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<p>E S TÁTICA MECÂNICA PARA ENGENHARIA EDIÇÃO R. C. Hibbeler PEARSON Companion Website Prentice Hall Site com material de apoio para professores</p><p>MECÂNICA PARA ENGENHARIA EDIÇÃO R. C. Hibbeler Tradução Everi Antonio Carrara Doutor em astrofísica pelo Instituto Astronômico e Geofísico da Universidade de São Paulo Pós-doutor pelo National Radio Astronomy Observatory - NRAO Professor titular da Universidade Bandeirante de São Paulo - UNIBAN Joaquim Pinheiro Nunes da Silva Engenheiro civil pela Universidade Presbiteriana Mackenzie Pós-graduado em engenharia de sistemas pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Revisão Técnica Wilson Carlos da Silva Junior Mestre e doutorando em engenharia pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Professor mestre da Universidade Bandeirante de São Paulo - UNIBAN Professor assistente da Universidade de Mogi das Cruzes - UMC PEARSON i Prentice A BDR Hall São Paulo Brasil Argentina Colômbia Costa Rica Chile Espanha Guatemala México Peru Porto Rico Venezuela</p><p>2005 Pearson Education do Brasil Título original: Engineering Statics, tenth edition 2004 R. C. Hibbeler Tradução autorizada a partir da edição original em inglês, publicada pela Pearson Education Inc., sob o selo Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização, por escrito, da Pearson Education do Brasil. Diretor editorial: José Martins Braga Gerente editorial: Roger Trimer Gerente de produção: Heber Lisboa Editora de texto: Carla Rodrigues Preparação: Maria Luiza Favret Revisão: Juliana Takahashi Capa: Marcelo da Silva Françozo (foto de R. C. Hibbeler) Sobre a capa: As forças dos elementos dessa ponte em treliça devem ser determinadas ao se Diagramação: ERJ Composição Editorial Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Hibbeler, R.C. Estática : mecânica para engenharia, vol. 1 / R.C. Hibbeler tradução Everi Antonio Carrara, Joaquim Nunes Pinheiro : revisão técnica Wilson Carlos da Silva - São Paulo : Pearson Prentice Hall, 2005. Título original: Statics : engineering ISBN 85-87918-97-4 1. Engenharia mecânica 2. Estática 3. Mecânica aplicada 04-7453 Índices para catálogo sistemático: 1. Estática : Mecânica para engenharia : Tecnologia 620.103 2006 reimpressão Direitos exclusivos para a língua portuguesa cedidos à Person Education do Brasil, uma empresa do grupo Pearson Education Av. Ermano Marchetti, 1435 CEP: São Paulo - SP, Brasil Tel.: (11)2178-8686 Fax: (11)3611-0444 e-mail: vendas@personed.com</p><p>Ao Estudante Com a esperança de que este trabalho estimule O interesse em mecânica para engenharia e sirva de guia para entendimento deste assunto.</p><p>SUMÁRIO Prefácio xi 1 Princípios Gerais 1 1.1 Mecânica 1 1.2 Conceitos Fundamentais 2 1.3 Unidades de Medida 4 1.4 Sistema Internacional de Unidades 5 1.5 Cálculos Numéricos 6 2 Vetores Força 12 2.1 Escalares e Vetores 12 2.2 Operações Vetoriais 13 2.3 Adição de Forças Vetoriais 14 2.4 Adição de um Sistema de Forças Coplanares 23 2.5 Vetores Cartesianos 33 2.6 Adição e Subtração de Vetores Cartesianos 36 2.7 Vetores Posição 45 2.8 Vetor Força Orientado ao longo de uma Reta 49 2.9 Produto Escalar 57 3 Equilíbrio de um Ponto Material 68 3.1 Condição de Equilíbrio de um Ponto Material 68 3.2 Diagrama de Corpo Livre 68 3.3 Sistemas de Forças Coplanares 71 3.4 Sistemas de Força Tridimensional 83 4 Resultantes de Sistemas de Forças 96 4.1 Momento de uma Força Formulação Escalar 96 4.2 Produto Vetorial 100 4.3 Momento de uma Força - Formulação Vetorial 103 4.4 Princípios dos Momentos 107 4.5 Momento de uma Força em relação a um Eixo Específico 117 4.6 Momento de um Binário 125 4.7 Sistema Equivalente 135</p><p>viii 4.8 Resultantes de um Sistema de Forças e Momentos de Binários 137 4.9 Reduções Adicionais de um Sistema de Forças e Momentos 140 4.10 Redução de um Sistema Simples de Cargas Distribuídas 153 5 Equilíbrio de um Corpo Rígido 164 5.1 Condições de Equilíbrio para um Corpo Rígido 164 5.2 Equilíbrio em Duas Dimensões - Diagramas de Corpo Livre 166 5.3 Equações de Equilíbrio 177 5.4 Elementos com Duas e Três Forças 186 5.5 Equilíbrio em Três Dimensões - Diagramas de Corpo Livre 197 5.6 Equações de Equilíbrio 202 5.7 Restrições para um Corpo Rígido 202 6 Análise Estrutural 220 6.1 Treliças Simples 220 6.2 Método dos Nós 222 6.3 Elementos de Força Nula 228 6.4 Método das Seções 233 *6.5 Treliças Espaciais 242 6.6 Estruturas e Máquinas 245 7 Forças Internas 277 7.1 Forças Internas Desenvolvidas em Elementos Estruturais 277 *7.2 Equações e Diagramas de Forças de Cisalhamento e de Momentos Fletores 291 *7.3 Relações entre Carregamento Distribuído, Força de Cisalhamento e Momento Fletor 298 *7.4 Cabos 308 8 Atrito 322 8.1 Características do Atrito Seco 322 8.2 Problemas Envolvendo Atrito Seco 325 8.3 Calços 343 8.4 Forças de Atrito em Parafusos 345 8.5 Forças de Atrito em Correias Planas 351 *8.6 Forças de Atrito em Mancais de Escoras com Anéis, em Mancais Axiais e em Discos 357 8.7 Forças de Atrito em Mancais Radiais 360 *8.8 Resistência ao Rolamento 361 9 Centro de Gravidade e Centróide 371 9.1 Centro de Gravidade e Centro de Massa de um Sistema de Pontos Materiais 371 9.2 Centro de Gravidade, Centro de Massa e de um Corpo 373 9.3 Corpos Compostos 391 *9.4 Teoremas de Pappus e Guldinus 401 *9.5 Resultante de um Carregamento Distribuído Geral 408 *9.6 Pressão de um Fluido 409</p><p>SUMÁRIO ix 10 Momentos de Inércia 422 10.1 Definição de Momentos de Inércia de Áreas 422 10.2 Teorema dos Eixos Paralelos para uma Área 423 10.3 Raio de Giração de uma Área 424 10.4 Momentos de Inércia de uma Área por Integração 424 10.5 Momentos de Inércia de Áreas Compostas 431 *10.6 Produto de Inércia de uma Área 438 *10.7 Momentos de Inércia de uma Área em relação a Eixos Inclinados 441 *10.8 Círculo de Mohr para Momentos de Inércia 444 10.9 Momento de Inércia de Massa 452 11 Trabalho Virtual 464 11.1 Definição de Trabalho e Trabalho Virtual 464 11.2 Princípio dos Trabalhos Virtuais para um Ponto Material e para um Corpo Rígido 466 11.3 Princípio dos Trabalhos Virtuais para um Sistema de Corpos Rígidos Interligados 467 *11.4 Forças Conservativas 478 *11.5 Energia Potencial 480 *11.6 Critério da Energia Potencial para Equilíbrio 481 *11.7 Estabilidade do Equilíbrio 482 A Expressões Matemáticas 493 B Análise Numérica e Computacional 495 C Revisão dos Fundamentos de Engenharia 500 Respostas 515 Índice 529</p><p>PREFÁCIO O objetivo principal deste livro é fornecer ao estudante uma apresentação clara e completa da teoria de mecânica e aplicações à engenharia. Para atingir esse objetivo autor não tem trabalhado isoladamente; em grande parte, esta obra, ao longo de suas 10 edições, tem sido moldada pelos comentários e sugestões de cente- nas de professores que a revisaram, bem como por muitos dos alunos do autor. Novas características Esta décima edição apresenta características singulares, dentre as quais podemos destacar: Ilustrações. Ao longo do livro, foram incluídas ilustrações realistas que apresentam uma forte conexão com a natureza 3-D da engenharia. Além disso, procurou-se fornecer uma boa visão dos objetos físicos, suas dimensões e os vetores a eles aplicados, de maneira que as situações possam ser facilmente Problemas. Os conjuntos de problemas foram revisados de modo que os professores possam selecionar problemas tanto de projeto quanto de análise com um amplo leque de dificuldade. Além do autor, dois outros profissionais verificaram todos os problemas para garantir clareza e exatidão das No fim de alguns capí- tulos, foram propostos projetos a serem desenvolvidos. Material de Revisão. Foram incluídas no final dos capítulos seções de revisão para aluno recordar os pontos importantes. Naturalmente, os pontos fortes deste livro permanecem os mesmos: onde necessário, dá-se grande ênfase à construção de diagramas de corpo livre e ressalta-se a importância da seleção de um sistema de coordenadas apropriado, com a devida convenção de sinal para os componentes dos vetores. Conteúdo livro é dividido em 11 capítulos, nos quais os princípios são aplicados primeiro a situações simples e depois a situações mais complicadas. Na maioria das vezes, cada princípio é aplicado primeiro a um ponto material, depois a um corpo rígido submetido a um sistema de forças coplanares e finalmente a um caso geral de sistema de forças tridimensional atuando sobre um corpo rígido. Capítulo 1 começa com uma introdução à mecânica e uma discussão sobre A notação de um vetor e as propriedades do sistema de forças concorrentes são introduzidas no Capítulo 2. Essa teoria é então aplicada ao equilíbrio de uma no Capítulo 3. O Capítulo 4 contém uma discussão geral dos sistemas de forças concentradas e distribuídas e os métodos usados para Os princípios do equilíbrio de corpo rígido são desenvolvidos no Capítulo 5 e depois são aplicados a problemas específicos envolvendo equilíbrio de treliças, estruturas e máquinas, no Capítulo 6, e à análise das forças internas em vigas e cabos, no Capítulo 7. No Capítulo 8 são oferecidas aplicações a problemas que envolvem forças de atrito e no Capítulo 9 são apre- sentados tópicos relacionados a centro de gravidade e Se o tempo permitir, podem ser estudadas seções concernentes a tópicos mais adiantados, indicadas por asteriscos (*). A maioria desses tópicos está incluí- da no Capítulo 10 (momentos de inércia de área e massa) e no Capítulo 11 (trabalho virtual e energia poten- cial). Observe que esse material também oferece uma referência dos princípios básicos a serem discutidos em cursos mais avançados.</p><p>xii Desenvolvimento Alternativo. A critério do professor. alguns dos materiais podem ser apresentados numa diferente sem perda de continuidade. Por exemplo, é possível introduzir conceito de força e todos os métodos necessários de análise vetorial abordando primeiro Capítulo 2 e a Seção 4.2. Então, depois que restante do Capítulo 4 (sistemas de força e momento) tiver sido podem ser discutidos os méto- dos de equilíbrio dos capítulos 3 e 5. Características Especiais Organização e Abordagem. O conteúdo de cada capítulo está organizado em seções bem definidas que contêm uma explanação de tópicos específicos, exemplos (problemas resolvidos) e um conjunto de problemas propostos. Os tópicos em cada seção estão colocados em subgrupos definidos por títulos em negrito. O to dessa disposição é apresentar um método estruturado para a introdução de cada nova definição ou novo con- ceito, tornando livro adequado para futuras referências e recapitulações. Conteúdo dos Capítulos. Cada capítulo inicia-se com uma ilustração demonstrando a ampla aplicabili- dade do material nele contido. Uma lista do conteúdo do capítulo é fornecida para dar uma visão geral do mate- rial a ser abordado. Diagramas de Corpo Livre. O primeiro passo na resolução da maioria dos problemas de mecânica exige a construção de um diagrama. Com isso, aluno cria hábito de organizar os dados necessários, enquanto se con- centra nos aspectos físicos do problema e na sua geometria. Se esse passo for dado a aplicação das equações relevantes se tornará bastante sistemática, pois os dados podem ser tomados diretamente do diagrama construído. Esse passo é particularmente importante quando se resolvem problemas de equilíbrio, por essa razão, enfatiza-se fortemente ao longo do livro a construção de diagramas de corpo livre. Em particular, foram preparados seções especiais e exemplos para mostrar como se traçam diagramas de corpo livre, e, para se desen- volver essa prática, foram incluídos em muitas seções problemas propostos. Procedimento para Análise. Encontrado no fim de muitos capítulos, este recurso singular fornece ao estudante um método lógico e ordenado para a aplicação da teoria. Segue-se esse método para resolver os pro- blemas propostos como exemplos, de modo que sua aplicação numérica seja esclarecida. Entretanto, deve-se entender que uma vez que se tenha aprendido os princípios relevantes e se tenha obtido a confiança suficiente, estudante poderá, então, desenvolver seus próprios procedimentos para resolver os problemas. Fotografias. Utilizam-se muitas fotos ao longo de todo livro para explicar como os princípios da mecânica se aplicam a situações Em muitas seções, usaram-se fotografias para mostrar como os engenheiros devem propor inicialmente um modelo idealizado para a análise e passar, então, à construção de um diagrama de corpo livre para aplicar a teoria a esse modelo. Pontos Importantes. Este recurso fornece um resumo dos conceitos mais importantes apresentados na seção, enfatizando os pontos mais significativos que devem ser entendidos ao se aplicar a teoria à solução de problemas. Entendimento Conceitual. Pelo uso de fotos distribuídas ao longo do livro, aplica-se a teoria de maneira simplificada para ilustrar algumas de suas características conceituais mais importantes e introduzir gradativamente significado físico de muitos dos termos usados nas equações. Essas aplicações simplificadas aumentam interesse no assunto e ajudam estudante a entender os exemplos e solucionar os problemas. Exemplos. Todos os problemas propostos como exemplos são apresentados de maneira concisa e num estilo de fácil compreensão.</p><p>PREFÁCIO xiii Problemas Propostos Problemas de Diagrama de Corpo Livre. Muitas seções do livro contêm problemas introdutórios que apenas exigem traçado do diagrama de corpo livre. Essas tarefas mostrarão ao estudante a importância dessa habilidade para a resolução completa de qualquer problema de equilíbrio. Problemas de Análise Geral e Projetos. A maioria dos problemas neste livro retrata situações realistas encontradas na prática de engenharia e alguns deles provêm de produtos reais utilizados na Espera-se que esse realismo tanto estimule interesse do estudante pela mecânica, quanto forneça um meio de desenvolver a habilidade em reduzir qualquer problema nessa área a um modelo ou representação ao qual os princípios da mecânica possam ser aplicados. Procurou-se manter um bom equilíbrio entre uso de unidades do SI e do FPS. Além disso, tentou-se apre- sentar os problemas, em todos os conjuntos, em ordem crescente de dificuldade. (Os problemas de revisão no fim de cada capítulo são apresentados aleatoriamente.) As respostas de três em cada quatro problemas propos- tos são dadas no final do livro. Para alertar leitor da falta de resposta utilizou-se um asterisco (*) antes do número do problema. Problemas Foram incluídos alguns problemas que podem ser resolvidos usando- se procedimentos numéricos executáveis tanto num microcomputador quanto numa calculadora programável. No Apêndice B são apresentadas técnicas numéricas adequadas e respectivos programas de computador. A intenção é ampliar a aptidão do estudante para usar outras formas de análise matemática sem sacrificar tempo necessário ao entendimento da aplicação dos princípios da mecânica. Problemas desse tipo, que podem ou devem ser resolvi- dos por meio de procedimento numérico, são identificados por um quadrado antes de seu Projetos. No fim de alguns capítulos, foram incluídos projetos. Considera-se que esse tipo de tarefa seja proposto somente após estudante ter adquirido conhecimento básico do assunto. Esses projetos são dedica- dos à solução de problemas por meio da especificação da geometria de uma estrutura ou objeto mecânico necessário para uma tarefa específica. Exige-se uma análise cinemática e dinâmica, em muitos casos, os resul- tados podem abranger questões de segurança e custos. Revisão dos Capítulos. Novas seções de revisão resumem, frequentemente em listas, os pontos importantes em cada capítulo. Apêndices. Os apêndices são uma fonte de fórmulas matemáticas e de análise numérica necessárias à solução dos problemas. Material de Apoio No site do livro (www.prenhall.com/hibbeler_br) estão disponíveis recursos adicionais para pro- Companion fessores e estudantes, como as figuras do livro em PowerPoint, exercícios adicionais (em inglês) e Website Manual de Soluções (também em inglês). Agradecimentos O autor empenhou-se em escrever este livro para atender estudante e professor. Através dos anos, muitas pessoas para seu e serei sempre grato pelas suas valiosas sugestões e quero agradecer as seguintes pessoas pelos comentários que fizeram sobre este livro: Paul Heyliger, Colorado State University Kenneth Sawyers, Lehigh University John Universidade de Pittsburgh Glenn Beltz, Universidade da Santa Barbara Johannes Gessler, Colorado State University</p><p>xiv Wilfred Nixon, Universidade de Iowa Jonathan Russell, U.S. Coast Guard Academy Robert Hinks, Arizona State University Cap. Mark Orwat, U.S. Military Academy, West Point Cetin Cetinyaka, Clarkson University Jack Xin, Kansas State University Pierre Julien, Colorado State University Stephen Bechtel, Ohio State University W.A. Curtain, Brown University Robert Montana State University Richard Universidade do Tennessee Devo um agradecimento especial aos professores Will Liddell, Jr. e Henry Kuhlman por sua ajuda ca. Devo também apresentar um agradecimento especial a Scott Hendricks da VPI e Karim Nohra da University of South California, que diligentemente verificaram todo texto e os problemas. Gostaria de agradecer a revisão feita por minha Conny (Cornelie), durante tempo em que preparei manuscrito para publicação. Finalmente, muitos agradecimentos são estendidos a todos os meus alunos e aos professores que espon- taneamente gastaram seu tempo para me enviar sugestões e comentários. Como uma lista com todos os nomes seria muito extensa, espero que aqueles que me ajudaram dessa maneira aceitem meu reconhecimento anônimo. Apreciaria muitíssimo receber a qualquer momento seus comentários, sugestões ou problemas a respeito desta edição. Russel Charles Hibbeler hibbeler@bellsouth.net</p><p>1 PRINCÍPIOS GERAIS OBJETIVOS DO CAPÍTULO Oferecer uma introdução às quantidades básicas e idealizações da Apresentar o enunciado das leis de Newton do movimento e da gravitação. Revisar os princípios para a aplicação do Sistema Internacional de Unidades SI. Investigar os procedimentos padrão de execução de cálculos Oferecer uma orientação geral para a resolução de problemas. 1.1 MECÂNICA A mecânica é definida como o ramo das ciências projeto desta estrutura de foguete e de torre de lançamento físicas que trata do estado de repouso ou de movimen- requer conhecimento básico de e dinâmica, que são o obje- to da mecânica. to de corpos sujeitos à ação de Em geral, esse assunto é subdividido em mecânica dos corpos mecânica dos corpos deformáveis e mecânica dos fluidos. Este livro trata apenas da mecânica dos corpos rígidos, uma vez que esta constitui uma base adequada para projeto e a análise de muitos tipos de dispositivos estruturais, mecânicos ou elétricos encontrados na engenharia. Além disso, ela fornece o conhecimento necessá- rio para estudo da mecânica dos corpos deformáveis e da mecânica dos fluidos. A mecânica dos corpos rígidos divide-se em duas áreas: estática e dinâmi- ca. A estática trata do equilíbrio dos corpos, isto daqueles que estão em repouso ou em movimento, com velocidade já a dinâmica preocu- pa-se com movimento acelerado dos corpos. Apesar de a estática poder ser considerada um caso especial da dinâmica, no qual a aceleração é nula, ela merece tratamento separado no estudo da engenharia, uma vez que muitos objetos são desenvolvidos com intuito de que se mantenham em equilíbrio. Desenvolvimento Os princípios da estática desenvolveram-se há muito tempo, porque podiam ser explicados simplesmente por medições de geometria e força. Por exemplo, os escritos de Arquimedes (287-212 a.C.) tratam do princípio da Estudos sobre polia, plano inclina- do e torção também aparecem registrados em escritos antigos, da época em que os requisitos da engenharia restringiam-se basicamente à constru- ção de edifícios.</p><p>2 Como os princípios da dinâmica dependem da medição precisa do esse assunto se desenvolveu bem mais tarde. Galileu Galilei (1564-1642) foi um dos primeiros que muito contribuiu nesse campo. Seu trabalho consistiu em experiências com pêndulos e corpos em queda. As contribuições mais sig- nificativas para a dinâmica, no entanto, foram oferecidas por Isaac Newton (1642-1727). conhecido por sua explicação das três leis fundamentais do movi- mento e pela lei universal da atração da gravidade. Pouco depois que essas leis foram postuladas, técnicas importantes para sua aplicação foram desenvolvi- das por D'Alembert, Lagrange e outros. 1.2 CONCEITOS FUNDAMENTAIS Antes de começarmos estudo da mecânica, é importante compreender significado de alguns conceitos e princípios Quantidades Básicas. As quatro quantidades que se seguem são usadas em toda a mecânica. Comprimento. O comprimento é necessário para localizar a posição de um ponto no espaço e, por meio descrever a dimensão de um sistema Uma vez definida uma unidade-padrão de comprimento, pode-se definir quan- titativamente distâncias e propriedades de um corpo como múltiplos da unidade de comprimento. Tempo. O tempo é concebido como uma sucessão de eventos. Apesar de os princípios da estática serem independentes do tempo, essa quantidade desem- penha importante papel no estudo da Massa. A massa é uma propriedade da matéria pela qual se pode comparar a ação de um corpo com a de outro. Essa propriedade se manifesta como uma atração da gravidade entre dois corpos e fornece a medida quantitativa da resis- tência da matéria à mudança de velocidade. Força. Em geral, a força é considerada um ou exercido por um corpo sobre outro. Essa interação pode ocorrer quando há contato dire- to entre os dois corpos, como quando uma pessoa empurra uma parede, ou pode ocorrer à distância, quando os corpos estão fisicamente separados. Alguns exemplos deste último caso são as forças da gravidade, elétricas e Em qualquer caso, a força é completamente caracterizada por sua intensida- de, direção e ponto de aplicação. Idealizações. As idealizações ou modelos são usadas em mecânica a simpli- ficar a aplicação da teoria. Algumas das idealizações serão definidas a seguir. Outras serão discutidas em outros momentos, quando for necessário. Ponto Um ponto material possui massa, porém suas dimensões são Por exemplo, tamanho da Terra é insignificante comparado às dimensões de sua órbita e. portanto, ela pode ser modelada como um ponto material ao se estudar seu movimento orbital. Quando um corpo é idealizado como um ponto os princípios da mecânica reduzem-se a uma forma simplificada, uma vez que a geometria do corpo não será envolvida na análise do problema. Corpo Rígido. Um corpo rígido pode ser considerado a combinação de gran- de número de no qual todas elas permanecem a uma distância fixa umas das outras, tanto antes como depois da aplicação de uma carga. Como resultado, as propriedades do material de qualquer corpo supostamente rígido não precisam ser consideradas na análise das forças que atuam sobre ele. Na maioria dos casos, as deformações reais que ocorrem em estruturas, máquinas,</p><p>Cap. PRINCÍPIOS GERAIS 3 mecanismos e similares são relativamente pequenas e a hipótese de corpo rígi- do é adequada para a análise. Força Uma força concentrada representa efeito de uma car- ga admitida como atuando em um ponto do corpo. Pode-se representar uma carga como força concentrada, desde que a área sobre a qual ela é aplicada Equilíbrio seja pequena, comparada às dimensões totais do corpo. Um exemplo seria a força de contato entre uma roda e o terreno. F As Três Leis do Movimento de Newton. Tudo que a mecânica aborda é explicado a partir das três leis do movimento de cuja validade é basea- Movimento acelerado da em observações Essas leis se aplicam ao movimento do ponto material medido a partir de um sistema de referência não Em rela- força de A sobre B ção à Figura pode-se em resumo, que se segue. F F A B Primeira Lei. Um ponto material inicialmente em repouso ou movendo-se em força de B sobre A linha reta, com velocidade constante, permanece nesse estado desde que não seja submetido a uma força desequilibrada. Segunda Lei. Um ponto material sob a ação de uma força desequilibrada F Figura 1.1 sofre uma aceleração a que tem a mesma direção da força e grandeza direta- mente proporcional a Se F for aplicada a um ponto material de massa m. essa lei pode ser expressa matematicamente como: F ma (1.1) Terceira Lei. As forças mútuas de ação e reação entre dois pontos materiais são iguais, opostas e Lei de Newton de Atração da Depois de explicar suas três leis do movimento, Newton postulou a lei que governa a atração da gravidade entre dois pontos materiais quaisquer. Expressa matematicamente: (1.2) onde F = força da gravidade entre os dois pontos materiais G = constante universal da gravidade; de acordo com evi- dência experimental, G = = massa de cada um dos dois pontos materiais r = distância entre os dois pontos materiais Peso. De acordo com a Equação 1.2. quaisquer dois pontos materiais ou cor- pos têm uma força de atração mútua (gravitacional) que atua entre Entretanto, no caso de um ponto material localizada sobre a superfície da Terra ou próxima dela, a força de gravidade com intensidade mensurável é aque- la entre a Terra e ponto material. Conseqüentemente, essa força, denominada peso, será a força da gravidade considerada neste estudo da Pela Equação 1.2. pode-se desenvolver uma expressão aproximada para deter- minar peso W de um ponto material com massa = m. Admitindo-se que a Terra seja uma esfera de densidade constante que não gire e que tenha massa = e se r é a distância entre centro da Terra e ponto material, * Como vimos à p. neste livro optou-se pelo uso do termo em alguns como das leis de seria comum também uso do termo (N. do E.). Dito de outra a força desequilibrada que atua sobre o ponto material é proporcional à taxa de mudança do momento linear deste.</p><p>4 Fazendo-se g = (1.3) Por comparação com F = denominamos g a aceleração devida à gra- vidade. Como ela depende de pode-se observar que peso de um corpo não é uma quantidade absoluta. Ao contrário, sua intensidade é determinada onde a medição foi feita. Para a maioria dos cálculos de engenharia, entretanto, g é determinada ao nível do mar e na latitude de que é considerada a 'locali- 1.3 UNIDADES DE MEDIDA As quatro quantidades básicas força, comprimento e tempo não são todas independentes umas das outras. Elas estão relacionadas pela segunda lei do movimento de Newton, F = ma. Por causa as unidades usadas para medir essas quantidades não podem ser selecionadas arbitraria- mente. A igualdade F = ma é mantida somente se três das quatro unidades, chamadas unidades são definidas e a quarta unidade é então derivada da equação. Unidades SI. O Sistema Internacional de Unidades, abreviado do fran- cês "Système International é uma versão moderna do sistema métrico que teve aceitação mundial. Como mostra a Tabela 1.1, sistema SI especifica comprimento em metros (m), tempo em segundos (s) e a massa em quilogramas (kg). A unidade de força, chamada newton (N), é derivada de F = ma. Assim, um newton é igual à força requerida para dar a 1 quilograma de massa uma aceleração de 1 m/s2 (N = Se o peso de um corpo situado na for determinado em newtons, então deverá ser aplicada a Equação 1.3. Nessa equação, g = 9,80665 entretanto, nos será usado valor g = 9,81 Assim: kg (1.4) Portanto, um corpo de massa de 1 kg pesa 9,81 N. um corpo de 2 kg pesa N 19,62 N e assim por diante (Figura 1.2a). (a) Sistema Usual Americano. No sistema de unidades Usual Americano (FPS pound, second pé, libra, comprimento é medido em pés a força em libras (lb) e o tempo em segundos (s) (Tabela 1.1). A uni- dade de chamada é derivada de F = ma. Portanto, 1 slug é igual 1 slug à quantidade de matéria acelerada de 1 quando acionada por uma força de 1 lb Para se determinar a massa de um corpo que tenha o peso medido em 32.2 libras, deve-se aplicar a Equação 1.3. Se as medidas forem feitas na (b) então g = será usado nos cálculos. Portanto: Figura 1.2 32,2 (1.5) Desse modo, um corpo pesando 32,2 lb tem massa de 1 slug, um corpo pesando 64,4 lb tem massa de 2 slugs e assim por diante (Figura 1.2b).</p><p>Cap. 1 PRINCÍPIOS GERAIS 5 TABELA 1.1 SISTEMAS DE UNIDADES Nome Comprimento Tempo Massa Força Sistema Internacional metro segundo quilograma newton* de Unidades (m) (s) (kg) (N) (SI) Usual Americano pé segundo slug* libra (pé) (FPS) (s) pé (lb) Unidade Conversão de A Tabela 1.2 fornece um conjunto de fatores de conversão direta entre unidades FPS e SI para as quantidades Além disso, lembre-se de que no sistema FPS, 1 pé = 12 polegadas, 5.280 pés = 1 1.000 lb = 1 kip (quilo-libra) e TABELA 1.2 FATORES DE Unidade de Unidade de Quantidade medida Igual a medida (SI) (FPS) Força lb 4,4482 N Massa slug 14,5938 kg Comprimento pé 0,3048 m 1.4 SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES sistema SI será bastante usado neste livro, visto que se pretende torná- lo o padrão de medidas mundial. Por isso, as regras para seu uso e a terminologia relevante para a mecânica são apresentadas a seguir. Prefixos. Quando uma quantidade numérica é muito grande ou muito peque- as unidades usadas para definir seu tamanho devem ser acompanhadas de um prefixo. Alguns dos prefixos usados no sistema SI são mostrados na Tabela 1.3. Cada um representa um múltiplo ou submultiplo de uma unidade que, apli- cado move o ponto decimal de uma quantidade numérica para cada terceira casa Por exemplo, 4.000.000 N = 4.000 kN (quilonew- ton) = 4 MN (meganewton) ou 0,005 m = 5 mm (milímetros). Observe que sistema SI não inclui o múltiplo deca (10) nem o submultiplo centi (0,01), que fazem parte do sistema métrico. Exceto para algumas medidas de volume e área, o uso desses prefixos deve ser evitado em ciência e engenharia. Regras de Uso. As regras a seguir permitem o uso adequado dos vários sím- bolos SI: 1. Um símbolo nunca é escrito no plural, uma vez que pode ser confun- dido com a unidade de segundo (s). 2 quilograma é a unidade básica definida com prefixo.</p><p>6 TABELA 1.3 PREFIXOS Forma exponencial Prefixo Símbolo SI Múltiplo 1 000 000 000 giga G 106 mega M quilo k 0,001 10-3 mili m 10-6 micro 0,000 000 001 nano n 2. Os símbolos devem ser sempre escritos com letras com as seguintes exceções: os símbolos dos dois prefixos maiores mostrados na Tabela giga e mega, G e M. respectivamente, devem ser sempre escritos com letra os símbolos referentes a nomes de pes- soas também devem ser escritos com letra por exemplo, N. 3. Quantidades definidas por diferentes unidades que são umas das outras devem ser separadas por um ponto para evitar con- fusão com a notação do como no caso de N = Da mesma maneira, m's (metro-segundo), enquanto ms (milissegundo). 4. Potência representada por uma unidade refere-se a ambas as unida- des e seu prefixo. Por exemplo, = mesma maneira, representa = 5. Ao realizar represente os números em termos de suas uni- dades básicas ou convertendo todos os prefixos a potências de 10. resultado final deve então ser expresso usando-se um único prefixo. Além disso, após os é melhor manter os valores numéricos entre 0,1 e caso contrário, deve ser escolhido um pre- fixo adequado. Por exemplo: (50 kN)(60 nm) = = 6. Prefixos compostos não devem ser Por exemplo, kus (quilo- microssegundo) deve ser expresso como ms (milissegundo), visto que 1 kus = 7. Com exceção da unidade básica quilograma, evite, em geral, uso de prefixo no denominador de unidades compostas. Por exemplo, não escre- va N/mm, mas kN/m; além disso m/mg deve ser escrito como Mm/kg. 8. Apesar de não serem expressos em múltiplos de 10. o a hora etc. são mantidos, por razões práticas, como múltiplos do segundo. Além do as medidas angulares planas são feitas em radianos (rad). Neste serão usados com graus, sendo 180° = 77 rad. 1.5 CÁLCULOS NUMÉRICOS Os cálculos em engenharia, costumam ser executados com fre- em calculadoras de mão e É importante, porém, que as respostas de quaisquer problemas sejam expressas com precisão e com o uso de algarismos significativos adequados. Nesta seção serão discutidos esses e outros aspectos importantes envolvidos em todos os cálculos de engenharia.</p><p>Cap. 1 PRINCÍPIOS GERAIS 7 Homogeneidade Os termos de qualquer equação usada para des- crever um processo físico devem ser dimensionalmente ou seja, cada um deles deve ser expresso nas mesmas Se for caso, todos os termos de uma equação poderão ser combinados se os valores numéricos forem substi- tuídos pelas Vamos por exemplo, a equaçãos vt + na qual, em unidades é a posição em metros, é tempo em segundos (s), é a velocidade em m/s e a é a aceleração em Independentemente de como a equação seja avaliada, ela mantém sua homogeneidade dimensional. Na forma descrita, cada um dos três termos é expresso em metros [m, ou, resolvendo em função de a. a = 2s/t2 cada um dos termos é expresso em unidades de m/s2 m/s2, (m/s)/s]. Como os problemas de mecânica envolvem a solução de equações dimen- sionalmente homogêneas, fato de que todos os termos de uma equação são representados por um conjunto de unidades consistente pode ser usado como verificação parcial para manipulações algébricas de uma equação. Algarismos A precisão de um número é determinada pela quantidade de algarismos significativos que ele contém. Algarismo significati- é qualquer inclusive desde que não seja usado para especificar a localização de um ponto decimal do Por exemplo, 5.604 e têm. cada quatro algarismos significativos. Quando os números começam ou terminam com zeros, entretanto, é difícil dizer quantos algarismos significativos há Vamos considerar o número 400. Ele tem um (4), talvez dois (40), ou três (400) algarismos significativos? A fim de esclarecer essa situa- deve ser descrito como potência de 10. Usando a notação da expoente é expresso em múltiplos de três para facilitar a conver- são das unidades SI para as que tenham prefixo 400 expresso com um algarismo significativo deve ser escrito Da mesma maneira, 2.500 e 0.00546 expressos com três algarismos significativos devem ser escritos assim: e Arredondamento de Números. Nos cálculos a precisão do resul- tado de um problema em geral não pode ser melhor do que a precisão dos dados do problema. É que se espera, mas frequentemente calculadoras de bolso ou computadores envolvem mais dígitos na resposta do que número de algaris- mos significativos dos Por essa razão, resultado calculado deve ser sempre para um número apropriado de algarismos Para assegurar uma precisão apropriada, aplicam-se as seguintes regras de arredondamento de um número com n algarismos significativos: Se + 1 dígito for menor do que 5. + dígito e os outros que o seguem devem ser descartados. Por exemplo, e arredon- dados com n = 2 dígitos significativos, tornam-se 2,3 e 0,45. Se + dígito for igual a 5 seguido de zeros, arredonda-se simo dígito para um número par. Por exemplo, e arredondados com n = 3 algarismos significativos, tornam-se dígito for maior do que ou igual a 5 seguido de qualquer quantidade de dígitos diferentes de então aumenta-se o enési- mo dígito de 1 e abandona-se n + 1 dígito e os que seguem. Por exemplo, 87 e 565,500 3. arredondados com n = 3 dígitos signi- tornam-se e 566. Cálculos. Como regra geral, para garantir a precisão do resultado ao exe- cutar cálculos com uma calculadora de bolso deve-se manter sempre um número de dígitos maior do que os dados do problema. Se possível, deve-se procurar</p><p>8 fazer os cálculos de modo que números aproximadamente iguais não sejam sub- traídos, uma vez que a precisão em geral é perdida no resultado do cálculo. Nos cálculos de engenharia, costuma-se arredondar a resposta final com três algarismos já que os dados de geometria, cargas e outras medidas são expressos com essa Por isso, neste os cálculos intermediários dos exemplos em boa parte são realizados com quatro algarismos significativos e as respostas são dadas em geral com três algarismos significativos. EXEMPLO 1.1 Converta 2 km/h para Quantos pés vale essa medida? SOLUÇÃO Como 1 km = 1.000 m e 1 h = 3.600 os fatores de conversão são organiza- dos na seguinte de modo que possa ser feito um cancelamento de unidades: km 2.000 = 0,556 m/s Resposta 3.600 Pela Tabela 1.2. 1 pé 0,3048 m. Assim: 1 pé 0,556 m/s = S 0,3048 m = 1,82 Resposta EXEMPLO 1.2 Converta as quantidades 300 lb S e 52 para unidades SI apro- priadas. SOLUÇÃO Usando a Tabela 1.2. 1 lb Resposta Além disso, 1 slug = 14,593 8 kg e 1 pé = 0,304 m. 52 52 14,593 1 = = 26,8 Resposta 3 Naturalmente, alguns como usados nas deduzidas, são exatos portanto, precisos com infinito de algarismos</p><p>Cap. 1 PRINCÍPIOS GERAIS 9 EXEMPLO 1.3 Avalie cada uma das seguintes expressões e expresse-as em unidades SI com prefixo adequado: (a) (50 mN)(6 GN), (b) (400 mm) (0,6 (c) 45 Gg. SOLUÇÃO Primeiramente, converta cada número para unidades básicas, execute as operações indicadas e depois escolha um prefixo adequado (consulte a Regra 5 da p. 6). Parte (a) (50 = = Resposta Observe com atenção a convenção kN2 = (kN)2 = 106 N2 (Regra 4 da p. 6). Parte (b) (400 = = [400(10-3) = Resposta Podemos escrever também: = Parte (c) 45 = = = kN3/kg = Resposta Nesse caso, usamos as regras 4 e 7 da</p><p>10 PROCEDIMENTO PARA ANÁLISE A maneira mais eficaz de aprender os princípios da mecânica é resolvendo problemas. Para obter sucesso nessa empreitada, é importante apresentar trabalho de maneira lógica e ordenada, como sugerido na seguinte cia de passos: 1. Leia problema cuidadosamente e tente relacionar a situação física real com a teoria 2. Trace os diagramas necessários e tabule os dados do problema. 3. Aplique os princípios relevantes, geralmente sob a forma 4. Resolva as equações requeridas algebricamente da maneira mais prática possível e assegure-se de que estejam dimensionalmente homogêneas, use um conjunto de unidades consistentes e complete a solução numericamen- te. Expresse a resposta com a quantidade de algarismos significativos compatível com a precisão dos 5. Analise a resposta com julgamento técnico e bom senso para verificar se ela parece ou não razoável. PONTOS IMPORTANTES A estática é estudo dos corpos em repouso ou em movimento com velocidade constante. Um ponto material tem massa, mas dimensões Um corpo rígido não se deforma sob a ação de uma carga. Forças concentradas são consideradas como atuando em um único ponto do corpo. As três leis de Newton devem ser Massa é uma propriedade da matéria que não muda de um local para outro. Peso refere-se à atração da gravidade da Terra sobre um corpo ou quantidade de massa. Sua intensidade depende da altitude em que a massa esteja localizada. No sistema de unidades de força o newton é uma unidade derivada. Metro, segundo e quilograma são unida- des Os prefixos k. n são usados para representar quantidades numéricas grandes e pequenas. Sua expressão exponencial deve ser conhecida, juntamente com suas regras de uso, para usar unidades SI. Execute os cálculos numéricos com vários algarismos significativos e expresse a resposta com três algarismos sig- nificativos. As manipulações algébricas de uma equação podem ser verificadas em parte assegurando que a equação perma- neça dimensionalmente homogênea. Conheça as regras de arredondamento de PROBLEMAS 1.1. Arredonde os seguintes com três algaris- 1.6. Calcule numericamente cada uma das seguintes expres- mos significativos: (a) (b) 55,578 (c) 4.555 N. (d) e escreva-as com um prefixo apropriado: (a) (430 2.768 kg. (b) (230 1.2. A madeira tem densidade de Qual é sua 1.7. Um foguete tem massa de slugs na Terra. densidade expressa em unidades SI? Especifique (a) sua massa em unidades (b) seu peso em unidades Se foguete estiver na onde a aceleração 1.3. Escreva cada uma das seguintes quantidades na forma devido à gravidade é = com três SI correta usando um prefixo apropriado: (a) 0,000431 algarismos significativos: (c) seu peso em unidades SI e (d) (b) N. (c) 0,00532 km. sua massa em unidades SI. *1.4. Escreva cada uma das seguintes combinações de uni- *1.8. Escreva cada uma das seguintes combinações de uni- dades na forma SI correta usando prefixo apropriado: (a) dades na forma SI correta: (a) (b) Mg/mN, (c) (b) (c) ks/mg, (d) km 1.5. Se um carro trafega a 55 mi/h. determine sua velocida- 1.9. O pascal é uma unidade de pressão muito pequena. de em quilômetros por hora e metros por segundo. Para comprovar essa converta 1 Pa para</p><p>Cap. 1 PRINCÍPIOS GERAIS 11 A pressão atmosférica ao nível do mar é *1.16. Dois pontos materiais têm massa de 8 kg e 12 res- Quantos pascais vale essa quantidade? pectivamente. Se estão separados 800 determine a força 1.10. Qual é peso em newtons de um objeto que tem da gravidade que atua entre eles. Compare resultado com massa: (a) 10 (b) 0,5 (c) 4,50 Mg? Expresse O resultado peso de cada ponto material. com três algarismos significativos. Use prefixo apropriado. 1.17. Determine a massa de um objeto que tem peso de (a) 1.11. Calcule numericamente cada uma das expressões 20 (b) 150 (c) 60 MN. Escreva a resposta com três algarismos significativos. com três algarismos significativos e escreva cada resposta em unidades SI usando um prefixo adequado: (a) 354 mg(45 1.18. Se um homem pesa 155 lb na Terra, especifique: (a) km)/(0,035 6 kN), (b) (0,004 53 Mg)(201 ms), (c) 435 sua massa em slugs, (b) sua massa em quilogramas, (c) seu MN/23,2 mm. peso em Se homem estiver na Lua, onde a acele- *1.12. Converta cada uma das seguintes expressões e escre- ração devida à gravidade é = 5,30 determine: (d) va a resposta usando um prefixo adequado: (a) 175 seu peso em libras, (e) sua massa em quilogramas. para (b) 6 pés/h para (c) 835 lb. pés para kN.m. 1.19. Usando as unidades básicas do sistema SI, mostre que 1.13. Converta cada uma das seguintes expressões com três a Equação 1.2 é uma equação dimensionalmente homogê- algarismos significativos: (a) 200 para N.m. (b) 450 nea que dá F em Determine, com três algarismos para (c) 15 pés/h para significativos, a força da gravidade que atua entre duas esfe- ras que se tocam. A massa de cada esfera é 200 kg e raio 1.14. Se um objeto tem massa de 40 slugs, determine sua é 300 mm. massa em *1.20. Calcule cada uma das seguintes expressões com três 1.15. A água tem densidade de 1,94 Qual é a den- algarismos significativos e escreva cada resposta em unida- sidade expressa em unidades SI? Escreva a resposta com três des SI usando prefixo apropriado: (a) (0,631 algarismos significativos. (b)</p><p>2 ETORES FORÇA OBJETIVOS DO CAPÍTULO Mostrar como somar forças e decompô-las em componentes usando a lei do Expressar a força e sua localização na forma veto- rial cartesiana e explicar como determinar a intensidade e a direção dos vetores. Introduzir o conceito de produto escalar para determinar o ângulo entre dois vetores ou a pro- jeção de um vetor sobre o 2.1 ESCALARES E VETORES A maioria das quantidades físicas, em mecânica, pode ser expressa matematicamente por meio de escalares e vetores. Uma quantidade caracterizada por um núme- ro positivo ou negativo é chamada Por exemplo, A torre de comunicações é estabilizada pelos cabos que exercem massa, volume e comprimento são quantidades escala- força nos pontos de Neste capítulo mostraremos como determinar a grandeza e a direção da força resultante em res usadas frequentemente em estática. Neste livro, os cada escalares serão indicados por letras em itálico, como o escalar A. Vetor. Vetor é uma quantidade que tem intensidade e direção. Em estática, as quantidades vetoriais encontradas com são posição, força e momen- to. Em trabalhos vetor é representado geralmente por uma letra com uma flecha sobre ela, como em A. A intensidade é designada por A ou simplesmente A. Neste os vetores serão representados em negrito; por exemplo, A será usado para designar vetor Sua intensidade, que é sempre uma quantidade positiva, será representada em itálico, escrita como A ou sim- plesmente A, quando ficar entendido que A é um escalar positivo. Um vetor é representado graficamente por um flecha, usada para definir sua intensidade, direção e sentido. A intensidade do vetor é comprimento da flecha, a direção é definida pelo ângulo entre eixo de referência e a reta de ação da flecha e sentido é indicado pela ponta da flecha. Por exemplo, vetor A mostrado na Figura 2.1 tem intensidade de 4 unidades, direção de 20° medi- dos no sentido anti-horário a partir do eixo horizontal e sentido para cima e para a direita. O ponto é chamado cauda do vetor, ponto P é a ponta.</p><p>Cap. 2 VETORES FORÇA 13 Linha de ação Ponta A P Cauda Figura 2.1 2.2 OPERAÇÕES VETORIAIS Multiplicação e Divisão de um Vetor por um Escalar. O produto do vetor A pelo escalar dando aA, é definido como o vetor de intensidade |aA|. A sentido de aA é mesmo de desde que a seja positivo, e é oposto a A. se a for negativo. valor negativo de um vetor é calculado multiplicando-se vetor pelo escalar (-1) (Figura 2.2). A divisão de um vetor é definida usando-se as leis da multiplicação, visto que A/a = (1/a)A, com a # 0. A Figura 2.3 mostra Vetor A e sua contrapartida negativa graficamente exemplos dessas operações. Figura 2.2 2A -1.5A A Multiplicação e divisão escalares Figura 2.3 Adição Vetorial. Dois vetores A e tais como uma força ou posição (Figura 2.4a), podem ser somados para formar um vetor R = A + B usando-se a lei do paralelogramo. Para isso, A e B são unidos em suas origens (Figura 2.4b). Retas paralelas desenhadas a partir da extremidade de cada vetor interceptam-se em um ponto comum, formando os lados adjacen- tes de um paralelogramo. Como mostrado na figura, a resultante R é a diagonal do paralelogramo que vai das origens de A e B à intersecção das retas desenhadas. Pode-se também adicionar B a A usando a construção do triângulo, que é um caso especial da lei do paralelogramo, pela qual vetor B é somado ao vetor A 'da origem para a ou seja, unindo a origem de A à extremidade de B (Figura 2.4c). A resultante R vai da origem de A à extre- midade de B. De maneira similar, R também pode ser obtida adicionando-se A a B (Figura 2.4d). Pode-se perceber que a adição de vetores é comutativa; em outras palavras, os vetores podem ser somados em qualquer isto A B A A R=A+B R=B+A R=A+B B B A B Lei do paralelogramo Construção do triângulo Construção do triângulo (a) (b) (c) (d) Figura 2.4</p><p>14 ESTÁTICA R No caso especial em que os dois vetores A e B são isto ambos B têm a mesma linha de ação, a lei do paralelograma reduz-se a uma adição algé- A brica ou escalar como mostra a Figura 2.5. R=A+B Subtração Vetorial. A resultante diferença entre dois vetores A e B do Adição de vetores colineares mesmo tipo pode ser expressa como Figura 2.5 Esse vetor soma é mostrado graficamente na Figura 2.6. A subtração é definida, portanto, como um caso especial de de modo que as regras da adição vetorial também se aplicam à subtração vetorial. A A ou R' A B Lei do paralelogramo Construção do triângulo Subtração vetorial Figura 2.6 Decomposição de Vetores. Um vetor pode ser decomposto em dois que têm linhas de ação conhecidas usando-se a lei do paralelo- gramo. Por exemplo, se R da Figura 2.7a for decomposto nos componentes que atuam ao longo das retas a e b. uma começa na origem de R e estende- se em uma reta paralela a a até interceptar b. Do mesmo modo, desenha-se uma reta paralela a b a partir da origem de R até ponto de intersecção com a (Figura 2.7a). Os dois componentes A e B são então traçados de modo que se estendam da origem de R até os pontos de como mostra a Figura 2.7b. a a Resultante R R A b b B Construa retas paralelas Componentes à origem de R para formar os componentes (a) (b) Decomposição de um vetor Figura 2.7 2.3 ADIÇÃO DE FORÇAS VETORIAIS Foi demonstrado experimentalmente que uma força é uma quantidade vetorial, uma vez que tem intensidade, direção e sentido especificados e sua soma é feita de acordo com a lei do paralelogramo. Dois problemas comuns em estática são a determinação da força resultante, conhecendo-se seus com- ponentes, e a decomposição de uma força conhecida em dois</p><p>Cap. 2 VETORES FORÇA 15 Como descrito na Seção ambos os problemas requerem a aplicação da lei do paralelogramo. Se a soma envolve mais de duas forças, é preciso realizar aplicações suces- F2 sivas da lei do paralelogramo a fim de obter a força resultante. Por exemplo, se três forças F3 atuam sobre o ponto (Figura 2.8), determina-se a resultante de duas forças quaisquer - digamos, F1 + F2 e depois se adi- ciona essa resultante à terceira força, obtendo-se a resultante das três forças, ou seja, FR = (F1 + F2) + uso da lei do paralelogramo para adicionar F3 mais de duas forças, como mostrado, normalmente requer cálculos extensos de geometria e trigonometria para determinar os valores numéricos da inten- Figura 2.8 sidade e direção da resultante. Problemas desse tipo são resolvidos mais facilmente usando-se o dos componentes retangulares', que será explicado na Seção 2.4. Se são conhecidas as forças e que duas correntes a e b exercem sobre gan- pode-se determinar a força resultante A B F, usando a lei do paralelogramo. Isso b a requer que se desenhem retas paralelas a a e b a partir das extremidades de e C como formando um paralelo- Lei dos senos: gramo. A = B C De maneira similar, se a força sen a sen b sen ao longo da corrente é F. então seus dois componentes e Lei dos cossenos: F, que atuam ao longo de a e b. podem ser cos determinados pela lei do paralelogramo. Nesse caso, deve-se começar pela extre- midade de traçar retas paralelas a a e b e assim construir paralelogramo. Figura 2.9 PROCEDIMENTO PARA ANÁLISE Problemas que envolvem a soma de duas forças podem ser resolvidos como se segue. Lei do Paralelogramo Trace um desenho esquemático que mostre a adição vetorial usando a lei do paralelogramo. Duas forças são somadas de acordo com a lei do dando uma força resultante que forma a diagonal do paralelogramo. Se uma força tiver de ser decomposta em componentes ao longo de dois eixos orientados a partir da cauda então comece na extremidade da força e construa linhas paralelas aos eixos, formando, desse modo, paralelogramo. Os lados do paralelogramo representam as forças Identifique todas as intensidades das forças conhecidas e desconhecidas e os ângulos no desenho esquemáti- e determine as duas forças Trigonometria Desenhe metade do paralelogramo para mostrar a adição ponta-cauda triangular das forças A intensidade da força resultante é determinada pela lei dos cossenos e sua direção, pela lei dos senos (Figura 2.9). As intensidades das duas forças componentes são determinadas pela lei dos senos (Figura 2.9).</p><p>16 ESTÁTICA PONTOS IMPORTANTES Escalar é um número positivo ou negativo. Vetor é uma quantidade que tem grandeza, direção e sentido. A multiplicação ou divisão de um vetor por um escalar muda a intensidade do vetor. sentido dele muda se o escalar for negativo. No caso especial em que os vetores são colineares, a resultante é formada pela adição algébrica ou escalar dos vetores. EXEMPLO 2.1 O parafuso tipo gancho da Figura 2.10a está sujeito a duas forças F1 e F2. Determine a intensidade (módulo) e a direção da força resultante. F2 = 150 N 150 N FR 150 N 15° 360° 2 115° 100 N 100 N 15° 15° (a) (b) (c) Figura 2.10 SOLUÇÃO Lei do Paralelogramo. A lei do paralelogramo de adição é mostrada na Figura 2.10b. As duas incógnitas são a intensidade de e ângulo Trigonometria. Pela Figura 2.10b. triângulo de vetores (Figura 2.10c) foi construído. FR é determinada usando-se a lei dos cossenos. - 2(100 N) (150 N) cos 115° = + = 212,6 N 213 N Resposta ângulo determinado aplicando-se a lei dos senos, usando-se o valor calculado de 150 N N = sen 0 sen 115° N (0,9063) Assim, a direção de FR medida a partir da horizontal é: Resposta</p><p>Cap. 2 VETORES FORÇA 17 EXEMPLO 2.2 Decomponha a força de 200 lb que atua sobre tubo (Figura em componentes, nas direções (a) x e y; (b) x' e y 200 lb 40 30 y 200 lb 200 lb F, 40° F, F, (a) (b) (c) y SOLUÇÃO F, Em cada um dos casos, a lei do paralelogramo é usada para decompor F em seus dois Constrói-se então triângulo de vetor para deter- minar os resultados numéricos por trigonometria. 200 lb Parte (a). vetor é mostrado na Figura 2.11b. Observe que comprimento dos componentes encontra-se em escala ao longo dos eixos x e y, 50° 50° construindo-se primeiro linhas a partir da extremidade de F paralelas aos eixos, de acordo com a lei do paralelogramo. Pelo triângulo de vetores (Figura 2.11c): 40° Fx 200 lb cos 40° = 153 Resposta 30° 200 lb sen 40° = 129 lb Resposta Parte (b). O vetor adição + F, é mostrado na Figura 2.11d. Observe (d) F, com atenção como o paralelogramo foi Aplicando-se a lei dos senos e usando-se os dados listados no triângulo de vetores (Figura 2.11e), obtém-se: 200 lb 200 lb sen 50° sen F, 70° Fx = 200 sen = 177 lb Resposta F, Fy 200 lb = sen 70° sen 60° (e) Figura 2.11 sen 217 Resposta EXEMPLO 2.3 A força F que atua sobre a estrutura mostrada na Figura 2.12a tem inten- sidade de 500 N e deve ser decomposta em dois componentes que atuam ao longo dos elementos AB e AC. Determine ângulo medido abaixo da hori- zontal, de modo que componente seja orientado de A para C e tenha grandeza de 400 N.</p><p>18 SOLUÇÃO B Usando-se a lei do paralelogramo, a adição de vetores dos dois compo- nentes que dão a resultante é mostrada na Figura 2.12b. Observe atentamente como a força resultante é decomposta nos dois componentes FAB e que têm as linhas de ação especificadas. O triângulo de vetores correspondente é 30° mostrado na Figura 2.12c. O ângulo é determinado usando-se a lei dos senos: A 400 N 500 N sen sen 60° 0 C 400 N 500 sen 60° = 0,6928 (a) Portanto: 0 = 180° - 60° Resposta Usando esse valor para aplique a lei dos cossenos ou dos senos e mos- tre que FAB tem intensidade de 561 N. Observe que F também pode ser orientada com ângulo 0 acima da hori- zontal, como mostra a Figura 2.12d, e ainda assim o componente necessário Mostre que, nesse caso, 0 = 16,1° e FAB = 161 N. N A 0 60° 60° FAB 500 N 30° FAR 60° FAB 0 A 500 N FAC = 400 N 500 N (b) (c) (d) Figura 2.12 EXEMPLO 2.4 anel mostrado na Figura 2.13a está submetido a duas forças F1 e Se for necessário que a força resultante tenha intensidade de 1 kN e seja orien- tada verticalmente para baixo, determine (a) a intensidade de F1 e F2, desde que A = 30°, e (b) as intensidade de e se F2 for mínima. SOLUÇÃO Parte (a). desenho esquemático da adição dos vetores, de acordo com a lei do paralelogramo, é mostrado na Figura 2.13b. Pelo triângulo de vetores construído na Figura 2.13c, as intensidades desconhecidas F1 e F2 são determi- nadas usando-se a lei dos senos: F1 1.000 N sen 30° sen 130°</p><p>Cap. 2 VETORES FORÇA 19 F2 30° F2 20 30° F1 - = 130° 1000 N 20° F2 30° 20° 1000 N (a) (b) (c) F1 = 653 N Resposta F2 = 1.000 N sen 20° sen 130° F2=446 N Resposta Parte (b). Se A não for especificado, então, pelo triângulo de vetores (Figura 2.13d), F2 pode ser adicionada a F1 de várias maneiras para dar força resultan- te de 1.000 N. comprimento ou intensidade mínima de F2 ocorrerá quando sua linha de ação for perpendicular a F1. Qualquer outra direção, tal como OA ou OB, dá um valor maior para F2. Portanto, quando 0 = 90° = mínima. Pelo triângulo mostrado na Figura 2.13e, vê-se que: 1.000 sen 70°N = 940 N Resposta F2 = 1.000 cos 70°N = 342 N Resposta A F2 F2 F2 0=70° B F2 1000 N 1000 N (d) (e) Figura 2.13</p><p>20 ESTÁTICA PROBLEMAS 2.1. Determine a intensidade da força resultante + F2 e sua direção, medida no sentido anti-horário, a partir 70° do eixo positivo. y 30° F2=500N Problemas 2.4/5/6 60° 2.7. A chapa está submetida a duas forças em A e como mostrado na figura. Se = determine a intensidade da resultante das duas forças e sua direção medida a partir da horizontal. *2.8. Determine ângulo 0 necessário para acoplar ele- mento A à chapa, de modo que a força resultante de Problema 2.1 seja orientada horizontalmente para a direita. Além disso, informe qual é a intensidade da força resultante. 2.2. Determine a intensidade da força resultante se: (a) FR = F1 + F2; 0 A Problema 2.2 2.3. Determine a intensidade da força resultante + F2 e sua direção, medida no sentido anti-horário, a partir do eixo x positivo. 40° y B Problemas 2.7/8 2.9. A força vertical F atua para baixo em A nos dois ele- mentos da estrutura. Determine as intensidades dos dois componentes de F orientados ao longo dos eixos de AB e AC. Considere que F = 500 N. x 2.10. Resolva Problema 2.9 para F = 350 lb. 45' B F2= 375 lb Problema 2.3 *2.4. Determine a intensidade da força resultante + F2 e sua direção, medida no sentido anti-horário, a partir do eixo positivo. A 2.5. Decomponha a força F1 nos componentes que atuam ao longo dos eixos determine a intensidade deles. F 2.6. Decomponha a força F2 nos componentes que atuam ao longo dos eixos determine a intensidade C Problemas 2.9/10</p><p>Cap. 2 VETORES FORÇA 21 2.11. A força que atua no dente da engrenagem é F=20 2.15. Determine O ângulo de projeto 0 (0° A 90°) da lb. Decomponha a força nos componentes que atuam ao escora de modo que a força horizontal de 400 lb tenha longo das linhas aa e bb. um componente de 500 lb orientado de A para C. Qual é *2.12. O componente da força F que atua ao longo da linha valor do componente da força que atua ao longo do elemen- aa deve ter 30 lb. Determine a intensidade de F e de seu com- to AB? Considere que ponente ao longo da linha bb. *2.16. Determine ângulo de projeto (0° 90°) entre as escoras AB e AC, de modo que a força horizontal de 400 b lb tenha um componente de 600 lb que atue para cima e para F a esquerda, na direção de B para A. Considere que = 30°. 80° 400 lb A 60° a B Problemas 2.11/12 2.13. A força de 500 lb que atua na estrutura deve ser decomposta em dois componentes que atuem ao longo do Problemas 2.15/16 eixo das escoras AB e AC. Se componente da força ao longo 2.17. O cinzel exerce uma força de 20 lb sobre pino de de AC tiver de ser de 300 lb. orientado de A para deter- madeira que gira em um torno mecânico. Decomponha a mine a intensidade da força que atua ao longo de AB e força em componentes que atuem (a) ao longo dos eixos n e ângulo 0 da força de 500 lb. e (b) ao longo dos eixos e y. A n 30° 20 lb Problema 2.13 Problema 2.17 2.14. A estaca deve ser arrancada do solo usando-se duas cordas A e B. A corda A está submetida a uma força de 600 2.18. Duas forças são aplicadas na extremidade de um olhal lb orientada a 60° a partir da horizontal. Se a força resultan- a fim de remover a estaca. Determine ângulo 0 (0° 0 te que atua verticalmente para cima sobre a estaca for de 90°) e a intensidade da força F. de modo que a força resul- 1.200 lb, determine a força T na corda B e ângulo corres- tante que atua sobre a estaca seja orientada verticalmente pondente para cima e tenha intensidade de 750 N. 600 lb F T 30° 500 N 0 0 A B Problema 2.14 Problema 2.18</p><p>22 2.19. Se F1 = F2 = 30 determine os ângulos 0 e de 2.22. Determine a intensidade e a direção da resultante FR modo que a força resultante seja orientada ao longo do eixo das três forças, encontrando primeiro a resul- x positivo e tenha intensidade tante F' = F1 + F2 e depois compondo 2.23. Determine a intensidade e a direção da resultante FR F das três forças, encontrando primeiro a resul- y + F3 e depois compondo F2 4 F2=20N Problemas 2.22/23 *2.24. Decomponha a força de 50 lb nos componentes que Problema 2.19 atuam ao longo (a) dos eixos x e y e (b) dos eixos e y'. *2.20. A caminhonete deve ser rebocada usando-se duas 50 lb x cordas. Determine a intensidade das forças e que atuam em cada corda a fim de produzir uma força resultan- y' te de 950 N. orientada ao longo do eixo x positivo. Considere que 0 = 50°. y y 45° 30° FA A 20° Problema 2.24 B 2.25. A tora deve ser rebocada por dois tratores FB Determine as intensidades das duas forças de arrasto e se for necessário que a força resultante tenha intensida- Problema 2.20 de e seja orientada ao longo do eixo Considere 2.21. A caminhonete deve ser rebocada usando-se duas cor- das. Se a força resultante for de 950 N. orientada ao longo do 2.26. Se a resultante FR das duas forças que atuam sobre a eixo x positivo, determine as intensidades das forças FA e tora estiver orientada ao longo do eixo x positivo, com inten- que atuam em cada corda e ângulo 0 de de modo que sidade de 10 determine ângulo do cabo acoplado a B a intensidade de FB seja mínima. atua com 20° a partir do para que a força nesse cabo seja mínima. Qual é a inten- eixo como mostra a figura. sidade da força em cada cabo, nessa situação? y y FA 30° A FB B FB B Problema 2.21 Problemas 2.25/26</p><p>Cap. 2 VETORES FORÇA 23 2.27. A viga da figura deve ser içada usando-se duas corren- tes. Determine a intensidade das forças que atuam em cada corrente, a fim de obter uma força resultante de 600 N orientada ao longo do eixo y positivo. Considere que *2.28. A viga da figura deve ser içada usando-se duas cor- Se a força resultante for de 600 N. orientada ao longo 300 lb do eixo y positivo, determine as intensidades das forças F e que atuam em cada corrente e a orientação 0 de de modo que a intensidade de seja atua com 30° 30° a partir do eixo y, como mostrado. F y 200 lb Problema 2.29 30° 0 2.30. Os três cabos puxam um tubo de tal modo que geram uma força resultante com intensidade de 900 lb. Se dois dos cabos estiverem submetidos a forças conhecidas, como mostra a figura, determine a direção 0 do terceiro cabo, de modo que a intensidade da força F nesse cabo seja mínima. Todas as forças estão localizadas no plano Qual é a intensidade de F? Dica: determine primeiro a resultante das duas forças y 600 lb F Problemas 2.27/28 2.29. Três correntes atuam sobre suporte da figura, criando uma força resultante de 500 lb de Se duas das correntes estão submetidas a forças conhecidas, como mostrado, determine a orientação 0 da terceira corrente, medida no sentido horário a partir do eixo positivo, de modo que a intensidade da força F nessa corrente seja ma. Todas as forças estão localizadas no plano x-y. Qual é a intensidade de F? Dica: determine primeiro a resultante das duas forças A força F atua nessa direção. 400 lb Problema 2.30 2.4 ADIÇÃO DE UM SISTEMA DE FORÇAS COPLANARES Quando é necessário obter a resultante de mais de duas forças, é mais fácil determinar os componentes de eixos especificados, adicionar algebricamente esses componentes e depois gerar a resultante, em vez de determinar a resul- tante das forças pela aplicação sucessiva da lei do como discutido na Seção 2.3. Nesta seção, vamos decompor cada uma das forças em seus componentes retangulares e que se localizam ao longo dos eixos e y, respectivamen-</p><p>24 ESTÁTICA y te (Figura 2.14a). Apesar de um eixo ser horizontal e outro, vertical, podem ser orientados com qualquer desde que permaneçam perpendicula- res um ao outro (Figura 2.14b). Em qualquer dos casos, pela lei do paralelogramo, é necessário que: F e F, (a) y Como mostrado na Figura sentido da direção de cada força com- ponente é representado graficamente pela ponta da flecha. Entretanto, para um trabalho deve-se estabelecer a notação que representa senti- do de direção dos componentes retangulares, o que pode ser feito de duas Notação Escalar. Como os eixos e y têm direções positiva e negativa desig- nadas, a intensidade e sentido de direção dos componentes retangulares da força podem ser expressos em termos de escalares algébricos. Por exemplo, os componentes de F na Figura 2.14a são representados por escalares positivos (b) uma vez que seu sentido de direção é ao longo dos eixos e y positi- Figura 2.14 respectivamente. De modo semelhante, os componentes de F' na Figura 2.14b são Nesse caso, o componente y é negativo, visto que F', é orientado ao longo do eixo y negativo. É importante lembrar que a notação escalar deve ser usada apenas para fins de não para representações gráficas em figuras. Neste livro, a extre- midade do em qualquer figura, representa sentido do vetor graficamente; sinais algébricos não são usados para essa finalidade. Assim, os vetores das figuras 2.14a e 2.14b são designados usando-se notação (de vetor) em Sempre que forem escritos símbolos em itálico próximo das flechas de veto- res nas figuras, eles indicam a intensidade do vetor, que é sempre uma quantidade positiva. Notação de Vetor Cartesiano. Também é possível representar os compo- nentes de uma força em termos de vetores cartesianos unitários. Quando isso é feito, os métodos da álgebra vetorial são mais fáceis de aplicar e pode-se ainda verificar que essa prática torna-se particularmente vantajosa para resol- ver problemas Em duas dimensões, os vetores cartesianos unitários i e j são usados para designar as direções dos eixos e y, respectivamente (Figura Esses vetores têm intensidade unitária e seu sentido (ou ponta da flecha) será des- crito analiticamente por um sinal de mais ou de menos, dependendo se apontam ao longo do sentido positivo ou negativo dos eixos ou y. Como mostra a Figura 2.15a, a intensidade de cada componente de F é sempre uma quantidade positiva, representada pelos escalares (positivos) Fx e Tendo, portanto, estabelecido a notação para representar a intensidade e a direção de cada vetor componente, pode-se expressar F na Figura 2.15a como vetor cartesiano: F=Fi+Fj 1 Sinais negativos são usados nas figuras com notação em negrito apenas quando mostram pares de vetores iguais mas opostos, como na Figura 2.2. 2 Em trabalho manuscrito, os vetores unitários são indicados usualmente por um acento circun- por exemplo, i e j.</p><p>Cap. 2 VETORES FORÇA 25 Da mesma maneira, F' na Figura 2.15b pode ser expresso como: ou simplesmente: = y y T F i x x F, F' i (a) (b) Figura 2.15 Resultantes de Forças Coplanares. Qualquer um dos métodos descritos pode ser usado para determinar a resultante de várias forças coplanares. Para isso, cada força é primeiro decomposta em seus componentes x e y; depois os respectivos componentes são somados usando-se escalar, uma vez que são colineares. A força resultante é então composta adicionando-se as resul- tantes de x e y, usando a lei do paralelogramo. Por exemplo, vamos considerar as três forças concorrentes na Figura 2.16a, que têm os componentes x e y, como mostra a Figura 2.16b. Para resolver esse problema usando notação veto- rial cartesiana, cada força é representada como um vetor cartesiano, isto é: F3 = y y F2 F2y F1 F2x F3x F3 (a) (b) Figura 2.16 O vetor resultante é, portanto: F3 = - = - F2x + F3x)i + (F1y + F2y - F3y)j =</p><p>26 Se for usada a notação escalar, então pela Figura uma vez que é y positivo para a direita e y é positivo para cima, teremos: FR (+1) Os resultados são os mesmos que os componentes i e j de FR determina- dos anteriormente. Em geral, os componentes e y da resultante de qualquer número de for- (c) ças coplanares podem ser representados simbolicamente pela soma algébrica dos componentes x e y de todas as forças, ou seja: Figura 2.16 (2.1) Ao aplicar essas equações, é importante usar a convenção de sinal estabe- lecida para os componentes; os componentes que têm sentido de direção ao longo do eixo de coordenadas positivo são considerados escalares positivos, ao passo que aqueles que têm sentido de direção ao longo do eixo de coorde- nadas negativo são considerados escalares negativos. Se essa convenção for seguida, os sinais dos componentes da resultante especificarão sentido Por exemplo, um resultado positivo indica que o componente tem sentido de direção da coordenada de direção positiva. Uma vez que os componentes da resultante estejam determinados, podem ser traçados em um desenho esquemático ao longo dos eixos x e y, nas dire- ções apropriadas, e a força resultante pode ser determinada por adição como mostra a Figura 2.16c. Pelo desenho a intensidade de FR é A força resultante das quatro forças que determinada pelo teorema de Pitágoras, isto é: atuam sobre os cabos é determinada somando-se algebricamente os compo- nentes e y separados de cada força do cabo. A resultante FR produz mesmo efeito de tração no suporte que os qua- Além disso, o ângulo de direção que especifica a orientação da força, é tro determinado trigonometricamente: Os conceitos anteriores são ilustrados numericamente nos exemplos que se seguem. PONTOS IMPORTANTES A resultante de várias forças coplanares é determinada facilmente se for estabelecido um sistema de coorde- nadas e y e as forças forem decompostas ao longo dos A direção de cada força é especificada pelo ângulo que sua reta de ação forma com um dos eixos ou por um triângulo A orientação dos eixos x e y é arbitrária e suas direções positivas são especificadas pelos vetores cartesianos unitários i e j. Os componentes e y da força resultante são simplesmente a soma algébrica dos componentes de todas as for- ças A intensidade da força resultante é determinada pelo teorema de Pitágoras e, quando os componentes são tra- çados em um desenho esquemático de eixos e y, a direção é determinada trigonometricamente.</p><p>Cap. 2 VETORES FORÇA 27 EXEMPLO 2.5 Determine os componentes x e y de e F2 que atuam sobre a lança mos- trada na Figura 2.17a. Expresse cada força como vetor cartesiano. y y N F1y= 200 cos 30° N x 30° 13 5 12 F2 = 260 N = 200 sen 30°N (a) (b) Figura 2.17 SOLUÇÃO Notação Escalar. Pela lei do paralelogramo, é decomposta nos compo- nentes e y (Figura 2.17b). A intensidade de cada componente é determinada por trigonometria. Uma vez que Fix atua na direção na direção +y, temos: = = -100 N = 100 N Resposta F1y = 200 cos Resposta A força F2 é decomposta em seus componentes x e y, como mostrado na Figura 2.17c. Nesse caso, declive da reta de ação da força é indicado. Por esse representando a pode-se obter o ângulo ou seja, 0 = e determinar as intensidades dos componentes da mesma manei- ra que para F1. Um método mais fácil, entretanto, consiste em usar partes proporcionais de triângulos semelhantes, isto é: 260 N = De maneira semelhante: F2y 100 N y = 13 5 12 F2 = 260 N (c) Figura 2.17</p><p>28 ESTÁTICA Observe que a intensidade do componente horizontal, foi obtida mul- tiplicando a intensidade da força pela relação entre cateto horizontal do triângulo inclinado e a hipotenusa, enquanto a intensidade do componente ver- tical, foi obtida multiplicando a intensidade da força pela relação entre cateto vertical dividido pela hipotenusa. usando notação escalar: 240 N Resposta Resposta Notação Vetorial Cartesiana. Tendo determinado a intensidade e a dire- ção dos componentes de cada força, pode-se expressar cada um deles como um vetor cartesiano. Resposta Resposta EXEMPLO 2.6 O elo da Figura 2.18a está submetido a duas forças F1 e F2. Determine a intensidade e a orientação da força resultante. y y F2=400N F1=600N F2=400N = 600N 30° 30° (a) (b) Figura 2.18 SOLUÇÃO I Notação Escalar. Este problema pode ser resolvido usando-se a lei do paralelo- y gramo. Entretanto, nesse caso, vamos decompor cada força em seus componentes FR e y (Figura 2.18b) e somar esses componentes algebricamente. Indicando 582.8 sentido dos componentes x e y da força ao lado de cada equação, temos: + 600 cos 30° N 400 sen 45° N 236.8 N = 236,8 N (c) 600 sen N + 400 cos N Figura 2.18 A força resultante mostrada na Figura 2.18c tem a seguinte intensidade: Resposta</p><p>Cap. 2 VETORES FORÇA 29 Pela adição vetorial (Figura 2.18c), ângulo de direção é: Resposta SOLUÇÃO II Notação Vetorial Cartesiana. Pela Figura 2.18b, cada força é expressa como um vetor cartesiano: F1 = {600 cos + 600 sen 30°j} N {-400 sen + 400 cos N Assim: = (600 cos 30° N - 400 sen 45° N)i + (600 sen 30° N + 400 cos 45° N)j N A intensidade e a direção de FR são determinadas da mesma maneira mos- trada acima. Comparando-se os dois métodos de solução, pode-se verificar que uso da notação escalar é mais eficiente, visto que os componentes são determinados diretamente, sem ser necessário expressar primeiro cada força como um vetor cartesiano antes de adicionar os componentes. Vamos mostrar, mais adiante, que a análise vetorial cartesiana facilita a solução de problemas EXEMPLO 2.7 A extremidade de uma lança na Figura 2.19a está submetida a três for- ças concorrentes e coplanares. Determine a intensidade e a orientação da força resultante. y y 250 N F3= 200 N 200 N 5 5 3 3 4 4 = 400 N 400 N (a) (b) Figura 2.19 SOLUÇÃO Cada força está decomposta em seus componentes x e y (Figura 2.19b). Somando os componentes temos: = = -400 N + 250 sen N = 383,2 N = 383,2 N</p><p>30 O sinal negativo indica que atua para a esquerda, ou seja, na direção x negativa, como indicado pela flecha pequena. Somando-se os componentes y, obtém-se: 250 cos 45° N + N = A força resultante, mostrada na Figura tem a seguinte intensidade: Resposta Pela adição vetorial na Figura 2.19c, ângulo de direção é: Resposta Observe a conveniência de usar esse método, comparado às duas aplica- ções da lei do paralelogramo. PROBLEMAS 2.31. Determine os componentes x e y da força de 800 lb. y 800 lb 20 kN y 40° 3 4 F Problema 2.31 12 kN *2.32. Determine a intensidade da força resultante e sua Problema 2.33 medida no sentido horário a partir do eixo positivo. 2.34. Determine a intensidade da força resultante e sua dire- ção, medida no sentido anti-horário a partir do eixo positivo. y y 50 N N 30° 70 N x 5 3 65 N 4 30° Problema 2.32 2.33. Determine a intensidade da força de modo que a resultante FR das três forças seja a menor possível. Problema 2.34</p><p>Cap. 2 VETORES FORÇA 31 2.35. Três forças atuam sobre suporte da figura. y F2 26 kN Determine a intensidade e a direção 0 de de modo que a força resultante seja orientada ao longo do eixo x' positivo e tenha intensidade de 1 kN. 12 13 *2.36. Se F1 = 300 N e 0 = determine a intensidade e a direção, medida no sentido anti-horário, a partir do eixo da força resultante das três forças que atuam sobre suporte. y F2=450N Problemas 2.39/40 2.41. Resolva o Problema 2.1 somando os componentes retangulares ou x e y das forças para obter a força resultante. F3 2.42. Resolva Problema 2.22 somando os componentes 30° retangulares ou e y das forças para obter a força resultante. 2.43. Determine a intensidade e a orientação 0 de de x modo que a força resultante seja orientada ao longo do eixo F1 y positivo e tenha intensidade de 1.500 N. *2.44. Determine a intensidade e a orientação, medida no Problemas 2.35/36 sentido anti-horário, a partir do eixo y positivo, da força resul- tante que atua sobre suporte, se = 600 N e = 2.37. Determine a intensidade e a direção de de modo que a força resultante seja orientada verticalmente para cima y e tenha intensidade de 800 N. FB 2.38. Determine a intensidade e a direção, medida no sen- FA = tido anti-horário, a partir do eixo da força resultante das B A três forças que atuam sobre anel A. Considere que F1 = y F1 600 N 0 400 N 4 30° Problemas 2.43/44 A 2.45. Determine os componentes e y de e F2. 2.46. Determine a grandeza da força resultante e sua dire- ção, medida no sentido anti-horário, a partir do eixo x positivo. y F1 Problemas 2.37/38 30° 2.39. Expresse F1 e F2 como vetores *2.40. Determine a intensidade da força resultante e sua F2 = direção, medida no sentido anti-horário, a partir do eixo positivo. Problemas 2.45/46</p><p>32 2.47. Determine os componentes e y de cada força que 2.51. Expresse cada uma das três forças que atuam sobre a atua sobre a chapa de ligação da estrutura tipo treliça que coluna na forma vetorial cartesiana e calcule a intensidade sustenta a ponte. Demonstre que a força resultante é nula. da força resultante. y F2=275 F2=400 lb lb 60° F4=300 lb y F3=300 lb Problema 2.47 Problema 2.51 *2.48. Se 0 = e F = 20 kN. determine a intensidade da força resultante e sua direção, medida no sentido horário, a *2.52. As três forças concorrentes que atuam sobre olhal partir do eixo x positivo. produzem uma força resultante e esti- ver a 90° de F2, como mostrado, determine a intensidade y necessária de F3 expressa em termos de F1 e do ângulo 0. 50 kN y 3 4 1 60° F 40 kN 30° Problema 2.48 F2 2.49. Determine a intensidade e a orientação 0 de de modo que a força resultante seja orientada ao longo do eixo positivo e tenha intensidade de 1.250 N. F3 2.50. Determine a intensidade e a orientação, medida no Problema 2.52 sentido anti-horário, a partir do eixo positivo, da força resul- 2.53. Determine a intensidade da força F. de modo que a tante que atua sobre anel em se = 750 N e resultante das três forças FR seja a menor possível. Qual é a intensidade mínima de FR? FA A 0 30° B FB 800 N 30° F Problemas 2.49/50 Problema 2.53</p><p>Cap. 2 VETORES FORÇA 33 2.54. Expresse cada uma das três forças que atuam sobre *2.56. Três forças atuam sobre um suporte. Determine a suporte em forma vetorial cartesiana em relação aos eixos x intensidade e a orientação de de modo que a força resul- e y. Determine a intensidade e a orientação de de modo tante seja orientada ao longo do eixo positivo e tenha que a força resultante seja orientada ao longo do eixo x' posi- intensidade de 50 lb. tivo e tenha intensidade N. 2.57. Se F2 = 150 lb e A = determine a intensidade e a y orientação, medida no sentido horário, a partir do eixo posi- tivo, da força resultante das três forças que atuam sobre suporte. y 30° 12 5 30° 80 lb Problema 2.54 2.55. As três forças concorrentes que atuam sobre poste produzem uma força resultante FR = 0. Se F2 e estiver a 90° de como mostrado, determine a intensidade F2 necessária de F3 expressa em termos de F e do ângulo 0. Problemas 2.56/57 2.58. Determine a intensidade da força de modo que a força resultante das três forças seja a menor possível. Qual é F2 a intensidade da força resultante? F 30° F1 8 kN Problema 2.55 Problema 2.58 2.5 VETORES As operações da vetorial, quando aplicadas na solução de proble- mas tridimensionais, são simplificadas se os vetores são representados primeiro na forma vetorial cartesiana. Nesta seção será apresentado um método geral para fazer a conversão. Na próxima seção, método será aplicado na resolu- ção de problemas que envolvem a adição de Aplicações semelhantes serão utilizadas para vetores de posição e de momento dados, em seções pos- teriores do livro. Sistema de Coordenadas Utilizando a Regra da Mão Direita. Um sis- tema de coordenadas utilizando a regra da mão direita será usado para desenvolver a teoria da álgebra vetorial a seguir. Diz-se que um sistema de</p><p>34 coordenadas retangulares ou cartesianas é da mão direita desde que polegar dessa mão direita aponte na direção positiva do eixo quando os dedos dessa mão são dobrados em torno desse eixo e orientados a partir do eixo x positi- para eixo y positivo (Figura 2.20). Além disso, de acordo com essa regra, eixo para um problema bidimensional, como na Figura 2.19, está orienta- do para fora, perpendicularmente à página. Componentes Retangulares de um Vetor. Um vetor A pode ter um, dois ou três componentes ao longo dos eixos de coordenadas y, dependendo de como está orientado em relação aos eixos. Em geral, quando A está orien- tado em um oitante do sistema y, (Figura 2.21), com duas aplicações sucessivas da lei do paralelogramo pode-se decompô-lo em componentes, como Sistema de coordenadas da mão direita + A, e depois A' = A, + Combinando essas equações, A é repre- sentado pela soma vetorial de seus três componentes retangulares. Figura 2.20 (2.2) Vetor A direção de A é especificada usando-se um vetor unitário, que tem esse nome porque apresenta intensidade 1. Se A é um vetor com inten- sidade A # 0, então vetor unidade que tem a mesma direção de A é representado por: A (2.3) de modo que: A, (2.4) y Sendo A de um certo tipo, por exemplo, vetor força, costuma-se usar A, A conjunto de unidades apropriadas para descrevê-lo. A intensidade de A tam- bém tem mesmo conjunto de unidades. Então, pela Equação 2.3, vetor unitário é adimensional, visto que as unidades se anulam. A Equação 2.4 indi- Figura 2.21 ca, portanto, que o vetor A é expresso em termos tanto de sua intensidade quanto de sua direção separadamente, ou seja, A (escalar positivo) define a intensidade de e (vetor adimensional) define a direção e o sentido de A (Figura 2.22). A Vetores Cartesianos Unitários. Em três dimensões, o conjunto de vetores A unitários j. k é usado para designar as direções dos eixos y, respectiva- mente. Como foi dito na Seção 2.4. sentido (ou ponta da flecha) desses vetores será descrito analiticamente por um sinal positivo ou negativo, dependendo se indicam sentido positivo ou negativo dos eixos y ou Os vetores carte- Figura 2.22 sianos unitários positivos são mostrados na Figura 2.23. k y Figura 2.23</p><p>Cap. 2 VETORES FORÇA 35 A, k A 4 k j - y A,i A.k Figura 2.24 A Representação de um Vetor Cartesiano. Como os três componentes de A A, na Equação 2.2 atuam nas direções positivas i, (Figura 2.24), pode-se escre- A ver A sob a forma de vetor cartesiano como: (2.5) y A' A, Há uma vantagem em escrever os vetores dessa maneira. Note que a inten- sidade e a direção de cada componente do vetor estão separadas e, como A, resultado, simplificam-se as operações de álgebra vetorial, particularmente em três Figura 2.25 Intensidade de um Vetor Cartesiano. É sempre possível obter a intensidade de A. desde que ele esteja expresso sob a forma vetorial cartesiana. Como mostra a Figura 2.25. temos, pelo triângulo retângulo cinza-claro, A = e, pelo triângulo retângulo cinza-escuro, A' = Combinando-se essas duas equações, obtém-se: 2 (2.6) A Portanto, a intensidade de A é igual à raiz quadrada positiva da soma dos quadrados de seus componentes. Direção de um Vetor Cartesiano. A orientação de A é definida pelos ângu- los diretores coordenados a (alfa), B (beta) e (gama), medidos entre a origem de A e os eixos positivos y, Z localizados na origem de A (Figura 2.26). a j Observe que cada um desses ângulos está entre 0° e 180°, independentemen- y te da orientação de A. Para determinarmos Be y, vamos considerar a projeção de A sobre os eixos (Figura 2.27). Com referência aos triângulos retângulos sombreados mostrados em cada uma das figuras, temos: Figura 2.26 cos = cos a = (2.7) Esses números são conhecidos como cossenos diretores de A. Uma vez obtidos, os ângulos diretores coordenados Be ysão determinados pelo inver- so dos cossenos.</p><p>36 ESTÁTICA A A A y y y Ay (a) (b) (c) Figura 2.27 Um modo fácil de obter os cossenos diretores de A é criar um vetor uni- tário na direção de A (Equação 2.3). Desde que A seja expresso sob a forma de vetor cartesiano, A + (Equação 2.5), então: (2.8) A = A (Equação 2.6). Por comparação com as equações vemos que os componentes de UA k) representam os cossenos direto- res de A. isto é: (2.9) Como a intensidade do vetor é igual à raiz quadrada positiva da soma dos quadrados da intensidade de seus componentes e UA tem intensidade então se pode estabelecer uma relação importante entre os cossenos diretores: (2.10) Como o vetor A localiza-se em um oitante conhecido, essa equação pode ser usada para determinar um dos ângulos da coordenada de direção se os outros dois forem conhecidos. Finalmente, se a intensidade e os ângulos da coordenada de direção de A são dados, A pode ser expresso sob forma vetorial cartesiana como: = A cos + A cos Bj + A cos yk = (2.11) 2.6 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE VETORES As operações vetoriais de adição e subtração de dois ou mais vetores são bastante simplificadas se os vetores são expressos em função de seus compo- nentes cartesianos. Por =</p><p>Cap. 2 VETORES FORÇA 37 (Figura 2.28), então O vetor resultante R tem componentes que represen- tam as somas escalares de i. j. k de A e B. ou seja: R B (A, + A y Figura 2.28 O vetor subtração, sendo um caso especial de vetor adição, simplesmente requer uma subtração escalar dos respectivos componentes i. j. k. tanto de A como de B. Por exemplo: Sistemas de Forças Concorrentes. Se o conceito de vetor adição for gene- ralizado e aplicado em um sistema de várias forças concorrentes, então a força resultante será vetor soma de todas as forças do sistema e poderá ser escri- ta como: (2.12) Nesse caso, e representam as somas algébricas dos respecti- vos componentes ou i.j.k de cada força do sistema. Os exemplos a seguir ilustram numericamente os métodos usados para aplicar a teoria acima na resolução de problemas envolvendo força como quan- tidade vetorial. A força F que cabo de amarração da aeronave exerce sobre o apoio em orientada ao longo do cabo. Usan- do-se os eixos y, Z locais, pode-se medir os ângulos diretores coordena- a dos Be y. Os cossenos desses ângulos os componentes de um vetor uni- tário que atua na direção do cabo. Se a força tiver intensidade então ela será escrita em forma vetorial car- tesiana como F = Fu = F cos + F cos + F cos</p><p>38 ESTÁTICA PONTOS IMPORTANTES A análise vetorial cartesiana é usada frequentemente para resolver problemas em três A direção positiva dos eixos y, é definida pelos vetores cartesianos unitários respectivamente. A intensidade de um vetor cartesiano é = A direção de um vetor cartesiano é definida pelos ângulos que a origem do vetor forma com os eixos positi- vos x. y, respectivamente. Os componentes do vetor unitário = A/A representam os cossenos diretores y. Apenas dois dos ângulos a B, y devem ser especificados. terceiro ângulo é calculado pela relação a + cos2 + Para determinar a resultante de um sistema de forças concorrentes, expresse cada força como um vetor carte- siano e adicione os componentes i. j. k de todas as forças do sistema. EXEMPLO 2.8 Expresse a força F. mostrada na Figura como um vetor cartesiano. SOLUÇÃO Como apenas dois ângulos de direção de coordenadas são dados, o tercei- ro ângulo, a. deve ser calculado pela Equação 2.10, isto é: cos2 a = 1 = 1 cos a Então, existem duas possibilidades: a = ou a = F Pela Figura é necessário que a = desde que F, esteja na direção +x. a Usando-se a Equação com F = 200 y F = F cos oi + F cos Bj + F cos yk = (200 cos N)i + (200 cos 60° N)j + (200 cos N)k Figura 2.29 = 141,4k}N Resposta Aplicando a Equação 2.6, observe que realmente a intensidade F = 200 N. = = N</p><p>Cap. 2 VETORES FORÇA 39 EXEMPLO 2.9 Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante que atua sobre anel, conforme a Figura 2.30a. F2 y a y (a) (b) Figura 2.30 SOLUÇÃO Uma vez que cada força está representada na forma vetorial cartesiana, a força resultante, mostrada na Figura 2.30b, é: = {60j + 80k} lb + {50i - 100j + 100k} lb = lb A intensidade de FR é calculada pela Equação isto é: Resposta As direções dos ângulos das coordenadas y são determinadas pelos componentes do vetor unitário que atua na direção de 191 50 - 180 k = - 0,2094j + 0,9422k de modo que: cos a = 0,2617 Resposta cos = -0,2094 Resposta cos y = 0,9422 Resposta Esses ângulos são mostrados na Figura 2.30b. Observe que uma vez que o componente j de UFR é negativo.</p>