Complemento Incerteza relativa 2017 (1)

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As regras para 
propagações da incerteza 
ou erro são casos 
especiais de uma fórmula 
geral (série de Taylor). 
Considerando-se da 
função F(x, y, z) na qual as 
contribuições (ux, uy, uz) 
são as incertezas padrão 
(erros padrão) de cada 
valor medido, a incerteza 
padrão combinada ucF ou 
erro padrão da função é 
estimada pela fórmula
Dois pesos padrões com as características abaixo descritas foram simultaneamente utilizados para calibrar
uma balança. Com base nessa informação, apresente a massa total (MT) colocada sobre o prato da
balança com a respectiva incerteza padrão ou erro padrão do conjunto.
• Peso A (PA): 5,0003 g + 0,0005 g
• Peso B (PB): 10,0007 g +0,0010 g
EXERCÍCIO
Dois pesos padrões com as características abaixo descritas foram simultaneamente utilizados para calibrar
uma balança. Com base nessa informação, apresente a massa total (MT) colocada sobre o prato da
balança com e respectiva incerteza padrão ou erro padrão do conjunto.
• Peso A (PA): 5,0003 g + 0,0005 g
• Peso B (PB): 10,0007 g +0,0010 g
EXERCÍCIO
𝑀𝑇 → 𝑓 (𝑃𝐴, 𝑃𝐵)
𝑢𝑐= 𝑢𝐴
2 + 𝑢𝐵
2
𝑢𝑀𝑇= 𝑢𝑃𝐴
2 + 𝑢𝑃𝐵
2
𝑢𝑀𝑇= (0,0005 g)² + (0,0010 g)²
𝑢𝑀𝑇=0,001118
𝑀𝑇 = 15,0010 g ± 0,0011 g
𝑀𝑇 = 𝑃𝐴 + 𝑃𝐵
𝑀𝑇 = 5,0003 g + 10,0007 g
𝑀𝑇 = 15,0010 g
𝑀𝑇 = 15,0010 g ± ? g
15,0010 g
14,9999 g 15,0021 g
0,00111803
15,0010 g14,9998 g 15,0022 g
=
10,0007 g
10,0017 g9,9997 g
5,0003 g
5,0008 g4,9998 g
+
Peso A
Peso B
Peso A + Peso B
EXERCÍCIO
Estimar a incerteza de medição de uma força, a partir do modelo matemático:
F(força) = m (massa).(aceleração).
Sabendo-se que:
m = 10,00 kg + 0,20 kg
a = 9,80 m/s2 + 0,50 m/s2
Estimar a incerteza de medição de uma força, a partir do modelo matemático:
F(força) = m (massa).(aceleração).
Sabendo-se que:
m = 10,00 kg + 0,20 kg
a = 9,80 m/s2 + 0,50 m/s2
EXERCÍCIO
𝐹 = 𝑚 ∙a
𝐹 = 10,00 kg ∙ 9,80 m/s²
𝐹 = 98,00 kg ∙m/s²
𝐹 = 98,0 kg ∙m/s² ±?
𝐹 → 𝑓 (𝑚, 𝑎)
𝑢𝐹 = 𝐹 ∙
𝑢𝑚
𝑚
2
+
𝑢𝑎
𝑎
2
𝑢𝐹 =98,0 kg ∙m/s²∙
0,20 𝑘𝑔
10,00 𝑘𝑔
2
+
0,50 m/s²
9,80 m/s²
2
𝑢𝐹 =98,0 kg ∙m/s²∙ 0,020 2 + 0,0510 2
𝑢𝐹 =98,0 kg ∙m/s²∙ 0,0004 + 0,002603
𝑢𝐹 =98,0 kg ∙m/s²∙ 0,054772
𝑢𝐹 =98,0 kg ∙m/s²∙ 0,003000
𝑢𝐹 =5,368 kg ∙m/s²
𝐹 = 98,0 kg ∙m/s² + 5,4 kg ∙m/s²
Estimar a massa específica de um líquido com a sua respectiva incerteza ou erro padrão, nas seguintes
condições:
m = 1,4568 g + 0,0030 g
V= 1,58 cm3 + 0,06 cm3
EXERCÍCIO
Estimar a massa específica de um líquido com a sua respectiva incerteza ou erro padrão, nas seguintes
condições:
m = 1,4568 g + 0,0030 g
V= 1,58 cm3 + 0,06 cm3
EXERCÍCIO
𝜌 → 𝑓 (𝑚, 𝑉)
𝑢𝜌 = 𝜌 ∙
𝑢𝑚
𝑚
2
+
𝑢𝑉
𝑉
2
𝑢𝜌 = 0,922203g/cm³ ∙
0,0030 g
1,4568 g
2
+
0,06 cm³
1,58 cm³
2
𝑢𝜌 = 0,922203g/cm³ ∙ 4,2408 ⋅ 10−6 + 1,4421 ⋅ 10−3
𝑢𝜌 = 0,922203g/cm³ ∙ 0,00144634
𝑢𝜌 = 0,922203g/cm³ ∙ 0,0380308
𝑢𝜌 =0,03507199 g/cm³
𝜌 = 0,922 g/cm3 ± 0,035 g/cm3
𝜌 =
𝑚
𝑉
𝜌 =
1,4568 g
1,58 cm³
𝜌 = 0,922203 g/cm³
𝜌 = 0,922
g
cm3
±?
Determine o pH e a respectiva incerteza padrão de uma solução que tem concentração [H3O
+] = 0,00125
mol/L + 0,00015 mol/L a 20 ºC. Dado: pH = -log [H3O
+].
EXERCÍCIO
Determine o pH e a respectiva incerteza padrão de uma solução que tem concentração [H3O
+] = 0,00125
mol/L + 0,00015 mol/L a 20 ºC. Dado: pH = -log [H3O
+].
𝑝𝐻 = −𝑙𝑜𝑔 𝐻3𝑂
+
𝑝𝐻 = −𝑙𝑜𝑔 0,00125
𝑝𝐻 = 2,903
𝑝𝐻 = 2,90 ±?
𝑢𝑝𝐻 = 0,43429 ⋅
𝑢𝐻3𝑂+
𝐻3𝑂+
𝑢𝑝𝐻 = 0,43429 ⋅
0,00015 mol/L
0,00125 mol/L
𝑢𝑝𝐻 = 0,43429 ⋅
0,00015 mol/L
0,00125 mol/L
𝑢𝑝𝐻 = 0,43429 ⋅ 0,12000
𝑢𝑝𝐻 = 0,05211
𝑝𝐻 = 2,90 ±0,05
EXERCÍCIO
A potência (P) de um sistema resistivo foi determinada medindo a corrente (i) do circuito e o valor da tensão de
alimentação (U). Sabendo-se que: U = 20,80 V + 0,15 V e i = 15,60 A + 0,58 A, estime o valor da grandeza com
de saída e a sua respectiva incerteza padrão ou erro padrão de medição. Dado: P = U.i: P = Potência; U =
Tensão de Alimentação; i = corrente do circuito
EXERCÍCIO
Determine a concentração de uma solução e seu respectivo erro padrão, sabendo-se que a solução foi
produzida nas seguintes condições
• Massa = 100,00 g + 0,20 g
• Volume = 500 mL + 1 mL
EXERCÍCIO
MTC
MTC-ME MTC+ME
NSNS
n-1(n), t(k)
RESULTADO DA MEDIÇÃO
Dispersão
“Incerteza”
• O resultado da medição (RM) precisa ser coerente com a média
• A margem de erro DEVE ser apresentado, no máximo, com DOIS algarismos significativos
• O resultado da média deve acompanhar o número de casas decimais da margem de erro
IMPORTANTE
EXERCÍCIO
Apresente o resultado da medição proveniente da calibração de uma balança que após cinco medições de um
peso padrão forneceu média 10,45 g e desvio padrão 0,03963 g. Considere uma probabilidade de abrangência
de 95,45% (a =0,0455),
10,45 g
10,50 g10,40 g
95,45%
MTC MTC+ EMTC-E
a/2 = 0,02275 a/2 = 0,02275 
(𝛂 = 𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟓; 𝝂 = 𝟒; 𝐭 𝒌 = 𝟐, 𝟖𝟕
Significado gráfico da Medição
 𝑥 ± 𝑡(∝, 𝑛−1) ∙
𝑠
𝑛
 𝑥 ± 𝑡(0,0455, 5−1) ∙
𝑠
𝑛
 𝑥 ± 𝑡(0,0455, 4) ∙
𝑠
𝑛
10,45 g ± 2,87 ∙
0,039623 g
5
10,45 g ± 2,87 ∙ 0,017720 g
10,45 g ± 0,05 g (α = 0,0455; 𝜈 = 4; t k = 2,87)
10,45 g ± 0,050856 g
10,45 g ± 0,05 g (P = 95,45 %; 𝜈 = 4; t k = 2,87)
OU
EXERCÍCIO
Apresente o resultado da medição proveniente da calibração de uma balança que após cinco medições de um peso padrão
forneceu média 10,45 g e desvio padrão 0,039623 g. Considere uma probabilidade de abrangência de 95,45% (a =0,0455)
EXERCÍCIO
EXERCÍCIO
Sabendo-se que
 𝑥 ± 𝑘(∝, 𝑛−1) ∙
𝑠
𝑛
𝑈
𝑘(∝, 𝑛−1)
=
𝑠
𝑛
𝑠
𝑛
=
𝑈
𝑘(∝, 𝑛−1)
 𝑥 ± 𝑡(∝, 𝑛−1) ∙
𝑠
𝑛
𝐸 = 𝑡(∝, 𝑛−1) ∙
𝑠
𝑛
𝑈 = 𝑘(∝, 𝑛−1) ∙
𝑠
𝑛
𝐸
𝑡(∝, 𝑛−1)
=
𝑠
𝑛
𝑠
𝑛
=
𝐸
𝑡(∝, 𝑛−1)
𝑆 𝑥 =
𝐸
𝑡(∝, 𝑛−1)
𝑢 =
𝑈
𝑘(∝, 𝑛−1)
𝑆 𝑥 =
𝐸
𝑡
𝑢 =
𝑈
𝑘
n-1(n), t(k)
𝐸 = 𝑡(∝, 𝑛−1) ∙ 𝑆 𝑥 𝑈 = 𝑘(∝, 𝑛−1) ∙ 𝑢
EXERCÍCIO
Sabendo-se que 𝑢 =
𝑈
𝑘
estime a incerteza padrão para cada situação a seguir:
Sabendo-se que 𝑢 =
𝑈
𝑘
EXERCÍCIO
estime a incerteza padrão para cada situação a seguir:
Um pHmetro foi calibrado utilizando-se um padrão de pH 4,015 + 0,012 (k=2,20, 95,45%;), rastreável ao NIST.
Com base nos resultados das medições apresente a tendência, a correção, o erro relativo e o resultado da
medição com 95,45 % (a = 0,0455) de confiança:
EXERCÍCIO
+
pHmetro padrão
=
?
n-1(n), t(k)n-1(n), t(k)n-1(n), t(k)
Um pHmetro foi calibrado utilizando-se um padrão de pH 4,016 + 0,012 (k=2,20, 95,45%;), rastreável ao NIST.
Com base nos resultados das medições apresente a tendência, a correção, o erro relativo e o resultado da
medição com 95,45 % (a = 0,0455) de confiança:
EXERCÍCIO
Um pHmetro foi calibrado utilizando-se um padrão de pH 4,016 + 0,012 (k=2,20, 95,45%;), rastreável ao NIST.
Com base nos resultados das medições apresente a tendência, a correção, o erro relativo e o resultado da
medição com 95,45 % (a = 0,0455) de confiança:
EXERCÍCIO
1. Estimar a média 𝒙
2. Estimar desvio padrão 𝒔
3. Estimar tendência (T), correção (C), erro relativo (Er), etc.
4. Incerteza padrão (u)
a) Componente 1 u1
b) Componente 2 u2
c) Componente n un
5. Estimar incerteza padrão combinada uC
6. Estimar grau de liberdade efetivo neff
7. Estimar o fator de abrangência k(a, n-1)
8. Estimar a incerteza expandida U
9. Apresentar o resultado da medição RM
ET
A
PA
S 
B
Á
SI
C
A
S*
* Pode haver variações no roteiro em função do problema envolvido
UpH
?
𝒖𝒓𝒑𝒕=
𝒔
𝒏𝒖𝒑𝒂𝒅=
𝑼
𝒌
𝝂 = 𝒏 − 𝟏 ∴ 𝝂 =4
k = 2,20; 𝝂 =14
Um pHmetro foi calibrado utilizando-se um padrão de pH 4,016 + 0,012 (k=2,20, 95,45%;), rastreável ao NIST.
Com bases nos resultados das medições apresente a tendência, a correção, o erro relativo e o resultado da
medição com 95,45 % (a = 0,0455) de confiança:
EXERCÍCIO
1. Estimativa da tendência (Td)
𝑇𝑑 = 𝑥 − 𝑉𝑅
𝑇𝑑 = 3,99 − 4,016
𝑇𝑑 = −0,026 ∴ 𝑇𝑑 = −0,03
2. Estimativa da correção (C)
𝐶 = −(𝑇𝑑)
𝐶 = −(−0,03) ∴ 𝐶 = +0,03
3. Estimativa do erro relativo (Er)
𝐸𝑟 =
 𝑥 − 𝑉𝑅
𝑉𝑅
∙ 100
𝐸𝑟 =
3,99 − 4,016
4,016
∙ 100
𝐸𝑟 =
−0,026
4,016
∙ 100 ∴ 𝐸𝑟 = 0,647 %
4. Incerteza padrão (u)
a. Das medições (urpt)
b. Do padrão (upad)
𝑢𝑟𝑝𝑡 =
𝑠
𝑛
𝑢𝑟𝑝𝑡 =
0,008367
5
∴ 𝑢𝑟𝑝𝑡 = 0,003742
𝑢𝑝𝑎𝑑 =
𝑈
𝑘
𝑢𝑝𝑎𝑑 =
0,012
2,20
∴ 𝑢𝑝𝑎𝑑 = 0,00546
5. Incerteza padrão combinada (upH)
𝑢𝑐 = 
𝑖=1
𝑛
𝑢𝑖 2 ∴ 𝑢𝑐 = 𝑢1
2 + 𝑢2 2
𝑢𝑐 = 𝑢𝑟𝑝𝑡
2
+ 𝑢𝑝𝑎𝑑
2
𝑢𝑝𝐻 = 0,003742 2 + 0,00546 2
Um pHmetro foi calibrado utilizando-se um padrão de pH 4,016 + 0,012 (k=2,20, 95,45%;), rastreável ao NIST.
Com base nos resultados das medições apresente a tendência, a correção, o erro relativo e o resultado da
medição com 95,45 % (a = 0,0455) de confiança:
6. Grau de liberdade efetivo (neff)
𝑢𝑝𝐻 = 4,381 ∙ 10−5
𝑢𝑝𝐻 = 0,006619
𝑢𝑐
𝐺
4
𝑣𝑒𝑓𝑓
=
𝑢1
𝐺
4
𝑣
+⋯+
𝑢𝑛
𝐺
4
𝑣
𝑢𝑐
4
𝑣𝑒𝑓𝑓
=
𝑢1
4
𝑣
+⋯+
𝑢𝑛
4
𝑣
𝑢𝑝𝐻
4
𝑣𝑒𝑓𝑓
=
𝑢𝑟𝑝𝑡
4
𝑣
+
𝑢𝑝𝑎𝑑
4
𝑣
0,006619 4
𝑣𝑒𝑓
=
0,003742 4
4
+
0,005455 4
14
1,919 ∙ 10−9
𝑣𝑒𝑓𝑓
= 4,902 ∙ 10−11 + 6,325 ∙ 10−11
1,919 ∙ 10−9
𝑣𝑒𝑓𝑓
= 1,123 ∙ 10−10
𝑣𝑒𝑓 =
1,919 ∙ 10−9
1,123 ∙ 10−10
𝑣𝑒𝑓 = 17,10 ∴ 𝑣𝑒𝑓 = 17
7. Fator de abrangência (k)
𝑘 95,45%; 𝑣𝑒𝑓𝑓 = ?
𝑘 95,45 %; 17 = 2,16
8. Incerteza expandida (U)
𝑈 = 𝑘(95,45 %; 17) ∙ 𝑢𝑝𝐻
𝑈 = 2,16 ∙ 0,006619
𝑈 = 0,014
Tabela
Truncado
𝑈 = 𝑘(∝, 𝑣𝑒𝑓𝑓) ∙ 𝑢
EXERCÍCIO
Um pHmetro foi calibrado utilizando-se um padrão de pH 4,016 + 0,012 (k=2,20, 95,45%;), rastreável ao NIST.
Com bases nos resultados das medições apresente a tendência, a correção, o erro relativo e o resultado da
medição com 95,45 % (a = 0,0455) de confiança:
EXERCÍCIO
9. Resultado da medição (RM)
 𝑥 ± 𝑈 (𝑃; 𝜈; 𝑘)
3,99 ± 0,014 (95,45 %; 𝜈 = 17; 𝑘 = 2,16)
3,99 ± 0,02 (95,45 %; 𝜈 = 17; 𝑘 = 2,16)
3,99 4,013,97
95,45 %
n = 17; k= 2,16
Arredondamento especial: Quando o arredondamento
diminuir o valor numérico da incerteza em mais que
5%, recomenda-se que ele seja feito para cima.
ATENÇÃO
0,004
0,014
∙ 100 = 29 %
Tabela (coeficientes) t-Student
Fatores 
“t” ou “k”
 𝜶 𝟐 
𝜶
𝟐
𝛼
2
+
𝛼
2
= 𝛼
0,025 0,025
95%
Para determinar o diâmetro médio de uma barra metálica foram feitas cinco medições da barra com um
paquímetro digital calibrado. O certificado de calibração do paquímetro aponta para uma incerteza igual a
0,003 mm (k = 2,00; 95,45 %). Apresento o resultado da medição com 95,45 % (a = 0,0455) de confiança.
EXERCÍCIO
Para determinar o diâmetro médio de uma barra metálica foram feitas cinco medições da barra com um
paquímetro digital calibrado. O certificado de calibração do paquímetro aponta para uma incerteza igual a
0,003 mm (k = 2,00; 95,45 %). Apresento o resultado da medição com 95,45 % (a = 0,0455) de confiança.
EXERCÍCIO
UǾ
?
𝒖𝒓𝒑𝒕=
𝒔
𝒏
𝒖𝒑𝒂𝒒=
𝑼
𝒌
𝝂 = 𝒏 − 𝟏 ∴ 𝝂 =4
k = 2,00; 𝝂 =∞
1. Melhor Estimativa do Diâmetro
 𝑥 = 99,994 mm
2. Incerteza padrão (u)
𝑢𝑝𝑎𝑞 =
𝑈
𝑘
3. Incerteza padrão combinada diâmetro (uǾ)
𝑢𝑐 = 
𝑖=1
𝑛
𝑢𝑖 2 ∴ 𝑢𝑐 = 𝑢1
2 + 𝑢2 2
𝑢∅ = 0,0027937 mm 2 + 0,0015 mm 2
a. Das medições (urpt)
b. Do paquímetro (upaq)
𝑢𝑟𝑝𝑡 =
𝑠
𝑛
𝑢𝑟𝑝𝑡 =
0,006247 mm
5
𝑢𝑟𝑝𝑡 = 0,0027937 mm
∴ 𝑢𝑝𝑎𝑞=
0,003 𝑚𝑚
2,00
𝑢𝑝𝑎𝑞 = 0,0015mm
𝑢∅ = 𝑢𝑟𝑝𝑡
2
+ 𝑢𝑝𝑎𝑞
2
Para determinar o diâmetro médio de uma barra metálica foram feitas cinco medições da barra com um
paquímetro digital calibrado. O certificado de calibração do paquímetro aponta para uma incerteza igual a
0,003 mm (k = 2,00; 95,45 %). Apresente o resultado da medição com 95,45 % (a = 0,0455) de confiança.
EXERCÍCIO
𝑢∅ = 1,00548 mm2 𝑢∅ =∴ 0,003171 mm
𝑢𝑐
𝐺
4
𝑣𝑒𝑓
=
𝑢1
𝐺
4
𝑣
+⋯+
𝑢𝑛
𝐺
4
𝑣
𝑢𝑐
4
𝑣𝑒𝑓𝑓
=
𝑢1
4
𝑣
+ ⋯+
𝑢𝑛
4
𝑣
𝑢∅
4
𝑣𝑒𝑓𝑓
=
𝑢𝑟𝑝𝑡
4
𝑣
+
𝑢𝑝𝑎𝑞
4
𝑣
0,003171 mm 4
𝑣𝑒𝑓
=
0,0027937 mm 4
4
+
0,0015 4
∞
0,003171 mm 4
𝑣𝑒𝑓𝑓
=
0,0027937 mm 4
4
+ 0
0,003171 mm 4
𝑣𝑒𝑓𝑓
=
0,0027937 mm 4
4
+ 0
𝑣𝑒𝑓𝑓 =
4 × 0,003171 mm 4
0,0027937 mm 4
∴ 𝑣𝑒𝑓𝑓=
4 × 1,01108 ∙ 10−10mm4
6,09143 ∙ 10−11mm4
𝑣𝑒𝑓𝑓 = 6,6393∴ 𝑣𝑒𝑓= 6
5. Fator de abrangência (k)
4. Grau de liberdade efetivo (neff)
Para determinar o diâmetro médio de uma barra metálica foram feitas cinco medições da barra com um
paquímetro digital calibrado. O certificado de calibração do paquímetro aponta para uma incerteza igual a
0,003 mm (k = 2,00; 95,45 %). Apresente o resultado da medição com 95,45 % (a = 0,0455) de confiança.
EXERCÍCIO
𝑘 95,45%; 𝑣𝑒𝑓𝑓 = ?
𝑘 95,45 %; 6 = 2,52 Tabela
5. Incerteza expandida (U)
𝑈 = 𝑘(95,45 %;6) ∙ 𝑢∅
𝑈 = 2,52 ∙ 0,003171 mm
𝑈 = 0,07991 mm ∴ 𝑈 = 0,080 mm
6. Resultado da medição (RM)
 𝑥 ± 𝑈 (𝑃; 𝜈; 𝑘)
99,994 mm ± 0,080 mm (95,45 %; 𝜈 = 6 ; 𝑘 = 2,52)
99,994 mm
100,074 mm99,914 mm
95,45 %
n = 6; k= 2,52
𝑈 = 𝑘(∝, 𝑣𝑒𝑓𝑓) ∙ 𝑢
Um “peso” padrão classe de exatidão E2 foi utilizado para calibrar uma balança analítica. A massa real do
padrão é 100,0002 g e a incerteza 0,0002 g (k = 2,00; 95,45%). Com base nessas informações e nas medições
abaixo, apresente a tendência da balança, correção e o resultado da medição com 95 % (a = 0,05) de confiança.
EXERCÍCIO
Um “peso” padrão classe de exatidão E2 foi utilizado para calibrar uma balança analítica. A massa real do
padrão é 100,0002 g e a incerteza 0,0002 g (k = 2,00; 95,45%). Com base nessas informações e nas medições
abaixo, apresente a tendência da balança, correção e o resultado da medição com 95 % (a = 0,05) de confiança.
EXERCÍCIO
UBal
?
𝒖𝒓𝒑𝒕=
𝒔
𝒏
𝒖𝒑𝒂𝒅=
𝑼
𝒌
𝝂 = 𝒏 − 𝟏 ∴ 𝝂 =4
k = 2,00; 𝝂 =∞
1. Estimativa da tendência (Td)
𝑇𝑑 = 𝑥 − 𝑉𝑅
𝑇𝑑 = 99,9980 g − 100,0002 g
𝑇𝑑 = −0,0022 g
2. Estimativa da correção (C)
𝐶 = −(𝑇𝑑)
𝐶 = −(−0,0022 g) ∴ C = +0,0022 g
3. Incerteza padrão (u)
a. Das medições (urpt)
b. Do padrão (upad)
𝑢𝑟𝑝𝑡 =
𝑠
𝑛
𝑢𝑟𝑝𝑡 =
0,0002000
5
𝑢𝑟𝑝𝑡 = 8,944 ⋅ 10
−5 g
𝑢𝑝𝑎𝑑 =
𝑈
𝑘
𝑢𝑝𝑎𝑑 =
0,0002
2,00
∴ 𝑢𝑝𝑎𝑑 = 0,0001 g
Um “peso” padrão classe de exatidão E2 foi utilizado para calibrar uma balança analítica. A massa real do
padrão é 100,0002 g e a incerteza 0,0002 g (k = 2,00; 95,45%). Com base nessas informações e nas medições
abaixo, apresente a tendência da balança, correção e o resultado da medição com 95 % (a = 0,05) de confiança.
EXERCÍCIO
4. Incerteza padrão combinada (ubal)
𝑢𝑐 = 
𝑖=1
𝑛
𝑢𝑖 2
𝑢𝑐 = 𝑢𝑟𝑝𝑡
2
+ 𝑢𝑝𝑎𝑑
2
𝑢𝐵𝑎𝑙 = 8,944 ⋅ 10−5 g 2 + 0,0001 g 2
𝑢𝐵𝑎𝑙 = 1,8082 ∙ 10−8 g
𝑢𝐵𝑎𝑙 = 0,0001345 g
𝑢𝑐
𝐺
4
𝑣𝑒𝑓
=
𝑢1
𝐺
4
𝑣
+⋯+
𝑢𝑛
𝐺
4
𝑣
𝑢𝑐
4
𝑣𝑒𝑓𝑓
=
𝑢1
4
𝑣
+ ⋯+
𝑢𝑛
4
𝑣
𝑢𝐵𝑎𝑙
4
𝑣𝑒𝑓𝑓
=
𝑢𝑟𝑝𝑡
4
𝑣
+
𝑢𝑝𝑎𝑑
4
𝑣
0,0001345 g 4
𝑣𝑒𝑓𝑓
=
8,944 ⋅ 10−5 g 4
4
+
0,0001 g 4
∞
5. Grau de liberdade efetivo (neff)
Um “peso” padrão classe de exatidãoE2 foi utilizado para calibrar uma balança analítica. A massa real do
padrão é 100,0002 g e a incerteza 0,0002 g (k = 2,00; 95,45%). Com base nessas informações e nas medições
abaixo, apresente a tendência da balança, correção e o resultado da medição com 95 % (a = 0,05) de confiança.
EXERCÍCIO
0,0001345 g 4
𝑣𝑒𝑓𝑓
=
8,944 ⋅ 10−5 g 4
4
𝑣𝑒𝑓𝑓 =
4 × 0,0001345 g 4
8,944 ⋅ 10−5 g 4
𝑣𝑒𝑓𝑓 =
1,309 ∙ 10−15 g4
6,399 ∙ 10−17 g4
𝑣𝑒𝑓𝑓 = 20,45 ∴ 𝑣𝑒𝑓𝑓 = 20
5. Fator de abrangência (k)
𝑘 95 %; 𝑣𝑒𝑓𝑓 = ?
𝑘 95,%;20 = 2,09 Tabela
5. Incerteza expandida (U)
𝑈 = 𝑘(∝, 𝑣𝑒𝑓𝑓) ∙ 𝑢
𝑈 = 𝑘(95 %; 20) ∙ 𝑢𝐵𝑎𝑙
𝑈 = 2,09 ∙ 0,0001345 g
𝑈 = 0,0002811 g ∴ 𝑈 = 0,0003 g
6. Resultado da medição (RM)
 𝑥 ± 𝑈 (𝑃; 𝜈; 𝑘)
99,9980 g ± 0,0003 g (𝑃 = 95 %; 𝜈 = 20 ; k = 2,09)
EXERCÍCIO
Você como estagiária (o) de 
Licenciatura, foi designado para 
corrigir as provas do aluno, 
William Gosset. Dessa forma, 
avalie a prova a seguir e aufira a 
nota do aluno em questão.
EXERCÍCIO
EXERCÍCIO
EXERCÍCIO
EXERCÍCIO
Estimar a incerteza da velocidade média de um projétil a partir do tempo “t” que este leva para percorrer a
distância “d” entre dois sensores. A distância foi medida, sendo encontrado d = 182,4 m ± 0,4 m, estimado com
vinte graus de liberdade efetivos (k → 95,45%) e tempo, t = 52,6 s ± 0,3 s, estimado com doze graus de liberdade
(k → 95,45%). Sabe-se que a estimativa da velocidade do projétil é obtida a partir do modelo matemático V = d/t.
EXERCÍCIO
Estimar a incerteza da velocidade média de um projétil a partir do tempo “t” que este leva para percorrer a
distância “d” entre dois sensores. A distância foi medida, sendo encontrado d = 182,4 m ± 0,4 m, estimado com
vinte graus de liberdade efetivos (k → 95,45%) e tempo, t = 52,6 s ± 0,3 s, estimado com doze graus de liberdade
(k → 95,45%). Sabe-se que a estimativa da velocidade do projétil é obtida a partir do modelo matemático V = d/t.
EXERCÍCIO
Estimar a incerteza da velocidade média de um projétil a partir do tempo “t” que este leva para percorrer a
distância “d” entre dois sensores. A distância foi medida, sendo encontrado d = 182,4 m ± 0,4 m, estimado com
vinte graus de liberdade efetivos (k → 95,45%) e tempo, t = 52,6 s ± 0,3 s, estimado com doze graus de liberdade
(k → 95,45%). Sabe-se que a estimativa da velocidade do projétil é obtida a partir do modelo matemático V = d/t.
EXERCÍCIO
EXERCÍCIO
EXERCÍCIO
EXERCÍCIO
EXERCÍCIO
Você como estagiária (o) de 
Licenciatura, foi designado para 
corrigir as provas do aluno, 
William Gosset. Dessa forma, 
avalie a prova a seguir e aufira a 
nota do aluno em questão.
EXERCÍCIO
EXERCÍCIO
EXERCÍCIO
EXERCÍCIO
EXERCÍCIO
EXERCÍCIO
EXERCÍCIO
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