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Equilíbrio de uma 
partícula no plano
MECÂNICA DOS SÓLIDOS I
PROF. MURILO BARBOSA DE CARVALHO
UNIDADE I I – ESTÁTICA DAS PARTÍCULAS
Componentes ortogonais
Resultante de várias forças sobre uma partícula (componentes ortogonais ou 
retangulares)
- Para iniciar o entendimento do equilíbrio de um ponto material no plano, iremos
decompor as diversas forças segundo os eixos x-y, que definem um sistema de eixos
ortogonais.
- Para obter a resultante de mais de duas forças, é mais fácil determinar as
componentes dos eixos especificados e somar algebricamente, ao invés de realizar
sucessivas aplicações da lei do paralelogramo.
Apesar de um eixo ser horizontal e
outro vertical, podem estar orientados
com qualquer inclinação, como na
figura ao lado.
Componentes ortogonais
- A decomposição de uma força pode ser feita em suas componentes ortogonais,
conforme esquema abaixo:
Denomina-se F a intensidade da força F e  o ângulo entre F e o eixo x, medido
a partir deste eixo no sentido anti-horário. São válidas as relações:
y
x

O
yF

xF

F

sCartesiana sComponente :, yx FF

yx FFF


22
yx
x
y
FFFe
F
F
tg 
Como na Lei do paralelogramo:
Componentes ortogonais
 A notação que representa de direção dos componentes retangulares pode ser feito de
duas formas:
• Notação escalar – Os componentes retangulares podem ser expressos em termos
de escalares algébricos, onde está indicado a intensidade (valor) e o sentido
(positivo ou negativo), já que estão orientado ao longo dos eixos x-y que têm
direções definidas. Utilizados apenas para fins de cálculo.
• Notação vetorial – Mais vantajoso em problemas tridimensionais, auxiliados por
vetores unitários para designar as direções dos eixos x e y. Pode ser expresso
como:
jFiFF yx


Componentes ortogonais
Conceito de Vetores Unitários
- São vetores de módulo igual a 1, orientados segundo os eixos positivos x e y.
Os escalares Fx e Fy são chamados de componentes escalares da força F,
enquanto as forças componentes Fxi e Fyj são denominadas componentes
vetoriais de F. Os seus valores são positivos quando têm o mesmo sentido do
vetor unitário, e negativo quando têm o sentido oposto.
y
x
i

j

Logo:
iFF xx

 jFF yy


jFiFF yx


Então:
1 ij

e
Componentes ortogonais
 Usando notação vetorial:
Componentes ortogonais
 Usando notação escalar:
𝐹𝑅𝑥 = 𝐹𝑥
𝐹𝑅𝑦 = 𝐹𝑦
Componentes ortogonais
Adição de forças pela soma das componentes segundo x e y
- Quando devem ser adicionadas três ou mais forças, não se pode obter uma
solução trigonométrica prática da regra do polígono de forças que defina a
resultante destas forças. Portanto, uma solução analítica do problema pode ser
obtida pela decomposição de cada uma destas forças em duas componentes
cartesianas.
Componentes ortogonais
- Na Fig. 1 são apresentadas três forças agindo sobre um ponto material, e em seguida 
apresenta-se a resultante, obtida a partir da soma das componentes cartesianas destas 
forças. 
- Considerando as forças F1, F2 e F3, onde: FR = F1 + F2 + F3.
Fig. 1 - Resultante obtida a partir da soma das 
componentes ortogonais. 
Decompondo-se cada força em suas
componentes cartesianas, tem-se:






j.Fi.FF
j.Fi.FF
j.Fi.FF
yx
yx
yx
333
222
111
   
   

















x
y
yxR
yxR
F
F
tg
FFF
j.Fi.FF
1
22
θ
Exemplo 1
Um homem puxa, com uma força de 300 N, uma corda fixada a uma construção. Quais 
as componentes horizontal e vertical da força exercida pela corda no ponto A. 
Exemplo 2
Três forças atuam em um elemento estrutural, como mostrado na figura.
Determine as componentes x e y de cada força e a força resultante,
indicando sua intensidade e sentido.
Exemplo 3
Duas cargas estão na ponta C da haste
BC. Determine a tração no cabo AC,
sabendo que a resultante das três forças
que atuam em C deve ter a direção de BC.
Equilíbrio de uma partícula no plano
Condição para o Equilíbrio de uma Partícula
- Objetos considerados como partículas só podem ser submetidos a sistemas de
forças concorrentes, isto é, todas as forças passam pelo ponto em que está a
partícula:
1F

2F

3F

4F

FFFFFFR

 4321
Equilíbrio de uma partícula no plano
- A condição de equilíbrio de uma partícula (obedecendo à primeira lei de
Newton) pode ser enunciada como: “Quando a resultante de todas as forças
que atuam sobre uma partícula é zero, tem-se o equilíbrio”.
Então, as condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de uma partícula 
no plano são:
0F
 Então,
  0 jFiF yx

    0 jFiF yx

  0e0 YX FF
Equilíbrio de uma partícula no plano
1F

2F

1F
 2F

RF

RF

RF

 RF

1F
 2F

RF


0F

Equilíbrio de uma partícula no plano
- Quando da realização do equilíbrio de uma partícula, pode-se aplicar o diagrama de 
corpo livre (DCL), que é um esquema que mostra todas as forças exercidas sobre um 
determinado ponto material, convenientemente escolhido.
HIBBELER, R. C. Mecânica Estática. Prentice Hall, São Paulo, 2005.
Procedimento para traçar um Diagrama de Corpo Livre (DCL)
Como devemos considerar todas as forças que atuam sobre o ponto material ao aplicar as equações de equilíbrio, não 
devemos dar ênfase excessiva à importância de desenhar primeiro o diagrama de corpo livre. Para construí-lo é 
necessário seguir estes passos:
Desenhe o contorno do ponto material a ser estudado. Imagine que o ponto material esteja isolado, ou ‘seccionado’, 
ou ‘livre’ de seu entorno, e desenhe o contorno de sua forma.
Mostre todas as forças. Indique nesse esboço todas as forças que atuam sobre o ponto material. Essas forças podem 
ser ativas, tendendo a pôr o ponto material em movimento, ou reativas, que são o resultado de restrições ou apoios 
que tendem a impedir o movimento. Para se considerarem todas as forças, é interessante traçar o contorno em torno 
do ponto material, anotando cuidadosamente cada força que age sobre ele.
Identifique cada força. As forças conhecidas devem ser marcadas com suas intensidades, direções e sentidos. São 
usadas letras para representar as intensidades, direções e sentidos das forças desconhecidas.
Equilíbrio de uma partícula no plano
 É preciso conhecer dois tipos de conexões frequentemente encontrados em
problemas de equilíbrio do ponto material
• Molas: 
- O comprimento da mola variará em relação direta com a força que atua sobre
ela. A rigidez da mola está associada a constante K.
- A intensidade da força que atua na mola de rigidez K e apresenta deformação s, 
é dada por:
𝐹 = 𝑘s
Molas
Equilíbrio de uma partícula no plano
 Cabos e Polias
Vamos considerar inicialmente que os cabos
tem peso desprezível e são indeformáveis
 Os cabos suportam apenas forças de Tração,
que atua na direção deste
Ao passar pela polia, para qualquer ângulo
formado pelo cabo, a tensão a que está
submetido é constante ao longo do seu
comprimento, então a força de tração é a
mesma.
Exemplo 4
Determine as trações nos cabos das figuras abaixo.
A) B)
Exemplo 5
Uma caixa e seu conteúdo pesam
480 kg. Determine o menor
comprimento da corrente, ACB, que
pode ser usada para levantar a caixa
e seu conteúdo se a tração na
corrente não pode exceder 3650 N.
Exemplo 6
As três forças concorrentes que atuam sobre o poste
produzem uma força resultante Fr =0. Se F2=(1/2)F1 e
F1 estiver a 90° de F2, como mostrado, determine a
intensidade necessária de F3 expressa em termos de
F1 e do ânguloθ.
Exemplo 7
Determine a intensidade da força F, de modo
que a resultante Fr das três forças seja a
menor possível.
Exemplo 8
O comprimento sem deformação da mola
AB é de 2 m. Com o bloco mantido na
posição de equilíbrio mostrada,
determine a massa dele em D.
Exemplo 9
A carga da figura tem massa de 15 kg e
é levantada pelo sistema de polias
mostrado. Determine a força F na
corda em função do ângulo θ. Faça um
gráfico da função da força F versus o
ângulo θ para 0 ≤ θ ≤ 90°.