Segunda Experiência de Laboratório - Métodos Experimentais em Engenharia

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC 
 
 
 
 
 
Laboratório Métodos Experimentais em Engenharia 
Experimento 2: Medidas de Constante Elástica e Força 
 
 
 
Analuz Marin Ramos 11202130007 
Enrique da Cruz 11202021819 
Gabriel Filev Greicius 11202131402 
Márcio Lima Filho 11201722825 
Renato Luchini M. Junior 11202021195 
Victor Sousa Ferreira 11202130807 
 
 
 
 
Santo André 
Março de 2024 
 
 
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Sumário 
 
1. Resumo ............................................................................................................................................... 2 
2. Metodologia ....................................................................................................................................... 2 
2.1. Primeiro Método ........................................................................................................................... 3 
2.2. Segundo Método ........................................................................................................................... 4 
3. Resultados ........................................................................................................................................... 5 
3.1. Primeiro Método ........................................................................................................................... 5 
3.2. Segundo Método ........................................................................................................................... 9 
4. Discussão .......................................................................................................................................... 10 
5. Conclusão ......................................................................................................................................... 10 
6. Referências Bibliográficas .............................................................................................................. 11 
7. Apêndices ......................................................................................................................................... 11 
7.1. Fórmulas ....................................................................................................................................... 11 
7.1.1. Determinação do Δx ............................................................................................................... 11 
7.1.2. k em MHS ............................................................................................................................... 11 
7.1.3. Desvio Padrão da Média ........................................................................................................ 12 
7.1.4. Incerteza Combinada .............................................................................................................. 12 
7.1.5. Incerteza do k a partir do MHS ............................................................................................. 13 
7.1.7. Z's-score ................................................................................................................................... 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. Resumo 
A utilização de molas é algo extremamente comum na nossa sociedade atualmente, seja em 
canetas, amortecedores automotivos, elevadores ou indústrias pesadas, como a mineração, por 
exemplo. 
Este laboratório tem por principal objetivo a determinação da constante k de uma mola 
utilizando dois métodos diferentes e a comparação de seus resultados. A primeira parte do 
experimento consiste em utilizar diferentes massas e verificar a variação do comprimento da mola, 
enquanto o que o segundo método se baseia nas equações de Movimento Harmônico Simples 
(MHS). 
Os resultados obtidos nos dois métodos apresentaram certa proximidade, com valores de 
constante elástica em torno de 226,1 ± 3,0 N/m e 241,34 ± 0,53 N/m. No entanto, ao aplicar a 
fórmula de verificação de confiabilidade Z’-score, foi constatada uma incompatibilidade entre as 
medições, indicando possíveis erros humanos não considerados nos cálculos das incertezas. 
 
2. Metodologia 
Nesse experimento foram utilizados os seguintes materiais: 
• 1 mola de tração 
• 2 peças de cobre (paralelepípedos) 
• 2 peças de alumínio (cilindros) 
• Dinamômetro digital com célula de força (Homis 2100) 
• Balança (Shimadzu BL3200H) 
• Cronômetro 
• Régua de 300mm (Acrimet) 
• Sargento de fixação 
• Suporte de madeira com barbante 
Podemos observar as incertezas relevantes dos equipamentos para os experimentos na tabela I, 
abaixo: 
Tabela I – Materiais utilizados. 
Equipamento Marca Modelo Incerteza 
Régua 300mm Acrimet - 0,5 mm 
Dinamômetro Homis 2100 0,1 N 
Balança Shimadzu BL3200H 0,1 g 
Cronômetro - - 0,005 s 
 
 
 
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A incerteza do cronômetro e da régua foram determinadas ao se dividir o valor da escala 
por dois. Por outro lado, a incerteza da balança foi identificada no manual. A incerteza do 
dinamômetro também foi determinada ao se dividir a escala por dois, porém esse método diverge 
do que está no manual. Essa divergência se deve ao fato de a incerteza determinada pelo fabricante 
ser (0,5% + 2 unidades) para cargas entre 10 e 100 kg, porém as massas utilizadas são muito 
menores que isso. Para contornar esse problema, foi adotada que a incerteza do dinamômetro é 0,1 
N (sua resolução dividida por 2). 
Cada uma das peças utilizadas foi aferida quanto ao peso quatro vezes. As medições foram 
feitas em diferentes pontos da superfície de cada peça, a fim de garantir uma estimativa precisa do 
peso. 
Tabela II – Massa das peças utilizadas. 
 P1 (g) P2 (g) C1 (g) C2 (g) 
Medida 1 1064,71 1066,71 259,33 259,45 
Medida 2 1064,71 1066,82 259,32 259,41 
Medida 3 1064,74 1066,79 259,33 259,45 
Medida 4 1064,70 1066,83 259,34 259,46 
Média 1064,72 1066,80 259,33 259,44 
Desvio Padrão 0,0087 0,014 0,0041 0,011 
Incertiza tipo B 0,1 0,1 0,1 0,1 
Incertiza Combinada 0,1 0,1 0,1 0,1 
 
O experimento consistiu em duas partes com diferentes métodos de determinação da 
constante elástica (k) da mola de tração. 
 
2.1. Primeiro Método 
No primeiro método para se determinar a constante elástica k, deve-se medir o comprimento 
inicial da mola quando colocamos um dos paralelepípedos como massa não nula e, para padronizar 
as medidas, utilizaremos o paralelepípedo 1 como essa massa. Em seguida foi medida a força 
marcada no dinamômetro, devido a força peso gerada pela massa, e então o visor do aparelho foi 
zerado, pois essa força inicial serve para fazer com que a mola entre em sua zona elástica, quando a 
lei de Hooke é válida, e então, esse comprimento medido será a nossa referência (x0). A partir desse 
momento foram realizadas algumas combinações de peças em cima do suporte, sempre mantendo 
o paralelepípedo 1 no suporte. As combinações foram: paralelepípedo 1 + cilindro 1; paralelepípedo 
1 + cilindro 1 + cilindro 2; paralelepípedo 1 + paralelepípedo 2; paralelepípedo 1 + paralelepípedo 
2 + cilindro 1; paralelepípedo 1 + paralelepípedo 2 + cilindro 1 + cilindro 2. Para cada caso foram 
 
 
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medidas a força e o comprimento final da mola quatro vezes, sendo possível calcular a média e 
desvio padrão da média, de modo que nossas medidas fossem mais precisas. 
Com todos os dados coletados, foi feita uma tabela para cada caso, com os valores obtidos 
em cada aferição, juntamente com a incerteza do tipo A (desvio padrão da média) e a incerteza do 
tipo B. Após isso, é possível determinar a variação do comprimento da mola Δx (utilizando a 
fórmula 1) e correlacionar essa variação com a força medida com o dinamômetro, sendo possível 
criar um gráfico entre esses dois valores (força por variação de comprimento). 
Para determinar a constante k, foi utilizado o software LabFit. Com este aplicativo é possível 
colocar os valores dos pontos juntamente com sua incerteza e criar gráficos interessantes para nossas 
análises. O métodoescolhido para gerar a análise foi a regressão linear, pois quando temos um 
gráfico de força por variação de comprimento, o coeficiente angular da reta que melhor se aproxima 
de todos os pontos será a constante elástica, então foi gerada uma regressão do tipo y = Ax, sendo o 
valor do A igual ao k. 
Com essa determinação gráfica da constante elástica, finalizamos este método, e basta 
calcular o k utilizando o segundo método e comparar os resultados. 
 
2.2. Segundo Método 
No segundo método de obtenção da constante elástica, cada integrante do grupo mediu a 
massa do sistema composto pelo suporte de madeira, mola e paralelepípedos 1 e 2. Assim que se 
montou o sistema, foi iniciado novamente por cada um do grupo uma oscilação (MHS) vertical 
cronometrado por um segundo integrante o tempo de 30 oscilações sem que houvesse contato com 
o solo (é válido ressaltar que foi necessário tomar um cuidado extremo para o fazer o movimento 
mais vertical possível, evitando oscilações horizontais que afetariam negativamente a medição). 
Imediatamente os valores de m (massa), N (oscilações) e Tn (tempo) foram organizados nas Tabelas 
X e XI. 
A incerteza de m foi dada pela balança e a incerteza de Tn foi considerada como 0,005 
segundo, devido ao fato de a resolução do cronômetro ser de 0,01 segundo. 
A partir de todos esses valores, foi obtido o valor de k dado pela fórmula 2 (vide apêndice), 
capaz de relacionar o MHS e a Lei de Hooke. Sua incerteza foi determinada ao utilizar a fórmula 6. 
Como o experimento foi realizado quatro vezes, para a determinação do k foi feira a média das 
medidas de massa e do tempo para as 30 oscilações. 
 
 
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3. Resultados 
3.1. Primeiro Método 
Com base na metodologia previamente explicada, foi obtida a tabela III, que descreve as 
medidas do comprimento da mola quando utilizada apenas a massa não nula (paralelepípedo 1). 
Temos: 
Tabela III – Comprimento da mola utilizando apenas o paralelepípedo 1. 
 Comprimento (cm) 
Medida 1 13,6 
Medida 2 13,7 
Medida 3 13,5 
Medida 4 13,4 
Média 13,6 
Desvio Padrão da Média 0,0065 
Incerteza do tipo B 0,5 
Incerteza Combinada 0,5 
 
Agora, utilizando o paralelepípedo 1 e o cilindro 1, foi obtida a tabela IV, que nos mostra 
as medidas do comprimento da mola e a força. Para o desvio padrão da média, foi utilizada a 
fórmula 3 (vide apêndice), enquanto para a incerteza combinada, a fórmula 4 (vide apêndice). 
Temos: 
Tabela IV – Comprimento da mola e força quando utilizados o paralelepípedo 1 e cilindro 1. 
 Comprimento (cm) Força (N) 
Medida 1 14,4 2,6 
Medida 2 15,0 2,7 
Medida 3 14,8 2,5 
Medida 4 14,9 2,6 
Média 14,8 2,6 
Desvio Padrão da Média 0,13 0,041 
Incerteza do tipo B 0,5 0,1 
Incerteza Combinada 0,5 0,1 
 
Do mesmo modo, a tabela V foi obtida utilizando as medidas do paralelepípedo 1, cilindro 
1 e cilindro 2. Para o desvio padrão da média, foi utilizada a fórmula 3 (vide apêndice), enquanto 
para a incerteza combinada, a fórmula 4 (vide apêndice). Temos: 
 
 
 
 
 
6 
 
Tabela V – Comprimento da mola e força quando utilizados o paralelepípedo 1, cilindro 1 e 
cilindro 2. 
 Comprimento (cm) Força (N) 
Medida 1 15,9 4,8 
Medida 2 15,9 4,9 
Medida 3 15,8 4,8 
Medida 4 16,0 5,0 
Média 15,9 4,9 
Desvio Padrão da Média 0,041 0,048 
Incerteza do tipo B 0,5 0,1 
Incerteza Combinada 0,5 0,1 
 
Para o nosso terceiro cenário, foram utilizados os paralelepípedos 1 e 2 e, assim, foi obtida 
a tabela VI, que nos mostra as medidas do comprimento da mola e a força. Para o desvio padrão da 
média, foi utilizada a fórmula 3 (vide apêndice), enquanto que para a incerteza combinada, a 
fórmula 4 (vide apêndice). Temos: 
Tabela VI – Comprimento da mola e força quando utilizados os paralelepípedos 1 e 2. 
 Comprimento (cm) Força (N) 
Medida 1 18,0 10,4 
Medida 2 18,0 10,2 
Medida 3 17,9 10,2 
Medida 4 18,1 10,4 
Média 18,0 10,3 
Desvio Padrão da Média 0,041 0,058 
Incerteza do tipo B 0,5 0,1 
Incerteza Combinada 0,5 0,1 
 
Utilizando-se os paralelepípedos 1 e 2, além do cilindro 1, foi obtida a tabela VII, que nos 
mostra as medidas do comprimento da mola e a força. Para o desvio padrão da média, foi utilizada 
a fórmula 3 (vide apêndice), enquanto que para a incerteza combinada, a fórmula 4 (vide apêndice). 
Temos: 
Tabela VII – Comprimento da mola e força quando utilizados o paralelepípedo 1, paralelepípedo 
2 e cilindro 1. 
 Comprimento (cm) Força (N) 
Medida 1 19,1 12,8 
Medida 2 19,3 12,8 
Medida 3 19,1 12,9 
Medida 4 19,1 13,0 
Média 19,2 12,9 
Desvio Padrão da Média 0,050 0,048 
 
 
7 
 
Incerteza do tipo B 0,5 0,1 
Incerteza Combinada 0,5 0,1 
 
Utilizando-se o paralelepípedo 1, paralelepípedo 2, cilindro 1 e cilindro 2, foi obtida a tabela 
VIII, que nos mostra as medidas do comprimento da mola e a força. Para o desvio padrão da média, 
foi utilizada a fórmula 3 (vide apêndice), enquanto que para a incerteza combinada, a fórmula 4 
(vide apêndice). Temos: 
Tabela VIII – Comprimento da mola e força quando utilizados o paralelepípedo 1, 
paralelepípedo 2, cilindro 1 e cilindro 2. 
 Comprimento (cm) Força (N) 
Medida 1 20,3 15,6 
Medida 2 20,2 15,2 
Medida 3 20,4 15,2 
Medida 4 20,3 15,3 
Média 20,3 15,3 
Desvio Padrão da Média 0,041 0,095 
Incerteza do tipo B 0,5 0,1 
Incerteza Combinada 0,5 0,1 
 
Com todos os casos determinados, foi possível obter a tabela IX, que contém os valores 
de Δx (calculados utilizando a fórmula 1), a incerteza associada ao Δx (calculada utilizando a 
fórmula 5), a força e a incerteza da força. 
Tabela IX - Variação do comprimento da mola (Δx), juntamente com sua incerteza, força e 
incerteza da força. 
Cenário Δx (cm) Incerteza Δx 
(cm) 
Força (N) Incerteza Força 
(N) 
P1 + C1 1,2 0,7 2,6 0,1 
P1 + C1 + C2 2,4 0,7 4,9 0,1 
P1 + P2 4,5 0,7 10,3 0,1 
P1 + P2 + C1 5,6 0,7 12,9 0,1 
P1 + P2 + C1 + C2 6,8 0,7 15,3 0,1 
 
Uma vez com a tabela acima feita, foi feito o gráfico (figura 1) que fornece a relação entre 
os pontos e o coeficiente linear da reta (que para o caso da lei de Hooke, seria a própria constante k 
da mola): 
 
 
 
 
 
 
8 
 
Figura 1 – Gráfico do Δx por força, com a incerteza em cada ponto e o valor de k determinado. 
 
 
Figura 2 - Resultado do A e sua incerteza obtidos utilizando o LabFit. 
 
Como pode ser visto na parte de baixo da figura 2, ao utilizar os dados da tabela IX no 
LabFit, e selecionar a função de regressão linear (y = Ax), o resultado de A foi 0,2261E+01 ± 
0,2959E-01, ou seja, A = 2,261 ± 0,030. Com isso, podemos afirmar que a constante k da mola para 
este cenário é de 2,261 ± 0,030 N/cm. É válido ressaltar que o valor obtido não está no Sistema 
Internacional, pois a variação de comprimento foi utilizada em centímetros e não em metros 
(observe a que a unidade de k está em N/cm). 
Para ser possível comparar com o resultado que iremos obter no segundo método, o valor 
de k foir convertido para o sistema internacional. Para fazer isto basta multiplicar a constante e sua 
incerteza por 100, de modo que obtivemos k = 226,1 ± 3,0 N/m. 
 
 
 
 
9 
 
3.2. Segundo Método 
Para o segundo método, a primeira coisa ser realizada foi a medição da massa do sistema 
composto pelas duas peças em forma de paralelepípedo, o suporte de madeira, o barbante e a mola, 
juntamente com o desvio padrão da média calculado com base na fórmula 3 e a combinação das 
incertezas utilizando a fórmula 4 (vide apêndice). Tais medições se encontram na tabela X: 
 
 Tabela X – Medidas de massa do sistema. 
 Massa sistema (g) 
Medida 1 2337,94 
Medida 2 2337,89 
Medida 3 2337,85 
Medida 4 2337,89 
Média 2337,89 
Desvio Padrão da Média 0,018 
Incerteza do tipo B 0,1 
Incerteza Combinada 0,1 
 
Para a utilização de N = 30, temos a tabela XI com os tempos medidos para cada repetição do 
experimento, bem como o desvio padrão da média calculado com base na fórmula 3 e a combinação 
das incertezasutilizando a fórmula 4 (vide apêndice). Temos: 
Tabela XI – Medidas de tempo para cada repetição do experimento. 
 Tempo para 30 oscilações (s) 
Medida 1 18,40 
Medida 2 18,50 
Medida 3 18,63 
Medida 4 18,68 
Média 18,55 
Desvio Padrão da Média 0,063 
Incerteza do tipo B 0,005 
Incerteza Combinada 0,06 
 
 
 A determinação do k utilizando o método de MHS foi realizada utilizando-se da fórmula 2 
(vide apêndice), e sua incerteza com a fórmula 6. Foi obtido o valor de k = 241,34 ± 0,53 N/m. 
Note que para ser possível obter esse valor, a massa foi utilizada em quilogramas, com o intuito de 
padronizar os valores da constante no Sistema Internacional. 
 
 
 
 
 
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4. Discussão 
Em um primeiro momento, os valores de k obtidos aparentam ser bem próximos. Foram 
obtidos os valores de k = 226,1 ± 3,0 N/m e 241,34 ± 0,53 N/m, ou seja, há uma diferença de 
aproximadamente 6,7% em seus valores, porém analisemos essa diferença mais afundo. 
Utilizando a fórmula de verificação de confiabilidade Z’-score (dada pela equação 11 
presente no apêndice), obtivemos um valor de Z’ de aproximadamente 5,0, nos indicando que as 
medições foram incompatíveis, apesar de próximas. 
Tal divergência de resultados pode ter sido gerada em decorrência de erros humanos que 
não foram considerados para o cálculo das incertezas, como por exemplo o tempo de reação 
necessário para parar o cronômetro no segundo experimento, ou até mesmo erros que simplesmente 
não foram considerados, como o caso do atrito. 
Para se tratando de uma linha industrial de produção de molas, recomendaríamos a 
utilização do segundo método (MHS) para o controle de qualidade das molas, porém há um certo 
adento. Para a utilização deste método de modo eficaz, os funcionários deveriam receber um certo 
treinamento para a padronização dos testes (por exemplo, utilizar sempre a mesma força para fazer 
o sistema entrar no movimento harmônico e ser considerados com um tempo de reação rápido o 
suficiente para o tempo de parar o cronômetro ser o mais insignificante possível). 
O segundo método é recomendado, apesar destes cuidados, por apresentar uma incerteza 
menor (ou seja, possui uma maior precisão nos resultados) e ser mais rápido de ser realizado. 
 
5. Conclusão 
A realização deste experimento proporcionou uma análise detalhada sobre dois métodos de 
determinação da constante elástica de uma mola. 
Observou-se que ambos forneceram resultados próximos em termos de valores da 
constante elástica, porém, ao considerar a confiabilidade dos resultados, conclui-se que o melhor 
método é calcular a constante através do movimento harmônico simples (MHS). Dentre os fatores 
que contribuem para a diminuição do erro experimental do segundo método, destaca-se a menor 
influência de erros sistemáticos associados às medições e aparelhos, como por exemplo, o efeito da 
paralaxe na leitura da escala. 
Além disso, o método do MHS é mais eficiente em relação ao primeiro já que a aferição de 
medidas é muito mais rápida. Sendo assim, no contexto de uma aplicação prática, como em uma 
linha de produção de molas, seria recomendável sua utilização. No entanto, para garantir a precisão 
e confiabilidade dos resultados, é fundamental padronizar os processos de medição visando reduzir 
falhas humanas e de equipamentos mal calibrados. 
Assim, conclui-se que a determinação da constante elástica de uma mola envolve não 
apenas a realização cuidadosa dos experimentos, mas também uma análise crítica dos resultados e 
uma atenção especial aos detalhes experimentais para garantir a confiabilidade e precisão dos dados 
 
 
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obtidos. 
 
6. Referências Bibliográficas 
ROMANI, Ana Paula et al. MÉTODOS EXPERIMENTAIS EM ENGENHARIA. Santo 
André: Editora Ufabc, 2024. 509 p. 
GOMES, Melissa Keiller; SANDRINI, Reynaldo Gisto Gabriel. Tutorial sobre ajuste de 
curvas no software LAB Fit. Santo André: Ufabc, 2018. 
 
7. Apêndices 
7.1. Fórmulas 
7.1.1. Determinação do Δx 
A variação do comprimento da mola é facilmente determinada utilizando a definição de 
variação. Temos: 
Δ𝑥  =  𝑥  −  𝑥0     (1) 
O x neste caso é o valor da medida e o x0 o valor de comprimento de referência que, no 
caso, é o comprimento médio das medições feitas apenas para a massa não nula 
(paralelepípedo 1). 
 
7.1.2. k em MHS 
Para determinar o valor de k no movimento harmônico simples, foi utilizado: 
 
𝑘  =  
4𝜋2𝑚𝑁2
𝑇𝑛2
     (2) 
 
Onde m é a massa do sistema, N o número de oscilações e Tn é o tempo necessário para 
se atingir as N oscilações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
7.1.3. Desvio Padrão da Média 
Para se calcular o desvio padrão da média devemos, inicialmente, calcular a variância 
quadrada (S²) do nosso espaço amostral. Para fazer isso, é possível utilizarmos a seguinte fórmula: 
 
𝑆2  =  
1
𝑛  −  1
∑(𝑋𝑖  −  𝑋𝑚é𝑑𝑖𝑜)2
 
 
 
 
Com n sendo o número de amostras, Xi o valor medido e Xmédio o valor médio. 
Com o quadrado da variância, nós podemos determinar o desvio padrão da média (também 
conhecido como incerteza da média e cujo símbolo é um) utilizando: 
𝑢𝑚  =  √
𝑆2
𝑛
   (3) 
 
Esta fórmula foi utilizada para determinar a incerteza do tipo A das medições. 
 
7.1.4. Incerteza Combinada 
A fórmula da incerteza combinada é dada por: 
 
𝑢𝑐2  =  ∑𝑢𝑖2
 
 
 
 
Sendo uc o valor da incerteza combinada e ui o valor de cada incerteza independente. Com 
isso, temos o seguinte resultado: 
 
𝑢𝑐  = √𝑢𝐴12 + 𝑢𝐴22 +⋯+ 𝑢𝐵12 + 𝑢𝐵22 +⋯        (4) 
 
 
 
 
 
 
13 
 
7.1.5. Incerteza do Δx 
A incerteza da variação de comprimento, pode ser determinada da seguinte forma: 
 
𝑢Δ𝑥  =  √(1  ⋅  𝑢𝑥)2 + ((−1)  ⋅  𝑢𝑥0)
2
     (5) 
 
Os termos ux e ux0 são, respectivamente: incerteza associada a medição do comprimento 
final e a incerteza associada a medição do comprimento inicial. 
 
7.1.6. Incerteza do k a partir do MHS 
Conforme a equação 3, podemos determinar os coeficientes de sensibilidade para 
determinar o erro da constante k para o Movimento Harmônico Simples. Temos: 
 
𝜕𝑘
𝜕𝑚
  =  
4𝜋2𝑁2
𝑇𝑛2
 
𝜕𝑘
𝜕𝑇𝑛
=  
(−2) ∗ 4𝜋2𝑚𝑁2
𝑇𝑛3
 
 
É possível afirmar que como o número de oscilações N não incerteza (por ser um valor 
escolhido por nós), então a incerteza do k neste caso depende apenas da incerteza da massa e tempo 
medido, logo: 
𝑢𝑘  =  √(
4𝜋2𝑁2
𝑇𝑛2
  ⋅  𝑢𝑚)
2
+   (
(−2) ⋅ 4𝜋2𝑚𝑁2
𝑇𝑛3
  ⋅  𝑢𝑇𝑛)
2
    (6) 
 
7.1.7. Z's-score 
 
O Z’-Score pode ser determinado utilizando-se a seguinte fórmula: 
 
𝑍′  =   | 
𝑥  −  𝑦
√(𝑢𝑥)2  +  (𝑢𝑦)2
|      (7) 
 
 
 
14 
 
Para este caso, x e y são os valores obtidos por métodos diferentes, ux é a incerteza 
associada com a medida x e uy é a incerteza associada a medida y.