, por exemplo:
Utilizaremos a fórmula aij = i + 2j para construir todos os elementos da matriz A, onde i 
representa a linha e j a coluna.
Duas matrizes A e B serão ditas iguais entre si quando forem de mesma ordem e todos 
os elementos das posições correspondentes forem iguais entre si. Por exemplo:
Verifique as igualdades entre os elementos correspondentes: 
a11 = b11, a12 = b12, a21 = b21 e a22 = b22.
De maneira geral, podemos dizer que duas matrizes A e B de ordem m x n serão iguais 
entre si quando aij = bij para i = 1, 2, 3,…m e j = 1, 2, 3,…, n.
UNIDADE 1 TÓPICO 1 7
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
3 PRINCIPAIS TIPOS DE MATRIZES
3.1 MATRIZ QUADRADA
3.2 MATRIZ NULA
Uma matriz será quadrada quando o número de linhas e colunas for igual. Nesse caso 
teremos ordens do tipo 1x1, 2x2, 3x3, 4x4, e assim por diante. Mas como já sabemos que o 
número de linhas e colunas são iguais nas matrizes quadradas, não precisamos informar a 
linha e a coluna, basta falar a ordem. Por exemplo, uma matriz 1x1 é, simplesmente, de ordem 
1; uma matriz 2x2 é, simplesmente, de ordem 2; 3x3 é de ordem 3; 4x4 é de ordem 4 e assim 
sucessivamente.
Exemplos de matrizes quadradas:
Quando todos os elementos de uma matriz A forem iguais a 0, a matriz A será chamada 
de matriz nula. Em outras palavras, A = [aij]mxn será nula quando aij = 0 para todo i = 1, 2, 
3,…,m e para todo j = 1, 2, 3,…,n
Exemplos de matriz nula:
IMP
OR
TAN
TE! �
Nas matrizes do exemplo anterior, A é de ordem 2, B é de ordem 
1 e C é de ordem 4.
UNIDADE 1TÓPICO 18
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
3.3 MATRIZ COLUNA
3.4 MATRIZ LINHA
Uma matriz é denominada matriz coluna quando é composta por uma única coluna, ou 
seja, são as matrizes de ordem 1x1, 2x1, 3x1, 4x1, 5x1,…, mx1.
Exemplos:
A matriz composta por uma única linha é denominada matriz linha. São matrizes de 
ordem 1x1, 1x2, 1x3, 1x4,…, 1xn.
Exemplos:
A= [a b c] B= [0 1] C= [10 - 3 9 1]
IMP
OR
TAN
TE! �
Esse tipo de matriz é muito importante para a Álgebra Linear, pois 
usualmente é utilizado para representar vetores.
UNIDADE 1 TÓPICO 1 9
Á
L
G
E
B
R
A
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I
N
E
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R
3.5 MATRIZ DIAGONAL
3.6 MATRIZ IDENTIDADE
Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada em que os elementos fora da diagonal 
principal valem zero. Os elementos da diagonal podem ou não ser iguais a zero. Logo, uma 
matriz é diagonal se:
É uma matriz quadrada onde os elementos da diagonal principal valem 1 e os restantes 
valem 0. Matematicamente, a matriz identidade é definida assim:
Exemplos de matrizes diagonais:
Reparem que ambas as matrizes possuem elementos diferentes de 0 na diagonal (essa 
diagonal é denominada diagonal principal, onde todos os elementos aij têm i=j).
Exemplos:
UNIDADE 1TÓPICO 110
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
UNI
Essa matriz chama-se identidade por ser o elemento neutro da 
multiplicação entre matrizes. Contudo, conversaremos mais sobre 
esse detalhe no item que envolve operações com matrizes.
Note que simbolizamos essa matriz pela letra I, referenciando o nome Identidade.
3.7 MATRIZ TRIANGULAR
Uma matriz é dita triangular quando os elementos acima ou abaixo da diagonal principal 
são zero. Mais especificamente:
· uma matriz triangular superior é aquela em que os elementos abaixo da diagonal são 
zero:
· uma matriz triangular inferior é aquela em que os elementos acima da diagonal são zero:
Exemplos:
As matrizes A e B são triangulares superiores, enquanto que as matrizes C e D são 
triangulares inferiores.
UNIDADE 1 TÓPICO 1 11
Á
L
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E
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R
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L
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R
3.8 MATRIZ SIMÉTRICA
4.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
4 OPERAÇÕES COM MATRIZES
Uma matriz A = [A]ij será dita simétrica quando for quadrada e tiver aij = aji.
Exemplos:
ATEN
ÇÃO!
ATEN
ÇÃO!
Uma matriz diagonal é uma matriz triangular superior e inferior.
Vejam que os termos abaixo da diagonal principal são uma “reflexão” 
dos termos da parte acima da diagonal principal.
Sejam duas matrizes A e B de ordem m x n. Então a matriz C = A + B terá a ordem m 
x n e seus elementos serão definidos como cij = aij + bij, para i=1, 2, 3…m e j=1, 2, 3,…, n.
UNI-ATENÇÃO: Para subtração de matrizes utilizamos a mesma ideia: dada duas 
matrizes A e B de ordem m x n, a matriz C = A – B terá ordem m x n e seus elementos são 
definidoscomo cij = aij – bij, para i = 1,2,3,…,m e j = 1,2,3,…,n.
UNIDADE 1TÓPICO 112
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
Exemplos:
(a)
(a)
(b)
(b)
4.2 MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM ESCALAR
Escalar, para quem nunca ouviu esse termo, no nosso caso, nada mais é que um 
número real. Para multiplicar um número qualquer por uma matriz, basta multiplicar todos os 
elementos da matriz por esse número. Ou seja,
Exemplos:
UNIDADE 1 TÓPICO 1 13
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
(a)
(b)
4.3 MATRIZ TRANSPOSTA
Dada uma matriz A = aij mxn, sua transposta é definida por A
t = aji nxm . Ou seja, a 
primeira linha da matriz A será a primeira coluna da matriz transposta AT, a segunda linha da 
matriz A será a segunda coluna da matriz transposta AT, e assim sucessivamente para todas 
as linhas de A. Veja os exemplos:
Observe a 1ª linha de A e a compare com a 1ª coluna de AT. Agora repita essa observação 
para as demais linhas de A em comparação com as colunas de AT.
Vejam que a primeira linha de B é igual à primeira coluna de BT e a segunda linha de 
B é a segunda coluna de BT.
4.4 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
Sendo A = aij mxn e B = bij nxp , a matriz C = A·B será dada por .
O primeiro fato a observar é que só podemos multiplicar matrizes quando o número de 
colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz. 
UNIDADE 1TÓPICO 114
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
ATEN
ÇÃO!
Note que na definição A tem n colunas e B tem n linhas. Essa 
igualdade tem que ocorrer para que a multiplicação possa ser 
calculada.
Após estarmos certos que a multiplicação entre as matrizes é possível (o número de 
colunas da primeira é igual ao número de linhas da segunda), passamos ao cálculo. Vamos 
expor um exemplo para mostrar como proceder.
Começamos com duas matrizes A e B, onde é possível fazer o produto A·B
Como A possui duas colunas e B possui duas linhas, podemos calcular C = A·B
Sabemos que a matriz C terá ordem 3x4 devido à definição, pois a ordem da matriz 
resultado da multiplicação de duas matrizes herda o número de linhas da primeira e o número 
de colunas da segunda. Observe:
Basta agora definirmos os elementos cij da matriz resultado C.
Para ficar mais fácil na hora de calcular podemos lembrar que:
c11 é o resultado da multiplicação da 1ª linha de A com a 1ª coluna de B
c12 é o resultado da multiplicação da 1ª linha de A com a 2ª coluna de B
c13 é o resultado da multiplicação da 1ª linha de A com a 3ª coluna de B
UNIDADE 1 TÓPICO 1 15
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
c14 é o resultado da multiplicação da 1ª linha de A com a 4ª coluna de B
c21 é o resultado da multiplicação da 2ª linha de A com a 1ª coluna de B
c22 é o resultado da multiplicação da 2ª linha de A com a 2ª coluna de B
c23 é o resultado da multiplicação da 2ª linha de A com a 3ª coluna de B
c24 é o resultado da multiplicação da 2ª linha de A com a 4ª coluna de B
e assim por diante...
Portanto:
Com isso, finalmente, teremos:
Outros exemplos (resolvidos mais rapidamente)
Determine A • B nas situações a seguir, quando possível.
UNIDADE 1TÓPICO 116
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
(a)
Resolução
Primeiramente, temos que verificar se a multiplicação é possível. Para isso, olhamos 
a ordem das matrizes.
A primeira tem ordem 2x2, a segunda 2x3. Como o número de colunas da primeira é 
igual ao número de linhas da segunda, a multiplicação é possível.
A matriz resultado terá ordem 2x3, uma vez que o número de linhas da primeira matriz 
é 2 e o número de colunas da segunda é 3.
Logo,
Calculando os elementos cij multiplicando a linha i da primeira matriz com a coluna j 
da segunda, teremos:
c 11 = (-2)∙(1)+(4)∙(-2)=-2-8=-10
c 12 = (-2)∙(2)+(4)∙(5)=-4+20=16
c 13 = (-2)∙(3)+(4)∙(0)=-6+0=-6
c 21 = (1)∙(1)+(2)∙(-2)=1-4=-3
c 22 = (1)∙(2)+(2)∙(5)=2+10=12
c 23 = (1)∙(3)+(2)∙(0)=3+0=3
Portanto,
UNIDADE 1 TÓPICO 1 17
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
(b)
ATEN
ÇÃO!
Vejam que o elemento c11 da matriz resultado foi calculado 
multiplicando a 1ª linha da matriz A pela 1ª coluna da matriz B. 
Todos os outros são calculados de forma semelhante.
Como temos uma matriz de ordem 2x3 multiplicando uma matriz 3x1, esta multiplicação 
é possível e resultará numa matriz 2x1.
DIC
AS!
Se não compreendeu o motivo da conclusão acima, volte e estude 
as explicações anteriores a este exemplo.
Calculando os elementos c11 e c21, teremos
c 11=(-2)∙(-1)+1∙2+0∙1=2+2+0=4
c 21=(-4)∙(-1)+2∙2+1∙1=4+4+1=9
Logo, temos o resultado da multiplicação:
UNIDADE 1TÓPICO 118
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
IMP
OR
TAN
TE! �
Se você não está conseguindo acompanhar os cálculos, utilize 
as informações contidas no nosso primeiro caso, faça todos os 
cálculos separadamente e confira a resposta. Nunca esqueça: 
todas as linhas da primeira matriz multiplicam todas as colunas 
da segunda matriz.
4.5 PROPRIEDADES
As propriedades a seguir são válidas para todas as matrizes quando a operação em 
questão for possível.
(i) Em geral, A·B ≠ B·A, para A e B duas matrizes quaisquer, isto é, não é válida a propriedade 
comutativa da multiplicação para matrizes.
(ii) A·I = I·A = A , onde I é a matriz identidade de ordem apropriada e A é uma matriz 
qualquer.
(iii) A·(B+C) = A·B + A·C, quaisquer que sejam A, B e C matrizes (propriedade distributiva à 
esquerda).
(iv) (A + B) ·C = A·C + B·C quaisquer que sejam A, B e C matrizes (propriedade distributiva à 
direita).
(v) (A·B) ·C = A·(B·C), para A, B e C matrizes (propriedade associativa).
(vi) (A·B)T = BT·AT , para A e B matrizes.
ATEN
ÇÃO!
Fique atento à ordem das matrizes na propriedade (vi).
(vii) 0·A = 0 e A·0 = 0 , para toda matriz A(onde 0 é a matriz nula de ordem apropriada).
UNIDADE 1 TÓPICO 1 19
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B
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OR
TAN
TE! �
4.6 EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DE OPERAÇÕES COM MATRIZES
É possível A·B = 0, sem termos A = 0 ou B = 0.
Para exemplificar o que o uni acabou de informar considere as matrizes: e 
, note que A ≠ 0 e B ≠ 0. (onde 0 é a matriz nula de ordem apropriada)
Com isso teremos 
(a) Os quadros a seguir mostram a produção, em milhares de toneladas de soja, feijão e milho 
das regiões sul, sudeste, centro-oeste e norte nos anos 2007 e 2008, respectivamente. (Dados 
fictícios)
 Produto
Região Soja Feijão Milho
Sul 5000 20 100
Sudeste 3500 75 200
Centro-oeste 2000 80 150
Norte 1500 20 0
Produção de 2007
Produção de 2008
 Produto
Região Soja Feijão Milho
Sul 7500 18 130
Sudeste 4500 22 220
Centro-oeste 1800 75 250
Norte 1750 25 100
Se quisermos verificar o total da produção de soja, feijão e milho por região, basta 
somarmos as duas tabelas. Usando somente os valores dos quadros, teremos uma soma de 
matrizes. Veja:
UNIDADE 1TÓPICO 120
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Ou seja, para termos a solução basta ler a matriz resultado lembrando o significado de 
cada linha e de cada coluna.
(b) Agora observe o seguinte quadro que representa o número de peças de tecido (X,Y,Z,W) 
necessárias para produzir cada tipo de roupa (A,B,C).
 Malha
Roupa X Y Z W
A 1 0 1 1
B 0 2 1 2
C 2 1 1 0
Os preços por unidade de cada tecido (X,Y,Z,W) estão no seguinte quadro:
Malhas Preços (em R$)
X 12,00
Y 15,00
Z 8,00
W 6,00
Se quisermos saber quanto custa cada tipo de roupa (A, B, C), basta multiplicar as 
matrizes dos valores do primeiro quadro com os valores do segundo quadro. Veja:
Logo, o custo da roupa A é R$ 26,00, da roupa B é R$ 50,00 e da roupa C é R$ 
47,00.
(c) Digamos que o número de transistores e o número de alto falantes necessários para montar 
alguns modelos de TV estão dispostos na tabela a seguir:UNIDADE 1 TÓPICO 1 21
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Modelo A Modelo B Modelo C
Transistores 13 18 20
Alto falantes 2 3 4
Suponhamos ainda que a próxima tabela mostre o número total de encomendas dos 
modelos de TV para os meses de janeiro e fevereiro.
Janeiro Fevereiro
Modelo A 12 6
Modelo B 24 12
Modelo C 12 9
Como determinar o número de transistores e de alto falantes necessários para montar 
todas as TVs em cada mês?
Resolução:
Veja que queremos a informação do número total de transistores de alto falantes em 
cada mês, ou seja, gostaríamos de algo assim:
Janeiro Fevereiro
Transistores
Alto falantes
Para isso, basta multiplicar a primeira matriz pela segunda (vamos deixar os títulos e 
operar apenas com os valores)
Essa última matriz indica a resposta, ou seja, 
Janeiro Fevereiro
Transistores 828 474
Alto falantes 144 84
UNIDADE 1TÓPICO 122
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DIC
AS!
Caso você tenha tido dificuldade em entender como foram 
multiplicadas as matrizes, volte ao tópico que faz essa explicação 
detalhadamente e prossiga do jeito ensinado. Você verá que os 
resultados serão os mesmos.
UNIDADE 1 TÓPICO 1 23
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RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico, tratamos especificamente de matrizes. A seguir, resumimos o que 
vimos para facilitar a fixação do estudo.
•	 Uma organização em linhas e colunas é chamada de matriz.
•	 Cada ente da matriz é denominado elemento.
•	 O elemento pode ser de qualquer natureza: pode ser número, função ou até mesmo outra 
matriz.
•	 Representamos uma matriz por uma letra maiúscula e nesse caderno os elementos estarão 
dispostos entre colchetes, apesar de existirem outras formas de representação.
•	 A ordem de uma matriz é a informação da quantidade de linhas e colunas.
•	 Duas matrizes são iguais quando todos os elementos correspondentes tiverem o mesmo 
valor.
•	 Estudamos alguns tipos de matrizes: quadrada, nula, coluna, linha, diagonal, identidade, 
triangular superior, triangular inferior e simétrica.
•	 Vimos também algumas operações: soma de matrizes, multiplicação por escalar, matriz 
transposta e multiplicação de matrizes.
•	 Só podemos somar matrizes de mesma ordem.
•	 Para multiplicar matrizes o número de colunas da primeira matriz tem que ser igual ao número 
de linhas da segunda. Já a matriz resultante (produto) terá o número de linhas da primeira 
matriz e o número de colunas da segunda matriz.
•	 Na multiplicação de matrizes, não vale a propriedade comutativa, isto é, podemos ter 
A.B≠B .A, para duas matrizes quaisquer A e B.
UNIDADE 1TÓPICO 124
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AUT
OAT
IVID
ADE �
Para verificar se você entendeu todos os conceitos apresentados no Tópico 1, responda 
a essas atividades.
1 Construa as matrizes:
 e 
2 Relacione as colunas, quanto ao tipo de matrizes.
(a) matriz simétrica 
(b) matriz triangular superior 
(c) matriz triangular inferior 
(d) matriz diagonal 
3 Calcule, quando possível, as operações a seguir:
a) 
b) 
UNIDADE 1 TÓPICO 1 25
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A
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c) 
d) 
e) 
f) 
4 Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo 
e colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela 
matriz:
 
(Qualquer semelhança dos números com a realidade é mera coincidência).
a) Se ele vai construir 5,7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, 
respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas?
b) Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, 
respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10 unidades monetárias. Qual é o preço unitário de 
cada tipo de casa?
c) Qual o custo total do material empregado?
UNIDADE 1TÓPICO 126
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ESCALONAMENTO E DETERMINANTE
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 2
UNIDADE 1
Podemos pensar neste tópico como uma introdução para os tópicos seguintes, uma vez 
que muitos dos cálculos de álgebra linear podem ser feitos com o auxílio de escalonamento 
de matrizes.
Existem relatos que na China antiga já eram resolvidos sistemas lineares usando um 
tipo de matriz e que também existia algo como um determinante, porém só no século XIX é 
que Cauchy e Jacobi realizaram trabalhos formais sobre o tema.
No presente tópico veremos que toda matriz quadrada tem um número relacionado a 
ela, chamado de determinante. Embora o cálculo do determinante para matrizes de ordem 
grande seja muito caro computacionalmente, inviabilizando a aplicação de seus conceitos em 
questões práticas, vale a pena estudá-lo pela beleza da parte teórica e pela riqueza histórica. O 
importante no determinante não é seu cálculo explícito, mas as propriedades que ele possui.
Estudaremos ainda como escalonar matrizes e a utilidade deste procedimento. E, 
também, usaremos o escalonamento como uma forma de encontrar o determinante, embora este 
não seja o único jeito, e nem de longe a aplicação mais importante para o escalonamento.
Esses conceitos ajudarão, e muito, na resolução dos sistemas lineares, bem como para 
verificar se os sistemas admitem ou não soluções.
UNIDADE 1TÓPICO 228
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2.1 MATRIZ ESCALONADA
Para nós, a matriz escalonada será uma matriz que satisfaça as seguintes 
condições:
(i) O primeiro valor não nulo de cada linha será denominado pivô.
(ii) Abaixo de cada pivô, só existirão valores nulos na coluna em questão.
Essas condições são suficientes para dar uma forma que lembra uma escada, pois 
todas as matrizes que as satisfizerem ficarão mais ou menos assim:
ATEN
ÇÃO!
Você notou que, se observarmos os elementos nulos abaixo dos 
pivôs (em destaque), existe, aparentemente uma escada na 
matriz?
IMP
OR
TAN
TE! �
Não deixem de verificar se as condições descritas acima são 
satisfeitas na matriz dada.
Outros exemplos de matrizes escalonadas, destacando os pivôs.
2 ESCALONAMENTO
UNIDADE 1 TÓPICO 2 29
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2.2 OPERAÇÕES SOBRE LINHAS DE MATRIZES
Toda matriz está relacionada a conjuntos com certas propriedades. Esses conjuntos estão 
fortemente ligados entre si e ao tipo de sistema linear que a matriz representa, estudaremos 
um pouco sobre eles posteriormente.
O mais interessante é que podemos fazer determinadas operações entre as linhas de 
qualquer matriz sem alterar esses espaços, o que, evidentemente não altera seus resultados 
e propriedades.
Como vocês verão no decorrer deste caderno, é mais fácil trabalhar com a matriz 
escalonada. Então usaremos as operações sobre linhas de matrizes para transformar uma 
matriz qualquer em uma escalonada.
UNI
Preste bem atenção nas operações permitidas, pois não é qualquer 
operação que não altera os conjuntos relacionados às matrizes.
São três as operações sobre linhas de matrizes:
(i) Permutação entre linhas
Nada mais é que trocar uma linha inteira por outra. Por exemplo, escrever a 4ª linha no 
lugar da 2ª linha e vice-versa.
Esta operação é denotada por Li ↔ Lj, onde i e j representam o número da linha em 
questão.
Exemplo:
Observem que as linhas 1 e 4 foram permutadas 
(trocadas).
UNIDADE 1TÓPICO 230
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(ii) Multiplicação de uma linha por um escalar diferente de zero
Dada uma linha qualquer i da matriz, multiplica-se todos os elementos dessa linha por 
um escalar (número real) diferente de 0.
Representaremos esta multiplicação da linha i pelo escalar c por: Li → c·Li
Exemplo:
Observem que a “nova” linha 1 é o resultado da multiplicação entre o escalar 2 e a 
“velha” linha 1.
(iii) Soma da linha i com uma linha j multiplicadapor c não nulo.
Representação: Li → Li + c.Lj
Substituiremos uma linha, somando a esta linha outra linha qualquer multiplicada por 
um escalar c.
Vejam o exemplo com atenção:
Como mostra a representação L2 → L2 + 2·L1, a “antiga” linha 2 foi substituída pela soma 
da linha 2 com a linha 1 multiplicada por 2. 
Outros exemplos de operações sobre linhas de matrizes:
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Nesse exemplo 2, usamos várias operações na mesma matriz. Isso é sempre válido 
e, na verdade, faremos isso sempre que for preciso escrever a matriz escalonada. Note que 
a matriz do exemplo b ainda não está escalonada, mas está bem próxima a isso. Refaça os 
passos numa folha de estudo para fixar e compreender os resultados. Você consegue visualizar 
a operação que deveria ser feita em B para torná-la uma matriz escalonada?
2.3 ESCALONANDO MATRIZES
Agora aplicaremos as operações vistas no item anterior com o objetivo de escrever a 
matriz dada de forma escalonada.
Apesar de, no início do aprendizado, ser um cálculo longo, ele está longe de ser difícil. 
Basta prestar atenção nos detalhes, que são poucos, e não aparecerão dificuldades.
É importante lembrar que queremos “zerar” todos os números abaixo dos pivôs em cada 
coluna. Então o primeiro passo é identificar quem será seu pivô e após isso, fazer operações 
sobre linhas de matrizes até que todos os elementos abaixo dele sejam zeros. 
Veja o exemplo detalhado a seguir:
Considere a matriz:
O primeiro pivô será o elemento a11 que, no nosso exemplo, é 1. Temos que nos 
preocupar em zerar os elementos abaixo de a11=1, ou seja, a21=3 e a31=2.
Como o pivô está na linha 1, esta linha será usada de base e, nesta primeira etapa, a 
usaremos para conseguir zerar os elementos que desejarmos.
Como só podemos fazer as operações permitidas, teremos que somar a linha 2 (que 
UNIDADE 1TÓPICO 232
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contém o elemento 3 que queremos zerar) com a linha 1 (do pivô) multiplicada por algum 
escalar c. Vejam que esta é a terceira operação descrita no item 2.2.
Todo o esforço se reduz a determinar qual o escalar c que, multiplicado com a linha do 
pivô (no caso a 1) e somado com a linha do elemento a zerar (no caso, a linha dois), consegue 
zerar o elemento efetivamente.
Para determinar esse escalar c basta dividir o elemento que se deseja zerar pelo oposto 
do pivô. 
Ou seja:
ATEN
ÇÃO!
Note que dividimos o 3 (elemento que queremos zerar) pelo (-1), 
que é o oposto de 1. Essa “troca” de sinal é o que caracteriza 
o oposto do pivô, e sempre terá que ocorrer para determinar o 
escalar c.
Definido o escalar c, a “nova” linha 2 será a soma entre a “atual” linha 2 com a linha do 
pivô multiplicado por c (ou seja, com a linha 1 multiplicado por -3).
Teremos então:
Conseguimos zerar o elemento 3 da linha 2. Agora repetiremos o processo para zerar 
o elemento a31 = 2. Ainda usaremos como base a linha 1, pois o pivô pertence a esta linha.
Determinando o c:
UNIDADE 1 TÓPICO 2 33
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Continuando o processo:
Os pivôs desta matriz escalonada são a11=1, a22 = 1 e a34 = -2.
Tivemos sorte: a matriz já está escalonada, mas nem sempre isso ocorrerá tão rápido. A 
seguir, teremos mais exemplos com menos comentários e maior ênfase nos cálculos necessários 
para determinar o escalar c.
Exemplo 1:
Seja a matriz A apresentada a seguir:
Como, para determinar o escalar c precisamos dividir o elemento que queremos zerar pelo 
pivô, se o pivô for igual a 1, o trabalho será reduzido. Com isso, sempre que possível, fazemos 
o pivô “virar” 1 multiplicando a linha por um número (segunda operação do item 2.2)
Nesse caso, ficaria ainda mais fácil se nós permutarmos a linha 3 com a linha 1, antes 
de nos preocuparmos em transformar o pivô em valor 1. Isso porque todos os elementos da 
linha 3 são pares, enquanto o mesmo não acontece com os elementos da linha 1.
Logo,
Não é difícil observar que, primeiramente, trocamos a linha 1 pela linha três (L1↔L3) e 
após isso, multiplicamos a linha 1 por ½.
Nosso primeiro pivô então será o elemento a11=1, e teremos que zerar os elementos 
a21= -5 e a31= 2. 
UNIDADE 1TÓPICO 234
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Para zerar a21= -5, determinamos o c:
Então:
Para zerar a31= 2, determinamos o c,
Então:
A matriz ainda não está escalonada, pois abaixo do pivô a22 = 6, temos um elemento 
diferente de zero. Temos que zerá-lo, mas antes podemos fazer nosso pivô se transformar em 
1 a fim de facilitar os cálculos.
Logo,
Temos agora o pivô a22 = 1. Portanto o escalar c necessário para zerar o elemento 
a32=3, será dado por:
UNIDADE 1 TÓPICO 2 35
Á
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Então,
IMP
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TAN
TE! �
Note que a linha base nesta última etapa é a segunda. Isso 
ocorre porque o pivô está nesta linha. Notem também que não 
utilizamos o sinal de = entre as matrizes simplesmente porque 
as matrizes não são iguais, apenas conservam propriedades 
importantes entre si.
Os pivôs da matriz escalonada são os elementos a11 = 1, a22 = 1 e a33 = -2.
Exemplo 2:
Neste exemplo, só colocaremos os cálculos. Veja se você consegue acompanhá-lo. 
Para isso preste atenção na representação das operações que estamos fazendo abaixo da 
matriz.
Seja a matriz:
UNIDADE 1TÓPICO 236
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Pronto, a matriz está escalonada e seus pivôs são os elementos a11=1, a22=2 e 
a33=-1.
3 DETERMINANTE
3.1 DETERMINANTE DE MATRIZES DE ORDEM 1
O determinante é um número relacionado a matrizes quadradas. Agora nós veremos 
como calcular o determinante de matrizes de ordem 1, 2 e 3. Depois, veremos como calcular 
o determinante utilizando escalonamento para calcular o determinante de matrizes.
Embora possamos calcular o determinante de matrizes de ordens superiores utilizando 
o método de Laplace (visto no ensino médio), não o mostraremos nesse caderno e nos 
concentraremos nas matrizes de ordem menor pelos motivos já ditos na introdução deste tópico. 
Entretanto, o método envolvendo escalonamento de matrizes pode ser utilizado para calcular 
determinante de matrizes de ordem superior como veremos mais à frente.
Adotaremos duas representações para determinantes de uma matriz quadrada A: 
(i) escrevemos det (A) ou;
(ii) simplesmente escrevemos os elementos da matriz A entre barras paralelas ao invés 
de usar colchetes.
Exemplo:
As matrizes de ordem 1 tem uma linha e uma coluna, ou seja, possuem apenas um 
elemento. Este elemento será o determinante da matriz.
UNIDADE 1 TÓPICO 2 37
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3.2 DETERMINANTE DE MATRIZES DE ORDEM 2
Exemplos:
a) Se A = [-2], então det (A) = -2.
b) Se B = [54], então det (B) = 54.
c) Se C = [a], então det (C) = a.
As matrizes de ordem 2 têm duas linhas e duas colunas. Para calcularmos o determinante 
destas matrizes, basta multiplicarmos os elementos da diagonal principal e subtrairmos o 
resultado do produto dos elementos da diagonal secundária. Ou seja:
Exemplo:
1) Calcule o determinante das matrizes de ordem 2 a seguir:
3.3 DETERMINANTE DE MATRIZES DE ORDEM 3
Utilizaremos a regra de Sarrus para calcular esse determinante, que consiste em quatro 
passos:
UNIDADE 1TÓPICO 238
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2º) Multiplicar os termos da diagonal principal, bem como os termos das duas outras diagonais 
que criamos no passo 1.
Ao final deste passo, sempre teremos três valores: no nosso exemplo, 3·4·8 = 96, 2·6·7 
= 84 e 1·5·9 = 45.
3º) Multiplicar os termos da diagonal secundária, bem como os termos das duas outras diagonais 
que criamos no passo 1.
Ao final desse passo sempre, teremos três valores: no nosso exemplo, 3·5·7 = 105, 
1·6·8 = 48 e 2·4·9= 72.
4º) Somar os três valores do passo 2. Somar os três valores do passo 3. Efetuar a subtração 
entre esses dois resultados obtidos.
No passo 2 conseguimos 96+84+45 = 225. No passo 3 temos 105+48+72 = 225. Logo, 
o determinante será (225) – (225) = 0.
1º) Repetir as duas primeiras colunas da matriz, após a terceira coluna. Veja:
UNIDADE 1 TÓPICO 2 39
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ÇÃO!
Sempre teremos que fazer o total do passo 2 subtraído do total 
do passo 3. Não podemos fazer ao contrário, pois a subtração 
não é comutativa.
Outros exemplos de ordem 3:
a) 
IMP
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TAN
TE! �
Não vá adiante sem entender muito bem esse exemplo. Se 
você teve dificuldade em entender os valores apresentados, 
faça os 4 passos separadamente e compare os resultados.
b)
UNIDADE 1TÓPICO 240
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ÇÃO!
Faça alguns exemplos de matrizes triangular superiores de ordem 
3 para verificar essa afirmação.
(ii) Ao permutar duas linhas de uma matriz, o determinante dessa matriz apenas muda de sinal, 
não alterando seu valor absoluto.
(iii) Ao multiplicarmos uma linha de uma matriz por um escalar c, o determinante dessa matriz 
também ficará multiplicado por c. Ou seja, considerando det (A) = a, se multiplicarmos uma 
linha da matriz A por c obtendo uma matriz A1, então teremos que det (A1) = a·c
É útil, em alguns casos, sabermos também as seguintes propriedades:
(i) Se todos os elementos de uma linha ou de uma coluna de uma matriz forem iguais a zeros, 
então o determinante dessa matriz será igual a zero.
(ii) O determinante de uma matriz com duas linhas ou colunas iguais é zero.
IMP
OR
TAN
TE! �
Podemos generalizar esta propriedade dizendo que se uma 
matriz possui linhas (ou colunas) múltiplas uma das outras, 
então o determinante é zero.
3.4 USANDO ESCALONAMENTO PARA CALCULAR O DETERMINANTE
O que nos motiva a usar escalonamento para calcular o determinante são as seguintes 
afirmações:
(i) O determinante de uma matriz triangular superior é dado pela multiplicação dos termos da 
diagonal principal.
UNIDADE 1 TÓPICO 2 41
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ATEN
ÇÃO!
Este método pode ser utilizado para matrizes de ordem maior, 
mas temos que tomar cuidado com a multiplicação de linhas por 
um escalar ou permutação de linhas.
(iii) det (A·B) = det (A)·det (B) – Teorema de Binet
Pelas afirmações e propriedades citadas note que, se tomarmos os devidos cuidados 
e fazermos as devidas correções ao final do cálculo, podemos reduzir o determinante a um 
produto dos termos da diagonal principal. Para isso, basta escalonar uma matriz até obter uma 
matriz triangular superior, o que vimos como fazer no item 2 deste tópico.. 
Exemplo:
a) Calculemos o determinante da matriz do exemplo b do item 3.3 usando escalonamento.
Chegamos a uma matriz triangular superior. Vamos multiplicar os termos da diagonal 
principal para calcular o determinante: 1·7·(-3) = -21. Portanto, o determinante da matriz é igual 
a -21, conforme já havíamos demonstrado.
Veja que, nesse caso, não foi necessário fazer nenhuma correção sobre o valor 
encontrado, pois não multiplicamos nenhuma linha por uma constante e nem permutamos 
duas linhas.
b) Por escalonamento, calcule o determinante da matriz 
UNIDADE 1TÓPICO 242
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Como a última matriz é triangular superior, temos que:
Porém para chegar à última matriz multiplicamos a linha dois por -½ . Assim o 
determinante da última matriz deve ser multiplicado por (-2):
ATEN
ÇÃO!
Não vá adiante sem entender esse exemplo, pois ele é muito 
importante. Refaça-o em outra folha explicitando os passos 
dados, se for preciso.
UNIDADE 1 TÓPICO 2 43
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RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, vimos que:
•	 Toda matriz quadrada A tem um número relacionado a ela denominado determinante de A.
•	 O determinante da matriz de ordem 1 é igual ao elemento da matriz.
•	 Para calcular o determinante da matriz de ordem 2, fazemos o produto dos elementos da 
diagonal. 
•	 Principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.
•	 A regra de Sarrus é utilizada para calcular o determinante de matrizes de ordem 3.
•	 Ao escalonar uma matriz, mantemos propriedades importantes e facilitamos alguns 
cálculos.
•	 Quando utilizamos escalonamento para calcular o determinante, precisamos fazer correções 
no valor obtido sempre que multiplicamos uma linha por um escalar ou permutamos 
linhas.
UNIDADE 1TÓPICO 244
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AUT
OAT
IVID
ADE �
Para fixar os conceitos estudados no Tópico 2, responda aos seguintes 
exercícios:
1 Calcule o determinante das matrizes a seguir.
a) b) c) 
2 Usando a regra de Sarrus, calcule:
a) b) 
3 Faça o escalonamento utilizando as operações sobre linhas de matrizes.
 
a) b) 
4 Use o escalonamento e calcule o determinante das duas matrizes dadas no exercício 
2.
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MATRIZ INVERSA
1 INTRODUÇÃO
2 MATRIZ INVERSA
2.1 DEFINIÇÃO
TÓPICO 3
UNIDADE 1
Você iniciará agora o estudo de matriz inversa. Neste tópico aprenderá os conceitos, 
propriedades e três métodos de como determinar a inversa de uma matriz. 
Para isso, no primeiro momento, faremos o cálculo da mesma forma que apresentado 
nos cursos de ensino médio. Esta abordagem fará com que você relembre ou, em alguns casos, 
aprenda este método. A seguir, usaremos o determinante da matriz para determinar a inversa 
e, finalmente, apresentaremos o método que envolve o escalonamento da matriz. 
É importante salientar desde já que o método do escalonamento parecerá muito difícil 
em comparação aos outros, contudo é o melhor método para calcular a inversa de matrizes de 
ordem grande, e, em aplicações práticas, as matrizes são, geralmente, de ordens elevadas. 
Portanto, tente entender bem o processo quando este for apresentado.
Seja uma matriz quadrada A, a matriz inversa A-1 será uma matriz tal que:
A .A -1=A -1.A=1
UNIDADE 1TÓPICO 346
Á
L
G
E
B
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A
L
I
N
E
A
R
IMP
OR
TAN
TE! �
Note que esta definição indica que a multiplicação da matriz A pela 
sua inversa tem que resultar na matriz identidade. Além disso, a 
matriz inversa tem que poder multiplicar a esquerda e a direita 
a matriz A. Isso implica que, para ter inversa, a matriz A precisa 
ser quadrada como informado na definição e ter determinante 
diferente de zero.
2.2 CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA DE UMA MATRIZ DE ORDEM 2
Agora vamos relembrar como calcular a inversa de uma matriz de ordem 2 usando os 
métodos ensinados no ensino médio.
ATEN
ÇÃO!
Caso você não tenha aprendido no ensino médio como calcular a 
matriz inversa, não tem problema, pois daremos dois exemplos 
bem detalhados que, serão suficientes para que você aprenda.
Exemplo 1:
Neste primeiro exemplo, comentaremos todos os passos que efetuaremos no cálculo 
da inversa. Isso será bom para que você entenda bem o método. Para isso, começaremos a 
explanação sobre o cálculo da matriz inversa utilizando a seguinte matriz:
É em relação a essa matriz que determinaremos a matriz inversa A-1. Para calcular, 
lembre-se da definição:
A .A -1=A -1.A=1
Como , então temos que determinar uma matriz A-1 que pode ser multiplicada 
de ambos os lados de A.
UNIDADE 1 TÓPICO 3 47
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OR
TAN
TE! �
Como já falamos só existe a inversa de matrizes quadradas. E mais 
do que isso, a inversa A-1 terá sempre a mesma ordem da matriz 
A, além disso, a identidade I também terá essa mesma ordem.
DIC
AS!
Lembre-se que nem sempre é possível multiplicar matrizes. Caso 
não se lembre das definições de multiplicação de matrizes, volteao tópico que explica essa operação.
Como a matriz A é uma matriz de ordem 2x2 (duas linhas e duas colunas), a matriz 
inversa A-1 tem que ser da mesma ordem de A, ou seja, 2x2.
Logo, aplicando a definição de matriz inversa, temos:
A .A -1=A -1.A=1
Note que não conhecemos a matriz inversa A-1, mas sabemos que ela tem a mesma 
ordem de A, ou seja, ordem 2x2. Podemos então substituir na equação A-1 pela matriz 
na definição. Também substituiremos na definição a matriz identidade I pela matriz identidade 
de ordem 2, . 
Voltando ao cálculo temos:
Efetuando a multiplicação das matrizes do lado esquerdo, conseguiremos:
UNIDADE 1TÓPICO 348
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Isso implica:
Para essas duas matrizes serem iguais, é necessário que todos os elementos de 
posições correspondentes sejam iguais, ou seja:
Notem que, dessas quatro igualdades, em duas aparecem os termos a e c e nas outras 
duas aparecem os termos b e d. Separando então essas quatro equações (igualdades) em 
relação aos termos a,b,c e d teremos dois sistemas lineares:
Basta agora resolver estes dois sistemas para encontrar os valores a, b, c e d e, 
consequentemente, os elementos da matriz inversa A-1.
DIC
AS!
Embora termos um tópico sobre sistemas lineares, acreditamos 
que todos tenham tido contato com esses sistemas pequenos 
tanto no ensino fundamental, quanto no médio. Caso você não 
entenda a próxima explicação, é importante que pegue um 
livro de matemática da sétima série e faça um estudo sobre os 
sistemas lineares de ordem 2.
Vamos resolver o primeiro sistema linear:
UNIDADE 1 TÓPICO 3 49
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Da primeira igualdade, temos a informação:
b+2d=0
Que é o mesmo que escrever:
b=-2d
Agora, utilizaremos essa igualdade para substituir a incógnita b da segunda igualdade 
do sistema pela expressão -2d. Ou seja,
2b+5d=1
2∙(-2d )+5d=1
Resolvendo essa igualdade teremos:
-4d+5d=1
d=1
Agora sabemos que d=1, e. Então, retornando à igualdade b= -2d, teremos:
b= -2d
b=-2∙(1)
b= -2
IMP
OR
TAN
TE! �
Veja que já resolvemos o sistema, uma vez que b = -2 e d = 1. 
Repetiremos o processo no outro sistema para determinar a e c, 
e com isso teremos a matriz inversa.
O outro sistema,
Pegando a primeira equação (igualdade), e isolando a incógnita a, teremos:
a+2c=1
a=1-2c
Substituindo essa igualdade na segunda equação, e desenvolvendo:
UNIDADE 1TÓPICO 350
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2a+5c=0
2(1-2c )+5c=0
2-4c+5c=0
2+c=0
c=-2
Retornando para a expressão a=1-2c , e substituindo o valor c=-2
a=1-2c
a=1-2(-2)
a=1+4
a=5
Chegamos então aos quatro valores das incógnitas: a = 5, b = -2, c = -2, d = 1. Logo 
a matriz inversa será:
DIC
AS!
Se você quiser ter certeza que calculou a matriz inversa A-1 
corretamente, basta efetuar a multiplicação A.A -1, no nosso 
exemplo, . Se essa multiplicação resultar na 
identidade , você terá calculado corretamente, caso 
contrário, refaça os cálculos.
A apresentação deste primeiro exemplo ficou bastante longa por causa do detalhamento 
de todo o processo. O próximo exemplo será feito omitindo alguns detalhes.
Exemplo 2: Calcule a inversa da matriz
Como dito no exemplo 1, seremos mais sucintos na explicação dos passos, mas 
faremos exatamente da mesma maneira, caso não entenda algum motivo, volte ao exemplo 
UNIDADE 1 TÓPICO 3 51
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1 e compare as situações.
Da definição de matriz inversa:
A ∙ =A -1∙A= I
Teremos:
Efetuando a multiplicação do termo do lado esquerdo da igualdade:
Analisando a igualdade termo a termo, teremos quatro equações (igualdades):
Separando em dois sistemas em relação às incógnitas a, b, c, d:
Resolvendo o primeiro:
Isolando a incógnita b na primeira igualdade:
-b+2d=0
2d=0+b
2d=b
Como b=2d, substituiremos essa informação na segunda igualdade:
-3b+d=1
-3(2d )+d=1
-6d+d=1
UNIDADE 1TÓPICO 352
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-5d=1
d= - 1 
 5
Voltando à igualdade b=2d e substituindo d=- 1 , conseguiremos:
 5
b=2d
Temos que resolver o outro sistema:
Isolando a incógnita a na primeira equação:
-a+2c=1
-a=1-2c
a=-1+2c
Substituindo essa informação na segunda equação do sistema e resolvendo,
-3a+c=0
-3 ∙ ( -1+2c )+c=0
3-6c+c=0
-5c=-3
c= -3 
 -5
c= 3 
 5
Com o valor de c= 3 , na igualdade a=-1+2c , teremos:
 5
a=-1+2c
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Como já determinamos os valores dos elementos a, b, c, d da matriz inversa A -1, 
segue que
UNI
Faça a multiplicação A ∙A -1 para verificar se resulta na matriz 
identidade e conferir se os cálculos estão corretos.
2.3 CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA UTILIZANDO DETERMINANTE
No item anterior, vimos como calcular a matriz inversa de uma matriz de ordem 2 
utilizando a definição e resolvendo o sistema linear. Agora veremos como utilizar o determinante 
da matriz para determinar a inversa.
Definição: Seja uma matriz , onde a, b, c e d são números reais tais que 
det (A) ≠0. Então a inversa de A será dada por A -1 = 
IMP
OR
TAN
TE! �
A generalização dessa definição para matrizes de ordem maior 
que 2 é possível, porém exige a definição de cofator de elementos 
e de matriz de cofatores. Como usaremos o escalonamento para 
matrizes de ordem maior que 2, não faremos a generalização 
nesse Caderno de Estudos, mas você pode encontrá-la no livro 
de Álgebra Linear, de Boldrini.
UNIDADE 1TÓPICO 354
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Exemplo 1: Calcule a inversa de 
Sabemos da definição que 
Então, precisamos calcular det(A), ou seja:
Então, voltando à definição:
ATEN
ÇÃO!
Veja como é rápido efetuar essa inversa, porém a generalização 
é difícil. Portanto, é importante aprender os outros métodos.
UNIDADE 1 TÓPICO 3 55
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Exemplo 2: Calcule a inversa da matriz 
Calculando o determinante de A:
det(A)=[(-2) ∙3-1∙9]
det(A)=-6-9
det(A)=-15
Então, da matriz A, sabemos que a = -2, b = 9, c = 1 e d = 3. Usando a definição da 
inversa é só efetuar as devidas substituições.
2.4 CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA UTILIZANDO O ESCALONAMENTO
Conforme mencionamos, não costumamos utilizar o método do determinante para 
encontrar a matriz inversa de matrizes cuja ordem é superior a 2. Para estes casos, utilizaremos 
o método que envolve o escalonamento da matriz. 
Para explicar como determinar a inversa de uma matriz utilizando o escalonamento, não 
faremos a generalização do processo, mas utilizaremos vários exemplos. Acreditamos que, 
assim, será mais fácil para você entendê-lo. Entretanto, esse método é de fácil generalização, 
por isso vale a pena aprender a fazê-lo de maneira correta para utilizar quando for necessário 
determinar matrizes de ordem grande.
UNIDADE 1TÓPICO 356
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DIC
AS!
Preste bastante atenção no desenvolvimento do exemplo, e vá 
repassando os passos numa folha de anotações para compreender 
corretamente o que precisa ser feito.
ATEN
ÇÃO!
Esse método é de fácil generalização, portanto, vale a pena 
aprender a fazê-lo de maneira correta para utilizar quando for 
necessário determinar matrizes de ordem grande.
Começaremos com exemplos de matrizes de ordem 2, depois faremos um de ordem 3 
para que você perceba que o processo é o mesmo.
Exemplo 1: Determine a inversa da matriz
Resolução:
O primeiro passo será escalonar A. Para isso, vamos escrever a matriz estendida de 
A da seguinte maneira:
Veja que essa matriz estendida possui a matriz A do lado esquerdo do traço vertical e 
a matriz identidade do lado direito do traço vertical.
O objetivo agora é fazer operaçõessobre as linhas da matriz (as mesmas utilizadas no 
escalonamento) para transformar a matriz A que aparece no lado esquerdo do traço vertical 
em uma matriz identidade.
UNIDADE 1 TÓPICO 3 57
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No lado esquerdo do traço está a matriz identidade. Nesse momento, a matriz inversa 
de A, aparece do lado direito do traço direito, ou seja,
UNI
Viu como não é difícil? Basta utilizar operações sobre linhas de 
matrizes para chegar à matriz inversa.
Exemplo 2: Exiba a inversa da matriz 
Resolução
Escrevendo a matriz expandida:
Utilizando as operações sobre linhas de matrizes para transformar o lado esquerdo do 
traço vertical em uma matriz identidade:
UNIDADE 1TÓPICO 358
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Pronto! A inversa é:
Agora encontraremos a inversa de uma matriz de ordem 3. Claramente, a quantidade 
de operações sobre linhas de matrizes que serão necessárias para chegarmos à identidade 
do lado esquerdo do traço vertical será maior. Apesar disso, o método é exatamente o mesmo 
utilizado para matrizes de ordem 2.
Exemplo 3: Dada a matriz A, a seguir, determine a sua inversa
UNIDADE 1 TÓPICO 3 59
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Resolução:
Matriz expandida:
Utilizando operações sobre linhas de matrizes para chegar à matriz identidade do lado 
esquerdo do traço vertical da matriz expandida:
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Pronto! Do lado direito do traço vertical da matriz expandida temos a inversa:
IMP
OR
TAN
TE! �
Refaça os cálculos do escalonamento num rascunho para entender 
bem o procedimento. É muito importante que você não continue 
sem ter certeza que compreendeu o processo.
LEITURA COMPLEMENTAR
A MODELAGEM MATEMÁTICA NO ENSINO DE
MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Letícia Menezes Panciera
 Márcio Violante Ferreira
No presente trabalho foram desenvolvidas situações-problemas envolvendo o estudo de 
matrizes e sistemas de equações lineares para alunos do Ensino Médio, através da metodologia 
da Modelagem Matemática. Descrevemos aqui uma experiência de sala de aula, realizada na 
disciplina de Fundamentos de Geometria Analítica e Álgebra Linear, do Curso de Mestrado 
Profissionalizante em Ensino de Física e Matemática, do Centro Universitário Franciscano de 
Santa Maria – UNIFRA–RS.
Muitas vezes, os educadores de Matemática encontram dificuldades em desenvolver 
determinados conteúdos matemáticos mostrando a aplicação dos mesmos para seus alunos. A 
Modelagem Matemática, como uma metodologia de ensino, vem ao encontro da nova visão de 
Educação Matemática, que valoriza não apenas adquirir conhecimentos, mas o desenvolvimento 
de capacidades, atitudes e valores, relacionando a Matemática com o mundo real.
Segundo Bassanezi (2002), o qual se utiliza desta modalidade, o uso da modelagem 
conduz para o ensino de conteúdos matemáticos conectados com outras formas de 
conhecimento.
UNIDADE 1 TÓPICO 3 61
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O tema abordado para o desenvolvimento dessa experiência foi perda de peso em um 
programa de dieta e com exercícios preestabelecidos, determinando as calorias que se vai 
queimar e, também, o controle do fluxo de veículos nas ruas de mão única no horário de rush 
no centro de uma cidade.
Segundo D’ Ambrósio (1998), devemos contemplar os nossos alunos com problemas 
significativos, ao invés de situações artificiais e repetitivas. Os conteúdos matemáticos da 
Educação Básica devem ter conexões com o meio social dos alunos, para que possam utilizá-
los na sua vida cotidiana.
No entanto, sugerimos duas aplicações de grande relevância, pois fazem parte do 
cotidiano dos alunos, para resolver matrizes e sistemas lineares utilizando a metodologia da 
Modelagem Matemática.
Tendo em vista uma melhoria na qualidade de vida desses adolescentes, vamos abordar 
o conteúdo de matrizes através de um programa que relacione atividades físicas e as calorias 
que eles vão perder, estimulando também a atividade física entre os adolescentes.
Pesquisas mostram que pessoas que incluem atividades físicas no seu programa de 
emagrecimento têm menor chance de recuperar o peso perdido do que as que só mudaram a 
dieta. Além de promover o controle de peso, a atividade física melhora sua força e flexibilidade, 
diminui o risco de enfermidade cardíaca, ajuda a controlar a pressão sanguínea e diabetes e 
ainda pode melhorar a sensação de bem-estar e diminuir o estresse.
Situação-problema 1
Fernando é um aluno que pesa 73 quilos. Ele quer perder peso por meio de um programa 
de dieta e de exercícios. Após consultar a tabela 1, ele montou o programa de exercícios na 
tabela 2. Quantas calorias ele vai queimar por dia se seguir esse programa?
TABELA 1 - CALORIAS QUEIMADAS POR HORA
Peso Caminhar a 
3km/h
Correr a 9km/h Andar de 
bicicleta a 9km/h
Jogar futebol
69 213 651 304 420
73 225 688 321 441
77 237 726 338 468
81 249 764 356 492
Suponhamos um acompanhamento deste aluno através de um programa de exercícios 
ao longo da semana.
UNIDADE 1TÓPICO 362
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Caminhar Correr Andar de 
bicicleta
Jogar futebol
Segunda-feira 1,0 0,0 1,0 0,0
Terça-feira 0,0 0,0 0,0 2,0
Quarta-feira 0,4 0,5 0,0 0,0
Quinta-feira 0,0 0,0 0,5 2,0
Sexta-feira 0,4 0,5 0,0 0,0
TABELA 2 - HORAS POR DIA PARA CADA ATIVIDADE
Após este levantamento, vamos cruzar as informações:
As informações do aluno Fernando estão localizadas na tabela 1, segunda linha. Essa 
informação pode ser representada por uma matriz X 4x1 e as da tabela2, através de uma 
matriz A 5x4.
Então, por meio destas informações podemos dizer quantas calorias Fernando vai 
queimar após cada dia de exercício físico, simplesmente calculando A . X:
Se formarmos o produto AX, a primeira linha de A.X vai representar as calorias que ele 
vai queimar na segunda-feira:
1,0. 225 + 0,0. 688 + 1,0. 321 + 0,0. 441 = 546
O produto da segunda linha de A . X representa as calorias para terça-feira:
0,0. 225 + 0,0. 688 + 0,0. 321 + 2,0. 441 = 882
O produto da terceira linha de A .X representa as calorias para quarta-feira:
0,4. 225 + 0,5. 688 + 0,0. 321 + 0,0. 441 = 434
O produto da quarta linha de A .X representa as calorias para quinta-feira:
0,0. 225 + 0,0. 688 + 0, 5 . 321 + 2,0. 441 = 1042,5
O produto da quinta linha de A .X representa as calorias para sexta-feira:
0,4. 225 + 0,5. 688 + 0,0. 321 + 0,0. 441 = 434
A matriz A é de ordem 5 x 4, e a matriz X é de ordem 4 x 1 e a matriz-produto A.X é de 
ordem 5 x 1. Podemos, então, perceber que a multiplicação de duas matrizes somente é possível 
UNIDADE 1 TÓPICO 3 63
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se o número de colunas da primeira for o mesmo que o número de linhas da segunda.
Logo, Fernando vai queimar 546 calorias na segunda-feira, 882 calorias na terça-feira, 
434 calorias na quarta-feira, 1.042,5 calorias na quinta-feira e 434 calorias na sexta-feira com 
este programa de dieta e exercícios.
[...]
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Abordar estas situações-problemas nas aulas de Matemática possibilita um conhecimento 
matemático mais significativo, pois o aluno fará parte do levantamento de dados para o 
desenvolvimento da aplicação, viabilizando um maior interesse, entusiasmo e motivação pelas 
aulas e observando que a Matemática está presente no nosso cotidiano.
Os conteúdos possuem diferentes aplicabilidades e é preciso mostrar isso aos alunos, 
como forma de contribuir para a sua formação integral para a vida e para o trabalho. A aplicação 
de situações reais com o desenvolvimento do conteúdo de sistemas lineares e matrizes para a 
interpretação e análise nas aulas de Matemática faz com que os alunos enxerguem o quanto 
a Matemática é importante e faz parte do nosso dia a dia.
Conclui-seque o uso desta metodologia nas aulas de Matemática, além de servir como 
motivação para introduzir novas ideias, propicia, também, a compreensão e interpretação de 
um problema real onde o aluno está inserido e faz parte deste processo como cidadão.
Desta forma, o ensino da Matemática cumpre a sua função de contribuir na formação do 
indivíduo, tratando de assuntos e questões do dia a dia, com a intenção de mostrar, conhecer 
e até mesmo alertar.
REFERÊNCIAS 
BARBOSA, Jonei Cerqueira. O que pensam os professores sobre a modelagem 
matemática? Zetetiké, v. 7, n. 11, p. 67-85, 1999.
BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino-aprendizagem com Modelagem Matemática: uma 
UNIDADE 1TÓPICO 364
Á
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G
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B
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I
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E
A
R
nova estratégia. São Paulo: Contexto, 2002.
D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Etnomatemática. São Paulo: Ática, 1998.
FONTE: Disponível em: <http://www.unifra.br/eventos/jornadaeducacao2006/2006/pdf/artigos/
matem%C3% A1tica/A%20MODELAGEM%20MATEM%C3%81TICA%20NO%20ENSINO%20DE%20
MATRIZES.pdf>. Acesso em: 28 jul. 2012. 
UNIDADE 1 TÓPICO 3 65
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Neste tópico, aprendemos que:
•	 Só existe inversa de matrizes quadradas com determinante não nulo.
•	 Se uma matriz quadrada A admite inversa A-1, então A.A-1 = I
•	 Para determinar a matriz inversa, podemos escolher dentre três métodos:
(I) Aplicação da definição: A ∙A -1=A -1∙A= I 
(II) Método do determinante para ordem 2:
(III)Dada uma matriz com det (A) ≠ 0,
(III) Método do escalonamento, que consiste em escrever a matriz expandida e operar as linhas 
das matrizes até conseguir a matriz identidade do lado esquerdo do traço vertical.
RESUMO DO TÓPICO 3
UNIDADE 1TÓPICO 366
Á
L
G
E
B
R
A
L
I
N
E
A
R
AUT
OAT
IVID
ADE �
1 Utilizando a definição (1º apresentado no tópico), determine as inversas das 
matrizes:
2 Utilizando o método do determinante, calcule as inversas das matrizes:
3 Calcule as inversas das matrizes utilizando o método do escalonamento.
UNIDADE 1 TÓPICO 3 67
Á
L
G
E
B
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A
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I
N
E
A
R
AVAL
IAÇÃ
O
Prezado(a) acadêmico(a), agora que chegamos ao final 
da Unidade 1, você deverá fazer a Avaliação referente a esta 
unidade.
UNIDADE 1TÓPICO 368
Á
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A
R
UNIDADE 2
SISTEMAS LINEARES, ESpAÇOS 
vETORIAIS E TRANSFORMAÇÕES 
LINEARES
ObjETIvOS DE ApRENDIZAgEM
A partir desta unidade, o(a) acadêmico(a) estará apto(a) a:
	relacionar uma matriz a um sistema linear;
	solucionar um sistema linear usando a forma matricial;
	classificar um sistema linear quanto à quantidade de soluções;
	entender e conceituar vetores;
	visualizar vetores no plano;
	definir espaços vetoriais;
	compreender transformações lineares;
	aplicar transformações lineares.
TÓPICO 1 – SISTEMAS LINEARES
TÓPICO 2 – ESPAÇO VETORIAL – PARTE 1
TÓPICO 3 – ESPAÇO VETORIAL – PARTE 2
TÓPICO 4 – TRANSFORMAÇÕES LINEARES
pLANO DE ESTUDOS
Esta unidade está dividida em quatro tópicos. No final de 
cada um deles, você encontrará atividades que reforçarão o seu 
aprendizado.
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SISTEMAS LINEARES
1 INTRODUÇÃO
2 CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS LINEARES
TÓPICO 1
UNIDADE 2
Os conceitos primitivos sobre sistemas lineares já são apresentados no ensino 
fundamental. Depois disso, os conceitos vão evoluindo gradativamente no decorrer da vida 
acadêmica. Infelizmente, não podemos dizer que todos os alunos consigam entender a 
importância desse tema.
 
Se pensarmos na matemática como uma ciência a ser aplicada em problemas práticos, 
sistemas lineares são a chave para as soluções desses problemas. Claro que nem todos os 
problemas são resolvidos por um sistema linear, mas boa parte deles são. Assim, sua importância 
é gigantesca. A solução de equações lineares é o problema central da álgebra linear.
Nesta unidade, estudaremos que existem sistemas possíveis de serem resolvidos e 
que apresentam uma única solução (possíveis determinados). Veremos também que alguns 
sistemas possuem várias soluções possíveis (possíveis indeterminados), enquanto outros, 
simplesmente não possuem solução (sistemas impossíveis). Aprenderemos como identificar 
cada caso e a solucionar os sistemas que apresentarem soluções.
Para isso, relacionaremos uma matriz a cada sistema linear e veremos como o 
escalonamento dessa matriz relacionada nos dá todas as “pistas” necessárias sobre o sistema 
linear original.
Se quisermos generalizar um sistema linear, podemos dizer que relacionamos n variáveis 
em m equações diferentes, como representado a seguir:
UNIDADE 2TÓPICO 172
Á
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R
Ao tentar resolver um sistema linear, estamos procurando os valores para x1, x2, x3,…, 
xn que façam as m equações envolvidas no sistema serem verdadeiras.
UNI
Quando dizemos que uma equação é verdadeira, estamos nos 
referindo que ao substituirmos cada x1, x2, x3,…, xn pelos seus 
respectivos valores obtemos os resultados b1, b2, b3,…, bm como 
informado em cada equação do sistema.
Infelizmente nem todos os sistemas lineares apresentam soluções que consigam 
satisfazer todas as equações simultaneamente, o que caracteriza que o referido sistema não 
tem solução.
Temos então três tipos de sistemas lineares:
(i) Sistemas Possíveis e Determinados (SPD)
Quando só há uma possibilidade de resposta para x1, x2, x3,…, xn de modo a satisfazer 
o sistema. Por esse motivo, dizemos que é determinado: há uma única solução.
(ii) Sistemas Possíveis e Indeterminados (SPI)
Nesse tipo de sistemas, há infinitas possibilidades de combinações para x1, x2, x3,…, 
xn, que satisfazem o sistema linear. Logo este sistema é possível, mas é indeterminado, pois 
não há uma única e determinada solução, mas infinitas.
(iii) Sistemas Impossíveis (SI)
Como o próprio nome diz, são os sistemas que não têm soluções, ou seja, não há 
combinação possível para x1, x2, x3,…, xn de modo a satisfazer, simultaneamente, todas as m 
equações do sistema.
UNIDADE 2 TÓPICO 1 73
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2.1 VISUALIZAÇÃO DOS TIPOS DE SISTEMAS EM R²
Quando o sistema SPD, SPI ou SI tiver duas ou três incógnitas, poderemos representá-
los em R² ou R³, respectivamente. Faremos isso no plano R² devido à facilidade interpretativa. 
Os conceitos vistos em R² podem ser generalizados para o espaço R³ e também para um espaço 
Rn qualquer, embora seja impossível a visualização geométrica de espaços além de R³.
IMP
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TE! �
As representações R, R², R³, estão sendo cada vez mais usadas 
no mundo matemático para representarem a reta, o plano e o 
espaço, respectivamente. Por isso, a representação é utilizada 
para os chamados hiperplanos Rn quando o n é maior que 3, 
que são impossíveis de visualizar, mas que a matemática estuda 
perfeitamente.
Para entender a representação geométrica de um sistema no plano R², vocês têm que 
lembrar que cada equação do sistema representa uma reta no plano cartesiano. E, ainda, 
que um sistema R² tem apenas duas variáveis. O número de equações não é fixo, ele pode 
variar de uma até m equações, porém, sem perda de generalidade, usaremos como exemplos, 
sistemas com duas equações.
(i) Sistema Possível e Determinado (SPD)
Um sistema apresentar uma única solução significa que as equações que o compõem 
são retas concorrentes cujo ponto de intersecção é a solução do sistema.
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(ii) Sistema Possível e Indeterminado (SPI)
As equações que compõem o sistema representam duas retas coincidentes, ou seja, 
estão uma “em cima” da outra. Como todos os pontos de uma também são pontos da outra,isso acarreta em todos os pontos de uma das retas (que são infinitos) serem soluções do 
sistema.
(iii) Sistemas Impossíveis (SI)
As retas que compõem o sistema são paralelas entre si, ou seja, não há ponto em 
comum entre elas. Logo, não há solução possível.
3 MATRIZ RELACIONADA A UM SISTEMA LINEAR
Todo sistema linear pode ser representado na forma matricial (usando matrizes) e 
isso não só é de uma beleza teórica impressionante como é fundamental para a resolução 
de sistemas grandes. O fato de podermos representá-los como matrizes possibilita utilizar o 
computador para resolvê-los.
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Consideremos o sistema generalizado que já conhecemos:
Esse sistema pode ser representado na forma matricial simplesmente como A·X=B, 
onde A é uma matriz m x n cujos elementos são os coeficientes aij do sistema (1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j 
≤ m),X é o vetor (matriz coluna) das incógnitas B é o vetor resultado.
Para ficar mais fácil de visualizar, acompanhe o desenvolvimento a partir da generalização 
de sistemas acima.
Se fizermos a multiplicação entre as matrizes, teremos novamente o sistema linear 
original:
Exemplo:
1) Escreva os sistemas a seguir usando a forma matricial A·X = B
Nesse caso teremos:
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Logo, o sistema representado na forma A·X = B, torna-se:
Note que nem todas as incógnitas aparecem em todas as equações. Podemos então 
reescrever o sistema como sendo:
Nesse caso teremos:
Logo,
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Você notou que a 1ª coluna da matriz A refere-se aos coeficientes 
da primeira incógnita (no caso “a”) e que, quando essa incógnita 
não aparece na equação, colocamos 0 na posição correspondente 
da matriz? Essa observação é muito importante.
Agora que você já viu que é possível escrever qualquer sistema linear na forma matricial, 
mostraremos o mais interessante de tudo isso. Podemos resolver (ou verificar que não há 
soluções) um sistema linear utilizando as matrizes somente com os valores dos coeficientes e 
das respostas, sem nos preocuparmos com as incógnitas. Para isso escrevemos uma matriz 
relacionada ao sistema que chamamos de matriz ampliada.
Dado um sistema linear A·X = B, a matriz ampliada será composta pela matriz A, 
acrescida da matriz resultado B. Veja, utilizando os exemplos anteriores.
3.1 MATRIZ AMPLIADA
Podemos escrever:
E a matriz ampliada será
Notem que apenas acrescemos a coluna dos resultados na matriz A. Para reforçar a 
natureza diferente da matriz B em relação à matriz A, vamos separá-lo com um tracejado ou 
por uma linha contínua.
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Na forma matricial,
A matriz ampliada do sistema é, portanto,
Verifique que a última coluna da matriz ampliada representa a matriz resultado B, 
enquanto as outras colunas são os elementos da matriz A.
ATEN
ÇÃO!
O tracejado pode ser representado por uma linha contínua. Ao 
longo deste Caderno de Estudos, utilizaremos os dois modos. 
Fique atento!
4 RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR UTILIZANDO ESCALONAMENTO
Teoricamente qualquer sistema linear seria resolvido muito simplesmente, pois bastaria 
escrevê-lo na forma matricial e usar uma multiplicação com a matriz inversa. De fato, dado um 
sistema escrito na forma matricial A·X = B, poderíamos multiplicar a inversa de A à esquerda 
de ambos os termos da igualdade:
A·X = B
A-1·(A·X) = A-1·B
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(A-1·A)·X = A-1·B
Pela propriedade de inversa, A-1.A = I, onde I é a matriz identidade, logo:
A·X = B
A-1AX = A-1B
I·X = A-1·B
X = A-1·B
Consequentemente, efetuando a multiplicação A-1·B, teríamos a solução do sistema. 
Contudo, nem toda matriz A tem inversa e, mesmo que tenha, o cálculo da inversa é 
algo inviável para matrizes grandes. É por esse motivo que utilizamos outros métodos ao invés 
da inversa para solucionar um sistema, entre eles, o método do escalonamento. Este método 
consiste em escalonar a matriz ampliada relacionada ao sistema, e após estar escalonada, em 
resolver as equações dadas por esta nova matriz, que serão de mais fácil resolução.
Veja um exemplo de aplicação em um sistema com duas equações e duas incógnitas
A matriz ampliada desse sistema é:
Escalonando-a, teremos:
Agora resolvemos o “novo” sistema, relacionado à matriz escalonada. A matriz escalonada 
mantém propriedades da matriz original e algumas dessas propriedades estão relacionadas 
ao resultado. Em outras palavras, a solução do sistema relacionado à matriz escalonada será 
a mesma solução do sistema original. Assim, basta resolver o sistema associado à matriz 
escalonada:
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Veja que a segunda linha dá uma equação muito fácil de resolver:
Como determinamos que y = 5, substituímos esse valor de y na 1ª equação do sistema 
e encontramos o valor de x.
Logo a solução do sistema é um ponto no plano cartesiano, como visto no item 2, de 
coordenadas (-4,5). Também podemos representar a solução do sistema como um vetor usando 
uma matriz coluna. Nesse caso, teremos X = 
Note que esta matriz também é solução do sistema original. De fato:
É importante salientar que ao multiplicar a matriz A pelo vetor solução, obteremos como 
resposta o vetor b, que é exatamente a exigência do sistema linear.
Agora, daremos outros exemplos de sistemas utilizando o escalonamento para 
determinar a solução, caso ela exista.
Essa matriz tem duas equações e três incógnitas, logo a matriz A será de ordem 2x3. 
Como a matriz ampliada tem uma coluna a mais (a coluna dos resultados), teremos uma matriz 
2x4 como ampliada.
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Notem que na segunda linha não aparece incógnita y, mas na matriz temos que 
representá-la normalmente. Assim, basta acrescentar o coeficiente 0 como elemento 
correspondente. Isso não é novidade, pois já falamos disso no item 3 deste tópico.
Escalonando a matriz
Notem que esta matriz já está escalonada e lendo as suas linhas, teremos duas 
equações:
Isolando x na primeira equação e y na segunda, obteremos o resultado de x e y em 
função de z, ou seja,
Portanto, existem infinitas soluções para esse sistema: para cada valor de z que 
considerarmos, teremos valores x e y diferentes associados a ele, a solução geral é representada 
por um ponto de três coordenadas (-2z, 1-5z, z) ou por um vetor . Vejam que z é a variável 
independente, atribuindo diferentes valores para z, você encontra diferentes soluções para o 
sistema, como por exemplo:
para z=0 teremos (0,1,0)
para z=1 teremos (-2,-4,1)
Os valores de x e y foram obtidos usando os resultados do sistema acima. Dizemos 
então que z é a variável independente do sistema.
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Assim, a solução geral do sistema pode ser representada por um ponto de três 
coordenadas 
(-2z, 1-5z, z) ou por uma matriz , ou simplesmente representamos a solução por 
S={(-2z,1-5z,z)}
Escrevendo a matriz ampliada e escalonando
Pronto! A matriz já está escalonada. Lendo a sua última linha escalonada, temos a 
seguinte equação: 0x + 0y = 2, ou seja, estamos procurando valores de x e valores de y que 
a soma de seus produtos por 0 resulta em 2.
Isto é impossível porque todo número x e todo número y multiplicados por 0 será igual 
a 0, então teremos sempre, para qualquer x e y, 0 + 0 no lado esquerdo da igualdade. E 0 + 
0 é sempre igual a 0, nunca igual a 2. Portanto, esse sistema é impossível, ou seja, não há x 
e y que solucione o sistema.
Nesse caso representamos a solução como S={ }
Escrevendo a matriz ampliada e escalonandoUNIDADE 2 TÓPICO 1 83
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Lendo a terceira linha da matriz escalonada, temos:
-9z=9
z= 9 
 -9
z=-1
Como z = -1, lendo a segunda linha e substituindo z pelo seu valor -1 teremos:
-y-3z=2
-y-3.(-1)=2
-y+3=2
-y=2-3
-y=-1
y=1
Temos então, z = -1 e y = 1. Lendo a primeira linha e substituindo esses valores nos 
seus respectivos lugares, determinaremos o valor de x.
x+y+z=0
x+(1)+(-1)=0
x+1-1=0
x=0
Portanto, obtivemos x = 0, y = 1 e z = -1 como solução do sistema. Lembre-se de que 
isso representa o ponto (0,1,-1) no espaço R³, ou a matriz . Podemos representar a solução 
por: S={(0,1,-1)}
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(d) Resolva o sistema:
Resolução:
Escrevendo a matriz ampliada do sistema:
Para escalonar essa matriz, podemos utilizar todas as operações sobre linhas de matriz. 
Como é sempre útil deixar o pivô valer 1, vamos permutar (trocar), a linha 1 pela linha 2:
Usando o elemento a11 = 1 como pivô para zerar os elementos a21 = 3 e a31 = -4, 
teremos:
Logo,
Permutando a linha 2 com a linha 3 para ficarmos com o pivô a22 = 1, teremos:
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Utilizando o pivô a22 = 1 para zerar o elemento a32 = -5:
Efetuando as operações chegamos à matriz escalonada:
Lendo as linhas da matriz escalonada:
3ª Linha:
44z=44
z= 44 
 44
z=1
2ª Linha:
1y+9z=14
1y+9∙(1)=14
1y+9=14
y=14-9
y=5
1ª Linha:
x+y+2z=12
x+(5)+2∙(1)=12
x+5+2=12
x+7=12
x=12-7
x=5
Portanto, a solução do sistema é:
S={(5,5,1)}
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Veja que novamente, quando representamos a solução do sistema 
linear, respeitamos a ordem das incógnitas, x,y,z. Essa ordem é 
importante e não pode ser mudada ao escrevermos a solução 
nessa representação.
e) Dê a solução do sistema linear a seguir utilizando o escalonamento de matrizes.
Resolução:
Escrevendo a matriz ampliada relacionada do sistema:
Escalonando a matriz utilizando as operações sobre linhas da matriz para deixá-la 
escrita sob forma escada:
Utilizando o elemento a 11=1 como pivô para zerar os elementos abaixo dele.
Permutando as linhas 2 e 3,
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Agora, usaremos o elemento a 22=-1 como pivô para zerar o elemento a31 abaixo 
dele
Iniciando a leitura das linhas das matrizes:
3ª linha:
-3z=3
z= 3 
 ( -3)
z=-1
2ª linha:
-y-z=0
-y-(-1)=0
-y+1=0
-y=-1
y=1
1ª linha:
x-y+2z=-2
x-(1)+2∙(-1)=-2
x-1-2=-2
x=-2+1+2
x=1
Portanto, a solução do sistema linear dado é:
S={(1,1,-1)}
5 CLASSIFICANDO UM SISTEMA EM SPD, SPI OU SI
Para classificar um sistema em: sistema possível e determinado (SPD), sistema possível 
e indeterminado (SPI) ou sistema impossível (SI) precisamos definir o posto de uma matriz.
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Essa matriz escalonada ficará
Logo o posto de A é igual a 2, pois a matriz A escalonada apresenta duas linhas não 
nulas.
Para classificar os sistemas em SPD, SPI ou SI, basta comparar o posto da matriz A, 
cujos elementos são os coeficientes do sistema linear, com o posto da matriz ampliada, cujos 
elementos são os elementos da matriz A mais os elementos da matriz B.
(i) Se o posto de A for menor que o posto da matriz ampliada, então o sistema é impossível.
Voltemos ao exemplo b do item 4 que já sabemos ser impossível. A matriz ampliada e 
escalonada ficou:
, mas não esqueça que a matriz A escalonada é 
Note que a matriz ampliada tem posto 3 (porque apresenta três linhas não nulas), 
enquanto a matriz A tem posto 2 (porque apresenta apenas duas linhas não nulas).
(ii) Se o posto de A for igual ao posto da matriz ampliada, mas menor que o número de incógnitas, 
então o sistema é possível e indeterminado.
Observe o exemplo a do item 4,onde a matriz ampliada escalonada ficou:
Dada uma matriz A qualquer, o posto dessa matriz será igual ao número de linhas não 
nulas da matriz A escalonada.
Exemplos:
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O posto desta matriz é igual a 2, pois apresenta duas linhas não nulas (que é igual ao 
posto da matriz A).Contudo, o número de incógnitas é 3. Logo, o posto da matriz é menor que 
o número de incógnitas, o que caracteriza um SPI.
(iii) Se o posto de A for igual ao posto da matriz ampliada e igual ao número de incógnitas, 
então o sistema é possível e determinado.
Voltemos ao exemplo c do item 4, que apresentou a seguinte matriz ampliada escalonada:
O posto dessa matriz é 3, que é o mesmo número de incógnitas. Logo, esse sistema é 
possível e determinado, SPD.
(b) Classifique o sistema a seguirem SPD, SPI ou SI, analisando o rank (posto) das matrizes 
relacionadas ao sistema.
Escrevendo a matriz ampliada do sistema:
Agora, escalonamos a matriz para deixar na forma escada e analisar o posto das 
matrizes relacionadas ao sistema.
Primeiramente, trocamos a linha 1 com a linha 2
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Usamos o elemento a11=1 como pivô para zerar os elementos a21, a31 e a41.
O pivô será o elemento a 22=-5 , e o utilizaremos para zerar os elementos, a32 e a42 da 
segunda coluna que estão abaixo do pivô.
Para não trabalhar com frações, multiplicaremos a linha 4 por 5,
Como o pivô será o elemento a
33
, permutaremos as linhas 3 e 4 para que o pivô seja 
igual a -1.
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Usando o pivô a
33
= -1 para zerar o elemento a
43
 abaixo dele,
Analisando o posto das matrizes:
O posto da matriz ampliada é igual a 4 (existem 4 linhas não nulas na matriz 
escalonada).
O posto da matriz A dos coeficientes do sistema, tem posto igual a 4 (tirando a coluna 
dos resultados, ainda temos 4 linhas não nulas na matriz escalonada).
O número de incógnitas é igual a 4: x1, x2, x3 e x4 .
Como o posto da matriz A é igual ao posto da matriz ampliada e igual ao número de incógnitas, 
o sistema relacionado a essas matrizes é SPD (sistema possível e determinado). Ou seja, existe 
apenas uma solução para esse sistema. Para determinar os valores das variáveis x1, x2, x3 e x4 basta 
pegar a matriz escalonada e começar a leitura das linhas, como visto nos exemplos do item 4.
ATEN
ÇÃO!
Existem muitas maneiras de escalonar uma matriz. Se você 
chegou à outra matriz escada diferente da que exibimos, não 
quer dizer necessariamente que você fez o escalonamento errado. 
Mostramos um jeito de escalonar e, caso você não troque uma 
das linhas que nós trocamos, por exemplo, sua matriz escada final 
será diferente. Porém a conclusão vinda da análise do posto das 
matrizes relacionadas ao sistema será sempre a mesma. Se não 
for, aí sim você pode ter certeza que errou o escalonamento.
(c) Dado o sistema linear a seguir, classifique-o em SPD, SPI ou SI, analisando o posto das 
matrizes relacionadas.
Resolução:
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Iniciando o processo de escalonamento, usamos o elemento a11=1 para zerar os 
elementos a21 e a31 abaixo dele.
Utilizando o elemento a22= -10 como pivô para zerar o elemento a32 abaixo dele,
Note que a matriz A tem apenas duas linhas não nulas. Logo o posto da matriz A é 
igual a 2.
UNI
A matriz A corresponde à parte da matriz escalonada sem a 
coluna do resultado, .
A matriz ampliada conta com 3 linhas não nulas, logo o posto 
da matriz ampliada é igual a 3.
Como o posto da matriz ampliada é maior que o posto da matriz 
A, o sistema é impossível (SI), ou seja, não há solução para 
ele.
Matriz ampliada do sistema
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Neste tópico, vimos que:
•	 Um sistema pode ser SPD, SPI ou SI.
•	 A solução de um sistema pode ser representada geometricamente.
•	 Todo sistema pode ser escrito sob forma matricial A·X = B.
•	 Usamos escalonamento para resolver um sistema e/ou classificá-lo em SPD, SPI ou SI.
•	 Se o posto da matriz A for menor que o posto da matriz ampliada, o sistema associado será 
um SI.
•	 Se o posto da matriz ampliada for igual ao posto da matriz A, porém menor que o número 
de incógnitas, o sistema é SPI.
•	 Se o posto da matriz ampliada for igual ao posto da matriz A e igual ao número de incógnitas, 
temos um caso de SPI.
RESUMO DO TÓPICO 1
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Para verificar seu aprendizado resolva os exercícios propostos:
1 Escreva qual é a diferença entre SPD, SPI e SI.
2 Represente os sistemas a seguir na forma matricial AX = B.
3 Escreva a matriz ampliada dos sistemas:
4 Resolva, por escalonamento, os sistemas da questão 3.
5 Classifique os sistemas a seguir em SPD, SPI e SI, justificando.
AUT
OAT
IVID
ADE �
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ESPAÇO VETORIAL – PARTE 1
1 INTRODUÇÃO
2 VETORES
2.1 VETORES NO R² 
TÓPICO 2
UNIDADE 2
Os dois próximos tópicos desta unidade serão dedicados ao estudo dos espaços 
vetoriais. 
Começaremos relembrando o que é um vetor e quais suas propriedades. Veremos 
que essas propriedades são fundamentais para a definição de um espaço vetorial e também 
aprenderemos como identificar um subespaço vetorial.
Como sempre, vale lembrar que este Caderno de Estudos tem como principal 
objetivo “abrir” as portas do maravilhoso mundo da álgebra linear. Portanto, é evidente, que 
o estudo é introdutório e, algumas vezes, superficial. Por isso, caso você queira aprofundar o 
conhecimento na área, busque informações em mais de um livro, pois todos complementarão 
o seu estudo.
Estudaremos primeiramente os vetores no plano, ou seja, no R² (duas dimensões) e, 
depois, generalizaremos para um espaço de n-dimensões, que representamos por Rn.
Uma maneira de representar um ponto no plano é criar um sistema de coordenadas (plano 
cartesiano) com dois eixos orientados e ortogonais entre si (eixo das abscissas e ordenadas). 
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Um ponto P qualquer no plano será representado pelo par ordenado (a,b) representando suas 
coordenadas referente aos eixos horizontal (eixo x) e vertical (eixo y), respectivamente.
Agora, dados dois pontos P e Q no plano, podemos definir um vetor PQ como sendo 
o segmento orientado com início em P e fim em Q.
É importante salientar que, embora o conjunto de pontos do segmento PQ e QP sejam 
os mesmos, quando falamos de vetores, os vetores PQ e QP são diferentes, pois têm sentidos 
opostos.
Todo vetor pertencente ao plano tem um único vetor e quivalente a ele com início na 
origem. O vetor correspondente tem que ter o mesmo tamanho, a mesma direção e o mesmo 
sentido.
Veja que o vetor OQ é paralelo ao vetor PQ, logo tem a mesma direção. Ambos também 
têm o mesmo sentido e o mesmo tamanho e, portanto são equivalentes.
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Por direção, entenda a reta suporte do vetor dado, por sentido 
entenda para onde o vetor “aponta”.
Podemos usar também a notação, v=(a,b), para representar um 
vetor de início na origem e termino no ponto P(a,b).
A importância de saber que todo vetor no plano tem um único equivalente com início 
na origem é porque, com isso, podemos trabalhar apenas com os vetores com início no ponto 
(0,0) sem nos preocuparmos com os demais, e basta sabermos apenas informar o ponto final 
do vetor para conhecê-lo, o que é relativamente simples. Assim, a notação de um vetor 
ficará reduzida a representar as coordenadas do seu ponto final P(a,b). Usaremos a matriz 
coluna para representar um vetor no plano.
Exemplos de vetores no plano:
Os três vetores acima são representados como: .
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A notação correta de um vetor exige o segmento de reta acima da 
letra que representará o vetor, por exemplo: u,v,w,…. Porém sempre 
que entendermos que não há perigo de confusão representaremos 
os vetores sem usar o segmento de reta em cima da letra, embora 
isso seja um abuso de notação.
2.1.1 Operações com vetores
Definiremos agora duas operações para vetores, a adição de vetores e a multiplicação 
de um vetor por um escalar (por escalar, entenda um número real).
(1) Adição: sejam dois vetores v = (a,b) e u = (c,d). O vetor resultante da soma de v com u é 
dado por: v + u = (a + c,b + d).
Exemplos:
a) Sendo os vetores u = (3,5) e v = (1,5), calcule u + v.
Resolução: 
u + v = (3,5) + (1,5) = (3 + 1, 5 + 5) = (4,10)
b) Calcule u + v, sendo os vetores u = (-3,4) e v = (7, -3)
Resolução:
u + v = (-3,4) + (7,-3) = (-3 + 7, 4 +(-3)) = (4,1)
(2) Multiplicação de um vetor por um escalar: seja um vetor v = (a,b) e um escalar kϵR, então 
teremos que k·v = (k·a,k·b).
Exemplos:
Sendo u = (-3,4), determine:
a) 3·u = 3·(-3,4) = (3·(-3),3·4) = (-9,12)
b) -2·u = -2·(-3,4) = ((-2)·(-3),(-2)·4) = (6,-8)
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2.2 VETORES NO Rn.
A visualização geométrica de vetores é possível apenas até o R³, ou seja, até 3 
dimensões, que representam o espaço. Acima disso, a representação geométrica é impossível, 
contudo a álgebra linear não depende de desenhos para suas definições. 
Então tudo o que vale para R² e para R³ em relação a vetores, vale para Rn, onde n é 
um número natural qualquer. Assim, um vetor v e Rn será representado por n coordenadas x1. 
x2... xn 
Dados três vetores u,v,w ϵ Rn e dois escalares a e b, as seguintes propriedade são 
válidas:
(i) (u + v) + w = u + (v + w)
(ii) u + v = v + u
(iii) Existe um vetor nulo 0 ϵ Rn tal que u + 0 = u.
(iv) Para cada v ∈ Rn não nulo, existe um vetor –v ϵ Rn, tal que v + (-v) = 0.
(v) a·(u + v) = a·u + a·v
(vi) (a + b)·v = a·v + b·v
(vii) (a·b)·v = a·(b·v)
(viii) 1·u = u
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Estas propriedades são usadas para determinar um espaço 
vetorial, veja a seguir.
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3 ESPAÇOS VETORIAIS
Existem conjuntos que não são compostos propriamente por vetores, mas cujos 
elementos se comportam do mesmo jeito, ou admitem as mesmas propriedades. Esses 
conjuntos, com suas operações, são definidos como espaços vetoriais.
Definição: Seja V um conjunto não vazio e consideremos duas operações associadas 
a ele:
a) A operação adição que associa a cada par de elementos u, v ∈ V um terceiro elemento u + 
v ∈ V, 
b) A operação multiplicação por escalar que associa a cada c ∈ R e a cada v∈ V, o vetor c·v 
∈ V.
Dizemos que V é um espaço vetorial real se V, munido das operações + e · se, para 
quaisquer u,v,w∈V e a,b∈R, as propriedades de (i) a (viii) forem satisfeitas:
(i) (u + v) + w = u + (v + w)
(ii) u + v = v + u
(iii) Existe um vetor nulo 0 ϵ Rn tal que u + 0 = u.
(iv) Para cada v ∈ Rn não nulo, existe um vetor –v ϵ Rn, tal que v + (-v) = 0.
 
(v) a·(u + v) = a·u + a·v
(vi) (a + b)·v = a·v + b·v
(vii) (ab)v = a(bv)
(viii) 1·u = u
UNI
O fato de chamarmos estes espaços vetoriais de espaços 
vetoriais reais vem de utilizarmos escalares reais na definição. 
Assim, podemos definir de maneira análoga os espaços vetoriais 
complexos: basta trabalharmos com escalares complexos na 
definição.
UNIDADE 2 TÓPICO 1 101
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Exemplos de espaços vetoriais:
1) O conjunto das matrizes de ordem 2 munido das operações de soma e de multiplicação por 
escalar usuais.
2) Seja P2 o conjunto de todosos polinômios de grau igual ou menor que 2 munido das operações 
de soma e de multiplicação por escalar usuais.
Para confirmar que os dois exemplos anteriores são espaços vetoriais, temos que 
considerar dois vetores generalizados pertencentes a esses espaços e confirmar todas as 
oito propriedades.
Mostraremos como proceder para o primeiro caso, e instigamos você a mostrar a 
veracidade do segundo de forma análoga. 
Exemplo 1:
 Consideremos o conjunto M2x2 das matrizes de ordem 2 munido das operações de 
soma e de multiplicação por escalar usuais e vamos verificar todas as oito propriedades de 
espaços vetoriais. Sejam 
E a e b números reais quaisquer. 
(i) (U + V) + W = U + (V + W) 
Verificando:
UNIDADE 2TÓPICO 2102
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Portanto, a propriedade (i) está satisfeita.
(ii) U + V = V + U
(iii) Existe 0 ∈ M2x2 tal que U + 0 = U.
Para demonstrar esta propriedade, precisamos exibir o elemento 0 de M2x2 que faz este 
papel para todos os outros elementos de M2x2. 
Você já deve imaginar quem é esta matriz, mas vamos supor que não tenhamos nem 
ideia de quem seja. Então, tomando ∈ M2x2, precisamos que valha
UNIDADE 2 TÓPICO 1 103
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Ou seja, 
Ainda
Agora, lembre-se de que
 u1, u2, u3 e u4 são números reais, implicando x1=x2=x3=x4=0. Segue que o 
elemento neutro de M2x2 é dado pela matriz .
(iv) Dado V∈ M2x2 não nulo, existe – V ∈ M2x2, tal que V + (-V) = 0.
Consideremos um elemento. Então, V é da forma
 com v1, v2, v3 e v4, números reais.
Queremos encontrar um elemento de -V ∈ M2x2, tal que
V + (-V) = 0.
Isso significa que, fazendo 
 
, precisamos descobrir quem são u1, u2, u3 e u4 para os quais
V + (-V) = 0.
Ou seja, 
UNIDADE 2TÓPICO 2104
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Assim,
Como v1, v2, v3, v4 u1, u2, u3 e u4 são números reais, o sistema é satisfeito sempre que 
u1 = -v1, u2 = -v2, u3 = -v3, u4 = -v4. Portanto, encontramos a matriz que procurávamos: dada a 
matriz , a matriz é tal que
V + (-V) = 0.
(v) a·(U + V) = a·U + a·V
UNIDADE 2 TÓPICO 1 105
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(vi) (a + b) ·v = a·v + b·v
(vii) (ab)v = a(bv)
(viii) 1·u = u
Logo, como valem as outras propriedades, está provado que o conjunto do exemplo 1 
é um espaço vetorial. 
UNI
Não se esqueça de provar o exemplo 2.
UNIDADE 2TÓPICO 2106
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4 SUBESPAÇOS VETORIAIS
Muitas vezes, dentro de espaços vetoriais, existem subconjuntos que se comportam, 
eles mesmos, como um espaço vetorial. Identificar tais subconjuntos é importante em alguns 
casos. 
É como identificar esses subconjuntos que aprenderemos agora.
Definição: Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W de V não vazio será um 
subespaço vetorial de V se:
(i) Para quaisquer u,v∈W, tivermos u + v ∈ W.
(ii) Para quaisquer a ∈ R, u∈W tivermos a·u ∈ W.
DIC
AS!
Para verificar se um subconjunto de um espaço vetorial é 
subespaço vetorial, basta conferir as condições (i) e (ii) da 
definição. Ou, simplesmente, substituir as duas por: 
“para quaisquer u,v∈W e a ∈ R tivermos a·u + v ∈ W.”
Exemplos e contraexemplos de subespaços vetoriais:
(1) V = R5 e W = {(x1,x2,0,x4,x5); xi ∈ R}, isto é, W é o subconjunto de R
5 de vetores cuja terceira 
coordenada é nula.
Para conferir se W é subespaço vetorial de V, basta verificar a frase escrita na dica 
anterior.
Sejam u = (x1,x2,0,x4,x5), v = (y1,y2,0,y4,y5) vetores de W e a ∈ R, então:
a·u + v = 
a· (x1,x2,0,x4,x5) + (y1,y2,0,y4,y5) = 
UNIDADE 2 TÓPICO 1 107
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(a·x1,a·x2,a·0,a·x4,a·x5) + (y1,y2,0,y4,y5) =
(a·x1 + y1 ,a·x2 + y2,a·0 + 0,a·x4 +y4,a·x5 +y5) = (a·x1 + y1 ,a·x2 + y2,0,a·x4 +y4,a·x5 +y5)
Como a,xi,yi∈R, com i = 1, 2,…,5, a.xi + yi∈ R para todo com i = 1, 2,…,5 . Logo,
(a·x1 + y1, a·x2 + y2 ,0 , a·x4 +y4, a·x5 +y5)∈ W. Segue que W é subespaço vetorial.
(2) V=Mnxn o conjunto de todas as matrizes quadradas de ordem n, e W é o subconjunto das 
matrizes de ordem n que são triangulares superiores.
Verifique!
(3) V = R² e W = {(x,x²); x∈R)}. 
W não é subespaço vetorial de V. 
De fato, considere 
 u = (2,4) e v = (-1,1). Note que u + v = (1,5), que não pertence a W, pois a segunda 
coordenada não é o quadrado da primeira.
(4) V = R² e W é uma reta deste plano que não passa na origem.
Verifique que não é subespaço vetorial.
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Neste tópico, vimos que:
•	 Todo vetor tem um único vetor equivalente com início na origem.
•	 Representamos este vetor mostrando as coordenadas do seu ponto final.
•	 Podemos usar ou v = (a, b) para representar vetores.
•	 Existem duas operações definidas para os vetores: soma e multiplicação por escalar.
•	 Dados três vetores u,v,w e dois escalares a,b as seguintes propriedade são válidas:
 (i) (u + v) + w = u + (v + w)
 (ii) u + v = v + u
 (iii) Existe um vetor nulo 0 tal que u + 0 = u.
 (iv) Existe um vetor –v, tal que v + (-v) = 0.
 (v) a·(u + v) = a·u + a·v
 (vi) (a + b)·v = a·v + b·v
 (vii) (a·b)·v = a·(b·v)
 (viii) 1·u = u
•	 Se um conjunto V respeitar as propriedades anteriores, diremos que C é espaço vetorial.
•	 Um subconjunto W contido num espaço vetorial V será subespaço vetorial de V quando, 
para qualquer u, v∈W e a ∈ R, tivermos a·u + v ∈ W.
RESUMO DO TÓPICO 2
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Para fixar a aprendizagem, resolva os seguintes exercícios:
1 Mostre que os seguintes subconjuntos de R4 são subespaços.
a) W = { (x,y,z,t) ∈ R4 | x + y = 0 e z – t = 0}
b) U = { (x,y,z,t) ∈ R4 | 2x + y – t = 0 e z = 0}
2 Represente, num plano cartesiano, os seguintes vetores:
3 Considere os vetores do exercício anterior e calcule:
a) u + v
b) 2u – w
c) 4u – 3w + 2v
4 Verifique se o conjunto W={(a,2a,3a); a ∈R} é um espaço vetorial.
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ESPAÇO VETORIAL (PARTE 2)
1 INTRODUÇÃO
2 COMBINAÇÃO LINEAR
TÓPICO 3
UNIDADE 2
Continuaremos a aprendizagem de espaço vetorial. A partir de agora, veremos que 
um vetor pertencente a um espaço vetorial pode ser escrito como uma combinação de outros 
vetores desse espaço, o que chamamos de combinação linear. Estudaremos a dependência ou 
independência linear entre vetores, e que esse conceito é importante para determinarmos uma 
base para o nosso espaço. Essa base será um conjunto de vetores do espaço que conseguirá 
“gerar” qualquer outro vetor desse espaço. Em outras palavras, qualquer vetor do espaço 
poderá ser escrito por uma combinação linear dos vetores da base.
A combinação linear é uma característica importante entre os vetores de um espaço 
vetorial. Ela mostra que, a partir de um determinado grupo de vetores do espaço, podemos 
criar novos vetores. Veja a definição:
Definição: Seja V um espaço vetorial real, v1, v2, v3, ..., vn ∈	V e a1, a2, a3, ..., an ∈	R. O 
vetor v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn de V denominado combinação linear de v1, v2, v3, ..., vn.
UNI
Note que em todos os casos o vetor v, combinação linear, pertence 
ao espaço vetorial V.
UNIDADE 2TÓPICO 3112
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Exemplos de combinação linear.
(1) Seja V=R4, v1 = (3,-2,4,0) e v2 = (1,2,3,4) dois elementos de V. Alguns vetores gerados como 
combinação linear de v1 e v2 são:
a) u1 = 4·v1 + 2·v2 = 4·(3,-2,4,0) + 2·(1,2,3,4) = (12,-8,16,0) + (2,4,6,8) = (14,-4,19,8)
b) u2 = -1·v1 – 3·v2 = -1·(3,-2,4,0) +(-3)·(1,2,3,4) = (-3,2,-4,0) + (-3,-6,-9,-12) = 
= (-6,-4,-13,-12)
ATEN
ÇÃO!
Verifique que u1 e u2 pertencem a V, e que foram “gerados” a 
partir da combinação linear entrev1 e v2.
O conjunto de todos os vetores gerados por um determinado grupo de vetores v1, v2, 
v3, ..., vn pertencentes a um espaço vetorial V é denominado subespaço gerado por v1, v2, v3, 
..., vn.
3 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
O fato que estudamos no item anterior é de vital importância para a álgebra linear, porque 
dados alguns poucos vetores, conseguimos escrever outros como combinação linear destes, 
gerando um espaço vetorial. Logo veremos que, se escolhermos estes vetores geradores de 
forma precisa, poderemos gerar o espaço vetorial que quisermos.
Contudo, para fazermos esta escolha usando o menor número possível de vetores, 
uma condição adicional tem que ser satisfeita: eles precisam ser linearmente independentes. 
Vamos, a seguir, estudar os conceitos de dependência e independência linear.
Definição: Seja V um espaço vetorial e consideremos v1, v2, v3, ..., vn ∈	V e a1, a2, a3, ..., an 
∈	R tais que a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0. Dizemos que os vetores v1, v2, v3, ..., vn são Linearmente 
Independentes (LI) quando a única solução possível para a equação for a1 = a2 = a3 = ... = an 
= 0. Se a equação admitir como solução algum ai ≠ 0, então dizemos que os vetores v1, v2, v3, 
..., vn são Linearmente Dependentes (LD).
UNIDADE 2 TÓPICO 3 113
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Dizer que v1, v2, v3, ..., vn são LD, é o mesmo que afirmar que um 
desses vetores é combinação linear dos demais.
Entre as formas de calcular a equação da definição, a mais interessante é a que utiliza 
matrizes. Representando os vetores v1, v2, v3, ..., vn por matrizes colunas, podemos escrever 
a equação da definição como um sistema linear, onde as incógnitas serão a1, a2, a3, ..., an. De 
fato, escreveremos os sistemas da seguinte maneira:
, lembrando que cada vi representa uma coluna na 
primeira matriz.
Exemplo: Verifique se os vetores a seguir são LD ou LI:
(1) v1 = (1,2,3) e v2 = (-1,0,1) pertencentes a V = R
3
Para verificar se os vetores v1 e v2 são LD ou LI, precisamos considerar dois números 
reais a1, a2 ∈	R tais que a1v1 + a2 v2 = 0 e analisar as possibilidades de respostas para a1, a2 ∈	
R. Lembre-se que a equação gera um sistema, onde a as colunas da primeira matriz são os 
vetores envolvidos, nesse caso, v1 e v2. Portanto,
Escrevendo a matriz ampliada desse sistema linear e efetuando o escalonamento, 
teremos:
UNIDADE 2TÓPICO 3114
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Assim, chegamos ao seguinte sistema equivalente:
 , que admite como única solução a1 = a2 = 0. Logo os vetores do 
exemplo são Linearmente Independentes (LI).
(2) v1 = (-1,1), v2 = (2,0) e v3 = (1,1) em V=R².
Escrevendo o sistema linear na forma matricial:
Usando a matriz ampliada e efetuando seu escalonamento, teremos:
Como o sistema equivalente é SPI e, portanto, admite infinitas 
soluções do tipo {(a1, a2, a3)} = {(-a3, -a3, a3)}, os vetores desse exemplo são Linearmente 
Dependentes (LD).
4 BASE DE ESPAÇO VETORIAL
Chegou a hora de entendermos o que é base de um espaço vetorial. A base será 
composta por um conjunto de vetores que, juntos, gerarão qualquer outro vetor do espaço. 
Ou seja, qualquer vetor v pertencente a um espaço vetorial V será combinação vetorial dos 
vetores da base de V.
Mas também não estamos interessados em qualquer conjunto: queremos um conjunto 
“enxuto”, ou seja, que usa o mínimo de vetores possíveis para gerar V. Para isso, os vetores 
da base têm que ser Linearmente Independentes.
UNIDADE 2 TÓPICO 3 115
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Exemplos e contraexemplos de base:
(1) Os vetores v1 = (-1,1) e v2 = (1,1) formam uma base para V=R²?
Para ser base, v1 e v2 têm que gerar R², ou seja, qualquer vetor pertencente ao conjunto 
R² tem que ser combinação linear de v1 e v2, e ainda, v1 e v2 tem que ser LI.
Seja v = (x,y) um vetor qualquer pertencente a R². Então, para escrever v como 
combinação linear de v1 e v2, temos que verificar se:
Ou seja, para determinar se v1 e v2 geram V=R², temos que resolver um sistema linear, 
usando o que aprendemos na Unidade 1. Vamos escrever a matriz ampliada e escaloná-la.
Ou seja, dado o vetor v = (x,y), basta tomar os números reais a1 e a2 definidos acima, 
que teremos v como combinação linear de v1 e v2. Logo v1 e v2 gera R².
Falta mostrar que são LI, faça isso como exercício de maneira análoga à mostrada no 
item anterior.
(2) Os vetores v1 = (-2,1,1) e v2 = (0,1,1) formam uma base de V = R³?
Para ser base, qualquer vetor de R³ tem que ser escrito como combinação linear 
dos vetores v1 e v2. Seja um vetor qualquer v = (x,y,z) pertencente a R³ e vamos verificar se 
conseguimos escrevê-lo como combinação linear de v1 e v2.
UNIDADE 2TÓPICO 3116
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o que informa que, se y ≠ z, o sistema é impossível, ou seja, v1 e v2 não geram R³, pois 
nem sempre y ≠ z no R³.
UNI
O sistema será impossível se y ≠ z porque se isto ocorrer o posto da 
matriz ampliada será maior que o posto da matriz dos coeficientes 
do sistema. Se está confuso retorne ao tópico sobre sistemas 
SPD, SPI e SI.
O importante de sabermos o que é uma base é a possibilidade de determinar um 
subespaço informando apenas a base geradora. E uma vez definida essa base, podemos 
determinar se um vetor pertence ou não ao espaço gerado. E mais, não precisamos trabalhar 
com o espaço como um todo, mas apenas com a base. O que vale para ela vale para o 
espaço.
Por exemplo, seja W um subespaço gerado pela base [v1,v2], onde v1 = (-1,0,1) e v2 = 
(1,1,0). Verifique se v = (3,2,1) pertence a W.
Como estamos afirmando que v1 e v2 formam uma base para W, todos os vetores de 
W podem ser escritos como combinação linear de v1 e v2. Logo, para verificar se v pertence a 
W, basta verificar se v pode ser escrito como combinação linear de v1 e v2.
UNIDADE 2 TÓPICO 3 117
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o que indica que o sistema é impossível, ou seja, v não pode ser escrito como combinação 
linear de v1 e v2. Logo, v não pertence a W.
UNIDADE 2TÓPICO 3118
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Neste tópico, vimos que:
•	 Dados alguns vetores, podemos escrever outros como combinação linear destes.
•	 Um conjunto de vetores pode ser Linearmente Independente (LI) ou Linearmente Dependente 
(LD).
•	 Definição: Dados v1, v2, v3,..., vn ∈	V e a1, a2, a3,..., an ∈	R, dizemos que os vetores v1, v2, 
v3, ..., vn são Linearmente Independentes (LI), quando a única solução possível para a 
equação: a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0 é a1 = a2 = a3 = ... = an = 0. Se a equação a1v1 + a2v2 + ... + 
anvn = 0 admitir como solução algum ai ≠ 0 então os vetores v1, v2, v3,..., vn são Linearmente 
Dependentes (LD).
•	 Se um conjunto de vetores gerarem um determinado espaço V e forem LI, então esse conjunto 
é denominado base de V.
•	 Determinada a base geradora de um subespaço W, qualquer vetor de W pode ser escrito 
como combinação linear dos vetores da base dada. E, ainda, se um vetor não puder ser 
escrito como combinação dessa base, isso indica que esse vetor não pertence a W.
•	 A dimensão de um espaço vetorial V é dado pelo número de vetores que formam a base 
desse espaço vetorial.
•	 A dimensão de um vetor se caracteriza pelo número de coordenadas que o formam.
RESUMO DO TÓPICO 3
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Faça os seguintes exercícios e verifique se aprendeu os conceitos ensinados.
1 Dados v1 = (-1,0,0) e v2 = (0,1,0), faça as seguintes combinações lineares:
a) 3v1 + 2v2
b) -2v1 + (-4)v2
c) a·v1 + bv2
2 Os espaços Rn tem o que chamamos de base canônica. Esta base é constituída por 
n vetores que, escritos numa matriz, formam a matriz identidade de ordem n.
Por exemplo, no R² a base canônica é formada pelos vetores (1,0) e (0,1), pois 
colocados numa matrizteremos: . Já no R³, teremos como base canônica o 
conjunto formado pelos vetores (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1) que, colocados numa matriz, 
formam , e assim, sucessivamente. Mostre que a base canônica do R² é, 
realmente, uma base de R².
3 Considere o subespaço W de R4, onde W é gerado pela base [(1,1,0,0),(0,1,1,0),(1,
0,0,1)]. Verifique se:
a) O vetor (4,4,4,4) pertence a W.
b) O vetor (a,a+b,b,c,) pertence a W.
4 Mostre que os polinômios 1 – t³, (1-t)², 1-t e 1 geram o espaço dos polinômios de 
grau menor ou igual a 3. (DICA: 1 – t³ = -1t³+0t²+0t+1, que pode ser representado 
pelo vetor (-1,0,0,1). Use esta representação para resolver o exercício.)
5 Os vetores v1 = (1,1,0), v2 = (0,-1,1), v3 = (2,1,1) e v4 = (1,1,1) formam uma base para 
R³? Por quê?
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TRANSFORMAÇÕES LINEARES
1 INTRODUÇÃO
2 O QUE É TRANSFORMAÇÃO LINEAR
TÓPICO 4
UNIDADE 2
Este é um tópico que vai dar outra visão da álgebra linear. Você verá que uma matriz 
poderá ser encarada como uma transformação linear entre dois espaços vetoriais V e W, que 
“associa” um vetor v qualquer de V a outro vetor w de W.
Veremos também os principais conceitos sobre o assunto, e uma boa dose de exemplos, 
que facilitarão o entendimento dos mesmos.
Definição: dados dois espaços vetoriais V e W, uma aplicação linear é uma função T 
de V em W, T:V → W, que satisfaz as condições: 
(i) Dados quaisquer u, v ∈	V, teremos f(u + v) = f(u) + f(v)
(ii) Dados quaisquer k ∈ R e v ∈ V, teremos f(kv) = kf(v)
Esta definição já nos faz notar que, para uma função T:V → W ser uma transformação 
linear, ela tem que levar o vetor nulo de V no vetor nulo de W, isto é, . Logo, 
se , T não é linear.
UNIDADE 2TÓPICO 4122
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Embora a afirmação anterior ajude a detectar funções que não são 
transformações lineares, a recíproca não é verdadeira, ou seja, se 
tivermos não há garantia que T seja uma transformação 
linear.
Veja exemplos e contraexemplos de transformações lineares:
(1) Seja F:R →R, tal que F(u)=u2
Essa função não é uma transformação linear, pois:
F(u + v) = (u + v)2 = u 2 + 2uv + v2 e F(u) + F(v) = u2 + v2, logo F(u + v) ≠ F(u) + F(v), o 
que fere a condição (i) da definição.
(2) Seja F:R2 → R 3, tal que F(x, y) = (2x,0,x + y)
Essa função transforma vetores com duas dimensões em vetores com três. Por exemplo, 
F(2,3) = (2.2,0,2+3) = (4,0,5).
Vamos mostrar que F é uma transformação linear. Sejam u, v ∈	R2 tais que u = (x1,y1) 
e v = (x2,y2) onde xi,yi ∈	R. Então,
Teremos que verificar as duas condições da definição:
(i)
UNIDADE 2 TÓPICO 4 123
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Logo a primeira condição é válida. Falta verificar a segunda.
(ii)
Portanto, F é uma transformação linear.
3 TRANSFORMAÇÃO LINEAR E MATRIZ
Num certo ponto de vista, o estudo de transformação linear pode ser restringido ao 
estudo de matrizes. Isto se dá, porque toda matriz de ordem m X n está associada a uma 
Transformação Linear T:Rn → R n.
Para simplificar o estudo de transformações lineares, adotaremos sempre a base 
canônica como base de nossos espaços vetoriais. A mudança de base consiste em um valoroso 
conceito que facilita, em muitos casos, a resolução de problemas. 
Mais tarde voltaremos a falar desse conceito. 
Por exemplo, se tivermos uma transformação linear T:R3 → R 2, tal que T(x, y, z) = (x 
- 3y + 5z,2x + 4y - z), podemos reescrevê-la em termos de matrizes. 
Observe:
UNIDADE 2TÓPICO 4124
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Ou ainda,
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ÇÃO!
Refaça a multiplicação das matrizes para ver se convencer da 
igualdade entre as equações anteriores.
Como vimos na Unidade 1, a multiplicação de uma matriz de ordem 2×3 por uma matriz 
de ordem 3×1 resulta em uma matriz de ordem 2×1. Assim, saímos de um vetor com três 
coordenadas (vetor de R3 ) para um vetor com duas coordenadas (vetor de R2 ). Assim, o que 
caracteriza esta transformação linear é simplesmente a matriz de ordem 2×3 
Mais ainda: podemos dizer que A é a matriz associada a T: é ela que informa a lei que 
rege a transformação T. Para transformar um vetor v qualquer pertencente ao R³, basta efetuar 
a multiplicação A·v. Veja:
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Viram que, a multiplicação Av resultou na mesma transformação 
anterior?
Na verdade, toda transformação linear admite uma matriz A que a represente. Com isso, 
podemos definir uma transformação linear T indicando apenas a matriz que está associada a 
ela, denotada frequentemente por [T].
Exemplo:
Sendo T:R2 → R 4 dada pela matriz a seguir, determine T aplicada em v = (-2,4)
Resolução: basta efetuar a multiplicação T(v) = [T].·v
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4 NÚCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
Dada uma transformação linear T:V → W, a imagem de T, simbolizada por Im(T), será 
o conjunto de todos os vetores T(v) ∈	W. 
Im(T) = { T(v) ∈ W | v ∈ V}.
Note que a imagem é um subconjunto de W. 
O núcleo de T, simbolizado por N(T), será o conjunto formado por todo elemento v ∈ 
V tal que .
N(T) = { v∈ V | T(v) = 0 }.
Note que o núcleo é um subconjunto de V.
Quando a Imagem de T for igual a W, diremos que a transformação T é sobrejetiva. 
Quando o núcleo de T admitir como único elemento o vetor nulo, diremos que a transformação 
T é injetiva.
IMP
OR
TAN
TE! �
Assim como em funções, quando a transformação T for 
simultaneamente sobrejetiva e injetiva, dizemos que a 
transformação T é bijetiva. Somente uma função bijetiva 
admite inversa. E mais: isso só pode acontecer quando V e W 
tiverem a mesma dimensão, ou seja, a matriz que representa 
a transformação linear será quadrada.
Como a Im(T) e o N(T) são subespaços, se conseguirmos encontrar a base geradora 
destes subespaços, teremos esses conjuntos. E como toda transformação linear tem uma matriz 
associada, você verá que achar a base da imagem resume-se a escalonar a transposta da 
matriz associada e que determinar o núcleo resume-se a encontrar a solução de um sistema 
homogêneo.
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Novamente, iremos aplicar os conceitos de escalonamento de 
matrizes e sistema para encontrar soluções em álgebra linear. 
Sistema homogêneo nada mais é que um sistema linear onde as 
equações são iguais a zero, ou seja, o vetor resultado é nulo.
UNI
Dada uma matriz A = [aij]mxn qualquer, a transposta de A, simbolizada 
por AT, será AT = [aij]nxm. Ou seja, para determinar a transposta de 
uma matriz A basta escrever as linhas como colunas.
Exemplos para determinar núcleo e imagem de uma transformação linear:
(1) Seja T:R3 → R 3 dada por T(x,y,z) = (x,x + y,0). Determine uma base para a imagem, 
uma base para o núcleo e informe suas respectivas dimensões.
Resolução:
Sabemos que a matriz associada a essa transformação é:
Para ficar mais fácil de visualizar essa matriz, pense na transformação como sendo: 
T(x,y,z) = (x,x + y,0) = (1x + 0y + 0z,1x + 1y + 0z, 0x + 0y + 0z)
Vamos determinar a imagem dessa transformação. Para isso, pegamos a transposta 
da matriz associada:
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E fazemos o escalonamento dessa matriz (no nosso exemplo, esse passo já está 
realizado):
Pronto, as linhas não nulas da matriz associada escalonada darão uma base para a 
imagem de T, portanto Im(T) = [(1,1,0),(0,1,0)]. Como a base da imagem necessita de dois 
vetores LI, dizemos que a dimensão da imagem de T é igual a 2. Ou seja, dim(T)=2 e com isso 
temos que Im(T) = R².
ATEN
ÇÃO!
Viram que representamos os vetores queformam a base da 
imagem entre colchetes? Essa é a notação para espaço gerado e 
pode ser utilizada nesse caso.
Olhem a definição de núcleo no início deste tópico, notem que para determinar o núcleo, 
resolvemos um sistema homogêneo (o vetor resultado é o vetor nulo), onde a matriz ampliada 
será a matriz associada T, escalonada, adicionando o vetor nulo ao final.
z=z significa que z pode ser qualquer número real, ou seja, o sistema é SPI com a 
solução S={(0,0,z)} e a base do N(T) = [(0,0,1)].
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Como a base do núcleo necessita de um vetor diferente do vetor nulo, dizemos que a 
dimensão do núcleo é 1, ou seja, dim N(T) = 1 e N(T) = R.
(2) Seja T:R4 → R2, onde T(x,y,z,w) →(x,y) determinada pela matriz a seguir, determine 
uma base para a imagem, uma base para o núcleo e informe suas respectivas dimensões.
Resolução:
Para determinar a base da imagem, basta escalonar a matriz associada transposta da 
transformação linear. Logo teremos:
Portanto, a base geradora da imagem de T será:
Im(T) = [(1,1),(0,1)], dim Im(T) = 2 e Im(T) = R²
Solucionando o sistema linear homogêneo (usando a matriz T) para determinar o 
núcleo, teremos:
, logo temos um sistema SPI com duas variáveis 
dependentes (x e y) e duas independentes (y e w). Para exibir uma base do núcleo de T, basta 
darmos valores às variáveis independentes, por exemplo, 0 e 1 . Os dois resultados obtidos 
serão vetores LI que formarão a base do núcleo de T.
Para y = 1 e w = 0, teremos x = 1 e z = 2, ou seja, (x,y,z,w) = (1,1,2,0)
Para y = 0 e w = 1, teremos x = -2 e z = -2, ou seja, (x,y,z,w) = (-2,0,-2,1)
Portanto, a base do núcleo será N(T) = [(1,1,2,0), (-2,0,-2,1)].
(verifique a independência linear dos vetores).
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Sejam V e W dois espaços vetoriais de dimensão finita e T uma 
transformação linear T:V→W . Então dim N(T)+dim Im(T) = 
dimV.
(3) Dada uma transformação cuja matriz associada é a matriz A a seguir, determine o núcleo, 
a imagem e as respectivas dimensões.
Resolução:
Note que essa matriz é de ordem 3x2. Logo, a transformação linear pode ser T:R2 → 
R3, ou seja, T(x,3y) → (x,y,z) .
Embora haja outras possibilidades de transformações, podemos pensar apenas nessa 
possibilidade para resolver esse tipo de problema.
Para determinar a imagem, basta escalonar a matriz transposta associada à 
transformação linear T e verificar as linhas não nulas, pois as mesmas formam uma base para 
a imagem de T. Escalonando, teremos:
Logo dim N(T) = 2. Assim, como N(T) ⊂ R² e dim N(T) = 2 = dim R², segue que N(T) = R².
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Logo a base da imagem de T será dada por Im(T) = [(-1,3,1),(0,7,3)].
E, dim Im(T) = 2 . Assim, como N(T) ⊂ R² e dim Im(T) = 2 = dim R², segue que Im(T) = R².
Vamos encontrar agora o núcleo do T. Usando a matriz T escalonada, teremos:
Logo a única solução para esse sistema é o vetor nulo. Com isso, temos que 
N(T) = {(0,0,0)}, cuja dimensão é 0.
Note que o vetor nulo aparece entre chaves. Isso ocorre porque ele é o único elemento 
do núcleo de T, logo não forma uma base. Prestar atenção na notação é importante, porque 
facilita a leitura, a interpretação e, consequentemente, o aprendizado.
Você notou que apenas definimos as bases do núcleo e da imagem. Fizemos isso 
porque, como vimos anteriormente, com a base definida podemos escrever qualquer elemento 
do subespaço. Logo, definindo a base, definimos o conjunto (subespaço).
ATEN
ÇÃO!
Quando colocamos elementos entre chaves { }, estamos definindo 
explicitamente um conjunto (todos os elementos do conjunto estão 
“aparecendo” entre as chaves). E quando escrevemos elementos 
(vetores) entre colchetes [ ], estamos definindo um espaço gerado, 
ou seja, o conjunto será formado por todos os vetores que são 
combinação linear dos vetores que “aparecem” entre colchetes.
LEITURA COMPLEMENTAR
Abel e Galois
É natural, por uma razão ou outra, associar certos personagens da história da matemática 
aos pares. Esse é o caso de Harriot e Oughtred (dois algebristas ingleses contemporâneos), 
Wallis e Barrow (dois antecessores imediatos de Isaac Newton no campo do cálculo), Taylor e 
Maclaurin (dois matemáticos ingleses contemporâneos, conhecidos especialmente por suas 
contribuições às séries infinitas), Monge e Carnot (dois geômetras franceses contemporâneos) 
e Fourier e Poisson (dois pesquisadores contemporâneos no campo física-matemática). 
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Neils Henrik Abel e Évariste Galois constituem outro exemplo dessa dualidade. Os dois, 
embora contemporâneos, não se relacionam pela nacionalidade ou por interesse matemático 
semelhante; cada um, como um meteoro, riscou o firmamento matemático com brilho intenso e 
matinal, para depois, súbita e pateticamente, extinguir-se em morte prematura, deixando material 
extraordinário para ser trabalhado pelos matemáticos das gerações futuras. Abel morreu de 
tuberculose e subnutrição aos vinte e seis anos de idade e Galois num duelo tolo aos vinte e 
um anos de idade; nenhum deles teve sua genialidade devidamente avaliada em vida.
Abel nasceu em Findo na Noruega, onde seu pai era pastor religioso, em 1824. 
Quando estudante na atual cidade de Oslo, pensou ter encontrado a solução algébrica geral 
das equações quânticas, mas logo se corrigiu num famoso artigo de 1824. Nesse artigo, Abel 
demonstrou a impossibilidade de estabelecer a solução da equação quântica geral por meio 
de radicais, sepultando assim um problema que havia desconcertado os matemáticos desde 
Bombelli até Viète. Como consequência desse trabalho, Abel obteve uma bolsa que lhe permitiu 
viajar para a Alemanha, Itália e a França. Durante esse período, escreveu artigos em áreas 
diversas da matemática como a da convergência de séries infinitas, a das integrais abelianas 
e a das funções elípticas. 
As pesquisas de Abel no campo das funções elípticas se deram em excitante e amigável 
competição com Jacobi. Legendre, que era mais velho e que desenvolvera trabalho pioneiro 
sobre funções elípticas, ficou profundamente impressionado com as descobertas de Abel sobre 
o assunto. Felizmente, Abel conseguiu um canal de divulgação para seus artigos na recém-
fundada Journal für die reine und angewandte Mathematik (mais conhecida como Journal de 
Crelle), de fato. O primeiro volume da revista (1826) continha nada menos que cinco artigos 
de Abel e o segundo volume (1827) continha o trabalho de Abel que marcou o nascimento da 
teoria das funções duplamente periódicas.
Todo aluno de análise encontra a equação integral de Abel e o teorema de Abel sobre a 
soma das integrais das funções algébricas que leva às funções abelianas. No capítulo das séries 
infinitas, há o teste de convergência de Abel e o teorema de Abel sobre séries de potências. 
Os grupos comutativos da álgebra abstrata são chamados hoje grupos abelianos.
 
Atormentado a vida toda pela pobreza e sofrimento dos pulmões, Abel jamais conseguiu 
cargo de professor numa universidade. Dois dias depois de morrer tragicamente em Froland, 
na Noruega, em 1829, uma tardia carta lhe era enviada com um convite para trabalhar na 
Universidade de Berlim.
Embora Abel tivesse merecido pouco reconhecimento, em vida, do governo de seu 
país, sua figura agora aparece em alguns selos postais da Noruega. Mas os matemáticos, 
à sua maneira característica, erigiram monumentos muito mais duradouros a Abel, pois seu 
nome está perpetuado em abundantes teoremas e teorias. Sobre Abel, certa feita assim se 
pronunciou Hermite: “Ele deixou material para que os matemáticos se ocupem por quinhentos 
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anos.” MathiasKeilhau, amigo íntimo de Abel, concebeu a ideia de erigir em sua homenagem um 
monumento mais convencional no local de seu repouso derradeiro. O turista de hoje que fizer 
uma peregrinação à igreja de Froland encontrará o monumento de Kielhau a seu amigo.
Quando indagado sobre a fórmula para avançar tão rapidamente para os primeiros 
escalões de sua matéria, Abel respondeu: “Estudando os mestres e não seus discípulos”.
A vida de Évariste Galois foi ainda mais curta e mais trágica do que a de Abel. Nascido 
perto de Paris em 1811, filho do prefeito de uma pequena cidade, o talento matemático 
extraordinário de Galois começou a se mostrar pouco depois de completar quinze anos de idade. 
Por duas vezes tentou ingressar na Escola Politécnica mais em ambas foi reprovado devido 
ao seu despreparo para cumprir as exigências formais dos examinadores que, por sua vez, 
falharam ao não perceber seu gênio. Outro golpe se seguiu: seu pai, sentindo-se perseguido 
pelos clérigos, suicidou-se. Sem esmorecer, Galois por fim entrou na Escola Normal, em 1829, 
onde deveria se habilitar para o ensino. Mas, movido por simpatias democráticas, envolveu-
se nas agitações da Revolução de 1830, o que lhe valeu, além da expulsão da escola, vários 
meses de prisão. Pouco depois de sua libertação, em 1832, com vinte e dois anos incompletos, 
uma manobra envolvendo um caso amoroso arrastou-o um duelo a pistola em que foi morto.
Galois dominou os grandes textos de matemática de seu tempo com facilidade de quem 
lê uma novela, percorreu os artigos de Legendre, Jacobi e Abel para depois dedicar-se à sua 
própria criação. Com dezessete anos de idade alcançou resultados de grande importância, mas 
duas memórias que enviou à Academia de Ciências se extraviaram, aumentando sua frustração. 
Em 1830, foi publicado um artigo de sua autoria sobre equações, com resultados visivelmente 
baseados numa teoria geral. Na noite que precedeu o duelo, percebendo plenamente que com 
toda a certeza seria morto, escreveu um testamento científico na forma de uma carta a um 
amigo. Esse testamento diz respeito a algumas de suas descobertas não publicadas que, para 
serem esmiuçadas posteriormente, exigiram o talento de grandes matemáticos: elas revelaram 
conter a teoria dos grupos e a teoria de Galois (como é chamada agora). Essa teoria, baseada 
em conceitos da teoria dos grupos, fornece critérios para a possibilidade das construções com 
régua e compasso para a resolubilidade de equações por radicais.
Várias das memórias e manuscritos de Galois, encontradas entre seus papéis após 
sua morte, foram publicadas por Joseph Liouville (1809-1882), em 1846, em seu Journal de 
Mathématique. Porém, uma avaliação completa das realizações de Galois só aconteceria em 
1870, quando Camille Jordan (1838-1902) as expôs em seu livro Traité des Substitutions e 
mais tarde ainda, quando Felix Klein (1849-1925) e Saphus Lis (1842-1899) brilhantemente 
fizeram uso delas na geometria.
O estudo dos grupos começou essencialmente com Galois; foi ele o pioneiro no uso 
(1830) da palavra “grupo” em seu sentido técnico. As pesquisas em teoria dos grupos foram 
então levadas adiante por Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) e outros que se sucederam 
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para o caso particular dos grupos de substituições. Com o subsequente notável trabalho de 
Arthur Cayley (1821-1895), Ludwig Sylow (1832-1918), Sophus Lie, Georg Frobenius (1848-
1917), Felix Klein, Henri Poincaré (1854-1912), Otto Holder (1859-1937) e outros o estudo dos 
grupos assumiu sua forma abstrata independente e se desenvolveu rapidamente. A noção de 
grupo veio a alcançar um grande papel codificador em geometria e em álgebra serviu como 
uma estrutura atômica de coesão, fator de grande importância para a ascensão da álgebra 
abstrata no século XX. A teoria dos grupos ainda é, nesta segunda metade do século XX, um 
campo de pesquisas muito produtivo em matemática.
FONTE: HOWARD, Eves. Introdução à história da matemática. Trad.: Hygino H. Domingues. 
Campinas: Editora da Unicamp, 2004.
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Neste tópico, nós estudamos que:
•	 Toda transformação T:Rn → Rm pode ser representada por uma matriz de ordem m x n.
•	 Dada uma transformação T:V → W e uma matriz associada A, para determinar a imagem 
de um vetor v ∈ V, basta efetuar a multiplicação Av.
•	 A imagem da transformação linear T:V →W é o conjunto de todos os w = T(v) ∈ W.
•	 Determinamos a base da imagem de T, escalonando a matriz associada transposta, a base 
serão as linhas não nulas da matriz transposta escalonada.
•	 O núcleo da transformação linear será o conjunto de todos os vetores v ∈ V, tal que T(v) = 
0.
•	 Para determinar a base do núcleo, resolvemos o sistema linear homogêneo com a matriz 
associada escalonada.
•	 Numa transformação T:V →W, teremos: 
(i) dim Im(T) + dim N(T) = dim V
(ii) Se N(T) = {0}, então T é injetiva e dim N(T) = 0
(iii) Se Im(T) = W, então T é sobrejetiva e dim Im(T) = dim W
•	 Quando uma transformação T for, simultaneamente, injetiva e sobrejetiva, ela será denominada 
bijetiva. E somente nesses casos admitirá função inversa.
RESUMO DO TÓPICO 4
→
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Caro(a) acadêmico(a)! Resolva os seguintes exercícios para familiarizar-se com 
os temas abordados:
1 Determine nas transformações lineares a seguir as matrizes associadas a essas 
transformações.
a) T:R5 → R 2 tal que T(x,y,z,w,t) → (x+y+z,x-w+t)
b) T:R2 → R 2 tal que T(x,y) → (x-y,2x)
2 Cada matriz a seguir representa uma transformação linear. Escreva uma base para 
a imagem e uma base para o núcleo de cada uma delas, informando as respectivas 
dimensões.
a) 
b) 
c) 
d) 
3 Das transformações do exercício anterior, informe qual delas é injetiva, qual é 
sobrejetiva e qual é bijetiva. Alguma destas transformações admite inversa?
AUT
OAT
IVID
ADE �
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AVAL
IAÇÃ
O
Prezado(a) acadêmico(a), agora que chegamos ao final 
da Unidade 2, você deverá fazer a Avaliação referente a esta 
unidade.
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UNIDADE 3
pRODUTO INTERNO, AUTOvETORES E 
AUTOvALORES, MUDANÇA DE bASE
ObjETIvOS DE ApRENDIZAgEM
 A partir desta unidade, o(a) acadêmico(a) estará apto(a) a:
•	 determinar e conceituar produto interno bem como suas 
propriedades;
•	 entender e identificar uma função como produto interno;
•	 calcular autovalores e autovetores;
•	 compreender a real importância dos autovalores e autovetores;
•	 encontrar o polinômio característico de um operador linear T;
•	 diferenciar multiplicidade algébrica e geométrica;
•	 mudar a base de um espaço vetorial.
TÓPICO 1 – AUTOVALORES E AUTOVETORES
TÓPICO 2 – PRODUTO INTERNO
TÓPICO 3 – MUDANÇA DE BASE
pLANO DE ESTUDOS
Esta unidade está dividida em três tópicos. No final de 
cada um deles, você encontrará atividades que reforçarão o seu 
aprendizado.
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Vimos no Tópico 3 da Unidade 2 que a transformação linear faz um determinado vetor 
v, pertencente a um espaço vetorial V, se transformar num vetor w pertencente a um espaço 
vetorial W.
Se você ainda não consegue imaginar essa “metamorfose” muito bem, analise o desenho 
a seguir.
AUTOVALORES E AUTOVETORES
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 1
UNIDADE 3
Por motivos óbvios (facilidade de desenhar), escolhemos uma transformação de R² para 
R². Note que a transformação linear T faz o vetor v se transformar no vetor w. 
Essa ideia, a partir de agora, tem que nos acompanhar quando falamos de transformaçãolinear.
Outra ideia que se fará útil na continuação do nosso aprendizado é definir uma 
transformação linear T:V→V como sendo um operador linear. Em outras palavras, quando 
o espaço vetorial de “partida” é o mesmo que o de “chegada”, temos um caso especial de 
transformação linear denominado operador linear.
UNIDADE 3TÓPICO 1142
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Exemplo: Seja T:R³→R³ definida por T(x,y,z)=(x-y,x+2y,x-y-z).
Note que um vetor v=(2,3,5)∈R³ vai ter imagem T(v)=(-1,7,-6)∈R³.
No exemplo anterior, T é um operador linear que transforma v em T(v). Como um vetor 
é definido pela direção, pelo sentido e pelo módulo, podemos dizer que T(v) é diferente de v 
em todos os “quesitos” apresenta tamanho (módulo) e direção diferentes. Contudo dá para 
perceber. 
UNI
Direção é a reta suporte do vetor, sentido é o lado que o vetor 
aponta e módulo é o seu tamanho. Veja a seguir:
Neste tópico, iremos trabalhar somente com operadores lineares (transformações 
lineares do tipo T:V → V). Mais especificamente, criaremos uma rede de conhecimentos que 
nos deixarão aptos a encontrar, se existirem, vetores que não alteram a sua direção quando 
transformados por esses operadores.
Em outras palavras, dado um operador linear qualquer, estamos interessados em 
encontrar todos os vetores que não têm sua direção alterada por esse operador linear.
A seguir representamos geometricamente alguns operadores lineares T:R2 → R 2 onde 
o vetor não tem sua direção alterada pelo operador.
UNIDADE 3 TÓPICO 1 143
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Nos três casos a direção (representada pela reta r) não foi alterada pelo operador 
T em questão. No primeiro caso, o vetor permaneceu fixo também em relação ao sentido e 
ao módulo. Já no segundo caso, apenas o sentido foi alterado, enquanto no terceiro, foram 
alterados o sentido e o módulo.
2 DEFINIÇÃO
Sejam V um espaço vetorial e T:V→V um operador linear. Se existirem v ∈ V não nulo 
e λ ∈ R tais que T(v) = λv, então dizemos que λ é um autovalor de T e v é um autovetor de T 
associado a λ.
UNIDADE 3TÓPICO 1144
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ÇÃO!
Note que o autovetor não pode ser 0, enquanto o autovalor 
pode.
Você pode notar que o conceito de autovalor está correlacionado ao conceito 
de autovetor, uma vez que um não existe sem o outro. 
Geometricamente, se existir um vetor v que não tem sua direção alterada pelo 
operador linear T, este vetor será um autovetor de T, e terá um autovalor λ associado 
a ele. Este λ vai mudar o sentido do autovetor v se for negativo, e mudar o módulo de 
v se for diferente de 1. Entretanto, nunca mudará sua direção.
Daremos agora um exemplo de operador linear no R² para que a definição anterior 
fique bem esclarecida. Cabe salientar que existe um processo mais fácil para determinar 
os autovalores e consequentemente os autovetores de um operador T, porém, nesse 
primeiro momento, usaremos somente os conceitos já aprendidos anteriormente e a 
definição de autovetor.
IMP
OR
TAN
TE! �
Estamos sempre usando um operador linear em R² pela facilidade 
de representação geométrica. Contudo, os conceitos apresentados 
valem para operadores em qualquer espaço vetorial V.
(1) Dado T:R2→R 2 tal que T(x,y)→(x,2x), determine se existem autovetores de T. 
Caso existam, determine os autovalores associados.
Resolução:
Queremos determinar o vetor v que faz a igualdade T(v) = λv ser verdadeira. Como 
vimos no Tópico 3 da Unidade 2, a imagem T(v) pode ser determinada por uma multiplicação 
entre a matriz que representa o operador T, [T], e o vetor v. Assim, operador linear T tem a 
seguinte matriz associada:
UNIDADE 3 TÓPICO 1 145
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Assim, queremos encontrar o vetor v e o escalar λ para os quais T(v) = λ·v, isto é, v = 
(x, y) e λ tais que
Então, para determinar os autovalores e os autovetores de T, precisamos resolver o 
sistema linear:
Agora temos duas situações que precisam ser consideradas:
(i)x ≠ 0 e (i)x = 0. Suponhamos inicialmente que (i)x ≠ 0. Então,
Com isso temos que para λ=1, todos os vetores do tipo são autovetores associados 
a ele, para todo x real.
 Vamos, agora, analisar o caso x = 0 (ii).
UNIDADE 3TÓPICO 1146
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Assim, para que a segunda igualdade seja válida, ou λ = 0, ou y = 0.
Na verdade, y não pode ser nulo: como estamos supondo que x = 0, se y = 0, o vetor 
v será o vetor nulo, contrariando a definição de autovetor. Logo, λ =0, e y pode ser qualquer 
valor real.
Segue que, para λ = 0, os autovetores associados são da forma:
 , para todo y real.
ATEN
ÇÃO!
Na verdade, ao encontrarmos os autovetores associados a um 
autovalor, estamos encontrando um subespaço vetorial. Lembre-
se de que a solução S={(0,y ) /y∈R} representa o espaço gerado 
por [(0,1)].
Vamos visualizar no plano os dois resultados:
Caso (i): precisamos de vetores do tipo v = (x,2x), com x real. Fazendo x = 2, temos, 
então v = (2,4). Como o autovalor associado a v é 1, o operador linear T não deverá alterar 
seu tamanho nem seu sentido. Vejamos:
Notem que o vetor v = (2,4) foi transformado pelo operador linear T no próprio vetor v.
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Caso (ii): Podemos pegar qualquer vetor do tipo v = (0,y), sendo y um número real. 
Então, fazendo y = 3, usaremos para o nosso exemplo v = (0,3). Como o autovalor associado 
a esse autovetor é 0, isso indica que todos os autovetores desse tipo serão transformados no 
ponto (0,0). Veja:
IMP
OR
TAN
TE! �
Note que todo vetor pertencente ao eixo y será transformado no 
ponto (0,0) (vetor nulo). Contudo, esse vetor ainda está sob a reta 
suporte do vetor v. Logo v pode ser chamado de autovetor.
3 SUBESPAÇO ASSOCIADO AO AUTOVALOR λ
Já vimos o suficiente para verificar que, dados V um espaço vetorial e T um operador 
linear em V, para cada autovalor λ, temos vários autovetores associados. Na verdade, todos 
os autovetores associados λ formam um subespaço vetorial de V, denotado por V
λ
, chamado 
de subespaço associado ao autovalor λ.
Definindo de maneira mais formal, podemos dizer que, dados V um espaço vetorial e 
T um operador linear em V, o subespaço formado por todos os autovetores associados a λ, V
λ 
= {v ∈ V; T(v) = λv}, é chamado de subespaço associado ao autovalor λ.
No exemplo anterior, teríamos:
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4 MÉTODO PRÁTICO PARA DETERMINAR OS AUTOVALORES
Antes de mostrar o que faremos para determinar os autovalores de um operador linear, 
é importante que façamos uma breve revisão dos conceitos, de forma que eles nos deem 
sustentação para o dispositivo prático.
Seja V um espaço vetorial. Todo e qualquer operador linear T:V →V terá uma matriz 
[T] que dará a imagem de T(v) simplesmente calculando [T]·v.
Vimos que para determinar os autovetores que não têm suas direções alteradas pelo 
operador linear T (nosso primeiro objetivo), caímos num sistema linear, onde determinamos 
os autovalores e que, a partir destes, encontramos os autovetores.
Consideremos V um espaço vetorial, T um operador linear em V, λ um autovalor e v um 
autovetor associado a λ. Então, T(v)=λ .v→T(v)-λ .v=0.
Vamos passar esta equação para a notação matricial. Chamando de [T] a matriz 
associada a T, e denotando por I a matriz identidade da mesma ordem da matriz [T], temos: 
T(v)=λ .v=0→[T] .v-λ . l .v=0→([T]-λ . l )v=0
mas, só estamos interessados, por definição, nos vetores v ≠ 0.
Note que 
( [T]-λ l )v=0 é um sistema linear homogêneo (o vetor resultado é 0), que é sempre 
possível, pois tem, no mínimo, uma solução (o vetor nulo, v = 0), podendo ela ser única, ou 
podendo existir outras soluções não triviais. 
Uma propriedade interessanterelacionada a sistemas lineares é que se o determinante 
da matriz que representa o sistema for diferente de zero, o sistema é SPD (ou seja, tem uma 
única solução).
Como [T] representa um operador linear, [T] é uma matriz quadrada, assim como [T] – 
λ·I Portanto, podemos calcular seu determinante.
V1={(x,2x)/x∈R}=[(1,2)]
V0={(0,y)/y∈R}=[(0,1)]
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Se o determinante de [T] – λ·I for diferente de zero, o sistema homogêneo possuirá como 
única solução a solução trivial v = 0. Entretanto, pela definição de autovetores, esta situação 
não nos interessa: v precisa necessariamente ser não nulo. Nesse caso, o determinante de 
[T] – λ·I precisa ser igual a zero. Ou seja, det( [T]-λ l )≠0.
UNI
Se o determinante da matriz [T]-λ l for igual a 0, teremos 
autovetores e autovalores associados a T. Caso contrário, se 
det([T]-λ l)≠0 não teremos autovetores e autovalores.
Se um operador linear T não admite autovetor, significa que nenhum vetor do espaço 
vetorial conserva a direção sob T.
Exemplos:
(1) Primeiramente, usaremos o mesmo anterior para notarmos a diferença entre os métodos. 
Dado T:R2→R 2 tal que T(x,y)→(x,2x), determine (caso existam) os autovetores de T e os 
autovalores associados.
Resolução:
Já vimos que a matriz associada ao operador linear é . Queremos encontrar 
λ real para o qual T(v) = λ ·v para algum vetor v. Isso significa que:
Substituindo,
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Ou seja, 
Nesse caso, ou λ=0 ou λ=1.
Para determinar os autovetores associados aos autovalores 1 e 0, substituímos os 
valores de λ na matriz associada e depois resolvemos o sistema.
Para λ=1
Como as equações obtidas não deram restrições à variável y, isso indica que y pode 
assumir qualquer valor real. (Note que são os mesmos resultados obtidos na resolução anterior 
desse exemplo).
Para λ=1
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(2) Seja um operador linear T definido pela matriz a seguir. Determine, caso existam, os 
autovetores associados ao operador T e, no caso afirmativo, encontre os autovalores 
associados.
Como a matriz é triangular inferior, o determinante será a multiplicação da diagonal 
principal:
Substituiremos os autovalores na matriz para determinar os autovetores. 
Para λ=2:
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Logo, todos os vetores da forma , qualquer que seja y real são autovetores de 
T associados ao autovalor 2. Ainda: é o subespaço de autovetores de T associados 
ao autovalor 2.
Para λ=1
Logo, todos os vetores do tipo (0,-2z,z) para um real z qualquer, são autovetores de T 
associados ao autovalor 1. Ou seja, [(0,-2,1)] é o subespaço de autovetores de T associado 
ao autovalor 1.
Para λ=5
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Logo, todos os vetores do tipo (0,0,z), com z um número real qualquer, são autovetores 
de T associados ao autovalor 5. Ainda: [(0, 0, 1)] é o subespaço de autovetores de T associado 
ao autovalor 5.
Exemplo 3: O operador T:R2→R 2 é definido pela matriz . Determine os 
autovalores e os autovetores associados, se existirem.
Resolução: 
Fazendo o determinante da matriz (T-λ l ) igual a zero, teremos:
Calculando o discriminante desta equação do segundo grau,
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Logo, T não possui autovalores reais, o que indica que não há autovetores de T.
Nesse caso, não existe vetor v ≠ 0 que permanece na mesma direção depois de ser 
operado por T.
5 POLINÔMIO CARACTERÍSTICO
No item anterior, vimos que a existência e a determinação dos autovalores associados 
a um operador linear T, está fortemente ligada ao determinante da matriz quadrada (T-λ l ) .
Mais do que isso, sabemos que o determinante de (T-λ l ) tem que ser 0 para termos 
autovalores associados ao operador linear T, e que λ será a raiz de um polinômio originado 
da igualdade det(T-λ l )=0.
Olhando novamente os três exemplos anteriores, podemos notar que a igualdade 
det(T-λ l )=0 originou nos exemplos 1,2 e 3, os polinômios λ 2-λ =0, (2-λ ) (1-λ ) (5-λ )=0 e 
λ 2-5λ +0=0, respectivamente. 
Além disso, as raízes reais desses polinômios, quando existem, são os autovalores 
associados a T.
Esses polinômios, originados da igualdade det(T-λ l )=0, são chamados de polinômios 
característicos do operador linear T e suas raízes serão os autovalores associados a T.
Em outras palavras, podemos definir o polinômio característico de T, como sendo 
P(λ )=det(T-λ l ) . 
Assim, a busca pelos autovalores de T, resume-se, na determinação das raízes do 
polinômio P(λ ) .
Exemplo: Encontre o operador linear T:R2→R 2 , tal que T tenha autovalores -1 e 4.
Resolução: 
Para -1 e 4 serem autovalores, necessariamente eles precisam ser raízes do polinômio 
característico de T. Então:
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6 MULTIPLICIDADE ALGÉBRICA E GEOMÉTRICA DE UM AUTOVALOR DE T
Para facilitar o entendimento e a diferença entre multiplicidade algébrica e geométrica, 
vamos antes relembrar alguns conceitos sobre raízes de polinômios e falar um pouco sobre 
dimensão de um subespaço.
\Um polinômio de grau n admite exatamente n raízes, não necessariamente reais. 
Contudo, muitas vezes, um mesmo número é considerado raiz de um polinômio por mais 
de uma vez. A quantidade de vezes que um mesmo número é raiz de um polinômio é o que 
chamamos de multiplicidade.
Por exemplo, o polinômio (4-λ ) 2.(3+λ )=0 é um polinômio de grau 3 com três raízes 
não necessariamente reais. Para facilitar, lembre-se de que podemos reescrever o polinômio 
da seguinte maneira (4-λ ) (4-λ ) (3-λ )=0. Logo, as raízes deste polinômio são os números 
que zeram cada um dos fatores desta multiplicação: os números 4 (pois “zera” o primeiro 
parênteses), o número 4 (pois “zera” o segundo parênteses) e o número -3 (pois “zera” o terceiro 
parênteses. Como há uma raiz repetida, informamos que o polinômio, na verdade, possui duas 
raízes reais: o 4 e o -3, com multiplicidade 2 e 1, respectivamente.
Resumindo, a multiplicidade da raiz de um polinômio é o número de vezes que esse 
número é raiz daquele polinômio.
Esse conceito está fortemente ligado à multiplicidade algébrica de um autovalor 
associado a um operador linear T: multiplicidade algébrica de λ será o número de vezes que 
λ é raiz do polinômio característico P(λ ).
Anteriormente, já citamos que cada autovalor λ associado ao operador linear T, define 
um subespaço V
λ
 gerado por λ . Por ser um subespaço, podemos definir uma base geradora 
para o mesmo (se não lembram o que é base volte a Unidade 2 e relembre). O número de 
vetores linearmente independentes necessários para que essa base “gere” o subespaço é a 
dimensão do subespaço.
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Esse conceito está fortemente ligado ao que significa multiplicidade geométrica de um 
autovalor λ , a multiplicidade geométrica é igual à dimensão do subespaço V
λ
 gerado por λ .
Assim, a multiplicidade algébrica está relacionada ao autovalor λ, enquanto a 
multiplicidade geométrica se relaciona aos autovetores associados a λ. 
Vamos entender melhor estes conceitos através de exemplos:
Exemplos: Dado um operador linear T, representado pela matriz , 
determine os autovalores associados a T e indique a multiplicidade algébrica e geométrica de 
cada um deles.
Resolução:
Efetuando os cálculos como no item anterior, teremos como polinômio característico 
de T: P(λ)=(3-λ ) 2. ( -1-λ ) , cujas, raízes são 3 e -1. Logo, os autovalores associados a T são 
3 e -1. Note que o autovalor 3 tem multiplicidade algébrica 2, enquanto o autovalor -1 tem 
multiplicidade algébrica 1.Continuando os cálculos como no item anterior, verificamos que para λ=3 temos os 
vetores do tipo v = (x,y,0) quaisquer que sejam x e y reais, associados a este autovalor. 
Com isso, V3=[(1,0),(0,1,0)] será o subespaço gerado relacionado a λ=3 Logo a 
dimensão de V3 é igual a 2, o que determina que a multiplicidade geométrica de λ=3 é 2.
Para λ=-1, os vetores associados a ele são do tipo com z números reais 
quaisquer. Então é o subespaço gerado relacionado a λ=-1 será 
que tem dimensão 1. Portanto a multiplicidade geométrica de λ=-1 é 1.
UNI
A multiplicidade algébrica de um autovalor λ é igual ao número de 
vezes que λ é raiz do polinômio P(λ ). A multiplicidade geométrica 
de um autovalor λ é igual à dimensão do subespaço gerado V
λ
.
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Neste tópico, vimos que:
•	 Uma transformação linear do tipo T:V →V é chamada de operador linear.
•	 Um operador linear T:V →V pode ser representado por uma matriz quadrada [T].
•	 Um operador linear T só admitirá autovetores e autovalores quando det(T-λ l)=0 .
•	 Um vetor v será um autovetor associado a T, quando a sua imagem, T(v), manter a direção 
de v. (Resumindo: T(v) = λv).
•	 Cada autovetor v de um operador linear T, será associado a um número real λ denominado 
autovalor de T.
•	 O polinômio característico do operador T será P(λ ) = det(T-λ l) e as raízes desse polinômio 
serão os autovalores associados a T.
•	 A multiplicidade algébrica do autovalor λ será o número de vezes que esse autovalor λ for 
raiz do polinômio característico P(λ ).
•	 A multiplicidade geométrica do autovalor λ será igual à dimensão do subespaço gerado 
V
λ
.
RESUMO DO TÓPICO 1
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Para que você possa fixar e aprimorar os conceitos aprendidos nesse tópico, 
preparamos alguns exercícios para essa finalidade. 
1 Ache os autovalores e autovetores dos seguintes operadores lineares:
a) T:R2→R 2 tal que T(x,y) = (-y,2x)
b) T:R2→R 2 tal que T(x,y) = (-y + x, - 3x)
c) T:R2→R 2 tal que T(x,y) = (2x+3y,-x+y)
d) T:R3→R 3 tal que T(x,y,z) = (x+y,x – y + 2z, 2x + y - z)
2 Encontre o operador linear T, que tem como autovalores os números reais -2 e 4, 
com multiplicidades algébricas iguais a 3 e 2, respectivamente.
3 Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:
 
 
 
 
 
 
 
 
4 Informe a multiplicidade algébrica e a multiplicidade geométrica de todos os itens dos 
exercícios 1 e 3.
AUT
OAT
IVID
ADE �
a)
b)
c)
d)
e)
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PRODUTO INTERNO
1 INTRODUÇÃO
2 DEFINIÇÃO
TÓPICO 2
UNIDADE 3
Antes de qualquer coisa é importante que fique claro que produto interno não 
é uma função. Trata-se de um tipo de função que deve preservar certas propriedades 
que veremos posteriormente.
O produto interno se faz necessário por facilitar e tornar mais coerente, num 
espaço vetorial qualquer, noções como comprimento e distância. “Os axiomas de 
espaço vetorial não são suficientes para abordar certas noções geométricas como 
ângulo, perpendicularismo, comprimento, distância etc. Isto se torna possível com a 
introdução de um produto interno.” (LIMA, 2001, p. 122).
Dado um espaço vetorial real V, um produto interno sobre V será uma função que 
associa a cada par de vetores v1 e v2 um número real, simbolizado por , que satisfaz 
as propriedades:
(i) , para todo 
(ii) para todo número real α.
(iii) 
(iv) 
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3 PRODUTO INTERNO USUAL
Existe um produto interno que é chamado de usual e, embora existam outros tipos, 
esse é o mais utilizado. Podemos até nos arriscar em falar que para nós, iniciantes no estudo 
de álgebra linear, o produto interno usual é o que importa (embora iremos ver alguns exemplos 
de outros tipos de produtos internos posteriormente).
UNI
Esse produto interno não é classificado como usual e reverenciado, 
por mera casualidade. É que, escolhendo um tipo especial de base, 
todo e qualquer produto interno se resume a uma expressão como 
a da forma usual.
O produto interno usual para vetores de R² será , onde v1 = (x1,x2) 
e v2 = (y1,y2) são vetores quaisquer de R².
Exemplo: Dados v1 = (-2,4) e v2 = (3,-1), então:
Com esse simples exemplo, nós já podemos notar a veracidade das propriedades 
relativas a um produto interno. (Releia as propriedades e verifique suas presenças nesse 
exemplo).
O produto interno usual para vetores de R³ será , onde 
v1 = (x1,x2,x3) e v2 = (y1,y2,y3) são vetores quaisquer de R³.
Exemplo: Sejam v1 = (9,-1,2) e v2 = (-1,3,-3) vetores de R³. Então:
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4 EXEMPLOS DE PRODUTOS INTERNOS NÃO USUAIS
Generalizando para vetores pertencentes a Rn, o produto interno usual será: 
 com v1 = (x1, x2,…, xn) e. v2 = (y1, y2,…, yn).
Neste item iremos apresentar dois produtos internos não usuais e mostraremos que as 
propriedades de produto interno são válidas.
(1º Exemplo) Sejam V = R², v1 = (x1,y1), v2 = (x2,y2) e v3 = (x3,y3) vetores quaisquer de V e 
consideremos o produto interno em V definido como 
Para essa função ser um produto interno, é necessário que as 4 propriedades da 
definição sejam válidas. Mostraremos que isso acontece.
(i) , para todo v ∈ V. 
(ii) para todo número real α.
Como αv1=(αx1,αy1) , então:
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Como v1+v2=(x1+x2,y1+y2),
Aplicando a propriedade distributiva
Rearranjando os termos,
Pronto! Temos a certeza que essa função é um produto interno. Podemos inventar 
produtos internos. Pode até ser um passatempo interessante. Mas lembre-se de que as quatro 
propriedades acima têm que valer.
(2º Exemplo) Seja V o espaço de funções contínuas no intervalo [0,1]. Dadas duas funções 
deste espaço V, f1 e f2, definimos um produto interno como: 
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O símbolo chamado de integral e, neste caso, representa um somatório infinito da 
multiplicação das funções f1 e f2 aplicadas no intervalo de 0 a 1. 
As demonstrações da validade das propriedades exigem o conhecimento das 
propriedades de integrais vistas na disciplina de cálculo diferencial e integral. 
Não faremos as demonstrações aqui por entendermos que não há necessidades 
pedagógicas para o intento, contudo fica o desafio para que vocês tentem fazer. 
É um bom exercício para relembrar as propriedades de integrais (se vocês ainda não 
viram integrais, tomem esse exemplo apenas como uma informação, o seu entendimento não 
é primordial para a continuação da aprendizagem).
5 ORTOGONALIDADE DE VETORES
Quando consideramos dois vetores quaisquer no mesmo espaço, podemos pensar 
em posição relativa de um em função do outro. De fato, se eles possuem direção e sentido, 
existe um ângulo entre eles. No R² ou no R³, dizemos que dois vetores são ortogonais quando 
há um ângulo de 90º entre eles. Por outro lado, quando a dimensão do espaço considerado 
é maior que 3, fica inviável o uso dessa definição. Para generalizarmos esta definição sobre 
ortogonalidade de vetores, utilizaremos o conceito de produto interno.
Dado um espaço vetorial V munido de um produto interno dizemos que dois vetores 
v1, v2 ∈ V são ortogonais em relação a esse produto interno quando =0. 
Simbolicamente, usamos v1 ┴ v2, para representar que v1 é ortogonal a v2.
As seguintes propriedades estão relacionadas à ortogonalidade:
(i) 0 ┴ v para todo v ∈ V
(ii) v1 ┴ v2 implica que v2 ┴ v1 para todos v1, v2 ∈ V
(iii) Se v1 ┴ v2 para todo v ∈ V, então v1 = 0
(iv) Se v1 ┴ v e v2 ┴ v, então v1 + v2 ┴ v 
(v) Se v1 ┴ v2 e λ é um escalar, então λv1 ┴ v2 
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Novamente precisamos que você relembre o que é base de um espaço vetorial, pois 
as propriedades relacionadas à ortogonalidade de vetores pode nos mostrar que uma base 
formada por vetores ortogonais entre si é “melhor” que uma base sem essas propriedades.
A boa notícia é que sempre podemos ortogonalizar uma base qualquer usando um 
processo relativamente simples. Ainda, neste tópico, você terá a oportunidade de trabalhar 
com esse método.
Para formalizar as frases anteriores, vamos definir o que é uma base ortogonal. Diremos 
que uma base {v1,v2,v3,...,v4} de V é base ortogonal se para i ≠ j, isto é, se os vetores 
da base são dois a dois ortogonais.
Na verdade, um conjunto formado por vetores ortogonais entre si são linearmente 
independentes (você pode encontrar a demonstração desta propriedade em…). Então, se 
conseguirmos n vetores ortogonais entre si pertencentes a um espaço vetorial de dimensão 
igual a n, esses vetores constituirão uma base ortogonal para esse espaço vetorial.
Exemplos de conjuntos formados por vetores ortogonais em relação ao produto interno 
usual.
(1º) A = {(3,0,1),(0-2,0)}
Veja que . Logo os vetores 
do conjunto A são ortogonais.
Como os vetores pertencem a R³, se encontrássemos um terceiro vetor ortogonal a 
(3,0,1) e (0,-2,0), simultaneamente, teríamos uma base ortogonal para R³
(2º) B = {(-1,1),(1,1)}
Veja que . Logo os vetores do conjunto A são 
ortogonais.
Como (-1,1) e (1,1) são vetores de R², eles formam uma base ortogonal para R².
6 NORMA DE UM VETOR
Sabemos que todo vetor possui comprimento, direção e sentido. Mas como determinar 
este comprimento? Pois a norma de um vetor está justamente relacionada ao seu comprimento 
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em relação a um produto interno.
Definição de Norma: 
Dado um espaço vetorial V com produto interno definimos a norma de um vetor v 
∈ V em relação a este produto interno como sendo .
Se a norma de v for igual a 1, ( , ou ainda, ) v é chamado de vetor unitário 
ou, simplesmente, dizemos que v está normalizado.
Novamente temos uma boa notícia para você: sempre podemos normalizar um vetor 
não nulo. Dado v ≠ 0, o vetor será um vetor normalizado com a mesma direção e o 
mesmo sentido de v.
Exemplo: Seja V = R4 e v = (1,0,3,-1). O vetor normalizado será:
Voltando um pouco, você está lembrado que falamos que as bases formadas por vetores 
ortogonais são melhores que as bases sem essa propriedade? 
A melhoria fica maior ainda se além de ortogonais entre si, os vetores estiverem 
normalizados. Para isso basta normalizar um por um dos vetores.
Assim, o conceito de norma formaliza a noção de comprimento de um vetor. Vejamos 
agora as propriedades de norma. 
Seja V um espaço vetorial com produto interno. Para quaisquer v1, v2 ∈ V e α ∈ R, valem 
as seguintes propriedades:
(i) , e só teremos se v = 0.
(ii) 
(iii) - Desigualdade de Schwarz
(iv) - Desigualdade triangular
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7 ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES
Durante a introdução deste tópico, nós falamos que o produto interno nos ajudaria a 
formalizar os conceitos geométricos como o comprimento e o ângulo. 
Também vimos que a norma formaliza o conceito de comprimento em relação a um 
produto interno. Agora veremos que a desigualdade de Schwarz ajudará a formalizarmos a 
noção de ângulos.
Pela desigualdade de Schwarz, temos: 
ou ainda, . Ou seja, existe um ângulo tal que .
UNI
Vejam que a igualdade é compatível com a noção 
de ortogonalidade (perpendicularismo) no R², pois se dois vetores 
v1 e v2 são perpendiculares teremos o que implica que cos 
Ө = 0, o que vale também para a igualdade da nossa definição, 
pois uma vez que os vetores são ortogonais.
O interessante dessa definição é que podemos calcular o ângulo entre dois 
vetores de qualquer espaço vetorial em relação a um produto interno. 
Por exemplo, consideremos V = M(2,2) o espaço vetorial onde cada vetor é uma 
matriz quadrada de ordem 2. Qual será o ângulo formado entre os vetores (matrizes)? 
 Dado o seguinte produto interno 
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UNI
A função arccos informa o ângulo que tem como cosseno o valor 
dado. No exemplo acima ou ainda .
Resolução:
Para determinar o ângulo entre v1 e v2, precisamos do produto interno entre eles e da 
norma de cada um. Então,
Portanto,
Veja também que a igualdade é compatível com a noção 
de ortogonalidade (perpendicularismo) no R² , pois se dois vetores v1 e v2 são 
perpendiculares, teremos , , cos Ө = 0, Por outro lado, visto que os vetores são 
ortogonais por hipótese, , consequentemente, = 0 , implicando 
.
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8 BASE ORTONORMAL
Dado um espaço vetorial V munido de um produto interno , chamamos a base β = 
{v1,v2v3,...,vn} de V de ortonormal quando todos os seus vetores forem unitários e ortogonais 
entre si, isto é,
Exemplos óbvios de base ortonormal são as chamadas bases canônicas dos Rn. Só 
para relembrar, a base canônica de R² é [(1,0),(0,1)]. 
Uma interessante ocorrência imediata do uso de uma base ortonormal é que os 
coeficientes xi de um vetor v = x1v1 + ... + xnvn são dados por 
Por exemplo: usando a base canônica de R² e o produto interno usual, temos que:
Agora vamos aprender um método para, a partir de qualquer base, conseguir determinar 
uma base ortonormal. A esse processo, damos o nome de Ortogonalização de Gram-Schmidt. 
Esse método serve para qualquer espaço vetorial, contudo mostraremos nesse caderno apenas 
para V = R². Para os espaços de dimensão maior, a ideia é a mesma, embora os cálculos 
sejam um pouco mais demorados.
Dada qualquer base de R², digamos β = {v1,v2}, para conseguirmos uma base 
ortonormal de R² fazemos: 
(1º passo): Fixar v1 e determinar um vetor ortogonal a ele.
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(2º passo): Normalizar os vetores encontrados ;
Com isso a base β’ = {u1,u2} é uma base ortonormal.
Exemplos: 
Seja β = {(1,2),(-1,1)} uma base de R² e o produto interno usual. Determine uma base 
ortonormal a partir de β, usando o processo de Gram-Schmidt.
(1º passo)
(2º passo)
LEITURA COMPLEMENTAR
PRODUTO INTERNO E ESTATÍSTICA
Uma situação que aparece frequentemente na análise de experimentos é a seguinte: 
verifica-se que o fenômeno estudado tem n probabilidades distintas S1, S2,..., Sn de se manifestar, 
cada uma delas com probabilidade p1, p2,..., pn, respectivamente. O conjunto S = {S1,..., Sn} é 
chamado espaço amostral e o vetor p = (p1,..., pn) é chamado vetor de probabilidades. Por 
exemplo, no lançamento de uma moeda, podemos considerar S = {cara, coroa} e p = (½, ½).
Se em um espaço amostral S = {S1,..., Sn}, com respectivo vetor de probabilidades p = 
(p1,...,pn), associarmos, a cada elemento Si do espaço amostral, um valor Xi, teremos o vetor 
X = {X1,..., Xn} que chamaremos de variável aleatória.
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Exemplo: duas pessoas A e B fazem a seguinte aposta: elas vão jogar duas moedas 
simultaneamente e, se o resultado for duas caras, A ganha dez reais, se for duas coroas, A 
ganha sete reais, e se for uma cara e uma coroa, B ganha nove reais. Queremos saber se essa 
aposta é justa, isto é, se A não tem mais probabilidade de ganhar do que B, ou vice-versa.
Para isso, vamos calcular o valor esperado por A e B. Podemos associar o espaço 
amostral S = {(cara, cara), (coroa, coroa), (cara, coroa)}, o vetor de probabilidades p = (¼, ¼, 
½) e as variáveis aleatórias X = (10, 7, –9) que dá a aposta de A, e Y = (–10, –7, 9) que dá a 
aposta de B. O valor esperado por A é dado pelo produtointerno
<(¼, ¼, ½), (10, 7, –9)> = ¼.(10) + ¼.(7) – ½.(9) = – ¼
enquanto que o valor esperado por B é
<(¼, ¼, ½), (–10, –7, 9)> = ¼.
O valor esperado por B é positivo, indicando que ele tem vantagem na aposta, enquanto 
que o valor esperado por A é negativo, indicando que ele tem maior probabilidade de perder 
a aposta. Esta só seria justa se não houvesse vantagem para nenhum dos apostadores, isto 
é, se o valor esperado para ambos fosse nulo, ou seja, o vetor probabilidade fosse ortogonal 
ao vetor aposta.
Dado um espaço amostral S, o vetor de probabilidades p e uma variável aleatória X, 
denominamos de valor médio de X (ou valor esperado) ao número
A ligação desses conceitos com o conceito de produto interno é estabelecida da seguinte 
forma: nas condições anteriores, consideramos em Rn o seguinte produto interno
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Você pode verificar tranquilamente estas igualdades.
FONTE: BOLDRINI et al. Álgebra Linear. 3. ed. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1980. p. 236-
237.
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Neste tópico, vimos que:
•	 Necessitávamos de uma nova função para poder formalizar conceitos como comprimentos 
e ângulos.
•	 Essa nova função, chamada de produto interno, tem as seguintes propriedades:
 (i) , para todo v ∈ V. 
 (ii) para todo número real α.
 (iii) 
 (iv) 
•	 Podemos definir diferentes produtos internos, mas existe um usual para Rn, definido como 
, onde v1 = (x1,x2,...,xn) e v2 = (y1,y2,...,yn)., com n=1,2,…
•	 Dado um espaço vetorial V munido de um produto interno , dizemos que dois vetores v1, 
v2 ∈ V são ortogonais em relação a esse produto interno quando =0. Simbolicamente, 
usamos v1 ┴ v2, para representar que v1 é ortogonal a v2.
•	 As seguintes propriedades estão relacionadas à ortogonalidade:
(i) 0 ┴ v para todo v ∈ V 
(ii) v1 ┴ v2 implica que v2 ┴ v1
(iii) Se v1 ┴ v para todo v ∈ V então v1=0
(iv) Se v1 ┴ v e v2 ┴ v, então v1+v2 ┴ v
(v) Se v1 ┴ v2 e λ é um escalar, então λv1 ┴ v2
•	 Um conjunto formado por vetores ortogonais entre si são linearmente independentes.
•	 Definição de norma: dado um espaço vetorial V com produto interno , definimos a norma 
de um vetor v em relação a este produto interno como sendo .
•	 Se a norma de v for igual a 1 ( , ou ainda, ), v é chamado de vetor unitário ou, 
simplesmente, dizemos que v está normalizado.
•	 O conceito de norma formaliza a noção de comprimento e valem as seguintes propriedades: 
seja V um espaço vetorial com produto interno. Para quaisquer v1, v2 ∈ V e α ∈ R
(i) , e só teremos se v = 0.
RESUMO DO TÓPICO 2
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(ii) 
(iii) - Desigualdade de Schwarz
(iv) - Desigualdade triangular
•	 Para determinar o ângulo entre dois vetores definimos:
•	 Dado um espaço vetorial V munido de um produto interno , chamamos a base β = 
{v1,v2v3,...,vn} de V de base ortonormal quando todos os seus vetores forem unitários e 
ortogonais entre si, isto é,
•	 A Ortogonalização de Gram-Schmidt para R² consiste em:
•	 (1º passo): Fixar v1 e determinar um vetor ortogonal a ele.
(2º passo): Normalizar os vetores encontrados ;
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Verifique o que aprendeu resolvendo os seguintes exercícios:
1 Usando o produto interno usual e considerando u = (-2,4,1), v = (3,-1,0) e w = (-1,1,-1), 
determine:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
2 Verifique se as funções a seguir são produtos internos de R². Considere u=(a,b) e 
v=(c,d)
a) 
b) 
c) 
3 Indique, em cada item, se os vetores são ortogonais entre si ou não. (Lembre que 
quando não é mencionado o produto interno considera-se o produto interno usual)
a) u = (-1,4,2,0) e v = (2,1,4,1)
b) u = (-1,1) e v = (4,0)
c) 
4 Determine o ângulo entre os vetores u e v da questão anterior.
5 Use o processo de Gram-Schmidt para determinar uma base ortonormal de R² a partir 
das bases:
a) [(-1,3),(-1,2)]
b) [(0,9),(1,1)]
c) [(1,1),(-2,3)]
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MUDANÇA DE BASE
1 INTRODUÇÃO
2 BASE
TÓPICO 3
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Durante o estudo deste material, você se deparou com o termo base de um espaço 
vetorial, inclusive aprendeu a encontrá-lo para o núcleo ou imagem de uma transformação 
linear. Na verdade, um mesmo espaço vetorial possui infinitas bases diferentes entre si. Por 
exemplo, o espaço gerado pela base {(1,0), (0,1)} é o mesmo que o gerado por {(1,1), (0,1)}, 
por {(2,3), (-1,0)}, {(0,3), (-1/2,1)} etc. (verifique!). Entretanto, existem bases que são melhores 
que outras (as bases ortonormais vistas no tópico anterior, por exemplo).
Durante esse tópico, tentaremos detalhar os conceitos de base para que você consiga 
compreender melhor a importância deste conjunto.
Apesar de acharmos que base de um espaço vetorial é um assunto muito abstrato e 
por esse motivo parecer de difícil entendimento, a base de um conjunto está mais presente no 
uso da matemática do que achamos.
O motivo de não percebermos que usamos base de um conjunto é que no desenvolver 
da matemática as bases foram se tornando gradativamente melhores.
Um exemplo que deixa a maioria dos acadêmicos chocados e que, muitas vezes, ajuda 
a perder o receio do estudo dos conceitos que envolvem a base de um conjunto, se trata dos 
nossos números indo-arábicos.
Números indo-arábicos são os que utilizamos no cotidiano, também são conhecidos 
como decimais (por terem base 10).
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veja que já apareceu a palavra base durante a definição dos 
nossos números. Aliás, todos sabem que nossos números são 
constituídos de 10 símbolos (algarismos).
Você notou que todos os números são somas de potências de 
base 10? É por esse motivo que os números do sistema indo-
arábico são chamados de sistema decimal.
O número 3457 (três mil, quatrocentos e cinquenta e sete), por exemplo, é usado por 
nós sem dificuldades. A base numérica está no número, de forma “invisível”, mas podemos 
enxergar se fizermos algumas relações:
3457=
3000+400+50+7=
3∙1000+4∙100+5∙10+7∙1=
3∙103+4∙102+5∙101+7∙100
Ou seja, o número 3457, nada mais é que 3 quantidades de 10³, mais 4 quantidades 
de 10², mais 5 quantidades de 10¹, mais 7 quantidades de 10º. Em outras palavras, qualquer 
número que usamos no dia a dia, nada mais é que a representação de algumas quantidades 
de cada potência de base 10 que nós queremos representar.
Podemos pensar nos nossos números em termos de posição, nesse contexto qualquer 
número representado pelo sistema indo-arábico pode ser decomposto numa soma como a 
feita anteriormente. Dentro dessa interpretação essa decomposição mostra claramente a base 
dos “nossos” números.
Outro exemplo é pensarmos nos vetores de um plano cartesiano, o mesmo que utilizamos 
para representar retas e parábolas no ensino fundamental e médio.
Quando temos que representar um vetor no Plano XY, colocamos as coordenadas do 
ponto que representa o fim do vetor ordenadamente, sendo que o primeiro valor corresponde 
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ao eixo x (horizontal) e o segundo valor se remete ao eixo y (vertical).
Muito embora não percebamos, até ali tem a presença de uma base. Ela é quase 
imperceptível por se tratar da chamada base canônica, que é uma base ortogonal cujos vetores 
têm norma unitária. 
Mesmo assim, se pensarmos mais profundamente no que é um vetor no plano e como 
o representamos, conseguimos enxergar a base canônica. Veja:
v=(3,2)
No plano XY, a representação gráfica será:
Mas, se pensarmos na decomposição de vetores, não é difícil perceber que o vetor v é 
a soma de dois outrosvetores, um presente no eixo x e o outro presente no eixo y.
Veja a representação no plano:
Com isso, vemos que o vetor v é a soma dos vetores v x e v y. Usando termos que já 
aprendemos durante o estudo dos conceitos apresentados nessa apostila, podemos dizer que 
→ →→
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o vetor v é uma combinação linear entre os vetores v x e v y.
Representando o vetor como uma matriz coluna e desenvolvendo algebricamente o 
que mostramos geometricamente, teremos:
→ → →
Pronto! A base canônica do R² apareceu: [(1,0),(0,0)].
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Perceba que qualquer vetor pertencente ao R² pode ser escrito 
conforme feito no exemplo anterior. Portanto, todos os vetores no 
plano são combinações lineares dos vetores (1,0) e (0,1), o que 
mostra que, mesmo não aparecendo explicitamente, a base está 
lá. Além disso, podemos generalizar esse exemplo para qualquer 
Rn: todos esses conjuntos têm base canônica com n vetores.
3 BASE
Existem aplicações matemáticas que são facilitadas por uma simples mudança de 
base. Muito embora, como já mencionamos, as bases geralmente usadas são as mais fáceis 
de trabalhar sobre os elementos de um conjunto, algumas vezes têm elementos que são mais 
facilmente representados se houver mudança de base.
Para exemplificar o que estamos tentando falar para você, podemos pensar no estudo 
da geometria analítica. Mais precisamente no estudo de parábolas que, desde a oitava série, 
já temos certo contato.
Todos nós, ao nos depararmos com as parábolas num plano cartesiano XY, as víamos 
com concavidade voltada para baixo ou para cima. Alguns privilegiados tiveram contatos com 
as parábolas que têm concavidade voltada para a esquerda ou para direita, mas certamente 
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Geometricamente, no caso da parábola “virada” representada 
anteriormente, podemos pensar que a mudança de base será nada 
mais nada menos que “girar” os eixos x e y até que a parábola 
fique do jeito habitual em relação aos novos eixos.
poucos viram parábolas com concavidade voltada para alguma diagonal, como a representada 
no gráfico a seguir.
Qual é o motivo de não estudarmos essas parábolas “viradas”? Simples. É que qualquer 
parábola, não importa a sua posição, pode ser escrita da forma que aprendemos lá na oitava 
série, desde que saibamos mudar a base canônica do plano cartesiano XY, para outra base 
apropriada.
Por isso, estudamos as figuras em alguma posição específica e depois estudamos como 
a mudança de base influencia a figura para que a partir daí, se complete nosso conhecimento 
sobre esse assunto tão importante para a aplicação matemática.
Veja graficamente o que o UNI explicou:
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Agora que vimos a importância de saber mudar a base de determinados conjuntos, 
vamos aprender como fazer esse procedimento.
Primeiro vamos nos habituar com a simbologia, porque quando reconhecemos os 
símbolos corretamente o aprendizado fica muito mais fácil e a compreensão dos conceitos 
mais rápida.
Como vimos, todos os subespaços têm uma base “por trás”, então basicamente vamos 
estudar como escrever um elemento do conjunto, que está representado em relação à base 
velha, na base nova.
Essa mudança da base velha, que denotaremos por α, para a base nova, que 
denotaremos por β, será determinada por uma matriz, que identificamos pela simbologia , 
cuja leitura é matriz de mudança de base da base α para a base β.
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Olhe novamente a simbologia da matriz mudança de base. É 
importante que você note que as duas bases estão indexadas no 
símbolo que representa a matriz mudança de base: a base que 
aparece em cima é a velha, enquanto a que aparece abaixo é a 
nova.
Perceba que, novamente, tudo se resume ao estudo de matrizes. Nosso problema de 
mudança de base se resume em verificar como encontrar a matriz que fará a mudança de 
base.
A ideia da mudança de base é bem simples, porém a explicação generalizada para um 
espaço vetorial v qualquer pode parecer confusa no primeiro momento. Por isso, daremos uma 
explicação para o R2 e depois, com você mais familiarizado com o tema e com a simbologia, 
faremos a generalização que é muito importante para o desenvolvimento do nosso conhecimento 
em relação a esse assunto.
 Vamos ver então como duas bases do R2 se relacionam. 
Sejam as bases α={u1,u2 } e β={w1,w2 } e o vetor v ∈ R
2.
Como são bases de R2, v pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base 
α, ou também como combinação linear dos vetores da base β. Ou seja,
v=x1 u1+x2 u2
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Notem que o símbolo [v]α significa que o vetor v está escrito em 
relação à base α. A mesma ideia para o símbolo [v]β.
ou
v=y1 w1+y2 w2
Repare que são duas maneiras distintas de escrever o mesmo vetor v, isso é possível 
porque temos duas bases do espaço vetorial.
Escrevendo na forma matricial:
Também os vetores w1 e w2 da base β podem ser escritos como combinação linear dos 
vetores da base α, pois esses vetores também pertencem ao espaço vetorial R2 Ou seja,
Como já vimos, o vetor v escrito na base β é representado por:
(**) v=y1 w1+y2 w2
Substituindo a igualdade (*) na igualdade (**), teremos,
v=y1 (a11 u1+a21 u2 )+y2 (a12 u1+a22 u2 )
Desenvolvendo algebricamente essa última igualdade e aplicando a propriedade 
distributiva,
v=y1 a11 u1+y1 a21 u2+y2 a12 u1+y2 a22 u2
Escrevendo os termos em ordem diferente,
v=y1 a11 u1+y2 a12 u1+y1 a21 u2+y2 a22 u2
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Colocando os vetores u1 e u2 em evidência,
v=(y1 a11+y2 a12 ) u1+(y1 a21+y2 a22 ) u2
Por outro lado, v=x1 u1+x2 u2, ou seja,
x1 u1+x2 u2=(y1 a11+y2 a12 ) u1+(y1 a21+y2 a22 ) u2
Então analisando as igualdades temos,
Representando o sistema acima na forma matricial, conseguimos,
Denotando a matriz na forma a seguir,
E lembrando que,
Teremos a igualdade,
Assim, a matriz r epresenta a matriz mudança da base β para a base α.
Na prática, mostramos que qualquer vetor de R2 escrito em relação à base β pode ser 
escrito em relação à base α, efetuando uma simples multiplicação matricial envolvendo a matriz 
mudança de base e o vetor em questão escrito em relação. 
Generalizando o que vimos para um espaço vetorial qualquer V:
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Sejam duas bases α={u1, u2, ..., un} e β={w1, w2, ..., wn} de um espaço vetorial V e seja um 
vetor v ∈ V, e. Então teremos duas maneiras para representar v:
Uma maneira em relação à base α, 
v=x 1u 1+x 2+u 2+. . .+x nu n
E outra maneira em relação à base β
v=y 1w 1+y 2+w 2+. . .+y nw n (*)
Logo, matricialmente, temos as igualdades:
Mas como os vetores da base β pertencem ao espaço vetorial V , esses vetores de 
β podem ser escritos como combinação linear dos vetores da base α, uma vez que a base, 
também é base do espaço vetorial. Então,
Substituindo as igualdades (**) na igualdade (*), obtemos,
Desenvolvendo essa equação de modo similar ao feito no exemplo do R2, teremos,
Lembrando que v=x 1u 1+x 2+u 2+. . .+x nu n, chegamos a,
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Na forma matricial,
Ou seja,
Onde,
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Note que, com exceção da simbologia um pouco mais elaborada, 
o desenvolvimento para chegarmos à matriz mudança de base 
 é o mesmo tanto para o R2 como para um espaço vetorial 
generalizado V.
A seguir, daremos alguns exemplos numéricos para que você complete seu entendimento 
sobre mudança de base.
Exemplo 1: 
Considere as bases α=[(1,-1),(2,2)] e β=[(1,0),(0,1)] do espaço vetorial R2, e determinea matriz mudança de base .
Resolução:
Temos que,
w1=(1,0)=a11 (1,-1)+a21 (2,2)
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e
w2=(0,1)=a12 (1,-1)+a22 (2,2)
Analisando a igualdade de w1, temos,
E da igualdade de w2, chegamos,
Resolvendo os dois sistemas originados das igualdades dos vetores w1 e w2,
Portanto, a matriz mudança de base de β para α é:
Exemplo 2:
A matriz mudança de base obtida no exemplo anterior muda um vetor que está em 
relação à base canônica β=[(1,0),(0,1)] , para a base α=[(1,-1),(2,2)]. Use essa matriz obtida 
no exemplo 1 e escreva os vetores v1=(4,-2) e v2=(-1,5) em relação à base α.
Resolução:
Para determinar o vetor v1 escrito em relação à base α. B basta usar a igualdade
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Ou seja,
Portanto, v1=(4,-2)α pode ser escrito como .
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Estamos falando do mesmo vetor: a representação muda pelos 
motivos discutidos no início deste tópico.
Escrevendo agora o vetor v 2=(-1,5) em relação à base α,
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4 A MATRIZ INVERSA DA MATRIZ MUDANÇA DE BASE
Quando desenvolvemos a matriz mudança de base no item anterior, começamos 
escrevendo os vetores da base β em relação aos vetores da base α. Se invertermos essa ordem, 
ou seja, escrevermos os vetores da base α em relação aos vetores da base β, chegamos à 
matriz mudança de base , que muda da base α para a base β.
Escrevemos então a relação
Um fato importante que podemos salientar sobre as matrizes mudanças de base é que 
as matrizes e são invertíveis, e, ainda,
Exemplo:
Considere a base canônica do R2 que podemos denotar por α=[e1,e2 ] e a base β=[f1,f2], 
obtida da base canônica α pela rotação do ângulo θ. Dado um vetor [v]
α
=(x1,x2) determine esse 
vetor em relação à base β.
Resolução:
Para entender o que queremos geometricamente, desenhamos os eixos e1 e e2 e 
queremos escrever o vetor v em relação aos eixos f1 e ,f2. Ou seja,
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Temos que achar a matriz mudança de base tal que,
Sabemos que, em relação à base α, temos [v]
α
=(x1,x2) e em relação à base β podemos 
escrever de forma generalizada que [v]
β
=(y1,y2), ou seja, temos a seguinte igualdade referente 
ao vetor v,
E para chegar à matriz , basta escrever os vetores e1 e e2 em função de f1 e 
,f2. Para isso, vamos retornar ao gráfico e usar as relações trigonométricas de seno e 
cosseno.
Projetando o vetor e1 sobre as retas suporte dos vetores f1 e ,f2,
Para enxergar e entender melhor, rotacionamos:
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Usando as relações trigonométricas de um triângulo retângulo,
, onde,
CA: Cateto Adjacente
CO: Cateto Oposto
HIP: Hipotenusa
Projetando agora o vetor e2 sobre as retas suportes dos vetores f1 e ,f2 e executando 
os mesmos passos mostrados para a projeção de e1, obtemos a igualdade:
Ou seja,
Sendo que,
Ou ainda,
Supondo o vetor v=(4,2) escrito em relação à base canônica, vamos representá-lo em 
à base que o rotaciona .
Resolução:
Temos: v=(4,2)=4.e1+2.e2, ou seja, 
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Queremos determinar as coordenadas de v na base β= [ f1, f2] . Como vimos, sabemos 
que
Sendo,
Logo,
Portanto,
Ou ainda,
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Neste tópico, você viu que:
•	 Todo vetor pode ser representado em relação a diversas bases.
•	 Para mudar a base de um vetor, basta definir a matriz mudança de base.
•	 A matriz , é a matriz mudança de base α para a base β.
•	 Para determinar a matriz , temos que fazer uma relação entre os vetores da base α e os 
vetores da base β.
•	 A igualdade é a relação fundamental da mudança de base.
RESUMO DO TÓPICO 3
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Para que você reforce o aprendizado, faça os seguintes exercícios propostos:
1 Sejam as bases de R2, α=[(0,1),(1,0)] , β=[(-1,1),(1,1)] , e 
δ=[(2,0),(0,2)].
a) Determine as matrizes mudança de base:
i) 
ii) 
iii) 
iv) 
b) Determine as coordenadas do vetor v=(5,-2) em relação à base:
i) α
ii) β
iii) y
iv) δ
c) As coordenadas de um vetor v em relação à base β são dadas por: 
 Encontre as coordenadas de v em relação à base:
i) α
ii) y
iii) δ
2 Se , determine:
a) sabendo que 
b) sabendo que 
3 Se α é base de um espaço vetorial V, qual será a matriz mudança de base ?
4 Sendo α a base canônica de R2, e β uma base obtida da rotação de α por um ângulo 
 π 
 4 , determine:
a) 
b) 
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Prezado(a) acadêmico(a), agora que chegamos ao final da 
Unidade 3, você deverá fazer a Avaliação.
UNIDADE 3TÓPICO 3194
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REFERÊNCIAS
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DOMINGUES, HYGINO H. Origem dos sistemas lineares e determinantes. Disponível em: 
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HOWARD, Eves. Introdução à história da matemática. Trad.: Hygino H. Domingues. 
Campinas: Editora da Unicamp, 2004.
LIMA, Elon Lages. Álgebra linear. 5. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto nacional de 
Matemática Pura e Aplicada, 2001.